Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Александр Юльевич Ишлинский.К 90-летию со дня рождения
Александр Юльевич Ишлинский — выдающийся ученый-механик XX столетия, автор фундаментальных исследований в области механики деформируемых сред, динамики твердых тел, гироскопии и инерциальной навигации, создавший новые направления в разделах науки, которым он посвятил свой талант ученого, инженера, замечательного педагога.
А. Ю. Ишлинский родился 6 августа 1913 г., его отец во время русско-японской войны служил машинным квартирмейстером крейсера «Богатырь», за участие в Кронштадском восстании был лишен дворянского звания.
В 1931 г. А.Ю. Ишлинский поступает на второй курс механико-математического факультета Московского университета, с тех пор более семидесяти лет его жизнь и деятельность была неразрывно связана с факультетом и университетом. Среди его учителей Н. Н. Бухгольц, В. В. Голубев, М. А. Лаврентьев, А. П. Минаков, А. И. Некрасов, М. М. Филоненко-Бородич, А. Я. Хинчин, многие блестящие представители профессуры Московского университета той поры.
Позднее Александр Юльевич скажет: « Московский университет мне бесконечно дорог. Профессора Московского университета указывали нам на необходимость учиться новому всю жизнь и сами показывали прекрасный пример тому. Ни один из них никогда не гордился своей большой эрудицией^ никогда не стеснялся заявить о случайном незнании, какого-либо отдельного вопроса. Всеми силами л стремлюсь следовать примеру ” указаниям своих учителей^ ибо нахожу их глубоко правильными. Лично л в высшей степени обязан Московскому университету. Мне довелось учиться у первоклассных ученых^ участвовать в научных семинарах^ самому читать лекциивести практические занятия^ радоваться достижениям своих учеников. Дух университета — логическая последовательность рассуждений^ тщательный анализ экспериментального материала^ своеобразная точность формулировок и самого мышления всегда являются для меня направляющими факторами моей жизни ” деятельности».
Кандидатскую диссертацию на тему «Трение качения» А.Ю. Ишлинский защитил в 1938 г., докторскую диссертацию на тему «Механика не вполне упругих и вязкопластических тел — в 1943 г. С 1944 г. он профессор Московского университета.
Уже начиная с пребывания в аспирантуре А. Ю. Ишлинский ведет интенсивную, разностороннюю педагогическую деятельность в Московском электромеханическом техникуме имени Л. Б. Красина, в высших учебных заведениях: МГУ, МВТУ им. Баумана, МЭИ, Автомеханическом институте, Педагогическом институте им. К. Либкнехта, Военно-инженерной академии им. В. В. Куйбышева, заведует кафедрой теоретической механики в Московском военно-инженерном училище (1943-1945).
С 1940 г. начинается работа А.Ю. Ишлинского в приборостроительной промышленности. Общение с замечательным инженером Н. Н. Остряковым, крупнейшими конструкторами, в том числе с С.Ф. Фармаковским, знаменитым
академиком А. Н. Крыловым, определили интерес и направление исследований А. Ю. Ишлинского в области гироскопии и точного приборостроения.
В 1947 г. Александр Юльевич по приглашению академика М. А. Лаврентьева переезжает в Киев, где избирается действительным членом АН УССР и назначается директором института математики АН УССР. Под руководством А.Ю. Ишлинского в Имат АН УССР получили развитие новые направления прикладных научных исследований, созданы новые отделы, в том числе отдел общей механики, образуется киевская школа механиков — специалистов по гироскопам и системам инерциальной навигации. А. Ю. Ишлинский устанавливает широкие связи Имат АН УССР с приборостроительными организациями Москвы, Ленинграда, Киева, принимает участие в натурных исследованиях навигационных приборов в северных широтах на Земле Франца-Иосифа. В Киевском университете А.Ю. Ишлинский прочитал оригинальные курсы по теории пластичности, теории гироскопов, плоской задаче теории упругости, истории механики.
В 1955 г. А. Ю. Ишлинский возвращается в Москву, до последних дней жизни Александр Юльевич сохранял творческие научные связи со своими киевскими коллегами и учениками.
С 1956 г. Александр Юльевич начинает заведовать кафедрой прикладной механики МГУ, позднее переименованной в кафедру прикладной механики и процессов управления. В 1959 г. он становиться директором института механики МГУ. В 1960 г. А.Ю. Ишлинский избран действительным членом АН СССР.
С 1964 г. А. Ю. Ишлинский — директор вновь созданного института Проблем механики АН СССР, позднее — ИПМ РАН, которым он руководил до 1990 г. Под его руководством институт стал крупнейшим научным центром страны в области механики.
Научное творчество Александра Юльевича Ишлинского характеризует широта и разнообразие интересов, от вопросов, имеющих фундаментальное значение для теории, до конкретных прикладных задач. В механике деформируемого твердого тела это вопросы поведения упругих, пластических, вязкопластических, наследственных сред, вопросы статического и динамического разрушения тел и конструкций и многие другие.
Исследования А.Ю. Ишлинского по теории сопротивления качению связаны с построением моделей релаксирующих сред, им предложена и изучена схема процесса качения на основе представлений о деформировании основания грунтов и других релаксирующих сред. А. Ю. Ишлинский проанализировал расположение зон проскальзывания и сцепления при качении с учетом кулонова трения в области проскальзывания, дал разъяснение эффектов, связанных с наличием сухого трения, динамикой, вызываемой этим явлением. Эти работы послужили основой многочисленных исследований.
Рассматривая течение и устойчивость вязкопластических тел, Александр Юльевич делает выбор в пользу эйлерова представления о течении среды. Это представление оказалось вполне соответствующим для описания течения жесткопластических сред. Он предчувствует роль кусочногладких поверхностей нагружения и вводит новые кусочногладкие условия пластичности — условие пластичности максимального приведенного напряжения, ограничивающего наряду с условием максимального касательного напряжения — условие пластичности Треска — класс возможных невогнутых условий пластичности идеально-пластического изотропного тела. Им дано численное решение задач об определении предельной нагрузки при вдавливании гладкого штампа с круговым и сферическим основаниями (проба Бриннеля) в идеально-пластическое полупространство.
При построении общих соотношений теории идеальной пластичности А.Ю. Ишлинский исходил из статически определимых соотношений, данных Сен- Венаном для плоской задачи. Он сформулировал соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности для пересечения двух поверхностей текучести, при этом отказался от гипотезы пропорциональности девиаторов напряжений и скорости деформаций, тем самым получил соотношения, соответствующие представлениям обобщенного ассоциированного закона пластического течения. Позднее А.Ю. Ишлинский вместе с соавторами получил дальнейшее далеко идущее развитие этих результатов.
А. Ю. Ишлинскому принадлежит теория трансляционного упрочнения пластического материала. На основе предложенной им механической модели, иллюстрирующей явление упрочнения за счет изменения внутренних напряжений, им даны общие соотношения упрочняющегося пластического материала, описывающие свойства приобретенной анизотропии, эффекта Баушингера и т. д.
Замечательные эксперименты М. А. Лаврентьева, обнаружившие образование различных гармоник при динамическом обжатии трубы, послужили основой для исследований М. А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского по динамической устойчивости упругих и неупругих систем. В основу было положено исследование процесса изменения во времени начальных отклонений. Цикл исследований А. Ю. Ишлинского связан с изучением несовершенной упругости, колебаниями и разрушением твердых тел. Им рассмотрены вогтросн: прокатки и волочения при больших скоростях деформирования, движения песка, остаточных деформаций при разгрузке упругопластических тел и т. д.
Следует отметить изящный анализ процесса развития трещины в упругом теле при наличии сил сцепления. На примере расширения прямолинейного разреза — щели — распределенными усилиями, приложенными нормально к ее противоположным краям, А.Ю. Ишлинский снимает многие вопросы, послужившие причиной прошедших дискуссий.
Первые работы А. Ю. Ишлинского по теории гироскопов, начатые им в 1940 г., были посвящены изучению геометрии и кинематики кардановых подвесов, в которых устанавливаются практически все гироскопические приборы и устройства. Для определения различного рода ошибок стабилизации и погрешностей в определении угловых координат удаленных объектов он применил аналитический метод исследования и получил ряд точных результатов механики конечных вращении. Ему принадлежит классическая теорема о так называемом накоплении телесного угла, вошедшая в руководство при расчете точности стабилизации различного рода объектов. А. Ю. Ишлинский последовательно и систематически занимался выяснением причин, оказывающих влияние на точность гироскопических приборов. В его работах проанализировано влияние жесткости конструкций, влияние трения и вибраций на работу гироскопических приборов. Им создана теория новых гироскопических приборов, гировертикали на воздушном подвесе, многороторного гироазимута горизонта, гироскопа направления, гироскопического креновыравни- вателя, теория гиромаятника и гироскопа направления при их движении по земной сфере. Изящное исследование Александра Юльевича по оценке методической ошибки гироазимута (гироскопа направления) при движении по поверхности Земли имело принципиальное значение для решения проблемы автономной навигации в районе Северного географического полюса, где гироазимут был единственным средством курсоуказания.
В ряде своих работ А. Ю. Ишлинский получил условия, налагаемые на параметры гироскопических систем и начальные условия их движения, обеспечивающие независимость девиации гироскопических устройств от ускорения манев-
рирования объектов, на которых эти устройства расположены. Развитием работ А.Ю. Ишлинского по теории гироскопов явились его исследования по изучению систем инерциальной навигации.
А.Ю. Ишлинский является создателем теории инерциальной навигации в нашей стране. Им и его учениками в содружестве с инженерами и конструкторами в Советском Союзе были созданы совершенные системы управления и навигации самолетами, ракетами и подводными лодками.
На протяжении долгого периода научной деятельности, начиная со времен Великой Отечественной войны, внимание Александра Юльевича привлекала механика движения быстро вращающихся твердых тел. Оказалось, что изучение подобных процессов возможно при использовании струнного подвеса. Экспериментально наблюдаемое многообразие устойчивых и неустойчивых форм динамического поведения осесимметричного твердого тела потребовало больших усилий для их описания. Были обнаружены новые формы стационарного движения тел. Исследования по движению тел на струнном подвесе принадлежат к числу классических в динамике твердого тела.
А.Ю. Ишлинскому принадлежит более 300 научных публикаций, им написаны фундаментальные монографии: «Механика специальных гироскопических систем» (1952), «Механика гироскопических систем» (1963), «Инерциальное управление баллистическими ракетами» (1968), «Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация» (1976), «Механика относительного движения и силы инерции» (1981), «Прикладные задачи механики» в двух томах (1986), «Классическая механика и силы инерции» (1987), «Вращение твердого тела на струне и смежные задачи» (1991, совместно с В.А. Стороженко и М.Е. Темченко), «Математическая теория пластичности» (2001, совместно с Д. Д. Ивлевым), «Исследование устойчивости сложных механических систем» (2002, совместно с В. А. Стороженко и М.Е. Темченко), в которых изложены сложнейшие вопросы многих разделов механики. По ним учатся и будут учиться все новые и новые поколения молодых исследователей, инженеров, научных работников.
В своем творчестве Александр Юльевич неоднократно возвращался к осмыслению научных достижений, к истории и методологии механики. Ему принадлежит ряд обзорных статей и докладов. А.Ю. Ишлинскому принадлежит книга «Механика: идеи, задачи, приложения» (1985). Круг вопросов, рассматриваемых в этой книге, весьма разнообразен. Это и историческое развитие механики, размышления о ее достижениях, проблемах, ее месте в ряду других естественных наук. Для Александра Юльевича характерно глубокое проникновение в суть обсуждаемых явлений, стремление дать полную и объективную историю вопроса. Книга содержит замечательный очерк о Галилео Галилее, очерки об ушедших современниках, написанные с глубоким уважением к личностям и научным достижениям.
В 1965 г. А. Ю. Ишлинский был назначен Председателем научно-методического совета по теоретической механике при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР. Александр Юльевич всегда отстаивал роль и значение теоретической механики как базовой фундаментальной дисциплины и препятствовал попыткам исключить ее из вузовских программ.
Александр Юльевич вел громадную издательскую работу. Он был главным редактором журнала «Известия РАН. Механика твердого тела», главным редактором целого ряда периодических и других изданий, членом редколлегии различных журналов.
Научная, научно-организационная, педагогическая и общественная деятельность А.Ю. Ишлинского высоко оценена нашей Родиной. Ему присвоено звание
Героя Социалистического труда, он награжден тремя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, двумя орденами Трудового Красного Знамени, двумя орденами Дружбы Народов, орденом «Знак Почета», орденом Кирилла и Мефодия первой степени, многими медалями.
Александр Юльевич Ишлинский был удостоен Ленинской премии (I960), Государственной премии СССР (1981), Государственной премии РФ (1996), премии им. Н.Н. Острякова (1975), премии им. А.Н. Динника (1981), золотой медали им. В.Г. Шухова (1992), награжден многими другими именными премиями и медалями различных международных академий и научных обществ.
А. Ю. Ишлинский — первый президент Всесоюзного совета научно-технических обществ (1970-1991), почетный президент Российской инженерной академии, президент Всемирной федерации инженерных организаций (1987-1991), вице-президент Всемирной Федерации научных работников. Он иностранный член академий наук Польши и Чехии, инженерных академий Великобритании и Мексики.
Постоянное творческое участие Александра Юльевича в развитии актуальных направлений науки и техники, ясная и четкая постановка проблем, блестящее изложение материала, умение получать самыми простыми способами ясные, доведенные до числа результаты, так необходимые инженерной практике, личное обаяние, чуткость и жизнерадостность привлекали к нему молодежь, ищущую новые идеи и приложение своих творческих сил. Ученики и последователи А. Ю. Ишлинского используют и развивают его идеи, применяют полученные им результаты при проектировании, конструировании и изготовлении различного рода механических устройств и систем. Многие из учеников Александра Юльевича стали крупными, известными учеными.
Александру Юльевичу были присущи острота мысли, компетентность, корректность, доброжелательность. Он обладал исключительно мощным интеллектом, поразительной научной интуицией. Его суждения были глубоко осмысленны, оценка событий и людей была трезвой и взвешенной.
О времени и о себе лучше всего сказал он сам.
Если человек ученый по призваниюа не по стечению обстоятельств, то он продолжает свое дело несмотря ни на что.
Большая часть моей жизни приходится на те годы, которые сейчас принято ругать. А ведь огромное число достижений^ обогативших и отечественную, и мировую науку относится именно к тому периоду.
Я счастлив^ что мои исследования помогли развитию отечественной науки ” техники. Мне дороги некоторые работы по общей теории пластичности, благодаря которым удалось решить ряд сложных проблем в металловедении ” металлургии^ работы по теории гироскоповпослужившие основой для создания приборов, открывших новые возможности космической^ морской ” военной техники.
Ученый — не политик^ он должен заниматься своими делами и на окружающий мир влиять в основном с помощью открытых им законов природы. Тогда меньше претензий к обществу^ больше — к самому себе.
Несмотря ни на что верх взяла демократия ” свобода. А это вселяет надежду что здоровые силы общества справятся с негативными сторонами рыночной экономики. Я бы хотел чтобы больше проявлялось терпимости не отрицалось бы наотмашь то одно, то другое^ тщательно отбиралось самое полезное^ рациональное.
Я русский человек, люблю Россию, верю в русский народ и убежден^ что кривая рано или поздно вывезет страну из кризиса. И тогда вновь засияет слава российской науки.
Александр Юльевич был ученым по призванию, великим ученым.
С Александром Юльевичем Ишлинский ушла целая эпоха, эпоха М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева, эпоха С.П. Королева и В. И. Кузнецова.
Александр Юльевич оставил неизгладимый след в науке, его достижения вошли в золотой фонд механики.
Список основных научных трудов А. Ю. Ишлинского
1926
Штепсель для переключения на длинные и короткие волны // Новости радио. № 40. С. 5.
1937
Задача о скорости косьбы злаков // Сельскохозяйственная машина. № 5-6. С. 9-10.
Теория движения прицепки трактора // Сельскохозяйственная машина. № 1. С. 23-26.
О захватывающей способности шпинделя // Сельскохозяйственная машина. № 12. С. 17-19.
1938
Измерение динамометром мгновенных или достаточно быстро меняющихся нагрузок // Сельскохозяйственная машина. № 2. С. 14-15.
Трение качения // ПММ. Т. 2. Вып. 2. С. 245-260.
1939
Заметка к статье А. Н. Герасимова «Проблема упругого последствия и внутреннее трение» // ПММ. Т. 3. Вып. 2. С. 163-164.
1940
Теория сопротивления перекатыванию (трение качения) и смежных явлений // Всес. конф, по трению и износу в машинах. Доклады, выступления и резолюции.— М.; Л.: Издательство АН СССР. Т. 2. С. 225-264.
Разрушение не вполне упругих материалов // Работы по теории, расчету и производству сельскохозяйственных машин. — М.: ВИСХОМ. С. 101-127.
Применение полуобратного метода к приближенному решению некоторых задач теории упругости // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. наук. Вып. 3. Т. 7. С. 97-114.
О перемещениях упругой полуплоскости // Учен. зап. МГУ. Механика. Вып. 39. С. 83-86.
О равнопрочном сечении балки // Учен. зап. МГУ. Механика. Вып. 39. С. 87-90.
Гипотеза прочности формоизменения // Учен. зап. МГУ. Механика. Вып. 46. С. 117-124.
Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации // ПММ. Т. 4. Вып. 1. С. 79-92.
Линейные законы деформирования не вполне упругих тел // Докл. АН СССР. Т. 26. № 1. С. 22-26. = Linear deformation laws of not quit elastic bodies // C. R. Acad. Sci. URSS. V. 26. № 1. P. 23-27.
1941
Плоская деформация при наличии линейного упрочнения // ПММ. Т. 5. Вып. 1. С. 57-70.
1943
О напряженном состоянии упругого цилиндра при больших углах крутки // ПММ. Т. 7. Вып. 3. С. 223-225.
Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования // ПММ. Т. 7. Вып. 3. С. 226-230.
Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // ПММ. Т. 7. Вып. 2. С. 109-130.
Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины // ПММ. Т. 7. Вып. 6. С. 405-412.
1944
Осесимметричная задача пластичности и проба Бринелля // ПММ. Т. 8. Вып. 3. С. 201-224.
Задача о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения // ПММ. Т. 8. Вып. 5. С. 395-400.
Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР. ОТН. № 9. С. 583-590.
О скачках при трении // Ж. техн, физики. Т 14. Вып. 4-5. С. 276-282 (совм. с И. В. Крагельским).
Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Докл. АН СССР. Т. 45. № 5. С. 191-192. = Some applications of statistics in describing deformation laws // C. R. Acad. Sci. URSS. V. 45.强 5. P. 179-180.
Геометрия бикарданова подвеса // Приборостроение. № 1. С. 12-18.
О взаимном вращении двух стабилизированных площадок при качке корабля // Приборостроение. № 2. С. 4-6.
Геометрия двух бикардановых систем // Приборостроение. № 3. С. 4-13.
Бортовая и килевая качка и изменение курса при качке корабля вокруг произвольно ориентированной оси // Приборостроение. № 4. С. 3-8.
1945
Уравнение деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. № 1-2. С. 34-45.
Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. № 3. С. 250-260.
Ошибки при совместной работе кардановых подвесов разных систем // Приборостроение. № 1 (5). С. 4-11; № 2 (6). С. 4-11.
1946
Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Учен. зап. МГУ. Вып. 117. Механика. Т. 1. С. 90-108.
Разрушение не вполне упругих материалов // Учен. зап. МГУ. Вып. 117. Механика. Т. 1. С. 109-126.
Два замечания к теории движения ракет // Докл. АН СССР. Т. 53. № 7. С. 599-600. = Two notes on the theory of rocket motion // C. R. Acad. Sci. URSS. V. 53. № 7. P. 595-596.
К теории следящих систем // Приборостроение. № 1 (9). С. 15-22.
1947
Сведения о размерах фигур и тел // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 103-106.
Приближенные вычисления // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 106-111.
Алгебра и решение уравнений // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 111-130.
Трансцендентные функции и специальные полиномы // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 130-142.
Тригонометрия // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 142-146.
Векторный анализ // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 190-193.
Вариационное исчисление // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 251-253.
Ряды функций // Машиностроение. Энциклопедический справочник. Разд. 1. Инженерные расчеты в машиностроении. Т. 1. Кн. 1. — М.: Машгиз. С. 262-271.
1949
Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. Т. 64. №6. С. 779-782 (совм. с М. А. Лаврентьевым).
1950
Пластичность // Механика в СССР за тридцать лет. М.;Л.: Гостехтеоретиздат. С. 240-253.
К теории динамического испытания грунта ударником ДОРНИИ // Тр. совещ. по проходимости колесных и гусеничных машин по целине и грунтовым дорогам.— М.: Изд-во АН СССР. С. 56-61 (совм. с А. С. Кондратьевой).
О качении жестких и пневматических колес по деформируемому грунту // Тр. совещ. по проходимости колесных и гусеничных машин по целине и грунтовым дорогам. — М.: Изд-во АН СССР. С. 68-88 (совм. с А. С. Кондратьевой).
1951
Преобразование одного двойного контурного интеграла в двойной поверхностный с приближением к отысканию коэффициента взаимоиндукции двух удален-
ных друг от друга витков или проволочных рамок // Докл. АН СССР. Т. 81. № 3. С. 353.
Про претворения одного подв!йного кривол!н!йного 1нтеграла в подв!йний по- верхневий // Доп. АН УРСР. № 6. С. 397-400.
Про коеф!ц1ент взаемо!ндукц11 двох дротяних рамок // Доп. АН УРСР. № 6. С. 401-403.
1952
Механика специальных гироскопических систем. Киев: Изд-во АН УССР. 432 с. Об остаточных напряжениях при крутке // Укр. мат. ж. Т. 4. № 2. С. 155-167.
О закономерностях растрескивания коры деревьев // Докл. АН. СССР. Т. 84. № 1. С. 161-164 (совм. с А. В. Думаньским).
1953
Про законом!рност1 формоутворення кори дерев // Питания л!сового грунто- знавства та еколог!1 л icy. Прац! 1н-ту л!с1вництва. КиУв: АН УРСР. Т. 5. С. 139-146 (совм. с А.В. Думаньским).
О прерывистом движении недостаточно жестких кинематических цепей при трении // Повышение износостойкости и срока службы машин. Киев — Москва: Машгиз. С. 173-179 (совм. с И. В. Крагельским).
Об одном интегро-дифференциальном соотношении в теории упругой нити (каната) переменной длины // Укр. мат. ж. Т. 5. № 4. С. 370-374.
1954
Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. мат. ж. Т. 6. № 2. С. 140-146.
Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР. Т. 95. № 3. С. 477-479.
О фокусировке наэлектризованных частиц // Докл. АН СССР. Т. 96. № 4. С. 721-724.
К динамике грунтовых масс // Докл. АН СССР. Т. 95. № 4. С. 729-731 (совм. с Н.В. Зволинским, И.3. Степаненко).
Об уравнении продольных движений каната (упругой нити) переменной длины // Докл. АН СССР. Т. 95. № 5. С. 939-941.
Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. ж. Т. 6. № 3. С. 314-325.
О плоском движении песка // Укр. мат. ж. Т. 6. № 4. С. 430-441.
1955
О маятнике Пошехонова // Астрономия, ж. Т. 32. Вып. 5. С. 462-468.
Про ковзний рух динам!чних систем // Прикл. механ!ка. Т. 1. Вип. 1. С. 51-66.
Замечания по поводу статьи С. С. Григоряна «О постановке динамических задач для идеальных пластических сред» // ПММ. Т. 19. Вып. 6. С. 733 (совм. с Н.В. Зволинским, И.З. Степаненко).
1956
Об относительном равновесии физического маятника с подвижной точкой опоры // ПММ. Т. 20. Вып. 3. С. 297-308.
К теории гирогоризонткомпаса // ПММ. Т 20. Вып. 4. С. 487-499.
До питания про електромоделювання руслових потоков // Доп. АН УРСР. № 2. С. 124-126.
До теорп одн!еТ сл!дкуючоТ системи // Прикл. механ!ка. Т. 2. Вип. 1. С. 5-15.
Наиближений метод досл!дження коливальных систем // Прикл. механ!ка. Т. 2. Вип. 2. С. 152-158.
О проскальзывании в области контакта при трении качения // Изв. АН СССР. ОТН. № 6. С. 3-15.
Про взаемний вплив рос!йських i укра!ньских учених у галуз! математики i механ!ки // Нариси з icTopii техн!ки. КиУв: Вид-во АН УРСР. Вип. 3. С. 3-10.
До питания про визначення помилок г!рогоризонта на качц! при наявност! корекц!1 релейного типу // Автоматика. № 3. С. 1-13.
Про прецес!йн! коливання навантаженого однов!сного г1роскоп1чного ста6Е1за- тора // Автоматика. № 4. С. 1-5.
1957
Дов1дков1 дан! про деформац!ю елемент!в карданового niflBicy // Прикл. ме- хан!ка. Т. 3. Вип. 1. С. 105-108.
Про амортизацию при рухов! з великими прискореннями // Прикл. механ!ка. Т 3. Вип. 2. С. 131-139.
Перек1с коробчатого корпусу при закр!пленн! його в чотирьох точках // Прикл. механ!ка. Т. 3. Вип. 3. С. 336-339.
К теории гироскопического маятника // ПММ. Т. 21. Вып. 1. С. 3-14.
Теория двухгироскопической вертикали // ПММ. Т. 21 Вып. 2. С. 175-183.
Пример бифуркации, не приводящей к появлению неустойчивых форм стационарного движения // Докл. АН СССР. Т. 117. № 1. С. 47-49.
Об уравнениях задачи определения местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений // ПММ. Т. 21. Вып. 6. С. 725-739.
1958
О разветвлении устойчивых положений динамического равновесия одной механической системы // Изв АН СССР. ОТН. М 8. С. 53-61 (совм. с С. В. Малашенко, М.Е. Темченко).
Розтяг неск!нченно довгоТ реально пластично? штаби зм!нного nepepisy // Доп. АН УРСР. № 1. С. 12-15.
К теории сложных систем гироскопической стабилизации // ПММ. Т. 22. Вып. З.С. 359-373.
Гироскоп // Малая советская энциклопедия. 3-е изд. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 2. С. 1148-1150.
1959
Внесок О. М. Ляпунова у динами!ку твердого тша // 1сторико-математичний з61рник. Ки1в: Вид-во АН УРСР. Вып. 1. С. 140-150 (совм. с И. Б. Погребыським).
Полная компенсация внешних возмущений, вызванных маневрированием в гироскопических системах // Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах: Тр. совещ. М. С. 81-92.
Об уравнениях процессионной теории гироскопов в форме уравнений движения изображающей точки в картинной плоскости // ПММ. Т. 23. Вып. 5. С. 801-809.
Об автономном определении местоположения движущегося объекта посредством пространственного гироскопического компаса, гироскопа направления и интегрирующего устройства // ПММ. Т. 23. Вып 1. С. 58-63.
1960
Некоторые вопросы теории автономного управления баллистическими ракетами. Киев: Тип. МВД УССР, 1960. 133 с.
О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью // ПМТФ. № 3. С. 65-75 (совм. с М.Е. Темченко).
Гироскоп // Физический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. С. 457-460.
Гироскопа уравнения движения // Физический энциклопедический словарь.— М.: Сов. энциклопедия. Т. 1. С. 460-463.
1961
Г1роскопи // Укра1нська радянська енциклопед!я. Кив: Укр. радянськ. енцик- лопед!я. Т. 3. С. 286-187.
1962
Об ударе вязко-пластического стержня о жесткую преграду // Докл. АН СССР. Т. 144. №4. С. 734-737 (совм. с Г. И. Баренблаттом).
Об ударе вязко-пластического стержня о жесткую преграду // ПММ. Т. 26. Вып. 3. С. 497-502 (совм. с Г. И. Баренблаттом).
1963
Механика гироскопических систем. — М.: Изд-во АН СССР. 482 с.
1964
Идеи теории инвариантности и инерциальная навигация // Теория инвариантности в системах автоматического управления. — М.: Наука. С. 56-64.
Галилео Галилей // Галилей и современность: К 400-летию со дня рождения великого итальянского ученого. — М.: Знание. С. 5-15.
1965
Об одной механической аналогии гироскопического стабилизатора при наличии упругой податливости его элементов // Докл. АН СССР. Т. 161. № 6. С. 1291-1294.
К вопросу об ударе вязко-пластического стержня о жесткую преграду // При- кл. механика. Т. 1. Вып. 2. С. 1-9 (совм. с Г. П. Слепцовой).
О меньшей устойчивости двухосного гироскопического стабилизатора по сравнению с одноосным // Докл. АН СССР. Т. 163. № 6. С. 1334-1337.
Mehanics of Hyroskopic Systems. Jerysalem: Israel Program for Scient., 1965. 313 p.
1966
Об устойчивости вращения на струне твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной идеальной несжимаемой жидкостью // ПММ. Т. 30. Вып. 1. С. 30-41 (совм. с М.Е. Темченко).
Об азимутальном рассогласовании кардановых подвесов // Инж. ж. МТТ. № 3.
С. 3-8.
1967
Механика // Октябрь и научный прогресс. — М.: АПН. Кн. 1. С. 567-626.
1968
Инерциальное управление баллистическими ракетами. — М.: Наука. 142 с.
Геометрическое рассмотрение устойчивости решения основной задачи инерциальной навигации // Инж. ж. МТТ. № 3. С. 12-16.
Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле // Инж. ж. МТТ. № 6. С. 168-177.
О некоторых проблемах механики // Наука и человечество. — М.: Знание. С. 303-325.
Механика гироскопических и навигационных систем // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. — М.: Наука. С. 245-264 (совм. с Е. А. Девяниным, Д.М. Климовым).
О некоторых проблемах механики // Наука и жизнь. № 8. С. 26-34.
On the equations of inertial navigation // Abstr. 12th Intern. Congr. Appl. Meeh. Stanford: Stanford Univ. P. 54-55.
Les oscillations de relaxation lors du frottement // Le Frottement et 1/Usure: Conf, du Centre Nat. Rech. Scientifique. Paris. P. 9-11.
1969
Les oscillations de relaxation lors du frottement // Mec. electr. V. 52. № 231.
P. 21-23.
1970
Класична механ!ка i сили 1нерции1. Кив: Знания. 32 с.
Математика и методы механики // История отечественной математики. Киев: Наук, думка. Т. 4. Кн. 2. С. 210-236.
Ленинская теория познания и классическая механика: К 100-летию со дня рождения В. И. Ленина // Изв. АН СССР. МТТ. № 2. С. 3-4.
Некоторые задачи трибоники // Вести. АН СССР. № 7. С. 9-16 (совм. с И. В. Крательским).
Механика лунного грунта // Первое путешествие лунохода. Спец, выпуск.— М.: Известия. С. 188-196.
Some aspects of the solution of the main problem of inertial navigation //J. Inst. Navig. V. 23. № 4. P. 484-491.
Взаимосвязь между фундаментальными и прикладными науками и техникой // Мир науки. № 4. С. 16-18.
1971
Механика как основа познаний явлений природы и база творений техники // Теоретическая механика во втузах. — М.: Высш, школа. С. 61-69.
Классическая механика, силы инерции, невесомость // Теоретическая механика во втузах. — М.: Высш, школа. С. 242-269.
ЫЬег einige Probleme der Mechanik // Wissenschaft und Menscheit. Berlin: Urania. Bd/7. S. 249-315.
Вибрационный гироскоп // Большая советская энциклопедия. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 5. С. 22 (совм. с С. С. Ривкиным).
Гировертикаль. С. 554-555; гирокомпас. С. 555-556; гиромагнитный компас. С. 556; гироорбитант. С. 556; гироориентатор. С. 556-557; гироскоп направления. С. 558-559; гироскопические устройства. С. 559-560; гироскопический интегратор. С. 560-561; гиростабилизатор. С. 561; гиротахометр. С. 561-562; гиротеодолит. С. 562 // Большая советская энциклопедия. Т. 6. — М.: Сов. энциклопедия (совм. с С. С. Ривкиным)
Investigations of physical and mechanical properties of lunar soil delivered by Luna-16 // Proc. 9th Intern. Symp. Spase Technol. Sci. Tokyo. P. 39-45 (совм. с В. В. Громовым, Д. Д. Дмитриевым, А. К. Леоновичем, П. С. Павловым, А. В. Рыбаковым, А. А. Силиным, И.И. Черкасовым, В. В. Шваревым).
Certain problems of dynamics and accuracy of gyroscopes in gimbals // Proc. 9th Intern. Symp. Space Technol. Sci. Tokyo. P. 951-958 (совм. с Д.M. Климовым).
1972
Механика лунного грунта и грядущие исследования планет // Будущее науки. Перспективы. Гипотезы. Нерешенные проблемы // Международный ежегодник.— М.: Знание: Вып.5. С. 140-155 (совм. с В.В. Шваревым).
Увеличение износостойкости машин — один из путей повышения эффективности народного хозяйства // Избирательный перенос при трении и его экономическая эффективность. Материалы семинара. — М.: ВИНИТИ. С. 8-11.
Roulement des roues a bandage et a pneumatique sur un sol deformable // Мёс. mater, electricite. T. 1. Numero special: 1/Usure. P. 12-21.
1973
Основные принципы и понятия классической механики — объединяющий центр естественных наук XVIII-XIX веков // Синтез современного научного знания.— М.: Наука. С. 516-524.
Механика относительного движения и силы инерции. Препринт №31. — М.: Ин-т пробл. механики АН СССР. 37 с.
Физико-химическая механика контактного взаимодействия твердых тел // Вести. АН СССР. № 1. С. 64-67 (совм. с П. А. Ребиндером, И. В. Крагельским).
Некоторые вопросы механики инерциальных систем // Научн. тр. ин-та механики МГУ. № 29. С. 6-17.
On the dynamics of system of rigid bodies // Theoretical and Applied Mechanics Proc. 13" Intern. Congr. Theoret. and Appl. Meeh. Berlin: Springer. P. 141-149.
Идеи теории инвариантности и гироскопические системы с полной компенсацией возмущений, вызванных их неравномерным движением // Автоматика и электромеханика. — М.: Наука. С. 18-29.
О проблеме гидродинамического воздействия малых полимерных добавок // Инж. физ. ж. Т. 25. № 6. С. 965-966.
Волчок // Детская энциклопедия М.: Педагогика. Т. 3. С. 32-46.
1974
Теория гироскопов. — М.: Изд-во МГУ. 234 с.
1975
Классическая механика, силы инерции, невесомость // Теоретическая механика во втузах. 2-е изд. — М.: Высш, школа. С. 217-241.
Построение функции Ляпунова для совокупности уравнений основной задачи инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. № 5. С. 13-18 (совм. с О. Ф. Бойчуком, В. А. Стороженко).
Consideration of the theory of cracks from the point of view of contact problems of the theory of elasticity // The Mechanics of the Contact Between Deformable Bodies. Delft: Univ. Press. P. 77-83.
1976
Управление механическим движением // Проблемы механики и процессов управления. (Беседы по актуальным проблемам науки и техники). — М.: Знание. С. 17-31.
Об одной схеме инерциальной навигации по земной сфере. Препринт. № 76-2. Киев: Ин-т математики АН УССР. 55 с.
Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука. 670 с.
Взаимосвязь между фундаментальными и прикладными науками и техникой // Философские основания естественных наук. — М.: Наука. С. 144-149.
1977
Механика и техника // ПММ. Т. 41. Вып. 5. С. 790-801.
Механика накануне шестидесятилетия Октября и ее практическое значение // Октябрь и наука. — М.: Наука. С. 271-282.
О стационарных движениях вращающегося на струне осесимметричного твердого тела // Динамика и устойчивость управляемых систем. Киев: Изд-е Ин-та математики АН УССР. С. 3-20 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1978
On mechanics of gyroscopes in gimbal suspension // Dynamics of Multibody Systems: Sympos. Berlin, etc. P. 87-96.
Первопроходец космоса // Освоение космического пространства в СССР. — М.: Наука. С. 8-10.
Итоги и перспективы развития науки о трении и износе // Теория трения, износа и проблемы стандартизации. — Брянск: Приокск. кн. изд-во, Брянск, отд-ние. С. 5-11.
Динамика пространственного компаса // Современные проблемы теоретической и прикладной механики: Тр. 4-го Всес. съезда по теор. и прикл. механике. Киев: Наук, думка. С. 53-74 (совм. с Ю.К. Жбановым).
Механика на пороге шестидесятилетия Октября и ее практическое значение // Теоретична и прилежна механика. София: Изд-во Болг. АН. С. 51-75.
Механика и прогресс техники // Успехи механики. Т. 1. № 1-2. С. 11-16 (совм. с С. А. Христиановичем).
1979
Сборник задач и упражнений по теории гироскопов. — М.: Изд-во МГУ. 60 с. (совм. с В.И. Борзовым, Н.П. Степаненко).
Controlling mechanical motion // Proc. 5th World Congr. on Theor. Mach, and Meeh. N. Y. V. 1. P. 526-531.
Метод балансировки вращающихся тел на струнном приводе // Изв. АН СССР. МТТ. № С. 3-18 (совм. с С. В. Малашенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
Прикладная механика в Московском университете // Вести. МГУ. Математика, механика. №6. С. 32-38 (совм. с Е. А. Девяниным, Я. Н. Ройтенбергом).
О движении осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР. МТТ. №6. С. 3-16 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1980
Об одном методе динамической балансировки быстровращающихся тел. — М.: Препринт № 146. — М.: Ин-т проблем механики АН СССР. 45 с. (совм. с С. В. Малашенко, В.А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
О жизни и деятельности академика Сергея Павловича Королева // Научные чтения по авиации и космонавтике. — М.: Наука, 1978. С. 15-27.
О стационарных движениях подвешенного на струне твердого тела при вертикальном расположении одной из его главных центральных осей инерции // Изв. АН СССР. МТТ. № 2. С. 34-45 (совм. с С. В. Малашенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
Развитие науки о трении и износе в СССР // Трение и износ. Т. 1. № 1. С. 7-11 (совм. с В. А. Белым).
Эволюция механики // Вопросы истории естествознания и техники. № 2. С. 76-85.
1981
Механика относительного движения и силы инерции. — М.: Наука. 191 с.
Мстислав Всеволодович Келдыш и механика // Вопросы истории естествознания и техники. № 1. С. 80-84.
О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. №4. С. 17-28 (совм. с Б.Н. Соколовым, Ф. Л. Черноусько).
О стационарных движениях подвешенного на струне тяжелого твердого тела с динамической симметрией // Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — М.: Наука. С. 127-136 (совм. с С. В. Малашенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
The dynamics of a spatial compass // Advances in Theoretical and Applied Mechanics. —M.: Mir. P. 12-35 (совм. с Ю.К. Жбановым).
Problems in general and applied mechanics // Advances in Theoretical and Applied Mechanics. — M.: Mir. P. 7-11.
Движение твердого тела на струне // Успехи мат. наук. Т. 36. Вып. 5. С. 215-219.
1982
Задачи механики в свете решений XXVI съезда Коммунистической партии Советского Союза: Докл. на V Всез. съезде по теор. и прикл. механике // ПММ. Т. 46. Вып. 2. С. 188-203.
О плоскопараллельных колебаниях произвольного твердого тела с одной закрепленной точкой. Препринт № 82-27. Киев: Ин-т математики АН УССР. 54 с. (совм. с В.П. Василенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
1983
Лекции по теории гироскопов. — М.: Изд-во МГУ. 245 с (совм. с В. И. Борзовым, Н.П. Степаненко).
1984
В редакцию журнала // Вести. МГУ. Математика, механика. № 3. С. 97-100.
Вклад В.Г, Шухова в строительную механику // В. Г. Шухов — выдающийся инженер и ученый. — М.: Наука. С. 26-34 (совм. с. И. А. Петропавловской).
О закономерностях формообразования коры деревьев // Биомеханика (НРБ). Т. 15-16. С. 95-103 (совм. с. А. В. Думанским).
О Николае Евграфовиче Кочине // Н. Е. Кочин и развитие механики. — М.: Наука. — С. 5-8.
Кочин и теоретическая механика // Н.Е. Кочин и развитие механики. — М.: Наука. - С. 169-174.
1985
Механика: идеи, задачи, приложения. — М.: Наука. 623 с.
Об одной форме установившихся колебаний тяжелого твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. № 2. С. 3-18 (совм. с В. П. Василенко, В. А. Стороженко, М. Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
Иосиф Бенедиктович Погребысский (к 80-летию со дня рождения) // Исслед. по истории физики и механики. — М. : Наука, 1985. — С. 299-301.
М.А. Лаврентьев — механик // Лаврентьевские чтения по математике, механики и физики: 2-я Всес. конф. 1985. Тез. докл. — Киев, 1985. — С. 13.
О некоторых плоско - параллельных движениях твердого тела // Проблемы аналитической механики и управления движением. М.: ВЦ АН СССР. С. 67-75 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
Теоретические и экспериментальные исследования твердого тела на струне // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике: 2-я Всес. конф. 1985. Тез. докл. Киев. С. 109-110 (совм. с С. В. Малашенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
1986
Механика Галилея-Ньютона (Исходные положения. Преподавание). Препринт № 281. — М.: Ин-т проблем механики АН СССР. — 46 с.
Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика вязкопластических и не тв- полне упругих тел. — М.: Наука. — 359 с.
Прикладные задачи механики. Кн. 2. Механика упругих и абсолютно твердых тел. — М.: Наука. — 415 с.
К исследованию устойчивости маятникообразных колебаний тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой // Изв. АН СССР. МТТ. № 1. С. 18-26 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
О преподавании теоретической механики в высшей школе. Препринт № 268.— М.: Ин-т проблем механики АН СССР. — 40 с.
Об устойчивости вращения на струне осесимметричных тел с полостями, заполненными жидкостью // Динамика космических аппаратов и исследование космического пространства. — М.: Машиностроение. — С. 234-247 (совм. с М. Л. Горбачу к, М.Е. Темченко).
Исследование динамики твердого тела со струнным подвесом в институте математики АН УССР // Исслед. по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. — Киев. — С. 16-30 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
Исследования Л. Эйлера по механике деформируемого тела и их дальнейшее развитие // Исследования по истории физики и механики. — М. : Наука, 1986.— С. 150-177 (совм. с Н. В. Баничуком).
О преподавании теоретической механики // Вести, высш. шк. № 11. С. 25-27.
Проблемы изнашивания твердых тел в аспекте механики // Трение и износ. Т. 7. № 4. С. 581-592 (совм. с И. В. Каргельским, Н. М. Алексеевым, А. В. Блюме- ном, М.Н. Добычиным).
1987
Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука. — 320 с.
Гидромеханика и теплообмен при получении материалов // Вести. АН СССР. № 6. С. 3-17 (совм. с В.С. Авдуевским, В.И. Полежаевым).
Два очерка о механике. Препринт № 287. — М.: Ин-т проблем механики АН СССР. - 77 с.
Некоторые задачи установившихся движений твердого тела // Механика и научно-технический прогресс. Т. 1: Общая и прикладная механика. — М.: Наука.— С. 102-116 (совм. с С.В. Малашенко, В. А. Стороженко, М.Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
О жизни и деятельности Сергея Павловича Королева. К 80-летию со дня рождения академика С. П. Королева // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. — М.: Наука, 1986. — С. 7-15.
К семидесятилетию академика В.П. Мишина // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. — М. : Наука, 1986. — С. 16-17.
1988
Метод подобия в задачах динамики точки // Изв. АН СССР. МТТ. № 4. С. 6-12 (совм. с В.Ф. Журавлевым).
1989
О движении точки по вращающейся шероховатой плоскости // ПММ. Т. 53, Вып. 3. С. 372-381 (совм. с А. И. Грудевым, Ф. Л. Черноусько).
Вращение тел на струне // Всес. конф. « Нелинейные явления». Тез. докл.— М., 1989. - С. 22.
Послесловие к статье П. В. Харламова // Исследования по истории физики и механики. — М.: Наука, 1989. — С. 205-209.
Константин Эдуардович Циолковский (1857-1935) // Исследования по истории физики и механики. — М.: Наука, 1989. — С. 211-217.
Исследование некоторых движений твердого тела // Успехи механики. Т. 12. № 1. С. 3-49 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1990
Установившиеся движения произвольного твердого тела // Сб. тр. 5-й всес. конф, по аналитической механике, теории устойчивости и управлению движением. М.: ВЦ АН СССР. С. 76-94 (совм. с В. А. Стороженко, М. Е. Темченко, П. Г. Шишкиным).
1991
Вращение твердого тела на струне и смежные вопросы.. — М.: Наука.. — 330 с. (совм. с В.А. Стороженко, М.Е. Темченко).
Некоторые вопросы динамики твердого тела // Сб. науч.-метод, статей. Теоретическая механика. № 21. С. 36-48 (совм. с В. А. Стороженко, М. Е. Темченко, П.Г. Шишкиным).
1992
Квазипарадоксальные движения твердого тела // Прикладная механика Т. 28. № 9. С. 3-17 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1993
К исследованию устойчивости форм относительного равновесия подвешенного на стержне динамически несимметричного тела // Изв. РАН. МТТ. № 4. С. 60-72 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1994
Динамика быстровращающихся на струне твердых тел и некоторые смежные вопросы // Прикладная механика. Т. 30. № 8. С. 3-28 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1995
О некоторых особенностях задач устойчивости и колебаний прямоугольных пластин // ПММ. Т. 59. Вып.4. С. 620-625 (совм. с Н. В. Баничуком).
О влиянии внешнего и внутреннего трения на устойчивость вертикального вращения твердого тела // Изв. РАН. МТТ. № 4. С. 12-22 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов.— М.: Изд-во МГУ.. — 159 с. (совм. с В.В Александровым, Л.И. Ворониным, Ю.Н. Глазковым, В. А. Садовничим).
Юрий Макарович Березанский (к 70-летию со дня рождения) // Укр. мат. ж. Т. 47. № 5. С. 579-582 (совм. с М. Л. Горбачу ком, В. О. Марченко, Л. П. Нижником, А. М. Самойленко, И. В. Скрыпником).
1996
О проблемах методического обеспечения перехода на многоступенчатую систему подготовки инженеров // Сб. научн.-методич. Статей. Теоретическая механика. Вып. 22. С. 3-8. — М.: Высш. шк. (совм. с Ю.Г. Мартыненко, В.Н. Щелкачевым).
Лунная одиссея // Космонавтика и ракетостроение. № 6. С. 101-106.
1997
К истории исследований движения вращающегося тела на струне // Исслед. по истории физики и механики, 1991-1992. — М.: Наука. — С. 188-195.
1998
К исследованию устойчивости высокоскоростной центрифуги на электромагнитном подвесе // Изв. РАН. МТТ. №3. С. 197-208 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
Бифуркации и точность работы высокоскоростной центрифуги на электромагнитном подвесе // Изв. РАН. МТТ. №4. С. 69-79 (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
1999
Полная пластичность в теории идеально-пластического тела // Докл. РАН. Т. 368. № 3. С. 333-334 (совм. с Д. Д. Ивлевым).
Условия изотропии и соотнбошения обобщенного ассоциированного закона пластического течения // Изв. РАН. МТТ. №6. С. 39-54 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
80 лет беззаветного служения науке. К 100-летию со дня рождения академика П.Я. Кочиной // Вести. РАН. Т. 69. №5. С. 559-563 (совм. с Д. М. Климовым, В. М. Ентовым, В. Г. Пряжинской).
2000
Условия изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения // Докл. РАН. Т. 371. № 1. С. 49-51 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
О течениях изотропных сред // Изв. РАН. МТТ. № 5. С. 5-12 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. Т. 375. № 2. С. 191-194 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
Мир Ньютона // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. № 3. С. 66-67.
Силы инерции и классическая механика // Энциклопедия « Современное естествознание». М.: Наука; Флинта. Т. 3. С. 186-193.
2001
Условия изотропии и ассоциированный закон пластического деформирования // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. — М.: Изд-во Моск. гос. горного ун-та. — С. 93-116 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
Об уравнениях течения изотропной среды // Проблемы механики неупругих деформаций. — М.: Физматлит. — С. 155-166 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеально-пластического тела при условии плоной пластичности // Докл. РАН. Т. 381. №5. С. 616-622 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Р. И. Непершиным).
Математическая теория идеальной пластичности. Состояние и развитие //Ан- нот. докл. 8-го Всерос. съезда по теорет. и прикл. механике. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. С. 293(совм. с Д. Д. Ивлевым). См. также: Изв. Инж.-технолог. Акад. Чуваш, респ. № 1-4. С. 32-44 (совм. с Д. Д. Ивлевым).
Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит. — 704 с. (совм. с Д. Д. Ивлевым).
О предельных течениях изотропных сред // Актуальные прблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. — Минск: УП «Технопринт».— С. 223-227 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
2002
Исследование устойчивости сложных механических систем. — М.: Наука, 2002. — 299 с. (совм. с В. А. Стороженко, М.Е. Темченко).
О характеристических соотношениях для напряжений пространственной задачи сыпучей среды при полном предельном равновесии // Докл. РАН Т. 383. № 5. С. 638-642 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Р.И. Непершиным).
О характеристических соотношениях для скоростей перемещений в пространственной задаче полного предельного равновесия сыпучей среды // Докл. РАН. Т. 384. № 1. С. 57-61 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Р.И. Непершиным).
Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство // Докл. РАН. Т. 385. № 6. С. 766-769 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Р.И. Непершиным).
О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство // Изв. РАН. МТТ. № 4. С. 57-62 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Р.И. Непершиным).
О свойствах моделей изотропных сред // Проблемы механики деформируемого твердого тела. К 70-летию академика Н.Ф. Морозова. Межвузовский сб. — СПб.: Изд-во СПб ун-та. — С. 149-153 (совм. с Д. Д. Ивлевым, Л. А. Максимовой).
МИР НЬЮТОНА
А. Ю. Ишлинский
Мышление физика и механика несколько отличаются. Физику свойственно делать гипотезы и модели по ходу изучения явления или процесса. Классическая механика, или механика Галилея-Ньютона, подобно геометрии отправляется от системы определений и аксиом, заранее формулируя закономерности поведения моделей реальных тел и особенности их взаимодействия. Тем самым классическая механика, в отличие от остальной физики, не изучает непосредственно действительный мир природы и творений человека. Она исследует свой собственный воображаемый мир механических движений идеализированных тел. Мир, который является лишь слепком, снимком, отображением или, как теперь принято говорить, моделью, т. е. приближенным описанием всего того, что существует и движется на самом деле: и в далеких галактиках, и на Земле, и в промышленности, и на опытных стендах инженеров, и в лабораториях ученых.
Создан этот мир гением Ньютона, 300-летие появления его замечательной книги «Математические начала натуральной философии» праздновалось совсем недавно.
Можно с определенностью утверждать, что все исходные положения современной классической механики содержатся в этой замечательной книге. Последующее развитие науки и ее приложений сопровождалось многочисленными попытками по-разному изложить систему определений и аксиом Ньютона, ввести новые, полезные на практике понятия и термины, указать пределы области достоверности законов классической механики при движении со скоростями, сравнимыми со скоростью света, или вблизи чрезвычайно больших масс, а также явлений, связанных с квантовой природой вещества.
Возникли различные толкования исходных понятий механики, таких как сила и масса. Появились даже сомнения во всеобщности, например, III закона Ньютона. Большие споры возникали, в частности, о существе так называемых сил инерции, их фиктивности или, напротив, реальности с апелляцией к мускульным ощущениям.
Сохраняя дух и содержание совокупности идей Ньютона, вполне возможно представить ныне основы классической механики в виде, защищенном от внесения в них необоснованных модификаций и произвольного толкования исходных понятий.
Для достижения такой цели достаточно построить упомянутый некий воображаемый мир механики Галилея-Ньютона. Назовем его миром Ньютона. Первичными понятиями, или категориями, этого мира являются: абсолютное (ньютоново) пространство, абсолютное (ньютоново) время и идеализированные тела, проявляющие свойства инертности и механического взаимодействия друг с другом.
Пространство Ньютона евклидово. С ним связывается привилегированная система координат, например, некая прямоугольная декартова. В мире Ньютона эта система играет роль исходной и абсолютно неподвижной. Длина — основная мера пространства.
Ньютоново время всюду течет одинаково и измеряется посредством часов. Мерой времени является длительность. Показания двух пар согласованных абсолютно точных часов в мире Ньютона никогда не расходятся, как бы они ни двигались по отношению друг к другу, вблизи или вдали от каких бы то ни было тел.
Мерой инертности тел является масса. Она может быть сосредоточенной, если в качестве идеализированного тела принимается материальная точка (точечное тело), и распределенной — в случае тела конечных размеров, в частности абсолютно твердого. Масса тела в мире Ньютона всегда неизменна и доступна непосредственному измерению.
Мерой всевозможных взаимодействий одного точечного тела с другим является некий вектор, именуемый абсолютной (ньютоновой) силой (в курсах механики этот вектор именуется также физической силой, иногда естественной и даже «реальной» без точного определения, однако, последнего термина).
Таким образом, абсолютная или ньютонова сила — воображаемая векторная величина, которую нельзя мыслить вне тел, взаимодействующих друг с другом.
Считается, что абсолютная сила может быть измерена и без анализа движений тел, возникающих в результате их взаимодействия. В мире Ньютона нет гравитационных и электромагнитных волн. Взаимодействия удаленных тел устанавливаются мгновенно.
Введение понятия поля в мире Ньютона в принципе не обязательно, хотя и доставляет вычислительные удобства.
В мире Ньютона справедливы его II и III законы, а также закон независимости действия абсолютных сил. Что же касается I закона, то по существу он эквивалентен введению ньютонова пространства. Именно в последнем изолированное точечное тело движется равномерно по прямой, неизменно связанной с абсолютной системой координат.
В соответствии со II законом абсолютная сила, действующая на материальную точку, вызывает ускорение этой точки по направлению абсолютной силы. При надлежащем выборе единиц модуль силы равен произведению модуля ускорения точки на величину ее массы.
Силы, согласно II и III законам Ньютона, встречаются всегда попарно. Сила, воздействующая на данную материальную точку, именуется, по Ньютону, действием, а равная ей и противоположно направленная — противодействием. Последняя представляет собой геометрическую сумму воздействий данной точки на все остальные. Ньютон назвал эту равнодействующую силу силой инерции. Будем именовать ее ньютоновой силой инерции. Это противодействие является абсолютной силой, которая не имеет ничего общего с эйлеровыми, а также с да- ламберовыми силами инерции (см. ниже).
В действительном мире постоянно приходится изучать явления механики, отнесенные к неинерциальным системам координат. Соответственно в мире Ньютона можно рассматривать движения тел по отношению к системам координат, совершающим заданное движение относительно абсолютной ньютоновой системы. В дифференциальные уравнения движения точечного тела относительно подвижной системы координат приходится, как известно, наряду с ньютоновыми силами вводить также дополнительные члены. Они имеют размерность силы и называются силами инерции относительного движения (или эйлеровы силы инерции — совокупность переносной и кориолисовой сил инерции). Разумеется, эти силы не являются ньютоновыми. Они не являются мерой взаимодействия тел в мире Ньютона и не имеют отношения к III закону. Однако можно придать этим векторным величинам толкование ньютоновых сил, если воспользоваться своеобразным прие-
мом «абсолютизации» относительного движения. Именно, каждому относительному движению в мире Ньютона можно поставить в соответствие точно копирующее его абсолютное движение. Для этого следует взять те же тела, а к абсолютным силам добавить точно такие же по модулю новые абсолютные силы, какими были в относительном движении эйлеровы силы инерции с надлежащим изменением их направления. Собственно именно такую операцию «абсолютизации» невольно производят наблюдатели, участвующие в относительном движении в реальном мире, воспринимая эйлеровы силы инерции как физические и называя их даже реальными.
Полезно отметить, что в мире Ньютона, как и в реальном мире, динамометры непосредственно измеряют абсолютные или физические силы, но никак не силы инерции.
В мире Ньютона можно ввести при рассмотрении абсолютного движения какой-либо механической системы еще один класс сил инерции — так называемые даламберовы. Вектор каждой из них равен произведению массы материальной точки или элемента сплошного тела на их абсолютное ускорение с обратным знаком. Введение таких воображаемых сил, конечно не являющихся абсолютными, оказалось полезным, особенно при отыскании сил реакций.
Абсолютные силы, действующие на конкретную совокупность совместно с да- ламберовыми силами инерции, образуют систему сил, статически эквивалентную нулю. Это обстоятельство именуется ныне принципом “'Аламбера.
Заметим, что именно ньютонова сила инерции, являясь мерой сопротивления тела изменению его скорости и тем самым будучи абсолютной, воздействует на связь, а никак не даламберова сила инерции, чем грешат некоторые книги и трактаты по механике.
Любопытно отметить, что в случае относительного покоя точечного тела три силн: ньютонова, переносная и даламберова силы инерции, являясь принципиально различными понятиями, вместе с тем векторно равны друг другу.
Воображаемый мир Галилея-Ньютона является прекрасной моделью механического движения материальных тел в мире действительном. И не только в том случае, когда начало абсолютной системы координат совмещается с центром масс солнечной системы, а оси направляются к «неподвижным» звездам, причем абсолютное время синхронизируется со среднесолнечным. Можно, например, располагать начало абсолютной системы в центре Земли или на ее поверхности, учитывать вращение Земли или вообще пренебрегать им, считая, что оси абсолютной системы связаны со сторонами света. Все это скажется лишь на той или иной степени точности совпадения результатов расчета посредством уравнений классической механики с результатами измерений.
Специальная теория относительности, релятивистская теория тяготения и квантовая механика позволяют в ряде случаев уточнить предвычисления классической механики. Перечисленные дисциплины основаны на иных исходных представлениях, и им соответствуют свои модели природы, свои миры. Вместе с тем классическая механика Галилея-Ньютона дает им ключ к постановке новых задач и трактовке получаемых результатов.
ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ А.Ю. ИШЛИНСКОГОВ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Д.Д. Ивлев
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева
Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работы французского инженера Треска (1864 г.). Анализируя результаты экспериментов по штамповке и выдавливанию заготовок из свинца, Треска выдвинул гипотезу, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения
|^"maxI = 2(内一吗)< 卜， k = const,(1)
где Tmax — максимальное касательное напряжение,内—главные компоненты тензора напряжений.
Условие пластичности (1) вошло в литературу как условие пластичности Треска.
В пространстве главных напряжений 内 условие пластичности Треска (1) интерпретируется шестигранной призмой, равнонаклоненной к направлениям главных напряжений, которая называется призмой Треска. Сечение призмы Треска девиаторной плоскостью 内 +。2 +。3 = ° определяет шестиугольник Треска.
Сен-Венан [1] предложил соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности, полностью сохранившие свое значение. Соотношения Сен-Венана:
—уравнения равновесия
毎毎a归丽a⑵
где。冗,by, тху — компоненты напряжений;
—условие пластичности Треска
(% -勿)2 + 4嵐=4k2；(3)
—соотношение изотропии
еху _ du _ dv菸，£у = ду^ £хуеху _ du _ dv菸，£у = ду^ £ху⑷⑷
еху _ du _ dv
菸，£у = ду^ £ху
еху _ du _ dv
菸，£у = ду^ £ху
⑷
⑷
где £冗,£g, exy — компоненты скорости пластической деформации, ", о — скорости перемещений;
—условие несжимаемости
£宓 + £g =0,£宓 + £g =0,ди , dv с石+『°・ди , dv с石+『°・(5)(5)
£宓 + £g =0,
£宓 + £g =0,
ди , dv с
石+『°・
ди , dv с
石+『°・
(5)
(5)
Под статически определимым понимается состояние тела, находящегося под нагрузкой, когда для определения неизвестных усилий (реакции в опорах, перерезывающие силы и изгибающие моменты и т. п.) достаточно уравнений равновесия, а само тело может быть рассмотрено как недеформируемое, абсолютно твердое.
Двух уравнений равновесия (2) недостаточно для определения трех компонент напряжений。冗,ау^ тху. Уравнения равновесия (2) будут определять статически определимую систему уравнений в случае, если из каких-либо соображений одна из компонент напряжений известна, либо выражается через две другие. Из условия пластичности (3) следует
⑹
Согласно (6) уравнения равновесия (2) принимают вид
ab宓 I a А/厶2 (b宓一by) 毎4ab宓 I a А/厶2 (b宓一by) 毎4(% - Oy) I 2оу 一4 - W(% - Oy) I 2оу 一4 - W⑺⑺
ab宓 I a А/厶2 (b宓一by) 毎4
ab宓 I a А/厶2 (b宓一by) 毎4
(% - Oy) I 2оу 一4 - W
(% - Oy) I 2оу 一4 - W
⑺
⑺
Система уравнений равновесия (7) является статически определимой.
Отметим, что статическая определимость соотношений теории пластичности Сен-Венана достигается за счет предположения о предельных свойствах материала (3).
В общем случае напряженное состояние элемента сплошной среды характеризуется тензором напряжений, определяемым девятью компонентами напряжений. Из условия равновесия моментов следует, что тензор напряжений является симметричным и напряженное состояние определяется шестью компонентами напряжений. Условия равновесия усилий приводят к трем уравнениям равновесия
а 0х丄^Т宓y丄@Txz _八 ^丁宓g丄8。g丄aТyz _n aTxz丄aТyz丄aеz /q、
относительно шести компонент напряжений ах, тху,...
Уравнения равновесия (8) могут быть достаточны для определения напряженного состояния в случае, если из каких-либо соображений из шести компонент напряжений (8) известны три, либо три компоненты напряжения могут быть выражены через три другие.
Модель упругого тела определяет статически неопределимое состояние сплошной сре^н: шесть компонент напряжений связаны с шестью компонентами деформаций:
dW
где eij — компоненты деформации, W — потенциал деформаций.
При развитых пластических деформациях упругие деформации малы по сравнению с пластическими, ими можно пренебречь, и в подобных случаях используется модель жесткопластического тела.
Если напряженное состояние идеального жесткопластического тела удовлетворяет некоторому условию пластичности
(Ю)(Ю)九 Ю = °，
(Ю)
(Ю)
то скорости пластических деформаций определяются согласно ассоциированному закону пластического течения [2]
(И)(И)£“ =, А 0.
(И)
(И)
U (У ij
Компоненты скорости деформации £叮 выражаются через три компоненты скорости перемещения 〃，о,仅 по формулам Коши:
dudvdw
/、/、(12)
_ 1 fdu_ 1 Z^£ dw\
Система десяти уравнений (8), (10), (11) относительно десяти неизвестных: шести компонент напряжений。切 трех компонент скорости перемещения % о,仅 и величины А, является замкнутой и статически неопределимой.
Если напряженное состояние идеального жесткопластического тела удовлетворяет некоторому условию пластичности, определяемому двумя функциями:
/i(^v) = 0, h^ij) = 0,(13)
то скорости пластических деформаций определяются согласно обобщенному ассоциированному закону пластического течения [2]
daij oaij
Система одиннадцати уравнений (8), (13), (14) относительно одиннадцати неизвестных: шести компонент напряжений。叮,трех компонент скорости перемещения и, V, w и двух величин А], А?, является замкнутой и продолжает оставаться статически неопределимой.
Статическая определимость соотношений теории идеальной пластичности в смысле статической определимости соотношений Сен-Венана (2), (3) имеет место, когда напряженное состояние достигает пластического состояния, определяемого тремя условиями пластичности
九(。订) = 0,力(。订) = 0, /з(。叮)=0(15)
и система шести уравнений (8), (15) является замкнутой по отношению к шести компонентам напряжений 内力
Отметим, что при достижении статически определимого состояния (2), (3) или (8), (15) свойства тела, упругопластические либо другие, не влияют на распределение напряженного состояния, определяемого соотношениями (2), (3) или (8), (15).
Упругопластическое тело при нагружении последовательно проходит стадии упругого, упругопластического деформирования и, наконец, достигает предельного статически определимого состояния, при котором происходит разрушение.
Отметим, что уравнения, определяющие статически неопределимые состояния упругопластического тела, принадлежат к эллиптическому типу [3, 4], уравнения, определяющие статически определимые состояния, — к гиперболическому [2].
В 1940 г. А. Ю. Ишлинский публикует исследование «Гипотеза прочности формоизменения» [5], в котором анализирует условия прочности и пластичности:
—условие Треска-Сен-Венана
l^maxI — 2 1^ 一 吗丨=卜， k = Const,(16)
где 2k — предел текучести при растяжении;
—условие Мизеса
и предлагает новое условие прочности и пластичности
旧 I =匕£ 一 В = g 瓦(18)
где ai — главные напряжения, а — среднее напряжение.
Расположение трех условий пластичности (16), (17), (18) в пространстве главных напряжений в девиаторной плоскости показано на рис. 1, заимствованном из [5]. Внутренний шестиугольник на рис. 1 соответствует условию пластичности Треска-Сен-Венана (16), окружность — условию пластичности Мизеса (17), внеш-
На рис. 2, заимствованном из [5], приведено взаимное расположение условий пластичности (16), (17), (18) в случае плоского напряженного состояния.
Условия пластичности (16), (18) ограничивают класс возможных невогнутых условий пластичности изотропного идеально-пластического тела. Определение условия пластичности (18) позволило дать верхние и нижние оценки предельных нагрузок для изотропного идеально-пластического тела.
В 1943 г. А. Ю. Ишлинский публикует две работы: «Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута» [6] и «Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины» [7]. Исследуется возмущенное течение вязкопластических тел за счет возмущения граничных условий. В работе используется эйлеров способ описания движения сплошной среды. В последствии эйлеров способ описания течений идеально жесткопластических тел, вязкопластических тел стал общепринятым.
К сороковым годам прошлого столетия плоская задача теории идеальной пластичности получила развитие в работах Сен-Венана, Леви, Прандтля, Генки, Гейрингер. В нашей стране исследования по плоской задаче теории идеальной пластичности были выполнены С. А. Христиановичем, С. Г. Михлиным, В. В. Соколовским. В 1943 г. А.Ю. Ишлинский опубликовал работу «Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля» [8].
Осесимметричная задача теории идеальной пластичности при условии пластичности
〃*) = 0(19)
принадлежит к числу статически неопределимых.
Генки [9], используя гипотезу Хаара-Кармана [10] о равенстве двух главных напряжений:
6 =。2 = оз + 2k, k = const,(20)
2 Проблемы механики
показал, что осесимметричная задача теории идеальной пластичности является статически определимой, и привел приближенное решение задачи о вдавливании осесимметричного гладкого жесткого штампа в идеально-пластическое полупространство, используя сетку характеристик для плоской задачи.
А.Ю. Ишлинский [8] развил прямые численные методы решения осесимметричных задач теории идеальной пластичности при условии Хаара-Кармана (20) и получил численные значения предельных давлений при вдавливании гладкого жесткого штампа с плоским круговым основанием и сферическим основанием — проба Бринелля.
В середине сороковых годов А. Ю. Ишлинский публикует статьи: «Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел» [11] (1945 г.), «Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости» [12] (1946 г.). В примечании ко второй статье А.Ю. Ишлинский указывает: «Настоящая статья была написана 〃 сдана в редакцию в начале 1942 года».
А.Ю. Ишлинский [12] предложил соотношения пространственного состояния идеально-пластического тела, предполагая, аналогично Хаару и Карману, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями: «для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теорий Леви и Мизеса ^ в которых принимается единственное соотношение. Для построения замкнутой системы уравнений обоим авторам (Леви и Мизесу — Д.И.) приходится вводить излишне большие ограничения на величины пластических деформаций (или скоростей деформирования, если рассматривается течение пластической среды). Именно^ принимаются справедливыми четыре соотношения:
О аз — Оу О аз — 2Txy 27yz 2Txz
dudvdudwdv dudw dvdw du '
dxdydxdzdx 十 3y3y 十 dzdx + dz
где 〃, о, w — компоненты скорости (или перемещения) какой-либо частиц пластической среды. Эти соотношения содержат не только требование коаксиальности тензора напряжения 〃 тензора скоростей деформирования, но также 〃 требование пропорциональности касательного напряжения на произвольно ориентированной площадке соответствующей скорости деформации сдвига (причем коэффициент пропорциональности может меняться при переходе от одной точки тела к другой). В частности, если где-либо в среде возникает напряженное состояние с главными напряжениями
6 =02 =03 + 2k, то из упомянутых выше теорий следует^ что обязательно должно осуществляться равенство £】=£2・ Согласно снсе нашей теории^ должно быть только
£1 > 0, £2〉0,
а соотношение между ними может быть произвольным».
Соотношения теории идеальной пластичности А. Ю. Ишлинского записываются в виде:
—уравнения равновесия (8),
—условие изотропии: условие совпадения главных осей тензора перемещений и скоростей деформации
(21)(22)(23)(21)(22)(23)^х^ху + Тху&у + Txz&yz = &хТху + ^ху^у + &xzTyz〉^xy^xz + bg£gz + ^yz^z = ^xy^xz + ^y^yz + ^yz^z ?
(21)
(22)
(23)
(21)
(22)
(23)
^~xz^x + ^~yz^xy + ^z^xz = ^xz^x + ^yz^~xy + ^z^~xz 5
—условие несжимаемости ,, n du dv { dw n
£定+ 口 +厶=0, 菸+质+就=°；
—условие пластичности
九(0,J2,j3)= 0, Л (Ст, Л, Л) = 0, где сг,厶，丿3 — инварианты тензора напряжений
。=^ (0况 + by + ^z), J2 =0况02/ +02/02 +(TZ^X - T^g - ^yZ - TXZ^(24)
丿3 = OxOy。Z + ^^xy^yz^xz — ^X^~yz ——。2丁^/・
Используя современную терминологию, А. Ю. Ишлинский сформулировал соотношения пространственного состояния идеально-пластического изотропного тела при сингулярном условии пластичности и обобщенном ассоцаированном законе пластического течения [2].
Соотношения (8), (21), (22), (23) являются статически неопределимыми. Статически определимые соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности даны в [13], при этом в случае условия полной пластичности (20) из трех условий изотропии (21) независимыми являются два [13].
В 1954 г. А.Ю. Ишлинский [14] в работе «Общая теория пластичности с линейным упрочнением» развивает теорию трансляционного упрочнения, описывающую свойства приобретенной анизотропии, эффекта Баушингера.
Зависимость между напряжениями ст и деформацией е для линейно упрочняющегося тела запишем в виде
а = k ^ се^ k,c = const.(25)
Если ввести «напряжения»
s = се,(26)
то зависимость (25) можно переписать в виде
а — s = k.(27)
Далее вводится девиатор % — s% и условие предельного состояния
(%•-%•)(%•-%)=廿.(28)
Соотношения, определяющие зависимость приращений пластических деформаций от напряжений записываются в виде
d吗=dA (Сг订• 一 5订),%•=0叱.(29)
А. Ю. Ишлинский [14] выдвинул и реализовал вариант теории пластичности, естественным образом обобщающий представления теории идеальной пластичности на случай упрочнения.
Отметим также работу «Растяжение бесконечно длинной идеально-пластической полосы переменного сечения» [15] (1958 г.), послужившей основой для исследования линеаризированных задач идеального жесткопластического тела [2].
3. В ряде работ [16-22] идеи и результаты А. Ю. Ишлинского получили развитие.
Два условия текучести в общем случае имеют вид
fig) = 0, f2^ij) = 0.fig) = 0, f2^ij) = 0.(30)(30)
fig) = 0, f2^ij) = 0.
fig) = 0, f2^ij) = 0.
(30)
(30)
Связь между компонентами напряжений в декартовой системе координат aij и главными напряжениями 内 определяется в виде
СГЖ = СГ1/2 +。2皿彳 +。3若，Тху = СГ1/1/2 + cr2mim2 + оз 几 1 几2 (xyz, 123), (31)
где Zj, ггц, П{ — направляющие косинусы, индексы у компонент главных напряжений ai фиксированы.
Соотношения ортогональности направляющих косинусов имеют вид
/； + ттг； +若=1, /也 + mi?7i2 + 几1 几2 = 0 (123).(32)
Согласно (31) условия пластичности (30) примут вид
九02,。3,厶，/2, /3, mi, m2,m3,几i,几2,几3) = 0,©3)
了2(01,。2,。3,厶」2, /з, Ml, m2,m3, п1,n2,几3) = 0.
Соотношения сг订—£叮 определяются из условия экстремума скорости диссипации механической энергии
(34)(34)(35)(35)D = (T^j &ij
(34)
(34)
(35)
(35)
при наличии связей (32), (33) Соотношения。叮—£叮 имеют вид
асг1 асг1少。2 оа2оа^ асгз
£] — £冗/] + £у%2 + £n%3 + ^^ xy^l ^2 + 2ggz%2%3 + ?E xzhh)
£2 = £%m； + £ym2 + £z^3 + 2fxym1ТП2 + 2е^т2тз + 2£x^mim3,
£3 = £冗九1 + £j/九 2 + £z 九 3 + 2geg 九 1 九2 + 2£gz 九 2 九3 + 2gez 九 1 九3〉
^£^ +一 ^ (无醬+为器)一 * (无簪+入2黒)-
、
£ хТху + & хуОу+ £i一万(入包+人2
аааа豁+^)TG盧+Х夜)豁+^)TG盧+Х夜)dm2dm2(36)(36)
аа
аа
豁+^)TG盧+Х夜)
豁+^)TG盧+Х夜)
dm2
dm2
(36)
(36)
где Ai, A2 > 0, индексы у 九 力 фиксированы.
В случае изотропного тела функции текучести (33) не зависят от величин направляющих косинусов 伉 m^,电，и из (36) следует условие изотропии А.Ю. Ишлинского (21).
Условия изотропии (21) послужили предметом исследования течения изотропных сред. Направляя оси координат вдоль главных направлений тензора напряжений, из (21) получим [16, 17]
(37)(37)£也(。1 -02)= 0,£g2(。2 -03)- 0,£况2(01 -03)- 0.
(37)
(37)
В случае, если
(38)
соотношения (37) удовлетворяются, причем величины £ху, £ху, еху могут принимать произвольные значения.
Полагая наличие потенциала
(39)
(40)(40)(41)(41)(42)(42)(43)(43)из (39), уравнения несжимаемости (22) следует
(40)
(40)
(41)
(41)
(42)
(42)
(43)
(43)
ad + ду^ + ad - °*
В случае, если
6 =。2, o-i — а^ = 2k, k * 0,
согласно (37), (40) имеют место соотношения
с ди , dw c dv , dw 「
5 = £yz = 0,反+公=0,疋+两=°・
Уравнениям (41) удовлетворим, полагая
дгЬ дгЬдгЬ
Из (43), уравнения несжимаемости (22) следует волновое уравнение
(44)
Уравнение (44) имеет место в пределе при к —> 0 в соотношениях (41), таким образом, наличие сколь угодно малого сопротивления сдвигу качественно меняет картину течения изотропной среды: соотношения (39), (40) и (43), (44).
Уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности, отнесенные к характеристикам в плоскости, ортогональной третьему главному направлению сг3 (20), позволили перенести методы, развитые А.Ю. Ишлинским для осесимметричной задачи, на случай вдавливания плоских штампов с изменяющейся кривизной границы. Алгоритм решения представлен на примере вдавливания штампа с эллиптическим контуром в плане [18].
В развитие результатов А. Ю. Ишлинского [8] рассмотрены пространственные автомодельные решения о вдавливании жестких пирамид в идеально-пластическое полупространство [21, 22].
Исследования А. Ю. Ишлинского внесли фундаментальный вклад в развитие основных представлений математической теории пластичности. Александр Юльевич Ишлинский по праву может быть отнесен к основоположникам теории пластичности наряду с ее самыми выдающимися представителями.
Список литературы
Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости // Теория пластичности. Сб. переводов. — М.: ИЛ, 1948. С. 11-19.
Ишлинский А. Ю.、Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964.
Ивлев Д.Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971.
Ишлинский А. Ю. Гипотеза прочности формоизменения // Учен, записки МГУ. 1940. Вып. 46. С. 104-114.
Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // ПММ. 1943. Т. 7, Вып. 2. С. 109-130.
Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины // ПММ. 1943. Т. 7, Вып. 6. С. 405-412.
Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 3. С. 201-224.
Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах // Теория пластичности. Сб. переводов. — М.: ИЛ, 1948. С. 80-101.
Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. Сб. переводов. — М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.
Ишлинский А. Ю. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. 1945. № 3. С. 250-260.
Ишлинский А. Ю. Разрушения не вполне упругих материалов // Учен, записки МГУ. Механика. 1946. Т. 1, Вып. 117. С. 90-108.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966.
Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, № 3. С. 314-325.
Ишлинский А. Ю. Растяжение бесконечно длинной идеально-пластической полосы переменного сечения // Докл. АН УССР. Киев. 1958. № 1. С. 12-15.
Ивлев Д. Д., Ишлинский А. Ю., Максимова Л. А. О свойствах течений изотропной среды // ДАН РАН. 2000. Т. 375, № 2. С. 191-194.
Ивлев Д. 〃., Ишлинский А. Ю.)Максимова Л. А. О течениях изотропных сред // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 5. С. 5-12.
Ивлев Д.Д.、Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеально-пластического тела при условии полной пластичности // ДАН РАН. 2001. Т. 381, № 5. С. 616-622.
Ивлев 〃.“., Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О характеристических соотношениях для напряжений пространственной задачи сыпучей среды при полном предельном равновесии // ДАН РАН. 2002. Т. 383, № 5. С. 638-642.
Ивлев 〃.“., Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О характеристических соотношениях для скоростей перемещений в пространственной задаче полного предельного равновесия сыпучей среды // ДАН РАН. 2002. Т. 384, № 1. С. 57-61.
Ивлев Д.Д.、Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство // ДАН РАН. 2002. Т. 385, №6. С. 766-769.
Ивлев Д.Д.、Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О внедрении жесткой пирамиды в идеально-пластическое полупространство // Изв РАН. МТТ. 2002. №4. С. 57-62.
А.Ю. ИШЛИНСКИЙ — МЕХАНИК-«ПРОЧНИСТ»
И. Шемякин
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
А. Ю. Ишлинский широко известен не только как специалист в области механики твердого деформируемого тела — деформаций и разрушения твердых тел — «прочнист», но и гораздо шире — выдающимися результатами в задачах теории гироскопов, в решении задач механической устойчивости, динамических и квази- статических задачах механики деформируемого тела [1, 2]
В этой статье обсуждаются результаты А. Ю. Ишлинского, которые сыграли в развитии теории прочности деформируемых тел исключительную роль в последние 50-60 лет в нашей стране и за рубежом.
Начнем с работы, которая, по мнению автора, является основной в этой области: «Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля» [1], там же указаны ссылки на оригинальные публикации.
В эти годы в развитии математической теории пластичности можно отметить два направления, которые даже противопоставлялись друг другу — развитие теорий течения материала за пределом упругости подобно вязкой жидкости и деформационных теорий, в которых отражались попытки построения связей напряжений и деформаций, подобных математической теории упругости, хотя уже в работах А. А. Ильюшина подчеркивалось, что эти связи между напряжениями и деформациями (точнее, между их приращениями) не являются голономными: для определения напряжений и деформаций необходимо знать историю нагружения (или деформаций).
Развитие теории пластичности требовало привлечения физических представлений о природе необратимых деформаций, привлечения знаний из физики твердого тела. Такими сведениями являлись данные о деформациях кристаллов и металлов, о роли максимальных касательных напряжений, о сдвиговой прочности материалов, как это было положено в основу теорий прочности Треска и Сен-Венаном и использовано Батдорфом и Будянским. Хотя эти работы длительное время не получали признания. В то же время основные идеи автора [1, 2] были связаны с этими двумя современными идеями:
как оценить роль площадок скольжения (площадок максимального касательного напряжения) и
связанных с ними условий пластичности с математической моделью материала и со стремлением решить конкретные задачи прочности, что удалось сделать автору обсуждаемой работы.
Хотя кажется, что реферируя работу, автор всегда пытается навязать свое понимание и перевести его на язык уже позднего времени, но это и естественно, и логично. Поэтому, когда произносятся слова «максимальное касательное напряжение», «главный сдвиг» и др., связанные, скорее, с физикой твердого тела, чем с решением механических задач на уровне сопротивления материалов, возникает вопрос: о чем мы говорим. Разговор идет о том, что нельзя решать вопросы развития современной пластичности не обращаясь к основам физики твердого
тела, а это мезомеханика в понимании автора этой заметки. Отсюда и трактовка результатов А.Ю. Ишлинского в упомянутых здесь работах.
Было бы неверно не отметить позиции Г. Генки и А. А. Ильюшина, которые уделили внимание анализу и сопоставлению теорий типа течения и деформационных теорий, при этом в анализе конечно рассматривалась роль физических представлений в развитии математических моделей твердого тела. Приведем здесь высказывание Г. Генки: «Чтобы представить себе пластическую деформацию, мы должны вообразить себе элемент объема в виде сосуда; если влить в сосуд жидкости больше, чем он может вместить, то жидкость будет переливаться через края, так что количество поглощенной энергии остается одинаковым при всех условиях, пока сохраняется склонность к пластической деформации, т. е. к переливанию» [3].
На примере задачи о пробе Бринелля можно пояснить общую позицию, которую занял А.Ю. Ишлинский, в отличие от той, которая имела место в умах специалистов по теории необратимых деформаций и разрушению твердых тел в конце 30-х и начале 40-х годов. В этой ситуации обращение к идеям Т. Кармана было нетривиальным шагом. Действительно, с одной стороны, было стремление построить единую непротиворечивую теорию упругопластических деформаций (Генки-Ильюшин), о которой надо сказать в свете обсуждаемого предмета, что эта теория удивительным образом служит прочностным расчетам и до сих пор.
С другой стороны, надо было понять теорию Сен-Венана-Треска, что было связано с интерпретацией физических опытов и теоретических расчетов. Это очень интересно с методологической точки зрения. Действительно, в опытах по нагружению (плоская деформация) внутренним давлениям отверстия в материале наблюдали линии скольжения (их потом стали называть линии Людерса-Чернова). Это были линии реального разрыва, а Сен-Венан рассчитывал, что так же должны выглядеть и площадки максимальных касательных напряжений. Это позволило ему ввести гипотезу о соосности тензоров (девиаторов) напряжений и деформаций (скоростей деформаций). Конечно, это предложение отвечало идеям Навье и было принято современниками, но надо подчеркнуть, что кроме упомянутой аналогии между полями линий скольжения и линиями максимальных касательных напряжений в плоском случае других фактов не было; «обобщение» этих идей и их распространение на трехмерную ситуацию, к счастью, не связано с обсуждаемым материалом и пришло много позже.
Обращение А. Ю. Ишлинского к идеям Т. Кармана было не только нетривиальным, но и смелым шагом. Ибо развитие теории необратимых деформаций и разрушения твердых тел уже шло другим путем (построение гладких поверхностей нагружения, принцип Мизеса и ассоциированный закон течения, связанный по существу с подобием тензоров (девиаторов) — этот путь практически исключил рассмотрение физического механизма необратимых деформаций и разрушения твердых тел, по которому пошли в соответствии с представлениями Сен-Венана и Т. Кармана и которые будут воспроизведены здесь в духе статьи [1]. Сразу следует сказать: конечно, не было необходимости ни в гипотезе о подобии тензоров (девиаторов), ни в ассоциированном законе. Действительно, в [3] авторы предположили, что упругое состояние материала при определенном уровне напряжений по Треска-Сен-Венану при достижении максимальным касательным напряжением постоянного для материала значения
сменяется состоянием неполной пластичности, в котором сохраняется упругая связь по второму главному направлению:
сг2 = Ле + 2〃£2 (А,从—постоянные Ляме).(2)
Если дополнить эти две связи между напряжениями и деформациями (1) и (2) естественной и общепринятой связью об упругом изменении объема,
。1 +。2 +。3 = ЗК(£] + £2 + £3) (К = Const),(3)
то для определения напряжений по деформациям (скоростям деформаций) имеем три соотношения (1)-(3) — это и есть математическая модель неполной пластичности, которая сама по себе представляет, как на это было обращено внимание уже после Т. Кармана [2, 4], самостоятельный интерес. Здесь а± > а2 > сг^ — главные нормальные напряжения, Т — максимальное касательное напряжение, £1〉£2〉 > £3 главные значения деформаций (скоростей деформаций), отсчитываемые от исходного состояния, что автоматически означает соосность, но не подобие соответствующих тензоров (девиаторов).
Состояние неполной пластичности, по мнению автора, не привлекло большого внимания [1, 3]. Хотя имеющиеся и упомянутые публикации отметили ряд интересных следствий и систему полных уравнений [3, 6]. Напомним здесь, в связи с обсуждаемой работой, два следствия.
Указанная выше математическая модель неполной пластичности обладает и в пространственной ситуации свойством идеального пластического тела: по заданным напряжениям нельзя найти деформации, их можно найти по величине Г (главный сдвиг) и по величине нормальной деформации на той же, что и главный сдвиг, площадке скольжения, £九=£】+ £3, но по заданным деформациям можно найти все компоненты напряжения. Это понятно для плоского случая, хотя обычно не обсуждается в связи с пространственной ситуацией.
При переходе к полной пластичности по Т. Карману в дополнение к главной площадке с Ттах еще на одной из систем площадок
Т = 01 — 02 или Т = ст? —。3・(4)
Будет также достигнуто значение Ттах. Это состояние полной пластичности наиболее изучено, и этим мы обязаны акад. А.Ю. Ишлинскому [1, 4].
В 20-х годах в работах Лодэ и его учителя Надаи появился параметр, который принято называть параметром Лодэ-Надаи [3]:
2ет2 —°3о/R、
〃ь = для напряжении,(5 а)
ст 1 — °з
〃Е =旦—————— для деформаций.(5 б)
Связь параметров Лодэ-Надаи означает подобие напряженного и деформированного состояний, в частности равенство
〃£ — Мег(6)
означает подобие тензоров деформаций и напряжений.
Второе следствие связано с неполной пластичностью и указывает на следующую связь параметров Лодэ-Надаи в состоянии неполной пластичности [5]:
г … 从Ь =家从⑺
где Г — главный сдвиг, а Ге — его предельное упругое значение.
Таким образом, чем больше значение пластического сдвига (Г > Ге), тем больше отличие тензоров от подобия. И это едва ли не самое примечательное механическое свойство состояния неполной пластичности. Интересные примеры приведены в новой книге Б. Д. Аннина и В. М. Жигалкина [8]. На справедливость (7) было указано в [4].
Укажем в заключение выражения напряжений через деформации в состоянии полной пластичности. Пусть в дополнение к (1) будет выполнено (4), изменение объема по-прежнему описывается (3).
Тогда справедливы связи
4 2 2 。—К& — - Ттах, сг2 = К& + - Ттах, сгз = К& + - Ттах. (8)
Связи (8) указывают на интересные механические свойства материала в состоянии полной пластичности, первые слагаемые в равенствах (8) указывают на усилия, затраченные на изменение объема, а вторые — на сопротивление сдвигу. Отсюда сразу же следует вывод: сопротивление сдвигу надо учитывать до тех состояний, пока величины слагаемых справа сравнимы, а после достижения равенства слагаемых справа в (8) и дальнейшем росте затрат на изменение объема по сравнению с затратами усилий на преодоление сдвига среда «ведет» себя как жидкое тело — в этом смысл слов о переходе от твердого состояния к жидкому при росте нагрузок на твердое тело. Состояние «полной пластичности» поясняет один из путей построения динамических моделей твердого тела.
В этом состоянии материала, «похожем» на поведение жидкого материала, связи напряжений и деформаций аналогичны связям между давлением и плотностью в жидкости и газе.
Итак, можно рассматривать три состояния твердого тела при нагружении: 1) упругое, закон Гука, 2) состояние неполной пластичности в смысле Т. Кармана (с сохранением упругой связи по одному из главных направлений и 3) состояние полной пластичности, когда упругое сопротивление преодолено и материал ведет себя подобно жидкости. В этом состоянии при разгрузке (упругой) может проявиться остаточная прочность, но об этом отдельный разговор.
А.Ю. Ишлинский и его коллега Д. Д. Ивлев [1, 6] обратили основное внимание на состояние полной пластичности, при этом в работе [1] был получен выдающийся результат: в теоретических расчетах с точностью до третьего знака подтвержден экспериментальный факт!
При этом авторы исследования состояния полной пластичности определили (на уровне математической строгости) необходимые и достаточные условия статической определимости краевых задач. Заметим, что еще Г. Генки отмечал: «Переход упругого тела в пластическое состояние есть не что иное, как уменьшение степени статической неопределимости» [3].
Имея ввиду, что основные уравнения равновесия для описания состояния полной пластичности по Т. Карману исследованы в пионерских работах [1-3] достаточно полно, для первого этапа остановимся на основных уравнениях для неполной пластичности, которые имеют не только смысл для описания перехода к полной
пластичности, но и самостоятельное значение, как об этом было сказано впервые в [3, 5].
Основной интерес имеют те же уравнения осесимметричного состояния, что исследовал А. Ю. Ишлинский, которые всегда были пробным камнем при построении и исследовании математических моделей пластичности.
Уравнения равновесия имеют вид
д су гАтт*/о?- — bgdrdz rд су гАтт*/о?- — bgdrdz r^Trz Adz 丄 7rz^Trz Adz 丄 7rz=0.=0.⑼⑼
д су гАтт*/о?- — bg
drdz r
д су гАтт*/о?- — bg
drdz r
^Trz Adz 丄 7rz
^Trz Adz 丄 7rz
=0.
=0.
⑼
⑼
Здесь бг15 。2,。夕 и Trz — напряжения в цилиндрической системе координат г, г, д. Напряжения сг^ всегда (для любых элементов полупространства г > 0) являются главными, а для определения главных напряжений в плоскости г, z служат известные выражения
(10)(10)= Т еr +02)土，(。T一 ％)2 +4T石•
(10)
(10)
Из трех главных напряжений сг】,。2,。夕 в состоянии неполной пластичности только одна разность может достигать значения Т, либо
。1 -。2 = 2Tmах, (11)
либо полуразность сг夕 с а± или с。2 [5]. В произвольной ситуации полной пластичности, в отличие от основной, рассмотренной в [1], в дополнение к (1) следует рассматривать одно из условий (4).
Таким образом, можно получить полную систему уравнений задачи. Важно отметить, что эта система будет гиперболической, с двумя семействами вещественных характеристик, которые имеют точный механический смысл: характеристики являются поверхностями скольжения [5]. Этот факт принимается в настоящей заметке как постулат и служит критерием «правильности» построения математической модели пластичности в случаях полной и неполной пластичности. Конечно, этот постулат открыт для обсуждения, но ограничимся здесь только этим заявлением в дополнение к ранее опубликованным результатам.
Система основных уравнений в случае неполной пластичности указана, например, в [7]. Вывод ее следует тем же идеям, что и система для случая полной пластичности [1].
По-видимому, эту систему надо отнести к новым системам дифференциальных уравнений смешанно-составного типа. Так, в локальной системе координат, связанной с главными напряжениями, изменение перемещений (скоростей перемещений) определяется дифференциальным оператором эллиптического типа вдоль второго главного направления, содержащим вторые частные производные от перемещений по координатам. А в поверхностях, ортогональных второму главному направлению, происходит привычное для плоской деформации описание перемещений (скоростей перемещений) с помощью дифференциальных операторов гиперболического типа: две поверхности разрыва — «линии скольжения» (вещественные характеристики). По-видимому, эти особенности отражают физическую гипотезу Т. Кармана о сохранении упругой (квазиупругой) связи по второму главному направлению.
Список литературы
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д.Д.. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. С. 702.
Ишлинский А. Ю.. Механика. Идеи, задачи, приложения. — М.: Наука, 1985. С. 623.
Теория пластичности / Сб. пер. — М.: ИЛ, 1946.
Христианович С. А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре / Мат. сб. 1936. Т. 1, № 4. С. 511-534.
Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности // Инж. ж. МТТ. 1967. №. С. 58-69.
Ивлев Д. Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ. 1958. Т. 22, Вып. 6. С. 850-855.
Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности // Физическая мезомеханика. 1999. Т. 2, № 6. С. 63-69.
Аннин Б. Д., Жигалкин В. М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. —Новосибирск: Изд. СОРАН, 1999. С. 341.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УПРУГИХ СИСТЕМС РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Л.Д. Акуленко^ С. В. НестеровИнститут проблем механики РАН
В классических работах Л.И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси была теоретически установлена и обоснована возможность возбуждения электрических колебаний в контурах посредством периодического изменения емкости или индуктивности с помощью механического воздействия. На основе результатов теоретических исследований и выводов был создан ряд электромеханических устройств, в которых экспериментально осуществлялась генерация электрических колебаний с весьма большим напряжением и силой тока вследствие периодического с требуемой частотой изменения параметров контуров. Явления, происходящие в электромеханических колебательных системах с периодически изменяющимися параметрами, после этих фундаментальных исследований принято называть параметрическим резонансом. Эффекты параметрического резонанса широко распространены в природе и технике.
Ниже исследуется двойственная к вышеуказанной задача, когда происходит возбуждение механических колебаний систем посредством эффекта параметрического резонанса, вызванного переменными электрическими полями. С единых позиций рассматриваются параметрические колебания упругих систем с постоянными распределенными параметрами (мембраны и цилиндрической оболочки), взаимодействующих с переменными электрическими полями. Исследованные электромеханические модели могут оказаться полезными при создании волновых твердотельных гироскопов и, возможно, других навигационных приборов, изучению которых А. Ю. Ишлинский посвятил значительную часть своего научного творчества.
Исходные предположения и постановка задачи о параметрических колебаниях мембраны. Рассмотрим колебания электромеханической
Рис. 1Рис. 1системы, схематически представленной на рис. 1. Система состоит из плоского конденсатора, расстояние между обкладками 1 (нижняя) и 2 (верхняя) которого равно 2%. Полагаем, что внешние обкладки заземлены, т. е. их потенциал равен нулю. Между обкладками симметрично помещена упругая мембрана на одинаковом расстоянии h от верхней и нижней обкладок. К мембране
Рис. 1
Рис. 1
приложено электрическое напряжение, по
тенциал которого относительно обкладок равен U = Uq cosQZ, где Uo, Q — посто
янные, характеризующие амплитуду и частоту соответственно.
Относительно геометрических и электромеханических свойств системы сделаем следующие упрощающие предположения:
мембрана и обкладки конденсатора представляют собой круги радиуса а (вид сверху), причем, по предположению, h <^ а, что позволяет пренебречь краевыми эффектами [1];
они являются идеальными проводниками, а диэлектрическая проницаемость среды в цилиндрических областях D^ и D^ принята равной единице (для определенности);
выполняется неравенство aQ《с, где с — скорость света, что позволяет пренебречь токами смещения и ограничиться квазистатическим приближением для описания электрического поля [2, 3];
мембрана считается закрепленной (защемленной) по контуру и идеальной;
смещения мембраны для простоты вычислений считаются осесимметричными, т. е. не зависящими от полярного угла.
Постановка задачи заключается в следующем. В начальный момент времени 力=0 точкам мембраны сообщены осесимметричные распределения смещений и скоростей. Требуется найти движение мембраны при 力〉0 с учетом приложенного напряжения U(Z).
Для того чтобы определить движение проводящей электрический ток мембраны, нужно найти распределение действующих на нее сил электрического поля. Эти силы могут быть вычислены [2, 3], если известны потенциалы электрического поля 〃1, 〃2 в областях D±,。2 соответственно. Переходим к их определению в искомом квазистатическом приближении для электрического поля.
Решение задачи электростатики и определение сил, действующих на мембрану. В силу предположения 3 электрическое поле описывается уравнениями электростатики. На основе предположения 1 электрическое поле сосредоточено в цилиндрической области D = D±U D2 между обкладками конденсатора, и поэтому можно пренебречь краевыми эффектами (см. «конденсатор Роговского» [1]).
Введем цилиндрическую систему координат, центр которой совпадает с центром недеформированной мембраны. Ось z направим перпендикулярно ее плоскости (см. рис. 1). Как указывалось, обозначим неизвестные искомые потенциалы электрического поля в областях 7?i,。2 через 〃i, “2, где 〃i,2 = 〃1,2(丁, z,力)・ Искомое симметрическое смещение точек мембраны обозначим V = V(г, t).
Потенциалы 〃屮 определяются как решения следующих задач Дирихле [2, 3]:
△〃1 = 0, (г, z) е Dx = {г, z : 0 г < a,V > г > —%},
一％, t) = 0, Hi (г, V, t) = I/。cosQZ;
△〃2 = 0, (г, z) е D2 = {г, z : 0 г < a, h > z > V},
"2(T, %,力)=0, ^2(^5 V, t) = Uq cosQZ. ⑵
Здесь △ = r^d^rd/dr)/dr + 02/^г2 — двумерный оператор Лапласа в цилиндрических координатах (зависимости от полярного угла не возникает); значение V = 『(〃％) в граничных условиях неизвестно; время t входит как параметр. Граничные условия при г = а несущественны в силу предположения 1. Кроме того, решение и(г, г,力)должно быть ограниченным при т —> 0 : |〃| < М < оо.
Предполагая смещения мембраны V достаточно малыми, т. е. V]h《1 (и тем более V/а《1), будем искать решения задач (1), (2) в виде разложений по степеням V. Применение стандартных процедур метода возмущений становится более удобным, если сделать замену V —> eV, где £ — числовой параметр, и после проведения формальных разложений по степеням £ положить £ = 1. Для даль-
нейшего анализа основных качественных свойств движения системы оказывается достаточным ограничиться первым приближением: 〃 = 〃]罄=〃£! + £〃f! + 評• • • (£ = 1). Неизвестные коэффициенты 〃⑼，〃⑴，...получаются последовательно решением соответствующих краевых задач. Для определения неизвестных и^ имеем согласно (1), (2) в областях 7?fJ задачи
△^1,2 = а й1^(г^ 干",力)=a筹=%|V=0,〃i^2(г5力)=и。cos а 力
не содержащие в граничных условиях неизвестную V. С учетом условия ограниченности решения и^ при г —> 0 получаем выражения
〃體=Uo(l ± z%t)cosQ,(3)
не зависящие от координаты г. Они отвечают случаю недеформируемой мембраны.
Определение неизвестных функций и^ в соответствующих недеформирован- ных областях О，？ требует решения краевых задач, содержащих неизвестную функцию V = V(г, t):
△〃£； = 0,2(丁, 土瓦力)=。，^\^^ 0, t) = -^Vh^UQ cosQZ.
При этом функции 加? должны быть ограниченными для г —> 0. Поскольку при %/а《1 краевыми эффектами на границе г = а можно пренебречь [1], то можно поставить произвольные граничные условия для и^- Так как мембрана жестко закреплена по краю (V(a, t) = 0), то в рассматриваемом случае удобно положить также "⑴(а, г,力)=0.
еп =e71 (力)—еп =e71 (力)—1ш71ш7^V(p,t)Rn(p)pdp, о^V(p,t)Rn(p)pdp, оll^nll2 = ро(7用 pdp = у Ji(7n)- оll^nll2 = ро(7用 pdp = у Ji(7n)- о(5)(5)Предположим пока, что функция V(г, t) известна и является достаточно гладкой. Тогда искомые функции и^(г, г, t) определяются однозначно в виде рядов
еп =e71 (力)—
еп =e71 (力)—
1ш7
1ш7
^V(p,t)Rn(p)pdp, о
^V(p,t)Rn(p)pdp, о
ll^nll2 = ро(7用 pdp = у Ji(7n)- о
ll^nll2 = ро(7用 pdp = у Ji(7n)- о
(5)
(5)
В результате для искомых потенциалов и±^ получены приближенные выражения с точностью до квадратичных членов относительно ||V||. При учете (3), (4) заключаем, что в областях D± и D? соответственно они имеют вид
Ux^r.z.t) = Uo(l 土 力 cos a力干
干 >osa&^)sh[型 M「M3),(i)e%2,⑹
九sh [упПа J
где cn(t) — линейные функционалы от V (5).
Чтобы определить поверхностные силы, действующие на проводящую мембрану, нужно вычислить напряженность электрического поля Е】,2 в областях。屮 соответственно по формулам: Е],2 = — grad и^^- Распределение сил, т. е. нормальное давление, определяется следующим образом [2, 3]:
p=中乡…h“)(W) •⑺
При выводе выражения (7) учитывались только линейные относительно V члены и то обстоятельство, что представления (6) в указанном приближении справедливы в исходных областях Di ^- Из (7) следует, что при V = 0 нормальное давление Р = 0, поскольку cn(t) = 0, n = 1, 2,. . . Заметим, что это обусловлено симметричным (на равных расстояниях h от обкладок) расположением мембраны.
Построение и решение краевой задачи, описывающей осесимметричные движения мембраны. На основе известного выражения (7) для распределенных ортогональных поверхности сил Р можно выписать уравнение движения мембраны [5]:
//У - TAV = Р, V = V(r.t). т'а,
Р = РЕ ^，М) = U：；：；严 j G(〃 川卜(〃力)d〃(8)
о
G(〃0)= E 7nCth(7n^ \\Rn\\~2Rn(r)Rn(p)p.
Точками обозначено дифференцирование по времени 力
△=1 3(T3/3丁)r dr
—одномерный оператор Лапласа по 丁, 〃一 поверхностная плотность, а Т — натяжение мембраны. Зависимость от полярного угла отсутствует в силу предположения 5 п. 1. Заметим, что состояние мембраны описывается интегродиффе- ренциальным уравнением в частных производных (8). Правая часть уравнения содержит интегральный по г оператор типа Фредгольма.
Требуется найти решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям закрепления и ограниченности
V(a, t) = О, I V(r, t)\ ^ М <(X), г —> 0,(9)
а также заданным осесимметричным начальным условиям
卜(丁,0) = /(T)， 匕(-0) = g(T).(Ю)
Функции /, g предполагаются согласованными с условиями (9) и достаточно гладкими, чтобы существовало сильное решение [5] задачи (8)-(10).
Это решение естественно искать в виде разложений по ортогональной с весом г системе функций Rn(r) = Jo(7n^^-1)：
V = V(r,t)= £ 兄г(т).(11)
Стандартными методами математической физики [5] для коэффициентов % (力) (11) получаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами типа Матье [6]:
立г + (吟一呢 COS2Q)% = 0, 几=1,2,竭=子丁(从a2)?成=ua(4万0%2从尸7九 cth(7n%aT)・
Здесь 幻九—собственные частоты круглой мембраны, совершающей осесимметричные колебания. Параметры 〃九 также имеют размерность частот, причем 〃九 ~ ~ -У^ ~ V^・ Поэтому при п —> оо величины 〃^幻^? ~ п-1, т.е. «главными» в уравнении (12) для достаточно больших п являются члены ^Vn. Функции Vn должны удовлетворять начальным условиям, вытекающим из (10):
Кг(0) - /П? аг = (/(t),凡1(T))Г11凡111-2,
К(0) = g, gn = (g(<), Rn(r))r\\Rn\\-2.
Предполагается, что коэффициенты /п, g^ достаточно быстро убывают при п —> оо.
Таким образом, краевая задача (8)-(10) сведена к решению счетной системы задач Коши (12), (13) для линейных уравнений с периодическими коэффициентами, частота изменения которых равна 2Q. Отметим, что влияние внешнего электрического поля определяется квадратом напряжения U2 = Uq cos2 QZ. Если Uo = =0, то %i = 0 и уравнения интегрируются в явном виде. Получающееся решение описывает свободные осесимметричные колебания круглой мембраны. При Uq ф 0, П * 0 искомое решение 匕(力),п = 1, 2, . . ., выписывается при помощи функций Матье [6]. Случай Q = 0 (постоянное напряжение) также представляет интерес (см. ниже).
Качественный анализ движения мембраны. 4.1. Устойчивость положения равновесия и движений мембраны в постоянном электрическом поле. Положим в уравнениях (12) частоту Q = 0; получим счетную систему
匕+麓―咐匕=0, 几= 1,2,・・.(14)
Из (14) следует устойчивость в линейном приближении колебаний мембраны и ее положения равновесия 匕三 0, ...,!/三 0, если 幻九 > 〃九 для всех 几》1. В исходных содержательных переменных условие шп > 〃九 можно записать следующим образом:
(^) <《TrTaT^th^nhaT), 几= 1,2,…(15)
Итак, устойчивость по линейному приближению имеет место, если средняя (по z) напряженность электрического поля Uo/h достаточно мала по сравнению с характеристикой натяжения мембраны，Т/а . Вследствие монотонности правой части неравенства (15) по 7П представляется достаточным его выполнение при 几=1, т. е. для 71，Поскольку имеет место сильное неравенство ha-1《1, то условие (15) при п = 1 примет вид
< 47r臂⑵ TL (臂 t 5,7831). (16)
Колебания мембраны теряют устойчивость и становятся экспоненциально неустойчивыми, если для некоторых значений n = 1, 2, . . . , п* выполняются неравенства, обратные (15). В частности, потеря устойчивости по основной первой моде происходит при выполнении обратного неравенства (16)
1/^。2(47rh3丁)〉7^ t 5,7831. (17)
Неравенство (17) по своей форме и физическому смыслу аналогично условию неустойчивости заряженной жидкой капли, находящейся в равновесии под действием сил поверхностного натяжения (Релей, см. [7]).
Наличие линейной диссипации приведет к тому, что устойчивые в линейном приближении моды колебаний станут асимптотически (экспоненциально) устойчивыми. Экспоненциально устойчивые моды останутся таковыми. Критические случаи, когда вместо строгих неравенств имеют место равенства, требуют дополнительных исследований с учетом нелинейности. Отметим, что наличие постоянного электрического поля приводит к уменьшению частот колебаний мембраны согласно (14).
2. Неустойчивость параметрических колебаний мембраны в переменном электрическом поле. Приведем уравнения (12) к стандартному виду уравнений Матье [6]. С этой целью введем безразмерные время т и параметры а^, /Зп по формулам
T = % = 3絃2(1一亨)，2%=抵 (18)
Уравнения (12) приводятся к виду уравнения Матье [6] (точкой вновь обозначено дифференцирование по аргументу т)
Vn + («п - 2^п cos2t)I4 = 0, 几= 1,2,... (19)
Далее естественно предположить, что /Зп 《ап. Как следует из (18), для достаточно больших п допущение справедливо, поскольку &九 ~ 几2, /3rl ~ 几 при п —> оо. Это позволяет применить методы теории возмущений и найти условия, при которых происходит потеря устойчивости нулевого (или любого) решения уравнений (19). В малой окрестности резонансных значений параметров а^, отвечающих основной и более высоким резонансным зонам, условия экспоненциальной неустойчивости на плоскости параметров ап, 13rl имеют вид двусторонних неравенств [6]. Выпишем эти условия для первых четырех резонансных зон параметрических
колебаний мембраны произвольной моды имеем1 - 0п - ^0п^~ ^0п < ап4 一运+ 13 824 隐 < an9 + ^僞-专成 < 拆колебаний мембраны произвольной моды имеем1 - 0п - ^0п^~ ^0п < ап4 一运+ 13 824 隐 < an9 + ^僞-专成 < 拆с номером n, n = 1, 2,. .. Согласно [6]с номером n, n = 1, 2,. .. Согласно [6]< 1 + 071 - g僞+专照< 4 + 运篇一13824 ^^< 1 + 071 - g僞+专照< 4 + 运篇一13824 ^^(20)(20)
колебаний мембраны произвольной моды имеем
1 - 0п - ^0п^~ ^0п < ап
4 一运+ 13 824 隐 < an
9 + ^僞-专成 < 拆
колебаний мембраны произвольной моды имеем
1 - 0п - ^0п^~ ^0п < ап
4 一运+ 13 824 隐 < an
9 + ^僞-专成 < 拆
с номером n, n = 1, 2,. .. Согласно [6]
с номером n, n = 1, 2,. .. Согласно [6]
< 1 + 071 - g僞+专照
< 4 + 运篇一13824 ^^
< 1 + 071 - g僞+专照
< 4 + 运篇一13824 ^^
(20)
(20)
< 16 + ^ 篤 + 864 000 齡，
Левые и правые части неравенств (20) представляются степенными рядами от /Зп, в которых удержаны члены не выше четвертой степени. Эти неравенства определяют резонансные зоны возбуждения параметрических колебаний. Отметим, что их ширина имеет порядок /?3 где к — номер зоны, т. е. становится весьма узкой при к》1, /3rl < 1.
Задание границ областей неустойчивости вблизи различных резонансных зон в форме двусторонних неравенств (20) может оказаться не очень удобным при больших 几》1, поскольку /Зп —>(X)при 几一> оо. Поэтому вместо /Зп (18) предпочтительнее ввести параметры &, так чтобы уравнения (19) приняли вид
V + «п(1 + G cos2t)Ki = о,
Вп — — 2 &а?г, & =—-才(1 — 2 才)Т 0, 几一> ОО.
Подставляя /Зп в (20) и разрешая неравенства относительно а^, последовательно по степеням малой величины ^п, получим условия неустойчивости, эквивалентные указанным и удобные для использования при 几》1, поскольку ^п ~ п-1 —> 0 при 几一> оо.
Рассмотрим основную резонансную зону k = 1 (первое двустороннее неравенство (20)). В этой области значений параметров, имеющей ширину 2/Зп, происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний n-й моды. Частота колебаний близка к частоте Q изменения электрического поля; отличие составляет величину порядка /Зп (18). Инкремент нарастания амплитуды равен 1/2/Зп [6].
Аналогично могут быть исследованы резонансные зоны более высоких порядков к》2. В этих зонах происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний с частотой, близкой (kf2). Ширина резонансной зоны (как отмечалось выше), отличие частоты и инкремент нарастания амплитуды составляют величины порядка /?3 Практически [8] наиболее легко происходит параметрическое возбуждение колебаний в основной резонансной зоне k = 1 (20) для низких мод колебаний n = 1, 2,.. ., п*, где п* «не очень велико».
Если одному из условий (20) удовлетворяет собственная частота фиксированной моды п*, а все остальные моды п ^ п* не удовлетворяют ни одному из указанных двусторонних неравенств, то происходит возбуждение только этой моды п*. В противном случае может возбуждаться несколько мод колебаний в различных резонансных зонах.
Выполнение условий неустойчивости (20) параметрических колебаний (19) приводит к экспоненциальному неограниченному росту амплитуды колебаний при t —> —> ±оо [6]. Это объясняется неполнотой линейной модели колебаний мембраны. При наличии нелинейности и диссипации в системе могут установиться стацио-
нарные колебания ограниченной амплитуды. Источники нелинейности могут быть следующие.
. Учет более высоких степеней £ (т.е. переменной V) в выражениях для потенциалов и±^ (см. п. 2), т. е. учет геометрической нелинейности при расчете пондеромоторных сил электрического поля.
. Наличие нелинейной зависимости натяжения Т мембраны от смещения (физическая нелинейность материала).
. Учет геометрической нелинейности при расчете упругих сил, возвращающих элементы мембраны к положению равновесия (учет растяжимости материала).
Влияние одного или нескольких типов указанных выше (и, возможно, других) нелинейностей приводит к ограничению амплитуды параметрически возбуждаемых колебаний, а также к возможности существования периодических стационарных колебаний. Отметим, что наличие существенной диссипации может привести к устойчивым стационарным колебаниям в резонансной зоне как при нелинейном, так и линейном подходах.
Выводы. На основе результатов п. 4.1 установлена возможность потери устойчивости положения равновесия мембраны в постоянном электрическом поле. Имеются технические возможности для проведения лабораторных экспериментов с целью определения сдвига собственных частот колебаний мембраны в постоянном электрическом поле, а также наблюдения потери устойчивости равновесного состояния V = 0.
Существует принципиальная возможность параметрического возбуждения колебаний мембраны, помещенной между заземленными обкладками конденсатора и находящейся под действием переменного электрического поля. Технически наиболее просто представляется возбуждение первой моды в зоне основного резонанса при соответствующем выборе параметров системы, таких как a, h, Uq, Q, Т,从 (см. п. 4.2).
Рассмотренная выше задача о параметрических колебаниях упругой мембраны в переменном электрическом поле является в определенном смысле двойственной проблеме механического возбуждения электрического тока. Показано [9], что посредством периодического изменения емкости удается возбудить электрические колебания большой амплитуды в контуре.
Постановка задачи о параметрических колебаниях цилиндрической оболочки. Рассмотрим колебания электромеханической системы, схематически представленной на рис. 2 (приведено сечение плоскостью ху). Исследуемый объект представляет собой абсолютно жесткий цилиндрический конденсатор, внутренняя и внешняя обкладки которого имеют радиус 仇 и 62 соответственно; образующие цилиндров направлены вдоль оси z. Кроме того, обкладки считаются абсолютно твердыми идеально проводящими коаксиальными цилиндрами, находящимися при нулевом потенциале (заземлены). Между этими цилиндрами также коаксиально расположена средняя обкладка радиуса a: bi < а < Ь?； она моделируется упругой цилиндрической оболочкой. Предполагается, что материал оболочки идеально проводящий и к ней прилагается переменное электрическое напряжение (потенциал) U = 1/(%), в частности 1/(力)=Uq cos QZ, где Uq, Q — постоянные. Объект считается достаточно протяженным вдоль оси образующей (вдоль оси z); его длина /》。，仇,2・ Это допущение позволит пренебречь концевыми эффектами и рассмотреть плоскую электромеханическую систему (в плоскости ху, см. рис. 2), т. е. упругое тонкое кольцо в плоском электрическом поле.
Оболочка предполагается нерастяжимой, т. е. сохраняется длина кривой поперечного сечения при ее деформациях (деформациях изгиба), см. далее. Будем рассматривать сравнительно малые смещения элементов оболочки (кольца)
относительно кругового равновесного состояния и такие, что перемещения оболочки как целого не происходит.
Следуя подходу Релея [10], приведем сперва краткий вывод уравнений движения свободной упругой оболочки в предположении малых изгибных деформаций. Выпишем геометрические соотношения, характеризующие смещения элементов кольца (см. рис. 2). Положение каждой точки кольца зададим полярными координатами 丁，仇
В недеформированном состоянии имеем 丁 = а, Н = д； после малого смещения на Jr, bg получим
т = а + ", Н = g + bg,(21)\6r\a 1《1, |bg|《1.
Длина дифференциала дуги ds деформированной кривой вследствие нерастя- жимости кольца должна сохранять первоначальное значение ds = a\d(p\. В результате приходим к дифференциальному соотношению
(22)(22)ds? =。2(如)2 = (d“)2 + 户(dg + dbg)2,
(22)
(22)
где Jr, bg определяются согласно (21). Сохраняя в (22) члены наинизшего порядка малости, т.е. отбрасывая слагаемые вида (dJr)2, a2(d6(p)2 и аналогичные им, получим после деления на 2a2(如产 дифференциальную связь между малыми смещениями ", bg элементов кольца:
(23)(23)0-1" + d6 屮 I d中=0.
(23)
(23)
Итак, вследствие нерастяжимости кривой имеется дифференциальное соотношение между радиальными и угловыми смещениями согласно (23). Радиальные смещения 6丁 = 6丁(力,夕)задаются тригонометрическим рядом по д:
“(力夕)=а £ (An(Z)cosn^? + Bn(t) sinn^?) = aw(t, g).(24)
71 = 2
Здесь используется очевидное свойство 2тг-периодичности Jr по g. Отметим, что слагаемое с 几=0 в (24) отсутствует вследствие нерастяжимости кольца. Гармоники с п = 1 исчезают из-за предположения об отсутствии перемещения кольца как целого, т. е. неподвижности его центра масс (см. далее). Кроме того, согласно (21), имеем сильное неравенство \w\《1. Коэффициенты Ап, Вп есть неизвестные функции времени 力；они могут быть определены как обобщенные лагранжевы координаты колебательной системы с распределенными параметрами, имеющей счетное множество степеней свободы.
Согласно (23) угловые смещения bg = bg(力 g) имеют вид
6g(力 g) = - ^2 丄(4九(力)sin 九9-Bn(t) cos 几g) + 690(力).(25)
71 = 2
Далее полагаем bgo (力)=0, что отвечает отсутствию вращения оболочки вокруг оси z как целого.
Вычисление функции Лагранжа свободных колебаний упругой оболочки. Обозначим поверхностную плотность материала оболочки через а. Масса единицы длины бесконечно малого элемента равна oad屮〉а масса всей оболочки —2тга/сг, где / — ее длина. Кинетическая энергия всех элементов получается интегрированием по углу д:
Т=^а1\ ((")" MS。)?)如=^。。3/ £ (1 + М)(篇 + 或)•(26)
О九=2
Точками обозначено дифференцирование по времени 力 Ап, Вп — обобщенные скорости.
Выражение для потенциальной энергии П деформаций цилиндрической оболочки в рассматриваемом упрощенном случае деформаций определяется следующим образом [10]:
27rП = ^ а/ ] (б”)2dз,о27rП = ^ а/ ] (б”)2dз,о6“ = “ 一々,6“ = “ 一々,1R'1R'1 Хо =-. а1 Хо =-. а(27)(27)
27r
П = ^ а/ ] (б”)2dз,о
27r
П = ^ а/ ] (б”)2dз,о
6“ = “ 一々,
6“ = “ 一々,
1
R'
1
R'
1 Хо =-. а
1 Хо =-. а
(27)
(27)
Здесь С — коэффициент цилиндрической жесткости оболочки,死一переменная кривизна кольца, 6〃 一 ее изменение; R — радиус кривизны. Для недефор- мированной оболочки R = a, g = а-1. Обозначим х = l/丁, где г = а(1 + w) (см. (21), (24)); тогда для коэффициента кривизны 死 имеем выражение
[@2]] оо
х + 3g = ^ + ^ £ М(4九 cos 几3 + ^n sin 几з) •(28)
На основе представления (28) находим изменение кривизны 6〃 в рассматриваемом линейном приближении по малым деформациям w:
(29)(29)b〃=〃一 ％)=丄 £ (п2 — l)(An cos п(р — Вп sin п(р). ° 71 = 2
(29)
(29)
После подстановки функции 6〃 (29) в формулу (27) и интегрирования по g получим явное выражение для потенциальной энергии П через неизвестные обобщенные координаты Ап, Вп в виде
口 =^；?>2 - 1)2(/ + 砲・(3。)
71 = 2
Предполагается, что бесконечномерные положительные определенные квадратичные формы (26) и (30) равномерно сходятся, т. е. координаты Ап, Вп и скорости Ап, Вп достаточно быстро убывают с номером 几：Ап, Вп 〜 几-5/2-°,厶九, Вп 〜几— l/2 — а, а〉0.
Отметим, что для цилиндрической оболочки коэффициент цилиндрической жесткости С в обозначениях Релея имеет следующее представление [10]:
0 = g 从沙(从 + 沙)-%%20-1,h c I仇,2 -a1,
где h — полутолщина оболочки;从，〃一упругие постоянные материала; р — объемная плотность. Кроме того, заметим, что при п = 1 коэффициент ряда (29) тождественно равен нулю (см. (24) и замечание после формулы (24)).
В результате получена искомая функция Лагранжа Lq? описывающая свободные колебания упругой цилиндрической оболочки, в виде
Lo = T(4® — П(4 3),(31)
где А, В и А, В — бесконечномерные векторы (обобщенные лагранжевы координаты и скорости), а функции Т и П определены согласно (26) и (30). С помощью функции Лагранжа Lq (31) по стандартным правилам получаются уравнения движения — уравнения свободных колебаний несвязанных осцилляторов:
— 0,反1 +^^ —。
(32) 幻^ = C(cra4)-1n2(n2 — 1)2(п2 + 1)т, 几=2, 3,…
Начальные значения 4^,厶^ и В^,國 для уравнений (32) получаются на основе распределений смещений 6г и скоростей Jr в некоторый начальный момент времени 力=%. Отметим, что на практике обычно наблюдаются низшие моды колебаний:几=2, 3,.. .; высшие моды 几》1 весьма быстро затухают вследствие влияния диссипации, нелинейностей и других возмущающих факторов. Кроме того, из (32) следует, что частоты собственных колебаний 幻九 не зависят от длины оболочки I. Уравнения независимы и элементарно интегрируются в тригонометрических функциях.
Поскольку свободные колебания даже очень высокодобротной оболочки существуют ограниченное время вследствие диссипации, целесообразно рассмотреть различные механизмы возбуждения и поддержания таких колебаний, например с помощью периодического электрического поля. Для практики представляет существенный интерес исследование задачи о колебаниях проводящей оболочки под действием переменного электрического поля, приводящему к параметрическому возбуждению этих колебаний. Это поле может быть создано заданием переменной разности потенциалов между оболочкой и заземленными обкладками конденсатора, см. постановку задачи.
Переходим к выводу уравнений движения Лагранжа параметрических колебаний оболочки под действием переменного электрического поля в предположении, что токами смещения можно пренебречь (квазистатика) [2, 11].
Вычисление напряженности электрического поля и определение пондеромоторных сил. Электрические явления рассматриваются далее в ква- зистатическом приближении [2, 11]. Согласно (24) уравнение деформированной оболочки (кольца) имеет вид
т = а + 6r(t, з)= 〃(力 з) = а(1 + w(Z, g)),(33)
где w — неизвестная 2тг-периодическая функция д. Обозначим через 匕,2 = =匕,2(力〃 3)потенциалы электрического поля в областях D^ ^ соответственно,
т. е. внутри и вне оболочки (см. рис. 2). Они должны быть определены как решения следующих краевых задач:
(34)(34)△匕,2 = о,(〃з) е Di,2,
(34)
(34)
匕,2忆6中=0,匕,2],i = U(0
где △ — оператор Лапласа. Отметим, что вторая пара условий (34) задается на неизвестной границе 丁 = 〃(力 д). Время t входит в функции 匕,2 как параметр.
Для приближенного решения краевых задач (34) применим метод возмущений в предположении, что относительное радиальное смещение w достаточно мало: |w|《1, т. е. граница близка к окружности радиуса а.
Формально заменим w на sw и будем строить искомые решения 匕,2(力丁, 3, £) в виде разложений по степеням £, а затем положим £ = 1.
В первом приближении по степеням % что отвечает w = 0, т. е. ?у = а, получим невозмущенные краевые задачи и их решения
△吧)=О,△吧)=О,и(Ни(Н吧）（力〃 3）= U（%）吧）（力〃 3）= U（%）In (丁/仇,2)In (a/bi,2)In (丁/仇,2)In (a/bi,2)(35)(35)
△吧)=О,
△吧)=О,
и(Н
и(Н
吧）（力〃 3）= U（%）
吧）（力〃 3）= U（%）
In (丁/仇,2)
In (a/bi,2)
In (丁/仇,2)
In (a/bi,2)
(35)
(35)
Здесь 匕：2丿一первые члены указанных разложений. Отметим, что в этом приближении имеет место центральная симметрия, поскольку отсутствует зависимость от р.
В следующем втором приближении по £ получим краевые задачи вида
△唱=0,△唱=0,(36)(36)=。，W,2 I= -и(力加(力 з)1пТ(а/仇,2),т=Ь1,2I г=а=。，W,2 I= -и(力加(力 з)1пТ(а/仇,2),т=Ь1,2I г=аIn I I n=2\仇，2丿In I I n=2\仇，2丿
△唱=0,
△唱=0,
(36)
(36)
=。，W,2 I= -и(力加(力 з)1пТ(а/仇,2),
т=Ь1,2I г=а
=。，W,2 I= -и(力加(力 з)1пТ(а/仇,2),
т=Ь1,2I г=а
In I I n=2
\仇，2丿
In I I n=2
\仇，2丿
Выражения 峪工 (36) представляют собой линейные интегральные операторы по g от неизвестной функции w(Z, ^) (t — параметр). Складывая 匕(* (35) и £匕(；)(36) и полагая £ = 1, получим выражения для потенциалов в линейном приближении по w (с погрешностью O(||w||2)):
匕,2亿 T“)=匕(*色 丁) + 匕(？(力4w色⑴])+ O(IIwII2), (37) где ||w|| — некоторая норма от w.
На основе приближенных значений 匕,2 (37) может быть найдена энергия электростатического поля между обкладками конденсатора. Затем аналогично п. 6 могут быть составлены уравнения движения Лагранжа в линейном по обобщенным координатам приближении. Однако этот подход требует вычисления удельных зарядов на внутренней (г = ?у — 0) и внешней (丁 = ?у + 0) сторонах оболочки и удельных емкостей. Он приводит к весьма громоздким расчетам, связанным
с неоправданным определением потенциала V = 『(о) +『⑴+『⑵+ 0(||w||3) в квадратическом по w приближении для обеих областей。屮.
Воспользуемся другим подходом, основанным на вычислении сил, т. е. нормальных давлений, действующих на оболочку. Чтобы определить пондеромоторные силы, вычислим напряженность электрического поля Е в областях。屮：
Е = - grad V = ~^er ~7^р^' E = Ei,2・(38)
Здесь ег, е^ — орты осей полярной системы координат, V — потенциал электрического поля, вычисленный с погрешностью O(||w||2) согласно (35)-(37). Отметим, что для вывода уравнений движения оболочки в линейном по w приближении достаточно ограничиться приведенными выше расчетами для возмущенного потенциала.
Дифференцируя функцию V по г, д, получим компоненты Е「, Е屮 вектора электрической напряженности Е. Для вычисления давления В,2, действующего со стороны электрического поля в области。屮，нужно вычислить согласно (38) квадрат напряженности поля [2, 11]:
87r 8тг ( Зт 丿 dr dr87r 8тг ( Зт 丿 dr dr+ O(l|w||2),+ O(l|w||2),(39)(39)
87r 8тг ( Зт 丿 dr dr
87r 8тг ( Зт 丿 dr dr
+ O(l|w||2),
+ O(l|w||2),
(39)
(39)
P = B,2,(r, ^) e z)i,2, 丁 = 〃 干 0.
Отметим, что dV/д(р = O(||w||); поэтому при вычислении Е2 в линейном по w приближении величина Е屮 может быть отброшена. По этой же причине в (39) не учитывается величина (31/⑴/3丁产.
Итак, дифференцируя выражения для У^0^ (35) и V^ (36), получим в соответствии с формулами (39) выражения сил нормального давления:
Р = ^^ In-28тга? bР = ^^ In-28тга? bxx炉⑴ln£V几1 + ("。产
Р = ^^ In-2
8тга? b
Р = ^^ In-2
8тга? b
x
x
4万2。2- (b/Q 产
27r
x ］攸（力明cos几停一次d也+ 0（|®『）, о
(40)(40)Р = B,2(h，W(h 3)D， b = 61,2-
(40)
(40)
Элементы оболочки подвержены воздействию разности давлений; на основе (40) находим эту разность:
В —马=衿[in-2 肋-In-2 肋]+ P^-理)+ 0(||w||2). (41) 87га L Oi 02 J
Из (41) следует, что при w = 0 на оболочку действует радиальное распирающее или сжимающее давление в зависимости от соотношений между величинами а, 仇，匕2・ Если радиус а оболочки равен среднему геометрическому величин 仇，以 т. е. а = а* = V^i^2 , то указанное давление исчезает. Остается величина разности давлений, обусловленная смещением w относительно невозмущенного (равновес-
ного) положения г] = а. Далее, как правило, полагаем а = а* в (41); получим
•27rxE^;'•27rxE^;'R 一巳一—涧瓦汇In ^Х
•27r
xE^;'
•27r
xE^;'
仅(力喇 cos 几停—^) d^ + O(||w||2). (42)
Выражение (42) означает, что при а = а* на оболочку со стороны электрического поля действует сила параметрического типа: она линейна по смещению. Аналогичная ситуация имеет место в задаче о колебаниях проводящей плоской мембраны, расположенной посередине между двумя заземленными обкладками конденсатора, см. пп. 1-4.
Уравнения движения оболочки в переменном электрическом поле. Для вывода уравнений движения в форме Лагранжа вычислим работу W пондеромоторных сил на перемещении aw элементов оболочки в рассматриваемом приближении по w.
Согласно (41) или (42) получим интегральное представление для W:
27r27r
W = а2/ ] (Pi —巳加(力夕)dg = а2/ ](冃D — P^)w(t^ g) dg + O(||w||3). (43) о0
Двойное интегрирование произведения тригонометрических рядов по 次 g, содержащееся в (43), проводится элементарно с учетом свойств ортогональности систем тригонометрических функций на интервалах 0，次 g，27r. В результате получаются бесконечномерные квадратичные формы по Ап, Вп, аналогичные П (30):
71 = 271 = 2В) = -^ Хп⑴(/ + 琢)，。# а*,
71 = 2
71 = 2
产+ b* 产一bг产+ b* 产一bг]—2 ( Q、@2" + ^2П-1П]—2 ( Q、@2" + ^2П-1ПXn(t) = U2(t)n InXn(t) = U2(t)n In(44) =О?⑴Ъг・
产+ b* 产一bг
产+ b* 产一bг
]—2 ( Q、@2" + ^2П
-1П
]—2 ( Q、@2" + ^2П
-1П
Xn(t) = U2(t)n In
Xn(t) = U2(t)n In
Заметим, что знак коэффициентов Хп положителен, поскольку а < Ъ^- Подставляя а = а* = •仇匕2 , см. (42), имеем
羽⑴=2/1/2⑴球『2伯2/仇)a + bЖ -好尸・(45)
Отрицательная определенность формы W (15) означает, что при наличии электрического поля (относительного потенциала) любого знака происходит сжатие оболочки и уменьшение ее эффективной жесткости (см. ниже).
Таким образом, получены искомые выражения для кинетической энергии оболочки Т (26), потенциальной энергии упругости П (30) и энергии электрического поля W (44) в виде бесконечномерных квадратичных форм. На их основе могут быть выписаны счетномерные системы уравнений Лагранжа для обобщенных координат Ап, Вп,几=2, 3,.. . Они разделяются и имеют вид уравнений с пере-
менными коэффициентами:
4г + (片-成⑴)4г =0， 反г + (竭一以(力))з九=0，
(46) 成(力)=Хтг⑴(开0a3/)-1712m2 + 口-1, 几=2, 3,…
Частоты 幻九 определены в (32). Как и в случае свободных колебаний (32), параметрически возбуждаемая система (46) не зависит от длины оболочки /, поскольку коэффициенты Хп пропорциональны I. Отметим, что при 几》1 справедливы асимптотики 幻九〜几2, 〃九〜 у/п .
Существенный интерес представляет построение решений уравнений (46) в случае периодической функции U(t), т.е. уравнений типа Хилла или Матье [6, 12]. Весьма важным для приложений оказывается построение границ устойчивости этих колебаний для каждой из мод и, в первую очередь, для низших мод. Эти вопросы приводят к необходимости решения периодических краевых задач.
Исследование колебаний оболочки в случае периодического воздействия. Как отмечалось выше, система уравнений (46) обладает свойством независимости всех мод колебаний («ортогональность»). Рассмотрим подробнее важный частный случай периодической разности потенциалов вида
U(t) = 1/qcosQZ, Uq^ = const. (47)
Постоянная разность потенциалов. Пусть Q = 0 в (47), т. е. колебания оболочки происходят в постоянном электрическом поле. Вследствие воздействия пондеромоторных сил собственные частоты колебаний всех мод уменьшаются. Согласно (46) они вычисляются по формулам
^П = ^П -成(0)， 成(0) = Uo^aa^l^ynn2^2 + I)-1. (48)
Из (48) следует, что при достаточно большой разности потенциалов U& конечное число собственных частот может быть мнимым (Q^ < 0), а соответствующие моды будут экспоненциально нарастать во времени. Это означает, что круговая форма равновесия цилиндрической оболочки становится неустойчивой. В частности, для низшей моды 几=2 условие неустойчивости принимает вид неравенства:
黑 1П~2 偿)^^f〉1 (а* = (49)
Условие (49) по своей форме и физическому смыслу аналогично условиям неустойчивости равновесия в других задачах электромеханики: плоского равновесия проводящей мембраны, помещенной посередине между заземленными обкладками конденсатора, в электрическом поле, см. пп. 1-4; шаровой формы заряженной капли [7]; плоской поверхности проводящей стратифицированной жидкости в электрическом поле [13] и др.
Наличие линейной диссипации приведет к асимптотической устойчивости устойчивых мод колебаний, а экспоненциально неустойчивые моды останутся таковыми (конечно, если смещения не очень велики). Критические случаи требуют дополнительных непростых исследований с учетом нелинейности и других возмущающих факторов.
Отметим, что возможна экспериментальная проверка условия (49) возникновения неустойчивости круговой формы равновесия оболочки в электрическом поле. Основную техническую трудность представляет создание оболочки, обладающей достаточно малой жесткостью, чтобы обеспечить выполнение неравен-
ства (49) при достижимых в лабораторных условиях напряженностях электрического поля.
Параметрическая неустойчивость колебаний оболочки в переменном электрическом поле. Пусть П # 0; приведем уравнения (46) к стандартному виду уравнений Матье [6]. С этой целью введем безразмерные время т и параметры ап, /Зп:
, _ ^и^з 1-2 Ь； + 爲 _ 二—〃^(0)/2n Q2 7F67a*3Q2(n2 + 1)\61 / 62 — ^iQ2
2%=:以(0)a-2>0,几=2,3…・
Уравнения (46) с учетом обозначений (50) приводятся к канонической форме уравнений Матье [6] (точкой вновь обозначено дифференцирование по аргументу т)：
4г + («п - 2/?п cos2r)An = 0, Вп +(Qn - 2/3n cos2r)Bn = 0. (51)
Далее естественно предположить, что /Зп 《ап. Как следует из выражений (50), для достаточно больших п допущение справедливо, поскольку ап 〜 〜п* 13rl 〜п. Это допущение позволяет применить методы теории возмущений и найти условия, при которых происходит потеря устойчивости нулевого или любого другого решения уравнений (51). В малой окрестности резонансных значений параметров а^, /Зп, отвечающих основной и более высоким резонансным зонам, условия экспоненциальной неустойчивости на плоскости параметров «п, % имеют вид двусторонних неравенств [6]. Эти неравенства для первых четырех резонансных зон параметрических колебаний имеют вид (20); приведем их краткий анализ.
Левые и правые части неравенств представляются степенными рядами от /Зп в которых удержаны члены не выше четвертой степени. Эти неравенства определяют резонансные зоны возбуждения параметрических колебаний оболочки. Отметим, что их ширина имеет порядок /?3 где к = 1, 2,…означает номер зоны, т. е. становятся весьма узкими при k ^> 1, /Зп < 1.
Задание границ неустойчивости вблизи различных резонансных зон в форме приведенных двусторонних неравенств (20) может оказаться не очень удобным при больших п, поскольку /Зп —>(X)при 几一> оо. Поэтому вместо /Зп (50) предпочтительнее ввести параметры £九=^п/а аналогично п. 4.
Рассмотрим основную резонансную зону k = 1 (первое двустороннее неравенство (20)). В этой области значений параметров системы, имеющей ширину 2/Зп, происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний произвольной п-й моды. Частота колебаний близка к частоте Q изменения электрического поля; отличие составляет величину порядка /3九(50); инкремент нарастания амплитуды равен /Зп/2 [6].
Аналогичные результаты справедливы для зон более высоких порядков k》 》2. В этих зонах происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний с частотой, близкой kfL Ширина резонансной зоны, как отмечалось выше, а также отличие частоты от вынуждающей и инкремент нарастания амплитуды составляют величины порядка 隋.Амплитудные значения электрического поля будут также нарастать (см. формулы (36)-(38)).
Практически [8, 9] наиболее легко происходит параметрическое возбуждение колебаний в основной резонансной зоне k = 1 для низших мод п = 2,3,..., п*, где 几* «не очень велико». Для систем с распределенными параметрами имеется
экспериментальное подтверждение этому факту [13]. Отметим, что могут возбуждаться одна или несколько мод колебаний в различных резонансных зонах.
Выполнение условий неустойчивости (20) параметрических колебаний (51) приводит к неограниченному экспоненциальному росту амплитуды при t —> ±оо [6]. Этот недостаток объясняется неполнотой линейной модели, а также отсутствием учета диссипации. При наличии диссипации и нелинейности в системе устанавливаются стационарные колебания ограниченной амплитуды. Источниками нелинейности могут быть следующие факторы.
Наличие более высоких степеней w в выражениях для потенциалов 匕,2, т. е. учет геометрической нелинейности при расчете пондеромоторных сил электрического поля.
Физическая нелинейность материала оболочки, т. е. отклонения от закона Гука.
Учет геометрической нелинейности при расчете упругих сил, возвращающих элементы оболочки к положению равновесия.
Влияние одного или нескольких типов указанных выше и, возможно, других нелинейностей приводит к ограничению амплитуды параметрически возбуждаемых колебаний, а также к существованию периодических стационарных колебаний.
Выводы и замечания. На основе установленных и изложенных выше результатов показана возможность потери устойчивости положения равновесия упругой оболочки в постоянном электрическом поле. Имеются технические возможности для проведения лабораторных экспериментов с целью определения сдвига (уменьшения) собственных частот колебаний оболочки, помещенной в постоянное электрическое поле.
Существует принципиальная возможность параметрического возбуждения колебаний оболочки под действием переменного электрического поля. Технически наиболее простым представляется возбуждение главной моды (几=2) в зоне основного резонанса (к = 1) при соответствующем выборе параметров системы.
Изложенные выше результаты следуют, в основном, статьям [14, 15].
Рассмотренная задача о параметрических колебаниях оболочки в переменном электрическом поле может быть представлена, как и задача о мембране, в определенном смысле двойственной проблеме механического возбуждения электрического тока в некотором контуре. Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси показали [8, 9] на опыте, что посредством периодического изменения емкости удается возбудить электрические колебания большой амплитуды в контуре.
Задача о параметрических и вынужденных колебаниях цилиндрического конденсатора, состоящего из двух обкладок (твердого цилиндра и упругой оболочки), исследована в [16]. Учет взаимодействия оболочки с электрическим полем произведен в предположении малости расстояния между цилиндрами по сравнению с радиусом оболочки.
Решение задач электродинамики и электроупругости показывает, что в некоторых случаях должна быть изменена постановка краевых задач. Так, в задачах электростатики предполагается фиксированной форма тел, подверженных воздействию электрического поля. Это допустимо в тех случаях, когда деформацией тел под действием пондеромоторных сил можно пренебречь. В рассмотренных задачах пондеромоторные силы и силы другой физической природы (упругости, натяжения, гравитации) сравнимы по величине. Это обстоятельство приводит к необходимости формулировки самосогласованных краевых задач с неизвестной границей. Приближенное решение таких задач приводит к исследованию интегро- дифференциальных уравнений.
Список литературы
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. —М.: Наука, 1987. — 688 с.
Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: Изд-во иностр, лит., 1954.— 604 с.
Ландау Л. Д.、Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. 1982. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, — 623 с.
Янке 民，Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977. — 342 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. - 724 с.
Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. — М.: Изд-во иностр, лит., 1953. - 476 с.
Lord Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Scient. Papers Cambridge. 1900. V. 2. P. 90.
Мандельштам Л. И. Полное собрание сочинений. 1947. Т. 2. — М.: Изд-во АН СССР,— 396 с.
Мандельштам Л. И.、Папалекси Н. Д. О параметрическом возбуждении электрических колебаний. Журн. техн, физики. 1934. Т. 4. С. 5-29.
Стрэтт Дэю. В. (Лорд Рэлей) Теория звука. Т. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1940. — 500 с.
Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966. — 624 с.
Блакьер О. Анализ нелинейных систем. — М.: Мир, 1969.——400 с.
Нестеров С. В., Секерж,-Зенькович С. Я. Управление колебаниями неоднородной жидкости с помощью электрического поля // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265, № 3. С.564-566.
Акуленко Л. Д.、Нестеров С. В. Параметрические колебания мембраны в переменном электрическом поле // ПММ. 1994. Т. 58, Вып. 1. С. 95-102.
Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Параметрические колебания цилиндрической оболочки в переменном электрическом поле // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 2. С. 151-160.
Журавлев В.①.,Климов Д. М. Волновой твердотельный гироскоп. — М.: Наука, 1985. - 126 с.
ТЕСТИРОВАНИЕ КАЧЕСТВАПОЛУАВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИАЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА КАК ТРЕТИЙУРОВЕНЬ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИМИТАТОРОМ
В. В. Александрову С. С. Лемак
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
При использовании динамического имитатора в качестве тестирующего тренажера возникает необходимость в формировании третьего уровня управления имитатором. Действительно, любая система полуавтоматической стабилизации при наличии оператора в цепи управления может рассматриваться как система, имеющая два уровня управления. Для тестирования такой системы необходим динамический имитатор, система управления которым должна содержать три уровня. Рассмотрим более детально эту ситуацию для случая полуавтоматической стабилизации аэрокосмического полета.
Моделирование сенсорного конфликта невесомости. Для моделирования внутрилабиринтного и межанализаторного конфликта (рассогласования), аналогичного таковому при движениях в невесомости, нами разработан способ имитации условий космического полета и алгоритм его воспроизведения на стенде- тренажере ЦФ-18. Стенд ЦФ-18 представляет собой центрифугу с кабиной в кар- дановом подвесе (рис. 1). Консоль центрифуги может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через один конец консоли. На другом конце консоли находится карданов подвес. Внешнее полукольцо («вилка») карданова подвеса может поворачиваться вокруг продольной оси консоли, но в данном случае оно закреплено. Во внешнем полукольце перпендикулярно его оси вращения расположена горизонтально (в исходном положении) ось поворота внутреннего кольца. Во внутреннем кольце перпендикулярно его оси поворота находится ось поворота кабины. Начальное положение частей карданова подвеса изображено на рис. 1.
cos屮0-sin 屮010sin屮0cos屮cos屮0-sin 屮010sin屮0cos屮cosy -sinу О sin у cosy ОО 0 1cosy -sinу О sin у cosy ОО 0 111
cos屮
0
-sin 屮
0
1
0
sin屮
0
cos屮
cos屮
0
-sin 屮
0
1
0
sin屮
0
cos屮
cosy -sinу О sin у cosy О
О 0 1
cosy -sinу О sin у cosy О
О 0 1
1
1
Рис. 1
Пусть 次 7 — углы поворота внутреннего кольца и кабины соответственно от начального положения первого этапа из — угловая скорость вращения консоли. Переход от одной системы координат к другой осуществляется с помощью поворотов, представленных на рис. 1.
Один из возможных алгоритмов имитации заключается в переводе полукольца (вилки) карданова подвеса из горизонтального положения при имитации стартовых перегрузок в исходное вертикальное положение.
Ось внутреннего кольца в исходном положении вертикальна, и кольцо закреплено в течение всего этапа имитации орбитального полета. Ось поворота кабины в исходном положении горизонтальна и все три оси составляют ортогональный трехгранник. В течение всего этапа имитации орбитального полета консоль центрифуги вращается с угловой скоростью 幻=幻。+ o；i sin (2乃沙力),где max(gc-1 幻2/) = 0,1-0,4,沙=0J ♦ 0,3 Гц, а внешнее полукольцо и кабина поворачиваются по закону
2 7 2 7
где gc — вектор ускорения свободного падения на поверхности Земли, / — длина консоли.
Благодаря этому алгоритму в заданном диапазоне частот происходит изменение модуля и направления результирующего вектора перегрузки п = ——г (w — gc) при сохранении его ориентации в системе координат, связанной с кабиной, ортогонально фронтальной плоскости испытуемого. Здесь w — вектор абсолютного ускорения геометрического центра карданова подвеса. Таким образом, в данной ситуации практически отсутствует информация с отолитова аппарата и других анализаторов пространства об изменении положения на фоне раздражения полукружных каналов вестибулярной системы.
При этом с помощью разработанного алгоритма имитации постоянно отслеживается почти прямой угол между постоянно изменяющимся по направлению грави- тоинерционным вектором и фронтальной плоскостью человека. При отклонениях центробежного вектора от гравитационного в диапазоне, например, 0-20 градусов его велична изменяется в пределах 6% от исходного (т. е. колеблется в диапазоне 1,04-1,06 G). Учитывая, что человек в этих условиях находится в кабине центрифуги в положении «лежа» и 6-процентное изменение веса распределяется на относительно большую площадь опоры профилированного ложемента для головы, туловища, рук и ног, он не ощущает изменений ни величины, ни направления гравитоинерционного вектора. И это доказано экспериментально. В физиологическом аспекте в рассмотренных условиях моделирования раздражаются рецепторы полукружных каналов, что имеет место в условиях невесомости, но практически исключается информация с отолитов и других анализаторов пространственного положения об изменении направления гравитоинерционной «вертикали», что тоже имеет место в условиях невесомости, но до сих пор не моделировалось ни на одном из наземных стендов. Человек в рассмотренных условиях моделирования синхронно совершает маятникообразные колебания в 3-х взаимноперпендикулярных плоскостях и при этом на фоне раздражения рецепторов полукружных каналов не ощущает другими сенсорными системами перемещений в пространстве.
Из сравнения входных воздействий на Земле, орбите и центрифуге с управляемым кардановым подвесом видно, что механический стимул на орбите и на центрифуге при выбранном алгоритме имитации имеет один и тот же вид. Этот факт позволяет сделать утверждения о принципиальной возможности моделирования вестибуло-сенсорного конфликта в земных условиях на динамических стендах типа центрифуги с управляемым кардановым подвесом.
Для моделирования перераспределения жидких сред в направлении к голове
создается избыточное давление на нижнюю половину тела испытуемого. Для этого используется полускафандр, сохраняющий внешнее давление воздуха в нем
постоянным. Что касается верхней части тела испытуемого, то внешнее давление
изменяется благодаря системе регулирования давления воздуха в кабине. Для
Рис. 2Рис. 2нахождения наиболее рационального закона изменения давления в кабине была использована математическая модель перераспределения циркулирующей крови [2]. Путем математического моделирования при параметрах, приведенных в [2], и экспериментальной проверки был выбран закон изменения давления воздуха в кабине, представленный на рис. 2.
Рис. 2
Рис. 2
Таким образом, динамическая имитация орбитального полета заключается в имитации:
вестибуло-сенсорного конфликта невесомости;
перераспределения циркулирующей крови. Рассмотренная динамическая имитация условий
орбитального полета на центрифуге ЦФ-18 была апробирована с участием 11 космонавтов. При этом в течение 1 часа гемодинамические эффекты невесомости создавались полускафандром величиной 40 мм рт. ст., а при моделировании внут- рилабиринтного и межанализаторного сенсорного конфликта радиальный вектор колебался в диапазоне 0,05-0,6G с частотой 0,12 герц (диапазон колебаний тангенциального и суммарного вектора — производные от частоты и диапазона колебаний радиального вектора). Перед моделированием орбитального полета создавалась перегрузка по штатному графику выведения космического корабля «Союз-ТМ».
Способ показал близость индивидуальных субъективных и объективных реакций на реальные и моделированные условия космического полета, т. е. у 5 космонавтов отчетливые симптомы болезни движения (БД) были и в моделированных и в реальных условиях космического полета. У 5 космонавтов никаких признаков БД не было ни в космосе ни в условиях данной модели и у одного космонавта тоже не было БД ни в реальных ни в моделированных условиях, однако при сравнении в реальных условиях он чувствовал себя более комфортно, чем в моделированных. При этом переход от воздействия перегрузки к моделируемым условиям орбитального полета сопровождался иллюзией перевернутого вниз и назад (антиортоста- тического) положения, которая сохранялась у всех космонавтов в течение всего времени моделирования орбитального полета.
На основе изложенного выше тренажер для приобретения навыков по полуавтоматическому управлению космическими объектами должен состоять из:
центрифуги с кабиной в управляемом кардановом подвесе;
полускафандра;
динамического кресла с подвижной спинкой и подвижным сиденьем или установленным на подвижной по местной вертикали платформе;
монитора или специальных очков для визуальной имитации;
пульта управления космичеким модулем.
Базовое алгоритмическое обеспечение второго уровня управления движением такого тренажера состоит из следующих алгоритмов:
алгоритм имитации сенсорных нарушений в условиях микрогравитации;
алгоритм имитации линейных ускорений (с помощью подвижных кресла и платформы в кабине центрифуги);
алгоритм имитации перегрузок управляемого спуска космического аппарата с орбиты.
3 Проблемы механики
Алгоритмы акселерационной имитации по входной информации о полете должны в режиме реального времени вырабатывать информацию о желаемом (имитирующем) движении стенда. Таким образом, в процессе акселерационной имитации представлены натуральном виде сам имитационный стенд и система чувствительных масс пилота, а летательный аппарат представлен в виде математической модели. Перегрузки и угловые ускорения в любой точке головы и корпуса пилота необходимо воспроизводить на стенде с точностью до порогов чувствительности отолитова аппарата и полукружных каналов вестибулярной системы.
Управляемый спуск с орбиты отличается сложностью решения задач динамической имитации. При спуске КА происходит уменьшение скорости центра масс с первой космической до нуля при приземлении, и величины перегрузок здесь могут достигать 4-8 единиц. При этом, в отличие от этапа подъема на орбиту, проекции вектора перегрузки на все три оси системы координат, связанной с кабиной КА, не равны нулю и меняются во времени.
Задача имитации перегрузки на центрифуге с управляемым кардановым подвесом распадается на две задачи: имитации модуля вектора перегрузки и задачу ориентации вектора перегрузки в системе, связанной с кабиной.
На выходе блока интегрирования уравнений движения КА нам доступна информация о проекциях на оси, связанные с кабиной, вектора перегрузки n(t), возникающего в реальном полете. Требуемую угловую скорость вращения консоли центрифуги, обеспечивающую заданный модуль перегрузки п, можно найти из уравнения
絞+/=e)2從一口. ⑴
Заметим, что в земных условиях на центрифуге невозможно воспроизвести перегрузку с модулем |几(力)| < 1. В этом случае возможно имитировать только направление вектора реальной перегрузки при невращающейся консоли центрифуги.
Уравнение (1) не разрешено относительно старшей производной. В работе [1] показано, что при квазистационарной (медленно меняющейся) правой части возможно точно построить кусочно-дифференцируемое решение уравнения (1). Алгоритм имитации модуля перегрузки использует аппроксимацию решения (1), линейную относительно квадрата скорости вращения консоли / на каждом интервале шага имитации [^,力左+i]. Для расчета угловой скорости вращения 幻左 в дискретные моменты h необходимо на каждом шаге найти решение некоторого кубического уравнения, что возможно сделать в режиме реального времени.
После определения угловой скорости консоли требуемую ориентацию вектора перегрузки обеспечивают, управляя углами поворота карданова подвеса ценрифу- ги. Вообще говоря, для этого достаточно двух поворотов карданового подвеса. Для имитации перегрузок можно закрепить, например, «вилку» и найти требуемые углы поворота кольца и кабины. Однако во многих случаях такое решение приводит к очень большим изменениям углов поворота на шаге имитации, что вызывает большие паразитные угловые ускорения поворотов кольца и кабины, что может исказить картину имитации перегрузок. Поэтому алгоритмы имитации направления перегрузки используют все три угла поворота колец карданового подвеса, на каждом шаге решая задачу минимизации суммарного угла поворота подвеса. Эта задача сводится к задаче минимизации одномерной функции при наличии ограничений и тоже может быть с приемлемой точностью решена в реальном масштабе времени.
Таким образом, сформированы алгоритмы второго уровня системы управления центрифугой.
При этом предполагается, что первый уровень управления осуществляет стабилизацию или отслеживание имитирующих движений, построенных на втором уровне. Как правило, этот нижний уровень проектируется на этапе изготовления центрифуги и в дальнейшем нами рассматриваться не будет.
В программное обеспечение системы управления тренажером должен входить пакет программ по трехмерной анимации управляемого объекта. Однако использование только системы визуальной имитации космического полета не приводит к тем вестибуло-сенсорным нарушениям, которые имеют место на орбите. Это связано с тем, что механорецепторы организма оператора, находящегося на неподвижном тренажере, не испытывают механического стимула, и поэтому отсутствуют и вестибуло-глазодвигательные нарушения.
Таки образом, предлагается формировать тренажеры по визуальному управлению космическими объектами на базе центрифуги с управляемым кардановым подвесом. Система визуальной имитации при этом входит во второй уровень управления наряду с программным обеспечением, реализующим алгоритмы акселерационной имитации. Это программное обеспечение является по сути дела управляющей программой, формирующей выходную информацию об имитирующих движениях для соответствующих исполнительных органов динамического тренажера. На рис. 3 показана схема такой программы, разработанной в МГУ.
Тестирование качества и описание функциональной схемы управления динамическим имитатором. Пусть математическая модель возмущаемой динамики управляемого объекта имеет вид
у = f(y,u,v,t),沙伉)е К М・)е и,。卜)е к ⑵
Включения g(%o)eY, v Е V, 〃е(/ описывают ресурсы возмущений (начальных и постояннодействующих) и управлений. Предположим, что качество управления описывается функционалом J(〃(・)，о(・)，у(力о)). Требуется оценить в смысле функционала J качество управления. При этом считается, что алгоритм управления не известен. Имеется лишь возможность знать выходной сигнал системы управления, т. е. система управления является «черным ящиком». Кроме того, естественно предположить, что часть сенсоров системы управления, поставляющих информацию о движении объекта, расположена внутри черного ящика. Это предположение приводит к необходимости создания условий для функционирования сенсоров, аналогичных условиям реального движения. Обычно это осуществляется с помощью имитационного динамического стенда (ИДС).
В данной работе рассматривается визуальное управление движением космических объектов, когда космонавт выполняет функции пилота или оператора. В случае операторного управления имеется в виду ситуация, когда космонавт находится на орбитальной станции и осуществляет визуальное управление космическим манипулятором, перемещающимся космическим модулем или их комбинацией.
В случае полуавтоматического управления имеется в виду визуальное управление движением космического объекта, на котором находится космонавт. Например, это ручное управление спуском космического аппарата с орбиты, управление устройством для спасения космонавта.
Имитацию движения управляемого космического объекта естественно разделить на акселерационную и визуальную. Визуальная имитация движения управляемого объекта заключается в анимации соответствующей графики на мониторе или специальных очках. Акселерационная имитация движения объекта, на кото- з*
УПРАВЛЯЮЩАЯ ПРОГРАММА
Программавыведенияна орбиту
Имитациямодуля перегрузки
Имитация ориентациивектора перегрузки
Имитациясброса ступени
Программавращения консоли
Программаимитацииневесомости
Программа поворотакардонова подвеса
Программа изменения давления в скафандре
819—Ф1!
Динамика спуска и посадки
ОК^Я2«5ЙНООО Q目 РН йно§и KsnsgoImoxQB
Сигналы ОСс поста управления
Алгоритм управления консолью
Медленныеповороты[карданов^ подвеса
Быстрыеповоротыкарданова подвеса
Алгоритм управления платформой
Алгоритм управления креслом
Рис. 3
ром находится космонавт, осуществляется на ИДС, имеющем соответствующую кинематическую схему. Для имитации управляемого движения в космосе наиболее подходящим является ИДС типа центрифуги с кабиной в управляемом кардановом подвесе.
В состав ИДС входят: центрифуга с кабиной в управляемом кардановом подвесе; полускафандр; динамическое кресло, имеющее подвижную спинку и подвижное сиденье или установленное на подвижной платформе; монитор или специальные очки для визуальной имитации; пульт управления космическим объектом (рис. 4).
Если космонавт является только оператором, то осуществляется акселерационная имитация движения того объекта, на котором он находится (например, орбитальная станция). Визуальная имитация при этом соответствует управляемому им объектом (например, дистанционное управление космическим модулем).
Включения g(%o) С У v Е V находятся в распоряжении тестирующей системы (или инструктора). Таким образом, можно говорить о тестирующей системе как о третьем уровне управления движением ИДС. Причем третий уровень имеет возможность влиять на второй уровень управления ИДС в том смысле, что формирует информацию о начальных и постояннодействующих возмущениях, что
Рис. 4
приводит к изменению в динамике имитируемого объекта. Кроме того, система тестирования, являющаяся третьим уровнем управления ИДС, осуществляет соответствующую коррекцию и системы визуальной имитации. Если космонавт является оператором, то в распоряжении системы тестирования остается система визуальной имитации для корректировки движения управляемого объекта и система акселерационной имитации (ИДС) для корректировки движения объекта, на котором находится оператор (например, орбитальной станции).
Рис. 5
Приведенные рассуждения можно представить в виде (рис. 5) функциональной схемы тестирующего динамического тренажера (ТДТ), имеющего трехуровневую систему управления. (Первый уровень, осуществляющий стабилизацию или отеле-
живание имитирующего движения здесь не рассматривается). При этом сам ТДТ можно рассматривать как биомехатронную систему, состоящую из:
ИДС с 3-уровневой системой управления движением;
космонавта в полускафандре;
динамического кресла (возможно с подвижной платформой);
системы визуальной имитации.
В случае контроля качества визуального управления, осуществляемого космонавтом-оператором, кроме математической модели (2) необходимо также математическое описание динамики космического объекта, на котором находится космонавт-оператор.
Дадим теперь постановку задачи максиминного контроля качества визуального управления движением. Под задачей максиминного контроля будем понимать задачу, состоящую из трех подзадач или этапов.
1-й этап — нахождение нижней (наилучшей) оценки качества управления и оптимальной контрстратегии поведения внешних возмущений g(%o) С У и о(・)С G V с помощью компьютерного решения максиминной задачи
^u^EUJ(w, 〃)т sup^(.)ew，
где w =(。卜),д(%о)), W = V xY.
2-й этап — тренировки космонавта на ТДТ при реализации стратегии тестирования, использующей найденную на первом этапе оптимальную контрстратегию возмущений, и определение реальной оценки качества управления.
3-й этап — сравнение наилучшей и реальных оценок и выработка рекомендаций с использованием нейрофизиологических тестов по дальнейшим тренировкам.
Рассмотрим более детально характеристики 1-го, 2-го и 3-го этапов.
Первый этап. Определим множества Ug, Wo таким образом, что множество U С Uq, a Wq С W и существуют седловая точка и цена (например, в силу теоремы Н.Н. Красовского) динамической игры
тах^бем minu^eUo J(〃(•)，w(-))=
=min〃(.)euo maxw(.)eVVo J(tz(-), w(-))=
=J(u°(y,t),w°(%y,t)) = J。. (3)
Цена игры (3) Jo является нижней оценкой точности стабилизации для любого тестирующего управления й поскольку
Jo = J(w°,< min J(u, w°) = J(u, w°) = J.
〃(・)eu
Значит, J。一 нижняя оценка — является наилучшей оценкой, позволяющей осуществить сравнение с результатом J реального управления. Таким образом, на первом этапе получаем наилучшую оценку (цену игры 九)и оптимальную контрстратегию w°(u, у, t) поведения возмущений. Если U = Uq и W = Wq, то найденную контрстратегию можно применить на втором этапе, при этом наличие возможной дискриминации, заключающейся в использовании тестирующей системой информации об управлении и и координатах у, является естественным фактом для задач гарантированного контроля с помощью ТДТ. Такую оценку назовем «мягкой» оценкой тестирования — она получается путем сравнения с отличным результатом 死* =迎• 10.
Если же мы не имеем совпадения множеств U = Uq и W = Wo или (и) отсутствует седловая точка, то найденное значение Jq по прежнему можно использовать как наилучшую оценку. Для нахождения стратегии тестирования необходимо в этом случае решать задачу экстремального синтеза:
Jo = max。” min〃euo 丿(％。)，min〃eu max。” J(〃,。)，max。” J(〃,。)= Jma^.
Сравнивая с отличным результатом Jo? получим оценку «жесткого» тестирования
J。
死* = f - • 10 ' 死*,
поскольку ，几 a J，Jmax.
Второй этап — этап тестирования — осуществляется непосредственно на ТДТ (рис. 4) в соответствии со схемой (рис. 6).
Рис. 6Рис. 6
Рис. 6
Рис. 6
Алгоритм тестирования при наличии седловой точки заключается в реализации оптимальной контрстратегии поведения возмущений, действующих на управляемый объект.
Назовем их внешними возмущениями. Под внутренними возмущениями будем понимать погрешности сенсоров системы управления объектом. Внутренние возмущения, присущие сенсорам, находящимся в «черном ящике» (например, механорецепторы космонавта), реализуются благодаря имитирующим движениям ТДТ, так как критерием формирования этих движений в реальном времени является минимизация рассогласования реакции сенсоров на стенде и в реальном движении. При наличии сенсоров, находящихся вне «черного ящика», т. е. имеющих известные математические модели функционирования, может быть поставлена и решена задача о нахождении наихудших инструментальных погрешностей этих сенсоров.
На втором этапе одновременно с тестированием происходят тренировки космонавтов. Их повторения позволяют собрать статистику для вероятностной оценки качества управления, как точечной, так и интервальной.
III этап (заключительный) — это этап сравнения результатов, полученных на первых двух этапах по десятибальной или стобальной шкале:
〃 =% • 10J〃 =% • 10J
〃 =% • 10
J
〃 =% • 10
J
死一точечная оценка качества управления. При наличии стохастических возмущений дополнительно осуществляется сравнение с интервальной оценкой. При необходимости для улучшения интервальной оценки осуществляются повторные тренировки и проводится нейрофизиологическое тестирование. Таким образом, решение задачи максиминного контроля качества заключается в реализации трех этапов:
получение нижней (наилучшей) оценки и оптимальной контрстратегии поведения возмущений;
тренировки и тестирование на ТДТ;
сравнение наилучшей оценки с точечной и интервальными оценками, полученными на втором этапе и выработка рекомендаций.
Список литературы
Александров В. В., Воронин Л. И.、Глазков Ю. Н., Ишлинский А. Ю., Садовничий В. А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмичесих полетов. — Изд. Моск, ун-та, 1995. — 158 с.
Корнилова Л. Н. Вестибулярная функция и межсенсорное взаимодействие в условиях измененной гравитации. Дисс. на соискание ученой степени доктора медицинских наук. — М., 1998.
Садовничий В. А., Александров В. В., Александрова Т£., Астахова Т. Г., Мамасуе- ва Ю. О., Воронин 〃.//., Мамасуев А. Н. Математическое моделирование физиологических систем и динамическая имитация сенсорного конфликта невесомости // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, Вып. 1. С. 129-149.
Садовничий 5.4., Александров В. В., Воронин Л. И.、Лемак С. С. Тестирование качества визуальной стабилизации космических объектов на динамическом стенде с трехуровневой системой управления // Математические вопросы кибернетики, 10, 2001. С. 35-44.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙКОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫИЗ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
М. Александров
Институт проблем механики РАН
Механика контактных взаимодействий деформируемых тел постоянно находится в центре внимания исследователей. Это объясняется тем, что все механизмы и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, а распределение контактных усилий между этими деталями заранее неизвестно и может быть найдено лишь в результате решения специфических задач, которые называются контактными задачами. Определение закона изменения контактного давления по области контакта позволяет затем сформулировать граничные условия в напряжениях на поверхностях тел и заняться решением более простых задач по определению НДС внутри взаимодействующих тел.
Здесь впервые рассмотрена плоская контактная задача для упругой полосы, изготовленной из несжимаемого материала и защемленной по основанию.
Постановка задачи. Пусть упругая полоса (|ж| < схэ, 0 ^ у ^ h) изготовлена из несжимаемого материала (коэффициент Пуассона 〃 = 1/2) и жестко защемлена по основанию у = 0. Как известно [1, 2], плоская (плоская деформация) задача о вдавливании штампа в такую полосу сводится к определению контактного давления q⑺ из следующего интегрального уравнения:
j q{^^^~ x}d^ = ^G6(x)(岡，а),(1)
K(g)= f迎^产沙拓，⑵
sh 2〃 — 2〃ch 2〃 + 1 + 2〃2
Здесь а — полудлина линии контакта, G — модуль сдвига, 6⑺—осадка поверхности полосы в области контакта. Функция L(u) вида (3) ведет себя в нуле и на бесконечности следующим образом:
L(〃)=鼻炉-+ о(〃7),(4)
LW = 1 + О(е-2 岡).
На основании свойств (4) функции L(u) можно показать [1, 2], что ядро (2) интегрального уравнения (1) представимо в форме
K(g) = 2[—ln|g| + F(y)],K(g) = 2[—ln|g| + F(y)],(5)(5)
K(g) = 2[—ln|g| + F(y)],
K(g) = 2[—ln|g| + F(y)],
(5)
(5)
где функция R(g) непрерывна со всеми производными при |g|，R < оо.
На основании представления (5) ядра К(д) можно показать [1, 2], что общее решение интегрального уравнения (1) имеет структуру
⑹
где функция 幻(力)удовлетворяет условию Гельдера при \х\ < а с показателем 0 < < q ^ 1, если функция 6 ⑺ такова, что ее производная удовлетворяет условию Гельдера при \х\ < ас показателем а < /3 < 1.
Решение для относительно толстой полосы. Введем в рассмотрение безразмерный геометрический параметр X = h/a и будем предполагать, что А》2 (относительно толстая полоса).
Общее решение для этого случая дается формулами [1, 2]
1+"(Н)+礬小詳訂卜1+"(Н)+礬小詳訂卜2G不7 & 一/22G不7 & 一/2
1+"(Н)+礬小詳訂卜
1+"(Н)+礬小詳訂卜
2G
不7 & 一/2
2G
不7 & 一/2
-^[2a2(623 - 6力% + 2力产-2жa2 + 3力a2) + 2a；力a, } d力 + 0-^[2a2(623 - 6力% + 2力产-2жa2 + 3力a2) + 2a；力a, } d力 + 0，⑺，⑺
-^[2a2(623 - 6力% + 2力产-2жa2 + 3力a2) + 2a；力a, } d力 + 0
-^[2a2(623 - 6力% + 2力产-2жa2 + 3力a2) + 2a；力a, } d力 + 0
，⑺
，⑺
- 匚*9a2сР= 1п2А + а0 + ^-^ + ^ + О- 匚*9a2сР= 1п2А + а0 + ^-^ + ^ + О6(t) dt6(t) dt
- 匚*9a2с
Р= 1п2А + а0 + ^-^ + ^ + О
- 匚*9a2с
Р= 1п2А + а0 + ^-^ + ^ + О
6(t) dt
6(t) dt
Здесь Р — вдавливающая сила, определяемая интегралом
⑻⑻p= j代)纥
⑻
⑻
Постоянные а。，肉 и g имеют вид
а。а。、е~и — [1 — L(u)]о、е~и — [1 — L(u)]оdu = -0,976 437,du = -0,976 437,
а。
а。
、е~и — [1 — L(u)]
о
、е~и — [1 — L(u)]
о
du = -0,976 437,
du = -0,976 437,
ОО
a1 =a1 =⑼⑼-][1-L(咖 d〃= 1,023 603,
a1 =
a1 =
⑼
⑼
о
。2 =-書][1 - L(u)]u^ du = —0,391620.о
Вырожденное решение для относительно тонкой полосы. Теперь будем предполагать, что А，2 (относительно тонкая полоса). Построим вырожденное (проникающее) решение задачи при малых значениях А.
Проинтегрируем уравнение (1) дважды по х. Будем иметь
j q(£)M(£ - 力)d£ = -4тгС/(ж)(岡，а),(10)
J а，J а，〃力)=j b(£)(c —£)d£ + Co + ac.〃力)=j b(£)(c —£)d£ + Co + ac.(И)(И)
J а，
J а，
〃力)=j b(£)(c —£)d£ + Co + ac.
〃力)=j b(£)(c —£)d£ + Co + ac.
(И)
(И)
Заметим, что в силу (5) ядро М(у) вида (11) представимо в форме
М(у) = 2似2 in ^1 _ G(y)], G〃(g) = R(g),(12)
а относительно общего решения интегрального уравнения (10) можно утверждать, что оно имеет структуру [3, 4]
03)=(。2 一С2)3/2,(13)
где функция 口 ⑺ такова, что ее производная удовлетворяет условию Гельдера при \х\ < ас показателем а < /3 < 1.
При А —> 0 ядро М(у) вида (11) принимает форму
м(у) = ^7T 无 36匂)，(14)
где 6(g) — дельта-функция. Тогда вырожденное решение задачи при малых значениях А имеет вид
理(力)=-庐 "力)•(15)
Постоянные Со и Ci в выражении /(ж) должны быть найдены из условий, что решение в форме (13) имеет структуру (6), т. е. из условий
П(土а) = 0.(16)
Главный член асимптотики решения для относительно тонкой полосы. Построим решения типа погранслоя при малых значениях А в окрестностях точек 力=±а.
Произведем в интегральном уравнении (10), (11) следующие замены:
(17)(17)а 土еa 土 £
(17)
(17)
力=丁, 丁二丁
а = а瓦Qi,2(t) = q(土无т =F а),九,2⑴=/(土配=F。)・
Устремляя затем А к нулю, получим следующие интегральные уравнения для определения решений типа погранслоя:
(18)(18)、九2⑺加j 曾e±зi)du =-響九2⑴(0 '力• О—оо
(18)
(18)
Решения уравнений (18) могут быть найдены методом Винера-Хопфа [5]. После этого главный член асимптотики решения задачи при малых значениях А может быть представлен в форме [1, 2]
a + 力、 f а — х\ 一"。(吟
Можно показать, что функции 九2 ⑴ в (19) будут иметь вид
也2(力)=②,2⑴广3/2,(20)
где функции fh,2⑴ таковы, что их производные удовлетворяют условию Гельдера при 0,力，R<ooc показателем а ^ ^ ^ 1. Тогда для определения постоянных Со и С] в представлении (11) функции /(ж) будем иметь условия
Qi(0) = a2(0)= 0.(21)
Пример. Рассмотрим случай вдавливания в полосу штампа с плоским основанием 6(力)三 b = const. Формулы (7) очевидным образом упрощаются (не приводим).
В силу симметрии относительно точки 力=0
/(ж) = 622/2 + 0,(22)
и вырожденное решение согласно формуле (15) имеет вид
4о⑺=-需(g*2 +。) •(23)
С целью получения аналитических выражений для qi,2(力)аппроксимируем функцию L(u) согласно асимптотическим формулам (4) выражением
(〃) =\,(24)
‘丿(层+ 42)人2 +炉，卜丿
где А = 0,761 310, В = 2,588 024. Погрешность этой аппроксимации не превосходит 23 % при всех 0，〃 < оо.
Условия (21) приводят к соотношению
0=—(1 +0n +02入2),(25)
Q =Q =23 + 4АВ23 + 4АВ02 =02 =4В - А4АВ24В - А4АВ2
Q =
Q =
23 + 4АВ
23 + 4АВ
02 =
02 =
4В - А4АВ2
4В - А4АВ2
Решение типа погранслоя дается формулами
41 ⑴=羹⑴=q*⑴=-^ (^ + 0 q⑼⑴ 一 Shaq^\t) + *q⑵⑴
о о q-8±
(26)(26)产⑴= |e" + |^，^)W = |ierf(Vm)+ ^L(|i-AY
(26)
(26)
27不Bt48，
q(2\t) = erf (^Bt) (I俨q(2\t) = erf (^Bt) (I俨27\ e~Bt /3 2"8B2^ A2 \
q(2\t) = erf (^Bt) (I俨
q(2\t) = erf (^Bt) (I俨
где erf (ж) — интеграл вероятности.
Главный член асимптотики решения при малых значениях А будет иметь вид
q⑺=q* (彳+ q* 一 "。⑺•q⑺=q* (彳+ q* 一 "。⑺•(27)(27)
q⑺=q* (彳+ q* 一 "。⑺•
q⑺=q* (彳+ q* 一 "。⑺•
(27)
(27)
Нетрудно убедиться, что решения типа погранслоя q*[(a + c)/川 и q^{a — ж)/Д] автоматически сращиваются при удалении от точек с = ±аиА—>0с вырожденным решением (23).
Пользуясь вырожденным решением (23), (25) найдем для случая относительно тонкой полосы связь между вдавливающей силой Р и осадкой штампа 6 по формуле (8). Имеем
Р = ^^ (I + °" + °2》2) • (28)
Список литературы
Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 456 с.
Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1986. — 175 с.
Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. — М.: Наука, 1982. — 343 с.
Зеленцов В. Б. О решении некоторых интегральных уравнений смешанных задач теории изгиба пластин // ПММ. 1984. Т. 48, Вып. 6. С. 983-991.
Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: ИЛ, 1962. — 280 с.
СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОДНОЙ МОДЕЛИПЛАСТИЧНОСТИ С УСЛОВИЕМ ТЕКУЧЕСТИ,ЗАВИСЯЩИМ ОТ СРЕДНЕГО НАПРЯЖЕНИЯ
Е. Александров
Институт проблем механики РАН
Введение. Поведение решений теории пластичности вблизи поверхностей трения, на которых удельные силы трения при скольжении равны пределу текучести при чистом сдвиге (условие максимального трения), обладает рядом характерных особенностей, которые, с одной стороны, могут приводить к трудностям при решении краевых задач, а с другой стороны, могут быть использованы для описания физических процессов в тонких слоях вблизи поверхности трения. По- видимому, первое исследование поведения решений в окрестности поверхностей максимального трения было выполнено в [1]. В этой работе была рассмотрена плоская деформация идеальножесткопластического материала, и анализ был основан на методе характеристик. Из результатов этой работы следует, что вблизи поверхности трения сдвиговая скорость деформации (в системе координат, связанной с поверхностью трения) и эквивалентная скорость деформации стремятся к бесконечности обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до поверхности трения. Такое поведение поля скорости может быть получено из непосредственного анализа многих аналитических решений, начиная с известной задачи Прандтля (решение этой задачи можно найти в любой книге по теории пластичности, например [2]). Такое же поведение поля скоростей имеет место в осесимметричных решениях. Одно из наиболее известных решений — течение в бесконечном сходящемся канале [3]. Однако в случае осесимметричной деформации уравнения, вообще говоря, не являются гиперболическими (за исключением теории, основанной на условии текучести Треска, и других подобных теорий), хотя изолированные характеристические поверхности могут существовать [4]. Вследствие этого подход, развитый в [1], не мог быть применен для осесимметричных и пространственных задач. В [5-8] был использован другой подход для асимптотического анализа поля скоростей вблизи поверхностей максимального трения для различных условий течения и гладких условий текучести. Во всех этих работах получено, что закон поведения эквивалентной скорости деформации такой же, за исключением некоторых частных случаев, как и при плоской деформации. В [9] аналогичный результат был получен для осесимметричного течения материала, подчиняющегося условию текучести Треска.
Изменение модели идеальножесткопластического материала может качественно изменить поведение решений вблизи поверхности максимального трения. В частности, при использовании многих общепринятых моделей вязких, вязкопластических и жесткопластических упрочняющихся тел режим проскальзывания не может существовать [10-12]. Сингулярность поля скоростей в этом случае пропадает, но в вязкопластических телах может появляться пограничный слой [13]. Однако при использовании модели двойного сдвига [14], которая является одним из обобщений модели идеальножесткопластического материала на несжимаемые
материалы, условие текучести которых зависит от среднего напряжения, сингулярность поля скоростей сохраняется и имеет точно такой же вид, как и в теории идеальножесткопластического тела. Такой результат для случая плоской деформации был получен в [15, 16], а частные аналитические решения, из которых также следует сингулярность поля скоростей, в [17, 18]. Необходимо отметить, что первая модель жесткопластических несжимаемых материалов, условие текучести которых зависит от среднего напряжения, включающая кинематику, была предложена А. Ю. Ишлинским [19]. Обзор пластических моделей с условием текучести, зависящим от среднего напряжения, приведен в [20]. В частности, в этой работе отмечается модель Хилла, которая является некоторым обобщением модели [19]. При выполнении условия максимального трения качественное поведение решений о сжатии слоя между шероховатыми параллельными плитами и о течении материала через плоский бесконечный сходящийся канал, основанных на модели Хилла, было исследовано в [16] и показано, что имеются существенные различия с решениями [17, 18], полученными по модели двойного сдвига [14]. В предельном случае обе модели материалов сводятся к классической модели теории идеальножесткопластического тела. В этом предельном случае качественное поведение решения такое же, как при применении модели [14]. Необходимо отметить, что в рамках модели Хилла качественное поведение двух решений (сжатие между плитами и течение в канале) значительно различается. Кроме того, при построении решений этих задач не все краевые условия выполняются точно. В связи с этим представляет интерес найти решение, свободное от этого недостатка, и сравнить его с решением по модели [14]. Такое решение предлагается в публикуемой работе.
Можно отметить несколько областей возможного применения сингулярных решений. Известно, что вблизи поверхностей трения возникает тонкий слой, в котором достигаются очень высокие скорости деформации и формируется специальная структура материала, значительно отличающаяся от его структуры в основном объеме [21-23]. Возможный метод описания поведения материала в таких тонких слоях, в основном относящийся к анализу разрушения, был предложен в [24]. В этой же работе разобраны некоторые известные аналитические решения, которые не имеют физического смысла при использовании закона максимального трения (и других достаточно близких законов) из-за того, что первоначальные предположения не учитывают особенностей качественного поведения точных решений вблизи поверхности максимального трения. Численные решения, которые не принимают во внимание характер поведения точного решения [22, 25, 26], также встречают значительные трудности и не способны предсказать высокие градиенты скоростей и свойств материала вблизи поверхностей максимального трения, которые имеют место в действительности. С другой стороны, учет сингулярного характера поля скорости в простых оценочных расчетах позволяет повысить их точность и развить систематический метод для использования таких полей [27-32].
Постановка задачи. Рассмотрим сжатие слоя материала между наклонными плитами, вращающимися вокруг общей оси с угловой скоростью 幻(рис. 1). Предполагается, что течение плоское, сток в точке О отсутствует, а на поверхности плит действует закон максимального трения. Для модели двойного сдвига [14] решение задачи в такой постановке было получено в [16] и показано, что при проскальзывании эквивалентная скорость деформации вблизи поверхности трения подчиняется закону
⑴⑴50(宀.
⑴
⑴
Здесь s — расстояние до поверхности трения. В полярных координатах тН модель Хилла описывается следующей системой уравнений:
a(Trr 1 а(Тг0 <7гг ——<7仆仆 八dr г 3"г'a(Trr 1 а(Тг0 <7гг ——<7仆仆 八dr г 3"г'бот"1 дсг^^дгг а”бот"1 дсг^^дгг а”⑵⑵(о>г + сг少少)sing +(о>г + сг少少)sing +[(сг“ - СГ少少)2 + 4сг" / = 2k cos 3,[(сг“ - СГ少少)2 + 4сг" / = 2k cos 3,⑶⑶
a(Trr 1 а(Тг0 <7гг ——<7仆仆 八
dr г 3"г'
a(Trr 1 а(Тг0 <7гг ——<7仆仆 八
dr г 3"г'
бот"1 дсг^^
дгг а”
бот"1 дсг^^
дгг а”
⑵
⑵
(о>г + сг少少)sing +
(о>г + сг少少)sing +
[(сг“ - СГ少少)2 + 4сг" / = 2k cos 3,
[(сг“ - СГ少少)2 + 4сг" / = 2k cos 3,
⑶
⑶
⑷⑷(5)(5)
⑷
⑷
(5)
(5)
ди и 1 dvдг г г 3"
Рис. 1Рис. 1⑼⑼
Рис. 1
Рис. 1
⑼
⑼
Здесь (2) — уравнения равновесия; (3) — условие текучести; (4) — уравнение несжимаемости; (5)——условие соосности тензоров напряжений и скоростей деформации; о”,。少少,сгг^ — компоненты тензора напряжений в системе координат тН;
%。一 проекции вектора скорости на направления г и Н соответственно; ^ — угол между максимальным главным напряжением и осью г, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки; k = const — коэффициент сцепления; g = const — угол внутреннего трения. При д = 0 система уравнений (2)-(5) сводится к уравнениям плоской задачи теории идеальной пластичности. При к = 0 система уравнений (2)(5) сводится к уравнениям модели А. Ю. Ишлинско- го [19].
Ввиду симметрии будем рассматривать только область 0，Н，Но (рис. 1), где Но — половина угла раствора плит. Краевые условия на оси симметрии имеют вид
bt少=。， (6)
⑺⑺о = 0
⑺
⑺
при Н = 0. Условие максимального трения для выбранной модели материала принимает форму
吵=J⑻
при Н = %. Кинематическое краевое условие на этой поверхности имеет вид
о = —зт
при Н = Но.
Решение для напряжений. Решение для напряжений полностью аналогично решению, полученному в [16]. В частности, условию текучести (3) можно удовлетворить подстановкой
ctg д — 丁 ①屮,仇)(1 _ cos 2^ sin g),sin cp
——=ctg 夕^ (1 + cos 2w sin 夕),
кsm3'
кк=严Ф (吹 Но) sin 2吹 Ф 侬,Но)》0.=严Ф (吹 Но) sin 2吹 Ф 侬,Но)》0.(Ю)(Ю)
к
к
=严Ф (吹 Но) sin 2吹 Ф 侬,Но)》0.
=严Ф (吹 Но) sin 2吹 Ф 侬,Но)》0.
(Ю)
(Ю)
Здесь Ф 侬，％) — произвольная функция 也 и %. Направление течения материала предполагает, что удельные силы трения т/ направлены так, как показано на рис. 1. Поэтому из (10) следует, что ^ ^ 0 и, таким образом, условие (8) должно быть переписано в виде
(П)(12)(13)(14)(П)(12)(13)(14)^ = —тг/4
(П)
(12)
(13)
(14)
(П)
(12)
(13)
(14)
при Н = %. Условие (6) принимает форму
= 0
при Н = 0. Подставляя (10) в уравнения равновесия (2), получаем
Ф = Фо [2 Iтcos2 g — 2sin2 g — 2sin geos2叫广〃,
д^ _ m cos2 屮一2 sin2 屮一2 cos 2吵 sin 屮3"2 sin cp (sin cp + cos 2-0)*
Здесь Фо и m зависят от 比.Решение уравнения (14), удовлетворяющее краевому условию (11), имеет вид
H = 2sing 2——(sin” ^~ c°s2z) dz ^0-(15)
J cos 屮一2 sin 屮一2 sin 屮 cos 2z)
—7t/4
Рис. 2Рис. 2Подстановка условия (12) в (15) приводит к уравнению для определения т:
Рис. 2
Рис. 2
% = —2 sin g х
о
fsin 夕 + cos 2z,
x 2 dz.
J m cos 屮一2 sin 屮一2 sin 屮 cos 2z
—7t/4
(16)
Результаты численного решения уравнения (16) иллюстрируются на рис. 2, на котором показана зависимость т от % для разных значений g (1 — g = 0,1; 2 — g = 0,2; 3 — g = 0,3; 4 — —3 = 0,4).
Решение для скоростей. Представим поле скоростей в виде
〃=号 dg*"。), v = —3Tg3，®u).(17)
Здесь g 侬，％) — произвольная функция ^ и %. Можно проверить, что (17) удовлетворяет уравнению несжимаемости (4), а краевые условия (7) и (9), с учетом (15) и (16), принимают форму
g = 0(18)
при = 0 и
g = 1(19)
при ^ = —тг/4. Подставляя (17) в (5), получим
cos 2 也 ^ — 2 sin 2也薦=0.(20)
Введем новую функцию
G =駕.(21)
Подстановка (21) в (20), с использованием (14), дает
dG _4 sin 屮 tg 2吵(sin 屮 + cos 2吵) ,,
G (m, cos2 屮一2 sin2 屮一2 cos 2吵 sin 屮)
Интегрируя это уравнение, получим
М 乒=4sing f 7—Jg2z(si\3 + cos2z)——化3)
GoJ (m cos'屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2z)
—7t/4
где Go — произвольная функция %. Тогда, используя (14) и (21), найдем
g = 2Go sin 夕g = 2Go sin 夕(sin 屮 + cos 2吵)义
g = 2Go sin 夕
g = 2Go sin 夕
(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2ж)
—7г/4
х exp 4sing f 2电2“ (si* + cos2z) (24)
J (m cos2 屮一2 sin 屮一2 sin 屮 cos 2z) J
—7t/4
Решение (24) удовлетворяет краевому условию (19). Величина Go может быть определена из численного решения следующего уравнения, которое получается после подстановки д = 0ит^ = 0в (24), что соответствует краевому условию (18):
2Go sin 夕2Go sin 夕—7г/4—7г/4(sin 屮 + cos 2吵)(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2ж)(sin 屮 + cos 2吵)(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2ж)XXx exp 4 sin 夕-7t/4x exp 4 sin 夕-7t/4tg 2z (sin 屮 + cos 2z)tg 2z (sin 屮 + cos 2z)(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2z)(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2z)dz dx = — 1.dz dx = — 1.
2Go sin 夕
2Go sin 夕
—7г/4
—7г/4
(sin 屮 + cos 2吵)
(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2ж)
(sin 屮 + cos 2吵)
(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2ж)
X
X
x exp 4 sin 夕
-7t/4
x exp 4 sin 夕
-7t/4
tg 2z (sin 屮 + cos 2z)
tg 2z (sin 屮 + cos 2z)
(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2z)
(m cos2 屮一2 sin2 屮一2 sin 屮 cos 2z)
dz dx = — 1.
dz dx = — 1.
Анализ решения вблизи поверхности трения. При ^ —> —тг/4 уравнение (22) можно переписать в виде
普=｛荐词+。№ + *T卜次(25)
где
2 sin2 9?,、
а ……(26)
Из (25)следует
G = Go(^+^T(27)
при ^ —> —тг/4. Из (14) найдем
寫=一a+。(1)(28)
при ^ —> —тг/4. Подставляя (27) и (28) в (21), с учетом (14), получим
器一号(29)
при ^ —> —тг/4. Интегрируя (29), найдем
g = -+(3。)
при ^ —> —тг/4. Решение (30) удовлетворяет краевому условию (19), если
(31)(31)а + 1〉0.
(31)
(31)
Если а + 1 < 0, то условие (19) не может быть выполнено и, таким образом, решения не существует. Подставляя решение уравнения (16) в (26), определим а.
Рис. 3Рис. 3Из рис. 3 (1 —夕=0,1; 2 —夕=0,2; 3 — —夕=0,3; 4 —夕=0,4) видно, что а〉 > 0 и, таким образом, условие (31) выполняется. С другой стороны, из (17) и (21) следует, что радиальная скорость 〃 пропорциональна G. Поскольку а〉0, то из (27) получаем, что G = 0 на поверхности трения, т. е. 〃 = 0, и имеет место режим прилипания. В этом проявляется одно из качественных отличий настоящего решения от решения, полученного в [16] на основе модели [14].
Рис. 3
Рис. 3
Рассмотрим поведение эквивалентной скорости деформации вблизи поверхности трения. Из (17) и (21) следует, что радиальная скорость деформации ди/дг пропорциональна G и, таким
образом, равна нулю на поверхности трения. Тогда из условия несжимаемости
получаем, что и окружная скорость деформации равна нулю. Следовательно, с ис-
пользованием (17), эквивалентная скорость деформации на поверхности трения определяется выражением
康广一专&片-表#.(32)
Подстановка (28) и (29) в (32) дает
=+ 7г/4)аТ(33)
при ^ —> —тг/4. С другой стороны, из (28) получаем
也 + тг/4 = а (Но — Н)(34)
при ^ —> —тг/4. Подставляя (34) в (33), найдем
&q =仇一旷1(35)
V 3
при приближении к поверхности трения, Н —> %. Уравнение (35) может быть представлено в форме
&д = О (产1) .(36)
Из (35) следует, что на поверхности трения &д —> оо, если q < 1, и &д = О, если а > 1. В последнем случае к поверхности трения примыкает бесконечно тонкий слой недеформируемого материала. Интересно отметить, что в решении [16], основанном на модели [14], в определенном диапазоне изменения угла 历 также возникает недеформируемая зона вблизи поверхности трения, но ее толщина конечна. Из (26) следует, что а = 1 при m = 0. В этом специальном случае решение уравнения (14), удовлетворяющее краевому условию (12), имеет вид ^ = =—Н. Из рис. 3 видно, что а — монотонно возрастающая функция 比.Таким образом, &д —> оо на поверхности трения при 比 < тг/4. Как отмечалось ранее, на поверхности максимального трения &д ―> оо и для решения, основанного на модели двойного сдвига. Однако из (1) и (36) следует, что качественное поведение эквивалентной скорости деформации вблизи поверхности трения для этих двух моделей материала различается. В частности, в случае модели двойного сдвига свойства материала и геометрические параметры задачи входят только в коэффициент при сингулярном члене (коэффициент интенсивности скорости деформации), а показатель степени всегда равен —1/2. С другой стороны, в полученном решении показатель степени сингулярного члена также зависит как от свойств материала, так и от геометрических параметров задачи.
Список литературы
Соколовский В. В. Об уравнениях пластического течения в пограничном слое // ПММ. 1956. Т. 20, Вып. 3. С. 328-334.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Гостехтеориздат, 1956. — 324 с.
Shield R. Т. Plastic flow in a converging conical channel //J. Meeh. Phys. Solids. 1955. V. 3, № 4. P. 246-258.
Graggs J. W. Characteristic surfaces in ideal plasticity in three dimensions // Quart. J. Meeh. Appl. Math. 1954. V. 7. Pt. 1. P. 35-39.
Александров С.石.,Друянов Б. А. Об условиях трения пластических тел // Изв. РАН. МТТ. 1992. №4. С. 116-122.
Александров С. Е. О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 4. С. 769-771.
Druyanov В., Alexandrov S. Laws of external friction of plastic bodies // Int. J. Plasticity, 1992. V. 8, № 7. P. 819-826.
Alexandrov S., Richmond 0. Singular plastic flow fields near surfaces of maximum friction stress // Int J. Non-Linear Meeh. 2001. V. 36, № 1. P. 1-11.
Александров С. E.)Ричмонд О. Асимптотическое поведение поля скорости при осесимметричном течении материала, подчиняющегося условию Треска // Докл. РАН. 1998. Т. 360, № 4. С. 480-482.
Александров С. Е., Данилов В. Л.、Чиканова Н. Н. О зоне торможения при моделировании осесимметричных процессов обработки металлов давлением в условиях ползучести // Изв. РАН МТТ. 2000. № 1. С. 149-151.
Alexandrov S., Alexandrova N. On the maximum friction law in viscoplasticity // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2000. V. 4, № 1. P. 99-104.
Alexandrov S., Alexandrova N. On the maximum friction law for rigid/plastic, hardening materials // Meccanica. 2000. V. 35, № 5. P. 393-398.
Oldroyd J. G. Two-dimensional plastic flow of a Bingham solid: a plastic boundary-layer theory for slow motion. Proc. Camb. Philos. Soc, 1943. V. 43. P. 383-395.
Spencer A. J.M. Deformation of ideal granular materials, In: Mechanics of Solids, The Rodney Hill 60*拉 Anniversary Volume, H. G. Hopkins and M. J. Sewell, eds, Pergamon Press, Oxford, 1982. P. 607-652.
Александров С. E.)Лямина E. А. Сингулярные решения при плоском пластическом течении материалов, чувствительных к среднему напряжению // Докл. РАН. 2002. Т. 383, № 4. С. 492-495.
Лямина Е. А. Сингулярные поля скоростей при плоском пластическом течении материала, подчиняющегося модели двойного сдвига (модели Спенсера) // Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук., Чебоксары, 2002.— 19 с.
Pemberton С. S. Flow of imponderable granular materials in wedge-shaped channels //J. Meeh. Phys. Solids. 1965. V. 13. P. 351-360.
Marshall E.A. The Compression of a Slab of Ideal Soil Between Rough Plates // Acta Meeh., 1967. V. 3. P. 82-92.
Ишлинский А. Ю. О плоском движении песка // Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, №4. С. 430-441.
Ostrowska-Maciejewska J., Harris D. Three-dimensional constitutive equations for rigid/perfectly plastic granular materials // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 1990. V. 108. P. 153-169.
Губкин С. И. Пластическая деформация металлов. — М.: Металлургиздат, 1961. Т. 3. — 306 с.
Dutton R.民，Goetz R. L, Shamasundar S., Semiatin S. L. The ring test for P/M materials // Trans. ASME J. Manuf. Sci. Engng. 1998. V. 120, №4. P. 764-769.
Aukrust 7., LaZghab S. Thin shear boundary layers in flow of hot aluminium // Intern. J. Plast. 2000. V. 16, № 1. P. 59-71.
Alexandrov 5. Interrelation between constitutive laws and fracture criteria in the vicinity of friction surfaces. In: Physical Aspects of Fracture (eds. E. Bouchaud, D. Jeulin, C. Prioul, S. Roux), Kluwer: Dordrecht, 2001. P. 179-190.
Appleby E. J.)Lu C.Y.、Rao R. 5., Devenpeck M. L., Wright P. K., Richmond O. Strip drawing: a theoretical-experimental comparison // Int. J. Meeh. Sci. 1984. V. 26, № 5. P. 351-362.
Rebelo N., Kobayashi S. A coupled analysis of viscoplastic deformation and heat transferParts 1, 2 // Int. J. Meeh. Sci. 1980. V. 22. P. 699-718.
Александров С. Е. Верхняя оценка усилия при осадке цилиндра жесткими плитами // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 5. С. 86-91.
Alexandrov S. A note on the limit load of welded joints of a rectangular cross section // Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. 1999. V. 22, № 5. P. 449-452.
Alexandrov S., Goldstein R., Tchikanova N. Upper bound limit load solutions for a round welded bar with an internal axisymmetric crack // Fatigue Fract. Engng Mater. Struct. 1999. V. 22, № 9. P. 775—780.
Alexandrov S., Richmond O. On estimating the tensile strength of an adhesive plastic layer of arbitrary simply connected contour // Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37, № 4. P. 669-686.
Alexandrova N. Analytical treatment of tube drawing with a mandrel // Proc. Inst. Meeh. Eng. J. Meeh. Eng. Sci. Part C. 2001. V. 215, № 5. P. 581-589.
Alexandrov S., Mishuris G., Mishuris W., Sliwa R. E. On the dead zone formation and limit analysis in axially symmetric extrusion // Int. J. Meeh. Sci. 2001. V. 43, № 2. P. 367-379.
О ВЛИЯНИИ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕАВТОНОМНОЙМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
А. С. Андреев
УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы в зависимости от структуры действующих сил является классической задачей. В случае явной зависимости действующих сил от времени эта задача до настоящего времени остается малоисследованной. Определенные результаты можно найти в статьях [1-5]. Целью настоящей работы является развитие и обобщение этих результатов.
Постановка задачи. Рассмотрим голономную механическую систему со стационарными связями, положение которой определяется обобщенными координатами q С Rn. Кинетическая энергия системы 2Т = qA(q)q, где вектор q = =雾 обозначен как вектор-столбец, 4(g) есть (п х п)-матрица, положительно определенная для всех q е R", так что имеет место матричное неравенство 4(g)》 》4 =。0石，ао = const > О, Е — единичная матрица. Здесь и в дальнейшем () означает транспонирование, ||q|| есть норма в Rn, ||q||2 = q'q = 壮 + 或 + . .. + 成・
Движение системы под действием обобщенных сил Q = Q(力 q, «) может быть описано уравнениями Лагранжа
智=q.⑴
Пусть Q(Z, 0, 0) = 0, так что система имеет положение равновесия q = « = 0.
Рассмотрим задачу об устойчивости этого положения равновесия в зависимости от следующего представления обобщенных сил:
Q(力 q,«) = Q@(力 q) + Q「(力 q) + Qg(力 q,«) + Qd(力 q,«),
где Q@, Q「，Qg и Qd суть соответственно потенциальные, неконсервативные, гироскопические и диссипативные силы:
Qp(z,o)= о, QK^o)三 о, Qg(hq,o)三 о,
Qd(hq,0)三 о, qfQr(t,q) = 0, qfQg(t,q,q) = 0.
Будем предполагать, что матрица 4(g) и силы Q(h q, «) таковы, что движения системы непрерывны по начальным условиям (力o,qo,«o) G R+ x Rn x Rn, При определении условий асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия q = q = 0 с применением теорем из [2, 3, 6] будет предполагаться, что правые части системы (1), разрешенные относительно Q, удовлетворяют условию Липшица по(Q, «) С К, К = {||q|| < Oi, ||q||，Р2} для любых pi, р2 > 0, гарантирующему предкомпактность разрешенных уравнений [2, 6, 7] и соответственно применимость теорем из [2, 3, 6].
Для удобства изложения в дальнейшем будем обозначать через Н класс функций типа Хана, а С Н, если а : R+ —> R+, а(0) = 0, а (а) непрерывна в точке а = О и строго монотонно возрастает [8]. Через 出 и 电 обозначим классы непрерывных функций 71,72 : R+ —> 兄+, таких что соответственно
±п+То
lim inf 7i(r)dr > О,Тт+оо 土lim inf 7i(r)dr > О,Тт+оо 土lim inf 72(т)&т > 0,lim inf 72(т)&т > 0,
lim inf 7i(r)dr > О,
Тт+оо 土
lim inf 7i(r)dr > О,
Тт+оо 土
lim inf 72(т)&т > 0,
lim inf 72(т)&т > 0,
где tn —> +oo есть некоторая последовательность, 7q > 0В задаче об устойчивости по части координат положим
ql —(41, 42, • • • , ЯтУ ч q2 —(Qm+1? • • • ? ЯпУ •
Обозначим также:
В£ = {q Е Rn : \\q\\ < £} с достаточно малым е > 0, Ро — ^^ (0),
「—(%) = {q е N 口色 q) < 0} П В「
V^t) = {qeRn：n^q)<O}nB£.
Устойчивость под действием потенциальных сил. Пусть Q = Qr = =一器,п = 口(力q).
Утверждение 2.1. Если для всех (力 q) G R+ x Be
Tl("》a(||q||), 喝
то положение равновесия q = q = 0 равномерно устойчиво.
Утверждение есть следствие теоремы Ляпунова [8, 9] с функцией V в виде полной энергии системы 匕(力 q, q) = T(q, q) + 口(力，q).
Утверждение 2.2. Если для всех (力 q) G R+ x Be
鼠唄4 0,
то положение равновесия q = « = 0 неустойчиво.
Утверждение 2.3. Если для некоторого 力о е R+ множество Г- (Zq) * 。 и {q = 0} е дГ~ (to), а также для всех (力 q) е R+ х「-⑴
4 о,， о, dtdq
то положение равновесия q = « = 0 неустойчиво.
Утверждения 2.2 и 2.3 выводятся на основе теоремы о неустойчивости из [2] с применением функций V = Vi и V =匕①,《) = «z°)
Утверждение 2./. Для специального представления Г1 (力 q) = р(^)П0(^), 0 < < p(t)，pi утверждения 2.1-2.3 остаются в силе, если их условия соответственно поменять на следующие:
4.1. Для всех t е R+ и q е Ве\ {0}
力⑴》0, По（（7）＞ О,
4.2. Для всех q 6 Ве
4.3. Множество「j * 0 и {q = 0} С 3「j, а также для всех t С R+ и q С「j
力⑴》0, ~"④4。.dq
T（q，G夕⑴T（q，G夕⑴Утверждение доказывается аналогично утверждениям 2.1-2.3, если вместо
T（q，G夕⑴
T（q，G夕⑴
+ 口o（q）・+ 口o（q）・функции 匕 взять функцию Vs（Z, q, q）=
+ 口o（q）・
+ 口o（q）・
Пример 2.1. Пусть тяжелое твердое тело закреплено с помощью шарового
шарнира на платформе, совершающей вертикальные колебания по закону , = «（%）.
На основании утверждений 2.1 и 2.4.1 можно найти, что при условиях
о < Go 4 貝力）+ g，G1,，（力），о или G⑴》0
положение равновесия тела, при котором его центр тяжести С находится ниже точки закрепления, устойчиво по угловым скоростям и двум углам, определяющим отклонение ОС от вертикали.
На основании утверждения 2 можно найти, что при любом законе , = G（%）, S（力）》g, верхнее положение равновесия тела неустойчиво.
Устойчивость под действием гироскопических и диссипативных сил. Пусть Q = Qg （力 Q, q） + Qd（力 S «）• В [10] на основе функции『=% = Т доказано следующее утверждение.
Утверждение 3.1. Положение равновесия q = « = 0 системы （1） под действием гироскопических и диссипативных сил равномерно устойчиво по обобщенным скоростям q.
Следующий пример показывает, что в отличие от автономного случая [11] действие одних линейных гироскопических сил Qg = G（力）«, G‘ = —G〉det G ^ 0, не приводит к устойчивости q = « = 0.
Пример 3.1. Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, описываемую уравнениями
[瓦=-p（t） ±2,
[企2 =2（力）勿
Интегрируя эти уравнения, находим следующий закон движения системн:
力1（%） = Жю + g? ] cos д（т,力о） + g?） dr,力2 =力20 + g? ] sin g（T,力o） + y^） dr,
g? = ±J说o +亦扌o, tgg? =券，Q（^^o） = j p（T）dr.
±0
Из этого закона следует, что в зависимости от функции p(Z)нулевое положение равновесия системы (2) может быть как устойчивым, так и неустойчивым.
На основании результатов из [4, 7] имеет место следующее утверждение.
Утверждение 3.2. Пусть на систему (1) действуют гироскопические силы и диссипативные силы с полной диссипацией, ограниченные при всех (力 q, q) G e A+ x К,『Qd(力 Q, q)，-a(\\q\\) для всех (力 q, q) e R+ x Г.
Тогда положение равновесия q = « = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво по q.
Утверждение 3.3. Если в условиях утверждения 3.2 диссипативные силы являются линейными по «,
Qd(力 S «)= —。(力 Q, Q)Q, qfDq》/?о IIqII2 , /?о > о,
то q = « = 0 экспоненциально устойчиво по q и равномерно устойчиво по q.
Утверждение доказывается, если положить % = Т. Тогда для производной этой функции при всех (Z, q, q) С R+ х Rn х Rn можно найти оценку
V，—仇匕 /31 > 0,
приводящую к искомому результату.
Пусть на систему (1) действуют линейные гироскопические силы и линейные диссипативные силы с частичной диссипацией:
Q亿 q, «) = G(h q)« -。亿 q)«, G，= -G, qfDq，0,(2)
где матрицы G n D ограничены co своими производными до (п + 1)-го порядка включительно по (力 q) С 兄+ х К.
Положим
「(力)=A-1(0)G(Z,0)
и составим матрицу U = (Ui,厶，…，Gi),
"⑴=0色0), 5(%)=如(力)+ "⑴「(力)，
u3（力）=02（力）+u2（力）「⑴4（力）=厶一1（力）+ % .1（力）「⑴.
Определение 3.1. Пара матриц (D(t, 0),「⑴)строго наблюдаема, если ранг матрицы U равен п и это определяется некоторым минором этой матрицы △九(力), det △九(力)Ao = const > 0.
Утверждение 3.3. Положение равновесия q = q = 0 системы (1) под действием сил (2) равномерно асимптотически устойчиво по «, если пара матриц (D(Z, 0), Г(^)) строго наблюдаема.
Пример 3.2. Пусть симметричное твердое тело с осью симметрии Cz, вращающееся вокруг неподвижного центра масс С, совершает под действием момента Mz = Mz(t) нестационарное вращательное движение вокруг оси Oz по закону р = =q = 0, г = го(^), го(^) С Qi- Используя утверждение 3.3, можно показать, что под действием моментов Мх = —%(力)，Му = 0 (или Мх = 0, Му = —%(力)q), 71 G Qi, заданное нестационарное вращение будет глобально равномерно асимптотически устойчиво по р и q.
Устойчивость под действием потенциальных, гироскопических
и диссипативных сил. Пусть Q = Q口 = —дП/dq, Г1 = 口(力 q).
an(hq)3qan(hq)3qАналогично утверждениям 2.1 и 2.4.1, Q = Qp(t, q) + Qg(t, q, q) + Qd(力 Q, Q),
an(hq)3q
an(hq)3q
Q@(力 Q)——Q@(力 Q)——,имеем следующий результат.
Q@(力 Q)——
Q@(力 Q)——
Утверждение 4・7. Если выполнены условия утверждения 2.1 и 2.4.1, то положение равновесия « = q = 0 остается равномерно устойчивым при любых гироскопических и диссипативных силах.
На основании теорем из [2, 3, 5, 7] имеем следующие результаты.
Утверждение /.2. Пусть потенциальные и диссипативные силы таковы, что для всех (力 q, q) G R+ x B£ x B£
n(力q)?ai(|[q1|),喝@W 0, |喝公|》。2(同)，
『Qd(力 Q, q) 4 -71(^)«3 (IIqII) & 一)2(力)。3 (||q||)) •
Тогда положение равновесия « = q = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво (асимптотически устойчиво равномерно по(Qo? Qo))«
Утверждение /.З. Если для некоторого 力о е R+ множество Г-(^о) * 。, {q = 0} С а「~(力о), а также для всех (Z, q) С R+ х「一⑴
吗？ G 4 0,或Qd(力 Q, 0) 4 -)2(%)a3 (IIGII),
то положение равновесия q = q = 0 системы (1) неустойчиво.
Из условий утверждения 4.1 или 4.2 следует, что П(^, q) —> H()(q) при t —> +оо. Используя это соотношение, исследуем устойчивость положения равновесия q = =q = 0 под действием линейных сил с частичной диссипацией, таких что
^Qd^t.q.q) 4 -%⑴『О。*。，(3)
где Dq есть некоторая постоянно-положительная матрица.
Утверждение / 4 Пусть гироскопические силы отсутствуют, а потенциальные и диссипативные силы таковы, что для всех (Z, q, q) G R+ x B£ x B£ no(Q)>O(^O), [^1 卜。1(回)，
выполняется соотношение (3); матрица (Dq, DqPq, ..., DqPq-1^ наблюдаема.
Тогда положение равновесия « = q = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Утверждение /.5. Пусть потенциальные и диссипативные силы таковы, что
—движения системы из некоторой окрестности положения равновесия q = q = =0 равномерно ограничены по Q2;
—для всех 3 S Q)С R+ х Ве х Ве
口(力m)》。1(|1『11),也产，。，
『"^S J》。24/1|), qQ 4⑴。3(11q||).
Тогда положение равновесия q = « = 0 системы (1) асимптотически устойчиво по Q и Q1.
Утверждение %.6. Если для (力 q) G R+ x「+⑴
то при выполнении всех остальных условий утверждения 4.4 положение равновесия q = « = 0 системы （1） равномерно асимптотически устойчиво по q и Q1.
Пример 4.1. В примере 2.1 устойчивое нижнее положение тела под действием диссипативных моментов с полной диссипацией становится асимптотически устойчивым. Верхнее положение равновесия тела под действием диссипативных моментов при условиях S⑴ + g〉0, «（力）<0 или «（力）》0 остается неустойчивым.
Устойчивость под действием квазипотенциальных, гироскопиче
QP = -Р（力 4）喝罗,где P（hq）QP = -Р（力 4）喝罗,где P（hq）есть некоторая ограниченная матрица п 义 п>есть некоторая ограниченная матрица п 义 п>ских и диссипативных сил. Действие некоторых сил приводится к виду
QP = -Р（力 4）喝罗,где P（hq）
QP = -Р（力 4）喝罗,где P（hq）
есть некоторая ограниченная матрица п 义 п>
есть некоторая ограниченная матрица п 义 п>
det Р ^ ро > 0, П = П（^, q） — скалярная функция. Влияние таких сил, которые
можно назвать квазипотенциальными, на устойчивость положения равновесия q = =« = 0 целесообразно исследовать, не прибегая к разложению на потенциальные и неконсервативные силы, как в [11].
Допустим, что матрица Р-1А является положительно-определенной. Тогда производная функции Ляпунова
卜=%=；或0-14g + 口（力m）
в силу системы （1） имеет значение
dt у dq 2 dt 2 dt
+尸2 +尸w.
Для действия гироскопических Qg и диссипативных сил весьма допустимой является оценка
〃TQg + 〃TQd + 〃-噜 W'X - К嘗 Х4）« W
⑴。1（1|g||） &-）2（力）。2（1创））•⑷
На основании теорем [2, 3, 7] можно утверждать, что результаты 4.1-4.5 имеют место, если их условие относительно『Qd поменять на условие （4）, а остальные предположения оставить без изменений.
Пример 5.1. В задаче об устойчивости нестационарных вращательных движений гироскопа в кардановом подвесе из [12] дополнительно предположим, что гироскоп установлен на подвижном основании, совершающем вертикальные колебания по закону q = G（力）• Уравнения движения, определяемые функцией Рауса [12]:
R = ^ （А + Ai） Ь2 — М {g -\-式力））zo cos ” +。0（力）cos ” +
+ g （4 + 31）02（力）sin2犷 + g 0102（力）COS2 犷一g 4202（力）一 g
допускают существование обобщенных стационарных движений 诊=0," = 0,0=^一0⑴，
в которых плоскость внутренней рамки вертикальна и совпадает с плоскостью внешней рамки, а ось Oz ротора направлена вертикально вверх. Используя утверждение 4.2 с дополнением из п. 5, можно показать, что под действием момента М® = —)(%)# при условиях
О < do，d(t)，由，d(%) = c0⑴-M(g + 貝力)"o + (Q - 4 一 当)。?⑴，
d(t) + 2)(%)d(力)》％⑴，71 G 期，
обобщенное стационарное движение (5) равномерно асимптотически устойчиво по 份и ".
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 02-01-00877) и гранта № НШ-2000.2003.1 ведущей научной школы.
Список литературы
Тереки ft- Хатвани В. Л. Об асимптотическом останавливании при наличии вязкого трения // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 1. С. 20-26.
Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т. 48, Вып. 2. С. 225-232.
Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. Т. 48, Вып. 5. С. 707-712.
Тереки Й., Хатвани Л. Функция Ляпунова типа механической энергии // ПММ. 1985. Т. 49, Вып. 6. С. 894-899.
Андреев А. С. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. 1996. Т. 60, Вып. 3. С. 388-396.
Андреев А. С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. Т. 55, Вып. 4. С. 539-547.
Artstein Z. The limiting equations of nonautonomous differential equations //J. Differ. Equat. 1977. V. 25, № 2. P. 184-202.
Rouche N., Habets P., Laloy M. Stability Theory by Liapunov's Direct Method. N.Y. etc.: Springer, 1977. — 396 p.; Руш Я., Абетс /7., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980. — 300 с.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 с.
Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. мат. механ., физ., астрон., хим. 1957.№ 4. С. 9-16.
Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М.: Наука, 1987. — 304 с.
Андреев А. С., Ризито К. Об устойчивости обобщенного стационарного движения // ПММ. 1992. Т. 66, Вып. 3. С. 339-349.
ДВУМЕРНЫЕ ПОДМОДЕЛИ ИДЕАЛЬНОЙПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ УСЛОВИИ ПОЛНОЙПЛАСТИЧНОСТИ
Б. Д. Аннин
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
Введение. Уравнения идеальной пластичности при условии пластичности Треска в случае полной пластичности имеют вид [1]
aij,j — 0,⑴
Oij 一 O小ij = 2к£ ^^г^J 一 - ^ij^ ,^ ~ 3 "3.&3.，^ = ±1，(2)
若 + ^2 + ^3 = 1，(3)
OilWlj = Cil^lj ?(4)
⑹⑹€v = 2("£"• + U3,i) ‘(5)
⑹
⑹
^г,г = 0・
Здесь aij^ £叮一компоненты симметричных тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в декартовой системе координат a?i,力2,力з； "£ ——компоненты вектора скорости, по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3, 6ij — символ Кронекера, а — среднее напряжение; п =电修— собственный вектор тензора напряжений, отвечающий некратному главному напряжению а± (два других главных напряжения。2 и сгз совпадают):
4k 2k 2k
e〃 — базис декартовой системы координат 力匕力2,力з, запятая перед индексом означает дифференцирование по пространственной координате с этим индексом, к — предел текучести при чистом сдвиге. В случае полной пластичности условие пластичности Треска
которому удовлетворяют значения главных напряжений (7), выражается через компоненты тензора напряжений。叮 в виде следующих равенств:
0V70V70V7 内内内0V70V70V7 内内内竺3竺3竺3 £ £ £竺3竺3竺3 £ £ £⑻⑻(。11 -。22『+ 46rg2 =e22 -033『+ 4豈3 =
0V70V70V7 内内内
0V70V70V7 内内内
竺3竺3竺3 £ £ £
竺3竺3竺3 £ £ £
⑻
⑻
(033 -011『+ 4略—
Эти равенства получаются путем исключения величин ni,几2,几з из соотношений (2)-(3).
Заметим, что равенства (8) можно также получить из следующих соотношений:
СTЦ6Г23 — cГ12СГ13 _022。13 -012。23 _。33。12 -013。23⑼
023°13°12
(。11 -。22『+ (011 -。13『+ (022 -033『+ 6 (淵2 + ^13 + 矍3)= 8廿.(10)
Равенства (9) выражают необходимые и достаточные условия совпадения двух главных напряжений тензора напряжений; они следуют (см., например, [2] стр. 252) из того, что ранг матрицы
— °2%2спз 、
°12°22 — °2°23
\ cТ13 。23。33-。2/
равен 1 вследствие кратности。2, поэтому все ее миноры второго порядка равны нулю. Значение правой части второго инварианта девиатора тензора напряжений (10) получено с использованием равенств (7).
Условие (4) — необходимое и достаточное условие существования по крайней мере одной тройки общих главных осей у тензоров。叮 и ^ij (условие изотропии). С учетом (2) условие (4) можно записать как
&产5 _ &■；•电• _ Ед%
П1九 2Пз *
Параметризуя равенство (3) посредством параметров а, /3:
П1 = мa向,几2 =几2(%/3),几3 = 几3(а,/3),(12)
и подставляя затем (2) в уравнения равновесия (1), для определения функций
сг = сг (жь 力2,力з), а = а (力匕 ж2,力з) , В = В (力ь 力2,力з)
имеем следующую систему трех уравнений:
%£ + 2kg (几3•电/• + ®电•/•) = 0.(13)
Компоненты вектора скорости определяются из уравнений (5), (6), (11).
Система (13) является гиперболической. Система (5), (6), (11) также является гиперболической и имеет те же системы характеристических поверхностей.
Двумерные подмодели — общая плоская задача, когда функции сг, а, /3 не зависят от координаты а?з, и осесимметричная — задача рассмотрены в [1].
Ниже рассмотрены другие двумерные подмодели, которые следуют [3] из группового анализа системы (13).
Общая осесимметричная задача. В цилиндрической системе координат г, д, z условия полной пластичности (2) при £ = — 1 принимают вид
arr = k (р + cos2 /3 cos 2а) , о屮屮=к (р — 2 + 3 cos2 /3),
^zz = k (^p — cos2 /3 cos 2q) , crr^ = к sin 2/3 sin q,(14)
arz = — A; cos2 /3 sin 2a, a^z = к sin 2/3 cos a.
При этом сг = к(р — 2/3 + cos2 /3), а первое главное направление определяется вектором
П ^ 72「3「+ Tl^^^ + Т1ZGZ
где ег, е屮)ez — единичные векторы базиса цилиндрической системы координат и принята следующая параметризация соотношений (3):
nr = cos /3 sin q, п^ = — sin /3, nz = cos /3 cos a.(15)
Соотношения (14) тождественно удовлетворяют равенствам (8), записанным в цилиндрической системе координат (1 —> г, 2 —> ^, 3 —> г), поэтому равенства (14) можно рассматривать как обобщенную подстановку Леви.
Учитывая равенства (14), будем искать решения уравнений равновесия (2), записанных в цилиндрической системе координат, в предположении, что функции р, «, /3 не зависят от полярного угла д:
р = р(т,力, a = a(〃z), В = BE 办.(16)
Решение (16) будем называть общей осесимметричной задачей. Случай /3 = 0 (。「夕=о屮z = 0) соответствует осесимметричной задаче.
Уравнения для определения функций р(г, г), а(т, г), /3(〃 г) имеют вид
票+ 4子+ 4贅+瓦*+ or or oz or oz
T+ ® T = Q, (17)
Аз* + 人界 + Вз* + &* = Сз・
Здесь обозначено:
А1Г = —2 cos2 /3 sin 2q,A^z = —2 cos2 /3 cos 2a,Bir = — sin 2/3 cos 2a,Biz = sin 2/3 sin 2a,742r = —2 cos2 /3 cos 2a,A^z = 2 cos2 /3 sin 2aB2r = sin 2/3 sin 2a,星之=sin 2/3 cos 2a,(18)743r = sin 2/3 cos a,4z = — sin 2/3 sin a,Взг = 2 cos 2/3 sin a,B^z = 2 cos 2/3 cos a,cos2 0 cos 2a + 2 — 3 cos2 0 门_ cos2 /3 sin 2a 门 _2 sin 2/3 sin aА1Г = —2 cos2 /3 sin 2q,A^z = —2 cos2 /3 cos 2a,Bir = — sin 2/3 cos 2a,Biz = sin 2/3 sin 2a,742r = —2 cos2 /3 cos 2a,A^z = 2 cos2 /3 sin 2aB2r = sin 2/3 sin 2a,星之=sin 2/3 cos 2a,(18)743r = sin 2/3 cos a,4z = — sin 2/3 sin a,Взг = 2 cos 2/3 sin a,B^z = 2 cos 2/3 cos a,cos2 0 cos 2a + 2 — 3 cos2 0 门_ cos2 /3 sin 2a 门 _2 sin 2/3 sin aгггггг
А1Г = —2 cos2 /3 sin 2q,
A^z = —2 cos2 /3 cos 2a,
Bir = — sin 2/3 cos 2a,
Biz = sin 2/3 sin 2a,
742r = —2 cos2 /3 cos 2a,
A^z = 2 cos2 /3 sin 2a
B2r = sin 2/3 sin 2a,
星之=sin 2/3 cos 2a,(18)
743r = sin 2/3 cos a,
4z = — sin 2/3 sin a,
Взг = 2 cos 2/3 sin a,
B^z = 2 cos 2/3 cos a,
cos2 0 cos 2a + 2 — 3 cos2 0 门
_ cos2 /3 sin 2a 门 _2 sin 2/3 sin a
А1Г = —2 cos2 /3 sin 2q,
A^z = —2 cos2 /3 cos 2a,
Bir = — sin 2/3 cos 2a,
Biz = sin 2/3 sin 2a,
742r = —2 cos2 /3 cos 2a,
A^z = 2 cos2 /3 sin 2a
B2r = sin 2/3 sin 2a,
星之=sin 2/3 cos 2a,(18)
743r = sin 2/3 cos a,
4z = — sin 2/3 sin a,
Взг = 2 cos 2/3 sin a,
B^z = 2 cos 2/3 cos a,
cos2 0 cos 2a + 2 — 3 cos2 0 门
_ cos2 /3 sin 2a 门 _2 sin 2/3 sin a
г
г
г
г
г
г
Для определения характеристик системы уравнений (17) и соотношений вдоль характеристик присоединяем к системе (17) соотношения
dr ^ ^ dz = dp, ^ dr -\- ^ dz = da, ^ dr -\- ^ dz = d/3(19)
и рассматриваем разрешимость линейной системы (17), (19) относительно производных функций р(г, г), «(г, г), /3(〃 z). Приравнивая нулю соответствующие определители шестого порядка, находим искомые характеристики и соотношения на них. Ограничимся случаем —тг/4 </3<тг/4, /3*0. Система (17) имеет три действительных семейства характеристик. Два семейства определяются уравнениями
^ = — tg 9 干 〃)，(20)
где tg〃 = "cos 2/3 . Третье семейство определяется уравнением
^ = ctga.(21)
аг
Вдоль характеристик, определяемых уравнениями (20), имеют место соотношения
,1 +cos 2/3 ,.sin a ± cos a cos 2/3 Vcos2S dr 1 dz
dp 干—,— sin20dg — ,~ —干—,~ —. (22)
у cos 2/3sin a cos 2/3 ± cos a у cos 2/3 丁ycos 2/3 丁
При этом верхние альтернативные знаки в (22) соответствуют верхнему альтернативному знаку в формуле (20).
Вдоль каждой характеристики третьего семейства справедливо равенство
р + Inr2 + In (1 — cos 2/3) + ； cos 2/3 = с,(23)
где с — постоянная, которая при переходе от одной линии семейства к другой, вообще говоря, изменяется.
При /3 —> 0 соотношение (23) для третьей характеристики вырождается, как и в случае общей плоской задачи.
Заметим, что третья характеристика направлена по биссектрисе одного из углов, образованных пересечением характеристик, определяемых уравнениями (20).
Переходим к определению вектора скорости
и ^ ”「©「+ "夕е夕 + uzGz.
Из соотношений (6), (11), записанных в цилиндрической системе координат, имеем следующие уравнения для определения функций "「(〃 г),"夕(т, г), uz(r, z):
диг , duz , ur с
〃r 1 диг nz _ 1 f диг duz \ nr 1 3〃夕九夕 duz ，^力、 +"+ 2龍= 赤+齐丿/ + 2毎£+赤.
4 Проблемы механики
Здесь пг,几夕,nz определяются равенствами (15).
Система (24) имеет три семейства характеристик, определяемых уравнениями (20), (21). Соотношения вдоль семейств, определяемых уравнениями (20), таковы:
dur — tg (а 干 〃)duz —dur — tg (а 干 〃)duz —tg0cos2° м =
dur — tg (а 干 〃)duz —
dur — tg (а 干 〃)duz —
sin a cos 20 ± cos а у cos 20
(25)(25)1 + 2 sin2 0丄 tg 0 Jcos 20、dz
(25)
(25)
ur2/土 "夕/ I —
sin 2а sin 0 干,cos 20 cos 2a sin а 干 cos a,cos 20 丿 丁
При этом верхние альтернативные знаки в (25) соответствуют верхнему альтернативному знаку в формуле (20).
Вдоль третьего семейства справедливо равенство
>..> ctg20 4/2ctg20\ dz
(26)(26)dur + ctg aduz H——du^ = ur .e + "夕 0——
(26)
(26)
sma ”\ sin 2a ” cos a / г
Соотношения (20)-(23), (25), (26) могут быть использованы при решении задачи о проникании жесткого осесимметричного тела в полупространство, если наряду с осевой силой вокруг оси симметрии тела действует крутящий момент.
Заметим в заключение этого раздела, что если к функции р(г, г) в (16) добавить слагаемое)д, где 7 — произвольное число, то к правой части третьего уравнения (17) добавится слагаемое ——.
Двумерная подмодель, обладающая спирально-винтовой симметрией. Уравнения (1), (4), (5), (8) в цилиндрической системе координат не меняются при преобразованиях вращения 停一> 夕 + а) и переносе по оси z (z —> z + 6), где а, 6 — произвольные числа. Поэтому можно искать решения уравнений равновесия в виде (14), причем
p = p(r,s), a = a(T, s), /3 = /3(〃s), (27)
где s = z + Ад и А — произвольная постоянная. Система трех уравнений для определения функций (27) имеет вид, аналогичный системе (17). Компоненты скорости "门"夕,uz необходимо также искать в виде функций, зависящих от т и s из системы (6), (11), записанной в цилиндрической системе координат. Соответствующая система уравнений подобна системе (24).
Двумерная подмодель на основе преобразований растяжения и вращения. Уравнения (1), (4), (5), (8) в цилиндрической системе координат не меняются при преобразовании растяжения (г —> mr, z —> mz, где т — произвольное число). Учитывая также инвариантность этих уравнений при преобразовании вращения, можно искать решение уравнений равновесия в виде (14), причем
р = р(рС a = a(〃q), 0 = 0(〃 с), (28)
где р = re^, q = ze从夕 и 〃一 произвольная постоянная. Система уравнений для определения функций (28) имеет вид, аналогичный системе (17). Система уравнений для определения функций "「,"夕,uz, зависящих от р и <;, подобна системе (24).
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (грант №УР.04.01.005).
Список литературы
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001.
Делоне В. Н.)Райков Д. А. Аналитическая геометрия, том II. — М.; Л.: ГИТТЛ, 1949.
Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск: Наука, 1985.
К ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХМАТЕРИАЛОВ
М.А. Артемов
Воронежский государственный университет
Условие пластичности анизотропного идеально-пластического материала можно записать в виде равенства
/(6 А" = О,
где / — кусочно гладкая изотропная скалярная функция, о — тензор напряжений, Aj — постоянные тензоры, характеризующие свойства материала. Некоторые конкретные виды аппроксимации функции пластичности / приведены в работе [6]. Ниже рассматривается случай, когда вводится один тензор, характеризующий свойства материала, и условие пластичности записывается в виде
〃А・р) = 0, р = А-о,
где А — симметричный тензор четвертой валентности. Символ точка между тензорами используется для обозначения скалярного умножения тензоров.
Кусочно гладкие поверхности пластичности. Рассмотрим случай, когда условие текучести задано в виде системы уравнений
力(А・・о) = 0, £ = l,...,k.(1)
Согласно обобщенному ассоциированному закону пластического течения [2] скорости пластических деформаций
^^. Тензор f соосен тензору р, поэтому из уравнения (2) следует,^^. Тензор f соосен тензору р, поэтому из уравнения (2) следует,£ = f・A⑵
^^. Тензор f соосен тензору р, поэтому из уравнения (2) следует,
^^. Тензор f соосен тензору р, поэтому из уравнения (2) следует,
где f = 52 Хк i=l
что тензор е будет соосен тензору р -А. Условие соосности тензоров е и р -А можно записать в виде
р・・А • XЕ — О ИЛИ G ijkPmnA “ %к = °,(3)
где Eijk — компоненты тензора Леви-Чивита. Так как о -А2, где А2 = А--А, то равенство (3) принимает вид
о-А? • хе。= 0.(4)
Условие соосности (4) не налагает ограничения на знак величины о- ер, так как определяет условия связи, которым должны удовлетворять компоненты тензора, принадлежащие линейной оболочке L (10 1, m 0 m, п 0 п), где 1, m, п — собственные векторы соосных симметричных тензоров второй валентности. Поэтому если при определении напряженно-деформированного состояния, соответствующего
сингулярным точкам поверхности пластичности, используются не соотношения ассоциированного закона пластического течения, а условия соосности (4), то последние должны быть дополнены ограничениями на величину угла между тензорами е и о, которые также являются следствиями соотношений ассоциированного закона пластического течения.
Рассмотрим случай, когда тензор А обратим. Обозначим через В тензор, обратный к тензору А (В -А = I, где I — единичный тензор четвертой валентности), тогда из равенства (2) следует, что
B・・£ = f.(5)
Равенство (5) показывает, что тензор В- е соосен тензору р, следовательно, должно выполняться равенство
р X В- Е = О,
или, учитывая, что тензор р = А- о,
о・・А х -В--Е = 0.
В случае, когда функция пластичности не зависит от первого инварианта тензора р, из равенства (5) следует, что
⑹⑹tr (В--Е)= 0.
⑹
⑹
Если материал изотропный, то уравнение (6) переходит в уравнение несжимаемости скоростей пластических деформаций tr (е) = 0.
Рассмотрим случай, когда в шестимерном векторном пространстве элементы A- о принадлежат гиперплоскости. Обозначим символом h (h -h = 1) симметричный тензор второй валентности, для которого
⑺⑺A・・h = 0.
⑺
⑺
Если тензор А удовлетворяет уравнению (7), то в шестимерном пространстве напряжений уравнение (1) определяет цилиндрическую поверхность.
Пусть h = Е, где Е — единичный тензор второй валентности, тогда условие v3
пластичности (1) принимает вид
右(А・・1) = о,
где о" — девиатор тензора напряжений. В пространстве напряжений образующая цилиндрической поверхности пластичности параллельна гидростатической оси. Если h * Е, то поверхность пластичности пересекает гидростатическую ось.
При выполнении равенства (7) из соотношений закона пластического течения, ассоциированного с условием пластичности (1), следует, что
⑻⑻h-E = 0.
⑻
⑻
Если тензор h = Е, то уравнение (8) примет вид tr (е) = 0.
Статически определимые соотношения. Для идеально-пластического материала Д. Д. Ивлевым [3, 4] были получены соотношения, приводящие к статически определимым уравнениям. Для анизотропных пластических материалов,
удовлетворяющих условию пластичности (1), имеет место аналог соотношений Д. Д. Ивлева.
На поверхности пластичности, определяемой уравнениями (1), рассмотрим точки, в которых равны два главных значения тензора р. Как известно, если равны два главных значения симметричного тензора второй валентности, то кроме определителя тензора р — @Е также все миноры второго порядка матрицы этого тензора обращаются в нуль. Обозначим через 1, m, п и 九 @2,Рз собственные векторы и собственные значения тензора р соответственно. Тогда, полагая, что р--(1 0 1 — m 0 m) = 0, будут иметь место равенства
(Рй - Piga)(Pjj - Pigjj) - Р* =0, j⑼
и
(Ркк — Р\ёkk)Pij — PkiPkj =。， '丰、丰 卜、(1°)
Поскольку в рассматриваемом случае справедлива формула (п — собственный вектор тензора р, соответствующий некратному собственному значению)
(П)(12)(П)(12)Р - Р1Е =(0з - 01)п 0 п,
(П)
(12)
(П)
(12)
то должны выполняться равенства
^-^^ ==也=毁，i^j^k, £"$ = 1,2,3. PijPjj — Pigjj Pkj Rj
Несложно заметить, что из соотношений (12) следуют равенства (9), (10), которым должны удовлетворять компоненты тензора р, если равны два его главных значения.
На поверхности пластичности в пространстве главных значений тензора р рассмотрим точки, принадлежащие плоскости pi =目2・ Тогда условие пластичности (1) можно записать в виде х)
(13)(13)沁b /（Р））=。・
(13)
(13)
Следуя [3], будем полагать, что /(р) = tr (р) — первый главный инвариант тензора р. Если из уравнений (9), (13) или (10), (13) исключить инвариант 目匕 то получим три уравнения, которым должны удовлетворять компоненты тензора р = =A- о. С учетом трех уравнений равновесия эти уравнения приводят к локально статической определимой задаче теории пластичности.
Выберем линейную аппроксимацию функции пластичности вида, полагая
7（p1,p）=01 一 航一k2,7（p1,p）=01 一 航一k2,(14)(14)
7（p1,p）=01 一 航一k2,
7（p1,p）=01 一 航一k2,
(14)
(14)
(14) не зависит от первого(14) не зависит от первогогде 0 = ； tr(p). При 期=1 функция пластичности
(14) не зависит от первого
(14) не зависит от первого
инварианта тензора р. Тогда, учитывая равенства (13), (14), из формулы (11)
следует, что
(15)(15)о =(自+ k2K・・о)В・・Е + 3(К・・о(1 —期)—ki)B・・n 0 n, где Е — единичный тензор второй валентности, тензор К = (1/3)Е--А.
(15)
(15)
В Угловые точки, определяемые пересечением более трех поверхностей пластичности, не рассматриваются.
Например, если материал является ортотропным, то в базисе, векторы которого направлены вдоль главных осей анизотропии материала, для компонент тензора напряжений (12) будут справедливы следующие равенства:
%к =(自 + k2Krsars)Bkkrnrngmm +
+ ^Krsars(l - А) -k = 1, 2, 3;
。订・=3(Krsars(l - A) - k^Bijijn1^, i,j = 1, 2, 3, г ^ j.
Рассмотрим случай, когда тензор А неособенный и соотношения ассоциированного закона пластического течения можно представить в виде (5). Из равенства (5) следует, что тензоры В- ер и A- о соосны, поэтому справедлива формула
со = Nil N 1 + 幻2m N m + ззп N п,(16)
где со = В・・£°, 5 — собственные значения тензора ш.
Из формулы (16) получаем следующие равенства:
33
“3 = »＞方=£ B；kmT，i = 1,2,3.(17)
1y=11y=1
Исключая компоненты вектора п из формул (12), (17), получаем уравнения, которым должны удовлетворять компоненты тензоров A- о и В- ер:
Еог окт ^jkm£片1Еог окт ^jkm£片1^■mirs^■mirs^mirs^mirs3人 rsRi km一 Pig%%3人 rsRi km一 Pig%%片1片13■7 = 13■7 = 1Ajjrsa — pigjjAjjrsa — pigjji = 1,2,3.i = 1,2,3.
Еог окт ^jkm£
片1
Еог окт ^jkm£
片1
^■mirs
^■mirs
^mirs
^mirs
3人 rs
Ri km一 Pig%%
3人 rs
Ri km一 Pig%%
片1
片1
3
■7 = 1
3
■7 = 1
Ajjrsa — pigjj
Ajjrsa — pigjj
i = 1,2,3.
i = 1,2,3.
Кинематически определимые соотношения. Осесимметричная и плоская задачи, для которых имеет место кинематически определимое состояние, рассмотрены в [3, 4]. В [7, 8] получены кинематически определимые соотношения в трехмерном случае.
Выберем кусочно линейную аппроксимацию функции пластичности (1) вида
/(р) = тах{Зр3 - tr (р), Зр2 - tr (р), 3pi - ^г(р)} - 1,(18)
где Ri, @2, 0з — главные значения тензора р.
Рассмотрим случай, когда напряженное состояние соответствует грани поверхности пластичности, определяемой уравнением
(2п 0п — 101 — ш0т)・・р = 1,(19)
а соотношения ассоциированного закона пластического течения имеют вид (5). Принимая во внимание соосность тензоров р и со = В- ер (см. формулы (2), (5)), будем иметь
® = А(2п 0п — 101 — m0 m), ® = В-Е.(20)
Равенство (20) можно записать в виде
(21)(21)ш — ЛЕ = ЗАп 0 п, А =
(21)
(21)
Из формулы (21) следуют соотношения, аналогичные соотношениям (12):
— Xgii —g y— &%% —电(22)
^ij3万一人gjj3kj 电
Из соотношений (22) получаем, что
(西一 Ag££)(%7 — Xgjj)-嗚=о(23)
и
(幻 кк — Xgkk)幻"—^ki^kj —。・(24)
Компоненты тензора ш вычисляются через компоненты тензора В и компоненты вектора скоростей перемещений по формулам (жесткопластический материал)
“订• = ； В・уЕ^Е + Vm必)•(25)
Подставляя формулы (23) в соотношения (22) или (24), получаем три уравнения относительно компонентов скоростей перемещений.
Если материал является изотропным, то соотношения, приведенные в данной работе, переходят в аналогичные соотношения для идеально-пластического материала [3, 7, 8].
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Учен, записки МГУ. Механика, 1946. 1986. Вып. 117. С. 90-108. Также см. Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.: Наука. С. 62-83.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 232 с.
Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: В.. Т. 2001. Т. 1. Теория идеальной пластичности —М.: Физматлит, — 448 с.
Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998.—— 528 с.
Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.
Артемов М. А., Ивлев 〃. 〃. О статических и кинематических соответствиях в теории идеальной пластичности при кусочно линейных условиях текучести // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. № 3. С. 104-110.
Артемов М. А., Ивлев Д.Д. О кинематически определимых соотношениях в теории идеальной пластичности / / Вестник В ГУ. Естественные науки. 1996. № 2. С. 78-85.
Артемов М.А. К построению математических моделей пластических материалов // Математическое моделирование информационных и технологических систем. — Сб. науч. тр. Вып. 5 / Воронеж: ВГТА, 2002. С. 131-133.
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛНООБРАЗНЫХЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТОВ
И. Ю. Бабич Н. П. Семенюк
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
В механике композиционных материалов (КМ) получили развитие два взаимосвязанных и дополняющих друг друга направления исследований. Первое из них базируется на строгом учете структуры материала, второе — на использовании интегральных диаграмм деформирования, которые могут быть получены экспериментально или расчетным путем. Точные решения задач механики в постановке, соответствующей первому направлению, кроме рассмотренных специфических вопросов [1-4], подтвердили применимость методов второго направления к весьма широкому классу композитов, использующихся для изготовления оболочечных конструкций. В связи с этим при разработке методов решения задач статики и динамики оболочек из КМ структурные особенности последних учитываются только при расчете эффективных характеристик анизотропной сплошной среды, имеющей такие же диаграммы деформирования и прочностные характеристики, что и исходный КМ. Построив в таком приближении уравнения состояния КМ, а также используя уравнения движения и соотношения между перемещениями и деформациями теории упругости анизотропного тела, можно получить решение соответствующих задач, хотя это сопряжено со значительными трудностями.
Применение уравнений трехмерной теории упругости к исследованию устойчивости упругих тел с учетом изменения их граничных поверхностей было предложено А.Ю. Ишлинским и Л. С. Лейбензоном [5, 6]. В трехмерной линеаризованной постановке в работах А.Н. Гузя и его учеников [2, 7, 8, 9] были получены решения задач устойчивости анизотропных элементов конструкций, которые послужили основой для оценки точности различных прикладных теорий, использующихся в расчетной практике. Оказалось, что теория оболочек, в которой деформации поперечного сдвига учитываются в соответствии с гипотезой Тимошенко, позволяет находить критические нагрузки с незначительной погрешностью. Эта оценка относится и к таким интегральным характеристикам, как низшие частоты свободных колебаний оболочки из КМ. В то же время решение уравнений теории оболочек типа Тимошенко менее трудоемко, чем уравнений теории упругости, особенно в случае оболочек сложной геометрии. Такими, в частности, являются цилиндрические оболочки с волнообразной срединной поверхностью, которые при большом количестве волн принято называть гофрированными. Устойчивость последних рассматривалась в работах [10, 11] путем замены их эквивалентными ортотропными. Хотя экспериментальные данные обнаруживали более высокую эффективность гофрированных оболочек [10], приближенное дискретное решение не подтвердило возможности увеличения критических нагрузок за счет придания профилю поперечного сечения волнообразного характера. Недостатков приближенного подхода удалось избежать в работах [12-14], где устойчивость гофрированных оболочек рассматривалась с учетом изменяемости геометрических параметров по направляющей. Из проведенных авторами этих работ исследований вытекает, что при равновозможности общей и локальной форм потери
устойчивости, удельные критические нагрузки для некруговых волнообразных оболочек могут быть значительно выше, чем для круговых. Представленная в [1214] методика позволяет найти необходимые сочетания геометрических параметров оболочки и волн гофра, обеспечивающих требуемую жесткость конструкции. Когда для изготовления гофрированных оболочек используются композиты, возникают дополнительные факторы влияния, обусловленные спецификой механических свойств КМ. Ниже на основании уравнений теории оболочек типа Тимошенко приводится решение задачи о свободных колебаниях и устойчивости при осевом сжатии волнообразных оболочек из композитов. Так как для таких оболочек отношение толщины к радиусу кривизны (力/邑)изменяется в широких пределах, то используются уравнения, выведенные с учетом слагаемых порядка (力/丛)по сравнению с единицей.
Рассматривается цилиндрическая оболочка постоянной толщины 力 срединной поверхности которой придана волнистость с ориентацией гребней волн вдоль образующей. Поперечное сечение поверхности в полярных координатах R,夕 описывается уравнением
R (夕)=/ (1 + 7 cos Ng),(1)
где Rq — радиус исходного кругового цилиндра, Rq^ — амплитуда волны гофра, N — количество волн гофра.
Система координат выбрана таким образом, что ось ж совпадает с образующей цилиндра, ось у — с направляющей, а ось z имеет положительное направление, совпадающее с внутренней нормалью к поверхности. При этом длина элемента Дуги dy = 4 如，где
4 = ^oy 1 + ； 72(1 + %2) + 2)cos N屮 + ； 72(1 — N?) cos 2N屮.(2)
Переменный радиус кривизны R^ задается выражением
1+ 疗(1 + 3m)+ 2)1+ 疗(1 + 3m)+ 2)1\Т.
1+ 疗(1 + 3m)+ 2)
1+ 疗(1 + 3m)+ 2)
1 + - Л^2 j cos N(p + - 72 (1 — №) cos 2N屮
Изменение геометрии оболочки при деформации в теории типа Тимошенко описывается перемещениями координатной поверхности ", о, w и углами поворота поперечных сечений Н и 也.Для определения деформаций растяжения- сжатия срединной поверхности £ц, £22, сдвига £12, поперечного сдвига £13, £23, приращений кривизны и кручения поверхности через перемещения, целесообразно использовать зависимости
£11 = £1 + ；(£彳 ++ 簧)，£22 = £2 + ；(名 + 必 + 娉)，
£12 =幻1 + 幻2 + £1 幻 2 + £2幻1 + ^1^2, £13 = Н + ^1, £23 =也 + ^2,
1⑷
^11 =自，k22 =k2 + h £2,自2 = T1 + T2,
=力1, T2 =力2 +"2,
где диdv ° dw
1 dv w1 du Q 1 dw , v
*2 =芯丽一危，*2 =芯彦，%=芯彦+瓦，（5）
771 д^ ,1 d'O
kl=dx^ "1 =五，圆=为証，力2 =芯丽.
Так как во многих точках поперечного сечения отношение （力/凡）может быть не малой величиной по сравнению с единицей, то в соотношениях упругости сохраним слагаемые с указанным множителем. При этом выражения усилий и моментов через деформации имеют вид
711 = Сц£ц +（712^22 -^11^11,
T22 - ^12^11 + °22£22 + к о22k22,
T12 = 066£12 -T21 = 066£12 - ^-72066,
T13 =。55£13,T23 =044£13,
陷.1 ——炉 ^11^11 —炉 ^12^22 + ^11^11 + 012k22,
”22 = 012kli + 022k22,"12 =。66航2 -。66金12,”21 = 066kl2,
где &/, Di j — жесткости растяжения, сдвига и изгиба оболочки. Усилия 丁⑵ 不 1 и моменты ТИ12, ”21 связаны соотношением Т12 = Т21М21, вытекающим из
условия симметрии тензора напряжений.
ti 厶 27r ш to о Оti 厶 27r ш to о ОПолагаем, что оболочка сжата в осевом направлении равномерно распределенными по периметру торцов усилиями т]?・ Из уравнений безмоментной теории оболочек в этом случае вытекает [15], что докритичное состояние оболочки характеризуется только сжимающим усилием — т[?・ Колебания и устойчивость оболочки в этом состоянии будем исследовать с помощью вариационного уравнения, вытекающего из принципа Гамильтона-Остроградского:
ti 厶 27r ш to о О
ti 厶 27r ш to о О
Tu Jsi + 7 22^^2 + T12 6"1 + T216 g 2 + ^13^^13 + T238£23 +
+ Мц6к± + М225 k2 + ТИ12^^1 + ”218力 2 — т[?（£1б£1 + 幻1方幻1 + %6户1）—
一喘饗+黑饗+需礬力2^d"0,⑺
где р — плотность материала оболочки.
Введем безразмерные величины:
ж _ А2丽，"2=丽,。6651ж _ А2丽，"2=丽,。6651T…整，T…整，022。44芯'a4=芯,022。44芯'a4=芯,&5&5012"2 =及?_055二芯，012"2 =及?_055二芯，⑻⑻_ 011_ 012）11 = ^Г712 = ^'_ 011_ 012）11 = ^Г712 = ^'_022722 = @^，766_022722 = @^，766066_ ptRo066_ ptRo
ж _ А2丽，"2=丽,
。6651
ж _ А2丽，"2=丽,
。6651
T…整，
T…整，
022。44
芯'a4=芯,
022。44
芯'a4=芯,
&5
&5
012
"2 =及?
