Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Вращение является общим свойством небесных тел. Все звезды, Солнце и планеты находятся в состоянии более или менее быстрого вращения. Изучение вращения небесных тел имеет уже многовековую историю, однако только в последнее время появились наблюдательные и теоретические предпосылки и новые методы (в частности, вычислительная техника), позволяющие учесть влияние вращения на эволюцию звезд. Об актуальности этой темы свидетельствует уже тот факт, что Принстонский университет —один из ведущих научных центров США — открыл книгой профессора Монреальского университета Ж.-Л. Тассуля «Теория вращающихся звезд» новую международную серию монографий по астрофизике под общей редакцией Дж. П. Острайкера.
Книга Тассуля, известного специалиста по теории вращения звезд, перевод которой предлагается вниманию советского читателя, написана на высоком профессиональном уровне. Ее содержание шире, чем можно судить по названию: она не только дает логически связное изложение основ теории, но и четко представляет наблюдательный материал о вращении Солнца и звезд. Автор затрагивает не только проблемы собственно вращения звезд, но и общие вопросы гидродинамики звезд и планет, а также более специальные задачи, например проблему дифференциального вращения Солнца.
В мировой и советской научной литературе трудно указать книгу, посвященную вращению и сравнимую с предлагаемой монографией по широте и глубине охвата темы. Из книг, вышедших за последнее время, можно упомянуть книгу Г. С. Саакяна ([3] к гл. 13), но в ней изложены результаты, относящиеся к вращению лишь вырожденных звезд, а в известной монографии С. Чандрасекара ([28] к гл. 3) затрагивается практически только идеализированный случай несжимаемой жидкости. Напротив, книга Тассуля при всем внимании автора к математическим аспектам теории и к полезным идеализациям посвящена реальным звездам. Всюду, где это возмож* но, автор проводит анализ проблемы с точки зрения астрофизики и сопоставление теории с наблюдениями.
Автор достаточно подробно освещает работы советских астрофизиков по проблеме вращения звезд. Для более глубокого изучения специальных вопросов, затронутых в монографии, читателю можно рекомендовать по
вопросу о вращении Солнца книгу Ю. В. Вандакурова «Конвекция на Солнце и 11-летний цикл» (Л.: Наука, 1976), а о генерации магнитных полей книгу С. И. Вайнштейна, Я. Б. Зельдовича и А. А. Рузмайкина «Турбулентное динамо в астрофизике» (М.: Наука, 1980). Старая проблема меридиональной циркуляции подробно описана в обзоре Местела ([1] к гл. 8). Известно, какое внимание уделял этой проблеме проф. Д. А. Франк- Каменецкий (см. его предисловие к книге «Внутреннее строение звезд».— М.: Мкр, 1970). Следует также указать интересную работу Г. Г. Павлова и Д. Г. Яковлева (Астрон. ж., 55, 1043, 1978). Любому читателю, знакомящемуся с меридиональной циркуляцией, будет полезен прямой подход к задаче, описанный в этой работе.
В оригинале книги обзор литературы был доведен до 1976 г. Специально для русского издания автор написал послесловие, содержащее обзор новейших достижений теории вращающихся звезд. Он также любезно предоставил предисловие к русскому изданию, список опечаток и дополнений к основному тексту. За это мы приносим ему искреннюю благодарность. Хотелось бы рсобо отметить большую работу С. И. Блинникова, уточнившего в тесном сотрудничестве с автором ряд существенных моментов содержания книги.
По уровню отбора материала, обширной библиографии (более 1000 ссылок) предлагаемая книга может служить ценным пособием для специалистов-астрофизиков, которые найдут в ней не только изложение известных устоявшихся результатов, но и постановку ряда нерешенных задач. В то же время большая часть книги может использоваться как учебное пособие для студентов и аспирантов астрономических и геофизических специальностей, изучающих как физику звезд, так и физику Солнца и планет, поскольку автор доступно излагает общие вопросы гидродинамики, теории устойчивости и пульсаций этих небесных тел.
Прошедшие десятилетия были ознаменованы крупными достижениями теории эволюции сферических звезд. Эти успехи стали возможны потому, что на многих стадиях эволюции вращение играет роль лишь небольшой поправки. В настоящее время в муках рождается количественная теория образования звезд, а для конечных стадий звездной эволюции — теория гравитационного коллапса и вспышек сверхновых. Теперь ни у кого не возникает сомнений в том, что в этих крайних точках жизни звезды вращение играет очень важную роль, а не роль малой поправки, поэтому появление книги Тассуля очень своевременно. Она помогает оглянуться на завоевания теории вращающихся звезд в результате упорного труда многих исследователей в течение нескольких столетий и вооружает знаниями, необходимыми для победы в битве за раскрытие тайн самых драматичных моментов в жизни звезд.
10 июня 1981 г.10 июня 1981 г.В. С Имшенник
10 июня 1981 г.
10 июня 1981 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Русское издание моей книги выходит в свет примерно три года спустя после выхода ее на английском языке. Хотя за этот период получены новые теоретические результаты и данные наблюдений, пока еще нет необходимости в существенной переработке книги. Поэтому при подготовке русского издания я ограничился тем, что написал новое послесловие и привел некоторые ссылки на работы, опубликованные в 1977 — 1980 гг. и касающиеся главных аспектов вращения звезд. Наиболее важные результаты касаются гл. 11, в которой рассматривается так называемая проблема деления и образования двойных и кратных звезд. Значительный прогресс достигнут также в теории меридиональной циркуляции в зонах звезд, находящихся в лучистом равновесии (гл. 8).
Все опечатки и неточности, замеченные в американском издании, были исправлены. В этой связи большую роль сыграли замечания С. И. Блинникова и М. Стикса, и я очень благодарен им за это. Я особенно признателен С. И. Блинникову, выполнившему большую работу по переводу книги и подготовке ее к изданию.
就•〃・ Тассулъ就•〃・ ТассулъМонреаль, июнь 1981 г.
就•〃・ Тассулъ
就•〃・ Тассулъ
Невеждою начинает он (человек) жизненный путь свой, но, шагая вперед, не перестает учиться, ибо к услугам его не только собственный опыт, но и опыт предшественников, поскольку в памяти своей всегда хранит он то, что узнал однажды, а знания древних всегда с ним в книгах, ими оставленных. И коль скоро знания его сберегаются, ему нетрудно и умножить их, так что сегодня люди в известном смысле в том же положении находятся, в каком оказались бы античные философы, если бы век их доныне продлился и к уже известному им добавилось бы завоеванное в трудах столь долгих столетий. Так, по особому дару, не только сам человек изо дня в день в науках продвигается, нсГ и все человечество по мере старения мира вперед непрерывно шествует — ведь то же самое вершится в поколениях, что и в разные годы жизни отдельного человека. И значит, вся цепь людей в течение всех веков должна рассматриваться как один и тот же человек, который всегда существует и непрестанно познает.
Блез Паскаль (Предисловие в «Трактату о вакууме», 1663)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вряд ли среди выпускников вузов найдется много таких, кого нужно убеждать в том, что один из крупнейших недостатков современной системы обмена научной информацией ——это угрожающий разрыв между типичной обзорной статьей, адресованной одними специалистами другим специалистам, уже знакомым с предметом, и солидным вузовским учебником, в котором нерешенные проблемы обычно не затрагиваются. Это особенно справедливо для теории вращения звезд — области, которая стала одной из наиболее разветвленных астрофизических дисциплин по специфике исследования. По-видимому, не существует книги, в которой была бы собрана воедино ценная информация по теории вращения звезд, рассеянная по разным источникам, и сама теория изложена сжато, но без ущерба для широты охвата. Поэтому цель настоящей монографии — устранить этот пробел. Как обычно в науке, основные идеи и результаты, использованные в книге, конечно, принадлежат многим ученым. Хотя я старался сопоставлять теорию с наблюдениями, изложение носит в основном теоретический характер, и я надеюсь, что достиг компромисса между простейшими феноменологическими доводами и наиболее сложными математическими заключениями. Подробное исследование проблемы в целом потребовало бы нескольких томов значительно большего объема, чем эта книга, поэтому лаконичность описания вращающихся звезд повлекла за собой необходимость пожертвовать значительным количеством деталей. Кроме того, поскольку рассматриваемый предмет весьма разветвлен» я старался почти полностью сосредоточиться на давно стоящих задачах, которые можно решать в ньютоновской механике, и не касался многих новых направлений (таких, как
вращающиеся нейтронные звезды, пульсары и двойные рентгеновские источники), находящихся в процессе быстрого и бурного становления в рамках общей теории относительности. По тем же причинам в книге не рассматривались работы Дикке о сплюснутости Солнца и о вращении солнечных недр (но ссылки на них даны).
Общий план книги таков. Вводная гл. 1 содержит краткий исторический очерк исследований вращения звезд. В гл. 2 представлены основные данные наблюдений, лежащие в основе развиваемой ниже теории. В гл. 3 приведены законы Ньютона и основные уравнения применительно к вращающимся звездам. Собственно изложение теории начинается с гл. 4 и делится на две части. Первая часть (гл. 4 — 8) содержит теоретические предпосылки, необходимые для понимания внутреннего строения, устойчивости и эволюции вращающихся звезд; во второй части (гл. 9 ——16) систематически изложены теоретические результаты, представляющие интерес в связи с различными типами вращающихся звезд.
В гл. 4 рассмотрены некоторые простые механические свойства звезд, имеющие отношение к теме книги. (Особенно важны разд. 4.2 и 4.3, так как большая часть теории основана на свойствах, описанных в этих разделах.) В гл. 5 и 6 описаны основные методы определения внутреннего строения вращающейся звезды и исследования ее устойчивости относительно бесконечно малых возмущений. (Большинство разделов гл. 7 и 8 можно изучать сразу после гл. 4; тем не менее, мы советуем прочитать разд. 6.4, существенный для понимания других вопросов устойчивости.) В гл. 7 и 8 рассматриваются задачи, связанные с фактическими движениями в излучающей звезде относительено ее центра масс. В гл. 7 специально изучается вопрос о распределении момента количества движения в недрах звезды, а в гл. 8 критически рассматриваются меридиональные течения в звезде, деформированной вращением. Если бы удовлетворительная картина меридиональных течений в немагнитной звезде была уже построена» то гл. 7 ——8 следовало бы объединить в одну.
Поскольку в настоящее время общего согласия относительно причин дифференциального вращения Солнца, по-видимому, не достигнуто, гл. 9 посвящена различным теориям, при помощи которых пытаются объяснить это явление. Здесь мы, очевидно, сталкиваемся с другой нерешенной задачей: с важной проблемой взаимодействия конвекции и вращения в звезде; к этому можно еще добавить, что следовало бы попытаться сначала понять конвекцию без вращения! (Солнце рассматривается также в разд. 2.2 и 15.5.) В гл. 10 изучаются различия между твердотельно и дифференциально вращающимися телами с сильным отклонением от сферической симметрии. Эта почти классическая задача иллюстрируется на примере политропных звезд; разд. 10.5 содержит краткое резюме. В гл. 11 — 13 рассматриваются главные стадии эволюции звезд в том виде, как они понимаются в настоящее время. Гл. 11 в общих чертах посвящена стадиям до главной последовательности, а также одному из основных нерешенных вопросов теории вращающихся звезд: будет ли одиночная сжимающаяся звезда, обладающая некоторым начальным моментом количества движения, в
конце концов распадаться на пару отдельных фрагментов с образованием двойной звезды? В гл. 12 изучаются звезды главной последовательности; в заключение вкратце рассматриваются стадии звездной эволюции после главной последовательности. (Взаимосвязь теории и наблюдений особенно выделена в разд. 12.3 — 12.6.) Гл. 13 целиком посвящена основным характеристикам вращающихся белых карликрв. Наконец, в гл. 14 — 16 излагаются различные проблемы, которые нельзя было включить в предыдущие главы без серьезного ущерба для систематичности изложения. Эти три главы посвящены соответственно некоторым специальным проблемам устойчивости, крупномасштабным магнитным полям во вращающихся звездах и осевому вращению компонентов в тесных двойных.
В конце каждой главы приводится литература, полезная для дальнейшего изучения материала, изложенного в соответствующих разделах, или для знакомства с вопросами, не затронутыми в книге. (Все упоминаемые авторы перечислены также в именном указателе.) Книга написана в 1973 — 1976 гг. и охватывает все имевшиеся в моем распоряжении материалы вплоть до октября 1976 г. (Более поздние работы учитывались лишь в случае, если я располагал предварительными сведениями об их содержании.) Комментарии в библиографии носят чисто субъективный характер; тем не менее я счел необходимым снабдить студентов и исследователей в смежных областях хоть каким-то руководством в море литературы по теории вращающихся звезд. Особое внимание уделено многочисленным (часто неразрешимым) вопросам приоритета и независимости работ. Заранее приношу искренние извинения за любое упущение или недооценку вклада того или иного автора.
Ж .-Л, ТассульНоябрь 1976Ж .-Л, ТассульНоябрь 1976Ясно, что написать такую книгу было бы невозможно без очень большой поддержки многих людей, оказанной в форме предложений, критических замечаний и финансовой помощи. Последняя была обеспечена Национальным советом по научным исследованиям Канады (субсидия А-5484). Я чрезвычайно обязан также многим коллегам, прочитавшим отдельные главы и сделавшим полезные замечания, в особенности X. А. Абту, И. Шар- лану, Р. А. Шевалье, Б. Р. Дэрни, Ж. Фонтэну, Дж. Д. Лэндстриту, А. Мадеру, Л. Местелу, Ж. Мишо, А. Слеттебаку и Р. К. Смиту. Принося благодарность за помощь этим и другим лицам, я напоминаю, что они, разумеется не несут никакой ответственности за возможно вкравшиеся в книгу ошибки по существу дела или в оценках. Наконец, я хочу выразить признательность моей жене Монике, которая принимала участие во всех этапах работы, следила за созреванием окончательного варианта и безжалостно его критиковала. Без ее помощи, поддержки и неизменного терпения в такой всепоглощающей работе не могла бы быть написана эта книга, которую я дружески и с любовью посвящаю ей.
Ж .-Л, Тассуль
Ноябрь 1976
Ж .-Л, Тассуль
Ноябрь 1976
Отделение физики, Монреальский университет, Монреаль, Квебек
КРАТКИЙ СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
В этот список включены лишь те сокращения, которые встречаются в основном тексте, примечаниях, таблицах и подписях к рисункам. В библиографии используются полные названия или сокращения, рекомендованные Международным астрономическим союзом.
А. Ар.
Adv. А. Ар、 A. J.
A. N.
Ann. Ар.
Ap.J M.N. P.A.S.P. Z.f.Ap.
Astronomy and Astrophysics
Advances in Astronomy and Astrophysics The Astronomical Journal
Astronomische Nachrichten
Annales d'Astrophysique
The Astrophysical Journal
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
Publications of the Astronomical Society of the Pacific Zeitschrift fiir Astrophysik
1
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
ОТКРЫТИЕ ВРАЩЕНИЯ СОЛНЦА
Изучение вращения звезд началось примерно в 1610 г., когда солнечные пятна впервые наблюдались с помощью телескопа. В июне 1611 г. Йоханнес Гольдшмидт (1587 ——1615), уроженец Восточной Фрисландии (Германия), более известный под латинизированным именем Фабрициус, впервые публично объявил об их существовании. Из своих наблюдений он сделал верный вывод: пятна являются частью самого Солнца и тем самым доказывают его вращение вокруг оси. Он, по-видимому, не оценил всей важности своего заключения и больше не занимался этим вопросом.
Галилео Галилей (1564 — 1642), по его собственному утверждению, наблюдал солнечные пятна в конце 1610 г., но не сообщал о своем открытии до мая 1612 г. К этому времени такие же наблюдения провели Томас Гар- риот (1560 — 1621) в Англии и монах-иезуит Кристоф Шейнер (1575 — 1650) в Германии. Спор о природе солнечных пятен сделал Шейкера злейшим врагом Галилея и перерос в ссору о том, кому принадлежит приоритет. Зная о запрете церковных властей верить в существование пятен на Солнце (поскольку в трудах Аристотеля они не упоминались), Шейнер опубликовал свое открытие в трех письмах, написанных под псевдонимом Апеллес. Он считал, что пятна — это малые планеты, которые обращаются вокруг Солнца и, проходя между наблюдателем и Солнцем, кажутся темными объектами. Такой взгляд противоречил мнению Галилея и Фабрициуса, утверждавших, что пятна должны находиться на самой солнечной поверхности или очень близко к ней.
В ответ на это в следующем 1613 г. Галилей опубликовал свою Istoria е Dimostrazioni intorno alle Macchie Solari e loro Accidents В этих трех письмах он опровергал выводы Шейнера и в первый раз во всеуслышание объявил себя сторонником гелиоцентрической системы мира. Так началась драматическая история его столкновений с римской инквизицией. Что же каса-
ется вращения Солнца, то, по-видимому, здесь стоит воспроизвести один из его аргументов — такой простой и в то же время такой убедительный. Галилей заметил, что пятно пересекает солнечный диск приблизительно за 14 сут, причем это время остается одинаковым независимо от того, проходит ли пятно через центр диска или на некотором расстоянии от него по более короткому пути. Он также обнаружил, что скорость движения пятна вовсе не постоянна: движение представляется значительно более медленным вблизи солнечного лимба, чем около центра. Он объяснил это эффектом ракурсного сокращения, возможным в том и только в том случае, когда пятна находятся у самой поверхности Солнца.
Так Галилей полностью опроверг взгляды Шейнера. В конце концов собственные наблюдения заставили монаха-иезуита признать, что Солнце вращается с наблюдаемым периодом примерно 27 сут. Ему же принадлежит заслуга гораздо более точного, чем у Галилея, определения положения экваториальной плоскости Солнца и периода его вращения. В частности, он показал, что у разных солнечных пятен периоды вращения различны и, кроме того, что пятна, расположенные дальше от экватора, движутся с меньшей скоростью. Шейнер собрал свои наблюдения в книге, озаглавленной Rosa Ursina sive Sol、которая вышла в свет в 1630 г. (Название книги связано с фамильным гербом герцога Орсини, которому она была посвящена и геральдическими знаками которого были роза и медведь.) По существу, это была первая монография по физике Солнца.
В течение двухсот с лишним лет проблеме вращения Солнца не уделялось практически никакого внимания, и дальнейшее мало-мальски заметное продвижение произошло лишь в 1850-х годах. В это время богатый английский любитель астрономии Ричард Кэррингтон (1826 — 1875) и немецкий астроном Густав Шперер (1822 — 1895) предприняли длинную серию наблюдений видимого движения солнечных пятен. Независимо друг от друга они подтвердили, что видимая внешняя оболочка Солнца вращается не как твердое тело, т.е. период ее вращения изменяется в зависимости от гелиоцентрической широты. Они показали, что период вращения минимален на экваторе и постепенно увеличивается к полюсам. С поправкой на годичное обращение Земли вокруг Солнца Кэррингтон получил средний период вращения на солнечном экваторе 24,96 сут.
Не раз предпринимались попытки найти эмпирическую формулу, которая аналитически описывала бы зависимость угловой скорости вращения от широты. Из данных своих наблюдений с 1853 по 1861 г. Кэррингтон вывел следующее выражение для угла поворота Солнца за сутки:
f(°/cyr) = 14,42° 一 2,75°sin7/4。， (1)
где ф ——гелиоцентрическая широта. Несколько позже французский астроном Эрве Фай (1814 — 1902) установил, что зависимость угла поворота от гелиоцентрической широты лучше описывается формулой
Е(Зсут) = 14,37。- 3,lO°sin20. (2)
Впоследствии предлагались другие соотношения, однако и в наши дни астрономы продолжают пользоваться эмпирической формулой Фая.
Следующий шаг был сделан Германом Фогелем (1841 ——1907) в Потсдаме. С помощью спектроскопа, изобретенного Иоганном Цельнером (1834 — 1882), Фогель показал в 1871 г., что вращение Солнца можно обнаружить по относительному доплеровскому сдвигу спектральных линий на противоположных краях солнечного диска, один из которых приближается, а другой удаляется . Нильс Дунер (1839 — 1914) в Лунде и Упсале, а позже Джэкоб Холм (1866 — 1944) в Эдинбурге провели обширные и тщательные визуальные наблюдения. Дунер и Холм использовали при этом относительный метод измерений, основанный на сравнении солнечных и земных линий спектра. Они пришли к выводу, что закон Фая хорошо подтверждается и спектроскопическими наблюдениями, но при этом они охватили вдвое больший диапазон широт, чем с помощью солнечных пятен. На смену первым визуальным наблюдениям, выполненным с 1887 по 1906 г., пришла фотография, почти полностью заменившая человеческий глаз. Первые спектрографические исследования вращения Солнца были предприняты в конце XIX в. Уолтером С. Адамсом (1876 — 1956) и Джорджем Э. Хэйлом (1868 ——1938) в солнечной обсерватории на Маунт-Вилсон в Калифорнии.
ПЕРВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВРАЩЕНИЯ ЗВЕЗД
В 1877 г. сэр Уильям Эбни (1843 — 1920) высказал предположение, что большая ширина некоторых линий поглощения в спектрах звезд, возможно, объясняется их вращением. Он справедливо отмечал, что спектр звезды порождается светом, идущим от всех участков ее диска. Вследствие эффекта Доплера спектральные линии от удаляющегося края звезды смещаются в красную, а от приближающегося ——в фиолетовую область спектра. Эбни заключал: «Это должно привести к общему уширению спектральной линии, которая состоит теперь как бы из двойной полутени и черного ядра . . . Более того, вращением, по>видимому, можно объяснить исчезновение некоторых более слабых линий спектра . . . Я убежден, что по хорошей фотографии можно узнать очень многое . . .» (М. N., 37, 278, 1877). Эти предположения встретили суровую критику со стороны Фогеля, по-
скольку в спектрах некоторых звезд присутствуют как широкие, так и узкие линии. Говоря об использовании фотографии, Фогель к тому же утверждал, что «даже на самом удачном снимке измерить ширину линий можно лишь относительно. Поэтому никаких выводов о вращении сделать нельзя: ширина линий на разных фотопластинках будет зависеть и от времени экспозиции, и от чувствительности пластинки, и от длительности проявления» (A. N・，90, 71, 1877).
Предположения Эбни не нашли поддержки у современников. Причиной этому послужил, вероятно, огромный вес, который имело мнение Фогеля, занимавшего в течение многих лет ведущее положение в области звездной спектроскопии. Так или иначе, всего через несколько лет после своих настойчивых предостережений Фогель сам стал применять фотографию в звездной спектроскопии и к 1898 г. изменил свою точку зрения на противоположную, согласившись с гипотезой, что вращение действительно приводит к измеримому уширению спектральных линий звезд.
Как часто бывает в истории науки, вращение звезд было открыто совершенно случайно. Убедительное свидетельство вращения затменной и спектрально-двойной звезды 6 Весов было получено в 1909 г. Фрэнком Шлезингером (1871 — 1943), работавшим тогда в обсерватории Аллегенй в Питтсбурге. Он заметил, что значения лучевых скоростей, которые он измерял на спектрограммах непосредственно перед минимумом блеска и сразу после него, отличались от ожидаемых. Перед самым началом полного затмения наблюдался избыток скорости, а сразу после него регистрировалось отрицательное отклонение. Шлезингер решил, что это может происходить, если более яркая из двух звезд вращается вокруг своей оси и во время частного затмения видимая часть ее диска несимметрична относительно ее оси вращения. Годом позже Шлезингер наблюдал подобное явление в затменной системе 入 Тельца. В 1924 г. Ричард А. Росситер (1886 — 1977) в Мичиганском университете надежно установил существование такого эффекта у 8 Лиры и построил график остаточных значений скорости на протяжении всего затмения. Тогда же Дин Б. Маклафлин (1901 ——1965) изучил этот эффект в двойной системе 6 Персея. Это были первые точные измерения вращения звезд.
Новый подход к выявлению вращения звезд возник благодаря спектрально-двойным, не являющимся переменными по блеску. В 1919 г. Адамс и Альфред Джой (1882 — 1973) изучали на обсерватории Маунт- Вилсон двойную W Большой Медведицы спектрального класса F8 с периодом 0,334 сут. Они отметили, что «необычный характер спектральных линий частично объясняется быстрым изменением скорости в течение даже самой короткой экспозиции, но главным образом он связан с наличием у каждой звезды вращения, которое может вызывать разность лучевых скоростей между двумя лимбами звезды до 240 км/с» (Ар. J., 49, 190, 1919). Десять лет спустя Григорий Абрамович Шайн (1882 ——1956) в Советском Союзе и Отто Струве (1897 — 1963) в США совместно провели систематическое изучение уширения линий вследствие вращения звезд в спектральнодвойных системах. (Их сотрудничество осуществлялось путем переписки по
почте.) Шайн и Струве надежно установили, что по крайней мере у короткопериодических спектрально-двойных уширение линий обусловлено главным образом вращением.
Следующим шагом было распространение этих измерений на одиночные звезды. В самом деле, не исключена была возможность того, что быстрое вращение вообще встречается только в двойных звездах, например из-за синхронизации осевого вращения с орбитальным движением под действием приливных сил. Поскольку линейная скорость вращения Солнца чрезвычайно мала (около 2 км/с на экваторе), многие астрофизики в то время допускали, тго вращение других одиночных звезд также незначительно. В течение 1930 — 1934 гг. Струве совместно с Кристианом Т. Элви (1899 ——1972) и мисс Кристиной Уэстгейт систематически изучал вращение звезд на Йеркской обсерватории при Чикагском университете. Они проводили свои измерения, подбирая для наблюдаемого контура спектральной линии контур, вычисленный с учетом различных доплеровских уширений из первоначально узкой линии той же эквивалентов ширины, что и у наблюдаемой линии. Они показали, что измеряемые значения составляющей скорости вращения вдоль луча зрения заключены в пределах от 0 до 250 км/с, а иногда достигают 400 км/с и даже больше. В 19 31 г. Струве и Элви открыли корреляцию между скоростью вращения и спектральным классом: быстрое вращение часто встречается у звезд классов О, В, А и ранних подклассов F, тогда как у холодных звезд класса F и более поздних быстрое вращение можно найти только в тесных спектрально-двойных. Они же обнаружили, что у сверхгигантов ранних и поздних классов и нормальных гигантов класса F и более поздних классов заметное вращение отсутствует.
После этих работ проблема была благополучно заброшена на целых 15 лет. Лишь в 1949 г. измерениями вращения звезд вновь заинтересовался Арне Слеттебак (университет штата Огайо).
ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЖИДКОСТИ
История исследований влияния вращения на внутреннее строение и эволюцию звезд весьма продолжительна. Первым, кто осознал важную роль закона тяготения для объяснения формы небесных тел, был сэр Исаак Ньютон (1643 — 1727). В Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Книга Ш, Предложения 18 — 20, 1687) он впервые разбирал вопрос о фигуре Земли, рассматривая ее как однородный слегка сплюснутый сфероид, который вращается с постоянной угловой скоростью. Предположив, что этот сфероид является фигурой равновесия, Ньютон утверждал, что вес столбов жидкости в каждом из двух взаимно перпендикулярных колодцев, прорытых от полюса и с экватора до центра Земли, должен быть одинаковым. Как следствие из этого условия он вывел соотношение f = т между сплюснутостью меридионального сечения / и отношением m центробежной силы на экваторе к (средней) силе тяготения на поверхности.
Следующий шаг сделал Христиан Гюйгенс (1629 — 1695) в своем Discours de la cause de la pesanteur, опубликованном в Лейдене в 1690 г. Ему
мы обязаны формулировкой необходимого условия относительного равновесия вращающейся жидкости: равнодействующая силы тяготения и центробежной силы в любой точке свободной поверхности направлена по нормали к поверхности в этой точке. Гюйгенс не признавал, что соседние материальные частицы притягивают одна другую, но допускал существование силы тяготения, направленной все время к фиксированной точке. В соответствии с этим в одной из моделей он предполагал, что сила тяготения Земли — это единая центральная сила, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра. Отсюда с помощью ньютоновского принципа уравновешенных столбов жидкости Гюйгенс вывел в своей модели соотношение / = т/2 в случае малого отклонения от сферичности. Как теперь известно, этот результат равносилен условию бесконечной плотности в центре Земли; его следует сравнить с работой Ньютона, где Земля считалась однородной. В действительности измеряемое для Земли значение / заключено между значениями, которые вывели в своих экстремальных моделях Ньютон и Гюйгенс.
Несмотря на то что из идей Ньютона в конечном счете возникла современная механика, эти идеи не сразу были приняты в Европе. В первой половине ХУШ в. многие европейские ученые были твердыми сторонниками вихревой теории, выдвинутой в 1644 г. Рене Декартом (1596 — 1650). Картезианцы отвергали ньютоновские идеи в основном потому, что понятие тяготения как первопричины движения казалось непостижимым. Кроме того, из их систем вихрей каким-то образом выходило, что Земля должна быть вытянута у полюсов. Чтобы разрешить спор картезианцев с ньюто- нианцами и измерить длину дуги меридиана, в 1730-х годах в различные части планеты были отправлены геодезические экспедиции. Первой возвратилась экспедиция, проводившая измерения в Лапландии и подтвердившая, что в действительности Земля сплюснута у полюсов. Руководитель этой экспедиции — Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698 — 1759) — первый француз, осмелившийся открыто назваться ньютонианцем, получил прозвище «великий сплющиватель». Тогда вихревая теория и потерпела окончательное поражение.
Весьма существенный вклад в эту область науки внесли в 1737 — 1743 гг. Алекси Клод Клеро (1713 — 1765) в Париже и Колин Маклорен (1698 — 1746) в Эдинбурге, Чтобы должным образом оценить важность их открытий, стоит вспомнить, что гидростатика как наука находилась в то время в зачаточном состоянии. Фактически в этих ранних работах еще отсутствовало ясное представление о внутреннем давлении. Поэтому при доказательстве того или иного утверждения Клеро и Маклорену приходилось опираться либо на ньютоновский принцип уравновешенных столбов жидкости, либо на гюйгенсовский принцип линии отвеса, либо на оба вместе. Отметим, что необходимые и достаточные условия гидростатического равновесия не были известны до 1755 г., когда Леонард Эйлер (1707 — 1783)
окончательно вывел общие уравнения движения для невязкой жидкости.
Как мы уже отмечали, Ньютон принимал без доказательства, что для медленно вращающейся жидкости возможной фигурой равновесия является сплюснутый сфероид. В 1737 г. Клеро получил выражение для силы тяготения в любой точке поверхности однородного сфероида в том случае, когда он несильно отличается от сферы. Затем в первом порядке по сплюснутости он показал, что в каждой точке свободной поверхности ньютоновской модели соблюдается гюйгенсовСкий принцип линии отвеса.
В 1740 г. Маклорен обобщил этот результат, полностью решив задачу для однородного сфероида, форма которого заметно отличается от сферической. С помощью все того же ньютоновского принципа уравновешенных столбов он доказал, что фигурой относительного равновесия может служить любой сплюснутый сфй)оид. Кроме того, ему удалось найти связь между угловой скоростью вращения и сплюснутостью меридионального сечения. Наконец, он показал, что линия отвеса перпендикулярна свободной поверхности в каждой ее точке, Маклорен ввел также фувдаментальное понятие уровенной поверхности, установив, что на любой глубине результирующая объемная сила всегда направлена по нормали к некоторой поверхности, принадлежащей к семейству подобных сфероидов.
Обратимся теперь к блестящему трактату Клеро, ТИёопе de la figure de la terre, опубликованному в 1743 г. Самой интересной для нас является та часть книги, в которой изучаются фигуры равновесия медленно вращающихся неоднородных тел — проблема, которую никто до той поры почти не затрагивал. Клеро рассмотрел самогравитирующую конфигурацию, состоящую из квазисферических слоев различной плотности. В этих предположениях он показал, что уровенные поверхности должны совпадать с поверхностями равной плотности. Затем, применяя гюйгенсовский принцип линии отвеса к каждой уровенной поверхности, он доказал, что сплюснутые сфероиды удовлетворяют условиям относительного равновесия, и вывел уравнение, связывающее переменную сплюснутость слоев с их плотностью. Наконец, в первом порядке по сплюснутости он показал, что эффективная сила тяжести на поверхности уменьшается при движении от полюсов к экватору как квадрат косинуса широты.
Хотя все основные идеи общей теории вращающихся тел были выдвинуты в пионерских работах этих исследователей, самый большой вклад в эту область знания внесли маркиз Пьер Симон де Лаплас (1749 — 1827) и Адриен Мари Лежандр (1752 — 1833) в период с 1773 по 1793 г. Именно Лежандру принадлежит понятие гравитационного потенциала и общая теория
притяжения однородного эллипсоида. Многочлены, которые носят теперь его имя, он ввел как раз в ходе этой работы. Мысль о том, что уровенные поверхности твердотельно вращающегося тела можно определить как такие поверхности, на которых сумма гравитационного и центробежного потенциалов постоянна, исходит также от Лежандра. С помощью этого условия ему удалось довести теорию Клеро до ее современного вида и доказать, что, когда отличия от сферичности невелики, слои должны иметь вид сплюснутых сфероидов. Что касается Лапласа, то, работая над данной проблемой, он ввел сферические гармоники и дифференциальное уравнение, которое с тех пор носит его имя. Он же впервые доказал хорошо известную теорему, что в твердотельно вращающейся фигуре равновесия уровенные поверхности совпадают как с поверхностями равного давления, так и с поверхностями равной плотности. Побочным результатом исследований Лапласом уравнения Клеро было введенное им в 1825 г. понятие баротропы; к тому же он рассмотрел и нашел явное решение для сферической политропы показателя л = 1!
Все упомянутые результаты Лаплас включил во внушительный труд ТгаИё de тёсатдие c%We (1799 — 1825), в котором, к сожалению, он нередко забывал воздавать должное важным заслугам своего коллеги Лежандра. Дифференциальное уравнение, которое связывает гравитационный потенциал во внутренней точке тела с плотностью в ней, впервые вывел в 1829 г. Симеон Дени Пуассон (1781 ——1840). Оно стало обязательной составной частью теории самогравитирующих тел.
В 1834 г. Карл Якоби (1804 — 1851) сделал новое важное открытие, обнаружив, что допустимыми фигурами равновесия бывают не только конфигурации с осевой симметрией. Якоби привел убедительные свидетельства в пользу того, что одной из форм относительного равновесия у вращающихся тел может быть однородный эллипсоид с тремя неравными осями. В том же году Жозеф Лиувилль (1809 — 1882) опубликовал аналитическое доказательство этого утверждения, а в 1843 г. впервые описал свойства этих эллипсоидов в зависимости от момента количества движения. К тому времени было уже известно, что с увеличением момента количества движения от нуля до бесконечности сфероиды Маклорена видоизменяются от сферы до бесконечно тонкого диска. Что же касается эллипсоидов Якоби, форма которых меняется от конфигурации с осевой симметрией до бесконечно длинной спицы, то Лиувилль установил, что они могут представлять собой фигуры равновесия, только если момент количества движения превышает определенный предел.
Дальше продвинуться в решении проблемы удалось только тогда, когда
независимо друг от друга ею занялись Александр Михайлович Ляпунов (1857 — 1918) и Анри Пуанкаре (1854 — 1912). Заслугой Пуанкаре было создание общей теории равновесия и устойчивости эллипсоидальных форм, ему же принадлежит понятие фигур бифуркации. В частности, он доказал существование грушевидных фигур, которые ответвляются от последовательности эллипсоидов Якоби. Надо сказать, что годом раньте, в 1884 г., эти грушевидные фигуры были открыты Ляпуновым. К сожалению, результаты русского математика оставались почти неизвестными западным ученым, до тех пор пока его работы не были переведены на французский язык по просьбе самого Пуанкаре. Открытие этих фигур Ляпунова — Пуанкаре явилось стимулом для многочисленных исследований, поскольку возникло предположение, что в конечном счете они могут распадаться на два отдельных тела, обращающихся одно вокруг другого. Такая теория происхождения двойных звезд впервые была выдвинута в 1883 г. лордом Кельвином (Уильям Томсон, 1824 — 1907) и Питером Гут- ри Тейтом (1831 — 1901). В 1920-х годах самым горячим ее сторонником был сэр Джеймс Хопвуд Джинс (1877 — 1946). Критический разбор этой теории мы дадим в разд. 11.3.
Много важных открытий, правда, привлекших меньше внимания, было сделано в период с 1885 по 1935 г. и относительно центрально конденсированных тел с большим отклонением от сферической симметрии. В самом деле, стратификация быстро вращающегося неоднородного тела никогда заранее не известна и определять ее нужно из условий относительного равновесия. С помощью метода последовательных приближений Ляпунов первым развил точную теорию неоднородных тел, уровенные поверхности которых лишь слегка отличаются от гомоцентрических эллипсоидов. Эта работа — бесспорный шедевр в области функционального анализа, тем не менее ее очень трудно использовать в исследовательской практике. Поэтому Леон Лихтенштейн (1878 — 1933) в Берлине и Лейпциге и Ролен Вавр (1896 — 1949) в Женеве предложили другие способы. По большей части все они ныне уступили место численным методам, однако с их помощью были доказаны некоторые фундаментальные теоремы, которые лежат в основе теории быстро вращающихся центрально конденсированных тел. Особо отметим глубокие работы по дифференциальному вращению французского математика Пьера Дива. Однако к середине тридцатых годов исследования такого рода вышли из моды, и на все эти классические результаты почти никто не обращал внимания на протяжении последних сорока лет. Мы вновь вернемся к ним в гл. 4.
«ЗОЛОТОЙ ВЕК» ТЕОРИИ ВРАЩЕНИЯ ЗВЕЗД
Несмотря на то что теория вращающихся звезд очень сильно развилась за последние 15 лет, ее главные понятия, лежащие в основе почти всех современных исследований, сложились в 1919 ——1941 гг. Здесь мы дадим лишь краткий обзор соответствующих первых работ; ниже в этой книге мы подробно рассмотрим все эти работы.
Уже в начале века стало ясно, что звезды представляют собой газообразные центрально конденсированные конфигурации. В 1919 г. Джинс задумался над тем, будут ли последовательности твердотельно вращающихся центрально конденсированных тел повторять классическую схему Маклорена — Якоби. Чтобы ответить на этот вопрос, он построил различные последовательности однородно вращающихся политроп, причем показатель политропы л служил мерой центральной конденсации. Он обнаружил, что для значений л, больших пс * 0,8, схема Маклорена — Якоби уже не осуществляется. Другими словами, при л 力 〃。т.е. когда плотность в центре не менее чем втрое выше средней, последовательности однородно вращающихся политроп не достигают точки бифуркации, а обрываются, когда гравитационное и центробежное ускорения на экваторе становятся одинаковыми. Отсюда Джинс заключил, что если представить себе последовательность таких медленно сжимающихся фигур, то в конечном счете начнется экваториальное истечение. Иначе говоря, поскольку при дальнейшем сжатии центробежная сила начинает превышать силу тяготения, на экваторе возникает непрерывная струя отбрасываемого вещества. Исходя из этой полуколичественной картины, Струве высказал в 1931 г. предположение, что звезды класса Be являются однородно вращающимися звездами класса В, которые находятся на грани экваториального истечения и окружены газовыми кольцами.
В те же годы по мере улучшения понимания физических процессов, происходящих в недрах звезд, стало ясно, что у подавляющего большинства звезд перенос энергии в их основном объеме осуществляется излучением, а не конвекцией. На основе этого результата Эдвард Артур Милн (1896 — 1950) из Оксфорда построил в 1923 г. первую подробную модель медленно вращающейся звезды в чисто лучистом равновесии. Десять лет спустя астрофизик индийского происхождения Субрахманьян Чандрасекар, который тогда стажировался в Копенгагене, обобщил этот метод и применил его к слабо возмущенным политропам. Большая часть современных моделей звезд, отклонение которых от сферической симметрии невелико, построена на основе этих двух первых исследований.
Следующий важный шаг в изучении вращения звезд сделал в Упсале Гуго фон Цейпель (1873 — 1959). В 1924 г. он доказал следующую теорему: если химически однородная звезда, вращающаяся как твердое тело с угловой скоростью Р, находится в статическом лучистом равновесии, то скорость выделения энергии £ nuc в любой внутренней точке должна определяться формулой
£nuc = const [1 - (O2/2ttGP)], (3)
где Gup — соответственно гравитационная постоянная и плотность в этой точке. Поскольку фактические источники энергии в звезде не удовлетворяют условию (3), ясно, что хотя бы от одной из исходных посылок следует отказаться. Это обстоятельство впервые независимо отметили Хайнрих Фогт (1890 — 1968) в Гейдельберге и сэр Артур Стэнли Эддингтон (1882 — 1944) в Кембридже. В 1925 г. они показали, что строгое лучистое
равновесие в твердотельно вращающейся звезде должно неизбежно нарушаться. При этом, утверждали они, температура и давление на уровенных поверхностях перестают быть постоянными, в результате чего возникает градиент давления, который вызывает течение вещества главным образом в плоскостях, проходящих через ось вращения. В 1929 г. Эддингтон впервые количественно исследовал физические свойства этой меридиональной циркуляции.
Обзор «золотого века» теории вращения звезд был бы неполным, если бы мы не упомянули, наконец, школу механики жидкости в Осло. Заслугой Вильгельма Бьеркнеса (1862 — 1951) была систематическая разработка проблем физической гидродинамики. Он, в частности, заложил основы теории баротроп и бароклин, а также систематизировал задачу малых колебаний непрерывной среды около положения равновесия. Несмотря на то что эти вопросы обсуждались в основном в связи со специфическими задачами метеорологии, их результаты привели к многочисленным применениям в астрофизике. Упомянем в связи с этим пионерскую работу Свейна Россе- ланда и Гуннара Рандерса. Особое значение имел анализ устойчивости вращающейся сжимаемой жидкости, который провели Халвор Золберг (1895 — 1974) и Эйнар Хейланд (1907 — 1974). Первый критерий для случая осесимметричных возмущений во вращающейся звезде с постоянной энтропией Золберг получил в 1936 г. Он доказал, что при указанных условиях динамическая неустойчивость возникает, если
d(R2@4)/曲 v 0,⑷
где угловая скорость 口 есть некоторая заданная функция расстояния G от оси вращения. Этот результат был обобщен в 1941 г. Хейландом, который рассмотрел случай, когда 口 зависит также от координаты вдоль оси вращения. Он показал, что динамическая неустойчивость в этой ситуации наступает, когда момент количества движения (на единицу массы) 口丁 уменьшается от полюсов к экватору на поверхности постоянной энтропии (на единицу массы). Рагнар Фьертофт в Осло и Йорген Холмбоу в Лос-Анджелесе предложили позднее изящные доказательства этого критерия. Поскольку эти и связанные с ними вопросы устойчивости составляют теперь важную главу в теории вращающихся звезд, мы рассмотрим их подробнее в разд. 7.3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Сведения по истории проблемы можно найти в
Berry A. A A Short History of Astronomy, London: John Murray, 1898 (New York: Dover Public., Inc., 1961).
Bray R. J., Loughhead R. E. Sunspots, London: Chapman and Hall, 1964. (Имеется перевод: Брей P., Лоухед P. E. Солнечные пятна. — М.: Мир, 1967.)
Meadows A. J. Early Solar Physics, Oxford: Pergamon Press, 1970.
В последней работе приводятся также переводы на английский язык многих класси-
ческих трудов по этому вопросу. Полезным источником информации обо всех измерениях вращения Солнца, которые проведены с 1611 по 1933 г., является
DeLury R. Е. J. Roy. Astron. Soc. Canada, 33, 345 — 378, 1939.
Содержание этого раздела в значительной мере почерпнуто из
Struve О. Popular Astronomy, 53, 201 — 218, 259 — 276, 1945.
См. также
Struve О., Zebergs V. Astronomy of the 20th Century, New York: The Macmillan Co., 1062. (Имеется перевод: Струве О., Зебергс В. Астрономия XX века. — М.: Мир, 1968.)
Критический разбор всех публикаций, которые связаны с данной темой, от эпохи Ньютона до времени Лапласа дал Тодхантер в своей работе
Todhunter /. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth, London: McMillan and Co., 1873; New York: Dover Public., Inc., 1962.
См. также ссылку [28, pp. 1 — 14] в библиографии к гл. 3. Возникновение ньютоновской механики и гидродинамики превосходно описано в
Truesdell С. Essays in the History of Mechanics, West Berlin: Springer-Verlag, 1968. Очень интересна также работа
Ait on E. J. The Vortex Theory of Planetary Motions, London: Macdonald and Co., 1972.
Период c 1885 r. no 1935 г. хорошо освещен Ярдецким в
Jardetzky W. S. Theories of Figures of Celestial Bodies, New York: Interscience Publishers, 1958.
Первые теоретические работы по вращению звезд излагаются в
Milne Е. A. Thermodynamics of the Stars, in Handbuch der Astrophysik, 3 (1), Berlin: Springer-Verlag, 1930, p. 235 — 255.
Крат В. А. Фигуры равновесия небесных тел. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1950.
Vogt Я., Aufbau und Entwicklung der Sterne, Zweite Auflage, Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1957, p. 135 — 155.
2
ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В разд. 1.1 и 1.2 мы уже упоминали о первых измерениях вращения Солнца и звезд. Любопытно, что и в наши дни многие методы обработки данных в значительной степени опираются на эти пионерские исследования. В этой главе мы хотим дать общий обзор современных данных наблюдений вращения звезд, а также различных предположений, лежащих в основе их обработки. Мы рассмотрим по порядку Солнце, одиночные и двойные звезды. Не претендуя пока на полноту, мы ограничимся лишь главными наблюдаемыми явлениями, которые понадобятся нам в дальнейшем. Особые группы звезд, а также их теоретическую интерпретацию мы рассмотрим ниже, в гл. 11 — 16.
СОЛНЦЕ
Скорость вращения Солнца можно получить, измеряя на солнечном диске движение по долготе различных квазистационарных образований (таких, как солнечные пятна, факелы, темные волокна и даже центры корональной активности) или из спектрографических наблюдений доплеровских смещений отдельных спектральных линий вблизи солнечного лимба. Выполненные Шейнером до 1630 г. наблюдения солнечных пятен показали, что вблизи солнечного экватора их период обращения короче, чем на высоких гелиоцентрических широтах. Впоследствии спектрографические наблюдения независимо подтвердили дифференциальное вращение Солнца. Так, например, из наблюдений долгоживущих солнечных пятен, выполненных в Гринвиче в течение 1878 — 1944 гг., Ньютон и Нанн вывели такую формулу для суточного смещения {(</>):
?(°/сут) = 14,38° 一 2,77°si"0・ (1)
Здесь ф — гелиоцентрическая широта (ср. с первоначальными результатами Кэррингтона и Фая, приведенными в разд. 1.1). Эмпирическая формула (1) соответствует сидерическому периоду на экваторе 25,03 сут и среднему синодическому периоду на экваторе 26,87 сут.
У каждого из этих двух методов определения угловых скоростей (по движению индикаторов и по относительному доплеровскому сдвигу спектральных линий) есть свои слабые стороны, хотя лишь немногие из недо-
статков свойственны обоим способам. На деле для определения вращения Солнца по индикаторам требуется, во-первых, чтобы эти квазистационар- ные явления были равномерно распределены по поверхности жидкости и, во-вторых, не обладали заметным собственным движением относительно окружающей их среды. На практике не удалось найти индикаторов, удовлетворяющих сразу обоим требованиям. Более того, образования на Солнце появляются, как правило, в довольно узкой полосе широт. С помощью спектрографического метода можно найти скорости вращения для большего диапазона широт. Но здесь точность ограничена из-за наличия неоднородностей в поле скоростей фотосферы и макроскопических движений внутри самих этих деталей короны и протуберанцев, так что разброс между повторными измерениями велик.
На рис. 2.1 приведены данные измерений угловой скорости с помощью различных солнечных индикаторов. Эти наблюдения относятся к солнечным пятнам, волокнам и протуберанцам, магнитному полю фотосферы и полярным факелам. Кроме того, на рисунке отмечена скорость вращения локализованных деталей в электронной короне (/f-короне) и корональных участков, порождающих ярко-зеленую эмиссию (зеленая корона). Очевидно, что с ростом широты скорость вращения уменьшается. В среднем суточное перемещение у всех индикаторов на одной и той же широте приблизительно одинаково.
Трудности измерения угловой скорости хорошо видны на примере солнечных пятен. Суточное перемещение пятен изображено на рис. 2.1 с помощью двух кривых, пространство между которыми заштриховано. Как показал Уорд, среднее перемещение пятна по долготе зависит от его размера и формы, причем скорость движения больших групп может быть на 2% меньше, чем малых. Нижняя кривая построена Ньютоном и Нанном для долгоживущих солнечных пятен, которые, как правило, образуют большие круговые группы. Верхняя кривая проведена по результатам Уорда. Он использовал случайную выборку из всех пятен, и вычисленная им скорость вращения оказалась выше, чем у Ньютона и Нанна, на 1%, т.е. примерно на 0,15°/сут.
Однако на высоких широтах различие становится заметнее. По- видимому, твердо установлено, что при ф = 60 — 65° скорость вращения короны равна по меньшей мере 12°/сут, в то время как скорость волокон составляет около 12,2°/сут, а скорость фотосферы, определенная с помощью полярных факелов, около 11 °/сут. Следует отметить, что индикаторы вращения могут различаться фундаментальным образом по своей природе. Так, например, факелы живут очень недолго, самое большее 40 или 50 ч, между тем как некоторые образования в короне и волокна сохраняются месяцами. Поэтому неясно, показывают ли эти индикаторы, что скорость вращения на разных высотах в солнечной атмосфера и в самом деле различна, или же мы имеем дело с поведением, характерным для самих индикаторов, например с неравномерным собственным движением или с асимметричным ростом.
Дифференциальное вращение Солнца можно неплохо изучать, измеряя
io
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90° Широта
Рис. 2.1. Сравнение данных о дифференциальном вращении Солнца, полученных с помощью различных индикаторов. Верхняя граница заштрихованной полосы — все солнечные пятна (Ward Л Ар. J., 145 , 416, 1966) Нижняя граница заштрихованной полосы—долго живущие пятна (Newton Н. Ж, Nunn М. L. M.N., 111, 413, 1951). Заштрихованный круг ——высокоширотные пятна при 0 = 45° (Waldmeier М. Z. f. Ар., 43, 29, 1957; Кореску М, Kvicala J., Ptdcek J. Bull. Astron. Inst. Czech., 8, 106, 1957). Полярные факелы {Miiller R. Z. f. Ap., 35, 61, 1954; Waldmeier M Z. f. Ap., 38, 37, 1955). Волокна (D'Azambuja M., D'Azambuja L. Ann. Obs. Meudon, 6, № 7, 1948; Bruzek A. Z. f. Ap., 51, 75, 1961); К-корона на 1,125 R© {Hansen R. T・，Han- sen 5. F., Loomis H. G. Solar Phys., 10, 135, 1969J. Зеленая корона (пунктир — Trellis M. Ann. Ар. Suppl., № 5, 1957; круг — Waldmeier M. Z. f. Ap., 27, 24, 1950; квадрат — Cooper R. H., Billings D. £ Z. f. Ap., 5 5, 24, 1962). Магнитное поле фотосферы (Wilcox J. M, Howard R. Solar Phys., 13, 251, 1970). Рисунок заимствован из Wilcox J. M, Howard R. Solar Phys., 13, 251, 1970.
ERO/о rHNHdNDQg qEJOdoHJ KbxsH/IWQagwJ
скорости с помощью доплеровского сдвига фраунгоферовых или эмиссионных линий, однако и здесь есть свои осложнения, связанные с тем, что при измерениях сдвигов линий точность ограничена и что поля локальных скоростей в солнечной атмосфере порождают «шумы». В течение 1966 —— 1968 гг. Ховард и Харви осуществили обширную серию измерений в линии Fei 入5250,216. Усредняя по всему периоду наблюдений, они получили, что скорость вращения на экваторе в обращающем слое составляет 13,76°/сут.
О 1020304。50607080°ШиротаО 1020304。50607080°Широташк"оCKrmafsdg Qlusodoy岂 KgoahTld-шк"оCKrmafsdg Qlusodoy岂 KgoahTld-
О 1020304。50607080°
Широта
О 1020304。50607080°
Широта
шк"оCKrmafsdg Qlusodoy岂 KgoahTld-
шк"оCKrmafsdg Qlusodoy岂 KgoahTld-
Кроме того, они вывели следующую формулу для угла поворота Солнца за сутки:
К°/сут) = 13,76° - 1,74° sin20 - 2,19°sin40. (2)
Согласно этому результату, с увеличением широты угловая скорость убывает медленнее, чем получалось по индикаторам. Хензе и Дюпри провели измерения далекого ультрафиолетового излучения в хромосфере и нижней короне. Они снимали спектрогелиограммы в линии MgXX625 и в полосе шириной 3,2 А на длине волны 入897 А лаймановского континуума. С помощью рис. 2.2 можно сравнить эти результаты с другими. Мы видим, что в среднем результаты измерений в далекой ультрафиолетовой области лучше согласуются с данными спектрографических наблюдений, чем со значениями, полученными по индикаторам. Тем не менее, как утверждают Саймон и Нойес, самые яркие точки на спектрогелиограммах в далекой ультрафиолетовой области вращаются примерно с той же скоростью, что и солнечные пятна. Из наблюдений, которые провели Антонуччи и Свалга- ард, следует, кроме того, что скорость вращения в короне зависит от возраста корональных образований: долгоживущие образования вращаются
16 15 /2 11 10
Рис. 2.2. Сравнение данных о дифференциальном вращении Солнца, полученных различными методами. Пунктирная линия ——долгоживущие солнечные пятна (№- wton Н. %., Nunn М. L. М. N., 111, 413, 1951). Штриховая линия — спектроскопия фотосферы (Howard R. Solar Phys., 16, 21, 1971). Штрихпунктирная линия — К- корона на 1,125 R® (Hansen R. Т., Hansen S. Е, Loomis Я. G. Solar Phys., 10, 135, 1969). Кружки — магнитное поле {Wilcox J. M, Howard R. Solar Phys., 13, 251, 1970). Сплошная линия — далекая ультрафиолетовая область (Henze W. Jr., Dupree А. К. Solar. Phys., 33, 425, 1973). Рисунок заимствован из работы Henze %.,万 Dupree А. К. Solar Phys., 33, 425, 1973.
почти как твердые тела, тогда как у короткоживущих оно происходит по большей части так же, как у солнечных пятен.
Подведем итоги. Измерение положений различных индикаторов показывает, что 6 среднем солнечная поверхность вращается дифференциально, причем экваториальные области вращаются с наибольшей скоростью. Данные спектрографических измерений в основном подтверждают результаты, полученные с помощью индикаторов, однако максимальное расхождение может достигать 25%, а средняя скорость вращения получается существенно меньше скорости, найденной по индикаторам. Кроме того, наблюдения хромосферы и нижней короны отчетливо показывают, что по мере увеличения высоты над фотосферой скорость вращения почти не меняется. Можно сказать, что область приблизительно синхронного вращения простирается до расстояния в два солнечных радиуса над поверхностью Солнца.
В заключение кратко рассмотрим различные попытки обнаружить среднее движение в направлении север — юг (т.е. среднюю меридиональную циркуляцию). Движение солнечных пятен к экватору на низких широтах и к полюсу на широтах выше ф » 16° впервые заметил Туоминен. Однако, по мнению Уорда, эти результаты не достигают статистического уровня значимости 5%. Проделанный им детальный анализ гринвичских данных о солнечных пятнах показывает, что если средняя меридиональная циркуляция (усредненное по долготе движение в направлении север — юг) и существует, то ее скорость меньше 1 м/с. Аналогично, спектрографические измерения Ховарда и Харви в среднем не дают свидетельств меридиональ< ных движений в фотосфере. Тем не менее, согласно Пласкетту, в северном и южном полушариях около экваториальной зоны постоянной угловой скорости на широте 0 H 10° имеется течение, направленное главным образом меридионально. (В основе этого результата лежит анализ 445 значений лучевой скорости, которые были измерены по спектрограммам, отснятым в Оксфорде в течение 1966 и 1968 гг.) В той же работе Пласкетт сообщает и о разности температур между полярной и экваториальной областями примерно 38 К. Это опять-таки противоречит всем остальным измерениям, которые показывают, что разность температур не может превышать нескольких градусов. Вникать далее в этот спор мы не будем.
Интересным с точки зрения теоретических моделей является также вопрос о возможном существовании на поверхности Солнца крупномасштабных вихреобразных движений. Так, например, Уорд считал, что его статистический анализ движений солнечных пятен подтверждает наличие в фотосфере глобальных полей скорости; при этом пятна (и, следовательно, момент количества движения) переносятся от высоких широт к экватору. Пласкетт и Ховард, опираясь на свои измерения скорости по доплеровскому сдвигу, приводят другие аргументы в пользу существования таких неосесимметричных полей скоростей в фотосфере. Как утверждает Ховард, время существования этих крупномасштабных образований (с размерами порядка солнечного радиуса и скоростями от 50 до 75 м/с) может достигать, вообще говоря, нескольких суток, а вращаются они приблизительно со скоростью вращения Солнца. Наконец упомянем о наблюдениях Бум-
бы, Ховарда и Смита, которые указывают на явную регулярность распределения по долготе крупномасштабных магнитных областей на солнечной поверхности. Это, как они впервые отметили, может означать присутствие гигантских правильных структур с линейными размерами около 105 км и больше. Такие структуры вполне могут свидетельствовать о гигантских конвективных лейках в водородноА конвективной зоне, горизонтальные размеры и длительность существования которых значительно больше, чем у гранул и супергранул. К этим и связанным с ними вопросам мы вернемся в гл. 9.
ОДИНОЧНЫЕ ЗВЕЗДЫ
Если звезда вращается вокруг некоторой оси, то наблюдаемое излучение, которое приходит от удаляющейся части звездного диска, сдвигается в красную сторону, а излучение от приближающейся части — в фиолетовую. Таким образом, вращение должно приводить к уширению всех спектральных линий звезды, причем степень этого уширения зависит от скорости вращения и от наклона оси вращения к лучу зрения. Именно этим уширение за счет вращения отличается, скажем, от эффекта Штарка, который важен только для линий гелия и водорода. К сожалению, атмосферы некоторых звезд, особенно сверхгигантов, чрезвычайно турбулентны, и их спектральные линии подвержены также доплеровскому уширению из-за случайных движений. Однако у некоторых типов звезд, в основном у сверхгигантов и звезд класса О, уширение линий за счет вращения бывает самым разнообразным (в зависимости от угла наклона и от скоростей вращения), между тем как турбулентность может вызывать совершенно одинаковое уширение у всех звезд данного класса. Так, у сверхгигантов можно заметить умеренное уширение, но оно почти одинаково для всех звезд одной и той же абсолютной величины (см. разд. 12.6).
Истолковывая уширение спектральных линий одиночной звезды как проявление вращения вокруг оси, мы измеряем не истинную экваториальную скорость 〃е，а ее проекцию vesin/ на луч зрения (рис. 2.3). При / = 90°, когда ось вращения перпендикулярна лучу зрения, мы измеряем 〃е，а при / = 0°, когда ось направлена вдоль луча зрения, спектральные линии остаются узкими. Если исключить затменные двойные и звезды класса Ар (период вращения которых можно узнать независимо по спектру, магнитному полю или по изменениям блеска), то угол / обычно не известен. Для обширной группы однотипных звезд можно сделать какие-то предположения об ориентации их осей вращения в пространстве, затем, применяя статистические методы, можно получить среднее значение истинной экваториальной скорости для этой группы.
Проекция скорости вращения
В 1929 г. Шайн и Струве впервые предложили для нахождения vesini
графический метод. Первым, кто воспользовался им для одиночных звезд, был Элви. Впоследствии Кэррол дал обоснование этого способа и вывел интегральное уравнение, которое описывает уширение спектральной линии вращением звезды.
Рассмотрим прямоугольную систему координат (X, У, Z), начало которой расположено в центре звезды. Ось Z направлена к наблюдателю, а ось У лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и луч зрения (рис. 2・3)・ Чтобы дать представление о методе, предположим, что стационарная звезда вращается как твердое тело и что ее наблюдаемый диск — это круг радиуса R. Для удобства обозначим х = X/R ” = Y/R.
Пусть /(х, у;入一入J — интенсивность излучения, идущего нз точки (х, у) на диске невращающейся звезды, в спектральной линии на расстоянии 入—入с от центральной длины волны、• Если звезда вращается, то в соответствии с эффектом Доплера вместо 入 с следует использовать 入с 一(入с〃/с% где vz — Вевая скорость в точке (х, у), а с — скорость света (% < с). Поскольку % = —xvesini9 интенсивность излучения, идущего из точки с координатами (х, у) на диске однородно вращающейся звезды, записывается так:
/Q丿；入一入С 一 入*%/e)sini). (3)
Рис. 2.3. Схематическое изображение вращающейся звезды. Ось Z направлена к наблюдателю.
Пусть теперь "(х, у) — интенсивность непрерывного излучения, испускаемого точкой (х, у) на диске. Тогда отношение энергии, которая испускается звездой в спектральной линии, к энергии, излучаемой в континууме, равно
+ 1(1 一2"2
j dx j 小,y 入一入0 - \^е/e) sin i]dy
尸(入一入)=— •(4)
+ 1(1 - /)1/2
j dxj，o(x，歹)力
-1о
Это выражение определяет в общем виде профиль линии в спектре вращающейся звезды.
Предположим теперь, что выбранный профиль линии остается постоянным на всем диске. Тогда
/(" 入一入。) = r(X -入义3丿).(5)
Из уравнений (4) и (5) находим
Г(Х -入с) = I г[Х -入с -入X%/c)sini]2(x)dx,(6)
где А (х) — функция уширения вращением:
Примем, как обычно, что потемнение непрерывного излучения к краю диска звезды описывается линейным законом:
/0 = const (1 + 6 cos»),(8)
где 6 — коэффициент потемнения к краю, а » — угловое расстояние от центра диска*. Поскольку sin» = (N + ")1/2, получаем
А)(х, У) = const {1 + 0[1 - (х2 + 衿丿〃},(9)
и выражение (7) приводится к виду
= + R1 - Х>2 + А - Т .(10)
Ясно, что функцию уширения вращением можно рассматривать как про-
*» — угол между осью Z и направлением на точку диска (х, у) из центра звез- 21. — Прим, перев.
филь линии, который наблюдался бы у вращающейся звезды, если бы собственный профиль линии каждого элементарного участка звездного диска был бесконечно узким. При 8 = 0 функция уширения представляет собой половину эллипса с максимальной шириной 2t；esin /. Если же собственная ширина линии сравнима с ее шириной, увеличенной вращением,то теоретический профиль следует искать с помощью уравнений (6) и (10).
Из наших предыдущих результатов теперь ясно, что уширение вращением можно отличить от других механизмов уширения по следующим характерным свойствам: 1) при вращении одинаково уширяются все спектральные линии звездного происхождения, 2) эквивалентные ширины линий не зависят от уширения вращением и 3) величина уширения пропорциональна длине волны, как и должно быть для явления, вызванного эффектом Доплера.
На практике мы придаем ve^ni различные значения, рассчитываем уширенные профили с помощью уравнений (6) и (10) и вычерчиваем их на кальке, откладывая длины волн в ангстремах. Затем, непосредственно сравнивая наблюдаемый профиль с набором расчетных профилей той же линии, мы получаем оценку величины %sini для данной звезды. На рис. 2.4 приведены наблюдаемый контур линии Hei Х4026 для t Геркулеса и контуры этой линии, уширенной вращением, вычисленные для значений vesini от 234 до 560 км/с в предположении, что звезда сферична, а потемнение к краю отсутствует (по Слеттебаку).
Методом Шайна — Струве значения vesini были определены для многих тысяч звезд. Следует, однако, помнить, что обработка большинства наблюдений проводилась в предположении твердотельного вращения и сферической симметрии. Помимо потемнения к краю [ср. уравнение (8)], при обработке профилей линий, уширенных вращением, следует учитывать такие факторы: 1) дифференциальное вращение, 2) отклонение от сферической симметрии, 3) гравитационное потемнение (те изменение яркости поверх-
Рис. 2.4. Контур линии Hei Х4026, наблюдаемый в спектре е Геркулеса (0 км/с), и три контура, полученные из него с учетом вращения в предположении, что звезда сферична, без учета потемнения к краю. (Slettebak А. Ар. J., ПО, 498, 1949. С разрешения The University of Chicago Press.)
ности из-за увеличения эффективной силы тяжести от экватора к полюсам; см. разд. 7.2) и 4) изменение интенсивности линии поглощения с широтой и с угловым расстоянием от края. Хотя эти и связанные с ними вопросы мы рассмотрим в разд. 12.3, упомянем здесь, что Слеттебак и его сотрудники составили атлас спектров, уширенных вращением, основанный на расчетах моделей звездных атмосфер. Обнаружилось, что выведенные из этих расчетов угловые скорости оказались меньше на 5% для звезд классов А и F и примерно на 15% для звезд класса В, чем скорости, полученные по методу Шайна — Струве. Поэтому нельзя исключить возможность того, что все опубликованные до сих пор значения vesini содержат заметные систематические ошибки.
Истинные экваториальные скорости вращения
Как сказано выше, из наблюдений мы получаем лишь проекцию скорости вращения %sini, между тем как нас интересуют истинные экваториальные скорости вращения % Предположим теперь, что мы располагаем представительной выборкой звезд, принадлежащих к одному спектральному классу, и что нам известно распределение вероятности v?(vesinz) по наблюдаемым скоростям для этой группы. Спрашивается, каково распределение вероятности fiv^ по истинным экваториальным скоростям вращения для этих звезд! Приведем анализ, который принадлежит Чандрасекару и Мюнчу и в основе которого лежит предположение, что направления осей вращения распределены в пространстве случайным образом. Такая гипотеза вполне оправданна, поскольку какую бы то ни было корреляцию между измеренными при наблюдениях значениями %sini и галактическими координатами звезды обнаружить не удается.
Как следует из нашего предположения, вероятность того, что угол наклона оси / заключен в интервале (/, i + di), равна sinidi. Аналогично, вероятность попадания ve в интервал (% % + du) равна /(%)d% Отсюда, поскольку случайные величины ve и / независимы, вероятность того, что их значения одновременно попадут в интервалы (%, % + d%) и (У, f + di) соответственно, равна
/(%)sinid%di・ (И)
Рассмотрим теперь наблюдаемые скорости вращения
"=%疝1i, (12) распределение вероятности которых по условию задано при помощи плотности распределения 夕(〃)・ Очевидно, вероятность того, что значение наблюдаемой скорости 〃 заключено в фиксированном интервале (”，〃 + d〃)， определяется двойным интегралом
p(〃)d〃 = j j /(%)sinid〃/i・ (13) v & %sini ^ v + dv
Для фиксированного значения ve имеем
成=d〃/(%cosi)・(14)
Поэтому уравнение (13) приводится к виду
r(〃)d〃 = dv j/(v^ (sin // ve cos / )d ve(15)
电 eSini =。
Исключая с помощью (12) угол наклона / из подынтегрального выражения в (15), находим
夕(〃)=и j /(%)〃£ 1(碓一"^T/Zd%.(16)
Это и есть искомое интегральное уравнение, которое связывает распределение вероятностей 〃 и 〃^
Уравнение (16) можно свести к интегральному уравнению Абеля и разрешить относительно неизвестной функции /(уе). При этом мы получаем
/(%)= -2 j 公f/2 d".(n)
%
Однако пользоваться этим уравнением в практических целях не очень удобно, поскольку при этом приходится дифференцировать функцию ^(vesini)f которая определяется эмпирически и известна, как правило, в форме гистограммы. Фактически по той же причине нет смысла чересчур полагаться на результаты численного интегрирования уравнения (16). Лучше задать функцию /(〃е)в какой-нибудь простой аналитической форме с одним или несколькими параметрами и с помощью уравнения (16) вывести соответствующую функцию распределения р(〃)・ Затем, подгоняя ее под эмпирическое распределение величин t^sini для данной группы звезд, мы определяем под- ход5пцие значения параметров.
Во всяком случае, очень часто целесообразно использовать только моменты наблюдаемой функции ^(t;) и с их помощью находить моменты для истинной функции распределения /(%)• Для этого умножаем обе части уравнения (16) на vn и интегрируем их по всей области определения 〃. Ме-
няя порядок интегрирования в правой части, находим
о00
Далее, полагая т = v/ve во втором интеграле, получаем
81
^(v)vndv = j fiv^v^ j 7〃 + 1(1 - 丁2)-1/2拆・(19) ооо
Отсюда следует, что
"1\%+ 1)2「(％ + %)'"1\%+ 1)2「(％ + %)'(20)(20)
"1\%+ 1)
2「(％ + %)'
"1\%+ 1)
2「(％ + %)'
(20)
(20)
где угловые скобки обозначают среднее значение. В частности, можно написать
〈％〉=（4/加）〈〃〉，〈〃» = %〈〃2〉， 〈〃» =（1б/3тг）〈〃з〉・（21）
Аналогично, зная моменты наблюдаемого распределения е(〃), можно найти среднее квадратическое отклонение и асимметрию истинного распределения f(ve) по следующим формулам:
((% -(%))2)= %("2)一(16/m)("〉2,(22)
«% -(%))3〉= (16/3开)("3〉一(18/万)("2)(")+ (128/Z)("尸.(23)
Данные наблюдений
Еще в 1931 г. Струве и Элви обнаружили, что быстрое вращение встречается почти исключительно у звезд спектральных классов О, В, А и ранних подклассов F, хотя среди тесных двойных нередко можно найти и более холодные быстро вращающиеся звезды. С тех пор был собран большой материал наблюдений. Тем не менее, из-за различий в калибровке величин 〃eSini, а также в выборках весь этот материал пока не удалось свести в единое статистическое исследование. На рис. 2.5, 2.6 и в табл. 2.1, данные которых заимствованы из различных источников, ясно отражаются эти трудности.
На рис. 2.5 сводятся воедино основные результаты, имеющие отношение к вращению звезд, которые были собраны Слеттебаком. Узкая заштрихованная полоса изображает в общих чертах вращение одиночных нормальных звезд главной последовательности. Исходные данные были сгруппированы с тем, чтобы сгладить нерегулярности распределения по <vesin/> в зависимости от спектрального класса. На рис. 2.6 мы воспроизводим график той же зависимости, сохраняя на сей раз максимумы и мини-
Спектральный класс
Рис. 2.5. Средние наблюдаемые скорости вращения для звезд разных классов светимости в сравнении со скоростями вращения нормальных звезд главной последовательности. Главная последовательность (Abt Н. A.t Hunter J. Я., Jr. Ар. J., 136, 3 81, 1962; SlettebakA. Ap. J., 110, 498, 1949; Slettebak A. Ap. J., 119, 146, 1954; Slette- bak A. Ap. J., 121, 653, 1955; Slettebak A., Howard R. E Ap. J., 121, 102, 1955; He- rbig G. H., Spalding J. E, Jr. Ap. J., 121, 118, 1955). Классы светимости III и IV (Боярчук А. А., Копылов И. M. Астрон. ж., 35, 804, 195 8). Звезды класса О (Slettebak А. Ар. J., 124, 173, 1956). Звезды класса Be (Боярчук А. А., Копылов И. М. Изв. Крымской астрофиэ. обе., 31, 44, 1964; Slettebak А. Ар. J., 145, 121, 1966). Звезды классов Ар и Am (Abt Н. 4, Chaffee F. Н., Suffolk G. Ар. J., 175 , 779, 1972; Abt Я. 4, Moyd К. /. Ар. J., 182, 809, 1973). Рисунок заимствован из Slettebak A. in Stdlar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 5.
мумы. (Кривые для звезд главной последовательности на обоих рисунках представляют только среднюю зависимость. Скорость вращения отдельных звезд может принимать любые значения от нуля до 300 — 500 км/с.) Эти нерегулярности впервые указали Боярчук и Копылов. Согласно ван ден Хейвелю, масимум около спектрального класса АЗ вызван, вероятно, тем, что статистика для %sini не учитывала звезды классов Ат и Ар. Ван дед Хейвель указал, что нехватку быстро вращакяцихся звезд классов ВО — В4 можно опять-таки объяснить тем, что в статистику не были включены звезды класса Ве・ Так или иначе, независимо от того» существуют ли в действительности эти провалы, из материала наблюдений вырисо-
Рис. 2.6. Распределение %sini в зависимости от спектрального класса для звезд главной последовательности (отдельные средние значения с пределами вероятных ошибок и сплошная линия) и класса светимости III (штриховая линия) по Слеттеба- ку и Ховарду. (Abt Н. A. i〃 Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 196.)
вывается вполне определенная картина: скорости вращения звезд главной последовательности увеличиваются от очень небольших значений у звезд поздних классов до некоторого максимального значения у звезд класса В. Согласно Слеттебаку, мы не мож^л пока уверенно установить, каково поведение горячих звезд классов В и звезд класса О, так как для звезд столь ранних классов не известно, насколько важна роль вращения в уширении спектральных линий по сравнению с макротурбулентностью.
Как мы уже упоминали, между наблюдаемой скоростью вращения звезды и ее положением в Галактике нет никакой корреляции. Поэтому, как видно из соотношений (21), средняя экваториальная скорость < v^ для группы звезд отличается от соответствующего значения <^sin/> постоянным множителем 4/тг (или 1,273). Следовательно, изменения 《^^》вдоль главной последовательности и довольно резкое падение《1^》на этой последовательности вблизи спектрального класса F5 вполне реальны. Однако, как показали впервые Мак-Нолли и Уокер, если вместо средних экватори- мьных скоростей рассматр146amь средние периоды вращения, то получайся совершенно иная картина. Чтобы пояснить это утверждение, предположим снова, что звезды главной последовательности вращаются как твердые тела. В табл. 2.1 приводятся характерные для звезд разных спектраль- ямх классов значения масс, средних радиусов и экваториальных скоростей,
а также угловые скорости Q = t?e/R и периоды вращения вокруг оси Р = 2TrR/〃e・ Мы видим, что периоды достигают минимального значения, равного приблизительно 0,56 сут, вблизи спектрального класса А5 и довольно быстро увеличиваются как для более горячих, так и для более холодных звезд. В результате средние периоды вращения у звезд классов GO и 05 примерно одинаковы. Таким образом, наблюдаемые значения〈％〉 для голубых звезд главной последовательности оказываются большими исключительно потому, что радиус этих звезд велик. Правда, в настоящее время этот результат остается чисто качественным, поскольку известно, что в действительности допущение о твердотельности вращения не для всех звезд главной последовательности оказывается удовлетворительным (см. разд. 12.3).
Таблица 2.1 Средние скорости вращения звезд главной последовательности
(McNally Z>. The Observatory, 85, 166, 1965)
Спектральный класс
М, М。R, R。％, км/с0, 10-5 с-1Р, сут
05 ВО
В5 АО А5
F0 F5 GO
39,517,21901,54,85
17,07,62003,81,91
7,04,02107,60,96
3,62,619010,00,73
2,21,716013,00,56
1,751,39510,00,73
1,41,2253,02,42
1,051,04121,64,55
Скажем теперь несколько слов о звездах остальных типов, представленных Слеттебаком на рис. 2.5. Белые кружки изображают средние скорости вращения звезд, принадлежащих к классам светимости III и IV. Чтобы показать неопределенность в значениях средних скоростей вращения звезд- гигантов, эти кружки соединены широкой заштрихованной полосой. Согласно Слеттебаку, очень низкую точку около класса АО, вероятно, можно объяснить эффектами селекции. Во всяком случае, эта полоса свидетельствует о том, что горячие гиганты вращаются медленнее, чем звезды главной последовательности тех же спектральных классов, а гиганты поздних классов А и класса F вращаются быстрее звезд этих же классов главной последовательности .Напротив, у сверхгигантов всех спектральных классов сколько-нибудь заметное вращение отсутствует. Наблюдаемые скорости вращения звезд населения II, как правило, также невелики. Сверхгиганты и звезды населения II схематически изображены в нижней части рис. 2.5. От-
метим также, что средние скорости вращения пекулярных звезд класса А и звезд с линиями металлов значительно меньше, чем средние скорости нормальных звезд соответствующих спектральных классов. Наконец, переходя к другой крайности, отметим, что звезды класса Be вращаются чрезвычайно быстро: Слеттебак наблюдал в отдельных случаях скорости вращения до 500 км/с. На рис. 2.5 эти звезды изображены отдельно, причем средние скорости их вращения, как показывают стрелки, на самом деле еще больше. Вращение белых карликов, переменных и магнитных звезд мы рассмотрим в гл. 12 — 15.
Чтобы завершить этот общий обзор, перечислим теперь основные данные наблюдений, относящиеся к вращению звезд галактических скоплений и ассоциаций. Уже из пионерских работ Струве и его сотрудников стало ясно, что быстро вращающиеся звезды в Плеядах встречаются чаще, чем в Гиадах или в Галактике в целом. Согласно статистическому исследованию Абта, средние скорости вращения самых ярких звезд в большинстве скоп-
Спвктральный класс
Рнс. 2.7. Средние наблюдаемые скорости вращения для девяти звездных скоплений по сравнению со звездами главной последовательности: I Ящерицы (Abt Н. Л., Hunter Z //., Jr. Ар. J., 136, 381, 1962); I Ориона (McNamara D. Н., Larsson Н. J. Ар. J., 135, 748, 1962; McNamara D. Н. Ар. J., 137, 316, 1963; Sharpless S. A. J., 79, 1073, 1974); Скорпион ~ Центавр (Slettebak А. Ар. J., 151, 1043, 1968); «Персея «raft R. Р. Ар. J., 148, 129, 1967); Плеяды (Anderson С. M, Stoeckly R., Kraft R.尸. Ар. J., 143, 299, 1966); IC4665 (Abt Я. A. Chaffee F. H. Ap. J., 148, 459, 1967); NGC6475 (Abt H. A., Jewsbury С. P. Ap. J., 156, 983, 1969); Гиады + Волосы Bepo- (Kraft R.尸.Ap. J., 142, 681, 1965). Рисунок заимствован из Hack M. Sky and
Telescope, 40, 143, 1970.
лений либо необычайно велики, либо необычайно малы, хотя у слабых звезд значение <t；esin/> оказывается таким же, как и у звезд поля. Из более детального статистического анализа, который провели Бернакка и Пери- нотто, следует, что у звезд главной последовательности, принадлежащих к
IC 4665IC 4665I ОрионаI ОрионаNGC 6475NGC 6475
IC 4665
IC 4665
I Ориона
I Ориона
NGC 6475
NGC 6475
|5 4--0|5 4--0
|5 4
--0
|5 4
--0
9073578〃 225 27〃 375 360 405
UB SLR Z; 75/С
Рис. 2.8. Распределение значений y^sin/ для семи звездных скоплений и ассоциаций. Исключены все звезды спектрального класса Ар. (Не изображены: NGC 2232; IC 2602; IC 2391; см.: Levato Я. P.A.S.P., 86, 940, 1974.) Рисунок заимствован из Abt Н. A. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 195.
спектральным классам от В5 до А8, значения〈％〉одинаковы независимо от того, шляются ли они звездами скоплений или поля. В то же время звезды поля более ранних классов, чем В5, и более поздних, чем А8, вращаются медленнее звезд этих классов в скоплениях. На рис. 2.7 показана зависимость средней скорости вращения от класса светимости или спектрального класса для звезд поля главной последовательности и для звезд главной последовательности, входящих в различные скопления и ассоциации. Звезды классов Ар и Ат исключены из этой статистики, поскольку они образуют группу особенно медленно вращающихся звезд, однако все спектрально-двойные здесь учтены (см. разд. 2.4). На рис. 2.8 другим способом представлены различия между скоростями вращения в отдельных скоплениях и ассоциациях. Здесь изображены гистограммы распределений звезд спектральных классов В5 — В9,5 и классов светимости V, IV и III, за исключением пекулярных звезд. Как указал ван ден Хейвель, в графиках такого рода есть намек на наличие в каждом скоплении или ассоциации групп медленно вращающихся (0 — 135 км/с) и быстро вращающйхсл (180 — 315 км/с) звезд. Наконец, у некоторых скоплений (таких, как Плеяды, Скорпион ——Центавр и NGC 2516) наибольшие значения скоростей встречается как будто около видимого центра группы, хотя у других скоплений (например, h н х Персея) такая концентрация не обнаруживается. В разд。12.5 мы попытаемся привести вероятные причины таких различий, наблюдаемых между отдельными группами звезд.