_055
二芯，
012
"2 =及?
_055
二芯，
⑻
⑻
_ 011_ 012
）11 = ^Г712 = ^'
_ 011_ 012
）11 = ^Г712 = ^'
_022
722 = @^，766
_022
722 = @^，766
066_ ptRo
066_ ptRo
Перемещения отнесем к радиусу R。, однако новых обозначений вводить не будем, так как ниже их размерные величины не используются. Выразив все входящие в （7） величины через перемещения, указанное вариационное уравнение запишем в таком виде:
ti Ro 27r
[[][L11（", 6"） + L12（0, 6"） + L13®, 6"） + L14（也 6"） + l15（也 b"） +
to 0 0
+ L21（% 60）+ L22（0, 60）+ b23（W, 8о）+ L24（也 60）+ L25（次80）+
+ L^（U, 6w） + L32（0, Sw） + L33（叫 ^W） + l34（也 Sw） + l35（如 ^w） +
+ L41（", 6H） + L42（0, 6H） + b43（W, 6H） + l44（也 6H） + L45（次初）+
+ L51（% 6明 + l52（0, 6明 + l53®, 6明 +
+L54（也6明 +l55侬，6明 一A（S1 Jsi +以18公1 +户16h1）-
。2 d£d夕 dt = 0. （9）。2 d£d夕 dt = 0. （9）/ ди дби dv d6v dw
。2 d£d夕 dt = 0. （9）
。2 d£d夕 dt = 0. （9）
-P11灰 ~dt ~дГ^ ~dt
Для операторов Lij получены следующие выражения:
г /£ \3〃 дби 1 ди дби 766 ди дби
г / с \〃2 3。дби , СКб а。дби Г / С 、〃2 дби
%2（。，8"）=石呪代 + 石页 /，％з®, H = --w^
%40M"） = -否証存 + 肃証 /，％5侬,6"） = 0,
b23（w, 6v）b23（w, 6v）（&2 + 02 a2 \（&2 + 02 a2 \г / с、 dv d6v , L22（0, 80） = a6 証 &T +г / с、 dv d6v , L22（0, 80） = a6 証 &T +1 dv d6v1 dv d6v+ 粤 v6v,02+ 粤 v6v,02d6v + a：4d（p02a2d6v + a：4d（p02a2dw cdw c（Ю）（Ю）
b23（w, 6v）
b23（w, 6v）
（&2 + 02 a2 \
（&2 + 02 a2 \
г / с、 dv d6v , L22（0, 80） = a6 証 &T +
г / с、 dv d6v , L22（0, 80） = a6 証 &T +
1 dv d6v
1 dv d6v
+ 粤 v6v,02
+ 粤 v6v,02
d6v + a：4
d（p02a2
d6v + a：4
d（p02a2
dw c
dw c
（Ю）
（Ю）
3也= 0, 5也对=Т簧喂+急鵠喂囁师,
г / с 、1 /, )22、 с , dw d6w , а：4 dw d6w
Операторы 厶叮 обладают свойством симметрии:
Lij(m, 6n) = Lji(6n, m).
После умножения в (9) всех операторов на g замечаем, что параметры g и 仅 присутствуют в их выражениях в виде таких десяти коэффициентов:
a211a2a21111
02a2 020202曲0202曲02偿
В порядке следования этих выражений в списке (11) присвоим им обозначения 幻€ (г = 1, 2,... , 10). Как видно из (2) и (3), периодические функции g являются четными с наименьшим периодом (2тг/N). Аппроксимируем эти функции отрезком ряда Фурье:
幻£ = А0,г + £ Ар,г COS rN屮.(12)
Значения функций 伤 зададим в М точках (М — нечетное число). Ввиду ортогональности функций cos tN屮 на дискретном множестве точек, коэффициенты Л「,£ вычисляются по формулам
[м—12 м—1
入。，£ = 77 £ 包(夕Q, %,£ = 77 £ 伤(夕QcostN夕k,(13)
k=0k=0
здесь
,27r
4k = F・
При 目=(M — 1)/2 разложение (12) дает точное значение исходной функции в заданных точках. Это свойство дискретного преобразования Фурье не зависит от количества точек разбиения М. С увеличением этого числа улучшается аппроксимация функций 3i между точками разбиения.
Удовлетворяя граничным условиям шарнирного опирания, а также условиям периодичности по окружной координате 夕，перемещения представим в виде тригонометрических рядов:
и = cos 1т^ 4о + £ (4^ с0sty夕 + 4^ sin^夕) cosg%,
v = sin lm^ 3° + £ (3^ sin^夕 + 3g c0sty夕) cosg力
■ОО,■
w = sin /т^ Со + J2 （^J cos J^ + ^j sin J^） cosg%,（14）
■oo,"
= cos lm^ Do + 52（^ cos j（p + Dj sin j（p） cosg力
■oo,"
= sin Zm^ Eo + £ （£^ sii1tУд + £^ c0sty夕）cosg力
где lm = ^丁。,幻—угловая частота колебаний оболочки.
Из вариационного уравнения （9） с учетом разложения （12） и （14） выводятся две независимые бесконечные системы однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов: Aj,Bj,Cj,Dj,EiA[,B；,C；,D；,E；.
В первом случае система имеет вид
£[&•（尻丁 + 父 1%） + 当父2% + 2（尻£ + 父3%） + Dj X
X （尻广 + 父4%） - *苏4■（0彳丁 + ао,1^）]-网“2&・（0下 + X。」%） = 0, e[4h2% + B^ + 出2%） + 3（3次 + 期3%） + Ej X
X （凤£ + 期5%） - *疗当（。犷 + %,2寸）]-p^B^D^ + Ao,2%） = О, e [4•（质丁 +父3%） +%（3犷+期3%） + 2•仍款+题3%） + D式电广+
+ 题4%） + 马•（風£ + 题5%） - Xlm1C^D^ + Ao,"；）] 一e3（0；•丁 +
+ Ao,iJ；） = O, （15）
e[4•（闻丁 + 父4%） + SB 姆 + 招%） +
+ D^： + 複4%） + EjA^] = 0, £ [当（3皆 + 複5%） + 3（凤£ + 複5%） +
+ DjB^g + Ej（嘀 + *5%）] = 0. Здесь
4?1 =入0,1 点 + （a6入0,3 + 766 Ao,7）^2,4?2 = -/m 几（a6 + 沙 2）,
473 — ^2А0,2^m,4?4 — -）1卩0,2 点 +）66入0,9 几 L
4,2 - a6》0,1 点 + （a2入0,3 +）66入0,7）几 2 + a4入0,5,
4,3 = -（a2入0,4 + 722A09,8 + a42入0,4）*
4,5 = —766^0,2^ш +)22入0,9 几2 + ^4^0,2?
4*3 — &2入0,5 + 722^0,6 + ^5^0,1^ + ^4^0,З^2?^34 - ^5A0,l^m? 4晶=-(722入0,10 + a4)九，4才4 = «5А0Д + 7iiAo,i/^ + )бб》о,з 几 ％^45 -(712 + 766)/тП*^55 - ^4A0,1 +)22，0,3 几2 + 766入0j点，
尻丁 =点 S产(A,」)+ jn [«25Г(Аг,з) + 766s戸(％jo)],(16)
B^ = 〃2^S 产(A,?), Bff = —и 点 S产(Л「,2)+ 766 Ms戸(А%)3疗=*点S戸(А,」)+ jn [a2s产(А『з) + 722^Г(Аг,7)] + mS戸(А『з),喷=一a2几S产(A,,4)- )22九S产(A「,8)+ 04»戸(%4),凤£ = -766^^'5П(Аг,2)+ )22 初 S产(Л『9)+ a4s 戸(Л『2),
е£ = a2s 产(A,,5)+ 722s 产(A,,6)+ ^17^3{^(Х^ + a4 方 s戸(а,,3),風广=a^sr(xr^,風£ = —722» 产(M10),闻广=«5^Г(Лг,1) + 711 点 S产(A「,1) + 766 Ms戸(А〃з),3篤=a4s 戸(А,」)+ 722 初 S产(А「,з) + )66 点 S戸(％i),D^ = S^(Xr^, D^ = S^n(Xr^.
Для других коэффициентов справедливы соотношения
凤丁 =尻鼻B^ = b貝,瓦£ =e八b^ = b居,в^ = в^. (17) Так как в выражениях коэффициентов 玖* присутствуют множители
р 5产(％£)= £ ^r,ih(j, rN, n), k = 1,2,(18)
где
厶=T (方九+九 + SrN-n + 碍Tn) , /2 =；(方九+九-^rN-n + 鼠Tn)，(19)
то система уравнений (15) распадается на ([N/2] + 1) подсистем. Решение каждой из таких систем определяет спектр собственных значений и принадлежащих им собственных векторов. Задавая п = 0,1,, [Л^/2], получим ([N/2] + 1) крити
ческих значений нагрузки, наименьшая из которых представляет практический интерес.
Система однородных уравнений относительно коэффициентов со штрихом в разложениях (14) имеет такой же вид (15). Однако коэффициенты 斗弘，^Зз,
А35，А45, 3芳，刃八 3裁 будут иметь противоположные знаки, а суммы Si заменяются на S?. Различаться будут только системы уравнений относительно коэффициентов с индексами О, N, 2N,. . . При)= 0 эти два случая соответствуют осесимметричной форме потери устойчивости и осесимметричному закручиванию (сдвигу). Для гофрированных оболочек первая из этих форм в [16] называется почти симметричной.
Используем полученное решение для анализа колебаний и устойчивости волнообразных цилиндрических оболочек из стеклопластика. Механические характеристики последних приняты такими:
石1 = 4,45 • 104 МПа, Е2 = 1,07- 104 МПа,
G12 = G13 = 0,418 • Ю4 Мпа, G23 = 0,848 • 104 МПа,
〃1 = 0,26, 〃2 — 0,0628.
Полагаем, что оболочка средней длины (L/R = 2) имеет поперечное сечение с количеством волн N = 21 и амплитудой yRo = 0,00912 м при Ro = 0,2 м. На рис. 1 приведены кривые, иллюстрирующие зависимость низшей частоты колебаний от толщины оболочки и модулей сдвига.
Пунктирные кривые вычислены для круговой оболочки радиуса R。，сплошные — для волнообразной. По оси ординат здесь отложены значения отношения квадрата низшей частоты при текущих значениях параметра (R/力)к квадрату частоты при (R/力)= =100. Для кривых 1 модули поперечного сдвига соответствуют исходным, для кривых 2 и 3 они ниже на один и два порядка. Так как при каждом значении (丛/力) упругие и массовые характеристики оболочки одинаковы, за исключением модулей по
перечного сдвига, то различие между пунктирными кривыми объясняется только этим фактором. В этом заключается также причина несовпадения сплошных кривых. К тому же очевидно, что для волнообразных оболочек той же толщины пониженная сдвиговая жесткость композитов весьма существенно влияет на частоты свободных колебаний. Это объясняется тем, что при переменной кривизне максимум отношения (t/R^) может быть значительно больше, чем t/Rq. О том, как влияет на низшую частоту колебаний амплитуды волны гофра при R0/t = = 51,3 дают представление кривые на рис. 2.
Здесь сплошные кривые получены из решения системы уравнений (15), пунктирные —из системы относительно коэффициентов со штрихом в разложениях (14). Кривым 1, 2, 3 соответствуют те же модули поперечного сдвига, что и на рис. 1. По оси абсцисс отложены значения параметра 7 = 0,00456(6 — 1), по оси ординат — отношение квадрата низшей частоты некруговой оболочки к квадрату частоты оболочки при 7 = 0. Как видно, при малых амплитудах волн(7 < 0,0456) происходит снижение частот, причем более существенное для композитов с малым модулем поперечного сдвига. При увеличении параметра 7 > > 0,00456 частоты возрастают более чем в 2,5 раза. Если 71 > 0,132, 72 > 0,127 и 7з > 0,114 соответственно на кривых 1, 2 и 3 наблюдается ниспадающий участок. При этих значениях амплитуд волн гофра происходит смена форм колебаний. Для
кососимметричных форм частота будет ниже, чем для циклически симметричных.
Максимальными становятся перемещения v^ а не w, как было до этих значений 7.
Результаты расчета критических осевых усилий приведены в виде графиков на рис. 3.
Рис. 2Рис. 2Рис. 3Рис. 3
Рис. 2
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 3
Ось абсцисс здесь такая же, как и на рис. 2, а на оси ординат отложены значения отношения критического усилия оболочки с 7 * 0 к критическому усилию круговой оболочки. Кривые 1, 2 получены при тех же механических характеристиках материала, что и на рис. 2. Кривой 3 соответствуют модули поперечного сдвига, уменьшенные в 40 раз. Здесь приведены только сплошные кривые, так как существенных различий между решениями двух исходных систем в рассмотренном диапазоне амплитуд 7 не наблюдается. При малых значениях параметра 7 начальная волнистость поверхности отражается на критических нагрузках как начальное несовершенство, приводя к их снижению. Затем происходит смена форм потери устойчивости, свидетельствующая об увеличении жесткости оболочки. Критические усилия значительно возрастают, причем тем значительнее, чем выше модули поперечного сдвига.
В заключение отметим, что приведенные выше результаты, а также результаты, опубликованные в работах [12-14], несмотря на их ограниченный объем, свидетельствуют о тех интересных возможностях, которые содержатся в использовании композиционных материалов при создании волнообразных оболочечных конструкций.
Список литературы
Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. — Киев: Наук, думка, 1971. - 304 с.
Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. — Киев: Наук, думка, 1971. - 276 с.
Гузь А. Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. — Киев: Наук, думка, 1990. — 620 с.
Guz A. N. (Guest Editor), Akbarov S. D, Shulga N. A., Babich I. Yu., Chekhov V. N. Micromechanics of composite materials: Focus on Ukrainian research // Appl. Meeh. Rev., Special Issue. 1992. V. 45, № 2. P. 13-101.
Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. ж. 1954. Т. 6, № 2. С.140-146.
Лейбензон Л. С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек: Соб. тр, 1951. Т. 1. — М.: Изд-во АН СССР. С. 110-121.
Бабич И. Ю., Гузь А. Н. Устойчивость элементов конструкций из композиционных материалов (трехмерная постановка) // Прикл. механика. 2002. Т. 38, № 9. С. 28-58.
Бабич И. Ю., Семенюк Н. /7.Устойчивость и начальное закритическое поведение оболочек из композитов // Прикл. механика. 1998. Т. 34, № 6. С. 3-38.
Механика композитов: В. 12 т. / Под общ. ред. А. Н. Гузя. Т. 10. Устойчивость элементов конструкций / А. Н. Гузь, И. Ю. Бабич, Д. В. Бабич и др. — Киев: Изд-во «А.С.К.», 2001. - 376 с.
Комиссарова Г. Л. Устойчивость продольно гофрированной цилиндрической оболочки неподкрепленной и подкрепленной шпангоутами // Тр. IV Всесоюзн. Конф, по теории оболочек и пластин. — М.: Наука, 1963. С. 563-571.
Шалашилин В. И. Устойчивость и закритическая деформация гофрированных цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 3. С. 131-135.
Семенюк Н. П. Устойчивость некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Прикл. механика. 1984. Т. 20, № 9. С. 43-49.
Semenyuk N. Р.)Neshodovska N. A. Stability of Orthotropic Corrugated Cylindrical Shells // Int. Appl. Meeh. 2001. V. 37, № 11. P. 1447-1457.
Semenyuk N. P.)Zhukova N. B., Neshodovska N. A. Stability of orthotropic corrugated cylindrical shells under axial compression //Mechanics of Composite Materials. 2002. V. 38, № 3. P. 243-252.
Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962. — 212 с.
Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. — Казань: Татиздат, 1957. — 431 с.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ РАЗЛИЧНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
B.F. Баженову А. И. Кибец, П. В. Лаптеву С. Л. Осетров
НИИ механики Нижегородского государственного университета им.
И. Лобачевского
Для оценки прочности конструкций необходимо иметь предельные характеристики деформирования материала с учетом вида напряженно-деформированного состояния (НДС). Получение этих характеристик экспериментальным путем затруднено, так как измерительная техника не позволяет оценить неоднородность НДС по длине и толщине образцов при конечных деформациях. Для получения характеристик расчетным путем необходимо знать истинную диаграмму деформирования вплоть до момента начала разрушения образца. При построении диаграмм обычно используют экспериментальные результаты растяжения цилиндрических стержней и оболочек. Значительные трудности в построении истинной диаграммы возникают после момента локализации деформаций, из-за неоднородности НДС по длине и толщине образца. Поэтому для получения механических и предельных характеристик необходимо совместно анализировать экспериментальные и теоретические результаты.
Известно, что в процессе квазистатического растяжения НДС в стержне однородно вплоть до начала локализации процесса деформирования, когда начинает образовываться шейка. После потери устойчивости НДС в области шейки становится сложным неодноосным и неоднородным. В большинстве опубликованных работ основное внимание уделено определению момента потери устойчивости (начала образования шейки) [1, 2]. В [1] получены уравнения устойчивости пластического растяжения. Процесс потери устойчивости (начала образования шейки) рассматривается как непрерывная смена равновесных форм. Поэтому критическая деформация, при которой зарождается шейка, определяется бифуркационным методом. Заметим, что уравнения устойчивости, полученные в постановке [3, 4], являются частным случаем уравнений, полученных в [1].
Зачастую момент потери устойчивости связывают с точкой максимума на условной кривой деформирования. В общем случае это не так [2], но для простых нагружений, когда расчетные параметры изменяются пропорционально, это выполняется. Поэтому критическую деформацию при растяжении стержня можно определить из уравнения [5]
do _ сг
de 1 + е '
где а — истинные напряжения, £ — условные деформации.
Вопросу о закритическом поведении в литературе уделено мало внимания, так как возникающее сложное НДС затрудняет получение аналитических решений. Для цилиндрического стержня рассматривались распределения напряжений и деформаций после потери устойчивости [6-8]. В [6, 7] были получены приближенные
аналитические решения распределения напряжений и деформаций вдоль радиуса в наименьшем сечении шейки. В [8] получено точное аналитическое решение задачи о распределении напряжений и деформаций в наименьшем сечении шейки на начальный момент ее образования. Построением истинной диаграммы деформирования после потери устойчивости занимались Давиденков, Мак-Грегор, Фишер и др [5]. При построении они основывались на данных эксперимента и на полученных приближенных решениях распределения напряжений и деформаций в наименьшем сечении шейки. Заметим, что использование приближенных решений распределения напряжений вдоль плоскости симметрии образца для определения характеристик деформирования вызывает трудности, связанные с определением радиуса кривизны контура шейки в точке наименьшего поперечного сечения.
В [9, 10] для построения истинных диаграмм деформирования при больших деформациях был предложен экспериментально-теоретический подход, основанный на совместном анализе результатов натурного эксперимента и численного моделирования процессов деформирования лабораторных образцов или элементов конструкций. В рамках этого метода для определения механических констант материала формируется целевая функция, описывающая различия натурных и численных экспериментов. Параметрами сравнения могут быть силы, перемещения, деформации и др. Далее строится итерационный процесс нахождения механических констант материала. В случае задачи о растяжении образцов за параметр сравнения можно взять осевую силу на торце в зависимости от перемещения. Численное решение задачи в первом приближении производится с использованием диаграммы деформирования, полученной в предположении равномерного деформирования образцов. В последующих приближениях осуществляется корректировка диаграммы деформирования в зависимости от относительной разницы значений осевых усилий в расчете и эксперименте. Таким образом, в [9] была построена диаграмма деформирования для стального (12X18 НЮТ) стержня круглого поперечного сечения до момента разрушения.
Для сравнительного анализа НДС стержней круглого, квадратного и прямоугольного поперечного сечения будем использовать полученную диаграмму деформирования .Размер стороны квадрата и большей стороны прямоугольника примем равными диаметру круглого стержня [9]. Меньшая сторона прямоугольника составляет десятую часть от большей. Продольный профиль стержней идентичен по геометрии сечению круглого стержня.
Динамика конструкции описывается в переменных Лагранжа с позиций механики сплошных сред [11, 12]. Уравнение движения выводится из вариационного принципа Журдена:
j^J^dV +jpt/^^dV= ] PiSUid^^ ] P^Uid^ (£工=車)，(1) Q Q Гр rq
где 巨叮 s Oij — компоненты тензоров деформаций и напряжений, 3 — перемещения в общей системе координат X〉р — плотность, р? — контактное давление, pi — распределенная нагрузка, Q — область, занимаемая конструкцией, Г7 — поверхность контакта,Гр — область действия внешнего давления, точка над символом означает частную производную по времени t. По повторяющимся индексам ведется суммирование. Скорости деформаций определяются в метрике текущего состояния:
©叮=2("〃U + "川)(3 7 = 1,3), Su = ах* ' Х§ = X§ к。+ ] Uj dt.⑵
Уравнения состояния устанавливаются раздельно для шаровых g",cr" и де- виаторных ©务，сг± составляющих скоростей деформаций и напряжений. Зависимость шаровых компонент скоростей деформаций и напряжений предполагается баротропной: сг" = cr^(p). При упругопластическом деформировании девиатор- ные составляющие скорости деформации ©务 раскладываются на пластические gg и упругие ©；； компоненты. Девиаторные составляющие тензора напряжений вычисляются с помощью соотношений теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением:
SijSij |о-т；Qt = QT&J心;X = J| j 丁询雙g 山;⑶
о
Здесь -^ — производная по Яуманну, G — модуль сдвига, Sij и pij — компоненты тензоров активных напряжений и микронапряжений.
Решение определяющей системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест» [11, 12]. Для анализа нестационарного деформирования элементов конструкций применяется 8-узловой изопараметрический элемент с полилинейными функциями формы
= 1 (1+|) (1+|) (1+|)(仁率
Скорости деформаций аппроксимируются линейными функциями. Вклад в энергию моментных составляющих, характеризующих градиент скорости деформаций в элементе, регулируется весовыми коэффициентами, что позволяет в рамках единой схемы исследовать динамику массивных тел, стержней и оболочек. Напряжения определяются подстановкой скоростей деформаций в уравнения состояния (3). В силу малости весовых коэффициентов связь между градиентами напряжений и скоростей деформаций предполагается линейно упругой. Пластические свойства материала учитываются при вычислении напряжений в центре конечного элемента. Напряжения по толщине элемента аппроксимируются кусочно-постоянной функцией, определяемой из уравнений состояния (3) исходя из линейного распределения скоростей деформаций вдоль нормали к срединной поверхности. Численная схема определения контактного давления и статически эквивалентных ему узловых сил приведена в [11].
Дискретный аналог уравнения движения конструкции имеет вид
[M]{W} = {R},⑷
где [М] — диагональная матрица масс, {W}, {R} — векторы узловых перемещений и результирующих узловых сил в системе координат {X} [11, 12]. Система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется по явной конечноразностной схеме типа «крест». Шаг по времени △ t определяется из условия устойчивости. В результате вычисляются скорости перемещений и перемещения узлов КЭ-сетки конструкции на следующем временном слое. Затем определяются базовые координаты {X}, что позволяет учесть геометрическую нелинейность.
Численное решение задачи в трехмерной постановке осуществлялось на основе пакета программ «Динамика-3». В качестве граничных условий на концах стержней задается изменение продольных перемещений во времени таким образом, чтобы инерционные силы были малы. Для оценки точности и выбора параметров дискретизации предварительно осуществлялось решение задач на различных сетках. В итоге для рабочей части стержня квадратного сечения была выбрана сетка 10 х х 10 х 80 элементов, а для прямоугольного — 2 х 10 х 80. В процессе решения поставленной задачи установлено, что при деформациях, близких к предельным, решение весьма чувствительно к заданию входных параметров (диаграммы деформирования, разбиения на конечные элементы, типа конечного элемента). Поэтому при расчете необходимо использовать математическую модель и численный метод, достаточно точно описывающие процесс деформирования.
На рис. 1, 2 представлены зависимости средних истинных и условных напряжений в поперечном сечении шейки от осевой деформации £ц (&ц = In (1 + ец\ где ец — условная деформация) в центре для стержней круглого, квадратного и прямоугольного поперечных профилей. Здесь также представлены результаты расчета по программе ANSYS на тех же сетках. Как видно из рисунков, эти графики хорошо согласуются между собой. Из рисунков следует, что предельные нагрузки и момент образования шейки совпадают для стержней различного поперечного сечения. Расхождение появляется после начала локализации деформаций, когда вид НДС в месте образования шейки существенно зависит от формы поперечного сечения.
Рис. 1
На рис. 3 представлены формы поперечных сечений в недеформированном и деформированном состоянии после образования шейки в квадратном и прямоугольном стержнях. После потери устойчивости однородного пластического деформирования наблюдается изменение формы поперечного сечения этих стержней, вызванное трехмерностью НДС в области образования шейки, при этом боковые поверхности стержней становятся криволинейными и втягиваются вовнутрь.
Анализ НДС показывает, что в случае квадратных стержней нормальные к оси растягивающие напряжения достигают 24 % по отношению к осевым в центре сечения шейки. В прямоугольных стержнях максимальные в сечении шейки рас-
тягивающие напряжения действуют вдоль большей стороны и достигают 13 %, тогда как в круглом стержне радиальные и кольцевые напряжения достигают 30 %. Полученные результаты хорошо согласуются с установленным экспериментально фактом о предельных деформациях стержней с различной формой поперечного сечения. Максимальная степень объемности НДС достигается в стержне круглого сечения, минимальная — в прямоугольном стержне. В квадратном стержне степень объемности НДС занимает промежуточное значение. В соответствии с этим максимальная осевая деформация до разрушения в шейке достигается в прямоугольном стержне, минимальная — в круглом. При растяжении стержня имеет место неодноосное напряженное состояние не только в шейке, но и в местах сопряжения рабочих и опорных частей образца, где возникает краевой эффект, вызванный изменением толщины стержня. С увеличением степени деформации этот краевой эффект распространяется вовнутрь стержня и при деформациях более 10 % наблюдается значительная переменность толщины, нарушающая однородность НДС еще до момента образования шейки. Распространение краевого эффекта зависит от формы поперечных сечений, поэтому величина осевых деформаций в шейке при одних и тех же удлинениях стержней будет различной, так как жесткость стержней будет переменной по длине. Для того чтобы уменьшить роль краевых эффектов, необходимо выбирать длину рабочей части образцов тем больше, чем выше степень деформации до разрушения. Обычно принимаемая длина рабочей части составляет 10-12 диаметров, при деформациях более 100 % этот стержень весь будет находиться в условиях неоднородного НДС и при отсутствии шейки. Такие процессы имеют место при растяжении наноматериалов.
В соответствии с экспериментально-теоретической методикой [6, 7] была получена истинная диаграмма деформирования для стержня прямоугольного сечения, выполненного из меди. Параметры разбиения рабочей части образца брались 60 х х 5 х 4. На рис. 4 изображена начальная и текущая геометрия, полученная из эксперимента и численного расчета. На рис. 5 изображен поперечный профиль образца на момент, близкий к разрушению.
Рис. 3
б
Эксперимент
Рис. 4
Рис. 5
соответственно. На рис. 7 приводятсясоответственно. На рис. 7 приводятсяРис. 6Рис. 6Работа выполнена при частичном финансировании Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-00594, НШ-1136.2003.8), гранта Минобразования РФ (Е 02-4.0-95).Работа выполнена при частичном финансировании Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-00594, НШ-1136.2003.8), гранта Минобразования РФ (Е 02-4.0-95).
соответственно. На рис. 7 приводятся
соответственно. На рис. 7 приводятся
Рис. 6
Рис. 6
Работа выполнена при частичном финансировании Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-00594, НШ-1136.2003.8), гранта Минобразования РФ (Е 02-4.0-95).
Работа выполнена при частичном финансировании Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-00594, НШ-1136.2003.8), гранта Минобразования РФ (Е 02-4.0-95).
Построенная диаграмма деформирования представлена на рис. 6, где % и / — интенсивности напряжений и деформаций условные диаграммы деформирования,
полученные из эксперимента и расчета.
Как видно из рисунка, численные и экспериментальные результаты полностью совпадают.
Полученные результаты позволяют сделать выводы о широкой применимости экспериментально-теоретической методики построения истинных диаграмм деформирования материала с использованием образцов с различной формой поперечных сечений (круглых, квадратных, прямоугольных, трубчатых и др.) для
оценки прочностных характеристик элементов конструкции в условиях сложного
неоднородного НДС.
Список литературы
Дель Г. Д., Одинг С. С. Устойчивость пластического растяжения // Прикладная механика. 1982. Т. 18, № 11. С. 86-91.
Колпак Е. П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях.— С.Петербург: СПбГУ, 2000. - 248 с.
Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, № 2. С.140-146.
Лейбензон Л. С. О применение гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. В кн.: Собрание трудов. — М.: Изд-во АН СССР, 1951. Т. 1. С. 50-85.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел / Пер. с англ; Под ред. Г. С. Шапиро. —М.: Изд-во иностр, лит., 1954. Т. 1.
Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. — М.: Изд-во иностр, лит., 1955.
Давиденков Н. Н.)Спиридонова Н. И. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца // Заводская лаборатория. 1945. № 6. С. 583.
Жуков А. М. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении // Инж. Сб. 1949. С. 34-51.
Баженов В. 77, Зефиров С. В., Казаков Д. А., Осетров С. Л.、Садырин А. И. Экспериментальное и численное исследование локализации пластических деформаций в стержне при растяжении до разрушения // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Н. Новгород, 2001. С. 49-54.
Баж.енов В. Г, Ломунов В. К. Экспериментально-теоретическое исследование процесса образования шейки при растяжении стального трубчатого образца до разрыва // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Н. Новгород, 2001. С. 35-41.
Баженов В. 77, Кибец А. И., Цветкова И. Н. Численное моделирование нестационарных процессов упругого взаимодействия деформируемых элементов конструкций // Проблемы надежности машин. 1995. № 2. С. 20-26.
Баж.енов В. F.)Кибец А. И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечного элемента // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 52-59.
Рис. 1Рис. 1жж分=1,2;分=1,2;⑴⑴
Рис. 1
Рис. 1
ж
ж
分=1,2;
分=1,2;
⑴
⑴
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ А. Ю. ИШЛИНСКОГО
В. В. Белецкий
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
А.Ю. Ишлинским однажды в беседе с автором была поставлена следующая задача (рис. 1): «Два тела с одинаковой массой М каждое, взаимно тяготея, движутся по круговым орбитам. Неожиданно появляются два малых тела
с одинаковыми массами т каждое, которые имеют начальные условия такие, что при отсутствии тел М они совершали бы тоже движение по круговой орбите. Взаимодействие —ньютоново. Какие возмущения будут вносить тела М в движение тел т?»
Положим ттг《7И и поставим ограниченную задачу небесной механики, предполагая, что тела т тяготеют друг к другу и к телам М, но не оказывают влияния на круговые движения тел М; тела М тяготеют друг к другу.
Пусть расстояние между телами М равно а. Отнесем все расстояния к а и введем безразмерное время т =幻力 где 幻= =y/2f М а-3/2 _ угловая скорость движения тел М. Во введенных таким образом
безразмерных переменных уравнения движения в системе координат, вращающейся вместе с телами (см. рис. 1), имеют вид (плоский случай):
吟空(娉+疋)+空(*+专)+壮⑵
Здесь гц, ri2 — расстояния от малых тел (г = 1,2) до больших; р — расстояние между малыми телами; а = т/М. Система уравнений (1) имеет восьмой порядок —задача с четырьмя степенями свободы.
Однако будем рассматривать не общую задачу (1), (2), а задачу, поставленную в п. 1. Несколько обобщая эту постановку, займемся такими траекториями, которые удовлетворяют симметричным начальным условиям:
Г；= 一玻，Е； = —号(3)
Здесь г；,畤一начальные положения малых тел относительно начала координат; i*i，i*2 — соответственно их скорости.
Непосредственно из уравнений движения (1), (2) следует, что существуют симметричные траектории, удовлетворяющие условиям (3) и уравнениям (1), (2): 门⑴=一Г2⑴.(4)
Будем в дальнейшем заниматься только такими траекториями.
Для симметричных траекторий (4) порядок системы (1) понижается в два раза (задача с двумя степенями свободы). Уравнения движения принимают вид
х" — 2у‘ =х" — 2у‘ =dWдхdWдхg+2力=丽;g+2力=丽;(5)(5)⑹⑹
х" — 2у‘ =
х" — 2у‘ =
dWдх
dWдх
g+2力=丽;
g+2力=丽;
(5)
(5)
⑹
⑹
T =，力2 + g2 , T]=，(力 一 1/2)2 + g2 ,T2 =，(力 + 1/2)2 + g2 .
Здесь г — безразмерное расстояние одной из «малых» точек до начала координат, ri, Г2 — соответственно расстояния до «больших» точек.
Уравнения (5), (6) обладают первым интегралом:
^xf^y^-W = -c,(7)
из которого следует, что реальное движение происходит в области
W》с(8)
и ограничено поверхностями нулевой скорости W = с.
Прежде чем строить поверхности нулевой скорости, обратимся к точкам либрации задачи (5), (6). Эти точки являются решениями системы уравнений
丝=0 丝=0дх ' ду
или, в явном виде:
точки Li,厶3 с координатами у\ = уз = 0,力i = —力3, где 力3 > 1/2 удовлетворяют уравнению
力з - 7中一一2=0；(10)
/ 2力з
точки Lj,厶三 с координатами g^~ = у~ = 0, х^ = —力^ = —ж*, где 0 < ж* < < 1/2 удовлетворяют уравнению
建 1+(；-*) =0(；-*) ；О】)
точки 厶4, L5 c координатами х^ = х^ = 0, у^ = —у4, где 沙4〉0 удовлетворяют уравнению
若")3"斗(+若)3"・В)
Откуда, между прочим, следует % > \/^/2.
При /3 = 0 уравнения (5), (6) переходят в уравнение ограниченной задачи трех тел с одинаковыми массами двух тяготеющих тел. Соответственно точки L^, L, стягиваются при /3 —> 0 к точке 5(0, 0), и точки L^~ (г = 1... 5) превращаются в точки либрации ограниченной задачи трех тел (например, % =，^/2 и т. п.).
Поверхности нулевой скорости W = с задачи (5), (6) качественно изображены на рис. 2.
Заштрихована для примера область возможных движений W ^ с^^ где 専一та-
кое значение константы с, что поверхность W Lj, Если с > С2, то движение никогда не выйдет из некоторой окрестности D начала координат; либо из некоторой окрестности какой-то из точек М; либо, при очень больших начальных расстояниях от начала координат, всегда останется на большом расстоянии от него.
Если с несколько меньше 實，то точка, начав движение в окрестности начала координат, может через горловину в окрестности LJ (“) перейти на движение в окрестности одной из точек М, затем обратно и т. д.
Существует такое значение с = =С1з, что поверхность W = С13 проходит через точки либрации Li,3・ При с < С1з область возможных движений W > с не ограни
Рис. 2Рис. 2。2 проходит через точки либрации。2 проходит через точки либрациичена: движение через «горловину»
Рис. 2
Рис. 2
。2 проходит через точки либрации
。2 проходит через точки либрации
в окрестностях точек L13 может уйти сколь угодно далеко от начала координат, если даже началось в его окрестности. Если с = С13, части поверхности W = с сливаются в точках Li и L3.
Для нашей задачи существенное значение имеет поверхность W = С2- Исходное движение останется в окрестности D начала координат, если оно началось там с такими начальными условиями, что с》。2・ При этом движение никогда не выйдет из области D:W ^ с^ (рис. 2). Эта область ограничена некоторым овалом, наибольшее значение координаты ж на котором есть 力* = Lj. Приближенно можно
При этомПри этом2 1-4^2 1-4^(13)(13)++ж*ж*(14)(14)вычислить, что
При этом
При этом
2 1-4^
2 1-4^
(13)
(13)
+
+
ж*
ж*
(14)
(14)
или, приближенно,
а максимальное значение координаты у* на границе области определяется усло
виямивиями
виями
виями
так что
(16)(16)队 ^ 0,245^.
(16)
(16)
Итак, на вопрос, поставленный в п. 1, имеется следующий частичный ответ.
Если симметричные начальные условия таковы, что значение константы интеграла Якоби с》。2, где С2 определяется соотношениями (14), (15), то движение вечно будет оставаться в окрестности D начала координат, D : W》с》 》。2・ Максимальные размеры области D определяются размерными значениями координат ж, у\
力max力max« 0,1945а У^,« 0,1945а У^,Утах ^ 0,1225аУтах ^ 0,1225а(17)(17)
力max
力max
« 0,1945а У^,
« 0,1945а У^,
Утах ^ 0,1225а
Утах ^ 0,1225а
(17)
(17)
Приближенно можно считать, что область D представляет собой эллипс с полуосями 力max, Утах・ Такова ситуация для любых симметричных (не обязательно круговых) начальных данных.
Теперь полезно рассмотреть ситуацию для круговых начальных условий, что отвечает исходной постановке задачи (п. 1). В этом случае
若干 г。)(18)
и соответственно
С± =+(19)
Верхний знак отвечает «прямому» движению, нижний — «обратному» (относительно направления движения точек М). Необходимые условия ограниченности движения (движение в области D):
0土》02.(20)
При прочих равных условиях «обратное» движение «менее устойчиво», чем прямое, так как для обратного движения легче нарушается условие (20), ибо с_ < с+.
С точностью до старших членов разложения
с± 2 + 8жд — 4笳 + 5 且土 д//Зто •(21)
Учитывая (15), (20) и (21), обнаружим, что область выполнения условия (20) ограничена поверхностью (поверхностями)
8若—4笳 +土 围=I 际/?2/з.(22)
Вводя 力о =杀001/3, у。=歹о//?, получим из (22) уравнения в нормированных переменных жо,歹о：
8 裔一4箔 + 费土，= |W.(23)
Оценочное исследование поверхностей (22) показывает, что они представляют собой овалы со следующими значениями больших полуосей:
для прямого движения
(力0)тах0,38ж* , (Уо)тах 0,36力*;(24)
для обратного движения
(力0)тах 0,31ж*, (Уо)тах0,29ж*,(25)
где 力* определяется формулой (13).
Таким образом, если начальные данные круговые и движение прямое, то оно никогда не выйдет из области D (овала с полуосями (17)) при условии, что начальные координаты лежат внутри поверхности (22) — со знаком «плюс» перед радикалом в левой части. Эта поверхность представляет собой овал с полуосями
Wax = 0,074。容,前ах = 0,070。容•(26)
Аналогичное заключение имеет место и для обратных круговых движений, только полуоси соответствующего овала имеют значения
呜 ах = 0,060а 容,嗚 ах = 0,056。容•(27)
Пусть а/2 = R — расстояние от начала координат до одной из точек М (см. рис. 1). Область D — овал с полуосями
力max = 0,389R 容,Утах = 0,245^ 容•(28)
Введем две сферы с радиусами
T+ = 0,140r容，(29)
T一=0,3容・(30)
Из вышеизложенного ясно, что если начальное движение круговое, прямое и начальное значение г = го ^ г^^ то движение вечно будет происходить внутри области D. Такое движение назовем слабовозмущаемым. Если же го > 丁+ (еще точнее, если го > 0J48R у/m/М ), то «всякое может случиться». Движение может покинуть область О, перейти в окрестность точек 7И, вернуться назад и т. д.
Если движение не является слабовозмущаемым, то будем называть его силь- новозмущаемым.
Совершенно аналогично, обратное круговое движение является слабовозмущаемым при то，т_ и сильновозмущаемым при го > 0J20R ^Jт[М (неявно предполагается, что го не очень велико: совершенно очевидно, что при т()》R круговое движение возмущается слабо — как и во «внешнем варианте» ограниченной задачи трех тел).
Слабовозмущаемое движение удобно исследовать, используя вместо функции W (6) некий ее эквивалент, содержащий лишь старшие члены разложений величин 丁[I <fi. Тогда с точностью до аддитивной постоянной
勿=^川一 J力+ ^(3D
Уравнения движения принимают вид
(32)
Нормируя декартовы координаты
力=花01/3,g=歹01/3,(33)
приведем уравнения (32) к виду
力〃 一2J + (与一17” = О,
/ + 2〃 + (3 + 7)у = 0,(34)
г3 = (ж2 + g2)3/2.
Здесь для краткости опущены «крышки» в обозначениях нормированных координат. Заметим, что для слабовозмущенного движения заведомо 1/г3 > 17.
Переходя в (34) к полярным координатам
c = Tcosg, У = г sin(^,(35)
получим
(36)(36)(37)(37)rn — 丁停,+ I)? + = = r(16 cos2 g — 8 sin2 g),
(36)
(36)
(37)
(37)
^ г?@ + 1) = —24丁2 cos g sin g.
Конечно, уравнения (36) имеют первый интеграл
I (г，2 + 丁2g/2) _ } _丁2 cos2 g + g 丁2 sin2 夕 _ _c
Величина “ + 1 — угловая скорость в абсолютном движении. Так как рассматривается слабовозмущенное движение, то g — быстрая фаза (|“|》1), и в известном приближении систему (36) можно заменить усредненной по быстрой фазе системой
т" - 丁停,+ 1)2 + = = 4г,
丁(38)
户(“ + 1) = 丁脑о・
Здесь го ——радиус невозмущенной орбиты,幻。—абсолютная угловая скорость на невозмущенной орбите (может иметь знак «плюс» или «минус»). Из (38) следует (с учетом того, что,说=i/吟)：
Малое отклонение Ьт от исходной круговой орбиты удовлетворяет в силу (39) уравнению
(")" + a2" = 4丁0,
1(40)
併=说—4 = —— 4.
Возмущения в движении, вызванные только влиянием внешних масс 7И, вычисляются интегрированием (40) при начальных условиях Ьт& = 0; 6rq = 0. Оказывается тогда, что
6г =粤 sin2 т.(41)
Q2 2
Конечно, эта формулировка справедлива только на ограниченном интервале времени. Формула (41) описывает очень малые возмущения: 6г/го 〜10-3. Между тем из точных оценок следует, что не запрещено 6т]т^ 〜1.
Все сказанное выше описывает лишь ситуацию внутри множества симметричных траекторий и не затрагивает более общие вопросы, например вопрос об устойчивости или неустойчивости в каком-либо смысле множества симметричных траекторий относительно произвольных несимметричных возмущений начальных данных.
Настоящая работа была первоначально опубликована в труднодоступном сборнике [1]. В связи с астрономическими открытиями в последние годы систем двойных астероидов [2] (не исключены системы и большего числа астероидов) предлагаемая работа приобрела новый интерес.
Автор выражает благодарность за помощь в оформлении этой статьи А. А. Савченко и Н. Н. Щербаковой.
Работа поддержана грантами РФФИ БНТС 01-01-02001 и РФФИ 01-01-00508.
Список литературы
Белений В. В. Об одной ограниченной задаче четырех тел // Почти периодические орбиты в небесной механике / Под ред. Е. П. Аксенова. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1990.
Финкельштейн А. М. Российская Академия Наук между Марсом и Юпитером. — СПб.: Наука, 2001.
5 Проблемы механики
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АВИАЦИОННОЙГРАВИМЕТРИИ. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫИСПЫТАНИЙ
Ю. В. Болотин^ А. А. Голован, Н.А. Парусников
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
Постановка задачи. Конечной целью аэрогравиметрии является построение карт аномального гравитационного поля и последующая геологическая интерпретация этих карт. Карта характеризуется своим разрешением. По историческим причинам, связанным с методикой построения карт по наземным гравиметрическим пунктам, разрешение карты принято характеризовать масштабом — числом километров на один условный сантиметр карты. Так, карта, построенная по точкам, расстояния между которыми 5 км, называется картой масштаба 1:500 000.
Обычно аэрогравиметрические съемки проводятся в прямоугольных областях местности, которые разбиваются на прямоугольные ячейки широтными и долготными галсами полета летательного аппарата (ЛА). Здесь галсом называется участок прямолинейного полета на постоянной высоте. Расстояние между галсами планируется исходя из требуемого разрешения карты. Чтобы не возникало явления маскировки частот, разрешение карты не должно превышать расстояние между галсами прямоугольной съемки. Чтобы снизить влияние шумов измерений, данные сглаживаются во времени вдоль траектории полета.
Для карт аномалий, построенных по данным авиасъемки, определение разрешения следует уточнить. Необходимо учитывать, что при построении карт используются процедуры сглаживания, так что детали разных масштабов прорисовываются с разным качеством. В частотной интерпретации — чем выше частота волны аномалии, тем сильнее искажается (подавляется) ее амплитуда. В данной работе разрешением карты будем называть половину / длины волны 2/ аномалии, амплитуда которой при построении карты подавляется вдвое.
Помимо разрешения, карта характеризуется также точностью. В геофизике принято связывать точность и разрешение карты, исходя из геофизических моделей —чем больше аномальная масса, тем шире и интенсивнее вызываемая ею аномалия. Соответствующие зависимости точности и масштаба приведены в таблицах в специальной геофизической литературе [7].
При построении геологических карт для облегчения их интерпретации часто приходится вычитать из измеренных аномалий различные типы поправок на рельеф местности и применять другие трансформации геофизической природы [7]. Исходной информацией для построения геологических карт должен быть числовой материал с разрешением не хуже, чем у предполагаемой карты, и свободный от геофизических трансформаций. Нецелесообразно, чтобы это были исходные данные аэрогравиметрии — в этом случае геофизику придется разбираться в специфике работы конкретной аэрогравиметрической системы.
Поэтому представляется, что одним из этапов обработки аэрогравиметрической информации должно быть построение вспомогательных электронных карт
аномалий, свободных от геофизических гипотез. Такими картами, естественно, являются карты в редукции в свободном воздухе (без учета поправок за рельеф). При этом следует исходить не из геофизической, а из статистической (информационной) интерпретации точности карт — не связывать точность и разрешение, а характеризовать карту обоими этими параметрами. Под точностью здесь можно понимать среднеквадратическую ошибку ст, определяемую в процессе построения карты (например, как невязка в точках пересечения галсов). Таким образом, мы будем считать задачей аэрогравиметрии построение карт аномалии в свободном воздухе с заданным разрешением.
Требования к оборудованию. В состав измерений типичной аэрогравимет- рической системы входят:
набор высокоточных гравиметров — акселерометров. Наиболее распространены скалярные гравиметры — приборы, которые измеряют так называемую удельную силу ——проекцию силы, действующей на чувствительный элемент (ЧЭ) единичной массы со стороны подвеса гравиметра, на ось чувствительности гравиметра. Для скалярной гравиметрии требуется по крайней мере один скалярный гравиметр, для векторной — по крайней мере три, ориентированные по разным осям. Полезно наличие дополнительных гравиметров, как для перекрестного контроля работоспособности, так и для компенсации некоторых нелинейных эффектов, например кросс-коплинга [10]. В аэрогравиметрии применяются в основном три типа гравиметров: 1) статические гравиметры с «пружиной нулевой длины» Лакоста-Ромберга; 2) струнные гравиметры; 3) гравиметры компенсационного типа;
—статические гравиметры практически не имеют уходов нуля, но из-за сложной механической конструкции и больших перемещений ЧЭ подвержены нелинейным погрешностям, существенно снижающим их точность. Достоинством струнных гравиметров является широкий динамический диапазон и прямое преобразование сигнал-частота, облегчающее оцифровку сигналов. Однако из- за сложности физической модели прибора они склонны к нелинейным ошибкам. Основная проблема при использовании гравиметра компенсационного типа — высокие требования к АЦП (стабильность коэффициента преобразования не менее 10-5). Однако эта проблема на современном уровне развития электроники практически преодолена. Достоинствами компенсационных гравиметров являются малые размеры, контролируемые нелинейности и потенциально более высокая разрешающая способность. Таким образом, компенсационный тип гравиметра представляется более перспективным. Для компенсационного гравиметра измерителем удельной силы служит сила (обычно электромагнитная), удерживающая ЧЭ в относительном равновесии. Сила реализуется в виде обратной связи по датчику положения. Коэффициент усиления обратной связи выбирается максимально большим, чтобы исключить заметные смещения ЧЭ и связанные с этим нелинейные эффекты. Обычно частоты среза усилителя — 100-500 герц. Сигнал гравиметра сглаживается аналоговым фильтром (чтобы не допустить явления маскировки частот) и оцифровывается. Полезно с гравиметра снимать дополнительные сигналы, такие как сигнал датчика положения. Это позволяет компенсировать некоторые нелинейные эффекты;
система термостабилизации и набор термодатчиков. Показания гравиметров чувствительны к изменению температуры (для кварцевых гравиметров — десятки мГал на градус). Набор термодатчиков позволяет моделировать и компенсировать влияние температур в режиме постобработки;
система угловой стабилизации. Для целей векторной аэрогравиметрии необходимо сверхточное знание ориентации оси чувствительности гравиметра в про- 5*
странстве. Действительно, ошибка в ориентации в Iх дает погрешность измерения аномалии, вызванную перепроектировкой силы тяжести, порядка 300 мГал. Исключение из этого правила составляет вертикальный гравиметр, для которого погрешность — косинусная функция ошибки ориентации, и ошибка угловой ориентации Iх дает ошибку в определении аномалии не более 0,1 мГал (здесь не учитывается влияние горизонтальных ускорений, но последние лежат в основном в другой части спектра, чем полезный сигнал). Поэтому до настоящего времени удовлетворительную точность дают в основном так называемые платформенные скалярные гравиметрические системы [6], где гравиметр с вертикальной осью чувствительности установлен на горизонтируемую платформу. Различают платформы типа гировертикали (гравиметр Лакоста-Ромберга) и платформы инерциальных навигационных систем (ИНС) (гравиметр АГК разработки МИЭА, гравиметр Гравитон разработки ВНИИ Геофизики). Преимущество последних — в невозмущаемости. Для повышения точности угловой ориентации можно использовать платформы, корректируемые в режиме реального времени от спутниковой навигационной системы (разработка ЗАО «Гравиметрические технологии»);
система спутниковой навигации (СНС). Информация СНС необходима для того, чтобы скомпенсировать действующие на гравиметр силы инерции. Для обеспечения требуемых точностей необходимы двухчастотные приемники СНС, работающие в фазо-дифференциальном режиме. При этом для достижения точности порядка 0,7 мГал базовая станция должна быть установлена на расстоянии не более 80-100 км от района полетов. Современные приемники СНС позволяют измерять как координаты (фазовые измерения), так и скорости (доплеровские измерения). Для повышения точности и надежности целесообразно на полигоне устанавливать несколько разнесенных базовых станций. Для диагностики явления многолучевости полезно также устанавливать несколько приемников на носитель;
система амортизации. Вибрации неблагоприятно действуют на показания гравиметров, порождая эффекты кросс-коплинга (детектирования), маскировки частот, а также насыщение АЦП. Для борьбы с вибрациями гравиметрическая система устанавливается на амортизирующий подвес;
система синхронизации данных. Требуемая точность синхронизации данных гравиметра и СНС — не хуже 0,001 с. Для обеспечения синхронизации обычно используется подаваемый приемником СНС синхроимпульс.
.2 Требования к программному обеспечению. Ограничимся обсуждением программного обеспечения, необходимого для применения в скалярных гравиметрических системах платформенного типа. Все описываемые вычисления проводятся в режиме постобработки. Для качественного определения аномалии на галсах полета необходимо решение следующих задач обработки информации:
диагностика и, по возможности, устранение сбоев данных, синхронизация информационных потоков. Требуемая точность синхронизации данных — не хуже 1 мс;
—высокоточное определение скоростей и ускорений чувствительного элемента (ЧЭ). Исходными данными служат измерения спутниковой навигационной системы (СНС). Имеющиеся коммерческие программы обработки спутниковых измерений ориентированы в основном на высокоточное определение координат. Попытка максимизировать точность определения координат приводит к скачкам координат в точках потери фазы несущей сигнала спутника, достигающим зачастую десятков сантиметров. Для гравиметрии важна информация о скоростях и ускорениях. Если скорости вычисляются численным дифференцированием координат, в точках потери фазы возникают скачки скорости, которые не всегда удается локализовать. Для исключения скачков есть два пути. Во-первых, исключение сбоев в процессе
решения основного гравиметрического уравнения. Во-вторых, целевая обработка сырых данных СНС, ориентированная на качественное определение скоростей;
определение углов наклона платформы. Используется информация, поставляемая датчиками платформы (показания акселерометров, датчиков угловой скорости и т. д.) и информация СНС. Задача естественно ставится и решается как задача коррекции при помощи алгоритмов сглаживания калмановского типа;
компенсация относительных движений ЧЭ гравиметра и антенны СНС. Для этого используются данные об углах карданова подвеса платформы;
вычисление инерциальных поправок (поправок Этвеша) и нормального поля тяжести. Для этого требуются измерения текущих координат и скоростей. Обычно достаточно данных СНС. Иногда для определения скоростей следует использовать результаты решения задачи коррекции ИНС по СНС;
решение основного уравнения аэрогравиметрии. Основное уравнение аэрогравиметрии —это уравнение равновесия ЧЭ гравиметра под действием сил инерции, сил тяжести и удерживающей силы системы управления гравиметра. Основная проблема — выделение полезного сигнала на фоне очень больших инерциальных помех и погрешностей измерений;
авиагравиметрические съемки проводятся по прямоугольной решетке галсов, лежащих на постоянной высоте. В точках пересечения галсов имеется дополнительная информация о совпадении значений аномалии. Эту информацию следует использовать для компенсации тренда гравиметров («уравнивания галсов»). После уравнивания галсов по информации о сходимости в точках пересечений вычисляется погрешность карты (для контроля часто делается дополнительно так называемый «секущий» галс);
—построение карт аномалий в свободном воздухе с заданным разрешением на местности. При построении такой карты можно не подключать геофизическую информацию, а использовать исключительно данные съемки и методы теории фильтрации. Построение карты включает редукцию оценок аномалии на галсах целью на заданную высоту.
Задача обработки спутниковых измерений. Математическое описание работы инерциальной навигационной системы как части авиагравиметриче- ского комплекса содержится в [1]. Далее приводится достаточно краткое аналогичное описание работы спутниковой навигационной системы.
Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) позволяют определять с высокой точностью координаты и скорости движущегося объекта — носителя приборного комплекса. Это достигается за счет применения так называемого дифференциального режима функционирования СНС и включения в обработку фазовых спутниковых измерений.
Дифференциальный режим предполагает использование как минимум двух приемников СНС. Первый приемник устанавливается на подвижном объекте, второй устанавливается стационарно на Земле. Этот приемник называется базовой станцией. Считается, что его координаты известны точно. Совместная обработка измерительной информации двух приемников позволяет исключить общие составляющие ошибок спутниковых измерений — погрешности часов спутников и приемников, ионосферные и тропосферные задержки.
Современная точность определения местоположения в дифференциальном режиме при помощи фазовых измерений составляет сантиметры при достаточно короткой длине базовой линии — расстоянии между подвижным приемником и базовой станцией.
Различают три типа первичных спутниковых измерений, так называемые кодовые, доплеровские и фазовые измерения.
Полезным сигналом кодового измерения Zp, представляющего по сути измерение времени распространения радионавигационного сигнала от спутника до объекта, является дальность объект-спутник:
Zp = р^- с (АТ - Ат) +
Здесь р — расстояние объекта до навигационного спутника, с — скорость света, △Т, Ат — погрешности часов спутника и приемника,〜一инструментальная погрешность, порожденная эфемеридными ошибками, задержками сигнала при прохождении через атмосферу, приборными погрешностями.
Полезным сигналом доплеровского измерения Zp — измерения сдвига частоты между излучаемым и принимаемым сигналом — служит величина радиальной скорости р по линии объект-спутник:
Z° = 0 + X (/дт - /дт) + 〃0・
Здесь А — длина волны радиосигнала, /дт, /Дт — скорости ухода погрешности часов спутника и приемника,死° — погрешность измерения.
Полезным сигналом фазового измерения — измерения сдвига фазы между излучаемым и принимаемым сигналом — также служит расстояние объект-спутник:
z夕=〃А + N + / (АТ - Ат) + 死夕,
где N — целочисленная неоднозначность фазового измерения, / — частота радиосигнала, 死夕一погрешность измерения.
Фазовые измерения намного точнее кодовых. Главная особенность алгоритмов обработки фазовых измерения заключается в необходимости определения (оценивания) неопределенностей (ambiguities) TV этих измерений.
Вторичной, выходной информацией СНС служат величины д*, А*, %* — широта, долгота и высота, определяемые путем обработки первичных фазовых измерений —кодовых, доплеровских, фазовых.
В вычислительном комплексе, входящем в состав авиагравиметрического комплекса, решаются следующие задачи.
Определение местоположения объекта при помощи фазовых измерений.
Используемые в обработке дифференциальные комбинации фазовых измерений, обозначаемые через △▽, имеют вид
= &? - W)-(嘲一嚼))=△▽内" + ^^ + △▽方
Здесь I — индекс подвижного приемника, установленного на борту объекта, II — базовой станции, J — индекс навигационного спутника, z — индекс опорного, обычно зенитного спутника, △▽内=(/＞，— р^^ —(0?)— /4")) — двойная разность расстояний объект-спутники, базовая станция-спутники, AVA^j = (“° — *"))— —(№ — N^ ^ — двойная разность соответствующих фазовых неоднозначностей —неизвестное целое число,々—остаточная инструментальная погрешность.
Величина AVpj содержит полезную информацию о местоположении объекта. Неизвестное целое число △▽ТУу подлежит определению в процессе обработки. Другая особенность фазовых измерений состоит в том, что величина AVA^j мо-
жет скачкообразно неконтролируемо изменять свое значение. Этот эффект носит название скачка фазы (cycle slip).
Алгоритмы обработки дифференциальных фазовых спутниковых измерений должны надежно детектировать и компенсировать скачки фазы. Неточное решение этой задачи приводит к ошибкам, критичным для авиационной гравиметрии.
Определение скорости объекта в дифференциальном режиме при помощи доплеровских и фазовых измерений.
Задача определения скорости объекта не типична для спутниковой навигации. Традиционный подход к ее решению в дифференциальном режиме состоит в прямом численном дифференцировании вторичной позиционной спутниковой информации. Этот подход не защищен от ошибок, вызванных неверным разрешением неоднозначностей фазовых измерений.
Численное дифференцирование фазового решения означает неявное дифференцирование слагающих его первичных фазовых измерений. Это соображение позволило поставить и решить задачу определения скорости объекта при помощи первичных фазовых измерений, не решая задачу точного местоопределения.
Методически задача определения скорости сводится к линейной задаче оценивания вида
z = Нх + г, (1)
где компонентами вектора состояния ж служат три компоненты вектора относительной скорости объекта, для определенности заданного своими проекциями в гринвичских осях О?;: х = (%ь %2, %3)丁.
Вектор измерения z = {z^^ z^^ • ^m)T представляет собой численные производные дифференциальных комбинаций фазовых измерений:
z . _ △▽zy>5 (力升 1) - *^z中5 (打)“ ^+i — tj
Легко заметить, что если на интервале \tj, tj^\\ не было скачка в фазовых измерениях, то определяемое скоростное решение не требует разрешения фазовых неоднозначностей AVA^j.
За кадром здесь остался ряд вспомогательных задач, которые необходимо решить для параметризации модели (1). В частности, это задачи определения скорости движения навигационных спутников, алгоритмическая синхронизация спутниковых измерений, полученных от разных приемников.
К модели (1) приводит также задача определения скорости при помощи дифференциальных комбинаций доплеровских измерений. Ее принципиальное отличие состоит только в том, что компонентами вектора измерения z служат дифференциальные комбинации доплеровских измерений:
Доплеровское скоростное решение используется для диагностирования возможных ошибок скоростного фазового решения.
К аналогичным построениям приводит задача определения ускорения объекта при помощи дифференциальных комбинаций доплеровских и фазовых измерений.
Решение задачи определения аномалии вдоль траектории полета летательного аппарата. 3.1 Гипотеза о стохастической природе аномалии. Гравиметрические съемки проводятся на небольших участках местности, где справедливо приближение плоской Земли. Введем в этой области декартову систему
координат 力 1 力2力3, где ось 力i направлена на восток, ось 力2 на север, ось 力з — перпендикулярно поверхности геоида.
При решении задачи предполагается, что аномалия моделируется стационарным и однородным по Ж1,力2 случайным процессом с непрерывной спектральной плотностью. Это предположение подтверждается различными экспериментальными данными.
Пусть Sg ("1, "2)— спектральная плотность аномалии на высоте h над геоидом, где "1, "2 — частоты, отвечающие координатам a?i,力2 соответственно. Тогда взаимная спектральная плотность аномалии на высотах 忆 hn определена формулой
Sg ("1, "2, К %〃)= e(2i j〃)vM+呜 Sg3b "2).
При рассмотрении оценки аномалии вдоль галсов полета на постоянной высоте /г с заданной скоростью V вдоль оси 力 i вводится в рассмотрение спектральная плотность Sg (幻)аномалии во временной области. Она связана с пространственной спектральной плотностью формулой
+оо
Sg(5 = I/ ] Sg("b "2)d"2・
Основное гравиметрическое уравнение. Основное уравнение аэрогравиметрии на галсе в проекции на географическую вертикаль может быть записано в виде
网力) = 〃%) +% ⑴ + Go ⑴+ Ag⑴.(2)
Здесь Ag — искомая аномалия, / — вертикальная удельная сила, действующая на чувствительный элемент (ЧЭ) гравиметра, /Е — известные инерциальные поправки, связанные с кривизной референц-геоида и вращением Земли (поправка Этвеша), Go — нормальное значение ускорения силы тяжести, h — высоты ЧЭ над референц-эллипсоидом.
Уравнения измерений СНС в проекции на вертикаль и гравиметра можно записать в виде
hf = Wh^h- 6%,(3)
к
f = Wf4~Y X® - g(4)
k=l
a^ — a卜 bak, k — 1,. .. , ^C.(5)
Здесь штрихом обозначены измеряемые величины, символом 6 — ошибки измерений. Функции Wf(t\ Wh(t)——импульсные переходные функции стационарных линейных фильтров, применяемых при формировании измерений СНС и гравиметра, * — оператор свертки фильтра (указанные фильтры необходимы, в частности, для подавления сигнала вне интервала частот Найквиста, с целью исключения явления маскировки частот при дискретизации измерений). Заметим, что в общем случае измерения в (5) проводятся с разной частотой дискретизации.
Переменные。左(力)——возмущающие факторы в измерениях гравиметра, а[О —— их измерения, Х^ — неизвестные постоянные коэффициенты влияния возмущающих факторов. К числу возмущающих факторов относятся компоненты внешних сил, действующих на ЧЭ гравиметра, температура прибора и т. п., в зависимости от специфики конкретной гравиметрической системы.
Введем вектор X = (Xi, . . . , Хк) и вектор-функции
研力)=(肉(力)，...，а к⑴尸,ba⑴=(6肉⑴，...，"К(力))t.
Задача оптимального оценивания аномалии ставится как задача поиска наиболее вероятных значений аномалии и ошибок измерений, удовлетворяющих (2)-(5), по методу максимума апостериорной вероятности:
р (Ag, JV, J/, ba I X) —> max.
Задача оценивания решается в предположении, что искомая аномалия и погрешности измерений являются стационарными гауссовскими случайными процессами с известными спектральными плотностями. Спектральные плотности погрешностей измерений определяются по результатам лабораторных испытаний прибора. Спектральная плотность аномалии обычно известна из геологических данных.
Заметим, что из-за включения погрешностей 6а в модель измерения возникают мультипликативные погрешности. При традиционном подходе ([14], [9]) эти погрешности не учитываются, и задача решается обычным методом наименьших квадратов. Определение X методом наименьших квадратов приводит к смещенности в оценке X, и, как следствие, к смещенности оценки Ag. Заметим, что задача близка к задаче обобщенных расширенных наименьших квадратов [15], но не сводится к ней.
Спектральный метод решения задачи. Проведем спектральное исследование задачи, предполагая для простоты, что длительность полета велика в сравнении с характерным временем изменения входящих в уравнения величин. Для этого преобразуем уравнения (2)-(5) в спектральную форму, вводя спектральное представление f(t) —> /(幻)рассматриваемых непрерывных и дискретных случайных процессов. Напомним, что если f(t) — процесс со спектральной плотностью S/(g), то случайный процесс /(幻)является белым шумом с корреляционной функцией Е [/(g)/*(o/)] = S/(g)8(g — о/) [4] (здесь и ниже * обозначает комплексное сопряжение).
Для основного гравиметрического уравнения применим непрерывное преобразование Фурье, а для уравнений измерений — дискретные преобразования Фурье для соответствующих частот записи данных. Заметим, что если фильтры Wh, Wf подавляют сигнал вне полосы частот Найквиста, то, согласно теореме отсчетов, дискретное преобразование Фурье не искажает спектр сигнала.
После указанных преобразований и подстановки измерений в основное гравиметрическое уравнение последнее примет вид
⑹⑹z(g) = W(aj)^g + XT 匕(幻)+ 6c(g)] + 66(5.
⑹
⑹
Здесь введены обозначения
z = — / 忆立—W^fgE - Whf.с = W^a^ 6с = Wh^a,
6b = Wh6f-uj2Wf6h.
Заметим, что be, 6b — стационарные случайные процессы. Пусть Sc = =^SaVT^, Sb = WhSfW^ + uj^WfShWj — их спектральные плотности, Sg —
спектральная плотность аномалии. Тогда задачу оптимального оценивания можно записать как задачу минимизации квадратичного функционала:
[бгЗ^бс + бЬ^^ба + А^З/АЕ] dw т min .(7)
Задача (7), (6) распадается на две последовательные:
—определение оценки матрицы X,
—нахождение оценки аномалии Ag.
Задачу определения X можно свести к задаче безусловной минимизации нелинейной функции X:
j [с*Х - 6*] S> [X% —勾 如 т min .(8)
Здесь и ниже введено обозначение 5式幻)=Х^SCX + S& + W*SgW.
Если оптимальная оценка X найдена, то оптимальная оценка поля g‘ определяется из стандартной формулы линейного оценивания
8g1 = SgW^S；1 z-XTc .(9)
Видно, что, в то время как решение задачи (8) зависит от измерений во всем диапазоне частот, задача ⑼ распадается на семейство трехмерных задач, параметризованное частотой ал
Рассмотрим свойства решения в асимптотическом предположении, что набор корреляционных факторов с^ достаточно возмущен, т. е. интеграл в (10) стремится к бесконечности. Тогда оценка X является состоятельной и асимптотически
несмещенной. Асимптотическую оценку точности Dx = Е
определения X можно получить, используя формулу для нижней границы дисперсии ошибки оценки Dx(^) Крамера-Рао [4]:
+ 8
方1，j S-1e” + 2 胆*区 九.(10)
Асимптотическая спектральная оценка точности определения аномалии 0g(5 = Е [(gz — g)(gz — g)*] при известной дисперсии ошибки оценки X определяется формулой
Og = Sg _ S^W^S^W [1 + S^^Dx^ .
Для практических применений важны свойства передаточной функции Wg(G) от аномалии к оценке аномалии и передаточной функции 屮九(幻)от измерений высоты СНС к оценке аномалии. Следует отметить, что без введения указанного асимптотического предположения алгоритм нелинеен, так что понятие передаточной функции не определено. В асимптотическом приближении формулы для передаточных функций имеют вид
= SgW^s-1, w心)=^ws^s-1.
Разрешающей способностью алгоритма оценивания во временной области называется половина Т длины волны аномалии во времени, при которой амплитуда аномалии подавляется алгоритмом вдвое, т.е. корень уравнения 3gsiТ) = 1/2. Разрешающая способность определяется точностью датчиков и спектральными свойствами аномалии.
Решение задачи во временной области. Область оптимальности приведенных выше формул оценивания в частотной области ограничена стационарными задачами. Для нестационарных задач, возникающих при относительно коротких галсах съемки, удобнее использовать алгоритмы нестационарного оценивания во временной области. Для этого используется схема сглаживания Калмана.
Достоинствами калмановского подхода являются следующие.
—Возможность моделирования нестационарных процессов, что необходимо, например, при наличии сбоев и пропусков в потоке данных.
—Простота реализации адаптивного оценивания с учетом величины невязок задачи оценивания.
—Возможность оценки не только постоянных, но и медленно меняющихся коэффициентов корреляции за счет введения фиктивных шумов в уравнения состояния.
—Возможность гибкой настройки характеристик фильтра путем изменения формирующего уравнения для аномалии.
—Практическое отсутствие переходных процессов на границах участков целостности данных.
В калмановском подходе аномалия и шумы моделируются своими формирующими уравнениями во временной области, а уравнения измерений используются для формирования корректирующей обратной связи в уравнениях динамики системы. Если в уравнениях имеются корреляционные факторы, то коэффициенты этих факторов следует включать в уравнения состояния.
В частности, аномалия силы тяжести и измерения гравиметра моделируются уравнениями
^g = ^gxg + Mg^g，Ag = CgXg,(11)
勿/ = ^fXf + ВfX f, ff = CfX f + ^2 ck^k + / •(12)
Здесь Xf, xg — векторы состояния, Qg, q/, rf — процессы типа белого шума во временной области с интенсивностью Qg, Q/, Rf соответственно. Заметим, что спектральная плотность аномалии связана с соответствующим формирующим уравнением формулой
^(^)^^ (加/ - 4尸 BgQgB： Ji3l- 4)-T Cg・
При реализации калмановского подхода переменные задачи, а именно h, " xg, Xf и т. д., включаются в общий вектор состояния, и на основе (2), (5), (11), (12) записываются соответствующие уравнения движения. С учетом мультипликативных погрешностей полученные уравнения являются нелинейными. Для решения этой задачи предлагается использовать следующую итерационную процедуру типа покоординатного спуска.
Для фиксированных значений коэффициентов Х^ решается задача оптимального определения Ag, 6f, 6。左，66左.Эта задача является стандартной задачей калмановского сглаживания. Алгоритм сглаживания для задачи удобно реализовать в форме сглаживания на фиксированном интервале, склеивая оценку прямого
и обратного прохода [8]. Для учета сбоев данных, вызванных потерей фазы приемником СНС, процедура сглаживания проводится в адаптивном варианте, где штрафуются данные с большими невязками измерений СНС.
При заданных значениях Ag, 6九 Jc^, 6Ь^ решается нелинейная задача определения Х^. В практических применениях эта задача решается методом Ньютона.
Процедура повторяется до достижения сходимости решения.
Если мультипликативные погрешности измерения 6ck отсутствуют, то задача оптимального оценивания аномалии решается за один проход калмановского сглаживания путем добавления в уравнения состояния уравнения 文=0.
Построение карт аномалий. Задача построения карт аномалий решается после того, как определена аномалия на галсе.
Частотный анализ задачи построения карт. Для частотного анализа предположим, что съемки проводятся на прямоугольной решетке галсов регулярной структуры на постоянной высоте h над геоидом. Пусть расстояние между галсами в направлении восток-запад △力 i, в направлении север-юг △力2・ Пусть скорость полета в направлениях a?i,力2 постоянна и равна 匕，匕,и пусть Ag^, △g$ ——оценки аномалии на галсе при полете вдоль осей 力i,力2 соответственно.
Полученную оценку аномалии Agz на галсе в указанном в предыдущем разделе асимптотическом приближении можно записать в частотной области в виде
△后/侬)=Wg(5△后(5 + 6境5.(13)
Здесь Wg — передаточная функция фильтра, 6后—суммарная ошибка оценки, предполагаемая некоррелированной с аномалией. Спектральная плотность S®g ошибки 8g в указанном выше асимптотическом приближении определена формулой S®g = Wg (Sb + XScXT) W£
Предположим, что расстояние между галсами меньше радиуса корреляции аномалии. Тогда измерения во времени могут быть преобразованы в пространственную область применением непрерывного преобразования Фурье вдоль галсов и дискретного преобразования Фурье в перпендикулярном направлении по формулам
△gl("b "2)= W^U^g^Ur.U^) + 6gl("b "2),
△g$("b "2)=佻("1)后("1, "2)+ 6g2("l, "2)・
Здесь введены обозначения Wi(ui)=屮目(幻/匕),心("2)= Wg(^/%)・ Погрешности bgi, bg2 имеют спектральную плотность соответственно
Оптимальная по критерию минимума дисперсии ошибки оценка аномалии в пространстве имеет вид
△@ = Dg "B“gj + W^R^1^ .
Здесь Dg — дисперсия ошибки оценки, определенная формулой
Dg = [S/ +附紘1% +從凡lw2「1 •(14)
Для практических целей основной интерес представляет передаточная функция Фд("ь"2)от поля к оценке поля, реализованная данным фильтром. Она
определена формулой
(15)(15)Фд(〃ь〃2)= Dg ^R^Wx + W^R^W} •
(15)
(15)
Разрешающей способностью карты на местности называется такая пара чисел Li,厶2, что Ф^(711,712)< 1/2 при 〃1 > тг/Li, 〃2 > 乃/厶2・ Из приведенных формул видно, что разрешающая способность зависит как от разрешающей способности Т определения аномалии на галсе полета, так и от плотности галсов в обоих направлениях.
Решение задачи в пространственной области. Применимость частотного подхода ограничена предположением регулярности сетки галсов съемки. Поэтому более универсальным является построение карты в пространственной области. Эта задача решается итерационным (по номеру добавляемого галса) методом наименьших квадратов. Отметим, что близкий подход известен в геофизической литературе как метод коллокации [10]. Специфической особенностью применяемого здесь подхода является явный учет алгоритма оценивания аномалии на галсе.
Для построения карты аномалий задается достаточно плотная сетка точек (узлов карты), где требуется оценить аномалию. Обычно эти точки задаются на нулевой высоте над геоидом, но мы рассмотрим общий случай. Поэтому по существу одновременно решается и задача продолжения карты вверх или вниз [12]. Пусть г = =(力 1,力2,力з) — координаты узлов карты. Пусть имеется п узлов: 丁〃(1), . . . , 丁〃(几). Пусть Ag" = [△g(r//(l)),. . . , △g(r,,(n))] — неизвестные истинные значения ано
малии в узлах карты.
Пусть оценка карты АН” = [△@(『"(1)),..., △g(r,,(n))] по (7И — 1) галсам уже построена и требуется определить оценку карты Ag+ по М галсам.
Пусть г(1),. . . , г(т) — координаты точек, в которых получена оценка аномалии на М-м галсе. Пусть Ag = [Ag(r(l)),.. ., Ag(r(m))] — неизвестные истинные значения аномалии на галсе. Предполагается известной оценка аномалии на галсе: Ag‘ = [△g(r/(l)),.. ., △g^r^m))]. Эта оценка связана с истинным значением аномалии эквивалентным (13) уравнением свертки с оператором сглаживания: △g‘ = R * Ag + bg. Импульсная переходная функция F оператора сглаживания определяется как преобразование Фурье передаточной функции Wg фильтра.
Добавление галса к набору данных аэрогравиметрии приводит к следующему изменению оптимальной в среднеквадратичном карты Ag:
(16)(16)‘0F = ^^ g" g" ^ + P&g5g + °g 丄g 丄'0*〃g〃 = 0g〃g〃一 Dg“g" H^P工、HDg“g",△工二△甘〃 + DgyMP:g - H^gN).gg
(16)
(16)
H = FPgg"Pg,}g〃, PgLgL = Pgg — HPgUgU Ят.
Здесь Pg0 — ковариационная матрица оценок значений аномалии в точках галса, Н — матрица оператора стохастической проекции истинных значений аномалии в узлах карты на значения аномалии в точках оценки аномалии на галсе, F — матрица оператора сглаживания на галсе, PsgSg — ковариационная матрица ошибок оценки аномалии на галсе. Матрица Н определена формулой Н = FPggu P~^gH.
Матрица Pg^g^ есть ковариационная матрица невязки указанного оператора проекции Я, определенная формулой Pg^g^ = Pgg — НPgugn НТ.
Ковариационная матрица Pg^g11 значений аномалии в узлах карты и ковариационная матрица Pgg значений аномалии в точках галса определяются формулами преобразования Фурье по известной согласно (1) априорной спектральной плотности аномалии.
Заметим, что на регулярной сетке галсов на постоянной высоте точность и разрешение построенной карты (16) определяются формулами (14), (15).
Результаты испытаний. В период 2001-2002 г. лаборатория управления и навигации МГУ провела обработку данных серии испытаний аэрогравиметриче- ской системы, разработанной закрытым акционерным обществом научно-техническое предприятие (ЗАО НТП) «Гравиметрические технологии».
Проведены авиационные испытания при полетам по повторяющимся галсам (сентябрь 2001 г.), при площадных съемках (август 2002 г.) и на автомобиле (июнь 2002 г.). Целью испытаний была проверка достижимых точностей и разрешающих способностей аэрогравиметрии. Ниже кратко описываются результаты авиационных испытаний.
Испытания при полетах по повторяющимся галсам. Было проведено 3 полета в районе г. Вологды. Из-за ограниченности памяти базовых приемников СНС длительность записи для каждого полета была ограничена 2,5 часами. На самолете и на базовой станции № 2 использовались спутниковые приемники PZ-12, на базовой станции № 1 приемник Z-XTreme фирмы Ashtech (Magellan). Измерительная информация регистрировалась во внутренней памяти приемоиндикаторов и после окончания сеанса копировалась на жесткий диск компьютера.
Обработка измерений гравиметра проводилась в камеральном режиме. По результатам анализа данных для определения аномалии во времени использовался фильтр с частотой среза 0,01 герц. Разрешающая способность фильтра на местности, определенная как половина длины волны, равна примерно 4,5 км. Это соответствует карте аномалий масштаба 1:450 000. Аномалия определялась как аномалия в свободном воздухе на высоте полета.
Оценивание аномалии проводилось на линии 1 (движение восток-запад) и 2 (движение северо-запад-юго-восток). На приводимых графиках представлены результаты по полетам 05.09.2001, 06.09.2001, 08.09.2001. По линии 1 сделано 9 повторяющихся галсов, по линии 2 — 9 галсов. Два галса забракованы из-за низкого качества данных СНС. Точность определения аномалии на галсе проверялась по внутренней сходимости полученных аномалий. Оценка точности результатов — 0,56 мГал. На рис. 1, 2 приведены графики аномалии на линиях 1, 2 для разных галсов. Выделено среднее значение аномалии на галсе.
Результаты испытаний при площадных съемках. В августе 2002 г. проведены площадные съемки в районе Ладожского озера. Всего проведено два полета. По результатам анализа данных для определения аномалии на галсах выбран фильтр с частотой среза 0,01 герц. Разрешающая способность фильтра на местности, определенная как половина длины волны, равна примерно 4,5 км. Это соответствует карте аномалий масштаба 1:450 000. Точность оценки аномалий определяется как среднеквадратическое расхождение оценок в точках пересечения галсов. Эта точность определена как примерно 0,5-0,6 мГал.
Линии уровня карты аномалии, построенной по всем галсам, приведены на рис. 3. На этот рисунок наложена схема галсов. Стоит отметить, что из-за нерегулярной структуры галсов применение для этих данных методов Фурье затруд-
о
IBDUISIBUIOUV
BASE averaged repeat lines for: LINE:F010905-010
10
Distance along line, km
Рис. 1
203040
506070
80
BASE averaged repeat lines for: LINE:F010905-020
10
20
30
40
50
60
Distance along line, km
Рис. 2
8 6 4 2 0 8 6
IBDUISIBUIOUV
о
70
нительно. Поэтому применялись методы построения карт в пространственной области.
Anomaly computed from all LINES
9 8 7 6 5 4 3 2 1 о.0-0.0-0.о.о.о.о.9 8 7 6 5 4 3 2 1 о.0-0.0-0.о.о.о.о.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 о.0-0.0-0.о.о.о.о.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 о.0-0.0-0.о.о.о.о.
0.511.522.533.5
Longitude, deg
Рис. 3
Выводы. Из приведенных результатов расчетов можно сделать вывод, что при использовании современной гравиметрической аппаратуры методы и алгоритмы, разработанные в лаборатории управления и навигации МГУ, позволяют проводить аэрогравиметрические съемки с точностью порядка 0,5-0,6 мГал.
Список литературы
Болотин Ю. В., Голован А. А., Кручинин П. А., Парусников Н. А., Тихомиров В. В., Трубников С. А. Задача авиационной гравиметрии. Некоторые результаты испытаний. Вести. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. № 2. С. 36-41.
Болотин Ю. В., Голован А. А., Парусников Н. А. Оптимальные методы решения задачи авиационной гравиметрии. 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001.
Болотин Ю. В.)Голован А. А., Парусников Н. А. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. — М.: Мех-мат МГУ, 2002. — 120 с.
Бендат Дснс., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. — М.: Мир, 1989.
Вавилова Н. В.、Голован А. А., Парусников Н.А., Трубников С. А. Информационное обеспечение задачи авиационной гравиметрии. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим. Препринт механико-математического факультета МГУ, 2001 г.
Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976.
Мудрецова Е. А., Веселов К. Е. (ред). Справочник геофизика. — М.: Недра, 1990.— 607 с.
Парусников Н. А., Горицкий А. Ю., Голован А. А., Тихомиров В. В. Алгоритмы корректируемых инерциальных навигационных систем, решающих задачу топопривязки.— М.: Изд-во МГУ, Механико-математический факультет, Препринт 2, 1994.
Салычев О. С. Инерциальная гравиметрия: Теория. Проблемы. Решения. —М.: Изд- во МГТУ им. Н. Э. Баумана, М., 1995.
Торге В. Гравиметрия: Пер. с англ. — М., Мир, 1999. — 429 с.
Bolotin Yu. К, Golovan A. A., Parusnikov N. A. An Experience in Design and Testing of Airborne Gravimetry Systems. Proceedings of VIII International Conference on Integrated Navigation Systems. St. Petersburg, Russia, May 2001.
Forsberg R. S.)Kanion S. Downward Continuation of Airborne Gravity Data. Proceeding of the IAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, IUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.
Hein G. Progress in Airborne Gravimetry: Solved, Open And Critical Problems. Proceedings of the IAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination. Calgary, August 1995.
Salychev O. S., Schwarz К. P., Hammada Y. An Analysis of the Wave Approach to state Vector Estimation. Proceeding of the IAG Symposium on Airborne Gravity Field Determination, IUGG XXI General Assembly. Calgary, August 1995.
Van Haffel S., Vande Walle J. Analysis and solution of the nongeneric total least squares problem. Matrix Anal. Appl. 1991. V. 9, № 3. P. 360-372.
К ПРОБЛЕМЕ ВЫДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙРАЗРЫВОВ В ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ДИНАМИКИДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕД
А. А. Буренин^ /7. В. Зиновьев
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Введение. Методы выделения поверхностей разрывов при численных расчетах газодинамических задач известны [1-5]. Основываются они либо на методе характеристик [1] с алгоритмическим внесением специальных процедур, например «выделение плавающих разрывов» [6], либо на решении задачи о распаде разрыва [2] с последующим использованием подвижных сеток. Применение подобных подходов в нелинейной динамике деформируемых твердых тел проблематично из-за взаимозависимости в них, по существу, двух процессов распространения граничных возмущений: изменение объемных деформаций и деформаций изменения формы. Поэтому в этом случае используются, главным образом, различные варианты схем сквозного счета [7-9]. Следует, однако, заметить, что из- за наличия в деформируемых телах более значимого диссипативного механизма (пластичность, ползучесть), проблема выделения фронтов разрывов в твердых деформируемых средах не стоит столь остро, как в газовой динамике. Иначе, использование здесь разных вычислительных методик, основанных на процедурах сквозного счета, гораздо более оправдано. И все же существуют ситуации в динамике деформируемых твердых тел, когда нестационарность явления столь существенна (отражение и взаимодействие ударных волн при высокоскоростном соударении и др.), что выделение нелинейных разрывов может стать необходимым. Здесь предлагается способ расчета ударного деформирования, выделяющий поверхность разрыва путем включения в неявную разностную схему одновременного вычисление параметров прифронтовой асимптотики, т. е. параметров разложения решения непосредственно за поверхностью разрывов в асимптотический ряд. Способы построения таких разложений могут основываться на методе возмущений [10, 11] или на методе прифронтовых лучевых разложений [12, 13]. Впервые такой прием предлагался, по видимому, в [14], где для построения прифронтовой асимптотики использовался метод возмущений [10] с эволюционным уравнением за квазипродольной ударной волной преимущественного изменения объемных деформаций. Поэтому здесь сосредоточим внимание на особенностях использования прифронтовых лучевых разложений при конструировании конечно-разностных схем расчетов, интересуясь, главным образом, ударным деформированием, меняющим форму тела.
Основные соотношения. Поперечные плоские ударные волны. Предлагаемое продемонстрируем на примере простейшей из возможных задач, так чтобы последующие зависимости были наиболее обозримы. С этой целью принимаем условие несжимаемости деформируемой среды, которую будем считать упругой. Ее свойства зададим упругим потенциалом (внутренней энергией при кусочно-постоянных значениях энтропии) достаточно общего вида, считая все же,
что эта функция W =勿(厶，/2,，з) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности свободного состояния:
W = (а — 〃)厶 + а/2 + 6/^ — 丫/1，2 — 〃/^ + e/f + d/^ + kl^ /2 + • • •,
厶=%/；，2 — ^-ij ^ji] /3 — ^ij ^jk^ki 5
2a订。-8u一^kyi^kyj 5& = ^i 一 "€ (力1,力 2,力 3,力)；(1)
2a叮—^i,j + Uj,i — Uk,iUk,j •
Соотношениями (1) в качестве меры деформаций вводится тензор деформаций Альманси aij, через & обозначены начальные (материальные) координаты точек среды, а через Xi — текущие (пространственные) координаты;从，а, 6,爲?у, с, d, к — упругие постоянные. Когда только 从 и а отличны от нуля в зависимости W (厶，/2, /з), то получаем эйлеров аналог потенциала Муни. Если к тому же а = =0, то данная зависимость переходит в упругий потенциал Трелоара.
Свойства поверхностей разрывов в несжимаемой упругой среде рассматривались в [15, 16]. Для целей настоящей работы достаточно будет рассмотреть одномерный случай, когда 〃2 = 〃2(力1,力)，〃з = 〃3(力1,力)，а вследствие несжимаемости 〃1 = 0. В таком случае из формулы Мурнагана
aij — ~Р1 + 然^ (8們-2а^・)(2)
следует, что
。11 = 一"ё厶"；(3)
/1 - "£,i J2 7кm卜；£ = 2, 3;
k=0
m =唸 1 + 唸 1； 0i = 〃 + a,…； 7o = 〃；％ = a + b + d + x +…
Предполагаемый одномерный характер движения требует, чтобы возникающие поверхности разрывов были и оставались плоскими. Условия совместности на них следует записать в виде
кп] = 0；匕插=~pG [vi]; [vi] = -Gg;(4)
T£ = [s」]；®i] =。；"2,3;[/] = /+-/-•
В (4) индекс «г» принимает значения 2, 3, G — скорость движения плоскости разрывов, з — компоненты вектора скорости движения точек среды. Подстановка (3) в (4) позволяет записать соотношения в разрывах:
оооо /г
丁£ £ lkmk + (% ,1 - rj [т](Тут C^mk~J [т]3-1 = pG2^ (5)
к=0к=1J = 1
\т\ = 2〃2」丁2 + 2〃з」тз
Здесь знаки «+» у m и 〃£」，вычисленных непосредственно перед плоскостью разрывов, опущены, так как далее будут встречаться только такие их значения и величины их разрывов. Первое равенство из (4) при записи (5) не использовалось;
оно служит для вычисления в последующем [回.Два соотношения (5) служат для вычисления скоростей возможных ударных волн и для получения условий их существования. При известном деформированном состоянии перед плоскостью разрывов в них входят три неизвестные величины: это скорость движения G плоскости разрывов и величины разрывов 丁2, 丁3 отличных от нуля компонент 〃2,1 и 〃з,1 градиента перемещений. Условие разрешимости (5) принимает смысл условия существования возможных ударных волн. Оно может быть записано в форме
{T3 ("2,1 - 72)- 72 ("3,1 - 73)} [m\ = 0.(6)
Согласно (6) возможны только два случая.
Плоскополяризованная ударная волна. Принимаем, что (6) выполнено за счет равенства нулю выражения, заключенного в фигурные скобки. Тогда
竺“匹1 = 2(7)
"2,1 "J 「2
Это плоскополяризованная ударная волна, на которой невозможно изменение направленности предварительного сдвига, а может измениться только его интенсивность. Из (7) следует, что, если перед плоскостью разрывов 〃з」=0, то тз = 0, и наоборот, при 〃2,1 = 0 следует, что и 女=0・ При заданных (известных)女 и тз скорость движения такой ударной волны определяется зависимостью
G =卜 +(0丁2厂1 ("2」一 т2) [т] х
I к=0
оо к] 1/2
k=o 1y=iJ
He умаляя общности, можно считать, что перед плоскостью разрывов 〃2,1 = =s * 0, а 〃з j = 0. Это достигается соответствующим выбором системы координат. Тогда зависимость (8) упрощается:
11
М = £〃，«2 =…
Рассматриваемое адиабатическое приближение для упругой среды является кусочно-изоэнтропическим, так как распространение поверхности разрывов деформаций является процессом необратимым. Условием возрастания энтропии при переходе через поверхность разрывов (неравенством второго закона термодинамики) является термодинамическое условие совместности разрывов [16]
-；。+ (疗电-G)团][vj]-若・[g]几厂北(疗rii - G) [W]》0.(10)
Здесь П{ — компоненты вектора нормали к поверхности разрыва.
В рассматриваемом случае несжимаемой упругой среды и плоскополяризо- ванной ударной волны при подстановке (1)-(9) в (10) можно переписать данное
неравенство в виде оо 2к•
ЕЕ (i-i) /!(2【」)! 屮》О-(В
Неравенство (11) заведомо выполняется, если s = 0, т. е. среда перед плоскостью разрывов не деформирована. При s * 0 достаточным условием выполнимости термодинамического неравенства (11) является требование, чтобы $丁2， ，0. Последнее означает, что термодинамически возможными являются только плоскополяризованные ударные волны, приводящие к развитию имеющихся в среде сдвиговых деформаций, а ударные волны разгрузки термодинамически невозможны.
Ударная волна поворота. Рассмотрим другую возможность, предоставляемую условием существования (6), когда [т] = 0. В этом случае, наоборот, на ударной волне не может измениться интенсивность предварительного сдвига и лишь скачкообразно меняется его направленность. Скорость движения такой плоскости разрывов вычисляется зависимостью, следующей из (5):
<оо] 1/2
G = { 0-1 £ akmk 卜.(12)
Ik=oJ
Легко показать, что такая плоскость разрывов является изоэнтропической, а скорость ее движения (12) всегда меньше скорости движения плоскополяризо- ванной волны (8). В отличие от последней плоскость поляризации данной волны определяется не предварительными деформациями, а производимым ударным воздействием, потому ее еще называют волной круговой поляризации [4]. Данная ударная волна не распространяется по недеформированной среде.
%2%2Построение прифронтовых асимптотических разложений. Рассмотрим массив несжимаемой среды в виде плоского слоя толщиной Н (рис. 1). Начальное деформированное состояние определим заданием компонент вектора перемещений так, чтобы щ = и^ = 0] U2 = s (力i — Я), где s = 〃2,i = const. Последнее для метода не принципиально и принимается только с целью упрощения последующих соотношений.
%2
%2
"3 =寸)；"2 =吟)"3 = 0；叱=吟)〃2 = S(X] —//)"3 =寸)；"2 =吟)"3 = 0；叱=吟)〃2 = S(X] —//)Пусть начиная с момента времени 力=0 граница слоя 力^ = 0 движется согласно зависимостям
"3 =寸)；"2 =吟)
"3 = 0；叱=吟)
〃2 = S(X] —//)
"3 =寸)；"2 =吟)
"3 = 0；叱=吟)
〃2 = S(X] —//)
〃1 (0,力)=0;
"2 (0, t) = -sH + 020力 + ^^；(13)
Рис. 1Рис. 1"з(0") = 030力+ 警.
Рис. 1
Рис. 1
При。20 * 0 и озо * 0 непосредственно с момента времени 力=0 от граничной плос
кости 力1 = 0 отделяются две плоскости Х] и 夕2 разрывов деформаций. Первая из них (Ei) движется со скоростью
G =+y +(14)
24 c 2从e/ J
Являясь плоскополяризованной и не меняющей направления сдвига, данная волна заставляет после себя двигаться так, чтобы 〃з оставалась равной нулю. В области между Ei и Е2 движение среды подчинено уравнению
(15)(15)(М + 3)吟 1 + …)“2,11 = О*?.
(15)
(15)
Если переписать (15) в разрывах, то можно получить
(16)(16)
(16)
(16)
При записи (16) использовались геометрические и кинематические условия совместности разрывов [17]. Зависимость (16) связывает разрыв второй производной с J-производной разрыва первой производной. Заметим, что данная связь является следствием законов сохранения. Когда послеударное время мало, тогда решение и^ в области между Ei и Е2 представимо в форме лучевого разложения:
Н = Хю + 9 + • • • ；^> = I д Х20(52 + c-1sxio + с-2Х?о)；Н = Хю + 9 + • • • ；^> = I д Х20(52 + c-1sxio + с-2Х?о)；
Н = Хю + 9 + • • • ；^> = I д Х20(52 + c-1sxio + с-2Х?о)；
Н = Хю + 9 + • • • ；^> = I д Х20(52 + c-1sxio + с-2Х?о)；
Отсюда и из (14) следует, что в таком случае степенным рядом по t (или по ж) представляется и скорость Gi движения плоскости Ei，Это позволяет записать окончательное представление решения:
〃夕=^о) +(Х10 + 9) «— с(1；о)) + I Х20 «— с(1：о)) + …(18)
Перейдем к построению лучевого разложения решения за 夕2・ Послеударное время также полагаем малым. Из уравнений движения среды
М^2,11 + 3)"扌 j〃2Jl + 27^2,1^3,1^3,11 + 7^3,1^2,11 =
М^з,и + 37"^1а3,u + 27"2,1"3,1"2,11 + 7^2,1^з,и =0"^，
Jwi7ГJwi7Г
Jwi
7Г
Jwi
7Г
переписанных в разрывах, используя кинематические условия совместности разрывов, можно получить
等=»2(5+喇"+ 82，产-「(5+")^ +
+ 儿-2显0力-c-2X20Wi - C-1W1^2 + C~2w1w2b k (20)
-{c-2W2X20^2 +。-2仅1 必0力 + C-2X2OW16 + C—^gb + C^W^W^}；
b =，(cs + Ho)2 — 時； W1 = W10 + ^^ 力 + …； Wio = Wi|t=o.
Следует учитывать, что на 夕2 условием [m] = 0 разрывы(^i и wi,(^2 и W2 связываются соотношением
с _W1W2夕2 = 2cs + 2xio — bс _W1W2夕2 = 2cs + 2xio — b(21)(21)
с _W1W2
夕2 = 2cs + 2xio — b
с _W1W2
夕2 = 2cs + 2xio — b
(21)
(21)
Представляем решение в форме лучевых разложений за %：
G(£)丿G(£)丿+ ...;+ ...;(22)(22)
G(£)丿
G(£)丿
+ ...;
+ ...;
(22)
(22)
Используя (20), (21), а также граничные условия (13) для определения постоянных к。，Х20, wio, W20, можем получить окончательное приближенное решение задачи при малом послеударном времени.
2"3 = 丁 W3.Оо2"3 = 丁 W3.Оо(23)(23)Удобно построенное приближенное решение записать в безразмерной форме. С этой целью проведем замену переменных
2
"3 = 丁 W3.Оо
2
"3 = 丁 W3.Оо
(23)
(23)
,030C030020030
"福 T； x=—"2 = 丁3
Граничные условия (13) в новых переменных приобретают вид
(24)(24)w2 (0, т) = —/ + т + ^ г2; w3 (0, г) = г + у；ЬоН
(24)
(24)
/ _ °20 .ао °30
竺2，bo 020 °
°20
С использованием (20) и (21) зависимости (22) переписываются в окончательной форме
鏡2 = sy + S生 + 2上 Xio£2s^ioX2ot2 + (s + Xio — К) X wio м
х (~ (1 — /(s + Xio)2)у) +е2(| J Xi# — 2^ Kos +
.1 71 75)23 77 з
+ 5 - X105x20攸 107 - 5 — Xio — 5 - 5 x20攸 107 一5一x10x20攸 107w10X20^-
7 л„4 侦207(т/〃)?4о攸207、
一"攸10k一 2S + 2H0 — K 丿х
х卜一(1 - ^ m(5 + К。)) 0 - T W1° (-4J 2以10吃2。- 26:м：")卜一
-(1 - ^ M(s + Xi。))沙)；(25)
W3 =W3 =^2X2OK^1^2X2OK^1Wio^2W1O -Wio^2W1O -(7/〃)goe% 20K2s + 2x10 - k(7/〃)goe% 20K2s + 2x10 - k卜）卜）xxxx1 — ^Z 巒($ + Xi。)) У)~1 W2° V ~1 — ^Z 巒($ + Xi。)) У)~1 W2° V ~(1— ^£2(s + X1°)2)“) °(1— ^£2(s + X1°)2)“) °
W3 =
W3 =
^2X2OK^1
^2X2OK^1
Wio^2W1O -
Wio^2W1O -
(7/〃)goe% 20K2s + 2x10 - k
(7/〃)goe% 20K2s + 2x10 - k
卜）
卜）
x
x
x
x
1 — ^Z 巒($ + Xi。)) У)~1 W2° V ~
1 — ^Z 巒($ + Xi。)) У)~1 W2° V ~
(1— ^£2(s + X1°)2)“) °
(1— ^£2(s + X1°)2)“) °
В формулах (25) введены следующие обозначения:
020.0 _ Ь0нc020020.0 _ Ь0нc020К = J(s + Xio)2 — 呜о •К = J(s + Xio)2 — 呜о •
020.0 _ Ь0н
c020
020.0 _ Ь0н
c020
К = J(s + Xio)2 — 呜о •
К = J(s + Xio)2 — 呜о •
Кроме того, постоянные ^ю? Х20, wio, W20 в формулах (25) являются уже безразмерными величинами. Согласно условиям (24) на нагружаемой границе они могут быть вычислены следующим образом:
Хю =Хю =2-2s2-2s3s2 + 1 — 4s +3s2 + 1 — 4s +
Хю =
Хю =
2-2s
2-2s
3s2 + 1 — 4s +
3s2 + 1 — 4s +
хх030 wio =°20030 wio =°20(26)
х
х
030 wio =
°20
030 wio =
°20
Соотношения (25) и (26) приближенно решают задачу для моментов времени, близких к началу динамического деформирования.
Использование прифронтового разложения при конструировании конечно-разностной схемы расчетов. Полагаем, что построенное аналитическое приближенное решение задачи удовлетворяет нас только до момента времени т = 丁0 (рис. 2). Положение ударных волн Ei и Е2 в плоскости (т, д) задается кривыми
(27)(27)厶1+^發卜+厶1+^發卜+99 \ 23s +1 — 4s + Wig、99 \ 23s +1 — 4s + Wig、2 - 2s2 - 2sг.г.(28)(28)夕「g=(1 + I 『合 + I sXio^2 +必0产)t,
(27)
(27)
厶1+^發卜+
厶1+^發卜+
99 \ 2
3s +1 — 4s + Wig、
99 \ 2
3s +1 — 4s + Wig、
2 - 2s
2 - 2s
г.
г.
(28)
(28)
Уравнения (27) и (28) справедливы также при малых т. Постоянные ^ю? Х20, wio, W20 определяются в них зависимостями (26). Однако данные зависимости возможно считать справедливыми, если считать в них у равным (у — Уо) и 丁 равным (т — то), а постоянные ^ю? Х20, Wio, W20 считать неизвестными. Остаются справедливыми также соотношения (25) для зависимых переменных при той же замене независимых. Однако и в них постоянные ^ю? Х20, Wio, W20 уже нельзя вычислять согласно (26).
Для получения решения в этом случае построим неявную конечно-разностную схему, включающую в себя лучевое разложение решения (25) с неопределенными постоянными Хю, Х20, wio, W20- Для этого область т > То, 0 < у < ^ G2 (^) d^ о
разобьем сеткой с шагом Ат по безразмерному времени и с шагом Ад по безразмерной пространственной координате. Для реализации схемы считаем, что
в области, близко прилегающей к фронту ударной волны, можно воспользоваться лучевым разложением решения (25). Это позволяет на каждом временном шаге
итерационным методом решить замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений и найти перемещения W2 и W3 за фронтом ударной волны 匕，а также константы лучевого разложения 丫通 丫20, wio,仅20・ Теперь, зная константы, нетрудно определить положение ударных волн Ei и Е2 согласно (27) и (28). По описанному выше алгоритму была разработана и отлажена программа, позволяющая вычислить перемещения, константы лучевого разложения и положения фронтов ударных волн на каждом временном шаге.
фронтом ударной волны % в момент времени т = 0,4 (т — безразмерное время).фронтом ударной волны % в момент времени т = 0,4 (т — безразмерное время).Рис. 3Рис. 3Рис. 4Рис. 4На рис. 3 и 4 представлены результаты численного счета. На рис. 3 показано положение фронтов Ei и 夕2・ На рис. 4 представлено распределение перемещений W2 и W3 за
фронтом ударной волны % в момент времени т = 0,4 (т — безразмерное время).
фронтом ударной волны % в момент времени т = 0,4 (т — безразмерное время).
Рис. 3
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 4
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ. Грант 02-01-01128 (Динамика деформируемых сред при ударных воздействиях).
Список литературы
Любимов А. Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. — М.: Наука, 1970. Т. 1, 2.
Годунов С. К.)Забродин А. В., Иванов М. Я., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука,1976.
Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1984.
Куликовский А. 77, Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: Физматлит, 2001.
Азарова О. А., Власов В. В., Грудницкий В. Г., Попов Н. А., Рыгалин В. Н. Разностная схема на минимальном шаблоне и ее применение в алгоритмах выделения разрывов. В кн. «Алгоритмы для численного исследования разрывных решений.» Выч. центр РАН. - Москва, 1993. С. 9—55.
Moretti G. On the matter of chock fitting. Leet. Notes Phys. 1975,35. R.D. Richtmyer (Ed.), Springer, Heidelberg. P. 287-292.
Русский перевод: Моретти Дж. К вопросу о выделении скачка / В кн. «Численное решение задач гидродинамики». Сер.: Механика. Новое в зарубежной науке. № 14.— М.: Мир,1977. С. 55-63.
Уилкинс М. Л. Расчет упругопластических течений. В кн. «Вычислительные методы в гидродинамике» М.: Мир, 1967. С. 212-263.
Куку джинов В. Н., Кондауров В. И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. В кн. «Проблемы динамики упруго-пластических сред» Сер.: Механика. Новое в зарубежной литературе. — М.: Мир, 1975. № 5. С. 3984.
Куропатенко В. Ф. Методы расчета ударных волн. Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2, № 2. С. 45-59.
Буренин А. А., Россихин Ю.А. К решению одномерной задачи нелинейной динамической теории упругости со структурной ударной волной. Прикладная механика. 1990. Т. 26, № 1. С. 103-108.
Буренин А. А., Рагозина В. Е. О прифронтовых асимптотиках в нелинейной динамической теории упругости. В сб. «Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкции» (К 60-летию профессора Г.И. Быковцева). — Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 225-240.
Burenin A. A., Rossikhin Yu. A., Shitikova М. V. A method for solving boundary value problems connected with the propagation of finite amplitude shock waves. Proc. 1993 Gnt. Symp. On Nonliear Theory and Applications. Hawaii, December 5-10, 1993. V. 3. P. 10851088.
Буренин А. А. об одной возможности построения приближенных решений нестационарных задач динамики упругих сред при ударных воздействиях. Дальневосточный математический сборник. 1999. № 8. С. 49-72.
Рагозина В. К, Воронин И. Я., Вековшинин Е. Л. Об использовании прифронтовой асимптотики в численных решениях динамических задач теории упругости с ударными волнами. Проблемы естествознания и производства. — Владивосток: ДВГТУ, 1995. Вып. 115. С. 25-27.
Boa-The Chu. Transverse chock waves in incompressible elastic solids. J. Meeh. Phys. Solids. 1967. V. 15. P. 1-14.
Буренин А. А. об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства. Прикладная механика. 1985. Т. XXL № 5. С. 3-8.
Быковцев Г. И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998.
МОМЕНТНАЯ МЕХАНИКА И ОБОБЩЕНИЯ
Г. А. Ванин
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
Моментная механика разрабатывается как инструмент познания состояния тел при учете их строения на выбранных масштабных уровнях и различных физических воздействиях. В связи с развитием нано-, био- и других технологий особое
внимание привлекают явления, возникающие в телах на наноуровне и их влияние на параметры макроскопического состояния. Учитывая, что конструктивные (макроскопические) размеры составляют миллиметры или сантиметры, отмеченный
интервал охватывает почти 7 порядков размеров. В этом случае анализ состояний включает как первичные элементы структуры, так и ее иерархию вплоть до макроразмеров. К числу таких материалов следует отнести композиты с матрицей из суперсплавов, нано- и биокомпозиты. В качестве примера подобных сред приводим схему строения биокомпозита (скелетная мышца) с иерархической структурой волокон (рис. 1). В строении волокон выделено 4 иерархические ступени, включая наивысшую — макромолекулярную. Мышца на первом масштабном уровне составлена из волокон, диаметром около 100 микрон. Каждое волокно состоит из фибрилл диаметром в десятки микрон, а отдельная фибрилла состоит из двух видов чередующихся белковых нитей диаметром 0,08 и 0,04 микрон, строго расположенных в узлах гексагональной решетки.
Наивысший, четвертый, уровень представляет собой макромолекулы,
рис 1строение которых определено струк
турой отдельных звеньев. Концы волокон соединены с сухожилиями. В качестве матрицы выступают чехлы на волокнах и белковые межволоконные соединения. Волокна уложены параллельно,
равномерно воспринимают продольные нагрузки, а каждая нить соединена с нервными окончаниями. Подобная компоновка структуры представляет интерес для формирования интеллектуальных композитов.
Ранее показано, что изучение подобных систем [1-5] приводится к построению механики неоднородных сред с учетом моментных (градиентных) состояний.
В прошлом попытки создания моментной механики, в частности моментной теории упругости, окончились неудачно [7-10]. Автором предложено альтерна-
тивное направление, с помощью которого удалось преодолеть принципиальные трудности [5, 11, 16, 17]. При этом в задачах статики установлено следующее:
широко используемая гипотеза о несимметричности тензора напряжений излишняя, а ее использование приводит к усложнению решения задачи;
состояние неоднородной среды устанавливается в конечном объеме, представляющем типовое для системы строение структуры;
моментное состояние в одноуровневой системе способно в пределах 20 % изменить компоненты макроскопического состояния;
отмеченное влияние может быть достигнуто при взаимодействии локальных градиентов поля с точечными возмущениями, например при сосредоточенных нагрузках, вблизи границ тел, а также вследствие развитой иерархии структуры;
моментная теория уточняет соотношения механики композитов благодаря более строгим краевым условиям и уравнениям состояния.
Ниже приведено обобщение моментной теории на нестационарные явления.
Упругие поперечные поля. Поле в неоднородных средах формируется в соответствии с особенностями в строении структуры. В простейших средах число геометрических параметров ограниченно. Поэтому целесообразно выделить канонические структуры, образованные регулярно расположенными одинаковыми элементами в виде призматических волокон, сфероидов и других форм. Влияния отклонений от регулярных упаковок материалов могут определяться как возмущения с помощью известных методов. К числу канонических следует отнести волокнистые среды с непрерывными выпрямленными волокнами, оси которых размещены в узлах регулярных, например гексагональной или тетрагональной, решеток. На рис. 2 приведен пример строения двухуровневого нанокомпозита, упрочненного полыми или с заполнением углеродными трубочками диаметром от 15 до 100 нанометров. Субмикроструктура трубок образована так, что наиболее прочные связи ориентированы вдоль оси трубок. Более слабые связи направлены перпендикулярно оси волокон, поэтому трубки обладают микроструктурной анизотропией.
Второй уровень образован волокнами большего диаметра и в свою очередь упрочненного трубками малого диаметра. Важным этапом является выбор определяющего объема — ячейки с типовой структурой. Для регулярной структуры таковой может быть одно или несколько волокон в гексагональном или тетрагональном призматическом объеме. Другой аспект задачи — это
построение на основе предложенного автором алгоритма усреднения теории определяющих соотношений для неоднородной среды. Отметим, что механика и физика сплошных сред построены на эмпирических уравнениях состояния, содержащих погрешности. Как известно, закон упругости Гука, закон теплопроводности Фурье, законы Фика, Ома и другие сформулированы при условии существования однородных полей. Последние в природе неизвестны в силу неоднородного строения тел на всех масштабных уровнях, поэтому особый интерес представляют уточнения
существующих законов механики и физики для сред с заданной неоднородностью структуры.
Следующее ограничение характерно для нестационарных систем. Так термодинамика необратимых процессов основана на принципе локального равновесия систем, область применимости которого строго в термодинамике не может быть установлена. В данной работе вводится допущение, что при эволюции системы определяющий объем проходит последовательность равновесных состояний. Это предполагает медленное протекание процессов во времени, а распределение полей в определяющем объеме соответствует стационарным процессам. В этом случае накладываются ограничения на длину волн, частоту колебаний и т. д.
В соответствии с изложенным определим стационарное состояние определяющего объема в волокнистой среде при поперечном распространении упругих волн. Вводим обозначения: ось ОХ】 совмещаем с осью одного волокна, все волокна одинаковы по свойствам и размерам,
力2 =力, 力3 = g, СГ12 = СП, 013 = 001,
T = 6 - гег01, а丁 =02 一002 - 2沁心
диди.
712 = 71 =初 7oi =研 7 = 71 - ^7oi-
Компоненты моментного состояния, усредненные в пределах определяющего объема, отмечаются знаком «^» над буквой. Изменение упругой энергии при учете моментного состояния будет
^ j (。171 + croi7oi) dR = £ ^у (31% + ?oi7oi)(n),⑴
尸 °n=i .
(СГ171 + СГО17О1)(П) = CTn7n + 几 СГп ——
Варьируя суммой энергий однородного и моментного состояний, выраженных через эффективные составляющие, получим уравнения состояния и краевые соотношения
^1 —沁(и = G^(7i — Z7oi) + 2厶3^)(% — ^7oi)(2)+
+ ЛС^(71 - ^7о1)(з)+ …，⑵
G^ = G [1 Y + & + Cn)G^/G] [1 + C + (1- C) G^)/G「+ •.., где C — объемное содержание волокон. Если правую часть уравнения состояния выразить через продольные смещения % то определяющие соотношения будут
% -沁。1 = ^ 8% - J2G^^2u + J J&G^寸寸и —
Удерживая первый член, приходим к закону Гука. Сохраняя второй и последующий члены, получаем поправки к закону упругости, вызванные неоднородным строением среды. Каждый последующий член уравнения состояния определен через новую эффективную постоянную 6^\ геометрический фактор J2Tl =
=—- 力2九 dF, Fq ——площадь поперечного сечения ячейки, и величину градиента смещения. В случае полых волокон (трубок) G^ = Ga(l — Q2n)(l + Q2n)-1, q = =ао/a, ao и a — радиус полости и внешний радиус волокна. Дифференциальное уравнение статического равновесия среды в смещениях,
(g^ - J2G^V2 + i AG^Vv _ …)^2〃 = 0,⑶
решается введением функций, удовлетворяющих более простым уравнениям. В первом приближении принимаем
〃 =3i(z) + 3i(z) + ^i, ▽?如-死泞 1 = о,
V2^i =0,必=G^(J2G^))T •
Краевые условия рассмотрены для двух случаев:
края тела свободны от усилий;
тело находится в совершенном контакте с другой неоднородной средой, имеющей подобное строение. Обозначим через п нормаль к границе. В первом приближении установлено
= 0,(4)
OS
Тп — приведенное напряжение сдвига Ti — zTqi = ^G^^p^z).
Моментные компоненты состояния в ортогональных криволинейных координатах s и п (s — дуга кривой, п — нормаль к ней):
Мп = ^2(J2G^)〃 — ^ JaG^N?Q + • • •,
(5)
吼=薪 ^G^U- i J4G*2〃) +
Условия совершенного контакта неоднородных тел в первом приближении:
〃+ = 〃, т+ = т- м+ = м- ”^ =忆(6)
Знаком плюс (минус) отмечены предельные значения функций справа (слева) от граничной поверхности. Во втором приближении
〃 =32(z) + 32(z) + 如 + 也；V2^fc - >4以=о, ▽?% = 0,
死：2 = Ml (2〃2)死：2 = Ml (2〃2)—4〃i〃2 2—4〃i〃2 2Xi > 0,必 < 0.Xi > 0,必 < 0.
死：2 = Ml (2〃2)
死：2 = Ml (2〃2)
—4〃i〃2 2
—4〃i〃2 2
Xi > 0,必 < 0.
Xi > 0,必 < 0.
Решения, зависящие от %, определяют экспоненциально убывающие состояния при удалении от границы. Краевые условия свободного края во втором приближении:
Тп-^-(吼—=о, Мп- 2学=0, Мпп = 0;⑺
os \ ds Jos
Мпп = - J&G^ + • • •,оon
612 \ds дп Ро дп pl дп дп/
оdsdn
Условия совершенного контакта во втором приближении:
(m…端斗=(М…除小
ле = ”口 "累="力，м+ = м-, (“2П三”叩)•
Как видно, уточнение решения достигается ростом в краевых условиях числа моментных состояний и более полным учетом членов в начальных приближениях. Методом индукции нетрудно показать, что в любом конечном приближении число граничных условий соответствует порядку основного дифференциального уравнения. Приведенные краевые условия остаются неизменными и в задачах динамики. Уравнения равновесия при колебаниях среды получены при использовании принципа Гамильтона:
6 Ц(Т -U) dFdt = 0,
to F
т = ^ [p!U2 + Р1 (说 + 说 1 + V^aa) +
6U = -G^ ”2〃 — M1V2V2TZ + • • b〃.
Отсюда следует
▽2" — v-^u - V2(M1V2TZ + 厶。[2公 + V2V2 (从2▽2" 一丿40[2金)+ . . . = 0, м(10)
= 6^7；^, 7n = 70^2nr + 7а (l-^2n) С + 7(1- Г).
Решение уравнения движения (10) в случае плоских волн в первом приближении:〃 =Re М + 耽)£-必±, V2^fc + 姝Фк = 0,
必 2 = - (1 干 \А + 4〃⑷2。丁2)(2血尸，必〉0,必 < 0.
Функция 如 соответствует волновым движениям среды, а 耽一быстрозатухающим по пространственным переменным стоячим волнам. В частности, дифракционные явления около свободной круговой полости определяются в цилиндрических координатах г, Н суммой функций Ханкеля и периодической экспоненциальной, а стоячие волны — функциями Макдональда Кп (|〃2〔 丁)：
" =Re 依 +玄 小(…/2)卜九必 1)(々T) + AnKn (Iх2|叫卜…，
Нп (Х1, г) — функция Ханке л я первого рода, асимптотическое представление которой при удалении от контура отверстия:
»屮(％, г) = у 2(7ГХ1Г)-1 ехр [г (々丁 — шг/2 — тг/4)] (1 + ...).
Стоячие волны при удалении от границы затухают по закону
Ki (1х2| r) ^ /万(2]〃21T厂77"2 K (1 + • • •) •
В длинноволновом приближении 幻一> 0 установлено снижение деформаций около отверстия благодаря влиянию моментного состояния. В тех случаях, когда для повышения демпфирующих характеристик материала на него наносят легкий низкомодульный слой, следует ожидать снижения демпфирующих свойств слоя вблизи отверстия вследствие указанного уменьшения деформаций. Поэтому целесообразно на основе предлагаемой теории провести предварительный анализ деформированного состояния поверхности, на которую планируется нанести демпфирующий слой.
Проведенные расчеты показывают, что при учете моментных состояний наблюдается рост длины волны по сравнению с таковыми в классической теории колебаний. Смещения среды в этом случае определяются решением вида
и = u()[i (航力 + k2y — cut)] , k； + 烤=k1.
Уравнение частот (при 1 — u^J^v^1 > 0):
*=(1 - JJ2。/) (4血片｛-1 + [1 + 8 Jo丁2血(1 一 JJ2。T2)-2]
Числовой пример приведен для среды с характеристиками
С = 0,65; Ga = 0; 7а = о； G/7 = 1,1183 • 10 м2/с2,
ра = 10-8 м, Ro = 1,24 • 10-5 м.
При частоте 幻=107 с-1 длина волны сдвига в волокнистой среде по сравнению с классической теорией возрастает всего на 0,15 %, а при 幻=5 • 107 с-1 она превышает классическую на 15 %. Дальнейшее уточнение требует учета большего числа членов в уравнении частот и влияния дифракционного рассеяния. При сравнении зависимости эффективных упругих характеристик от объемного содержания волокон в одноуровневых волокнистых композитах и таковых с двухуровневой структурой обнаружены аномалии. В частности, формула для модуля сдвига в последнем случае имеет вид
012 = 012 (1 - 8(1 + СХ — «ХУ)т ,
G12 — модуль сдвига композита, упрочненного волокнами меньшего диаметра. X, У — параметры структуры. Для одноуровневых материалов У = 0, для двухуровневых —У〉0. Последнее указывает на увеличение с ростом《модуля по закону, отличному от известного в механике композитов.
Необратимые состояния. В качестве обобщения задачи о состояниях волокнистой среды, построим с помощью соотношений термодинамики основы моментной теории необратимых процессов применительно к нестационарной теплопроводности .Среда имеет иерархическую структуру, упрочненную на наивыс-
шем масштабном уровне непрерывными волокнами с цилиндрическими полостями, заполненными материалом с отличными характеристиками. Более низкий
масштабный уровень из волокон большего диаметра. Рассматриваемая среда имеет лестничную иерархию структуры [18]. Расстояния между смежными волокнами на один или более порядков превосходят таковые для волокон малого диаметра. Градиент температуры направлен перпендикулярно ориентации структуры. Решение задачи строится в предположении, что в процессе теплопроводности определяющие объемы на двух уровнях проходят последовательность равновесных состояний, что соответствует медленному протеканию процесса теплообмена. Общий тепловой поток в определяющем объеме представим в виде суммы простых потоков
q = qu + qN + q*> （口）
Qo — поток при постоянном градиенте температуры, qN — высоко градиентный поток （рис. 3）, q* — поток, рассеянный волокнам. С ростом градиента температуры рассе-
рис §янное поле более интенсивно затухает при удалении от
межфазных границ. При умеренной концентрации волокон （С < 0,7） в разложении функций достаточно сохранить только первые члены. Обозначаем 羹=41, 4з = Qoi, z = х -\- iy.
Температурное поле в каждой фазе ищем в виде разложения
То = 30（Z）+ 30（Z）, Zz = 3a（Z）+ 3a（Z）, Т =夕（之）+ 夕（之）一 （卜 + 卩），（12）
死一коэффициент теплопроводности матрицы. Индексами 0, а и s или без них обозначаются величины, относящиеся соответственно к материалу в полости волокон, волокну и матрице или ко всем компонентам одновременно. Функция V（г） определяет интенсивность температурного поля в матрице. Ее можно, учитывая равновесное состояние определяющего объема, представить рядом
卜（Z）=一耳 2П+：（九 + 1）!（生一201）5+1）.
Член при 几=0 соответствует потоку Qo：
（Q1 - *01）（2）=鱼一Q02 - 2211.
В условиях совершенного межфазного контакта выполняются условия
7+ = T,玻=嗚・
Последние преобразуются к функциональным равенствам
（1 + 々/死a） 30（Z）+ & - 々/死а） 30（Z）= 23a⑶，（Z G Z0）,
（1 + 死。/死）за（7）+ а - 死。/死）3。（7）=29（7）, （Z e /） •
(13)(13)(14)(14)Искомые функции представим в виде рядов
(13)
(13)
(14)
(14)
3o(z) = £ Bnzn,必⑶=£ AnZn,夕⑶=£ CnZ~n.n>0—oon>0
Усредненные потоки и градиенты определены с помощью теоремы^ ] (qS + Qoi^oi) dF = £ ^ (仇丁1 + OoiToi),(41丁1 + qoiToi)⑵=羹丁2 + 2quTii + qu2TU2・
Усредненные тепловые потоки определены соотношениями (Qi -分访1)5)= q/n ds,
卄—контур ячейки определяющего объема. Определяющие соотношения для моментных состояний найдены в виде рядов, первыми членами которых будут
仇一^Qoi — —"I (T1 一 分т(Н),(元一分^01)⑵=一2J2"2 (71 一分7()1)⑵，
(品-iqgi)^ = 一J4死3 (71 一 分т(Н)⑶，
”k ——эффективный коэффициент теплопроводности для k-ro градиента температуры:
% = 〃(1 —C”Q (1 + C”QT,
X _ /1 - Ха/х2fc 1 - Хо/ха\ А 亠戶2k ] 一 死а/死 1 - Хо/ха\
1+ к。/1 + 死。/% 丿卜十 1 + Xa/X 1 + Xo/xJ ，
£ = ао/а;。0, а — радиус полости и внешней поверхности волокна соответственно. Эффективные термодинамические параметры для неоднородных тел определены соотношениями усреднения. В случае простой теплопроводности внутренняя энергия однородной фазы, если пренебречь влиянием теплового расширения, известна:
U = %Т,
加一теплоемкость отдельной фазы при постоянном объеме. Эффективная внутренняя энергия среды, состоящей из k фаз, если пренебречь возможными аномалиям на межфазных границах, равна сумме составляющих:
目方=^ £ ] РкСкТ dR,k Fk
Рк ——плотность k-й фазы. Более удобное выражение для внутренней энергии трехфазного волокнистого тела найдено в виде
pU = 01clТ + - J?p2c2(V2T^ + —丿403。3〈▼▽吋〉+ ...,PkCk = р0С0£2кСк + раСа (1 ~ ^^) ^ + psCs (1 -产).
Распространяя определение энергии на макрообъем среды, найдем ее локальное значение на другом масштабном уровне:
pU = p1e1T + ； 0202J2▽2T + ^ j40303▽2▽2T + • • •(15)
Скорость роста энтропии s согласно определению:
ds _ 1 dpUP~dt - Т dt *
На основе найденных соотношений вводим моментную функцию рассеивания, аналогичную диссипативной функции Релея:
屮—] (qS + Qoi^oi) dF = -； £ j (仇T1 +。01丁01) ,(16)
尸оk=l
которую с помощью определяющих уравнений преобразуем к виду
W = ； *1 (T『+ 端)+ j2死2 (7『+ 端)(2) + ё'4"3 (T广+ 70:)⑶ +
Другое представление моментной функции рассеивания получено при замене градиентов температуры на потоки:
*=^偿(比+箔 1) +二(比+能1)(2) +計五(比+箔1)(3) +
Из найденных соотношений для объема F*》Fg легко строятся локальные функции рассеивания. Основной закон теплопроводности регулярных волокнистых сред при поперечном потоке найден в виде
"一』? + 子+ 1丿^矿矿子+…(17)
Первый член в правой части характеризует тепловой поток в случае однородного градиента температуры при однородном потоке тепла. Это закон теплопроводности Фурье. Последующие слагаемые определяют влияние более высоких градиентов температуры в структурно-неоднородном теле на процесс теплопроводности. Поэтому (17) следует рассматривать как обобщение закона теплопроводности Фурье на неоднородные среды. Путем варьирования по градиентам температуры потенциала рассеивания (16) непосредственно получаем уравнение стационарной теплопроводности с учетом высоких градиентов температуры, естественные краевые условия и эффективные моментные составляющие температурного поля. Между ними и вышеприведенными уравнениями теории упругих сред (3)-(9) существует аналогия. Например, уравнение теплопроводности с учетом высоких градиентов температурного поля имеет вид
-xiV2T + J2^2V2V2T - i J3^3V2V2V2T + ... = 0.О
Краевые условия вытекают из контурных интегралов. В случае совершенного теплового контакта следует
Условия совершенного контакта во втором приближении:
К=Т~,玻=嗚；(Mn - 2^)+ =(Mn - 2^)",
= м~.
Решение уравнений задачи теории стационарной теплопроводности строится аналогично. Исследование нестационарных процессов осуществляется с помощью интегральных принципов. Термодинамика нестационарного процесса теплопроводности устанавливается на основе представления Фурье [6], путем введения соответствующего этому представлению потенциала рассеивания W. Из уравнения баланса энтропии следует
[叫7^ + 叫阅 + (*，1}=
=]dF [(о U + 羹 + 402)T —(41丁 + QoiT + 屮)]• (18)
Согласно определению все величины в R* осреднены в определяющем объеме Fq《 《 R*. Произведение q±Tx + qoi^oi определено согласно равенству
^ ] gm + go"。。dR = £ j (。厅 1 + qoi^oi) т £ f gm + ^oi^oi^)- 尸°k=ik=i
Остальные термодинамические переменные найдены выше. Из условия вариации функционала (18) при постоянном потоке следует
852 ^f(，1丁1 + q°iT°i)(k) + 8屮=& ] dR“ U + 鱼 + 4о2)6Т = 0・(19)
Здесь учтено, что из уравнения баланса внутренней энергии при постоянном потоке,
pU + 羹 + 402 = О,
следует постоянство pU. Внося (17), (15) в (19), получим основное уравнение теории нестационарной теплопроводности волокнистой среды при поперечном потоке:
0101 黑^ -貝е2T + J2 (； 0202^ + 死2▽2) V2T +
+ 丿4死3^2)V2V2T +(20)
Преобразуя его по Лапласу, найдем
Н = j Те-р± dt,
о
(0015 -死1▽2)h + J2(^0202 + "2▽b V2^ + J4 (导 03。3 - 死3▽2) X
X V2V2^ + . . . = 01clTo + I J2PticN2T0 + ^ 丿403。3厂2厂2丁0 + • • •,
To — распределение температуры в момент времени 力=0. В данном решении, в отличие от классического, в соответствии с порядком дифференциального уравнения и краевых условий в момент 力=0 кроме распределения температуры следует задать начальное значение моментов. В качестве примера рассмотрим в первом приближении процесс остывания неограниченного стержня (—оо < ж < оо), боковая поверхность которого термоизолирована, а при х = 0, t = 0 задано Ь-образное распределение температуры. В качестве b-образной функции примем
7b = ^~2 = 血 [е~аа cos ах da (Rea > 0).
万优+ a 万J
о
В пределе 力一> 0,力一> 0 эта функция стремится к функции Дирака Но6(力)6(7). Решение ищем в виде
Н =Н ="о f da万 J Р + Ро о"о f da万 J Р + Ро ое~аа cos ах,е~аа cos ах,
Н =
Н =
"о f da
万 J Р + Ро о
"о f da
万 J Р + Ро о
е~аа cos ах,
е~аа cos ах,
00 = cГ2 (死1 + J2死2m)(piCl -；J20202経)•
Поток определен выражением (21). Опуская решение однородного уравнения и совершая обратное преобразование, найдем
с+гоооо
2 如=当 f dp ept f e~c°s°* do.
27г2г JJp +po
с—гооoo
Переставляя порядок интегрирования и вычисляя интеграл, найдем
Т =物 da cos ах exp [—acr — та2 (1 + 厶経侬)(1 — /32бг2)-1], о
02 = ^厶吗，Т=卫
2 picipici
В аналитическом виде интеграл находится при 丿2死2 = 0, что представляет ограниченный интерес. Используя известный интеграл
at2bt) = *值尸 I a 6珏味at2bt) = *值尸 I a 6珏味
at2bt) = *值尸 I a 6珏味
at2bt) = *值尸 I a 6珏味
находим
Т = ^ ] do cos ах exp (—асг — тМ)= о
В общем случае для вычисления полученных интегралов необходимо использовать численные методы. Полученные решения определяют изменение во времени распределения температуры в компонентах определяющего объема. В отдельной ячейке коэффициенты разложения решений являются функциями потоков и градиентов температуры. В одномерном состоянии
оо
о
о
Результирующий поток тепла равен
41 =物 do (死10—j2死202 + •…)sin ax x
о
x exp [—асг — та2 (1 + 厶経資)(1 —釈経)j • (21)
Видно, что распределения температуры в определяющем объеме зависят от времени в виде плавно изменяющихся функций.
В случае иерархической лестничной структуры новый определяющий объем должен содержать как минимум одно волокно большого диаметра и находится в равновесном состоянии. Задаваясь функциям распределения температуры и пользуясь теоремами усреднения, находим осредненные потоки и термодинамические силы, а также эффективные кинетические коэффициенты.
Некоторые аналогии. Между уравнениями состояния волокнистых сред, связывающих поперечные градиенты (термодинамические силы) и потоки различной физической природы, существуют, как показано выше на примере упругости и стационарной теплопроводности, аналогии. Для иллюстрации рассмотрим преобразования законов механики однородных сред на случай учета их структурной неоднородности. Закон упругости Гука преобразуется к виду
-沁(и = G^2 (71 - ^7oi) T Lg(7i — ^7oi) •
Стрелкой указан результат преобразования, при котором эффективная постоянная упругости заменяется на дифференциальный оператор
Lg = G^ - J2G^2 + i J4G^V2V2-..., G^ =理).
Закон теплопроводности Фурье принимает вид
Qi -*01 = -%L (T1 - ^oi) T 乙T (71 - "oi),
Lt = — & + 丿2死2厂2 — 7 «^4^3V2V2 + .. •о
Закон диффузии Фика:
击—idoi — Pi （。1 —分с（и） T Lр （ci — £с（и）,
LP = pi- J2P2V2 + J J4p3V2V2
Законы электрического и магнитного полей:
0] - zDqi — £1（e1 —分石oi） T 盘（e1 —分石oi）,
Le = £1 - 72^2V2 +丿4£3▽2▽2 -,
Bl - гВ01 = Ml （a—%1） T % （Я1 - iH^ ,
L从=从1 -丿2从2▽2 + ^ J4从3▽2▽2 - • • •
Закон Ома:
Ji — iJoi = ст 1 （M —分石oi） т 5 （M —分石oi）,
La =。1 —丿2。2厂2 + 7 «^4^3V2V2 —... о
Все операторы имеют аналогичное строение и содержат новые эффективные постоянные в каждом приближении. Найденные аналогии указывают на возможность при экспериментальных исследованиях градиентных состояний неоднородных тел заменить одни поля на более удобные другие поля при соблюдении эквивалентных условий на межфазных границах и строения их структуры.
Выше показано, что зависимость упругих полей от времени устанавливается принципом Гамильтона, изменение диффузных полей от времени — уравнением баланса энтропии. Временная зависимость компонентов электромагнитного поля устанавливается уравнениями Максвелла:
rotH=j —^^, rot Е =—雰，divD = р, div В = О, и определяющими соотношениями
D =盘Е, В = L 从 Н, j = Lo-E.
Последние уравнения состояния, в отличие от уравнений Максвелла, определены только при распространении волн перпендикулярно ориентации волокон. Из изложенного следует, что аналогии могут наблюдаться только в стационарных полях.
Входящие в операторы новые эффективные параметры, такие как модули упругости, коэффициенты теплопроводности, коэффициенты диэлектрической проницаемости и другие, являются постоянными, найденными эмпирически. В действительности, в случае, когда матрица композита полимерная, последние, как и многие другие материалы, способны при длительной постоянной нагрузке или при переменных нагрузках проявлять неупругие свойства и поэтому являются операторными величинами. Аналогичными свойствами обладают диэлектрические и другие проницаемости при высоких частотах изменения электромагнитного поля. Для умеренной интенсивности полей указанные операторы могут быть построены в линейном приближении. Пользуясь принципом Вольтерра и заменяя в формулах физические постоянные соответствующими линейными операторами, удается расширить область применимости уравнений состояния. В частности, one-
раторные модули сдвига в n-приближении для композита, упрочненного полыми волокнами, будут
N；_入（一38 _ a + Qg）N；_入（一38 _ a + Qg）^12^* = G；2 1 — a^N；_A （—幻一a） +
N；_入（一38 _ a + Qg）
N；_入（一38 _ a + Qg）
+ （a8-a）
A,幻0,幻8, Go — экспериментально определяемые при ползучести или при циклических воздействиях параметры,
a = 3Go （2 + 2〃0尸,a = 3Go （2 + 2〃0尸,GoС；GoС；《1,《1,
a = 3Go （2 + 2〃0尸,
a = 3Go （2 + 2〃0尸,
Go
С；
Go
С；
《1,
《1,
a；=a（N）G。—Ga
a?= a（№）G。1 + C + （1-C）闺 \
t
N；.A （一力）/⑴=]d，N」A （一力,t-e）"，），
0
8/, _ ,z\nA
n「a（—#" —，）=（力 _ y）A广门л m + i）]，
Г（г） — гамма-функция. В соответствии с изложенным дифференциальные операторы в определяющих соотношениях должны быть заменены на интегро-дифференциальные операторы
Lg т L^ = L^ - J2G^2 + J J4G^*V2V2 -...,
б - 沁oi = Lq（7i — Z7oi） •
Эти соотношения, равно как и уравнения состояния, построенные при плоском и пространственном состояниях композитов [5, 16], положены в основу моментной механики неоднородных сред.
Выводы. 1. На основе предложенных концепций и найденных с их помощью уравнений моментной теории неоднородных тел установлен алгоритм для определения эффективных однородных и моментных компонентов состояния сред с заданной структурой. Для конкретных тел получены уравнения состояния, разрешающие уравнения и соответствующие им краевые условия.
Установлено, что в окрестности границ тел, на которых заданы краевые условия, возникают поверхностные состояния, экспоненциально убывающие при удалении от границ. Эти состояния, в зависимости от строения структуры тел на заданном масштабном уровне, могут существенно изменить интенсивность однородных компонентов состояния.
При распространении упругих волн в композитах вблизи их границ возникают поверхностные состояния в виде стоячих волн.
В средах с однотипным строением структуры в стационарных состояниях установлены аналогии между определяющими соотношениями в полях различной физической природы.
Список литературы
Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. — Киев: Наук, думка, 1985. - 302 с.
Ванин Г. А. Градиентная теория сдвига многоуровневых композитов // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 1. С. 120-128.
Ванин Г. А.Градиентная механика и термодинамика многоуровневых композитов // Механика композит, материалов. 1996. Т. 32, № 1. С. 3-20.
Ванин Г. А. Градиентная теория сдвига композитов с трещиной // Изв. АН. МТТ. 1995. №4. С. 114-121.
Ванин Г. А. Градиентная теория плоского деформированного состояния многоуровневых сред // Изв. АН МТТ. 1996. № 3. С. 5—15.
Д^ярмати И. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1974. — 304 с.
Cosserat Е. F., Cosserat F. F. Theoie des corps deformbles. — Paris: Hermann, 1909.— 226 p.
Аэро 3.〃., Кувшинский E. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, Вып. 7. С. 13991409.
Пальмов В. А. Основные уравнения несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28, Вып. 3. С. 401-408.
Эринген А. К. Теория микрополярной упругости. Разрушение. — М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 646-751.
Ванин Г. А.Плоская задача градиентной теории хрупкого разрушения композитов с трещиной // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 70-78.
Ванин Г. А. Композиты в машиностроении // Вестник машиностроения. 1998. № 12. С. 38-40.
Ванин Г. А. Математическое моделирование состояний композиционных материалов // Заводская лаборатория. 1998. № 10. С. 53-58.
Ванин Г. А. Композиционные материалы в задачах машноведения // Проблемы машиностроения и надежности машин. — М., 1998. № 5. С. 72-78.
Ванин Г. А. Градиентное межфазное взаимодействие неоднородной пластины с включением // Изв. РАН. МТТ. № 1. С. 70-78.
Ванин Г. А. Градиентная теория упругости // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 46-53.
Ванин Г. А. Моментная механика в расчетах и проектах // Проблемы машиностроения и надежности машин. — М., 2001. № 6. С. 76-82.
Ванин Г. А. Моментная механика композитов // Механика композит, материалов. 2001. Т. 37, № 5—6. С. 621-654.
Ванин Г. А. Моментная теория колебаний неоднородных тел // Труды 5 Межд. конф. «Проблемы колебаний». — М.: ИМАШ, 2001. С. 130-133.
Ванин Г. А. Проблемы и приложения иерархически упрочненных композитов // Труды междунар, конференц. «Теория и практика технологий производства из де л. из композит матер, и новых метал, сплавов — 21 век».
РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В БИЛЛИАРДАХС МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ
А. А. Васильеву А.П. Итин, А. И. НейштадтИнститут космических исследований РАН
Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами （см., например, [6]）. В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления: захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды.
Прямоугольный биллиард. Рассмотрим частицу, движущуюся в двумерном прямоугольном биллиарде, который медленно вращается с постоянной угловой скоростью 幻〉0. Вращение предполагается медленным:幻《1. Считается, что частица взаимодействует со стенками по закону упругого отражения. Гамильтониан системы во вращающейся системе координат имеет вид
"=; （状 + 状）+"（01襲一02内）+ t/（Ql,Q2）,（1）
где Pi^ qi — канонически сопряженные импульсы и координаты соответственно, a U（Qi, Q2）——потенциал, описывающий воздействие твердых стенок:
{
ОО, если |qi| > 由 или |羹|〉击，
0, если < 击，1鱼1 < a2,
где 2山一длины сторон биллиарда. С помощью канонического преобразования введем новые переменные （厶，q）, i = 1,2, такие что
j — & + 2&結/叫 если 0 < 結 < тг,
qi = <（3）
I 3d£ — 2否夕£/叫 если тг < q，2тг,
"=赛sign®"/
Будем считать, что длины сторон биллиарда являются медленными функциями времени: d〃 = d^t}^ где £ 〜幻《1 является малым параметром. Если d〃 постоянны и вращение отсутствует, то новые переменные （厶，結）представляют собой переменные «действие-угол» рассматриваемой системы.
Переменные Pi и % могут быть выражены через (厶，Q)с помощью рядов Фурье:
Рг = Е 尢 sinkge,
,⑷
紳8或,
% = 一 £ ^y^coskQ,k=i 万 к
где штрихи обозначают суммирование по нечетным к. В новых переменных гамильтониан системы имеет вид
呑 М(Ad我1 + Ad決2)
8證丿 7Г2 上^d\d2k：kW
X sin (航31 -k292)+(/""2)sin (航91 + к292)+
+ £ 旧1(91) + e2停2)] = "0 + ""1.(5)
Члены 豆 возникают из-за того, что преобразование (3) не автономно; явный вид этих членов для дальнейшего не существенен.
Пусть т,п — взаимно простые целые числа, г — целое число. Будем называть члены с ki = rm,卜2 = 丁几 в (5) (m,几)-резонансными, если выполняется следующее резонансное условие:
mil nA _ n
С изменением времени изменяются значения d〃，и частица, первоначально далекая от резонанса, может приблизиться к нему. Рассмотрим движение частицы вблизи от (т, п)-резонанса. Совершим каноническое преобразование (Л,厶，31, 32)1 (R,，，V0 с производящей функцией W = (mgi — п屮2)R — —(厶夕1 — /2З2)丿，где Zi, /2 целые, a ml? — nli = 1.
Резонансное условие принимает вид
R = Rres(4 ")="啖二吗产/⑺
m a2 + n d1
В новых переменных гамильтониан (5) равен ?/ = Hq(R^ J, st) + + 幻％(凡 J,夕，吹 “).Канонически сопряженными парами переменных являются (凡 д) и (，喇.Из вида гамильтониана следует, что ^ представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (凡 3) 1 —> (Р,夕)с производящей функцией W\ = (Р + ^res(J, £力))夕，чтобы ввести новую переменную «действие» Р = R — Rres; сопряженной ей угловой переменной будет д. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка，^, гамильтониан принимает следующую форму:
丸=A(J, ")+ Ro + 0(e), & = T g产 + 以停)+ 叫，⑻
где Л равно значению % в резонансе, а
g =g =tudi с/2 Jtudi с/2 Jа = £а = £8 Rres det8 Rres det6 = —26 = —2тп(т^凝 + Md；)，тп(т^凝 + Md；)，⑼⑼
g =
g =
tudi с/2 J
tudi с/2 J
а = £
а = £
8 Rres det
8 Rres det
6 = —2
6 = —2
тп(т^凝 + Md；)，
тп(т^凝 + Md；)，
⑼
⑼
oo 'X(3)= 2^ jsin 〜=oo 'X(3)= 2^ jsin 〜=3 -，/%3 +，/тг,3 -，/%3 +，/тг,если 0 < ^ < тг, если — тг < g，0.если 0 < ^ < тг, если — тг < g，0.
oo '
X(3)= 2^ jsin 〜=
oo '
X(3)= 2^ jsin 〜=
3 -，/%
3 +，/тг,
3 -，/%
3 +，/тг,
если 0 < ^ < тг, если — тг < g，0.
если 0 < ^ < тг, если — тг < g，0.
Рис. 1. Линии уровня гамильтониана Fq в (8): а) |а| < |Ь|, имеется колебательная область, б) \а\〉|Ь|, колебательная область отсутствуетРис. 1. Линии уровня гамильтониана Fq в (8): а) |а| < |Ь|, имеется колебательная область, б) \а\〉|Ь|, колебательная область отсутствует
Рис. 1. Линии уровня гамильтониана Fq в (8): а) |а| < |Ь|, имеется колебательная область, б) \а\〉|Ь|, колебательная область отсутствует
Рис. 1. Линии уровня гамильтониана Fq в (8): а) |а| < |Ь|, имеется колебательная область, б) \а\〉|Ь|, колебательная область отсутствует
SS-以停）-叫如,-以停）-叫如,夕1夕1Динамика вблизи резонанса зависит от свойств резонансного гамильтониана Fq. Рассмотрим этот гамильтониан при замороженных значениях J, ". Фазовые портреты резонансного гамильтониана на плоскости (g, Р) представлены на рис. 1. Если \а\ < |6|, на фазовом портрете имеется сепаратриса, ограничивающая колебательную область. Если же \а\ > |6|, то колебательная область на фазовом портрете отсутствует. Для определенности положим а < 0, 6 > 0. Площадь S колебательной области (в случае, если \а\ < |6|) зависит от J и " и может быть выражена следующим образом:
S
S
-以停）-叫如,
-以停）-叫如,
夕1
夕1
(Ю)
где Fq обозначает величину Fq на сепаратрисе:
(И)(И)6 _ 工(a+ b)2
(И)
(И)
0 - 4 b
а Зь 32 — корни подынтегрального выражения (в частности, 32 — координата седловой точки). Явный вид выражения для gi зависит от соотношения между а и 6. Рассмотрим случай а < (2，^ — 3)6 (в случае противоположного знака в по-
следнем неравенстве выражение оказывается слишком громоздким, и мы его здесь не приводим). Имеем
7г а + b 石 \ 7г а + b a ^1 = +v2),92 =彳-^-• (12)
Для площади S находим
S =導中(1 +汾(y・ 03)
Теперь учтем медленное изменение параметра ". Пусть площадь колебательной области S растет со временем. При этом внутри колебательной области появляется дополнительное место. Следовательно, фазовые точки могут пересекать сепаратрису и и переходить из вращательного движения в колебательное. Это явление называется захватом в резонанс. Захваченная фазовая точка покидает окрестность прямой R = const, J = const в пространстве (Л, /2, £力)и продолжает движение, приближенно следуя резонансной кривой R = Rres(J, st), J = const. Другими словами, она покидает окрестность прямой 厶,2 = const и продолжает движение, приближенно следуя соответствующей резонансной кривой. Если впоследствии величина S начнет уменьшаться, ранее захваченные фазовые точки могут снова пересечь сепаратрису и покинуть колебательную область. Это называется выходом из резонанса.
Фазовые точки, которые проходят через резонанс, не захватываясь, испытывают скачок адиабатического инварианта R, равный по порядку величины « (и, тем самым, скачки величин 厶必 поскольку 厶=mR —厶 J, /2 = —nR + /2丿)・ Это явление называется рассеянием на резонансе. Как захват, так и рассеяние на резонансе представляют собой вероятностные явления и типичны для систем с переходами через резонансы (см. [7, 8] и примеры в [9, 10]). Вероятность захвата для фазовой точки, приближающейся к резонансу, есть величина порядка ^/ё. Следовательно, если 或=或(“)一периодическая функция, то в течение времени t 〜£-3/2 фазовые траектории с начальными условиями суммарной меры 〜1 претерпевают захват. Вдоль таких фазовых траекторий адиабатические инварианты 厶 изменяются на величины порядка 1. В результате скорость о биллиардной частицы будет отличаться на величину порядка 1 от значения, предсказываемого адиабатическим приближением (так как о = [l^d^2 + /2 ^2]тг/2, /屮=const).
Заметим, что скачок значения R на величину порядка « приводит к скачку порядка £ значения невозмущенного гамильтониана, т. е. значения о?/2, где о — скорость частицы. Следовательно, в результате проходов через резонансы без захватов в течение времени порядка е-2, значение скорости изменяется на величину порядка 1 по сравнению со значением, предсказываемым адиабатическим приближением.
Резонансные явления в рассматриваемой системе могут быть продемонстрированы численно. Для численного моделирования выбран гармонический закон изменения параметров d〃 со временем. Результаты вычислений при £ = 4 • 10-4, з = 1,5 • 10-3 показаны на рис. 2-5. Значения адиабатических инвариантов отображаются в моменты столкновения частицы со стенками. На рис. 2 показаны скачки адиабатического инварианта 厶.Отдельно взятый скачок изображен на рис. 3. На рис. 4 можно видеть скачки адиабатического инварианта в результате многократных рассеяний на резонансе и один захват в резонанс. Захваченная фазовая точка движется вдоль резонансной кривой, пока не выйдет из резонанса. В случае, показанном на рис. 5, захваченная фазовая точка остается вечно захва-
Рис. 2. Скачки адиабатического инварианта 厶.Параметры системы: е = 2 • 10-5, n = =8 • 10-5, di = dio(l + Ai cos (")),才2 =(/20(1 + 厶2 cos (")), где 4 = 0,1, A2 = 0,15, dio = 1, (/20 = 2
Л 0,7025
00,040,08
s〃2兀
Рис. 3. Один скачок адиабатического инварианта. Значения параметров те же, что и на рис. 2
ченной в резонансе (1,3). Г рафик зависимости адиабатического инварианта J от времени в этом случае показан на рис. 6.
Следует объяснить, почему график J в зависимости от st выглядит как множество точек, лежащих на нескольких гладких кривых (на четырех в случае на рис. 6 6В действительности эта структура возникает из-за того, что точки на графике изображаются в моменты столкновений со стенками. В соответствии с общей теорией (см., например, [8]), в главном приближении J = J + £”( J,凡 吹 g), где J = const и ” является 2тг-периодической функцией 吹 g; ^ — 一厶夕1 + 力2夕2, g = т屮、—几夕2 modd 2тг. В моменты соударения со стенками оказывается выполненным одно из следующих равенств: gi = 0,夕^ = тг,夕2 = 0,夕2 =乃 mod 2тг. Рассмотрим, например, моменты времени, когда gi = 0 mod 2тг. Около (т, п)-резо- нанса ^ — быстрая переменная, з R、屮一медленные переменные. Следовательно, в первом приближении можно считать R, g замороженными. Тогда получаем:夕2 = =—夕/几 + 2rms I ri、s = 0,1,...,几一1hJ = J + £"(J,凡一/23/几 + 2rmi?s ] ri、g), s = 0,1,...,几一1. Это дает n различных значений J. (Заметим, что пит взаимно просты, так же как и п и /2-) Таким образом, если R, g постоянны, точки на графике J в зависимости от st должны лежать на п прямых линиях. Медленные
/1
Рис. 4. Скачки адиабатического инварианта 厶 и захват фазовой точки в резонанс. Захваченная фазовая точка движется вдоль резонансной кривой до момента выхода из резонанса (дуга в центре рисунка). Параметры системы: е = 4 • 10-4, & = 1,5 • 10-3, di = =dio(l + Ai cos (")), d2 =(/20(1 + 厶2 cos (“ + а)), где Ai = 0,1,厶2 = 0,15,曲。=1, dzo = 2, a = 7г/3
осцилляции R, g приводят к отклонению этих линий от прямых, и мы получаем п кривых. Сходным образом, точки, изображаемые в моменты времени, когда 32 = 0 mod 2тг, располагаются на т кривых. В случае (1,3)-резонанса получаем в сумме четыре кривых, показанные на рис. 6 б. Как легко убедиться, точки, изображаемые в моменты времени, когда gi = тг или 夕2 =乃 mod 2тг, ложатся на эти же четыре кривые.
Рассмотрим гамильтониан Fq (8) с медленно изменяющимися параметрами. Для фазовой точки, захваченной в резонанс, введем внутренний адиабатический инвариант как площадь на плоскости (g, Р), ограниченную проходящей через эту точку линией уровня Fq, деленную на 2тг. Эта величина приближенно сохраняется при движении в системе с гамильтонианом Fq. Для заданной фазовой траектории можно численно найти значения g и Р при каждом соударении с биллиардной стенкой и таким образом определить величину h = F°(屮〉Р). Далее можно вычислить внутренний адиабатический инвариант. Было обнаружено, что эта величина хорошо сохраняется: при £ = 10-6,幻=2 • 10-5 внутренний адиабатический инвариант осциллирует вокруг своего среднего значения с амплитудой около 2 % от своей величины на протяжении времени порядка 1/е, причем заметного изменения его средней величины практически не происходит (см. рис. 7). Отсюда можно заключить, что рассматриваемая система действительно хорошо аппроксимируется в окрестности резонанса гамильтонианом Fg.
Важным открытым вопросом остается возможность неограниченного ускорения частицы в рассматриваемом биллиарде. Хорошо известно (см., например, [2]), что в сходной одномерной задаче (модель Улама [2], движение частицы между двумя осциллирующими стенками) неограниченное ускорение невозможно при условии, что движение стенок описывается достаточно гладкими функциями. Причина состоит в том, что когда частица движется достаточно быстро по сравнению со скоростью движения стенок, в системе имеется сохраняющийся вечно адиабатический инвариант (см. [8]), что ограничивает скорость частицы. В рассматрива-
Рис. 5. Изменение адиабатического инварианта 厶 вдоль фазовой траектории, захваченной в резонанс. Фазовая точка вечно остается захваченной. Значения параметров те же, что и на рис. 4 (отличаются начальные условия). Рисунки (а) и (5) различаются масштабом
емой двумерной модели адиабатическая инвариантность разрушается захватами в резонансы и рассеянием на резонансах. Наша гипотеза состоит в том, что для большинства начальных условий скорость частицы может достигать сколь угодно больших значений. Нам, однако, не удалось численно найти ясных примеров такого ускорения.
3. Эллиптический биллиард. Перейдем к рассмотрению динамики частицы в эллиптическом биллиарде. Пусть 丁匕 丁2 ——расстояния между частицей и фокусами биллиарда, 2с — расстояние между фокусами. Гамильтониан системы в эллиптических координатах £ = 丁】+ 丁2, 〃 = 丁1 — 丁2 имеет следующий вид:
% = 2底+ U& a),(14)
где a — большая полуось, а U(£, a) — потенциал твердой стенки биллиарда:
{
оо, если £ > 2a,
О, если £ < 2a.
2,93 п
2,98 -，一. 一 一 一 一 一一
3,03IIIIII
0123456
а
J
2,97 q
2,98-
」0」000,050,10600,050,106Рис. 6. Изменение адиабатического инварианта J. Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5. Рисунки (а) и (5) различаются масштабомРис. 6. Изменение адиабатического инварианта J. Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5. Рисунки (а) и (5) различаются масштабоме〃2兀е〃2兀Рис. 7. Изменение внутреннего адиабатического инварианта Jo- Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5Рис. 7. Изменение внутреннего адиабатического инварианта Jo- Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5
」0
」0
00,050,10
6
00,050,10
6
Рис. 6. Изменение адиабатического инварианта J. Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5. Рисунки (а) и (5) различаются масштабом
Рис. 6. Изменение адиабатического инварианта J. Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5. Рисунки (а) и (5) различаются масштабом
е〃2兀
е〃2兀
Рис. 7. Изменение внутреннего адиабатического инварианта Jo- Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5
Рис. 7. Изменение внутреннего адиабатического инварианта Jo- Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 5
Ри sin 2〃 — Pv sinh 2。+cosh 2。— cos 2uРи sin 2〃 — Pv sinh 2。+cosh 2。— cos 2uПусть биллиард медленно вращается с угловой скоростью 幻，причем параметры с и а медленно изменяются: с = 。(£力)， а = а(£%). Пусть в декартовой системе координат (ж, у) фокусы биллиарда имеют координаты (с, 0) и (—с, 0). Обозначим импульсы, канонически сопряженные (х, у), через (рх, Ру)・ Переходя к новым переменным (4, % /%, о) с помощью канонической замены переменных с производящей функцией W = с(рж cosh v cos и — ру sinh v sin и) [11], получим следующий гамильтониан:
Ри sin 2〃 — Pv sinh 2。+cosh 2。— cos 2u
Ри sin 2〃 — Pv sinh 2。+cosh 2。— cos 2u
"= 月 + g+ 至 c (cosh 2o — cos 2〃) с
+⑴+⑴Pu sinh 2。+ Pv sin 2〃cosh 2。— cos 2〃Pu sinh 2。+ Pv sin 2〃cosh 2。— cos 2〃(16)(16)
+⑴
+⑴
Pu sinh 2。+ Pv sin 2〃cosh 2。— cos 2〃
Pu sinh 2。+ Pv sin 2〃cosh 2。— cos 2〃
(16)
(16)
где
{
оо, если cosh。〉 п 卜 /(17)
О, если cosh v < а/с.
Новые координаты связаны с эллиптическими координатами соотношениями
£ = 2с cosh о, ?у = 2с cos и.(18)
Введем импульс R, канонически сопряженный времени 力 и переменную т = =". Тогда систему можно рассматривать как автономную гамильтонову систему с тремя степенями свободы и с гамильтонианом Н，(Р“, и, Pv, v, Pt, т) = Н + Pt. Канонически сопряженными парами переменных в этой системе являются (Р“, и), (Pv ,叫,и (/^, е-1т). Рассмотрим динамику системы при значении гамильтониана "'=0. Обозначим k = — 2R (в невозмущенной системе к〉0, так как значение гамильтониана (14) больше 0). Введем новое время tf так, что
乌=c2(cosh2o — cos 2”) dt
. Так как значение гамильтониана "' равно 0, после введения времени， новый гамильтониан ?/ получается умножением гамильтониана Нг на с2 (cosh 2v — —cos 2и). Таким образом, гамильтониан системы приобретает следующий вид:
Н = Р^ — с” cosh? о + g + с” cos? и +〃(о, а/с) +
+ £с'с [Ри sin 2" — Pv sinh 2v\ + а;с2 [Ри sinh 2о + Pv sin 2词=尸。+ 金尸]=0. (19)
Гамильтониан (19) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. Невозмущенная система (г = =const, £ =幻=0) интегрируема. Кроме интеграла энергии, имеется дополни- тельний интеграл движения с± = си = cv:
Р/ — с?к cosh2 о = %,
Q Q(NO)
友 + с kcos и = —си.
Параметры с〃，％ равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора, фазовые портреты которых представлены на рис. 8. Введем переменные действие-угол (/〃“〃/, Зо) посредством канонического преобразования с производящей функцией S = S(/〃，/о,", о, R, т), которая содержит т, Pt в качестве параметров. В новых переменных невозмущенный гамильтониан 石)трансформируется в ?/о — =丸о(Л1, ^, А,^)=丸〃(Az, R") + 丸。(厶，R,t)・ Функция S имеет вид
S = ] J% + Nk cosh?力 de + ]dy.(21)
。0"0
Переменные «действия» системы имеют следующий вид.
Рис. 8. Фазовые портреты осцилляторов (20): а) плоскость (Ри, и). Если c^k + си〉0 (случай А), движение в плоскости (Ри, и) колебательное. Если с?к + с” < 0 (случай Б), движение вращательное, б) плоскость (爲，о). Вертикальные прямые о = ± arccosh а/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А (с" + cv > 0) фазовая точка, которая начала движение из точки на левой «стенке» с Fv > 0, движется направо до столкновения с правой «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Pv = 0, затем движется влево до столкновения с левой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б (с" + cv < 0) фазовая точка, начавшая двигаться из точки на левой «стенке» с 爲〉0, движется вниз до столкновения с той же «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии о = 0, затем движется вверх до столкновения правой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д.Рис. 8. Фазовые портреты осцилляторов (20): а) плоскость (Ри, и). Если c^k + си〉0 (случай А), движение в плоскости (Ри, и) колебательное. Если с?к + с” < 0 (случай Б), движение вращательное, б) плоскость (爲，о). Вертикальные прямые о = ± arccosh а/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А (с" + cv > 0) фазовая точка, которая начала движение из точки на левой «стенке» с Fv > 0, движется направо до столкновения с правой «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Pv = 0, затем движется влево до столкновения с левой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б (с" + cv < 0) фазовая точка, начавшая двигаться из точки на левой «стенке» с 爲〉0, движется вниз до столкновения с той же «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии о = 0, затем движется вверх до столкновения правой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д.66Случай А: с2к + си > 0.Случай А: с2к + си > 0.7 J7г/27 J7г/2где т =—母^, а = arcsin с к
Рис. 8. Фазовые портреты осцилляторов (20): а) плоскость (Ри, и). Если c^k + си〉0 (случай А), движение в плоскости (Ри, и) колебательное. Если с?к + с” < 0 (случай Б), движение вращательное, б) плоскость (爲，о). Вертикальные прямые о = ± arccosh а/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А (с" + cv > 0) фазовая точка, которая начала движение из точки на левой «стенке» с Fv > 0, движется направо до столкновения с правой «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Pv = 0, затем движется влево до столкновения с левой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б (с" + cv < 0) фазовая точка, начавшая двигаться из точки на левой «стенке» с 爲〉0, движется вниз до столкновения с той же «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии о = 0, затем движется вверх до столкновения правой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д.
Рис. 8. Фазовые портреты осцилляторов (20): а) плоскость (Ри, и). Если c^k + си〉0 (случай А), движение в плоскости (Ри, и) колебательное. Если с?к + с” < 0 (случай Б), движение вращательное, б) плоскость (爲，о). Вертикальные прямые о = ± arccosh а/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А (с" + cv > 0) фазовая точка, которая начала движение из точки на левой «стенке» с Fv > 0, движется направо до столкновения с правой «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Pv = 0, затем движется влево до столкновения с левой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б (с" + cv < 0) фазовая точка, начавшая двигаться из точки на левой «стенке» с 爲〉0, движется вниз до столкновения с той же «стенкой», затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии о = 0, затем движется вверх до столкновения правой «стенкой», затем перескакивает в начальную точку, и т. д.
6
6
Случай А: с2к + си > 0.
Случай А: с2к + си > 0.
7 J
7г/2
7 J
7г/2
Случай Б: с?к -\- си < 0.
cosh-1 (а/с)
V — Си — С2 k COS2 и d"V — Си — С2 k COS2 и d"Iv = — I у cv + с2 A; cosh2 v dv coshT J義
V — Си — С2 k COS2 и d"
V — Си — С2 k COS2 и d"
— f y/—cu — c2kcos2 и du = 'E (—)
7Г7Г \mJ
7t/2
+ с+ сгде /3 = arcsinгде /3 = arcsin
+ с
+ с
где /3 = arcsin
где /3 = arcsin
Невозмущенные частоты системы имеют следующий вид. Случай А:
a丸о13V一K一匹 dcva丸о13V一K一匹 dcv2万^1_ 3丸0F(a, m)?dlu2万^1_ 3丸0F(a, m)?dlu1_ 2тгд/C2 k匹=Kg) • дси1_ 2тгд/C2 k匹=Kg) • дси(22)(22)
a丸о1
3V一K一匹 dcv
a丸о1
3V一K一匹 dcv
2万^1_ 3丸0
F(a, m)?dlu
2万^1_ 3丸0
F(a, m)?dlu
1_ 2тгд/C2 k
匹=Kg) • дси
1_ 2тгд/C2 k
匹=Kg) • дси
(22)
(22)
Случай Б:
幻。幻。2 7Г 7 d©2 7Г 7 dtx%= к(1/*・2 7Г 7 d©2 7Г 7 dtx%= к(1/*・(23)(23)Рассмотрим теперь возмущенную систему(£ * 0), следуя подходу [7]. Сделаем в системе с гамильтонианом (19) каноническую замену переменныхРассмотрим теперь возмущенную систему(£ * 0), следуя подходу [7]. Сделаем в системе с гамильтонианом (19) каноническую замену переменных(Р〃，％ Рр , % Pt, 丁)~^и, 3〃，/° , Зо , Р土，丁)(Р〃，％ Рр , % Pt, 丁)~^и, 3〃，/° , Зо , Р土，丁)(24)(24)с помощью производящей функции Pts~1r + S(/〃，Iv, и, v, Ptl г). Преобразова-с помощью производящей функции Pts~1r + S(/〃，Iv, и, v, Ptl г). Преобразова-ния переменных задаются следующими формулами:_ as门 as 门 as口as _ния переменных задаются следующими формулами:_ as门 as 门 as口as _(25)(25)Гамильтониан (19) в новых переменных имеет вид丸=%(乙,乙,冗尸)+ £%(乙,乙,0",0。,冗尸)+ Od),山 _ u 、6R as a丸° asГамильтониан (19) в новых переменных имеет вид丸=%(乙,乙,冗尸)+ £%(乙,乙,0",0。,冗尸)+ Od),山 _ u 、6R as a丸° as(26)(26)Новые переменные (/〃，0〃，/。，弘，Р^, г) являются О(£)-6лизкими к переменным (/〃, д〃, /о, Во, R, т). Новый гамильтониан имеет вид (черточки над новымиНовые переменные (/〃，0〃，/。，弘，Р^, г) являются О(£)-6лизкими к переменным (/〃, д〃, /о, Во, R, т). Новый гамильтониан имеет вид (черточки над новымипеременными опущены)丸=丸о(Л1, /。，R, 7)+ £%(/〃，/。，3〃，3。，R, 7)+ 0(e2).Уравнения движения имеют видi“ =+ О(£2), фа = За(Л1, Pt, т) ++ О(£2), а =а0丿ав a丸о2 a丸 1 I з\ .a丸о2 a丸i . з、дт дт ' 'dPtо Ptпеременными опущены)丸=丸о(Л1, /。，R, 7)+ £%(/〃，/。，3〃，3。，R, 7)+ 0(e2).Уравнения движения имеют видi“ =+ О(£2), фа = За(Л1, Pt, т) ++ О(£2), а =а0丿ав a丸о2 a丸 1 I з\ .a丸о2 a丸i . з、дт дт ' 'dPtо Pt(27)(27)(28)(28)Усредняя правые части уравнений (28) по 夕仪 и пренебрегая членами 0(”)，получаем усредненную систему:Усредняя правые части уравнений (28) по 夕仪 и пренебрегая членами 0(”)，получаем усредненную систему:； n a a丸о . a丸° /f r =-"…丽.； n a a丸о . a丸° /f r =-"…丽.
幻。
幻。
2 7Г 7 d©2 7Г 7 dtx
%= к(1/*・
2 7Г 7 d©2 7Г 7 dtx
%= к(1/*・
(23)
(23)
Рассмотрим теперь возмущенную систему(£ * 0), следуя подходу [7]. Сделаем в системе с гамильтонианом (19) каноническую замену переменных
Рассмотрим теперь возмущенную систему(£ * 0), следуя подходу [7]. Сделаем в системе с гамильтонианом (19) каноническую замену переменных
(Р〃，％ Рр , % Pt, 丁)~^и, 3〃，/° , Зо , Р土，丁)
(Р〃，％ Рр , % Pt, 丁)~^и, 3〃，/° , Зо , Р土，丁)
(24)
(24)
с помощью производящей функции Pts~1r + S(/〃，Iv, и, v, Ptl г). Преобразова-
с помощью производящей функции Pts~1r + S(/〃，Iv, и, v, Ptl г). Преобразова-
ния переменных задаются следующими формулами:
_ as门 as 门 as
口as _
ния переменных задаются следующими формулами:
_ as门 as 门 as
口as _
(25)
(25)
Гамильтониан (19) в новых переменных имеет вид
丸=%(乙,乙,冗尸)+ £%(乙,乙,0",0。,冗尸)+ Od),山 _ u 、6R as a丸° as
Гамильтониан (19) в новых переменных имеет вид
丸=%(乙,乙,冗尸)+ £%(乙,乙,0",0。,冗尸)+ Od),山 _ u 、6R as a丸° as
(26)
(26)
Новые переменные (/〃，0〃，/。，弘，Р^, г) являются О(£)-6лизкими к переменным (/〃, д〃, /о, Во, R, т). Новый гамильтониан имеет вид (черточки над новыми
Новые переменные (/〃，0〃，/。，弘，Р^, г) являются О(£)-6лизкими к переменным (/〃, д〃, /о, Во, R, т). Новый гамильтониан имеет вид (черточки над новыми
переменными опущены)
丸=丸о(Л1, /。，R, 7)+ £%(/〃，/。，3〃，3。，R, 7)+ 0(e2).
Уравнения движения имеют вид
i“ =+ О(£2), фа = За(Л1, Pt, т) ++ О(£2), а =
а0丿а
в a丸о2 a丸 1 I з\ .a丸о2 a丸i . з、
дт дт ' 'dPtо Pt
переменными опущены)
丸=丸о(Л1, /。，R, 7)+ £%(/〃，/。，3〃，3。，R, 7)+ 0(e2).
Уравнения движения имеют вид
i“ =+ О(£2), фа = За(Л1, Pt, т) ++ О(£2), а =
а0丿а
в a丸о2 a丸 1 I з\ .a丸о2 a丸i . з、
дт дт ' 'dPtо Pt
(27)
(27)
(28)
(28)
Усредняя правые части уравнений (28) по 夕仪 и пренебрегая членами 0(”)，получаем усредненную систему:
Усредняя правые части уравнений (28) по 夕仪 и пренебрегая членами 0(”)，получаем усредненную систему:
； n a a丸о . a丸° /f r =-"…丽.
； n a a丸о . a丸° /f r =-"…丽.
Уравнения (29) описывают движение в адиабатическом приближении [8]. Траектории системы (29) называются адиабатическими траекториями. В адиабатическом приближении Iu,v = const. Это приближение становится неприменимым в окрестностях резонансных поверхностей в фазовом пространстве, где выполняется условие резонанса киши — kvujv = 0 (k〃，kv — целые числа, и к^ + 居 * 0)・ В точной (неусредненной) системе переменные /а хорошо сохраняются в большой области фазового пространства (вдали от резонансных поверхностей, соответствующих резонансам низкого порядка). Вблизи резонансной поверхности какого-либо резонанса система (27) может быть приведена к стандартному виду системы типа нелинейного маятника, аналогичной (8).
Во время движения вблизи (к〃，А^Арезонанса величина J = kvIu -\- kuIv приближенно сохраняется. Вдали от резонансов приближенно сохраняются величины Iu, Iv.
Итак, динамика в эллиптическом биллиарде похожа на рассмотренную в предыдущем разделе динамику в случае прямоугольного биллиарда. Фазовая точка в пространстве (/u, /v, Pt, г) движется следующим образом: вдали от резонансных поверхностей низкого порядка кизи(1и, Р±, 丁) — kv3V(Iv, Pj т) = О она движется вблизи адиабатической кривой /〃,。= const. Во время пересечения резонансной поверхности она покидает адиабатическую траекторию и может быть либо захвачена в резонанс, либо рассеяна на резонансе. В первом случае фазовая точка продолжает свое движение вдоль резонансной поверхности до тех пор, пока не будет выброшена из резонанса. Во втором случае адиабатические инварианты /〃，Iv испытывают вдоль фазовой траектории скачки 〜，^, и после пересечения резонансной зоны фазовая точка продолжает свое движение вдоль другой (близкой) адиабатической траектории.
Динамика частицы в координатном пространстве (ж, у) может быть описана следующим образом. В адиабатическом приближении каждый прямолинейный отрезок траектории частицы в системе координат, вращающейся вместе с биллиардом, касается софокусной кривой второго порядка (каустики), определяемой уравнениями Iu,v = const. Каустика медленно изменяется в соответствии с изменением границы биллиарда. В точной системе, пока фазовая точка движется вдали от резонансных поверхностей низкого порядка, каждый прямолинейный отрезок траектории частицы касается софокусной кривой второго порядка, близкой к кривой, задаваемой уравнениями /…=const. Частица, захваченная в (т, п)-резонанс, движется таким образом, что каждый сегмент ее траектории касается софокусной кривой второго порядка, близкой к кривой, задаваемой уравнениями J = nlu + + mlv = const,幻〃/幻0 = п/т = const. Рассмотрим биллиард, у которого параметры а и с меняются периодически во времени. Адиабатическая траектория, пересекающая резонансную поверхность, будет пересекать эту поверхность в одной и той же точке периодически. Фазовая точка, которая движется вблизи этой траектории, также многократно пересекает резонансную поверхность. Накопление скачков /〃，Iv при многократных прохождениях через резонанс приводит к разрушению адиабатической инвариантности в системе [7].
Следует отметить, что возможно такое изменение параметров биллиарда, при котором не будет прохождений через резонансы, и динамика будет определяться КАМ-теорией [1]. Пусть параметры а и с изменяются таким образом, что а/с = = const. В системе (19) можно перейти от переменных (/^, т) к (R = 02k万 = =т(т)=]粵)с помощью канонического преобразования, которое не меняет 「о
Резонансные явления в биллиардах с медленно изменяющимися границами 183 остальные переменные. Тогда гамильтониан Hq зависит только от действий /〃，/v, Pt и применима КАМ-теория. Следовательно, большая часть фазового пространства (/〃/，兄)заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам 1n, Iv, Р± = const.
Рис. 9. Скачки адиабатического инварианта Iv на резонансе (2,-1). Параметры системы: е = 8 • 10-5, ш = 0, di изменяются со временем следующим образом: da = di(l + + Ai cos (")), db = d2(l + A2 cos (“ + 屮))，где 4 = 0,3, A2 = 0,15, rfi = 2, rf2 = 1, ^ =万/3
£〃2兀
Рис. 10. Скачок адиабатического инварианта на резонансе (2, —1). Значения параметров те же, что на рис. 9
Результаты численного исследования системы представлены на рис. 9-15. На рис. 9, 10 показаны результаты численного исследования медленно деформируемого эллиптического биллиарда без вращения. Полуоси биллиарда da и db изменялись периодически во времени. На рис. 9 показаны скачки адиабатического
Рис. 11. Скачки адиабатического инварианта Iv и захваты фазовой точки в резонанс (2, —1). Захваченная точка движется вдоль резонансной кривой до момента выхода из резонанса. Параметры системы: е = 10-3, о; = 2 • 10-4,或 изменяются, как на рисунках 2, 3, но при 4 = 0,2Рис. 11. Скачки адиабатического инварианта Iv и захваты фазовой точки в резонанс (2, —1). Захваченная точка движется вдоль резонансной кривой до момента выхода из резонанса. Параметры системы: е = 10-3, о; = 2 • 10-4,或 изменяются, как на рисунках 2, 3, но при 4 = 0,2
Рис. 11. Скачки адиабатического инварианта Iv и захваты фазовой точки в резонанс (2, —1). Захваченная точка движется вдоль резонансной кривой до момента выхода из резонанса. Параметры системы: е = 10-3, о; = 2 • 10-4,或 изменяются, как на рисунках 2, 3, но при 4 = 0,2
Рис. 11. Скачки адиабатического инварианта Iv и захваты фазовой точки в резонанс (2, —1). Захваченная точка движется вдоль резонансной кривой до момента выхода из резонанса. Параметры системы: е = 10-3, о; = 2 • 10-4,或 изменяются, как на рисунках 2, 3, но при 4 = 0,2
инварианта Iv на резонансе (2,1). Отдельный скачок адиабатического инварианта показан на рис. 10. На рис. 11-13 показаны результаты численного исследования биллиарда с медленным вращением и деформацией. На рис. 11 представлен захват фазовой точки в резонанс (2,1). Захваченная точка движется вдоль резонансной кривой до своего выхода из резонанса. На рис. 12 фазовая точка остается захваченной вечно. На рис. 13 можно видеть динамику адиабатического инварианта J = —kvIu -\- kuIv системы. На рис. 14 изображены результаты численного исследования биллиарда при ш = 0, а/с = const. Показаны координаты (ж, у) частицы в моменты соударения со стенкой. Видно, что динамика является регулярной (для сравнения, на рис. 15 приведен рисунок с нерегулярной динамикой в случае, когда а/с * const).
Рис. 12. Динамика адиабатического инварианта Iv фазовой точки, захваченной в резонанс (2, —1). Фазовая точка остается захваченной вечно. Значения параметров те же, что на рис. 11 (отличаются начальные условия). Рисунки а) и б) различаются масштабомРис. 12. Динамика адиабатического инварианта Iv фазовой точки, захваченной в резонанс (2, —1). Фазовая точка остается захваченной вечно. Значения параметров те же, что на рис. 11 (отличаются начальные условия). Рисунки а) и б) различаются масштабом
Рис. 12. Динамика адиабатического инварианта Iv фазовой точки, захваченной в резонанс (2, —1). Фазовая точка остается захваченной вечно. Значения параметров те же, что на рис. 11 (отличаются начальные условия). Рисунки а) и б) различаются масштабом
Рис. 12. Динамика адиабатического инварианта Iv фазовой точки, захваченной в резонанс (2, —1). Фазовая точка остается захваченной вечно. Значения параметров те же, что на рис. 11 (отличаются начальные условия). Рисунки а) и б) различаются масштабом
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 00-01-0538, 00-15-96146, «Интеграция» Б 0053 и INTAS 00-221. Авторы признательны Л. А. Бунимовичу и Р. де ла Ллаве за полезные обсуждения.
2,538
2,536
2,534 L О
23
е〃2兀
5
У
Рис. 14. Регулярная динамика системы при а/с = const. Показаны координаты частицы (ж, у} в моменты соударения со стенкой. Параметры системы: е = 0,001, о; = 0,厶】= =0,15, 4 = 0,15, di = 3, dz = 1“ = 0; а) время интегрирования равно половине периода медленного движения; б) время интегрирования равно 2 медленным периодам
Рис. 13. Динамика адиабатического инварианта J = —Iu + 27V. Значения параметров и начальные условия те же, что и на рис. 12
Рис. 15. Нерегулярная динамика системы при а/с 7^ const. Показаны координаты частицы (ж, у) в моменты соударения со стенкой. Параметры системы: е = 0,001, о; = 0, 4 = 0,15, 4 = 0,25, di = 3, dz = 1,屮 =7г/3. а) Время интегрирования равно половине периода медленного движения, б) Время интегрирования равно 2 медленным периодам.
Список литературы
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 408 с.
Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. — М.: Наука, 1988.— 368 с.
Козлов В. В.)Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. — М.: Изд. МГУ, 1991. — 168 с.
Alt Н. et al. Superconducting billiard cavities with chaotic dynamics: an experimental test of statistical measures // Phys. Rev. 1994. E 50. P. 1.
Friedman N., Kaplan A., Carasso D., Davidson N.. Observation of chaotic and regular dynamics in atom-optics billiards // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 1518.
Koiller J., Markarian R. et al., Time-dependent billiards // Nonlinearity. 1995. V. 8. P. 983-1003.
Neishtadt A. /. On adiabatic invariance in two-frequency systems, in: C. Simo (Ed.), Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom, NATO ASI Series C. 1999. V. 533. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. P. 193-213.
Арнольд В. 〃.，Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.
Itin А. Р., Neishtadt А. /., Vasiliev A. A. Captures into resonance and scattering on resonance in dynamics of a charged relativistic particle in magnetic field and electrostatic wave // Physica. 2000. D 141. P. 281-296.
Итин А. П. Захваты в резонанс и рассеяние на резонансе в динамике релятивистской заряженной частицы в магнитном поле и электромагнитной волне // Физика плазмы. 2002. Т. 28. С. 639-650.
Thiele Т. N. // Astron. Nachr. 1896. V. 138. Р. 1; Burrau С. // Vierteljahrsschrift Astron. Ges. 1906. V. 41. P. 261; Себехей В. Теория орбит. — М.: Наука, 1982. — 656 с.
РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХС РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
А. В. Влахова, И. В. Новожилов
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
Рассматриваются динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Большое число подобных механических, электротехнических систем и устройств автоматического управления обсуждается, например, в [1-3]. Ряд интересных задач такого вида решался А.Ю. Ишлинским [4].
Классическая теорема существования и единственности не определяет решение в точках разрыва. Известен ряд способов доопределения такого решения [2, 5-9]. При одном из вариантов [5-8] разрывная правая часть исходной системы заменяется в малой окрестности разрыва другой, гладкой, удовлетворяющей требованиям теоремы существования и единственности решения. В качестве решения разрывной системы принимается решение доопределенной системы при стремлении к нулю указанной окрестности разрыва.
Оказывается, уравнения доопределенной таким образом системы можно привести к сингулярно возмущенному, тихоновскому, виду. Это позволяет воспользоваться эффективным формализмом теории сингулярных возмущений [10, 11].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
d 力=f к (力 1, • • •,力71,力,"1, ^m) (卜=1, ... 72； ТП，72 ) •(1)
Здесь
ur = иг(Ж1,. .. , xn), г = 1,.. ., m(2)
—заданные гладкие функции. Правые части 九 в (1) для разных к могут, вообще говоря, зависеть от различных наборов функций иг из (2). Уравнения (1) считают
Рис. 1Рис. 1ся нормализованными, так что |以|, |九|, \иг\ на рассматриваемом классе движения не превышают величин порядка единицы.
Рис. 1
Рис. 1
Будем считать, что правые части в (1) разрывны на поверхностях
иг(Ж1,. .. , хп) = 0, г = 1,. .. , т. (3)
Если, например (рис. 1), разрыв терпит функция 九 на поверхности иг = 0, то при t = const
1|^ ^fк = /^ (力 1, • • •,力ri,力"1, • • • , ^-m) *
* "m f к = f^^h • • • ?^n?^?^l? • • • ? Urn) • ur—>+0
Будем считать функции 九 вне поверхностей разрыва гладкими до первого порядка. Это обеспечит существование и единственность решения системы (1) вне поверхностей (3).
Преобразование системы (1) к сингулярно возмущенному виду проведем следующим образом.
Определим ^-окрестность каждой поверхности разрыва из (3) как множество 6Г точек пространства переменных 力自 k = 1,. . . ,п, удовлетворяющих условию
\иг \，£《1, г = 1.. ., т.\иг \，£《1, г = 1.. ., т.⑷⑷
\иг \，£《1, г = 1.. ., т.
\иг \，£《1, г = 1.. ., т.
⑷
⑷
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
Предположим, что в рассматриваемый момент времени изображающая точка системы (1) попадет на пересечение I & т окрестностей (4):
(5)(5)А = П А
(5)
(5)
£=1
(без ограничения общности будем считать, что индекс i принимает первые по порядку значения из (4)).
Заменим, следуя [5-8], исходные функции 九 из (1) функциями f к, определив
их так:_
—для функции 九，не имеющей разрывов, примем 九=九；
—для функции 九，терпящей разрыв на тех или иных поверхностях 〃i = =0,. .., щ =0, выражение для 九 совпадает с 九 вне △/, а внутри нее гладким образом соединяет значения 九 на грани-
цах "окрестностей (4) (рис. 2). Степень гладкости определяется требованиями последующей тихоновской процедуры.
Исходная система (1) перейдет в свой непрерывный, доопределенный аналог:
d力=T\ (力1,・・・，力П，力，"1,^m) (6)
(k = 1,...几).
В качестве решения системы (1) на поверхностях разрыва и± = 0,.. ., ui = 0 будем, по [5-8], принимать решение системы (6) при £ —> 0.
Будем далее рассматривать класс дви
жения, на котором выполняется условие (4). Воспользуемся появлением в (6) функций с большой крутизной характеристик 〜1/е, £ = 1,…，/) для введения малого параметра [6, 7]. Перейдем в (6) от исходного набора переменных х±,. . . , хп к набору и、,и()ж/+1,. .. , жп, содержащему переменные 〃〃, по которым в (6) реализуются «жесткие» воздействия. Без ограничения общности будем считать, что из 力^,...,力九 исключаются
первые Ж1,.. ., ж/ переменных.
⑺⑺Предположим, что неявные функции и、,. . . ,и( удовлетворяют условиям разрешимости относительно Ж1, . . . , ж/. Тогда из (2) следует
⑺
⑺
Составим уравнения в новом наборе переменных. Продифференцируем по t функции и±, ... ,ui из (2). Подставим в эти соотношения выражения для dx^/dt из (6), выражения 〃？+ь . . . , ит из (2) и a?i, . . . , ж/ из (7). Остальные (п — /) уравнений получаются подстановкой в последние (п — /) уравнений (6) выражений для 〃2+ь . . . , ит и Ж1,. . . , xi，Полученную систему уравнений запишем в виде
党=(grad UiJ),
⑻⑻j =%(力 1, • • •,力2,力2 + 1, • • •,力71,力,"1, • • • ,W,"2 + 1, • • • , Urn),
⑻
⑻
^i =力 6("1, •…,W,力 2+1, •…,*^n )? "彳="彳(力 1, •…,力 2,力 2+1, •…,*^n) ?
(£ = 1, . . . , /；^ = / + 1,...,叫 ^ = / + 1, . . . , 771).
Здесь введено обозначение
飲九+・・・+飲% =(@ad〃6飲九+・・・+飲% =(@ad〃6⑼⑼
飲九+・・・+飲% =(@ad〃6
飲九+・・・+飲% =(@ad〃6
⑼
⑼
для скалярного произведения вектора градиента функции Ui на вектор / = =(/1，• • • , /п)-
Дополнительно к уже проведенной нормализации исходных уравнений, нормализуем новые переменные и±^... ^ ui из (8). На рассматриваемом классе движения, соответствующем пребыванию изображающей точки в △/, характерное значение и* величины 〃£ оценивается, по (4), величиной 〃* = £. Поэтому нормализованным для % значением % будет
(Ю)
Преобразование (10) приводит систему (8) к сингулярно возмущенному виду
£醬=(g^ds ))，
血'=%(力 1, • • •,力2,力2 + 1, • • •,力71,力，71, • • •,加，"2 + 1,^m) ?(11)
力6 - g(£Z1, . . . , £勿,力2+1,力ri), "/ = "/(力 1,^1 ?力2 + 1,力ri),
(£ = 1, . . . ,^ = / + 1,...,叫 ^ = / + 1, . . . , 771).
Здесь grad Ui будет функцией переменных
(力 1, . . . , Ж/,力( + 1, ... , Хп 5 力；£Z], . . . , £勿,W+1,^m) •
Ненужные для замыкания системы (11) первые / соотношений из (2) перейдут в £Z〃 — 〃£ (力1, . . . , Xl ,力(+ 1,...,力Ti) , £ = 1, . . . , /.(12)
Г рафик функции 九⑵)получается из 九(％) растяжением в 1/е раз вдоль оси абсцисс (рис. 3).
Система (11) имеет тихоновский вид [10, 11]. Здесь переменные z±^. .. ^ zi — «быстрые», а ж/+1,. . . , жп — «медленные». Вырожденная по А.Н. Тихонову си-
стема получается из (11) при £ = 0:
0 = (grad%,/),
(13)(13)d；・=%(力 1, • • •,力2,力2 + 1, •…,с тI，力,z1, • • •,勿,"2+1, •…,^,m) ?
(13)
(13)
力£ — Ж j (0, . . . , 0,力( + 1,, Хп ) ,Uj — tZj (力 1, . . . , Xi,力( + 1,,力 n),
Здесь grad% — значение grad Ui на переменных(Ж1,. .. , ж；,力(+1,.. ., хп5 力；0,.. ., 0, ui-\.\,. .., ит^.Соотношения (12) перейдут вО — 〃£(力1, . . . , Xi,力(+1,, Хп),£ = 1, . . . ,Здесь grad% — значение grad Ui на переменных(Ж1,. .. , ж；,力(+1,.. ., хп5 力；0,.. ., 0, ui-\.\,. .., ит^.Соотношения (12) перейдут вО — 〃£(力1, . . . , Xi,力(+1,, Хп),£ = 1, . . . ,(£ = 1, . . . ,^ = / + 1,...,叫 ^ = / + 1, . . . , 771).
Здесь grad% — значение grad Ui на переменных
(Ж1,. .. , ж；,力(+1,.. ., хп5 力；0,.. ., 0, ui-\.\,. .., ит^.
Соотношения (12) перейдут в
О — 〃£(力1, . . . , Xi,力(+1,, Хп),£ = 1, . . . ,
Здесь grad% — значение grad Ui на переменных
(Ж1,. .. , ж；,力(+1,.. ., хп5 力；0,.. ., 0, ui-\.\,. .., ит^.
Соотношения (12) перейдут в
О — 〃£(力1, . . . , Xi,力(+1,, Хп),£ = 1, . . . ,
Решения исходной (11) и вырожденной (13)Решения исходной (11) и вырожденной (13)(14)
Решения исходной (11) и вырожденной (13)
Решения исходной (11) и вырожденной (13)
систем существуют, и для них справедливы асимптотические оценки
Рис. 3 ченной по ж/+1,. . . , жп,Рис. 3 ченной по ж/+1,. . . , жп,1% — 引I = о(£),О < Z ,
Рис. 3 ченной по ж/+1,. . . , жп,
Рис. 3 ченной по ж/+1,. . . , жп,
\xj — Xj \ = 0(e), 0 ttf,
(15) при выполнении следующих условий [Ю, П]._ _
I- Функции Fi = (grads, /) и 力 вместе с их частными производными до второго порядка непрерывны в некоторой замкнутой ограниченной области G изменения своих аргументов.
t области D С G имеют при £t области D С G имеют при £Конечные уравнения (grad щ, /) = 0 в некоторой ограни- =0 изолированные корни
t области D С G имеют при £
t области D С G имеют при £
(16)(16)%=然(力2 + 1, . . . , Хn,力),
(16)
(16)
определяющие положения равновесия «присоединенной» по А.Н. Тихонову системы
^ = (grad〃O (£ = 1,...,/).(17)
Здесь Ж1,. .. , жп, t, 〃2+ь . .., ит — параметры из G; £ = 0.
Положения равновесия системы (17) асимптотически устойчивы по первому приближению.
Начальные условия гДО) системы (11) принадлежат области влияния устойчивого положения равновесия присоединенной системы (17), т. е. совокупности всех точек гДО), для которых траектории системы (17) стремятся к 勿= =結(力2+1(0),.. ., жп(0),0) при Т Т ОО.
Возможны два варианта развития событий.
При первом — условия I-IV выполняются. Тогда движение в силу вырожденной системы (13) существует. В силу (14), это движение происходит по Пересе-
Разделение движений в системах с разрывными правыми частями 191 чению / поверхностей разрыва из (3): реализуется так называемый скользящий режим [5-8]. Дифференциальные уравнения системы (13) описывают «медленное» движение по пересечению этих поверхностей. Ограничения (14), налагаемые на координаты, можно называть уравнениями связей. Первые / конечных уравнений из (13), типа квазистатических уравнений баланса сил, назовем реакциями связей. Из этих уравнений определяются величины Ji, . . . ,
Второй вариант развития событий реализуется, когда условия I-IV не выполняются. При этом чаще всего решение вырожденной системы не удовлетворяет оценкам (15), а значит, изображающая точка не удерживается на пересечении рассматриваемых поверхностей разрыва из (3).
Легко убедиться, что выполнение неравенств (15) гарантирует удержание изображающей точки системы (8) в △/. В самом деле, в силу (11), (13), (15), справедливы следующие оценки для функций 〃〃，£ = 1, . . . , / из (8):
"6(力1, 2Tl) = "£(力1, • • •,力Tl) +。(£) (分=1, /)。 (18)
Первое слагаемое правой части (18) по (14) обращается в нуль. Значит, % удовлетворяет определению (4), (5).
Заметим, что правые части (п — /) дифференциальных уравнений из (13) зависят от выбора доопределяющих функций 九，т. е. движение в скользящем режиме определяется, вообще говоря, неоднозначно. При этом следует иметь в виду, что исходная модель разрывной системы (1) сама является идеализацией той или иной реальной непрерывной системы. Система (1) обычно получается за счет пренебрежения гистерезисами, временными запаздываниями, нечувствительностями датчиков и т. п. [8]. Учет этих малых несовершенств при выборе 九 позволяет избежать неоднозначности [8].
Асимптотические оценки (15), (18) остаются справедливыми и на бесконечном интервале времени, если перечисленные выше условия I-IV заменить более сильными [12, 13].
Условие I — условием I а ограниченности всех перечисленных частных производных в некоторой ограниченной по /, Xj, i = 1,…儿 j = / + 1,...,几,и бесконечной по t области вблизи решения вырожденной системы (13).
Условие II — условием II а существования и ограниченности обратной матрицы для [dFs/dzi\^ £, s = 1,. .. , /. Элементы этой матрицы вычисляются при £ = 0 на решениях 引⑴,勾(力)вырожденной системы (13).
Условие III — условием III а отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения, построенного для матрицы [dFs/dzi] из II а.
Для того чтобы сформулировать следующее дополнительное к I а, П a, III а, IV условие V, рассмотрим систему
(九0 = / + 1, • • •,几)■
Здесь Аж^ — малое отклонение от решения Xj вырожденной системы (13); 31,…，夕2 определены в (16).
Наконец, условие V. Матрица Коши U(Z, s) системы (19) удовлетворяет неравенству
\\U(t,s)\\ ^ Се~а^-8\ 0，s＜力(20)
где С, а — положительные постоянные, || || — матричная норма.
Тем самым условие (20) требует равномерной по t асимптотической устойчивости по первому приближению частных решений вырожденной системы (13).
Среди известных способов доопределения разрывных систем к предложенному выше варианту доопределения ближе всего способ из [8]. Приведем их сравнение. В обозначениях настоящей работы исходная система из [8] имеет вид
d 力=九(力 1,・・・，力71,力，"，...，Um) (^ - 1? • • • ^5 ш ^ 71) .(21)
В отличие от (1), разрывы здесь задаются на вспомогательных аргументах — «управлениях» 〃，г = 1,. . . , т, каждое из которых претерпевает разрывы на одной поверхности вида (3). В [8], далее, постулируется, что движение по пересечению / поверхностей разрыва описывается так называемой системой метода эквивалентного управления:
欝=九(力• • •,力九，力 и? • • • ,S + l, • • • ,
0 = (grad%,/),〃£(力(0)) = 0,(£ = 1,...儿 k = 1,. .. п).
Легко показать, что исключением переменных х±,. .. ,Х[ система (22) может быть приведена к виду (13).
Близость решений систем (21) и (22) оценивается в [8] путем предельного перехода по е в △/ из (5) лишь для линейных по управлению систем. При проведении оценок в [8] принято предположение: «решение доопределенной для (21) системы таково, что фазовая траектория лежит в △/ — окрестности многообразия 〃1 = 0,…，〃2 =0». Условия, гарантирующие такое движение, не обсуждаются. Методика, описанная в настоящей статье, формулирует эти условия I-IV или I a-V и предлагает конструктивный способ их проверки.
Приведем примеры использования изложенной методики.
Рассмотрим задачу А.Ю. Ишлинского — А.В. Крагельского «О прерывистом движении недостаточно жестких кинематических передач» [4].
Тело массы М, связанное пружиной с неподвижным пространством, находится на шероховатой плоскости, которая движется с постоянной скоростью V (рис. 4).
Рис. 4
Запишем уравнения движения тела
Здесь X — смещение тела от положения, отвечающего ненапряженному состоянию пружины, Уа — его скорость относительно неподвижного пространства, Vr — относительно подвижной плоскости, (—КХ) — сила натяжения пружины,Здесь X — смещение тела от положения, отвечающего ненапряженному состоянию пружины, Уа — его скорость относительно неподвижного пространства, Vr — относительно подвижной плоскости, (—КХ) — сила натяжения пружины,(—FT(Vr)) — сила трения между телом и плоскостью. Характеристика трения FT(Vr) учитывает несовпадение трения трогания F и трения скольжения & (рис. 5). Согласно [4], будем считать, что трение трогания зависит от продолжительности совместного движения тела с плоскостью, без проскальзывания:R(Tq) = % — (% - Ro)e—*Tq. (24)Здесь Fg > Fq, A — положительная константа, Tq — время, отсчитываемое от начала q-й фазы непроскальзывания.Проведем предварительную нормализацию [7] уравнений (23), (24), перейдя в них к безразмерным переменным(—FT(Vr)) — сила трения между телом и плоскостью. Характеристика трения FT(Vr) учитывает несовпадение трения трогания F и трения скольжения & (рис. 5). Согласно [4], будем считать, что трение трогания зависит от продолжительности совместного движения тела с плоскостью, без проскальзывания:R(Tq) = % — (% - Ro)e—*Tq. (24)Здесь Fg > Fq, A — положительная константа, Tq — время, отсчитываемое от начала q-й фазы непроскальзывания.Проведем предварительную нормализацию [7] уравнений (23), (24), перейдя в них к безразмерным переменнымРис. 5Рис. 5VrVrГ元Г元XX*XX*vavaVaVavrvr九九FT居*FT居*(25)(25)
Здесь X — смещение тела от положения, отвечающего ненапряженному состоянию пружины, Уа — его скорость относительно неподвижного пространства, Vr — относительно подвижной плоскости, (—КХ) — сила натяжения пружины,
Здесь X — смещение тела от положения, отвечающего ненапряженному состоянию пружины, Уа — его скорость относительно неподвижного пространства, Vr — относительно подвижной плоскости, (—КХ) — сила натяжения пружины,
(—FT(Vr)) — сила трения между телом и плоскостью. Характеристика трения FT(Vr) учитывает несовпадение трения трогания F и трения скольжения & (рис. 5). Согласно [4], будем считать, что трение трогания зависит от продолжительности совместного движения тела с плоскостью, без проскальзывания:
R(Tq) = % — (% - Ro)e—*Tq. (24)
Здесь Fg > Fq, A — положительная константа, Tq — время, отсчитываемое от начала q-й фазы непроскальзывания.
Проведем предварительную нормализацию [7] уравнений (23), (24), перейдя в них к безразмерным переменным
(—FT(Vr)) — сила трения между телом и плоскостью. Характеристика трения FT(Vr) учитывает несовпадение трения трогания F и трения скольжения & (рис. 5). Согласно [4], будем считать, что трение трогания зависит от продолжительности совместного движения тела с плоскостью, без проскальзывания:
R(Tq) = % — (% - Ro)e—*Tq. (24)
Здесь Fg > Fq, A — положительная константа, Tq — время, отсчитываемое от начала q-й фазы непроскальзывания.
Проведем предварительную нормализацию [7] уравнений (23), (24), перейдя в них к безразмерным переменным
Рис. 5
Рис. 5
Vr
Vr
Г
元
Г
元
X
X*
X
X*
va
va
Va
Va
vr
vr
九
九
FT
居*
FT
居*
(25)
(25)
где характерные значения Т*,...,居* выбираются так, чтобы 力 |ж|, \va\, \vr\, |/т I не превосходили значений порядка единицы. Выберем Т* равным постоянной времени колебаний без трения: Т* = у/М/К. Для движений, близких к гармоническим, = Х*/Т*. Примем £ = d,居* — Fg. Характерное смещение X* оценим из условия равенства порядков величин сил упругости и трения: КХ* = =務*. Отсюда X* = Rg/K. Тогда (25) приводит (23) к виду
雾_九®「)， vr = va - V, 0 (26)
Характеристика /т (vr) выглядит так же, как характеристика на рис. 5, если переобозначить F, Fq на /, /о, где по (24)
f(tq) = l-(l-f0)e~^, % =а =(27)
尸 оо/ *
Система (26) имеет структуру (1). Приведем ее к сингулярно возмущенной форме (11). Роль переменных a?i,力2, 〃1 из (1) здесь играют ж, va, vr, правыми частями из (6) в (26) будут f、= У, f?=―岔一fT(u±), сомножителями скалярного произведения из (9) являются grad и± = (0, 1); / = ”，—х —九(〃1)). Тогда (grad и±, /) = —х — /т(〃1)). Системой вида (11) для (26) будет
dx dtdx dt=£Z + О,=£Z + О,£片=-ж -7Т(^), "1 = £z・£片=-ж -7Т(^), "1 = £z・(28)(28)
dx dt
dx dt
=£Z + О,
=£Z + О,
£片=-ж -7Т(^), "1 = £z・
£片=-ж -7Т(^), "1 = £z・
(28)
(28)
Функция 九⑶ задается графиком на рис. 6 и выражением для / из (27). Вырожденной по £ для (28) системой будет
(29)(29)/ = о, 0 = -ж - /т(г), 〃1=0.
(29)
(29)
7 Проблемы механики
Уравнениями (29) описывается движение тела вместе с подвижной плоскостью
на q-й фазе движения без проскальзывания.
Рис. 6Рис. 6Проверим выполнение указанных выше условий I-IV из [10, 11], гарантирующих реализуемость этого движения. Будем проверять только нетривиальные для данной задачи условия.
Рис. 6
Рис. 6
Корни z?, zg конечного уравнения из (29) определяются на рис. 6 пересечениями графика /т(г) с горизонтальной прямой —力=const. Видно, что эти корни существуют и изолированы при \х\ < /, или, по (27), (29), при
Е(0) + %|< 1 —(1 —%)е—叫，(30)
где Cq(0)——значение ж в начале q-й фазы движения без проскальзывания.
Запишем по (17) присоединенную для (28) систему
言=一力一九(7), х, tq = const. (31)
Из рис. 6 видно, что положения равновесия z? системы (31), соответствующие восходящему участку графика /т(г), асимптотически устойчивы по первому приближению, равновесные значения zg на нисходящем участке — неустойчивы.
Таким образом, движение без проскальзывания реализуется для параметров движения, удовлетворяющих (30) на восходящем участке силы трения. При нарушении условия (30) (за счет возрастания 力(力^) по (29)) тело срывается в фазу колебательного движения.
Аналогичные условия смены фаз движения были получены в [4] путем анализа механического содержания задачи.
Проверки условия бесконечности интервала времени здесь не требуется, поскольку по (30) интервалы движения без проскальзывания ограничены.
Эти условия становятся актуальными в задаче А.Ю. Ишлинского о гироскопическом креновыравнивателе. Приведем уже нормализованные уравнения крено- выравнивателя из [4] (без обсуждения допущений, принимаемых при их выводе):
加 9)穹=—Н —* = ®+ 屮— mg. (32)
Здесь t — безразмерное время, Н — угол крена объекта, g — величина, пропорциональная углу поворота Ф внутреннего кольца карданова подвеса гироскопа, т((р) — закон изменения корректирующего моментта. На рис. 7 представлен график т((^) для одного
из рассматриваемых в [4] вариантов управления.
рИс. 7Система (32) имеет структуру (1). Роль перемен
ных Ж1,力2, 〃1 из (1) здесь играют Н, g, д, правыми частями из (6) будут /х = —Н —，％ =户 + 夕 一 ^(3), сомножителями скалярного произведения из (9) являются grad 〃i = (0, 1); / = (—Н — д, Н + 夕 一 т(и^)). Тогда
(grad 〃i, /) = Н + 夕 一 m(ui). Системой вида (11) для (32) будет
竺dt竺dt=—Н — £Z,=—Н — £Z,£豆=Н + £z — m{zY 〃i = £Z・£豆=Н + £z — m{zY 〃i = £Z・(33)(33)
竺dt
竺dt
=—Н — £Z,
=—Н — £Z,
£豆=Н + £z — m{zY 〃i = £Z・
£豆=Н + £z — m{zY 〃i = £Z・
(33)
(33)
Вырожденная для (33) система будет
凉=—牝 0 = Н — т(г),宣]=0. (34)
Соотношения (34) совпадают с выражениями для скользящего режима, полученными в [4] путем близкого к [5, 8] предельного перехода непосредственно в решении исходной системы (32).
Проверка условий I-IV реализуемости скользящего режима здесь тривиальна ввиду простоты системы (33). Дополнительные условия I a-V, гарантирующие корректность вырожденной модели (34) на бесконечном интервале времени, также выполняются очевидным образом.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 01-01-00619, 03-01-06406) и Университетов России (грант УР.04.03.010).
Список литературы
Андронов А. Л., Витт А. А., Хайкин С. 3. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.
Цыпкин Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулирования. — М.: Госте- хиздат, 1955.
Алексеев К. £., Бебенин Г. Г. Управление космическими летательными аппаратами.— М.: Машиностроение, 1974.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963.
Болтянский В. Г.)Понтрягин Л. С. Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. III Всес. матем. съезда. 1956. Т. 1. - М.: Изд. АН СССР. С. 217-218.
Новожилов И. В. Условия застоя в системах с кулоновым трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 1. С. 8-14.
Новожилов И. В. Фракционный анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981.
Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. 1952. Т. 31, № 3. С. 575-586.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
Бутузов В. Ф. Асимптотические формулы для решения системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной на полубесконечном промежутке (0 ^ t < оо) // Вести. Мос. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1963. № 4. С. 3-14.
Кузьмина Р. П. Метод малого параметра для сингулярно возмущенных уравнений.— М.: Изд-во МГУ. Ч. I, 1993. Ч. II, 1994.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯДЛЯ СОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА КОНТАКТНОЙ ПАРЫ
Г.Х. Гаджиеву В. М. Мирсалимов
Азербайджанский технический университет
Введение. Опыт показывает [1] большую надежность и долговечность многокомпонентных конструкций перед однородными. В связи с этим в некоторых контактных парах нефтепромыслового оборудования нашли применение составные цилиндры (втулка и подкрепляющий цилиндр). При этом в расчетах используется схема собранного с натягом двухкомпонентного кольца под внутренним давлением. Как известно, ресурс работы контактной пары в значительной степени определяется работоспособностью втулки, распределением напряжений в зонах взаимодействия деталей контактной пары. Практика эксплуатации контактных пар нефтепромыслового оборудования показывает, что при многократном возвратно-поступательном движении плунжера разрушение втулки составного цилиндра контактной пары происходит на пятнах фактического касания в тонких приповерхностных слоях путем образования микротрещин, с которыми втулка «живет» значительную часть ресурса работы.
В связи с этим необходимо осуществлять предельный анализ деталей контактной пары, чтобы установить, что предполагаемые исходные трещины, расположенные самым неблагоприятным образом, не будут расти до катастрофических размеров и не вызовут разрушения в течение расчетного срока службы. Размер исходной минимальной трещины следует рассматривать как проектную характеристику материала.
На современном этапе развития техники большое значение имеет оптимальное проектирование деталей контактных пар, обеспечивающее увеличение работоспособности элементов фрикционных пар. Представляет значительный интерес решение задачи механики по построению такого натяга соединения втулки и подкрепляющего цилиндра, при котором созданное им напряженное поле тормозило бы развитие трещин во втулке.
Постановка задачи. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары. В процессе работы контактной пары «составной цилиндр — плунжер» происходит силовое взаимодействие между контактирующими поверхностями втулки и плунжера, возникают силы трения, приводящие к изнашиванию материалов сопряжения. Для определения контактного давления необходимо рассмотреть [2, 3] износоконтактную задачу о вдавливании плунжера в поверхность втулки.
Пусть к внутренней поверхности втулки с механическими характеристиками G и 〃 на некотором участке прижимается плунжер с механическими характеристиками Gi и 〃]. Считается, что втулка контактной пары подкреплена с натягом с помощью внешнего цилиндра с механическими характеристиками Go и 〃。. Функция натяга заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи из дополнительного условия. Принято, что выполняются условия плоской
деформации. Пусть в упругой втулке, подкрепленной с натягом внешним цилиндром, вблизи поверхности трения имеется N прямолинейных трещин длиной 2/左 (k = l,2,3,...,N). Режимы работы контактной пары, в которой могут возникнуть остаточные деформации, считаются недопустимыми.
Рис. 1
Отнесем составной цилиндр к полярной системе координат тН, выбрав начало координат в центре концентрических окружностей Lo, L и Li с радиусами Ro, R и Ri соответственно. В центрах трещин разместим начала локальных систем координат х^ Оа； yk^ оси 力左 которых совпадают с линиями трещин и образуют углы з с осью ж (см. рис. 1). Считается, что берега трещин свободны от внешних нагрузок. Условие, связывающее перемещения втулки и плунжера, запишется [4] в следующем виде:
以+ а = Ь") (% 4 Н，户2)・ (1)
Здесь 6") — осадка точек поверхности втулки и плунжера, определяемая формой внутренней поверхности втулки и плунжера, а также величиной прижимающей силы Р, (& — ^1) — величина угла (площадка) контакта. В зоне контакта, кроме нормального давления, действует касательное напряжение ту少,связанное с контактным давлением 目(牝力)по закону Амонтона-Кулона:
Tr^,t)=加(也力)， ⑵
где / — коэффициент трения пары «втулка-плунжер». Касательные усилия (усилия трения) ту少(户,力)способствуют тепловыделению в зоне контакта. Общее количество тепла в единицу времени пропорционально мощности сил трения, а ко-
личество тепла, выделяемое в точке зоны контакта с координатой 仇 будет равно
Q^,t) = Vfp^,t),(3)
где V — средняя за период скорость перемещения плунжера относительно втулки.
Общее количество тепла Q (牝力)будет расходоваться следующим образом: поток тепла во втулку Qb(H,%) и аналогичный поток Qi(H,%) тепла на повышение температуры плунжера, т. е.
Q = Qb + Qi・(4)
Для радиального перемещения втулки составного цилиндра будем иметь
% =(5)
Здесь 〃ig — радиальные термоупругие перемещения точек контактной поверхности втулки; 〃i〃 一 перемещения, вызванные износом поверхности втулки.
Для упрощения задачи перемещениями, вызванными смятием микровыступов поверхности втулки, пренебрегаем. Анализ контактной задачи с учетом шероховатости деталей контактной пары проведен в [5]. Аналогично (5) можно записать соотношения для радиального перемещения 〃2 плунжера.
Износ деталей контактной пары нефтепромыслового оборудования считается абразивным. Скорость изменения перемещения поверхности при износе втулки будет [3]
Т = КьР®0(6)
где Кь — коэффициент изнашивания материала втулки.
Для определения перемещений 〃心 необходимо решить следующую задачу термоупругости для втулки составного цилиндра:
△Т = 0 во втулке,
⑺
△Т。= 0 в подкрепляющем цилиндре,
⑻
при г = Ro AtiX-^ — 4T2al (Т — Тс) = —Q*,
⑼
при г = R т = T。；'不='。
(Ю)
при Г = Ri+ &2 (То - К) = 0,
(И)
= -0")；囁=—加⑺ на площадке контакта,
при г = Ro <
(12)
(亦=0; Wz = 0 вне площадки контакта,
при r = R <
(13)
ууЪ _ iyb = уо _ iyo g^Y
при т = R、сг" = 0；* = 0,
(14)
а^ = 0; 唸=0 на берегах трещин.
(15)
Здесь А, А。— коэффициенты теплопроводности втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно; △ — оператор Лапласа; «1 — коэффициент теплоотдачи
с внутренней поверхности втулки; а?——коэффициент теплоотдачи с наружной цилиндрической поверхности цилиндра с внешней средой с температурой К; 几，力一нормаль и касательная к контуру трещины; Ati — теплопоглощающая поверхность; 74T2 — охлаждающая поверхность; Q* — часть количества тепла, выделившегося при трении и приходящаяся на нагрев втулки; Q* = Q& на площадке контакта; Q* = 0 вне площадки контакта; %, 〃少—соответственно радиальная и касательная составляющие вектора перемещений точек контура L; аг,。少,ту少— компоненты тензора напряжений; g(H) — искомая функция натяга; г2 = —1.
Аналогично ставится задача термоупругости для определения перемещений контактной поверхности плунжера.
Величины % и 户2, являющиеся концами участка соприкосновения плунжера со втулкой, заранее неизвестны. Для их определения используем условие, выражающее, что давление р^) непрерывно переходит в нуль, когда точка Н выходит за участок соприкасания:
@"1)=0;0(&)=О.(16)
Для нахождения функции натяга соединения нужно постановку задачи дополнить условием (критерием) определения натяга. В качестве такого условия определения натяга соединения (функции g(H)) принимаем, что в процессе работы контактной пары у вершин трещин должны появляться концевые зоны, берега которых смыкаются, т. е. входят в контакт. Смыкание берегов трещин в концевых зонах, примыкающих к вершинам трещин, сдерживает развитие трещин в ее кончиках и тем самым задерживает процесс разрушения втулки составного цилиндра.
Таким образом, требуется определить натяг соединения (функцию g(H)) так, чтобы созданное им в процессе работы контактной пары напряженно-деформированное поле обеспечивало бы смыкание берегов трещин в концевых зонах, примыкающих к вершинам трещин.
В концевых зонах, где происходит смыкание берегов трещин, раскрытие трещины должно обращаться в нуль:
(〃+ _〃—)—£ (〃+ - и~) = 0.(17)
Это дополнительное условие позволяет определить искомую функцию g") натяга соединения втулки и подкрепляющего цилиндра.
Случай одной трещины. Для решения поставленной обратной задачи необходимо совместное решение контактной задачи с задачей механики разрушения.
Решение сопряженной краевой задачи теории теплопроводности ищется методом разделения переменных.
Распределение избыточных температур для втулки 扣=Т — Т。и подкрепляющего цилиндра to = То — Тс находим в следующем виде:
%= Q + QlnT+ £ (0尹" + 或%-k)coskH +
k = l
+ E (碎X + 4貝l)sin k也(18)
k = l
力о = Сз + & 1пт + £ (^С^гк + C^r~k^ cos кН +
+ Е (戏)“ + ^r~k\ sin к仇(19)
Постоянные J, Q, Q, &,。尹,。尹,4a 斗申,。甲,。严,4a 4护 определяются из граничных условий задачи теории теплопроводности (9)-(11). Из-за громоздкости эти формулы не приводятся.
Для решения задачи термоупругости используем термоупругий потенциал перемещений [6].
В рассматриваемой задаче термоупругий потенциал перемещений для втулки F и подкрепляющего цилиндра Fo определяется решением следующих дифференциальных уравнений
AF=^Fo = y^aoto.(20)
Здесь «, ао — коэффициенты линейного температурного расширения для втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно.
Ищем решение уравнений (20) в следующем виде:
F = ^2[fn cos 几 Н + /* sin 几叨；R。= £ [fno cos 几 H + /*о sin 几叨•(21)
71 = 071 = 0
Для функций /п(г), /*(г), /по(г), /*о(г) получаются обыкновенные дифференциальные уравнения, решения которых находятся методом вариации постоянных. После определения термоупругих потенциалов перемещений для втулки и подкрепляющего цилиндра с помощью известных формул [6], вычисляем соответствующие термоупругим потенциалам перемещений напряжения 万％,万昂 т^ и перемещения 可〉"^ для втулки, а также 万己 万％ т^ и »； W “ля подкрепляющего цилиндра. Найденные напряжения и перемещения для втулки и подкрепляющего цилиндра не будут удовлетворять краевым условиям (12)-(15). Необходимо для составного цилиндра найти второе напряженно-деформированное состояние:万「, =6 =6=6 =6= о = о = о = о = о
67少〉丁丁少〉沙丁〉沙少 для втулки И ar1 а^^ 丁丁少〉vT ,沙少 для подкрепляющего цилиндра, такое, чтобы выполнялись краевые условия (12)-(15).
Следовательно, для определения второго напряженно-деформированного состояния в составном цилиндре имеем следующие граничные условия:
> при r = Ro,> при r = Ro,(22)(22)(23)(24)(25)(23)(24)(25)аг = —@(Н)— 万%;彳% = —fp^) — т^ на площадке контакта
> при r = Ro,
> при r = Ro,
(22)
(22)
(23)
(24)
(25)
(23)
(24)
(25)
=ь —ь =ь—6
аг = — сг片 丁「少=—т% вне площадки контакта
при г = R、при г = R、Н -疗% + (万"市気)=可-疗:少+团-гт^) 方:-分爾+ ("3 - ^)=可一分可+ (亨-步J) + g")
при г = R、
при г = R、
^；= 一万;；亍% =一〒% прит = R1,
〒：=-万3 禽=一煮土 на берегах трещины.
Краевые условия задачи (22)-(25) с помощью формул Колосова- Мусхелишвили [7] можно записать в виде граничной задачи для отыскания двух пар комплексных потенциалов: Ф^)(г),屮匕⑶ для втулки и Ф(г),屮⑶ для подкрепляющего цилиндра.
Комплексные потенциалы ищем в виде [7, 8]
Фь(7)= Ф1(7)+ Ф2 ⑶ + 巾3(z)；Wb(z) = Wl(z) + 屮2 ⑶ + 屮3(之)；(26)
ФО= ea/；ФО= ea/；%(z)= e 6田;%(z)= e 6田;(27)(27)11Ф2(2T [沙;27Г J t — Z]11Ф2(2T [沙;27Г J t — Z]W2（z）= W「& j —曲（28）W2（z）= W「& j —曲（28）2i 整⑶=] —li2i 整⑶=] —liT1_1 - гТ1T1_1 - гТ11 - T万 1冗(1 -疗J1 - T万 1冗(1 -疗J
ФО= ea/；
ФО= ea/；
%(z)= e 6田;
%(z)= e 6田;
(27)
(27)
11
Ф2(2T [沙;
27Г J t — Z]
11
Ф2(2T [沙;
27Г J t — Z]
W2（z）= W「& j —曲（28）
W2（z）= W「& j —曲（28）
2i 整⑶=] —li
2i 整⑶=] —li
T1_
1 - гТ1
T1_
1 - гТ1
1 - T万 1
冗(1 -疗J
1 - T万 1
冗(1 -疗J
"3(z)= W j 卜 1(力)/
+ gi (堆…+ gi (堆…(29)(29)(30)(30)11 - T1T1 _ 2 (1 - T万 1) 1 ]
+ gi (堆…
+ gi (堆…
(29)
(29)
(30)
(30)
l-^izT, (1 - zTrf — (1 - zT^ ] J
ф(7)= £ 必丿；屮(z) = £ dkzk.k= — ook= — oo
Здесь gk (力k) — искомые функции, характеризующие разрыв смещений при переходе через линию соответствующей трещинн:
g“*）= “；；х）总［呦闻 °）- "£ 闻 °）+ '（犷闻 °）-県电 °））］，
X = 3 — 4〃； в рассматриваемом случае k = 1.
Требуя, чтобы комплексные потенциалы (26)-(29), (30) удовлетворяли граничным условиям задачи (22)-(24), получаем бесконечные системы уравнений относительно коэффициентов а^, 6^, с^,以.В правые части этих систем входят коэффициенты разложений функции натяга
g'(T)= Е 公川少=^+£；觴 cosb? +优 sinb?),(31)
k= — ook=l
контактного давления
p (也力)=a。+ £ 3k cos kQ + & sin kQ),(32)
а также интегралы от искомой функции gi(%)・
Решение этих систем, т. е. выражение а^^ 6^, с^ и d^ относительно величин А^, q^, 8к и интегралов от функции gi(%), не представляет трудностей (см. в [7] § 59).
Удовлетворяя функциями (26)-(30) краевому условию (25) на берегах трещины, получим сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции gi(Ж1)：
Здесь переменные ж,力 厶—безразмерные величины, отнесенные к R。； Rnk^ Snk (п = k = 1) определяются по соотношениям (VI.61) книги [8].
К сингулярному интегральному уравнению для внутренней трещины следует добавить дополнительное равенство, выражающее условие однозначности смещений при обходе контура трещинн:
]gi ⑴威=0.(34)
С помощью комплексных потенциалов (26)-(30), формул Колосова- Мусхелишвили и интегрирования кинетического уравнения изнашивания (6) материала втулки находится радиальное перемещение % контактной поверхности втулки.
Аналогично рассматривается задача термоупругости для плунжера. С использованием решения задачи термоупругости для плунжера и кинетического уравнения изнашивания материала плунжера находится радиальное перемещение 〃2 контактной поверхности плунжера. Найденные величины 〃1И〃2 подставляются в основное контактное уравнение. Для алгебраизации основного контактного уравнения искомые функции контактного давления ищутся в виде разложений
力)=ро^) + tpr^) + ...,
(35)(35)Ро(^) = а： + £ (峨 cos kQ + 然 sin 卜仆)
(35)
(35)
pi") = а^ + £ (q^ cos kQ + 吼 sin kQ).
Для построения алгебраической системы с целью нахождения искомых коэффициентов о/，к〉8к приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях. В результате получаем бесконечную алгебраическую систему относительно 崂(к = 0,1, 2,...),然(к = 1, 2,…)и «^,俄 и т. д.
Из-за неизвестных величин Q] и 仆2 система уравнений оказывается нелинейной.
Сингулярное интегральное уравнение (33) при условии (34) с помощью процедуры алгебраизации (см. прил. в [9]) сводится к системе М алгебраических уравнений для определения М неизвестных gi (力俏)(ш = 1,2,..., М):
J^7 52 厶[gl (^m) ^11 (厶力тп,厶力J + g](力m)Sii (厶力тп,厶力г)] — /1 (力г), к=1
м
£ gi (力俏)=0( 丁 = 1,2,—1), (36)
где tm = cos 2^м 1 тг (m = 1, 2,.. ., 7И), xr = cos 普(丁 = 1, 2,.. ., 7И — 1).
Если в (36) перейти к комплексно сопряженным значениям, получим еще М алгебраических уравнений. Полученные системы уравнений относительно а^^ 6^, с^, 以，耿，8k)gi(^m) ⑺ = 1,2,..., M) позволяют при заданном натяге найти напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары при наличии трещины во втулке, контактное давление, распределение температуры, а также абразивный износ деталей контактной пары. В поставленной задаче оптимального проектирования требуется определить натяг для запрессовки подкрепляющего цилиндра. Коэффициенты А^ (к = 0, ±1, ±2,…)подлежат определению в процессе решения задачи. Следовательно, полученная объединенная алгебраическая система не является пока замкнутой.
Для построения недостающих уравнений требуем выполнения условий (17) в узловых точках, принадлежащих концевым областям, в которых должно происходить смыкание берегов трещины.
В рассматриваемом случае вместо (17) удобно использовать выражение для производных раскрытия трещины. Таким образом, недостающие уравнения получаются в следующем виде:
gi(%7n)=0 (m = 1, 2,..., MJ , (37)
где М] — число узловых точек, принадлежащих концевым областям.
Совместное решение полученных систем уравнений позволяет найти приближенные значения коэффициентов % 6^, % 以，飙，厶，значений функций 〃(力щ), 〃(力тп) (m = 1,2,..., М) и коэффициентов функции натяга 4^ (k = 0,±l,±2,...,±”i).
Так как размеры концевых зон мы задаем заранее, то система (37) алгебраических уравнений оказывается линейной.
Объединенная же система уравнений из-за неизвестных величин Q] и 仆2 оказывается нелинейной. Для ее решения используется метод последовательных приближений, суть которого состоит в следующем. Решаем объединенную алгебраическую систему при некоторых определенных значениях Qi* и 仆2* относительно остальных неизвестных (были перечислены выше).
Остальные неизвестные входят в объединенную систему линейным образом. Значения Qi* и 仆2* и найденные значения остальных неизвестных подставляются в неиспользованные уравнения (16). Взятые значения ^^и 仆2* и соответствующие им значения остальных неизвестных не будут, вообще говоря, удовлетворять уравнениям (16). Поэтому, подбирая значения параметров Qi и 仆2, будем многократно повторять вычисления до тех пор, пока последние уравнения системы (16) не будут удовлетворяться с заданной точностью.
Расчеты проводились применительно ко втулке составного цилиндра глубинного скважинного штангового насоса исполнения НН2 С-57-30-12 для различных скоростей движения плунжера. Результаты расчетов для функции натяга приведены в табл. 1, 2 (коэффициенты даны в мм).
Если же трещина одним концом выходит на внутреннюю поверхность втулки, то (34) заменяется дополнительным условием, выражающим конечность напряжений у края трещины.
Таблица 1. V = 0,2 м/с
喟
硝
嗝
磧
嘴
嗝
a?
0,0971
0,0715
0,0642
0,0517
0,0483
0,0326
0,0184
0,0147
讨
於
窮
崂
豬
繡
窮
0,0681
0,0539
0,0448
0,0395
0,0264
0,0125
0,0091
Таблица 2. V = 0,5 м/с
砧
砧
嘴
嗝
a?
0,1013
0,0784
0,0726
0,0584
0,0502
0,0430
0,0212
0,0194
讨
於
窮
崂
豬
繡
窮
0,0731
0,0663
0,0521
0,0417
0,0349
0,0193
0,0117
Случай произвольного числа трещин. Пусть теперь в упругой втулке вблизи поверхности трения имеется N прямолинейных трещин длиной 2/左 (к = 1, 2,…，N) (см. рис.). Рассмотрим обратную задачу механики разрушения, а именно задачу по определению функции натяга соединения втулки и подкрепляющего цилиндра такого, чтобы созданное им напряженное поле препятствовало росту имеющихся во втулке трещин. В качестве критерия определения функции натяга запрессовки принимаем, что в процессе работы контактной пары у вершин всех трещин должны появляться концевые области заданной длины, в которых происходит смыкание берегов трещин. Процесс смыкания берегов трещин в концевых зонах, примыкающих к вершинам трещин, будет препятствовать росту трещин.
В концевых зонах, в которых должно происходить смыкание берегов трещин, раскрытие трещин будет равно нулю:
〃(力к) — iu (力左)=0(к = 1, 2,, N).(38)
Заранее задаемся размерами концевых областей для каждой трещины.
Задача для этого случая решается аналогично задаче для одной трещины. Комплексные потенциалы Ф2(7), 屮2(之)и Фз(г), 屮3(之)обобщаются на случай произвольного числа трещин. Удовлетворяя краевым условиям на берегах трещин (15), получим систему N сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций g^ (力左)(А; = 1, 2,... , N).
К системе сингулярных интегральных уравнений для внутренних трещин следует добавить дополнительные условия
]gk⑴威=0]gk⑴威=0(k = 1,2,N).(k = 1,2,N).(39)(39)
]gk⑴威=0
]gk⑴威=0
(k = 1,2,N).
(k = 1,2,N).
(39)
(39)
при отмеченных выше сводится к системе N х х М неизвестных gn(tm)при отмеченных выше сводится к системе N х х М неизвестных gn(tm)，九力^) + gk (力m)S71k (Iktm,"力r)] = fn (力r).，九力^) + gk (力m)S71k (Iktm,"力r)] = fn (力r).
при отмеченных выше сводится к системе N х х М неизвестных gn(tm)
при отмеченных выше сводится к системе N х х М неизвестных gn(tm)
，九力^) + gk (力m)S71k (Iktm,"力r)] = fn (力r).
，九力^) + gk (力m)S71k (Iktm,"力r)] = fn (力r).
Система сингулярных интегральных уравнений условиях (39) с помощью процедуры алгебраизации х М алгебраических уравнений для определения N (几=1, 2,.. ., TV; m = 1, 2,..., М):
1 M N
(^m) Rnk (Iktm,厶
k=lk=l
м
£ gn(tm) = 0(n = l,2,...,N] г = 1, 2,..., М - 1).(40)
Если в (40) перейти к комплексно сопряженным значениям, получим еще N х х М алгебраических уравнений.
В правые части алгебраических систем (40) через функцию нагрузки /п (жп) (几=1,2,..., N) на берегах трещин входят искомые коэффициенты функции натяга 咽 ％ коэффициенты а^, 6^, % 以，а также коэффициенты 出，厶，функции контактного давления. Для построения недостающих уравнений для замкнутости полученных систем (40) и систем относительно коэффициентов а^^ 6^, с^, 以，耿，厶 требуем выполнения условий (38) в узловых точках, принадлежащих концевым областям, в которых происходит смыкание берегов трещин. Выберем, для определенности, совокупное число таких узловых точек равным Mi，Как уже отмечалось в п. 2, в рассматриваемом случае удобно вместо условий (38) использовать равенство нулю производных раскрытия трещин.
Таким образом, недостающие уравнения находим в следующем виде:
gk (tk,mk) =。 (k = 1, 2,..., No； Ek =Mik),(41)
где Mi = £ Mik； M]k — число узловых точек, принадлежащих концевым обл а- стям k-й трещины.
Построенная дополнительная система (41), состоящая из М] уравнений, полностью замыкает полученную выше систему уравнений и служит для определения коэффициентов а^, 6^ (k = 1, 2,... , Mi) искомой функции g(Q) натяга запрессовки подкрепляющего цилиндра.
Совместное решение полученных алгебраических систем позволяет численно найти приближенные значения функций 〃左(^?m), и^ (力k,m) (k = 1, 2,…，TV; m = 1, 2,.. ., M), коэффициенты a^, 6^, c^,以，значения коэффициентов разложения функции контактного давления, а также коэффициенты а^, 6^ (к = 1, 2, • • • , Mi) искомой функции натяга соединения.
В заключение отметим, что там, где берега трещин вошли контакт, т. е. в концевых областях, возникнут нормальные qyk (力左)и касательные qXkyk (力к) контактные напряжения. Для их определения, при известной уже функции натяга g"), необходимо вновь решить задачу механики разрушения для трещин со взаимодействующими берегами. Метод решения таких задач для втулки составного цилиндра контактной пары был разработан в [10].
Заключение. Опытные данные практики эксплуатации контактных пар убедительно показывают, что на стадии проектирования новых конструкций подвижных сопряжений необходимо принимать во внимание случаи, когда в отдельных узлах трения (втулка) могут возникнуть трещины. Полученные в работе основные разрешающие уравнения позволяют при заданном натяге численными расчетами, путем определения коэффициентов интенсивности напряжений, прогнозировать рост имеющихся трещин во втулке составного цилиндра; установить допустимый уровень дефектности и максимальные значения рабочих нагрузок, обеспечивающий достаточный запас надежности. Решение обратной задачи по определению натяга соединения втулки и подкрепляющего цилиндра позволяет на стадии проектирования выбирать оптимальные геометрические параметры элементов контактной пары, обеспечивающие повышение несущей способности.
Список принятых обозначений
G,从一модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала втулки;
Go,从。一модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала подкрепляющего цилиндра;
Gi,从 1 — то же для материала плунжера;
1к — полудлина трещины;
Ro — внутренний радиус втулки;
R — радиус границы соединения втулки и подкрепляющего цилиндра;
Я1 — радиус внешнего контура подкрепляющего цилиндра;
3(") — осадка точек поверхности втулки и плунжера;
〃i — радиальное перемещение втулки;
〃2 — радиальное перемещение поверхности плунжера;
р^,力)——функция контактного давления;/ — коэффициент трения фрикционной пары;
% и ”2 — координаты концов площадки контакта;
V — скорость движения плунжера относительно втулки;
Q(",力)一общее количество тепла в единицу времени, выделяемое в точке зоны контакта;
Qb(”，t) — то же для втулки;
Qi(",力)——то же для плунжера; 〃夕一термоупругие перемещения точек контактной поверхности;
% — перемещения, вызванные износом контактной поверхности;
Кь 一 коэффициент изнашивания материала втулки; Т, То — температурные функции для втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно;
А, Ао — коэффициенты теплопроводности втулки и подкрепляющего цилиндра;
△ — оператор Лапласа;
а± — коэффициент теплоотдачи с внутренней поверхности втулки;
О!2 ——коэффициент теплоотдачи с наружной цилиндрической поверхности цилиндра с внешней средой с температурой Тс；
Ati — теплопоглащающая поверхность;
Дт2 — охлаждающая поверхность;
а г, ст% тг^ — компоненты тензора напряжений;
g^) 一 искомая функция натяга;
tb, to ——избыточные температуры для втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно;
F, Fo — термоупругий потенциал перемещений для втулки и подкрепляющего цилиндра соотвественно; X — упругая постоянная Мусхелишвили для материала втулки;
Фь(2), Wb(z),①(z), W(z) — комплексные потенциалы для втулки и подкрепляющего цилиндра соответственно;
gk(xk)——искомые функции, характеризующие разрыв смещений при переходе через линию соответствующей трещины;
N — число прямолинейных трещин, имеющихся во втулке;
М — число узловых точек, на которые разбивается интервал интегрирования;
М± — число узловых точек, принадлежащих концевым областям трещин.
Список литературы
Решетов Д. Н. Состояние и тенденции развития деталей машин // Вестник машиностроения. 2000. Т. 10. С. 11-15.
Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. — М.: Наука, 1983. — 488 с.
Горячева И. Г, Добычин М. Н. Контактные задачи в трибологии. — М.: Машиностроение, 1988. — 256 с.
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. — М.: Наука, 1980. - 303 с.
Гаджиев Г. X. Износоконтактная задача о вдавливании вала во втулку, подкрепленную с натягом внешним цилиндром // Механика-Машиностроение. Баку, 2002. Т. 3. С. 1726.
Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. — М.: Физматлит, 1963.— 252 с.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.— М.: Наука, 1966. — 707 с.
Панасюк В. В., Саврук М. /7., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. — Киев: Наукова думка, 1976. — 443 с.
Мирсалимов В. М. Неодномерные упругопластические задачи. — М.: Наука, 1987.— 256 с. Гаджиев Г. X., Мирсалимов В. М. Напряженно-деформированное состояние составного цилиндра контактной пары при наличии трещин с взаимодействующими берегами // Механика-Машиностроение. Баку, 2002. Т. 3. С. 9-13.
ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ СТОЛБА СЖИМАЕМОЙЖИДКОСТИ О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ
О. Р. Ганиев
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН
Одними из перспективных методов интенсификации производства в нефтегазодобывающей промышленности являются методы, основанные на волновой технологии [1-3]. В ее основе лежит идея о преобразовании колебаний и волн в другие формы механического движения. Нелинейная волновая механика многофазных систем позволила открыть ряд эффектов, происходящих в многофазных системах, в частности односторонне направленное перемещение твердых частиц и капель и ускорение течений жидкости в капиллярах и пористых средах, увеличение амплитуды волны по мере удаления от источника из-за нелинейного взаимодействия волн и пр. Для реализации этих эффектов в промышленности необходимы генераторы, создающие требуемые типы волн — гармонические, периодические импульсы, ударные и т. д. В зависимости от конструктивного исполнения устройств, предназначенных для создания периодических импульсов, можно обеспечить как ударное, репрессивное, так и депрессивное воздействие на пласт с целью повышения производительности добывающих или приемистости нагнетательных скважин. Принцип действия некоторых конструкций, предназначенных для ударного воздействия на пласт, можно охарактеризовать как мгновенную остановку падающего столба жидкости. Для определения амплитуды ударного воздействия и формы импульса необходимо знать волновую картину (динамику распространения прямых и отраженных волн сжатия и разряжения), возникающую в жидкости.
Расчет скорости контактной границы. Рассмотрим классическую задачу [4] — одномерное нестационарное истечение сжимаемой баротропной жидкости в область пониженного давления (вакуум). Пусть в начальный момент времени жидкость занимает полубесконечную область 力》0 и покоится, а давление, плотность и скорость в этой области постоянны и равны 九 网(pi = pi(pi)) и 〃i = =0 (в реальности давление непостоянно по высоте столба в силу наличия силы тяжести). В области ж < 0 находится газ (или вакуум) при давлении 目。< pi So = 0), имеющий возможность свободно истекать в направлении отрицательных значений х. Влиянием упругости и инерции газа на движение жидкости будем пренебрегать. Нас интересует скорость движения границы раздела жидкость-газ при мгновенном исчезновении перегородки между ними.
Задачу можно переформулировать следующим образом: найти закон движения поршня, находившегося в начальный момент в точке 力=0 и мгновенно начавшего двигаться так, что давление на нем постоянно и равно р^.
〃о< 凸"i，Pi，〃i
Такое течение жидкости описывается следующей системой уравнений:
±(祭+喲+際=3戸嘿+ ^窮p = Р(0), a2 =事
(a — местная скорость звука).
Уравнения (1) можно переписать в форме постоянства инвариантов Римана вдоль соответствующих характеристических направлений [4]:
{
г = const при dx = (и ~\~ a) dt, / = const при dx = (и — a) dt.
где r = u-\-v,l = u — v,v= - dp = 上.
J pJ pa
piPi
Рассмотрим линейное уравнение состояния для жидкости (для воды а。 =1500 м/с)
p-po = al(p- ро) •
В этом случае имеем [4]
о = ao In (р) + const, 〃о = -a。In [ — ] = -a。In [ 1 + ———翼](3)
\PoJ\ 00ao /
(〃o < 0, так как граница движется влево).
Для уравнения состояния Тэта [4] р = В [(р/ро)7 — 1], где В и 7 константы (для воды 3 = 3 • 108 Па, 7 = 7,15, 0 = 103 кг/м3), имеем
二口 + const, 。=7汨(万+，% = 7-,
Расчеты, проведенные для воды, показывают, что оба уравнения состояния дают практически неразличимые значения скоростей движения контактной границы (поршня) для диапазона давлений 力=1 4- 300 бар. Ясно, что полученные формулы будут работать только в начальные моменты времени, пока не сказалось действие силы трения и непостоянство начального давления по высоте столба.
Пусть теперь в момент времени t = 0+ появляется дополнительная массовая сила, характеризуемая постоянным ускорением g (сила тяжести), направленная в сторону отрицательных ж, т. е. рассмотрим задачу о падении столба жидкости в «пустоту», пренебрегая непостоянством гидростатического давления по высоте столба жидкости в начальный момент и считая давление в столбе равным давлению на «дне» столба. Думается (из физических соображений), что полученная в этом случае скорость движения границы жидкости будет не ниже, чем в случае с неоднородным начальным распределением давления по высоте столба из-за силы тяжести (давление будет уменьшаться в направлении положительных ж — вверх по столбу жидкости).
Второе уравнение системы (1) примет вид
ди ~dtди ~dt.ди , 1.ди , 1j，j，а система (2) перепишется в видеа система (2) перепишется в видег -\- gt = const при dx = (и -\- a) dt^ I -\- gt = const при dx = (и — а) dt.Сделаем следующую заменуw = и-\- gt, у = х-\-г -\- gt = const при dx = (и -\- a) dt^ I -\- gt = const при dx = (и — а) dt.Сделаем следующую заменуw = и-\- gt, у = х-\-Тогда система (6) примет вид, аналогичный системе (2) г = const при dy = (w -\- a) d力 / = const при dy = (w — а)阳Тогда система (6) примет вид, аналогичный системе (2) г = const при dy = (w -\- a) d力 / = const при dy = (w — а)阳(5)⑹⑺(5)⑹⑺
ди ~dt
ди ~dt
.ди , 1
.ди , 1
j，
j，
а система (2) перепишется в виде
а система (2) перепишется в виде
г -\- gt = const при dx = (и -\- a) dt^ I -\- gt = const при dx = (и — а) dt.
Сделаем следующую замену
w = и-\- gt, у = х-\-
г -\- gt = const при dx = (и -\- a) dt^ I -\- gt = const при dx = (и — а) dt.
Сделаем следующую замену
w = и-\- gt, у = х-\-
Тогда система (6) примет вид, аналогичный системе (2) г = const при dy = (w -\- a) d力 / = const при dy = (w — а)阳
Тогда система (6) примет вид, аналогичный системе (2) г = const при dy = (w -\- a) d力 / = const при dy = (w — а)阳
(5)
⑹
⑺
(5)
⑹
⑺
где r = w-\-v,l = w — v.Для w имеем решение, аналогичноегде r = w-\-v,l = w — v.Для w имеем решение, аналогичное(3) (для линейного уравнения состояния),(3) (для линейного уравнения состояния),
где r = w-\-v,l = w — v.
Для w имеем решение, аналогичное
где r = w-\-v,l = w — v.
Для w имеем решение, аналогичное
(3) (для линейного уравнения состояния),
(3) (для линейного уравнения состояния),
wo = -ао In =-a。In ,
\ 00ao 丿 или
“о = —g力一^0 In —g力一a。In . (8) \PoJ \ 00ao /
Видно, что в этом случае скорость границы жидкости не постоянна, а растет с течением времени. Этот рост обеспечивается первым членом в правой части уравнения (8) и соответствует движению столба жидкости как целого с ускорением g (свободное падение). Второй член в уравнении соответствует движению с постоянной скоростью из-за расширения сжатой жидкости. Из постоянства скорости движения границы относительно столба жидкости (уравнения (3), (4) и (8)) можно сделать вывод о равенстве нулю градиента давления на этой границе, т. е. об отсутствии движущей силы для частиц жидкости на границе раздела (за исключением силы тяжести).
На практике рост скорости будет сдерживать сила трения и существует предельная скорость движения границы раздела, когда сила тяжести и возникший из-за торможения градиент давления будут уравновешены силой трения.
Оценка скорости движения границы и силы удара падающего столба жидкости о неподвижную преграду с учетом силы трения. Рассмотрим движение границы столба линейно сжимаемой жидкости как твердого тела (поршня) в круглой трубе при наличии сил тяжести и трения. Для оценки скорости движения границы выпишем следующее уравнение с соответствующим начальным условием (возникающим из-за торможения градиентом давления на границе пренебрегаем):
dVdtdVdt= g-/(『)，『 = -〃(), 力=0 : Vo = -〃o ⑼，= g-/(『)，『 = -〃(), 力=0 : Vo = -〃o ⑼，⑼⑼
dVdt
dVdt
= g-/(『)，『 = -〃(), 力=0 : Vo = -〃o ⑼，
= g-/(『)，『 = -〃(), 力=0 : Vo = -〃o ⑼，
⑼
⑼
где V — скорость движения границы, g — характеризует силу тяжести, /(V)— силу трения, зависящую от скорости, а 〃о(О) берется из решения (3) или (8).
Для силы трения примем следующее выражение [5]:
〃卜)=石? a = 0,0032或=乎 (1。)
где d — диаметр трубы, 〃 一 кинематическая вязкость жидкости. Из уравнения (9) можно получить неявные зависимости скорости границы V от времени Z и V от пройденного границей пути %:
VV
\^=^ \^=h M=vdt).(11)
Очевидно, что существует предельная скорость движения V0, определяемая из уравнения
g -"u。)=0,(12)
при достижении которой движение продолжается с этой постоянной скоростью. Поэтому интегралы (11) надо вычислять только в пределах от % до V0, после чего пройденный границей путь h определяется по закону движения с постоянной скоростью. В зависимости от соотношения % и『° движение на начальном этапе будет ускоренным (% < V0), замедленным (% > V0) или равномерным (% = V0).
(13)(13)Для оценки возникающего давления на препятствии при мгновенной остановке жидкости воспользуемся формулой Жуковского:
(13)
(13)
0 - Ro = Po«oV.
Р-Ро «ОРО ,「 ж dxh= JР-Ро «ОРО ,「 ж dxh= JИз (11) и (13) можно получить зависимость пути (высоты падения), пройденного границей раздела, от давления, возникающего на препятствии:
Р-Ро «ОРО ,「 ж dx
h= J
Р-Ро «ОРО ,「 ж dx
h= J
(14)
Vo
Падение столба жидкости конечной длинны при наличии силы тяжести. В более полной постановке рассмотрим одномерное нестационарное истечение линейно сжимаемой баротропной жидкости в область пониженного давления (вакуум) при наличии силы тяжести, характеризуемой постоянным ускорением g, направленным в сторону отрицательных х. Пусть в начальный момент времени жидкость занимает область //》力》0 и покоится. Начальные переменные по пространству из-за наличия силы тяжести давление и плотность Ro(力),0о(力)(р = р(0)) в этой области находятся из условия гидростатического равновесия, а скорость равна 〃о = 0.
В области —L < ж < 0 находится газ (или вакуум) при давлении р* < @о(О) (р* = 0), имеющий возможность свободно истекать в направлении отрицательных значений х. В точке 力=—L находится жесткая неподвижная преграда. Влиянием упругости и инерции газа на движение жидкости будем пренебрегать. Нас интересует давление на преграде, возникающее при ударе о нее падающего столба жидкости.
На верхнем конце столба жидкости х = Н задается постоянное давление р°.
〃*”о（О）ро（х）, ро（х）, 〃о = О Ро <^о（°）
-ZОЯ
Такое течение жидкости описывается следующей системой уравнений:
2р2рНи п
dtдхдх
3〃 ди 1 др
0一0* =必（0-0*）,
〃『）=石屮 A = 0,0032展=叩
（a = const — местная скорость звука, g — ускорение свободного падения, /（〃）— сила сопротивления, d — диаметр трубы, 〃 — кинематическая вязкость жидкости）.
В начальный момент времени 〃о = 0, а начальные распределения давления и плотности находятся из решения задачи равновесия:
00 - 0* =公（00 - 0*） ,（16）
00（切=战
что дает следующее выражение для плотности:
00（力）=0（0°） • ехр（3（Я 一 力））•（17）
На подвижных границах столба ставятся следующие условия: на верхней границе задается постоянное давление р°, на нижней границе до момента контакта с преградой давление постоянно и равно р*, а после контакта скорость границы равна 0.
Результаты расчетов. Рассчитывалось падение столба воды в круглой трубе диаметром 32 мм при разных значениях высоты столба （Я = 500-2000 м） и высоты падения （L = 0,25-3,0 м）. При этом р° = р^ = 1 бар.
В процессе движения по жидкости распространяются волны сжатия и разряжения, которые, неоднократно отражаясь от границ столба, создают сложную волновую картину. Так, в момент начала движения столба образуется волна разряжения, движущаяся от его нижнего края к верхнему, которая отражается от верхнего края （свободной поверхности） волной сжатия, движущейся в обратном направлении. В момент контакта столба с преградой образуется волна сжатия, движущаяся в направлении верхнего края. Эта волна отразится от свободной поверхности волной разряжения, распространяющейся в направлении преграды. И так далее, пока волны не затухнут из-за трения. При этом значения высоты падения определяют момент контакта с преградой, а высота столба определяет интервал времени между отражениями волн от границ столба жидкости.
Так, на рис. 1 показаны временные диаграммы давления на преграде при падении столба воды высотой 500 м с различных высот. На всех графиках первый резкий скачок давления соответствует моменту контакта столба жидкости
с преградой. На первых двух графиках (L = 0,25; 1,25 м) второй подъем давления соответствует приходу волны сжатия, возникшей при отражении первой волны разряжения от свободной поверхности, а последующий спад соответствует приходу волны разряжения, возникшей при отражении от свободной поверхности первой ударной волны (возникшей при контакте с преградой).
На следующих трех графиках (L = 2; 2,5; 3 м) увеличение амплитуды удара о преграду вызвано ускорением нижнего конца столба волной сжатия, образовавшейся при отражении от верхнего конца волны разряжения.