ДВОЙНЫЕ ЗВЕЗДЫ
Как мы уже упоминали в разд. 1.2, первое убедительное свидетельство в пользу того, что звезды вращаются, было получено при спектрографических исследование малых искажений кривых лучевых скоростей затменных двойных. Впервые этот эффект обнаружил Шлезингер в 1909 г. На рис. 2.9 приведена кривая лучевых скоростей затменной и спектрально-двойной звезды U Цефея. Белыми кружками изображены скорости яркой звезды класса В8, крестиками — скорости субгиганта спектрального класса G2, который можно сфотографировать только во время полного затмения. На рис. 2.10 показана часть относительной орбиты яркого компонента, когда он скрывается за более слабым, зато более крупным компонентом. В нижней части рисунка схематически начерчен соответствующий участок кривой лучевых скоростей. Стрелки указывают направления орбитального движения и вращения вокруг оси. Таким образом, в этой модели направления вращения и орбитального движения более яркого компонента совпадают, а ось вращения перпендикулярна плоскости орбиты. На ранней стадии затмения более слабый спутник заслоняет ту часть диска, которая приближается к наблюдателю. Поскольку этот участок закрыт, к нам приходит излучение лишь от удаляющейся части диска. В результате спектральные линии, которые перед затмением были симметрично уширены за счет осевого вращения, становятся асимметричными. Преобладает сдвиг в красную об- пасть, поэтому точки, полученные при измерениях, ложатся выше расчет-
сут
Рис. 2.9. Кривая лучевых скоростей U Цефея. (Struve О. Ар. J., 99, 222, 1944. С разрешения The University of Chicago Press.)
Рис. 2.10, Схематическое изображение двойной системы U Цефея.
ной кривой лучевых скоростей. По окончании полного затмения более близкое тело закрывает ту часть диска, которая удаляется от наблюдателя; при этом те участки, которые приближаются к нему, открываются. Вследствие осевого вращения яркого компонента спектральные линии снова становятся асимметричными, причем на этот раз наблюдается избыток отрицательных лучевых скоростей.
Искажения кривой лучевых скоростей двойной звезды U Цефея служат, таким образом, достаточно веским доводом в пользу того, что главный компонент обладает осевым вращением. Подобное явление наблюдалось у многих десятков систем, правда, в количественном отношении возмущения там, как правило, менее значительны (например, у 8 Лиры и 0 Персея). Всякий раз, когда у яркого компонента имеется заметное осевое вращение и когда затмение благоприятно для возникновения нужной асимметрии измеряемых линий, эти возмущения обязательно проявляются. Во всех изученных тесных двойных направления осевого вращения и орбитального движения совпадают. Этот результат особенно важен в связи с проблемой происхождения двойных систем (см. разд. 11.2 и 11.3).
При изучении двойных звезд мы, естественно, приходим к следующим вопросам: какова степень влияния, которое каждый компонент оказывает на осевое вращение другого? В частности, существует ли какая-либо синхронизация между вращением и взаимным обращением компонентов?
Согласно Слеттебаку, между средними скоростями вращения компонентов визуально-двойных и одиночных звезд нет существенного различия, будь то звезды главной последовательности или гиганты. Иная картина получается в том случае, когда мы интересуемся тем, есть ли свидетельства связи более быстрого вращения спутников с более быстрым вращением главных звезд. Используя выборку, включающую 50 двойных, оба компонента которых находятся на главной последовательности и принадлежат к более ранним спектральным классам, чем F0, Стейниц и Пайпер нашли коэффициент линейной корреляции, равный 0,46. (Это значение следует сравнить со значением 0,001, которое было получено для пар, составленных из произвольно взятых первичного и вторичного компонентов.) Исключив из выборки Стейница и Пайпера двойные звезды, компоненты которых принадлежат к классам Ат и Ар, Бернакка нашел, что коэффициент линейной корреляции становится равным 0,75. Таким образом, очевидно, что осевое вращение одного компонента визуально-двойной звезды некоторым образом связано с осевым вращением другого. Наконец, как показал Вейс, оси вращения визуально-двойных имеют тенденцию располагаться перпендикулярно плоскости орбиты системы. Эта тенденция сильно проявляется среди звезд класса F и довольно слабо у звезд класса А. В случае тесных двойных, как мы увидим ниже, можно прийти к более определенным выводам.
На рис. 2.11 и 2.12 приведены основные результаты статистического исследования Олсона, измерявшего уширение спектральных линий тесных Двойных за счет вращения. Видимые скорости вращения были найдены ^рям способом для 40 звезд — компонентов 29 двойных систем ранних ^ктральных классов. Большинство из них затменные двойные с периодом
от одних до шести суток. Поэтому нам известен наклон плоскости орбиты почти у всех этих систем, за исключением нескольких спектральнодвойных. При вычислении истинных экваториальных скоростей предполагалось, что оси вращения перпендикулярны плоскости орбиты. Олсон не обнаружил систематических различий значений скоростей, полученных по различным спектральным линиям.
На рис. 2.11 отложена скорость ve в зависимости от спектрального класса, а средняя экваториальная скорость одиночных звезд главной последовательности изображена ломаной линией. Мы видим, что компоненты тесных двойных, как правило, врашаются медленнее, чем одиночные звезды того же спектрального класса. Итак, компоненты короткопериодической тесной двойной оказывают вполне ощутимое влияние друг на друга. Впервые этот эффект открыл Крайкен в 1935 г.
Сложнее обстоит дело с вопросом о синхронности вращения и орбитального движения. На рис. 2.12 сравниваются наблюдаемые экваториальные скорости ve и расчетные значения ysyn( = ItR/Pq) экваториальной скорости, если бы вращение синхронизировалось с орбитальным периодом Ро, причем прямая, составляющая 45° с осями, соответствует полной синхронизации. Мы видим, что большая часть точек и 6 самом деле лежит вбли-
Рис. 2.11. Сравнение экваториальных скоростей вращения компонентов тесных двойных и одиночных звезд главной последовательности. Скорости одиночных звезд изображены в виде ломаной линии. (Olson £. С P.A.S.P.,疝，185, 1968.)
Рис. 2.12. Синхронные скорости вращения для соответствующих наблюдаемых скоростей (поправка sin / вычислена в предположении, что оси вращения п^пендикуляр- ны к орбитальным плоскостям). Спектрально-двойные звезды обозначены белыми кружками. Прямая линия — геометрическое место точек синхронного вращения. 9lson Е. С. P.A.S.P., 80, 185, 1968.)
зи этой прямой, те 6 большинстве короткопериодических тесных двойных имеет место полная или частичная синхронизация. Впервые определенный вывод о наличии синхронизации (или квазисинхронизации) у большинства короткопериодических двойных сделал Суинге в 1936 г. на основании менее однородного материала.
Следует, однако, сделать несколько замечаний по поводу этих результатов. Во-первых, вывод о синхронизации в короткопериодических тесных двойных сделан в предположении, что оси вращения перпендикулярны плоскости орбиты. Этот факт никогда не был строго доказан. Во-вторых, в системах с относительно большим периодом, превышающем четыре или пять суток, синхронизация обычно не наблюдается. Здесь мы встречаем компоненты, которые вращаются быстрее, чем они вращались бы в случае синхронизации. В-третьих, как показал Левато, значение периода, ниже которого компоненты двойной звезды все еще вращаются синхронно, оказьь вается систематически выше для звезд, находящихся на более поздней ста- пим эволюции, чем для более молодых. Другими словами, синхронизация
зависит от возраста и, по-видимому, она происходит постепенно в течение жизни звезды на главной последовательности, а также на предшествующей ее началу стадии сжатия. В-четвертых, даже среди короткопериодических двойных встречаются системы, осевые и орбитальные периоды которых определенно неодинаковы. (На рис. 2.12 они не изображены.) Характерным примером может служить система U Цефея, орбитальный период которой составляет 2,5 сут. В данном случае, если бы у яркой главной звезды периоды вращения вокруг оси и орбитального движения совпадали, то экваториальная скорость должна была бы равняться 60 км/с, что значительно меньше наблюдаемой скорости 200 ——300 км/с. Аналогично, скорость вращения спутника-субгиганта равна 75 км/с, т.е. меньше значения 100 км/с, соответствующего синхронизации. Можно указать и несколько других тесных двойных (как, например, RZ Щита), вращение которых находится в явном разладе с орбитальным движением. В разд. 16.3 мы приведем несколько теоретических соображений в связи с этой проблемой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Мы даже не пытались привести полную библиографию к этой главе.
Рассматриваемая в этом разделе проблема весьма подробно разбирается в
Belvedere G., Godoli G., Motta S., Paternd L. Solar Rotation: Phenomenology and
Superficial Models, in Atti della XV Riunione della Societa Astronomica Italian a, Firenze: Baccini e Chiappi, 1972, pp. S45 — S70.
Gilman 尸.A. Solar Rotation, in Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 12, pp. 47 — 70, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1974.
Howard R.t The Rotation of the Sun, Scientific American, 232, №. 4, 106— 114, 1975.
Содержание раздела в значительной мере заимствовано из
Hansen R. Т., Hansen S. Е, Loomis Н. G. Solar Phys., 10, 135 — 149, 1969.
Wilcox J. M, Howard R. Solar Phys., 13, 251 — 260, 1970.
В тексте цитируются также работы:
Howard R, Harvey Z Solar Phys., 12, 23 — 51, 1970.
Simon G. W., Noyes R. W. Solar Phys., 26, 8 — 14, 1972.
Henze W., Jr., Dupree A. K. Solar Phys., 33, 425 — 429, 1973.
Antonucci £., Svalgaard L. Solar Phys., 34, 3 — 10, 1974.
Имеются также следующие работы:
Glackin D. £. Solar Phys., 36, 51 — 60, 1974.
Stenflo J. O. Solar Phys., 36, 495 — 515, 1974.
Deubner F.-L., Vazquez Af. Solar Phys., 43, 87 — 90, 1975.
Schrdter E. Я., Wohl H. Solar Phys., 42, 3 — 16, 1975.
Wagner И； J. Astrophys. J. Letters, 198, L141 — L144, 1975.
Wolff C. L. Solar Phys., 41, 297 — 300, 1975.
Chistyakov И F. Bull. Astron.Inst. Czechoslovakia, 27, 84 — 91, 1976.
Самые последние работы по вопросу о меридиональной циркуляции следующие: 17. Plaskett Н. Н. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 163, 183 — 207, 1973.
WardF. Solar Phys., 30, 527 — 537, 1973.
Tuominen J. Solar Phys., 34, 15 — 16, 1974.
См. также [13]. Свидетельства вихреобразных движений на поверхности Солнца приводятся в работах
Ward F. Pure and Applied Geophys., 58, 157 — 186, 1964.
Ward F. Astrophys. J., 141, 534 — 547, 1965.
См. также ссылку [17] (и цитируемые в ней работы) и
Howard R. Solar Phys., 16, 21 — 36, 1971.
Ссылки на предыдущие исследования Бумбы и его сотрудников можно найти в статье
Bumba К. Solar Phys., 14, 80 — 88, 1970.
Можно отметить следующие общие пособия:
Unsold A. Physik der SternatmosphSren, Zweite Auflage, West Berlin: SpringerVerlag, 1955, pp. 508 — 518. [Имеется перевод изд. 1938 г.: Унзольд А. Физика звездных атмосфер. — М.: ИЛ, 1949.]
Huang S. S., Struve О. Stellar Rotation and Atmospheric Turbulence, in Stellar Atmospheres, ed. Greenstein J. L., Chicago: The Univ, of Chicago Press, 1960, pp. 321 — 369. [Имеется перевод: Звездные атмосферы. Под ред. Дж. Л. Грин- стейна. — М.: ИЛ, 1963, стр. 323 — 368.]
Много статей, связанных с различными вопросами наблюдения вращающихся звезд, имеется в книге
Stellar Rotation, ed/ Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970. Классическими работами по уширению линий спектра звезд за счет вращения являются
Shcyn G., Struve О. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 89, 222 — 239, 1929.
Carrol J. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 93, 478 — 507, 1933.
Система стандартных звезд для определения скоростей вращения предлагается в
Slettebak Л.\ Collins G. %, Воусе Р. A, White N. M.t Parkinson Г. D. Astrophys. J. Suppl., 29, 137 — 160, 1975.
Кэрролл [28] предложил также метод, основанный на преобразовании Фурье. Первые результаты применения этого метода можно найти в [40, 115 — 117] в библиографии к гл. 12 Уравнение (16) впервые рассмотрено в статье
Chandrasekhar S., Munch G. Astrophys. J., Ill, 142 — 156, 1950.
Дальнейшие исследования в этом направлении:
Brown A. Astrophys. J., Ill, 366 — 374, 1950.
Bohm К. H. Zeit f. Astrophys., 30, 117 — 133, 1952.
См. также работу Бернакка в [26, рр. 227 — 248]. Основная масса данных наблюдений собрана теперь в каталогах
Боярчук А. А., Копылов И. М. Известия Крымской Астрофиз. обе., 31, 44 — 99, 1964.
Bernacca Р. £., Perinotto М. Contrib. Oss. Astrofis. Asiago, Univ. Padova, No 239, 1970, No 250, 1971.
Uesugi A., Fukuda I. Mem. Fac. Sci. Kyoto Univ., Ser. Phys., Astrophys., Geophys., Chem., 33, 205 — 250, 1970.
См・ также ссылки в подписях к рис. 2.5 и 2.7. Статистические исследования вращения звезд содержатся в работах
Huang S. S. Astrophys. J., 118, 285 — 303, 1953.
Боярчук А. А., Копылов И. M. Астрон. ж., 35, 804 — 809, 1958.
8. Treanor Р. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 121, 503 — 518, 1960.
9. Van den Heuvel E. P.丿.The Observatory, 8 5, 241 — 245, 1965.
Walker E. N. The Observatory, 85, 162 — 165, 1965.
Van den Heuvel E. P. J. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 19, 309 — 325, 1968.
В основу настоящего раздела легли обзорные статьи Слеттебака и Абта [26, рр. 3 — 8, 193 — 203].
См. также
Hack М, Stellar Rotation, in Atti della XV Riunione della Societa Astronomica Italiana, Firenze: Baccini e Chiappi, 1972, pp. S91 — S103.
Bernacca P. £., Perinotto M Astron, and Astrophys., 33, 443 — 450, 1974.
Ссылки на работы Мак-Нолли и Уокера см. в их статьях
McNally D. The Observatory» 85, 166 — 169, 1965.
Walker N. The Observatory, 85, 245 — 250, 1965.
Краткий, но интересный обзор можно найти в
Struve О., Huang S. S.. Spectroscopic Binaries, in Handbuch der Physik, ed. S.Fliigge,
pp. 243 — 273, West Berlin: Springer-Verlag, 1958.
Вращение в визуально>двойных системах впервые исследовалось в работе
Slettebak A. Astrophys. J., 138, 118 — 139, 1963.
См. также работу Стейница и Пайпера [26, рр. 165 — 177]. Дальнейшие работы на эту тему
Bernacca Р. L. Astrophys. J., 177, 161 — 175, 1972.
WeisE. W. Astrophys. J., 190, 331 — 337, 1974.
Вопросу синхронизации в тесных двойных посвящены работы
Plaut L. Publ. Astron. Soc. Pacific, 71, 167 — 168, 1959.
Koch R. H- Olson E. C, Yoss К. M. Astrophys. J., 141, 955 — 964, 1965.
2. Olson £. C., Publ. Astron. Soc. Pacific, 80, 185 — 191, 1968.
См. также работы Плавеца и ван ден Хейвеля [26, рр. 133 — 146, 178 — 186]. Этот же вопрос рассматривается и в следующих работах:
3. Abt Я. 4, Hudson К. /. Astrophys. J., 163, 333 — 336, 1971.
NariaiK. Publ. Astron. Soc. Japan, 23, 529 — 538, 1971.
Levato Я. Astron, and Astrophys., 35, 259 — 265, 1974.
Levato Я. Astrophys. J., 203, 680 — 688, 1976.
В тексте цитируются также работы
7. Kreiken Е. A, Zeit f. Astrophys., 10f 199 — 208, 1935.
Swings P. Zeit f. Astrophys., 12, 40 — 46, 1936.
3
ЗВЕЗДНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
ВВЕДЕНИЕ
Как можно заключить из наблюдений, ббльшая часть звезд находится в состоянии гидростатического равновесия под действием собственного тяготения и центробежной силы, вызванной вращением вокруг оси *. Однако подробное изучение Солнца показало, что такое равновесие сил только приблизительно. В самом деле, на поверхности Солнца заметны следы внутренних движений как вокруг оси вращения, так и в меридиональных плоскостях (см. разд. 2.2). Отклонения от строгого равновесия можно наблюдать также на некоторых стадиях эволюции звезд; упомянем в этой связи пульсирующие, новые, сверхновые и вспыхивающие звезды. Все эти проблемы составляют предмет звездной гидродинамики, т.е. обычной гидродинамики, должным образом модифицированной так, чтобы охватывать все атомные и адерные процессы, которые происходят в недрах звезды.
В основе звездной гидродинамики, вообще говоря, лежит предположение, что по своей структуре звезда представляет собой сплошную среду. Другими словами, предполагается, что в макроскопическом масштабе, который велик по сравнению с расстояниями между частицами, свойства любой малой части звезды такие же, как и ее вещества в целом. Это предположение означает, что можно придать смысл средним значениям таких величин, как плотность, скорость, давление в каждой точке звезды, и считать, что эти средние значения обычно являются непрерывными функциями положения и времени. Чтобы определить среднее значение на практике, нужно рассматривать области, размеры которых меньше полного объема звезды, но гораздо больше средней длины свободного пробега частиц, поскольку тогда случайные движения частиц не оказывают влияния на средние значения. Так, например, когда мы говорим о скорости «элемента массы» (или «частицы жидкости»), мы всегда имеем в виду среднюю скорость большого числа частиц, заключенных в некотором конечном объеме, хотя сам этот объем следует рассматривать как точку.
В этой главе на основе такой модели сплошной среды будут выведены общие уравнения звездной гидродинамики. Здесь не будут обсуждаться разрывные явления (такие, как ударные волны). В разд. 3.5 и 3.6 мы остановимся также на некоторых общих явлениях, важных при изучении враще-
И конечно, под действием сил газового давления.——Прим, перев.
ния звезд. В заключение будут рассмотрены вириальные уравнения. Мы пока не затрагиваем конвекцию и турбулентность и рассмотрим их в последующих главах. Предполагается, что читателю известны основные сведения о внутреннем строении сферических моделей звезд. Кроме того, полезно знать векторный анализ и дифференциальные уравнения в частных производных .
ЭЙЛЕРОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ ПЕРЕМЕННЫЕ
К математическому описанию внутренних слоев звезды как сплошной среды можно подойти двумя различными способами. Можно либо описывать состояние данной конфигурации в любой точке пространства в каждый момент времени, либо прослеживать историю каждого элемента массы звезды. Чтобы в общих чертах обрисовать эти способы, введем декартовы координаты х = (лгр х?，％з)в инерциальной системе отсчета. В приложении Б приведены цилиндрические и сферические координаты; их употребление может быть продиктовано симметрией задачи.
Первый способ, который обычно называют методом Эйлера, дает полное описание звезды с помощью пространственных координат х и времени 厶 рассматриваемых как независимые переменные. В этом методе координаты х относятся к фиксированной точке пространства, а не к какому- либо движущемуся элементу массы звезды. С чисто кинематической точки зрения состояние движения описывается полем скоростей
V = V(x, 0. (1)
Тем самым сначала вводится понятие скорости частицы жидкости, оказавшейся в момент / в положении х. Если, кроме того, мы знаем плотность р, давление р, температуру Т и гравитационный потенциал 匕 то тогда состояние системы будет полностью определено. Все эти величины следует считать функциями от х и Л
Второй способ, метод Лагранжа, состоит в том, что для каждой частицы жидкости отмечается ее исходное положение X = (X〉Х> X，в какой- то произвольно выбранный начальный момент времени, скажем / = 0. Рассмотрим для определенности некоторый элемент массы, занимающий при f = 0 положение X; предположим, что в следующий момент / он переместился в новое положение х. Вектор х определен, таким образом, как функция независимых переменных X и а течение может быть представлено выражением вида
х = х(Х, 0. (2)
Для фиксированного значения вектора X выражение (2) описывает траекторию элемента массы с начальным положением х = X. В некоторый дан-
ный момент f уравнение (2) определяет также, как преобразуется область пространства, первоначально занятая всей массой звезды, в новое положение в момент Л По самому определению скорость частицы жидкости есть
v(X, о = ах/8/,(3)
где частная производная указывает на то, что дифференцирование должно производиться для данного элемента массы, т.е. при постоянном X. При этом нужно считать, что функции р, р, Ти Vзависят от переменных X и Г.
Координаты х в уравнении (1) называются эйлеровыми (или пространственными) переменными. В отличие от них координаты X, которые являются метками различных элементов массы, называются лагранжевыми (или субстанциональными) переменными . Благодаря уравнению (2) любая скалярная, векторная или тензорная величина Q, которая описывает движение и является функцией пространственных переменных (х, 0, будет также функцией и лагранжевых переменных (X, /), и обратно. Однако Q(x, /) обозначает значение Q, принимаемое частицей жидкости, находящейся в положении х в данный момент, тогда как Q(X, г)——это значение Q в момент времени / в элементе массы с начальным положением X.
Всюду в этой книге при использовании эйлеровых переменных мы будем полагать
/例=呢/叭= 83，⑷
DQ/Dt^dQ/dt\„ = zo^(5)
причем физически это совершенно разные величины . Эйлерова производная (4) определяет скорость изменения Q, измеряемую наблюдателем, который находится в фиксированной точке х. Соотношение (5) определяет субстанциональную производную С，так как с ее помощью мы измеряем скорость изменения Q, следуя за элементом массы вдоль его траектории. Используя выражения (2) — (5), можно написать
DQ/Dt = dQ/dt + (v • grad)e.(6)
Соотношение (6) выражает попросту скорость изменения во времени любой функции Q(x, 0 для наблюдателя, двигающегося вместе с частицей жидкости, которая находится в точке х в некоторый момент t Часть этого изменения связана с некоторым локальным приращением Q в фиксированной точке х, а часть ——с перемещением элемента массы в новое положение, где 0 имеет другое значение.
Различие между эйлеровыми и лагранжевыми переменными проявляется особенно отчетливо, если рассмотреть ускорение а частицы жидкости.
В эйлеровых переменных имеем
а(х, 0 = LN/Dt = av/M 4- (v • grad)v,(7)
где V зависит от х и Л Если же выразить v через лагранжевы переменные X и 厶 то вследствие (3) тот же вектор приобретает вид
а(х, о = av/м = а^/аЕ(8)
Теорема Рейнольдса
Ниже нам понадобится следующий результат. Пусть и = у(0 —произвольный объем элемента жидкости, т.е. движущийся в звезде объем, который в каждый момент времени состоит из одних и тех же частиц. Рассмотрим скорость изменения во времени некоторой величины Q(x, О
£ J 2(Х, Odx(9)
(см. примечание ** на стр. 51). С помощью непрерывного преобразования (2) можно перейти от движущегося объема 〃(/) в эйлеровых переменных х к фиксированному объему 〃。= и(0) в лагранжевых переменных X. Тогда можно написать
j Q(x, Odx = j Q(X, /VdX,(10)
гдеu%
/(X, о = a(X], X2, %з)/а(Х1，X/ Хз)(ii)
£Jmx= J 停 J+Q 沙X. %voС другой стороны, с помощью (2), (3) и (11) тут же dJ/dt = Jdiv v.Подставляя (13) в (12), имеем£ j QJdX = p(dQ/d/ 4- Qdiv v)dX. и。％Из соотношений (5), (10) и (14) следует—|Qdx = \(DQ/Dt + Qdiv v)dx.(12)получаем тождество(13)(14)(15)£Jmx= J 停 J+Q 沙X. %voС другой стороны, с помощью (2), (3) и (11) тут же dJ/dt = Jdiv v.Подставляя (13) в (12), имеем£ j QJdX = p(dQ/d/ 4- Qdiv v)dX. и。％Из соотношений (5), (10) и (14) следует—|Qdx = \(DQ/Dt + Qdiv v)dx.(12)получаем тождество(13)(14)(15)есть якобиан преобразования, который связывает элементарный объем dx с соответствующим объемом dX в лагранжевых переменных. Очевидно, тогда мы имеем
£Jmx= J 停 J+Q 沙X. %vo
С другой стороны, с помощью (2), (3) и (11) тут же dJ/dt = Jdiv v.
Подставляя (13) в (12), имеем
£ j QJdX = p(dQ/d/ 4- Qdiv v)dX. и。％
Из соотношений (5), (10) и (14) следует
—|Qdx = \(DQ/Dt + Qdiv v)dx.
(12)
получаем тождество
(13)
(14)
(15)
£Jmx= J 停 J+Q 沙X. %vo
С другой стороны, с помощью (2), (3) и (11) тут же dJ/dt = Jdiv v.
Подставляя (13) в (12), имеем
£ j QJdX = p(dQ/d/ 4- Qdiv v)dX. и。％
Из соотношений (5), (10) и (14) следует
—|Qdx = \(DQ/Dt + Qdiv v)dx.
(12)
получаем тождество
(13)
(14)
(15)
С помощью соотношения (6) последнее выражение можно переписать в другой форме:
— I Qdx = I 口 Q/ar + div(ev)Jdx.(16)
Наконец, применяя теорему Гаусса, можно написать
~^ j 0dx — ,/ j Qdx + § Qv • ndS,(17)
где n — внешняя нормаль к поверхности s = $«), ограничивающей элемент жидкости. Из соотношений (17) следует, что скорость изменения (9) равна сумме двух слагаемых: 1) скорости изменения в фиксированном объеме и^ который в данный момент t совпадает с элементом жидкости 〃(/), и 2) потока величины Q через поверхность $«), ограничивающую этот объем. Отметим, что формулы (15) — (17) выражают чисто кинематическое свойство, совершенно не'связанное с каким-либо физическим законом.
ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ
В рамках классической механики общие уравнения звездной гидродинамики включают в себя три фундаментальных принципа: 1) сохранение мае* сн, 2) закон изменения импульса и 3) сохранение энергии. Сформулируем эти принципы по порядку.
Сохранение массы
Рассмотрим произвольный элемент жидкости v = и(Г). Постулируем следующий принцип: масса, заключенная в любом элементе жидкости 〃«), не изменяется при движении этого элемента^ т.е.
-I Р(х, /)dx = 0.(18)
dt J
Согласно уравнению (16), j [dp/dt + divSv)]dx = 0.(19)
Поскольку это уравнение справедливо для любого элемента жидкости, подынтегральная функция должна равняться нулю. Таким образом, в лю- вой точке
dp/dt + div(pv) = 0,(20)
или, согласно формуле (6),
(21)(21)Dp/Dt + pdiv v = 0.
(21)
(21)
Таков вид уравнения неразрывности, впервые выведенного Эйлером, в пространственных переменных.
Чтобы получить соответствующее уравнение в лагранжевых переменных, умножим обе части уравнения (21) на J(X, Г). С помощью формулы (13) находим
Э(рУ)/Э/ = 0, или pJ = р0,(22)
где р0 = р(Х, 0) — начальное распределение плотности.
В качестве простого применения закона сохранения массы перепишем уравнение переноса (16) в более удобном виде. Заменив в нем Q на pQ и воспользовавшись уравнением (20), сразу же получаем
乡 I pQdx = I №Q/D)dx.(23)
Закон изменения импульса
Этот фундаментальный принцип динамики внутренних слоев звезды можно сформулировать следующим образом: скорость изменения импульса элемента жидкости v(t) равна равнодействующей всех сил, действующих на этот элемент. В нашем случае достаточно учитиьать только два вида сил:
Объемные силы, пропорциональные массе, заключенной в объеме 〃(/). Если отсутствует магнитное поле (см. разд. 3.6), то единственная объемная сила на единицу массы f(x, Г) — это гравитационное притяжение звезды. Тогда
f = -grad 匕(24)
а гравитационный потенциал F(x, f) выражается так:
И(х, 0 = f(25) J lx - Xх I
где G — гравитационная постоянная. Интеграл здесь берется по всему объему % занимаемому звездой.
Поверхностные силы, пропорциональные площади поверхности, которая подвергается воздействию (например, давление и вязкие напряжения). Пусть t ——вектор поверхностной силы, действующей на единичную площадь границы s(f) элемента жидкости 好(Г). Мы предполагаем, что вектор напряжений t зависит от положения и от времени, а также от ориентации элемента поверхности dS, т.е.
t = t(x, /; n).(26)
Тогда с помощью формул (24) и (26) закон изменения импульса можно записать следующим образом:
普 j pvdx = j pfdx+ $ tdS.(27)
В соответствии с теоремой переноса (23) это выражение можно переписать и в такой форме:
! p(D4/Dt)^ = J pf dx + § t dS.(28)
Без потери общности вместо интегрирования по движущемуся объему у(/) в уравнении (28) можно интегрировать и по фиксированному объему.
Из уравнения (28) можно немедленно получить такое следствие. Пусть £3 — величина элемента объема v. Деля обе части уравнения (28) на 2? и переходя к пределу при 〃, стремящемся к нулю, получаем
丿叫厂2 § tdS = О.(29)
Таким образом, в каждой точке жидкости поверхностные силы находятся в равновесии. Рассмотрим далее тетраэдр ОАВС (рис. 3.1). Пусть площадь грани АВС (с внешней нормалью п) равна С. Внешние нормали к остальным граням -1Р —12, -13, а площади этих граней равны соответственно 〃]£,几声 и 〃з?. Поскольку £ имеет порядок 七” формулу (29) можно применить к тетраэдру и получить
t(n) + 〃№-1卩 + w2t(-l2)+ 寸(Тз)三 °，(30)
где для краткости мы обозначили t(n) = t(x, /; п). Согласно третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия),
t(-n) = -t(n),(31)
Рис. 3.1.
поэтому
t(n)=勺 t(L)+ n^ + 吋&)・(32)
Следовательно, вектор напряжений t можно выразить через три вектора напряжений, которые действуют на координатные плоскости. Отсюда сразу видно, что
4 = ”丁依(х，0, ' = 1, 2, 3,(33)
или в векторных обозначениях
t = п • Т(х, Г).(34)
(Здесь и далее повторяющиеся буквенные индексы всегда означают суммирование.) Девять чисел Tki являются девятью компонентами тензора напряжений Т. Первый индекс показывает плоскость, на которую) действует напряжение, а второй — направление, вдоль которого оно действует.
Если подставить формулу (34) в (28) и применить теорему Гаусса, то получим
j p(D4/Dt)^ = ] Sf + div T)dx.(35)
Поскольку элемент жидкости v(t) произволен, отсюда сразу следует, что
D4/Dt = f + pTdivT.(36)
Это векторное уравнение впервые вывел Коши. Чтобы двигаться дальше, нужно найти подходящее выражение для тензора Т, учитывая при этом как тепловое движение частиц, так и поле изучения.
Модель идеальной жидкости. В большинстве задач звездной гидродинамики сила, с которой окружающая жидкость действует на элемент массы, направлена по нормали к площадке его поверхности dS. В таком случае мы выбираем следующую форму для компонентов вектора напряжений
一勺尸(х, г).(37)
Это уравнение определяет полное давление, которое в данное случае равно сумме теплового давления Pg и давления излучения рг [см., например, формулу (71)]. Знак минус в уравнении (37) объясняется условным соглашением считать, что вектор напряжений t ——это сила, с которой окружающие участки действуют на площадку поверхности. Очевидно, вектор t направлен по нормали к элементу поверхности dS, а его абсолютная величина не зависит от ориентации этой площадки. Из формул (33) и (37) следует, что тензор напряжений диагоналей:
Tik = ^P^ik(38)
(4左=1, если i = Z, б,左=0, если i 木 Z). Теперь с поморю формул (24) и (38) можно привести уравнения движения (36) к очень простому виду? впер-
вые полученному Эйлером:
Dy/Dt = -grad V - p-^radр.(39)
Выведем также уравнения движения в форме Лагранжа — это понадобится нам в дальнейшем. Из формул (8) и (39) следует
d2x/dt2 = -ЗИ/% - 0一1加/8号(40)
Умножая обе части уравнения (40) на dx/dXkt получаем
Ч-椅ар1加
-.(41) dXk 8/2dxkpdXk
Это и есть нужные нам уравнения в лагранжевых переменных Хи/.
Модель вязкой жидкости. В звездах, которые вращаются дифференциально, не всегда можно пренебрегать вязким трением. Другими словами, вектор напряжений t составляет в этом случае некоторый угол с нормалью п к поверхности, на которую он действует.
Для начала пренебрежем полем излучения и напишем
% = 一加次 + %，(42)
где т.к ——компоненты тензора вязких напряжений т (ср. с формулой (38))・ Получить тензор т в реалистической форме можно следующим образом. Рассмотрим тензор деформаций D:
Dik =力 ©"8/ 4- 3人/8冷.(43)
Очевидно, этот симметричный тензор служит мерой относительного движения между различными элементами жидкости, поскольку, когда вещество локально покоится (V 三 0) или когда оно вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью 0 (V = 0 х х), этот тензор обращается в нуль. Далее, следуя Стоксу, предположим, что компоненты т являются линейными однородными функциями от Dik. С физической точки зрения такое соотношение соответствует условию, что внутреннее трение возникает лишь тогда, когда соседние элементы массы движутся с разными скоростями. Если, кроме того, в пространстве нет выделенных направлений, то, как можно показать, в выражение для т через D входят только два произвольных коэффициента. В стандартных обозначениях получаем в конечном счете
% = 2A队-%4声SS)+⑵4a，(")
где коэффициенты сдвиговой вязкости д и объемной вязкости 〃》зависят только от локальных термодинамических свойств среды *. Иногда удобно
ввести коэффициент кинематической вязкости % полагая д = р丸
Несколько сложнее обстоит дело с взаимодействием между веществом и излучением. Во всех ситуациях, с которыми обычно приходится сталкиваться при изучении внутренних слоев звезд, следуя Томасу, Хазлхерсту и Сардженту, можно описать это взаимодействие с помощью тензора лучистых напряжений, который по своей структуре похож на тензор напряжений для вещества Т. В самом деле, лучистые напряжения можно разделить на давление излучения р「и касательные напряжения с коэффициентом лучистой вязкости 儿产 который определяется формулой
勺=47TV(15e>),(45)
где а, сн* — соответственно постоянная лучистого давления, скорость света и непрозрачность (которая в свою очередь зависит от р, Т и химического состава).
Подставляя полученные выше результаты в уравнение (36), придем к уравнению Навье — Стокса
б/Dt = — grad V — р~ Jgradр 4- p-Idiv т,
где компоненты полного тензора т*
"=3 +吟"=3 +吟(47)(47)
"=3 +吟
"=3 +吟
(47)
(47)
Поскольку в данном случае из-за наличия градиента скорости нарушается локальное термодинамическое равновесие, нужно уточнить, что мы понимаем под величиной。, которая встречается в выражениях (42) и (46). Условимся, что всюду далее р обозначает полное давление, которое было бы при локальном термодинамическом равновесии, т.е. р = pg + рг согласно уравнению состояния [см., например, формулу (71)]. Тогда, зная р, Г и химический состав, можно определить и это давление, однако оно уже не будет полным давлением в обычном смысле. В самом деле, из соотношения (47) следует, что среднее значение сил, действующих на единичные площадки трех координатных плоскостей, равно 万=О - (д, + ^g^div V. Заметим, что разность между полным давлением р и средним давлением 万 пропорциональна div v, т.е. скорости относительного изменения объема бесконечно малой частицы жидкости.
Граничные условия. Каким бы уравнением, (39) или (46), мы ни пользовались, на свободной поверхности звезды необходимо наложить соответствующие граничные условия. Во-первых, на всей границе /сила гравитации должна быть непрерывна. Согласно формуле (25), это условие всегда выполняется. Во-вторых, на поверхности звезды вектор напряжений должен обращаться в нуль. Таким образом, мы требуем
nk(~'P^ik + Т/Р = 0 на X(48)
где пк ——компоненты внешней нормали к поверхности / В случае идеальной жидкости эти три условия сводятся к одному
р = 0 на J(49)
Число граничных условий уменьшается, потому что в модели идеальной жидкости нет производных второго порядка, входящих в уравнение (46).
Вращающаяся система отсчета. В некоторых приложениях удобно описывать движение с точки зрения наблюдателя, который покоится относительно системы отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью П・ Мы можем написать
v(x, 0 = и(х, 0 + О х х,(50)
где и ——скорость относительно движущей системы отсчета. Аналогично, ускорение элемента массы (7) имеет вид
а(х, 0 = 8и/初 + (u ■ grad)u + 20 xu - grad(弘I。x xl2),(51)
где 2Q x u и 弘 10 x x 12 — соответственно кориолисово ускорение и потенциал центробежной силы. Поскольку тензор т инвариантен по отношению к твердотельному вращению, уравнения Навье — Стокса (46) приобретают вид
Du/Dt + 20 х u = -grad(P — 抬 10 x xl2) 一 p-1gradp + p-1div т. (52) Субстанциональная производная Du/Dt вычисляется здесь во вращающейся системе отсчета.
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Уравнения (20), (25) и (46) вместе с соответствующим уравнением состояния образуют систему из шести соотношений между семью неизвестными величинами р, р, Т, И и V. Следовательно, эту систему необходимо дополнить еще одним уравнением, вытекающим из законов термодинамики, вместе с определенными выражениями для коэффициентов переноса и скоростей энерговыделения. Процессами диффузии мы вообще не будем заниматься, а омическую диссипацию рассмотрим в разд. 3.6.
Пусть U — полная внутренняя энергия на единицу массы. Имеем
U = % + "%,(53)
где Ug — тепловая энергия (плюс любая энергия ионизации или возбуждения), связанная с частицами, а а Г4—плотность энергии излучения абсолютно черного тела. Полная энергия, заключенная в элементе жидкости 贝力 равна, следовательно,
J p(^lvl2 + U + EJdx,(54)
где Es — субатомная энергия, связанная с собственной массой частиц.
Принцип сохранения энергии теперь можно сформулировать так: скорость изменения полной энергии элементарного объема жидкости v( равна сумме скорости, с которой над этим элементом совершается работа, и скорости, с которой теплота и излучение поступают в этот элемент. Этот принцип можно выразить в виде уравнения
(d/dt) j 0(必IVE + и + g)dx = j 川• vdX +
+ § t • vdS - § (烫 + 畧)• ndS, (55)
где 莎н 疼一векторы теплового и лучистого потоков соответственно [см уравнения (66) и (67)]. Знак минус берется потому, что если эти векторы направлены внутрь, то величина (费 + 綿• п получается отрицательной. Да。 лее, поскольку объем 〃«) произволен, из уравнений (23), (34) и (55) следует (D/D0(^lvl2 + U + 纥)=f • V + p-MivCT • V) - p-Hiv(琼 +(56)
Это уравнение полной энергии.
В таком виде закон сохранения не очень удобен для практических прило* жений. Умножим поэтому обе части уравнения (36) на pv и проинтегрируем по объему 好«)・ С помощью формул (23) и (34) можно тогда написать
(d/dr) j N^lvl^dx = j pf • vdx + § t • vdS - j T：Ddx, (57)
где через T ： D обозначено произведение Tikpik. Объединяя уравнения (55) и (57), получаем
(d/dt) j p(U + Е^ = j Т ： Ddx - §(烫+ 弟・ndS. (58)
Таким образом, в каждой точке должно выполняться соотношение
pDU/Dt = Т ： D + 0%uc - div(分 + 刃.(59)
В уравнение (59) входит скорость выделения энергии в термоядерных реакциях
%ис = -DEQ.(60)
Далее, путем простых алгебраических выкладок из формул (42), (43) и (47)
можно вывести
Т ： D = Фу — р div V,(61)
где
丸=%3 +吟(岩"+ - 2/喷)+出+ %叫億).(62) Подставляя полученные результаты в уравнение (59), получаем
pDU/Dt 4- р div у = Фу 4- репис 一 §iv(烫+ 雨.(63)
Это уравнение соответствует первому закону термодинамики (т.е. закону сохранения тепловой энергии}. Мы будем пользоваться им вместо уравнения полной энергии.
Принимая, что изменения в каждой точке звезды квазистатичны, можно написать
TDS/Dt = DU/Dt + pDQQDt、(64)
где S ——энтропия на единицу массы. Сравнение уравнений (63) и (64) с учетом (21) приводит к результату
pTDS/Dt = Ф” + 叫ис - div(费 + Jp,(65)
который выражает скорость изменения энтропии при движении частицы жидкости вдоль ее траектории. Правая часть этого уравнения есть не что иное, как количество «теплоты», поглощаемой в единичном объеме за единицу времени. Положительная функция @^ представляет собой скорость, с которой теплота порождается вязким трением в единичном объеме в единицу времени, и в соответствии с этим называется диссипативной функцией. Функция 金门女 означает скорость генерации энергии на единицу массы в единицу времени, ее зависимость от р, Т и химического состава звезды известна. Член div^" описывает приток тепла от соседних элементов жидкости. Следуя Фурье, будем считать
亥=-xgradT,(66)
где х — коэффициент теплопроводности *. Подобным же образом если исключить из рассмотрения внешние области звезды, близкие к поверхности, то вектор лучистого потока можно записать так:
无=-x^radT,(67)
где
Х「= 4осТ3/(Зхр)(68)
есть коэффициент лучистой теплопроводности. Как х, так и хг положительны, потому что потоки энергии направлены от областей с высокой температурой к областям с низкой температурой.
Изоэнтропические движения
Иногда удобно выделить такие движения, для которых энтропия каждой частицы жидкости остается в первом приближении постоянной на протяжении всего пути частицы (хотя при переходе с одной траектории на другую энтропия может меняться). В таком случае
(69)(69)(70)(70)DS/Dt = dS/dt + v • gradS = О,
(69)
(69)
(70)
(70)
и уравнение (63) сводится к виду
pDU/Dt 4- pdiv V = 0.
Это уравнение просто выражает тот факт, что скорость изменения полной внутренней энергии движущегося элемента массы равна работе по сжатию этого элемента, совершаемой окружающей средой.
В дальнейшем нам часто придется рассматривать смесь простого идеального газа и излучения абсолютно черного тела. Пренебрегая энергией ионизации и возбуждения, имеем
р =(先/R)" + 力Н (71)
U = %Т + аТ4^, (72)
где 况—универсальная постоянная идеального газа, a R — средняя атомная масса. Определим также постоянную у как отношение cp/cv теплоемкостей на единицу массы при постоянных давлении и объеме. Тогда в силу уравнения (21) условие изоэнтропичности приобретает вид
гдегде(73)(74)(73)(74)Dp/Dt = V^/pjDp/Dt,
где
где
(73)
(74)
(73)
(74)
р 一 (4 - 38)2(? - 1) 16 + 12(丁 - 1) (1 - 6)
н 6 = W Впервые это уравнение вывел Эддингтон. Как показал Чандрасекар, можно также написать
(75)(76)(77)(75)(76)(77)1 DT1 Dp Г2 - 1 1 Др
(75)
(76)
(77)
(75)
(76)
(77)
T Dt 3 丿 p Dt r 2Pm
где Г2 и Г3 связаны c I\ следующими соотношениями:
「3 - 1 = (Г] - 8)/(4 - 36) =「口2 - 1)大2・
Наконец, отношение 0 изменяется в соответствии с формулой
0-lD0/Dt = (Г3 - V^{Dp/Dt.
Заметим, что при условии pr v Pg все величины Г совпадают с обычным показателем адиабаты у, а если присутствует одно лишь излучение абсолютно черного тела (pg V р), то они равны %. Таким образом, для смеси идеального газа и излучения абсолютно черного тела обобщенные показатели адиабаты принимают промежуточные значения от % до у.
ЦИРКУЛЯЦИЯ И ЗАВИХРЕННОСТЬ
Во многих случаях движение жццкости чрезвычайно удобно описывать с помощью поля завихренности
з = rot V,(78)
представляющего собой поле мгновенных скоростей вращения жидкости в каждой точке. Линия, которая касается в каждой своей точке соответствующего вектора вихря з(х, /), по определению называется вихревой линией} в любой момент семейство таких линий описывается уравнениями
Точно так же трубка, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется вихревой трубкой.
В силу формулы (78) всегда выполняется соотношение
div з = 0・(80)
Следовательно, по теореме Гаусса поток вихря через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю:
§ з • dS = 0.(81)
Применяя этот результат к фигуре, представляющей собой участок вихревой трубки, ограниченный по краям двумя поверхностями £】и £? (рис. 3.2), сразу получаем
j з • dS] = j з • dS?.(82)
4吻
Итак, поток вихря через любое сечение вихревой трубки есть постоянная величина^ которая называется интенсивностью трубки. В частности, если площадь сечения бесконечно мала, то величина з • dS остается постоянной на всем протяжении трубки. Поэтому вихревые линии не могут начинаться или кончаться внутри жидкости; они либо замкнуты, либо кончаются на границе.
Выведем теперь некоторые кинематические тождества, выражающие скорость изменения вихря при произвольном непрерывном движении. Использовав хорошо известную из векторного анализа формулу
^gradlvl2 = V х rot V + V * grad v(83)
и взяв ротор от уравнения (7), получим
rot а = Нз/а/ + rot(3 х V),(84)
Далее, в соответствии с формулой (80) имеем
rot(w х V) = V • gradw - з • gradv + sdivv.(85)
откуда
rota 尸 Ds/Dt — з • gradv + wdiw.(86)
С учетом формулы (21) находим из уравнения (86)
D^Q/Dt = (з/р) • grad V 4- р-1 rota.(87)
Следуя Эртелю, путем непосредственных вычислений из уравнения (87) можно также получить
'^^-^— •映ad(^^ = — •映ad 一^、+ — rot a • ^prsdQ, (88)
где Q(x, 0 — произвольная скалярная, векторная или тензорная функция.
Рассмотрим теперь жидкий контур с(Г), т.е. проведенную в звезде замкнутую кривую, которая в любой момент состоит из одних и тех же частиц жидкости. Пусть циркуляция скорости вдоль контура с(0 равна
$ V • de,(89)
где de — элемент дуги контура. Поскольку контур движется вместе с жидкостью, можно рассчитать скорость изменения этой циркуляции. Предположим, что движение кривой с(/) описывается параметрически при помощи уравнения с = х(〃，Г), где и отмечает отдельные элементы массы вдоль контура, а Г — время. Тогда
-^- § V • de = §• de 4- § V •d〃・(90)
Учитывая формулу (3), получаем
§v •d〃 = §v • ^必=§d(； Ivl) = 0.(91)
Следовательно, согласно определению (7), соотношение (90) сводится к виду
(d/力)§v • de = §а • de.(92)
Это чисто кинематический результат, а значит, он справедлив для любого движения вообще.
Для дальнейшего нам нужно знать лагранжево ускорение, которое встречается в формулах (87), (88) и (92). Ограничиваясь моделью идеальной жидкости 3 = /л» = а，= 0), имеем
а = - grad V - рт gradp.(93)
Перепишем эту формулу в другом виде. Энтальпия на единицу массы определяется формулой
Н =。+ (р/Р).(94)
Поскольку разность значений U для двух элементов массы в любой момент равна
dU = TdS — pd(l/p) = ras + (p/p2)d〃(95)
получаем
dH = TdS + p-'dp.(96)
Отсюда следует, что gradH = TgradS + рт gradp,(97)
и уравнение (93) приобретает вид
а = -gmd(P+ Н) + Т gradS.(98)
Взяв ротор от уравнений (93) и (98), находим rota = -gradp-1 х gradp,(99)
или соответственно
rota = gradT х gradS.(100)
Гомэнтропические течения. Чтобы прояснить суть дела, начнем изучение уравнений (87) и (92) со специального случая движений, когда энтропия одинакова во всей массе жидкости. Итак, потребуем, чтобы
gradS = 0(101)
в каждой точке системы ——такое движение называется гомэнтропическим. Тогда из соотношений (99) — (101) немедленно следует, что поверхности равного давления совпадают с поверхностями равной плотности .
При помощи соотношений (92), (100) и (101) получаем
(d/dt) §v • de = 0・(102)
Следовательно, 6 гомэнтропическом течении без трения циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура постоянна (теорема Кельвина о циркуляции). С помощью формулы Стокса мы можем записать ее и по- другому:
(d/dt) jw • dS = 0,(103)
где С — любая незамкнутая жидкая поверхность, ограниченная контуром с(г)・ Итак, поток вихря через любую жидкую поверхность не зависит от времени. Отсюда и на формулы (82) следует, что интенсивность вихревой трубки является интегралом уравнений движения.
Другое интересное свойство следует из уравнения (87), которое при сделанных предположениях имеет вид
D((j)/p)/Dt = (w/p) • gradv.(104)
Следуя Коши, с помощью лагранжевых переменных X и Z можно сразу проинтегрировать это уравнение и получить
з<р =(30“例)ах/а/,(Ю5)
где з° = з(Х, 0) и о。= р(Х, 0) — начальные значения з(Х, Г) и р(Х, /). Как показал Гельмгольц, «это решение просто означает, что частицы, образующие 6 некоторый момент вихревую линию, продолжают составлять вихревую линию и 6 любой следующий момент. Доказательство основано на том, что касательная к вихревой линии переносится жидкостью, при этом всегда оставаясь касательной. Пусть dXi — компоненты вектора, представляющего в момент / = 0 элементарный отрезок вихревой линии. Прослеживая его движение, получаем
dXj = (Зх/а驾)倏，(106)
где 飙—новые компоненты этого отрезка в момент Л Можно предположить, что всегда
dXi = £з"р,(107)
где £ — некоторая постоянная. Из формул (105) — (107) следует, что
必i = £(зо〃0о)Зх'ЗХк =叫/p(108)
и вектор с компонентами dxi также направлен по касательной к вихревой линии, что и требовалось доказать. Отметим, что, как следует из формул (107) и (108), величина з/р пропорциональна длине элементарного отрезка вихревой линии.
Негомэнтропические движения. В этом случае положение совершенно иное. В самом деле, из выражений (87) и (99) получаем следующее уравнение:
D"l阳Dt = (w/p) • gradv - 尸 gradp-1 x gradp,(109)
которое впервые рассмотрел Фридман. Если последнее слагаемое в уравнении (109) не обращается в нуль, то вихревые линии не обязательно вморожены в жидкость, а интенсивность вихревой трубки меняется со временем. В результате 6 идеальной жидкости, 6 которой энтропия непостоянна по всей массе, появляется возможность создания и разрушения вихрей.
Почти то же утверждает и теорема о циркуляции, которую доказал Бьеркнес в 1900 г. Из формул (92) и (93) и формулы Стокса получаем
с Е с
Поскольку поверхности р = const, вообще говоря, составляют с поверхностями р = const некоторый угол, циркуляций скорости и интенсивность вихревой трубки не остаются постоянными во времени. Можно указать на следующую простую геометрическую интерпретацию соотношений (110). На плоскости (р — р) построим изображение с(0 кривой с(0 (рис. 3・3)・ Проводя затем на одинаковом расстоянии друг от друга линии р = const и ° = const, получим ряд ячеек, ограниченных этими линиями. Теорема
Р
/ Рис. 3.3. Плоскость р-р.
Бьеркнеса гласит, что скорость изменения циркуляции е единицу времени вдоль жидкого контура с(/) пропорциональна числу ячеек, заключенных внутри кривой ё(/). Разумеется, число этих ячеек меняется со временем, поскольку в более поздний момент вихревые трубки состоят из других частиц жидкости.
Изоэнтропические течения. Очевидно, условие изоэнтропичности не исключает возможности возникновения и разрушения вихрей в идеальной жидкости. Тем не менее, как мы сейчас увидим, это условие в известной степени упрощает задачу.
Прежде всего если в уравнении (88) мы положим Q = S н воспользуемся выражением (100), то в общем случае получим
D^/p) • gradS]/Dr = (з/р) • grad(DS/m).(111)
Следовательно, при изоэнтропических движениях величина
(з/р) • gradS
остается постоянной вдоль всего пути каждой частицы жидкости. Заметим, однако, что эта постоянная, вообще говоря, различна для разных элементов массы. Этот результат принадлежит Трусделлу.
1吆 ЬУ 717 ar1吆 ЬУ 717 ar(ИЗ)(ИЗ)Рассмотрим теперь уравнение полной энергии (56). С помощью уравнений (21). (24), (42), (60), (65) и (94) закон сохранения этой энергии можно переписать в таком виде
1吆 ЬУ 717 ar
1吆 ЬУ 717 ar
(ИЗ)
(ИЗ)
—(V^lvl2 + н + И) = Т—Drdt
Таким образом, при стационарных изоэнтропических движениях имеем
V • grad(力 Ivl2 + 8 + Г) = 0・(114)
Значит, при стационарном изоэнтропическом движении частицы жидкости «полная энергия»
(П5)(П5)力МУ + н + р
(П5)
(П5)
остается постоянной (теорема Бернулли). Эта постоянная опять-таки, вообще говоря, зависит от конкретного выбора траектории.
Наконец, опишем связь между градиентом «полной энергии», градиентом энтропии и завихренностью. Комбинируя выражения (7), (78), (93) и (97), мы легко получаем, что при стационарных движениях
grad(% Ivl2 + Н + К) = 7gradS + V х з.(116)
Это соотношение, принадлежащее Крокко и Вазсони, справедливо в самом общем виде для стационарных движений. Легко видеть, что в стационарных гомэнтропических течениях «полная энергия» (115) остается постоянной для всей конфигурации лишь в том случае, когда V х з обращается в нуль в каждой точке.
ЗВЕЗДНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
Звездное вещество — это электропроводящая жидкость. Поэтому при наличии магнитного поля течение и поле будут взаимосвязаны. С одной стороны, движения проводящей жидкости поперек магнитных силовых линий порождают электрические токи, а эти токи в свою очередь изменяют исходное магнитное поле. С другой стороны, вследствие взаимодействия между электрическими токами и магнитным полем возникает объемная сила, которая возмущает движение жидкости.
Свойства и изменения электромагнитного поля описываются уравнениями Максвелла. Поскольку быстрые колебания поля нас интересовать не будут, мы можем пренебречь токами смещения. Как следствие этого мы не учитываем и накопление электрического заряда; такое приближение здесь законно, потому что в уравнении сохранения электрического заряда оно сказывается лишь на членах порядка I v 12/с2. В этих предположениях уравнения Максвелла имеют вид
rotH =4т J,(117)
rotE =— 8Н/М(118)
divH =0,(119)
где напряженности магнитного поля Н и электрического поля Е и плотность тока J измеряются в единицах СГСМ. Предполагается, что вещество немагнитно и его магнитная проницаемость равна единице.
Еще одно независимое соотношение необходимо для описания плотности электрического тока. Рассмотрим движущуюся частицу жидкости. Если V — ее скорость, то полное электрическое поле равно Е + v х Н, т.е. сумме поля Е, не связанного с ее движением, и индуцированного поля V X Н. Тогда, согласно закону Ома,
J = ое(Е + V х Н),(120)
「昵 ％ — коэффициент электропроводности.
Уравнения (117) — (120) описывают электромагнитное поле. Поле Д^ствует на течение посредством силы Лоренца 1(х, /)——массовой силы единицу объема, с которой магнитное поле влияет на электрические то-
ки. Имеем
I = J х Н = (1/4ж) rotH х Н.(121)
С учетом уравнения (119) можно записать компоненты вектора I в таком виде:
”\ 8n /ax八 4万 /
Таким образом, сила Лоренца эквивалентна магнитному давлению 1Н|2/8万,которое одинаково во всех направлениях, а также натяжению IН12/4万 вдоль магнитных силовых линий.
Если учесть эту электромагнитную силу в законе сохранения импульса, то мы получим модифицированные уравнения Навье — Стокса
= — gradV - p~igmd(p + IH12/8т) + (1/4тр)(Н • grad)H + 0Tdivt,
(123)
где p — полное давление, даваемое уравнением состояния [ср. также уравнения (25) и (47)]. Уравнение неразрывности (20), как легко видеть, остается прежним, а закон сохранения тепловой энергии нужно модифицировать так, чтобы учесть переход магнитной энергии в тепло (в единичном объеме). Для движущихся проводников эта диссипативная добавка составляет IJ|2/%. Следовательно, уравнение (63) теперь необходимо заменить на
pDU/Dt + 〃divv =电 + (%/4万)IrotH12 + 叫~ - div停 + 兑)，(124)
где
(125)(125)% = 1/(4 万%) есть коэффициент магнитной вязкости.
(125)
(125)
Магнитные поля в движущейся жидкости. В большинстве задач удобно исключить векторы Е и J из уравнений (117)——(120). При этом получаем
(126)(127)(128)(126)(127)(128)aH/az = rot(v х Н) — rot(pw rotH).
(126)
(127)
(128)
(126)
(127)
(128)
С учетом (119) это уравнение приобретает вид
DH/Dt = Н • gradv - Н divv - rot(方 rotH).
^（7）=（7）^（7）=（7）gradv - — rot(方 rotH).pgradv - — rot(方 rotH).pС помощью уравнения (21) находим
^（7）=（7）
^（7）=（7）
gradv - — rot(方 rotH).p
gradv - — rot(方 rotH).p
В частности, если vm тождественно обращается в нуль, то уравнение (128) сводится к
Мы видим, что это уравнение имеет в точности такой же вид, как и уравнение для завихренности (104). Сходство здесь и в самом деле полное, поскольку как з, так и Н соленоидеально [см. уравнения (80) и (119)]. Поэтому все теоремы, которые были рассмотрены в разд. 3.5 для гомэнтропиче- ских течений без трения, можно быстро перенести на случай магнитных полей в идеально проводящей жидкости.
Во-первых, определим магнитную силовую трубку как поверхность, образованную магнитными силовыми линиями, проходящими через некоторую замкнутую кривую. Тогда из уравнения (119) следует, что магнитный поток через любое сечение магнитной силовой трубки есть величина ло- стоянная:
J Н • CIS】=J Н • dS2, (130)
где С】н С? — произвольные сечения магнитной трубки [см. формулу (82)]. Поэтому магнитные силовые линии не могут начинаться или кончаться 6 жидкости; они либо замкнуты, либо кончаются на границе. Эти свойства имеют место всегда.
Во-вторых, из уравнения (129) следует, что 6 идеально проводящей среде все частицы жидкости, первоначально лежавшие на магнитной силовой линии, продолжают находиться на ней. В тех же предположениях
(Ш)(Ш)^НЕ。,
(Ш)
(Ш)
где С — произвольная незамкнутая жидкая поверхность [см. уравнение (103)]. Иными словами, при движении трубки вместе с жидкостью интенсивность магнитной силовой трубки остается постоянной. Наконец, величина Н/р пропорциональна длине элементарного отрезка магнитной силовой линии. Эти результаты, впервые отмеченные Валеном, неверны, если электропроводность конечна; в этом случае магнитные силовые линии не всегда связаны с жидкостью и магнитное поле со временем затухает.
В заключение отметим, что уравнение (87) приобретает теперь вид
(132)(132). gradv -丄 gradl х gradp +丄 rot (丄 J х\Р/Р РР \Р /
(132)
(132)
Последний член этого уравнения, вообще говоря, не равен нулю. Поэтому взаимодействие поля и течения порождает и разрушает вихри.
Граничные условия. Для иллюстрации пренебрежем вязким трением (〃 =“о =从厂=0) и предположим, что электропроводность бесконечна (% = 0). Поскольку магнитное поле обычно пронизывает и звезду, и окружающее пространство, нужно найти и должным образом согласовать на поверхности звезды , внутреннее и внешнее поля. Граничные условия можно наложить следующим образом. Во-первых, сила тяготения на по-
верхности J должна быть непрерывна. Во-вторых, нормальная к поверхности раздела составляющая тензора напряжений вещества, излучения и магнитного поля должна быть непрерывной. Итак, вместо единственного условия (49) потребуем теперь, чтобы
[-3 + 1Н|2/8тг)勺 + (Н/4吸〃此)]на / (133)
где квадратные скобки означают скачок соответствующей величины на границе. (Отметим, что давление р не может стать отрицательным!) В-третьих, поскольку магнитный поток через поверхность звезды должен быть непрерывным, мы должны предположить также, что
\пкН^ = 0 на J (134)
Таким образом, хотя нормальный компонент Нп магнитного поля непрерывен, его тангенциальные компоненты Нг могут быть разрывны, если предположить, что звезда — это идеально проводящая среда. Ясно, что если скачок |HJ существует, то он параллелен поверхности J Из этого в свою очередь следует существование поверхностного тока J$ с плотностью J$ = п х [HJ. В случае бесконечной проводимости избежать поверхностных токов можно, лишь положив [HJ = 0 и р = 0 на поверхности J Таких токов не будет и тогда, когда электропроводность звезды конечна, потому что в этом случае тангенциальные компоненты магнитного поля также должны быть непрерывны. Это дополнительное условие соответствует увеличению порящка дифференциального уравнения (128), когда mi начинаем учитывать диффузию магнитного поля.
ВИРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
DtDtРассмотрим модель идеальной жидкости, описанную в разд. 3・3・ Уравнение (39) можно переписать в виде
Dt
Dt
(135)
Умножим обе части этого уравнения на 叫 и проинтегрируем по всему объему звезды. С помощью соотношений (3) и (23) мы прежде всего получаем
рх,・味dx - 2Kikрх,・味dx - 2Kik(136)(136)
рх,・味dx - 2Kik
рх,・味dx - 2Kik
(136)
(136)
где
(137)(137)Kik =力 j pq% dx.
(137)
(137)
Аналогично, из выражения (25) следует, что
卜許dx = Gj卜…氈淵
dxdx'.
(138)
Таким образом, если обозначить
331卜6,小 A^^dxdx', Г *1卜6,小 A^^dxdx', Г *(139)(139)
3
3
1卜6,小 A^^dxdx', Г *
1卜6,小 A^^dxdx', Г *
(139)
(139)
то уравнение (138) приводится к виду
j px^bV/bx^ =-叱公(140)
Наконец, последний член можно проинтегрировать по частям и получить
J х^р/Ьх^ =-酝］pdx.(141)
Здесь мы воспользовались теоремой Гаусса и условием (49) для давления. Комбинируя уравнения (136), (140) и (141), находим
3/力)j 叫以dx = 2Kik + Wik + M j pdx.(142)
Поскольку все тензоры в правой части симметричны, левая часть тоже дрлжна быть симметричной. Следовательно, можно написать
(143)(143)
(143)
(143)
Это уравнение заключает в себе закон сохранения полного момента количества движения. Далее, из (23) и (143) имеем
(144)
*у
и вириальные уравнения (142) приобретают вид
^d2Iik/dt2 = 2K庶 + Wik + a*，pdx,(145)
где
I
* = j px&dx・(146)
Это вириальные уравнения второго порядка в обычной форме. В виде упражнения предлагаем вывести эти уравнения с учетом вязких напряжений и магнитных полей.
Произведя свертку в уравнении (145), получаем
(147)(147)^d2I/dt2 =武 + 歹 + 3 J pdx,
(147)
(147)
где /, К н W — момент инерции, кинетическая энергия и гравитационная потенциальная энергия соответственно:
/=jplx|2dx,K=%jplv|2dx,(148)
>Г = ^ j pKdx(149)
[см. соотношения (25) и (139)]. Для идеального газа, находящегося в равновесии и в стационарном состоянии» уравнение (147) приводится к виду
2К + 歹 + 30 - 1)。丁 = 0,(150)
где。丁 一 полная тепловая энергия конфигурации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Литература по классической гидродинамике очень обширна. Следует особо отметить такие общие пособия:
Bjerknes К., Bjerknes J., Solberg Н., Bergeron Г. Hydrodynamique physique, Paris: Presses Universitaires de France, 1934.
Lamb Я. Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge: At the Univ. Press, 1932; New York: Dover Publ., Inc., 1945. (Имеется перевод: Ламб Г. Гидродинамика. — М.: ГИТТЛ, 1947.)
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред； — М.: Гостехиздат, 1954, Интересной работой по основам гидродинамики является
Serrin J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, in Handbuch der Physik, 8 (1), ed. S. Fliigge, West Berlin: Springer-Verlag, 1959, pp. 125 — 263.
Единственная книга, целиком посвященная проблеме вращения,
Greenspan А. Р. The Theory of Rotating Fluids, Cambridge: At the Univ. Press, 1968. (Имеется перевод: Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. —— Л.: Госметео- издат, 1975.)
Общий обзор гидродинамики с точки зрения астрофизики можно найти в
Ledoux Ро Walraven Th. Variable Stars, in Handbuch der Physik, ed. S. Fliigge, 51, West Berlin: Springer-Verlag, 1958, pp. 353 — 604.
В этой работе также имеется краткий эвристический обзор турбулентности.
— 3.4. Эти вопросы мы излагаем следуя в значительной степени работам [4, 6]. Уравнения состояния, перенос энергии, непрозрачность и скорости ядерных реакций особенйо ясно и сжато рассмотрены в книге
Schwarzschild М. Structure and Evolution of the Stars, Princeton: Princeton Univ. Press, 1958, pp. 30 — 95; New York: Dover Publ., Inc., 1965. (Имеется перевод: Шварцшильд M. Строение и эволюция звезд. — М.: ИЛ, I960.)
Исчерпывающий анализ рассматриваемых вопросов содержится в книге
Сох J.尸.，Giuli R. Т. Principles of Stellar Structure, New York: Gordon and Breach, 1968.
Здесь подробно рассмотрены показатели Г при учете излучения и ионизации. Поле излучения в движущейся жидкости рассматривается в работах
Thomas £. Я. Quarterly J. Math., Oxford Series, 1, 239 — 251, 1930.
Hazlehurst /., Sargent W.丄.W, Astrophys. J., 1W, 276 — 285, 1959.
Поскольку гидродинамика не дает никакой информации о коэффициентах переноса 〃,А。, X н 。£, выражения для них следует выводить из кинетики частиц. В следующих работах эти коэффициенты были вычислены разными способами для астрофизических приложений:
Spitzer L.t Jr. Physics of Fully Ionized Gases, New York: Interscience Publ., 1956.
(Имеется перевод: Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. — М.: Мир, 1965.)
Edmonds F. N., Jr. Astrophys. J., 125, 535 — 549, 1957.
Hubbard W. A Astrophys. J., 146, 858 — 870, 1966.
Hubbard W. R, Lampe M. Astrophys. J. Suppl., 18, 297 — 346, 1969.
Kovetz A.у Shaviv G. Astron, and Astrophys., 28, 315 — 318, 1973.
Flowers E.、Itoh N. Astrophys. J., 206, 218 — 242, 1976.
Циркуляция и завихренность особенно полно разобраны в книге
Truesdell С. The Kinematics of Vorticity, Bloomington: Indiana Univ. Press, 1954. См. также [4, 5, 27]. Эти и связанные с ними вопросы рассматриваются также в работах
Friedmann Л. Zeit. f. angew. Math, und Meeh., 4, 102 — 107, 1924.
Bjerknes К Astrophys. Norvegica, 2, 263 — 339, 1937.
Crocco 丄.Zeit. f. angew. Math, und Meeh., 17, 1 — 7, 1937.
ErtelH. Meteorol. Zeit., 59, 277 — 281, 385 — 387, 1942.
Vazsonyi A. Quart, of ApUied Math., 3, 29 — 37, 1945.
Truesdell C. Zeit. f. angew. Math, und Phys., 2, 109 — 114, 1951.
Общий обзор магнитной гидродинамики и предположений, лежащих в ее основе, можно найти в книге
Ландау Л. Д., Лифшиц Е； М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Гостехиз- дат, 1957.
См. также [27]. Трудный вопрос о граничных условиях подробно обсуждается в книге
Shercliff J. Л. A Textbook of Magnetohydrodynamics, Oxford: Pergamon Press, 1965. (Имеется перевод: Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. — М.: Мир, 1967.)
Ссылаясь на Валена, мы имеем в виду работу
Wa№n С. Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 3 3A, No 18, 1 — 63, 1946.
Классические работы по вириальным уравнениям:
Chandrasekhar S. Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability, Oxford: At the Clarendon Press, 1961.
Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium, New Haven: Yale Univ. Press, 1969. [Имеется перевод: Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия.——М.: Мир, 1973.]
СТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ
4.L ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим звезду, вращением и магнитным полем которой можно полностью пренебречь; предположим, кроме того, что эта самогравитиру- ющая конфигурация изолирована от других тел. Тогда, как хорошо известно, система приобретает сферическую форму, те поверхность, на которой полное давление р равно нулю, представляет собой сферу. Более того, поверхности постоянного давления — изобарические поверхности — являются концентрическими сферами. В результате гравитационный потенциал 匕 плотность р, температура Т и светимость L также обладают центральной симметрией. (Хотя для математика эти утверждения, быть может, не очевидны, с физической точки зрения они достаточно ясны.) Решение задачи о внутреннем строении и эволюции излучающих звезд, находящихся в состоянии гидростатического равновесия, становится возможным благодаря именно этой геометрической простоте.
Рассмотрим теперь одиночную звезду, которая вращается вокруг фиксированной в пространстве оси с некоторой заданной угловой скоростью. Как известно, в отсутствие магнитного поля фигура звезды становится сплюснутой. Сразу же возникают следующие вопросы: какова геометрическая форма вноиней границы? Какова форма поверхностей, на которых физические параметры звезды имеют постоянное значение? Короче говоря, какова действительная стратификация вращающейся звезды и как эта стратификация зависит от распределения угловой скорости? Ясно, что граница уж&не является сферой. Можно ли описать изобарические поверхности набором подходящих эллипсоидов? При некоторых весьма специальных условиях такая возможность имеется; однако, вообще говоря, эллипсоиды не служат приемлемым приближением для произвольной вращающейся звезды. На первый взгляд можно предположить, что звезда должна быть симметричной относительно своей оси вращения. Но это не всегда справедливо: можно построить модели, обладающие явной симметрией относительно трех плоскостей, но не симметричной относительно оси. Можем ли мы хотя бы ожидать, что звезда должна быть симметричной относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения? Это верно, если выполняются некоторые сильные условия. Л priori мы не знаем действительную стратификацию вращаклцейся звезды. Стратификация, как правило, не известна, и ее нужно находить из гидродинамических уравнений соответствующей задачи. Такое положение резко отличается от случая невращающейся
звезды, для которой сферическую стратификацию можно предположить ab initio.
На этом этапе в теории вращения звезд возникает еще одна трудность. Если исключить звезды, вращение которых предполагается твердотельным, то трение между различными слоями с течением времени вызывает 6 конечном счете перенос момента количества движения. Поэтому, если не делать упрощающих предположений, то модели, не зависящие от времени, не способны дать хорошее приближение для дифференциально вращающихся звезд. Точнее говоря, если характерное время вязкой диффузии меньше, чем продолжительность жизни вращающейся звезды, то нужно учитывать перенос момента количества движения.
Из сказанного следует, что нельзя надеяться на исследование внутреннего строения и эволюции вращающихся звезд со степенью общности, уже достигнутой для звезд, находящихся в состоянии гидростатического равновесия. В этой главе мы изучим некоторые простые механические свойства вращающихся звезд; любое из них можно вывести, не зная моделей звезд во всех подробностях. Проблемы, связанные с излучением и термодинамикой, будут рассмотрены в гл. 7.
ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Прежде всего сделаем следующие предположения:
звезда изолирована в пространстве и вращается вокруг фиксированной оси с некоторой, пока произвольной угловой скоростью;
конфигурация стационарна в инерциальной системе отсчета, а плотность каждого элемента массы постоянна вдоль его пути;
трением можно полностью пренебречь;
на звезду не действуют электромагнитные силы.
Если конфигурация обладает всеми этими свойствами, то по определению для инерциального наблюдателя она находится в состоянии стационарного вращения. Предположим теперь, что звезда вращается вокруг оси Z， и примем центр масс за начало системы отсчета. Тогда в цилиндрических координатах (&, р, z) компоненты вектора скорости v имеют вид
〃G = °，％ = ℃，％ = °(1)
в инерциальной системе; угловая скорость 口 считается пока произвольной функцией пространственных координат.
Из сделанных предположений можно немедленно вывести следующее заключение:
Если газовая звезда находится в состоянии стационарного вращения 6 инерциальной системе отсчета, то она с необходимостью обладает осевой симметрией.
Этот результат непосредственно вытекает из закона сохранения массы. Действительно, можно написать
Dp/Dt + pdiw = 0,(2)
ИЛИ
dp/dt + v • grad p 4- p div у = О(3)
[см. разд. 3・3, уравнение (21)]. Поскольку плотность элемента массы не меняется вдоль его пути, имеем Dp/Dt = 0; и, несмотря на то что система состоит из газа, из уравнения (2) следует
divv = 0.(4)
Из соотношений (1) и (4) получаем
О = const, или (2 = П(ш, z)・(5)
Далее, согласно 2-му предположению, также 沛/Bt = 0, поэтому уравнения (3) и (4) дают
V • gradp = 0.(6)
Это выражение показывает, что скорость v лежит в плоскости, касательной к поверхности равной плотности. Таким образом, с помощью соотношений (1), (5) и (6) можно написать
nap/a^> = о,(7)
и, предполагая, что П ^ 0, находим
р = Р® %)•(8)
При помощи формул (5) и (8) теперь легко показать, что функции р, К, Т и L также обладают осевой симметрией.
Полученный результат позволяет сильно упростить уравнения движения [см. разд. 3.3, уравнение (39)]. Мы находим
рТ др/дш = 一 dV/дш + М&,(9)
рТ 加/az = -ap/az.(10)
В общем случае гравитационный потенциал и плотность связаны уравнением Пуассона
V2K = 4тОр,(11)
где G — гравитационная постоянная. Иногда удобнее вместо уравнения (11) пользоваться интегральной формой ньютоновского потенциала, т.е.
Hlz) = -G j р(х')1х - x,r1dx,,(12)
где интеграл берется по (неизвестному) объему звезды X По соглашению
границей звезды считается поверхность X на которой давление равно нулю. Преимущество интегральной формы (12) состоит в том, что граничные условия на гравитационный потенциал, т.е, непрерывность тяготения на (неизвестной) поверхности X теперь учитываются автоматически.
Чтобы завершить постановку задачи, нужно добавить соответствующее уравнение состояния. В общем случае давление зависит от плотности, температуры и химического состава звезды. На данном этапе явныИ вид зависимости нам не нужен, и мы символически запишем
Р = Р(Р, Т,入 1，%，•••)， (13) где переменные 入,вообще говоря, зависят от & и z・ По определению бароклиной (или бароклинной звездой) называется система, в которой справедливо физическое соотношение вида (13). Разумеется, температура — это еще одна неизвестная величина; так что, даже зная переменные 入，мы должны включить в нашу систему уравнений еще одно термодинамическое уравнение. Пока что такое соотношение нам не понадобится.
В определенных случаях к уравнениям движения удобно добавить геометрическое соотношение, которое связывает только давление и плотность. Предположим, что
Р = Р(Р). (14)
Всякая модель, в которой выполняется такое соотношение, называется баротропой (или баротропной звездой). В качестве примера можно упомянуть политропы, которые часто играют полезную роль, поскольку представляют собой простые системы. Ясно, что уравнению баротропы удовлетворяет и белый карлик с нулевой температурой, однако с физической точки зрения этот объект скорее следует рассматривать как особый предельный случай бароклины.
Основное различие между баротропными и бароклинными звездами состоит, естественно, в том, что их стратификации неодинаковы. Очевидно, что в баротропе (буквально: «подобная давлению») поверхности равной плотности — изопикнические поверхности — совпадают с изобарами. Напротив, в бароклинной звезде (буквально: «под углом к давлению») изопикнические поверхности, вообще говоря, составляют некоторый угол с изобарами и пересекают их; совпадение в этом случае имеет место лишь иногда, при весьма специфических условиях.
4・3・ БАРОТРОПЫ, ПСЕВДОБАРОТРОПЫ И БАРОКЛИНЫ
Из уравнений (9) и (10) можно вывести много полезных свойств. С этой целью прежде всего определим эффективную силу тяжести g как силу тяготения (на единицу массы) с поправкой на центробежное ускорение. Таким образом, в цилиндрических координатах имеем
gg = — dV/dw 4- М] (15)
gz = -ap/az. (16)
Следовательно, уравнения (9) и (10) можно переписать так: pTgradp = g.(17)
Легко сделать первый вывод:
Если звезда находится в состоянии стационарного вращения, то эффективная сила тяжести всюду ортогональна к изобарическим поверхностям.
Этим свойством обладают как баротропные, так и бароклинные звезды.
Теорема Пуанкаре — Вавра
Предположим теперь, что звезда вращается как твердое тело. Тогда формулы (15) и (16) приобретают вид
д = - grad Ф,(18)
где с точностью до постоянного слагаемого
Ф@, z) = K(i, z) - й2 "/2.(19)
Рассмотрим теперь дифференциально вращающуюся звезду. При каких условиях эффективная сила тяжести тоже потенциальна? В силу формулы (16) это возможно тогда и только тогда, когда П не зависит от z, т.е. когда угловая скорость постоянна на цилиндрических поверхностях, ось которых совпадает с осью вращения. Вместо формулы (19) получаем
力(з, z)= 伙z) — j 02(J)JdJ.(20)
Из существования такого потенциала можно вывести ряд интересных следствий.
Прежде всего в силу соотношения (17) всегда можно написать 广1如=gg 曲 + gzdz^(21)
С помощью формул (18) и (20) находим
х>т 如=-d®.(22)
По определению для любого смещения на уровенной поверхности Ф = const имеем 4Ф = 0. Поскольку из соотношения (22) следует, что на этой поверхности dp = Q, изобарические поверхности совпадают с уровенными поверхностями. Следовательно,
р = р(Ф), или Ф = Ф(р),(23)
1/р = -d®/dp・(24)
Таким образом, на уровенной поверхности плотность также не меняется. Итак, поверхности, на которых р, р и Ф остаются постоянными, совпала-
ют. Вследствие этого если потенциал Ф существует, то вектор g нормален к изопикническим поверхностям.
Рассмотрим теперь звезду, у которой совпадают изобарические и изопикнические поверхности. Если положить
力S) =-卜一喩)如，(25)
то формула (21) приводится к виду
d® =-㈠曲-g/z.(26)
Величина d© галяется точным полным дифференциалом; следовательно, должно выполняться соотношение (18) и g обладает потенциалом.
Предположим, наконец, что эффективная сила тяжести всюду нормальна к изопикническим поверхностям. Из формулы (21) следует, что на такой поверхности давление постоянно. Тем самым установлено совпадение изобарических и изопикнических поверхностей.
Если теперь собрать все воедино, то легко убедиться, что доказана следующая теорема:
Для звезды в состоянии стационарного вращения из любого следующего утверждения вытекают три остальных: 1) угловая скорость постоянна на цилиндрах, ось которых совпадает с осью вращения, 2) эффективная сила тяжести обладает потенциалом, 3) эффективная сила тяжести нормальна к изопикническим поверхностям, 4) изобарические и изопикнические поверхности совпадают.
Эти важные результаты впервые доказали Пуанкаре и Вавр.
Невнимательный читатель мог бы прийти к выводу, что эти четыре эквивалентных утверждения относятся исключительно к баротропам и никак не связаны с бароклинными звездами. Это не совсем верно. Для доказательства снова рассмотрим систему, в которой R зависит как от &, так и от z. Если исключить гравитационный потенциал V из уравнений (9) и (10), то можно написать
土 =土亠丝 (27)
dz \/ dz \ p/ dw dw \ p / dz
Возвращаясь к формулам (1), получаем
2(8O/8z)v = gradp'1 x gradp.(28)
Отсюда немедленно следует, что все изобарические и изопикнические поверхности совпадают в том и только в том случае, если
ap/8z = 0.(29)
Это прямое следствие уравнений движения, и, чтобы его получить, не нужно заранее знать уравнение состояния.
Ясно, что условие (29) всегда выполняется в баротропах как при твердотельном, так и при дифференциальном вращении. Однако если рассмотреть
вращающуюся бароклину, на которую наложено условие (29), то формула (28) показывает, что и в этом случае изобарические и изопикнические поверхности должны совпадать, несмотря на то что это в высшей степени неестественно и не следует a priori из уравнения состояния, которое связывает р, р, Г и, возможно, другие параметры! Итак, вообще говоря, можно утверждать, что
Каково бы ни было уравнение состояния, бароклинные звезды, у которых ЭО/Эг = 0, характеризуются следующими свойствами: 1) эффективная сила тяжести имеет потенциал, 2) эффективная сила тяжести нормальна к изопикническим поверхностям, 3) изобарические и изопикнические поверхности всюду совпадают.
Всюду далее мы будем называть эти очень своеобразные бароклины псевдобаротропами, поскольку в них соблюдаются почти все свойства баротроп. Следует отличать их от истинных бароклин, относительно которых мы можем теперь сделать следующее утверждение:
В неоднородно вращающейся бароклинной звезде, угловая скорость которой зависит и от <Ь9 и от z 〃 эффективная сила тяжести не обладает потенциалом, 2) эффективная сила тяжести, вообще говоря, не перпендикулярна к изопикническим поверхностям, 3) изобарические и изопикнические поверхности, вообще говоря, составляют друг с другом конечный угол.
В гл. 7 мы наложим другие сильные ограничения на излучающие бароклины и псевдобаротропы в состоянии стационарного вращения.
Итак, исключая особый случай псевдобаротроп, можно сказать, что для баротропных звезд справедливы два эквивалентных утверждения
dQ/dz = 0, р = р(р). (30)
Кроме того, стратификация баротроп и псевдобаротроп такова, что поверхности, на которых р, р и Ф постоянны, совпадают; силовые линии эффективной силы тяжести ортогональны к этим поверхностям. Указанные свойства значительно упрощают задачу построения вращающихся конфигураций. Напротив, дела обстоят не так просто, когда мы рассматриваем истинные барэклины, так как в этом случае ни одно из вышеперечисленных свойств не справедливо. Особенно важен тот факт, что эффективная сила тяжести уже не ортогональна изопикническим поверхностям.
Правила Бьеркнеса — Росселанда
Из уравнений (27) или (28) можно вывести дополнительные следствия. Эти уравнения показывают, что, когда центробежное ускорение Q2w изменяется в направлении, параллельном оси вращения, изобарические и изопикнические поверхности составляют друг с другом ненулевой угол. Предположим, что направление вектора угловой скорости совпадает с направлением оси z. Тогда векторы grad (1/р) и grad р лежат в плоскости, проходящей через ось z, а скорость v направлена в сторону возрастания азимута. При таком соглашении угол между векторами grad (1/р) и grad р следует отсчитывать в направлении от оси вращения.
Если в данной точке величина dQ/dz положительна, то правая часть уравнения (28) также должна быть положительной. Следовательно, в этой точке угол между осью z и grad р меньше, чем угол между grad (1/р) и осью z. Это означает, что изобарические поверхности сплюснуты сильнее, чем изопикнические. Рассмотрим в качестве примера химически однородную звезду, которая удовлетворяет уравнению состояния идеального газа, т.е. Г ос p/р； предположим далее, что ее плотность монотонно убывает наружу. Если dQ/dz > 0 на всем пути от полюсов к экватору, то вещество на изобарической поверхности холоднее на полюсах, чем на экваторе, т.е. изотермические поверхности сплюснуты сильнее, чем изобарические. Если ЭО/dz < 0, то положение обратное. Разумеется, если dQ/dz обращается в нуль во всей конфигурации, то мы возвращаемся к случаю, когда изобарические и изопикнические поверхности совпадают; в наших предположениях температура на этих поверхностях также принимает постоянное значение.
Теорема Лихтенштейна
Еще одно различие между баротропами и бароклинами связано с существованием экваториальной плоскости симметрии. Вопреки ходячему мнению, этот вопрос далеко не тривиален, поскольку такой плоскости может и не быть! Эту проблему подробно изучили Лихтенштейн и Вавр, которые доказали, что вращающиеся звезды, угловая скорость которых не зависит от & всегда обладают экваториальной плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения.
Строгое математическое доказательство выходит за рамки настоящей книги. Как и следовало ожидать, случай истинных бароклин несколько сложнее. Их угловая скорость зависит как от ш, так н от z, н чтобы существовала плоскость симметрии, должно выполняться определенное условие. Снова опуская доказательство, мы можем привести окончательный результат в такой формулировке:
Если угловая скорость дифференциально вращающейся бароклины в каждой точке представляет собой однозначную функцию плотности р и расстояния & от оси, то тело звезды симметрично относительно экваториальной плоскости.
Другими словами, пусть произвольная линия, параллельная оси вращения, проходит сквозь тело, она пересекает каждую изопикническую поверхность в двух точках. Если в этих точках з苗аення (2(&, z) одинаковы, то °(Р, з) — однозначная функция; это и гарантирует существование плоскости симметрии. Первым этот вопрос рассмотрел Див. В дальнейшем, говоря о бароклинных моделях, мы всегда будем постулировать существование экваториальной плоскости симметрии.
4・4. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СТРАТИФИКАЦИИ
Теперь уместно спросить, при каких условиях изобарические поверхности представляют собой некоторый набор концентрических сфероидов?
Этот вопрос, который впервые поставил Ами в 1889 г., не так прост, как может показаться на первый взгляд. Для иллюстрации снова ограничимся твердотельно вращающимися звездами. Применяя к обеим частям соотношения (19) оператор Лапласа и учитывая уравнение (11), получаем
▽2Ф = 41rGp - Ilf.(31)
Кроме того, плотность твердотельно вращающихся объектов зависит только от Ф, поэтому выражение (31) можно символически записать так:
d^/dw2 + &一切力/8& + a?①/af = Дф)#(32)
Предположим далее в самой общей форме согласно Вольтерра и Пицце- ти, что уровенные поверхности Ф = const заданы уравнениями
尸(加 z, Ф) = 0,(33)
где вид функции 尸 пока не указывается. Таким образом, dF/дш + ГдФ/дш = 0,(34)
где штрих означает производную по Ф. Точно так же получаем
"尸&尸 ЭФ е &2®/ЭФ\2/“、
—г + 24" F —- + 尸 (~ I = 0(35)
8而2dw дш dw2\dw/
и два аналогичных уравнения, включающих производные по z・ Исключая с помощью этих четырех уравнений производные Ф из уравнения (32), в конце концов найдем
5"綜+察)(新+(窥+中。.的
Ясно, что если выбираемая стратификация допустима, то соотношение (36) должно тождественно выполняться для всех w, z и Ф, связанных уравнением (33).
Выберем теперь сфероидальную стратификацию вида
尸(或 z, Ф) = а(Ф)百2 + %?—力® = 0,(37)
где а и 力——произвольные функции от Ф. Уравнение (36) переписывается так:
2(2a + 1)(/&2 一 力，)2 一 8(J62 -〃心修而2 +
+ 4(a"g2 一力")也@ 一 1)齿2 + 力］+ g，而2 一 h'f = 0, (38)
причем переменную z мы уже исключили. Если сфероиды представляют допустимое решение, то это уравнение должно удовлетворяться при всех &
В последнем члене уравнения (38) w содержится в шестой степени, а в остальные члены эта переменная входит в четвертой степени. Отсюда мы выводим, что
從=0, или а = const.(39)
Сфероиды (37) должны быть гомотетичными, и уравнение (38) сводится к виду
2(2а + 1)Л/2 - 4〃"[а(а - 1)山2 + Л] - А'У = 0, (40)
Разумеется, мы исключаем а = 1 как возможное решение, поскольку оно соответствует сферической стратификации. Таким образом, у нас остается лишь возможность
А = 0, или hf = const, (41)
и, значит, мы должны считать, что и / постоянная. В силу соотношений (31) и (32) отсюда в свою очередь следует, что постоянной должна быть и плотность р! Итак, допустимыми решениями служат только однородно вращающиеся сфероиды постоянной плотности, причем давление постоянно на гомотетичных сфероидах.
Аналогично можно доказать, что дифференциально вращающиеся звеэ* ды, у которых R зависит только от & не допускают сфероидальных стратификаций. Мы не будем приводить здесь доказательство, тем не менее теперь мы можем сформулировать общее утверждение:
Если центрально конденсированная баротропа или псевдобаротропа находится в состоянии стационарного вращения, то изобарические поверхности нельзя описать как набор концентрических сфероидов.
К этому утверждению нужно добавить два замечания. Во-первых» если допустить, что отклонение от сферичности мало, то в первом приближении для описания медленно вращ&ющихся тел можно использовать сфероидальные стратификации. Много таких примеров встретится в разных разделах настоящей книги. Во-вторых, как впервые установил Див, сформулированное утверждение неприменимо к истинным бароклинам. Используя поводящие сфероидальные стратификации, можно построить много соответствующих моделей. Однако такими простыми решениями нельзя правильно описать реалистические модели звезд. Мы не будем подробнее оста* навливаться на этой проблеме»
4s НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С чисто механической точки зрения точный вид конкретной модели со стационарным вращением зависит от трех величин: полной массы М, пол- ш>го момента количества движения J и выбранного распределения момен- тз количества движения на единицу массы *• Рассмотрим теперь фиксиро- >№ое значение М и данное поле вращения и построим последовательность моделей, вдоль которой J увеличивается. Какая величина помимо J служит 口^олее удобным параметром» характеризующим главные свойства моде-
ли в последовательности? В случае сфероида мы, естественно, могли бы воспользоваться эксцентриситетом меридионального сечения; однако сфероид не очень подходит, если речь идет об объекте, граница которого определена численно. Можно было бы использовать экваториальную угловую скорость %, но это опять-таки не самый удачный выбор, поскольку 0е не всегда монотонно увеличивается с ростом J. Еще один параметр — это отношение кинетической энергии вращения К к потенциальной энергии гравитации W, т.е.
т К/\W\,(42)
где
К = % j 阂2而2dx,(43)
W = Vi p Pdx.(44)
Согласно скалярной теореме вириала, имеем
2К - I %1 + 3 j pdx = 0(45)
(см. разд. 3.7). Поскольку интеграл от давления по объему — величина неотрицательная, можно написать
О & г «丄.(46)
2
Разумеется, на этом этапе мы не знаем a priori, будет ли вся область значений т (или J) заполнена соответствующими моделями.
Чтобы оправдать наш выбор т в качестве удобного параметра, проиллюстрируем проблему на примере твердотельно вращающихся однородных сфероидов, т.е. сфероидов Маклорена. Существование их было доказано в предыдущем разделе; их параметры легко вычисляются, так как сила тяго
тения однородного сфероида хорошо известна. Имеем
8Р/М = 2irGpA^ dV/dz = l^GpA^(47)
где
Z](e) = е-3(1 - e2)^arcsin e - e-2(l 一 e?),(48)
Л3(е) = 2e~2 _ 2е~з(1 — ^^arcsin e.(49)
Эксцентриситет e равен e = [1 -他/%)4%,(50)
где a】n a? — две полуоси меридионального сечения (а3 4 а】).И сила тяготения, и центробежная сила являются линейными функциями по координатам. Отсюда в силу уравнений (9) и (10) давление записывается в квадра-
тичной форме:
(51)(52)(53)(51)(52)(53)р® z) = 2irGp2ajA3[l 一(百/勺)2 一(z/@3)2]・
(51)
(52)
(53)
(51)
(52)
(53)
Этот результат согласуется с уравнением (39). Мы также имеем O2/(2tGp)=力1 一(1 - е2)Л3,
丁 =工]一(1 一 02)232$ + (1 - е2)Л3 *
J/(GM3苏)1/2 = (V6/5)(l - e2)-1/3Mi - (1 - е2)Л3]1/2,(54)
где a =(。節3)1/3. На рис. 4.1 показано поведение е, /[= 1 -(巧/%)], а на рис. 4.2 j и 口2 в зависимости от 7 (см. также приложение Г). Эксцентриситет е и сплюснутость / изменяются от нуля до единицы, a J увеличивается от нуля до бесконечности. Таким образом, модели можно построить для любых значений J; они проходят диапазон от сферы до бесконечно плоского диска. В зависимости от т величина П2 сначала возрастает, затем
Рис. 4.1. Эксцентриситет е и сплюснутость / вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения 7 — К/ \ W\.
(См. также приложение Г.)
Рис. 4.2. Квадрат угловой скорости О2 и полный момент количества движения J вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения т = К/ I W\. Единицы измерения определены в соотношениях (52) и (54). Левая ось ординат относится к О2, а правая — kJ. (См. также приложение Г.)
достигает максимума и далее монотонно убывает вдоль последовательно* сти.
Как мы увидим в гл. 10 — 13, сфероиды Маклорена хорошо имитируют все основные свойства последовательностей дифференциально вращакяцих* ся центрально конденсированных баротроп. Напротив, последовательности моделей звезд с твердотельным вращением обычно обрываются задолго до того, как достигается предел т = 1/2. В обоих случаях угловая скорость никогда не увеличивается от нуля до бесконечности. Предвидя такие результаты, мы хотим уже сейчас, еще не зная заранее деталей строения модели, найти верхний предел угловой скорости.
Рассмотрим звезду, вращающуюся как твердое тело, распределение массы которой в остальном не будем уточнять. Интегрирование уравнения (31) по всему объему У дает:
学®Ф/d/OdS = 4irGM - 2й2Х(55)
[При выводе выражения (55) мы воспользовались следующими соотноше* НИЯМИ：
j ▽2ф<|х = j div grad Фdx = § grad $dS = § (d^/dn)dSt (56) ГУJ，
где n — внешняя нормаль к поверхности.] Ясно, что для равновесия необходимо условие, чтобы в каждой точке поверхности эффективная сила тяжести д была направлена внутрь. Таким образом, должно выполняться соотношение
§ (d^/dn)dS > 0,(57)
или вследствие (55)
Q2 < 2xGM(58)
где р"— средняя плотность М / %. Неравенство (58) впервые вывел Пуанкаре в 1885 г.
Много усилий было потрачено на его уточнение. В аналогичных предположениях Крудели и Никлиборц доказали, что
Q2 < xG%(59)
(где рс — плостность в центре), если принять, что в направлении от центра о монотонно убывает. Ясно, что в случае 九夕> 2 ограничение на О (59) слабее, чем в неравенстве (58). В 1959 г. Квилгини получил новый предел
Q2 < xGH(60)
который определенно лучше прежних, но все еще значительно превышает максимальное значение О2 для сфероидов Маклорена, т.е. О2 * 0,45xGp.
Обратимся далее к баротропам и псевдобаротропам, находящимся в состоянии дифференциального вращения; разумеется, нам следует использо* вать формулу (20). Тогда вместо уравнения (31) получаем
▽% = 4xGp - 2О2 -扭fW/d再(61)
а неравенство (58) преобразуется к виду
% т j 絞 + (山/2)dW/d砌dx] < 2xGZ(62)
Этот критерий найден Вильчинским. Можно также показать, что для лю> бой дифференциально вращающейся звезды
。猛 + ^^min( 8/ %)< 2xGHV R\ + 抬gmax(勿/ %)• 侬)
Величины Од^ и Qmax — это соответственно наименьшее и наибольшее зна> чения R на поверхности; аналогично, и gmax — экстремальные значения Igl на поверхности, а " — площадь поверхности J. Эти пределы вы< вел Див.
4.6. ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Как известно, гравитационное ноле вне тела со сферическим распределе* наем вещества зависит только от полной массы притягивающего тела. От чего же зависит внешнее гравитационное поле вращающейся звезды? Этот вопрос вп^)вые поставил Стокс в 1849 г., а для случая тэердотельно вра> щающихся тел четкий ответ первым дал Пуанкаре. Можно сформулировать следующее основное утверждение, принадлежащее Вавру:
Внешний гравитационный потенциал вращающейся звезды полностью определяется полной массой М, формой границы J и распределением умовой скорости на поверхности звезды.
Если не обращать внимания на некоторые математические тонкости, то доказательство проводится непосредственно.
С помощью уравнений (9) и (10) всегда можно написать
p-*dp = —dP + ГР 面dE,(64)
где £Р(朽 zy^t вообще говоря, не обладает потенциалом. Проведем на поверхности звезды линию /. Вдоль этой произвольной линии всегда 如=0, отсюда
d 匕=О^ш,(65)
где индекс s указывает, что значения берутся на границе J. Будем инте> грировать вдоль линви / от фиксированной точки Р° до переменной точки Р и обозначим
Г =,電広d/(66)
尸0
Поскольку Vs — однозначная функция, a dVs — точный дифференциал, линейный интеграл Г зависит только от пределов интегрирования Ро и Р и не зависит от пути интегрирования на поверхности. Таким образом,
匕(尸)=匕(尸J + Г(Р0, Р).(67)
Далее, внешний гравитационный потенциал VE всегда можно записать в виде
曉 © = £ 也偿)sdS + ^j 唱i©dS, (68)
где D ——расстояние от внешней точки Q до точки Р. В силу уравнения (И) получаем также
М = V^^Gr1 ^{dV/dn)sdS.(69)
Подставляя соотношение (67) в (68), находим
/(0)=三整管)dS + ^加(尸,嗯(券S,(70)
поскольку 匕(尸о) — величина постоянная, a Vd — гармоническая функция. Применяя теперь выражение (70) на поверхности (т.е. полагая, что Q — Р, где Р — точка на J) н используя уравнение (67), мы видам, что функция (dV/dn)s и постоянная 匕(尸。)связаны следующим интегральным уравнением:
Р仍)+Гз，Р)=-才X期dS + #Г(尸,p点排 S)
С помощью уравнения (71) совместно с выражением (69) можно показать, что (dV/dn)s и 匕(А。)однозначно определены, если известны М, ，н &©, z). Тогда из выражения (70) сразу следует, что внешний гравитационный потенциал 曉(Q) зависит только от упомянутых величин. Тем самым доказательство окончено.
Итак, как и в случае сферического тела, зная только внешнее поле тяготения вращающейся звезды, мы не можем прийти к какому-либо твердому выводу относительно ее внутренней стратификации. Именно это препятствует любым попыткам исследовать недра Солнца — и, кстати сказать, планет — с помощью космического зонда.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Первоначально свойства самогравитирующих тел в состоянии стационарного вращения изучались в основном с точки зрения их возможных применений в геодезии и физике планет. Поэтому очень многие авторы явно указывали в своих работах, что рассматриваемые ими системы несжимаемы. Если принять основные предположения разд. 4.2, то эта гипотеза станет совершенно излишней. Многие классические результаты, полученные в период с 1740 по 1940 г., до сих пор сохраняют свое значение и в применении к газообразным звездам. Исторические вопросы разобраны в [7] к гл. 1. Большая часть свойств, о которых шла речь в настояШей главе, рассматривается в трех монографиях:
Dive Р. Rotations internes des astres fluids, Paris: Albert Blanchard, 1930.
Warve R. Figures plan^taires et g^od^sie, Paris: Gauthier-Villars, 1932.
Lichtenstein L. Gleichgewichtsfiguren Rotierender Fliissigkeiten, Berlin: SpringerVerlag, 1933. [Имеется перевод: Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. ~ М.: Физматгиз, 1965.]
Если специально не оговорено, все цитаты в тексте относятся к этим трем книгам. Сжатый обзор работ Ляпунова, Лихтенштейна, Пуанкаре и Вавра можно найти в [10] к гл. 1. См. также
Lebovitz N. R. Rotating Fluid Masses, in Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 5, p. 465 — 480, Palo Alto, California: Ann. Rev. Inc., 1967.
В общем виде стационарные движения (и требования, которым при этом должны удовлетворять небесные тела) рассматриваются в статьях
Appell Р. Acta Mathematica, 47, 15 — 23, 1926.
Уёгоппе! A. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 185, 30 — 32, 249 — 252, 1927. Можно также отметить следующую книгу:
Volterra К Rotation des corps dans lesquels existent des mouvements internes, Paris: Gauthier-Villars, 1938.
Ограничение, накладываемое на угловую скорость баротропы, впервые рассмотрел Пуанкаре:
Ротсагё Н. Th6orie des tourbillons, Paris: Georges Саггё, 1893, pp. 176 — 178. Этот вопрос в более общих условиях вновь поставил Веронне:
V^ronnet A. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 183, 949 — 951, 1926.
Исчерпывающее исследование вращающихся баротроп впервые предпринял Вавр. К сожалению, очень многие из его результатов были оставлены без внимания или цитировались неточно. Изложение вопроса о бароклинах заимствовано из 10. Bjerknes V. Geofysiske Publikasjoner (Kristiania), 2, No 4, 44 — 46, 1921.
Rosseland S. Astrophys. J., 63, 342 — 367, 1926.
Эта проблема глубоко проанализирована также в [1] к гл. 3. Бароклинам посвящена работа
Walker Е. Astron. Nachr., 263, 253 — 292, 1937.
Сложный вопрос об экваториальной симметрии находит должное освещение лишь в работах Лихтенштейна, Вавра и Дива.
Классические работы по сфероидальным стратификациям:
Пату М・ Annales de PObservatoire de Paris, MSmoires 19, Fl — F54, 1889.
Ноту M. J. Math, pures et appliqu^es (4), 6, 69 — 143, 1890.
Volterra 匕 Acta Mathematics, 27, 105 — 124, 1903.
l^ronnet A. J. Math, pures et appliqu^es (6), 8, 331 — 463, 1912.
Pizzetti 尸.Principii della teoria meccanica della figura dei pianeti, Pisa: Enrico Spoerri, 1913, pp. 187 — 212.
Moulton E J. Trans. American Math. Soc・，17, 100 — 108, 1916.
Plummer H. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 80, 26 — 33, 1919.
Главные выводы и существенные комментарии содержатся в [1]. Та же проблема позже рассматривалась в работах
Mineo С Rendiconti Accad. Lincei (6А), 26, 260 — 262, 1937.
Wavre Л. Comm. Math. Helvetici, 11, 33 — 36, 1938.
Dive P. Ann. Sci. Ecole Normale Sup. Paris (3), 56, 293 — 316, 1939.
Mendes Af. J. Math, pures et appliqu6es (9), 24, 51 — 72, 1945.
Mineo C・ Rendiconti Accad. Lincei (8A), 1, 21 — 27, 1946.
Ghosh N・ L： BuU. Calcutta Math. Soc., 40, 229 — 230, 1948; 41, 92 — 102, 183 — 186, 220, 1949.
DiveP. BuU. Sci. Math. (2), 76, 38 — 50, 1952.
Изложение в тексте следует статьям [15, 17, 21]. Чтобы полностью изучить дифференциально вращающиеся баротропы, нужно знать гравитационный потенциал сфероида. В связи с этим особенно следует отметить статью Дива [26]. Другие свойства бароклинных моделей с выбранной сфероидальной стратификацией рассматриваются в
Dive R BuU. Sci. Math. (2),砾 182 — 192, 1939.
В следующих работах построены точные бароклинные модели:
Ganguly Я. К Bull. Calcutta Math. Soc., 31, 69 — 76, 1939.
Ganguly Я. К Zeit・ f. Astroph., 19, 13 6 — 15 3, 1940.
Ghosh N.丄.BuU. Calcutta Math. Soc., 42, 101 — 117, 227 — 242, 243 — 248, 1950.
Ghosh N・ L. Proc. Nat. Inst. Sci. India, 17, 391 — 401, 1951.
Свойства сфероидов Маклорена рассматриваются, например, в [28] к гл. 3. Вывод критерия Пуанкаре, сделанный им самим, приводится в
. Poincar© Н. Figures d^quilibre d*une masse fluide, Paris: Gauthier-Villars, 1902, PP・ 11 — 12.
Неравенство (59) впервые получил Крудели в предположении, что равновесная структура выпукла:
3・ Crudeli U・ Rendiconti Accad. Lincei (5А), 19, No 1, 666 — 668, 1910; 19, No 2, 41 — 43, 1910.
Никлиборц доказал, что предположение о выпуклости структуры излишне:
Nikliborc W. Math. Zdt・,30, 787 — 793, 1929.
Это неравенство часто цитировали неверно. Улучшенные оценки О2 содержатся в ра> ботах
Nikliborc W. Math. Zeit., 31, 366 — 377, 1930.
36・ Crudeli U・ BoU. Unione Nat. Italians (1), 9, 257 — 258, 1930.
7. Crudeli U. Rendiconti Circolo Mat. Palermo, 57, 308 — 310, 1933.
Crudeli U・ Mem. Soc. Astron. Italiana, 7, 131 — 135, 1933.
9. Caldonazzo A Rendiconti Semin. Mat. Fis. Milano, 22, 212 — 222, 1952. Ссылаясь на Квилгини, мы имеем в виду работы
Quilghini Р. Boll. Unione Mat. ItaHana (3), 14, 482 — 488, 1959.
Quilghini D. Ann. Mat. pura ed applicata (4), 48, 281 — 303, 1959. Критерий (62) впервые выведен в работе
WilczynskiE.丄 Astron. J., 18, 57 — 59, 1897.
4・6・ Классическую работу Стокса можно найти в
43・ Stokes G・ G・ Mathematical and Physical Papers of Sir George Stokes, 2, pp. 104 — 130, Cambridge: At the Univ. Press, 1883.
Результаты Пуанкаре по этому вопросу имеются в [32, рр. 97 — 112]. Наше изложение в этом разделе следует статье
Warve R・ Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 194, 1447 — 1449, 1932.
Эта работа Вавра не содержится в [2] и охватывает многие ситуации, выходящие за рамкя наших приближений. Вот ссылки по этому и связанному с ним вопросам: 45. Crudeli U・ Rendiconti Circolo Mat. Palermo, 59, 336 — 342, 1935.
Putnis 4 Comm. Math. Helvetia, 8, 181 — 185, 1935.
Wavre R. Compt. Rend. Soc. Phys. Hist. Nat. Geneve, 52, 137 — 139, 1935.
Chiara £. Mem. Soc. Astron. Italiana, 12, 105 — 117, 1939.
Mineo C. Rendiconti Accad. Lincei (8A), 12, 635 — 642, 1952.
Chiara L Accad. Sci. Lett. Arti Palermo, Parte I: Scienze (4), 16, 69 — 100, 1955. Другие результаты Крудели и Минео цитируются соответстввшо в [45, 49]. В [49] содержатся также многие полезные замечания по литературе.
5
МОДЕЛИ ЗВЕЗД: МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые общие механические свойства звезд, находящихся в состоянии стационарного вращения. По физическим свойствам различаются лишь баротропы и бароклины, однако вращение естественным образом делит звезды на три класса: баротропы, псевдобаротропы и истинные бароклины (разд. 4.3). Первые два семейства характеризуются прежде всего постоянством угловой скорости на цилиндрах, ось которых совпадает с осью симметрии, т.е. dQ/dz = 0, но это условие никогда не выполняется в истинных бароклинах. (Ясно, что твердо- тельно вращающиеся конфигурации принадлежат к классу баротроп и псевдобаротроп.) Напомним, что в баротропах мы предполагаем выполненным геометрическое соотношение р = р (р), тогда как для псевдобаротроп зависимость р от р, Т и химического состава выражается с помощью некоторого заданного уравнения состояния. Если не принимать в расчет это физическое различие, то все механические свойства стационарно вращающихся баротроп и псевдобаротроп одинаковы.
Откладывая изучение некоторых термодинамических свойств излучающих звезд до гл. 7, мы рассмотрим здесь основные методы, с помощью которых можно найти равновесное строение баротроп и псевдобаротроп. Наши предположения будут такими же, как и в разд. 4.2. В частности, трение, а значит, и перенос момента количества движения здесь не рассматриваются. Подобным же образом мы оставляем пока в стороне тонкий вопрос о меридиональной циркуляции, которую обязательно нужно учитывать для псевдобаротроп в состоянии лучистого равновесия. Эту проблему мы рассмотрим в гл. 8.
Для расчета равновесия вращающихся звезд разработано много методов. Главная трудность заключается 6 том, что истинная стратификация центрально конденсированной звезды никогда не известна заранее. Ясно, что если отклонение от сферической симметрии невелико, то можно применить метод возмущений и считать, что влияние вращения сводится к небольшому отклонению от известной сферической модели. Три таких способа описаны в разд. 5.2 — 5.4. Однако, если уровенные поверхности сильно отличаются от концентрических сфер, следует отдать предпочтение другим методам. В разд. 5.5 мы вкратце описываем метод самосогласованного поля, предложенный Острайкером и его сотрудниками; это пока что са-
мая эффективная схема расчета сильно искаженных звезд в состоянии твердотельного и дифференциального вращения. Другие подходы ——чисто разностные схемы и вариационные методы — будут рассмотрены в гл. 10. Наконец, в разд. 6.8 будет изложен квазидинамический метод, позволяющий одновременно исследовать устойчивость относительно осесимметричных движений.
РАЗЛОЖЕНИЕ КЛЕРО — ЛЕЖАНДРА
Для описания этого метода ограничимся однородно вращающимися конфигурациями. В этом случае с помощью уравнений движения можно написать
P~xdp = — 4Ф; (1)
тогда с точностью до аддитивной постоянной имеем
Ф = Г -%М&2 (2)
[см. разд. 4.3, уравнения (19) и (22)]. Кроме того, мы знаем, что уровенные поверхности Ф = const совпадают с изобарическими и изопикническими поверхностями. Следовательно, если мы найдем удобный способ описания уровенных поверхностей, то получим полное представление о вращающейся системе.
Предположим теперь, что отклонение от сферичности мало. Примем также, что плотность монотонно убывает наружу. Пусть а по определению среднее расстояние от данной поверхности Ф = const до центра масс. Тогда каждому значению переменной а соответствует одна (и только одна) уровенная поверхность; т.е. мы имеем
Ф = Ф ⑷， (3)
где средний радиус а непрерывно изменяется от центра (а = 0) до поверхности, скажем а = %. Следовательно, можно считать, что как р, так и р зависят только от среднего радиуса а. Далее, точка на данной уровенной поверхности определяется тремя параметрами. Удобно воспользоваться сферическими координатами г, 6 н g. С другой стороны, уравнения уровенных поверхностей можно записать так:
”％ 6) = а [ 1 — £ £2〃(а)尸方(cos j， ⑷ 〃 =1
где Рп ——многочлены Лежандра, а функции £2〃(〃)(пока неизвестные) описывают отклонение уровенных поверхностей от сфер. Ясно, что если существует экваториальная плоскость симметрии, то в этом разложении содержатся только четные члены. Кроме того, поскольку мы считаем возмущение за счет вращения малым, естественно допустить, что основную роль
в нашем описании твердотельно вращающихся объектов играет функция
Рассмотрим прежде всего гравитационный потенциал К В данной внутренней точке Р(г,仇 夕；а), принадлежащей уровенной поверхности среднего радиуса & функция И(Р) является суммой двух слагаемых: потенциала V. (Р), созданного тяготением массы, заключенной внутри поверхности Ф = Ф(а), и потенциала 匕(Р) тяготения массы, заключенной между этой поверхностью и внешней границей Ф = Ф(а$)・ Таким образом, имеем
Р(Р)=匕(尸)+曉(尸)= -G j Ix-xJ-^/n'-G j \^^\-Чт\ (5) где с учетом наших приближений
M 仅=4 j p(a') a'2da',(6)
о
a M — полная масса тела.
Пусть Р(У, 8、，； 0)— переменная точка на уровенной поверхности среднего радиуса а'(а‘ 差 а). Тогда элемент массы, сосредоточенной в 尸'， есть
d" = p(az) г^гЧЪа^ sin夕曲F,da',⑺
где зависимость г，от а，определяется формулой (4). Величину, обратную расстоянию 1х — х'1 между точками 尸 н Р, можно разложить в ряд по многочленам Лежандра. Получаем
1/1х - хЯ = £ (к/У"】)尸〃(cosy) при г < У, (8) л = О
8
1/1х 一 X" = £ (尸〃/»+1)尸〃(cosy) при г < У, (9)
л = О
где у ——угол между двумя радиус-векторами и
cosy = cosdcos夕 + sin0sin0, cos(^ — Q).(10)
Для дальнейшего изложения напомним, что
Pn(cosy)=尸〃 (cosd)P〃(cos 夕)+
+ 2 £ [(л - %)!/(〃 + m)!] P^cosJ)P^(cose’)cosm® -,),(")
где 叫—присоединенные функции Лежандра (см. приложение В). Имеем также
宵 2 T
j j 尸〃(COS))尸/(cosd')sin夕曲'd，= 4тг(2л + 1)一】尸〃(cos&))〃， (12) о о
где bln = 1, если / = л, и 6/л = 0, если / Н 〃.
Если мы теперь используем формулы (7) — (12) в предположении, что отклонение нашей системы от сферы достаточно мало, так что можно пренебречь квадратичными членами и попарными произведениями функций £2л, то найдем
彳 8*3鼠(2〃+3)\
匕仍=一%吗冷)〃，(⑶
Как и следовало ожидать, гравитационный потенциал И(尸)не зависит от азимута д.
Возвращаясь затем к уравнению (2), можно следующим образом записать эффективный потенциал Ф:
Ф = К -力 MAiM仇(15)
который в силу соотношения (3) зависит только от а. Поскольку мы ограничиваемся теорией первого порядка, имеем
匕亿"а) + V^r, "а) -%Ма2 口 一 P2(cos^)l = Функция от а. (16)
В подынтегральных выражениях (13) и (14) можно связать теперь переменные г и а с помощью формулы (4). В соответствии с нашими прибчиже- ниями, мы, разумеется, оставляем в разложении лишь члены первого порядка. Учитывая вид центробежного потенциала, заданный уравнением (16), мы тут же замечаем, что в случае медленного твердотельного вращения разложение (4) сводится к виду
«а, 6) = а[1 — £(а)尸2(cosd)],(17)
где вместо 勺勿)，Уже не боясь путаницы, можно написать е(а). Таким образом, в нашш приближении функции Ф, р н р принимают постоянные значения на концентрических сфероидах (см. разд. 4.4). В силу соотношения (16) коэффициент при 尸2(со§6) должен обращаться в нуль; это дает
~ j p(af)a^daf — —j j P(of)-—~【a'M(a')] da'— a оa о da
-a2 J P(af)—[e(af)] dar = — —- a2. (18) о da'12 ttG
Умножая на a3 и дифференцируя, находим (々2色_ + 2aj j p(a')a'2da，— \ da / о
as2
-M f p”)二[£”)I 而'=^二小(19) o do12
Наконец, если разделить обе части выражения (19) на й4 и снова продифференцировать, то получим
a2d2£/dq2 + 6[p(a)/pw(a)] (ade/da + e) = 6e,(20)
где
%(a) = За'3 j p^a^da1(21)
есть средняя плотность вещества, заключенного внутри поверхности среднего радиуса а.
Если мы положим теперь
“(а) = (q/e)de/dat(22)
то уравнение (20) приобретает вид
adq/da 4- 6[p(q)/pm(a)](rj 4- 1) 4-刀(刀—1) = 6.(23)
В начале координат a = 0 и「(0)/「小(0) = 1, отсюда и из соотношения (23) следует, что
孤 0) = 0,(24)
а это условие достаточно для того, чтобы для любой данной функции р(а)/рт(д) полностью определить функцию “(а). Итак, если рассмотреть сферическую конфигурацию, для которой отношение р(г)/рт(г) известно, то, решая уравнение (23), можно определить искажение формы тела за счет вращения. Поскольку отклонение от сферичности мало, в приведенных выше соотношениях, естественно, можно пренебречь различием между переменными г и а. Тогда функцию £(а) можно найти из уравнения (22) с уче-
том уравнения (19), которое мы применяем только на поверхности а = as. В заключение упомянем одно интересное свойство, которое можно сразу же вывести из уравнений (20) и (23). Запишем
加=%02/[^0m(初，/=现(/),(25)
где т — отношение центробежного ускорения на экваторе к (среднему) ускорению силы тяжести на поверхности, а / — сжатие слегка сплюснутой фигуры равновесия. В силу уравнения (19) между т mf имеется причинноследственная связь, поскольку всегда
m/f = М【2 + 孤％)]・(26)
Если ограничиться моделями, в которых (в отсутствие вращения) плотность р(г) никогда не превышает среднюю плотность。小⑺，то с помощью уравнения (20) можно найти верхний и нижний пределы отношения m/f. В самом деле, всякая такая система лежит между однородной моделью (р = =рт для любого значения а) и моделью Роша (р/рт = 8 при q = 0 н р/рт = 0 при о > 0). В первом случае 刀(о) ■ 0, а во второй конфигурации 刀(о) ■ 3 (а > 0). Таким образом, исходя из .формулы (26) можно написать
%《掰〃* 4 2・(27)
Большинство изложенных результатов были получены Клеро в 1743 г. и используются до сих пор.
5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧАНДРАСЕКАРА - МИЛНА
Рассмотрим снова квазисферическую конфигурацию в еостоянйи медленного твердотельного вращения. Вместо интегрального представления (5) для гравитационного потенциала V запишем уравнение Пуассона
▽2 р = 4^〃(28)
Тогда, при помощи уравнения (2), получаем
▽% = 4zGp - 2Q2.(29)
Напомним, что поверхности постоянных Ф, р и р совпадают между собой, поэтому мы опять можем считать, что плотность р зависит только от эффективного потенциала Ф.
Здесь удобно положить
V = 02/(2tGPc),(30)
где рс — плотность в центре системы. Начиная с этого момента мы будем пользоваться сферическими координатами (г,从=cos®, 6 Если обозначить через R“ радиус невозмущенной сферической конфигурации, то Ф и К можно измерять в единицах 4tGpcRJ. Величины риг также измеряются в единицах рс и RM соответственно. В этих единицах уравнение (29) принима-
ет вид имеем также
Ф = р _ %〃戸口 -尸2®)] - %,(32)
где константа % ——это значение V на полюсах конфигурации.
Предположим далее, что вращение медленное, так что v можно считать малым параметром возмущения. В этом предположении уравнение (31) будет решаться самогласованно в первом порядке по v. Будем искать решения Ф и р в виде
Ф(г, м)=乙⑺ + V фо(г)+ f A^^r)P^} ,(33)
丄〃 =1
Р(「，从)=PMW + D Po&)+ £ SnPn^Pn^，(34)
Ln = 1」
где An и Bn — неизвестные пока постоянные, a 几(/•) и pw(r) — гравитационный потенциал и плотность соответствующей невозмущенной сферической конфигурации.
Соотношения между коэффициентами Ап и Вп можно найти, считая р функцией от Ф. Разлагая р в ряд Тейлора в окрестности значения Ф = %, находим
0"⑺=p(匕Л(35)
%(" = кФ^г). В出点)=々4Ф"), п = 1, 2,,(36)
где
仲)=dpu/dVu(37)
прямо определяется невращающейся фигурой равновесия.
Подставляя затем соотношения (33) и (34) в уравнение (31) и пренебрегая всеми членами, порядок которых выше первого по 〃，получаем
^Уи =瞑，(38)
^офо =左®о - 1，纟科=左公，Л = 1, 2 (39)
где
%事号一".(40)
При выводе этих уравнений мы воспользовались соотношениями (35) и (36) и уравнением для многочленов Лежандра. Уравнение (38) является уравне-
нием Пуассона для невозмущенной конфйгурации. Кроме того, поскольку р〃 = 1 и р^ = 0 при г = 0, решения уравнений (39) должны быть регулярными и должны удовлетворять условиям
幻(°)= 4(°)= 0， 〃 = 0, 1, 2, •…，(41)
где штрих означает производную по г.
Подставляя Ф в виде (33), можно написать решение для V в виде 叫，“)=V^r) + % + и 卜 о&)+
+ f 力»/)尸〃仇)+ %曰1 -f2g)】+ J；'，(42) где отдельно записаны слагаемые нулевого и первого порядков, входящие В %：
% = с° + ^с1；0-(43)
Потенциал VE в окружающем пустом пространстве удовлетворяет уравнению Лапласа
▽2 嗓=0.(44)
Ясно, что решение уравнения (44), которое следует сшивать с решением (42), есть
/"")=%广1 + " f 勺；厂"先3).(45)
Нам остается определить различные постоянные, которые встречаются в этих решениях, потребовав, чтобы гравитационный по1енциал и его градиент были непрерывны на поверхности вращающейся конфигурации. Ясно, что для применения этих условий нужно сначала определить границу. Пусть границей будет поверхность
ЕЗ = 1 + 好 f q33)・(46)
л = 0
Константы q〃, входящие в определение ЕЗ), найдем, потребовав дополнительно, чтобы плотность на этой поверхности обращалась в нуль; в силу соотношений (34) — (36) это требование дает
%⑴匆=一生⑴，%⑴％ = -4公(1)，〃 = 1，2 • • ..(47)
Теперь граничные условия выглядят так:
夕(Е)=嘘＜Е),片0)= 圖 £)・(48)
Подставляя формулы (42) и (45), в конечном счете получаем
% =-%(1), с1;0 = - ^ -Фо(1) -Ф6(1),(49)
42 = % 叫⑴+豎⑴L,(50)
*o = 一叱⑴，#1；O = _%_ 力6(1)，(51)
打:2=上吧型二到.6)
6 ЗФ2(1) + 叫⑴
Здесь мы воспользовались формулами (38) и (47). Подробный анализ показывает, что все остальные коэффициенты обращаются в нуль. Тем самым формальное решение задачи завершено.
Окончательно мы можем написать
Z3 = 1 - ®/%⑴］仲#) + А^)Р^(53)
Pk д)=乙⑺ + % + 八®об) + A^^PJ^ +
+ %户口 一吊3)+ J；。｝，(")
匕声…)=(*(//•) + "%；，，)+ (^^^^3)
и аналогичные выражения для Ф(г, д) и р(г, д). Итак, в первом порядке по параметру V деформированные вращением тела можно описать при помощи двух функций Ф0(г) и Ф2(г). Обе они должны быть регулярными решениями уравнений второго порядка
90小0 =g0 - 1，纟262 =g2(56)
и удовлетворять условиям (41). Чтобы их вычислить, нужно, очевидно, заранее знать функцию k(f)t т.е. изменение плотности и гравитационного потенциала в соответствующей невращающейся модели.
Изложенный выше метод широко применялся при изучении строения вращающихся политроп и холодных белых карликов, отклонение которых от сферичности не очень велико (см. разд. 10.3 и 13.2). Однако, как указал Смит, определение строения вращающейся модели с помощью разложения по параметру и — это сингулярная задача теории возмущений. Дело в том, что по мере приближения к поверхности вращающейся конфигурации главный член в разложении (34) стремится к нулю, поэтому второй член разложения оказывается немалым по сравнению с первым даже при самых малых значениях и. Другими словами, разложение (34) по малому параметру в интересующей нас области не всюду одинаково справедливо, или точнее, асимптотический ряд (34) сходится, но радиус сходимости стремится к нулю при г -* 1. Смит предложил другие методы, в которых используется сшивка асимптотических разложений или деформированные координаты. Оба эти метода выходят за рамки нашей книги.
КВАЗИСФЕРИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
Аналогичным образом при помощи несколько иных разложений можно приближенно описать строение центрально конденсированных тел. Масса такого объекта в основном сосредоточена в центральном ядре; поскольку
плотность во внешних слоях очень мала, их самогравитацией можно пренебречь. Как впервые показал Такеда, весьма точные результаты дает следующий метод двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, мы применяем разложение первого порядка по параметру v и 2) мы пренебрегаем влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Вообще говоря, области применимости этих двух приближений перекрываются, поэтому нетрудно построить Самосогласованные модели. Роксбург и его сотрудники обобщили этот метод на случай однородно вращающихся звезд. Однако, как показали Киппенхан и Томас, совсем не обязательно пользоваться двумя зонами: выбирая подходящее геометрическое представление уровенной поверхности, можно достичь той же степени точности. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.
Рассмотрим химически однородную квазисферическую звезду, вращающуюся как твердое тело. Тогда, как известно, стратификация этой псевдобаротропы такова, что р, р, Ф и Г постоянны на одних и тех же поверхностях. В силу формулы (3) эти функции однозна^о определяются заданием среднего радиуса а уровенной поверхности Ф = const.
Предположим для начала, что функция Ф(а) известна. По определению эффективная сила тяжести равна
g = Igl = d^/dn,(57)
где п — внешняя нормаль к уровенной поверхности. Если звезда вращается, то величина g, конечно, непостоянна по поверхности Ф = const. Определим нужные нам в дальнейшем средние значения g н g-〔 на поверхности /, соответствующей Ф(а):
<^> = Ч'1 f gdS, 〈gT〉=阂1 § gfS, (58)
где 團—площадь поверхности /・
Согласно формуле (6), элемент массы dM@, заключенный между поверхностями Ф и Ф 4- 4Ф, равен
dMq = p(fl)dVa = ^pifl^da.(59)
С помощью формул (57) и (58) можно написать также
dMq = о § dndS = МФ § g-】dS = 0《g-】〉山Ф・(60)
Из формулы (59) прежде всего получаем
da/dMa = (Wp)-1.(61)
Уравнение (61) выражает закон сохранения массы; если заменить а на г, то °но сведется к уравнению неразрывности, которое использовалось при изу-
чении сферических звезд. Возвращаясь к уравнению (1), можно написать
dp/dMa = -МФЛ/Ма，(62)
или, подставляя формулу (60), dp/dMa = -(GM/hrd%(63)
где
%(а) = (47ra4/GM,%)〈gf」(64)
В случае сферы можно считать а = г и fp(a)三 1.
(65)(65)Предположим теперь, что звезда находится в тепловом равновесии. Если обозначить через Ма энергию, проходящую через уровенную поверхность наружу за секунду, то приращение светимости L, между поверхностями Ф и Ф + составляет
(65)
(65)
dLq = £nuc"Mq,
где £nuc — скорость выделения эйергии на 1 г вещества в 1 с. В химически однородных звездах функция £nuc зависит только от р и Т и также постоянна на уровенной поверхности, поэтому напишем
(66)(66)dL/M = £nuc.
(66)
(66)
Рассмотрим теперь те области звезды, в которых имеет место лучистое равновесие. В этих областях
〃 l6aT3dT 16〃3 dT
笈=_ ——— = - --— g — ,(67)
3%p dn Зхр dФ
где x ——коэффициент непрозрачности, а 。——постоянная Стефана — Больцмана. Уравнение (67) означает просто, что лучистый поток，笈 на уровенной поверхности изменяется пропорционально эффективной силе тяжести g (см. разд. 7.2). По определению светимость La равна
L,= § 学dS = - % (。丁3/峪必g〉〈g-i〉d77dM,, (68) 4
поскольку коэффициент непрозрачности х также постоянен на поверхностях Ф = const. Из формул (60) и (68) находим
丽——1a炉（47r/）2办
где
/№)= (47ra2/%)2〈g〉-i《g-i〉-i.(70)
Очевидно, при отсутствии вращения мы имеем fT(a) « 1. Наконец, в тех областях, где имеет место конвективное равновесие, обычно полагают, что d77dM“ = (1 - Е寸)(T/p)dp/dMa，(71)
где обобщенный показатель адиабаты Г2 также остается постоянным на уровенной поверхности. Влияние вращения на возникновение конвекции мы подробнее рассмотрим в разд. 14.5.
Итак, хорошо известные для предельного случая сферических конфигураций уравнения внутреннего строения звезды в случае вращения заменяются на уравнения (61), (63), (66) и (69) [или (71)]. Разумеется, их нужно дополнить подходящим уравнением состояния. Различие между вращающимися и невращающимися звездами проявляется лишь в том, что теперь нам приходится вычислять безразмерные поправочные коэффициенты и /丁(0). Это чисто геометрические величины, которые зависят исключительно от формы уровенных поверхностей [как сразу же следует из анализа
Рис.5.1. Геометрические коэффициенты fp и /г в зависимости от безразмерной переменной у = (Q2/GM)】/3a. График отношения этих величин построен, чтобы показать их поведение вблизи поверхности. (Kippenhahn R., Thomas Н. С. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 24.)
размерностей в уравнениях (64) и (70)]. Таким образом, в принципе нам необходимо было бы одновременно решать уравнение (29) и модифицированные уравнения внутреннего строения звезды с учетом соответствующих граничных условий (48), накладываемых на гравитационный потенциал. На практике полный потенциал Фа аппроксимируется решением, полученным для модели Роша (см. разд. 5.2). Следовательно, уровенная поверхность выбирается в виде
《,心=а[1 - (М/36М)аЗр2(д)], (72) или
Ф(г, а) = -(GM〃)-抬()2/(1 -儿2). (73)
На рис. 5.1 показано поведение^ и/гв зависимости от безразмерной переменной у = (O2/GM)1/3a по Киппенхану и Томасу. Хотя использовались уровенные поверхности модели, имеющей сингулярность в начале координат, этот метод дает реалистические решения с кенечной плотностью в центре. В самом деле, в предельном случае отсутствия вращения /^ =/г= 1, и снова получаются обычные уравнения для сферических звезд. Так или иначе, стратификация задается a priori, и поэтому этот метод применим лишь для псевдобаротропных звезд, форма которых мало отклоняется от сферической. Поскольку все центрально конденсированные твердотельно вращающиеся звезды относятся именно к этому классу, указанный способ приводит к интересным результатам.
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
Методы возмущений, описанные в разд. 5.2 — 5.4, особенно хорошо подходят для описания равновесного строения баротроп и псевдобаротроп с уровенными поверхностями, мало отличающимися от сферы. Допуская более сильные отклонения, можно, конечно, включить поправки более высокого порядка, но аналитические выкладки становятся тогда безнадежно трудными. Поэтому, чтобы продвинуться дальше, следует подойти к задаче по-другому. Таким новым подходом является метод самосогласованного поля (впервые примененный Острайкером и его сотрудниками к баротропным и псевдобаротропным звездам), который как раз и предназначен для того, чтобы полностью избавиться от ограничений, связанных с предполагаемой квазисферичностью . Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели, так как в нем можно задавать распределение момента количества движения, а не угловой скорости.
Чтобы проиллюстрировать метод в основных чертах, ограничимся простым случаем дифференциально вращающихся баротроп. Будем считать, что полная масса М и полный момент количества движения J — фиксированные величины. Обозначим наибольший радиус рассматриваемой баротропы через R. (Заметим, что у сильно искаженных моделей с эквато- рцдльным выступом радиус R может быть больше экваториального радиуса.) Мы будем пользоваться как цилиндрическими, так и сферическими координатами в стандартных обозначениях. Ниже нам понадобится т- — доля массы, заключенная в цилиндре радиуса ш. Имеем
方 +8
mj = (2н/М) J j ^р^\ z')曲&'・(74)
Рассмотрим теперь баротропу и предположим, что она вращаетря с некоторым заданным распределением угловой скорости. Тогда момент количества движения на единицу массы распределен по закону
丿=丿(砂=0(砂g2.(75)
(Напомним, что при сделанных предположениях угловая скорость не может зависеть от z н должна быть задана a priori; см. разд. 4.3 и 4.5.)Согласно Острайкеру и Марку, можно задавать зависимость 丿 не только от радиуса &, но и от лагранжевой переменной таким образом, можно определить вращательное движение при помощи функции вида.
丿=У>-).(76)
Такое задание закона движения особенно удобно, если отклонение от сферичности велико. В гл. 10-13 мы увидим, что звезды, как правило, могут находиться в относительном равновесии при любом заданном распределении момента количества движения Дт ~), но отнюдь не при любой угловой скорости 0(夕.Нам пока не потребуется функция 丿(力毎)в явном виде. Тем не менее, отчасти предвосхищая результаты разд. 7.3, уже теперь можно утверждать, что 丿 должна быть неубывающей функцией от .
Если мы теперь положим
%t(砂="(m&,)g，-3d；,(77)
о
p&,z) = - G J “x，)lx - x，|Tdx\(78)
то полный потенциал окажется равным
Ф@ z) = Р@ 幻-。侬(砂(79)
[см. разд. 4.3, формула (20)]. Как известно, изопикнические и изобарические поверхности баротропной звезды совпадают с уровенными поверхностями Ф = const, поэтому можно считать, что р зависит только от Ф. Ис-
ходя из уравнения (1) и выбранного соотношения р(р), можно написать
Р = О®, (80)
потребовав, чтобы р(Ф5)餐 0, где, как обычно, индекс s указывает, что значение берется на поверхности. Согласно формулам (.77) и (78) и в соответствии с теорией потенциала, функции Ф, р и у связаны интегральным оператором. Следовательно, И и UXQt в данной точке зависят не столько от локальных свойств, сколько от средних свойств вещества, внутреннего по отношению к этой точке, т.е. в символической записи
Ф =力 S"), (81)
где, как мы помним, / — заданная функция от т~. Стоит отметить, что граничные условия (48) автоматически выполняются, поскольку гравитационный потенциал представлен интегралом (78).
Теперь процесс приближений можно описать так. При помощи уравнения (81), задав подходящее пробное распределение плотности р0(ш, z), найдем функцию Ф0(с5, z)・ Исходя из этой функции и учитывая уравнение (80), можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности р^, z)・ Подставляя эту новую плотность в уравнение (81), получим уточненный потенциал 巾必，z) и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (80) и (81) с точностью, допускаемой численным методом, в результате этого процесса итераций мы придем в конечном счете к самосогласованному решению. Описанный метод весьма эффективен. Согласно Острай- керу и Марку, для медленно вращающихся звезд достаточно уже 10-20 итераций, чтобы достичь очень высокой точности. Для сильно искаженных баротроп может потребоваться самое большее около ста итераций, причем подробное исследование показывает, что даже в этом крайнем случае медленная сходимость объясняется скорее вычислительными трудностями, а не недостатками метода.
Рассмотрим теперь вкратце с практической точки зрения основные этапы численного интегрирования. Из уравнения (1) очевидно, что если задана зависимость р(р) в явном виде, то уравнение (80) связывает р и Ф посредством алгебраического (а не дифференциального или интегрального) оператора, поэтому шаг нахождения равновесия (80) в итерационном процессе осуществляется непосредственно. С другой стороны, на шаге вычисления потенциала (81) требуется дискретизцровать два интегральных оператора, чем мы сейчас и займемся.
Предположим, что на некотором шаге процесса итераций нам известна плотность p(S, z)・ Разумеется, эта функция обращается в нуль на поверхности, которая не является сферической и в экстремальных случаях может весьма сильно отличаться от сфероидальной. Представим теперь плотность приближенно в виде разложения по многочленам. Это разложение удобно искать внутри сферы радиуса R с центром в центре масс конфигурации. Имеем
N N
0(х,从)。(3M/4ttR3) £ £ 4#一2PхЗ, (82)
Р(х, 〃)«Р(х, 〃)«3 GM弋/ =3 GM弋/ =(84)(84)
Р(х, 〃)«
Р(х, 〃)«
3 GM弋
/ =
3 GM弋
/ =
(84)
(84)
где х = r/R и g = cos6. Отметим, что вследствие симметрии относительно экваториальной плоскости мы пользуемся только многочленами Лежандра четного порядка. Далее, поскольку мы ведем разложение в области 0 W х W 1, в (82) должны появляться лишь четные степени радиальной координаты. Кроме того, чтобы в начале координат имела место непрерывность, постоянные А1т при т < I должны обращаться в нуль; из этого первого ограничения следует также, что плотность принимает конечное значение в центре масс. При этом, хотя истинная плотность обращается на граничной сфере в нуль, приближенная плотность не равна на ней тождественно нулю; поэтому, чтобы свести эту ошибку к минимуму, мы должны добавить ограничение р(1, 〃)三 0. Наконец, параметр N, который определяет число членов в разложении, выбирают так, чтобы достичь требуемой точности при данных лимитах машинного времени и объема памяти. Оставляя в стороне другие технические подробности, отметим, что плотность (на данном шаге интегрирования) фактически описывается треугольной матрицей А1т.
Подставляя формул* (8)——(12), приводим гравитационный потенциал (78) к виду
8+ 1/ X
Р(х, 〃)= - 2ttR2G £ 尸屈)[d^Pn^f) x ( J xfnx-n-xdxf +
+ jMx',厂)x'2. (83)
Подставляя (82) в это разложение и интегрируя но 〃' их', находим
"/J 2/-23x
(ш - / + 1) (4/ - 3)
Тем самым по любому исходному распределению плотности (т.е. для любой матрицы 力/小)можно сразу же найти гравитационный потенциал. Аналогично, задавая функцию у(/и~), можно выразить затем центробежный потенциал на единицу массы (77) как многочлен от нормированной переменной &/R. Как и в формулах (82) и (84), плотность представлена посредством матрицы А1т. В итоге, задавшись некоторой начальной плотностью, можно найти полный потенциал Ф в аналитическом виде. Следующий шаг итерационного процесса состоит в подстановке этого потенциала в уравнение (80) и определении нового распределения плотности.
Этот способ широко использовался для описания политроп и холодных белых карликов в состоянии быстрого дифференциального вращения. Марк применил этот же метод для описания равновесных конфигураций излучающих псевдобаротроп с сильным отклонением от сферической симметрии.
Впоследствии, объединив метод самосогласованного поля со схемой Хе- ннея, Джексон построил модели псевдобаротропных звезд, в которых полностью учитываются детали выделения ядерной энергии и лучистой теплопроводности. Метод самосогласованного поля применял и Клемент, причем при решении уравнения Пуассона он заменил изложенный способ вычисления гравитационного потенциала при помощи разложения в двойной ряд на двумерный метод конечных разностей. При таком способе гравитационный потенциал ищется в каждой точке пространства и на поверхности конфигурации не накладывается никаких граничных условий. Поскольку схема Клемента оказалась быстрой и эффективной для определения гравитационного потенциала в быстро вращающихся баротропах, Чемберс также скомбинировал конечно-разностный метод решения уравнения Пуассона с программой Хеииея и разработал итерационный метод построения моделей быстро вращающихся звезд.
Отметим в заключение, что Хаббард, Слэттери и Де Вито разработали новый метод возмущений для нахождения внутреннего строения вращающихся тел в состоянии механического равновесия. Их метод включает разложение плотности по многочленам Лежандра [ср. с формулой (82)] и может быть развит аналитически подобно стандартной теории Клеро — Лежандра (см. разд. 5.2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Этот метод впервые разработал Клеро в связи с проблемой внутреннего строения Земли. Мы излагаем более общую трактовку Лежандра. В [7] к гл. 1 содержится общий обзор этих важных результатов. Эти и другие исследования излага* ются на современном уровне в работах
Kopal Z. Figures of Equilibrium of Celestial Bodies, Madison: Univ, of Wisconsin Press, 1960.
Жарков В. H., Трубицын В. П., Самсоненко Л. В. Физика Земли и планет.— М.: Наука, 1971,
Дальнейшее развитие этот метод получил в работах
Lanzano Р. Icarus, 1, 121 — 136, 1962.
James R., Kopal Z. Icarus, 1, 442 — 454, 1963.
Kopal Z., Lanzano P. Astrophys. Space Sci., 23, 425 — 429, 1973.
Lanzano P. Astrophys. Space Sci., 20, 71 — 83, 1973; 29, 161 — 178, 1974; 37, 173 — 181, 1975.
Kopal Z., Kalama Mahanta M. Astrophys. Space Sci., 30, 347 — 360, 1974.
См. также
Bucerius H. Astron. Nachr., 275, 49 — 72, 1947.
Уточненные оценки отношения m/f приведены в работах
Chandrasekhar S., Roberts P. H. Astrophys. J., 138, 801 — 808, 1963.
Сеидов 3. Ф. Астрофизика, 5, 503 — 505, 1969.
См. также
Rau A. R.尸.Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 168, 273 — 286, 1974.
В следующей статье изложена обобщенная теория Клеро ——Лежандра:
Lebovitz X R Astrophys. J., 160, 701 — 723, 1970.
Асимптотический характер разложения Клеро ——Лежандра рассматривается в работе
Lebovitz X R Astrophys. Space Sci., 9, 398 — 409, 1970.
Классическими работами по рассматриваемому в этом разделе вопросу являются
Milne £. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 83, 118 — 147, 1923.
Chandrasekhar S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 93, 390 — 405, 1933. Последняя статья, в которой систематически рассматриваются твердотельно вращающиеся политропы, оказала глубокое влияние на многие более поздние исследования. Однако в ней недостаточно внимания уделялось граничным условиям, что послужило поводом для критики. К счастью, нечеткость формулировок никак не отразилась на общей структуре решений. Строгое рассмотрение граничных условий впервые провел (в более общем случае) Крогдал:
Krogdahl W. Astrophys. J., 96, 124 — 150, 1942.
Вопрос о твердотельно вращающихся политропах хорошо разобран в следующих статьях:
Chandrasekhar S., Lebovitz N. R. Astrophys. J., 136, 1082 — 1104, 1962.
Kovetz A. Astrophys. J., 154, 999 — 1003, 1968.
В целом изложение этого раздела следует работе
Sedrakian D. M.f Papoian К К, Chubarian Е. К Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 149, 25 — 33, 1970.
В ней имеется также разложение второго порядка по параметру 认 Эквивалентность этого и предыдущего методов показана в работах
Kopal Z. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 98, 414 — 424, 1938.
Chandrasekhar S., Krogdahl W. Astrophys. J., 96, 151 — 154, 1942.
См., однако, результаты Смита в [23] к гл. 10.
Метод двух зон первым предложил Такеда
Takeda S. Mem. College Sci. Kyoto Univ., A, 17, 197 — 217, 1934.
Эту проблему снова рассматривали
Monaghan J. J., Roxburgh I. W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 131, 13 — 21, 1965.
Monaghan J. J. Zeit. f. Astrophys., 67, 222 — 226, 1967.
Свит и Рой впервые построили модели однородно вращающихся псевдобаротроп- ных звезд
Sweet Р. 4, Roy А. Е. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 113, 701 — 715, 1953. Метод Такеды обобщается на однородно вращающиеся звезды в работах
Roxburgh /. W., Griffith J. S., Sweet P. A. Zeit. f. Astrophys., 61, 203 — 221, 1965. 27. Faulkner J., Roxburgh /. W., Strittmatter P. A. Astrophys. J., 151, 203 — 216, 1968. В этом разделе излагается работа
Kippenhahn R, Thomas H. C. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 20 — 29.
В ней также рассматриваются звезды, искаженные приливным воздействием. Дальнейшие шаги сделал Смит в работе
Smith A L. Astrophys. Space Sci., 25, 195 — 205, 1973.
Другие методы возмущений рассмотрены в статьях
0. Epps Н. W. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 60, 51 — 58, 1968.
Monaghan J. J. Zeit f. Astrophys., 68, 461 — 472, 1968.
Papaloizou J. C. A, Whelan J. A. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 164, 1 — 10, 1973.
Наше изложение следует работе
Ostriker J. Р., Mark J. W.-K. Astrophys. J., 151, 1075 — 1088, 1968.
Влияние излучения на псевдобаротропы изучается в работе
Mark J. W.-K. Astrophys. J., 154, 627 — 643, 1968.
Схема Хениея и метод самосогласованного поля изложены по
Jackson S. Astrophys. J., 161, 579 — 585, 1970.
Дальнейшие усовершенствования метода можно найти в следующей работе:
Блинников С. И. Астрон. ж., 52, 243 — 254, 1975.
Смежные результаты принадлежат
7. Clement М. /. Astrophys. J., 194, 709 — 714, 1974.
8. Hubbard W. A, Slattery Ж 乙，Devito C L. Astrophys. J., 199, 504 — 516, 1975.
Chambers R. H. Ph. D. Thesis, Univ, of Toronto, 1976 (не опубликовано).
6
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ: МЕТОДЫ РАСЧЕТА
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Довольно правильное описание реальных вращающихся звезд в большинстве случаев дают конфигурации, находящиеся в состоянии стационарного вращения. Однако следует иметь в виду, что наши основные исходные предположения (разд. 4.2) были сделаны, чтобы избежать математических трудностей, и что в природе они никогда не выполняются строго. Вправе ли мы, например, утверждать a priori, что эффективная сила тяжести g в реальной звезде всегда в точности уравновешивает силу давления? В сущности далеко не всякая модель в состоянии стационарного вращения может действительно встретиться в природе: модели должны не только подчиняться основным физическим законам сохранения, но и быть устойчивыми. Приемлемая модель должна, таким образом, выдерживать воздействие тех естественных флуктуаций, которым подвержены все физические тела, т.е. всякий раз, как возникают такие возмущения, с течением времени они должны затухать. Если флуктуации не затухают, то система называется неустойчивой, поскольку она все сильнее и сильнее отклоняется от первоначального состояния равновесия.
Математическое исследование заданной модели на устойчивость осуществляется следующим образом. На систему накладывается произвольное возмущение, а затем при помощи нестационарных уравнений звездной гидродинамики изучается ее поведение под действием естественных сил. Предположим для простоты, что флуктуации достаточно малы, и поэтому можно линеаризовать нелинейные уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии. Иными словами, мы пренебрегаем всеми произведениями и степенями (выше первой) соответствующих возмущений и оставляем лишь линейные по ним члены. Обычно считается, что решения этих линеаризованных уравнений аппроксимируют истинные решения достаточно точно и по ним можно судить об общем характере движения в непосредственной близости от состояния равновесия. В самых простых случаях обычно удается физически истолковать результаты, исходя из энергетических соображений. Для более глубокого понимания проблемы необходимо исследовать движения конечной амплитуды.
Цель этой главы — изложение различных приближенных методов, с помощью которых можно рассматривать устойчивость моделей вращающихся звезд. Главное внимание мы уделяем методу малых возмущений ——до
сих пор практически только он использовался при проверке устойчивости конфигураций в состоянии стационарного вращения (см., однако, разд. 6.8). Для иллюстрации мы ограничимся рассмотрением изоэнтропических возмущений, т.е. движений, при которых энтропия каждого элемента массы сохраняется вдоль его пути. Там, где нужно, приводятся численные результаты и их интерпретация. В следующих главах мы рассмотрим откло: нения от линейности и изоэнтропичности, возникающие в некоторых задачах.
6・2・ ЭЙЛЕРОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ ВАРИАЦИИ
При анализе колебаний системы около известного состояния равновесия применимы, вообще говоря, два типа описания: либо мы выделяем те возмущения, которые отмечает внешний наблюдатель в каждый момент Г в данном элементе объема с фиксированным положением в пространстве, либо описываем флуктуации внутри данного элемента массы, за которым в этом случае приходится следовать вдоль его пути. Оба представления чрезвычайно схожи с эйлеровыми и лагранжевыми переменными, определенными в разд. 3・2, поэтому мы будем их соответственно называть.
Конкретнее, рассмотрим возмущенное течение (т.е. движение вращающейся звезды, которое мы искажаем относительно равновесного состояния) и представим себе, что одновременно существует течение, остающееся невозмущенным (т.е. в уже известном состоянии стационарного вращения). Пусть б(х, 0 и 0°(х, 0 — значения любых физических величин (например, давления р, плотности р» гравитационного потенциала V или скорости V) в возмущенном и невозмущенном течениях соответственно . Рассмотрим далее вектор сдвига ((х, 0, на который элемент массы возмущенного течения смещен относительно своего образа в невозмущенном течении в момент t. Функция Е(х, 0 называется лагранжевым смещением} она четко описывает всякое отклонение от строго определенного равновесного состояния.
Рассмотрим теперь величину
6Q = 2(х, 0 - Q0(x, 0. (1) По определению эта эйлерова вариация представляет собой изменение, обнаруживаемое внешним наблюдателем, который одновременно сравнивает значения Q в реальном и невозмущенном течениях в фиксированной точке пространства х. С другой стороны, приращение
△Q = 2(х + f(x, 0, 〃 一 Qo(x, 0, (2)
вызванное возмущениями, мы назовем лагранжевой вариацией величины Q. Ясно, что в ней фигурируют одновременные значения величины Q в обоих течениях в одном и том же элементе массы\ в возмущенном течении этот элемент расположен в точке х + Е, а соответствующий ему образ в невозмущенном течении ——в точке х. В силу определений (1) и (2) эйлерову и лагранжеву вариации можно связать при помощи разложения в ряд Тейлора:.
AQ = 3Q + 5。曲 + '/注居 PQ/Bx^Xj +(3)
(Всюду ниже подразумевается, что по повторяющимся латинским индексам производится суммирование.) Из определения ( следует также, что лагранжева вариация скорости Av имеет вид
△v(x, 0 = v(x + & Г) - v0(x, 0 = D®Dt,(4)
где D《Dt — лагранжева производная вдоль невозмущенного течения, т.е.
D^Dt = 8/dt + v0(x, 0 • grad,(5)
a v0 — поле скоростей невозмущенной конфигурации. Следует отметить, что формулы (1) — (4) имеют самый общий характер и никакие допущения о малости возмущений для них не нужны.
Если мы теперь аппроксимируем реальное движение, предположив, что Е н 60 настолько малы, что можно пренебречь их квадратами и произведениями, то получим
△Q = 3Q + “Q/aA>(6)
Таким образом, в первом порядке по возмущениям операторы Дид связаны соотношением
А = 3 + Е • grad.(7)
Строго говоря, соотношение (7) справедливо только для бесконечно малых лагранжевых смещений. До конца этой главы мы будем пользоваться этим приближением.
Важное значение лагранжевых вариаций определяется тем, что в первом порядке по возмущениям операция взятия лагранжевой производной коммутативна с Д. В рассматриваемом случае имеем
D/Dt = d/dt + v(x, 0 • grad = d/dt + [v0(x, 0 + 6v(x,力• grad (8)
с оператором (5)]. Чтобы установить этот полезный результат, приведем сначала некоторые свойства операторов 3 и △. Согласно формуле (1), операции 3 и частной производной действительно коммутативны:
5 — = —— 3Q,3 —— = ――(9)
dxz ax,dt HZ
С другой стороны, легко видеть, что операторы △ и grad (или d/dt) неком-
мутативны. В самом деле, с помощью формул (6) и (9) находим A妲喧妲；(10)
8看3七 " dXi дх/
аналогично можно написать
В силу формул (4), (8), (10) и (11) окончательно получаем DO D 崂=万闻，(12)
При этом мы воспользовались тем, что D^/Dt и D^/Dt отличаются только на (пренебрежимо малую) величину (3v • grad)(. Следствием формулы (12) является также
DODdDO
=——де - &—空(1З)
DtDt *“ dxk Dt
.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Приведем теперь необходимые для дальнейшего рассмотрения общие уравнения, описывающие изменения, которые происходят вследствие произвольно малого возмущения исходного состояния стационарного вращения. Индекс «0», обозначавший равновесное состояние, мы впредь будем опускать, поскольку это уже не будет приводить к двусмысленности.
Из уравнения сохранения массы [разд. 3.3, уравнение (21)] следует, в частности, что
Др = -pdivf,(14)
или в силу формулы (6)
8р = -pdivf - Е • gradp = -div(pf)-(15)
Кроме того, при изоэнтропических движениях относительные изменения давления и плотности пропорциональны [разд. 3.4, формула (73)], т.е.
Ар = r^/pJAp = -Tjpdivf,(16)
что означает отсутствие механизмов диссипации. Обобщенный показатель адиабаты — в большинстве случаев непостоянен по пространству. Аналогично получаем
6р = -Tjpdivf - Е • gradp.(17)
Несколько сложнее разобраться с уравнениями движения. Вспомним прежде всего векторное уравнение равновесия
(18)(18)p-igradp = д,
(18)
(18)
где
g = -grad 修 + q.(19)
Компоненты центробежного ускорения q в цилиндрических координатах (@, Г, Z)имеют вид
% =叭必 z)G, % = 0,% =。(20)
[см. разд. 4.3, формулы (15)——(17)]. Далее, как легко увидеть из векторного уравнения движения
W/Dt = -p-1gradp - grad К,(21)
его аналог для малых возмущений имеет вид
D^/Dt2 = - AS-igradp + grad F),(22)
где используется инерциальная система отсчета ; левая часть уравнения (22) получается из очевидных соотношений
Д— = — Av = —)=鹭.(23)
Dt Dt Dt \ Dt/ Dt2
В силу формул (7), (18) и (19) можно теперь написать
△STgradp + grad b = 6(p-1gradp + grad V) + (f • grad)q. (24)
Затем, воспользовавшись первой из формул (9), в конечном счете получим 虑£1
= — gradSp + — gradp - gradbP - (f • grad)q. (25)
Заметим, что с помощью соотношений (15) и (17) как 必 так и “)можно связать с (. В уравнение (25) фактически входят лишь лагранжево смещение Е и эйлерова вариация 6К гравитационного потенциала.
Ясно, что главная трудность задачи — это наличие вариации 6Р в урав・ н^ии (25). Чтобы отыскать для ЗР подходящее выражение, рассмотрим элюент массы dm' = p(x,)dx,, смещенный на ^ = Е(х* 0 от исходного положения х'. Его вклад в гравитационный потенциал в некоторой точке х первоначально составлял
-Glx - x,r1dzn,,(26)
в результате смещения стал равным
-Glx - X + /)|-У”.(27)
Следовательно, изменение потенциала V в точке х, вызванное этим элемен-
том массы, равно
-Г • grad'(Glx - х'|-%") = -GE' • grad' (lx - x'|T)dm', (28) где grad' относится к переменным х'. Суммируя затем по всей массе М, получаем эйлерову вариацию bV в точке х в момент /
6F(x, Г) = -G j Г • grad'(M - x"T)dm',(29)
г или по теореме Гаусса
бК(х, г) = -G § р(х,)1х-х,Г1п, • ах\ t)dSf -
-G j I x — x,|-16p(x,,恤\(30)
r
где 6p выражается через E с помощью уравнения (15), вектор п' — внешняя нормаль к невозмущенной границе / Интеграл также должен быть взят по равновесному объему % вращающейся модели. Другим способом ЗР можно найти из уравнения Пуассона
▽2зр= ^Gbp = -4irGdiv(pf).(31)
Итак, малые колебания известной равновесной структуры полностью описываются уравнениями (15), (17), (25) и (30) [или (31)], а также некоторыми подходящими граничными условиями, которые мы теперь рассмотрим. Во-первых, полное давление р + др в каждый момент г должно обращаться в нуль на (неизвестной) деформированной поверхности. Поскольку мы ограничиваемся здесь анализом движений с малой амплитудой, достаточно потребовать, чтобы бесконечно малая лагранжева вариация Др обращалась в нуль на известной поверхности / Тогда вследствие формулы (16) это условие автоматически выполняется, если ( и его производные всюду конечны, таким образом, это единственное требование, которое мы должны наложить на £ . Во-вторых, на деформированной границе сила тяготения должна быть непрерывной. Ясно, что если пользоваться интегральным представлением (30), то это условие всегда будет выполняться. Напротив, если выводить ЗР нз уравнения (31), то нужно потребовать, чтобы бесконечно малое изменение Agrad V также было непрерывным в каждый момент / на равновесной поверхности / Это условие в свою очередь приводит к необходимости дополнительно определять внешний гравитационный потенциал возмущенной зависящей от времени конфигурации. Для вращающихся моделей последний подход не особенно практичен.
Отметим еще следующее обстоятельство. По соглашению, граница J
определена условием р = 0 (см. разд. 4.2) и нигде не предполагается, что на равновесной поверхности обращается в нуль плотность. Однако если 0 = 0“ поверхности X то на этой границе Др = ”• В самом деле, в соответствии с уравнениями (7) и (18) всегда имеем
Ар = 3 + Е • gradp = "? + рд •&(32)
Отсюда немедленно следует указанное свойство, поскольку всюду, где плотность обращается в нуль, становится равной нулю и величина рд * £. Этот результат очевиден физически, потому что рд • WS представляет собой вес вещества, которое смещено вследствие возмущений вверх или вниз, относительно площадки dS на поверхности / Очевидно, что в том случае, когда плотность вблизи поверхности равновесия падает до нуля, эта величина становится пренебрежимо малой.
Теперь, когда задача линеаризована, можно разделить пространственные переменные х и время Г и искать решения (нормальные моды) в виде f(x; 0 = f(x, *(33)
с аналогичными выражениями для эйлеровых и лагранжевых вариаций. Вообще говоря, угловая частота о может быть действительной, мнимой или комплексной; в последнем случае。=。厂 + i。,. Затем из уравнений для возмущений и надлежащих граничных условий (в которых мы формально полагаем d/dt = Е д2/д/2 = -а2) нужно найти допустимые значения о (и соответствующие собственные функции). Ясно, что если хотя бы у одной собственной частоты мнимая часть окажется отрицательной (% < 0), то имеет место неустойчивость, поскольку в этом случае в формулу для лагранжева смещения (33) входит возрастающий множитель ехр(1%1г). Для устойчивости относительно флуктуаций с малой амплитудой необходимо не только выполнение условия %》0 для всех мод, но требуется также, чтобы любое произвольное малое возмущение можно было разложить в линейную комбинацию собственных функций (так как иначе могли бы существовать возмущения, недоступные нашему анализу). Полнота системы нормальных мод для данной задачи до сих пор так и не была доказана в общем виде. Во всяком случае, анализ нормальных мод малых изоэнтропических флуктуаций полезен по двум причинам: 1) он дает частоты колебаний, причем некоторые из них приближенно описывают наблюдаемые типы звездной переменности (однако еще предстоит найти механизм возбуждения, объясняющий это явление), 2) он выявляет некотррые виды неустойчивых течений, которые в конечном счете заставляют систему отклониться от исходного равновесного состояния (однако в таком случае следует учитывать возмущения е конечной амплитудой).
6・4・ СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ: КРАТКИЙ ОБЗОР
Несмотря на то что анализ нормальных мод обычно выявляет бесконечные ряды собственных частот, лишь немногие из этих колебаний по- настоящему интересны для теории вращающихся звезд. Прежде чем за-
Рис. 6.1. Искажение сферы (пунктир) за счет сферических гармоник низких порядков "(cosU) для / = 1, 2, 3, 4. (См. также приложение В.)
няться общей проблемой, целесообразно рассмотреть сферические звезды — это позволяет легко представить себе соответствующие движения.
В случае невращающейся звезды (q 鼻 0) пространственные переменные разделяются с помощью сферических гармоник (см. рис. 6.1 и приложение В). В самом общем случае смещение в нормальных модах имеет три различных компонента; в сферических координатах (г,仇 <р) радиальная часть смещения имеет вид
&S е“，Q = 5г(г; а, /)17(6, W = бг(г;明吋，3$8加(34)
(-/ & 加 & /), тогда как тангенциальные компоненты /^夕 и rf^sin^ пропорциональны дУуУдО и 8坤》屮 соответственно. Приращения 6р и выражаются по формуле, аналогичной (34). Вследствие центральной симметрии невращающейся звезды ее собственные частоты не зависят от 加, так что каждому значению / соответствует 2/ + 1 различное смещение. Кроме того, в этом случае квадрат частоты а2 всегда действителен (а2 至 0), тем самым исключена возможность нарастания или затухания колебательных движений *.
Для иллюстрации рассмотрим четыре типичные конфигурации: 1) однородную сжимаемую модель, т.е. самогравитирующий газовый шар постоянной плотности, 2) политропные сферы, т.е. баротропы, в которых мы задаем геометрическое соотношение вида р = К р(" + 】)"，где К и 〃——постоянные (0 W 〃 W 5, случай л = 0 соответствует первой модели), 3) модель главной последовательности для звезды массой М = 27,8М®, ядро которой, достигающее 弘 радиуса, находится в конвективном равновесии (химический состав: X - 0,75; У = 0,22; Z = 0,03), 4) составную политропу, которая имеет однородное ядро (л = 0) и лучистую оболочку (〃 =3)..
Следуя Каулингу, мы должны выделить три бесконечных дискретных
Рис. 6.2. Радиальное смещение /-моды, соответствующей / = 2, для различных политропных сфер(7 = 5/3). Все смещения dr/R нормированы и равны единице при х = r/R = 1, Где R — радиус. (Robe Я. Ann. Ар., 31, 475, 1968.)
спектра собственных значений а2. Изучим по порядку эти различные моды колебаний •.
/■моды. Как показал Кельвин в 1863 г., для несжимаемой жидкой сферы допустимы частоты колебаний
М = %HGp2/(/ — 1)/(2/ + D, / = 2, 3, 4, • • .,(35)
и соответствующие смещения
f(x. О a grad[H₽74cos6M吁d".