Давление на преграде для разных высот падения L, м (Я =500 м)Давление на преграде для разных высот падения L, м (Я =500 м)Рис. 2Рис. 2На рис. 2 приведены диаграммы давления для столба высотой 1000 м.
Давление на преграде для разных высот падения L, м (Я =500 м)
Давление на преграде для разных высот падения L, м (Я =500 м)
Рис. 2
Рис. 2
Рис. 1
На рис. 3 для разных высот столба приведены зависимости максимального давления, достигаемого на преграде за все время, от высоты падения. Видно, что максимальное давление превосходит гидростатическое давление для соответствующей высоты столба. На рис. 4 приведены зависимости отношения максимального давления к гидростатическому. Уменьшение максимального относительного давления с ростом высоты столба вызвано увеличением потерь на трение при прохождении волнами большего расстояния между отражениями. Заметный нелинейный
尸,бар300 г尸,бар300 г2502001501002502001501005050Я =2000Н= 1500Н= 1000 8=500Я =2000Н= 1500Н= 1000 8=5000123401234Максимальное относительное давление для разных высот столбовМаксимальное относительное давление для разных высот столбовМаксимальное давление на преградедля разных высот столбов
尸,бар
300 г
尸,бар
300 г
250
200
150
100
250
200
150
100
50
50
Я =2000
Н= 1500
Н= 1000 8=500
Я =2000
Н= 1500
Н= 1000 8=500
01234
01234
Максимальное относительное давление для разных высот столбов
Максимальное относительное давление для разных высот столбов
£, м£, м
Рис. 3Рис. 3Рис. 4
Рис. 3
Рис. 3
характер графика для высоты 500 м имеет место и для других высот, но он сильно ослабляется потерями на трение.
Заключение. Получены формулы, позволяющие оценить скорость движения нижнего (бьющего) конца падающего столба жидкости и величину первого удара. Показано, что при падении столба воды конечной длинны с некоторой высоты на жесткую неподвижную преграду можно получить значения давления на преграде, значительно превосходящие значения, рассчитанные по формуле Жуковского. Преграда испытывает периодические затухающие циклы ударов и разряжений. Временные характеристики этих ударов и растяжений, а также максимальное давление, достигаемое за время цикла, зависят от соотношений высоты столба и высоты падения.
Список литературы
Ганиев Р. Ф. Колебательные явления в многофазных средах и их использование в технике и в технологии. — Киев: Техника, 1980. — 203 с.
Ганиев Р. Ф. Волновая техника и технология. Научные основы, промышленные испытания и их результаты, перспективы использования. — М.: Логос, 1993 г. — 127 с.
Украинский Л. Е. Волновая технология в нефтяной промышленности / Под ред. Р. Ф. Ганиева. — Уфа: Изд-во РНТИК «Баштехинформ», 1999. — 46 с.
Черный Г. Г. Газовая динмика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978. — 736 с.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОИНТЕНСИФИКАЦИИ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИЗАБОЙНЫХ
ЗОН СКВАЖИН С ПОМОЩЬЮ ВОЛНОВЫХВОЗДЕЙСТВИЙ
Р.①.Ганиеву О.Р. Ганиеву Л. Е. Украинский
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН
Основная идея волновых технологий [1-4] заключена в том, чтобы преобразовать волновые воздействия в односторонне направленное монотонное движение, реализующее необходимый технологический процесс. Так, для очистки призабойных зон добывающих скважин со значительным положительным скин-эффектом, требуется обеспечить направленное в одну сторону движение засоряющих коллектор твердых частиц и удаление их оттуда. Такого же рода задача возникает и в случаях, когда нефть и вода образуют в коллекторах пласта так называемые неточные структуры, которые удерживаются в пласте значительными капиллярными силами. В этом случае необходимо обеспечить в пласте направленное в определенную сторону движение, но не твердых частиц, а флюида. Перечисленные виды движений могут быть реализованы в пластах с помощью особых волн определенного вида, возбуждаемых благодаря вибрационным воздействиям. Эти волны, распространяясь по нелинейной среде, которой являются насыщенные жидкостью пористые среды, при выполнении определенных резонансных условий трансформируют колебательные движения (вибрацию) в направленные в одну сторону монотонные движения.
Настоящая работа посвящена экспериментальному исследованию волновой очистки пласта в призабойной зоне скважины. Волновое воздействие на породу создавалось гидродинамическим генератором волн, геометрические характеристики которого позволяли создать гидродинамическую неустойчивость потока, порождающую пульсационное течение. Дополнительным источником колебаний являлись схлопывающиеся кавитационные пузырьки, образовавшиеся внутри генератора. Схематично процесс обработки скважины представлен на рис. 1.
Целью экспериментов было измерение динамических характеристик волнового генератора и проведение волновой обработки образцов породы, загрязненных в процессе бурения или пропиткой буровым раствором. Эксперименты проводились на экспериментальной буровой машине (фото 1). Схема экспериментальной установки показана на рис. 2.
Измерение динамических характеристик генератора. Перед проведением экспериментов по обработке образцов породы были сняты динамические характеристики генератора. Наблюдались ясно выраженные пульсации давления. Типичная осциллограмма пульсаций давления и их спектр представлены на рис. 3. Спектр пульсаций имеет две основные зоны — 10-13 кГц и 30-40 кГц (последняя соответствует схлопыванию кавитационных пузырьков). Амплитуда пульсаций достигала 5 бар в зависимости от расхода жидкости и давления в рабочей камере машины. Расход жидкости, при котором появлялись пульсации, зависит от давле-
Рис. 1. 1 — гидродинамический генератор, 2 — порода, 3 — поток из генератора, 4 — обратный ток, 5 — зона декомпрессии, 6 — кавитационные пузырьки, 7 — пульсации давленияРис. 1. 1 — гидродинамический генератор, 2 — порода, 3 — поток из генератора, 4 — обратный ток, 5 — зона декомпрессии, 6 — кавитационные пузырьки, 7 — пульсации давленияРис. 2. 7 — Рабочая камера буровой машины, 2 — гидродинамический генератор, 3 — образец породы, 4 — резервуар, 5 — регулятор расхода, 6 — датчики давленияРис. 2. 7 — Рабочая камера буровой машины, 2 — гидродинамический генератор, 3 — образец породы, 4 — резервуар, 5 — регулятор расхода, 6 — датчики давления
Рис. 1. 1 — гидродинамический генератор, 2 — порода, 3 — поток из генератора, 4 — обратный ток, 5 — зона декомпрессии, 6 — кавитационные пузырьки, 7 — пульсации давления
Рис. 1. 1 — гидродинамический генератор, 2 — порода, 3 — поток из генератора, 4 — обратный ток, 5 — зона декомпрессии, 6 — кавитационные пузырьки, 7 — пульсации давления
Рис. 2. 7 — Рабочая камера буровой машины, 2 — гидродинамический генератор, 3 — образец породы, 4 — резервуар, 5 — регулятор расхода, 6 — датчики давления
Рис. 2. 7 — Рабочая камера буровой машины, 2 — гидродинамический генератор, 3 — образец породы, 4 — резервуар, 5 — регулятор расхода, 6 — датчики давления
ния в рабочей камере и геометрии генератора. В табл. 1 представлены результаты измерений динамики генератора.
Таблица 1. Рр — давление в рабочей камере, Q — расход через генератор, ДР — перепад давления на генераторе
Рр = 30 бар
Q (л/мин)
180
210
240
300
360
ДР (бар)
28,07
37,05
38,3
54,31
80,17
Пульсации
нет
нет
есть
есть
есть
Рр = 30 бар
Q (л/мин)
180
240
270
300
360
ДР (бар)
28,27
47,38
50,37
56,01
76,57
Пульсации
нет
нет
есть
есть
есть
Эксперименты с образцами породы. В резервуаре 4, заполненном чистой фильтрованной водой, с помощью азотной подушки создавалось давление около 10 бар в зависимости от требуемого расхода. Постоянное значение расхода обеспечивалось регулятором 5 с автоматической диафрагмой, позволяющей удерживать постоянный расход. Датчик регулятора расхода позволял замерять расход до 20 литров в час. Датчики давления 6 измеряли давление в трубопроводе В перед рабочей камерой 1 и внутри рабочей камеры 马.Поток проходил через образец породы 3 длиной 10 см и диаметром 4 см, закрепленный в гипсовой оболочке и полностью изолированный снизу от объема рабочей камеры 1.
Начальная проницаемость загрязненного образца (см. фото 2 а) определялась измерением перепада давления на образце (В —马)для различных значений расхода при установившемся течении. После этого производилась волновая обработка
Фото 1Фото 1образца. Для этого волновой генератор 2 устанавливался в буровую колонну на расстоянии 12 см над образцом. Рабочая камера заполнялась водой и закрывалась. Давление в рабочей камере возрастало с ростом расхода через генератор, при этом под генератором над образцом возникала зона разряжения, так что поток сквозь образец мог существовать даже при условии, что давление Р〉в рабочей камере было выше давления в трубопроводе R. Расход через генератор доводился до 300 литров в минуту и поддерживался постоянным в течении одного часа. После чего расход через генератор медленно снижался (10% в минуту), чтобы избежать динамических скачков давления, могущих повлиять на образец.
Фото 1
Фото 1
Далее производилось измерение проницаемости образца по процедуре, описанной выше, т. е. в условиях стационарного течения измерялся перепад давления на образце как функция расхода. И, наконец, рабочая камера открывалась и образец осматривался на предмет трещин, протечек и т. д.
В процессе проведения обработки был отмечен постоянный 3 л/мин поток сквозь образец, несмотря на то что давление в рабочей камере было выше давления в трубопроводе (巳 > Pi). Это подтверждает наличие зоны депрессии над образцом. Осмотр,
проведенный после обработки, показал отсутствие протечек в системе. Более того, наблюдался равномерный однородный поток через верхнюю поверхность образца. Таким образом, результаты можно считать достоверными. Также наблюдалось осветление верхней поверхности образца и ее кавитационная эрозия.
Измеренные зависимости перепада давления от расхода представлены на рис. 4. Из рисунка видно, что зависимости являются прямыми линиями, подтверждая тот факт, что измерения соответствуют проницаемости скелета, а не трещин (в этом случае зависимости нелинейные). По наклону графиков начальная проницаемость загрязненных образцов оценивается приблизительно в 300 мДарси, а после волновой обработки — 1000 мДарси (с точностью около 20 %). Начальная проницаемость чистых образцов была 800-900 мДарси. Таким образом, волновая обработка приводит приблизительно к 4-кратному увеличению проницаемости.
Эксперименты с пробуренными блоками. Были также проведены эксперименты с загрязненными при бурении гексагональными блоками песчаника размером 39 см на 80 см, у которых в центре было пробурено отверстие около 22 см в диаметре (см. фото 2 б). Эксперименты проводились почти так же, как с малыми образцами породы. В этом случае дно блока изолировалось от дна камеры и вода подавалась внутрь блока для измерения проницаемости. При достижении установившегося течения система открывалась, чтобы убедиться, что блок заполнен водой и в системе отсутствуют протечки. Генератор устанавливался на расстоянии 12 см от дна полости блока. Расход доводился до 300 литров в минуту.
Измерения расхода через блок не проводилось, так как течение происходило скорее через незагрязненное дно блока (из-за меньшего сопротивления), чем через
19:06:1519:06:15I LI LMain Menu0Main Menu0ponHnmiwHii'nx'miii^ iiivii,iiiiponHnmiwHii'nx'miii^ iiivii,iiii1心「川川1|叩"1「IWFIIIIMIMI口I 工册 WM1心「川川1|叩"1「IWFIIIIMIMI口I 工册 WMLiiiiiiiiilMiULiiiiiiiiilMiU11ЮЮ5kHz 105kHz 10Chan 1Chan 1.5 me .5 v.5 me .5 vCHI 0.28 V DCCHI 0.28 V DCCHI 0.5 V 〜
19:06:15
19:06:15
I L
I L
Main Menu
0
Main Menu
0
ponHnmiwHii'nx'miii^ iiivii,iiii
ponHnmiwHii'nx'miii^ iiivii,iiii
1心「川川1|叩"1「IWFIIIIMIMI口I 工册 WM
1心「川川1|叩"1「IWFIIIIMIMI口I 工册 WM
LiiiiiiiiilMiU
LiiiiiiiiilMiU
1
1
Ю
Ю
5kHz 10
5kHz 10
Chan 1
Chan 1
.5 me .5 v
.5 me .5 v
CHI 0.28 V DC
CHI 0.28 V DC
CH2 0.2 V 〜
CH3 50 mV w
CH4 60 mV =T/divO.5ma
Рис. 3
загрязненные стенки. Поэтому измерения расходов недостоверны с точки зрения оценки восстановления проницаемости, и дальнейшие результаты носят качественный характер. Осмотр образца после волновой обработки показал значительное
dR9 -§КО§ЛЧ §йо&кdR9 -§КО§ЛЧ §йо&кизменение цвета поверхности полости блока из-за эрозии (см. фото 3), и материал образца был обнаружен на дне полости. Была обнаружена трещина в блоке на расстоянии 10 см от дна отверстия. Обнаружена более светлая полоса шириной 10 см около дна отверстия прямо под генератором, имеющая несколько больший диаметр, чем остальная часть полости.
dR9 -§КО§ЛЧ §йо&к
dR9 -§КО§ЛЧ §йо&к
Наконец, блок был распилен
на две части вдоль вертикальной оси для визуального осмотра. Обнаружено, что около отверстия имеется слой (34 см толщины) с более светлой окраской по сравнению с остальной загрязненной
зоной.
Выводы. Проведенные эксперименты продемонстрировали эффективность использования волновых методов очистки призабойных зон скважин. В дальнейшем необходимо установить зависимость эффективности очистки от различных типов загрязнений.
нана
н
а
н
а
Фото 2
Фото 3
Список литературы
Ганиев Р. Ф., Украинский Л. Е. Динамика частиц при воздействии вибрации. — Киев: Наукова Думка, 1975.
Ганиев Р. Ф. Колебательные явления в многофазных средах и их использование в технике и в технологии. — Киев: Изд-во «Техника», 1980. — 203 с.
Ганиев Р. Ф. Волновая техника и технология. Научные основы, промышленные испытания и их результаты, перспективы использования. — М.: Логос, 1993. — 127 с.
Украинский Л. Е. (под редакцией Р. Ф. Ганиева). Волновая технология в нефтяной промышленности. — Уфа: Изд-во РНТИК «Баштехинформ», 1999. — 46 с.
РОСТ ТРЕЩИН ПО ГРАНИЦЕ СОЕДИНЕНИЯМАТЕРИАЛОВ
Р. В. Гольдштейн^ М. Н. Перельмутер
Институт проблем механики РАН
Введение. Выбор модели и критерия разрушения при анализе процесса развития трещин в материалах и конструкциях зависит, в первую очередь, от физико-механических свойств, структуры материалов, а также типа нагружения. Для материалов, в которых процесс разрушения локализован в малой области вблизи конца трещины (эту область обычно называют зоной процесса разрушения) и взаимодействием вновь образованных поверхностей трещины можно пренебречь, применяется критерий разрушения А. Гриффитса в энергетическом или силовом варианте (см., например, [1]).
Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (или потока энергии в вершину трещины), необходимых в этом критерии, основано на использовании сингулярных асимптотических решений задач теории упругости для тел с трещинами, т. е. на допущении существования бесконечных напряжений в вершине трещины. Критерий А. Гриффитса применим к идеально хрупким и квазихрупким материалам, и при этом предполагается, что энергия, потребная для образования единицы новой поверхности трещины, не зависит от ее длины, а зона процесса разрушения мала по сравнению с характерным размером трещины.
Другой вариант силового подхода к решению задач механики разрушения, позволяющий исключить рассмотрение бесконечных напряжений в вершине трещины [2], основан на явном введении в модель трещины сил сцепления, действующих между ее поверхностями в зоне процесса разрушения и препятствующих развитию трещины.
При этом предполагается, что:
размер зоны процесса разрушения (концевой области трещины) мал по сравнению с размерами трещины;
в состоянии предельного равновесия размер и форма концевой области трещины не зависят от размера трещины и величины приложенных нагрузок и остаются постоянными при росте трещины (гипотеза автономности);
противоположные берега трещины вблизи ее конца плавно смыкаются.
Следствием этих допущений является конечность напряжений в вершине трещины и, в частности для трещин нормального отрыва, равенство нулю суммарного коэффициента интенсивности напряжений, нормальных к плоскости трещинн:
К = ^ext + G = 0,(1)
где ^ext и К4" — коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины от действия внешних нагрузок и сил сцепления в концевой области трещины соответственно (^lnt < 0, так как силы сцепления рассматриваются как внешние силы, приложенные к берегам трещины). В состоянии предельного равновесия силы сцепления достигают максимально возможной величины и величина К4" в (1) принимает максимальное значение, называемое модулем сцепления и являющееся
постоянной материала. Таким образом, при малом размере зоны процесса разрушения нет необходимости в ее явном моделировании при решении конкретных задач механики разрушения — в этом случае состояние предельного равновесия целиком определяется критическим коэффициентом интенсивности напряжений или модулем сцепления. Различные варианты этой модели использовались для анализа хрупкого и упругопластического разрушения [3, 4].
Подробное сопоставление энергетического подхода А. Гриффитса и силовой модели Г. И. Баренблатта с доказательством их эквивалентности (в рамках принятых в модели Г. И. Баренблатта предположений) выполнено А. Ю. Ишлинским в работе [5]. С другой стороны, представление о том, что условие роста трещины полностью определяется величиной потока энергии в ее конец, не всегда верно. Это обстоятельство, в частности, проиллюстрировано в работе [6], где дано решение задачи о расщеплении балки из вязкоупругого материала, подчиняющегося определяющему соотношению модели, предложенной А. Ю. Ишлинским [7]. Из решения следует, что, например, для модели Кельвина-Фойгта (представляющей частный случай модели А. Ю. Ишлинского) поток энергии в конец трещины обращается в нуль. Этот парадокс разрешается, если при анализе поведения трещины учитывать конечность размера концевой области трещины, где действуют связи между поверхностями трещины и происходит поглощение энергии, приводящее к разрыву связей и продвижению вершины.
В структурно-неоднородных материалах (адгезионных соединениях, композитах, геоматериалах), при наличии вблизи трещины областей с нарушенной структурой (пластических зон, микротрещин, пор), воздействии физических полей и агрессивных сред, в процесс разрушения вовлекается достаточно большая часть трещины, причем при изменении размера концевой области трещины возможна реализация различных механизмов разрушения. В таком случае зону процесса разрушения можно рассматривать как некоторый слой (концевую область), примыкающий к трещине и содержащий материал с частично нарушенными связями между его отдельными структурными элементами.
Одна из возможностей моделирования такого слоя состоит в рассмотрении его как материала с физико-механическими свойствами, отличающимися от свойств остальной части тела. Критерий разрушения определяется выбором модели материала для описания слоя — это может быть достижение предельных напряжений (деформаций) или условие, связанное с накоплением повреждений [8, 9].
Другая возможность моделирования такого слоя состоит в рассмотрении его как части (продолжения) трещины и в явном приложении в концевой области к поверхностям трещины сил сцепления, сдерживающих ее раскрытие. Вершина такой модифицированной трещины совпадает с передней кромкой концевой области.
Физическая природа сил сцепления зависит от структуры материала, размеров трещины и концевой области. На малых расстояниях от края трещины преобладает непосредственное межмолекулярное взаимодействие, как и предполагалось в [2], а на относительно больших расстояниях от края трещины возможно преобладание «механических связей», создаваемых, например, подкрепляющими волокнами в композиционных материалах или звеньями полимерных цепей, соединяющих поверхности трещины, в адгезионных соединениях.
Для математического описания сил сцепления в концевой области трещины используются преимущественно два подхода:
приложение к поверхностям трещины дискретных значений сил сцепления, моделирующих присутствие волокон или частиц, сдерживающих раскрытие трещины [10];
рассмотрение непрерывного распределения сил сцепления в концевой области трещины [11].
Модели первого типа используются в тех случаях, когда расстояние между волокнами сравнимо с характерным размером трещины или концевой области. Величина сил сцепления зависит, как правило, от раскрытия трещины в концевой области и окружающих условий (наличия физических полей, агрессивных сред и т. п.).
С механической точки зрения модели трещины с силами сцепления в концевой области можно разделить на два типа:
апряжения в вершине модифицированной трещины ограничены, т. е. при моделировании требуется выполнение условия (1);
уммарный коэффициент интенсивности напряжений в вершине модифицированной трещины не равен нулю, т. е. рассматривается поле напряжений с особой точкой в вершине трещины.
Модели первого типа применяются, если процессы продвижения вершины трещины и формирования сил сцепления взаимосвязаны и определяются одним физическим механизмом, например, при учете узких зон пластичности или областей нарушенных межчастичных связей в однофазных, хрупких материалах. В качестве критерия разрушения в таких случаях используется обычно условие критического раскрытия трещины на краю концевой области (или условие критической деформации) [1, 3].
Модели второго типа целесообразно использовать, если процессы деформирования и разрушения в концевой области включают в себя несколько физических механизмов, например в адгезионных соединениях или композиционных материалах, где продвижение вершины трещины и формирование сил сцепления обусловлены различными механизмами. В таких случаях применяется двухпараметрический критерий разрушения, содержащий кинематическое условие для продвижения края концевой области, а также силовое [11, 12] или энергетическое условие для продвижения вершины трещины [13, 14].
Здесь рассматривается модель трещины, расположенной на границе соединения различных материалов, с силами сцепления (связями), непрерывно распределенными в концевой области трещины и имеющими заданную диаграмму деформирования. Полагается, что процесс разрушения локализован в концевой области, которая рассматривается как часть трещины и может быть сравнима с размером трещины, а связи образованы подкрепляющими волокнами или частицами в композиционном материале или слоем адгезива между материалами. Материал вне трещины полагается упругим, и деформирование материала за вершиной трещины происходит совместно с волокнами (слоем адгезива) без нарушения его сплошности. Задача о предельном равновесии трещины на границе соединения материалов при действии внешних растягивающих нагрузок и усилий в связях, препятствующих ее раскрытию, сводится к совместному решению системы нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений для определения нормальных и касательных усилий в связях и уравнений, следующих из силового или энергетического условий равновесия трещины.
Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим трещину длины 2/, расположенную на отрезке 岡，厶 у = 0 (рис. 1) границы соединения двух полуплоскостей из различных материалов. Положим, что на удаленной границе области действуют равномерно распределенные напряжения сг0, нормальные к плоскости трещины. Выделим части трещины длиной d (концевые области), примыкающие к ее вершинам (/—d< \х\ < /, у = 0), в которых берега трещины
взаимодействуют, так что это взаимодействие сдерживает раскрытие трещины. Для математического описания взаимодействия берегов трещины предположим, что в концевых областях между берегами трещины имеются связи, закон деформирования которых, в общем случае нелинейный, задан.
При действии внешних нагрузок в связях, соединяющих берега трещины на границе соединения различных материалов, возникают усилия Q(c), имеющие нормальную q，力)и касательную 4冗(力)составляющие:
Q(x) = qy(x) - iqx(x), г2 = -1. (2)
К берегам трещины приложены нормальные и касательные напряжения, численно равные qy{x) и qx{x) соответственно.
Граничные условия на берегах трещины для плоской задачи теории упругости с исчезающими на бесконечности напряжениями записываются, с учетом принципа суперпозиции, в виде
^(ж, 0) - iaXy(x, 0) = -СГО, \х\ < l-d,(3)
^(ж, 0) - iaxy(x, 0) = (—ст。+ qy(x)) - iqx(x)), l-d，\х\ I. (4)
Раскрытие трещины, расположенной на границе между двумя различными материалами, и(х, 0)= 〃(力),можно, ввиду линейности задачи теории упругости, представить так:
〃(力)=и^х) + 〃Q(c),(5)
и{х) = 〃у(с) — iux(x),
"00(力)-коод(е)一沁00况(力)，(6)
〃Q(力)=UQy(X)-分〃QaX^)，
где uy{x) и ux{x) — проекции раскрытия трещины на оси координат ОХ и OY (рис. 1), 〃8(力)——раскрытие трещины от действия напряжений — сг0 на берегах трещины, Uq(x) — раскрытие трещины, обусловленное напряжениями на берегах трещины в концевой области, возникающими при действии внешних нагрузок.
Уравнения (2)-(6) необходимо дополнить соотношением, связывающим раскрытие трещины и усилия в связях, которое представим, без потери общности, в виде
Uy(x) - iux(x) = с(ж, сг) (q，力)-沁式力)),(7)
где функцию с(ж, а) можно рассматривать как эффективную податливость связей, зависящую от их натяжения, о =、/* + 碓 一модуль вектора усилий в связях.
Эффективную податливость связей в (7) можно представить из соображений размерности так:
с(с，с) = 力,с)； ⑻
где 7(ж, а) — безразмерная функция, Н — линейный размер, пропорциональный толщине зоны неоднородности на участке соединения материалов, Ев — эффективный модуль упругости связей.
Так как длина трещины мала по сравнению с размерами тела и внешние нагрузки однородны, то компоненты раскрытия трещины (см. (6)) представим, с учетом (7) и (8), в форме
%/,式力)=со7(ж, a)qy^(x), с0 =(9)
где параметр со характеризует относительную податливость связей в концевой области трещины. Отметим, что при постоянном значении 7(ж, а) имеем в (8) и (9) линейный закон деформирования связей. Усилия в связях q^尸(力)подлежат определению из решения задачи при заданной внешней нагрузке сг0 и известном законе деформирования связей. Заметим, что в рассматриваемой постановке задачи размер концевой области d не предполагается малым по сравнению с длиной трещины и вид функций ^夕卢(力)зависит как от принятого закона деформирования связей, так и от размера концевой области.
Уравнения для определения усилий Q(x) в концевой области трещины могут быть получены исходя из выражений (5)-(9). Однако в случае кусочно-однородного тела более удобно использование выражений для производных раскрытия трещины. Из формулы (5) получаем
(Ю)(Ю)ди(х)_ а“8(^)a〃Q(力)
(Ю)
(Ю)
дхдх дх
Производную (а〃8 (力)/Ас) раскрытия трещины при действии однородных внешних напряжений ст。，нормальных к плоскости трещины, получаем из выражения [15]:
где
从2 丿' 2万' M1^2 + М2
и 自,2 = 3 — 4〃i,2 или 自,2 = (3 — 〃i,2)/(l + 〃1,2)для плоской деформации или плоского напряженного состояния соответственно, %,2 и 从屮一коэффициенты Пуассона и модули сдвига материалов подобластей 7 (у〉0) и 2 (у < 0).
Выражение для производной раскрытия трещины, вызванного действием напряжений, смыкающих берега трещины и обусловленных присутствием связей {duq{x)/дх), получим исходя из представления для производных перемещений берегов трещины при действии произвольных нагрузок на ее берегах [15].
Учитывая, что (см. выражение (11))
(12)(12)匕），
(12)
(12)
8 Проблемы механики
представим усилия в связях Q (力)в форме
(13)(13)Q（力）=q，力）-沁式力）=S，力）-分加（力））（巨）0
(13)
(13)
где функции ру^х(х) подлежат определению из решения задачи.
Заметим, что qy(x), Ру{х) — четные функции, а ^Ж(ж), рх{х) — нечетные. Выражение для производных перемещений берегов трещины при действии произвольных нагрузок на ее берегах, приведенное в [15], после преобразований с учетом представления (13) и симметрии искомых функций принимает вид [14]
* г/)т(“®)—з^ (搭宀
x ] ?:y (现к£) 一次%(£))次.(14)
l- d
КИН К,и для трещины, расположенной на границе соединения материалов, связаны с распределением напряжений на ее продолжении [16]:
(15)(15)k + 分Kn = lim V^vrb Syy⑹ + 沁也⑹)广"",
(15)
(15)
где / — полудлина трещины, 6 = х — I — расстояние до вершины трещины, х ^ I, bgg(6)，о-ху(6) — напряжения на продолжении трещины при нагрузках Wyy и ~аху на ее берегах,
КИН Ki и Кц при наличии связей в концевой области трещины на границе соединения материалов определяем так:
К + 分Ku = (K；xt + K；nt) + “Kijxt + Kjt),(17)
где К；；； — КИН от действия внешних нагрузок, К；『—КИН от действия напряжений, возникающих в концевой области трещины.
Значения КИН К用 от действия внешних нагрузок ст。определяются известным выражением [16]
К产+分K” =00(1 + 2涧⑵尸0 后•(18)
Выражения для КИН K；R от действия напряжений в связях Q (力)представим с учетом (13), (15), (16) в виде [13, 14]
К；" + 分 К俨=-К；" + 分 К俨=-26ro ch(7r/3) ⑵尸026ro ch(7r/3) ⑵尸0рy⑴+®⑴、d力рy⑴+®⑴、d力(19)(19)l-d/ll-d/l
К；" + 分 К俨=-
К；" + 分 К俨=-
26ro ch(7r/3) ⑵尸0
26ro ch(7r/3) ⑵尸0
рy⑴+®⑴、d力
рy⑴+®⑴、d力
(19)
(19)
l-d/l
l-d/l
В итоге КИН от действия внешних нагрузок и связей в концевой области
имеет вид
К + 分Кц =К + 分Кц =етол/тг?⑵产етол/тг?⑵产1(」1(」2 ch(7Г0)7Г2 ch(7Г0)7Г111— d /11— d /12 ch(7Г0)2 ch(7Г0)++7Г7Г111— d /11— d /1(20)(20)
К + 分Кц =
К + 分Кц =
етол/тг?⑵产
етол/тг?⑵产
1(」
1(」
2 ch(7Г0)
7Г
2 ch(7Г0)
7Г
1
1
1— d /1
1— d /1
2 ch(7Г0)
2 ch(7Г0)
+
+
7Г
7Г
1
1
1— d /1
1— d /1
(20)
(20)
Получим интегро-дифференциальное уравнение для определения напряжений в связях в концевой области трещины исходя из соотношений (7)-(14).
Подставим выражения (7)-(9) и (14) в (10) и, после перехода к безразмерным переменным $ =力/厶 ％ = £// и преобразований, получаем систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ) относительно неизвестных функций py(s) и px(s):
計 ^ ［乂也 с）（q，s）—沁式s））］ — 4 （^^）（%（s）+ 2，s））+
+[ R(s^^ [spy(t)-itpx(t)] dt =
7FV 1 — 丄十J
1— d /1
=八。0(20/ _ 6)_
ch(7Г0)д/1 — $2 \1 + s/
Ядро R(s,力)интегрального оператора в (21) имеет вид
R(s") = g^・(22)
Решение уравнения (21) позволяет определить функции p，s) и %(s) и, соответственно, напряжения в связях qx(x) и qy{x) при произвольном размере концевой области трещины и допустимых внешних нагрузках. Для состояния предельного равновесия трещины эту систему следует дополнить соответствующими условиями, зависящими от выбора критерия разрушения.
Предельное равновесие трещины с концевой областью. При анализе предельного равновесия трещины с концевой областью необходимы два условия разрушения: а) условие разрыва связей на краю концевой области и б) условие продвижения вершины трещины.
В качестве первого условия разрушения используем критерий критического раскрытия трещины и будем полагать, что разрыв связей на краю концевой области (力о = /—d) происходит при выполнении условия
〃(力о)—[〃；(力о) + ^У {^о)]^^ — 〃СГ,(23)
где 〃сг — предельная длина связи.
Рассмотрим далее два условия продвижения вершины трещины: силовое [11, 12] и энергетическое [13, 14].
8*
При выборе силового условия продвижения вершины трещины
^ext + ^int = К。(24)
где Кс — трещиностойкость, соответствующая механизму деформирования связей в малой зоне вблизи вершины трещины (например, трещиностойкость материала матрицы).
Для трещины на границе раздела материалов условие (24) принимает вид
(K；xt + K；nt) + i{K^ + К俨)=Kic + 分Kile,(25)
где，К% + 闘 с = К и условию (1) соответствует Кс = 0.
Из последнего выражения с учетом (19) получаем соотношение, связывающее внешнюю нагрузку сг0 и напряжения в связях:
К" + К^с = & 2ch(7Г0) j_ 2ch(7Г0)、 tpx(t) Л2
тг/ето - \^ J 尸К 丿 卜' 7r J 尸К 丿
1-d/l1-d/l
(26)
При использовании силового условия продвижения вершины трещины, характеристики состояния предельного равновесия трещины определяются из совместного решения системы уравнений (21), (23) и (26). Размер концевой области трещины в состоянии предельного равновесия и напряжения вдоль концевой области определяются из решения уравнения (21) с учетом условий (23) и (26). Величина критической внешней нагрузки определяется затем из условия (26). Отметим, что при выборе закона деформирования связей вида (7) уравнение (21) может быть решено только численно по итерационной схеме (например, в работах [17-18] таким способом решаются уравнения для однородного материала, полученные непосредственно из условия, аналогичного (5)).
Рассмотрим теперь энергетическое условие продвижения вершины трещины. Состоянию предельного равновесия вершины трещины соответствует выполнение условия [13, 14]
—W =一計【W^ij^ dV ~ \ 力"'金 一鳥]9(")金=a (27) L VSeJSi
где П — потенциальная энергия деформации,仅(£叮)—плотность энергии деформации в объеме тела V; е^ — тензор деформаций; /^ иг — силы и перемещения, заданные на внешней поверхности тела S^; S〃 — поверхность концевой области трещины, д(〃)——плотность энергии деформации связей в концевой области трещины.
Первые два слагаемых в (27) представляют собой скорость высвобождения энергии деформации при образовании новой поверхности трещины, а последнее слагаемое определяет скорость потребления энергии деформации связями.
Скорость высвобождения энергии деформации определяется выражением [19, 20]:
Gtip(d,/)=+职(28)
\ MlМ2 / 16 ch(7Г0)
где ^в = у К^ + К^ — модуль КИН от действия внешних нагрузок и напряжений в связях (см.
Скорость потребления энергии деформации связями в концевой области трещины определяем так:
Gbond(dJ)=必嘴”(29)
где
I"(况)
Ubond®,/) = 6 ] g(〃)dc,^(u) = ] a(u) du, 〃(力)=，吟+ %,
i-dо
где 6 — толщина тела, Ubond(d, /) — работа по деформированию связей, сг(〃)— модуль вектора усилий в связях.
Подставляя последние выражения в (29), получаем
Gbond®, /)=缁=导 (j 6r(〃) d〃) dx.(30)
Таким образом, состоянию предельного равновесия вершины трещины соответствует выполнение условия (см. (27))
Gtip(dN) = Gb°nd(dN)・(31)
Совместное решение уравнений (21), (23) и (31) позволяет (при заданных длине трещины и характеристиках связей) определить критическую внешнюю нагрузку сг不 и размер концевой области dcr для состояния предельного равновесия вершины трещины и края концевой области. Скорость потребления энергии деформации Gbond(^cr, /), полученная из этого решения, является энергетической характеристикой сопротивления адгезионному разрушению, Gcr = GbOnd(^cr, 0- Заметим, что величина Gcr не остается постоянной при изменении длины трещины.
Для заданных размеров трещины и концевой области, используя критические значения исг и Gcr, можно выделить режимы равновесия и роста трещины при монотонном нагружении.
При выполнении для заданного размера концевой области d условий
Gtip(d, /)》Gcr, u(l—d) < ucr(32)
происходит продвижение вершины трещины с одновременным возрастанием длины концевой области без разрыва связей. Этот этап роста трещины можно рассматривать как процесс приспособляемости к заданному уровню внешних нагрузок. Продвижение вершины трещины с одновременным разрывом связей на краю концевой области происходит при одновременном выполнении первого из условий (32) и
u(i—d)》〃сг・(зз)
При выполнении условия (33) и условия
Gtip(dJ) < Gcr(34)
происходит разрыв связей без продвижения вершины трещины и размер концевой области сокращается, стремясь к предельному значению для данного уровня нагрузки. В рамках рассматриваемой модели положение концевой области и вер-
шины трещины не меняется при одновременном выполнении второго из условий (32) и условия (34).
Таким образом, величина внешней нагрузки сг0 и критические параметры 〃仃, Gcr определяют характер разрушения: продвижение вершины трещины с ростом концевой области; сокращение размера концевой области без продвижения вершины трещины; продвижение вершины трещины с одновременным разрывом связей на краю концевой области. Условие автономности концевой области [2] выполняется, если скорости разрыва связей согласно первому из условий (32) и условию (33) совпадают.
Заметим, что при рассмотрении линейно-упругих связей выполнение условия (31) зависит только от относительных геометрических характеристик концевой области и трещины (////, d//). Критическое значение размера концевой области, полученное из этого условия, может быть отнесено к трещине любой длины. Определение фактического размера трещины, соответствующего состоянию предельного равновесия, происходит при учете дополнительного условия (23). Этот факт является очевидным подтверждением недостаточности условия (31) для полного описания предельного равновесия трещины.
Ниже подробно рассматривается методика численного решения задачи о предельном равновесии трещины с концевой областью на границе раздела материалов при использовании энергетического условия продвижения вершины трещины.
Методика численного решения. Рассмотрим методику итерационного численного решения системы уравнений (21), (23) и (31). Каждая итерация состоит из решения уравнения (21) для некоторого размера концевой области трещины с проверкой условий (23) и (31). При выполнении последних двух условий получаем размер концевой области трещины и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия. При увеличении длины трещины итерационный процесс повторяется. Основным этапом численной схемы является решение уравнения (21), которое также выполняется по итерационной схеме, подобной методу упругих решений, если закон деформирования связей является нелинейным. Уравнения (21) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро- дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций.
Перейдем к безразмерным переменным q^尸(s) = q^尸(力)/сг(), py^x{s) = =Pg尸(力)/。0 и преобразуем систему уравнений (21) к форме, удобной для численного решения. Неизвестные функции py{s) и px{s) представим в форме
Pn,x(s)=九,2(5)"1 - S(35)
и выполним дифференцирование по переменной s в левой части уравнений (21). После соответствующих преобразований и разделения действительных и мнимых частей, получим
1
%(也。)号* + 呼式也。)力(5)+ £ ] gЪ(5^)Л^) dt = Z^ (分"=1,2), S(36)
где
(37)(37)Ев1 ( kl + 1 用2 + 1
(37)
(37)
£ = I1
2万"、从1从2
Ядра и правая часть уравнения (36) имеют вид [13, 14]
Т订•($, сг) = (1 — s)7(s, a)[6ij + Aij tg(^(s)],入订・=(1 — J^) sgn (г - j),(38)
牝式5, cr) = 7(s, cr) 6ij (^^ tg 屮(s) - I) - Xij (tg” --
—(1 —')\：：+(8“ tg3(s) — \i) —°)(8“ + 尢#g9(s))， (39)
G订・(s,力)=[s(2 - j) + t(j - 1)](6订・ + tg 3(s)),
+ $(40)
t — s
4(s)= в[(20tgg(s) - s)(2 -г) - (2/3 + stgg(s))(分-1)] • (41)
2 ch(7Г0) у 1 + s
Будем полагать, что закон деформирования связей является линейным при и， ，Um，Первый шаг итерационного решения уравнения (36) состоит в решении его для линейно-упругих связей. Последующие итерации выполняются в том случае, если на части концевой области трещины и{х) > 乜皿 На каждой такой итерации решается уравнение (36) для квазиупругих связей вида (7) с эффективной податливостью, переменной вдоль концевой области трещины и зависящей от величины модуля вектора усилий в связях, полученного на предыдущем шаге решения. Вычисление эффективной податливости выполняется подобно определению секущего модуля в методе переменных параметров упругости [21]. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда усилия в связях, полученные на двух последовательных итерациях, мало отличаются друг от друга.
Для дискретизации уравнения (36) разместим на отрезке, содержащем связи в концевой области трещины, М узловых точек с координатами:
sn = ^h(n-l) (几=1, 2,.. •, М),(42)
M = 2N + 1, N 八 € = 1-р 仁^I)?(43)
На отрезке £，s，1 каждые последовательные три узла с номерами 2k —1, 2k, 2k+l (k = 1, 2,.. ., Л^) будем рассматривать как одномерный квадратичный изопараметрический конечный элемент с параметрическими координатами в пределах элемента (|〃| < 1):
〃⑻=-1 +上广(44)
Неизвестные функции 力(s) аппроксимируем разложением по кусочно-непрерывным квадратичным полиномам. Аналогичные представления используем также для аппроксимации функции 7(5, а) и вычисления координат произвольной точки на элементе $出(〃).
Для элемента с номером к имеем
， 7（"小0）， 7（"小0）=Nm(〃)< 7九 > ,(45)
， 7（"小0）
， 7（"小0）
где n = 2(к — 1) + m, m = 1, 2, 3 — номера узлов в пределах элемента,力，九— неизвестные значения функций 力(s) в узлах элемента,)九九一значения функций 九2(也。)в узлах элемента, Мп(〃)— базисные функции одномерного квадратичного элемента
М(〃)= —0,5〃(1 — 〃)，％2(〃)= 1 一〃％%з(〃)= 0,5〃(1 + 〃).(46)
Выражения для производных функций fj(s) на элементе имеют вид
讶；)($) _ dNm5)力,2(k-l) + m(
ds _ 曲 為⑺，
где 丿鳥(〃)=h при выборе координат узлов согласно (43).
Производные функций 力(s) в узлах элемента представим с учетом выражений (45)-(47). Предварительно заметим, что для узлов с четными номерами n = 2k (к — номер элемента) производная в узловой точке sn однозначно определяется из (47). Для узлов с нечетными номерами (кроме первого и последнего) выражение (47) дает в узле с номером п два значения производной каждой функции, соответствующие элементам с номерами (п — 1)/2 и (几 + 1)/2. Будем полагать, что производные функций fj(s) непрерывны на стыках элементов (в нечетных узловых точках). При таком предположении выражения для производных функций 力(s) в узлах элемента с номером к принимают вид
dfjk\s) _ 甘力(к) f
^m,n — SkmlzL2m + ^(^,(n-l)/2^3,m + 6統(九+1)/2厶1,俏)，(49)
где m = 1, 2, 3 — номера узлов в пределах элемента, п — номер узла, 6左,九/2, 8統(71—1)/2, ^а?,(п+1)/2 — символы Кронекера, а = 0,5 при п^1ип^Миа = 1 при п = 1 или п = М.
Элементы матрицы 厶,俏 в (49) имеют вид
II-1,52,0-0,5II
固=^-0,50,00,5.(50)
0,5-2,01,5I
Вычисление производных функции 7(5, а) выполняется аналогично.
В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных узловых значений функции 力($九).Перед решением системы выполняется учет граничных условий при sn = 1: /1,2($九)=0 (это соответствует условию uy^x(sn) = 0).
Вычисление интегралов в дискретном представлении уравнения (36) выполняется в параметрических координатах элемента |〃|，1 с учетом особенностей подынтегральной функции (40), а каждый из интегралов имеет вид
+ 1
噌rM = ] Gu 卜九,卅)(〃))7^⑺户)(〃)М(51)
一 1
где к — номер элемента, m = 1, 2, 3 — номера узлов элемента.
Функция Gij(s, t) имеет особенность при s = t (см. (40)). Интегрирование в (51) выполняется с учетом указанной особенности этой функции и рассматриваются два случая расположения узловой точки sn: а) точка sn расположена вне элемента, по которому выполняется интегрирование; б) точка sn принадлежит элементу, по которому выполняется интегрирование. В первом случае функции в (51) являются ограниченными и интегрирование выполняется по квадратурным формулам Гаусса. Во втором случае интеграл в (51) имеет особенность и аналитически выполняется регуляризация подынтегральной функции, позволяющая определить главное значение интеграла и численно — его регулярную часть [14].
Анализ модели трещины со связями. Анализ модели трещины со связями в концевой области сводится к параметрическому исследованию решения СИДУ (21) при различных законах деформирования связей, размерах концевой области трещины и упругих постоянных материалов. Учет условий (23) и (31) позволяет определить размер концевой области и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия трещины. Непосредственно из решения СИДУ (21) определяются нормальные и касательные усилия в связях. Раскрытие трещины в пределах концевой области определяется согласно (7), а значения КИН, скоростей высвобождения и поглощения энергии определяются из выражений (17)-(20), (28) и (30).
При линейном законе деформирования связей (см. (7), с(ж, а) = с(ж)) и заданном относительном размере концевой области d/l распределение напряжений вдоль концевой области трещины определяется параметрами /3 (см. (11)) и £ (см. (37)), содержащими все основные характеристики рассматриваемой модели. При заданных значениях упругих постоянных материалов подобластей и связей распределение напряжений зависит только от величины относительной податливости связей со = Н/I.
Приведенные ниже результаты получены, если специально не оговорено, при следующих постоянных материалов: модули упругости Е± = 135 ГПа,石2 = =25 ГПа, коэффициенты Пуассона % = а = 0,35, модуль упругости связей Ев = =石2, 7(s) = 1, податливость связей постоянна вдоль концевой области трещины (см. (8)). При выбранных значениях постоянных материалов /3 = —0,050 931 3.
На рис. 2 приведены распределения нормальных усилий в связях (qy/ст。)вдоль концевой области трещины ((////) = 0,1) для различных относительных размеров концевой области (〃/), а также огибающая всех таких кривых при 0 < d/l < 1. При постоянной вдоль концевой области податливости связей усилия в связях всегда максимальны на краю области (s = (d//)), причем при определенном размере концевой области (sm = dm/Z) этот максимум достигает абсолютного значения. При снижении относительной податливости связей положение этого абсолютного максимума смещается в сторону меньших значений (dm/Z), а его абсолютная величина возрастает. Например, при (////) = 0,1 этот максимум достигается при dm/l ^ 0,158 и составляет 仇/⑪)=4,66 (рис. 2), а при {Н/I) = 0,025 — (dm/Z) ^ 0,0682 и qy/cfQ = 9,807. Ввиду различия упругих постоянных материалов, окру-
жающих трещину, в связях возникают заметные касательные усилия даже при действии нормальных внешних нагрузок. Характер изменения касательных усилий вдоль концевой области подобен изменению нормальных усилий, но абсолютные значения этой составляющей усилий существенно ниже, а максимальные значения
Рис. 2 Рис. 3
достигаются при меньших размерах концевой области. Например, при (////) = 0,1 этот максимум достигается при (dm/Z) ^ 0,102 и составляет q；1clо^ = 0,876, а при (////) = 0,025 — (dm/Z) ^ 0,0537 и qjcro = 2,568. Зависимости модуля вектора усилий на краю концевой области (фактически, это коэффициенты концентрации напряжений (ККН) на крайней связи, сг/сго) от относительного размера концевой области (d//) при различных значениях относительной податливости связей (////) приведены на рис. 3. При {Н/I) —> 0 (е —> оо) положение максимума модуля вектора усилий смещается к (d^//) —> 0 и (сг/сго) —> схэ (связи большой жесткости). При относительно мягких связях максимум на рис. 3 выражен слабо и усилия на краю концевой области слабо изменяются при изменении ее размера.
Ввиду прямой пропорциональности между компонентами перемещений и усилий, распределения составляющих раскрытия трещины аналогичны распределениям усилий. Размер концевой области (dm/Z), при котором достигается абсолютный максимум раскрытия трещины, совпадает с соответствующим значением для усилий, но при снижении относительной податливости связей его абсолютная величина уменьшается [14]. Например, при (////) = 0,1 этот максимум для нормальной компоненты раскрытия трещины составляет (〃"〃())= 0,27, а для касательной — (ux/uq) = 0,0427, а при Н/I = 0,025 имеем (〃"〃())= 0,123 и (ux/uq) = 0,0313 соответственно. При (////) —> оо (е —> 0, мягкие связи) положение максимума раскрытия трещины смещается к (dm/Z) —> 1 (здесь 〃о = 〃8(0), см. (11)).
Рассмотрим влияние нелинейной части кривой деформирования связей на напряженное состояние в концевой области трещины. Положим, что закон деформирования связей является нелинейным, если раскрытие трещины превышает некоторую величину 〃俏.Нелинейный участок кривой деформирования связей при и(х) > ит будем представлять монотонной убывающей или возрастающей функцией, форма которой зависит от типа и свойств связей в концевой области трещины. Отметим, что параметр ит не является постоянным и зависит, в частности, от свойств связей и размера трещины. Будем исходить из критерия предельной вытяжки связей (23), т. е. разрыв связи происходит при достижении ею предельной вытяжки 〃сг・ Этому значению вытяжки связи соответствует натяжение связи сгсг,
причем, в зависимости от типа связей, эта величина может быть и равна нулю. Простейшую кривую такого рода можно представить в форме билинейной зависимости, восходящий участок которой соответствует упругому деформированию связей (0 < и(х) < ит) с максимальным натяжением связи
UmUm(52)(52)
Um
Um
(52)
(52)
где св(ж) — эффективная податливость связей в точке концевой области с координатой х.
При и{х) > ит закон деформирования описывается линейной зависимостью, определяемой точками (ит, ат) и (7icr, сгсг), причем при асг < ат имеем убывающую (разупрочнение связей при возрастании раскрытия трещины), а при асг》ат — возрастающую линейную зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопластической деформации связей). Пусть ^в(力)=1/°в(力)— жесткость связей, тогда билинейная зависимость между натяжением связи сг(ж) и ее вытяжкой и(х) может быть представлена так:
{
施(力)"(力)， 0，и(х)аит,
[ °сг (“в - , ит < 〃(力)< 〃сг・ (53)
Если податливость упругих связей изменяется вдоль концевой области трещины, то эффективная податливость св(ж) также является переменной, что соответствует изменению закона деформирования связей вдоль концевой области трещины. Подобным образом можно построить и степенные зависимости, описывающие закон деформирования связей.
Рассмотрим результаты расчета усилий и раскрытия в концевой области трещины при билинейной кривой деформирования связей для трещины длины 2/ = =10-3 м. Предельную вытяжку связей оценим в предположении, что один из материалов соединения — полимер (石2 = 25 ГПа), а связи в концевой области трещины образованы цепями полимерных молекул с индексом полимеризации N и размером мономерного звена а。. Максимальная длина полимерной цепи в таком случае L = Na^. С учетом этого можно предположить, что исг 〜Nag. Пусть N = =400, а。= 0,5 • 10-9 м. Тогда исг = 2 • 10-7 м. Будем полагать, что изменение закона деформирования связей происходит при ит = 10-7 м, а асг/ат = 2. Натяжение связи сгт, соответствующее раскрытию трещины, равному ит, зависит от относительной податливости связей cq = {Н/I). Например, при св = const (см. (8)) и со = 0,1 получаем: св = c«l]Ев) = 2 • 10-9 м/МПа, ат = 50 МПа.
Зависимости модуля вектора усилий на краю концевой области (сг, МПа) от относительного размера концевой области d/l при ст。= 17,5 МПа и Н/I = =0,075; 0,05; 0,1 приведены на рис. 4. При линейном законе деформирования связей, как уже отмечено, усилия в связях всегда максимальны на краю концевой области. При использовании закона деформирования связей с нелинейной падающей ветвью именно в этой области происходит наиболее значительное перераспределение усилий, и их величина достигает абсолютного минимума. Следует отметить, что раскрытие трещины на краю концевой области при нелинейном законе деформирования связей имеет, как и в случае линейных связей, абсолютный максимум, причем чем выше относительная податливость связей, тем значительнее увеличение раскрытия трещины.
Рассмотрим влияние параметров связей в концевой области трещины на велиРассмотрим влияние параметров связей в концевой области трещины на величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершине трещины. На рис. 5 представлены зависимости относительного модуля КИН Кг = Кв/К。(К。一 модуль КИН от действия внешних нагрузок, см. (18)) от размера концевой области трещины при различных значениях относительной податливости связей со = Н/I (линейный расчет). При уменьшении параметра со коэффициент упрочнения снижается, причем при малых значениях относительной податливости связей имеется
Рассмотрим влияние параметров связей в концевой области трещины на вели
Рассмотрим влияние параметров связей в концевой области трещины на вели
зона слабого изменения коэффициента упрочнения и размер этой зоны возрастает при уменьшении параметра с。. При использовании билинейного закона деформирования связей (53) происходит незначительное возрастание коэффициента упрочнения в зоне нелинейного деформирования связей. Размер этой зоны легко
оценить из рис. 4.
Рассмотрим влияние параметров связей на энергетические характеристики
трещины. На рис. 6 представлены зависимости скорости высвобождения энергии
деформации в вершину трещины Gtip(d,/) (кривая 1) и скорости поглощения
энергии деформации связями Gbond(d,/) (кривая 2) от относительного размера концевой области, полученные в предположении, что связи деформируются линейно при любом уровне внешней нагрузки (Н/I = 0,1). Скорость высвобождения энергии деформации связана с модулем КИН выражением (29) и, соответственно, эта величина монотонно уменьшается при возрастании размера концевой области трещины и снижении относительной податливости связей. При малой податливости связей, как и при рассмотрении КИН, можно выделить зону относительно малого изменения скорости высвобож
дения энергии деформации (рис. 6). Скорость потребления энергии деформации связями изменяется немонотонно, до
стигая максимального значения при определенной величине размера концевой области. При увеличении параметра £ (см. (35)) максимальное значение скорости
потребления энергии деформации возрастает, а положение максимума смещается в сторону меньших значений d/l.
Рассмотрим, для примера, оценку параметров предельного равновесия трещины длины 2/ = 10-3 м с концевой областью из решения системы уравнений (21), (23) и (31). При со = Н/I = 0,1 из решения уравнения (21) при дополнительном условии (31) получаем dcr/Z ^ 0,044 (см. рис. 6). Для определения критической нагрузки ст不 и энергетической характеристики сопротивления адгезионному разрушению Gcr = Gbond&r, 0 для заданного размера трещины используем условие (23). Наложение этого условия при и (/ —九)=uCY = 2 • 10-7 м (предельная вытяжка полимерной цепи) позволяет получить значение критической нагрузки ст。= =сг不=25 МПа и определить по формулам (17)-(20) и (28) модуль КИН и скорость высвобождения энергии деформации: /Св(^сг) = 0,71 МПа • м1/2 и Gtip(dc「/)= =10,2 Дж/м2. Так как при dCY/l ^ 0,044 выполняется условие (31), то полученное значение Gtip(dc「/) является характеристикой адгезионного сопротивления материала и Gcr = Gbond(dc「0 = 10,2 Дж/м2. Решение системы уравнений (21), (23) и (31) при изменении длины трещины позволяет получить зависимость критической нагрузки от длины трещины [22].
Рассмотрим теперь результаты расчетов для билинейной кривой деформирования связей (со = 0,1; Ucr/um = 2; сгсг/сгт = 2). Условие (31) в этом случае выполняется при dcr// ^ 0,055, а одновременное выполнение условия (23) для этого значения dcr// позволяет получить величину критической нагрузки 時=20 МПа. Аналогично линейному случаю получаем модуль КИН и скорость высвобождения энергии деформации: /Св(^сг) = 0,56 МПа • м1/2, Gtip(^Cr5 0 = Gcr = 6,37 Дж/м2. Как и следовало ожидать, разупрочнение связей приводит к снижению адгезионной прочности соединения.
Таким образом, предложенная модель трещины позволяет оценить, исходя из микромеханических параметров связей, критическую нагрузку, адгезионное сопротивления материала для трещины заданного размера и выделить режимы равновесия и роста трещины на основе анализа условий (32)-(34).
Заключение. Модель трещины на границе соединения материалов со связями между берегами позволяет исследовать основные закономерности распределения усилий в связях при различных законах их деформирования, оценить эффекты упрочнения, вызванные присутствием связей в концевой области трещины, провести анализ предельного равновесия трещины с учетом энергетического и кинематического критериев. Такой анализ позволил оценить предельный размер концевой области трещины, допустимую нагрузку и характеристики адгезионного сопротивления соединения двух материалов. Подчеркнем, что модель дает возможность с единых позиций рассматривать процесс адгезионного разрушения, включая стадии зарождения дефекта, формирования и роста микро- и макротрещины.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 02-01-00116) и гранта 00-15-96066 по программе поддержки ведущих научных школ России.
Список литературы
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. — 640 с.
Баренблатт Г. И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. С. 47-50.
Леонов М. Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. 1959. Т. 5, №4. С. 391-401.
Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits //J. Meeh, and Phys. Solids. 1960. V. 8, № 2. P. 100-108.
Ишлинский А. Ю. Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 168-177.
Ентов В. М., Салганик Р. Л. О трещинах в вязкоупругих телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 2. С. 88-94.
Ишлинский А. Ю. Уравнения деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. 1945. № 1-2. С. 34-45.
Gur son A. L. Continum theory of ductile rupture by void nucleation and growth. Yeld criteria and flow for porous ductile media //J. Eng. Mater. Technol. 1977. V. 99. P. 2-15.
Tvergaard V. and Hutchinson J. W. The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids //J. Meeh. Phys. Solids. 1992. emV. 40. P. 1377-1397.
Rubinstein A. A., Wang P. The fracture toughness of a particulate-reinforced brittle matrix 〃 J. Meeh. Phys. Solids. 1998. V. 46, № 7. P. 1139-1154.
Cox B. N., Marshall D. B. Concepts for bridged cracks in fracture and fatigue // Acta metall mater. 1994. V. 42, № 2. P. 341-363.
Carpinteri A., Massabo R. Continous vs Discontinous bridged-crack models for fiber- reinforced material in flexure // Int. J. Solids and Structures. 1997. V. 34, № 18. P. 23212338.
Goldstein R. V., Perelmuter M. N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture, 1999. V. 99, № 1-2. P. 53-79.
Гольдштейн P. В., Перельмутер M. H. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 94-112.
Слепян Л. И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1981. — 295 с.
Rice J. R. Elastic fracture mechanics concepts for interface cracks // Trans. ASME. J. Appl. Meeh. 1988. V. 55. P. 98-103.
Huang N. C. On the size of the cohesive zone at the crack tip // Trans. ASME. J. Appl. Meeh. 1985. V. 52, № 2. P. 490-492.
Ungsuwarungsri 7., Knauss W. G. A nonlinear analysis of an equilibrium craze Part I and II // Trans. ASME. J. Appl. Meeh. 1988. V. 55, № 1. P. 44-58.
Салганик P. Л. О хрупком разрушении склеенных тел // ПММ. 1963. Т. 27, Вып. 5. С. 957-962.
Hutchinson J. W., Suo Z. Mixed mode cracking in layered materials / Eds. J. W. Hutchinson, T.Y. Wu 〃 Adv. Appl. Meeh. 1992. V. 29. P. 63-191.
Биргер И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Механика, 1965. № 2. С. 113-119.
Perelmuter М. N. Fracture model for an interface with bridged zone // In: Proc, of the 14th European Conference on Fracture, ECF-14, Crackow, Poland, 8-13 September, 2002. P. 655-662.
ПРЕЦЕССИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ДИНАМИКЕТВЕРДОГО ТЕЛА И ДИНАМИКЕ СИСТЕМСВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Г. В. Горр
Донецкий национальный университет
Прецессионные движения твердого тела относятся к наиболее наглядным с механической точки зрения движениям и в то же время они находят широкое применение в важной для техники теории гироскопических систем. В монографии А.Ю. Ишлинского [21] отмечено (с. 353, 354): «После затухания нутации дальнейшее медленное движение оси ротора, именуемое прецессионным, с большой точностью согласуется именно с прецессионными уравнениями теории гироскопов. .. В теории гироскопов учет нутационных членов дифференциальных уравнений движения гироскопических систем оказывается необходимым при изучении поведения гироскопов высокой точности... ».
В задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой регулярная прецессия гироскопа Лагранжа служит классическим примером прецессионного движения. Начало систематическому изучению прецессионных движений в динамике твердого тела положили Г. Г. Аппельрот [1], Д. Гриоли [18, 27]. Г. Г. Аппельрот рассматривал прецессии относительно вертикали гироскопов, эллипсоид инерции которых является эллипсоидом вращения, а центр тяжести его находится в экваториальной плоскости (гироскопы, подобные гироскопам Ковалевской и Горячева- Чаплыгина). Он показал, что для таких гироскопов динамически невозможны движения, для которых постоянный угол между главной осью и вертикалью отличен от прямого.
В динамике твердого тела много результатов получил Д. Гриоли [18, 27]. Наиболее существенный из них относится к построению в 1947 г. нового решения уравнений Эйлера-Пуассона, характеризующего регулярную прецессию тяжелого твердого тела относительно наклонной оси.
В работах [6-17] прецессионные движения твердого тела с неподвижной точкой рассмотрены с общих позиций: в них предложены методы исследования условий существования прецессий не только в классической задаче, но и в ее обобщениях.
Исследованию прецессионных движений несимметричных тел в задаче о движении тела, подвешенного на стержне, и в задаче о движении системы связанных твердых тел посвящены работы [4, 14, 15, 17].
Кинематические условия прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой. Пусть в неподвижном пространстве существует некоторое фиксированное направление, характеризующееся единичным вектором Р (например, направление оси симметрии силового поля). Кроме того, предположим, что 7 — единичный вектор, также неизменный в пространстве. Начала векторов Р- и 7 совпадают с неподвижной точкой 0 твердого тела. Если через 0 обозначим угловую скорость тела, то для " и 歹 имеем уравнения
где точкой обозначена производная по времени в подвижной системе координат. Пусть 死о — угол между векторами 17 и 平，тогда очевидны кинематические соотношения
17 • 17=1, 平•平17 •平=с。，(2)
где со = cos хо• Движение тела называется прецессионным, если в течение всего времени движения тела постоянен угол между векторами 万 и % где а — единичный вектор, неизменно связанный с телом 伍=0). Это движение можно охарактеризовать инвариантным соотношением [11]
万•平=ао,(3)
где а。= cos%, % — постоянный угол между векторами а и 7. Продифференцируем обе части (3) в силу второго уравнения из (1). Тогда получим равенство (万 х 平)=0, т. е.
5= 31(力)万+ 32⑴羽(4)
где случай 万 х 平=0 исключен, так как он приводит либо к равномерным вращениям тела, либо к маятниковым движениям. Подставим выражение (4) в уравнения (1):
方=31⑴①х万)+92(力)①X平)， 平=31(%)(¥ X万).(5)
Как правило [8-10], подвижную систему координат выбирают таким образом, чтобы а = (0; 0; 1). Тогда соотношениям (3), 7 • 7 = 1 удовлетворим, положив
71 = «о sin 3 72 = «о cos 3 73 = «о,⑹
где а( =，1 —就=sin Но. Внося выражения (6) в скалярные уравнения, вытекающие из второго уравнения системы (5), получим 夕1 ⑴=S⑴.Принимая во внимание первое и третье равенства из (2), первое уравнение из (5), для вектора 万 найдем следующее представление [11]:
万=(。0 + ао&о sin 明平一6ga sin ^ — 6q (7 х a) cos ^,(7)
Здесь % =瓦/吗 6о =，1 —爲=sing,夕2(力)=加 В данном подходе величины Но, g,也 являются углами Эйлера, которые введены так, что система координат, связанная с вектором а, является подвижной системой, а с вектором 7 — неподвижной системой координат. Учитывая, что 夕1 (力)=S,夕2(力)=也，соотношение (4) запишем так:
йо = фа ^7-(8)
Следовательно, для прецессионных движений компоненты вектора 7 выражены через одну переменную д, компоненты вектора " — через две переменные g и 次 а вектор угловой скорости имеет вид (8).
Прецессионное движение называют регулярной прецессией, если 0 и 也 постоянны; если одна из этих функций постоянна, то движение называют полурегулярной прецессией; когда ни 0, ни “ не постоянны, движение называют прецессией общего вида [7, 8, 11, 18, 27].
Кроме соотношений (3), (8) в качестве условия прецессионности движения может быть взято уравнение Д. Гриоли [18]. Оно находится следующим образом. Из второго уравнения системы (1) на основании условия 73 = а。следует равенство 幻2 71 —幻1)2 = 0, где 幻1,幻2 — две первые компоненты вектора 0 в подвижной
системе координат. Дифференцирование этого равенства в силу кинематических уравнений для 71, 72 дает уравнение
公2TL —山 1)2 — a。(^1 + ^2) + 幻з (^171 + 幻2)2)— 0-
Исключая в этом уравнении величины % и 72 c помощью равенств 卄 + 诸= =aj2 и 幻2)1 —幻1)2 = 0, приходим к уравнению Д. Гриоли:
幻1公2 —幻2山 1 + 幻3 (^1 + 幻勖一3； + ^2)^ Ctg Но = 0.(9)
Уравнение (9) использовано только в работе [3]. Широкого применения оно не нашло.
Если кинематические условия прецессионности движения рассматриваются в виде (3), (6), то компоненты вектора F из (7) таковы:
〃i = a]* sin 夕一60 (cos 夕 cos 也一a。sin 夕 sin 喇,(10)
〃2 = a$ cos 夕 + 60 (sin 夕 cos 也 + a。cos 夕 sin ^), 〃з = ao^o — ^o«o sin 次
Иногда предлагается другой способ введения углов Эйлера для исследования прецессионных движений, в котором угол между векторами а и 7 не включается в состав углов Эйлера. Пусть u,%w — углы Эйлера, где и — угол между векторами а и 17. Тогда
ш± = w sin и sin V -\- й cos ?;,a；2 = w sin и cos v — й sin г?, 幻3 = ^ + 5cos〃. (11)
После подстановки соотношений (11) в уравнение (9) имеем
(wu — uw) sin 〃 + 5(2〃 + w2 sin2 и) cos и =(必 + w2 sin2 叫*? ctg 比. (12)
Отметим, что при 死()=0 векторы 17 и 7 совпадают и, следовательно, углы % о, w совпадают соответственно с 比，夕，沙 Дифференциальное уравнение (12) имеет очевидное решение 〃 =比.Можно показать, что другое решение его таково [26]
/、 COS U COS Хо — COS 1?о
COS (w - Wo) = ；；,(13)
Sin 死0 sin и
где wq, xq — произвольные постоянные. Таким образом, если углы Эйлера введены традиционным способом, т. е. они не связаны с характерными направлениями прецессий а и 7, а определены относительно оси симметрии силового поля (вектора F), то условие прецессионности движения имеет вид (13).
Метод исследования прецессий относительно вертикали в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил, которая описывается дифференциальными уравнениями класса Г. Кирхгофа [25, 29]:
4 方=(45 + А) хО + 5хЗ» + Мх» + »х С», 方=» х О, (14)
которые допускают интегралы
(15)(15)(AJ • О) — 2(М») + (С» • ») = 2团 》• » = 1,2 (AaJ + A)• F) = 2k,
(15)
(15)
где Enk — произвольные постоянные. В уравнениях (14), (15) обозначено: ZJ = =(幻1；幻2；幻з) — угловая скорость гиростата; »=(〃]； 〃2； 〃з) 一 единичный вектор оси симметрии силового поля; А = (Ai； А2； A3) — гиростатический момент; М = =($1； $2； $з) — вектор, коллинеарный вектору обобщенного центра масс; А — тензор инерции; В и С — симметричные матрицы третьего порядка. В данной статье уравнения (14) интерпретируются как уравнения движения гиростата в силовом поле, которое является суперпозицией электрического, магнитного и ньютоновского полей [29]. Отнесение уравнений (14) к уравнениям класса Г. Кирхгофа связано с известной гидродинамической аналогией данной задачи и задачи о движении тела в жидкости [25, 29].
Рассмотрим прецессионные движения гиростата относительно вертикали, т. е. в соотношениях (3), (6), (8) положим 了 = ". Тогда
(16)(17)(18)(16)(17)(18)»= (arsing; a^cosg; a。)， ZJ = 0江 + &».
(16)
(17)
(18)
(16)
(17)
(18)
Подставим выражение для ZJ из (16) в интегралы (15):
s (4江•》) + 而(AF • F) = Fl (〃b 〃2,沙3),
卢(4江•初 + 20& (Aa • F) + 部(AF • и)=尸2 3,沙2, %), где
冃(%,沙2,沙3)=k一(入 •")+ e(3" •可，
尸2 3, 〃2, 〃з) = 2石 + 2(M • ») — (CF • ») •
Из соотношений (17) можно найти ^ и ^2 [8-10]:
:_ Fl ("1, "2 , "2)_ S (zm .可 .2 _ 6".可r2 ("1, "2 , "3)一 川 ("1, "2 , "3) 八q) 农_(八".")，g-居("1,"2,"3),(丿
Здесь F3 (〃i, 〃2, 〃з) = (4江•江)(4» • ») — (Aa • F)2 > 0 в силу того, что матрица А положительно определена, а переменные %, 〃2, 〃з удовлетворяют кинематическому условию * + 〃^ + 谣=1.
Поскольку уравнение Пуассона из (14) удовлетворено равенствами (16), то обратимся к динамическому уравнению из (14). Если выполним подстановку выражения (16) в первое уравнение из системы (14) и воспользуемся вторым уравнением из (14), то получим одно векторное равенство. Так как векторы а, 17 и Аа х 4» независимы, то рассмотрим три уравнения, которые являются равенствами нулю скалярных произведений этих векторов и вектора, стоящего в левой части указанного равенства. Можно показать, что первые два уравнения являются линейными комбинациями уравнений (17), а третье уравнение имеет вид
S矶2(4江• a)(AF)2 — &(〃i, 〃2, 〃з) Tr (A) — 2(Aa • F)(Aa • AF)]—
-б [(Aaf(Aa • F)- (Aa • a)(Aa • AF)]-疗[(AF • ")(4江• Au)-
-(Aa • F) (4»)2] + ф [(Aa • BF)(Aa-F)- (4江•江)(4» • By) +
+ (4江•江)(4» • A) - (Aa-A)(Aa-F)] + 矶(4江・ BF)(AF- F)-
-(4 江・》)(4»・ Ви} + (Да-17)(417-А) - (4» • ")(4 江• А)] +
+ (AF-17)((Да - Ас) - (Aa-s)) + (4江• ")((4"• М)- (AF- CF)) = 0. (20)
С помощью выражений (19) в уравнении (20) можно исключить величины ф и ^ и на основании (16), (18) привести его к виду
Ф (д,。0, Е, k, A{j , Bke> Gtiti,尢,力)=。・(21)
Здесь Aij, Bke> Cmn — элементы матриц А, В, С; Xi и Sj — компоненты векторов А и 瓦 Уравнение (21) назовем разрешающим уравнением в задаче исследования условий существования прецессий гиростата относительно вертикали, так как представление его в виде
£ (а^ cos kg + bk sin kg) = 0,(22)
где а^ и Ь^ — функции от параметров задачи (14), (15), постоянных 石，k, %, позволяет определить необходимые условия существования прецессии:。左=0, 匕左=0 (k = 1, п).
Замечание. В случае регулярных и полурегулярных прецессий относительно вертикали необходимо обращаться к уравнениям (17), (18), (20).
При исследовании условий существования прецессий гиростата относительно наклонной оси (» * 歹)следует к уравнениям (14) с интегралами (15) присоединить соотношения (6)-(8). С помощью первых интегралов (15) можно определить функции 0 и V в зависимости от переменных g и 也 и параметров задачи. Далее можно получить аналог разрешающего уравнения (21), в которое, в отличие от (21), будут входить две переменные g и 沙 Поэтому наряду с разрешающим уравнением нужно рассмотреть и его производную в силу уравнений для 0 и 沙 На этом пути можно найти второе разрешающее уравнение, а затем на основании двух разрешающих уравнений получить уравнение вида (22).
Прецессионные движения тяжелого твердого тела. Уравнения классической задачи о движении тяжелого твердого тела следуют из (14) при условиях X = 0, 3 = 0,。= 0：
4Й7 = 45 х 5 + М х ",方=» х 5.(23)
Эти уравнения имеют первые интегралы
4й7・й7—2(М・》) = 2团 》・》=1, Аш-й= k.(24)
Регулярные прецессии относительно вертикали. Положим в (16) ф = п^ ^ф = =т, где пит — постоянные, тогда
幻1 = rn%, 幻 2 =幻3 =几 + mao,
/ ./(25)
u\ = a0 sin nt, 〃2 = abcos 几力 y^ = a^.
Применяя изложенный выше метод исследования прецессий для уравнений (23), (24), получим следующие условия:
4订• = 0 (分*力， Ап = А22, si = S2=0,(26)
тпА^ - а0т2 (Ап - Азз) + $з = 0・
Условия (26) показывают, что тело представляет собой гироскоп Лагранжа (в главной системе координат А = В^ $з * 0)・ Из первых трех равенств системы (25) вытекает инвариантное соотношение ZJ • М = const, т. е. решение (25) является частным случаем решения Лагранжа. Регулярная прецессия гироскопа Лагранжа описывает движение тела, которое является суперпозицией двух равномерных вращений вокруг осей, одна из которых фиксирована в теле, а другая — в пространстве.
Полу регулярные прецессии относительно вертикали первого типа. Пусть в соотношениях (16) = т, где т — постоянная
幻1 = т%, 幻 2 = пг〃2, 幻3 = S + та0,
〃i = a] sin g, 〃2 = а( cos g, 〃з = а。.
В работах [8, 9] показано, что условия существования решения (27) уравнений (23) таковы:
412 =斗23 = 0, 4彳3 = 4зз(4ц — 斗22), si = $2 = 0, (28) $з = а0т2А22, S = ~т (А^а^ sin ^ + А33а0) ^4^•
Запишем условия из (28) на компоненты матрицы 4叮 и вектора М в главной системе координат: s^ = 0, s*y/A(B — С) — sg，C(4 — 3) = 0, где А, В, С — главные моменты инерции, s* — компоненты вектора М в главной системе координат. То есть тело представляет собой гироскоп Гесса [28]. Поскольку при наличии соотношений (28) решения (27) удовлетворяют равенству Aw • М = 0, то справедлива
Теорема 1. Полу регулярные прецессии относительно вертикали в классической задаче о движении тяжелого твердого тела имеют место только в частном случае решения Гесса [28].
Отметим, что полурегулярная прецессия (27), (28) описывает движение гироскопа Гесса, которое является суперпозицией равномерного вращения вокруг вертикали и неравномерного вращения ф из (28) вокруг барицентрической оси в теле.
Полу регулярные прецессии относительно вертикали второго типа. Если в (16) положим © = п, 3 嗜 т, где пит — постоянные, то получим полурегуляр- ную прецессию второго типа. Справедлива
Теорема 2. В классической задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой полурегулярные прецессии относительно вертикали второго типа динамически невозможны.
Прецессии относительно вертикали общего вида. Перейдем к рассмотрению прецессий общего вида, т. е. считаем, что в выражении для угловой скорости из (16) ни одна из величин 0 и 也 не является постоянной. Охарактеризуем вначале в терминах прецессионных движений маятниковые движения тела с неподвижной точкой. Пусть во втором равенстве из (16) “ = 0. То есть вектор угловой скорости не изменяет своего направления не только в системе координат, связанной с телом, но и в неподвижном пространстве. На основании результатов Б. К. Млодзиевского [22] имеют место следующие свойства маятниковых движений: вращение происходит вокруг горизонтальной оси, которая является главной осью в теле; центр масс тела лежит в главной плоскости, перпендикулярной оси вращения; вращение происходит по закону ф =，〃()+ A。sin g, где А。и 〃о — постоянные.
При исследовании прецессий относительно вертикали получены следующие результаты [8, 9].
Теорема 3. Если прямая в теле, образующая в процессе движения постоянный угол с вертикалью^ служит главной осью в теле, то прецессия либо регулярная, либо она представляет собой движение физического маятника.
Теорема 4. Необходимым условием существования прецессий общего вида тяжелого твердого тела является равенство к = 0, где к — постоянная интеграла момента количества движения.
Теорема 5. Прецессия общего вида относительно вертикали в задаче о движении тяжелого твердого тела в случае когда вектор а лежит в главной плоскости эллипсоида инерции, построенного в неподвижной точке^ имеет место только в решении А. И. Докшевича [19].
В системе координат, которая используется в данной работе, это решение таково:
» = (а( sin g; а( cos g; а。), а; = фа + @»,
/(29) S =，匕2 (仇 + sin в), ^ = 63s (仇 + sin 3)- •
Параметры задачи подчинены условиям
44:3 + &3 (41 一422)(41 + 3422 - 4人3)- 41人3 (41 -422)2 =。,
$2 = 0,$2 = 0,412 =423 = 0, ctg2 % =412 =423 = 0, ctg2 % =厶22%；3433 [&3 -人3 (41 -422)]厶22%；3433 [&3 -人3 (41 -422)]
$2 = 0,
$2 = 0,
412 =423 = 0, ctg2 % =
412 =423 = 0, ctg2 % =
厶22%；3
433 [&3 -人3 (41 -422)]
厶22%；3
433 [&3 -人3 (41 -422)]
blblS3 _厶13 [(^411 -422)(%22 - 2Аз3)+ 2а1з]S1 (%22 -411)[%33 (^11 -%22)- ^13]S3 _厶13 [(^411 -422)(%22 - 2Аз3)+ 2а1з]S1 (%22 -411)[%33 (^11 -%22)- ^13](30)(30)a0 [%33 (^11 -422)- 2а1з]а^/Ьз (厶22 — Zii)a0 [%33 (^11 -422)- 2а1з]а^/Ьз (厶22 — Zii)261 (41 -厶22)а力厶33 (^11 -厶22)- ^13261 (41 -厶22)а力厶33 (^11 -厶22)- ^13匕3匕3a()(厶22 -厶11)a()(厶22 -厶11)Е = -5300 —Е = -5300 —61。04334з61。04334з
bl
bl
S3 _厶13 [(^411 -422)(%22 - 2Аз3)+ 2а1з]
S1 (%22 -411)[%33 (^11 -%22)- ^13]
S3 _厶13 [(^411 -422)(%22 - 2Аз3)+ 2а1з]
S1 (%22 -411)[%33 (^11 -%22)- ^13]
(30)
(30)
a0 [%33 (^11 -422)- 2а1з]а^/Ьз (厶22 — Zii)
a0 [%33 (^11 -422)- 2а1з]а^/Ьз (厶22 — Zii)
261 (41 -厶22)а力厶33 (^11 -厶22)- ^13
261 (41 -厶22)а力厶33 (^11 -厶22)- ^13
匕3
匕3
a()(厶22 -厶11)
a()(厶22 -厶11)
Е = -5300 —
Е = -5300 —
61。0433
4з
61。0433
4з
Отметим интересное свойство прецессии А. И. Докшевича, а именно произведения скоростей собственного вращения и прецессии: =匕2匕3・ Условия на распределение масс в теле, указанные в системе (30), после записи их в главной системе координат показывают, что тело — гироскоп Гесса. Это утверждение не является тривиальным, поскольку требует значительных вычислений [8]. Доказательство того факта, что равенство (29) описывает решение А. И. Докшевича, основано на записи решения (29) через компоненты вектора момента количества движения в специальной системе координат и приведении его к виду [19].
Отметим, что в общем случае проблема исследования условий существования прецессий общего вида не решена.
Регулярные прецессии относительно наклонной оси. Положим в равенстве (8) ⑦=п,心=т (пит — постоянные) Тогда 夕=几力 + до, ^ = mt + Qo,幻1 = 77171, 幻2 = m)2,幻3 =几 + ига。, где 71, 72 определяются равенствами (6). Зависимости компонент вектора % от времени задают соотношения (10). Подстановка д и *
в уравнения (23) приводит к следующим условиям на параметры задачи [10]:
п = т, 412 = 4з = 0, 41 =斗22, S1 = $2 = 0,
厶т(31)
tg〃O=^|, % =万，S^ =皿4 (用3 + 用з).
Регулярная прецессия описывается решением
幻1= 771 sing, 幻2 = mcosg, 幻3 = 771,屮=mt + 屮и,
〃i = cosg sin 夕一sing cos?夕, 〃2 = cos〃()cos 夕 + sing sin 夕cos 夕, (32) 〃з = — sin 死о sin g.
При этом компоненты вектора 7 таковн: 71 = sin 夕，72 = cos 夕，73 = 0. Условия на моменты инерции и компоненты вектора М из (31) можно привести к виду: ^2 = 0, s^y/C — В —道\/3 — 4 = 0, где А, В, С — главные моменты инерции, s* — компоненты вектора М в главной системе координат. То есть твердое тело, совершающее регулярную прецессию, является гироскопом Гриоли [27].
Регулярная прецессия Д. Гриоли [27] описывает движение тела, которое представляет собой суперпозицию двух равномерных вращений с равными скоростями вокруг барицентрической оси в теле и вокруг ортогональной ей оси в пространстве.
Прецессия относительно горизонтальной оси [3]. Эта прецессия характеризуется следующими свойствами: а = -, s • 7 = 0, F • 7 = 0, т. е. в формулах (6)-(8) необходимо положить Но = тг/2,死о = тг/2,
71= sing, 72 = cos， 73 = 0, 幻1 = &7ь 幻2 = &)2, 幻з = S,
У± = — COS ^ COS ^, 〃2=singcos 吹 〃з = —sin 沙
А. Брессан [3], изучая прецессию (33) в решении В. Гесса [28], использовал уравнение Д. Гриоли (9). В принятой здесь системе координат условия того, что твердое тело — гироскоп Гесса, определяется первыми равенствами из (28): &2 = 4з — =°, &з — 4зз (411 —斗22)• Подстановкой соотношений (33) в уравнения (23) и интегралы (24) найдем зависимости
s = —*&si”，@ = J2 (石 _ S3 sin 明 4万1.(34)
Из второго уравнения системы (34) следует, что 也=以力)—эллиптическая функция времени. Зависимость 夕(力)можно найти из первого уравнения данной системы.
Отметим, что других прецессионных движений в классической задаче (23) пока не найдено. Анализ условий на распределения масс твердого тела в описанных классах прецессионных движений тяжелого твердого тела показывает, что прецессии в однородном силовом поле совершают только гироскопы Лагранжа (динамически симметричные тела с центром масс на оси симметрии), Гесса (тела, центр масс которых лежит на перпендикуляре к круговому сечению гирационного эллипсоида) и Гриоли (тела, центр масс которых лежит на перпендикуляре к круговому сечению эллипсоида инерции). Следствием из теоремы 3 служит тот факт, что гироскопы, подобные гироскопам Ковалевской и Горячева-Чаплыгина, могут совершать только тривиальные прецессии — вращения вокруг горизонтальной оси в пространстве.
Прецессионные движения гиростата Н. Е. Жуковского [20]. Рассмотрим решение Н.Е. Жуковского [20]. Положим в (14), (15) М = 0, 3 = 0, С = 0
4方=(45 + X) х 5,方= »хй7, Айо^= 2Е,(До7+А) -й=к.(35)
Из первого уравнения системы (35) следует, что вектор Aw + А неподвижен в пространстве. Естественно вектор » взять в виде: » = "“ + ', где 力о = 1R . Уравнения Пуассона из (35) выполняется в силу первого уравнения системы (35). Динамические уравнения из (35) имеют два первых интеграла:
41 幻？ + 42 G扌 + 43 G,
QQ9 c(36)
(41з1 + Al) + (42з2 +入2)+ (43з3 +》3)-力0・
В работе [5] показано, что при выполнении условий
^2 = О,
(37)
(42h2 一若)(42 _ 4)(人_4)=42 [a| (A2 - Al) - Al (Аз _ 4)]
гиростат Н.Е. Жуковского совершает полурегулярную прецессию относительно вектора ". При этом компоненты вектора а удовлетворяют равенствам
@2 = 0, 。1 4 (4 — 4) -。3,4 (4 — 4) — 0,
которые аналогичны равенствам на компоненты вектора центра масс и главные моменты инерции для гироскопа Гесса. Это значит, что при выполнении условий (37) прямая в гиростате, ортогональная круговому сечению гирационного эллипсоида, построенного в неподвижной точке, образует постоянный угол с вектором 17. Этот угол определен равенством
7人2人(人一42)- 入3д/%1 (%2 - %1))
COS ^0 = ——丿-.
/0 J(%3 - %2)(%2 - %1)(%3 - %1)
При условиях (37) линия пересечения поверхностей (36) лежит в плоскости
，4 (4 - 4) [^i (42 -41) - Ai] +，人(4 - 4)["3 (43 -42)+ аз] = 0.
(38)
На основании первого равенства из системы (36), равенства (38) и уравнений (35) можно получить соотношения
幻1 = a。sin g +/?о, 幻2 = 7ocosg, 幻3 = £()sin g + ст。, ф = do -\- d± sin ^, (39)
в которых а。，/Зо, 70, £0,。0, 击，击 зависят от параметров задачи. Переходя к системе координат, связанной с вектором а, можно показать, что решение (39) описывает полурегулярную прецессию первого типа гиростата Жуковского относительно вектора Aw + А. Для этой прецессии, так же как и в случае (28), функция 夕(力)удовлетворяет уравнению вида 0 = 〃о + 〃ising, где 从о,从i — постоянные.
Примеры прецессий относительно вертикали в задаче (14). Регулярные прецессии. Положим в соотношениях (16), (19), (20) 9 = n〉^ = m(n 0m —
постоянные). Тогда получим следующие условия на параметры [16]:
412 — 0,^12 — 0,&2 — 0, 2m (斗22 — 41) + ^11 —星2 — О,
^2 (422 - 41) +。22 -。11 — 0, ш2 А13 - ш51з -。13 — 0,
т2А2з - гпВ2з -。23 = 0, si =。0。13 + rnA13 (ma0 + 几),(40)
S2 =a0023 + m423 (mao + 几),%=313ao 一 413 (2h1а0 + к),
入2 = 623ao - А2з (2ma0 + 几),
mn (斗22 + 4зз - 4ii) + пгЛ3 + Вц (п + та0) - В33та0 一。。皿？ (Ап - А3з) +
+a0 (。11 -。33)+ $3 =0.
Для регулярной прецессии функции 伤(力)％(力)определены выражениями (25). При Bij =0 (г, J = 1,3) из (40) вытекают условия, указанные в работе [2].
Рассмотрим случай т = 0 (ZJ = па), для которого гиростат равномерно вращается относительно неподвижной в пространстве оси, не совпадающей с вертикалью. Из системы (40) имеем условия
412 = 0,312 = 0,。12 =。13 =。23 = 0,
Вц = В22, Си = с22, $1 = 52=0,/ 、
(41) a1 = в1зао -к 413, 》2 - 323ao -几423,
nви + S3 +a0 (Cli -。33)— 0,
при выполнении которых происходит равномерное вращение гиростата относительно наклонной оси а( * 0. Для классической задачи это свойство не имеет места, так как при Bij = 0, Cki = 0 (г, J = 1,3; к, / = 1,3) из (41) следует $з = 0 (центр масс гиростата неподвижен).
Полу регулярные прецессии первого типа (^ = m, 0 * 几). Приведем пример такой прецессии в случае, когда ф имеет вид
s = 771so + qo sin з),(42)
где 若=1 + 就.Интерес этого примера состоит в том, что движение гиростата обладает не только свойством прецессионности (16), но и свойством изоконично- сти [13], для которого подвижный и неподвижный годографы угловой скорости гиростата симметричны относительно касательной к ним плоскости. На основании метода, изложенного в п. 2, получим следующие условия на параметра:
^23 = 0, В12 = тАп, С12 = -т2А12, С2з = -тВ2з,
А? =。0星3,$2 = -аотВ2з,
2mq()Ai^ = а$ [2m (斗22 — 411) + ^n — ^22],
川就人3 —若[m2 (All -422)- m (Вh -з22)+。22 - Q1],()
。厶(si + mAi) = m2poqoA^ + a^(Q3 + B^m - Ai3m2),
mqo (Вц + 邑2 + 2тАзз) — 2ab (。13 + 613皿—Ахзпг2),
тпро (Вц + В22 + 2тАзз) + 2ao [。22 — Сзз + m (В22 — В33) — m2 (А22 — 4з)] +
+ 2(S3 + A3) = 0.
Для простоты записи в равенствах (43) не проведено исключение параметров Ро И qo.
Для данного типа прецессий основные переменные задачи выражаются равенствами (27), в которых 夕⑴ имеет вид
3(力)=2 arctg ро (1 - 4о tg 阴 tg 萼•(44)
Полу регулярные прецессии второго типа. Следуя работе [6], положим во втором равенстве из (16)
3”=d° + ^sin 屮(席= 1 + е%),(45)
т. е. опять предполагаем, что движение гиростата прецессионно-изоконическое. Из (45) вытекает, что 以力)一элементарная функция времени:
以力)=2 arctg (do + e()tg* tg у .
Условия существования прецессии (45) таковы [6]:
412 =斗23 = 0,В12 = В23 = о, 。12 =。13 =。23 = 0, Вц = В22,
Q1 =。22, Si = $2 = 0,》2 = 0,
S3 -。0(033 -。11) + - (^13^0 -з1100),
Со
Ai =丄[ео (з13。0 -几413)+ 九。[(422 - 411)],
Co
》3喏-a0喏(633 - ^li) hT [九。0或413 - nd0e0aQ (Aи -422 + 4з) + neo«o
+几aoa1e()(422 -人3)-席党з旬，
或=]」入2，eo — ] ｝入2，(46)
》2 (喏422 + ^0^33)- 2дaо«о^13 -喏(422 - 41) - 0,
(斗22 +。斗33)(Qlb + Qo『-4сгА^з (^l67 + Ro) (Qlb + Qo)-
-4сгД^3 (А22 - 41)(丛。+ Ro У — 0,
。-组，Qo -422 [用3 - 41 (422 - 41)],
Q1 -用3 (422 - 41 + 433)+ 433 (422 - 41)(433 - 41 -422),
Ro -422 (41 -422 + 433),丛-4143З -用3.
Разрешимость условий (46) показана в [6].
Прецессии общего вида. Примеры таких движений указаны в работах [6, 12]. В [12] обобщено решение А.И. Докшевича (29), (30). Отметим, что в найденных условиях существования выполняются все равенства (30), исключая ограничение на $з/% и последнее соотношение. Остальные условия таковы:
Cij =0, (г 7^ j), 312 = В23 = 0, Вц = В22, Си = С22,
$0 = 0, Л2 = 0, Ai = ао^1з,
Аз =—笈11 仇63 1 +。。(笈33 — ^11),^11 — ^о^з^хз?
С 、61%13 [(411 —422)(422 — 2433)+ 2Т4；3]
$3 = a0 (53 - bu； 4-7^;;•
(%22 -411)[%33 (^11 -%22)- ^1з]
Прецессия общего вида [6] такова:巨=0(五 + 可， 02 = 从i+ 从2 sin g, "= Она имеет место при следующих условиях:4订・=0 (г ^ j), Bi：j = 0012 =c23 = 0, Ql =022,Прецессия общего вида [6] такова:巨=0(五 + 可， 02 = 从i+ 从2 sin g, "= Она имеет место при следующих условиях:4订・=0 (г ^ j), Bi：j = 0012 =c23 = 0, Ql =022,& sing, a^cosg, а。).& sing, a^cosg, а。).（分次J），（分次J），$2 =0, 入1 =入2 = 0, a0$2 =0, 入1 =入2 = 0, a04i4i-%33 '1-%33 '1Вц = В22,013 (人；1 + ^зз - 4Диазз)(厶33 — Ли) (2Азз — Zii)'Вц = В22,013 (人；1 + ^зз - 4Диазз)(厶33 — Ли) (2Азз — Zii)'
Прецессия общего вида [6] такова:
巨=0(五 + 可， 02 = 从i+ 从2 sin g, "= Она имеет место при следующих условиях:
4订・=0 (г ^ j), Bi：j = 0
012 =c23 = 0, Ql =022,
Прецессия общего вида [6] такова:
巨=0(五 + 可， 02 = 从i+ 从2 sin g, "= Она имеет место при следующих условиях:
4订・=0 (г ^ j), Bi：j = 0
012 =c23 = 0, Ql =022,
& sing, a^cosg, а。).
& sing, a^cosg, а。).
（分次J），
（分次J），
$2 =0, 入1 =入2 = 0, a0
$2 =0, 入1 =入2 = 0, a0
4i
4i
-%33 '1
-%33 '1
Вц = В22,
013 (人；1 + ^зз - 4Диазз)(厶33 — Ли) (2Азз — Zii)'
Вц = В22,
013 (人；1 + ^зз - 4Диазз)(厶33 — Ли) (2Азз — Zii)'
Аз =Аз =411月33 + Bii (%33 - 2厶11)^11 -厶33411月33 + Bii (%33 - 2厶11)^11 -厶3361 (%11 -厶33)+ 411 (011 -。33)(%33 -411)2
Аз =
Аз =
411月33 + Bii (%33 - 2厶11)^11 -厶33
411月33 + Bii (%33 - 2厶11)^11 -厶33
_ 2АцС1з
"2(433 - 411)(411 - 2433)
Прецессии твердого тела, подвешенного на стержне. Уравнения движения тела, подвешенного на стержне запишем в виде [23]
4力 + тр2 [传•力)豆一5 +(5 •豆)(5 х 豆)]=Aw X ей-\- R(t) р(ё X г),(47)
mro [г + о; х г + 2о7 х г + (о; • г) о; — а;2г]=
=тр [ё х cj - (а; • ё) а; + а?可 + Р» — R⑴几(48)
где обозначено: ZJ — вектор угловой скорости тела с массой m; F — единичный вектор направления силы тяжести Р = mg"; г — единичный вектор, направленный по стержню длиной го из неподвижной точки Oi в точку О подвеса тела; R(t) — величина силы реакции; ё — единичный вектор, идущий из точки О в центр масс С] А — тензор инерции тела, построенный в точке О\ р = |ОС|; g — ускорение свободного падения.
Пусть в точке подвеса тела распределение его масс удовлетворяет условиям Гесса [28]. Подвижную систему координат введем так, чтобы ё = (0; 0; 1)а. Тогда 412 = 4з = 0,用з — 4з (41 —斗22)・ Умножим скалярно обе части уравнения (47) на вектор ё:
(45 •豆)=45 •(5 х 豆).(49)
В силу принятых условий на Aij из (49) вытекает, что соотношение Aw • ё = 0 будет инвариантным соотношением. Предположим, что вектор угловой скорости тела имеет вид U = 0豆 + 幻。》, т. е. движение является полурегулярной прецессией первого типа. Очевидно,豆•》= а。，т. е. в силу » • » = 1 и соотношения (49) имеем
S = -粤(4з&)sin 3 + 斗33。0), » = (&)sin 3, &)cos 3, а。).(50)
Азз
Показано [15], что компоненты вектора г таковн:
丁1 = sin gsin 也о, 丁2 = cos g sin 也о, T3 = cos 肌.(51)
Условия на параметры задачи (47), (48),
mro^o^oP (@о sin Qo — а$ cos Qo) sin Qo — тр1^^ (a。cos Qo + a^ sin Qo)—
-mgpao sin ^0 + 422幻^00廟 cos 也о = 0,
тгорш^ао (a[ cos ^0 - a。sin ^0) - rngpa' + ^а^а^А22 = 0,
служат условиями существования полурегулярной прецессии тела, подвешенного на стержне. Отметим, что углы между двумя векторами из тройки ё, г, » постоянны. Скорость точки подвеса так же постоянна о。= го 1Go (a[ cos 夕。—a。sin 现)|.
Таким образом, в работе [15] показано существование полурегулярной прецессии тела, подвешенного на стержне. Однако это не означает, что возможно прямое перенесение результатов классической задачи (14) в задачу (47), (48). Так, например, в работе [14] доказано, что не существует регулярных прецессий относительно наклонной оси (прецессий Д. Гриоли) в задаче о движении тела, подвешенного на стержне.
Прецессии системы связанных твердых тел. Рассмотрим в однородном силовом поле движение системы твердых шарнирно связанных гиростатов Si, S2, • • • , Sn (几》1) [24]. Гиростат Si имеет неподвижную точку Oi, а Si (分= =2, . . . , п) соединены между собой в виде «цепочки» при помощи идеальных сферических шарниров 5,…，Оп таким образом, что для каждого гиростата его центр масс и шарниры лежат на одной прямой [17]. Пусть Oi, xyz, ось O±z которой с единичным вектором " направлена вертикально вверх, является неподвижной системой координат. Подвижные системы координат CiX^х^х^ свяжем с центром масс & гиростатов и направим по главным осям эллипсоида инерции.
Обозначим через А^ центральный тензор инерции г-го гиростата с диагональными элементами 4,)< 4，" < A^\ через U и А(“)一 векторы абсолютной угловой скорости корпуса г-го гиростата и его гиростатического момента. Положим, что 戸(% 戸(z+D 俨什1)—卜(2)戸(%)) — радиусы-векторы точек Oi и 5+i относительно точки Ci,幻『，А，е；“ (J = 1, 2, 3) — проекции векторов ⑪⑴，А ⑺，戸⑴ на оси 力?). Считаем, что k^ = 0.
Уравнения движения данной системы таковы:
4⑴5⑴+W⑴х(4⑴5⑴+1⑴)=k(。)x伍⑴— k3+D) ,(52)
万⑴Q 万("+D
где Я — сила реакции со стороны тела 5j_i, Я — сила реакции со стороны тела S^+i.
В скалярном виде из (52) имеем
碎或)+ (碎一碎)源源+店)鹏)一疋力貝=
=ё用(碎-k⑴r"))-即(碎—k⑴砂+D) . (53)
Пусть выполнены условия е‘)= О, А‘)=0 (г = 1, п). Тогда из уравнений (53) при выполнении условий
(明-碎)-或)V/IF守丽=0(54)
следуют инвариантные соотношения
4f)ef兀畀+得猾才+刈)認一》曾猾=0.(55)
Таким образом, если для каждого гиростата S〃 его центр масс & и шарниры 5, Ос+1 лежат на одной прямой, перпендикулярной одному из круговых сечений его центрального гирационного эллипсоида, а гиростатическии момент А лежит в плоскости, перпендикулярной этому круговому сечению, то уравнения (53) допускают систему инвариантных соотношений (55). Очевидно, при 几=1, А,)= =А?)= 0 приходим к случаю Гесса [28].
Так же как и в задаче о движении тела, подвешенного на стержне, инвариантным соотношениям (55) можно удовлетворить, рассмотрев класс полурегулярных прецессий тел S〃 (положим А =0):
=s/£ + Go", Q =幻0 (& + Asing), ki =(56)
Можно показать [17], что при выполнении равенств (55) движение цепочки тяжелых твердых тел слагается из двух движений: 1) движения ломаной 01 О2 • • • 0九+1 как цепочки тяжелых стержней с массами, равными массам соответствующих тел, и центральными моментами инерции 4，)； 2) вращений тела относительно звеньев указанной ломаной. Если же имеют место дополнительные соотношения (56), то полурегулярная прецессия системы Si, . .. , Sn является суперпозицией равномерного вращения вокруг вертикали с угловой скоростью 幻。 ломаной 01 О2 • • • Оп как твердого тела и вращений тел S〃 по закону из соотношений (56). Отметим, что при этом все звенья лежат в одной вертикальной плоскости, а в равенствах (56) некоторые из 仇 могут быть равными нулю.
В работе [4] рассмотрены прецессионные движения связки двух несимметричных тяжелых тел в предположении, что одно твердое тело совершает прецессионное движение, а второе равномерно вращается относительно вертикали.
Список литературы
Аппельрот Г. Г. Определение классов кинетически симметричных тяжелых гироскопов, способных допускать упрощенные движения, близкие к инерциальному или к некоторому упрощенному движению гироскопа Лагранжа // Известия АН СССР. Серия физическая. 1938. Вып. 3. С. 385-411.
Бентсик 3. Об одном виде регулярной прецессии твердого несимметричного тела в поле ньютоновского притяжения // Механика. Период, сб. переводов ин. статей. 1970. Т. 2. С. 3-8.
Брессан А. О прецессионных движениях твердого тела, относящихся к случаю Гесса // Сборник переводов «Механика». 1958. № 6 (52). С. 153-158.
Бирман И. К, Горр Г. В. К динамике прецессионных движений системы двух твердых тел в поле силы тяжести // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, Вып. 2. С. 188198.
Вархалев Ю. П., Горр ГАК вопросу о классификации движений гиростата Жуковского // Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 8. С. 104-111.
Верховод Е. В., Горр Г. В. Прецессионно-изоконические движения твердого тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. 1993. Т. 57, Вып. 4. С. 3139.
Горр Г. В. Регулярная прецессия гиростата в центральном ньютоновском поле сил // Механика твердого тела. 1972. Вып. 4. С. 105-108.
Горр Г. В. Некоторые свойства прецессионных движений относительно вертикали тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38, Вып. 3. С. 451-458.
Горр Г. В. Прецессии относительно вертикали тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. 1977. Вып. 9. С. 3-17.
Горр Г. В. Одно свойство прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении тяжелого гиростата // Механика твердого тела. 1981. Вып. 13. С. 35-41.
Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел. — Препринт: Институт прикладной математики и механики АН УССР. № 89.03. - 66 с.
Горр Г. В. Новое решение обобщенной задачи о движении тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56, Вып. 3. С. 532-535.
Горр Г. В.、Илюхин А. А., Ковалев 4.М., Савченко А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. — Киев: Наук, думка, 1984. — 284 с.
Горр F. В.)Кононыхин Г. А. О динамической невозможности регулярной прецессии типа Гриоли при движении тела, подвешенного на стержне // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, Вып. 3. С. 371-374.
Горр Г. В., Кононыхин Г. А. Полурегулярная прецессия гироскопа Гесса, подвешенного на стержне, и ее обобщение в задаче о движении системы двух твердых тел // Доклады АН УССР. Серия А. Физ.-мат. и техн, науки. 1987. № 2. С. 47-50.
Горр Г. В., Курганский Н. В. О регулярной прецессии относительно вертикали в одной задаче динамики твердого тела // Механика твердого тела. 1987. Вып. 19. С. 16-20.
Горр F. В.、Рубановский В. Н. Об одном новом классе движений системы тяжелых шарнирно связанных твердых тел // Прикл. математика и механика. 1988. Т. 52, Вып. 5. С. 707-712.
Гриоли Д. К общей теории асимметричных гироскопов // Проблемы гироскопии. Под ред. Г. Циглера. — М.: Мир, 1967. С. 34-39.
Докшевич А. И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона. — Киев: Наук, думка, 1992. — 168 с.
Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собр. соч. 1949. Т. 2. — М.: Гостехиздат, — 152 с.
Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. - 672 с.
Млодзиевский Б. К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Труды Отд-ния физ. Наук О-ва любителей естествознания. 1894. Т. 7, Вып. 1. С. 46-48.
Румянцев В. В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. № 3. С. 5-15.
Харламов П. В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. 1972. Вып. 4. С. 52-73.
Харламов П. В., Мозалевская Г. В., Лесина М. Е. О различных представлениях уравнений Кирхгофа // Механика твердого тела. 2001. Вып. 31. С. 3-17.
Харламова Е. И., Горр Г. В. О безнутационных движениях твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. 1975. Вып. 8. С. 23-31.
Grioli G. Esistenza е determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. Mat. pura ed appl. 1947. 4, 26. F. 3-4. P. 271-281.
Hess VH.Uber Eulerschen Bewegungsgleichungen und fiber eine neue partikulare Losung des Problems der Bewegung eines starren schweren Korpers um einen festen Punk // Math. Ann. 1890. B-37. H. 2. S. 153-181.
Yehia H. M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscope forces // Theor. Und Appl. Meehan. 1986. T. 5, № 5. P. 755-762.
О ВНЕДРЕНИИ ЖЕСТКОЙ ПИРАМИДЫ В ИДЕЛЬНОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
А. В. ГорскийП. В. Горский
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева
Рассмотрим процесс внедрения правильной жесткой n-угольной пирамиды в идеально-пластическое полупространство под углом 6 к нормали его границы в декартовых координатах {ж, у, z}. Начало координат поместим на ось внедрения. Ось z направим по нормали к границе полупространства. Ось ж направим через одну из вершин основания пирамиды. Угол отклонения грани пирамиды от оси внедрения обозначим через 点 угол между смежными радиусами описанной около основания пирамиды окружности обозначим через а = 2тг/п (где п — число боковых граней пирамиды). Высота пирамиды равна h = cos (а/2) ctg 点 где《— угол отклонения грани пирамиды от оси внедрения.
Координаты и напряжения будем считать безразмерными величинами, принимая радиус описанной около основания пирамиды окружности за характерную длину, напряжение текучести материала при одноосном сжатии за характерное напряжение.
Вершины основания пирамиды, согласно введенным обозначениям, имеют следующие коораинатъ匸 Mk (cos ka, sin ka, 0), где k = 0,n — 1, вершина пирамиды H (0,0, —h).
Повернем пирамиду на угол £ вокруг оси Oz, тогда координаты вершин основания пирамиды примут вид
Mfk (cos (ka + £), sin (ka + £),0),(1)
затем повернем вокруг оси Оу на угол J, получим:
—координаты вершин основания пирамиды
Mg (cos (ka + £) cos J, sin (ka + £), cos (ka + £) sin b),(2)
—координаты вершины пирамиды
Н" (% sin 6, 0, —% cos b) .(3)
Далее для вершины Н" вернемся к первоначальному обозначению Н (без штриха).
Векторы нормалей 央 к граням пирамиды Н М\ 7И^+1 примут вид
пь — НМ^ х НМ^^ = {п^^п^тъ^ .(4)
Уравнения плоскостей граней пирамиды НМ《MQ^ имеют вид
几£ (ж - %1) + 冠(у — ％2)+ Пз (ж - %з) = 0.(5)
Пирамида в сечении плоскостью z = 0 образует многоугольник с вершинами N& координаты которых находятся из системы
—% sin b) + n^y + П3 h cos J = 0,
(ж — hsin b) + 几广％ + 几^+%cos 6 = 0.
⑹⑹GGcos (ka + £) + cos [(k + 1) a + £]2cos (ka + £) + cos [(k + 1) a + £]2sin (ka + £) + sin [(k + 1) a + g2sin (ka + £) + sin [(k + 1) a + g2⑺⑺Координаты середин отрезков M^Mji имеют вид
⑹
⑹
G
G
cos (ka + £) + cos [(k + 1) a + £]2
cos (ka + £) + cos [(k + 1) a + £]2
sin (ka + £) + sin [(k + 1) a + g2
sin (ka + £) + sin [(k + 1) a + g2
⑺
⑺
Рис. 1Рис. 1a = arccosa = arccos2S^OGkH 、OGkGkH)2S^OGkH 、OGkGkH)b =b =arccosarccos2S^OGkH、 OGkOH)2S^OGkH、 OGkOH)⑼⑼
Рис. 1
Рис. 1
a = arccos
a = arccos
2S^OGkH 、OGkGkH)
2S^OGkH 、OGkGkH)
b =
b =
arccos
arccos
2S^OGkH、 OGkOH)
2S^OGkH、 OGkOH)
⑼
⑼
Для определения координат точек 從，а затем Gk (точек пересечения k-й грани пирамиды с плоскостью, содержащей прямую ОН и проходящей через середину отрезка М^М}”) следует в выше приведенных формулах сделать замену
cos (ka + £) Т cos(ka + £)+c” + l)a + £],sin (ka + £) T sin(ka + £) + s『(k + l)a + g
В итоге будем иметь координаты всех необходимых узловых точек искомой
пирамиды (рис. 1). Аналогично можно рассматривать процесс внедрения произ-
вольной пирамиды (исключив случаи, приводящие к ее вращению), при этом предлагаемое далее решение не изменится.
Принимаем, что при внедрении пирамиды вектор скорости пластического течения находится в плоскостях, содержащих ось внедрения пирамиды и ортогональных к ее граням. Во введенных выше обозначениях этими плоскостями являются OHGk- Для каждой плоскости пластического течения введем свою систему координат. Начало координат оставим на месте, ось ж направим через точки Gk, ось z проведем в плоскости ОHGk в направлении, обратном внедрению пирамиды.
Тогда соответствующие углы тре
угольников ОHGk плоскостей пластического течения находятся из соотношений
где a — угол наклона грани пирамиды к оси Oz, 6 — угол наклона оси внедрения пирамиды к оси Oz.
Условия полной пластичности в пространстве главных напряжений для рассматриваемой задачи имеют вид
(Ю)(Ю)
(Ю)
(Ю)
где а — среднее напряжение.Направляющие косинусы напряжений оз с осями координат ж, у, г имеют вид ni = cos^, П2 = 0, пз = sin ^,где Н — угол между направлением напряжений сгз и осью ж, и ненулевые компоненты тензора напряжений при условии (10) определяются выражениями°冗=° + ^ - cos2 牝 сг^ = сг + i, (yz = а - sin2 牝(11)где а — среднее напряжение.Направляющие косинусы напряжений оз с осями координат ж, у, г имеют вид ni = cos^, П2 = 0, пз = sin ^,где Н — угол между направлением напряжений сгз и осью ж, и ненулевые компоненты тензора напряжений при условии (10) определяются выражениями°冗=° + ^ - cos2 牝 сг^ = сг + i, (yz = а - sin2 牝(11)txz = — sin H cos 仇txz = — sin H cos 仇(12)(12)Главное напряжение。2 направлено по оси у. Ортогональные характеристики в плоскостях у = const совпадают с линиями скольжения £ и ?у, которые определяются дифференциальными уравнениямиГлавное напряжение。2 направлено по оси у. Ортогональные характеристики в плоскостях у = const совпадают с линиями скольжения £ и ?у, которые определяются дифференциальными уравнениямиdz 丄Л dz丄/=tgg “ля£,蒜=一ctgg “ля〃dz 丄Л dz丄/=tgg “ля£,蒜=一ctgg “ля〃(13)(13)с дифференциальными соотношениями для напряжений и скоростей перемещений, совпадающими с уравнениями Генки [3]:с дифференциальными соотношениями для напряжений и скоростей перемещений, совпадающими с уравнениями Генки [3]:do — dg = 0 вдоль £, do + dg = 0 вдоль ?у,do — dg = 0 вдоль £, do + dg = 0 вдоль ?у,(14)(14)где 夕一угол между касательной к линии скольжения £ и осью х. Углы 夕 и Н связаны соотношением Н =夕一тг/4.3. При такой конфигурации, зависящей от пяти параметров:几,《,£, 6 и 〃一 задающего напряжение контактного трения на границе контакта HW^, возможны три случая.Критерии определения реализуемого случая:1 случай: OGk • Oli > 0 и -OG； •豆^》0 (рис. 2),2 случай: OG： • Oli < 0 (рис. 3),3 случай: Oct • % > Ои -Oct • GH < 0 (рис. 4).Рассмотрим первые два случая. Для первого случая а < тг/2, 6 < тг/2; для второго — 6 < а < тг/2. Расстояние от точки Н до оси Ох определяется формулойгде 夕一угол между касательной к линии скольжения £ и осью х. Углы 夕 и Н связаны соотношением Н =夕一тг/4.3. При такой конфигурации, зависящей от пяти параметров:几,《,£, 6 и 〃一 задающего напряжение контактного трения на границе контакта HW^, возможны три случая.Критерии определения реализуемого случая:1 случай: OGk • Oli > 0 и -OG； •豆^》0 (рис. 2),2 случай: OG： • Oli < 0 (рис. 3),3 случай: Oct • % > Ои -Oct • GH < 0 (рис. 4).Рассмотрим первые два случая. Для первого случая а < тг/2, 6 < тг/2; для второго — 6 < а < тг/2. Расстояние от точки Н до оси Ох определяется формулой2sh =, где S — площадь АОЯС^.2sh =, где S — площадь АОЯС^.(15)(15)Нормальные и касательные напряжения на границе контакта HW^ постоянны. В области DHWk линии скольжения прямолинейны и напряженное состояние однородно. В области DCWk прямолинейные линии скольжения ?у образуют центрированный веер с особой точкой Wk- В области CWkQk напряженное состояние также однородно и граница WkQk свободна от внешних напряжений (рис. 2, 3).При условии полной пластичности материал пластической области CWkQk находится в состоянии одноосного сжатия параллельно границе WkQk：Нормальные и касательные напряжения на границе контакта HW^ постоянны. В области DHWk линии скольжения прямолинейны и напряженное состояние однородно. В области DCWk прямолинейные линии скольжения ?у образуют центрированный веер с особой точкой Wk- В области CWkQk напряженное состояние также однородно и граница WkQk свободна от внешних напряжений (рис. 2, 3).При условии полной пластичности материал пластической области CWkQk находится в состоянии одноосного сжатия параллельно границе WkQk：а1 = а2= 0, сг3 = -1, а = -- на WkQk.а1 = а2= 0, сг3 = -1, а = -- на WkQk.(16)(16)На границе контакта HWk напряжение контактного трения 从 определяет угол наклона линии скольжения ?у к этой границе:На границе контакта HWk напряжение контактного трения 从 определяет угол наклона линии скольжения ?у к этой границе:7 =7 =-arccos 2〃,-arccos 2〃,гдегдеконтактноеконтактноетрение.трение.(17)(17)
где а — среднее напряжение.
Направляющие косинусы напряжений оз с осями координат ж, у, г имеют вид ni = cos^, П2 = 0, пз = sin ^,
где Н — угол между направлением напряжений сгз и осью ж, и ненулевые компоненты тензора напряжений при условии (10) определяются выражениями
°冗=° + ^ - cos2 牝 сг^ = сг + i, (yz = а - sin2 牝(11)
где а — среднее напряжение.
Направляющие косинусы напряжений оз с осями координат ж, у, г имеют вид ni = cos^, П2 = 0, пз = sin ^,
где Н — угол между направлением напряжений сгз и осью ж, и ненулевые компоненты тензора напряжений при условии (10) определяются выражениями
°冗=° + ^ - cos2 牝 сг^ = сг + i, (yz = а - sin2 牝(11)
txz = — sin H cos 仇
txz = — sin H cos 仇
(12)
(12)
Главное напряжение。2 направлено по оси у. Ортогональные характеристики в плоскостях у = const совпадают с линиями скольжения £ и ?у, которые определяются дифференциальными уравнениями
Главное напряжение。2 направлено по оси у. Ортогональные характеристики в плоскостях у = const совпадают с линиями скольжения £ и ?у, которые определяются дифференциальными уравнениями
dz 丄Л dz丄
/=tgg “ля£,蒜=一ctgg “ля〃
dz 丄Л dz丄
/=tgg “ля£,蒜=一ctgg “ля〃
(13)
(13)
с дифференциальными соотношениями для напряжений и скоростей перемещений, совпадающими с уравнениями Генки [3]:
с дифференциальными соотношениями для напряжений и скоростей перемещений, совпадающими с уравнениями Генки [3]:
do — dg = 0 вдоль £, do + dg = 0 вдоль ?у,
do — dg = 0 вдоль £, do + dg = 0 вдоль ?у,
(14)
(14)
где 夕一угол между касательной к линии скольжения £ и осью х. Углы 夕 и Н связаны соотношением Н =夕一тг/4.
3. При такой конфигурации, зависящей от пяти параметров:几,《,£, 6 и 〃一 задающего напряжение контактного трения на границе контакта HW^, возможны три случая.
Критерии определения реализуемого случая:
1 случай: OGk • Oli > 0 и -OG； •豆^》0 (рис. 2),
2 случай: OG： • Oli < 0 (рис. 3),
3 случай: Oct • % > Ои -Oct • GH < 0 (рис. 4).
Рассмотрим первые два случая. Для первого случая а < тг/2, 6 < тг/2; для второго — 6 < а < тг/2. Расстояние от точки Н до оси Ох определяется формулой
где 夕一угол между касательной к линии скольжения £ и осью х. Углы 夕 и Н связаны соотношением Н =夕一тг/4.
3. При такой конфигурации, зависящей от пяти параметров:几,《,£, 6 и 〃一 задающего напряжение контактного трения на границе контакта HW^, возможны три случая.
Критерии определения реализуемого случая:
1 случай: OGk • Oli > 0 и -OG； •豆^》0 (рис. 2),
2 случай: OG： • Oli < 0 (рис. 3),
3 случай: Oct • % > Ои -Oct • GH < 0 (рис. 4).
Рассмотрим первые два случая. Для первого случая а < тг/2, 6 < тг/2; для второго — 6 < а < тг/2. Расстояние от точки Н до оси Ох определяется формулой
2s
h =, где S — площадь АОЯС^.
2s
h =, где S — площадь АОЯС^.
(15)
(15)
Нормальные и касательные напряжения на границе контакта HW^ постоянны. В области DHWk линии скольжения прямолинейны и напряженное состояние однородно. В области DCWk прямолинейные линии скольжения ?у образуют центрированный веер с особой точкой Wk- В области CWkQk напряженное состояние также однородно и граница WkQk свободна от внешних напряжений (рис. 2, 3).
При условии полной пластичности материал пластической области CWkQk находится в состоянии одноосного сжатия параллельно границе WkQk：
Нормальные и касательные напряжения на границе контакта HW^ постоянны. В области DHWk линии скольжения прямолинейны и напряженное состояние однородно. В области DCWk прямолинейные линии скольжения ?у образуют центрированный веер с особой точкой Wk- В области CWkQk напряженное состояние также однородно и граница WkQk свободна от внешних напряжений (рис. 2, 3).
При условии полной пластичности материал пластической области CWkQk находится в состоянии одноосного сжатия параллельно границе WkQk：
а1 = а2= 0, сг3 = -1, а = -- на WkQk.
а1 = а2= 0, сг3 = -1, а = -- на WkQk.
(16)
(16)
На границе контакта HWk напряжение контактного трения 从 определяет угол наклона линии скольжения ?у к этой границе:
На границе контакта HWk напряжение контактного трения 从 определяет угол наклона линии скольжения ?у к этой границе:
7 =
7 =
-arccos 2〃,
-arccos 2〃,
где
где
контактное
контактное
трение.
трение.
(17)
(17)
9 Проблемы механики
Углы /3 и 也 связаны соотношением
0 + 6 = ^ + а-).(18)
Угол а и 〃 в случае симметрии пластического течения относительно оси Oz должны удовлетворять неравенству, соответствующему предельному значению тг/2 угла при вершине жесткой области в точке Н:
7Г ]
« ^ — + - arccos2〃.(19)
Для идеально гладкой пирамиды (从=0) а，тг/2, и для абсолютно шероховатой пирамиды (从=1/2) а < тг/4.
Из условия несжимаемости следует равенство площадей треугольников WkQkGk и ОHGk> которое с использованием соотношения
h/l = cos q — V2 cos 7 sin/3,(20)
где / — длина границы контакта HW^, приводит к нелинейным уравнениям относительно угла /3 (рис. 2 и рис. 3):
(tg а 士 tg 5)=怨爲:夕 cos (а-/3),(21)
где а, J, 7 известны, знаки «土》берутся для 1-го и 2-го случаев соответственно.
Среднее напряжение в области DHWk находим интегрированием соотношений (14) вдоль линии скольжения £ с использованием угла 次 определяемого из уравнения (18), и граничного условия (16) [4, 5]:
6r = _(^ + ^ + а — 7_/3)・(22)
Нормальное давление на грань пирамиды определяется из соотношения [4, 5]
Р = ； (1 + sin27) + ^ + «- 7-/?.(23)
Для третьего случая (а < 6 < тг/2) непрерывное поле напряжений невозможно, и решение характеризуется разрывным полем. Справа и слева от линии разрыва имеем по-прежнему равномерные напряженные состояния (рис. 4).
Среднее напряжение
—в области CWkQk-。- = —^,
—в области СHWk- сг+ = —р + |.
Согласно [2] имеем
2
[ст] = —р + у = cos 2^-,(24)
Рис. 4Рис. 4
Рис. 4
Рис. 4
Нормальное давление на грань пирамиды определяется из соотношения
р = I — cos £ + а + /3 +)) ,(25)
где угол /3 требует дополнительного определения.
Аналогично первым двум случаям из условия несжимаемости выводится уравнение для нахождения угла /3:
(tg 6 — tg а) = (1 — с']；) V2 cos7cos (« + /?),(26)
где а, 6, 7 — известные величины.
Давление в направлении оси Oz:
Pz = -[(鳴 J 响.р)雷].(27)
(28)(28)Общее давление на грань в направлении оси Oz:
(28)
(28)
Pz = Pz (SahNkNkq + S^NKNK+1WK) •
9*
Общее давление в направлении оси Oz на грань пирамиды, внедренной на глубину % = 1:
р _ PZ (S&HNkN“\ + S^NkNk + iWk)
где *3] — третья координата точки Н.
Для определения высот поднятия пластических областей над плоскостью z = 0 и расстояний OQk найдем (рис. 5)
1, 2 случаи : GkQk ='侬 01 - g cos (q - /3) ,(29)
cos a sm 户
(30)(30)3 случай: GkQk =+ 叱
(30)
(30)
cos а
где / = HWkТогдагде / = HWkТогдаhhcos а — д/^ cos 7 sin 0cos а — д/^ cos 7 sin 0,h,h2s△ohg论OGk2s△ohg论OGkХпл = I °Qk 卜 цде OQkХпл = I °Qk 卜 цде OQkI I GkQk ~OGTI I GkQk ~OGT(31)(31)
где / = HWkТогда
где / = HWkТогда
h
h
cos а — д/^ cos 7 sin 0
cos а — д/^ cos 7 sin 0
,h
,h
2s△ohg论OGk
2s△ohg论OGk
Хпл = I °Qk 卜 цде OQk
Хпл = I °Qk 卜 цде OQk
I I GkQk ~OGT
I I GkQk ~OGT
(31)
(31)
зл = ёй^ •書，где(32)
Рис. 5Рис. 5
Рис. 5
Рис. 5
Ниже приведены графики зависимостей общего вертикального давления на квадратную пирамиду от угла，наклона грани к оси пирамиды. Глубина внедрения пирамиды фиксирована и равна % =1.
Графики, изображенные на рис. 6, построены для различных углов поворота пирамиды вокруг оси внедрения £ = 0, £ = тг/4, различных углов наклона оси внедрения пирамиды от нормали к полупространству 6 = 0, 6 = тг/6, 6 = тг/4 и для различного контактного трения на гранях пирамиды 〃 = 0,从= 0,1, 〃 = =0,5 (на рисунках графики для различного контактного трения расположены соответственно снизу вверх). Из этих графиков видно, что вертикальное давление на пирамиду возрастает с ростом угла，наклона грани к оси пирамиды, а угол £ поворота пирамиды вокруг оси ее внедрения существенного влияния на изменение давления не оказывает (влияние уменьшается с увеличением числа граней пирамиды N), в то время как угол 6 наклона оси внедрения пирамиды от нормали к полупространству вертикальное давление увеличивает.
Рис. 6
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 3. С. 201-224.
Ивлев Д. Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности // ПММ. 1958. Т. 22, Вып. 4. С. 480-486.
Ивлев Д. Д.\ Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеально-пластического тела при условии полной пластичности // ДАН РАН. 2001. Т. 381, № 5. С. 616-622.
Ивлев Д. Д., Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство // ДАН РАН. 2002. Т. 385, №6. С. 766-769.
Ивлев Д. Д., Ишлинский А. Ю.)Непершин Р. И. О внедрении жесткой пирамиды в идеально-пластическое полупространство // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 57-62.
КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ ПРИЛОКАЛЬНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯ
А. Л Горшкову Э. И. Старовойтову Д. В. Леоненко^ А. В. ЯроваяМосковский АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
Результаты, связанные с колебаниями трехслойных элементов конструкций, в том числе и вязкоупругопластических, геометрия и движение которых описывается с помощью тех или иных гипотез, получены в работах [1-5]. В работе [6] исследованы поперечные колебания трехслойного стержня с несжимаемым заполнителем. Воздействие локальных статических нагрузок на трехслойные стержни изложено в статье [7]. Здесь рассматриваются малые поперечные колебания несимметричного по толщине упругого трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем.
Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа, в жестком заполнителе справедливы точные соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией перемещений его точек от поперечной координаты z. На границах контакта слоев используются условия непрерывности перемещений. Материалы несущих слоев несжимаемы в поперечном направлении, в заполнителе учитывается обжатие. Деформации малые.
Система координат xyz связывается со срединной плоскостью заполнителя (рис. 1). Распределенная поверхностная нагрузка р(ж), q(力)приложена к внешней плоскости первого слоя. Через 仅左(力)и и^(х) обозначены прогибы и продольные перемещения срединных поверхностей несущих слоев; hk — толщина г кто слоя, %з = 2с (к = 1,2,3 — номер 〃(х) слоя); 6 — ширина стержня. Все перемещения и линейные размеры стержня отне- % сены к его длине I.
Продольные и поперечные перемещения в слоях 〃(к)(力,z) и w^k\x, г) выражаются через четыре искомые функции 仪1(力),"1(力),仅2(力)И "2(力)следующими соотношениями: в несущих слоях
"⑴=U1 - ^z - С- g)攸1产,攸⑴=仪J (0 ' z ' 0 + 伉)；
"⑵="2 - (z + 0 + 岑)W2X , 仅⑵=w2 (-C - %2 ' Z < -0)； в заполнителе
"⑶=a + 分%) + (") (^；⑴
攸⑶=；(1 + ^)仅1 + ； (1 一 ^)仅2(一0 ， Z < C),
где z — расстояние от рассматриваемого волокна до срединной линии заполнителя; запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате.
Компоненты тензора деформаций в слоях получим, используя формулы （1） и соотношения Коши:
& = "1 尸 一（Z — С 一 导）Wr^xx （с < z < с + %1）；
^S = （1 + 工）（/ и1,х + Т 彼1 尸冗）+ （1 — —） （/ “2,仅；
£^）=®1 一 W2）（—C，Z，C）；
2c⑵
（3）/2г + Д1 1 \2z + /i2 I. Ui — U2
£^2 = “2尸—（z + C + ^） ^2,жж（ — 0 — %2 < Z < —С）；
_ £（2） _ °
匕QN -匕QN — U・
Уравнения движения следуют из принципа Лагранжа с учетом работы сил инерции
6A-6W = 6АЬ（3）
где ЬА — вариация работы внешних сил:
8W — вариация работы внутренних сил упругости:
6W = Ь ^2 j ^хх^хх ^ + 2 j ^}^S j ^ff^S dz dx;
0k=1九生九3九3
6A[ — вариация работы сил инерции:
з I
64 = 6 ^2 j j ^Pk 3（k）6加k） + ii（k）6〃（k））] dz dx\ k=l 0 hk
cr^\ £；：）— компоненты тензоров напряжений и деформаций в k-м слое.
Введем внутренние усилия и моментъ匸
n2 = 6 j с4" dz;М步=6 j a^}z dz;Q⑶=6 ] °乌 dz,
hkhk九3（д\
N；“ = b ] a^ dz;7И項=b ] a^zdz.
九3九3
Здесь интегралы берутся по толщине кто слоя. Выразив в них напряжения через деформации с помощью закона Гука и используя соотношения （2）, получим выражение усилий （4） через искомые функции wi（x）, 〃i（力）,仅2（力）и 〃2（力）•
При определении работы внешних сил считаем, что к внешней поверхности первого несущего слоя приложены произвольные распределенные нагрузки, а к торцам стержня — усилия и моменты. Тогда, после взятия интегралов и выполнения требования тождественного удовлетворения уравнения (3) при произвольных значениях варьируемых величин, приходим к системе уравнений движения рассматриваемого трехслойного стержня относительно искомых перемещений. Оставляя в них только те инерционные члены, которые учитывают инерцию движения в слоях вдоль координатных осей и инерцию вращения нормали в несущих слоях, получим следующую систему уравнений в частных производных:
a1"1 一a1"2 一 ^4^1,жж 一 ^5^2,жж + ^2^1,ж +a3攸2产一2ttg Wi ?жжж +
+ ^7^2,XXX + miili =仍
—。1〃1 +。1〃2 — ^5 ^1 ,жж — ^9^2,XX — ^3^1,ж — ^2^2,ж — ^6^1,жжж + 2й7^2,жжж +
+ т2й2 = 0;
^10^1,х —。17〃2,冗 + ^^6^1,XXX + ^6^2,XXX + ^11^1,хх — ^12^2,хх +
+ ^15^1,хххх —^16^2,хххх +。8仅1 —。8仅2 + ^1^1 — ^3^1,«ж = ^ + / '冗 ^15
—^18^1,ж +。19〃2尸—^7^1,XXX — 2a7〃2,jc:c:c — ^12^1,xx + ^14^2,xx —
—^16^1,xxxx + ^13^2,xxxx — °8攸1 + °8攸2 + ^2^2 — ^4^2,xx —。,(5)
где
警；a2 = 2G3 (1 + ^) - ^； аз = 263(1+箱+ 券；
, 2^^с^^cchiK^ch2
。4 =h!^ ^-；°5 =扌；。6 =；。7 =；
^зhI 2K3HcG3^з^
5с32 \ 2с /2
_ К^hi G3C Л hi \2 G3C
з = F 厂 g+五)一丁；
«12 =«12 =кзД任+m)丄G3CкзД任+m)丄G3C44(1+紛(1+期一警(1+紛(1+期一警_ К扌底 К九忌. "13 =f一+ 一_ К扌底 К九忌. "13 =f一+ 一肉4 = —2—肉4 = —2—52 -嘗(1+ 算-52 -嘗(1+ 算-
«12 =
«12 =
кзД任+m)丄G3C
кзД任+m)丄G3C
4
4
(1+紛(1+期一警
(1+紛(1+期一警
_ К扌底 К九忌. "13 =f一+ 一
_ К扌底 К九忌. "13 =f一+ 一
肉4 = —2—
肉4 = —2—
52 -嘗(1+ 算-
52 -嘗(1+ 算-
K，E , Kt chiK^^hr2寸+ ^；…「^；K，E , Kt chiK^^hr2寸+ ^；…「^；_ G⑶厶的7 =亍(1+元)_ G⑶厶的7 =亍(1+元)互2互2
K，E , Kt chiK^^hr
2寸+ ^；…「^；
K，E , Kt chiK^^hr
2寸+ ^；…「^；
_ G⑶厶
的7 =亍(1+元)
_ G⑶厶
的7 =亍(1+元)
互
2
互
2
"18=^-(1+制 + * "19 ="18=^-(1+制 + * "19 =享0+箱一券享0+箱一券
"18=^-(1+制 + * "19 =
"18=^-(1+制 + * "19 =
享0+箱一券
享0+箱一券
Kj = Кк + I Gk； ^^ = Кк — I Gk； nil = pihi + I рзс;
厶 .2Pl hi 03c九;P2^2 I 03c九扌
ш2 = 02%2 + $ 03。； g = ——；^4 = —•
Принимаются условия свободного опирания стержня по торцам на неподвижные в пространстве жесткие опоры. Соответствующие граничные условия в сечениях ж = 0; / (/ — длина стержня) в перемещениях имеют вид
wk — Uk,x — ^k,xx — 0 (k = 1,2) •(6)
Начальные условия движения будут следующие (力=0):
uk(x,0) = uk0(x)] 荻(力，0) = 5(力)；
(7) 仅m力,0)=驮0⑺；后m力,0)=所0⑺ (k = 1,2),
где 必о(力)，荻。(力)，妆о(力)，5ko(力)一заданные начальные перемещения и скорости точек срединных поверхностей несущих слоев.
Решение начально-краевой задачи (5)-(7) проводится методом Бубнова- Галеркина при р = 0. Для этого искомые перемещения 〃1(力),〃2(力),Wi(rc), 仅2(力)и нагрузка q(力,力)представляются в виде разложения в ряды по системам базисных функций, удовлетворяющих принятым граничным условиям (6):
〃1 = £ COS 罕Ю； 〃2 = £ COS ?陋⑴； 7n=07n=0
仅1 = e sin ^^tе36仅2 = e sin ^^7m4(力)；(8)
7n = 17n = 1
仪力,力)=esin可％m(力)，
где 4俏⑴—коэффициенты разложения нагрузки в ряд:
I
Qrn(^) = / ] q(力,力)sin ^p^ dx.
0
Подстановка выражений (8) в (5) приводит к системе уравнений для определения функций времени 7^俏(力)(г = 1, 2, 3, 4). В матричном виде она будет следующей (индекс т опущен):
lB]{T}^[M]{f} = {Q}.⑼
Здесь [В] — квадратная матрица четвертого порядка, составленная из коэффициентов Bmij, определяемых через параметры 仇，зависящие от m; [М] — диагональная матрица четвертого порядка с элементами Mmij； {Т} и {Т} — векторы, сформированные из искомых функций времени Т^ и их вторых производных; {Q} — вектор, элементы которого Qm^ составлены из коэффициентов разложения
о оQmОо оQmОнагрузки в ряд:
о о
Qm
О
о о
Qm
О
О т2О
[7И] =/ 7ГШ\2
О о оО о оО О пи + д(7 丿
О о о
О о о
Систему (9) можно переписать в виде
4
^2 BmkjTmj + MmkkTmk = Qmk (k = 1, . . . ,4).(Ю)
Здесь матрица [М] диагональная, поэтому от второй суммы осталось только одно k-e слагаемое. Для замыкания задачи к системе (10) необходимо добавить начальные условия (7).
Свободные колебания. Предполагается, что внешняя нагрузка отсутствует: q(力，力)=0. При этом условии начально-краевая задача (5)-(7) будет описывать свободные колебания рассматриваемого трехслойного стержня. Система уравнений (10) в этом случае примет вид (Q^ = 0)
4
^2 BmkjTmj + Мткк宁тк =。 (k = 1, . . . , 4).(И)
Решение системы (11) представляется в виде
Тщ/г(力)=^mk sin (幻俏力 +(12)
где Amk — амплитуда, a^ — начальная фаза и 幻左一частота колебаний.
Подстановка выражения (12) в систему (11) приводит к обобщенной задаче на собственные значения:
[В]{А} = ^ [М]{А},(13)
где {А} — вектор, сформированный амплитудами Ат^.
Обращение в (13) матрицы [М], так как она не является вырожденной, осуществляет переход к стандартной задаче на собственные значения:
阳{4} = J {4} ; [R]=[陷т 附；(阳-/砂{А} = 0.(14)
Система уравнений (14) однородна относительно амплитуд Ат^. Нулевое решение в рассматриваемом случае означает отсутствие колебаний. Для нахождения нетривиального решения необходимо потребовать равенство нулю определителя системы. Это приводит к получению алгебраического уравнения 4-го порядка относительно 说.Решив его, получим четыре вещественных неотрицательных
Колебания трехслойного стержнл при локальных и импульсных воздействия 267 корня. Таким образом, колебательный процесс для каждого значения параметра т оказывается четырехчастотным. Следовательно, вместо решения (12) нужно принять
4
Tmk(t) = ^2 k£ sin (幻俏^力 + Oimi^. (15) i=l
Искомые перемещения теперь определяются выражениями (8) с учетом (15). Определение 20 констант интегрирования Ат^, ami для каждого т проводится следующим образом. Если подставить найденные 幻3 в систему (13), то для каждого k = 1, 2, 3, 4 следует четыре уравнения, из которых три независимые. К этим двенадцати независимым однородным уравнениям нужно добавить еще восемь неоднородных уравнений, которые определяются из начальных условий (7). Заметим, что если все начальные условия нулевые, то и все 4俏^, Qmj будут равны нулю в силу единственности решения однородной алгебраической системы уравнений — без начальных перемещений и скоростей свободные колебания не возникают.
Численное исследование частот свободных колебаний проводилось для трехслойного стержня, набранного из материалов Д 16Т-фторопласт-Д16Т [4]. В табл. 1 приведены значения всех четырех частот 幻俏〃 для каждого параметра m = 0,9 при толщине слоев h± = 0,01,坛=0,05; %з = 0,18.
Таблица 1
т
0
1
2
3
4
"ml
0
444
2176
4 994
7971
4 516
8 284
10466
10 433
11280
^шЗ
13 493
13 540
20 531
29 431
38 701
^ш4
0
16 239
30442
45 395
60415
m
5
6
7
8
9
"ml
8 466
8 283
8 202
8 390
8 931
^m2
15 911
22 509
30 230
38 843
48193
^шЗ
48 087
57 526
66 998
76 493
86 006
^ш4
75 460
90 518
105 585
120 660
135 741
Здесь следует отметить отсутствие устойчивого роста первых двух минимальных частот с увеличением параметра т. В то же время для 幻俏3 и 幻俏4 это явление имеет место.
На рис. 2, 3 показано изменение минимальных частот 幻7nl в зависимости от толщины первого несущего слоя 伉 и толщины заполнителя %з соответственно. Номера кривых совпадают со значением параметра т = 1, 2, 3, 4.
При увеличении толщины жесткого первого несущего слоя (坛=0,05; с = 0,09) частоты растут. Рост толщины относительно мягкого заполнителя 的=0,05; h± = =0,01) приводит к их уменьшению. Масштаб кривой 1 на рис. 3 увеличен по оси ординат в 20 раз для более удобного зрительного восприятия.
Вынужденные колебания. Для их рассмотрения необходимо предварительно образовать вспомогательные зависимости. Функции (15) Тт^^) представляются
Рис. 2Рис. 3Рис. 2Рис. 3
Рис. 2Рис. 3
Рис. 2Рис. 3
в виде разложения по собственным формам:
(16)(16)4
(16)
(16)
Ттк — ^2
i=l
где Smki — амплитуды нормированных собственных форм колебаний. Функции Cmi(t) определяются из системы уравнений
(17)(17)Сшг + ^rniCmi — Qmi (^) ?
(17)
(17)
где qmi — компоненты приведенной силовой нагрузки,
4
〉:Qmk^mki
Qmi =Qmi =k = l
Qmi =
Qmi =
〉:^mkk^mki
k = l
Для пояснения указанной процедуры нужно подставить выражение (15), в котором коэффициенты А^ заменены нормированными амплитудами S^i, в уравнение (11). В результате:
4
£2 BmkjSmij = ^mi ^mkk ^mik •(18)
Далее выражение (16) подставляется в (10) и проводится замена (18). После этого умножение кто уравнения на 統^ (г = 1, 2, 3, 4), суммирование по к и использование свойства ортогональности собственных форм:
^mll^mlt^mlp + ^т22 ^m2t ^m2p + ^тЗЗ ^m^t ^тЗр + -^m44^m4t^m4p — 0, если t ^ р, позволяет получить четыре уравнения (17), содержащие лишь одну неизвестную функцию &н(%) и ее вторую производную.
Общее решение дифференциального уравнения (17) можно принять в виде
етПе(力)=^тг COS (公俏6力)+ вm1 sin (公俏6力)+( sin(Ct?mj{t - 7))g^(т)С/т. (19)
О
После взятия интеграла в (19) искомые перемещения представляются в виде сумм произведений《俏〃⑴ на соответствующие коэффициенты 6俏左£ и исходные координатные функции, указанные в (8).
В качестве примера рассматриваются колебания трехслойного стержня под действием различного вида равномерно распределенных поверхностных нагрузок, приложенных к внешней плоскости первого слоя. Начальные условия предполагаются нулевыми, поэтому Ami = Bmi = 0. При численном счете принимаются: интенсивности нагрузки Qo = 1,5 • 106 Па и импульса — q = 104 Па • с; относительные толщины слоев — h± = 0,01, 坛 = 0,05, с = 0,09; момент времени 力о = 0,07 с, при котором прогибы максимальны; для импульсных воздействий 力i = 0,035 с.
На стержень действует локальная динамическая поверхностная нагрузка, равномерно распределенная до сечения х = b ^ 1. Ее можно представить в аналитическом виде с помощью функции Хевисайда Но (力),которая равна единице при положительном аргументе и обращается в нуль на остальной числовой оси:
q(力,力)=qu(t)Hu(b - ж).(20)
Подставив нагрузку (20) в формулу (8), получим параметры Qm(Z):
Qrn = J j qo⑴Яо(6 - ж) sin ^р^ dx = ?绊)(1 - cos ^^^ .(21)
о
Далее функции ^m^(Z)определяется из соотношения (19) с учетом (21), после чего Trni(t) следуют из (16). Если интенсивность нагрузки Qo = const, то функцию времени получаем в явном виде:
=2qo3rпзК)—cos 3rп/)) ° _ cQs 号^) ,(22)
万m^m%〉: ^mkk^mki
k = l
где 5rnki — амплитуды нормированных собственных форм колебаний; Мт^к — элементы матрицы масс, введенной в (9).
Сходимость рядов (8) с учетом функции (22) исследовалась на примере прогиба первого слоя wi，Численный счет показал, что при вычислении перемещений достаточно ограничиться первыми 14 слагаемыми. Если добавить еще 36 членов ряда, то они внесут поправку, не превышающую 0,05 %.
На рис. 4, 5 показаны изменения прогибов w^ и продольных перемещений Ui в несущих слоях вдоль оси стержня соответственно. Номер кривой совпадает с номером слоя. Нагрузка Qo распределена по всей поверхности первого слоя. Прогибы достигают максимума в центре стержня, продольные перемещения здесь меняют знак.
Рис. 6 иллюстрирует нелинейный рост прогибов в несущих слоях (ж = 0,5) при увеличении области действия локальной распределенной нагрузки. Максимальное различие прогибов наблюдается при 6 = 1.
В этом же поперечном сечении (ж = 0,5) приведены графики изменения прогибов несущих слоев во времени, при нагрузке распределенной по всей поверхности
Рис. 4Рис. 5Рис. 4Рис. 5
Рис. 4Рис. 5
Рис. 4Рис. 5
стержня (рис. 7). Процесс носит отнулевой характер, что обусловлено нулевыми начальными условиями движения.
Рис. 6Рис. 6Рис. 7Рис. 7
Рис. 6
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 7
(23)(23)(24)(24)
(23)
(23)
(24)
(24)
На всех описываемых рисунках выполняется условие Wi < W2, что говорит о поперечном сжатии заполнителя в момент времени 力о. Г рафик изменения деформации ezz в заполнителе вдоль оси стержня показан на рис. 8. Максимум относительного обжатия (1,5 %) достигается в поперечном сечении посередине стержня.
В начальный момент времени на часть поверхности стержня до сечения ж = = 6^1 воздействует мгновенный равномерно распределенный силовой импульс ди = const. Нагрузку в этом случае можно записать в виде
q(力，t) = qM6(t)H()(b - ж).
Ее параметры разложения в ряд по базисным функциям следующие:
QmQmI j qM6(t)H0(b - х) sin T dx = ^^ (1 - cos ^ 0
Qm
Qm
Искомая функция времени, соответствующая (24), будет
/⑴=2飯3弋sin (м)(1 _ cos ^) .(25)
КТПЗт^〉: ^mkk^mki
Рис. 8 Рис. 9Рис. 8 Рис. 9
Рис. 8 Рис. 9
Рис. 8 Рис. 9
На рис. 9, 10 показано изменение прогибов 例 и продольных перемещений Ui в несущих слоях вдоль оси стержня в момент времени 力＞ Номер кривой совпадает с номером слоя. Импульс (23) распределен по всей поверхности первого слоя. Здесь, как и при ударном нагружении (см. рис. 6, 7), прогибы достигают максимума в центре стержня, продольные перемещения там равны нулю.
Рис. 10 Рис. 11Рис. 10 Рис. 11
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 10 Рис. 11
Г рафик изменения вдоль оси стержня деформации ezz^ характеризующей обжатие заполнителя, показан на рис. 11. Максимум (1,8 %) достигается не посередине стержня, а в сечениях 力i = 0,3,力2 = 0,7.
Рис. 12 иллюстрирует нелинейный рост прогибов в сечении 力=0,5 при увеличении области действия локального импульса ди. Максимальное различие прогибов наблюдается при полной загрузке стержня (6 = 1).
Различия в характере колебаний при импульсном ди (1) и динамическом до (2) воздействиях видны из рис. 13. При одинаковой частоте в первом случае цикл колебаний симметричен, во втором — отнулевой. Прогибы рассчитаны при нагрузках, распределенных по половине стержня (6 = 0,5).
Рис. 12Рис. 13Рис. 12Рис. 13
Рис. 12Рис. 13
Рис. 12Рис. 13
На исследуемый трехслойный стержень действует динамическая поверхностная нагрузка, равномерно распределенная в интервале а，力，6. Ее можно записать как разность двух нагрузок (20):
q(力,力)=qo⑴(Ho(b - ж) - H«a -力)).(26)
Коэффициенты разложения нагрузки (26) в ряд будут
…嚅(cos 嘗-cos ^) •(27)
Соответствующая (27) функция времени при Qo = const следующая:
⑴=ZqoB^K)—cos3m/)) (cos 嘗—COS ^) •(28)
TV ТП3 r1rli £ Mmkk^mki
При a = 0 из (28) следует решение (22).
Рис. 14 показывает изменение прогибов в несущих слоях стержня в зависимости от расположения левого края (6 — a = 0,25) кольца нагрузки Qo в момент t^. Максимальные прогибы и обжатие заполнителя наблюдаются при центральном расположении нагрузки (а = 0,375). Номер кривой совпадает с номером слоя.
Мгновенный равномерно распределенный импульс поверхностной нагрузки ди = const действует на стержень в интервале a，力，6. Аналитическое выражение нагрузки можно записать в виде разности двух импульсов (23):
q(力,t) = q^(t)(HQ(b - ж) - Яо(а -力))•(29)
Параметры разложения нагрузки (29) в ряд будут
=也迎2 (cos 干-cos .(30)
7ГШ \ II 7
После чего получим искомую функцию времени, соответствующую (30):
=2q"弋Sin(uw±) (cos 嘗-cos * •(31)
7VTTL3 叽 I £ Mmkk^mki
При a = 0 из (31) следует решение (25).
Рис. 15 показывает изменение прогибов в несущих слоях стержня в зависимости от расположения левого края (6 — а = 0,25) импульса ди в момент 力＞ Максимальные прогибы и наибольшее обжатие заполнителя наблюдаются при центральном расположении нагрузки (а = 0,375).Рис. 15 показывает изменение прогибов в несущих слоях стержня в зависимости от расположения левого края (6 — а = 0,25) импульса ди в момент 力＞ Максимальные прогибы и наибольшее обжатие заполнителя наблюдаются при центральном расположении нагрузки (а = 0,375).Рис. 15Рис. 15
Рис. 15 показывает изменение прогибов в несущих слоях стержня в зависимости от расположения левого края (6 — а = 0,25) импульса ди в момент 力＞ Максимальные прогибы и наибольшее обжатие заполнителя наблюдаются при центральном расположении нагрузки (а = 0,375).
Рис. 15 показывает изменение прогибов в несущих слоях стержня в зависимости от расположения левого края (6 — а = 0,25) импульса ди в момент 力＞ Максимальные прогибы и наибольшее обжатие заполнителя наблюдаются при центральном расположении нагрузки (а = 0,375).
Рис. 15
Рис. 15
На стержень действует динамическая погонная поперечная сила Qo = const, приложенная в сечении на расстоянии а от начала координат:
(32)(32)Q(x, t) = QqHq^ - x)Hq(x - a).
(32)
(32)
Решение задачи проведем, применяя результаты (26)-(28) для распределенной на интервале а — с^х^а-\-с поверхностной нагрузки Qo- Предполагая, что величина с мала, введем в функции (28) замену Qo — Qo/(2с) и устремим с к нулю, оставляя Qo постоянной. Тогда
С G)_ 2Qo3m3£ (1 - cos Зтп/)) Нт 丄(cos 7rm9 - с) _ cQg 7rm(a + c))
2 32CT。2c〈 II )
7Vm3fmi〉」^mkk^mki
k=l
Используя определение производной как отношения приращения функции к приращению аргумента и учитывая правила дифференцирования тригонометрических функций, имеем
&2£ (力)=&2£ (力)=^Qo^mSi (1 — COS(3mit))^Qo^mSi (1 — COS(3mit))43rnil〉: ^mkk^mkik=l43rnil〉: ^mkk^mkik=l.7rmasin —-—..7rmasin —-—.(33)(33)
&2£ (力)=
&2£ (力)=
^Qo^mSi (1 — COS(3mit))
^Qo^mSi (1 — COS(3mit))
4
3rnil〉: ^mkk^mkik=l
4
3rnil〉: ^mkk^mkik=l
.7rmasin —-—.
.7rmasin —-—.
(33)
(33)
На рис. 16, 17 показано изменение прогиба wi и тангенциального перемещения 〃1 в зависимости от места приложения поперечной силы Qo = 1,5 • 106 Н/м в момент to： 1 — а = 0,25; 2 — а = 0,5; 3 — а = 0,75. Перемещения достигают максимальных величин, если сила приложена посередине стержня. Если она приложена на концах, поперечные колебания не возникают.
Рис. 18 иллюстрирует изменение прогибов в срединном поперечном сечении (ж = 0,5) несущих слоев по мере продвижения силы Qo по стержню. Максимум перемещений и величины обжатия заполнителя достигается при силе, приложенной посередине стержня. Изменение соответствующей поперечной деформации szz вдоль оси стержня при a = 0,5 показано на рис. 19.
〃1〃1Рис. 18Рис. 18
〃1
〃1
Рис. 18
Рис. 18
Колебательный процесс здесь, как и при поверхностной нагрузке, носит отну- левой характер. На рис. 20 приведены прогибы несущих слоев в срединном сечении (ж = 0,5), в котором приложена сила Qo (а = 0,5). Они изменяются во времени с одинаковой частотой, причем wi < W2, что говорит об обжатии заполнителя.
На трехслойный стержень в сечении х = а воздействует мгновенный импульс поперечной силы QH = const. Соответствующую нагрузку можно записать в следующем аналитическом виде:
(34)(34)Q(力,t) = QHJ(Z)H0(« - x)Hq(x - a).
(34)
(34)
Решение задачи проведем, применяя результаты (29)-(31) для мгновенного импульса поверхностной нагрузки ди, действующего на внешний слой стержня в интервале а — с^х^а-\-с. Предполагая, что с《 1, введем в функцию (31) замену ди = QH/(2с) и устремим с к нулю. Тогда для искомой функции времени имеем
&П£ (力)—&П£ (力)—^Qn^mSi Sin (&тК)4万^&тп£〉］ ^mkk^mkik=l^Qn^mSi Sin (&тК)4万^&тп£〉］ ^mkk^mkik=llim ctOlim ctO1 / 7rm(a — c)—cos42c \/1 / 7rm(a — c)—cos42c \/—cos—cos7rm(a + c)7rm(a + c)
&П£ (力)—
&П£ (力)—
^Qn^mSi Sin (&тК)
4
万^&тп£〉］ ^mkk^mki
k=l
^Qn^mSi Sin (&тК)
4
万^&тп£〉］ ^mkk^mki
k=l
lim ctO
lim ctO
1 / 7rm(a — c)
—cos4
2c \/
1 / 7rm(a — c)
—cos4
2c \/
—cos
—cos
7rm(a + c)
7rm(a + c)
Вычислив предел, получим функцию, соответствующую нагрузке (34):
^mil〉: ^mkk^mki
Рис. 20Рис. 20Рис. 21Рис. 21
Рис. 20
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 21
На рис. 21, 22 показано изменение перемещений wi и 〃i вдоль оси стержня в зависимости от места приложения импульса силы QH = 104 Н с/м, вычисленные с использованием функции (35) в момент 力з 1 — а = 0,25; 2 — а = 0,5; 3 — а = =0,75. Перемещения максимальны, если импульс действует посередине стержня. Если же он приложен на концах, то поперечные колебания не возникают.
Здесь происходит как обжатие, так и растяжение заполнителя. Г рафик изменения соответствующей деформации ezz вдоль оси стержня (а = 0,5) показан на рис. 23. Максимум относительного обжатия (3,8 %) достигается в тех же сечениях (Ж1 = 0,3,力2 = 0,7), что и при импульсе поверхностной нагрузки (см. рис. 11). Растяжение не превышает 2 %.
Колебательный процесс здесь, как и при импульсе поверхностной нагрузки, представляет собой симметричный цикл. На рис. 24 приведены прогибы несущих слоев в срединном сечении (ж = 0,5), в котором приложен импульс силы QH (а = =0,5). Наблюдается как обжатие, так и растяжение заполнителя.
Аналогичные графики тангенциальных перемещений и^ содержит рис. 25. Здесь перемещение 〃i на порядок больше 〃2・
На трехслойный стержень в сечении х = а действует динамический поперечный момент интенсивности Mq = const. Нагрузка записывается в виде
(36)(36)М(х, t) = М()Но(а — x)Hq(x — а).
(36)
(36)
Решение задачи проведем, используя сумму решений (33) для двух погонных сил (32), равных по величине, направленных в противоположные стороны и действующих в близко расположенных сечениях х = а — сих = а-\-с. В этой сумме введем замену Qo = 7Ио/(2с) и устремим с к нулю. В результате для функций времени, соответствующей (36), имеем
&2£ (力)=&2£ (力)=27Vfo^m3« (1 — COS (&тК))27Vfo^m3« (1 — COS (&тК))4^тг^〉: ^mkk^mki4^тг^〉: ^mkk^mkilim стОlim стО1 / .^ 7rm(a + c) sin 7r^(a — c))1 / .^ 7rm(a + c) sin 7r^(a — c))
&2£ (力)=
&2£ (力)=
27Vfo^m3« (1 — COS (&тК))
27Vfo^m3« (1 — COS (&тК))
4
^тг^〉: ^mkk^mki
4
^тг^〉: ^mkk^mki
lim стО
lim стО
1 / .^ 7rm(a + c) sin 7r^(a — c))
1 / .^ 7rm(a + c) sin 7r^(a — c))
После вычисления предела получим
7rma cos —；—.7rma cos —；—.(37)(37)2M07rmJm3i (1 - cos Зтп/))
7rma cos —；—.
7rma cos —；—.
(37)
(37)
4
^mU〉: ^mkk^mkik=l
На рис. 26 показано в момент 力о изменение прогибов посередине несущих слоев (ж = 0,5) в зависимости от места приложения поперечного погонного момента Mq = I。' Н. Г рафики рассчитаны с использованием функции (37), они симметричны относительно середины стержня и достигают максимумов, если момент приложен на концах стержня. По мере продвижения момента слева направо обжатие заполнителя постепенно уменьшается до нуля и меняет знак.
Г рафики на рис. 27 отражают динамический процесс во времени на правом конце стержня, если момент Mq приложен там же. Отличительной особенностью является то, что тангенциальные перемещения Ui в несущих слоях колеблются в противофазе.
Теперь рассмотрим воздействие на стержень импульса момента 7Ии = const, приложенного в поперечном сечении х = а трехслойного стержня:
М(ж, t) = М^б^Н^а — х)Н0(х — а). (38)
Рис. 26Рис. 27Рис. 26Рис. 27
Рис. 26Рис. 27
Рис. 26Рис. 27
Для нахождения соответствующей (38) функции времени используем разность решений от двух одинаковых импульсных погонных сил, действующих в сечениях х = а — снх = а-\-с. Проведя замену в (36) QH = 7Ии/ (2с) и устремив с к нулю, получим
&2£ (力)=&2£ (力)=2Л<^и^тЗг sin (&тК)2Л<^и^тЗг sin (&тК)4^тг^〉: ^mkk^mki4^тг^〉: ^mkk^mkilim стОlim стО1 / . 7rm(a + с) . 7rm(а —с))1 / . 7rm(a + с) . 7rm(а —с))k=lk=lПосле вычисления предела имеемПосле вычисления предела имеем&П£ (力)—&П£ (力)—2МИТГт6тЗг sin (cJmit)2МИТГт6тЗг sin (cJmit)43mil〉： ^mkk^mkik=l43mil〉： ^mkk^mkik=l7rmacos —：—.7rmacos —：—.На рис. 28 показано изменение во времени прогиба срединного сечения первого несущего слоя, если распределенный моментный импульс 7Ии = 103 Н • с приложен в крайнем правом сечении трехслойного стержня. Колебательный процесс представляет собой симметричный цикл.На рис. 28 показано изменение во времени прогиба срединного сечения первого несущего слоя, если распределенный моментный импульс 7Ии = 103 Н • с приложен в крайнем правом сечении трехслойного стержня. Колебательный процесс представляет собой симметричный цикл.
&2£ (力)=
&2£ (力)=
2Л<^и^тЗг sin (&тК)
2Л<^и^тЗг sin (&тК)
4
^тг^〉: ^mkk^mki
4
^тг^〉: ^mkk^mki
lim стО
lim стО
1 / . 7rm(a + с) . 7rm(а —с))
1 / . 7rm(a + с) . 7rm(а —с))
k=l
k=l
После вычисления предела имеем
После вычисления предела имеем
&П£ (力)—
&П£ (力)—
2МИТГт6тЗг sin (cJmit)
2МИТГт6тЗг sin (cJmit)
4
3mil〉： ^mkk^mkik=l
4
3mil〉： ^mkk^mkik=l
7rma
cos —：—.
7rma
cos —：—.
На рис. 28 показано изменение во времени прогиба срединного сечения первого несущего слоя, если распределенный моментный импульс 7Ии = 103 Н • с приложен в крайнем правом сечении трехслойного стержня. Колебательный процесс представляет собой симметричный цикл.
На рис. 28 показано изменение во времени прогиба срединного сечения первого несущего слоя, если распределенный моментный импульс 7Ии = 103 Н • с приложен в крайнем правом сечении трехслойного стержня. Колебательный процесс представляет собой симметричный цикл.
При импульсном нагружении моментом 7Ии в сечении по середине стержня (а = 0,5) происходит как обжатие, так и растяжение (в районе опор) заполнителя. Г рафик изменения соответствующей поперечной деформации £zz вдоль оси
стержня показан на рис. 29. Максимум относительного обжатия достигается в сечении ж = 0,7, растяжения — 力2 = 0,2.
Таким образом, в работе исследованы свободные и вынужденные колебания трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем. Рассмотрены случаи воздействия локальных и импульсных поверхностных нагрузок, сосредоточенных сил и моментов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ. (Код проекта Р 2003 юг, 03-01096 028.)
Список литературы
Mirs a S., Singh А. V. Axisymmetric vibration of circular sandwich plates / / AIAA Journal. 1974. T. 12, № 10. P. 1418-1420.
Григолюк 9. И., Кассихин В. Н. Малые поперечные колебания слоистых круговых пластин // Пробл. прочности. 1982. № 10. С. 65-68.
Горшков А. 77, Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Гармоническое нагружение слоистых вязкоупругопластических систем // Изв. РАН. МТТ. 2000. №6. С. 91-98.
Горшков А. 77, Старовойтов Э. И., Тарлаковский Д. В. Теория упругости и пластичности. —М.: Физматлит, 2002. — 416 с.
Горшков А. 77, Старовойтов 3.〃., Яровая А. В. Колебания круглой линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки // Пробл. прочности. 2001. № 3. С. 100-107.
Воробьев С. А. Истинные и ложные резонансные режимы колебаний трехслойного стержня // Материалы, технологии, инструменты. 2002. Т. 7, № 2. С. 14-18.
Старовойтов Э. И., Яровая А. В., Леоненко Д. В. Деформирование упругого трехслойного стержня локальными нагрузками // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2001. №4. С. 37-40.
РОЛЬ ТОНКИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ ПРИТРЕНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ И КАЧЕНИЯ
〃.。Горячева
Институт проблем механики РАН
Среди работ А.Ю. Ишлинского важное место занимают публикации, посвященные изучению трения и особенностей его проявления при разных видах перемещения тел. Им построена теория трения качения жесткого катка по упругому и вязкоупругому основанию [1-3], позволившая изучить влияние относительного проскальзывания поверхностей в пределах площадки контакта (этот источник диссипации энергии при качении впервые был обнаружен О. Рейнольдсом [4]), и несовершенной упругости реальных материалов (см. [5]) на сопротивление перекатыванию тел. Эти исследования, проведенные на упрощенных стерженьковых моделях упругого и вязкоупругого материала, позволили, в частности, объяснить немонотонную зависимость силы трения качения от скорости, установить зависимость сопротивления качению от коэффициента трения скольжения взаимодействующих тел, определить все контактные характеристики (распределение нормальных и тангенциальных напряжений, величину относительного проскальзывания, момент трения качения и т. д.). В дальнейшем развитие теории трения качения шло по пути усложнения моделей взаимодействующих тел, одновременного учета нескольких факторов, влияющих на сопротивление перекатыванию. Подробный обзор работ в этом направлении можно найти в монографиях [6-8].
Экспериментально доказано, что сила сопротивления относительному перемещению поверхностей в условиях качения или скольжения в той или иной степени всегда зависит от скорости, что часто является проявлением несовершенной упругости не самих взаимодействующих тел, а тонких поверхностных слоев, их покрывающих. Взаимодействие поверхностей, покрытых тонкими твердыми слоями или пленками, исследуется путем анализа контактных задач для слоистых сред. При этом реологические свойства поверхностных слоев учитываются при постановке контактных задач путем моделирования поверхностного слоя вязкоупругой средой. В работе [9] методом преобразований Фурье рассмотрена задача в плоской постановке о движении нагрузки по границе вязкоупругой полосы, сцепленной с вязкоупругой полуплоскостью, и исследованы деформации и напряжения сдвига в слое и основании. Контакт качения двух цилиндров, покрытых вязкоупругими слоями, изучался теоретически и экспериментально [Ю, п]. В этих работах развиты численные методы определения напряжений в контактных задачах для слоистых упругих и вязкоупругих тел. Заметим, что полученное А. Ю. Ишлинским решение задачи о качении жесткого цилиндра по вязкоупругому основанию [1] позволяет оценить влияние реологических свойств поверхностного слоя на силу сопротивления перекатыванию, если предположить, что модуль упругости основания много больше модуля упругости слоя (т. е. в предположении абсолютной жесткости основания).
При скольжении шероховатых тел зависимость контактных характеристик и трения от скорости и свойств поверхностного слоя имеет более сложный характер.
Ниже приведены решения двух контактных задач — периодической контактной задачи об установившемся скольжении упругого индентора по вязкоупругому слою, сцепленному с упругим основанием (в плоской квазистатической постановке), и задачи о качении упругого цилиндра по упругому основанию, имеющему тонкий вязкоупругий поверхностный слой, — которые в развитие теории трения, разработанной А. Ю. Ишлинским, позволяют изучить роль несовершенной упругости поверхностного слоя, параметров микрогеометрии индентора и относительного проскальзывания поверхностей при качении и скольжении упругого индентора по упругому основанию.
Скольжение шероховатого упругого индентора по вязкоупругому слою, сцепленному с упругим основанием. Постановка задачи. Схема контакта шероховатого упругого индентора с упругой полуплоскостью, имеющей на поверхности тонкий вязкоупругий слой толщины %, изображена на рис. 1. Форма индентора описывается периодической (с периодом /) функцией /(ж), т. е. /(ж)= =/ (ж + /) для всех х. Индентор скользит по основанию с постоянной скоростью V и находится под действием нагрузки на период Р.
⑴⑴Введем неподвижную (ж7, д') систему координат, связанную с основанием, и подвижную (力，у), связанную с движущимся цилиндром. При этом
⑴
⑴
xf = х Vt, у' = у.
При равномерном движении цилиндра движение среды можно считать установившимся по отношению к системе координат (力,у). В этой системе координат смещения и напряжения не зависят явно от времени t и являются функциями координат (ж, у).
Рис. 1. Схема скольжения шероховатого индентора по границе слоя, сцепленного с основаниемРис. 1. Схема скольжения шероховатого индентора по границе слоя, сцепленного с основанием
Рис. 1. Схема скольжения шероховатого индентора по границе слоя, сцепленного с основанием
Рис. 1. Схема скольжения шероховатого индентора по границе слоя, сцепленного с основанием
Рассмотрим одномерные модели поверхностного слоя, для которых давление не меняется по толщине слоя, т. е. р(ж, у) = р(ж, 0) = р(ж, %) = р{х) для всех у е С [0, h\. Для упрощения анализа предположим также, что тангенциальные напряжения не влияют на распределение давлений. Тогда справедливо следующее соотношение между нормальными упругими перемещениями з граничных точек индентора (£ = 1) и полуплоскости (£ = 2) и давлениями р(ж), распределенными периодически внутри площадок контакта [(2п + 1)//2 — а, (2п + 1)//2 + 6](几=
=±1,±2, • • •) (см. [12]):
//2+6
⑵⑵力(力)+。2(力)=-^г ] p(a?,)ln|2sin「3 J *)口 dx\//2 — a
⑵
⑵
где Е* =где Е* =++—эквивалентный модуль упругости.—эквивалентный модуль упругости.Для определенности положим, что функция /(ж) имеет видДля определенности положим, что функция /(ж) имеет вид⑶⑶
где Е* =
где Е* =
+
+
—эквивалентный модуль упругости.
—эквивалентный модуль упругости.
Для определенности положим, что функция /(ж) имеет вид
Для определенности положим, что функция /(ж) имеет вид
⑶
⑶
В силу гладкости индентора и периодичности задачи контактное давление р(ж) удовлетворяет следующим соотношениям:
0(g-a) =R(g + 6)=0, р(х) =р(х-Ы).(4)
Кроме того, внутри площадок контакта выполняется условие
(5)(5)01(力)+02(力)+03(力)=D - /(ж),
(5)
(5)
где D — сближение тел при их нагружении,。3 — смещение по нормали границы слоя вследствие его деформирования.
Предполагается, что слой сцеплен с полуплоскостью и на границе раздела у = =А имеют место следующие граничные условия:
и(х, h~) = и(х, h+), g(c, h~) = g(c, h+),0(c, h~) = R(c,九+), t(c,九―)=т(с, %+)•
Ниже мы рассмотрим две модели деформирования слоя.
Решение задачи для модели Максвелла. Для описания податливости поверхностного слоя при нагружении его давлением р(ж) используем модель Максвелла, для которой соотношение между производной от смещений оз в направлении оси Оу и давлением р(х) в подвижной системе координат (ж, у) имеет вид
VTn十VTn十⑺⑺do? _ hdx Еп
VTn十
VTn十
⑺
⑺
где Еп и Тп — модуль упругости и время релаксации соответственно. Как известно, модель Максвелла представляет собой пружинку с модулем Еп, последовательно соединенную с демпфером вязкости ЕпТп.
Из соотношений (2), (4), (5) и (7) следует интегральное уравнение в области ж С [//2 — a, //2 + 6] для определения контактного давления 目(力)：
2/2+Ь
一7^0⑺+告黑一書]0/⑺咛叫^^m一-尸⑺.⑻ / /2 — Q
Вводя новые переменные £ и ?у:
力=—2— +& У = ^^П + h,力=—2— +& У = ^^П + h,⑼⑼
力=—2— +& У = ^^П + h,
力=—2— +& У = ^^П + h,
⑼
⑼
а также безразмерную функцию
Ш = ^Р (匕产 + 守°(1。)
и используя конкретный вид функции /(ж) (3), уравнение (8) можно привести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
1
j 尸6) [ь 卜呜• ； 6 — £)| + 号 Sgn6 — £)] d?—牛 FU) = L(£ + e), (11) 一 1
где
=万'⑹，"费，=(i2)
々 _ НтtЕ* 丁_a+ 6_ b - a
Уравнение (11) решается совместно со следующими соотношениями, полученными из (4) и условия равновесия:
11
(13)(13)j r(£)戏=0, -L j 2F®d2 = 》
(13)
(13)
Здесь P — безразмерная нагрузка, действующая на период, т. е. Р = =2Р〃тгЕ*Н).
Решение системы уравнений (11) и (13) дает возможность определить безразмерные контактные давления 万(£) (—1 < £ < 1), размер L и смещение £ площадки
контакта:
万(£)= j F©d匕万(£)= j F©d匕l=一户[j £r(£)次l=一户[j £r(£)次一 1一 1
万(£)= j F©d匕
万(£)= j F©d匕
l=一户[j £r(£)次
l=一户[j £r(£)次
一 1
一 1
^=^ j j F(ez) In I sin J. I 6 — £) I d^d^ -an^ ?R(8) d^
Заметим, что если размер площадки контакта мал по сравнению с периодом, т. е. L/1《1, уравнение (11) преобразуется к виду, соответствующему случаю скольжения единичного индентора, форма которого описывается функцией (3), по поверхности вязкоупругого слоя [8].
Решение задачи в случае модели Кельвина. Поскольку модель Максвелла, как известно, обладает неограниченной ползучестью, с ее помощью нельзя описать восстановление формы поверхности слоя после снятия нагрузки. Поэтому мы рассмотрим также в качестве одномерной модели слоя тело Кельвина, обладающее ограниченной ползучестью [13]. В рамках этой модели упругие перемещения слоя。3 связаны с контактным давлением р(ж) соотношением
°з + Т』°з + Т』工G+7。汾工G+7。汾(14)(14)
°з + Т』
°з + Т』
工G+7。汾
工G+7。汾
(14)
(14)
где £ и Ть — времена последействия и релаксации,石厶一длительный модуль упругости. В подвижной системе координат (ж, у) соотношение (14) имеет вид
碧二工（"7。噥），碧二工（"7。噥），(15)(15)
碧二工（"7。噥），
碧二工（"7。噥），
(15)
(15)
Заметим, что нормальные смещения слоя также удовлетворяют условию периодичности:
(16)(16)03 ⑺=03(力 + /).
(16)
(16)
Исключая из уравнений (2), (5), (15) функции %(х) (г = 1, 2, 3) и используя выражение (3), получим соотношение, выполняющееся для всех точек области контакта, т. е. для ж е [//2 — а, //2 + 6]:
〃2+Ь
[ 0(犷)In 2sindc'+
/ /2 — Q
+絹0⑺+絹0⑺*"⑺=0*"⑺=09（17）9（17）
+絹0⑺
+絹0⑺
*"⑺=0
*"⑺=0
9（17）
9（17）
X e [—//2 +X e [—//2 +(18)(18)Решением уравнения (15) на ненагруженных участках, т. е. при + А //2 — а], где 目⑺=0, является функция
X e [—//2 +
X e [—//2 +
(18)
(18)
оз = “оехР("・
Эта функция должна удовлетворять условию контактирования (5) при ж = = //2 — аис = //2 + 6и условию периодичности (16), из которых следует:
//2+6
°°ехр(^^)=О —3+ 書 j 0(犷)ln|2sin 7r 3 + ；/2 —"dj
/ /2 — Q
〃2+b
"。叫° —嘉 + 書 [0(犷)ln|2sin 7r3 — ；/2 + a)|d#.
、1 eV /厶 К 7Г 也 JI6I
//2 — a
Уравнение (17) с использованием системы (19) сведено в [14] к интегро-дифференциальному уравнению вида
[万6)8(€, 8) d?—牛万(£) +万(£) = G(£),(20)
где
九万Е* 八 _ Те 广_a + b2REl‘ °t = В = 2VTJ
а ядро Н& £') и функция G(£) имеют вид
Н& 8) = in 12 sin 等 6 -矶 + 联 Ctg 等 6 Y) +
G(£) = ^l +筑G(£) = ^l +筑1 —exp 2co1 —exp 2coIn 12sin ^y (1 + g')|In 12sin ^y (1 + g')|In 12 sin 吆^1 —I I 2/In 12 sin 吆^1 —I I 2/2eL2eL1 — exp1 — exp
G(£) = ^l +筑
G(£) = ^l +筑
1 —exp 2co
1 —exp 2co
In 12sin ^y (1 + g')|
In 12sin ^y (1 + g')|
In 12 sin 吆^1 —
I I 2/
In 12 sin 吆^1 —
I I 2/
2eL
2eL
1 — exp
1 — exp
Первое соотношение (4) и уравнение равновесия в безразмерном виде запишутся как
1
(22)(22)万(—1) = 0⑴=0,]万(£) d£ = P.
(22)
(22)
一 1
Линейное интегро-дифференциальное уравнение (20) и соотношения (22) используются для определения распределения безразмерного контактного давления 万(£) (—1，£，1) и безразмерных ширины L и смещения £ площадки контакта для слоя, деформационные свойства которого описываются соотношением (14). Численное решение уравнений осуществлялось путем сведения их к линейной алгебраической системе, которая, в свою очередь, решалась методом итераций (см. [14]).
(23)(23)Распределение тангенциальных напряжений при £ е [—1,1], т. е. в области контакта, определяется соотношением
(23)
(23)
q(£)= 〃万(£),
где 从—коэффициент трения.
Анализ контактных характеристик. Полученные выше соотношения были использованы для анализа совместного влияния свойств тонкого поверхностного слоя и параметров микрогеометрии поверхности на распределение контактных давлений, размер и смещение зоны контакта.
Для модели Максвелла свойства слоя описывались параметром /Зп = =%乃石*/(2兄石九),зависящим от относительной толщины слоя h/R и его
Вт11Gl■п — TnV/ R,Вт11Gl■п — TnV/ R,относительного модуля упругости Еп/E*^ и параметром
Вт11Gl■п — TnV/ R,
Вт11Gl■п — TnV/ R,
пропорциональным скорости V скольжения индентора и времени релаксации Тп вязкоупругого слоя.
При моделировании слоя телом Кельвина его свойства описывались параметрами &丁，《о и 员 (см. (21)). Параметр ат представляет собой отношение времени запаздывания Те ко времени релаксации Та материала поверхностного слоя, причем случай ат = 1 соответствует упругому слою с модулем упругости, равным длительному модулю Е^. Параметр « зависит от времени запаздывания Т£ и скорости V скольжения индентора и представляет собой отношение времени, за которое элемент проходит расстояние, равное полуширине (а + 6)/2 области контакта, ко времени запаздывания вязкоупругого материала. Параметр 及 характеризует относительную толщину и относительный модуль упругости слоя и имеет такой же смысл, как и параметр /Зп в модели Максвелла. Случай /Зе —> +оо соответствует
модели жесткого индентора, скользящего по вязкоупругому слою, сцепленному
с жестким основанием.
Рельеф поверхности (ее шероховатость или волнистость) характеризуется плотностью контакта 5 или безразмерным расстоянием между неровностями I. Если неровности расположены далеко друг от друга (параметр / большой), значения параметра й малы.
На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов, полученные с использованием модели Максвелла. Более подробный анализ этой модели приведен в [15]. Результаты показывают, что наличие вязкоупругого поверхностного слоя приводит
к несимметричному распределению давлений на площадке контакта 4 (см. рис. 2). Контактные давления отнесены к максимальному давлению, рассчитанному по теории Герца при отсутствии вязкоупругого слоя, т. е. 0о = =д/2P /тг. Наибольшее влияние на распределение давлений (его несим- метрию) оказывает параметр ^п/ап. Несимметрия возрастает при малых значениях этого параметра. Параметр /Зп влияет, главным образом, на значение максимальных контактных давлений.
2化）勿02化）勿0Рис. 2. Распределение контактных давлений в случае модели Максвелла при а = =0,5, Р = 0,01 и /Зп = 0,1, /3n/an = 0,1 (7); 员=0,01, Bngn = 0,1 (2);统=0,01, Bngn = 0,01 (з)Рис. 2. Распределение контактных давлений в случае модели Максвелла при а = =0,5, Р = 0,01 и /Зп = 0,1, /3n/an = 0,1 (7); 员=0,01, Bngn = 0,1 (2);统=0,01, Bngn = 0,01 (з)Рис. 3 иллюстрирует изменение относительной ширины площадки контакта L/Lo, где Lq — безразмерная ширина площадки контакта, рассчитанная по теории Герца, Lq =，2P, и ее
2化）勿0
2化）勿0
Рис. 2. Распределение контактных давлений в случае модели Максвелла при а = =0,5, Р = 0,01 и /Зп = 0,1, /3n/an = 0,1 (7); 员=0,01, Bngn = 0,1 (2);统=0,01, Bngn = 0,01 (з)
Рис. 2. Распределение контактных давлений в случае модели Максвелла при а = =0,5, Р = 0,01 и /Зп = 0,1, /3n/an = 0,1 (7); 员=0,01, Bngn = 0,1 (2);统=0,01, Bngn = 0,01 (з)
смещения £ в зависимости от безраз
мерного расстояния между неровностями / = l/(2R) при различных значениях параметров /Зп и Вп1 а”，Результаты показывают, что параметр / оказывает существенное влияние на контактные характеристики, когда он мал (/，0,6). В этом диапазоне при уменьшении параметра / ширина площадки контакта уменьшается, а ее смещение растет. При больших значениях / контактные характеристики
соответствуют решению задачи о скольжении единичной неровности по границе вязкоупругого слоя (см. [8]). Поэтому при /》0,6 контактные характеристики можно определять по упрощенной модели, не учитывающей взаимного влияния неровностей. Из полученных результатов также следует, что ширина площадки контакта и ее смещение уменьшаются при увеличении параметра ^п/ап^ а также при уменьшении /Зп.
Результаты расчетов, полученные с использованием модели Кельвина, представлены на рис. 4-6. На рис. 4 приведены графики зависимости безразмерного контактного давления 万 при различных значениях параметров аТ и / = //(2R). Результаты показывают, что при увеличении ат распределение в контакте становится более несимметричным. Однако уменьшение расстояния l/(2R) меж
ду неровностями, т. е. увеличение плотности контакта, частично сглаживает эту
несимметрию.
Рис. 3. Зависимость ширины (а) и смещения (5) площадки контакта от безразмерного расстояния между неровностями в случае модели Максвелла при Р = 0,01 и 统=0,1, Рп/ап = 0,1 (7); рп = 0,05, рп/ап = 0,1 (2); fin = 0,01, рп/ап = 0,01(3); fin = 0,01,Рис. 3. Зависимость ширины (а) и смещения (5) площадки контакта от безразмерного расстояния между неровностями в случае модели Максвелла при Р = 0,01 и 统=0,1, Рп/ап = 0,1 (7); рп = 0,05, рп/ап = 0,1 (2); fin = 0,01, рп/ап = 0,01(3); fin = 0,01,= 0,1 (4)= 0,1 (4)〃(2К)〃(2К)072 / О^П072 / О^ПРис. 5. Смещение области контакта как функция расстояния между неровностями в случае модели Кельвина при ат = 50, Р = 1/15 и TeV/R = 1 (7,，)，TeV/R = =10 (2, 2‘)； Ь£ = 10 (сплошные линии)И be Т +оо (штриховые линии)Рис. 5. Смещение области контакта как функция расстояния между неровностями в случае модели Кельвина при ат = 50, Р = 1/15 и TeV/R = 1 (7,，)，TeV/R = =10 (2, 2‘)； Ь£ = 10 (сплошные линии)И be Т +оо (штриховые линии)
Рис. 3. Зависимость ширины (а) и смещения (5) площадки контакта от безразмерного расстояния между неровностями в случае модели Максвелла при Р = 0,01 и 统=0,1, Рп/ап = 0,1 (7); рп = 0,05, рп/ап = 0,1 (2); fin = 0,01, рп/ап = 0,01(3); fin = 0,01,
Рис. 3. Зависимость ширины (а) и смещения (5) площадки контакта от безразмерного расстояния между неровностями в случае модели Максвелла при Р = 0,01 и 统=0,1, Рп/ап = 0,1 (7); рп = 0,05, рп/ап = 0,1 (2); fin = 0,01, рп/ап = 0,01(3); fin = 0,01,
= 0,1 (4)
= 0,1 (4)
〃(2К)
〃(2К)
072 / О^П
072 / О^П
Рис. 5. Смещение области контакта как функция расстояния между неровностями в случае модели Кельвина при ат = 50, Р = 1/15 и TeV/R = 1 (7,，)，TeV/R = =10 (2, 2‘)； Ь£ = 10 (сплошные линии)
И be Т +оо (штриховые линии)
Рис. 5. Смещение области контакта как функция расстояния между неровностями в случае модели Кельвина при ат = 50, Р = 1/15 и TeV/R = 1 (7,，)，TeV/R = =10 (2, 2‘)； Ь£ = 10 (сплошные линии)
И be Т +оо (штриховые линии)
Рис. 4. Распределение контактных давлений в случае модели Кельвина при Р = =1/15, Ь£ = 10, T£V/R = 1 и ат = 1 (7, ，),ат = 5(2, 2} ат = 50(3, 3‘);7=5以, 2, 3),7= 1 (/, 2「3，)
При малых значениях параметра //(2R) наблюдается различие в результатах, полученных с использованием моделей Максвелла и Кельвина. Результаты, основанные на модели Кельвина, предсказывают уменьшение ширины области контакта и ее смещения при уменьшении расстояния между неровностями (см. рис. 5). Этот эффект обусловлен влиянием друг на друга соседних неровностей индентора и связан, в частности, с тем, что в рассматриваемой модели вязкоупругого слоя учитывается восстановление его формы после снятия нагрузки. Действительно, из соотношений (18) и (19) следует, что смещения граничных точек слоя на ненагруженном участке (—//2 + 6, //2 — а), если пренебречь упругими свойствами
Если длина (I — а — Ь) участка между площадками контакта достаточно мала,Если длина (I — а — Ь) участка между площадками контакта достаточно мала,Рис. 6. Зависимость ширины (а) и смещения (5) области контакта, а также максимального внедрения в вязкоупругий слой (в) от параметра & в случае модели Кельвина при Р = 1/15, 6е = 10 и Z = 5 (7, _/'), 1 = 1 (2, 2‘)； ат = 50 (7, 2), ат = = 5(，3)Рис. 6. Зависимость ширины (а) и смещения (5) области контакта, а также максимального внедрения в вязкоупругий слой (в) от параметра & в случае модели Кельвина при Р = 1/15, 6е = 10 и Z = 5 (7, _/'), 1 = 1 (2, 2‘)； ат = 50 (7, 2), ат = = 5(，3)величины Атах использовалось выравеличины Атах использовалось выраI 厶2(е + 1)22I 厶2(е + 1)22
Если длина (I — а — Ь) участка между площадками контакта достаточно мала,
Если длина (I — а — Ь) участка между площадками контакта достаточно мала,
Рис. 6. Зависимость ширины (а) и смещения (5) области контакта, а также максимального внедрения в вязкоупругий слой (в) от параметра & в случае модели Кельвина при Р = 1/15, 6е = 10 и Z = 5 (7, _/'), 1 = 1 (2, 2‘)； ат = 50 (7, 2), ат = = 5(，3)
Рис. 6. Зависимость ширины (а) и смещения (5) области контакта, а также максимального внедрения в вязкоупругий слой (в) от параметра & в случае модели Кельвина при Р = 1/15, 6е = 10 и Z = 5 (7, _/'), 1 = 1 (2, 2‘)； ат = 50 (7, 2), ат = = 5(，3)
величины Атах использовалось выра
величины Атах использовалось выра
I 厶2(е + 1)2
2
I 厶2(е + 1)2
2
индентора и основания, удовлетворяют соотношению:
0з("2 — а) = р-а-Ь\оз(Т/2 + Ь)- Р〔 TeV 丿，
слой не успевает восстановить свою форму за время (/ — а — 6)/У, поскольку в этом случае (I — а — Ь)/V《 《£ и, следовательно, оз«/2 — а) ^ ^。3(—//2 + 6); это приводит к уменьшению размера области контакта и ее сдвига. Эффект уменьшения ширины области контакта при малых значениях //(2R) возникает также и за счет упругих свойств основания, на котором лежит вязкоупругий слой, и проявляется как в модели Кельвина, так и в модели Максвелла (см. рис. 3 а). Заметное влияние расстояния между соседними неровностями индентора на контактные характеристики начинает проявляться лишь при достаточно малых значениях l/(2R) (7/(2R) < 0,2). Сравнение кривых 1, 2 о 2’ на рис. 5 (последняя пара построена для случая, когда индентор и основания — жесткие тела), показывает, что учет упругости индентора и основания приводит к уменьшению смещения площадки контакта, что наиболее сильно проявляется при больших значениях параметра T£V/R, т. е. при больших скоростях скольжения. При этом, как показывают расчеты, ширина площадки контакта увеличивается.
На рис. 6 представлены графики зависимости безразмерной ширины области контакта L/Lq, ее смещения £ и максимального внедрения Атах индентора в вязкоупругий слой от параметра Со при различных аТ и /. Для определения
жение
полученное на основании соотношений (2), (5) и (19). Результаты расчетов позволяют заключить, что ширина площадки контакта и максимальное внедрение в вязкоупругий слой ограничены предельными значениями, которые они имеют при G —> 0 и G —> +оо. Случай G —> +оо, т. е. V —> 0, соответствует решению задачи о взаимодействии упругого индентора с упругим слоем, характеризующимся модулем 石厶，на упругом основании. В случае G —> 0, т. е. V —> +оо, промежуточный слой ведет себя как упругая полоса с модулем &丁石厶,называемым мгновенным модулем упругости. Заметим, что увеличение скорости скольжения V (уменьшение «) приводит к уменьшению размера площадки контакта и величины внедрения индентора (эффект всплытия). Смещение площадки контакта достигает максимума при некотором « и стремится к нулю при « —> 0 и « —> +оо. Более полный анализ контактных характеристик, полученных в рассматриваемой задаче с использованием модели Кельвина, изложен в [14].
Распределение внутренних напряжений. Полученные соотношения были использованы для анализа совместного влияния свойств поверхностного слоя, параметров шероховатости и коэффициента трения на распределение напряжений внутри упругой полуплоскости. Формулы для расчета внутренних напряжений в случае периодической контактной задачи по известным распределениям контактных напряжений 万(£) и q(£) приведены в [8].
На рис. 7 представлены изолинии функции ттах(^, ту) для двух значений плотности расположения контактных зон при взаимодействии шероховатого индентора с вязкоупругим слоем, лежащим на упругом основании. Контактное давление на периоде приложено внутри интервала (—1,1) на оси О^. Сравнение полученного распределения максимальных касательных напряжений для случая 从=0 и малой плотности расположения контактных зон (рис. 7 а) с решением для упругой полуплоскости (задача Герца) позволяет заключить, что наличие вязкоупругого слоя приводит к несимметричному по отношению к оси симметрии контактной зоны распределению напряжений ттах(^, ту). С увеличением значения /Зп (при сохранении величины ^п/ап) точка (^m, ?ут) максимума функции ттах(^, ?у) приближается к границе (значение ?ут уменьшается) и величина Ттах уменьшается [8]. В присутствии вязкоупругого слоя максимальное значение функции ттах(^, ту) достигается на границе (?ут = 0) при более высоком значении коэффициента трения по сравнению со случаем контакта двух упругих тел. Заметим, что при этом вязкоупругий слой оказывает существенное влияние на контактные характеристики (см. рис. 2 и 3) и, следовательно, на внутренние напряжения.
При высокой плотности пятен контакта (см. рис. 7 6) амплитудные значения максимальных касательных напряжений на фиксированной глубине под поверхностью близки друг к другу. Таким образом, возрастание плотности контакта приводит к возникновению на некоторой глубине напряженного подповерхностного слоя. Концентрация напряжений в этом слое может привести к развитию в нем пластических деформаций и зарождению микротрещин.
На основании проведенного анализа можно заключить, что несовершенная упругость поверхностного слоя и параметры шероховатости поверхности оказывают существенное влияние на распределение контактных и внутренних напряжений при относительном скольжении тел, при этом напряженное состояние меняется с изменением скорости скольжения. Распределение максимальных касательных напряжений для разных значений плотности контакта может быть использовано для расчета накопления поврежденности вблизи поверхности и характера усталостного разрушения при скольжении шероховатых тел (см. [8]).
Деформационная составляющая коэффициента трения. Смещение области контакта относительно оси симметрии неровности, а также несимметрия распреде-
Рис. 7. Изолинии функции 兀ах(£,//) при Вп = 0,01, {Зп/осп = 0,01, 4 = 0и(а + Ь)// = =0,1 (а), (а + Ь)// = 0,7 (5) для слоя, моделируемого телом МаксвеллаРис. 7. Изолинии функции 兀ах(£,//) при Вп = 0,01, {Зп/осп = 0,01, 4 = 0и(а + Ь)// = =0,1 (а), (а + Ь)// = 0,7 (5) для слоя, моделируемого телом Максвелла
Рис. 7. Изолинии функции 兀ах(£,//) при Вп = 0,01, {Зп/осп = 0,01, 4 = 0и(а + Ь)// = =0,1 (а), (а + Ь)// = 0,7 (5) для слоя, моделируемого телом Максвелла
Рис. 7. Изолинии функции 兀ах(£,//) при Вп = 0,01, {Зп/осп = 0,01, 4 = 0и(а + Ь)// = =0,1 (а), (а + Ь)// = 0,7 (5) для слоя, моделируемого телом Максвелла
ления контактных давлений приводят к тому, что на каждую неровность индентора действует тангенциальная сила в направлении, противоположном направлению скольжения индентора, называемая деформационной (механической) составляющей силы трения. Безразмерная величина этой силы может быть найдена из
соотношения
Г =Г =6薪片］^P^dx.6薪片］^P^dx.(24)(24)
Г =
Г =
6薪片］^P^dx.
6薪片］^P^dx.
(24)
(24)
Деформационная составляющая 〃d коэффициента трения определяется с учетом соотношений (9), (10), (12), и (24) по формуле
〃d = ^ =今］(£ + £)"(£)"&(25)
一 1
На рис. 8 представлены графики зависимостей величины 〃办 рассчитанной по формуле (25) для модели Кельвина, от параметра « при различных плотностях расположения неровностей. Результаты показывают, что деформационная составляющая коэффициента трения отлична от нуля в некотором диапазоне значений G и стремится к нулю при G —> 0 и G —> +оо. Эти предельные случаи, как отмечалось, соответствуют решению задачи в упругой постановке. С уменьшением параметра / = //(2R) коэффициент трения уменьшается. Таким образом, увеличение плотности контакта (уменьшение /) можно считать эквивалентным уменьшению эффективной вязкости слоя.
Качение упругого цилиндра по вязкоупругому слою, сцепленному с упругим основанием. Модель контактного взаимодействия. Рассмотрим контактную задачу в плоской постановке для упругого цилиндра и основания, состоящего из вязкоупругой полосы толщины %, сцепленной с упругой полуплоскостью (рис. 9). Цилиндр катится или скользит по основанию с постоянной линейной скоростью V и угловой скоростью ал Контактирующая поверхность цилиндра описывается функцией /(ж)=—力？/(2R) (R — радиус цилиндра).
10 Проблемы механики
Рис. 9. Схема контакта цилиндра с вязкоупругим слоем, сцепленным с упругим основаниемРис. 9. Схема контакта цилиндра с вязкоупругим слоем, сцепленным с упругим основаниемРис. 8. Деформационная составляющая коэффициента трения как функция параметра 《о для модели Кельвина при 6е = 10, Р = =1/15 и / = 5 (7, _/'), / = 1 (2, 2‘)； ат = =50 (сплошные линии), ат = 5 (штриховые линии)
Рис. 9. Схема контакта цилиндра с вязкоупругим слоем, сцепленным с упругим основанием
Рис. 9. Схема контакта цилиндра с вязкоупругим слоем, сцепленным с упругим основанием
При равномерном движении цилиндра движение среды можно считать установившимся по отношению к системе координат (ж, у\ связанной с движущимся цилиндром (см. (1)). В этой системе координат смещения и напряжения не зависят явно от времени t и являются функциями координат (ж, у).
Следуя Рейнольдсу [4], разобьем область контакта (—а, 6) на подобласти скольжения (S)h сцепления (А). В подобласти (S) трение скольжения моделируется законом Кулона-Амонтона:
1丁(力)1 = 〃@(力)，g = o, х е s,(26)
где т(力)и р(х) — соответственно тангенциальные и нормальные напряжения на площадке контакта, причем направление тангенциальных напряжений противоположно направлению скорости проскальзывания.
В подобласти (А) равны скорости контактирующих точек цилиндра и вязкоупругого слоя. Поэтому в системе координат (х\у‘), связанной с основанием, тангенциальные смещения и± и и соответственно точек цилиндра и основания удовлетворяют соотношению
du т г с I du 1с4
которое в системе координат (力,у), связанной с цилиндром, имеет вид
d〃i , du г八4 c 3R — V
+(27)
где b — величина относительного проскальзывания. Кроме того, в подобласти (А) нормальные и тангенциальные напряжения связаны неравенством |т(ж)|，乩р(х).
Заметим, что в случае полного скольжения закон Кулона-Амонтона (26) имеет место на всей площадке контакта (—а, 6).
Для всех точек ж С (—а, 6) нормальные перемещения граничных точек цилиндра о】，упругой полуплоскости。2 и слоя。3 (считающиеся положительными для каждого тела) удовлетворяют условию контактирования (5).
В предположении, что толщина h вязкоупругого слоя много меньше ширины (а + 6) площадки контакта, будем моделировать его нормальную и тангенциальную податливость, используя одномерную модель Максвелла, а именно:
a3 = £任+小%=备儀+户），a3 = £任+小%=备儀+户），(28)(28)
a3 = £任+小%=备儀+户），
a3 = £任+小%=备儀+户），
(28)
(28)
где 〃з — касательные смещения границы слоя (у = 0), точка сверху означает производную по времени. В этой модели Еп (石「) и Тп (7V)——модуль упругости и время релаксации слоя соответственно в направлении оси Оу (Ох). Эта модель является аналогом стерженьковой модели упругого тела, предложенной в [3].
В системе координат (ж, у) первое из соотношений (28) имеет вид
d〃3 dxd〃3 dx++(29)(29)
d〃3 dx
d〃3 dx
+
+
(29)
(29)
а второе представлено формулой (7).
В рассматриваемой модели, как и в предыдущем случае, предполагается, что нормальные и тангенциальные напряжения на верхней границе слоя (у = 0) и на границе между слоем и упругой полуплоскостью (у = %) имеют одинаковые значения. Поэтому градиент смещений границы упругих тел (цилиндра (£ = 1) и упругой полуплоскости (£ = 2)) определяется следующими соотношениями [16]:
duidxduidx(1 - 2以)(1 + Ui)(1 - 2以)(1 + Ui)EiEi0⑺-0⑺-(30)(30)dvidxdvidx(1 - 2以)(1 + 以)(1 - 2以)(1 + 以)EiEi2 (1 -喲 7Г Ei2 (1 -喲 7Г Ei(31)(31)
duidx
duidx
(1 - 2以)(1 + Ui)
(1 - 2以)(1 + Ui)
Ei
Ei
0⑺-
0⑺-
(30)
(30)
dvidx
dvidx
(1 - 2以)(1 + 以)
(1 - 2以)(1 + 以)
Ei
Ei
2 (1 -喲 7Г Ei
2 (1 -喲 7Г Ei
(31)
(31)
Уравнения (7), (29)-(31) вместе с граничными условиями (5), (26) и (27) используются для определения нормальных и тангенциальных напряжений в зоне контакта (—а, 6).
Распределение контактных давлений. Для упрощения расчетов пренебрежем влиянием тангенциальных контактных напряжений на нормальные. Тогда, используя соотношения (5), (7) и (31) (последнее рассматривается при т(力)=0), получим уравнение, совпадающее с уравнением (8), если в последнем заменить ядро в интегральном операторе на In \х — хг\. Это уравнение, как и в предыдущем разделе, может быть сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого позволяет определить безразмерные величины контактного давления @(£), длины L и смещения £ области контакта (см. (10) при / = 0, (12)), а также максимальное внедрение Атах цилиндра в вязкоупругий слой (Атах = =оз ⑺ / R). Подробное решение этого уравнения и анализ результатов содержится в [17].
Заметим, что если пренебречь упругостью цилиндра и основания и определить давление в области контакта из решения уравнения (7) с граничными условия- ю*
ми (5), то получим следующее выражение для безразмерного контактного дав
ления:
р(^)=丄 cth 1 + £р(^)=丄 cth 1 + £ехр(€/<)"sh(l/《)一ехр(€/<)"sh(l/《)一(32)(32)
р(^)=丄 cth 1 + £
р(^)=丄 cth 1 + £
ехр(€/<)"sh(l/《)一
ехр(€/<)"sh(l/《)一
(32)
(32)
Рис. 10. Распределение контактных давлений, рассчитанное с учетом (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) упругости индентора и основания при Зп = 0,1, L = 0,1 и а^ = 1 (7,丿), % = 10 (2, 2‘)Рис. 10. Распределение контактных давлений, рассчитанное с учетом (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) упругости индентора и основания при Зп = 0,1, L = 0,1 и а^ = 1 (7,丿), % = 10 (2, 2‘)скорости («п = 10), различие междускорости («п = 10), различие между
Рис. 10. Распределение контактных давлений, рассчитанное с учетом (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) упругости индентора и основания при Зп = 0,1, L = 0,1 и а^ = 1 (7,丿), % = 10 (2, 2‘)
Рис. 10. Распределение контактных давлений, рассчитанное с учетом (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) упругости индентора и основания при Зп = 0,1, L = 0,1 и а^ = 1 (7,丿), % = 10 (2, 2‘)
скорости («п = 10), различие между
скорости («п = 10), различие между
〜 Вп 2TnV
где С = —— = —^― — число Деборы, представляющее собой отношение времени релаксации Тп материала слоя ко времени, которое требуется для прохождения элементом половины ширины площадки контакта, т. е. (а + 6)/2 (см. [18]). Выражение (32) определяет распределение контактных давлений в случае, когда податливость слоя в нормальном направлении много больше податливостей основания и цилиндра, т. е. Еп/Е^《1.
На рис. 10 представлены графики функции контактного давления 目⑹/@о, где Ro = Е* LI? — максимальное контактное давление Герца, построенные при разных значениях параметра ап. Сплошные линии соответствуют общему случаю
контактного взаимодействия упругих тел при наличии между ними вязкоупругого слоя, штриховые линии построены по формуле (32) в случае пренебрежения упругими свойствами индентора и основания. Расчеты проводились при постоянной ширине площадки контакта L = =0,1, при этом варьировалась нагрузка, действующая на индентор. Результаты показывают, что с уменьшением скорости V перемещения индентора, т. е. с увеличением параметра а^ (см. (12)), эпюра распределения давлений р(£) становится более несимметричной. При фиксированном размере площадки контакта и заданных вязкоупругих характеристиках слоя контактные давления и их максимальные значения существенно зависят от упругих свойств индентора и основания при малых значениях параметра ап (больших скоростях V). Однако при уменьшении распределением давления в обоих случаях
становится пренебрежимо малым. Таким образом, вязкоупругий слой оказывает определяющее влияние на распределение контактных давлений при низких ско
ростях движения.
На рис. 11 представлены графики зависимостей безразмерной полуширины L/Lq области контакта (Lo — безразмерная полуширина области контакта в задаче Герца, Lo =，2Р), ее смещения £ = (6 — а)/(6 + а) и максимального внедрения Атах цилиндра в вязкоупругий слой от параметра /Зп/ап = Tf 丨 R、 зависящего от времени релаксации Тп и скорости V, при двух различных значениях параметра /Зп. Заметим, что параметр /Зп зависит от толщины слоя и относительных упругих характеристик слоя и основания. На основании результатов расчетов можно сделать вывод, что с увеличением параметра TnV/ R полуширина площадки контакта уменьшается и стремится к постоянному
значению (L = l,49Lo и L = 2,71Lo при /Зп = 0,1 и /3九 = 1 соответственно). При малых значениях параметра TnV/ R длина площадки контакта возрастает существенно, особенно с увеличением параметра /Зп (см. рис. 11 а). С уменьшением времени релаксации Тп и уменьшением скорости V движения индентора
возрастает смещение £ площадки контакта внедрение Атах цилиндра в вязкоупругий слой (см. рис. 11 в), что обусловлено проявлением вязкоупругих свойств поверхностного слоя. При увеличении времени релаксации или скорости V смещение £ площадки контакта становится пренебрежимо малым для всех значений параметра /Зп.
Проведенный анализ распределения контактных давлений справедлив как в случае скольжения, так и в случае качения упругого цилиндрического индентора по границе упругого основания, покрытого тонким вязкоупругим слоем.
Распределение тангенциальных напряжений на площадке контакта. Как было отмечено, при скольжении цилиндра по границе тела с покрытием тангенциальные контактные напряжения т (力)связаны с контактным давлением р(力)соотношением |т(ж)| = 〃目(力)・
В задаче о качении, если известно контактное давление, тангенциальные напряжения в области контакта могут быть получены на основании соотношений (6), (26), (27), (29) и (30). В области сцепления (А) имеет место следующее интегральное уравнение для определения функции т(ж):
(см. рис. 115) и максимальное(см. рис. 115) и максимальноеTnv/RTnv/RРис. 11. Зависимости размера (а) и смещение (5) области контакта, а также максимального внедрения цилиндра в вязкоупругий слой (в) от параметра TnV/R при Р = = 0,001 и 统= 1(7),统= 0,1 (2)Рис. 11. Зависимости размера (а) и смещение (5) области контакта, а также максимального внедрения цилиндра в вязкоупругий слой (в) от параметра TnV/R при Р = = 0,001 и 统= 1(7),统= 0,1 (2)дI д dT^VEtTt < 丿 Ет dxдI д dT^VEtTt < 丿 Ет dxж e A,(33)ж e A,(33)Н =Н =7ГЕ*7ГЕ*(1 — 2〃i)(l + %)(1 — 2〃i)(l + %)(1 — 2〃2)(1 + 〃2)后2(1 — 2〃2)(1 + 〃2)后2где
(см. рис. 115) и максимальное
(см. рис. 115) и максимальное
Tnv/R
Tnv/R
Рис. 11. Зависимости размера (а) и смещение (5) области контакта, а также максимального внедрения цилиндра в вязкоупругий слой (в) от параметра TnV/R при Р = = 0,001 и 统= 1(7),统= 0,1 (2)
Рис. 11. Зависимости размера (а) и смещение (5) области контакта, а также максимального внедрения цилиндра в вязкоупругий слой (в) от параметра TnV/R при Р = = 0,001 и 统= 1(7),统= 0,1 (2)
дI д dT^
VEtTt < 丿 Ет dx
дI д dT^
VEtTt < 丿 Ет dx
ж e A,
(33)
ж e A,
(33)
Н =
Н =
7ГЕ*
7ГЕ*
(1 — 2〃i)(l + %)
(1 — 2〃i)(l + %)
(1 — 2〃2)(1 + 〃2)后2
(1 — 2〃2)(1 + 〃2)后2
Это уравнение может быть сведено к следующему интегральному уравнению Фредгольма второго рода для определения функции q(£) = т'(£) (см. [17]):
(34)(34)з(£) = о, £ е 4,
(34)
(34)
гдегде9(£) = -6 +饱£) + 牛代)—9(£) = -6 +饱£) + 牛代)—冗ё）=小（宁+冗ё）=小（宁+Yl + ”n「，）］依，）也（35）Yl + ”n「，）］依，）也（35）a< = 2VEtT」 而=2RETa< = 2VEtT」 而=2RET
где
где
9(£) = -6 +饱£) + 牛代)—
9(£) = -6 +饱£) + 牛代)—
冗ё）=小（宁+
冗ё）=小（宁+
Yl + ”n「，）］依，）也（35）
Yl + ”n「，）］依，）也（35）
a< = 2VEtT」 而=2RET
a< = 2VEtT」 而=2RET
Кроме того, в области сцепления (&) тангенциальные напряжения удовлетворяют неравенству |т(^)| < 〃万(£).
Соотношение (26) служит для определения тангенциальных напряжений в областях проскальзывания (S). Учитывая также, что в этих зонах тангенциальные напряжения противоположны направлению проскальзывания, получим соотношение, следующее из (27), (29) и (30):
(36)(36)彳(£) = “(£)sg”(£),£ е Sg.
(36)
(36)
В точках & (£ = 1, 2,…，к) перехода из одной зоны в другую, где (к + 1)— общее количество зон сцепления и проскальзывания, имеет место условие непрерывности напряжений.
Уравнения (34) и (36) используются для определения тангенциальных напряжений в области контакта, а также расположения и размеров зон сцепления и проскальзывания. Для численного анализа полученных уравнений применялся итерационный процесс.
Задача определения тангенциальных напряжений существенно упрощается в предположении, что цилиндр и основание имеют одинаковые упругие постоянные "=0) и что модуль упругости слоя много меньше модуля упругости цилиндра и основания, т. е. Ет/Е*《1. В этом случае уравнения (34) и (36) сводятся к следующим:
гдегде冗£) = 〃D(£)sgn —冗£) + а% —笈,冗£) = 〃D(£)sgn —冗£) + а% —笈,т _ 2V7V _ 26VЕтТт hTvE* •т _ 2V7V _ 26VЕтТт hTvE* •(37)(37)(38)(38)(39)(39)Решение этих уравнений и анализ возможных расположений зон сцепления и проскальзывания на площадке контакта изложен в [17]. В результате показано, что область контакта может иметь две (сцепления и проскальзывания) или три (проскальзывания, сцепления, проскальзывания) зоны. В случае двух зон тангенциальные напряжения на площадке контакта (-1, 1) определяются по формулеРешение этих уравнений и анализ возможных расположений зон сцепления и проскальзывания на площадке контакта изложен в [17]. В результате показано, что область контакта может иметь две (сцепления и проскальзывания) или три (проскальзывания, сцепления, проскальзывания) зоны. В случае двух зон тангенциальные напряжения на площадке контакта (-1, 1) определяются по формуле“(£),“(£),£ е (—1, &),£ е (—1, &),彳(£)= <彳(£)= <— В 1 — ехр— В 1 — ехрS(&J),S(&J),(40)(40)
где
где
冗£) = 〃D(£)sgn —冗£) + а% —笈,
冗£) = 〃D(£)sgn —冗£) + а% —笈,
т _ 2V7V _ 26VЕтТт hTvE* •
т _ 2V7V _ 26VЕтТт hTvE* •
(37)
(37)
(38)
(38)
(39)
(39)
Решение этих уравнений и анализ возможных расположений зон сцепления и проскальзывания на площадке контакта изложен в [17]. В результате показано, что область контакта может иметь две (сцепления и проскальзывания) или три (проскальзывания, сцепления, проскальзывания) зоны. В случае двух зон тангенциальные напряжения на площадке контакта (-1, 1) определяются по формуле
Решение этих уравнений и анализ возможных расположений зон сцепления и проскальзывания на площадке контакта изложен в [17]. В результате показано, что область контакта может иметь две (сцепления и проскальзывания) или три (проскальзывания, сцепления, проскальзывания) зоны. В случае двух зон тангенциальные напряжения на площадке контакта (-1, 1) определяются по формуле
“(£),
“(£),
£ е (—1, &),
£ е (—1, &),
彳(£)= <
彳(£)= <
— В 1 — ехр
— В 1 — ехр
S(&J),
S(&J),
(40)
(40)
где & — точка перехода зоны сцепления в зону скольжения. Эта точка может быть найдена из соотношения
“(&)•“(&)•
“(&)•
“(&)•
Необходимым условием осуществимости контакта с одной зоной сцепления на входе в область контактирования, которая сменяется зоной проскальзывания, является неравенство
Cw，(l-0)-^^0« (41)
Если условие (41) не удовлетворяется, на входе в область контакта находится зона проскальзывания (&, 1), т. е. площадка контакта делится на три зоны и тангенциальные напряжения определяются по формуле
“(£),“(£),彳(£)= <彳(£)= <-В + [〃万(&) + В] ехр-В + [〃万(&) + В] ехр£ е (-1, &) и (&, 1),£ е (&, &),£ е (-1, &) и (&, 1),£ е (&, &),(42)(42)
“(£),
“(£),
彳(£)= <
彳(£)= <
-В + [〃万(&) + В] ехр
-В + [〃万(&) + В] ехр
£ е (-1, &) и (&, 1),
£ е (&, &),
£ е (-1, &) и (&, 1),
£ е (&, &),
(42)
(42)
где & и & определяются из решения следующих уравнений:
W(6) + В - fr〃万'(&) = О, -В + [〃万(&) + В] ехр (&?&)= 〃万(&)•
Заметим, что при отсутствии вязкоупругого слоя существуют только две зоны (сцепления и проскальзывания) на площадке контакта при качении упругого цилиндра по основанию из того же материала ” = 0) (см., например, [19, 20]).
Результаты расчетов тангенциальных напряжений на площадке контакта катящегося цилиндра с основанием при наличии на нем поверхностного слоя, базирующиеся на анализе уравнений (34) и (36), представлены на рис. 12. Свойства вязкоупругого слоя в этом анализе описываются параметром Н = Т「/Т^, представляющим собой отношение времен релаксации слоя в тангенциальном и нормальном направлениях (Н = (/3Тап)/(/Зпат)), а также безразмерными параметрами ап, /Зп и % (см. (12) и (35)).
Результаты показывают, что с увеличением параметра Н возрастают значения максимальных тангенциальных напряжений на площадке контакта и уменьшается размер зоны сцепления. При тех же характеристиках слоя (% = 0,1 и Н = 0,1) изменение упругих характеристик цилиндра и основания от 方=—0,4 (кривая 3) к Н = 0,4 (кривая 4) влечет за собой переход от трехзонного контакта к двухзонному. Кроме того, установлено, что с уменьшением значения тангенциальной силы Т контакт переходит от полного скольжения (кривая 5) к трехзонному, а затем к двухзонному случаям.
Распределение внутренних напряжений. Полученные нормальные и тангенциальные напряжения использованы для определения напряжений ах на поверхности основания для коэффициента трения 从=0,5 (рис. 13). Кривые 1-4 рассчитаны при разных значениях отношения Т/Р тангенциальной силы к нормальной. Так же как и при контакте без вязкоупругого слоя, максимальное растягивающее напряжение при 〃，отличном от 0, имеет место на краю области контакта при ж = =—а, а максимальное сжимающее — внутри области контакта. Значения этих
2т/(тг£*)2т/(тг£*)Рис. 12. Тангенциальные контактные напряжения при рп = 0,1, ап = 1, Р = =0,01,从=0,1, /Зт = 0J и Т = 0,6〃Р, ” =0,1, ” = —0,4 (7); Т = 0,8从？ ” = =1, " = —0,4 (2); Т = 0,8从？ ” = 0,1, ” =—0,4 (3), Т = 0,8〃Р, ” = 0,1, ” = =0,4 (4) и f =从戸(5)Рис. 12. Тангенциальные контактные напряжения при рп = 0,1, ап = 1, Р = =0,01,从=0,1, /Зт = 0J и Т = 0,6〃Р, ” =0,1, ” = —0,4 (7); Т = 0,8从？ ” = =1, " = —0,4 (2); Т = 0,8从？ ” = 0,1, ” =—0,4 (3), Т = 0,8〃Р, ” = 0,1, ” = =0,4 (4) и f =从戸(5)Рис. 13. Распределение напряжений ах наповерхности основания при ^ = 0,5 ап ==10, С = 0,25, & = 0,1, L = 0,1 и Т/Р ==0,5 (7), Т/Р = 0,25 (2), Т/Р = 0,15 (3),Т/Р = 0,05 (4), Т/Р = 0 (5)
2т/(тг£*)
2т/(тг£*)
Рис. 12. Тангенциальные контактные напряжения при рп = 0,1, ап = 1, Р = =0,01,从=0,1, /Зт = 0J и Т = 0,6〃Р, ” =0,1, ” = —0,4 (7); Т = 0,8从？ ” = =1, " = —0,4 (2); Т = 0,8从？ ” = 0,1, ” =—0,4 (3), Т = 0,8〃Р, ” = 0,1, ” = =0,4 (4) и f =从戸(5)
Рис. 12. Тангенциальные контактные напряжения при рп = 0,1, ап = 1, Р = =0,01,从=0,1, /Зт = 0J и Т = 0,6〃Р, ” =0,1, ” = —0,4 (7); Т = 0,8从？ ” = =1, " = —0,4 (2); Т = 0,8从？ ” = 0,1, ” =—0,4 (3), Т = 0,8〃Р, ” = 0,1, ” = =0,4 (4) и f =从戸(5)
максимумов увеличиваются с увеличением горизонтальной нагрузки и, следовательно, с увеличением относительного проскальзывания. Влиянием вязкоупругого слоя можно объяснить отсутствие угловых точек на кривых в местах перехода области сцепления в область проскальзывания, имеющих место на аналогичных кривых в задаче о качении цилиндра по упругому основанию без поверхностного слоя. Кроме того, при наличии вязкоупругого слоя максимальные значения растягивающих напряжений меньше, чем в его отсутствие, т. е. слой снижает значения максимальных напряжений, способных инициировать начало разрушения материала.
Анализ сопротивления качению. Катящийся цилиндр находится под действием нормальной Р и тангенциальной Т активных нагрузок, момента М, а также сил реакции основания R и Ti, возникающих в результате действия нормальных и тангенциальных напряжений на площадке контакта (—а, 6) (см. рис. 9). Из условия равновесия сил и моментов следует
6*1
М- j хр(х) dx + TiR = 0,= 7r" (: + °)j 彳(£) d£.
Используя введенные выше обозначения, получим выражения для безразмерных величин силы сопротивления Т:
1
亍=疆=一l]"(£)次，(43)
一 1
(44)(44)и момента трения качения М:
(44)
(44)
一 1
Уравнение (43) (или уравнение (44)) также может быть использовано для определения величины относительного проскальзывания 6 (27), если величина тангенциальной силы Т (или момента М) известна. Зависимости Т от 6 (кривые проскальзывания) приведены на рис. 14. Заметим, что в данном случае при расчетах контактного давления и тангенциальных напряжений использовались аналитические выражения (32) и (40). Кривые 2-4 отличаются друг от друга значениями чисел Деборы《и J, т. е. значениями времен релаксации слоя в нормальном и тангенциальном направлениях. Сравнение кривых 2 и 4 (2 и 3) показывает, что увеличение времени релаксации ТТ (Тп) вязкоупругого слоя при фиксированном значении проскальзывания приводит к увеличению значения горизонтальной силы. 〜 〜
При Т = 〃Р скольжение имеет место на всей площадке контакта. Случай Т = =0 соответствует чистому качению.
Рис. 14. Кривые проскальзывания при качении упругого цилиндра по основанию из того же материала без промежуточного слоя (7) и при наличии вязкоупругого слоя для а72 — 10, L — 0,1 н《—0,25,《丁 — =0,1 (£), С = 0,75,容=0,1 (3), С = 0,25, & = 0,5 (4), а* = (а + 6)/2Рис. 14. Кривые проскальзывания при качении упругого цилиндра по основанию из того же материала без промежуточного слоя (7) и при наличии вязкоупругого слоя для а72 — 10, L — 0,1 н《—0,25,《丁 — =0,1 (£), С = 0,75,容=0,1 (3), С = 0,25, & = 0,5 (4), а* = (а + 6)/2Рис. 15. Зависимость коэффициента трения качения от параметра TnV/R при Р = 0,001, Т = 0 И /Зп = 0,1 (7),= 1 (2)Рис. 15. Зависимость коэффициента трения качения от параметра TnV/R при Р = 0,001, Т = 0 И /Зп = 0,1 (7),= 1 (2)
Рис. 14. Кривые проскальзывания при качении упругого цилиндра по основанию из того же материала без промежуточного слоя (7) и при наличии вязкоупругого слоя для а72 — 10, L — 0,1 н《—0,25,《丁 — =0,1 (£), С = 0,75,容=0,1 (3), С = 0,25, & = 0,5 (4), а* = (а + 6)/2
Рис. 14. Кривые проскальзывания при качении упругого цилиндра по основанию из того же материала без промежуточного слоя (7) и при наличии вязкоупругого слоя для а72 — 10, L — 0,1 н《—0,25,《丁 — =0,1 (£), С = 0,75,容=0,1 (3), С = 0,25, & = 0,5 (4), а* = (а + 6)/2
Рис. 15. Зависимость коэффициента трения качения от параметра TnV/R при Р = 0,001, Т = 0 И /Зп = 0,1 (7),= 1 (2)
Рис. 15. Зависимость коэффициента трения качения от параметра TnV/R при Р = 0,001, Т = 0 И /Зп = 0,1 (7),= 1 (2)
Коэффициент трения качения определяется из соотношения ^r = М/Р, где М и Р находятся по формулам (44) и (13) соответственно. На рис. 15 представлены графики зависимости коэффициента трения качения 〃「от безразмерного параметра 13п/ап = T^VIR、построенные при различных значениях параметра /Зп (см. (12)). Коэффициент трения качения для рассматриваемой модели вязкоупругого слоя (тело Максвелла) монотонно убывает с ростом параметра TnV/R и ^г —> —> 0 при TnV/R +оо.
Выводы. Проведенный анализ показывает, что несовершенная упругость поверхностного слоя оказывает существенное влияние на характер распределения контактных напряжений при скольжении и качении упругих тел, особенно при малых значениях параметра TnV/R.
Характер зависимости силы сопротивления относительному перемещению тел от скорости определяется реологическими свойствами поверхностного слоя, в частности той моделью, которая выбрана для описания этих свойств. При использовании модели Кельвина эта зависимость существенно немонотонна, при этом максимальное значение коэффициента трения достигается при скоростях движения, при которых время прохождения индентором элементарного пятна контакта соизмеримо со временем запаздывания материала поверхностного слоя.
Результаты исследования также указывают на существенное влияние параметров микрогеометрии поверхности и свойств поверхностного слоя на распределение напряжений внутри упругих тел. Это обстоятельство должно учитываться при оценке вероятности начала разрушения. Полученные в расчетах амплитудные значения максимальных касательных напряжений на фиксированной глубине при различных значениях параметра плотности контакта могут быть использованы при оценке усталостного разрушения, возникающего при относительных перемещениях шероховатых поверхностей.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант № 01-01-00034) и INTAS (грант № 99-0671).
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Трение качения // ПММ. 1938. Т. 2, № 2. С. 245-260.
Ишлинский А. Ю. Теория сопротивления перекатыванию (трение качения) и смежных явлений // Трение и износ в машинах. — М., Л.: Изд-во АН СССР, 1940. С. 255— 264.
Ишлинский А. Ю. О проскальзывании в области контакта при трении качения // Изв. АН СССР. ОТН. 1956. № 6. С. 3-15.
Reynolds О. On rolling friction // Philos.Trans.Roy.Soc. London. 1875. V. 166. P. 155-175.
Tabor D. The mechanism of rolling friction // Philos. Mag. Ser. 7. 1952. V. 43. P. 345.
Пинегин С. В. Трение качения в машинах и приборах. — М.: Машиностроение, 1976.— 262 с.
Kalker J. J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1980. — 344 p.
Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. — М.: Наука, 2001. — 478 с.
Ling F. F., Lai W. М. Surface mechanics of layered media // Solid contact and lubrication / Ed. H. S. Cheng and L. M. Keer. — N. Y.: ASME, 1980. " 39. P. 27-50.
Kalker J. J. Viscoelastic multilayered cylinders rolling with dry friction // ASME. J. Appl. Meeh. 1991. V. 58. P. 666-679.
Braat G. F.M., Kalker J. J. Theoretical and experimental analysis of the rolling contact between two cylinders coated with multilayered viscoelastic rubber // Contact mechanics, computational techniques / Ed. M.H. Aliabadi and C. A. Brebbia: Contact Mechanics publ., 1993. P. 119-126.
Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. — М.: Гостехтеоретиздат, 1949. - 270 с.
Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966. — 752 с.
Горячева И. Г., Маховская Ю. Ю. Влияние несовершенной упругости поверхностного слоя на контактные характеристики при скольжении шероховатых упругих тел. Трение и износ. 1997. Т. 18, Вып. 1. С. 5-12.
Goryacheva /. G., Sadeghi 歹.，Nickel D. Internal stresses in contact of a rough body and a viscoelastic layered semi-infinite plane // ASME. J. Tribol. 1996. V. 118, № 1. P. 131-136.
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. — М.: Наука, 1980. - 304 с.
Горячева И. Г., Горячев А. П., Садеги Ф. Контактирование упругих тел с тонкими вязкоупругими покрытиями в условиях трения качения или скольжения // ПММ, 1995. Т. 59, Вып. 4. С. 634-641.
Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 510 с.
Глаголев Н. И. Сопротивление перекатыванию цилиндрических тел // ПММ. 1945. Т. 9, Вып. 4. С. 318-333.
Goryacheva /. G. Contact mechanics in tribology. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998. - 344 p.
ЛОКАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬПОДКРЕПЛЕННЫХ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК
Д. В. Гоцев, А. Я. Спорыхин
Воронежский государственный университет
В большинстве случаев добыча и хранение ряда полезных ископаемых продолжительное время ведется в одних и тех же месторождениях. В связи с этим возникают требования по проведению укрепительных работ горных выработок и подземных сооружений для безопасных условий труда. Одним из путей решения этого вопроса, как известно, является изучение разрушения горных пород возле горных выработок с позиции локальной потери устойчивости. Начало этому направлению исследования задач горной механики положено работой [1], дальнейшее развитие оно получило в работах [2-6] и ряде других, в которых поведение массива горных пород около выработки описывалось моделями сред с упругопластическими свойствами, что достаточно полно отражено в [7]. При этом в работах [2-4] и других исследованиях выполнены на основе приближенного подхода [8], а в [57] и в ряде других работ — на основе строгой трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел [9, 10]. В настоящей работе в рамках точных трехмерных уравнений [10] исследуется локальная неустойчивость пород приствольной зоны горизонтальной, вертикальной и сферической горных выработок с учетом многослойности крепей.
Рассмотрим локальную неустойчивость горизонтальной, вертикальной и сферической выработок с многослойными крепями в упруго-пластических массивах. Примем, что свойства пород приствольной зоны и неупругих зон крепи моделируются соотношениями упругопластического тела с трансляционным упрочнением [11-13].
В этом случае функция нагружения имеет вид
F =(S? — Q (吟0)(S? — Q (吟0)—後⑴
а соотношения ассоциированного закона течения:
®)。= 〃 (s? — q (吟。).⑵
Здесь q — коэффициент упрочнения; ki — предел текучести; S* = а^ — аб^ — девиатор тензора напряжений; сг =或/3; bg — символ Кронекера; £彳—компоненты тензора деформаций; eg — компоненты тензора скоростей деформаций; ?у — положительный множитель. Индексы s, J принимают значения от 1 до 3. Индекс i принимает значения 1, 2,. . . , А^. Его отсутствие у величин с и k в (1), (2) подчеркивает принадлежность этих величин к массиву. По повторяющимся индексам проводится суммирование.
Заменим горный массив с вертикальной или горизонтальной выработкой, подкрепленной многослойной (N-слойной) крепью, как это обычно делается, невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса Rn , в которое с некоторым натягом помещена система из N колец (слои крепи), последовательно
запрессованных одно в другое. К внутреннему контуру первого кольца радиуса Rq приложена равномерно распределенная нагрузка Qo- Из-за натягов на линиях сопряжения колец и пластины возникают сжимающие усилия qi, q?,…,q^ Величины % таковы, что образовавшиеся пластические области полностью охватывают внутренние контуры колец. На бесконечности напряжения в пластине стремятся к величине gh (g — объемный вес породы, h — глубина заложения выработки), т. е. начальное напряженное состояние в массиве (до проведения выработки) принимается гидростатическим. Предполагается, что пластина и включения выполнены из различных материалов.
Определение напряженно-деформированного докритического состояния составной конструкции в осесимметричном случае сводится к решению двух взаимосвязанных задач о концентрации напряжений. Первая задача сводится к определению напряженно-деформированного состояния в г-м кольце, вторая — к определению напряженно-деформированного состояния в пластине.
Докритическое напряженно-деформированное состояние, соответствующее г-му кольцу (г-му слою крепи вертикальной или горизонтальной выработки), в полярных координатах (г, ^) определено в виде [7]
—в пластической области (^-1 < 丁 < 也£)：
(игУ1 = ?■, (&)?(игУ1 = ?■, (&)?kir2 + 2，^而 T 2，^ (2 + 色)kir2 + 2，^而 T 2，^ (2 + 色)ем =ем =2^自2 + Q2^自2 + Q1 Ri-1In 丁1 Ri-1In 丁⑶⑶2V2ki 十 2 + ci2V2ki 十 2 + ci(In - 1) - qar(In - 1) - qar
(игУ1 = ?■, (&)?
(игУ1 = ?■, (&)?
kir2 + 2，^而 T 2，^ (2 + 色)
kir2 + 2，^而 T 2，^ (2 + 色)
ем =
ем =
2^自
2 + Q
2^自
2 + Q
1 Ri-1
In 丁
1 Ri-1
In 丁
⑶
⑶
2V2ki 十 2 + ci
2V2ki 十 2 + ci
(In - 1) - qar
(In - 1) - qar
2 + Q2 + Q=°・(5)=°・(5)
2 + Q
2 + Q
=°・(5)
=°・(5)
— в упругой области (耽 < г < 凡)：
⑷⑷(ur)i =仿(^ + 3) 一 詈，еГ)? = 2仿(1 一 ^ - qi,(。疗=2H (1 + j) - %，
⑷
⑷
В равенствах (3)-(5)凡—радиусы колец, г = 1, 2,. .. , Л^ — количество слоев крепи.
Докритическое напряженно-деформированное состояние в пластине в полярных координатах определено в виде
—в пластической области (Rn < г < 7):
丁 「“r^^ (2 + c)
(T) +⑹
W =蟄(1 + ±) + 707 (lnт +1)-
в упругой области (7 < г < оо):
W —— g%, 。少—^— g%, 仇——j—.(7)
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы 7 имеет вид
+g% -4 In 訐+ 2 +°=。・+g% -4 In 訐+ 2 +°=。・⑻⑻
+g% -4 In 訐+ 2 +°=。・
+g% -4 In 訐+ 2 +°=。・
⑻
⑻
В соотношениях (3), (4), (6) иг — компонента вектора перемещения; с, к — коэффициент упрочнения и предел текучести для материала пластины.
Соотношения (3)-(8) записаны в безразмерном виде. Величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю сдвига G для материала массива, а имеющие размерность длины — к внешнему радиусу первого кольца 丛.
Напряженно-деформированное состояние, соответствующее г-му слою (г = =1,2,..., N) многослойной крепи сферической выработки, в осесимметричном случае(£少=£夕)в сферической системе координат (г,牝 g) согласно [7] определено в виде
в пластической области при Ri-i < г < 耽：
(〃觊=* ^r)i = —2 (书产-2G：；ce О —恥厂з),
(吓)£ =。(4q厂З4 + 自6111丁)+ ba,⑼
(啕£ = ^r)i +(2。广34一自)；
в упругой области при ^i < г < R^
(诚)£ = 4"『(明£ =房一4G厂34,
(吗)£ =房—2G严-3&, Bj = —% + 4G/尸 4，(10)
& =(4。巾14 - 6自 In 凡.1) - ^-1,
十 Ci
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы 耽 имеет вид 3kG / < _ ЛGj
Q —G%卜居 丿十q + 2G%
+ %-1 - q〃 = 0. (12)
Соотношения (9) и (10) будут справедливы и для области массива (упругой и пластической), если в них у всех величин опустить индекс г, величину 耽 заменить на 7, Ri-i на Rn и положить:凡=оо, Gi = 1. При этом
^1 — -g h,笈2 ——(备凡/斗]6k In Rn) - ^n, 4 — 4 — /. (13)
\ Ci4 (M — 1)
Уравнение для определения радиуса упругопластической границы 7 имеет вид
+ {卷(1 -意)+ 6厶 In 忌)} ~^ + 4N~gh = 0.(14)
Равенства (9)-(14) записаны в безразмерном виде. Величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю сдвига G для материала массива, а имеющие размерность длины — к радиусу выработки Rn , Q, ki — безразмерные параметры материала г-го слоя крепи, с, к — безразмерные параметры для материала массива.
Исследование устойчивости основного состояния (3)-(8) для горизонтальной (вертикальной) выработки и (9)-(14) для сферической выработки с многослойными крепями при принятии обобщенной концепции продолжающегося нагружения [10] и при предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания, сводится к решению систем дифференциальных уравнений в вариациях при соответствующих граничных условиях [7]. Для случаев вертикальной и сферической выработок рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости и = 〃(т, z), о = 0,仅=w(r, z).
Уравнения равновесия для областей пластического Ур и упругого Vе деформирования массива и крепи имеют вид
▽б 0； + ^V"^) = 0, Vs (歹£ + о^ХТ〃川=0-(15)
В (15) по индексу i суммирования нет (г = 1,2,..., N). Здесь и далее V — символ ковариантного дифференцирования, кружок вверху соответствует компонентам основного невозмущенного состояния (3)-(8) — для горизонтальной или вертикальной выработки, (9)-(14) — для сферической.
Граничные условия на внутренней поверхности S%。и условия затухания возмущений на внешней поверхности S^ массива запишем в виде
+喈▽%) =0, Uj |rT8 —> 0.(16)
Условия непрерывности на упругопластической границе 7 имеют вид
[m(。: + 峭阳"出)]=0，%]= 0・(17)
На упругопластических границах 耽(£ = 1, 2,…，N) условия непрерывности имеют вид (17), где всем величинам следует приписывать индекс i внизу.
Связь между амплитудными значениями напряжений и перемещений для несжимаемой упругопластической модели среды в пластической и упругой областях представима в форме [7]
吟=(asagaa^aua + 目)g； + (1 — g；)「G； (口出 + 口加),(18)
где р — множитель Лагранжа (суммирование по индексам s, J отсутствует). Коэффициенты asa и G； имеют вид
da = 2〃gsa —常督｝ G； = 〃 = G, f^ = S* — CQ噂. (19)
Значение X = 1 соответствует упругопластической среде, X = 0 ——упругой среде. Соотношения (18), (19) описывают напряженно-деформированное состояние массива горных пород в пластической и упругой областях, а также и многослойной крепи, если в них всем величинам приписать индекс i внизу.
Уравнения (15)-(19) с учетом условий несжимаемости в области Vp массива и в областях %0 (г = 1, 2,. . . , А^) крепи представляют собой взаимосвязанную замкнутую систему уравнений для исследования устойчивости каждой рассматриваемой конструкции: горизонтальной, вертикальной и сферической выработок с многослойными крепями, когда имеются границы раздела областей упругого и пластического поведения материала при нагружении в горном массиве и крепи. Система уравнений (9), (12), (13) — система дифференциальных уравнений в частных производных относительно амплитудных значений векторов перемещений 〃, V, w, щ, Vi, Wi и гидростатических давлений popi, соответствующих пластической и упругой зонам массива и крепи. Нетривиальное решение этой задачи соответствует потери устойчивости основного состояния.
В случае исследования локальной потери устойчивости горизонтальной выработки перемещения % о,仅 и величина 目 аппроксимируются двойными тригонометрическими рядами:
ОО ОООО ОО
"吓£4m(r) cos (m^) cos (几z), 。% m(r) sin (m^) cos (几z), n mnm/Qpj\
oo oooooo\
仅吓£qm(r) cos (m^) sin (rzz), 0 = £ £，m(r) cos (m^) cos (几z), n mnm
n, m — параметры волнообразования.
При исследовании осесимметричной формы потери устойчивости подкрепленной вертикальной выработки для нахождения собственных значений перемещения и гидростатические давления в упругих —匕° и пластических — V： зонах деформирования крепи аппроксимируем тригонометрическими рядами:
ОООООО
〃 =£ 4тп(т) cos(771Z), w = J2 Ст(^) sin (mz), р = ^2 Dm(r) cos (mz), (21) mmm
где m — параметр волнообразования.
В случае сферической полости решение линеаризированных уравнений устойчивости представляется рядами по сферическим функциям
ОО ОООО ООк
e e &・俏（丁）匕俏""）；e e当俏（丁）丽匕俏（也9）；
т=1 j=mm=l j=m/cc\
оо оокoo oo〈丿
E E 2俏（丁）丽匕俏"，3）；E E（丁）匕俏（牝3）.
m=l j=m”m=l j=m
Здесь Yjm "“）= P『（cos H） （a* cos mg + /3jm sin m屮）—сферические функции, 呼1 （cos H） — присоединенные функции Лежандра первого рода степени п и порядка т （PJ4 = 0 для т > J）.
Решения （20）-（22） соответствуют областям крепи 匕。и Vf （г = 1, 2,..., N， если функциям 〃, о, w, р, А, В, С, D припишем индекс г внизу. Выбор решений в форме （20）-（21） допускает локальную потерю устойчивости массива и крепи по одинаковой форме.
Подставляя функции и, v, w, р в линеаризированные уравнения устойчивости （15） и учитывая （18）, （19）, а также условие несжимаемости после ряда преобразований получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для каждой рассматриваемой задачи.
Для случая горизонтальной выработки получаем систему относительно Апгп М В пт：
&4『）+ & 46 + &%〃（『） + UB｛r） + &&6 + &В 〃⑺ + &玄〃⑺=о,
&4（丁） + &А（Т）+ WioA^t） + ^11АП\г） + &2笈（丁） +
+ &3b（丁） + &4з〃（丁） = 0,（23）
где
& = b^ （1 -皿2） - m2 - 2ra^ r -几2M + 1）,
& =户碎Г- T（2端 + 1 一明，& = Ml — 2ao + ^,
= r ｛（2ao _ 1 一 國）m _ ^ （1 + 國）｝ + ^ 州“ 一m）+ ^ 2小，
o 23
& = ^ （或 + СГ；「+ 1） , & = ^ （或 + 1） ‘
2
= nr2 （a0 — 1 — 2端）+ ^^ （1 + 端）一 :（1 + 或 一 T成 J ,
2
= nr3 （1 - ao） - ^^ （1 + crS） _ ；（1 + 或 _ rar,r），
&。==（2 + 2或+ 丁碎3 &1=三（1 +用，
&2 = тпг2а0 - ^(端 + 1)+ 鸟(1 + 或—rar,r)，m ym nr Jnr
€13 = * (b；r - b% - 1) - W^ (1 + 或 + ГСГ^г),
При этом в горном массиве в области Vp докритическое состояние определяется по формулам (6), а в области Vе — по формулам (7). Система уравнений (23) соответствует зонам крепи V： и 匕е, если функциям А и В припишем индекс г внизу. Докритические состояния в областях крепи %° определяются по формулам (3), а в областях крепи V^ — по формулам (4).
Для упрощения записи здесь в (23) и далее индексы п, т у величин А, 3 опущены.
Граничные условия на внутреннем контуре первого кольца при г = Ro с учетом (18), (19) принимают вид
阳｛ ^ (a0 -(艰：-1) ｝ +(4):(2 - 2"。+ (吟彳)+
+现｛靑［叫— (1 + (啲:)+病((词:+ 1一叫-廿｝ +
(в'):々［1 + (叫:+ R。(&用 +(*'):学［1 + (叫罚=。， - Ло (В)； ［1 + (哨:］=о,
幽卜—嗯鼻 +［⑷；~^ + т(В‘)： + R。(")；］ = °-(24)
Из условий сопряжения (17) на упругопластической границе 也£ (г = =1, 2,.. ., Л^) при учете (18), (19) получаем
唱-(%)； + 喝 + (В* ｛鳥［(小)：-«.)；］｝ +
(4〃)2 (4〃)； = 0.(25)
На границе раздела 7 упругой и пластической областей массива имеют место условия, аналогичные (25), где следует опустить индекс 分 и 耽 заменить на 7.
На границе запрессованных г-го и (分 + 1)-го слоев крепи согласно (16) имеют место соотношения
用+L (4)3 +理"+ (*)3 ｛盡［Ш：+1-(О；］ ｝ +
+ ^［(明：+ w仍'%「(叫］=。，
= 0(£ = 1,2,(26)
Из условия локальности возмущений 〃^ —> 0 при т —> оо (J = 1, 2, 3) следует (А，= 0, (А，)。= 0, (В)。= 0, (3〃)。= 0.(27)
Для случая вертикальной выработки (рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости) получаем бесконечную систему дифференциальных уравнений относительно Ат:
&4(w)(吗 + &/〃(丁) + &4〃(丁) + &а(丁) + ^A(r) = 0,(28)
где
& = 1 + 或，& = g(2 + 域 + 诚 + тег；J ,
& = m2 (an - азз) + g (^ r + 爲产)一 / (1 + 2或-爲),
& =m(^S -a0)- j(2成Г-。％) + j 0 + 2或-成)，
& = ~Л (1 + 2сг^ -圖 + j(2cr^r -吟,+ % (a。-圖-ш4.
В (28) и далее индекс т у величины А опущен.
При этом в горном массиве в области Vp докритическое состояние определяется по формулам (6), а в области Vе — по формулам (7). Система уравнений (28) соответствует зонам крепи V： и 匕‘，если функции А припишем индекс i внизу. Докритические состояния в областях крепи V? определяются по формулам (3), а в областях крепи V^ — по формулам (4).
Граничные условия на внутреннем контуре первого слоя крепи при г = Ro с учетом (18) и (19) таковы:
(1 + 域)(/〃)：+ ；(2 +域 + 端)(4〃)； —
一仪(1 + 2域-咽+苏(a0- 1 +叫卜A):-
—В [ j (端—2或—1) + пг? (1 + a。)卜4)； = 0. (29)
Из соотношений (17) получим условия сопряжения перемещений и вектора поверхностных усилий на упругопластических границах 耽 (г = 1, 2, ... , N) в виде
«-«=0, (4)? —(4%=0,
5〃)？ —5〃)； =。，(4)7 —"(4)7 =。・(30)
На границе г-го и (分 + 1)-го (г = 1, 2,. .., Л^ — 1) слоев крепи согласно (16) имеют место соотношения
«+1-«=0, (4)?+「(4% = 0,
(4%i - (4% = 0, (4% - ^ б)" = 0.(31)
Из условия локальности возмущений 〃^ —> 0 при т —> оо (J = 1, 2, 3) следует
(А，= 0, ("У = 0.(32)
Для случая подкрепленной сферической выработки придем к бесконечной системе дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно Апт:
丁2 (〃 + сг^) 4⑷ + т [2(4〃 + Зсг^ + 诚)+ тсг；「] 4⑶ +
+ [4(3〃 + 域 + 2сг^) + 2T(2сг；г + 诚产)-(п2 + п) х
x (a11 +a22 -a12 — a21 + сг^ + сг^ - 2〃)] 4⑵ + В|бгсг^ г + (п2 + 几)х
х [2 (〃 一 ац + °12 + °21 — 2сг^) — °22 — °23 — Т°^产]}t4(D +
Н—2 (几2 + 几)(几2 + 几一2)(〃 + 成)4 = 0 (33) при граничных условиях
丁2 (〃 + СГ^) 4⑶ + 2T(3〃 + 2域 + СГ^) 4⑵ + [6 (〃 + СГ^) +
+ (几2 + 几)(从 一a11 +a12 +a21 -a22 — 0^ - 0^)]4(1)- °,
户(从+或)4⑵+ 丁(24 + 3或)4⑴+ (n2 +几一2)从4=0.(34)
Условия сопряжения компонент вектора поверхностных усилий и компонент вектора перемещений на поверхности раздела зон упругого и пластического деформирования для г-го слоя крепи согласно (16), (18), (19) получаем в виде
卜2 (从+蟾)4⑶+ 2T(34 + 2域+诚)4⑵+(6 (从 +诚)-
-(几2 + 几)(an - 2a12 +a22 - 从 + 或 + 0^))4⑴]=0,
卜2 (从 + сг^) 4⑵ + 丁(2〃 + Зсг^) A^ + (n2 + 几-2)〃川=0,
[4 ⑴]=О, [A] = 0.(35)
В (35) квадратные скобки обозначают разность стоящих в них величин в зонах упругого и пластического деформирования. Условия локальности возмущений Uj ^ 0 при т —> оо (J = 1, 2, 3) имеют вид, аналогичный (32). При этом в горном массиве в области Ур докритическое состояние определяется по формулам (9), (13) а в области Vе — по формулам (10), (13). Система уравнений (33) соответствует зонам крепи V： и 匕е, если функции А припишем индекс i внизу. Докритические состояния в областях крепи %。определяются по формулам (9), (11), а в областях крепи 匕е _ по формулам (10), (11).
Найти точное аналитическое решение краевых задач: (23)-(27), (28)-(32), (33)(35) не представляется возможным. Будем искать приближенное решение методом конечных разностей [15]. В результате получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений, линейных относительно параметров Anm, Bnm,
A^m, В^т — для задачи 1, относительно Ат, 4^ — для задачи 2 и относительно Ajm, A^m — для задачи 3. Отсюда следует, что определение допустимых комбинаций критических параметров контактных давлений q〃 (г = 0,1,, N), соответствующих локальной потере устойчивости горизонтальной, вертикальной или сферической выработок с многослойными крепями, сводится к разрешимости матричного уравнения. При вычислении определителей наряду с нахождением основного напряженно-деформированного состояния для каждой области V^ Vf (i = 1, 2,.. ., Л^) крепи и областей Ур, Vе массива необходимо учитывать уравнения (5), (8) и (12), (14), определяющие положения упруго пластических границ 也£ многослойной крепи и 7 — в горном массиве для случаев горизонтальной (вертикальной) и сферической выработок соответственно. Минимизация должна производиться по шагу разностной сетки, параметрам волнообразования, параметрам материала и конструкции А^. Таким образом, получаем задачу многомерной оптимизации величин qi (г = 0,1, 2, . . . , А^) в зависимости от параметров волнообразования ,при условии равенства нулю определителя, det @,т,п,入j) = 0, полученной алгебраической системы для каждого рассматриваемого случая.
Вычисления проводились в рамках пакета прикладных программ «Отказ» для конкретных горных пород и материала крепи.
• 126,20S Гт30• 126,20S Гт30-21-2120 7 23 58 5 60 8 51 尸3 9^Л2 зл 1 2JO до20 7 23 58 5 60 8 51 尸3 9^Л2 зл 1 2JO до44141424240,001殳0,005i,i&-и-0,001殳0,005i,i&-и-0,003 1Д0,003 1Д0,0010,001Рис. 2Рис. 2& 0,005& 0,0050,0031,10,0031,1Рис. 1Рис. 1
• 126,20
S Гт30
• 126,20
S Гт30
-21
-21
20 7 23 58 5 60 8 51 尸3 9^Л2 зл 1 2JO до
20 7 23 58 5 60 8 51 尸3 9^Л2 зл 1 2JO до
4
4
14
14
24
24
0,001殳0,005
i,i&-и-
0,001殳0,005
i,i&-и-
0,003 1Д
0,003 1Д
0,001
0,001
Рис. 2
Рис. 2
& 0,005
& 0,005
0,003
1,1
0,003
1,1
Рис. 1
Рис. 1
Результаты расчета, когда горный массив содержит горизонтальную выработку, представлены на рис. 1-4, где показана область критических значений контактных давлений Qi, Q2 при различной геометрии выработки и крепи, которым соответствуют значения параметров m = п = 4. На рис. 1 материал массива — песчаник, не опасный по выбросам, внешний слой крепи — железобетон, внутренний — бетон. На рис. 2 материал массива — песчаник, не опасный по выбросам, внешний слой крепи — бетон, внутренний — железобетон. На рис. 3 материал массива — аргиллит, внешний слой крепи — железобетон, внутренний — бетон. На рис. 4 материал массива — аргиллит, внешний слой крепи — бетон, внутренний — железобетон.
На рис. 5 показана область критических значений параметров контактных давлений Qi, q2 при различной геометрии конструкции, когда горный массив содержал вертикальную выработку. Здесь значение параметра волнообразования т = 2.