* Как показал Перданг, следует рассмотреть и четвертый спектр колебаний: случай корней а2 5= 0, когда все смещения Е согласуются с условием Е • grad И = О, что щэиводит к еще одной равновесной конфигурации. При наличии вращения неко- из этих тривиальных корней порождают ненулевые значения <т (см. разд. 6.7).
Эти моды описывают поверхнсютные волны, при которых сохраняется объем конфигурации; все эти моды устойчивы. (Ясно, что три гармоники, соответствующие / = 1, нужно исключить из рассмотрения, поскольку они представляют смещение центра масс.) Аналогичный бесконечный дискретный спектр колебаний имеется и у сжимаемой звезды (рис. 6.2 и 6.5 и табл. 6.1 и 6.2). Хотя эти /-моды уже не сохраняют объем, но тем не менее очень неплохо имитируют поверхностные волны на жидкой сфере. В частности, они малочувствительны к значению Г「(Для однородной сжимаемой модели решения (35) и (36) являются точными.) Чандрасекар и Лебо- виц вывели приближенное значение для самой низкой частоты / = 2:
а2 = 4/5lFFI/Za7rGp, (37)
где % и / — гравитационная потенциальная энергия и момент инерции относительно центра масс (см. разд. 3.7); для однородной сжимаемой модели формула (37) является точной. Из табл. 6.1 следует, что отношение плотности в центре рс к средней плотности р оказывает заметное влияние на /-моды. На рис. 6.2 изображено радиальное смещение 6г пяти гармоник при / = 2 для различных политроп. Обратите внимание на постепенное уменьшение амплитуд вблизи центра с ростом отношения р/万；при 〃 N N 3,25 (р/р N 100) следует отметить появление узлов вдоль радиуса. Как показал Скюфлер, такое необычное поведение (свойственное также р- и g- модам центрально конденсированных тел) вызвано тем, что в центральных областях сильно центрально конденсированных моделей 户 и р-моды похожи на g-моды, а во внешних слоях этих моделей 户 и g-моды ведут себя как р-моды.
р-моды. Согласно Пекерису, однородный сжимаемый шар имеет собственные частоты:
<? = 4/зтг6р{Ау + [Д2 + /(/ + .1)]%}, / = 0, 1, 2 . . .,(38)
где
2A = [2/ + 3 + 〃 ⑵ + 2/ + 5)]一 一 4(39)
и 丿=0, 1, 2 . . . (величина 1\ принимается здесь постоянной по всей модели). Эти решения иллюстрируют поведение неоднородных моделей, для которых нельзя записать аналитическое решение (табл. 6.1 и 6.2). Таким образом, Оля каждого значения / существует бесконечный дискретный спектр частот. Подробный анализ соответствующих собственных функций показывает, что радиальный компонент смещения & преобладает над тангенциальными компонентами, а флуктуации давления существенны. В частности, при / = 0 эти р-моды (или акустические моды) становятся чисто радиальными (与夕事 f 厘 0). Кроме того, в этом случае следует сохранить три гармоники для / = 1, поскольку они не вызывают смещения центра масс (хотя и сдвигают геометрический центр системы!);
Таблица 6.1
Квадраты частот a2/vGp для политропных шаров (/ = 2, 7 = 5/з)Robe Я. Апл. Ар., 31, 475, 1968
МОда л = 0 л = 1 л = 2 л = 3〃 = 3,25 л = 3,50 л = 4
Р/Р
1,0003,29011,4054,1888,15152,9622,4
3 6 2 ^^^ аф 1 о 8 6 53 6 2 ^^^ аф 1 о 8 6 5,881 5 3 3 а^ J &>1Ъ 5 3 2 2,881 5 3 3 а^ J &>1Ъ 5 3 2 22 95529176298138,106,79,56,37,22,ч2 95529176298138,106,79,56,37,22,ч3 9 3 5 и8 4^ 2 6 3 夕9 УК/ 9 9 9 9 13910779,553520103 9 3 5 и8 4^ 2 6 3 夕9 УК/ 9 9 9 9 13910779,5535201017 0 1 ^Q*J /л ъ 4М 1Ъ 4М 7^ -X, 5 18 5 3 117 0 1 ^Q*J /л ъ 4М 1Ъ 4М 7^ -X, 5 18 5 3 16 7 8 лл3/*/ 1 1 0 8 4 1 ^616316 7 8 лл3/*/ 1 1 0 8 4 1 ^616319 7 9 8 2 4J*6SAQ 4Л^ 7М у3 3 2 2 19 7 9 8 2 4J*6SAQ 4Л^ 7М у3 3 2 2 1-0,9544-0,40390,7510-0,3050-0,18440,3957-0,1565-0,10700,2452-0,09669-0,070290,1672-0,06609-0,049890,1215-0,04818-0,037310,09238-0,9544-0,40390,7510-0,3050-0,18440,3957-0,1565-0,10700,2452-0,09669-0,070290,1672-0,06609-0,049890,1215-0,04818-0,037310,092381 2 3 4 5 6g g g g g g1 2 3 4 5 6g g g g g g
3 6 2 ^^^ а
ф 1 о 8 6 5
3 6 2 ^^^ а
ф 1 о 8 6 5
,881 5 3 3 а^ J &>1Ъ 5 3 2 2
,881 5 3 3 а^ J &>1Ъ 5 3 2 2
2 95529176298
138,106,79,56,37,22,ч
2 95529176298
138,106,79,56,37,22,ч
3 9 3 5 и
8 4^ 2 6 3 夕
9 УК/ 9 9 9 9 13910779,55352010
3 9 3 5 и
8 4^ 2 6 3 夕
9 УК/ 9 9 9 9 13910779,55352010
17 0 1 ^Q*J /л ъ 4М 1Ъ 4М 7^ -X, 5 18 5 3 1
17 0 1 ^Q*J /л ъ 4М 1Ъ 4М 7^ -X, 5 18 5 3 1
6 7 8 лл3/*/ 1 1 0 8 4 1 ^61631
6 7 8 лл3/*/ 1 1 0 8 4 1 ^61631
9 7 9 8 2 4
J*6SAQ 4
Л^ 7М у
3 3 2 2 1
9 7 9 8 2 4
J*6SAQ 4
Л^ 7М у
3 3 2 2 1
-0,9544
-0,4039
0,7510
-0,3050
-0,1844
0,3957
-0,1565
-0,1070
0,2452
-0,09669
-0,07029
0,1672
-0,06609
-0,04989
0,1215
-0,04818
-0,03731
0,09238
-0,9544
-0,4039
0,7510
-0,3050
-0,1844
0,3957
-0,1565
-0,1070
0,2452
-0,09669
-0,07029
0,1672
-0,06609
-0,04989
0,1215
-0,04818
-0,03731
0,09238
1 2 3 4 5 6g g g g g g
1 2 3 4 5 6g g g g g g
Таблица 6.2
Периоды колебаний (в сутках) звезды главной последовательности сМ = 27,8 М ®Smeyers 尸.D. Sc. Thesis, Vniv. of Li®ge, 1966
/ = 1
/ = 2
/ = 3
/ = 4
/ = 8
1,799
1.053
0,7580
0,5992
0,3495
^3
1,423
0,8392
0,6091
0,4861
0,2955
纟2
1,039
0,6220
0,4593
0,3734
0,2436
gi
0,6453
0,4009
0,3085
0,2613
0,1949
/
8
0,1395
0,1159
0,1063
0,08775
Pi
0,1023
0,08727
0,07829
0,07263
0,0603^
°2
0,07273
0,06460
0,05944
0,05582
0,04730
0,05634
0,05142
0,04802
0,04551
0,03923
Pa
0,04601
0,04276
0,04034
0,03849
0,03366
этот результат, впервые доказанный Смейерсом, справедлив и для g-мод, соответствующих /= 1 (см. ниже).
Нерадиальные р-моды всегда устойчивы (см. рис. 6.5 и табл. 6.1 и 6.2). При умеренном росте плотности к центру S/3 W 100) число узлов вдоль радиуса по мере стремления v к бесконечности регулярно увеличивается (см. однако, заключительные замечания об /-модах). Таким образом, короткие периоды колебаний связаны с малыми длинами волн, т.е. с большими / и большими
Особый интерес представляет радиальный спектр / = 0. Формула (38) сводится в этом случае к
а2 = 4/зтг6р{[3 + 心 + 5)]1\ - 4]. (40)
На рис. 6.3 изображены функции 6г для политроп показателя 〃 = 3. Вообще говоря, радиальные смещения образуют полную систему ортогональных функций, и число узлов вдоль радиуса изменяется регулярно пропорционально v. Влияние отношения pjp на моду самого низкого порядка показано на рис. 6.4 (ср. с рис. 6.2). Точно так же, как и для /-мод, мы можем аппроксимировать самую низкую частоту следующим выражением:
о2 = "〈Г» - 4)IFKI/Zoc(3<ri> - 4)ttGp, (41)
где (Гр — среднее значение показателя адиабаты, взвешенное по давлению. Соотношение (41) принадлежит Леду и Пекерису, если Г1 ——постоянная, то для однородной сжимаемой сферы оно выполняется строго.
Из формул (40) и (41) следует, что в самой низкой моде 丿=0 наступает неустойчивость, если (Гр оказывается меньше критического значения 4/3. В простом случае постоянного показателя адиабаты (Г[ = ) = Cp/cj эта динамическая неустойчивость возникает потому, что полная энергия Е газовой сферы оказывается положительной при 7 < 4/3. В самом деле, в наших предположениях Е = UT + W, где UT — полная внутренняя
Рис. 6.3. Низшие радиальные моды пульсаций Для сферической политропы 〃 = 3 (7 = 5/3). Все смещения ”/R обращаются в единицу при х = г/^ = 1, где R — радиус сферы. С любезного разрешения др. Роуба.
Рис. 6.4. Фундаментальная мода радиальной пульсации для различных политропных сфер (7 = 5/3). Все смещения 打/R нормированы и равны единице при х = r/R = 1, где R ——радиус сферы. Около каждой кривой указан соответствующий показатель политропы. С любезного разрешения др. Роуба.
энергия. Поскольку по скалярной теореме вириала 歹 + 3()— l)UT = О (см. разд. 3.7), можно написать Е = -(3)-4)UT, откуда следует, что Е положительно при у < 4/3. Однако в реальной звезде все несколько сложнее. В этом случае Г】 зависит от г, а основным фактором, способствующим уменьшению среднего значения (Гр, является лучистое давление. Тем не менее неустойчивость не может наступить за счет одного лишь лучистого давления, потому что предел <Гр = 4/3 никогда не достигается для конечной массы (см. разд. 3.4). Так или иначе, самая низкая радиальная мода массивных звезд всегда бывает на грани неустойчивости (о2 — 0), и поэтому небольшие отклонения от изоэнтропичности или ньютоновской механики могут способствовать росту этой моды (см. разд. 14.2 и 14.4).
g-моды. Для простоты рассмотрим сначала политропы (с постоянным показателем адиабаты Г». Из табл. 6.1 следует, что кроме мод, указанных
Рис. 6.5. Относительные смещения 6г/г/-моды и низших р-мод, соответствующих / = 4, для звезды главной последовательности с М = =27,8М®()= 5/3). Функции br/r нормированы на единицу при х = 〃R = 1, где R — радиус звезды. (Smeyers P.D. Sc. Thesis, Univ, of Liege, 1966.)
выше, существуют колебания, устойчивость или неустойчивость которых определяется значением 〃； при л = 3/2 и Tj = 5/3 эти моды становятся нейтральными (62 = 0). В предельном случае п = 0 (т.е. для однородной сжимаемой модели) можно написать
о2 = 4/3TrGpfAy -【&+ /(/ + 1)]^}, / = 1, 2, 3 . . ., (42) где V = 0, 1, 2, . . . [ср. с формулой (39)]; эти моды всегда неустойчивы (『V 0). Рассматривая соответствующие смещения, мы обнаруживаем, что тангенциальные компоненты 厂与夕 и &sin6 превосходят теперь радиальную функцию Ed кроме того, изменения давления 6р относительно слабее, чем в р-модах. Рассматриваемые моды вызваны фактически присущим гравитации естественным свойством сглаживать неоднородности вещества на уровенной поверхности V = const, поэтому их обычно называют ^-модами (или гравитационными модами). Следует отметить, что Io2! увеличивается с ростом / и уменьшается с ростом 〃. Кроме того, при рс/р w 100 число узлов вдоль радиуса в этих возмущениях регулярно увеличивается по мере возрастания 丿(см., однако, заключительные замечания об /-модах). Следовательно, в рамках изоэнтропической теории особое внимание нужно уделить неустойчивым g-модам, которые характеризуются малыми «горизонтальными» (/ велико) и большими «вертикальными» 3 мало) размерами. Однако на практике может оказаться, что наше замечание иллюзорно, поскольку диссипация и нелинейность в конечном счете сдерживают скорость роста этих неустойчивых движений.
Как показал впервые Каулинг, возникновение неустойчивых g-мод в политропных шарах можно связать с тем, что квадрат локальной частоты Брунта ——Вяйсяля
(43) Р dr\p dr 「屮
всюду отрицателен при rt < 1 4- (1/〃)一 это условие служит также условием сверхадибатичности падения температуры во всей политропе . Позднее Лебовиц доказал следующие общие утверждения: 1) если N?(r) в сферической звезде строго больше нуля, то все квадраты частот а2
Рис. 6.6. Относительные смещения 6г/г низших g-мод, соответствующих / = 4, для звезды главной последовательности с М = 27,8 М® (7 = 5/3). Функции дг/г нормированы на единицу при х = x/R = 1, где R — радиус звезды. (Smeyers Р. D.Sc. Thesis, Univ, of Liege, 1966.)
нерадиальных мод положительны (т.е. устойчивого типа), 2) если N2&) V 0 в некоторой сферической области, то существует хотя бы одно нерадиальное возмущение, которое растет со временем. Наконец, Эйзенфельд показал, что если N2(r) всюду больше нуля и не обращается тождественно в нуль ни в каком сферическом слое, то нерадиальные моды образуют полную систему . Следовательно, все нерадиальные возмущения устойчивы в том и только в том случае, если всюду в конфигурации градиент температуры субадиабатичен. Таким образом, основной причиной существования неустойчивых g-мод являются конвективные течения. Из табл. 6.1 следует, что ^-моды всегда выступают совместно: если N2(r) всюду отрицательно, то все они становятся неустойчивыми. Как и следовало ожидать из физических соображений, g-моды строго устойчивы, если N2(r)三 0 в ядре и N2(r) > О в оболочке (см. табл. 6.2); однако в этом частном случае нули смещений бг локализованы в лучистой оболочке, а в ядре, находящемся в строгом конвективном равновесии, амплитуды экспоненциально уменьшаются (рис. 6.6).
Особенно интересно ведут себя g-моды, если N2(r) < 0 в ядре и N2(r) > > 0 в оболочке (рис. 6.7). Как показали впервые Леду и Смейерс, для каждого значения существуют два бесконечных дискретных спектра: устойчивые ^+-моды, соответствующие гравитационным колебаниям в лучистой зоне, и неустойчивые ^~-моды, которые описывают конвективные течения в ядре. Согласно этим авторам, каждое движение довольно строго локализовано в своей зоне, а в смежной области соответствующие амплитуды экспоненциально убывают. Последнее
Рис. 6.7. Относительные радиальные br/r и тангенциальные bt/r смещения gj- и g^-мод, соответствующих / = 2, для составной модели с однородным ядром (л = 0) и политропной оболочкой (л = 3) при ) = 5/3. Левая ось ординат относится к неустойчивой g丁моде (штриховые линии); правая — к устойчивой gj-моде (сплошные линии). (Ledoux Р., Smeyers Р. C.R. Acad. Sci. Paris, 262В, 841, 1966. С разрешения Gauthier-Villars, Paris.)
свойство легко доказать для мод очень высокого порядка (<т2 -* 0). В самом деле, полагая
(44)(44)(45)(45)w(r) = rp/2(r)6r(r)t
(44)
(44)
(45)
(45)
мы можем приближенно записать уравнения движения в таком виде:
d2w /(/+ 1) N2(r)
-у + ——5« 0
dr2 a2 r2 *
вблизи сферической поверхности, на которой N2(r) меняет знак. Рассмотрим сначала g^-моды (а2 > 0). Из уравнения (45) замечаем, что его решения осциллируют по радиусу в области, где N?(r) > 0, и экспоненциально убывают в смежной области. Для ^_-мод (а2 < 0) ситуация противоположная. Однако, согласно Скюфлеру, ^_-моды звезды могут быть осциллирующими только в конвективных зонах, тогда как g+・ моды не убывают экспоненциально во внешних конвективных зонах проэволюционировавших звезд малой массы.
В общем случае можно показать также, что g-моды распадаются на столько бесконечных дискретных спектров, сколько имеется сферических
слоев, в пределах которых N2(r) сохраняет знак. В пределе мод очень высокого порядка (， А /) для каждого слоя, который мы назовем, например, D, имеем
。” ±[/(/ + 1)]%63 + с)]7 jN&»T〃， (46) где констан*га с по порядку величины равна единице и зависит от выбранной области D, Таким образокС каждому сферическому слою, в котором локальная частота N (г) действительна, соответствует один устойчивый g+-спектр; напротив, в любой зоне, где N (г) чисто мнимо, все квадраты частот отрицательны. Кроме того, в силу уравнения движения (45) возмущения высоких порядков сосредоточены в основном в соответствующем им слое, а в смежной области (областях) экспоненциально убывают. Для иллюстрации этих результатов Гуссенс и Смейерс изучили три g-спектра составных политропных моделей, которые включают две конвективно устойчивые области, разделенные конвективно неустойчивой зоной. Помимо g'-мод, связанных с промежуточной зоной, они обнаружили также два типа устойчивых g-мод, один из которых связан главным образом с ядром, а другой ——с внешней оболочкой. Правда, среди этих устойчивых мод они нашли также случайные «резонансы», порождающие устойчивые моды с заметной амплитудой в обеих областях устойчивости, вклад которых в собственные значения этих мод почти одинаков. Поскольку в асимптотическом анализе, приводящем к формуле (46), такой феномен не выявляется, требуются дальнейшие аналитические исследования, в которых рассматривалось бы, например, резонансное взаимодействие между двумя конвективными зонами, разделенными лучистым слоем ——случай, который явно связан с изучением проникновения конвекции и перемешивания в реальных звездах.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
Как указывалось выше, чтобы исследование на устойчивость было строгим, требуется доказать полноту системы нормальных мод. Если такого доказательства нет, то предпочтительнее рассматривать сами движения, характеризуя их начальными значениями. Такой подход возможен благодаря энергетическому принципу Лаваля, Мерсье и Пел ля.
Предположим, что малые отклонения от известного равновесного строения описываются при помощи лагранжева смещения ((х, /)» которое удовлетворяет уравнению вида
(47)(47)pd2f/d? = L(,
(47)
(47)
где L ——линейный оператор, не зависящий от времени и симметричный. Таким образом, имеем
а(М)/" = Ldf/б/,(48)
]f Li|dx = ]1| LEdx, гг]f Li|dx = ]1| LEdx, гг(49)(49)
]f Li|dx = ]1| LEdx, гг
]f Li|dx = ]1| LEdx, гг
(49)
(49)
где &(х, Г) и 刀(х, Г) — две произвольные гладкие функции. Тогда если
величинавеличина汽。=j f -Lfdx汽。=j f -Lfdxотрицательна для всех конечных смещений ((х, дественно нулю, то конфигурация устойчива, т.е.отрицательна для всех конечных смещений ((х, дественно нулю, то конфигурация устойчива, т.е.возмущенного движениявозмущенного движения1 f來第多⑺=5 JР牙訴г1 f來第多⑺=5 JР牙訴гне может возрастать от своего значенияне может возрастать от своего значенияdx黑0)dx黑0)(50)/), не равных тож- кинетическая энергия(51)в начальный момент(50)/), не равных тож- кинетическая энергия(51)в начальный моментвремени, скажем / = 0.Приведем сначала два важных соотношения, которые понадобятся в дальнейшем. С помощью формул (47)——(51) можно написатьвремени, скажем / = 0.Приведем сначала два важных соотношения, которые понадобятся в дальнейшем. С помощью формул (47)——(51) можно написать
величина
величина
汽。=j f -Lfdx
汽。=j f -Lfdx
отрицательна для всех конечных смещений ((х, дественно нулю, то конфигурация устойчива, т.е.
отрицательна для всех конечных смещений ((х, дественно нулю, то конфигурация устойчива, т.е.
возмущенного движения
возмущенного движения
1 f來第多⑺=5 JР牙訴г
1 f來第多⑺=5 JР牙訴г
не может возрастать от своего значения
не может возрастать от своего значения
dx
黑0)
dx
黑0)
(50)
/), не равных тож- кинетическая энергия
(51)
в начальный момент
(50)
/), не равных тож- кинетическая энергия
(51)
в начальный момент
времени, скажем / = 0.
Приведем сначала два важных соотношения, которые понадобятся в дальнейшем. С помощью формул (47)——(51) можно написать
времени, скажем / = 0.
Приведем сначала два важных соотношения, которые понадобятся в дальнейшем. С помощью формул (47)——(51) можно написать
(52)(52)2JT- Х= ^
(52)
(52)
где 孑—постоянная. Аналогично получаем
1/2屏力由 2 = 2JT+ 药(53)
где
ЛО = j 成’Ух.(54)
Уравнение (52) просто выражает закон сохранения энергии возмущенного движения, а уравнение (53) — это обычная скалярная форма теоремы вириала.
Очевидно, если для всех допустимых функций ((х, Г) величина 次Г) отрицательна, то из выражения (52) следует, что 黑/) не может возрастать от своего начального значения. Таким образом, это условие является достаточным.
Чтобы доказать, что оно служит также необходимым условием устойчивости, предположим, что существует интегрируемое с квадратом смещение 刀(X, 0), такое, что
方0)=帚(55)
где а0 — положительная постоянная. Наложим теперь начальные условия
Е =小 第/力=%刀 при / = 0.(56)
При таком специальном их выборе мы можем определить значение 友 и уравнение (52) сведется к виду
2JT- Х= 0.(57)
Объединяя теперь формулы (53) и (57), получим
#，力 2 = 8 龙(58)
Затем, пользуясь неравенством Шварца, которое в данном случае имеет вид
(59)(59)(d勿由)2 w 8/名
(59)
(59)
можно написать
/，dC >，T(d勿％А,(60)
или
鲁(党)》。■(б1)
С другой стороны, вследствие начальных условий (56) имеем
，、d//dt = 2ao при Г = 0,(62)
а отсюда в силу неравенства (61) получаем
，、dJ/dt > 2ao при / > 0,(63)
откуда следует, что
ЛО > Л：0)е2。/.(64)
Наконец, если из формул (55), (57) и (59) мы выведем JT(0, то получим
黑Г)》％ 典0)0/.(65)
Таким образом, вследствие (55) JT(/) с необходимостью должно сильно измениться по сравнению со своим начальным значением.
Итак, отрицательность 加г) для всех допустимых смещений ((х, Г) является необходимым и достаточным условием устойчивости. Сила этого принципа в том, что он позволяет обойтись без всяких предположений о существовании нормальных мод или о наличии у них каких-либо определенных свойств, когда эти моды действительно существуют.
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
В общем случае малые колебания бароклины в состоянии стационарного вращения описываются уравнениями (15), (17), (25) и (29) вместе с необходимыми граничными условиями. К сожалению, эту задачу в большинстве случаев нельзя решить в конечном аналитическом виде, поэтому при исследовании таких движений обычно прибегают к приближенным методам. Сейчас мы покажем, что решения задачи можно выразить при помощи вариационного принципа, предложенного Клементом, Линден-Беллом и Острайкером. Чтобы обрисовать основные идеи, мы ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений.
Возвращаясь к уравнению (25), можно написать
p(d/dt + v-grad)2f = KE - p((>grad)q,(66)
где
& = grad (Г 1PdiV Е) + grad (f-grad р) + р~хЬр grad р - р grad 6 К,(67)
где др и дУ выражаются через ( посредством формул (15) и (29) соответственно. Центробежное ускорение q дается формулой (20), а компоненты скорости V в нашей инерциальной системе отсчета имеют вид у~ = 0, % = R& z)&, vz = 0.(68)
По предположению в равновесной системе все величины зависят только от а и %.
До сих пор мы не делали никаких предположений относительно лагранжева смещения f (х, г). Начиная с этого момента мы будем искать осесимметричные решения, т.е. движения, для которых f j,与夕 и & не зависят от В этом случае уравнение (66) для различных компонентов выглядит так:
政苏/М __ 加贞/& = рТ(КЕ而-i(f~dn2/di + f^Q^dz), (69)
”匕/加 2 + ^-/dt = 0,(70)
妆/切2 =广1(母厶(71)
где (Kf)~ и (КЕ)% зависят только от & и z・ Уравнение (70) выражает закон сохранения z-компонента момента количества движения и является прямым следствием нашего предположения об осевой симметрии возмущений. Проинтегрировав (70) по времени, можно написать
我/切 + 20就=f^ z),(72)
где f@, z) — произвольная функция.
Ограничимся теперь такими движениями, для которых /(w, z)曰 0 (ниже мы подробнее остановимся на этом предположении). Тогда, исключая Э{^/д/ из уравнений (69) и (72), получаем
d2f~/d? = рТ(КЕ)& 一 曲午出 _&伐力。2/“ + Е/М/а%).(73)
Уравнения (71) и (73) представляют собой задачу с начальными условиями для {- и &. Поэтому, как только J~ найдено, мы можем вывести ^ из уравнения (70) и, подбирая подходящим образом 3±夕/3八 скажем при / = 0, сможем добиться, чтобы функция / всюду обращалась в нуль. Таким образом, положив / » 0, мы ограничили класс движений такими начальными условиями, для которых это требование выполнено. Легко видеть, что решения вида (33) — нормальные моды — принадлежат этому классу.
Поскольку £夕 не входит ни в уравнение (71), ни в уравнение (73), вектор Е(&, z, 0 удобнее переопределить и считать двумерным с компонентами f ~ и Е%. Тогда уравнения (71) и (73) можно объединить в одно векторное уравнение
pd2f/d? = Lf,(74)
где L — линейный оператор, действующий на ^~ и ^, компоненты которого определяются формулами
(К)& = (Kf)~ - р(Ф^~ + 幻&),(75)
(К% = (К%(76)
где вектор Ф имеет вид
力 & z) = i~3 grad(fl2i4).(77)
С помощью формулы (67) можно доказать, что не зависящий от времени оператор L симметричен [ср. с формулой (49)]. Отсюда, с учетом уравнения (74) можно применить энергетический принцип (разд. 6.5). В частности, если для некоторого допустимого (
^B-Lfdx > 0,(78)
то можно утверждать, что равновесная конфигурация неустойчива. Это необходимое и достаточное условие неустойчивости относительно осесимметричных движений не зависит от существования нормальных мод; в таком виде этот результат принадлежит Лебовицу. Как будет показано в разд. 6.8, условие (78) означает, что равновесная конфигурация неустойчива, если ее полная энергия неминимальна.
Ограничимся теперь рассмотрением нормальных мод. Если зависимость Е от времени имеет вид (33), то уравнение (74) приводит к задаче на собственные значения для уравнения
-о2成=Ц.(79)
(До конца этого раздела мы будем считать, что ( зависит только от з и z). Следовательно, пользуясь обозначениями (50) и (54), можно записать
о2 = -(80)
После интегрирования по частям выражения (50) получаем
Х= j[-FR(divE)2 + Е grad (f-grad р) +
+ р-16pf • grad р -成・grad6F]dx - j威式力水& + 力&)dx,(81)
/= j。(房 + E^dx.(82)
Уравнение (80) лежит в основе вариационного метода определения допустимых значений о2. Иными словами, собственные частоты экстремальны относительно произвольных вариаций ( в уравнении (80).
Чтобы доказать это свойство, обозначим через бо2 приращение, которое получает а2, когда ( подвергается малой вариации 5(. Функции ( и произвольны, за тем исключением, что они должны удовлетворять
П)аничным условиям. В соответствии с уравнением (80) можно написать
(83)
Вследствие симметрии L получаем
W= 2j *・Kdx,(84)
г
а также имеем
3，= 2j。矣・“х.(85)
Таким образом, уравнение (83) приобретает вид
，6。2 = -2『^-(^2Pi + M)dx.(86)
Ясно, что если Е — собственное решение уравнения (79), то За2 обращается в нуль. И обратно, если бо2 = 0 для произвольной вариации 6f, то Е должно быть собственным смещением, соответствующим а2. Этим завершается доказательство вариационного принципа для осесимметричных движений.
На практике удобно использовать «пробные» смещения вида
E@z)= £ аа^аЧ^ z),(87)
а = 1
где Е(°)- любые фиксированные функции (например, многочлены от i и z), а коэффициенты аа подбираются из условия экстремума о2. Если положить
4б =卜№)・W)dx,(88)
4б = j 再• M©)dx,(89)
то уравнение (80) можно переписать в следующем виде:
£ Е("4в + 纥必凸=°-(90)
а = 1 р=1
Варьируя аа так, чтобы отношение 夕// достигло экстремального значения, мы тут же получаем
£(02/郎,+ 3郎)06 = 0 a = 1, 2,...，m(91)
” 1
Это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно аа, следовательно, ее определитель должен обращаться в нуль, и нам остается решить вековое уравнение
М&б + В/ ±0,(92)
чтобы найти приближенные значения собственных частот.
ТЕОРЕМА ВИРИАЛА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Для описания движений самогравитирующей системы вместо общих уравнений гидродинамики можно применять эквивалентные им вириальные уравнения (см. разд. 3.7). Вириальный метод интересен главным образом тем, что позволяет приближенно представить малые отклонения от состояния стационарного вращения, Если из скалярной теоремы вириала мы получаем простое описание самой низкой акустической моды (41), то вириальные уравнения второго порядка охватывают движения, которые в предельном случае отсутствия вращения соответствуют радиальной моде (41) и пяти /-модам (37). Подобным же образом вириальные уравнения третьего порядка описывают движения, которые в предельном случае невращаю- щегося тела сводятся к модам, соответствующим сферическим гармоникам первого и третьего порядков (см. разд. 14.5). Уравнения более высоких порядков естественно приводят к модам более высокого порядка, однако такой путь быстро становится практически неосуществимым. Вириальным методом широко пользовались Чандрасекар и Лебовиц.
Прежде чем заниматься линеаризованными вириальными уравнениями, рассмотрим изменение 3居 которое мы обнаружим, сравнив в момент t значения интеграла
尸⑴=j 2(х, t)dm(93)
м
в возмущенном и невозмущенном течениях (см. разд. 6.2). Ясно, что элементу массы dm = р(х, f)dx, который в невозмущенном течении находится в точке х, в реальном течении соответствует его образ, занимающий положение х + Е(х, 0. Поэтому в силу формул (2) и (6) имеем
3尸=3 j Qdm = j AQdm = j ®Q + ^^Q/bx^dm (94) ммM
с учетом сохранения массы. Из тех же соображений можно написать
ммм
[см. разд. 3.3, уравнение (23)]. Таким образом, формулы (94) и (95) позволяют интегрировать по равновесному объему 勿.Мы сохраним обозначение dm = pdx и в дальне!(шем. Наконец, заметим, что операции 6 и d/dt всегда коммутативны.
Рассмотрим теперь баротропу или псевдобаротропу в состоянии стационарного вращения (см. разд. 4.3). Далее для удобства мы будем пользоваться декартовой системой координат (хр х2, х?). Тогда компоненты скорости V в инерциальной системе отсчета имеют вид
匕=—О®»?, % = +O(w)xp v3 = 0, (96) где @2 =咛 + 名 Подставляя эти выражения в вириальные уравнения вто-
рого порядка, получаем
<«2>Zn + %1 + j (p/p)dm = 0,(97)
修33 +，(p/p)dm = 0,(98)
где по определению
<Q2> = j ^{^dm/ ] ^dm,(99)
Г7
т.е. пропорционально кинетической энергии; остальные символы имеют обычный смысл (см. разд. 3.7). Наконец, помимо «среднего квадрата угловой скорости» нам понадобится величина
(100)(100)<0> = j R@)齿2d加/j 齿2d加，r%
(100)
(100)
которая пропорциональна полному моменту количества движения J вращающейся конфигурации.
Предположим теперь, что равновесие слегка нарушено. Тогда из вири* альных уравнений второго порядка
(101)(101)^ j viXjdm - j VjVjdm = % + 布 j *m.
(101)
(101)
а также из уравнения (94) без труда получаем
%%”=6%〃 + %•『](p/p)dm]・ (102)
%
%
Из формул (4), (95) и (96) следует
^ J 话^ =%^ J 话^ =%j ^v^jdm + j 3jdm,j ^v^jdm + j 3jdm,^ J Мт =%^ J Мт =%I A%Vjdm + J £Vk* dmI A%Vjdm + J £Vk* dm(103)(104)(103)(104)
^ J 话^ =%
^ J 话^ =%
j ^v^jdm + j 3jdm,
j ^v^jdm + j 3jdm,
^ J Мт =
%
^ J Мт =
%
I A%Vjdm + J £Vk* dm
I A%Vjdm + J £Vk* dm
(103)
(104)
(103)
(104)
Поэтому интегралы от A%Xj и Au門，входящие в (102), можно сразу же выразить через интегралы по Е円，^Vj и \tvkdVj/dxk. Аналогично можно на-
писать
6%・=J ^^V^bx^dm.(105)
где 号=-G j (巧 一 х；)(巧-号)lx - x，|-3dw.(106)
Имеем также
6 ( (p/p)dm = - j (Г】-i)(p/p^k/dxk)dmt(107)
причем мы воспользовались здесь уравнениями (14), (16) и (94). Подставляя выражения (103) — (107) в уравнение (102), получаем, наконец, уравнение
£ J 3Xjdm - 2^ J 沿加 + J (唠 + 多紛 vkdm -
которое связывает смещение { с величинами, определяемыми лишь известным равновесным внутренним строением.
Уравнение (108) является точным интегральным соотношением, которое должно быть справедливо для всевозможных возмущений с малой амплитудой; ему, в частности, должны удовлетворять и собственные решения, принадлежащие к нормальным модам колебаний (33). Так что, подставляя вместо Е «пробную» функцию от пространственных переменных вида (87), мы должны получить уравнения для нахождения частот с некоторой степенью точности. Действительно, можно показать, что вириаль- ный метод второго порядка эквивалентен вариационному методу первого порядка. Тем не менее теперь мы не можем пользоваться «пробными» функциями с любым желаемым числом параметров: в самом деле, уравнение (108) дает девять соотношений, поэтому и произвольных коэффициентов, ВХОД5ШЩХ в «пробное» смещение, которое мы хотели бы подставить, должно быть тоже девять. Предположим теперь, что в первом приближе- hi^i лагранжево смещение можно адекватно представить функцией
& = %/№” (109) где 七,卜—девять коэффициентов, которые в собственно вариационном методе играют роль вариационных параметров. И действительно, как показали Чандрасекар и Лебовиц, функция (109) соответствует точному решению в случае газовой конфигурации с постоянными плотностью р и угловой скоростью 0, т.е. в случае сжимаемого сфероида Маклорена (см. разд. 4.5). Поэтому ясно, что чем более неоднородно распределение угловой скорости и массы, тем больше ошибка в частотах. Так или иначе, с качественной стороны результатам можно доверять.
Подставляя формулу (109) в уравнение (108), мы получаем девять однородных уравнений с девятью неизвестными Li k. В частном случае 0^0 эти уравнения дают девять характеристических частот: однократный корень (41), соответствующий чисто радиальному движению; пятикратный корень (37), соответствующий сферическим гармоникам У夕[ср. с формулой (34)]; трехкратный корень а2 = 0, где каждый из этих трех корней описывает бесконечно малое вращение вокруг осейxvx2vlХ3 соответственно (см. примечание на стр. 121). Обратившись затем к вращающимся телам, мы найдем, что вращение отчасти снимает вырождение собственных частот; в самом деле, теперь мы обнаруживаем семь различных квадратов частоты и двукратный корень а2 = 0. Конкретно, формулы (108) и (109) дают возможность найти частоты, которые соответствуют зональным, тессеральным и секториальным модам соответственно . Рассмотрим эти моды поочередно.
Тессеральные моды. Этим движениям свойственно смещение вида
e1 =L1,3*3，22 =L2,3*3，e3 =L3,产1 + L3,2*2，⑴①
где мы опускаем зависящий от времени множитель exp (/а/). Из формул (ПО) следует, что эти колебания характеризуются сдвигом северного и южного полушарий относительно друг друга. Таким образом, эти движения антисимметричны относительно экваториальной плоскости. Соответствующее вековое уравнение имеет вид
а4[а2 4- < Q2> — (X 4- д)]2 = 4а2<0>2(а2 — д)2,(111)
где
入=%3；13〃山〃=%1；13〃33；(112)
при этом в самом общем виде можно определить
Wij kl = - ] хДд Vkl/dXj)dmt % = j x^jdm.(ИЗ)
Вследствие наших предположений эти частоты не зависят от сжимаемости конфигурации. Отбрасывая тривиальный корень а2 = 0, мы получаем два кубических уравнения
庐干 2<й>а2 + [<П2> 一(入 + 喇。士 2<(2>д = 0.(114)
Наличие двух знаков означает, что шесть частот, которые получаются из этих уравнений, имеют дублетный характер, причем +《(2〉и - <Q> играют эквивалентные роли. Все тессеральные моды описывают устойчивые
колебания: а2 = 0, а2 * <Q>2 и еще два квадрата корней, которые в случае сферической системы сводятся к /-модам (37), принадлежащим к тессераль- ным гармоникам У才】и У尸(см. разд. 10.4).
Секториальные моды. Главная особенность этих колебаний в том, что они преобразуют вращающуюся модель в истинно трехосное тело, сохраняя при этом его плосксють симметрии; все движения сосредоточены в плоскостях, параллельных экваториальной. Опуская множитель exp (М), имеем
£ =丄 1,/1 + L1,2*2，e2 =、一L1,m2 + L1,2х1，与3 = °・(I”)
Четыре соответствующие частоты колебаний также имеют дублетный характер, так что можно написать
о = ± <Q> ± (2а> 4-《О/ 一 2〈。2»/2,(Ц6)
ГДе(117)
Очевидно, при сделанных предположениях секториальные моды не зависят от Показателя адиабаты. В предельном случае, когда вращения нет, они сводятся к /-модам (37), принадлежащим к секториальным гармоникам У才2 и У£2. Далее, из соотношения (116) немедленно следует, что а2 обращается в нуль, если
<Q2> = з;(118)
кроме того, все решения соответствуют устойчивым колебаниям, тогда и только тогда, когда w > 0, а
<П2> & з + 抬〈О*.(119)
Как будет показано в разд. 10.4, появление нейтральной моды а2 = 0 совпадает с ответвлением трехосных конфигураций, когда <02> = w вдоль псюледовательности вращающихся моделей. Таким образом, если вдоль последовательности может достигаться предел (118), то эта нейтральная мода просто переводит осесимметричное тело в соседнее равновесное состояние, обладающее точной симметрией относительно трех плоскостей.
Зональные моды. Шесть значений квадрата частоты теперь описаны. Оставшиеся три значения а2 соответствуют смещению
對=丄1,m1 + ，1,2*2，^2 =L1,/2 - ^1,2XP Q =L3,3*3，(120)
где множитель ехр (/а/), как и выше, опущен. Ясно, что это пульсации, которые сохраняют как зеркальную, так и осевую симметрию конфигурации. Помимо тривиального корня а2 = 0, соответствующего бесконечно медленному вращению вокруг оси x3(Lj j = L3 3 = 0; Lj 20), имеем
4М33d - [(4《。〉2 - 3<Q2»Z11Z33 + (0 + a)%? + б，"】。？ +
+ 取4《口〉2 - 3《口2〉)/]] + 3 -a)(0 + %)]=0, (121)
(122)(123)(122)(123)а =匕3,11 + J В】- l)(p/p)dm9в =力33,33 + j Bl - l)g/p)加.
(122)
(123)
(122)
(123)
Если вращения нет, то два квадрата корней (⑵)легко отождествить: один соответствует Лмоде, принадлежащей зоналыгой гармонике 吗[см. формулу (37)], а другой вырождается в самую низкую радиальную моду (41). Отметим, что вращение связывает две зональные моды (121) и что обе они сильно зависят от сжимаемости системы. Дальнейшие выводы из исследования этих осесимметричных движений будут сделаны в разд. 14.2.
СТАТИЧЕСКИЙ И КВАЗИДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ
В двух предыдущих разделах мы описали некоторые практические приемы для определения частот колебаний вращающейся звезды. Как мы увидим, полезную информацию об устойчивости равновесной конфигурации можно получить и не прибегая к таким трудоемким процедурам. Статический метод позволяет вывести простой критерий устойчивости осесимметричных движений, причем требуется построить лишь равновесные модели без каких-либо дальнейших вычислений. Квазидинамический метод дает схему численного решения уравнений равновесия; он также включает проверку на устойчивость, которую иначе пришлось бы проводить отдельно.
Оба способа анализа опираются на то обстоятельство, что полная энергия, экстремальная у стационарно вращающихся звезд, минимальна при устойчивом равновесии и не может быть минимальной при неустойчивом. В этом легко убедиться. Умножим обе части уравнения движения (21) ска- лярно на V и проинтегрируем по объему %. Интегрируя по частям и учитывая, что на поверхности звезды давление обращается в нуль, находим
—j 力 IV12dm = J (p/p) div vdm - | V • grad Vdmt (124) %%у
где dm = pdx. Как известно, при изоэнтропическом движении
DU/Dt + (р/р) div v = 0,(125)
где V — тепловая энергия на единицу массы [см. разд. 3.4, уравнение (70)]. В силу формулы (95) отсюда следует, чтогде V — тепловая энергия на единицу массы [см. разд. 3.4, уравнение (70)]. В силу формулы (95) отсюда следует, что
где V — тепловая энергия на единицу массы [см. разд. 3.4, уравнение (70)]. В силу формулы (95) отсюда следует, что
где V — тепловая энергия на единицу массы [см. разд. 3.4, уравнение (70)]. В силу формулы (95) отсюда следует, что
где UT — полная тепловая энергия. Аналогично, можно написать
j V • grad Vdm = - dW/dt,(127)
где W — гравитационная потенциальная энергия. С помощью уравнений (126) и (127) можно сразу проинтегрировать уравнение (124) и получить
j 力 I v 12dm +。丁 + W = const.(128)
Предположим теперь, что на состояние равновесия накладывается осесимметричное движение. Тогда уравнение (128) приобретает вид
j 弘 1vpi 2d加 + E = const,(129)
где % — поле скоростей осесимметричной пульсации, а £ — полная энергия, т.е.
Е = % j (j/^dm + j Udm + % j Vdm,(130)
%уу
где j® z) = 0(@, z)@2 — момент количества движения на единицу массы. Ясно, что всякое увеличение кинетической энергии пульсации должно происходить за счет полной энергии Е. Следовательно, для устойчивых изо* энтропических пульсаций невязкой звезды, находящейся в состоянии стационарного вращения, эта энергия должна быть минимальной, что и требовалось доказать.
Определим теперь первую и вторую вариации Е при постоянных полной массе М и полном моменте количества движения J. Устойчивое равновесие соответствует условиям
ЗЕ = 0,族七 > о(131)
В случае осесимметричных пульсаций момент количества движения / сохраняется для каждого элемента массы; поэтому Dj/Dt = 0 и можно написать
6% j (j/^dm = - j (/2/&3)^加.(132)
гг
Аналогично, при изоэнтропическом движении DS/Dt = 0, поэтому из уравнения (125) следует, что
△ U = -(р/р) divf.(133)
С помощью формул (94) находим
3 j Udm = j AUdm = — j (p/p) div fdm = j p-1f • gradpdm. (134)
Наконец, согласно формуле (105), первая вариация гравитационной энергии равна
6% = ) Е • g^d Vdm,(135)
Из соотношений (132), (134) и (135) следует
ЗЕ = ]Е • [grad V + p-1gradр 一 (/2/w3)lj]dw,(136)
где 1~ ——единичный вектор в направлении ш. Как мы и ожидали, состояние стационарного вращения определяется условием ЗЕ = 0 [ср. формулы (18) — (20)]. Подобным же образом легко доказать, что
62Е = j f • [A(grad И+ pTgradp) + 3(j2/^^]dm.(137)
С помощью формул (20), (24), (67), (75) и (7 6) можно записать уравнение (137) в компактном виде
贸七=-J Е • L(dx.(138)
Теперь становится ясным физический смысл условия Лебовица (78): если существует виртуальное смещение f, такое, что
J { • Lfdx > 0,(139)
г
то 62Е < 0 и полная энергия Е не является абсолютным минимумом. В общих чертах приведенный вывод принадлежит Фьертофту, который, однако, не учитывал самогравитацию. Полезная роль критерия Фьертофта — Лебовица станет ясной в разд. 7.3.
Статический метод. Чтобы описать этот подход (впервые предложенный Зельдовичем), ограничимся сначала случаем сферических звезд. Рассмотрим последовательность равновесных моделей, которые удовлетворяют заданному уравнению состояния и имеют фиксированное распределение энтропии на единицу массы S(m/M), где 加/М — масса, заключенная внутри сферы объема u = 4H戸/3. Такое семейство можно параметризовать, например, при помощи плотности в центре рс каждой модели. Тогда каждому значению параметра рс соответствует равновесная модель массы М = MS,)； это семейство можно изобразить в виде кривой, откладывая на плоскости (М - %)массу в зависимости от плотности в центре. Статический критерий гласит, что в каждой точке максимума (〃〃〃 минимума) кривой М = MSJ od*Q из нормальных мод радиальных пульсаций изменяет устойчивость (те а2 = 0), в остальных же точках изменения устойчивости не происходит. Интуитивно этот результат можно понять следующим образом. Предположим, что кривая М = MSJ достигает экстремума в точке рс = рсс и MS,' = Мс (т.е. dM/d% = 0 при рс = рс^. Тогда для каждой модели, масса которой сколь угодно близка к Мс, в окрестности точки рс = рсс найдется новая модель такой же массы, но с другой плотностью в центре. Другими словами, каждую из этих моделей можно полу-
чить из «соседней» конфигурации посредством бесконечно малого смещения Ю которое не зависит от времени. Следовательно, в точке рс = рсс квадрат частоты а2, принадлежащий к какой-то радиальной моде колебаний, должен менять знак. Это и означает изменение устойчивости в каждом экстремуме кривой М = М(рс). Как показал Торн, четные моды 3 = 0, 2, 4, . . .) теряют устойчивость в точках максимума кривой М = М(рс), а нечетные (у = 1, 3, 5, . . .) — в точках минимума. Статический метод широко использовался при исследовании устойчивости звезд высокой плотности. Особенно полезен он тем, что позволяет обойтись без подробных вычислений радиальных мод колебаний.
Как мы теперь покажем, еще более детальный критерий устойчивости можно получить, экстремизируя полную энергию Е. Для сферической системы имеем
Е = j f(m, W, v)dv, (140) о
где % — полный объем звезды и
(141)(141)f(m, т\ V)= Um' - Gmm' /г(и).
(141)
(141)
причем штрих означает дифференцирование по объему и = 4тг3/3. Как известно, функционал Е достигает экстремума (т.е. 6Е = 0), если распределение массы m(v) удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа
(142)
Чтобы найти знак второй вариации 32е, введем функцию Z(v), удовлетворяющую уравнению Якоби
(143)(143)
(143)
(143)
и условиям
(144)(144)Z(0) = 0, (dZ/du)(0) = 1.
(144)
(144)
Тогда "Е будет положительно в том и только в том случае, когда выполняются следующие два условия : функция *J78m，2 положительна, а функция Z(u) не имеет нулей в области 0 V и《 ％.
С помощью хорошо известных термодинамических соотношений (справедливых только для изоэнтропических движений)
(dU/dp)s = р/р2, (dp/dp)s = г1Р/р(145)
находим
df/dm = -Gmf/г. df/dm, = (р/р) + U - (Gm/г), d2f/dm2 = 0, a"/8 mdm' = — G〃,"『/Вт，? = Г^/р2.
(146)(146)(147)(147)qT 咖/办 + Gm/г1 = 0.qT 咖/办 + Gm/г1 = 0.(148)(148)Теперь легко убедиться, что уравнение (142) сводится к условию гидростатического равновесия
(146)
(146)
(147)
(147)
qT 咖/办 + Gm/г1 = 0.
qT 咖/办 + Gm/г1 = 0.
(148)
(148)
Далее, с учетом соотношений (147) уравнение Якоби приобретает вид
(149)(149)式爲子喻
(149)
(149)
а условие Лежандра d2f/dm/2 > 0 всегда выполняется.
Рассмотрим теперь семейство сферических звезд, о котором говорилось выше. Для каждой модели распределение массы т можно считать функцией от у и рс, т.е. т = 加(〃，рс). Продифференцировав уравнение (142) по параметру рс, получим
(150)(150)дг / Э7 дт + Э2/ Э/лЛ 旳 am */ 8卅 _ 0 dv \дтдт, дрс дт，2 дрс/ дт2 дрс 8加8加'дрс *
(150)
(150)
так как рс — это начальное условие и поэтому не может явно входить в уравнение гидростатического равновесия. Уравнение (150) можно переписать и в следующем виде:
乱黑^ (割+修(為)一関*(⑸)
u = 0u = 0=0, =о=0, =оКроме того, поскольку 加(〃，рс) * 吋 вблизи центра (u * 0), находим
u = 0
u = 0
=0, =о
=0, =о
(152)
Сравнивая формулы (143) и (144) с (151) и (152), мы видим, что функции Z и дт/дрс удовлетворяют одним и тем же дифферендиальным уравнениям и одинаковым начальным условиям. Отсюда следует, что
в частности, при ив частности, при идт/дрс = Z(u, %)， % имеемdM/d% = Z(匕％)•дт/дрс = Z(u, %)， % имеемdM/d% = Z(匕％)•(153)(153)(154)(154)
в частности, при и
в частности, при и
дт/дрс = Z(u, %)， % имеем
dM/d% = Z(匕％)•
дт/дрс = Z(u, %)， % имеем
dM/d% = Z(匕％)•
(153)
(153)
(154)
(154)
Формула (154) заключает в себе доказательство статического критерия. В самом деле, если dM/dp, = 0, то функция Z имеет нуль в точке 〃 = % и вторая вариация 5?Е для соответствующей модели не может быть строго положительной. Еще интереснее физическое содержание уравнения (153). Рассмотрим плоскость (т — %)н нанесем на нее непрерывное семейство кривых т =加® рс), где 〃 пробегает значения от 0 до У. [Ясно, что са-
мая верхняя кривая т = т(九 р^ совпадает с «ривой М = М(рс), которой мы пользовались в статическом критерии.] Если какая-нибудь кривая из этого семейства достигает экстремума (т.е. дт/дрс = 0), то функция Z имеет нуль в области 0 v и《 У и, следовательно 62Е не может быть строго положительно. Итак, можно сформулировать следующее утверждение: все модели семейства М = MS,) устойчивы относительно радиальных пульсаций в таком диапазоне изменения центральных плотностей^ 8 котором ни одна из кривых т = m(v, рс) не достигает экстремума. Теперь можно заключить, что статический критерий Зельдовича позволяет отыскать (дискретные) значения рс, при которых изменяется устойчивость, тогда как уравнение (153) дает возможность определить (непрерывный) диапазон изменения центральных плотностей, в котором модели звезд из семейства М = М(рс) неустойчивы по отношению к радиальным изоэнтропическим возмущениям. Совершенно такое же рассмотрение можно провести и в рамках общей теории относительности.
• С учетом этих рассуждений статический метод уже нетрудно обобщить на случай баротроп и псевдобаротроп в состоянии стационарного вращения. Рассмотрим опять семейство вращающихся моделей с одним и тем же уравнением состояния с фиксированными распределениями на единицу массы энтропии S(m~/M) и момента количества движения j(m~/M), где 掰g/M — доля массы, заключенная в цилиндре радиуса ш . Поскольку обе эти функции (а также J и М) сохраняются при изоэнтропических осесимметричных пульсациях, то, определяя точки экстремума кривой М = М(рс) на плоскости (М - рс), мы можем выяснить вопрос об устойчивости относительно этих движений. Эту задачу впервые рассмотрели Хартль и Торн в рамках общей теории относительности. Впоследствии Биснова- тый-Коган и Блинников выполнили более строгий анализ, включив в него также численные примеры для вращающихся политроп й белых карликов, Как указали эти авторы, обобщенный статический критерий при всей своей простоте не лишен недостатков. Во-первых, поскольку этот метод дает лишь точки изменения устойчивости при переходе через нейтральную моду, область его применения неизбежно ограничивается такими модами, для которых。2 — всегда действительное число, т.е. осесимметричными пульсациями [см. формулу (80)]. Во-вторых, как известно из других методов, вращение связывает различные р-, /- и g-моды, рассмотренные в разд. 6.4, поэтому вопрос о правильном отождествлении нейтральной моды может в конечном счете оказаться довольно запутанным. Тем не менее статический критерий способен принести пользу при изучении влияния вращения на возникновение осесимметричных конвективных движений. Для решения этой задачи необходимы дальнейшие исследования (см. разд. 14.5).
Квазвдинамический метод. Цель этого подхода — решение уравнений, описывающих состояние стационарного вращения. Как обычно, имеем О = —т grad р - grad V + (/2/w3)l ~,(155)
где
Р(х) = -G ^P(xz)lx - xz Г^хЧ(156)
и мы предполагаем, что уравнение состояния имеет вид р = pS, S). В рассматриваемом методе уравнение (155) заменяется квазидинамическим уравнением
Зх/Зт = -р-1 gradp - grad V + (/2/w3)l~,(157)
где мы полагаем х = (&, z), а через т обозначен некоторый непр^ывный параметр. Как мы увидим, уравнение (157) можно решить при помощи некоторого итерационного процесса, который сходится к решению уравнения (155) в том и только в том случае, когда соответствующая модель динамически устойчива по отношению к осесимметричным пульсациям. Этот метод принадлежит Ковецу, Лебовицу, Шавиву и Зисману, он обобщает известную схему Ракави — Шавива — Зинамона для сферических звезд.
Рассмотрим пробное, или «начальное», распределение массы и зададим в каждой точке X = (ш0, z°) энтропию на единицу массы S(X) и момент количества движения jQ() на единицу массы. Тем самым введены все физические переменные, встречающиеся в уравнении (155), но само оно при этом не обязательно выполняется. Рассмотрим далее семейство преобразований
х = Х(х, 7),(158)
такое, что х = X, например, при т = 0, а функции S、р м j подчиняются следующим требованиям:
(dS/dr) = 0, dj/дт = 0, др/дт = -р div и,(159)
где квазискорость и обозначает величину дх/дт. Разумеется, на этом этапе преобразование (158) произвольно. Потребуем теперь, чтобы оно служило решением задачи Коши для квазяцинамического уравнения (157). Мы предполагаем, что стационарная форма этого уравнения, а именно уравнение (155), имеет решение при заданных распределениях энтропии и момента количества движения. Иначе говоря, мы предполагаем, что существует преобразование х = х(Х), которое служит решением уравнения (155). Теперь мы покажем, что это стационарное решение уравнения (155) является асимптотически устойчивым, т.е.
X = Х(Х, г) -* X = Х(Х) При 7—8(160)
тогда и только тогда, когда стационарное решение динамически устойчиво в обычном смысле.
Обозначая внутреннюю энергию на единицу массы через U、можно
написать
Е(т)= ][%(//&)2 + и + % V]dm(161)
для полной энергии конфигурации (не обязательно в состоянии стационарного вращения). Дифференцируя по т, пользуясь условием (159), определением квазискорости и и тем, что давление на поверхности обращается в нуль, находим
Е^т) = j и • grad V + p-1gradp - (j2/^^dm(162)
[ср. с формулой (136)]. Далее, если справедливо уравнение (157), то из уравнения (162) следует
Е《)=-j lul2dm《0,(163)
причем равенство достигается лишь при и = 0, когда справедливо стационарное уравнение (155).
Пусть теперь £\ — полная энергия искомой стационарной конфигурации. Если по сравнению со всеми близкими виртуальными конфигурациями Е1 минимальна, то это стационарное решение асимптотически устойчиво вследствие неравенства (163). Показать это можно следующим образом. Пусть преобразование (158) не определяется квазидинамическим уравнением, а является произвольным с тем единственным требованием, что при некотором значении параметра, скажем т = оно дает стационарное решение. Тогда функция Щт^ произвольна; однако уравнение (162) остается справедливым, поскольку оно зависит только от дополнительных условий (159), которые по-прежнему выполняются. Легко видеть, что
#6)= 0,(164)
где штрих означает производную по т. Мы получаем также
Е^^ = j u(7i)• 今(grad Р + p-1gradp) + 3(/2/齿4)%]—加(165)
Icp. с формулой (137)]. Производная по т в формулах (159) и (165) вычисляется при фиксированном X и поэтому является лагранжевой. Таким образом, имеем
M(gradP + }grad, = -Ки(т),(166)
Hie оператор К определен формулой (67); аналогично, пользуясь определе- няк<и (75) и (76), находим
七"(勺)=-j и(勺)• Lu(Q)dx(167)
г
[ср. с формулой (138)]. По критерию Фьертофта — Лебовица (139) из формулы (167) следует, что Е"(7]) положительно определено, если конфигурация динамически устойчива, а отрицательные значения может принимать, только если конфигурация динамически неустойчива. Тем самым применимость квазидинамического метода для моделей вращающихся звезд доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
——6.3. Изучение малых колебаний и их устойчивости специально для целей звездной гидродинамики берет начало в работах Риттера (1878 — 1883 гг.) и Эддингтона (1919). Подробный обзор этих и других исследований содержится в
Ledoux Р. Stellar Stability, in Handbuch der Physik, Fliigge S., ed” 51; West Berlin: Springer-Verlag, 1958, pp. 605 — 688.
Самым последним дополнением к этой глубокой работе служит
Ledoux 尸.Non-Radial Oscillations, in Stellar Instability and Evolution, eds. Ledoux P., Noels A., Rodgers A. W., Dordrecht: D. Reidel Rubl. Co., 1974, pp. 135 — 173. Различные технические вопросы подробно разобраны в [1, 27, 28] к гл. 3. В первой из этих трех работ можно найти уравнения для возмущений в лагранжевой форме, но без учета самогравитации. См. также [40, 46].
Всеобъемлющий обзор вопроса содержится в [2]. Однородная сжимаемая модель рассматривается в
Sterne Г Е. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 97, 582 — 593, 1937.
Pekeris C. L. Astrophys. J., 88, 189 — 199, 1938.
Дальнейшие исследования, включающие 户моды, содержатся в работах
Robe Н. Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Sciences (5), 51, 598 — 603, 1965.
Smeyers 尸.Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Sciences (5), 52, 1126 — 1142, 1966.
Иллюстративные модели подробно рассматриваются в работах
Ledoux Р., Smeyers 尸.Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 262R, 841 — 844, 1966.
Smeyers P. Ann. Astrophys., 29, 539 — 548, 1966.
Smeyers R Bull. Soc. Roy. Sci. Li^ge, 36, 357 — 392, 1967.
Robe Я. Ann. Astrophys., 31, 475 — 482, 1968.
Scuflaire R. Astron. Astrophys., 36, 107 — 111, 1974.
Ссылаясь на Каулинга, Лебовица и Эйзенфельда, мы имеем в виду их работы
Cowling Т. G. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 101, 367 — 375, 1941.
Lebovitz N. R. Astrophys, J., 142, 229 — 242; 1257 — 1260, 1965; 146, 946 — 949, 1966.
Eisenfeld J. J. Math. Analysis and Applications, 26, 357 — 375, 1969.
Вопрос о существовании g+ и g'-мод впервые рассматривался в [7, 8]; см. также
Noels 4, Воигу Л., Scuflaire R, Gabriel Af. Astron. Astrophys., 31, 185 — 188, 1974.
Scuflaire Я. Astron. Astrophys,, 34, 449 — 451, 1974
Формула (46) и следствия из нее выведены в работе
Tassoul M.t Tassoul J. L. Ann. Astrophys., 31, 251 — 256, 1968.
Дальнейшие шаги сделаны в работе
Goossens 財，Smeyers 尸.Astrophys. Space Sci., 26, 137 — 151, 1974.
Теоретические вопросы, связанные с нерадиальными колебаниями газового шара, рассматриваются также в следующих статьях:
Kaniel S., Kovetz A. Phys. Fluids, 10, 1186 — 1193, 1967.
Вандакуров Ю. В. Астрон. ж., 44, 786 — 797, 1967.
Iweins A, Sm^ers R Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Science (5), 54, 164 — 176, 1968.
Smeyers P. Ann. Astrophys., 31, 159 — 165, 1968.
Andrew A. L. J. Austral. Math. Soc., 10, 367 — 384, 1969.
Zahn J, R Astron. Astrophys., 4, 452 — 461, 1970.
Andrew A. L. J. Math. Analysis and Applications, 32, 400 — 413, 1970; 33, 425 — 432, 1971.
Scuflaire R. Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Sciences (5), 57, 1126 — 1136, 197L
Grisvard R, Souffrin R, Zerner M. Astron. Astrophys., 17, 309 — 311, 1972.
Denis J., Denoyelle J.； Smeyers 尸.Astrophys. Space Sci., 37, 221 — 233, 1975.
Robe Я., Ledoux R Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Sciences (5), 61, 198 — 209, 1975.
Christensen-Dalsgaard J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 174, 87 — 89, 1976.
Sobouti К Astron. Astrophys., 55, 327 — 337, 1977.
Природа тривиального корня。？ = 0 впервые исследована в работе
Perdang J. Astrophys. Space Sci., 1, 355 — 371, 1968.
В этом разделе изложен анализ из работы
Laval G., Mercier С, Pellat R. Nuclear Fusion, 5, 156 — 158, 1965.
Ос. также
Elsenfeld J. J. Math. Analysis and Applications, 31, 167 — 181, 1970.
Kulsrud R, “., Mark J.%-K. Astrophys. J., 160, 471 — 483, 1970.
Впервые вариационные методы в звездной гидродинамике применили
Ledoux 尸.，PekerisС. L. Astrophys. J., 94, 124 — 135, 1941.
Chandrasekhar S. Astrophys. J., 139, 664 — 674, 1964.
Об учете /-мод см. также
38・ Chandrasekhar £, Lebovitz N. R, Astrophys. J., 140, 1517 — 1528, 1964. Проблолу твердотельно вращающихся звезд впервые рассмотрел Клемент 善・ Clement М. J. Astrophys. J., 140, 1045 — 1055, 1964.
^feiee исследование дифференциально вращающихся тел содержится в работе
① Lynden-Bell П, Ostriker J.尸.Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 136, 293 — 310, 1967.
В даух последних статьях рассмотрены также неосесимметричные моды. Осесимметричные пульсации изучаются далее в работе
4L Chandrasekhar £, Lebovitz N R. Astrophys. J., 152, 267 — 291, 1968.
В ^оем изложении мы следуем Лебовицу ([12] к гл. 5). Физический принцип, из ко- ^>ог。следует симметрия оператора L, рассматривается в статье
Kulsrud R. M. Astrophys. J., 152, 1121 — 1124, 1968.
Другие применения разработанного Линден-Беллом и Острайкером вариационного метода можно найти в следующих статьях:
Unno W. Publ. Astron. Soc. Japan, 20, 356 — 375, 1968.
Schutz 3. E Astrophys. J. Suppl., 24, 319 — 342, 1972.
В звездной гидродинамике вириальный метод впервые использовал Леду:
Ledoux Р. Astrophys. J., 102, 143 — 153, 1945.
Вириальные уравнения второго порядка впервые были применены к самогравитиру- ющим сфероидам в работе
Lebovitz N. R. Astrophys. J., 134, 500 — 536, 1961.
Однородно вращающиеся тела рассматриваются в статьях
Chandrasekhar S., Lebovitz N R Astrophys. J., 135, 248 — 260; 659, 1962; 13 6, 1069 — 1081, 1962.
Изложение этого раздела следует работе
Tassoul J. L., Ostriker J.尸.Astrophys. J., 154, 613 — 626, 1968.
Вариационные методы для уточнения положения нейтральной моды (118) и предела динамической устойчивости (119) развиваются в работах
Chandrasekhar S., Lebovitz N. R. Astrophys. J., 185, 19 — 30, 1973.
Chandrasekhar S. Astrophys. J., 187, 169— 174, 1974.
См., однако, [36] к гл. 10.
Впервые этот и связанные с ним вопросы рассматривались в
Thomas L. Я. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 91, 619 — 628, 1931.
Tolman R. C. Astrophys. J., 90, 541 — 567, 1939.
Ссылаясь на Фьертофта, мы имели в виду работу
Fjdrtoft R. Geofysiske Publikasjoner (Oslo), 16, No 5, 1 — 28, 1946.
Зельдович Я. Б. Вопросы космогонии, 9, 157 — 170, 1963.
Согласно Торну, этот метод в 1965 г. независимо открыли Уилер и Бардин; см.
Thorne A. S. Relativistic Stellar Structure and Dynamics, in High Energy Astrophysics, eds. De Witt C., Schatzman E., VGron P., 3, New York: Gordon and Breach, 1967, pp. 259 — 441.
Изложение в тексте следует работе [54] и более подробному выводу, предложенному в 5 6. Calamai G. Astrophys. Space Sci., 8, 53 — 58, 1970.
Соответствующее обобщение на вращающиеся тела можно найти в работах
Hartle J. A, Thorne К. S. Astrophys. J., 158, 719 — 726, 1969.
8. Bisnovatyi-Kogan G、S., Blinnikov S. /. Astron. Astrophys., 31, 391 —404, 1974.
9. Hartle J. 3. Astrophys. J., 195, 203 — 212, 1975.
В [58] имеется много существенных замечаний по литературе. Наше изложение ква- зидинамического метода в значительной степени следует работам
Kovetz 4, Lebovitz N. R, Shaviv G. Mdm. Soc. Roy. Sci. Lidge (6), 8, 25 — 30, 1975.
Kovetz 4, Shaviv G., Zisman S. Astrophys. J., 206, 809 — 814, 1976.
7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Как отмечалось в гл. 4, многие фундаментальные свойства стационарно вращающейся конфигурации можно вывести непосредственно из условия механического равновесия. Эти результаты играют важную роль в различных разделах теории вращающихся звезд, однако они не дают никаких сведений о распределении момента количества движения в звезде. Кроме того, поскольку до сих пор при построении равновесных моделей мы обходились без закона сохранения энергии, пока не известно, можно ли применять эти результаты в неизменном виде к реальной излучающей звезде. Не накладывает ли, например, условие строгого лучистого равновесия каких-либо ограничений на распределение момента количества движения внутри звезды? Наконец, каким образом следует модифицировать свойства, выведенные в гл. 4, чтобы учесть вязкое трение и электромагнитные силы? Итак, можно ли построить реалистическую модель звезды в предположении» что скорость вещества является чисто вращательной! Вследствие важности этих вопросов мы целиком посвятим эту главу их изучению.
В принципе мгновенное распределение момента количества движения внутри звезды следовало бы вычислять из начальных условий. Ясно, что на современном уровне знания такая задача не поддается решению, даже если бы начальные условия и были известны. Поэтому в настоящее время широко используется другой прием: стационарное распределение момента количества движения выбирают путем исключения неустойчивых (динамически или термически) вращающихся конфигураций, а также не удовлетворяющих одновременно условиям механического и теплового равновесия. В разд. 7.2 для областей в строгом лучистом равновесии формулируется ограничение последнего типа, а в разд. 7.3 и 7.4 доказываются необходимые (но не достаточные) условия устойчивости. Затем после исключения моделей, не удовлетворяющих этим условиям равновесия и устойчивости, делается вывод, что химически однородная звезда не может находиться в строгом лучистом равновесии, если она стационарно вращается. По этой причине оказывается необходимым рассматривать лучистые зоны с крупномасштабной циркуляцией, накладывающейся на чисто вращательное движение. Откладывая изучение этих меридиональных течений до гл. 8, мы завершаем настоящую главу некоторыми соображениями о роли вязкости
и магнитных полей во вращающейся звезде с пренебрежимо малой циркуляцией. Кроме того, рассматриваются практические способы определения законов стационарного (или квазистационарного) вращения вязкой звезды. Нестационарные поля скоростей будут рассмотрены в разд. 13.3.
ПАРАДОКС ФОН ЦЕЙПЕЛЯ
В этом разделе мы прежде всего рассмотрим модели звезд (или их областей), находящихся в строгом лучистом равновесии. Таким образом, в каждой точке вектор лучистого потока 灾и скорость ядерного энерговыделения £nuc связаны соотношением
div^= penuc,(1)
причем
费=—56(acT3/xp)grad Т,(2)
где q, с н — постоянная лучистого давления, скорость света и непрозрачность соответственно. Для иллюстрации задачи предположим также, что полное давление р связано с плотностью р и температурой Т уравнением состояния
р =(区/Д)0 T + 必 qT4,(3)
где д — (постоянная) средняя атомная масса, а % — газовая постоянная.
Предположим теперь, что конфигурации находятся в состоянии стационарного вращения (ср. с разд. 4.2) и что их угловая скорость □ зависит только от расстояния ш от оси вращения. Поскольку эти псевдобаротропы обладают осевой симметрией, удобно воспользоваться цилиндрической системой координат (ш,夕，z). Тогда условие механического равновесия приобретает вид
pTgradp = -gradФ,(4)
где
Ф(5 z) = /(近 z) - f02(g，而,曲，.(5)
о
Наконец, гравитационный потенциал связан с плотностью уравнением Пуассона
▽2р = 47rGp,(6)
где G — гравитационная постоянная.
Мы ограничиваемся анализом химически однородных псевдобаротроп, поэтому изобарические, изопикнические и изотермические поверхности (т.е. поверхности р = const, р = const и Г = const соответственно) совпадают с уровненными поверхностями Ф = const (ср. с разд. 4.3) *. Значит, если
предположить, что £nuc = £nucS，7) Я X = х(р，7), ТО скорость выделения энергии и непрозрачность будут зависеть только от Ф. Отсюда следует
玄 4ас Т3 dT 货=-亍而孤©МФ,玄 4ас Т3 dT 货=-亍而孤©МФ,⑺⑺
玄 4ас Т3 dT 货=-亍而孤©МФ,
玄 4ас Т3 dT 货=-亍而孤©МФ,
⑺
⑺
или
烫=ЛФ)gгadФ,(8)
где
Но на каждой уровенной поверхности ДФ) принимает постоянное значение, зависящее от выбора этой поверхности. Следовательно, поскольку поверхность псевдобаротропы также является уровенной поверхностью, можно утверждать, что изменение яркости на поверхности псевдобаротропы е точности соответствует изменению эффективной силы тяжести.
Это закон гравитационного потемнения фон Цейпеля; мы рассмотрим его в разд. 12.3.
Вычислим теперь дивергенцию от величины (8). Сразу находим div^= Л(Ф) (с?Ф /dn)2 +/^戸绛，(10)
где d/dn — производная по направлению внешней нормали к уровенной поверхности, а штрих означает дифференцирование по Ф. Имеем также
ЗФ/М)2 = 0Ф/曲)2 + (//dz)2 = g2.(11)
Ясно, что d^/dn есть абсолютная величина эффективной силы тяжести д, т.е. ускорение свободного падения с учетом центробежного ускорения. Из формул (5) и (6) получаем
▽2ф = ^Gp - @т《М@2)/4@.(12)
Пользуясь формулами (10) — (12), можно переписать уравнение (1) в виде 广仲)g2 + ДФ) ^Gp - ^d^)/d^\ = p%uc・(13)
Это условие строгого лучистого равновесия для псевдобаротропы в состоянии стационарного вращения.
Особенно нагляден случай твердотельно вращающейся звезды, который и рассмотрел впервые фон Цейпель. Уравнение (13) сводится тогда к следующему:
/'(小彦 + /(Ф) (4ttG0 - 2a2)=叫“•(14)
Как известно, на уровенной поверхности вращающегося тела g не постоян- ио, поскольку расстояние от одной такой поверхности до другой не во всех точках одинаково. Следовательно, поскольку р, £nuc и Q постоянны на уро- 鸵иных поверхностях, коэффициент при g в уравнении (14) должен незави-
симо обращаться в нуль. Итак, имеем
/'(Ф) = 0, или. ДФ) = const.(15)
Тогда уравнение (14) приобретает вид
%uc “ 1 - (MSG*(16)
а уравнение (8) сводится к виду
I 衣lag.(17)
Очевидно, условие (16) никогда не выполняется в реальной звезде. Отсюда следует, что твердотельное вращение псевдобаротропы в статическом лучистом равновесии невозможно.
Прежде чем подробнее говорить о следствиях из уравнения (16), рассмотрим вкратце общий консервативный закон Q = Q(w). Как показали Росселанд и Фогт, в этом случае интуитивно ясно, что закон Q = Р(&) несовместим с условием (13). В самом деле, Q постоянно на цилиндрах, соосных оси вращения, тогда как g постоянно на некоторых сплюснутых поверхностях, несильно отличающихся от уровенных поверхностей. Итак, в силу уравнения (13) условия (15) и (17) по-прежнему выполнены, но мы должны наложить дополнительное условие
a-以(口2&2)/曲=const.(18)
После интегрирования находим
М = j + ©/@2),(19)
где Cj и с2 — две произвольные постоянные. Если с2 = 0, то мы просто возвращаемся к случаю тведотельно вращающейся псевдобаротропы. Если же с2 # 0, то мы все равно должны отвергнуть закон вращения (19), потому что он приводит к недопустимому ограничению на £nuc, а именно к условию (16), в котором (I? заменяется на сР Приведенные рассуждения показывают, таким образом, что дифференциально вращающиеся псевдобаротропы не могут оставаться в статическом лучистом равновесии. В этом и состоит парадокс фон Цейпеля. Строгое доказательство этого общего свойства псевдобаротроп дал Роксбург.
Итак, поскольку в реальных звездах не выполняется ни условие (16), ни условие (19), можно сформулировать следующее утверждение:
Для описания вращающихся звезд в строгом лучистом равновесии неприменимы псевдобаротропные модели в состоянии стационарного вращения.
Стоит уточнить, что осуществлению законов вращения Q = const и Q = (2(&) препятствуют не обычные скорости выделения ядерной энергии, а условие строгого лучистого равновесия. В самом деле, в предельном случае, когда вращение отсутствует, g = const на каждой сферической поверхности Ф 备 Р = const и нет нужды требовать обращения в нуль некоторых членов в уравнении (13) независимо от остальных. Поэтому уравнение (13) надо рассматривать как указание на то, что для несферических звезд следу-
ет отбросить хотя бы одно из предположений, приводящих к уравнениям (16) и (19).
Парадокс фон Цейпеля можно разрешить двумя различными способами: либо допуская, что 0 зависит и от & и от z, либо предполагая, что в искаженной вращением звезде не справедливо предположение о строгом лучистом равновесии. Согласно Фогту и Эддингтону, при втором предположении нарушается постоянство температуры и давления на уровенных поверхностях к возникающий градиент давления между экватором и полюсами вызывает течение вещества вдоль этих поверхностей. Как мы увидим в гл. 8, поток, который появляется на уровенных поверхностях из-за отсутствия теплового равновесия, уже не исчезает, а превращается в постоянную меридиональную циркуляцию. В оставшейся части этой главы м.л рассмотрим первое из возможных разрешений парадокса фон Цейпеля, те истинные бароклины, для которых 0 зависит как от ш, так и от г (см. разд. 4.3).
КРИТЕРИИ ЗОЛБЕРГА И ХЕЙЛАНДА
Рассмотрим звезду в состоянии стационарного вращения в инерциональ- ной системе отсчета (ср. с разд. 4.2) и предположим, что она вращается с некоторой заданной угловой скдростью Q = (2(@, z). При каких условиях эта звезда будет устойчива относительно малых изоэнтропических возмущений? Другими словами, какие ограничения следует наложить на закон вращения Q = 0(@, z), чтобы исключить движения, монотонно возрастающие с характерным временем порядка (?rGp) ~ 1/2, т.е. сравнимым с периодом вращения? В настоящее время нельзя дать определенного ответа на этот вопрос. Тем не менее для осесимметричных движений интересные результаты можно получить с помощью критерия Фьертофта — Лебовица, выведенного в разд. 6.6 и 6.8. Если при некотором выбранном допустимом виртуальном смещении Е
]f • Udx > 0,(20)
то равновесная конфигурация динамически неустойчива по отношению к осесимметричным движениям, т.е. полная энергия звезды не является абсолютным минимумом. Здесь линейный оператор L действует на двумерный вектор f с компонентами ^ и 纟(ср. с разд. 6.6) следующим образом:
Lf = (g/xOgradp - gradM - pgrad<5И 一 S/东)Е • grad(Q2w4)l~, (21) где 1^ ——единичный вектор, направленный по &. Эйлеровы вариации 6р и 5р задаются соотношениями
6р = — °divE — Е • gradp,(22)
6р = -Г 1PdivE — Е • gradp(23)
(ср. с разд. 6.3); аналогично, предполагая, что на равновесной поверхности J плотность обращается в нуль, имеем
&Р = -G，8(х', 0 1х - х'ГМх',(24)
где 6р выражается через f при помощи формулы (22).
Чтобы продвинуться дальше, нужно подставить выражения (21) — (24) в неравенство (20). В частности, интегрируя второй член из формулы (21), вк ючающий давление, по частям и пользуясь тем, что на поверхности， j агранжева вариация Др обращается в нуль, находим
]{ • grad dp dx = - j Spdivf dx,(25)
поскольку Ap ■ 3 на границе Y где по предположению р обращается в нуль [см. разд. 6.3, формулу (32)]. После преобразования различных членов неравенства (20) в конечном счете получаем
J { • Lfdx = - J ^dm - J К3)2/(Г0)+ Е • grad3Hd加，(26) ггг
где dm = p(x)dx, а тензор М имеет вид
М = p-1gradp|p_1gradp - (Tr厂〔gradp] + w~ 3grad wgrad (Q2w4). (27)
Определим теперь следующие векторы, которые потребуются в дальнейшем:
Ф = w~3grad(n2w4) = 2(0/G)gradj,(28)
♦о = gradG = l~,(29)
111 у ~ 1
* =gradpgradp =gradS,(30)
「屮p,「3 T
*o = -pTgradp = -g,(31)
где / = PG? 一 момент количества движения на единицу массы, а S — энтропия на единицу массы. [Второе из равенств (30) справедливо в общем случае для смеси газа и излучения и может быть выведено из соотношений разд. 3.4; в данном случае ср — удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении.] С учетом этих определений мы можем переписать тензор М в компактном виде *
М =重声 + *№•(32)
Поскольку векторы (28)——(31) и тензор (32) играют в дальнейшем важную роль, кратко перечислим их главные свойства. Прежде всего вследствие условия механического равновесия эти четыре вектора не являются независимыми. В общем случае имеем
p-1gradp + grad V = Q2wl-.(33)
[Соотношение (4) не выполняется, так как теперь R зависит также и от zj Взяв ротор от соотношения (33), находим
gradp-1 х gradp = w~3grad(Q2w4) х I-.(34)
В силу выражений (28) — (31) отсюда следует, что
ФхФо + %х%о = О(35)
и, значит, направление вращения Ф Фо всегда противоположно вращению ▽ — *0. Формула (35) является также и условием симметричности тензора М. В этом легко убедиться непосредственным вычислением в компонентах; получим
0力0+也也0 =小0中+w0*,(36)
а кривые Е ME = const представляют собой семейство концентрических конических сечений. Таким образом, в каждой точке звезды, можно найти две (ортогональные) главные оси (厶‘，/), такие, что
ЕМ± = %総，+ а袭 3(37)
где f ~/ и &%, — компоненты Е по двум главным осям. Поскольку след и определитель М инвариантны относительно вращения осей, имеем также
% + % = Sp М =⑥…° + * • "а(38)
a5az = det М = (Фо X *3 • (Ф X ▽)・(39)
Наконец, отметим, что векторы Фо и ^0 всегда направлены по внешним нормалям к поверхностям ш = const и р = const соответственно. Аналогично, векторы Ф и ♦ ортогональны к поверхностям j = const и S = const соответственно, однако a priori не известно, направлены ли они по внутренним или по внешним нормалям к этим поверхностям.
Чтобы рассмотреть следствия из критерия Фьертофта — Лебовица, предположим, что в конфигурации можно пренебречь эйлеровыми вариациями др и 6 К Для изоэнтропических движений предположение 勿■ О справедливо, если характерное время возмущений превышает время прохождения возмущенной области звуковой волной. (Это означает, что отфильтровываются р-моды, рассмотренные в разд. 6.4.) Предположение 6Р ■ 0 означает, что в своем анализе мы ограничиваемся возмущениями с большим числом узлов [ср. с фор^лой (24)], т.е. колебаниями, у которых длина волны гораздо меньше среднего радиуса звезды. В этих предположениях устойчивость равновесной модели зависит от поведения квадратичной формы WM& Согласно формулам (20) и (26), система динамически устойчи-
ва относительно осесимметричных возмущений тогда и только тогда, когда ЕМЕ положительно определена. В самом деле, если это условие не выполнено, всегда можно найти виртуальное смещение {, которое уменьшает полную энергию системы, что указывает на неустойчивость равновесия. Из формул (37)——(39) следует, что ЕМЕ положительно определена тогда и только тогда, когда а~ и а% положительны. Отсюда условиями устойчивости являются
Sp М > 0, det М > 0,(40)
или в исходных переменных
1 讲
— + — г (Г) • gradS > 0,(41)
Зз су, Г3 - 1
一gz偿令 >。■(42)
В таком общем виде эти условия устойчивости впервые получил Хейланд.
В предельном случае, когда вращения нет (/ ■ 0), условия (41) и (42) сводятся к одному неравенству
(-д) • gradS > 0,(43)
из которого следует, что в устойчивой сферической системе энтропия всегда увеличивается наружу. Оно же служит условием субадиабатического падения температуры во всей системе, что эквивалентно k условию устойчивости всех g-мод [ср. с разд. 6.4, формула (43)]. Поэтому, если условие (43) не выполняется, могут возникать конвективные течения, которые стремятся так перемешать вещество звезды, чтобы уменьшить градиент температуры. Разумеется, приведенные рассуждения основаны на условиях 6р = 0 и 6К » 0. Эти допущения несущественны для вывода критерия Шварцшильда (43), что полностью доказали Лебовиц и Эйзенфельд (ср. с разд. 6.4).
Случай гомэнтропической звезды (т.е. gradS 三 0) тоже достаточно ясен. Здесь, согласно соотношению (35), векторы Ф и Фо всюду коллинеарны и угловая скорость не зависит от z. Конфигурация вырождается в псевдобаротропу, а условие устойчивости (41) приобретает вид
d(R2@4)/曲 > о.(44)
Следовательно, в устойчивых гомэнтропических звездах момент количества движения на единицу массы должен обязательно увеличиваться наружу. Это критерий Золберга, обобщающий хорошо известный для невязкой несжимаемой жидкости критерий Рэлея на гомэнтропические тела. Как показал Рандерс, условие устойчивости (44) объясняется сохранением момента количества движения на единицу массы каждой частицы жидкости при ее малых смещениях от положения равновесия. В самом деле, если условие (44) выполнено, то момент количества движения каждого перемещающегося наружу элемента массы меньше, чем у невозмущенного вещества вблизи нового положения элемента. Этот дефицит момента количества движения
означает дефицит центробежной силы и приводит к замедлению движения наружу. Аналогично, если элемент массы сдвигается внутрь, то избыточный момент количества движения этого погрузившегося элемента жидкости выталкивает его обратно и движение вглубь прекращается.
Исходя из этих результатов, казалось бы, можно предположить, что в общем случае бароклинной звезды условия устойчивости (41) и (42) равносильны условиям (43) и (44) в совокупности. Это не совсем верно, как видно из следующего геометрического рассуждения, которое принадлежит Хейланду и Холмбоу. Поскольку мы интересуемся главным образом условиями устойчивости, ограничимся случаем, когда SpM > 0 [ср. с формулой (38)]. На рис. 7.1 и 7.2 изображены две возможные ориентации основных векторов в некоторой точке. На рис. 7.1 оба векторных произведения Фо х Фо и Ф х Ф направлены в одну сторону и, следовательно, определитель М положителен [см. равенство (39)]. Это означает устойчивость. Напротив, на рис. 7.2 векторные произведения Фо х Фо и Ф х Ф имеют противоположные знаки, поэтому их скалярное произведение отрицательно и detM < 0. Это означает неустойчивость. Сказанное выше можно сформулировать в виде следующего предложения:
Стационарно вращающаяся бароклинная звезда динамически устойчива по отношению к осесимметричным движениям тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) энтропия S на единицу массы никогда не уменьшается наружу, 2) на каждой поверхности S = const момент количества движения на единицу массы 0а)2 увеличивается от полюсов к экватору.
Это критерий Хейланда. Итак, что касается динамической устойчивости, то для устойчивых стратификаций плотности допустимы некоторые законы вращения с зависимостью как от £, так и от z・ Причем к этим неконсервативным законам не применим парадокс фон Цейпеля (см. однако разд. 7.5).
Сделаем в заключение два замечания. Во-первых, критерий Хейланда справедлив и для псевдобаротропных моделей. В этом случае устойчивые конфигурации должны удовлетворять обоим условиям (43) и (44), за исклю-
Рис. 7.1. Динамически устойчивая ситуа- Рис. 7.2. Динамически неустойчивая си- ция.туация.
чением, быть может, точек экватора (gz = 0), где следует пользоваться неравенством (41) (ср. с разд. 14.5). Однако поскольку условие gradS > 0 означает устойчивость против конвекции (т.е. субадиабатичность падения температуры), мы снова сталкиваемся с парадоксом фон Цейпеля, согласно которому лучистое равновесие в псевдобаротропах невозможно. Во- вторых, критерий Хейланда дает необходимые и достаточные условия устойчивости лишь по отношению к рассмотренным нами осесимметричным движениям. Поскольку в своем анализе мы не затрагивали неосесимметричные возмущения и пренебрегали эйлеровой вариацией 6 К, этот критерий следует считать лишь необходимым условием устойчивости. В настоящее время малые отклонения от осевой симметрии в звезде изучены еще плохо.
ОТСУТСТВИЕ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ В БАРОКЛИНАХ
До сих пор предполагалось, что необратимые процессы, которые всегда протекают в звезде, не влияют на заданный закон вращения. Насколько справедливо это приближение, например, для звезды главной последовательности, удовлетворяющей критерию Хейланда? Как мы показали в разд. 3.4, скорость изменения энтропии в общем случае равна
pTDS/Dt =九 + 0£nuc + div[(x + xJgradTJ.(45)
(Магнитные поля рассматриваются в разд. 7.5.) Функция 小〃 —это количество энергии, которое диссипирует из-за трения, она пропорциональна полному коэффициенту сдвиговой вязкости “ + 〃厂 Согласно Спитцеру и Томасу, можно написать
〃 + 〃「=% тУ2(кТ^/2/(е4\пА} + %5(1TA/(рср)、(46)
где т — масса протона, е — заряд электрона в единицах СГСЭ, а 左——постоянная Больцмана; величина Л равна
Л = 汝一3(加左3尸/现产.(47)
и пропорциональна расстоянию обрезания столкновений, которое мы принимаем равным дебаевскому радиусу. В приведенном виде формула (46) справедлива для чисто водородной плазмы, что вполне приемлемо для наших целей. Коэффициенты д и дг описывают перенос импульса соответственно за счет столкновений и излучения при наличии градиента скорости. (Перенос момента количества движения за счет полного потока излучения рассматривается в разд. 7.5.) Коэффициент лучистой теплопроводности равен
Х「= УшсТ^/^ср).(48)
Если исключить вырожденные звезды, то можно полностью пренебречь теплопроводностью (х < xj
Для Солнца весьма приближенно можно считать g * 从厂 но для более
Таблица 7.1
Коэффициенты кинематической вязкости и характерное ьремя вязкой диффузии в оболочке модели массой 10
{Clement М. J. Ар. J., 156, 1051, 1969. С разрешения The University of Chicago Press.© 1969 by the University of Chicago)
r/R 乙,см2/с r, cm2/c %, годы "R 乙,см2/с г, см2/с J, годы
0,50
1,25 •
104
2,37 •
102
4,8 •
109
0,90
1,30 •
106
9,36 •
102
4,7 •
107
0,60
2,73 •
104
2,96 ■
102
2,2 ■
109
0,94
4,45 •
106
1,36 •
103
1,4 •
107
0,70
6,89 •
104
3,87 •
102
8,8 •
108
0,98
5,24 •
О
2,92 •
103
1,2 •
106
0,80
2,20 •
105
5,47 •
102
2,8 •
108
массивных звезд все более важную роль играет 从厂 В табл. 7.1 приведены коэффициенты кинематической вязкости в звезде главной последовательности с М = 10 М^ (уг =从/p； “ = д/р) и характерное время tv диффузии импульса за счет вязкости в области с характерными размерами, равными одЦой десятой радиуса, т.е. tv = 0,01R2/(p + 〃「). Для сравнения отметим, что для Солнца tv « 1011 лет, если ^ + у「взять на радиусе, ограничивающем половину солнечной массы. Фактически лучистый перенос тепловой энергии всегда происходит намного быстрее, чем вязкий перенос импульса. Относительная роль этих двух механизмов выражается при помощи числа Прандтля
Р = %(д + 吟 ％• (49)
Непосредственно под конвективной зоной Солнца Р Ю-6. В общем случае, если нет больших градиентов скорости, лучистый перенос играет гораздо более важную роль, чем микроскопический перенос импульса*. Вне центральных областей ядерного горения уравнение (45) сводится к
pTDS/Dt = div(x,grad Т), (50)
а вязкость в том же приближении не входит в уравнения движения.
Рассмотрим теперь химически однородную бароклину, которая вращается с некоторой заданной угловой скоростью П = 0(&, z). Предположим^ кроме того, что она удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда (ср. с разд. 7.3). Как мы показали в разд. 4.3, изотермические и иэобариче* ские поверхности всегда наклонены друг к другу под конечным углом. Следовательно, поскольку температура непостоянна на изобарической поверхности, лучистая теплопроводность будет сглаживать эти различия температуры так, что будет достигаться совпадение обоих семейств поверхно-
стей. Иными словами, если какой-нибудь другой механизм быстро не предотвратит эту крупномасштабную циркуляцию, то распределение момента количества движения в истинной бароклине будет медленно перестраиваться и она будет постепенно эволюционировать к окончательному состоянию, которое характеризуется условием
ao/az = о, (51)
удовлетворяя при этом критерию динамической устойчивости Хейланда. Это основное содержание результата, впервые полученного Голдрейхом и Шубертом, а также Фрике.
Следуя работам Сунга, а также Смита и Фрике, выведем сначала условие (51) с помощью анализа локальной устойчивости. Предположим, что наша система — идеальный газ с пренебрежимо малым лучистым давлением, и не будем принимать в расчет вязкость (Р < 1). Кроме того, здесь нам удобно допустить наличие градиента химического состава. Итак, имеем р ос рТ® где д зависит теперь от положения и от времени. Далее, поскольку нас интересует главным образом диссипативный механизм (т.е. лучистая теплопроводность), можно ожидать, что длины волн самых неустойчивых возмущений окажутся гораздо меньше среднего радиуса звезды. Поэтому целесообразно работать с упрощенной системой уравнений, которые близки к точным уравнениям в малой области звезды. Ограничимся анализом малых осесимметричных возмущений и будем предполагать, что их размер (скажем, L) много меньше, чем любой характерный масштаб (скажем, Н) равновесной модели. Тогда коэфициенты в уравнениях для возмущений не будут зависеть от aS, z и /, и поэтому эйлеровы вариации можно разложить по плоским волнам вида
eXp[加+纵g出 +内幻1. (52)
В соответствии с нашими приближениями, можно теперь считать 6Г = 0. Наконец, предположим, что звуковая частота много больше частоты вращения (для интересующих нас длин волн).
Согласно выражению (52), уравнения движения сводятся к виду
#е = - (“/а% - ({ • Ф)Ф0 - (i〃)k加， (53) где f ——двумерный вектор с компонентами { ~ и & [см. разд. 6.6, уравнение (74)]. Заметим, что в уравнении (53) уже учтено сохранение момента количества движения при перемещении каждого элемента массы. (Этот закон и здесь имеет место, так как мы пренебрегли вязким трением.) Аналогично, с учетом сохранения массы [и формулы (4), разд. 6.2] в наших приближениях мы получаем еще условие к • f = 0, откуда следует, что волновой вектор к перпендикулярен смещению f. Полагая затем f = ^а (где а ——единичный вектор в направлении вектора f) и умножая обе части уравнения (53) на а, находим
虐=-(”/0)(а • *о)- £(а • Ф)(а • Ф^ (54)
[см. формулы (28), (29) и (31)]. Поскольку к • а = 0, эйлерова вариация 6р тут же исключается из уравнений движения.
Далее, аналог уравнения (50) для малых возмущений можно привести к виду
〃0®S + { • gradS) = - Xrk2 丁万 + 丁 ,
(56)(56)(57)(57)где %?=左^ + g. Для идеального газа всегда имеем S = с/п(77Д^т)+ const.
(56)
(56)
(57)
(57)
Отсюда следует
gradS = cJTigradT - (7 - 1)р-1 gradp -区-igrad矶
「3(Т/Д)др「3(Т/Д)др5р5р(58)(58)
「3(Т/Д)др
「3(Т/Д)др
5р
5р
(58)
(58)
Второе из соотношений (58) получается при линеаризации уравнения состояния, которое приобретает вид
&РР&РР5(Г/Д)八=0,77运5(Г/Д)八=0,77运(59)(59)
&Р
Р
&Р
Р
5(Г/Д)八
=0,
77运
5(Г/Д)八
=0,
77运
(59)
(59)
так как Ър/р = (JL/H)®/p) и, значит, им можно пренебречь. (Напомним, что по предположению L « Н!) Наконец, поскольку скорость диффузии химических компонентов сравнима с (пренебрежимо малой) скоростью вязкой диффузии, предположим также, что
D^i/Dt = 3耳/3£ + v • gradR = 0.(60)
Отсюда получаем
(6Д7Д) + Е • (gradR)/口 = 0.(61)
Поставляя формулы (57) — (61) в уравнение (55), можно переписать его в виде
[1 + (е/п)]др/р = е(а • W) - (е/л)$(а • grad/Г/Д),(62)
где
£ = Xrk2/pcp(63)
и % = gradS/cpt a gradS определен формулой (57).
Теперь нетрудно исключить др/р из уравнений (54) и (62); находим
л3 + еМ +〔(а • Ф)(а • 0J + (а • *)(а • */]〃 +
+ £[(а • Ф)(а • Фд) - (а • gradE/jii)(a • ▽&] = 0. (64)
Как и следовало ожидать, в предельном случае £ = 0 уравнение (64) дает правильное дисперсионное соотношение теории динамической устойчивости (ср. с разд. 7.3). Если учитывается лучистая теплопроводность (е > 0), то неустойчивость имеет место, когда у уравнения (64) есть корень с положительной действительной частью. В нашем случае такая возрастающая мода наверняка существует, если
(а • Ф)(а • Ф0 - (а • gradM/^)(a • <9 v 0. (65)
Это и есть искомое условие тепловой неустойчивости по отношению к осесимметричным движениям, если учитываются как лучистая теплопроводность, так и градиент средней атомной массы.
▽ Си▽ СиРассмотрим сначала химически однородную звезду. Тогда, согласно неравенству (65), тепловая неустойчивость имеет место, если найдется вектор а, такой, что (а • Ф)(а ■ Ф^ < 0. На рис. 7.3 изображены векторы Ф и Фо в некоторой точке для случая динамически устойчивой бароклины по Джеймсу и Кану. Легко видеть, что все векторы а, лежащие в заштрихованной области, указывают на тепловую неустойчивость тела в этой точке. Ясно,
▽ Си
▽ Си
Рис. 7.3. Термически неустойчивая ситуация.
что единственный способ предотвратить нарушение теплового равновесия в звезде ——свести на нет заштрихованную область для каждой точки. Это возможно, только если каждый вектор Ф направлен по з, т.е. если в каждой точке звезды выполнено условие (51). Поскольку по предположению соблюдается критерий устойчивости Хейланда, необходимым (но не достаточным) условием тепловой устойчивости является
dQ/dz = 0. (66)
Приведенные результаты можно резюмировать следующим образом:
Если химически однородная невязкая звезда находится в статическом равновесии “ удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда» то тепловая неустойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям имеет место всякий раз, когда Q зависит от координаты z вдоль оси вращения.
Это критерий Голдрейха ——Шуберта ——Фрике. Он показывает, что истинная бароклинная звезда необходимо должна так эволюционировать со временем, чтобы восстанавливалось требуемое для тепловой устойчивости условие (66).
А может ли поддерживаться в статическом равновесии со стационарным законом вращения R = R& z) химически неоднородная звезда? Условие (65) показывает, что устойчивый градиент химического состава (т.е. grad/Г V 0) часто оказывает стабилизирующее влияние на все смещения, которые не являются касательными к поверхностям /Г = const. Другими словами, при помощи подходящей стратификации средней атомной массы вполне можно избежать сглаживания неоднородностей плотности вдоль изобарических поверхностей за счет лучистой теплопроводности [см. уравнение (59)]. Для дальнейшего рассмотрения этого эффекта необходимо использовать конкретную модель. Аналогично, рост тепловой неустойчивости могло бы подавить и вязкое трение, которое препятствует движению. Однако в реальной звезде число Прандтля обычно очень мало, поэтому такой стабилизирующий эффект, как правило, пренебрежим.
Наконец, если лучистая теплопроводность допускает общую циркуляцию, стремящуюся восстановить условие дй/dz = 0, необходимое для тепловой устойчивости, то каково характерное время эволюции й? (Ясно, что это время значительно больше характерного времени динамической неустойчивости, которая разрушает спадающее наружу распределение момента количества движения за несколько оборотов звезды.) Согласно Фрике, Колгейту и Киппенхану, соответствующее характерное время по порядку величины равно времени Кельвина ——Гельмгольца. Впоследствии Джеймс и Кан критиковали эту оценку и предположили, что такое характерное время крупномасштабного перераспределения момента количества движения за счет лучистой теплопроводности, вероятно, связано с временем циркуляции меридиональных течений, т.е. временем Эддингтона ——Свита (ср. с разд. 8.2). Эта проблема требует дальнейшего изучения. Во всяком случае, теперь ясно, что построить химически однородную модель звезды в строгом лучистом равновесии со стационарным законом вращения невозможно, В самом деле, если дй/dz # 0, то вследствие лучистой теплопроводности нарушается тепловое равновесие, а это в свою очередь приводит к крупномасштабной циркуляции. С другой стороны, если в каждой точке an/8z = 0, то строгое лучистое равновесие должно неизбежно нарушаться, что вызывает циркуляционные течения. Значит, в обоих случаях законы вращения в лучистых зонах стационарны только приблизительно. Разумеется, в зонах эффективной конвекции перенос энергии осуществляется не излучением и рассуждения фон Цейпеля неприменимы. В этом случае стационарные законы вращения R = R(&) в принципе допустимы (см. однако разд. 8.5).
，5・ НЕКОТОРЫЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Несмотря на то что к истинным бароклинам парадокс фон Цейпеля неприменим, предположение о строгом лучистом равновесии все же приводит к ограничениям на функцию 0(4, z), и при произвольном законе вращения, вообще говоря, устанавливаются циркуляционные течения. Много раз делались попытки найти такое распределение угловой скорости в медленно вращающихся звездах, при котором по предположению меридиональной циркуляции нет. Некоторые авторы (в особенности Шварцшильд и Роксбург) пытались определить функцию 0(@,z) в невязкой бароклинной звезде из условия совместности уравнений (1) и (33). Такой способ равносилен предположению, что угловая скорость по какой-то причине будет распреде* пяться так, чтобы помешать возникновению меридиональных течений, и обосновать его физически, по*видимому, очень трудно. Кроме того, все эти модели, как мы видели, подвержены тепловой неустойчивости. В этом разделе мы вкратце рассмотрим роль вязкости в определении закона вращения, а в заключение приведем некоторые соображения о роли магнитных полей в равновесных моделях.
Вязкое трение
Рассмотрим медленно эволюционирующую вязкую звезду, которая в момент времени t вращается с угловой скоростью □ = 0(&, & 0. По предположению вращение настолько медленное, что меридиональной циркуля, цией можно пренебречь. Учитывая взаимодействие между веществом и излучением до членов самого низкого порядка по lvl/с, можно записать три компонента уравнений Навье — Стокса в виде
а»а@ = -pdv/дш + p^t(67)
pd(Qw2)/dr + с~2 div(0&2费)=div(/xw2gradO),(68)
8p/8z = - p8V/8z,(69)
где для краткости через “ обозначен полный коэффициент сдвиговой вязко* сти [ср. с разд. 3.3, уравнение (46), и примечанием на стр. 58]. Ясно, что диссипация не влияет на w- и z-компоненты уравнений движения. Напротив, ^-компонент (68) описывает необратимое изменение момента количества движения за счет вязкого трения; учитывается также перенос момента количества движения полным лучистым потоком. Как впервые показал Джинс, второй член в левой части уравнения (68) соответствует моменту количества движения, связанному с излучением, испущенным вращающейся областью. Как обычно, мы должны добавить к уравнениям (67) — (69) уравнения (3), (6) и (45). Отметим, что закон сохранения массы всегда выполняется, так как мы предположили, что движения осесимметричны, а меридиональных течений нет. Наконец, следует дополнить эти уравнения соответствующими граничными условиями на меняющейся поверхности звезды.
В разд. 13.3 приведены нестационарные решения для холодных белых карликов. Здесь мы ограничимся анализом стационарных или квазистацио- нарных движений. Тогда с точностью lvl/с уравнение (68) сводится к следующему:
divGiw2gradfi) = 0.(70)
Поскольку на поверхности ^звезды вектор напряжений должен обращаться в нуль, имеем также
п • gradQ = 0 на X(71)
где п — внешняя нормаль к поверхности [ср. с разд. 3.3, уравнение (48)]. Чтобы понять физический смысл уравнений (70) и (71), вычислим прежде всего полную мощность, преобразуемую в тепло вязким трением. В наших предположениях полная диссипативная функция равна
d(q)= j Ф^ах = ] 〃g2[®o/a&)2 + ®p/az)2]dx (72)
[ср. с разд. 3.4, формула (62), и приложением Б]. Рассмотрим теперь произвольный закон вращения 9(G, z) + 3R(G z, /), на который наложено лишь то ограничение, что сохраняются поверхность 'и объем % конфигурации. Полная диссипативная функция при возмущенном движении равна
В(й + 5R) = D(R) + В(6Й) +2} 蟾萨 + — —Л dx. (73)
После интегрирования по частям можно переписать последний член выражения (73) в виде
2,恥#grad (2) • dS - 2〔 aQdiv(M^2gradO)dx.(74)
Следовательно, поскольку функция R(&, z) удовлетворяет уравнениям (70) и (71), оба интеграла в выражении (74) обращаются в нуль, и соотношение (73) сводится к виду
P(Q + ай) = В(О) + Р(5П).(75)
Величина Z>(60) существенно положительна, и поэтому В(й + 3R) всегда больше, чем полная диссипативная функция 0(0) в стационарном состоянии. Значит, каждое решение уравнений (70) и (71) характеризуется тем свойством, что полная мощность, рассеиваемая трением, есть абсолютный минимум по сравнению е мощностью при любом другом движении, которое согласуется с границей 丿〃 объемом X Этот результат получен по существу Гельмгольцем, а Дедебант и Верле впервые применили его к проблеме вращения Солнца.
Другой интересный подход к проблеме медленно эволюционирующей
вязкой звезды предложил Балаш. В принципе, чтобы найти распределение угловой скорости。(& z, 0 во вращающейся звезде, нужно решать уравнения движения как задачу с начальными условиями. С течением времени кинетическая энергия вращения будет в основном превращаться в тепло за счет внутреннего трения, а момент количества движения будет теряться вследствие излучения и потери массы звездой. Поскольку относительные скорости потери кинетической энергии и момента количества движения обычно очень малы, может установиться квазистационарный режим. Поэтому предлагается решать более простую задачу, а именно искать такой стационарный закон вращения (2(& z), при котором полная диссипативная функция D(Q) минимальна и который подчиняется граничному условию (71) и дополнительному условию: величины
К =力]0p2&2dx, J = ] pQo?2dx (76) % %
остаются постоянными и принимают те же значения, что и в истинном квазистационарном режиме. (Разумеется, этот способ применим, только если время релаксапии для установления квазистационарного состояния много меньше, чем времена релаксации самих К и J.) Таким образом, введя множители Лагранжа -а2 и 0 (а2 > 0, 0 玄 0), которые в сущности являются обратными величинами времен релаксации искусственно зафиксированных величин, мы должны найти минимум функционала
D(Q) - a2K(口)+ 0J(Q) (77)
с учетом граничного условия (71) и ограничений (76). Легко доказать, что угловая скорость 0(6, z), при которой функционал (77) достигает минимума, удовлетворяет уравнению
р-2div(i/pi2gradQ)十一仪勾=0, (78)
где V = д/р ——коэффициент кинематической вязкости. Балаш не решал уравнение (78) для какой-нибудь конкретной модели звезды, но он сделал несколько интересных выводов, которые стоит здесь перечислить. Во- первых, при наличии внутренних и внешних диссипативных механизмов (например, вязкого трения, внешнего поля излучения, потери массы и т.д.) какое бы распределение угловой скорости мы ни нашли, оно не будет соответствовать состоянию твердотельного вращения, поскольку равенство 0 = const несовместимо с дополнительными условиями. Другими словами, если с течением времени происходит потеря как кинетической энергии, так и момента количества движения (а? > 0, 0 # 0), то должно устанавливаться квазистационарное состояние дифференциального вращения. Во-вторых, если а' > 0 и 6 # 0, то решение вариационной задачи не единственно, и уравнение (78) обязательно дает бесконечный набор мод. Следовательно, распределение момента количества движения, которое устанавливается в квазистационарном состоянии дифференциального вращения, будет зависеть от начальных условий при образовании звезды. Таким образом, мы
приходим к интересному результату: при некоторых условиях состояние с наименьшей диссипацией не единственно, а внутренние и внешние диссипативные механизмы не способны полностью уничтожить влияние начального состояния. Дальнейшие исследования в этом направлении были бы очень полезны.
Некоторые практические способы нахождения (2(& z)
Еще в 1932 г. Гийо и Верле решили уравнение (70) в предположении, что “ постоянно во всей системе. Отыскивая решения с помощью разделения переменных вида (2(&, z) = /(&)g(z), они получили
0(4 z) = O0coswz e (%6出)方/(〃 + 1)(〃!)2, (79) л = 0
где 0。и 加一две постоянные интегрирования. В случае квазисферической системы (такой, как Солнце), удобно использовать сферические координаты 亿 ф = 90° - 6, е); тогда, подставляя выражения 齿=гсозф и z = =rsin</> в решение (79), находим
R(R,。)= Oocos(wRsin0) £ (% znRcos。产/(〃 + 1)(〃!产 (80) л = 0
на средней границе со средним радиусом г = R. Замечательное свойство соотношения (80) состоит в том, что оно с хорошей точностью воспроизводит закон вращения Солнца (ср. с разд. 2.2), если подогнать значения 口。 и /nR на двух различных гелиоцентрических широтах. К сожалению, за исключением случая т = 0, этот закон вращения не удовлетворяет условию (71). Согласно Дедебанту и Верле, выражение (79) следует рассматривать не как строго стационарный, а скорее как квазистационарный закон вращения, соответствующий состоянию с наименьшей диссипацией. Так или иначе, внутреннее вращение Солнца вряд ли правильно описывается этим решением, поскольку в постановке задачи не учитывалось изменение вязкости с глубиной.
Другой подход, при котором тоже частично учитываются вязкие силы, предложил Шварцшильд в 1942 г. Метод сводится к отысканию функции 口(& z), которая является решением обычных уравнений для невязкой звезды, но от которой мы требуем, чтобы она удовлетворяла граничному условию с учетом вязкости (71). Выражение, полученное таким способом, не удовлетворяет уравнению (70), но при этом по крайней мере гарантируется правильное описание поведения угловой скорости вблизи поверхности. Клемент провел подробные вычисления для медленно вращающихся бароклинных моделей массивных звезд главной последовательности. Характерное время (лучистой) вязкой диффузии в оболочке этих звезд короче, чем время их жизни на главной последовательности, поэтому вряд ли этот метод применим (см. табл. 7.1). Считая вращение малым возмущением сферичес-
кой модели, имеем
©()/»)「= r = 0・(81)
На рис. 7.4 и 7.5 соответственно изображены кривые постоянной угловой скорости и постоянного момента количества движения на единицу массы для моделей с однородно вращающимся конвективным ядром, окруженным лучистой оболочкой. (Непрозрачность вызывается рассеянием на электронах, а лучистым давлением полностью пренебрегают.) Отметим, что поверхности Qi2 = const только приближенно являются цилиндрическими. Отсюда можно сделать лишь тот вывод, что вопрос о тепловой неустойчивости модели остается до некоторой степени открытым (ср. с разд. 7.4). Кроме того, поскольку равновесие сил в азимутальном направлении достигается только вблизи поверхности, модель не может находиться в строгом механическом равновесии. Приходится считать, что и это решение описывает в лучшем случае квазистационарное состояние дифференциального вращения.
Рассуждая примерно таким же образом, Джинс предложил в 1926 г. другое возможное граничное условие, полностью противоположное условию (81). Для стационарных систем, свободных от меридиональной циркуляции, уравнение (68) приобретает вид
「2烫・ gradg@2) = div(pi(b2gradQ)(82)
там, где £nuc = °・ Как отмечалось выше, из левой части этого уравнения следует, что поток излучения всегда сопровождается потоком момента количества движения, так что величина 口^? стремится стать одинаковой во всей звезде. Этот механизм торможения излучением оказывается сильнее, чем диффузия угловой скорости за счет вязкости, если Т/1 grad Т\ мало по сравнению с Q/lgradQI. [Если пренебречь молекулярной вязкостью, то этот вывод легко получить, записав коэффициент лучистой вязкости в виде
I亥IТ
(83)
где учтены формулы (2) и (46).] Таким образом, если пренебречь членом с вязкостью в уравнении (82), то в результате действия этого механизма вблизи поверхности медленно вращающейся лучистой оболочки угловая скорость должна убывать вдоль данного радиуса как г-2, т.е.
[д^у/дг^ = R= 0.(84)
Как показали Маркс и Клемент, если учесть фактическое равновесие между торможением излучением и вязкой диффузией, то уравнение (82) требует, чтобы на поверхности медленно вращающейся звезды
口 (Q%)/»]「= r = 0.(85)
Заметим, что это условие гораздо ближе к условию торможения излучением (84), чем к условию, учитывающему только вязкость (81). Оно согласу-
Рис. 7.4. Квадрант меридиональной плоскости с кривыми постоянной угловой скорости для граничного условия с учетом вязкости (81). Правая вертикальная прямая — ось вращения, а нижняя горизонтальная — экваториальная плоскость. Около каждой кривой указано соответствующее значение О. Четверть круга в правом нижнем углу — это сечение твердотельно вращающегося конвективного ядра (О 三 1). (Clement М J. Ар. J., 156, 1051, 1969. С разрешения The University of Chicago Press. © 1969 by the University of Chicago.)
Рис, 7.5. Кривые постоянного момента количества движения на единицу массы в меридиональной плоскости для граничного условия с учетом вязкости (81). Около каждой кривой указано соответствующее значение С©?. (Ср. с рис. 7.4.) {Clement М. J. Ар. J., 156, 1051, 1969. С разрешения The University of Chicago Press. © 1969 by the University of Chicago.)
ется с предположением Джинса, что в лучистых оболочках преобладает торможение излучением. Харрис и Клемент построили много бароклинных моделей, удовлетворяющих граничному условию (85) для массивных звезд главной последовательности в предположении, что скорость вещества является чисто вращательной. Соотве гствующие законы вращения очень похожи на изображенный на рис. 7.4 и 7.5. Однако Смит резко критиковал эти результаты, показав с помощью оценок по порядку величины, что для большинства наблюдаемых звезд ранних спектральных классов такие законы вращения недопустимы либо из-за меридиональной циркуляции, либо из-за нарушения теплового равновесия за время, очень малое по сравнению с временем жизни этих звезд на главной последовательности .
Закон изоротации
До сих пор мы совершенно пренебрегали возможностью существования в звездах общего магнитного поля. Ясно, что если присутствует крупно* масштабное магнитное поле, то неоднородное вращение должно сильно влиять на него. Какое же условие следует наложить на R(@, z), чтобы по* строить стационарную модель с осесимметричным магнитным полем? Рас* смотрим полностью ионизованную звезду, в которой каждый элемент мае* сы обращается вокруг фиксированной оси. Пусть имеется осесимметричное магнитное поле, силовые линии которого лежат в меридиональных плоско* стях (т.е. полоидальное поле). Предполагается, что достигнуто стационарное состояние. Тогда, согласно уравнениям (117) — (120) разд. 3.6, имеем
rotH = 4hJ,(86)
rotE = 0, divH = 0,(87)
J = %(Е + v X Н),(88)
где значение переменного коэффициента ае, вообще говоря, конечно. Взяв ротор от уравнения (88), находим
rotJ = cyot(v х Н) 4- (grad%/%) х J,(89)
поскольку rotE обращается в нуль. В соответствии с нашим предположением, у магнитного поля Н нет ^-компонента. Согласно уравнению (86), плотность тока J тогда чисто азимутальна, a rotJ не имеет ^-компонента. Отсюда
[rot(v х Н儿=0,(90)
или
a(%Hz)/az + д^н^/дш = о.(91)
Поскольку % =网 можно переписать это уравнение и в таком виде:
н^/д^ + н/0/az + о[@та@/у/а@ + dHz/dZ]= о, (92)
или в силу второго из уравнений (87)
Н • gradQ = 0.(93)
Этот результат означает, что Q постоянно на каждой поверхности, которую описывает силовая линия при полном обороте вокруг оси вращения. Другими словами, стационарную звезду, пронизанную полоидальным магнитным полем, можно разделить на осесимметри чные оболочки, каждая из которых вращается как единое те/io со своей угловой скоростью “ целиком содержит свои силовые линии. Это и есть закон изоротации, впервые открытый Ферраро. При ае = оо этот результат очевиден, поскольку, если бы он не был верен, то дифференциальное вращение вытягивало бы силовые линии из меридиональных плоскостей, а это приводило бы к нестационарному состоянию. Но мы видим, что теорема имеет место и для конечной электропроводности, т.е. и в том случае, когда магнитные силовые линии полоидального поля не вморожены в вещество звезды.
При каких же условиях законы вращения, удовлетворяющие требованию (93), термически устойчивы? В общем случае относительная роль лучистой теплопроводности и магнитной вязкости определяется магнитным числом Прандтля
Р 加=%0%/廿(X)
где vm = 1/(4н%) [см. разд. 3.6, формулу (125)]. Для реальной звезды это отношение обычно очень мало, так что диффузией силовых линий поперек звезды можно пренебречь. (Для лучистых внутренних областей Солнца Р^ « 10-4.) Тогда, как показал. Фрике, все законы изоротации (кроме, быть может, твердотельных) приводят к тепловой неустойчивости относительно осесимметричных возмущений. Фрике и Шуберт изучали и роль конечной электропроводности. Они обнаружили, что, поскольку магнитная вязкость мала, этот эффект оказывает лишь ничтожно малое стабилизирующее влияние на звезду. Таким образом, вопрос о том, являются ли бароклинные звезды, которые вращаются по закону изоротации (93), стационарными, остается не до конца выясненным. Магнитные поля звезд будут рассмотрены в гл. 15.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общий обзор этих и связанных с ними вопросов можно найти в
Strittmatter 尸.A. Stellar Rotation, in Ann. Rev. Astron, and Astrophys., 7, Palo Alto, California: Ann. Rev. Inc., 1969, pp. 665 — 684.
Fricke K., Kippenhahn R, Evolution of Rotating Stars, in Ann. Rev. Astron. Astrophys., 10, Palo Alto, California: Ann. Rev. Inc., 1972, pp. 45 — 72.
Roxburgh /. W. The Effect of Rotation in Stellar Structure and Evolution, M6m. Soc. Roy. Sci. Liege (6), 8, 15 — 24, 1975.
Можно отметить и следующие работы, посвященные вопросу устойчивости:
Spiegel Е 4, Zahn J. Р. Comments on Astrophys. Space Phys., 2, 178 — 183, 1970.
Zahn J. P. Rotational Instabilities in Stellar Evolution, in Stellar Instability and Evolution, eds. Ledoux P., Noels A., Rodgers A. W., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1974, pp. 185 — 195.
Ссылаясь на фон Цейпеля, мы имеем в виду его работы
von Zeipel Н. Probleme der Astronomie, Festschrift fiir H. von Seeliger, Berlin: Springer-Verlag, 1924, pp. 144 — 152.
von Zeipel H. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 84, 665 — 683, 684 — 701, 1924.
Случай дифференциально вращающихся звезд впервые рассмотрели Росселанд ([11] к гл. 4) и Фогт
Vogt Н. Astron. Nachr., 255, 109 — 112, 1935.
Впоследствии эту проблему рассмотрели Бейкер и Киппенхан ([17] к гл. 8). Строгое доказательство обобщенного парадокса фон Цейпеля можно найти в работе
Roxburgh /. W, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 132, 201 — 215, 1966.
Эта задача впервые поставлена фактически в работах Гельмгольца (1888). Классические ссылки по этому вопросу
Solberg Н. Procds-Verbaux Ass. M6t6or., U.G.G.I., бе Assemble G6n6rale (Edinburgh), Мёш. et Disc., 2, 66 — 82, 1936.
Hyland £. Archiv f. Math, og Naturv. (Oslo), 42, No. 5, 1 — 69, 1939.
Hyland E. Avhandliger Norske Videnkaps-Akademi i Oslo, I, Math.-Naturv. Klas- se, No. 11, 1 — 24, 1941.
Kleinschmidt E. Ann. Hydrogr. und marine Meteor., 69, 305 — 325, 1941. Критерий (44) окончательно установлен в [10]. В работе Золберга в связи с геофизическими приложениями рассматриваются также негомэнтропические течения. Однако условия (41) и (42) впервые вывел и рассмотрел в самой общей форме в 1941 г. Хейланд, который опирался при этом на теорему Бьеркнеса (ср. с разд. 3.5); в несколько менее общем виде эти же условия независимо получил Клейншмидт. Можно отметить и следующие работы:
Randers G. Astrophys. J., 95, 454 — 460, 1942.
Holmboe J. J. Marine Research, 7, 163 — 174, 1948.
В последней ссылке усиливаются и проясняются геометрические рассуждения Хей- ланда. В изложении вопроса в тексте мы в значительной степени следуем Фьертофту ([53] к гл. 6). Его метод независимо применялся в работе
Fricke К., Smith R. С., Astron. Astrophys., 15, 329 — 331, 1971.
В [16] имеется также полное доказательство (в пренебрежении 6 И) критерия Хейлан- да. Неосесимметричные движения вкратце рассматриваются в [4, 5]; см. также
Sung С.-Н. Astron. Astrophys., 33, 99 — 104, 1974.
Sung C.-H. Astrophys. Space Sci., 33, 127 — 140, 1975.
Нарушение теплового равновесия в истинных бароклинах было независимо открыто в работах
Goldreich Р., Schubert G. Astrophys. J., 150, 571 — 587, 1967.
Fricke К. Zeit. f. Astrophys., 68, 317 — 344, 1968.
Более тонкие рассуждения содержатся в работах
Sung С.-Н. Astrophys. Space Sci., 26, 305 — 317, 1974.
Smith R. C, Fricke K. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 172, 577 — 584, 1975.
В тексте цитируются также статьи
Colgate S. A. Astrophys. J. Letters. 153, L81 — L83, 1968.
Kippenhahn R Astron. Astrophys., 2, 309 — 315, 1969.
James R. A., Kahn E D. Astron. Astrophys., 5, 232 — 239, 1970; 12, 332 — 339, 1971.
Замечания, относящиеся к этому вопросу, имеются и в [32] к гл. 8. Неоднородные звезды впервые рассматривались в [19]. См. также
Вандакуров Ю. В. Астрофизика, 8, 433 — 439, 1972.
Одна из первых попыток найти распределение угловой скорости в невязкой звезде сделана в работе
Rosseland S. Astrophys. Norvegica, 2, 173 — 191, 1936; 2, 249 — 262, 1937.
В следующих работах построены бароклинные модели без циркуляции:
Schwarzschild М. Astrophys. J., 106, 427 — 456, 1947.
Порфирьев В. В. Астрон. ж., 39, 710 — 714, 1962.
Roxburgh /. %. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 128, 157 — 171, 237 — 244, 1964.
3L Roxburgh I. W., Strittmatter 尸.A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 133, 1 — 14, 345 — 357, 1966.
Legg M.尸.C. Austral. J. Phys., 20, 651 — 662, 1967.
Aikawa T. Sci. Reports Tdhoku Univ. (1). 53, 21 — 29, h58, 1970.
Clement M. J.加 Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 346 — 351.
5. Monaghan J. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 154, 47 — 57, 1971.
Durney B. R. Astrophys. J., 172, 479 — 484, 1972.
Результаты работы [28] оказались сомнительными из-за неточной постановки задачи, поэтому Аикава заново исследовал модель Шварцшильда. В [30 ——32, 36] приводятся слабо возмущенные модели, в которых угловая скорость постоянна на сферических слоях, т.е. О = 0(г). См. также [21, 36] к гл. 8.Вязкое трение и принцип наименьшей диссипации рассматриваются в работах
7. Giao A., Wehrle Р. Beitrage z. Physik d. freien Atmosphare, 19, 237 — 245, 1932.
8. Dedebant G., Wehrle A, La M6t6orologie, No. 85 — 86, 117 — 121, 1932.
Dedebant G., SchereschewsKy P., WehrU 尸.Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 199, 1287 — 1289, 1934.
Dedebant G., Schereschewcky P., Wehrle P. La MGtGorologie, No. 124, 336 — 341, 1935.
Всестороннее изложение проблемы можно найти в статье
Fabre Н. Ann. de PObservatoire de Toulouse, 19, 16 — 53, 1949.
Ссылаясь на Балаша, мы имеем в виду работу
Balazs N. L. Phys. Fluids, 5, 57 — 68, 1962.
В следующих работах предлагаются практические способы нахождения функции 口位 z)：
Jeans J. Н. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 86, 444 — 458, 1926.
Jeans J. H. Astronomy and Cosmogony, Cambridge: At the Univ. Press, 1928, pp.
268 — 283 (New York: Dover Publ., Inc., 1961).
Schwarzschild M. Astrophys. J.; 95, 441 ——453, 1942.
Эти идеи по-разному применяются в работах
Clement М. J. Astrophys. J., 156, 1051 — 1068, 1969.,
Marks D. %., Clement M. J. Astrophys. J. Letters, 166, L27 — L29, 1971.
Harris W. £., Clement M, J. Astrophys. J., 167, 321 — 325, 1971.
Замечания по поводу этих результатов можно найти в статье
Smith R. С. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 153, 33P — 35P, 1971.
Закон изоротации впервые рассмотрен Ферраро
Ferraro К С. Л. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 97, 458「472, 1937. См. также
Alfv^n Я. Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 29A, No. 12, 1 — 17, 1943.
Swer R A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 109, 507 — 516, 1949.
Интересной работой по этому и связанному с ним вопросам является
Cowling Г. G. Solar Electrodynamics, in The Sun, ed. Kuiper G. P., Chicago: The
Univ, of Chicago Press, 1953, pp. 532 — 591.
Термическая неустойчивость закона изоротации доказана в работе
Fricke К. Astron. Astrophys., 1, 388 — 398, 1969.
Fricke К., Schubert G. Astron. Astrophys., 8, 480 — 485, 1970.
8
МЕРИДИОНАЛЬНАЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена главным образом крупномасштабным меридиональным течениям, которые могут возникать в звезде с нарушенной сферической симметрией. Для простоты мы ограничимся лишь течениями, порождаемыми вращением, хотя аналогичные крупномасштабные движения существуют и в звездах, искаженных за счет приливов или магнитных полей. На возможность существования меридиональных течений в излучающих областях вращающихся звезд впервые независимо указали Фогт и Эддингтон, которые пытались разрешить проблему теплового равновесия, поставленную парадоксом фон Цейпеля (см. разд. 7.2). Как они показали, в результате лучистого переноса, стремящегося поддерживать тепловое равно* весне, на некоторых участках каждой уровенной поверхности происходит небольшое повышение, а на некоторых — небольшое понижение температуры. Поэтому в областях, где накапливается излишнее количество тепла, вещество будет всплывать, остывая за счет расширения; напротив, в охлажденных областях вещество будет погружаться и разогреваться за счет сжатия. В итоге начнется крупномасштабная меридиональная циркуляция.
В разд. 8.2 мы получим стационарные циркуляционные течения в лучистых зонах твердотельно вращающихся невязких звезд. Следуя обычной практике, так мы просто найдем скорость циркуляции, возникающей из*за несферичности химически однородной звезды при медленном вращении. В разд. 8.3 мы критически оценим этот метод, в котором не учитывается перенос момента количества движения самими течениями, а также та важная роль, которую играет градиент средней атомной массы, кроме того, в этом разделе подчеркивается влияние вязких и магнитных сил, а также роль нестационарных течений. Мы завершаем главу некоторыми соображениями относительно турбулентных движений и возможности существования крупномасштабных течений в конвективных зонах вращающихся звезд. Циркуляционные движения в вырожденных вращающихся звездах будут рассмотрены в разд. 13.3.
ЦИРКУЛЯЦИЯ В ЛУЧИСТЫХ ЗОНАХ
Сначала мы остановимся на лучистых зонах осесимметричной звезды, в которой можно пренебречь вязкими и магнитными силами по сравнению с
центробежной силой, возникающей за счет вращения. Для дальнейшего упрощения предположим, что газ является идеальным, и пренебрежем давлением излучения. Тогда в инерциальной системе отсчета общие уравнения задачи приобретают вид
dp/dt + div (pv) = 0,(1)
dv/dt + (v • grad)v = —-I gradp - grad И,(2)
V2K = ^GPi(3)
pcv(d T/dt + V • grad T) + 0 div V = p£nuc 一 div 灾，(4)
P = (^/Д)рГ,(5)
где вектор потока излучения всюду, кроме самых близких к поверхности областей, определяется выражением
於=-Уз(асТ3/хр) grad Т.(6)
Остальные символы имеют обычный смысл (ср. с разд. 3.3 и 3.4).
Поскольку мы ограничиваемся осесимметричными движениями, удобно использовать цилиндрические координаты (&, у, z)・ Тогда скорость v мо*・ но записать iax:
V = RsQ + u,(7)
где R(@, z, f) — угловая скорость вращения, и — скорость меридиональной циркуляции, а 1夕—единичный вектор в азимутальном направлении. Следовательно, ^-компонент уравнений движения имеет вид
а((1з2)/аг + и • grad (口才)=о(8)
и выражает закон сохранения момента количества движения на единицу массы 0^2 при движении частицы жидкости. Остальные компоненты уравнения (2) можно также переписать в виде
au/ar + и • grad u = -p-i gradp - grad V + M<5%,(9)
где l~ ——единичный вектор в направлении ш. Наконец, поскольку мы предполагаем осевую симметрию, в уравнениях (1) и (4) можно заменить v на и.
Приведенные уравнения образуют систему семи соотношений с семью неизвестными функциями 0, u, р, р, Т и И. Таким образом, в принципе, строение вращающейся звезды с меридиональной циркуляцией полностью определяется этими уравнениями вместе с обычными начальными и граничными условиями. Однако, поскольку полное решение такой задачи представляет почти непреодолимые трудности, лучшее, что сейчас можно сделать, — это ввести новые упрощающие предположения. Особое внимание до сих пор уделялось стационарным решениям (Н/аг = 0), для которых скорость меридиональной циркуляции I u I всюду мала по сравнению со
скоростью вращения I Qw I *. При этих условиях уравнения (1) и (4) приоб
ретают вид
div Su) = 0,(10)
pcvu • grad Т 4- р div u = p£nuc - div 或・(11)
Аналоп^чно, уравнения (8) и (9) сводятся к следующим:
и • grad(Qc32) = 0,(12)
0T gradр + grad V = ”齿% •(13)
Уравнения (3), (5) и (6) остаются без изменений. Полученную систему дифференциальных уравнений обычно решают так. Сначала строят модель, удовлетворяющую уравнению (13) при некотором заданном распределении угловой скорости, а затем из уравнений (10) и (11) вычисляют скорость циркуляции. К сожалению, с точки зрения звездной гидродинамики, эти поля скоростей окажутся несогласованными, поскольку они должны подчиняться еще уравнению (12), на которое мы пока не обращали внимания. Как впервые указал Рандерс, из этого уравнения следует, что стационарное меридиональное течение в невязкой немагнитной звезде должно обязательно следовать вдоль поверхностей постоянного момента количества движения на единицу массы. Поскольку в стационарной картине циркуляции линии тока замкнуты, это требование несовместимо с динамической устойчивостью звезды [ср. с разд. 8.3, допущение (4)]. Поэтому любое «стационарное» решение, полученное на основе этого приближенного метода, неизбежно должно искажать заданное поле вращения за характерное время tc в R/% me R — средний радиус звезды, а ис — некоторая средняя скорость течения [ср. с формулой (49)]. Другими словами, меридиональная циркуляция, возникающая из-за несферичности вращающейся звезды, будет, вообще говоря, воздействовать на порождающее ее возмущение; сле- довательно, между циркуляцией и возбуждающей ее силой с необходимостью устанавливается непрерывное взаимодействие. Несмотря на то что это взаимодействие не учитывалось, для описания меридиональных движений в звезде пользовались почти исключительно стационарным методом, поэтому нужно критически относиться к основным результатам, получен-
* В литературе рассматривались также стационарные модели, угловая скорость которых подбирается так, чтобы не возникали меридиональные течения (т.е. и 至 0). В этом случае уравнения (4) и (9) сводятся к хорошо известным условиям лучистого и механического равновесия соответственно. Как впервые показал Шварцшильд, решения, которые в каждой точке удовлетворяют обоим условиям, существуют, причем Q зависит и от w и от z. (Решения, для которых 8R/8z = 0, исключаются парадоксом фон Цейпеля.) Однако, как было показано в разд. 7.4, все эти модели термически неустойчивы. Другими словами, в них всегда возникает циркуляция, которая стремится восстановить постоянство температуры на изобарических поверхностях. Поэтому и интерес к таким «свободным от циркуляции» моделям остается в основ- ном чисто академическим (ср. с разд. 7.5).
ным с его помощью. Возможные модификации теории и роль градиента 口 рассматриваются в разд. 8.3.
Прежде всего если задаваемая угловая скорость не зависит от z (т.е. для всех псевдобаретропных моделей), то из уравнений (10), (11) и (13) можно немедленно вывести одно общее свойство. Согласно разд. 4.3, уравнение (13) в этом случае приобретает вид
р-1 gradр = -grad Ф,(14)
где
Ф = К - j q2(d)ddd.(15)
о
С помощью уравнений (10) и (14) можно переписать уравнение (11) в виде div [pu(cvT + р/р 4- Ф} = p£nuc - div 衣.(16)
Рассмотрим теперь химически однородную звезду. Для такой звезды имеем
Р = Р®), Р = 0(力)，Т = Т(Ф).
Интегрируя функцию ри(с〃Т + Ф + р/р) по уровенной поверхности и пользуясь уравнением (10), в общем случае находим
§ pu(cvT + р/р + Ф) • dS = (с广 + (р/р) + Ф) § ри • dS = 0, (17)
где % ——уровенная поверхность Ф = const. [Второе из соотношений (17) попросту означает, что полный поток вещества через уровенную поверхность должен обращаться в нуль.] При помощи уравнения (17) можно теперь переписать уравнение (16) в интегральной форме, так что полная мощность Ьф, проходящая через уровенную поверхность, задается формулой
L-ф = 1 0%ucdx = § 亥• dS,(18)
где % — полный объем, заключенный внутри поверхности Ф = const. Эта формула свидетельствует о том, что хотя лучистое равновесие и не соблюдается в каждой точке, оно соблюдается в среднем, т.е. при усреднении по уровенной поверхности. Итак, в рамках наших приближений меридиональная циркуляция в псевдобаротропной звезде в среднем не приводит к переносу энергии через уровенную поверхность. Этот результат (принадлежащий Роксбургу, Гриффиту и Свиту) оправдывает использование формулы (68) в разд. 5.4.
Для вычисления скорости циркуляции в слабо искаженных звездах предлагались различные методы возмущений. Поскольку по своей сути все они очень похожи, мы проиллюстрируем задачу на простом примере. (Предлагаемая теория восходит к Свиту и легко обобщается на случай более общих
законов вращения.) Рассмотрим химически однородную звезду и потребуем, чтобы она вращалась как твердое тело. Предположим далее, что отклонение от сферичности мало. Тогда удобно воспользоваться сферическими координатами (г, 6, е). Условие механического равновесия (13) приобретает вид
др/дг = —pdV/dr 4- prO2 sin2 0,(19)
др/дО = -рд У/дО +0产” sin & cos 优(20)
В наших предположениях мы можем разложить различные величины в ряд по малому параметру
(21)(21)入=Q2/(4ttGpc),
(21)
(21)
где Рс ——плотность в центре соответствующей невозмущенной сферической модели. Пусть, например,
PS 6) = ^Gpck2lVQ(r) + 入匕(々 G) + ^У2(г, G) + ・・.],(22)
。(々 G) = PclPQ(r)+ MW，G) + 入202s，)+•••】，(23)
TV, G) = Tc[TQ(r) + 入乙亿 G) + Кт2s J) + ・.J(24)
где
七2 = % % 几/(7r“ Gpc)(25)
и К — температура в центре невозмущенной конфигурации. Текущий радиус г для удобства измеряется в единицах к. Величины с индексом «0» соответствуют сферически симметричной модели. Поскольку этот способ есть не что иное, как обобщение метода Чандрасекара — Милна (ср. с разд. 5.3), мы рассмотрим лишь уравнения, необходимые, чтобы описать способ вычисления скорости циркуляции. Кроме того, для краткости мы получим в явном виде только члены первого порядка. Как мы увидим, для дальнейших рассуждений существенны и добавки второго порядка; их можно определить точно таким же способом.
Исключая давление из уравнений (19) и (20), с точностью до первого порядка по 入 найдем
加1 % = dp^a%36 dr dr 切加1 % = dp^a%36 dr dr 切-г2 —- sin G cos 仇dr-г2 —- sin G cos 仇dr(26)(26)
加1 % = dp^a%36 dr dr 切
加1 % = dp^a%36 dr dr 切
-г2 —- sin G cos 仇dr
-г2 —- sin G cos 仇dr
(26)
(26)
Аналогично можно теперь исключить др{/д0 из уравнений (3) и (26) и получить уравнение второго порадка относительно функции д У{/дв. Если мы напишем
(27)(27)Xi", 6) = 8 %/36 = г2/(г) sin 夕 cos 仇
(27)
(27)
то легко доказать, что радиальная функция /(г) удовлетворяет неоднородному уравнению
d2f/dr2 + (6/r)df/dr - g^4dpQ/dr)(f - 1) = 0,(28)
где g。= dV0/dr — ускорение силы тяжести в (известной) невозмущенной конфигурации. Физически допустимые решения уравнения (28) должны быть конечными при г = 0 и стремиться к нулю при 厂 一 8. Теперь, когда для данной сферической модели найдена функция /(г), становятся известными и члены первого порядка др{/де и дТ{/де [см. уравнения (5), (20) и (26)].
На следующем этане выразим компоненты скорости иг и ив через эти известные функции. Пусть
叫(Г, 6) = Xulr(r, 6) + 入2〃2rg G) + ・..(29)
и аналогично для 囱(г, 6); кроме того,
亥(г, 6)=亥о(г) + 入亥W，G) + 入2 宪亿 6) + • • ••(30)
Обратимся теперь к уравнению (11), которое можно переписать в виде
рТи • grad S =叫uc - div 亥，(31)
где S = cy In (р/С) + const — удельная энтропия. Таким образом, вне центральных областей, где происходит ядерное горение, с точностью до первого порядка по 入 получаем
PoTo(dSo/dr)ulr = -div 费i，(32)
где S。——энтропия на единицу массы в сферической модели. Из уравнения (32) следует, что вращение создает в каждой точке полный поток энергии, направленный внутрь и равный -div 亥〔,и что скорость циркуляции должна автоматически устанавливаться так, чтобы это количество энергии уносилось движением жидкости. Дифференцируя уравнения (32) и (6) по 仇 можно написать
ди1г/де = QS 6),(33)
где функция Q(r,夕)теперь известна. Отсюда имеем
勺「仁6) = J Q亿 G')dG' + Qi(r),(34)
о
где функцию Qi(r) можно определить из условия, что полный поток вещества через любую сферическую поверхность г = const должен обращаться в нуль. Следовательно,
6k外
〃i「(r,e)= I Qge’we' - % ] sineJ、(八8“的力・(35)
ооо
Таким же путем можно найти член второго порядка u^r, 6). Следуя Ма- хесварану, в конце концов получаем
叫S价=(LR2/GM2)Qao尸2(6)+入2也2⑺尸2(6)+ %⑺尸式0)]+・・•}， (36)
где 尸〃(夕)一многочлены Лежандра, а а〃⑺一некоторые функции, которые зависят от выбора сферической модели. Константы L и М ——это соответственно полная светимость и полная масса, a R — радиус звезды в нулевом приближении. Из уравнения неразрывности сразу находим ^-компонент скорости циркуляции.
Для конкретности определим теперь циркуляцию, возникающую вследствие вращения в модели Каулинга с точечным источником и постоянной средней атомной массой. Модель состоит из конвективного ядра и лучистой оболочки, причем вся энергия генерируется в ядре (т.е. £nuc = 0 в лучистой зоне). Скорости циркуляции первого порядка для модели Каулинга в состоянии медленного твердотельного вращения впервые вычислил Свит. Однако, как известно из пионерской работы Эпика, для однородно вращающейся звезды вычисления в первом порядке недостаточны и нужно обязательно учитывать «поправки» второго порядка. С точностью до этого порядка радиальный компонент скорости и равен
分k 6) = (LR2/M2)K(r, 0),(37)
где величины с чертой сверху выражены в солнечных единицах. Функция У (г, 8) имеет вид
УS 8) = (м0(9尸2(8)+ 入20/00)加2("p2(6)+ 自ь)尸4(8川/(〃 -%)，(38) где 0〃(，)一 гладкие функции г. Как обычно, « — эффективный показатель политропы:
〃 =d(ln p0)/£/(ln TJ,(39)
ар— средняя плотность конфигурации. В модели Каулинга отношение а центробежной силы к силе тяготения на экваторе равно
а = Mr3/(gm)= 1,11 ТО2 入.(40)
В табл. 8.1 приведены значения функции У(г, 6) для а = 0,1. Из этих численных результатов следуют две важные особенности: 1) картину циркуляции можно изобразить в виде двух областей, движения в которых происходят в противоположных направлениях, 2) величина скорости циркуляции в основной части лучистой зоны, вообще говоря, мала, за исключением областей, близких к границе конвективного ядра 〃 = % и к поверхности лучистой оболочки So = 0). Разберем оба результата по порядку.
Картина циркуляции, включающая две различные зоны, разделенные некоторой уровенной поверхностью, не является специфическим свойством модели Каулинга и была независимо предсказана Граттоном и Эпиком. Приведем аналитическое доказательство этого свойства, принадлежащее Местелу. Рассмотрим химически однородную звезду, вращающуюся как твердое тело. При помощи уравнений (7) — (12) из разд. 7.2 уравнение (31) сводится к виду
рЛ(Ф)ц • grad Ф = P£nuc - /(Ф)(4тгСр - 2Й2) - /'®)g2,(41)
Таблица 8.1
Значения У (г, 6) в см/с для однородно вращающейся модели Каулинга с а = 0,1Лучистая зона простирается от г/к = 1,188 до г/к = 7,027 [см. формулу (25)](Maheswaran М. М. N., 140, 93, 1968)
г/к
8 =
0°
8 =
30°
6 =
60°
8 =
90°
1,20
+ 1,60
• IO"5
4-1,00
• 10-5
— 2,00
•10-6
-8,00
• 10-6
1,60
+ 2,16
• 10-6
+ 1,35
•10-6
-2,70
•10-7
-1,08
• 10-6
2,00
4-1,10
•10-6
+ 6,87
•10-7
-1,38
• 10~7
-5,50
10-7
2,40
+ 9,52
• 10-7
+ 5,95
• 10-7
-1,19
•10-7
-4,76
10-7
2,80
+ 1;10
•10-6
+ 6,89
• 10-7
-1,38
• 10~7
-5,52
• 10-7
3,20
4-1,44
• 10-6
+ 8,98
10-7
-1,80
•10-7
-7,18
•10-7
3,60
+ 2,06
•10-6
+ 1,29
• 10-6
-2,57
•10-7
-1,04
•10-6
4,00
,+2,97
• 10-6
+ 1,83
•10-6
-3,77
•10-7
-1,45
• 10-6
4,40
+ 4,46
• 10-6
+ 2,76
• 10-6
-5,65
• 10-7
-2,19
• 10-6
4,80
+ 5,88
• 10-6
+ 3,35
•10-6
-8,24
•10-7
-2,46
• 10-6
5,00
+ 8,41
•10-6
+ 5,34
• 10-6
-1,03
• 10-6
-4,32
• 10-6
5,40
+ 1,31
•10-5
+ 8,67
•10-6
-1,52
•10-6
-7,23
•10-6
5,45
4-7,07
• 10-6
+ 2,37
• 10-6
-1,44
•Го-6
-5,61
• 10-7
5,50
-2,97
• 10-6
-7,90
•10-6
-1,28
•10-6
+ 1,03
• 10-5
5,55
-5,44
•10-6
—1,06
• 10-5
4-1,28
•10-6
+ 1,32
• 10-5
5,60
-4,63
•10-6
-1,00
• 10-5
+ 1,37
•10-6
+ 1,27
•10-5
5,80
-4,39
• 10-5
-5,04
• 10-5
+ 7,65
•10-7
+ 5,53
•10-5
6,00
-2,16
•10-4
-2,24
•10-4
+ 2,78
• 10-6
+ 2,37
• ]0-4
6,20
-1,И
• 10-3
-1,12
• 10-3
+ 2,26
• 10-5
4-1,18
• 10-3
6,40
—6,88
•10-3
-7,90
• 10-э
+ 1,75
•10-4
+ 8,27
• 10-э
6,60
-1,07
•10-1
-1,07
• 10-1
4-2,40
• 10-3
+ 1,12
• 10-1
6,80
-7,06
-7,06
+ 1,59
•10-1
+ 7,39
6,90
-1,19
• 102
-1,19
• 102
+ 2
,68
+ 1,24
• ю2
где
/(Ф) = cv[dT/d^ - (7 - l)(T/p)dp/dФ]i(42)
/(Ф) =- ^ac(T3/xp)dT/dФ(43)
и g = dФ/dn — эффективная сила тяжести. (Напомним, что g на уровенной поверхности непостоянно!) Деля уравнение (41) на g и интегрируя по
уровенной поверхности, находим
Hnuc - f^)^Gp - 2Q2)】《gT> - 广仲)《g> = 0,(44)
поскольку в стационарном состоянии поток вещества через замкнутую поверхность отсутствует. Для удобства мы ввели средние значения 《g〉=彩抬 gdS,《gT> =咚1 § g-KS,(45)
где 関一площадь уровенной поверхности %• Затем, подставляя (45) в (41), получаем
рЛ(Ф)и • grad$ =/'®(《g〉/《gT〉- g?).(46)
В конвективно устойчивой зоне для движения против тяготения нужно затрачивать энергию; поэтому компонент скорости, нормальный к уровенной поверхности, направлен вверх, если правая часть уравнения (46) положительна. Если же f (Ф) для некоторого значения Ф* обращается в нуль, то циркуляция не пересекает соответствующую уровенную поверхность. Рассмотрим теперь реалистический случай звезды, в оболочке которой £nuc = 0. Тогда, согласно уравнению (44), f (Ф) обращается в нуль на той уровенной поверхности, на которой плотность р* (力 *) удовлетворяет соотношению
П2 = 21г6р*(Ф*).(47)
Кроме того, поскольку на каждой уровенной поверхности эффективная сила тяжести достигает максимума на полюсах и монотонно убывает к экватору, выражение в круглых скобках в уравнении (46) отрицательно на обоих полюсах, положительно на экваторе и имеет по одному нулю в каждой полусфере. Итак, при р > р* меридиональная циркуляция направлена вверх на полюсах и вниз на экваторе. Во внешних областях, где р < р*, имеет место обратная ситуация, а на поверхности Ф = Ф* циркуляция горизонтальна. Однако отметим, что результат Местела строго справедлив лишь при чисто твердотельном вращении (и при неприемлемом законе вращения М = q + c2/w2, где q и с2 постоянные). На это обратил внимание Клемент при изучении картины циркуляции в дифференциально вращающихся звездах, поверхность которых целиком содержит линии тока меридионального течения. Во всех рассмотренных Клементом случаях, за исключением моделей с самым быстрым вращением, дифференциальное вращение в отличие от твердотельного не приводит к перемене направления циркуляции.
С помощью изложенных выше результатов легко оценить по порядку величины скорость циркуляции, которая возникает в основном объеме лучистой зоны твердотельно вращающейся звезды. Из формул (37) — (40) имеем
ис R (LR2/GM2)a・(48)
Отсюда время перемещения элемента массы от ядра до поверхности звез-
ды в общем случае приближенно равно
tc = R/人=(GM2/ LR)a-i.(49)
Итак, характерное время меридиональной циркуляции (которое обычно называют временем Эддингтона — Свита) равно времени Кельвина — Гельмгольца, деленному на отношение а возмущающей силы к силе тяжести. Однако пользоваться формулой (49) нужно с большой осторожностью, поскольку она дает глобальное характерное время, и, значит, в ней не учитываются самые близкие к поверхности слои, где дробь р/р0 в члене второго порядка в выражении для и [см. формулу (38)] становится очень большой. В этих областях твердотельно вращающейся звезды соответствующее локальное характерное время
становится сколь угодно малым, если берется простое граничное условие нулевой плотности. Как показали Бейкер и Киппенхан, зависимость скорости и от (р /р0) имеет место и у дифференциально вращающихся звезд, причем нежелательная особенность в этом случае появляется уже в членах первого порядка. Так или иначе, дело не в том, возникает ли эта зависимость от (р/р0) в членах первого или второго порядка, а в том, что во всех случаях нарушается одно из наших основных предположений ——требование, что во всех точках конфигурации I u I « I Ош I. Отметим, наконец, что вблизи границы конвективного ядра мы сталкиваемся с аналогичной трудностью, и там, чтобы получить приемлемое локальное характерное время, приходится включать в формулу (49) подходящее среднее значение (〃 - %) ・
КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПРИБЛИЖЕНИЙ
На первый взгляд может показаться, что указанные выше сингулярности обусловлены тем, что по какой-то причине разложения (22)——(24) и (29) и (30) неприменимы. В 1966 г. Смит убедительно доказал, что дело совсем не в этом, воспользовавшись для потенциала приближением Роша при изучении циркуляции во внешних слоях твердотельно вращающейся звезды. В самом деле, Смит не применял метода разложений, тем не менее он обнаружил, что в этой модели скорость и также имеет особенность на поверхности. Поэтому ясно, что этот недостаток вызван нарушением одного из сделанных физических допущений. Перечислим их:
вектор лучистого потока 烫 задается простым уравнением диффузии (6),
эффектами инерции и вязкости можно пренебречь,
магнитные поля не играют существенной роли,
существуют стационарные невязкие решения;
химический состав однороден.
Именно эти допущения мы Сейчас и рассмотрим.
Допущение 1. Как известно, уравнение (6) с очень хорошей точностью выражает вектор лучистого потока 方 во внутренних областях звезды. Однако в приповерхностных слоях звезды оптическая толща порядка единицы или меньше, и поток уже не определяется этим локальным выражением. Поэтому нужно решать нелокальное уравнение переноса, которым обычно пользуются при изучении звездных атмосфер. На это обстоятельство независимо указали Осаки и Смит. Подробные вычисления Смита показывают, что при правильном учете переноса изучения во внешних слоях особенность на поверхности не возникает. Тем не менее при малых оптических толщинах скорости и их градиенты все еще чрезвычайно велики; они настолько велики, что пренебрегать инерционным и вязким членами в уравнениях движения нельзя. Отметим, наконец, что подход Смита не устраняет особенность, которая имеет место у границы внутренней конвективной зоны.
Допущение 2. Другой путь обойти подводные камни классической трактовки меридиональной циркуляции в звездах ——это сохранить вязкую диссипацию. Такой подход был бы наиболее удачным при изучении течений в оболочках звезд верхней части главной последовательности, поскольку характерное время (лучистой) вязкой диффузии в этих звездах короче, чем время их жизни на главной последовательности (см. табл. 7.1). Таким образом, задавать начальное распределение угловой скорости больше не требуется, а перенос момента количества движения меридиональным течением теперь может постоянно подстраиваться так, чтобы уравновешивать эффекты трения. Поэтому с точностью до lvl/с уравнение (12) нужно в общем случае заменить на
ри • grad (口齿2)= div (〃@2 grad Q),(51)
где через 从 для краткости обозначен полный коэффициент сдвиговой вязкости (ср. с разд. 7.5). Далее, поскольку следует ожидать, что в основном объеме звезды меридиональная скорость и и ее градиенты очень малы, можно без ущерба пренебречь инерционным и вязким членами в и z- компонентах уравнений движения, а также в уравнении, выражающем сохранение тепловой энергии. Другими словами, следует искать не имеющие особенностей решения уравнений (3), (5), (6), (10), (11) и (13), где функция °(&, z) удовлетворяет теперь уравнению (51). В дополнение к обычным граничным условиям на давление и гравитационный потенциал должны обращаться в нуль касательные вязкие напряжения на внешней границе следовательно, должно выполняться условие
[ср. с разд. 7.5, уравнение (71)]. Наконец, поскольку мы рассматриваем стационарные течения, меридиональные линии тока должны быть замкнуты. Значит, на поверхности J должен лежать набор выходящих на нее линий тока, то же самое должно иметь место и на оси вращения, потому что никакое течение не может ее пересечь, не нарушив предполагаемую осевую симметрию звезды. Это утверждение принадлежит Рандерсу, который, впрочем, не рассматривал какую-то специальную модель. Подробное исследование стационарных меридиональных течений в вязкой звезде следует всячески приветствовать .
Допущение з. Еще одна трудность классического подхода к меридиональным течениям состоит в том, что циркуляция, вызванная вращением, неизбежно приводит к переносу момента количества движения, в результате чего заданное распределение угловой скорости нарушается за глобальное характерное время tc [формула (49)]. Для Солнца tc значительно больше его времени жизни на главной последовательности и меридиональные течения лишь слегка изменяют закон вращения. Однако для типичной звезды верхней части главной последовательности дело обстоит совершенно иначе и любое начальное распределение угловой скорости будет быстро разрушено циркуляцией. Чтобы хоть отчасти устранить эту несогласованность теории, обычно вводилось слабое полоидальное магнитное поле, которое поддерживает заданный закон вращения, но не дает заметного вклада в тороидальные силы. В сущности, чтобы подойти к этому вопросу со всей строгостью, нужно подробно исследовать взаимодействие между вращением, магнитным полем и меридиональной циркуляцией. Перенос момента количества движения и магнитного потока этими течениями будет, вообще говоря, искажать картину вращения и магнитное поле, а значит, и саму циркуляцию. Но здесь, следуя Чандрасекару и Местелу, мы просто предположим, что достигнуто стационарное состояние, и будем изучать такие законы вращения и магнитные поля, на которые не влияет порождаемая ими циркуляция. Такой способ подходит только для звезд, у которых характерное время циркуляции мало по сравнению с характерным временем их эволюции. Для простоты пренебрежем вязкой и омической диссипацией.
В силу наших предположений скорость V и магнитное поле Н должны удовлетворять условию
rot (V х Н) = rot [£ + 九)х (Нр + Н J = 0,(53)
где из соображений симметрии мы полагаем vp = и и v^ = 0^1^ [см. уравнение (7)]; индексы р и относятся соответственно к полоидальному и тороидальному компонентам, т.е. к меридиональному и азимутальному компонентам [ср. с разд. 3.6, уравнения (118)——(120)]. Если расписать теперь уравнение (53) по этим двум компонентам, то найдем
rot (vp х Нр) = 0,(54)
rot (九 х Нр + vp х 儿)=0.(55)
Поскольку система осесимметрична, тороидальный вектор vp х Нр не может быть градиентом однозначного потенциала, поэтому из уравнения (54) имеем
% = хоНр»(56)
где %。— скаляр. Аналогично, комбинируя уравнения (55) и (56) и исходя из того, что магнитное поле соленоидально, получаем
Нр • grad (Й - 乂山研=0,(57)
где % = I Н J таким образом, можно написать
° - "о%/。= «о»(58)
где а。постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Из уравнений (56) и (58) следует, что стационарное движение представляет собой произвольное твердотельное вращение каждой силовой линии полоидального поля, наложенное на поле скоростей х0Н, параллельное полному магнитному полю Н. Заметим, что если мы хотим, чтобы уравнению (56) удовлетворяло ненулевое vp, то магнитные силовые линии Нр (которые совпадают с циркуляционными линиями тока) должны лежать внутри звезды..
Далее, имеем
div S') = div S^oH。) = H, • grad (px。)二 0,(59)
или
p%0 = pl vpl/l Hpl = pVp/Hp = “o，(60)
причем “° постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Рассмотрим ^-компонент уравнений движения. С помощью уравнений (121)——(123) (разд. 3.6) находим
р% • grad (R&2) = w[(rot Н х Н)/4н]夕=wJp х Нр.(61)
При помощи уравнений (56) и (58) можно переписать это уравнение и в таком виде:
Нр ■ grad (@Н/4тг - px0Qw2) = 0,(62)
отсюда следует
&4 - 4тгрх0Оо)2 = /?о， (63)
где б。также постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Это уравнение просто свидетельствует о том, что перенос момента количества движения вдоль силовой линии полоидального поля за счет циркуляции уравновешивается переносом момента количества движения за счет магнитных напряжений. ,
Далее, комбинируя формулы (58), (60) и (63), находим
Q = Qo + "оВо/р&2)/(1 - 4тг^/р)э (64) аh中=00 + 4朽"0&@2)/(1 - 4?г^/p). (65)
В предельном случае отсутствия циркуляции (“о 三 0) уравнение (64) сводится к закону изоротации Ферраро (ср. с разд. 7.5). Далее, если “о 三 0, а Во * 0, то уравнение (65) приобретает вид &Н@ =备 и выражает тот факт, что полоидальный ток Jp, поддерживающий поле Н^, должен течь параллельно вектору Нр, так что магнитная крутящая сила J。х Нр обращается в нуль [см. уравнение (61)]. При конечном %)имеем
,4тг*/。= 47rр(%/%)2 = (%/以 У, (66)
где vA — локальная скорость альвеновских волн вдоль силовых линий полоидального поля *. Таким образом, несингулярные стационарные решения возможны только тогда, когда отношение (66) больше или меньше единицы на всем протяжении каждой силовой линии полоидального поля. Параметры а。и 备—свободные с тем лишь условием, что вдоль силовых линий полоидального поля они должны быть постоянными.
В принципе самосогласованные решения можно получить, вводя для неизвестной циркуляции функцию тока 屮(4, z) и задавая функции oq(W), 00(^) и ”o(W) — тем самым мы обеспечим их постоянство вдоль силовых линий Нр. Применение метода возмущений, описанное в разд. 8.2, приводит к очень сложному интегро-дифференциальному уравнению для функции W. Роксбург получил самосогласованные решения для двух экстремальных случаев. В первом решении плотность энергии вращения гораздо больше, чем у магнитного поля, тогда слабое полоидальное поле поддерживает почти твердотельное вращение; во втором решении фактором, искажающим звезду, служит тороидальный компонент магнитного поля. Для большинства звезд применима только первая из этих моделей. Как показал Ма- хесваран, допустимы и самосогласованные стационарные модели с вращением, мало отличающимся от твердотельного.
Более интересны недавние работы Мосса, в которых описаны самосогласованные картины меридиональных течений в твердотельно вращающихся магнитных звездах. Как известно, для сохранения локального энергетического равновесия во вращающейся звезде с крупномасштабным
См., например, [27, рр. 155 — 157] в библиографических замечаниях к гл. 3.
магнитным полем, вообще говоря, требуются меридиональные течения. Поскольку трудно провести самосогласованный расчет вращающихся моделей, обладающих наряду с циркуляцией магнитным полем, большинство исследований посвящалось до сих пор частному случаю, когда циркуляция, порожденная магнитным полем, в точности противоположна циркуляции, порожденной твердотельным вращением (см. разд. 15.4). Если положить a =MR3/GM и ая = 4tt//2r4/gm2, где Н — характерное значение магнитного поля на поверхности, то главные результаты этих вычислений сводятся к следующему: 1) с ростом а/ая отношение напряженностей внутреннего и внешнего магнитных полей становится очень большим, 2) при данной скорости вращения и топологии магнитного поля существует минимальное значение полного внутреннего магнитного потока, для которого можно найти решения. Однако, как указал Мосс, нет явных причин ожидать, что для вращающихся звезд с крупномасштабными магнитными полями чем-то предпочтительна конфигурация с нулевой циркуляцией, в которой два циркуляционных движения в точности равны и противоположны. Поэтому Мосс построил модели твердотельно вращающихся звезд со стационарными меридиональными течениями и крупномасштабными поло- идальными магнитными полями. Как обычно, использовался метод возмущений первого порядка, а поле скоростей и магнитное поле разлагались в ряды по многочленам Лежандра до члена с P2(cos^)или R(cos8) включительно, где 6 ——полярный угол. Чтобы силовые линии могли пересекать поверхность, предполагалось также, что электропроводность конечна. Согласно Моссу, его модели, по-видимому, можно разделить на две группы. В первой группе решения по существу являются малыми возмущениями решений, найденных при нулевой циркуляции (рис. 8.1 и 8.2). Во вторую группу попадают модели со сравнительно слабыми магнитными полями, в которых с ростом отношения центробежного возмущения к магнитному глубоко в недрах звезды циркуляция беспрепятственно возбуждается вращением, тогда как вблизи поверхности важное значение приобретают магнитные силы и скорость циркуляции быстро падает до нуля. Поскольку звезды с чисто полоидальными магнитными полями могут быть динамически неустойчивы в окрестности нейтральных линий (см. разд. 15.3), Мосс построил также модели твердотельно вращающихся звезд с полоидальным полем четной мультипольности вместе с зацепленным за него тороидальным компонентом и самосогласованной термической циркуляцией. Оказалось, что за счет включения тороидального магнитного поля диапазон, в котором могут изменяться значения магнитного потока внутри стационарных моделей, несколько расширяется, но остаются и такие значения угловой скорости и внутреннего потока, для которых нельзя найти решений. С аналогичной трудностью столкнулись также Местел и Мосс, рассматривая твердотельно вращающиеся модели с чисто полоидальными полями, которые имеют либо только дипольную, либо квадрупольную структуру. Однако во всех случаях получилось, что меридионалъные течения стремятся сконцентрировать полоидальные магнитные поля глубоко в недрах вращающейся звезды. Таким образом, расчеты Местела — Мосса дают воз-
Рис. 8.1. Циркуляция в модели Каулинга с точечным источником (а/ая = 103, ая = 10-6). а ——поле скоростей Р2, 6 ——магнитное поле %, в ——смешанное поле скоростей 尸2 н 尸夕 а — сумма магнитных полей Р2 и Р4. (Moss D. L. M.N., 168, 61, 1974.)