灭21,11,11,1灭21,11,11,1凡0,10,030,01&ТГ1,зТУ凡0,10,030,01&ТГ1,зТУРис. 5Рис. 5
灭21,11,11,1
灭21,11,11,1
凡0,10,030,01
&ТГ1,зТУ
凡0,10,030,01
&ТГ1,зТУ
Рис. 5
Рис. 5
На рис. 6 представлена зависимость оптимальной толщины крепи от безразмерной величины гидростатического давления (от глубины заложения выработки). На рис. 5, 6 в качестве материала массива выбирался аргиллит, внешнего слоя крепи — бетон, внутреннего — железобетон. На рис. 7 показана зависимость области критических значений параметров контактных давлений Qi, Q2 для случая сферической выработки от безразмерной величины гидростатического давления g 儿 при этом в качестве материала массива выбирался аргиллит, внешнего слоя крепи — железобетон, внутреннего — бетон. Параметр волнообразования т = 2.
Безразмерные характеристики материалов: песчаник, аргиллит, бетон и железобетон приведены в табл. 1.
Анализ численных результатов рассмотренных задач позволил сделать, в частности, следующие выводы:
Рис. 6
Ко0,040,030,020,0036 0,030,020,0270,02
瓦可 0,10,10,10,10,10,10,1
Рис. 7
Таблица 1
Физ.-мех. характеристики
с
k
Е • 105 Па (модуль Юнга)
Песчаник
2,9496
0,017
297255
Аргиллит
1,5533
0,008
199 555
Бетон
0,4252
0,006
242 910
Железобетон
0,4698
0,007
242 910
на устойчивость горизонтальных, вертикальных и сферических выработок существенно влияет наличие в горном массиве и в слоях крепи поверхностей раздела зон упругого и пластического деформирования;
на потерю устойчивости подкрепленных горных выработок существенное влияние оказывают как физико-механические, так и геометрические параметры конструкций;
при замене материала первого слоя крепи горизонтальной горной выработки —бетона — на материал второго слоя — железобетон — область критических значений параметров нагружения Qi,羹 изменяется на 3-6%;
с ростом давления Qo на внутреннем контуре первого слоя крепи значения критических контактных давлений Qi, 42, соответствующих локальной потери устойчивости горных выработок, увеличиваются;
с увеличением глубины заложения выработок оптимальная толщина крепи горных выработок возрастает.
Список литературы
Ершов Л. В. О постановке задачи устойчивости горных выработок // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 2. С. 305-307.
Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость вертикальных выработок в упрочняющихся пластических средах // Прикл. механика. 1974. Т. 10, Вып. 11. С. 76-80.
Спорыхин А. Н. К устойчивости горизонтальных подземных выработок в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойствами // Изв. АН КазССР. 1975. № 1. С.67-72.
Алимж.анов М. Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики // Успехи механики. 1990. Т. 13, Вып. 3. С. 21-57.
Спорыхин А. Н., Чеботарев А. С. Локальная неустойчивость стенок бурящихся скважин в сжимаемых упрочняющихся упруговязкопластических массивах // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 177-183.
Спорыхин А. //., Шашкин А. И. О потере устойчивости сферической полости // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей. — М.: Из-во МГГУ, 2001. С. 313-323.
Спорыхин А. Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. — Воронеж: Из-во В ГУ, 1997. — 359 с.
Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журн. 1954. Т. 6, № 2. С. 140-146.
Гузь А. Н. О задачах устойчивости в механике горных пород //В кн. Проблемные вопросы механики горных пород. — Алма-Ата: Наука, 1972. С. 27-35.
Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. — Киев: Вища школа, 1986. — 511 с.
Ивлев Д.Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971. — 232 с.
Быковцев Г. 〃., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998.—— 320 с.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М: Физматлит, 2001. — 702 с.
Гоцев Д. В., Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов // Прикл. механика и техн, физика. 2001. Т. 42, № 3. С. 146-151.
Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. — М.: Наука, 1964. — 230 с.
О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМАХ ДВИЖЕНИЯПУЗЫРЬКОВ И УСЛОВИЯХ ИХ ПРОНИКНОВЕНИЯВ КОЛЕБЛЮЩУЮСЯ ЖИДКОСТЬ СО СВОБОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ
Г. Н. Гранова, Л. Е. Украинский
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН
Введение. Наблюдения за динамическим поведением пузырьков, взвешенных в жидкости, частично заполняющей замкнутый объем, который совершает колебательные движения, показывают, что пузырьки не только увлекаются жидкостью, но совершают весьма сложные движения относительно нее. Даже при одномерных поступательных движениях замкнутого объема пузырьки совершают, как правило, пространственные движения.
В ряде работ, посвященных исследованию движения газовых пузырьков в колеблющейся жидкости, рассматривались одномерные модели, позволяющие объяснить только некоторые простейшие эффекты. В частности, было установлено [1], что эффект затопления пузырьков определяется образованием в столбе колеблющейся жидкости квазиравновесного уровня в виде плоскости, в точках которой Архимедова сила уравновешивается вибрационной силой. Одномерное движение пузырьков сводится при таком моделировании в зависимости от начальных скоростей либо к погружению, либо к всплытию.
Этот упрощенный подход не дает возможности объяснить возникновение сложных пространственных движений пузырьков относительно жидкости, наблюдаемых в экспериментах.
В данном разделе, исходя из многомерных уравнений движения, показывается возможность возникновения различных пространственных движений пузырьков газа в колеблющейся жидкости на примере сосуда со свободной поверхностью.
Для технических приложений существенным является определение влияния геометрических характеристик сосуда и частоты внешних воздействий на условия возбуждения определенных форм движения. Так, например, в ряде случаев бывает необходимо определить условия, при которых пузырьки с поверхности жидкости могут проникать во внутренние области течения и достигать любой точки колеблющегося объема. Поэтому в настоящей работе, на основании принятой модели, установлен ряд зависимостей этих условий от геометрических характеристик и частоты внешних воздействий.
Постановка задачи. Рассмотрим жесткий цилиндрический сосуд, частично заполненный несжимаемой жидкостью с пузырьками газа (рис. 1), который совершает поступательные колебания в вертикальном направлении по гармоническому закону с частотой ал Движение будем рассматривать в цилиндрической системе координат Ог^г, жестко связанной с сосудом, причем ее начало, точка О, расположено в центре круга, представляющего собой дно полости, а ось Oz совпадает с осью полости (рис. 1). Скорость перемещения полости будем задавать вектором скорости vq = vq(t), где г — безразмерное время с масштабом l/幻.
Единственная отличная от нуля компонента вектора vq — vqz = EsinT, где £ — безразмерная амплитуда скорости с масштабом 丁()幻,丁。— радиус полости.
На свободной поверхности жидкости при этом, как известно, возникают волны. Здесь основное внимание уделяется именно этим поверхностным волнам и опреде
ляется, каким образом это движение влияет на поведение взвешенных в жидкости пузырей.
Будем считать, что все предположения, принятые в пункте 1 настоящей главы относительно межфазного взаимодействия жидкости с пузырями, выполняются. Однако в силу того, что в данном случае движение жидкости определяется в основном процессами взаимодействия инерционных сил и силы тяжести, а силы вязкости играют здесь второстепенную роль, принимаем, что данное движение жидкости может быть описано приближенно исходя из модели идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести. Что касается вязкости, то ее будем учитывать лишь при рассмотрении движений пузырьков, взвешенных в движущейся вышеописанным образом жидкости.
Таким образом, уравнения, описывающие течение жидкости для данного случая, могут быть выписаны следующим образом:
div(V)= О,
祭 + (vV) V = -Vp + g,где g — безразмерный вектор ускорения сво-бодного падения с масштабом то№; го — ра-
диус цилиндрической полости сосуда — масштаб длины;幻一частота колебаний, совершаемых сосудом; остальные обозначения совпадают с обозначениями пункта 1.
На свободной поверхности жидкости должны выполняться известные кинематические (проекция скорости жидкости в точках свободной поверхности на нормаль к свободной поверхности равна проекции скорости свободной поверхности на ту же нормаль) и динамические (давление в жидкости на свободной поверхности равно атмосферному давлению) условия. На дне и боковой поверхности полости сосуда, контактирующей с жидкостью, также должны выполняться условия равенства проекций скоростей жидкости и точек внутренней поверхности полости на нормаль к внутренней поверхности полости в каждой точке поверхности полости.
Решение соответствующей нелинейной краевой задачи хорошо известно. Например, согласно [1] для потенциальных движений (именно такими движениями здесь будем ограничиваться) оно определяется потенциалом скорости относительного движения в координатах, жестко связанных с подвижным сосудом, следую
щего вида:
Ф = £ e&•俏⑺ Ch (%•俏7)厶(%•俏丁)COS 771 也⑴
7n = 0 J = 1
где т, Н и z — безразмерные цилиндрические координаты системы координат Ог^г, начало которой расположено на дне полости сосуда в центре, а ось Oz совпадает с осью полости (рис. 1); Jm — функция Бесселя первого рода действительного аргумента (т = 1, 2, 3,.. .); а* — корни уравнения 4(а*) = 0; Ajm(T)— функции времени, определяемые из определенной бесконечной системы нелинейных уравнений.
Относительная скорость жидкости при этом будет определяться как градиент найденного потенциала (1), а давление находится из интеграла Лагранжа-Коши.
Согласно [1] в экспериментах, в которых исследовались колебания свободной поверхности жидкости, частично заполняющей колеблющуюся по гармоническому с частотой 幻 закону цилиндрическую полость, для некоторых диапазонов частот и амплитуд колебаний полости наблюдается возбуждение какой-либо одной формы колебаний с частотой, равной субгармонике частоты возбуждения, т. е. ш/п, где п — целое. Эта форма описывается одним из слагаемых разложения (1). Поэтому здесь ниже ограничимся рассмотрением случая, когда форма колебаний свободной поверхности жидкости описывается таким потенциалом скорости, который удовлетворительно аппроксимируется лишь одним членом ряда (1), а именно тем, которому соответствуют значения индексов m = lnj = 2, и кроме того 412 (丁)= =const • sin (т/几 + А), где А — фазовый сдвиг между колебаниями жидкости на свободной поверхности и колебаниями сосуда. Далее для рассматриваемой задачи такой формой колебаний и ограничимся.
При этом колебания свободной поверхности могут быть аппроксимированы выражением
£ — % = AaJi(ат) cosН sh (а%) cos (т/п + А), где h — безразмерная высота налива жидкости (рис. 1); (£ — %) — безразмерное отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного уровня; А — безразмерный коэффициент, связанный с безразмерной амплитудой ?у колебаний свободной поверхности следующим образом: А =——? , где Jimax максимальное
a sh (ah) Ji max
значение функции Ji на отрезке [0, а] (значение А может быть определено либо приближенно из решения нелинейной краевой задачи о вынужденных колебаниях сосуда с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью, либо эмпирически, исходя из измерений амплитуды ?у отклонения свободной поверхности от равновесного уровня); а = «21-
Потенциал относительной скорости жидкости в рассматриваемом случае может быть представлен следующим образом:
Ф = AJ^ar) cos Н ch (az) sin (т/几 + А).(2)
На рис. 1 схематично представлена форма колебаний точек свободной поверхности для рассматриваемого случая.
В условиях выполнения предположений раздела 1, дополненных сформулированными выше предположениями, движение пузырей описывается следующими уравнениями:
J = 3[^ + (vV)v+^(vf—2g;
十 2 А 4ЯR Re R2 R2 ?
где все обозначения совпадают с обозначениями, принятыми в пункте 1.
Скорость V = v(t, гп) и давление р = р(т, гп), фигурирующие в правых частях последних уравнений, в данном случае представляются следующим образом:
V = Vo + \7Ф； р = Ра + (g — Vo) (гп 一 Го)-黑一；(▽巾)2，
где vo — переносная скорость движения сосуда; ра — давление на свободной поверхности жидкости; Го ——радиус-вектор произвольной точки на свободной поверхности жидкости.
Таким образом, уравнения относительного движения и пульсаций пузырьков в колеблющемся сосуде могут быть представлены следующим образом:
= 3+ ^Ф * V) VФ + ^Ф -+ 2«о - g)；
отлite R
.ЗФ 12
十2 区4区 十十2 区4区 十яя生旦_也 麻不一京,生旦_也 麻不一京,⑶⑶Р1 — Ра — (g — Vo)(r — Го) + ^； + -(VФ)
十2 区4区 十
十2 区4区 十
я
я
生旦_也 麻不一京,
生旦_也 麻不一京,
⑶
⑶
где г и Го — радиусы-векторы центра масс пузыря и точки на свободной поверхности жидкости соответственно, проведенные из начала О подвижной системы координат, жестко связанной с колеблющимся сосудом; потенциал Ф является функцией цилиндрических координат конца радиуса-вектора г согласно соотношению (2).
Принимаем за масштаб радиуса пузырька то его значение, которое достигается в покоящейся жидкости на дне полости, т. е. при z = 0. Поэтому, исходя из второго из уравнений (3), можно заключить, что значение давления внутри пузырька р(), при котором невозмущенный радиус пузыря будет Rq (это соответствует безразмерному значению —1), удовлетворяет в данном случае следующему соотношению: ро = Ра+2сг + gh.
В цилиндрических координатах Or^z система (3) принимает следующий вид:
丁丐+ 2户份=3丁丐+ 2户份=3冃+ ^冃+ ^+红+红r - T疥=3r - T疥=3
丁丐+ 2户份=3
丁丐+ 2户份=3
冃+ ^
冃+ ^
+红
+红
r - T疥=3
r - T疥=3
=3 卜з + ^ (翁—)]+ ^ (謂 Т)+ 2®oz + g)；
⑷⑷3 ^2 — ^ / г I Г \ I ]PqR~^ - Pa + (^Oz + g)(z - h) 4/ A /2。
⑷
⑷
2互一五十?5丿十，Я庇不 不'
где г(т), Н(т), z(t)——цилиндрические координаты вектора г во введенной выше системе координат; функция Ф = (т, г, ^, г) определяется соотношением (2); в правых частях системы (4) в качестве пространственных аргументов функций Ф и их производных фигурируют цилиндрические координаты вектора г; g — абсолютное
значение безразмерного ускорения свободного падения;，= 9/Re;
1 дтдг dr 3丁2 丁2^" дгд^ г3 〈3"丿 dz дтд%'
_ ^ф 亠理色I зф 烈зф зфдФ_ ^ф
2 гдтдд дг дг кгдд)г^дд З"?丁2@丁 3"rdz d^dz
厂 @2ф , ЗФ @2ф , ЗФ @2ф , ЗФ @2фdrdz dr drdz r2d^ d^dz dz a)'
от 44、72 \ drdz 7
Предположим, что движение происходит таким образом, что безразмерное отклонение радиуса пузырьков от равновесного значения а(т)=兄(丁)— 1 и его производные по времени настолько малы по сравнению с единицей, что в уравнениях (4) можно пренебречь степенями а(т) и его производных выше первой. Учитывая это, раскладываем правые части уравнений (4) в ряд Тейлора по степеням а(т) и отбрасываем члены выше первой степени а(т).
尸一Га2 = 3 [а + a 黑-矶 + 4(1 - 2aм需一户)，
而+ 2海=3 [三+0(鳥一T叨+ Q(1 - 2a)(黑一吨,
芝=3 [% + @ (謂-乞)]+ СЦ1 - 2。)(謂一乞)+ 2(ecost + g),
а + 口2a =——G + /(1 -。)严4 + 務 + (z - %)£cost + gz], (5)
где Q2 = / [3)仇 + g%) + 2бг(3)— 2)] — квадрат безразмерной частоты свободных колебаний пузырька в рассматриваемой постановке, 7 — показатель политропы газа внутри пузырька; отметим, что вместо i)QZ подставлено его значение ecost. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких частных решений системы (5), которые описывают движения, близкие к следующему. Центры пузырьков в поступательном движении совершают колебательные движения малой амплитуды, частично увлекаясь колебаниями несущей среды, и вместе с тем двигаются односторонне направленно относительно этой среды. Такого рода движения в направлении свободной поверхности объясняются действием силы Архимеда, однако, как показывают наблюдения, односторонне направленные движения пузырьков происходят также и в других направлениях: вниз к дну полости, а также в боковом и азимутальном направлении. Такого рода односторонне направленные движения могут происходить под действием так называемых вибрационных сил. Они возникают благодаря трансформации в нелинейных системах колебаний. Скорости, возникающие благодаря такого рода трансформациям движений, значительно меньше амплитуд скоростей в колебательном движении. Целью последующего исследования является определить направление и порядок величин скоростей этих односторонне направленных движений, если они имеют место.
В пульсационном движении каждый пузырек совершает колебания, состоящие из колебаний с собственной частотой Q и вынужденных — с безразмерной частотой, равной 1, обусловленных колебаниями давления в несущей среде. Амплитуды
колебаний с собственной частотой изменяются медленно, т. е. их производные по времени существенно меньше единицы. Амплитуда вынужденных пульсаций пузырьков постоянна. В дальнейшем принимаем, что частота Q существенно отличается от частоты вынужденных колебаний под действием колебаний давления в окружающей жидкости, т. е. Q * ±1.
Согласно описанной выше гипотезе о характере движения принимаем, что диапазоны изменений параметров /, Re, % 4 и значений неизвестных функций г = г(т), Н = Н(т), z = z(t) п а = а(т) и их производных таковы, что в уравнениях системы (5) можно ввести формально малый параметр 从 и представить их следующим образом:
г = г^2- ^Вг + /? (з冃 + з謂),
⑹⑹丁丐=_2户份-从з丁份+ 从2（3R2 + 3
⑹
⑹
\год/
г =从(2ecost - Bz) + /?(3/ + 笈謂 + 2g)
@ + a2a —叫之—%) COST =
=从［-券 G + / (1 - «)(^4 + 務 + gz) + la(z — %)£ COST
где В = За + /^(1 — 2а); пространственными аргументами функции Ф и ее производных опять являются цилиндрические координаты вектора г — функции времени.
Имея в виду использование метода усреднения и учитывая сформулированные выше гипотезы о характере рассматриваемого движения, вводим замену переменных:
丁 =也, 户=从力2,Н =力3, 份=从力4, z =力5,
⑺⑺2 = 〃(力6 + 2e sinт), а =力7 cosQr + 力8 sin Qr + e/^|^ cost,a = —口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — e/ ^|——^ sin t,
⑺
⑺
где 力〃=力£(т) (г = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) — новые неизвестные функции. Подставляя (7) в (6), находим
勿1 = 从力2,
，C - (3a67 + 2%C力8)sin Qr +
勿2 = 〃〈 Ж1Ж4 +勿2 = 〃〈 Ж1Ж4 +（f +需）+3叁卜（f +需）+3叁卜+ (3f2力8 — 2/,力7)cosQr —
勿2 = 〃〈 Ж1Ж4 +
勿2 = 〃〈 Ж1Ж4 +
（f +需）+3叁卜
（f +需）+3叁卜
—e/^|——^ (3 sinr + 2/《cos r)
勿3 = 从力4,
勿4 = 〃 <勿4 = 〃 <2/2/4 _|_Ж12/2/4 _|_Ж1，《一(3口力7 + 2/,力8)sin^T + _+ (за力8 — 2/，力7)COS Qr ——e/^I~^ (3sinT + 2/C cos r)，《一(3口力7 + 2/,力8)sin^T + _+ (за力8 — 2/，力7)COS Qr ——e/^I~^ (3sinT + 2/C cos r)I Зф 「 3 " 、 xld^J Ж1 =I Зф 「 3 " 、 xld^J Ж1 =勿6 = 〃 <勿6 = 〃 <勿 5 = 〃(力 6 + 2£sinT),勿 5 = 〃(力 6 + 2£sinT),-(力6 + 2£sin 工一祭)-(力6 + 2£sin 工一祭)，e一(3a力7+2/C力8)sin аT + _+ (за力8 — 2/，力7)cosQr ——£/^T(3sEt+2Kcost)，e一(3a力7+2/C力8)sin аT + _+ (за力8 — 2/，力7)cosQr ——£/^T(3sEt+2Kcost)+3 凸+2g〉,+3 凸+2g〉,勿7 = 〃 (一 ^ sin Qr —屮2 COS Пт),勿8 = 〃 (^ COS Qr —屮2 sin Пт),勿7 = 〃 (一 ^ sin Qr —屮2 COS Пт),勿8 = 〃 (^ COS Qr —屮2 sin Пт),⑻⑻гдегдеel
勿4 = 〃 <
勿4 = 〃 <
2/2/4 _|_
Ж1
2/2/4 _|_
Ж1
，《一(3口力7 + 2/,力8)sin^T + _+ (за力8 — 2/，力7)COS Qr —
—e/^I~^ (3sinT + 2/C cos r)
，《一(3口力7 + 2/,力8)sin^T + _+ (за力8 — 2/，力7)COS Qr —
—e/^I~^ (3sinT + 2/C cos r)
I Зф 「 3 " 、 xld^J Ж1 =
I Зф 「 3 " 、 xld^J Ж1 =
勿6 = 〃 <
勿6 = 〃 <
勿 5 = 〃(力 6 + 2£sinT),
勿 5 = 〃(力 6 + 2£sinT),
-(力6 + 2£sin 工一祭)
-(力6 + 2£sin 工一祭)
，e一(3a力7+2/C力8)sin аT + _+ (за力8 — 2/，力7)cosQr —
—£/^T(3sEt+2Kcost)
，e一(3a力7+2/C力8)sin аT + _+ (за力8 — 2/，力7)cosQr —
—£/^T(3sEt+2Kcost)
+3 凸+2g〉,
+3 凸+2g〉,
勿7 = 〃 (一 ^ sin Qr —屮2 COS Пт),勿8 = 〃 (^ COS Qr —屮2 sin Пт),
勿7 = 〃 (一 ^ sin Qr —屮2 COS Пт),勿8 = 〃 (^ COS Qr —屮2 sin Пт),
⑻
⑻
где
где
Q2 - 1
(力6 + 2£sinT)sinr(力6 + 2£sinT)sinrsin Qr + 口磔 cos Qr —sin Qr + 口磔 cos Qr —+ ；[力^ + 若若 + (力6 + 2e sin г)2] - I+ ；[力^ + 若若 + (力6 + 2e sin г)2] - I[*2 需 + 力3 靄 + (力6 + 2£ Sin Т)n]+[*2 需 + 力3 靄 + (力6 + 2£ Sin Т)n]+—£/ 鴿- sin т) + / (1 —力7 COS Qr + 力8 sin Пт + £/ 粤- COS t) {尸4 +
(力6 + 2£sinT)sinr
(力6 + 2£sinT)sinr
sin Qr + 口磔 cos Qr —
sin Qr + 口磔 cos Qr —
+ ；[力^ + 若若 + (力6 + 2e sin г)2] - I
+ ；[力^ + 若若 + (力6 + 2e sin г)2] - I
[*2 需 + 力3 靄 + (力6 + 2£ Sin Т)n]+
[*2 需 + 力3 靄 + (力6 + 2£ Sin Т)n]+
+ gCs} + /(力 7 cos Пт + 力 8 sin Пт + e/^I~ cost)(力5 — %)£COST；
*2 =*2 =炉-(力6 + 2e sin т) cos t,炉-(力6 + 2e sin т) cos t,
*2 =
*2 =
炉-(力6 + 2e sin т) cos t,
炉-(力6 + 2e sin т) cos t,
где пространственные аргументы функции Ф и ее производных, фигурирующих в (8) явно, а также и в выражениях для Fi,仍，％,爲，представляют собой цилиндрические координаты вектора г, в выражениях для которых произведены подстановки согласно первому, третьему и пятому соотношению (7).
Механизмы односторонне направленных движений пузырей, обусловленные волнами на свободной поверхности жидкости. Анализ системы (8), которая приведена к стандартной форме для последующего применения метода усреднения, показывает, что в шестом уравнении имеется произведение гармонических с частотой колебаний полости членов. Это последнее произведение описывает механизм односторонне-направленного перемещения пузырей в жидкости, в которой колебания центра масс пузырька и пульсации его радиуса происходят с одинаковой частотой. Именно этот механизм и лежит в основе дрейфа пузырей в трубе, заполненной вязкой жидкостью, когда перепад давлений на концах трубы — периодическая функция времени. Все движения, исследованные в предыдущем разделе 1, обусловлены действием именно этого механизма. Что касается движений пузырей в баках, то действие этого механизма приводит к возникновению вибрационной силы, обеспечивающей затопление пузырей. Она может быть вычислена исходя из исследования одномерных уравнений движения пульсирующего пузыря. По-видимому, впервые данная вибрационная сила была описана еще в пятидесятых годах прошлого века в работе [2].Члены, определяющие
действие данного механизма, подчеркнуты в правой части шестого уравнения двумя чертами снизу. Один из сомножителей этого произведения — проекция скорости поступательного движения центра масс пузырька на вертикальную ось, которая связана с частичным увлечением пузырька колеблющейся под действием переменной силы инерции, обусловленной колебаниями полости, жидкостью, а другой — пульсационная составляющая радиуса пузырька, обусловленная пульсациями окружающего пузырек внешнего давления. В данном случае, однако, односторонне-направленное движение пузырей не исчерпывается действием указанного здесь механизма.
Дело в том, что в правой части второго, четвертого и шестого уравнений системы (8) имеются произведения двух гармонических членов одной и той же частоты, а именно частоты колебаний свободной поверхности жидкости (квадратичные относительно Ф и ее производных части функций вынужденных колебаний Fi,尸2, %, которые подчеркнуты тремя чертами снизу). Эти произведения определяют иной механизм возникновения односторонне-направленных движений и, соответственно, иную вибрационную силу. В отличие от вышеописанного механизма, данный механизм существенно связан с пространственным характером движения. Возникающая вибрационная сила также имеет три отличные от нуля и зависящие от пространственных координат компоненты. Под ее действием пузыри двигаются односторонне направленно не только в вертикальном направлении, но также в окружном и радиальном. Анализ возникающих движений будет дан ниже в данном разделе.
Усредненные уравнения первого приближения для нерезонансного случая (принималось, что ни одно из соотношений 2 ± Q = 0, 1 ± Q = 0, 1/n ± Q = 0, 2/几土 Q = 0, 1 ± 1/几=0, 2Q ± 1 = 0, Q ± 2 = 0, Q ± 3 = 0, Q ± 1 ± 2/几=0, Q±l±l/n = 0 не выполняется) могут быть представлены следующим образом (в седьмом и восьмом уравнениях членами, пропорциональными произведению амплитуды свободных колебаний радиуса пузырька на квадрат амплитуды колебаний свободной поверхности жидкости, пренебрегаем по сравнению с членами, пропорциональными амплитуде свободных колебаний радиуса пузырька):
£1 = 〃&; G = 〃 &登-Кб + 3"2a 如(&, &, &)；
& = 〃&；& = 〃 —警—《&+^^sin(2&)^(&,&);
& = 从&;⑼
£б = 〃 —/，& + Зе"^ _： + 2g + 344a sh (2a&)阪(&, &);
где & — описывает медленное односторонне направленное перемещение центров пузырьков вдоль полярного радиуса г; & описывает скорости этого медленного движения; & описывает медленное перемещение пузырьков в направлении угла 仇 & — скорость этого перемещения; & описывает медленное перемещение центров
пузырьков вдоль оси трубы Oz; & — скорости этого перемещения; & и & — медленно изменяющиеся во времени амплитуды пульсации пузырька с частотой;
如=J^a^J^a^r) cos2(^3) ch2(«^5) +J；(a&) Ji(a&) sin2(^3) ch2(a^5)-
方(a&) sin2(&)c/?(a&) + J^q^) J^(q^) cos?®) sh2(«^5);
耽=一 J?(a&) ch2(a&) +拆(a&) ch2(a&)-拆(a&) sh2(a&);
阪=丿产(a&) cos2(^3) + 拆(a&) sin2(^3) + 拆(a&) cos?®).
Последние два уравнения системы (9) показывают, что в рассматриваемом приближении амплитуды колебаний радиуса пузыря с частотой его свободных колебаний затухают. Поэтому ниже ограничимся рассмотрением лишь таких движений, для которых & = 0 и & = 0, т. е. пульсации пузырьков имеют характер только вынужденных колебаний.
Вибрационная сила [2], описывается подчеркнутым двумя чертами снизу членом шестого уравнения системы (9). Пространственная вибрационная сила, возникающая благодаря колебаниям свободной поверхности, определяется подчеркнутыми тремя чертами членами второго, четвертого и шестого уравнений. Как видим, несмотря на то что колебания полости происходят строго вертикально, в течении возникают не зависящие от времени силы, обусловливающие перемещения пузырей в горизонтальной плоскости. Причиной такого эффекта является пространственная неоднородность поля течения жидкости, обусловленная колебаниями свободной поверхности.
Стационарные решения уравнений (9), которые определяют квазистационар- ные положения равновесия пузырей в колеблющейся полости, определяются системой трансцендентных уравнений
如(&, £з, &) = 0； sin (2&)也(&, &) = 0;
3£々^^ + 2g + sh (2a&)阪(&, &) = 0.(10)
Решения каждого из уравнений системы (10) геометрически представляют собой поверхности, точки пересечения которых между собой определяют искомые решения. Приближенное вычисление данных поверхностей производилось численно путем вычисления функций 如，也，阪 на прямоугольных сетках в пространстве их аргументов и определения значений аргументов, при которых происходит смена знака значения каждой из функций. Каждое значение корня при необходимости уточнялось с помощью итерационной процедуры Ньютона.
На рис. 2 а схематично показаны соответствующие поверхности:
—поверхность 1 определяется уравнением 如(&, £з, &) =0,
—поверхности 2, 3, 4 — sin (2&)也(&, &) = 0,
—поверхность 5 — 3£附^^ + 2g + "4a sh (2a&)阪(&, &) = 0.
11 Проблемы механики
Плоскость 2 (£з = 0, тг) согласно (1) пересекает невозмущенную свободную поверхность жидкости по пучностям колебаний, плоскость 3 (£з = тг/2, Зтг/2)— по узлам. Эти плоскости являются интегральными многообразиями системы (10).
При исследовании на устойчивость выявлено, что интегральное многообразие, совпадающее с плоскостью 2, устойчиво для тех точек плоскости (2), для которых выполняется следующее условие:
也=一丿产(а&) ch2(Q^5) +
Н 普(а&) ch2(«^5)—
—看(a&)sh2(a&) <0. (11)
Точки, удовлетворяющие условию (11), лежат в заштрихованной на рис. 2 б зоне. Граница, разделяющая заштрихованную часть плоскости от незаштрихованной, определяется неявно уравнением 也=0. На рис. 2 поверхность, описываемая этим уравнением, обозначена цифрой 4.
Следовательно, движение пузырей в совершающей вертикальные ко
лебания цилиндрической полости происходит таким образом, что находящиеся в начальный момент вблизи плоскости £3 = 0, £3 = тг (эта плоскость пересекает свободную поверхность по пучности ее колебаний) покоящиеся пузыри, координаты начальных положений которых & = &о и & = &о удовлетворяют условию (11), будут притягиваться к данной плоскости, а те, координаты начальных положений которых не удовлетворяют условию (11), будут отталкиваться от нее. Обратное будет иметь место вблизи плоскости & = тг/2, & = Зтг/2, которая пересекает свободную поверхность по узлам ее колебаний. Покоящиеся пузыри, находящиеся в начальный момент вблизи нее будут притягиваться к ней, если координаты их начальных положений не удовлетворяют условию (11), и, наоборот, отталкиваться, если удовлетворяют. Отметим, что в точках этой поверхности удовлетворяется второе из уравнений системы (10).
Таким образом, рассматриваемая система допускает движения пузырьков, траектории которых лежат (полностью или частично) на устойчивых частях плоскостей 2 и 3. Медленное движение по устойчивым частям плоскостей приближенно
описывается первым и вторым, а также пятым и шестым уравнениями системы (9), в правых частях которых положено £з = & = 0 для движения на плоскости 2 или £3 = тг/2, £4 = 0 для движений па плоскости 3.
Выявление возможных форм плоских движений, описываемых указанной системой уравнений, проводилось численно. Было установлено, что траектории пузырьков могут приобретать спиралеобразный характер. Это коренным образом от-
личает их от траекторий пузырей, которые могут быть получены в одномерной постановке, где все многообразие возможных фазовых траекторий в двумерном фазовом пространстве определяется наличием положения равновесия типа «седло» и сводится к описанию всплытия или затопления пузырей. Существо изменений, которые накладывает на движения пузырей учет колебаний на свободной поверхности жидкости, заключается в том, что неустойчивая горизонтальная плоскость, которая представляла собой седловое положение равновесия трансформируется в криволинейную поверхность, обозначенную цифрой 5 на рис. 2. Эта поверхность в пристенной зоне полости загибается и приближается к свободной поверхности жидкости. Причем этот загиб растет с ростом амплитуды колебаний жидкости на свободной поверхности. Такая форма поверхности 5 обусловливает возможность затопления пузырей, находящихся в начальный момент в полости выше поверхности 5 и имеющих нулевую вертикальную составляющую скорости. Наоборот, пузыри, находившиеся в начальный момент ниже поверхности 5 и имевшие нулевую вертикальную составляющую скорости, могут всплывать. Такого рода формы движений не могут быть описаны из рассмотрения одномерной постановки, когда мы пренебрегаем колебаниями на свободной поверхности.
Для иллюстрации типичных фазовых траекторий ограничимся двумерным движением пузырьков на устойчивом участке плоскости £з = 0 вблизи равновесного положения Oequiv с координатами в исходной системе координат, связанной с полостью:
а& = с* = 3,50755, а& = У* = 0,16815. (12)
Координаты этого равновесного положения были определены численно из трансцендентной системы (10) для следующих значений размерных параметров системн: аз? = 30 м/с?, а = 0,001 м (здесь а — размерная амплитуда колебаний полости: а = £丁0); А го = 0,01 м, Rq = 10-4 м, р = 103 кг/м, 7 = 1,4, Ра = 105 Н/м2, а = 5,3, hro = 0,04 м, го = 0,1 м, gT()J = 9,8 м/с,几=3, 〃 = 10-6 м2/с.
Движение рассматривалось в четырехмерном фазовом пространстве {力，у,勿，沙}, где ж = а&, у = а&, ж = а&, у = а&.
На рис. 3 а, 6 приведены проекции типичных фазовых траекторий на плоскости {ж, ж}, {ж, у} соответственно. Начала координат на рис. 3 выбраны в равновесном положении Oequiv (12). Для кривых 1 на этих рисунках в качестве начальных условий выбирались следующие: у = у* + 0,5 • 10-2,沙=0,力=力*，勿=250.
Несмотря на то что начальное положение пузыря выбрано выше равновесного положения и начальная вертикальная скорость нулевая, пузырек сначала несколько отклоняется в сторону больших ж, а затем затапливается. Подчеркнем, что выявление таких движений оказалось возможным только в рамках рассмотрения пространственно-неоднородных движений пузырьков. В рамках одномерной модели все пузырьки с нулевой вертикальной составляющей скорости, находящиеся в начальный момент выше положения равновесия, должны были бы всплывать. Для кривых 2 начальные условия выбирались теми же, что и для кривых 1, только начальная горизонтальная составляющая скорости была несколько уменьшена (ж = 100). При этом пузырек опять несколько смещался влево в сторону больших ж, а затем всплывал. Кривые 3 и 4 иллюстрируют движение пузырьков, находящихся в начальный момент ниже положения равновесия у = у* — 0,5 • 10-2, и в этом случае в зависимости от горизонтальной составляющей начальной скорости пузыри могут тонуть (ж = —90) либо всплывать (ж = —250).
Таким образом, в случае пространственных движений возможны траектории пузырей, качественно отличающиеся от траекторий, которые могут быть установлены исходя из одномерных моделей.
Следует подчеркнуть, что приведенные траектории получены интегрированием усредненных уравнений, которые описывают так называемое медленное движение. Поэтому реальное движение пузырьков будет носить более сложный, чем показано на рис. 3, характер. Оно может отличаться колебаниями с частотой, кратной частоте внешних вибрационных воздействий, и амплитудой, пропорциональной амплитуде колебаний жидкости. Кроме того, следует иметь в виду, что при попадании траекторий пузырьков в зону, где интегральное многообразие, совпадающее с плоскостью & = 0, становится неустойчивым (рис. 2 6), движение перестает быть плоским, пузырек сходит с плоскости и траектории его становятся еще более сложными пространственными кривыми. Такими же сложными пространственными кривыми будут траектории пузырьков, не лежащих в начальный момент времени на устойчивых частях интегральных многообразий.
Возникновение установленных форм движения пузырей определяется неоднородностью полей скоростей в колеблющейся жидкости, которая в свою очередь обусловлена колебаниями свободной поверхности жидкости. Подобные формы движения возникают и в других неоднородных полях колеблющейся жидкости, причем причины неоднородности могут быть разнообразными: упругость стенок сосуда и его дна, наличие газовых «подушек» в жидкости и т. п.
Перемешивание жидких сред с пузырями в колеблющихся полостях со свободной поверхностью, газирование, ликвидация недоступных для пузырей зон. Методика оценки влияния параметров на эти процессы. При численном интегрировании, результаты которого приведены в предыдущем пункте, принималось, что в начальный момент времени пузырек находился внутри жидкости. Во многих реальных практически важных случаях проникновение пузырьков во внутренние зоны колеблющейся жидкости происходит со свободной поверхности. Вопрос о том, какие начальные скорости пузырьков для этого необходимы, во многих случаях может иметь практическое значение.
Дело в том, что покоящийся на свободной поверхности пузырек не всегда сможет проникнуть во внутренние зоны колеблющейся жидкости. Так, например, если полость, содержащая жидкость с пузырями, покоится, то все пузыри всплывают,
и, естественно, покоящиеся на свободной поверхности пузыри никогда не проникнут внутрь. Они должны иметь определенную вертикальную составляющую начальной скорости, направленную вниз от свободной поверхности ко дну, чтобы достичь его, двигаясь по инерции. Это же относится и к пузырям, расположенным на дне полости, когда полость совершает достаточно интенсивные колебания. В этом случае под действием описанной выше вибрационной силы они затопляются. Для того чтобы всплыть, они должны обладать определенной начальной скоростью с вертикальной составляющей, направленной вертикально вверх от дна к свободной поверхности. В более общем случае можно задаться вопросом, какой начальной скоростью должен обладать пузырек, чтобы из любого начального положения попасть в любое другое положение в жидкости внутри полости. Некоторые из таких перемещений пузыри могут совершить даже при нулевой начальной скорости: например, всплытие в покоящейся жидкости или затопление пузырей, находящихся в начальный момент достаточно глубоко в колеблющейся с достаточно большой амплитудой полости. Осуществление других перемещений с нулевой начальной скоростью может оказаться невозможным. Будем называть те зоны, которые не могут быть достигнуты пузырями с нулевыми начальными скоростями, зонами недоступности. Ответ на вопрос о существовании зон недоступности имеет существенное значение для решения ряда практических задач, например задачи газирования жидкости, т. е. насыщения жидкости газом, задачи перемешивания газожидкостных сред в замкнутом объеме, а также некоторых других.
Если зоны недоступности существуют, то в них перемешивание и газирование будет затруднено. Этот вопрос возникает, например, в задачах микробиологии и биологической очистки сточных вод, когда для поддержания жизнедеятельности микроорганизмов в жидкости весь объем, который ею занимается, должен быть насыщен кислородом. Дело в том, что если в жидкости могут возникнуть такие недоступные для пузырей зоны, то в этих зонах жизнедеятельность микроорганизмов будет затруднена. Аналогичная ситуация имеет место в системах искусственного рыборазведения.
То же относится и к реакторам химической технологии, в которых должны происходить реакции между веществами в жидком и газообразном состоянии. В зонах недоступности реакция идти не будет по причине отсутствия газа, участвующего в реакции.
Для случаев, когда зоны недоступности возникают, задачи газирования и перемешивания могут быть решены путем придания пузырям определенных начальных скоростей. Ясно, что чем эти скорости меньше, тем меньшие энергозатраты понадобятся. Установлением условий, при которых зоны недоступности возникают в жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость, совершающую вертикальные колебания, и оценкой начальных скоростей, необходимых для осуществления газирования или перемешивания во всем объеме жидкости, заполняющей полость, совершающую вертикальные колебания, мы и займемся ниже.
Учитывая, что неизвестные & и & фигурируют лишь в двух последних уравнениях системы (9), первые шесть уравнений (9) можно рассматривать независимо от этих двух последних уравнений. Ниже именно таким исследованием и ограничимся.
Кроме того, ограничимся случаем, когда влиянием вязкости на движения пузырьков можно пренебречь.
При этих предположениях можно показать, что уравнения (9) допускают интеграл вида
㈠=喈 + s(&, &, &, €10, £зо, &о),(13)
где V = V(г) — модуль относительной скорости пузырька, находящегося в точке с координатами &(т), £з(т), &(丁)в системе координат, жестко связанной с колеблющимся сосудом; % — модуль относительной скорости того же пузырька в исходной точке с координатами ^ю, £зо, §50 в той же системе координат; S = =S* — So；
2
s* = s*(&, &, &) =R(&, &, &) +
R(&, &, &)=丿产S&) cos2(^3) ch2(a&) +R(&, &, &)=丿产S&) cos2(^3) ch2(a&) ++ 2 2g — 3%+ 2 2g — 3%3d/3d/击 Qa&)sin2(&)ch2(a&) +击 Qa&)sin2(&)ch2(a&) +
R(&, &, &)=丿产S&) cos2(^3) ch2(a&) +
R(&, &, &)=丿产S&) cos2(^3) ch2(a&) +
+ 2 2g — 3%
+ 2 2g — 3%
3d/
3d/
击 Qa&)sin2(&)ch2(a&) +
击 Qa&)sin2(&)ch2(a&) +
+ 看(a&) cos2(^3) sh2(Q^5);
SomSY&o&o&o). (14)
Таким образом, соотношение (13) определяет квадрат модуля скорости любого пузырька в любой точке его траектории по начальному значению этого квадрата модуля скорости.
Согласно (13) неравенство S(&, £з, &, &о, £зо, &о) < 0 определяет в цилиндрических координатах &, &, & область, в которую пузырек, покоящийся в точке с координатами &о, &о, &о, не может попасть при своем движении. Обозначим через Smin минимальное значение функции S для значений аргументов из следующей области: £ь £io е [0; 1]; £з, £зо С [0, 2тг); £5, £50 е [0, %]. Очевидно, недоступной области не возникает, если Smin > 0.
Для значений начальной скорости %〉0 области, в которые пузыри не могут попасть при своем движении, будут лежать внутри области недоступности для покоящихся в начальный момент пузырей. Причем увеличение % сужает соответствующую область недоступности. При %》/in = V—*^min область недоступности исчезает. Таким образом, физический смысл величины Vm[n — минимальный модуль начальной скорости пузырька, для которого область недоступности исчезает. При Smin > 0 естественно определить /也=0. Величина /е в определенной степени может служить критерием для оценки возможности проникновения пузырьков во внутренние зоны колеблющейся жидкости. При малых ее значениях проникновение пузырей во внутренние зоны течения облегчено, с ростом этой величины процесс проникновения затрудняется. Во многих случаях для практических целей достаточно рассматривать не наиболее общий случай, когда начальные положения могут располагаться в произвольной точке течения, а зафиксировать начальные условия, например рассматривать лишь те пузыри, которые в начальный момент находились бы на свободной поверхности или на дне, и уже для них НаХОДИТЬ Vmin・
Пользуясь интегралом (13), можно произвести оценки для различных частных случаев движения рассмотренной выше цилиндрической полости. В случае покоящейся полости в выражении (14) для функции S следует положить 4 = 0,
£ = 0. Элементарные расчеты для пузырей, находящихся в начальный момент на свободной поверхности, дают выражение для /也：
Knin = V^・(15)
Пузыри, находящиеся в начальный момент на дне полости, что может иметь место, например, при барботаже газа через полость, заполненную частично жидкостью, очевидно всплывают, даже имея нулевую начальную скорость. Поэтому соотношение (15) определяет ту минимальную скорость, обладая которой любой пузырь, независимо от начального положения, может достичь любой точки полости.
Если полость колеблется (т. е. £ * 0), однако колебаниями на свободной поверхности пренебрегаем (4 = 0), то задача сводится к исследованию одномерного движения пузырей в вертикальном направлении на интервале & С [0; 川.В этом частном случае при фиксированных значениях s, h, /, Q функция S представляет собой однопараметрическое семейство парабол вида S = а£^ + 6^5 + с(§50), где коэффициенты а и 6 — постоянные, а с — функция начального положения пузыря &о, который рассматривается в данном случае как параметр. Несложно показать, что, поскольку а〉0, минимальное значение каждой из парабол рассматриваемого семейства на рассматриваемом интервале достигается при & =隽.Значение 隽 может быть одним из трех:聪=—6/2а, если —b/2a 6 [0;川，и 聪=0 или 聪= =儿 если —b/2a ^ [0;川.Учитывая выражение для с(&о), можно показать, что минимальное значение коэффициент с принимает при &о = £簫 это значение может быть только одним из двух: либо при ^50 = 0, либо при ^50 = h.
Таким образом, Smin = К/ + 暇+哦露・
Конкретные анализ соотношения (14) показал следующее.
Если параметры удовлетворяют условию 2g(Q2 — 1) > З^/%, что обеспечивает 6 > 0 и, следовательно, £g = 0, и соответствует малым значениям амплитуды колебаний полости, то для пузырей, в начальный момент находящихся на плоской свободной поверхности (^0 = %), получаем с помощью элементарных расчетов следующее выражение:
/а =—3茫^.(16)
При этом пузыри, находящиеся в начальный момент на дне полости (^0 = 0), всплывают, имея нулевую начальную скорость. Следовательно, условие (16) может быть отнесено к любому пузырю, находящемуся в начальный момент в любой точке полости.
С дальнейшим ростом амплитуды колебаний полости при
4g(Q2 - 1) > 3dm > 2g(併—1),(17)
что соответствует выполнению следующих соотношений: 6 < 0, —b/2a < h и, следовательно, 隽=—b/2a и 隽° = h, для /皿 относящейся к пузырям, находящимся в начальный момент в произвольной точке полости, находим
^тйп^тйп2g “Q2 — 12g “Q2 — 1(18)(18)
^тйп
^тйп
2g “Q2 — 1
2g “Q2 — 1
(18)
(18)
Отметим, что для данного случая внутри полости существует неустойчивое положение равновесия, порожденное рассмотренной выше вибрационной силой, которая описывается членом, подчеркнутым двумя чертами в шестом уравнении системы (9). Поэтому пузыри, расположенные в начальный момент на дне полости,
смогут всплыть только при том условии, что они обладают определенной начальной скоростью, имеющей положительную вертикальную составляющую. То же относится и к пузырям, находящимся в начальный момент на свободной поверхности. Они будут затапливаться только в том случае, если будут обладать начальной скоростью, имеющей определенную вертикальную отрицательную состав л я ющую. Максимальное из абсолютных значений этих вертикальных составляющих оказалось для пузырей на свободной поверхности.
Наконец, при выполнении условия
ЗМ/%〉4g(Q2 - 1),(19)
что соответствует 6 < 0, —b/2a < h и, следовательно,聪 = —6/2а, а также из (19), следует, что ^0 = 0. Поэтому для /也 справедливо следующее выражение:
, 湎2g “В — 1
he 7_—————
VQ2 - 1e湎
Этот случай соответствует значительным величинам амплитуд вибрации. Так же, как и в предыдущем случае, соответствующем выполнению условия (17), внутри полости существует неустойчивое положение равновесия, порожденное рассмотренной выше вибрационной силой, которая описывается членом, подчеркнутым двумя чертами в шестом уравнении системы (9). Отличие от предыдущего случая заключается в том, что максимальную по модулю вертикальную составляющую скорости для проникновения во внутренние зоны течения должны иметь пузыри, покоящиеся в начальный момент на дне полости.
Анализ выражений (16), (18) и (20) для /山 показывает, что с ростом амплитуды колебаний полости £ сначала абсолютное значение /е убывает, а при выполнении условия (19) начинает возрастать. Поэтому минимальное значение Vmin достигается при выполнении следующего условия:
^2lh = 4g(Q2 - 1).(21)
При этом Vmin =，^• Сравнивая с (15), заключаем, что благодаря действию вибрации значение /也 в общем случае понижается в 2 раза. Отметим, что для пузырей, находящихся в начальный момент на свободной поверхности жидкости, при выполнении условия (19) значение /也 может быть определено исходя из соотношения (18), и газирование и перемешивание со свободной поверхности может быть осуществлено даже для пузырьков, начальные скорости которых меньше, чем (20).
В общем случае, когда пузыри подаются в полость и со дна и со свободной поверхности, оптимальным соотношением между параметрами является (21). Таким образом, соотношение (21) может быть использовано для выбора параметров полостей и характеристик вибрации, при которых проведение технологических процессов перемешивания и газирования при выполнении всех принятых здесь условий может быть проведено оптимально.
Отметим, что соотношение (21) зависит от размеров пузырей. Если в течении имеются пузыри разных размеров, то для одних соотношение (21) выполняется, для других — нет. Поэтому здесь также открывается технологическая возможность проведения операции сортировки пузырей по размерам.
Все вышеизложенные результаты, относящиеся к определению /皿 были получены для случая пренебрежения колебаниями жидкости на свободной поверхности. Учет последних приводит к более сложным вычислениям, обусловленным трехмерным характером поля течения жидкости. Поэтому результаты были полу-
чены численно, а не в аналитическом виде. Алгоритм вычислений был следующий. Сначала на кубической сетке с достаточно мелким шагом вычислялись значения функции S* в области
€i е [о； 1]； е3 е [0,27г）； &е[о,矶
Затем определялось максимальное значение функции S* из всех вычисленных. Значения аргументов &, &, &, при которых это максимальное значение достигалось, принимались соответственно за &о, &о, &（）. Затем вычислялось значение So, фигурирующее в （14）, и, наконец, функция S. Затем на той же сетке определялось минимальное значение последней Smin и находилось /也=V—*^min •
В целом влияние колебаний на свободной поверхности бака приводит к облегчению проникновения пузырей со свободной поверхности. То есть оно как бы увеличивает амплитуду £. Проникновение пузырей во внутренние зоны жидкости происходит при несколько меньших значениях £, чем для одномерного течения без учета колебаний на свободной поверхности.
Как показывают расчеты, проведенные для частот 幻 в диапазоне от 20 до 130 Гц, значения Smin и 中広—丁0幻/也 зависят от параметров вибрационных воздействий, от объема жидкости в полости и ее геометрических характеристик.
На рис. 4 показаны зависимости 中広（幻）для пузырька с начальными координатами ^50 = 0,95/г, £；（）丁0 = 10一‘ м в сосуде с фиксированными геометрическими параметрами и объемом жидкости V = 5 • 10-4 м3. Кривые построены при различных значениях амплитуды а вынужденных колебаний. Как видно из рисунка, для каждой амплитуды существует некоторое значение 幻，при котором 审広 принимает минимальное значение. С ростом амплитуды а точки, соответствующие минимальному значению 中皿 сдвигаются в область более низких частот 幻， а величина виброускорения а/ в них остается приблизительно одинаковой. Таким образом, для фиксированных геометрических параметров сосуда и объема жидкости в рассматриваемом случае существует значение виброускорения, при котором проникновение пузырька во внутренние зоны течения жидкости наиболее облегчено.
На рис. 5 а представлены зависимости 中広（幻）для фиксированной амплитуды а = 1 мм и некоторых значений параметра К = %/2. Кривым 1-4 соответствуют К = 0,2; 0,4; 1; 5 и V = 5 • 10-4 м3; кривой 5 — К = 1, V = 10-2 м3. Как видно, для каждого сосуда （кривые 2—5） зависимости 中広（幻）имеют минимумы. Для сосудов с К = 0,2 （кривая 1）审広 с понижением вплоть до 30 Гц уменьшается. Следовательно, для жидкости с заданным объемом и ^ > 0,2 можно определить частоты внешних вибрационных воздействий, оптимальные с точки зрения облегчения процесса затопления пузырька. Сравнение кривых 3 и 5, соответствующих случаю К = 1, показывает, что увеличение объема жидкости влечет за собой возрастание минимального значения 中広 и уменьшение соответствующего ему значения 幻，а следовательно, и виброускорения.
Рис. 5 б иллюстрирует зависимости 审広 от параметра К для различных частот 幻 и амплитуды а = 0,5 мм. Отметим, что для частот 幻 ^ 60 Гц зависимость монотонно возрастающая. Для частоты 幻=70 Гл, существует некоторое ^, при котором У а （К） достигает максимума. Для более высоких частот Уа（К） — монотонно убывающие зависимости. Таким образом, для фиксированных значений частот выявленные зависимости позволяют найти такие геометрические характеристики сосуда, при которых процесс затопления пузырька будет облегчаться или затрудняться. Например, при 幻=60 Гл, для облегчения процесса затопления нуж-
匕nin，м/с匕nin，м/сРис. 4Рис. 4012345012345ККРис. 5Рис. 5
匕nin，м/с
匕nin，м/с
Рис. 4
Рис. 4
012345
012345
К
К
Рис. 5
Рис. 5
но выбирать широкие сосуды с ^ < 1 и наоборот, для затруднения — вытянутые сосуды ^ > 2. Для 幻=90 Гл, следует поступать противоположным образом.
Полученные зависимости могут быть весьма полезными для технических приложений. Они показывают, как исходя из заданной формы течения жидкости подбирать геометрические параметры сосуда и параметры внешних воздействий для обеспечения наиболее легких условий проникновения пузырьков внутрь жидкости. Достижение этого необходимо во многих технологических процессах, связанных с перемешиванием газожидкостных сред, организации локальных газовых скоплений пузырьков и т. п. С другой стороны, приведенные результаты указывают такие значения параметров, при которых для исследуемой формы движения жидкости проникновение газовых пузырьков в жидкость при воздействии на нее вибрации затрудняется и даже становится невозможным. Эти параметры должны выбираться в тех случаях, когда проникновения пузырьков во внутренние области жидкости желательно избежать, например в специальных областях материаловедения и металлургии.
Список литературы
Колебательные явления в многофазных средах и их использование в технологии / Под ред. Р. Ф. Ганиева — Киев: Техника, 1980. — 142 с.
Bleich Н. Н. Effect of vibrations on the motion of small gas bubbles in a liquid, Jet propulsion. V. 26. Nov. 1956. P. 958-963.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОРОТКИХ ВОЛОКОНВ МАТРИЦЕ ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
А. Н. Гузь^ В. А. Декрет^ Ю. В. Коханенко
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
Введение. Потеря устойчивости в структуре волокнистых и слоистых материалов является основным механизмом разрушения композитных материалов при сжатии. Сжимающие напряжения в структуре композитных материалов возникают при эксплуатационных нагрузках и в технологических процессах создания композитных материалов. Так, технологические сжимающие напряжения возникают при создании композитных материалов, когда в качестве матрицы применяется эпоксидная или другая смола. В этом случае производят полимеризацию при определенной температуре, и затем материал (смола совместно с волокнами) остывает до комнатной температуры; при этом за счет разности коэффициентов теплового расширения возникают сжимающие напряжения, которые действуют на волокна. Аналогичные процессы происходят и при создании композитов с металлической (обычно алюминиевой) матрицей. Обычно волокна имеют жесткость на один-два порядка больше по сравнению с жесткостью матрицы; при повышенных температурах, характерных для технологических процессов, жесткость матрицы еще уменьшается на один-два порядка. Таким образом, представляется актуальным исследование неустойчивости в структуре волокнистых и слоистых композитов, когда жесткость волокон превосходит жесткость матрицы на несколько порядков.
Вполне очевидно, что адекватное описание столь сложного явления, как потеря устойчивости в структуре композитных материалов, не может быть достаточно надежно реализовано в рамках двухмерных прикладных теорий устойчивости тонкостенных элементов (стержни, пластины и оболочки); для описания таких явлений целесообразно применить трехмерную теорию устойчивости деформируемых тел. Ознакомление с явлением потери устойчивости в структуре композитных материалов [14] и со статьей академика А. Ю. Ишлинского [10] по трехмерной теории устойчивости определило начиная с 1966 г. интерес первого автора настоящей статьи к трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел; частично полученные в этом направлении результаты представлены в монографиях [3-6, 15]. Следует отметить, что первые результаты в этом направлении, опубликованные в журнале «ДАН СССР» [2], также были представлены для опубликования академиком А.Ю. Ишлинским. В связи с вышесказанным авторы настоящей статьи считают за честь представить в сборник, посвященный 90-летию со дня рождения академика А.Ю. Ишлинского, новые результаты, относящиеся к исследованию взаимовлияния коротких волокон в матрице при потере устойчивости.
В настоящее время исследованы достаточно широкие классы задач о потере устойчивости в структуре слоистых и волокнистых материалов с полимерной
и металлической матрицами, которые проведены в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел (например, монографии [3, 5, 15]); при этом современный анализ построения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел представлен в обзорной статье [7]. Результаты получены для однонаправленных волокнистых и слоистых композитных материалов, которые являются бесконечными в направлении действия сжимающих напряжений; при этом для волокнистых композитных материалов проведен анализ для различных структур в плоскости поперечного сечения. В рассмотренном анализе для волокнистых композитных материалов (в силу бесконечных размеров волокон в продольном направлении, однонаправленных волокон) взаимодействие может осуществляться «как бы в плоскости поперечного сечения». Указанные результаты для волокнистых и слоистых композитных материалов изложены в монографиях [3, 4, 6]; частично краткий анализ таких результатов представлен в специальном выпуске [19] журнала «Applied Mechanics Reviews», озаглавленном «Micromechanics of composite materials: Focus on Ukrainian research», и современный анализ таких результатов представлен в обзорной статье [1].
В случае волокнистых однонаправленных композитных материалов, армированных короткими волокнами (волокнами конечных размеров в продольном направлении), взаимодействие между соседними волокнами может реализоваться как в плоскости поперечного сечения (между соседними параллельными волокнами), так и в продольном направлении (между соседними волокнами в направлении действия сжимающих напряжений). Исследование таких проблем в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел существенно усложняется, так как в этом случае получаем неоднородное (двухмерное или трехмерное) докритическое состояние; вполне очевидно, что в рассматриваемых задачах конкретные результаты можно получить лишь при помощи современных численных методов. При вышесказанном подходе рассматриваемая проблема начала разрабатываться лишь в последние два года. Так, в случае волокнистых однонаправленных композитных материалов, армированных короткими волокнами, при малой концентрации наполнителя приходим к простейшей эталонной задаче об устойчивости одного короткого волокна (волокна конечных размеров в продольном направлении) в бесконечной матрице при сжатии «на бесконечности» усилиями постоянной интенсивности, направленными вдоль волокна. Заметим, что в случае одного короткого волокна также получаем задачу с неоднородным докри- тическим состоянием; конкретные результаты даже в этой эталонной простейшей задаче, характерной для рассматриваемой проблемы, получаются с привлечением только численных методов. При вышеизложенной постановке в рамках плоской задачи при моделировании матрицы и волокна линейно-упругим сжимаемым телом ряд конкретных результатов изложен в [8, 9]. Настоящую статью можно рассматривать как продолжение исследований [8] для однонаправленных волокнистых композитных материалов, армированных короткими волокнами, применительно к материалам с малой концентрацией наполнителя, когда можно выделить два соседних волокна (вдоль направления действия сжимающих напряжений), для которых (в силу близкого их размещения) необходимо учитывать взаимодействие двух волокон при потере устойчивости. Исследование проводится также в рамках плоской задачи при моделировании матрицы и волокон линейно-упругим сжимаемым телом; при этом приводится сравнительно краткая информация о применяемом численном методе решения задач и его реализации, поскольку более подробно указанные вопросы могут быть изложены в публикации в другом издании. Основное внимание в настоящей статье уделено анализу полученных закономерностей о взаимовлиянии двух коротких волокон в матрице при потере устойчивости
в зависимости от расстояния между этими волокнами. Следует отметить, что проблема взаимовлияния коротких волокон в матрице при потере устойчивости является весьма широкоплановой и достаточно сложной при ее исследовании; в связи с этим авторы настоящей статьи считают полученные результаты лишь началом разработки указанной актуальной проблемы механики композитных материалов. Следует также подчеркнуть, что рассматриваемые результаты получены в рамках модели кусочно-однородной среды с привлечением основных соотношений строгой трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел; по- видимому указанная постановка задач микромеханики композитных материалов является наиболее строгой и точной в рамках механики деформируемых тел.
Рис. 1Рис. 1Постановка и методика решения задач. Рассмотрим композитный материал, армированный волокнами конечных размеров в продольном направлении, когда при малой концентрации наполнителя вследствие нерегулярной структуры возникают «пары» достаточно близко размещенных волокон, которые при потере устойчивости взаимодействуют друг с другом. В рамках модели плоской деформации проведем исследование внутренней потери устойчивости композита, которое не связано с влиянием граничных поверхностей, и полностью определяется только свойствами материала. В связи с этим в декартовых координатах х±0х2 композитный материал моделируется бесконечной матрицей, наполненной двумя одинаковыми цилиндрическими волокнами, направленными вдоль оси Ох±. «На бесконечности» композит нагружен в направлении Ох± сжимающей нагрузкой постоянной интенсивности Р (рис. 1).
Рис. 1
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим возможные формы потери устойчивости наполнителя в структуре материала. Из соображений физического характера можно предположить, что реализация рассматриваемого механизма потери устойчивости наполнителя в структуре композитного материала возможна по схемам, представленным на рис. 2. Первые две схемы (рис. 2 а, 5) представляют собой формы потери устойчивости, когда каждое из включений теряет устойчивость независимо от другого. При этом первая схема (рис. 2 а) соответствует изгибной форме, а вторая (рис. 2 6) — почти жесткому повороту включений. Третья и четвертая схемы (рис. 2 в, 2)отображают возможные формы потери устойчивости с учетом взаимодействия волокон. Так, по третьей схеме (рис. 2 в) два включения теряют устойчивость «как бы по одной изгибной форме» (общая изгибная форма). Четвертая схема (рис. 2 2)соответствует случаю, когда материал связующего в области меж-
ду включениями не оказывает достаточного поддерживающего воздействия, и при потере устойчивости между включениями «как бы образуется шарнир, близкий к пластическому шарниру», при этом указанный процесс сопровождается изгибом включений. При заданном способе одноосного нагружения потеря устойчивости рассматриваемого материала, по-видимому, реализуется по той или иной схеме в зависимости от геометрических и механических характеристик компонентов композита.
Вышеизложенные соображения относятся лишь к анализу рассматриваемого явления из соображений физического характера. Ниже в настоящей статье величины критических параметров и соответствующие формы потери устойчивости определяются в результате численного решения строгих трехмерных уравнений линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел.
В композитном материале, армированном короткими волокнами, напряжение волокнам передается через матрицу, при этом наполнитель локально сопротивляется деформированию, что вызывает неоднородное напряженно-деформированное состояние. Компоненты докритического напряженно-деформированного состояния определим при помощи уравнений линейной теории упругости. В качестве механической модели используем модель кусочно-однородной среды.
В декартовой системе координат х±0х2 = хОу сформулируем задачу определения докритического состояния, компоненты которого будем отмечать индексом нуль сверху. Уравнения запишем в безразмерной форме. Для этого линейные размеры отнесем к величине ширины наполнителя, а внешнюю поверхностную нагрузку Р и напряжения 吟 一 к величине (1 — 〃)/2G (G, у — модуль сдвига и коэффициент Пуассона). При рассмотренном способе перехода к безразмерным переменным безразмерная внешняя нагрузкар = Р(1 — 〃)/2G является пропорциональной величине продольной деформации, которую можно принять в качестве параметра нагружения.
Возмущения, обусловленные наличием наполнителя, распространяются на конечное расстояние. Поэтому компоненты докритического состояния целесообразно представить в виде суммы невозмущенного (с индексом «н») и возмущенного (с индексом «в») состояний
吟=。肮 +。趴 *= 4Г +吟R， 〃? = 〃” +"产 (1)
Компоненты невозмущенного напряженно-деформированного состояния для рассматриваемого случая определяются из соотношений
а11 — Р? а22 = а12 = 0； £11 =， £11 = — ] _ 〃， £12 =。・ ⑵
Для определения основного напряженно-деформированного состояния необходимо найти перемещения 〃?(/), удовлетворяющие в пределах компонента композита уравнениям равновесия
а吟а吟условиям затухания возмущений вв(7叮—-Uи условиям полного сцепления на контакте [п^сг^] = 0,условиям затухания возмущений вв(7叮—-Uи условиям полного сцепления на контакте [п^сг^] = 0,0，(3)при Xi —>±оо(4)компонентов композита[吟—。・(5)0，(3)при Xi —>±оо(4)компонентов композита[吟—。・(5)
а吟
а吟
условиям затухания возмущений вв
(7叮—-U
и условиям полного сцепления на контакте [п^сг^] = 0,
условиям затухания возмущений вв
(7叮—-U
и условиям полного сцепления на контакте [п^сг^] = 0,
0，(3)
при Xi —>±оо(4)
компонентов композита
[吟—。・(5)
0，(3)
при Xi —>±оо(4)
компонентов композита
[吟—。・(5)
Здесь: [/(х)] = /(х — 0) — /(х + 0) — скачок функции /(х); п〃 — компонента вектора внешней нормали. В пределах компонента композита закон Гука имеет вид 吟=^£; ((1-沙)鴉 + 沙吟，。?2 = a一沙)e；2，$ = 3-i.⑹
В соотношениях (1)-(6) и далее индексы изменяются от 1 до 2 и выполняется общепринятое соглашение о суммировании.
Рассмотрим вопрос о потере устойчивости композита в структуре материала. В качестве математической модели используем уравнения трехмерной линеаризированной теории устойчивости для малых начальных деформаций, когда начальное состояние определяется из уравнений линейной теории упругости (второй вариант теории малых начальных деформаций) [15]. Уравнения устойчивости запишем в безразмерной форме. Отметим, что в докритическом состоянии, в соответствии с (2), безразмерная внешняя нагрузка является пропорциональной величине продольной деформации р, которую примем в качестве параметра нагружения. С использованием концепции простого нагружения сводим задачу устойчивости к двухмерной спектральной задаче. Для этого выделим параметр нагружения при помощи замены 吟=wg. Для решения задачи устойчивости необходимо определить собственные решения 仇，uQ, k = 1,2,.. .? обобщенной задачи на собственные значения, описываемой следующими уравнениями:
уравнения в возмущениях
условия затухания возмущений на бесконечности
ni (内俏 + Р吗^^) Т °， ит 0 при Xi т ±оо;
условия идеального контакта
电 ^im + P^j ^1)=。，["俏]=°-⑼
В пределах компонента композита возмущения удовлетворяют закону Гука, который имеет вид (6) для соответствующих величин возмущенного состояния.
Критическая нагрузка и форма потери устойчивости определяются из собственного решения (р*, и*), соответствующего минимальному по модулю собственному числу задачи (7)-(9) и соответствующей этому числу собственной функции. Поскольку задача (7)-(9) является самосопряженной и положительно определенной [15, 18], то (р*, и*)=(九 и/ и для определения критических параметров необходимо найти только первое собственное решение задачи. При этом величины критической деформации, безразмерной и размерной критической нагрузки определяются по формулам
^11 =ркр = Р1,球号=—f^7 力，р^ = r^P1' (10)
Приближенное решение поставленных задач выполним методом конечных разностей. Для решения задачи бесконечное тело заменим конечной прямоугольной областью с двумя прямоугольными включениями. Размеры области определяются путем вычислительного эксперимента из условия затухания возмущений «на бес-
конечности». Эти размеры должны быть такими, чтобы их дальнейшее увеличение не влияло на результаты расчетов.
При помощи прямых 力£ = const введем в расчетной области разностную сетку ZJ так, чтобы в пределах ячейки материал был однородным, т. е., чтобы каждую ячейку занимал материал только одного из компонентов композита (рис. 3). При этом сетка будет неравномерной по каждому направлению, так как в области контакта компонентов композита и на границе расчетной области линии сетки должны быть размещены более плотно. Сеточная область Q = a; U 7, где 幻— множество внутренних, 7 — граничных узлов, представляет собой совокупность прямоугольных ячеек. Каждая ячейка сетки может быть наделена механическими и геометрическими характеристиками компонента композита, занимающего эту ячейку. Каждому узлу q-й ячейки сетки Q поставим в соответствие векторный параметр £ (рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4Рис. 3 Рис. 4
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 3 Рис. 4
Дискретные задачи на сетке ZJ построим вариационно-разностным способом с использованием концепции базовой схемы [16-18]. Путем соответствующего суммирования значений базовых схем в каждом узле сеточной области ZJ получим дискретные задачи, которые аппроксимируют соответствующие континуальные задачи.
Компоненты базовой схемы определяются путем аппроксимации и минимизации соответствующего функционала на шаблоне ячейки сетки. Для континуальной задачи (3)-(6) базовая схема имеет вид
&(£)U= , 結(£) = -/， (11)
где aij = 6ijAik£kk + 2 (1 - 6订)GijFj, £订=0,5 (%,&• + 〃九&) — разностные аналоги напряжений и деформаций на ячейке сетки, Aij^ Gij ——модули упругости и модули сдвига компонента, заполняющего ячейку, /& — значение сеточной функции /(£) в соседнем по направлению Xi узле ячейки сетки.
Дифференциальной задаче определения напряженно-деформированного состояния линейной теории упругости (3)-(6) на сетке соответствует разностная задача
Au = Ф, х 6 о/, или Amu = Фт, х 6 о/, (12)
где
^т^ = £2 am(£)u, Фт, —，2 屮 т(£)〉 X G UJ.(13)
£Сх£Сх
Здесь и далее знак суммы означает, что в узле х 6 о; суммируются базовые операторы для тех параметров £, которые соответствуют узлу х во всех примыкающих к нему ячейках.
Компоненты базовой схемы, соответствующие задаче устойчивости (7)-(9), имеют вид
&(£)и =* 儿(£)u = —н£кизн+⑷卜也门卢.(14)
Дифференциальной задаче устойчивости (7)-(9) на сетке соответствует обобщенная задача на собственные значения
Au = pBu, х е ZJ или Amu = рВти, х G cJ,(15)
где
4mU — ^2 ^m (€)^? 3mU — ^^ Ьт (^)U, X G UJ.(16)
£Cx£Cx
Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы: для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18].
Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем: сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения; затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств); далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения; в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам.
По описанной методике исследовано влияние расстояния между включениями г* = г、1 т、(рис. 1) на величину критической деформации £；? и форму потери
устойчивости наполнителя в структуре композитного материала. Расчеты выполнены при следующих значениях параметров компонентов композита: отношение модулей Юнга компонентов Е\]Е? = 1000; коэффициенты Пуассона % = 〃2； коэффициент формы наполнителя k = т^/т^ = 100 (рис. 1). Безразмерное расстояние между включениями г* изменялось в интервале 0,001，г*，32.
Рис. 5Рис. 50,0
Рис. 5
Рис. 5
-0,2
-0,4
-0,6
—0,8
-1,0
-17,5 -17,0 -16,5 -16,0
Рис. 6Рис. 6Для изучения возможных форм потери устойчивости наполнителя в структуре материала рассмотрим характер изменения возмущений 〃2 выделенной полосы композитного материала, которая содержит материал наполнителя. На рис. 6-8 для различных значений расстояния между включениями, г* = 32, г* = 1, г* = = 0,003 показана зависимость нормированных возмущений 〃曰(力i) = 〃2/|〃fax|, при 力2 = 0, где |〃歹* — максимальное по модулю значение возмущения в рассматриваемой области.
Рис. 6
Рис. 6
При расстоянии между включениями г* > 30 (рис. 5) формы потери устойчивости включений, соответствуют схеме, показанной на рис. 2 а, что полностью совпадает с результатами, полученными для композитного материала, слабоар- мированного короткими волокнами [8]. В этом случае, в соответствии с [8], при более низких значениях к может быть реализована форма потери устойчивости с жестким поворотом (рис. 2 6). При значениях 0,005 < г* < 30 имеет место форма потери устойчивости наполнителя, показанная на рис. 6, которая соответствует схеме рис. 2 в, когда включения как бы дополняют друг друга и теряют устойчивость по «общей изгибной форме» как одно волокно. При значениях г* < 0,005 (половина толщины включения) имеет место форма потери устойчивости наполнителя, показанная на рис. 7, которая соответствует схеме рис. 2 г, когда в области
Рис. 8
между включениями «как бы образуется шарнир, близкий к пластическому шарниру».
Таким образом, формы потери устойчивости, полученные в результате численного решения задачи устойчивости, совпадают с формами потери устойчивости, предполагаемыми из соображений физического характера.
Рассмотрим вопрос о влиянии взаимодействия коротких волокон в структуре композитного материала на величину критической деформации. На рис. 8 изображена зависимость критической деформации £；? от величины расстояния между включениями г*.
В результате проведенных расчетов были получены значения критической деформации значительно ниже предельного укорочения, соответствующего пределу прочности связующего. Это свидетельствует о возможности разрушения рассматриваемого композитного материала вследствие потери устойчивости в структуре материала, прежде чем достигается предел прочности.
При достаточно большом расстоянии между включениями г* > 30 величина критической деформации стремится к значению £；?, полученному для композитного материала, слабоармированного короткими волокнами [8]. Этот участок соответствует форме потери устойчивости без взаимодействия волокон (схема 2 а). С уменьшением расстояния г* степень взаимодействия волокон увеличивается. На промежутке 0,005 < г* < 30, который соответствует «общей изгибной форме» (схема 2 в), величина критической деформации достигает максимального по модулю значения (для рассмотренных параметров г* =8); при этом абсолютное значение критической деформации значительно превышает значение, полученное для изолированного волокна в матрице. На промежутке г* < 0,005 (половина толщины включения), который соответствует форме потери устойчивости с «пластическим
шарниром» (схема 2 г), наблюдается резкое снижение абсолютного значения критической деформации.
Таким образом, в результате численного решения задачи устойчивости установлено, что зависимость величины критической деформации от расстояния между волокнами имеет немонотонный характер. Этот механический эффект, по мнению авторов, обнаружен впервые.
Заключение. В результате проведенного исследования взаимодействия коротких волокон в матрице при потере устойчивости в рамках модели плоской деформации установлено:
—при рассмотренных параметрах компонентов композита обнаружено, что потеря устойчивости в структуре композита происходит по одной из трех форм: независимый изгиб (рис. 2 а), общий изгиб (рис. 2 в), перелом наполнителя с изгибом (рис. 2 2), в зависимости от расстояния между волокнами;
—величина критической деформации зависит от расстояния между волокнами; для рассмотренных параметров при значении г* > 30 величина £；? стремится к значению, полученному для изолированного волокна в матрице; при значении 若=8 величина £；? достигает максимального по модулю значения, при этом абсолютное значение критической деформации значительно превышает значение, полученное для изолированного волокна в матрице; при значении г* < 0,005 (половина толщины включения) наблюдается резкое снижение критической деформации композита;
—зависимость величины критической деформации от расстояния между волокнами имеет немонотонный характер, что, по мнению авторов, обнаружено впервые применительно к рассматриваемым задачам.
Список литературы
Бабич И. Ю., Гузь А. Н., Чехов В. Н. Трехмерная теория устойчивости волокнистых и слоистых материалов // Прикладная механика. 2001. Т. 37, № 9. С. 3-43.
Гузь А. Н. Точности гипотезы Кирхгофа-Лява при определении критических сил в теории упругой устойчивости // ДАН СССР. 1968. Т. 179, № 3. С. 552-554.
Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. — Киев: Наукова думка, 1971. - 276 с.
Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. — Киев: Наукова думка, 1973. — 274 с.
Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. — Киев: Вища школа, 1986. — 512 с.
Гузь А. Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. — Киев: Наукова думка, 1990. — 630 с.
Гузь А. Н. О построении трехмерной теории устойчивости деформируемых тел // Прикладная механика. 2001. Т. 37, № 1. С. 3-44.
Гузь А. Н., Декрет 5.4., Коханенко Ю. В. Плоские задачи устойчивости композитных материалов для случая наполнителя конечных размеров // Механика композитных материалов. 2001. № 1. С. 3-10.
Гузь А. Н., Декрет В. А., Коханенко Ю. В. Решение плоских задач трехмерной устойчивости ленточного композитного материала // Прикладная механика. 2000. Т. 36, № 10. С. 63-74.
Ишлинский А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6, № 2. С. 140-146.
Коханенко Ю. В. Один способ решения задач трехмерной устойчивости композитных материалов ленточной структуры // ДАН Украины. 1989. № 2. С. 31-33. 5-12 с.
Молчанов И. Н., Попов А. В., Химич А. Н. Алгоритм решения частной проблемы собственных значений для больших профильных матриц // Кибернетика и системный анализ. 1992. № 2. С. 141-147.
Ортега Дснс., Пул У Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986. С. 272.
Dow N. F., Gruntfest /. J. Determination of most needed potentially possible improvement in materials for ballistic and space vehicles // General Electric Co., Space Sci. Lab., TISR 60 SD 369, June 1960.
Guz A. N. Fundamentals of the Three-Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies. — Berlin: Springer-Verlag Heilberg, 1999. — 555 p.
Kokhanenko Yu. V. Discrete Models of Problems in the Elastic Theory of Composites in Cylindrical Coordinates. 1. Three-Dimensional Problems // International Applied Mechanics. 2000. T. 36, № 8. P. 1067-1076.
Kokhanenko Yu. V. Discrete Models of Problems in the Elastic Theory of Composites in Cylindrical Coordinates. 2. Two-Dimensional Problems // International Applied Mechanics. 2001. T. 37, № 4. P. 499-510.
Kokhanenko Yu. V. Numerical Study of Three-Dimensional Stability Problems for Laminated and Ribbon Reinforced Composites // International Applied Mechanics. 2001 T. 37, № 3. P. 317-345.
Micromechanics of composite materials: Focus on Ukrainian research // Appl. Meeh. Rew., Special Issue. 1992. V. 45, № 2. P. 13-101.
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЫ В ОКРЕСТНОСТИПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СРЕДНИХ
СИЛ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
А. Н. Гузь, А.". Жук
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
Разработан метод исследования динамики твердых тел (частиц), расположенных у границы сжимаемой вязкой жидкости, при прохождении акустической волны. Действие жидкости на тело (частицу) определяется средними по времени силами, представляющими постоянные во времени слагаемые гидродинамических сил. В связи с этим используется разработанный ранее метод вычисления давления в сжимаемой вязкой жидкости с сохранением слагаемых, квадратичных по параметрам волнового поля. Метод основан на использовании упрощенной (применительно к волновым движениям жидкости) системы исходных нелинейных уравнений гидромеханики. Оказалось возможным при вычислении напряжений в жидкости сохранить величины второго порядка, не решая систему нелинейных уравнений. Напряжения удается выразить через величины, определяемые с помощью линеаризованных уравнений сжимаемой вязкой жидкости. Для этого используются представления решений линеаризованных уравнений через скалярный и векторный потенциалы. На основе этого метода сформулирована задача для цилиндра у плоской стенки при падении волны перпендикулярно стенке, и рассмотрен конкретный пример.
Введение. В практической деятельности возникает много проблем, решение которых связано с исследованием динамических процессов в жидкости. Во многих технологических процессах, основанных на системе жидкость-частицы, используется акустическое воздействие, в связи с этим определенный интерес представляют исследования динамики частиц в жидкости. В промышленности распространены технологические процессы (использующие коагуляцию частиц в жидкости с последующей их седиментацией), в которых определяющую роль играют постоянные во времени (средние) силы акустического воздействия. Исследование движения частиц под действием средних во времени сил представляет сложную задачу. Более точное прогнозирование их поведения требует при теоретическом исследовании учета ограниченности пространства, занятого жидкостью. Наличие же в жидкости границ существенно влияет на протекание процесса. Твердые частицы, расположенные около границы жидкости, находятся в интерференционном поле первичной и отраженных волн, которое через посредство среды и определяет взаимодействие границы с частицами. Интерференционное волновое поле создает среднюю во времени силу, величина и направление которой зависят от многих факторов: угла падения волны на поверхность границы, отношения длины волны к расстоянию частицы до границы, формы границы и т. д.
В настоящей работе рассмотрен случай, когда твердое тело располагается у границы раздела сжимаемой вязкой жидкости и абсолютно твердой плоской стенки. Средние силы определим как средние (по периоду волнового поля) величины
интегральных сил воздействия жидкости на тело. В связи с этим линейное приближение для определения этих сил оказывается недостаточным. Вычисленная в таком приближении сила является периодической функцией времени и в среднем по времени равна нулю. Средняя сила появляется как результат эффектов второго порядка и сама является величиной второго порядка. А это значит, что при вычислении напряжений в жидкости необходимо использовать нелинейные
соотношения, сохраняя квадратичные по параметрам волнового поля слагаемые. В дальнейшем будем пренебрегать тепловыми эффектами в жидкости, считая процесс адиабатическим. В этом случае для решения задачи можно использовать метод, предложенный в [6, 7] для бесконечной жидкости. В соответствии с этим методом поле тензора напряжений в жидкости представляется через потенциалы
первичной и вторичной волн с точностью до величин, имеющих порядок числа
Маха. При этом потенциалы вторичных волн определяются при решении задачи дифракции, сформулированной на основе линеаризованной теории сжимаемой вязкой жидкости [1-4].
Для определенности рассмотрим круговой цилиндр радиуса а, расположенный параллельно плоской твердой стенке на расстоянии 6 от нее. Основную систему координат выберем так, чтобы ее начало, точка О, находилось в плоскости стенки (рис. 1). Ось Ожз направим параллельно оси цилиндра, а ось Ох± — перпендикулярно плоскости стенки так, чтобы она пересекала ось цилиндра. Будем предполагать, что в отрицательном направлении оси Ох± распространяется плоская волна давления. В соответствии с методом средняя сила, действующая на цилиндр, отфильтровывается осреднением по
от сверткиот сверткитензора напряжениитензора напряжениивремени величины поверхностного интеграла
от свертки
от свертки
тензора напряжении
тензора напряжении
в жидкости с ортом нормали к поверхности S цилиндра:
FF⑴
F
F
$ =(―目 + *▽ • V)自 + 2〃⑵давление р в жидкости необходимо принять равным [6]$ =(―目 + *▽ • V)自 + 2〃⑵давление р в жидкости необходимо принять равным [6]Р = РоР = Ро(新-力"期-"嘗△蚕•\ ut / zа。 О方(新-力"期-"嘗△蚕•\ ut / zа。 О方⑵⑶⑵⑶где W — тензор напряжений в жидкости, ег — орт нормали к боковой поверхности цилиндра, которую будем определять на единичной длине цилиндра. При вычислении тензора напряжений
$ =(―目 + *▽ • V)自 + 2〃⑵
давление р в жидкости необходимо принять равным [6]
$ =(―目 + *▽ • V)自 + 2〃⑵
давление р в жидкости необходимо принять равным [6]
Р = Ро
Р = Ро
(新-力"期-"嘗△蚕•
\ ut / zа。 О方
(新-力"期-"嘗△蚕•
\ ut / zа。 О方
⑵
⑶
⑵
⑶
В выражениях (2) и (3) обозначено: ро и а()— плотность и скорость звука в жидкости, V — вектор скорости частиц жидкости, р — возмущение давления, Д' и 〃' 一 динамический и второй коэффициенты вязкости, ё = - (Vv + (Vv)T)—
тензор скоростей деформации, Е — единичный тензор. Скалярный потенциал Ф волнового поля определяется при решении линейной задачи дифракции первичной и отраженной от стенки волн на цилиндре.
2. Определение потенциалов поля скоростей из решения задачи дифракции. Зададим первичную волну соотношением
Ф〃 = 4 exp [—i («Ж1 + 幻切,
⑷
где А — амплитуда при 力i = 0, а = k + ia± — комплексное волновое число,幻— угловая частота.
С математической точки зрения задачу дифракции первичной волны Ф〃 на цилиндре сформулируем на основе линеаризованной теории сжимаемой вязкой жидкости [1, 2]. Тогда ее решение сведется к отысканию решений уравнений
Д’ + 2“
^о 0о
Ф = 0,
При этом поле скоростей жидкости,
у = \7Ф + \7 хФ, V • Ф = О,
⑺
должно удовлетворять граничным условиям на поверхности стенки
V = 0, 力1 = О,
⑻
на боковой поверхности S цилиндра
V = V
⑼
и условию затухания отраженной от цилиндра волны на бесконечности.
Вектор скорости V цилиндра при условии его цилиндрической изотропности определяется из уравнения движения в жидкости:
(Ю)
в котором т — масса единицы длины цилиндра. В линеаризованной теории тензор напряжений о вычисляется по формуле
(И)
6= (—" + *▽• V)0 + 2/?а
При определении компонент тензора скоростей деформации ё используем соотношение (7).
Так как угол падения волны (4) равен нулю, то при отражении от стенки она не будет трансформироваться в сдвиговую, поэтому потенциал отраженной волны можно представить в таком виде:
Следовательно, фактически сформулированная задача сводится к задаче дифракции волн (4) и (13) на цилиндре, расположенном у плоской стенки. Для ее решения используем методы, развитые в монографии [5] для задач дифракции упругих волн в многосвязных телах.
Решения уравнений (5) и (6) построим методом разделения переменных в цилиндрических системах координат. Для этого свяжем с цилиндром локальную цилиндрическую систему координат O±ri(piz^, в которой началом координат является точка пересечения оси цилиндра с осью Oa?i, а ось O1Z3 направлена вдоль оси цилиндра. В рассматриваемом случае векторный потенциал Ф определяется через один скалярный [5]:
^ = ез%・(14)
Используя разложения Якоби, представим выражения для плоских волн (4) и (13) в цилиндрической системе координат О^г^хг^ через цилиндрические волновые функции:
Ф〃 = 4 e~iaS £ (-l)n en inJn (a n) cos п屮 1 ,(15)
71 = 0
Ф1 = 4£ en inJn (а 5) cos 几gi,(16)
71 = 0
где eo = 1, 6九=2 (n ^ 1), a Jn(z) — функция Бесселя аргумента z.
На поверхности 力^ = 0 поле скоростей отраженных от цилиндра волн должно удовлетворять граничному условию (8). Воспользовавшись методом мнимых изображений, можно удовлетворить этим условиям, оставаясь в цилиндрической системе координат. Мысленно считаем, что жидкость заполняет все пространство и имеется второй цилиндр, симметричный относительно плоскости 力i = 0. Тогда достаточно подчинить поле скоростей, создаваемое отраженными от цилиндров волнами, граничному условию (8). Свяжем со вторым цилиндром систему координат О2 丁2 32之}・ В каждой из локальных цилиндрических систем координат решения уравнений (5) и (6) (потенциалы отраженных от цилиндров волн давления Ф，) и волн сдвига W,), s = 1,2 — номер цилиндра) представим обобщенными рядами Фурье:
ФУ)= £ Лп}"屮 9几)cos rnps ,(17)
n=0
00
=£ 磔)"*(0展)sin Ws •(18)
Здесь /3 =— волновое число волн сдвига.
Используя соотношения (7), (17) и (18), определяем, что условие (8) для отраженных от цилиндров волн устанавливает следующую связь между коэффициентами в рядах (17) и (18):
4俨=一1户+1 4屮，в^ = -1户+1笈9).
Постоянные 74M и 成 определим из граничного условия (9) на поверхности первого цилиндра. Для этого потенциалы поля скоростей (7)
ф = ф〃 + Ф1 + Ф；)+ ф 俨,% =吟 + 吟
необходимо записать в системе координат O±r^±z^^ связанной с первым цилиндром. Используя теоремы сложения для цилиндрических волновых функций [5], получаем
办=Ё 吟=Е 国)"*(a т 1) + ё闾1)Jn (a т1)] cos(Wi), (期 6 = 171 = 0
% = £ 吟=£ 同D "屮 ®1) + CnQ「Л El)] Sin (W1),(20)
6=1n=l
s^ = I E (-1)2 叫俏硯，Q^ = I £ (-1)2 ME 叫， 772 = 0772 = 0
Me = "：2俏(2/36) - (-If H^m (2/36),
^2nm — ^m (2^) + (-lfH^m (2ab).
Из условия симметрии волнового поля относительно плоскости 力2 = 0 следует, что движение цилиндра под действием акустической волны будет происходить вдоль оси Ож1，Записывая правую часть (10) и (12) в цилиндрической системе координат и учитывая(11) и (12), получаем после интегрирования следующее выражение для проекции скорости цилиндра на ось Oa?i：
匕1 = - [—2ci A sin (a6)Ji(aa) + А^Н^\аа) +
+ e^J^aa) + В^Н^\ра) + e^J^/За^ . (21)
Из граничного условия (9), принимая во внимание (15), (16), (19)-(21) и (7), получаем бесконечную систему алгебраических уравнений относительно постоянных Ап^ и Вп^• Выражение для нее в силу громоздкости не приводим. Система имеет единственное решение, которое находим методом редукции. Заданная степень точности обеспечивается путем сравнения результатов вычислений при последовательном увеличении числа уравнений. Вычислением постоянных 4金) и В^ завершается определение потенциалов Ф и 屮=ез% поля скоростей.
Вычисление средней силы. Полученные из линейных уравнений потенциалы поля скоростей дают возможность вычислить давление (3) и напряжения (2) в жидкости с точностью до величин второго порядка. Следовательно, с такой же точностью можно вычислить гидродинамическую силу, которая действует на цилиндр. В силу симметрии волнового поля она будет направлена вдоль оси Ох±. Используя выражения (7), (3) и (2), получаем из (1) формулу для вычисления проекции гидродинамической силы на ось Ох±:
Осреднив (22) по времени, получаем выражение для вычисления значений соответствующей средней силы:
费]Fx1dt.(23)
-т
Используя подходы работы [9], получим в данном конкретном случае численные решения для средней силы. Теперь можно определить обусловленное этой силой движение тела в жидкости.
Рассмотренный в данной работе подход можно использовать при решении задач в случае мягкой границы и в случае плоской границы раздела двух жидкостей.
Пример. В качестве примера исследуем движение цилиндра в идеальной жидкости у плоской твердой границы, обусловленное средней во времени (радиационной) силой. Акустическая волна распространяется перпендикулярно плоской границе:
Ф〃 = 4 ехр [—г (卜也 + cut)] .(24)
Основные соотношения для случая идеальной жидкости получаются из выведенных выше путем предельного перехода (А7 —> 0, "―> 0). Если при этом ограничиться условиями ka《1 и k6》1, то поле скоростей (7) определяется как суперпозиция полей падающей и отраженной волн. В этом случае средняя (радиационная) сила (23) и поле скоростей определяются следующими выражениями [8]:
〈％J = А2тгро sin (2 кб) @ ：二⑺(用。『，(25)
= —24 k sin (k Ж1) cos (幻 t),(26)
где ?y — отношение плотностей жидкости po и материала цилиндра pi，Плоскости □?i = nrIк (п = 0,1,. ..) являются узлами, а плоскости 力i =(几 + /)тг/к (几 = =0,1,. . .) — пучностями поля скоростей (26). Исследуем характер движения цилиндра в том случае, когда он в начальный момент находится между узлом и пучностью. Направление действия средней силы определяется знаком произведения сомножителей sin (2kb) и (3 — ?у) в выражении (25). Анализ (25) показывает, что более плотный цилиндр (?у < 3) средняя сила смещает в сторону пучности. Более легкий цилиндр (?у > 3) — в сторону узла. Уравнение его движения записывается в виде
(тга2р1 + тг а2ро) 5 =寸。々 sin (2kb) ——夫(ка? ,(27)
где тга2ро — присоединенная масса единицы длины цилиндра.
Узлы и пучности поля скоростей являются для цилиндра положениями равновесия. Определим, какие из них являются устойчивыми.
Механическая система, описываемая уравнением (27), консервативна (существует нетривиальный первый интеграл уравнения (27) на всей фазовой плоскости). Положим 2kb = тг — Н + 2几乃,тогда уравнение (27) преобразуется к виду
3 + 丫2 sin Н = 0,(28)
где f = 2А2 d 陰.
Уравнение (28) не зависит от радиуса цилиндра и описывает свободные колебания нелинейного осциллятора. Эти колебания происходят относительно положения устойчивого равновесия [10].
При ^2>0 (относительно плотный цилиндр) положения устойчивого равновесия определяются значениями Н = 0. Эти положения — пучности поля скоростей: b=(rz+；)7r/k (п = 0,1,.. .). Узлы поля скоростей в этом случае — неустойчивые положения равновесия. Период колебаний цилиндра относительно пучностей поля скоростей равен
т = △ ) 1 + " 2 K (力
0а，2?7 (3 — n) 7r
где К(£)— полный эллиптический интеграл первого рода, А — длина волны, va — амплитуда скорости колебания жидкости, £ = sin (卜力。),力о —— максимальное удаление цилиндра от пучности. Период колебаний (29) имеет минимум при ?у = =0,6:
Tmin = 0,943^^K(£). (30)
При ^2 < 0 (относительно легкий цилиндр) положения устойчивого равновесия определяются значениями Н = тг. Эти положения — узлы поля скоростей: 6 = =几тг/k, (п = 0,1. . .). Пучности поля скоростей в этом случае — неустойчивые положения равновесия. Период колебательного движения цилиндра относительно узлов поля скоростей равен
(31)(31)т = △ , 1 + " 2 K(£)•
(31)
(31)
0а У2т7(7/ - 3)万
В этом случае 力о — амплитуда колебаний цилиндра в его движении под действием радиационной силы. Период колебаний не имеет экстремальных значений.
Выводы. Цилиндр, расположенный в жидкости вблизи твердой стенки, под действием радиационных сил акустического поля совершает колебательные движения. Колебания происходят относительно положений устойчивого равновесия, которые определяются как волновым числом акустической волны, так и отношением плотностей жидкости и материала цилиндра. Период колебаний цилиндра в его движении под действием радиационных сил зависит от длины волны, амплитуды скорости частиц жидкости, отношения плотности жидкости к плотности материала цилиндра, расположения цилиндра в начальный момент относительно положения устойчивого равновесия. В то же время он не зависит от радиуса цилиндра.
Список литературы
Гузь А. Н. Динамика твердых тел в сжимаемой вязкой жидкости (покоящаяся жидкость) .Прикл. механика. 1981. Т. 17, № 3. С. 3-22.
Гузь А. Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. — Киев: А.С.К., 1998. — 350 с.
Guz A. N. Dynamics of Compressible Viscous Fluid (Review). International Applied Mechanics. 2000. V. 36. P. 23-50.
Guz A. N. On Necessary and Sufficient Conditions of Description of Object Movement in Viscous Liquid under Acoustic Effect. International Applied Mechanics. 2000. V. 36. P. 211-218.
Гузь A. H., Головчан В. T. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. — Киев: Наук, думка, 1972. — 254 с.
Гузь А. Н., Жук А. П. О гидродинамических силах, действующих в акустическом поле в вязкой жидкости. Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 1. С. 32-33.
Гузь А. Н., Жук А. П. Динамика твердых частиц в жидкости при действии акустического поля. Модель кусочно-однородной среды (Обзор). Прикл. механика. 1993. Т. 29, № 5. С. 3-21.
Гузь А. Н., Жук А. П., Геращенко Н. В. Про рух цил!ндра бшя твердо! плоскоТ меж! в рад!ац1йному дол! звуковоТ хвил!. Доп. АН УкраТни. 1994. № 11. С. 61-65.
Жук А. П. Исследование взаимодействия акустической волны в вязкой жидкости с двумя цилиндрами, расположенными параллельно. Прикл. механика. 1991. Т. 27.№ 3. С. 108-115.
Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. — М.: Мир, 1982. - 304 с.
О ВЛИЯНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СТРУНАХЩИПКОВЫХ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ НАХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ МЕДИАТОРА
Ю. А. Демьянову А. А. Малашин
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА
При исследовании распространения волн и обусловленных ими колебаний в струне щипкового музыкального инструмента, начиная с работ лорда Рэлея использовалось решение задачи с начальными данными для уравнения поперечных колебаний. Принималось, что начальная форма струны представляет две стороны треугольника с вершинами в точках крепления 力=0, х = L, где, как правило, у = 0 (жесткое крепление), и в точке ж = с, схематично представляющей место воздействия исполнителя, где у = h; величина h характеризует максимальный прогиб струны. Считалось также, что начальные скорости частиц в струне отсутствуют.
Вместе с тем, как показали эксперименты по определению времени взаимодействия между струной и медиатором, величина 力о составляет 0,01-0,05 секунды. За это время поперечные волны на участке от медиатора до заделок отражаются десятки раз, поэтому процесс воздействия медиатора необходимо рассматривать как взаимодействие со струной тела, движущегося со скоростью % (力)в течение этого времени 力=力0 rдо схода медиатора со струны.
Возможность различных законов движения медиатора в руке исполнителя вытекает из следующих способов извлечения звука при игре на щипковых инструментах и возможных вариантов их схематизации.
Медиатор представляется жесткой пластинкой, сохраняющей неизменность ориентации вплоть до времени 力=力0； при этом волновые и колебательные процессы происходят только в одной плоскости (как, например, при стиле игры «слэп»). При этом взаимодействие медиатора можно свести к взаимодействию бесконечно тонкой палочки, а поправку на форму учесть методами возмущений.
При другой манере исполнения, в силу меньшей скорости и большего времени соприкосновения, момент 7И(力)силы воздействия струны на жесткий медиатор в момент 力=то отражения одной из поперечных волн от ж = с превысит предельно допустимое значение Мпр для его удержания без разворота и начнется его вращение. При этом имеют место пространственные волновые и колебательные процессы как при 力о 〉力》т(), так и после окончания воздействия исполнителя.
Медиатор может быть представлен удерживаемой пальцами исполнителя упругой балкой, которая изгибается под действием силы со стороны струны. Этот случай приводит также к пространственным волновым и колебательным процессам.
Пусть на струну, жестко закрепленную в точках х = 0, х = L, воздействует в точке х = с бесконечно тонкая палочка, имеющая проекции скорости % и % в направлениях, соответственно нормальных к ее длине и вдоль длины (VT — скорость скольжения палочки по струне).
Для упрощения анализа примем, что % = const, VT = const. Направляя ось Ох по длине палочки, Оу по направлению проекции скорости %, будем иметь
движение частиц струны в плоскости z = 0, описывающееся для рассматриваемой задачи уравнением поперечных колебаний
⑴⑴a2y _ 入2 a2yа产—ь°дх2
⑴
⑴
при следующих начальных и граничных условиях:
g（力,0）=黑（力,0）= 。,д（0,力）=g（"力）=。,需（力=仇力）=%⑵
（&0 — скорость распространения поперечных волн）.
Решение этой задачи может быть получено как методом распространяющихся волн [2], так и методом характеристик [5] и представляет собой волновой процесс, схематично изображенный на рис. 1. Начальный угол а。наклона струны к оси X определяется из условия
tga（）= Vo или а。д, где 几=兽《1. оо
После отражений поперечных волн от креплений 力=0, х = L углы наклона
достижения отраженной от креплениядостижения отраженной от крепленияструны в этих точках равны 2ao. После волной точки 力=с и отражения от нее, углы наклона струны в этих точках становятся равными За。и т. д. Поэтому при времени 2k^- < t < （2k + 1）| уг-
достижения отраженной от крепления
достижения отраженной от крепления
Ооо
лы наклона левой части струны соответственно в точках х = 0, х = с суть "о = = 2ka（）, ^i = （2k + 1）«о, при времени （2k — 1）/ < t < 2任 соответствующие Ооо
углы наклона суть 比=2ka（）,必=（2k — —l）^o-
Форма струны при t = to отличается от треугольной, а ее части, примыкаю-
щие к точке ж = с, имеют поперечные составляющие скоростей, поэтому амплитудно-частотный спектр поперечных колебаний при t > to отличается от определяемого из традиционной постановки [1], [2] как величинами амплитуд, так и сдвигом фаз, а соответствующий спектр продольных колебаний состоит как из собственных, так и вынужденных колебаний （на частотах поперечных колебаний）. Заметим, что сформулированная выше задача может быть решена и в нелинейной постановке, ибо в силу постоянства % и начальных параметров применение методов размерностей и подобия приводит к автомодельным решениям в каждой из возникающих областей, ограниченных точками х = 0, x = cnx = Ln фронтами поперечных и продольных волн. В нелинейной постановке аналогичными методами эта задача может быть решена и для случая воздействия медиатором треугольной формы.
Определим условие, при котором возможна представленная на рис. 1 картина волн вплоть до момента t = t^.
В силу того что силы натяжения в струне направлены вдоль ее формы и незначительно отличаются по модулю от начальной силы Fq, проекция Fn этих сил
в направлении, перпендикулярном оси палочки, имеет вид
Fn = R()(sinai + sinQ2) F0(^i + с^)=瓦* (2航 + 2k2 + 2),(3)
Oo
где a】，&2 — углы отклонения струны в точке х = с справа и слева от палочки, к\ и 卜2 ——число приходов поперечной волны от точки х = с соответственно к точкам х = 0 и х = L. Как видно из этой формулы, величина Fn изменяется дискретно относительно точки удержания возбудителя колебаний. Обозначая через /(力)плечо действия, найдем значение соответствующего момента силы Мп = Fn(t)l(t). Если Mn(to) < ТИцр, где Мпр — предельное значение момента, обеспечивающего удержание медиатора или пальца исполнителя в неизменном положении, представленная на рис. 1 волновая картина и соответствующие ей плоские поперечные колебания будут иметь место в течение всего времени действия исполнителя, а следовательно, и в дальнейшем распространение волн и поперечные колебания будут происходить в той же плоскости.
Выясним, в какой момент времени t = tq < to величина M(t) может превысить значение Мпр. Очевидно, им является момент отражения от точки х = с одной из поперечных волн, идущих от точек крепления. Примем для определенности, что это точка 力=0. Для упрощения выкладок примем также, что за время движения этой волны к точке 力=0 и возвращения отраженной от этой точки волны в точку 力=с не происходит прихода в эту точку отраженной от 力=L поперечной волны. С этого момента времени начнется вращение возбудителя колебаний, которое в случае медиатора происходит как при неизменном положении пальцев, так и за счет их разворота вместе с ним. Вместе с началом поворота струна начинает скользить по поверхности медиатора. Это приводит к возникновению движения в направлении оси OZ.
Если 乂力)一угол наклона палочки в плоскости ZOY, то динамика движения палочки может быть описана уравнением
名=-"пр,(4)
at
7 =五=0 при t = то, где J — момент инерции палочки.
Обозначим координаты струны на палочке zc(t), Ус(%)・ Координаты точки закрепления медиатора до(力)=%力 и zo(力)=—Zoo —吟力 где Vq и VT — скорости движения медиатора соответственно перпендикулярно и вдоль его плоскости, /до — место струны от оси вращения медиатора при t = tq.
Рассматривая интервал времени до очередного прихода поперечной волны, отраженной от точки крепления 力=0, к точке ж = с из соотношения на характеристиках будем иметь следующие зависимости:
(дУ\ _ 1 d%. (dz\ _ 1 dzcпри 0
В силу малости углов а и /3 отклонения струны в этой точке от оси X в плоскостях у = 0, z = 0 соответственно, получим
a=亂航% +警)，⑹
Величины zc(t)^ Ус(^)-> очевидно, связаны условием нахождения в любой момент времени на палочке:
乳⑴=-tg(7)(zo + /оо + 吟力)，⑺
а также условием, что мгновенная скорость движения струны на палочке совпадает с ее направлением:
沙c + tg(7)〃 = 0・⑻
Учитывая тот факт, что углы а и /3 полностью определяют направление силы натяжения струны, найдем соответствующие углы и вычислим проекции сил:
Fy = F0(^i + &2), Fz = F0(/?i + 02).
Очевидно, что выражение для момента M(Z), действующего со стороны струны на палочку, может быть представлено как
m = F0(/?i + /?2)(分(%)-z0(力))+ Ro(ai + a2)(%⑴-g0(力)).⑼
При анализе решения данных уравнений целесообразно перейти к безразмерным переменным и функциям:沙=旦，2 =, W = —, г = —^―,歹° =
Vo VoVo тото Vo To
= %.
В этом случае уравнение (9) можно записать в следующей форме:
(Ю)(И)(Ю)(И)М =同^^ [(2九 + 1 + 2$с + 2/с)(7qo + VTt + 丞)+ 22c(七—歹о)] •
(Ю)
(И)
(Ю)
(И)
имеемимеемТак как Мпр = R。兽(2п + 2А;)/Оо
имеем
имеем
где А = Foгде А = Fo%?%?boToJboToJ^^ = 4 [(2几 + 1 + 2$с + ^k)(VTt + гс) + (2$с + 1)?оо + 22c(7 —歹о)],
где А = Fo
где А = Fo
%?
%?
boToJ
boToJ
Это уравнение остается верным до времени 力i прихода первой отраженной волны от ближней заделки струны.
Если учесть, что %》％ и смещением по оси OZ в первом приближении при малых t можно пренебречь, то данное уравнение принимает следующий вид:
= А(2ус + 1)7оо, ас
и на отрезке времени 0 < t < t±^ учитывая соотношение (7) возможно получить Aloot2
аналитическое асимптотическое решение 7 =.
Для последующего интервала времени до прихода второй отраженной от заделок волны имеем уравнение
^|^ — 4(2 丸 + 2)7oo
и начальные условия)(0)=厶‘^右，嘗(0) = A/00L
12 Проблемы механики
Решение в этом интервале времени таково:
7 — у [ехр (247ооЕ) — 1] + 厶丁 (2Z2 — zf).
Пользуясь методом характеристик, можно находить дополнительные члены в выражении для момента силы, действующей со стороны струны на палочку и получать рекуррентные дифференциальные уравнения в каждый последующий момент времени.
Методом возмущений возможно определить поправку на движение струны в направлении оси OZ.
Рис. 2 Рис. 3
Эти решения согласуются с решением (рис. 3), полученным в результате численного анализа уравнения (11). Численное решение, представленное на рис. 3, соответствует случаю взаимодействия пластикового медиатора длины 0,02 м со струной «ми» первой октавы (Fq = 85 Н, б。= 387 м/с, длина струны 0,65 м). Моделировался удар медиатором на расстоянии 0,2 м от ближней заделки.
Рассмотрим процесс взаимодействия струны с медиатором, схематично представленным в виде гибкой балки. Если учесть, что пальцы исполнителя жестко удерживают его, возможно рассматривать медиатор как балку с защемленным концом. Пусть в момент начала взаимодействия со струной плоскость поверхности медиатора движется перпендикулярно оси OY. Точка крепления балки (точка, где пальцы удерживают медиатор) находится на расстоянии /о от точки взаимодействия и движется с постоянной скоростью % параллельно оси OY.
Задача о взаимодействии медиатора со струной сводится к решению системы уравнений распространения поперечных волн в струне по направлениям OY и OZ и уравнения динамического изгиба балки, которой схематизируется медиатор:
здесь р, F, М, q(力，力)——плотность материала медиатора, площадь поперечного сечения, изгибающий момент, поперечная нагрузка.
Данное уравнение решается при традиционных начальных условиях и граничных условиях в точках заделки и в точке контакта, выражающих равенство проекций смещения соответствующих частиц струны и оси балки по направлению нормали к серединной линии балки в данной точке (в случае отсутствия трения) или отсутствия движения частиц струны по балке (в случае большого трения).
Зная изменение со временем смещения серединной линии балки в точке контакта со струной, из уравнения распространения волн в струне находятся локальные углы наклона струны, которые определяют величины изгибающих сил и моментов, действующие на балку в данной точке, которые, в свою очередь, определяют эти смещения.
В указанной постановке решение данной задачи оказывается достаточно сложным и громоздким. В этой связи были рассмотрены различные способы упрощения. В частности, в ряде случаев возможен «квазистатический» подход к определению формы медиатора, с учетом того что сила, действующая на медиатор со стороны струны, изменяется с каждым приходом продольных волн отраженных от заделок. В системе координат, связанной с медиатором (начало координат в месте закрепления медиатора), уравнения серединной линии для первых отражений могут быть записаны следующим образом:
yi = Ai ^[^In- ж) - J , 4 = ^^，
где Е, /, J /, d, h — модуль упругости, площадь поперечного сечения медиатора, место контакта медиатора со струной, длина, ширина, толщина медиатора.
Значительное упрощение решения задачи достигается для случая, когда массой медиатора, а следовательно, и величиной момента инерции, можно пренебречь соответственно. Учитывая, что в момент 力=丁。+ 0 величина M(tq + 0) — Мпр конечна, получаем неограниченность при этом углового ускорения d?)/d产，а поэтому быстрое движение медиатора к состоянию, характеризующемуся некоторым углом 7 = )0, при котором ТИ(7о) — "пр = 0- Таким образом, можно рассмотреть предельную задачу, когда палочка из положения)= 0 мгновенно переходит в положение 7 = 70- Эта задача, в силу постоянства составляющих скоростей и деформаций в момент времени t = то—0, оказывается автомодельной, приводя к волновой схеме, изображенной на рис. 4. Из соотношений на поперечной волне [5], [6], движущейся по струне от точки излома:
Ро(^о + 〃)(〃 一 ％) = 7(1 + е0)(1 - cos70),
Ро(^о + 〃)％ = Т(1 + со) sin7o,
где ро ——плотность струны, 〃 — скорости частиц за продольной волной, Т — начальное напряжение,
—кинематического условия:
瓦 sin 70 = ^ cos 也(13)
—соотношения на продольной волне: и = а^^е — eg);
—и условия, что скорость движения точки струны составляет угол 70 с осью г, находятся все параметры задачи, в частности скорость 匕 перемещения струны по палочке:
V1 = ^о7о,(14)
где
(15)(15)7о — (poaobo — Тао(1 + ео) \ /' |тбо — 00ao 爲丿
(15)
(15)
12*
Задача может быть решена как в линейной, так и в нелинейной постановках. После отражения распространяющихся к точкам крепления поперечных волн
и прихода первой из них к палочке возникает
ситуация, аналогичная разобранной выше. В результате определяется ограничивающая траектория 7 = )(%)• Кривая 7 на рис. 3 при тех же исходных данных, что использовались и при численном расчете.
В рамках решения линейных уравнений распространения поперечных и продольных волн возможны следующие обобщения полученных результатов.
Определение методом возмущений поправки к полученным решениям во всем диапазоне времени t < t^ для реальной формы возбудителя колебаний как при Z < то, так и при то ，力，力о. Малым параметром £ в этом случае оказывается (Z/L), где / — характерная ширина медиатора. При этом определяются, в частности, поправки на изменение частот колебаний при 力〈力о.
Учет переменности скорости V⑴ по вели
чине и направлению за счет вращения в локте, кисти, фалангах пальца.
Учет упругости крепления струны. Наиболее просто это осуществляется
(1 — вектор смещений)(1 — вектор смещений)при s = 0, s = L, t < to,при s = 0, s = L, t < to,в случае, когда деформация мест крепления мала и в условии упругой заделки
(1 — вектор смещений)
(1 — вектор смещений)
при s = 0, s = L, t < to,
при s = 0, s = L, t < to,
параметр к можно считать малым. При этом может быть найдено (как при t < to, так и при 力〉力о) изменение спектра колебания за счет упругости заделки.
Список литературы
Рэлей. Теория звука. — Л.; М.: Гостехтеориздат, 1940. Т. 1. С. 187-257.
Тихонов А. Н., Самарский А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.С. 139-142.
Демьянов Ю.А. //ДАН. 2000. Т. 372, № 6. С. 743-748.
Демьянов Ю.А. // ДАН. 1999. Т. 369, №4. С. 461-465.
Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. — М.: Физматгиз, 1961. С. 119-120, 129-140, 174-184.
Рахматулин Х.А. // ПММ. 1952. Т. 16, № 1. С. 23-34.
О ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ АНИЗОТРОПНОПОВРЕЖДЕННЫХ ТЕЛ К ЦИКЛИЧЕСКИМНАГРУЗКАМ
Б. Друянов^ И. Роман
Иерусалимский Еврейский Университет, Израиль
Введение. В своей классической работе [1] Койтер предложил верхнюю оценку суммарной пластической диссипации энергии для упругих идеально пластических тел при циклическом нагружении в случае выполнения классического условия приспособляемости Мелана [2]. В последующие десятилетия усилия исследователей были сосредоточены на распространении теории на более реалистические модели материала. В настоящее время актуален вопрос об обобщении теории на модели материала, учитывающие его поврежденность [3-11]. В предлагаемой статье неравенство Койтера обобщается на анизотропно поврежденные тела с изотропным упрочнением.
Функция текучести и ассоциированный закон течения формулируются через номинальные напряжения. Такой подход следует подходу, развитому в % 12]. Предполагается, что функция текучести в номинальных напряжениях может быть получена из ее формулировки в эффективных напряжениях.
Доказательство следует классическому пути [1, 12]. Оно приводит к неравенству, которое дает искомую оценку. Аргументация основана на допущении, что поверхность текучести в пространстве эффективных напряжений замкнута, и на неравенстве, что некоторая квадратичная форма напряжений неотрицательна, которое вытекает из термодинамического неравенства.
В статье выводится условие ограниченности суммарной пластической диссипации. Оно близко к классическому статическому условию Мелана [1, 2]. Согласно [13] ограниченность суммарной пластической диссипации может быть принята за определение приспособляемости.
Обозначения:
а。Ь = CLij bij , (а 0 ^}ijkl — ^ij ^kl, (A : В)订％% — ^ijmn^mnkl,
A。В = Aijj^i Bijf^i, Iijkl — ^^{^ik^jl + ^il ^jk}->
где I обозначает единичный тензор четвертого ранга, а 乐一символ Кронекера.
Модель материала. Аргументация основана на модели упруго пластического материала с ограниченным изотропным упрочнением и анизотропной пластической поврежденностью. В некоторых отношениях она подобна моделям, развитым в [12, 14].
Деформация предполагается малой, так что тензор деформации может быть разложен на упругую и пластическую части:
Е = Ее + ЕР.(1)
Пусть L обозначает текущее (поврежденное) локальное значение тензора упругой податливости, а С = L-1 — соответствующее значение тензора жесткости. Любой из этих тензоров может быть принят за характеристику поврежденности.
Предлагаемое исследование ограничено чисто механической теорией. Силами инерции пренебрегаем.
Локальное текущее значение свободной энергии Гельмгольца берется в виде
W(£e,»C)m#：C：£e + %(x),⑵
где первый член правой части представляет упругую часть свободной энергии, а второй — ее пластическую часть; Lq — начальное значение L, х обозначает параметр упрочнения.
Таким образом, как и в [12], влияние поврежденности на пластическую часть свободной энергии не учитывается.
Неравенство Клазиуса-Дюгема ст : е — Ф ^ 0 должно быть верно для любого механического процесса. Следуя аргументации, развитой в [15], мы приходим к закону Гука
о = С : Т(3)
и диссипативным неравенствам
о：£Р_ 赛以C:Lo)°I》O,⑷
I Ее : С : Ее 0.(5)
Чтобы неравенство (5) было справедливо для любого механического процесса деформации, квадратичная форма Ее : С : Ее должна быть неположительна. Это условие выполняется, если все собственные числа матрицы С неположительны.
Так как L : С = I, то С = —С-1 : L : С-1, и — Ее : С : Ее = о : L : о. Следовательно,
о : L : о 0,(6)
т. е. собственные числа квадратичной формы о : L : о должны быть неотрицательны.
В случае изотропной поврежденности неравенство (6) приводит к известному заключению, что в этом случае скорость изменения параметра поврежденности неотрицательна [12].
Текущее значение тензора жесткости С определяется через тензор четвертого ранга М(х,力)：С = М : Со, называемый тензором поврежденности, где Со обозначает начальное значение С. Аналогично L = М-1 : Lq. Следовательно, тензор эффективных напряжений может быть представлен как 6 = М~1 : о.
Условие текучести формулируется в зависимости от номинальных напряжений о
Ф(о,М,х) = 0,(7)
где компоненты тензора М следует рассматривать как внутренние переменные, подобные параметру упрочнения. Это предположение согласуется с подходом, развитым в [12] и [7]. Заметим, что уравнение (7) может быть получено из традиционной формулировки условия текучести, принятой в теории поврежденно-
сти, через тензор эффективных напряжений: Ф® х) = 0 令 Ф(М-1 ： о, х) = 0 令 令 Ф(о,М,х) = 0.
Предполагается, что процесс упрочнения ограничен: 0，X，X*, где параметр материала х* соответствует насыщению процесса упрочнения, и что х = 0 и М =工 в начальный момент процесса деформации 力=0.
Так как х — параметр упрочнения, то его изменение упрочняет материал. В противоположность этому прогресс в компонентах тензора поврежденности М ослабляет материал. Следовательно, имеется два сорта конкурирующих параметров: х и М^: прогресс в х увеличивает поверхность текучести, в то время как прогресс в Mij уменьшает ее.
На начальной стадии деформации все технические материалы устойчивы, т. е. последующие поверхности текучести объемлют предыдущие. Настоящее исследование ограничено предположением, что процесс деформации не выводит материал из области устойчивости, которая определяется неравенством X，X*.
Благодаря этому предположению неравенство Ф(о(%), М⑴，х(力))< 0 сохраняет свою силу для любого t начиная с 力= 0h“ox，x*, если справедливо неравенство Ф(о(^), М(0), Х(0)) < 0-
Предполагается, что поверхность текучести Ф в пространстве эффективных напряжений о замкнута для любого значения параметра упрочнения из интервала °，X，X*，так что компоненты тензора эффективных напряжений однородно ограничены некоторой константой В:
I万订・|，В(8)
Очевидно, что это предположение не ограничивает общности данного исследования.
Ассоциированный закон течения записывается в виде
£Р = ААФ(о,М,х) = 0, А》0, Ф(о,М,х)，0.(9)
ОСТ
Функция текучести Ф предполагается выпуклой по аргументу о. Она выбирается так, чтобы неравенство Ф < 0 соответствовало внутренности поверхности текучести Ф = 0 в пространстве номинальных напряжений о и чтобы точка о = 0 находилась внутри ее. Следовательно, если Ф(о, М, у) = 0, и Ф(6, М, х) < 0, то
(о — 6):沔》0,(10)
где равенство имеет силу, только если ер = 0.
Принимается, что поврежденность не вводит никаких остаточных напряжений и деформаций, а также что поврежденность имеет пластический характер, т. е. процесс развития поврежденности связан с процессом пластической деформации: подобно процессу упрочнения он прекращается вместе с процессом пластической деформации. Следовательно, параметры поврежденности и упрочнения ограничены, если процесс пластической деформации прекращается в некоторый момент.
Критерий поврежденности и закон ее развития, а также закон упрочнения, не конкретизируются, поскольку они не участвуют в дальнейшей аргументации.
Процесс разгрузки предполагается упругим. В течение разгрузки и последующей нагрузки вплоть до точки начала разгрузки тензор упругой жесткости С = =М : Со, как и тензор М, сохраняют свои значения, которые они приобрели в момент начала разгрузки. Поэтому тензор напряжений может быть представлен в виде
(И)(И)0 = 0* + °г,
(И)
(И)
где оЕ(х, Zp) представляет собой упругую реакцию рассматриваемого тела на краевые условия в момент начала разгрузки 力р, a or(x, Zp) — тензор остаточных напряжений.
Следовательно, обычное разложение тензора текущей деформации сохраняет силу:
£ = £Е + £ге+£р,(12)
где ее — тензор упругой деформации, соответствующий аЕ : ее = L : оЕ, а Еге — упругая часть остаточной деформации, соответствующая or : Ere = L : ог.
Ограниченность суммарной диссипации. При принятых допущениях предлагаемая теорема может быть сформулирована следующим образом: суммарная пластическая диссипация ограничена, если существует стационарное распределение остаточных напряжений ог(х), такое что напряжение о(х, t) = оЕ(х, t) + 6「(х) удовлетворяет начальному неравенству текучести Ф (6(х,力)，М(х, 0), х(х, 0)) < 0 для любого 力》0.
Если напряжение 6(х,力)удовлетворяет начальному неравенству текучести, то в силу сделанного предположения об устойчивости материала оно удовлетворяет неравенству текучести при любом t: Ф (6(х,力)，М(х,力)，х(х,力))< 0.
Сформулированная выше теорема дает необходимое и достаточное условие приспособляемости. Действительно, если упруго пластическое тело, подверженное циклическому нагружению, приспосабливается к заданной нагрузке, то это означает, что после некоторого переходного периода тело испытывает только упругую деформацию и, следовательно, суммарная пластическая диссипация ограничена.
Наоборот, если суммарная пластическая диссипация ограничена при любой продолжительности процесса деформации, то, согласно [13], это означает, что пластическая деформация прекратилась после некоторого переходного периода, т. е. тело приспособилось к данной программе нагружения.
Очевидно, что предложенное условие приспособляемости близко к классическому условию Мелана [1], [2].
Чтобы доказать теорему, необходимо рассмотреть суммарную потенциальную энергию, соответствующую разности остаточных напряжений [1]:
И/ = I j (ог - ог) : L : (ог - 6) dQ,(13)
где ог обозначает тензор действительных остаточных напряжений, a Q — объем тела.
Производная по времени от W равна
HZ = j (ог - Qr) ： L : Qr dQ + I j (ог - Qr) : L : C — 6) dQ. (14)
-j or : L : or dQ. (15)-j or : L : or dQ. (15)Так как Ere = L : or, to L : dr = Ere — L : crr, и уравнению (14) можно придать вид j or : L : or dQ +
-j or : L : or dQ. (15)
-j or : L : or dQ. (15)
QQQ
Используя (12), это уравнение можно преобразовать следующим образом:
匕=—](о — 6)：沔 dQ — ； ] S : L : S dQ,(16)
где
V = W ~^дг ：L：dr dQ.(17)
Неравенства (10) и (6) показывают, что правая часть уравнения (16) неположительна. Следовательно, V 0.
Теперь, следуя Койтеру [1], можно доказать, что суммарная пластическая диссипация ограничена. Действительно, если ер * 0, то неравенство (10) становится строгим: (о — о) : ер > 0. Следовательно существует число т > 1 такое, что неравенство (о — то) : ер > 0 справедливо. Это неравенство может быть преобразовано к виду
О ： ЕР < (о — о) : ЕР.(18)
т — 1
Интегрируя (18) по объему тела Q и по времени от 力= 0“o% = T,a также используя уравнение (16), мы приходим к неравенству
т
俨 + 曰！\dt^r:l^rdQ< ^ (V(0)-卜①)),(19)
0 Q
T
где Wp = ] d% ] о : £Р dQ》0 обозначает суммарную пластическую диссипацию.
о Q
Согласно уравнению (17)
卜⑴=i j (ог - Qr) ： L :(Qr - Qr) dQ - i j Qr : L : Qr dQ.(20)
Так как L = M-1 : Lq, величина V⑴ может быть оценена следующим образом: MG) Y ；](『中)：М-1 : Lo ： (°г-6) dQ + ； ] 6「： M-1:L0：ar dQ. (21)
Если правая часть неравенства (21) ограничена, величина V также ограничена, независимо от того, ограничена величина Т или нет.
Ограничимся предположением, что при любых t преобразование 6 = М~1 : о является невырожденным. Тогда, так как поверхность текучести в пространстве эффективных напряжений Ф(о, у) = 0 предполагается замкнутой, поверхность текучести в пространстве номинальных напряжений Ф(о, М, ^) =0 тоже замкнута. Поэтому компоненты тензора номинальных напряжений ограничены. Следовательно, величина V(力)ограничена при любых t и Т.
Поскольку V(Т) ограничено, левая часть неравенства (19) также ограничена. Неравенство (6) показывает, что о : L : о》0. Следовательно, оба члена в левой части неравенства (19) неотрицательны. Этот факт дает нам основание заключить что каждый из этих членов тоже ограничен. В частности, Wp < оо, что доказывает теорему.
Теперь обратимся к случаю, когда некоторые компоненты тензора M-1(Z) растут неограниченно по своей величине при 力一> Т. Достаточно рассмотреть изотропно поврежденный материал. В этом случае М = (1 — 6)1, где 6 — параметр по- врежденности, причем 0，6，6* < 1, где 6* обозначает критическое значение па-
раметра поврежденности, соответствующее локальному разрушению материала. Отсюда видно, что М —> 0, а М-1 —> оо при 6 —> 1, а компоненты тензора упругой податливости (L = Lq/(1 — 6)) возрастают неограниченно. Поверхность текучести в пространстве номинальных напряжений вырождается в прямую, совпадающую с гидростатической осью, если материал несжимаем, или в точку в противном случае.
Эту ситуацию можно трактовать как полную потерю материалом способности сопротивляться приложенной нагрузке. Однако согласно предположению локальное разрушение материала происходит раньше, при 6 —> 6*.
Таким образом, чтобы спрогнозировать целостность материала конструкции, необходимо уметь оценивать величину J, которая не должна превосходить параметр материала 6*. Однако этот вопрос выходит за рамки теории приспособляемости в ее классическом смысле, задачей которой является лишь выяснение вопроса о том, ограничена во времени пластическая деформация или нет.
Аналогично обстоит дело в случае материалов с анизотропной поврежден- ностью. Поэтому предлагаемое исследование ограничено предположением, что преобразование о = М-1 : о невырожденное.
Проблема предсказания целостности конструкции при изотропной поврежден- ности рассматривается в [16].
Список литературы
Koiter W. Т. General theorems of elastic-plastic solids. In: Progress in Solids Mechanics (J.N. Sneddon, R. Hill eds.). — Amsterdam: North Holland, 1960. P. 167-221.
Melan E. Zur plastizitat des raumlichen Kontinuums // Ing. Arch. 1938. V. 9. P. 116-126.
Hachemi A., Weichert D. An extension of the shakedown theorem to a certain class of inelastic materials with damage // Arch. Meeh. 1960. V. 44. P. 491-498.
Hachemi A., Weichert D. Application of shakedown theory to damaging inelastic materials under mechanical and thermal loads // Int. J. Meeh. Sci. 1997. V. 39. P. 1067-1076.
Feng Xi-Qiao, Yu Shou-Wen. Damage and shakedown analysis of structures with strainhardening // Int. J. Past. 1995. V. 11. P. 237-249.
Feng Xi-Qiao, Yu, Shou-Wen. An upper bound on damage factor of structures at shakedown // Int J. Damage Meeh. 1994. V. 3. P. 277-285.
Polizzotto C., Borino G., Fuschi P. An extended shakedown theory for elastic-plasticdamage material models // Eur. J. Meeh. A / Solids. 1996. V. 15. P. 825-858.
Weichert D.)Hachemi A. Influence of geometrical nonlinearities on the shakedown ofdam- aged structures // Int. J. Plast. 1998. V. 14. P. 891-907.
Hachemi A., Weichert D. Numerical shakedown analysis of damaged structures // Com- put. Methods Appl. Meeh. Engng. 1998. V. 160. P. 57—70.
Druyanov B., Roman /. On adaptation (shakedown) of a class of damaged elastic plastic bodies to cyclic loading // Eur. J. Meeh. A / Solids. 1998. V. 17. P. 71-78.
Druyanov B., Roman /. Conditions for shakedown of damaged elastic plastic bodies // Eur. J. Meeh. A / Solids. 1999. V. 18. P. 641-651.
Lemaitre J. A Course on Damage Mechanics. — Berlin: Springer, 1992.
Debordes O., Nayroles B. Shakedown theory and calculation for elastoplastic structures // J. Mecanique. 1976. V. 15. P. 1-53.
Ju J. W. On energy-based coupled elastoplastic damage theories: constitutive modeling and computational aspects // Int. J. Solids Struct. 1989. V. 25. 7. P. 803-833.
Coleman B. D., Gurtin M. Thermodynamics with internal variables //J. Chem. Phys. 1967. V. 47. P. 597-613.
Druyanov B., Roman /. Integrity conditions for elastic-plastic damaged bodies subjected to cyclic loading // Arch. Meeh. 2002. V. 54. P. 267-286.
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯНА ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ЗЕМЛЕ
Ю.К. Жбанов
Институт проблем механики РАН
Решение задачи инерциальной навигации выглядит особенно просто, если Землю считать шаром [1-6].
Управление угловыми скоростями гиростабилизированной платформы можно принять в виде
^ж1 = —。:с2/т, ^ж2 =。:cl/丁, 幻：сЗ =。・(1)
Линейные скорости и текущее значение радиуса, если высота объекта переменна, получаются интегрированием системы уравнений с использованием показаний акселерометров:
⑵⑵^х! = ^«1 — ^«2 °я?3,^«2 = ^«2 + GjcI °я?3,
⑵
⑵
仅T3 = Wx3 -з况2仅rl + ^ж1仅T2厂, Г =仅E3・
В третьем уравнении последним членом правой части учитывается гравитационное поле шарообразной Земли. При соблюдении необходимых начальных условий такая платформа остается в горизонте при любом маневрировании объекта. Ориентация платформенного трехгранника, определяющая в этом случае географические координаты объекта и азимутальный угол, образуемый горизонтальными осями платформы с меридианом, дается интегрированием уравнений Пуассона для матрицы направляющих косинусов:
1ан01201300*。21022a23=001。31032033幻况2~^xl1ан01201300*。21022a23=001。31032033幻况2~^xl-"况2ail012肉3^«1021022。23-0031032。33 II0120130 U 0—022a23• —U 0 0。31032азз00 0-"况2ail012肉3^«1021022。23-0031032。33 II0120130 U 0—022a23• —U 0 0。31032азз00 0
1
ан
012
013
0
0
*
。21
022
a23
=
0
0
1。31
032
033
幻况2
~^xl
1
ан
012
013
0
0
*
。21
022
a23
=
0
0
1。31
032
033
幻况2
~^xl
-"况2
ail
012
肉3
^«1
021
022
。23-
0
031
032
。33 II
012
0130 U 0
—
022
a23• —U 0 0
。31
032
азз00 0
-"况2
ail
012
肉3
^«1
021
022
。23-
0
031
032
。33 II
012
0130 U 0
—
022
a23• —U 0 0
。31
032
азз00 0
которые записываются лаконично при использовании обычных обозначений для
матриц:матриц:厶也=^x^xГ) 一A叩1/n.厶也=^x^xГ) 一A叩1/n.⑶⑶
матриц:
матриц:
厶也=^x^xГ) 一A叩1/n.
厶也=^x^xГ) 一A叩1/n.
⑶
⑶
Здесь U — угловая скорость суточного вращения Земли.
Вместо матрицы косинусов могут быть использованы любые подходящие параметры (кватернион; вектор конечного поворота; углы — долгота, широта, азимут; и т.д.).
При реализации БИНС вводится трехгранник У, связанный с объектом, а платформа со своим трехгранником X становится аналитическим трехгранником. Выписанные алгоритмы дополняются уравнениями Пуассона для матрицы взаимной ориентации объектного и аналитического трехгранников:
АхуАху⑷
Аху
Аху
и формулами перепроектирования на оси аналитического трехгранника кажущихся ускорений, измеренных акселерометрами в проекциях на оси объектного трехгранника:
= ^ху^у • (5)
В уравнениях (4) используются компоненты угловой скорости объекта 明, измеренные датчиками БИНС.
Методическая погрешность, связанная с отклонением реальной фигуры Земли от шара, в высокоточных системах оказывается недопустимой. Эта погрешность резко уменьшается, если модель Земли принять в виде сплюснутого эллипсоида вращения. В этом случае необходимо правильно учесть ее гравитационное поле, отличающееся теперь от центрального, и правильно сформировать угловые скорости, обеспечивающие горизонтирование платформы или аналитического трехгранника.
⑹⑹⑺⑺В работе В. Д. Андреева [2] дано точное решение задачи Стокса, определяющее форму гравитационного поля эллипсоидальной Земли. Это решение записывается в виде
⑹
⑹
⑺
⑺
%I = -Pni + 0麻，％2 = —P小 + 0к，％3 = _Q〃3 +0麻,
где
P = 27r，
Q = 47rО〃(*2^)з/2(/ — arctg/), К = 2"叫@广工)1/2 arctg'・
Параметры (2тгО〃) и С — константы:
27r0从 =u227r0从 =u23 + ^」3F arctg -—3 + ^」3F arctg -—一 1一 1ge + @0。2 — Р()аоge + @0。2 — Р()ао27rz)从a027rz)从a0⑻⑻
27r0从 =u2
27r0从 =u2
3 + ^」3
F arctg -—
3 + ^」3
F arctg -—
一 1
一 1
ge + @0。2 — Р()ао
ge + @0。2 — Р()ао
27rz)从a0
27rz)从a0
⑻
⑻
В приведенных формулах использованы обозначения для параметров Земли: ао — экваториальный радиус, 6о — полярная полуось, U — угловая скорость суточного вращения, ge — ускорение силы тяжести на экваторе.
Величина / в формулах означает второй эксцентриситет эллипсоида, софокус- ного Земной поверхности и проходящего через точку, для которой вычисляется напряженность гравитационного поля. Его значение должно быть найдено по координатам 小，办 〃з этой точки. Для точек на поверхности Земли значение второго эксцентриситета: /о =。。/匕。，где со — фокусное расстояние, постоянное для всего семейства софокусных эллипсоидов,忌=а^ —碌.
Величина Ро в выражении константы С — это значение параметра Р на поверхности Земли, т. е. при / = Iq.
Декартовы координаты точки, лежащей на софокусном эллипсоиде с экваториальным радиусом а, однозначно определяются единичным вектором нормали
к поверхности эллипсоида в этой точке. Через величину а и компоненты единичной нормали n^i, г1rl2〉п^з можно выразить и гравитационную силу:
IlIl *几7/1几7/2^7/3Q(l-/2b3几7/3IlIl *几7/1几7/2^7/3Q(l-/2b3几7/3⑼⑼
IlIl *
几7/1
几7/2
^7/3
Q(l-/2b3
几7/3
IlIl *
几7/1
几7/2
^7/3
Q(l-/2b3
几7/3
⑼
⑼
Здесь обозначено:
(Ю)
где е = Cq/а — первый эксцентриситет эллипсоида и
(И)(И)Kfi = (ge +a0。2 -卅。0)a0, a0-c0-
(И)
(И)
Первый эксцентриситет в формуле (10) и второй эксцентриситет в остальных выражениях являются функциями постоянного фокусного расстояния со и большой полуоси а (экваториального радиуса) эллипсоида:
СоСо(12)(12)
Со
Со
(12)
(12)
Формулы (7) для вычисления значений параметров Р и Q можно записать в виде
(13)(13)(14)(14)户 1(1 + 户)arctg I — I户 ％ — arctg Z
(13)
(13)
(14)
(14)
где
К _ q'd ge +。0炉I (3 + 燭 arctg %o — 3%01 — 1 + r ^Z I 0丿[2/^
Здесь q‘ = a^U2/g^ это одна из фундаментальных констант Земли.
Формулы (9), (10), (12) и (13) представляют гравитационную силу как функцию величины а и компонент внешней единичной нормали п^, п吟 п^з，В формулах используются константы, определенные соотношениями (11) и (14). Для поверхности Земли а = а。，и гравитационная сила, согласно соотношениям (9), становится функцией одного только вектора единичной нормали, так как параметры Р и Q тоже постоянны на всей поверхности.
Соотношения (9) позволяют получить удобные выражения для нормальной к софокусному эллипсоиду составляющей гравитационной силы:
Fn = -p{P-^ [P-(1-/2)Q]}-Fn = -p{P-^ [P-(1-/2)Q]}-К拉К拉/>Уа2 - eg/>Уа2 - eg(15)(15)
Fn = -p{P-^ [P-(1-/2)Q]}-
Fn = -p{P-^ [P-(1-/2)Q]}-
К拉
К拉
/>Уа2 - eg
/>Уа2 - eg
(15)
(15)
и для касательной составляющей, направленной вдоль меридиана в сторону северного полюса:
(16)(16)FN = р[Р - (1-戶協]n^Jl -嗚з .
(16)
(16)
Для выражения в квадратных скобках равенств (15), (16) удобно ввести свое обозначение и, используя выражения для Р и Q, привести его к следующему виду:
*Р一（-2鸠=炉帝•（罪黑霖］3*Р一（-2鸠=炉帝•（罪黑霖］3(17)(17)
*Р一（-2鸠=炉帝•（罪黑霖］3
*Р一（-2鸠=炉帝•（罪黑霖］3
(17)
(17)
Обе составляющие гравитационной силы Fn и Fn по-прежнему остаются функциями величины а, с учетом выражений для е и /, и компоненты гцз внешней нормали, что означает по существу их зависимость от географической широты.
Для расчета гравитационной силы при плавном переходе от одного софокус- ного эллипсоида к другому могут использоваться удобные дифференциальные соотношения
да証да証
да
証
да
証
где h — смещение вдоль внешней нормали и
(19)(19)M = K(l + m/2.
(19)
(19)
Аналитический трехгранник БИНС, или саму платформу в платформенном варианте, удобно удерживать в плоскости, касательной к софокусному эллипсоиду, так чтобы ось 力з совпадала с нормалью. Учет кривизн поверхностей семейства софокусных эллипсоидов и кривизн семейства ортогональных им гипербол позволяет сформировать угловые скорости «горизонтируемого» трехгранника, с использованием матрицы Ажг? с элементами а切 в следующем виде:
幻况2幻况2^xl = -- [%2 + /2。23(%1。13 + %2a23 - ^ж3^33)]5^xl = -- [%2 + /2。23(%1。13 + %2a23 - ^ж3^33)]5-[%i + /2。13(%1。13 + %2a23 -tзазз)].-[%i + /2。13(%1。13 + %2a23 -tзазз)].吗3吗30.0.(20)(20)
幻况2
幻况2
^xl = -- [%2 + /2。23(%1。13 + %2a23 - ^ж3^33)]5
^xl = -- [%2 + /2。23(%1。13 + %2a23 - ^ж3^33)]5
-[%i + /2。13(%1。13 + %2a23 -tзазз)].
-[%i + /2。13(%1。13 + %2a23 -tзазз)].
吗3
吗3
0.
0.
(20)
(20)
Линейные скорости вычисляются интегрированием уравнений
^x1 - ^x1 —"况2 0况3 - 0°^°33。13,
(21)(21)方况2 =仅况2 + ^x1 0况3 - 0°^°33。23,
(21)
(21)
%3 - ^x3 + "况2 %1 - ^x1 %2 - p(p - ^att33)-
« = %з，1 一 с?喙，
аналогичных уравнениям (2) для шарообразной Земли с тем отличием, что теперь, кроме нормальной составляющей гравитационной силы, учтенной в третьем уравнении, отличны от нуля и ее горизонтальные составляющие, вошедшие в правые части первого и второго уравнений. Четвертое уравнение, которое в системе уравнений (2) давало значение текущего радиуса, теперь дает значение большой полуоси софокусного эллипсоида (экваториального радиуса).
Таким образом, полный перечень бортовых алгоритмов автономной части инерциальной навигационной системы, учитывающих эллипсоидальность Земли, можно представить в виде.
Интегрирование системы уравненийИнтегрирование системы уравнений^x1 - ^x1 —"况2 0况3 - 0°^°33a13,方况2 =仅况2 + ^x1 0况3 - 0°^°33。23,^x1 - ^x1 —"况2 0况3 - 0°^°33a13,方况2 =仅况2 + ^x1 0况3 - 0°^°33。23,-^x3 + "况2 %1 - ^x1 %2 - p(p — и^磯3)/拉-^x3 + "况2 %1 - ^x1 %2 - p(p — и^磯3)/拉(22)(22)
Интегрирование системы уравнений
Интегрирование системы уравнений
^x1 - ^x1 —"况2 0况3 - 0°^°33a13,方况2 =仅况2 + ^x1 0况3 - 0°^°33。23,
^x1 - ^x1 —"况2 0况3 - 0°^°33a13,方况2 =仅况2 + ^x1 0况3 - 0°^°33。23,
-^x3 + "况2 %1 - ^x1 %2 - p(p — и^磯3)/拉
-^x3 + "况2 %1 - ^x1 %2 - p(p — и^磯3)/拉
(22)
(22)
4"也=幻况4也一4宓77u77，%:су =g况4也-^ху^у •
При вычислении правых частей используются измеренные блоком чувствительных элементов проекции угловых скоростей объекта 幻山 明2,明з и проекции кажущихся ускорений 仅山 ％2, %з・
Используются также и следующие соотношения:
е = со/а, /2 = сЦ^а1 - eg), р = у а U^ = Р -(1 一『)Q,
— ©2 碱 з
c^xl = -- [%2 + 戶a23(%1。13 + %2a23 — %3。33)] ,(23)
g况2 = ^ [vXl + 户a13(%1。13 + %2a23 -0况3033)], g况3 = 0, Wx = AxyWy,
Константы ^, и К^ вычисляются по формулам (12) и (20) с учетом расшифровок входящих в них величин.
Элементы матрицы, вошедшие в выражения для угловых скоростей, — это направляющие косинусы полярной оси. Если вместо этой матрицы используются иные параметры, определяющие ориентацию, то для вычисления угловых скоростей могут оказаться удобнее соотношения
幻宏1 = —- [%2 + № ®N COS2 3 — %з Sin 3 COS 夕)COS 句, f(24)
幻冗2 = -+ /2(°n cos? g — %з sin g cos g) sin a],
полностью эквивалентные использованным в (23). Здесь введена северная составляющая скорости, широта и азимутальный угол, которые должны быть выражены через используемые параметры ориентации. В этом случае и в остальных соотношениях (22), (23) элементы матрицы надо заменить их выражениями через тригонометрические функции широты и азимутального угла:
(25)(25)。13 = cos g sin а, 。23 = cos g cos а, 033 = sing.
(25)
(25)
Вместо интегрирования уравнений для переменных Р и Q можно использовать их конечные выражения (13), при вычислении которых удобно воспользоваться разложениями в быстро сходящиеся ря^н:
(1 + 户)arctg I — I2f(1 + 户)arctg I — I2f1户 尸1户 尸/ - arctg I _ 1 户 尸
(1 + 户)arctg I — I2f
(1 + 户)arctg I — I2f
1户 尸
1户 尸
= 3- 手 + 尸-(26)
При навигации на поверхности эллипсоидальной Земли уравнения упрощаются. Интегрируется система уравнений:
^x1 - ^x1 - 0u2°33°13,方况2 =仅况2 - 0u2。33。23, 人人(27)
При вычислении правых частей используются соотношения
p - / О^x1 - [%2 + 戶a23(%1。13 + %2a23)],
- е汨装0(28)
吗2 = ^ [%1 + 户a13(%1。13 + %2a23)], 叫3 = 0, Wx = AxyWy.
Так же как в уравнениях (22) и в соотношениях (23), в формулах (27), (28) можно использовать выражения (25) для элементов матрицы направляющих косинусов, если вычисление ориентации ведется в других параметрах.
Список литературы
Фридлендер Г. О. Инерциальные системы навигации. — М.: Физматгиз, 1961.
Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. — М.: Наука, 1966. — 579 с.
Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы, инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. - 670 с.
Бромберг Л. В. Теория инерциальных систем навигации. — М.: Наука, 1979. — 296 с.
Климов Д. М. Инерциальная навигация на море. — М.: Наука, 1984. — 117 с.
Бранец В. Н.)Шмыглевский И. П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. — М.: Наука, 1992. — 278 с.
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НОВЫХГИРОСКОПИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ СЕМЕЙСТВА«ОБОБЩЕННЫЙ МАЯТНИК ФУКО»
Ф. Журавлев
Институт проблем механики РАН
Обобщенный маятник Фуко. В 1851 г. Леон Фуко [1] описал эксперимент, позволяющий, по его мнению, измерить угловую скорость вращения Земли. Эксперимент заключался в наблюдении плоскости колебаний установленного на поверхности Земли сферического маятника. Предполагалось, что Земля не вовлекает плоскость колебаний маятника во вращение вокруг местной вертикали.
Между тем благодаря нелинейным эффектам маятник обладает собственной скоростью прецессии вокруг местной вертикали, так что, не контролируя эту собственную прецессию, невозможно осуществлять достоверные измерения скорости вращения Земли.
В последнее время появился целый класс гироскопических приборов, в которых фактически реализована идея маятника Фуко. К этому классу относятся: струнный гироскоп [2], кольцевой гироскоп [3], полусферический кварцевый резонатор, или волновой твердотельный гироскоп [4, 5, 6], квапазон [7] и некоторые другие.
Все эти приборы могут конкурировать с традиционными гироскопами, однако их теория существенно отличается от привычной [8]. Достаточно в качестве примера заметить, что кинетический момент, который в обычных гироскопах стремятся сделать как можно большим, в перечисленных выше приборах должен быть равен нулю.
Осциллятор с двумя степенями свободы, играющий в этих приборах роль маятника Фуко, реализован в виде одной из форм собственных колебаний упругой среды, обладающей осевой симметрией.
При этом, в отличие от классического маятника Фуко, вращение упругой среды вокруг оси симметрии вовлекает реализованную форму собственных колебаний во вращение относительно инерциального пространства (исключение составляет струнный гироскоп), однако отношение угловой скорости формы относительно упругого тела к угловой скорости тела относительно пространства является константой, зависящей от номера формы и почти не зависящей от свойств материала.
Этот коэффициент получил название масштабного коэффициента, или коэффициента Брайана, по имени первого исследователя колебаний упругого кольца с учетом его вращения [9].
В соответствующем выбранной форме колебаний собственном подпространстве все принципиальные вопросы теории подобного датчика инерциальной информации могут рассматриваться в рамках одних и тех же уравнений, аналогичных уравнениям классического маятника Фуко. По этой причине весь этот класс приборов может быть назван обобщенным маятником Фуко.
Разумеется, не все вопросы могут быть решены в указанных рамках. Главным образом, это вопросы, связанные с учетом нелинейных свойств колебательной
системы. Однако вопрос о том, как управлять маятником и как идентифицировать его дефекты, с тем чтобы сделать извлекаемую информацию достоверной, решаются в рамках уравнений, общих для всего класса.
Рассмотрим вывод таких уравнений на примере тонкого упругого кругового кольца.
Известно следующее уравнение колебаний такого кольца в своей плоскости [5]: wH — w + 4 Gty + 2d;w, + w,,,，，/ + 2w,,，/ + w" — o/(t(/'〃 + 3仅〃)=0,(1)
в котором через w(Z, ^) обозначено радиальное перемещение точки кольца, имеющей на кольце угловую координату д. Штрихи означают дифференцирование по углу в, а точки — по времени,幻⑴—угловая скорость вращения кольца в его плоскости, предполагаемая известной и зависящая произвольным образом от времени.
Уравнение (1) допускает точное решение в виде гармонической волны
仅=qi(力)cos kg + 羹(力)sin kg, k = 2, 3,.. .(2)
Значение k = 0 не имеет смысла рассматривать, поскольку такая форма колебаний соответствует деформациям растяжения, в то время как уравнение (1) выведено для нерастяжимого кольца. Значение k = 1 формально возможно, однако оно означает перемещение кольца как жесткого целого без каких-либо деформаций, что пока для нас не представляет интереса.
Если рассматривать только колебания вида (2), т. е. колебания по одной из собственных форм (общее решение есть сумма по к всех таких форм с произвольными константами), то кольцо, как колебательная система, эквивалентна плоскому изотропному осциллятору, положение которого определяется двумя координатами Qi и英・
Подставляя (2) в (1), находим уравнения движения такого осциллятора:
(奴 + 1)qi - 46⑴g2 - 2к力羹 + к2[(к2 - I)2 + ⑴ 2(奴-3)]内=0,
(奴 + 1)办 + 4卜幻仇 + 2kQqi + к2[(к2 — I)2 + ш2(к2 — 3)]羹=0.''
Систему (3) удобно записать в векторной форме
(廿 + 1川-46з「0 - 2kQ「q + "q = Q,(4)
41 q =Q241 q =Q2Г=| °_x J I，"2 =后心2 _ 1)2 + 32(廿一3)].
41 q =
Q2
41 q =
Q2
Если кольцо не вращается, то 幻 三 0 и система (3) распадается на уравнения двух независимых осцилляторов, для которых общее решение имеет вид
Qi = a cos fit -\- т sin ^t, q2 = b cos fit -\- n sin ^t(5)
с произвольными постоянными а, 6, m, n и с частотой
从=k(k2 —])(廿 + I)-1/2.
В соответствии с (2) решение (4) определяет в этом случае следующий закон колебаний кольца:
w = (a cos к屮 + 6 sin k(p) cos 〃力 + (m cos к屮 + n sin k(p) sin ^t.(6)
При произвольных начальных условиях уравнения (5) определяют в плоскости (Q1,羹)эллипс. В случае когда этот эллипс вырождается в отрезок прямой решение (6) определяет в кольце стоячую волну. В случае противоположного вырождения, когда эллипс превращается в окружность, формула (6) определяет в кольце бегущую волну.
Если 幻 * 0, то прямолинейных колебаний в плоскости (qi, 42) в общем случае система (3) не имеет. Иными словами, во вращающемся кольце стоячие волны невозможны. Однако в этом случае в кольце существуют такие колебания, которые в некоторой вращающейся системе координат имеют вид стоячих волн. Такие волны мы будем называть прецессирующими волнами. Скорость соответствующей вращающейся системы координат будем называть скоростью прецессии волны.
Покажем существование такой системы координат и ее единственность.
Переход к вращающейся системе координат в уравнении (1) означает замену угловой переменной g на 夕 + )0, где угол)(力)определяет положение подвижной системы координат относительно кольца.
Если вместо g в формулу (2) подставить 停 + 7), то получим, что Qi и 羹 надо заменить на (qi cos k) + 羹 sin ^7) и (—Qi sin ^7 + 羹 cos k)) соответственно.
Это преобразование поворота в плоскости ①匕羹)приводит к тому, что во вращающейся системе координат уравнение (4) приобретает вид
(廿 + 1)6 +「{2k [(廿 + 1)々-2甸 q + k [(廿 + 1)7 - 2甸 q} +
+ ["2 + 4k2"々-(廿 + ])к2々2] q = 0.⑺
Для переменных во вращающейся системе координат сохраняются прежние обозначения.
Найдем условия существования в этой системе координат прямолинейной формы колебаний:
qi = q支⑴,羹=憂(力).⑻
Здесь q?,或—произвольные константы, а £⑴—скалярная функция времени, подлежащая определению.
Если подставить (8) в (7), то можно заметить, что для существования в (7) решения вида (8) достаточно потребовать обращения в нуль коэффициента при Г:
2 [(* + 1)々-2g]£ + [(* + 1 方—2甸 £ = 0.(9)
При любых £(力)это можно обеспечить выбором угла)(力)по формуле
7=讲3]公(力)威・(Ю)
После чего скалярная функция £(力)найдется из уравнения
(廿 + 1)ё+ [〃2 + 4廿幻々-(廿 + 1)廿々2] £ = 0, в котором вместо 7 надо подставить (10).
Покажем, что условие (10) является и необходимым для существования в системе (7) прямолинейной формы колебаний. Обозначим (к2 + 1)7 — 2си = и и рассмотрим (9): 2"£ + 〃£ = 0, откуда находим
(с — произвольная постоянная).
Решение (11) показывает, что функция £(力)не может менять знак. Следовательно, она не определяет колебательный процесс. Таким образом, к стоячим волнам относится только рассмотренный выше случай, приводящий к формуле (10).
Изложенное выше можно суммировать в виде теоремы.
Какой бы ни была зависимость угловой скорости кольца от времени (в классе дифференцируемых на бесконечном полуинтервале 巾ун%“"位),существует и единственна вращающаяся относительно кольца система координат, в которой при определенных начальных условиях колебания кольца представляют собой стоячие волны.
Скорость этой системы координат выражается формулой (10). Частным случаем из нее вытекает результат Брайана [9], установленный им только для постоянной угловой скорости кольца 山三 0.
Заметим, что соотношение, верное для стационарного случая, как правило не бывает верным для нестационарного. Поэтому формула (10) описывает новый физический эффект, не замеченный Брайаном, и установленный, по-видимому впервые, авторами патента «Vibratory rotation sensor» экспериментально [10].
Формулу (10) ввиду ее точного характера можно сколько угодно раз дифференцировать. В частности можно заметить, что ускорение волны пропорционально ускорению кольца:
2
Поскольку ускорение кольца пропорционально приложенному к нему моменту внешних сил IQ = 7И, то можно утверждать, что этот момент вызывает не только ускорение кольца, но и ускорение прецессирующей волны.
Все сказанное позволяет определить обсуждаемый физический эффект в неравномерно вращающемся кольце как эффект инертности упругих во^нв нем.
Эффект (10), который установлен для уравнения колебаний кольца (1) без каких-либо приближений, с различной степенью точности верен и для произвольных упругих тел, обладающих осевой симметрией. Различие будет состоять только в величине масштабного коэффициента, равного для кольца 2/(奴 + 1).
Локальная теория управления обобщенным маятником Фуко. Рассмотренные в п. 1 свойства стоячих волн в идеальных резонаторах являются неустойчивыми по отношению к исчезающе малым возмущениям. Так, сколь угодно малые отклонения от симметричной формы резонатора или от симметрии упругих свойств приводят к тому, что прецессия стоячей волны во вращающейся оболочке становится невозможной.
Для создания работоспособного прибора в условиях реальных возмущений в систему необходимо вводить обратные связи, препятствующие разрушению прецессирующих волн.
Чтобы правильно сформировать обратные связи, необходимо ясно представить себе, какие эволюции под действием возмущений претерпевают стоячие волны, и разделить возмущения по признаку вызываемой ими эволюции.
Малые возмущения, в число которых включаются и электрические силы, необходимые для поддержания колебаний и управления ими, приводят к появлению в правой части системы (1) малых членов, зависящих от времени, от пространственной переменной д, от величины перемещения w и от производных w по времени и по (р. Кроме того, малыми будем считать все члены, содержащие угловую скорость 幻 и ее производную по времени Q.
Представим общее решение такого уравнения в форме
仅=£(力)cos kg + Q2 ⑴ sin kg.
k=2
Акцентируя внимание на второй форме колебаний (к = 2), введем обозначения qf(力)— 41 (力),4扌(力)— 42(力)・ Тогда система уравнений (3), рассматриваемая для второй формы, может быть переписана в виде
比+生=eQi(力d,疗)，办+羹=£Q2(力*, /).(12)
Здесь без ограничения общности принято 〃？ = 1. Правые части системы (12) зависят не только от Q2, но и от всех остальных форм q* дЛЯ которых необходимо написать уравнения, аналогичные (12).
В системе (12) выполним замену фазовых переменных ①匕羹，仇，«2)~> —> (力 1,力2,力з,力4)по следующим формулам:
Qi = Ж1 cos 力 + 力3 sin Q2 =力2 cos 力 + 力4 sin л
....(13)
Ql = —Ж1 sin 力 + 力3 COS 力 «2 =—力2 sin 力 + 力4 cos 力.
Если возмущения отсутствуют (s = 0), то ж = const и в конфигурационном пространстве 3，鱼)уравнения (13) определяют эллипс. То есть каждая точка фазового пространства ж определяет единственную эллиптическую траекторию в пространстве q, и наоборот, каждой эллиптической траектории в пространстве q соответствует единственная неподвижная точка в пространстве х. Среди эллиптических траекторий есть вырожденные. Как уже выше было отмечено, стоячим волнам соответствуют отрезки прямых в пространстве q, а бегущим волнам — окружности. В первом случае ж в (13) должен удовлетворять условию
К = det=力 1 力4 —力2 力з — 0-(14)
力2力4
Если траектория — окружность, то ж удовлетворяет условию
L =(也土 Ж4)2 + (力2 干力з)2 = 0.(15)
В четырехмерном пространстве ж уравнение (14) определяет трехмерный конус. Многообразие, задаваемое условием (15), представляет собой двумерную ось этого конуса.
Таким образом, множество всех стоячих волн в резонаторе находится во взаимно однозначном соответствии с точками конуса (14), а множество всех бегущих волн — с точками его оси (15).
Выразим угол, определяющий ориентацию стоячей волны относительно резонатора —Н, через параметры a?i,力2,力з,力4・ Стоячую волну для второй формы колебаний можно записать так: w = tcos (力—a) cos 2(^ — Н). Поскольку, очевидно, имеют место равенства 力 1 = г cos q cos 2^,力 2 = r cos «sin 2^, Ж3 = r sin a cos 2^, 力4 = 丁 sin a sin 2H, то искомая связь получается такой:
r2 sin4^ = 2(力 1 力2 + 力3力4), 户 cos4H =说一力彳 + 力；一x^,
T2 =力；+力彳+力；+力^.
Введем обозначения для двух квадратичных форм, сопряженных квадратичной форме К: К】=力 1 力2 + 力3力4, К?=(力?一力扌 + 力^ —力^)/2. И, окончательно,
угол, определяющий ориентацию стоячей волны, может вычисляться по формулам: sin%H = 2Kl，力2, cos4H = 2K2/力2.
Пусть теперь £ * 0. Тогда ж * const и тонка 力(力)медленно движется в пространстве х. Рассмотрим траекторию, которая в начальный момент времени находилась на конусе ж(0) С К. В пространстве q точке ж(0) соответствует некоторый отрезок прямой, который в дальнейшем под воздействием возмущений может претерпевать следующие эволюции: прецессия формы, т. е. медленное вращение отрезка в плоскости Q, когда существует такая система координат, в которой отрезок неподвижен; изменение частоты колебаний q(力)вдоль неподвижного отрезка; изменение амплитуды колебаний, когда изменяется только длина отрезка; разрушение формы — это такая ее эволюция, которая не сводится к первым трем.
Всем этим типам эволюции прямолинейной формы колебаний в q соответствуют определенные направления движения точки 力(力)в фазовом пространстве.
Направление наискорейшего разрушения прямолинейной формы колебаний определяется нормалью к конусу (14):
S =曲=｛力4, 一力3, 一力2,力
Для выяснения направления, определяющего прецессию, повергнем (13) преобразованию поворота х у (а — угол поворота):
(
cos a sin а 、 / a?i cos ^ + жз sin t 、/gicos 力 + уз sin 力、
—sin a cos а 丿 \ 力2 cos 力 + /4 sin 力 /\沙2cos 力 + ^4 sin 力 /
Отсюда вытекает
У1 = 力 1 cos а + 力2 sin а, 沙2 = 一力1 sin а + 力2 cos а,
Уз =力з cos а + 64 sin а, y& = —Ж3 sin а + 64 cos а.
Вектор, определяющий искомое направление, имеет вид
e2 = 粤I = ｛力2, 一力1,力4, 一力з｝■
da丨a=0
Для построения направления, определяющего изменение частоты, подвергнем (13) преобразованию трансляции по времени (т — параметр преобразования):
(
Ж1 cos (力 + т) + 力з sin (力 + т) 、( у、cos 力 + уз sin t 、
力2 cos (力 + T)+ 力4 sin (力 + T)丿 2 cos 力 + g4 sin 力 /
Откуда следует
У1 = Ж1 COS Т + 力3 sin Т, У2 =力2 COS Т + 力4 sin т,
Уз = —Ж1 sin Т + 力3 COS Г, 沙4 =—力2 sin Т + 力4 cos г.
Вектор, определяющий искомое направление, имеет вид
Сз = ^ [—0= ｛力3,力4, 一力1, -Ж2｝.
Для построения направления, определяющего изменение амплитуды, подвергнем (13) преобразованию подобия (从—параметр подобия):
)=()=(У1 cos 力 + Уз sin tУ2 COS 力 + У4 sin tУ1 cos 力 + Уз sin tУ2 COS 力 + У4 sin t(1 + 〃)力1 cos 力 + (1 + 〃)力з sin t
)=(
)=(
У1 cos 力 + Уз sin t
У2 COS 力 + У4 sin t
У1 cos 力 + Уз sin t
У2 COS 力 + У4 sin t
(1 + 〃)力2 cos 力 + (1 + 〃)力4 sin t
Искомое направление задается вектором
£4 =粤 I = {也，力2,力з, ж4}.
d从I从=o [
Итак, базис, определяющий направления инфинитезимальных эволюций, таков:
e1 = {力4, 一力3, 一力2,力 1},e2 = {力2, 一力 1,力4, 一2з},/ 、
т(16)
63 = {力3,力4, -Ж1, 一力2}, е4 = {力b 力2,力3,力4},
где первый вектор определяет разрушение стоячей волны, второй — ее прецессию, третий — изменение частоты, а последний — изменение амплитуды.
Отметим важнейшие свойства построенного базиса.
Свойство 1 (матрица Г рама). Вычислим матрицу скалярных произведений:
（40）•
•(e1)e4)
力2
0
0
2^
0
力2
-2^
0
г= • •
—
0
-2^
力2
0
(64, ei).
•(e4)e4)
2^
0
0
ж2
Ее определитель detr = (ж4 — 4K2产 Этот определитель на конусе К = 0 равен восьмой степени нормы вектора ж.На оси конуса (15) он равен нулю.
Свойство 2 . Эволюционный базис ортогонален на конусе. Это свойство непосредственно усматривается из вида матрицы Г рама.
Свойство 3. Четыре векторных поля (16) порождают четырехпараметрическую абелеву группу Ли диффеоморфизмов фазового пространства в себя. Это следует из того, что, как нетрудно проверить, все скобки Пуассона векторных полей (16) равны нулю.
Свойство 4. (глобальные эволюции конуса К = 0 вдоль векторных полей (16)). Выпишем операторы ортов эволюционного базиса:
a
а
а
4
-力4召一 0X1
a
а
。2
~Х1д^
+ *4砧
a
а
а
а
。3
дх±
+ *4^ 0X2
一о 1 n一
а
。4
oxi
+ * 2 0一
0X2
+ Жз л— 3
Глобальная эволюция К вдоль векторного поля q: exp (^lU±t}K = К ch 2T 土 土 ；力2 sh 2T. При т —> оо многообразие К ch 2T 土;力2 sh 2T = 0 стремится к много-
образию К 土;力2образию К 土;力2eiе2一力3一力1一力2力4力1一力3△ = det=detез卜з力4一力1一22С4力2力3力4eiе2一力3一力1一力2力4力1一力3△ = det=detез卜з力4一力1一22С4力2力3力4
образию К 土;力2
образию К 土;力2
ei
е2
一力3
一力1
一力2
力4
力1
一力3
△ = det
=det
ез
卜з
力4
一力1
一22
С4
力2
力3
力4
ei
е2
一力3
一力1
一力2
力4
力1
一力3
△ = det
=det
ез
卜з
力4
一力1
一22
С4
力2
力3
力4
=0, представляющему собой ось конуса (15). Иными словами,
вдоль поля ci все траектории, начинающиеся на конусе К = 0, стремятся к оси
конуса. То есть стоячие волны при таком возмущении превращаются в бегущие.
Глобальная эволюция К вдоль 貶 &з, &4 определяется тем фактом, что U?K = =О, U^K = О, U&K = 2K. Отсюда следует, что К является инвариантом векторных полей 62, ез, а многообразие К = 0 является инвариантным многообразием
векторного поля 64.
Свойство 5 . Определитель системы базисных векторов (16):
=一4（力 1 22 + 力324）2 -（若一力彳 + 力；一 ^4）2- （17）
С другой стороны, поскольку определитель матрицы Грама равен квадрату определителя (17) (det Г = А2), можно для (17) получить и такое выражение: △= =4^2 — ж2. Отсюда видно, что определитель равен нулю, как и определитель Грама на оси конуса стоячих волн, и равен четвертой степени нормы ж (со знаком минус) на самом конусе К = 0. Выше были введены обозначения для двух конусов, сопряженных конусу К:
к1=力 1 力2 + 力3力4, k2 =；(若-x^+X^-力3. (18)
Векторные поля, порождаемые нормалями к эти конусам, ортогональны друг другу и ортогональны q во всех точках пространства х. В этих обозначениях имеем два представления для △: △ = —4(抬 + 抬)=4^2 — ж4.
Оператор проектирования возмущений. Осуществим в системе (12) переход к переменным (13) и выполним после этого осреднение по явно входящему времени. При этом по всем остальным переменным qk (к > 2) следует выполнить аналогичный переход. Если предположить, что зависимость Qi и Q2 от q и q не содержит степеней выше двух, то после осреднения связь уравнений, отвечающих разным формам, исчезает и в переменных ж система (12) приобретает вид
(19)(19)Q в (12) следующимQ в (12) следующимж = 金X(力),
(19)
(19)
Q в (12) следующим
Q в (12) следующим
в котором правая часть Х(力)связана с правыми частями образом:
27rХ(с)=О27rХ(с)=О— EsintЕ cos t— EsintЕ cos tQ】阳EQ2Q】阳EQ21 00 11 00 1
27r
Х(с)=
О
27r
Х(с)=
О
— Esint
Е cos t
— Esint
Е cos t
Q】阳E
Q2
Q】阳E
Q2
1 0
0 1
1 0
0 1
Наиболее общий вид линейных по координатам и скоростям сил в системе (12) следующий:
QiQ2II=(C + // + N)羹с =с00сcos 4asin 4aD =d00dIII cos 4/31 sin 4/3QiQ2II=(C + // + N)羹с =с00сcos 4asin 4aD =d00dIII cos 4/31 sin 4/3sin 4a— cos 4aTV =I:0(21)sin 4/3 IIr =0—cos 4/3-7sin 4a— cos 4aTV =I:0(21)sin 4/3 IIr =0—cos 4/3-7+ (O + G + D ，2+ (O + G + D ，2
Qi
Q2
II
=(C + // + N)
羹
с =
с
0
0
с
cos 4a
sin 4a
D =
d
0
0
d
II
I cos 4/3
1 sin 4/3
Qi
Q2
II
=(C + // + N)
羹
с =
с
0
0
с
cos 4a
sin 4a
D =
d
0
0
d
II
I cos 4/3
1 sin 4/3
sin 4a
— cos 4a
TV =
I:
0
(21)
sin 4/3 II
r =
0
—cos 4/3
-7
sin 4a
— cos 4a
TV =
I:
0
(21)
sin 4/3 II
r =
0
—cos 4/3
-7
+ (O + G + D ，2
+ (O + G + D ，2
где С — симметрическая матрица потенциальных сил сферического типа; Н — симметрическая матрица потенциальных сил гиперболического типа; N — кососимметрическая матрица непотенциальных сил; D — симметрическая матрица диссипативных сил сферического типа; G — симметрическая матрица диссипативных сил гиперболического типа; Г — кососимметрическая матрица гироскопических сил. Матрицы С и О — диагональные (сферические тензоры), матрицы Н и G имеют след, равный нулю (девиаторы).
Коэффициенты h и g определяют нормы девиаторов гиперболических сил, а углы а и /3 — ориентацию главных осей жесткости и демпфирования относительно тела резонатора. Углы 2а и 2/3 определяют ориентацию осей девиаторов относительно осей 内 и 羹・
Выполним отображение всех перечисленных сил в правые части системы (19) по формуле (20). В результате получим
С : Х(с) = ； {一力з,—力4, Ж1,Ж2},
Н : Х(力)= ；% [{—жз,力4,力1, —^2} cos4a + {—力4, —жз,力2,力1} sin4a],
N: X(c) = ； {一力4,力3,力2,一力1},D : X(c) = ；d{也，力2,力з,力4h
G : X(c) = ；g [{^1, 一力2,力з, -^4}cos4/3 + {力2, Ж1,ж4, Жз}sin4/3],
Г ： X(c) = ； 7{力2, -Ж1,ж4, 一力з}・
Теперь, для того чтобы выяснить, какую эволюцию вызывают все эти силы достаточно спроецировать их на векторы эволюционного базиса (16).
Если нас интересует локальная эволюция стоячей волны, то, в силу ортогональности базиса (16) на конусе стоячих волн, при вычислении проекций достаточно брать скалярные произведения найденных выше векторов X с векторами (16).
Вне конуса базис (16) неортогонален, поэтому в общем случае проектирование сил осуществляется по правилам неортогонального проектирования: Хе = =(АТ)-1Х, где Ат — матрица, получаемая транспонированием матрицы (17) с дополнительным делением каждого столбца на норму Це^|| = ||ж|| (векторы Хе и X здесь понимаются как матрицы-столбцы).
Обратную матрицу (Ат)-1 можно вычислить при помощи матрицы Грама Г = =力244т： (Ат)-1 = ж2Г-1 А.
Матрица, обратная найденной выше матрице Г рама, легко вычисляется:
|
ж200-2^II
О 力 2 2Ko
02K力2о，
—2К00ж2
где △ представлено формулой (17).
Перед тем как свести вычисленные таким образом проекции сил X на базис е в таблицу, разделим все найденные проекции на норму ||ж||. Смысл этой операции состоит в следующем. Разделив проекции сил на вектор q на норму ||ж||, мы получаем нормированную на амплитуду волны скорость ее разрушения.
Поскольку скорость изменения фазового вектора вдоль 62 определяет изменение угла прецессии в фазовом пространстве, то при делении этой скорости на модуль фазового вектора мы получаем скорость изменения самого угла. Скорость изменения фазового вектора в направлении ез определяет скорость накопления временной фазы т в функциях типа sin (力 + т). Для получения скорости накопления этой фазы и надо делить фазовую скорость на модуль фазового вектора.
Если обозначить буквой г полную амплитуду колебаний, г = || 力 || = = a/力? + 力扌 + 力^ + 力^， то для нахождения скорости изменения логарифма амплитуды также необходимо делить фазовую скорость на модуль фазового вектора. Разумность рассмотрения именно такой скорости следует из того, что в линейных системах изменение амплитуды происходит по экспоненциальному закону и интерес представляет лишь показатель экспоненты.
Если, в дополнение к сказанному, проекции на &2 разделить на 2, то скорость прецессии в фазовом пространстве превращается в соответствующую скорость в реальном физическом пространстве. С учетом всего сказанного таблица локальных эволюций принимает ниже следующий вид (табл. 1).
При построении этой таблицы было учтено, что вне конуса угол, определяющий прецессию волновой картины, вычисляется по формулам sin 4^ = =ZKi/v^, cos4^ = 2K2/л/^А.
Из таблицы следует, что потенциальные сферические силы (матрица сил G) приводят к изменению только частоты колебаний.
Гиперболические силы (матрица Н) приводят к разрушению стоячей волны и к изменению частоты колебаний если К = 0. Вне конуса стоячих волн эти силы приводят также и к прецессии волнового поля и к изменению амплитуды.
Непотенциальные силы (7V) приводят только к разрушению стоячей волны.
Диссипативные силы (D) приводят только к изменению амплитуды.
Диссипативные силы гиперболического типа (G) вызывают прецессию стоячей волны и изменение ее амплитуды, если К = 0. Если К * 0, то возникает дополнительно изменение К и изменение амплитуды.
Гироскопические силы приводят только к прецессии волнового поля.
Таблица позволяет делать не только качественный анализ влияния возмущений на эволюцию стоячей волны, но также содержит и количественную информацию. Так, если К = 0, то из второй строчки извлекаем
^ = ^ sin4" — /3) + 孑
Это уравнение отделилось от всех остальных и может интегрироваться независимо.
Таблица 1
С
н
N
D
G
г
dest К (с】)
0
——；sin 4(" — a)
5
0
—/* cos4(# — /3)
0
右(е2)
0
—乎 cos 4(" — a)
0
0
sin 4("-0)
7
4
(ез)
~2
——；cos 4(" — a)
0
0
Zsm4(" 0)
0
(1П Г)(64)
0
然 sin 4(” 0)
0
d
2
gx2 cos 4(少—万) 2,— *
0
Поскольку, в соответствии с (3) коэффициент 7 равен (8/5)幻,то эффект возмущения гироскопическими силами при g = 0 имеет вид 方=(2/5)幻，что совпадает с (10).
Если g * 0 и 7 = 0, то написанное уравнение имеет две особые точки, соответствующие двум стационарным состояниям стоячей волны, которые совпадают с главными осями диссипации. Одно состояние устойчиво (в этом состоянии диссипация наименьшая), другое состояние неустойчиво (то, в котором диссипация наибольшая). Максимальный «уход» достигается в промежуточном состоянии и равен g/4.
Два стационарных состояния существуют и в случае |)| <|g|. Если |)| > |g|, то угол прецессии стоячей волны оказывается неограниченным.
Общие принципы управления волнами в осесимметричных резонаторах. Для упрощения дальнейшего изложения обозначим q】=力 и 42 = У и перепишем уравнения (12) так:
х -\- х = еХ, у -\- у = еУ. (22)
Поведение траекторий в плоскости ху удобно проследить, воспользовавшись в фазовом пространстве (ж, у, ж, у) тороидальными координатами (г, k, ^, г), называемыми в небесной механике элементами орбитъ匸
х = г cos (力 + г) cos Н — k sin (力 + г) sin H,у = r cos (力 + т) sin Н + k sin (力 + r) cos Н,х = —г sin (力 + т) cos Н — k cos (力 + г) sin Н,у = —г sin (力 + т) sin Н + k cos (力 + г) cos 仇
Поясним смысл переменных г, к,仇 т. Если бы в уравнениях (22) правые части равнялись нулю, то любая траектория в плоскости ху представляла бы собой эллипс, а переменные г, k, Н, т, являющиеся в этом случае постоянными интегрирования, имели бы следующий смысл: г — большая полуось эллипса, к — малая, Н — угол наклона большой оси эллипса к оси х. Постоянная т определяет положение фазовой точки на эллиптической траектории в начальный момент времени 力=0. Если в уравнениях (22) правые части присутствуют, то формулы (23) мы будем рассматривать в дальнейшем как замену фазовых переменных (ж, у, х, у) —> (г, k, ^, г). Заметим, что введенный в (23) угол 仇 очевидно, в два раза превосходит угол, определяющий положение волны относительно резонатора, введенный ранее и фигурирующий в приведенной в таблице.
Полная энергия колебаний и момент количества движения выражаются через введенные переменные следующим образом:
石=Т （*+力+川+力）=；（户+廿），（24）
(25)(25)К = ху — ху = гк.
(25)
(25)
Таким образом, величины гик определяют основные динамические характеристики свободного движения резонатора на основной форме посредством формул (24) и (25)——полную энергию и кинетический момент. Переменные Нит являются «координатами» этой формы.
r cos (力 + т) к sin (力 + г)r cos (力 + т) к sin (力 + г)Поворот эллипса на угол Н дает
r cos (力 + т) к sin (力 + г)
r cos (力 + т) к sin (力 + г)
II cosH sin^力
— sin ^cosg
что и проясняет геометрический смысл переменных г и k как главных полуосей эллипса.
Основной целью управления обобщенным маятником Фуко является удержание его на фазовом многообразии г = const, k = const. В фазовом пространстве переменных (ж, у, ж, у) это многообразие представляет собой пересечение трехмерного конуса нулевой квадратуры с трехмерной сферой постоянной амплитуды.
Этому многообразию в конфигурационном пространстве ж, у соответствует семейство произвольно ориентированных отрезков одинаковой длины и симметричных относительно начала координат. От конкретно реализованного такого отрезка и осуществляется отсчет положения подвижного основания, поэтому многообразие г = const, k = const носит название отсчетного многообразия.
Законы управления маятником, реализующие необходимые обратные связи, должны удовлетворять следующим требованиям:
асимптотическая устойчивость отсчетного многообразия;
инвариантность по отношению к группе вращения в %у;
отсутствие интерференции различных каналов управления;
инвариантность к фазовому потоку невозмущенной системы х -\- х = =0,岁 + у = 0;
инвариантность к трансляции по времени.
Первые два требования являются категорическими, от них зависит сама возможность превращения маятника в гироскоп. Три последних требования определяют качество управления.
Известные первые примеры реализации законов управления, в частности в гироскопе HRG фирмы Делко, последним трем требованиям не удовлетворяли.
Для того чтобы законы управления были инвариантны по отношению к группе вращений, они должны быть сформированы из дифференциальных инвариантов этой группы.
Группа вращений имеет три независимых дифференциальных инварианта первого порядка: Iq = х2 -\- у2, Ii = х2 -\- у2, I2 = ху — ху.
Для инвариантности управления по отношению к фазовому потоку невозмущенной системы эти инварианты должны быть ее первыми интегралами. Таких интегралов тоже три: Е = (1о -\-1±)/2, К = I2 и L = ху -\- ху.
Линейные по координатам и скоростям силы, прикладываемые к маятнику с целью управления, в наиболее общей форме имеют вид (21).
Как это было ранее отмечено, указанные силы появляются так же, как возмущения, обусловленные разнообразными дефектами реализации маятника. Локальные эволюции маятника под воздействием возмущений были систематизированы в таблице в пункте 2. Из нее, в частности, следует, что для управления квадратурой можно воспользоваться позиционными силами с матрицами Н и N или скоростными силами с матрицей G. Для управления амплитудой можно воспользоваться позиционными силами с матрицей Н или скоростными силами с матрицами D 0 G. Однако силы Н и G приводят не только к изменению квадратуры или амплитуды, но также и к изменению Нит. Для удовлетворения требованию 3 (отсутствие интерференции каналов) можно при управлении квадратурой пользоваться только силами типа N. По этой же причине для управления амплитудой остается единственный выбор — силы типа D.
Выбирая в первом случае коэффициент п пропорциональным квадратуре ^, а во втором случае коэффициент D пропорциональным отклонению полной энергии от требуемого уровня Е — Eq, получаем уравнения идеального управляемого маятника Фуко в виде
х-\- х = -£(石-Eo)± + 〃Кд + 目沙 + fx,
"У = 一£(e-e0)可-从к力 一 @勿 + fy, (26) e=；(02 + 力 + 勿2 + 力)，К = xy ~ xy.
Здесь для полноты картины, помимо управления квадратурой и управления амплитудой, введены также управление прецессией (р) и управление частотой (/). Как следует из той же таблицы, для управления прецессией без введения погрешностей в другие каналы можно пользоваться только силами типа Г, а для управления частотой — только силами типа С. Управление прецессией и частотой не требуется для формирования отсчетного многообразия и может использоваться для других целей.
Помимо условия 3, построенное управление по построению удовлетворяет условиям 2, 4, 5. Удовлетворение условию 1 (устойчивость отсчетного многообразия) должно быть доказано.
Продифференцируем для этого 石 и К (формулы (24) и (25)) в силу системы (26)：
应=[一勿2 —力+ :(力2 +力)卜力勿+ уд) 一“石一石0)(力2 +g2) 一从К2, (27) N = -2uy(xx + yy) - £(石-Eo)K - цК (ж2 + 力).
Выполним осреднение уравнений (27) вдоль траекторий неуправляемой(£ = =〃 =0) системы. Эти траектории представлены формулами (23), в которых переменные г、к、6、т являются константами. В результате получаются следующие уравнения:
Е = £(Ео - Е)Е -从К?, к = £(Ео - Е)К - цКЕ.
В силу этих уравнений асимптотическая устойчивость отсчетного многообразия с характеристическими числами Ai = —sEq и А? = —^Ед имеет место, если £〉0 и 〃〉0.
Реализация необходимых законов управления электрическими силами [11]. Дискретная электрическая модель полусферического резонатора
основывается на предположении, что проводящая поверхность резонатора состоит из п отдельных обкладок, составляющих с сосредоточенными электродами п конденсаторов. Прикладывая к этим электродам напряжения по определенным правилам, мы имеем возможность создавать необходимые правые части в системе (26). Выясним, как должны быть распределены напряжения по электродам, чтобы реализовать необходимые законы управления.
Пусть при £ = 0 система (22) представлена функцией Лагранжа:
L =；(* + 力一力2 - 力)• (28)
Для получения лагранжиана управляемой системы(£ * 0), в котором учитываются процессы в электрических цепях, из выражения (28) необходимо вычесть потенциальную энергию п конденсаторов:
(29)
Здесь Ck — емкость кто конденсатора,纵—заряд на этом конденсаторе: q^ = =以也；через Vk обозначено напряжение на k-м электроде. Емкость конденсатора зависит от прогиба полусферической оболочки w^ в месте его расположения:
ск =(30)
a - Wk
Расстояние d между обкладками конденсатора в недеформированном состоянии резонатора в дальнейшем без ограничения общности полагаем равным единице. Смещение резонатора в месте положения кто электрода выражается формулой
Wk =力cos2也 + gsin2也， 也=^ (k 一 1).(31)
Подставим (31) в (30), а после этого (30) в (29). Уравнения Лагранжа приводят к следующей системе:
行+ * = + К 或cos 2认，"+ “ = 击 £ 或s®2认
k=ik=i' 丿
Qk — CkVk・
Для того чтобы сформировать в системе (26) необходимые правые части, обеспечивающие управление амплитудой, квадратурой, прецессией и частотой, необходимо подать на электроды напряжения 也 в следующем виде:
Vk = £(石0 -石)(勿 cos (k — 1) + d sin (k — 1)) +
+ 〃q (g cos ^ (k — 1)—力 sin ^ (k — 1)) +
+ / (力 cos ^ (k - 1) + g sin ^ (k 一 1)) + %. (33)
Здесь Vo — опорное напряжение.
Подставляя (33) в (32) и осуществляя суммирование, получим
(34)(34)岔 + 力=^ с о Vo [£(e0 - e)х + 从 Kg + 0沙 + fx],岁+g=^00% [贝瓦-W)y -"Kc 一0小+ fy].
(34)
(34)
(Использованы свойства сумм тригонометрических функций кратных углов, приведшие в данном случае к алгоритмической линеаризации связи электрических сил с электрическими напряжениями.)
Уравнения (34) отличаются от уравнений (26) только общим множителем 几。о%/2.
Калибровочные уравнения. Так называются уравнения, позволяющие для управляемого маятника решать следующую обратную задачу механики: управление системой и ее движение известны, требуется восстановить дефекты.
Для вывода калибровочных уравнений обобщенного маятника Фуко в уравнения (26) введем члены X и У, характеризующие всевозможные дефекты резонатора и системы управления:
(35)(35)企 + 力=—£(石—Eq)x + /iKy -\- py -\- fx -\- X,y + y = _£(石-E0)y - ijlKx - px fx + Y.
(35)
(35)
В этих уравнениях силы X и У имеют структуру (21). При этом на этот раз матрицы Си。определяют отклонения частоты колебаний от номинала и естественную диссипацию. Матрицы 7V и「определяют возмущения, появляющиеся в результате погрешностей в системе съема информации и управления, и зависят от их конкретного выполнения в конкретных реализациях маятника Фуко. Главные погрешности собственно механической части гироскопа представлены матрицами Я и G. Они определяют соответственно разночастотность и разнодобротность маятника.
Для построения калибровочных уравнений удобно перейти в системе (35) от исходных декартовых переменных к тороидальным координатам (23).
Чтобы максимально упростить выкладки, введем матрицу-столбец
R =R =
R =
R =
и запишем систему (35) в следующей матричной форме:
^凡A|| = Mz .矶||凡明| =^凡A|| = Mz .矶||凡明| =жжжУжУZ =Z =хУхУ(36)(36)
^凡A|| = Mz .矶||凡明| =
^凡A|| = Mz .矶||凡明| =
ж
ж
ж
У
ж
У
Z =
Z =
х
У
х
У
(36)
(36)
здесь для краткости через X и У обозначены все члены в правых частях системы (35).
В матричной форме замену (23) можно представить в виде
Цй^11 = ЭД|о "卜I • (37)
Подставляя (37) в (36), найдем
份夕⑺。份夕⑺。:S(% + t) + S"):S(% + t) + S")0小…)+0小…)+
份夕⑺。
份夕⑺。
:S(% + t) + S")
:S(% + t) + S")
0小…)+
0小…)+
+ W)；:卜(+ T) = ||瓦-r|| + ||0,z11.
Учитывая свойства ортогональной матрицы S(£),
^ = -||-Z：eL STS7S』= ||【
STS = S$t = /STS = S$t = /1 ОО 11 ОО 1
STS = S$t = /
STS = S$t = /
1 О
О 1
1 О
О 1
получим
г ОО кг ОО к+ ^+ ^г ОО кг ОО кJ +J +гОгО：=5T2)||0,2|产(宀).：=5T2)||0,2|产(宀).
г О
О к
г О
О к
+ ^
+ ^
г О
О к
г О
О к
J +
J +
г
О
г
О
：=5T2)||0,2|产(宀).
：=5T2)||0,2|产(宀).
Или, в покоординатной форме:
户=—(X cos Н + У sin Н) sin (力 + т),左=—(X sin Н — У cos Н) cos (力 + т),
kb -\- гт = —(X cosH + У sin^) cos (t + г),rb -\- кт = (X sin H — У cos H) sin (力 + т),
что окончательно позволяет записать
户=—(X cos Н + У sin Н) sin (力 + т),左=—(X sin Н — У cos Н) cos (力 + т),
冷=р2 [k(X cos H + У sin H) cos (7 + т) + t(X sin H — У cos H) sin (t + r)], r — k
т =т =11[t(X cosH + Y sin^) cos (力 + t) + k(X sin ^ — У cosH) sin (力 + г)].[t(X cosH + Y sin^) cos (力 + t) + k(X sin ^ — У cosH) sin (力 + г)].
т =
т =
1
1
[t(X cosH + Y sin^) cos (力 + t) + k(X sin ^ — У cosH) sin (力 + г)].
[t(X cosH + Y sin^) cos (力 + t) + k(X sin ^ — У cosH) sin (力 + г)].
Подставим в эти уравнения вместо X и Y соответствующие правые части системы (35). Получим, после осреднения по явно входящему времени:
г = ^ [/гsin2(^ - а) -п -从кт] + ^ [gcos2" — /3) + d + £ (瓦一；(户 + 廿))],
-^ [/гsin2(^ — a) + 几 + jikr\ -寺[gcos2(H - /3) - d - £ (瓦一；(户 + 廿))],
(38)(38)份=一；(7 + 0)- 2；2[：2)gsin2" -/?)+ 产泌兴 hcos2(H - a),
(38)
(38)
^ = 一^ (。+ /) + gsin2" — a) — 丁2 + 心2 hsin2(H - a),zr — Кr — К
В процессе калибровки коэффициенты управления квадратурой — 〃 и амплитудой —£, а также управление прецессией и частотой — р и f поддерживают такими, чтобы обеспечить 户三 0,左三 0,份=仄三 const, г = 0, где 比—достаточно малая контролируемая скорость прецессии, необходимая для принудительного изменения положения отсчетного многообразия с целью снятия зависимостей 4"), Q(H), р(Н), /(Н). Здесь через А = £(石—石。)обозначена интенсивность управления амплитудой, а через Q = 〃К — интенсивность управления квадратурой.
Приравнивая правые части системы (38) нулю и учитывая, что г много больше к, находим
k[h sin 2" — а) — п — Q")] + r[g cos 2(Н — /3) + d + 4")] = О,
H%sin2" — а) + 几 + Q")] + k[g cos 2(^ — ^) — d — 4")] = 0,
I1l.(39)
—-[7 + R(H)] — - gsin 2(H — /3) + ^ % cos 2" — a)—份0 = 0,
-[7 + /")] 一 ^ gsin2" -/?) + - % cos 2" - a) = 0.
Система (39) и называется системой калибровочных уравнений. В ней известными считаются т"), к"), А(^), Q^), р(^), /(^) (эти зависимости снимаются в процессе калибровки), а также 份о. Неизвестными и подлежащими нахождению из этой системы являются параметры дефектов: %, a, n, g, /3, d, 7, с.
Левые части системы (39) представляют собой тг-периодические функции угла 仇 Они могут быть представлены сходящимися рядами Фурье, а тождественное равенство нулю этих рядов влечет за собой равенство нулю всех в отдельности коэффициентов этих рядов. Таким образом, может быть получена бесконечная система алгебраических уравнений для нахождения восьми неизвестных: %, а, п, g, /3, d, 7, с. Такая переопределенная система всегда совместна и имеет единственное решение относительно 坛=% cos 2a,坛=% sin 2a, n, gi = geos 2/3, dy с. Это следует из доказанной выше теоремы об асимптотической устойчивости отсчетного многообразия, а также из линейности системы (39) по отношению к этим переменным. Для их нахождения из указанной переопределенной системы достаточно взять любые восемь уравнений с отличным от нуля детерминантом. Пользуясь условием, что г много больше к, эту задачу можно решать приближенно. В частности, в нулевом приближении k = 0, г =，2瓦,и из системы (39) находим
А^) = —d — gcos2(H — /3), Q") = —п — %sin2" — a),R(H) = —2 仄—7 — g sin 2(^ — /3), /(^) = —с — %cos2(H — a).
Если снятые зависимости А(^), Q"), р(^), /") содержат более одной гармоники, то требуются следующие приближения.
Список литературы
Foucault L. Demonstration physique du mouvement de la Terre au moyen du pendule // C.r. Acad. sci. Paris, 1851. V. 32. P. 135-138.
Quick W. H. Theory of vibrating string as an angular motion sensor // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh. 1964. V. 31, № 3. P. 523-534.
Stiles J. C. Vibrating ring gyro // U.S. Patent. 1975. № 3. 924, 475-Dec, 9.
Lynch D. D. Vibrating gyro analysis by method of averaging / / 2nd Saint-Petersburg I nt erv. Conf. On Gyroscopic Technology and Navigation. — Saint-Petersburg, 1995. P. 26-34.
13 Проблемы механики
Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Волновой твердотельный гироскоп. — М.: Наука, 1985. - 125 с.
Журавлев В. Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа. (ВТГ). Изв. РАН. МТТ. 1993. № 3. С. 6-19.
Leger Р. Quapason — a new low-cost vibrating gyroscope //3d Saint-Petersburg Intern. Conf. On Integrated Navigation Systems. Saint-Petersburg, 1996. Pt. 1. P. 143-149.
Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. - 670 с.
Bryan G. Н. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1891. V. 7. P. 101-107.
Loper E. J., D. D. Lynch The HRG: A new low-noise inertial rotation sensor // Proc. 16th Jt. Services Data Exchange For Inertial Systems. Los Angeles. CA. 1982.
Журавлев В. Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа. Изв. РАН. МТТ. 1995. № 5.
ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ КОНИЧЕСКОЙТРУБЫ
М.А. Задоян
Институт Механики НАН Армении
Введение. Напряженное состояние конических труб из идеально-пластического материала впервые исследовано в монографиях Д. Ивлева [1] и В. Соколовского [2], где рассматриваются предельное и упруго-пластическое состояния этих труб под внутренним и внешним воздействиями нормально распределенных сил. Термонапряженные состояния идеально-пластических пластин рассмотрены в монографиях Б. Боли и Дж. Уэйнера [3], а также Г. Паркуса [4], где определены
границы пластических зон в длинных упруго-пластических пластинах.
Ниже исследуется термопластическое состояние длинной толстостенной конической трубы из идеально-пластического материала, находящейся под действием
осесимметричного стационарного температурного воздействия с одинаковыми значениями температуры по продольным направлениям: внутренним Н = а и внешним 6 = 8 коническими поверхностями. Материал принимается несжимаемым как
в пластической, так и в упругой зонах. Полагается, что температура на внутренней конической поверхности медленно и равномерно повышается, а на внешней
конической поверхности поддерживается нулевая температура.
Тогда решение соответствующего уравнения теплопроводности в сферических координатах представится в виде
гдегдеInIns = Ins = Intg(0/2) tg("/2)tg(0/2) tg("/2)tg(0/2) tg(a/2)tg(0/2) tg(a/2)а = То； ”),
где
где
In
In
s = In
s = In
tg(0/2) tg("/2)
tg(0/2) tg("/2)
tg(0/2) tg(a/2)
tg(0/2) tg(a/2)
a T — значение температуры на внутренней конической поверхности Н =
=а, причем для определенности полагаем Т > 0 (рис. 1). При малой конусности
для радиального перемещения полагая 〃 = 0, из условия несжимаемости матери
ала находим уравнение относительно перемещения v:
；関+声^ = 3з"),
где 从—коэффициент температурного линейного расширения.
(Н) sin Н dH,(Н) sin Н dH,⑴no⑵(3)⑴no⑵(3)Подставляя (3) в уравнение равновесия^^ + (00-0少)ctg H = 0, интегрируя его при граничном условии Н = а, получаемПодставляя (3) в уравнение равновесия^^ + (00-0少)ctg H = 0, интегрируя его при граничном условии Н = а, получаем少少а^ = 6а^ = 6ДА (а, Н) - ] N ”) ctg Н dH ,ДА (а, Н) - ] N ”) ctg Н dH ,гдегдед / q\ cos ад / q\ cos аcos" _ ] tg("/2)sir?" tg(a/2)，cos" _ ] tg("/2)sir?" tg(a/2)，⑷(5)⑹⑷(5)⑹
(Н) sin Н dH,
(Н) sin Н dH,
⑴
no
⑵
(3)
⑴
no
⑵
(3)
Подставляя (3) в уравнение равновесия
^^ + (00-0少)ctg H = 0, интегрируя его при граничном условии Н = а, получаем
Подставляя (3) в уравнение равновесия
^^ + (00-0少)ctg H = 0, интегрируя его при граничном условии Н = а, получаем
少
少
а^ = 6
а^ = 6
ДА (а, Н) - ] N ”) ctg Н dH ,
ДА (а, Н) - ] N ”) ctg Н dH ,
где
где
д / q\ cos а
д / q\ cos а
cos" _ ] tg("/2)
sir?" tg(a/2)，
cos" _ ] tg("/2)
sir?" tg(a/2)，
⑷
(5)
⑹
⑷
(5)
⑹
Интегрированием получаем
где А — произвольная постоянная и
h = cos а — s In 幻⑻ cos 仇sin а
Упругая стадия. Когда еще не появились пластические деформации, закону Гука
0д一0少—2G(£g-£少).
Используя (1) и (2), получаем
' sin v / где
b = 2Е〃Т, N =幻")一2% ")
sin ”
Далее, полагая 〃 ^ 0, будем иметь
(Ут —。少——2Gez・
Отсюда из (1) находим
аг = а^-\-6(4咨^ - М\' sin ”/
где
sin ”
Далее, используя граничное условие при 9 =仇 находим
Подставляя значение 4 в (5), будем иметь
。日/"Х^。日/"Х^少少j N (Н) ctg Н dH — ] TV ") ctg H dH.j N (Н) ctg Н dH — ] TV ") ctg H dH.
。日/"Х^
。日/"Х^
少
少
j N (Н) ctg Н dH — ] TV ") ctg H dH.
j N (Н) ctg Н dH — ] TV ") ctg H dH.
Вводя обозначения
°订_*
окончательно получаем
吗=ДА (а, Н) - ] N ⑺ ctg H dH, 丸=吗一幻")+ [4 + % ”)]吗=ДА (а, Н) - ] N ⑺ ctg H dH, 丸=吗一幻")+ [4 + % ”)]cos ”cos ”sin2 ”sin2 ”
吗=ДА (а, Н) - ] N ⑺ ctg H dH, 丸=吗一幻")+ [4 + % ”)]
吗=ДА (а, Н) - ] N ⑺ ctg H dH, 丸=吗一幻")+ [4 + % ”)]
cos ”
cos ”
sin2 ”
sin2 ”
W = W -"")+ 2[4 + %")]印. sin ”
Для численного расчета принимаем 从=1,25 • 10-5 град-1,石=2 • 106 кг/см2, получаем b = 25 Т кг/см2.
Из этих безразмерных напряжений следует
W —娟=(4 + %)諾 >0,娟一吗=(4 + %)黑一幻〉0.
Отсюда имеем условие (частично) сг* > а*〉吗・ Будем исходить из критерия идеальной пластичности Треска.
Положим, что впервые пластические деформации возникают на внутренней поверхности трубы
。夕—。少=—2k при Н = а,(7)
где к — пластическая постоянная.
Вводя обозначения
из (3) и (7) будем иметь
Л°= i-2£2L^[^^)ctg^^,
Asm a J
где через Ло = Е^Т/к обозначено значение параметра, при котором исчерпывается предельное упругое состояние трубы, причем
* _ cos a cos/3 , tg("/2)sin2 a sin2 /3tg(a/2)
Одностороннее пластическое состояние. Положим, что при Т > То из внутренней стороны трубы распространяется зона пластических деформаций, иначе говоря, в зоне а < 'О < г] имеем пластические деформации, а в интервале 77 VH < /3 имеем зону упругих деформаций (рис. 2).
Таким образом, имеем
。夕—。少=—2k при а，Н，？у.。夕—。少=—2k при а，Н，？у.⑻⑻
。夕—。少=—2k при а，Н，？у.
。夕—。少=—2k при а，Н，？у.
⑻
⑻
В упругой зоне согласно (3) имеем
L sin ”」L sin ”」при rj ^д ^ 0,при rj ^д ^ 0,⑼⑼где А — новая произвольная постоянная. В обеих зонах имеет место дифференциальное уравнение равновесия (4). Подставляя (8) в уравнение (4) и интег-где А — новая произвольная постоянная. В обеих зонах имеет место дифференциальное уравнение равновесия (4). Подставляя (8) в уравнение (4) и интег-Рис. 2Рис. 2рируя, получаемсг£ — —2k In -——при a < Н < ?у. (10) sm aрируя, получаемсг£ — —2k In -——при a < Н < ?у. (10) sm aЗдесь использовано граничное условие сг^(«) = 0. Из (8) и (10) находимsin% = —2k In 2k при a，H，”sin aДалее для упругой зоны, подставляя (9) в (4) и интегрируя, находимЗдесь использовано граничное условие сг^(«) = 0. Из (8) и (10) находимsin% = —2k In 2k при a，H，”sin aДалее для упругой зоны, подставляя (9) в (4) и интегрируя, находим3 = —6 2А3 = —6 2А02 g万]]竺^- d^ — ^ N ") ctg H dH 少sm少」(П)02 g万]]竺^- d^ — ^ N ") ctg H dH 少sm少」(П)упругой и пластической зонами, из (10) и (11) получаемупругой и пластической зонами, из (10) и (11) получаемпри п & 9《仇Здесь учтено условие отсутствия напряжения на внешней поверхности:。少(/3) = 0.Из условия непрерывности напряжения на граничной поверхности междупри п & 9《仇Здесь учтено условие отсутствия напряжения на внешней поверхности:。少(/3) = 0.Из условия непрерывности напряжения на граничной поверхности между. Г仪-lnj^ = A 4A(〃/3) —[N")ctgHdH .(12)Далее из (9) и условия(Ст е-0少)少=^ = -2k определяемx\n^-2A^l\=1.(13)Sin. Г仪-lnj^ = A 4A(〃/3) —[N")ctgHdH .(12)Далее из (9) и условия(Ст е-0少)少=^ = -2k определяемx\n^-2A^l\=1.(13)SinУравнения (12) и (13) определяют функции ?у и А в зависимости от А. Исключая из (13) А:Уравнения (12) и (13) определяют функции ?у и А в зависимости от А. Исключая из (13) А:и подставляя в (12) будем иметьи подставляя в (12) будем иметьт 2 cos 77, sin 771 +In -—-Д (77, /3) sin 77 smaN ⑺-2 〔Nctg^d"△⑴,夕)sin 77 Jт 2 cos 77, sin 771 +In -—-Д (77, /3) sin 77 smaN ⑺-2 〔Nctg^d"△⑴,夕)sin 77 J=A.=A.(14)(14)
L sin ”」
L sin ”」
при rj ^д ^ 0,
при rj ^д ^ 0,
⑼
⑼
где А — новая произвольная постоянная. В обеих зонах имеет место дифференциальное уравнение равновесия (4). Подставляя (8) в уравнение (4) и интег-
где А — новая произвольная постоянная. В обеих зонах имеет место дифференциальное уравнение равновесия (4). Подставляя (8) в уравнение (4) и интег-
Рис. 2
Рис. 2
рируя, получаем
сг£ — —2k In -——при a < Н < ?у. (10) sm a
рируя, получаем
сг£ — —2k In -——при a < Н < ?у. (10) sm a
Здесь использовано граничное условие сг^(«) = 0. Из (8) и (10) находим
sin
% = —2k In 2k при a，H，
”sin a
Далее для упругой зоны, подставляя (9) в (4) и интегрируя, находим
Здесь использовано граничное условие сг^(«) = 0. Из (8) и (10) находим
sin
% = —2k In 2k при a，H，
”sin a
Далее для упругой зоны, подставляя (9) в (4) и интегрируя, находим
3 = —6 2А
3 = —6 2А
02 g万]
]竺^- d^ — ^ N ") ctg H dH 少sm少」
(П)
02 g万]
]竺^- d^ — ^ N ") ctg H dH 少sm少」
(П)
упругой и пластической зонами, из (10) и (11) получаем
упругой и пластической зонами, из (10) и (11) получаем
при п & 9《仇
Здесь учтено условие отсутствия напряжения на внешней поверхности:。少(/3) = 0.
Из условия непрерывности напряжения на граничной поверхности между
при п & 9《仇
Здесь учтено условие отсутствия напряжения на внешней поверхности:。少(/3) = 0.
Из условия непрерывности напряжения на граничной поверхности между
. Г仪-
lnj^ = A 4A(〃/3) —[N")ctgHdH .(12)
Далее из (9) и условия
(Ст е-0少)少=^ = -2k определяем
x\n^-2A^l\=1.(13)
Sin
. Г仪-
lnj^ = A 4A(〃/3) —[N")ctgHdH .(12)
Далее из (9) и условия
(Ст е-0少)少=^ = -2k определяем
x\n^-2A^l\=1.(13)
Sin
Уравнения (12) и (13) определяют функции ?у и А в зависимости от А. Исключая из (13) А:
Уравнения (12) и (13) определяют функции ?у и А в зависимости от А. Исключая из (13) А:
и подставляя в (12) будем иметь
и подставляя в (12) будем иметь
т 2 cos 77, sin 77
1 +In -—-
Д (77, /3) sin 77 sma
N ⑺-2 〔Nctg^d"
△⑴,夕)sin 77 J
т 2 cos 77, sin 77
1 +In -—-
Д (77, /3) sin 77 sma
N ⑺-2 〔Nctg^d"
△⑴,夕)sin 77 J
=A.
=A.
(14)
(14)
Полученное уравнение представляет зависимость ?у = ?у (А), определяющее движение граничной поверхности пластической зоны от температуры Т.
Двустороннее пластическое состояние. Пусть с некоторого значения Т с наружной поверхности конической трубы ^ = /3 распространяется пластическая зона вовнутрь трубы. Иначе говоря, коническая труба переходит в трехзонное деформационное состояние: пластическая зона вокруг внутренней конической поверхности а，Н，？yi, пластическая зона вокруг внешней конической поверхности т & ® & В 0 зона упругих деформаций:小，Н，〃2 (рис. 3).
Рис. 3Рис. 3
Рис. 3
Рис. 3
Таким образом, в этих зонах имеем соответственно
。夕—。少=2k при а，Н，ту】,。夕—。少=2k при а，Н，ту】,(15)(15)
。夕—。少=2k при а，Н，ту】,
。夕—。少=2k при а，Н，ту】,
(15)
(15)
0夕一。少=2k при 小，外，乱0夕一。少=2k при 小，外，乱(16)(17)(16)(17)(18)(18)(19)(19)
0夕一。少=2k при 小，外，乱
0夕一。少=2k при 小，外，乱
(16)
(17)
(16)
(17)
(18)
(18)
(19)
(19)
a^- a^ = 6(2厶^|^ - N(")) при 力 < " < 小,' sm 少/
где А — новая произвольная постоянная.
Подставляя (15) в уравнение равновесия (4), будем иметь 需■ + 2kctgH = 0.
Интегрируя с использованием граничных условий а^(а) = 0, находим
а^ = -2k In s：n" a，Н，小，sin a
а также имеем
= -2k In s：11 ” — 2k a，H，小.”sin a
Далее, подставляя (17) в дифференциальное уравнение равновесия
需—2kctgH = 0
и интегрируя, используя граничное условие。少(/3) = 0, находим
2kln 需
Имеем также
сг夕=-2k In + 2k, 〃2 4 H 4 /?•
Для получения решения в упругой зоне, используя (16), находим
嘗(24 幾— ctg Н = 0,小 小.' sm ”/
Интегрируя от 小 по получаем
0少")=0少仇)+ 8 4△仇,H) - ] NctgH dH •
Принимаем здесь Н =办 получаем
。少(小)=0白仇)+ b 4△仇,小)- ]NctgHdH .
ni
Из (18) и (19), определяя
。日仇)=_2^黑，aM = -2kln^
и подставляя в (21), находим
1〔R sin 771 sin 772A sin a sin 01〔R sin 771 sin 772A sin a sin 0П2
1〔R sin 771 sin 772
A sin a sin 0
1〔R sin 771 sin 772
A sin a sin 0
+ ] N(") ctgH dH = ДА (小，〃2)•
П1
(20)(20)(21)(21)(22)(22)На граничных поверхностях пластических и упругих зон имеем условия
(20)
(20)
(21)
(21)
(22)
(22)
e 夕—a^)^=m = 一2k,(0b—。少)少=小=2瓦
или, используя формулу (16), будем иметь
A- NS)] = -1, А- Ng)] = 1.(23)
Sin 771JSin 7/2_
AA△、入 sm a△、入 sm a+山in+山inN ctg HN ctg H(24)(24)Из (22) находим
A
A
△、入 sm a
△、入 sm a
+山in
+山in
N ctg H
N ctg H
(24)
(24)
где △ = △ (?7i,小).Подставляя (24) в (23), приходим к системе двух уравнений:
2 cos т/1 ]口 sin т/1 sin ^2 十 】Д sin2 771 sin a sin。92^1)-[ Nctg"d"厶 Sin 771 J912 cos т/1 ]口 sin т/1 sin ^2 十 】Д sin2 771 sin a sin。92^1)-[ Nctg"d"厶 Sin 771 J912 cos 77 2 ] sin 771 sin 77 2△ sir?小 sin a sin 02 cos 77 2 ] sin 771 sin 77 2△ sir?小 sin a sin 0N(小瓷也[Nctg^d"厶 Sin 7/2 J91N(小瓷也[Nctg^d"厶 Sin 7/2 J91(25)(25)
2 cos т/1 ]口 sin т/1 sin ^2 十 】Д sin2 771 sin a sin。
92
^1)-[ Nctg"d"
厶 Sin 771 J
91
2 cos т/1 ]口 sin т/1 sin ^2 十 】Д sin2 771 sin a sin。
92
^1)-[ Nctg"d"
厶 Sin 771 J
91
2 cos 77 2 ] sin 771 sin 77 2
△ sir?小 sin a sin 0
2 cos 77 2 ] sin 771 sin 77 2
△ sir?小 sin a sin 0
N(小瓷也[Nctg^d"厶 Sin 7/2 J
91
N(小瓷也[Nctg^d"厶 Sin 7/2 J
91
(25)
(25)
относительно 力(入)и 772(A), определяющих положение граничных поверхностей пластических зон. На рис. 4 построены графики граничных поверхностей пластических зон в зависимости от аргумента X = Е^Т/к.
Рис. 5Рис. 5Список литературы
Рис. 5
Рис. 5
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966.
Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969.
Боли £., Уэйнер Дснс. Теория температурных напряжений. — М.: Мир, 1964.
Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. — М.: Физматгиз, 1963.
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
В. Г. Зубчанинов
Тверской государственный технический университет
Процессы нагружения и деформирования. В векторных совмещенных шестимерных евклидовых пространствах деформаций Eq и напряжений Еб при общем неподвижном репере {&} тензорам деформаций(£叮)и напряжений (。叮)ставятся в соответствие векторы деформаций ё и напряжений S [1-4]:
ё = Экек, S = Skek (к = 0,1,..., 5),(1)
где проекции векторов 力，Sk связаны с компонентами шаровых тензоров £о = =£ij6ij/3, бг0 =叫&〃3 и компонентами тензоров-девиаторов 9叮=£叮—£()6切 Sij = aij — a()6ij преобразованиями
⑵
Эо = \/3^о,
З2 = V^(322 + ；311)，
.Э3 = \/2 912,
& = V5 З23,
З5 = V2 Э1з,
So — д/з ст о,
+ Т &1)，
⑶
Модули и компоненты векторов связаны с компонентами тензоров равенствами £? — 9卜9卜—^ij^ij ~ Зе^ + Э2,
S? = SkSk = 0叮0叮=3说 + сг2 (г, ^ = 1, 2, 3),
где модули тензоров-девиаторов Э = ,&声叮,сг =，5叮 S^ можно представить в виде
з — ±" J(£11 — £22)2 +(£22 — £33)2 + (金33 — £11产 + 6(受2 + 药3 + 礎 1)，⑸
。-(a 11 -022产 + (022 -。33产 + (033 -。11产 + 6(说2 + a23 + a31) •(6)
Так как 3左 и Э^, S^ и Sij связаны взаимнооднозначными линейными соотношениями (2), (3), то обе группы параметров эквивалентны. Поэтому при переходе от тензорного описания процессов к векторному все инварианты So,。0, Э, Jf = \9ij\,丿糸=\Sij I сохраняются при любых преобразовваниях декартовых координатных осей х^ (k = 1, 2, 3) физического пространства. Поэтому векторный подход остается таким же общим, как и тензорный [4]. В процессе деформирования и нагружения £叮，％, их инварианты и, следовательно, %, S^ претерпевают
изменения. Концы векторов ё, S описывают со временем 力 в 瓦，％ шестимерные траектории деформирования и нагружения с длинами дуг s, Е.
Процессы деформирования в Eq и нагружения в % заданы, если заданы их траектории и в каждой их точке температура Т и другие нетермомеханические параметры /3. Траектория деформирования 营(s) в Eq при репере ｛或｝ с построенными в каждой ее точке векторами S, ds и приписанными к ним температурой Т и параметрами /3 создают образ процесса деформирования. Аналогично вводится понятие образа нагружения в %.
Внутренняя геометрия траекторий в 瓦，％ определяется движением по ним реперов Френе ｛pk｝ и ｛簾｝, положение которых характеризуется длинами дуг s и Е соответственно. Компоненты реперов связаны уравнениями Френе
⑺⑺— ”к-\0к-\ + 4仇什1,^^ — —kk-lQk-1 + 緬簾+1,
⑺
⑺
где А; = 0,1, . . . , 5;力(s),緬②)—параметры кривизны и кручения траекторий (死5 = 0,к5 = о).
Естественные уравнения траекторий 死俏=xm(s) и 卜俏=卜俏②)вместе c s и Е задаются в Eq, % с точностью до положений. Ортогональные преобразования вращения и отражения траекторий в 瓦 и % сохраняют их внутреннюю геометрию, т. е. 〃皿 s и km, Е, модули векторов % S, но не сохраняют в общем случае инварианты So,丿^ = |Э^| и сг0, Jf = |5叮|. Вместо Jf, Jf можно рассматривать углы вида g и 也 состояний согласно формулам
⑻⑻cos 3g = 3V^ |3订|/ Э3, cos3 也=3V^\Sij\/a3.
⑻
⑻
Таким образом, векторные пространства Eq, % в общем случае неизотропны, и каждая траектория соответствует своему процессу изменения деформированного и напряженного состояний физической частицы. При этом нельзя смешивать понятия изотропии физической частицы среды и изотропии векторных пространств 瓦，夕6 [4]. Преобразования вращения и отражения в 瓦，夕6 являются более общими, чем преобразования координатных осей х^ в физическом пространстве.
Если объемная деформация упругая, то £о = ьо/ЗК, где К — модуль объемной деформации. В этом случае вполне естественным является рассмотрение процессов в пятимерных совмещенныых векторных евклидовых пространствах 石5, Eg с общим репером ｛或｝, где к = 1, 2,.. ., 5. В этом случае тензорам(£叮)= = £o(b") + (3叮)，С叮)— a^ij) + (5叮)ставятся в соответствие векторы деформаций Э и напряжений 万 согласно формулам
⑼⑼3=3k或， 万=Sk或 (к = 1, 2,..., 5),
⑼
⑼
а также So и сг0 соответственно. Концы этих векторов описывают в 石5, Е5 пятимерные траектории деформирования и нагружения. Процесс в 石5 считается заданным, если заданы траектория 3(s) и в каждой ее точке So, температура Т, параметры /3. Траектория 3(s) в 石5 при репере ｛或｝ с построенными в каждой ее точке s векторами 万，d万 и приписанными к ним температурой T(s), £o(s), 0($) создают образ процесса деформирования в 石5. Аналогично вводится понятие образа процесса нагружения в Е5. Пространства 石5R5 в общем случае неизотропны при преобразованиях вращения и отображения траекторий, так как при таких преобразованиях происходит изменение инвариантов £о,戏=|Э^| и а(), Jf =回八
Полная и неполная пластичность в процессах сложного нагружения. Развиваемое направление математической теории пластичности не использует, вообще говоря, концепцию предельных поверхностей, отображающую закономерности скалярных свойств материалов. Вместо этого в теории изучается эквивалентная предельным поверхностям форма геометрического представления процессов в виде диаграмм нагружения либо деформирования
(10)(10)ст = сг(Э).
(10)
(10)
В случае простого (пропорционального) нагружения соотношение (10) принимает форму закона «единой универсальной кривой» упрочнения
(И)(И)。=巾(3),
(И)
(И)
предложенного Рошем и Эйхингером и использованного А. А. Ильюшиным при построении теории малых упругопластических деформаций [3]. Таким образом, в современной теории пластичности скалярные свойства материала отражаются в двух формах геометрического представления: мгновенных предельных поверхностей нагружения /(万)=0 и деформирования F(9) = 0 либо в виде диаграммы нагружения или деформирования а = сг(Э). Эти представления не противоречат друг другу [6, 7]. Наиболее распространенными условиями пластичности для начально изотропных сред являются условия Мизеса и Сен-Венана. Первое из них трактуется как условие достижения полной пластичности независимо от направления процесса деформирования (гипотеза квазипластичности Роша и Эйхингера). Оно записывается в виде
(12)(13)(14)(12)(13)(14)0 =专，(。1 一012)2 + (。2 - 01з)2 + (03 -。11产=户,
(12)
(13)
(14)
(12)
(13)
(14)
67 =賓7 Jt务+理+ % =内,67 =賓7 Jt务+理+ % =内,где ат = д/2/3 сгт, ат — предел текучести при растяжении-сжатии. Условие (12) можно записать также в виде
67 =賓7 Jt务+理+ % =内,
67 =賓7 Jt务+理+ % =内,
где
712 = (。1 -。2)/2,T23 = (。2 -。3)/2,T13 = (。1 -03)/2
—главные касательные напряжения, которые вызывают главные сдвиги
「12 = £1一 £2, 「23 = £2 — £з, *з = £1 — £з・(15)
Здесь 〃(к = 1, 2, 3) — главные относительные удлинения.
Согласно второму условию, пластичность возникает тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает своего предельного значения
Ттах =0匸0几=卜 (Ш < щ 771,71=1,2,3),(16)
где к = тт — предел текучести при чистом сдвиге. Условие Сен-Венана позволяет учитывать направление развития пластических деформаций. При этом на одних площадках скольжения развиваются пластические сдвиги, а на других — упругие. Хаар и Карман [4] предполагали, что пластические сдвиги возможны одновременно не более, чем на двух площадках скольжения, и выдвинули условия полной
пластичности, которые запишем в виде
01 =02, 。 =，^ e1 一03) 。2 = СГЗ, СГ = д/^ 3 - 6r2) % = СГз, СГ = д/^ (°2 -。3)01 =02, 。 =，^ e1 一03) 。2 = СГЗ, СГ = д/^ 3 - 6r2) % = СГз, СГ = д/^ (°2 -。3)-。t， 2T13 - ^1 — ^з -。T,—o',2Т]_з = ст 1 — ст 2 — °т，—о',2Т]_з = ст 2 — °з — <7丁・-。t， 2T13 - ^1 — ^з -。T,—o',2Т]_з = ст 1 — ст 2 — °т，—о',2Т]_з = ст 2 — °з — <7丁・(17)(17)
01 =02, 。 =，^ e1 一03) 。2 = СГЗ, СГ = д/^ 3 - 6r2) % = СГз, СГ = д/^ (°2 -。3)
01 =02, 。 =，^ e1 一03) 。2 = СГЗ, СГ = д/^ 3 - 6r2) % = СГз, СГ = д/^ (°2 -。3)
-。t， 2T13 - ^1 — ^з -。T,
—o',2Т]_з = ст 1 — ст 2 — °т，
—о',2Т]_з = ст 2 — °з — <7丁・
-。t， 2T13 - ^1 — ^з -。T,
—o',2Т]_з = ст 1 — ст 2 — °т，
—о',2Т]_з = ст 2 — °з — <7丁・
(17)
(17)
Сопоставляя (12), (17), заключаем, что полная пластичность реализуется на линиях пересечения цилиндра пластичности Мизеса и вписанной в него шестигранной призмы Кулона в пространстве главных напряжений. На девиаторной плоскости — это шесть точек пересечения окружности Мизеса радиуса а = аТ и вписанного в нее правильного шестиугольника Сен-Венана. При упрочнении материалов величины ат = ,2/3。丁 и k = тт принимают новые свои значения. Дадим более четкое различие между активными и пассивными процессами нагружения и разгружения. Для частицы тела под глобальным процессом нагружения в Е5 будем понимать такой, при котором da > 0, а под разгружением — такой, при котором do < 0. Под глобальным деформационным нагружением в 石5 понимаем такое, при котором dd > 0, а под деформационным разгружением — такое, при котором d9 < 0. В обоих случаях частица тела может находиться в состояниях полной либо неполной пластичности. Это означает, что в одних направлениях может происходить пластическое догружение, а в других — упругое разгружение. Например, для «нейтральных» процессов нагружения (do = 0, d3 = 0) такая закономерность прослеживается в явном виде.
Приращение полной удельной энергии деформирования А имеет вид
dA = ctq d'O + a d9 (Н = £订 6订)，(18)
где первое слагаемое dAo = сго^ соответствует энергии изменения объема, а второе,_
dA^ = a d9 = ads cos ^1,(19)
—энергии изменения формы. Здесь % — угол сближения, сг > 0, ds > 0.
Приращение удельной дополнительной энергии В (энергии напряжений) имеет вид
dB = Н dao + 3 d万，(20)
где dBo = Н do。一 приращение дополнительной энергии объемного расширения- сжатия,
dB^ = 9da = 3 dxeos 峪(21)
—приращение энергии напряжений формоизменения, Э > 0, dX > 0, ^* — угол запаздывания.
Поскольку для большинства материалов энергия объемного расширения-сжатия обратима, то критерием активного необратимого процесса деформирования можно считать dAф > 0, а пассивного — dAф < 0. Критерием активного необратимого процесса нагружения считаем dB^ > 0, а пассивного — dB^ < 0. Следовательно, для активных процессов деформирования угол % < тг/2, а для пассивных — Н > тг/2. Для активных процессов нагружения угол ^* < тг/2, а для пассивных —党 > тг/2.
В частном случае простых (пропорциональных) нагружений-разгружений реализуются процессы полной пластичности и полной упругой разгрузки. Возникает
уникальная возможность для данной частицы среды разложить полные деформации ё, Э на упругую ёе, 3° и пластическую ёр, ЭР части:
e= ^+ь (£订・=吟+吟)，石=牙+石0 (9订・=% +券) (22)
При сложном (непропорциональном) глобальном нагружении и сложной разгрузке такой возможности нет. В этих случаях в частице тела в одном направлении может происходить активное пластическое деформирование, а в других — упругая разгрузка.
При простых нагружениях-разгружениях понятие деформационного нагружения (d3 > 0) соответствует понятию активного процесса деформирования (dA^ > > 0), а понятие деформационного разгружения (d9 < 0) — понятию пассивного деформирования (&4ф < 0), т. е. пропорциональной разгрузке. Понятию силового простого нагружения (do > 0) соответствует понятие активного процесса нагружения ®3ф > 0), а понятию простого разгружения (do < 0) — понятие пассивного процесса разгружения (dB^ < 0). Более того, силовое и деформационное нагру- жения-разгружения и активные и пассивные процессы деформирования и напряжения соответствуют друг другу. При сложных процессах такого соответствия не наблюдается. Поэтому для каждой точки К на траектории нагружения либо деформирования не могут иметь места четко выраженные предельные поверхности нагружения f^) = 0 и деформирования F(9) = 0, четко разделяющие области упругих и пластических деформаций, какие вводятся в современной теории течения. Существование таких поверхностей является следствием представлений (22). Вместо предельных поверхностей, разделяющих области упругих и пластических деформаций, мы рассматриваем предельные поверхности энергетического уровня, разделяющие области активных и пассивных процессов пластического деформирования и нагружения, т. е. области полного и неполного пластического и полного и неполного упругого деформирования. Естественно, что этим поверхностям принадлежат особые точки, в которых имеют место состояния полной пластичности. Области же полного упругого либо полного пластического состояний разделены целым переходным упругопластическим слоем неполной пластичности либо неполной упругости.
Приращения энергий (19), (21) могут быть записаны в виде
(23)(23)d4(j)— S^j d ^%j — — TijdY\j, (1Вф — 9ijdS%j = — Г jj dT^j,
(23)
(23)
где Tij,「叮一главные касательные напряжения и сдвиги, причем
'2\/5Т12 = o(V^ cos^ + sin喇，\/^丁23 = —crsin^,
2V^Т1з = O(V^ cos — sin 喇，
(24)
д/2 Г12 = 3(д/^ cos g + sin g),「23 =-陋 9sin
、「13 = 9(cos g — sin g),
'dTi2 = T12da/a + (сг/2V^)(cos 也—\/^ sin 喇 d吹
< 盯23 = Т?з(!о/о - (о/О COS 2 d/ф,(25)
、dTi3 = Ti^da/а — (сг/2V^)(cos 也 + \/^ sin 喇 d吹
'd「i2 = *2&3/3+ (Э/\/2 )(cos g — \/^ sin g) dg, < d「23 = Г123d3/353cos g dg,(26)
、d*3 = Г\зб/3/Э — (Э/\/2)(cos g + \/^ sin g) dg.
Формулы (23)-(26) позволяют проследить характер догружений или разгружений на главных площадках скольжения, т. е. проследить закономерности процессов неполной и полной пластичности.
Таким образом, одной из важнейших проблем развития математической теории пластичности материалов с упрочнением является теоретическое и экспериментальное исследование процессов и состояний полной и неполной пластичности и их влияние на структуру функционалов либо функций процессов, входящих в определяющие соотношения теории пластичности [1, 2, 6-14].
Определяющие соотношения. Общие дифференциально-нелинейные определяющие соотношения математической теории пластичности в 现 в репере Френе имеют вид [6-12]
工=笈{也“皿 T,乱 £0“}队 (k = 1, 2,…，5),(27)
или, в конкретизованном виде,
芻=Мкрк + ”3 (к = 1, 2,…，5),(28)
где
奥=Мк + Mcos/3b ” =黑—Л4cos 厶，(29)
<「cos 仇丿(30)
^к =林(COS/3Q -(力 cos/3k+i - Xfc-1 cos/3^-1),
{
3 = cos /3kPk = cos%/] + sin^i(cos^2P2 + sin%。)，
人人人人.(31)
q = cos &0з + sin &(04 cos % + @5 sin %),
13k — угловые,户俏(m = 1, 2, 3, 4) — полярные сферические угловые координаты а в репере {р^}, связанные формулами
/?1 = ^1, cos 厶=cos 厶 _"g 也—1COS 也(k = 2,3,4,5).(32)
Функционалы процесса деформирования
Мк = Mk{s,貝ТП'Т'В'Е,屮}(зз)
отвечают за векторные свойства материалов, a do]ds — за скалярные.
Для определения 户俏 при известных Мк, da/ds получена система уравнений [6-13]:
+ 死 1 cos % =—丄sin % + 7И0 cos % sin %),
ascr(34)
sin^n ( *1 +xn+icos^n+2) = ^n cos ^n sin ^n+i + Rn (n = 1,2,3),
где введены обозначения
'oRi = Mq cos ^2, “о = М3 cos ^з + М* sin&,
＜。兄2 sin ^i = 7И* cos & — ТИз sin &, 7И* = М^ cos % + ”5 sin %,(35)
、сгАз sin ^1 sin & = ”5 cos % — M4 sin %.
Соотношения (34), (35) можно разрешить относительно М^ либо найти последние согласно (30), (32) [6].
Единичный вектор Э в репере Френе {pk}
(36)(36)Э = cos a^Pk = cos %/i + sin % (cos %曲 + sin %»), 万=cos &»з + sin & (cos H4 应 + sin ^4p5),
(36)
(36)
где 户俏—полярные сферические координаты Э.
Для определения 户俏 получена система уравнений [6, 7]:
dsdssin %3sin %3\ as\ as+ 死n+icosHn+2)= xn cos ^n cos ^n+i (n = 1,2,3).+ 死n+icosHn+2)= xn cos ^n cos ^n+i (n = 1,2,3).(37)(37)Исключая 万2Исключая 万2изиз(31), (36), находим(31), (36), находим
ds
ds
sin %3
sin %3
\ as
\ as
+ 死n+icosHn+2)= xn cos ^n cos ^n+i (n = 1,2,3).
+ 死n+icosHn+2)= xn cos ^n cos ^n+i (n = 1,2,3).
(37)
(37)
Исключая 万2
Исключая 万2
из
из
(31), (36), находим
(31), (36), находим
(38)(38)3 = Aq9Атрт (т = 1,3,4,5),
(38)
(38)
где
(39)(39)4o — — COS /3m — Ag COS OLm •
(39)
(39)
cos a：2
Исключая »з ний [6, 7, 12]:Исключая »з ний [6, 7, 12]:изиз(28), (38), получаем вторую форму определяющих соотноше-(28), (38), получаем вторую форму определяющих соотноше-
Исключая »з ний [6, 7, 12]:
Исключая »з ний [6, 7, 12]:
из
из
(28), (38), получаем вторую форму определяющих соотноше-
(28), (38), получаем вторую форму определяющих соотноше-
(40)(40)(41)(41)
(40)
(40)
(41)
(41)
芻=Nrpr + Naa + ^эЭ (r = 1,4, 5),
где
Nr = Мг — ТИз 尤,Ny = — М3 字,cos a = аЭ,
Na =— Nr cos /3「— N3 cos а = 7И +.
asA3
Для трехмерной локальной размерности определяющих соотношений N4 = = N5 = 0. Определяющие соотношения в Е5 приведены в [6, 7, 14, 15].
Локальная размерность образа процесса. Существенное значение при решении практических задач имеет локальная размерность определяющих соотношений в репере {р^}, которая может быть меньше их глобальной размерности в 石5. Так, при малом 死3 и & = 0 локальная размерность образа процесса 几=4
(теория депланации). В этом случае [5, 6, 8]
Mi sin^1 = —a ^^^ + 死 1 cos&) + М3 cos% sin&,
＜此2＜此2(^^ + 死2)sin ^1 —死 1 cos ^1 sin 户2,(^^ + 死2)sin ^1 —死 1 cos ^1 sin 户2,(42)(42)
＜此2
＜此2
(^^ + 死2)sin ^1 —死 1 cos ^1 sin 户2,
(^^ + 死2)sin ^1 —死 1 cos ^1 sin 户2,
(42)
(42)
”4竺也=〃3sinHisin&cos&, “5=0. CT
В соотношения (42) не вошли параметры 死4,必，которые остаются неопределенными.
При 死з = 0, & = 0 получаем М4 = ”5 = 0 и локальная размерность снижается до п = 3. Основные уравнения принимают вид
黑=”而+ М3 + ”з/з,黑=”而+ М3 + ”з/з,(43)(43)а = cos Н1/1 + sin ^i(cos &曲 + sin &饱),а = cos Н1/1 + sin ^i(cos &曲 + sin &饱),(44)(44)^^ + 死 1 cos & = —(Mi sin ^i + М3 cos ^i sin &),^^ + 死 1 cos & = —(Mi sin ^i + М3 cos ^i sin &),sin Hi (死2) = cos ^1 sin ^2 + ”3 °°s”2 \ as /crsin Hi (死2) = cos ^1 sin ^2 + ”3 °°s”2 \ as /cr(45)(45)М =— Mx cos ^i — М3 sin ^i sin & •asМ =— Mx cos ^i — М3 sin ^i sin & •as(46)(46)Уравнения (43)-(46) соответствуют общему случаю плоской трехпараметрической задачи. При малом х2 и ^2 — 0 приходим к уравнениям теории пластичности для траекторий малого кручения трехмерной локальной размерности. В этом случае вместо (44)-(46) получаем [5-9]Уравнения (43)-(46) соответствуют общему случаю плоской трехпараметрической задачи. При малом х2 и ^2 — 0 приходим к уравнениям теории пластичности для траекторий малого кручения трехмерной локальной размерности. В этом случае вместо (44)-(46) получаем [5-9]'3 = cos^ipi + sin^ip25'3 = cos^ipi + sin^ip25d"i ,sm"iс—h 死1 = —Ml, Мз = СГ〃2 Sin Hl,asсгM =呪-Mi cos %. asd"i ,sm"iс—h 死1 = —Ml, Мз = СГ〃2 Sin Hl,asсгM =呪-Mi cos %. as(47)(47)При 死2 = 0 из (47) получаем Мз = 0, что отвечает двухмерным соотношениям (п = 2) для плоских траекторий:При 死2 = 0 из (47) получаем Мз = 0, что отвечает двухмерным соотношениям (п = 2) для плоских траекторий:…而+…而+Mi cos Hi) 3,Mi cos Hi) 3,(48)(48)
黑=”而+ М3 + ”з/з,
黑=”而+ М3 + ”з/з,
(43)
(43)
а = cos Н1/1 + sin ^i(cos &曲 + sin &饱),
а = cos Н1/1 + sin ^i(cos &曲 + sin &饱),
(44)
(44)
^^ + 死 1 cos & = —(Mi sin ^i + М3 cos ^i sin &),
^^ + 死 1 cos & = —(Mi sin ^i + М3 cos ^i sin &),
sin Hi (死2) = cos ^1 sin ^2 + ”3 °°s”2 \ as /cr
sin Hi (死2) = cos ^1 sin ^2 + ”3 °°s”2 \ as /cr
(45)
(45)
М =— Mx cos ^i — М3 sin ^i sin & •
as
М =— Mx cos ^i — М3 sin ^i sin & •
as
(46)
(46)
Уравнения (43)-(46) соответствуют общему случаю плоской трехпараметрической задачи. При малом х2 и ^2 — 0 приходим к уравнениям теории пластичности для траекторий малого кручения трехмерной локальной размерности. В этом случае вместо (44)-(46) получаем [5-9]
Уравнения (43)-(46) соответствуют общему случаю плоской трехпараметрической задачи. При малом х2 и ^2 — 0 приходим к уравнениям теории пластичности для траекторий малого кручения трехмерной локальной размерности. В этом случае вместо (44)-(46) получаем [5-9]
'3 = cos^ipi + sin^ip25
'3 = cos^ipi + sin^ip25
d"i ,sm"iс
—h 死1 = —Ml, Мз = СГ〃2 Sin Hl,
asсг
M =呪-Mi cos %. as
d"i ,sm"iс
—h 死1 = —Ml, Мз = СГ〃2 Sin Hl,
asсг
M =呪-Mi cos %. as
(47)
(47)
При 死2 = 0 из (47) получаем Мз = 0, что отвечает двухмерным соотношениям (п = 2) для плоских траекторий:
При 死2 = 0 из (47) получаем Мз = 0, что отвечает двухмерным соотношениям (п = 2) для плоских траекторий:
…而+
…而+
Mi cos Hi) 3,
Mi cos Hi) 3,
(48)
(48)
d"i .“ sin^i
+ % = —Mi,
(49)(49)asa
(49)
(49)
、3 = cos^ipi + sin%»2・
Соотношения (48), (49) были приняты как основные в теории пластичности сверхмалого кручения, известной как гипотеза компланарности [1, 5-9].
Используя (49), соотношение (48) запишем в виде
黑=[黑 cos 小 一 67 (誓 + 死1) sin %]pi +
+ [黑 sin% + a ^^y + 死J cos%] »2・(50)
Рассмотрим траектории малой кривизны 死匕 для которых можно считать 亦= =3, Hi = 0. В этом случае локальный образ процесса назовем скользящим [7]. Устремляя % —> 0 в (50), получим
da dsda ds黑而+物万2,黑而+物万2,или, с учетом 亦 = d9/ds,死法 = ^2Э/ds2,или, с учетом 亦 = d9/ds,死法 = ^2Э/ds2,d万da d石,(^Э-h ст-у ds ds ds dsd万da d石,(^Э-h ст-у ds ds ds dsоткуда следуетоткуда следует6T = 6T —— as6T = 6T —— as(51)(52)(53)(51)(52)(53)
da ds
da ds
黑而+物万2,
黑而+物万2,
или, с учетом 亦 = d9/ds,死法 = ^2Э/ds2,
или, с учетом 亦 = d9/ds,死法 = ^2Э/ds2,
d万da d石,(^Э
-h ст-у ds ds ds ds
d万da d石,(^Э
-h ст-у ds ds ds ds
откуда следует
откуда следует
6T = 6T —— as
6T = 6T —— as
(51)
(52)
(53)
(51)
(52)
(53)
что совпадает с законом А. А. Ильюшина для траекторий малой кривизны [1, 2].
Если 死 1 = 0, то 心3丨(10 = 0, ds = d9. Траектория деформирования будет неподвижным лучом простого (пропорционального) нагружения. Из (52) следует закон простого нагружения в дифференциальной форме теории малых упругопластических деформаций:
dk=黑 d&(54)
откуда после интегрирования получаем
万=^3 (3 = 8)，(55)
где ст = Ф(3) — функция единой кривой простого нагружения при любом сложном напряженном состоянии.
Если прямой луч поворачивается в 石5, то имеет место частный случай сложного нагружения. Такой процесс мы назвали квазипростым [5-7]. Дифференцируя (55) в предположении квазипростого процесса, получаем (% =仇 cos ^ =亦• 9)
d(r (Т dЭ (d(r (Т \ су
ds 3 ds 〈d3 Э/' '
Теория пластичности, в основу которой положен закон (56), названа теорией квазипростых процессов.
Для двузвенных либо многозвенных ломаных траекторий 死i = 0. Однако в начале каждого последующего звена угол сближения 必=Н?〉0. Соотношение (52) принимает вид
da=^ 疝，(57)
который отличается от (54) для простого нагружения тем, что ds * d9. Это соотношение имеет место только после исчерпания следа запаздывания векторных свойств материала. В этом случае 亦=3 =仇.Такой процесс мы называем
локально простым процессом в отличие от скользящего (亦=3) для траекторий малой кривизны [5-7]. Теорию пластичности, в основу которой положен закон (57), мы назвали теорией пластичности локально простых процессов. Если считать кривизну 死 1 весьма малой величиной, то соотношения (57) можно использовать для исследования процессов сверхмалой кривизны, в том числе в задачах устойчивости.
(58)(58)(59)(59)Постулат физической определенности. В работах [6-10, 13] показано, что векторное пространство 石5 может быть разложено на два пересекающихся трехмерных подпространства Z П П. Первое из них представляет собой множество векторов
(58)
(58)
(59)
(59)
Э=Э,е, = Э1е1 + Э2е2 + 77,
а второе — множество векторов
7 = 77 — Э3е3 + Э4е4 + Э5е5.
Каждый из векторов 7 может быть пересечением подпространств и принадлежит им одновременно. Подпространство П названо сдвиговым. Показано, что образ процесса в П-подпространстве для первоначально изотропных сред является квазипростым. В этом случае процесс деформирования может быть целиком представлен в Z-подпространстве, а влиянием параметров 死3,死4 на процесс деформирования можно пренебречь. Определяющее соотношение (28) упрощается и принимает вид
黑=“而 + М3 + “з/з,(60)
где
，3 = COS 阴»1 + sin %(COS 户2/2 + sin 户2禽)，
Mi sin % = М3 cos % sin % - о (竽1 + 死 1 cos %),
< М3 COS 1?2. QQ Q(61)
=Sin V1 h 死2丿一死 1 COS Sin
M =Mi cos % — М3 sin % sin % • as
Соотношение (40) также упрощается и принимает вид
雲=N 而 + Naa + Nd9.(62)
Полученный результат формулируется в виде постулата физической определенности: локальная размерность определяющих соотношений вполне определена в трехмерном репере Френе {pi,Р2,Рз}5 ^-подпространства, а входящие в них функционалы не зависят от параметров кривизны и кручения 死3,死4 траектории деформирования в 石5.
Для функций процессов деформирования предложены выражения [6, 7]
5 =Г = 2GMS) + e-3(2G - 2G?)产尸(必)，
< Mi = 2Gp(s) + e—а^(2С? —2G^)/K?"i),(63)
、”3 COS ^2 = b{死2 sin % —死 1 COS % sin 户2 + /”2,第)},
где 2GMs) — 巾(9)/d3, 2Gp(s) = Ф(Э)/Э — текущие удвоенные касательный и пластический модули сдвига, Gg = Gk(s()), G^ = Gp(sq), Ki, ^2 — параметры, зависящие от сг,第一предельное значение & при стабилизации процесса после исчерпания запаздывания векторных свойств материала,
/(%) = Т (1 - cos%).(64)
При △$ —> оо получаем Р = 2GMs), "i — 2G目⑻.Параметр а находится из условия исчерпания следа запаздывания векторных свойств материалов. При △s = 0, % * 0 получаем соотношения, используемые в теории устойчивости в задачах о бифуркации
[Ро = 2G2 + (2G - 2G2)产⑺二 2G(1- Л),= 2G° + (2G - 2G^)/K2⑺=2G(1 -Q),
где
A = A(1 —/К), a = “(l —(66)
A,幻一параметры пластичности А. А. Ильюшина.
Список литературы
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: МГУ, 1990. — 310 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. — М.: АН СССР, 1963. - 271 с.
Ильюшин А. А. Пластичность. Упругопластические деформации. — М.-Л.: Гостехиз- дат, 1948. — 376 с.
Ильюшин А. А. Еще о постулате изотропии // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 201-204.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 701 с.
Зубчанинов В. Г. Математическая теория пластичности. — Тверь: ТГТУ, 2002. — 300 с.
Зубчанинов В. Г. Механика сплошных деформируемых сред. — Тверь: ТГТУ, 2000.— 704 с.
Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.
Зубчанинов В. Г. Проблемы математической теории пластичности // Проблемы прочности. 2000. № 1. С. 22-41.
Зубчанинов 5. 77 К основам общей математической теории пластичности // Упругость и неупругость. — М.: МГУ, 2001. С. 139-146.
Зубчанинов В. Г. Общие соотношения связи между напряжениями и деформациями в теории пластичности // Вестник Тверского гос. техн, ун-та. 2002. № 1. С. 35-39.
Зубчанинов В. Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов // Прикл. механика. 1989. Т. 25, № 5. С. 3-12.
Зубчанинов В. Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов // Прикл. механика. 1991. Т. 27. С. 3-13.
Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения теории неупругих процессов в пространстве напряжений. Сообщ. 1: Теоретические основы // Проблемы прочности. 1992. № 5. С. 3-13.
Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения теории неупругих процессов в пространстве напряжений. Сообщ. 2: Экспериментальные основы // Проблемы прочности. 1992. № 6. С. 3-12.
Зубчанинов В. Г. Общая теория устойчивости оболочек и пластин за пределом упругости при сложном нагружении // Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости. — Тверь: ТГТУ, 2001. С. 3-23.
ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ С МАЛЫМПАРАМЕТРОМ
4/7. Иванову Т. И. Наджафов
Московский государственный текстильный университет им. А. Н. Косыгина
Постановка задачи. Систематическое исследование задачи о построении периодических решений дифференциальных уравнений началось с классических работ Пуанкаре и Ляпунова и было продолжено многими авторами (см. работы [18] и имеющуюся там библиографию). В наиболее общей форме уравнение с малым параметром 〃 С R имеет вид
f(x) + 〃g(t, х, 〃)= 0, х е X, f : X —> Y, g : R х X х 工一> Y.(1)
Здесь X, Y — банаховы пространства, I — числовой интервал, содержащий нуль. Операторы f, g считаются, вообще говоря, нелинейными, непрерывными в некоторой области, а также несколько раз дифференцируемыми или аналитическими —в зависимости от решаемой задачи.
Предполагается, что уравнение
f(x) = 0,(2)
получаемое из (1) при 从=0, обладает ^-семейством решений (к》0). Задача состоит в продолжении этих решений в область 从 * 0.
В данной работе X и Y представляют собой пространства n-мерных 2тг-пери- одичных вектор-функций, причем Y состоит из непрерывных функций, а X — из непрерывно дифференцируемых, норма в этих пространствах определяется обычным образом [8, 10]), (f(x))(Z)= x(t) — Ax(Z)(А — постоянная матрица п х х п), вектор-функция g имеет период 2тг по Z и локально липшицева по х. Система (1) выглядит так:
文⑴-Ах⑴=〃g(力 х(%), 〃).(3)
Существует два основных подхода к решению уравнения (1). Первый из них, принадлежащий Пуанкаре, основан на разложении формулы (1) в ряд по степеням 从 с последующим определением коэффициентов разложения:
X = Хо + 〃х⑴ + 从?х⑵ + . . .(4)
(в некоторых случаях этот ряд может содержать дробные степени параметра [7, 8]). К недостаткам метода Пуанкаре (и его модификаций) следует отнести недостаточную общность (требуется аналитичность функций f, g), сложность вычисления членов ряда (4), а также отсутствие оценок радиуса сходимости и величины остатка этого ряда (доказано лишь, что он сходится для достаточно малых 〃).
Второй подход к решению поставленной задачи, свободный от указанных недостатков, восходит к Ньютону и связан с построением последовательных итераций по формуле
Хп+1 = Р(х) Р(х) = х — r(f(x) + 〃g(x,从))，
n = 0,1,2,..., 「： YtX. ' '
Здесь за начальное приближение берут одно из решений уравнения (2), а оператор Г выбирается так, чтобы обеспечить сходимость последовательности {хп}. В классическом методе Ньютона, обеспечивающем наилучшую (квадратичную) сходимость, Г = [fz(xn) + ц^х (хп, 〃)]-1 (штрих обозначает производную по Фреше). Этот метод использовался, в частности, при построении инвариантных торов гамильтоновых систем, близких к интегрируемым [9].
Более прост для реализации и анализа модифицированный метод Ньютона, при этом
「= Г(хо)]Т. ⑹
Важнейшие достоинства итерационных методов состоят в наличии эффективных оценок областей сходимости итераций, а также скорости сходимости. К сожалению, их можно непосредственно применять лишь в простейшем случае простого корня порождающего уравнения (т. е. к = 0). Если же к》1, то ситуация усложняется: итерационные методы применяются в сочетании с некоторыми дополнительными техническими приемами [2-6], что порождает новые серьезные проблемы.
Так, в задаче об отыскании периодических решений системы (3) в резонансном случае при построении итерационного процесса с начальным приближением 力о можно получить в последовательных приближениях непериодические (секулярные) члены, что очень затрудняет исследование качественного поведения решений. С другой стороны, нельзя надеяться получить периодическое решение исходя из произвольного начального вектора 力о. Сущность большинства методов получения периодических решений с помощью последовательных приближений состоит в таком выборе вектора 力о, чтобы секулярные члены в итерациях не появлялись [2].