Рис. 8>2. Циркуляция в модели Каулинга с точечным источником (а/ая = 105, ан = 10-丐，Q ——поле скоростей 尸?，6 — магнитное поле 尸?• Некоторые силовые линии (не указанные на рисунке) пересекают поверхность. (Moss D. L. M.N., 168, 61, 1974.)
можность объяснить, почему у быстро вращающихся звезд спектрального класса А обычно не обнаруживается магнитного поля (ср. с разд. 15.3), а также, почему последние наблюдения указывают на антикорреляцию между скоростью вращения и эффективным магнитным полем у пекулярных звезд класса А (Ар) (см. разд. 15.4).
Допущение 4. Могут ли на вращающейся звезде существовать стационарные меридиональные течения, если пренебречь вязким трением и магнитными полями? Строго говоря, нет. Вот два аргумента, которые выдвинул Рандерс в 1941 г. Во-первых, согласно уравнению (12), эти течения должны следовать вдоль поверхностей Qw2 = const. Поскольку линии тока стационарной циркуляции замкнуты, это значит, что величина Q w2 обязательно достигает максимума в какой-то внутренней точке. Из этого в свою очередь следует, что в звезде существуют области, в которых Qw2 убывает наружу, а как было показано в разд. 7.3, такие области будут динамически неустойчивы! Во-вторых, меридиональные течения не могут пересекать плоскость z = 0, не нарушая допущения об экваториальной симметрии. Следовательно, на экваториальном радиусе в меридиональной плоскости величина Qw2 постоянна. Поскольку радиус начинается от оси вращения, то это постоянное значение Ow2 равно нулю. Но продолжением этой изолинии □w2 с внешней стороны служит сама поверхность, так как течения следуют вдоль границы. Поэтому приходится сделать вывод, что Ош = 0 на поверхности звезды, а это означает, что внешняя граница вообще не вращается!
Принимая во внимание эти две трудности, мы видим, что в возмущенной вращением немагнитной невязкой звезде не могут существовать стационарные меридиональные течения. Поэтому Осаки рассмотрел эвристически нестационарные течения в лучистых зонах вращающейся звезды, учитывая эффект эволюции угловой скорости со временем [ср. с уравнениями (1) — (9)]. Решающую роль в этих рассуждениях играют два уравнения: уравнение (8), которым мы заменяем теперь уравнение (51) или (61), и уравнение (4), принимающее вид
pT(dS/dt + U • gradS) = p£nuc - div 京 (67)
где S — энтропия на единицу массы [ср. с разд. 3.4, уравнение (65)]. Осаки не решал эти нестационарные уравнения для какой-либо конкретной модели, а сделал несколько умозрительных замечаний, которые мы вкратце перечислим. Во-первых, при обычном подходе, изложенном в разд. 8.2, энергия, переносимая меридиональными течениями, приравнивается избытку или дефициту лучистого потока (т.е. dS/dt < lu • gradSI). Установлено, что это приближение справедливо для медленно вращающихся звезд (а < 1) в основном объеме их лучистых зон (〃>%“> 0). Во-вторых, если стратификация плотности почти нейтральна (幫 胃 ％) *, а вращение не слишком быстрое, то уравнение энергии (67) сводится к уравнению тепло-
Относительно конвекции.— Прим, перее.
проводности (dS/dt A lu • grad SI). Другими словами, избыток или дефи* цит лучистого потока приводит в основном к локальному разогреву или охлаждению. Кроме того, в этом случае скорость циркуляции ис никогда не стремится к бесконечности (даже при л = %): ее верхний предел определяется условием ис < LR2/GM?. Согласно Осаки, за время Кельвина — Гельмгольца звезда придет затем в состояние точного теплового равновесия Sjuc — div 衣=0), причем угловая скорость перераспределится так, что в конечном состоянии меридиональной циркуляции не будет. В-третьих, аналогичное рассуждение, основанное на оценке порядков величин, показывает, что поверхностные слои (р = 0) также стремятся к состоянию теплового равновесия (div 衣=0, и = 0) за свое характерное тепловое время. В-четвертых, поскольку стационарные законы вращения вида Q = (2(6, z) в химически однородной звезде неизбежно нарушаются из- за тепловой неустойчивости (ср. с разд. 7.4), Осаки высказывает предположение, что установится новое стационарное состояние, в котором меридиональные течения и нерегулярные движения, возникающие за счет тепловой неустойчивости, уравновешивают друг друга.
Чтобы усилить количественную сторону такого подхода, нужно численно проинтегрировать нестационарные уравнения (1) — (6), отправляясь от начального состояния вращения и учитывая изменение химического состава вследствие ядерных реакций. Упомянем в этой связи работу Сакураи, в которой он рассматривает эволюцию во времени вращения внутренних областей Солнца под действием меридиональной циркуляции. В частности, Сакураи удалось показать, что особенность в циркуляционной скорости на границе между лучистой и конвективной областями можно устранить, если допустить, что угловая скорость нестационарна.
Допущение 5. Предыдущие результаты получены при явном предположений, что химический состав или средняя атомная масса д остаются неизменными. Другими словами, до сих пор мы не принимали во внимание возможность перемешивания внутренних и внешних слоев посредством меридиональных течений, порожденных вращением. С помощью оценки характерного времени по формуле (49) Свит показал, что эти течения слишком медленны, чтобы вызывать сколь-нибудь заметные эффекты в лучистых зонах звезд поздних спектральных классов (таких, как Солнце), и потому для этих звезд перемешиванием за счет вращения, несомненно, можно пренебречь. Опираясь на те же доводы, Свит пришел < к заключению, что звезды верхней части главной последовательности хорошо перемешаны, поскольку циркуляция в однородных звездах достатоадо быстрая, чтобы за время их жизни вещество могло много раз покинуть конвективное ядро и вернуться в него. Однако Местел показал, что этот вывод нуждается в серьезном пересмотре. В этом можно убедиться так. Вещество выносится из ядра, производящего энергию, в разные эпохи. Поэтому средняя атомная масса g(x, /) в момент X точке х лучистой зоны равна д в ядре в более ранний момент / — /, где Г ——время течения от ядра до точки х. Но, поскольку г зависит от положения, установится распределение
средней атомной массы, отличающееся от сферичного. Это в свою очередь породит «运токи», подобно тому, как возмущение, вызванное вращением, порождает первичную меридиональную циркуляцию. Такие 运токи будут сильно возмущать поле температур и тем самым оказывать обратное влияние на скорости течения. Таким образом, необходимо изучить /г-токи, чтобы решить, будут ли они ослаблять или усиливать меридиональную циркуляцию.
Впервые эту проблему рассмотрел Месте л, который взял для определенности лучистую оболочку модели Каулинга с точечным источником. При помощи линейного анализа течений, вызванных вращением и неоднородностью д, ему удалось показать, что скорости 运токов всегда направлены против циркуляционных скоростей вблизи поверхности конвективного ядра, поэтому меридиональная циркуляция сдерживается. Фактически, чтобы скорости течения, вызванного вращением, в твердотельно вращающейся модели могли преодолеть это сдерживающее влияние (так называемый “•барьер), требуется, чтобы на экваторе центробежная сила у поверхности уравновешивала силу тяжести. Отсюда следует, что, хотя в оболочке однородно вращающейся модели и циркулируют течения, обусловленные вращением, вблизи границы ядра они отклоняются так, что никакого перемешивания между ядром и оболочкой происходить не может. Однако, согласно Местелу, если угловая скорость существенно увеличивается с глубиной, то меридиональная циркуляция будет усиливаться и сдерживающего влияния д-токов будет уже недостаточно, чтобы воспрепятствовать перемешиванию между ядром и остальными областями звезды. Местел считает, что циркуляция преодолевает сдерживающее влияние градиента химического состава, только если на границе ядра отношение а центробежной силы к силе тяжести на экваторе больше а 。0,03. Другими словами, если на границе ядра а 之 0,03, то перемешивание вследствие вращения будет эффективно обеспечивать однородность химического состава звезды. Сопоставление этих результатов с наблюдаемыми эволюционными треками на диаграмме Герцшпрунга — Рессела наводит на мысль, что для большинства звезд верхней части главной последовательности сильное увеличение угловой скорости с глубиной исключено.
Роль /Стоков и способность небольшого градиента д подавлять течения, порожденные вращением, исследовал и Мак-Дональд. Оказалось, что в медленно вращающихся звездах, лучистые зоны которых приблизительно химически однородны, малый градиент д способен подавить циркуляцию. Согласно Мак-Дональду, меридиональные течения не могли бы подавить сильное дифференциальное вращение Солнца, если бы существовала стратификация д с неоднородностью порядка нескольких тысячных долей. Звез- ДЬ1 верхней части главной последовательности пока еще не рассматриваюсь подобным образом с количественной точки зрения.
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ЗВЕЗДАХ: КРАТКИЙ ОБЗОР
До сих пор мы неявно предполагали, что все смещения внутри звезды характеризуются плавным ламинарным движением слоев. Однако, как из-
вестно из лабораторных опытов, имеется другой тип движения, а именно движение, по своей природе нерегулярное, с поперечными вихрями, размер и скорость которых меняются в широком диапазоне. Оно называется турбулентным течением, и его можно рассматривать как нестационарное поле скоростей с флуктуациями, которое накладывается на картину ламинарного осредненного течения. В сущности, большинство встречающихся в природе течений чаще всего бывает турбулентным (например, пограничный слой земной атмосферы, глубоководные течения в океанах, атмосферы звезд, межзвездные газовые облака и т. д.). Как мы увидим, простые теоретические рассуждения показывают, что в недрах звезд турбулентные движения также должны играть важную роль. Поскольку этой проблеме уделялось до сих пор очень мало внимания, для нашей цели будет достаточно краткого обзора турбулентности.
Лабораторные опыты показывают, что в несжимаемой жидкости переход от ламинарного режима к турбулентному зависит только от числа Рейнольдса
Re = pLU/世, (68)
которое служит мерой величины сил инерции в потоке относительно вязких сил. Здесь U — характерная скорость осредненного течения жидкости, L ——характерный для данной задачи размер, а 从 ——коэффициент сдвиговой вязкости. Турбулентные течения возникают, как только число Рейнольдса Re превысит некоторое критическое значение, скажем Rec. Это критическое число не является универсальной константой, оно принимает различные значения для каждого типа течения. (Ламинарное течение в трубе обычно становится турбулентным при Re > Rec = 2000.) Этим объясняется, почему движения жидкости в системах больших размеров при малой вязкости по большей части турбулентны. Однако применять этот критерий к звездам следует с осторожностью, поскольку физические условия в недрах звезд весьма далеки от лабораторных. Так, например, если турбулентные движения возникают в лучистой зоне вращающейся звезды, то можно ожидать, что турбулентность окажется послойной, когда нерегулярные движения в основном направлены вдоль поверхностей постоянной плотности. Несмотря на то что для звезды точный критерий неизвестен, многое можно понять по изучению движений воздуха вблизи земли. В этом случае конвективно устойчивая стратификация воздуха может подавить турбулентные движения горизонтального ветра при больших числах Рейнольдса. Такой эффект устойчивого распределения энтропии проявляется в зависимости от числа Ричардсона
Ri = [(g/cp)dS /dv3 ]/(dv/dv3 )2, (69) которое можно определить как отношение плавучести к силам инерции. Здесь профиль скорости 万=万(占)поперечен к вертикальному направлению х3, а положительный градиент энтропии dS/dx3 зависит только от высоты Х3. Измерения в нижней атмосфере, проведенные в Брукхейвенской национальной лаборатории (о. Лонг-Айленд, шт. Нью-Йорк), указывают, по-
видимому, на то, что при Ri > 0,50 турбулентности нет, но при Ri < 0,15 воздух всегда турбулентен . (Согласно теории, необходимым условием неустойчивости малых возмущений в невязком течении со сдвигом является Ri < 0,25.) Однако, как показал Таунсенд, лучистый перенос может свести на нет стабилизирующее влияние стратификации. Причина этого состоит в том, что, сглаживая различия температуры, лучистая диффузия тепловой энергии подавляет флуктуации плотности, снижая тем самым стабилизирующее влияние плавучести. Цан получил грубую оценку этого эффекта во вращающихся звездах, но точный критерий пока не известен.
Турбулентные движения всегда диссипативны, другими словами, они не могут поддерживаться сами по себе, а должны черпать энергию из окружающей среды. Турбулентность возникает либо в результате роста малых возмущений в ламинарном потоке, либо как следствие конвективной неустойчивости движения. В первом случае кинетическая энергия турбулентности извлекается из кинетической энергии осредненного течения, во вт5)ом — из потенциальной энергии исходного ссютояния. Во внутренних слоях звезд встречаются оба типа турбулентности. Что касается этих слоев, самое важное свойство турбулентности — это ее способность вызывать быстрое перемешивание и увеличение скоростей переноса импульса, тепла и массы. Так, скорости турбулентного переноса и перемешивания на не- асолько порядков величины больше, чем скорости, обусловленные молеку- л^ной (и лучистой) диффузией. Однако, поскольку турбулентность является свойством течений жидкости, а не самой жидкости, механизм обмена импульсом за счет турбулентности лишь отдаленно напоминает молеку- шфный обмен импульсом. Тем не менее по аналогии с молекулярной диф* фужей, приводящей к понятию вязкости, обмен импульсом за счет турбу- ^итности в астрофизике часто представляют при помощи турбулентной вязкости. Кратко рассмотрим эту аналогию.
Поскольку полностью сформировавшаяся турбулентность состоит из случайных флуктуаций, наложенных на ламинарное течение, все физические величины удобно представить в виде суммы их средних значений и флуктуаций с нулевым средним. Следуя Рейнольдсу, выведем у^нения, которым удовлетворяют эти средние значения (такие, как ^ р, pv и т. д.) в каж- Д°й точке. Предполагая, что осредненное течение стационарно, можно написать
р(х, Г) = р(х) + р'(х, О (70) и аналогичные выражения для остальных переменных. Под р мы понимаем здесь среднее по времени
幻+ T
Р(Х)=丿网7T j р(х, t)dtf (71)
которое вследствие стационарности осредненного течения не зависит от момента %・ По определению компоненты средней скорости задаются формулой
з■& = Е， (72)
таким образом, имеем
(73)(73)pv% = 0, 〃工工 О,
(73)
(73)
так что в среднем переноса массы за счет турбулентности не происходит. Следовательно, для стационарного осредненного течения остается справедливым уравнение (1) и можно написать
8(р ^0^хк =。・(74)
Рассмотрим теперь уравнения движения вязкой жидкости [ср. с разд. 3.3, уравнения (46) и (47)]. С учетом уравнения (1) эти уравнения можно переписать в таком виде:
Ю +咏Ж一必一弧+工(75)
д/3电dxi ах, дхк
Принимая, что турбулентность не влияет на объемную силу, и осредняя все члены в этих уравнениях, сразу же получим
а@Е加 _加 а& + G
-—P - T ,I丿 dхk8々 8勺 dxk
поскольку операции осреднения и дифференцирования коммутативны. Тен- зор_т — это осредненный тензор вязких напряжений, а компоненты тензора о равны
a方=一叫以・(77)
Уравнения (76)——это (стационарные) уравнения Навье — Стокса, в которых все величины заменены их средними значениями и в которые добавле* ны напряжения Рейнольдса (77). Этот симметричный тензор описывает средний перенос флуктуирующего импульса за счет флуктуаций турбулентной скорости. Таким образом, обмен импульсом_между турбулентностью и осредненным^гечением описывается членом diva, несмотря на то что три компонента р〃工 среднего импульса флуктуаций турбулентной скорости равны нулю. Если в звезде преобладают турбулентные движения, то средними вязкими напряжениями 〃％ можно, как правило, пренебречь по сравне* нию с напряжениями Рейнольдса 7火・
При таком описании турбулентных движений главная проблема состоит в том, что в три компонента уравнения (76) входят шесть неизвестных величин — шесть независимых компонентов тензора 玳・ Следуя Буссинеску, обычно принимают, что в недрах звезды турбулентные напряжения aik имеют тот же вид, что и вязкие напряжения ^(v) в несжимаемой жидкости, причем коэффициент “ заменяется коэффициентом турбулентной вязкости
“г pvtlt (78)
где 可—среднеквадратичная скорость турбулентности, а / — так называемая длина перемешивания Прандтля. Следовательно, мы принимаем, что отдельные вихри могут, сохраняя свою индивидуальность, переместиться на расстояние /, а затем они вносят свой вклад в свойства среды в новом положении, где в конце концов и поглощаются. Эта эвристическая теория турбулентности в точности аналогична теории микроскопического переноса импульса частицами при наличии макроскопического градиента скорости. (В кинетической теории коэффициент сдвиговой вязкости по порядку величины равен д ■叫hL где vth — средняя тепловая скорость, ad — средняя длина свободного пробега частиц.) Однако, даже если мы хотим принять понятие^турбулентной вязкости, ситуация остается довольно сложной, так как / и 吃二не просто свойства жидкости, а свойства течения. Это означает, что / и ^ могут меняться от одной точки к другой, а потому коэффициент »t зависит от положения в потоке. На самом деле, хотя турбулентность состоит из флуктуирующих движений, охватывающих широкий спектр размеров, часто утверждалось, что большие вихри эффективнее переносят импульс, чем малые. Поэтому / берут обычно пропорциональным размеру больших вихрей. Как правило, считается, что в недрах звезд длина _ перемешивания имеет порядок характерной шкалы давления Нр(= p/lgradp I). Кроме того, поскольку в конвективно неустойчивой области турбулентные движения, вообще говоря, анизотропны, высказывалось предположение, что коэффициент турбулентной вязкости может быть не скаляром, а тензором [ср. с формулой (79)]. Изучением анизотропной вязкости в применении к внутренним слоям звезд много занимались Лебединский и Васютыньски. Ниже в разд. 8.5 и 9.2 мы рассмотрим различные следствия этого феноменологического подхода к турбулентности.
ЦИРКУЛЯЦИЯ В КОНВЕКТИВНЫХ ЗОНАХ
Рассмотрим теперь вкратце работу Бирманна и Киппенхана, в которой они приводят убедительные свидетельства в пользу существования крупномасштабной меридиональной циркуляции в конвективных областях вращающейся звезды. Для простоты возьмем медленно вращающуюся осесимметричную звезду с незначительным отклонением от сферической симметрии. Магнитными полями полностью пренебрежем. Кроме того, ограничимся лишь теми областями, где турбулентная конвекция настолько эффективна, что поддерживает температурный градиент на уровне, почти равном адиабатическому градиенту •. (Это верно для водородной конвек-
тивной оболочки Солнца, за исключением относительно тонкой области у внешней границы.) Однако, даже если не принимать во внимание влияние на конвекцию медленного вращения, основное направление выталкивающей силы определяется ускорением силы тяжести. Другими словами, турбулентные движения в конвективных областях звезды обычно анизотропны, причем радиальное направление является преимущественным. Таким образом, мы принимаем, что коэффициент турбулентной вязкости задается тензором 卩冰 , который в сферических координатах (г,仇 夕)имеет диагональный вид;
/10о\/10о\/1оо\
/% =看(°s0 1- sMz( 010 )+ (1 — s)〃/I 000 I,(79)
\00s/\001/\0ОО/
где 1 - s ——свободный параметр, которой является мерой отклонения от изотропии в турбулентном течении. Конечно, такая модель должна быть очень грубой, но в ней все-таки видно различие между переносом импульса в радиальном и горизонтальном направлениях. Как мы теперь докажем, из наличия этой анизотропии в распределении турбулентной скорости с необходимостью следует существование крупномасштабных течений в конвективной зоне.
Прежде всего примем, что средняя скорость v имеет компоненты
5 =耳(匕 6); ve = 5亿 6), ^亿 G) = Or sinG(80)
в инерциальной системе отсчета. Согласно уравнению (74), закон сохранения массы будет заведомо выполнен, если мы положим
% = С戶 зЕ夕)一乜屮/0仇 ％= -0r sinG)TaW/力，(81)
где мы ввели функцию тока 屮(г, 0). Пренебрегая вязкими напряжениями Г и используя уравнение (74), можно также переписать уравнения движения для осредненного стационарного течения в виде
弘 gradl，|2 _ у х rotv =-石-i grad万一grad V + p-1 diva (82)
[ср. с разд. 3.5, уравнение (83)]. Следуя Лебединскому и Васютыньски, выбираем теперь следующие компоненты напряжений Рейнольдса о:
о； = 2s^tdvr/dr + 2出(1 - s)dvr/drf(83)
。％ =喑/户=(s^/^dVr/dO + rdve/dr -场)+ (jif/r1)^ - s)3(期)/肌 (84)
/：=守/(г2 sin2^) = s^Q/dr + (g/z^Xl — 5川(0户)/», (85) 研=㈢"M®/88 +办 (86) 粛=或/siMG = sntdQ/def (87) 或=(W)@ + ctgG 初 (88)
В этих формулах члены, пропорциональные множителю sgz,— это компоненты напряжений Рейнольдса, соответствующие изотропной части вязкости, а остальные члены описывают наложенную радиальную вязкость, вследствие которой и возникает анизотропия в турбулентных скоростях (ср. с формулой (79)].
Поскольку в конвективной зоне вязкость значительно больше, чем в окружающих лучистых областях, можно теперь приближенно задать условие непрерывности вектора напряжений, накладывая на обе границы условие свободной поверхности, т.е.
刁=取=0 при г = rz и /• = %(89)
где 〃(》0) и 〃(>0)——(средние) внутренний и внешний радиусы конвективной зоны соответственно [ср. с разд. 3.3, формула (48)]. Кроме того, поскольку мы принимаем, что движение происходит только в конвективной области,
aW/HG = 0 при г = ri и г = q.(90)
Наконец, с учетом условий (89) и (90) решения должны быть регулярны вместе со своими производными всюду в этой области.
Далее, ^-компонент уравнений движения имеет вид
P(v х〕5砂夕 + (divJ)夕=0,(91)
а азимутальный компонент ротора от уравнения (82) дает
[rot(v х rotv)]^ + [rot(p -1 div?)]^ = 0.(92)
При выводе последнего уравнения мы воспользовались тем, что конвективная зона — это гомэнтропическая жидкость (ср. с разд. 3.5); в самом деле, при этом поверхности р = const и 万=const совпадают и можно написать rot0T gradp) = ~р-2 gradp х grad万=0.(93)
Уравнения (91) и (92) и граничные условия (89) и (90) определяют функции 0(А 6) и 屮亿 6) в зонах эффективной конвекции.
Покажем теперь, что если турбулентные скорости анизотропны (у ¥： 1), то состояние чисто стационарного вращения (т.е.屮■ 0) не является решением. Для иллюстрации мы приведем доказательство только Для случая, когда 〃/ постоянно по всей области. При 屮厘 0 уравнения (91) н (92) сводятся к виду
(div 恥=0,(94)
[rot(v х rot吟* = 0.(95)
Первое из этих условий с учетом выражений (83) — (88) дает следующее ограничение на функцию П(г, 8):
器［将+ 2(1 一同+鳥書(s而唱)R。； (%)
это условие впервые вывел Лебединский. Проинтегрировав уравнение (95), получим второе ограничение 0亿 8)
0 = Q(r sin^),(97)
означающее, что угловая скорость в гомэнтропической жидкости зависит только от расстояния w = г sing до оси врашения (см. разд. 4.3). Как показали Бирманн и Киппёнхан, уравнение (96) и соответствующие граничные условия удовлетворяются только тогда, когда угловая скорость постоянна на сферах при законе вращения
0 = Ц^-2(1 ■叫(98)
где Qq — постоянная. Итак, если турбулентность предполагается изотропной, то вращение во всей зоне твердотельно; при этом выполняется и ограничение (97). Если же 5 # Ъ то общее решение (98) не может удовлетворить этому ограничению, отсюда следует, что решение 屮■ 0 недопустимо. Поэтому если турбулентная вязкость анизотропна, то в зоне эффективной конвекции обязательно возникают крупномасштабные меридиональные течения. Этот результат очень похож на парадокс фон Цейпеля (см. разд. 7.2). Однако е отличие от лучистой зоны крупномасштабные течения 8 конвективной зоне с анизотропным распределением турбулентной скорости возникают из-за необходимости сохранения импульса, а не энергии. Подробные исследования Бирманна и Киппенхана показывают, что этот вывод справедлив и при учете неизбежных малых отклонений от гомэнтропичности.
В приведенных рассуждениях явно предполагалось, что параметр s постоянен во всей конвективной зоне. В предельном случае отсутствия вращения это приближение разумно, поскольку тогда динамические проявления турбулентности сферически симметричны. Однако во вращающейся звезде с ростом широты эффективность конвективного переноса изменяется из-за влияния момента количества движения. Роксбург исследовал, к каким следствиям приводит предположение о зависимости параметра s от широты. В том же феноменологическом духе он положил
s = 1 + % + 勺血2°(99)
(£° « 1, &2 V 1)11 нашел, q.j для равновесия конвективного слоя с таким параметром анизотропии тоже нужны крупномасштабные течения. Дополнительные свидетельства в пользу существовании меридиональной циркуляции в конвективной зоне привел Тейлер. В разд. 9.2 представлены конкретные решения П(г, 8) и 屮(乙 8) специально для задачи о дифференциальном вращении Солнца.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общий обзор предмета имеется в книге
Mestel L. Meridian Circulation in Stars, in Stellar Structure, eds. Aller L. H., McLaughlin D. B・,Chicago: The Univ, of Chicago Press, 1965, pp. 465 — 497. [Имеется перевод: Внутреннее строение звезд./ Под ред. Л. Адлера, Д. МакЛафлина.— М.: Мир, 1970, стр. 249 — 289.]
См. также ссылки [1 — 3] к гл. 7 и 卩刀 к настоящей главе.
Классические исследования по этой теме:
Vogt Я. Astron. Nachr., 223, 229 — 232, Jan. 1925.
Eddington A, £ The Observatory, 48, 73 — 75, March 1925.
Eddington A, £ The Internal Constitution of the Stars, Cambridge: At the Univ. Press, 1926, pp. 282 — 288. (New York: Dover Public., Inc., 1959.)
Eddington A, S・ Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 90, 54 — 58, 1929.
В [5] содержится первая (но очень заниженная) оценка времени Эддингтона — Свита. С точки зрения гидродинамики интересны работы
Randers G. Astrophys, Norvegica, 3, 97 — 114, 1939.
Randers G. Astrophys. J., 94, 109 — 123, 1941.
Krogdahl W, Astrophys. J., 99, 191 — 204, 1944.
Sen N. R, Ghosh N L, Bull. Calcutta Math. Soc., 37, 141 ~ 152, 1945.
Csada I. K. Contributions from the Konkoly Observatory (Budapest), No. 22, 215 - 232, 1949.
Общепринятые идеи о меридиональной циркуляции в основном установлены в работах
Gratton £. Mem. Soc. Astron. Italians, 17, 5 — 27, 1945.
Sweet P・ A, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 110, 548 — 558, 1950.
OpikE, Z Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 111, 278 — 288, 1951.
Mestel £. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 113, 716 — 745, 1953; 114, 500, 1954.
Mestel L. Astrophys. J., 126, 550 — 558, 1957.
Kippenhahn R. Zeit. f. Astrophys., 46, 26 — 65, 1958.
См. также книгу Шварцшильда [7, стр. 175 — 184] в библиографических замечаниях к гл. 3 и
Baker N., Kippenhahn R, Zeit. f. Astrophys., 48, 140 —- 154, 1959.
Уравнение (18) впервые доказано в [26] к гл. 5. Метод решения, приведенный в тексте, в значительной мере заимствован из [12]. Четкий вывод «поправок» второго порядка можно найти в работе
Maheswaran М. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 140, 93 — 107, 1968
Как указал Смит [23], из примеров Махесварана не следует, что внешние линии тока на самом деле незамкнуты [13, рр. 284 — 285]! Двойная картина циркуляции впервые открыта в [11, 13]; см. также
Mestel £. Zeit. f. Astrophys., 63, 196 — 201, 1966.
Clement Af. J. Astrophys. J., 175, 135 — 145, 1972.
Оценка глобального времени (49) впервые получена в [12]. В общем виде случаи Дифференциально вращающихся звезд рассматриваются в [17].
Вопрос о применимости выражения (6) рассматривался в работах
Osaki У. Publ. Astron. Soc. Japan, 18, 7 — 22, 1966.
Smith &. C. Zeit. f. Astrophys., 63, 166 — 176, 1966.
Smith R, C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 148, 275 — 312, 1970.
Brand D., Smith R. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 154, 293 — 300, 1971. Роль вязкости подробно изучена в работах [6, 7, 14]. Магнитные поля во вращающихся звездах подробно рассматриваются в статьях
Chandrasekhar S. Astrophys. J., 124, 232 — 243, 1956.
Mestel L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 122, 473 — 478, 1961.
Roxburgh /. W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 126, 67 — 76, 1963.
См. также [18] и работы
Maheswaran M Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 145, 197 — 216, 1969.
Maheswaran M. Astron. Astrophys., 37, 169 — 178, 1974.
Но самые интересные результаты принадлежат Местелу и Моссу:
Moss Z>. L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 168, 61 — 72, 1974; 178, 51 - 59, 1977.
Mestel L., Moss D. L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 178, 27 — 49, 1977. Невозможность существования стационарных течений в невязкой немагнитной звезде впервые доказал Равдерс в работе [7]. Его выводы, как правило, игнорируются. Ссылаясь на Осаки и Сакураи, мы имеем в виду их работы
2. Qsaki У. Publ. Astron. Soc. Japan, 24, 509 — 516, 1972.
Sakurai T. Publ. Astron. Soc. Japan, 24, 153 — 176, 1972; 25, 563 — 566, 1973.
Sakurai T. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 171, 35 — 52, 1975.
См. также [39] к гл. 5. Ссылки на работы по смежным вопросам можно найти в статье
5. Clark A., Jr. Мёт. Soc. Roy. Sci. Liёge (6), 8, 43 — 46, 1975.
Подробный анализ /Гтоков можно найти в работах [1, 14, 15], см. также
McDonald В. Е Astrophys. Space Sci., 19, 309 — 349, 1972.-
Kippenhahn R, Circulation and Mixing, in Late Stages of Stellar Evolution, eds. Tayler R. J., Hesser J. E., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1974, pp. 20 — 40.
Дополнительные результаты по проблеме меридиональной циркуляции в лучистых зонах получены в работах
8. Порфирьев В. В. Астрон. ж., 46, 817 — 823, 1969.
Brand D. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 156, 325 — 335, 1972.
Можно указать также работу
Roxburgh /.取.Astrophys. and Space Sci., 27, 425 — 435, 1974.
Подробное описание турбулентности можно найти в работе
Tennekes Я., Lumley J. L. A First Course in Turbulence, Cambridge, Mass.: The M.I.T. Press, 1972.
Влияние лучистого переноса на критерий Ричардсона рассматривалось в работе
Townsend A. A. J. Fluid Meeh., 4, 361 — 375, 1958.
Приближенное применение к случаю вращающихся звезд имеется в статье
Zahn J.尸.Мёт. Soc. Roy. Sci. LiOge (6), 8, 31 — 34, 1975.
Общая теория анизотропной вязкости в приложении к астрофизике построена в работах
Лебединский А. И. Астрон. ж. 18, 10 — 25, 1941.
WasiutyAski J. Astrophys. Norvegica, 4, 1946.
Позднее эта проблема рассматривалась в работе
Ekiisser К. Zeit. f. Astrophys., 63, 65 — 77, 1966.
См. также
Sakurai 7： Publ. Astron. Soc. Japan, 18, 174 — 200, 1966.
Анализ проблемы, изложенный в этом разделе, основан на работах
Biermann 丄.Zeit, f. Astrophys., 28, 304 — 309, 1951.
Biermann L. in Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, ed. Lehnert B., Cambridge: At the Univ. Press, 1958, pp. 248 — 257.
Kippenhahn R. Zeit. f. Astrophys., 48, 203 — 212, 1959.
Kippenhahn R. M6m. Soc. Roy. Sci. Li^ge (5), 3, 249 — 255, 1960.
Kippenhahn R. Astrophys. J., 137, 664 — 678, 1963.
Взаимодействие между вращением и конвекцией далее рассматривается в статье
Roxburgh /. W. Astrophys. and Space Sci., 27, 419 — 424, 1974.
Ссылаясь на Тейлера, мы имеем в вцду работу
Tayler R. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 165, 39 — 52, 1973.
В [54] также сводятся воедино результаты многих более ранних исследований в этой области. В частности, в ней критически разбираются различные законы вращения, которые ранее предлагались для конвективной зоны: О = const, Оз? = const и R — 0. Можно сослаться и на работу
Weir A. D. Мёш. Soc. Roy. Sci. Libge (6), 8, 37 — 42, 1975.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ СОЛНЦА
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальное вращение Солнца — давняя проблема; на построение правдоподобной картины течений, в которой воспроизводились бы наблюдаемые движения вещества на солнечной поверхности, затрачено много усилий. Как мы уже не раз указывали в двух предыдущих главах, до сих пор о распределении момента количества движения внутри звезд известно очень мало二 Несмотря на работу Дикке и его сотрудников, Солнце не является исключением (ср. с разд. 11.4). Поэтому мы посвятим эту короткую главу таким моделям, в которых средняя скорость вращения Солнца объясняется взаимодействием вращения с турбулентной конвекцией и которые можно прямо сравнить с данными наблюдений. Эти данные таковы (см. разд. 2.2):
убедительно доказанное движение в направлении восток — запад (т.е. средняя скорость вращения) и изменение его скорости с широтой,
незначительность среднего движения в направлении север — юг (т.е. меридиональных течений),
квазипостоянство выходящего теплового потока и температуры на солнечном диске.
Для объяснения природы более высокой скорости вращения на экваторе и ее поддержания в фотосфере предлагались многочисленные теории. Однако в настоящее время не существует общепринятой модели, хотя во всех теориях в той или иной мере удается воспроизвести бдльшую часть данных наблюдений. Основная трудность состоит в том, что наблюдаемые движения вещества охватывают широкий диапазон горизонтальных размеров, скоростей и характерных времен жизни (рис.9.1). Последние меняются от нескольких минут для гранул вплоть до периода вращения Солнца и выше для самых больших областей. Поскольку мы интересуемся главным образом самыми крупными масштабами (т.е. средней скоростью вращения), конвективные движения, размеры которых гораздо меньше, необходимо параметризовать. Это достигается обычно с помощью напряжений Рейнольдса и теории длины перемешивания для турбулентной конвекции (ср. с разд. 8.4). Магнитными полями мы полностью пренебрежем, поскольку они вряд ли служат исходной причиной дифференциального вращения Солнца (хотя их влиянием и может частично объясняться приблизительно синхронное вращение нижней короны). Существующие теории можно раз-
1133Суперграиулы (100 - 500м/с )Суперграиулы (100 - 500м/с )Солнечные пятнаСолнечные пятна炉炉Гранулы (0,5-2 км/с )Гранулы (0,5-2 км/с )
1
1
3
3
Суперграиулы (100 - 500м/с )
Суперграиулы (100 - 500м/с )
Солнечные пятна
Солнечные пятна
炉
炉
Гранулы (0,5-2 км/с )
Гранулы (0,5-2 км/с )
Дифференциальное вращение (100 м/с) ~ Меридиональная циркуляция {2м/с ?)三 Гигантские вихри или ячейки (50-100м/с)二
Предел разрешения
炉
Рис. 9.1. Логарифмическая диаграмма показывает приближенные диапазоны горизонтальных характерных размуов различных движений в фотосфере, а также их примерные скорости. (Gilman Р. 4 Ann. Rev. Astron. Astrophys., 12, 47, 1974. С разрешения Annual Reviews Inc. © 1974.)
бить на три класса в зависимости от того, какой механизм предлагается для возникновения и поддержания более высокой скорости вращения на экваторе:
меридиональные течения, вызванные анизотропной турбулентной вязкостью в конвективной зоне Солнца,
систематическое превращение энергии вихреобразных движений в кинетическую энергию осредненного течения вдоль солнечных параллелей,
прямое взаимодействие вращения с конвекцией в конвективной зоне Солнца.
Ниже мы кратко рассмотрим эти физические механизмы. Цикл солнечной активности, который дает независимые сведения о крупномасштабном поле скоростей в водородной конвективной оболочке, будет рассмотрен в разд. 15.5.
АНИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНАЯ ВЯЗКОСТЬ
В разд. 8.5 было показано, что в зоне эффективной конвекции с изотропными турбулентными движениями (s = 1) угловая скорость должна быть одинаковой во всей области, а меридиональных течений быть не может . Напротив, если турбулентные скорости анизотропны ($ 工 1), то твердотельное вращение уже невозможно и обязательно должны устанавливаться крупномасштабные меридиональные течения. Но поскольку в конвективной зоне Солнца главное направление выталкивающей силы определяется тяготением, нет оснований ожидать, что коэффициент турбулентной вязкости будет одним и тем же в направлениях, перпендикулярном и параллельном вектору силы тяжести. Следовательно, турбулентное перемешивание на Солнце должно быть анизотропным и его внешний конвективный слой не может вращаться твердотельно. Понятие анизотропной турбулентной вязкости впервые предложил Лебединский в 1941 г., а затем независимо Бирманн. Исходные идеи Лебединского к проблеме вращения Солнца пытались применить Киппенхан, Сакураи, Кок и Келер.
Чтобы проиллюстрировать основные моМенты этого способа решения, мы кратко резюмируем численные расчеты, проведенные Келером. Основные уравнения были выведены в разд. 8.5. Итак, предполагается, что движение можно представить в виде стационарной осесимметричной системы течений в водородной конвективной зоне под солнечной поверхностью. Турбулентная конвекция предполагается настолько эффективной, что этот слой фактически является гомэнтропической жидкостью (см. разд. 3.5), так что в вычислениях не нужно явно учитывать перенос энергии. Для простоты Келер предполагает также, что плотность р, коэффициент 〃, и параметр s постоянны в водородной конвективной зоне, эта оболочка простирается на две десятые солнечного радиуса от поверхности (0,8R。W г W R®), а сплюснутость вследствие вращения, как обычно, не принимается во внимание. Поскольку значения дг и 5 известны не очень точно, удается подобрать эти параметры так, чтобы получить хорошее согласие с наблюдаемой средней скоростью вращения.
На рис. 9.2 и_9.3 приведен один результат из расчетов Келера при s = 1,2 и vt = »Jp = 4,5 • Ю 12 см2/с (= у®, т.е. наиболее вероятному значению по теории длины перемешивания). На этом примере мы видим, что от экватора к полюсам скорость вращения уменьшается примерно на 20% н что меридиональная скорость на поверхности равна всего нескольким метрам в секунду. Если турбулентная вязкость в радиальном направлен нии меньше, чем в горизонтальном(5 > 1), то циркуляционные течения всегда поднимаются у полюсов и движутся к экватору по внешней границе, а затем текут обратно к полюсам во внутренней части конвективной оболочки. В этом случае наружная система циркуляционных течений приводит
Рис. 9.2. Квадрант меридионального сечения с линиями постоянной угловой скоростй при % =，@ И 5 = 1,2 (0 = 1 на экваторе). (Kohler Н. Solar Phys., 13, 3, 1970.)Рис. 9.2. Квадрант меридионального сечения с линиями постоянной угловой скоростй при % =，@ И 5 = 1,2 (0 = 1 на экваторе). (Kohler Н. Solar Phys., 13, 3, 1970.)Рис. 9.3. Линии тока меридиональной циркуляции при vt = Р и s = 1,2. (Kohler Я. Solar Phys., В, 3, 1970.)Рис. 9.3. Линии тока меридиональной циркуляции при vt = Р и s = 1,2. (Kohler Я. Solar Phys., В, 3, 1970.)
Рис. 9.2. Квадрант меридионального сечения с линиями постоянной угловой скоростй при % =，@ И 5 = 1,2 (0 = 1 на экваторе). (Kohler Н. Solar Phys., 13, 3, 1970.)
Рис. 9.2. Квадрант меридионального сечения с линиями постоянной угловой скоростй при % =，@ И 5 = 1,2 (0 = 1 на экваторе). (Kohler Н. Solar Phys., 13, 3, 1970.)
Рис. 9.3. Линии тока меридиональной циркуляции при vt = Р и s = 1,2. (Kohler Я. Solar Phys., В, 3, 1970.)
Рис. 9.3. Линии тока меридиональной циркуляции при vt = Р и s = 1,2. (Kohler Я. Solar Phys., В, 3, 1970.)
к суммарному переносу момента количества движения к экватору, поскольку и момент количества движения R& 2, и угловая скорость R во внешних областях оболочки вдоль данного радиуса больше, чем в глубоких слоях. (При s < 1 направление меридиональной циркуляции изменилось бы на противоположное, что привело бы к замедлению вращения на экваторе.) Поскольку истинное значение коэффициента турбулентной вязкости для Солнца не очень хорошо известно, Келер провел также вычисления для фиксированного значения s = 1,2 и различных значений vr Его численные результаты показывают, что скорость вращения на поверхности слабо зависит от рр если эта величина достаточно мала (也 s 2y④).Кроме того, с уменьшением vt решения асимптотически стремятся к закону вращения с характерной цилиндрической симметрией и быстро исчезающей циркуляцией [ср. с разд. 8.5, уравнение (97)]. С другой стороны, для больших значений vt вращение приближается к сферически симметричному закону П = 口产仃 一 °, а скорости циркуляции также становятся низкими [ср. с разд. 8.5, уравнение (98)]. На рис. 9.4 изображена зависимость величины ^(шах), которая служит мерой скорости циркуляции в водородной конвективной зоне в целом, от коэффициента турбулентной вязкости vt (в единицах у。)； отметим, что 屮(max) достигает своего наибольшего значения примерно при р = 1Ор0. Следовательно, учитывая неопределенность истинного значения vt для Солнца, в этой модели нельзя предсказать точное значение скорости циркуляции.
Рассмотренная модель интересна главным образом тем, что ее можно подробно сравнить с наблюдениями. Однако правильность такого подхода
Рис. 9.4. Скорость % (max) в зависимости от коэффициента турбулентной вязкости и =々 в единицах 飞.{Kohler Н. Solar Phys., 13, 3, 1970.)
пока нельзя доказать или опровергнуть, поскольку для этого понадобилось бы независимо определить свободный параметр $. (Согласно Дэрни, если конвективные движения простираются на несколько характерных высот, то' можно ожидать, что турбулентное перемешивание в радиальном направлении будет сильнее, а это должно привести к экваториальному замедлению!) Кроме того, поскольку 5 принимается постоянным, лредпо- лагается, что анизотропия возникает из-за выделения направления только за счет гравитации. При более реалистическом подходе следовало бы задавать значения 5 в зависимости от широты, так как при определении степени анизотропии нужно принимать во внимание эффективную силу тяжести, а не только гравитационное ускорение [ср. с разд. 8.5, выражение (99)]. На конец, при ” * у。угловая скорость почти постоянна на цилиндрах, осью которых служит ось вращения, и явно увеличивается наружу (рис.9.2). Этот результат не согласуется с одним очень правдоподобным объяснением отличия скорости вращения, измеренной по индикаторам, от доплеровских значений (см. рис. 2.2). Индикаторы вращения, связанные с снльныьй! поверхностными магнитными полями, вращаются быстрее, чем фотосфера, потому что эти поля могут быть привязаны к глубоким слоям, скорость вращения которых также велика *. Если это объяснение (принадлежащее Фукалу) правильно, то оно опровергает модель, изображенную на рис. 9.2 и 9.3.
БАРОКЛИННЫЕ ВОЛНЫ И ДВУМЕРНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Недавние наблюдения указывают на возможное присутствие в фотосфере и лежащей под ней конвективной зоне крупномасштабных вихреобразных движений (см. разд. 2.2). Делалось много попыток объяснить наблю-
даемую более высокую скорость вращения Солнца на экваторе при помощи этих неосесимметричных движений, которые имеют гораздо большие горизонтальные размеры и большее время жизни, чем супергранулы. Здесь мы рассмотрим два типа систем глобальных течений:
Бароклинные волныъ в которых вихри, текущие почти горизонтально, в каждом полушарии переносят момент количества движения от высоких широт к экватору. Для такой системы течений характерны движения жидкости, в которых кориолисова сила почти уравновешивает горизонтальную силу давления (т.е. имеет место так называемое гелиострофиче- ское равновесие). На возможное существование таких волн на поверхности Солнца впервые указали Пласкетт и Уорд.
Двумерная турбулентность, которая обеспечивает инверсный перенос энергии от малых вихрей к более крупным. Этот подход первым предложил Никел.
В атмосфере Земли бароклинные волны вызываются разностью темпе- •ратур между полюсами и экватором, обусловленной неодинаковым нагревом Солнцем. Эти возмущения конечной амплитуды фактически горизонтальны (т.е. параллельны сферическим поверхностям), а их линии тока волнообразно извиваются попеременно то к полюсу, то к экватору, но движутся в среднем неуклонно в одном направлении по долготе. На рис.9.5 показана важная особенность бароклинных волн. В северном полушарии Земли поднимающаяся часть каждой линии тока пересекает параллель под острым углом, в то время как опускающаяся — практически под прямым. (Соответствующая картина в южном полушарии является зеркальным отражением этого рисунка относительно линии восток — запад.) Как впервые указал Старр, такой наклон влечет за собой суммарный перенос момента количества движения к полюсу через параллели, пересекаемые линией тока. Поскольку бароклинные волны возникают на протяжении большого отрезка времени и в широкой полосе долгот, близкой к экватору, их суммарное воздействие порождает вихревой поток импульса к полюсу, который поддерживает струйные течения и преобладающие западные ветры в обоих полушариях. Кинетическая энергия, передаваемая при этом осред- ненному зональному течению на средних широтах, обеспечивается кинетической энергией крупномасштабных вихрей» вызывающих перенос момента количества движения. Следовательно, этот процесс преобразования энергии прямо противоположен эффекту вязкого трения (так называемая «отрицательная вязкость»).
Если такой механизм действует и в солнечной фотосфере, то можно было бы ожидать наличия бароклинных волн, которые образуют зеркальное отражение картины в атмосфере Земли (рис. 9.6). Как показали Старр и Гилман, линии тока пересекают параллель со стороны полюсов под мень- тми углами, чем со стороны экватора, поскольку в обоих полушариях суммарный поток момента количества движения должен быть направлен от полюсов. Этот горизонтальный поток действует так, чтобы поддерживать осредненное зональное течение (т.е. наблюдаемую скорость вращения) вопреки диссипации эа счет трения, иначе вследствие этой диссипации фо-
Рис. 9.5. Бароклинные волны на Земле. Рис. 9.6. Бароклинные волны на Солнце.Рис. 9.5. Бароклинные волны на Земле. Рис. 9.6. Бароклинные волны на Солнце.
Рис. 9.5. Бароклинные волны на Земле. Рис. 9.6. Бароклинные волны на Солнце.
Рис. 9.5. Бароклинные волны на Земле. Рис. 9.6. Бароклинные волны на Солнце.
тосфера неуклонно приближалась бы к твердотельному вращению. Ясно, что при таком процессе требуется источник энергии, поддерживающий наклонные волны, так как они непрерывно отдают кинетическую энергию дифференциальному вращению. Согласно Като и Накагава, один из возможных источников энергии может поддерживаться за счет избытка потенциальной энергии, запасенной в водородной конвективной зоне, где имеет место сверхадиабатический градиент температуры. Другая причина возбуждения этих крупномасштабных вихрей — заметная разность температур на полюсах и на экваторе, вызванная взаимодействием вращения с конвекцией. Согласно Гилману, такой широтный градиент температуры мог бы существовать на Солнце, если не в фотосфере, то по крайней мере в глубоких слоях конвективной зоны. Так или иначе, наблюдения не дают пока определенных свидетельств в пользу существования бароклинных волн на Солнце, поскольку нет еще подробных синоптических карт крупномасштабных потоков в фотосфере. (В этом отношении метеорологам повезло больше, чем физикам, занимающимся Солнцем.) Дело в том, что солнечных пятен не достаточно, чтобы точно проследить фактические линии тока, а измерения доплеровских смещений обычно замываются большими скоростями турбулентности меньшего масштаба. Чтобы подтвердить или опровергнуть изложенный подход, нужны дальнейшие наблюдения.
С указанной теорией тесно связана модель двумерной турбулентности, в которой предпочтение отдается инверсному переносу энергии от мелких вихрей к осредненному зональному течению. Как известно из пионерской работы Фьертофта, при двумерном движении на сферической поверхности энергия турбулентности от мелкомасштабных вихрей передается по преимуществу к более крупным, причем «двумерность» означает, что у скорости нет вертикальной составляющей. (Этот результат следует сравнить с трехмерной турбулентностью, в которой имеется «каскадный перенос» энергии от крупных вихрей к меньшим.) Что касается поверхности Солнца, то следует ожидать, что крупномасштабные движения ограничиваются
двумя измерениями, поскольку горизонтальные размеры течения значительно превосходят локальную шкалу высот по плотности. Подробные вычисления Никела и Рюдигера по крайней мере качественно согласуются с наблюдаемым вращением в фотосфере.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВРАЩЕНИЯ С КОНВЕКЦИЕЙ
Мысль о том,что дифференциальное вращение Солнца может порождаться меридиональными течениями, возникающими вследствие различия температур между полюсами и экватором, впервые независимо друг от друга высказали Вейсс и Веронис. В основе этого подхода лежит тот факт, что вращение оказывает небольшое, но все же заметное влияние на конвекцию, а это приводит к зависимости конвективной теплопередачи от гелиоцентрической широты. Тогда, если допустить небольшое отклонение от го- мэнтропичности, стратификация в конвективной зоне Солнца должна быть бароклинной, а энергетическое равновесие возможно лишь при наличии медленной меридиональной циркуляции. В стационарном состоянии перенос момента количества движения этими течениями уравновешивается переносом импульса за счет вязкости, что в итоге приводит к дифференциальному вращению. Используя такой подход, Осаки, а также Дэрни и Роксбург построили стационарные осесимметричные модели. Учитывалась также возможность перехода от конвективного переноса к лучистому у солнечной поверхности. В численных расчетах Дэрни и Роксбурга получены системы течений, которые правильно воспроизводят порядок величины скорости экваториального вращения на поверхности. Однако чтобы скорость вращения на экваторе была больше, чем на полюсах, нужно предположить, что конвекция подавлена преимущественно на экваторе. Кроме того, в этих моделях предсказывается меридиональная скорость на поверхности от полюсов к экватору около 350 см/с. Наконец, в них предсказывается избыток температуры на экваторе порадка 70 К, что не наблюдается.
Чтобы обойти эти трудности, Дэрни предположил, что вращение влияет на турбулентную конвекцию лишь глубоко внутри водородной конвективной зоны. Если конвекция подавлена сильнее в полярных областях, то в результате в глубоких слоях оболочки возникают меридиональные течения (которые поднимаются у экватора и погружаются у полюсов). Однако около поверхности влияние вращения на конвекцию становится пренебрежимо малым, и появляется ячейка с противоположным движением, в которой те- q亜ия поднимаются у полюсов и погружаются у экватора. Согласно Дэрни, в этой ячейке сглаживаются различия потока и температуры между полюсами и экватором, порожденные взаимодействием вращения с конвекцией в глубоких слоях оболочки. Количественная модель такого типа пока не построена.
Другой подход к проблеме вращения Солнца основан на привлекательном допущении, что различия угловой скорости возникают главным образом из-за нелинейного взаимодействия вращения с крупномасштабными конвективными движениями при наличии радиального суперадиабатическо-
го градиента температуры. Эту теорию начали независимо разрабатывать Дэрни, Бюссе, а также Иошимура и Като, а в основе ее лежит предположение Симона и Вейсса, что в однородной конвективной зоне могут существовать гигантские конвективные ячейки.
Главный результат почти всех работ этого направления состоит в том, что гигантские конвективные ячейки и в самом деле могут вызывать и поддерживать наблюдаемую повышенную скорость вращения на экваторе. Однако все эти модели пока еще слишком упрощенны по сравнению с реальной ситуацией. В частности, в них используется так называемое приближение Буссинеска (т.е. изменения плотности учитываются лишь при вычислении подъемной силы) и очень грубо трактуется мелкомасштабная турбулентность (т.е. коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности попросту заменяются на постоянные коэффициенты турбулентной вязкости vt и турбулентной теплопроводности х( соответственно). По сути дела в этих моделях рассматривается вращающаяся сферическая оболочка из 一 квазинесжимаемой жидкости под действием чисто радиального гравитационного ускорения g. В этом случае если (фиксированная) разность температур ДТ поперек оболочки достаточно велика, то выталкивающая сила преодолевает стабилизирующее влияние вязкого трения и теплопроводности. Тогда статическое состояние становится неустойчивым по отношению к малым флуктуациям и начинаются конвективные движения *.
В этой задаче фигурируют три безразмерных параметра: число Прандтля Р = 万с//х〃 число Рэлея
R ="国S3A77a也) (D и число Тейлора _
Т = 4 0V/p2 (2)
где cv — удельная теплоемкость при постоянно^ объеме, а — коэффициент объемного расширения, d( = 0,2R® = 1,4 • 1010 см) — толщина конвективной зоны, a Q ( в 2,6*10~^ с"1) — средняя угловая скорость оболочки. Поэтому при значениях коэффициента турбулентной вязкости, сравнимых со значениями Келера (吟 制 1012 — 1014 см2/с), число Тейлора меняется на четыре порядка — от 102 до 106. Когда Р = 1, критическое число Рэлея Rc при превышении которого начинается тепловая конвекция, зависит только от числа Тейлора.
В указанных предположениях многие авторы (в частности, Бюссе, Дэр- ни, а также Иошимура и Като) показали, что при малых скоростях вращения конвективные ячейки должны, скорее всего, представлять собой длинные валы, которые сильно вытянуты по широте и распространяются в направлении, противоположном среднему вращению Солнца. Кроме того, поскольку эти валы непрерывно переносят момент количества движения к
См., например, [27, рр. 9 — 75] в библиографических замечаниях к гл. 3.
экватору, качественно они воспроизводят наблюдаемую скорость вращения на поверхности. Правда, они еще должны порождать гораздо более сильный тепловой поток у экватора, чем на высоких широтах, что, к сожалению, не наблюдается. Отметим также, что в таких расчетах не учитывается обратное влияние дифференциального вращения на гигантские конвективные ячейки, обусловливающие более высокую скорость вращения на экваторе.
Такое нелинейное взаимодействие между гигантскими ячейками и дифференциальны м вращением изучал Гилман. Для простоты он пользовался декартовыми координатами, рассматривая движения в кольцевой области жидкости, ограниченной двумя параллелями и расположенной симметрично относительно экватора. По предположению на верхней, нижней и боковых границах вязкие напряжения обращаются в нуль, верхняя и нижняя границы — идеальные проводники тепла (температура фиксирована), но боковые границы — теплоизоляторы. Таким образом, вводятся радиальные, но не широтные градиенты температуры. Численные расчеты проводились в приближении Буссинеска при Р = 1, Т в пределах 102 — 106 и R между Rc и значением, в несколько раз большим. При R = 1,2RC и 103 < Т < 106 конвективные валы, вообще говоря, заставляют вещество экваториального пояса вращаться быстрее, чем вещество на более высоких широтах. Кроме того, поверхностные слои вращаются быстрее, чем глубокие участки конвективной оболочки, меридиональная циркуляция во всех случаях образует по одной ячейке в каждом полушарии с движениями к полюсу вблизи поверхности и всплыванием жидкости у экватора. Более высокая скорость вращения на экваторе поддерживается прежде всего за счет переноса импульса гигантскими конвективными ячейками (что уравновешивает диффузию импульса из-за вязкости), а не меридиональными течениями. Дифференциальное вращение стремится к тому же растянуть конвективные валы (подобно изменению конфигураций магнитных областей Солнца). Когда число Рэлея превосходит R = 1,2RC, картина циркуляции остается в сущности неизменной, но в средней скорости вращения становится заметным локальное уменьшение вблизи экватора (рис. 9.7). Согласно Гилману, с различными наблюдениями Солнца лучше всего согласуются, по-видимому, решения с числом Тейлора около Т = 3 • 104. (Они описывают амплитуду дифференциального вращения, строение ячеек и малые меридиональные скорости.) Однако локальное уменьшение скорости вращения вблизи экватора не наблюдалось. Наконец, при Т > 103 все системы течений приводят к сильной зависимости вертикального теплового потока от гелиоцентрической широты с максимумом на экваторе, никаких следов которого в фотосфере не видно.
Итак, хотя для объяснения скорости вращения Солнца предлагалось много теорий, ни одна из схем пока не стала общепринятой как правильная по своей сути. Безусловно, наиболее многообещающими являются модели, в основу которых положено нелинейное взаимодействие между вращением и конвекцией. Однако для этого подхода нужно надежно интегрировать основные уравнения для сильно сжимаемого медленно вращающегося слоя, в
020HqlrD3=rHad8attme qluoodof020HqlrD3=rHad8attme qluoodofРис. 9.7. Поверхностные скорости вращения UQ (в м/с) для различных значений числа Рэлея (в единицах RJ при числе Тейлора Т = 3 • 104 в сравнении со средней скоростью вращения (сплошная кривая), которая наблюдалась Ховардом и Харви (ср. с разд. 2.2). (Gilman Р. A. Solar Phys., 27/3, 1972.)'Рис. 9.7. Поверхностные скорости вращения UQ (в м/с) для различных значений числа Рэлея (в единицах RJ при числе Тейлора Т = 3 • 104 в сравнении со средней скоростью вращения (сплошная кривая), которая наблюдалась Ховардом и Харви (ср. с разд. 2.2). (Gilman Р. A. Solar Phys., 27/3, 1972.)'
020HqlrD3=rHad8attme qluoodof
020HqlrD3=rHad8attme qluoodof
Рис. 9.7. Поверхностные скорости вращения UQ (в м/с) для различных значений числа Рэлея (в единицах RJ при числе Тейлора Т = 3 • 104 в сравнении со средней скоростью вращения (сплошная кривая), которая наблюдалась Ховардом и Харви (ср. с разд. 2.2). (Gilman Р. A. Solar Phys., 27/3, 1972.)'
Рис. 9.7. Поверхностные скорости вращения UQ (в м/с) для различных значений числа Рэлея (в единицах RJ при числе Тейлора Т = 3 • 104 в сравнении со средней скоростью вращения (сплошная кривая), которая наблюдалась Ховардом и Харви (ср. с разд. 2.2). (Gilman Р. A. Solar Phys., 27/3, 1972.)'
котором преобладает турбулентная конвекция. В частности, как указывали многие исследователи этой проблемы, пониманию поля скоростей на поверхности Солнца могли бы помочь большие вертикальные градиенты плотности в водородной конвективной оболочке. Полностью нелинейные решения, которые учитывали бы и мелкомасштабную турбулентность и сжимаемость, пока не получены.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Критический обзор различных теорий, представленных в этой главе, можно найти в работе
Belvedere G., Motta S., Paternd L. Solar Rotation: the Interaction of Rotation and Convection, in Memorie Soc. Astron. Italiana, 44, 435 — 460, 1973
и в [2] к гл. 2. Но самый подробный обзор принадлежит Дэрни
Durney A R. On Theories of Solar Rotation, in Basic Mechanisms of Solar Activity, eds. Bumba V., Kleczekc J., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1976, pp. 243 — 295.
В этой книге можно найти и другие относящиеся к этой теме работы. По вопросам, связанным с внутренним вращением Солнца, см.
Rasool 5. Z, ed. Physics of the Solar System, New York: N.A.S.A., 1972 Особенно рекомендуем статьи Дикке (pp. 23 — 60) н Спигела (рр. 61 — 87).
Разнообразные приложения понятия анизотропной турбулентной вязкости к проблеме вращения Солнца имеются в [44, 47, 49 — 52, 53] к гл. 8. Можно сослаться также на статью
Соске W. J. Astrophys. J., 150, 1041 — 1050, 1967.
Kohler Н. Solar. Phys., 13, 3 — 18, 1970.
В [5] цитируются смежные работы. См. также
Ирошников Р. С. Астрон. ж., 46, 97 — 112, 1969; 52, 792 — 803, 1975.
Rudiger G. Astron. Nachr., 295, 229 — 23 5, 1974.
Различие между скоростями вращения, измеренными по индикаторам и по доплеровскому уширению, рассматривается в работах
FoukalР.Astrophys. J., 173, 439 — 444, 1972.
DurneyВ.R, Solar Phys., 38, 301 — 309, 1974
и в первой из ссылок [44]; см. также
Foukal尸.，Jokipii J. R. Astrophys. J. Letters, 199,L71— L73, 1975.
FoukalP.Astrophys. J. Letters, 203, L145 — L148,1976.
В связи с проблемами физики Солнца бароклинные волны впервые рассматривались Пла,(жеттом (1959) и Уордом (1964); см. [17] (и цитируемые там работы) и [20] к гл. 2. Различные теоретические аспекты проблем изучались далее в работах
Starr К Р., Gilman Р. A, Tellus, 17, 334 — 340, 1965.
Starr К Р., Gilman 尸.4 Astrophys. J., 141, 1119 — 1125, 1965.
White M £. Icarus, 9, 364 — 372, 1968.
Gilman 尸.A. Solar Phys., 8, 316 — 330, 1969; 9, 3 — 18, 1969.
Kato S. Astrophys. J., 157 , 827 — 834, 1969.
Kato S., Nakagawa У. Solar Phys., 10, 476 — 493, 1969; 14, 138 — 146, 1970.
Sakurai T. Publ. Astron. Soc. Japan, 22, 177 — 190, 1970.
Еще одна близкая по теме работа
Wolff С.丄.，Astrophys. J., 194, 489 — 498, 1974.
Двумерная турбулентность рассматриваетёя в статьях
Nickel G, Н, Solar Phys., 10, 472 — 475, 1969.
Rudiger G. Solar Phys., 51, 257 一 269, 1977.
Ссылаясь на Вейсса и Верониса, мы имеем в ввду их работы
Weiss N. О. The Observatory, 85, 37 — 39, 1965.
Veronis G, Tellus, 18, 67 — 76, 1966.
Дальнейшие исследования различия температур на полюсах и экваторе изложены в статьях
Osaki У. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 148, 391 — 406, 1970.
Durney В. R, Roxburgh I, W. Solar Phys., 16, 3 — 20, 1971.
Durney A R. Solar Phys., 26, 3 — 7, 1972.
Durney B, R, Astrophys. J., 190, 211 — 221, 1974; 204, 589 — 596, 1976.
Весьма близкий подход можно найти в работе
Gierasch 尸.J. Astrophys. J., 190, 199 — 210, 1974.
Теоретические исследования гранул, супергранул и гигантских ячеек проведены в работах
Simon G. %., Weiss N. О. Zeit. f. Astrophys., 69, 435 — 450, 1968.
Vickers G. T. Astrophys. J., 163, 363 — 374, 1971.
Heard W, B. Astrophys. J., 186, 1065 — 1081, 1973.
Parker E. N. Astrophys. J., 186, 643 — 663, 1973.
Тепловая конвекция во вращающейся сферической оболочке рассматривается в статье
Durney В. R J. Atmospheric Sci., 25, 771 — 778, 1968.
Busse 尸.H. Astrophys. J., 159, 629 — 639, 1970.
Durney A R. Astrophys. J., 161, 1115 — 1127, 1970; 163, 353 — 361, 1971.
Yoshimura //., Kato 5. Publ, Astron. Soc. Japan, 23, 57 — 73, 1971.
Busse F. H. Astron. Astrophys, 28, 27 — 37, 1973.
Yoshimura //. Publ. Astron. Soc. Japan. 26, 9 — 51, 1974.
Gilman 尸.A. J. Atmospheric Sci., 32, 1331 — 1352, 1975.
Задача о вращающемся кольце, подогреваемом снизу, рассматривалась в работах
Davies-Jones R Р., Gilman Р. 4 Solar Phys., 12, 3 — 22, 1970.
Davies-Jones R. P., Gilman P. A, J. Fluid Mechanics, 46, 65 — 81, 1971.
Gilman P. 4, Solar Phys., 27, 3 — 26, 1972.
3. Gilman P. A. J. Fluid Mechanics, 57, 381 — 400, 1973.
Другими относящимися к этой проблеме работами являются
Yoshimura Н、Solar Phys., 18, 417 — 433, 1971; 22, 20 — 33, 1972; 33, 131 — 143,
1973.
Belvedere G, Paternd L. Solar Phys., 41, 289 — 295, 1975.
Отклонение от условий Буссинеска рассматриваются в работе
Vandakurov J〃. К Solar Phys., 40, 3 — 21, 1975 ; 45, 501 — 520, 1975.
10
СРАВНЕНИЕ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
До сих пор мы описывали общие принципы, которым подчиняется движение вещества во вращающихся звездах, и применяли эти принципы к конкретным моделям, уровенные поверхности которых лишь незначительНО' отличаются от сфер. Рассмотрим теперь одиночную звезду с фиксированными значениями момента количества движения J и массы М, внутри которой можно пренебречь электромагнитными эффектами. В качестве дальнейшего упрощения ограничимся баротропными моделями и оставим в стороне все вопросы, связанные с переносом энергии (ср. с разд. 7.2). Далее, наложим условие, что система вращается в соответствии с некоторым заданным законом вращения Q = 0(w), который удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда (см. разд. 7.3). Всегда ли при таких обстоятельствах можно построить стационарно вращающуюся модель для произвольных значений полного момента количества движения? В настоящее время нельзя дать общего ответа даже на столь просто поставленный вопрос. Следовательно, мы опять должны рассмотреть различные приближения, которые достаточно легко поддаются изучению.
Этот вопрос был впервые поставлен Маклореном в 1740 г. для случая твердотельно вращающихся однородных сфероидов. Как было показано в разд. 4.5, для данных массы М, объема У (или плотности р) и момента количества движения J существует один и только один стационарно вращающийся сфероид. Мы также отмечали уже, что угловая скорость Q не шляется особенно удобной переменной для определения положения модели в последовательности (рис. 4.2); вместо нее целесообразно использовать параметр
7 = K/\W\,(1)
т.е. отношение кинетической энергии вращения К к гравитационной потенциальной энергии 歹,диапазон изменения которого из соображений равновесия ограничен пределами т = 0 (сферическое тело) и т = 0,5 (бесконечно тонкий диск с угловой скоростью, стремящейся к нулю). При г ^ 0,14 существует еще одна последовательность фигур равновесия, ответвляющаяся от последовательности сфероидов Маклорена, а именно: твердотельно вращающиеся однородные эллипсоиды, которые обладают точной симметри-
ей относительно трех плоскостей и являются стационарными в системе отсчета, вращающейся с той же угловой скоростью 0, что и эти эллипсоиды.
В 1919 г. Джинс рассмотрел соответствующую задачу для твердотельно вращающихся политроп, т.е. баротроп, у которых давление р и плотность р связаны соотношением
р =Кр^п^ 1)/〃，(2)
где К и л — постоянные (0 W 九 W 5, значение 九=0 соответствует конфигурации с однородной плотностью). Джинс установил, что в отличие от случая однородных сфероидов последовательности твердотельно вращающихся политроп обычно обрываются задолго до того, как достигается предел 7 = 0,5; кроме того, при л 之 0,8 нельзя построить твердотельно вращающуюся политропу, симметричную относительно трех плоскостей. В наши дни с появлением больших вычислительных машин в этой области достигнут значительный прогресс. Главная цель настоящей главы ——перечислить основные свойства вращающихся политроп, сильно отклоняющихся от сферической симметрии. Мы рассматриваем поочередно твердотельное и дифференциальное вращение. В заключительном разделе проводится общее сравнение различных результатов, которые имеют отношение к многим вопросам астрономии. В следующей главе мы применим несколько более эвристический подход.
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Чтобы лучше осветить некоторые стороны общей проблемы, уместно прежде всего перечислить основные свойства твердотельно вращающихся эллипсоидов. С этой целью рассмотрим конфигурацию, которая покоится относительно системы отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью О. Уравнения относительного равновесия в декартовой системе координат, вращающейся вокруг оси х3, имеют вид
рТ勿/ах,・=-dV/dXi + (1 - 6Z3)O\(3)
(i = 1, 2, 3, 613 = 523 = 0, 633 = 1, суммирования по повторяющимся индексам нет). В однородном эллипсоиде (с полуосями ар а2 и а3) компоненты силы тяготения выглядят так:
3匕铀 =2 気 GpAjXi，(4)
где
4 =。陷2a3f [(a； + 〃)△]-%〃，(5)
о
△2 =(片 + «) («2 + 〃)M + 〃)，⑹
a G ——гравитационная постоянная. Отсюда в соответствии с формулой (4)
три уравнения (3) можно сразу проинтегрировать и получить
р/р = %口2诃 + ;ф — irGp(A 1" + Z田 + 力制)+ const; (7) изобарические поверхности приобретают вид
[力1 - (02/2tGp)]Xj + [Л2 - (口2/2开Gp)]后 + A^ = const. (8) Замечая, что граница эллипсоида
a1/旬)2 +(々/аy + (看/a3)2 = 1(9)
совпадает с одной из поверхностей, описываемых уравнением (8), находим 响4 - 館/2万GQ]= 娱力2 - 館/2万Gp)]= a弘3・(10)
С учетом полученных соотношений имеем
彳丸⑷-Л2)+ (а； - а；М弘з = 0,(П)
”_*4 - a%2 _0" 1 - a弘3 _a为2- a弘3
Ясно, что первое из соотношений (12) выполняется лишь тогда, когда 〃1 工 〃2 工 〃з・ Если теперь воспользоваться соотношением (5), то уравнение (11) перепишется так:
(力i2 一哽(1з) J L(片 + 〃)(W + 〃) W + 〃」a
0
Наконец, три равенства (12) приводят к следующим соотношениям: f " du "
— 〃[〃/； I 5"'一"5 (14) 2твр 1J (片 + “)(吗 + 〃)A
о
при 勺 工 а? # &； без этого ограничения получаем 瑞7=皆团一間i (*+石^门")争(i5) о
а также подобное соотношение с заменой индекса 1 на индекс 2 и наоборот.
Из формулы (15) и ее невыписанного аналога прежде всего следует, что %》& и а?》&• Таким образом, вращение всегда должно происходить вокруг наименьшей оси. Однако, поскольку между любыми двумя конфигурациями, в которых индексы 1 и 2 поменялись местами, нет никакого физического различия, мы можем иметь либо 旬 > а2» ли^о 旬 & а2- Наконец, мы сразу же видим, что уравнение (13) можно решить двумя различными способами. Либо мы полагаем 旬=а2, либо полагаем, когда возможно,
Рис. 10.1. Квадрат угловой скорости О2 вдоль последовательностей сфероидов Маклорена (сплошная линия) и эллипсоидов Якоби (штриховая линия) в зависимости от отношения 7 = K/\W\. Единицей измерения О2 служит Z^Gp. (См. также приложение Г.)
% W 7 W 0,5 каждому значению 7% W 7 W 0,5 каждому значению 7соответствуют две эллипсоидальныесоответствуют две эллипсоидальные〃1 ＞。2 Для определенности и требуем, чтобы интегральный множитель в уравнении (13) обращался в нуль. Первое решение определяет сфероиды Маклорена (ср. с разд. 4.5, где они рассматриваются в инерциальной системе отсчета), а второе соответствует эллипсоидам Якоби. [В этом случае угловая скорость определяется одинаково хорошо и по формуле (14), и по формуле (15).] Численное исследование уравнения (13) показывает, что эллипсоиды Якоби существуют лишь в области ть & т & 0,5, где ть = 0,1375; они изменяются от сфероида в точке бифуркации (f = %) до бесконечно длинной спицы, угловая скорость которой стремится к нулю (7 = 0,5). В приложении Г приведены численные значения для отдельных членов последовательностей сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. На рис. 10.1 и 10.2 показано поведение П2 и J (в нормированных единицах) в зависимости от т. Итак, при 0 ^ т ^ ть возможными фигурами равновесия являются только сфероиды Маклорена, напротив, в диапазоне
% W 7 W 0,5 каждому значению 7
% W 7 W 0,5 каждому значению 7
соответствуют две эллипсоидальные
соответствуют две эллипсоидальные
Рис. 10.2. Полный момент количества движения J вдоль последовательностей сфероидов Маклорена (сплошная линия) и эллипсоидов Якоби (штриховая линия) в зависимости от отношения т = =К/\ W\. Единицей измерения J служит (GM? J)"?, где 万=(% 电 ％)"3・ (См. также приложение Г.)
конфигурации в относительном равновесии: сфероид Маклорена и эллипсоид Якоби.
Из приложения Г следует, что для фиксированных значений J, М и % полная механическая энергия К + % в теле, симметричном относительно трех плоскостей, меньше, чем в соответствующей осесимметричной конфигурации. Следовательно, если действует какой-либо диссипативный механизм, то мы вправе ожидать, что за точкой бифуркации г — ть несжимаемый сфероид Маклорена будет постепенно переходить в эллипсоид Якоби, имеющий такой же момент количества движения [см. уравнение (22) и его обсуждение]. Такой эволюции в точности соответствуют секториальные моды, рассмотренные в разд. 6.7, поэтому теперь следует заняться подробным изучением этих мод.
Как мы помним, в случае твердотельно вращающегося однородного сфероида уравнение (116) из разд. 6.7 является точным, если можно пренебречь диссипативными эффектами. Таким образом, в данном случае получаем
а_2 = □ - (2w - ”)1/2,。十2 = 0 + (% - О2)1/2 (16) и два аналогичных выражения, в которых 0 заменяется на -0; ни одна из частот явно не зависит от сжимаемости системы . Для сфероидов Маклорена параметр з сводится к
з = 2irGpa%3 j【〃/(彳 + u)2]A~1du. (17) ・ о
На рис. 10.3 изображено поведение частот а_2 и а+2 вдоль последовательности сфероидов Маклорена по Лебовицу. Частота а_2 обращается в нуль при й2 = з, т.е. в точке т = ть, где от последовательности сфероидов Маклорена ответвляется последовательность эллипсоидов Якоби. Кроме того, при Й2 > 2w, т.е. за точкой т =勺=0,2738, обе частоты становятся комплексными; отсюда ясно, что мода с частотой (1 является пределом колебательной неустойчивости (см., однако, разд. 11.3). Два критических сфероида, соответствующие т = % и т =勺，изображены на рис. 10.4. В случае несжимаемых сфероидов неустойчивость тессеральных и зональных мод, которые также рассматривались в разд. 6.7, уже не возникает.
Таким образом, в отсутствие диссипации в точке бифуркации 7 = % ни
Рис. 10.3. Частоты секториальных мод а+2 и а_2 вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения 7 = K/\W\. Частоты приведены в единицах (4irGp)i/2, они не изображены за точкой 7 = 丁尸 где становятся комплексными. По Лебовицу (1961). (Ostriker J. Р., Bodenheimer Я Ар. J., 180, 171, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.4. Меридиональные сечения сфероидов Маклорена, соответствующие а ——точке бифуркации 7 = 7° = 0,1375, 6 ——пределу динамической устойчивости т = % = 0,2738.
одна из частот не становится комплексной и динамическая неустойчивость наступает только после точки т = 丁尸 Как показали Робертс и Стюартсон, а также Розенкилд, если учесть вязкую диссипацию, то положение сильно изменится. В первом приближении вековое уравнение, из которого определяются корни (16), теперь приобретает вид
гдегде(18)(19)(18)(19)а2 — 20а — 10«у〉о/а； + 2(Й2 — з) = 0,⑺=j ppdx/ j pdx,
где
где
(18)
(19)
(18)
(19)
a p(x)——коэффициент кинематической вязкости . В предельном случае малой вязкости частота, которая обращается в нуль в точке 7 = 丁加 приоб-
ретает видретает вид0 в0_2 — 5/(p)a_2/[ai(O -0-2)]■0 в0_2 — 5/(p)a_2/[ai(O -0-2)]■(20)(20)
ретает вид
ретает вид
0 в0_2 — 5/(p)a_2/[ai(O -0-2)]■
0 в0_2 — 5/(p)a_2/[ai(O -0-2)]■
(20)
(20)
Из выражения (20) следует, что соответствующее движение затухает до нейтральной точки т = т6, а в диапазоне ть < т < ri его амплитуда растет с инкрементом, равным
工(辺二”产
l 5 8 0 - (2w -的1/2
(табл. 10.1). Таким образом, в области ть < т < rf даже очень слабое трение переводит сфероид в новую трехосную конфигурацию. О такой системе говорят, что она обладает вековой неустойчивостью. Как и в отсутствие вязкости, за точкой 丁 =万 сфероид Маклорена становится динамически неустойчивым. Все остальные моды затухают из-за вязкой диссипации.
Таблица 10.1 Инкременты вековой неустойчивости
7
（彳/⑺）
%，
H/A%/)
（力/⑺）
(c5//G3q/)
0,1375
8
00
0,22
2,0170 IO"4
2,0534 TO2
0,14
1,1174 • 10
1,0226 • 1010
0,24
1,2366 • 10"1
5,2517 ■ 10
1,1312 10
0,16
1,1306
1,6922 • 105
0,26
6,1528 KT?
0,18
5,3851 • 10"1
6,9356 • 103
0,27
3,1069 • 10~2
3,5571
0,20
3,1974 • 10"1
9,4622 • 102
0,2738
0
0
Истинный смысл вековой неустойчивости разъяснили в 1879 г. Кельвин и Тейт, понять его можно следующим образом Рассмотрим уравнения Навье ——Стокса в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью (1 [ср. с разд. 3.3, уравнение (52)]. Умножим их скалярно на вектор скорости, наблюдаемый во вращающейся системе, и проинтегрируем
по всему объему X Для несжимаемой конфигурации находим
pd(T + К + W)/dt = - j 公dx W 0, (22)
где T — относительная кинетическая энергия, измеряемая во вращающейся системе, а 小“(х, 0 — диссипативная функция [ср. с разд. 3.4, формула (62)]. Рассмотрим теперь тело, покоящееся относительно нашей вращающейся системы (Т 三 0,小”三 0, К + W = const). Если придать этой конфигурации небольшое смещение, то можно написать
pd(T + ЗК + 3%)/山=-J Ф/ & 0, (23)
где дК и 3% — малые приращения К н % соответственно. Из уравнения (23) сразу следует, что пока Г отличается от нуля, сумма 丁 + ЗК + 6 取 должна непрерывно уменьшаться. Если полная механическая энергия К + W абсолютно минимальна, то дК + bW всегда положительно, отсюда и Т, и ЬК 4- bW должны стремиться к нулю, и система в конечном счете вернется к своему равновесному положению. Напротив, если сумма К + % не есть абсолютный минимум, то ЪК + bW убывает, значит, Т медленно возрастает со временем до тех пор, пока конфигурация не придет в соседнее состояние относительного равновесия, обладающее вековой неустойчивостью. Именно так ведут себя сфероиды Маклорена при 7》т^, поскольку полная механическая энергия К + % эллипсоида Якоби меньше, чем у его осесимметричного аналога с таким же моментом количества движения.
Впоследствии истинную роль вековой неустойчивости изучали Пресс и Тюкольски: они проинтегрировали уравнения Навье — Стокса в предположении, что деформации эллипсоидальны. Из их численных результатов вырисовывается последовательная картина: за точкой т = ть несжимаемый сфероид Маклорена медленно и монотонно деформируется в эллипсоид Якоби. Промежуточные конфигурации — это эллипсоиды с внутренними движениями. В любых задачах, возникающих на практике, можно считать, что эволюционный путь зависит только от среднего <р>, а не от точного вида функции р(х). На рис. 10.5 и 10.6 показано, как вязкий сфероид Маклорена постепенно переходит в эллипсоид Якоби с такими же массой, объемом и моментом количества двжения.