Другой прием использовался в [3-6]: уравнение (1) заменяется некоторой эквивалентной ему системой двух уравнений, первое из которых решается при помощи итерационного метода вида (5). Получаемое решение, зависящее от k параметров, подставлется во второе уравнение системы. В результате получается нелинейная конечномерная система, в которой неизвестными являются k параметров первой подсистемы — так называемое определяющее, или бифуркационное, уравнение.
Возникающие на этом пути трудности связаны с тем, что бифуркационное уравнение в явном виде построить не удается и вместо него приходится рассматривать те или иные аппроксимации [3-6].
В данной работе также используется разложение исходной задачи на две подсистемы, причем итерационный процесс применяется к обеим частям попеременно. Задача состоит в построении такого двухшагового метода, выяснении условий его сходимости и оценке погрешности.
Основные свойства итерационных процессов. В данном разделе собраны известные результаты, касающиеся нужных нам для дальнейшего анализа свойств итерационных процессов.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
оператор Р : X —> X определен в замкнутом шаре S радиуса г с центром в точке хо；
для любых Xi, х2 С S выполнено неравенство
||Р(Х1) - Р(х2)||，q||xi - х2||, q < 1；⑺
||Р(х0) - х0||，т, где m r(l - q).
Тогда верны следующие утверждения:
итерационный процесс (5) сходится к точке х* е S, причем все итерации также лежат в шаре S;
х* — единственная неподвижная точка оператора Р в шаре S;
погрешность описывается формулой
I&-х*||<「产⑻
1q
Применим данный результат к модифицированному методу Ньютона (5), (6). В этом случае для проверки сжатости оператора Р достаточно оценить его производную:
||Р|| = ||/-「СГ(х) +必(х,〃))|| =
=||「£(хо) — f'(x) — 〃gl(x,⑴ II，(。2丁+|〃|Q),⑼
||「g(x,〃)||，Co, ||「gl(x,〃)||，Q, ll「f〃(x)|| 4。2・
Константы Ci, Q существуют при условии ограниченности второй производной функции f и первой производной возмущения g в некоторой окрестности точки хо； второму условию теоремы можно удовлетворить, выбирая \^\, г достаточно малыми. Наконец, для выполнения третьего условия вследствие соотношения Р(х0) = хо — 〃「g(x(),〃)достаточно обеспечить |〃| < 丁(1 — q)/。。. Собирая эти требования, придем к следующему утверждению.
Следствие 1. Пусть в области ||х — xq|| < 丁0, |〃| < А функции f〃(x), g(x, 〃)， g；(x, 〃)ограничены, так что выполнены оценки (9). Тогда уравнение (1) имеет единственное решение х* в шаре ||х — х0|| < 丁 < 丁。, если г{С^ + °1丁(1 — q)/C。)， ，d |〃|，丁(1 — q)/Co, где q — некоторое число из интервала (0,1). Это решение можно построить как предел последовательности {хп}, заданной в (5), а погрешность определяется формулой (8), где т = |〃|С().
Требование сжатости оператора Р в теореме 1 может быть заменено оценкой его второй производной [10]:
Теорема 2. Пусть оператор Р имеют непрерывную вторую производную в области Qq = {||х — xq|| < то}. Кроме того,
существует непрерывный линейный оператор Г = [^(xq)]-1;
||「Р(хо)||，力
6 области Qq выполнено неравенство ||ГР,,(х)|| < К.
Тогда, если
% =从К ^ -, 丁》то =从，(Ю)
то уравнение Р(х) = 0 имеет решение х*, к которому сходится итерационный процесс (5), (6). При этом ||х — хо|| < го- Далееесли при h < 1/2
+— 2h
Г <=
а при % = 1 /2 имеем г ^ ri, то в области Qq решение единственно.
Быстрота сходимости итерационного процесса характеризуется при h < 1/2 неравенством
||х*-хп|| ^ ^(1 —vT^)n+i.
Замечания. 1. Из теоремы 2 можно вывести следствие применительно к уравнению (1) по аналогии со следствием из теоремы 1. При этом потребуется оценка на g〃 (力,〃)• На практике вычисление второй производной от возмущений может оказаться весьма сложной задачей, что делает использование теоремы 1 более предпочтительным.
В теореме 1 константа q не задана. Разумным ее выбором, обусловленным компромиссом между скоростью сходимости и диапазоном допустимого изменения параметра 从 является q = 1/2.
Условия теорем 1, 2 достаточны для сходимости последовательности (5), но не необходимы. В конкретных задачах эту сходимость можно устанавливать и из других соображений, например показав сжатость оператора Р относительно некоторой другой, более слабой метрики в X. Кроме того, как показано в [10], оператор Г можно определять по формуле, отличающейся от (7) на малую добавку.
Допустим, что функции f (х), g(x, 〃)аналитичны. Тогда каждый из членов итерационной последовательности (5) будет аналитической функцией параметра 从.Отсюда по теореме Вейерштрасса о сходимости последовательности аналитических функций [11] следует, что и предельная функция 力*(〃) аналитична (см. также [6], [10]). Таким образом, сходимость итерационного процесса достаточна для сходимости ряда (4).
Представляют интерес результаты Каменкова [12] об оценке величины интервала существования корня х(〃)уравнения (1). Эти результаты имеют качественный характер, т. е. они не связаны с вычислительными процедурами; в частности, из них не следует сходимость (или расходимость) ряда (4) или последовательности (5).
Если к〉0, то оператор fz(xo) необратим, и описанная выше схема не работает. В [2] при решении квазилинейных дифференциальных уравнений использовался такой прием: все члены последовательности {хп} выбирались из условия f(xn) + 〃g(xn,从)G Imf'(xo), при этом было показано, что последовательность итераций сходится для достаточно малых значений 从.Однако вопросы оценки величины интервала сходимости 从 и погрешности остались открытыми.
Редукция основного уравнения. Прежде чем строить решение уравнения (1), преобразуем его к более удобной форме. Для этого воспользуемся методом редукции Ляпунова-Шмидта [8], позволяющим понизить порядок системы (1) путем выделения и разрешения ее правильной части. Разложим X и Y в прямые суммы:
Х = Х + Х*, Y = Y + Y*, X* = kerf/(xo), Y = Imf^xo), (11) где xq ——точка из семейства х*(С), предельная для искомого решения 力(〃) (подпространства X и Y* определены неоднозначно). Спроектируем х на X и X*,
а уравнение (1) — на Y и Y*:
(12)(12)f(x0 + 文 + X*) + /<(хо + 文 + X*, 〃)= 0,f*(xo + 文+ х*) + 从 g*(xo + 文+ х*,〃) = О,
(12)
(12)
хе х, x*eX* = R* f,g е Y, f*,g*eY* = R±
Первое из уравнений (12) (регулярная, или правильная, часть) определяет вследствие невырожденности производной 3f /3文 неявную функцию х(х*). Второе уравнение отражает особенности системы (1); подставляя в него функцию х(х*), получаем бифуркационное уравнение
f*(x0 + х(х*) + X*) + 〃g*(xo + х(х*) + X*, 〃)= 0.(13)
Уравнение (13) служит для нахождение зависимости х*(〃)(и, следовательно, х(〃))； оно может быть несовместным или иметь несколько решений.
Разделим равенство (13) на 〃 и перейдем к пределу при 〃一> 0: при этом х —> xq, кроме того, в силу определения проекции f*,
Hm f*(x°+文(х*)+х*)二 Ит ММ 广的)(14) 从TO从从TO从0X。从
Следовательно, мы получаем
g*(xo,O)=O.(15)
Уравнение (15) представляет собой необходимое условие продолжимости решения xq системы (2) по параметру 〃，в связи с приложением к квазилинейным колебаниям его обычно называют амплитудным уравнением.
Будем считать, что размерность ядра оператора fz(xo) равна размерности семейства решений уравнения (2) к. Тогда редукцию можно усилить, добиваясь выполнения в некоторой окрестности точки xq соотношения
Г(х) = 0.(16)
Во многих случаях, представляющих практический интерес, условие (16) выполнено автоматически. Например, если уравнение (2) линейно, то Im f = Im fz(xo). В системах дифференциальных уравнений, обладающих к первыми интегралами при 从=0, достаточно принять эти интегралы за новые переменные.
При учете равенства (16), система (12) упростится:
(17)(17)f(x0 + 文 + X*) + /<(хо + 文 + X*, 〃)= 0,
(17)
(17)
g*(xo + 文+ х*,〃)= 0.
В случае, если оператор 9g* (х0, 0) /9х* невырожден, х0 является простым корнем амплитудного уравнения. По теореме о неявной функции система (17) имеет в этом случае единственное решение для достаточно малых значений 从，этот же вывод справедлив для основного уравнения (1). Построению данного решения и сопутствующим оценкам посвящен следующий раздел.
Случай простого корня амплитудного уравнения. Построим итерационный процесс вида (5) для редуцированной системы (17). Для этого воспользуемся невырожденностью операторов
af(хо)/ а文 и 鬼* (хо, о)/ ах*.
Итерацию будем проводить в два шага:
значение x^+i С X определяем из первого уравнения (17), используя для этого оператор
戸，麻(Х。)「
Таким образом,
Хп+1 =文九 一 r(f(xo + 文九 + X*) + Mg(xo + xn +x*, 〃)).(18)
значение x*+1 e X* определяем из второго уравнения (17), используя оператор
尸二 rgg*(xo,O)j~1Ах* '
а также итерацию, вычисленную на первом этапе:
х*+1 = X* - r*g*(x0 + Xn+1 +x*,/z).(19)
Теорема 3. Итерационный процесс (18), (19) при начальных значениях х0 = 0, Xq = 0 сходится для значений |〃| < 〃(). Оценка величины 〃о скорости сходимости и погрешности может быть проведена на основе теоремы 1 и следствия из нее.
Заметим, что попытка применить одношаговый итерационный процесс, заменяя в правой части формулы (19) xn+i на хп, не привела бы к желаемому результату: при этом производная Зх^+^/З文九 не является исчезающе малой вместе с 〃.
Для проведения нужных оценок удобно представить итерационный оператор (5), определенный формулами (18), (19), в виде произведения
Р = Р2。Pi, Pi(x) = х - r(f(x) + 〃風х,从))，P2(x) = x - r*g*(x, 〃). (20)
Каждый из операторов Pi, Р2 отображает пространство X в себя, причем первый из них изменяет лишь компоненту х, а второй — лишь компоненту х*, т. е. Р*(х) = х*, Р?(х) = х. Поэтому сжатость оператора (20) с константой q эквивалентна сжатости Pi вдоль X и сжатости Р2 вдоль X*. Для выполнения этих свойств достаточно выполнения в шаре S соотношения
МР1/а文II，q, ||ap2/ax*|Kq.(21)
Мы не будем приводить подробных выкладок и громоздких общих оценок, так как на практике они оказываются весьма завышенными. Вместо этого покажем, как проводить эти оценки, на конкретных примерах.
Периодические решения квазилинейных дифференциальных уравнений. Задача о построении периодических решений уравнений (1) в случае, когда f — линейный дифференциальный оператор, широко известна в теории колебаний и механике. В данном разделе мы обсудим ее решение в наиболее типичных постановках.
1) Уравнение1) Уравнение
1) Уравнение
1) Уравнение
(22)(22)= 〃R(/, w, 〃)， R(w + 2тг) = R(w) aw
(22)
(22)
описывает динамику систем с одной степенью свободы, близких к консервативным. Здесь I, w — переменные «действие-угол» [9] для невозмущенной системы.
При 从=0 уравнение (22) допускает семейство решений / = const. Задача состоит в построении такого 2тг-периодического решения /M(w), которое при // —> 0 переходит в постоянную /о- В качестве X возьмем пространство Q непрерывно дифференцируемых 2тг-периодических функций, в качестве Y — пространство С。. Тогда
f(x) = " , g(x,〃)= —R(x(w), w,〃).aw
Оператор f линеен, поэтому f* = 0; его ядром X* является пространство постоянных функций, а трансверсальным подпространством X — пространство функций с нулевым средним. Аналогично Y* = X* U Y, Y = X U Y. Редуцированная система выглядит так:
质=。，泅=。, dw质=。，泅=。, dw(23)(23)
质=。，泅=。, dw
质=。，泅=。, dw
(23)
(23)
27r
〈R(x, w,心= j ] R(x(w), w, /z) dw, R = R — (R).
0
Амплитудное уравнение получим, переходя во втором уравнении (23) к пределу при // —> 0:
(24)(24)(^(/о, w, 0)) = 0.
(24)
(24)
Пусть /о — простой корень уравнения (24),
^(/0, w,0)\ =丛 * 0.
Операторы Pi,2 в формуле (20) примут вид
Р1(х)=〈力〉+〃] R(x, w, /z) dw, P2(x) = x — R^1(R(x, w, 〃)〉，(25)
где символом J обозначена та первообразная от функции с нулевым средним, которая также имеет нулевое среднее значение:
*W27rs
^(w) dw = ] ^(w) dw —厂 ] ds j ^(w) dw =оо 0
]^(w) dw + ； ] w^(w) dw. (26) оо
При выводе формулы (26) использовалась теорема об изменении порядка интегрирования в двойном интеграле.
Второе неравенство (21) примет вид
阳门1(%(力О,攸,0)%(力，仪,从))Y s
оно удовлетворяется в шаре радиуса г, если
\R^\M2r^q, |〈R厶闻 q〃)〉|，”2・(27)
Справедливость первого неравенства (21) зависит от выбора нормы в X. Использовании нормы Q или Со приводит к необходимости оценки интеграла, входящего в выражение для R
В итоге получаем
27r|〃|7И1，d 1%(力,仅,〃)1，"1.(28)
С другой стороны, заметим, что выражение (26) проще всего рассчитывать при помощи тригонометрических рядов: достаточно положить постоянную составляющую равной нулю, а коэффициенты при гармониках порядка s уменьшить в ±s раз (с соответствующей перестановкой). Это прозрачное наблюдение приводит к менее тривиальной идее о проверке сжатости оператора Р? в метрике пространства £2(0, 2тг], более слабой, нежели метрика исходного пространства Ci，Коль скоро такая сжатость будет показана, будет установлено существование неподвижной точки этого оператора. Некоторая техническая трудность состоит в необходимости доказательства утверждения, что эта неподвижная точка действительно определяет решение уравнения (22), поскольку интеграл (26) в пространстве £2(0, 2тг], понимается в смысле Лебега, а не Римана, как в пространстве С^. Это утверждение следует из того факта, что оператор U отображает 厶旧 2тг] в Со, поскольку, как известно, при почленном интегрировании сходящийся в среднем тригонометрический ряд Фурье переходит в равномерно сходящийся. Сумма такого ряда будет непрерывной функцией, поэтому интеграл Лебега тождествен интегралу Римана, откуда следует эквивалентность дифференциального уравнения (22) интегральному уравнению ж = Р(ж).
В пространстве L】подпространства X и X* ортогональны, что облегчает нужные оценки. Имеем в проекции на X при учете вышеприведенного замечания о характере отображения R:
||Р1(文/) — Pl(文〃)||，|M|||j(W，, w)-凤7,仅))也|Y
——/2r _—、1/2
< |/z| \\R(xf, w) — R(xff, w)|| = |/z| ( I (R(花w) — R@〃, w))2 dw )<
^|M|M1||x,-x,,||. (29)
Сравнение формул (28) и (29) показывает, что требование сжатости оператора R в норме 厶2 выполнено в интервале, длина которого в 2тг раз больше, нежели для нормы Со- Поэтому использование первой из норм предпочтительнее.
Первая итерация, позволяющая оценить радиус г шара S, имеет вид
Х1 = Р(ХО) = Р1(х0) - R」〈R(Pi(xo), w,〃)〉，力о = /о-
Следовательно,
||xi -х0||，|/z| \\R(xo,w,^\\ (1 + "1|R：1|) •(30)
Условиям теоремы 1 с константой q = 1/2 можно удовлетворить, если правая часть в (30) не превосходит 2г, причем
阳u1"2丁4；, ImI^i |.(31)
Задача о построении периодических решений квазилинейного дифференциального уравнения
ж + 幻2力 + 夕(力)+ ^g(t, ж, ж,从)=0,(32)
где функции д, g имеют период г = 2тг по переменной 力 сводится к стандартной форме (1), если принять за X, Y пространства &[0,丁] и Со[О? ^] периодических функций.
Следует различать два случая: резонансный, когда 幻 е N, и нерезонансный. Второй из случаев более прост, так как при этом к = 0. Он рассматривался в [10] в предположении g 三 0, и получена оценка на величину 〃, гарантирующая существование единственного решения уравнения (32).
Будем считать, что 幻 С N, а ряд Фурье для функции 夕(力)не содержит членов cosg力 и sin a;Z, и строить решения периода т. Для удобства анализа приведем уравнение (32) к нормальной форме, аналогичной (22). При 从=0 общее решение уравнения (32) имеет вид
力*(力。1,。2)=以%)+ Cl COSG力 +02 sinGh
以力)=— g(s) sinews — t) ds,
о
где Ci, (?2 — произвольные постоянные. Замена переменных по формулам
力=也(力)+ 力1 COSG力+ 力2 sino；力, 勿 =&(力)一力1gsing?力+ 力2gCOSG力(33)
приводит (32) к нормальной форме
Xl =从G1(力 Ж1,力2, 〃)， 勿2 =从^2(力力b 力2, 〃)，(34)
Gi = — sin 幻 X
X tg (力也(力)+ 力1 COS 3t + 力2 sin幻力 @(力)-幻力1 sin 3t + 幻力2 cos幻力从),
Ст2 =COS 幻 X
X tg (力也(力)+ 力1 COS 3t + 力2 sin幻力 @(力)-幻力1 sin 3t + 幻力2 COS幻力 从).
Система (34) отличается от (22) лишь удвоенным порядком. Для ее решения можно применить описанный выше алгоритм, считая I и R двумерными векторами, Ri — невырожденной матрицей (2 х 2). В формулах (25) х = (a?i,力2)丁・ Условия сходимости (31) остаются справедливыми.
В общем случае система квазилинейных уравнений порядка п может быть приведена [5] к нормальной форме вида
х = Ax + /zF(t,z,/z), А = diag(0@,B),
(35) xeR\ F(力+ 2тг)三 F(%),' 7
где Op — нулевая (р х р) — матрица, а матрица В размерности ((п — р) х (п — р)) такова, что уравнение у = By не имеет нетривиальных 2тг-периодических решений.
Для оператора f (х)=文一Ах ядром X* является пространство п-мерных вектор-функций вида (а, 0), где а е Rp — постоянный вектор, таким образом, X* = Rp. Пространство X состоит из 2тг-периодических вектор-функций, х = =(X]⑴，...,xn(t)), причем первыер компонент х^ имеют нулевое среднее, остальные —произвольны. Редуцированная система имеет вид
交—Ах — 〃Р = 0, F* = 0, F；=〈玲(力力(力),〃)〉，(36)
/* = 0, P = F —F* (j = l,...,p; i = p + ^...,n).
Оператор Pi(x) определяется как решение уравнения
(Pi(x))(Z)-A(Pi(x)) - 〃Р(力 х(%), 〃) = 0,
удовлетворяющее условию Р*(ж)=力*. Амплитудное уравнение выглядит так:
若依/0,0)=0 U =(37)
где х° = (а, 0).
Для простого корня уравнения (37) матрица Якоби
Ri = I田/*/分а引 g = L p)
невырождена. Это позволяет определить оператор Р? по формуле
Р2(х) = х — F*F*(t, х, /1), Г* = R」，
где вектор из Rp вкладывается в Rn естественным образом. Далее можно воспользоваться вышеприведенными результатами.
Пример. Уравнение ван дер Поля с малым периодическим возбуждением и малым трением можно записать в виде [13]
ж + 〃(力 2 — 1)ж + 力=〃/3 cos t,(38)
где /3 — некоторый параметр,从—малый параметр. В данном случае в (32)幻=1, 屮⑴=0, g = (ж2 — 1)ж — /3 cos t.
Замена переменных (33) выглядит так:
х = Xi cos ^ + а?2 sin t, 勿=—力1 sin 力 + 力2 cos 力.(39)
В итоге получаем систему в нормальной форме:
Ж1 = jig sinZ, 勿 2 = —〃geos 力.
Амплитудное уравнение (37) принимает вид
理'{g sin t) = 0, F；哩—{g cos t) = 0.
Отсюда получим следующую систему для определения констант 力?, eg в порождающем решении:
27r
R：=止][(* cos 力 + 碱 sin 力У — 1] (―* sin t + x^ cos 力)sin tdt = 0,
°(40)
Q 27r
R；=万一；][(* cos 力 + 力？ sin t^ — 1] (—* sin t-\- x^ cos 力)cos tdt = O. о
Умножим первое из уравнений (40) на eg, а второе — на ж? и вычтем их одно из другого. Тогда интеграл обратится в нуль, следовательно, при /3^0 необходимо * = 0. При выполнении этого условия первое уравнение (40) выполняется автоматически, а второе уравнение превращается в кубическое по отношению к 碱：
(41)(41)0 =；（喲З -唸
(41)
(41)
=干力в точках 士吃3^3，^=干力в точках 士吃3^3，^Функция /3(力g), определенная формулой (41), имеет экстремумы, равные /31,2 =
=干力в точках 士吃3^3，^
=干力в точках 士吃3^3，^
В интервале /3 е (/?i, /?2)уравнение (41) имеет три
действительных корня, а вне этого интервала — один такой корень.
Матрицу Г* найдем, обращая матрицу Якоби Ri = ||3尸1,2/3力?,2丨丨：
=diag{(*(*)2 厂心乳哂}
'°2 - 8/
(42)
Формула (42) вырождается при значениях 碱=±2, что соответствует величине /3 = 0 (возбуждение отсутствует), а также в вышеупомянутых точках экстремума. Для других значений параметра /3 амплитудное уравнение имеет простые корни (один или три).
Положим, в частности, /3 = —0,75,碱=1. Тогда
Pi(x°)=(0cos 力+ cos3 t)翼")山=Pi(x°)=(0cos 力+ cos3 t)翼")山=厶 ^(-2cos2% + cos4%)'
Pi(x°)=(0cos 力+ cos3 t)翼")山=
Pi(x°)=(0cos 力+ cos3 t)翼")山=
卜1 + ^ (2 sin 2力 + sin 4%),
(43)
Отметим, что значениям (43) отвечают такие выражения для исходных переменных:
ж = sin t — — cos 3力， ж = cos t + — sin ЗЛ
32'32
Далее,
х】=Р2 (Р1(х0)) =х-Г*х】=Р2 (Р1(х0)) =х-Г*(〈g@))sin»\\-(g(A(^°))cosZ)y(〈g@))sin»\\-(g(A(^°))cosZ)y= Р1(х°) += Р1(х°) +(4/96(从 2/512(4/96(从 2/512
х】=Р2 (Р1(х0)) =х-Г*
х】=Р2 (Р1(х0)) =х-Г*
(〈g@))sin»\
\-(g(A(^°))cosZ)y
(〈g@))sin»\
\-(g(A(^°))cosZ)y
= Р1(х°) +
= Р1(х°) +
(4/96
(从 2/512
(4/96
(从 2/512
что соответствует в исходных переменных функции
ж =ж =蟲）蟲）sin Z + — cos t -96sin Z + — cos t -96与cos 3九与cos 3九(44)(44)
ж =
ж =
蟲）
蟲）
sin Z + — cos t -96
sin Z + — cos t -96
与cos 3九
与cos 3九
(44)
(44)
По формулам (31) получаем оценку на область сходимости итераций 〃о = 0,1, при этом погрешность формулы (44) не превосходит 0,1〃.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 02-01-00520) и Минобразования РФ (грант ТОО-14.1-528).
Список литературы
Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. 1972. Т. 1. — М.: Наука,.
Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.
Шиманов С. Н. Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности // ПММ. 1957. Т. 21, Вып. 2. С. 244-252.
Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964. — 478 с.
Хейл Дснс. К. Колебания в нелинейных системах. — М.: Мир, 1966. — 230 с.
Hale J. К. Ordinary differential equations. - N.-Y. et al.: Wiley, 1969. — 332 p.
Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1977. - 256 с.
Вайнберг М. М.^ Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.— М.: Наука, 1969. — 527 с.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979.— 431 с.
Канторович Л. В.、Акилов Г. П. Функциональный анализ. 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1984. — 752 с.
Шварц Л. Анализ. 1972. Т. 2. — М.: Мир, — 528 с.
Каменков Г. В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова // Труды Ун-та дружбы народов. Теоретическая механика. 1966. Т. 15, Вып. 3.
Guckenheimer J., Holmes Р. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. 5-th printing. — N.Y. et al.: Springer Verlag, 1997.
14 Проблемы механики
ЭНДОХРОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИПРИ УЧЕТЕ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Ю. И. Кадашевич, С. П. Помыткин
Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительныхполимеров
Эндохронная теория пластичности при малых деформациях.
В работе [1] была предложена тензорно-параметрическая теория пластичности. Один из простейших ее вариантов имел вид
£订. +=62丁订• + 方/， 丁 =•
Здесь aij, £叮,丁叮—девиаторы тензора напряжений, тензора деформаций и вспомогательного параметрического тензора соответственно. На практике чаще всего используются определяющие уравнения в форме [2, 3]:
2G + 2G dr ~ dr g + a( 丿 2G，
где 0 < a < 1, G — модуль сдвига, г — аналог деформационного предела текучести. Интересен также и иной вариант эндохронной теории неупругости:
е 芻=т 芻 +(1 惠？ g f' ra = ^-^- PVa- (3)
Для всех типов уравнений (1)-(3) кривая «напряжение-деформация» при одноосном активном нагружении выходит на асимптоту
£ = (l + g)^—gT, g》。；丁》0・
Разъяснение эндохронных вариантов теории неупругости приведено в [5, 6], а, например, способ обобщения эндохронных уравнений на случай учета эффектов уплотнения описан в [7]. Различные вопросы, связанные с построением эндохронной теории для конечных (больших) деформаций изложены в работах авторов [7-16].
Переход к эндохронной теории пластичности для больших деформаций при жестком нагружении. Предлагается следующий подход к построению эндохронных вариантов теории неупругости, учитывающих конечные деформации. В основе подхода лежат следующие положения:
при малых деформациях теория должна переходить в классическую теорию эндохронного типа, например в (1);
в базовых простых нагружениях должен отсутствовать колебательный характер развития напряжений и деформаций;
тензоры напряжений и деформаций должны быть индифферентными (нейтральными);
определяющие соотношения должны удовлетворять принципу объективности.
Пусть задано векторное уравнение движения (здесь и далее используется безындексная форма записи тензоров, а верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования) ж =力(X,%), тогда известен градиент деформации F = ^^ и градиент скорости деформации L = FF-1. После этого находятся тензор скорости деформации О = (L + LT)/2 и спин W = (L — LT)/2. С использованием полярное разложение градиента деформации F = Ru и соотношения и2 = FTF, R = R"-\ вычисляются правый тензор удлинения ” и ортогональный тензор поворота R.
Введем понятия приведенных деформаций и напряжений по формулам
Е =兄丁£凡 Е = RT£>R; Г = В^аЩ
f = iToR; N = ^rR- N = ¥tR
и подставим эти выражения в определяющие уравнения эндохронной теории пластичности (2). В результате получим соотношения следующего вида (| • | = " • •):
r = D-(l- a)訪；府=应 _ (1 _ a)^.
При a = 1 соотношения (4) примут вид
©+= / + 囱及(5)
g十丄
На рис. 1 приведены результаты расчета напряжений при простом сдвиге по уравнениям (4) и (5). Расчеты проведены в безразмерном виде при 丁 = 1, g = 9, т = 9, т/2G = 1, a】=0,1, a? = 0,5, аз = 1.
Рис. 1
Полученные решения качественно отвечают имеющимся экспериментальным данным [17, 18]. Приведем простой пример. Если градиент деформации, например, 14*
задан в виде
/ a ad 0 \R= 0 6 0、О 0 с )/ a ad 0 \R= 0 6 0、О 0 с )а то D =£L^2bа то D =£L^2bа d2Г6КОа d2Г6КО/ cos 夕 a R =— sin з\ 0/ cos 夕 a R =— sin з\ 0sin夕cos夕Оsin夕cos夕ОО \О1/О \О1/
/ a ad 0 \
R= 0 6 0
、О 0 с )
/ a ad 0 \
R= 0 6 0
、О 0 с )
а то D =£L^
2b
а то D =£L^
2b
а d
2Г
6
К
О
а d
2Г
6
К
О
/ cos 夕 a R =— sin з
\ 0
/ cos 夕 a R =— sin з
\ 0
sin夕
cos夕
О
sin夕
cos夕
О
О \
О
1/
О \
О
1/
1 0 \о о0 0/1 0 \о о0 0// О
1 0 \
о о
0 0/
1 0 \
о о
0 0/
При этом tg g = а" и 口 =左兄丁 = 0—1
\ О
Эти формулы, соответствующие движению,
，力 1 = а(Х] + d Х2),〈力2 = 6X2,
№з = сХз,
позволяют вычислить скорость деформации при заданном градиенте деформации и, наоборот, восстановить параметры градиента деформации при частном задании тензора скорости деформации.
О мере деформации. Для уравнений теории неупругости при больших деформациях открытым остается вопрос о том, что понимать под тензором деформации % т. е. проблема определения меры деформации по-прежнему актуальна. Наиболее употребляемы в практических расчетах тензоры деформации типа
£=^^4 п = 0,1,2.(7)
Случай 几=0 отвечает мере Генки, п = 1 — линейной мере,几=2 — мере Грина. Более общая форма предложена Хиллом [19] на основе использования формулы Сильвестра [20]:
зз
£ = 〃")= £ 〃*)品=£ "%)П ^f^，
2 = 1i^k
3
BkBi = 0 (к * /)； ВкВк — Вк (к — /);^2 Вк — 1-
к=1
Здесь / — единичный тензор, А^ — главные значения тензора и.
£ = R^^DR) dt£ = R^^DR) dtАвторы в работе [8] фактически предложили альтернативную меру деформации в форме
£ = R^^DR) dt
£ = R^^DR) dt
陋(9)
Для простого сдвига задача нахождения меры деформации по различным подходам полностью решена.
Приведем некоторые результаты.
/ 1 2力 0 \
/ 0 1 0 \
Пусть F =
0 1 0
,тогда D =
1 0 0
и деформации, вычисленные
〈о о 1 丿
〈0 0 0 丿
по мере (9), определяются формулами
£11 = —£22 = cos2/3(2In cos/3) + sin20(2/3 — tg/3),
£12 = cos 2/3(2/3 — tg/3) — sin 2/3(2 In cos/3),力=tg/3.°"
А, например, согласно мере Грина [9] £ц = 0; £22 = 2力2; £^2 =力；по мере Генки [21]:
t In А2In A2
£11 = 7^，37mp
Al = 1, A2 = V^-h^" + 力 Аз = д/1 + # — t. Здесь использовано, что
& _x3 △入2[a2-(入2 + 入3)" + a2a3/],
笈2 =" △入["2-(Ai + 》3)" + Ai A3/],
笈3 -" △"1["2-(Al + 》2)" + AlA2/],
△ = (Al -x2)(入2 -入3)(入3 -%),
и =и =/ о 0 0 \31 =0 0 00 1// о 0 0 \31 =0 0 00 1/入2 + Аз入2 + Аз1"1 +广1"1 +广Vi + t2Vi + t21入2 + Аз1入2 + Аз/ Аз1\ 0/ Аз1\ 01 0 \入2 00 0/1 0 \入2 00 0/(入2—1\ 0(入2—1\ 0Vi + t2Vi + t21 + 2产"1 +广1 + 2产"1 +广-1 0 \Аз 00 0/-1 0 \Аз 00 0/0 '0 ，0 '0 ，。1/。1// 12 %0 \2力1 + 4产0\ 001 // 12 %0 \2力1 + 4产0\ 001 /1 + sin2 0cos 0—sin /31 + sin2 0cos 0—sin /3—sin /3 0—sin /3 0cos /3 0cos /3 0001 /001 /
и =
и =
/ о 0 0 \
31 =0 0 0
0 1/
/ о 0 0 \
31 =0 0 0
0 1/
入2 + Аз
入2 + Аз
1
"1 +广
1
"1 +广
Vi + t2
Vi + t2
1
入2 + Аз
1
入2 + Аз
/ Аз
1
\ 0
/ Аз
1
\ 0
1 0 \
入2 0
0 0/
1 0 \
入2 0
0 0/
(入2
—1
\ 0
(入2
—1
\ 0
Vi + t2
Vi + t2
1 + 2产
"1 +广
1 + 2产
"1 +广
-1 0 \
Аз 0
0 0/
-1 0 \
Аз 0
0 0/
0 '
0 ，
0 '
0 ，
。1/
。1/
/ 12 %0 \
2力1 + 4产0
\ 001 /
/ 12 %0 \
2力1 + 4产0
\ 001 /
1 + sin2 0cos 0
—sin /3
1 + sin2 0cos 0
—sin /3
—sin /3 0
—sin /3 0
cos /3 0
cos /3 0
001 /
001 /
0 \01/0 \01/11 +产11 +产1 0 \0 00 0/1 0 \0 00 0/
0 \
0
1/
0 \
0
1/
1
1 +产
1
1 +产
1 0 \
0 0
0 0/
1 0 \
0 0
0 0/
/ cos /3 sin /3
R =— sin /3 cos /3
\00
Ниже приводится таблица значений деформаций, вычисленных по некоторым мерам:
Таблица 1
Параметр
Мера (9)
Мера Генки
t
£11
£12
£11
£12
0,5
0,208
0,435
0,215
0,431
1,0
0,571
0,693
0,623
0,623
5,0
2,140
3,333
2,267
0,454
10,0
3,126
7,830
2,983
0,300
Таким образом, разные подходы действительно дают различные значения мер деформации. Ниже, в п. 7, будет намечен обобщенный подход к определению меры деформации.
. Распространение эндохронных вариантов теории неупругости на случай мягкого нагружения. В определяющие соотношения эндохронной теории (3) введем понятия приведенного тензора напряжений и деформаций по следующим формулам:
Еа =咫 eRs Тф = B^aRa, Nt = F^rRa, .= .= .= p(11)
品=碾£&, Ta =碾£&, N。=碾丁&,户=志一a 一 0垃
成.成.P — девиатор скоростей напряжений. Тогда
成.
成.
(12)
Задача ставится следующим образом. Пусть задана история изменения тензора напряжений, требуется определить изменение деформационного поля. Поступим так же, как и в п. 2. Зададим тензор скоростей напряжений Р, а значит в соответствии с (12) и сам тензор а. По аналогии с понятием градиента деформации введем формальное понятие градиента напряжения Fa, приводящего к заданному тензору скоростей напряжений Р =(厶^ + L；)/2, причем La = Fo-F"1. На основе градиента напряжений Fa, вычисляется тензор поворота Ra = £7 Tz】\ где 磋= =Fj Fa. В этих обозначениях определяющие соотношения теории (3) примут вид
(13)(13)(14)(14)|r| Е + Вт向= TN^k1\r\N,府=志—(1 —仍氏
(13)
(13)
(14)
(14)
при /3 = 1 имеем, что
\Р\ Е + 2GtE = тТ ^^ |Р| Г.
Пример. Рассмотрим задачу простого сдвига кубика с единичным ребром и наложенным объемным сжатием. При этом связь материальных Х〃 и пространственных координат 力£ материальной точки в этом случае может иметь вид (6).
Предполагаются три типа напряженного состояния (мягкое нагружение):
/ 0 г 0 \
/ г г 0 \
/ 0 г 0 \
p订=
г 0 0
г 0 0
г г 0
•(15)
〈0 0 0 丿
〈0 0 0 丿
〈0 0 0 丿
Пусть компоненты напряжений увеличиваются пропорционально. Требуется определить как деформационное поле, так и характер изменения параметров а, 6, с, d. Проводя соответствующие операции, можно получить для первого типа напряженного состояния
/ 1 2力 0、成=0 1 0/ 1 2力 0、成=0 1 01"1 + #1"1 + #一力0、1 оо 1/一力0、1 оо 1/
/ 1 2力 0、
成=0 1 0
/ 1 2力 0、
成=0 1 0
1
"1 + #
1
"1 + #
一力0、
1 о
о 1/
一力0、
1 о
о 1/
а для второго типа нагружения
/决2(决-1)0\
Fa=010
\001/
1，(级+ 1)2 + 4(е± —1)21，(级+ 1)2 + 4(е± —1)2/ 决+ 1/ 决+ 1-2(е± - 1)0-2(е± - 1)02(决-1) 0 \决+1001 /2(决-1) 0 \决+1001 /
1
，(级+ 1)2 + 4(е± —1)2
1
，(级+ 1)2 + 4(е± —1)2
/ 决+ 1
/ 决+ 1
-2(е± - 1)0
-2(е± - 1)0
2(决-1) 0 \
决+10
01 /
2(决-1) 0 \
决+10
01 /
На рис. 2, 3, 4 приведены результаты расчета значений tg 夕，а, 6 для нагружения (15) первого типа при Е = 10 МПа, 〃 = 0,25, то = 207 МПа, а = 1,1 + g = 0,5, tg(p = (ad)/(а + 6), Ti2 — заданное напряжение. Сравнив эти кривые с данными работы [17], можно сделать вывод о весьма удовлетворительном качественном совпадении результатов, причем от величины параметра эндохронности результаты расчетов зависят слабо.
скоростей обобщенной неупругой деформации, Lh = Rhuh, Rh = Fhu前.Введем приведенные величины по следующим формулам:
Nh = RJjtRh, Ен = R^eRh, Th = F^IjoRhi Nh = RJjtRh, ————=(16)
Ен = R^eRh, Th = R^cRh, M = s - (1 - a)訪.
После этого определяющие соотношения эндохронной теории (1) в этой постановке принимают вид
атЁн + |М| Ен = tNh + |М| 計^ NH.(17)
Отметим наиболее интересный случай, когда a —> 0. Тогда определяется вариант эндохронной теории пластичности, при котором появляется новая мера неупругой (пластической) деформации. Именно этот вариант авторы считают главным, хотя вычислительные трудности, возникающие при решении конкретных задач, будут серьезными. (Об этом будет сказано несколько позже.)
Наиболее удобная форма представления определяющих соотношений эндохронной теории неупругости. Для получения простых формул при решении конкретных задач жесткого и мягкого нагружения проведем в п. 2, 4, 5 операцию обратной свертки слева и справа по формуле R ( • ) Лт. Тогда получим следующие группы определяющих соотношений (для п. 2, 4, 5, соответственно):
|Г| 2G^aT2G = g^ar^T^ "°'
r = D-(l-a)^, r = D-(l-a)訪，
(18)
用 £ + /37a=(Г + tГ, cГ = R
产=^ —(If)%(1—好
(19)
|М| 2G+aT2G = g + ar + TM^
M = e - (1 - a) ^, M = г^,
(20)
при a = 1, /3 = 1 соотношения принимают вид
^2G^T2G = iJg£^TD^
(21)
|Р| £ + 2Gt6= (1 + g) \Р\ 訪 + ", G = Р、
(22)
M 2G +t 2G =〔丄 +丁帆 r = M. /5/5丄十g
(23)
Подчеркнем, что во всех вариантах теории рассматриваются девиаторы тензоров, причем используются следующие определения:
А = А + AQ - QA; a = ART,(24)
точка — дифференцирование по времени t.
Отметим, что уравнения теории (18) достаточно легко решаются при задании деформаций (жесткое нагружение), уравнения (19) — при мягком нагружении (заданы напряжения), а соотношения (20) — при заданных пластических деформациях. При этом возникает новая проблема — нахождение решения задачи, если заранее не указано, какой путь нагружения или деформирования будет рассмотрен.
Замечание 1. Введенное в п. 3 понятие меры деформации в виде (9) в новой форме записи выглядит как 6=0.
Замечание 2. Авторы уже подчеркивали, что вариант (18) целесообразно принимать при заданном пути деформирования, теорию (19) — при задании напряжений, а соотношения (20) — пути неупругого деформирования. Сказанное, конечно, не означает, что по указанным вариантам теории нельзя решать другие задачи сложного нагружения. На самом деле решение задач лишь усложняется. Надо предложить лишь приближенные методы решения. Авторы разработали несколько приемов решения любых задач сложного нагружения. Наиболее эффективным оказался следующий метод: для задач жесткого нагружения сначала надо решить систему соотношений (18) и в качестве первого приближения подставить решение задачи в другие типы соотношений. Если же задано мягкое нагружение, то сначала решается система уравнений (19), и, взяв решение в качестве первого приближения, переходят к решению систем (18) или (20).
Обобщенная форма задания меры деформации. Как было указано в п. 3, авторы предложили использовать в расчетах меру деформации в форме
g = Q ](QT0Q)dt QT (25) или в эквивалентной форме
g + £a一 口£ =0， (26) где Q = @QT, Q = Fu-1. Анализ показал, что такое представление вполне приемлемо для практических расчетов. Ниже будут рассмотрены способы расширения этой гипотезы.
Естественным обобщением гипотезы (25) является попытка уточнения либо ортогонального тензора Q, либо спина Q. Авторами были рассмотрены обе возможности.
До настоящего времени теория конечных деформаций развивалась по классическому направлению. Формулировалась некоторая мера деформации и вычислялось поведение составляющих деформации по той или иной теории пластичности при сложном нагружении. Более естественным является подход, когда уже на первом этапе выбор меры деформации зависит от имеющихся экспериментальных данных. Для этого надо расширить класс мер деформации, взяв, например, за основу меру, предложенную в работах [8, 9]. Первая гипотеза состояла в следующем: выбирался тензор Q в форме, предложенной в работе [22],
◊ = (27)
где / — единичный тензор,幻=，峭 + q + 竣，
公1g2
g1g3
/ 0
一"]
"2\
(—^3 一 ^2
K =
幻1
0
-^1 , Н =
公1g2
一з3 - а；з
N2g3
\ -"2
幻1
0 /
\幻1g3
N2g3
-^2 一 ^1
/
и рассматривались различные формы представления тензора К (т,幻。—скалярные величины):
1) ^l = mQ;(28)
3)3)2)2)/ Оk2—g0 1\/ Оk2—g0 1\-1 1、О -11 о丿-1 1、О -11 о丿(29)(29)-1 1 \/ -20—1+ 1 - cos No 11 1 / 3 \ 1-1 1 \/ -20—1+ 1 - cos No 11 1 / 3 \ 11 1、-2 11 -2丿1 1、-2 11 -2丿(30)(30)
3)
3)
2)
2)
/ О
k2—g0 1
\
/ О
k2—g0 1
\
-1 1、
О -1
1 о丿
-1 1、
О -1
1 о丿
(29)
(29)
-1 1 \/ -2
0—1+ 1 - cos No 1
1 1 / 3 \ 1
-1 1 \/ -2
0—1+ 1 - cos No 1
1 1 / 3 \ 1
1 1、
-2 1
1 -2丿
1 1、
-2 1
1 -2丿
(30)
(30)
Q = RQi, Q =左№ •
Процедура нахождения параметров mn^Q состоит в следующем. Из опытов на простой сдвиг выбираем ту меру, которая наилучшим образом отвечает опытным данным. Варианты 2) и 3) учитывают эффекты третьего порядка, когда при простом сдвиге изменяются все сдвиговые деформации 金⑵ £13, £23.
Однако существует и другой путь задания меры деформации: записать общую формулу для спина Q и найти соответствующую меру из решения уравнения (26). В литературе представлены различные формулы для спина. Наиболее известные из них: спин Яуманна [23], спин Грина-Нагди [24], спин Соверли-Ху, спин Фу [25]. Нам представляется наиболее удачным предложение работы [26]. В ней предлагается представление спина Q в форме Q = Q(F, L), где L — градиент скорости деформации. Следуя идеям работы [26], представим спин в форме
зП= £ h®Ci)BkDBi,зП= £ h®Ci)BkDBi,(31)(31)
з
П= £ h®Ci)BkDBi,
з
П= £ h®Ci)BkDBi,
(31)
(31)
(32)(32)%(》k, %) = —%(%,》k)・
(32)
(32)
Здесь, как и ранее, &, В( — базисные тензоры в формуле Сильвестра-Хилла [19, 20]. Предлагается на базе тензора Q решить дифференциальное уравнение (26) и найти широкий класс новых мер деформации. Подчеркнем, что мы решаем уравнение (26), не связывая решение с хорошо известным представлением Хилла [20]. Предложение (26), (31) является альтернативным, оно достаточно простое и удобное для расчетов.
В работах [8, 9, 13] приведены примеры расчетов, проведенных на основе обобщенной эндохронной теории пластичности. Как видно из формул (31), (32), спектр мер достаточно широк. Из каких же условий определять меру деформации? Авторы предлагают следующий простой метод. Осуществить опыты на простой сдвиг и по эндохронной теории (18)-(20) найти связь напряжений и деформаций по различным мерам и выбрать наилучшую, отвечающую данному материалу. Таким образом, выбор меры деформации диктуется экспериментальными данными по простому нагружению.
Приведем некоторые виды спинов, которые были апробированы при расчетах:
hki =弋 + Т — отвечает спину Яуманна [23];
hki = ；"” — отвечает спину Грина-Нагди [24];
f ~~— отвечает спину Генки [211. a?山(%/尤))-f ~~— отвечает спину Генки [211. a?山(%/尤))-& _ 2,
f ~~— отвечает спину Генки [211. a?山(%/尤))-
f ~~— отвечает спину Генки [211. a?山(%/尤))-
Замечание. Далеко не все известные меры деформации входят в класс мер, определяемых формулами (26), (31). Поэтому естественным расширением, при необходимости, будет обобщенная мера в форме
£ = N ^MTDMdt NT,
где N # М. Так, например, если M = F,aN = I,T。получим известную меру Грина [24].
Заключение. В работе предлагается новая эндохронная теория пластичности, учитывающая конечные деформации, — соотношения (18)-(20). Теория основана на новом понятии меры деформации (26), (31). Выбор меры деформации основан на анализе опытов на простой сдвиг: используется мера, наилучшим образом отвечающая экспериментальным данным.
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00229).
Список литературы
Кадашевич Ю. И., Михайлов А. Н. О теории пластичности, не имеющей поверхности текучести // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 3. С. 574—576.
Кадашевич Ю. И. О различных вариантах тензорно-линейных соотношений в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. — Л.: ЛГУ, 1967. №6. С. 39-45.
Valanis К. С. Fundamental consequences of new intrinsic time measure // Arch. Meeh. 1980. V. 32, № 2. P. 171-191.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ эндохронных вариантов теории пластичности для конечных деформаций // Науч. тр. II международ, семинара «Актуальные проблемы прочности» им. В. А. Лихачева. 5-9 октября 1998 г. — Старая Русса. Новгород, 1998. Т. 2. С. 154-158.
Кадашевич Ю. И., Мосолов А. Б. О соотношениях эндохронной теории пластичности с «новой» мерой внутреннего времени // Прикл. матем. и мех. 1990. Т. 54, Вып. 4. С. 689-694.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. О взаимосвязи теории пластичности, учитывающей микронапряжения, с эндохронной теорией пластичности // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 4. С. 99-105.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ эндохронных вариантов теории неупру- гости уплотняемых материалов // Механизмы деформации и разрушения перспективных материалов. Псков. 1999. Ч. IL С. 582-586.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Новые принципы составления определяющих уравнений эндохронной теории пластичности при конечных деформациях // Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства. — СПб.: СПбГТУРП, 1996. С. 124127.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Анализ сложного нагружения при конечных деформациях по эндохронной теории неупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. — М.: КМК, 1998. Вып. 59. С. 72-76.
Кадашевич Ю. 〃., Помыткин С. П. Эндохронная теория пластичности при конечных деформациях // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. -СПб.: СПбГАСУ, 1999. С. 89-92.
Кадашевич Ю. 〃., Помыткин С. П. Об одном методе решения задач сложного нагружения эндохронной теории пластичности при больших деформаций // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. — СПб: СПбГАСУ, 2000. С. 2931.
Кадашевич Ю. И.)Помыткин С. П. Особенности постановок задач сложного нагружения для основных вариантов эндохронной теории пластичности при конечных деформаций // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. - СПб: СПбГУ, 2000. С. 112-115.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Решение задач мягкого и жесткого нагружения при учете больших деформаций в эндохронных вариантах теории пластичности // Проблемы прочности и пластичности. — Нижний Новгород: ННГУ, 2000. Вып. 63. С. 30-35.
Кадашевич Ю. И.)Помыткин С. П. Постановка задач мягкого и жесткого нагружения для основных вариантов эндохронной теории пластичности при конечных деформациях // Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов. Витебск, 2000. Ч. I. С. 217-219.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Построение эндохронной теории пластичности, учитывающей конечные деформации, на основе понятия градиента неупругойдефор- мации // Сплавы с эффектом памяти формы и другие перспективные материалы. СПб, 2001. 4.L С. 270-272.
Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Роль меры деформации при построении эндохронных вариантов теории пластичности, учитывающей конечные деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физ.-мат. науки». 2001. № 12. С. 91-93.
Xia Z., Ellyin F. A finite elastoplastic constitutive formulation with new co-rotational stress-rate and strain-hardening rule // J. Appl. Meeh. 1995. V. 61, №4. P. 733-739.
Ninq J., Aifantis E. C. On anisotropic finite deformation plasticity // Acta Meeh. 1994. V. 106, № 1-2. P. 73-85.
Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Advances in Appl. Meeh. 1978. V. 18. P. 1-75.
Победря Б. E. Лекции по тензорному анализу. — M.: МГУ, 1986. — 264 с.
Hencky Н. Uber die Form des Elastizitats-gesetzes bei ideal elastischen stoffen // Z. Techn. Phys. 1928. B. 9. S. 214-247.
Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин.— М.: Наука (Физматлит), 1996. — 288 с.
Jaumann G. Geschlossenes System physikalischer und chemischer differenzial gesetze // Sitzber. Akad. Viss. Ila. Wien. 1911. B. 120. S. 385-530.
Rivlin R. S., Green A. E. Multipolar continuum mechanics // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1964. V. 17. P. 113-147.
Liangsen C., Xinghua Z., Minfu F. The simple shear oscillation and the restrictions to elastic-plastic constitutive relations // Appl. Math. Meeh. 1999. V. 20, №6. P. 593-603.
Xiao Я., Bruhns O., Meyers A. The choice of objective rates in finite elastoplasticity: general results on the uniqueness of the logarithmic rate // Proc. Royal. Soc. 2000. P. 18651882.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИИ БИФУРКАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙКОНСЕРВАТИВНЫХ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
А. В. Карапетян^ А. С. Кулешов
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
В предлагаемом обзоре излагаются методы исследования стационарных движений неголономных механических систем. Указанные методы развивают классические идеи Э. Дж. Рауса [1, 2], А. Пуанкаре [3] и А. М. Ляпунова [4, 5]. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.
Общие положения теории Рауса
Введение. Рассмотрим динамическую систему общего вида, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями
文=f (х) •(1)
Здесь х G X С Rn — n-мерный вектор фазовых переменных, х = dx/d力 t G G [0,+oo), f (x) G C1 : X —> Rn. В дальнейшем скалярное произведение двух n-мерных векторов а и b будем обозначать (а • Ь), а векторное произведение (при 几=3) обозначим [а х Ь].
Пусть х(力，х°) — решение уравнений (1) с начальными условиями х(0, х°)= =х° С X (момент времени 力=0 можно выбрать в качестве начального, поскольку уравнения (1) не зависят явно от времени). Это решение соответствует некоторому движению рассматриваемой системы, поэтому будем называть его движением x(Z, х°) системы.
Определение 1.1. Множество Х()С X называется инвариантным множеством системы, если х(力 х°) е Х()для всех 力》0 и произвольного х° е Xq.
Замечание 1.1. Если dimXo = 0, то Х()= {х0}, где х° G X — неподвижная точка системы (1) (f(x°) = 0), т.е. х(力,х°) = х° — установившееся движение системы.
Замечание 1.2. Если dimXo = d > 0, (d < п), то Xq = {х е X : cp0(x) = 0}, где ср0(х) е(?1：Х—> 国l". Движения на инвариантном множестве Xq удовлетворяют уравнениям
文=f (х) 1<ро(х)=О
и зависят от времени.
=0.=0.Замечание 7.3. [6]. Если множество {х G X : ср0(х) = 0} представляет собой инвариантное множество системы, то
=0.
=0.
' ах /Фо=о
Если выполняются последние соотношения и rank (0фо/0х)фо=о = п — d^ то множество {х С X : ср0(х) = 0} — инвариантное множество системы.
Определение 1.2. Функция U(х) G С1 : X —> R называется первым интегралом системы, если dU/dt = (grad U • f)三 0.
Определение 1.3. Компактное инвариантное множество Х()системы устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа £ существует положительное число 6 такое, что dist (х(力,х*), X。) < £ для всех 力》0 и произвольного х* С X, удовлетворяющего условию dist (х*, Xq) <6; в частности, установившееся движение х(力 х°) = х° устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа £ существует положительное число 6 такое, что ||х«,х*) — х°|| <£ для всех 力》0 и произвольного х* е X, удовлетворяющего условию ||х*—х°|| < 6; в противном случае Х()их0 — неустойчивые инвариантное множество и установившееся движение соответственно.
Здесь и далее dist (х, X。)= min ||х — у||; ||х|| — норма вектора х.
уеХо
Инвариантные множества. Рассмотрим динамическую систему (1) и предположим, что она допускает не зависящие от времени и дважды непрерывно дифференцируемые по входящим в них переменным первые интегралы
Uo(x) = Со, “(х) = С1,.. ., “(х) = 〃， (к <п - 1), (2)
где Со, Ci,. . . , с^ — произвольные постоянные. В дальнейшем совокупность первых интегралов “(х) = …，“(х) = 〃 будем обозначать U(x) = с (с С 处).
Будем говорить, что интеграл Uo(x) принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Xq С X для фиксированных значений первых интегралов U(x) = с, если Х()— максимальное связанное подмножество множества {х е X : St/o|u=c = 0} и b2Uo|u=c * 0 для любого х е Хо.
Между инвариантными множествами системы (1) и стационарными значениями одного из интегралов данной системы при фиксированных значениях постоянных других интегралов имеется соответствие, которое устанавливает
Теорема 1.1. [6]. Если один из интегралов системы принимает невырожденное стационарное значение при фиксированных значениях постоянных других интегралов на некотором множестве Xq, то Xq — инвариантное множество этой системы.
Доказательство этой и последующих теорем приведены в монографии [7] и статье [8].
Замечание 工/. Движения системы, лежащие на множестве Xq, зависят от времени и совпадают с установившимися, только если dimXo = 0. Тем не менее эти движения можно назвать стационарными, поскольку они доставляют одно и то же стационарное значение одному из интегралов системы при фиксированных значениях других интегралов.
Замечание 1.5. Инвариантное множество Xq, доставляющее интегралу Uq стационарное значение при фиксированных постоянных первых интегралов U = =с, зависит от этих постоянных. Это означает, что инвариантные множества Хо образуют некоторое семейство инвариантных множеств Хо(с). Что касается стационарных движений х°(%), лежащих на множестве Xq(c), то они, кроме того, зависят от начальных условий х°, принадлежащих этому множеству. Это означает, что стационарные движения х°(%,с,х°) образуют семейство размерности, не меньшей суммы числа произвольных и независимых для Xq(c) постоянных среди постоянных с интегралов U = с и числа произвольных начальных условий х° е ехо(с).
Замечание 1.6. Интеграл Uo(x) = со (даже при фиксированных значениях первых интегралов U = с) может принимать стационарные значения не только на множестве Xq, но, вообще говоря, и на других множествах Xi, Х2, . . . Множества Xi, Х2, • • • соответствуют одним и тем же значениям постоянных первых интегралов U(x), но, вообще говоря, различным значениям постоянной интеграла Uo(x). Эти множества также зависят от постоянных с и образуют некоторые семейства инвариантных множеств Xi(c), Х2(с),...
Замечание 1.7. Семейства инвариантных множеств
Хо(С),Х1(С),Х2(С),.・.
могут иметь различные размерности, а также (при некоторых значениях с*) общие точки. Такие точки называются точками бифуркации (по Пуанкаре). Объединение данных семейств Х(с) = Xq(c) U Xi(c) U Х2(с) U .. . представляет в пространстве X х 欣卜(х G X, с G 欣卜)некоторую самопересекающуюся поверхность (диаграмму Пуанкаре).
Будем говорить, что множество Х()С X доставляет функции Uo(x) при ограничениях U(x) = с локально строго минимальное (максимальное) значение, если Uo(Xo) = const и существует число 6〉0 такое, что для любых значений х, удовлетворяющих соотношениям
О < dist (х, Хо) < J, U(x) = const, выполняется неравенство
Uo(x) > Uo(Xo) (Uo(x) < Uo(Xo)).
Основной результат, касающийся устойчивости инвариантных множеств, дает Теорема 1.2. [9-11]. Если {компактное) множество Хо доставляет одному из первых интегралов системы локально строго минимальное или максимальное значение при фиксированных значениях постоянных других интегралов^ то Хо — (устойчивое) инвариантное множество этой системы.
Степень неустойчивости Пуанкаре. Функция Uo(x) имеет локально строгий минимум (не имеет даже нестрогого минимума) при фиксированных значениях с° первых интегралов U (х) = с на множестве Хо(С°) = {х е X : Фо(х)= =0}, где ср0(х) 6 С1 : X —> 剪黄，d = dimXo(c°), если вторая вариация функции G = Uo + (九• (U — с0)) положительно определена по отношению к вариациям отклонений фазовых переменных & = (0фо/0х)фо=о^х от этого множества (может принимать отрицательные значения в некоторой окрестности этого множества) на линейном многообразии 6U = 0:
J2G(Xo(co),Xo(c°))|(5u(xo(cO))=o > 0, V^： 0 < П^Н < 6
电(0 < П^П < 6) ： J2G(Xo(co),Xo(c°))|(5u(xo(cO))=o < 0]
(6 — некоторое положительное число). Эта вторая вариация может быть представлена в виде 1/2 (Qon • п), где n С 欣九一“一卜 и Qo — (п — d — k) х (п — d — k)— матрица (n = dimx, d = dimXo(c°), к = dimU). Индекс этой квадратичной формы называется степенью неустойчивости Пуанкаре: если степень неустойчивости Пуанкаре равна [не равна] нулю, то Uo(x) имеет локально строгий минимум [не имеет даже нестрогого минимума] при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на множестве Xq(c°).
Рассмотрим случай, когда dim Хо = 0, т. е. Х0(с) = {х°(с)}, где х°(с) — семейство стационарных движений системы (f(x°(c)) = 0). Пусть ± = Ьх = х — х°(с°), тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид
Здесь (• )о ~ (' )х=х0(с°)•
Теорема 1.3. [12] Ес厶"степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения х°(с°) нечетна и rank (Af/Ax)。= п — k, то это стационарное движение неустойчиво.
Отметим, что теорема 1.3 представляет собой модификацию одной из теорем Кельвина-Четаева [13-14].
Механические системы с симметрией
Инвариантные множества стационарных движений. В этом параграфе мы будем рассматривать консервативные механические системы с п степенями свободы, допускающие ^-параметрическую группу симметрий (k < п). Пусть V G Rn и г G М С Rm — квазискорости (в частности, импульсы или обобщенные скорости) и существенные координаты системы соответственно, М — конфигурационное пространство существенных координат; dim М，几.Данная механическая система допускает интеграл энергии
Uo(v, г) = ； (A(r)v • V)+ V(r) = c0(3)
и к нетеровых интегралов
U(v, г) = BT(r)v = с, (с е 处)，(4)
соответствующих группе симметрий.
Здесь А(г) е С2 — положительно определенная (п х п)-матрица кинетической энергии, V(r) G С2 : М —> R — потенциальная энергия системы, В(г) — (п х х А;)-матрица интегралов Нетер (B(r) е С2; rank В = к).
Согласно результатам предыдущего параграфа, критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы. Учитывая структуру интегралов (3) и (4), задачу отыскания стационарных движений можно решать в два этапа. Сначала можно найти минимум квадратичной по v функции (3) на линейном по V многообразии (4), рассматривая г как параметры (других критических значений функция (3) как функция переменных v иметь не может). Очевидно, этот минимум зависит от г и с; обозначим его И4(г). После определения функции VTc(r), которая называется эффективным потенциалом, задача поиска стационарных движений сводится к определению критических точек этой функции на конфигурационном многообразии М.
Найдем minl/()|u=c = VTc(r). Рассмотрим функцию
G = Uo —(九・(U —с)), где 九 С 欣卜一вектор неопределенных множителей Лагранжа, и выпишем условия ее минимума по переменным v при фиксированных постоянных с:
^=Av —В九=0, ^ = ~(BTv - с) = 0.(5)
Решая систему (5), находим
V = A-1B(BTA~1B)-1c = vc(r),(6)
忆(г)=『+ ； ((ВТаТВ)—% • с).(7)
Замечание 2.1. Если в некоторой точке г = г° имеем rank В(г°) < к, то исследование стационарных движений в окрестности точки г° конфигурационного пространства требует отдельного обсуждения (см. последний пункт этого параграфа) .
С помощью теоремы 1.1 легко доказывается
Теорема 2.1. [15,16]. Если эффективный потенциал принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Mq С М, то Мо — инвариантное множество в пространстве конфигураций М, а множество
No = Mo X {v е Rn : V = vc(r), г е Мо} С М х Rn(8)
—инвариантное множество в фазовом пространстве М х Rn.
Замечание 2.2. Множество Mq С М и соответствующее ему множество Nq С М х Rn зависят от параметров с. Эффективный потенциал может принимать стационарные значения при фиксированных значениях с не только на множестве Мо, но также и на других множествах Mi, М2,. .. Эти множества и соответствующие им множества Nq, Ni, N2,. . . также зависят от параметров с. Движения системы г = г⑴，v = v⑴，лежащие на множестве N, можно назвать стационарными, поскольку они доставляют стационарные значения интегралу энергии на фиксированных уровнях других первых интегралов.
Замечание 2.3. Если М = Rm, то для того чтобы найти инвариантные множества, нужно решить систему dWc/dr = 0. Если же М = {г е Rm :屮(г) = 0}, где 屮(г) е С1 : Rm —> 欣俏一从，从=dim M, то нужно решить систему dWc/dr = 0,屮(г)= =0, где И4(г) = Wc + (у •屮)и у — /z-мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Устойчивость инвариантных множеств стационарных движений. Теорема 2.2. [15, 16]. Если эффективный потенциал принимает локально строгий минимум при фиксированных значениях с° параметров с на некотором компактном множестве Mq(c°) С М, то Mq(c°) — устойчивое инвариантное в пространстве конфигураций множество^ a N0(c°) — устойчивое инвариантное в фазовом пространстве множество системы.
Теорема 2.2 следует из теоремы 1.2.
Рассмотрим случай, когда dimMq = 0, т.е. Мо(с) = {г°(с)}. Тогда (см. (8)) dim No = 0, т. е. N0(c) = {r°(c), v°(c)}, где v°(c) = v^(r°(c)) (см. (6)). Это означает, что система допускает стационарные движения г = r°, v = v°.
Уравнения движения системы, описываемой фазовыми переменными г и v, могут быть представлены в виде
г = F(r)v, V = f(r, v).(9)
Здесь F(r) G。1 — т х n-матрица и f(г, v) G С1 : М х Rn —> Rn, причем F(r°)v° = =0 и f(r°, v°) =0, поскольку {г°, V0} — стационарное движение системы (9).
Пусть х = г — г°, у = V — V0, тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид
(Ж)’(1。)
где So — (m + 几)х (m + п)-матрица вида
慢竺•(口)
\ 3r ^v / о
Из теоремы 1.3 следует
Теорема 2.3. [15, 16]. Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения нечетна ” rank So =几一к + 〃, то оно неустойчиво.
Отметим, что если М = Rm, то 〃 = ттг (см. замечание 2.3).
Замечание 2./. Инвариантные множества Nj(с°) и Nj(c°), (г * j) изолированы одно от другого, если и только если множества Mj(c°) и Mj(c°) изолированы одно от другого (см. (8)).
Замечание 2.5. Индекс второй вариации интеграла энергии на линейном многообразии 6U = 0 равен индексу второй вариации эффективного потенциала. Поэтому степень неустойчивости Пуанкаре инвариантного множества Nq(c°) равна ind J2VTf (М0(с0)), где г е М.
Замечание 2.6. Инвариантные множества Nq(c), Ni(c), N2(c), . .. могут быть представлены в пространстве Rn х М х Rfc, (v G Rn, г е М, с е 欣卜)как некоторые поверхности. Инвариантные (в пространстве конфигураций) множества Mq(c), Mi (с), М2 (с),. . . аналогично могут быть представлены в пространстве М х 处(re М, с е 处).Согласно замечаниям 2.4 и 2.5, последние поверхности можно рассматривать как диаграммы Пуанкаре.
Замечание 2.7. Согласно определению эффективного потенциала
忆(г)，Uo(v,r) = с0,
где со — постоянная интеграла энергии. Поэтому неравенство И4(г)，со определяет в пространстве конфигураций область возможности движения при данных значениях с постоянных первых интегралов и данного значения со интеграла энергии. Топологический тип этих областей изменяется на поверхностях (с, со) С е Е, где Е = Ео U Ei U Е2 U ..
^s = {(с, с。)е 欣卜 х 欣：j = cOs(c) = VHc(Ms(c))} (s = 0,1, 2,...).
Для консервативных систем с симметрией [17,18] все точки пространства (с, со) инвариантны. Поверхность Е в пространстве (с, со) представляет собой диаграмму Смейла [17].
О построении эффективного потенциала в сингулярных случаях. Очевидно, что эффективный потенциал (7) определен только для таких точек конфигурационного пространства, в которых rank В (г) = к. Если в некоторой точке г = г° имеем rank В(г°) < к, то матрица ВТА-1В не является обратимой в точке г°, поскольку
det (ВТ(г°)АТ(г°)В(г°)) = 0.
Тем не менее в некоторых случаях удается определить эффективный потенциал и в этих точках, так как в этих точках константы с нетеровых интегралов могут быть не произвольны [19].
Предположим, что имеется точка конфигурационного пространства, в которой rank В (г) = k — 1. Без ограничения общности предположим, что
rank В (0) = к — 1, rank В (г) = к Vr : 0 < ||г|| < р,
где р — некоторое положительное число.
Более того, не ограничивая общности, мы можем рассмотреть случай, когда к = 2, т. е. В = (bi, b2), где bi и b2 — n-мерные векторы, зависящие от г, и считать, что
bl = b(r) + Bl (г), b2 = b(r) + p2(r),
阮(。)=02(。)， bi(r)次 Ab2(r) Vr : 0 < ||r|| < p.
В этом случае линейные интегралы (4) будут иметь вид (bi(r)・v) = ki, (b2(r) • V)= А,(12)
где 航 и А — произвольные константы Vr : 0 < ||r|| < р 0 k\ = к? = к при г = 0.
Для построения эффективного потенциала Wk1,k2 ПРИ 自 * 卜2 нам нужно найти минимум функции (3) по переменным v на фиксированных уровнях интегралов (12). Для этого мы должны решить систему уравнений
(13)(13)Av — Aibi 一 A2b2 — 0
(13)
(13)
относительно переменных v. Здесь Ai и А? — множители Лагранжа. Разрешая систему (13) относительно v,
V = AiA-1bi + AzA-ibz,V = AiA-1bi + AzA-ibz,(14)(14)
V = AiA-1bi + AzA-ibz,
V = AiA-1bi + AzA-ibz,
(14)
(14)
и подставляя полученное выражение в интегралы (12), находим, что
+e12入2 =自，ЦДе Cij = Cij (г) = (A 1 bj • bg) = q・£(r).Разрешая систему (15) относительно выражения:+e12入2 =自，ЦДе Cij = Cij (г) = (A 1 bj • bg) = q・£(r).Разрешая систему (15) относительно выражения:021% + e22入2 =k2,021% + e22入2 =k2,(15)(15)Ai и А?, получим для них следующиеAi и А?, получим для них следующиеAi =Ai =С22kl — Cl2k2С22kl — Cl2k2СцС22 - Ci2 'СцС22 - Ci2 '》2 =》2 =Cl*2 — Cl2klCl*2 — Cl2klСцС22 - С12СцС22 - С12(16)(16)
+e12入2 =自，
ЦДе Cij = Cij (г) = (A 1 bj • bg) = q・£(r).
Разрешая систему (15) относительно выражения:
+e12入2 =自，
ЦДе Cij = Cij (г) = (A 1 bj • bg) = q・£(r).
Разрешая систему (15) относительно выражения:
021% + e22入2 =k2,
021% + e22入2 =k2,
(15)
(15)
Ai и А?, получим для них следующие
Ai и А?, получим для них следующие
Ai =
Ai =
С22kl — Cl2k2
С22kl — Cl2k2
СцС22 - Ci2 '
СцС22 - Ci2 '
》2 =
》2 =
Cl*2 — Cl2kl
Cl*2 — Cl2kl
СцС22 - С12
СцС22 - С12
(16)
(16)
Таким образом, учитывая (14) и (16), получаем, что
C22kl — Cl2k2C22kl — Cl2k2ATbi +ATbi +e11k2 - Cl2kle11k2 - Cl2klСцС22 — Ci2СцС22 — Ci2A-Xb2,A-Xb2,(17)(17)
C22kl — Cl2k2
C22kl — Cl2k2
ATbi +
ATbi +
e11k2 - Cl2kl
e11k2 - Cl2kl
СцС22 — Ci2
СцС22 — Ci2
A-Xb2,
A-Xb2,
(17)
(17)
(18)(18)e22 届一2c12也к2 + Cll 痣 + у
(18)
(18)
2(СЦС22 — С；2)
Очевидно, что соотношения (17) и (18) эквивалентны соответствующим соотношениям (6) и (7). Более того, если ki * 卜2, то г * 0 и СЦС22 — с?2〉。(по крайней мере, в области 0 < ||г|| < р).
Рассмотрим теперь случай ki =卜2 = к, который соответствует значению г = 0. Тогда
TTZ 7 2c22 — 2。12 + С11
2(~с「・
Заметим, что。叮(1*) = с(г) + &式「)，где &式0) = 0, т. е. (см. (19))
л ==311022 -矗
C(311 + 方22 — 2312)
Если найдется функция d(r) такая, что существует значение d(0) и существует предел lim(J(r)/d(r)) = 1, то положим гтО
Wk,к =Wk,к =2с(1 + d)2с(1 + d)+ к+ к(20)(20)
Wk,к =
Wk,к =
2с(1 + d)
2с(1 + d)
+ к
+ к
(20)
(20)
Таким образом, эффективный потенциал имеет вид (18) для всех 任 * А и вид (20) при 自=期=卜 в замкнутой области ||г|| < р конфигурационного пространства (при условии, что существует функция d(r), обладающая указанными выше свойствами).
Стационарные движения шара на абсолютношероховатой плоскости
Предварительные замечания. Теория, изложенная в первых двух параграфах, согласно которой критическим (экстремальным) значениям одного из интегралов системы при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают (устойчивые) действительные движения системы (которые называются стационарными), применима к любым динамическим системам, в том числе к неголономным. При этом предполагается, что уравнения движения могут быть представлены в виде (1), а первые интегралы имеют вид (2).
Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности [14, 20]. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф) ,Воронца, Больцмана-Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1), а сами первые интегралы примут вид (2).
Проиллюстрируем изложенные выше соображения на примере исследования задачи о стационарных движениях неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости [20-22].
Постановка задачи. Пусть т — масса шара, 4 и 4 — его экваториальный и осевой центральные моменты инерции, г — радиус, а — расстояние от центра масс шара до геометрического центра ng — ускорение свободного падения. Скорость центра масс шара обозначим через v, а его угловую скорость — через ш. Обозначим также единичный вектор восходящей вертикали и единичный вектор оси симметрии шара через у и ез соответственно.
Уравнения движения шара, отнесенные к его главным центральным осям инер
ции, можно представить в виде
mv + [® х mv] = —mgy + R,(21)
0® + [® х 0ш] = [р х R],(22)
у+ [® х у] = 0,(23)
V + [о х р] = 0.(24)
Уравнения (21) и (22) выражают соответственно законы изменения импульса и кинетического момента шара, уравнение (23) — условие постоянства вектора у в инерциальной системе отсчета, а уравнение (24) — условие отсутствия скольжения шара. Здесь R — реакция опорной плоскости, 0 = diag (Ai, Ai, A3)— центральный тензор инерции шара и р = (—т)ь — 丁)2, — ^7з + а)——радиус-вектор точки касания шара с горизонтальной плоскостью по отношению к его центру масс.
Система (21)-(24) допускает четыре первых интеграла [19-22]
2Uo = mv2 + (® • 0®) — 2mga (у • е3) = 2с0,(25)
“ =(0®• (у - ^е3)) = ci,(26)
U2 = /(® • е3) = с2,(27)
5 = d = 1(28)
(интеграл энергии (25), интеграл Желле (26), интеграл Чаплыгина (27) и геометрический интеграл (28)).
Здесь со, ci и С2 — произвольные константы, а через / обозначено выражение
/ = [&4з + пгг2(4 (1 - 7з) + А3(7з 一。/丁力]，，7з =(¥ • ез) •
Геометрический интеграл (28) можно рассматривать как конфигурационное пространство существенных координат у G S2, где S2 — двумерная сфера, называемая сферой Пуассона. Таким образом, система уравнений (21)-(24) имеет интеграл энергии (25) и два линейных (относительно квазискоростей ®) первых интеграла (26) и (27).
Очевидно, выражение полной энергии шара Uo содержит переменную v, которую можно исключить с помощью уравнения (24). При этом функция Uq примет вид
2Uo = m([® х р])2 + (ш • 0®) — 2mga\j • е3) = 2с0(29)
и будет зависеть, как и интегралы (26)-(28), только от переменных ® и у. Таким образом, выражения (26)-(28) и (29) представляют собой первые интегралы уравнений движения шара вида
0®+ [® х 0ш] + т[р х [® х р]] + т[р х [ш х [ш х р]]]=
=mg[p х у] - т[р х [® х р]],(30)
+ + [о х у] = 0.
Первое уравнение системы (30) получается из уравнения (22), если из (22) исключить реакцию R с помощью уравнений (21), (24), а также соотношения
V + [® х р ] + [ш х р ] = 0,
которое получается из (24) дифференцированием по времени.
Система уравнений (30) замкнута относительно переменных ® и у, имеет вид (1), допускает квадратичный первый интеграл (29) вида (3) и два линейных первых интеграла (26)-(27) вида (4). Следовательно, при изучении стационарных движений этой системы можно использовать теорию, изложенную в первых двух параграфах настоящего обзора.
Построение эффективного потенциала. Согласно теории, изложенной в предыдущем параграфе, исследование условий существования и устойчивости стационарных движений неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой плоскости сводится к исследованию эффективного потенциала данной системы. Для его построения мы должны найти минимум выражения (29) по переменным ш на фиксированных уровнях интегралов Желле (26) и Чаплыгина (27).
Заметим, что данные интегралы зависимы на полюсах Р± (73 = ±1) сферы Пуассона S2. Действительно, если обозначить 伤 и * (£ = 1,2,3) проекции векторов ® и у на главные центральные оси инерции шара, то интегралы (26) и (27) можно записать в виде
“ =41 (幻171 + 幻272) + 斗3幻3(7з - a/丁)=
U2 = [&4з + 皿戸U2 = [&4з + 皿戸-а/т)2)] g3 三 /g3 = 02・-а/т)2)] g3 三 /g3 = 02・
U2 = [&4з + 皿戸
U2 = [&4з + 皿戸
-а/т)2)] g3 三 /g3 = 02・
-а/т)2)] g3 三 /g3 = 02・
Таким образом, для полюсов Р± (71 = 72 — 0, 7з — =Ы) имеем “ =4з (±1 - а") "з = ci, 5 = /±幻3 =。2,
и поэтомуи поэтому/± = [44 + тМ4з (±1 一 а/刃 / ,/±С1 = Аз (±1 - а") С2.
и поэтому
и поэтому
В соответствии с теорией, изложенной в предыдущем параграфе, если
/±5 * 人(±1 - а") с2,
то эффективный потенциал имеет вид
%,С2(73)=%,С2(73)=(/ci 一 人(7з - а/т) С2У2厶；厶3 (1 - 7з)(/ci 一 人(7з - а/т) С2У2厶；厶3 (1 - 7з)-rnga^.-rnga^.(31)(31)
%,С2(73)=
%,С2(73)=
(/ci 一 人(7з - а/т) С2У2厶；厶3 (1 - 7з)
(/ci 一 人(7з - а/т) С2У2厶；厶3 (1 - 7з)
-rnga^.
-rnga^.
(31)
(31)
Если
°2= 4 (—")=*,
то эффективный потенциал имеет вид
% ,e2 + (7з)=% ,e2 + (7з)=2人(1 + 7з) (1 - £) (О - £) / + ()3 - £) /+)2人(1 + 7з) (1 - £) (О - £) / + ()3 - £) /+)
% ,e2 + (7з)=
% ,e2 + (7з)=
2人(1 + 7з) (1 - £) (О - £) / + ()3 - £) /+)
2人(1 + 7з) (1 - £) (О - £) / + ()3 - £) /+)
Аналогично, еслиАналогично, если_ I-C1°2 Аз (1 + &1吟_ I-C1°2 Аз (1 + &1吟С2-,С2-,
Аналогично, если
Аналогично, если
_ I-C1
°2 Аз (1 + &1吟
_ I-C1
°2 Аз (1 + &1吟
С2-,
С2-,
то эффективный потенциал имеет вид
忆华一（73）=忆华一（73）=(1 + 7з)(1 + 7з)2aН- 7з2aН- 7з+ "(1+穿(1-+ "(1+穿(1-24(1 —тз)(1+/) ((l+力-24(1 —тз)(1+/) ((l+力--mga^. (33)-mga^. (33)
忆华一（73）=
忆华一（73）=
(1 + 7з)
(1 + 7з)
2a
Н- 7з
2a
Н- 7з
+ "(1+穿(1-
+ "(1+穿(1-
24(1 —тз)(1+/) ((l+力-
24(1 —тз)(1+/) ((l+力-
-mga^. (33)
-mga^. (33)
Стационарные движения шара. Очевидно, функция (32) не имеет особенностей в окрестности полюса Р+ сферы Пуассона. Аналогично, функция (33) не имеет особенностей в окрестности полюса Р_. Эти полюса соответствуют перманентным вращениям
71 = 72 = о, 7з = ±1,71 = 72 = о, 7з = ±1,幻1 =幻2 = 0, 以з -g± —幻1 =幻2 = 0, 以з -g± —С1С1Аз (±1 — а/т)'Аз (±1 — а/т)'v = 0 (34)v = 0 (34)
71 = 72 = о, 7з = ±1,
71 = 72 = о, 7з = ±1,
幻1 =幻2 = 0, 以з -g± —
幻1 =幻2 = 0, 以з -g± —
С1
С1
Аз (±1 — а/т)'
Аз (±1 — а/т)'
v = 0 (34)
v = 0 (34)
шара вокруг его вертикально расположенной оси динамической симметрии.
Если 7з = +1, то центр масс шара занимает наинизшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия
dVK：i,c2+(7з)d)3dVK：i,c2+(7з)d)3< О)з=+1< О)з=+1(>0),(>0),
dVK：i,c2+(7з)d)3
dVK：i,c2+(7з)d)3
< О
)з=+1
< О
)з=+1
(>0),
(>0),
т. е. когда выполняется неравенство
(Аз + тг (г — а))? с； + ^mgaA^ (1 — a/rf(4 + m (г — а), > 0 (< 0).
Очевидно, что данное неравенство выполнено при любом значении ci константы интеграла (26). Таким образом, перманентные вращения шара с наинизшим расположением центра масс всегда устойчивы.
Если 7з = —1, то центр масс шара занимает наивысшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия
dVKciq—(7з)d)3dVKciq—(7з)d)3>0 (<0),>0 (<0),
dVKciq—(7з)d)3
dVKciq—(7з)d)3
>0 (<0),
>0 (<0),
т. е. когда выполняется неравенство
(Аз + тг (г + а))? с； — ^mgaA^ (1 + a/丁尸(4 + m (г + а), > 0 (< 0).(35)
Неравенство (35) представляет собой условие устойчивости перманентных вращений шара с наивысшим расположением центра масс.
При произвольных значениях постоянных интегралов Желле и Чаплыгина система уравнений (21)-(24) имеет также двухпараметрическое семейство решений
(36)(36)^1 = ^71, 幻2 =幻)2, G3 = GCOsH + a,71 + 72 = 1 - 7з = sin2 牝 7з = cos 牝
(36)
(36)
где постоянные а; и Q находятся из системы уравнений
4幻 sin2 Н + 4 (cosН — a/丁)(幻 cosH + 口)= q, /少(幻 cosH + 口)=實,
а угол Н — из уравненияа угол Н — из уравненияdWWdWWЗдесь введены следующие обозначения:Здесь введены следующие обозначения:W") = %,С2(73)I)3=COS 少W") = %,С2(73)I)3=COS 少(Цс1 — Аз (cos# — a/r) С2)22А1 A3 sin2 ”(Цс1 — Аз (cos# — a/r) С2)22А1 A3 sin2 ”(37)mga cos ^,(37)mga cos ^,
а угол Н — из уравнения
а угол Н — из уравнения
dWW
dWW
Здесь введены следующие обозначения:
Здесь введены следующие обозначения:
W") = %,С2(73)I)3=COS 少
W") = %,С2(73)I)3=COS 少
(Цс1 — Аз (cos# — a/r) С2)22А1 A3 sin2 ”
(Цс1 — Аз (cos# — a/r) С2)22А1 A3 sin2 ”
(37)
mga cos ^,
(37)
mga cos ^,
Ъ =/|73=COS?? = [^Мз + пгг2 (^Aisin2^ +A3(cos^-a/r)2^ 1 .
Решениям уравнения (37) отвечают параллели
办—(71 + ?2 — sin?牝 7з = cos Н)
сферы Пуассона, а решениям (36) — регулярные прецессии шара: шар вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси динамической симметрии, которая, в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью 幻 вокруг вертикали; при этом угол между осью динамической симметрии и вертикалью постоянно равен Н = arccos 7з, Точки минимума (максимума) эффективного потенциала W(^) соответствуют устойчивым (неустойчивым) регулярным прецессиям шара.
Исследование регулярных прецессий шара. Уравнение (37) в явном виде записывается следующим образом:
R") = Qi (cos Н -力з) #2 - Д?Р1) х
，/1с、COS" + 力2(COS"—力з) (1 —力3 COS\• 4 с
X I (1 -03 COS 夕2^———21 丿 -Sin 也
/少=/少/41 = 力1 + 力2 sin H + 力1力2 (cos H -力3)•
Здесь введены следующие обозначения:
xi = 4/4 е (0,2),力2 =皿户/41,力з =。/丁 е (0,1)
—безразмерные параметры;
/ = c^/^mgaAr , р2 = c^/^mgaA^
—безразмерные постоянные первых интегралов.
Уравнение
F^) = 0(38)
представляет собой условие существования регулярных прецессий шара вида (36). Данное уравнение детально рассматривалось в работах [21-22]. Приведем здесь некоторые его свойства.
Очевидно, что при каждом фиксированном Н уравнение (38) задает некоторую кривую второго порядка. Анализ ее инвариантов показывает, что при любом Н * тгк (где к — целое число) эта кривая представляет собой гиперболу,
а при Н = тгк — прямую. В зависимости от того, является к четным или нечетным, эта прямая соответствует одному из однопараметрических решений системы (30), которые, в свою очередь, отвечают перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии (с наинизшим расположением центра масс при k = 0 и k — четном и с наивысшим расположением центра масс при к — нечетном).
Кроме того, в работах [21, 22] с помощью компьютерной программы MAPLE в пространстве переменных pi, р2 и ^ была построена поверхность, задаваемая уравнением (38) при фиксированных значениях параметров 力i,力2 以力з, а также
некоторые характерные сечения этой поверхности
плоскостями @2 =仇，где постоянная / может принимать различные значения.
На рис. 1 при Ж1 = 1,5,力2 = 5,力з = 0,9 представлено сечение этой поверхности
плоскостью
，力 1 + Ж1Ж2 (1 + Жз)2
Прямая, полученная в этом сечении, соответствует перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии при наивысшем расположении центра масс. Видно, как от этой прямой ответвляются устойчивые регулярные прецессии шара.
Стационарные движения неголономных системЧаплыгина. Общая теория
Системы Чаплыгина. Рассмотрим консервативную механическую систему, положение которой определяется (几 + 〃) обобщенными координатами z = =(zi,.. ., Zn+〃)T , а обобщенные скорости z = (ii,.. ., zn^^)T стеснены 〃 неин- тегрируемыми соотношениями вида
N(z) z = 0,(39)
где N(z) — 〃 х (几 + 1/)-матрица (N(z) e C1, rank N = 〃). Такая система является неголономной и ее движение можно описать уравнениями Лагранжа первого рода: @好=好一叱+m九 dt 3它3z 3z
Здесь 2T = (A(z) z • z) — кинетическая энергия, V = V(z) — потенциальная энергия (A(z) е С2,『(z) е С2),九 е 欣"一неопределенные множители Лагранжа. Система (39), (40) замкнута относительно переменных z, X и допускает интеграл энергии
Т + V = const.
Разрешая уравнения неголономных связей (39) относительно каких-либо 〃 обобщенных скоростей, что всегда можно сделать, поскольку rankN = 〃，представим эти уравнения в виде
у = М(х,у)х,(41)
где х = (а?1, . . . , жп)Т, у = (gi, . . . , д〃)т. Будем называть обобщенные скорости х независимыми, а обобщенные скорости у — зависимыми только потому, что у выражаются через х с помощью соотношений (41), понимая чистую условность такого определения. Относительно (〃 х п)-матрицы М(х, у) будем предполагать, что она непрерывно дифференцируема по входящим в нее обобщенным координатам.
Предположим теперь, что кинетическая энергия Т, потенциальная энергия V, и матрица М неголономных связей, разрешенных относительно части обобщенных скоростей, не зависят от обобщенных координат, соответствующих этим скоростям (т.е. дТ/ду = 0, dV/ду = 0, ЗМ/Зу = 0). Такие неголономные системы называются системами Чаплыгина и наиболее часто встречаются в приложениях. При этом уравнения движения таких систем можно представить в виде уравнений Чаплыгина [23]
У = М(х)х, (42)
К F——万—+(°x) x. (43) at ax ax ax
Здесь 2T* = (0(x)x • x) = 2T(42)— результат исключения зависимых обобщенных скоростей у из кинетической энергии Т с помощью соотношений (42), а П = =Q(x) представляет собой (n х п х п)-тензор вида
= ^ijh - ( g/ g/ I"
£,/, % = 1,...,几, 死=1,..., 〃,
(42)
где m^i — элементы матрицы М(х); по повторяющимся индексам предполагается суммирование в соответствующих пределах.
Уравнения (43) замкнуты относительно переменных х и допускают интеграл энергии
(44)(44)T* + 卜=const.
(44)
(44)
Следовательно, эти уравнения можно рассматривать независимо от уравнений неголономных связей (42), которые служат для определения переменных у, как уравнения движения механической системы с п степенями свободы, определяемой обобщенными координатами х, кинетической энергией Т* и находящейся под действием потенциальных сил, производных от потенциальной энергии V и гироскопических сил (Qx) х (заметим, что xT(Qx) х = 3切卜笈i笈j笈h = 0, так как 幻叮九= =—幻^九).Наличие этих сил вызвано существованием неинтегрируемых связей в данной системе, поэтому слагаемые (Qx)x в уравнениях (43) будем называть членами неголономности.
Установившиеся движения. Предположим, что кинетическая энергия системы, вычисленная с учетом неголономных связей (т. е. Т*), потенциальная энергия V и коэффициенты членов неголономности Q не зависят от некоторых из обобщенных координат х. Обозначим эти координаты через s, а остальные — через г. Другими словами, предположим, что
ат*Asат*As0 叱=0 也=00 叱=0 也=0(45)(45)
ат*
As
ат*
As
0 叱=0 也=0
0 叱=0 也=0
(45)
(45)
т. е. s = ($1,.. ., $俏)丁 — псевдоциклические [7, 24], а г = (ri,. .. , г^)т (m -\- k = п) — позиционные координаты системы (43). При этом коэффициенты неголономных связей (т. е. элементы матрицы М) могут зависеть от псевдоцик- лических координат s.
Разобьем матрицу 0 и тензор Q на соответствующие блоки:
о: ®“, ^rs = ®б「，®бб； а • а「гб,а「бг — 一口^尸а「бб — 一口^?^，a^ss
(индекс т означает «транспонирование» соответствующего трехиндексного тензора по первым двум индексам), и предположим, что, кроме условий (45), выполняются условия
必66 = 0,(46)
где 0 — нулевой (m х m х т)-тензор.
При выполнении условий (45)-(46) уравнения (43) допускают решения вида г = const, s = const, если (к + ттг) постоянных г и s удовлетворяют системе к уравнений
^ [； (®ss(r) s • s)] + (J(r) S"—祭=0.(47)
Следовательно, при указанных условиях уравнения (43) допускают т-параме- трическое семейство установившихся решений
г = г()(о), г = 0, s = S°(o)力 + s°, S = S°(o)(。^欣俏)(48)
(постоянные s° могут быть выбраны произвольно и принципиального значения не имеют, так как фазовыми переменными системы (43) являются г, г и s). В частности, в качестве параметров этого семейства можно взять значения скоростей псевдоциклических координат:
г = г0(®), s = ®, (г = 0, s = eD% + s°).
При этом (см. (47)) г0(—®) = г0(®).
Очевидно, при фиксированных значениях s = ®, уравнения (47) (относительно г) могут иметь несколько различных решений г = г°, г1, г2,. . . Это означает, что уравнения (47) могут допускать несколько семейств установившихся решений. Всем этим решениям отвечают движения рассматриваемой неголономной системы Чаплыгина вида
г = г0, г = 0, s = S% + s°, s = s°,
у = у°(%) = j [M(r0, S% + s°) х°] dt + у0(49)
о
(постоянные у0 могут быть выбраны произвольно и также принципиального значения не имеют). Будем называть такие движения установившимися, несмотря на то что функции у ° ⑴，описывающие поведение координат, отвечающих зависимым скоростям, могут быть, вообще говоря, произвольными функциями времени.
Замечание 彳./. При нарушении условия (46) рассматриваемая система, вообще говоря, не может совершать установившихся движений, отличных от равновесий, поскольку для их существования уравнения (47) необходимо дополнить уравнениями
(50)(50)(а$55(г)s)s = о.
(50)
(50)
В общем случае система к -\- т уравнений (47), (50) относительно (к + т) неизвестных имеет лишь тривиальные решения вида s = 0, г = г(0) (здесь г(0)— решение уравнения dV/9г = 0), отвечающие (см. (42)) положениям равновесия системы. Однако если det (Qsss(r) s) = 0 (в частности, dim s = 2q — 1, q е N), то система (50) имеет нетривиальные относительно s решения и рассматриваемая система может иметь семейства установившихся движений указанного выше вида, но размерность таких семейств может быть меньше числа псевдоциклических координат. Если же dim s = 1, то условие (46) заведомо выполнено (тензор Q кососимметричен по первым двум индексам) и установившиеся движения неголономных систем Чаплыгина с одной псевдоциклической координатой (в смысле выполнения условий (45)) в случае общего положения всегда образуют однопараметрические семейства.
Замечание /.2. Даже при выполнении условий (45)-(46) неголономные системы Чаплыгина не имеют, вообще говоря, первых интегралов, отличных от интеграла (44). В частности,
= ^srrr) г + (必「间 Е + (%Е) s * 0.
Устойчивость. Рассмотрим произвольное установившееся решение (48) системы (43) и исследуем его устойчивость в силу этой системы по отношению к переменным г, г и s (очевидно, что решение (48) неустойчиво по отношению к переменным s, если в возмущенном движении S * §°, а решение (49) системы (42)-(43), в свою очередь, неустойчиво по отношению к переменным у).
Перейдем от фазовых переменных г, г и s системы (43) к переменным г, г, р = =АТ*/3€ и введем аналог функции Рауса посредством соотношения R = T* — V — —(р • s), в правой части которого обобщенные скорости псевдоциклических координат исключены с помощью соотношений
Р =禁=®s『 + ®ssS，S = ©г/(р - 0srr).(51)
При этом функция Рауса представляется в виде R = R2 -\- Ri -\- Ro, где
2^2 = (А(г) г • г), А(г) = О" - 6rs67/6sr,
丛=gT(r, p)r, g(r, p) = ©rsO^P，
Ro = — W(r, p), 2W(r, p) = 2V + (©г/р • P).
В новых переменных уравнения (43) примут вид
d дЯ2 _ дЯ2dW ^dW ,
+ I(Qrsrr)黑 + 你"二)—0包 1 仅")]',(52)
PP=PE+ ®"E)г,=PE+ ®"E)г,
P
P
=PE+ ®"E)г,
=PE+ ®"E)г,
& =（前）*纵=-磊付吟Wb為付吟М PL
—^^ijh — 3ijос® В63心 Th—^^ijh — 3ijос® В63心 Th0夕a^ру0夕a^ру
—^^ijh — 3ijос® В63心 Th
—^^ijh — 3ijос® В63心 Th
0夕a^ру
0夕a^ру
Р =(7oj), laj —(幻仪加 + "а 历)^^ = ^aj^P^ ?
Уaj^ = {^ajy + 3a?j) H)°,
^rrr =(3自浊),^ijh —(一 “历 + ⑺5В日"a0aj) Н")Н)九，
。?-6?- = {^i^j) ? З^вj — З^вj — H“){^yi^a^j + 户^伤卽)，
^srr = {^aij ) ? 3aa j = ^aij — {^ai/3 + "a例)糕飞®?§、
"a° _ элементы матрицы Q^1,户仪^ — элементы матрицы 0sr; остальные обозначения совпадают с введенными выше; индексы г, J, h пробегают значения от 1 до к, а индексы а, /3, 7, J — от 1 до т).
Система (52) допускает семейство установившихся решений вида
Г = г°(о), Р = Р°(。)， г = 0 (aeRm),(53)
если (к + т) постоянных г° и р° удовлетворяют системе к уравнений
DW/Dt = 0, (D/Dr = d/dr +「та/ap).(54)
Очевидно, решения (53) отвечают решениям (48), система (54) — системе (47); при этом соответствие между So и ро задается соотношениями So = ®U(r°)p°, р° = 0ss(r°) sq. Более того, решение (48) системы (43) устойчиво по отношению к переменным г, г и s, если и только если решение (53) системы (52) устойчиво по отношению к переменным г, г и р.
Полагая г — г° = & и р — р° = п + Ро&, выпишем уравнения возмущенного движения:
АоЕ + (Go + DoX + (Со + Ео)& + Fon = Z& tn), h = H& t n),(55)
G + D = &-6e(®^p), GT = -G, DT = D,
С + E = (。2勿/。产)，CT = С, ЕТ = -E, F = a(OW/Or)/ap,
I回I =心)，l|H|| = o(“ P = |罔| + llEll + llnll-
Очевидно, характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из (55) отбрасыванием правых частей, всегда имеет т нулевых корней:
Х(〃)= 〃俏 det (А。/? + (Go + D°)〃 + (Со + Е。))= 0.(56)
Если среди остальных корней, которые удовлетворяют уравнению
det (Ao//? + (Gq + D())〃 + (Со + Eq)) = 0,(57)
имеются корни с положительной вещественной частью, то установившееся движение (53) неустойчиво, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому
приближению. Если же все корни уравнения (57) имеют отрицательные вещественные части, то имеет место критический случай нескольких нулевых корней (см. (56)). Поскольку при указанных условиях число нулевых корней совпадает с размерностью семейства установившихся движений (53), которому принадлежит исследуемое движение, то имеет место особенный случай критического случая нескольких нулевых корней и справедлива теорема Ляпунова-Малкина. Таким образом, справедлива
Теорема 4.1. [24-26]. Установившееся движение (53) консервативной неголономной системы Чаплыгина устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (57) имеют отрицательные вещественные части (по крайней мере, один корень уравнения (57) имеет положительную вещественную часть), причем, в случае устойчивости^ всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при 力一＞ +оо стремится к одному из установившихся движений вида (48), отвечающих возмущенным значениям г° и s°.
Отметим, что в случае устойчивости установившееся движение асимптотически устойчиво по части переменных, характеризующих отклонения возмущенного движения от семейства установившихся движений, которому принадлежит исследуемое движение; в частности, по отношению к г, DW/Dr.
Уравнение (57) можно рассматривать как характеристическое уравнение линейной голономной системы
Ао《+ (Go + D0)t + (Со + Ео)С = 0(58)
с k степенями свободы (dim； = dim г = к), находящейся под действием сил произвольной структуры. При этом уравнение (57) имеет все корни с отрицательными вещественными частями (имеет корень с положительной вещественной частью), если и только если нулевое положение равновесия системы (58), которую будем называть линейной приведенной системой, асимптотически устойчиво (экспоненциально неустойчиво). Таким образом, справедливо
Следствие 4.1 [24-26]. Установившееся движение консервативной неголономной системы устойчиво^ причем асимптотически по части переменных (неустойчиво), если положение равновесия соответствующей линейной приведенной системы асимптотически устойчиво (экспоненциально неустойчиво).
Замечание ^.5. Уравнение (57) имеет вид
ао〃 2k + ai〃 2k 1 ++ °2k = °,
а。= det Aq ＞ 0, а】=det Aq • Step (A「Do),…
Следовательно, асимптотическая устойчивость положения равновесия линейной приведенной системы возможна только при условии, что матрица Dq не является нулевой. Действительно, иначе а】=0 и уравнение (57) не может иметь все корни с отрицательными вещественными частями (в последнем случае, необходимо, а】＞ 0).
В рассматриваемой задаче матрица Do диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему (58), имеет вид
Do = (%)；% = 2 (九а + %£а)о 碌，
dija — ^aij + Н°)(户)£幻万oj + /3j^iya}
и, вообще говоря, нулевой не является. Это означает, что при определенных условиях возможна асимптотическая по части переменных устойчивость установившихся движений консервативных неголономных систем.
Замечание 彳./. Коэффициенты матрицы Dq представляют собой нечетные функции скоростей псевдоциклических координат, поскольку (см. (59))吟 явно зависят от s° линейным образом, a dija = &%(叫§°)) неявно зависят от s° четным образом (см. (47)). Это означает, что если установившееся движение вида г = =р = const, S = со = const консервативной неголономной системы асимптотически по части переменных устойчиво (при этом, необходимо, Step (A「D()) > 0), то установившееся движение г = р, s = —® этой системы при тех же условиях неустойчиво (так как при этом Step (A「D()) < 0, т. е. «1 < 0, и уравнение (57) имеет корень с положительной вещественной частью). Другими словами, устойчивость установившихся движений неголономных систем может зависеть от направления движения (вперед-назад; вправо-влево и т. п.).
Замечание /.5. Характеристическое уравнение (56) инвариантно (с точностью до постоянного множителя) относительно выбора переменных, определяющих состояние системы. Поэтому при исследовании устойчивости установившихся движений неголономных систем с помощью теоремы 4.1 уравнения движения этих систем можно брать в любом виде (приводить их к виду (52) не обязательно). В частности, характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности решения (48) системы (43), эквивалентное уравнению (56), имеет вид
从俏 det △(〃)= 0, а уравнение относительно ненулевых корней — вид
det △(从)=0, △(〃)= •
Здесь W”，W「s = W^., Wss — соответствующие блоки матрицы 0q； Vrr, V^, Vs「— блоки матрицы V =(。叮)，(г, J = 1,. .. , n); U“ — матрица (”叮)，(г, J = =1,.. ., Zb)；
dridrj [2 dridrj 3勺丿° (остальные обозначения совпадают с введенными ранее).
Замечание 4-6. Если все установившиеся движения семейства (48) устойчивы при а > а()и неустойчивы при а < а()(или наоборот), то при ст = ст。от этого семейства могут ответвляться периодические движения, т. е. для консервативных неголономных систем может иметь место явление бифуркации Андронова-Хопфа, характерное для диссипативных динамических систем (здесь для простоты полагается, что а — скалярный параметр, т. е. m = 1).
Динамика кельтского камня
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении без скольжения тяжелого твердого тела, опирающегося выпуклой поверхностью, в каждой точке которой однозначно определена нормаль, о горизонтальную плоскость [27].
Рис. 2Рис. 2Для описания движения тела введем две системы координат: неподвижную OXYZ с началом на опорной плоскости и осью OZ, направленной вертикально вверх, и подвижную Gx^x^x^ с началом в центре масс тела и осями, направленными по его главным центральным осям инерции.
Рис. 2
Рис. 2
Пусть V — скорость центра масс тела, ш — угловая скорость вращения тела вокруг центра масс, у — единичный вектор восходящей вертикали, г — радиус-вектор точки К касания тела с плоскостью от
носительно центра масс, т — масса тела, 0 = diag (41,斗2,斗3)——центральный тензор инерции, R — реакция опорной плоскости, g — ускорение свободного падения (рис. 2).
Уравнения движения тела, отнесенные к подвижной системе координат, имеют вид
0® + [® х 0®] = [г х R],0® + [® х 0®] = [г х R],(61)(61)mv + [® х mv] = — mgy + R,(60)
0® + [® х 0®] = [г х R],
0® + [® х 0®] = [г х R],
(61)
(61)
(62)(62)у+ [® х у] = 0,
(62)
(62)
V + [® х г] = 0 (63) и выражают теоремы об изменении импульса (60) и кинетического момента (61) тела, а также условия постоянства вектора у в неподвижной системе координат (62) и отсутствия скольжения тела (63). Связь между векторами г и у определяется с помощью уравнения поверхности тела. Если последнее задано в виде /(г) = 0, где знак функции /(г) С 不 ：欣з —> 欣 выбран таким образом, что grad / (г) направлен во внешнюю по отношению к области, занятой телом, сторону, то
(64)(64)grad / (г)
(64)
(64)
-II grad/(г) ||*
Система уравнений (60)-(63) (с учетом (64)) замкнута относительно переменных V, ®, у и R и допускает два интеграла (энергии и геометрический)
2Я = mv2 + (со • 0®) — 2mg (г • у) = 2% = const, у2 = 1.(65)
Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода; при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое ZG + (г • / = 0 и два неинтегрируемых).
С помощью первого и четвертого уравнений системы (60)-(63) можно определить реакцию опорной плоскости
R = mgy — m ([® х г] + [® х г] + [® х [® х г]])
и исключить ее из второго уравнения данной системы. При этом уравнения движения тела примут вид
0® + [® х 0®] + m[r х [® х г]] + m[r х [® х [® х г]]]=
=mg\r х у] — m[r х [® х г]],(66)
у+ [® х у] = 0.
Система (66) замкнута (с учетом (64)) относительно переменных ®, у и ее можно рассматривать независимо от уравнения (63); последнее определяет скорость центра масс тела, после чего координаты центра масс вычисляются с помощью квадратур:
Xg = ](v・(x)阳 Ус = j (v • Р) dt, ZG = -(r • у)
(аир — орты осей OX и ОУ, удовлетворяющие, очевидно, уравнениям d + + [® х а] = 0 и р + [® х р] =0, аналогичным уравнению (62)). В тех или иных обобщенных координатах системе (66) отвечают уравнения в форме Чаплыгина. Эта система также допускает два интеграла (энергии и геометрический)
2Н = m ([® х г])2 + (со • 0®) — 2mg (г • у) = 2%*, у2 = 1.(67)
Таким образом, тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина [23].
Перманентные вращения. Уравнения (66) допускают установившиеся решения вида
¥ = у0, ш = 5°,(68)
если постоянный (в подвижной системе координат) вектор у0 и постоянная 幻 удовлетворяют уравнению [28]
幻2 ([у х ®у] + m[r х [у х [у х г]]]) = mg\r х у],(69)
которое получается из (66) с учетом (68) (при этом у = 0, ® = 0).
Умножая уравнение (69) скалярно на г и учитывая геометрический интеграл, получим, что вектор у0 удовлетворяет двум скалярным уравнениям:
(卜 х ©у] • г) = 0, у2 = 1.(70)
Умножая теперь уравнение (69) скалярно на единичный вектор оси Сжз, получим, что постоянная 幻 удовлетворяет уравнению
[(^2 - 41) 7172 + т(Г172 一 丁2%) (г - у)] J = mg (г 172 一 丁2)1) •(71)
При этом очевидно, для существования действительного решения (J》0) необходимо выполнение неравенства [27-28]
(4 - 4) 7172 6)2 - 丁2)1) 4 ГП (г 172 - 丁2)1 )2 (г • ¥)•
Заметим, что правая часть данного неравенства неположительна, так как (г • у) = —Zg < 0. Здесь и всюду далее компоненты векторов ®, уи г даны в главных центральных осях инерции тела.
Таким образом, решениям (68) отвечает однопараметрическое семейство перманентных вращений тела следующего вида: тело касается опорной плоскости
15 Проблемы механики
одной и той же своей точкой (г = r(y°) = r° = const) и вращается вокруг вертикали, проходящей через эту точку, с постоянной угловой скоростью ал При этом центр масс тела описывает окружность, параллельную опорной плоскости (Zg = —(г° • у0) = Zq = const), центр которой лежит на оси вращения и радиус которой pG =，(吗2 一(№ . у0)2 . Каждой оси перманентного вращения, определяемой вектором у0, удовлетворяющим системе (70), отвечает единственное по модулю значение угловой скорости 幻，вычисляемое с помощью соотношения (71). При этом тело может вращаться как по часовой
%*А%；(а; < 0), так и против часовой (幻 > 0) стрелки.
\Для простоты рассмотрим случай, когда одна из
\главных центральных осей инерции тела в одном
\из двух противоположных направлений ортогональ-
\на поверхности тела. Для определенности предполо-
\%* жим, что этому условию удовлетворяет отрицатель-
\ная полуось Gx^ точку ее «пересечения» с поверх-
\ностью тела обозначим Р. В этом случае тело может
尸 L вращаться вокруг вертикально расположенной оси
%1 Сжз с произвольной постоянной угловой скоростью, опираясь о горизонтальную плоскость точкой Р (при
Рис 3этом центр масс тела неподвижен). Действительно,
при указанных условиях уравнения (66) имеют решение
Tl = )2 = 0, 7з = 1,幻1 =幻2 = 0,幻з =幻 (幻 е 欣),(72)
причем 丁1 = 丁2 = 0, 丁3 = —。3 (аз = |GP|), поскольку уравнение (69) тождественно по 幻 выполняется при у = у° = (0, 0,1)т, г = г° = (0,0, —аз)т, так как [у0 х 0у°] = 0.
Пусть а】и。2 — главные радиусы кривизны поверхности тела в точке Р, 6 — угол между направлением главной кривизны, отвечающей радиусу。匕 и главной осью инерции Gx±^ отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 3, где Рж* и Рх^ — направления главных кривизн а】и。2, а Р* || Gx±, Рх^ || Gx^)- Тогда уравнение поверхности тела в окрестности точки Р можно представить в виде
丄1(%T3 = -a3 + 2丄1(%T3 = -a3 + 2aiaicos 3 + 丁2 sin В)? + (丁1 sin J —丁2 COS В)? "I
丄1(%
T3 = -a3 + 2
丄1(%
T3 = -a3 + 2
ai
ai
а уравнение функции г = г (у), определяемое из (64), в виде [27-29] 丁1 = —[(。1 cos2 b +。2 sin2 б)% + (a】—。2)72 sin b cos З]^1 + ..., 丁2 = —[(。1 —。2))1 sin b cos b + (ai sin2 b + g cos2 6))2])尸 + • • •,
T3 = -a3 + …
(многоточием обозначены члены более высокого порядка малости, чем выписанные, в окрестности решения (72)).
Если 4 * 4,。1 *。2, 6 * 0 (modTr/2), то твердое тело с указанным распределением масс и описанной геометрией поверхности называется кельтским камнем.
Устойчивость вращения кельтского камня. Полагая 幻3 =幻 + у, 7з = 1 + z и сохраняя для з运、(£ = 1,2) их прежние обозначения, выпишем
уравнения возмущенного движения
+ тпи^^(л)± + (4з —斗2 — тпи^и)и)2 —
—таза;[(а1 cos2 b + g sin2 6)力 + (肉 —。2)々2 sin b cos b] + m(g + аз№) x
x [(ai —。2))1 sin b cos b + & sin2 b + g cos2 J)72] — mga3)2 = ^1, (42 + m61；)公2 -(43 - 41 — 772°；)幻幻1 -
— ma^aj[(ai —。2)々1 sin b cos b + (a】 sin2 b + a? cos2 6)^2]—
—m(g +。3幻2)[(。1 cos2 b + a? sin2 b)% +
+ (a】-02))2 sin b cos 6] + mga^x = Q2,(73)
71 —幻)2 + 幻2 — Г1,々2 + 幻71 —幻1 =「2,斗3 沙=У, 2 = Z.
Здесь Qj,「£ (г = 1,2), У и Z — функции, зависящие от 幻力 七 (J = 1,2), у и z, разложения которых по степеням указанных переменных начинаются с членов не ниже второго порядка, причем все эти функции тождественно по у и z уничтожаются при 切・=0,七=0,仃=1,2) [26, 30-31].
Характеристическое уравнение, отвечающее линеаризованной системе, которая получается из системы (73) отбрасыванием правых частей, имеет вид
从 2[死0〃4 + 死]〃3 + 死2〃2 + 死3〃 + 死4] — 0,(74)
"о = (4 + 皿磋乂人 + ma^) > 0,
死 1 =(42 - 41)皿a3(a2 - ai)a^ sin J cos J,
死2 -[(43 -41)(43 -42)+ Ш2аз(a1 -а3)(a2 -。3)+
+ (4 + 771磋)(斗2 + т^з)]^2 + ma^2[(A^ — 4 sin2 6 — 4 cos2 b) x
x (a】一°з) + (4з —斗2 sin? J — Ai cos? 6)(02 — °з)] +
+ 771g[(4 sin2 6 + 42 COS2 6 + 771礙(a2 -a3)+
+ (Ai cos2 6 + 4 sin2 b + 7iia；)(ai — 03)],
死3 =(42 - 41)ma3(a2 - ai)G3 sin b cos b = a;2xi,
死4 = [(аз - а1)(аз -42)+ m2a；(01 -03)(a2 -。3)]" 4 +
+ m2g(2a3^2 + g)(ai —。3)(。2 —。3)+ m^2(a3^2 + g) x
x [(Д3 — 4 sin2 6 — 4 cos2 6)3 — аз) +
+ (A3 -42 sin2 b - Ai cos2 6)(a2 -03)].
Это уравнение имеет два нулевых корня. Один из них обусловлен однопара- метричностью семейства перманентных вращений (72) (свободный параметр —幻)， а другой — наличием геометрического интеграла. Следовательно, если все корни уравнения
g 从4 + 死1从3 + 死2从2 + 死3从 + 死4 = 0(75)
15*
имеют отрицательные вещественные части, то перманентное вращение (72) устойчиво, причем всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при t —> +оо стремится к перманентному вращению того же вида (72), но, в общем случае, с возмущенной угловой скоростью. Другими словами, в этом случае перманентное вращение устойчиво по отношению к ®, у и асимптотически устойчиво по отношению к 幻1,幻2, ¥• Если же уравнение (75) имеет корень с положительной вещественной частью, то перманентное вращение неустойчиво.
Таким образом, согласно критерию Гурвица, перманентные вращения (72) с 幻 * 0 устойчивы при выполнении условий [26, 30, 31]
(4 -41)(a2 -01)⑴ sin b cos J > 0,(76)
J© - mg(ai -。3)(。2 - °з) > 0, "4〉0,(77)
J - (Ai + 42 -43)(a1 +a2 - 203)- ?1шз[4a； - 3а3(a1 +a2)+ 2al匆]
и неустойчивы при строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (76), (77).
Условия (77) накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, а также на величину его угловой скорости (левые части неравенств (77) представляют собой четные функции 幻)，тогда как условие (76) накладывает ограничение на направление вращения тела (на знак параметра 幻).
Предположим, что
0 < J < тг/2, 41 < 斗2 < 4з, а】〉。2〉°з・(78)
Первое из этих условий можно считать выполненным всегда (если 6*0 (modTr/2)), второе означает, что вращение (72) происходит вокруг оси наибольшего момента инерции, а третье — что положение равновесия тела (решение % = =)2 = 0, 7з = 1,幻=°, которое принадлежит семейству решений (72) при ш = 0), устойчиво (центр масс в положении равновесия находится ниже обоих центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью). Предположения Ai < А2 и а± > «2 несущественны и сделаны лишь для определенности. Тогда второе неравенство 死4〉0 в (77) выполняется при любом 幻 е 此 а для выполнения первого неравенства в (77) необходимо соблюдение условия J > 0 (в противном случае оно не выполняется ни при каком 幻 е 喲.При J > 0 вращение (72) устойчиво, если 幻 < 0 (см. (76), (78)) и J〉К, где
Н = W(ai -a3)(a2 -。3)/J(79)
(см. первое неравенство в (77)). Для определенности будем считать, что G* = —，й^ < 0.
Итак, при выполнении условий (78) и J > 0, которые накладывают ограничения только на распределение масс и геометрию поверхности тела, вращение (72) устойчиво, если
幻 < G* < 0,(80)
и неустойчиво, если 幻〉幻*,(幻 * 0) [26, 30-31]. Таким образом, устойчивость вращения (幻 * 0) кельтского камня с указанными выше параметрами имеет место, если только вращение происходит по часовой стрелке и величина (модуль) угловой скорости больше некоторого критического значения, определяемого также параметрами кельтского камня.
Бифуркация Андронова—Хопфа в динамике кельтского камня. Заметим, что при нарушении неравенства 幻 < 幻* и соблюдении неравенства 幻 < О (ср. с (80)), два ненулевых корня уравнения (74) пересекают мнимую ось слева направо, а два других корня остаются в левой полуплоскости. При 幻=幻* это уравнение имеет два нулевых корня, два чисто мнимых корня, ±з*^^Т и два корня с отрицательными вещественными частями, т. е. имеет место ситуация, близкая к такой, при которой может возникать бифуркация Хопфа [32] (отличие определяется лишь наличием двух нулевых корней).
Исключая переменные у и z из уравнений возмущенного движения (73) с помощью первых интегралов (67), получим замкнутую систему четырех уравнений относительно переменных 幻〃,)〃 (г = 1,2), которая получается из системы (73) отбрасыванием двух последних уравнений (для у и z) и заменой нелинейностей Qj, Tj на Q*, Г* (г = 1,2) в первых четырех уравнениях. Нелинейности Q*, Г* представляют собой функции от 巧，七(/ = 1,2), зависящие от параметра £ = (h* — h*)/(mga^), характеризующего отклонение постоянной %* интеграла энергии (67) от ее критического значения
方 4— a3)(a2 - аз)
отвечающего вращению (72) с критической угловой скоростью 幻*. Существенно, что линейная часть первых четырех уравнений (73) при этом не изменяется, т. е. характеристическое уравнение полученной системы имеет вид (75), где % =死貝幻) (s = 1, 2, 3,4), аз =幻(£).
При сделанных выше предположениях (условие J > 0 и условия (78)) уравнение (75) имеет все корни с отрицательными вещественными частями, если 幻 < 幻* (£〉0); два чисто мнимых корня и два корня с отрицательными вещественными частями, если 幻=幻*(£ = 0); два корня с положительными вещественными частями, если 幻〉G* (е < 0) (напомним, что 幻* < 0). Покажем, что при переходе параметра £ (параметра 幻)справа налево (слева направо) через нуль (критическое значение 幻*) происходит строгая потеря устойчивости [27]. Последнее означает, что два корня уравнения (75), имеющие в окрестности критического значения 幻=G* вид
Ml,2 = 一。(幻)土 а(з)\/^т, (81)
где а(з) > 0 (< 0) при 幻 < 幻* (幻〉幻*), а(з*) = 0, а(з*)=幻*, удовлетворяют условию а： * 0. Здесь и далее штрих означает дифференцирование по а;, а нижний индекс «*» указывает, что соответствующая величина вычисляется при 幻=幻*.
Непосредственное отыскание корней вида (81) характеристического уравнения (75) сопряжено с громоздкими вычислениями, поэтому заметим, что производная по а;, от выражения Jo;2 — mg{a± — 03)(02 一。3), стоящего в левой части первого из неравенств (77), не равна нулю при 幻=幻* (так как J〉0,幻* < 0), и докажем, что это возможно лишь при условии а： * 0. Действительно, при указанных условиях два других корня уравнения (75) могут иметь вид
从з,4 = —6(5 土 /3(о;) V™Т (82) или вид
从 з — —с(5，从 4 — —d(5， (83)
причем функции 6(幻)，。(幻)и d(G)положительны при 幻 < 0 (в том числе при 幻=G* < 0).
Рассмотрим первый случай: уравнение (75) имеет корни (81) и (82). Тогда это уравнение можно представить в виде
从 4 + 2(а + 6)〃з + (а2 + 俨 + 绪 + 釈 + 4a6)〃2 +
+ 2[а(62 + /З2) + 6(。2 + 绪)]〃 + (а2 + q2)(62 + 釈)=0. (84)
Согласно выражениям для коэффициентов % (s = 0,.. ., 4) уравнения (75) (死з =幻2々)，должно выполняться соотношение
。(俨 + /З2) + 6(。2 + q2)=幻 2(а + 6).(85)
Дифференцируя это соотношение по а; и подставляя в полученное тождество 幻=g*, имеем
4(仄 + 俄一必)=2g*6*(1 - a：).(86)
Далее, условие, отвечающее первому неравенству в (77), для уравнения (84), в котором коэффициент при 从 заменен, согласно (85), на 2/(а + 6), имеет вид
(а? + 俨 + а? + /З? + 4а6)幻2 — (а2 + «2)(62 + /З2) — а;4 > 0.(87)
Вычисляя производную по 幻 от выражения, стоящего в левой части неравенства (87), и полагая 幻=幻*, получим
2g*(片 + 俄-必)(1 - M) + 4alM6*.
Очевидно, последнее выражение равно нулю при а： = 0, так как при этом (см. (86)) а： = 1 (напомним, что 幻* * 0, 6* * 0).
Аналогично рассматривается и второй случай, когда уравнение (75) имеет корни (81) и (83).
Таким образом, при критическом значении угловой скорости (см. (79)) происходит строгая потеря устойчивости вращения (72). Согласно теореме Хопфа [32], это означает, что при значениях полной энергии, близких к критическому %*, от устойчивых перманентных вращений кельтского камня ответвляются периодические движения с частотой, близкой к критическому значению | 幻*| угловой скорости.
§ 6. Стационарные движения неголономных системс неизвестными первыми интегралами
Системы с псевдоциклическими координатами. Рассмотрим консервативную неголономную систему Чаплыгина. Уравнения движения системы возьмем в виде (42), (43) и напомним, что уравнения (43) замкнуты относительно переменных х, отвечающих независимым скоростям, и допускают интеграл энергии (44). Предположим, что координаты s системы — псевдоциклические, т. е. выполнены условия (45), (46). Тогда уравнения движения этой системы можно привести к виду (52), где г — позиционные координаты системы. Уравнения (52) допускают установившиеся движения (53), которые образуют т-параметрическое семейство, определяемое соотношениями (54) (т = dims).
Согласно результатам § 4, устойчивость этих движений зависит от свойств нулевого решения линейной приведенной системы (58); при этом для получения достаточных условий устойчивости установившихся движений (53) требуется нетривиальность матрицы Do диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему.
Рассмотрим теперь случай, когда матрица этих сил тождественно по позиционным координатам обращается в нулевую при любых значениях скоростей псевдоциклических координат. Точнее, предположим, что (см. (59))
^ocij + б。，｛^0г%3Вос§ + 户万3•幻£)а) + ^ocji + 白廿"(^0?j33.1 + H例Ct^)a) = °・
При этом (см. выражения для коэффициентов системы (52))
^i^j + % Bi = 0, 3aij + 3aBi = О,
и уравнения (52) принимают вид
(88)(88)(89)(89)d дЯ2 дЯ2 dW ^dW .
(88)
(88)
(89)
(89)
G = (gij), gij = gij -吼历言 一 ^ijhrh + ^ia^^^h (остальные обозначения совпадают с введенными в § 4).
Очевидно, уравнения (88) допускают обобщенный интеграл энергии Uo(r,窘 р)=兄2 + W = С0.
Если матрица Г — нулевая, то уравнения (88) совпадают с уравнениями движения консервативных механических систем с циклическими координатами, записанными в переменных Рауса [1, 2], и допускают т циклических интегралов
“ —Р1 — Ci, • • • , Um = Pm — ст-(90)
При этом стационарным значениям интеграла (89) при фиксированных значениях интегралов (90) отвечают стационарные движения вида
г = г°, г = 0, р = р°,(91)
причем постоянные р° произвольны, а постоянные г° определяются из уравнений
dW
(стационарные движения (91) образуют семейство So размерности, не меньшей числа циклических координат).
Для таких (Г = 0) систем теорема Рауса может быть сформулирована в следующем виде.
Теорема 6.1. [1, 2, 33]. Если функция W (эффективный потенциал) имеет строгий минимум в точке (г°, р°) при фиксированных значениях интегралов (90), то соответствующее стационарное движение (91) устойчиво.
Отметим, что условия теоремы 6.1 заведомо выполнены, если все собственные значения матрицы (d2W/0г2) положительны в точке (г°, р°).
В общем случае (Г * 0) система уравнений (88) также допускает стационарные движения вида (91), однако при этом постоянные г° и р° определяются из уравнений
喋=。侈些小Г鳴)，(93)
которые, вообще говоря, не совпадают с уравнениями (92). Очевидно, как и в случае Г = 0, стационарные движения (91) образуют семейство размерности, не меньшей числа псевдоциклических координат, поскольку к уравнений (93) служат для определения (к + т) неизвестных г, р. Будем по-прежнему обозначать это семейство через Sq.
Достаточные условия устойчивости таких стационарных движений дает следующая
Теорема 6.2. [7, 34, 35]. Если все собственные значения матрицы
(94)(94)P2W
(94)
(94)
положительны в точке (г°, р°) и в некоторой окрестности этой точки выполнены соотношения
万-a；二万+(7ае<пд0-79.打360)=0,
(95)(95)С/7 j0丁力
(95)
(95)
亿 ^ = 1,к; а, /3 = 1,…，пг)
(выражения для 7a£万 см. 6 §4), то стационарное движение (91) системы (88) устойчиво.
Кроме того, как в случае Г = 0, так и в случае Г ^ 0 справедлива (ср. с теоремой 2.3)
Теорема 6.3. Если определитель матрицы (94) меньше нуля в точке (г°, р°), то стационарное движение (91) неустойчиво.
Замечание 6.1. При выполнении условий (95) система (88), кроме обобщенного интеграла энергии, допускает т первых интегралов вида
U(r, р) = с, (се Rm,U(r, р) е。1 : Оз т 财)(96)
(здесь О§ обозначает J-окрестность точки (г°, р0)).
Замечание 6.2. Применение теоремы 6.2 для исследования устойчивости стационарных движений (91) системы (88) связано с исследованием собственных значений матрицы (94) и требует лишь знания функции W(г, р) и матрицы Г(г, р); явные выражения интегралов (96) (а также матриц А(г) и G(r, г, р)(2/^2 = =(А(г) г • г))) при этом не требуются. Отметим также, что условие стационарности интеграла (89) при постоянных значениях интегралов (96) имеют вид (93) и также не требуют знания явного вида последних. Более того, уравнения (93) определяют установившиеся решения (91) системы (88) и в случае отсутствия этих интегралов (т. е. при невыполнении условий (95)).
Замечание 6.3. Условия (95) заведомо выполнены, если Г = 0 (при этом интегралы (96) можно выписать в явном виде (90)) или если (при「* 0) dim г = 1 (при этом интегралы (96), вообще говоря, в явном виде выписать невозможно).
Замечание 6.%. При фиксированных значениях постоянных р° как уравнения (92), так и уравнения (93) (относительно г), могут иметь не только решение г°, но и, вообще говоря, решения г1, г2, . . ., которые также зависят от постоянных р, т. е. стационарные движения М(р), г2(р),. . . образуют семейства Si, S2,…Таким образом, множество S всех стационарных движений рассматриваемой системы представляет собой объединение семейств So, Si, S2,...
В следующем разделе рассматривается пример неголономной системы, обладающей, помимо интеграла энергии, другими первыми интегралами, явный вид которых неизвестен.
§ 7. Стационарные движения диска на абсолютношероховатой плоскости
Уравнения движения и их первые интегралы. Рассмотрим движение без скольжения тяжелого круглого диска, опирающегося о горизонтальную плоскость. Пусть т — масса диска, а — радиус, 4 и 人一соответственно экваториальный и осевой моменты инерции, g — ускорение свободного падения.
Следуя предложенному ранее подходу [7, 36, 37], будем определять положение диска декартовыми координатами хну проекции его центра на горизонтальную плоскость и углами Эйлера Н,也 и g (Н — угол между плоскостью диска и опорной плоскостью, ^ — угол прецессии,夕一угол собственного вращения). При этом высота центра диска над опорной плоскостью определяется соотношением h = =a sin ^. Тогда функция Лагранжа и уравнения связей, выражающие условие отсутствия проскальзывания диска в точке его контакта с опорной плоскостью, примут вид
2L = т(ж2 + 力)+ (4 + та2 cos2 Н)/ +
+ 4疗 sin2 Н + 4(0 + & cos Н)2 — 2mga sin 牝
x = аё sin Н sin ^ — a(S + 而 cos H) cos ^,
у = —а份 sin H cos ^ — а(0 + & cos H) sin 沙
Функция Лагранжа и коэффициенты связей не зависят от координат 力 и у, скорости которых стоят в левых частях этих связей, т. е. рассматриваемая система представляет собой консервативную неголономную систему Чаплыгина с тремя степенями свободы. Уравнения движения этой системы в форме Чаплыгина имеют вид [7]
г — —-=0,— —v= та wv sin v,г= —та 夕"sm".(97) dt ^^ d'O ?dt дф "?dt dip
Функция А получается из функции L исключением из последней зависимых скоростей х, у с помощью уравнений связи:
2А = (4 + 771a2)祁 + 4疗 sin2 Н + (А3 + та2)(ф + @cosH)2 — 2mgasin^.
В явном виде уравнения (97) записываются следующим образом:
(41 + mcL1)^ = 4iq2 ctg Н — (Аз + m^qr — mga cos 牝
(Аз + ma2)r = ma^qS〉4 ^ (q sin H) = A^rb sin 仇
Здесь через q и г обозначены выражения
q = @sinH, г = ф -\- ^ф cos ^, представляющие собой проекции угловой скорости диска на линию наибольшего ската и на нормаль к плоскости диска [36].
Полученная система уравнений имеет интеграл энергии
2Н = (41 + та2)^2 + 41『+ (Аз + ma2)r2 + 2mga sin Н = 2cq = const. (99)
Покажем, что помимо данного интеграла уравнения движения имеют еще два первых интеграла. Для этого перейдем в уравнениях (98) к новой независимой переменной — углу 仇 Тогда эти уравнения примут вид
(Аз + 771a2)案=771a2q, 4i 畠(4sin H) = A3r sin 仇(100)
Из (100) получаем для г следующее дифференциальное уравнение второго порядка:
雪+通h=0, 6= 皿3
d"? d"Л1(А3 + ma2)
Вводя в это уравнение новую независимую переменную г, определяемую равенством [37-38] cos ^ = 1 — 2z, окончательно получим
z(l —Z)名+ (1 —2z)^ —5т = 0.(101)
azaz
Уравнение (101) представляет собой гипергеометрическое уравнение Гаусса [39]. Таким образом, рассматриваемая задача о движении диска интегрируется при помощи гипергеометрических функций.
Если обозначить через R(£, ?у,《；z) гипергеометрический ряд Гаусса [39]
丄• С 丄• 2 十丄丿
,£(£ +1) • • • (£ + 九加① +1)...① + 九)n+i ,l・2...(n + l)C(C + l)...(C + n) 十
то уравнение
z(l —+ К —(£ + 〃 + 1"]资一为丁 =。
azaz
допускает [39] следующие частные решения:
F&小 С； z), F&小 £ + 〃 一 С + 1; 1 - z).
Для уравнения (101)^ = 1, £ + ?у = 1, £〃 = 5 и, следовательно, его общее решение имеет вид
T = qR(£,小 1; z) +e2R(£,小 1; 1 一 z),
где ci и С2 — произвольные постоянные, а £ и ?у — корни квадратного уравнения У — s + 3 = 0.
В дальнейшем будем предполагать, что £ и ?у являются комплексно сопряженными числами, т. е. справедливо неравенство В > 1/4, которое заведомо выполнено для однородного диска (Аз = 24 = (ma2)/2, В = 4/3). Отметим [39], что гипергеометрический ряд сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, лежащем внутри интервала —1 < z < 1.
Возвращаясь от г к прежней независимой переменной Н, получим функцию 丁⑺ в виде
〃* =尸(£,小1；(1 +(-；)cos扌))，г = 1, 2.(102)
Функцию q = q(H) находим из уравнений (100), используя (102)
Л2.
q=哀 sinH£ (—1)2+%з,
1£=1(103)
3 = R (£ ++ 1,2; Г) , z = 1, 2
с учетом выражения для производной гипергеометрической функции
^ F&〃<； z) = Е「"(£ + 1,〃 + 1( + 1；力
Таким образом, уравнения движения допускают, помимо интеграла энергии, еще два первых интеграла, которые заданы неявно соотношениями (102) и (103) и представляются в виде гипергеометрических рядов.
Эффективный потенциал и стационарные движения. Хотя явный вид дополнительных первых интегралов в данной задаче неизвестен, тем не менее, учитывая тот факт, что эти интегралы линейны относительно квазискоростей, и используя выражения (102) и (103), удается построить в данной задаче эффективный потенциал (см. § 1-3) и с его помощью провести полное исследование стационарных движений диска [22, 40-41].
Пусть W = W(Н) — минимум функции Н (интеграла энергии) по переменным q и г на уровнях ci и 専 интегралов, заданных неявно соотношениями (102)(103). Таким образом,
+ m^UiUj + (—1)“+" j^- sin2 Hg⑦ qg + mga sin 仇+ m^UiUj + (—1)“+" j^- sin2 Hg⑦ qg + mga sin 仇2
+ m^UiUj + (—1)“+" j^- sin2 Hg⑦ qg + mga sin 仇
+ m^UiUj + (—1)“+" j^- sin2 Hg⑦ qg + mga sin 仇
=j e
Полагая 4 = kmd,人=Zkma?, Xi = Q，a/g, (z = 1,2), выражение для W ⑺ можно переписать в обезразмеренном виде
勿(户)=j £ WijXiXj + sin ^, Wij = (2k + l)UiUj + (—l)^-7^ sin2 dviVj.
Неравенство В > 1/4 перейдет при этом в неравенство к < 3,5 (для однородного диска к = 1/4).
Известно (см. [7, 36, 38, 42]), что диск может совершать стационарные движения, определяемые соотношениями
Н = а = const, 份=0, q = go = const, г = r()= const, (104) где угол а выражается из уравнения dW/d^^^ = 0. Соотношения (104) отвечают стационарным движениям, при которых угол между плоскостью диска и опорной плоскостью постоянен.
В явном виде условие существования стационарных движений (104) dW/d^\^=a = 0 записывается следующим образом:
2
£ aijXiXj — cos а = 0,(105)
Wj = aji = [(А; + 1/2) ((—I)"%” + (—lyuiVj^ + (—1)“+" cos ад⑦]sin а.
С помощью компьютерной программы MAPLE была построена поверхность, задаваемая уравнением (105) в пространстве переменных a?i,力2 и а при фиксированном значении параметра к, а также сечения этой поверхности плоскостями 力2 = =/а?1, где постоянная / принимает различные значения (рис. 4-7). На приведенных рисунках к = 1/4, что соответствует случаю однородного диска. Отметим, что сечения, аналогичные приведенным на рис. 4-7, были построены в работе [43].
Рис. 6Рис. 7Рис. 6Рис. 7
Рис. 6Рис. 7
Рис. 6Рис. 7
Легко видеть, что при каждом фиксированном а уравнение (105) задает некоторую кривую второго порядка. Анализ инвариантов этой кривой показывает, что при а * тг/2 она представляет собой гиперболу, а при а = тг/2 — пару пересекающихся прямых. Эти прямые определяются равенствами х± =力2 и х± = =—力2 и соответствуют двум однопараметрическим подсемействам стационарных движений диска вида
^ = тг/2,份=0, 丁 = 2"*q = П, q = 0；"* = R(£, 〃 J； 1/2),(106)
^ = тг/2,份=0, q = 2o*q=G, 丁 = 0; о* = R(£ + 1, 〃 + 1,2; 1/2). (107)
Эти подсемейства отвечают соответственно равномерному качению вертикально расположенного диска вдоль прямой (106) и равномерному верчению диска вокруг вертикально расположенного диаметра (107). Первое устойчиво (неустойчиво) при
〉^ = 2矶2?+1) ” < 碱，
а второе — при
J >说=储 < 说)
(подробнее см. [7, 36, 38, 42]).
Условие устойчивости стационарных движений и его анализ. Условие устойчивости стационарных движений (104), полученное на основании модифицированной теоремы Рауса-Сальвадори [9, 29], имеет вид ^W/d^2|^=a》 》0, или, в явном виде,
2
£ bijXiXj — sin а》0,(108)
bij = bji = 2(2к + l^UiUj + (Зк + 1/2)((—1)“出3 + (—l)-7^^) cos q +
+ (—l)“+《k + 1) sin2 а + ЗА; cos2 а)з⑦.
При каждом фиксированном а границей области устойчивости (т. е. кривой, задаваемой уравнением d2 VИ/d^2|^=a = 0) также будет некоторая кривая второго порядка. Анализ ее инвариантов показывает, что при всех k > 1/\/^ — 1/2 данная кривая представляет собой эллипс с центром в начале координат (т. е. в точке 力1 =力2 = 0)・ Вне соответствующего эллипса будет область устойчивости стационарных движений (104), а внутри — область неустойчивости.
Таким образом, можно указать на следующую геометрическую интерпретацию условий существования и устойчивости стационарных движений диска [44] (рис. 8, 9). Те стационарные движения, которые на плоскости безразмерных констант первых интегралов 力i и 力2 соответствуют точкам гиперболы (см. предыду-
Рис. 8Рис. 9
щий пункт), лежащим вне эллипса, очевидно, являются устойчивыми. Если для некоторого значения угла а соответствующие эллипс и гипербола не пересекаются, то все стационарные движения, существующие для данного а, являются устойчивыми независимо от того, какие значения принимают величины х± и 力2・
Полученные условия существования и устойчивости стационарных движений диска детально анализировались в работах [22, 40, 41]. В частности, в указанных
работах было показано, что стационарные движения (104) диска являются устойчивыми при всех значениях а, удовлетворяющих условию
С а — 2(2k + l)[(4k + 3) —，6(2k + D(k + l)] (24 + 3)2 + 3(24 + 1)2
В частности, для однородного диска (к = 1/4) имеем
cos2 а》24 ;产-0,102, а* 1,2457.
При других значениях а стационарные движения диска (104) будут устойчивы, если величина 力 i превосходит по модулю некоторое критическое значение, явный вид которого здесь не приводится вследствие его громоздкости. Полученные в работах [22, 40, 41] результаты полностью согласуются с приведенными в статье [43] и в настоящем обзоре бифуркационными диаграммами.
Заключение
Разрозненные результаты исследования устойчивости стационарных движений тех или иных конкретных неголономных систем, по-видимому, впервые были систематизированы в монографии Ю.И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [42]. Дальнейшее развитие теории устойчивости стационарных движений неголономных систем дано первым автором настоящего обзора, в соответствии с результатами которого изложены параграфы 1, 2, 4 и 6. При этом следует отметить, что параграфы 1 и 2 содержат модифицированную теорию Рауса [7, 9, 29], а параграфы 4 и 6 — обобщение и формализацию идей Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [42], а также И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого [45].
Задача о движении тяжелого твердого тела по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости является классической задачей динамики неголономных систем и имеет более чем вековую историю (см. монографию А. П. Маркеева [38] и библиографию в ней). Стационарные движения динамически симметричного шара были изучены в работах авторов [20-22], круглого диска — в работах второго автора [22, 40, 41], а кельтского камня — в работах [30, 31, 38] и первого автора [27, 28]. Изложение параграфов 3, 5 и 7 дано в соответствии с результатами авторов настоящего обзора. При этом следует отметить, что бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева в задачах о стационарных движениях шара и диска впервые были построены и исследованы в работах второго автора данного обзора [21, 22, 40, 41].
Приведенные в обзоре результаты показывают, что, несмотря на некоторую специфику неголономных систем, исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений данных систем вполне успешно может быть проведено на основе модифицированной теории Рауса-Сальвадори и Пуанкаре-Четаева, если эти системы допускают первые интегралы, заданные в явной или в неявной формах, и теории Ляпунова-Малкина и Андронова-Хопфа, если эти системы являются системами общего вида, т. е. не допускают первых интегралов, отличных от интеграла энергии, но обладают диссипативными (см. замечания 4.3 и 4.4) свойствами.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (01-01-00141), РФФИ МАС (03-0106170) и гранта «Молодые кандидаты» (МК-1393.2003.01).
Список литературы
Routh Е. J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. — L.: MacMillan and Co, 1877.
Routh E. J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. — L.: MacMillan and Co, 1884.
Poincare H. Sur Fequilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7.
Ляпунов A. M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости.— Харьков: Изд-во харьковского мат. общ-ва, 1888.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Харьков: Изд-во харьковского мат. общ-ва, 1892.
Levi-Civita Т. Sur la recherche des solutions particulieres des systemes differentials et sur les mouvements stationnaires // Prace Math. Fis. 1906. V. 17.
Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.
Karapetyan А. К, Kuleshov А. 5. Steady motions of nonholonomic systems // Regular & Chaotic Dynamics. 2002. V. 7, № 1.
Karapetyan A. V. The Routh Theorem and its Extensions // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 53. Qualitative Theory of Differential Equations. — North Holland: Amsterdam and N.Y., 1990.
Карапетян А. В. Теорема Рауса и ее модификации // Труды Тбилисского ун-та. Сер. Мат., мех., физ., астроном. 1988. Т. 25.
Карапетян А. В., Рубановский В. Н. О модификации теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений систем с известными первыми интегралами // Сборник научно-метод. статей по теор. мех. — М.: Изд-во МПИ, 1986. Вып. 17.
Козлов В. В. О степени неустойчивости // ПММ. 1993. Т. 57, Вып. 5.
Thomson W., Tait Р. Treatise on Nat ural Philosophy. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1879.
Четаев H. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд- во АН СССР, 1962.
Карапетян А. В. Инвариантные множества механических систем с симметрией // Вычисл. мат. и информ. — М.: ВЦ РАН, 1996.
Карапетян А. В. Первые интегралы, инвариантные множества и бифуркации и диссипативных системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, № 1.
Smale S. Topology and Mechanics // Invent. Math. 1970. V. 10. V. 11.
Abraham R., Marsden J. Foundations of Mechanics. — N.Y. and Amsterdam: Benjamin, 1978.
Karapetyan A. V. On construction of the effective potential in singular cases // Regular & Chaotic Dynamics. 2000. V. 5, № 2.
Карапетян А. В. О специфике применения теории Рауса к системам с дифференциальными связями // ПММ. 1994. Т. 58, Вып. 3.
Кулешов А. С. К динамике волчка на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. — М.: ВЦ РАН, 1999.
Кулешов А. С. Исследование устойчивости и бифуркации стационарных движений некоторых неголономных систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. 2001.
Чаплыгин С. А. Исследования по динамике неголономных систем. — М.-Л.: Гостех- издат, 1949.
Карапетян А. В. Некоторые задачи динамики неголономных систем. Дисс. до кт. физ.- мат. наук. 1983.
Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 5.
Карапетян А. В. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 3.
Карапетян А. В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости // МТТ. 1985. № 2.
Карапетян А. В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1981. Т. 45, Вып. 5.
Karapetyan А. V., Rumyantsev V. V. Stability of Conservative and Dissipative Systems // Appl. Meeh. Soviet Reviews. 1990. V. 1. Stability and Anal. Meeh. — N. Y.: Hemisphere,.
Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат., мех. 1980. № 2.
Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на шероховатой плоскости // МТТ. 1980. №4.
Марсден Дснс., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.
Salvadori L. Un osservazione su di un criteria di stabilita del Routh // Rend. Accad. Sci. Fis. Math. Napoli (IV). 1953. V. 20.
Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // МТТ. 1983. № 2.
Карапетян А. В. О теореме Рауса для систем с неизвестными первыми интегралами // Сборник научно-метод. статей по теор. мех. Вып. 23. — М.: Изд-во МГУ, 2000.
Лойцянский Л. 77, Лурье А. И. Курс теоретической механики. — М.: ГИТТЛ, 1954.
Воронец П. В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности. — Киев: Тип. Ун-та. Св. Владимира, 1903.
Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. — М.: Наука, 1992.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Наука, 1971.
Кулешов А. С. О стационарных движениях диска на абсолютно шероховатой плоскости // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5.
Кулешов А. С. О стационарных качениях диска на шероховатой плоскости // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 1.
Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука, 1967.
O'Reilly О. М. The Dynamics of Rolling Disks and Sliding Disks // Nonlinear Dynamics. 1996. № 10.
Дувакин А. П. Об устойчивости движений диска // Инж. журн. 1965. Т. 5, Вып. 1.
Миндлин U. М., Поэюариу^ий Г. К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1965. Т. 29, Вып. 4.
О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА С ЖЕСТКОЙ ОБОЛОЧКОЙИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ МАСС
В БЕСКОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ ИДЕАЛЬНОЙЖИДКОСТИ
В. Козлов, Д. А. Онищенко
Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
Введение. В работах [1, 2] рассмотрено обобщение классической задачи о движении твердого тела в бесконечном объеме идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности (см., например, [3, 4]). Изучено свободное (при отсутствии внешних сил) движение изменяемого тела при условии, что изменение геометрии масс тела и его формы осуществляется за счет действия внутренних сил и описывается наперед заданными функциями времени относительно некоторой подвижной системы отсчета. В такой постановке задача о движении изменяемого тела сводится к изучению указанной системы отсчета. В работах [1, 2] обнаружен следующий новый эффект: закон изменения геометрии тела можно подобрать таким образом, чтобы обеспечить перемещение тела в любую (сколь угодно далекую) точку окружающего объема жидкости. Полная управляемость такой системы оказалась возможной и при сохранении формы внешней поверхности тела (т. е. лишь за счет изменения внутренней геометрии масс). Единственное условие состоит в том, чтобы присоединенные массы тела (которые, напомним, зависят лишь от формы его поверхности) не были все равны между собой. Отметим, что полученные ранее результаты о возможности неограниченного движения изменяемого тела (см., например, [5, 6]) основываются на использовании таких механизмов управления геометрией тела, при которых изменяется форма его поверхности и объем. В настоящей работе более детально изучается механизм перемещения тела с жесткой оболочкой за счет изменения лишь его геометрии масс, а также изучается движение изменяемого тела в однородном силовом поле.
Уравнения движения. Рассмотрим случай, когда изменяемое тело состоит из собственно твердого тела (корпуса) и материальной точки массы т, которая перемещается внутри корпуса. Предполагается, что движение всей системы начинается из состояния покоя. Движение точки относительно корпуса считается заданным в том смысле, что в системе отсчета, жестко связанной с корпусом, координаты точки — известные функции времени. Фактически задача сводится к изучению совместного движения тела (корпуса) в жидкости и точки при наличии нестационарных голономных связей. В соответствии с принципом освобождаемо- сти от связей (см., например, [4]), движение составного тела в идеальной жидкости (система тело + жидкость + точка) можно интерпретировать как классическую задачу о движении в жидкости твердого тела (система тело + жидкость) при действии некоторых заданных внутренних сил, в общем случае зависящих от времени. Указанные силы, очевидно, представляют собой не что иное, как силы
реакции, возникающие в результате наложения связей, обеспечивающих заданное
относительное движение точки в теле.
Эта задача может исследоваться различными способами. Ниже приводится решение, базирующееся на использовании основных теорем динамики. Вначале введем необходимые обозначения, най
дем выражения для основных динамических характеристик изучаемой механической системы и выведем уравнения движения. Ограничимся случаем, когда тело симметрично (как по форме, так и с точки зрения распределения масс) относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей и совершает плоское движение. Зафиксируем в этой плоскости неподвижную систему координат (с.к.) Оху (см. рис. 1), относительно которой жидкость предполагается покоящейся на бесконечности. Пусть 01 — центр симметрии тела. Свяжем с этой точкой подвижную с.к.。1£〃 ориентированную по глав
ным осям инерции тела и занимающую поэтому в нем неизменное положение (напомним, что само тело предполагается абсолютно твердым). Иногда в целях удобства будем использовать также вспомогательную с.к. 01Ж1?/1, оси которой во время движения остаются параллельными неподвижным осям Ох и Оу.
Как известно [3], в случае безвихревого движения жидкости (что заведомо имеет место, если движение началось из состояния покоя) состояние системы тело + жидкость однозначно определяется положением и скоростью тела. В случае плоского движения тела (при соответствующем плоском движении точки т) за обобщенные координаты системы тело + жидкость удобно принять величины ж и у — координаты точки 5 — и угол g между осями 0±х± и Oi£. Положение точки т характеризуем вектором г + р, где г — радиус-вектор точки 01, а р — радиус-вектор точки т в подвижной системе отсчета. Пусть 力匕 gi — проекции вектора р на оси ж, у. Компоненты £, ?у радиус-вектора р в подвижной с.к. О代п — заданные функции времени. Зависимость между величинами 力匕 yi и £⑴，〃⑴ определяется формулами поворота на угол д:
力1 = £(土)cos g — ?у⑴ sin з gi = £(方)sin g + ?y⑴ cos g. (1)
Заметим, что соотношения (1) в явном виде описывают наложенные на систему тело + жидкость + точка две голономные связи. Таким образом, рассматриваемая механическая система определяется пятью обобщенными координатами ж, у, д, 力 1,沙1 при наличии двух голономных связей (1) и имеет, следовательно, три степени свободы.
Как обычно, обозначим точкой дифференцирование функций по времени. Тогда проекции вектора скорости точки 0± на неподвижные оси равны ж, у. Если обозначить через и и v компоненты этого же вектора в проекции на подвижные оси и ?у, то аналогично (1) имеем
⑵⑵х = и cos g — о sin g, У = и sin g + о cos g,
⑵
⑵
а также обратные соотношения
и = х cos 夕 + 沙 sin g, о = —х sin g + 沙 cos g.
Как известно [3], в рассматриваемом （плоском） случае для системы тело + жидкость кинетическая энергия может быть представлена в виде
Т（°）= I （ait? + 匆。？ + bJ）,
при этом проекции импульса Р⑼ на подвижные оси равны а】％ а?。，а момент количества движения К* относительно точки Oi равен 6幻，где 肉，。2,匕— моменты инерции тела с присоединенными массами （без учета точки т） и 幻=0.
Выпишем выражения проекций вектора импульса Р⑼ на неподвижные оси:
月°）= ai〃cos 夕—。2。sin з Р（°）= ai〃sin g +。2。cos g.（3）
Суммарный импульс P системы тело + жидкость + точка равен Р（°）+ Р^т^ = =p（°）+^（俏）.Так как вектор скорости точки т имеет компоненты
V（向= （х^х1,у + У1）ху =（〃一幻〃 + & о + 域 + 力）”，
то суммарный импульс Р =（生，修）в проекциях на подвижные оси может быть записан в следующем виде:
p = （（6h + m） ?z + m ^ -公〃），（02 + m）0+ m （力 + 公6））.（4）
Вычислим теперь полный кинетический момент системы относительно точки О:
К = Рг? {к（°）+ К（向} = Рг? {к* + [г х Р（°）] + m [（г + р） х V^）] } ,（5）
где z обозначает ось, ортогональную осям ж, у. Используя представление входящих в выражение （5） векторов в осях Оху^ находим
К = Ьш -\-х ^Р^ -Ут （у А-况）]-у ^Р^ + m （ж + 勿。]+
+ т [Ж1 ⑨ + 击）一 gi （勿 + ±i）].
Замечая, что
т^х-^-хг） = Рх- Р^\ т^у^уг） = Ру - Р^\
и используя соотношения （3）, окончательно получаем
К = buj + （х А-力 1） 4 一（g + gi） Рх +。1〃〃 -。2。&⑹
Очевидно, наложенные на систему голономные связи （1） допускают сдвиги системы тело + жидкость + точка как твердого целого вдоль неподвижных осей и вращение вокруг неподвижной оси Oz. Согласно основным теоремам динамики [4], имеют место следующие соотношения:
к%祟"，⑺
ии
и
и
⑻⑻dK “
⑻
⑻
где Fx, % — проекции суммы внешних сил на неподвижные оси Ож, Оу соответственно, а М — суммарный момент внешних сил относительно точки О. Соотношения (7), (8) определяют в общем случае систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые описывают плоское движение системы тело + жидкость + точка при заданном относительном движении точки и при заданных внешних силах.
Движение в отсутствие внешних сил. Как показано в [1], в случае, когда внешние силы отсутствуют и движение системы начинается из состояния покоя, задача является интегрируемой. Ниже такое интегрирование осуществляется в явном виде.
Итак, при отсутствии внешних сил Fx = % = М = 0. Поэтому с учетом того что в начальный момент система находилась в покое, из (7) и (8) следует, что Рх = =% = 0 (а значит, и & = / = 0), а также К = 0. В итоге из (4) и (6) получаем следующие соотношения:
+ m) 71 + т^ -攸)=0, (g + 喇 о + m (力一3) = 0,⑼
Ьз + a^ur] —。2。£ = 0.
Введем обозначения 〜 Тп 〜 Тп a1 —., a2 —.■
Ql + ma2 + тп
Выражая 〃 и о из первых двух соотношений (9):
" =31(攸一£),0 =32(3 一力)，(10)
и подставляя эти выражения в третье, получаем
幻三 S = £,(И)
где
/1 =a182依-a28*力，/2 = 6 +a282£2 +a181〃2.(12)
Правая часть соотношения (11) является заданной функцией времени, поэтому закон вращения 夕(方)подвижного репера находится простым интегрированием:
(13)(13)9⑴=go + ]专d九о
(13)
(13)
Теперь, с учетом (10), правые части соотношений (2) становятся известными функциями времени и, следовательно, координаты ж, у точки Oi находятся простым интегрированием.
Представим эти соотношения в несколько ином виде, более удобном для целей численного интегрирования. Сначала определим закон движения точки О относительно подвижной с.к. Oi^?y. Обозначим компоненты вектора г。= —г в подвижных осях через £。，ту。. Теорема сложения скоростей дает
(14)(14)Vo 三 0 = Voi+Wx Г。] + (Vo)oth・
(14)
(14)
Так как в подвижной с.к. О*//
Vo】=(〃,о),[® X г。] = (—G〃oi£o), (Vo)oth = (G，力о),
то из (14) следует
〃 -зпо + £о = °， 。+ 幻£о + 力о = 0・
Откуда (с учетом (10)) получаем
£0 = 3mo 一 g1〃)+ 3怎 Л0 =з(т。 + s2^) + 32力.
Делая замену
Z1=32£-£o，Z2=31〃-〃O(15)
и вводя обозначение 〜〜tП( d2 -a1)
приходим к системе
21 =公z2 -死色 22 =_g力+死力•(16)
Для удобства записи введем набор комплексных переменных
Z — Z] + 分之2, R =力 + by〉 Ro = £o + 分〃о， а также две комплекснозначные функции времени, характеризующие относительное движение точки:
об) = -£(方)+ 汨⑴，ет ⑴=82£⑴ + 分%〃6)•
В новых обозначениях соотношения (15) принимают вид
Z = a-Ro,(17)
а система (16) запишется как линейное неоднородное уравнение первого порядка
Z =("Z +死 0«).(18)
Решение полученного уравнения имеет вид
Z«) = 5(方)e一 夕⑴，(19)
где коэффициент S(方)=$i (方)+ г $2(方)находится из соотношения
6(方)="0(方)/0⑴，(20)
т. е. t
S«) = S(0) + ] 〃。⑴/夕⑴ dt.(21)
о
Предполагая без потери общности, что точки О и Oi в начальный момент времени совпадают (т. е. £о(0) = %(0) = 0) и что g(0) = до, получаем
s(0)= 32&0) + £%〃(0)) £夕。・
Из (17) и (19) находим
Ro(t) = a(t)- S^e-^.(22)
Соотношение (22) совместно с (21) описывает относительное движение точки О.
Теперь несложно найти абсолютное движение точки О]. Действительно, на комплексных плоскостях О"?; и Оху, повернутых на угол g относительно друг друга, комплексные числа —Ro = — (£о + i п。) и R = х -\- iy соответственно задают одну и ту же точку. Поэтому, с учетом (17), (18) и (20),
R(t) = -Яое^ = S«)-仪方)£夕⑴. (23)
Соотношение (23) совместно с (13) описывает движение тела относительно неподвижной системы координат. Проведение численных расчетов с использованием этих соотношений не вызывает трудностей. Ниже будут приведены примеры траекторий тела в жидкости в случае различных относительных движений точки.
Следуя [1], рассмотрим задачу о возможности неограниченного движения корпуса тела при периодическом относительном перемещении точки т. Пусть функции £(方)и 〃(方)имеют период Т = 2тг/а. В этом случае, согласно (11), функция ф также периодична с тем же периодом, и, следовательно,
夕⑴=А± + Ф(^),
где Л — среднее за период значение функции 九/於，определяемой соотношениями (12), а Ф(^) — некоторая функция периода Т. Из (20) следует, что S = W(^)егЛ4, где функция W периодична с тем же периодом. Используя разложение W в ряд Фурье, приходим к соотношению
S= £ %i+A)±.
При интегрировании этого уравнения при наличии резонанса n Q + Л = 0 в представлении функции S появляется, вообще говоря, ненулевой вековой член Wn 力 который в силу ограниченности слагаемого о'⑴ &屮⑴ в выражении (23) и обусловливает неограниченное удаление тела от начального (неподвижного) положения. Заметим, что простейшим вариантом резонанса является случай Л = =0.
Если же резонансы отсутствуют (т. е. n Q + Л ^： 0 при всех п), то функции S и, соответственно, R оказываются ограниченными, и поэтому тело будет совершать движение лишь в ограниченной окрестности начала координат.
Дополним проведенный анализ характерными изображениями траекторий тела, построенными по результатам численного интегрирования определяющей системы дифференциальных уравнений. Сначала проиллюстрируем резонансный случай. В [2] было показано, что са- мопересекающийся контур, показанный на рис. 2 а, является резонансным: при движении по нему точки т с постоянной скоростью реализуется условие Л = =0, а интеграл за период в правой части соотношения (21) отличен от нуля. На рис. 3 а приведена соответствующая траектория «движения» точки О в подвижных осях Oi^?7 (на рис. 3 для на
глядности отложены значения —%). Смещение тела за период равно b = WqT * 0, и тело в целом смещается вдоль прямой линии, удаляясь с постоянной скоростью от начального положения. Направление указанной линии зависит от параметров тела.
Рис. 3Рис. 3Траектория, показанная на рис. 3 5, отвечает резонансному контуру типаТраектория, показанная на рис. 3 5, отвечает резонансному контуру типагладкой восьмерки, изображенному с постоянной скоростью. Качественно картина движения системы не меняется. Этот случай интересен тем, что в отличие от контура с углами здесь функции £（力），〃（力） гладкие. На рис. 4 в сопоставлении показаны графики изменения во времени обобщенных координат тела £о，— ^о，3 при движении точки по контуру типа восьмерки в резонансном случае （рис. 4 а） и в нерезонансном （рис. 4 5）. Последний вариант реализован посредством уменьшения радиуса одной из окружностей «восьмерки». Наглядно проявляется различие в характере изменения во времени функции 夕（力）：в резонансном случае тело совершает колебательное движение, а в нерезонансном —
Рис. 3
Рис. 3
Траектория, показанная на рис. 3 5, отвечает резонансному контуру типа
Траектория, показанная на рис. 3 5, отвечает резонансному контуру типа
Рис. 4Рис. 4вращательное.
Рис. 4
Рис. 4
Траектория движения тела в нерезонансном случае приведена на рис. 5. Отметим, что при приближении к условию резонанса — в данном случае при сближении радиусов двух окружностей «восьмерки» — неограниченно увеличивается
1，5["о
Рис. 5
«радиус кривизны» каркаса траектории, по которой с колебаниями относительно небольшой амплитуды перемещается центр тела Oi. Вследствие этого на соответствующих конечных отрезках времени траектории движения тела в резонансном и нерезонансном случаях становятся практически неотличимыми.
Ускоренные движения тела. Обратим внимание на одну важную особенность исследуемой системы в рассмотренном выше случае, когда на тело не действуют внешние силы и когда движение начинается из состояния покоя. Оказывается, траектория движения тела однозначно определяется лишь видом траектории относительного движения точки m и не зависит от скорости движения вдоль этого пути.
Более точно соответствующее утверждение формулируется следующим образом. Пусть известно движение системы 夕⑴，R⑴，когда относительная траектория точки т задается функциями £(力)，〃(力)，определенными при 0 ，力，％*. Тогда, если точка проходит ту же траекторию, но с другой скоростью (т. е. движение точки описывается функциями £(%(%)), 〃(％(%)), где функция т —> %(т) монотонная), движение системы описывается функциями g (%(%)), R (%(%)).
Отметим далее следующую качественную особенность движения тела в резонансном случае. Определим «эффективную» скорость тела в случае движения точки т с постоянной скоростью по замкнутому контуру 7 как ve(t) = R(力)/力. Если при А = 0 смещение тела за период Т равно
bo = R(T) - R(0) ^ О,
то очевидно, что при 力一> оо
%(•)=*+竽
Таким образом, тело будет смещаться вдоль соответствующей прямой линии в среднем со скоростью Ьо/Т.
Как непосредственно вытекает из сказанного выше, при движении точки т по тому же контуру 7 с большей скоростью тело получит то же смещение 歸 но это произойдет за меньшее время. Отсюда немедленно следует, что, заставляя точку проходить один и тот же «резонансный» контур за все уменьшающиеся промежутки времени, можно добиться ускоренного движения тела в целом.
Рассмотрим, например, следующий закон движения точки. Пусть точка движется с постоянной скоростью по замкнутому резонансному контуру и совершает один «оборот» за время Т. Затем точка совершает два оборота с удвоенной скоро-
стью и т. д. На n-м цикле точка совершает п оборотов со скоростью, превышающей начальную в п раз.
Подсчитаем эффективное ускорение тела. За время tn = пТ смещение тела (по прямой) равно 6п = (п -\- 1)п6о/2. Эффективная скорость тела на n-м цикле равна vn = пбо/Т = (bo/T?) tn. Предполагая на этом основании движение тела равноускоренным с эффективным ускорением ае = 601T?、найдем соответствующее смещение за время tn: b = aet^/2 = п26о/2, что при достаточно больших п совпадает с величиной 6п, подтверждая тем самым предположение об ускоренном характере движения тела в рассмотренном случае.
Подчеркнем, что реальная «тяговая» сила создается за счет неограниченного увеличения энергии относительного движения точки т.
Движение в однородном силовом поле. Усложним задачу и будем считать, что система тело + жидкость + точка находится в поле силы тяжести. Пусть F — постоянная по величине и направлению сила, действующая на рассматриваемую систему; считаем, что эта сила направлена против оси у.
Как следует из результатов п. 4, за счет подходящего движения точки т внутри корпуса под действием внутренних сил тело может постоянно подниматься вверх. При этом энергия относительного движения точки т возрастает со временем. Напротив, оказывается, что если относительная скорость точки т ограничена (т. е. ограничены функции £(力)и 力(力))，то у(力)—> —оо при 力一> оо. Таким образом, тело в итоге будет падать вниз при сколь угодно малой силе F.
Докажем это утверждение. Из (7) следуют соотношения А =0, А = —F. Немного расширяя задачу и считая, что в исходном состоянии (до начала движения точки) тело имело некоторый импульс (ci, С2)Ж2/, получаем, что R = °ь 马= =—Ft + С2, где ci, С2 = const. Сдвигом начала отсчета времени всегда можно добиться, чтобы в = 0. Обозначим ci = с.
Рассматривая импульс в проекциях на подвижные оси, с учетом (4) находим
(。1 + т) и + т^ — з* — с cos (р — Ft sin g,(24)
(。2 + m) о + Til (力 + 幻£) = —c sin (p — Ft cos g.(25)
Нас интересует движение тела по вертикали, поэтому воспользуемся вторым из соотношений (2): у = и sin (р + ocosg. Выразив из (24) и (25) 〃 и о, получим .т, с cos 夕 sin 夕m
c sm 夕 cos 夕 D sm2夕 cos2 r с1.
a^ + m+ m 曲 +
Выражение в квадратных скобках не меньше значения А, где
Л = min ,.
+ m @2 +
Следовательно, интеграл от последнего слагаемого в (26) стремится к —схэ по крайней мере не медленнее, чем XFt2/2.
Согласно предположению, функции £ и 力 ограничены. Следовательно, сумма остальных слагаемых в ^, не содержащих 0, ограничена. Поэтому интеграл от этих слагаемых по интервалу [0, t\ растет не быстрее линейной функции 力 т. е. ограничен некоторой функцией 〃力.
Далее, оценим интеграл от суммы слагаемых, содержащих 0:
-j 〃 (cos 9)・ + 二 £ (sin ⑴] о
=-£ Sin「(3‘ 力 + 吧吆 6 d 九(27)
0
Так как £, ?y ограничены (точка m всегда находится внутри тела) вместе со своими производными £,力(кинетическая энергия относительного движения ограничена), то сумма (27) не превосходит величины % + 〃2 力 где 〃ь 〃2 — некоторые положительные константы.
Итак, g(力)，以 + (沙2 + 川)力2-•
Остается заметить, что правая часть этого неравенства стремится к — оо, когда Z —>(X).
Движение тела, порождаемое случайным блужданием внутренней точки. Открытым остается вопрос о характере движения тела в отсутствие внешних сил, когда внутренняя точка перемещается по траектории «общего вида». В первую очередь, интерес вызывает случай движения точки с ограниченной скоростью. Для исследования задачи в первом приближении применим вероятностный подход, когда в качестве траектории общего вида рассматривается случайная траектория. В качестве иллюстрации приведем результаты численных расчетов траекторий движения тела, которые порождаются случайными перемещениями точки внутри корпуса.
Ограничимся следующей постановкой. Пусть точка совершает случайное блуждание (см., например, [7]) по узлам квадратной сетки, ориентированной по осям подвижной системы координат. Предположим, что за один шаг точка перемещается из текущего узла в один из соседних, при этом на четных шагах движение происходит вдоль одной из координатных осей, а на нечетных ——вдоль другой (с вероятностью 0,5 в положительном или отрицательном направлении). Закон движения принимается одинаковым для всех шагов. Чтобы обеспечить нахождение точки внутри корпуса, при проведении расчетов используется схема с отражением. Ограничим область возможного движения точки т квадратом с центром с точкой Oi，После попадания точки на сторону указанного квадрата ее перемещение за пределы квадрата запрещается: на шаге, когда направление движения точки перпендикулярно границе, точка с вероятностью 1 перемещается внутрь квадрата.
В расчетах размер квадрата был принят равным 20 линейным единицам (шагам). Как было показано выше, конфигурация траектории тела зависит от конфигурации траектории точки и не зависит от «скоростного режима» движения точки. Для удобства реализации процедуры численного интегрирования определяющей системы был выбран следующий режим движения точки т: в узлах точка покоится (а это означает, что и вся система тело + жидкость + точка находится в состоянии покоя); от исходного узла до середины отрезка, вдоль которого перемещается точка, движение является равноускоренным, а затем — равнозамедленным.
%
6
Рис. 6
■40
б
Рис. 7
Сформулированная задача описывается теми же соотношениями (20), (13) с той лишь разницей, что при их численном интегрировании значения функций £(力)， 〃(力)，£⑴，力⑴，задающих относительное движение точки т, вычисляются с учетом случайного выбора направления движения. В соответствующей компьютерной программе для этих целей используется датчик случайных чисел.
На рис. 6 построены примеры графиков изменения во времени расстояния от центра тела до исходного положения при следующих значениях параметров:肉= =1,。2 = 7, 6 = 10, ттг = 1. На рис. 7 приведены соответствующие траектории движения тела.
В каждом расчете точка т совершала от 3 • 106 до 6 • 106 шагов. Небольшое количество проведенных расчетов — достаточно длительных по времени — составляет слишком малую статистическую выборку, чтобы на ее основе можно было сделать сколько-нибудь обоснованные выводы статистического плана. Тем не менее можно отметить следующие качественные результаты: во-первых, при увеличении длительности «наблюдения» (числа шагов) явно наблюдается увеличение максимального расстояния, на которое перемещается тело, и, во-вторых, в большинстве реализаций имеет место возврат траектории в область начала координат. Заметим, что такое поведение соответствует свойствам классического случайного блуждания на плоскости [7], траектории которого, как известно, возвращаются в сколь угодно малую окрестность начала координат с вероятностью 1.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта «Ведущие научные школы» (00-15-96146) и Программы «Интеграция» (проект А-00-97).
Список литературы
Козлов В. В.)Рамоданов С. М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // ПММ. 2001. №4. С. 592-601.
Козлов В. В., Рамоданов С. М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и меняющейся геометрией масс // ДАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 478-481.
Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947.
Кирхгоф Г. Механика. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.
Miloh 71., Galper A. Self-propulsion of general deformable shapes in a perfect fluid // Proc. R. Soc. bond. A. 1993. V. 442. P. 273-299.
Galper A., Miloh T. Dynamic equations of motions for a rigid or deformable body in an arbitrary non-uniform potential flow field //J. Fluid Meeh. 1995. V. 295. P. 91-120.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. 1984. Т. 1. — М.: Мир.
ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДАМ. В. ОСТРОГРАДСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМС ОДНОСТОРОННИМИ связями
А. С. Кравчук
Московская государственная академия приборостроения и информатики
Введение. Исследуется задача о контактном взаимодействии подвижного штампа с деформируемым твердым телом. Одним из важных технических приложений контактных задач является определение механических свойств материалов по Бринелю, Рокуэллу и др. Первая математическая модель такого типа была построена А. Ю. Ишлинским [1, 2] применительно к проблеме идентификации упруго-пластических свойств металлов.
В связи с развитием вычислительной техники и численных методов появилась возможность решения задач идентификации внутренних физико-механических свойств и геометрических параметров неоднородных деформируемых тел [3-5] по результатам неразрушающих испытаний. По постановке эти задачи относятся к обратным задачам математической физики [6]. Методы их решения опираются на идею минимизации рассогласования между результатами экспериментальных измерений и теоретическим прогнозом и поэтому во многом аналогичны методам решения задач оптимизации конструкций [7].
Оценка рассогласования результатов теории и эксперимента, называемая также функцией цели, в общем случае является некоторым функционалом. Функция цели минимизируется при ограничениях в форме равенств в случае, когда не используется априорная информация о границах изменения аргументов функционала, а условия равновесия (или движения) и граничные условия не содержат неравенств.
Очевидно, что неразрушающие механические испытания могут быть только контактными с применением гладких штампов, поскольку наличие острых кромок неизбежно приведет к появлению необратимых деформаций и, возможно, разрушению. Если по постановке задачи необходимо контролировать (задавать) перемещения, то жесткость штампа должна намного превышать жесткость исследуемого тела. Следовательно, математические модели механических неразрушающих испытаний приводят к контактным задачам с жестким индентором (штампом) с неизвестной заранее областью контакта и неизвестными усилиями контактного взаимодействия. Эти модели, помимо обычных дифференциальных уравнений равновесия (или движения) в области, занимаемой деформируемым телом, и граничных условий в виде равенств, содержат условия в форме неравенств. Неравенства, которым подчиняются искомые функции, отражают требование непроникания граничных точек одного тела внутрь другого, а также условие неположительности нормального давления — отсутствия растягивающих усилий в области контакта. Следовательно, задача идентификации в указанной выше постановке в общем случае сводится к минимизации функции цели при ограничениях в форме неравенств.
Таким образом, прежде чем приступать к решению идентификационных задач, необходимо иметь корректную модель контактного взаимодействия.
Базой для построения таких моделей были модели, созданные для систем с конечным числом степеней свободы. Для систем с конечным числом степеней свободы переход от двусторонних (удерживающих) связей к неудерживающим, или односторонним, был выполнен впервые Фурье.
Модель контактной задачи как системы с неудерживающими связями была предложена впервые А. Синьорини [8, 9], который исследовал равновесие линейно упругого тела в жесткой гладкой оболочке. Исследование проблемы существования и единственности решения было дано в работах Г. Стампаккья, Ж.-Л. Лионса и Г. Дюво и др. [10]. Анализ возможных форм условия непроникания выполнен в работе [11]. Здесь же даны обобщения на задачи о контакте нескольких деформируемых тел, динамические контактные задачи, задачи с учетом трения и адгезии.
Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования.
Как и в статических задачах, основой теории динамического контактного взаимодействия является теория движения систем с неудерживающими связями с конечным числом степеней свободы. Последняя была разработана М. В. Остроградским [12] и завершена в работах Майера и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, основанный на отбрасывании связей, не оказывающих влияния на систему. Тем самым задача была сведена к классической задаче интегрирования уравнений движения систем с удерживающими связями.
Главным в построенной теории был алгоритм отбрасывания несущественных в данный момент связей, указанный впервые именно М. В. Остроградским. К сожалению, в последующих публикациях акцент зачастую делался не на приоритетных достижениях М. В. Остроградского, а на одной неточности развитой им теории, связанной с определением состояния системы в начальный момент времени. Алгоритм М. В. Остроградского основан на утверждении о том, что в данный момент времени на движение системы влияют только те неудерживающие связи, которые в данный момент работают как удерживающие, причем относительные скорости и ускорения в точке, в которой движение ограничено данной связью, равны нулю [12].
Эта идея была использована в работе [13] для исследования динамической задачи о контакте деформируемого твердого тела с абсолютно жестким штампом, причем штамп считался неподвижным и учитывалось трение в области контакта. Для решения задачи был использован принцип возможных скоростей Журдена. Если уравнение поверхности штампа задается уравнением
屮⑺=0, ⑴
причем, по построению, функция Ф(ж) < 0 для точек ж, находящихся внутри штампа,屮⑺ > 0 для точек, внешних по отношению к штампу, то ограничения на кинематически допустимые скорости 6й = v — й будут иметь вид
6也裟》0 Vee (2)
где через 注 обозначено множество точек границы Е деформируемого тела Q, определяемое — в соответствии с принципом М. В. Остроградского — по формуле 况=｛力I力 С Е; Ф(ж + и(х,力))=0; ^^- й^ (ж,力)=
=°；(嬴?"泣3 + 器也)(2")= °｝， (3)
точкой в формулах (2)-(3) обозначена производная по времени, повторяющиеся индексы означают суммирование в соответствующих пределах изменения индекса.
С использованием ограничения (2) было построено квазивариационное неравенство, отражающее принцип возможных скоростей и описывающее эволюцию деформируемого тела во времени, доказана теорема единственности решения, предложен алгоритм решения и доказана его сходимость — эти результаты собраны в монографии [11].
Для динамической идентификации наиболее важной является задача об ударе штампа (или системы штампов) по деформируемому телу. В данной работе дано обобщение сформулированных выше результатов на случай подвижного штампа в динамике и сформулирована задача идентификации.
Динамическая контактная задача с подвижным штампом. Пусть имеется линейно упругое тело, занимающее область Q С Rn, п = 2,3, с границей АП = Е, характеризуемое тензором модулей упругости 4а = ‘6(力),ж е Q； индекс «4» слева означает четвертый ранг тензора, тензоры второго ранга ниже будем помечать просто «крышкой» (без индекса «2»).
Будем предполагать, что Е = Х〃 U 夕^ U Х。，где 夕〃 一закрепленная часть поверхности, на которой и(х)\^и = 0; через 〃 = и(х,力)обозначен вектор перемещений, ж ——радиус ——вектор точки области Q, ниже обозначаемый также через R.
На части % предполагаются известными поверхностные усилия, плотность которых будем обозначать Р = Р(ж):
3(虱"))•"血=p⑺,ж ё е^,⑷
где 〃 = 〃(力)——вектор единичной внешней нормали к поверхности 夕^, зависимость 3(虱〃))определяется законом Гука
3(虱"))=七••虱 ").(5)
Точка в условии означает операцию скалярного умножения тензора модулей упругости на вектор 〃 справа (в компонентах — умножение матрицы на вектор — столбец справа); двойная точка в уравнении (5) означает двойное скалярное произведение (свертку) пары тензоров.
Зависимость 虱〃)определяется соотношениями Коши:
虱〃)= 0,5(Х7〃 + Х7〃т),(6)
где V — оператор Гамильтона, индекс «Т» означает операцию транспонирования. Уравнения движения имеют вид
V ^а^и)]^ pF = р^,(7)
где р — плотность материала, й — ускорение, F — плотность объемных сил.
Зададим — как и выше — уравнение поверхности жесткого штампа в момент времени 力=0 уравнением
W(力⑼)=Ф(ж, g, z) = 0,(8)
где (力,g,z)——компоненты вектора 力(°)точки р относительно неподвижной системы отсчета. Свяжем с подвижным штампом координатную систему, совпадающую с отсчетной в момент времени 力=0. Зададим положение жесткого штампа в момент времени t смещением начала подвижной координатной системы в точку с радиус — вектором Ro и ее поворотом относительно неподвижной системы при помощи матрицы [А ], элементы которой выражаются через углы Эйлера. Имеем
x(t) = R = Ro-\- [Д]г, 丁 = (£,〃，)•⑼
Примем прежние предположения относительно функции Ф(ж): для точек, расположенных внутри штампа, значение функции Ф(ж) < 0, для внешних точек значение этой функции положительно. По построению, в переменных 丁 = (£,〃, С) уравнение поверхности штампа имеет вид (8). Поскольку
r = [A]~1(R- Ro),(Ю)
то к соотношениям (4)-(8) прямой задачи добавляются следующие условия на части поверхности 纥：
условие непроникания
W{[*T(R - &> + 〃(R))}》0 VR С 纥；(11)
условие отсутствия растягивающих усилий и трения в области контакта
aN，0, aN = а • I/, а = а - у^ ат = а — aNu = 0 VR С Ес; (12)
условие дополнительности
W{[*T(R — Ro + u(R))}aN(R) = 0 VR G ”.(13)
Для постановки прямой динамической контактной задачи с подвижным штампом воспользуемся понятием торсора [14].
Пусть ^Т ——кинематический торсор, ST ——силовой (стенический) торсор, записываемые через элементы приведения как матрицы-столбцы. Элементами приведения кинематического торсора являются вектор 方 скорости некоторой точки р тела и вектор Q мгновенной угловой скорости; скорость любой точки q тела равна:
力(#q)=力(力р) + Q X ^pq ? ^pq = ^q 一 ^p •(14)
Элементами приведения стенического торсора являются главный вектор Fp(t) и главный момент Мр сил, действующих на штамп.
Прямая контактная задача для подвижного штампа, воздействующего на линейно упругое тело, заключается в том, чтобы найти зону контакта, усилия контактного взаимодействия, напряженно-деформированное состояние тела Q и стенический торсор штампа по заданному кинематическому торсору (эти торсоры в постановке задачи могут меняться местами в зависимости от того, каков характер измерений в эксперименте) из соотношений (4)-(7), (11)-(13).
Вариационная формулировка. В работе [13] доказана теорема о том, что решение динамической контактной задачи с учетом трения, сформулированной в п. 1, эквивалентно решению следующего квази-вариационного неравенства:
а(% $〃)— L(6u) + j /匕~(〃)1(1 方夕丁1 — 1〃т|) dQ ^ ^ рй • 6й dQ, (15) QQ
Vba = v — й, а е ки^ V е ки^ 〃 е к,
где:
а(й, V)= 3(")..6(") СЮ,(16)
/ — коэффициент трения,
L(u) = ] 0R • 〃da + j Р ・ud£(17)
QПег
К — множество кинематически допустимых полей перемещений — удовлетворяющих условию закрепления на части границы Х〃 и условию непроникания на части границы Ес, Ки — множество допустимых полей скоростей (удовлетворяющих ограничению (2)).
В исследуемой в настоящей работе задаче с подвижным штампом квази-вариационное неравенство, эквивалентное сформулированной выше прямой задаче, имеет вид (15), однако множества К и Ки будут другими: К — множество кинематически допустимых полей перемещений 〃，определяется по формуле
W{[4]T(R — Ro + 〃(R))}》О VR е ”，(18)
отражающей требование непроникания; в линеаризованном варианте имеем
屮=W{[4]T(R - Ro 〃)} t W(R - &> + 〃 + 彳• R) t
—W(R) + ▽五屮1?7=0 • 〃》0,(19)
где ?у = —Ro + 〃 + 4'• R — вектор относительных малых перемещений, A t Е + + 4, Е — единичная матрица, 4 — матрица, полученная из матрицы поворота путем линеаризации элементов матрицы А по углам Эйлера.
Множество кинематически допустимых полей скоростей определяется по формуле
Ки = {例方=й(х,力)+ 5щ \7аФ(«) • ([А]-1 • Ь〃)^ 0, Уж е Е^|,(20)
где
^ = I^R\Re^cc^ = аа； w(a(R)) = о； °w片》•(彳•(R — R。+ 〃)+
+ N・(一左0 + 〃)) = 0;絮^? Y& * &) + %,)•屯=0; }, N = [4]T. (21)
16 Проблемы механики
Здесь а = [А]-1 • (R — Ro + 〃)，R -\- и — радиус-вектор точки деформированной поверхности тела, точка наверху означает производную по времени, двойная точка — вторую производную по времени; символ «0» — операция диадного умножения — образования тензора второго ранга из пары векторов.
Вывод формул (20), (21) осуществляется по той же схеме, что и вывод соответствующих формул для задачи с неподвижным штампом.
Решение 〃 = 〃(7) = и(х, t) принадлежит пространству W(0, Т), определение которого можно найти в [15] и которое было использовано при доказательстве теоремы существования прямых контактных задач с учетом трения в работе [13].
Если по постановке задачи известны нагрузки, воздействующие на подвижный штамп, то вместо пространства W(0, Т) необходимо использовать прямое произведение данного пространства на евклидово пространство Rn，几=2 или п = =3, которому принадлежат кинематические характеристики движения штампа. К квази-вариационному неравенству (15) необходимо присоединить уравнения (или неравенства), описывающие движение жестких штампов, воздействующих на тело Q.
Задача динамической идентификации. Предположим, что речь идет о параметрической идентификации, когда тензор упругих модулей зависит от некоторой совокупности числовых параметров X = (X】，X?,…，Х^/). Такая ситуация имеет место для кусочно-однородных материалов, а также для материалов со сложными определяющими соотношениями, содержащими параметры, подбираемые из эксперимента. Отметим, что в общем случае при решении конкретных задач необходимо производить переход именно к параметрической идентификации, используя аппроксимации искомых функций (по методу конечных элементов, конечных разностей и т. д.). Таким образом, имеем: 4а = ^а(Х). Очевидно, что параметры, задающие внутреннее строение тела Q (топологию), можно включить в зависимость 4а = 4&(Х); например, при наличии кругового отверстия с неизвестным положением центра и неизвестным радиусом внутри отверстия тензор 七=4&(х) = 0, а указанные характеристики отверстия включаются в вектор X.
Введем в рассмотрение систему базисных экспериментов в количестве ^exp5 результаты отдельного эксперимента будем помечать индексом «е». Эксперимент номер «е» характеризуется стеническим торсором с элементами приведения FpG\ М^ \ соответствующее смещение и поворот (в случае независимости работы от пути) обозначим через 成°)= U©,幻①).Введем совокупность измеряемых в опыте реакций
А(е) — / А(е) р(е) р(е) \
Очевидно, что элементами данной совокупности являются не только величины 小 J М^ (ИЛИ 1/^е)…(叫，НО ими могут быть некоторые дополнительные параметры, например смещения отдельных точек деформируемого тела. Введение таких дополнительных параметров позволяет повысить точность идентификации и уменьшить влияние погрешностей измерений. Пометим истинные, неизвестные заранее и подлежащие идентификации параметры индексом «V», этим же индексом пометим все соответствующие параметрам Xv величины:般(е), kTV(e) и Т. Д.
Для постановки обратной задачи необходимо ввести целевую функцию (или функционал) R(X, Xv) — оценку рассогласования между измеренными в опыте
величинами и теоретическим прогнозом. Она может быть локальной (по отношению к временной переменной), например:
Nexp
R = Q(X,XD= £ 阀 е)(力 X)—般(е)(力)|2,力 G0T],(22)
или интегральной, представленной интегралом от выражения (22); в случае применения энергетической нормы можно использовать функционал
Т N
R = £(X,X)= [ £ \кТ^\Х,т) • sT^\X.t) - Wv^\dr, (23) 0』
где Wv^ ——мощность внешних воздействий, измеряемая в эксперименте.
Задача динамической идентификации параметров линейно упругого тела и параметров трения на контактной поверхности на основе результатов неразрушающих испытаний контактного типа с учетом сил трения заключается в том, чтобы найти параметры X = Х^ путем минимизации функционала (22) (или (23)), в которых наблюдения 兄⑥ = R©(X, 〃(叫力)，位⑥ ⑴)определяются решением квази- вариационного неравенства (15) (или — в случае задания силовых воздействий на штамп — системы неравенств, о которых говорилось выше).
Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> R(X), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по- видимому, пока не решена.
Отметим, что идентификацию коэффициента трения или — в более общем случае — идентификацию параметров закона трения производят обычно путем использования данных квазистатических экспериментов. В этом случае в определении множества 注 выпадает последнее уравнение, в квазивариационном неравенстве (15) выпадает слагаемое, отвечающее силам инерции, а теоремы, дающие математическое обоснование постановки задачи, доказываются на основании соответствующих теорем из теории оптимального управления параболическими системами.
Отметим также, что поскольку индентор является подвижным, то постановка задачи должна включать уравнения, позволяющие определить кинематический или стенический торсор. Следовательно, пространство функций, в котором разыскивается решение, нужно определять как прямое произведение введенных выше пространств и шестимерного пространства торсоров (см. выше). Пусть, для определенности, задаются силы, действующие на индентор. Тогда в определение множества кинематически допустимых полей в этом пространстве будут присутствовать вариации 6 Ro скоростей смещений начала подвижной системы отсчета и вариации скоростей углов Эйлера, определяющих вариации матрицы вращений [А].
Настоящая работа была выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 02-01-00789, НТП «Фундаментальные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», проект Е 02-4.0-181.
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бреннеля // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 3. С. 201-224; Прикладные задачи механики. 1988. Т. 1. — М.: Наука. С.17-42.
Ишлинский А. Ю.、Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Bui Н. D. Introduction aux problemes inverses en mecanique des materiaux. — Paris: Eyrolles, 1993. — 215 p.; Буи X. Д. Введение в теорию обратных задач механики материалов. — Караганда: Карагандинский Госуниверситет, 1997. — 379 с.
Constantines си A. On the Identification of Elastic Moduli from Displacement — Force Boundary Measurements // Inverse Problems in Engineering. 1995. V. 1. P. 293-313.
Кравчук А. С. Об определении линейных и нелинейных свойств неоднородных материалов // Математическое моделирование систем и процессов. — Пермь: ПГТУ, 2001. № 9. С. 67—77.
Тихонов А. Я., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. - 285 с.
Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. — М.: Наука, 1986.——302 с.
Signorini A. Sopra alcune question! di elastostatica // Atti Soc. Itai. Progr. Sci. 1933. P. 513-533.
Signorini A. Question! di elasticitanon linearizzata о semilinerizzata // Rendi di Matem. E delle sue appl. 1959. V. 18.
Duvaut G., Lions J.-L. Les inequations en mecanique et en physique. — Paris: Dunod, 1972; Дюво 77, Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.— 383 с.
Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. — М.: МГАПИ, 1997. - 345 с.
Остроградский М. В. Полное собрание трудов. 1961. Т. 2. — Киев.: Изд-во АН УССР. С. 32-59.
Кравчук А. С.К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 1. С. 122-129.
Germain Р. Cours de mecanique des milieux continues. — Paris: Masson, 1973; Жермен П. Курс механики сплошных сред. — М.: Высшая школа, 1983. — 399 с.
Lions J.-L. Control optimal de systemes gouvernes par des equations aux derivees par- tielles. — Paris: Dunod, 1968.; Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
ДВЕ ПРИЧИНЫ ПРОЯВЛЕНИЯ МАСШТАБНОГОФАКТОРА ПРИ ОПИСАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХСВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР
А. М. Кривцову Н. Ф. Морозов
Институт проблем машиноведения РАН
Масштабный фактор оказывает существенное влияние на физико-механические свойства наноструктур. Это подтверждается и экспериментальными данными, и теоретическими исследованиями. Существует несколько причин, приводящих к изменению свойств материалов при переходе от макроскопического описания к рассмотрению в нанометровом масштабном диапазоне. Здесь мы остановимся на двух, наиболее существенных причинах:
дискретность наноструктур;
Наличие поверхностных напряжений;
Рассмотрим эти причины подробнее.
Дискретность. Наноструктуры принципиально дискретны, они могут содержать всего несколько слоев атомов. В этом случае континуальное описание, применяемое в макроскопической механике, может использоваться только с очень серьезными поправками. Сложность здесь состоит не только в расхождениях между решениями дискретных и континуальных уравнений, но еще и в принципиальной неоднозначности определения ряда макроскопических понятий для дискретных систем. Прежде всего это относится к понятию размера нанообъекта. Действительно, как корректно определить объем системы из двух атомов? Указанная неоднозначность присуща всем величинам, в определении которых существенно используется понятие размера (например, напряжения, упругие модули и т. д.) [1, 2]. В зависимости от способа определения размера нанообъекта, значения соответствующих механических величин могут изменяться в несколько раз. Так, для нанокристаллической полосы, содержащей два слоя атомов, модуль Юнга может различаться, в зависимости от способа его определения, более чем на 100 % [1]. Отметим, что даже для величин, определяемых однозначно, отклонение от макроскопических значений может быть очень существенно. Так, в упомянутой задаче коэффициент Пуассона оказывается почти в два раза меньше своего макроскопического значения.
Поверхностные напряжения. Доля поверхности при уменьшении размера объекта увеличивается, что приводит к значительному усилению поверхностных эффектов при приближении к нанометровому масштабному уровню. Для особо тонких кристаллов практически все атомы находятся на поверхности, что свидетельствует о том, что именно поверхностные напряжения ответственны за упругие модули материала.
Сравнительный анализ показывает, что поверхностные эффекты, вообще говоря, меньше влияют на масштабный фактор, чем эффекты, связанные с дискретностью. Так, например, в простейшей модели кристалла (простая кристаллическая решетка, парные центральные силы, взаимодействие только между ближайшими
соседями) поверхностные напряжения вовсе не возникают, однако явления, связанные с дискретностью, приводят к существенному изменению в значениях модулей упругости. Возникновение поверхностных напряжений в подобной модели возможно только при учете взаимодействия атомов второй координационной сферы, что, для взаимодействий, быстро убывающих на расстоянии, может внести только относительно небольшую поправку к изменениям модулей, вызванным дискретностью. Так, для двумерной двухслойной полосы при взаимодействии Леннарда- Джонса, отклонение, вызванное учетом поверхностных напряжений, составило всего 4,5 % [2]. В трехмерном случае вклад поверхностной энергии более существенный, так, согласно [3], для двухслойного кристалла алюминия соответствующее изменение модуля Юнга составляет 19 %. Однако это все равно значительно меньше эффекта, связанного с дискретностью, приводящего к двукратному изменению упругих модулей [1, 2].
Рис. 1
Двухслойный нанокристалл. В качестве примера проявления масштабных эффектов рассмотрим двухслойную монокристаллическую полосу, изображенную на рис. 1. Полоса считается бесконечной в направлении ж, задача рассматривается в двумерной постановке, частицы взаимодействуют посредством некоторого парного потенциала, стрелки на рис. 1 указывают на частицы, с которыми учитывается взаимодействие выделенного атома. Удельная потенциальная энергия взаимодействия, приходящаяся на единицу объема, может быть записана в виде
U = UQ %) = ^ 依* + р (； °2 + %2)+ р ©。2 + %2)卜⑴
где а — расстояние между частицами внутри одного слоя; h — расстояние между слоями; Р(г2) — потенциальная энергия взаимодействия атомов, представленная как функция квадрата расстояния между ними; % — объем кристалла в отсчетном положении, приходящийся на одну частицу. Первые два слагаемых в (1) соответствуют взаимодействию между ближайшими соседями по кристаллической решетке, третье слагаемое отвечает взаимодействию с атомами второй координационной сферы. В качестве отсчетного положения полосы возьмем ее равновесное состояние, при котором суммарная сила взаимодействия между частицами в сечении, перпендикулярном ж, равна нулю. Значения а и h в отсчетном положении определяются из решения системы уравнений равновесия dU/да = О, dU/dh = О, которая, с учетом (1), может быть приведена к виду
Р(М) + р (；。2 + %2)= °, р (； 〃2 + %2)+ Р © а? + %2)= °,⑵
где штрихом обозначена производная функции по ее аргументу. Определим модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона 〃 полосы при ее растяжении в направлении х.
Согласно [2] справедливы формулы
зё； %e13e2'" deide2 / аё了
где £i и 金2 — деформации полосы в направлениях 力 и у, соответственно, определяемые как относительные отклонения расстояний а и % от их отсчетных значений. С учетом уравнений равновесия соотношения (3) могут быть приведены к виду
牙 _ 4状 /д2и д2и / д2и/д2и _ 夕 д2и /д2и 小
где p = d, q =廿.Вычисление производных дает следующие выражения для модулей упругости:
ё=等(/ + 4^)一 =系a+ ^)，⑸
G =片①)，G2 = РП (^о2^ %2), Сз = Р' (3? + 状)•
Здесь в качестве а и h должны использоваться их отсчетные значения, полученные из решения системы уравнений (2), удельный объем представлен в виде Vo = а"/2, где Н — толщина полосы.
Первое приближение. Рассмотрим приближенное решение уравнений равновесия (2), соответствующее взаимодействию только ближайших соседей по кристаллической решетке. Предположим, что потенциал взаимодействия быстро убывает на расстоянии. Тогда в первом приближении можно отбросить в выражении для потенциальной энергии (1) последнее слагаемое, отвечающее за взаимодействие с атомами второй координационной сферы. В этом случае во втором из уравнений равновесия (2) пропадет второе слагаемое, что сразу же приводит к решению: а = a。，h = hg = \/^ ао/2, где а。— расстояние, на котором реализуется минимум потенциала взаимодействия: Р(*) = 0. Тогда в формулах (5) имеем Gi = G2 = С/唸 где С — жесткость межатомной связи (вторая производная от потенциала взаимодействия по расстоянию, вычисленная в точке минимума потенциала). Подстановка полученных соотношений в (5) с учетом G3 = 0 приводит к следующим значениям для модулей упругости:
口 _ 2九0 口 ― _ 1 口 _ 2д/3 е /л\ 石--e8,沙-沙00 - g； e8 — 一2 — C (6)
Здесь Eg и 〃8 — значения упругих модулей для бесконечного кристалла с учетом взаимодействия только между ближайшими атомами. Рассмотрим выражение для модуля Юнга. Если взять в качестве толщины полосы " = %, что представляется наиболее естественным согласно рис. 1, то значение модуля Юнга окажется в два раза больше своего макроскопического значения. Ситуацию можно исправить, если положить Н = 2%, тогда значения совпадут. Подобная неоднозначность в определении модуля Юнга связана с принципиальной неоднозначностью определения размеров дискретных объектов [1, 2]. Отметим, что, как показано в [2], невозможно устранить влияние дискретности одновременно для всех механических характеристик — оптимальный выбор определения для одной макроскопической величины не влияет на масштабный эффект для другой или
даже может привести к его усилению масштабного эффекта для другой. Коэффициент Пуассона, в отличие от модуля Юнга, находится однозначно (в его определении не используется понятие размера), и совпадает со своим макроскопическим значением. Отметим, что в рассмотренном приближении масштабный эффект, связанный с поверхностными напряжениями, не учитывался, а проявлялся лишь масштабный эффект, связанный с дискретностью.
5. Численное решение. Рассмотрим в качестве примера потенциал Леннарда-Джонса:
где а。一 расстояние, на котором достигается минимум потенциала, D — энергия связи. Точное численное решение уравнений равновесия (2) для потенциала (7) дает а = 0,996 114ао, % = 0,998 646%. Относительное отклонение полученных значений от а。и ho невелико — соответственно 0,39 % и 0,13 %. Подстановка полученных значений а и % в формулы (5) дает точные значения для модуля Юнга и коэффициента Пуассона, которые могут быть представлены в виде
e=争(1 + 坛)e8， " = (1 + 兄)(8)
где Ье м b〃 一 поправки к полученным в предыдущем пункте значениям модулей упругости, определяющиеся влиянием поверхностных напряжений. Для потенциала, быстро убывающего с расстоянием, эти поправки достаточно невелики, в частности, для потенциала (7) получаем 匠=6,3 % и 6〃 = —45 %. Согласно формулам (8), отклонение коэффициента Пуассона от своего макроскопического значения определяется исключительно поверхностными эффектами. Для модуля Юнга ситуация иная — коэффициент 2%/" дает погрешность, связанную с дискретностью, которая может достигать 100 %, что значительно превышает погрешность, связанную с поверхностными эффектами.
Таким образом, учет только поверхностных явлений, как это делается во многих работах, недостаточен для адекватного описания масштабного эффекта, присущего наноструктурам. Важен правильный учет эффектов, связанных с дискретностью. Кроме того, в связи с неоднозначностью определения ряда характеристик, необходимо четкое определение того, что именно понимается данным исследователем при применении макроскопических понятий к рассматриваемому нанообъекту.
Список литературы
Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук. 2001. Т. 381 (3). С. 825-827.
Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т. 44, № 12. С. 2158-2163.
Miller R. Е., Shenoy V. В. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. 2000. V. 11. P. 139-147.
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖЕСТКОЙЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ, ЗАПОЛНЕННОЙСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ, СО СФЕРИЧЕСКИМИ
ВКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ
ВОЗБУЖДЕНИИ
В.Д. Кубенко, В. В. Дзюба
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
Введение. Разработка некоторых современных интенсивных технологических процессов приводят к необходимости изучения динамики взаимодействия твердых или упругих тел в жидкости. Тела и газовые частицы, находящиеся в жидкости, во время действия вибрационных или акустических нагрузок могут оказывать значительное влияние на функционирование отдельных узлов силовых установок и агрегатов, содержащих такую жидкость или находящихся в ней. В связи с этим возникает необходимость исследования акустических и гидродинамических процессов в жидкой среде, взаимодействующей с упругими элементами конструкций, с целью усовершенствования конструкционных характеристик установок и предотвращения нежелательных эффектов в таких механических системах.
Задачи о взаимодействии тел в жидкой или упругой среде возникают в биоакустике, дефектоскопии, сердечно-сосудистой медицине. Существенный практический и научный интерес представляют процессы виброперемешивания и локализации, очищения и дегазации жидких сред, распыления, а также технологии восстановления добычи нефти в закупоренных скважинах и др.
Характерной особенностью подавляющего большинства решенных задач гидроупругости является почти обязательная однотипность граничных поверхностей, что обусловлено возможностью использования теорем сложения специальных функций при записи общего решения в координатной системе каждого из тел. Рассматривалось взаимодействие систем либо только сферических, либо только цилиндрических тел в идеальных сжимаемой и несжимаемой жидкостях, а также в вязкой среде, например [1-4].
Сравнительно недавно (последнее десятилетие) стали проводиться исследования взаимодействия в жидкости (как сжимаемой, так и несжимаемой) систем тел произвольной геометрической формы с учетом их взаимовлияния, например [5-9].
В данной работе развит метод построения потенциала скоростей сжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом сосуде, содержащем несколько взаимодействующих сферических включений. Строится решение уравнения Гельмгольца для соответствующей пространственной многосвязной области. При этом решение, записанное в цилиндрических координатах, удается переразложить по системе сферических волновых функций (и наоборот), что позволяет удовлетворить соответствующим граничным условиям на сферических и цилиндрических поверхностях и в итоге получить бесконечную систему алгебраических уранений относительно коэффициентов искомых представлений. В качестве конкретной задачи
рассмотрен характерный случай построения потенциала для одиночного включения, центр которого лежит на оси сосуда.
Постановка граничной задачи. Граничная задача гидроупругости состоит в том, что необходимо найти решение уравнений, описывающих движение жидкости, и уравнений, описывающих движение тела, взаимодействующего с этой
жидкостью, а также удовлетворить соответствующим граничным условиям.
Гидроупругая система, рассматриваемая в данной работе, состоит из жесткого бесконечного кругового цилиндра радиуса /, заполненного идеальной сжимаемой жидкостью плотности 7 и содержащего конечное число произвольным образом расположенных включений сферической формы (рис. 1). Поверхность одного из включений гармонически колеблется согласно заданному закону, остальные включения —абсолютно жесткие и неподвижные. Радиус сферы с номером / обозначим через 自. Сферические тела и цилиндрическая полость не имеют точек соприкосновения.
Отнесем цилиндрическую полость к цилиндрической системе координат О。，ро, &), Зо, ось Оо^о которой совпадает с осью полости. Предположим, что в жидкости, заполняющей бесконечно длинный цилиндрический сосуд, содержится 7V сферических включений, центры которых помещены в точках Oi (р』〉証储屮“)) / = 1, 2,. .. , ^. Отнесем каждое из включений к местной сферической системе координат Оц 丁厶 ^/,夕厶 начало которой совпадает с центром
включения, а угол 仇 измеряется от положительного направления оси, параллель
ной оси Оо^о. Также введем в рассмотрение «промежуточные» цилиндрические системы координат 0(〉р(> “〉屮卜1 = 1, 2, . . . , ^, связанные с центрами сфер таким образом, что ось OiZi остается параллельной оси «основной» цилиндрической системы координат О0^о (рис. 1).
Поскольку рассматриваемый динамический процесс является установившимся (т. е. характеризующие его величины изменяются во времени по периодическому закону с частотой 幻)，то зависимость от времени определяется временным множителем ст"* который далее во всех выкладках будет опущен.
Движение идеальной сжимаемой жидкости в случае установившихся процессов описывается уравнением Гельмгольца
2
⑴⑴▽2ф+%ф = 0,
⑴
⑴
где V2 — оператор Лапласа; Ф — потенциал скоростей жидкости;幻—заданная частота колебаний «подвижной» сферы; с — скорость звука в жидкости.
U = grad Ф; р = £)зФ.U = grad Ф; р = £)зФ.⑵⑵Волновой потенциал определяет вектор скорости жидкости U и ее давление р в произвольной точке объема, занятого жидкостью, соотношениями
U = grad Ф; р = £)зФ.
U = grad Ф; р = £)зФ.
⑵
⑵
Необходимо найти решение уравнения (1), которое бы удовлетворяло определенным граничным условиям:
—на поверхности жесткого цилиндра скорость частиц жидкости должна обращаться в нуль
АФ go, zo,屮0)дроАФ go, zo,屮0)дро=О； po=Ro=О； po=Ro⑶⑶
АФ go, zo,屮0)дро
АФ go, zo,屮0)дро
=О； po=Ro
=О； po=Ro
⑶
⑶
—на поверхности /-й неподвижной сферы скорость жидкости также нулевая
a①=0,/ = 1, 2,N; / * mov;(4)
—на поверхности колеблющейся сферы должно соблюдаться равенство нормальных к ее поверхности составляющих скорости жидкости и самой поверхности
I—卜(Hmov, 3mov) ,/ — mOV,(5)
°'mov I rmov = -Rmov
где V "mov, Bmov) — известная функция, представимая в виде ряда по сферическим и тригонометрическим функциям:
V (^mov, 3mov) =££ %俏°夂(COS ^mov)产夕1^.⑹
0= - 8 m=\p\
Введем безразмерные переменные согласно следующему принципу:
_〃—京 Ф _ р
(7)
Далее будут использоваться только безразмерные величины, поэтому черта над ними в выражениях опущена.
Построение решения. Потенциал возмущенного движения представим в виде суммы (N + 1) слагаемого, одно из которых Фо является решением уравнения (1) в цилиндрических координатах, а остальные Ф/, / = 1, 2,. . . , Л^, — решениями уравнения (1) в сферических координатах 丁厶 Н厶 g? и представляют собой возмущения, вносимые /-м включением в потенциал скоростей:
Ф = Фо + £Ф?・⑻
= 1
При этом функция Фо должна быть ограничена при 0о —> 0, а функции Ф/ — убывающие при 口一> оо.
Общее решение уравнения (1) в цилиндрических координатах имеет вид [10]
巾oSo,zo“o)= £ 小"° J Bn (£)厶(，瓜—£2 00)/父。好 (9) 九=—8-ОО
Jn — цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка; Вп (£) — неизвестная функция, подлежащая определению.
Общее решение уравнения Гельмгольца (1) в сферических координатах 丁厶 Н厶 夕2 имеет вид
回⑺，仇""=£ e 力像%俏(G口)PW (cos 仇"叫 / = 1,2,...,N, (10) 0= - 8 m=\p\
hm — сферическая функция Ханкеля; Р称(cos 仇)—присоединенная функция Лежандра; Хртп — неизвестные постоянные, подлежащие определению из граничных условий.
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, необходимо записать общее решение в системах координат, связанных с каждым телом рассматриваемой системы. Для этого используются
—соотношения, позволяющие выражать цилиндрические волновые функции через сферические, и наоборот [11, 12]:
=Е 严—°(2^ K^^J """$)加(“丁)^ У。' H)； (ID m=\p\
hm (幻丁) /^ (cos# = (—If ^^ j /^ ⑴ Нр №^ё斗片戏；(12)
—теоремы сложения для цилиндрических волновых функций [10]:
x zn “瓜―£2 仅)/"2,仅 > 由2；(13)
Zpjy^^网"E zp_n у^ё^ ё^-^ х
x Jn "以-F 02)产勺仅 < 由 2；(14)
Zp — одна из цилиндрических функций: Jp или %;夕12 — угол, под которым из центра первоначальной координатной системы виден центр системы, к которой осуществляется переход;九—расстояние между центром первоначальной координатной системы и центром системы, к которой переходят;
—теоремы сложения для сферических волновых функций [10]:
hm (nT1)/^(3%)#。]=
=£ e Q胤俏("%2,912)厶(^2)喝化(^2)小。2,(15)
q=0 n= — q
Взаимодействия цилиндрической полости со сферическими включениями 493 Qnqpm (”％2 “12)=
q+m
=卢* £ iab^pn^ha (幻丁12)РГП (cos%2)е^р-п^\ a=\q — m\
h(mpnq) = J g + Р)!⑺ + q)! (。- P + 9)!
。7—p)!(n —q)!0 + ”q)! J
x (mn00 I cr) (mnp, —q\a,p — q).
Здесь (mnqp | ”)— коэффициенты Клебша-Гордона, для которых известны различные формы явного выражения [10]; jn — сферическая функция Бесселя; константы 丁12,户12, 312 определяют положение начала координат первой системы относительно второй.
Решение (10) для /-й сферы представим в системе координат цилиндра О。, 0о, zo, Зо・ Для этого на первом этапе перепишем его в совмещенной с центром сферы О/ цилиндрической системе координат О/, рц z^(^/, используя соотношение (12)：
^^^^ = ^ £ £ 喘(-1»*-0х
Р= — 8 т=\р\
оо
X ] Р^ 0 Нр (у/^ё р, /01 dg/”， / = 1,2,
Для перехода к координатам ро?之0, Во необходимо применить теорему сложения для расходящихся волновых функций в виде (13). В данном случае: осуществляется переход от цилиндрической системы координат 0厶 0厶 z^ g? к системе ро? (Zo + Z&), Зо；由2 — Pci —必；312 = тг + Зс2・
В результате получаем представление потенциала, вызванного присутствием /-й сферы, в системе координат, связанной с цилиндром:
ОО ОО ОО
Ф/ (p^z0^0) = ^ ££ £ 嶋(—1产х
Р= — ОО гп=\р\ п = — оо
ОО
x ] Jp-n (,以2 _ £2 d, Hn (,以2 _ £2 00)X
X /^ ⑴ ei^o+zcl) d^ei(p-n^clein^0 ,「I?N. (16)
В свою очередь цилиндрическое решение (9) необходимо записать в координатах 丁厶 户2,夕厶 связанных с /-м сферическим включением. Для этого сделаем замену Zq = zi -\- z&, и тем самым перенесем начало координат основной цилиндрической системы в плоскость го = zci (Oq на рис. 1). Далее осуществим переход к промежуточной цилиндрической системе координат О(, р(, z(,屮(с центром в точке 0厶 для чего воспользуемся теоремами сложения (13) или (14) (в зависимости от соотно-
шения между 团 и dj в которых 山2 = &2 =必，夕12 =夕& — координата полюса Q в промежуточной системе координат, связанной с центром 0$. В результате имеем
ОООО ??
①0 (勿，勿，6)= Е £ ^п (€) Jn-p (,幻2 — £2 d?) X p= —oo n= — oo _么
/ = 1,2,..., N./ = 1,2,..., N.X Jp “幻2_£2 0, ei^zt-zcl} d^ei{n-p^cleip^^
/ = 1,2,..., N.
/ = 1,2,..., N.
Затем применяется формула (11), выражающая решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах для внутренней области через «внутренние» решения этого уравнения в сферических координатах. Она позволяет получить представление Фо в системе координат, связанной с /-й сферой:
ОО ОО ОО
Ф°8,仇例)=Е Е Ех
р= —8 т=\р\ п= —оо
X вп (£)4—0 “瓜-£2 &) рр ⑴小必，次 X
X jm(5)/^ (cos 仇)丛『喻屮』卽屮\ / = 1, 2, • • • , N. (17)
Теперь необходимо каждое сферическое решение Ф/ ⑺，仇，⑺)，/ = 1, 2,N, представить в произвольной k-й сферической системе координат (к * /). С этой целью пользуемся теоремой сложения сферических функций (15). В результате имеем
оо 0000 g
回(厶，也,3k)= E EEE碎^窑從(rik^lk^lk) jq (幻厶)X 0= —8 m=\p\ q=0 n= — q
x 成(cos 认)l =l^k. (18)
Теперь можно переходить к удовлетворению граничным условиям.
Из граничного условия на поверхности жесткого цилиндра (3), с помощью выражений (9) и (16), принимая во внимание свойство ортогональности тригонометрических функций и единственность преобразования Фурье, получаем выражение неизвестной функции Вп (£) через подлежащие определению постоянные:
Вп (£)=Вп (£)=Н； (，У — £2 &)/ (，小—g2 &)Н； (，У — £2 &)/ (，小—g2 &)NE<} (£),NE<} (£),(19)(19)
Вп (£)=
Вп (£)=
Н； (，У — £2 &)/ (，小—g2 &)
Н； (，У — £2 &)/ (，小—g2 &)
N
E<} (£),
N
E<} (£),
(19)
(19)
где штрих обозначает производную по аргументу цилиндрической функции;
<}(£)=力玄 Е 嚅(Т产f L-0 x
0= - 8 m=\p\
X Jp-n "以-F 以)/^ (I) /依。匕"0一
Из граничных условий на поверхности /-й сферы (4) или (5), учитывая выражения (10), (17), (18) и (19), а также свойство ортогональности сферических и тригонометрических функций, получаем бесконечные системы интегро-алгебраических уравнений относительно постоянных 力爲,/ = 1, 2, . . . , Л^:
小 5 + p)! 而兩伉)
x ^m-p-q-s丁 ^s-n)^ck ег(п-р)(рс1 '丿义
丄 一。0% .32_ g2 质)
X Л-П "以-£2以)J-"以-£2必)坛⑴％⑴ X
TV оо оо]
X /№dc"d£ — 52Q^sq (厶2,以厶 3館或)}=
k=i s=-°° q=\s\丿
'0,/ * mov,
I ^CW5 / = mov;
/ = 1,2,...,N; p = —oc,..., oc; m = |回，...，oc. (20)
Таким образом, определив из уравнений (20) неизвестные величины, можно построить потенциал движения жидкости в жестком сосуде, содержащем конечное число сферических включений, взаимодействующих друг с другом.
Отметим, что при формальном получении изложенного выше решения предполагалась правомерной перемена порядка соответствующих суммирований и интегрирований.
Частный случай: одиночное сферическое включение на оси жесткого цилиндрического сосуда. В данной постановке граничная задача состоит в нахождении решения уравнения Гельмгольца (1) при граничных условиях на стенке жесткого цилиндра (3) и на поверхности колеблющейся сферы (5). Причем, поскольку рассматриваются осесимметричные колебательные процессы, то характеризующие их величины не будут зависеть от угла поворота вокруг оси Оо^о- Таким образом, закон движения поверхности сферы (6) в данном случае можно представить в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра:
『(Hmov) = £ КгЛг (cOS^mov) , HUW = 1.(21)
n=0
Волновой потенциал в цилиндрическом объеме будем искать в виде суперпозиции двух составляющих, одна из которых вызвана присутствием цилиндра — (9) без учета зависимости от угла до：
① o(wzo)= j 3(£)九"以-000)/依。戏;
а другая — сферы — (10) в осесимметричной задаче:
Ф1(П,^1) = £ xnhn (幻丁1) Рп (cos^i) •
71 = 0
В данном случае сферическое включение связано со сферической системой координат 01, 丁1, ?^i, pi, центр которой совпадает с центром основной цилиндрической системы координат.
Применяя соотношения, позволяющие преобразовывать цилиндрические волновые функции в сферические, и наоборот — (11) и (12), получаем представление общего потенциала в сферической и цилиндрической системах координат:
Ф(П,^1) = £ [xnhn (幻丁1) + Bnjn (шг^Рп (cos^i),
71 = 0
-(22)
又= »(2几+ 1) J 3(£)匕⑶戏；
Ф(Ро,^о)= J [笈(£)九“瓜—F о。) + 4 ⑹ ％ “瓜—£2 哂片。戏,(23)
^хтГтРт
Удовлетворение граничным условиям с учетом выражений (21)-(23) приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно искомых постоянных:
£ 4^ @П + D 邕需 qmr^m 二前£^,几= 0,1,2,・・・， (24)
2 -2 -(n + m) — четная;(n + m) — четная;
2 -
2 -
(n + m) — четная;
(n + m) — четная;
О,О,(n + m) — нечетная.
О,
О,
Таким образом, многосвязная задача сведена к исследованию и решению бесконечной системы алгебраических уравнений (24). Исследование этой системы показало, что она относится к классу систем нормального типа. Следовательно, полученная система имеет единственное ограниченное решение [13]. Это решение можно получить методом усечения рассматриваемой бесконечной системы уравнений.
Для получения численного решения бесконечная система алгебраических уравнений (24) была сведена к конечной системе М уравнений. Порядок усечения системы определялся пробным путем таким образом, чтобы достигалась достаточная точность удовлетворения граничным условиям (порядка 10-4).
При вычислении интеграла q^n интервал интегрирования был разбит на два отрезка: 0，£<ghg<£<oo. Верхний бесконечный предел в интегралах
Взаимодействия цилиндрической полости со сферическими включениями 497 заменялся на конечный предел так, чтобы он обеспечивал стабильность полученных результатов как минимум в третьем десятичном знаке. При интегрировании по второму из вышеуказанных интервалов подынтегральная функция была выражена через модифицированные функции Бесселя (так называемые функции Бесселя мнимого аргумента). Следует отметить, что на рассматриваемых интервалах интегрирования подынтегральная функция имеет особые точки — точки, при приближении к которым ее значения неограниченно возрастают. К ним относятся точки, в которых знаменатель подынтегрального выражения обращается в нуль, т. е. точки，幻2 — F = & s，где Ci s ~ нули функции Бесселя первого порядка, а также точка £ = ал При вычислениях эти точки были выделены достаточно малой ^-окрестностью. Причем исследование поведения подынтегральной функции в окрестности этих точек показало, что справа и слева от них она принимает одинаковые по модулю и противоположные по знаку значения, поэтому значением интеграла в этом бесконечно малом интервале можно пренебречь.
а
向21向21О 0,2 2 4 6 8 ①О 0,2 2 4 6 8 ①Рис. 3Рис. 3
向
2
1
向
2
1
О 0,2 2 4 6 8 ①
О 0,2 2 4 6 8 ①
Рис. 3
Рис. 3
Все вычисления производились в безразмерных величинах. Скорость звука в жидкости принималась равной с = 1500 м/с, ее плотность —)= 103 кг/м3. Нормированное значение радиуса сферы варьировалось в пределах R± = 0,1 4- 0,9. Полагалось, что поверхность сферического тела пульсирует по закону
V "mov) = 1, rnov = 1. (25)
Графические зависимости абсолютных значений гидродинамического давления сжимаемой жидкости, заполняющей жесткое цилиндрическое тело, от частоты пульсаций расположенной в ней сферы приведены на рис. 2-5.
Рассмотрены сферические тела различных размеров: рис. 2 соответствуют сфере, радиус которой составляет одну десятую радиуса цилиндра; рис. 3 — сфере, радиус которой равен половине радиуса цидиндра; рис. 4 и рис. 5 — сферам с радиусами R± = 0,75 и 丛=0,9 соответственно. Рис. 2 а, За, 4а представляют указанные характеристики в плоскости, содержащей центры тел рассмариваемой системы и перпендикулярной оси цилиндра (?^i = тг/2); рис. 2 6, 3 6, 4 6 — эти же характеристики в плоскости, содержащей эту ось (% = 0). Сплошные линии на рис. 2-4 соответствуют давлению на поверхности сферы 8 =丛)；пунктирные —
давлению, рассчитанному в точке
h—2;
штрих-пунктирные — давлению в точке 丁1 = Ro,
Рис. 5 представляет частотную зависимость для модуля гидродинамического давления в жидкости, вызванного пульсациями сферы радиуса Ri = 0,9, в разных плоскостях: сплошная кривая соответствует плоскости % = 0; пунктирная — % = =тг/2. В связи с достаточно большими размерами сферы, кривые, расчитанные вблизи ее поверхности, вблизи поверхности цилиндра, а также в пространстве между ними, отличаются незначительно, поэтому на рис. 5 представлена только одна из них давление на поверхности сферы.
Как показывают приведенные частотные зависимости, в рассматриваемой системе имеют место явления, близкие к резонансным, поскольку система имеет частоты, при приближении к которым ее характеристики, в частности — давление, достигают очень и очень больших амплитуд.
Заметим, что с уменьшением радиуса сферы (рис. 2) значения «собственных частот» осесимметричной системы «сферическое включение — сжимаемая среда — жесткая цилиндрическая полость» приближаются к собственным частотам осесимметричных колебаний сжимаемой жидкости в жесткой цилиндрической полости без сферического включения, происходящих в плоскости z = const. С увеличением радиуса сферы «собственные частоты» системы «сферическое включение — сжимаемая среда — жесткая цилиндрическая полость» сдвигаются от указанных собственных частот системы «сжимаемая среда — жесткая цилиндрическая полость» в сторону больших значений частот.
Заметим, что собственные частоты осесимметричных плоских колебаний идеальной сжимаемой жидкости в жестком бесконечном цилиндре могут быть определены из уравнения
J1(g)=0,
которое получается в результате решения уравнения Гельмгольца (1) при граничном условии на поверхности жесткого цилиндра (3). Таким образом, собственные частоты системы без сферического включения — это нули функции Бесселя первого порядка. В рассмотренный на рисунках интервал частот попадают две частоты: 幻1 собств = 3,832；幻 2 coбет в = 7,016.
Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности.
Как частный случай рассмотрена внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии пульсирующего сферического тела с жесткой цилиндрической полостью, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью. Исследовано поведение указанной системы в зависимости от частоты вынужденных колебаний. Проведенным исследованием установлено наличие «резонансных» явлений в такой системе.
Список литературы
Григолюк 9. И., Горшков А. Г. Динамика твердых тел и тонких оболочек вращения, взаимодействующих с жидкостью. — М.: Изд. Моск. Ун-та, 1975. — 179 с.
Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при подводном взрыве.— Л.: Судостроение, 1967.
Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Бабаев А. 3. Гидроупругость систем оболочек. — К.: Вища школа, 1984. — 208 с.
Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. — Л.: Судостроение, 1972. — 352 с.
Кубенко В.Д. Задачи дифракции стационарных волн на совокупности сферических и цилиндрических тел в акустической среде. Прикл. механика. 1987. Т. 23, № 6. С. 111117.
Кубенко В. Д. Нестационарная осесимметричная задача для сферического включения в цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью. Прикл. механика. 1993. Т. 29, № 10. С. 65-69.
Кубенко В.Д.)Гавриленко В. В., Крук Л. А. Колебания несжимаемой жидкости в бесконечной цилиндрической полости, содержащей вибрирующее тело. Докл. НАН Украины. 1992. № 1. С. 42-47.
Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Поле давления в акустическом пространстве, содержащем жесткое цилиндрическое тело и колеблющуюся по заданному закону сферу. Прикл. механика. 2000. Т. 36, № 12. С. 108-120.
Кубенко В. Д., Савин В. А. Построение потенциала скоростей несжимаемой жидкости внутри бесконечной цилиндрической оболочки при возбуждении колеблющимся сферическим сегментом. Докл. НАН Украины. Сер. А. 1998. № 6. С. 56-61.
Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. — Минск: Наука и техника, 1968. — 548 с.
Ерофеенко В. Т. Связь между основными решениями в цилиндрических и сферических координатах уравнений Гельмгольца и Лапласа. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1972. № 4. С. 42-46.
Ерофеенко В. Т. Связь между основными решениями в цилиндрических и сферических координатах некоторых уравнений математической физики. Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 7. С. 1310-1317.
Канторович Л. В.、Крылов В. И. 1962. Приближенные методы высшего анализа.— М.; Л.: Физматгиз. — 708 с.
УСЛОВИЕ ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИОРТОТРОПНЫХ СРЕД
Е. Е. Кузнецову Н. М. Матченко^ И. Н. МатченкоТульский государственный университет
Квадратичное условие пластичности отротропной среды. Жесткопластический ортотропный материал отнесем к декартовой системе координат ж, у, z, совпадающей с осями ортотропии.
Пусть материал подчиняется условию пластичности Мизеса [1], записанному в форме
4也(。冗—by) + ^yz {^y — ^z) + ^ZX ^Z — b：c) +
+ ^{^xy^y + ^yz^z + ^zx^x) ~ 6廿，⑴
где。冗,...,azx — компоненты тензора напряжений.
Константы Аху^. .. , Bzx определяются из экспериментов на одноосное растяжение образцов, вырезанных в направлении осей ортотропии, и чистый сдвиг в главных плоскостях ортотропии:
^ху — 3/b2(crsa? + aSy —。6?), Вху =廿吗^,(力 gz)⑵
Величина k выбирается произвольно.
Ассоциированный с условием пластичности (1) закон пластического течения имеет вид
e况-》[4也(b况一by)-4n况ez一^X )] ? ^xy - ^^^ xy^ xy (力 gz),(3)
где A — множитель Лагранжа.
Обобщенные напряжения и скорости деформации. Введем обобщенные напряжения
Sх — Sg — (6ТЖ — by) 74：cg , SXy — Oxy 7ВXy {xy Z^ .(4)
Условие пластичности (1) примет вид
(Sz — SJ2 + (Sy — Sz)2 + (Sz — Sz)2 + 6(S^ + S^z + O = 6廿・(5)
Условие пластичности (5) по форме написания совпадает с условием пластичности изотропного тела. В пространстве обобщенных главных напряжений условие пластичности (5) представляет собой цилиндр Мизеса.
Следуя [3], выпишем некоторые соотношения для обобщенных напряжений.
Пусть взаимная ориентация осей координат xyz (напомним, что эти оси совпадают с направлением главных осей ортотропии) и главных направлений тензора обобщенных напряжений 1, 2, 3 определяются косинусами /〃, т^, п^.
Связь компонент обобщенных напряжений в декартовой системе координат с главными компонентами определяется соотношениями
Sx = S1ll^S2ml^S3nlSg = Si 呢 + S2能 + S3 脸Sz = S1 礫 + S2ml + S3 唸Sx = S1ll^S2ml^S3nlSg = Si 呢 + S2能 + S3 脸Sz = S1 礫 + S2ml + S3 唸⑹⑹Из системы уравненийsx = S"； + S2mti + S^nl，Из системы уравненийsx = S"； + S2mti + S^nl，Sxy = SW2 + S2mxm2 + S3 几 1几2,Sxy = SW2 + S2mxm2 + S3 几 1几2,Szx = SW3 + S2mlmз + 53几1几3Szx = SW3 + S2mlmз + 53几1几3⑺⑺Sxy = SW2 + S 2mlm2 + S3 几 1几2, Syz = S1/3/2 + S 2m3ГП2 + S3 几3 几2, Szx = SW3 + S2mlm3 + S3 几 1几3・
Sx = S1ll^S2ml^S3nl
Sg = Si 呢 + S2能 + S3 脸
Sz = S1 礫 + S2ml + S3 唸
Sx = S1ll^S2ml^S3nl
Sg = Si 呢 + S2能 + S3 脸
Sz = S1 礫 + S2ml + S3 唸
⑹
⑹
Из системы уравнений
sx = S"； + S2mti + S^nl，
Из системы уравнений
sx = S"； + S2mti + S^nl，
Sxy = SW2 + S2mxm2 + S3 几 1几2,
Sxy = SW2 + S2mxm2 + S3 几 1几2,
Szx = SW3 + S2mlmз + 53几1几3
Szx = SW3 + S2mlmз + 53几1几3
⑺
⑺
следует
⑻⑻⑼⑼(Ю)(Ю)S] — (S xl\ + SXy^2 + ^zx ^3)/^1 ?S2 — (^ж^Х + ^xy^2 + Sz；1cTYI3) ] TYl\〉
⑻
⑻
⑼
⑼
(Ю)
(Ю)
S3 — (SgjTli + SXy^2 + ^^х^з)/^1 •
Аналогично (7) и (8) выпишем
S] — (S 3c期1\ + Sg%2 + ^yz ^3)/^2 ? S2 — (S^yTTZi + SyTTl2 + ^yz ^3 ) / ^2 ?
S3 — (S ХуП1 + SyTl? + SyZ Tl^ ) / 77-2 ?
а также
Si — (S zXl\ + Sg/2 + 5/з)//з, S2 = {Szxrrii + SyZTTi2 + Szm^) / ш^^
S3 = {SzxTii + SyZn2 + ^^3)/ ^3-
Из (9)-(10) следуют три соотношения:
1sxm\ + Sxym2 + ^жт3)/т1 = 1sx内、+ Sym2 + SyZm3)/m2 =
=(S^tth + Syzm2 + Sz77i3)/g,
(*^ж^1 + ^ху^2 + ^^х^з) / ^1 = (S хуП\ + SyTl? + SyZTl^ / 77-2 =
={^zxnl + Sgz712 + SzTlQ ITI3、
(Sxl\ + ^xy^2 + S zXl* [ l\ — (Sx^yl' + Sg/2 + SyJG 11?—
= {Szxh^Syzh^Szl^)/h. (11)
Из (9), (10) также можно получить соотношения
Si = Sxl^ + SgB + Szl^ + 2s也/也 + ZSn^/M + 25д/2/з,
S2 = Sxml + Sym^ + Szml + 2sxym\rri2 + 2Szxmim^ + ZS^m2m3,(12)
S3 *^ж^1 + SуП? + S?几3 + 2S^пП\П2 + ^Szx^i^3 + 2sgz几2几3,
а также
Sxlimi + Syl2m2 + S/зтз + Sxy(lim2 + /2^1) +
+ 5^(/17713 + /3^1) + $期人12m3 + /3^2) = 0,
Sxm^rir + Sym2n2 + Szm3n3 + SXy(mrTi2 + m2 K i) +
+ Szx(m1n3 + m3ni) + Syz(m2n3 + m3n2) = 0,
Sxl\n\ + S^l2r12 + Szl^n^ + SXy(lin2 + /2^1) + ^«(^1^3 + /3 几 1) +
+ SgN«2 几 3 + 力3 几 2)= 0. (13)
Введем обобщенные скорости деформации Ех,. . . , Ezx. Пусть взаимная ориентация осей ортотропии ж, g, z и главных направлений тензора обобщенных скоростей деформации 1, 2, 3 определяется направляющими косинусами /?, т^ 几扌.
В общем случае главные направления 1, 2, 3 и 1, 2, 3 не совпадают между собой.
Для компонент обобщенных скоростей деформации в декартовой системе координат и главных компонент обобщенных скоростей деформации имеют место соотношения
Ех = Е* + ^mj + 石§ 齊，Еху =々片弓 + 当 т^тв + Е^п^п^, E у —石［写 + ^2^2 + "g 九^，Egz —^1 ^3^2 + ^2 ^3^2 + "勺 几g几2，(14)
Ez =石［/| + ^2Ш1 + 助呜，Ezx =々片匕 + ^2Ш1Ш3 + Е§П［П§.
Кроме того, аналогично (13) имеем
石［=(石冗片 + ЕХу ^2 + Е zx ^3) /^ = (E^nh + Eyl^ + Eyzlg11« =
—{^zxl^ + EyZl^ + Ezl^ //^,
E3 (E^7Tzi + -^ж?/^^2 + Ezx^^3) /^"^i ^ (-^xy^^ + Eу^iq + EyZ ^^g) /^^2
=(石2冗皿［+ EyZTTi2 + Ez ш^ )/7722?
石д =(七况几］+ ^xy^2 + "2况几g)/ 几 i =(石：еу кi+ ^y ^2 + ^yz ^3) / 几 2 =
=(石2冗几 i + Eyz^a + Ez ^3)/^3-(15)
Рассмотрим произведения S^E］, S2石务 $3石§・ Используя соотношения (13) и (15), для произведения S\E［ получим
SiEi = (SKi + Sxyh + Szxh){Exyl^ + 石夕弓 + 石沙/§)/片/2 =
=(SXyl\ + Sg/2 + ^yz^3){Exl^ + ЕХу1% + Ezxl^ //1^2?
S\E\ = (Sxyli + Syl^ + Syzl^){Ezxl^ + Eyzl^ + 石/§)//父3 —
=(S zXl\ + Sg/2 + 5/3)(石也片 + Eyl^ + EyZl^) //2^3?
S］Ei = (S zXl\ + Syzl^ + S zl^)^Exl^ + Exyl^ + Ezxl^) //1/^ =
=(Sxl\ + S/yl? + Szxl^^E zxl^ + Eyzl^ + Ez /^)//^/з， (16)
Аналогично (16) можно получить подобные выражения для произведений $2%，S3 Ед, в которых величины /〃 заменены на mi и п^, а /? заменены на т^ и 几扌.
Изотропное изображающее пространство. Обобщенные скорости деформации Ех,. . . , Ezx введем таким образом, чтобы диссипация механической энергии при преобразованиях не изменялась:
D — (Ух^х + CgCg + ^z ^z + ^(^^ ху^ху + ^yz ^yz + ^zx ^zx )
SXEX -\- SyЕу -\- SzEz + 2{SxyExy + SyzEyz + SZXEZX). (17)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения (2) перепишем в виде
\/^ху (^-^yz е® Q\/^ху (^-^yz е® Q&^ = 3A 展;(。…J&^ = 3A 展;(。…Jзх^/в^期(^xy (力gz).зх^/в^期(^xy (力gz).(18)(18)
\/^ху (^-^yz е® Q
\/^ху (^-^yz е® Q
&^ = 3A 展;(。…J
&^ = 3A 展;(。…J
зх^/в^期(^xy (力gz).
зх^/в^期(^xy (力gz).
(18)
(18)
цде Q — (^AXyAyZ + AyZAzx + AXyAzx^/3.
С другой стороны, из (5) и (17) в изображающем пространстве ассоциированный закон пластического течения записывается в форме
(19)(19)Ех — Еу — 3入(5冗—Sj, ЕХу — 3\SXy (力 gz)・
(19)
(19)
Сравнивая (4), (18) и (19) выпишем выражения для обобщенных скоростей деформации
Е — е -QЕ — е -Q(20)(20)XI, Еху = ^= (g/z).
Е — е -
Q
Е — е -
Q
(20)
(20)
V Вху
Из (19) следует, что изображающее пространство обобщенных напряжений и скоростей пластических деформаций является изотропным, т. е. в этом пространстве главные оси обобщенных напряжений и скоростей деформаций совпадают.
Тогда соотношения (16) получают вид
Sx EXnl\ + Sxn E^l? + Szx Е^/з + SXy EXyl±l2 + Szx Exy^l^3 +
+ Sx Eyl'lz + S zx Ey^l^ + S Xy Exyl'l? + Sx EyZl±l^ + SXy E yZ /2 ^3 =
Sx^Exh + S^ Ex^l? + Sy% Ezx% + SyZ Ezxl^ + S zx EXyl-^l^ +
+ Sy Exlil2 + SnEzxlzb + SyzExl\l3 + Sy?石也/2/3. (21)
Имеют место два аналогичных выражения, если заменить в (21) /〃 на т^ и п〃. Суммируя эти выражения, получим
Sx Exn + ^xy ^y + Szx Eyz — Sxn E x + Sy Exy + Snz Ezx (力 gz)・ (22)
Соотношения (22) были получены А.Ю. Ишлинским [2] для изотропного тела. Перейдем в соотношениях (22) к девиаторным составляющим:
(23)(23)(*^« — Sy) EXy + S zx EyZ = S Xy(Ex —石夕)+ SyZ Ezx (力 gz).
(23)
(23)
Переходя в (23) к физическому пространству, запишем
^х - °沙)£也 J 斗也/ВХу + О z^eyz Q В zk I Byz =
=^xy (^^yz ^X - ^zx^y^) у/^xy ^xy /Q + ^yz ^2x y^yz/^zx(力")•(24)
Уравнения (24) являются обобщением соотношений А. Ю. Ишлинского на случай ортотропной среды. Механический смысл соотношений (23) заключается в постулировании соосности тензоров обобщенных напряжений (4) и обобщенных скоростей пластических деформаций (19).
Условие полной пластичности. Квадратичное условие пластичности (1) в изотропном изображающем пространстве главных обобщенных напряжений S〃 интерпретируется круговым цилиндром, равно наклоненным к направлениям главных обобщенных напряжений. Так же как в теории идеальной пластичности изотропных сред, в изотропном изображающем пространстве можно строить сингулярные условия пластичности.
Введем девиаторные составляющие обобщенных напряжений:
負=S2 — S3, Очевидно, что負=S2 — S3, Очевидно, чтоS$ = S3 — &,S$ = S3 — &,S! = & — S2・S! = & — S2・(25)(25)
負=S2 — S3, Очевидно, что
負=S2 — S3, Очевидно, что
S$ = S3 — &,
S$ = S3 — &,
S! = & — S2・
S! = & — S2・
(25)
(25)
(26)(26)Из (25) следуют выражения& = S2 + S*& = S3 — S$,Из (25) следуют выражения& = S2 + S*& = S3 — S$,S2 = S3 + мS2 = & — S*S2 = S3 + мS2 = & — S*S3 = & + S$,S3 = S2 — %S3 = & + S$,S3 = S2 — %(27)(27)В дальнейшем для удобства следует ввести обозначения夕2 = —S4 Хз = —s$, S2 = S1 + %, S3 = Si + ^3・В дальнейшем для удобства следует ввести обозначения夕2 = —S4 Хз = —s$, S2 = S1 + %, S3 = Si + ^3・(28)(28)Из (6), (26) и (28) следуетSz = Si + 夕2勿臂 + ^3^1，Из (6), (26) и (28) следуетSz = Si + 夕2勿臂 + ^3^1，SXy = E2mim2 + 夕3 几 1 几2,SXy = E2mim2 + 夕3 几 1 几2,Sg = Si + 夕2皿扌 + 夕3 几扌, SyZ = Е2т2т3 + Е3п2п3,Sg = Si + 夕2皿扌 + 夕3 几扌, SyZ = Е2т2т3 + Е3п2п3,(29)(29)Sz = Si +夕2m^ +夕3几^Sz = Si +夕2m^ +夕3几^Szx = E2mim3 + Хз 几 1 几з・Szx = E2mim3 + Хз 几 1 几з・
(26)
(26)
Из (25) следуют выражения
& = S2 + S*
& = S3 — S$,
Из (25) следуют выражения
& = S2 + S*
& = S3 — S$,
S2 = S3 + м
S2 = & — S*
S2 = S3 + м
S2 = & — S*
S3 = & + S$,
S3 = S2 — %
S3 = & + S$,
S3 = S2 — %
(27)
(27)
В дальнейшем для удобства следует ввести обозначения
夕2 = —S4 Хз = —s$, S2 = S1 + %, S3 = Si + ^3・
В дальнейшем для удобства следует ввести обозначения
夕2 = —S4 Хз = —s$, S2 = S1 + %, S3 = Si + ^3・
(28)
(28)
Из (6), (26) и (28) следует
Sz = Si + 夕2勿臂 + ^3^1，
Из (6), (26) и (28) следует
Sz = Si + 夕2勿臂 + ^3^1，
SXy = E2mim2 + 夕3 几 1 几2,
SXy = E2mim2 + 夕3 几 1 几2,
Sg = Si + 夕2皿扌 + 夕3 几扌, SyZ = Е2т2т3 + Е3п2п3,
Sg = Si + 夕2皿扌 + 夕3 几扌, SyZ = Е2т2т3 + Е3п2п3,
(29)
(29)
Sz = Si +夕2m^ +夕3几^
Sz = Si +夕2m^ +夕3几^
Szx = E2mim3 + Хз 几 1 几з・
Szx = E2mim3 + Хз 几 1 几з・
S^S^S^ 0.
(30)(30)(31)(31)
(30)
(30)
(31)
(31)
Из (29) следует
S1 = S —②2 + Ез)/3,夕2 = S2 — S1,夕3 = S3 — Si, где S = (& + S2 + 5з)/3.
Рассмотрим случай полной пластичности
厶=0, Si=S2.
Соотношения (29) и (30) перепишем в виде
Sх — S] + £]з?2?, Sху —夕3几 1 几2, Sy — S] + 5j3^2， Syz —夕3?22几3,Sz = Si + E3n_32, Szx = &几 1几3, Si = S - Е3/З.
Из (32) можно получить
(5冗一S + Хз/3)(5у — S + Ез/3) = S^ (力gz),(33)
а также
(Sx- S Ез/З)^^ = SxySxz (力gz).(34)
В соответствии с (31) условие предельного состояния можно представить в виде
R(S, Е3, ni,n2,几з) = 0.(35)
Мощность рассеяния механической энергии запишем в форме
D = SijEij = 3SE + 夕3(石§ -石)，(36)
где Е =(々 + 当 + Е§)/3.
Соотношения ассоциированного закона пластического течения определяются из условия экстремума функционала
А = N — AR —从(72； + 7^2 + 几；一1),(37)
где А, 〃一 множители Лагранжа.
Из (35)-(37) следует
А 3歹 _ dF dF\
口Hi /A dF
+ ЕхуП2 + Ezxn^ =『(—石h 从
EXy^i + ЕуП2 + Eyzn^ = S f wh 从
口 II 口пз /A dF 、
"e3 \2 3九3/
Из уравнений (37) и (38) можно получить соотношение для определения множителя Лагранжа 〃：
.dF dF\ _ 1 ГА /^F 丄 3歹 dF 、丄］
Соотношения (37)-(39) определяют искомые соотношения ассоциированного закона пластического течения.
Поскольку в изотропном изображающем пространстве условие пластичности не зависит от направляющих косинусов, то соотношения ассоциированного закона пластического течения (37)-(39) принимают вид
(石冗几］+ EXyTl2 + ExzTl^ ) /?21 — (E XyTl\ + ЕуП，2 + 石 gz 几 3)/几 2 =
—^Exzn± + Eyzn2 + 石2几3)/几3 = А Г-• (40)
Из (40) следуют три соотношения:
Е ХП±П2 + ЕхуП^ + 石 jcn 几2 几3 = ^ху^± + ЕуП± Tl^ + EyZ 721П^,
ЕхуП1nз + Eyn2n^ + EyZnj = EXzTi1n2 + 石夕？几^ + 石？几2 几з,(41)
^xz^± + ^yz ^1^2 + e2几1几3 = 七况几1几3 + 石况g几2几3 + 石况2几^ ♦
Если подставить в эти соотношения выражения для произведений n^nj, то можно получить соотношения (23). В случае полной пластичности только два из трех соотношений (23) являются независимыми.
Рассмотрим в изотропном изображающем пространстве ребро призмы Треска, вписанной в цилиндр Мизеса. Положим & = k, k = 1.
Если в качестве обобщенного пластического потенциала принять соотношения (33), то можно записать
Е[2(S「S+3 —(& — S+訓―
+ ^f^ [?(昆—S + g) — ^x — S + ；)] , EXy = —XxySxy (力gz)・ (42)
Из (42)следует
(£с -石g)+ (£сд к 2 + £cz 几 3)/几 1 -(ед 一后2)+
+ (EXyTl\ + Egz 几 3)/几 2 —(石2 —石冗)+ ^Exzn± + Egz 几 2)/几 3 —
=—[^xy (^1 + 必)+ ^yz (^2 + 几；)+ ^zx (^1 + 几；)]/3・(43)
Если в (42) перейти к компонентам физического пространства, то можно записать
у/ -^ху {^yz ^Ж — ^-ZX ^у} IQ = ^ху у/ -^ху (by — ^х)—
一 (%z - ^zx) [a/4况(02 - ％) + 74gz (02 - by) + 1] . g'
^xy ——入 \ВХп(тХп (力 gz).^xy ——入 \ВХп(тХп (力 gz).(44)(44)
^xy ——入 \ВХп(тХп (力 gz).
^xy ——入 \ВХп(тХп (力 gz).
(44)
(44)
(45)(45)(46)(46)
(45)
(45)
(46)
(46)
Если же в качестве обобщенного пластического потенциала принять соотноше-
ния (34), то можно записать
ЕХ — @ 入 ху Syz — XyZ Sxz — ^zx^xy)/^ч
2EXy =—入 xn Sxz — XyzS ；cz + A^x (S^； — S + 1/3)(力 gz).
Из (45)следует
(瓦r —旦/) + (EXyTl2 + 瓦EN 几 3)/几 1 =(旦/ —石2)+ (EXyTl\ + Egz 几 3)/几 2 —
=(石2 — Ex) + (E^^Tll + Egz 几 2)/几 3 =—[入也几 2 几3 + ^yz^l^3 + 入2冗几 1 几2〕/3.
Переходя в (45) к компонентам физического пространства, имеем
，4也(4^2% — ^ZX ^у} / Q = ^ху у/ ^yz bgz — ^yz у/ ^ZX ZX4
^^ху / у/^ху — —^ху у/^ZX ZX — ^yz у/^yz ^yz +
+ 3%冗[，4njc ^z - ^x) +，4gz ^z - by) + 1](力gz)・
Соотношения (44) и (47) являются обобщением условия полной пластичности изотропного тела [3] на случай ортотропных сред.
Список литературы
Mises R. Mechanic der plastischen Formanderung von Kristallen // ZAMM. 1928. Bd. 8. H. 3. S. 161-184.
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Учен, записки МГУ, Механика, 1946. Вып. 117. С. 90-108; Прикладные задачи механики. 1986. Т. 1 - М.: Наука. С. 62-83.
Ивлев Д.Д. Об определяющих соотношениях теории идеальной пластичности // Известия инженерно-технической академии Чувашской республики. № 3. С. 21-42.
К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМЭЛЕКТРОПЛАСТИЧНОСТИ
М. Р. Либерзон
МАТИ — Российский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.
К. Э. Циолковского
Немного истории. Явление, получившее название «электропластичность», состоит в том, что при специальном воздействии импульсным током или электромагнитным полем на электропроводящие материалы, например металлы и сплавы, могут существенно улучшаться такие свойства этих материалов, как прочность, пластичность, способность к диффузионной сварке. Эти свойства играют существенную роль в производстве изделий из проводящих материалов. Так, диффузионная сварка применяется для изготовления биметалла алюминий- сталь, который широко используется в авиационной и космической промышленности, и триметалла латунь-сталь-латунь для нужд оборонной промышленности. Поэтому явление электропластичности вызвало большой интерес не только ученых, но и технологов, инженеров, производственников.
Обнаруженное экспериментально в 70-е годы XX века явление электропластичности вызвало бурную волну исследований, пик которой пришелся на восьмидесятые годы. Было проведено огромное количество экспериментов для изучения электропластичности и предприняты попытки теоретического объяснения этого явления. Представление об основных результатах экспериментальных и теоретических работ в этой области дают труды конференций, специально посвященных электропластичности [1], обзор [2].
Эксперименты явно и однозначно показывали исключительно высокий эффект воздействия на металлы и сплавы импульсным током или электромагнитным полем. Так, при удачном подборе параметров электрического тока удавалось повысить прочность металла в 1,5 раза. Однако существенные трудности были связаны именно с подбором параметров тока, так как теория отсутствовала, а подбор параметров, вызывающих наилучший эффект, экспериментально требовал очень большого количества испытаний.
Тем не менее были сделаны успешные попытки применения явления электропластичности на производстве. Например, на ВИЛСе запущена и несколько лет эффективно работала линия производства листов (полос) из алюминия с предварительным воздействием на алюминий электромагнитным полем. Аналогичные линии, в том числе и для производства триметалла, были сконструированы и эффективно работали на оружейных заводах Тулы.
Многочисленные попытки обосновать явление электропластичности теоретически оказались, к сожалению, безрезультатными в том смысле, что не найдено никаких соотношений, позволяющих определять с достаточной степенью точности зависимость между параметрами электрического тока или электромагнитного поля и параметрами проводящих материалов, на которые оказывается воздействие. Знание подобных соотношений позволило бы существенно продвинуться
в построении и внедрении новых технологических процессов производства изделий из металлических сплавов и других проводящих материалов. Это хорошо видно из приводимого ниже примера.
Один пример. В большом количестве работ проводится построение математических моделей технологических процессов с использованием воздействия на материалы электромагнитного поля или импульсного электрического тока и систем управления этими технологическими процессами. Исследование построенных математических моделей приводит к синтезу и анализу систем управления, определению областей гарантированной устойчивости (см., например, [3-7]).
В случае, когда обрабатываемая полоса металла предварительно пропускается через индуктор, создающий электромагнитное поле, и одной из задач системы управления является стабилизация температуры Н металла на заданном уровне %, простейшая математическая модель строится следующим образом.
Сигнал 〃*, пропорциональный ошибке температуры 6, подается на усилитель:
6 = % —也 〃* = ki6.
Здесь 航—коэффициент пропорциональности.
Работа усилителя описывается уравнением
T空+ " =k2"*.
at
Здесь т и А — постоянная времени и коэффициент усиления усилителя. Напряжение и с выхода усилителя подается на вход регулирующего органа, в котором по закону
формируется напряжение 〃，питающее индуктор (Т и кз — характеристики регулятора).
Процессы в обмотке индуктора описываются уравнением
+ RI = U, at
где L и R — индуктивность и сопротивление обмотки; / — ток в ней.
Зависимость скорости изменения температуры Н от тока / имеет вид 黑= R/ + «"
Последнее уравнение содержит функцию /, явный вид которой в настоящее время получить невозможно, так как до сих пор не установлены сколько-нибудь обоснованные зависимости между физическими характеристиками обрабатываемого материала и параметрами электрического тока или электромагнитного поля. Поэтому при построении математических моделей приходится довольствоваться тем, что по результатам большого числа опытов и сделанных замеров подбираются функции для уравнений, которые описывают рассматриваемые процессы. Естественно, что построенные таким образом математические модели отражают реальные процессы с большими погрешностями. При попытках построения математических моделей процессов деформации материалов с учетом воздействия электрического тока или электромагнитного поля количество и величины погрешностей существенно возрастают. То же относится к описанию процессов диффузионной сварки.
Уточнению математических моделей послужила бы теория явления электропластичности, начало которой может быть положено в достаточной степени досто-
верным объяснением наблюдаемых эффектов. Ниже приводятся гипотезы, подтверждение или опровержение которых, возможно, привело бы к прогрессу в этой области.
Несколько гипотез. 1. При прохождении импульсного электрического тока через проводящий материал сопротивление значительно больше на внутренних дефектах (раковинах, трещинах) этого материала. Следовательно, и нагрев материала в зонах внутренних дефектов больше. Поэтому при специальном режиме импульсного электрического тока или высокоэнергетического электромагнитного поля геометрически неправильные границы внутренних дефектов материала оплавляются и выравниваются, дефекты «залечиваются», а по всему остальному объему материала изменений не происходит. Это может быть причиной увеличения пластичности и прочности материала, однако не объясняет улучшения способности материалов к диффузионной сварке. Кроме того, аналитические и количественные зависимости между параметрами электрического тока или электромагнитного поля и характеристиками обрабатываемого материала остаются невыясненными.
Предлагается связать улучшение диффузионной сварки с явлением «скин- эффекта». При «скин-эффекте» концентрация электронов в пределах двойного электрического слоя возрастает, что может привести к улучшению процесса диффузионной сварки при изготовлении биметалла и триметалла (полярный эффект) .С учетом тепловых колебаний ионов решетки может быть сделана попытка объяснить увеличение прочности и пластичности. Здесь также возникает вопрос о параметрических соотношениях.
Предлагается построить математическую модель явления электропластичности с помощью уравнений Лапласа для потенциала электромагнитного поля. Получение распределения электромагнитного поля по объему материала даст возможность применения уравнения теплопроводности с правой частью. Решение уравнения теплопроводности позволит узнать распределение температуры и рассчитать объемные изменения: напряжения сжатия и растяжения.
В случае принятия указанных выше предположений и, возможно, ряда других гипотез возникают также вопросы, связанные с учетом взаимного влияния рассматриваемых эффектов.
Список литературы
Труды Второй Всесоюзной Конференции «Действие электромагнитного поля на пластичность и прочность металлов и сплавов», 29 сент.-1 окт. 1987, Юрмала, СССР.
Беклемишев Н. Н., Корягин Н. И., Шапиро Г. С. «Воздействие локального импульсного электромагнитного поля на пластичность и прочность проводящих материалов». Известия АН СССР. Металлы. 1985. № 1.
Либерзон М. Р. «Об иннорном признаке абсолютной устойчивости нестационарных систем». Автоматика и Телемеханика. 1989. № 5.
Либерзон М. Р. «Иннорный критерий абсолютной устойчивости нестационарных систем управления». Доклады Академии Наук СССР. 1989. Т. 304, № 5.
Liberzon М. R. «Adaptive Control Systems of Electromagnetic Field Influence on Materials». Pergamon Press, Workshop Series. 1990. № 7.
Beklemishev N.N., Liberzon M. R. «The Use of Inners Method in Stability Analysis of Control Systems for Special Technological Processes». Fundamentals of Discrete-Time Systems, TSI Press, Albuquerque, NM, USA, 1993.
Liberzon M. R. «Technology of Production of Bimetal and Thremetab. Proceedings of the 4th International Conference of Sandwich Construction, June 9-11, 1998, Stockholm, Sweden.
КОРРЕКЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИКОНСТРУКЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЧАСТОТНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
Л. И. Лущин1^ А. В. Шаранюк2
Центральный Аэрогидродинамический институт2 Институт проблем механики РАН
При проектировании сложных конструкций, подверженных в процессе эксплуатации разнообразным динамическим воздействиям, большой теоретический и практический интерес представляет проблема создания математической модели конструкции, которая адекватно описывает ее жесткостиые и массово-инерционные характеристики. Свободные колебания конструкции описываются системой дифференциальных уравнений, а вопрос о выборе коэффициентов в этой системе, от величины которых зависят массово-инерционные и жесткостиые характеристики конструкции, может вызвать определенные трудности. В тех случаях, когда рассматриваются простые конструкции или их элементы, существует соответствие между коэффициентами уравнений и реальными массовыми и геометрическими характеристиками конструкции. Сложнее обстоит дело, когда для расчета больших составных конструкций используются упрощенные модели. Так, например, крыло летательного аппарата при решении задач аэроупругости моделируется балкой или пластиной. Задание исходных данных, т. е. выбор распределения массово-инерционных и жесткостных параметров в таких моделях всегда носит приближенный характер, и, следовательно, расчет на основе таких данных приводит к ошибкам в определении форм и частот колебаний и, как следствие, критической скорости флаттера.
Поэтому для решения задач анализа и проектирования возникает необходимость создания математической модели, которая может непрерывно совершенствоваться и уточняется на основе получаемых новых экспериментальных данных с целью наиболее точного описания параметров исследуемой конструкции.
Свидетельством того, что проявляется значительный интерес к вопросам построения математических моделей конструкции, могут служить публикации на эту тему [1, 2, 3, 4].
Большинство работ посвящено рассмотрению моделей с конечным числом степеней свободы, так как создаваемая математическая модель предназначена для расчета на компьютере.
Рассмотрим изгибно-крутильные колебания крыла большого удлинения, моделируемого консольной балкой, которые описываются задачей на собственные значения [5]
(Е 1и“)" — тХи + таХ^ = 0, —(GJ@ 仍)，+ таХи — пгт 2 AH = О,
“(О) = 〃'(0) = ^(0) = 0, ЕIufy=i = (ЕIu"Yy=i = GJр&п=( = 0.('
Здесь X =目2 — собственное число, квадрат частоты свободных колебаний, и(у) и ^(у) — собственные функции, описывающие изгиб и кручение крыла. Е1(у)^
17 Проблемы механики
GJp(y) — жесткости на изгиб и кручение соответственно, т(у) — погонная масса крыла, о (у) — расстояние между упругой осью и осью инерции, / — полуразмах крыла. Допустим, что для реального крыла, расчетную математическую модель которого необходимо создать, экспериментально определены частоты и формы свободных колебаний для нескольких низших тонов. Тогда можно построить функционал, минимум которого достигается при совпадении частот и форм свободных колебаний реальной конструкции и ее математической модели:
Ф = £ aj(^j — ^j)2 ~Ь £ 0j j(%^-j — Vj)2dy + £ (3j j(/zj^j — tj)2dy^ ⑵ 片1 片1 0 片1 0
где % — квадрат частоты J-ro тона колебаний, измеренной в эксперименте; о^(у), tj(y) — экспериментальные формы изгиба и кручения крыла. Индекс J показывает, что рассматриваемая величина соответствует J-му тону (J = 1, 2,. . . , k). Коэффициенты а力％ — некоторые произвольные, предварительно заданные положительные числа, характеризующие вклад соответствующего тона в функционал рас- соггласования Ф. Экспериментальные формы Vj и tj должны быть определенным способом нормированы. Поэтому в функционал Ф введены множители 勿 и 〃力 которые зависят от нормировки Uj и 办 при решении задачи (1). Коэффициенты 勿 и /zj также подлежат определению.
Постановку задачи можно сформулировать следующим образом. Рассматривается задача минимизации квадратичного функционала невязки (2) при условиях (1) и предположении о связи жесткостей и масс (что справедливо для тонкостенной кессонной конструкции крыла)
£7®) = к(у)т(у), GJp(g) = р(у)т(у)
и условии неизменности массы крыла
I
]т(у) dy = М = const,о
В качестве параметра, подлежащего определению, выбираем функцию распределения массы т(у).
Так как в дальнейшем при проведении вычислений используются безразмерные переменные, то в функционале Ф и изопериметрическом условии интегрирование необходимо выполнять по отрезку [0,1].
Проварьируем выражение (2) по всем входящим в него параметрам:
кк 1
8ф = 2 £ % (A厂5)网・ + 2 £ % ]⑴% -⑦)%bg dy +
1y = 11y = 10
k1k1
+ 2+ 2rjjUj — Vj)uj6r)j dy +rjjUj — Vj)uj6r)j dy +e为攸%•-力力从*%•dg + 2 w % ](
+ 2
+ 2
rjjUj — Vj)uj6r)j dy +
rjjUj — Vj)uj6r)j dy +
片1 0片1 0
k 1
+ 2 ^^ Bj \(NjOj — tj)9j5fij dy.⑶
片10
Из выражения вариации функционала (3) необходимо исключить 6%, 6〃力 6%, выразив их через вариацию переменной проектирования 5m.
Получим выражение ЬА^ через вариацию распределения массы 6т. Для этого проварьируем (1) добавив индекс J, который указывает, что соотношения записаны для J-ro тона:
(Е 15и：У — mXjSuj + maXjS^j — muj5 入 j +
+ ma^jSXj + (k 5 m呜)〃 + А^сг%• — Uj)5m = 0,
— (GJp6%Y + maXj6uj — m^XjS'Oj — mr2^-JAj +
+ maUjSXj — (p6m%)‘ + Xj(auj — r2®j)3m = 0. (4)
Если умножить первое уравнение ⑷ на 出，а второе — на 办，проинтегрировать от нуля до единицы и сложить, то после интегрирования по частям получим
^j —^j —1} ^Cj^mdy,з о1} ^Cj^mdy,з о(5)(5)
^j —
^j —
1
} ^Cj^mdy,
з о
1
} ^Cj^mdy,
з о
(5)
(5)
гдегдеajaj⑺⑺⑻⑻
где
где
aj
aj
⑺
⑺
⑻
⑻
3 =k⑻出了产+0®)(%・)2 + а式20办出一诸一 m仔),
1
Mj = j mRo^jUj — Tij — r2^j) dy.о
Для нахождения вариации собственных векторов, рассмотрим следующую систему уравнений сопряженной задачи, в которой вид правой части зависит от структуры функционала (2):
(Е [w；y — mXjWj + maXjTj =⑺出—⑦)勿—aj(—muj + ma^j)—
—(GJpT；)' + mXjaWj — mr2XjTj =(从/% —芍)〃/ — aj(—mauj — mr2^j),
Wj(0) = Wj(0) = Tj(0) = 0,EIw；⑴=[EIwfj (l)]z = GJpTj(l) = 0.(6)
В системе уравнений (6) коэффициенты определяются из условия существования решения этой системы (альтернатива Фредгольма) и имеют вид
1
J [(小 W - Vj^UjTfj + (从2•办-tj^jiij] dy о
1
]m(2o®jUj — u^ — 丁2#j) dyо
при условии
j m^a^jWj — UjWj + crUjTj — 丁^户/万)dy = 0. о
Для построения решения системы уравнений (6) используем ряд по собственным функциям уравнения (1) и, опуская промежуточные выкладки, получим
5・(у) (办 К)к5・(у) (办 К)к⑼⑼
5・(у) (办 К)к
5・(у) (办 К)к
⑼
⑼
при условии (Х〃，QX〃)= 1. Здесь приняты следующие обозначения:
IKI =IKI =卜 Н _ II (勿—+77W%・)3(〃_?•%•-芍)/Ъ - ^j(maUj - m丁2%・)卜 Н _ II (勿—+77W%・)3(〃_?•%•-芍)/Ъ - ^j(maUj - m丁2%・)
IKI =
IKI =
卜 Н _ II (勿—+77W%・)
3(〃_?•%•-芍)/Ъ - ^j(maUj - m丁2%・)
卜 Н _ II (勿—+77W%・)
3(〃_?•%•-芍)/Ъ - ^j(maUj - m丁2%・)
Скобками обозначено скалярное произведение векторов. Формула (9) дает удобную форму представления приближенного решения, для построения которого необходимо удерживать конечное число членов ряда.
11j[(ЕI6ufjyfWj — mXjWj6uj + maXjS'OjWj] dg + ][—(GJpH')Z・ +11j[(ЕI6ufjyfWj — mXjWj6uj + maXjS'OjWj] dg + ][—(GJpH')Z・ +Чтобы выразить вариацию собственных векторов через вариацию распределения массы, возьмем полную вариацию системы уравнений (1), умножим первое уравнение на wj, второе — на д, проинтегрируем оба выражения по отрезку [0,1], суммируем и получим
11
j[(ЕI6ufjyfWj — mXjWj6uj + maXjS'OjWj] dg + ][—(GJpH')Z・ +
11
j[(ЕI6ufjyfWj — mXjWj6uj + maXjS'OjWj] dg + ][—(GJpH')Z・ +
ооо
о
о
1
+ maXj6ujTj — mr2XjS^jTj] dy6Xj jm^Wj^a^j —出)+о
1
+ Tj^auj -户％)] dg + ] 5m[k(y)呜w； +р(у)%т； +о
+ Xj^adjWj — UjWj + (TUjTj — r2^jTj)] dy = 0.(10)
После ряда преобразований выражение (10) можно привести к виду
111
1
1
]%•(勿Чу•—⑦須出匈 + ]Nj(Nj% - tj^S^j dy
ооо
о
о
—j 5m [k(y)ufjWj +目(沙)也•力 + Aj(cr^jwj — UjWj + aujTj — r2^jTj)] dy. (11)
Выражение (11) определяет вариацию собственных векторов через вариацию распределения массы 6т. Константы 历 и 勿 определяются следующим образом:
Nj =Nj =(12)(12)
Nj =
Nj =
(12)
(12)
Подставляя в выражение вариации функционала (3) выражение вариации собственных чисел (5) и выражение вариации собственных векторов (11), получим
k1к 1
гдегде6Ф = —Zfajgia^'CjGmdy — ZfBj'DjGmdy, (13)片1' 0片1 о
где
где
2 = мg)(呜)2 + 0®)"；)2 + %(2叫%•一说一户好),
1100
1
1
0
0
D《y) = k(y河w； + р(у)%寸 + Xj^jWj - UjWj + aUjTj - r2^rj).
Поскольку масса конструкции считается неизменной, запишем для задачи минимизации функционала Ф расширенный функционал Лагранжа [6]
L = Ф +^^т dy — М,
где / — множитель Лагранжа. Вычислим первую вариацию функционала L и приравняем ее нулю:
1
6L = ] grad^ ФЗт dy + J ] 5m dy = О,
оо
где
gradm Ф = -2e%(аЗ•-5.)^j")- 2£%03®).1y=i' 1y=i
В силу основной леммы вариационного исчисления получим необходимые условия минимума задачи
grad俏 Ф + 幻° = 0.
Множитель / определяется из изопериметрического условия неизменности массы конструкции.
Для численного решения задачи минимизации целевого функционала используется метод проекции градиента.
Для проведения расчетов была выбрана динамически подобная модель (ДПМ) крыла самолета, для которой были проведены частотные испытания и измерены
частоты и формы первых трех тонов совместных колебаний. ДПМ крыла состояла из 8 отсеков с грузом на конце. Для расчета форм и частот ее колебания исходные данные задавались в 20 сечениях по размаху крыла. В табл. 1 приведены значения частот свободных колебаний, полученные в эксперименте для ДПМ, вычисленные для исходной расчетной модели и полученные в результате вычислений для скорректированной модели.
Таблица 1
^1
&2
&з
Из частотного эксперимента
11,52
42,9
48,6
Расчетная модель
12,9
46,3
49,0
После коррекции
11,5
42,1
48,2
На рис. 1-3 приведены формы изгиба и кручения первых трех тонов колебаний. Сплошной линией обозначены формы колебаний, полученные в эксперименте; крестиком —полученные после коррекции; кружком — при начальной аппроксимации масс и жесткостей. Следует обратить внимание на качественное различие форм свободных колебаний для второго и третьего тонов реальной ДПМ и ее расчетной модели. Результаты расчета на флаттер показывают расхождение в величине критической скорости аэроупругой устойчивости на 17% для исходной расчетной модели и скорректированной модели крыла.
Список литературы
Редько С. Ф., Ушкалов В.①., Яковлев В. П. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. — Киев: Наук, думка, 1985.— 216 с.
Baruh М. Correction of stiffness matrix using vibration tests // AIAA J. 1982. V. 20, № 3. P. 441-442.
Bert M., Calkin E. D., Sholar M. S. Linear estimation of structural parameters from dynamic test data // AIAA/ASME 11th Strustures, Structural dynamics and Materials Conference. Denver, Colorado, April, 1970. P. 22-24.
Rodden W. P. A method for deriving structural influence coefficients from ground vibration tests II AIAA J. 1967. V. 5, № 5. P. 991-1000.
Гроссман E. П. Флаттер. Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284.
О СЖАТИИ ПЛИТЫИЗ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГОАНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Л. А. Максимова
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева
Рассмотрим слой идеально-пластического материала толщиной 2%, сжатого параллельными жесткими шероховатыми плитами. Ось z направим ортогонально плитам, оси ж, у — в срединной плоскости слоя. В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, будем считать отнесенными к величине h.
Условия предельного состояния, согласно [1], запишем в виде
Ь：с =沙 + ^Ап^, ^~ху = 2R 几 1 几2,
сгд = ^ + 23т^, Ту? = 2G 几2 几 з,(1)
=沙 + 20九3，Txz = 2H TI1TI3,
沙=0一 I(4若 + 3必 +。碣)，。=^ (% + by +。2),(2)
4 B,。，F, G, H — const,
若 + ^2 + ^3 = 1，(3)
где。冗,тху,. . . — компоненты напряжения.
Компоненты напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия
д(т x 1 дт~ху 1 a^xz дхдуdz
НТху 丄 Aby 丄 37yz дхдуdz
a^xz I a^yz 1 ^^ Z дхдуdz
=0,
=0,
=0.
⑷
Из (1) следует
2 — G TxyTxz - 2FH ryz
2 —“ TxyTyz
'2 - 2RG F
;2 _ F TxzTyz
，3 - 2G“ Txy .
(5)
Из (3), (5) имеет место
T^g (G2^ + »2学Z)- 2т^у (FGHrxzTyz) + F2 (rxzTyzf = 0.(6)
Из (6) получим
Согласно (7)Согласно (7)2 T2H2 + G2 •2 T2H2 + G2 •⑺⑺⑻⑻
Согласно (7)
Согласно (7)
2 T2
H2 + G2 •
2 T2
H2 + G2 •
⑺
⑺
⑻
⑻
⑼(10)(И)⑼(10)(И)(12)(13)(12)(13)
⑼
(10)
(И)
⑼
(10)
(И)
(12)
(13)
(12)
(13)
Следуя Прандтлю [3], предположим, что касательные напряжения txz, ryz меняются линейно вдоль толщины слоя:
txz = аг + ci, Tyz = 6г + С2, а,仇 q,實 一const.
Согласно (7), (9) касательное напряжение тху зависит от переменной z. Из (1), (4), (5), (7), (9) получим
入 daz ncf а /rxzryz\ n
/ = 画毎+丿
Из (1), (10) следует
u = -ax-\-by-\-f(z),/(z) = —*
G” \ Тху у
az = —ax — 6g + & C = const.
Из (12) следует
grad bz = — (a i + 6j) = — "a? + 产 (i cos ^ + j sin ^),
a.b
cos 夕=,「,sin a? = ,「.
“。2 + b2， У “a2 + b2
Отметим, что вектор grad az определяется составляющими касательных напряжений a, 6 и не зависит от величин ci,専 ⑼.
Компоненты ах, ау определяются согласно (1), (2), (5), (9), (11):
_ I ZG rxyrxz _ 7. I ВН Txyryz
Согласно (7), (9), (11), (12), (14) напряженное состояние при известных компонентах напряжения txz, ryz (9) определено с точностью до постоянной С.
Рассмотрим напряженное состояние идеально-пластического слоя, когда результирующие касательные напряжения достигают предельного значения на сдавливающих шероховатых плитах.
Припишем величинам на верхней и нижней сторонах слоя индекс «плюс» и «минус» соответственно. Будем иметь
Т± = а + 5, т+ = 6 + С2 ,7 = 1,
一二(15)
Txz = -a^ сn tr = 一6 +02, z = 一1.
Обозначим
т+二由 + 山，г = G + G，(16)
rxz = Т cos a, ryz = Т sin а, Г2 = т^ + т^,/ / (17)
Из (8), (9), (17) следует
а + 5 = Т+ cos а+,6 + 専=丁+ sin а+,
___ ._(18)
а — 5 = Т cos а , b — с? = Т sin а ,
Т+ = ^ [傍 + 青)-(表-青)3 2。+] /，(19)
6[(青 + 青)-(青-青)cos2a"] / •
Из (18) найдем
а = ^ (Т+ cos а+ + Т~ cos а~),匕=^ (戸 sin а+ + Т~ sin а~), 11(2°)
ci = - (Т+ cos а+ — Т~ cos ), С2 = - (Т+ sin а+ + Т~ sin а-),
где Т+, Т~ определяются согласно (19).
Из (13), (20) получим
. Т+ sinа+ + Т~ sinа~
*т+с"+—а- °⑵)
В случае, когда q =。2 =0, согласно (18), (20) имеет место
а+ = а~ = а, Т+ = Т~.(22)
Согласно (12), (19)-(22), будем иметь
。2[(亲 + ”(亲 + 加。52「…，
_1/2
6 =[(表 + ^)-(表 + ^) 32$ sina,
—gsin a) + &—gsin a) + &=^ [(亲+ ^)-(亲+ ^)з2а] / (—ccosa
—gsin a) + &
—gsin a) + &
tgg = tga.
Предположим, что результирующие усилия Т+, Т- взаимно ортогональны:
-+ . 7Гa =a +万，-+ . 7Гa =a +万，aa++
-+ . 7Г
a =a +万，
-+ . 7Г
a =a +万，
a
a
+
+
Из (19), (24) будем иметь
Т+ = ^ [(^ + ^) - (^ + ^)cos2a] 5 广=^ [(青 + 青)+ (青 + 青)8s2a]
Величины а, 6 определяются согласно (20), (24), (25).
В случае, когда результирующие усилия Т+, Т- направлены
вдоль ортого-
нальных осей ж, у соответственно,
а+ = 0,= тг/2.
(26)
Согласно (19), (20) будем иметь
т =а = у, С1 = у,
(27)
Т =о = —у, В =万・
Из (15), (27) найдем
=4 咕=0, 7上=0, 丁/=
= G.
(28)
Согласно (12), (28) будем иметь
<Tz — —H X — Gg + C.
(29)
Из (28) следует
grad az = —Hi — Gj.
(30)
Постоянная С может быть определена из интегральных ограничений на величину равнодействующих усилий вдоль осей х〉у〉аналогично [4].
Аналогично могут быть рассмотрены различные случаи взаимной ориентации усилий Ti, Т2.
Список литературы
Ивлев Д. Д.、Михайлова М. В. Статически определимые соотношения теории идеальной пластичности //В кн. Д. Д. Ивлев «Механика пластических сред». 2002. Т. 2.— М.: Физматлит,.
Максимова Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 6.
Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию. Теория пластичности. — М.: Изд-во иностр, лит., 1948.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.
⑷(5)⑹⑺⑷(5)⑹⑺
⑷
(5)
⑹
⑺
⑷
(5)
⑹
⑺
О СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОМ СОСТОЯНИИИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ, СЖАТОГОЖЕСТКИМИ ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Л. А. Максимова
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева
Рассмотрим осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилиндрического слоя из идеально-пластического материала. Компоненты напряжения в цилиндрической системе координат p^z обозначим: ар,。少,az, 丁夕少,rpz, t^z, компоненты скорости деформации: £夕,£少,£乞,£夕少,epz, e^z. В случае осесимметричного состояния компоненты напряжений и скорости деформации не зависят от координаты 仇 причем
70少-丁少n-£0少—£少n—0・(1)
Уравнения равновесия в случае осевой симметрии имеют вид
^ар I °丁“ Ор — s —八
⑵
Условие пластичности запишем в виде
/ (办%，匕Т外)=。，⑶
где индекс штрих наверху приписан компонентам девиатора: afp = ар — а, а^ = =а^ — a, afz = az — а, а = 1/3(。° -\- а^ -\- az). Имеет место
6rZ + % + 理=。・
Условие пластичности (3), согласно (4), можно записать в виде
/ (£，〃，窃z) =0, £ =。夕—о少,〃 =сг； + сг% = ； (сг° + сг少一2ctn).
Согласно ассоциированному закону течения, из (5) будем иметь
e…(要+瑞)，= 一望+瑞)，
= 长，入》0.
Согласно (6) имеет место условие не сжимаемости
£q + £少 + £2 =0.
Имеет место
где и, V, w — компоненты скорости перемещения. В рассматриваемом случае сжатия цилиндрического слоя положим
Tpz =mi, m2 = const,(9)
и = щр + ^,П1, П2 = const.(10)
Согласно (6), (8), (10), получим
Исключая из (11) величину А, получим соотношение, из которого, согласно (9), следует зависимость
〃 =3 (сг° — сг少,〃 mi,m2, ni,几2)•(12)
Из (5), (12) следует
Ор _ о® = F (〃 7711,7712,几 1,几2)•(13)
；do + /(z), а^ = —F — j ^；do + /(z), а^ = —F — j ^Из (2), (9), (13) следует
；do + /(z), а^ = —F — j ^
；do + /(z), а^ = —F — j ^
如+ /⑶，
1 f R 3(14)
% = —/ R — 万如一/ 夕 + 〃z).
Из ⑵，⑼ получим az = —2m、z + W S).(15)
Согласно (14), (15), найдем / (z) = —2miz + с, c = const.(16)
Постоянную с определим из условия отсутствия продольной силы Р вдоль оси z при 7 = 0：
Р = 2тг ] azpdp = 0,(17)
где параметры а, 6 (а < 6) определяют границы слоя. Из (14), (16), (17) следует
Предположим, что касательное напряжение rpz (9) достигает предельных значений на внутренней и внешней границе слоя:
.ш2 mia Н а
航=const,
(19)
0
=®
期=const.
Из (19)следует
_ 自。—k2b
m2 二
_ -ab (Hb -用2a)
(20)
Ш1 —27 2，
а — о
-2入2•
а — о
При фиксированных величинах k\> k?〉а, b величина с, согласно (13), (18), (20), зависит от величин ni,几2, определяющих, согласно (10), характер деформирования слоя материала.
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
(сг° - сг少)2 + (сг^ - crj + (ар - crj + 6 (丁急 + 晓 + *J = 6/A(21)
Соотношения ассоциированного закона имеют вид
£0- a (2(70一 (7日 一 (7^), £少=入(2。少—az — ap),
£夕少=3 Атр^, £qn = ^^^~pz,
(22)
£z = X (2% — ap — a^),
£少乞=ЗЛт^2； •
Ha осесимметричное состояние (9), (10) наложим состояние сдвига Уравнение равновесия для определения 丁夕少 имеет вид
Тр^{р)-
dTp® 27Pz
二 0,
(23)
откуда
70少-, c - 70少(a)02 -
丁0日(6)俨=const.
(24)
Из (10), (21) следует
_ 3九炉/、
0"z ——op°"少)+
2九2
；(сгр + сг^).
(25)
Из (21), (25) получим
F = ар-a^= 2"：2"2 -2, T2 = 丁急 + 成，从=sign e0-0少).(26)
，呜+ 3九1綻
Компоненты напряжения определяются согласно (9), (14), (15), (16), (24), (26).
Предположим, что касательные напряжения достигают предельных значений
на поверхностях р = а, р = Ь. Согласно (9), (24), (26) получим
77116 + ? = А о77116 + ? = А от^а Н= к± = ат^а Н= к± = а
77116 + ? = А о
77116 + ? = А о
т^а Н= к± = а
т^а Н= к± = а
Величины mi, m2 определяются согласно (20), (27). Отметим, что результирующие касательные напряжения Т =，丁急 + 喂 на поверхностях р = а、р = b неколлинеарны [1].
Итак, если касательные напряжения тр^, rpz определены из граничных условий (24), (27), напряженное состояние (14), (15), (16), (25), (26) зависит от параметров П1,几2 (Ю), определяемых значениями скорости перемещения на сжимающих поверхностях:
иa = n^а + ^,"6 =几16+早，(28)
откуда
几I = 一2一几2 =——T—方一-•(29)
а — оа — о
Нормальные напряжения ар,。少,az (14)-(16) при р = const меняются линейно вдоль оси z с угловым коэффициентом mi, определяемым статическими граничными условиями (19), (20), (27). Величины напряжений ар^ 。少,az зависят от значений скоростей перемещений иа^ и^, определяющих сближение сдавливающих поверхностей согласно (14)-(16), (25), (26), (29).
Отметим, что случай С = 0 рассматривался также в [2].
Рассмотрим сжатие идеально-пластического слоя параллельными жесткими шероховатыми плитами при условии пластичности Мизеса.
Уравнения равновесия:
系+争+学(30)
дх ду dz' '
毎丽毎
где сгж, тху^ . . . — компоненты напряжения в декартовой системе координат. Условие пластичности Мизеса:
(外-^)2 + (0厂。J + (分 -。J + 6 (* + 寸z + T^) = 6廿，(31)
где k — предел текучести на сдвиг.
Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций согласно ассоциированному закону пластического течения [2], имеют вид
ж = X (^ж — Ь)£я?д = ЗХт^у,
£g = X (by — ^ ^^yz = 3》Tgz,(32)
£z = X (。2 — ^}^XZ — ЗАТд；/,
где £冗,£ху, . . . — компоненты скорости деформации,
。=у (^Х + Оу + Ь/) •
Из (31), (32) следует
XJ(£冗-£g『+(£у - £z『+(£冗-£z『+ 6(£^g + £^z + £^z) •(33)
Из (32) следует условие несжимаемости
(34)(34)£宓 + £g + £z =0■
(34)
(34)
Имеют место формулы КошиИмеют место формулы Коши
Имеют место формулы Коши
Имеют место формулы Коши
где и, V, w — скорости перемещения.
Соотношения (32) перепишем в виде
(36)(36)^х — ^ + 又， ау = а -\- —,az = а -\-—,
(36)
(36)
£ху£yz£xz
тху —, Tyz — 5—, Txz —
Предположим, что компоненты девиаторов напряжений。叮—5切。и скорости деформации £叮 являются функциями координаты z. Положим аналогично [1]
txz = az, Tyz = 6z, a, 6 = const.(37)
Из (32), (37) следует
£ Xzb = 2g20.(38)
Согласно принятым предположениям из (30), (36), (37) получим
黑+。=。，需+h。，需=。，需+ ^㈢=。・(39)
Из (39) следует
az = —ax — by + С, a = —ax — by -\- C — ^, C = const. (40)
Условие несжимаемости (34), согласно (35), имеет вид
黑+駅需=。・⑷)
Положим
и = mix + П1У + 31 (z),
о = т2ж + n2y + 32(Z),(42)
w = m^x + 几 зу + Q, где mi,rii, q = const.
Согласно (35), (41), (42) имеет место
£冗=^^1, £g —几2, £乞=q, 7Tzi + 几2 + q = °，
£也=；(m2 + n1), £gz =；(等 + 几3),=；(第 + m3),(43)
А = ^< (mi - n2)2 + (mi - q)2 + (几2 - и)? +
+ ! (m2 +几1产+(第+几3)+(^ +m3
Согласно (36), (38), (40) (43), получим
.£х - £z厶.. mi - q
(44)(44)(45)(45)сгж = сг^ H^= 一。力-by-\-C -\,
(44)
(44)
(45)
(45)
◎ n =。2 + д — —азе — by +。+—, ^~xy = ■
Из (31), (33), (37), (44) следует
А =А =I = 4,4 _ 3 + 产)72 ,
А =
А =
у^(3/2) (m2 + mf + (mi - n2f + (mi - qf + (n2 - qf
Обозначим толщину слоя 2%, предположим, что в некоторой точке х()уо опре
делено осредненное давление
h
(46)(46)р = —г сг az, 目=const.
(46)
(46)
—h
Из (40), (45), (46) следует
h
C = p +。力0 + byu + * 牟=0 +。力0 + byo +
2九J 入
-h
+ "，k2 一 (a2 + 62)%2 _(к arcsin '"° + b一 . (47) 2V а2 + 62左 」
Согласно (40), (45), (47) величина сдавливающего напряжения az будет зависеть от характера деформирования плиты. Аналогичная зависимость сохраняется при различных осреднениях краевых условий, налагаемых на компоненты напряжения.
В случае статически определимой системы соотношений при условии полной пластичности имеет место [1]
外=。+^^, Су = с+1^, bz = c+r^,(48)
TyzTxzТху
TxyTyz + TxzTyz + TxyTxz = ?卜(49)
TxzTxyTyz
Согласно (30), (37), (48), (49) получим
az = —ах — by + С, а = —ах — by -\- С — 7a^….(50)
Тху
Из (46), (50) следует
h
(51)(51)с = @ + ас。+ bgo +dz.
(51)
(51)
2% J тху
一 h
Согласно (50), (51) величина сдавливающего напряжения az не зависит от характера деформирования плиты, аналогичная зависимость сохраняется при различных осреднениях краевых условий, налагаемых на компоненты напряжения.
Список литературы
Максимова Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 6. С. 1057-1062.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966.
СМЕШАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ФИЗИЧЕСКИНЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ СТАТИКИ КОМПОЗИТНЫХОБОЛОЧЕК
В. А. Максимю% И. С. Чернышенко
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
Применение функционала Лагранжа для решения численными методами краевых задач теории композитных оболочек при изменении их параметров в широких пределах [1, 2] приводит к эффектам сдвигового и мембранного вырождения. Такие явления получили название «запирание». Они проявляются в замедленной сходимости численных методов, вследствие чего достоверность получаемых решений тяжело оценить. Способы преодоления таких нежелательных эффектов являются актуальными и к настоящему времени, в особенности по отношению к композитным оболочкам, поскольку увеличивается количество параметров, которые могут привести к таким эффектам. Для их преодоления были предложены проблемно-ориентированные смешанные функционалы [3, 4] и сформулированы варианты теорий нелинейно-упругих ортотропных тонких и нетонких оболочек в зависимости от соотношений между параметрами их композитных материалов (КМ). С их использованием был решен ряд тестовых [5] и новых [6, 7] задач статики оболочек из нелинейно-упругих КМ. Ниже дана общая характеристика предложенных функционалов и вариантов теории, а также приведены наиболее яркие демонстрационные примеры расчетов.
Исходные предпосылки. Предполагаем, что тонкая или средней толщины оболочка изготовлена из ортотропного КМ, проявляющего нелинейные зависимости [1, 8, 9] между напряжениями и деформациями. Свойства КМ не изменяются во времени, но могут проявлять значительную ортотропию и неоднородность. Процесс нагрузки под действием поверхностных и краевых сил происходит при постоянной температуре и является активным типа простого [1]. Оси ортотропии КМ совпадают с линиями главных кривизн оболочки. В зависимости от соотношений между геометрическими и физическими параметрами оболочек рассмотрим варианты теории для четырех классов оболочек.
Оболочки средней толщины с небольшой ортотропией и неоднородностью свойств КМ, но с пониженной сдвиговой жесткостью (Ех 〜Еу》Gxz 〜 〜Gyz). Применяются гипотезы Тимошенко и классический функционал Лагран- жаП1 ("ь"2,"3,91“2)・
Тонкие оболочки с небольшой ортотропией и неоднородностью свойств КМ, но со значительной сдвиговой жесткостью (Ех 〜Е?〜Qxz 〜Gyz). Применяется смешанный функционал 出("ь "2, "з, 31“2, 丁厶 ^^} в котором геометрические гипотезы Кирхгофа-Лява реализованы [5] методом множителей Лагранжа (Т^, 7^), имеющими смысл перерезывающих усилий.
Те же оболочки, но характер их деформирования такой, что вследствие малости мембранных деформаций устанавливается взаимосвязь между теми перемещениями, через которые эти деформации выражаются, т. е., возникает мембранное
вырождение. Применяются гипотезы Кирхгофа-Лява и смешанный функционал 口з("1, "2, "з, 31, 32, Т& Т^, £丸 咸2, £《2)，в котором дополнительно варьируются компоненты мембранных деформаций.
Тонкие или средней толщины оболочки со значительной ортотропией (например Ех 〜Gxz 》Gyz, когда в одной плоскости будут выполняться гипотезы Кирхгофа-Лява, а в другой — Тимошенко) или неоднородностью [1] (Gxz/Exz = 0,5 -4-10-3) свойств КМ или с «немалой» {Ex/Gxz 〜1,5 .. . 10) сдвиговой жесткостью. Применяются гипотезы Тимошенко и смешанный функционал 口4("1, "2, "3,外 32,乩，心乩,乩,43)-
Приведенная нумерация вариантов теории соответствует степени сложности используемых функционалов. Конечно, последний вариант теории охватывает за широтой постановки три предыдущие, но и требует больших вычислительных ресурсов вследствие увеличения количества независимых функций. Во многих практических случаях можно ограничиться более простыми постановками, а самую полную применять для контроля над точностью и выявлением возможного вырождения, что достаточно сделать на линейно-упругом этапе деформирования.
Применение метода множителей Лагранжа для реализации [5] геометрических гипотез Кирхгофа-Лява позволяет использовать формально одинаковые для всех четырех вариантов теории линейные геометрические [1] и нелинейные физические [1, 9] соотношения.
Линеаризованные смешанные функционалы. Поскольку в соответствии с применяемым методом последовательных приближений в форме дополнительных напряжений величины нелинейных составляющих усилий и моментов ⑴亨，"£) считаются известными из предыдущего приближения и не варьируются, то применяется линеаризованный функционал TlLN, удовлетворяющий на каждой итерации вариационному уравнению 6Г1 = 6TlLN = 0. Тогда для первого варианта теории он имеет вид
口"=；]]£0夕Е£О^ + ]]е сг?8i d^ - ап - A^, (1)
где {。"} = {Tg, T会,T分 M/l,"务，"务,T3 T君} —вектор выражений для линейных составляющих усилий и моментов; {。~}——аналогичной структуры вектор нелинейных составляющих величин усилий и моментов; {е}= ={£11, £22, £12, "11, "22,2〃12, £13, £23} — вектор выражений для компонентов деформаций; Ап и А^ — работа поверхностных и краевых усилий.
Линеаризованные функционалы для последующих вариантов теории будут такими:
口产=；]]Е d0 dQ + ] ](7公£13 + T点£23)df2 +
+ ]]工 o『da — Лп — A a?； (2)
⑶⑶nfN = n^-|j j£ Си 叵—吟 2 da + д^；
⑶
⑶
ngN = 口" _ *][宫 - £{)2 + ^g^- £{)2]м + AEN, (4)
где Сц (г = 1, 2, 3) — коэффициенты матрицы жесткости в физических соотношениях вида {ст} = [С] {е} + {сг~}; АЕ^ учитывает численное различие между деформациями-формулами £叮 и деформациями-функциями £$.
Краткая характеристика рассматриваемых вариантов теории приведена в табл. 1. Соответствующие им функционалы (1)-(4) ориентированы на решение проблем, обусловленных характером деформирования.
Таблица 1
Вариант теории
Г ипотезы
Характер деформирования
Вырождение
Варьируемые функции
1
Тимошенко
£13 * 0 С £23 次 0
—
U1, "2, "3,夕1,夕2
2
Кирхгофа- Лява
£13 = &23 = о
—
U1, "2, "3,夕1,夕2,
1 13，1 23
3
Кирхгофа- Лява
£11 —> 0 U &22 ~^ 0 U U £12 т 0
мембранное
"1, "2, "3,夕1,夕2, 7后,T乩 eft, W2, e；2
4
Тимошенко
£11 —> 0 U £22 т 0 и U&12 Т 0U&13 т ои U &23 Т 0
мембранное и сдвиговое
"i, "2, "3,屮1,屮2, ef「 以,乩,е；3, е?3
Отметим внешнее сходство в функционалах (3)-(4) членов вида
△石厶=；[[011(£11 _ ^11)2 +e22(£22 _ ^22)2 + …]dQ(5)
с формулами теории случайных процессов [10] для дисперсии случайных величин £叮 относительно средних значений 刃.Если бы не отсутствие слагаемых типа 2С12(^ц — £%)(£22 — ^22)，которые подобны корреляциям, то величина АЕ^ была бы потенциальной энергией деформаций линейно-упругой оболочки с компонентами деформаций Ае^ = £叮一刃.Считая отклонения Ае^ независимыми между собой и произвольного знака, величину АЕ^ можно назвать потенциальной энергией «ложных» (в смысле численных методов) деформаций. Функционалы (3) и (4) построены таким образом, что от функционалов соответственно (2) и (1), которые имеют минимум, отнимается небольшая положительная величина вида (5). Кроме того, известно, что в таких случаях численные методы дают завышенные стационарные значения. Тем самым предложенные функционалы (3) и (4) позволяют достичь более глубокого минимума за счет учета энергии «ложных» деформаций.
Численные примеры. Приведем результаты расчетов известной тестовой задачи [2] о деформировании под действием собственного веса перекрытия в виде цилиндрической панели, опертой торцами на диафрагмы, которые препятствуют перемещениям в своей плоскости. Параметры панели, отнесенные к цилиндрической системе координат (г, г, д), следующие: L = 15,24 м; R = 7,62 м;
h = 0,0762 м; Е = 2,06 • 1010 Па; 〃 = 0; d% = 4,29 • 103 Па; d — удельный вес материала; Grz = G「夕=Е/2. В табл. 2 для различных вариантов выбора деформаций за независимые функции и количества узлов {Kz х ^^) разбиения четверти панели приведены относительные прогибы, которые достигают максимальных значений на серединах прямолинейных сторон. Варианты расчетов 1-5 показывают практическую сходимость результатов расчетов, полученных согласно (3), к значению аналитического решения [2], а также преимущества выбора мембранных деформаций за независимые функции, в отличие от вариантов 10-12, где наблюдается замедленная сходимость. Из вариантов 3, 6-9 видно, что в данном случае целесообразно выбрать £心夕,£0夕 за дополнительные независимые функции.
Таблица 2
Вариант расчета
Варьируемые деформации
Kz X K°
—ur/h
1
£千3
6x6
0,69
2
6x11
1,09
3
修
6x21
1,15
4
0夕夕
6x41
1,16
5
11X11
1,10
6
6x21
0,29
7
6x21
0,76
8
6x21
0,36
9
£千3
6x21
1,14
10
6x21
0,31
11
11x81
0,95
12
21x321
1,14
[2]
Аналитическое решение
1,20
Используя функционалы (1)-(4), покажем влияние выбора варианта теории на согласование результатов расчетов с экспериментальными данными на примере задачи о деформировании упругой изотропной цилиндрической оболочки с двумя диаметрально противоположными одинаковыми отверстиями. В эксперименте [11] точеная дюралюминиевая (сплав Д 16 Т,石=67 ГПа; 〃 = 0,3) оболочка длиной L = 160 мм, радиусом R = 40 мм, толщиной % = 2 мм с отверстиями радиусом го = =10 мм нагружалась равномерным внутренним давлением интенсивностью дз = =0,48 МПа. Отверстия перекрывались цилиндрическими круглыми в плане секторальными крышками, которые свободно опирались по периметрам отверстий.
Численное моделирование деформирования цилиндрической оболочки осуществляется по следующей схеме [3]. В качестве сопряженной принята декартова система координат (ж, у) на развертке цилиндра с началом в центре отверстия, ось ОХ которой совпадает с образующей, а в качестве несопряженной — полугеодезическая (г, ^). Учитывая симметрию задачи и безмоментное состояние на удалении г^ = 40 мм от отверстия, рассмотрим четырехугольную (го 4 丁 4 丁左； 0，Н，90°) область. На линиях Н = 0。и Н = 90° приняты условия симметрии, на контуре отверстия (丁 = то)——условия свободного края, к которому приложена перерезывающая сила от крышки Qo = ^зГо/2, на линии (丁 = 丁左)一условия безмо-
ментного состояния [1]. В случае гипотез Тимошенко модули поперечного сдвига возьмем такими, как в изотропном материале: Сжз = С^з = Gxy =石/2(1 + 〃).
В табл. 3 приведены прогибы "з в мкм в точке (丁 = то； ^ = 90°) в зависимости от варианта теории, количества варьируемых KF функций и количества (К「х K# узлов разбития. В четвертом столбце перечислены порядковые номера варьируемых компонентов деформаций в векторе {£‘}•
Таблица 3
№
строки
Вариант теории
KF
Номера {d}
Кг х ^^
21x11
41x11
81x11
1
1
5
—
22,9
23,2
23,4
2
2
7
—
23,8
24,2
24,4
3
3
10
1,2,3
24,2
24,5
24,6
4
4
7
7,8
24,4
25,0
25,2
5
4
10
1, 2, 3, 7, 8
24,8
25,3
25,4
6
Эксперимент
25,7
Видно, что четвертый вариант теории (строка № 5) дает ближайшее к эксперименту (строка № 6) значение прогиба. Мембранное вырождение практически отсутствует (сравниваем строки №2 и №3). Оболочка достаточно толстая (средней толщины), поэтому сдвиговое вырождение проявляется незначительно (сравниваем строки №3 и №5). Вместе с тем использование гипотез Тимошенко (строка № 5) в варианте 4 теории дает более точное решение, чем использование гипотез Кирхгофа-Лява (строка № 3) в варианте 3 теории. Соответствующее же использование этих гипотез в вариантах 1 (строка № 1) и 2 (строка № 2) теории приводит к противоположным выводам, что является своеобразным проявлением сдвигового вырождения.
Приведем результаты исследования [6] нелинейно-упругого напряженного состояния тонких ортотропных органопластиковых оболочек в зависимости от ориентации осей ортотропии КМ относительно цилиндра. Геометрические параметры оболочки следующие: R/h = 41,25; r^/h = 3,3; r^/h = 13,3. В одном случае оси ортотропии четырехслойного органопластика [1] так ориентированы относительно оболочки, что Ехх = 25,3 ГПа; Еуу = 38,4 ГПа; Е = Ехх/Еуу = 0,659; Gxy = =7,6 ГПа; уух = 0,157;
Qxxxx = 4,2, Qyyyy = 2, Qxxyy = —0,33, Qxyxy = 13,
а в другом ориентация изменена, т. е. имеем: Ехх = 38,4 ГПа; Еуу = 25,3 ГПа; Е = 1,518; Gxy = 7,6 ГПа; уух = 0,24;
Qxxxx = 2, Qyyyy = 4,2, Qxxyy = —0,33, Qxyxy = 13.
Расчеты нелинейно-упругого напряженного состояния оболочки выполнены согласно второму варианту теории (2) на сетке (К「х К») = (161 х 21) при дз = =10 МПа с относительной точностью решения нелинейных задач 10-2 по максимальным деформациям. Результаты расчетов в нелинейной (НЗ) и линейной (ЛЗ) постановках задач представлены в виде распределения окружных напряжений сг少少(в МПа) (табл. 4) в трех точках по толщине (йз = аз/% = 0; ±0,5) на контуре (丁 = 丁0)отверстия цилиндрической оболочки в сечениях Н = 0° и Н = 90°.
Для первого случая ориентации КМ неучет нелинейных свойств органопластика при заданном уровне нагрузки ведет к завышению максимального (г = го； Н = 0°; йз = 0,5) напряжения а^ на 16,8 %. Увеличение жесткости КМ вдоль оси цилиндра (Ехх > Еуу) ведет к следующим изменениям по сравнению со случаем (Ехх < Еуу). В линейной постановке задач максимальное напряжение о®® уменьшается на 15,1 %, а в нелинейной на 23,1 %, т. е. ортотропия данного КМ в нелинейной постановке проявляется в большей степени, чем в линейной. Распределение окружных напряжений вдоль контура отверстия выравнивается, в нелинейной постановке это проявляется еще в большей степени. Влияние нелинейных свойств КМ на напряженное состояние оболочки увеличивается. Например, при Е = 0,659 учет физической нелинейности уменьшает максимальные напряжения а^ на 14,4% (с 1750 МПа до 1498 МПа), а при 后=1,518 - на 22,5 % (с 1485 МПа до 1151 МПа), при этом больший эффект отвечает меньшему начальному напряжению.
Таблица 4
Е XX
Еуу
兩
ЛЗ
НЗ
"=0。
” =90°
"=0。
” =90°
0,659
0,5
1750
736
1498
700
0
1684
261
1479
247
-0,5
1618
-213
1458
-300
1,518
0,5
1485
839
1151
917
0
1426
207
1136
180
-0,5
1368
-424
1121
-611
Последний эффект является несколько необычным с точки зрения устоявшихся представлений, основанных на теории нелинейно-упругих изотропных оболочек, согласно с которыми большим уровням линейно-упругих напряжений в оболочке соответствует обычно большее их снижение вследствие учета нелинейных свойств изотропного материала. Этот и другие подобные эффекты можно объяснить особыми для данных КМ [1] соотношениями между компонентами тензора анизотропии нелинейных свойств, которые оказываются существенными на заключительной стадии деформирования. Эффекты относительно выравнивания окружных напряжений на контуре отверстия можно интерпретировать как увеличение подкрепляющего действия сплошных торцевых частей цилиндрической оболочки на послабленную отверстием среднюю часть вследствие более жесткого модуля вдоль оси цилиндра.
Список литературы
Гузь А. Н., Космодамианский А. С., Шевченко В. И. и др. Концентрация напряжений. —К.: «А.С.К.», 1998. — 387 с. (Механика композитов: в 12 т. Т. 7).
Голованов А. И., Корнишин М. С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. — Казань: Изд-во Казанского физико-техн, ин-та, 1990. — 269 с.
Максимюк В. А. О решении физически нелинейных задач теории ортотропных оболочек с использованием смешанных функционалов // Прикл. механика. 2000. Т. 36, № 10. С. 96-101.
Гузь А. Н., Максимюк В. А., Чернышенко И. С. Проблемно-ориентированные функционалы в теории нелинейно-упругих композитных оболочек // Механика композитных материалов. 2002. Т. 38, № 4. С. 497-506.
Максимюк В. А. Про застосування методу множник!в Лагранжа в задачах статики композитних оболонок // Доп. НАН УкраТни. 1998. № 11. С. 75-79.
Maksimyuk V.A. Study of the Nonlinearly Elastic State of an Orthotropic Cylindrical Shell with a Hole, Using Mixed Functionals // Int. Appl. Meeh. 2001. T. 37, № 12. P. 1602-1606.
Golub L. /., Maksimyuk V.A., Chernyshenko I. S. Numerical Nonlinear Elastic Analysis of Orthotropic Spherical Shells with an Elliptical Cutout // Int. Appl. Meeh. 2002. V. 38, № 2. P. 203-208.
Guz' A. N.f Chernyshenko /. S., Shnerenko K. /. Stress Concentration near Opening in Composite Shells // Int. Appl. Meeh. 2001. T. 37, № 2. P. 139-181.
Ломакин В. А., Огибалов П. M., Тетере Г. А. Вопросы теории деформирования полимерных материалов // Механика полимеров. 1972. № 3. С. 422-433.
Корн Г, Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1977. — 832 с.
Дадамухамедов Э. У, Максимюк В. А., Чернышенко И. С. Влияние жесткости подкрепляющих элементов на деформированное состояние оболочек с отверстием // Теорет. и прикл. механика. 1991. Вып. 22. С. 67-71.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИНЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА
4/7. Маркеев
Институт проблем механики РАН
Постановка задачи. Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой О в однородном поле тяжести. Вес тела mg, расстояние от центра тяжести до неподвижной точки равно /. Пусть точка закрепления выбрана так, что выполняются условия
х^В - С = z^A - В , 派=0, А> В > С.(1)
Здесь жо,歹о, 2о — координаты центра тяжести G в системе координат Ожо^о^о? образованной главными осями инерции тела для неподвижной точки, А, В, С — соответствующие моменты инерции. Условия (1) означают, что тело не обладает динамической симметрией, а его центр тяжести лежит на перпендикуляре к одному из круговых сечений эллипсоида инерции, восстановленном из неподвижной точки.
Как установил Гриоли [1], при выполнении этих условий тело может совершать регулярную прецессию вокруг оси, не являющейся вертикальной.
Прецессия Гриоли является последней в классе динамически возможных регулярных прецессий: показано [2], что других регулярных прецессий (кроме давно известных прецессий динамически симметричного твердого тела в случаях Эйлера и Лагранжа) у тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой не существует.
В данной работе приведены результаты решения задачи об орбитальной устойчивости прецессии Гриоли. Ряд вопросов об устойчивости прецессии Гриоли рассматривался ранее [3-5].
Описание движения тела в случае гриоли. Пусть OXYZ — неподвижная система координат, ось OZ которой направлена вертикально вверх, a Oxyz жестко связана с телом, причем ось Оу совпадает с главной осью Оуо инерции тела для точки О, отвечающей среднему по величине моменту инерции В, а ось Oz проходит через центр тяжести тела. Трехгранник Oxyz получается из трехгранника Ox^y^ZQ при помощи поворота на угол а вокруг оси О诟，
В системе координат Oxyz матрица тензора инерции записывается в следующем виде:
(J X 。—Jxz '
J =0 Jy 0,
\ ~Jxz 。
причем Jx = Jy = B,Jz = A- B^C, Jxz = 一,(4 一 3)(3 - С).
В качестве обобщенных координат Qi,鱼，4з, задающих ориентацию трехгранника Oxyz относительно неподвижной системы координат, примем углы Эйлера д, 仇次 а в качестве обобщенных импульсов — сответствующие этим углам импульсы, обезразмеренные при помощи множителя (4几)一1. За независимую переменную примем величину т =几(力 + 力о),力о — произвольная постоянная, п определяется из соотношения
1mgi 卜=，(1 - %)(% -儿)
—(A - B + С)УРТ1，—1-0ь + Ос *
Здесь % = В/А, 0с = С/А — безразмерные параметры задачи. В плоскости %, 0с область их допустимых значений (0 < % < % < 1, % + %〉1) представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами R(1/2,1/2), 巳(1,1), R(l,0).
Для функции Гамильтона можно получить такое выражение:
Н =Н =120Ь0С sin2 92120Ь0С sin2 92e а…3燎或磨+ 口, kl+k2+E=2e а…3燎或磨+ 口, kl+k2+E=2⑵⑵
Н =
Н =
1
20Ь0С sin2 92
1
20Ь0С sin2 92
e а…3燎或磨+ 口, kl+k2+E=2
e а…3燎或磨+ 口, kl+k2+E=2
⑵
⑵
。200 — % [% + (1 + % — 2%) cos2 羹]—(1 — %)(% — %) COS? Qi COS2 鱼 +
+ 2%д/(1 - ％)(% - ％) sin Qi sin 羹 COS q2,
«110 = 一2[(1 - %)(% - %)sinqi cosqi cos q2 +
+ %，(1 一 ％)(% - ％) cos g sin q2] sin q2,
aioi = 一2 也c cos 鱼 + (1 — ％)(% - %) sir? Qi cos q2 +
+ %，(1 - ％)(% - ％) sin qi sin q2],
«020 = [% + (1 - %) (% - %) COS2 Qi] sin2 Q2,
«011 = 2(1 - %)(% - %)sinqi cos Qi sin q2,
。002 = % + (1 — %) (% — %) sin2 Qi,
П =，(1 - 9b) (9b - %) + (1 - % + %)2 COS Q2 •
Прецессии Гриоли отвечает следующее решение уравнений движения:
Qi =九(т) = -^ + т - arctg(6sinr),Pi = gi(T)= (1 一 ％ + %)(1 - 6cost);
» / \/ Ь COS 7、
羹=力(丁)= arccos ( Z-—),
夕2 = g2(T)= / sm「 [1 + % _ (1 _ % + %»cost];
VI + Ь2 sin2 7
"3 =於⑺'23 =(I」:=const'(5)
причем
/з(т) = 4з (0) + (2к + 呜—arctg ^^ ,
если ктг < т < (k -\- 1)т и /з(ктг) = 4з(0) + (к = 0,1,...).
В прецессии Гриоли ось тела, на которой лежит центр тяжести, является осью собственного вращения, а ось прецессии наклонена к вертикали под углом X = arctg 6 (рис. 1). Угол между осями подвижного и неподвижного аксоидов является прямым. Угловые скорости прецессии и собственного вращения одинаковы и равны п. Центр тяжести тела движется по окружности с центром на оси прецессии и лежащей в плоскости, перпендикулярной этой оси. Движение тела является периодическим: за время, равное периоду (2тг/п), тело возвращается к своей первоначальной ориентации в абсолютном пространстве, при этом вектор угловой скорости принимает свое начальное значение.
Рис. 2. Зависимость угла % между осью прецессии и вертикалью от инерционных параметров телаРис. 2. Зависимость угла % между осью прецессии и вертикалью от инерционных параметров телаРис. 1. Подвижный и неподвижный аксоиды для движения Гриоли; G — центр тяжести, ал н &2 — угловые скорости собственного вращения и прецессии
Рис. 2. Зависимость угла % между осью прецессии и вертикалью от инерционных параметров тела
Рис. 2. Зависимость угла % между осью прецессии и вертикалью от инерционных параметров тела
Рис. 2 иллюстрирует зависимость угла х от величины моментов инерции тела. Пунктиром показана кривая, на которой х = тг/4. Эта кривая является участком гиперболы. Границу Р±Р^ она пересекает в точке Р(5/6,1/6), вертикальная прямая % = 1 является ее касательной в точке R. В области х < тг/4 угол собственного вращения 夕 монотонно возрастает (Д > 0), а в области х〉тг/4 величина Д может обращаться в нуль, и угол 夕 не обладает свойством монотонности.
Об устойчивости в первом приближении. Координата дз является циклической. Заменив в функции Гамильтона (2) импульс % на его постоянное значение из (5), получим гамильтониан H(Qi, Q2, Pi, Р2； %,%) приведенной системы с двумя степенями свободы. Эта система допускает 2тг-периодическое по г решение, задаваемое равенствами (3), (4).
Положим qi = fi(r) + Qi, Pi = g£(T)+ Q (分=1,2). Пусть У (т) — матрица фундаментальных решений линеаризованной относительно Q〃，Pi системы уравненийПоложим qi = fi(r) + Qi, Pi = g£(T)+ Q (分=1,2). Пусть У (т) — матрица фундаментальных решений линеаризованной относительно Q〃，Pi системы уравненийвозмущенного движения. Она находилась при помощи численного интегрирования (Y(0)= =Е, где Е — единичная матрица четвертого порядка). Характеристическое уравнение матрицы Y(2тг) можно написать в виде
Положим qi = fi(r) + Qi, Pi = g£(T)+ Q (分=1,2). Пусть У (т) — матрица фундаментальных решений линеаризованной относительно Q〃，Pi системы уравнений
Положим qi = fi(r) + Qi, Pi = g£(T)+ Q (分=1,2). Пусть У (т) — матрица фундаментальных решений линеаризованной относительно Q〃，Pi системы уравнений
1)2s2- 2年+1)=0,а = ； Sp Y(2?r) — 1.
⑹⑹При \а\ > 1 имеет место параметрический резонанс, и прецессия Гриоли орбиталь- но неустойчива на основании теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Значения параметров, для которых \а\ = 1, задают границы областей параметрического резонанса. Если \а\ < 1, то прецессия орбитально устойчива в первом приближении. В этом случае корни уравнения (4) таковн: Pi = ехр (г2тгА), р2 = ехр (-г2тгА), рз = Ра = 1, где А — вещественная величина, определяемая из уравнения
⑹
⑹
Рис. 3. Области параметрического резонанса и кривые резонансов до четвертого порядка включительно. Области параметрического резонанса заштрихованы. В неза- штрихованных областях прецессия Гриоли орбитально устойчива в первом приближенииРис. 3. Области параметрического резонанса и кривые резонансов до четвертого порядка включительно. Области параметрического резонанса заштрихованы. В неза- штрихованных областях прецессия Гриоли орбитально устойчива в первом приближенииcos 27rA = а. (7)
Рис. 3. Области параметрического резонанса и кривые резонансов до четвертого порядка включительно. Области параметрического резонанса заштрихованы. В неза- штрихованных областях прецессия Гриоли орбитально устойчива в первом приближении
Рис. 3. Области параметрического резонанса и кривые резонансов до четвертого порядка включительно. Области параметрического резонанса заштрихованы. В неза- штрихованных областях прецессия Гриоли орбитально устойчива в первом приближении
Аналитическое и численное исследование показало, что существует только две области параметрического резонанса. На рис. 3 эти области заштрихованы. Они исходят из точек 04(V^/3,3/3) и 07(2，5/5,2%/5), лежащих на отрезке R/V В малых окрестностях этих точек (когда 0^ = 0с -\- е2) для границ областей параметрического резонанса были по-
лучены аналитические выражения.
Левая граница области, исходящей из точки 旦，оканчивается в точке Р5(0,74957, 0,25043) отрезка RR, а правая граница — в точке 凡(0,75652, 0,24348). При малых £ кривая Р4Р5 задается уравнением
% = ^ + 詣(267 - 73V^У + ^^ (278 042^3 - 141 267)s4 +
+。(歩)=0,5 773 502 693 + 0,2 602 968 351d 十 0,1750 596 043s4 +。(歩),
а кривая 旦凡 имеет уравнение
% = ^ + 詣(267 — 73^須2 + ^^ (453 542^ + 1147 983)" +
+。(歩)=0,5 773 502 693 + 0,2 602 968 351s2 + 0,9 946 197 466s4 +。(歩).
Обе границы области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, при ®с —> 0 стремятся к угловой точке Р3 области допустимых значений параметров. Вблизи точки Р7 граничные кривые задаются уравнениями
% =竺 + 鳥(405 - 373V^)£2 干 *3050 -1310^ 十。危4)=
3 1UUUу
=0,8 944 271912 - 0,4 290 533 558~ 干 0,1373 584 209s3 + O(s4), где верхний и нижний знаки относятся соответственно к левой и правой границам.
Нелинейный анализ орбитальной устойчивости. Если значения параметров %, 0с не принадлежат областям параметрического резонанса, то для строгого решения задачи об орбитальной устойчивости прецесии Гриоли недостаточно первого приближения. Необходим анализ нелинейных уравнений возмущенного движения.
О методе исследования. Для решения задачи сначала делалась каноническая унивалентная замена переменных %,& —> &,/ (£ = 1,2) такая, чтобы в новых переменных прецессии Гриоли отвечало решение
&(т) = т + &(0),力= & = 〃2 = 0,(8)
а преобразованная функция Гамильтона「(£1, £2, 〃1, 〃2)была 2тг-периодической по £1. Задача об орбитальной устойчивости прецессии Гриоли эквивалентна задаче об устойчивости решения (8) по отношению к возмущениям величин 小，&, 办 которые характеризуют отклонение возмущенных траекторий от траектории невозмущенного движения.
Конструктивная процедура построения замены переменных %, W —> &,小 (г = =1, 2) в общем случае автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы предложена в статье [6]. В изучаемом здесь случае периодического движения (3), (4), отвечающего прецессии Гриоли, эта замена может быть найдена такой. Для значений параметров。匕,8。, лежащих в области х < 乃/4 на рис. 2, переменные &,力 вводились при помощи канонического преобразования вида
Q1 =九(&),鱼=/2(&) + 6,
01 = gl(&) + (#)Т [g$& + 力一抬小],@2 = g2(&) + 小，
а на кривой х = тг/4 и в области х > тг/4 — при помощи канонического преобразования
Q1 — /1(€1)-小，羹=了2(&) + (/1 + g$)T [#&-〃1 + (/； + gl)〃2】，
01 = gl(&) + (Л + g$)T [g$& + 力一(片 + gl)〃2〕，02 = g2(&) + 小.
Здесь 力，gi — функции из (3), (4), штрихом обозначено дифференцирование по
Гамильтониан「(&,&,力，小)можно разложить в сходящийся ряд по степеням 小，&,住
⑼⑼「=「2 + Гз +「4 + ...,
⑼
⑼
где несущественное постоянное слагаемое отброшено, а 1\ — форма степени к относительно 切小，
「2 =力 + 92(&, 〃2, &),「3 = ^1(6, 〃2, &)小 + 93(&, 〃2, &),
「4 = X(&)* + 耽(&,小,&)力 + 94(&,小,&).
Здесь х(&) — 2тг-периодическая функция от & , а 夕山 也俏—формы степени т относительно &,小 с 2тг-периодическими по & коэффициентами.
После перехода к переменным &, &,小，〃2 и получения представления гамильтониана возмущенного движения в виде ряда (9) для решения задачи об орбитальной устойчивости надо получить нормальную форму гамильтониана возмущенного движения, а затем воспользоваться теоремой Арнольда-Мозера [7, 8] и условиями устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонанса [9, 10]. Нормализация квадратичной части гамильтониана (9) осуществлялась при помощи алгоритмов, разработанных в статьях [6, 10], нормализация членов более высоких степеней (у нас — третьей и четвертой степени) — методом Депри-Хори [9, 11].
Резонансы. Для задачи об устойчивости важно наличие или отсутствие резонансов. Причем наиболее существенны резонансы до четвертого порядка включительно, т. е. случаи, когда величина kX равна целому числу для k = 1, 2, 3, 4.
Величина А определяется из уравнения (7) неоднозначно. Эта неоднозначность устраняется (при учете непрерывности характеристических показателей) рассмотрением предельного случая % = %, для которого линеаризованные уравнения возмущенного движения имеют постоянные коэффициенты, а А = J1 +。尸— частота малых колебаний в окрестности траектории невозмущенного движения.
В криволинейном треугольнике PiР4P5 на рис. 3 А = 2 + (2тг)-1 arccos а, в треугольнике Р7P2Р3 X = 1 + (2тг)-1 arccos а, а в четырехугольнике Р4P7Р3Р6 А = =2 — (2тг)-1 arccos а.
На кривых Р4P5 0P^Рб имеет место резонанс первого порядка А = 2, а на границах области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, — резонанс второго порядка 2A = 3. Внутри областей устойчивости в первом приближении существуют две кривые резонансов третьего порядка (ЗА = 5 и ЗА = 4) и две кривые резонансов четвертого порядка (4А = 7 и 4A = 5). Они начинаются (см. рис. 3) в точках Р8(3/4,3/4),Р9(1, vV/З) и Рю(4^/33 /33, 4^/33 /33), Рц(1, 3/4) соответственно. При % —> 0 эти кривые стремятся к точке R.
Результаты. Ниже описываются (см. также рис. 4) результаты численного и аналитического исследования орбитальной устойчивости прецессии Гриоли для значений параметров %, %, не принадлежащих областям параметрического резонанса. Вычисления проводились для значений %, не меньших 0,01.
На левой границе Р4Р5 области параметрического резонанса, исходящей из точки Р«, прецессия Гриоли орбитально неустойчива всюду, кроме точки Р12(0,578, 0,57175), где вопрос об устойчивости остался открытым. На правой границе 旦凡 также имеет место неустойчивость всюду, кроме точки Р1з(0,65635, 0,444 957). В этой точке прецессия орбитально устойчива.
Левая граница области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, разбивается точкой R4(0,853, 0,604) на два участка. На участке Р7Р14 имеет место орбитальная устойчивость; в точке R4 вопрос об устойчивости остался открытым; в остальных исследованных точках прецессия неустойчива. Правая граница точкой R5(0,87876, 0,678) также разбивается на два участка. К точке Р7
примыкает участок P7R5 орбитальной неустойчивости; в точке R5 вопрос об
устойчивости остался открытым; в остальных исследованных точках имеет место орбитальная устойчивость.
На рис. 4 участки резонансных кривых, на которых прецессия Гриоли орби-
тально неустойчива, изображенытально неустойчива, изображеныРис. 4. Области орбитальной устойчивости и неустойчивостиРис. 4. Области орбитальной устойчивости и неустойчивостисплошными линиями, а участки орбитальной устойчивости — штрих-пунктиром.
тально неустойчива, изображены
тально неустойчива, изображены
Рис. 4. Области орбитальной устойчивости и неустойчивости
Рис. 4. Области орбитальной устойчивости и неустойчивости
На кривых резонансов третьего порядка всюду имеет место орбитальная неустойчивость, кроме точек Р16(0,809 339, 0,449) и Pi7(0,831 305, 0,336) на кривой ЗА = 5 и точки Pis(0,954 319, 0,389) на кривой ЗА = 4, в которых имеет место орбитальная устойчивость.
На кривой резонанса четвертого порядка 4A = 7 обнаружены участки неустойчивости R9 马 о и 马 1 马2・ В граничных точках этих участков Pig(0,7221, 0,5905), Р2о(О,7224, 0,5895), Р21 (0,809, 0,332), Р22 (0,892, 0,138) вопрос об устойчивости остался открытым. В остальных исследованных точках прецессия орбитально устойчива.
На кривой 4A = 5 есть участок неустойчивости Р23 P24・ В его граничных точках Р2з(0,97688, 0,5746) и Р24(0,9767, 0,5717) вопрос об устойчивости остался открытым. В остальных исследованных точках этой кривой прецессия орбитально устойчива.
Для значений параметров %, %, лежащих вне областей параметрического резонан-
на которой нарушается условиена которой нарушается условиеса и не принадлежащих рассмотренным выше кривым резонансов до четвертого порядка включительно, прецессия Гриоли орбитально устойчива всюду, кроме, быть может, кривой, Арнольда-Мозера изоэнергетической невырож
на которой нарушается условие
на которой нарушается условие
денности гамильтониана возмущенного движения. Эта кривая состоит из пяти
участков, показанных на рис. 4 штриховыми линиями: участок, проходящий через точку Р25(О,56776, 0,56776) и точку R2； участок, соединяющий точки 凡 и 马6(0,83902, 0,16098); участки Р14Р3 и R5P9； петлеобразный участок, лежащий между кривой ЗА = 4 и вертикалью % = 1.
Заключение. Таким образом, вопрос об орбитальной устойчивости регулярной прецессии Гриоли решен для почти всех допустимых значений параметров из области 0с》0,01. Для оставшихся неисследованными шести точек P^+i8 (к = =1,2,..., 6), лежащих на кривых резонансов четвертого порядка, и для кривой изоэнергетической вырожденности при анализе устойчивости необходимо рассмотреть члены выше четвертой степени в разложении гамильтониана возмущенного движения в ряд.
Список литературы
Grioli G. Esistenza е determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. 1947. Ser. 4. T. 26. Ease. 3-4. P. 271-281.
Гуляев М. П. О динамически возможных регулярных прецессиях твердого тела, имеющего одну закрепленную точку // Труды сектора математики и механики АН Казахской ССР. 1958. Т. 1. С. 202-208.
Grioli G. Question! di stabilita reguardanti le precessioni regolari del solido pesante asimmetrico // Ann. Scuola norm, super. Pisa (3). 1949. T. 1. P. 43-71.
Брюм A. 3. Исследование регулярной прецессии тяжелого твердого тела с неподвижной точкой первым методом Ляпунова // Механика твердого тела. Киев. 1987. Вып. 19. С. 68-72.
Тхай В. Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 848-857.
Маркеев А. П. Алгоритм нормализации гамильтоновой системы в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 6. С. 929-938.
Арнольд В. 〃.，Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.
Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. — М.: Мир, 1973. — 167 с.
Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1978. - 312 с.
Маркеев А. П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 833-847.
Джакаль兄 Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. - 319 с.
18 Проблемы механики
К ВЫБОРУ КРИТЕРИЯ НАПРАВЛЕННОГОРАЗДЕЛЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХМАТЕРИАЛОВ
А. А. Маркин, В. В. Глаголев
Тульский государственный университет
Рассматривается установившееся разделение сплошной среды при симметричном внешнем воздействии относительно плоскости разделения 力2 = const. Выделяется слой взаимодействия толщиной Ьо[1], образуемый материалом, переходящим в стадию разупрочнения, где напряженно-деформируемое состояние полагается однородным в направлении нормали к плоскости разделения. В данной области компонента тензора напряжений Коши。22 определяется из условия 竺艺=0 и,
0X2 как следствие,。22 =。22(力1) относительно декартовой прямоугольной системы координат, ось ОХ】 которой совпадает с направлением разделения. Из уравнении равновесия при плоской деформации слоя взаимодействия следует: =
@2^22
=2- = 0. Таким образом, сгц = С±х± + Со, где Со,。1 — постоянные, Xi (分=
дх2
=1, 2) — пространственные координаты. С учетом отсутствия напряжений на бесконечности и в точке образования новых поверхностей имеем сгц = 0.
Для материала, ограниченного в произвольный момент разделения замкнутым контуром R" М" S" N"T" Z" К" К' Z'T' № S' М‘ R 9sc. 1), запишем основное термодинамическое соотношение [2], которое примет следующий вид:
⑴⑴]& + 〃力 + 齿須0 dZ：o = j qovd/o,“0)2(0)
⑴
⑴
где V — скорость удельной (отнесенной к массе) свободной энергии; ?у — удельная энтропия; Т — скорость изменения температуры; w — скорость удельной диссипации; q()— вектор напряжения, отнесенный к начальной площади; d/g —— элементарная длина граничного контура в недеформированном состоянии; dEg — элементарная площадь материальной плоскости в недеформированном состоянии.
Полагая процесс изотермическим, соотношение (1) приводим к виду
](& + 5)0odZ：o= j qovd/o.(2)
“0)2(0)
Выделим области площадью 夕®), где имеется диссипация, и область Х(у)= =Х(о)— X®), где диссипация отсутствует. Для последней термодинамическое соотношение примет вид
]^ро ^о - j q()vd/o = O.(3)
'(у)'(у)
Рис. 1. Схема зон диссипации при стационарном разделенииРис. 1. Схема зон диссипации при стационарном разделении
Рис. 1. Схема зон диссипации при стационарном разделении
Рис. 1. Схема зон диссипации при стационарном разделении
Здесь /у — контур, ограничивающий область, где w = 0.
Дальнейшее рассмотрение будем относить к декартовой прямоугольной системе координат Х^Х^Х} (рис. 1), движущейся с постоянной скоростью а в направлении разделения, совпадающем с осью ОХ：. Так как распределение свободной
энергии в области t(v) непрерывно и непрерывна производная —то левую часть 屮дхх
преобразуем, выражая v(xz) = —а -^- и &吵产) _⑶,с использованием
Ад atдх±
теоремы Остроградского-Гаусса:
j ^-Po^iO)j ^-Po^iO)也+ qo也+ qo或0或0=о,=о,⑷⑷'(у)'(у)
j ^-Po^iO)
j ^-Po^iO)
也+ qo
也+ qo
或0
或0
=о,
=о,
⑷
⑷
'(у)
'(у)
где 几; —проекция внешней нормали к контуру на направление разделения.
Представим левую часть (4) в соответствии с распределением областей диссипации, показанным на рис. 1. Будем считать, что область диссипации охватывает как часть слоя взаимодействия (область S,rK,rKrSr)^ так и сплошную среду вне него (области ZTNS и Z〃丁〃N〃S〃).
Перемещение окрестности срединной поверхности слоя взаимодействия представим в виде
(5)(5)и(*,抬)=и^х^ ei + "2(*, △抬)е2,
(5)
(5)
где
"2(*，△力$) = 产)ДЖ2 + о^Х^ =+ О^Х^,
0X2
* (£ = 1,2) — координаты начального состояния.
18*
Запишем отличные от нуля компоненты тензора-аффинора [2] и обратного ему тензора в отсчетной координатной системе:
巾2：=巾2：=ФцФц*J =*J =1 +1 +(1 + /)(1 + /)1 吊 df * / 而-，①21 =万7 △力2,1 +石[1 吊 df * / 而-，①21 =万7 △力2,1 +石[巾22 = 1 +九巾^ = ^yj・巾22 = 1 +九巾^ = ^yj・⑹⑹
巾2：=
巾2：=
Фц
Фц
*J =
*J =
1 +
1 +
(1 + /)
(1 + /)
1 吊 df * / 而-，①21 =万7 △力2,
1 +石[
1 吊 df * / 而-，①21 =万7 △力2,
1 +石[
巾22 = 1 +九巾^ = ^yj・
巾22 = 1 +九巾^ = ^yj・
⑹
⑹
Поведение материала слоя взаимодействия рассматривается на стадии как устойчивого, так и неустойчивого в смысле Дракера деформирования. Начало стадии разупрочнения определяется достижением максимальным главным значением тензора Генки критического значения. Связь между главными значениями тензоров истинных напряжений а и Генки Г на стадии разупрочнения представим в следующем виде [3]:
£1 = 瓦(〃 一/(必+壮))，
^2 = ^ (必-%(必 + 必)),(7)
或=瓦(%-"h(必+壮)).
Штрихованные компоненты из (7) связаны с текущими главными значениями формулами
必=一9+0*；w'i = 8i - £w,⑻
где Ен = а^(£竺—£产)，厶= 导 ；/ 一 главное значение деформации тензора Генки; £产 _ деформация, характеризующая начало неустойчивого по Дракеру деформирования;。步 _ соответствующее ему напряжение; £” — деформация, соответствующая образованию новых поверхностей.
Напряженное состояние слоя взаимодействия в случае плоского состояния определяется [3] тензором Коши следующего вида:
⑼⑼сг = сг22 в2 е2 + озз ез ез.
⑼
⑼
Свяжем декартов базис ei, е?, ез с материальными волокнами границы слоя взаимодействия в начальном состоянии. В деформированном состоянии данный материальный базис обозначим е"%% В силу представления (5) имеем
応=&(е$ х ез)=応=&(е$ х ез)=1 +菖)(1 + /),ах1 у1 +菖)(1 + /),ах1 у(Ю)(Ю)
応=&(е$ х ез)=
応=&(е$ х ез)=
1 +菖)(1 + /),ах1 у
1 +菖)(1 + /),ах1 у
(Ю)
(Ю)
^ = ei(e2 х е3) = 1.
Тензор условных напряжений (Пиола-Кирхгоффа) [2] Р = J£ а -ф-1 с уче- 〜 V g ~~том (6), (9), (10) примет видТензор условных напряжений (Пиола-Кирхгоффа) [2] Р = J£ а -ф-1 с уче- 〜 V g ~~том (6), (9), (10) примет видР = (1 + ^^)。22 ^2 е2 + (1 + ^^)(1 + /)ьзз ез ез・〜(lx、(lx、Р = (1 + ^^)。22 ^2 е2 + (1 + ^^)(1 + /)ьзз ез ез・〜(lx、(lx、(И)(И)Располагая точки Rf и Rff так, что внешняя нагрузка на отрезках берегов R! Мг и В!'М" отсутствует, получим следующие условия на границе области диссипации:几，)=0; q。= 0 при 叫 W R'M' и R"М",Располагая точки Rf и Rff так, что внешняя нагрузка на отрезках берегов R! Мг и В!'М" отсутствует, получим следующие условия на границе области диссипации:几，)=0; q。= 0 при 叫 W R'M' и R"М",追°)= 0；4о = Р • ©2 = (1 + 弊〜\ dxi追°)= 0；4о = Р • ©2 = (1 + 弊〜\ dxiсг22 е2, при 力I е М" S",сг22 е2, при 力I е М" S",(12)(12)追"=0； qo = P-(-e2)追"=0； qo = P-(-e2)1 +)022ё2 При 力I G SfMf,dx1 /1 +)022ё2 При 力I G SfMf,dx1 /几，)=九 窕=q при ls G SHNHTnZnKn^,ZzTf NfSf.Интегрируя левую часть (4) по контуру R! R!r КП К\ охватывающему область обратимого деформирования, с учетом (12) получим几，)=九 窕=q при ls G SHNHTnZnKn^,ZzTf NfSf.Интегрируя левую часть (4) по контуру R! R!r КП К\ охватывающему область обратимого деформирования, с учетом (12) получим6丿⑴+ 2] (1 +о6丿⑴+ 2] (1 +оb2*d* + /i= j(0o?4% —q()U)或0 = 0,(13)'(у)b2*d* + /i= j(0o?4% —q()U)或0 = 0,(13)'(у)где丿⑴где丿⑴](00几,)也一qo^^-) d/о — внутренний инвариантный инте-R2R" \](00几,)也一qo^^-) d/о — внутренний инвариантный инте-R2R" \грал, определяемый интегрированием по произвольному контуру с началом в точке R! отрезка А! М' и окончанием в точке R" отрезка А!' М" 厶=грал, определяемый интегрированием по произвольному контуру с началом в точке R! отрезка А! М' и окончанием в точке R" отрезка А!' М" 厶==[(0о 追％ - Qo2s '=[(0о 追％ - Qo2s 'Зиа*Зиа*“，где ls — контур, охватывающий область с дисси-“，где ls — контур, охватывающий область с дисси-пацией.Вычислим первый интеграл в правой части (13). Для части слоя 0 < 力： < 仇 заполненной разупрочняющимся материалом, поле перемещений в силу однородности £2 по 力$ внутри слоя взаимодействия имеет видпацией.Вычислим первый интеграл в правой части (13). Для части слоя 0 < 力： < 仇 заполненной разупрочняющимся материалом, поле перемещений в силу однородности £2 по 力$ внутри слоя взаимодействия имеет вид"2 =(葭2(*) 一 1)抬，а определяющие соотношения (7) при % = 0：。2 = Ен(£夕-£2),£§ 4 £2 4 £孔"2 =(葭2(*) 一 1)抬，а определяющие соотношения (7) при % = 0：。2 = Ен(£夕-£2),£§ 4 £2 4 £孔(14)(14)£] = £$ = In£] = £$ = In1 +1 +г I = const. dx± /г I = const. dx± /(15)(15)
Тензор условных напряжений (Пиола-Кирхгоффа) [2] Р = J£ а -ф-1 с уче- 〜 V g ~~
том (6), (9), (10) примет вид
Тензор условных напряжений (Пиола-Кирхгоффа) [2] Р = J£ а -ф-1 с уче- 〜 V g ~~
том (6), (9), (10) примет вид
Р = (1 + ^^)。22 ^2 е2 + (1 + ^^)(1 + /)ьзз ез ез・
〜(lx、(lx、
Р = (1 + ^^)。22 ^2 е2 + (1 + ^^)(1 + /)ьзз ез ез・
〜(lx、(lx、
(И)
(И)
Располагая точки Rf и Rff так, что внешняя нагрузка на отрезках берегов R! Мг и В!'М" отсутствует, получим следующие условия на границе области диссипации:
几，)=0; q。= 0 при 叫 W R'M' и R"М",
Располагая точки Rf и Rff так, что внешняя нагрузка на отрезках берегов R! Мг и В!'М" отсутствует, получим следующие условия на границе области диссипации:
几，)=0; q。= 0 при 叫 W R'M' и R"М",
追°)= 0；4о = Р • ©2 = (1 + 弊
〜\ dxi
追°)= 0；4о = Р • ©2 = (1 + 弊
〜\ dxi
сг22 е2, при 力I е М" S",
сг22 е2, при 力I е М" S",
(12)
(12)
追"=0； qo = P-(-e2)
追"=0； qo = P-(-e2)
1 +)022ё2 При 力I G SfMf,
dx1 /
1 +)022ё2 При 力I G SfMf,
dx1 /
几，)=九 窕=q при ls G SHNHTnZnKn^,ZzTf NfSf.
Интегрируя левую часть (4) по контуру R! R!r КП К\ охватывающему область обратимого деформирования, с учетом (12) получим
几，)=九 窕=q при ls G SHNHTnZnKn^,ZzTf NfSf.
Интегрируя левую часть (4) по контуру R! R!r КП К\ охватывающему область обратимого деформирования, с учетом (12) получим
6
丿⑴+ 2] (1 +о
6
丿⑴+ 2] (1 +о
b2*d* + /i= j(0o?4% —q()U)或0 = 0,(13)
'(у)
b2*d* + /i= j(0o?4% —q()U)或0 = 0,(13)
'(у)
где丿⑴
где丿⑴
](00几,)也一qo^^-) d/о — внутренний инвариантный инте-
R2R" \
](00几,)也一qo^^-) d/о — внутренний инвариантный инте-
R2R" \
грал, определяемый интегрированием по произвольному контуру с началом в точке R! отрезка А! М' и окончанием в точке R" отрезка А!' М" 厶=
грал, определяемый интегрированием по произвольному контуру с началом в точке R! отрезка А! М' и окончанием в точке R" отрезка А!' М" 厶=
=[(0о 追％ - Qo
2s '
=[(0о 追％ - Qo
2s '
Зиа*
Зиа*
“，где ls — контур, охватывающий область с дисси-
“，где ls — контур, охватывающий область с дисси-
пацией.
Вычислим первый интеграл в правой части (13). Для части слоя 0 < 力： < 仇 заполненной разупрочняющимся материалом, поле перемещений в силу однородности £2 по 力$ внутри слоя взаимодействия имеет вид
пацией.
Вычислим первый интеграл в правой части (13). Для части слоя 0 < 力： < 仇 заполненной разупрочняющимся материалом, поле перемещений в силу однородности £2 по 力$ внутри слоя взаимодействия имеет вид
"2 =(葭2(*) 一 1)抬，
а определяющие соотношения (7) при % = 0：
。2 = Ен(£夕-£2),£§ 4 £2 4 £孔
"2 =(葭2(*) 一 1)抬，
а определяющие соотношения (7) при % = 0：
。2 = Ен(£夕-£2),£§ 4 £2 4 £孔
(14)
(14)
£] = £$ = In
£] = £$ = In
1 +
1 +
г I = const. dx± /
г I = const. dx± /
(15)
(15)
Из (15) найдем
Из (14), (15) и (16) получимИз (14), (15) и (16) получим
Из (14), (15) и (16) получим
Из (14), (15) и (16) получим
66
=-2e£i ( [ ”22用 dxf -= -2e£i (akuk +
оо
+ ] 1 - 1启 4瞪 d*) = -2e£i (^kuk + ^ 石产卜 о
-Ен0 -= -2e£i (akuk + ?(e£k - e£m) +=
-2^ 自%(1 + 算 + 吗:二了) = 2(4(^ i)/")№
(17)
Отметим, что 4 — величина положительная, lim 仆=0 и соответствует работе напряжений в зоне неустойчивого деформирования слоя взаимодействия.
Для определения значения интеграла 厶 рассмотрим замкнутую область, где имеется диссипация S" N"T" Z" К" К' ZT № S' (рис. 1), и запишем для нее основное термодинамическое соотношение (2), полагая, что величина диссипации не зависит от скорости деформирования. Так как распределение свободной энергии и диссипации в области непрерывно и непрерывны производные —
г то, преобразуя (2) для рассматриваемой области с использованием теоремы дх±
Остроградского-Гаусса, получим
2（И）2（И）(18)(18)
2（И）
2（И）
(18)
(18)
где Z(n)— контур, ограничивающий область S"N"T"Z"К"К'ZT№S\ где w > > 0. На границе области имеем
几，)=-Щ； q0 = -q при ls G SHNHТпZnКп^,ZzTfNfSf, оВо 3o(19)
追"=-1； Qo = og = 0,也=叽，w = wK при - у ^2 у, * = b.
Из (18) с учетом (19) получаем
(20)(20)—7i + Po^oV^k +。= 0,
(20)
(20)
где О = ］ p()n^w dl + PqSqw^ ^^ = 以£左)и w^ = w(s^) — значения плотности свободной энергии и диссипации в точках 力：=6 слоя взаимодействия.
Подставляя (21), (20), (17) в (13) приходим к следующему представлению J⑴— интеграла:
J{i} =PM^ + D + Ap.(21)
Таким образом, определена инвариантная характеристика процесса через упругую энергию, диссипацию и слагаемое, отвечающее за разупрочнение материала. Из представления (21) видно, что работа как на стадиях устойчивого деформирования, так и на стадии разупрочнения увеличивает значение J⑴-интеграла.
Для определения понятия поверхностной энергии выделим, согласно рис. 1, разупрочняющийся материал, ограниченный контуром М"S"S'М\ и запишем для него термомеханическое соотношение, которое имеет вид
&b = -jqov 或 о,(22)
где 耽—свободная энергия разупрочняющегося материала, знак минус указывает на нагрузку, противоположную условию (12).
Зи qovd/o =Зи qovd/o =■f■fКонтурный интеграл, представим в виде
Зи qovd/o =
Зи qovd/o =
■f
■f
或о.(23)
Используя формулу (17) представим скорость свободной энергии разупрочняющегося материала в следующем виде:
曲=~dt~ =。4・(24)
ООООРассмотрим структуру изменения свободной энергии разупрочняющегося материала с учетом прекращения взаимодействия в момент t + △力 между границами слоя взаимодействия на отрезке а△力.Положим, что часть свободной энергии, распределенная в момент 力 + △力 на отрезке а△力 полностью переходит в поверхностную энергию, аккумулируемую в приповерхностных микрослоях поверхности разделения. Тогда в момент t + △力 энергия разупрочняющегося участка будет состоять из поверхностной энергии, распределенной по поверхностным слоям a^t, и энергии разупрочняющегося материала на длине 6 — а△力：
ОО
ОО
以力+ △力*"0 d* +
+ bo ］以力 + △力 *)0о d* = 2)а△力 + bo ］以力 + △力 *)0o d*. (25) а△方а△土
Первое слагаемое в правой части (25) отождествляем с удельной поверхностной энергией 7, отнесенной к единице образуемой площади. В силу стационарности
процесса для второго слагаемого в правой части (25) должно выполняться условие
6ь—а△方
]以力 + △力 *)0od*=] 以力 *)0od*.(26)
а△方0
Используя (25), (26), находим изменение свободной энергии за время △力 для разупрочняющегося материала:
b—aAt
△耽=^b(t + △力)-^b(t) = a^t • 2)+ ] 以力 *)0o d* - о
6b—aAt
一]以力 *)0o d* = a△力• 2)+ bo ] 以力 *)0od*.(27)
оb
Из (27) с учетом 也左=也(力，6) следует, что скорость свободной энергии разупрочняющегося материала связана с поверхностной энергией следующим выражением:
Ит 臂=* = a (2)То*以)•(28)
△方一о △力 at
Из (24) и(28) следует определение поверхностной энергии по формуле
7=^0%+学.(29)
Отметим, что полученное определение поверхностной энергии в виде (29) универсально в том смысле, что оно не зависит от распределения областей обратимого и необратимого деформирования вне слоя взаимодействия. Первое слагаемое в правой части (29) определяет критическую энергию обратимых деформаций на единицу длины — 0о 叽，второе — работу на стадии неустойчивого деформирования Ар.
С учетом (29) интеграл (21) можно представить через свободную энергию в виде
m=2)+ D(30)
В случае хрупких и квазихрупких материалов энергия образования новых поверхностей для плоской деформации определяется по формуле [4]
= (1 —〃2)%,(31)
где Кс — универсальная постоянная материала — вязкость разрушения.
Несмотря на то что формула (31) строго справедлива лишь для материалов упруго деформируемых вплоть до разрушения, ее, в соответствии с концепцией Ирвина-Орована [6, 7], используют для квазихрупких материалов. На основании такого подхода из сравнения (29), (31) получим
(1 -沙2)"^ = boOoV?K + 4目，(32)
Из выражения (32) можно оценить толщину слоя взаимодействия на основании полной диаграммы деформирования и, зная распределение энергии диссипации, по (30) вычислить J-интеграл. Основываясь на результатах работы [8], приведем параметры полной диаграммы деформирования для сталей: сгк — истинное напряжение начала разупрочнения, Е — модуль Юнга,呪一относительное сужение, £к — соответствующая ак деформация, Kw — коэффициент трещиностойкости пластичных материалов [9] как отношение работы на стадии разупрочнения Ар к запасенной упругой энергии JqPo^k-
Для удельной энергии упругой деформации начала неустойчивого деформирования
^оРо^к = О,5сгк£уЬо =。貝、』)"=》•(33)
Из (34) и (32) получаем следующую оценку толщины слоя взаимодействия:
Ьо =— 〃亞.(34)
(1 + К®)(1 -吵с)底
Значение J-интеграла (30) зависит от характеристик материала, конфигурации области диссипации и закона ее распределения.
В случае идеально хрупкого разрушения (без рассмотрения пластических свойств и разупрочнения) из (30) получаем известное выражение для критического значения J-интеграла [4-7]: J⑴=2)= (1 — у2)^-.
Рассматривая диссипацию в границах слоя взаимодействия, из (21) с учетом
Г ,/
того, что wK = —。2 血2 —脈—значение плотности диссипации начала разу-
о прочнения, получим
J⑴=bo ]02 ^2 + 4目・(35)
о
Полагая материал слоя идеально упругопластическим [10], а ниспадающую ветвь вертикальной и пренебрегая свободной энергией по сравнению с диссипацией, из (35) получим известное выражение J-интеграла для JK-модели [5]:
丿⑴=Ьк^к,
где % = £»0 — критическое смещение границ слоя взаимодействия, сг2 = сгк = =const — предел текучести.
Из (29) следует, что 叽，瓦，Ар являются универсальными характеристиками материала, так как не зависят от границы области диссипации. Величина диссипации D может зависеть как от формы тела, так и от характера распределения внешней нагрузки. Следовательно, значение J⑴-интеграла в смысле (21) или (30) не может быть в общем случае упругопластического разрушения универсальным критерием. Из полученных представлений следует, что естественным универсальным критерием разделения для упругопластического материала служат деформационные критерии [11, 12] и, в данном случае, является критическая деформация £(向.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 01-01-96011.
Список литературы
Маркин А. А., Глаголев В. В. Моделирование процесса разделения материала //Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д. Д. Ивлева. — М.: Физматлит, 2001. С. 190-198.
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 310 с.
Глаголев В. В.)Маркин А. А. Исследование установившегося разделения материального слоя //Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, Вып. 2. С. 56-64.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. — 640 с.
Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. — М.: Наука, 1985. — 504 с.
Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. — Киев: Наук, думка, 1991. — 416 с.
Лебедев А. А., Чаусов Н. Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций // Пробл. прочности. 1983. № 2. С. 6-10.
Лебедев А. А., Чаусов Н. Г. К оценке трещиностойкости пластичных материалов // Пробл. прочности. 1982. № 2. С. 11-13.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 231 с.
MacClintock F. A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Meeh. 1958. V. 25, № 4. P. 582-587.
Дегтярев В. П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях.— М.: Машиностроение, 1987. — 105 с.
Рис. 1. Конструктивная схема двускатной тележкиРис. 1. Конструктивная схема двускатной тележки
Рис. 1. Конструктивная схема двускатной тележки
Рис. 1. Конструктивная схема двускатной тележки
К ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОГО ЭФФЕКТА УХОДАМАГНУСА ДЛЯ НЕГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ
Ю.Г. Мартыненко
Институт механики Московского Государственного Университетаим. М. В. Ломоносова
Введение. В последние время разработчики мобильных роботов уделяют большое внимание проблеме разработки новых способов их разгона (торможения). К таким способам можно отнести, например, неголономный разгон подвижных объектов типа скейтборда [1], различные многозвенные ползающие роботы [2, 3] и т.д.
В предлагаемой работе изучены особенности динамики мобильного робота при учете инерционных и неголономных свойств его конструкции, выполненной по схеме двускатной тележки [4, 5]. При этом отсутствие у рассматриваемой системы традиционного привода на колеса позволяет максимально упростить ее конструкцию. Выполненное исследование особенностей движения робота существенно использует аналогию между дифференциальными уравнениями мобильного робота и астатического гироскопа в кардановом подвесе [6, 7].
. Конструкция мобильного робота. Уравнения движения тележки. Конструктивная схема рассматриваемой двускатной тележки приведена на рис. 1. С платформой АВ жестко связана подвижная система координат х^у^ с началом в точке А и осью a?i, направленной по оси симметрии платформы. С передней
колесной парой, которая вращается относительно вертикальной оси, проходящей через точку В, связана подвижная система координат 力2 g2 с началом в точке В.
Положение описанной механической системы определим четырьмя обобщенными координатами ж, g, д, /3, где ж, у — координаты точки А в неподвижной системе координат XY,屮一«курсовой» угол тележки (угол между осями X и Ж1), /3 — угол поворота оси передней колесной пары относительно
платформы (угол между осями 力i и 力2)・ Задние и передние колеса с центрами масс в точках Е^, Er и 歹厶,Fr соответ-
ственно могут свободно, без трения, вращаться на своих осях. Левые и правые
колеса на задней и передней оси одинаковы по размерам и массо-инерционным характеристикам. Платформа АВ имеет центр масс в точке С. Ось передней колесной пары имеет центр масс в точке В.
Вокруг вертикальной оси, которая перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку В, между платформой тележки и осью передней колесной пары прикладывается момент М пары сил.
При отсутствии проскальзывания колес проекции скоростей точек А и В соответственно на оси gi и у2 равны нулю, поэтому обобщенные координаты и скорости удовлетворяют уравнениям неголономных связей
-х sin g + 沙 cos g=0,
—(ж cos ср -\- у sin ср) sin/3 -\- ф b cos /3 = 0.
Принимая в качестве псевдоскоростей скорость V точки А и относительную угловую скорость /3 передней колесной пары относительно платформы, выразим обобщенные скорости через псевдоскорости:
х = V cos(^, d =『sing, S=^tg/3, 6 = £•(2)
Проведя соответствующие выкладки для определения ускорений центров масс и угловых ускорений тел системы, найдем функцию Аппеля — «энергии ускорений» S = S (匕，R)V)В,岔)У,屮)力・ Опуская слагаемые, не зависящие от ускорений, окончательно получим следующее выражение:
S=^m^m0 tg2团匕2 + ? tg /3匕6 + J厶炉+竺嘿『匕& + VBB・
'7 о2cos 0bcos 0
Здесь m = Зт^ + 3mF + mc + mB
m0m0+ mca2 + mB+ mca2 + mB62 + 3mFb2 + 3m 后备)62 + 3mFb2 + 3m 后备)
m0
m0
+ mca2 + mB
+ mca2 + mB
62 + 3mFb2 + 3m 后备)
62 + 3mFb2 + 3m 后备)
，2 = /g + ^f rF + 3/*), a = AC — расстояние от задней оси до центра масс платформы, b = АВ — расстояние от задней до передней оси, lE = АЕ^ = AEr — половина длины задней оси, 1尸=AFl = 4歹五—половина длины передней оси,
т е，т F — радиусы задних и передних колес соответственно; тс — масса основания, 1с — момент инерции основания относительно точки С, тЕ — масса заднего колеса, 1е = (1/2)^1后吗—момент инерции заднего колеса относительно оси его вращения, mF — масса переднего колеса, /尸=(l/2)mFr^ — момент инерции переднего колеса относительно оси его вращения, тв — масса передней оси (без колес), Iв — момент инерции передней оси относительно точки В.
В качестве исходных уравнений движения тележки возьмем уравнения Аппеля в псевдоскоростях [4]
" = Q『，^ = Q°.
dvдр °
Здесь Qu, Qq — обобщенные силы, причем в рассматриваемом случае Qu = 0, QВ = М)М — момент пары сил, приложенный к передней колесной паре (при этом к платформе АВ будет приложен момент М). После выполнения операции дифференцирования функции Аппеля, получим следующую систему нелинейных
дифференциальных уравнений шестого порядка:
3 =万电°；3 =万电°；(m0 tg2 /3 + m) V + ‘2『。6(m0 tg2 /3 + m) V + ‘2『。6то tg0то tg0cos2 0cos2 0⑶⑶空g匕+46=M 一 0空g匕+46=M 一 0/2/2b cos2 0b cos2 0vB・vB・x = V cos g; у = V sin g;
3 =万电°；
3 =万电°；
(m0 tg2 /3 + m) V + ‘2『。6
(m0 tg2 /3 + m) V + ‘2『。6
то tg0
то tg0
cos2 0
cos2 0
⑶
⑶
空g匕+46=M 一 0
空g匕+46=M 一 0
/2
/2
b cos2 0
b cos2 0
vB・
vB・
Последние два уравнения в (3) всегда разрешимы относительно старших производных. При этом, если положить mi = mo — /2/庐，то возникает система двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, которая отделяется от кинематических уравнений в случае, когда момент М не зависит от обобщенных координат ж, у, д:
b (mi tg2 0 + m) (mi tg2 0 + m) cos2 0，
/2(^1 tg2 0 + m) 6 (mi tg2 0 + m) cos2 0
Целью данной работы является исследование системы (4) в следующих случаях:
М = 0 — случай свободного движения тележки, при котором можно построить точное решение системы (4);
М = —К /3 — случай упругой связи между передней колесной парой и корпусом;
7И = Mq cos 〃力—случай внутреннего активного периодического момента с амплитудой Mq и частотой 〃.
Свободное движения системы по инерции. При отсутствии момента (7И = 0) из (4) получается следующая система нелинейных дифференциальных уравнений:
b (mi tg2 0 + m) cos2 /3
匕g tg/3⑸
(mi tg2 0 + m) cos2 0
Система (5) имеет целую плоскость состояний равновесия 幻=0,1/ = const, /3 = =const.
При М = 0 из последнего уравнения (3) вытекает интеграл кинетического момента передней колесной пары относительно вертикальной оси:
⑹⑹/22(V^^ -\- ^ = Kz = const,
⑹
⑹
Последнее уравнение в (5) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, из которого следует первый интеграл (интеграл энергии)
⑺⑺(т + mi tg2 /3)I/? = const = 2To.
⑺
⑺
Исключая из (6) и (7) tg /3, получаем
mV2 + mi62 (件-幻『=2To.(8)
Таким образом, в трехмерном фазовом пространстве /3, з, V системы (3) проекция фазовой траектории на плоскость 幻，V представляет собой эллипс (8), центр которого находится в точке I/ = 0,幻=Кz //2 • Полуоси этого эллипса соответственно равны у/^Го/т , ,27})/ ⑺炉).
Если выполняется условие
1а — шсЬ2 = тЕ(3俨—3偽—-т^) , 7A = /с + тса2,(9)
что достигается соответствующей конструкцией платформы и задних колес тележки, и если начальные условия удовлетворяют соотношению
隔货 ＞。，(1。)
При выполнении условия (10) эллипс (8) пересекается с плоскостью 幻=0 состояний равновесия системы (5). При этом соответствующая фазовая траектория асимптотически приближается к точке:
У mil 8 у 27^То -mi62^ ' 丿
Стационарное решение (11) представляет собой равномерное вращение платформы вокруг вертикальной оси. При этом точка А движется с постоянной скоростью V* по окружности радиуса 6ctg /3*.
Если начальные условия для дифференциальных уравнений таковы, что
то система (4) не будет иметь стационарных решений. Возможные типы траектории точки А, полученные при помощи численного интегрирования системы (3), построены на рис. 2 а и рис. 2 б.
Движение тележки при наличии упругого момента. Рассмотрим случай, когда момент пары сил пропорционален углу /3 поворота передней колесной пары относительно корпуса:
М = -кр. (13)
Рис. 2. Траектория точки А: а — в случае выполнения неравенства (12), б — при выходе системы на стационарный режим (11)Рис. 2. Траектория точки А: а — в случае выполнения неравенства (12), б — при выходе системы на стационарный режим (11)
Рис. 2. Траектория точки А: а — в случае выполнения неравенства (12), б — при выходе системы на стационарный режим (11)
Рис. 2. Траектория точки А: а — в случае выполнения неравенства (12), б — при выходе системы на стационарный режим (11)
Здесь К — жесткость соответствующей пружины. При этом уравнения (4) можно записать в виде
分=① 力=*0(恤tg20 +向m
'12 (mi tg2 0 + m) 6 (mi tg2 0 + m) cos2 0'
У = K0 tg。矶 tg。卜幻
b (mi tg2 0 + m) (mi tg2 0 + m) cos2 0
Если в (14) перейти к безразмерным переменным
/3 = eЖ1,⑴=£a力2,『=£a663, K = Jm62Q2,[2 = jmb2
и ввести безразмерное время т = 口力(П = д/^/ /2 ) 5 то разлагая правые части уравнений (14) в ряды по малому параметру £, получим
* —力 2,
/.2^1 - ^0 з ,3^1 - ^ 2.
力2 =一21 - £力2力3 + £ 61 + £ 力1力2力3 +
тт
+ £+ £4 (2m — 3mi) (mi — mo)4 (2m — 3mi) (mi — mo)3m23m25mi3m5mi3m++4力1力2力3,4力1力2力3,^3 = £/0；-£^3 = £/0；-£2^1——力1力2力3 - £ m2^1——力1力2力3 - £ m3 • 3mi —3 ^Г3 • 3mi —3 ^Гтт電+電+
+ £
+ £
4 (2m — 3mi) (mi — mo)
4 (2m — 3mi) (mi — mo)
3m2
3m2
5mi
3m
5mi
3m
+
+
4
力1力2力3,
4
力1力2力3,
^3 = £/0；-£
^3 = £/0；-£
2^1
——力1力2力3 - £ m
2^1
——力1力2力3 - £ m
3 • 3mi —
3 ^Г
3 • 3mi —
3 ^Г
т
т
電+
電+
+ d出刨Щ物…5代亠 +吗）宵（15）3mm m У
Уравнения (15) приводятся к стандартной форме асимптотического метода осреднения с помощью замены
(16)(16)Ж1 = a cos(^,а?2 = —asm(^,
(16)
(16)
где а — амплитуда, g — фаза. Выполняя процедуру осреднения правых частей уравнений для медленных переменных а,力з по быстрой переменной д, получим следующую систему осредненных уравнений:
(17)(17)(18)(18)/ е/ е • 2
(17)
(17)
(18)
(18)
а =~2。力3， х3 = -ja •
Первый интеграл уравнений (17) имеет вид
^а? + 力；=const.
Если в начальный момент система находилась в состоянии покоя (а (0) = а。, 力з (。) = 0), то из (17) вытекает, что решение уравнений (17) системы стремится к точке а (оо) = 0,力з (оо) = ао，7 • Возвращаясь к размерным переменным, делаем вывод, что центр масс системы будет стремиться к прямолинейному движению с постоянной скоростью, ^оу/К/т.
Асимптотическое решение уравнений движения при наличии периодического момента. Вибрационный разгон тележки. В случае периодического момента первые интегралы невозмущенной задачи, найденные в п. 2 примем в качестве новых переменных и вместо переменных /3, /3, V введем переменные г, То? (, которые связаны со старыми переменными формулами
Z=tg/3, То = ；(77l + 77l"g2/3)— К?=厶(『tg ^ + 台).(19)
Обратное преобразование от новых переменных к старым имеет вид
2ТоI2т + miz2ТоI2т + miz2ТоI2т + miz2ТоI2т + miz(20)(20)
2То
I2
т + miz
2То
I2
т + miz
2То
I2
т + miz
2То
I2
т + miz
(20)
(20)
Новые переменные удовлетворяют уравнениям
dz dtdz dt2Тот + miz2Тот + miz)(Т，)(Т，dKzdtdKzdtмм也 dt也 dt2Тот + miz2Тот + miz(21)(21)
dz dt
dz dt
2То
т + miz
2То
т + miz
)(Т，
)(Т，
dKzdt
dKzdt
м
м
也 dt
也 dt
2То
т + miz
2То
т + miz
(21)
(21)
Если момент, приложенный к передней колесной паре, мал, то для исследования системы (21) можно применить асимптотический метод, ибо в (21) переменные Kz, То медленные, а г — быстрая переменная.
Для уменьшения громоздкости формул ограничимся частным случаем, когда Kz = К sin 〃力 М = K〃cos 〃力 К = const, у = const. В этом случае система (21) принимает вид
dz _ (К sin vt z / 2To 、八
=(22)
dTo _ К zu cos ut /2 To
dtb у m + miz2
Тогда после замены переменных
т0 = T*g2, к = £""，力=^mb21/2Т mb17А =死亍，т0 = T*g2, к = £""，力=^mb21/2Т mb17А =死亍，2eziz = T^l2eziz = T^lmi = fiimmi = fiim(23)(23)
т0 = T*g2, к = £""，力=^mb21/2Т mb1
7А =死亍，
т0 = T*g2, к = £""，力=^mb21/2Т mb1
7А =死亍，
2ezi
z = T^l
2ezi
z = T^l
mi = fiim
mi = fiim
(23)
(23)
уравнения (23) при малых значениях параметра £ представляют собой сингулярно возмущенную систему нелинейных дифференциальных уравнений:
A = _ / 力(1 + 1 三),+1(1 + Е2喲 sin 二7，(I 一 e2皆)2 + 4以82皆*A = _ / 力(1 + 1 三),+1(1 + Е2喲 sin 二7，(I 一 e2皆)2 + 4以82皆*dy _ drdy _ drexziexzi7 cos -. е7 cos -. е(24)(24)
A = _ / 力(1 + 1 三),+1(1 + Е2喲 sin 二
7，(I 一 e2皆)2 + 4以82皆*
A = _ / 力(1 + 1 三),+1(1 + Е2喲 sin 二
7，(I 一 e2皆)2 + 4以82皆*
dy _ dr
dy _ dr
exzi
exzi
7 cos -. е
7 cos -. е
(24)
(24)
Здесь zi — «быстрая» переменная, пропорциональная tg (/3/2), у — «медленная» переменная, е, х — безразмерные параметра:
£ = 7-，Для того чтобы избежать особенностей функций, введем обозначенияsin -=£ = 7-，Для того чтобы избежать особенностей функций, введем обозначенияsin -=2/2死-9 .mb22/2死-9 .mb2(25)(25)(т/е) под знаком тригонометрических(т/е) под знаком тригонометрических7cos - = 2зе7cos - = 2зе(26)(26)
£ = 7-，
Для того чтобы избежать особенностей функций, введем обозначения
sin -=
£ = 7-，
Для того чтобы избежать особенностей функций, введем обозначения
sin -=
2/2
死-9 .
mb2
2/2
死-9 .
mb2
(25)
(25)
(т/е) под знаком тригонометрических
(т/е) под знаком тригонометрических
7
cos - = 2зе
7
cos - = 2зе
(26)
(26)
и дополним систему (24) двумя дифференциальными уравнениями для д, %з с начальными условиями 之2 (0) = 0, Z3 (0) = 1. В итоге получим сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений четвертого порядка:
dy drdy drё死力23，（1 -小汙+ 4仰e2端ё死力23，（1 -小汙+ 4仰e2端
dy dr
dy dr
ё死力23
，（1 -小汙+ 4仰e2端
ё死力23
，（1 -小汙+ 4仰e2端
(27)(27)=一z2,=一z2,У\г=0 = У^У\г=0 = У^Z°.Z°.
(27)
(27)
=一z2,
=一z2,
У\г=0 = У^
У\г=0 = У^
Z°.
Z°.
dZ]1 + Iz；12
F = _zig /。+ 2 0 + £ 响z2,
Заметим, что с точностью до величин первые два уравнения в (27) могут быть записаны в виде
-7^ = —£死71之3 (1 + £?蜡(1 — 2〃1) + E^z； (1 — 6〃1 + 6〃；)
^7 =-71g(1 + 2£2端(1 - 从1) + 2g4zj (1 - 441 + 3从；)+ ...) + ； (1 + 合蜡)z2.
(28)
Асимптотическое решение системы (27) можно построить с помощью «метода многих масштабов», согласно которому система (27) заменяется системой дифференциальных уравнений в частных производных ([8], С. 43-52). Указанное
решение, построенное для «медленной» переменной у с точностью до величин порядка е2, содержит линейно растущее с течением времени слагаемое
У ⑺=У。+У ⑺=У。+4 (1+(严)4 (1+(严)+ ...+ ...(29)(29)
У ⑺=У。+
У ⑺=У。+
4 (1+(严)
4 (1+(严)
+ ...
+ ...
(29)
(29)
Соответственно, для кинетической энергии и скорости точки А имеют место оценки
7° = 8^?/产产，脸标力7° = 8^?/产产，脸标力(30)(30)
7° = 8^?/产产，脸标力
7° = 8^?/产产，脸标力
(30)
(30)
Рис. 3. Силы реакций, определяющие движение тележкиРис. 3. Силы реакций, определяющие движение тележки
Рис. 3. Силы реакций, определяющие движение тележки
Рис. 3. Силы реакций, определяющие движение тележки
из которых следует возможность ускорения робота при наличии периодического момента между платформой и передней колесной парой.
Здесь можно указать на определенную аналогию между установленным эффектом (29) и эффектом Магнуса [6, 7] для уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, когда при вибрациях оси симметрии ротора возникает систематический поворот внешнего кольца карданового подвеса. Направление этого поворота определяется знаком угла /3 поворота внутреннего кольца карданового подвеса. Согласно (29) направление движения тележки определяется знаком 6, т. е. направлением вектора АВ, проведенного из середины задней колесной пары в точку шарнирного закрепления передней колесной пары.
Оценка условий реализуемости неголономных связей. Уравнения
Аппеля (3) были получены при условии выполнения неголономных связей (1), т. е.
при отсутствии проскальзывания колес тележки по горизонтальной поверхности. Однако если силы трения в точках соприкосновения колес с поверхностью превысят предельное значение кулоно- вой силы сухого трения, то начнется скольжение колес и движение системы не будет описываться уравнениями (3). Поэтому проведем определение сил трения в точках соприкосновения колес с поверхностью, что позволит оценить характеристики конструкции и параметры «разгоняющего» момента М (его амплитуду и частоту), при которых начинается процесс проскальзывания.
При выводе искомых соотношений будем использовать общие теоремы динамики, которые записываются для двух подсистем (платформы АВ и передней колесной пары В), изображенных на рис. 3. При этом для простоты ограничимся случаем невесомых колес. Для получения оценки реализуемости неголономных связей используем аксиому Кулона
|^д| ^ fNA] \RB\^fNB,
где / — коэффициент сухого трения, Na, Nв — реакции опор к поверхности.
После проведения соответствующих выкладок получим систему неравенств
тс (匕一 a) V2tg/3/62 + mVctg/?| ^ fmcg,
(32)
os/3)- mV/sin^ < fg (m。^ + ni8),
которая определяет область изменения фазовых переменных V, V, /3, В, в которых выполнены уравнения связей (1). За пределами этой области начинается режим скольжения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 00-01-00602).
Список литературы
Исполов Ю. Г, Смольников Б. А. Принципы неголономного разгона подвижных объектов. VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. — Москва, 1991. С. 24.
Черноусько Ф. Л. Динамика управляемых движений многозвенников на плоскости. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УРО РАН, 2001. С. 594.
Мартыненко Ю. 77, Осадченко Н. В. Движение шарнирного двузвенника по гладкому эллипсу // Вестник МЭИ. 2001. № 3. С. 14-18.
Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с.
Гусев Д. М., Мартыненко Ю. Г. Об одном способе вибрационного ускорения колесного робота. — М.: МГУ. Материалы научной школы-конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы», Россия, 3-4 декабря 2001 года. С. 14-28.
Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. - 670 с.
Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. — М.: Мир, 1974. — 526 с.
Мартыненко Ю. Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях.— М.: Наука, 1988. — 368 с.
К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Б. Л Миронов
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева
В работе [1] рассмотрена плоская задача в предположении, что предельное условие зависит только от направления главных напряжений. В данной работе рассматривается пространственная задача. Предполагается также, что предельное условие зависит только от направлений главных напряжений.
Предельное условие в общем случае пространственной задачи теории идеальной пластичности запишем в виде
fk^ij) = 0,⑴
где aij — компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат xyz.
Соотношения связи между главными напряжениями 内 и компонентами напряжений (Tij имеют вид
(Tij = axlilj + 02miirij + a^riirij.(2)
Для направляющих косинусов справедливы соотношения
lilj + mirrij + niUj = 6ij.(3)
Используя (2), условия (1) можно переписать в виде
/к(а{,Ц,т{,п{) = 0.(4)
Наличие /〃, т^,几〃 в соотношениях (4) определяет свойства материала в зависимости от направления и характеризует анизотропию материала.
Ниже рассмотрим случай, когда соотношения (4) не зависят от /, т. е.
f k@i ,皿£, 72г) =。，(5)
подобную (5) среду назовем предельно анизотропной.
В плоском случае условие (5) согласно [3] имеет вид
g = const, tg g,(6)
где 9 — угол, определяющий направление первого главного напряжения в ортогональной системе координат xyz. Из (6) следует
(ах — а у) sin 2夕—2тху cos 2夕=0.(7)
Условие (7) означает отсутствие касательных напряжений на главных площадках.
В общем случае условие отсутствия касательных напряжений на главных площадках задается в виде
°12 = сгж/17711 + 0争12m2 + azl^m^ + тху (Zim2 + /2^1) +
+ Tgz «2皿3 + 力3皿2)+ Txz (Zim3 + /3^1) = о (123, Imn, xyz), (8)
символ (123, Imn, xyz) здесь и далее означает, что недостающие уравнения получаются путем циклической перестановки 1, 2, 3, /, т, п, ж, g, z.
В дальнейшем предположим /〃, т^,几〃 постоянными, независящими от координат ж, g, z.
При помощи функций напряжений Максвелла
%+ 整'TL-^y (0"2,123)⑼
удовлетворим уравнениям равновесия
дх ду ду
Из (8) согласно (9) получим
dyoyozdzдх
-(八?713 + /3m1) g + 八m1 ［好 + /262 2 个 -(1\rn2 + /2m1) g + oxdzdzдхдхду
+ l\m\ ° 言з = о (123, Imn^ xyz). (10) ду
Характеристические поверхности 〃(力，g, z) = С системы (10) определяются из уравнений
‘1+‘2= 0 (1тп).(11)
дх ду dz
Общее решение системы (10) может быть представлено в виде
Х〃 = 4X(厶力 + l2y + /3Z)+ BiY^rriiX + т2у + m^z) +
+ CiZ(nrx + 几 2g + 几 3之)，(12)
где коэффициенты 4, Bj, & удовлетворяют соотношениям
/17711С1 + 力2皿2。2 + I3E3C3 = 0 (Imn, CAB).(13)
Согласно (12) выражения (9) для компонент напряжений примут вид
偌=(42废 + 人废)31(£) + (B2mз + з3碍)32(〃) + (02碱 +。3風)93(е), (14)
F = -43厶/231(£) - B3mim2^2i(^) 一。3几 1 几23з(С) (xyz, 123),(15)
где £ =厶力 + l2y + /32, 〃 =皿1力 + m2y + m^z, С =几i力 + n2y + n^z,
=夕2(〃) = Зз(С =
a 77dQ
Выражение мощности рассеяния механической энергии имеет вид
N — O"XS х + 6Т у^у + ^ z^ z + ^^~ху^ху + 2Tgz£gz
Согласно (2)
+ ^^xz^xz.+ ^^xz^xz.(16)(16)гдегде£1 — £冗/； + £g 后 + £n总 + 2e£1 — £冗/； + £g 后 + £n总 + 2exyll12 + 2£g/2/3 + 2£宓/1/3,xyll12 + 2£g/2/3 + 2£宓/1/3,TV = a±si + 02^2 + ьз£з,
+ ^^xz^xz.
+ ^^xz^xz.
(16)
(16)
где
где
£1 — £冗/； + £g 后 + £n总 + 2e
£1 — £冗/； + £g 后 + £n总 + 2e
xyll12 + 2£g/2/3 + 2£宓/1/3,
xyll12 + 2£g/2/3 + 2£宓/1/3,
1 — bjc^i + Ьуб + c/3 + ^^~ху^1^2 + 2Tgz/2/3 + 2Txz1\1з・
Величины £i, £2, £з определяют скорости деформации вдоль направлений главных компонент напряжений и в общем случае не совпадают с главными компонентами скорости деформации.
Соотношения ассоциированного закона пластического течения определяются из условия экстремума функционала
4 = N — Х± Fi — A2R2 — X3R3,
где Fi, F2, F3 — правые части соотношений (8), и имеют вид
£冗=Ai/imi + A2mini + А3П1/1,(17)
2&хп — Al (/1Ш2 + 力2皿1) + А?(Ш1Т12 + 皿2几 1) + Аз (几 1/2 + 几2厶)•(18)
Из (17), (18) получим
% + Eg + £z = О,
£] — £冗/] + ^yl^ + £//3 + ^^xy^ 1^2 + 2&期J2I3 + ^^xz^l^3 = 0 (力2/Z, /772 72, 12 3). (19)
Согласно (8), (19) имеем, что вдоль направлений главных напряжений нормальные составляющие скорости деформации равны нулю.
Из (16) и (19) следует, что в предельно анизотропном случае мощность рассеяния механической энергии N равна нулю как следствие отсутствия сцепления.
По формулам Коши от компонент скоростей деформаций перейдем к компонентам скоростей перемещений:
(20)(21)(22)(20)(21)(22)_ ди _ dv_ dw
(20)
(21)
(22)
(20)
(21)
(22)
歌，£y = dy^=
_ 1 f du dv\dw \_ 1 (3〃dw\
Тогда из (19)-(21) имеем
理型 + /"2* +眾3*+/也穹+呢* + ox oy OZ ох оу
+ "2碎+ /"3器+ ^普+虚需=0.
Уравнения для определения характеристических поверхностей у{х^ у, г) = С системы (22) имеют вид
气+ ‘2風+ /3反=0气+ ‘2風+ /3反=0(Imn).(Imn).(23)(23)
气+ ‘2風+ /3反=0
气+ ‘2風+ /3反=0
(Imn).
(Imn).
(23)
(23)
Из (11) и (23) следует, что системы (10) и (22) имеют совпадающие характеристические поверхности.
Общее решение (22) можно записать в виде
и = aiU(^) + 仇『(〃)+ c±W (С) (uvw, xyz, 123),(24)
где &,仇 и q удовлетворяют соотношениям
a1/1 +a2/2 +a3/3 = 0,^1m1 + b2m2 + 63m3 = 0, c1n1 +02 几 2 +03 几 3 = 0・(25)
Рассмотрим случай, когда Ai = А2 = A3, B\ = В? = B3, Ci = С? = Сз
и。£ = т〃, b{ = П{, Ci = Ц. Не нарушая общности можно считать, что Ai = Bi = =以=1.
Тогда из (14), (15) и (24) получим
外=(I 一 理)31(£) + (1 - 科)92(〃) + (1 - 若)33(е),(26)
тху = 一厶/2 31(£) - mim2^2(^)-几 1 几2 33(C) (xyz, 123),(27)
a = 77iiU(£) + 几i『(〃)+ hW^) (uvw, 123).(28)
Предположим, что на плоскости z = 0 заданы напряжения и скорости перемещений:
^z — Р(力,沙)， Tgz — Txz —。，(29)
"=о = 0, w = q(x〉у).(30)
Согласно (26)-(28)
外=；[О —留 р (£) + О —科)夕⑺ + (1 —若)р(С],(3i)
тху = 一；卩也夕(£) + т1т2р(,п) + 几 1 几2^(7)] (xyz, 123),(32)
" =mrm^q^ + 几 1几34(〃)+ 厶卜以7)，
。=m2m3Q(^) + 几2 几з4(〃)+ 以34(7),(33)
w = mlq^) + 題 q(〃) + 礫 q《)，
где p(^) и q(£) — распространение функций р(ж, у) и q(力,у) вдоль плоскостей £ =
=&• Аналогично:夕⑺，р(С), q(〃)，q(C)・
В качестве примера рассмотрим распределение постоянного давления в треугольнике АОС (рис. 1):
АО : /1Ж + 力2沙=0, ОС : mix + т2y = 0, АС : п、х + 几2g = d,
az = р = const в ДАОС, az = 0 вне ДАОС.
Тогда согласно (31) и (32) имеем
в пирамиде SAOC:
bjc — by — ^ z — Рч Тху — Tgz — Txz = °；
в пирамиде SACOi：
%=^(1 + 若),T也=^ 几1 几2(xyz, 123);
z
в пирамиде SAOCy.
外=^（1 + 理），тху = I Zi/2 （xyz, 123）;
в пирамиде SOCAy.
外=/（1 + 皿1）, Тху = -77117712 （xyz, 123）；
в зоне CSO1C2A1：
х = ^ （1 — '；）， 丁也=—^ /"2 （力gz, 123）;
в зоне 74soi斗2&：
勿= ^（l-m；）, Тху = -1 77117712 （xyz, 123）； в зоне OSCiO^A^:
%=^（1一 若）,T也=一^ 几1 几2 （xyz, 123）.
В остальных зонах все компоненты напряжений равны нулю.
Список литературы
Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: В. 2 Т. 2001. Т. 1. Теория идеальной пластичности. —М.: Физматлит, — 448 с.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 231 с.
Ивлев Д.Д., Артемов М. А. Об одном случае предельного состояния тел // МТТ. 1996. №3.
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
ПРОСТРАНСТВА, ОСЛАБЛЕННОГОЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ, ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ДАВЛЕНИЯ,РАСТЯГИВАЮЩИХ И КРУТЯЩИХ УСИЛИЙ
М. В. Михайлова
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева
Рассмотрим упругопластическое состояние толстостенной трубы радиусов а, 6 (а < 6), находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений р и Q, на внутренней поверхности которой действуют касательные и крутящие усилия. Материал трубы будем предполагать несжимаемым.
Решение будем искать в цилиндрической системе координат pBz、ось z направлена вдоль оси трубы. Здесь и в дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения, отнесем к величине предела текучести на сдвиг к; величины, имеющие размерность длины, — к длине радиуса пластической зоны 『?. Для безразмерных величин сохраним обозначения
◎ i§ = ◎ i§ I к, р — р! k^q = q/ k, G — G / k^T — T! k^
£叮= £"/『?， " = "〃?， 。=。/吟, w = w/r^, q = a/r^, /3 = b/r^,
где aij — компоненты тензора напряжений, £叮一компоненты скоростей деформации, и, V)т — компоненты скоростей перемещений вдоль осей р, ^, г соответственно, G — модуль сдвига, Т — константа.
В цилиндрической системе координат уравнения равновесия имеют вид
2стр1 дтр^ Ату»/ 丄 Ор —。仆—
⑴⑴⑵⑵дтр^ 1 do® I 9t^z 2丁0仆—八
⑴
⑴
⑵
⑵
方 +方而+ 而 +丁 = "
BTpz 丄 1 a^z 丄 daz .Tpz_
毎 +方冇 +而+ " =
Условия полной пластичности запишем в виде
2 Tp'&Tpz2 T^zTp^
叫> =0 一 不 +6?=0一 不 Т-,
—2 T^zTpZTp书 TpzTp^T^z T^zTpZ
b N = b - J 十〉十十：
J 7Pz7®nTpz7Pz
для определения напряженного состояния в упругой области имеют место соотношения закона Гука:
0р 一 b少=2G (sp 一 £少)〉70少=2G£pQ:
。夕一^z — 2G(£р — £乞),TpZ — ^GspZ,
⑶
CT少一(Уz - 2G(£少-£?),丁少2 - 2Gezn,
и условие несжимаемости
£0+ £少+ £z = 0・
⑷
Предположим, что все компоненты напряжений зависят только от р:
aij = aij(Р)•
(5)
Согласно (5) уравнения равновесия (1) примут вид
dop 1 Ор — сг° _ q dpО -'
⑹
“TpG 1 27。° _ Q “Tpz + 27Pz _ Q dppdpp
⑺
Граничные условия запишем в виде
ар = —р при р = а^
⑻
丁脸 + 唸=Т，^| = tg/z, Т, 〃 = const при о = а,
⑼
сгр = -q при р = /3.
(10)
Решения уравнений (7) с учетом граничных условий (9) имеют вид
т。少=
(П)
где
В = (a2T cos 从У , А = (аТ sin 从尸.
(12)
Из (11) и последнего уравнения системы (2) находим
(13)
Решение уравнения (6) согласно (2), (11), (13) и граничному условию (8) в пластической зоне имеет вид
W =04T2 —в +QР-2 1П_ Т2 + 1 ln /2d —厶+ 2，М 厶綻— В、2\ 2a2 — Z + 2a2 VAL — Т2 丿-АВ - (А2 + 2В)р2 + 2В，04 _Ар2_в\-АВ - (А2 + 2В)q2 + 2Ва2 V^ - Т2 丿W =04T2 —в +QР-2 1П_ Т2 + 1 ln /2d —厶+ 2，М 厶綻— В、2\ 2a2 — Z + 2a2 VAL — Т2 丿-АВ - (А2 + 2В)р2 + 2В，04 _Ар2_в\-АВ - (А2 + 2В)q2 + 2Ва2 V^ - Т2 丿
W =04T2 —в +Q
Р
-2 1П
_ Т2 + 1 ln /2d —厶+ 2，М 厶綻— В、
2\ 2a2 — Z + 2a2 VAL — Т2 丿
-АВ - (А2 + 2В)р2 + 2В，04 _Ар2_в\
-АВ - (А2 + 2В)q2 + 2Ва2 V^ - Т2 丿
W =04T2 —в +Q
Р
-2 1П
_ Т2 + 1 ln /2d —厶+ 2，М 厶綻— В、
2\ 2a2 — Z + 2a2 VAL — Т2 丿
-АВ - (А2 + 2В)р2 + 2В，04 _Ар2_в\
-АВ - (А2 + 2В)q2 + 2Ва2 V^ - Т2 丿
/ 2，。4 —厶綻 _ в _ Ар2 _ АУр4 - Ар2 - в\
(/ (犷 + B) (犷 + B)一广
В упругой зоне решение уравнения (6) определяется из условия несжимаемости (4), закона Гука (3) и граничного условия (10) предположении, что компоненты скоростей перемещений также зависят только от р:
аР = -q + 2GQ С -；),аР = -q + 2GQ С -；),сг^ = —q + 2GC?iсг^ = —q + 2GC?iQ = const. (15)Q = const. (15)
аР = -q + 2GQ С -；),
аР = -q + 2GQ С -；),
сг^ = —q + 2GC?i
сг^ = —q + 2GC?i
Q = const. (15)
Q = const. (15)
Постоянную Ci определим, удовлетворив (14) и (15) условиям сопряжения [(Tij] = 0 при 0 = 1.(16)
Выражения (15) согласно (14), (16) примут вид
W = _q + 力(青一))，骑=_q + 力(青 + )) ,(17)
где
2 %+ 3+2?，1_4一丛А + В А + В'
а величина т? определяется из трансцендентного уравнения
-\/1 — ^4 — В + у/1 — Т^ --\/1 — ^4 — В + у/1 — Т^ -t1 ,2 —厶 + 2д/1 — т4 — В
-\/1 — ^4 — В + у/1 — Т^ -
-\/1 — ^4 — В + у/1 — Т^ -
—q Но = —р + — In —5/
斤22a2 — Z +2a2“1 —丁2
a = a/r^, /3 = b/r^,a = a/r^, /3 = b/r^,(18)(18)丄 In — ZB —不―2В + 2ВУГ^ГЙ — 2 -AB - (A2 + 2B)q2 + 2BqV1-T2
a = a/r^, /3 = b/r^,
a = a/r^, /3 = b/r^,
(18)
(18)
где величины А и В определяются соотношениями (12).
Рассмотрим пространство с цилиндрической полостью радиуса а, растягиваемое на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями 也 и @2 в плоскости 0仇 причем внутри полости действует нормальное давление 目 и приложено касательное усилие.
Решение будем искать в виде разложения в ряд по параметру 6:
% =吟 + 方旳 + 户必 +§ = Pi 2 夕2 , Pll p2 = const, (19)
0s = 1 + "is + ^2/>2s + • • • ,(20)
где ps — граница упругопластической зоны.
Граничные условия на бесконечности запишем в виде
а^ = —q — 8 cos 2^, 骑=—q + bcos2H при p = g、(21)
%= bsin2也 =内产.
Осесимметричное состояние, определяемое соотношениями (11), (13), (14), (17) при /3 = оо, примем в качестве нулевого. Линеаризированные граничные условия на бесконечности примут вид
сг^е = — cos 2^, т^ = sin 2^ при ° = оо,(22)
叫’=3 力广=。ПРИ 0 = оо・(23)
В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому в пластической зоне
aij —。，心。 =。。(24)
Определим компоненты напряженного состояния в упругой области.
Согласно линеаризированному условию сопряжения,
旳 + ^^ Pis =0 при 0 = 1,(25)
соотношениям (24), (11), (14), (17) и полагая /3 = оо, имеем
6rze = 丁筋=。ПРИ 0 = 1,(26)
С/С/=W1S=W1Sпри 0=1,при 0=1,(27)(27)
С/
С/
=W1S
=W1S
при 0=1,
при 0=1,
(27)
(27)
где
(28)(28)(29)(29)2 —Z ,2В2 +АВ(А + В) ПА2 + 2АВ
(28)
(28)
(29)
(29)
m = , h5~, 、 丿=-2.
V1-А- В (А + В? V1- А- В (А + В)2
Граничные условия (22), (26) определяют решение в упругой зоне:
%е = (-1 + ) — j) cos 2牝 畤=О + ^) cos 2牝
Из (27), (29) получим
Pis = — cos 2^.(30)
m
Во втором приближении из условий сопряжения, 吃+而也+可方+而3卜。при ' j (31) согласно (24), (11), (14), (17), (29), (30) при р = 1 имеем
е = - — (1 + cos4^),力广=一竺 sin4牝(32)
гдегдеa^e — 4s cos2 2^ = mp2S,(33)
где
где
s = 2也丁(34)
$1 = — А$1 = — А8^2 + 1246 + 126(4 + 6)38^2 + 1246 + 126(4 + 6)3+++ 2243 — на4 — 3843月 + 40人2月—5742月2 +(А + B)3V1- А - В+ 2243 — на4 — 3843月 + 40人2月—5742月2 +(А + B)3V1- А - В+ 38 aB2 — 424В3 + 1663 — 12月4 — 8f(A + B)3V1- А - В+ 38 aB2 — 424В3 + 1663 — 12月4 — 8f(A + B)3V1- А - В12В2 + 4厶2 + 18АВ - 20В - 6А(V1- А- В^12В2 + 4厶2 + 18АВ - 20В - 6А(V1- А- В^++543 — 642 — 10ZB + 13人2в-43月+ 64月2 _42в2543 — 642 — 10ZB + 13人2в-43月+ 64月2 _42в2(4 + 8)2 (S-4-B『(4 + 8)2 (S-4-B『Граничные условия (24), (32) определяют решение в упругой зоне:Граничные условия (24), (32) определяют решение в упругой зоне:5、— Q-g ) sm4仇 Р /5、— Q-g ) sm4仇 Р /〃 е 4〃 е 44 — 2sm , 28 — 2sm . Q 02s = 212—— cosmm4 — 2sm , 28 — 2sm . Q 02s = 212—— cosmm(35)(35)Из (33), (35) получимИз (33), (35) получим(36)(36)
$1 = — А
$1 = — А
8^2 + 1246 + 126(4 + 6)3
8^2 + 1246 + 126(4 + 6)3
+
+
+ 2243 — на4 — 3843月 + 40人2月—5742月2 +(А + B)3V1- А - В
+ 2243 — на4 — 3843月 + 40人2月—5742月2 +(А + B)3V1- А - В
+ 38 aB2 — 424В3 + 1663 — 12月4 — 8f(A + B)3V1- А - В
+ 38 aB2 — 424В3 + 1663 — 12月4 — 8f(A + B)3V1- А - В
12В2 + 4厶2 + 18АВ - 20В - 6А
(V1- А- В^
12В2 + 4厶2 + 18АВ - 20В - 6А
(V1- А- В^
+
+
543 — 642 — 10ZB + 13人2в-43月+ 64月2 _42в2
543 — 642 — 10ZB + 13人2в-43月+ 64月2 _42в2
(4 + 8)2 (S-4-B『
(4 + 8)2 (S-4-B『
Граничные условия (24), (32) определяют решение в упругой зоне:
Граничные условия (24), (32) определяют решение в упругой зоне:
5、— Q
-g ) sm4仇 Р /
5、— Q
-g ) sm4仇 Р /
〃 е 4
〃 е 4
4 — 2sm , 28 — 2sm . Q 02s = 212—— cos
mm
4 — 2sm , 28 — 2sm . Q 02s = 212—— cos
mm
(35)
(35)
Из (33), (35) получим
Из (33), (35) получим
(36)
(36)
Согласно (30), (36) запишем соотношение (20) в виде
cos 4Н)+ …,cos 4Н)+ …,(37)(37)1 к 4q—28 - 2sm
cos 4Н)+ …,
cos 4Н)+ …,
(37)
(37)
& = 1 + 3 — cos 2^ + 0
где константы m, s определяются из соотношений (28), (34).
При отсутствии сдвигов 4 = 0, 3 = 0 (Т = 0) и разложение (37) совпадает с разложением эллипса, полученным в [3] в качестве границы упругопластической зоны.
Из (37) следует, что при наличии касательных и крутящих усилий форма упругопластической границы приближается к окружности.
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. — М.: Наука, 1986. — 360 с.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Галин Л. А. Плоская упругопластическая задача // ПММ, 1946. Т. 10, Вып. 3.
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕПЛАСТИЧЕСКИХ ПЛИТ ПРИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ
ПОТЕНЦИАЛАХ
Ю. В. Немировский
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН
Использование кусочно линейных условий пластичности позволило получить целый ряд глубоких и впечатляющих аналитических решений плоских и пространственных задач теории пластического деформирования [1, 2]. Можно надеяться, что использование кусочно линейных потенциалов будет полезно также и при решении обратных задач теории пластичности. Одной из важнейших в теории пластичности является задача оптимального проектирования конструкций, общая постановка которой была сформулирована свыше пятидесяти лет назад [3-5]. Системы уравнений, описывающие оптимальные проекты при условиях пластичности Мизеса и Треска, были исследованы в работах [4-8]. Было установлено, что системы разрешающих уравнений задачи оптимального проектирования для гладкого условия пластичности (типа Мизеса-Хилла) являются нелинейными системами смешанно-составного типа.
В [6, 7] было показано, что для каждого отрезка условия Треска система разрешающих уравнений оказывается существенно более простой. Однако полный анализ не был завершен: вопрос сопряжения решений, отвечающих различным режимам, был лишь схематически намечен, а вопрос о существовании непротиворечивых полей напряжений в общем случае не был рассмотрен. Поэтому авторы ограничились рассмотрением лишь простейших осесимметричных задач. Возникающие трудности в поиске конкретных решений привели к тому, что один из основоположников теории оптимального проектирования конструкций в заключении своей работы [5] указывал: «... следует считать, что конструкции, удовлетворяющие условию абсолютно минимального веса, вообще говоря, не существуют». Это замечание на некоторое время привело к охлаждению интереса исследователей к этой проблеме.
Некоторое дальнейшее продвижение было достигнуто в работах [9-14], в которых были получены отдельные решения для гладких поверхностей текучести, оценки оптимальных проектов для вложенных поверхностей текучести, показано, что для произвольных кусочно линейных условий пластичности в главных напряжениях разрешающая система уравнений распадается на две подсистемы из двух нелинейных уравнений гиперболического типа каждая. Это позволило получить широкий спектр аналитических решений, согласованных с полями скоростей. Были построены решения для сингулярных режимов и оптимальные проекты, отвечающие сопряжению различных режимов, в том числе и оптимальные проекты для условия пластичности А.Ю. Ишлинского [1, 2].
Дальнейшим логическим развитием этих идей является рассмотрение кусочно гладкого условия пластичности в пространстве сгц, сг12,。22・ Этот подход позволяет исследовать задачу оптимизации для пластин из произвольных анизотропных материалов [15] и дает возможность рассчитывать на получение новых решений.
Поскольку любая поверхность текучести в пространстве сгц,。⑵。22 может быть изнутри и снаружи аппроксимирована многогранниками, то решения для кусочно линейных поверхностей в соответствии с указанной в [9] теоремой могут быть использованы для получения верхней и нижней оценки веса конструкции.
Рассмотрим пластины, нагруженные и закрепленные в своей плоскости, и введем безразмерные координаты ж^ напряжения。叮,перемещения "〃, деформации Sij и толщину пластины h, усилия Т^, 7^, ТТ по формулам
g —力£ 力。, "с — и^ Xq 力о,^ij = ^ij^o , £ij — &ijtg〉h = h h° ,
Tij = Oijh, Tn = T^ (bo%o) , Тт = T* (bo%o),
где г, J = 1, 2;力о,力о, ст。, ％о — характерные длина, время, напряжение, толщина; Т*, Т* — нормальная и касательная составляющие контурной нагрузки. Тогда в рамках общей постановки задачи оптимального проектирования пластических конструкций функции Oij, %, "£,沁 должны удовлетворять уравнениям равновесия
(*%3 = a (…* = a(…)/a旳 亿 ^ = 1,2),⑴
условию пластичности в параметрической форме
d = 61 (а, /3), сг22 =。22 (а, /3), б? =。12 (а, /3),
М，а，&2, 81sBs 仇，
условию оптимальности Друккера-Шилда [3]
СГц£ц + СТ22^22 + 2СТ 12^12 — °* — Const > 0,(3)
соотношениям Коши
QI"1,2 — “2,1( Л\
^£ij = Ui,j + 幻= 公方 ，(4)
граничным условиям на Гу (/(力i,力2) = 0)
Tn|V/|2 = h рй (7 +。22 (/,2)2 + 2内2 (f 1)(上2小
nIV/|2 = h [e22 -。11) (上1) (/2)+。12 {(/,1)2-(/,2)2}],(5)
|V/|2= [(/д)2 + (/,2)2]
и на Гп (з(力ь 力2)= 0)
+ "29,2 = 0,⑹
"71▽9『="29,2 - "13,1 =。,1▽9『=Si)2 + (9/ .
Кроме того, должен быть выполнен закон пластического течения, который утверждает, что для регулярных точек поверхности текучести вектор скоростей деформаций направлен по нормали к поверхности текучести, что математически выражается соотношениями
£11。11,a + ^22^22,a + ^12^12,a = °, ^ll^ll,^ + £22。22,万 + 2£12012,万=0.(7)
Поскольку начало координат должно располагаться внутри поверхности текучести, а нормаль к ней должна быть направлена наружу, также должно выполняться неравенство
j=。11 (。220。12,万一。12,a022,0)+。22 (012,a011,万一。11,a012,0)+
+012 (011,a022,万一022,a011,0)>0■(8)
Соотношения (3), (7) позволяют выразить компоненты деформаций через параметры а, /3 в форме
£11 - °*J-1 (022,a012,万一。12,a022,0)，
£22 = °* J-' (。12,仪。11,万—^11,а^12,/3),(9)
2^12 - 0* J-1 (。110。22,万一。22,a011,0)•
С другой стороны, исключая 也"2 из (4), получим соотношения (уравнения совместности деформаций):
°*叱1 = £11,2 — £12」,°* 叫2 = £12,2 — £22,1・(10)
Таким образом, четыре дифференциальных уравнения (1), (10) с учетом зависимостей (2), (9) вместе с граничными условиями (5), (6) позволяют найти решение задачи оптимального проектирования — определить функции а(力i,力2), 0(力 1,力2),幻(力 1,力2), %(力 1,力2)》0. Тип системы уравнений и, соответственно, метод ее решения, зависят от формы условия пластичности, т. е. от конкретного вида параметрических зависимостей.
МОЖНО(11)(12)(13)(14)МОЖНО(11)(12)(13)(14)Для плоского участка поверхности параметрические зависимости (2) записать в форме
МОЖНО
(11)
(12)
(13)
(14)
МОЖНО
(11)
(12)
(13)
(14)
0叮=а叮а + 6叮/3 +С叮，0叮=。ji；a叮，6叮，c1j - const5i, j - 1,2,
или, после соответствующей нормировки, в виде
^11 («22^12 - 622al2)+022 («12^11 -仇2。11) +012 («11^22 -仇 1。22)= 1,
C11 (a22仇2 - 622al2)+022 (a12仇1 - ^12^11) +012 (a11622 -仇 1。22)= 1-
Тогда для деформаций будем иметь выражения
£11 - 0* (a22仇2 - 622al2),£22 =0* (a12仇1 -仇2al1),
2^12 =0* (a11622 -仇 1。22)•
Учитывая это из (10) получаем 幻(力匕 力2)=幻。и следующие выражения для перемещений:
(15)(15)"1(力 1,力2)= "? +0* [g0力2 + (a22612 -a12622)^1 + ^ (a11622 一 «22^11)力2
(15)
(15)
"2(力1,力2)= "g +0* [g0力1 + j (a22仇 1 - a11^22)力 1 + (a11^12 一 a12^11)力2
"У，"2 — const.
Таким образом, плоскому участку условия пластичности соответствует континуум параллельных друг другу векторов скоростей деформаций. Каждому вектору скорости деформации соответствует свой проект. И тогда в соответствии
с теоремой, доказанной в [9], при одинаковых силовых граничных условиях объемы всех этих проектов совпадают.
Для определения объема необходимо найти %（力匕 力2）・ Из （1） с учетом （11） для рассматриваемого плоского участка получим следующие уравнения:
（а^а + 6ц/3 + сц） Яд + （a】2a + 仇2。+。12）",2 +
+ «11^,1 +。12a,2 + ^11/3,1 + 仇2民 2 = О,
（。12a + 仇2 0 + C12）H l + （a22a + 622。+。22）",2 +
+a12a,1 +。22%2 + ^12/3,1 + 622伐2 =0，" = Ink. （16）
Так как система （16） относительно трех неизвестных функций недоопределена, то следует ожидать, что в этом случае решение задачи оптимального проектирования будет неединственным. Для доопределения одну из функций будем считать известной. Пусть, например, /? = /?（）= const. В этом случае для нахождения функций "（力 1,力2）, a（力 1,力2）получим систему
（ana + 6h/?g + cц） "j + （a12a + 仇2仇 +012）",2 + ^n^,i +a12a,2 = 0,（匕） （ai2a + 仇2仇 + C12）"J + （a22a + 622仇 +022）",2 +。12%1 +。22%2 = 0-
Характеристики этой системы определяются из уравнения
^2 [（^12^11 —。11仇2）仇 +。12cli — ^ЦС12] +
+ dx1dx2 [（a11仇2 -。22仇 1）仇 +。11022 -。22011] +
+ d说 [（a22仇2 —。12622）仇 +。22012 -。12022]=0.（18）
Рассматривая случай силового нагружения на контуре пластины следует иметь в виду, что контурные нагрузки должны удовлетворять требованию равенства нулю главного вектора и главного момента, которые определяются равенствами
м =м =1 + （Тпж2 — ТтЖ1） dx2] = 0.1 + （Тпж2 — ТтЖ1） dx2] = 0.ммгг（19）（19）
м =
м =
1 + （Тпж2 — ТтЖ1） dx2] = 0.
1 + （Тпж2 — ТтЖ1） dx2] = 0.
м
м
г
г
（19）
（19）
Метод решения системы уравнений （17） зависит от вида аппроксимирующих функций. Например, в частном случае
a11 =a22 =历2 = 0, 6ц = 622 > 0,а12 < 0,/?0 = -022他2
из （18） имеем d力扌=0. Следовательно, система （17） имеет параболический тип. Если же принять
«11 =a22 =仇2 = 0, k = 622 > 0, 012 < 0, 仇=-（С11 +022）/622,
то из （18） находим {dx^/dx^f = — 1, т. e. в этом случае система （17） имеет эллиптический тип. Можно в обоих случаях построить решение одинаково нагруженных прямоугольных пластин и проверить в соответствии с общим результатом [9], что, хотя профили толщины в этих решениях будут различны, общий объем пластины будет одинаковым. Однако мы продемонстрируем это обстоятельство другим
19 Проблемы механики
путем. Запишем уравнения равновесия (1) и условие пластичности для некоторой k-й плоскости в виде
(711),1 + (712),2 = a (712),1 + (722),2 =。，「j = Sjh,(20)
4^711 + В"22 + &?Т12 = %•(21)
Эта система уравнений недоопределена, имеет одну свободную функцию, которую далее будем считать известной: Тц =也1(力ь 力2)・ В этом случае из системы (20) получаем
712 = 一也(力 1,力2)+ 92 (力 1) , T22 =阪(力 1,力2)+ & (力 1) + 阪(力 1),
也2(力 力2)=[dX2,也3(力 1,力2)=[辞 dx2.
J 0X1J 0X1
Функции 夕2 (力1),夕3 (力 1) определяются из граничных условий (5), согласованных с требованиями (9). После определения усилий Т^ распределение толщины вычисляется по формуле (21).
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами 04 = =С В = а, ОС = АВ = 6. Оси координат х± и 力 2 направим, соответственно, вдоль сторон О А и ОС. Пусть на сторонах прямоугольника заданы усилия
на ОД, СВ : Тп = Т22 = Л)+ Pi^i, Т「= —Т12 = —К,
на АВ, ОС : Тп = Тц = R。+ 丛物 4 =目2 = К,
где Ри, Pi, R。，Ri, К = const. Функцию Тц зададим в виде
ТцТц=r0+r1力2 +R3力；=r0+r1力2 +R3力；兄3 = const.兄3 = const.
Тц
Тц
=r0+r1力2 +R3力；
=r0+r1力2 +R3力；
兄3 = const.
兄3 = const.
Принимая далее 4 = 0 для функций 丁⑵ 不2, % получаем выражения
Т]2 = К — —(2力；—3力;а + 力— 36力2 + 2^2)力2, За
T22 =小 + B力1 + Д^ —f (6若-6力 1a+ a2) (6 -力2『，
h = Bk (Po + R也)+ CkK + 丛[^^(6若-6也а + 1) (b —力2)2 -
[6а
-°；产(01 - a) (2ж1 — a)(20彳—3602 +
Как видим, при различных значениях R3 профили пластины будут различными. Тем не менее ее объем
V = 2^hdX1dx2 = (BkP0 + KCQab ^^BkPr > О о о
одинаков для всех этих проектов, поскольку не зависит от R3. Для кольцевых пластин, нагружаемых по контурам равномерно распределенными нагрузками R
и Р2, условие пластичности для плоского участка с номером т и уравнение равновесия имеют вид
атТ1 + 6俏丁2 = %, 丁2 = (丁目)',(•••)' = &(•••) /dr,(22)
из которых можно выразить h в виде
% — 67n (rTi) + amTi.(23)
Умножая это равенство на 2тгг и интегрируя в пределах от 丁1 до 丁2, для объема пластины будем иметь выражение
V = 2тг [bm (тТ1)' + amT^r dr.
Для m-го линейного участка напряжение % удовлетворяет неравенствам ст， ，％，dm или cmh，Ti，dmh, которое с учетом выражения (23) может быть переписано в виде
Таким образом, выбирая множество функций Ti (г), удовлетворяющих граничным условиям Ti (丁1) = Pi, Ti (丁2)=马 и неравенствам (24), будем иметь множество оптимальных проектов, соответствующих m-му участку кусочно линейного условия пластичности для рассматриваемой кольцевой пластинки. Однако еще необходимо согласовать статические и кинематические поля. Для рассматриваемого отрезка многоугольника текучести условия оптимальности и закон пластического течения дают для деформаций следующие выражения: £i = D*am,實=°*匕山 и поскольку должны быть выполнены условия совместности деформаций (丁£2)'= =£1, то должно быть。俏=Ьт. Это требование соответствует двум параллельным сторонам шестиугольника пластичности А.Ю. Ишлинского [1, 2], и в этом случае объем всех проектов будет одинаковым и равным V = 2乃。俏(丁扌巳—т；В)> 0.
Подробнее решение для круглых кольцевых и эллиптических пластин при условии пластичности А.Ю. Ишлинского описано в работах [13, 14] и для изгибаемых трехслойных пластин с легким заполнителем — в работе [9]. В [10] показано, что для однородных осесимметричных оболочек оптимальный проект существует лишь для прямолинейного участка, соответствующего требованию am = 6т, при этом в оптимальной оболочке реализуется строго безмоментное состояние.
При использовании кусочно линейных условий пластичности возможны пластические состояния, соответствующие ребрам многоугольника, поскольку любое ребро соответствует линейным зависимостям величин Т^ от одной функции (например, а), то соответствующие уравнения для а(力 1,力2) и %(力i,力2) получим из (16), полагая /3 = 0 и заменяя а切。叮 на коэффициенты параметрического ребра 百叮，不叮：aij = aija + 不叮，储^ = 1, 2. Таким образом, для ребра задача становится статически определимой.
Для решения кинематических задач на ребре, являющемся пересечением плоскостей
巾 к — 4kbi1 + 3左。22 + °4。12 = 1,巾 7n = 47nbi1 + 37nb22 + ^m^l2 = 1,
19*
пользуясь условиями оптимальности и пластического течения, будем иметь выражения
^11 —^* + X （4/г — 4m）,金22 — B^D* + A （笈左—^m）,
2^12 = CmD* + A （以—Cm） •
Подставляя эти выражения в （10） после исключения функции 幻 для А получим уравнение
（以 - ^m）入11 + （4 - ^m）入22 + （0Щ-以）入12 =。.
Таким образом, в случае ребер статическая и кинематическая задачи разделяются.
При реализации вершины, образующейся пересечением трех плоскостей Ф^ = =1, Фт = 1, Фп = 1, оптимальным будет проект постоянной толщины h = h^. В общем случае при использовании в качестве условия пластичности некоторого многогранника в пространстве напряжений сгц, сг22, сг12 в пределах пластины могут реализоваться состояния, соответствующие напряженным состояниям плоскости, ребра или вершины. Границы「$「этих состояний заранее неизвестны и должны быть определены из условий непрерывности векторов усилий и перемещений на этих границах, а предельные размеры соответствующих областей и ограничения на параметры действующих нагрузок определяются из неравенств, характеризующих размеры соответствующих плоских участков и ребер. Дать формальное описание процедуры в общем случае затруднительно. Однако при выборе конкретных пар плоскостей и ребер такие решения могут быть получены и проанализированы по схеме, подробно описанной в [11, 12] для случаев кусочно линейных многоугольников в главных напряжениях.
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Ученые записки МГУ. Механика. 1946. Вып. 17. С. 90-108.
Ишлинский А. Ю.、Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Drucker D. С, Shield R. Т. Design for minimum weight // Proc. IX International Congress of Applied Mechanics. 1957. V. 5. P. 212-222.
Shield R. T. Plate design for minimum weight // Quarterly of Applied Mathematics. 1960. V. 28, № 2. P. 131-144.
Shield R. T. Optimum design methods for structures // In: Plasticity. Proc 2nd Sympos. Naval Structural Mechanics. — Pergamon Press, 1960. Русский перевод: Шилд P. Методы оптимального проектирования конструкций // Механика. Сб. переводов. 1962. № 2. С. 148-159.
Ни Т. С, Shield R. Т. Minimum-volume design of discs // ZAMP. 1961. V. 12, № 5. P. 414443.
Эстрин M. И. О пластинках наименьшего веса, находящихся в условиях плоского напряженного состояния // Труды ЦНИИ строительных конструкций. 1961. Вып. 4. С. 91-103.
Reitman М. /. Analysis of equations of the theory of perfectly plastic shells // Archiwum mechaniki stosowanej. 1967. V. 19, №4. P. 595-601.
Немировский Ю. В. Об оценках веса пластических конструкций // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1968. № 4. С. 159-162.
Немировский Ю. В. Оболочки абсолютно минимального веса //В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Межвуз. сб. — Куйбышев: Куйбышевский госунивер- ситет, 1978. Вып. 3. С. 3-78.
Немировский Ю. В.)Небогатое В. М. Некоторые решения задачи оптимального проектирования неосесимметричных пластинок // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — Горький: Изд-во ГГУ, 1985. С. 78-87.
Немировский Ю. В.)Небогатое В. М. Исследование возможных сопряжений оптимальных проектов пластических плит // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 1. С. 107-115.
Немировский Ю. В., Небогатое В. М. Оптимальное проектирование эллиптических жестко-пластических плит // Прикладная механика. 1986. Т. 22, № 5. С. 77-84.
Немировский Ю. В., Небогатое В. М. Об идеально-пластическом состоянии плит минимального веса // Прикладная механика. 1986. Т. 22.№ 11. С. 99-104.
Гольденблат И. И., Копнов В. И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.
СКОЛЬЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРАПО ГРАНИЦЕ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГОПОЛУПРОСТРАНСТВА
Р. И. Непершин
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАНКИН
Введение. Контактные задачи теории идеальной пластичности о начальном течении полупространства при давлении штампов при плоской и осесимметричной деформации [1-4] используются для моделирования испытаний пластических материалов на твердость и для расчетов предельных режимов прокатки, волочения и ковки заготовок [5, 6] и несущей способности деталей машин [7].
Стационарное плоское пластическое течение при качении гладкого круглого цилиндра по идеально-пластическому полупространству рассмотрено в [8] для малой дуги контакта с применением метода малого параметра. Численное решение стационарной плоской задачи о качении и скольжении шероховатого круглого цилиндра по идеально-пластическому полупространству с определением предельных режимов нагружения приведено в [9, 10]. Эти задачи представляют интерес для моделирования трения качения и технологии пластического деформирования поверхностного слоя материала.
Точное решение стационарной задачи плоского течения при скольжении по границе идеально-пластического полупространства тупого клина с учетом контактного трения приведено в [11]. Поле скоростей в этом решении содержит конечный разрыв скорости вдоль жесткопластической границы, обусловленный острым углом при вершине клина и приводящий к неограниченной деформации сдвига под поверхностным слоем полупространства. Поле линий скольжения этой задачи применялось в [12] для исследования механизма трения скольжения в процессах пластического формоизменения металлов. В этой работе приведены экспериментальные данные, показывающие возникновение стационарной пластической волны перед скользящим клином и образование трещины в пластическом материале около вершины клина по направлению разрыва скорости.
В задачах о качении и скольжении круглого цилиндра [9, 10] распределение накопленной пластической деформации по толщине пластического слоя непрерывно вследствие непрерывности поля скоростей и конечной кривизны границы контакта цилиндра с пластическим полупространством. При этом пластическая деформация изменяется от нуля на жесткопластической границе до максимального значения на поверхности полупространства за цилиндром, которое зависит от контактного трения и нагружения цилиндра. Таким образом, скольжение клина с прямолинейной границей контакта и острым углом при вершине и качение и скольжение круглого цилиндра с постоянной конечной кривизной границы контакта можно рассматривать как предельные случаи стационарного пластического течения, приводящие к существенно различному распределению пластической деформации по толщине пластического слоя за клином или круглым цилиндром.
В настоящей работе рассматривается задача о стационарном плоском пластическом течении при скольжении шероховатого эллиптического цилиндра по границе
идеально-пластического полупространства с целью анализа влияния кривизны границы контакта и контактного трения на распределение контактного давления и пластической деформации по толщине пластического слоя полупространства. Распределение давления на границе контакта и неизвестная граница пластической области перед цилиндром находятся из решения нелинейного векторного уравнения, определяемого условием стационарности пластического течения [9, 10]. Изменение кривизны границы контакта эллиптического цилиндра приводит к существенно различному распределению контактных давлений и пластической деформации по толщине пластического слоя полупространства. Распределения контактного давления и пластической деформации при скольжении кругового цилиндра и клина являются предельными случаями скольжения эллиптического цилиндра с отношением длин полуосей эллипса, равным единице и бесконечности соответственно.
Основные уравнения и граничные условия. Рассмотрим скольжение шероховатого эллиптического цилиндра по границе идеально-пластического полупространства в декартовых координатах {ж, у}, связанных со скользящим цилиндром (рис. 1). При этом цилиндр и образующаяся перед ним стационарная пластическая область будут неподвижными, а полупространство — движущимся по положительному направлению оси ж со скоростью скольжения V. Материал полупространства у，0 считаем несжимаемым идеально-пластическим, а цилиндр — абсолютно жестким и шероховатым. Координаты, напряжения и скорости перемещений будем считать безразмерными величинами, принимая длину дуги контакта ОА за характерную длину, удвоенное напряжение текучести материала при сдвиге 2k = 1 за характерное напряжение и скорость скольжения цилиндра V = 1 за характерную скорость.
Рис. 1
Плоское пластическое течение идеально-пластического тела описывается гиперболическими уравнениями для напряжений и скоростей перемещений [2] с ортогональными характеристиками, совпадающими с линиями скольжения £ и ?у, которые определяются дифференциальными уравнениями
dg/dc = tgg для ^, dy/dx = — ctg ^ для ?у,(1)
где 夕—угол между касательной к линии скольжения £ и осью ж, и дифференциальными соотношениями Генки для напряжений:
do — dg = 0 вдоль £, do + dg = 0 вдоль ?у,(2)
и Гейрингер для скоростей перемещений:
dK — Vrj dcp = 0 вдоль £, d% + 屡 dg = 0 вдоль ?у,(3)
где а — среднее напряжение,屡 и % — проекции вектора скорости на направления линий скольжения. Компоненты тензора напряжений и проекции вектора скорости в координатах {ж, у} определяются соотношениями
ах = а - ^ sin 2^9, erg = сг + ； sin 2， тху = | cos 2，(4)
匕=К cos g — % sin g, Vy = V^ sin ср -\-Vrj cos(^.(5)
Стационарное поле линий скольжения в пластической области при скольжении эллиптического цилиндра с границей контакта О А показано на рис. 1. Вследствие несжимаемости пластического материала точки О и В жесткопластической границы находятся на границе полупространства. На границе контакта принимаем напряжение контактного трения 从,которое представляет сопротивление сдвигу пограничного слоя, не превышающее напряжения текучести при сдвиге материала пластической области. При этом из третьего соотношения (4) для ортогональных координат, направленных по касательной и нормали к границе контакта, находим угол наклона 7 линии скольжения ?у к границе контакта:
7 = ； arccos2〃，0 < 〃 < ； на ОД,(6)
и угол g на этой границе определяется соотношением
д=^ +)-а на ОД,(7)
где а — угол между касательной к границе контакта и осью х.
Граница АВ свободна от внешних напряжений и совпадает с направлением главного сжимающего напряжения。2 = —1- При стационарном пластическом течении эта граница также совпадает с линией тока поля скоростей перемещений, поэтому
И *=tg("9 на 48⑻
Из условия непрерывности скоростей перемещений на жесткопластической грани- Ц^ Vx = 1, Vy = 0 и соотношений (5) находим
K = cosg, % = — sin g на OB(9)
и из условия непрерывности нормальной к границе контакта скорости получаем соотношение
К = 147tg 7 на О А.(10)
Запишем уравнение эллипса с заданным отношением полуосей R = а/b в параметрической форме в координатах {a?i, у±}, направленных вдоль осей эллипса с началом координат Oi в центре эллипса:
力1 = Rbcos 牝 у】=bsin 牝(11)
где b — длина малой полуоси. Угол наклона касательной к эллипсу с осью 力i определяется выражением
А = — arctg (1/T^ctg ^).(12)
Точки эллиптической дуги контакта зададим значениями Н。》Н》^Л, где Н。 и 户幺—значения Н в точках О и А, и формулами связи координат {ж, у} с координатами {^l, у±}
х = b[R cos Н — cos %) cos А。+ (sin Н — sin %) sin A。],у = b [(sin H — sin %) cos A。— R(cos H — cos %) sin A。],
где Xo — значение А в точке О. Угол а, фигурирующий в граничном условии (7), определяется соотношением
а =》о + arctg (1/Rctg Н).(14)
Координаты центра эллипса Oi находим из соотношений (11) и (13) при х± = у、= =О
хО1 = —b [R cos % cos А。+ sin % sin А。],
「..1(15)
уО1 = b [R cos 'Oq sin A。— sin % cos A。].
Так как длина дуги контакта О А принята за характерный размер, то при заданном отношении R длин полуосей эллипса длина b одной из полуосей определяется соотношением
6 j，cos? Н + (R sin Н)2 dH = 1.(16)
Численное решение. Плоская задача идеально-пластического тела является статически определимой, так как дифференциальные уравнения (1) и (2) образуют замкнутую систему относительно /, у, ст и q при задании граничных условий для ст и 夕 в задачах Коши или Гурса. Затем по граничным условиям для скоростей перемещений и уравнениям (3) можно вычислить поле скоростей при известном поле линий скольжения. Однако в рассматриваемой задаче граничные условия для напряжений и скоростей перемещений связаны условием стационарности течения (8) на неизвестной границе АВ пластической области. Поэтому построение совместных полей линий скольжения и полей скоростей перемещений должно определять неизвестную границу АВ и неизвестное распределение а на заданной границе контакта О А.
Алгоритм численного решения задачи построим следующим образом. Значение ст в точке О находим из второго соотношения (2) вдоль ту-линии скольжения ОВ и из граничных условий (7) при а = 0 в точке О и (8) при 夕=тг/4 в точке В:
6rо = _ (； + ^ + 7)•(17)
При значениях О 7 < тг/4 несущая способность жесткого клина с вершиной в точке О выполняется со знаком строгого неравенства, что означает отсутствие пластического течения материала полупространства справа от точки О.
Поле линий скольжения, показанное на рис. 1, можно построить только для положительных значений угла 也 центрированного веера в точке А, который удовлетворяет соотношению
0)^(18)
где /3 — угол наклона границы АВ в точке А с осью х. При 也=0 из соотношения (18) находим предельное значение угла 崂：
脸 W + 7-乱(19)
и по соотношениям (14) и (13) находим предельное значение параметра 吟，определяющего точку А и дугу контакта О А при которой возможно стационарное пластическое течение.
Зададим начальное приближение для угла /3 и параметра ^Л, удовлетворяющего условию аА < 崂 при заданном значении %. Из соотношения (2) для вырожденной ту-линии скольжения в точке А и граничного условия (8) находим напряжение ал в точке А на границе контакта:
=一 (；+ 也)• (20)
Дугу контакта О А зададим значениями параметра 也，£ = 1, 2,... , М включая точки О и А. Начальное распределение / в точках 出 зададим пропорционально углам Qj, определяемым соотношением (14). Распределение q и граничное условие (7) для углов ^pi на О А определяют поле линий скольжения в области AOD из решения задачи Коши для системы уравнений (1), (2). Поле линий скольжения в области ADC находим по значениям сг и g на линии скольжения AD из решения задачи Гурса с вырожденной ?у-линией скольжения в особой точке А. В области АВС поле линий скольжения находим из решения обратной задачи Коши от линии скольжения АС — определение контура АВ, на котором известно а = —1/2 и дифференциальное уравнение которого определяется соотношением dy / dx = =tg (g — тг/4), так как этот контур совпадает с главным напряжением。2・
После решения последовательности указанных краевых задач для системы уравнений (1) и (2) получаем поле линий скольжения в пластической области и жесткопластическую границу О В. Затем вычисляем поле скоростей перемещений из решения системы уравнений (3). В области AOD решаем смешанную краевую задачу с граничными условиями (9) на АО и (10) на OD. В области ADC решаем задачу Гурса по известным скоростям на линии скольжения AD и условиям (10) на CD. В области АВС решаем задачу Гурса по известным скоростям на линии скольжения АС и условиям (10) на ВС. В результате получаем скорости в (7И—1) узловых точках контура АВ, соответствующих (7И—1) узловым точкам дуги контакта АО, исключая точки О и В, в которых напряжения и скорости заданы граничными условиями. Численные процедуры определения неизвестных функций и координат сетки линий скольжения в регулярной пластической области и на ее границах приведены в [10].
Введем векторную функцию f, элементы которой равны разностям углов наклона вектора скорости и касательной к контуру АВ в узловых точках i = =1,2,.. ., (М - 1):
力=(普)(例一/ (2D
Так как приведенная выше последовательность краевых задач для гиперболических уравнений (1)-(3) однозначно определяет границу АВ и вектор скорости точек этой границы по заданному распределению а на границе контакта О А, то f является непрерывной функцией векторного аргумента о, элементы которого равны значениям напряжения 内 в узловых точках границы О А, за исключением точки О. Условие стационарности течения (8) на границе АВ показывает, что о должно удовлетворять нелинейному векторному уравнению
f(。) = 0, (22)
которое определяется алгоритмом вычисления полей линий скольжения и скоростей перемещений и соотношениями (21). Уравнение (22) решаем методом Б рой-
дена [13, 14]. Начальное приближение о0 задавали распределением а на О А от известного значения (17) в точке О до значения (20) в точке А пропорционально углу а, принимая начальное приближение для угла /3 = саА, где с > 1. Функциональную матрицу dfi/daj в начальной точке о0 находили методом конечных разностей, решая (М — 1) задач построения полей линий скольжения и скоростей перемещений для вариаций о0. При малых углах дуги контакта ас уравнение (22) решается за 1-2 итерации с точностью |/Jmax，10-5, £ = 1, 2,. .. , 7И — 1, при с = =1. Увеличение параметра с при увеличении дуги контакта обеспечивало такую же точность решения уравнения (22) за несколько итераций.
После решения уравнения (22) находим распределение нормального давления на границе контакта — ап из второго соотношения (4) в координатах, направленных по касательной и нормали к границе контакта. Затем интегрированием распределения нормальных и касательных напряжений находим вертикальную силу N, горизонтальную силу F и момент М относительно центра эллипса, которые действуют на эллиптический цилиндр со стороны пластической области:
N = — ] (ап cos а + 〃 sin a) ds,(23)
о
R = ] (—сгп sin а + 从 cos а) ds,(24)
о
"=]{(Уо1 一 У)[м cos а — ап sin а] + (жО1 — ж)[从 sin а-\- ап cos а]} ds,(25)
о
где координаты ж, у, жО1, уО1 и угол а определяются соотношениями (13)-(15). Значения интегралов (23)-(25) находили численным методом по формуле трапеций.
Для анализа деформированного состояния поверхностного слоя полупространства вычисляли линии тока, накопленную эффективную пластическую деформацию и искажение координатной сетки при движении материальных частиц через пластическую область. Линии тока находили вычислением интегралов
g = до+ ](%/%)出3 力о，力，力力 (26)
где 力о и 力了 一 начальные и конечные значения координаты ж, между которыми находится пластическая область. В жестких областях перед жесткопластической границей и после нее линии тока — прямые, параллельные границе полупространства вследствие % = 0. В пластической области узловые точки линий тока находили на пересечении касательной к линии тока с линиями скольжения и в (26) использовали средние значения скоростей, определяемых соотношениями (5) по интерполированным значениям 屡，％ и g между узловыми точками линий скольжения.
Вдоль линий тока вычисляли приращения dee эффективной пластической деформации, которые контролируют условие неотрицательности диссипативной функции в пластической области [3] и определяют распределение накопленной пластической деформации в поверхностном слое полупространства. Накопленную
пластическую деформацию находили численным интегрированием вдоль линий
тока:
(27)
В сингулярной точке А интеграл (27) определяет скачок значения ее при переходе от свободной границы АВ к границе контакта АО. В остальной части пластической области £е является монотонно возрастающей функцией при движении материальных частиц вдоль линий тока и диссипативная функция положительна.
Искривление первоначально ортогональной координатной сетки, определяющей начальные координаты точек, находим по времени перемещения материальных частиц вдоль линий тока от сечения 力о до сечения жу, которое определяется интегралом
ГГdxdx< % (ж)< % (ж)(28)(28)
Г
Г
dx
dx
< % (ж)
< % (ж)
(28)
(28)
Наибольшее значение Т = То получаем для линии тока, совпадающей со свободной границей АВ и границей контакта О А. Так как скорость скольжения V принята за единицу скорости, то разность (7g —厶)определяет конечные значения координат Xj материальных точек на линиях тока J после прохождения пластической области:
Xj = Xf -\- То — Tj. (29)
Координаты ж материальных точек на линиях тока между их начальным и конечным положениями находим из уравнения (28) для заданных значений Т из интервала 0，Т 4 Tо：
ж = Жо + j V (ж) dT. (30)
Численные результаты. На рис. 1, 2 показаны поле линий скольжения и годограф скоростей перемещений в пластической области при скольжении по границе идеально-пластического полупространства эллиптического цилиндра R = =2, b = 1 для напряжения контактного трения 从=0,1. В этом примере линейные размеры отнесены к длине малой полуоси эллипса. Дуга контакта О А задана параметрами % = —0,4 и 户幺 = —0,65, которым соответствует угол аА = 0,287 в точке А. Ось эллипса наклонена к границе полупространства под углом А。= = 0,869. Центр эллипса находится с точке хО1 = —0,852, уО1 = 1,658. Длина границы контакта и толщина пластического слоя полупространства равны 1С = =0,331 и h = 0,12 соответственно. Силы и момент, действующие на цилиндр, равны N = 0,672, F = 0,134, М = 0,716. Угол наклона свободной поверхности в точке А равен /3 = 0,462. Увеличение угла контакта ал приводит к увеличению угла /3 и уменьшению угла 认 При 也=0 получаем предельное значение а* при котором устанавливается стационарное пластическое течение полупространства при скольжении эллиптического цилиндра. Нормальное давление на границе контакта изменяется от 1,687 в точке А до 2,460 в точке О.
Годограф скоростей перемещений показывает непрерывное изменение скоростей в пластической области с уменьшением скорости от 1 до наименьшего значения в точке А вдоль границы В-A, изменением величины и направления вектора скорости в точке А к границе контакта и увеличением скорости вдоль границы контакта от точки А до 1 в точке О. При 也一> 0 скорость в особой точке А уменьшается до нуля при предельном значении 崂.Увеличение контактного трения 从 приводит к уменьшению пластической области и предельного значения а貝.
Рис. 2
На рис. 3-5 показано влияние кривизны границы контакта О А при 从=0,1 на распределение контактного давления и деформированное состояние пластического слоя полупространства. В этих примерах линейные размеры отнесены к длине дуги контакта.
Рис. 3
На рис. 3 показано поле линий скольжения с распределением контактного давления и деформации по толщине пластического слоя (а) и деформированная координатная сетка (6) для границы контакта, определяемой параметрами R = 20, % = —0,11,户幺 = —0,3 и аА = 0,265. В этом случае кривизна на большей части границы контакта мала, но в окрестности точки О она быстро увеличивается. Такое изменение кривизны границы контакта приводит увеличению кривизны £ линий скольжения в окрестности жесткопластической границы и уменьшению кривизны этих линий в остальной части пластической области. В результате этого давление на цилиндр на большей части границы контакта меняется незначительно и быстро возрастает в окрестности точки О. Изменение скоростей в окрестности жесткопластической границы приближается к разрывному с быстрым возрастанием пластической деформации в этой зоне и последующим плавным увеличением по толщине пластического слоя. Высокий градиент изменения скорости по нормали к жесткопластической границе приводит к сильному сдвиговому искажению
координатной сетки (рис. 3 6). Увеличение параметра R эллиптического цилиндра и кривизны в точке О приводят в пределе к разрывному полю скоростей задачи о скольжении клина по границе идеально-пластического полупространства [11].
Рис. 4
На рис. 4 показано поле линий скольжения с распределением контактного давления и деформации по толщине пластического слоя (а) и деформированная координатная сетка (б) для границы контакта, определяемой параметрами R = = 0,05, Н。= —1,2,户厶 = —1,45 и аА = 0,263. Это случай обратного изменения кривизны границы контакта по сравнению с рис. 3 — на большей части границы контакта кривизна мала, но в окрестности точки А она быстро увеличивается. Такое изменение кривизны границы контакта приводит к искривлению линий скольжения только в окрестности точки А. Давление на цилиндр быстро возрастает около точки и незначительно изменяется на остальной части границы контакта. Вследствие непрерывности скоростей вдоль жесткопластической границы пластические деформации малы в глубине пластического слоя и быстро возрастают к границе полупространства вследствие больших изменений скоростей в окрестности точки А, и существенное искажение координатной сетки происходит только вблизи границы полупространства (рис. 4 а).
На рис. 5 показано поле линий скольжения с распределением контактного давления и деформации по толщине пластического слоя (а) и деформированная координатная сетка (б) для R = 1 и аА = 0,265. Это случай круговой границы контакта с постоянной кривизной. Так как значения // и аА одинаковы для цилиндров, показанных на рис. 3-5, то нормальные давления в точках О и А для этих цилиндров совпадают, но распределения контактного давления, пластической деформации и деформированные координатные сетки существенно различаются, что обусловлено изменениями кривизны границы контакта.
На рис. 6 показаны изменения полей линий скольжения, распределения контактного давления и распределения накопленной пластической деформации по толщине пластического слоя полупространства при скольжении эллиптического
Рис. 5
цилиндра при // = 0,1, R = 2, b = 1 для углов наклона большой полуоси эллипса к границе полупространства А。= 1,55 (а), Х。= 0,74 (6) и А。= 0,31 (в) при одинаковом значении вертикальной силы N = 0,356. Этот пример показывает, что существенное изменение деформации по толщине пластического слоя и распределения контактного давления на цилиндр можно получить поворотом оси эллипса относительно границы полупространства.
ааРис. 6Рис. 6
а
а
Рис. 6
Рис. 6
Заключение. Решение задачи о стационарном пластическом течении при скольжении шероховатого эллиптического цилиндра по границе идеально-пластического полупространства показывает существенное влияние переменной кривизны границы контакта на распределение контактного давления и неоднородность пластической деформации по толщине пластического слоя полупространства. Стационарное скольжение клина с разрывным полем скоростей и круглого цилиндра с непрерывным полем скоростей представляют предельные случаи скольжения эллиптического цилиндра с отношением длин полуосей R = оо и R = 1. Поворотом оси эллипса с заданным отношением R относительно границы полупространства при заданной нагрузке можно изменять в широких пределах неоднородность деформации пластического слоя полупространства.
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринеля // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 3. С. 201-224.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2002. — 704 с.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 231 с.
Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. 2001. Т. 1. Теория идеальной пластичности. —М.: Физматлит, — 448 с.
Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов. — М.: Металлургия, 1972. — 408 с.
Друянов Б. А., Непершин Р. И. Теория технологической пластичности. — М.: Машиностроение, 1990. — 272 с.
Черменский О. Н. Накопление усталостных повреждений в опорах качения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1990. № 5. С. 44-49.
Marshall Е.А. Rolling contact with plastic deformation //J. Meeh. Phys. Solids. 1968. V. 16. P. 243-254.
Непершин P. И. О качении и скольжении цилиндра по идеально-пластическому полупространству с учетом контактного трения // ДАН. 2002. Т. 383, № 3. С. 346-349.
Непершин Р. И. Качение и скольжение цилиндра по границе идеально пластического полупространства // ПММ. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 326-335.
Непершин Р. И. О скольжении тупого клина по границе идеально-пластического полупространства // ДАН. 2001. Т. 381, № 4. С. 496-498.
Challen J. М. and Oxley Р. L.B. Some new thoughts on the mechanisms of sliding and sticking friction in metal working processes // Advanced Technology of Plasticity. Tokyo: 1984. V. 1. P. 127-132.
Broyden C. G. A class methods for solving nonlinear simultaneous equations // Mathematics of Computation. 1965. V. 19. P. 577-593.
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯОСЦИЛЛЯТОРА С СУХИМ ТРЕНИЕМ
Л. В. Никитин
Институт физики Земли им. Г. А. Гамбурцева РАН
Введение Большой интерес для многих приложений в физике и технике представляет задача о движении и колебании массы, лежащей на шероховатой поверхности и скрепленной упругой пружиной с неподвижной стенкой. Эта задача рассматривалась многими исследователями. Общие результаты исследования и решения конкретных задач содержатся в монографиях А. А. Андронова с соавторами 1], Дж. П. Ден-Гартога [2], В. Л. Бидермана [3], Я. Г. Пановко и И.И. Губановой 4 и в многочисленных статьях как в отечественных, так и в зарубежных периодических изданиях. Особый интерес и трудность представляют исследования колебаний с остановками, вызываемыми тормозящим действием сухого трения. Такого рода колебания, по-видимому, впервые были рассмотрены Экольтом [5], а затем С.Э. Хайкиным с соавторами [6], Н. А. Железцовым [7], А. А. Харкеви- чем [8], Ю. И. Костериным [9], Я. Г. Пановко и Губановой [4]. Особенно следует отметить работу А.Ю. Ишлинского и И. В. Крагельского [10], в которой были удачно промоделированы скачки при трении.
Исследуемым в настоящей работе колебаниям под воздействием гармонической нагрузки посвящены работы А. А. Андронова с соавторами [1], С.П. Тимошенко [11] А.Н. Тюреходжаева [12].
Рис. 1. Осциллятор с сухим трениемРис. 1. Осциллятор с сухим трениемКолебания при различном статическом и динамическом трении. В настоящей работе рассматриваются разрывные колебания массы т, опертой с помощью пружины жесткости с на неподвижную стенку и лежащей на шероховатой поверхности с сухим трением / в покое и динамическим трением fd в движении, рис. 1.
Рис. 1. Осциллятор с сухим трением
Рис. 1. Осциллятор с сухим трением
Первоначально осциллятор находится в покое. Затем на него воздействует гармоническая нагрузка Р sin （幻。力 + 夕。）с максимальной амплитудой Р, частотой 幻。， sin go = f /Р. Движение начнется в момент, когда приложенная к массе т вынуждаю
щаяся сила достигнет предельного статического значения /. Если выбрать этот момент за начало отсчета времени 力 то положение массы ж будет определяться решением уравнения
тх + сс + xfd = Р sin （幻。力 + go）,（1）
где точка над буквой означает производную по времени, величина 死 есть знак скорости при движении и |х|，f /fd в покое. В общем случае анализ этой задачи довольно затруднителен. Движение, как правило, происходит с остановками. В простом случае движения без остановок решение получено в [5]. Здесь остановимся на случае, когда частота собственных колебаний осциллятора без трения
幻=у/с/т значительно больше частоты вынуждающей силы 幻。.Тогда в задаче появляется малый параметр £ = з^з《1. Введем безразмерные переменные и величины
£=子，7 ="力 0=: a =/"«Л
Уравнение (1) в безразмерных переменных примет вид
£ + £ + 死а = 0 sin(£Т + Во),(2)
где теперь точка над буквой означает производную по безразмерному времени т. Заметим, что разность между статическим и динамическим трением f — fd = =/ (1 — q) тоже может оказаться малой или вообще отсутствовать. Поэтому рассмотрим сначала случай
£ <= 1 一 а.(3)
Положение массы на первом этапе движения до первой остановки обозначим x±(t) или & (т)・ Уравнение (2) на этом этапе движения с учетом малости £ примет вид
& + & + а - 1 = ret cos go + О (е2) •(4)
При нулевых начальных условиях решение на этом этапе движения с точностью до членов первого порядка по £ будет
& = (1 — а) (1 — cos г) + гр cos 夕。(г — sin т) + О (е2),
•(5)
& = (1 — а) sin т + er cos go (1 — cos т) + О (е2).
Продолжительность первого этапа движения т” = Т^ _ Td определится моментом времени, при котором скорость в (5) обратится в нуль:
т； = 7r + 2e?ccwo + о .⑹
Как видим, величина (1 — а) попадает в знаменатель в (6), что делает необходимым требование (3). К моменту первой остановки масса пройдет расстояние & (父)：
& (т；) = 2 (1 — а) + ETTRcosgo + 0(d).(7)
На некоторое время масса останавл ивается. Движение возобновится в момент т§、 когда возбуждающая сила преодолеет статическую силу трения в сумме с сопротивлением пружины, т. е. когда выполнится равенство
psin(£Т§ + Во) = & (т；) + 1.(8)
Левую часть в (8) раскладывать по £ нельзя, так как продолжительность остановки т” _ Td _ тг может оказаться (и, как увидим дальше, оказывается!) продолжительной, порядка「1. Поэтому, чтобы получить асимптотику решения, разложим по £ правую часть (8), предварительно взяв от нее arcsin. Тогда получим
т/ =「1(31 - Во) + 乃侬夕。+ о(£),(9)
COS 屮 1
где введено обозначение
.3 — 2а夕1 = arcsin.
Р
Продолжительность покоя после первого этапа движения т；" = т/ — rf будет равна
Т” =停 1 _ go) + 产夕о —cos 屮1 + о(£).(10)
COS 屮 1
Однако время движения т$* возникающего после первой остановки, оказывается мало зависящим от £. Чтобы в этом убедиться представим правую часть уравнения движения (2) на втором этапе движения т$〉т〉т^ в виде
psin (т + зо) =0sin (go + * + £ (т -喲)•
Разложим теперь стоящий в правой части этого равенства sin по малой величине £ (т — т^). Если принять во внимание (9), то можно показать, что движение &(т) будет описываться уравнением
6 + & + а = 0 [sin 31 + £7Г cos Во + £ (т — г/) cos 31] + О (巒)•(11)
Константы интегрирования на этом этапе движения найдутся из условий
& %) = €1 (丁；),6 %) = 0.(12)
С учетом этих условий решение уравнения (11) будет
&(т) = (1 - а) [3 - cos (г - г/)] +
+ £0 [тг COS Во + (т — т§) COS 夕1 — sin (т — Т§) COS 夕1] + О (е2) ,(13)
金2(丁) = (1 — а) sin (г — т《)+ £@ [1 — cos (г — г/)] cos 31 + О (е2) •(14)
Закончится этот этап движения в момент т$, когда скорость &(т) обратится в нуль. Из (14) для т$ находим
笈=L伉一g。)+产然「+ 0 ()(15)
С точностью до членов порядка £ продолжительность движения т$& _ Tr _ Td так же, как и на первом этапе движения, будет равна тг. Движение возобновится в момент т/, когда возбуждающая сила достигнет значения, равного сумме усилия в пружине и силы трения покоя:
7"(6+产驚：广屮1 +。()(16)
где
.(4 (1 — а) + 1、
夕2 = arcsin I ———.
Продолжительность второй остановки т夕 будет
丁产=产 3 - si) +丁产=产 3 - si) +(cos 夕0 + COS 夕1) + О(£).(cos 夕0 + COS 夕1) + О(£).(17)(17)
丁产=产 3 - si) +
丁产=产 3 - si) +
(cos 夕0 + COS 夕1) + О(£).
(cos 夕0 + COS 夕1) + О(£).
(17)
(17)
Во время второй остановки масса будет находиться на расстоянии
(18)(18)& (т/) = 4 (1 一 а) + £7Г0 (cosgo + COS 31) +。(£).
(18)
(18)
На рис. 2 представлено движение массы в начальные моменты времени при / > fd・
Рис. 2. Закон движения массы при f > fd- Штриховая линия — возбуждающая силаРис. 2. Закон движения массы при f > fd- Штриховая линия — возбуждающая сила
Рис. 2. Закон движения массы при f > fd- Штриховая линия — возбуждающая сила
Рис. 2. Закон движения массы при f > fd- Штриховая линия — возбуждающая сила
Поступая аналогичным образом, получим, что движение на n-м этапе описывается уравнением
& + G + a = 0(singn—1 + £7Г £ cos%—i + £(T — *)cosgn—1) + О(£2). (19)
'k=l丿
Константы интегрирования определятся из условий
€п (тп) = €n-i (Tn-i), €п (丁孝)—0-(2。)
Здесь
g九 = arcsin —— ,
П —1
* =停九-Во) +£ cos(21)
cos 夕 71 k=1
Решение уравнения (19) при условиях (20) имеет вид
G = (1 — а) ((2几 + 1) - cos (t - *) +
n —1\
+ £07Г £ cos ^к^гг\т -T^~ sin (r - *)] cos 3rг) + О (s2) ,(22)
k=i丿
£ = (1 一 a) sin (т - т^) + er [1 — cos (г - r^)] cos ^п^О (s2) .(23)
Закончится п-й после первой остановки этап движения в момент %, равный
< =停九-Во) Н£ COS 1 + О(£).(24)
Продолжительность n-го этапа движения т/ будет
丁黑= 7Г + О(£)・(25)
Продолжительность n-й остановки 播‘ будет
丁3r =停九-^n-l) + 乃() £ COS +。(£).(26)
ycoscpn cos3rl—1丿自' '''
Во время n-й остановки масса занимает положение
п —1
G (ТП)= 2 S + 1) (1 — а) + £07Г £ cos 31 + О (е2) •(27)
Полученное решение справедливо, пока возмущающая сила возрастает, т. е. при
Движение происходит с многократными остановками, число которых тем больше, чем меньше £. Продолжительность этапов движения с точностью до членов порядка £ остается постоянной.
Аналогично может быть исследовано движение после того, как нагрузка пройдет максимум и начнет спадать. Этапы движения будут по-прежнему короткими, приблизительно равнодлительными, а длительность остановок будет несколько уменьшаться.
Колебания при отсутствии различия между трением покоя и движения. Когда различие между статическим и динамическим трением отсутствует, q = 1, полученные результаты не будут справедливыми. Остановимся поэтому на этом случае отдельно.
Уравнение движения (2) примет вид
£ + £ = 0" cos до.(28)
Решение уравнения (28) на начальной стадии движения будет
I Р 2 [sin(£т + до) — £ cos go sin т — (1 —刁 sin go —巒 sin go cos г].
С необходимой для дальнейшего точностью до членов порядка £? из (29) получим
& = er [cos go (г — sin т) + £ sin go (1 — cos 力)]+ О (е3) .(30)
Для скорости имеем
£1 = £0 [cos Во (1 — COS т) + £ sin go sin г] + О (е3) .(31)
Из (30) для момента остановки т； получим
т； = 2тг — 2е tg до + О (е?) .(32)
Формула (32) определяет также продолжительность движения 丁产 на первом этапе. В момент остановки масса займет положение & (rf), равное
& (т；) — 27r£0 cos 夕 + О(£3) .(33)
Для определения момента т^ возобновления движения имеем условие
& (т；) + 1 = sin (”《+ Во) •
Разрешая это уравнение, получим
Т? = 2тг + О(£2).(34)
Длительность первой остановки т『「в этом случае, в противоположность ранее разобранному случаю fs > /j, s <С 1 — q, будет непродолжительной:
丁产=2е tg go + О (s2) •(35)
Для последующего движения условиями для определения констант интегрирования уравнения (28) будут
& (丁冷=€1 ("),& (丁》=0.(36)
Условия (36) с учетом (33) определяют следующее решение:
& = ЕР COS Во [2тг +(Т — т/) - sin (т - г/)] +0 (е2) ,(37)
£ = £0 COS Во (1 — cos (г — Т^))2 .(38)
Из (37) следует, что с точностью до членов порядка £：
т； = 4тг, т^，= 2тг.(39)
Как видно из (35)и (39), продолжительность движения в этом случае будет значительно больше, чем когда / > /j. Продолжительность остановок, напротив, будет малой, порядка е. Таким образом, в предельном случае fs = fd движение также будет разрывным, но с продолжительными остановками и длительными этапами движения. На рис. 3 схематически изображена начальная стадия движения при а = 1.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 02-05-64230).
Список литературы
Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959. — 915 с.
Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. — М.: Физматгиз, 1960. — 580 с.
Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980. — 407 с.
Пановко Я. Г, Губанова И. И. Устойчивость и колебание упругих систем. — М.: Наука, 1967. - 420 с.
Eckolt W. Uber erzwungende Reibungsschwingungen // Z. f. techn. Phys. 1926. B. 7. P. 721.
Хайкин С. 3., Лисовский Л. /7., Соломонович А. Е. О силах «сухого трения» // Докл. АН СССР. 1939. Т. 24, № 2. С. 134-138.
Железцов Н. А. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с «комбинированным» трением // ПММ. 1949. Т. 13, Вып. 1. С. 3-40.
Харкевич А. А. Автоколебания. — М.: Гостехиздат, 1953. — 168 с.
Костерин Ю. И. Механические автоколебания при сухом трении. — М.: Изд-во АН СССР, 1960. - 74 с.
Ишлинский А. Ю., Крагельский И. В. О скачках при трении // Журн. техн, физики. 1944. Т. 14, Вып. 4-5. С. 276-282.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — М.: Наука, 1967. — 344 с.
Тюреходэюаев А. Н. Колебания линейного осциллятора с сухим трением // Физика Земли. 1985. № 10. С. 73—77.
ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙКОМПОНЕНТЫ МИКРОУСКОРЕНИЯ НА БОРТУ ИСЗ
С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА КОНВЕКЦИИ
С. А. Никитин1^ В. И. Полежаев1 В. В. Сазонов2
Институт проблем механики РАН
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
Датчик конвекции как пример простейшей гравитационно-чувствительной системы. Обычно полагают, что находящиеся на борту искусственного спутника Земли предметы пребывают в состоянии полной невесомости, но это не так. Жестко закрепленные на корпусе спутника научные приборы испытывают остаточные микроускорения, которые в ряде случаев существенно влияют на изучаемые с помощью этих приборов процессы. В связи с этим выделяют класс так называемых гравитационно-чувствительных процессов и систем, на которые микроускорения влияют достаточно сильно. Примерами таких процессов могут служить выращивание полупроводникового кристалла из расплава и некоторые другие процессы космического материаловедения. Изучение гравитационно-чувствительных систем и процессов составляет предмет микрогравитационной науки (microgravity science), которая выработала свои специфические методы исследования, обеспечивает примерно четвертую часть полезной нагрузки космических аппаратов и по которой регулярно проводятся научные конференции, публикуется большое число статей.
Проведение научных экспериментов требует тщательного контроля среды, в которой протекают изучаемые процессы. Эта среда должна быть в определенном смысле чистой. Чистота среды контролируется, как правило, по нескольким параметрам, и в микрогравитационной науке одним из таких параметров является уровень остаточных микроускорений. На научных спутниках этот уровень измеряется, и принимаются меры по его снижению. Кроме того, проводятся эксперименты с относительно простыми гравитационно-чувствительными системами для изучения механизма гравитационной чувствительности. Регулярное выполнение таких экспериментов следует рассматривать как важную часть мониторинга микрогравитационной среды на спутнике. Примером относительно простой гравитационно-чувствительной системы, практически идеально подходящей для решения перечисленных задач, может служить ДАтчик КОНвекции (ДАКОН) [1]. Ниже рассматривается принцип действия датчика в рамках несколько идеализированной его модели. Описания детальной модели реального датчика и экспериментов с ним на станции «Мир» приведены в [2, 3].
Датчик конвекции представляет собой небольшую полость в форме куба, целиком заполненную вязкой жидкостью (газом). На двух противоположных гранях куба поддерживаются заданные, не равные между собой значения температуры, остальные грани идеально проводят тепло. Внутри полости установлены две дифференциальные термопары для измерения разностей температур в двух парах фиксированных точек. Эти разности температур — показания датчика. На искусственном спутнике Земли их значения определяются действующими микро-
ускорениями. На примере датчика конвекции будет показано, что влияние микроускорений на гравитационно-чувствительную систему определяется частотными свойствами микроускорений и системы. В типичных условиях орбитального полета датчик ведет себя как линейный фильтр низких частот, и его показания допускают простую интерпретацию. Комбинируя показания нескольких одинаковых датчиков, расположенных компактно и ориентированных определенным образом, можно измерить низкочастотные составляющие в угловом ускорении спутника и линейном микроускорении в месте расположения датчиков.
Прежде чем приступить к изучению свойств датчика, рассмотрим основные характеристики микроускорений. Ограничимся наиболее простым случаем микроускорений, возникающих в неуправляемом полете спутника. Такой режим движения наиболее благоприятен для проведения экспериментов в области микрогра- витационной науки. Он применяется, в частности, на спутниках «Фотон» и орбитальных кораблях системы Space Shuttle.
Определение квазистатических микроускорений на борту ИСЗ. Возникновение остаточных микроускорений в неуправляемом полете обусловлено несколькими причинами. Главные из них: 1) движение спутника относительно центра масс, 2) градиент гравитационного поля, 3) аэродинамическое торможение, 4) упругие колебания конструкции. Микроускорения измеряются акселерометрами, и их показания на массивных жестких спутниках типа «Фотон» естественным образом разбиваются на две составляющие — высокочастотную и квазистати- ческую (низкочастотную). Квазистатическая составляющая имеет спектр в диапазоне от нуля до нескольких тысячных долей герца и обусловлена первыми тремя перечисленными причинами, которые могут реализоваться для спутника — твердого тела. Высокочастотная составляющая имеет спектр в диапазоне выше нескольких сотых долей герца и вызвана упругими колебаниями конструкции спутника и функционированием его бортовых устройств.
Акселерометры, в принципе, позволяют измерять микроускорения во всем необходимом диапазоне частот, но для обеспечения высокой точности измерений каждая указанная выше частотная составляющая измеряется своим прибором. Акселерометры, предназначенные для измерения квазистатической составляющей, представляют собой сложные устройства, в которых предусматриваются специальные меры по устранению смещения нуля. Квазистатическая составляющая, знания которой вполне достаточно для решения многих задач микрогравитационной науки, в частности для анализа показаний датчика конвекции, может быть найдена и без использования акселерометоров — в результате обработки данных измерений датчиков ориентации спутника. Сначала по этим данным определяется фактическое вращательное движение спутника, который считается твердым телом, затем вдоль найденного движения микроускорение в заданной точке борта рассчитывается в функции времени. Приведем формулу для расчета микроускорения.
Пусть спутник представляет собой твердое тело, и точка О жестко связана с его корпусом. Микроускорением Ь。в точке О называется разность между напряженностью гравитационного поля в этой точке и абсолютным ускорением последней. Если в точке О закрепить пробное тело с исчезающе малой массой т, то сила реакции, действующая на это тело со стороны спутника, будет равна —mbo- Из негравитационных воздействий на спутник будем учитывать только сопротивление атмосферы. Тогда микроускорение можно найти по формуле [4-6]
bo=dX^ + ^Xd^X® + |r7 3(\,R — d +cpa|v|v. (1)
Здесь d — радиус-вектор точки О относительно центра масс спутника — точки S, ш — абсолютная угловая скорость спутника, t — время,从—гравитационный параметр Земли, R — геоцентрический радиус-вектор точки S, v — скорость этой точки относительно поверхности Земли, ра — плотность набегающего на спутник аэродинамического потока, с — баллистический коэффициент спутника.
Удобство расчета квазистатической составляющей микроускорения по формуле (1) на основании информации о вращательном движении спутника состоит в том, что, во-первых, эта составляющая представляется гладкой функцией времени, во-вторых, наряду с микроускорением определяются еще и угловая скорость и угловое ускорение спутника, знать которые часто бывает необходимо при интерпретации результатов экспериментов с гравитационно-чувствительными системами. Опишем применение этого подхода на примере спутника «Фотон-12».
Фактическое вращательное движение «Фотона-12» определялось по показаниям бортовых магнитометров. На борту спутника находились пять трехкомпонентных магнитометров, входящих в состав аппаратуры «Мираж». Эта аппаратура предназначалась для измерения магнитного поля в спускаемом аппарате во время проведения космических экспериментов. Измерения проводились практически весь полет. Как показал анализ полученных данных, за исключением весьма коротких отрезков времени, магнитное поле в спускаемом аппарате мало отличалось от магнитного поля Земли. Это обстоятельство и тот факт, что спутник был неуправляем, позволили использовать полученные данные для определения фактического вращательного движения спутника по обычным методикам [7].
Обработка измерений магнитометров выполнялась следующим образом. По измерениям, относящимся к некоторому отрезку времени 力о ，力，力ь строились функции 自⑴(£ = 1,2,3), которые задавали на этом отрезке компоненты вектора Н⑴ местной напряженности магнитного поля Земли в строительной системе координат спутника Sy\y?y3 (ось Sgi параллельна продольной оси спутника и направлена от спускаемого аппарата к приборному отсеку). С другой стороны, зная орбиту спутника и воспользовавшись аналитической моделью магнитного поля Земли, можно рассчитать компоненты Н(力)в инерциальной системе координат °НМК, связанной с земным экватором. Эти компоненты обозначим //〃(％) (г = =1, 2, 3). Полученные два набора функций должны быть связаны определенными соотношениями, из условия выполнения которых находилось решение уравнений вращательного движения спутника, аппроксимирующее на отрезке to ^ t ^ t± его фактическое движение.
В уравнениях движения учитывались гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. Эти уравнения записывались в системе координат 5力1力2力3, образованной главными центральными осями инерции спутника. Углы между осями Sg и Syi не превышали нескольких градусов. Матрицу перехода от системы 5力1力2力3 к системе CY 1У2^з обозначим \\aij\\ ij=n где aij — косинус угла между осями。匕 и Sxj. Зависимость элементов этой матрицы от времени определяется решением уравнений движения. Матрицу перехода от системы 5力1力2力3 к строительной системе координат обозначим \\bij\\ fj=i- Здесь bij — косинус угла между осями Syi и Sxj. Аппроксимацией фактического движения спутника на отрезке to ^ t ^ t± считалось решение уравнений вращательного движения, доставляющее минимум функционалу
N з
①=е £ [自(力0 + nT)- аг -得(力0 + 几T)产，(2)
n=0 i=l
爲⑴=£ %（%）a汴（力也4, T — 1 уУ о •
Минимизация Ф проводилась по начальным условиям решения в точке 力о и параметрам математической модели. К последним относятся постоянные смещения △〃 в данных измерений, параметры уравнений движения спутника и три угла, задающих матрицу перехода ||匕叮||・ Обычно принималось 力i —力о ^ 100-200 мин, т ^ ^ 1 мин.
Примеры определения вращательного движения спутника приведены на рис. 1, 2. В подписях к рисункам указано декретное московское （зимнее） время — ДМВ. Каждый из рис. 1, 2 естественным образом разбивается на три части — левую, среднюю и правую. Г рафики в правой части иллюстрируют качество согласования функций %〃（力）и //〃（％） с помощью найденного движения спутника. Здесь в каждой системе координат изображены две кривые. Кривые, отмеченные маркерами, представляют собой графики функций 加（力）—△〃， кривые без маркеров суть графики функций %；（力）（力о ，t ，力i）. При выбранном масштабе изображения графиков указанные кривые в некоторых случаях невозможно отличить. Количественно совпадение указанных функций характеризуется стандартным отклонением а ^，巾min/3N, где Фт1п — минимальное значение функционала （2）. Значения ст приведены в подписях к рисункам.
В средней части рисунков помещены графики зависимости от времени компонент 幻£ （力）（£ = 1,2, 3） абсолютной угловой скорости спутника в системе координат 5力1力2力3 и график отношения К плотности атмосферы в точке S к минимальному значению этой плотности на данном интервале. Минимальное значение плотности достигается в окрестности апогея, максимальное значение К — вблизи перигея. В [7] на основании анализа большого числа графиков функций 幻〃（力）и К（力） показано, что в начале неуправляемого полета каждое прохождение перигея вызывало заметное изменение угловой скорости. Неуправляемое движение спутника, начавшееся из положения покоя, постепенно убыстрялось. Особенно заметно возрастала компонента угловой скорости o；i，По мере увеличения угловой скорости спутника его движение становилось все больше похоже на регулярную прецессию Эйлера осесимметричного твердого тела. Окончательный режим вращательного движения установился за несколько суток до окончания полета （рис. 2） и характеризовался соотношениями o；i ^ 1 град/с,幻23 = ^ 0,13 град/с. Такое же движение было у спутника «Фотон-11» [8].
Приведем некоторые соотношения, характеризующие регулярную прецессию Эйлера. Обозначим через 厶（£ = 1,2,3） моменты инерции спутника относительно осей Sxi — его главные центральные моменты инерции. Точная регулярная прецессия Эйлера может иметь место лишь в случае, когда главный момент приложенных к спутнику внешних сил равен нулю и спутник осесимметричен:厶=，з・ В этом случае величины 幻1 и 幻23 остаются неизменными во время движения. Если же главный момент внешних сил равен нулю, но 厶 * /з, то неизменными будут величины
Движение спутника уже не будет регулярной прецессией, но если
< 1,< 1,/1（/3 -厶僧2/1（/3 -厶僧2，2（，2 — /3）徴 2
< 1,
< 1,
/1（/3 -厶僧2
/1（/3 -厶僧2
л, S,屮,град
Рис. 1. Момент 力=0 на графиках соответствует 22:20:46 ДМВ 14.09.99, ст = 245 (w) = 0,132 град/с, Jw = 0,012 град/с
0,102
45,0
34,0
23,0
12,0
-0,165
35,6
28,6
21,7
14,8
7,9
Л, S,屮,град 56,0
Рис. 2. Момент 力=0 на графиках соответствует 14:50:00 ДМВ 22.09.99, ст = 224 (w) = 0,129 град/с, Jw = 0,011 град/с
-0,031
то оно будет близко к ней. При выполнении этого условия можно принять Q ^ ^ 幻1・ Указанное условие было выполнено во второй половине полета «Фотона- 12», поэтому имеет смысл характеризовать движение, относящееся к тому периоду времени, величинами
(公1)=-——- on dt, bon =-——- [on -(公1)产 dt
方1 一方0 J、方1 一方0 J
toNto
и определяемыми аналогичными формулами величинами (w), 6w. Для быстрых движений «Фотона-12» выполнено соотношение 幻23 ^ (w). Средние квадратические отклонения 6幻1 и 6w характеризуют близость движения спутника к регулярной прецессии с параметрами @1〉и (w). Из механического смысла задачи следует, что по существу эти отклонения характеризуют приложенный к спутнику внешний момент, играющий в данном случае роль малого возмущения. Значения величин〈№，6幻1, (w) и 6w указаны в подписях к рис. 1, 2.
Вернемся к описанию рисунков. В левой части рис. 1, 2 находятся графики зависимости от времени углов ^, ^ и Л = arccos (cos ^ sin ^), описывающих движение спутника относительно орбитальной системы координат SX1X2X3. Оси SX3 и SX2 направлены вдоль векторов R и d^/dt соответственно, Н — угол между осью Sxi и плоскостью SX1X2, ^ — угол между осью SX± и проекцией оси Sx± на плоскость SX1X2, Л — угол между осями Sa?i и SX?. При Н = =0, ^ = тг/2 ось Sx± совпадает с осью SX2 — нормалью к плоскости орбиты. В окрестности этого положения углы ^ — тг/2 и Н задают смещения оси Sa?i в направлениях, противоположных осям SX± и SX3. Если спутник совершает движение, близкое к регулярной прецессии Эйлера, то перемещение именно этой оси наиболее интересно. Во время неуправляемого полета «Фотона-12» угол Л менялся следующим образом. Максимальные на витке значения этого угла сначала медленно уменьшались и 19.09.1999 достигли значения 33°. Затем эти значения начали медленно возрастать и к концу полета достигли 57°.
Результаты расчетов микроускорений на временных интервалах, представленных на рис. 1 и 2, приведены на рис. 3. На этом рисунке для обоих указанных интервалов изображены графики зависимости от времени компонент вектора Ьо =(仇，匕2,匕3)и его модуля |Ьо| для точки О с радиусом-вектором d = =(—100см, 10 см, 10 см). Здесь компоненты векторов указаны в строительной системе координат. Расчеты проводились при значении баллистического коэффициента с = 0,0016 м2/кг. Значение этого коэффициента было определено сглаживанием результатов обработки траекторных измерений в течение всего неуправляемого полета при значениях параметров модели верхней атмосферы ГОСТ 22721-77 F10.7 = 150, ар = 12. Как показывает анализ рис. 3 и аналогичных рисунков в [7], максимальное и среднее на интервале to ^ t ^ t± значения | Ьо| возрастают вместе с соответствующим значением @i〉・ Особенно существенно влияние〈幻。на компоненту микроускорения 62 — в приведенных примерах приближенно 62 ~ (o；i)2.
Напомним, графики в левых и средних частях рис. 1, 2 относятся к системе 5力1力2力3, образованной главными центральными осями инерции спутника. Эта система координат наиболее удобна для описания движения. Показания магнитометров и микроускорения приведены в строительной системе координат Sy^y^y^- В рамках применявшейся методики обработки показаний магнитометров, матрица \\bij\\ и моменты инерции 厶 уточнялись для каждого обрабатываемого интервала 力о 力，力1・ Это повышало точность аппроксимации данных измерений — использование при обработке номинальных значений моментов инерции и единичной
Рис. 3. Микроускорения в точке d = (—100 см, 10 см, 10 см): а) на интервале, покаЕ на рис. 2
матрицы в качестве \\bij\\ приводило к увеличению ст примерно в полтора раза. Микроускорения на каждом временном интервале рассчитывались с использованием найденной для этого сеанса матрицей ||匕叮||・ Матрицы разных интервалов несколько отличались друг от друга.
Постановка задачи об интерпретации показаний датчика конвекции. Рассмотрим замкнутую полость в виде куба, закрепленную на корпусе искусственного спутника Земли и целиком заполненную вязкой несжимаемой жидкостью. Корпус спутника и стенки полости представляют собой единое твердое тело. Размеры полости и масса жидкости существенно меньше размеров и массы спутника. С полостью свяжем систему координат Oxyz, начало которой будем считать рассматривавшейся в предыдущем разделе точкой О. В этой системе полость задается соотношениями 0，x〉y〉z，L. На гранях куба z = 0 и z = L поддерживаются постоянные не равные между собой значения температуры То и ^1 соответственно, на остальных гранях температура линейно зависит от координаты z — материал стенок идеально проводит тепло. Внутри полости крестообразно расположены две дифференциальные термопары. Одна термопара измеряет разность температур в точках ai = (L/4, L/2, L/2) и а? = (3L/4, L/2, L/2), другая — в точках аз = =(L/2, L/4, L/2) и а4 = (L/2, 3L/4, L/2). Описанный прибор представляет собой несколько идеализированный вариант реального датчика конвекции. Идеализация состоит, в основном, в предположении об идеальной теплопроводности стенок полости. Это предположение упрощает исследование, но, как показывает анализ расчетов [2], не влияет на получаемые результаты.
Систему уравнений, описывающую конвекцию жидкости в полости, запишем на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска
+ (и • V) и + 2® х и =沙Au — — Vp + г х 粤 + /3(Т — То) b。，(3)
▽и = 0,舒 +(U • ▽) Т = аАТ.
Здесь и = и(г,力)一скорость жидкости относительно полости в точке г = (ж, у^ г) в момент времени 力 Т = Т(г,力)и 目=р(г,力)—аналогичные значения температуры и давления, р, I/, а и /3 — плотность и коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и теплового расширения жидкости. Параметры жидкости полагаем постоянными, а векторы Ь。микроускорения в точке О и ® угловой скорости спутника — заданными функциями времени.
Первое уравнение (3) получено следующим образом. Микроускорение в произвольной точке полости задается формулой [6]
b(r") = rx ^ + ®xr) XCD+* 3%?R - г +Ьо・
В уравнении движения жидкости оно служит плотностью массовых сил. Все члены этой формулы, кроме первого, потенциальны и исключены из уравнения движения изменением выражения для давления; при множителе /3(Т — То)? характеризующем зависимость плотности жидкости от температуры, сохранен только главный член микроускорения — Ь。(предполагается, что внутри полости |r|《|d|).
Граничные условия для и и Т имеют вид
и|「= 0, Т|уо = Т。， T\z=l = Tu Т|「*=То + а7,方1^.⑷
Здесь Г — поверхность куба, Г* — объединение его граней, параллельных оси Oz. Начальные условия для уравнений (3) в момент 力=0 возьмем следующие:
и = 0, Т = То + az.(5)
Эти соотношения описывают положение равновесия жидкости в полости при Ьо(力)=0, ®(Z)= 0.
Ниже будет исследована связь между показаниями дифференциальных термопар датчика конвекции,
Qx(t) = t®,力)-7⑸,力)，Q，力) - T34,力)-7⑸,力)，
и функциями bo⑴，®(Z). Будет показано, что при надлежащем выборе размеров полости и параметров жидкости показания термопар практически не зависят от высокочастотных воздействий на датчик. Иными словами, он представляет собой фильтр низких частот. Это свойство датчика оправдывает сделанные допущения о способе вычисления функций Ь。(力)и ®(Z), означающие учет в этих функциях одной лишь квазистатической составляющей. Основной результат данной статьи состоит в следующем. Пусть k = a/З и в системе Oxyz b。= (Ьх,询，Ь%), ш = =(幻冗,Ng,幻2). Тогда с малой ошибкой
Qx 〜kbx - 2Qy 〜kby + 2(6)
Выписанные соотношения будут проверены посредством численного решения смешанной задачи (3)-(5) в случае функций Ь。⑴ и со⑴，построенных по реальному движению «Фотона-12». Расчеты проводились для полости, содержащей воздух при нормальном давлении при значениях параметров L = 20 см, Т± — Tq = 50°, 〃 =0,1 см2/с, a = 0,14 см2/с, 0 = 0,0033 град-1.
У прощенная математическая модель датчика. Результаты [2] показывают, что при типичных квазистатических воздействиях Ь。(力)и со(力)датчик является линейной системой. В силу этого обстоятельства математическую модель датчика, выражаемую уравнениями (3)-(5), можно упростить.
Будем искать приближенное решение уравнений (3) в случае, когда, во-первых, функции Ьо ⑴ и со⑴ малы, во-вторых, характерное время изменения этих функций существенно больше характерного времени затухания свободного движения жидкости в полости. Сначала линеаризуем уравнения (3) в окрестности стационарного решения, задаваемого соотношениями (5) и существующего при Ь。(力)= =0, ®(Z)= 0. Пусть в системе координат Oxyz и =(〃冗,uy,uz). Введем функции времени
冃2翳F+ 2尸3 =警
и новые неизвестные функции
一L六醬)-嘤・
Тогда первое и третье линеаризованные уравнения (3) можно в скалярной форме записать в виде
曾=и^их 一 * + 之冃 + 智zF2-
dtдхdt“ ду
duz a dq д'ОЛ Q
dtz dz' dt z
20 Проблемы механики
Решение выписанных линейных уравнений (вместе с уравнением неразрывности и нулевыми граничными и начальными условиями для и и Н) можно представить в виде суммы:
u = U1 + и2 + из, 4 = 41 + 羹 + 43, Н = % + & + &,(7)
в которой слагаемые с индексом i представляют собой решение этих уравнений для случая 玲三 0 при j ^ г. Дифференциальные уравнения, а также начальные и граничные условия, определяющие слагаемые с одинаковым индексом, обладают рядом свойств симметрии. Эти же свойства имеют и соответствующие слагаемые в (7). Укажем свойства симметрии, которые понадобятся ниже.
Рассмотрим соотношения, определяющие слагаемые (7) с индексом «1». Вид этих соотношений позволяет установить их инвариантность относительно преобразования
У Т L — у、 иу —> —иу.(8)
Эта инвариантность означает, что соответствующие поле скоростей и поле температуры в полости датчика симметричны относительно плоскости у = L/2. Аналогичным образом соотношения, определяющие слагаемые с индексом «2», инвариантны относительно преобразования
ж —> L — ж, их —> —их.
Соответствующие поле скоростей и поле температуры в полости датчика симметричны относительно плоскости ж = L/2. В случае уравнений, начальных и граничных условий для слагаемых с индексом «3» инвариантность имеет место при преобразовании
х -L 一 х, z -L 一 z, Uy -一Uy, q -一q — LyF^
и преобразовании
У T L — У〉 z—— z, ux —> —ux, q —> —Q + LxF^
В силу указанной инвариантности
QK%) = ^i(a2,力)-^i(ai,力)，Q，%) = ^2(a4,力)一 &⑸,力)，
причем соотношения, определяющие слагаемые (7) с индексом «2», получаются из соотношений для слагаемых с индексом «1» заменой переменных х ^ у. Таким образом, для исследования свойств датчика достаточно исследовать линейную неоднородную смешанную задачу, определяющую слагаемое с индексом «1», в которой неоднородность характеризуется одной скалярной функцией /(t).
Эту задачу можно превратить в нелинейную, заменив в уравнении движения жидкости член zF^ на «-1(Т —映)冃，вернув в это уравнение конвективные члены и взяв прежнее уравнение для температуры. Полученную задачу будем называть задачей М. Она отличается от задачи (3)-(5) только уравнением движения жидкости, которое имеет вид
需 + (и • ▽) u = 〃Au - Vq + iT ~ Т° А
Здесь i — орт оси Ох и для упрощения записи не указан индекс «1». Задача М инвариантна относительно преобразования (8), поэтому для ее решения Qy(t) = 0. Эта задача позволяет в упрощенной ситуации исследовать влияние нелинейности на показания датчика. Еще более простая двумерная модель датчика конвекции была исследована в [9].
Частотные свойства датчика. Чтобы оценить границы линейности и частотные свойства датчика, функция Qx(t) была исследована при внешних воздействиях простого вида. Сначала в задаче М принималось F\ = kbu,bu = const и разыскивалось ее стационарное решение. Оно находилось методом установления из начального состояния (5). В стационарном решении величина Qx постоянна, и интерес представляет характер ее зависимости от микроускорения 6о- Значения функции Qx = Qx(bo) при некоторых значениях аргумента приведены в табл. 1. Как видно из таблицы, линейность имеет место лишь при О，瓦，2 • КГ’ мДЛ
Таблица 1. Отклик датчика на постоянное воздействие
Ьо, м/с2
10-5
10-4
2•10-4
5•10~4
10-3
2•10-3
5•10~3
10-2
Qx ℃
0,07227
0,7223
1,441
3,545
6,724
11,42
16,95
18, 74
Более интересные результаты получаются при 冃=kb± sin QZ, где 仇 и 口 一 положительные параметры. В этом случае задача М также решалась методом установления. Функция Qx(t) для установившегося решения представляется рядом Фурье:
QK%) = £ ^n(^) sin [(2п - 1)а力 + Jn(Q)], Ап^) > 0,(9)
содержащем только гармоники с частотами, равными нечетным кратным основной частоты. Этот факт — следствие инвариантности системы М при 冃=仇 sin QZ относительно преобразования
t -t + — 5 X -厶--力: Ux --Ux •
Выписанное преобразование сохраняет T, но меняет местами точки ai и а2, что приводит к соотношению
Qx , + ^) = -QK%)，
из которого следует (9).
Решение задачи М вычислялось на отрезке 0 ，力，力о + т, где 力о — достаточно большое число, г ^^. Затем на отрезке 力о ，力，力о + т методом наименьших квадратов вычислялись коэффициенты при первых 10-11 гармониках в разложении функции Qz (力)в ряд Фурье — эта функция рассматривалась как периодическая с периодом 2tt/Q. Малость амплитуд гармоник с частотами 2Q, 4Q, 6Q,... рассматривалась как признак того, что решение задачи М является установившимся. В описываемых расчетах решение считалось установившимся, если указанные амплитуды не превышали 10-5 ℃.
Отношения А2/А1, А3/А1, А4/А1,. . . могут служить характеристикой линейности системы — для линейной системы в ряде (9) только первый член может быть отличен от нуля. Расчеты проводились при 仇=10-4,仇=5 • 10-3 м/с2 и различных значениях Q. Полученные результаты представлены в табл. 2, 3. Для удобства в таблицах указаны размерные значения циклической частоты / = =Q/2tt. Отсутствие числа в какой-либо клетке таблицы означает, что соответствующая амплитуда не превосходит 10-5 ℃. Как видно из таблиц, с увеличением частоты все вычисляемые амплитуды уменьшаются, причем уменьшаются вместе с отношениями 4/4, 4/4, 4/4• Следовательно, с увеличением частоты
20*
Таблица 2. Отклик датчика на гармоническое воздействие, bi = 0,0001 м/с2, Q2 = 0,013 с—
/,Гц
Ai, ℃
4, ℃
Qi/Q
(Q2/Q)2
0,0002
0,7222
1,423 • КГ’
7,96- 10-1
106
0,0005
0,7210
1,392 • 10-4
3,18- 10-1
16,9
0,001
0,7168
1,304-Ю-4
1,59- 10-1
4,22
0,002
0,7006
1,053 • 10一4
7,96 • UP2
1,06
0,005
0,6052
4,046 • 10-5
3,18- 10-2
0,169
0,01
0,4087
1,59-Ю-2
4,22 • 10-2
0,02
0,1778
7,96 • 10一3
1,06-IO-2
0,05
3,510- 10~2
3,18 • 10一3
1,69 • 10-3
ОД
8,583-Ю-3
1,59-Ю-3
4,22 • 10-4
возмущающего воздействия при фиксированной его амплитуде система по своему отклику все более становится похожа на линейную.
Полученный результат является достаточно общим. Чтобы обосновать его, приведем одну теорему о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений [10]. Рассмотрим систему
学=4£ +»(£3%) +£%阿),学=4£ +»(£3%) +£%阿),(Ю)(Ю)
学=4£ +»(£3%) +£%阿),
学=4£ +»(£3%) +£%阿),
(Ю)
(Ю)
где £ — n-мерный вектор, А — постоянная п х n-матрица, Q и е — положительные параметры, Н и h — достаточно гладкие функции своих аргументов, удовлетворяющие условиям
Я(о, S)= 0, ^|^ = 0, Я(е, s + 27г)三 Я(е,力
27r
%(s + 2тг) = %(s),] %(s) ds = 0.
о
Пусть все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части. Тогда система (10) при достаточно малых £ и Q-1 имеет единственное периодическое решение £*(力 Q, £)с периодом 2?r/Q, допускающее оценку ||£*(力 口，£)|| ， ，Ke Q-1 при любом t. Здесь || • || — евклидова норма, К — положительная постоянная. Это решение асимптотически устойчиво. Из доказательства теоремы следует, что чем меньше £ 口一' тем ближе решение £*(%,□,£)к решению линейной системы
^! = 4£ + £%(必).
Рассмотрим, что дает применение сформулированной теоремы в случае задачи М при Fi = 6] sin 口力.Введем в этой задаче безразмерные переменные (они отмечены штрихами)
У = П力У = П力£— Qu / — q7/ — 7 — 7。
У = П力
У = П力
厶'kLbJ kL2bi?Ti — To
Таблица 3. Отклик датчика на гармоническое воздействие, bi = 0,005 м/с2, Q2 = 0,091 с—
/, Гц
4, ℃
4, ℃
Аз, ℃
4, ℃
Qi / Q
(Q2/Q)2
0,0002
19,427
3,109
0,8253
0,2572
7,96 • КГ】
5,28- 104
0,0005
19,421
3,098
0,8150
0,2496
3,18 • КГ】
844
0,001
19,400
3,061
0,7806
0,2247
1,59 • КГ】
211
0,002
19,322
2,9206
0,6572
0,1480
7,96 • IO-2
52,8
0,005
18,855
1,9972
0,2064
1,822 • 10-2
3,18-10-2
8,44
0,01
16,118
0,5569
1,267 • 10-2
4,152 • 10-4
1,59-10-2
2,11
0,02
8,381
4,433 • 10~2
3,916 • КГ’
7,96 • 10~3
0,528
0,05
1,751
3,546 • 10~4
3,18 • 10-3
8,44- 10-2
ОД
0,4290
1,59-10-3
2,11 • КГ?
0,2
0,09442
7,96 • 10-4
5,28- 10-3
0,5
0,01427
3,18 • КГ’
8,44 • 10-4
Введем еще три характерные частоты
a1 =乃，a1 =尸，a2 = 76仇•
С использованием новых переменных и параметров уравнение движения жидкости и уравнение теплопроводности в задаче М можно привести к виду
雾+ (鼾(u・W = *s
Здесь штрихи у безразмерных переменных опущены. Уравнение неразрывности и краевые условия в безразмерных переменных не содержат параметров и сохраняют прежний вид. Используя приближенные приемы решения уравнений с частными производными, полученную краевую задачу можно свести к системе вида (10). Поэтому неудивительно, что зависимость от частоты амплитуд Ап в табл. 2, 3 находится в полном соответствии с приведенной теоремой. Чтобы подчеркнуть это соответствие, в двух последних столбцах таблиц приведены значения безразмерных параметров Qi/Q и Q^/^2- Для рассматриваемого датчика 出= =0,0010 с-1, Q^ = 0,0014 с-1, частота 必 указана в заголовках таблиц. Вид безразмерных уравнений показывает, что при Q —> +оо конвективными членами в них можно пренебречь и получить линейную задачу. Данные табл. 2, 3 подтверждают возможность такого упрощения.
Сформулированная теорема согласуется с известным экспериментальным фактом, что высокочастотные микроускорения большой амплитуды слабее влияют на некоторые физические системы, чем низкочастотные микроускорения малой амплитуды. Как следует из теоремы, любая устойчивая физическая система в определенных свойственных ей диапазонах частоты и амплитуды возмущающего воздействия выступает по отношению к этому воздействию как линейный фильтр низких частот. Указанное свойство широко используется в технике. Именно это свойство лежит в основе предложения использовать датчик конвекции ДАКОН
в качестве низкочастотного акселерометра. Параметры датчика должны быть выбраны так, чтобы при типичных значениях частоты и амплитуды низкочастотных микроускорений на спутнике, где он установлен, датчик вел себя как линейная система и не проявлял бы своих фильтрующих свойств. Разумеется, такой конвективный акселерометр будет менее точен, чем обычные акселерометры, но его показания могут служить интегральной характеристикой микрогравитационной обстановки на борту спутника в области низких частот. Это важно для проведения мониторинга микрогравитационной обстановки, поскольку некоторые процессы космического материаловедения весьма похожи на процессы в датчике конвекции.
Первые два столбца табл. 2 выражают по существу амплитудно-частотную характеристику рассматриваемого конкретного датчика. Как следует из приведенных в них чисел, датчик практически не искажает сигнала в диапазонах частот О ^ / < 0,005 Гц и амплитуд 0，仇 < 0,0001 м/с2. Микроускорения, показанные на рис. 3, лежат в этих диапазонах. В частности, для них 0 ^ / < 0,003 Гц.
Показания датчика в орбитальном полете. Приведем результаты решения задачи (3)-(5) в случае, когда функции Ь。(力)и ®(Z)построены по результатам определения фактического движения спутника «Фотон-12». А именно, когда они построены для движения, представленного на рис. 2, и точки О, имеющей в системе Sy^y^y^ координаты (—100см, 10см, 10 см). Компоненты в этой системе соответствующей функции Ь。(力)показаны на рис. 3. Указанные функции Ь。(力) и со(力)«подадим на вход» двух одинаковых датчиков конвекции с осями Ож, Оу и Oz, параллельными осям Sy、, Sg? и Sy^. Полагаем, что эти датчики расположены в одном месте на борту спутника. Параметры первого датчика возьмем те же, что были указаны выше, а во втором изменим знак разности (Ti — 7q)： положим Т1 — То — —50 ℃. Функции Fi, F2, Qx и Qy^ относящиеся ко второму датчику, будем обозначать пунктиром. Результаты решения задачи (3)-(5) для таких датчиков и начального участка движения представлены на рис. 4 графиками функций Qz(力)и Qg(%) (сплошные кривые). Отклик первого датчика приведен слева, второго — справа. Рядом с этими графиками штриховыми линиями изображены графики соответствующих функций Ri(力)и 尸2(力)，умноженных на 0,8k~i, чтобы подчеркнуть выполнение соотношений ⑹.Как видно из рисунка, эти соотношения выполнены достаточно точно. Полученный результат подтверждает обоснованность перехода от задачи (3)-(5) к более простой задаче М.
Из соотношений (6) следует, что два расположенных рядом датчика конвекции можно использовать для измерения некоторых компонент квазистатических составляющих векторов микроускорения и углового ускорения. Для двух рассматриваемых датчиков имеем
Ьх ~ Qx — Q；， by 2 Qy — Q；,~ Qx + Q；，Qy ~\~ Q；・
Добавив к этим датчикам еще два аналогичных датчика и ориентировав их нужным образом, можно в принципе построить измеритель низкочастотной составляющей векторов линейного микроускорения и углового ускорения. Построенные по описанному принципу конвективные акселерометры могут применяться в мониторинге микрогравитационной обстановки на борту космических аппаратов для оценки условий выполнения космических технологических экспериментов.
Проверим выполнение последних соотношений для рассмотренной выше пары датчиков. На рис. 5 пунктирными кривыми изображены графики нормированных
Рис. 5. Измерение линейного микроускорения и углового ускорения с пс
функций
显（力）=展，石式力）=^然%bx£x dt
坂=max|6x（Z）|, s° = max 匆护
и аналогичных функций 3夕(力)，Ey(t). На том же рисунке сплошными линиями построены графики функций 笈々(力)，石](力)，笈/(力)и 石：(力)полученных аналогичной нормировкой функций Q") — Qrx(t), ~[Qx(t) + QX%)j, Qg(%) — Q；(力)И Qy(t) + + Q；(%)・ Нормировка позволяет избежать подбора коэффициентов пропорциональности. Как видно из рисунка, комбинации откликов датчиков достаточно точно согласуются с компонентами векторов Ь。(力)и d^(t)/dt.
Заключение. Показания датчика конвекции при типичных микроускорениях на борту спутника допускают простую интерпретацию — они пропорциональны линейным комбинациям квазистатических составляющих в векторных компонентах линейного микроускорения и углового ускорения. Используя комбинации показаний двух (четырех) датчиков, можно получить низкочастотные двухкомпонентные (трехкомпонентные) акселерометр и датчик углового ускорения. Такие конвективные измерительные приборы могут применяться для мониторинга микрогравитационной обстановки на борту спутника.
По-видимому, многие гравитацинно чувствительные системы реагируют на возмущения микрогравитационной среды аналогично датчику конвекции. Это свойство можно использовать для проверки правильности работы таких систем и их юстировки.
Список литературы
Bogatyryov G. Р., Putin G. F., Ermakov М. К. et al. A system for analysis and measurement of convection aboard space station: objectives, mathematical and ground-based modelling. AIAA 95-0890, 33rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Jan. 9-12, 1995. Reno, NV. - 11 p.
Полеснсаев В. И., Бессонов О. А. Математическое моделирование конвекции в датчике «Дакон» в условиях реального космического полета // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 2. С. 170-178.
Бабушкин И. А., Богатырев Г. /7., Глухов А. Ф., Путин Г. Ф., Авдеев С 4, Иванов А. И., Максимова М. М. Изучение тепловой конвекции и низкочастотной микрогравитации на орбитальном комплексе «Мир» при помощи датчика «Дакон» // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 2. С. 161-169.
Сарычев В. А., Беляев М. Ю., Сазонов В. В., Тян Т. Н. Определение микроускорений на орбитальных комплексах «Салют-6» и «Салют-7» // Космические исследования. 1986. Т. 24, № 3. С. 337-344.
Беляев М. Ю.)Зыков С. Г, Рябуха С. £., Сазонов В. А, Сарычев В. А., Стаснсков В. М. Математическое моделирование и измерение микроускорений на орбитальной станции «Мир» // Известия академии наук. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С. 5-14.
Сазонов В. В., Комаров М. М., Полежаев В. И., Никитин С. А., Ермаков М. К., Стаснсков В. М., Зыков С. Г, Рябуха С. £., Асеведо X., Либерман Е. Микроускорения на орбитальной станции «Мир» и оперативный анализ гравитационной чувствительности конвективных процессов тепло-массопереноса // Космические исследования. 1999. Т. 37, № 1. С. 86-101.
Абрашкин В. И., Балакин 5.〃., Белоконов И. В., Воронов К. Е.)Иванов В. В., Зайцев 4. С., Казакова А. Е., Сазонов В. В., Семкин Н.Д. Определение вращательного
движения спутника «Фотон-12» по данным бортовых измерений магнитного поля Земли // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2000. № 60. — 32 с.
Сазонов В. В., Чебуков С. Ю., Абрашкин В. И., Казакова А. К, Зайцев А. С. Анализ низкочастотных микроускорений на борту ИСЗ «Фотон-11» // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 4. С. 419-435.
Никитин С. А., Полеснсаев В. И., Сазонов В. В. Об измерении квазистатической составляющей микроускорения на борту ИСЗ с помощью датчика конвекции // Космические исследования, 2001. Т. 39, № 2. С. 179-187.
Farnell А. В., Langenhop С. Е., Levinson N. Forced periodic solutions of a stable nonlinear system of differential equations // Journal of Mathematics and Physics. 1950. V. 29. P. 300-302.
РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОСЖАТЫХ ЖЕСТКОГО И УПРУГОГО ДИСКОВПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ В КОНТАКТЕ
В. И. Остри% А. Ф. Улитко
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Введение. Интерес к этой старой проблеме механики возобновился в последние годы в связи с развитием теории микроволновых (ультразвуковых) двигателей, принцип работы которых основан на возбуждении электрическим путем бегущих упругих волн вдоль поверхности пьезокерамического генератора и передачи их энергии (движения) другим, находящимся в контакте, упругим телам [1, 2]. Очень важно иметь строгую теорию расчета зон сцепления и проскальзывания в области контакта, чтобы оценить и по возможности уменьшить нежелательные шумы, источником которых является сухое трение в зоне проскальзывания.
Важным этапом на пути решения этой проблемы является теория Герца [3] контактного взаимодействия упругих тел с плавно изменяющейся кривизной поверхностей в месте контакта при нормальном сжатии. Трение в зоне контакта предполагается пренебрежимо малым. При наличии тангенциальных сил и учете трения в зоне контакта существенно меняется картина контактного взаимодействия упругих тел. Хотя для тел с одинаковыми упругими свойствами распределение нормальных контактных напряжений строго следует теории Герца, а для тел из разнородных материалов по-видимому мало отличается от эпюры Герца, наличие касательных напряжений приводит к разделению области контакта на зону сцепления и зону проскальзывания. Это явление впервые установил О. Рейнольдс [4], обнаружив экспериментально зоны проскальзывания у точек входа и выхода материала из области контакта при несвободном перекатывании цилиндра из алюминия по резиновому основанию. Теоретическое обоснование открытого О. Рейнольдсом явления частичного проскальзывания в области контакта содержится в статьях Ф. Картера [5] и Г. Фромма [6]. Причем в работе Г. Фромма дано завершенное решение задачи о несвободном равномерном вращении двух идентичных дисков. По всей видимости, им впервые введена в рассмотрение так называемая «защемленная деформация» и постулируется утверждение, что в точке входа материалов дисков в область контакта проскальзывание отсутствует. Ниже конспективно изложены результаты работы Г. Фромма.
В обстоятельных работах А.Ю. Ишлинского [7, 8] дано инженерное решение задачи о проскальзывании в области контакта при трении качения. Рассматривая задачу качения жесткого диска по упругой полуплоскости, последняя моделируется автором бесконечным набором упругих вертикальных стержней, для которых связь нормальных контактных напряжений с вертикальными перемещениями устанавливается известной гипотезой Винклера-Циммермана, а для касательных напряжений связь с горизонтальными перемещениями — аналогичной гипотезой автора этих статей. Приведены примеры решения конкретных задач, подтверждающие обнаруженное О. Рейнольдсом явление проскальзывания в области контакта
и позволяющие вычислить силу трения качения через относительное смещение точек упругого материала на ободе диска (при заданном коэффициенте трения).
Многочисленные работы других авторов отражены в монографии К. Джонсона [9]. Точное решение задачи о проскальзывании при равномерном вращении предварительно сжатых дисков из различных материалов содержится в статье [10]. Здесь воспроизведено это решение с подробным численным анализом на конкретных примерах.
Задача Фромма для идентичных дисков.. Рассматриваемая механическая система схематически представлена на рис. 1. Ведущим является нижний диск, а верхний диск — ведомым. Валы дисков расположены на вертикальной оси
и не смещаются в горизонтальном направлении. Сила прижатия дисков Pq. Считаются заданными крутящий момент Mq и угловая скорость вращения “о ведущего нижнего диска, а также радиусы дисков 凡 упругие характеристики дисков G, 〃 и коэффициент сухого трения Амонтона-Кулона 〃о (〃о > 0). Хотя в статье употребляется термин «диски», фактически речь идет о бесконечно длинных цилиндрах в условиях плоской деформации и силовые факторы рассчитываются на единицу длины цилиндров.
В отличие от работы Г. Фромма [6], мы не будем предполагать с самого начала, что угловая скорость ведомого диска а < “о, а примем его гипотезы о наличии зоны проскальзывания только у точки выхода материалов дисков из области контакта (力=а) и наличии «защемленной» окружной деформации £о при подходе к точке 力=—а — 0 (£о > 0 для верхнего диска и —£о для ведущего диска). Важным обстоятельством, упроща-
рис 1ющим построение точного решения зада
чи, является то, что возникшая при сжатии дисков площадка контакта [—а, а] не изменяет своей длины 2aB процессе перехода к несвободному равномерному вращению и остается симметричной относительно оси Оу.
Касательные напряжения в области контакта не оказывают влияния на распределение нормальных напряжений, которые вычисляются по формуле Герца [3, 9]
Причем размер площадки контакта находится из равенства [6]
2a = 42a = 4PdRPdR2ttG(1 + 〃).2ttG(1 + 〃).⑵⑵
2a = 4
2a = 4
PdR
PdR
2ttG(1 + 〃).
2ttG(1 + 〃).
⑵
⑵
Заметим, что в процессе вращения первоначально горизонтальная площадка контакта искривляется и принимает вид некоторой кривой, кососимметричной относительно точки 力=0.
Следовательно, задача сводится к сингулярному интегральному уравнению первого рода относительно касательных напряжений в области контакта [6, 9]. Учитывая, что в зоне проскальзывания △ (рис. 1) касательные напряжения тху = =从осту, а в зоне сцепления продольная деформация £ж = £о — const (верхний диск), его решение находится элементарно. Из этого решения следует (верхний диск):
1) в зоне сцепления
(—а < х < а — △);(—а < х < а — △);2) в зоне проскальзывания2) в зоне проскальзывания⑶⑶—△ < ж < а);—△ < ж < а);относительный размер зоны проскальзыванияотносительный размер зоны проскальзыванияА2aА2a=1 —=1 —22Qo . 从 oR)'Qo . 从 oR)'горизонтальная силагоризонтальная силаQo =Qo =]тху dx = ^оРо [1 — (1 —金)卜]тху dx = ^оРо [1 — (1 —金)卜«защемленная» деформация«защемленная» деформация_ 2(1- 〃) 2凡 A_ 2(1- 〃) 2凡 A⑷(5)⑹⑺⑷(5)⑹⑺
(—а < х < а — △);
(—а < х < а — △);
2) в зоне проскальзывания
2) в зоне проскальзывания
⑶
⑶
—△ < ж < а);
—△ < ж < а);
относительный размер зоны проскальзывания
относительный размер зоны проскальзывания
А
2a
А
2a
=1 —
=1 —
2
2
Qo . 从 oR)'
Qo . 从 oR)'
горизонтальная сила
горизонтальная сила
Qo =
Qo =
]тху dx = ^оРо [1 — (1 —金)卜
]тху dx = ^оРо [1 — (1 —金)卜
«защемленная» деформация
«защемленная» деформация
_ 2(1- 〃) 2凡 A
_ 2(1- 〃) 2凡 A
⑷
(5)
⑹
⑺
⑷
(5)
⑹
⑺
При этом подтверждается изначальное предположение Г. Фромма, что угловая скорость ведомого диска 幻 будет меньше угловой скорости ведущего диска 幻。：
幻=扌義幻0^(1 —2£oWo・(8)
Интересно отметить, что горизонтальная (окружная) деформация изменяет знак в зоне проскальзывания (а — △ < 力 < а):
—2(1)2Р°—2(1)2Р°А2aА2a⑼⑼
—2(1)2Р°
—2(1)2Р°
А
2a
А
2a
⑼
⑼
Дополним исследования работы Г. Фромма [6] и исследования других авторов, на которые указаны ссылки в монографии К. Джонсона [9], формулами для расчета выходной мощности на валу ведомого диска и мощности потерь в зоне проскальзывания. Входная мощность на валу ведущего (нижнего) диска принимается заданной
(Ю)(Ю)7Vo = "^о 幻 о — QoRgo — Qo W)?
(Ю)
(Ю)
где Vq =凡幻0 — окружная скорость дисков. Снимаемая мощность на валу ведомого диска равна
N = Мз = QoRgoQ - 2ео) = N()(l - 2£о).(11)
Потерянная мощность в зоне проскальзывания находится по формуле
^VnpocK = No — N = 2£oNo = 2%^^ (仰马)2^ (1 — ^) •(12)
Естественно, расчет потерянной мощности можно проводить по формуле
NnpocK = — ] 丁冗?/ ^)тн de,(13)
а —А
беря за относительную скорость проскальзывания VOTH произведение окружной скорости Vq на удвоенное значение разности «защемленной» деформации eg и истинной деформации £冗 по формуле (9). Удвоение разности следует из того, что в ведущем диске относительная скорость равна по величине ее значению в ведомом диске, но имеет противоположный знак. Находим
Ктн = 2%(£о —酸)=Ктн = 2%(£о —酸)=о-о-(14)(14)
Ктн = 2%(£о —酸)=
Ктн = 2%(£о —酸)=
о-
о-
(14)
(14)
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
После подстановки в интеграл (13) значения тху из (4) и записанного выше выражения для Ктн интегрирование дает то же значение для Мроск, что и указанное в формуле (12). По значению потерянной мощности легко установить силу сопротивления Т при равномерном вращении сжатых дисков.
Контакт жесткого и упругого дисков; ведущий — нижний жесткий диск. На первый взгляд, постановка задачи для разнородных дисков не отличается от рассмотренной выше задачи для идентичных упругих дисков. На самом деле, между ними существует принципиальное различие. Теперь уже нельзя отделить задачу контактного сжатия дисков от деформирования верхнего (ведомого) упругого диска в горизонтальной плоскости. Более того, площадка контакта будет иметь кроме известной кривизны также неизвестный заранее общий наклон к горизонтальной оси Oi^i (рис. 2). Она становится несимметричной относительно оси 5 уь смещаясь влево на некоторое небольшое расстояние d. Заранее нельзя утверждать, что угловая скорость ведомого диска 幻 будет меньше угловой скорости Go ведущего жест-
кого диска.
Игнорируя осцилляцию нормальных и касательных напряжений, амплитуда которой обращается в нуль в точке 力=—а' набегания материала в область кон
такта, мы принимаем гипотезу Г. Фромма о наличии только одной зоны проскальзывания у точки х = bf выхода материала упругого диска из области контакта
и его гипотезу о наличии «защемленной» ж = —а! — 0. Знак деформации eg заранее неизвестен.
По теории Герца распределение контактных напряжений и зона проскальзывания △ (рис. 2) в упругом верхнем диске будут иметь те же зна- - чения, что получаются при замене диска упругой верхней полуплоскостью. Кстати, этот вывод следует из точного решения задачи о контактном сжатии упругих дисков, полученного в работе [10], если прижимающие силы Pq приложены к валам дисков и площадка контакта пренебрежимо мала по сравнению с радиусами дисков R {а/R 10-2 -4-10-3).