Учитывая эти результаты, можно ожидать, что и другие диссипативные механизмы приведут к неустойчивости сфероида Маклорена за точкой бифуркации т = ть. Как показал Чандрасекар, диссипация энергии гравитационным излучением также вызывает вековую неустойчивость в одной из секториальных мод колебания. Если принять приближение слабого поля в общей теории относительности, а движения считать медленными, то две секториальные моды (16) приближенно определяются из уравнения
а2 - 2Йа - %iD(o - 2Q)5 + 2(” - з) = 0 (24)
О 20 40 60 80 100 120 140
Рис. 10.5. Главные оси первоначально возмущенного сфероида Маклорена в зависимости от времени при вековой неустойчивости, v = 0,002(irGp)1/2 (% 电 aj?". Все моды возмущения (кроме одной) со временем затухают, единственная растущая мода соответствует монотонной вековой релаксации в эллипсоид Якоби. (Поведение третьей главной оси с начальным значением а3 = 0,488 качественно выглядит так же.) (Press W. Н., Teukolsky S. А. Ар. J., 181, 513, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)Рис. 10.5. Главные оси первоначально возмущенного сфероида Маклорена в зависимости от времени при вековой неустойчивости, v = 0,002(irGp)1/2 (% 电 aj?". Все моды возмущения (кроме одной) со временем затухают, единственная растущая мода соответствует монотонной вековой релаксации в эллипсоид Якоби. (Поведение третьей главной оси с начальным значением а3 = 0,488 качественно выглядит так же.) (Press W. Н., Teukolsky S. А. Ар. J., 181, 513, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)^ ^« zder) g£ nN^ ^« zder) g£ nN
Рис. 10.5. Главные оси первоначально возмущенного сфероида Маклорена в зависимости от времени при вековой неустойчивости, v = 0,002(irGp)1/2 (% 电 aj?". Все моды возмущения (кроме одной) со временем затухают, единственная растущая мода соответствует монотонной вековой релаксации в эллипсоид Якоби. (Поведение третьей главной оси с начальным значением а3 = 0,488 качественно выглядит так же.) (Press W. Н., Teukolsky S. А. Ар. J., 181, 513, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.5. Главные оси первоначально возмущенного сфероида Маклорена в зависимости от времени при вековой неустойчивости, v = 0,002(irGp)1/2 (% 电 aj?". Все моды возмущения (кроме одной) со временем затухают, единственная растущая мода соответствует монотонной вековой релаксации в эллипсоид Якоби. (Поведение третьей главной оси с начальным значением а3 = 0,488 качественно выглядит так же.) (Press W. Н., Teukolsky S. А. Ар. J., 181, 513, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
^ ^« zder) g£ nN
^ ^« zder) g£ nN
Phc. 10.6. Дальнейшее поведение возмущенного сфероида Маклорена, изображенного на рис. 10.5. С исчезновением затухающих возмущений система следует к последовательности эллипсоидов Якоби вдоль единственного эволюционного пути. (Press W. Н., Teukolsky S. А. Ар. J., 181, 513, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью 0; здесь
D 二(G/c5)J pxfdx,(25)
где c — скорость света. Из уравнения (24) следует, что при учете гравитационного излучения неустойчивым оказывается корень а+2- Находим
0 =0+ 2 - %办(0+ 2 - 加)5/(0-0+ 2).(26)
Эта мода затухает при 0 & 7 W %, но растет по амплитуде в диапазоне ть < т < % (см. примечание на стр. 225). Инкремент этой вековой неустойчивости равен
/с = (5/2D) (2з -”)1/2/[口 一(з - 口2)1/2)5(27)
(см. табл. 10.1). Таким образом, реакция гравитационного излучения, как и вязкое трение, приводит к вековой неустойчивости сфероида Маклорена за точкой т = ть. Но мода колебания, которая становится неустойчивой из-за реакции излучения, не совпадает с модой, которая становится неустойчив вой из-за вязкости .
Поведение невязкого сфероида Маклорена под действием гравитационного излучения изучала и Миллер, которая непосредственно проинтегрировала уравнения движения для нескольких первоначально равновесных конфигураций. Ее анализ показывает, что невязкий сфероид Маклорена с вековой неустойчивостью стремится сойти с последовательности осесимметричных тел: за точкой т = ть невязкий сфероид благодаря реакции гравитационного излучения постепенно переходит в эллипсоид Дедекинда с теми же массой, объемом и циркуляцией.
Однако, как показали Линдблом и Детуейлер, при наличии и вязкости, и реакции гравитационного излучения точка наступления вековой неустойчивости сдвигается за т = ть в точку, определяемую отношением интенсивностей диссипативных сил. В частности, если масса и объем сфероидов зада-
ны, то существует одно выделенное значение коэффициента вязкости, при котором вековая устойчивость в последовательности сфероидов Маклорена будет сохраняться вплоть до точки наступления динамической неустойчивости т =勺！ Поэтому исследовать устойчивость сфероидов Маклорена при одновременном наличии вязкости и реакции гравитационного излучения приходится совершенно иначе, чем в случае, когда действует лишь один из этих диссипативных эффектов.
ТВЕРДОТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОЛИТРОПЫ
Здесь нам удобнее рассматривать несжимаемые сфероиды Маклорена как последовательность политроп с показателем 〃 = 0. В какой мере можно экстраполировать полученные выше результаты на центрально конденсированные политропы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью? При л > 0 точное решение получить нельзя, и нам приходится прибегнуть к численному интегрированию. Вообще говоря, современные методы можно разбить на следующие три класса:
Численные расчеты Джеймса. Чтобы найти строение звезды около центра, плотность р и гравитационный потенциал V разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Pz(cos0). Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. В настоящее время этот метод считается самым строгим и дает, по-видимому, очень точные результаты. (Ошибка вследствие отбрасывания членов в самом худшем из рассмотренных случаев составляет около 2 • 10-3.) Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне 0 V 3 .
Разложения Чандрасекара — Милна (ср. с разд. 5.3). Самые подробные результаты получил Аикава (1971), который построил разложения до второго порядка по параметру
V = 02/(2tGPc) (28)
в широком диапазоне значений п. В первом порадке по у Монаган и Роксбург применили также модифицированное разложение Такеды (ср. с разд. 5.4).
Вариационные методы Робертса. В этих методах изопикнические поверхности считаются семейством сфероидов с (фиксировнным или переменным) эксцентриситетом е. Параметр е и плотность о опеределяются из условия, что для всех первых вариаций е и р, при которых сохраняется масса М и момент количества движения J конфигурации, приращение полной энергии первого порядка равно нулю. Много моделей такого типа простроили Хэрли и Робертс.
Осесимметричные модели
В сферических координатах (г,从=cos仇 g) уравнения равновесия сводятся к
厂1咂=一矶0一 % m/(1 - 从2)](29)
(ср. с разд. 4.3). Интегрируя уравнение (29) для конфигурации, в которой давление и плотность связаны соотношением (2), получаем
5 + 1)р = -〃0 - % 口2厂2(1 一 Q)一 ％],(30)
где % — значение V на полюсах системы.
Производя замену переменных,
о = %у, р = М +(i/〃)e〃 + 1,(31)
г = а? = [(л + 1)К/(4万Gp」-(1/〃))]1勺，(32)
приведем уравнение (30) к виду
e = % +%u尸口 -卩23)]一匕(33)
где 0 н % измеряются в единицах (л + 1)Кр；/〃. Из уравнения Пуассона находим
F式2嘴+ 3節1 -鬲需+ ё" =v- (34)
Уравнение (34) нужно решать при условиях
е = 1, эе/э$ = о(35)
при £ = 0. Кроме того, гравитационная сила должна быть непрерывной на неизвестной границе d где давление (а значит, и 0) обращается в нуль.
Джеймс проинтегрировал уравнение (34) численно. В табл. 10.2 и 10.3 приведены параметры последовательностей политроп с п = 1,5 и 3: полярный и экваториальный радиусы (Е и Ее), эффективная сила тяжести на экваторе ge, полная масса М, полный ооъем Xи моменты инерции
/"= 5 戍2(1 - 〃2)dx, /33 = j 位2〃2dx.(36)
Только в этом разделе единицами длины, массы и времени служат соответственно а, 4наЗрс и (4irGpJf I’? [см. формулы (31) и (32)], так что в этих единицах мы сравниваем модели с одинаковой плотностью в центре о。а не с одинаковой массой. Мы сразу же замечаем, что на экваторе самой деформированной модели последовательности эффективная сила тяжести падает до нуля, однако эта предельная модель отнюдь не является бесконечно тонким диском. В общем случае при л > 0 каждая последовательность заканчивается в некоторой точке, скажем 7 = ттах, которая зависит от показателя политропы. В табл. 10.4 приведены предельные значения физических параметров для различных значений 九.При л > 3 становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу; в
Таблица 10.2
Физические свойства твердотельно вращающихся политроп (〃 = 1,5)
Qames R, А. Ар. J., 140, 552, 1964. С разрешения The University of ChicagoPress. © 1964 by the University of Chicago.)
io% 匾 以 10g,， м io~V 1。-2厶3 io'2/H
6 о 17 11 о 7 2 8 4 2 2 7 7 5 3 4 19 6 18 7 2 17 3* 9754345827311374 3 76680 34679 6791469258159 3 79139 9 9 9 Q о о о о о 1111 2 2 3 3 3 4 4 4 5 56 о 17 11 о 7 2 8 4 2 2 7 7 5 3 4 19 6 18 7 2 17 3* 9754345827311374 3 76680 34679 6791469258159 3 79139 9 9 9 Q о о о о о 1111 2 2 3 3 3 4 4 4 5 56191659708 2 29368054942921 19653211?^ 2468261854477795 3 3456789412346790 2 4680123 ^^^^ ^^ 阴0^9仆 QQQPQQQJJJJJ22N26191659708 2 29368054942921 19653211?^ 2468261854477795 3 3456789412346790 2 4680123 ^^^^ ^^ 阴0^9仆 QQQPQQQJJJJJ22N23,65382,03302,71412,04323,68111,98292,72972,06503,70951,93152/4572,08783,739()1,87902,76222,11163,76981,82512,77912,13663,80201,76972,79662,16293,83581,71282,81452,19053,87121,65422,83312,21963,90851,59362,85222,25053,94781,53092,87192,28323,9896、1,46592,89232,31804,03411,39832,91342,35534,08181,32772,93542,39534,13311,25372,95812,43844,18881,17562,98182,48544,24981,09283)OO652,53684,31741,00403,03232,59374,39370,90803,05932,65764,48150,80213,08772,73044,58630,68253,11772,81574,71900,54103,14962,91994,86410,39833,17673,02654,96500,30633,19103,09405,11870z17693,20573,18205;ЗОО70,04003,21333,24913,65382,03302,71412,04323,68111,98292,72972,06503,70951,93152/4572,08783,739()1,87902,76222,11163,76981,82512,77912,13663,80201,76972,79662,16293,83581,71282,81452,19053,87121,65422,83312,21963,90851,59362,85222,25053,94781,53092,87192,28323,9896、1,46592,89232,31804,03411,39832,91342,35534,08181,32772,93542,39534,13311,25372,95812,43844,18881,17562,98182,48544,24981,09283)OO652,53684,31741,00403,03232,59374,39370,90803,05932,65764,48150,80213,08772,73044,58630,68253,11772,81574,71900,54103,14962,91994,86410,39833,17673,02654,96500,30633,19103,09405,11870z17693,20573,18205;ЗОО70,04003,21333,2491ooooolllll 7^/ ОГ2223333344444ooooolllll 7^/ ОГ2223333344444
6 о 17 11 о 7 2 8 4 2 2 7 7 5 3 4 19 6 18 7 2 17 3* 9754345827311374 3 76680 34679 6791469258159 3 7913
9 9 9 9 Q о о о о о 1111 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5
6 о 17 11 о 7 2 8 4 2 2 7 7 5 3 4 19 6 18 7 2 17 3* 9754345827311374 3 76680 34679 6791469258159 3 7913
9 9 9 9 Q о о о о о 1111 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5
6191659708 2 29368054942921 19653211?^ 2468261854477795 3 3456789412346790 2 4680123 ^^^^ ^^ 阴0^9仆 QQQPQQQJJJJJ22N2
6191659708 2 29368054942921 19653211?^ 2468261854477795 3 3456789412346790 2 4680123 ^^^^ ^^ 阴0^9仆 QQQPQQQJJJJJ22N2
3,6538
2,0330
2,7141
2,0432
3,6811
1,9829
2,7297
2,0650
3,7095
1,9315
2/457
2,0878
3,739()
1,8790
2,7622
2,1116
3,7698
1,8251
2,7791
2,1366
3,8020
1,7697
2,7966
2,1629
3,8358
1,7128
2,8145
2,1905
3,8712
1,6542
2,8331
2,2196
3,9085
1,5936
2,8522
2,2505
3,9478
1,5309
2,8719
2,2832
3,9896、
1,4659
2,8923
2,3180
4,0341
1,3983
2,9134
2,3553
4,0818
1,3277
2,9354
2,3953
4,1331
1,2537
2,9581
2,4384
4,1888
1,1756
2,9818
2,4854
4,2498
1,0928
3)OO65
2,5368
4,3174
1,0040
3,0323
2,5937
4,3937
0,9080
3,0593
2,6576
4,4815
0,8021
3,0877
2,7304
4,5863
0,6825
3,1177
2,8157
4,7190
0,5410
3,1496
2,9199
4,8641
0,3983
3,1767
3,0265
4,9650
0,3063
3,1910
3,0940
5,1187
0z1769
3,2057
3,1820
5;ЗОО7
0,0400
3,2133
3,2491
3,6538
2,0330
2,7141
2,0432
3,6811
1,9829
2,7297
2,0650
3,7095
1,9315
2/457
2,0878
3,739()
1,8790
2,7622
2,1116
3,7698
1,8251
2,7791
2,1366
3,8020
1,7697
2,7966
2,1629
3,8358
1,7128
2,8145
2,1905
3,8712
1,6542
2,8331
2,2196
3,9085
1,5936
2,8522
2,2505
3,9478
1,5309
2,8719
2,2832
3,9896、
1,4659
2,8923
2,3180
4,0341
1,3983
2,9134
2,3553
4,0818
1,3277
2,9354
2,3953
4,1331
1,2537
2,9581
2,4384
4,1888
1,1756
2,9818
2,4854
4,2498
1,0928
3)OO65
2,5368
4,3174
1,0040
3,0323
2,5937
4,3937
0,9080
3,0593
2,6576
4,4815
0,8021
3,0877
2,7304
4,5863
0,6825
3,1177
2,8157
4,7190
0,5410
3,1496
2,9199
4,8641
0,3983
3,1767
3,0265
4,9650
0,3063
3,1910
3,0940
5,1187
0z1769
3,2057
3,1820
5;ЗОО7
0,0400
3,2133
3,2491
ooooolllll 7^/ ОГ2223333344444
ooooolllll 7^/ ОГ2223333344444
самом деле, с ростом п твердотельно вращающаяся политропа все больше напоминает массивную точку в центре, окруженную протяженной оболочкой, в которой заключена ничтожная доля полной массы. Трудно определить и предельные значения ттах. Очень приближенно, если вдоль последовательности сфероидов Маклорена л = 0 ттах = 0,50, то при л = 1 ттах « 0,12, а при л 3 ^тах становится меньше одной сотой*, а когда показатель политропы стремится к своему предельному значению л = 5, ттах стремится к нулю. Таким образом, если требовать, чтобы центрально конденсированная политропа вращалась с постоянной угловой скоростью, то она не может
Таблица 10.3
Физические свойства твердотельио вращающихся политроп (л = 3)
Qames К. 4, Ар. J., 140, 552 1964. С разрешения The University of ChicagoPress. © 1964 by the University of Chicago)
104r104r102统102统10-V107%310'2/h10-V107%310'2/h0,06,896856,896852,018242,06,885916,944622,020724,06,875046,994562,023236,06,864117,046902,025768,06,853177,101892,0283210,06,842277,159802,0309012,06,831367,221012,0335114,06,820487,285872,0361516,06,809497,354922,0388218,06,798577,428792,0415220,06,787727,508032,0442522,06,776827,593882,0470124,06,765917,687352,0498026,06,755007,790072,0526328,06,744067,904352,0555030,06,733018,033382,0584132,06,722088,181972,0613634,06,711118,357972,0643536,06,700138,576352,0673836,86,695758,681822,0686137,66,691388,802952,0698538,06,689188,871262,0704738,46,686988,946192,0711038,86,684779,029642,071720,06,896856,896852,018242,06,885916,944622,020724,06,875046,994562,023236,06,864117,046902,025768,06,853177,101892,0283210,06,842277,159802,0309012,06,831367,221012,0335114,06,820487,285872,0361516,06,809497,354922,0388218,06,798577,428792,0415220,06,787727,508032,0442522,06,776827,593882,0470124,06,765917,687352,0498026,06,755007,790072,0526328,06,744067,904352,0555030,06,733018,033382,0584132,06,722088,181972,0613634,06,711118,357972,0643536,06,700138,576352,0673836,86,695758,681822,0686137,66,691388,802952,0698538,06,689188,871262,0704738,46,686988,946192,0711038,86,684779,029642,07172717418735188218096515590106284364054108786813383418767927^23744023619027790246813692593839603680334444455556667788900001 1Ж ^1 1ж ^л 11 11 11 11 1Ж 11 11 11 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 11 ^/^ ^/^ CM >^/^717418735188218096515590106284364054108786813383418767927^23744023619027790246813692593839603680334444455556667788900001 1Ж ^1 1ж ^л 11 11 11 11 1Ж 11 11 11 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 11 ^/^ ^/^ CM >^/^0,909100,90910.911620,91352914180,91802.916790;92260.919450,92726922160,93201.924930,3686927760,94180.930640,94685.933590,95200.936600,95726.939690,96265942840,96816.946080,97381949400,97961.952810,98556956320,99168959940,99799.963671,00450.965201,00716966751,00986967541,01123968331,012610,96912l;014000,909100,90910.911620,91352914180,91802.916790;92260.919450,92726922160,93201.924930,3686927760,94180.930640,94685.933590,95200.936600,95726.939690,96265942840,96816.946080,97381949400,97961.952810,98556956320,99168959940,99799.963671,00450.965201,00716966751,00986967541,01123968331,012610,96912l;01400
104r
104r
102统
102统
10-V107%310'2/h
10-V107%310'2/h
0,0
6,89685
6,89685
2,01824
2,0
6,88591
6,94462
2,02072
4,0
6,87504
6,99456
2,02323
6,0
6,86411
7,04690
2,02576
8,0
6,85317
7,10189
2,02832
10,0
6,84227
7,15980
2,03090
12,0
6,83136
7,22101
2,03351
14,0
6,82048
7,28587
2,03615
16,0
6,80949
7,35492
2,03882
18,0
6,79857
7,42879
2,04152
20,0
6,78772
7,50803
2,04425
22,0
6,77682
7,59388
2,04701
24,0
6,76591
7,68735
2,04980
26,0
6,75500
7,79007
2,05263
28,0
6,74406
7,90435
2,05550
30,0
6,73301
8,03338
2,05841
32,0
6,72208
8,18197
2,06136
34,0
6,71111
8,35797
2,06435
36,0
6,70013
8,57635
2,06738
36,8
6,69575
8,68182
2,06861
37,6
6,69138
8,80295
2,06985
38,0
6,68918
8,87126
2,07047
38,4
6,68698
8,94619
2,07110
38,8
6,68477
9,02964
2,07172
0,0
6,89685
6,89685
2,01824
2,0
6,88591
6,94462
2,02072
4,0
6,87504
6,99456
2,02323
6,0
6,86411
7,04690
2,02576
8,0
6,85317
7,10189
2,02832
10,0
6,84227
7,15980
2,03090
12,0
6,83136
7,22101
2,03351
14,0
6,82048
7,28587
2,03615
16,0
6,80949
7,35492
2,03882
18,0
6,79857
7,42879
2,04152
20,0
6,78772
7,50803
2,04425
22,0
6,77682
7,59388
2,04701
24,0
6,76591
7,68735
2,04980
26,0
6,75500
7,79007
2,05263
28,0
6,74406
7,90435
2,05550
30,0
6,73301
8,03338
2,05841
32,0
6,72208
8,18197
2,06136
34,0
6,71111
8,35797
2,06435
36,0
6,70013
8,57635
2,06738
36,8
6,69575
8,68182
2,06861
37,6
6,69138
8,80295
2,06985
38,0
6,68918
8,87126
2,07047
38,4
6,68698
8,94619
2,07110
38,8
6,68477
9,02964
2,07172
717418735188218096515590
106284364054108786813383
418767927^23744023619027
790246813692593839603680
334444455556667788900001 1Ж ^1 1ж ^л 11 11 11 11 1Ж 11 11 11 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 11 ^/^ ^/^ CM >^/^
717418735188218096515590
106284364054108786813383
418767927^23744023619027
790246813692593839603680
334444455556667788900001 1Ж ^1 1ж ^л 11 11 11 11 1Ж 11 11 11 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 ^1 11 ^/^ ^/^ CM >^/^
0,90910
0,90910
.91162
0,91352
91418
0,91802
.91679
0;92260
.91945
0,92726
92216
0,93201
.92493
0,3686
92776
0,94180
.93064
0,94685
.93359
0,95200
.93660
0,95726
.93969
0,96265
94284
0,96816
.94608
0,97381
94940
0,97961
.95281
0,98556
95632
0,99168
95994
0,99799
.96367
1,00450
.96520
1,00716
96675
1,00986
96754
1,01123
96833
1,01261
0,96912
l;01400
0,90910
0,90910
.91162
0,91352
91418
0,91802
.91679
0;92260
.91945
0,92726
92216
0,93201
.92493
0,3686
92776
0,94180
.93064
0,94685
.93359
0,95200
.93660
0,95726
.93969
0,96265
94284
0,96816
.94608
0,97381
94940
0,97961
.95281
0,98556
95632
0,99168
95994
0,99799
.96367
1,00450
.96520
1,00716
96675
1,00986
96754
1,01123
96833
1,01261
0,96912
l;01400
запасти много кинетической энергии вращения, оставаясь при этом фигурой равновесия.
Учитывая это замечание, можно предположить, что при 〃之 3 неплохие результаты должно давать разложение Чандрасекара — Милна, поскольку этот метод был специально разработан для построения конфигураций, мало отклоняющихся от сферической симметрии (ср. с разд. 5.3). Следуя Аикаве, находим во втором порядке по v
6(8 从)=夕收)+ v[^) + А^)Р^)] +
+ M{xo⑹ + 以2伐)+ В^^Р^) + В⑹ + B^)]P^)]t (37)
где 夕&)——сферическое решение, т.е. функция Лейна — Эмдена для показателя л. Таблицы функций 6, ^0, ^2» W# Хо, Хз» и Хд для различных значений п приведены в приложении Д, константы &，％ и В《даны в табл. 10.5. Внешнюю границу можно представить в виде
S(M)二 ±1 + “Qio + Qi/zS)】+ M%0 + q22P2&)+ ^24^4^)]»*8)
Таблица 10.4
Предельные значения физических величин
Qames R А. Ар. J., 140, 552, 1964. С разрешения The University of Chicago Press.© 1964 by the University of Chicago)
n
1自J弘MIO—% IO-2/33IO—/”
0,808 1,0
1,5
2,0
2,5 3,0*
10,602962,48524,76525,02481,9682,08903,0695
8,37202,69334,8265 4,2892,18251,69552,3540
4,36243,29625,35853,21373,2591,23551,5309
2,16044,05536,3072,65185,5271,05531,209
0,993005,09997,76232,3056310,5030,98181,0666
0,39326,58……2,089 ……
*По более полным данным ([36] к гл. 5 и Miketinac М J., Barton В, J., Astrophys and Space Sci., 18, 437, 1972) для 〃 = 3 • 102 v = 0,408, % = Ю,1, M = 2,074, ЮТ]】=1Q21. — Прим, перев.
где & ——первый нуль функции 8(0, числа q〃 приведены в табл. 10.5 [ср. с разд. 5.3, уравнение (53)].
В заключение интересно сравнить экваториальные радиусы, найденные при помощи следующих методов: численных расчетов Джеймса, разложений первого и второго порядка по и и модифицированного разложения Такеды,
Таблица 10.5
Параметры строения для твердотельно вращающихся политроп
(Aikawa Г. Sci. Rep. Tohoku Univ. (I) 54, 13, 1971)
〃 =1,5
〃 =2,0
〃 =：2,5
〃 =3,0
〃 =3,5
0,59794
0,64236
0,68364
0,72330
0,76270
一切
0,15103-10
0,21099-10
0,29473 10
0,42058-10
0,63122-10
+以
0,57638 КГ】
0,88927-10-1
0,12619
0,17003
0,22147
+ ?1
0,36538-10
0,43529-10
0,53553-10
0,68969-10
0,95358 10
+力0
0,63669-10
0,15052-102
0,41519-102
0,13749-103
0,59611103
一分2
0,14080-102
0,28487-102
0,67043-102
0,19224-103
0,73611103
+。20
0,44884-102
0,22932-103
0,14490-104
0,12014-105
0,15466-106
0,11114-103
0,47343 103
0,26210-104
0,19881 105
0,24074-106
+3
0,61333 102
0,23863 103
0,11749-104
0,79194-104
0,86343 105
Рис. 10.7. Изменение экваториального радиуса ^ твердотельно вращающихся политроп показателя п = 1,5. Параметр v определен формулой (28). Сплошная и штриховая линии — разложения первого и второго порядка по v (Аикава), черные кружки — численные расчеты Джеймса, белый кружок ——вариационный метод с переменным эксцентриситетом (Хэрли и Робертс), косые крестики — вариационный метод с постоянным эксцентриситетом (Робертс), прямой крестик ——модифицированный йетод Такеды (Монаган и Роксбург). Стрелками отмечены значения для последнего члена каждой равновесной последовательности. (Aikawa Г. Sci. Rep. Tohoku Univ. (I), 54, 13, 1971.)
вариационных методов с фиксированным и переменным эксцентриситетами. Экваториальный радиус 北 пока является самым трудным для точного определения параметром. Из рис. 10.7 и 10.8 следует, что при стремлении v к предельному значению даже разложение второго порядка плохо аппроксимирует численные результаты Джеймса. Вариационные методы не очень точны, потому что уровенную поверхность центрально конденсированного тела нельзя адекватно описать сфероидами (ср. с разд. 4.4). Тем не менее при 〃之 3 интегральные величины (такие, как полная масса) во всех случаях определяются с большей точностью, поскольку внешние слои вносят очень малый вклад в выражения для этих величин. Как бы то ни было, такое сравнение позволяет оценить, какую ошибку можно ожидать в случае звезд главной последовательности, вращающихся как твердое тело, для которых точность нельзя проконтролировать (ср. с разд. 12.2).
Рис. 10.8. Изменения экваториального радиуса Ее для твердотельно вращающихся политроп с показателем л = 3. Обозначения те же, что на рис. 10.7. (Aikawa Г. Sci. Rep. Tohoku Univ. (1), 54, 13, 1971.)
Колебания и устойчивость
Как было показано в предыдущем разделе, последовательность эллипсоидов Якоби ответвляется от последовательности сфероидов Маклорена л = 0 в точке т - ть = 0,1375; после этой точки осесимметричные фигуры приобретают вековую неустойчивость. Законно спросить, есть ли подобная точка бифуркации на последовательности твердотельно вращающихся политроп (〃 > 0). Как с высокой точностью показал Джеймс, при
л < 0,808 (39)
на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия. Если условие (39) не выполнено, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет.
Чтобы понять этот результат, вновь рассмотрим секториальные моды [(116), разд. 6.7]. Точные значения их частот вдоль последовательности сфероидов Маклорена л = 0 определены формулами (16) и (17). Если заменить формулу (17) на
3 =匕2, 12^11 (働
[ср. с разд. 6.7, формула (117)], то уравнение (16) дает приближенное решение для центрально конденсированных твердотельно вращающихся тел. (В настоящее время у нас нет способа оценить ошибки в。一2Ho + 2； однако можно показать, что в предельном случае т = 0 при рс/р s 10 относительная погрешность нигде не превосходит 5%.) На рис. 10.9 показано, как меняется а_2 вдоль последовательностей политроп с показателями п = 0,6 ;0,808 и 1,0 (7щах н 0,16, 0,138 и 0,12 соответственно). Мы видим, что если нейтральная мода существует, то она всегда появляется в точке т = 0,138 [ = %(〃)，к примеру}, которая при нашей точности не зависит от показателя политропы. Точнее говоря, при ттах > ть(п) (т.е. л < 0,808) корень а_2 для одного из членов последовательности непременно обращается в нуль. Напротив, при 7max V 7ь(〃)(т・е. 〃 > 0,808) корень а_2 никогда не обращается в нуль, поскольку ни одна из моделей последовательности не может накопить достаточно кинетической энергии вращения, чтобы достичь фиксированной (или почти фиксированной) точки т = %(〃)> Наконец, при ттах = %(〃)(т.е. 〃 =0,808)。一2 в точности обращается в нуль для предельной модели последовательности.
Для однородных сфероидов из существования нейтральной моды колебаний следует, что при действии какого-либо диссипативного механизма веко-
Рнс. 10.9. Секториальная частота а_2 для твердотельно вращающихся политроп с показателями л = 0,6 (штриховая линия), л = 0,808 (сплошная линия) и л = 1,0 (штрихпунктирная линия) в зависимости от отношения т = К/\W\. Частоты приведены в единицах ^Gp^iTassoul J. L, Ostriker J. Р. А. Ар., 4, 423, 1970.)
вая неустойчивость наступает за точкой т — ть (0) w ть [ср. с выражениями (20) и (26)], а отсюда следует, что в точке т = ть ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия, обладающие вековой устойчивостью. В случае центрально конденсированных политроп положение аналогично. В самом деле, если учесть вязкость, то частота а_2 несколько изменится
。三。一2 - 2/«р>/<а2»а_2/(П -。—2)， (41)
где
〈”〉=[°绪 + X2)dx/^dx (42)
[ср. с формулами (16), (19) и (40)]. Таким образом, формула (20), которая соответствует предельной последовательности политроп с л = 0, заменяется формулой (41). (Заметим, что〈小？〉=北彳/5 при п = 0.) Как показала Миллер, реакция гравитационного излучения также приводит к вековой неустойчивости центрально конденсированных твердотельно вращающихся тел за точкой т = 7b(〃)； в этом случае интересующая нас частота по-прежнему адекватно определяется формулой (26), но а + 2 и нужно теперь вычислять по формулам (16) и (40) соответственно. Все остальные моды, рассмотренные в разд. 6.7, устойчивы; они либо затухают под действием этих двух диссипативных механизмов, либо нечувствительны к ним.
Итак, если ттах больше ть(п), то одна из секториальных частот становится комплексной за точкой 7 = ть(п)9 т.е. после того как обращается в нуль а_2 или。+2 (ср. с примечанием на стр. 228). Другими словами, при п < 0,808 в точке т =*• ть(п)9 наступает вековая неустойчивость, а за этой точкой осесимметричные модели медленно переходят в конфигурации, обладающие вековой устойчивостью и точной симметрией относительно трех плоскостей. Напротив, при п 》0,808 твердотельно вращающиеся политропы всегда обладают вековой устойчивостью, и поэтому бифуркация невозможна. Это помогает понять результаты, полученные Джеймсом на основе вычисления равновесных фигур.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОЛИТРОПЫ.
В двух предыдущих разделах мы рассмотрели основные свойства твердотельно вращающихся политроп (л》0). Ясно, что в этом случае в состоянии равновесия вязкие напряжения строго равны нулю, поскольку в твердотельно вращающихся конфигурациях относительных движений нет. Напротив, в дифференциально вращающихся системах вязкость неизбежно вызывает непрерывные изменения в распределении момента количества движения (ср. с разд. 7.5). В этом разделе мы предположим, что вязкими эффектами можно полностью пренебречь. Поэтому мы вправе задавать любой закон вращения, лишь бы он удовлетворял критерию Хейланда (см. разд. 7.3).
Если отклонение от сферичности велико, аналитические разложения не приносят большой пользы и приходится обращаться к численному интегрированию. Эту задачу решали двумя различными способами:
Численное интегрирование Стокли. Осесимметричные модели были построены только для случая п = 1,5, причем угловая скорость задавалась в виде
0&) = йсехр[ 一 аьз2/^,(43)
где & измеряется от оси вращения, Йс — угловая скорость на оси и а ——постоянная. Согласно критерию Хейланда, момент количества движения на единицу массы 0(&)&2 должен увеличиваться наружу; для выполнения этого условия устойчивости, требуется, чтобы а&2/^ W 1, т.е. О w a W L Численные решения были получены при помощи конечноразностной схемы, очень похожей на метод Хениея, применяемый в задачах о внутреннем строении звезд. Оценка погрешностей не проводилась.
Метод самосогласованного поля (ср. с разд. 5.5). В этом методе Боден- хеймер и Острайкер задавали не угловую скорость 0(&), а распределение момента количества движения >(/и^). Предполагалось, что распределение задано формулой
人mа) = % + "1 -小备卢+勺(1 -ma产，(44)
где т~ — доля массы, заключенная в цилиндре радиуса 含.Различные постоянные, которые фигурируют в уравнении (44), подбирались так, чтобы (с точностью до 1 %) описать распределение момента количества движения в твер- дотельно вращающейся политропе с показателем 〃' и бесконечным радиусом (табл. 10.6). Был построен ряд осесимметричных моделей для различных комбинаций п ип'. Ясно, что комбинация (〃,〃，) = (0, 0) определяет последовательность сфероидов Маклорена. (В этом случае с0 = -с2 = 5/2, а2 = 2/3, с】=0.) Верхний предел суммирования ^ в разложениях (82) и (84) разд. 5.5 полагается равным 15. Общая точность модели оценивается вири- альным тестом
з
VT=% £ 1(%+ 4+ j pdx)/%3(45)
/ = 1х
Таблица 10.6
Коэффициенты в формуле (44)
(Bodenheimer Р., Ostriker J.尸.Ар. J., 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society)
〃' =0
n' = 0,5
〃' =1
〃' =1,5
c0
+ 2,500000
+ 3,068133
+ 3,825819
+ 4,887588
J
+ 0,203667
+ 0,857311
+ 2,345310
C2
—2,500000
-3,271800
-4,68313
-7,232898
+ 0,801297
+ 0,650981
+ 0,525816
效
+ 0,666667
+ 0,500000
+ 0,400000
+ 0,333333
где все символы имеют обычный смысл (разд. 3.7), величина VT, таким образом, показывает, в какой степени удовлетворяются вириальные уравнения второго порядка.
Осесимметричные модели
В табл. 10.7 и на рис. 10.10 приводятся физические параметры некоторых конкретных моделей, построенных Стокли [см. уравнение (43)], табл. 10.7 содержит сферическую политропу с показателем л = 1,5 и четыре модели, выбранные в качестве примеров. Эти параметры выражены в безразмерных переменных, основанных на 4tG, (л + 1)К и М (вместо р/)； таким образом, для 九=1,5 единицами длины, массы и времени служат соответственно %K(4tG)-1 М~1/3, М и (VzК)~ 3/2(4tG)~ 2М ~1. Помимо уже определенных величин в табл. 10.7 приводится отношение ОуО^ угловых скоростей при & = 0 и ^е・ Выписывается и отношение эффективной силы тяжести на экваторе ge к гравитационному ускорению (дУ/дг)е, чтобы показать, насколько близка конфигурация к предельной модели своей последовательности (с данным а).
Последовательности моделей Стокли распадаются на отдельные классы в зависимости от их поведения при больших значениях полного момента количества движения J. Для малых значений параметра а (т.е. при умеренно дифференциальном вращении) каждая последовательность заканчивается конфигурацией с нулевой эффективной силой тяжести на экваторе. С другой стороны, если вращение сильно дифференциальное (т.е. а стремится к единице), то поверхностные слои деформируются сильнее, чем центральные области. В этом случае последовательности могут даже содержать быстро вращающиеся модели с остроконечными изопикническими поверхностями в их недрах, в
Таблица 10. 7
Физические свойства дифференциально вращающихся политроп (л = 1,5)
(Stoeckly R. Ар. J., 142, 208, 1965. С разрешения The University of Chicago Press. © 1965 by the University of Chicago)
Сфера
D
E尸
G
a
0,54223
0,97484
0,77704
0,93890
&e1,1848 • 10
2,3949 • 10
3.0125 • 10
2,2199 10
2,3210 • 10
卜1,1848 • 10
1,1071 ■ 10
1,0988 • 10
1,0809 10
1,0643 • 10
l(PQr0
4,2060
4,1313
4,4828
4,4734
&/&
1,7198
2,6507
2,1750
2,5572
10*p8,6010
4,7302
3,4171
3,3702
2,6019
%炉5,9913
10,297
13,198
8,1644
7,3313
-ge®/a 乳 1
0,01903
0,21977
0,47404
0,57713
J0
0,23106
0,31525
0,29998
0,34463
Рис. 10.10. Меридиональные сечения четырех дифференциально вращающихся политроп с показателем л = 1,5 (см. табл. 10.7). Модель D. Модель со слабо выраженным дифференциальным вращением, находящаяся у конца последовательности, эффективная сила тяжести на экваторе приблизительно равна нулю. Модель Е. Величина а немного больше, чем у последовательностей, достигающих предела нулевой эффективной силы тяжести на экваторе, эта модель иллюстрирует быстрое возрастание экваториального радиуса в таких последовательностях. Модель Е Модель с умеренно дифференциальным вращением и почти таким же полным моментом количества движения, как у модели Е. Модель G. Изопикнические поверхности этой модели всюду имеют такую же сплюснутость, как фигуры бифуркации вдоль последовательности сфероидов Маклорена, почти прямоугольная форма этой модели типична при сильно выраженном дифференциальном вращении. (Stoeckly R. Ар.
142, 208, 1965. С разрешения The University of Chicago Press. © 1965 by the University of Chicago.)
таких моделях давление и плотность местами увеличиваются наружу. Изучая крайние случаи, Стокли обнаружил также, что последовательности с постоянным @( > 0,67) проходят через системы с околозвездными дисками и что вскоре после этого последовательности обрываются или нарушается их непрерывность. Для этих конфигураций исследование устойчивости не проводилось и точки бифуркации не определялись.
Позже появились подробные результаты Боденхеймера и Острайкера [ср. с уравнением (44)]. Основные сведения об их моделях собраны в табл. 10.8 и 10.9 и на рис. 10.11 — 10.15. На этот раз система единиц основана на G, М и Ее，однако 0 измеряется в единицах (4т6рс)1/2! Положение модели на данной последовательности (л, 〃') характеризуется безразмерным моментом количества движения J/(GM3&e)i/2 или, лучше> отношением 7 = K/\W\. Таким образом, при фиксированных значение J, М, л и 〃‘ последовательность представляет собой набор дифференциально вращающихся политроп, эква- трриальные радиусы которых с ростом г становятся все меньше, все модели данной последовательности имеют одно и то же распределение момента количества движения 丿(川6)・ Тем самым последовательности политроп (л, 〃') обобщают классическую последовательность сфероидов Маклорена (0, 0). Необходимо сделать одно предостережение. Никем не доказано, что сжима* ющаяся невязкая конфигурация будет эволюционировать по одной из этих последовательностей. Таким образом, последовательность политроп (〃,〃') лучше пока рассматривать как непрерывное множество не связанных между собой статических моделей, а не как эволюционный путь сжимающейся неоднородной звезды.
Рис. 10.11 — 10.14 позволяют провести сравнение с последовательностью
Вне. 10.11. Отношение ^/^ для четырех последовательностей политроп в зависиМости от отношения т = K/\W\. (Bodenheimer Р., Ostriker J. R Ap. J., 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.12. Логарифм плотности в центре рс (в единицах M/g：) для последовательностей политроп, приведенных на рис. 10.11, в зависимости от 7 = K7I %l. (Boden- heimer Р., Ostriker J. Р. Ар. J., 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.13. Средняя yi ловая скорость <Q> для последовательностей политроп, приведенных на рис. 10.11, в зависимости от т = К/ \W\. ◎ выражено в единицах (4冗6暝)"2・(Bodenheimer Р., Ostriker J.尸.Ap. J., 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.14. Степень дифференциальности вращения (определяемая отношением 0£/0е) для последовательностей политроп, приведенных на рис. 10.11, в зависимости от 7 = К/ 丨 ％l. (Bodenheimer Р., Ostriker J. Р. Ар: L, 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
сфероидов Маклорена (0, 0); на них показано, как меняются отношение WJEp, плотность в центре рс, средняя угловая скорость
(46)(46)<й> = J p(X)O(w)ci2dx!/j p(X)&2dx
(46)
(46)
и, наконец, отношение Пс/Пе. Расчет последовательностей прекращался, когда из-за высокой степени сплюснутости возникали численные трудности и сходимость замедлялась. В табл. 10.8 и 10.9 приведены характеристики двух последовательностей, указаны также полная внутренняя энергия UT (при 7 = 5/3), скорость на экваторе ve = й^^, эффективные силы тяжести gp и ge на полюсах и на экваторе и отношение осей (^/ус изопикнических поверхностей вблизи центра политропы. Наконец, на рис. 10.15 для двух выбранных моделей в деталях изображены сечения в меридиональной плоскости. Если исключить последовательность сфероидов Маклорена, для которой «Чз) ос &, то все полученные кривые скорости v(Q) напоминают кривую вращения галактики. Заметим, что эти кривые не взяты a priori, а получены в результате решения уравнений равновесия.
Итак, дифференциально вращающиеся политропы сильно отличаются °т конфигураций в случае твердотельного вращения. В частности, при дифференциальном вращении политропы могут накапливать большее количество кинетической энергии вращения по сравнению с их потенциальной гравитационной энергией. Кроме того, последова- ^льности политроп (л,九')по всем главным свойствам подобны последовательности сфероидов Маклорена (0,0), с тем исключением, что "X вращение не является твердотельным. Особенно важен тот факт, что
Таблица /0.8
(fiodenheimer Р., Ostriker J. R Ар. J., 180, 159,1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the AmericanAstronomical Society)
К W UT % Q% gp ge &/财©/J] 片
71894294640 冷 48U357U234 01122223333 о ааааааааасга71894294640 冷 48U357U234 01122223333 о ааааааааасга3089696551325803593790 0001111222 3 ООО acTQQCTCrQcra3089696551325803593790 0001111222 3 ООО acTQQCTCrQcra-0,8570,429-0,8830,418-0,9110,406-0,9500,387-0,9700,376-0,9950,361-1,0160,349-1,0500,329-1,0850,308-1,1230,286-1,1380,278-1,1500,272-0,8570,429-0,8830,418-0,9110,406-0,9500,387-0,9700,376-0,9950,361-1,0160,349-1,0500,329-1,0850,308-1,1230,286-1,1380,278-1,1500,272233444332009OOOQOBOOOaaA n ^1 1 11 n 11 11 11 11 асгсгсгсгсгасгсгасга233444332009OOOQOBOOOaaA n ^1 1 11 n 11 11 11 11 асгсгсгсгсгасгсгасга210440795 3 8 45728^95134 23455667888 oaacraaaaaaaa210440795 3 8 45728^95134 23455667888 oaacraaaaaaaa080326868662 о 11 7 9 11 3 7V 11 6 оn 11 11 n 11 2 2 2 3 3 3 4080326868662 о 11 7 9 11 3 7V 11 6 оn 11 11 n 11 2 2 2 3 3 3 4O2O3533Q565 07373847^-297 a998 0^77£65A4O2O3533Q565 07373847^-297 a998 0^77£65A41,73( —7)3,10(-6)7,56(—6)9,75( —6)1,44( —5)1,46( —5)3,57( —5)9,92(-5)1,14(-4)5,42(— 5)1,22( —4)2,19( —4)1,73( —7)3,10(-6)7,56(—6)9,75( —6)1,44( —5)1,46( —5)3,57( —5)9,92(-5)1,14(-4)5,42(— 5)1,22( —4)2,19( —4)
71894294640 冷 48U357U234 01122223333 о ааааааааасга
71894294640 冷 48U357U234 01122223333 о ааааааааасга
30896965513
25803593790 0001111222 3 ООО acTQQCTCrQcra
30896965513
25803593790 0001111222 3 ООО acTQQCTCrQcra
-0,8570,429
-0,8830,418
-0,9110,406
-0,9500,387
-0,9700,376
-0,9950,361
-1,0160,349
-1,0500,329
-1,0850,308
-1,1230,286
-1,1380,278
-1,1500,272
-0,8570,429
-0,8830,418
-0,9110,406
-0,9500,387
-0,9700,376
-0,9950,361
-1,0160,349
-1,0500,329
-1,0850,308
-1,1230,286
-1,1380,278
-1,1500,272
233444332009
OOOQOBOOOaaA n ^1 1 11 n 11 11 11 11 асгсгсгсгсгасгсгасга
233444332009
OOOQOBOOOaaA n ^1 1 11 n 11 11 11 11 асгсгсгсгсгасгсгасга
210440795 3 8 45728^95134 23455667888 oaacraaaaaaaa
210440795 3 8 45728^95134 23455667888 oaacraaaaaaaa
080326868662 о 11 7 9 11 3 7V 11 6 о
n 11 11 n 11 2 2 2 3 3 3 4
080326868662 о 11 7 9 11 3 7V 11 6 о
n 11 11 n 11 2 2 2 3 3 3 4
O2O3533Q565 07373847^-297 a998 0^77£65A4
O2O3533Q565 07373847^-297 a998 0^77£65A4
1,73( —7)
3,10(-6)
7,56(—6)
9,75( —6)
1,44( —5)
1,46( —5)
3,57( —5)
9,92(-5)
1,14(-4)
5,42(— 5)
1,22( —4)
2,19( —4)
1,73( —7)
3,10(-6)
7,56(—6)
9,75( —6)
1,44( —5)
1,46( —5)
3,57( —5)
9,92(-5)
1,14(-4)
5,42(— 5)
1,22( —4)
2,19( —4)
Таблица 10.9
Физические свойства дифференциально вращающихся политроп (л = 3, п' = 0)(fiodenheimer Р., Ostriker J.尸.Ар. J., 180, 159, 1973. С разрешения University of Chicago Press. © 1973 by the AmericanAstronomical Society)
К W UT /u Qf pc % gp ge "JVT
2,92(—4) 3,55( — 4)
5,23( —4) 6,79( —4)
8,81( —4) 1/4(一3)
1,78(-3) 2,27( —3)
2,87(-3) 4,49( —3)
6,78( —3) 1,14(-2)
Ю2752168ОО68 O JA 111111 9^ 2 ^A C**T 丄 4
79000319517
Q8542U641736 0 9 9 9 9-9 8 8 8 7 7 6
Laaaaaaaaao,"
Q475ZD248O66 02715^838999
111223344568
7 7 5 6 2
3 3 8 2 6
37754421615
26925036174 оооооооооооо
55405790082 59134679125 0^111111222 оаао,сго,асгаааа
609Q743QO28 о ^гтет 二工 4 4 4 1<гг\сг
111111222223
7О581378Ю485
7888999П^-О^О1 33333333 3 444
OOOOOOQOPPa сгсгсгасгаоаосгсга
027925913815
555566677788
122334 牛 4556
4 4 9 8
7 2 6 2
гдегде《口2〉_ ^ р(х)й2 (&) &2(1)^ j р(X)32dx《口2〉_ ^ р(х)й2 (&) &2(1)^ j р(X)32dx(48)(48)
где
где
《口2〉_ ^ р(х)й2 (&) &2(1)^ j р(X)32dx
《口2〉_ ^ р(х)й2 (&) &2(1)^ j р(X)32dx
(48)
(48)
1/ 0,8 0,6 小 Ot2 0,0
1,0 0,8 0,6 %4 42 0,0
Рис. 10.15. Меридиональные сечения двух моделей, принадлежащих к последовательности политроп (1,5, 0). Вверху изображены поверхности постоянных плотностей р/рс = 0,80, 0,50, 0,20, 0,10, 0,01 и 0. Внизу показаны отношение 口/必，доля т-.полной массы, заключенная в соответствующем цилиндре, ось которого совпадает с осью вращения, и отношение круговой скорости v к ее значению на поверхности ve (Bodenheimer Р., Ostriker J. Р. Ар. J., 180, 159, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
эти последовательности дифференциально вращающихся политроп не обрываются. Учитывая этот результат, можно предположить, что, когда отклонение от сферичности становится достаточно большим, появляется точка бифуркации и в конечном счете динамическая неустойчивость.
Колебания и устойчивость
Согласно разд. 6.7, две секториальные частоты, принадлежащие гармоникам второго порядка, приближенно равны
。±2 *《口〉± (加 +《Pg - 2<02»^,(47)
[ср. с формулами (40) и (46)]. Отметим, в частности, что если <02> = з, то о_2 обращается в нуль. Таким образом, хотя формула (47) описывает моды лишь приближенно, мы вправе предположить, что модель с а_2 = О определяет предел вековой устойчивости, т.е. соответствует точке бифуркации. Однако, как указал Хантер, если преобладающим диссипативным механизмом является вязкость, то распределение момента количества движения в дифференциально вращающемся теле будет меняться по крайней мере с такой же скоростью, с какой может расти любое секториальное возмущение, поэтому вопрос о вековой неустойчивости по отношению к секториальным модам второго порядка корректен лишь тогда, когда диссипативный механизм не влияет на равновесную конфигурацию, как, например, в случае гравитационного излучения. Кроме того (как показали Бардин, Фридман, Шуц и Соркин), истинная точка бифуркации может лежать либо впереди, либо позади точки бифуркации, определенной на последовательности дифференциально вращающихся тел методом вириальных тензоров. (Согласно Бардину, численные расчеты для бесконечно тонких дифференциально вращающихся дисков показывают, что точное значение ть может на 20% превышать оценку, полученную вириальным методом.) Во всяком случае, поскольку точное положение точки бифуркации на последовательности дифференциально вращающихся политроп еще не вычислено, формула (47) определяет 1) приближенное положение точки бифуркации на последовательности невязких осесимметричных моделей, т.е.
<02> = з, (49)
и 2) приближенный предел динамической устойчивости, т.е.
<02> = з + %е〉2 (50)
Для последовательности сфероидов Маклорена (0, 0) метод, разумеется, точен, поэтому можно ожидать, что для последовательностей с малыми показателями политропы 九 и 〃' погрешность будет минимальной.
На рис. 10.16 и 10.17 изображены две секториальные моды вдоль различных последовательностей политроп по Острайкеру и Боденхеймеру (ср. с рис. 10.3). Для полноты картины в табл. 10.10 и 10.11 приведены также шесть мод, которые в предельном случае отсутствия вращения сводятся к пяти 户модам, принадлежащим к сферическим гармоникам / = 2, и самая низкая р-мода [ср. с разд. 6.4, формулы (37) и (41)]. При Г\ =)= 5/з тес- серальные (а+1 и а_р и зональные (о% и о&) моды всегда устойчивы (см., однако, разд. 14.2). Важный результат этого анализа состоит в том, что эти последовательности политроп совершенно аналогичны последовательности сфероидов Маклорена не только в отношении равновесия, но 〃 по свойствам устойчивости рассмотренных мод.
Особенно поразительна неизменность точки ть(п,九'),т.е. точки, где 。一2 обращается в нуль. Из табл. 10.12 следует, что изменение %5,九')никогда заметно не превышает оценку погрешности расчета м(、1елей. Напомним, что подобное загадочное поведение мы уже наблюдали у твердо-
Рис. 10.16. То же, что на рис. 10.3, для последовательностей политроп с показателем л = 1,5 и тремя различными распределениями момента количества движения (〃'). Частоты о даны в единицах (4тг Gpc)1/2. (Ostriker J. Р., Bodenheimer Р. Ар. J., 180, 171, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
Рис. 10.17. To же, что на рис. 10.3, для последовательностей политроп с показателем л = 3 и двумя различными распределениями момента количества движения (*). Частоты о даны в единицах (4ttGpc)1/2. (Ostriker J. Р., Bodenheimer Р. Ар. J., 180, 171, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.) '
Таблица 10.10.
Частоты колебаний (〃 = 1,5, n' = 0)
Значения а и <Q> даны в единицах ^Gp^71
(Ostriker J.P., Bodenheimer P. Ap. J., 180, 171, 1973.
С разрешения The University of Chicago Press.
© 1973 by the American Astronomical Society)
gg•o•o397415397415^36-^36-.526069924.526069924480643860480643860078139159144127110 202121212121078139159144127110 2021212121216 7 9 8 3 92 5 13 8 10 2 5 7 7 85 5 5 5 5 56 7 9 8 3 92 5 13 8 10 2 5 7 7 85 5 5 5 5 59 8 6 8 4 8 - 7 0 5 7 9 2 543219766 33333222 29 8 6 8 4 8 - 7 0 5 7 9 2 543219766 33333222 24 2 0 3 9 79 5 10 2 66 6 6 5 4 34 4 4 4 4 44 2 0 3 9 79 5 10 2 66 6 6 5 4 34 4 4 4 4 42 2 ・4 4 86 5 4 3 22 2 2 2 22 2 ・4 4 86 5 4 3 22 2 2 2 20 7 18 5 ((9 7 4 8 3 3 2 0 8 5 2 7 5 4 4 4 3 3 3 2 20 7 18 5 ((9 7 4 8 3 3 2 0 8 5 2 7 5 4 4 4 3 3 3 2 244440701490701492152158 10 2 8! ‘ ； JV29178811 47 3Ю26О57О 1OOOOC11128 10 2 8! ‘ ； JV29178811 47 3Ю26О57О 1OOOOC11129960^4"6^6* 4 5 3Q£J仇乙 & % a L 5 % a r^r 11111 2 29960^4"6^6* 4 5 3Q£J仇乙 & % a L 5 % a r^r 11111 2 24 3 27577564 25913581456 0000111122224 3 27577564 25913581456 000011112222718942946409480357823401122223333718942946409480357823401122223333
g
g
•o
•o
397415
397415
^36-
^36-
.526069924
.526069924
480643860
480643860
078139159144127110 202121212121
078139159144127110 202121212121
6 7 9 8 3 9
2 5 13 8 1
0 2 5 7 7 8
5 5 5 5 5 5
6 7 9 8 3 9
2 5 13 8 1
0 2 5 7 7 8
5 5 5 5 5 5
9 8 6 8 4 8 - 7 0 5 7 9 2 543219766 33333222 2
9 8 6 8 4 8 - 7 0 5 7 9 2 543219766 33333222 2
4 2 0 3 9 7
9 5 10 2 6
6 6 6 5 4 3
4 4 4 4 4 4
4 2 0 3 9 7
9 5 10 2 6
6 6 6 5 4 3
4 4 4 4 4 4
2 2 ・4 4 8
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2
2 2 ・4 4 8
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2
0 7 18 5 ((9 7 4 8 3 3 2 0 8 5 2 7 5 4 4 4 3 3 3 2 2
0 7 18 5 ((9 7 4 8 3 3 2 0 8 5 2 7 5 4 4 4 3 3 3 2 2
44
44
070149
070149
215
215
8 10 2 8! ‘ ； JV29178811 47 3Ю26О57О 1OOOOC1112
8 10 2 8! ‘ ； JV29178811 47 3Ю26О57О 1OOOOC1112
9960^4"6^6* 4 5 3Q£J
仇乙 & % a L 5 % a r^r 11111 2 2
9960^4"6^6* 4 5 3Q£J
仇乙 & % a L 5 % a r^r 11111 2 2
4 3 27577564 25913581456 000011112222
4 3 27577564 25913581456 000011112222
71894294640
94803578234
01122223333
71894294640
94803578234
01122223333
Таблица 10.11.
Частоты колебаний (л = 3, п' = 0)
Значения а и <Q> даны в единицах (4tGpc)^>
(Ostriker J.P., Bodenheimer ^. Ap. J., 180, 171, 1973.
С разрешения The University of Chicago Press.
© 1973 by the American Astronomical Society)
J
T
PdP
C-2
C+2
*
0+i
Cz
外
9〉
0,0
0,0
53,3
2560
2560
.2560
.2560
2560
2862
0
0,055
0,015
56,0
.1879
.2984
.2302
.2850
.2618
.2847
.0552
0,095
0,043
61,6
1292
.3088
2151
.3033
.2598
.2936
.0898
0,114
0,061
65,6
1001
3073
2086
.3098
.2539
.3027
1035
0,130
0,078
69,7
0754
3031
2034
3144
2474
3121
1139
0,145
0,094
73,9
0534
2968
1987
3172
.2406
.3210
1217
0,167
0,121
81,5
0197
.2832
1916
3197
2287
3358
1318
0,179
0,136
85,9
0025
.2741
.1878
3200
.2219
3437
1358
0,190
0,150
90,2
0137
2644
1842
3197
2152
3514
.1390
0,210
0,178
98,5
0441
2431
1779
3180
2024
3665
1436
0,228
0,204
106
0741
2188
.1727
3154
.1903
3821
1465
0,252
0,241
113
1394
1583
1676
3110
1744
4064
1488
Таблица 10.12
Свойства модели в точке, где а_2 = 0
(Ostriker J. Р., Bodenheimer 尸.Ар. J., 180, 171, 1973. С разрешения The University of
Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society)
(0,0)
(1,5; 0)(1,5； 1)(1,5; 1,5) (3； 0)(3; 1,5)
7b(〃，〃‘)0,1376
VT0
г^п^ть^ 0
0,13770,13750,13750,13810,1348
0,000020,000010,000300,002300,04800
+ 0,0001-0,0001-0,0001+0.0005- 0,0028
тельно вращающихся политроп (ср. с разд. 10.3). Как показал Робертс, если уровенные поверхности самогравитирующей конфигурации — подобные сфероиды, то точка ть = ^12>12/^ 歹I на данной последовательности строго не зависит от распределения массы, однако, как показано в разд. 4.4, такие модели в случае баротроп определенно не даляются фигурами равновесия. Тем не менее, поскольку внутренние Говенные поверхности всех моделей, рассмотренных Боденхеймером и Острайкером, никогда сильно не отличаются от сфероидов, этот результат может дать ключ к пониманию того, почему значения 丁力(九,九почти не зависят от п и п', Ясно, что эта проблема нуждается в дальнейшем изучении.
Наконец, во всех случаях, когда удалось численно построить сильно сплюснутые конфигурации, точка динамической неустойчивости (50) достигается при т = т,(л, 〃')= 0,26 ± 0,02. Отклонение от значения 勿= =0,2738 на последовательности сфероидов Маклорена снова имеет тот же порядок, что и интегральная ошибка VT моделей в этой точке [см. формулу (45)]. Однако в этом случае значимость численных результатов не очевидна, поскольку ошибки в расчетах равновесия сплюснутых моделей относительно велики.
ОБЩИЕ ИТОГИ
Эта глава была посвящена исследованию самогравитирующих баротроп, свободно вращающихся в пространстве. По существу мы поставили три вопроса:
Всегда ли при заданных полной массе М, полном моменте количества движения J и законе вращения можно построить последовательность осесимметричных невязких моделей% вдоль которой отношение т = К/J W\ непрерывно увеличивается от т = 0 до т = 0,5 (предела, допустимого теоремой вириала)?
Можно ли, двигаясь вдоль такой последовательности стационарно вращающихся моделей, в конце концов достичь точки бифуркации, т.е. точки, в которой ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия?
Являются ли осесимметричные конфигурации устойчивыми относительно бесконечно малых возмущений?
В этой связи особого внимания заслуживают сфероиды Маклорена, поскольку с непрерывным ростом отношения т от т = 0 до т = 0,5 они меняются от шара до бесконечно тонкого диска. Таким образом, эта последовательность твердотельно вращающихся однородных сфероидов не обрывается. Однако точка 丁 = % = 0,1375 соответствует точке бифуркации, от которой ответвляются твердотельно вращающиеся эллипсоиды с точной симметрией относительно трех плоскостей, т.е. эллипсоиды Якоби. При этом в трехосной фигуре полная механическая энергия К + К меньше, чем в соответствующем сфероиде с теми же J, М и % Поэтому за точкой т = т^ все сфероиды Маклорена обладают вековой неустойчивостью. Это означает, что если только действует вязкое трение, то они медленно эволюционируют к последовательности эллипсоидов Якоби. (Реакция гравитационного излучения, как и вязкость, приводит к вековой неустойчивости за точкой 7 = т^, но взаимодействие вязкого трения с реакцией гравитационного излучения может, по крайней мере частичке, подавить эту неустойчивость.) Наконец, дальше на последовательности сфероидов Маклорена, когда т > rz = *0,2738, сфероиды становятся динамически неустойчивыми относительно возмущений, которые преобразуют их в стержневидные конфигурации; характерное время этой неустойчивости порядка (тгGp)~ л.
Затем рассматривались однородно вращающиеся политропы показателя п. Они отличаются от последовательности сфероидов Маклорена в одном важном отношении: при л > 0 каждая последовательность уже обрывается в некоторой точке, скажем т = ттах, а значения ттах резко уменьшаются с ростом показателя политропы. (Если на последовательности сфероидов Маклорена 7111ax = 0,50, то при л = 1 ттах » 0,12, а при 〃 = 3 ттах < < 0,01.) Другими словами, кинетическая энергия вращения, которой может обладать твердотельно вращающаяся центрально конденсированная полит-
ропа, не очень велика (по сравнению с потенциальной гравитационной энергией). Это не удивительно. В тех областях центрально конденсированного тела, где силы давления малы по сравнению с силами инерции, закон вращения должен приближаться к третьему закону Кеплера, т.е. О2 ос 2-3. Следовательно, если мы ограничимся твердотельно вращающимися телами, то не сможем построить центрально конденсированные фигуры равновесия вне узкого диапазона 0 & т Y 0,5. Поэтому на последовательностях бсесимметричных политроп с л > 0,808 (т^ 《0,138) бифуркации (и связанной с ней вековой неустойчивости) нет. Конфигурации с точной симметрией относительно трех плоскостей всегда ответвляются в точке т 仪 0,138, которая почти не зависит от п. Поскольку ттах & 0,138 при п > 0,808, ни одна из фигур равновесия этих последовательностей не может накопить столько кинетической энергии вращения, чтобы достичь точки т 之 0,138. Итак, твердотельно вращающиеся центрально конденсированные политропы всегда обладают вековой и динамической устойчивостью, потому что не могут вращаться достаточно быстро!
Совершенно иная картина возникает при исследовании невязких дифференциально вращающихся политроп, для которых мы заранее задаем распределение момента количества движения [ср. с формулой (44)]. В этом случае по всем основным свойствам модели весьма похожи на сфероиды Маклорена, только их вращение не является твердотельным. В частности, последовательности не обрываются; при т, очень близком к значению т^, полученному для сфероидов Маклорена, тоже может иметь место бифуркация. Модели за этой точкой при наличии реакции гравитационного излучения, по-видимому, подвержены вековой неустойчивости. Ни один из этих результатов не был строго доказан. Кроме того, за точкой т « % которая опять-таки слабо зависит от конкретной последовательности, всегда наступает динамическая неустойчивость. Изменения показателя политропы или распределения момента количества движения практически не влияют на эти результаты. Как мы увидим в разд. 13.2, сходные результаты были получены и для холодных белых карликов с дифференциальным вращением. Таким образом, область приложения классических работ о твердотельно вращающихся однородных сфероидах гораздо шире, чем обычно предполагалось. Это весьма кстати, поскольку теперь наряду с другими вопросами мы сможем по-новому рассмотреть классическую гипотезу деления и экваториального истечения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Классические работы по этому вопросу принадлежат Джинсу; см.
Jeans J. Я. Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics, Cambridge: At the Univ. Press, 1919
и [44] к гл. 7. Несмотря на некоторые мелкие недочеты, обе книги представляют интерес и по сей день. Более строго вопрос об устойчивости разбирается в книге.
Lyttleton R. A. The Stability of Rotating Liquid Masses, Cambridge: At the Univ. Press, 1953.
Современное описание эллипсоидов Маклорена и Якоби приводится в [2], где необходимые и достаточные условия равновесия выводятся из уравнений движения. Как и Пуанкаре, Литтлтон рассматривает проблему устойчивости с помощью очень громоздких функций Ламе. В своей книге [28] к гл. 3 Чандрасекар выводит все необходимые условия равновесия из вириальных уравнений второго порядка. Таким образом, этот способ является менее общим (в том, что касается равновесия), но сильно упрощает исследование устойчивости. Уравнения (16) и (17) были впервые выведены и решены Лебовицем ([46] к гл. 6). Роль вязкости изучалась в работах
Roberts Р. Н., Stewartson К. Astrophys. J., 137, 777 — 790, 1963.
Rosenkilde С. Е. Astrophys. J., 148, 825 — 832, 1967. Вековая устойчивость всесторонне исследована в работе
Robe Н. Мёт. Soc. Roy. Sci. иёде (5), 18, 1 —69, 1969. Эта работа содержит, в частности, подробный вывод формулы (22) и строгий разбор граничных условий. Другие подходы можно найти в работах
Kopal Z. Astrophys. Space Sci., 24, 145 — 174； 1973.
Bertin G., Radicati L. A, Astrophys. J., 206, 815 — 821, 1976.
В тексте цитируется и следующая работа:
Press W. Н.、Teukolsky 5. A. Astrophys. J., 181, 513 — 517, 1973.
Влияние гравитационного излучения на однородные эллипсоиды подробно исследовано в работах
Chandrasekhar 5, Astrophys. J., 161, 561 — 569, 1970.
Miller В. D. Astrophys. J., 187, 609 — 620, 1974.
Результат Фридмана и Шуца можно найти в [36]. Совместное влияние вязкости и реакции гравитационного излучения рассматривается в статьях
Lindblom £., Detweiler 5. L. Astrophys. J., 211, 565 — 567, 1977.
Detweiler S. £., Lindblom L. Astrophys. J., 213, 193 — 199, 1977.
Самые удовлетворительные результаты содержатся в статьях
James R. 4 Astrophys. J., 140, 552 — 582, 1964.
Разложения по параметру v рассматриваются в [14 — 19] к гл. 5. В связи с однородно вращающимися политропами можно отметить и такие работы:
Thiiring В. Astron. Nachr., 253, 73 — 90, 1934.
Steensholt G. Zeit. f. Astrophys., 10, 391, 1935.
Kopal Z. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 99, 266 — 271, 1939.
Папоян В. В., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 3, 41 — 54, 1967.
Williams Р. 5. Astrophys. Space Sci., 34, 425 —430, 1975.
См. также [36] к гл. 5. Разложения второго порядка по v более или менее точно получены в работах
Occhionero F. Memorie Soc. Astron. Italiana, 38, 331 — 348, 1967.
Aikawa T. Sci. Reports Tdhoku Univ. (I), 51, 61 — 66, 1968.
Anand 5. P. 5. Astrophys. J., 153, 135 — 145, 1968.
Дальнейшие уточнения достигнуты в работах
Linnell А. Р. Astrophys. Space Sci., 37, 73 — 86, 1975.
Smith A L. Astrophys. Space Sci., 35, 223 — 240, 1975; 43, 411 — 424, 1976.
См. также [41] к гл. 16. Вариационные методы рассматриваются в следующих работах:
Roberts Р. Н. Astrophys. J., 137, 1129 — 1141, 1963; 138, 809 — 819, 1963.
Hurley M, Roberts P. H. Astrophys. J., 140, 583 — 598, 1964.
Hurley M, Roberts P. H. Astrophys. J. Suppl., 11, 95 — 119, 1965. См. также
Auchmuty 丄 F、G., Beals R. Astrophys. J. Letters, 165, L79 — L82, 1971.
Auchmuty J.尸.G., Beals R. Archive Rat. Mechanics and Analysis, 43, 255 — 271, 1971.
Auchmuty J.尸.G. Lecture Notes in Mathematics, 430, West Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. 28 — 60.
Критическое сравнение различных результатов приводится в статье 30. Aikawa Г. Sci. Reports Tdhoku Univ. (I), 54, 13 — 27, 1971.
В этой работе содержатся самые подробные численные результаты (см. приложение Д). Вековая неустойчивость твердотельно вращающихся политроп рассматривается в статье
Tassoul Л L., Ostriker J. Р. Astron. Astrophys., 4, 423 — 427, 1970.
Ссылаясь на Миллер, мы имеем в виду ее работу 3 2. Miller В. D. Astrophys. J., 181, 497 — 512, 197 3. Критерий сущеетвования точки бифуркации вдоль последовательностей твердотельно вращающихся тел был впервые рассмотрен в статье
3 3. Chandrasekhar S., Lebovitz М R Astrophys. J., 135, 238 — 247, 1962.
В этой статье утверждается, что бифуркация имеет место при О2 = о? [ср. с формулой (40)]. Хотя в точке, где последовательность эллипсоидов Якоби ответвляется от последовательности сфероидов Маклорена, дело обстоит именно так. можно показать, что в случае центрально конденсированных тел условие О2 = =з является лишь приближенным и что бифуркация вполне может происходить, когда С меньше, чем з. Другими словами, для сжимаемых тел условие 3 = з служит достаточным условием существования точки бифуркации, но никогда не было строго доказано, что это условие в общем случае неоднородных конфигураций являются также необходимым. С таким же недопониманием мы сталкиваемся и в [31]. Итак, предел 0? = з, который раньше считался точным, на самом деле является приближенным; т.е. бифуркация вполне может происходить, когда Q2 меньше з. (Исключением служат, разумеется, сфероиды Маклорена, для которых предел О2 = ш является точным.) Этот вопрос был разъяснен в работах 34. Friedman J. L, Schutz В. Е Astrophys. J. Letters, 199, L157 — L159, 1975.
Hunter C. Astrophys. J., 213, 497 — 517, 1977.
Bardeen J. M., Friedman J. L., Schutz В. Л, Sorkin R. Astrophys. J. Letters, 217, L49 — L53, 1977.
Особенно рекомендуем [36] (и цитируемые в ней работы).
Модели в состоянии медленного дифференциального вращения рассмотрены в статьях
Danoz N. Compt. Rend. Soc. Phys. Geneve, 47, 88 — 92, 1930.
Krat W. Zeit. f. Astrophys., 12, 192 — 202, 1936.
Bhatnagar P. L. Bull. Calcutta Math. Soc., 32, 21 — 41, 1940.
Roy S. K. Bull. Calcutta Mat. Soc., 35, 85 — 98, 1943. См. также
Блинников С. И. Астрон. ж., 49, 654 — 658, 1972.
Результаты, приведенные в этом разделе, заимствованы из работ
Stoeckly R. Astrophys. J., 142, 208 — 228, 1965.
4工 Bodenheimer P., Ostriker J.尸.Astrophys. J., 180, 159 — 169, 1973.
Ostriker J. P., Bodenheimer P. Astrophys. J., 180, 171 — 180, 1973.
См., однако, [36]. Ссылаясь на Робертса, мы имеем в виду его статью
Roberts Р. Н. Astrophys. J., 136, 1108 — 1114, 1962.
Центрально конденсированные • модели с симметрией относительно трех плоскостей были реально построены в работе
Clement М J. Astrophys. J., 148, 159 — 174, 1967.
Предварительный анализ политропных дисков в пределе 7 — 0,5 можно найти в работе
Spiegel Е. A. Symposium on the Origin of the Solar System, Nice, 1972, pp.
165 — 178.
11
ГРАВИТАЦИОННОЕ СЖАТИЕ И ФРАГМЕНТАЦИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Хотя до сих пор нет единого мнения о процессе образования звезды, принято считать, что звезды рождаются из межзвездных газа и пыли. В самых детальных теориях постулируются такие условия в межзвездной среде, при которых в обширных областях Галактики должны возникать крупномасштабные гидродинамические или тепловые неустойчивости. Например, согласно классической картине, впервые количественно обоснованной Джинсом в 1902 г., начальная стадия образования звезды ——это стягивание за счет гравитационных сил какой-либо большой массы межзвездного вещества. Для этого, в сущности, требуется, чтобы гравитационная энергия связи облака превышала сумму тепловой энергии и энергии вращения и магнитных полей. В типичных наиболее вероятных условиях межзвездной среды возможен только коллапс массивных облаков (М N Ю3 — 104М(э), поэтому при таком подходе звездообразование должно, как правило, происходить путем фрагментации массивного сжимающегося облака, в результате которой возникают протозвезды в широком диапазоне масс. Однако в настоящее время совершенно не ясны детали механизма фрагментации протозвездного облака. Во всяком случае, наблюдения дают веские основания полагать, что молодые звезды образуются в скоплениях, хотя наблюдения не позволяют исключить рождение из отдельного облака одиьючной звезды.
При изучении вращения на стадиях эволюции звезды до главной последовательности сразу же возникает ряд важных вопросов:
Каково происхождение момента количества движения одиночных звезд?
Как объяснить существование столь многочисленных двойных и кратных звезд? Как объяснить существование планетной системы около Солнца (и, вероятно, около других звезд)?
В какой степени вращение влияет на гидродинамический коллапс до звездных плотностей и последующее квазистатическое сжатие до главной последовательности?
Почему скорости вращения, наблюдаемые у звезд верхней части главной последовательности, значительно больше, чем у звезд главной последовательности спектрального класса F5 и более поздних классов?
В данной главе мы рассматриваем некоторые частные аспекты этих проблем. К сожалению, большинство предложенных теорий все еще носит предположительный характер и все они нуждаются в дальнейшей количественной разработке. Разд. 11.2 посвящен начальным стадиям образования звезд. В разд. 11.3 излагаются различные теории деления тесных двойных. В заключение главы рассматривается стадия квазистатического сжатия до главной последовательности и проводится краткое сравнение со скудными данными наблюдений. Предполагается, что читатель знаком с основами эволюции сферически симметричных звезд (т.е. невращающихся моделей без магнитных полей) до главной последовательности. Роль магнитных полей мы рассмотрим в гл. 15.
РАННИЕ СТАДИИ ЭВОЛЮЦИИ
Эволюции идеализированной сферической звезды от «рождения» до главной последовательности посвящена обширная литература. Гравитационному коллапсу вращающегося газового облака уделялось гораздо меньше внимания, и это неудивительно. Рассматривая эту проблему, мы сразу же сталкиваемся с серьезной трудностью: чтобы образовались наблюдаемые звезды, исходный момент количества движения типичного сжимающегося облака, очевидно, должен уменьшиться на много порядков величины. Например, если протозвездное облако приобретает свой момент количества движения за счет галактического вращения, то он значительно превышает момент одиночных и даже двойных звезд главной последовательности. (Конкретно при исходной плотности около 10-24 г/см3 мы получили бы J » 1O56(M/Mq)5/3 г-см2/с, тогда как у наиболее быстро вращающихся звезд главной последовательности всего J = 10^ — Ю52 г-см2/с!) Правда, в таком источнике момента можно усомниться, поскольку никакой преимущественной ориентации осей вращения звезд или осей двойных звезд по отношению к плоскости Галактики не обнаруживается. Судя по наблюдаемой случайной ориентации этих осей, можно скорее предположить, что момент количества движения обусловлен турбулентными движениями межзвездной среды. В этом случае следовало бы ожидать, что кинетическая энергия вращения протозвездного облака сравнима с энергией его поступательного движения, а тогда момент количества движения равновесных звезд оказался бы даже выше, чем приобретенный за счет галактического вращения. Таким образом, если только звезды не рождаются в очень спокойных областях Галактики, в которых моменты количества движения гораздо ниже среднего, то эффекты вращения в облаке должны приобретать первостепенное значение задолго до того, как в нем будут достигнуты звездные условия. По всей вероятности, в окончательное значение момента количества движения звезды вносят свой вклад и галактическое вращение, и случайные движения
облаков. Поэтому нам необходимо найти какой-либо механизм, избавляющий сжимающееся облако от избыточного момента количества движения. В этом и состоит так называемая «проблема момента количества движения».
Чтобы преодолеть указанную трудность, часто предполагают, что большая часть момента количества движения сжимающегося облака может передаваться соседним областям Галактики посредством магнитного тормозящего момента. Однако, как показали Гиллис, Местел и Пэрис, характерное время магнитного переноса момента количества движения, вроятно, больше, чем время свободного падения протозвездного облака, так что на ранних стадиях гравитахшонного коллапса полный момент количества движения этой большой массы должен приблизительно сохраняться (см., однако, разд. 11.4). Другой возможный путь решения проблемы момента количества движения — это образование кратных систем в процессе самоускоряющегося гравитационного коллапса протозвездного облака. Кратные звезды могут обладать гораздо большим моментом количества движения за счет орбитальных движений, чем одиночные звезды, у которых он обусловлен лишь вращением. Следовательно, задачу можно было бы сильно упростить (если не решить), если бы момент количества движения вращающегося сжимающегося массивного облака мог переходить в орбительные моменты протозвезд в скоплении. Пока еще детали механизма фрагментации вращающегося и сжимающегося газового облака поняты весьма плохо. Тем не менее если предположить, что в ходе начального сжатия протозвездного облака такой процесс действительно происходил, то последующую эволюцию скопления протозвезд можно в первом приближении описать при помощи гравитационного взаимодействия ансамбля точечных масс. Численные расчеты ван Альбады показывают, что состоящие из нескольких десятков звезд группы с радиусами от 102 до 105 а.е. за время от 103 до 108 лет распадаются на широкие (визуально-) двойные звезды с большими осями орбит на один-два порядка величины меньше, чем исходный радиус группы. Эти двойное системы, как правило, имеют несколько спутников меньшей массы, которые движутся по вытянутым орбитам вокруг центральной двойной звезды. Надо сказать, что тесные двойные так образовываться не могут, поскольку в этом случае распадающееся облако должно быть настолько малым, что в ходе динамической эволюции скопления протозвезды будут сталкиваться. Итак, хотя эти предположения частично решают проблему момента количества движения, они еще не дают ответа на ряд фундаментальных вопросов: как влияет вращение на коллапс протозвезды? Как можно объяснить образование широких и тесных пар? Какова роль вращения в образовании Солнечной системы? К этим вопросам мы теперь и перейдем.
Динамический гравитационный коллапс. К настоящему времени надежные гидродинамические расчеты проведены только для сферически симметричных протозвезд без учета вращения и магнитных полей.
Считается, что в этом идеализированном случае последовательность событий такова. Поскольку первоначально давление в сферической протозвезде очень низкое, происходит гравитационный коллапс с характерным временем свободного падения порядка 105 ——106 лет. На этой начальной стадии протозвезда почти изотермична, так как она еще прозрачна для собственного излучения. В ходе коллапса плотность в центре увеличивается быстрее, чем во внешних областях. В результате центральное ядро становится все более непрозрачным, и по мере накопления в теле все большей энергии температура в центре начинает существенно расти. Вследствие сопутствующего увеличения давления коллапс центрального ядра начинает замедляться и, наконец, прекращается： Однако эта область все еще сжимается и разогревается, потому что почти свободно падающее вещество из внешних слоев продолжает поступать внутрь. Когда температура в центре достигает 1800 К, молекулы водорода начинают распадаться. В результате показатель адиабаты становится ниже критического значения 4/з и наступает вторая стадия динамического коллапса (ср. с разд. 6.4). В конечном счете основная часть вещества приходит в гидростатическое равновесие, но лишь после того как завершится диссоциация и ионизахшя главных химических составляющих. Эта начальная стадия продолжается в целом около 106 лет. Затем (ср. с разд. 11.4) эволюция переходит на стадию медленного сжатия, которую можно рассматривать как последовательность квазиравновесных состояний.
Вопрос о влиянии вращения на самоускоряющийся коллапс протозвезды все еще является весьма дискуссионным. Ларсон, Чарнутер, а также Блэк и Боденхеймер независимо провели численные расчеты с учетом потерь лучистой энергии, которые описывают ранние стадии коллапса осесимметричных протозвезд с массой 1, 2, 5 и 60М©・ Для простоты предполагается, что фрагментация первичного облака уже произошла на ранних стадиях сжатия и что каждый фрагмент (т.е. протозвезда) имеет момент количества движения меньше того предела, за которым коллапс данной протозвезды невозможен. В большинстве этих расчетов принимается, что начальные конфигурации имеют постоянные плотность и угловую скорость. Кроме того, хотя в природе и может иметь место суммарный перенос момента количества движения, здесь отбрасываются все механизмы, которые могли бы к этому привести, т.е. не учитываются магнитные поля и силы трения.