Поэтому для расчета контактных напряжений и зоны проскальзывания
деформации £о = const у точки входадеформации £о = const у точки входаРис. 3Рис. 3力=力1 +，； b =力=力1 +，； b =а' — У △一2Н 万,а' — У △一2Н 万,а координаты а и 6 находятся по формулама координаты а и 6 находятся по формулама' + b'а' + b'А7А76 =6 =а + b' △а + b' △(15)(16)(15)(16)решение строится для верхней полуплоскости по схеме контактного взаимодействия, представленной на рис. 3. Заметим, что координата ж на этом рисунке связана с координатой х± (рис. 2) зависимостью
деформации £о = const у точки входа
деформации £о = const у точки входа
Рис. 3
Рис. 3
力=力1 +，； b =
力=力1 +，； b =
а' — У △
一2Н 万,
а' — У △
一2Н 万,
а координаты а и 6 находятся по формулам
а координаты а и 6 находятся по формулам
а' + b'
а' + b'
А
7
А
7
6 =
6 =
а + b' △
а + b' △
(15)
(16)
(15)
(16)
Эти формулы носят условный характер, потому что заранее неизвестны значения а： 6х и △, а, следовательно, и значения введенных по схеме рис. 3 новых координат а и Ь.
Математически решение контактной задачи жесткого диска с упругой полуплоскостью при наличии зоны проскальзывания существенно упрощается, переходя от декартовых к биполярным координатам [11]: shasin В /八с 丿 、
ж = а-у = а- (—оо < а < оо, 0，夕，тг).
ch а + cos 0'” ch а + cos /3''7
Граничные условия в области контакта формулируются следующим образом
(У = о； 0 = о, 0 = тг)
дихдих£о = const (—а < ж < а),£о = const (—а < ж < а),
дих
дих
£о = const (—а < ж < а),
£о = const (—а < ж < а),
(18)(18)^|^о = £ S —力)(力 + °)+ ^ ^ 力{~а<х< 6),^/g=o = 〃oc/g=o (。< 力 < 6)・
(18)
(18)
Слагаемое (а/R)^x отражает общий наклон к оси Ох площадки контакта, значение которого необходимо найти в процессе решения задачи. Вне области контакта нормальные (ау) и касательные (гху) напряжения равны нулю.
Общее решение для упругой полуплоскости представим через две гармонические функции Ф? и Ф3 [11]. С учетом дополнительных слагаемых, которые отражают поведение на бесконечности нормальных и касательных напряжений [10], имеем
ф2@ -sin ^5 + Q Ш ::优М 爲 +
j [Д2(Л) ch A/3 + B2(A) sh A/3] e~Ua dA,
Фз(а, /3) = 4(1 — 〃)Q arcsin 尸 sh (a/2)，ch a + cos 0Фз(а, /3) = 4(1 — 〃)Q arcsin 尸 sh (a/2)，ch a + cos 0+ (1 - 2〃)。2 In+ (1 - 2〃)。2 Inch (a/2) + sin (a/2) ch (a/2) — sin (a/2)ch (a/2) + sin (a/2) ch (a/2) — sin (a/2)++
Фз(а, /3) = 4(1 — 〃)Q arcsin 尸 sh (a/2)
，ch a + cos 0
Фз(а, /3) = 4(1 — 〃)Q arcsin 尸 sh (a/2)
，ch a + cos 0
+ (1 - 2〃)。2 In
+ (1 - 2〃)。2 In
ch (a/2) + sin (a/2) ch (a/2) — sin (a/2)
ch (a/2) + sin (a/2) ch (a/2) — sin (a/2)
+
+
+ T [A3(A) ch xp + B3(A) sh A/3] dA. (19) V 2тг J
На границе полуплоскости производные от перемещений по ж и напряжения записываются по формулам
弊J= /-[(3-М Ф2-Ф3]| ,
ох |у=одудх |у=о дх|у=о
務 L=0=詣 01 —°)ф2— фз] 赛 L=o= М【(1 —2°)ф2- фз】1=о・
Введем неизвестные значения нормальных напряжений в зоне проскальзывания (а < ж < 6). В биполярных координатах о-у\у=0 = —сг(а) {^ = tv^ а^ < а < оо; а。= 2 arcth (а/6)). В результате граничные условия (18) с учетом (20) запишутся следующим образом:
ch а + 1 ЗФз I —ch а + 1 ЗФз I —( — ОО < Q < OO),( — ОО < Q < OO),ЗФз
ch а + 1 ЗФз I —
ch а + 1 ЗФз I —
( — ОО < Q < OO),
( — ОО < Q < OO),
ду |у=о
|«|<а
g [(3 - 4〃)Ф2 - Фз] = '「а + 1 齐[(3 - 4〃漳2 - Фз] I ==
дхg=0а За1万=0 Я 2Я
|«|<а
=^ [现一 th (а/2)](-00 < а < оо),
詣[2(1 - ^)Ф2 - Ф3] ^оа<х<Ь詣[2(1 - ^)Ф2 - Ф3] ^оа<х<Ь-空^—-言[2(1 - 〃)Ф2 - Фз] =
詣[2(1 - ^)Ф2 - Ф3] ^о
а<х<Ь
詣[2(1 - ^)Ф2 - Ф3] ^о
а<х<Ь
—-启1 (а。，а < ос)
О (—оо < q < а。),
? [2(1 — 〃)Ф? — Фз] = ————[2(1 —沙)Ф? — Фз] I =
дxg=0а да1万=万
а<х<Ь
(а。，а < оо)
О(—оо < q < а。),
g [(3 — 4〃)Ф2 — Фз] = ——? [(3 — 4〃)Ф2 — Фз] I =
дхg=0а да1万=万
а<х<Ь
=[现-cth(а/2)] (а。< а < оо). (21)
(22)(22)Через 现 обозначено выражение
(22)
(22)
6。= ^ + 1 —е—а。
После подстановки в первые четыре граничные равенства (21) выражений для гармонических функций из (19) и обращения по Фурье, получаем алгебраические уравнения относительно неизвестных плотностей 斗2(入)，笈2(入)，斗3(入)и Вз(А). Решение алгебраических уравнений представляется формулами
АЗз(А) =- (1 -,
L shaAch 7rAJ
А4з&) = (3 — 4〃)А4(Х)—后R & + 汕)—"1 — 2〃)為
К SflTF 入СП7Г 入
А42(Х)А(Х) = [(1 —2〃)sh7rA —£仰2(1— 〃) ch7rA]片*/М 応一
a。
—sh тгА ch тгА л/2тг。+
+ [2(1 — 〃)ch2 тгА — (1 — 2〃)sh2 тгА] \/^ [% $，入(入 + ^o) — “1 — 2〃)：\
АВ2(А)А(А) = [2(1 — I/) chтгА — z/io(l — ^) sh тгА] f :不：fd£ —a。-shvrA сЬтгА\/27г、(入 + 汕)- “1 - 2〃)f、+Я sh7rAchaA+ [ 2(1 — 〃)ch2 тгА — (1 — 2〃)sh2 тгА] \/^ [a£o $，入—(1 — 2〃) ：\],АВ2(А)А(А) = [2(1 — I/) chтгА — z/io(l — ^) sh тгА] f :不：fd£ —a。-shvrA сЬтгА\/27г、(入 + 汕)- “1 - 2〃)f、+Я sh7rAchaA+ [ 2(1 — 〃)ch2 тгА — (1 — 2〃)sh2 тгА] \/^ [a£o $，入—(1 — 2〃) ：\],△ (A) = 4(1 — 〃)2 ch2 тгА — (1 — 2〃)2 sh2 тгА = | (3 — 4〃)(ch 2тгА + ch 2тг^)=△ (A) = 4(1 — 〃)2 ch2 тгА — (1 — 2〃)2 sh2 тгА = | (3 — 4〃)(ch 2тгА + ch 2тг^)=(3 — 4〃) ch?r(A + H) ch 7г(Л — ^),(3 — 4〃) ch?r(A + H) ch 7г(Л — ^),ch 7rH =ch 7rH =sh7r^ =sh7r^ =(1 — 2〃) д/3 — 4〃(1 — 2〃) д/3 — 4〃(23)(23)С помощью этих равенств последнее уравнение (21) преобразуется в интегральное уравнение относительно неизвестных нормальных контактных напряжений в зоне проскальзыванияС помощью этих равенств последнее уравнение (21) преобразуется в интегральное уравнение относительно неизвестных нормальных контактных напряжений в зоне проскальзыванияf 1о(£) ( 1 f sh тгА ch 7г(Л — 27)J ch£ —1 2G (2万 J ch?r(A + ") ch?r(A —")f 1о(£) ( 1 f sh тгА ch 7г(Л — 27)J ch£ —1 2G (2万 J ch?r(A + ") ch?r(A —")「Л(а —◎ dA「Л(а —◎ dAd£ =d£ =1iD1iDd / sin "a \ a d ( d ( cos "a \, cos "a'"da (sh(a/2)丿 R da (da (sh(a/2)丿 0 sh (a/2)d / sin "a \ a d ( d ( cos "a \, cos "a'"da (sh(a/2)丿 R da (da (sh(a/2)丿 0 sh (a/2)—2(1 — 〃)—2(1 — 〃)Ci sin "a G cos "aa sh(a/2) a sh(a/2)Ci sin "a G cos "aa sh(a/2) a sh(a/2)(a。< q < oo), (24)(a。< q < oo), (24)где
АВ2(А)А(А) = [2(1 — I/) chтгА — z/io(l — ^) sh тгА] f :不：fd£ —
a。
-shvrA сЬтгА\/27г、(入 + 汕)- “1 - 2〃)f、+
Я sh7rAchaA
+ [ 2(1 — 〃)ch2 тгА — (1 — 2〃)sh2 тгА] \/^ [a£o $，入—(1 — 2〃) ：\],
АВ2(А)А(А) = [2(1 — I/) chтгА — z/io(l — ^) sh тгА] f :不：fd£ —
a。
-shvrA сЬтгА\/27г、(入 + 汕)- “1 - 2〃)f、+
Я sh7rAchaA
+ [ 2(1 — 〃)ch2 тгА — (1 — 2〃)sh2 тгА] \/^ [a£o $，入—(1 — 2〃) ：\],
△ (A) = 4(1 — 〃)2 ch2 тгА — (1 — 2〃)2 sh2 тгА = | (3 — 4〃)(ch 2тгА + ch 2тг^)=
△ (A) = 4(1 — 〃)2 ch2 тгА — (1 — 2〃)2 sh2 тгА = | (3 — 4〃)(ch 2тгА + ch 2тг^)=
(3 — 4〃) ch?r(A + H) ch 7г(Л — ^),
(3 — 4〃) ch?r(A + H) ch 7г(Л — ^),
ch 7rH =
ch 7rH =
sh7r^ =
sh7r^ =
(1 — 2〃) д/3 — 4〃
(1 — 2〃) д/3 — 4〃
(23)
(23)
С помощью этих равенств последнее уравнение (21) преобразуется в интегральное уравнение относительно неизвестных нормальных контактных напряжений в зоне проскальзывания
С помощью этих равенств последнее уравнение (21) преобразуется в интегральное уравнение относительно неизвестных нормальных контактных напряжений в зоне проскальзывания
f 1о(£) ( 1 f sh тгА ch 7г(Л — 27)
J ch£ —1 2G (2万 J ch?r(A + ") ch?r(A —")
f 1о(£) ( 1 f sh тгА ch 7г(Л — 27)
J ch£ —1 2G (2万 J ch?r(A + ") ch?r(A —")
「Л(а —◎ dA
「Л(а —◎ dA
d£ =
d£ =
1iD
1iD
d / sin "a \ a d ( d ( cos "a \, cos "a
'"da (sh(a/2)丿 R da (da (sh(a/2)丿 0 sh (a/2)
d / sin "a \ a d ( d ( cos "a \, cos "a
'"da (sh(a/2)丿 R da (da (sh(a/2)丿 0 sh (a/2)
—2(1 — 〃)
—2(1 — 〃)
Ci sin "a G cos "aa sh(a/2) a sh(a/2)
Ci sin "a G cos "aa sh(a/2) a sh(a/2)
(a。< q < oo), (24)
(a。< q < oo), (24)
2(1 — 〃) сЬтгА — £〃o(l — 2〃) shvrA = D ch тг(А — £)),
D = 丁4(1 — o)2 + 储(1 — 2o)2 , tg7T7 = Mo 2；O；
Стандартную запись уравнения (24) получим, вводя замены
a = ao +力"ao + т,仕侬 L) — ]=屮⑺，
2(1 - 〃号=4 2(1 - 〃号=В.
Приходим к интегральному уравнению Винера-Хопфа [12, 13] на полуоси
k(t — т)д(т) dr = F(q0 + 力)(0 < t, т < oo).
(25)(25)(27)(27)о
(25)
(25)
(27)
(27)
Разностное ядро этого уравнения представляется формулой
sh 7гЛ ch 7г(Л —公т) ch 7г(Л + ”) ch 7г(Л — ”)sh 7гЛ ch 7г(Л —公т) ch 7г(Л + ”) ch 7г(Л — ”)「Л"）认「Л"）认(28)(28)
sh 7гЛ ch 7г(Л —公т) ch 7г(Л + ”) ch 7г(Л — ”)
sh 7гЛ ch 7г(Л —公т) ch 7г(Л + ”) ch 7г(Л — ”)
「Л"）认
「Л"）认
(28)
(28)
а для правой части имеем выражение
%а)= 7%а)= 7sin "а sh (а/2)sin "а sh (а/2)a d ( d ( cos "а \, cos "а
%а)= 7
%а)= 7
sin "а sh (а/2)
sin "а sh (а/2)
R da (da (sh(a/2)丿 0sh (a/2)
h( /2)(A cos Ha + В sin Ha) .(29)
Классическое уравнение Винера-Хопфа (27) с помощью методов краевой задачи Римана [13] допускает точное решение. Для получения точного решения применим к уравнению (27) интегральное преобразование Фурье (\/у/2т^)егг1 на неограниченном промежутке —схэ < t < схэ. При этом уравнение (27) преобразуется в функциональное уравнение краевой задачи Римана [13]
Ф+(7)К(7)= 3—(z) + R+(z),(30)
причем
Ф+(7)= j⑴产％力
v2?r Jо
неизвестная аналитическая функция в верхней полуплоскости (Imz > 0),
Ооо
屮_(z) = j_[ ezzt dt [ k(t — T)g(r) dT
V 2тгJJ
—oo0
неизвестная аналитическая функция в нижней полуплоскости (Imz < 0),
R+(z) =— [ R(a()+ 力)dt
о
известная аналитическая функция в верхней полуплоскости (Imz > 0). Ядро уравнения
\ _ sh тгг ch 7г(г — 27)“ ch 7г(г + ”)ch 7F(z — ”)
легко факторизуется через Г-функции:
K(z) _ K+(z) к()— Г(1/2 — iz —沁)Г(1/2 — гг + 沁)
⑷二 P(1 + 〃z)：T(1/2 + 〃z + 7)
T Г(1/2 + 〃z + 沁)「(1/2 ^iz-沁)•
Уравнение (30) приводится к виду
7Ф+(7)К+(7)= W—(z)K—(z) + R+(z)K—(z).(32)
Чтобы записать решение этого уравнения, необходимо факторизовать произведение F^{z)K-{z). Преобразуем вначале 耳⑶，используя разложение
詰旷(а>0).(33)
В результате находим
耳⑶=奈卜-(a^)。。金 [4一汨+ ^g+ ；一2)(к + ；—2一现)一
V27r Ik=0
f (T")]』/Uf (T")]』/Ua-я+a-я++ g —(l/2+£Z)a。£ [Д+ гВ + k=0+ g —(l/2+£Z)a。£ [Д+ гВ + k=0
f (T")]』/U
f (T")]』/U
a-я+
a-я+
+ g —(l/2+£Z)a。£ [Д+ гВ + k=0
+ g —(l/2+£Z)a。£ [Д+ гВ + k=0
Факторизацию произведения F^{z)K-{z) записываем по формуле F^z)K_(z) = /+(z) + 九⑶.(35)
Учитывая равенства (31) и (34), находим
/+⑶=Ж 卜“+ eY+吵。玄，
Lk=0k=0」
九(z) =耳⑶ K—⑶―/+(z),(36)
где обозначено
_ P(k + 3/2 - 2)「(k + 1 — 2 + t) ef °。
k =P(k + 1 —22)^П X
x [4一分3 + ^ (k + ； 一 分H)(k + ； 一 分H - Qo)一证0 (k + ； 一 分H)卜
_「(k + 3/2 + 2)「(k + l + 2 + T)©fa。
k —r(k + l + 22)W~
x^A^iB^^^k^^i^^k^^i^-^^ie0^k^^ 2)] . (37)
После подстановки (35) в (32) имеем
z巾+(z)K+(z) - /+(z) = W—(z)K_(z) + /_(г).(38)
Чтобы избежать неопределенности в решении задачи Римана, необходимо использовать асимптотическое поведение функции 夕(力)при 力一>0 (力=6) и Z —> ―> 00 (力=а). Нормальные напряжения cr(a()+ t) исчезают при 力=0 и являются ограниченными при 力一> оо. Согласно (26) будем иметь
3⑴ 〜-广)1/2+),以力)〜(39) (Ю)(土too)
Отсюда следует, что функция
Ф+(7)= $ [ ^t)eiztdt(40)
является аналитической в полуплоскости Imz > —1.
Решение для функции Ф+(г) представляется формулой
巾+(z)=(41)
с дополнительными условиями
/+(0) = 0, /+(—； + £)) =0.(42)
Нормальные контактные напряжения вычисляются в виде интеграла обращения Фурье и представляются в виде
°~(а。+ 力)_ ch (а。+ 力)-1]j ф+(а「纭 必
2GDд/^ J
—CXD
= ch(a0 + t)-ll ф+(“^ (c>0). (43) 〃 zv2?r J.
Окончательное выражение находится по теории вычетов и представляется через гипергеометрическую функцию Гаусса:
ь(а。+ 力)_ 2 а。+ 力( _ -txi/2+7 ▽ ▽(k!Q _ еТ)т
2G — О丿 乙丝丿(^-т)!Г(т + 3/2 + 7)
x [e-(1/2-2")a。厶2冃(m + 1 + 7一 泣 7 + 泣 771 + 3/2 + 7； 1 — еt)+
+ e-a/2+^0Mk2Fi^m + 1 + 7 + 沁,7 _ 沁,m + 3/2 + 7； 1 - е~^ . (44)
Дополнительные условия для этого решения (42) в явном виде записываются равенствами
-(l/2-i^a0LkI —(l/2+£Z)aoMk
J k + 1/2 —沁J k + 1/2 + 沁
一(1/2-6Z)ao V^ LkI _(1/2+6少)a0V^ Mk _ k + ? — i®k + 7 + 〃"
k=0k=0
Из этих условий следует, что в точке перехода от зоны сцепления к зоне проскальзывания, т. е. при 力一> оо (力=а) напряжения а непрерывны и имеют ограниченное
значениезначениест2G 土tooст2G 土toocha" 1/4 + "「(1/2 —2kD 1/2 + т〈 * 7丿cha" 1/4 + "「(1/2 —2kD 1/2 + т〈 * 7丿XX(46)(46)
значение
значение
ст
2G 土too
ст
2G 土too
cha" 1/4 + "「(1/2 —
2kD 1/2 + т〈 * 7丿
cha" 1/4 + "「(1/2 —
2kD 1/2 + т〈 * 7丿
X
X
(46)
(46)
При асимптотических вычислениях были использованы следующие формулы для сумм
Е
(—1)т/г!_ cha# Г(1/2 + г??)
(47)(47)о (/г — ш)!Г(ш + 3/2 — г??) 万 к + 1/2 — id ?
(47)
(47)
(—1)т/г!_ sin 7г(7 — г??) Г(1 — 7 + г??)
(k — ш)!Г(ш + 1 + 7 — г??)тг к+ 丁一沁
Распределение контактных напряжений в зоне сцепления (—а < ж < а; /3 = 0, —оо < а < оо) находится из уравнений (20) после подстановки в эти уравнения функций Ф? и Ф3 из (19) и плотностей 4?(》)，•••，笈3(入)из (23). В комплексной форме записи имеем
击 g+f）" = ^|x
*{2（1 -。）（1 + 分仰）亦］守砥（（a 一g）/2） d§ +
do? (ch(a/2)do? (ch(a/2)г 19 а ег 19 а е+ 现 da \ch (а/2)+ 现 da \ch (а/2)++
do? (ch(a/2)
do? (ch(a/2)
г 19 а е
г 19 а е
+ 现 da \ch (а/2)
+ 现 da \ch (а/2)
+
+
+讫。言（就7^）+5-同就周卜（48）
Комплексная постоянная А — iB определяется из условия непрерывности напряжений в точке набегания материала ж = —а (力—> —схэ), и поскольку напряжения сгу\у=0 и тху\у=0 вне области контакта равны нулю, то выражение в фигурной скобке (48) должно обращаться в нуль при 力一> —оо. Имеем
1 了 一(1/2+出注
一3 二 -2(一)(1 + 沁)± X 1 浆必-
Z7F J СП ^ — 1 2Сг
а。
一^ (; + 河)(；+ 2 + 现)一证° £ + 2).(49)
Используя равенство (44), интеграл находится по формуле
1 7(l/2+卅注 6T⑹е-(1/2 + г^)а0「@/2 十切)「(1 — 丁 十切)
亦J飞^詣次=2万。「(1 + 22)一-X
X 卜①…。f 名 +(5。)
'k=0k=0丿
Окончательное решение задачи будет найдено, если будут определены неизвестные значения а (полудлина области сцепления), «защемленной» деформации £о, характеристика размера зоны проскальзывания а。，константа 现(характеристика наклона площадки контакта) и постоянные Аи В. Указанные неизвестные определяются из двух вещественных уравнений (45), комплексного уравнения (49) и условий равновесия диска
Ро + iQoРо + iQo'3 + ；^儿=。圖+ （1 +m）j猾圖'3 + ；^儿=。圖+ （1 +m）j猾圖
Ро + iQo
Ро + iQo
'3 + ；^儿=。圖+ （1 +m）j猾圖
'3 + ；^儿=。圖+ （1 +m）j猾圖
=一2斤。（^-^9=一曰（4-沾）•（51）
3. Пример расчета. При проведении вычислений по приведенным выше формулам неизвестные постоянные Sq? 4 й 笈 относились к безразмерному неизвестному значению а/R:
— R ~т л R£0 = £°/ 4 = 4不— R ~т л R£0 = £°/ 4 = 4不— RВ = В-. а— RВ = В-. а(52)(52)
— R ~т л R
£0 = £°/ 4 = 4不
— R ~т л R
£0 = £°/ 4 = 4不
— R
В = В-. а
— R
В = В-. а
(52)
(52)
Кроме них за неизвестные принимались а。и 现.Предполагаются заданными прижимающая сила Ро и сдвигающая сила Qo. Для их определения использовались указанные в конце п. 2 четыре алгебраические уравнения. Пятым уравнением для указанных пяти неизвестных служило равенство, вытекающее из условий равновесия,
豆=-(胃)瓦 (53)
При этом неизвестная а/R определяется из вещественной части уравнения (51) по формуле
а互а互J i(i-")gV 7г 2GRAJ i(i-")gV 7г 2GRA(А<0).(А<0).(54)(54)
а
互
а
互
J i(i-")g
V 7г 2GRA
J i(i-")g
V 7г 2GRA
(А<0).
(А<0).
(54)
(54)
Отношение длины области проскальзывания к длине области сцепления находится из равенства
(55)(55)b-а _ с」а°2a — 1 - е-а°
(55)
(55)
В расчете принималось значение коэффициента Пуассона 〃 = 0,3, а для коэффициента трения выбиралось значение 从о = 0,25. На рис. 4 дано графическое изображение безразмерных нормальных напряжений 万=o~yR/(Gl} (сплошные кривые) и касательных напряжений т = rxyR/(Gl) (штриховые линии), где I = а -\- b —
длина области контакта. На графиках кривые 1, 2, 3 соответствуют отношению сил Qo/R)равному 0,01; 0,1; 0,15. В табл. 1 приведены значения относительной длины зоны проскальзывания, «защемленной» дефор-
ной, так как a/R《1.ной, так как a/R《1.мации и множителя 吹 входящего в выражение для угла наклона площадки контакта (a/R)也 в зависимости от отношения(2о/Л) • Следует обратить внимание, что «защемленная» деформация £о = (a/R)匠о имеет отрицательный знак, т. е. в отличие от задачи Фромма набегающая в контакт деформация будет сжимающей. Начиная лишь с отношения Qo/R)》0,2 она переходит в деформацию растяжения. Зона проскальзывания с увеличением отношения сил Qo/Л)занимает значительную часть области контакта. Угол наклона площадки контакта также увеличивается с ростом отношения Qo/卅，оставаясь все же весьма малой величи-
ной, так как a/R《1.
ной, так как a/R《1.
Табл и ца 1
Qo/R
(b - а)/(а + b)
ёо = (R/a)so
吵
0,01
0,1504
-0,213
0,0011
0,1
0,4286
-0,204
0,0273
0,15
0,5724
-0,156
0,0555
з —1 + Соз —1 + Со(£0 < 0).(£0 < 0).(56)(56)Перенося результаты решения задачи для полуплоскости на задачу равномерного вращения сжатых жесткого (ведущего) и упругого (ведомого) дисков, будем использовать замены (15) и фиксировать область контакта (рис. 2) с помощью угла наклона площадки контакта фа/R к оси Oi^i，Контактные напряжения как в зоне сцепления, так и в зоне проскальзывания принимаем равными их вычисленным значениям для полуплоскости и представленных на рис. 4 и в табл. 1. При этом выясняется, что угловая скорость вращения упругого диска 幻 для отношения Qo/Po < 0,2 будет больше угловой скорости жесткого диска 幻。：
з —
1 + Со
з —
1 + Со
(£0 < 0).
(£0 < 0).
(56)
(56)
Этот неожиданный результат может породить сомнение в правомерности использованной теории, поскольку при поверхностном анализе задачи приходим к выводу, что и снимаемая мощность на валу ведомого упругого диска будет так же большей мощности, подводимой к оси жесткого (ведущего) диска. Естественно, на практике в трансмиссии такого типа (рис. 2) снимаемая мощность всегда меньше подводимой мощности. Кажущийся парадокс исчезает, если раскрыть фактическое количественное значение тормозящего момента М на оси ведомого диска. В отличие от задачи Фромма для идентичных дисков (п. 1 статьи), тормозящий момент М не равен приложенному на оси ведущего диска моменту Mq. В связи со смещением площадки контакта влево от оси, проходящей через центры валов дисков, влево также смещается центр приведения нормальных напряжений cy\y=Q к главному вектору 卅，параллельному оси 5gi (силы консервативны), с равным нулю моментом приведения заданных нормальных напряжений. На рис. 2 точка приложения главного вектора обозначена с!. Тормозящий момент М суммируется
с моментом от главного вектора и их суммарное значение равно входящему моменту Mq： М -\- Pq\c,\ = Mq. Таким образом,
М = М0-Р0\ Cq(57)
Как и в задаче Фромма, считаются заданными момент Мд и угловая скорость 幻。 на валу ведущего жесткого диска. Для всех трех рассмотренных выше вариантов отношения Qo/Pq авторами были вычислены значения с' и результаты вычислений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Qo/ R
\^\/1
(7?/a) Л/проск/No
0,01
0,0014
0, 0011
0,1
0,0135
0,0269
0,15
0,0202
0,0709
С использованием этих данных и формулы (57) находилась выходная мощность на оси ведомого упругого вала
N = M" = (Mo 一卅1。1)(58)
Входная мощность, как и раньше, равна Nq =陷)幻().Тогда для выходной мощности получаем выражение
% = М 不小。«(1- £о) ( % —凡 I У| “о) •(59)
丄十с0
Для мощности, потерянной вследствие сухого трения в области проскальзывания, получаем значение
NnpOCK ^о^о + Ло I с，I ^о •(60)
Численные результаты для потерянной мощности представлены в табл. 2. Заметим, что значение потерянной мощности, найденное по формуле (60) практически совпадает с вычисленным ее значением с помощью интеграла (13). За относительную скорость проскальзывания частиц упругого диска по ободу жесткого диска принималось значение %(£о — £冗),где £冗—окружная деформация упругого диска в области проскальзывания.
Таким образом, в работе получено точное решение задачи о несвободном равномерном вращении контактирующих жесткого и упругого дисков с использованием гипотез теории Фромма. Показано, что с принятием этих гипотез решение правильно отражает работу такого типа трансмиссии.
Список литературы
Zharii О. %., Ulitko A. F. Smooth contact between the running Rayleigh wave and a rigid strip // Trans. ASME, Journ. Appl. Meeh. 1995. V. 64, № 2. P. 362-367.
Kurosawa M., Ueha S. Efficiency of ultrasonic motor using travelling wave // Journal of the Acoustical of Japan. 1988. V. 44. P. 40-46.
Hertz H. Ueber die Beruhrung fester elastischer Korper //J. reine angew. Math. 1881. B. 92. S. 156-171.
Reynolds O. On rolling friction // Philos. Trans. Roy. Soc. 1875. V. 166. P. 155-163.
Carter F. W. On the action of a locomotive driving wheel // Proc. Roy. Soc. 1926. V. A112.
P. 151-157.
Fromm Н. Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbarer Scheiben // Z. Angew. Math. Meeh. 1927. B. 7, № 1. S. 27-58.
Ишлинский А. Ю. О трении качения // Прикл. матем. и мех. 1939. Т. 2. С. 245-260.
Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Т. 2. — М.: Наука, 1986. — 416 с.
Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 510 с.
Ulitko A. F. Exakte Losung des Kontaktproblems fur zwei Zylinder unter Berucksichtigung der Reibung // Z. Angew. Math. Meeh. 2000. B. 80, № 7. S. 435-455.
Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. — Л.: Наука, 1967. - 420 с.
Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. — М.: Изд-во иностр, лит., 1962. — 280 с.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Физматгиз, 1963. — 640 с.
О ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙВ МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Б. Е. Победря
Московский Государственный Университиет им. М. В. Ломоносова
Теория определяющих соотношений как самостоятельный раздел механики сплошной среды сформировалась сравнительно недавно трудами А. А. Ильюшина и К. Трусделла. В этих трудах в виде постулатов были сформулированы требования, предъявляемые к операторам связи между напряжениями и деформациями, с тем чтобы дать корректное описание новых адекватных моделей механики. Была создана теория процессов деформирования, которая нашла особенно широкое применение в механике деформируемого твердого тела. В последующем теория определяющих соотношений стала трактоваться более широко и описывать связи между любыми «основными» объектами, рассматриваемыми как процессы, и их «потоками». Эта связь учитывает историю процессов и взаимодействие полей различной природы (механической, тепловой, электромагнитной и т. д.). В связи с появлением нового раздела механики деформируемого твердого тела — механики композитов — были сформулированы основные принципы построения теории эффективных определяющих соотношений, которые могли быть найдены либо экспериментально, либо из решения некоторых задач по известным определяющим соотношениям компонентов композита. Такая теория продолжает оставаться актуальной и в настоящее время ввиду широкого распространения композитов в технике. Интересный вклад в развитие теории определяющих соотношений внес А.Ю. Ишлинский. В работе дается краткий обзор исследований в этой области механики.
Введение. Механика деформируемого твердого тела (МДТТ) является разделом механики сплошной среды (МСС) и занимается математическим моделированием процессов деформирования. Подобно тому как в геометрии мы вводим понятия шар, конус, параллелепипед и т. д., не заботясь о том, существуют ли реально такие объекты в природе, в МСС оперируют с такими моделями, как упругое тело, идеальная жидкость, совершенный газ и т. п., хотя реальные среды могут описываться названными моделями при определенных допущениях.
Сплошная среда (или континуум) вводится для описания дискретных физических объектов с тем, чтобы воспользоваться мощным аппаратом математического анализа. Сама по себе сплошная среда никакими априорными свойствами не обладает. Подобно тому как любое множество только после введения некоторой структуры становится пространством, сплошная среда, чтобы стать объектом построения моделей, нуждается во введении системы аксиом и постулатов.
Принцип «континуализации», используемый для введения сплошной среды, не решает всех проблем. После постановки задачи МСС требуется привлечение вычислительной техники для ее решения. Для этого задачу требуется превратить в алгебраическую, т. е. провести процесс дискретизации. Для анализа полученного решения приходится вновь континуализировать задачу.
Таким образом, процессы дискретизации и континуализации при решении задачи МСС повторяются несколько раз на различных уровнях. Частично такими проблемами занимается бурно развивающийся раздел механики — вычислительная механика.
Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выбирается некоторая система отсчета. Чаще всего это инерциальная система отсчета 屬 х R3 [1]. Одномерное пространство 屬 называется временным: 0，力 < оо, а трехмерное евклидово пространство R3 — координатным. В R3 всегда можно ввести прямоугольную декартову систему координат, благодаря чему любая точка пространства R3 описывается радиусом-вектором г =力eke, где kj — векторы ортонормированного базиса. Координаты Xi называются пространственными. (В качестве пространственных координат могут быть выбраны, разумеется, и криволинейные координаты [2]). Иногда приходится вместо R3 рассматривать риманово пространство V3, а иногда и более общее — пространство аффинной связности [3].
Определим тело В (сплошную среду) как трехмерное дифференцируемое многообразие [4]. Точки этого многообразия будем называть частицами X. Конфигурацией Z тела В назовем гладкий гомеоморфизм В в область трехмерного евклидова пространства R3. Таким образом, наименование частиц связано с одной из таких конфигураций.
Движением тела В назовем однопараметрическое семейство конфигураций 己(力)，где t — время. Таким образом, конфигурация тела В в момент времени t представляет собой множество мест «ж», которые занимают составляющие это тело частицы:
ж = Z(6, t) = {Z(X,力)，X С В}.
Мы предполагаем, что отображение
6 一 Z(6")
является гомеоморфизмом, т. е. оно биективно. Следовательно, две различные частицы в одно и то же время не могут находиться в одном месте. Этот факт в МСС носит название гипотезы непроницаемости.
Одна из конфигураций, например при t =扣,называется отсчетной конфигурацией:
力о —二(6,力о)・
Координаты 力?, eg,力§ могут также служить наименованием частицы и называются лагранжевыми координатами (в отличие от материальных координат, они связаны с выбором параметра t =力о). Конфигурация, соответствующая текущему моменту времени 力 называется актуальной.
Место, занимаемое частицей в отсчетной конфигурации, описывается радиусом-вектором Го：
г0 =力沁,
а в актуальной конфигурации
г — дк〃，
где 力£ — эйлеровы координаты. Таким образом, закон движения сплошной средыr = г•(吟爲唸力)
устанавливает связь между отсчетной и актуальной конфигурациями.
Если ввести векторное поле скоростей
V = V(力 1,力2,力3,力)(1)
как функцию эйлеровых координат, то уравнения траекторий частицы имеют вид 醬=g(сЬе2,力3")■⑵
Эти уравнения могут быть решены, если заданы начальные условия t —力о : ж2 —力〃.(3)
Подставляя найденное решение
3 = g (吟碱，编力) задачи Коши (2), (3) в правую часть (1), получим выражения вектора скорости в лагранжевой системе координат:
3 = g(吟爲唸力).
Эйлерово описание движения применяется, как правило, в механике жидкости и газа, а лагранжево — в МДТТ.
Для описания мер деформации вводится локальный базис в отсчетной конфигурации:
Аг。
и в актуальной:
Вводятся фундаментальные матрицы отсчетной конфигурации:
Sij — ег * ej ,(4)
и актуальной:
G“E「E八(5)
С помощью матриц, обратных к (4) g^ и к (5) G% строятся неголономные реперыТ = gijej , E〃 = G"B・.
Компоненты тензора деформации определяются как полуразность двух фундаментальных матриц (5) и (4):
£叮=；Gj - gij).(6)
С помощью компонент (6) могут быть образованы тензоры деформации Лагранжа 7 и Эйлера £：
7 = £ije“ N е",£ = /再“ N Е”.
Иногда [5] при описании мер деформации вводят тензор градиента деформации F и обратный к нему F-1:
F = Vr = ег 0 Ej, F-1 = Vfq = Е” N 修.
На основе этих несимметричных тензоров вводятся симметричные тензоры: правый тензор Коши-Грина С
С ==(7)
левый тензор Коши-Грина В
B = FTF = g^i 0 Ej,(8)
правый тензор Альманзи А
A = F-^F~T = gi3^^j.
который является взаимно обратным с тензором В (8), а также левый тензор Альманзи, являющийся обратным к правому тензору Коши-Грина
Для описания кинематики сплошной среды вводится вектор перемещений и:
и = г — г。=疗修=U^i，(9)
Компоненты тензора деформации (6) выражаются через градиент вектора перемещений:
£" = I @i,j + Uj,i + 崂必/•) = I (З^ + Uj\i -。，必|力(10)
где запятой обозначена ковариантная производная в локальном базисе 修 отсчетной конфигурации, а чертой — ковариантная производная в локальном базисе Е〃 актуальной конфигурации.
Если деформации малы, т. е. малы перемещения и их градиенты (квадратами градиентов можно пренебречь по сравнению с самими градиентами), лагранжевы координаты совпадают с эйлеровыми, причем
) = £ = £, С = В = / + 2е , U = V = / + е , где / — единичный тензор,
£叮=2(“£/• + "川)•(11)
При этом вектор перемещения u = U иногда теряет свой геометрический смысл, вытекающий из определения (9) [6].
Модель МДТТ называется геометрически линейной или нелинейной в зависимости от того, принимаются ли соотношения (11) или соотношения (10).
На соотношения Коши (11) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для определения трех компонент вектора перемещений % по заданным компонентам тензора малых деформаций £叮[7].
Для односвязной области необходимым и достаточным условием такой разрешимости является выполнение условий совместности деформаций [8]
^ = I ^…』…=0,^ = I ^…』…=0,(12)(12)
^ = I ^…』…=0,
^ = I ^…』…=0,
(12)
(12)
где £“汴/^/^ — компоненты тензора Леви-Чивиты [2]. Заметим, что из (12) следуют очевидные тождества
巾=0,片=0.
Однако отсюда не следует, что число независимых компонент симметричного тензора ?у (12) становится меньше шести.
Отношение элементарного объема dV актуальной конфигурации к элементарному объему dVb отсчетной конфигурации находится с помощью определителей G и g фундаментальных матриц (5) и (4):
(13)(13)dV _ [G
(13)
(13)
В случае малых деформаций из (13) имеем
察=1 + 牝 Н 三 /£ = divu.
a Vo
Постулаты МСС. Материальность среды задается плотностью вещества. Каждой частице приписывается положительный скаляр 0(£\ ^2, ^3,力).Тогда масса т некоторого объема V определяется интегралом
m = j pdV.(14)
Для расширения возможностей феноменологического описания микроструктуры вещества иногда вводят в каждой частице несколько компонентов, каждый со своей плотностью ра (а = 1,...,几).При этом каждый компонент имеет свою скорость Va, а через v обозначают скорость центра масс частицы:
。三 f>a・(15)
а=1”a=l
Между компонентами могут протекать N химических реакций, которые изменяют массу та компонента а:
^П。 = £ ]%/刀d匕(16)
= 1 у
где величина y^Ji называется образованием компонента а на единицу объема в /-й химической реакции [9]. Величины 〃&/ пропорциональны стехиометрическому коэффициенту, с которым входит компонент а в /-ю химическую реакцию, a — скорость /-й химической реакции.
Соотношения (16) по существу являются формулировкой первого постулата МСС — закона сохранения масс. Просуммировав (16) по числу компонентов, получим
^ m 三]pdV = 0.(17)
Здесь под V подразумевается любой объем, содержащийся в теле В.
Дифференциальным следствием закона сохранения масс (17) является уравнение неразрывности
Т + div(ov) = 0(18)
для эйлеровой системы координат и
р V g
для лагранжевой (здесь ро ——плотность вещества в отсчетной конфигурации).
Уравнения неразрывности, являющиеся дифференциальным следствием постулата о сохранении масс в форме (16) имеют вид
翁 +div (в。)= £(19)
1=1
Поскольку в каждой отдельной химической реакции масса сохраняется, то
£_=0 (/ = 1,・・・,N)・(20)
Формулировка постулатов об изменении количества движения и момента количества движения (кинетического момента) требует введения понятия силы. Едва ли во всех естественных науках есть более распространенное и менее поддающееся определению понятие, чем понятие силы. (Существуют варианты построения механики, не использующие его вовсе [10]). В МСС силы делятся на массовые (или объемные) F и поверхностные S(” отнесенные к некоторой поверхности Е актуальной конфигурации с единичным вектором нормали N.
Тогда постулат об изменении количества движения может быть сформулирован как обобщение закона Ньютона для любого объема V актуальной конфигурации:
^ j pv dV = j pF dV + j S(z)d&(21)
VVs
Плотность поверхностных сил S(z)выражается через векторы напряжений Рг:
S(N) = р〃м, р£ = Р“Е八(22)
Тензор напряжений Коши Р,
Е = Е〃 N Р〃 = Р^Ес 0 Ej,(23)
называют тензором истинных напряжений.
Дифференциальным следствием постулата (21) являются уравнения движения сплошной среды
0^ =也 + 阳(24)
которые могут быть записаны в компонентах:
где
V = vjej = 0Ej, F = F^Ej =炉弔.(25)
Иногда приходится рассматривать каждую частицу среды как некий микроконтинуум [11]. Кинематически этот микроконтинуум может характеризоваться (в макроскопическом описании) вектором микроскопического вращения (спином) ® (® = dg/d%), распределение масс микроконтинуума плотностью моментов инерции 7, а суммарное распределение сил микроконтинуума может сводиться не только к плотности массовых сил F, но и к плотности «массовых моментов» М, а также плотности поверхностных моментов Q(”
Постулат об изменении кинетического момента (момента количества движения) можно записать в интегральном виде
(г х 0V + 7®) J (г х pF + 7М) dV + Q(z)dE = 0,(26)
а его дифференциальным следствием будут уравнения
7^ = Ql〃+E£ хР' +7M = 0・(27)
Уравнения (27) можно записать в компонентах:
7祟=Q% £ + V^ С ijkPij + 7A4 = 0,(28)
где
Q(n)= q〃m, q〃 = Q^E* ш = 口疋左=必丿.(29)
Тензор Q = Q^Ej 0 E^ называется тензором моментных напряжений. Если влияние микроструктуры не учитывается, то среда называется неполярной. Для неполярной среды из уравнений (28) следует, что тензор напряжений Коши является симметричным.
Если скалярно умножить уравнения движения (25) на вектор скорости v, а уравнения (27) на спин-вектор ш и проинтегрировать левые и правые части этих уравнений по объему, то получим формулировку теоремы живых сил [7]:
dK = ЬА(е)+ ЬА ⑴(30)
и теорему «живых моментов»:
dK, = 61^4^\(31)
где кинетические энергии К и К* определяются следующим образом:
К 三;0V • V dV, К* = ^ I 7® • ®dV.
VV
Изменение работы массовых сил 6А,)Изменение работы массовых сил 6А,)внешних сил ЬА® делится на изменение работы внешних и внешних поверхностных сил JA^：
Изменение работы массовых сил 6А,)
Изменение работы массовых сил 6А,)
ЬА(е)= 6А，)+6А"
21 Проблемы механики
6А,)=dt^ pF-vdV = ^ pF- dudV,VV
6A，e)三威]S(N)• V dX = ] S(N)• dll d»
6A⑴三一d力]PijDi：j d『=]Ръ d£“ d『,VV
где D — тензор скоростей деформаций,
Аналогично для «живых моментов» (31):
ьа£)= ьа，？ + ьа2
ЬА，?三威])М • ®dV = ])М • dg d『，
ЬА，? =dt^ Q(n).®dE = j Q(n)•如 d»ss
bAf)= —d〃(Q订幻氷-〃ё/泌PU/) dV = v
=^VG /泌PU dgk - Q" d^p^dV. (32) v
Уравнения (24) и (27) могут быть отнесены и к отсчетной конфигурации. Для этого воспользуемся, наряду с выражением (18), следующими тождествами:
=(”123),
где п =几2©£ — единичный вектор нормали к площадке dEg отсчетной конфигурации.
Вводим определения:
Тогда получим следствием постулата (21) уравнения движения
0o^=P,； + 0oF,(33)
а следствием постулата (26) уравнения
7о^ = qj + (修 + u,£)х р〃 + 70M.(34)
Уравнения (33) можно записать в компонентах: Ро* =Р? + Pofj, а уравнения (34) в виде
7о 醬=q%i + Vi/汴 S" + 〃:俏目吟)+ 7omb
Тензор тг:
匹=/* р? = p^ei 0 ej,называется тензором Пиолы, а тензор 旦：旦=Е〃 0 рг,
—тензором Кирхгофа.
В случае малых деформаций все введенные тензоры напряжений совпадают между собой:
Термодинамика. При рассмотрении неизотермических процессов требуется к постулатам механики добавить еще постулаты феноменологической термодинамики.
Первый закон термодинамики заключается в утверждении о сохранении энергии. При этом энергия может быть не только механической, но и тепловой. Под энергией проще всего понимать величину, образованную скалярным произведением основных величин и их потоков (см. п. 5) и имеющую размерность МLT~2 (М — размерность массы, L — размерность длины, Т — размерность времени).
Среди всех параметров, характеризующих поведение системн: скоростей, деформаций, напряжений, плотности, температуры и т. д., существует некоторое минимальное число параметров, зная которые, можно вычислить все остальные. Такие параметры называются термодинамическими параметрами состояния. Определение таких параметров входит в описание модели среды.
Первый закон термодинамики утверждает, что существует некоторая функция термодинамических параметров состояния, называемая внутренней энергией Е, для которой можно сформулировать для каждого объема V соотношения
dE + dK = 6Q + bA(e).(35)
Изменение притока тепла 6Q можно выразить в виде
6Q = -dt ] q(z)dX + d力]pq dV.
Здесь q = q^Ej — вектор теплового потока: q(N) =qN =『M, a q — плотность массового источника тепла.
Можно ввести в определение е — плотность внутренней энергии:
Е = ^ ре dV.V
Тогда первый закон термодинамики (35) можно записать в виде
0 (е + 胃)d昨卜(F • V + q) W + ](S(N).宀必
Если воспользоваться теоремой живых сил (30), то (35) можно записать dE = 6Q —ЬА⑴， или в виде
-[q(z)d&(36)-[q(z)d&(36)^ ^ ре dV = ^(pq - Р” 辰切)dV
-[q(z)d&(36)
-[q(z)d&(36)
VV夕
Дифференциальным следствием первого закона термодинамики (36) является уравнение
疗* + Р"%・(37)
Второй закон термодинамики утверждает существование второй функции термодинамических параметров состояния — энтропии S и формулируется в виде
TdS = 6Q^W^ 威， W*》0,(38)
где Т — температура, W* — функция диссипации или рассеивания. Функция рассеивания определяется при введении модели. Если она равна нулю, модель называется обратимой. Вводя плотности энтропии s и рассеивания w*:
VV
второй закон термодинамики (38) можно записать в форме
^t\pSdV =v^t\pSdV =vP^dV- vP^dV- vdKdK(39)(39)
^t\pSdV =v
^t\pSdV =v
P^dV- v
P^dV- v
dK
dK
(39)
(39)
причем величина
d『》О
V
называется производством энтропии. Дифференциальным следствием интегральной формулировки (39) является уравнение притока тепла
(40)(40)0丁 豆=pq~q\i^w ,
(40)
(40)
которое в отсчетной конфигурации имеет вид
pT^ = pq-q：n⑷)
Температура Т > 0 всегда считается термодинамическим параметром состояния. Любая комбинация функций состояния и термодинамических параметров состояния будет также функцией состояния. Например, вводя F — функцию свободной энергии Гельмгольца, и ее плотность /:
F = Е — TS, f = e-Ts, получим из (37) и (40)
pdf ps dT = —ba⑴—w* d力
где
—ba⑴=Pij Dij dt = P“・ d£“.
Электромагнитное поле. Кроме температурного поля, на механические характеристики среды могут оказывать влияние и другие поля, например электромагнитное поле. Уравнения Максвелла, описывающие это поле, можно записать в виде [12]
к 1 авrot Е ———,с dt'
.„47r.丄 1 3D
(42)(42)rotH=^j +
(42)
(42)
divD = 4тг0е,
divB = 0.
Здесь ре — плотность электрического заряда, с — скорость света, а векторные характеристики представляют собой электрическую напряженность Е, магнитную напряженность Н, электрическую индукцию D, магнитную индукцию В и силу тока j.
Уравнения (42) инвариантны относительно группы Лоренца, в то время как уравнения механики (24), (27) инвариантны относительно группы Галилея.
Заметим, что последнее уравнение в (42) является следствием первого векторного уравнения (42) при учете начального условия
力=0 : div В = 0.
Так что из восьми уравнений (42) независимыми являются только первые семь.
В магнитной гидродинамике изучается связанная модель идеальной или вязкой жидкости, взаимодействующей с электромагнитным полем.
Для составления замкнутой системы уравнений магнитной гидродинамики учтем силы Лоренца, которые можно записать в виде [13]
^л = ре(E+；vxH)+ ；(jxH),
где V — вектор скорости жидкости.
Кроме того, в рассеивании энергии примет участие не только работа внутренних сил вязкой жидкости, но и диссипация электромагнитного поля
*=jE.
Определяющие соотношения. Основной этап в моделировании процессов деформирования заключается в выборе определяющих соотношений. Под процессом понимается задание некоторого геометрического объекта (скаляра, вектора, тензора и т. п.) или их комбинаций в некоторой частице среды как функций времени t. Большинство параметров МСС могут быть разбиты на основные (деформация, температура, градиент температуры, изменение объема, электрическая или магнитная напряженности и т. п.) и на их потоки (напряжения, энтропия, вектор теплового потока, давление, электрическая и магнитная индукции и т. п.).
Определяющие соотношения задают связь между основными параметрами и их потоками. Если эти соотношения инвариантны относительно преобразований времени, то они называются склерономными. Если же такой инвариантности нет, то определяющие соотношения называются реономными.
Каждый геометрический объект, являющийся основным параметром, можно поместить в некоторое функциональное пространство Н и определить в нем метрику [14]. Основные параметры и их геометрические потоки могут иметь различную геометрическую природу. Они описываются тензорами различного ранга: нулевого, первого, второго и т. д. В зависимости от выбранной модели операторы, описывающие определяющие соотношения, также являются тензорами различного ранга. Они могут быть линейными и нелинейными, однородными (одними и теми же в каждой материальной частице) и неоднородными (зависящими от координат).
Для реономных моделей рассматриваются смешанные функционалы в пространстве Н [15]. Некоторый геометрический объект называется смешанным функционалом от пары величин ｛纟*,£｝, где 纟*(丁)— геометрический объект (некоторый тензор), а £ — число,
^^ = Ш1Л｝， (43)
если задан закон, ставящий в соответствие каждой паре ｛纟，£｝ из области D некоторый тензор А. Если в (43) зафиксировать £, то получим тензор-функционал, а если зафиксировать 空，то получим процесс тензора. Таким образом, смешанный функционал определяет функциональный оператор, т. е. однозначное соответствие между тензором 纟土，рассматриваемым как независимая переменная, и тензором А. Обратно, если задан функциональный оператор, то ему можно поставить в соответствие вполне определенный смешанный функционал.
Рассмотрим несколько элементов пространства Н:
室 1)(т)，室71)(т)， (44)
и построим значения оператора (43) на этих элементах:
D⑴代⑴D(向(£")• (45)
Если т — минимальное число значений (45), по которым полностью определяется вид оператора 尸(43), то элементы (44) называются n-набором пробных функций, величины (45) — материальными функциями оператора (43), а число т — порядком этих материальных функций. Порядок материальных функций зависит от структуры оператора 尸，в частности от группы симметрии преобразований в пространстве R3, относительно которой оператор (43) является инвариантным.
В МСС процесс построения материальных функций по заданному набору пробных функций осуществляется с помощью эксперимента. Если возможно построить т независимых экспериментов, то модель, соответствующая определяющим соотношениям (43), называется адекватной. В противном случае она не может
быть адекватной, ибо не может найти инженерного применения. Улучшение экспериментальной техники и повышение искусства экспериментатора может превратить некую неадекватную модель в адекватную.
Если материальные функции неоднородных определяющих соотношений являются разрывными функциями координат, то такая среда называется композитом [16]. Определяющие соотношения называются локальными, если потоки зависят от основных параметров только в одной частице. В противном случае они называются нелокальными. Если и потоки и основные величины являются термодинамическими параметрами состояния, то определяющие соотношения называются уравнениями состояния.
Рассмотрим в качестве примера определяющие соотношения, связывающие тензор напряжений с тензором деформаций (будем рассматривать малые деформации):
% =先•(£，Т，г)，(46)
где 冗§ — тензор-оператор, учитывающий историю деформирования, а тот факт, что среда является неоднородной, отражен присутствием в (46) в качестве аргумента радиуса-вектора г.
Иногда определяющие соотношения (46) могут быть разрешены относительно деформаций:
£" = %У(2，Т，г)，(47)
так что операторы 尸 и 夕 в (46) и (47) являются взаимообратными.
В зависимости от того, линейные или нелинейные операторы (46), (47), среда называется физически линейной или нелинейной.
Определяющие соотношения чаще всего выбираются такими, чтобы для произвольного симметричного тензора h = h1^^ 0 е^ выполнялись неравенства
О << (獅О << (獅涼,hij咏
О << (獅
О << (獅
где m, М — некоторые положительные числа. В этом случае говорят, что «касательный модуль» является положительным [16].
Определяющие соотношения (46), (47) называются потенциальными, если существуют скалярные операторы W(е),侦3) такие, что
戸=/= (券+翳)，=我3)7券+誤)•
Для введения физически нелинейных определяющих соотношений иногда используют принцип скрытых параметров. Он заключается в том, что в операторные соотношения (46), (47) вводятся некоторые дополнительные параметры 办(0 = =1, . . . , В), зависящие от истории процессов деформирования. Для таких параметров пишутся специальные уравнения, которые иногда называются кинетическими:
讐=w力侬…2,7, r),
где 屮万 ——некоторые операторы указанных аргументов. Параметры 也万 не обязательно являются скалярными. Некоторые из них могут быть векторами, некоторые тензорами более высокого ранга [17].
Иногда таким параметрам приписывается свойство описания развития дефектов материала или конструкции в результате деформирования. Тогда говорят, что
эти параметры являются мерой поврежденности, повреждаемости или деструкции [17-20].
Линейные определяющие соотношения. Линейные тензорные функции, связывающие тензор ранга т и тензор ранга п, являются тензором ранга (n + т), инвариантным относительно группы преобразований G, характеризующей свойства этих определяющих соотношений.
Например, тензор напряжений а связан с тензором малых деформаций £ для упругого тела законом Гука (в дальнейшем мы будем использовать исключительно прямоугольную декартову систему координат [2]):
ь” = Cijki^ki ? (48)
где С = Cijkiki 艺)kj 0 k^ 0 к/ — тензор модулей упругости четвертого ранга, который имеет в общем случае анизотропии 21 независимую компоненту. Соотношения (48) можно разрешить относительно деформаций
&ij — Jijkl^kl,
где J = Jijki^i 0 kj 0 k^ 0 к/ — тензор упругих податливостей, обратный к тензору модулей упругости
CijmnJmnkl = JijmnCmnkl = △б^/г?.
где ^ijki — компоненты единичного тензора четвертого ранга:
^ijkl = 2 (&k%2 + &2%%)・^ijkl = 2 (&k%2 + &2%%)・(49)(49)
^ijkl = 2 (&k%2 + &2%%)・
^ijkl = 2 (&k%2 + &2%%)・
(49)
(49)
Для изотропной среды тензоры С и J имеют по две независимые компонента:
Cijkl — ^^ik^jl + 2〃 △订％2, для трансверсально изотропной — 5, а для ортотропной — 9 независимых компонент [2].
Определяющие соотношения линейной теории моментной упругости имеют вид
= CjjklE kl + 4订％ 2夕42,, ч
〃叮—屮kl 十kl>
где 卩叮一тензор моментных напряжений Qij (29) для случая малых деформаций, а Зк2 следует из (32):
Зк2 — 2(3kN + 3，,k)・
Определяющие соотношения (50), хотя и заданы в каждой материальной точке среды, все же в некоторой степени отражают нелокальность этих соотношений [11].
Для существования упругого потенциала, что требуется для доказательства хотя бы единственности решения задачи моментной теории упругости, необходимо, чтобы в (50) были выполнены условия
Cijki — С kiij〉 D〃jki — Dkiij, Ajj 卜1 — A^nj, Ajjki — B%jki・
Электромагнитные процессы, описываемые феноменологической электродинамикой (42), также нуждаются во введении определяющих соотношений. Эти определяющие соотношения связывают между собой векторы электрической напряженности Е, плотности поляризации Р, магнитной напряженности Н, плотности
намагниченности М, электрической индукции D, магнитной индукции В, силы тока j. Они записываются в виде
D = E + 4ttP = %・E,(51)
В = Н + 4тгМ =兄• Н,(52)
j = 4 • Е・(53)
Тензоры второго ранга (материальные тензоры): % =死叮冗 N 島一электрической проницаемости,从=〃叮1<£ N к^ — магнитной проницаемости, и = У{^{ 0 kj — проводимости, определяются экспериментально. Для изотропной среды каждый из этих тензоров является шаровым:
"叮=貝6%j〉 〃叮=l^^ij ? ^ij = ^^ij •
В приборах, регистрирующих температуру, часто используется так называемый пироэлектрический эффект, который описывается с помощью определяющих соотношений
R =仪牝(54)
где Р = Rkj — плотность поляризации, Н — перепад температуры, а р =仪修— материальный пироэлектрический вектор.
В преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, громкоговорителях, адаптерах, виброметрах и др. часто используются прямой пьезоэлектрический эффект
R = dijk。jk(55)
и обратный пьезоэлектрический эффект
£汴—dij k Ei,
где £ = £泳勺*]<4— тензор малых деформаций, g = сг 汴勺 0 k^. — соответствующий ему тензор напряжений, а тензор третьего ранга d = d^^kj 0 kj N k^, симметричный по первым двум индексам, называется тензором пьезоэлектрических модулей.
Вектор теплового потока q = %k£ связан с градиентом температуры grad Т = =Т jkj законом теплопроводности Фурье:
% = — Tj.(56)
Материальный тензор Л называется тензором теплопроводности (его ранг равен сумме рангов тензоров, которые он связывает, т. е. двум). Он симметричен и положительно определен, а его компоненты А^ являются материальными функциями. Если среда изотропна, т. е. ее свойства одинаковы для всех направлений, то материальный тензор должен выражаться через комбинацию единичных тензоров. Тогда тензор теплопроводности, входящий в (56), имеет вид
&i8 -n6行,где Л — коэффициент теплопроводности. Материальные функции, описываю-щиеся определяющими соотношениями (54), (55), представить через единичныетензоры 6ij нельзя. Поэтому пироэлектрический и пьезоэлектрический эффектыв изотропной среде отсутствуют. Напомним, что, если материальные функции за-висят от координат, то среда называется однородной. Если материальные функции
являются разрывными функциями координат, то неоднородная среда называется композитом.
Эффект теплового расширения материалов описывается определяющими соотношениями, связывающими тензор деформации £ и перепад температуры 仪
£ ij = а〃 / Н.
Здесь а = «^kj 0 kj — симметричный тензор теплового расширения, а Н — разность между текущей температурой Т и некоторой фиксированной температурой То- Очевидно, для изотропной среды
а^ = a6ij,
где а — коэффициент теплового расширения.
Очень часто в МДТТ используют гипотезу Дюгамеля-Неймана [7], когда вместо определяющих соотношений, в которых тензор напряжений связан с деформацией и температурой (например, (46)), записывают соотношения
о” = %・(£Т,г),(57)
где
三一 a订•仇(58)
К реономным относятся определяющие соотношения линейной теории термовязкоупругости [17]:
^ij = ] Rijkl(t — T)如 k/(T), ^ij = j^ ^ijkl (^ — 丁)~%/(丁)， 00
где тензор ядер релаксации 兄叮左底力)и тензор ядер ползучести 口叮左《力)связаны между собой соотношениями
—Rijkl (t^^klmn (0) ?—Rijkl (t^^klmn (0) ?]Rijkl(t — T) dri/g/mn(丁) = △订.771rl о
—Rijkl (t^^klmn (0) ?
—Rijkl (t^^klmn (0) ?
a ^ijmn ——единичный тензор четвертого ранга (49).
Нелинейные определяющие соотношения. Если рассматриваются линейные определяющие соотношения, связывающие между собой векторные величины, например (51)-(53), (56), то они легко обобщаются на нелинейный случай с помощью включения в качестве аргумента в тензор материальных функций инвариантов «основного» вектора [2]. В изотропном случае этим аргументом будет только длина этого вектора, например:
D = 〃(|E|)E, В = 〃(|Н|)Н, j = 〃(|E|)E, q=—А(| grad Т|) grad Т.
Гораздо сложнее дело обстоит, когда определяющие соотношения связывают между собой тензоры второго ранга. Ведь даже для изотропного случая тензор напряжений Коши (23) связан с тензором Коши-Грина (7) с помощью упругого потенциала
勿=W(C)
соотношением [21]
Pij =祟心+需。叮+磊小03
где I, II, III — инварианты тензора Коши-Грина [21].
Некоторые особенности нелинейных определяющих соотношений были отмечены в п. 5.
Очень часто при построении модели МДТТ возникает вопрос о соосности симметричных тензоров второго ранга, связь между которыми задается вводимыми определяющими соотношениями. Соосными называются такие два симметричных тензора второго ранга, которые в одной и той же системе координат (Г) имеют диагональный вид.
В таком случае очень полезной оказывается
Теорема А.Ю. Ишлинского о соосности двух тензоров: для того чтобы два симметричных тензора второго ранга а и b были соосными^ необходимо и достаточночтобы тензор с, образованный их скалярным произведением с = =旦•攵，был симметричным.
Для доказательства необходимости предположим, что тензоры а и 6 соосны. Так как тензор с в системе координат (Г) имеет диагональный вид, то он будет симметричным и в любой другой системе координат, получающейся из исходной в результате ортогонального преобразования.
Доказательство достаточности будем вести от противного и предположим, что тензор с симметричен, но тензоры а и 6 несоосны. В этом случае тензор а в некоторой системе координат (А) имеет диагональный вид:
/ ai00\
0а20.
、ооа3>
Предположим, что а】* а? * аз・
В той же системе координат (А) тензор 攵 имеет вид
(仇1仇2仇3 、
仇2622623•
\仇3623633 /
Поэтому тензор с в этой системе координат имеет вид
(«1^11 «1^12 «1^13 \a2仇2a2622a2623,
\a3仇3a3623a3633 /
т. е. тензор с несимметричен. Это противоречит принятому предположению, что и требовалось доказать.
Определяющие соотношения «связанных» моделей. Рассмотрим, например, модель термо-электроупругости. Будем считать для простоты, что рассматривается прямоугольная система координат. Включим в число термодинамических параметров состояния вектор электрической напряженности Е или электрической индукции В. Тогда, используя (57), (58), получим
(59)(59)R = R(£T,T,D), / = /(st,T,D).
(59)
(59)
Введем новый термодинамический потенциал Гиббса G и его плотность g по формуле
pg — —ре + psT + cfij^ij + D{E{^
откуда получим
(60)(60)(61)(61)р dg = s dT + £订・ daij + D* dEi〉
(60)
(60)
(61)
(61)
где обозначено
47r
Тогда соотношения (51) с учетом (55) и (61) могут быть записаны в виде
。彳=石 死订• Ej + dijk^jk-
Из выражения (60), очевидно, следует
dg _ dg _行=也P际=2dg _ dg _行=也P际=2—Q*—Q*
dg _ dg _
行=也P际=2
dg _ dg _
行=也P际=2
—Q*
—Q*
При этом
d2g _ (ds\ _ cpd2g —d2g _ dD- _ 1
济_\дt)£ 一亍'P daijдак1 —р дEidEj _丽；一石"咏
где Jijki — компоненты изотермического тензора упругих податливостей, обратного к тензору модулей упругости, ”订—компоненты тензора электрической проницаемости.
Смешанные вторые производные термодинамического потенциала Гиббса будут определять связанные эффекты полей:
РдТда^ - дтРдтдЕ. - дТРдEiderjk - BE陋丿
где aij — компоненты тензора теплового расширения, pi — компоненты пироэлектрического вектора, &汴一компоненты пьезоэлектрических модулей.
Для того чтобы получить физически линейную модель, предположим, что термодинамический потенциал Гиббса является квадратичной функцией термодинамических параметров состояния. Тогда получим
‘05 =等 Н + ^-ij^ij +3也，
丿0
< £叮=&叮户 + Jijki^ki + dkijЕк,
^i = Pi^ + dijkOjk + 含石八
Случай физически нелинейной модели изучен в работе [22].
Как правило, в электроупругости рассматривается электростатика при отсутствии электрозарядов. Тогда из уравнений (42) имеем
rotE = 0, divD = 0, Н = 0.(63)
Если вводится электрический потенциал д,
Е = — grad з
то первое векторное уравнение в (63) удовлетворяется тождественно. Обращая определяющие соотношения (59) и вводя обозначения
Cmnijdkij = 3kmni
получим
Oij = Ci,jkl&kl — Bij® — «kij E&
На основе многокомпонентной сплошной среды может быть построена модель МДТТ с учетом термодиффузии [23]. Термодинамическими параметрами для такой модели могут быть выбраны температура Т и массовые концентрации компонентов а (15):
Тогда
/ = /(Т, Са)・
(65)
Уравнения неразрывности (19) после некоторых преобразований могут быть записаны в виде
号 +divj°
N
£ %/力，
i=i
(66)
где векторы диффузионного потока ja определяются как [9] ja = 0a(Va一 V),
причем
£ ja = 0,£ Ca = L
a=la=l
Из (65) получим
df _ dT , n I 3 口 •*
— —PSh Oij Djj +〉/ Faja —仅,
где Fa — массовые силы, приходящиеся на компонент а:
0F =〉] 0aFa・
Химический потенциал Ха определим следующим образом:
Ха — ас：
Тогда получим формулу Гиббса [9]
de — Т ds = £ Xa dca.
Определяющие соотношения, связывающие тепловые и диффузионные потоки, с одной стороны, и градиенты температуры и химические потенциалы — с другой,
будем считать линейными и удовлетворяющими условию Онзагера [9]:
(67)
= _AMTj _ g D^^V(68)
Если коэффициенты связанности 4；，отсутствуют, то соотношения (67) совпадают с законом теплопроводности Фурье (56), а соотношения (68) — с обобщенным законом Фика.
Итак, замкнутую систему МДТТ с учетом термодиффузии составляют уравнения равновесия
。订/• + pFi = 0,(69)
диффузии (66) и уравнение притока тепла
рТ^ = pq~ div (q — g 内卜))+ ^ijDij +
m,、 m N
+ £ jS)(FS)— gradx(。)) 一 £ £⑷刀.
a=la=l1=1
К этим уравнениям, помимо соотношений (67), (68), следует еще добавить «связанные» определяющие соотношения
叫=%(2,7,。(⑨)，S = S@T, С(a))，3a)=Ф9)(旦,T, С(a))，(70)
причем в (70) должно выполняться условие
玄=0-
Эффективные определяющие соотношения. Под композитами понимаются модели МДТТ, для которых материальные функции, соответствующие определяющим соотношениям (46) или (47), являются разрывными функциями координат [16]. Эти разрывы происходят на границах компонентов композита, а внутри каждого компонента материальные функции можно считать непрерывными функциями координат.
Важной особенностью композитов является нестабильность их физико-механических свойств. Знание только средних значений того или иного параметра, характеризующего эти свойства, очень часто может дать неверную информацию о ней [24].
Поэтому часто целесообразной оказывается статистическая постановка задачи, когда по статистическим характеристикам материальных свойств материала определяются статистические характеристики искомых величин [25].
К тому же определяющие соотношения композита, как совокупность определяющих соотношений его компонентов, часто оказываются в некотором смысле неустойчивыми [26], что значительно усложняет моделирование композитов.
Чтобы упростить моделирование неоднородных сред МДТТ, в механике композитов давно пользуются приемом введения так называемой приведенной среды
с эффективными определяющими соотношениями. Эти соотношения определяются либо экспериментально на «представительных образцах» [16], либо теоретически.
Например, краевая задача для нахождения эффективных характеристик заключается в решении трех уравнений равновесия (69) без массовых сил:
0订•，к u)=0(71)
при выполнении специальных кинематических граничных условий
"〃к = ”£， ”£ = ^ijXj 5(72)
где 7 = 7叮修 0 ej — симметричный тензор-костанта. Из решения задачи (71), (72) находятся напряжения *. Осредняя их по объему, занимаемому телом,
* dK
устанавливаем связь
(aij) = ^ij(7)?(73)
где [16]
(£ij) = 7叮•
Определяющие соотношения (73) и называются эффективными определяющими соотношениями композита.
Если же рассматривается вторая краевая задача также без массовых сил, 小式2)= 0， 内加.=°， со специальными граничными условиями
a^j nj I е; = S} S° = Tij rij,(74)
где г = Tij^i 0 ej — симметричный тензор-константа, то после ее решения устанавливается связь
〈2"〉=印式工)，(75)
где [16]
(aij) — Tij •
Определяющие соотношения (75) также называются эффективными определяющими соотношениями.
Из граничных условий (72), (74) видно, что найденные таким образом эффективные определяющие соотношения зависят от области, занимаемой телом. Однако существуют такие среды, называемые статистически однородными [27], в которых эффективные материальные функции, соответствующие определяющим соотношениям (73) и (75) для различных областей V, отличаются между собой незначительно (малой величиной является отношение линейного характерного размера структуры композита к диаметру области V). Для таких сред можно считать с достаточной степенью точности определяющие соотношения (73) и (75) взаимообратными.
Долгое время в механике композитов основным предметом исследования служила приведенная среда, т. е. однородная среда с определяющими соотношениями,
совпадающими с эффективными определяющими соотношениями композита. Заметим, что в последнее время в математической литературе появилось направление «гомогенизация», в котором основной задачей является математическое обоснование такого инженерного подхода. Вычисляются определяющие соотношения приведенной среды и дается энергетическая оценка замены решения краевой задачи с определяющими соотношениями (46), (47) краевой задачей с определяющими соотношениями приведенной среды (73) и (75).
Однако такой подход не позволяет получить микронапряжения, т. е. напряжения внутри каждого компонента композита, а потому он не в состоянии ответить на многие вопросы, связанные с неоднородностью композита, в частности с проблемой адгезионной прочности.
Найти микронапряжения позволяют методы осреднения регулярных структур [16, 28]. С помощью таких методов удалось найти точные эффективные характеристики слоистых и некоторых однонаправленных волокнистых композитов (волок- нитов) с упругими, линейно-вязкоупругими компонентами и даже с некоторыми упруго-пластическими [16].
В последнее время удалось создать методику определения микронапряжений в композитах, не обладающих регулярной структурой [29].
Контакт между компонентами композита называется идеальным, если на границе их раздела остаются непрерывными векторы перемещений и напряжений. Однако на практике наблюдается отслоение одного компонента от другого, разрывы волокон и т .п.
Механический контакт компонентов может сопровождаться и диффузионным проникновением одного компонента в другой. Этот процесс активизируется при высокой температуре. Компоненты могут также химически взаимодействовать друг с другом. В результате между ними образуется прослойка со свойствами, отличающимися от свойств взаимодействующих компонентов. Границы этих прослоек определить трудно, причем иногда их размерность Хаусдорфа является дробной (фрактальной) [30].
Особую трудность представляет моделирование композитов, компоненты которых работают в условиях сложного (непропорционального) нагружения. Хотя для расчета поведения однородных материалов, работающих в таких условиях, предложены некоторые подходы [31], в моделировании сложного нагружения композитов сделаны только первые шаги.
Автор признателен за финансовую поддержку Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 02-01-00780).
Список литературы
Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987. — 319 с.
Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — 264 с.
Победря Б. Е. О геометрической трактовке теории дислокаций // Вести. Моск, ун-та. Сер. Математика и механика. 1964. № 1. С. 69-75.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1986. - 760 с.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с.
Победря Б. Е. О взаимодействии геометрической и физической нелинейности в теории упругости и о смысле вектора перемещений // Изв. АН АрмССР. Механика. 1987. Т. XL. № 4. С. 15-26.
Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.
Победря £.石.,Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 208 с.
де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
Котов Ф. В. Механика Герца // Ученые записки МГУ. 1937. Т. VII. С. 201-256.
Победря Б. Е. Элементы структурной механики деформируемого твердого тела // Математическое моделирование систем и процессов. 1996. № 4. С. 66-73.
Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966. — 624 с.
Победря Б. Е. Модели механики сплошной среды // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, Вып. 1. С. 93-127.
Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. 1975. Вып. 3. — М.: Изд-во Моск, ун-та. С. 95-173.
Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 512 с.
Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1984. - 336 с.
Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. —М.: Наука, 1970. — 280 с.
Качанов Л. М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. — 312 с.
Работное Ю. Н. Ползучесть элеменотов конструкций. — М.: Наука, 1966. — 752 с.
Кишкин Б. П. Конструкционная прочность материалов. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1976. - 184 с.
Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.
Победря 6. Е. Определяющие соотношения связанных полей // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 3. С. 101-108.
Победря £.石.,Гузей И. Л. Математическое моделирование деформирования композитов с учетом термодиффузии // Механика композитных материалов. 1998. № 6. С. 82-91.
Победря Б. Е. Принципы вычислительной механики композитов // Механика композитных материалов. 1996. № 6. С. 729-746.
Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 139 с.
Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. - М.: УРСС, 1998. - 176 с.
Сендецки Дэю. (ред.) Механика композиционных материалов. — М.: Мир, 1978.— 566 с.
Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. — М.: Наука, 1984. — 352 с.
Горбачев В. И., Победря Б. Е. Эффективные характеристики неоднородных сред // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 1. С. 149-156.
Кулак М. И. Структурные аспекты фрактальной механики древесно-полимерных композитов // Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1991. №2. С. 18-22.
Победря Б. Е. Сложное нагружение слоистых композитов // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 21-30.
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ КАКФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Ю.Н. Радаев
Самарский государственный университет
Введение. Вариационная формулировка как средство математического представления физической теории часто рассматривается в качестве самого элегантного и экономичного (в духе принципа экономии мышления Маха (Е. Mach)) представления, по крайней мере для физических теорий, не претендующих на описание диссипативных процессов. Классическая механика Лагранжа и Гамильтона является великолепным образцом теории, реализованной с помощью вариационного описания. Наконец, следует отметить, что вариационные принципы были положены в основу теории электромагнитного и гравитационного поля в [1].
Механика континуума, являясь классической теорией поля, не может быть исключением: исследование обобщенных симметрии и инвариантных групп для функционала действия есть, по-видимому, не только самое мощное средство проникновения в сущность самой механики континуума, но и регулярный метод вывода инвариантных интегралов нелинейной механики, которые часто (как об этом убедительно свидетельствует опыт механики разрушения) могут иметь и важное прикладное значение.
Представленный материал располагается в следующей последовательности: сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения.
В целом статью следует рассматривать как компактное, но вполне строгое изложение нелинейной теории упругости с позиций классической теории поля. В то же время в работе освещены и формальные основы нелинейной механики разрушения, которая в значительной мере базируется (в формальном плане) на аппарате инвариантных интегралов, которые по существу представляют собой инвариантную формулировку основных физических законов сохранения в виде
интегралов по контуру или поверхности, не зависящих от пути интегрирования (см. [2, рр. 100-113], [5-9], [10, рр. 58-73]).
Последовательное изложение затрагиваемого круга проблем заинтересованный читатель может найти также в известной монографии [2]. К сожалению, на русском языке имеется весьма ограниченный набор литературных источников по проблеме применения вариационных симметрий в нелинейной теории упругости. Так, в известной монографии [11] вообще нет никаких указаний на это.
По поводу формализма исчисления вариаций для функционалов с переменной областью интегрирования и доказательства теоремы Нетер см. [12-15]. Систематическое изложение теории симметрий и законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных дано в четвертой главе монографии [4].
Канонические законы сохранения. Мы будем рассматривать общий нелинейный случай и начнем с краткого анализа основных соотношений кинематики. Обозначения, используемые далее, в основном согласуются со схемой рациональной механики [16]. Компактное изложение теории конечных деформаций читатель может найти в [2] и [17], систематическое — в духе рациональной механики Нолла-Трусделлa (W. Noll, С. Truesdell) — в монографии [18].
Следуя традиционной схеме рациональной механики, обозначим через х положение (место) в пространстве в момент времени t материальной частицы X. Ясно, что места х составляют актуальную конфигурацию тела ^, а места X — отсчетную конфигурацию Kr.
Деформация тела, развивающаяся с течением времени, представляется как достаточно гладкое отображение
х = х(Х")(1)
отсчетной конфигурации на актуальную: Kr Т К.
Это отображение можно обратить и представить, таким образом, деформацию в виде обратного отображения
Х = Х(х").(2)
Здесь важно отдавать себе отчет в том, что уже на этом первоначальном этапе проявляется характерная для всей нелинейной механики сплошных сред двойственность: двойственность представления деформации (1) и (2) (прямое и обратное описания) влияет затем на выбор мер деформации и формулировку законов сохранения.
Градиент деформации
F=(V^0x)T(3)
является важнейшим конструктивным элементом кинематики континуума. Обратный градиент, естественно, определяется как
F-1 = (V 0 Х)т ,(4)
и, следовательно, FF-1 = I, где I есть единичный тензор.
Вектор скорости определяется как частная производная по времени прямого представления (1):
V = (&х)х •(5)
Материальная скорость определяется как частная производная по времени обратного представления (2):
D=@X)x・⑹
Оба типа скорости связаны соотношением
D=—F-iv.(7)
Два основных закона сохранения (массы и импульса) можно сформулировать в материальной форме (т. е. по отношению к конфигурации К^):
(仇 0A)x = O, (^P)X-V^S = O,(8)
где
Р = 0五(&х)х = РвУ(9)
есть физический импульс,
ST = JTtF-t,(10)
где S — первый тензор напряжений Пиола-Кирхгофа, Т — тензор напряжений Коши, J = det F. Мы подразумеваем отсутствие поля массовых сил и не учитываем их вклада в баланс импульса.
Баланс энтропии также сформулируем в материальной форме:
X + ▽五 J = /h + 6ntr,(11)
где s — плотность (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) энтропии, J — материальный вектор потока энтропии. Производство энтропии — слагаемые в правой части последнего уравнения — складывается из двух частей: вклад bth обусловлен теплопроводностью, a bintr — внутренним производством энтропии при необратимых изменениях состояния.
Процесс теплопроводности описывается материальным уравнением притока тепла:
^(||)x + V^h = ^intr,(12)
где Н — абсолютная температура, h — материальный вектор потока тепла.
Введем две основные функции, необходимые для представления в рамках классической теории поля.
Функция Лагранжа
L = К — ^(13)
представляет собой разность кинетической энергии
К = Т PrV • V(14)
и свободной энергии Гельмгольца (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии)
^ =以F,牝 а, ▽五а,Х),(15)
где переменная а зарезервирована для внутренних (скрытых) переменных состояния; аргумент V^Q подразумевает возможность диффузии и локализации
физической величины, представляемой скрытой переменной а; аргумент X указывает на возможную материальную неоднородность тела, на его дефектную или поврежденную структуру.
Полная энергия (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии)
Н = Е + К
(16)
есть сумма внутренней энергии Е и кинетической энергии К.
Внутренняя энергия Е и свободная энергия ^ связаны соотношением
e=sH +沙
(17)
Еще одну группу уравнений составляют определяющие уравнения
(18)
(19)
h = HJ, crth = -J (V^ ln^) , ^crintr = A
（趴，
(20)
где
4 = %+\7aM = T
(21)
есть обобщенная термодинамическая сила, сопряженная потоку внутренней переменной состояния а.
Канонические уравнения баланса импульса и энергии выводятся из уравнения баланса импульса (8) умножением слева соответственно на FT и v:
(需)х —厂五 Р — finh - fth - Г = 0,(22)
(祟)(23)
В этих уравнениях
P = -FTP(24)
—канонический импульс (псевдоимпульс),
Р = —(" + S • F + М N (▽五а))(25)
—тензор напряжений Эшелби (J.D. Eshelby) х),
В Тензор напряжений Р (этот же тензор часто называют тензором энергии-импульса) был введен в механику Эшелби [19]. В современной литературе по нелинейной механике сплошных сред встречаются (в рамках одной и той же физической интерпретации) различные определения тензора энергии-импульса (см., например, монографии [2, 18]). С точки зрения интегральных законов сохранения механики тензор напряжений Эшелби играет роль, аналогичную тензору S, при формулировке баланса полной энергии внутри фиксированного контрольного объема в физическом пространстве. В этом случае соответствующий объем в отсчетной конфигурации будет подвижным. С помощью формулы дифференцирования интеграла по подвижному объему нетрудно проверить ([18, рр. 172,
「= ¥ — h(26)
—материальный вектор потока энергии;
，=Sv + M(崇)х，(27)
—материальный вектор Умова-Пойнтинга (Н. А. Умов, J. Н. Poynting);
f" = $(▽五Н)(28)
—термическая материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения температуры;
= A(yRa)(29)
—материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения скрытой переменной а;
装％(3。)
—сила, действующая на материальную неоднородность (сила Эшелби). Заметим также, что
H = s^-p(F~Tv) - L,
(31)
0 = Mv, (C = FT・F),
(32)
К = ；0mC ・D= ；05
(33)
N =(…)”r0r)—(農)м
(34)
dL 〜dL
(35)
Следствием канонического уравнения баланса импульса (22) является зистатическом приближении) соотношение
(в ква-
▽五Р =一f叫
(36)
173]), что (мы пренебрегаем здесь внутренними степенями свободы) 浦"dy = ](N (Pn) -HN)dSR,
где drR — элемент объема, dSR — элемент поверхности в отсчетной конфигурации, тензор Р = "I — S • F несущественно отличается от тензора напряжений Эшелби Р = =—£Д — S • F. Тензор Р играет главную роль при подсчете скорости освобождения энергии вследствие продвижения края трещины. Отметим также, что в квазистатическом приближении (ср. [18, р. 172])
рт = _几T包(史).
Симметрия тензора напряжений Коши Тт = Т влечет за собой равенство С Р = Рт С, где С = FT F — правый тензор деформации Коши-Грина.
или, в случае материально однородного тела,
▽аР = О・(37)
Полученный результат устанавливает инвариантность интеграла
jNPdSA = 0(38)
s
(здесь интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S, не содержащей внутри сингулярностей упругого поля; N — единичный вектор внешней нормали) в плане независимости значения интеграла от формы поверхности S в отсчетной конфигурации Kr.
Впервые инвариантные интегралы появились в классическом трактате Максвелла (J. С. Maxwell) в 1873 г. при определении напряжений в электромагнитном поле 1). В статической линейной упругости аналогичные интегралы, используя метод Максвелла, ввел в 1951 г. Эшелби [19]. Фактически Эшелби использовал инвариантные интегралы для вычисления конфигурационной силы, действующей на упругую неоднородность эллипсоидальной формы. Согласно Эшелби, сила /片* которая действует на дефект или включение в упругой среде, может быть вычислена с помощью не зависящего от пути интеграла
/]nh = ^ nkPki d»
где замкнутая поверхность Е должна охватывать дефект или включение, P^i — тензор напряжений Эшелби.
Позднее инвариантный интеграл был выведен Гюнтером (W. Gunter) [5] на основе вариационной теоремы Нетер (Е. Noether) [3]. Систематический вывод инвариантных интегралов теории упругости с помощью вариационной теоремы Нетер был дан в статье [6]. Наконец, следует упомянуть работы [7-9], где большое количество нетривиальных законов сохранения было получено на базе теории обобщенных групповых симметрий.
В 1967 г. Г. П. Черепанов [20] получил инвариантный Г-интеграл механики разрушения непосредственно из закона сохранения энергии. Интенсивное применение инвариантного интеграла (J-интеграла) в механике разрушения в качестве параметра, характеризующего напряженно-деформированное состояние трещины в упругопластических телах, восходит к 1968 г., когда инвариантный интеграл был сформулирован Райсом (J.R. Rice) [21].
Элементы теории поля. Ниже будут даны необходимые сведения (преимущественно формального плана) из современной теории поля. Для понимания излагаемой ниже теории необходимо достаточно свободное владение исчислением вариаций (например, в рамках замечательного курса вариационного исчисления [14]). Компактное изложение имеется в [12, рр. 260-264]. Можно рекомендовать также монографию [2, рр. 96-115].
В Дж. К. Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I, II. — М.: Наука, 1989. 416 с., 440 с. Речь идет о вычислении сил, действующих на элемент тела, помещенного в электромагнитное поле (Т.П, с. 226-231).
Рассмотрим функционал типа Гамильтонова действия:
&=] L(d屮к,a?a…，xB)d&х,(39)
^x[ti,t2]
где “ 一 упорядоченный массив физических полевых величин; Х° (/3 = =1, 2, 3, 4) — пространственно-временные координаты D ; X4 = ct (константа с имеет смысл характерной скорости и ее можно положить равной единице); d’X — элемент объема; D — область трехмерного пространства ), в которой изменяются координаты X、X2, X;力i,力2 ——границы временного интервала.
Под d’X мы понимаем «естественный» элемент объема
d’X = dX%X2dx3dx%
Инвариантный элемент объема d4T пространственно-временного многообразия определяется на основании
d4T = ^dXbX2dx3dx*
где g — определитель (точнее, его абсолютная величина), составленный из метрических коэффициентов g^Q. Поскольку метрика пространства-времени гиперболична, то обычно вместо ^/g пишут ,—g, ибо в последнем случае величина под корнем будет положительной.
Итак, инвариант .—g dX%X2dx3dХ《—величина четырехмерного объема, измеренного в локальной координатной системе посредством твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относительности. Инвариантный элемент объема следует отличать от «естественного» элемента объема d’X = = dX'dX2dХЗ(1Х* так как координатная система пространственно-временного многообразия может быть криволинейной, и в этом случае величина，一g отлична от единицы. При использовании криволинейной координатной системы в пространственно-временном многообразии функционал действия следует писать в форме
D x [ti "2]
1)Аналогия между пространством и временем была известна еще древним грекам. Аристотель включал время в число непрерывных величин наряду с линиями, поверхностями и телами. В современной физике равноправие пространственных координат и времени утверждалось в процессе становления теории относительности. Пространственновременное многообразие — неотъемлемый элемент теории относительности. Геометрия пространства-времени как объект физической теории рассматривается, например, в [22, рр. 457-472]. С точки зрения классической механики сплошных сред переменные Х\ X2, X? вполне аналогичны координатам Лагранжа, а оперирование с четырехмерным пространственно-временным многообразием исключительно удобно при описании динамических процессов в деформируемых средах.
Ясно поэтому, что часто характер координатной системы можно вообще не специфицировать, но тогда в уравнениях поля под функцией Лагранжа следует понимать не L, a y/—g L.
Пространство-время является четырехмерным псевдоевклидовым пространством 1), метрика которого задается знаконеопределенной квадратичной формой
d$2 = £Q(dX，2, где
£1 = 1,£2 = 1, £з = 1,£4 = -1-
Определенное подобным образом 4-пространство обычно называют пространством Минковского (Н. Minkowski).
Через д/з здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования по пространственно-временным координатам Х° Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона V^) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой инвариантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований пространственно-временных координат Х^.
Большинство современных физических теорий ограничивается градиентами первого порядка от полей “
Для классической механики сплошных сред физические поля “ 一 это закон движения (или деформирования) тела, представленный как зависимости координат Эйлера (т. е. координат в пространстве, которые выбираются наблюдателем для представления положений точек сплошной среды в процессе ее деформации) от координат Лагранжа (координаты Лагранжа, согласно традиционным представлениям механики сплошных сред, индивидуализируют точки континуума, являясь для каждой из них уникальной меткой):
хк =丿(Х\х2,хЗ,х4).
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что 夕卜 суть эйлеровы коорди- натъ匸 5k = х".
В принципе деформацию сплошного тела можно описывать обратным отображением (так называемое обратное лагранжево описание):
X0= x0(力 1,力2,力3").
Тогда роль физических полевых величин будут играть переменные Лагранжа. Ни одно из описаний — прямое лагранжево и обратное лагранжево — не имеет никаких преимуществ по сравнению с другим. Исторически сложилось так, что широкое распространение получило лишь прямое описание. И только в последнее время обратное описание стало проникать в работы по нелинейной теории упругости (см., например, монографию [2]).
Отправным пунктом математического описания физических полей служит принцип Гамильтона
66 = 0.
В Геометрия псевдоевклидовых пространств и пространственно-временного многообразия в деталях изложена в книге: Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. — М.: Наука, 1966. 648 с.
Осознанное манипулирование с вариацией действия 6 подразумевает ясное и строгое определение различных видов варьирования как самих полей д£ так и пространственно-временных переменных Х^. Поэтому мы начнем с базовых понятий и определений.
Основным исходным элементом, необходимым для определения понятия вариации, является однопараметрическое семейство (группа) преобразований пространственно-временных координат и физических полей:
30,济)1(又0,歹)，(40)
где
又0=丫气X), £), 济(又0,£)= фк停5(X)又£),
причем
Y气XZDIj = X0，ф4(即叫Е儿=。=济.
Величина £ — параметр группы, который может быть скалярным, векторным или тензорным.
Исключительный интерес представляют однопараметрические группы преобразований, которые не изменяют величины действия (или изменение действия является бесконечно малой величиной порядка, высшего чем £)любой 4-области пространственно-временного многообразия. Указанные группы обычно называют группами инвариантности действия (или вариационными симметриями).
Следует обратить внимание на тот факт, что пространственно-временные координаты Х° и физические поля “ входят в группу преобразований явно не симметрично, ибо закон преобразования (40) не допускает трансформацию переменных Х°, зависящую от полей g& Впоследствии мы рассмотрим более широкий спектр преобразований с целью устранения указанной несимметричности.
Заметим, что инвариантность действия означает, что х)
又=Ld’X, где
—плотность лагранжиана, выраженная с помощью новых пространственно-временных координат № и физических полей 0k
Ясно, что в результате преобразования группой инвариантности действия плотность лагранжиана преобразуется (возможно, с точностью до бесконечно малой величины порядка, высшего чем £)как обычная скалярная плотность:
det (樓)Z(济,瓦济,瓦瓦济，又0)=
В Или приводимое ниже равенство должно удовлетворяться с точностью до бесконечно малой величины порядка, высшего чем е.
Частичная (т. е. при неварьируемых пространственно-временных координатах Х°) вариация поля “ определяется как
6“ = £6“ = £аФ%(Х))Н,е)、丿
6“ = £
6“ = £
Операторы 3万 и 6 перестановочны:
63万=а^8.
Вариациям физических полей “，исчезающим как на границе пространственной области интегрирования, так и на границах временного интервала, отвечает вариация действия
2=【｛器沙+謊卄咐卜X,
илиили(41)(41)
или
или
(41)
(41)
(42)(42)Стационарность действия необходимо влечет уравнения Эйлера-Лагранжа:
(42)
(42)
33％33％а(а尸屮，
Обобщение уравнений Эйлера-Лагранжа на тот случай, когда плотность лагранжиана зависит от производных порядка выше первого, есть 1):
bL _ dL n dL , n n dL
后=9(3队必屮ь+ a(a岳* _一 .
Полные вариации пространственно-временных координат Х° и физических полей “ определены, как это следует ниже:
ЬХ° = £ЬХ° = £犷(Х),е)、六二(ЗФ%(，(Х) 丫气 Х),е),е)
ЬХ° = £
ЬХ° = £
где
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)аФ%(，(Х)),Х),е)аФ%(，(Х)),Х),е)ЗеЗе£ = 0£ = 0ЗеЗе++ЗФ%(，(Х)又),е)ЗФ%(，(Х)又),е)+£ = 0'a『(Xje)+£ = 0'a『(Xje)дххдхх有)=х” £=о \°£ 丿 £=о有)=х” £=о \°£ 丿 £=о
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)
аФ%(，(Х)),Х),е)
аФ%(，(Х)),Х),е)
Зе
Зе
£ = 0
£ = 0
Зе
Зе
+
+
ЗФ%(，(Х)又),е)
ЗФ%(，(Х)又),е)
+
£ = 0
'a『(Xje)
+
£ = 0
'a『(Xje)
дхх
дхх
有)=х” £=о \°£ 丿 £=о
有)=х” £=о \°£ 丿 £=о
Здесь мы используем обозначение вида
3(・，•，е)
Зе 丿 explЗе 丿 expl
Зе 丿 expl
Зе 丿 expl
1) Мы не будем развивать далее теорию поля для лагранжиана, зависящего от градиентов полевых величин(рк порядка выше первого. По поводу соответствующего обобщения см., например, [2, рр. 116, 117].
для производной функции Ф (•, •, £)по аргументу, который выражает ее явную зависимость от той переменной, по которой осуществляется дифференцирование, т. е. для частной производной функции Ф (•, •, £)по аргументу £, считая при этом фиксированными все остальные аргументы, даже несмотря на то что они могут в свою очередь также зависеть от £.
Полная и частичная вариации “ связаны соотношением
6济=下济+装^匕(43)
Полное варьирование действия по пространственно-временным координатам Х° и физическим полям “ приводит к следующему результату [14, р. 176]: 衿=【｛券沙+謀产咐+詣Е小4x =
=1 ｛器-沙+ ^f也，(44)
где Nв ——единичная внешняя нормаль к трехмерной гиперповерхности, ограничивающей область интегрирования в четырехмерном пространственно-временном многообразии, dA — элемент площади указанной гиперповерхности.
Теорема Нетер. Теорема Нетер (по поводу доказательства см. [14, р. 176178]) устанавливает закон сохранения, соответствующий однопараметрической группе преобразований, не изменяющих величину действия (или изменяющих таковую, но на бесконечно малую величину порядка, высшего чем £)любой 4-области пространственно-временного многообразия. Другими словами, инвариантность действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической группы преобразований
(X氏")Т (又0，济)
порождает некоторый (иногда весьма нетривиальный) дивергентный закон сохранения 1).
Требование инвариантности действия прежде всего выражает основные свойства пространства-времени, хотя отнюдь и не ограничивается лишь этими последними свойствами.
Априори можно указать следующие преобразования пространства Минковского, относительно которых действие инвариантно, а уравнения поля ковариантны.
Трансляции начала координат (однородность 4-пространства-времени).
Вращения 4-пространства-времени, содержащие как обычные повороты в пространстве, так и преобразования Лоренца (Н. A. Lorentz) в собственном смысле этого слова (изотропия пространства и специальный принцип относительности).
Зеркальные отражения (инверсии) и обращение времени.
Произвольные точечные преобразования координат в пространстве Минковского, т. е. переход к криволинейным координатам (общий принцип относительности —отсутствие преимущественных систем отсчета).
В Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, следующих из вариационного принципа, излагается, например, в [15, рр. 227-261].
Перечисленным преобразованиям, относительно которых уравнения поля ко- вариантны, соответствуют фундаментальные законы сохранения, имеющие смысл сохранения импульса, момента импульса и энергии (всего десять законов сохранения). Если удается разыскать иные группы инвариантности действия и получить дополнительный закон сохранения, то его принято называть нетривиальным D .
Исходным пунктом рассуждений является полученная выше формула для полной вариации действия.
Поскольку физические полевые величины “в любом случае обеспечивают стационарность действия, то уравнения Эйлера-Лагранжа
dL n dL п
должны удовлетворяться и, следовательно, вариацию действия (44) можно вычислить в виде
…L6X。рИА(45)
a
или, учитывая связь (43) между частичной и полной вариацией поля 夕卜，в виде
拒+ UX^N.dA.(46)
Вводя четырехмерный вектор
濟3-^ 6Х。) +(47)
вариацию действия можно также представить в форме
质=§ jBNedA.(48)
а
Воспользуемся теперь предположением об инвариантности действия относительно однопараметрической группы преобразований )
30,济)1(又0,歹).
Ясно, что
66 = О
и соответствующий закон сохранения имеет следующую четырехмерную дивергентную форму:
3万j万=0.(49)
Таким образом, поток 4-вектора J° через любую поверхность, замкнутую в пространстве-времени, равен нулю:
аа
а
а
Из каждого такого соотношения может быть получен инвариант поля, существующего в неограниченной среде, не изменяющий своего значения с течением времени. Действительно, рассмотрим четырехмерную область в форме цилиндра, основания которого X4 = Ci, X4 = Q суть гиперплоскости, перпендикулярные оси времени. Поток 4-вектора J° через границу этой области равен нулю. Если физические поля достаточно быстро затухают на бесконечности, то, удаляя боковую поверхность цилиндра в бесконечность, находим, что
]JBNb^X +] J^N^d^X = 0.
X4=C1Х4=С*2
Поскольку на гиперплоскостях X’ = Ci, X’ = Q компоненты нормали N、= =0, %2 = 0, %з = 0 и соответственно N4 = —1, N4 = 1,
]J4 dЗх=]J4 dЗх,
Х4 = С1Х4 = С*2
т. е. интеграл по неограниченному пространству
]六^х
не зависит от времени.
Компоненты вектора J°, очевидно, без проблем вычисляются по формуле (47), если известна однопараметрическая группа инвариантности действия D :
Л”「)+」i
(50)(50)аФ*(,(Х) Y气X), e), e)、[дХа(Х^,е)、3, 一
(50)
(50)
丿 n _丿 С
/ £ = 0\/ £ = 0-
где
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)ЗеаФ%(，(Х)),1(Х),е),е)Зе（（a<x>®（，（x）x，，o（（a<x>®（，（x）x，，o+£ = 0+£ = 0
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)
Зе
аФ%(，(Х)),1(Х),е),е)
Зе
（（a<x>®（，（x）x，，o
（（a<x>®（，（x）x，，o
+
£ = 0
+
£ = 0
/аФ*(，(Х)又),I/a『(Xje)
\ ax'丿息=x” £=o I °£
Основные группы инвариантности функционала действия. Мы рассмотрим две основные группы инвариантности гамильтонова действия и формулировку соответствующих законов сохранения. Изложение в формальном плане будет в основном опираться на материал, представленный в [1, 14].
В То есть известны функциональные зависимости X。(•, •), Ф* (•, •, •).
Зафиксируем 4-индекс а и рассмотрим однопараметрическую группу трансляций пространства-времени вдоль «-оси:
XоT 又0=丫0(X), £)= X0+ £碳.(51)
Функционал действия любой 4-области пространственно-временного многообразия, очевидно, инвариантен относительно группы трансляций пространства- времени, если плотность лагранжиана явно не зависит от координат Х°, следовательно, для направления а 4-вектор J^ = Т^, где
-(52)
и канонический закон сохранения, соответствующий группе трансляций пространства-времени, есть:
д^а = 0.(53)
Если плотность лагранжиана зависит явно от пространственно-временных координат Х°, то свойство инвариантности потока 4-вектора J^ нарушается:
(54)
Для доказательства достаточно заметить, что, с одной стороны,
沦=е] а万心d’x,(55)
а с другой — непосредственное вычисление вариации действия приводит к
2 = е](^)е/Х.(56)
Сравнивая (55) и (56), приходим к (54).
Компоненты канонического 4-тензора Т^ имеют размерность плотности энергии 1). Тензор Т% часто называют тензором энергии-импульса (см., например, [1, с. 105-109, 345-349]), поскольку канонические уравнения механики сплошных сред (23) и (22), выражающие баланс энергии (а = 4) и импульса, являются непосредственным следствием канонического закона сохранения (54):
(祟)(57)
(票)х —=(58)
где
F = Sv, Р = —(ZJ + SF).
В Обратим внимание читателя на тот факт, что, согласно каноническому определению тензора энергии-импульса, его естественное координатное представление — 1-контрава- риантное и 1-ковариантное.
Действительно, чтобы, например, вывести уравнение (58), заметим сначала, что три первых уравнения (54) можно представить как
仇片。—％р% =(熬Lp] (% 0 = 1, 2,3),
где Р^а (а, В = 1, 2, 3) — тензор напряжений Эшелби, определенный согласно (25). Затем преобразуем последнее уравнение к виду
~PRdt (必％丿)-%&а = /戸(％ /3 = 1,2,3),
обозначая при этом
vk = dt^\
и на основании определения (30)
册=(熬寓(а』，》
Принимая во внимание далее, что (см. уравнение (24))
~Ра = PRVkda^k,(59)
приходим к каноническому уравнению баланса импульса
“厶—(а,/3 = 1, 2,3).
Уравнение (59) ясно указывает на то, что канонический импульс — 1-кова- риантный отсчетный вектор.
Рассмотрим далее группу бесконечно малых вращений пространственно-временного многообразия Х°. Функционал действия должен быть инвариантен относительно этой группы преобразований.
Поворот прямоугольной системы координат в 4-пространстве Минковского порождает некоторый псевдоортогональный оператор А?〃：
Повороты 4-пространства Минковского образуют группу по умножению, зависящую от шести независимых вещественных параметров.
Бесконечно малое вращение пространства Минковского можно задать преобразованиями
〜4
又万=Х^+ £(60)
где G^a = gaWB% ga万=_以万a есть антисимметричный 4-тензор, компоненты которого выступают как параметры группы. Двенадцать величин №° (а * /3) связаны соотношениями №° = — №°, следовательно, среди них имеется лишь шесть независимых.
Ясно, что вариации пространственно-временных координат вычисляются как ЬХ。= £ з“сХГ—俨^
Будем считать, что группа Лоренца действует лишь на пространственно-временные координаты (которые мы трактуем как переменные, связанные с отсчетной конфигурацией) и не действует на физические поля 夕卜(координатное представление которых осуществляется в эйлеровой системе координат). Поэтому можно заключить, что 6“ = 0.
Производя необходимые вычисления, находим компоненты 4-вектора J° в виде
”(河=^^J ［仇“)g)AX J (3历)ga/B +
+ L(gaAX 入鳄—g)从 X〃^)・ (61)
Определим далее тензор третьего ранга М?% формулами
МВ?. =”()а).(62)
Тензор М?『а называется тензором момента количества движения. Он антисимметричен по индексам 7, а. Заметим, что каноническое определение тензора момента количества движения указывает также и на его естественное координатное представление — 1-контравариантное и 2-ковариантное.
Заметим, что тензор момента количества движения выражается через тензор энергии-импульса по формуле
= gGX入吟-g)从Х^Т^ .(63)
Соответствующий группе бесконечно малых вращений пространства-времени закон сохранения есть
а 万吗 а =0.(64)
Группа Лоренца может действовать также и на физические поля “：
济(又)) = “(Х))+ £ Sk』U"(65)
a,s* 万
где тензор четвертого ранга Sks ^а преобразует антисимметричные тензоры второго ранга снова в антисимметричные.
Вычисляя вариации ", получаем
6"= £ S/adM(X))・a,万
В этом случае 4-вектор J° находится в виде
-j^=g^X^a-gaXXxT^-^S^(66)
k,s)
Величины (62) и в этом случае образуют тензор третьего ранга, антисимметричный по индексам 7, а. Соответствующий закон сохранения имеет форму, аналогичную (64).
О бобщенные группы преобразований. С тандартные, внутренние и внешние вариации. Как было отмечено выше, пространственно-временные
22 Проблемы механики
координаты и физические поля входят в группу преобразований
(X^,d)Т (又0，济) несимметрично.
С целью восстановления симметрии расширим определение однопараметрической группы, допуская преобразования вида
又 ° = 丫气 0S, X), £),歹(又万,£)= фк®5(Х)又万,力(67)
где по-прежнему
丨£ = 0丨£ = 0
Здесь пространственно-временные координаты Х° и физические поля 炉 уже симметрично входят в закон преобразования х).
Ясно, что определяемая подобным образом однопараметрическая группа порождает попутно преобразование пространственно-временной 4-области. Действительно, подставляя формулу
歹(又〜)= ф4а(X)又小) в
又万=Y，0S,X),£),
получим уравнение
又0=丫0(Ф5(济(X)又,
неявно определяющее зависимость Х° = Х°(Х), £).
Подставив это последнее уравнение в
0к = фк(“(х)),又〜)， получим соотношение
"巾 @s(X)XQ,£),
В Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. A. Mangin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение X万=X万(冗”,t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию.
на основании которого преобразованные физические поля 0k могут быть представлены （правда, уже с помощью иных функций Ф^ （•, •, •）, чего мы не отражаем в обозначениях） через исходные — “ и пространственно-временные координаты Х°. Подобное перепредставление ведет также к перепредставлению новых пространственно-временных координат
又万=丫万（“，Х）,£）・
Действие
&=]d"x
D x [ti，土2]
в результате обобщенного преобразования （X。，“）.（X。，cpk） трансформируется в
备= z（0*历0*又0）不又，
где
b （d,a", X。）T I （歹,瓦歹,又0）
есть преобразование плотности Лагранжиана.
Для оценки изменения действия в результате применения обобщенной группы преобразований воспользуемся формулой
6 — 6 = 66 + О（£）.
Вычисляя первую вариацию действия, находим ^=\{^к+^д^+
+孟前甫xwx, где
аФ%（，（Х）Х%е）、 де丿п
—частичные вариации пространственно-временных координат Х° и физических полей，，формального различия между которыми （и способами варьирования которых） уже нет х）.
В Иногда используется несколько иная терминология: например, в монографии [2] эти вариации называются соответственно лагранжевой и эйлеровой элементарными вариациями.
Если предположить, что частичные вариации исчезают на границе рассматриваемой 4-области, то последнюю формулу можно также представить в виде
{(小。(备))财+
+((為
или в следующей замечательной симметричной форме:
宀—2謊西(7。)
Таким образом можно ввести еще два канонических тензора с естественными 1-контравариантными и 1-ковариантными компонентами х).
Ясно также, что в применении к классической механике сплошных сред
S= 一。五必 (壮=&")，
Р'в —fc? — PR^kg 屮к (/? = 1, 2, 3) ,Р^^ = Н,
где vk — контравариантные компоненты эйлеровой скорости, pR — плотность среды в отсчетном состоянии, Н —объемная плотность Гамильтониана.
Заметим, что градиент деформации F в рамках классической теории поля определяется каноническим соотношением
修=3
и имеет 1-контравариантные пространственные и 1-ковариантные отсчетные естественные компоненты. Тензор S^ (/? = 1, 2, 3) аналогичен ) отсчетному тензору напряжений (тензору напряжений Пиола-Кирхгофа) S = JF-1T:
—HF，
а тензор Ра^ («, /3 = 1, 2, 3) — тензору напряжений Эшелби ): Р = — (LI + S F).
Обобщенное преобразование пространственно-временных координат Х° и физических полей ,: (X。，“)т (X。，0，естественно порождает три различных класса преобразований и три класса частичных вариаций, к обсуждению которых мы и переходим.
Класс так называемых стандартных однопараметрических преобразований
(Х0,“)т(Х0,济)，
где
歹="《0)+部气x0)
и функции 0卜=0^(X0) исчезают на границе 4-области интегрирования, позволяет ввести стандартные частичные вариации
亍X0=0,亍"=冲&
Опираясь на общую формулу вариации действия, нетрудно заметить, что
沦=](誥+ %S^>dd4x,(71)
и на основании стационарности действия, в силу произвольности стандартных вариаций, получить уравнения Эйлера-Лагранжа
которые по существу выражают баланс импульса при отсчетном (т. е. в пространственно-временных координатах Х°) описании физических полей.
Рассмотрим далее преобразования вида где
夕=夕 + £G , t).
Мы, по-прежнему, предполагаем, что функции ujk{^s{X^力))исчезают на границе 4-области интегрирования.
Частичные вариации пространственно-временных координат Х° и физических полей，принято в этом случае называть внешними частичными вариациями:
亍X。= 0,亍济= £О?(“").
Введем обозначение 力卜=夕卜,力4 =力 и 6ylдем трактовать xk по аналогии с переменными Эйлера (пространственно-временные координаты Х° — переменные Лагранжа).
Для внешней частичной вариации, выраженной через переменные Эйлера, зарезервируем обозначение
不济=£/(力工力4).(72)
Подсчитывая вариацию действия, находим х)
ИЛИ
(器+办5小冉淼у)3*(心WX =
=(73) J \ дхд(д4(р
仏 к,s = l,2,3; /3 = 1,2,3),где J — якобиан преобразования от переменных Лагранжа к переменным Эйлера
J = det (^ж5),
尸①力网• = -(/3 = 1,2,3).(74)
Таким образом может быть найдено каноническое определение еще одного тензора — Т，％・ Ниже будет показано, что 1-контравариантный и 1-ковариантный канонический тензор Т1 ^ есть тензор истинных напряжений (тензор напряжений Коши).
В силу произвольности выбора внешних частичных вариаций △“ внутри 4-области интегрирования получим уравнение
—黑 + 仇 T'k = &(75)
) ox
выражающее баланс импульса в форме Эйлера:
0"心=仇7^ +同x口缁，
или
pdtvk = diTlk.(76)
Здесь оператор dt есть производная по времени при фиксированных первых трех координатах Х°, т. е. лагранжева (материальная) производная по времени. Следует также отметить, что в уравнении баланса импульса в форме Эйлера не следует пренебрегать слагаемым
В приводимых ниже формулах следует различать операторы д/з и di： первый обозначает дифференцирование по пространственно-временным координатам X万(0 = 1, 2, 3), второй — по эйлеровой координате х1 (/ = 1,2,3).
поскольку если пространственное описание ведется в криволинейной координатной сетке 力卜,то, в частности, кинетическая энергия будет явным образом зависеть от переменных хк, так как метрический тензор gks явно от них зависит.
Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, с. 190-195].
На основании (76) нетрудно заключить, что тензор Tl 'k вполне аналогичен тензору истинных напряжений Коши: Т = J-1F S х).
Наконец, рассмотрим однопараметрическую группу преобразований
(ХК“)Т (又万,")，
где
又0=X0+ £№(X0)
и функции X。= Х°(Х°) исчезают на границе 4-области интегрирования.
Частичные вариации пространственно-временных координат Х° и физических полей，принято в этом случае называть внутренними частичными вариациями:
亍Х0 = е№(Х。)，亍济=0.
Варьируя действие, находим
Пользуясь произвольностью выбора внутренних частичных вариаций внутри 4-области интегрирования, приходим к уравнениям Эйлера-Лагранжа:
которые представляют собой по сути закон, найденный Эшелби [19].
Обобщенные группы инвариантности действия. Расширение класса однопараметрических преобразований позволяет установить еще более неочевидные законы сохранения.
Мы по-прежнему будем рассматривать обобщенные однопараметрические группы преобразований:
又"=丫气05, X), £), 济(又£)= фк停5(X)又£)•
Если действие (для любой 4-области пространственно-временного многообразия) не изменяет своего значения в результате применения обобщенной однопараметрической группы преобразований 6 = 6, то такая группа называется
В Не следует отождествлять тензоры Т? ^ и Т?а ：
обобщенной группой инвариантности действия (или вариационной симметрией действия) 1).
Обобщенная инвариантность действия означает, что
]х。) d，x =] £(歹,瓦歹,x^d^x,
где преобразование пространственно-временных координат Х° —> Х° определено неявно уравнением
又"=丫0(Ф5(济(X)又0,£), X), £)•
Покажем, что каждая обобщенная группа инвариантности действия позволяет при условии выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа
券+ а同=。，(絵L +(78)
сформулировать нетривиальный закон сохранения
а/ = 0,(79)
где
"=26卜了济+ pВ?了X)) ,(80)
или
/ J S^k/ J S^kаФ%(,(Х)Х%е) деаФ%(,(Х)Х%е) деа『(,(Х)Х),е) деа『(,(Х)Х),е) де
/ J S^k
/ J S^k
аФ%(,(Х)Х%е) де
аФ%(,(Х)Х%е) де
а『(,(Х)Х),е) де
а『(,(Х)Х),е) де
Действительно, варьируя действие, находим
插济)+(蔡L插济)+(蔡L亍xА亍xА
插济)+(蔡L
插济)+(蔡L
亍xА
亍xА
个…嶼/小…州х =
=]｛寿了济-s^Od) + (募)『X0- ра8 %(以0)卜X = 0. В силу произвольности 4-области интегрирования необходимо
券了"-S1 %(了")+ (费)/X0 - p〉・ %(JX, = 0.(81)
Учитывая, что
s^a詆")=%(s脑")-(了济)电s%,
В Достаточно, как всегда, предположить, что изменение действия имеет порядок, более высокий чем е: 6 — 6 = о(е).
р* да(бх^)=兔俨^ Ух，— Зх^)(%р〉・),
уравнение (81) представим в виде
(券+ 8沙+((耗1^ +m。取+
+ % (s脑d + P*Jx)) =0.
Таким образом, если уравнения Эйлера-Лагранжа удовлетворяются, то можно сформулировать дивергентный закон сохранения:
近 Е W + рв『JX)) = 0.(82)
Полученный результат х) ясно показывает, что тензор напряжений Пиола- Кирхгофа и тензор напряжений Эшелби — основные конструктивные элементы, необходимые для построения обобщенных законов сохранения.
Следует также отметить, что можно еще более расширить класс однопараметрических преобразований, допуская их зависимость также и от градиентов первого порядка (или более высоких порядков) физических полевых величин “：
尹=Y0(炉,%济,X), s), F = ф2 (筋%济,X), £).
Соответствующая теория приводится в книге [14]. Теория обобщенных симметрий для функционалов в деталях изложена также в [4].
Лагранжиан пустого пространства. Еще одно обобщение теории вариационных симметрии достигается путем аддитивной трансформации плотности лагранжиана,
так, чтобы добавок
не нарушал выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа. Другими словами, добавление Lf к лагранжиану L не оказывает влияния на условия стационарности действия, хотя, возможно, и приводит к изменению граничных условий. Вообще, всякая функция
// = // (d,a", a 岳X、(83)
для которой уравнения Эйлера-Лагранжа
6Lf _ дь1 кI к к
В Приведем также квазистатический аналог: V^ (S Зх + Р ЗХ) = 0, где по-прежнему S — тензор напряжений Пиола-Кирхгофа, Р — тензор напряжений Эшелби, и соответствующий инвариантный интеграл
(SJx + PJX) dS = О
s
для любой замкнутой в отсчетной конфигурации поверхности, внутри которой упругое поле регулярно.
тождественно удовлетворяются для любого набора физических полевых величин “，называется лагранжианом пустого пространства, поскольку любой подобный аддитивный добавок формально не изменяет вариационного представления физических полей и поэтому может быть ассоциирован с пространством, «вмещающим» поля.
Теория лагранжиана пустого пространства излагается, например, в [18, р. 224226]. Основной результат здесь состоит в том, что лагранжиан пустого пространства (83) всегда представляется (при предположении о звездообразности областей 1) изменения его аргументов) в форме полной дивергенции:
L'^k, dadpVk,..., х。)=。炉 3, а"，；；?"，…，х%.(84)
Если размерность пространства Х° равна трем и к = 1, 2, 3, то лагранжиан пустого пространства, зависящий от градиентов поля порядка, не выше первого, всегда можно разложить в сумму:
//(济力0济,X0)= 4d,X，+ вку x，％d +
+ C^^k,X^)JdkX^ +。(济,X。) J, (85)
где A(*X。), BkMdV。/(", X。)，。停£X。) —некоторые функции пространственно-временных координат и полей, J — якобиан отображения Х° —> ->力k=9к：j - det (a万9к).
Приведенное только что соотношение может быть переписано в прямую тензорную запись:
Lz = Д + tr (В (VX0^)) +Jtr(С (▽х*3)т)+J。，(86)
где (Vx * 3)/ = а в 屮％ Определяя далее поля
Н = H(d, X，，К* = Км(* X。)，Ms = MS С, X，
соотношениями
/(87)
D(M,XB)=j(88)
^/(аЛХ。)(ак®^;：,х"))「(a&z^cS'X^Lp],(89)
В Область многомерного пространства называется звездообразной относительно некоторой своей точки, если любую точку области можно соединить с этой точкой отрезком прямой, целиком расположенным внутри области. Понятие звездообразности области — обобщение на многомерный случай требования односвязности плоской области, так чтобы по-прежнему для поля 厶万：даА^ = 3万厶@ было справедливо заключение о том, что его циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю: ф AadXa = 0.
С/(",Х0) =例犷(",Х)))ехр] —丿簿 竺％；,Х))),(90)
\"力/ expl
можно найти, что
Ф“, 3, X。) = L", X。) + 产(3)КкЛ(зЮ +
+ J(汝 Х))”к(“,Х0). (91)
Приведем также прямую запись соотношений (87)-(91):
4 = Divexpi L, В = Rotexpi к + (gradexpl L)T,
С = Gradexpl М - (rotexpi КТ)Т , D = divexpi М,
Ф = L + ((Vx 0^)-К)х + J(VX0 3)т • М и необходимые для понимания формул определения алгебраических и дифференциальных операторов:
(竹=产％л,
Divexpi L —(a)L))expl,成。expl^t = (@k M )expl,
(Rotexpi K)/ = £0g (ак噥:H))J
((rotexpi KT)T)/ = У" f a/fx，)),'3/ /expl
((gradexpl L)T)/ =(aj))expi, (Grade^M)s：k = {dkMs)upexpl.
Можно показать также, что
gradexpl 4 = Divexpi В,
(Rotexpi С) — — rotexpi В ,
Gradexpl。= divexpi С .
Список литературы
Ландау Л. Д.、Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. 1973. Т. 2. Теория поля. - М: Наука, — 504 с.
Maugin G. A. Material Inhomogeneities in Elasticity. — L.: Chapman & Hall, 1993.— 276 p.
Noether E. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen. Math.- Physik. KI. 1918. S. 235-257.
Qlver P. J. Application of Lie Groupes to Differential Equations. — N.Y.: Springer, 1986.
Gunter W. Uber einige Randintegrale der Elasto-Mechanik // Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 1962. H. 14. S. 53-72.
Knowles J. K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics // Arch. Rat. Meeh. Anal. 1972. V. 44. P. 187-211.
Qlver Р. J. Conservation laws in elasticity I. General results // Arch. Rational Meeh. Anal. 1984. V. 85. P. 119-129.
Qlver P. J. Conservation laws in elasticity IL Linear homogeneous isotropic elastostatics // Arch. Rational Meeh. Anal. 1984. V. 85. P. 131-160.
Qlver P. J. Symmetry Groops and Path-Independent Integrals / In: Fundamentals of Deformation and Fracture: Eshelby Memorial Symposium, Sheffield 2-5 April, 1984. Eds. B. A. Bilby et al. — Cambridge: Cambridge University Press, 1985. P. 57-71.
Bui H. D. Mecanique de la Rupture Fragile. — Paris: Masson, 1978. — 216 p.
Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1983. - 448 с.
Courant 足，Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. 1953. V. 1. — N.Y.: Interscience Publishers. — 562 p.
Полак Л. С. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз, 1960. — 600 с.
Gelfand I. М.)Fomin 5. V. Calculus of Variations. — Englrwood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1963. — 232 p.
Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. - 280 с.
Truesdell С, Toupin R. A. The Classical Field Theories / Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, V. III/l (ed. S. Flugge). — Berlin: Springer, 1960. P. 226-793.
Радаев Ю. H. Теория конечных деформаций сплошных сред. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 1997. — 103 с.
Silhavy М. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. — Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer-Verlag, 1997. — 506 p.
Eshelby J. D. The Force on an Elastic Singularity // Phil. Trans. Roy. Soc. — L., 1951. V. A244. P. 87-112.
Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, Вып. 3. С. 476-488.
Rice J. R. A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks // Trans. ASME. J. Appl. Meeh. 1968. № 35. P. 379-386.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. 1965. T. 1. Работы по теории относительности. —М.: Наука, — 700 с.
Maugin G.A. Material forces: Concepts and applications // Applied Mechanics Reviews. 1995. V. 48. P. 213-245.
Piola G. Intorno alle equazioni fondamentali del movimento di corpi qualsivoglioni con- siderati secondo la naturale loro forma e costituva // Mem. Mat. Fis. Soc. Itai. Modena. 1848. V. 24(1). P. 1-186.
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯСТРУКТУРНЫХ УРОВНЕЙ ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД
А. Ф. Ревуженко
Институт горного дела Сибирского отделения РАН
Одна из многих областей научных интересов академика А.Ю. Ишлинского связана с механикой сыпучей среды. В работе [1] академик А. Ю. Ишлинский применил классическую модель идеальной пластичности для исследования сыпучих сред. Этот подход получил дальнейшее развитие в различных направлениях. Вначале остановимся на результатах [2]. В [2] было показано, что переход к неортогональным линиям скольжения приводит к появлению в уравнениях относительно скоростей новой кинематической переменной. Переменная имеет смысл микровращения. Последнее означает, что вращение среды на макроуровне должно определяться, как обычно, через ротор поля скоростей; однако при переходе к микроуровню у среды проявляются дополнительные степени свободы, для описания которых требуются дополнительные переменные и соответствующие дополнительные уравнения.
В одномерном случае подобную ситуацию можно представить таким образом. Пусть имеется некоторая функция одного переменного. Ее график выглядит как непрерывная и дифференцируемая кривая. Однако если на график посмотреть через микроскоп, то станут видны мелкие изломы или ступеньки (микроразрывы). Поэтому о производных такой функции можно говорить в различных смыслах в зависимости от того, в пределах какого масштабного уровня берется приращение аргумента. Теперь возникают вопросы, что следует понимать под квадратом подобной «функции», ее интегралом и т. д. Попытки их разрешения приводят к необходимости внесения изменений в сам математический аппарат механики сплошной среды.
Обсудим этот вопрос подробнее. В основе аппарата механики лежит классический математический анализ. Нет необходимости говорить о чрезвычайно высокой эффективности этого аппарата. Это общеизвестный факт. Но, с другой стороны, нет и оснований для того, чтобы придавать классическому анализу абсолютное значение. Как и любая математическая модель, классический анализ имеет свою определенную разрешающую способность. А если это так, то можно поставить вопрос о создании аппарата, имеющего большую разрешающую способность, чем классический.
Подобная ситуация является типичной для математических моделей в механике. Хорошо известно, что одному и тому же явлению могут отвечать самые различные модели. При переходе ко все более тонким моделям может увеличиться порядок дифференциальных уравнений, список искомых функций и т. д. Однако математический аппарат остается при этом неизменным. Особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что для дальнейшего совершенствования пластических моделей необходимо наделение структурой самой независимой переменной, а значит, и изменение основы существующего математического аппарата. Следует отметить, что потребность в подобных изменениях возникает и в других прикладных областях. Работы в этом направлении уже ведутся [3-7].
И все же, если говорить о необходимости более или менее радикальных изменений в аппарате, для создания которого потребовалось более двух тысяч лет, то хотелось бы иметь для этого более глубокие основания, чем потребность в решении современных задач теории пластичности или оптимального управления. Таким основанием может быть только проблема, которая была поставлена и не забыта в течение времени, сопоставимого со временем создания классического анализа. Такая проблема есть — это проблема измерения роговидных углов. Она была поставлена еще в античности и изложить ее можно таким образом.
Рассмотрим различные отрезки прямой. Будем говорить, что отрезок 6 больше, чем отрезок а, если при наложении их левых концов правый конец отрезка 6 лежит правее, чем конец отрезка а. Такой порядок удовлетворяет всем необходимым условиям (если Ь>аис>Ь,тос>аи др.). Мы знаем, что среди вещественных чисел всегда найдется такое число, которое можно будет назвать длиной любого заданного отрезка.
Рассмотрим теперь различные углы [8]. Пусть одна из сторон угла всегда будет прямолинейным лучом, а другая — либо лучом, либо дугой окружности. Совместим вершины и прямолинейные лучи углов а и /3. Будем говорить, что /3 > 〉а, если область, занятая углом а, лежит внутри области, занятой углом /3. Такой порядок также удовлетворяет всем необходимым условиям. Однако для измерения указанной системы величин запаса вещественных чисел уже недостаточно. Например, если измерять угол, образованный двумя прямолинейными лучами, его тангенсом, то для измерения угла, образованного прямой и касательной к ней дугой окружности, никакого вещественного числа найти не удается. Величина такого угла будет всегда меньше любого положительного вещественного числа. Причем среди подобных углов есть свой порядок: дуге радиуса 2 отвечает угол, меньший, чем углу с дугой радиуса 1 и т. д. Таким образом, можно сказать, что для измерения указанной системы величин точности обычных вещественных чисел уже недостаточно.
Итак, в качестве первого шага необходимо описать числовую систему, которая обладала бы большими возможностями, чем система вещественных чисел. В анализе используются различные (эквивалентные) определения вещественных чисел. Для наших целей удобнее всего исходить из определения по Кантору. Изложим его так, чтобы был виден путь дальнейших построений. Следуя Кронекеру, натуральные числа
2, 3,..., тт»,... (1) и арифметические операции над ними будем считать заданными изначально. В этом смысле они будут иметь для нас абсолютное значение. Образуем неограниченные последовательности рациональных чисел а = {ап}, 6 = {Ьп} и т. д. Представим себе пространство, в котором каждая последовательность выглядит как точка, подобно звезде в наблюдаемой нами Вселенной. Каждая последовательность строго индивидуальна: а = 6, если ап = 6П для любого п. Поэтому наблюдение пространства с различием любых несовпадающих последовательностей — это наблюдение с наибольшей возможной разрешающей способностью. Введем теперь ряд объективов, каждый из которых уменьшает исходную разрешающую способность наблюдения. Объективы Ф и М суживают поле зрения: через объектив Ф видны только фундаментальные и произвольные неограниченные последовательности, а через объектив М — видны только ограниченные последовательности.
Далее, объектив L устроен таким образом. Если две последовательности отличаются друг от друга только конечным числом членов, то при взгляде на них через объектив L они сливаются в один объект. Указанный объект будем называть
кофинитным числом, и обозначать как А = Lim а^, В = Lim bn. Под (А + В) 71ТОО 71ТОО
будем понимать Lim (。九 + bn). Аналогично введем и остальные операции, а также частичный порядок: А > В, если А ^ В ^ начиная с некоторого номера, ап》 》Ьп. Если {ап} — фундаментальная последовательность, то объект Lim ап будем называть фундаментальным кофинитным числом.
Последним введем объектив А. Через объектив А не различаются последовательности, которые являются близкими в следующем смысле: для любого рационального числа £〉0 найдется натуральное число N такое, что
10九-bnI < £ (2)
для любого п > N.
Займемся теперь исследованием пространства последовательностей с помощью указанных средств. Легко показать, что наблюдаемая картина от порядка установки объективов не зависит. Кроме того, если установлен объектив А, то установка объектива L уже ничего не меняет. Начнем с набора объективов МФА. Объекты, которые будут наблюдаться в этом случае, представляют собой не что иное, как обычные вещественные числа, именно те числа, которые лежат в основе классического анализа.
Действительно, по Кантору, вещественные числа — это классы эквивалентности (2) фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Объективы МФ выделяют только фундаментальные последовательности, а через объектив А последовательности, близкие в смысле (2), сливаются в один объект — вещественное число.
Идея следующего шага сводится к тому, чтобы рассмотреть полученный объект —вещественное число — с помощью средств, имеющих большую разрешающую способность, чем МФА. Тогда можно будет увидеть составные части самого вещественного числа и затем использовать их для дальнейших построений.
Приступим к реализации данного плана. Наиболее близким к МФА является набор объективов МФЬ. Направим его, например, на вещественное число 1. Мы увидим, что в состав этого числа входит натуральное число 1 и различные фундаментальные кофинитные числа, например числа (1 + П), (1 + П*), где
П = Lim —, П* = Lim 71ТОО 九 П^-ОО
Натуральное число 1 задано изначально и этим выделяется из всех составляющих вещественного числа 1. Назовем его ядром вещественного числа.
Легко заметить, что между различными составляющими вещественного числа линейного порядка нет, а есть только частичный порядок. Это означает, что некоторые числа сравнимы между собой, например
1-П<К1 + П<1 + 2П,
а некоторые числа — несравнимы, например (1 + П) и (1 + П*). На этом основании фундаментальные кофинитные числа, входящие в состав вещественного числа, можно назвать ореолом ядра и представлять как некоторое шаровидное скопление, окружающее ядро. Аналогичные определения примем для других вещественных рациональных чисел.
Для алгебраических чисел ядра определим как идеальные объекты. Например, ядром вещественного числа，^в будем называть идеальный объект а =，^о, относительно которого известно, что а〉0 и М = 2. (Следует подчеркнуть, что
здесь справа стоит натуральное число 2, а не вещественное число 2В. Здесь и ниже вещественные числа отмечены индексом «в», а их ядра — индексом «О»).
Более универсальным является определение ядра, основанное на принципе стягивающихся отрезков. Пусть {。九} — монотонно возрастающая, а {Ьп} — монотонно убывающая последовательности, которые входят в состав какого-нибудь вещественного числа, например числа ев. Тогда в состав ев входят и два фундаментальных кофинитных числа А = Lim ап и В = Lim bn. Введем оператор 71ТОО71ТОО
форсирования F. Пусть FА = С = Lim сп, где {сп} — это подпоследовательность {ап}, например сп = ат^п^ где т(п) = п2;几! и т. д. Обозначим через 4自 В^ результаты применения к раз к числам А и В оператора F. Ядром вещественного числа ев назовем идеальный объект ео, который характеризуется следующим условием: Ак < “ < Вк для любого натурального к.
Таким образом, исследование вещественной прямой со степенью разрешения МФЬ дает следующую картину. Во-первых, каждое вещественное число превращается из точки в скопление фундаментальных кофинитных чисел. В центре скопления находится ядро, которое окружено ореолом. Порядок, который есть для вещественных чисел, сохраняется и для их составляющих. Так, если для двух вещественных чисел а, /3 имеет место неравенство а < /3, то такое же неравенство будет иметь место и для любых составляющих этих чисел.
В связи с этим числовую прямую можно представить как ось (подобную спице), на которую в определенном порядке нанизаны указанные шаровые скопления. Каждое скопление довольно размыто и поэтому между ними зазоров нет. Именно в этом смысле можно сказать, что вещественная числовая прямая является непрерывной. Если иметь в виду роль числовой оси как инструмента (масштабной линейки) для проведения измерений, то можно сказать, что деления на линейку нанесены без зазоров, но при этом каждое деление имеет свою определенную ширину, так что зазоры отсутствуют благодаря только этому обстоятельству. Естественно, что точность измерения подобным инструментом не может быть выше, чем ширина каждого деления (риски).
Сделанные выше построения дают возможность усовершенствовать указанный инструмент и значительно повысить его точность. Именно, появляется возможность вместо самих шаровых скоплений, которыми оказались вещественные числа, ввести в рассмотрение только их центры — ядра. Иными словами, появилась возможность на каждой размытой риске в ее центре нанести «точечную» отметку.
Нетрудно доказать, что ядра вещественных чисел образуют поле, изоморфное полю вещественных чисел. Поэтому все возможности классического анализа сохраняются, если вместо вещественных чисел использовать их ядра (будем их называть также идеальными вещественными числами). Однако при этом здесь появляются новые возможности, которые связаны с тем, что ядра вещественных чисел полностью оси не заполняют. Например, между числом 0 и любым положительным идеальным вещественным числом можно поместить число П > 〉0 или число П* > 0. Для самих вещественных чисел такой возможности не было, так как фундаментальные кофинитные числа П, П* сами входят в состав вещественного числа 0 и отличить их от 0 было невозможно. Именно поэтому поле вещественных чисел, а значит, и поле идеальных вещественных чисел, является архимедовым. (Напомним, что поле называется архимедовым, если для любых положительных чисел а < Ъ найдется такое натуральное число 7V, что выполнится условие Na > 6.)
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы заполнить промежутки между идеальными вещественными числами и тем самым повысить точность всей
числовой системы. Мы хотим, чтобы новая числовая система была как можно ближе к системе вещественных чисел. Поэтому естественно принять следующие требования, которым должен удовлетворять процесс заполнения числовой оси.
1°. В исходном состоянии на ось помещены только идеальные вещественные числа. Они образуют линейно-упорядоченное поле, изоморфное полю вещественных чисел.
2°. Новое число 8 может быть помещено на числовую ось только в том случае, если оно упорядочено относительно любого числа, которое уже находится на оси и, кроме того, если вместе с числом 6 на ось можно поместить также результаты любого конечного числа арифметических операций между 8 и числами, уже помещенными на ось. (То есть числовая система на любом этапе своего становления всегда должна образовывать линейно-упорядоченное поле.)
Легко понять, что поставленная задача имеет не единственное решение. Например, если мы поместим на ось число П > 0, то поместить на ось число П* > О уже невозможно, так как указанные числа между собой несравнимы. И наоборот, поместив на ось число П*, для числа П «места» на оси найти уже не удается. (В любом случае аксиома Архимеда места уже не имеет.) Какую из указанных возможностей необходимо выбрать? Ясно, что, в конечном счете, все должно определяться характером поставленных задач. Делая различные выборы, мы будем получать различные числовые системы, пригодные для измерения тех или иных величин. Пока у нас есть только система роговидных углов и задачи пластичности. Для их решения необходимо выбрать первый вариант — число П. В соответствии с требованием 2°, вместе с числом П на ось необходимо поместить числа вида
X =刀卜块 + ... 〃w + 力 + QU + ... + ^тПт,(3)
а также результаты арифметических операций между числами вида (3). Здесь 幻=1/П = Lim п; ?у^,. .. , ?7i, ж, ^i,.. ., ^т — идеальные вещественные числа; к, т — натуральные числа.
Для выбора числа П, а значит, и числа 幻=1/П, есть еще один достаточно убедительный аргумент. Выше предполагалось, что натуральные числа заданы изначально, причем заданы в своем естественном порядке (1). Поэтому можно принять, что и кофинитное число 幻，которое является классом последовательностей, включающим натуральный ряд (1), также выделяется из всех остальных кофинитных чисел. Иными словами, можно принять, что число 幻，так же как и натуральные числа, имеет абсолютное значение.
Легко заметить, что построенная выше числовая система полностью оси не заполняет. Вакантными на ней являются, например, точки 2-w, П^. Необходимая степень заполнения оси должна определяться конкретными задачами.
Итак, согласно (3), независимая переменная, а значит, и само пространство, наделяются иерархией структурных (масштабных) уровней. Уровень переменной ж естественно назвать вещественным, уровни переменных QT1,小幻一первым микро- и мегауровнями соответственно и т. д. Обычной вещественной прямой соответствует только один (вещественный) уровень на указанной неархимедовой прямой (3). Тем не менее вещественная прямая является «сплошной», непрерывной, в то время как прямая (3), которая неизмеримо богаче обычной прямой, заведомо «сплошной» не является. Как уже отмечалось, это связано только с тем обстоятельством, что обычные вещественные числа являются достаточно размытыми объектами. Стоит заменить их на идеальные вещественные числа, как на оси обнаруживается множество вакансий самых различных уровней.
Рассмотрим теперь функции, заданные на неархимедовой прямой (3). Типичной областью определения функций на вещественной оси был интервал. Для задания интервала достаточно было указать всего два числа — координаты его концов. В случае неархимедовой прямой ситуация сложнее. Здесь требуется указать не только концы интервала, но и конкретизировать его внутреннюю структуру, т. е. указать количество масштабных уровней и диапазоны изменения каждого из параметров ?у^,. . . , ж,. . . , ^т в (3). Конкретный выбор структуры зависит от специфики рассматриваемой задачи.
Обратимся к задачам механики сплошной среды. Концепция сплошной среды связана только с математическим аппаратом, который используется в механике. Считается, что сплошная деформируемая среда «заполняет» каждую точку определенной области пространства. Если же среда занимает область неархимедового пространства, то вопрос о степени ее «сплошности» нуждается в уточнении. Реальное тело может занимать только ограниченную область пространства. Поэтому мегауровни сразу исключим. Естественно предположить, что подобная ограниченность имеет место и на микроуровнях. Например, если тело заполняет только два масштабных уровня, то его протяженность на микроуровне должна быть ограничена некоторой постоянной величиной р. Например, вдоль координаты X имеем: X =力 + т, т = ^П, £ =《],\х\ & LQ & т & р. Рассмотрим теперь некоторую функцию Y = F (X). Так как х и £ являются идеальными вещественными переменными, то можно записать
Y = F (X) = R (ж + ^П) = g (ж, т)
и рассматривать g как функцию двух вещественных переменных ж, ^, в которой символ П выступает как параметр. Так как поле идеальных вещественных чисел ж, £ изоморфно полю обычных вещественных чисел, то для исследования g можно использовать понятия и методы классического анализа. Более подробно определения производных, интегралов и различных функционалов (длина кривой на неархимедовой плоскости и др.) рассмотрены в [9].
Для приложений важным является вопрос о том, как связаны между собой различные масштабные уровни функции. Описание таких связей требует введения новых понятий, которых нет в классическом анализе. Приведем пример. Пусть у = f (ж) — обычная функция, заданная на вещественном уровне. Расположим ее значения в точках 1/п в виде последовательности
Положим
了(口)=如0=/(啟扌)・
Структура последнего равенства является такой же, как и при определении непрерывности в классическом анализе. Поэтому можно сказать, что указанное значение /(П) является непрерывным продолжением функции с вещественного масштабного уровня в точку П первого микроуровня. Аналогично непрерывным продолжением на микро- и мегауровни можно назвать следующие функции:
Lim / (力 + / (ж + ^П), Lim / (ж + 〃几)=/ (туз + ж). 71ТОО \ П / 71ТОО
Таким образом, условие непрерывности перехода с одного масштабного уровня на другой является весьма сильным. Поэтому можно ожидать, что основной ин-
терес будут представлять случаи, когда непрерывности не будет. В этих случаях появляются новые характеристики функций, а именно ее скачки при переходе с одного масштабного уровня на другой. Например,
R(x) =(p (ж, 0) - 3 (力一〃川•(4)
В пластичности подобные разрывы могут соответствовать проскальзываниям между структурными элементами среды. Рассмотрим в качестве иллюстрации простой сдвиг. Пусть поле смещений 〃, о зависит только от одной декартовой координаты X:
〃三 0, V = V (X) = V (ж, г); X =力 + т, т = £Г1.
Предположим, что деформации на микроуровне являются линейно упругими. Тогда упругий сдвиг и касательное напряжение равны
dvа。
где 〃(力,т) — модуль сдвига. Согласно (4), касательный разрыв (проскальзывание) равен
R^x) = V (ж, 0) — о (力—〃川.(5)
Проскальзывание локализовано на микроуровне и связано с соответствующим касательным напряжением, т. е. а^у = Т (R), где Т — заданная функция. Условие равновесия сг% = а^у приводит к следующему дифференциально-разностному уравнению относительно профиля смещений о(с,т):
Если ограничиться только первым приближением по р, то вместо (5) получим
R⑺一C呼，°)丿呼，吗.v 7 у дх дт у
Последний результат вполне согласуется с [7]: выражению dv/дт соответствует локальная производная, a dv/0х — производная в среднем. Их различие и определяет скачки функции на микроуровне.
В [9] рассмотрена также задача о пути между двумя точками, для преодоления которого требуется наименьшее время. У траектории на микроуровне допускаются изломы. Считается, что скорость зависит от локальной ориентации траектории (подобная ситуация имеет место при движении парусника галсами [10]).
Интересно отметить, что необходимость в подобных решениях возникает и в теории обработки металлов давлением. Так, в [6] рассматриваются пути нагружения, которые позволяют достичь заданных деформаций тела при наименьших затратах энергии. Тело удовлетворяет обобщенному закону Максвелла. Показано, что траектории нагружения должны включать в себя вертикальные отрезки, которым соответствует «ударная, ковочная» деформация. При этом деформации должны носить пульсирующий характер: чем больше частота пульсаций, тем меньше общая работа. В пределе переключения должны осуществляться с бесконечно большой частотой.
Рассмотренные выше и в [9] понятия переносятся на плоский и трехмерный случаи. Нет никаких препятствий и для того, чтобы ввести неархимедово время,
т. е. время, имеющее внутреннюю структуру типа (2). Наличие внутренней структуры у всех переменных значительно расширяет возможности аппарата.
Таким образом, в теории пластичности и в ряде других областей возникают задачи, которые приводят к близким математическим объектам: траекториям нагружения с бесконечно малыми изломами, полям скоростей, которые испытывают разрывы на микроуровнях и т. д. Подобные объекты можно конструировать и исследовать с помощью функций, заданных на неархимедовой прямой. Такой подход приводит к естественному и достаточно ясному математическому аппарату, который непосредственно примыкает к классическому анализу.
Список литературы
Ишлинский А. Ю. О плоском движении песка // Укр. матем. ж. 1954. Т. 6, № 4. С. 430441.
Ревуж.енко А. Ф., Шемякин Е. И. Кинематика деформирования сыпучей среды с невязким трением // Ж. Прикл. механ. и техн, физика. 1974. №4. С. 119-124.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? — М.: Наука, 1987. — 128 с.
Альбеверио С, Фенстад Й., Хуэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. — М.: Мир, 1990. — 616 с.
Кротов В. Р., Букреев В. 3., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. — М.: Машиностроение, 1969. — 288 с.
Кротов В. Ф., Бровман М. Я. Экстремальные процессы пластического деформирования металлов // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. С. 148-153.
Ревуж.енко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ.— Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. — 428 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. — М.: Наука, 1987. - 416 с.
Ревуж.енко А. Ф. Теория пластичности и математический анализ на неархимедовой прямой // Ж. Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4, № 3. С. 73-83.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.— М.: Мир, 1974. — 488 с.
РЕОЛОГО-ДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ДЛЯВЯЗКОУПРУГИХ МОДЕЛЕЙ, СОДЕРЖАЩИХДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ДВУХРАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ
Ю.А. Россихин, М. В. Шитикова
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Введение. Известно [1], что вязкоупругие модели, содержащие производные целого порядка, могут описывать как диффузионные, так и волновые процессы, происходящие в твердых телах. Так, в материале, поведение которого описывается уравнением
。+才吟=瓦(£ +才喏)，⑴
где а — напряжение, £ — деформация, t — время, т£ и та — времена релаксации и ретардации, Eq — релаксированный упругий модуль, могут протекать волновые процессы, а в материале, реологическое уравнение которого имеет вид
возможны только диффузионные процессы.
Уравнения (1) и (2) были обобщены в [2] путем замены производных целого порядка на производные дробного порядка:
0 + t 噴‘ 0“七=瓦 0 + 仁 Т户 0% ,(3)
i=l' j=l'
где Qj (£ = 1, 2,...,几)и % (J = 1,2,..., m) — параметры дробности (0 < а〃, gBj < 1), Daia и。伪£ — дробные производные Римана-Лиувилля.
Если обозначить через а* = тах{ас}, а через /3* = max{为}, то можно показать [3], что при а* = /3* модели (3) обладает мгновенной упругостью и описывает волновые процессы, а при /3*〉а* модель (3) не обладает мгновенной упругостью и описывает диффузионные процессы. Иначе говоря, существует аналогия в поведении материалов, которые описываются уравнениями (1), (2) и (3), содержащими производные целого и дробного порядков.
Модель (3) является более сложной, чем модель (1) или (2), однако численные исследования показывают, что для адекватного описания экспериментальных данных при помощи моделей (1) или (2) необходимо учитывать довольно большое число производных целого порядка, стоящих в левой и правой частях реологического уравнения, а при использовании модели (3) достаточно учесть по одной
производной справа и слева, причем их порядки могут быть либо одинаковыми, либо разными.
Так, в [4] для полимера ISD 112, обладающего сильными демпфирующими свойствами, приводится сравнение экспериментальных данных для реальной части комплексного модуля сдвига и тангенса угла механических потерь в зависимости от частоты с численными данными, полученными при помощи модели (1) с учетом четырех производных целого порядка слева и справа (£ = 4) и на основе модели (3) с учетом только по одной дробной производной слева и справа («1 = 0,39, /?1 = 0,64 и а】= 仇 = 0,564). Все параметры модели, включая параметры дробности и /31, находились путем аппроксимации методом наименьших квадратов реальной части комплексного модуля на интервале 1 -4-104 Гц: mi® ( G3?——邑)， где Gi — измеренные значения динамического модуля сдвига, а 小伤)—значения, вычисленные при помощи модели (3). Из графиков, приведенных в [4], видно, что модель с двумя дробными производными разных порядков («1 * 31) прекрасно описывает зависимости реальной и мнимой частей комплексного модуля от частоты; модель с двумя дробными производными одинаковых порядков («1 =仇) хорошо описывает реальную часть и удовлетворительно — мнимую часть модуля, а модель с восемью производными целого порядка удовлетворительно описывает реальную часть модуля и довольно плохо — мнимую часть модуля.
Таким образом, модель, содержащая дробные производные, является более предпочтительной, по сравнению с моделью (1) с восемью целыми производными по времени.
В работе [5] для полиуретана дается сравнение экспериментальных данных, приведенных в [6], для реальной и мнимой частей комплексного модуля в зависимости от логарифма частоты с численными результатами, полученными в [7], на основе модели (1) с учетом семи производных слева и справа, и на основе модели (3) с учетом по одной дробной производной при «1 = В\ = 0,336. Получено хорошее соответствие по обеим моделям. Однако совершенно очевидно, что модель с дробными производными позволяет довольно точно описать экспериментальные кривые при гораздо меньшем числе параметров модели.
Сравнение экспериментальных данных для частотной зависимости реальной части комплексного модуля и временной зависимости функций ползучести и релаксации с теоретическими результатами на основе модели (1) с учетом пяти производных целого порядка в обеих частях реологического уравнения и на основе модели (3) с учетом только одной дробной производной слева и справа в реологическом уравнении проводится в работе [8] для полиамида при «1 =仇=0,54 и эластомера при «1 = 仇 = 0,661.
Все эти примеры показывают неоспоримое преимущество модели (3) перед моделями (1) и (2), поскольку для этой модели достаточно учесть всего-навсего две дробные производные против довольно большого числа производных целого порядка.
Таким образом, дробные производные позволяют наиболее легко и удобно описать поведение реальных вязкоупругих материалов в очень широком диапазоне частот при малом числе параметров модели.
Модели, содержащие дробные производные двух различных порядков. Рассмотрим простейшие модели, содержащие дробные производные или операторы двух различных порядков, которые в настоящее время используются реологами для описания экспериментальных данных по динамическим свойствам
различных материалов и механиками для описания демпфирующих свойств кон
струкций. К таким моделям относятся:
—обобщенная модель Максвелла
。+ 寸02 =石8 建О%,(4)
—модифицированная модель Максвелла
e+ 嗜02 =e8 (嗜0а£ + T^D^) ,(5)
—обобщенная модель стандартного линейного тела (модель Зинера)
0 + 丁尸0=е0(£ + *0戛),(6)
—модифицированная модель Зинера
с + 噴D”。=石0(£ + T^D^e + *。戛)(7)
—и модифицированная модель Кельвина-Фойгта
а = Ео(£^ r^D^e + *。％) ,(8)
—а также две модели, содержащие операторы дробного порядка,
e=e8 [一 "£(1 +寸0»%] ,(9)
£ =厶卜 + 〃ь (1 + WD*B d ,(10)
где /—аeеа, уа - △JJgi, △石-石8 -石0, AJ =J0-J8,J0 —石0\ J8 — =石戏，0 < «, /3 < 1.
Приведенные модели (4)-(7) при различных значениях параметров а и /3 использовались многими исследователями для описания реологических свойств различных материалов.
Так, в [9] показано, что модель (4) при а = 0,6и/3 = 1 хорошо описывает экспериментальные данные для демпфера на основе силиконовой гели в диапазоне частот от 0 до 50 Гц. Параметры определялись путем аппроксимации методом наименьших квадратов данных по реальной и мнимой частям комплексного модуля, которые были получены в динамических тестах на сдвиг. В [9] также показано, что традиционная модель Максвелла (а = /3 = 1) намного уступает модели (4), так как она дает удовлетворительные результаты в очень малом интервале частот. К примеру, традиционная модель Максвелла может адекватно описать экспериментальные данные для мнимой части комплексного модуля на частотном интервале, в 50 раз меньшем, чем обобщенная модель Максвелла с дробными производными (4).
Хорошее соответствие между экспериментальными данными для обеих частей комплексного модуля и теоретическими расчетами на основе модели (5), предложенной в [10], было показано в [11] для трех материалов: полибутадиена при а = 0,888 и £ = 0,9815, гудрона при а = 0,47 и /3 = 0,5087 и модифицированного полибутадиена при а = 0,543 и /3 = 0,594.
Экспериментальные данные для 30 материалов (эластомеров и глянцевитых эмалей) были изучены в [12], где были определены их механические свойства методом наименьших квадратов на основе модели (6). Так, например, для стекла, армированного оксидом алюминия (7,5% AI2O3), натрия (3% Na?。)и кобальта (1 % СО2О3), при а = 0,631 и /3 = 0,641 теоретические результаты прекрасно
согласуются с экспериментальными данными для реальной и мнимой частей комплексного модуля в широком диапазоне частот (10-5 -4- 103 Гц). Эти результаты подтверждают более ранние наблюдения [13], когда было подмечено, что зависимость механических свойств материалов от частоты сильно меняется, если она приобретает степенной характер, и где было предложено использовать дифференциалы различных дробных порядков для моделирования материалов.
Модель (6) при а = 0,4885 и /3 = 0,7049 позволила прекрасно описать для вязкоупругого материала DYAD-606 экспериментальные кривые модуля сдвига и коэффициента демпфирования в частотном диапазоне от 1 до 46 Гц [14].
В [11] показано, что модель (7) обеспечивает хорошее описание экспериментальных зависимостей реальной и мнимой частей комплексного модуля от частоты для полиизобутелена при а = 0,552 и /3 = 0,626 в интервале —2，logo;，9, а также экспериментальных кривых функции ползучести в зависимости от времени для полипропилена при а = 0,312 и /3 = 0,215 в интервале —8，log t，4.
Преимущество использования модифицированной модели стандартного линейного тела с дробными производными двух различных порядков (7) при описании динамических свойств различных вязкоупругих материалов по сравнению с аналогичной моделью, содержащей интегралы двух различных дробных порядков, которая изучалась в [15], было показано в [16] путем сравнения экспериментальных данных с теоретическими результатами на основе этих двух моделей. Было установлено, что модель (7) приводит к гораздо лучшим результатам, а эти две модели дают идентичные результаты только при а = /3.
Модель (8) использовалась в [17] для сравнения экспериментальных данных и теоретических расчетов для реальной части комплексного модуля и тангенса угла потерь для резины при а = /3 = 0,6442 и для акрила при а = /3 = 0,4558, а в [18] — для силиконовой гели при а = /3 = 0,633 и для бутила В 252 при а = =/3 = 0,5. В обеих этих работах приводится сравнение и с классической моделью Кельвина-Фойгта и показывается, что обобщенная модель Кельвина-Фойгта с дробными производными (8) дает хорошее согласование с экспериментом, в отличие от классической модели, которая плохо отвечает экспериментальным данным.
Реологические модели (7) использовались в [19, 20] для анализа диэлектрической и механической дисперсий для пяти полимеров, где было показано близкое соответствие теоретических расчетов с экспериментами. При /3 = 1 реологические модели (7) переходят в модели Ржаницына, которые изучались в [21]. В статье [22] собраны и приведены сведения для 21 полиуретанового полимера с целью сравнения результатов, даваемых моделями (7), с экспериментальными данными, при этом параметр дробности а менялся от 0,2609 до 0,7236, а параметр дробности /3 — от 0,0259 до 0,4116 в зависимости от химического состава полимера. Данные о 17 видах полиуретановых резин можно найти в [23], где построенные векторные диаграммы на основе моделей (7) при q = 0,1 4- 0,49 и /3 = 1 показывают хорошее согласование с экспериментальными кривыми.
В вышеуказанных работах можно найти описание различных способов определения параметров дробности, входящих в реологические уравнения (4)-(7). Наиболее распространенный из них состоит в следующем: по экспериментально полученным векторным диаграммам определяются углы наклона касательных к векторным диаграммам в двух точках, в которых частота стремится к нулю и к бесконечности (см. формулы настоящей статьи, приведенные ниже в п. 3). В работе [24] дано подробное описание процедуры оценки динамических характеристик резиноподобных материалов на основе экспериментальных данных, полученных при помощи различных экспериментальных установок: Du Pont DMA 983, Gaddum Gabo Eplexor 150 и Rheometrics Scientific DMTA Mark IV. Эти три установки
позволили провести эксперимент в широком температурно-частотном интервале: — 100° -4- +70 ℃ и 0,03 4- 100 Гц, в результате чего были получены температурночастотные зависимости модулей и параметров дробности q и /3, при этом а и /3 менялись от 0,01 до 1.
Но несмотря на большое число статей, посвященных экспериментальному определению параметров реологических моделей, содержащих дробные производные двух различных порядков, число решенных инженерных задач с такими моделями весьма невелико. Как отмечается в [8], это связано с тем, что инженеры, даже работающие в самых передовых индустриях, не знакомы с такой формулировкой динамических задач вязкоупругости, и, следовательно, она не включена в компьютерные коды для конечноэлементных вычислений. Хотя в настоящее время уравнения, содержащие дробные показатели, можно решать напрямую, используя программные комплексы Mathematica или Jeandel Scientific. Заметим, что впервые аналитический метод решения такого рода уравнений, появляющихся в динамических задачах наследственной вязкоупругости на основе различных моделей с дробными производными, был предложен в работах [25-27] и впоследствии развит в [21, 28-31].
Обширный анализ нестационарных колебаний одномассового осциллятора на основе реологических моделей (4)-(7) можно найти в [3]. Однако в настоящее время вышеперечисленные реологические модели используются не только для описания простейших механических систем, но при анализе более сложных систем и конструкций.
Так, в [28] исследуется динамическое поведение механической системы с двумя степенями свободы на основе модели (6) при а = 0,631 и /3 = 0,641, а также при а = /3 = 0,5. Проанализировано поведение корней характеристических уравнений, и определены перемещения рассматриваемой системы. Модель (6) была использована в [29] для описания нестационарных колебаний вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупругом основании, при этом параметры дробности для балки и основания выбирались различными. Модель, аналогичная модели (8), была использована в [30] при изучении нелинейных затухающих колебаний двухмассовой механической системы. Подробный пример использования модели (7) в численных исследованиях динамического поведения вязкоупругих стержней можно найти в [31].
Затухающие колебания трехслойной пластинки, вязкоупругий слой которой, заключенный между двумя одинаковыми упругими ортотропными слоями, описывался при помощи модели (6) при а = 0,39 и /3 = 0,64, рассматривались в [4]. Реакция фундаментов высотных зданий на землетрясение изучалась в [9] с использованием модели (4) при а = 0,6и/3 = 1.
Реологическое уравнение (6) с параметрами а = 0,52и/3 = 0,53 использовалось при анализе свободных затухающих колебаний 10-пролетной фермы [32] и большой сателлитной антенны с присоединенными к ней эластомерными демпферами [33]. Для расчета свободных затухающих колебаний пространственной стрежневой конструкции в [34] опять использовалась модель (6), но при а = 0,58 и /3 = 0,55.
В данной работе на основе асимптотических формул и предельных значений характеристических величин колебательных и волновых процессов проводится сравнительный анализ динамического поведения материалов, свойства которых описываются реологическими моделями (4)-(7), а также устанавливается аналогия в поведении реологических и динамических характеристиках перечисленных моделей.
Реологические характеристики. Здесь и в дальнейшем используются две реологические характеристики каждой из приведенных моделей: комплекс-
ный модуль 石*(£幻)и построенная на его основе векторная диаграмма Е"(Е), где 幻—частота, Е〃 = 1тЕ*(£з), Е‘ = Re £7*(^), и тангенс угла механических потерь tg 6 = Е〃/ Е'.
Применяя преобразование Фурье к уравнениям (4)-(7), имеем:
—для модели (4)
3 =(И)
COS + ^Tef COS - O)
e(5 二石8y 丿 。 2—,(12)
(&丁£)+(&「£)+2cos(ma)
石〃（公）=
3丁£产—^sin+ {шт£/ sin 貸0 - a)
(13)
37e)+ (以7£)+ 2cos
tgb =
(37J—a sin (^0)+ 3丁£产 sin ^(0 - a)
(14)
(iVT£f~a cos (^0)+ 3丁£产 cos ^(0 - a)
—для модели (5)
-%1 + (松"，
(15)
37e严 +(5)。3 传a)
石侬)=Eg2+
1 + 3丁£产 + 2 (зге)。cos
+(gf(^)+("7尸%吗("a),(]6)
1 + (^T£fa + 2 (&「£)а cos 传a)
3T£)asin(^a)+@7£)%in(^0)+(N7£)a+°sin^(0 —a)
石〃 (“)=EgWE，(17)
1 + 37ё严 + 2 37ё)a cos Qj
(з「£)а sin + 3丁£产 sin + (зтер+а sin — a)
■ g В ' 2 丿' 2 丿2.(18)
(lVT£fa + 3「£)а COS (^a) + 3丁£)万 COS (^0)+ (зтер+а COS ^(0 — a)'
—для модели (6)
石*(血)=瓦署鷺5(19)
3丁£)+3「bF£ cos(/?E) (N7b)%os((0 — a)E)+cos(aE)
e=e0/ 万、177r,
(nTe)-。+ (nTe)。+ 2 COS J (公^厂。+ 3丁£)° + 2 COS—J
С1 sinsin f(/3 - Q)- sin fay
石〃(у)=石0、 / 万、2丿
(nTe)-。+ (nTe)。+ 2 COS —J
tgb =tgb =3丁£产—a gT sin(0^) + @7b)万 Sin ((0 — ① ^) — sin (a^)(3丁£厂a + 3丁£产—a gT COS(0^) +(N「b)万 COS ((0 — ① ^) + COS (a ^
tgb =
tgb =
(21)(21)(22)(22)E* (添)=E* (添)=EqEq1 + (加7b广 + (i3Tb)B1 + (而 7е)a1 + (加7b广 + (i3Tb)B1 + (而 7е)a(23)(23)石/(g)=瓦石/(g)=瓦1 + [(NTb)。+ (^Te)a] COS 爲a) + {шт^ COS (0)1 + (^r£fa + 2 (nte)。cos 爲a)1 + [(NTb)。+ (^Te)a] COS 爲a) + {шт^ COS (0)1 + (^r£fa + 2 (nte)。cos 爲a)++++(ш2т£та)а + 以万+^方丁，cos ^ (0 - a)1 + (^r£fa + 2 (шт£)а cos 爲a)(ш2т£та)а + 以万+^方丁，cos ^ (0 - a)1 + (^r£fa + 2 (шт£)а cos 爲a)(24)(24)[(近广 一 (fFlsin 传 a) +(37b)0 Sin 传 0)石〃(n)=石05、'2， +1 + (^T£fa + 2(37ё)。cos (万a)1 + (^r£fa + 2 (зге)。cos 仔a)[(近广 一 (fFlsin 传 a) +(37b)0 Sin 传 0)石〃(n)=石05、'2， +1 + (^T£fa + 2(37ё)。cos (万a)1 + (^r£fa + 2 (зге)。cos 仔a)(25)(25)tgb =[(N7b)a - (^Te)a] sin 夢 + {шта)^ sin ^ + 以万+^方丁，sin ^(0 — a)1 + [(N7b)a + (^Te)a] COS 夢 + (&7о■产 COS ^ + (CJ2T£Ta)a + 成+^建丁£ COS ^(0 - a)(26)—для модели (8)E* (加)=瓦[1 + (添То)" + (凉Tb)[ ,(27)tgb =[(N7b)a - (^Te)a] sin 夢 + {шта)^ sin ^ + 以万+^方丁，sin ^(0 — a)1 + [(N7b)a + (^Te)a] COS 夢 + (&7о■产 COS ^ + (CJ2T£Ta)a + 成+^建丁£ COS ^(0 - a)(26)—для модели (8)E* (加)=瓦[1 + (添То)" + (凉Tb)[ ,(27)石/(公)=瓦[1 + (以T。)" cos £ a) + (以丁^产 cos 爲 /?)] ,(28)石/(公)=瓦[1 + (以T。)" cos £ a) + (以丁^产 cos 爲 /?)] ,(28)石〃(g)=瓦[(gT。)" sin 爲 a) + (nТ» sin 爲 /?)] ,(29)石〃(g)=瓦[(gT。)" sin 爲 a) + (nТ» sin 爲 /?)] ,(29)tgb =tgb =(N7b)a Sin (^a) +(N7b产 Sin (^0)1 +(N7b)a COS 爲a) +(N7b)。COS 传°)'(N7b)a Sin (^a) +(N7b产 Sin (^0)1 +(N7b)a COS 爲a) +(N7b)。COS 传°)'—для уравнения (7)
(21)
(21)
(22)
(22)
E* (添)=
E* (添)=
Eq
Eq
1 + (加7b广 + (i3Tb)B
1 + (而 7е)a
1 + (加7b广 + (i3Tb)B
1 + (而 7е)a
(23)
(23)
石/(g)=瓦
石/(g)=瓦
1 + [(NTb)。+ (^Te)a] COS 爲a) + {шт^ COS (0)
1 + (^r£fa + 2 (nte)。cos 爲a)
1 + [(NTb)。+ (^Te)a] COS 爲a) + {шт^ COS (0)
1 + (^r£fa + 2 (nte)。cos 爲a)
+
+
+
+
(ш2т£та)а + 以万+^方丁，cos ^ (0 - a)1 + (^r£fa + 2 (шт£)а cos 爲a)
(ш2т£та)а + 以万+^方丁，cos ^ (0 - a)1 + (^r£fa + 2 (шт£)а cos 爲a)
(24)
(24)
[(近广 一 (fFlsin 传 a) +(37b)0 Sin 传 0)
石〃(n)=石05、'2， +
1 + (^T£fa + 2(37ё)。cos (万a)
1 + (^r£fa + 2 (зге)。cos 仔a)
[(近广 一 (fFlsin 传 a) +(37b)0 Sin 传 0)
石〃(n)=石05、'2， +
1 + (^T£fa + 2(37ё)。cos (万a)
1 + (^r£fa + 2 (зге)。cos 仔a)
(25)
(25)
tgb =
[(N7b)a - (^Te)a] sin 夢 + {шта)^ sin ^ + 以万+^方丁，sin ^(0 — a)
1 + [(N7b)a + (^Te)a] COS 夢 + (&7о■产 COS ^ + (CJ2T£Ta)a + 成+^建丁£ COS ^(0 - a)
(26)
—для модели (8)
E* (加)=瓦[1 + (添То)" + (凉Tb)[ ,(27)
tgb =
[(N7b)a - (^Te)a] sin 夢 + {шта)^ sin ^ + 以万+^方丁，sin ^(0 — a)
1 + [(N7b)a + (^Te)a] COS 夢 + (&7о■产 COS ^ + (CJ2T£Ta)a + 成+^建丁£ COS ^(0 - a)
(26)
—для модели (8)
E* (加)=瓦[1 + (添То)" + (凉Tb)[ ,(27)
石/(公)=瓦[1 + (以T。)" cos £ a) + (以丁^产 cos 爲 /?)] ,(28)
石/(公)=瓦[1 + (以T。)" cos £ a) + (以丁^产 cos 爲 /?)] ,(28)
石〃(g)=瓦[(gT。)" sin 爲 a) + (nТ» sin 爲 /?)] ,(29)
石〃(g)=瓦[(gT。)" sin 爲 a) + (nТ» sin 爲 /?)] ,(29)
tgb =
tgb =
(N7b)a Sin (^a) +(N7b产 Sin (^0)
1 +(N7b)a COS 爲a) +(N7b)。COS 传°)'
(N7b)a Sin (^a) +(N7b产 Sin (^0)
1 +(N7b)a COS 爲a) +(N7b)。COS 传°)'
—для модели (9)
E* (涿)=% {1 - / [1 + (加"「号,石/(⑴)=e8 — AED^B cos (/3d)石〃(幻)= AEO；0sin(/3dJE* (涿)=% {1 - / [1 + (加"「号,石/(⑴)=e8 — AED^B cos (/3d)石〃(幻)= AEO；0sin(/3dJtgbtgb% О” sin (0厶).% О” sin (0厶).1 —%O”cos(“)'1 —%O”cos(“)'—для модели (10)—для модели (10)石/(")=e8石/(")=e8石〃(g)=Eg石〃(g)=Eg1 + 〃川二万 cos (0db)1 + 2〃bO】°cos(0db) + 〃^O】2° '〃b。】。sin (0db)1 + 〃川二万 cos (0db)1 + 2〃bO】°cos(0db) + 〃^O】2° '〃b。】。sin (0db)1 + 2〃b°I万 cos (0%) + 0。二2万'1 + 2〃b°I万 cos (0%) + 0。二2万't § = 〃bO】°sin (网)'—l + 〃bO】％OS(0db)'t § = 〃bO】°sin (网)'—l + 〃bO】％OS(0db)'(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)
E* (涿)=% {1 - / [1 + (加"「号,石/(⑴)=e8 — AED^B cos (/3d)石〃(幻)= AEO；0sin(/3dJ
E* (涿)=% {1 - / [1 + (加"「号,石/(⑴)=e8 — AED^B cos (/3d)石〃(幻)= AEO；0sin(/3dJ
tgb
tgb
% О” sin (0厶).
% О” sin (0厶).
1 —%O”cos(“)'
1 —%O”cos(“)'
—для модели (10)
—для модели (10)
石/(")=e8
石/(")=e8
石〃(g)=Eg
石〃(g)=Eg
1 + 〃川二万 cos (0db)
1 + 2〃bO】°cos(0db) + 〃^O】2° '
〃b。】。sin (0db)
1 + 〃川二万 cos (0db)
1 + 2〃bO】°cos(0db) + 〃^O】2° '
〃b。】。sin (0db)
1 + 2〃b°I万 cos (0%) + 0。二2万'
1 + 2〃b°I万 cos (0%) + 0。二2万'
t § = 〃bO】°sin (网)
'—l + 〃bO】％OS(0db)'
t § = 〃bO】°sin (网)
'—l + 〃bO】％OS(0db)'
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
где
Di = {\ + 2(g)a COS ^ a) + (g)2a ,
(У)sin
tgd£ = +7r、, (z = £,。).
1 + (公7力acos
Для дальнейших исследований особый интерес представляют асимптотические разложения величин Е‘ и Е". Эти разложения для больших и малых 幻丁〃 имеют следующий вид:
—для модели (4)
⑴7£》1
石/_[ E8("T£"-acos^ (0 - a), /3〉a,
I Eg,/3 = a,
^oo(^T£)^_asin (0 — a) = E'tg (0 — a), /3〉a, 石〃 =〈22(39)
、0,0 = a;
哥=石8(GT£)°cos, /?》a,
<(40)
、E〃 = Eg(3WB sM爲力=E气吟仇
—для модели (5)
Е‘ =
Eg®产” cos ^ (0 - а), Eg〉
/3 > а
0 = а,
石〃 ]Е^^т^-0^ sin ^(р -а) = ^tg ^ (/? - «)) , /3〉а,
1 0,0 = а;
公t£《1
Ef =石8(幻丁£尸 cos £ а) , /3》а,
严=e8(以Т£)гт(^a) = E'tg(^a);
—для модели (6)
ЗТ£》1
Е，_ f EQT~aT^^-a cos《/3 一 а) ^) , 0〉а,
[Еот~ат^ = Eg,0 = а,
(41)
(42)
(43)
{Еит?"т沁sin
瓦(以7£)-a sin (吗)(£T 一 1) ,/3 = a;
⑴7£《1
0 = % 0》а,
，-石0("7£尸 sin ,0〉a,
ЕП =
、瓦(以7£尸 sin (吗)(£Т — 1) , /3 = a;
—для модели (7)
⑴7£》1
‘瓦丁]aT，加-(0 - a), 0〉a,
Ef = I2
、Eqt-^t^ =石8,а =乱
'Еот~ат^^-а sin (0 - а)=哥 tg (0 - а), /3〉а
石〃 ='22
О,0 = а;
⑴7£《1
哥=瓦[1 + ga(T二-噎)cos 但 a)] , /3》a石〃=瓦g以噂一嗯)sin爲a),
((0 — °) ^)=牙 tg《/3 — а) ^), 0〉а,
(44)
(45)
—для модели (8)
GT。》1
，瓦侬丁。" COS 爲 0),0〉a,
Ef = < 2Ео(шта)а cos (^ a),
a =乱
、Е^та)а cos 伍 а) , /? < а,
Е〃 =
'瓦(nt。)。sin (^ °) ,0〉％
2瓦(GTb)a sin (^ a) , a =乱
、Е^та)а sin 爲 a) , /? < a;
(47)
GT。《1
Er = I
，瓦［1 +(GTb)a cos 爲 а)］, 瓦［1 + 2(GTb)a cos (^ а)］,
、瓦［1 + (以7。)0cos (^ а)］,
0〉а,
0 = а,
0 < а,
'Е0(шта)а sin (^ 0),/3〉a
E" = { 2Е0(шта)а sin (^ a) , ^ = a
［瓦(gtJ sin 爲 a) , /? < a;
(48)
—для модели (9)
⑴7£》1
哥=e8 一 △石(叩厂3OS爲a/?),石〃 =^Е(шт£)~а(3 sin 爲 a/3);
(49)
⑴Т£《1
E，= Eg + △也7?(以7£尸 cos 偿 a),石〃 =△也7?(以7£尸 sin (^ a);
(50)
GT。》1
GT。《1GT。《1E，= Eg- △石署(^t^-^cos 爲 a/?), 石〃 =△石筹(*)3 sin g M?),哥=瓦 + ^Е/3^- (шта)а cos 传 а), "ОО'/ /石〃 =△石*仪％尸sin传 "ОО'/ /E，= Eg- △石署(^t^-^cos 爲 a/?), 石〃 =△石筹(*)3 sin g M?),哥=瓦 + ^Е/3^- (шта)а cos 传 а), "ОО'/ /石〃 =△石*仪％尸sin传 "ОО'/ /(51)(51)(52)(52)
GT。《1
GT。《1
E，= Eg- △石署(^t^-^cos 爲 a/?), 石〃 =△石筹(*)3 sin g M?),
哥=瓦 + ^Е/3^- (шта)а cos 传 а), "ОО'/ /
石〃 =△石*仪％尸sin传 "ОО'/ /
E，= Eg- △石署(^t^-^cos 爲 a/?), 石〃 =△石筹(*)3 sin g M?),
哥=瓦 + ^Е/3^- (шта)а cos 传 а), "ОО'/ /
石〃 =△石*仪％尸sin传 "ОО'/ /
(51)
(51)
(52)
(52)
где £ =(T£/Taf = Eq/E^ < 1 [35].
Анализ полученных зависимостей (15)-(21) показывает, что для моделей (4а, б), (7) характер поведения величин Ег в зависимости от 幻雹(г = е, а) одинаковый: при /3〉а функции Е‘ и Е‘‘ стремятся к нулю при 幻丁〃 —> 0 и неограниченно возрастают при 幻丁〃 —> оо, при этом отношение Eff к Е‘ остается ограниченной величиной; при /3 = а величины Е‘ и Е‘‘ остаются ограниченными с увеличением или уменьшением 幻丁〃. Для моделей (4а, 6) и (7) /3》atgb остается положительным во всей области изменения величин ШТ{^ а при /3 < а существуют такие области изменения 幻丁弟 в которых tgb становится отрицательным, следовательно, при /3 < < а данные модели теряют физический смысл.
Для модели (8) при любых значениях 0 < Q, /3 < х величины Е‘ и ЕП стремятся к нулю или к бесконечности при 幻丁^ —> 0 и 幻丁^ —> оо соответственно, при этом отношение Eff к Е‘ остается конечной величиной при 幻丁^ —> оо, a tgb остается положительным во всей области изменения величины шта.
Для моделей (9) и (10) при любых значениях 0 < Q, /3 < 1 величины Е‘ и Е‘‘ остаются конечными и при 幻丁〃 —> 0 и 幻丁〃 —> оо, при этом tgb остается положительным во всей области изменения величины ШТ{.
Что же касается модели (6), то очевидно, что при /3〉а мнимая часть комплексного модуля и, следовательно, tg 6 могут принимать отрицательные значения при малых частотах, и такая модель теряет физический смысл и будет исключена из дальнейшего рассмотрения.
Иначе говоря, кривые векторных диаграмм остаются ограниченными для моделей (4а, б) и (5а, б) при /3 = а и для моделей (7а, б) при любых 0 < Q, /3 < 1; кривые векторных диаграмм уходят в бесконечность, стремясь к своим асимптотам, с увеличением 幻丁〃 для моделей (4а, б) и (7), когда /3〉а, и для модели (8) при любых значениях 0 < Q, /3 < 1.
Заметим, что в работах [36, 37] для модели (4) приведены неправильные асимптотики для Е‘ и Е".
На рис. 1 и 2 приведены характеристические кривые векторных диаграмм соответственно для модели (8) в осях е‘ = {Ег — Eq)/Eq, e,z = E,r/Eq и для модели (9) в осях е‘ =(石‘ -Ео)/АЕ, е〃 = Е"〔ХЕ.
При /3 > а кривые векторных диаграмм для моделей (4а, б) и (7) ведут себя аналогично кривым, приведенным на рис. 1, а при /3 = а они аналогичны кривым, изображенным на рис. 2.
Продольные колебания вязкоупругих стержней. Рассмотрим поведение вязкоупругого стержня длины L, один конец которого неподвижен, а к другому концу в начальный момент времени прикладывается напряжение ст。，которое
Рис. 1. Векторная диаграмма еп (е‘)для обобщенной модели Кельвина-Фойгта (8)Рис. 1. Векторная диаграмма еп (е‘)для обобщенной модели Кельвина-Фойгта (8)Рис. 2. Векторная диаграмма е〃(е‘)для модели (9)Рис. 2. Векторная диаграмма е〃(е‘)для модели (9)
Рис. 1. Векторная диаграмма еп (е‘)для обобщенной модели Кельвина-Фойгта (8)
Рис. 1. Векторная диаграмма еп (е‘)для обобщенной модели Кельвина-Фойгта (8)
Рис. 2. Векторная диаграмма е〃(е‘)для модели (9)
Рис. 2. Векторная диаграмма е〃(е‘)для модели (9)
затем не меняется с течением времени. В пространстве Лапласа уравнение движения такого стержня и граничные условия имеют вид
g(0)^-状五=a不2 =屮g(0)^-状五=a不2 =屮(53)(53)叫叽=。=0,"*（噜1l= ^叫叽=。=0,"*（噜1l= ^(54)(54)
g(0)^-状五=a不2 =屮
g(0)^-状五=a不2 =屮
(53)
(53)
叫叽=。=0,"*（噜1l= ^
叫叽=。=0,"*（噜1l= ^
(54)
(54)
где X — координата, направленная вдоль оси стержня, р — параметр преобразования Лапласа,五(力,р) — перемещение точек стержня в пространстве изображений, р — плотность,石*(目)получается из комплексного модуля при замене 加 на р.
Решение уравнения (53) с граничными условиями (54) ищем в виде разложения 五(力，р) по собственным функциям задачи [7]:
(55)(55)
(55)
(55)
где An(p) — неизвестные функции, ln = (2n — 1)тг/2.
Подставляя предполагаемое решение (55) в уравнение (53) и используя ортогональность sin (/九力厶-1) на отрезке от 0 до L, находим неизвестные функции
方П(0)=(-1广 ^ ^0卜2 + ^г\ 1 •(56)
Подставляя выражение (56) в формулу (55) и учитывая, что напряжение в пространстве изображений а (ж,р) = E*(p)du/dx, имеем
行闻0)= ^ + со^(—1)?0 Р? + ^^ 二s(M).(57)
Поскольку все функции Е* (р), приведенные выше, многозначны и имеют точку разветвления при 目=0, то переходя в формуле (57) от изображения к оригиналу и используя при этом контур интегрирования, изображенный на рис. 3, для функ-
ции ст (力，力)можно получить следующее выражение:
a(х, t) = aoH(t) + ^^ ]叵(力,5e-"")-况2,se"")] e~st ds + о
где H(t) — функция Хевисайда, а суммирование в третьем слагаемом формугде H(t) — функция Хевисайда, а суммирование в третьем слагаемом формулы (58) распространяется на все корни р^ характеристического уравнения
где H(t) — функция Хевисайда, а суммирование в третьем слагаемом форму
где H(t) — функция Хевисайда, а суммирование в третьем слагаемом форму
状+且然=0,(59)
Первое слагаемое выражения (58) определяет установившееся состояние стержня, второе и третье — неустановившееся, при этом второе слагаемое описывает монотонное убывание напряжений в стержне, связанное с релаксационными процессами, происходящими в нем, а третье — затухающие колебания, связанные с инерцией и вязкостью материала стержня. При анализе колебательных движений необходимо
+ £ res [行(力,Pk)ePkt],(58)+ £ res [行(力,Pk)ePkt],(58)прежде всего изучить поведение третьего
+ £ res [行(力,Pk)ePkt],(58)
+ £ res [行(力,Pk)ePkt],(58)
слагаемого, которое зависит от поведения корней характеристического уравнения (59).
Для приведенных моделей характеристические уравнения имеют следующий вид:
—для модели (4)
目2 + 幻蹺(％£)" £ + (%£)“『=。，
—для модели (5)
@2 + ^п [ (%£尸 + (%£)[ £ + (%£)“『=&
(60)(61)(60)(61)—для модели (7)
(60)
(61)
(60)
(61)
Р2 + ^Оп [1 +(Wb)“ +(Wb)[ [1 + (目丁£尸「1 =。，(62)
—для модели (8)
Р2 [1+ (Кт)" + (%ь)"]+ 说九=。，(63)
—для модели (9)
(@2 + ^n) I1 + (%£)“]"-幻蹺吃=。，(64)
—для модели (10)
(@2 + ^n) I1 + (Кт)"]" + 目2么т = 0,(65)
23 Проблемы механики
гдеg含=^瓦(加0厂)必0n =僚石8 (加0)-1.
В дальнейшем нас будет интересовать асимптотическое поведение корней характеристических уравнений (62)-(32) при 丁〃 一＞ 0 и 丁〃 一＞ оо (£ = £, сг). Для этого в каждом из уравнений (29)-(32) положим 目=гЕ и разделим действительную и мнимую части. В результате получим
—для уравнения (60)
T2 cos 2也+"蹺川建R」cos (阿-31) = 0,
丁2 sin 2^ + 幻爲九川丁？R：1 sin (/3^ - 31) = О, где
R\ = J1 + 2 (丁丁£广 cos a^ + (丁丁£)2" ,
tg g1 = (丁丁£尸 sin aQ [ 1 + (丁丁£尸 cos a如 ;
—для уравнения (61)
丁 2 cos 2也 + 必0nzi R[1 cos© — 31) = О,
1(67)
r sin2^ (jj^ZrR^1 sin (＜；i - q) = 0,
где
Zi = J(丁丁£产 + 2〈a+万差十万 cos "3 — a)Q + (ttJ万,
tgg _ (丁76广 sin a吵 + (丁丁£)万 sin/3吵,(丁丁£)a cos a吵 + (T7£)" cos 0吵'
—для уравнения (62)
г2 cos 2^ + ^nZ2R^1 cos (д2 -(^1) = О,
1(68)
丁2 sin 2也 + ^о^2^Г sin © - 31) = о,
Z2 =Z2 =где
Z2 =
Z2 =
(rr(T)Q:cos aQ + (rra)^ cos ^^ + [(rr(T)Q:sin aQ + (丁丁。)％^ /3^]
tgG2tgG2(69)(69)(T7b)° sin a吵 + (тТь)" sin 0吵 .
tgG2
tgG2
(69)
(69)
—для уравнения (65)
(71)(71)幻爲71 厂2 cos 2也 + 沙bRg。COS032 + 1 = 0,幻爲nT-2sin2也 + UbR^B sM/3屮2 = О,
(71)
(71)
где
凡2 = J1 + 2 ("。尸 cos a也 + ("Ja ,
tg 夕2 = (^o-)a sin aQ [ 1 + (гта)а cos q^]-1 .
Чтобы выяснить асимптотическое поведение корней характеристических уравнений (33) и (69) при Т£ —> 0 и Т£ —> оо (г = е, сг), их удобно переписать в следующем виде:
—уравнение (66)
(2 — /3)也 + si = ±тг,
产TRi =
(72)
уравнение
(67)
31 + 2也 一 G1 = ±7Г,
MriZ”
—“ООП；
(73)
уравнение
(68)
Bi + 2也 一g2 = 土叫
户丛z厂
—说71；
(74)
уравнение
(69)
2矽 一g2 = 土万，
MZ^~i = a
,2
/0九，
(75)
Переходя в уравнениях (35)-(75) к пределу при Ti ^ 0 и Ti ^(X) (г = е, сг), получим для каждого характеристического уравнения предельные значения комплексно-сопряженных корней:
—для уравнения (60)
现=±& Т。= °
@8 — 土@8 — 土7Г7Г2 + a —/T t°°2 + a —/T t°°，oo,/3〉a,< "ост, /3 = a = у、0,0 < a;，oo,/3〉a,< "ост, /3 = a = у、0,0 < a;(76)(76)
@8 — 土
@8 — 土
7Г
7Г
2 + a —/T t°°
2 + a —/T t°°
，oo,/3〉a,
< "ост, /3 = a = у
、0,0 < a;
，oo,/3〉a,
< "ост, /3 = a = у
、0,0 < a;
(76)
(76)
—для уравнения (61)
23*23*现=<现=<土 7r2 -± 7r2 — 0'土 7r2 -± 7r2 — 0'0 > a,0 = a = у0 < a,0 > a,0 = a = у0 < a,^o = О,^o = О,(77)(77)
23*
23*
现=<
现=<
土 7r
2 -
± 7r
2 — 0'
土 7r
2 -
± 7r
2 — 0'
0 > a,
0 = a = у
0 < a,
0 > a,
0 = a = у
0 < a,
^o = О,
^o = О,
(77)
(77)
(±2 + ：'0> %0〉%
也8 = ( ±万，0 -a— 7't0° = I g8九V^, /3 = а = У
I ±^‘/3 < а,I ^ооп? /3 < а;
—для уравнения (62)
也0 = 土^,T0="0九，
< ±^,0 = а = у< ±^,0 = а = у(78)(78)
< ±^,0 = а = у
< ±^,0 = а = у
(78)
(78)
—для уравнения (63)
也0 - 土万，丁。="0九，т0о - 8,
也40 = а = у(79)
< а;
—для уравнений (64) и (65)
现=土^, T0 ="0九，也8=土^,T8="871,(80)
где индексы «0» и «схэ», у величин т и 次 указывают на то, что значения этих величин соответствуют значениям 丁〃(£ = % сг), равным 0 и оо.
Из формул (38)-(80) следует, что поведение корней характеристических уравнений в зависимости от параметров т^ (£ = £, сг) аналогично поведению векторных диаграмм для соответствующих моделей: для моделей (4а, б) и (7) кривые векторных диаграмм и корней характеристических уравнений остаются ограниченными при /3 = а и уходят в бесконечность при /3〉а, а для моделей (8) и (7а, б) при любых 0 < /3, Q < 1 подобные кривые либо только неограниченны (модель (8)), либо только ограничены (модели (7а, б)). При /3 < а корни характеристических уравнений для моделей (4а, б) и (7) попадают в правую полуплоскость комплексной плоскости 目 при некоторых значениях параметров 丁〃 (分=£, ст).
Характерные кривые, описывающие поведение корней характеристических уравнений для модели (8) и моделей (7а, б), приведены соответственно на рис. 4 и 5.
Подобные кривые для моделей (4а, б) и (7) при ^ > а ведут себя так же, как кривые, показанные на рис. 4, а при /3 = а — как кривые, приведенные на рис. 5.
Сравнение графиков, приведенных на рис. 1, 2 и 4, 5, опять показывает, что поведение векторных диаграмм и корней характеристических уравнений соответствующих реологических моделей аналогично: для модели (8) корни характеры-
стического уравнения и кривые векторных диаграмм неограниченно возрастают, стремясь к своим асимптотам, а для моделей (7а, б) эти кривые ограничены.
Рис. 4. Поведение корней характеристического уравнения для модели (8) при &о = 1 и 0 = 0,8; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривыхРис. 4. Поведение корней характеристического уравнения для модели (8) при &о = 1 и 0 = 0,8; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривыхРис. 5. Поведение корней характеристического уравнения для модели (10) при &о = 1, 〃ь = 49 и 0 = 0,9; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривыхРис. 5. Поведение корней характеристического уравнения для модели (10) при &о = 1, 〃ь = 49 и 0 = 0,9; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривых
Рис. 4. Поведение корней характеристического уравнения для модели (8) при &о = 1 и 0 = 0,8; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривых
Рис. 4. Поведение корней характеристического уравнения для модели (8) при &о = 1 и 0 = 0,8; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривых
Рис. 5. Поведение корней характеристического уравнения для модели (10) при &о = 1, 〃ь = 49 и 0 = 0,9; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривых
Рис. 5. Поведение корней характеристического уравнения для модели (10) при &о = 1, 〃ь = 49 и 0 = 0,9; значения параметра дробности а указаны цифрами у кривых
Другими словами, кривые характеристических уравнений для моделей (4а, б) и (7) при /3〉а и для модели (8) при любых значениях 0 < /3, q < 1 неограниченно возрастают при изменении т^ от 0 до схэ, а для моделей (4а, б) и 5(6) при /3 = а и для моделей (7а, б) при любых 0 < ^, а < 1 они остаются ограниченными при изменении 丁〃 от 0 до схэ.
Гармонические волны. Еще одним примером, иллюстрирующим связь динамических и реологических характеристик, является гармоническая волна, распространяющаяся в вязкоупругом материале. Для случая затухающей волны при 力》0 выражение для перемещения и(х, t) принимает вид
и(х,力)=4 exp [г(a; t — kx)—死力],(81)
где А — произвольная постоянная, определяемая краевыми условиями, к = о;с-1 — волновое число, с — скорость волны,死一ее коэффициент затухания.
Подставляя выражение (81) в уравнение движения вязкоупругого стержня, имеем
к = з№ 旧*(分幻『I" cos ； J,
死=g/?1/2 旧*(必)「i/2 sin ； b.(82)
Учитывая в выражениях (82) формулы (8)-(14), можно определить зависимость от 幻 волнового числа к (фазовой скорости с) и коэффициента затухания 死 для реологических моделей (4)-(7). Для наших исследований особый интерес представляют асимптотические разложения величин сих для малых и больших частот з. Эти разложения имеют следующий вид:
—для модели (4)
幻》1：
(83)(83)]Coo sec J 7T(/3 - a)^^-^/2, 0 * a,
(83)
(83)
I Coo [1 - I (幻丁£厂)cos I 7Г7] ,/3 = a = 7,
幻《1：
、；限1Тl，-)sin；7ry
/3 = а = 7；
(84)
(85)(85)C = Coo sec (； 7T/3)(NT£)°/2, 死=%01T广万/2，_万/2 sin ； 7Г/3,0 < a, /3 < 1,
(85)
(85)
—для модели (5)
幻》1：
с = <с = <Coo sec ； 7Г(/3 - а^шт^-0^^2, dsV^ [1 - I (幻丁£厂)cos I 7Г7],Coo sec ； 7Г(/3 - а^шт^-0^^2, dsV^ [1 - I (幻丁£厂)cos I 7Г7],/3 > а/3 > а0 = а = у0 = а = у(86)(86)Coo [1 + I (шт£)^-а cos I 7Г(/3 - «)] , /3 < а,Coo [1 + I (шт£)^-а cos I 7Г(/3 - «)] , /3 < а,± 唯吁厂 Jr sin ； 7ГУ± 唯吁厂 Jr sin ； 7ГУ0 = а = у0 = а = у(87)(87)
с = <
с = <
Coo sec ； 7Г(/3 - а^шт^-0^^2, dsV^ [1 - I (幻丁£厂)cos I 7Г7],
Coo sec ； 7Г(/3 - а^шт^-0^^2, dsV^ [1 - I (幻丁£厂)cos I 7Г7],
/3 > а
/3 > а
0 = а = у
0 = а = у
(86)
(86)
Coo [1 + I (шт£)^-а cos I 7Г(/3 - «)] , /3 < а,
Coo [1 + I (шт£)^-а cos I 7Г(/3 - «)] , /3 < а,
± 唯吁厂 Jr sin ； 7ГУ
± 唯吁厂 Jr sin ； 7ГУ
0 = а = у
0 = а = у
(87)
(87)
I С^т^~аш1^^~а sin ； тг(/3 - а),/3 < а;
幻《1：
c = dg sec(；万a)(以Т£尸/2771,c = dg sec(；万a)(以Т£尸/2771,死=d戏Т〕а/2G 1 — а/2 sjn 1 ^q,死=d戏Т〕а/2G 1 — а/2 sjn 1 ^q,(88)(88)0 < Q, /3 < 1;0 < Q, /3 < 1;
c = dg sec(；万a)(以Т£尸/2771,
c = dg sec(；万a)(以Т£尸/2771,
死=d戏Т〕а/2G 1 — а/2 sjn 1 ^q,
死=d戏Т〕а/2G 1 — а/2 sjn 1 ^q,
(88)
(88)
0 < Q, /3 < 1;
0 < Q, /3 < 1;
—для модели (7) 幻》1：—для модели (7) 幻》1：60丁广“/2丁，/2 sec ； 7Г(/3 — а)а/°-а)/2,60丁广“/2丁，/2 sec ； 7Г(/3 — а)а/°-а)/2,0〉а,0〉а,
—для модели (7) 幻》1：
—для модели (7) 幻》1：
60丁广“/2丁，/2 sec ； 7Г(/3 — а)а/°-а)/2,
60丁广“/2丁，/2 sec ； 7Г(/3 — а)а/°-а)/2,
0〉а,
0〉а,
=< %v^ [1 - ；(2 -穹 S=< %v^ [1 - ；(2 -穹 S-7-7с0тГа/2т^/2 [1 + I (幻丁。"-。cosс0тГа/2т^/2 [1 + I (幻丁。"-。coscos I 7Г7] ,/3 = а = 7,；；тг(/3-а)], /3 < а,cos I 7Г7] ,/3 = а = 7,；；тг(/3-а)], /3 < а,
=< %v^ [1 - ；(2 -穹 S
=< %v^ [1 - ；(2 -穹 S
-7
-7
с0тГа/2т^/2 [1 + I (幻丁。"-。cos
с0тГа/2т^/2 [1 + I (幻丁。"-。cos
cos I 7Г7] ,/3 = а = 7,
；；тг(/3-а)], /3 < а,
cos I 7Г7] ,/3 = а = 7,
；；тг(/3-а)], /3 < а,
幻《1：幻《1：'С^Те^Та^^^1^0"-^^ Sin | 7Г(/3 — Q),/3〉％< с戏志(2 一警)sin Г% " = а = м .I Со1Т^~аШ1^/3~аТе/2Таа/2 sin ^ 7Г(/3 - Q), /3 < а；'С^Те^Та^^^1^0"-^^ Sin | 7Г(/3 — Q),/3〉％< с戏志(2 一警)sin Г% " = а = м .I Со1Т^~аШ1^/3~аТе/2Таа/2 sin ^ 7Г(/3 - Q), /3 < а；(90)(90)(91)(91)；。『1丁<?(2—栽)a?+)sin；7T7, 0 = а = 7;
幻《1：
幻《1：
'С^Те^Та^^^1^0"-^^ Sin | 7Г(/3 — Q),/3〉％
< с戏志(2 一警)sin Г% " = а = м .I Со1Т^~аШ1^/3~аТе/2Таа/2 sin ^ 7Г(/3 - Q), /3 < а；
'С^Те^Та^^^1^0"-^^ Sin | 7Г(/3 — Q),/3〉％
< с戏志(2 一警)sin Г% " = а = м .I Со1Т^~аШ1^/3~аТе/2Таа/2 sin ^ 7Г(/3 - Q), /3 < а；
(90)
(90)
(91)
(91)
—для модели (8)
{
00(以T6)°/2 sec I ?г/?, /3>a, 00(以丁6尸分 sec I 7tq, /3 < a,
(92)(92)(93)(93)0『1Т1"/2gi-°/2 sin I ?г/З, /3>a, Cq 1т7а/2^1-а/2 sin ； 7TQ, /3 < Q；
(92)
(92)
(93)
(93)
(94)(94)幻《1：
(94)
(94)
С = Co I"l + I (幻丁。尸 cos ^7Г« + I (幻丁。)° cos | тг/з],〃 =T c『％ [(幻丁。尸 sin |ttq + (幻丁。" Sin ； 7Г/?],0 < а, /3 < 1;
(95)(95)—для моделей (7a, б)
(95)
(95)
幻》1：
С = Coo [1 一 ； ％(幻看)—aQ cos Q тга/3)],
⑴《1
(97)(97)Рис. 7. Зависимость скорости гармонической волны с* от коэффициента затухания х* для модели (9)Рис. 7. Зависимость скорости гармонической волны с* от коэффициента затухания х* для модели (9)
(97)
(97)
Рис. 7. Зависимость скорости гармонической волны с* от коэффициента затухания х* для модели (9)
Рис. 7. Зависимость скорости гармонической волны с* от коэффициента затухания х* для модели (9)
Со
" =; e戏"/丁仔"1 + a sin ; 7TQ,
О < /3 < 1,
где 分=£ и знак « —» соответствуют модели (9), а г = сг и знак «+» — модели (10), со —，Е°/Р , соо —，Eg]р •
Анализ формул (43)-(97) показывает, что при больших значениях величины 幻 асимптотическое поведение скоростей гармонических волн для рассмотренных моделей аналогично асимптотическому поведению векторных диаграмм при больших 幻：для моделей (4а, б) и (7) скорости возрастают до бесконечности при /3〉а и стремятся к с^ при а = /3 =); для моделей (8) и (7a, б) подобные величины при любых 0 < «, /3 < 1 либо только неограниченно возрастают (модель (8)), либо только стремятся к с^ (модели (7а, б)).
С увеличением 幻 коэффициенты затухания 死 для всех реологических моделей неограниченно возрастают при значениях параметров дробности q и /3, отличных от единицы, и остаются ограниченными только при а = /3 = 1.
При /3 < а асимптотические значения величин 死 при больших 幻 для моделей (4а, б) и (7) становятся отрицательными, и волна теряет физический смысл.
Диаграммы, иллюстрирующие зависимость между безразмерным коэффициентом затухания 死* =死。。/幻 и безразмерной фазовой скоростью с* = (с — cq)/со, для модели (8) и моделей (7а, б) приведены соответственно на рис. 6 и 7.
Рис. 6. Зависимость скорости гармони-ческой волны с* от коэффициента за-тухания х* для модели (8)
Кривые для моделей (4а, б) и (7) при ^ > а и а = ^ ведут себя аналогично кривым, приведенным на рис. 6, 7 соответственно. Здесь опять прослеживается аналогия в поведении кривых для скоростей гармонических волн и векторных диаграмм для соответствующих реологических моделей.
Волны напряжений. Рассмотрим поведение полубесконечного вязкоупругого стержня, к свободному концу которого в начальный момент времени прикладывается напряжение aw, которое затем не меняется с течением времени. В пространстве Лапласа уравнение движения такого стержня и граничное условие имеют вид
不Г"再一02万=0，(98)
ах
a(x,p)\x=Q=(99)
Решение уравнения (98), удовлетворяющее граничному условию (99), может быть записано в виде
万(力，р) = ^ exp (^-ру/р/Е*(р) ж^ •(100)
Переходя в формуле (100) от изображения к оригиналу по формуле Меллина- Фурье, имеем
=豈］0-%Xp 卜，一 〃/石*(0)叫 dp.(101)
В дальнейшем нас будут интересовать асимптотические выражения для напряжения сг(力，力)для малых t — t^ (力g = жс^1) или малых t, которые получаются из формулы (101) при больших р. Эти асимптотические выражения для рассматриваемых моделей имеют следующий вид:
—для моделей (4а, б) и (7) при /3》а
。(力,力)=豈 p~rept exp (一(16丁”В-喲/2Po dp (/? > a),(102)
仪*")=員p^e^^^ exp (^-b^ t^r^p^ dp (0 = a = 7),(103)
где b = l + ；(a - /3), 〃 = 1- у причем для модели (4) в формулах (57) и (106) нужно положить a = 6 = 1,力8 = хс^, для модели (5) — a = 6 = 1,力g = xl^ic^^ для модели (7) — a = V^,b = l-，丁?/2tJ ,力 = c「，t?/2tJ 力;
—для модели (4) при /3 < a
Сг(ж,力)=豈 p-1ept exp (一力8丁5"-°)/20‘)dp,(104)
где 力8 = же"1;
—для моделей (5) и (7) при /3 < а
6r(力,力)=*0-%0(18)exp G 力dp, (105)
Z7FZ J\2/
где для модели (5)力g = хс^ и £ = 3 а для модели (7)力g = c^1x и £ = cr;
—для модели (8) при 0 < /3, q < 1
。(力，力)=員 p-1ept exp ^-At0r~n/2p1~n/2^ dp,力0 =力。『\(106)
где А = п = ^ при /3>а\А = 1, п = а при /3 < а и А = 1/\/^, п = 7 при а = = 0 = 7；
—для моделей (7a, б) при 0 < /3, q < 1
0闻")=員 j 0-%0(18)exp (一gtg%丁严pi+a,如，(107)
где для модели (9) индекс j = £, а для модели (10) индекс j = а.
Для вычисления интегралов (57)-(107) воспользуемся контурным интегрированием, выбрав контур интегрирования, изображенный на рис. 3. Тогда для функций сг(/,力)можно получить следующие асимптотические представления:
—для моделей (4а, б) и (7)
СГ(Ж, t) = СГ0Я(^)^1 —— 丄 g — s%xp ( — а力00TJ(° — a)/2s‘COS 7гЬ)X о
(108)(108)(109)(109)x sin (а力^壊①-①/統'sinтг®) ds > (/? > q),
(108)
(108)
(109)
(109)
丄 e-s"T°°)exp (—6；力8丁：)5“ cos7T〃) x丄 e-s"T°°)exp (—6；力8丁：)5“ cos7T〃) xСГ(力,t) = a0H(t -力8){1 - i
丄 e-s"T°°)exp (—6；力8丁：)5“ cos7T〃) x
丄 e-s"T°°)exp (—6；力8丁：)5“ cos7T〃) x
0
x sin 0； tooT~^su sin тг”) ds, } (/? = & =));
—для модели (8) при 0 < q, /3 < 1
СГ(Ж,力)=a0H(t)< 1СГ(Ж,力)=a0H(t)< 11 f7Г < О1 f7Г < О-e~st exp (—AtoT^ 7sM cos тг/z^ x-e~st exp (—AtoT^ 7sM cos тг/z^ x
СГ(Ж,力)=a0H(t)< 1
СГ(Ж,力)=a0H(t)< 1
1 f
7Г < О
1 f
7Г < О
-e~st exp (—AtoT^ 7sM cos тг/z^ x
-e~st exp (—AtoT^ 7sM cos тг/z^ x
(110)(110)x sin I At^Ta £ sM sin 7г〃 ) ds 卜,
(110)
(110)
—для моделей (7а, б) при 0 < а, ^ < 1
сг(ж, t) = aoH(t —力8){1 —丄 -с—(土т°°)exp (―；匕匕丁丁廿s^ costtct) x о
x sin ^ t^UjT^^sa sin тгсг^ ds j>,(111)
где a = 1 — a/3.
Из формул (57в, г) видно, что при /3 < а для моделей (4а, б) и (7) лемма Жордана не выполняется для контура интегрирования, изображенного на рис. 3, и поэтому для данного случая нельзя получить асимптотические выражения вида (60а) и (606).
В общем случае для анализа выражений (60)-(111) необходимо провести численные исследования. Однако в частных случаях эти выражения допускают представления через уже известные функции. Так, при 6 = 1/2, 6 = 1/2 ^^1/2^1/2 и〃 = 1/2 () = 1/2) формулы (60а) и (606) приводятся к виду
сг(ж, t) = сг0Я(^)^1 —— 丄 е-s* sin (а&т”/?//?) ds} (/? > q),(112)
о
<т(ж, t) = <T0H(t - ioo)|l -； e—(i8)sin (g tooT；2 s' ds}, 口⑶
(Q = a = 7),
ИЛИ
СГ(Ж, t) = a0H(t) Erf c Q a&T『i/2广1/2)(/? > a),(114)
cr(力,t) = a0H(t -力8)Erf c [；从8丁；1/2(力-力8)i/2] (0 = a = 7).(115)
Аналогичные формулы можно получить из выражений (110) и (111) соответственно, если в них положить 从 = 1/2 (п = 1) и а = 1/2 (а/3 = 1/2). При других значениях параметров дробности, принадлежащих области их определения, зависимости напряжений от времени и координаты ведут себя подобным образом.
Анализ асимптотических формул показывает, что материалы, которые описываются моделями (4а, б) и (7) при /3〉а, а также моделью (8) при 0 < /3, q < 1, не обладают мгновенной упругостью и, следовательно, в них протекают диффузионные процессы, а материалы, поведение которых описывается моделями (4а, б) и (7) при a = /3 = у а также моделями (7а, б) при 0 < /3, q < 1, обладают мгновенной упругостью и, следовательно, в них протекают волновые процессы. Диффузионные процессы характеризуются тем, что возмущение, приложенное в начальный момент времени к свободному концу полубесконечного стержня, мгновенно распространяется по всему стержню, затухая на бесконечности. Волновые процессы характеризуются тем, что начальное возмущение распространяется вдоль стержня с конечной скоростью Cg, при этом напряжение на волновом фронте все время равно нулю, так что волновой профиль имеет вид структурной
ударной волны. Подобные выводы можно сделать также на основе анализа предельных значений скоростей и коэффициентов затухания гармонических волн при 幻一> оо, поскольку при 幻一> оо характеристики гармонических (стационарных) волн переходят в характеристики нестационарных волн.
На рис. 8 приведена зависимость безразмерного напряжения а* = 2а(аоу/тг)~1 от безразмерной координаты力* =力0戏丁】1 при фиксированных значениях безразмерного времени 力* =力丁广‘ для модели (7). Кривая 1 соответствует значениям а = /3 = 0,5 при 力* = 1, кривая 2 — а = 0,1 и /3 = 0,9 при 力* = 0,1. Эпюры напряжения для других рассматриваемых моделей ведут себя аналогично приведенным на рис. 8.
Из рис. 1, 2 и 8 видно, что бесконечные кривые векторных диаграмм на рис. 1 находятся в соответствии с кривой 2 на рис. 8, описывающей распределение напряжений вдоль оси полубесконечного стержня (эта кривая не ограничена), а ограниченные кривые на рис. 2 согласуются с кривой 1 на рис. 8, описывающей распределение напряжений на конечном интервале оси полубесконечного стержня (эта кривая ограничена). Таким образом, прослеживается аналогия в поведении кривых эпюр напряжений и векторных диаграмм соответствующих реологических моделей.
Иначе говоря, в любой фиксированный момент времени кривые эпюр напряжений для моделей (4а, б) и (7) при /3〉а и модели (8) при любых 0 < /3, Q < 1 имеют бесконечную протяженность, а для моделей (4а, б) и ⑺ при /3 = а и моделей (7а, б) при любых 0 < /3, Q < 1 — конечную протяженность.
Заключение. Итак, проанали-
Рис. 8. Эпюра напряжения для модели (7) зировано реологическое и динамическое поведение вязкоупругих материалов, ко
торое описывается шестью реологическими моделями, содержащими дробные производные и дробные операторы двух различных порядков — а и /3. Показано, что первые три модели (4а, б) и (7) являются диффузионными или волновыми в зависимости от значений параметров а и /3: при /3 > а — диффузионными, а при а = /3 = у — волновыми; модели (8) и (7а, б) являются соответственно только диффузионной и только волновыми при любых 0 < /3, Q < 1.
Модели (4а, б) и (7) при /3 < а теряют физический смысл, что находится полном соответствии с поведением тангенса угла механических потерь, который при /3 < < а становится отрицательным при некоторых значениях 幻丁〃 (г = е, сг).
Поведение векторных диаграмм волновых и диффузионных моделей отличается друг от друга: при больших частотах 幻 кривые векторных диаграмм стремятся к конечным величинам или неограниченно возрастают при 幻一> оо для волновых и диффузионных моделей соответственно. Аналогично ведут себя корни характеристических уравнений при возрастании времен релаксации (ретардации) 丁仪^) от 0 до(X)в задачах о свободных колебаниях вязкоупругих стержней, а также дисперсионные зависимости скоростей гармонических волн, распространяющихся в полубесконечных вязкоупругих стержнях, при 幻一> оо, если поведение материалов стержней подчиняется реологическим уравнениям волнового или диффу-
знойного типов. Для нестационарных волн, распространяющихся в вязкоупругих материалах подобного типа, особенности в поведении проявляются вблизи начального момента времени 力=0: либо возмущение за очень малый промежуток времени, прошедший с начала его действия, распространяется по всему стержню (диффузионные модели), либо его движение вдоль стержня начинается с конечной скоростью (волновые модели).
Иначе говоря, характер поведения характеристических кривых колебательных и волновых процессов идентичен характеру поведения кривых соответствующих векторных диаграмм. Бесконечно протяженные характеристические кривые характерны для моделей, описывающих диффузионные процессы, а конечно протяженные кривые характерны для моделей, описывающих волновые процессы.
Список литературы
Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. — М.: Мир, 1965.——199 с.
Bagley R. L. Applications of generalized derivatives to viscoelasticity / PhD Thesis, Air Force Institute of Technology, 1979.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Analysis of rheological equations involving more than one fractional parameters by the use of the simplest mechanical systems based on these equations // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2001. V. 5. P. 131-175.
Cupial P. Some approaches to the analysis of non-proportionally damped viscoelastic structures / Proc. Int. Symp. on Dynamics of Continua, D. Besdo and R. Bogacz (eds). Bad Honnef, 1996. P. 93-102.
Welch S. W. J., Rorrer R.A. L. Duren, R. G., Jr. Application of time-based fractional calculus methods to viscoelastic creep and stress relaxation of materials // Mechanics of Time-Dependent Materials. 1999. V. 3. P. 279-303.
Gottenberg W. G., Christensen R. M. An experiment for determination of the mechanical property in shear for a linear, isotropic viscoelastic solid // Int. J. of Engineering Science. 1964. V. 2. P. 45—57.
Кристенсен P.Введение в теорию вязкоупругости. — М.: Мир, 1974. — 338 с.
Soula М., Vinh 7., Chevalier У. Transient responses of polymers and elastomers deduced from harmonic responses // J. of Sound and Vibration. 1997. V. 205. P. 185-203.
Makris N- Constantinou M. C. Fractional-derivative Maxwell model for viscous dampers // ASCE J. of Structural Engineering. 1991. V. 117. P. 2708-2724.
Friedrich Ch. Relaxation and retardation functions of the Maxwell model with fractional derivatives // Rheologica Acta. 1991. V. 30. P. 151-158.
Friedrich Ch., Braun H. Generalized Cole-Cole behaviour and its rheological relevance // Rheologica Acta. 1992. V. 31. P. 309-322.
Bagley R. L.、Torvik P. J. Fractional calculus — a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures // AIAA J. 1983. V. 21. P. 741-748.
Gemant A. A method of analyzing experimental results obtained from elasto-viscous bodies II Physics. 1936. V. 7. P. 311-317.
Morgenthaler D. R. Practical design and analysis of systems with fractional derivative materials and active control / Proc. Damping591, San Diego, California, 1991. V. 1. P. BCA1-BCA28.
Glockle W. G., Nonnenmacher T. F. Fractional relaxation and the time-temperature superposition principle // Rheologica Acta. 1994. V. 33. P. 337-343.
Friedrich Ch. Mechanical stress relaxation in polymers: fractional integral model versus fractional differential model //J. of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1993. V. 46. P. 307314.
Eldred L. B., Baker W. P., Palazotto A. N. Kelvin-Voigt vs fractional derivative model as constitutive relations for viscoelastic materials // AIAA J. 1995. V. 33. P. 547-550.
Shimizu N., Iijima М. Fractional differential model of viscoelastic material // Trans. JSME C. 1996. V. 62. P. 4447-4451.
Havriliak S., Negami S. Analysis of a-dispersion in some polymer systems by the complex variables method // J. of Polymer Science (C). 1996. V. 14. P. 99-117.
Havriliak S., Negami S. On the equivalence of dielectric and mechanical dispersions in some polymers; e.g. poly (n-octyl methacrylate) // Polymer. 1996. V. 10. P. 859-872.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids // Applied Mechanics Reviews. 1997. V. 50. P. 15-67.
Hartmann B., Lee G. F.)Lee J.D. Loss factor height and width limits for polymer relaxations // J. of the Acoustical Society of America. 1994. V. 95. P. 226-233.
Garcia-Franco C. A., Mead D. W. Rheological and molecular characterization of linear backbone flexible polymers with the Cole-Cole model relaxation spectrum // Rheologica Acta. 1999. V. 38. P. 34-47.
Bossemeyer H. G. Evaluation technique for dynamic moduli // Mechanics of TimeDependent Materials. 2001. V. 5. P. 273-291.
Зеленев В. M., Мешков С. И., Россихин Ю.А. Затухающие колебания упруго-наследственных систем со слабо-сингулярными ядрами // Прикладная механика и техническая физика. 1970. № 2. С. 104-108.
Зеленев В. М., Мешков С. И., Россихин Ю.А. О влиянии параметра сингулярности Э7-функции на затухающие колебания наследственно-упругих систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 3. С. 115-117.
Meshkov S., Pachevskaya G., Postnikov К, Rossikhin Yu. Integral representation of Э7- functions and their application to problems in linear viscoelacticity // Int. J. of Engineering Science. 1971. V. 9. P. 387-398.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Vibrations of a hereditarily elastic 2dof mechanical system whose hereditary properties are described by fractional derivatives // Applied Mechanics in the Americas. 1999. V. 8. P. 1409-1412.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. A new method for solving dynamic problems of fractional derivative viscoelasticity // Int. J. of Engineering Sciences. 2000. V. 39. P. 149-176.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Analysis of nonlinear vibrations of a two-degree-of- freedom mechanical system with damping modelled by a fractional derivative // J. of Engineering Mathematics. 2000. V. 34. P. 343-362.
Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Analysis of dynamic behaviour of viscoelastic rods whose rheological models contain fractional derivatives of two different orders // ZAMM. 2001. V. 81. P. 363-376.
Horr A. M., Schmidt L. C. Dynamic response of a damped large space structure: a new fractional-spectral approach // Int. J. of Space Structures. 1995. V. 2. P. 113-120.
Horr A. M., Schmidt L. C. Frequency domain dynamic analysis of large space structures with added elastomeric dampers // Int. J. of Space Structures. 1996. V. 11. P. 279-289.
Horr A. M., Schmidt L. C. Fractional-spectral method for vibration of damped space structures // Engineering Structures. 1996. V. 18. P. 947-956.
Работное Ю. Я.Элементы наследственной механики твердых тел. — М.: Наука, 1977. - 383 с.
Palade L.-L, DeSanto J. 4. Dispersion equations which model high-frequency linear viscoelastic behavior as described by fractional derivative models // Int. J. of Non-Linear Mechanics. 2001. V. 36. P. 13-24.
Palade L.-L, Verney V., Attane P. A modified model to describe the entire viscoelastic behaviour of polybutadienes from flow to glassy regime // Rheologica Acta. 1996. V. 35. P. 265-273.
ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ СРЕДЫ МИЗЕСАСО СПИРАЛЬНО-ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ
С. И. Сенатов
Красноярский государственный торгово-экономический институт
Построение точных решений уравнений пластичности с условием текучести Мизеса — сложная и не алгоритмичная задача. Если в плоском случае удается решать даже краевые задачи [4, 6, 13], используя характеристики и соотношения на них, а последнее время и законы сохранения [7], то в осесимметричном и пространственном случаях, приходится полагаться только на интуицию и действовать обратным способом. То есть сначала построить точное решение, а потом постараться подобрать для него конкретную физическую задачу. Тем не менее даже такой подход позволяет решить многие практически важные проблемы механики: делать оценки предельных нагрузок, строить поля напряжений и т. п. Это показали работы А.Ю. Ишлинского [5], Д. Д. Ивлева [4], В. Прагера [10], Р. Хилла [14], М. А. Задояна [3] и некоторые другие.
К сожалению, число полученных решений в этой области остается весьма ограниченным [8]. И это замечание сорокалетней давности справедливо до сих пор. Малое количество решений не позволяет до конца изучить структуру уравнений, доказывать теоремы существования и единственности, тестировать численные расчеты. В конечном счете это сводится к невозможности эффективно решать практически важные задачи в которых возникают либо учитываются пластические деформации. Поэтому задача построения точных решений актуальна до сих пор.
К наиболее мощным методам решения задач обратными методами относится групповой анализ дифференциальных уравнений. Применение его сразу позволило построить новые классы точных решений уравнений пластичности с условием текучести Мизеса [1]. Первой в этом направлении была работа Б. Д. Аннина [2].
Именно групповой анализ дифференциальных уравнений позволил выделить новый класс уравнений пластичности, который был исследован с точки зрения симметрий автором предлагаемой работы. В статье будут приведены серии точных решений уравнений пластичности Мизеса, которые обладают спирально-винтовой симметрией. Найденные решения могут быть использованы при анализе напряженно-деформированного состояния круглых стержней и труб, находящихся под действием внутреннего давления, осевой силы и крутящего момента.
Рассмотрим уравнения идеальной пластичности с условием текучести Мизеса в пространственном случае, записанные в цилиндрической системе координат г,
dsr 1 as?。 dr г a”
as» 2S「— s® _ dp dzг3т'
as?。 1 些_ dr r a”
as^z 空吧=丄" dzгг a”'
⑴
as〜 1些_ dr r a”
dsz srz dP dzr'
Stz — X(〃z + 幻「), 2szz =》(丁 U? + 幻少),2S「少—X( 丁 〃少 + 丁 (丁 U)「)
S^ + S^ + S^ + 2(S^ + S* + S^z) = 2^, sr^S^^Sz = 0,
где 〃, и,幻一компоненты вектора скорости, S「, S^, Sz, Sr^, Szr, S^z компоненты тензора напряжений, p — гидростатическое давление, ks — предел текучести.
Введем новую переменную по формуле £ = z + к" и будем считать, что все компоненты вектора скорости и гидростатическое давление зависят только от двух переменных т и £. Имеем
и = u(r, ^), V = v(r, ^), 幻=幻(丁，£), p = p(r, ^),£ = z + k".С учетом (2)и = u(r, ^), V = v(r, ^), 幻=幻(丁，£), p = p(r, ^),£ = z + k".С учетом (2)⑵⑵система (1) запишется так:dsr丄к dSr^ 丄 <3Srz 丄 2S「- Sodr史+ 「BStn k 喧as^z 丄 2Sr。_dr r agagrdsrzkl dS^丄dsz丄srzdr+ 存+ ▼=система (1) запишется так:dsr丄к dSr^ 丄 <3Srz 丄 2S「- Sodr史+ 「BStn k 喧as^z 丄 2Sr。_dr r agagrdsrzkl dS^丄dsz丄srzdr+ 存+ ▼=_ др dr'k дрдр_ др dr'k дрдр⑶⑶
и = u(r, ^), V = v(r, ^), 幻=幻(丁，£), p = p(r, ^),£ = z + k".
С учетом (2)
и = u(r, ^), V = v(r, ^), 幻=幻(丁，£), p = p(r, ^),£ = z + k".
С учетом (2)
⑵
⑵
система (1) запишется так:
dsr丄
к dSr^ 丄 <
3Srz 丄 2S「- So
dr
史+ 「
BStn k 喧
as^z 丄 2Sr。_
dr r ag
agr
dsrz
kl dS^
丄dsz丄srz
dr
+ 存+ ▼=
система (1) запишется так:
dsr丄
к dSr^ 丄 <
3Srz 丄 2S「- So
dr
史+ 「
BStn k 喧
as^z 丄 2Sr。_
dr r ag
agr
dsrz
kl dS^
丄dsz丄srz
dr
+ 存+ ▼=
_ др dr'
k др
др
_ др dr'
k др
др
⑶
⑶
S「^― Хт4「, S^ ^―入丁 (kug + 〃), Sz ^―入幻廿, 2S「z ^— X(i?g + 幻「),
2szz = Х(г~1кш^ + 久),2Sr^ = A(『Tk〃g + r(r~1v)r),
S^ + S^ + S^ + 2(S^ + S* + S^) = 2^, Sr^S^^Sz = 0.
Система (2) описывает пластическое течение вещества при условии спиральной симметрии. Приведенные уравнения переходят при к = 0 и о = 0 в уравнения осесимметричной деформации и обладают более высокой степенью симметрии по сравнению с ними. Это дает возможность построить не только обобщение осесимметричных решений [1], но и решения, не имеющие осесимметричных аналогов.
Ищем решение системы (3) в виде
и = u(r) sin^, u = u(t)cos£,g = g(t)cos£, 0 = 0(丁，£)•
Пусть Sr^ = S「z = 0, тогда оставшиеся компоненты девиатора тензора напряжений зависят только от одной переменной г. Если 目=目(丁), то второе и третье уравнения системы (3) удовлетворяются тождественно, а первое служит для определения 0(Т).
В этом случае для определения функций % и,幻 из системы (3) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
⑷⑷k〃 + rvf — и = 0, о/ + 〃 = 0, г£ — kv -\- и — ш = 0.
⑷
⑷
Система (4) сводится к уравнению Бесселя
г?и" + гиг + (г2 + 廿一1)〃 = 0.
Решая это уравнение, получим
u = C1Jv^C2Yv, v2 = l-k2.
При I к J，1 функция и принимает вещественные значения, если же | к | > 1, то можно воспользоваться интегральным представлением функции Бесселя
о7r/2
Jv = 2(z/2)_f cos (z cos t) sin?。t dt,
「他 + 1/2)万1/2 ]
учитывая только действительную часть.
Окончательно решение имеет вид (при С? = 0)
и = AJV sin ^, 幻=—4cos §]人 d— v = — Ark cos^ j J^r-1 dr, оо
где Jv — функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию Jv (0)= =0 для всех и〉0, 4 — произвольная постоянная.
Обозначая
получаем
S 少=ks(l + / + 严 +，)T/2, S®z =屮 S®,
sz = fS^ Sr = -(/ + l)Sz, 0 = s「—，(/ + 2)Sz dr.
Это решение можно интерпретировать, в частности при А > 0, как пластическое течение круглой трубы, которая находится под действием внутреннего давления р,
(гг\г=а = -р, М=ь = а
осевой силы N,
N = 2тг ] azr dr
и крутящего момента 7И,
7И = 2тг ] S^zr dr.
Система уравнений (3) допускает алгебру Ли операторов с базисом
41 =头,42 = dш, аз = dр,44 = udи + vdv + 公33,45 = 丁九・
Оптимальная система подалгебр для % имеет вид
必：4 土 4; 4,4; 4;
Н2 :(42 土45,44),(42,44),(45；44),(42,45).
Здесь учтено, что операторы 4, аз порождают центр алгебры Ли L5.
Построенная оптимальная система подалгебр позволяет перечислить все различные, с точностью до преобразований симметрии, инвариантные решения уравнений (2).
Построим решение, инвариантное относительно подалгебры 人—4. Решение следует искать в виде
〃 = 〃о(т)ехр£, 〃 = 〃о(т)ехр£, 幻= з()(т)ехр£, р = Ри(т)・
Здесь величины 〃о, о。，幻。，目。суть функции только г. Далее везде индекс «О» внизу опущен.
Из (3) следует
St® о- , S т z, С & '—■ Const.
r丁
Полагая Q = 0, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
kuf + rv' — о = 0, +幻 + 〃 = О,
(5)
ru + ко + 〃 + 幻=0.
После преобразований система (5) сводится к уравнению Бесселя
М〃〃 + т J — (г2 + 廿 + 1)〃 = 0.(6)
Решение уравнения (6) имеет вид
и = 4几(丁)， V2 = 1 -\- k2.(7)
Считая, что функция и ограничена при 丁 = 0 (иначе в (7) добавляем функцию Макдональда) получаем
г
〃 =4几, 〃 =4几, 幻=—]〃d〃 kv = —гш — ruf — u^(8)
о
где Jv — функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию 人(0)= =0 для всех о〉0, 4 — произвольная постоянная.
Обозначая
получаем
Sz = ks(l + / + 尸 +，)T/2, S^z = gSz,
;1⑼
Sz = /Sz, Sr = -(/ + l)Sz, 0 = s「一 J 厂1(/ + 2)Sz dr.
Это решение можно интерпретировать, в частности при А > 0, как пластическое течение круглой трубы, которая находится под действием внутреннего давления р осевой силы N и крутящего момента М.
Если положить к = 0, то 7И = 0 и из ⑼ получаем осесимметричное решение, найденное Б. Д. Анниным [2], которое описывает пластическое течение цилиндра со свободной от напряжения боковой поверхностью.
Инвариантное решение на подгруппе 4 + аА^ + /?4 ищем в виде
и = /(г), 幻一а£ = д(т), о —)£т =也(丁), р = р(г),7 = /3/а.
Подставим эти соотношения в систему (3).
Из уравнения несжимаемости
fr + L/ + а + 7k = О
имеем
f = C1r^C2r~\ & = ；(а +)к),
где & — постоянные
Пусть 夕=也=0, тогда Sr^ = Srz = 0, а остальные компоненты девиатора тензора напряжений имеют вид
Sr = X(C1-C2r~2), 5少=A(k7 + Q + Q 厂 2),
Sz = aA, 2szz =》(0k厂1 +7丁),
2A—丁气；—[(Q - Cir2)2 + [(k) + Q)户 +。2『+ ；(。卜丁 + 7产)+ a2T口 ,
目=S「+ ] А(—к) — 2С2Г-2) dr.
Это решение описывает предельное состояние трубы под действием внутреннего давления 目。，осевой силы
N = 2тг ] azr dr
и крутящего момента
тг ] S^r(yzr dr.
Граничные условия на поверхности трубы запишутся в виде
М=а = -，Mi = 0.
Это решение при к = 0, о = 0 переходит в осесимметричное решение, построенное в [9] или решение Д. Д. Ивлева [4], описывающее сжатие пластического слоя коаксиальными цилиндрическими поверхностями.
Известно [12], что геликоидальные поверхности z + В® = const в скручиваемом пластическом стержне обладают рядом замечательных свойств: они служат границей между жесткой и пластической областями и являются наиболее вероятными поверхностями разрушения. В этом пункте построим решение, которое описывает пластическое течение с такими поверхностями.
Предположим, что компоненты девиатора тензора напряжений S「, S^,. .. , S^z, гидростатическое давление р, вектор скорости (〃, о, w) зависят от двух переменных г, е = г + /3^, где /3 = const.
Ищем новое решение системы уравнений (2) в виде
" = 0,〃 = 一Т9⑹,"=/39(£), R = R(r),(11)
где функции g, р подлежат определению.
После подстановки (11) в систему (2) получаем точное решение
〃 = и = -тд(£), 3 = В屮0 Р = рт，
ar = sr — р = 2ksk arctg (r/3-1) + с,
сг少=5少一目=-^kskr^r2 + /?2)т + сг「，(12)
az = Sz - р =遍卜丫队俨 + /?2)-1 + ar,
s「少=Srz = 0, S^z = kks(俨—丁 2)(02 + г2)-1, где 夕—произвольная гладкая функция, с — произвольная постоянная, к = =sign "(£).
Это решение можно использовать для описания пластического течения круглого цилиндра радиуса R, который находится под действием растягивающего усилия и крутящего момента. Из условия того, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений, потребуем выполнение условия sqz = 0. Отсюда немедленно получаем /3 = 土足 На торце z = 0 задана скорость w [=。= R叭Rd). Поскольку эта функция гладкая, то получаем, что функция g(RH) 2тг-периодическая. Поэтому она имеет по крайней мере одну точку, где д' = 0. А это означает, что существует геликоидальная поверхность & такая, что “(&) = 0. Из формул (12) следует, что вдоль поверхности £о в стержне возникает жесткая область. Этот факт вполне согласуется с рассуждениями в [12], где показано, что поверхности z + В® = const могут разделять жесткие и пластические области. Эти же поверхности являются и наиболее вероятными поверхностями разрушения.
Из формул (12) следует, что выбирая функцию д, мы можем задавать различные пластические течения, в частности, можно описать технологический процесс продавливания материала между двумя геликоидальныими поверхностями £ = =。1, £ =。2・ Этот процесс может служить основой, например, для изготовления сверел.
Укажем еще одно точное решение уравнений (2), которое имеет вид и = ^(сг-1 — (/36 + а)т),
〃 =£泌 + /3(6/3 + а)т In т + 0,5с/?г-1 + 备丁，幻=£% + 0,5r2(/36 + а) — с1пт + сз,
где а, 6, с, Сз, С4 — произвольные постоянные.
При этом компоненты скоростей деформации равны
ег = - nd + (0b + а))(13)
ег = 2^/36 + £(”т + (06 + а)), е^ = 2^аг~х + 2/З^г,
^z = 2£а,£?••少—^rz =。・
Из формул (13) следует, что в этом случае существует только одна жесткая область, она задается уравнением £ = 0. Это решение можно использовать для описания пластического течения трубы, которая разрезана полуплоскостью, проходящей через ее ось.
Ищем решение уравнений (2) в виде
〃 = 〃o(T)sh£,〃 = 〃o(T)ch£, w = wo(r) ch^, p = po(r).
Здесь величины 〃о, и。，幻。，目。суть функции только г. Далее везде индекс «О» внизу опущен.
Полагая Sr^ = Srz = 0, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ku = +ти - 0 = 0, g + " = 0,
ru -\- kv -\- и -\- ш = 0.
После преобразований система (14) сводится к уравнению Бесселя г2и -\- ги — (г2 + 廿 + 1)〃 = 0.
Решение уравнения (15) имеет вид
и = AJv(r), и? = 1 + k2.
(14)(14)(15)(15)(16)(16)Считая, что функция 〃 ограничена при 丁 = 0 (иначе в (16) добавляем функцию Макдональда), получаем
(14)
(14)
(15)
(15)
(16)
(16)
где Jv — функция Бесселя мнимого аргумента, удовлетворяющая условию Jv (0)= =0 для всех и〉0, 4 — произвольная постоянная.
=~,=~,SoSoполучаемполучаемs® = ks(l + / + 产 +，)T/2, S^z = gS 少s® = ks(l + / + 产 +，)T/2, S^z = gS 少(18)(18)Обозначая
=~,
=~,
So
So
получаем
получаем
s® = ks(l + / + 产 +，)T/2, S^z = gS 少
s® = ks(l + / + 产 +，)T/2, S^z = gS 少
(18)
(18)
sz = fS^ Sr = -(/ + l)Sz, p = Sr-\ 广1(/ + 2)Sz dr.
Это решение можно интерпретировать, в частности при А > 0, как пластическое течение круглой трубы, которая находится под действием внутреннего давления р, осевой силы N и крутящего момента М.
Список литературы
Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск: Наука, 1985. — 140 с.
Аннин Б.Д. Одно точное решение осесимметричной задачи идеальной пластичности // Журнал ПМТФ. 1973. № 2.
Задоян М. А. Частное решение уравнений теории идеальной пластичности в цилиндрических координатах // ДАН СССР.1964.Т. 157, № 1. С. 73—75.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966. — 230 с.
Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача теории пластичности и проба Брине- ля // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 3. С. 201-224.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. — 420 с.
Киряков П. П., Сенатов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохра
нения к решению дифференциальных уравнений. — Новосибирск: изд-во СОРАН, 2001. - 190 с.
Ольшак А, Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. —М.: Мир, 1964. - 243 с.
Панарелли Ж., Ходж П. Жесткопластический анализ напряженного состояния трубы, находящейся под действием давления, осевой силы и крутящего момента // Прикл. мех. Тр. Америк, о-ва инж.-мех. 1963. Сер. Е. Т. 30, № 3.
Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном состоянии // Механика. Сб. переводов и обзоров иностранной литературы. 1958. № 3. С. 2327.
Сенатов С. И. Об одном классе точных решений уравнений идеальной пластичности // Журнал ПМТФ. 1986. № 1. С. 139-142.
Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964.
Христианович С. А. Механика сплошных сред. — М.: Наука, 1981.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гостехиздат, 1954.
О ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИМАТЕРИАЛОВ И ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
О. В. Соснин
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
Область повышенных температур, при которых используются конструкционные материалы, условно можно разделить на две части: умеренно-высокие температуры, обычно в интервалах до (0,3-0,4) Тпл, это режимы номинальной работы энергоустановок; высокие температуры в интервалах Т > 0,5Тпл (сггсС) — эти режимы существенно выше по температуре номинальных (эксплуатационных). Интерес к высокотемпературным областям связан, с одной стороны с оценкой работоспособности элементов конструкций в аварийных ситуациях, с другой — с развитием механики сверхпластичности и ее приложений к технологическим задачам по обработке материалов давлением в режимах ползучести и сверхпластичности.
Характер высокотемпературной ползучести материалов отличается от аналогичных процессов в области умеренных температур. При этом есть некоторые особенности деформационного поведения, упрощающие подходы к построению системы определяющих уравнений, и в то же время могут проявиться особенности противоположного характера. Так, в области умеренных температур общепринятые диаграммы упруго-пластического деформирования а-£ имеют четко выраженные участки упрочнения, как и при комнатной температуре. При высоких температурах материал деформируется как идеально-пластическая среда. На рис. 1 а представлены диаграммы as циркониевого сплава Zr-2,5 % Nb при растяжении плоских образцов со средней скоростью деформирования £ ^ 10-2 с-1 в диапазоне температур 18，Т，700 ℃. Из диаграмм видно, что при Т > 600 ℃ деформационное упрочнение отсутствует, а диаграммы имеют характерный для идеальной пластичности вид.
Такой характер деформационного поведения еще отчетливее проявляется при записи диаграмм с малыми скоростями деформирования. На рис. 1 б представлены диаграммы деформирования as титанового сплава ВТ-20 при температуре Т = =800 ℃ с разными средними скоростями деформирования [1]. Из диаграмм видно, что для этой температуры при скоростях деформирования g < 10-3 с-1 пластических деформаций в материале не возникает, вся необратимая составляющая деформаций образуется только за счет деформаций ползучести, при этом никакого упрочнения нет, т. е. ползучесть материала описывается зависимостью типа g ° = =g(cr, Т) без каких-либо параметров упрочнения, отражающих историю процесса. На отсутствие упрочнения указывает и диаграмма циклического нагружения, отмеченная цифрой 7 на рис. 1 6. В работе [2] представлены экспериментальные результаты по деформированию образцов из алюминиевого сплава АМГ-3 в широком температурно-силовом диапазоне с обработкой результатов по зависимости вида g с = д(сг, Т) с соответствующей аппроксимацией. Представленные там результаты подтверждают, что при высоких температурах материал ведет себя как «идеально ползучая» среда без какого-либо упрочнения.
Можно показать, что при высоких температурах всегда найдется такая предельная скорость деформирования ©*, что при любых меньших скоростях g < < g* напряжение будет меньше предела упругости ае^ и пластических деформаций в материале не возникнет. Действительно, пусть общая деформация £ есть сумма упругой ее, температурной ет, пластической £° и деформации ползучести Тогда при фиксированной температуре в начале процесса нагружения имеем g = =力/石 + g(cr, Т). Подставляя а = {da/de)e^ получим da/de =石(1 —屮(％ T)/©)・ С увеличением напряжения скорость деформации ползучести ©° = g(cr, Т) растет, и при некотором уровне ст выражение в скобках обращается в нуль. Диаграмма as становится горизонтальной, и чем меньше скорость деформирования е, тем при меньшем уровне а это произойдет. При ©° = g(* Т) получим предельное значение скорости деформирования g*. Горизонтальная штриховая линия на рис. 1 б показывает значение ае = 110 МПа, которому соответствует £с = £^ = 1,5 • 10-3 с-1. Скорости деформирования g < 10-3 с-1 обычно связывают с режимами сверхпластичности, хотя деформаций пластичности в понимании механиков при таких режимах не возникает.
ббааРис. 1. а) Диаграммы деформирования циркониевого сплава для разных температур 5). Диаграммы деформирования титанового сплава ВТ-20 при Т = 800 ℃ с разными скоростями деформацийРис. 1. а) Диаграммы деформирования циркониевого сплава для разных температур 5). Диаграммы деформирования титанового сплава ВТ-20 при Т = 800 ℃ с разными скоростями деформаций
б
б
а
а
Рис. 1. а) Диаграммы деформирования циркониевого сплава для разных температур 5). Диаграммы деформирования титанового сплава ВТ-20 при Т = 800 ℃ с разными скоростями деформаций
Рис. 1. а) Диаграммы деформирования циркониевого сплава для разных температур 5). Диаграммы деформирования титанового сплава ВТ-20 при Т = 800 ℃ с разными скоростями деформаций
Аналогия между деформированием идеально-пластического материала и высокотемпературной ползучестью сплавов еще более отчетливо проявляется в условиях неодноосного нагружения. На рис. 2 а представлены результаты экспериментов на растяжение с кручением тонкостенных трубчатых образцов из ст. 45 при температуре Т = 400 ℃ [3]. Все эксперименты начинались при а± = т± = 112,8 МПа. Первый эксперимент проводился при этих напряжениях без перегрузки до конца, все последующие — с перегрузкой через 5 часов после начала эксперимента. При этом напряжения Ок и т^ подбирались так, чтобы в момент перегрузки диаграмма рассеянной энергии
5t
4 =](0岳1 + 71々1) dt + ^aksk + 以々k)dt
о
без каких-либо изломов продолжала совпадать с диаграммой первого эксперимента. Соответствующие напряжения в момент перегрузок отмечены на рисунке точками. Тонкой линией отмечен контур сг^ = const, проведенный через точку cri = =Т]; пунктирной линией — контур эквивалентных состояний в смысле сохранения величины мощности рассеяния dA/dt = W = const в момент перегрузки. И чем больше упрочнение, т. е. чем отчетливее выражена первая стадия ползучести, тем больше отклонение контура эквивалентных состояний от исходного контура ai = const. С течением времени после перегрузки, чтобы сохранить постоянной величину W, напряжения %, т^ будут увеличиваться, приближаясь к значениям соответствующих величин исходного контура q = const. При отсутствии упрочняющей стадии ползучести, что обычно наблюдается при высоких температурах, оба контура практически совпадают.
На рис. 2 б представлены результаты, аналогичные вышеописанным, экспериментов на трубчатых образцах титанового сплава ВТ-20 при температуре Т = =900 ℃ [1]. При этой температуре первая стадия ползучести отсутствует, «время релаксации т*», т. е. время перехода от возбужденного состояния к равновесному мало, что отчетливо просматривается из диаграмм. Эксперимент начинался при напряженном состоянии, соответствующем точке 1 с интенсивностью напряжений / = 5 МПа, через 0,5 часа перегрузка в точку 2 с интенсивностью q = 10 МПа и затем через 0,5 часа в точку 3 с интенсивностью / = 5 МПа. На следующей диаграмме показаны графики £〃 = £〃(力)в соответствующих обозначениях для。左,т^, здесь же для сравнения изображены темными точками результаты экспериментов на растяжение. На диаграмме справа точками изображены отношения А7с/Аес, замеряемые через △力=3 мин после перегрузки, подобие девиаторов сохраняется. При высоких температурах просматривается полная аналогия между процессом ползучести и деформированием идеально-пластической среды, экспериментально достаточно хорошо подтверждается квазилинейная тензорная связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями, гипотеза существования потенциала ползучести весьма правдоподобна.
Рис. 2. а) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках упрочняющегося материала; 5) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках неупрочня- ющегося материалаРис. 2. а) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках упрочняющегося материала; 5) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках неупрочня- ющегося материала
Рис. 2. а) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках упрочняющегося материала; 5) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках неупрочня- ющегося материала
Рис. 2. а) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках упрочняющегося материала; 5) Контур эквивалентных состояний W = const при перегрузках неупрочня- ющегося материала
Приведенные выше данные позволяют строить систему определяющих уравнений с использованием потенциальных функций ползучести, не содержащих параметров упрочнения, и использовать методы установившейся ползучести и для случаев нестационарных термо-силовых режимов.
Но, как уже упоминалось выше, в отличие от умеренно-повышенных температур, при высоких температурах появляются другие трудности: есть температурные интервалы АТ (и может быть даже несколько), в которых в материале проходят структурно-фазовые изменения, что может привести к изменению всего комплекса физико-механических характеристик. Как показывают эксперименты, существенным является не сам факт изменения этих характеристик, а то, как они меняются с изменением температуры — монотонно или со значительными отклонениями. На этом основан один из простейших способов определения соответствующих интервалов АТ, в которых следует ожидать таких изменений — определение 尹 в процессе изменения Т [4]. На рис. 3 в качестве примера представлены экспериментальные результаты по определению температурных деформаций £丁 в широком температурном диапазоне для трех материалов: а) титановый сплав ВТ-20; б) конструкционная сталь; в) циркониевый сплав Zr-2,5 % Nb.
абв
Рис. 3. Диаграмма температурной деформации &丁 = /(Т): а) титановый сплав, б) конструкционная сталь, в) циркониевый сплав
У титанового сплава £丁 растет монотонно, и только при Т > 950 ℃ наблюдается резкое увеличение тепловой деформации. И как показывают эксперименты, при температурах Т < 950 ℃ никаких особенностей в деформационно-прочностном поведении сплава не наблюдается. У стали в интервале температур 770 < Т < < 900 ℃ проходят фазовые изменения Fеа —> Fe^ —> Fe7, их влияние отчетливо видно и на характере диаграммы £?. И как будет показано ниже, в этом же интервале АТ проявляются деформационно-прочностные особенности сплава. Аналогично и для циркониевого сплава — при Т ^ 750 ℃ наблюдается резкий всплеск в поведении диаграммы £丁 и связанные с ним особенности.
На рис. 4 представлены диаграммы ползучести сплава ВТ-20: диаграммы (а) показывают изменение уровня напряжений, необходимого для поддержания постоянной величины скорости деформаций при непрерывном изменении температуры по линейному от времени закону, диаграмма (6) показывает изменение скорости деформаций с ростом температуры при фиксированном значении напряжения ст = 15 МПа. Штриховые линии — расчет процесса деформирования no g ° = =g(cr, Т) с аппроксимирующими характеристиками, найденными из стационарных экспериментов при фиксированных а и Т [5].
7008009001000
т ℃
Рис. 4. Диаграммы ползучести титанового сплава при переменной температуре: а) сг = =сг(Т), обеспечивающая постоянство скорости деформирования; б) изменение скорости деформирования при фиксированном сг = 15 МПа
Как и следовало ожидать, общая картина деформационно-прочностного поведения материала согласуется с термодинамикой: с ростом температуры прочностные свойства материала уменьшаются, пластичность растет.
На рис. 5 представлены диаграммы деформирования стали. Диаграммой (а) изображена зависимость предельной величины деформации £* в момент разрушения образца, в упомянутом выше диапазоне пластичность материала существенно уменьшается. На диаграмме (6) изображены данные двух экспериментов, характеризующие зависимость ст = сг(Т) при изменении Т = Т(力)по линейному закону с целью поддержания постоянной величины скорости деформаций ©i = =3,2 • IO-5 с-1, ©2 = 2,9 • IO-6 с-1. Начиная с 7\ ^ 800 ℃ и до Т2 = 900 ℃ наблюдается увеличение напряжения. Соответственно на диаграмме (в) при фиксированной величине напряжения q = 30 МПа в этом же диапазоне ДТ наблюдается уменьшение скорости деформаций. Общая картина деформационнопрочностного поведения явно отличается от аналогичных диаграмм рис. 4 для титана, но характерные особенности по температурной шкале действительно совпадают с особенностями изменения ет = /(Т), что оправдывает предложенную в [4] методику.
8*0,600,450,300,158*0,600,450,300,15700 800 900 1000 1100700 800 900 1000 1100о, МПао, МПаТ,℃Т,℃Т,℃ бТ,℃ бРис. 5. Особенности высокотемпературного деформирования конструкционной стали: а) Деформация е* разрушения в зависимости от температуры; б) а = ет(Т), обеспечивающая постоянство скорости деформирования; в) Изменение скорости деформирования при фиксированном сг = 30 МПаРис. 5. Особенности высокотемпературного деформирования конструкционной стали: а) Деформация е* разрушения в зависимости от температуры; б) а = ет(Т), обеспечивающая постоянство скорости деформирования; в) Изменение скорости деформирования при фиксированном сг = 30 МПа
8*
0,60
0,45
0,30
0,15
8*
0,60
0,45
0,30
0,15
700 800 900 1000 1100
700 800 900 1000 1100
о, МПа
о, МПа
Т,℃
Т,℃
Т,℃ б
Т,℃ б
Рис. 5. Особенности высокотемпературного деформирования конструкционной стали: а) Деформация е* разрушения в зависимости от температуры; б) а = ет(Т), обеспечивающая постоянство скорости деформирования; в) Изменение скорости деформирования при фиксированном сг = 30 МПа
Рис. 5. Особенности высокотемпературного деформирования конструкционной стали: а) Деформация е* разрушения в зависимости от температуры; б) а = ет(Т), обеспечивающая постоянство скорости деформирования; в) Изменение скорости деформирования при фиксированном сг = 30 МПа
При температурах Т < 750 ℃ и Т > 900 ℃ аппроксимацию зависимости g ° = =g(cr, Т) можно проводить, опираясь на экспериментальные данные, полученные при фиксированных значениях а нТ — результаты экспериментов при произвольных изменениях а = сг(Т) и Т = Т(力)описываются достаточно удовлетворительно, как и для титанового сплава. В температурном интервале фазовых переходов 750 < Т < 900 ℃ аппроксимирующие характеристики в зависимости ёс = g(cr, Т), полученные из стационарных экспериментов, при описании нестационарных процессов дают неудовлетворительные результаты. Чтобы учесть влияние внутренних факторов, связанных со структурно-фазовыми изменениями в материале, необходимо определять характеристики из нестационарных процессов, интегрально отражающих это влияние. Таким образом, и характеристики материала, а следовательно, и решение прикладных задач в указанных температурных интервалах, необходимо проводить в «связанной постановке».
На рис. 6 а приведены результаты эксперимента на ползучесть образца из конструкционной стали при нестационарных внешних термо-силовых условиях в температурном интервале, где нет структурно-фазовых изменений в материале. При этом характеристики в аппроксимирующей зависимости g ° = К ехр [/(сг, Т)] определялись из стационарных экспериментов при фиксированных значениях а и Т. Здесь точки — экспериментальные значения £° = £°⑴，расчетная диаграмма и диаграммы изменения напряжения и температуры от времени показаны сплошными линиями.
На рис. 6 6 приведены аналогичные результаты в диапазоне АТ фазовых переходов материала. Расчет (сплошная линия £°) процесса деформирования проведен по зависимости g。= Кехр [/(сг)以Т)] с характеристиками материала, найденными из нестационарных экспериментов, аналогичных приведенным на рис. 5 5, в. Диаграммы изменения напряжения и температуры от времени обозначены на графике соответственно ст и Т [6]. По-видимому, нет особого смысла пытаться строить единую систему определяющих уравнений для описания процессов деформирования во всем температурном диапазоне, включая температуры и до начала фазовых переходов Т < 750 ℃, и после окончания Т > 900 ℃. Целесообразнее для каждого из температурных интервалов использовать свою систему и проводить стыковку численных результатов по температурным границам.
Аналогичные результаты были получены и по высокотемпературной ползучести легких сплавов на основе алюминия и циркониевого сплава.
90090001201230302020Bunco40Bunco407001111130/0О127001111130/0О128е0J28е0J2°C00 г,98cа°C00 г,98cа2266
900
900
012
012
30
30
20
20
Bunco40
Bunco40
7001111130/0
О12
7001111130/0
О12
8е0J2
8е0J2
°C00 г,9
8cа
°C00 г,9
8cа
2
2
6
6
Рис. 6. Результаты экспериментов на ползучесть конструкционной стали е° = е° (力)при сг = сг(Т) и Т = Т("： а) область ДТ структурно-фазовой стабильности материала; 5)область ДТ фазовых переходов в материале
Приведенные результаты и вытекающие из них выводы существенно осложняют общую картину высокотемпературного деформирования и написания соответствующей системы определяющих уравнений. В связи с этим наряду с разработкой численно-аналитических методов решения прикладных задач возникает необходимость в развитии приближенных методов, связанных с оценкой «доверительной полосы» ожидаемых результатов как по величинам внешних нагрузок, так и по интенсивностям процесса ползучести и длительности до разрушения элемента конструкции.
Один из возможных подходов в этом направлении — использовать аналогию между высокотемпературной ползучестью материала и его деформированием в рамках модели идеально-пластической среды. Действительно, в задачах о предельном равновесии жестко-пластического тела требуется найти такие внешние нагрузки, при которых наступает общая текучесть, т. е. тело получает возможность неограниченно пластически деформироваться, что соответствует исчерпанию его несущей способности. Это означает, что в теле статически допустимые напряжения 呜 удовлетворяют уравнениям равновесия, граничным условиям и условию текучести R(呜)，0. Но почти так же можно сформулировать предельное состояние элемента конструкции с однородным напряженно-деформированным состоянием (НДС) в условиях высокотемпературной ползучести: найти внеш-
ние нагрузки, обеспечивающие заданную величину удельной мощности рассеяния энергии W = aijTjij, где 〃叮一скорость деформаций ползучести, соответствующую заданной величине 力* длительности до разрушения. Вследствие зависимости ?у = =д(сг, Т) мощность рассеяния W можно выразить либо только через напряжения W =巾(。叮)в инвариантной форме, либо только через скорости деформаций W = =U(rjij). В энергетическом варианте теории ползучести показано, что мощности рассеяния на установившихся стадиях ползучести обратно пропорциональны длительностям до разрушения Wkt^ = И^党[7], т. е. каждому уровню величин Wk = Ск соответствует своя величина 力3 и при некотором значении Со время до разрушения 力力一> 0. В этом смысле функция 巾(。叮)=W = Со играет ту же роль, что и функция текучести 厂(。叮)=0. Соответственно, найдется такая величина мощности Wm = Cm, при которой 力^ ―> оо, и разрушение материала вследствие ползучести не произойдет. В пространстве напряжений поверхности Ф(сг^) = Ск будут вложены между поверхностями Со > С^ > Ст, и любую из них можно рассматривать как поверхность текучести &(%) = 0, соответствующую заданному значению времени ^ до разрушения. Указанные поверхности в соответствующих пространствах замкнуты, невогнуты, и для них справедлив принцип максимума
Sij - <j)^j》о, 5ij - rj-^aij》0,(1)
где。石 или 嗚 ——любые допустимые величины напряжений или скоростей деформаций, удовлетворяющие условию 巾廿石)< 以，U(嗚) < 以.
При неоднородном НДС приведенные выше рассуждения можно провести применительно к любой физической точке элемента конструкции. Но встает естественный вопрос: как оценить поведение элемента конструкции в целом. В механике неоднородных сред широко используется метод усреднения, применим его и в этом случае. Введем среднюю по объему тела удельную мощность рассеяния:
"° = }]"川"d『=} ] ф(%) dV = ф(3")， или
V V⑵
"° = }]内川"=} ] Ugj) dV = U^ij).
В энергетическом варианте теории ползучести [7] интенсивность процесса в любой физической точке принято оценивать величиной удельной мощности рассеяния W =。叮刀叮,а поврежденность материала в этой точке на любой момент времени t — величиной рассеянной энергии А = ^W dt. Применительно ко всему о
элементу конструкции в целом введем два исходных предположения.
Первое — будем считать, что интенсивность процесса ползучести всего элемента конструкции в любой момент можно оценить величиной средней мощности рассеяния Wo, а поврежденность материала конструкции в целом — величиной Ao = ] Wo dt. В пользу этого предположения можно привести некоторые сооб- о
ражения. На рис. 7 а точками изображены экспериментальные результаты Ад — =4(力)при кручении тонкостенной трубки О = 20 мм и d = 18 мм из материала Д 16 Т при Т = 250 ℃ постоянным моментом, значения которого для диаграмм 1-4 соответственно 51,24, 44,92, 41,14 и 38,36 нм.
А, МДж/м3
6
-*:
з -*••
-•••
••. •
1 - • ..・....•
О 100 200 300 400 500 600
Рис. 7. Экспериментальные результаты при кручении в условиях ползучести образцов из Д 16 Т при Т = 250 ℃: а) тонкостенные трубки — однородное НДС; б) сплошной круглый стержень — неоднородное НДС
Величина 4(%) = Мд, До = Mg/匕 где 夕一угол поворота сечений трубки на рабочей длине L. Подставив М = (tR)S, V = SL, 7 = (pR/L, получим Aq = =т) (что справедливо для начального участка диаграммы). При однородном НДС в соответствии с Wkt^ — const из наклона начальных участков диаграмм имеем W^ 1,0 МДж/м3.
На рис. 7 б точками представлены экспериментальные результаты на кручение сплошных круглых О = 20 мм образцов того же материала при моментах 92,57, 77,16 и 69,34 нм для диаграмм 1-3 соответственно. Как и в предыдущем случае, среднее значение Aq = М屮［V〉но здесь уже НДС существенно неоднородное. И тем не менее определяя по наклону диаграмм начальных участков величины Wo и соответствующие диаграммам значения 力*, получим те же значения произведения ГИ()%* 1,0 МДж/м3.
Таким образом, предложенный подход позволяет условно заменить неоднородное НДС в элементе конструкции однородным с некоторой приведенной величиной (Jij или 〃叮・
Второе — будем рассматривать пространство приведенных напряжений 3叮 (или соответственно приведенных 行叮).Изменяя внешние нагрузки так, чтобы величина средней мощности рассеяния Wq оставалась постоянной, получим Ф(3:^)= =const, U(f}ij) = const, и в соответствующих пространствах приведенных величин 3叮 или rjij указанные выражения изобразят поверхности постоянной величины средней мощности рассеяния. Предположим, что эти поверхности обладают теми же свойствами, что и для случая однородного НДС в элементе конструкции, или при рассмотрении процессов ползучести в какой-либо отдельной физической точке тела, т. е. поверхности замкнуты, невогнуты, и для них справедлив принцип максимума Мизеса
@厂呜历订》0 и仇-呜)3订》。• ⑶
Это обобщение условия (1) далеко не очевидно, и его следует рассматривать как «рабочую гипотезу», но, как показывают результаты экспериментов, она не противоречива.
Опираясь на эти два предположения и буквально повторяя все рассуждения, изложенные в работах по идеально-пластическим материалам, получим следующие заключения [8].
Для статически возможных полей напряжений 叫 в элементе конструкции, удовлетворяющих уравнениям равновесия, граничным условиям и условию сохранения средней по объему тела мощности рассеяния Wo = const, внешние нагрузки будут меньше, чем для истинного НДС.
Для кинематически возможных полей скоростей деформаций ползучести, сохраняющих ту же величину средней мощности рассеяния Wo = const, внешние нагрузки будут больше, чем для истинного НДС.
Для прикладных задач теории ползучести представляет интерес несколько другая формулировка приведенных заключений. Пусть внешние нагрузки фиксированы. Тогда, в соответствии с первым заключением, для статически возможных полей напряжений получим завышенные по сравнению с истинными величины средних мощностей рассеяния W^》Wqct и соответственно заниженные величины времени до разрушения Z*T ，Z*CT. Для кинематически возможных полей скоростей деформаций в соответствии со вторым заключением получим заниженные величины Wq^u，Wqст и соответственно завышенные величины длительностей до разрушения Z*HH 》Z*CT. Объединяя эти неравенства, получим
%т》W^》吋н, (4)
Син》追ст》点・ (5)
Справедливость этих неравенств проверялась экспериментально и численными расчетами на ряде простейших элементов конструкций: изгиб балок, кручение стержней, расчет трубы под внутренним давлением. Ниже приводятся некоторые из этих результатов.
На рис. 8 точками представлены результаты экспериментов в виде диаграмм До = 4(力)изгиба прямоугольной балки из материала ст. 45 при Т = 725 ℃. Размеры балки: ширина 6 = 9,87 мм, высота h = 19,84 мм, рабочая длина, на которой измерялся прогиб, L = 100 мм, изгибающий момент М = 25,53 нм. Экспериментальная диаграмма рассеянной энергии в единице объема определялась по зависимости Aq = 8MA/(6/zL2), где Д — прогиб на заданной рабочей длине L. Характеристики ползучести материала Wo = Во, где В = 3,5 • 10-14, п = 6,2, размерность W [МДж/(с • м3)], за величину эквивалентного напряжения аэ принимается интенсивность тензора напряжений
Расчетные диаграммы — Aq — Wot. Здесь цифра 1 соответствует Ид , рассчитанной по статически допустимому полю в виде упругого распределения напряжений и не меняющемуся до конца процесса. Цифре 2 соответствует И^2\ вычисленное по статически допустимому полю сг(г) = const, как в идеальнопластическом теле, цифра 3 — значение Ид , вычисленная по кинематически возможному полю скоростей деформации r](z) при линейном распределении по высоте. Учитывая, что ползучесть сопровождается релаксацией напряжений в теле, что ведет к выравниванию уровня %, можно предположить, что все расчетные диаграммы процессов Ад = 4力)будут располагаться между диаграммами 1 и 3 как крайними случаями. В частности, использование в расчетных схемах
Рис. 8. Экспериментальные и расчетные значения величин До = 4力)при изгибе прямоугольной балкиРис. 8. Экспериментальные и расчетные значения величин До = 4力)при изгибе прямоугольной балки
Рис. 8. Экспериментальные и расчетные значения величин До = 4力)при изгибе прямоугольной балки
Рис. 8. Экспериментальные и расчетные значения величин До = 4力)при изгибе прямоугольной балки
предельного идеально-пластического состояния вполне оправдано и достаточно удовлетворительно подтверждается экспериментально.
На рис. 9 а представлены результаты по кручению сплошных цилиндрических стержней из АМГ-6М при Т = 370 ℃. Использовалась такая же зависимость Wq = Ва^, где В = 1,62 • 10-10 [(МПа)1-п/с],几=5. Размеры стержня: R = =10 мм, L = 47,3 мм. Крутящие моменты 17,46, 23,38 и 35,25 нм для диаграмм 1-3 соответственно. Точки — экспериментальные значения Ад — 4力)，пунктирные линии Ад = %)力—при статически допустимом упругом распределении касательных напряжений; сплошная линия — при т = const, соответствующей идеальнопластической схеме.
Рис. 9. Экспериментальные и расчетные значения величин 厶。=A(t) при кручении стержней: а) круглые стержни из материала АМГ-6М; б) квадратный стержень из стали ст. 45 при Т = 725 ℃Рис. 9. Экспериментальные и расчетные значения величин 厶。=A(t) при кручении стержней: а) круглые стержни из материала АМГ-6М; б) квадратный стержень из стали ст. 45 при Т = 725 ℃
Рис. 9. Экспериментальные и расчетные значения величин 厶。=A(t) при кручении стержней: а) круглые стержни из материала АМГ-6М; б) квадратный стержень из стали ст. 45 при Т = 725 ℃
Рис. 9. Экспериментальные и расчетные значения величин 厶。=A(t) при кручении стержней: а) круглые стержни из материала АМГ-6М; б) квадратный стержень из стали ст. 45 при Т = 725 ℃
24 Проблемы механики
Из приведенных графиков следует довольно полезный в методическом отношении вывод: при высоких температурах для определения сдвиговых характеристик материала нет необходимости использовать в экспериментах на кручение тонкостенные трубчатые образцы — практически аналогичные результаты будут и в экспериментах на толстостенных или даже на сплошных круглых образцах.
На рис. 9 б представлены результаты на кручение квадратного стержня из ст. 45 при Т = 725 ℃ (характеристики приведены выше) постоянным моментом М = 50 нм, размер стержня а = h = 18 мм, L = 50 мм. Величина касательного напряжения определялась по схеме предельного состояния закрученного стержня 丁 = 6”/(3%。2 — а?) — ^М/а^. Точки — эксперимент, линия — расчет.
Приведенные экспериментальные результаты и их аппроксимация показывают сходство в поведении материала и элемента конструкции в условиях высокотемпературной ползучести с моделью идеально-пластического тела, что позволяет использовать методы идеальной пластичности в оценках работы конструкций при высоких температурах.
Список литературы
Соснин О. В.)Горев В. В., Ратничкин А. А. Механика сверхпластичности и ее связь с высокотемпературной ползучестью // Сибирский физ.-тех. журнал. 1993. Вып. 4. С. 15-23.
Соснин О. В. О ползучести слабо упрочняющихся материалов при нестационарных температурно-силовых режимах / / Проб л. прочности. 1972. № 1. С. 74-77.
Соснин О. В. К вопросу о существовании потенциала ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 5. С. 85-89.
Кувшинов Г. А., Новиков И. И. Об оптимальной температуре сверхпластичности // Теплофизика конденсированных сред: Сб. ст. — М.: Наука, 1985. С. 41-43.
Соснин О. В., Горев Б. В., Любашевская И. В. Высокотемпературная ползучесть и сверхпластичность материалов // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 140-145.
Соснин О. В., Горев Б. В., Любашевская И. В. О некоторых особенностях высокотемпературного деформирования материалов // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 152-156.
Соснин О. В., Горев Б. В., Никитенко А. Ф. К обоснованию энергетического варианта теории ползучести. Основные гипотезы и их экспериментальная проверка. Сообщение 1 // Проблемы прочности. 1976. № 7. С. 3-8.
Соснин О. В., Любашевская И. В. Приближенные оценки высокотемпературной ползучести элементов конструкций // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 6. С. 124-135.
СИНХРОНИЗАЦИЯ ВРАЩЕНИЯ В ЗАДАЧЕОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ОСИИНЕРЦИИ НЕОДНОРОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
А. Стороженко
(Киев)
Пусть неоднородное твердое тело с массой т и неравными главными центральными моментами инерции {А ^ В ^ С ^ А) подвешено посредством универсального шарнира Гука к валу вертикально расположенного мотора (рис. 1 а). Введем несколько систем координат, прежде всего неподвижную систему координат ^?у^, начало которой О находится в центре шарнира Гука, а ось，направлена вертикально вверх (рис. 16), далее систему &力&, вращающуюся относительно неподвижной системы вокруг оси《.В этой же точке О разместим начало неизменно связанной с телом системы координат х*у*z* таким образом, чтобы центр масс тела G находился на отрицательной части оси z*. Наконец, еще одну неизменно связанную с телом систему xyz с началом в центре масс тела G введем так, чтобы ее ось z совпала с осью z*, а оси хну были бы параллельными соответствующим осям системы 力*g*z*.
Положение системы координат х^у*z*, а значит и самого тела, относительно неподвижного трехгранника ^?у^ можно определить посредством трех углов у а и /3 так, как показано на рис. 1 б. Тогда проекции угловой скорости трехгранника xyz или х*у*z* на собственные оси будут следующими:
^X =g况* =一々 sin a + а
3期=Ng* = 7 cos а sin /3 + & cos /3,(1)
幻2 = а;?* = 7 cos a cos /3 — d sin 0.
Кинетическая энергия тела представляется формулой
Т = / [(厶冗 + та^)^х + (Jgg + ma?)说 +
+ 丿22幻乞—^Jxy^X^y — 2Jxz3x3z — ^^yZ^y^z\ ?(2)
где 7ЖЖ, Jyy, Jzz, Jxy, Jxz, Jyz — компоненты тензора инерции тела в системе координат xyz, a — расстояние, отделяющее центр масс тела от центра шарнира Гука.
С учетом соотношений (1) кинетическую энергию можно представить в виде
Т =；[(厶冗 + ша2)(7 * 2 sin2 a — 2/j^sina + /З2) +
+ (Л/g + ma?)(々2 cos2 a sin2 /3 + 2&々 cos a sin /3 cos /3 + &? cos2 /3) +
+ Jzz(72 cos2 a cos2 /3 — 2&々 cos a sin /3 cos /3 + d2 sin2 /3)—
—2JXn (—寸 sin a cos а sin /3 + 々/j cos a sin /3 —々& sin a cos /3 + &B cos /3)—
—2 J^z (—々2 sin a cos a cos /3 + 々/j cos a cos /3 + 々& sin a sin /3 — &B sin /3)—
—2丿弊(々2 cos2 a sin 0 cos 0 + 々& cos q(cos2 0 — sin2 /3) — d2 sin 0 cos /?)]. (3)
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Потенциальная энергия системы будет
П = —mga cos q cos /3.(4)
Рассмотрим относительное равновесие системы, при котором тело сохраняет неизменным свое положение относительно вращающейся с постоянной угловой скоростью системы координат &771Q. С этой целью введем в рассмотрение так называемую измененную потенциальную энергию системы согласно формуле [4]
吟 口-т0,(5)
где То ——часть кинетической энергии, не содержащая обобщенных скоростей d, /3. Полагая в (3)々=幻=const, получим
W = —mga cos a cos /3 —
—；幻2 [(丿冗冗 + ma2) sin2 a + {Jyy + ma?) cos2 a sin2 /3 + Jzz cos2 a cos2 /3 +
+ 2<Jxy sin /3 + Jxz cos /3) sin a cos a — 2Jyz cos2 a sin 0 cos /3]. (6)
Необходимые условия относительного равновесия тела получим как условия существования экстремума функции W, именно:
= mga sin a cos /3 - , [(Jxx + ma? — (Jyy + ma?) sin2 /3 + Jzz cos2 /3 —
—Jyz sin 2/3) sin 2a + 2(Jxy sin 0 + Jxz cos /3) cos 2a] = 0,
Jzz) sin 2/3 — 2Jyz cos 2/3) cos2 a +Jzz) sin 2/3 — 2Jyz cos 2/3) cos2 a +^^ = mga cos a sin 0 - 皆[((% + ma?
Jzz) sin 2/3 — 2Jyz cos 2/3) cos2 a +
Jzz) sin 2/3 — 2Jyz cos 2/3) cos2 a +
+ (Jxy cos /3 — Jxz sin /3) sin 2a] = 0.
⑺
2. Исследование условий равновесия (7) начнем с простейшего случая, когда оси ж, т/, г являются главными центральными осями инерции тела. Очевидно, что центр шарнира Гука, соединяющего тело с валом электродвигателя, в этом случае находится строго на оси г, и имеют место равенства
J XX = 4 : Jу у = 3 : Jzz = С : Jxy = 0 : Jxz = 0 : Jyz = 0.
⑻
Уравнения относительного равновесия при этом приводятся к виду
dWа
—— =mga sin a cos p — da
2
—号[4 + ma2 — (B + ma2) sin2 /3 — C cos2 /3] sin 2a = 0,
^^ = mga cos a sin /3 —号(В + ma2 — C) cos2 a sin 2/3 = 0.
⑼
Устойчивость положений относительного равновесия определяется свойствами корней векового уравнения [5], которое в данном случае имеет вид
/d2W . d2W\ х , d2W d2W / d2w \2
(10)
где
彳 吋 =mga cos a cos /3 —幻？ [4 + ma? — (B + ma2) sin2 /3 — C cos2 /3] cos 2a,北^ = —mga sin a sin /3 — ш2(В + ma2 — C) sin 2a sin /3 cos (3,
^j = mga cos a cos /3 — /(6 + ma? — C) cos2 a cos 2/3.
(И)
Рис. 2
В результате исследования получаем картину распределения устойчивости вдоль кривых относительного равновесия в области (—тг/2 < «, /3 < тг/2), изображенную на рис. 2. Сплошными линиями на рисунке показаны кривые, точки которых соответствуют устойчивым формам относительного равновесия (А] > О, А2 > > 0). Неустойчивые формы относительного равновесия (один из корней А^ отрицателен) соответствуют точкам штрихованных кривых. Наконец, точки штрих- пунктирных кривых соответствуют формам относительного равновесия с четным количеством степеней неустойчивости (А] < 0, А2 < 0), в этом случае, как известно, для окончательного решения вопроса об устойчивости необходимо дополнительное исследование, здесь возможно явление гироскопической стабилизации.
Как видно из рис. 2, тривиальная форма относительного равновесия (а = /3 三 =0) устойчива лишь до значения угловой скорости 幻匕 при этом
mgaА + та2 — СmgaВ + та2 — СmgaА + та2 — СmgaВ + та2 — Сесли А > В, если А < В.если А > В, если А < В.(12)(12)
mga
А + та2 — С
mga
В + та2 — С
mga
А + та2 — С
mga
В + та2 — С
если А > В, если А < В.
если А > В, если А < В.
(12)
(12)
При 幻=幻1 тривиальная форма относительного равновесия становится неустойчивой, и происходит ответвление двух симметричных устойчивых форм относительного равновесия:
(13)(13)а = ± arccos『mga/3 = 0,
(13)
(13)
^{А + та2 - С}
в этих положениях равновесия во вращающейся плоскости &Q постоянно находятся главные центральные оси инерции х и z.
Еще одна точка ветвления (бифуркации) появляется при 幻=幻2：
g2 =g2 =mgaВ + ma2 — СmgaA + ша^ — СmgaВ + ma2 — СmgaA + ша^ — Сесли А > В, если А < В.если А > В, если А < В.(14)(14)
g2 =
g2 =
mga
В + ma2 — С
mga
A + ша^ — С
mga
В + ma2 — С
mga
A + ша^ — С
если А > В, если А < В.
если А > В, если А < В.
(14)
(14)
При этом значении 幻 для неустойчивой до того тривиальной формы относительного равновесия становится возможной гироскопическая стабилизация, и происходит ответвление двух симметричных неустойчивых форм:
a 三 0, 0 = ± arccos 2 s ^工•(15)
В этих положениях равновесия главные центральные оси инерции у и z постоянно находятся во вращающейся плоскости 77c.
Заметим, что полученная картина относительного равновесия строго соответствует закону Пуанкаре распределения устойчивости [5].
Посмотрим, как изменится картина относительных равновесий, если достаточно мало поменять положение тела относительно шарнира Гука. При этом равенства (8), естественно, уже не будут иметь места, и центробежные моменты инерции будут иметь малые отличные от нуля значения. Как показывают численные решения системы уравнений относительного равновесия (7), качественные изменения претерпевают точки бифуркации, которые в идеальном случае (при Jxy = Jxz = Jyz = 0) носили характер вилок (рис. 2). При отличных от нуля
центробежных моментах инерции точки бифуркации разделяют кривые относительного равновесия тела на две качественно разные ветви (рис. 3). Первая из них (при 幻=幻1) является точкой минимума кривой, ветвь II которой соответствует устойчивым формам равновесия, а ветвь III — неустойчивым. Вторая точка бифуркации (при 幻=幻2)также является точкой минимума другой кривой, состоящей из ветви IV неустойчивых положений равновесия и ветви V. Точки последней соответствуют положениям относительного равновесия тела с возможной гироскопической стабилизацией.
Рис. 3
Остановимся особо на кривой относительных равновесий I. Эта кривая непрерывна, определена для всех 幻 е [0, схэ) в области (—тг/2 < а,/3 < тг/2), начальная точка этой кривой есть точка а = /3 = 0 при 幻=0, что соответствует положению статического равновесия тела. Как показали численные расчеты, эта кривая не имеет точек бифуркаций и точек пересечений с другими ветвями относительных равновесий. Поэтому любой точке этой кривой соответствует устойчивое положение относительного равновесия. Кривая I, и будет предметом нашего дальнейшего исследования.
Введем систему координат Wg^gCg с началом в центре масс тела G и осями, параллельными соответствующим осям вращающейся системы координат &?7iQ. Таблица направляющих косинусов между осями этой системы и осями связанной неизменно с телом системы координат xyz будет следующей:
£g
%
ж
cos a
0
—sin a
(16)
g
sin a sin /3
cos /3
cos a sin /3
sin a cos /3
—sin /3
cos a cos /3
С помощью только что полученной таблицы согласно известным формулам механики получим выражения для центробежных моментов инерции тела J^gqg и Л7GCg чеРез компоненты тензора инерции тела в системе xyz^ именно:
，€gCg =(丿冗冗—^у у sin 0 + Jzz cos (3 — JyZ sin 2/3) sin 2a +
J^gCg = (('уд — Jzz) sin 28 — 2Jgz cos 20) cos a +
+ (Jxy cos /3 — Jxz sin /3) sin 2a. (17)
С использованием этих выражений условия относительного равновесия твердого тела (7) можно представить в виде
та2 sin a cos /3—幻？ cos a cos= 0,
ma2 cos a sin /3 (§ — a;2 cos a cos /3)— ^2^g^g cos a = 0.
Ввиду непрерывности изменения величины 幻 G [ 0, oo) вдоль кривой I очевидно, что на этой кривой существует точка, в которой выполняются равенства
幻=з* =厶 gCg=°；4gCg=°・(19)
Два последних равенства (19) означают, что найденная точка соответствует форме относительного равновесия тела, в которой вертикальная ось “，проведенная через центр масс тела G, является одной из главных центральных осей инерции тела. Для практического ее нахождения необходимо зафиксировать в найденном положении относительного равновесия значения углов a = а* и /3 = /3*, физически эти углы могут быть измерены датчиками углов, на осях шарнира Кардана-Гука. Тем самым согласно таблице (16) будут известны направляющие косинусы искомой оси в связанной с телом системе координат xyz^ именно:
cos (ж, z*) = — sin a*; cos (g, z*) = cos a* sin /3*;
cos (г, г*) = cos q* cos/3*.' '
Отметим то важное для практики обстоятельство, что точка, соответствующая найденному положению равновесия, находится на кривой устойчивых равновесий I, берущей начало, как уже отмечалось при 幻=0, a = /3 = 0. Это дает возможность получить в эксперименте искомое положение равновесия путем постепенного наращивания числа оборотов электродвигателя начиная с 幻=0, т. е. из положения статического равновесия.
Рассмотрим вопрос о возможном способе распознавания в эксперименте положения относительного равновесия тела с вертикальным положением одного из главных центральных моментов инерции. С этой целью вновь обратимся к уравнениям относительного равновесия (18), в которых положим J^gqg = J^Cg =。・ В результате эти уравнения можно привести к виду
mga sin a cos /3 — sin a cos a cos2 /3 = 0, 化】) mga cos a sin /3 — ma2^2 cos2 a sin /3 cos /3 = 0.
Нетрудно показать, что полученные равенства (21) представляют собой уравнения относительного равновесия своеобразного вращающегося математического маятника, имеющего две степени свободы и массу, равную массе исследуемого тела т. Действительно, приведенную потенциальную энергию такого маятника получим, если в правой части равенства (6) положим все компоненты центрального тензора инерции тела равными нулю. Полагая соответствующие частные производные полученного таким образом выражения нулю, мы и придем к условиям равновесия (21).
При 0 < а, /3 < ^ уравнения равновесия воображаемого математического маятника (21) приводятся к одному уравнению
(22)(22)mga — та2 cos 必=О,
(22)
(22)
где % = arccos (cos a cos /3) — угол отклонения маятника от вертикали.
Существенным является то, что только в положении относительного равновесия тела с вертикальным расположением одной из его главных центральных осей инерции воображаемый математический маятник вращается с той же угловой скоростью, с какой вращается исследуемое тело. А поэтому задача практического обнаружения такого положения равновесия может быть сведена к задаче синхронизации движения тела с движением этого воображаемого математического маятника, поскольку его параметры заранее известны и, следовательно, его поведение может быть предсказано заранее.
В качестве конкретного примера рассмотрим твердое тело с отнесенными к массе главными центральными моментами инерции, соответственно равными:
—=40 см2, — = 13 см2, — = 45 см2. ттт
Примем, что расположение связанной с телом системы координат xyz относительно системы x*y*z*^ образованной его главными центральными осями инерции, характеризуется тремя углами ст, г и 〃(рис. 4). Расстояние а от точки О до центра масс тела G примем равным а = 5 см. Выберем углы а и т равными ст = =т = тг/4. Тогда матрица направляющих косинусов, характеризующая взаимное расположение систем координат xyz и x*y*z*^ будет иметь следующий вид:
0,362 372 -0,362 372 -0,353 553
(23)(23)(24)(24)-0,50,50,707107
(23)
(23)
(24)
(24)
0,786 566 -0,079 4590,612 372
Составляющие тензора инерции в системе координат xyz будут
回=20,545 472 см2; 如=35,75 см2; — = 41,704 527 см2, ттт
& = 12,892 027 см2; 生=-0,767 603 см2; & = -3,237 764 см2. ттт
Результаты численных расчетов представлены на рис. 5. Сплошной линией на рисунке показана для различных значений угловой скорости 幻 величина Н = =arccos (cos q cos /3) угла отклонения от вертикали неизменно связанной с телом оси z, проходящей через центр масс тела G и центр шарнира Гука О. Пунктирной линией обозначена аналогичная величина % для воображаемого математического маятника. На этом же рисунке штрих-пунктирная линия изображает величину х, представляющую относительную разность между угловой скоростью вращения тела 幻 и угловой скоростью вращения воображаемого математического маятника, именно:
ш
死=
где
(26) у a cos а cos р
Рис. 4 Рис. 5Рис. 4 Рис. 5
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 4 Рис. 5
При 幻=о；* = 17,899 533 с-1 кривые Н и Hi пересекаются, и одновременно обращается в нуль величина 死.Следовательно, эта точка на графике и соответствует искомому положению относительного равновесия с вертикальной главной центральной осью инерции. Действительно, как показывают расчеты, при данной угловой скорости углы а и /3 будут
а* = 0,361367;/3* = 0,857 072,
и в соответствии с таблицей (16) направляющие косинусы вертикальной оси ^G относительно системы координат xyz будут такими:
cos (Cg，力)——0,353 553; cos (^G, у) = 0,707107; cos (^G, z) = 0,612 372.
Однако точно такими же являются направляющие косинусы главной центральной оси инерции тела z* относительно той же системы xyz (см. табл. (23)). Следовательно, вертикальная ось “ ПРИ 幻=幻* совпадает с главной осью z*.
Процесс синхронизации при определении главной центральной оси инерции неоднородного твердого тела можно автоматизировать, если на электродвигатель, приводящий во вращение тело, подавать момент, сформированный по следующему закону:
= к (々一/Q •(27)
' у у a cos а cos р у
В формировании правой части равенства (27) участвуют 7 — измеряемое тахометром текущее значение угловой скорости якоря двигателя и текущие значения углов q и /3, непрерывно измеряемые соответствующими датчиками углов, к — коэффициент усиления. Уравнения движения такой системы можно представить в виде
В уравнениях (28) функцию Лагранжа L с использованием формул (3) и (4) можно представить в виде
L = Т — П = I [(Jxx + ma2)(7 * 2sin2 а — 2/j^sina + /З2) +
+ (Jyy + пга?) ” cos2 а sin2 0 + 2&々 cos a sin 0 cos /3 + d2 cos2 /3) +
+ Jzz(72 cos2 a cos2 /3 — 2&々 cos a sin /3 cos /3 + d2 sin2 /3)—
—2JXn (—干 sin a cos a sin /3 + 々/j cos a sin /3 —々& sin a cos /3 + &B cos /3)—
—2几2 (—々2 sin a cos a cos /3 + 々/j cos a cos /3 + 々& sin a sin /3 — a^ sin /3)—
—2 Jgz(^2 cos2 a sin /3 cos /3 + 々& cos q(cos2 /3 — sin2 /3) — d2 sin /3 cos /?)] +
+ mga cos a cos 0. (29)
После подстановки функции L в (28) получим
^ {夕[(厶冗 + 772a2) sin2 а + (Jyy + ma2) cos2 a sin2 /3 + Jzz cos2 a cos2 /3 +
+ (Jxy sin /3 + Jxz cos /3) sin 2a — Jyz cos2 a sin 2/3] +
+ d [(Jyy + ma? — J%%) cos a sin /3 cos /3 + (JXy cos /3 — Jxz sin /3) sin a —
—Jyz cos a cos 2/3] + R [~(JXx + ma?) sin a — {JXy sin /3 +
+ 几 z cos/3) cosg ,(30)
J J 〈 у a cos a cos p у
^{(Jgg + ^«2)(7cos q sin /3 + d) cos/3 — Jzz(y cos q cos/3 + d) sin /3 +
+ (Jxy cos/3 — Jxz sin /3)(7sin q — /3) — J у z(y cos a cos 2/3 — & sin 2/3)} —
—(7жж + ma2)(扌 sin 2a — &々 cos a) + (J у у + ma2)(扌 sin 2a sin2 /3 —
—萼 sin a sin 2/3)+ Jzz (^|- sin 2a cos2 /3 —萼 sin a sin 2/3)+
+ Jxy (—72 cos 2a sin /3 —々/j sin a sin /3 —々& cos a cos /3)+
+ Jxz (—72 cos 2a cos /3 —々/j sin a cos /3 + 々& cos a sin /3)—
Jyz (^- sin 2a sin 2/3 + &々 sin a cos 2/3)+ mga sin a cos /3 = 0,(31)
^{(厶冗 + 皿。2)(6 -々sin а) - Jxy(y cos q sin/3 +
+ d cos /3) — Jxz (7 cos a cos /3 - & sin /3)}-
-(Jyy + ma2-(Jyy + ma2! — Jzz) (^- cos2 a sin 2/3 + &々 cos a cos 2/3 -乎 sin 2/3)+
-(Jyy + ma2
-(Jyy + ma2
+ Jxy (- % sin 2a cos /3 + 々/j cos a cos /3 + 々& sin a sin /3 - &B sin /3)+
+ JXz (乎 sin 2a sin /3 — 7/З cos a sin /3 + 々& sin a cos /3 — a^ cos /3)+
+ Jyz (?2 cos2 a cos 2/3 — 2&々 cos a sin 2/3 — d2 cos 2/3) + mga cos a sin /3 = 0.
Нетрудно убедиться в том, что стационарным решением системы уравнений (31) является
a = a* = const: /? = /?*= const: 小=幻* = Jf—= const, (32) у a cos a cos р
где постоянные а*, /3*,幻* удовлетворяют как условиям относительного равновесия тела (9), так и условиям равновесия воображаемого математического маятника (21). Согласно вышеизложенному, такое решение соответствует положению относительного равновесия тела с вертикальным положением одной из главных центральных осей инерции.
Список литературы
Ишлинский А. Ю., Стороженко 5.4., Темченко М. Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. — М.: Наука, 1991. — 330 с.
Сторож.енко В. А. Определение направлений главных осей инерции в теле произвольной формы. — Киев, 1986. — 40 с. (Препр. / Ин-т матем. АН УССР: 86.32).
Стороснсенко В. А. Определение динамических характеристик неоднородного твердого тела посредством вращательных установившихся движений // Вопросы механики и ее приложений. — Киев: Ин-т матем. НАНУ, 2002. С. 127-147.
Румянцев В. В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем // Изв. АН СССР. ОТН. 1962. №6. С. 113-121.
Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. —М.: Изд- во АН СССР, 1962. - 532 с.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГАЗОВЫХВКЛЮЧЕНИЙ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Л. Е. Украинский
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН
Введение. Исследование движения пузырей в идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей колеблющийся сосуд, проведено в работах [1-3]. Там же исследовалось влияние колебаний свободной поверхности на динамику пузырей, но в этих работах несущая среда считалась идеальной, а вязкость учитывалась лишь в процессах взаимодействия между несущей средой (жидкостью) и несомыми включениями (газовыми пузырями), тем не менее во многих практически важных случаях (при исследовании течения жидкостей с большой вязкостью, а также жидкостей в пограничных слоях и ряде других) так поступать нельзя, так как внутреннее трение в несущей среде приводит к возникновению таких форм движения, которые весьма отличаются от форм движения идеальных сред.
Постановка задачи. В настоящей работе будет рассматриваться движение пузырьков, взвешенных в жидкости, форма движения которой обусловлена именно вязкостью.
Следуя [1], положим, во-первых, что размеры пузырьков значительно меньше минимального расстояния, на котором существенно изменяются кинематические и гидравлические параметры течения, во-вторых, что непосредственное взаимодействие между пузырьками (столкновение, слипание и разрушение) настолько мало, что им можно пренебречь, в-третьих, что во время движения масса газа в пузырьке остается постоянной, а форма — сферической, в-четвертых, в уравнениях движения массой газа внутри пузырьков можно пренебречь по сравнению с присоединенной массой окружающей жидкости, в-пятых, жидкость несжимаема во всем рассматриваемом объеме. Связь между давлением и плотностью в газе внутри пузырька задается уравнением политропы. Кроме того, считаем, что плотность газа внутри каждого пузырька — функция только времени, а объемная концентрация пузырьков в смеси мала. Внешними массовыми силами пренебрегаем. Вязкость жидкости будет учитываться не только в процессах взаимодействия между пузырьками и жидкостью, но и при определении движения самой жидкости.
Как показано в работе [1], при этих предположениях система уравнений движения многофазных сред упрощается, так как распадается на две не зависящие друг от друга системы, одна из которых описывает течение несущей среды (в настоящем случае — вязкой несжимаемой жидкости), а другая — движение дисперсных элементов (в данном конкретном случае — газовых пузырьков). Эти системы имеют вид:
—для жидкости
div(V)= О,
祭+ "▽" =一吁小V；祭+ "▽" =一吁小V；⑴
祭+ "▽" =一吁小V；
祭+ "▽" =一吁小V；
где г — безразмерное время с масштабом 1/幻(幻一масштаб частоты, ниже — ча- 2
стота пульсаций потока в трубе), Re =— число Рейнольдса, Го ——характерный
линейный размер течения жидкости — масштаб длины, ниже радиус трубы, о — кинематическая вязкость жидкости (которая здесь предполагается постоянной), р и V — соответственно текущие безразмерные значения давления (с масштабом ргда;2, где р — плотность жидкости, которая в настоящем разделе считается постоянной) и скорости жидкой фазы (с масштабом 丁0幻)；
—для дисперсной фазы (пузырьков)
八=3 祭+(vV)v+^(vf)八=3 祭+(vV)v+^(vf)9/ (h — v)Re9/ (h — v)Re3 左2 _ 7 1% - V『-夕4/左,2cr3 左2 _ 7 1% - V『-夕4/左,2cr⑵⑵
八=3 祭+(vV)v+^(vf)
八=3 祭+(vV)v+^(vf)
9/ (h — v)
Re
9/ (h — v)
Re
3 左2 _ 7 1% - V『-夕4/左,2cr
3 左2 _ 7 1% - V『-夕4/左,2cr
⑵
⑵
где rn = rn(r) — безразмерный (с масштабом 丁。) радиус-вектор центра пузырька в лагранжевых координатах; R = R(* — безразмерный текущий радиус пузырька с масштабом R。, за который принимается радиус пузырька при давлении газа внутри него ро (отметим, что при принятых выше предположениях Ro зависит от массы газа пузырька); pi =汽兄一"_ давление внутри пузырька, безразмерный радиус которого 凡 а)— показатель
политропы в уравнении состояния, выписанного для газа внутри пузырька;
—〃2， ЛоКОСТИ с—〃2， ЛоКОСТИ смасштабом р (幻丁。)？ Rq \масштабом р (幻丁。)？ Rq \безразмерный коэффициент поверхностного натяжения жид-
—〃2， Ло
КОСТИ с
—〃2， Ло
КОСТИ с
масштабом р (幻丁。)？ Rq \
масштабом р (幻丁。)？ Rq \
в функциях пространственных координат и времени v = v(t, г) и р = р(т, г) и их производных, фигурирующих в правых частях уравнений (2), пространственные координаты, определяемые радиусом-вектором г, совпадают с соответствующими пространственными координатами, определяемыми радиусом-вектором гп.
Будем рассматривать движение многофазной среды по горизонтальному цилиндрическому трубопроводу кругового поперечного сечения радиуса го при действии гармониче-
ски изменяющегося во времени с частотой 幻 градиента давления (рис. 1) вдоль оси трубопровода.
Введем цилиндрическую систему координат Ог^г, начало которой расположим на оси трубы в той точке течения, где давление неизменно равно Pq.
Предполагаем, что скорость течения жидкости в каждой точке трубы коллинеарна оси Oz и не зависит от азимутальной координаты 仇 Единственная отличная от нуля составляющая скорости течения жидкости vz = w (г, г) на поверхности трубопровода при г = го должна удовлетворять условию прилипания, на оси трубы при 丁 = 0 скорость течения должна быть ограничена:
⑶⑶w (г, т)「=1 = 0, w(r, т)「=о < оо.
⑶
⑶
При вышеприведенных предложениях можно показать [4], что давление не зависит от координат т и Н. Задавая перепад давлений на торцах рассматриваемого участка трубопровода как функцию времени, можно найти распределение скоро-
стей и давления во внутренних точках рассматриваемого участка трубопровода,
которые будут удовлетворять краевой задаче (1), (3).
禦一COST dz禦一COST dzВ частности, еслиВ частности, если(где £ — безразмерная амплитуда пульсаций
禦一COST dz
禦一COST dz
В частности, если
В частности, если
гдегде/1 (丁)= £/1 (丁)= £w (г, г) = /1 (г) cos т + /2 (丁) sin т,w (г, г) = /1 (г) cos т + /2 (丁) sin т,bei 卜д/Йё ) + berbei 卜д/Йё ) + ber⑷⑷力(г) = £力(г) = £1 —1 —beibeiградиента давления с масштабом рго^2), то
где
где
/1 (丁)= £
/1 (丁)= £
w (г, г) = /1 (г) cos т + /2 (丁) sin т,
w (г, г) = /1 (г) cos т + /2 (丁) sin т,
bei 卜д/Йё ) + ber
bei 卜д/Йё ) + ber
⑷
⑷
力(г) = £
力(г) = £
1 —
1 —
bei
bei
здесь ber и bei — функции Кельвина.
Для распределения давления в трубе, учитывая выбор начала координат, имеем
р = Pq — sz cost.(5)
Отметим, что последняя формула для распределения давления справедлива, если начало отсчета координаты z совпадает с тем сечением трубы, в котором давление равно невозмущенному внешнему давлению 马.
Переходим к рассмотрению движения фазы пузырьков.
В цилиндрических координатах уравнения движения и пульсации газовых пузырей (2) примут следующий вид:
г — т/ =г — т/ =-3互一-3互一9/Re69/Re6r'O + 2户诊=-丁小丁品ЯRe6 ，r'O + 2户诊=-丁小丁品ЯRe6 ，
г — т/ =
г — т/ =
-3互一
-3互一
9/Re6
9/Re6
r'O + 2户诊=-丁小丁品
ЯRe6 ，
r'O + 2户诊=-丁小丁品
ЯRe6 ，
芝=3鳥仅 + 3^ ® — 2) + ^2 ® — 2) ；(6)
3 Я2 _ Ar2 + r2^2 + (z-wf] poR~^ _p4/左
a+ 2元=/ 4Я + / 一Я而戸一
где г(т), Н(т), z(t)——цилиндрические координаты вектора гп во введенной выше системе координат, функции w = w(r, г) и р =目(丁，z) определяются соотношениями (4) и (5) соответственно.
В частном случае отсутствия колебаний градиента давления при £ = 0, т. е. в случае свободного плавания пузырей в покоящейся жидкости, из последнего уравнения системы (6) получаем соотношение между давлениями внутри (ро) и снаружи (马)пузырька, которые обеспечивают статическое равновесие пузырька радиуса R = 1:
0о = R)+ 2сг.(7)
В дальнейшем принимается, что соотношение (7) выполняется, и пузыри при отсутствии внешних воздействий находятся в равновесии.
Предположим, что движение происходит таким образом, что безразмерное отклонение радиуса пузырьков от равновесного значения а(т)=兄⑺—1 и его производные по времени настолько малы по сравнению с единицей, что в уравнениях
можно пренебречь степенями а(т) и его производных выше первой. Учитывая это, раскладываем правые части уравнений (6) в ряд Тейлора по степеням а(т) и отбрасываем члены выше первой степени а(т)：
г — т/ = —Заг —黑(1 — 2а)* 丁丐 + 2户份=—За^г —(1 — 2а)丁份，
ReRe
z = 3器 + 3G® — i) + ^ (w — i)(l — 2a),(8)
a + Q^a = —^ a +，。彳。)[г2 + r2^2 + (2 — w)2] + 叫1 — a)zcost,
где Q2 = / [3)卅 + 2cr(37—2)] — квадрат безразмерной частоты свободных колебаний пузырька в рассматриваемой постановке.
Дрейф пузырьков в колеблющейся вязкой жидкости. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких частных решений системы (8), которые описывают движения, близкие к следующему. Центры пузырьков в поступательном движении совершают колебательные движения малой амплитуды, частично увлекаясь колебаниями несущей среды, и вместе с тем двигаются односторонне направленно относительно этой среды. Это последнее односторонне направленное движение может происходить со скоростями, значительно меньшими, чем масштаб скорости 丁0幻，т. е. их безразмерные значения существенно меньше единицы. Целью последующего исследования является определить направление и порядок величин скоростей этого односторонне направленного движения, если оно имеет место. В пульсационном движении каждый пузырек совершает колебания, состоящие из колебаний с собственной частотой Q и вынужденных — с безразмерной частотой, равной 1, обусловленных колебаниями давления в несущей среде. Амплитуды колебаний с собственной частотой изменяются медленно, т. е. их производные по времени существенно меньше единицы. Амплитуда вынужденных пульсаций пузырьков постоянна. В дальнейшем принимаем, что частота Q существенно отличается от частоты вынужденных колебаний под действием колебаний давления в окружающей жидкости, т. е. П * ±1. Согласно описанной выше гипотезе о характере движения принимаем, что диапазоны изменений параметров /, Re, £ и значений неизвестных функций г = г(т), Н = Н(т), z = z(t) и a = а(т) и их производных таковы, что в уравнениях системы (8) можно ввести формально малый параметр 从 и представить их следующим образом:
г = т/ + 从[—3ar — ^ (1 — 2a)r],
丁丐=-2户份+从3g份T - ^- (1 - 2a)丁再，
z = ц [з莽—3Gg — ^ i(l — 2a)] + /z2 [3aw + ^ w(l — 2a)] ,(9)
a + 口2a — e/zcost = 〃{ —^ 九 + '。彳。)产 + 户祁 + (i — w)2] — slazcosr
Имея в виду использование метода усреднения и учитывая сформулированные выше гипотезы о характере рассматриваемого движения, вводим замену пере-
менных
r = Ж1,/ = 〃力2, H =力3, 份=〃力4, Z =力5,= м[ж6 + 3w(T, Ж1)],
(Ю)(Ю)a =力7 cos Qr + 力8 sin Qr + e/ ^户 】COs r,
(Ю)
(Ю)
а = —口力丁 sin Qr + 口力8 cos Qr — eIа = —口力丁 sin Qr + 口力8 cos Qr — eI优5优5sinr,sinr,
а = —口力丁 sin Qr + 口力8 cos Qr — eI
а = —口力丁 sin Qr + 口力8 cos Qr — eI
优5
优5
sinr,
sinr,
где 力£ =力£(т) (£ = 14-8) — новые неизвестные функции. Подставляя (10) в (9), находим
勿1 = 从力2,
勿2 = 〃 <勿2 = 〃 <力 1力^ - 3力2 ( 一口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — £/力 1力^ - 3力2 ( 一口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — £/9//.—Ж2 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + £/Re\9//.—Ж2 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + £/Re\ж5 • sinrQ2 - 1ж5 )ж5 • sinrQ2 - 1ж5 ) COSTQ2 - 1 COSTQ2 - 1
勿2 = 〃 <
勿2 = 〃 <
力 1力^ - 3力2 ( 一口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — £/
力 1力^ - 3力2 ( 一口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — £/
9//.
—Ж2 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + £/
Re\
9//.
—Ж2 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + £/
Re\
ж5 • sinr
Q2 - 1
ж5 )
ж5 • sinr
Q2 - 1
ж5 )
COST
Q2 - 1
COST
Q2 - 1
勿3 = 从力4,
勿4 = 〃 <勿4 = 〃 <2*2*4 — 3力4 ( —a力7 sin Qr + 口力8 COS Qr — £/2*2*4 — 3力4 ( —a力7 sin Qr + 口力8 COS Qr — £/优5优5\9/Г /—-—Ж4 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + siRe\\9/Г /—-—Ж4 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + siRe\sin тsin т优5『COSTQ2 - 1优5『COSTQ2 - 1
勿4 = 〃 <
勿4 = 〃 <
2*2*4 — 3力4 ( —a力7 sin Qr + 口力8 COS Qr — £/
2*2*4 — 3力4 ( —a力7 sin Qr + 口力8 COS Qr — £/
优5
优5
\
9/Г /
—-—Ж4 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + si
Re\
\
9/Г /
—-—Ж4 1 — 2 力7 COS Qr + 力8 sin Qr + si
Re\
sin т
sin т
优5
『COST
Q2 - 1
优5
『COST
Q2 - 1
(11)(11)勿5 = 〃[力6 + 3w(T, Ж1)],
(11)
(11)
勿6 = 从｛一3力2黑-（力6 +辿）X
3 I —口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — е/3 I —口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — е/优5优5sin г I +sin г I +
3 I —口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — е/
3 I —口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr — е/
优5
优5
sin г I +
sin г I +
XX
X
X
ж5COSTQ2 - 1ж5COSTQ2 - 19//
ж5
COST
Q2 - 1
ж5
COST
Q2 - 1
+ -— 1 — 2 力7 cos Qr + 力 8 sin Qr + e/ ReI
勿7 = 〃勿7 = 〃sin Qr + Ф2 cos Пт),勿8 = 〃 (等 cos Qr + Ф2 sin Пт),
勿7 = 〃
勿7 = 〃
где
Ф1 =(力6 + 3w) sin т—口力7 sin Qr + 口力8 cos Qr —
Q — 1Re、
—s/—s/优5优5sinr j + j卜彳+若力^ + (力6 + 2仅)[xsinr j + j卜彳+若力^ + (力6 + 2仅)[x
—s/
—s/
优5
优5
sinr j + j卜彳+若力^ + (力6 + 2仅)[x
sinr j + j卜彳+若力^ + (力6 + 2仅)[x
ж5COSTQ2 - 1ж5COSTQ2 - 1X 1 —(力7 COS Qr + 力8 sin Qr + £/
ж5
COST
Q2 - 1
ж5
COST
Q2 - 1
—elx^ (力7 cos Qr + 力8 sin Qr + e/ ^户 】COs т ) cos t,
Ф2 = —^2——-(力6 + 3仅)cost, функция w = w(r, Ж1) определяется соотношением (4). Анализ системы (11), которая приведена к стандартной форме для последующего применения метода усреднения Н. Н. Боголюбова, показывает, что в правой части ее шестого уравнения имеется произведение двух гармонических членов одной и той же частоты, а именно частоты вынужденных колебаний градиента давления. Эти члены подчеркнуты двумя чертами снизу. Один из сомножителей этого произведения — скорость поступательного движения центра масс пузырька, которая связана с частичным увлечением пузырька колеблющейся жидкостью, а другой — пульсационная составляющая радиуса пузырька, обусловленная пульсациями окружающего пузырек внешнего давления. Взаимовлияние этих двух факторов и приводит к возникновению так называемой вибрационной силы, которая и обеспечивает возникновение односторонне направленного дрейфа пузырька относительно жидкости.
Для нерезонансного случая (частота собственных колебаний пузыря Q несоизмерима с безразмерной частотой колебаний градиента давления, равной 1) усредненные уравнения системы (11) в первом приближении имеют следующий вид:
& = 〃2^ €б[з/2(€1) +/i(€i)] _^ ；(12)
& = 从 {-^1 & + +置 + £泣 + 巌 + 2發(/1 + 及)]&}；
где значение £； — произвольное из интервала 0，£；，1, а £ — произвольное значение из интервала 0，笃 < 2тг.
Исследование устойчивости решения (13) показывает, что действительные части корней характеристического уравнения неположительны. Следовательно, в рассматриваемом приближении пузырьки, имеющие в начальный момент времени нулевые (или близкие к нулевым) составляющие скоростей в направлении цилиндрических радиуса и угла останутся с такими нулевыми значениями составляющих скорости и в дальнейшем движении (по крайней мере на конечном интервале времени). Их проекции на орты локального базиса цилиндрических координат тг и 丁少 не изменятся по крайней мере на этом вышеупомянутом интервале времени в процессе движения. Таким образом, траектории центров пузырьков (по крайней мере на конечном интервале времени) представляют собой прямые, параллельные оси трубы.
Рассмотрим четыре последних уравнения системы (12). Отметим, что в пятое и шестое уравнения переменные & и &, представляющие собой усредненные амплитуды пульсаций пузырьков с частотой собственных свободных колебаний Q, не входят. Поэтому эти два уравнения можно рассматривать отдельно и независимо от двух последних. Величина &, фигурирующая в коэффициентах шестого уравнения (12), находится из решения первых четырех уравнений (12). Ограничиваясь здесь частным решением (13), получаем, что вместо & следует подставить постоянные £；. Таким образом, в рассматриваемом частном случае движение пузырьков вдоль своих прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы, описывается пятым и шестым уравнением системы (12), в которых принято & = £；• Значения & в коэффициентах шестого уравнения системы (12) рассматриваются в дальнейшем как числовые параметры.
Что касается пульсационного движения пузырьков с частотой Q, описываемого седьмым и восьмым уравнениями системы (12), то после определения функций £1 = ^i(r), §2 = §2(丁), §4 = §4(丁), £б = £б(т) из первых шести уравнений системы (12) они также могут быть проинтегрированы полностью. В дальнейшем ограничимся для &, &, & соответствующими значениями частного решения (13), т. е. эти величины также могут рассматриваться при определении пульсационного движения пузырей как числовые параметры. Что касается £б, то эта функция определяется после решения пятого и шестого уравнений системы (12). Рассмотрим систему этих двух уравнений.
Как указывалось выше, пятое и шестое уравнение (12) для случая, когда справедливы частные решения (13), описывают поступательное движение пузырей вдоль траекторий, представляющих собой прямые, параллельные оси трубы. Решающее значение для определения этого поступательного движения имеет подчеркнутый двумя чертами член шестого уравнения системы (12). Этот член описывает, как упоминалось выше, вибрационную силу. Остановимся кратко на механизме возникновения вибрационной силы.
Отметим, что в сечении трубы z = 0, что соответствует 力5 = 0, внешнее давление вблизи пузырей в окружающей их жидкости согласно (5) постоянно и равно 马. Следовательно, в этом сечении пузырьки находятся в равновесии и не пульсируют. Отметим, что для других сечений трубы 力5 * 0 давление в окружающей пузырьки жидкости непостоянно и совершает колебания с частотой вынуждающих внешних воздействий. Причем с удалением от сечения 力5 = 0 амплитуда колебаний давления в окружающей пузырьки жидкости, а следовательно, и амплитуда соответствующих пульсаций пузырьков, возрастают. Вместе с этим возрастает по модулю и подчеркнутый двумя чертами член в шестом уравнении системы (12). Именно этот член и определяет упоминавшуюся выше вибрационную силу и односторонне
направленное перемещение пузырьков. Знак этого члена определяет направление дрейфа: если он положителен, то вибрационная сила подобно пружине с отрицательной жесткостью, закрепленной в сечении z = 0, отталкивает пузырьки; в противном случае (отрицательный знак подчеркнутого двумя чертами члена в шестом уравнении системы (12)) вибрационная сила, подобно обычной пружине, притягивает пузырьки к положению равновесия
(14)(14)& = 0, & = 0-
(14)
(14)
После составления уравнения в вариациях для отклонений от решения (14) и характеристического уравнения, а также анализа его корней, получим, что при Q2 > 1 стационарное решение (14) системы пятого и шестого уравнений системы (12) устойчиво, если
0=3力(&) + 談九(&) <0,0=3力(&) + 談九(&) <0,(15)(15)
0=3力(&) + 談九(&) <0,
0=3力(&) + 談九(&) <0,
(15)
(15)
и соответственно неустойчиво, если О〉0.
Анализ возможных форм односторонне направленных движений пузырей. Анализ условия (15), выполненный с помощью численных расчетов, показал, что для разных значений &, Re и / стационарное решение (14) может быть как устойчивым, так и неустойчивым.
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
На рис. 2 показаны области устойчивости решения (14) на плоскости координат {Re, г} для разных значений отношения / (напомним в скобках, что в рассматриваемом случае параметр т = £i представляет собой такое значение из диапазона [0, то] полярного радиуса г, которое равно расстоянию рассматриваемой траектории от оси трубы, а / = 丁^/R^ и Re = 丁^幻/〃). Отметим, что области устойчивости возникают лишь для достаточно малых пузырей. Для пузырей, которым соответствует / < 400, областей устойчивости не обнаружено.
Области пронумерованы следующим образом: первый цифровой индекс определяет порядковый номер области при перемещении слева направо по оси Re, второй цифровой индекс определяет значение параметра /, для которого данная
кривая построена (цифре 1 второго индекса нумерации соответствует / = 500, цифре 2 — I = 5000, цифре 3 — I = 500 000, цифре ^ — / = 1010 и, наконец, цифре 5 — I = оо). Границы областей представляют собой своеобразные петли, которые расширяются при увеличении параметра /, что соответствует при фиксированном радиусе трубы уменьшению радиуса пузырьков. То есть каждая петля охватывает все петли, отвечающие более крупным радиусам пузырьков. Внутри каждой из петель условие (15) выполняется для всех радиусов пузырей, меньших того значения радиуса пузыря, который отвечает данной петле. Отметим, что границы областей 7 3, 74 и 15 для значений чисел Re < 1000, а также 74 и 7 5 для изображенной на рис. 2 области значений чисел Re сливаются. Поэтому они не разделены на рис. 2 отчетливо. Область 15 сливается с областью 74. Это же относится к областям 24 и 25. Начиная с четвертой зоны условие (15) выполняется только для таких пузырей, радиусы которых меньше радиуса трубы в 105 и более раз. То есть для труб, радиусы которых не превосходят 10-1 м, удовлетворять условию (15) для значений чисел Re, соответствующих четвертой и последующим зонам, могут только пузыри с радиусами, меньшими чем 10-6 м. Таким образом, если ограничиться рассмотрением движения пузырей, радиусы которых превосходят 10-6 м, в трубах, радиусы которых не превосходят 10-1 м, то все движения описываются только первыми тремя зонами на рис. 2. Здесь далее принимаем, что указанные ограничения выполняются, и ограничимся анализом лишь первых трех зон на рис. 2.
Для значений параметров, которым соответствуют точки внутри петель, решение (14) устойчиво. Снаружи петель выполняется условие, противоположное (15), т. е. решение (14) для соответствующих значений параметров — неустойчиво. Анализ областей выполнения и невыполнения условия (15) позволяет определить возможные формы односторонне направленных движений пузырьков в трубе по траекториям, совпадающим с прямыми линиями, параллельными оси трубы. Для значений параметров внутри областей, определяемых условием (15), плоскость z = =0 является притягивающей: дрейф пузырьков происходит в направлении к этой плоскости. Для значений параметров вне областей, определяемых условием (15), плоскость z = 0 является отталкивающей: пузырьки дрейфуют в направлениях от этой плоскости.
Проанализируем, исходя из рис. 2, характер изменения движений пузырьков в трубе в зависимости от значений числа Рейнольдса, т. е. при фиксированных значениях радиуса трубы и вязкости жидкости от частоты.
При малых частотах колебаний решение (14) неустойчиво для любых значений все покоящиеся в начальный момент пузыри, независимо от их начального положения, дрейфуют в направлении от плоскости z = 0. Таким образом, труба, один конец которой открыт, и на нем значение давление фиксировано и не изменяется, а на другом задается пульсирующее давление с частотой 幻，удовлетворяющей следующему неравенству:
幻 < Rei 彳， (16) 丁0
где Rei — значение числа Re, отвечающее точке пересечения первой из кривых с горизонтальной осью на рис. 2, представляет собой устройство, обеспечивающее перемещение пузырей всех размеров от открытого конца трубы к концу, на котором давление пульсирует. Можно сказать, что условие (16), представляет собой условие дегазации зон трубы, прилежащих к открытому концу. Отметим, что в данном контексте термин «открытый конец трубы» не обязательно обозначает контакт с атмосферой. Он может относиться также и к торцу трубы, соединен-
ному с каким-либо большим объемом жидкости. Единственное требование, чтобы давление в жидкости в месте соединения было фиксированным и не изменялось
во времени.
При увеличении частоты начиная с некоторого значения, которому соответствует пересечение первой кривой с осью 丁 = 0, в центре трубы возникает круговая зона притяжения пузырьков, безразмерный радиус которой г = r(Re, /) определяется верхними частями границ областей 15, 14, 13, 12, 11 на рис. 2. Пузырьки, находящиеся в покое в каком-либо поперечном сечении трубы внутри зоны притяжения, дрейфуют к открытому (в вышеупомянутом смысле) сечению трубы. Причем зона возникает сначала для чрезвычайно мелких пузырьков (/ = оо) а затем постепенно, по мере увеличения частоты для все более крупных (/ = 1010, / = 500 000, / = 5000, / = 500). Внутри каждой из зон, отвечающих какому-либо фиксированному значению /*, условие устойчивости выполняется и для всех / > /*, т. е. для всех пузырьков, радиус которых не превосходит Rq = го/，^ • Пузырьки, невозмущенный радиус которых превосходит R^, внутри данной зоны не имеют устойчивого положения равновесия.
На рис. 3 построены зоны притяжения для конкретного значения частоты, которому отвечает lg Re =1,6. Цифрой 1 обозначена зона притяжения пузырьков,
Рис. 3Рис. 3радиусы которых удовлетворяют следующим неравенствам Rq < го / V500. Эта зона представляет собой круг. Она является частью более широкой зоны притяжения для пузырей, радиусы которых удовлетворяют следующим неравенствам Ro < го/ V5000, и расположенной внутри круга 2. Зона притяжения пузырьков, радиусы которых удовлетворяют неравенству Rq < < го /V500 000 — расположена внутри круга 3; зона притяжения для пузырьков, радиусы которых удовлетворяют неравенству Rq < го/105, лежит внутри еще большего круга, граница которого на рис. 3 сливается с окружностью, ограничивающей круг 3. Дальнейшее увеличение параметра / хотя и приводит к расширению
Рис. 3
Рис. 3
зоны притяжения, но на рис. 3 это не заметно. Все границы областей вплоть до / = =оо сливаются и совпадают с границей круга 3.
Вне предельного круга, которому отвечает значение / = оо, зоны притяжения отсутствуют: все пузыри дрейфуют от открытого конца трубы к тому концу, на котором происходят колебания давления.
Для данного диапазона чисел Re движение пузырьков происходит следующим образом: в приосевой круговой зоне 0 < г < г (Re, /) достаточно малые, чтобы выполнилось условие устойчивости, пузырьки движутся по направлению к плоскости z = 0, а в кольцевой зоне r(Re, /) < г < го пузыри всех размеров движутся в противоположном направлении от плоскости z = 0. То есть в разных зонах трубы происходит разнонаправленное движение пузырьков. Если в потоке присутствуют пузырьки разных размеров, то для них движение носит еще более сложный характер. Направление дрейфа зависит не только от начального положения, но также и от размеров. Для зоны устойчивости (круг 3 на рис. 3). может оказаться, что два оказавшихся в потоке рядом пузырька разных размеров дрейфуют в противоположных направлениях. Таким образом, в этом диапазоне изменения чисел Re (или частот) в зоне устойчивости можно говорить о режимах движения пузырей, способствующих перемешиванию среды, заполняющей трубу. В зоне неустойчивости
движение пузырей всех размеров происходит в одном направлении: от «открытого конца» трубы к сечению, где пульсации давления задаются.
По мере дальнейшего увеличения частоты (и, соответственно, Re) радиус зон притяжения r(Re, /) для пузырьков каждого сорта сначала возрастает, затем при некотором значении Re, зависящем от / , у оси трубы возникает зона неустойчивости, а зона устойчивости трансформируется из круговой в кольцевую.
На рис. 4 построены области притяжения для частот, соответствующих lg Re = =2,3. У оси течения внутри круга 1, а также внутри внешнего кольца 5 имеем зону неустойчивости, находясь в начальный момент в точках которой в покое, пузыри
любого размера дрейфуют от «открытого конца трубы» к тому концу, где происходят колебания давления. Кольцевая зона притяжения для пузырей с радиусами, удовлетворяющими соотношению R。< <о/V5000, представляет собой кольцо 3. Оно окружено кольцами 2 и /, внутри которых существуют зоны устойчивости для пузырей, размеры которых уменьшаются по мере уменьшения радиусов пузырей от то /V5000 на границах с кольцом 3 до нуля на внешней границе кольца / и внутренней границе кольца 2.
После трансформации круговой зоны устойчи
вости в кольцевую, то есть при переходе от ситу
ации, которой отвечает рис. 3 к ситуации, которой отвечает рис. 4, направление дрейфа пузырьков каждого сорта становиться следующим: в приосевой круговой зоне неустойчивости дрейф всех пузырей независимо от размеров происходит в направлении от плоскости z = 0 к сечению, где задаются пульсации давления. В кольцевой зоне устойчивости для достаточно малых, чтобы выполнилось условие устойчивости, пузырей — к плоскости z = 0, а для остальных пузырей в противоположную сторону, и, наконец, в охватывающей эту кольцевую зону устойчивости зоне неустойчивости снова от плоскости z = 0. Таким образом, в зоне устойчивости снова имеет место разнонаправленное движение пузырей разных размеров, способствующее перемешиванию, а в зонах неустойчивости односторонне направленное движение пузырей всех размеров от «открытого конца» трубы к сечению (или сечениям) где задаются пульсации давления. В этих последних зонах происходит дегазация в сечениях, прилежащих к «открытому концу» трубы. Однако в отличие от случая, когда частота пульсаций удовлетворяет соотношению (16), дегазация происходит только в приосевой и пристенной зонах трубы. Можно назвать такую форму движения пузырей зонной дегазацией.
По мере дальнейшего увеличения частоты кольцевая область устойчивости сужается (кольцо становится более тонким) и отодвигается от оси трубы ближе к стенке (средний диаметр кольца увеличивается). При этом предельные значения размеров пузырей, для которых условие устойчивости выполняется, уменьшаются. Наряду с этим, в приосевой зоне трубы возникает при некотором значении частоты (и соответствующем значении числа Re) новая область устойчивости для достаточно малых пузырей. С помощью рис. 2 можно построить области устойчивости и неустойчивости для любого значения числа Рейнольдса.
Здесь, однако, мы этим заниматься не будем, ограничимся лишь построением еще одной схему областей устойчивости и неустойчивости для lg Re = 3,1, чтобы продемонстрировать, какие разнообразные формы движения могут возникнуть. Соответствующая картина изображена на рис. 5.
В данном случае, существуют четыре области устойчивости. Четвертая (такое название области соответствует первому индексу в нумерации областей на рис. 2)
Рис. 5Рис. 5представляет собой круговую зону, окружающую ось трубы (на рис. 5 она отмечена цифрой 1). Она определяет дрейф чрезвычайно мелких (их радиус должен быть меньше радиуса трубы намного более, чем в 105 раз) пузырьков к «открытому концу» трубы. Более крупные пузыри дрейфуют в этой зоне в сторону сечения трубы, где задаются пульсации давления. Третья область устойчивости представляет собой на рис. 5 кольцо /, окаймленное двумя узкими кольцами 3 и 5. Для точек из кольца / при наличии в течении пузырей, радиусы которых удовлетворяют условию Rq < го/105, имеем режим перемешивания: мелкие пузыри, удовлетворяющие упомянуто
Рис. 5
Рис. 5
му условию, дрейфуют к «открытому концу трубы,
остальные — к сечению, где заданы пульсации давления. Если мелких пузырьков,
удовлетворяющих упомянутое условие в течении нет, то имеем режим дегазации в этой зоне: все пузыри дрейфуют к сечению, где задаются пульсации давления. Вторая область представляет собой на рис. 5 кольцо 7, окаймляющих колец на рис. 5 незаметно, так как границы областей 24 и 25 на рис. 2 при рассматриваемом значении числа Рейнольдса сливаются. Движение пузырей в данном случае происходит подобно тому, что было описано выше для четвертой зоны. Наконец, первая область представляет собой кольцо 70, окаймленное двумя кольцами 9 и 11, которые, в свою очередь окаймлены весьма тонкими кольцами, не показанными на рисунке ввиду их тонкости. Движение пузырьков в первой области отличается от движения во второй тем, что внутри кольца 10 дрейф пузырьков к «открытому концу» трубы имеет место не только для пузырьков, удовлетворяющих неравенству Rq < го/105, но и для более крупных, радиусы которых ограничены следующим условием: Rq < го/ V500 ООО . В областях 2, 6, 8, 72 имеем зону неустойчивости, находясь в начальный момент в точках которой в покое, пузыри любого размера дрейфуют от «открытого конца трубы» к тому концу, где происходят колебания давления.
Таким образом с ростом чисел Рейнольдса происходит с одной стороны возникновение все новых и новых областей притяжения пузырей к «открытому концу» трубы в виде структуры колец, а с другой стороны каждая из этих областей относится к пузырям все меньших и меньших размеров. Это практически делает движение к «открытому концу» трубы незаметным при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса и достаточно малом количестве в течении настолько малых пузырей, чтобы для них существовала область притяжения к «открытому концу» трубы.
Подводя итоги, можно сделать следующие выводы, которые могут быть ис
пользованы в приложениях.
Колебания давления в каком-либо сечении цилиндрической трубы, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью со взвешенными в ней пузырями могут способствовать возникновению односторонне-направленных движений пузырей относительно жидкости. Отметим, что все установленные формы движения пузырей являются лишь возможными. Они могут осуществиться только при выполнении всех гипотез, обеспечивающих корректность использования асимтотических методов, использованных в настоящем разделе.
При выполнении условия (16) все пузыри независимо от размеров дрейфуют к тому сечению трубы, где заданы пульсации давления, удаляясь от так называемого «открытого конца» трубы. Это можно использовать для обеспечения дегазации жидкости в трубах.
Если условие (16) не выполняется, то в некоторых зонах трубы возможны противоположно-направленные движения пузырей разных размеров. Отметим, что такого рода режимы можно использовать для перемешивания жидкой среды, причем пузыри как бы выполняют роль перемешивающего рабочего органа. Местонахождения такого рода зон определяется при фиксированных значениях радиуса трубы и вязкости жидкости частой пульсаций давления. Подбирая ее определенным образом, а также обеспечивая наличие в течении пузырьков нужного размера, как это следует из анализа рис. 2, можно обеспечить возникновение зон перемешивания в любой внутренней области течения, за исключением пристенного слоя, так как при увеличении частоты зоны перемешивания хотя и приближаются к стенке трубы асимптотически, однако ни при каком значении частоты ее не достигают. Между ближайшей к стенке трубы зоной перемешивания и стенкой всегда имеется слой жидкости, в котором должен реализовываться режим дегазации: пузырьки должны дрейфовать по направлению от «открытого конца» трубы.
По мере увеличения значения чисел Рейнольдса Re = 丁^幻/〃, области, в которых было бы возможно движение пузырей в направлении «открытого конца» трубы возникают все для более мелких пузырей. Для любого сколь угодно малого радиуса пузыря существует такое значение Re, начиная с которого, пузыри этого радиуса, как и все более крупные будут дрейфовать по трубе только в одну сторону, а именно, в направлении, противоположном «открытому концу» трубы. То есть и в случае больших значений чисел Рейнольдса практически имеем ситуацию, когда все пузыри будут двигаться в одну сторону. Следовательно, так же как и в случае малых значений Re, чему соответствует выполнение условия (16), в случае достаточно больших для данного размера радиуса трубы, вязкости жидкости и минимального размера пузырей в течении значений чисел Re снова может реализоваться режим дегазации. Здесь, правда, следует оговориться, что последнее справедливо только, если течение остается ламинарным.
Таким образом, используя рис. 2, всегда можно найти тот диапазон чисел Re, при котором будет возможно реализовать либо режим зонного перемешивания, либо дегазации.
Список литературы
Колебательные явления в многофазных средах и их использование в технологии / Под ред. Р. Ф. Ганиева. — Киев: Техника, 1980. — 140 с.
Ганиев Р. Ф., Лакиза В. Д., Цапенко А. С. Об относительных движениях и механическом равновесии многофазной среды при вибрационных воздействиях. ДАН УССР. 1976. № 19. С. 903-908.
Ганиев Р. Ф., Лапчинский В. Ф. Проблемы механики в космической технологии.— Машиностроение, 1978. — 119 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978.
ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ, КОНСТАНТЫРАЗРУШЕНИЯ
А. И. Хромов
Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН
Теория идеальных жесткопластических тел является одним из наиболее полно разработанных разделов механики деформируемых сред.
Вместе с тем в рамках этой теории исследовались, как правило, задачи о предельном равновесии, т. е. начале пластического течения. Получено ограниченное число решений задач с учетом изменения геометрии тела, собственно, о пластическом течении: задачи о внедрении клина в полупространство, раздавливании клина плоским штампом [1-3], одноосном растяжении плоского [4] и цилиндрического [5] образцов, растяжении полосы с V-образными вырезами [6]. На основе этих решений в работах [7-9] получен определенный класс решений контактных задач для тел произвольной формы с учетом изменения геометрии свободной поверхности. При решении таких задач деформации тел оценивались визуально по искажению прямоугольной сетки. Более точное описание процесса деформирования требует использования в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т. п.). Решение задач с учетом изменения геометрии особенно необходимо при расчете деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений и других особенностей пластической области.
Другой проблемой теории идеальных жесткопластических тел является неединственность положения, вида пластической области и вместе с этим неединственность поля скоростей перемещений, которое определяет изменение геометрии тела. Для практического использования теоретических решений требуется критерий выбора предпочтительного пластического течения и формулировка условий, определяющих изменение пластической области.
Разрушение жесткопластических тел исследовалось в работах [10, 11].
Ниже предлагается подход к развитию указанных аспектов теории идеальных жесткопластических тел с разрушением в условиях плоской и осесимметричной деформации.
Определение полей деформации. Выберем в качестве меры деформации тензор конечных деформаций Альманси Е, который определяется через тензор дисторсии А:
Eij = 2 伍叮一喘£喘力'3 7 = 1, 2, 3, Aij =吟£,⑴
где 6ij — символ Кронекера,力? — лагранжевы координаты частицы, Xi — эйлеровы координаты частицы.
Изменения этих тензоров вдоль траектории движения частицы определяются уравнениями [12]
力+ ю，力+ ю，dEdtdEdt+ EW +W*石=%+ EW +W*石=%⑵⑵
力+ ю，
力+ ю，
dEdt
dEdt
+ EW +W*石=%
+ EW +W*石=%
⑵
⑵
где+ 〃左染субстанциональная производная; W = 〃£/, W* = 〃左曲
CLb0 Xk
2(“£/• + ”£)2(“£/• + ”£)—тензор скоростей де—тензор скоростей деUk — скорость перемещения частиц, £叮= формаций.
2(“£/• + ”£)
2(“£/• + ”£)
—тензор скоростей де
—тензор скоростей де
Поле скоростей перемещений может иметь особенности (поверхность разрыва 〃£, центр веера характеристик). Поэтому накопление деформации осуществля
ется при двух условиях: в непрерывном поле скоростей Ui согласно уравнениям (2) и при пересечении особенностей поля щ, на которых компоненты £叮 могут обращаться в бесконечность.
Изменение деформаций при пересечении особенностей поля скоростей Ui рассматривалось в работах [13, 14].
Рассмотрим деформацию частицы в условиях плоской деформации при пересечении линии разрыва скоростей перемещений (рис. 1), которая распространяется в нормальной скоростью Gi = G〃£. Движение среды будем описывать в форме Эйлера. Введем обозначения:
⑶⑶
⑶
⑶
Здесь индексы «+» и « —» обозначают определенную сторону линии разрыва.
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Будем считать, что ниже линии L материал недеформирован:
力匕=М・⑷
Вследствие гипотезы сплошности среды функции 力？ предполагаются непрерывными. Как показано в [15], для разрывов производных таких функций имеют место следующие геометрические и кинематические условия совместности:
[%] =А/・，[圖=—%G,(5)
где % — компоненты единичного вектора нормали к линии L, G — нормальная скорость движения линии 厶 尢一некоторые функции, определенные на линии разрыва.
Вдоль каждой траектории материальной частицы лагранжевы координаты постоянны, поэтому
d 若дх}对 п
dtdtdxk
ОтсюдаОтсюда⑺⑺
Отсюда
Отсюда
⑺
⑺
или, учитывая соотношения (4) и (5),
⑻
Здесь Vn = V^~ 以=Vj^ 以一нормальная компонента скорости движения частиц на линии разрыва, которая вследствие гипотезы сплошности среды должна быть непрерывна. Поэтому вектор разрыва скорости [匕]всегда коллинеарен единичному вектору касательной линии разрыва т^, т. е.
\VT] — разрыв касательной составляющей скорости перемещений. Из уравнений (3)-(6) следует
Заметим, что абсолютное значение величины
имеет физический смысл объемной плотности энергии диссипации, получаемой материальной частицей при пересечении поверхности разрыва скоростей. Обозначим
(12)
объемную плотность энергии диссипации, отнесенную к пределу текучести. Выражения (10), (12) можно записать в виде
А- = Wri, [x^j] = WriUj, х^ = 6ij + WriUj.(13)
Из (13) следует, что в условиях плоской деформации основные инварианты тензора 石叮 и угол Н между первым главным направлением тензора Альманси и касательной к линии разрыва скоростей L вычисляются через величину W по формулам
,2/22 т 1 / □…、 胃
IIe =(石11 —石 22)2 + 4E22 =IIe =(石11 —石 22)2 + 4E22 =4 + TV4 + TVtg2H =邑]_邑2 =-评，5(М1 + “22)= —丁'
IIe =(石11 —石 22)2 + 4E22 =
IIe =(石11 —石 22)2 + 4E22 =
4 + TV
4 + TV
(14)
Полученные соотношения существенно зависят от движения особенностей поля скоростей относительно материальных частиц, которое может быть определено только при решении задачи с учетом изменения геометрии тела.
В условиях плоской деформации в связи с несжимаемостью идеального жесткопластического тела только один инвариант тензора Е является независимым (например, М) и он может быть принят за характеристику величины деформации частицы. Е] является монотонной функцией W и величина W также может характеризовать величину деформации частицы при пересечении линии разрыва скоростей перемещений.
Можно показать, что в окрестности поверхности разрыва скоростей перемещения реализуется плоская деформация и (14) верно при условии (4) для общего случая пространственной деформации.
Если материал до пересечения линии L деформировался и компоненты тензора дисторсии имели значения 力?；, то компоненты тензора дисторсии за линией L будут иметь значения
力?,} =(乐+历^以)啖;••(15)
Критерии выбора предпочтительного решения. Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющемуся жесткопластическому телу, упругопластическому телу и т. п.) в рамках которых решение является, как правило, единственным. И этим моделям среди множества решений должно соответствовать некоторое предельное решение для модели идеального жесткопластического тела. Прямой предельный переход затруднен отсутствием точных решений для сложных моделей. Критерий выбора предпочтительного пластического течения должен быть сформулирован из общих термодинамических и экспериментальных закономерностей.
Одной из экспериментально замеченных закономерностей является осреднение деформаций в процессе пластического течения упрочняющегося материала [16]. На основании этого можно сформулировать критерий выбора предпочтительного решения и его развития.
Пластическое течение развивается таким образом、что максимальная деформация (Ei) минимальна:
inf sup Ei,(16)
где Q — возможные пластические области для полных решений задачи, dQ — возможные изменения пластической области при пластическом течении в данный момент времени, которое отображает движение особенностей пластической области.
Учитывая (13), критерий (А) можно переформулировать.
(Б) Пластическое течение развивается таким образом、что максимальная удельная энергия диссипации в пластической области минимальна
inf sup Ж.(16‘)
Пластическое течение развивается таким образом〉что приращение работы (JA), необходимой для деформирования тела, максимально:
sup 6 А.
Выбор критериев (A-В) обосновывается в п. 3. Возможны и другие критерии.
3. Задача о растяжении полосы при кинематических граничных3. Задача о растяжении полосы при кинематических граничныхусловиях. Пусть верхняя и нижняя плоскости, ограничивающие полосу, двиусловиях. Пусть верхняя и нижняя плоскости, ограничивающие полосу, движутся соответственно вверх ижутся соответственно вверх иРис. 2Рис. 2вниз со скоростью V = 1. Возможно бесконечное множество полных решений этой задачи (рис. 2) [17].1. Растяжение плоского образца с непрерывным полем скоростей. Наряду с решением Оната-Прагера, существует решение для случая с непрерывным полем скоростей перемещений (рис. 2). Предполагается, что захваты, обеспечивающие перемещение нижнего и верхнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль оси X (например, магнитные захваты).Данные граничные условия приводят, при предположении, что весь образец находится в пластическом состоянии, к однородному напряженному состояниюо期—2k, стх =。， Тху = 0(17)и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси Ох под углом g = тг/4.Определение поля скоростей при плоской деформации сводится к интегрированию уравненийвниз со скоростью V = 1. Возможно бесконечное множество полных решений этой задачи (рис. 2) [17].1. Растяжение плоского образца с непрерывным полем скоростей. Наряду с решением Оната-Прагера, существует решение для случая с непрерывным полем скоростей перемещений (рис. 2). Предполагается, что захваты, обеспечивающие перемещение нижнего и верхнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль оси X (например, магнитные захваты).Данные граничные условия приводят, при предположении, что весь образец находится в пластическом состоянии, к однородному напряженному состояниюо期—2k, стх =。， Тху = 0(17)и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси Ох под углом g = тг/4.Определение поля скоростей при плоской деформации сводится к интегрированию уравнений岩+岩=。岩+岩=。дУх дУу^(дУх дуД ду дх у дх ду удУх дУу^(дУх дуД ду дх у дх ду у(—ctg2g).(—ctg2g).(18)(18)
3. Задача о растяжении полосы при кинематических граничных
3. Задача о растяжении полосы при кинематических граничных
условиях. Пусть верхняя и нижняя плоскости, ограничивающие полосу, дви
условиях. Пусть верхняя и нижняя плоскости, ограничивающие полосу, дви
жутся соответственно вверх и
жутся соответственно вверх и
Рис. 2
Рис. 2
вниз со скоростью V = 1. Возможно бесконечное множество полных решений этой задачи (рис. 2) [17].
1. Растяжение плоского образца с непрерывным полем скоростей. Наряду с решением Оната-Прагера, существует решение для случая с непрерывным полем скоростей перемещений (рис. 2). Предполагается, что захваты, обеспечивающие перемещение нижнего и верхнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль оси X (например, магнитные захваты).
Данные граничные условия приводят, при предположении, что весь образец находится в пластическом состоянии, к однородному напряженному состоянию
о期—2k, стх =。， Тху = 0(17)
и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси Ох под углом g = тг/4.
Определение поля скоростей при плоской деформации сводится к интегрированию уравнений
вниз со скоростью V = 1. Возможно бесконечное множество полных решений этой задачи (рис. 2) [17].
1. Растяжение плоского образца с непрерывным полем скоростей. Наряду с решением Оната-Прагера, существует решение для случая с непрерывным полем скоростей перемещений (рис. 2). Предполагается, что захваты, обеспечивающие перемещение нижнего и верхнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль оси X (например, магнитные захваты).
Данные граничные условия приводят, при предположении, что весь образец находится в пластическом состоянии, к однородному напряженному состоянию
о期—2k, стх =。， Тху = 0(17)
и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси Ох под углом g = тг/4.
Определение поля скоростей при плоской деформации сводится к интегрированию уравнений
岩+岩=。
岩+岩=。
дУх дУу^(дУх дуД ду дх у дх ду у
дУх дУу^(дУх дуД ду дх у дх ду у
(—ctg2g).
(—ctg2g).
(18)
(18)
При 夕=тг/4 система уравнений примет вид
(I) * + 学=0,(П) * +(19)
дх дуду дх
Выполняя преобразование с (19): 帛 ⑴ 一 找 (П); 找 (I)— 帛 (【【)уравнения
(19) можно привести к двум волновым уравнениям
дх2 дуду дх2
общее решение которых имеет вид
%(力,д) = Hi® - ж) + &(д + ж),匕(力，у)=如(д - ж)-也(д + ж),
где ?^i,户2,也1,也2 — произвольные дважды дифференцируемые функции.
Будем рассматривать симметричное пластическое течение с двумя осями симметрии х и у. Граничные условия для скоростей перемещений:
при g = 0 % = 0, при 力=0 匕=О, при у = / Vy = V, при х = а % = const;
подставляя (22) в (21) имеем: ^1(—ж) + 户2(力)=0, 61(У)+ 也2(У)= 0, откуда следует, что
^1 -%，以—一也.(23)
При дифференцировании уравнений (19) возможно приобретение новых решений. Подставим (21) в (19):
明 + 也—％ + * = 0,—明 + 也 + % + * = 0,(24)
или, учитывая (23),
"—沙—夕+夕=0,一"—"+夕+夕=0,(25)
откуда следует, что 少=仍.
Пусть ^фг = 'О1 = А7, где А — некоторая дифференцируемая функция, тогда 4 = Н =也 + С, где С = const. Из граничных условий (7) следует
Vy = 4(-力)+ &力)=0, % = 4(g) - 4(g) + 0 = 0.(26)
Из первого равенства (26) следует, что 4(力)一нечетная функция, из второго следует, что 0 = 0.
Решение системы уравнений (19) при данных граничных условиях определяется в виде
%(力，g) = 4® —力)+ 4® + ж),
匕闻 g) = 4g - ж) - 4g + 力)，
где 4⑴一нечетная дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям.
Объемная плотность энергии диссипации с учетом (17) запишется в виде
W = EijOij = £222k = ^^ 2k = 4kA,(28)
где aij — тензор напряжений.
Деформация материала может происходить, вообще говоря, неоднородно по объему образца. Вместе с тем модель жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям, например к модели упрочняющегося тела, в случае, когда параметр упрочнения стремится к нулю. Упрочнение тесно связано с деформациями материала — там, где частицы материала ранее деформировались, произошло упрочнение, и последующее деформации происходят интенсивней в соседних частицах материала, что приводит к выравниванию деформаций по всему объему образца и равномерному их накоплению. То, что упрочнение материала способствует равномерному распределению деформаций, отмечалось и другими авторами (см. [16]). Данные рассуждения определяют критерий выбора функции А в (27). Такому условию отвечает класс линейных функций вида A (t) = ct где с = const.
Тогда из (27) и граничных условий (22) имеем
%(力,g) = с® - 力)+ c(g + 力)=^ g,(29)
%（力,у） = c（g 一 力）一 c（g + 力）=一^ 力，（30）
Компоненты тензора скоростей деформаций £叮 определяются в виде dVr VdV2 V1 fdVr dV2\ с
=期=-『£22 =丽=『£12 = £忌=。’
7 = ；J(£ii — £22)+ 4登2 = ?, / = /()+『力 7 = о。：卜力•(31)
Объемная плотность мощности диссипации энергии W = ^ij^ij = 4kc одинакова во всех частицах образца.
Компоненты тензоров 石叮 и £叮 связаны уравнениями
*+沪外+也к瞥+E计* = £叮 g = 1，2),(32)
dt dxkoxj 丿 dxi j '丿
В случае плоской деформации компоненты тензоров 石切 £叮 можно записать в виде:
Ец = е + geos 2^, 石 22 = е — geos 2^, Ei2 = gsin2^,
£ii = 7 cos 2^,£22 = -7 cos 2^,£12 = 7 sin 2^,
где e = ； (Mi + 石22), g = ；，(Mi -石22)? + 4身2，仇 也一соответственно углы наклона первого главного направления тензоров Eij и £叮 к оси Ож,
7 =(£11 - £22)2 +4唸•
Система (32) принимает вид
(I)豆 + 2)gcos2 " 一喇=0,
(II)警 + 2)е cos 2 "—喇=7 cos 2 (H —喇，(34)
(UI) 2g幫一27esin2" —т/O + g—7sin2" —也)；
atL 0x2 uxi J
da 1 a и 1 a и
здесь 丁 = k + оvi + -V2 — материальная производная по времени.
dtdt Oxi 0优 2
Эти уравнения устанавливают связь между инвариантами тензоров Альманси е, g и скоростей деформаций 7 и их главными направлениями Н, ^ вдоль траектории движения частицы материала.
При рассматриваемой однородной деформации углы Н и 也 не изменяются "=也=тг/2), тогда уравнение (III) является тождеством, общее решение системы (34) определится двумя интегралами:
(35)(35)е2 — е = g?, In 12g — 2е + 1| = "° 弋""•
(35)
(35)
Вводя обозначение ё = ? (относительное удлинение образца), получим
М = е + gМ = е + g11传+戈/4 传+1)2 '1传+戈/4 传+1)2 '1g = e + 卡+匠,g = e + 卡+匠,22 伍 + I?，22 伍 + I?，Е2 = е- g= ~^£2Е2 = е- g= ~^£2(36)(36)
М = е + g
М = е + g
1
1
传+戈/
4 传+1)2 '
1
传+戈/
4 传+1)2 '
1
g = e + 卡+匠,
g = e + 卡+匠,
22 伍 + I?，
22 伍 + I?，
Е2 = е- g= ~^£2
Е2 = е- g= ~^£2
(36)
(36)
также движутся как жесткие, соответственно в отрицательном и положительномтакже движутся как жесткие, соответственно в отрицательном и положительном
также движутся как жесткие, соответственно в отрицательном и положительном
также движутся как жесткие, соответственно в отрицательном и положительном
Растяжение плоского образца с разрывным полем скоростей. Одним из вариантов решения этой задачи является известное решение Е. Onata и W. Prager а [1] (рис. 3), в котором верхний CfAfOAC и нижний Е‘ В' О В Е концы полосы движутся со скоростями V соответственно вверх и вниз. Области О АВ и Ог АВ
направлениях оси х. Пластическая деформация материала здесь локализуется вдоль изолированных линий скольжения ^ОВ и АОВ\ которые являются линиями разрыва скоростей перемещений. Поле деформаций для такой постановки задачи подробно исследовалось в [13, 18]. Особенностью данной постановки задачи является разрывность поля скоростей перемещений, скачкообразное увеличение деформаций при пересечении частицей линий разрыва скоростей и локализация деформаций в заштрихованной на рис. 3 области.
Главные значения тензора Альманси определятся в этом случае, согласно [21, выражениями (И), (12), (14):
[К] = vV2, % = ^，G = 0, (37)
E1 = V2-1^ 0,414, W = 2,Рис. 3
где W — объемная плотность диссипации энергии в частице материала при пересечении линии разрыва скоростей О A, \VT] — разрыв касательной составляющей скорости перемещений на линии ОД, Vn — нормальная компонента скорости на линии О A, G — нормальная скорость распространения линии О А (в данной задаче линия О А неподвижна, G = 0).
Решение I допускает переход на решение II в любой стадии деформирования.
Решения II (a-в) допускают переход от одного к другому, сохраняя полноту решения в каждый момент времени. Эти промежуточные пластические течения определяются траекторией движения точки О. В работе [18] показано, что минимальная деформация (石1) на поверхности разрыва скоростей перемещений достигается при условии неподвижности точки О (решение II (a-в) при G = 0).
На рис. 4, 5 представлены зависимости Е\ (ё) и Р (ё) /2ка, из которых следует, что решение (I) приводит к меньшим деформациям (ё < 1,4), большим усилиям и меньшей накопленной частицей материала удельной энергии диссипации. С точки зрения критериев (A-В, п. 2) решение I является предпочтительным.
25 Проблемы механики
Рис. 4Рис. 4Рис. 5
Рис. 4
Рис. 4
Разрушение идеальных жесткопластических тел. Поле деформаций в окрестности вершины трещины (рис. 6) является в общем случае неодно-
можно рассматривать как функцию полярных координат g и 0 системы координат с началом, расположенным в вершине трещины. К вершине трещины могут подходить несколько линий разрыва тензора деформаций (L1, £2, • • •)? т・е・ компоненты тензора могут быть разрывны по аргументу д.
Разрушение материала естественно связать с тензором деформаций, накопленных в процессе всей истории деформирования материала, а также другими геометрическими и силовыми характеристиками, определяемыми в процессе пластического течения в окрестности вершины трещины (например, направлением развития трещины в предшествующий момент времени, углом раскрытия трещины и т. д.).
Критерий разрушения можно задать в виде системы неравенств
fn (勿叮，石订'，。叮，♦••)》°,72 = 1, 2,..., TV,(38)
где /п — некоторые скалярные изотропные функции векторных и тензорных аргументов, а также их производных по пространственным и временным переменным. Число функций /п определяется конкретной моделью разрушения.
Направление развития трещины определяется изотропной векторной функцией тензорных и векторных аргументов:
^^£ =.(39)
В качестве простейшей модели разрушения идеального жесткопластического тела может быть выбрана следующая.
(AI) Разрушение материала в вершине трещины наступаеткогда максимальная деформация в вершине трещины (石。достигает предельной величины (Е*):
max Ei 2 Е*> m = е? или те? = 0,(40)
где М — значение первого (алгебраически наибольшего) главного значения тензора Альманси, a ei, е2 — единичные векторы, совпадающие соответственно с первым и вторым главными направлениями тензора Альманси. Физическая интерпретация рассматриваемого критерия очевидна: разрушение материала наступает в том случае, если расстояние между бесконечно близкими частицами изменяется на критическую величину, определяемую константой Е*, направление разрушения при этом ортогонально первому главному направлению. Скорость движения вершины трещины определяется из условия
e1 =石*.(41)
Близкий по виду критерий разрушения рассматривался Ф. А. Макклинтоком [11]; он записывался в виде
е = е* при 丁 = 0*,
где предполагалось, что распространение трещины произойдет, когда деформация е на некотором расстоянии р* перед концом трещины достигнет предельной величины е*.
Простейшая модель разрушения (40) требует экспериментального определения лишь одной константы Е*.
Заметим, что идеальное жесткопластическое тело является несжимаемым. И в условиях плоской деформации тензор деформации имеет лишь один независимый инвариант (например, Е/ другие его инварианты могут быть выражены через него. Поэтому при использовании в критерии разрушения (38) в качестве аргумента лишь тензора 石叮 изотропные функции 力 будут являться функциями только одного независимого инварианта.
Более сложная двухконстантная модель:
(А II) Ei Е^, mei = cos 7,(42)
включает дополнительное экспериментальное определение направления развития трещины относительно первого главного направления тензора 石叮，определяемого углом 7.
Условия (40), (41) могут быть переформулированы.
(Б I) Разрушение материала в вершине трещины наступает^ когда накопленная удельная диссипация энергии в вершине трещины (W) достигнет предельной величины(ГИ*):
тахГЙ》忆，(43)
и скорость движения вершины трещины определяется условием
W=W^.(44)
Условие выбора направления развития трещины можно сформулировать аналогично критерию (В) п. 2.
(В I) Пластическое течение при разрушении развивается таким образом, что приращение работы (JA), необходимой для деформирования тела, максимально:
sup 6 А.
夕
Разрушение жесткопластической полосы при одноосном растяжении. В отличие от решения I (п. 3), решение II позволяет описать процесс распространения трещины в полосе [18].
Пусть в полосе имеется начальная трещина в окрестности начала координат О. Так как ее длина и начальное положение не влияют на дальнейшие построения, будем считать ее бесконечно малой макротрещиной. Развитие трещины будет определяться траекторией движения ее вершины О (рис. 6), связанной с направлением разрушения С.
Будем считать, что разрушение определяется условиями (41), (44):
М = Е* или W= ^.(45)
На рис. 9 представлена зависимость усилия Р/ка от времени t (при V = 1) при различных направлениях разрушения С. Максимальное приращение работы, необходимой для деформирования полосы (см. п. 4), достигается при распространении трещины вдоль оси X 停=тг/4), т. е. при симметричном пластическом течении. Основные параметры пластического течения:
忆(46) a = 2/ж, tg)=a
где С — модуль скорости распространения трещины, А — работа, необходимая для полного разрушения полосы (а = 1, k = 1),)— половина угла раскрытия трещины.
Определение констант разрушения. Одним из основных экспериментов по определению механических свойств материалов является эксперимент по растяжению плоских и цилиндрических образцов. Основной характеристикой процесса разрушения в данных экспериментах является относительное удлинение образца при разрушении: 6 =—-——• 100 % и относительное сужение образца при to
разрушении: =—————• 100 %, где /о, ^о — начальные длина образца и площадь поперечного сечения, /, F — текущая длина образца и площадь поперечного сечения соответственно.
Практически для всех материалов ^ < 100 %, что означает наличие в образце конечной трещины, которая развивалась в определенном интервале времени.
Естественно предположить, что зарождение трещины и переход с решения (I) на решение (II) происходит в один и тот же момент времени, т. е. при относительно малых деформациях реализуется решение с непрерывным однородным полем скоростей деформаций, решение с разрывным полем скоростей перемещений описывает образование «шейки» на конечном этапе разрушения образца.
Поэтому процесс разрушения плоского образца можем описывать по следующей схеме (рис. 9). Перед началом деформирования образец имеет длину и ширину соответственно /о, а。. На первом этапе реализуется решение с непрерывным полем скоростей. К концу первого этапа образец имеет параметры /口，。口. Происходит зарождение трещины. На втором этапе реализуется решение с разрывным полем скоростей и происходит развитие трещины. Второй этап заканчивается разрывом образца, к моменту которого образец имеет следующие параметры: /к — конечная длина, ак — наименьшая ширина в месте разрыва.
Введем две константы материала: Е** — значение Е\ тензора Альманси соответствующее концу первого (однородного) этапа деформирования образца, характеризующее зарождение макротрещины ” начало образования «шейкш, Е* — значение 石1 в вершине макротрещины, характеризующее скорость распространения макротреищны.
Из условия несжимаемости следует
/□a□ = /0a0.(47)
На втором этапе точки А и В (рис. 10) движутся с одинаковой скоростью V, поэтому
ап - ак = /к - /□•(48)
Зная из экспериментов по растяжению значения 次 6, а。，/о и решая совместно (47), (48), (1), можно найти /口：
/□ = ； [。0 (1 —也)+ /о (8 + 1)] +
+ ；J* О — 叫 + 2a()/0 伍一V?—矽6 — 1) + 悠(6 + if , (49)
а затем соответствующее ему первое главное значение тензора Альманси, которое обозначим через Е**:
5尸= М =(50)
ьо2 (е + 1)
Таблица 1
Образец
В, %
砲%
Алюминиевые сплавы
АД 0, лист
35
80
1,6
0,384
0,168
АК 8, профиль
7
15
0,3
0,129
0,046
АК 8, штамповка
10
25
0,5
0,195
0,056
АД 31, профиль закаленный и искусственно состаренный
17
70
1,4
0,364
0,035
АМГ 6, плита нагартованная, 18% в продольном направлении
10
22
0,44
0,177
0,062
ВД17, полоса прессованная, закаленная и искусственно состаренная, 60 мм
10
19
0,38
0,157
0,068
АД 33, профиль прессованный, закаленный и искусственно состаренный
12
30
0,6
0,223
0,066
Титановые сплавы
ВТ 3-1, штамповка
14-20
45-60
0,9-1,2
0,291-0,34
0,056-0,085
ВТ 6, штамповка
10-13
35-60
0,7-1,2
0,248-0,34
0,035-0,012
ВТ 9, штамповка
8—14
25-45
0,5-0,9
0,195-0,291
0,035-0,056
ВТ 14, штамповка
10-15
35-60
0,7-1,2
0,248-0,34
0,035-0,035
В табл. 1 даны константы разрушения для некоторых конструкционных материалов. Данные для J, ^ приводятся по справочнику [19].
Деформация и разрушение цилиндрического образца. Деформации цилиндрического образца при одноосном растяжении подробно исследовались в работах [20, 21]. Формулировка критериев полностью совпадает с аналогичными формулировками в условиях плоской деформации, но расчет констант разрушения осуществляется численным способом.
На рис. 9 представлен рентгеновский снимок «шейки» образца непосредственно перед разрушением [22] и результаты численного расчета «шейки» и трещины на основе модели идеального жесткопластического тела (сплошная белая линия).
Рис. 8Рис. 8
Рис. 8
Рис. 8
Список литературы
Hill 足，Lee К Я., Tupper S.J. Proc. Roy, Soc., Series A, 1947. Part 188. P. 273.
Hill R. Proc. 7th Int. Cong. App. Meeh., 1948. London.
Hill R. The mathematical theory of plasticity. Oxford, 1950. Рус. пер. Хилл P. Математическая теория пластичности. — М.: Гос. изд. технико-теоретич. лит-ры, 1956. — 407 с.
Onat К, Prager W. // Appl J. Phys. 1954. №4. P. 491-493.
Shield R. T. On the plastic flow of metals under conditions of axial symmetry. Proceedings of the Royal Society. 233 A. 1955. N. 1193. P. 267-287.
Richmohd O. Meeh // J. Phys. Solids. 1969. V. 17. P. 83-90.
Быковцев Г. И., Хромов А. И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы // Известия АН СССР. МТТ. 1979. № 2. С. 71-78.
Быковцев Г. И., Хромов А. И. Плоская задача о вдавливании жесткого штампа в идеальное жесткопластическое полупространство // Известия АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 47-52.
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 181 с.
Качанов Л. М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. — 312 с.
Макклипток Ф. Пластические аспекты разрушения. В кн.: Разрушение. — М.: Мир, 1976. Т. 3. С. 133-229.
Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1978. — 304 с.
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 181 с.
Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Доклады АН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202-205.
Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964.— 308 с.
Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. Часть вторая. Механические испытания. Конструкционная прочность. — М.: Машиностроение, 1974. — 368 с.
Хромов А. И., Жигалкин К. А. Математическое моделирование процесса деформирования материалов // Дальневосточный математический журнал. — Владивосток: Дальнаука, 2002. Ч. 3. № 1. С. 93-101.
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении // Известия РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 136-142.
Конструкционные материалы: Справочник / Б. Н. Арзомасов, В. А. Бростем, Н. А. Буше и др.; Под общ. ред. Б. Н. Арзомасова. — М.: Машиностроение, 1990. — 688 с.
Козлова О. А, Хромов А. И. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел // Доклады АН. 2002. Т. 385,血 3. С. 342-345.
Хромов А. И., Козлова О. В. Деформация и разрушение жесткопластического цилиндра. В кн.: Проблемы механики неупругих деформаций. Сб. статей. — М.: Физматлит, 2001. С. 343-350.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: Мир, 1969. Т. 2. — 864 с.
НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
И. Ю. Цвелодуб
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
Ниже представлены некоторые результаты, полученные в лаборатории статической прочности Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН и относящиеся к обратным задачам (ОЗ) механики деформируемого твердого тела.
Указанное направление развивается в лаборатории в течение примерно 20 лет и включает следующие классы задач.
ОЗ неупругого деформирования, связанные с нахождением внешних воздействий, необходимых для получения за заданное время требуемой остаточной формы тела с учетом разгрузки (упругой или неупругой) при снятии внешних сил.
Задача (忆歹)，состоящая в определении напряженно-деформированного состояния (НДС) тела, на части поверхности которого заданы одновременно и перемещения "к, и нагрузки рк> а на другой ее части условия не определены. Сюда же примыкают существенно переопределенные задачи, когда векторы й ир заданы на всей поверхности тела и требуется уточнить его прочностные характеристики или выявить в нем неоднородности.
Некоторые ОЗ деформирования и разрушения физически нелинейных неоднородных сред.
Рассмотрим вкратце каждый из перечисленных классов.
ОЗ неупругого деформирования (ОЗНД). Эти задачи имеют непосредственное отношение к обработке материалов давлением и связаны с нахождением таких внешних воздействий, которые обеспечивают требуемую остаточную форму объемного тела или пластины после деформирования в течение заданного времени 力*.
Рассматривается изотермический процесс деформирования тела объема V с поверхностью S, определяющие уравнения для которого имеют вид [1]
£kl = ^klmn^mn + &kl(卜，力=】,2, 3),(1)
где £左厶 £^, Oki, akimn ——компоненты тензоров полных и неупругих деформаций, напряжений и упругих податливостей. В (1) и далее kj = 1, 2, 3, по повторяющимся индексам производится суммирование.
Полные деформации предполагаются малыми, так что справедливы соотношения Коши
^kl —。,5 ("к,2 + "2,Q,
где Uk — компоненты вектора перемещений.
Неупругие деформации 瑙 складываются из пластических 吟 и деформаций ползучести £&, и их скорости ©^ удовлетворяют в любой момент времени 力〉О
следующим условиям [1]:
]△©^△%2 ^^ ^ A j^ a/g/mnAcr/g/Acrmn "力,А —入(力)〉0,(2)
оо
^ ^^kl^^kl dt》Ai ] ЬklmnXokl Xomn d%,入1 —入1(力)〉。， ОО
△b疝0) = Дей (°) = 0，
где bkimn ——компоненты тензора упругих модулей, обратного akimn-
Для нелинейной вязкоупругой среды, когда ©^ = ©^(。俏九,力),неравенства (2) сводятся к следующим [1, 2]:
△©^△。42》^^klmn^^kl^^mn ? '亡kl'。kl》^ibklmn^^kl^^mn •(3)
При A = Ai = 0 условия (2)и (3) соответствуют постулату устойчивости для неупругих деформаций [2]. Примеры зависимостей для е^, удовлетворяющих неравенствам (2) и (3) при А = 0, приведены в [2], а при А ^ 0 — в [1].
Обратная задача формулируется следующим образом: каким внешним воздействиям необходимо подвергать поверхность S тела в интервале [0, Z*], чтобы выполнилось условие (которое будем обозначать звездочкой (*))： при 力=力* внешние силы отсутствуют, а остаточные перемещения и^ на S имеют заданные значения 汇к*. Предполагается, что при 力 < 0 тело находилось в естественном состоянии.
В [1] рассмотрены такие внешние воздействия, которые обеспечивают единственность решения данной ОЗНД, а именно: нагрузки р^ или перемещения Uk на S монотонно возрастают в интервале времени [0,力*), а в момент 力=力* внешние силы мгновенно снимаются так, что после упругой разгрузки выполняется условие (*). При этом для единственности достаточно условия (2) при А = 0, а для существования решения и его непрерывной зависимости от данных соответствующей задачи необходимо, чтобы А〉0 и А]〉0. Обоснованы итерационные методы решения отмеченных ОЗНД.
Обобщение силовых и кинематических обратных задач из [1] на случай нелинейных вязкоупругих тел при неупругой разгрузке в интервале [力。，力*] дано в [3], где рассмотрены следующие постановки.
Задача 1. Найти величины 必。такие, чтобы при внешних нагрузках р^ = =f(t)pk。, приложенных к S, где f(t) — заданная функция (/(0) = 0, /(0) > 0, 『⑴》0 (0〈力 < 力。)，/&) = 1,『(力)< 0 (to < t 力*), /(力*) = 0), выполнилось условие (*).
Задача 2. Найти величины "左。такие, чтобы при перемещениях и^ =夕(力)"左。 (0 < 力'力°) на S и последующей разгрузке, когда внешние силы р^ = /(力)夕左。 (力。， t ，力*), выполнилось условие (*). Здесь 夕(力)и /(力) — заданные функции ⑼=0, з&) = /&) = 1,貝力)，0 (to < t < 力*), /(力*) = 0).
При 力° =力* эти задачи совпадают с аналогичными из [1].
Как показано в [3], при выполнении условий (3) и некоторых ограничений на функции /(力)и д(力)задачи 1 и 2 будут корректно поставлены и их приближенные решения могут быть получены соответствующими итерационными методами. Кро-
ме того, даны верхние оценки для уровня остаточных напряжений, возникающих в теле после разгрузки в момент 力=力*.
В [4-6] были исследованы аналогичные ОЗ для пластин и в [7, 8] — для стержней двойной кривизнн: рассмотрены вопросы корректности и разработаны алгоритмы численного решения, которые были реализованы на конкретных задачах. Кроме того, в [8] проведено сопоставление и получено удовлетворительное совпадение экспериментальных и расчетных данных кручения стержней с квадратными и круглыми сечениями в режиме ползучести при температурах 725 ℃ и 740 ℃ для стали марки Ст. 45.
Случай, когда деформации ползучести отсутствуют, т.е.哈=0 以 瑙 三 /, требует отдельного рассмотрения, поскольку (в отличие от упомянутых выше задач, где зона неупругих деформаций охватывает всю область, занятую телом) пластическая область заранее неизвестна и наряду с другими величинами является искомой. Соответствующие обратные упругопластические задачи для объемного тела и для пластин в предположении справедливости деформационной теории пластичности (или теории течения при некоторых типах внешних воздействий) исследованы в [9, 10].
Заметим, что некоторые из затронутых в этом пункте вопросов более подробно освещены в [11], где приведены ссылки и на более ранние работы.
Задача (й,р) и существенно переопределенные задачи (СПЗ). Задача (五,访 получила свое название в работах [12, 13] и состоит в определении НДС тела, на части поверхности которого заданы перемещения Uk и нагрузки р^, а на другой ее части условия не определены. Подобные задачи могут рассматриваться в различных постановках: упругой, упругопластической, нелинейной вязкоупругой и т. п. Деформации считаются малыми.
Задачи (五，р) возникают при диагностике НДС в действующих объектах и элементах конструкций при избытке информации на части поверхности, доступной для соответствующих измерений, и недостатке информации на другой (недоступной для измерений) части. Например, на свободной от нагрузок поверхности с использованием методов голографической интерферометрии можно замерить полный вектор перемещения; тогда нахождение НДС внутри тела сводится к указанной задаче. Подобная же ситуация имеет место в геомеханике: упомянутые замеры на свободной поверхности подземных сооружений (шахт, тоннелей) позволят сформулировать соответствующую задачу (五,р), решение которой даст оценку полей напряжений и зон разрушений около этих сооружений.
Задача (五,访 в упругой постановке изучалась в [13], где исследовались вопросы корректности и методы решения, связь с задачей аналитического продолжения и с задачей тензометрии. Показано, что эта задача относится к условно корректным и может быть сведена к задаче Коши для бигармонического уравнения (в плоском случае) или для уравнений Ламе, либо для системы Бельтрами- Митчела (в пространственном случае). В [14-17] использовалось представление общего решения теории упругости через голоморфный вектор, удовлетворяющий системе уравнений Моисила-Теодореску; это позволило свести задачу (五,р) к задаче продолжения голоморфного вектора, которая, в свою очередь, приведена к интегральному уравнению, численное решение которого строилось без процедур регуляризации, что обосновано сопоставлением с точным решением тестовой задачи. В [12, 18] рассматривалась идеально упругопластическая задача (гГ, р), где также исследовались вопросы корректности, построения алгоритмов решения и их численной реализации на конкретных примерах (нахождение пластических зон вокруг эллиптических и круговых отверстий при полном и неполном охвате
контуров отверстий зоной пластичности). Аналогичные вопросы для задачи (гГ, р) теории ползучести изучались в [19].
В СПЗ на всей поверхности тела одновременно задаются перемещения и^ и нагрузки рк [20], т. е. с точки зрения классических постановок имеется избыток информации. Однако здесь возникают новые ОЗ, например об уточнении прочностных характеристик однородного тела или о нахождении средних прочностных постоянных неоднородного тела; при этом необходимо указать диапазон внешних нагрузок, когда эти средние значения существуют и единственны. Подобные СПЗ теории упругости рассматривались в [20, 21].
Одной из наиболее сложных является задача выявления неоднородностей в упругом теле по известным векторам 五 и 歹 на его границе. В [14, 22, 23] были получены условия согласования этих векторов, что позволило доказать ряд утверждений, касающихся выделения областей внутри тела, содержащих включения (трещину, жесткое включение или полость, включение с другими упругими постоянными), а также сформулировать условия для определения границ дефекта. Эти результаты были распространены на задачи томографии в произвольных статических потенциальных полях (например, электрических, тепловых и других), связанные с выявлением неоднородностей по аномалиям поля [24]. Сюда, в частности, относится задача томографии численных схем, используемых при решении задач механики деформируемого твердого тела (например, методами конечных элементов и граничных интегральных уравнений), на основе выходных данных программы; здесь понимается выявление дефектов (ошибок) в сетке, оценка точности решения и т. п. [25].
Некоторые ОЗ деформирования и разрушения физически нелинейных неоднородных сред. В работе [26] доказано следующее утверждение, обобщающее известный классический результат Дж. Эшелби: если к линейноупругому пространству с эллипсоидальным физически нелинейным включением на бесконечности приложены равномерно распределенные внешние силы (т. е. поле напряжений на бесконечности однородно), то и внутри включения НДС будет однородным. Конкретные соотношения, связывающие НДС среды и включения, для двумерного случая, т. е. для изотропной упругой плоскости с эллиптическим физически нелинейным включением (ЭФНВ), получены в [27, 28]. При этом ЭФНВ может быть нелинейно-упругим, нелинейно-вязкоупругим, вязкоупругопластическим, проявляющим свойства ползучести или иметь более сложные определяющие уравнения [29], которые можно представить в виде (1), если под е^ в общем случае понимать нелинейные операторы от a^i =。^(力).Доказано, что условия (2), в котором А = 0, достаточно для единственности найденного решения. Рассмотрены некоторые примеры, в частности идеальное упругопластическое включение.
Дальнейшее обобщение подобные ОЗ получили в [30], где исследовалась плоская задача для конечной упругой области S, содержащей физически нелинейное включение (ФНВ) S* произвольной формы, в котором требовалось создать заданное однородное НДС. Решение для функций, определяющих НДС в S и искомые нагрузки на внешней границе L области S, было построено в замкнутом виде и кроме величин, характеризующих НДС в S*, содержало только отображающую функцию 幻，связанную с границей L*, отделяющей S от S*. При этом соответствующее решение для напряжений могло быть продолжено и за L. Например, для ЭФНВ (и только для него) такое продолжение может включать и бесконечно удаленную точку, т. е. при однородном НДС на бесконечности в ЭФНВ также будет реализовываться однородное НДС, о чем говорилось выше.
Заметим, что рассмотренная в [30] ОЗ по существу свелась к задаче (гГ, р) для упругой области S, на внутренней границе L* которой заданы перемещения и нагрузки, а на внешней границе L условия не определены.
Отмеченные выше результаты были распространены в [31] на случай линейной вязкоупругой среды с ФНВ произвольной формы. Отдельно было рассмотрено включение, разупрочняющееся при ползучести, и исследованы обратные задачи о выборе внешних воздействий, приводящих к оптимальным путям деформирования включения (при которых, например, в заданном интервале времени деформации ползучести достигают требуемых значений при наименьшей поврежденности) и его разрушения вследствие ползучести (например, когда требуется разрушить включение в заданном временном интервале при наименьшей затраченной энергии или при заданных в момент разрушения деформациях при наименьшей продолжительности процесса или с минимальными энергетическими затратами).
В работе [32] рассмотрена изотропная линейно-упругая плоскость, содержащая различные ЭФНВ, расстояния между центрами которых велики по сравнению с их размерами. Исследована задача о выборе ориентаций включений (при заданной их форме) и нагрузок на бесконечности, обеспечивающих в каждом включении заранее заданную величину главного касательного напряжения. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи для случая несжимаемой неоднородной среды, находящейся в условиях плоской деформации.
Некоторые новые результаты в этом направлении представлены в [33]. В частности, рассмотрена задача, аналогичная исследованной в [30], но в отличие от последней речь идет о создании в ФНВ произвольной формы заданного неоднородного НДС. Вся область S U S* считается несжимаемой, находящейся в условиях плоской деформации, а определяющие уравнения для S* содержат степенную функцию главного касательного напряжения. Используются некоторые точные решения для неоднородного НДС в S*:
известное осесимметричное, когда S* — двусвязная область, внутренней границей которой является окружность, а внешней — произвольный контур L*;
в односвязной области S* касательное напряжение отсутствует, а оставшиеся два напряжения (или деформации) являются линейными функциями координат Ж1 И力2・
Как и в [30], задача сводится к задаче (гГ, р) для области S, так как на границе L* находятся одновременно нагрузки и перемещения.
Кроме того, в [33] исследована задача об оптимальном деформировании двух различных произвольно ориентированных ЭФНВ, содержащихся в упругой плоскости и находящихся в условиях плоской деформации. Требуется подобрать такие нагрузки на бесконечности, чтобы в каждом включении главное касательное напряжение принимало требуемое значение. В отличие от [32], ориентация ЭФНВ друг относительно друга фиксирована. Получены достаточные условия существования оптимального режима нагружения.
Список литературы
Цвелодуб И. Ю. Обратные задачи неупругого деформирования // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 2. С. 81-92.
Цвелодуб И. Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов. — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991.— 201 с.
Цвелодуб И. Ю. Обратные задачи деформирования нелинейных вязкоупругих тел // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 3. С. 140-151.
Цвелодуб И. Ю. Обратные задачи формоизменения неупругих пластин // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 1. С. 96-106.
Банщикова И. А., Цвелодуб И. Ю. Об одном классе обратных задач формоизменения вязкоупругих пластин // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 6. С. 122-131.
Банщикова И. А. Обратная задача для вязкоупругой пластины // Динамика сплошной среды: Сб. науч, тр / Ин-т гидродинамики СО РАН. 1998. Вып. 113. С. 13-18.
Банщикова И. А., Сухоруков И. В. Прямые и обратные задачи формообразования стержней двойной кривизны в режиме ползучести // Сб. тр. 17-й Межреспубликанской конф, по числ. методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 3-5 июля 2001. Изд. центр Лада, 2001. С. 27-31.
Банщикова И. А., Горев Б. В., Сухоруков И. В. Двумерные задачи формообразования стержней в условиях ползучести // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 3. С. 129-139.
Цвелодуб И. Ю. Обратная упругопластическая задача // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 35-43.
Цвелодуб И. Ю. Обратная упругопластическая задача для пластин // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 4. С. 186-194.
Цвелодуб И. Ю. Обратные задачи деформирования неупругих тел // Прикладные задачи механики сплошных сред: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 1999. С. 318-328.
Шваб А. А. Неклассическая упругопластическая задача / / Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 1. С. 140-146.
Шваб А. А. Некорректные статические задачи теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 6. С. 98-106.
Шваб А. А. О задаче компьютерной томографии, основанной на методе голографической интерферометрии при дефектоскопии упругих тел // Исследования по условной корректности задач математической физики: Сб. науч, тр / Ин-т математики СО АН СССР. 1989. С. 163-170.
Шваб А. А. Решение обратной задачи теории упругости методом граничного интегрального уравнения для голоморфного вектора // Физика Земли. 1994. № 4. С. 62-67.
Schwab A. A. Boundary Integral Equations for Inverse Problems in the Elasticity Theory // Int. J. Elasticity. 1995. V. 4, № 3. P. 151-160.
Schwab A. A. On non-classical problem of tomography in the static potential fields // Int. Symp. on computer appl. in geoscience. September 1992. Beijing. China. P. 256-263.
Шваб А. А. Определение напряженно-деформированного состояния плоскости с отверстием с учетом пластической области по известным смещениям на контуре отверстия // ФТПРПИ. 1981. № 2. С. 14-19.
Шваб А. А. Об определении поля напряжений в неупругом теле по значению векторов нагрузки и перемещений, заданных на части поверхности тела // Динамика сплошной среды: Сб. науч, тр / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1987. Вып. 80. С. 149-158.
Шваб А. А. Существенно переопределенная задача теории упругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2001. Т. 4, № 1. С. 204-207.
Шваб А. А. Интегральный критерий оценки средних модулей квазиоднородной среды // ФТПРПИ. 1999. №6. С. 54—57.
Schwab A. A. On nonclassical problem in static elasticity theory // Computer tomography. VSP. Netherlands. 1994. P. 355-359.
Шваб А. А. Задача дефектоскопии и ее связь с задачами (% р) и с существенно переопределенной задачей // Динамика сплошной среды: Сб. науч, тр / Ин-т гидродинамики СО РАН. 2001. Вып. 119. С. 132-134.
Шваб А. А. О задаче томографии в потенциальных статических полях // Сиб. журн. индустр. математики. 1999. Т. 2, № 1. С. 196-202.
Шваб А. А. Оценка точности численных схем при решении статических задач теории упругости (томография численных схем) // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. науч. тр. IV Всерос. науч. конф. 2001. Т. 2. Новокузнецк. С. 70-72.
Вакуленко А. А., Севостьянов И. Б. Включение с нелинейными свойствами в упругой среде // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. — Л: ЛИСИ, 1991. С. 8-16.
Цвелодуб И. Ю. Физически нелинейное включение в линейно-упругой среде (плоская задача) // Изв. РАН. МТТ. 2000. №5. С. 72-84.
Цвелодуб И. Ю. К определению прочностных характеристик физически нелинейного включения в линейно-упругой среде // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 4. С. 178-184.
Ишлинский А. Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.
Цвелодуб И. Ю. Об одной обратной задаче для упругой среды, содержащей физически нелинейное включение // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 3. С. 424-430.
Цвелодуб И. Ю. Некоторые обратные задачи для вязкоупругой среды с физически нелинейным включением // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 6. С. 983-994.
Цвелодуб И. Ю. Обратная задача о деформировании физически нелинейной неоднородной среды // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 3. С. 125-128.
Цвелодуб И. Ю. Моделирование процессов деформирования // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7. — Вестник КазНУ. № 4 (32). (Совместный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные технологии и матем. моделирование в науке, технике и образовании», Алма-Ата, 18-20 сентября 2002 г.) Ч. 4. С. 258-265.
ДВИЖЕНИЕ МНОГОЗВЕННИКОВ по плоскости
◎. 〃. Черноусько
Институт проблем механики РАН
Введение. Движение змей и других животных, не имеющих конечностей, издавна привлекало внимание ученых в области механики и биомеханики.
Как известно, змеи способны быстро перемещаться в различных направлениях (не только вперед, но и вбок) по поверхностям и в средах с разными физическими и механическими свойствами (рис. 1). Змеи появились на Земле в результате эволюции некоторых пресмыкающихся типа ящериц, которые утратили конечности и смогли реализовать эффективные\/
способы движения за счет длинного, сильного и гибкого тела. Как известно, у некоторых змей даже сохранились небольшие кости, являющиеся рудиментарными остатками исчезнувших конечностей.
Отметим некоторые качественные (с точки зрения механики) отличия движения змей от движения других животных и насекомых, обладающих конечностями.
Живые организмы, обладающие конечностями, перемещаются по поверхности таким образом, что контактируют с ней лишь в отдельных точках. При этом точки контакта тела с поверхностью не остаются неизменными: происходитРис-丄 Змея в пустыне
смена опорных ног при ходьбе и беге. В отличие
от этого, змеи практически постоянно контактируют с поверхностью земли по всей своей длине и поэтому в полной мере испытывают влияние сил трения. Как известно, силы трения, действующие на каждый элемент движущегося тела, направлены против его скорости. Тем не менее для того чтобы змея сдвинулась с места, результирующая сил трения должна быть направлена в сторону движения. Это достигается за счет изгиба корпуса змеи путем создания изгибающих моментов, направленных вертикально, т. е. перпендикулярных опорной поверхности. Заметим, что при ходьбе и беге, а также при движении колесных аппаратов, управляющие моменты приложены вдоль горизонтальных осей, параллельных опорной поверхности.
Исследованию биомеханики движения змей посвящен ряд работ. В работе [1] показано, что тяговое усилие может быть создано за счет опоры змеи на стенки криволинейного канала. Дальнейшей разработке этой схемы движения посвящены работы [2-6].
Классификация движений змей дана в книге [7], где указаны три типа движений, изображенные на рис. 2-4. Движения, показанные на рис. 2, осуществляются за счет опоры тела змеи на гладкие вертикальные стержни. Здесь, как
и в работе [1], тяговое усилие создается за счет нормальных реакций препятствий (стержней или стенок криволинейного канала). Движения, изображенные
Рис. 2. Движение змеи с использованием вертикальных стержнейРис. 2. Движение змеи с использованием вертикальных стержнейна рис. 3, реализуются за счет сил трения о вертикальные прямолинейные стенки. Змея упирается в стенки в средней части своего тела, при этом возникают нормальные реакции и связанные с ними силы трения о стенки, которые и создают тяговое усилие. Подтягивая головную и хвостовую части тела, змея затем меняет точки опоры и снова перемещает вперед центр масс своего тела. Аналогично осуществляется движение змеи в прямолинейной трубке, диаметр которой немного больше диаметра тела змеи. Отличие движений, показанных на рис. 2 и рис. 3, состоит в том, что для движения на рис. 2 важна криволинейность канала, но не существенны силы трения, а на рис. 3 канал прямолинеен, но силы трения играют существенную роль. Движения, показанные на рис. 4, возмож
Рис. 2. Движение змеи с использованием вертикальных стержней
Рис. 2. Движение змеи с использованием вертикальных стержней
60504030201006050403020100Рис. 3. Движение змеи между параллельны- Рис. 4. Прямолинейное движение змеи ми вертикальными стенкамиРис. 3. Движение змеи между параллельны- Рис. 4. Прямолинейное движение змеи ми вертикальными стенкамины лишь за счет продольного перемещения («перетекания») части масс тела змеи вдоль ее корпуса. Вопросам биомеханики змей и других организмов, не имеющих конечностей, посвящена также книга [8].
6050403020100
6050403020100
Рис. 3. Движение змеи между параллельны- Рис. 4. Прямолинейное движение змеи ми вертикальными стенками
Рис. 3. Движение змеи между параллельны- Рис. 4. Прямолинейное движение змеи ми вертикальными стенками
Отметим, что описанные выше типы движений змей не объясняют механизма их перемещения путем изгиба корпуса вдоль плоской поверхности без препятствий. Как известно, змеи всегда стремятся использовать различные неровности почвы и препятствия (камни, ветки и пр.) и избегают плоских ровных участков, хотя и могут перемещаться по ним.
В последние годы интерес к механике перемещения змей усилился в связи с развитием робототехники. В ряде работ [9-15] исследуется кинематика многозвенных аппаратов, имитирующих движение змей. Созданный в Японии мобильный робот [12] представляет собой многозвенный механизм, каждое звено которого снабжено парой пассивных колес. В шарнирах между звеньями действуют управляющие моменты, создаваемые электродвигателями. Этот аппарат способен, изгибаясь, перемещаться вдоль своего корпуса. С точки зрения механики, данный робот представляет собой неголономную систему, причем колеса играют роль, сходную со стенками: они исключают смещение, перпендикулярное плоскости колес.
Данная статья основана на работах [16-21] и суммирует их результаты. В ней рассматривается движение плоских многозвенных механизмов по горизонтальной плоскости. При этом наличие препятствий или колес не предполагается, а взаимодействие механизма с плоскостью осуществляется за счет сил сухого трения, подчиняющихся закону Кулона. В шарнирах многозвенника действуют управляющие моменты, создаваемые двигателями. Показано, что рассматриваемые механизмы могут перемещаться по плоскости в различных направлениях, так что многозвенник может быть приведен в любое заданное положение в плоскости. Исследованы движения механизмов с различным числом звеньев: двумя, тремя и более. При этом для двузвенников и трехзвенников построены способы перемещения, основанные на периодическом чередовании быстрых и медленных движений. Для многозвенников, имеющих более четырех звеньев, предложены волнообразные медленные движения, требующие меньших величин управляющих моментов. Исследовано влияние геометрических и механических параметров многозвенников на среднюю скорость их движения. Поставлена и решена задача оптимизации параметров и режимов движения, при которых достигается максимум средней скорости.
Механические модели. В работе рассматриваются механические системы, состоящие из нескольких абсолютно твердых тел, соединенных цилиндрическими шарнирами. Вся система располагается на горизонтальной плоскости и совершает плоское движение по этой плоскости. Оси всех шарниров вертикальны. В шарнирах расположены двигатели, создающие управляющие моменты относительно осей шарниров. Эти моменты приложены к двум соседним звеньям и являются внутренними по отношению к системе. Единственными внешними силами, действующими на многозвенник, являются силы тяжести и силы реакции плоскости. Примем, что сила сухого трения F, действующая в каждой точке контакта системы с плоскостью, подчиняется закону Кулона:
F = —к|№|о~% при о*0,|F| < k|N| при о = 0. ()
Здесь N — сила нормальной реакции в рассматриваемой точке контакта, к — коэффициент трения в этой точке, v — вектор скорости системы в данной точке. В случае покоя (у = 0) сила трения не определена, но ограничена неравенством.
Введем неподвижную декартову систему координат Oxyz, ось Oz которой направлена вертикально вверх, а плоскость Оху совпадает с плоскостью, по которой движется многозвенник.
Рассмотрим более подробно механические модели многозвенников с различным числом звеньев.
Двузвенник. Двузвенник (рис. 5) состоит из двух абсолютно твердых тел, соединенных цилиндрическим шарниром. Обозначим через О* точку пересечения
Рис. 5. ДвузвенникРис. 5. Двузвенникоси шарнира с плоскостью Оху, через mi — массы твердых тел, через & — проекции их центров масс на плоскость Оху, через & = =O*Ci — расстояния от оси шарнира О* до точек Ci, через / — моменты инерции тел относительно оси шарнира, £ = 1,2. Значения индекса £ = 1,2 отвечают двум твердым телам, которые будем называть корпусом (£ = 1) и хвостом (г = 2) соответственно. Предположим, что шарнир представляет собой точечную массу mg, не входящую ни в одно из двух твердых тел. Это предполо
Рис. 5. Двузвенник
Рис. 5. Двузвенник
жение отражает реальную ситуацию, когда на оси шарнира установлен электродвигатель, создающий управляющий момент и имеющий значительную массу. Таким образом, полная масса двузвенника равна
771 = TTIo + 7711 + 7712 • ⑵
Коэффициенты трения для точек корпуса, хвоста и точечной массы mg обозначим через 航，А и % соответственно. Заметим, что при наличии более чем трех точек контакта тела с плоскостью нормальные реакции не определяются однозначно ввиду статической неопределимости. Поэтому и силы трения также не определяются однозначно даже для движущихся точек (для неподвижных точек эти силы заранее неизвестны и ограничены неравенством (1)). С этой трудностью приходится иметь дело в рассматриваемых задачах.
Управляющий момент, создаваемый двигателем относительно оси шарнира и приложенный к хвосту, обозначим через М. Тогда на корпус действует момент, равный {—М).
Приведем некоторые кинематические и динамические соотношения для двузвенника. Пусть 力о, уо — декартовы координаты точки О*, Н — угол наклона оси корпуса О*Cl к оси Ох, а — угол между осью хвоста QO* 以 осью корпуса О*Cl, см. рис. 5. Тогда координаты точек С^ и Q запишутся в виде
力1 =力0 +。1 cos H, Ui = Уо +。1 sin Н,
(3) 力2 =力0 -。2 cos (H + a), y2 = уо —。2 sin (H + a).
Вычислим, используя соотношения (2) и (3), координаты жс, ус центра масс С всего двузвенника:
⑷⑷хс = xq -\- mim~1ai cos Н — т^т-1^ cos (Н + а),% = Уо + mim-1ai sin Н — т^т-1^ sin " + а).
⑷
⑷
Вводя вектор vq скорости точки О* и векторы 似 угловой скорости тел, i = =1, 2, составим выражение для кинетического момента двузвенника относительно точки О. После элементарных вычислений [19] получим искомую величину кинетического момента в виде
К = т(жо^о — Уо勿о) + miaid^xo cos Н + go sin H) — т^а?^ + &) х
х [ж0 cos " + а) + у。sin " + а)] — miai(勿о sin Н —训 cos Н) +
+ тп2а2[хо sin (Н + а) — у0 cos ” + а)] + J^ + 厶(份 +》)• (5)
Трехзвенник. Рассмотрим плоский трехзвенник О1С1С2О2 на горизонтальной плоскости (рис. 6). Примем для упрощения, что вся масса трехзвенника сосредоточена в его шарнирах Ci и Q
массы mi и в концевых точках Oi и О2
массы mg. Предполагаем, что звенья явля- 歹/
ются абсолютно жесткими, а их масса пренебрежимо мала. Полная масса трехзвен-
ника равна т = 2(то + пи). Звено CiQ/Q
длины 2a вместе с массами, сосредоточен
ными в шарнирах Q и Q, будем называть~
корпусом, а звенья 5。1 и 02c2 длины // 1
вместе с массами концевых точек — конце-/
выми звеньями.О,
На каждую из точечных масс 5, I
& (£ = 1,2) действует сила сухого тре- 0х
ния, причем коэффициенты трения для
масс то и mi равны % и 航 соответственно.
Рис. 6. ТрехзвенникРис. 6. ТрехзвенникУправляющие моменты Mi и ”2 создаются двигателями, расположенными в шарнирах Q и Q. Будем считать, что моменты М] и ”2 приложены к концевым звеньям О1С1 и SQ соответственно, а на корпус действуют моменты ( — Mi)
Рис. 6. Трехзвенник
Рис. 6. Трехзвенник
и (—”2).
Обозначим через ж, у декартовы координаты середины корпуса QQ, через Н — угол наклона корпуса к оси Ох, а через а〃 — углы между корпусом и концевыми звеньями OiCi (г = 1, 2), см. рис. 6.
Координаты хс, ус центра масс С трехзвенника равны
хс = х — m()m~1l (cos-^i — cos^2), 也=户 + 必， г = 1, 2,Ус = У — тит—" (sin^1 — sin%), пг = 2(mo + пи).
⑹⑹Подсчитаем величину К кинетического момента трехзвенника относительно точки О. Получим [16]
⑹
⑹
К = т{ху — ух) + 2(тт1о/2 + mga2 + т^а2)^ +
+ mo/2(di + &2) + иг。/[勿(sin Hi — sin ^2)—沙(cos Hi — cos ^2)] +
+ 7тг()а/份(cos a】+ cosa?) + ттг。/仇(一力 cos % — gsin% + a cos a。+
+ mgl自2(oc cos & + g sin & + a cos a?). (7)
Многозвенник. Предполагаем, что плоский многозвенник состоит из N
одинаковых звеньев, которые являются абсолютно жесткими прямолинейными
стержнями длины а (рис. 7). Массу звеньев считаем пренебрежимо малой по сравнению с массой шарниров, каждый из которых является материальной точкой массы т. Такую же массу т имеют две концевые точки многозвенника. Обозначим все эти точки буквами 儿 £ = =0,1,. .. , N. Между каждой точкой R и горизонтальной плоскостью Оху дей-
口 г7 A “ствует сила сухого трения с коэффици-
Рис. 7. Многозвенник丿丿 尸f
ентом трения, равным к.
В каждом шарнире R (г = 1, 2,.. ., Л^ — 1) приложены управляющие моменты, создаваемые двигателями и направленные по оси Oz. Обозначим через М〃 момент,
действующий со стороны звена Pi-^Pi на звено ПП+i； тогда со стороны звена 兄兄+1 на звено Pi-^Pi действует момент (—MJ, £ = 1,. .., TV — 1.
Движение многозвенников с большим числом звеньев N》5 будем рассматривать в рамках квазистатического приближения. Это означает, что скорости и уско
рения предполагаются достаточно малыми, так что в каждый момент времени
возникающие при движении силы инерции много меньше других сил, в данном случае сил трения. Это условие можно представить в виде двух неравенств:
⑻⑻说а《gk, £оа《gk,
⑻
⑻
где через 幻。и £()обозначены максимальные величины угловых скоростей и угловых ускорений вращения звеньев. Условия (8) для многозвенников с N》5 в дальнейшем предполагаем выполненными. При этом условии уравнения движения сводятся к уравнениям равновесия. Другими словами, при квазистатическом подходе движение многозвенника представляет собой последовательность равновесных состояний, и расчет сил в этом случае осуществляется на основе уравнений статики.
Обозначим через R〃 силу, с которой звено 兄一1兄 действует на точку 兄. Запишем условия равновесия твердого тела, состоящего из точки R и невесомого звена ПП+ь см. рис. 7. На это тело действует сила трения F〃, сила R〃 со стороны звена Р{_\Р* сила (—R〃+i) со стороны звена 兄+1兄+2, а также моменты М〃 и (—M〃+i) со стороны соседних звеньев. Уравнения равновесия рассматриваемого тела имеют вид
F〃 + R〃 - R^+i =0,
М〃 - M〃+i + i\,£+i x (-R〃+i) = 0, i = 1,..., N — 2.
Здесь и далее через r^j обозначаются векторы П% соединяющие соответствующие точки, £" = 0,1,...,М Уравнения (9) справедливы для всех звеньев, кроме крайних. Для крайних звеньев имеем
Fo — Ri = 0, —Mi + год х (—R。= 0,
Fn—i + Ryy—1 - Rn = & Mnt + £n—ln x (-Rn) = &(1。)
Fyy + Rn =。・
Последнее уравнение (10) — это условие равновесия точки Pn・
Из уравнений (9), (10) для сил можно определить силы реакций R〃 в виде
i-l
r〃 = £F£, i = L N.(11)
片0
Аналогично, из уравнений (9), (10) для моментов найдем моменты в шарнирах:
г-1
М〃 = ^2 rj,j+i 义(—R_y+i), i = 1,..., N — 1.
Подставляя в полученное равенство реакции R〃 из (11), получим
г-1
м〃 = ^2 Г«Л 义 F/g.(12)
k=0
Суммируя отдельно уравнения (9), (10) для сил и для моментов, получим условия равновесия многозвенника:
NN-1
£ 玛=0,£ rN,k х 4 = 0.(13)
〃=0k=0
Итак, расчет сил при квазистатическом движении многозвенника можно осуществлять следующим образом. Пусть движение многозвенника задано кинематически, т. е. в каждый момент времени известны скорости всех его точек. Среди этих точек есть движущиеся и неподвижные. Для движущихся точек силы трения Fj однозначно определяются законом Кулона (1). Для неподвижных точек силы трения Fj неизвестны и ограничены неравенством (1). Уравнения (13) представляют собой три скалярных уравнения: два уравнения для сил в проекциях на оси Ох и Оу и одно уравнение для моментов в проекции на ось Oz. Если число неподвижных точек две и более, то число неизвестных компонент сил трения не меньше четырех, и система трех уравнений равновесия не позволяет однозначно определить эти силы. Поэтому возникает следующая задача: требуется установить, имеют ли уравнения равновесия хотя бы одно решение для сил трения, удовлетворяющее неравенствам закона Кулона. Если в некоторый момент времени такого решения нет, то рассматриваемое движение в рамках квазистатического подхода невозможно. Если же в каждый момент времени такое решение имеется, то данное движение реализуемо в рамках квазистатического подхода. При этом силы реакций R〃 определяются по формулам (11), а моменты в шарнирах, создаваемые двигателями, — по формулам (12). Описанный квазистатический анализ некоторых движений многозвенника проведен в [17], см. п. 10.
Элементарные движения. Произвольные перемещения двузвенника и трехзвенника будут строиться как комбинации более простых движений, называемых элементарными.
Элементарные движения (ЭД) начинаются и заканчиваются в состоянии покоя всего механизма. Они характеризуются законами изменения углов в шарнирах: а(%) для двузвенника и &£(力)，£ = 1, 2, для трехзвенника. В случае трехзвенника может изменяться либо один из углов 必(力)，либо оба эти угла. В последнем случае оба концевых звена в элементарном движении вращаются синхронно либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные стороны, так что
a2 ⑴=土a1(力).(14)
Закон изменения величины угловой скорости 幻(力)，равной |&(力)| для двузвенника и \ai(t)\ = |&2(力)| для трехзвенника, предполагается в элементарном движении достаточно произвольным. Требуется лишь, чтобы оба звена трехзвенника в каждом элементарном движении начинали и заканчивали поворот одновременно, а углы а, а】, а? изменялись всегда в интервале (—тг, тг).
Будем различать медленные и быстрые элементарные движения.
В медленных элементарных движениях величины угловой скорости 幻(力)и углового ускорения £(力)=山(力)предполагаются достаточно малыми, так что корпусы двузвенника О*& или трехзвенника QQ остаются неподвижными. Ниже будут приведены условия осуществимости медленных движений.
Обозначим через Т длительность медленного движения, через 幻。и £()— максимальные величины угловой скорости 幻(力)и углового ускорения в этом движении, т. е.
а；о = maxa;(Z), £q — m^x |с^(^)|, 0 < 力 < Т. (15)
В качестве примера медленного движения можно взять движение с кусочно линейным законом изменения угловой скорости, т. е.
幻⑴=£о力 t е [о, т/2],
幻(力)=£о(Т -力)，t е [Т/2, Т]; go = £()T/2. (16)
В быстрых элементарных движениях, длительность которых т достаточно мала (г 《Т), угловые скорости 幻(力)и ускорения £(力)，наоборот, предполагаются большими. При этом величины управляющих моментов (М для двузвенника и М±, М2 для трехзвенника) велики по сравнению с моментами, создаваемыми силами трения:
\M\^m^gk^r. (17)
Здесь т* — характерная масса (наибольшая из масс тел, входящих в состав двузвенника или трехзвенника), g — ускорение силы тяжести, к* — наибольший из коэффициентов трения различных тел о плоскость, /* — характерный линейный размер (наибольшая из длин звеньев).
В силу неравенства (17) при рассмотрении быстрых движений можно пренебречь силами трения. Следовательно, для быстрых движений имеют место законы сохранения импульса и момента количества движения. Так как в начале быстрого движения система покоится, то в ходе этого движения сохраняется положение центра масс системы и равенство нулю ее кинетического момента:
хс = const, ус = const, К = 0. (18)
Построение движений двузвенника. Пусть в начальный момент дву- звенник покоится и представляет собой отрезок, лежащий на оси Ох (состояние 0 на рис. 8). В состоянии 0 имеем Н = а = 0. Опишем последовательность элементарных движений, в результате которой двузвенник переместится вдоль самого себя. Будем для краткости обозначать медленные и быстрые элементарные движения буквами «М» и «Б» соответственно и указывать пределы изменения угла а в каждом элементарном движении (от а° до а1) в виде: а° —> а1. Через /3 С (—тг, тг) обозначим некоторый фиксированный угол.
Следующая последовательность элементарных движений реализует продольное перемещение двузвенника (рис. 8):
1)
М, q : 0 —> /3,
2)
Б,
а : /30,
3)
М, а : 0 ——/3,
4)
Б,
a : -/3 —0,
5)
М, а : 0 ——/3,
6)
Б,
a : -/3 —0,
7)
М, q : 0 —> /3,
8)
Б,
а : /3 —> 0.
ВВрезультате каждого изрезультате каждого измедленных движений, при которых корпус неподви
В
В
результате каждого из
результате каждого из
Ох.О1234Ох.О1234жен, центр масс двузвенника С получает положительное смещение вдоль оси
Ох.
О
1
2
3
4
Ох.
О
1
2
3
4
55Рис. 8. Продольное двиРис. 8. Продольное движение двузвенникажение двузвенникаВ ходе быстрых движений центр масс С неподвижен. Таким образом, центр масс двузвенника за весь цикл восьми движений перемещается вперед вдоль оси Ох. Кроме того, при элементарных движениях происходят боковые смещения центра масс вдоль оси Оу и повороты корпуса, т. е. изменения угла 仇 Однако цикл движений построен таким образом, что боковые смещения и повороты компенсируются, и полное боковое смещение Ад и полный поворот АН за весь цикл восьми движений равны нулю. Это показано в [19] путем использования соотношений (4), (5) и законов сохранения. Таким образом, в результате цикла происходит перемещение двузвенника точно вдоль оси Ох. Полное перемещение двузвенника за цикл определяется формулой [19]
5
5
Рис. 8. Продольное дви
Рис. 8. Продольное дви
жение двузвенника
жение двузвенника
△ж = 8mТщ2a2 sin (/3/2) cos (7/2) sin [(/3 — 7)/2].
(19)
Здесь введены обозначения
)(/?) = /3/2 + A0(^+^-)-1arctg[A+AZ1 tg (0/2)],Ao =m(j2 -j1) +- 7712a2?
4士 =[制j1 +j2)-gg 土 7712a2)空/2.
(20)
Описанный цикл из восьми движений можно повторять любое число п раз.
Выбирая число п, а также угол поворота хвоста /3, можно осуществить любое
продольное перемещение двузвенника.
Средняя скорость продольного движения равна
(21)(21)о = Аж/(4Т),
(21)
(21)
где Аж определено формулами (19) и (20), а Т — длительность медленного движения. Длительность быстрого движения т считается пренебрежимо малой (т《Т).
Напомним, что в ходе медленных движений корпус двузвенника должен оставаться неподвижным, что накладывает определенные условия на скорости и ускорения поворота хвоста. В результате анализа, выполненного в [19] с учетом статической неопределимости, показано, что достаточные условия неподвижности
корпуса при медленных движениях приводятся к следующим двум неравенствам:
厶金。+ M2gk2a2，migZuiai,
_(22)
丿2£0 + ni2gk2a2 + m2a1a2[^ + (s0 + gk2a~1)2]1^2，m^gk^ar.
Пусть угловые скорости и ускорения, т. е. величины 幻。и So? достаточно малы. Тогда условия (22) приобретают более простой вид
m2k2(i2 < mikiai, m2k2(a1 +02)< m0%01.(23)
Если неравенства (23) выполнены, то всегда можно обеспечить неподвижность корпуса, удовлетворяя неравенствам (22) за счет выбора достаточно медленных вращений хвоста, т. е. выбирая малые 幻。и £().
В [19] установлено, что при выполнении условий (23) двузвенник можно переместить из заданного начального состояния в плоскости в любое заданное конечное состояние. Указан конструктивный способ управления, реализующий данное перемещение с любой наперед заданной точностью. Этот способ управления основан на представленном выше цикле продольного перемещения.
Рассмотрим два простых частных случая двузвенника.
Пусть корпус и хвост представляют собой материальные точки массы mi и иг? соответственно, соединенные с шарниром массы то невесомыми жесткими стержнями длины 肉 и g соответственно. В этом случае в соотношениях (20), (22) нужно положить
J] — 7Tzia】， J2 — 7Tz2a2。(24)
Второй случай отвечает двузвеннику, состоящему из двух однородных прямолинейных стержней одинаковой линейной плотности р, соединенных шарниром, масса которого пренебрежимо мала. Стержни соприкасаются с плоскостью по всей их длине, и на каждый их элемент действует нормальная реакция и сила трения, пропорциональные длине элемента. Коэффициент трения каждого элемента равен к. Данная модель схематически представляет собой змею, изгибающуюся в одной точке.
Обозначим длины корпуса и хвоста через 厶 и /2, соответственно. Тогда в принятых выше обозначениях имеем
т〃 — pli, & — /〃/2. / — plf / 3, i — 1,2,то = 0, т = mi + rri2・
Подставляя выражения (25) в соотношения (20), упростим формулы для До и 4±:
(26)(26)40 —倚-^i)(^i + 诊 + 4/也)，
(26)
(26)
4+ =，(厶 +/2)4 -12 ㈠呢,A. = G1 + /2)2.
Достаточные условия осуществимости медленных движений (22), (23) не выполняются при то = 0. Чтобы показать осуществимость медленных движений в рассматриваемом случае, потребовались более тонкие оценки, выполненные в [19]. В результате получено следующее достаточное условие осуществимости медленных движений для рассматриваемой модели двузвенника:
£о砂 + gk0 + (2 + \f^)\j3% +(£0 + 2gklg')专^，gg'i •(27)
Если угловые скорости и ускорения достаточно малы, то условие (27) приводится к виду
/2//1 < ； у14 + 4\/2 -2-V2 = 0,255.(28)
Таким образом, если выполнено простое геометрическое условие (28), то за счет достаточно медленных вращений хвоста, т. е. малых 幻。и So? можно обеспечить соблюдение условия (27). Это гарантирует неподвижность корпуса при медленных движениях.
Построение движений трехзвенника. Покажем, как из элементарных движений сформировать произвольные движения трехзвенника, описанного в п. 4. Примем, что в начальный момент времени трехзвенник покоится, и все его звенья параллельны оси Ох : «1 = «2 — ^ — 0- Будем придерживаться тех же обозначений, что и в п. 7.
Продольное движение (рис. 9).Сначала выполним следующее медленное движение —поворот одного из концевых звеньев на некоторый заданный угол
/3 е (—тг, тг). В обозначениях, принятых в п. 7, имеем: М, «1 : 0 —> /3, а^⑴=0. После этого трехзвенник перейдет из положения 0 в положение 1 на рис. 9. Затем выполним цикл из следующих четырех движений.
Б, а】：/3 —> 0,
М, а] : 0 ——,
Б, а] : —/3 —0,
М, сп :0т 乱
&2 ： 0 —> /3,&2 ： /3 —> 0,&2 ： 0 —> —/3, а? : —/3 —> 0.&2 ： 0 —> /3,&2 ： /3 —> 0,&2 ： 0 —> —/3, а? : —/3 —> 0.В ходе каждого из быстрых движений центр масс трехзвенника остается на месте, а концевые массы смещаются таким об
&2 ： 0 —> /3,
&2 ： /3 —> 0,
&2 ： 0 —> —/3, а? : —/3 —> 0.
&2 ： 0 —> /3,
&2 ： /3 —> 0,
&2 ： 0 —> —/3, а? : —/3 —> 0.
Рис. 9. Продольное движение трехзвенникаРис. 9. Продольное движение трехзвенникаразом, что их ж-координаты уменьшаются. Следовательно, середина корпуса получает положительное смещение вдоль оси Ох.
Рис. 9. Продольное движение трехзвенника
Рис. 9. Продольное движение трехзвенника
При медленных движениях корпус неподвижен, а ж-координаты концевых масс получают положительные приращения. Следовательно, при этом центр масс трехзвенника смещается в положительном направлении вдоль оси Ох. Боковые смещения и вращения корпуса в ходе цикла из четырех движений компенсируется, и в результате трехзвенник смещается как целое вдоль оси Ох. Величина этого смещения, подсчитанная при помощи формул (6) и законов сохранения, равна [16]
(29)(29)△ж = 8тотп~11 sin2 (/3/2).
(29)
(29)
Описанный цикл из четырех движений можно повторять любое число раз. Для того чтобы после выполнения цикла вернуть трехзвенник в исходную линейную конфигурацию, достаточно выполнить медленное движение: M,ai : /3 —> 0, а?= =0.
°1 =°1 =Дж 2ТДж 2Т(30)(30)Среднюю скорость продольного движения можно подсчитать по формуле
°1 =
°1 =
Дж 2Т
Дж 2Т
(30)
(30)
Поперечное (боковое) движение (рис. 10). Вначале совершим медленное движение: М, «1 : 0 —> /3, «2 : 0 —> /3. Затем выполняется цикл из следующих двух движений:
б, Qi: —/3 —> в, а?: /3 —> —8,
M, ai ： /3 ——/3, а? : —/3 —в.
В ходе быстрого движения центр масс трехзвенника остается на месте, а его корпус перемещается параллельно самому себе вдоль оси Оу. При медленном движении, наоборот, корпус неподвижен, а центр масс перемещается вдоль оси Оу. Величина смещения трехзвенника за цикл равна [16]
△g = 4mom-1/ sin /3.(31)
Так как конфигурация трехзвенника после выполнения цикла идентична конфигурации в начале цикла, то этот цикл можно повторять.
Средняя скорость бокового движения равна
。2 = *.(32)
Рис. 10. Поперечное движениеРис. 11. Поворот трехзвенника
трехзвенника
Поворот (рис. 11). Сначала выполняется медленное движение:
М, а] : 0 —^ /31, а? : 0 —^ /31,
а затем цикл из следующих двух движений:
Б, «1 ： /?1 —> /?2, &2 ：仇—> 02,
М, &1 ： /?2 ―> /?1, &2 ： /?2 ―> /?1・
Здесь /31, 02 — углы из интервала (—тг, тг). Цикл можно повторять любое число раз. Чтобы вернуть трехзвенник в исходную прямолинейную кинфигурацию а^ = =а? = 0, достаточно выполнить движение: М, а^ :仇一> 0, а^ ：仇一> 0. Суммарное за цикл описанных движений смещение центра масс трехзвенника равно нулю, а суммарный угол поворота АН зависит от углов 仇，仇 и определен в [16] на основе законов сохранения и формулы (7).
Имея в распоряжении способы продольного и поперечного движений трехзвенника, а также его поворота на месте, можно переместить трехзвенник из заданного начального состояния в любое заданное конечное состояние в плоскости.
При выполнении медленных движений трехзвенника его корпус должен, по условию, оставаться неподвижным. Неподвижность корпуса будет иметь место, если существуют силы трения, удовлетворяющие закону Кулона и обеспечивающие выполнение уравнений равновесия корпуса при вращениях концевых звеньев. Достаточные условия, обеспечивающие неподвижность корпуса при его медленных движениях, выведены в [18]. При этом для продольного и бокового движений эти условия различны, так как вращение концевых звеньев в медленных фазах продольного движения происходит в одну и ту же сторону, а в медленных фазах бокового движения — в противоположные стороны.
Достаточное условие осуществимости продольного движения трехзвенника имеет вид
^ + & + g%/T)2 + &< migki. (33)
Достаточное условие осуществимости бокового движения трехзвенника оказывается менее ограничительным, чем (33), и имеет вид
пг()/，а^ +(£о+ g%/T)2《migki.(34)
Достаточное условие осуществимости поворота трехзвенника совпадает с (33). Если движения совершаются весьма медленно, так что 幻。и £о достаточно малы, то условие (33) упрощается и принимает вид
т()ко(а + /) < mikia,(35)
а условие (34) приводится к виду
moko < miki，(36)
Итак, если выполнено неравенство (35), то осуществляя достаточно медленные фазы движений, т. е. выбирая достаточно малые 幻。и So? можно выполнять продольные движения и повороты трехзвенника. Аналогично, при выполнении неравенства (36) и достаточно малых 幻。и £о возможно осуществление боковых движений трехзвенника.
Оптимизация движений. Средние скорости движения двузвенника (21) и трехзвенника (30), (32) зависят от их геометрических и механических параметров (длин и масс звеньев, коэффициентов трения и др.), а также от режимов движения. Эти зависимости проанализированы в работах [20, 21], где проведена оптимизация средней скорости движения по параметрам механизмов и режимам их движения.
Рассмотрим подробнее продольные движения трехзвенника, предполагая, что угловая скорость его концевых звеньев изменяется по кусочно линейному закону согласно (16). В этом случае для медленных фаз продольного движения имеем
Зо =攀，Со = р-(37)
С учетом соотношений (37), достаточное условие осуществимости продольных движений (33) в рассматриваемом случае принимает вид
[/(2對-1)4 + 产 + р1a-^ а “к],
P = ^T~2^gk0r1.
Зафиксируем массу шарниров mi, длину корпуса 2a и угол поворота /3. Найдем массу концевых точек то, длину концевых звеньев /, длительность медленных движений Т и коэффициенты трения %,航，при которых средняя скорость 力 продольного движения трехзвенника (30) максимальна. Наложенные ограничения включают неравенство (38) и ограничения на коэффициенты трения
& 反 & к+, У & к\& к+・(39)
Здесь к~ и к~^ — заданные положительные числа.
В работах [20, 21] показано, что искомый максимум величины 力 достигается в случае, когда в неравенстве (38) реализуется знак равенства, а оптимальные
значения коэффициентов трения равны
% = k~,自=к+.(40)
Введем характерную скорость о。и время 7g посредством соотношений
Оо = (gak+)i/2, То = a1/2(gk~^)~1/2(41)
и перейдем к безразмерным переменным по формулам
А = //а,// = mi/m0, Т± = Т/То, x = k~/k+,匕=。1/。0・(42)
Тогда рассматриваемая задача оптимизации сводится к максимизации безразмерной скорости 匕，задаваемой соотношением
匕=2A(从 + l)-1^1 sin2(/3/2),(43)
по положительным параметрам A, 〃，Ti при ограничении
\16^T^X2 +(4/3Tf2A + X)2]1/2 + (4/3772A 十 丫从=从.(44)
Соотношение (43) вытекает из (29) и (30), а ограничение (44) следует из неравенства (38), в котором знак неравенства заменен на равенство. При этом также использованы соотношения (37), (41) и (42).
Поставленная задача оптимизации решалась численно [20, 21]. Некоторые результаты представлены на рис. 12-15, на которых максимальная скорость 匕 и оптимальные значения параметров А,从 и Ti показаны как функции угла /3 (в радианах). Эти данные соответствуют следующим значениям параметра: х — =к~/к+ = 0; 0,2; 0,5; 1, указанным на рисунках.
Отметим некоторые свойства оптимальных решений, вытекающие из полученных численных результатов. Максимальная скорость 匕 и длительность медленного движения Ti существенно зависят от угла поворота /3 и возрастают с ростом /3. При /3 —> 2 наступает насыщение. Оптимальное значение А также возрастает с ростом угла /3, а оптимальное значение 从 слабо зависит от /3.
Все оптимальные параметры существенно зависят от отношения коэффициентов трения х = k~/k+. Скорость 匕 и оптимальные значения А и Т] убывают, а 从 возрастает с ростом %.
Необходимая величина управляющих моментов М, задаваемая условием (17), может быть оценена следующим образом:
\М\ 〜l^m^gk^l. (45)
Заметим, что выше использовано достаточное условие осуществимости медленных движений (33) или (38) в качестве ограничения в задаче оптимизации. Строго
у, radу, radу, radу, radРис. 14. Оптимальное значение 从= =Ш1 / ШоРис. 14. Оптимальное значение 从= =Ш1 / ШоРис. 15. Оптимальное значение Ti
у, radу, rad
у, radу, rad
Рис. 14. Оптимальное значение 从= =Ш1 / Шо
Рис. 14. Оптимальное значение 从= =Ш1 / Шо
говоря, вместо него следовало бы использовать необходимое и достаточное условие, которое трудно получить в явном виде. Однако результаты компьютерного моделирования, основанные на численном интегрировании полной системы нелинейных дифференциальных уравнений движения, показывают, что используемое достаточное условие близко к необходимому. Поэтому полученные результаты близки к оптимальным.
В качестве числового примера рассмотрим трехзвенник с параметрами а = =0,2 м, mi = 1 кг. Оптимальные размерные параметры продольного движения для некоторых значений коэффициентов трения и угла /3 представлены в табл. 1.
Аналогичные результаты получены для оптимальных боковых движений трех- звенника [21], а также для движений двузвенника [20].
Из полученных результатов следует, что оптимальная скорость продольного движения трехзвенника может быть оценена формулой
01 〜0,l，gak+ .(46)
Максимальная скорость бокового движения оказывается в несколько раз больше.
Для двузвенника максимальная скорость его продольного движения примерно в два раза меньше, чем 力 из (46). Это различие легко объясняется тем, что
Таблица 1. Оптимальные параметры продольного движения
к~/к+
0,2/0,2
0,1/0,5
0,2/1
0,5/1
0/1
60
60
90
60
90
厶m
0,32
0,57
0,64
0,4
ОО
Шо, кг
0,17
0,40
0,39
0,26
1
m = 2(mo + mi), кг
2,34
2,80
2,78
2,52
4
Ti, с
0,77
1,10
1,08
0,49
ОО
Vl, м/с
0,030
0,075
0,167
0,084
0,28
трехзвенник имеет два двигателя, в то время как у двузвенника есть только один двигатель.
Отметим некоторые качественные отличия между оптимальными параметрами трехзвенника и двузвенника. Для трехзвенника оптимальная длина / концевых звеньев больше половины длины а его корпуса: / > а, см. рис. 13. В то же время оптимальная длина。2 хвоста двузвенника меньше половины длины его корпуса: 。2 < 01/2.
В целом, выигрыш в средней скорости движения за счет оптимизации длин и масс звеньев трехзвенника и двузвенника весьма значителен, до 50 % и более.
Движение многозвенника. Рассмотрим движения многозвенника с N звеньями, механическая модель которого описана в п. 5. Будут представлены два типа волновых квазистатических движений [17]. Движения предполагаются достаточно медленными, так что выполнены условия (8).
В начале и в конце каждого типа движений многозвенник имеет прямолинейную форму и располагается вдоль оси Ох. Его последовательные конфигурации для двух типов движений изображены на рис. 16, 17.
На первом этапе движения с тремя подвижными звеньями (рис. 16) концевая масса Pq движется по оси Ож, причем точки 儿分》2, остаются неподвижными. Угол а между осью Ох и звеном PqPi монотонно возрастает от 0 до некоторого фиксированного значения а。е (0, тг/2), см. состояния а, 6, с на рис. 16. На следующем этапе звенья Л)В, RB и 巳 R вовлекаются в движение. Угол а монотонно убывает от а。до 0, а угол /3 между звеном 马R и осью Ох монотонно возрастает от 0 до «о? см. состояние d на рис. 16. В конце этого этапа многозвенник приходит в состояние е на рис. 16, при этом звенья Р、Р? и Р2Р3 образуют равнобедренный треугольник Pi Р? Рз, конгруэнтный треугольнику Ри Р\ Р? в состоянии с, но с вершиной, обращенной в противоположную сторону. При этом все точки, кроме 马， лежат на оси Ох. На следующем этапе в движение вовлекаются звенья RB, Р2Р3 0 РзРа・ Этот этап аналогичен предыдущему, с той лишь разницей, что смещения точек вдоль оси Ох имеют знаки, противоположные знакам соответствующих смещений на предыдущем этапе. Продолжая этот процесс, заметим, что после каждого этапа все шарниры, кроме одного, лежат на оси Ох, и этот шарнир является вершиной равнобедренного треугольника с углом а。при основании. Треугольник постепенно смещается вправо, а его вершина оказывается попеременно по разные стороны от оси Ох. Наконец, точка Pn—i становится вершиной такого треугольника, см. состояние / на рис. 16. На последнем этапе точка Pn движется вправо по оси Ох. Угол при основании треугольника Pn—zPn—'Pn уменьшается от а。до 0, и многозвенник выпрямляется, см. состояние g на рис. 16.
0000000аО 12N0000000аО 12N0000000gОN0000000gОNbbddРис. 16. Движение многозвенника Рис. 17. Движение многозвенника с чес тремя подвижными звеньямитырмя подвижными звеньямиРис. 16. Движение многозвенника Рис. 17. Движение многозвенника с чес тремя подвижными звеньямитырмя подвижными звеньями
0000000а
О 12N
0000000а
О 12N
0000000g
ОN
0000000g
ОN
b
b
d
d
Рис. 16. Движение многозвенника Рис. 17. Движение многозвенника с чес тремя подвижными звеньямитырмя подвижными звеньями
Рис. 16. Движение многозвенника Рис. 17. Движение многозвенника с чес тремя подвижными звеньямитырмя подвижными звеньями
В результате полного цикла движений многозвенник перемещается вдоль оси Ох на расстояние
L = 2a(1 — cos а。).(47)
При движении многозвенника с четырьмя подвижными звеньями первый этап протекает точно так же, как в предыдущем случае (состояния а-с на рис. 16 и 17 идентичны). На следующем этапе в движении участвуют звенья 马鼻，В马，马В и Р3Р4. Точка 马 движется вправо по оси Ох. При этом угол а в основании равнобедренного треугольника Р0Р1Р2 монотонно убывает от а。до 0, а угол /3 в основании треугольника Р2Р3Р4 монотонно возрастает от 0 rдо а。，см. состояние d на рис. 17. В конце этапа все шарниры многозвенника, кроме R, оказываются лежащими на оси Ох, см. состояние е на рис. 17. Продолжая этот процесс, продвигаем вправо вдоль оси Ох волну в виде равнобедренного треугольника с углом а。 при основании. При этом вершина треугольника попеременно оказывается то по одну, то по другую сторону от оси Ох. Конечные этапы процесса несколько отличны для четного и нечетного N, см. состояния f-i на рис. 17. В результате, многозвенник в обоих случаях выпрямляется. Полное его перемещение за цикл снова определяется формулой (47).
Сравнивая два типа волнообразных движений, отметим, что движение с тремя подвижными звеньями несколько проще. Однако в этом движении углы между звеньями оказываются несколько больше, чем в случае четырех подвижных звеньев [17]. Другими словами, при одном и том же полном перемещении, задаваемом формулой (47), движение с тремя подвижными звеньями требует более интенсивных изгибов многозвенника.
Выше описана кинематика волнообразных движений. В [17] в рамках квази- статического подхода проанализирован баланс сил и моментов в этих движениях. В соответствии с подходом, описанным в конце п. 5, установлено, что оба описанных типа движений реализуемы, т. е. во всех фазах движения существуют силы трения, удовлетворяющие одновременно уравнениям равновесия (13) и закону Кулона (1).
Единственным условием реализуемости движений является достаточно большое число звеньев многозвенника: число звеньев должно быть не менее пяти (N》 》5) для первого типа движений (с тремя подвижными звеньями) и не менее шести (N》6) для второго типа движений (с четырьмя подвижными звеньями).
Заметим, что если число звеньев N достаточно велико, то по многозвенни- ку может распространяться одновременно несколько волн рассмотренных выше типов. Когда первая волна с тремя или четырьмя подвижными звеньями продвинется достаточно далеко вперед, в задней части многозвенника может начать формироваться новая волна того же самого или другого типа. Эта волна будет двигаться по многозвеннику вслед за первой. Таких волн может быть несколько. Таким образом, средняя скорость продольного перемещения многозвенника как целого может быть увеличена в несколько раз.
Используя формулу (12), можно оценить потребную величину моментов в шарнирах для рассматриваемых движений. Оказывается, что для обоих типов движения имеем [17]
\М\ < 2mgka. (48)
Сравнивая эту оценку с соотношением (17) для быстрых движений двузвен- ника и трехзвенника, видим, что для квазистатических движений многозвенника требуются значительно меньшие потребные величины моментов.
Можно показать, что рассматриваемый многозвенник может выполнить разворот в плоскости, осуществляя только квазистатические движения. Поэтому многозвенник может переместиться в любое положение в горизонтальной плоскости.
Заключение. Исследованы возможные движения плоских многозвенных механизмов по горизонтальной плоскости. Эти движения происходят под действием сил трения механизмов о плоскость и моментов сил, развиваемых двигателями, установленными в шарнирах. Показано, что многозвенники с небольшим числом звеньев (двумя, тремя) могут перемещаться, чередуя медленные и быстрые фазы движений. Если же число звеньев достаточно велико (более пяти), то многозвенник может передвигаться, осуществляя только медленные (квазистатические) движения. Оценены перемещения и скорости многозвенников, а также необходимые для реализации рассматриваемых движений величины моментов, развиваемых двигателями. Выполнена оптимизация геометрических и механических параметров механизмов с точки зрения достижения максимальной средней скорости движения.
Предложенные способы движения прошли экспериментальную проверку в Институте проблем механики РАН и в Техническом университете г. Мюнхена, где были созданы макеты соответствующих аппаратов. Экспериментальные данные подтверждают результаты теоретических расчетов.
Рассмотренный принцип движения представляет интерес в связи с созданием мобильных роботов. К достоинствам этого способа относятся простота конструкции механизма, небольшое число степеней свободы, малое число (один-два) необходимых двигателей, простота законов управления. Размеры такого робота могут быть малыми, а его вертикальные размеры лимитируются только разме-
рами двигателей. Для сравнения отметим, что вертикальные размеры колесных и шагающих роботов лимитируются, соответственно, диаметром колес и длиной ног. Поэтому рассматриваемые в работе механизмы могут служить прототипами минироботов, способных перемещаться в узких щелях, трубах, в помещениях, где имеется технологическое оборудование и другие препятствия. Конечно, для создания таких роботов предстоит решить целый ряд научных и технических задач.
Отметим некоторые возникающие в связи с этим задачи механики.
В механизмах рассматриваемого типа можно предусмотреть возможность рекуперации энергии при помощи упругих элементов (пружин). Запасая часть энергии на одних фазах движения и затем высвобождая ее, можно существенно улучшить энергетические характеристики механизмов.
Представляет интерес рассмотрение систем с распределенными параметрами. Такие системы могли бы лучше имитировать движения змей.
Для преодоления препятствий рассматриваемые механизмы следует снабдить дополнительными степенями свободы, позволяющими им выходить из плоскости. Это потребует исследования движений многозвенных пространственных механизмов.
Представляют интерес механизмы, в которых комбинируются различные принципы движения и которые состоят из звеньев (стержней) и колес. Такие механизмы могут обладать широкими возможностями перемещения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 02-01-00201) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ НШ-1627.2003.1.
Список литературы
Лаврентьев М. А., Лаврентьев М. М. Об одном принципе создания тяговой силы для движения // Журнал прикладной механики и технической физики. 1962. № 4. С. 3-9.
Kuznetsov V. М., Lugovtsov В. A., Sher Y. N. On the motive mechanism of snakes and fish // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1967. V. 25, № 5. P. 367-387.
Кузнецов В. M., Луговцов Б. А., Шер E. H. О механизме движения ужей и рыб // Динамика сплошной среды. 1969. Вып. 1. — Новосибирск: Наука. С. 207-233.
Шер Е. Н. О механизме движения ужей и рыб // Некоторые проблемы математики и механики. — Ленинград: Наука, 1970. С. 82-88.
Литвинцев А. И., Пятницкий Е. С. Динамика и управление многозвенным транспортным механизмом // Автоматика и телемеханика. 1993. № 1. С. 141-153.
Журавлев В. Ф. Об одной модели механизма движения змеи // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, Вып. 4. С. 534-538.
Gray J. Animal Locomotion. — N. Y.: Norton, 1968. — 479 p.
Добролюбов А. И. Бегущие волны деформации. — Минск: Наука и техника, 1987.— 142 с.
Hirose S., Morishima A. Design and control of a mobile robot with an articulated body // International Journal of Robotic Research. 1990. V. 9, № 2. P. 99-115.
Chirikjan G. S., Burdick J. W. Kinematics of hyper-redundant robot locomotion with applications to grasping // Proc. 1991 IEEE Intern. Conf, on Robotics and Automation. Sacramento. — Washington: IEEE Comput. Soc. Press, 1991. V. 1. P. 720-725.
Burdick J. W., Radford J., Chirikjan G. S. A «sidewinding» locomotion gait for hyper- redundant robots // Proc. 1993 IEEE Intern. Conf, on Robotics and Automation. Atlanta. Piscataway. — N. Y.: IEEE Service Center, 1993. V. 3. P. 101-106.
Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-like Locomotors and Manipulators. — Oxford: Oxford University Press, 1993. — 220 p.
26 Проблемы механики
Ostrowski J., Burdick J. Gait kinematics for a serpentine robot // Proc. 1996 IEEE Intern. Conf, on Robotics and Automation. Minneapolis. — N. Y.: IEEE, 1996. V. 2. P. 1294-1299.
Bayraktaroglu Z. Y., Butel F., Pasqui V., Blazevic P. A geometrical approach to the trajectory planning of a snake-like robot // G. S. Virk, M. Randall, D. Howard (eds.), Proc. Second Intern. Conf, on Climbing and Walking Robots CLAWAR 1999. Portsmouth. P. 851-856.
Bayraktaroglu Z. У., Blazevic P. Snake-like locomotion with a minimal mechanism // M. Armada, P. Gonzalez de Santos (eds.), Proc. Third Intern. Conf, on Climbing and Walking Robots CLAWAR 2000. Madrid. P. 201-207.
Черноусько Ф. Л. Движение многозвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, Вып. 1. С. 8-18.
Черноусько Ф. Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, Вып. 4. С. 518-531.
Черноусько Ф. Л. О движении трехзвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 15-20.
Черноусько Ф. Л. Управляемые движения двузвенника по горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 4. С. 578-591.
Смышляев А. С., Черноусько Ф. Л. Оптимизация движений многозвенников по горизонтальной плоскости // Известия АН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 176-184.
Chernousko F. L. Snake-like locomotion of multilink mechanisms // Journal of Vibration and Control. 2003. V. 9, № 1-2. P. 235-256.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ЛУЧЕЙПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХСРЕДАХ
А. В. Чигареву Л. Н. Беляцкая
Белорусский национальный технический университет
Рассмотрим неоднородное упругое полупространство, ограниченное поверхностью 力з = / (力 1,力2)・ Пусть мгновенно вдоль оси 力2 произошел скачок напряжений. В этом случае вдоль оси х± на ±оо будут распространяться поверхностные волны.
Другой возможный вариант возбуждения поверхностных волн скачка напряжений состоит в том, что мгновенно вдоль оси 力2 создается сдвиг, например с помощью пьезоэлектриков. Вне зависимости от способа возбуждения волны рассмотрим вопросы, связанные с дальнейшим распространением таких волн по границе неоднородного полупространства.
Уравнения, описывающие распространение поверхностных волн скачков напряжений. Рассмотрим неоднородную изотропную среду, упругие модули которой зависят от пространственных координат. Пусть среда имеет достаточно гладкую свободную границу S (рис. 1). С поверхностью S свяжем систему координат хп. Распространение волн описывается уравнениями
^aij - рщ = 0,£ = 1,2,3.(1)
^ij ~ AV/-U Qij ~h 〃 (VjUj ~h Vj U{ ) ,(2)
A = А (жп),从= 〃(M), p = p{xn).
aijn^ =0, xn G S.(3)
Здесь aij — тензор напряжений, Ui — смещения, p{x) — плотность среды, A(力),〃(力)—упругие модули, Qij — метрический тензор системы координат хп, выбранной следующим образом: ж1, ж2 — криволинейные координаты на S,力— расстояние по нормали к S вглубь тела, В — контравариантная, a Vj — ковариантная производные в метрике хп.
Фронты объемных волн распространяются в виде поверхностей Е^^, а поверхностных —в виде линий Lt е S. На Е^^ и Lt терпят разрыв напряжения, скорости.
Обозначим [/](k), к = 1,2 — скачок функции / на поверхности Е^\ в объеме среды, [f]s — разрыв / на линии Lt С S.
Скачок S/jUi на поверхности S ищем в виде
laij] — X $ Qij + М ( \Niuj]s + \NjU г] g) •⑷
Здесь и далее индекс (1) относится к соотношениям на продольной, а (2) на поперечной объемных волнах.
Рис. 1. Схема расположения системы криволинейных координат на свободной поверхности S луча s, начальной линии скачка напряжений 厶。и линии фронта поверхностной волны Lt в момент времени t, F, т — векторы нормали и касательной к Lt, 5 — свободная поверхность
Применяя операцию [/] скачка к уравнениям (3), (2), получаем 匕£儿夜=0,⑸
匕£儿=X Rk"] 6 Q" +〃([▽〃"儿 + \УjUi\s) •
Соотношения (5) с учетом (4) и условий совместности первого порядка \^iUj\ = = ^i^j\^ [10] на поверхностях Е^\ где 幻步 — \упщ\ 〃九|(令 〃戶 —компоненты нормали к 夕产，записываются в форме
入及Dе +从з3" +g"勿)几"I⑴+ M 33" +g"勿)1(2)— °・⑹
Расположим систему координат хп следующим образом: координата ж1 направлена по поверхностному лучу, ж2 характеризует точку на L幻 а вектор нормали п имеет контравариантные составляющие (0, 0,1).
Тогда в точках S имеем
£4)= 〃2出=0(7)
На поперечной волне 幻“丨⑵ =0 и, следовательно, для ко- и контравариантных компонент волнового вектора получаем
g1 = -k"$)c, 以 3 = 4"，)0-1,
g1 = -4〃3(2)0-1, зз _ k"；2)c.()
На продольной волне
“=n«D, J=n%.(9)
I1
Здесь 幻=(“а/)*, k =(伤»)^)— интенсивности объемных волн, определяемые как модули волновых векторов 吟 '.
При получении (8) учитывалось, что в точках S: Qu = с2, Q33 = 1, Q13 = 0, где с — скорость распространения фронта Lt вдоль поверхностного луча на S.
С учетом (7)-(9) выражение (6) запишется в виде
2幻(г/%)⑴ + к (г/% - 〃з〃з)⑵。一1 = 0,
幻(А + 2〃〃з〃з)⑴ + 2к〃 (炉％)(2)°т = °・
Условие существования ненулевых решений системы имеет вид
4从唱)々2)唱产3⑴ 一(X + 24〃з〃3)⑴(1/% 一 "3〃3儿)=0.(10)
Связь между физическими Mj, M и криволинейными составляющими вектора нормали 〃出 осуществляются по известным формулам
_ 11
= Ni {Qii} 2 ‘ 吃⑴=N& (Qc£)2 ,
沙；2) = Mj(Q G 2, 〃“2)= ”£(Q££)2,
а для физических составляющих при с ＜。出 имеем
1
М = с(1)с-1, %з = £ {扇产-2 _ 1}2 , N2 = 0,
1
"1 = 0(2)0? ”3 =分{唸。一2 _ 1}2，”2=0.
С учетом (11) представим △ в (10) в виде
211
△ = (%j - 2L2)-4с-2 (扇)。一2 — 1)2 (唸产-2 — 1)2 = 0(12)
Уравнение Релея (12) определяет скорость с распространения поверхностной волны.
Обозначим через х ——интенсивность поверхностной волны. Она связана с 幻 и к формулами
幻=—(〃i〃i — I/%)⑵務—\ k = 2 (J%)⑵ ％.(13)
Получим уравнение для изменения х вдоль поверхностного луча. Для этого запишем динамические условия совместности второго порядка на S:
2
血儿疗=о,血儿=£廿订•]出・(14)
k=l
応J(k)= X IVn犷](k) Qu + 从(IV£"J(k)+ [▽■?心〕(k)) •(15)
и кинематические условия на поверхностях Е^\ заданных в параметрическом виае d = d (恥)，联)")：
[▽也"(к) = (―&蚀)+ 礬)〃厂。(k)ga“jQ — g^X^^iC^\W °(16)
Здесь характеристические величины второго порядка
определяются по формулам
齿6 =齿九沙九% + 3,agaBxiB -齿6 =齿九沙九% + 3,agaBxiB -20c⑴g "/£万e⑴,a"20c⑴g "/£万e⑴,a"(х + м)(х + м)(1)(1)с , .n —.М^п^ — 一“\ag岔nf3 一с , .n —.М^п^ — 一“\ag岔nf3 一2/?q2)g "优万 С(2),а&п2/?q2)g "优万 С(2),а&п(х + м)(х + м)⑵⑵从m&^) (X + M)从m&^) (X + M)(17)(18)(17)(18)
齿6 =齿九沙九% + 3,agaBxiB -
齿6 =齿九沙九% + 3,agaBxiB -
20c⑴g "/£万e⑴,a"
20c⑴g "/£万e⑴,a"
(х + м)
(х + м)
(1)
(1)
с , .n —.М
^п^ — 一“\ag岔nf3 一
с , .n —.М
^п^ — 一“\ag岔nf3 一
2/?q2)g "优万 С(2),а&п
2/?q2)g "优万 С(2),а&п
(х + м)
(х + м)
⑵
⑵
从m&^) (X + M)
从m&^) (X + M)
(17)
(18)
(17)
(18)
В формулах (16)-(18) g。。=力々力£万,力£万=^g, греческие индексы принимают значения 1, 2, а латинские — значения 1, 2, 3. Производная I определена в [11].
Подставляя (16) в (14), (15) и учитывая (17), получим систему неоднородных уравнений относительно 2 =(幻£0/)@), 4 =(你以"总)：
m{2e（1）2 （戸以）⑵ +С（2）去（戸以一炉沙3）（2）。-1} = R，
（19）
°⑴齿（Л + 2〃〃з炉）⑴ +2c（2）k （炉％）（2）°т =马，
Pi® k) = Pi {^(1) (5，必2) (k)}
гдегде
где
где
R =笈1 + (力3万〃1 + 力^〃з)(1)кВ + 〃3(2)J〃[^),马=з3 + 2(力30〃3)6 K° + AJ,
2
m=疗£ {XQM + м (4 + Q辺弘3}出，
K^ = 〃。⑴g“° {",a + (X + 2〃)q N & + 从)T}⑴，
J —从°⑵{g”"#^ ^^n,a + M,ct^n (X + 从))—N,n3n (A + 〃)}.
Определитель системы (19) в силу (12) равен нулю. Для существования решения системы (15) необходимо и достаточно выполнения условия
2R ® 及)(戸以)⑵-02 ® k) (〃i〃i -炉沙з^2)= 0-(20)
Перейдем в соотношениях для Qi и Q2 0T координат 沙；左),у^ и производной ^, связанных с k-й поверхностью Е^\ к единой системе, определяемой геометрией кривой Lt и поверхности S.
Уравнение переноса для 幻 имеет вид
—13& с I 1 31пс(к)_ с
Re 瓦—а®" + 2 幻公=°*
Здесь П(к)— средняя кривизна фронта Е^\
Введем в рассмотрение уровень интенсивности X = |1п ^|, тогда с учетом формул (13) уравнение переноса для X запишется в виде
dX 1 d In g^ vv cdX o 1 dXn'O n
ds 4 ds2 dsds2 ds(21)
X(0) = X。，
3 二 2L4“[5N]2 0 _ M2yl x
x {27И^ + 7И汽心-2Mf) - 3^M^ (1 + M^)}.
Здесь -— = —— — производная вдоль поверхностного луча, g22 — компонента as cot
первой квадратичной формы поверхности Lt.
Решение (21) запишется в виде
11
X = Хо (g骤)g22(s)T)4 (瓦戸1)2 , где g£)= g卽0),瓦=3(0).(22)
В уравнение (21) входит величина gg，определяющая геометрию фронта поверхностной волны (расходимость поверхностных лучей).
Уравнения для параметров геометрии фронта и лучей поверхностной волны, стохастизация поверхностных лучей, переход к вероятностному описанию. Рассмотрим неоднородное изотропное упругое полупространство ж3，0, ограниченное свободной плоскостью ж3 = 0. Наличие граничной поверхности допускает существование в среде неоднородных волн. Под неоднородной волной первого порядка будем понимать однопараметрическое семейство ориентированных поверхностей X幻 на которых перемещения непрерывны, а их производные могут терпеть разрыв. На 厶 выполняются динамические, кинематические и геометрические условия совместности. В рассматриваемой среде существуют продольные и поперечные волны 風“)(а = l,t или 1, 2), которые распространяются в направлении своих нормалей со скоростями с； = (X + 2/z)p-1 и с；=从。一、 При выполнении определенных условий на поверхности ж3 = 0 могут существовать поверхностные волны. Под поверхностной волной понимается однопараметрическое семейство действительных кривых L幻 на которых перемещения непрерывны, а их первые производные терпят разрыв. Кривая Lt может рассматриваться как линия пересечения объемной цилиндрической волны с плоскостью ж3 = 0, поэтому из уравнений для параметров внутренней геометрии фронта объемной волны [12] получим как частный случай уравнение для g22, характеризующее расходимость поверхностных лучей
@22 — 4aq22,(23)
где Q — средняя кривизна цилиндрической поверхности с направляющей Lt.
Аналогично [12] получаем уравнение для Q:
^ = 2Q2 +g22c-1c,22, где。-%,22 =也22 + %.(24)
Уравнения (23), (24) при заданных начальных условиях
口(。0)— a。，g22(bo) — g?2(25)
определяют изменение параметров геометрии кривой Lt в процессе распространения в зависимости от координат точек луча.
Координаты точек луча удовлетворяют соотношениям
^ = 2 方=—g22R,2 也 2, r(0) = Го, »(0)=»0・(26)
Здесь г = Г(Ж1,力2)= г(сг, и2) — радиус-вектор точек на S;力i,力2 — декартовые координаты на поверхности; » — нормаль к & в плоскости S.
Из (23), (24), (26) следует, что координаты точек поверхностного луча удовлетворяют нелинейным уравнениям с переменными коэффициентами. Волноводный характер лучей и их устойчивость определяются конкретной моделью неоднородности. Возможно такое распределение неоднородности, что поведение луча в детерминированной среде становится стохастическим и необходимо переходить к вероятностному описанию волнового процесса.
Выведем условия, при которых учет нелинейности в уравнениях (23), (24), (26) ведет к стохастизации лучей.
Рассмотрим луч в плоскости 力 10力2・ Обозначим 力i =力,力2 = У и перейдем от параметрического задания к явному в виде у = д(с). Неоднородность среды в плоскости определяется скоростью с = с(力，у) или коэффициентом преломления п(ж, у) = сос-1(ж, у).
Из условия минимума функционала Ферма получаем уравнения Эйлера (26), которые преобразуем к виду
岁一沙(1 +力)九(力,g)+ /2(力,g)(1 +沙2) = 0,(27)
fl — 一С С,х ?/2 — 一С Qg・
Пусть в однородной среде ось ж (у = 0) является лучом. Рассмотрим распространение волны в неоднородной среде в направлении оси ж, тогда луч у(力) представляет отклонение луча от оси волновода у = 0 вследствие неоднородности:
Разложим функции Д, /2 в окрестности оси ж:
川力,g)=#(力,0) + 犬，力,0)g+ ^#g2(力,0)力+
^^fly^^W^^^.y^ 分=12 (28)
Подставим /2 из (28) в (27). Пренебрегая членами с 犷，получим
y^yfi- f2 - У fly - I f；,『y2 — ^ 段 уздЗ = £尸(力,力(29)
где £ — малый параметр.
Если ось ж является экстремалью, то g = 0 удовлетворяет уравнению (29) и, следовательно,
疗=0，fly > 0 при д = 0.(30)
Таким образом, флуктуации у луча от прямой у = 0 за счет неоднородности в рассматриваемом приближении удовлетворяют уравнению
y-yh- у fly - ¥ 疗疗一^ 段и = £尸闻力(31)
где F(x, у) — остаток ряда разложения в формулу Маклорена /2(力,У)по у до дЗ включительно.
Положим в (31)
% =/弘2 三 0,段уЗ = -аоЛ /1=0 или 九= b£・(32)
Это соответствует представлению In п(ж, у) в виде
1пп(ж, g) = In 几(у) +。(力，g), In 几(g) = -ш2у2 - аз2g%(33)
При /1 = 0 отсутствует непрерывное изменение неоднородности вдоль оси волновода ж, но возможно кусочно-постоянное:
v(x, у) = £ 0 (ж — пХ).(34)
Тогда
九=£ £ 6(力一汽X).(35)
Полагаем, что П《幻，£《1.
Таким образом, между точками ж = пХ (п = —оо, . . . , оо) отклонение луча от оси волновода удовлетворяет уравнению 岁 + / (1 + ау2^ у = 0.
На всей оси ж уравнение Дуффинга имеет вид
岁 + J (1 + ад?) у = £ш ^26 (х — 4Х).(36)
С точностью до членов порядка а решение уравнения (36) запишем в виде [13]
у = A cos [(幻 + An)力 + g], An = I aA%.(37)
Подставляя (37) в (36), аналогично [13] получим уравнения для Аи(рв конечных разностях в виде
^n+1 = {^n + кП sin 29九},4九+1 = 4九(1 + ^ £ sin 29九),
.(38)
Kn = £^шпТ = - а4^£^・
Вычислим корреляционную функцию Rm для 夕九 по формуле [13]
J (^n+m — (^n+m)) (^п —〈屮7г〉) d屮九
Rm 二 °Z (39)
](夕九一(夕九〉)d(pnо
С помощью корреляционной функции Rm находится условие стохастизации траектории луча
lim Rm = 0.(40)
При К》1 можно получить оценку
丛^京・(41)
Следовательно, условие стохастизации луча сводится к условию расцепления фаз, т. е. фазы ведут себя хаотическим образом и для изучения поведения луча необходимо переходить к вероятностному описанию. Условие (40) с учетом (41) запишем в виде
К =當》1.(42)
Оценка длины трассы, начиная с которой поведение луча становится стохастическим, имеет вид
X 1
Х^~2ЬГК~2^К'(43)
Для больших К вероятность попадания траектории процесса в фазовой плоскости в область устойчивости мала, а в случае попадания время пребывания в ней фазовой точки уменьшается.
Таким образом, имеем: при К < 1(£《1) движение устойчиво, при К》1 движение луча стохастично, при К 〜1 — переходная область.
Уравнение (36) сведем к системе двух уравнений относительно переменных: действие / и фаза 仇 тогда имеем
/ = £w(/,牝 ж),自=g(/),
8(44)
W = / £ 6(х — kX) sin2^.
Введем функцию плотности вероятности р(ж, /, ^) и представим р(ж, /, ^), Ф(ж, /, ^) в виде разложений в ря_дн:
鼠力,/,#=：£以电/)产"+岭包I)e-ik\k=0
屮(力,/,户)=/ 玄 6(x - kX) sin2^ = £ ^(^, I)eik^ + ^-k{x, I)e~M, k= —ook=0
P-k = Pk, W—k = W小
Функция р(ж, /, ^) удовлетворяет уравнению Лиувилля, из которого для 0о(力，/ , Н) получаем уравнение типа ФПК (Фоккера-Планка-Колмогорова)
幾=(ai/p°) + ^ 翡(2а/ро),(45)
где а】=£28ttQ, К = а】 / — коэффициенты сноса, ^2 = 2а/ — коэффициенты диффузии.
Граничное условие для (45) имеет вид
目九(力*, /, Н) = @о(力*, /)^по-(46)
Здесь 力* определятся условием (35).
Уравнению (45) при условии (46) может быть поставлено в соответствие стохастическое дифференциальное уравнение
Здесь 〃(力) —чисто случайная функция: (ту) = 0,〈〃(力)〃(力i)〉= Rq6(x —力i).
Переходя к переменной у, преобразуем (47) к виду
Уравнения (48), (36) определяют одну и ту же величину у. Уравнение (36) детерминированное и переходить к вероятностному описанию у в нем можно для ж, удовлетворяющих условию (43). Задание локальных неоднородностей с помощью J-функций ведет к тому, что в этом случае частотный спектр R (力)имеет бесконечную ширину. Если рассматривать R(力)с ограниченным спектром, то тогда необходимо, чтобы ширина его была достаточно велика, что соответствует случаю, когда эффективная толщина локальной неоднородности много меньше периода колебаний луча. При К》1 происходит перекрытие резонансов системы, движение стохастизируется, а фаза g изменяется случайным образом в зависимости от х. Для выполнения условия К》1 необходимо: 1) J-образность какой-либо производной R(c), что означает присутствие большого числа гармоник в спектре R(c)； 2) периодичность (почти периодичность) F{x) с частотой Q《q; 3) достаточно большая нелинейность.
Таким образом, предположения (33) могут быть значительно расширены.
Стохастическое уравнение (48) проще, чем (36). Стохастичность у есть результат наличия функции 〃(力).Функция у(力)обладает марковским свойством, что свидетельствует о наличии в задаче малого параметра, а именно отношения масштаба существенного изменения 〃(力)к масштабу существенного изменения у(х).
В детерминированной задаче для (36) этот малый параметр представляет собой отношение эффективной толщины локальной неоднородности к расстоянию, на котором происходит существенное изменение у{х).
Уравнение ФПК, соответствующее (48), имеет вид
— 2(Ь 叫疝力 + ^ [°"刃•(49)
Решение уравнения (49) запишем в виде
〃^)= ^Й^ехр{〃^)= ^Й^ехр{In2 уп1^2 )а】/ JIn2 уп1^2 )а】/ J(50)(50)
〃^)= ^Й^ехр{
〃^)= ^Й^ехр{
In2 уп1^2 )
а】/ J
In2 уп1^2 )
а】/ J
(50)
(50)
Стационарное решение уравнения (49) получим при условииСтационарное решение уравнения (49) получим при условииохох
Стационарное решение уравнения (49) получим при условии
Стационарное решение уравнения (49) получим при условии
ох
ох
〃д)=工Inму I \УУА М〃д)=工Inму I \УУА М(51)(51)
〃д)=工In
му I \УУА М
〃д)=工In
му I \УУА М
(51)
(51)
倣 J I УУ* 倣 П* ) у0
Вычислим энтропию луча, плотность вероятностей которого имеет вид (50), а стационарное распределение (51).
Плотность энтропии луча вычисляется по формуле [14]
"⑺= ；{}(霑,;)} ГДе a = m —2g(ln⑴尸，6 = 2а".(52)
Из (52) с учетом вида (49) видно, что энтропия будет резко возрастать в точке ж = =пХ.
(一山ГУ九1 2)) d[а】/ J(一山ГУ九1 2)) d[а】/ JСреднее значение (у) определяется выражением 匂〉= ?^jexp о
(一山ГУ九1 2)) d[а】/ J
(一山ГУ九1 2)) d[а】/ J
Средний квадрат отклонения и дисперсия у вычисляются по формулам
〈力⑺〉=/р^g exp {一山?)/)卜勿 0，力)=(力(力)〉—勿(力))2 . (54)
о
Вероятность события Р(\у\ < d) для положительных у имеет вид
Р^у < d)=謠J У'1 exp {-山 呷dy.(55)
0
В формулах (50)-(55)几(力)—детерминированная функция, от конкретного вида которой существенно зависит поведение луча. Характеристики функции ?у(ж), эквивалентной локальным неоднородностям, в конечные формулы не входят. Если 几(力)一случайные функции, то их можно задавать с помощью метода формирующего фильтра.
На рис. 2 изображена зависимость〈沙(力)〉от ж — кривая 1, Dy(x) — кривая 2, Р(у < d) — кривая 3, для ж > 力*. Из графиков следует, что детерминированная неоднородность п(ж), обеспечивающая волноводный характер движения луча, позволяет компенсировать стохастизацию, обусловленную учетом нелинейности в уравнениях для лучей (31), (32) для конечных х. При 力一> оо Р(у < d) уменьшается, луч может становиться неустойчивым по вероятности.
Рассмотрим случай, когда поверхность S представляет собой плоскость ж3 = О, и пусть распределение неоднородности на S определяется формулами (33), тогда согласно (43) начиная с ж* поверхностные лучи ведут себя стохастическим образом,
их координаты удовлетворяют стохастическим дифференциальным уравнениям (48), вследствие чего X и X должны рассматриваться как неслучайные функции случайных координат X = Ф(ж, у).
В этом случае между плотностью вероятностей р(Х, ж) и плотностью f(y, х) имеет место известная связь р(Х,力)= f(y, х) = /，；：), где f(y, х) — решение уравнения (42) в виде (43), уровень интенсивности X решения уравнения (21) в виде (22). Решение (22) зависит от вида функций Х(力),〃(力),от них же зависит функция g，3)— расходимость лучей. Если поверхность криволинейная, то в силу формул (19) будет зависимость также от Qij — метрического тензора поверхности.
Отметим, что можно рассмотреть распространение поверхностной волны по
криволинейной поверхности с метрикой Qij. Для специального вида рельефа (шероховатости) поверхности можно получить условия стохастизации, аналогичные (43). В этом случае также необходимо переходить к вероятностному описанию.
Рассмотрим вопрос о стохастизации лучей в неоднородных средах вследствие нелинейного резонанса. Перейдем к переменным (/, ^) — действие, угол по формулам [15]
1 = ^j 目（力,Я）de, Н =。却 /）,
где S(c,/) =огде S(c,/) =о(56)(56)
где S(c,/) =
о
где S(c,/) =
о
(56)
(56)
где Е — энергия эквивалентной частицы движущейся по траектории у = у(х) и соответствующая значению интеграла движения Но(у^ р) = Е. Здесь Но = =一，九2(g)一綻гамильтониан, соответствующий движению луча (частицы) в направлении оси ж без прослоек неоднородности в точке ж = пХ.
Для моделирования процесса движения луча поверхностной волны можно использовать гамильтониан Н (х,у,р) в виде
(57)(57)Я = но +(力,勿0)，% = _A// (g) 一02
(57)
(57)
Движение луча вдоль волновода, характеризуемого неоднородностью п (у), зависящей только от у, определяется невозмущенным гамильтонианом Яд- Характерный профиль п (д) изображен на рис. 3.
Рис. 3. Типичная зависимость показателя преломления п(у) от у для волновода
Запишем уравнения движения луча в форме Гамильтона:
dy _ дНdp _ дН/ 、
dx дрdx ду '
Гамильтониан Н в переменных действие-угол представим в виде
Н = H0(I)^sV(I^,x).(59)
В соответствии с (59) уравнения движения (58) имеют вид
寫，# = 3(/) + £需.(60)
В переменных (/, ^) частота колебаний луча вдоль оси ж находится по формуле
“(/) =(61)
Здесь 幻(/) характеризует число колебаний луча между стенками волноводного канала, приходящееся на единицу длины волновода, т. е. Т = 2tt/g — пространственный период луча в волноводе.
Представим
£ 6停 f)= e 。三^(62)
k= — oom= —оо
Тогда возмущение гамильтониана имеет вид
1 +оо
V (/,牝力)=^£ Vms(I)eiMs^ + к. с.,(63)
ТП/ = —оо
где 死—частота возмущения, т. е. 2тг/х — пространственный период возмущения, а к. с. означает члены, комплексно сопряженные предыдущим.
Из уравнений (60), (63) следует, что максимальное возмущение в колебаниях луча имеет место при
771⑴(/) + 5死 = 0.(64)
Условие (64) определяет нелинейный резонанс [15]. Аналогично [15] получим результат, определяющий поведение луча в окрестности одного резонанса.
Обозначим через /о то значение /, при котором выполняется условие (64) при определенных числах m, s. Тогда из (60) следует, что Н удовлетворяет уравнению
3 + 併 sin Н = 0,3 + 併 sin Н = 0,(65)(65)
3 + 併 sin Н = 0,
3 + 併 sin Н = 0,
(65)
(65)
(66)(66)Уравнение (65) описывает нелинейную периодическую модуляцию фазы луча ^ с частотой Q. Основное условие, при котором справедливо (65)
(66)
(66)
£《1，a=dl.
Как следует из (66), параметр нелинейности а должен быть достаточно большим.
Из (65), (60) находится область локализации нелинейного резонанса по действию:
△/= тах|/—厶| = 4 eKus,(67)
и по частоте:
■ 1/2
△з = тах|з(/) - з (/0)| = △/芻=4 ^^s^^= ^.(68)
Из полученных результатов следует, что при отсутствии возмущений вдоль оси у луч осциллирует с частотой 幻(/)• В окрестности резонансной частоты 幻(/()) на это движение накладывается дополнительная модуляция луча по х. Уравнения (67), (68) определяют амплитуду модуляции. Эти же уравнения определяют и область локализации луча в плоскости (ж, у). Вдоль невозмущенного луча, соответствующего действию /о, образуется дополнительный волноводный канал с эффективным размером △/. Лучи, попавшие в этот канал, совершают в нем колебания относительно невозмущенной траектории с частотой Q. Это обусловливает периодическую модуляцию групповой скорости vg волнового поля, также появляются модуляционные колебания фазовой скорости vp.
Стохастизация лучей поверхностных волн в случае непрерывного периодического распределения неоднородности вдоль оси волновода. Рассмотрим случай такого распределения неоднородности вдоль оси ж, когда
(In п(х, у)) ж — ^ + 7 cos ^ж-(69)
Подставляя (69) в (31), получаем уравнение Дуффинга, содержащее 沙：
у - у + у^ ебу = syy cos 幻力，(70)
-以=孔з = —1・
В этом случае система не является гамильтоновой и необходимо найти условия возникновения детерминированного хаоса. Аналогично [16] получим условия перехода от детерминированного движения траектории луча к хаотическому.
Запишем уравнение (70) в виде системы:
у = V, V = у — у3 -\- sy [у cos 幻力—6v] .(71)
Невозмущенный гамильтониан Hq имеет вид
80 = ；。2-:力+ ；g4.(72)
В случае, когда в уравнении Дуффинга имеется 沙，то существуют три возможности в поведении сепаратрис: 1) сепаратрисы нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 4); 2) сепаратрисы пересекаются в бесконечном числе точек и в этом случае возникает хаотическое движение луча.
Рис. 4. а. Фазовые траектории в плоскости (о, у) в случае периодически неоднородного волновода
Согласно методу Мельникова [17, 18], чтобы найти условие пересечения сепаратрис, необходимо вычислить расстояние D между сепаратрисами в некоторой точке 力о. На рис. 4ao < 0, а на рис. 4 6 О〉0 при любом xq. Если D при каком- либо 力о меняет знак, то возникает хаотическое движение.
В рассматриваемом случае
0 = _ ] dx [yv^ (ж — жо) cosc^a? — 6vq (ж — жо)] •(73)
Вычисляя (73) аналогично [36, 37], получим
D (力о,力о) = * тг7Gsiпзсо + у.(74)
Хаотическое движение вблизи сепаратрисы возникает при условии пересечения сепаратрис, т. е. когда О (力о) меняет знак. Из формулы (74) следует, что это происходит при
6 = 6С=(75)
Уравнение Дуффинга (70) при 6 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 6〉0 уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. Действительно, при J > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничивающих стохастичность
вблизи сепаратрисы и фазовые траектории могут уйти от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помощью аналогового моделирования [19], при выполнении условия (75) и 6〉0 траектория блуждает в окрестности сепаратрисы пока не попадает на какой-либо аттрактор, простой или странный.
Таблица 1. Режимы движения луча в фазовой плоскости для непрерывнопериодического волновода
7
Режим движения
0,76-0,83
Пересечение сепаратрис, хаотическое движение
0,84-0,94
Притяжение к одному из фокусов
0,95-1,08
Каскад бирфукаций удвоения периода обоих фокусов
1,08-1,15
Предельный цикл периода. Появление странного аттрактора
1,2-2,45
Появляется странный аттрактор
Численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения (70) связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при 力=±1, о = 0. Аналогично [19] с помощью аналогового моделирования можно установить поведение системы в зависимости от)沙 при фиксированных 6 и ал В табл. 1. приведены результаты моделирования.
Список литературы
Бабич В. М., Русакова Н. Я. О распространении волн Релея по поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы // ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2, № 4. С. 653-665.
Бирюков С. В., Гуляев Ю. В.)Крылов В. В.)Плесский В. П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 416 с.
Bleustein J. L. A new surface wave in piezoelectrical material // Appl. Phys. Lett. 1968. V. 13, № 12. P. 412-413.
Keller J. A, Karal F. C. Geometrical theory of elastic surface wave excitation and propagation //J. Acoust. Soc. Amer. 1964. V. 36, № 1. P.
Поверхностные акустические волны / [А. Олинер, Дж. Фарнелл, Г. Джерард и др.]; Под ред. А. Олинера; Пер. с англ. Г. Г. Кессаних, Е. Д. Янушина; Под ред. И. С. Реза.— М.: Мир, 1981. — 390 с.
Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981.— 287 с.
Бестуж.ева Н. 〃., Быковцев Г. И., Дурова В. Н. Об условиях совместности на поверхностных разрывах // Механика деформируемого твердого тела. — Куйбышев.: Изд-во Куйбышевского ун-та, 1976. С. 21-26.
Бестуэ/сева Н. П.)Чигарев А. В. Распространение поверхностных волн в стохастически неоднородной упругой среде (марковское приближение) // ПММ. 1979. Т. 43. С. 746-756.
Чигарев А. В., Чигарев Ю. В.)Беляцкая Л. Н. Возникновение детерминированного хаоса в динамических задачах упруговязкопластических неоднородных сред //II Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике «Механика-99»: Матер, конгресса. — Минск, 1999. С. 74-81.
Thomas Т. The general theory of compability conditions // Intern. J. Engng. Sci. 1966. V. 4. P. 207-233.
Бестужева Н. /7., Быковцев Г. 〃., Дурова В. Н. Об условиях совместности на поверхностных разрывах // Механика деформируемого твердого тела. — Куйбышев: Изд-во Куйбышевского ун-та, 1976. С. 21-26.
Чигарев А. В. К геометрии волновых фронтов в неоднородных средах // Акустический журнал. 1980. Т. 26, Вып. 6. С. 905-912.
Заславский Г. М. Статическая необратимость в нелинейных системах. — М.: Наука, 1970. - 143 с.
Стратонович Р. Л. Теория информации. — М.: Сов. Радио, 1975. — 423 с.
Абдулаев С. С., Заславский Г. М. Нелинейная динамика лучей в неоднородных средах // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, Вып. 2. С. 524-536.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. - 528 с.
Мельников В. К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. Т. 148. С. 1257-1260.
Мельников В. К. О силовых линиях магнитного поля // ДАН СССР. 1962. Т. 144. С. 747-750.
Moon F. С., Holmes P.J. A magnitoelastik strange attractor //J. Sound and Vibr. 1979. V. 65, № 2. P. 275-296.
ДИСПЕРСНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНВ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
Н. А. Шульга
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины
Деформирование и прочность композитных материалов (КМ) определяется их геометрической структурой, физико-механическими свойствами наполнителя и связующего, качеством адгезионного соединения компонент (фаз) [1-5]. Влияние технологии изготовления конструкции из КМ может проявляться также в возникновении остаточных напряжений [2, 5]. Не все эти факторы в силу разных причин в достаточной мере учитываются в теоретических механических моделях КМ. Наиболее развитой моделью КМ является континуальная теория первого порядка (теория эффективных модулей), в которой неоднородная структура заменяется квазиоднородной средой с приведенными характеристиками, определяемыми через параметры реальной структуры. Такой подход позволяет решить широкие классы важных задач механики КМ для слабоградиентных по сравнению с характерными размерами структуры динамических процессов (длинные волны, низкочастотные колебания и др.). Присущие КМ с регулярной структурой особенности колебаний и распространения волн могут быть описаны только в рамках структурной (кусочно-однородной) модели. Такой подход развивается в настоящей работе. Наряду с геометрической дисперсией, обусловленной неоднородностью структуры КМ, анализируется также диссипативная дисперсия, обусловленная вязкоупругими свойствами компонент. На феноменологическом уровне учитывается также влияние несовершенств адгезионного межфазного соединения и остаточных технологических напряжений на характеристики распространения волн в слоистых КМ.
В деформируемом твердом теле малые колебания описываются уравнениями движения pdtdtUj = &*. На поверхностях разрыва (недифференцируемости) свойств среды к ним надо присоединить условия сопряжения, а на граничных поверхностях — граничные условия. При совершенном механическом контакте условия сопряжения на поверхностях разрыва заключаются в непрерывности перемещений и соответствующих напряжений. Для упругих материалов уравнения движения замыкаются материальными соотношениями % = =cijmn(dmun + дп/ит)/2, в которых учтены формулы Коши для деформации.
При распространении волн в перпендикулярном слоистости композита направлении перемещения и напряжения зависят от одной пространственной координаты 力з 三 z, в результате чего для ортотропных материалов получаем три независимые группы уравнений:
pdtdt^j — %^3j ? ^3j — С6—j,6—jd^Uj, j = 1, 2, 3. (1)
Эти уравнения описывают одну продольную и две поперечные волны. Слоистый КМ моделируется регулярно-слоистой средой, образованной повторением порождающего пакета, состоящего из Q однородных слоев различной толщины hq
“6—)(z, t)h“6—)(z, t)h^*3,6 — 7(Z,力)COO^*3,6 — 7(Z,力)COO(%i + ... + %q = %) и физико-механических свойств Cij^q, pq. Для каждого слоя решение уравнений (1) выбираем в виде
“6—)(z, t)h
“6—)(z, t)h
^*3,6 — 7(Z,力)COO
^*3,6 — 7(Z,力)COO
Re 4nLDQ+q COS k)),q (z — Zn^q-i) +
expexp（-加力）,（-加力）,I 人(2)sin k)),q (z — Zn,q — 1)
exp
exp
（-加力）,
（-加力）,
+ …+q
=Re [-*?_1匐+g%)4k))4sin k)),q (z - zn^q-i) +
⑵⑵+*?—DQ+q cos k”q (z —之九山―1)] exp (—分сЛ),
⑵
⑵
7 = 3, 4, 5, zn^q-i < z < z%q、 q = 1,. .. , Q, n — целое число.
Из условий сопряжения при совершенном механическом контакте,
Uj {^n,q 一0,力)=出(7九,9 +。,力)，^^j {^n,q 一。,%)=b3^ (7九,9 +。,力) (3) на плоскостях z = nh — % + %i + %2 + • • • + %q 三 zn,qi z^q = zn^^ раздела слоев, следует бесконечная система алгебраических уравнений
A(n_1)Q+g+1 = М (%) A(n_1)Q+g, q = 1, • • •, Q, п-целое число. (4) Здесь используются вектор-столбцы
—l)Q+q - С。】[&(九_1匐+“ —
матрицы M (^q) с элементами 〃n (%) = ”22(%) = cos%, ”12(%)= =^16 q 忆„ ,qk„ ,q、”21 (Hq) = Sin ^q и обозначения CoQCij = Cij, PooP — ■ k)),q = "/o)),q，。))，9 =，％),q/Pq ,幻=3h\/>00/coo , k)),q = k”,qh) % = k)),q储，cqo и poo — нормирующие множители размерностью соответственно Па и кг • м-3.
Замкнутое решение бесконечной системы (4) находится развитым в [6] способом. Полагая A(^n_^Q+1 = р^п-1М, где р и d некоторые скаляр и вектор, из системы (4) для их определения находим однородную систему уравнений
(ТИ р/2) d = 0. (5)
Здесь 7И(%,…，％) = M(^q) • М^х) — передаточная матрица или матрица монодромии [6, 3] для Q слоев,厶一единичная матрица второго порядка, а следовательно, скаляр р — собственное число матрицы ТИ"。…，Н/ или мультипликатор матрицы монодромии, d — ее собственный вектор.
Непосредственными вычислениями легко установить, что det 7И(%)= = 1 и, следовательно, det M^q, . . . , ^1) = 1. Поэтому характеристическое уравнение det [”(％,...,%) — pl^ = 0, т.е. р2 — 2%0 + 1 = 0, где 2% = =Spur M(^i,. . . , ^q), передаточной матрицы принадлежит к типу возвратных уравнений. Его корни взаимообратные (pi = Р^1) и всегда отличны от нуля. При неравных между собой собственных числах (мультипликаторах) р\ 丰 р»
(случай равных собственных чисел практического значения не имеет) собственные векторы di и dz линейно независимы и общее решение системы (4) определятся суперпозицией (Kj — неопределенные постоянные)
2 1
A(f Q+q = l>“"(％)%
片1 r=l (。丿
q = 1,Q, n — целое число.
Решение (2) определяет незатухающие объемные волны в неограниченной среде при условии, что постоянные A^n_^Q_^q ограничены и не стремятся к нулю при п —> ±оо [6]. Как следует из формул (6), это возможно, если корни уравнения />2 — 2% 0 + 1 = 0 являются комплексно-сопряженными и по модулю равными единице. Такие корни будут в том случае, если его коэффициент % удовлетворяет неравенству —1 < % < +1. Это условие в частотной области определяет зоны пропускания объемных волн в слоистых композитных материалах, распространяющихся перпендикулярно плоскостям раздела.
Заменой р = exp (±£s%) алгебраическое уравнение р2 — 2%0 + 1 = 0 сводится к тригонометрическому уравнению cos sh = %. Решение этого уравнения в областях пропускания волн неоднозначно; вопрос о выборе однозначного решения является одним из принципиальных вопросов теории распространения волн в периодических структурах. Для определения однозначного решения уравнения cos sh = =bq предложено [6] правило отбора мод, согласно которому
sh = (—1)NT arccos 切 + 2тг [N/2] , (7)
где arccos 6q — главное значение обратной тригонометрической функции в интервале [0, тг], N — порядковый номер появления неравенства |%| < 1 с ростом частоты 幻 от нуля, [N/2] — целая часть числа N/2. Правомерность (7) подтверждается переходом решения для кусочно-однородной периодической среды к решению для однородной среды [6].
После вычисления sh собственные числа будут определяться формулами 网= = exp (zs/z), 02 = exp (—ish). В соответствии с этим и решением (6) экспоненциальные множители exp (±£sh) определяют некоторую «огибающую» волну. Постоянная s может интерпретироваться как постоянная распространения (волновое число при действительном s) этой волны [6]. В зонах запирания, где |6q| > 1 и постоянная распространения является комплексной, волны экспоненциально затухают в направлении нормали к слоям. Указанные свойства присущи волнам любой физической природы в периодических структурах [6].
В общем случае при произвольной частоте для определения формы каждой из двух возможных волн необходимо найти собственные числа 网 и 仅 и собственные векторы di и d? для однородной системы (5), а затем по формулам (6) вычислить коэффициенты *? DQ+q и определить перемещения и напряжения (2) в слоях. На границах зон пропускания (для частот, при которых % = ±1) формы колебаний можно установить иным образом [2-4] и показать, что в двухкомпонентных средах на границах зон пропускания ⑸=+1) происходят симметричные- симметричные движения (SS-колебания) либо антисимметричные-антисиммет- ричные движения (АА-колебания), тогда как на границах зон пропускания ⑸=
=—1) происходят антисимметричные-симметричные движения (AS-колебания) либо симметричные-антисимметричные движения (SА-колебания). Эти типы колебаний обладают определенной симметрией относительно срединных плоскостей слоев: SS- и АА-колебания имеют пространственный период %, т. е. совпадающий с периодом структуры, a AS- и SA-колебания имеют пространственный период 2%, т. е. в два раза превышающий период
структуры.
Проводился количественный анализ дисперсионного уравнения cos sh = =% для изотропных и ортотропных материалов слоев в зонах пропускания волн. Типичные зависимости 池 от безразмерной частоты ZJ = 幻％，02/055,2 приведены на рис. 1. Число повторяющихся изотропных слоев Q = =2 со следующими механическими параметрами: 978/qij = 190/сзз」= =74/013,1 = 91/e44」=378/c554 = =117/с6б,1 = И2/сц,2 = 112/сзз,2 = =60/013,2 = 26/044,2 = 26/055,2 = =26/。66,2, 2pi = 302, т. е. первый слой обладает сильной анизотропией, а второй является изотропным. На рис. 1 кривые 7 соответствуют продольным
волнам, а кривые 2волнам, а кривые 2поперечнымпоперечнымволнам при /31 = h±/h = 0,3 (сплошные линии) и при /31 = 0,7 (штриховые линии). Для выбранного материала изменение относительной толщины слоев
волнам, а кривые 2
волнам, а кривые 2
поперечным
поперечным
мало влияет на зоны пропускания продольных волн, но весьма сильно влияет на
частотные диапазоны распространяющихся поперечных волн; имеются частотные диапазоны, в которых фазовая скорость продольных волн меньше скоростей
поперечных.
В композитных материалах на полимерной основе дисперсия волн обусловлена не только геометрической структурой, но и диссипативными свойствами связующего. Взаимодействие этих двух механизмов, приводящих к затуханию динамических возмущений, исследовалось для вязкоупругих продольных волн, распространяющихся перпендикулярно плоскостям раздела слоев. Приведенное выше аналитическое решение остается справедливым и для вязкоупругой среды, но теперь Cij^q являются комплексными величинами, зависящими от частоты колебаний: Qj,q = % «(о;) + 分。綜 q, cij(^) < 0. Изучение объемных волн в вязкоупругом случае сводится к анализу корней характеристического уравнения cossh = %, в котором коэффициент %, в отличие от упругого случая, является комплексной величиной. Один из корней этого уравнения pi = р[ + ipg всегда по абсолютной величине меньше единицы, а второй корень />2 = 1/pi ——больше единицы. Первый корень описывает физически разумное решение при распространении волн в положительном направлении оси г (п —> +оо), а второй — в отрицательном направлении оси г (п —> —оо). Если положить 网=exp ih (sz + £s〃)，то hsr и hsn находятся по соотношениям hsn = — In |pi|, cos hsf =从 exp hsnsin hsf = =Px exP hsr\ однозначно определяющим hsr при изменении частоты от нуля до
любого значения (при этом надо учитывать кратный 2тг набег фазы). Параметр sf является волновым числом вязкоупругой волны, имеющей длину 2tt/s', a s〃 характеризует степень затухания амплитуды волны вдоль трасы распространения.
На рис. 2 а, 5 показаны [4] зависимости hs‘ и hsH от безразмерной частоты ZJ = hs《p?l&3 2 для слоистого композита из двух чередующихся слоев с параметрами С33д = 2ОС33 15 pi = 2/>2, /?1 = %i/% = 0,5. При этом первый слой является упругим (б] = 0), а тангенс угла потерь второго слоя принимается равным 心=0 (сплошные линии),心=0,05 (штриховые линии),心=0,5 (пунктирные линии). Из рисунков видно, что при малых 心 затухание обусловлено в основном геометрической дисперсией и существенно проявляется только на частотах запирания волн в упругом случае (при 心=0,05 кривые практически не отличаются от кривых для упругого случая 心=0)・ С ростом 心 затухание вязкоупругих волн на частотах пропускания упругих волн возрастает, причем с увеличением номера этих зон затухание также увеличивается (штриховые кривые). При еще большем увеличении тангенса угла потерь 心 затухание с ростом частоты увеличивается (на больших частотах монотонно), а фазовая скорость остается практически постоянной (пунктирные кривые).
Решение (2) при Q = 4 может моделировать адгезионную прослойку между наполнителем и связующим в слоистом КМ. Сложность проблемы состоит в том, что механические свойства прослойки неизвестны и трудно определимы. На рис. 3 приведены [6] результаты вычислений для четырех повторяющихся изотропных слоев при таких соотношениях механических параметров: М = 20石2,石2 = 0,5石3, 石4 = 0,5石3,力=0,3,。2 =。3 =。4 = 0,35, Р1 = 2р2, 02 = 03 = 04,仇=0,7, 仇=0,28,仇=04 = 0,01. Из этого рисунка видно, что первая зона пропускания продольных волн приблизительно в два раза больше, чем поперечных; для продольных волн существует лишь одна зона пропускания, в то время как для поперечных — три зоны пропускания.
Для моделирования дефектов межфазного соединения и физико-механических свойств тонкого слоя, разделяющего два различных компонента z〉乏 + £ и z < z — s (2e > 0) композита, можно ввести [5] гипотетическую межфазную плоскость z =乏 с определенными свойствами. На этой плоскости вместо условий
совершенного механического контакта (3) нужно потребовать [5] выполнения более общих условий сопряжения
Uj+ 0,力)—Uj {zn^q — 0,力)+ n3jO3j—。，力)，岱)
^3j ^n,q +。,力)=^3j ^n,q -。,%)
при несовершенном механическом контакте между армирующими и связующими слоями композита. Межфазные постоянные тузь 7732, 〃зз имеют размерность м3/Н и для ортотропных материалов принимают, вообще говоря, разное количественное значение. Для транстропных материалов (с плоскостями изотропии z = const) и изотропных материалов 7731 =你.Предположение о постоянстве межфазных параметров 佃 достаточно жесткое — более реальной является их случайная зависимость от координат в меж-
предельным переходомпредельным переходомфазных плоскостях. Однако отказ от этого предположения, с одной стороны, сильно усложнил бы дальнейший анализ, а с другой стороны, поставил бы трудную проблему определения этих функций по имеющему место в действительности непрогнозируемому характеру распределения межфазных дефектов и несовершенств.
предельным переходом
предельным переходом
К условиям (8) можно прийти [5], рассматривая одномерную деформацию тонкой прослойки £<z〈乏+ еи интегрируя соответствующие уравнения по толщине. Структуру формул (8) можно также установить [5] Cij,n ~0, 2е — hn ~0, hn/CQ—j^Q—j —Tj^j (J = 1, 2, 3)
в обобщенном законе Гука для ортотропной материальной прослойки. Получаемые последними двумя путями формулы позволяют оценить порядок величин r)^j. Указать необходимые прямые эксперименты для определения r)^j затруднительно; косвенным образом они могут быть определены, например, из сравнения теоретических и экспериментальных значений скоростей распространения ультразвуковых волн.
Во внутренних точках компонент композита справедливы уравнения (1) и их решения (2). Для определения неизвестных постоянных из условий сопряжения (8) получаем бесконечную систему типа (4)
A2n = Si" "i) A2n-i, A2n+i = S2M (&) A2n,q = 1,Q, n — целое число.
Тут дополнительно введены матрицы Sq с элементами Sq,口 = 5力2 = 1, Sq」2 = =万зз = 7733coо/%, Sq,21 = 0- Дальнейший ход решения во многом соответствует приведенному выше случаю совершенного механического контакта. Важно лишь отметить, что теперь передаточная матрица (матрица монодромии) определяется выражением S2M (^2) S±M (^i).
Нетрудно видеть, что определитель передаточной матрицы
S^M^SrM^r)
равен единице, ее характеристическое уравнение будет возвратным и заменой р = =exp （±£sh） оно сводится к тригонометрическому виду
COS Sh — COS Н））,1 COS Н））,20,5 （（0））,1k））,1/0））,2k））,2）-h
+（С））Jk）7J/с））,2k））,2）—〃з,б—）%）j%）,2k）7,1 k））,2）sin H））j sin H））,2 —
〃3 6-）（°））, 1 卜））,1 SIH "））,1 COS H））,2~I-C））,2a））,2 Sin "））,2 COS "））,].） •（1°）
Уравнение （10） имеет действительные корни при условии, что его правая часть по абсолютной величине не превосходит единицы. Это условие определяет зоны пропускания объемных волн. В зонах пропускания однозначное решение уравнения （10） определяется согласно правилу отбора мод （7）.
Из дисперсионного уравнения （10） можно получить несколько частных и предельных случаев. Прежде всего при %6-）— 0 （Ю） переходит в дисперсионное уравнение
cos sh = cos %）j cos %）,2 —
—。，5 （（C））,1 卜））,1/с））,2卜））,2）H-（^77,2^77,2/^77,1^77,1）） sin H））J sin H））,2 （H）
для двухкомпонентного KM при совершенном механическом контакте между слоями. В предельном случае 5з,б—）Т оо уравнение （10） вырождается в частотные уравнения толщинных колебаний слоев толщиной h± и h^ при свободных от напряжений граничных плоскостях:
sinH））j = 0, sinH））,2 = 0・（12）
Если （11） упростить в предположении 坛 ~> 0,坛/%）,2 ~> 〃3,6-），то получим дисперсионное уравнение
cos sh± = cos Н））j — 0,57/3 6_7с77д/ь77д sin ^77д（13）
для однокомпонентного материала с межслойными несовершенствами. Естественно, что к этому результату можно прийти и принимая в （10） толщину и свойства слоев одинаковыми （伉 = %2g = 仅，с77д = %）,2）：
cos2s%i = cos2 %）」-0,5（2 -請,6_）不））j6））,1） sin2 %）,1 -
—2〃з,б-）%）J 卜））J sin ^77,1 с。，^77,1 •
После несложных преобразований последнего выражения получим формулу
；（cos2s/h + 1） = （cos^77,i - 0,5力з,б—sin Н））」）2 ,
которая эквивалентна дисперсионному уравнению （13） для однокомпонентного материала с межслойными несовершенствами. В длинноволновом приближении （sh《1, k））,q《1） дисперсионное уравнение （10） принимает вид
у = JМ/（01 伉 + 02%2）（（伉/%）」）+ （坛/%）,2）+ 2〃з,6-））,
что совпадает с решением по континуальной теории первого порядка [5].
На рис. 4 а (поперечные волны) и на рис. 4 б (продольные волны) представлены результаты количественного анализа дисперсионного соотношения (10) для двухкомпонентного материала с упругими свойствами слоев: рх = 1, р2 — 2, сцд = =С22,1 =不33,1 = 4,33,不44,1 =不55,1 =不66,1 = 1,不11,2 =不22,2 = 12,24, С33,2 = 5,53, 不44,2 =不55,2 = 5,48,不66,2 = 41,54, Poo = Pi, Coo = Сбб,1； отношение толщин слоев 3%i = 7坛，межфазная постоянная 7/31 =加？—力зз —。,。(совершенный механический контакт); 0,1; 0,5; 1,0; 5,0; 10,0. Из рисунков следует, что с ростом межфазной постоянной 5з^ зоны пропускания волн сужаются и выражаются в дискретный спектр собственных частот независимых толщинных колебаний слоев толщины 伉 и %2. Эти частоты определяются из уравнений (12); их численные значения (числитель —частота продольных колебаний, знаменатель — частота поперечных колебаний) для рассматриваемого материала следующие:
9,34 17,4018,68
冬' 8,98， 13,47
Рис. 4
При 5з^》5 третья и последующие зоны пропускания определяются приведенными выше частотами. В некоторых случаях частоты пропускания волн приблизительно равны приведенным выше уже при %у = 1. Во второй зоне пропускания при 5з^》10 наблюдается узкая частотная полоса пропускания, но она не может быть объяснена с точки зрения граничного перехода к большим значениям 7^ (бесконтактное соединение слоев). Верхняя частота первой зоны при больших значениях межфазной постоянной может быть определена из низкочастотного приближения
cos sh = 1 —cos sh = 1 —运2亢f2cef运2亢f2cef
cos sh = 1 —
cos sh = 1 —
运2亢f2cef
运2亢f2cef
дисперсионного уравнения (10), в котором cef и pef определяются по формулам
1/%),е/ —仇/%),1 + 仇/%),2 + 2?7з,б—), Pef = В1Р1 + 0202, 8b = %〃/%
континуальной теории [5]. При больших 7/3 6_7 имеем
COSS% = 1 -^2Pef^3,6-7
и для верхней границы зоны пропускания, для которой cos sh = — 1, получаем значение частоты ZJ = j2/0ef万з,б—)• Дисперсия волн становится заметной в диапазонах частот, близких к верхней либо нижней (за исключением первой зоны) частотам границ зон пропускания. Вне этих диапазонов частоты волны распространяются практически без дисперсии и, следовательно, групповая скорость волны равна фазовой скорости, которую легко рассчитать по дисперсионным кривым.
Для КМ представляет интерес учет влияния начальных напряжений на протекание динамических процессов [1-4]. Такие исследования могут быть выполненными в рамках трехмерной линеаризированной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями [7]. Пусть слоистый двухкомпонентный КМ путем предварительного однородного деформирования, различного для слоев толщины 伉 и 坛，приведен из недеформированного (естественного) состояния в деформированное (начальное) состояние. Декартовы координаты у「У2, Уз в начальном состоянии, общие для всех слоев, связаны с координатами ж^\ х^ж^ для слоев толщины 伉 и координатами 力”芯?)，或)для слоев толщины 仇 в естественном состоянии зависимостями ут = АтдЖш\ Ут = Am?2^m\ Ут = = 力^)+ ^gq (m = 1,2,3, q = 1,2, Am?g = const). Если упруго-эквивалентные направления (оси упругой симметрии) совпадают с осями выбранной системы координат, то перемещениям um q = (Am?g — 1)力^)соответствуют напряжения
= const. Здесь и далее величины, относящиеся к начальному напряженно-деформированному состоянию, отмечены индексом «о». Считаем, что ось уз направлена по нормали к плоскостям раздела компонент; в таком случае толщины слоев hq в естественном состоянии: hq = X^^qhq. Заметим также [3, 7], что применение координат 力，銓，Уз, вводимых в начальном напряженно-деформированном состоянии, позволяет включить в единую схему рассмотрения случай, когда в процессе деформирования из естественного в начальное состояние слои КМ не объединены в монолит и полное их соединение происходит лишь после предварительного деформирования. Введение координат 力，у?,弊 в начальном напряженно-деформированном состоянии соответствует отсчетному способу описания движения сплошной среды [7].
Для сжимаемых материалов уравнения линеаризированной теории в координатах уь 沙2, Уз относительно возмущений Uj перемещений ^俏《+ Uj имеют вид [7]
pHtUuj = ^ijmn^i ^п^т ?(14)
а составляющие поверхностной нагрузки на плоскостях 弊=const, отнесенные к размерам тела в начальном состоянии, Pj = ^3jmndnUm- В уравнениях (14) и далее 万=0/入卩2入3 — плотность материала в начальном состоянии,行叮俏九= =入^入九幻叮俏九/入1入2入3 (по г, п не суммировать). Значения компонент тензора 幻叮俏九 приведены в работе [7]. Если начальное состояние однородно и деформирование слоев в естественном состоянии описывается упругим потенциалом произвольной
формы, то компоненты тензора 幻*仪万 определяются так [7]:
幻)тпа万—Хтп》а [б)тп8а万。)万 + ^уа^т^ (1 — ^7m)从)тп +
+ ^та^а^ (1 — ^7m) 〃万тп] + ^ат^а^^уу •
Все механические параметры, удлинения Ат и начальные напряжения ^俏俏川 входящие в приведенные выше выражения, принимают различные значения для слоев толщины 坛 и 坛.
При распространении волн в перпендикулярном слоистости КМ направлении перемещения и напряжения зависят от одной пространственной координаты уз, и для ортотропных материалов с начальными напряжениями получаем три независимые группы уравнений:
pdtdtUj = uj^j^Uj, Pj = uj^j^Uj, j = 1,2,3. (15)
На плоскостях раздела слоев должны выполняться условия
uj(У3,п,д — 0? ^) — uj(У3,п,д + °, %) , Pj (沙3,71,9 —。，力)=Pj(УЗ,ПЕ + 0,力)• (16)
Решая задачу (15), (16) таким же образом, как и в приведенном выше случае материалов без начальных напряжений, получим [1, 3-5, 7] дисперсионные уравнения
COS sh = COS 636J伝 COS к36,2%2 - 0,5 (@3663」к3£ J/込££3,2к36,2)+
+ (^3й3,2^3г,2/^3гг3,1^3г,1)) sin 卜3£ J%1 sin 卜3£,2%2,(17)
в которых k凱g =幻2万q/⑦3££3,q, h = h±-\~ h^ s — постоянная распространения. Выражения (17) дают возможность проанализировать дисперсионные зависимости для волн произвольной частоты. При малых частотах (длинноволновое приближение) из (17) получаем [1, 7] следующую формулу:
hihiS2/l2 =(Р1Д1 + 万2 九 2)\ ^ЗЙЗ,!S2/l2 =(Р1Д1 + 万2 九 2)\ ^ЗЙЗ,!+丿2 )&3林3,2 /+丿2 )&3林3,2 /(18)(18)
hi
hi
S2/l2 =(Р1Д1 + 万2 九 2)\ ^ЗЙЗ,!
S2/l2 =(Р1Д1 + 万2 九 2)\ ^ЗЙЗ,!
+丿2 )
&3林3,2 /
+丿2 )
&3林3,2 /
(18)
(18)
Дисперсионные уравнения (17), (18) позволяют определить влияние начальных больших деформаций на скорости распространения волн в слоистых сжимаемых КМ при произвольной форме упругого потенциала каждого из компонент. После ряда упрощений [7] дисперсионные уравнения (17), (18) можно применить для различных вариантов теории малых начальных деформаций.
При рассмотрении влияния начальных напряжений на распространение волн принималась упругая эволюция напряжений от естественного к начальному состоянию. Это ограничение достаточно жесткое, поскольку в процессе изготовления конструкции из КМ подвергаются сложной термомеханической обработке.
Список литературы
Механика композитных материалов и элементов конструкций: В. 3-х т. Т. 1. Механика материалов / А. Н. Гузь, Л. П. Хорошун, Г. А. Ванин и др. — К.: Наук, думка, 1982.— 368 с.
Гузь А. Н., Томашевский В. Т, Шульга Н. А., Яковлев В. С. Технологические напряжения и деформации в композитных материалах. — Киев: Выща школа, 1988. — 270 с.
Динамика и устойчивость слоистых композитных материалов / А.Н. Гузь, И. Кабелка, Ш. Маркуш и др. — К.: Наук, думка, 1991. — 368 с.
Механика композитов / Под общ. ред. А. Н. Гузя Т. 2. Динамика и устойчивость материалов / Под ред. Н. А. Шульги — К.: ПТОО «А.С.К.», 1997. — 394 с.
Механика композитов / Под общ. ред. А. Н. Гузя Т. 6. Технологические напряжения и деформации в материалах / Под ред. Н. А. Шульги и В. Т. Томашевского — К.: ПТОО «А.С.К.», 1997. - 394 с.
Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. — К.: Наук, думка, 1981. — 200 с.
Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. 1986. Т. 1. Общие вопросы. — К.: Наук, думка, — 376 С. 1986. Т. 2. Закономерности распространения.— К.: Наук, думка, — 536 с.
Научное издание
ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ
Редактор Н. Б. Бартошевич-ЖагельОригинал-макет: В. В. ХудяковОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 10.11.03. Формат 70x100/16.Бумага офсетная. Печать офсетная. Ус л. печ. л. 67,41. Уч.-изд. л. 73.
Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099 Москва, Шубинский пер., 6
2 (6 - a^i)\ 3晶丿 6
Уравнение для определения радиуса 耽 упругопластической границы в г-м
кольце имеет вид
В Часто оказывается невозможным установить физический смысл нетривиальных законов сохранения. Что касается теории упругости, то уже не поддаются физической интерпретации законы сохранения, следующие из изотропии пространства и возможности преобразования масштаба координатных осей.
В Следует отметить, что канонический тензор S^k 1-контравариантен по «отсчетному» индексу и 1-ковариантен по «пространственному».
УДК 539.2-5
ББК 22.251
П78
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 03-01-14054
Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского / Под ред. Д.М. Климова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 832 с. - ISBN 5-9221-0422-5.
Сборник посвящен 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. В сборник включены статьи по различным областям механики и ее приложениям: по общей механике, теории упругости, теории пластичности и ползучести, механике разрушения, механике композитов, гироскопии и навигации, статике и динамике тел и конструкций и др. Статьи отражают современное состояние вопросов механики и ее приложений.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов, специализирующихся в области механики.
Редакционная коллегия
Д. М. Климов {главный редактор), Д. Д. Ивлев, А. П. Маркеев {заместители главногоредактора), М. В. Михайлова {ответственный секретарь), Р. В. Гольдштейн,А. Г. Горшков, И. Г. Горячева, А. Н. Гузь, В. Ф. Журавлев, В. В. Козлов,Ю. Г. Мартыненко, Г. К. Михайлов, Н. Ф. Морозов, В. П. Мясников, И. В. Новожилов,Д. Е. Охоцимский, В. А. Стороженко, Ф. Л. Черноусько, Г. Г. Черный, Е. И. Шемякин,С. А. Шестериков
© ФИЗМАТЛИТ, 2003© ФИЗМАТЛИТ, 2003ISBN 5-9221-0422-5
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Александр Юльевич Ишлинский. К 90-летию со дня рождения 6
Список основных научных трудов А. Ю. Ишлинского 12
Ишлинский А. Ю. Мир Ньютона 27
Ивлев Д. Д. Идеи и результаты А. Ю. Ишлинского в теории пластичности30
Шемякин Е. И. А. Ю. Ишлинский — механик-«прочнист» 39
Акуленко Л. Д「Нестеров С. В. Параметрические колебания электромеханических упругих систем с распределенными характеристиками 45
Александров В. В., Лемак С. С. Тестирование качества полуавтоматической стабилизации аэрокосмического полета как третий уровень управления динамическим имитатором 63
Александров В. М. Асимптотическое решение плоской контактной задачи для упругой полосы из несжимаемого материала 73
Александров С. Е. Сингулярные решения в одной модели пластичности с условием текучести, зависящим от среднего напряжения 78
Андреев А. С. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы 87
Аннин Б.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности 94
Артемов М. А. К теории пластичности анизотропных материалов 100
Бабич И. Ю., Семенюк Н. П. Колебания и устойчивость волнообразных цилиндрических оболочек из композитов 105
Баженов В. Г., Кибец А. Я., Лаптев П. В., Осетров С. Л. Экспериментально-теоретическое исследование предельных состояний упругопластических стержней различного поперечного сечения при растяжении 115
Белений В. В. Об одной задаче А. Ю. Ишлинского 123
Болотин Ю. В., Голован А. А., Парусников Н. А. Методы решения задачи авиационной гравиметрии. Некоторые результаты испытаний 130
Буренин А. А., Зиновьев П. В. К проблеме выделения поверхностей разрывов в численных методах динамики деформируемых сред 146
Ванин Г. А. Моментная механика и обобщения 156
Васильев А. А., Итин А. П., Нейштадт А. И. Резонансные явления в биллиардах с медленно изменяющимися границами 171
Влахова А. В., Новожилов И. В. Разделение движений в системах с разрывными правыми частями 187
Гадэюиев ГХ., Мирсалимов В. М. Обратная задача механики разрушения для составного цилиндра контактной пары 196
Ганиев О. Р. Задача об ударе столба сжимаемой жидкости о неподвижную преграду 208
Ганиев Р. Ф., Ганиев О. D, Украинский Л.Е. Экспериментальные исследования по интенсификации фильтрации призабойных зон скважин с помощью волновых воздействий 215
Гольдштейн Р. В., Перельмутер М. Н. Рост трещин по границе соединения материалов 221
Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел 239
Горский А. В., Горский П. В. О внедрении жесткой пирамиды в идельно пластическое полупространство 255
Горшков А. 77, Старовойтов 3.〃., Леоненко Д. В., Яровая А. В. Колебания трехслойного стержня при локальных и импульсных воздействия 262
Горячева И. Г. Роль тонких поверхностных слоев при трении скольжения и качения 279
Гоцев Д. В.)Спорыхин А. Н. Локальная неустойчивость подкрепленных горных выработок 300
Гранова Г. Н., Украинский Л. Е. О пространственных формах движения пузырьков и условиях их проникновения в колеблющуюся жидкость со свободной поверхностью 313
Гузь А. Н., Декрет В. А., Коханенко Ю. В. Взаимодействие коротких волокон в матрице при потере устойчивости. Плоская задача 331
Гузь А. Н., Жук А. П. Движение твердой частицы в окрестности плоской границы жидкости в поле средних сил акустической волны 342
Демьянов Ю.А., Малашин А. А. О влиянии волновых процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов на характер движения медиатора 350
Друянов £., Роман И. О приспособляемости упругопластических анизотропно поврежденных тел к циклическим нагрузкам 357
Жбанов Ю. К. Инерциальная навигация на эллипсоидальной Земле 363
Журавлев В. Ф. Принципиальные вопросы теории новых гироскопических датчиков семейства «обобщенный маятник Фуко» 369
Задоян М. А. Термопластическое состояние конической трубы 387
Зубчанинов В. Г. Проблемы теории пластичности 394
Иванов А. П., Наджафов Т. И. Итерационный метод построения периодических решений систем с малым параметром 406
Кадашевич Ю. Я., Помыткин С. П. Эндохронная теория пластичности при учете конечных деформаций 418
Карапетян А. В., Кулешов А. С. Методы исследования устойчивости и бифуркации стационарных движений консервативных неголономных систем 429
Козлов В. В., Онищенко Д.А.О движении тела с жесткой оболочкой и переменной геометрией масс в бесконечном объеме идеальной жидкости 465
Кравчук А. С. Об одном применении метода М. В. Остроградского исследования систем с односторонними связями 477
Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Две причины проявления масштабного фактора при описании механических свойств наноструктур 485
Кубенко В. Д.)Дзюба В. В. Динамика взаимодействия жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью, со сферическими включениями при гармоническом возбуждении 489
Кузнецов Е. Е., Матченко Н. М., Матченко И. Н. Условие полной пластичности ортотропных сред 502
Либерзон М. Р. К вопросу построения технологических процессов с использованием электропластичности 510
Лущин 〃./7., Шаранюк А. В. Коррекция параметров расчетной модели конструкции по результатам частотного эксперимента 513
Максимова Л. А. О сжатии плиты из идеально-пластического анизотропного материала 520
Максимова Л. А. О статически неопределимом состоянии идеально-пластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями 524
Максимюк В. А., Чернышенко И. С. Смешанные функционалы в физически нелинейных задачах статики композитных оболочек 531
Маркеев А. П. Об устойчивости регулярной прецессии несимметричного гироскопа 538
Маркин А. А., Глаголев В. В. К выбору критерия направленного разделения упругопластических материалов 546
Мартыненко Ю. Г. К теории обобщенного эффекта ухода Магнуса для неголоном- ных механических систем 555
Миронов Б. Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды 564
Михайлова М. В. Упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при совместном действии давления, растягивающих и крутящих усилий 569
Немировский Ю. В. Оптимальное проектирование пластических плит при кусочно-линейных потенциалах 574
Непершин Р. И. Скольжение эллиптического цилиндра по границе идеально-пластического полупространства 582
Никитин Л. В. Низкочастотные разрывные колебания осциллятора с сухим трением 593
Никитин С. А., Полеснсаев В. И., Сазонов В. В. Исследование квазистатической компоненты микроускорения на борту ИСЗ с помощью датчика конвекции . . .600
Острик В. И., Улитко А. Ф. Равномерное вращение предварительно сжатых жесткого и упругого дисков при учете сил трения в контакте 619
Победря Б. Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела 635
Радаев Ю. Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля 658
Ревуж.енко А. Ф. О математическом аппарате для описания структурных уровней пластических сред 685
Россихин Ю. А., Шитикова М. В. Реолого-динамическая аналогия для вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные или операторы двух различных порядков 693
Сенатов С. И. Пластические течения среды Мизеса со спирально-винтовой симметрией 719
Соснин О. В. О высокотемпературной ползучести материалов и элементов конструкций 727
Сторож.енко В. А. Синхронизация вращения в задаче определения главной центральной оси инерции неоднородного твердого тела 739
Украинский Л. Е. Динамическое поведение газовых включений в вязкой жидкости 749
Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел, константы разрушения 762
Цвелодуб И. Ю. Некоторые обратные задачи механики деформируемого твердого тела 776
Черноусько Ф. Л. Движение многозвенников по плоскости 783
Чигарев А. В., Беляцкая Л. Н. Стохастическая динамика лучей поверхностных волн в неоднородных средах 803
Шульга Н. А. Дисперсное распространение волн в слоистых композитах 819