В расчетах Ларсона (при М = М©) коллапс вначале идет так же негомологично, как и в невращающейся модели, и распределение плотности снова приобретает пик в центре. Падение вещества происходит главным образом вдоль оси вращения, где центробежные силы препятствуют коллапсу слабее всего. Поэтому, прежде чем центробежные силы воспрепятствуют дальнейшему сжатию, плотность в центре успевает сильно вырасти. Из-за быстрого негомологичного увеличения плотности в Центре протозвезды центробежным силам удается остановить здесь коллапс в первую очередь; между тем во внешних областях вещество продолжает
падать внутрь и скапливается в кольцевидной области на периферии центрального района, который прекратил сжиматься. По мнению Ларсона, неустойчивости, развивающиеся в этом вращающемся кольце, приведут к фрагментации и появлению двух или нескольких звезд, которые образуют кратную систему. (В этой картине одиночные звезды рассматриваются как беглянки из неустойчивых кратных систем.) Образование кольцевой структуры внутри сжимающейся протозвезды было подтверждено независимыми численными расчетами Блэка и Боденхеймера (при М = 1； 2 и 5 Mo и при различных значениях полного момента количества движения).
К сожалению, появление кольцевидной структуры не было подтверждено независимым численным расчетом Чарнутера. При тех же начальных условиях, что и Ларсон (но с помощью другого численного метода, когда каждая функция разлагается по многочленам Лежандра от косинуса угла), он обнаружил, что после первоначального коллапса вся масса вновь расширяется и никогда не стремится к образованию вращающегося тора с минимальной плотностью в центре. Во всех остальных расчетах, проделанных Чарнутером (модели с М = 1 и 60 Mq при разных полных моментах количества движения), сжатие всегда приводит к образованию высокого пика плотности в центре. Тем самым его вычисления показывают, что с самого начала изотермического коллапса должна образовываться «звездная гуманность» с протозвездой в центре. Если это верно, то в результате вполне могла бы возникнуть планетная система.
В настоящий момент неясно, является ли причиной этого расхождения неправильная формулировка граничных условий или ошибки округления, которые неконтролируемо растут или же в конечных разложениях Чарнутера следовало оставить больше членов*. Более того, вовсе не очевидно, что самоускоряющийся гравитационный колллапс вращающейся протозвезды всегда должен идти вдоль последовательности осесимметричных моделей, будь то кольцевидные структуры или «звездные туманности». (Неосесимметричные движения, которые изменят всю последующую картину
сжатия, могут возникнуть и на самых ранних его стадиях!) Наконец, пока не известно, насколько чувствительны эти модели к выбору начальных условий и к ряду не учитывавшихся до сих пор физических процессов (таких, как перенос момента количества движения турбулентностью или посредством магнитного торможения), которые могут быть важными на некоторых стадиях изотермического коллапса протозвезды.
Двойные звезды. По имеющимся данным больше половины всех звезд являются членами двойных (или кратных^ систем, связанных гравитацией. Среди двойных есть тесные пары, в которых компоненты почти соприкасаются (расстояние между их центрами 10~2 а.е.), и широкие пары с большими полуосями орбит до 104 а.е. Системы с а V 10° а.е. — это в основном спектрально-двойные или затменные двойные, а системы с а> 101 а.е. — почти исключительно визуально-двойные. Двойные звезды со значениями больших полуосей в этом интервале пока редки. Кроме того, несмотря на мнргочисленные статистические исследования функций распределения различных физических параметров двойных, до сих пор не известно, можно ли считать, что все двойные имеют одинаковое происхождение или же для широких и тесных двойных следует искать разные пути образования. Например, как показали Блаау и ван Альбада, функция распределения по Iga для звезд спектральных классов от 09 до В5 в ближайших звездных скоплениях свидетельствует о существовании двух групп двойных ранних спектральных классов: тесных и широких пар — и о дефиците двойных в интервале 10° а.е. < a < 102 а.е. Поскольку этот разрыв находится в области наибольшего влияния наблюдательной селекции, до сих пор не известно, насколько этот результат реален и не вызван ли он эффектом селекции. Напротив, более подробные исследования, которые охватывают широкий диапазон спектральных классов и классов светимости (особенно работы Домманже и Хайнца) не дают оснований считать, что в распределении по Iga есть четкий пробел, и тем самым подтверждают гипотезу о едином происхождении всех двойных. Однако позднее Абт и Леви показали, что из статистического анализа двойственности 135 ярких звезд поля спектральных классов F3 — G2 (классы светимости IV или V) вырисовывается совсем иная картина. Выясняется, что функция распределения двойных звезд с периодами меньше 100 суток пропорциональна кубическому корню из массы спутника, между тем как долгопериодические системы описываются функцией ван Рийна. Судя по этому результату, по-видимому, есть два различных класса двойных: 1) короткопериодические, возможно образовавшиеся в результате деления одиночной протозвезды, распавшейся нз・за избытка начального момента количества движения, 2) долгопериодические, которые, возможно, представляют пары протозвезд, сжимавшихся отдельно, но связанных гравитацией. Ясно, что это чисто наблюдательная проблема, которая будет решена лишь по мере накопления данных наблюдений.
Чтобы объяснить образование двойных звезд, были выдвинуты три главные теории: 1) простой захват (Стоуни, 1867); 2) образование отдельных ядер (Лаплас, 1796), 3) распад и последующее отделение (Кельвин и Тейт, 1883). Рассмотрим эти рабочие гипотезы по порядку.
В наши дни у простой теории захвата немного последователей, поскольку для поглощения избытка энергии, высвободившейся во время захвата одной звезды другой и образования гравитационно связанной пары, требуется третье тело (т.е. третья звезда или сопротивляющаяся среда). Согласно расчетам Мансбаха, темп образования двойных звезд в результате столкновения трех тел слишком мал, чтобы объяснить существование двойных в окрестностях Солнца. Ван Альбада рассматривал также движения двух точечных масс в среде с сопротивлением, обусловленным гравитационным взаимодействием звезд и межзвездного газа. Опять-таки при встрече может поглотиться очень немного энергии. Вследствие этого и второй вариант теории захвата чрезвычайно малоэффективен в процессе образования двойных.
Теория отдельных ядер, по-видимому, оставляет достаточно простора для объяснения любой двойной (или кратной) системы, за исключением, быть может, самых тесных двойных. В этой теории предполагается, что каким-то образом возникают ядра конденсации, которые начинают обращаться одно вокруг другого при условиях, мало отличающихся от наблюдаемых в двойных системах. Ее часто критиковали за то, что она ничего не объясняет, а просто сводит малоизвестное к ещё хуже известному. В любом случае, поскольку при этом подходе не удается объяснить спектрально-двойные, его нужно дополнить каким-то механизмом, способным создавать очень тесные системы. С этой целью можно рассмотреть процесс деления.
Теория деления ——это, пожалуй, самый привлекательный механизм, но и в ней (как мы увидим) встречаются некоторые трудности. В этой теории постулируются такие условия, что еще на стадии туманности (или, может быть, позднее) сжимающаяся протозвезда делится на две массы, первоначально образующие контактную систему. Возникшая таким образом система может выгдядеть тесной двойной, пока ее компоненты имеют протозвездные размеры, однако ясно, что система неизбежно превратится в широкую двойную, если оба компонента сожмутся до главной последовательности без заметного уменьшения орбитального момента количества движения. Таким образом, и теория деления не способна объяснить происхождение спектрально-двойных. Чтобы объяснить, как образуются тесные двойные, предлагались две возможности: 1) задержка деления на два компонента медленно сжимающейся не достигшей главной последовательности звезды на стадии квазистатического сжатия; 2) постепенная потеря орбитального момента количества движения при сжатии обоих компонентов до главной последовательности.
В первом варианте предполагается, что тесные и широкие двойные образуются одинаковым путем, а именно делением газовой массы,
обладающей избыточным моментом количества движения. Деление происходит либо в процессе ускоряющегося коллапса вращающейся протозвезды и в конце концов при достижении главной последовательности два сжимающихся фрагмента образуют широкую (визуально-) двойную систему, либо оно почему-то задерживается и происходит лишь тогда, когда единая сжимающаяся масса уже достигает звездных размеров. В результате, когда оба компонента достигают главной последовательности, образуется тесная (спектрально-) двойная. К этому подходу мы вернемся в следующем разделе.
Во втором варианте (развитом в основном Хуангом и Местелом) постулируется, что деление всегда происходит на стадии ускоряющегося коллапса. Другими словами, все двойные звезды первоначально представляют собой тесную пару протозвезд. Затем ход их эволюции зависит от соотношения между магнитной активностью и истечением газа при сжатии каждого протозвездного фрагмента. При наличии сильной связи между вращательным и орбитальным движениями любые потери вследствие магнитного торможения фрагментов (типа рассматриваемых в конце разд. 11.4) будут возмещаться за счет орбитального момента количества движения. Таким образом обеспечивается непрерывное уменьшение расстояния а, и система всегда остается тесной двойной, несмотря на сжатие самих компонентов. Поскольку в этой теории фигурирует много неизвестных параметров, пока еще не доказано, что потери будут происходить именно с такой скоростью, которая нужна, чтобы система оставалась тесной.
ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ
В общих чертах проблему деления можно сформулировать следующим образом. Будет ли единое сжимающееся тело, обладающее начальным моментом количества движения, распадаться на две части в отсутствие существенных внешних возмущений, и если будет, то как должен происходить этот распад? Поскольку в основе лежит представление о том, что единое тело сначала становится вытянутым, а затем распадается на Две части, любой подход к этому вопросу с необходимостью приводит к задаче трехмерной гидродинамики. Вот почему исчерпывающего решения этой проблемы до сих пор не было найдено, несмотря на многочисленные попытки. Более или менее строго рассматривались лишь модели, учитывающие малые колебания различных однородных эллипсоидов, которые по мере постепенного сжатия проходят ряд положений равновесия. (Самоускоряющемуся коллапсу уделялось сравнительно мало внимания.) Поэтому те три эволюционные последовательности, которые мы поочередно кратко опишем, в лучшем случае соответствуют образованию тесных двойных на стадии квазистатического сжатия звезды к главной последовательности (см. также разд. 11.4). Мы завершим раздел критической оценкой этих идеализированных моделей.
Классический подход. Простейшими фигурами равновесия самограви- тирующих тел при твердотельном вращении являются сфероиды Маклорена и эллипсоиды Якоби (см. разд. 1СГ.2). В классической формулировке Пуанкаре рассматривается медленная эволюция твердотельно вращающегося вязкого сфероида вдоль последовательности сфероидов Маклорена, а затем вдоль последовательности эллипсоидов Якоби. Причиной этого перехода считается гравитационное сжатие исходной массы； а трение предполагается достаточно большим для поддержания твердотельного вращения. Следуя Джинсу (главному последователю этой модели), предположим, что имеет место вековое увеличение момента количества движения при сохранении однородной плотности ——формально это эквивалентно постепенному увеличению плотности при постоянном моменте количества движения. Другим способом эволюцию медленно сжимающегося тела можно описывать и с помощью отношения т = К/1 %1, где К и % — кинетическая энергия вращения и гравитационная потенциальная энергия (0,0 W 丁 W 0,5) соответственно. Тогда при малых значениях 7 (т.е. т < т^ = 0,1375) сжимающаяся масса приобретает форму сплюснутого сфероида. В точке бифуркации т = ть возникает вековая неустойчивость вязкого тела, и оно приобретает форму эллипсоида с тремя неравными осями. Очевидно, для осуществления этой схемы эволюции необходимо, чтобы время сжатия Кельвина — Гельмгольца tK было много больше характерного времени вязкой эволюции %, т.е.
% V% ⑴
Как же будет происходить дальнейшая эволюция конфигурации, если неравенство (1) справедливо? Сначала трехосное тело медленно сжимается и вытягивается, сохраняя эллипсоидальную форму. Затем, когда наибольший диаметр становится втрое длиннее наименьшего, возникает вековая неустойчивость по отношению к некоторым гармоникам третьего порядка, и здесь от последовательности эллипсоидов Якоби ответвляется ряд грушевидных фигур. Поначалу считалось, что эти новые фигуры будут обладать и вековой, и динамической устойчивостью, так что сжимающийся эллипсоид мог бы перейти на новую ветвь и затем эволюционировать, проходя равновесные формы вдоль последовательности. Это привело бы к переходу (за время порядка %) к грушевидным фигурам, а впоследствии к квазистатическому сжатию вдоль их последовательности (с характерным временем /«), причем перетяжка непрерывно сужалась бы до тдх лор, пока не произойдет полное
разделение. Однако такой идеализированный сценарий стал казаться малоправдоподобным, когда Ляпунов и Джинс доказали, что грушевидные фигуры обладают вековой неустойчивостью, а Картан показал, что эллипсоиды Якоби становятся динамически неустойчивыми как раз в той точке, где от последовательности эллипсоидов Якоби ответвляется последовательность грушевидных фигур. Следовательно, даже если указанный ход событий правильно описывает образование тесной двойной, то за точкой бифуркации на последовательности эллипсоидов Якоби окончательный распад исходной массы на две части должен происходить катастрофически быстро (т.е. с динамическим характерным временем). До сих пор никому не удалось доказать или опровергнуть, что удлиненная грушевидная фигура, один конец которой толще другого, распадается в итоге на две ртдельные массы, обращающиеся вокруг друг друга. Для этого потребовалось бы провести полностью нелинейное нестационарное исследование эволюции грушевидной фигуры, истинная граница которой в каждый момент не известна.
Подход острайкера. В картине, изложенной выше, решающее значение имеет вязкость, которая превращает сжимающийся сфероид Маклорена в эллипсоид Якоби в точке бифуркации 7 = %. Предположим теперь, что вязкое трение не играет существенной роли при квазистатическом сжатии однородного тела, а твердотельное вращение поддерживается каким-то образом； Иначе говоря, рассмотрим противоположную ситуацию, когда 以《 %•⑵
Тогда, как известно, точка бифуркации т = ть на последовательности сфероидов Маклорена ничем не примечательна: поскольку в наших рассуждениях можно пренебречь вязкостью, в этой точке вековая неустойчивость не возникает. Таким образом, если выполнено неравенство (2), то медленно сжимающийся сфероид Маклорена так и не перейдет на последовательность эллипсоидов Якоби, а будет непрерывно эволюционировать вдоль последовательности сфероидов Маклорена до тех пор, пока не достигнет точки т = ту = 0,2738. Там, согласно разд. 10.2, конфигурация становится динамически неустойчивой по отношению к бесконечно малым возмущениям второго порядка. Что же происходит далее? Частично ответ на этот вопрос дан в работах Росснера и Фудзимото, в которых рассматриваются колебания однородного сфероида конечной амплитуды за точкой т = rf Обоим авторам удалось решить задачу благодаря рассмотрению колебаний, при которых сохраняется эллипсоидальная форма поверхности и возникают внутренние движения с однородной завихренностью. (При этом Росснер рассматривал движения конечной амплитуды несжимаемого тела, а Фудзимото ——неосесимметричный коллапс сжимаемого сфероида с пространственно однородной, но нестационарной плотностью.) Движение этих конфигураций весьма сложно, но очень приближенно его можно описать как кувыркание сфероида, сильно вытянутого вдоль одной из главных осей,
перпендикулярных оси вращения, через свои концы. Согласно Острайкеру, имеются веские основания считать, что после достижения точки 7 = 7, такая спицеподобная конфигурация распадется на два или несколько фрагментов, обращающихся вокруг общего центра масс. Эту догадку нельзя ни доказать, ни опровергнуть, поскольку нужно тщательно исследовать нелинейный рост возмущений высоких гармоник в ходе динамической эволюции сфероида Маклорена за точкой т = 〃• Итак, не исключено, что деление вызывается динамической неустойчивостью, но это не доказано.
Подход лебовица. В этой третьей попытке решения проблемы деления рассматриваются невязкие однородные эллипсоиды, которые медленно сжимаются вследствие излучения энергии с мощностью L, другими словами, допускается, что плотность, оставаясь пространственно однородной, явно зависит от времени, так что модельные конфигурации не предполагаются несжимаемыми. (В двух предыдущих подходах излучение учитывалось только для того, чтобы оправдать рассмотрение последовательности равновесных фигур постоянно растущей плотности.) Далее, не предполагая точной осевой симметрии, опишем теперь эволюцию сжимающейся массы вдоль последовательности эллипсоидов Римана (с полуосями а】,а2 H 〃з)，которые вращаются с угловой скоростью 0 и характеризуются внутренними движениями с однородной завихренностью з. (По предположению (1 и з направлены вдоль оси х3.) Обратим внимание на некоторые нужные нам свойства этих эллипсоидов. Произведя замену переменных
a = 一勺423/(片 + а乳(3)
легко доказать, что величины
2КХ =(勺一а^ + А) = 5J/M - С/т,(4)
2K2 =(勺 + а^ - Л) = 5J/M + С/т(5)
постоянны вдоль траектории (поскольку это линейные комбинации момен* та количества движения J и циркуляции С). На рис. 11.1 изображена область существования этих конфигураций в плоскости (^?/〃» ^/^j). Все эллипсоиды Римана рассматриваемого типа лежат в рогообразной области,
Рис. 11.1. Эволюционный трек сфероида Маклорена (с К】=0) в сравнении с треками эллипсоидов Римана (кривые 1, 2 и 3) при Кх = 0,54 • 10 ~4, 0,23 • 10 7 и 0,57 • 10~3 соответственно. Эллипсоиды имеют такие же массу, момент количества движения и начальную температуру,血к сфероид Маклорена, который начинает эволюцию от точки /厶］=0,95. Последовательности эллипсоидов Якоби соответствует кривая Л ^ 0. Звездочками отмечены точки, в которых наступает динамическая неустойчивость (в предположении несжимаемости). Черные кружки расположены че~ рез равные промежутки времени. Светимость принимается постоянной и одинакова Для всех конфигураций, а у = 5/3. (LebovitzN. R. Ар. J., 175, 171, 1972. С разрешения The University of Chicago Press. © 1972 by the American Astronomical Society.)
ограниченной кривыми К】=0,勺=。и линией Маклорена a^Q\ = =1, на которой также К〔 = 0. (Кривая Л = 0 изображает последовательность эллипсоидов Якоби.)
Рассмотрим теперь эволюцию сжимающейся массы, которая вначале представляет собой эллипсоид Римана со слегка различающимися осями. Если взять a2/fli очень близким к единице, то отклонение от осевой симметрии будет очень малым, но не нулевым. Рис. 11.1 иллюстрирует, как такое сжимающееся тело будет эволюционировать через последовательность положений равновесия, в которых помимо вращения есть и внутренние движения (A w 0). Эволюционный трек параллелен последовательно-
сти сфероидов Маклорена (т.е. а2/ах остается близким к единице) до тех пор, пока а3/ах не достигнет значения 0,3033; затем отношение а2/ах начинает быстро меняться, а трек становится параллельным самой нижней последовательности эллипсоидов Римана 0^ = 0. (Отметим, что этот трек играет ту же роль, что и последовательность эллипсоидов Якоби в классическом подходе.) Но поскольку эти равновесные фигуры не лежат в точности на линии Маклорена, они никогда не достигают точки динамической неустойчивости т = 〃 на последовательности сфероидов Маклорена. Следовательно, они всегда эволюционируют в келъвиновской шкале tK, оставаясь при этом на самой нижней последовательности эллипсоидов Римана или вблизи нее. Что можно сказать об устойчивости этих медленно сжимающихся фигур равновесия? Как показал Лебовиц^ эллипсоиды, почти осесимметричные вначале, со временем становятся динамически неустойчивыми к бесконечно малым возмущениям, связанным с гармониками третьего порядка. Необычайно узкая полоса неустойчивости лежит чуть выше лийии К】=0, и ее обязательно пересекают все эволюционные треки тел с достаточно малыми начальными отклонениями от осевой симметрии. (При )=% трек / на рис. 11.1 становится неустойчивым лишь тогда, когда а^а、= 0,640, т.е. не очень далеко от точки, отмеченной звездочкой на самой нижней последовательности Римана.) Основное предположение данной теории состоит в том, что эволюция продолжается вдоль новой последовательности стационарных конфигураций (которая приходит на смену последовательности эллипсоидов Римана, когда эволюция вдоль последней становится уже невозможной) и что в результате эволюции вдоль этой новой ветви вполйе может произойти деление (рис. 11.2). Однако эволюционные треки пересекают узкую полосу неустойчивости лишь тогда, когда начальное отклонение тела от осевой симметрии меньше некоторого критического значения; если это критическое значение превышается, то сжимающееся тело не подвержено неустойчивости к гармоникам третьего порядка и, возможно, оказывается неустойчивым к возмущениям, связанным с гармониками четвертого или более высоких порядков. Изложенные рассуждения по-прежнему основаны лишь на линейном анализе устойчивости, и о реальном движении возмущенного эллипсоида Римана в нелинейном режиме пока ничего не известно.
Заключительные замечания. Среди многих возражений против различных теорий деления, объясняющих происхождение двойных звезд, самое серьезное связано, по-видимому, с использованием моделей однородной плотности. Как показано в разд. 10.3, последовательности центрально конденсированных твердотельно вращающихся политроп никогда не достигают точек бифуркации или динамической неустойчивости. Точнее, при л > 0,808 каждая последовательность осесимметричных политроп с твердотельным вращением заканчивается в точке так называемого предела вращения (т.е. предельной моделью, в которой эффективная сила тяжести на экваторе падает до нуля), прежде чем может появиться точка бифуркации. Однако такие последовательности не являются эволюционными для невязкой центрально конденсированной массы, поскольку вследствие локаль-
Т,0 -0,8 -0,6 -0,4 -%20“％ 0,60/ W
х2 +
KzKzРис. 11.2. Форма фигур, образующихся при делении. Форма' эллипсоида (с а?/% = 0,656 и %/% = 0,243) дана пунктиром, а форма образующихся фигур — сплошными линиями. Сверху вниз изображены поперечные сечения плоскостями х产з, Х]%2 и х^Ху Показана лишь половина сечения, другая половина получается зеркальным отражением относительно горизонтальной плоскости. (Lebovitz N. К. Ар. J., 190, 121, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)Рис. 11.2. Форма фигур, образующихся при делении. Форма' эллипсоида (с а?/% = 0,656 и %/% = 0,243) дана пунктиром, а форма образующихся фигур — сплошными линиями. Сверху вниз изображены поперечные сечения плоскостями х产з, Х]%2 и х^Ху Показана лишь половина сечения, другая половина получается зеркальным отражением относительно горизонтальной плоскости. (Lebovitz N. К. Ар. J., 190, 121, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Kz
Kz
Рис. 11.2. Форма фигур, образующихся при делении. Форма' эллипсоида (с а?/% = 0,656 и %/% = 0,243) дана пунктиром, а форма образующихся фигур — сплошными линиями. Сверху вниз изображены поперечные сечения плоскостями х产з, Х]%2 и х^Ху Показана лишь половина сечения, другая половина получается зеркальным отражением относительно горизонтальной плоскости. (Lebovitz N. К. Ар. J., 190, 121, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 11.2. Форма фигур, образующихся при делении. Форма' эллипсоида (с а?/% = 0,656 и %/% = 0,243) дана пунктиром, а форма образующихся фигур — сплошными линиями. Сверху вниз изображены поперечные сечения плоскостями х产з, Х]%2 и х^Ху Показана лишь половина сечения, другая половина получается зеркальным отражением относительно горизонтальной плоскости. (Lebovitz N. К. Ар. J., 190, 121, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
кого сохранения момента количества движения в ней непременно должно развиваться дифференциальное вращение. В связи с этим кажется более реалистичным рассматривать эволюционные последовательности политроп с дифференциальным вращением, вводя вместо предположения о постоянной угловой скорости предположение о заданном распределении момента количества движения. Так поступили Боденхеймер и Острайкер (см. разд. 10.4 и И .4). Короче говоря, такие последовательности дифференциально вращающихся политроп во всех важных отношениях напоминают последовательность сфероидов Маклорена и, в частности, никогда не достигают предела вращения. Поэтому, хотя условия в моделях с однородной плотностью, несомненно, далеки от условий в звездах до главной последовательности, в качественном (а отчасти и в количественном) отношении однородные эл-
липсоиды внешне ведут себя так ж^ как медленно сжимающиеся центрально конденсированные модели.
Другое возражение (принадлежащее Литтлтону) связано с критической стадией, во время которой, как предполагается, происходит деление. Во всех трех рассмотренных подходах конечная неустойчивость эллипсоидальных фигур всегда динамическая, поэтому она не зависит от трения и любое последующее движение должно быть обратимым во времени. Но если в реальной двойной обратить стрелу времени, то система не превратится снова в единое тело, а просто останется той же двойной, но вращающейся в противоположном направлении. Значит, без диссипации двойная звезда не могла образоваться из единого тела, ставшего динамически неустойчивым. Литтлтон утверждает, что единственный результат развития динамической неустойчивости эллипсоида — это распад на части, кинетическая энергия которых больше их энергии взаимного притяжения, так что два фрагмента разойдутся сколь угодно далеко. Действительно, динамическая неустойчивость ведет к высвобождению энергии и в любом новом стационарном состоянии (например, в двойной звезде) энергия должна быть меньше, чем в неустойчивом эллипсоиде с теми же значениями М и J. Однако эволюция звезды всегда происходит неконсервативно, поэтому нет оснований считать, что только в процессе деления энергия должна сохраняться. Следовательно, нет физической причины, по которой постепенная диссипация не позволила бы массивному телу перейти в новое стационарное состояние ——двойную звезду.
Скажем теперь несколько слов о характерных временах tK и rv, которые входят в неравенства (1) и (2). По современным данным время сжатия Кельвина — Гельмгольца tK для М в диапазоне от 102 до Ю^^^ лежит в пределах от 104 до 109 лет. Поэтому, если брать в качестве tv время вязкой диффузии (см., например, табл. 7.1), то, вообще говоря, «《3, В связи с этим, казалось бы, нужно отказаться от классической теории в пользу новейших методов. Однако окончательно не установлено, следует ли принимать в качестве tv время вязкой диффузии. Как указал Лебовиц, возможно, что для некоторых, если не для всех звезд, не достигших главной последовательности, обычный коэффициент кинематической вязкости нужно заменить на соответствующий коэффициент турбулентной вязкости, что приведет к уменьшению характерного времени %, С другой стороны, может оказаться, что в качестве tv правильнее принимать время ускорения вращения вторичными течениями (т.е. среднее геометрическое характерного времени вязкой эволюции и периода вращения). Вследствие подобных еще недостаточно изученных явлений значения tK и tv могли бы стать примерно сравнимыми, так что иногда было бы справедливо неравенство (1), а иногда (2). Поэтому, хотя современные подходы и кажутся многообещающими в будущих исследование, на данном этапе совсем не очевидно, что классическая теория не заслуживает никакого внимания.
Кроме того, наличие динамической неустойчивости на эволюционном треке не обязательно ведет к возникновению движений с характерным временем динамической эволюции 邑,которое много короче остальных. Расче-
ты Лебовица и Шаара по смежной тематике дают основание предполагать, что до и после точки бифуркации (в которой наступает динамическая неустойчивость) движения могут происходить с характерным временем tK и лишь в промежутке времени порядка (tD /《)％ возникают движения с таким же характерным временем (tD 1制％・ Если этот результат справедлив и для проблемы деления, то поведение грушевидной фигуры можно будет узнать и не решая полных динамических уравнений; чтобы предсказать это поведение, понадобятся лишь равновесные решения. Итак, основное предположение при всех трех подходах состоит в том, что в сжимающийся массе появляется перетяжка, которая в ходе эволюции становится все уже, и в результате образуются два отдельных фрагмента. Поэтому главная методическая проблема такова: как описать движения с конечной амплитудой за точкой, в которой тело становится неустойчивым к бесконечно малым возмущениям? Обэн пытался проследить динамическую эволюцию грушевидной фигуры. К сожалению, подтвердить основное предположение пока не удалось, по всей вероятности, потому, что исходный анализ проводился Обэном лишь в квазилинейном приближении. (Т.е. он пользовался разложениями, в который сохранялись только члены с £ и £2, где £ ——начальная амплитуда возмущений третьих гармоник.) По-видимому, никакое решение, кроме полного нелинейного анализа, не позволит окончательно разобраться с основным предположением всех теорий деления. Разумеется, при таких обстоятельствах было бы крайне интересно надлежащим образом обобщить метод, применявшийся Ларсоном для осесимметричного коллапса (см. разд. 11.2), но при этом вновь придется столкнуться с трудной задачей ——оценить пределы применимости численных расчетов!
КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ
Квазистатическая эволюция сферических звезд с массами от Ю-1 до 102 M⑥ к главной последовательности изучена теперь сравнительно хоро・ ш(^ Можно считать, что во время этой стадии медленного сжатия невра- щающаяся звезда эволюционирует вдоль последовательности квазигидро- статических равновесных фигур. Сферическая звезда эволюционирует только благодаря небольшому отклонению от строгого гидростатического равновесия. При этом конфигурахшя излучает за счет потенциальной гравитационной энергии. Когда температура в центре становится достаточно высокой, начинаются ядерные реакции; в конце концов с приходом звезды на главную последовательность сжатие прекращается. Пока выполнено очень мало работ, посвященных влиянию вращения на строение и эволюцию звезд в ходе квазистатического сжатия. Кроме того, поскольку время жизни (сферической) звезды на этой стадии составляет всего около 0,01 времени ее жизни на главной последовательности, наблюдательный материал, связанный со скоростями вращения и другими параметрами, также очень скуден. Стадии медленного сжатия у массивных и маломассивных звезд во многих существенных отношениях различны, поэтому удобно поочередно рассмотреть каждую из этих групп. В конце главы мы кратко остановимся
на резком различии скоростей вращения массивных и маломассивных звезд главной последовательности.
Массивные звёзды. Перспективное направление исследований избрали Боденхеймер и Острайкер, рассмотревшие в некотором приближении эффекты быстрого дифференциального вращения при квазистатическом сжатии массивных звезд. Описанные ниже результаты относятся только к лучистым стадиям эволюции звезд с массами 3 — 12Mo. При таких массах конвекция важна лишь в течение пренебрежимо* малой доли времени сжатия, а давление и плотность можно с хорошей степенью приближения связать политропным соотношением с показателем 九=3 (ср. с разд. 10.1). Кроме того, поскольку характернее времена обычной вязкой эволюции и циркуляционных течений, которые переносят момент количества движения, гораздо больше времени лучистого сжатия (ср. с разд. 7.4 и 8.2) разумно принять, что в каждом кольцевом элементе массы, коаксиальном оси вращения, момент количества движения сохраняется. Предполагается также, что магнитные поля отсутствуют и что можно пренебречь переносом момента количества движения звездным ветром или тонкими конвективными зонами вблизи поверхности. Наконец, конфигурации считаются осесимметричными, а циркуляционными течениями полностью пренебрегается. В этих условиях полная масса М и момент количества движения J сохраняются, а угловая скорость 0 зависит только от расстояния & до оси вращения (ср. с разд. 4.3).
Эволюционная последовательность определена, если заданы следующие параметры: М, J, химический состав (X К Z) и распределение момента количества движения на единицу массы J(m&), где т~ ——доля массы, заключенная в цилиндре радиуса & вокруг оси вращения. Функция 丿(т&), которая в ходе эволюции остается неизменной и удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда (см. разд. 7.3), берется такой же, как у звезды, первоначально образовавшейся в виде твердотельно вращающейся сферы однородной плотности [ср. с разд. 10.4 формула (44)]. В самом начале численных расчетов, когда экваториальный радиус соответствует Teff = 5000 К, строится дифференциально вращающаяся политропа с показателем 九=3 при помощи.метода самосогласованного поля (см. разд. 5.5). Из уравнения состояния идеального газа определяют температуру на каждой уровенной поверхности. Затем вычисляют светимость на каждой уровенной поверхности, интегрируя но этой поверхности поток, полученный из уравнения лучистого переноса. Во внешних областях модели светимость практически постоянна, так что в большинстве случаев полная светимость L звезды определяется хорошо. Строя набор таких дифференциально вращающихся политроп для убывающих значений экваториального радиуса, или, что эквивалентно, для возрастающих значений отношения т = К/\ W\, получают эволюционную последовательность. Интервал времени между двумя моделями последовательности находят из закона сохранения энергии: он равен разности полных энергий двух конфигураций, деленной на среднюю светимость. За конечную точку эволюционной последовательности принимается
модель, в которой ядерные источники энергии обеспечивают примерно 25% полной светимости звезды; после этого момента в массивных моделях развивается конвективное ядро, внутреннее строение меняется и рассмотренные приближения уже не годятся.
Из расчетов моделей Боденхеймера и Острайкера следует несколько принципиальных выводов.
Во-первых, рост полного момента количества движения J при данной массе М существенно влияет на ход эволюции (рис. 11.3). Если значение J достаточно велико, то дифференциальное вращение ведет к уменьшению светимости в ходе эволюции, тогда как для лучистой стадии невращаю- шихся моделей характерно медленное увеличение.
Во-вторых, хотя переход на главную последовательность не вычислял*
Рис. 11.3. Теоретические эволюционные треки дифференциально вращающихся звез, ДО главной последовательности. Массы даны в М0, а значения момента количества лвижения-в единицах (GM部◎产=6,05 • Ю51 г • см2/с. Числа около кривых —расчетные скорости вращения на экваторе (в км/с). Рядом с наблюдаемыми вложениями четырех объектов в скобках указаны наблюдаемые значения v smi (в юй/с). Данные наблюдений заимствованы из: Herbig G. Н. Ар. J., 125, 612, 1957; faring G. Н. Vistas in Astronomy, ed.Beer A., 8, 109, 1966; Mendoza E. E Ap. J., 151, 切,1968. (По Bodenheimer P. Rep. Progress Phys., 35, 1, 1972. © 1972 by The Institute of Physics.)
ся, из рис. 11.3 следует, что сжимающиеся модели подходят к главной последовательности с экваториальными скоростями ve, попадающими в наблюдаемый диапазон (до 400 км/с), и со светимостями, значительно меньшими, чем у невращающихся моделей той же массы.
В-третьих, полученное из этих вычислений соотношение (М - J/М) для звезд главной последовательности, у которых ve попадает примерно в середину наблюдаемого диапазона, значительно отличается от выведенного в предположении постоянства угловой скорости. Эти две зависимости приближенно изображены на рис. 11.4 в виде кривых 5 и 7 соответственно.
В-четвертых, при данной массе М с ростом J время сжатия до главной последовательности увеличивается из-за уменьшения светимости. Однако времена сжатия для моделей (с различными М и J), которые подходят к главной последовательности с одинаковой светимостью, почти одинаковы.
Рис. 11.4. Оценки зависимости между массой и моментом количества движения на единицу массы: 7 ——для звезд главной последовательности по средним наблюдаемым скоростям в предположении о твердотельном вращении; 2 и 3 — для звезд главной последовательности по наблюдениям только звезд, первоначально образовавшихся как твердотельно вращающиеся политропы с показателями л = 1,5 и 0 соответственно; 4 ——для моделей звезд (первоначально образовавшихся как твердотельно вращающиеся шары с постоянной плотностью), которые предположительно претерпели деление непосредственно перед началом ядерных реакций, 5 н 6 ——для контактных двойных главной последовательности с заданной полной массой и отношением масс 2 и 1 соответственно. Кривые 7, 5 и б заимствованы из: Kraft R. Р. Spectroscopic Astrophysics, ed. Herbig G. H., Berkeley: Univ, of California Press, 1970, p. 385. (Bodenheimer P., Ostriker J. P. Ap. J., 161, 1101, 1970. С разрешения The University of Chicago Press. © 1970 by the University of Chicago.)
Таким образом, при данной светимости на главной последовательности время сжатия, по-видимому, мало зависит от выбранного закона вращения.
В-пятых, если связать скорости вращения звезд типа Т Тельца с эволюционными треками, то подтверждается мысль, что на лучистой стадии сжатия до главной последовательности момент количества движения с хорошей точностью сохраняется. Три звезды типа Т Тельца, скорости вращения которых измерил Хербиг (ТТаи, %sini = 20 км/с; RY Таи, vesini = 45 ——50 км/с; SUAur, vesinz = 65 км/с), приблизительно попадают на эволюционные треки для звезд с М = ЗМ ⑥ и постоянным J. Во всех трех случаях модели достигают главной последовательности в области спектральных классов АО — А5, причем Т Тельца с % 仪 100 км/с, а две другие звезды с % = 200 км/с. Эти оценки согласуются с наблюдаемым диапазоном скоростей для звезд главной последовательности спектрального класса А. Аналогичное утверждение можно высказать и для звезды FU Ориона (% sin / = 50 км/с), только теперь нужно рассматривать эволюционный трек постоянного J для М = 6,5 М® (рис. 11.3).
В заключение кратко прокомментируем возможность деления тел на эволюционных треках, построенных Боденхеймером и Острайкером. По предположению Острайкера деление происходит, если точка динамической неустойчивости достигается, прежде чем ядерные реакции оказываются в состоянии остановить медленное сжатие (ср. с разд. 11.3), а тогда большие значения J при данной массе вполне могут привести к образованию двойной звезды на квазистатической стадии. Итак, по аналогии с последовательностью сфероидов Маклорена мы предполагаем, что двойная звезда образуется, когда сжатие достигло стадии, в которой отношение 刀 « 0,27. На рис. 11.5 изображена форма модели при этом значении т. Численные расчеты показывают, что с каждой массой связано некоторое критическое значение полного момента количества движения, скажем “，выше которого до перехода сжимающейся звезды на главную последовательность наступает динамическая неустойчивость. Этот результат проиллюстрирован на рис. 11.4, где приведено сравнение с полученной Крафтом зависимостью М от J/М для контактных систем, состоящих из звезд главной последовательности с отношением масс 1 и 2. Отметим хорошее согласие между пороговым значением J。, необходимым для деления (в соответст вии с критерием Боденхеймера и Острайкера) и минимальным моментом количества движения двойных звезд с чаще всего наблюдаемыми отношениями масс. (Как мы увидим ниже, такое ;«е согласие Роксбург нашел и для маломассивных звезд.) Гипотеза деления независимо подкрепляется наблюдаемой корреляцией вращения с орбитальным движением в тесных двойных (ср. с разд. 2.4). Итак, хотя теоретикам предстоит проделать еще много работы, чтобы доказать, что динамическая неустойчивость (т N %) в центрально конденсированном теле с необходимостью приводит к делению, уже теперь есть много данных (как теоретических, гак и эмпирических) в пользу такой гипотезы образования тесных двойных. Тем самым, как было сказано в
Рнс. US Изопикнические псюерхности быстро вращающая модели вблизи точки, где ожидается деление звезды (М = 12М@ и J = 30[GM部◎产?). Re — полный экваториальный радиус. Указаны диаметры цилиндров» которые содержат 1/4, 1/2 и 3/4 полной массы. При вращшш диаграммы вокруг оси z получается конфигурация, похожая на тороид. (Podenhein^r Р. Rep. Progress Phys., 35, 1, 1972. © 1972 by The Institute of Physics.)
pain. 11.2, ®1ла бы решага и проблема момента количества движения для массивных жзд.
Маломассивные звезды. Влияние вращения на эволюцию до главной последовательности маломассивных звезд с сильной конвекцией пока изучено шюхо» Турбулентная конвоощя порождает большую турбулентную вязкость, а это приводит к быстрому п^эеносу момента количества движения, поэтому обычно считают, что вследствие конвекции вся звезда вращается твердотельно, возможно с критической угловой скс^рсютью, при которой центробежная сила на экваторе уравновешивает тяготение. Однако, соглас- во разд. 8.5, закон враи№<я Q = const соблюдается лишь в том случае, когда турбулентные движошя строго изотропны. Кроме того, даже если коэф^цивт турбулентной вязкости изотропен, имеются сильные свидетельства, что вязкое трение ведет к тв^>дотельному вращению лшиь тогда, когда силы инерции малы по сравнению с силами давления. «Другими слоями» если начальное движение под поверхностью быстро вращающейся звезды в ОСНО1ШОМ кеплеровское (т.е. О “ 不一纵 то изотротная турбулентная вязкость вызовет перенос момента количества движения наружу, но в са-
мых внешних слоях звезды, вероятно, сохранится дифференциальное ^)а・ хдание и твердотельное вращение не установится.
Качественные соображения, касающиеся эффектов твердотельного вра- шеаия на стадии Хаяши, впервые высказали Шацман и Роксбург. В их пропиленном рассмотрении предполагается, что маломассивная звезда сначала эволюционирует с постоянным J, но перенос момента количества двяжшия в самом теЯе поддерживает твфдотельное вращеяие. Затем в ходе медленного сжатия постоянная по звезде угловая скорость увеличивается до тех нор, пока центробежная сила не уравновесит силу тяготения на экваторе. После этого дальнейшее сжатие может происходить только с некоторой потерей момента количества движения. Возможный механизм этих потерь — экваториальное истечение, при котором вещество остается на кеплеровских орбитах вокруг звезды, образуя околозвездный диск. Оценка Роксбурга показывают, что в этом процессе теряется относительно малая масса, но полный момент количества движжия J(0 убывает как Яи(/). Однако, как указали Нобили и Секко, полная масса, потерянная при сжатии, сильно зависит от продолжительности полностью конвективной стадии. Предполагая для простоты твердотельное вращение и сферическую <жмметрию звезды массой 2Moii начав с критической угловой скорости при радиусе 50 R©» они выявили значительную потерю массы. Численные расчеты для несферических звезд, гомологично сжимающихся к главной последовательности и вращающихся с критической угловой скоростью, проделал также Мосс. В общих чертах влияние твердотельного вращения со・ сто占 в том, что политропные модели с показателем 〃 = % при том же объеме сдвигаются к более низким эффективным температурам и светимостям. Таким образом, вследствие вращения звезда эквивалентна звезде м^ьшей массы, что обнаружено и для некоторых свойств вращающихся звезд главной последовательности (ср. с разд. 12.2). Что касается вопроса о характерных временах сжатия, то результаты еще очень ненадежны. Все же представляется, что время сжатия маломассивной звезды, вращающейся с критической скоростью, гораздо оольше, чем невращающейся модели, которая приходит в ту же точку главной последовательности. Для быстро вращающихся звезд с сильной конвекцией, сжимающихся к главной последовательности, надежные эволюционные треки по существу еще не найдены.
Теперь кратко остановимся на проблеме деления в формулировке Роксбурга. В ходе сжатия маломассивной звезды в конце концов образуется лучистое ядро, в котором уже нет турбулентной вязкости. Поэтому каждый элемент. массы этого растущего ядра сохраняет свой момент количества Дмикения, что влечет за собой увеличение угловой скорости внутрь. Затем Роксбург предполагает, что неоднородное, дифференциально вращающееся
ядро ведет себя как сжимающийся сфероид Маклорена и что деление произойдет, когда растущее отношение 7 достигнет критического значения ть н 0,14 (см. разд. 11.3). Из этого эвристического анализа следуют два интересных результата. Во-первых, звезды с М v 0,8Mo достигают главной последовательности и перестают сжиматься, прежде чем в их ядре может произойти деление, вызванное вращением. Теоретический предел М = 0,8 Mq согласуется с нижним пределом полных масс, наблюдаемых в системах типа W Большой Медведицы. Во-вторых, зависимость М от J/М для моделей во время предполагаемого деления хорошо согласуется и с наблюдаемыми моментами количества движения для всех тесных двойных. Однако предположение Роксбурга, что из звезд с М V 4 M⑥ могут образоваться контактные двойные, а из более массивных звезд получаются разделенные системы, не подтвердилось анализом наблюдений, проведенным Маммано с сотрудниками. Учитывая все неопределенности и приближения, присущие этому очень грубому подходу к проблеме деления, мы вправе усомниться, можно ли вообще в настоящее время делать какие бы то ни было точные теоретические предсказания (такие, как четкое различие между тесными и широкими двойными). На наш взгляд, механизм образования тесных двойных среди маломассивных звезд за счет деления, обусловленного вращением, все еще привлекателен, но остается недоказанным.
Уменьшение скорости вращения звезд спектрального класса F5 V. Давно известно, что заметные скорости вращения часто наблюдаются у нормальных звезд главной последовательности спектральных классов О, В и А и что они практически равны нулю у звезд спектрального класса примерно F5 (ср. с разд. 2.3). Как предположил в 1930 г. Струве, медленное вращение, наблюдаемое у звезд главной последовательности спектрального класса позже F5 (Ms 1,25М@), возможно, объясняется тем, что эти звезды, как правило, имеют планетные системы (или спутники — черные карлики?). Хотя это объяснение до некоторой степени сохраняет свою притягательную силу, теперь есть много свидетельств, что, вероятнее всего, не оно является причиной удивительного уменьшения скоростей вращения в середине класса F на главнвой последовательности.
Шацман первым осознал роль магнитного торможения для звезд с внешними конвективными слоями (таких, как маломассивные звезды на стадии Хаяши и звезды главной последовательности спектральных классов позже F5). Он предположил, что звезды с конвективными оболочками порождают вспышки, подобные солнечным, которые приводят к расширению плазмы в магнитном поле. Выброшенное из областей вспышек вещество в магнитном поле приблизительно сохраняет угловую скорость до тех пор, пока не удалится на расстояние, много большее радиуса звезды. В более удаленных областях по мере ослабления магнитных напряжений выброшенное вещество может покинуть звезду, причем каждый элемент массы уносит свой момент количества движения. Как показали Шацман и Окамо- то, несмотря на незначительность потерь массы за счет выбросов, они влекут за собой куда более сильные потери момента количества движения.
При М V 2 М® и напряженностях магнитного поля в пределах 1()2 — ю3 Гс полная доля сброшенной массы Д М/М, необходимая, чтобы унести весь момент количества движения звезды за время квазистатическо- го сжатия (при критической угловой скорости), не превышает 2 • 10~4. Это знанение потерь массы хорошо укладывается в диапазон, полученный Кухи из наблюдений звезд типа Т Тельца.
При такой эффективности этого механизма потерь момента количества движения вращающимися звездами с конвективными оболочками падение скорости вращения на главной последовательности можно объяснить следующим образом. Поскольку массивные звезды находятся в конвективной стадии сравнительно недолго, на них магнитное торможение практически не действует. Следовательно, во время квазистатического сжатия они почти не теряют момента количества движения. Напротив, для маломассивных звезд конвективная стадия важнее, так как на всем пути к главной последовательности их внешняя конвективная зона сохраняется. Поэтому магнитное торможение может действовать в течение всей фазы квазистэ- тического сжатия и (или) во время гораздо более долгого пребывания звезд на главной последовательности. Эту точку зрения теоретически подкрепляют сферические модели звезд, разработанные Демарком и Редером. Двигаясь вдоль главной последовательности от маломассивных звезд к массивным, они обнаружили, что толщина водородной конвективной оболочки в их моделях быстро уменьшается и очень резко падает до нуля в середине спектрального класса F. Другими словами, спектральный класс, который отделяет быстро вращающиеся звезды от медленно вращающихся, служит также границей между звездами, которые вблизи поверхности находятся в лучистом равновесии, и звездами с подфотосферными конвективными зонами. Вот, в сущности, основной довод в пользу механизма Шац- мана: турбулентная конвекция под поверхностью звезды ответственна за вспышечную активность с сопутствующей корпускулярной эмиссией и усиливаемой за счет магнетизма потерей момента количества движения. Как мы увидим в разд. 15.3, само магнитное поле либо порождается механизмом динамо, возбуждаемым вращательными и конвективными движениями под поверхностью звезды, либо является остатком первичного поля протозвездного облака.
Другой механизм, с помощью которого звезды с конвективными оболочками могут избавиться от изрядной доли своего начального момента количества движения,——это звездный ветер, обобщающий понятие солнечного ветра Паркера. В самом деле, сравнивая направления хвостов у комет с прямым и попятным движением, Брандт надежно подтвердил мысль о том, что солнечный ветер уносит поток момента количества движения и создает тормозящую силу, достаточную, чтобы наполовину уменьшить скорость вращения Солнца примерно за 5 • 109 лет (в предположении твердотельного вращения). Эту же идею можно, по-видимому, уверенно применить ко всем звездам с внешними конвективными оболочками. Согласно Местелу, существенной особенностью механизма снова является подфотос- ферная конвекция. Волны, генерированные в конвективной зоне, диссипиру-
ют в слоях над фотосферой, нагревая их, что приводит к образованию хромосферы и короны. Однако теперь, даже если корональные температуры слишком низки для образования теплового звездного ветра, большие центробежные силы, действующие на синхронно вращающееся вещество, могут породить течение, направленное наружу, т.е. центробежный звездный ветер. В обоих случаях скорость звездного ветра растет наружу от очень низких значений у основания короны до сверхзвуковых скоростей вдали от поверхности звезды. Многие авторы независимо показали, что внутри так называемой альвеновской поверхности (т.е. поверхности, на которой скорость газа достигает альвеновской скорости) магнитное поле звезды достаточно сильно, чтобы увлечь за собой вещество и заставить его вращаться приблизительно синхронно со звездой. Вне этой поверхности течение газа увлекает в своем движении магнитное поле и, таким образом, приближается к состоянию, когда момент количества движения сохраняется. Кроме того, если плотность энергии магнитного поля сравнима с плотностью тепловой энергии у основания короны, то нетрудно убедиться, что «радиус» альвеновской поверхности (скажем, Rfl) гораздо, больше радиуса звезды. Как установлено из данных о солнечном ветре, для Солнца R« * 25Rq； для звезд в нижней части главной последовательности значения R@ получаются еще выше. Итак, хотя в этой теории еще нет количественной модели, из приведенных цифр ясно выявляется эффективность магнитного торможения звездным ветром в качестве еще одного механизма потерь момента количества движения вращающимися звездами с подфо- тосферными конвективными зонами.
Важное свидетельство в поддержку нарисованной картины дают наблюдения Уилсона, предложившего относить к звездам с активными хромосферами (и, вероятно, с тормозящим звездным ветром) такие, в спектре которых есть эмиссия Са II (К2 и Н2). В самом деле, двигаясь вдоль главной последовательности, мы внезапно обнаруживаем эмиссию Са II в середине класса F, тогда как у звезд более ранних классов, чем F5 V, она никогда не наблюдается. Кроме того, медленное вращение довольно резко устанавливается как раз там, где возникает эмиссия Са II. (Как мы помним, здесь же появляются и внешние конвективные слои!) Наконец, среди звезд главной последовательности спектральных классов F и G звезды с эмиссией Са II (менее 10% выборки Уилсона при дисперсии 10 А/мм) ближе к главной последовательности нулевого возраста, чем звезды без нее. На основе этих результатов есть все основания считать, что нормальные звезды главной последовательности выше середины класса F в среднем вращаются быстро, так как не проявляют хромосферной активности (т.е. эмиссии Са II), вызванной подфотосферной конвекцией, которая порождает звездные ветры. Однако, если звезды классов F и G с эмиссией Са II ближе к главной последовательности нулевого возраста, чем звезды, в которых она отсутствует, это означало бы также, что хромосферная активность и звездный ветер, уменьшающий J, должны непременно затухать в ходе медленной эволюции звезд на главной последовательности.
Уилсон обнаружил и другое свойство звезд главной последовательности классов F и G, связанное с наличием эмиссии Са II: для данного спектрального класса эмиссия Са II тем сильнее, чем моложе звезда. Например, эмиссия Са II у звезд класса GO V в Плеядах (возраст 4 • 107 — 5 ■ 107 лет) сильнее, чем у звезд класса GO V в Гиадах (возраст = 4 • 108 — 9 - 108 лет), а у них в свою очередь эмиссия Са II сильнее, чем у звезд поля спектрального класса GO V (ср. с разд. 12.5). Позднее Крафт нашел также, что среди звезд поля более поздних классов, чем F5 V, звезды с эмиссией Са II вращаются в среднем быстрее, чем звезды без нее, и что звезды рассеянных скоплений вращаются быстрее звезд поля без эмиссии Са II. Согласно Крафту, средняя скорость вращения на экваторе звезд сМ=1,2М©н возрастами около 4 • 107 лет составляет примерно 40 км/с; за время, равное возрасту Гиад, эта скорость уменьшается вдвое, а по достижении возраста старых звезд поля — втрое. Из раооты Скуманича следует, что эмиссия Са II и скорость вращения наружных слоев убывают обратно пропорционально квадратному корню из возраста.
Таким образом, можно не без оснований считать, что если звезда обладает внешней конвективной оболочкой, то эта оболочка за наблюдаемое характерное время замедляется, по-видимому, под действием тормозящего момента, создаваемого звездным ветром в присутствии магнитного поля. Правда, еще не ясно, связана ли значительная потеря момента количества движения со стадией сжатия до главной последовательности или холодные звезды начинают свою эволюцию на главной последовательности быстро вращаясь, а затем за время гораздо более долгой жизни на главной последовательности замедляются (по крайней мере в наблюдаемых слоях). Кроме того, поскольку у звезд типа Солнца в конечном счете развивается лучистое ядро, возможно также, что такие звезды приходят на главную последовательность с ядром, которое вращается намного быстрее внешних слоев. Наконец, вопрос о том, сказывается ли на недрах звезд типа Солнца замедление наружных слоев и как оно сказывается, до сих пор вызывает немало споров и не поддается окончательному решению. В современной литературе (и особенно в обширных обзорах Дикке и Спигела) эта проблема разбирается очень подробно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Из многочисленных обзорных работ, имеющих отношение к тематике этой главы, можно сослаться на следующие:
Spitzer L., Jr. Diffuse Matter in Space, New York: Wiley and Sons, 1968, pp. 214 — 246.
Mestel L. Effects of Rotation, Magnetic Fields, Planetary Systems, Angular Momentum in Stars, Spin-Down, Binary and Multiple Stars, M€m. Soc. Roy. Sci. Liёge (5), 19, 167 — 194, 1970.
McNally D. Theories of Star Formation, Rep. Progress Phys., 34, 71 — 108, 1971.
Bodenheimer 尸.Stellar Evolution toward the Main Sequence, Rep. Progress Phys., 35, 1 — 54, 1972.
Larson R В. Dynamical Problems of Pre-Main-Sequence Evolution, M6m. Soc. Roy. Sci. Liёge (6), 8, 451 — 464, 1975.
См. также [2] к гл. 7. Большая часть ранних исследований отражена в этих работах.
Многим из того, что известно о проблеме момента количества движения, мы обязаны пионерским работам Хойла, Местела, Спитцера и фон Вайцзекера. Различные решения проблемы можно найти в работах:
Mestel L. Problems of Star Formation, Quart. J. Roy. Astron. Soc. London, 6, 161 — 198, 265 — 298, 1965.
Spitzer L., Jr. Dynamics of Interstellar Matter and the Formation of Stars, in Nebulae and Interstellar Matter, eds. Middlehurst В. M., Aller L・ H., Chicago: The Univ, of Chicago Press, 1968, pp. 1 — 63.
Более поздние работы по этой проблеме следующие:
Prentice A. J. R, ter Haar D. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 151, 177 — 184, 1971.
Nakano T., Tademaru E. Astrophys. J., 173, 87 — 101, 1^72.
Nakano T. Publ. Astron. Soc. Japan, 25, 91 — 100, 1973.
Трудности, связанные с магнитным торможением в ходе ускоряющегося коллапса, изучались в работе
Gillis J., Mestel L., Paris К. В, Astrophys. and Space Sci., 27, 167 — 194, 1974. См. также
Fleck R. C., Hunter J. H. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 175, 335 — 343, 1976.
Эволюция малого скопления рассматривается в работе
иа〃 Albada Т. S. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 20, 57 — 68, 1968.*
См. также
Kumar S. S. Astrophys. Space Sci., 17, 453 — 45 8, 1972.
Arny T„ Weissman P. Astrson. J., 78, 309 — 315, 1973.
Harrington R. S. Astron. J., 80, 1081 — 1086, 1975.
Разные подходы к несферическому коллапсу и (или) к проблемам фрагментации можно найти в работах.
Lynden-Bell D. Proc. Cambridge Phil. Soc., 58, 709 — 711, 1962.
Lynden-Bell D. Astrophys. J., 139, 1195 — 1216, 1964; 142, 1648 — 1649, 1965.
Lin С. C., Mestel L., Shu E. H. Astrophys. J., 142, 1431 — 1446, 1965.
Arny T. Ann. Astrophys., 30, 1 — 11, 1967.
Fujimoto M. Astrophys. J., 152, 523 — 536, 1968; 170, 143 — 152, 1971.
Mizuno T., Fujimoto M. Publ. Astron. Soc. Japan, 22, 413 — 422, 1970.
Faile S. A, E. G. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 156, 265 — 273, 1972.
Ferraioli 尸.，Virgopia N. Mem. Soc. Astron. Italiana, 44, 181 — 191, 1973.
Hara T., Matsuda T„ Nakazawa K. Progress Theor. Phys., 49, 460 — 478, 1973.
McNally D. M6m. Soc. Roy. Sci. Liёge (6), 8, 479 — 486, 1975.
>7. Weber S. P. Astrophys. J., 208, 113 — 126, 1976..
3 тексте обсуждаются следующие работы:
：8. Larson R. В. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 156, 437 — 458, 1972.
Black D. C., Bodenheimer P. Astrophys. J. 199, 619 — 632, 1975; 206, 138 — 149, 1976.
Tscharnuter W. Astron. Astrophys., 39, 207 — 212, 1975.
Fricke К., Mollenhoff C., Tscharnuter W. Astron. Astrophys., 47, 407 — 412, 1976. Смежные исследования дисков и колец приводятся в работах
2. Ostriker J. Р. Astrophys. J., 140, 1067 — 1087, 1964.
Cameron A, G. %., Pine M. R. Icarus, 18, 377 — 406, 1973.
Drobyshevski E. M Astron. Astrophys., 36, 409、一 413, 1974.
Lynden-Bell D., Pringle J. E, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 168, 603 — 637, 1974.
Wong C-У. Astrophys. J., 190, 675 — 694, 1974.
Stewart J. M Astron. Astrophys., 42, 95 — 101, 1975.
Удачно составлен обзор по образованию двойных звезд
Batten А. Н. "On the Interpretation of Statistics of Double Stars, in Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 5, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1967, pp. 25 ——44.
Данные наблюдений подробно рассматриваются в работах
van Albada Т. S. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 20, 47 — 56, 1968.
Heintz W. D. J. Roy. Astron. Soc. Canada, 63 , 275 — 298, 1969.
Dommanget J. Ciel et Terre, 86, 463 — 485, 1970.
Abt H. 4, Levy S. G. Astrophys. J. Supplements, 30, 273 — 306, 1976.. Из последних противоречивых сообщений о механизме захвата упомянем 43. van Albada Т. S. Bull. Astron. Inst. Netherlands, 20, 40 — 46, 1968.
Mansbach P. Astrophys. J., 160, 135 — 145, 1970.
Szebehely 匕 Astron. J., 79, 981 — 983, 1449 — 1454, 1974. Превращение широкой двойной звезды в тесную рассматривается в статьях 46. Huang S. S. Ann. Astrophys,., 29, 331 — 338, 1966.
Mestel Z. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 138, 359 — 391, 1968. См. также
Okamoto /., Sato K. Publ. Astron. Soc. Japan, 22, 317 — 333, 1970.
Классический подход пространно изложен в [2] к гл. 10. (Там же можно найти все основные ссылки по этой теме.) Подход Острайкера изложен в работе 49. Ostriker J. Р.加 Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 147 — 156.'
Ссылаясь на Росснера и Фудзимото, мы имеем в виду их статьи; см.
Rossner L. F. Astrophys. J., 149, 145 — 168, 1967
и [21]. Подход Лебовица можно найти в статье
Lebovitz N. R. Astrophys. J., 175, 171 — 183, 1972; 190, 121 — 130, 1974. См. также
Lebovitz N. R M6m. Soc. Roy. Sci. Liege (6), 8, 47 — 53, 1975.
Lebovitz N. R, Schaar R J. Studies in Applied Mathematics, 54, 229 — 260, 1975. Ссылка на Обэна относится к его диссертации
Aubin G. Ph. D. Thesis (не опубликовано), Univ, of Montreal, 1973.
И .4. Изложение в тексте в значительной степени следует [4] (см. выше), [2] к Гл- 7 и [1, 2] к гл. 12. Массивные звезды рассматриваются в статьях
5. Bodenheimer Р. M6m. Soc. Roy. Sci. Li^ge (5), 19, 199 — 205, 1970.
Bodenheimer P., Ostriker J. P. Astrophys. J., 161, 1101 — ШЗ, 1970.
Маломассивные звезды изучашюь в работах
Schatzman Е. in Star Evolution, ed. Gratton L., New York: Academic Press, 1963, pp. 177 — 242.
8, Roxburgh /. W, Astrophys. J., 143, 111 — 120, 1966.
9. Nobili £., Secco L. Мёш. Soc. Roy, Sci. Libge (5), 19, 207 — 211, 1970.
Moss ZZ L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 161, 225 — 237, 1973.
Roxburgh /. %., Williams 尸.S. Mem. Soc. Astron. Italiana, 45, 477 — 483, 1974. Подход Роксбурга к проблеме деления изложен в (58], см. также его более раннюю работу
Roxburgh /. Ж, Nature, 208, 65 — 66, 1965.
Критические замечания высказаны в статьях
Маттапо A. Mem. Soc. Astron. Italiana, 38, 425 — 432, 1967.
Маттапо 4, Margoni R., Stagni R. Astron, and Astrophys., 35, 143 — 147, 197 4. Близкая йо теме работа — это
Sakurai Т. Astrophys. Space Sci., 41, 15 — 25, 1976.
Смежные вопросы рассматриваются в статьях
Kopal Z. Publ. Astron. Soc. Рас., 83, 521 — 538, 1971.
Van*t Veer E Astron. Astrophys., 40, 167 — 174, 1975.
Механизм Шацмана рассматривается в статье
Schatzman Е. Ann. Astrophys., 25, 18 — 29, 1962.
Дальнейшие исследования в этом направлении
Okamoto /. Publ. Astron. Soc. Japan, 21, 25 — 53, 350 — 366, 1969.
Okamoto /. /м Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 73 — 81.
Из многих теоретических работ по звездному ветру и потере момента количества движения можно сослаться на следующие:
Brandt J. С. Astrophys. J., 144, 1221 — 1222, 1966.
Ferraro К С. 4, Bhatia К В. Astrophys. J., 147, 220 — 229, 1967.
Mestel L. in Plasma Astrophysics, -ed. Sturrock P. A., New York: Academic Press, 1967, pp, 185 — 228.
Modisette J. L. J. Geophys. Res., 72, 1521 — 1526, 1967.
Weber £. J., Davis £., Jr. Astrophys. J., 148, 217 — 227, 1967.
Особо см. [4刀，а также следующие работы:
Mestel £. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 140, 177 — 196, 1968.
Nariai K. Astrophys. and Space Sci., 3, 150 — 159, 1969.
Mestel £., Selley C. S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 149, 197 — 220, 1970.
Grzedzielski S. Acta Astron., 21, 199 — 219, 1971.
Okamoto I. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 166, 683 — 701, 1974; 173, 357 — 379, 1975.
В поддержку механизма Шацмана выступают
Yeh Г. Astrophys. J., 206, 768 — 776, 1976.
Wilson О. С. Astrdphys. J., 144, 695 — 708, 1966.
Demarque 尸.，Roeder R. C. Astrophys. J., 147, 1188 — 1191, 1967.
Kraft R. R Astrophys. J„ 150, 551 — 570, 1967.
Skumanich A. Astrophys J., 171, 565 — 567, 1972. См. также
S6. Boesgaard А. М. Astrophys. J., 1 阳，567.— 569, 1974.
Характ吵 вращения звезд главной последовательности и сто связь с образованием планетных систем рассматриваются в статьях
Huang S. S. Astrophys. J., 141, 985 — 992, 1965; 150, 229 — 238, 1967.
См. также [44) к гл. 2 и
van den Heuvel Е 尸.J. The Observatory, 86, 113 — 115, 1966.
Kumar S. S. Zeit. f. Astrophys., 66, 264 — 267, 1967.
Fahlman G. G., Anand S. P. S. J. Roy： Astron. Soc. Canada, 63, 3 6 — 41, 1969.
Brosche P. J. Roy. Astron. Soc. Canada, 63, 150, 1969.
Virgopia N. Mem. Soc. Astron. Italiana, 43, 813 — 821, 1972.
Потеря массы звездами типа Т Тельца рассматривается в статьях
Kuhi £. К Astrophys. J.t 1 构，1409 — 143 3, 1964; 143, 991 — 993, 1966.
В 5едукмцих работах даны различные теоретические оценки потери момента количества движения вращающимися звездами (как в этой, так и в смежных задачах): 94. WUtiams Л Р.加 Mass Loss from Stars, ed. Hack M., New York: Springer-Verlag New York, Inc., 1%9, pp. 139 — 145.
Гусейнов О. X.„ Касумов Ф. К. Астрой, ж., 48, 722 — 725, 1971.
De G*ve J. R, De Loore C, De Jager C. Astrophys. Space Sci., 18, 128 — 134, 1972.
Weidett R D. Astron. Astrophys., 27, 389 — 394, 1973; 46, 213 — 218, 1976. 1^юб1№ма замедления вращения вторичными течениями для звезд типа Солнца подробно рассматривается Дикке и Спигелам в [3] к гл. 9; другие ссылки можно найти в 卩毋 к гл. 8.
12
МОДЕЛИ ЗВЕЗД: ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ
И ЭВОЛЮЦИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин в нашем понимании внутреннего строения и зволюции вращающихся звезд достигнут значительный прогресс. Однако, как указывалось в гл. 7, истинное распределение момента количества движения внутри звезды все еще практически не известно, поэтому во всех предлагавшихся до сих пор моделях закон вращения всегда задается ad hoc. Другими словами, даже самые подробные вычисления носят еще весьма предварительный характер, в сущности их задача — только оценить самые важные изменения, вызываемые вращением в моделях звезд. В разд. 12.2 рассматриваются изменения внутренних слоев химически однородных звезд главной последовательности под действием вращения. Следующий раздел посвящен влиянию вращения на наблюдаемые параметры, которые зависят от угла между осью вращения и лучом зрения. В разд. 12.4 рассматриваются аномально низкие скорости вращения звезд классов Аш и Ар. В разд. 12.5 изучаются эффекты вращения в звездах рассеянных скоплений. Мы завершаем главу общим анализом роли вращения на стадиях эволюции звезд после главной последовательности. Предполагается, что читатель уже знаком с теорией сферических звездных моделей.
МОДЕЛИ ЗВЕЗД ГЛАВНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вообще говоря, влияние вращения на внутреннее строение химически однородной звезды главной последовательности проявляется двояко: в глобальном расширении звезды за счет локальной центробежной силы и в отклонении от сферичности за счет несферической составляющей эффективной силы тяжести. Первый эффект приводит к уменьшению полной светимости звезды по сравнению с невращающейся звездой той же массы. Вследствие второго эффекта возникает зависимость наблюдаемой эффективной температуры и звездной величины от наклона оси вращения к лучу зрения (см. разд. 12.3). В настоящее время эти изменения пытаются оценивать в основном при помощи моделей двух типов: твердотельно вращающихся и дифференциально вращающихся, в которых угловая скорость зависит только от расстояния & до оси вращения. В обоих случаях вязкостью, циркуляционными течениями и магнитными полями полностью пренебре-
гают. Тем самым, согласно теореме Пуанкаре — Вавра (см. разд. 4.3), модели обеих групп обладают всеми механическими свойствами баротроп, несмотря на то, что полное давление р связано с плотностью р, температурой Т и химическим составом (X, У, Z) заданным уравнением состояния! Поэтому мы вправе ожидать, что четкое различие, которое было найдено между твердотельно и дифференциально вращающимися политропами, выявится и в рассматриваемых последовательностях псевдобаротропных моделей звезд главной последовательности (ср. с разд. 10.5). Иными словами, последовательности твердотельно вращающихся звезд должны обрываться на модели с нулевой эффективной силой тяжести на экваторе (т.е. в точке так называемого предела вращения), тогда как последовательности дифференциально вращающихся звезд не должны обрываться, что приводило бы к гораздо более заметным наблюдаемым эффектам, чем при твердотельном вращении. Из дальнейшего станет ясно, что дело обстоит именно так.
Твердотельно вращающиеся модели
Первыми влияние твердотельного вращения на светимость и эффективную температуру звезды главной последовательности рассмотрели Свит и Рой. В качестве модели они выбрали слабо искаженную медленным вращением модель Каулинга? Однако первые подробные модели твердотельно вращающихся звезд главной последовательности были построены только в 1968 г. Фолкнером, Роксбургом и Штриттматтером. При помощи метода возмущений Такеды они рассмотрели модели карликов промежуточных классов массами 1, 2 и 5 Mq . (В этих расчетах учтены подробные данные о непрозрачности и о выделении ядерной энергии, с особой тщательностью определяются граничные условия на внешней поверхности. X = 0,710, Z = 0,020.) Затем Сакманн и Ананд применили метод Такеды к звездам главной последовательности с массами в пределах от 5 до 15 М^ .(Они учитывали лучистое давление, но на поверхности принимали простое условие А = О, Т = О, X = 0,670, Z = 0,030.) Таким же методом Сакманн воспользовалась в дальнейшем при построении моделей с массами в диапазоне 0,8 — 20,0Mq , в которых учитывалось лучистое давление и аккуратно описывались внешние слои. (Сферические решения получены ею с помощью программы Киппенхана — Вайгерта — Хофмайстера, X = 0,739, Z = 0,021.) Киппенхан и Томас применили описанный в разд. 5.4 метод возмущений к звездам главной последовательности с массами 1, 5 и 10 М© (X = 0,739, Z = 0,021). Наконец, с помощью сходного метода Папалоизу и Уэлен позднее построили подробные модели твердотельно вращающихся звезд с массами в пределах 0,6 — 62,7 М@(М》ЮМ。，X = 0,739, Z = 0,021; М С 2М0, X = 0,700, Z = 0,050). *
Прежде всего, поскольку оценки погрешностей не приводились, эти твердотельно вращающиеся модели нужно сравнить между собой. (В связи с этим обратите особое внимание на рис. 10.7 и 10.8!) В табл. 12.1 приведены изменения светимости (AL/L。) и полярного радиуса (Д Rp/R) для всех
моделей вблизи предела вращения, т.е. для модели, вращающихся быстрее всего (L0 H R — светимость и радиус сферической модели той же массы соответственно). Видно, что, несмотря на большое разнообразие методов и исходных физических данных, серьезного расхождения между различными результатами нет. В частности, максимальное изменение светимости, обусловленное твердотельным вращением, для массивных моделей составляет примерно от 7 до 10%, для маломассивных моделей с лучистой обо-
Таблица 12.1
Сводка результатов нескольких авторов об изменениях светимости и полярного радиусав процентах при предельном вращении
[Faulkner J., Roxburgh /. ИС, Strittmatter Р. Ар. J., 151, 203, 1968 (FRS); Sackmann I.-J., Anand S. Р. S. Ар. J., 13, 105, 1970 (SA); Sackmann I .-J. A. Ap., 8, 76, 1970 (S); Kippenhahn R., Thomas H、C in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 20 (KT); Papaloizou J. C. A, Whelan J. A. J. M.N., 164, 1, 1973 (PW)]
FRS
SA
S
it
KT
PW
—aR
R
M/M0
-△L
-A%
~R~
—aL
-△Rp
一 N 石
62,7
7,3
1,L
40,0
7,7
1,9
28,25
・•・・
・・・•
• • «
8,0
2,3
20,0
7,5
2,1
8,1
2,5
15,0
6,5
1,2
7,7
2,5
• • • •
12,0
6,7
1,5
10,0
6,7
1,7
7,2
2,5
6,2
2,5
8,0
2,9
9,0
6,7
1,8
7,2
2,4
7,0
6,7
1,9
7,1
2,3
5,0
8,6
2,9
6,6
2,0
6,6
2,1
5,4
1,7
• • • •
3,0
5,9
1,7
••• b
2,0
8,8
23
5,5
1,3
4,6
1,0
1,8
5,0
1,2
・ • • ♦
1,5
5,6
1,2
5,9
2,2
1,4
5,5
2,6
1,0
16,1
4,2
15
6,4
17,7
19,0
27,0
11,1
0,8
• •・・
23
82
32Л
7,1
0,6
26,0
14,5
Рис. 12.1. Температура в центре Тс в зависимости от центральной плотности рс для звезд главной последовательности. Кривая проведена по данным, относящимся к «е^ащающимся звездам (точки). Крестики относятся к звездам, вращающимся со ЧЖоростью, близкой к критической. Числа около кривой ——масса моделей. (Sackmann /.・/. А. Ар., 8, 76, 1970.)
МткоК несколько меньше, а для маломассивных звезд с конвективной оболочкой ——приблизительно от 15 до 35%. Однако, как указали Папалои- зу « Уэлен, последний результат ——наверняка самый неточный, поскольку йа «его сильнее всего влияют химический состав, длина перемешивания и №/ие плохо известные физические факторы (см. разд. 8.4). Принимая во вшманхе, что все эти расчеты хорошо согласуются между собой, мы бу- 及5 теперь излагать работу Сакманн.
Еще в 1923 г. Милн заметил, что при твердотельном вращении полная оетимость звезды уменьшается, т.е. твердотельно вращающаяся звезда *^ссы М должна иметь такие же свойства в центре, как невращающаяся звезда массы М + АМ. На рис. 12.1 приведен подробный расчет, под- тв^ждающий это утверждение. Мы видим, что значения Тс и рс для вра- Шющйхся звезд вблизи предела вращения в точности ложатся на кривую невращающихся звезд, но несколько сдвигаются в сторону меньших ^сс. (Отметим, что наибольшее расхождение между значениями у звезд, вращающихся с критическими скоростями, и невращающихся звезд состав- э®*ет всего 0,001 для 1g 詳 и 0,004 для lgpc!) Как показала Сакманн, отноше-
АМ/М с хорошей точностью задается формулой
3 _
△М/М = 一一х,(1)
2
Где положительная величина х — это средневзвешенное по давлению отно-
шение центробежной силы к силе тяготения по всей звезде. Табл. 12.2 иллюстрирует этот эффект, эквивалентный снижению массы при предельном вращении вдоль главной последовательности.
Таблица 12.2
Процентное уменьшение массы, необходимое, чтобы давления в центрах критически вращающейся и невра- щающейся моделей совпадали
(Sackmann /.-/. А. Ар., 8, 76, 1970)
М/М@
—АМ/М
м/м@
—AM/М
0,8
3,0
3
2,2
1,0
4,1
5
2,0
1,4
0,7
7
2,7
1,5
0,0
9
2,3
1,8
1,2
10
2,0
2,0
1,4
20
2,8
Как влияет вращение на давление и температуру в центре звезды вдоль главной последовательности? На рис. 12.2 показаны изменения этих величин для твердотельно вращающихся моделей вблизи предела вращения. Мы видим, что на главной последовательности имеется критическая точка, в которой последствия вращения коренным образом меняются. При М > 1,5 М ⑥ величина рс растет за счет вращения, а для масс ниже 1,5 М ⑥ уменьшается, с другой стороны, Тс из-за вращения всегда уменьшается, но для масс ниже 1,5 М。ее изменение усиливается. Чтобы понять эти особенности, нужно проанализировать, как меняются рс и Тс на главной последовательности в невращающихся звездах (рис. 12.3 и 12.4). В этом случае давление в центре не растет монотонно вдоль главной последовательности, а достигает максимума при 1,5 М ⑥；у кривой, описывающей температуру в центре, такого пика нет. Но поскольку вращение эквивалентно
Рис. 12.2. Изменение давления р, и температуры Тс в центре вблизи предела вращения по сравнению с их значениями в невращающейся звезде той же массы в зависимости от массы модели. (Sackmann L-J. А. Ар., 8, 76, 1970.)
Рнс. 12.3. Давление в центре рс в зависимости от массы вдоль главной последовательности для невращающихся звезд. {Sackmann I.-J. А. Ар., 8, 76, 1970.)
Рис. 12.4. Температура в центре Тс в зависимости от массы вдоль главной последовательности для невращающихся звезд. (Sackmann А. Ар., 8, 76, 1970.)
снижению массы, изменения, изображенные на рис. 12.2, можно получить, если сдвинуть точки на рис. 12.3 и 12.4 в направлении меньших масс. Этим сразу объясняются изменения давления к температуры в центре при твердотельном вращении. Крутым наклоном кривой на рис. 12.4 ниже 1,5 М@ объясняются и столь большие изменения температуры в центре звезд поздних спектральных классов из-за вращения.
Относительные изменения светимости и полярного радиуса при максимальной скорости вращения хорошо иллюстрируются в табл. 12.1. Например, в расчетах Сакманн AL/L。практически постоянно и равно 7% для масс от 20 до 5 Мq , падает до минимального значения 5% при 1,8 Mq , а затем так быстро растет, что максимальная доля изменения светимости для звезды с 1 М@ в 2,5 раза больше, чем для звезды с 10 М。. Те же особенности характерны и для отношения AR°/R: почти постоянное для звезд ранних спектральных классов, оно падает примерно до 1% при 1,8 М@ и круто растет до 6,4% при 1 М@ . Такие большие изменения светимости и полярного радиуса у холодных звезд вызваны опять-таки переходом от углеродно-азотного цикла к протон-протонной цепочке (ср. с примечанием на стр. 290).
Для полноты картины рассмотрим еще изменения критической экваториальной скорости vc в точке предела вращения вдоль главной последовательности (рис. 12.5). Для звезды с 10 М。(соответствующей спектральному классу В2,5, где наблюдаются самые быстровращающиеся звезды класса Be) подсчитано, что критическая скорость vc равна 584 км/с. Это значе-
м/м@
Рис. 12.5. Критическая экваториальная скорость vc в зависимости от массы вдоль главной последовательности. (Sackmann I-J. А. Ар., 8, 76, 1970.)
ние хорошо согласуется с наблюдаемой скоростью самого быстрого вращения у звезды, а именно у 份 Персея: y^sinz = 550 км/с (измеренной Слетте- баком). Скорость vc монотонно убывает при движении вдоль главной последовательности от звезд с массами 20 М^ к звездам 1,4 М^ и снова воз> растает, когда масса становится меньше 1,4 М。・ Объяснение этого обращения легко дать с помощью рис. 12.6, на котором показана зависимость от массы угловой скорости 0с и среднего радиуса Ro при критической скорости вращения. В верхней части главной последовательности Йс слабо заилит от массы, так что поведение vc определяется радиусом. Однако для масс ниже 1,4 М^ 0с растет быстрее, чем убывает Ro, вызывая тем самым общее увеличение vc с уменьшением массы.
Итак, для любой массы на главной последовательности можно ностро、 ить серию твердотельно вращающихся моделей с монотонно убывающими 4L/L0 и ARp/R. При этом каждая серия обрывается на модели, у которой эффективная сила тяжести на экваторе обращается в нуль. Вышеприведенные результаты позволяют предположить, что твердотельное вращение ^йствительно можно считать малым возмущением строения невращаю- Ш^ся звезды. Однако следует подчеркнуть, что числа, приведенные в ^абл. 12.1, показывают лишь общую тенденцию влияния твердотельного вращения, поскольку меридиональные течения и другие механизмы, за счет которых непрерывно переносится момент количества движения, не рас-
О 5 10 15 20 м/мэ
Рис. 12.6. Изменение угловой скорости (а) и среднего радиуса (6) в зависимости от массы вдоль главной последовательности вблизи предела вращения. (Sackmann I.-J. А. Ар., 8, 76, 1970.)
сматривались вовсе. По той же причине с помощью этих моделей нельзя объяснить падение скорости вращения звезд вблизи спектрального класса F5 V; эта проблема подробно рассмотрена в разд. 11.4.
Дифференциально вращающиеся модели
Влияние дифференциального вращения на строение звезд верхней части главной последовательности впервые рассмотрел Марк в 1968 г. Его расчеты, основанные на методе самосогласованного поля и политропном приближении (см. разд. 5.5), привели к важному результату: быстрое дифференциальное вращение существенно влияет на массивные звезды главной последовательности и, в частности, на соотношение их массы и светимости. Впоследствии Боденхеймер, а также Монаган и Смарт независимо провели расчеты полной системы четырех уравнений внутреннего строения звезды, т.е. с учетом уравнений сохранения и переноса энергии. Поскольку обе последовательности моделей качественно согласуются с результатами Марка, мы проиллюстрируем главные особенности моделей дифференциально вращающихся звезд на примере расчетов Боденхеймера ——самых подробных и многочисленных.
Как говорилось в разд. 5.5, для описания строения и эволюции псевдо-
баротропных моделей Джексон развил итерационную схему. Боденхеймер успешно применил этот метод (который объединяет метод Хениея для решения уравнений внутреннего строения звезды с методом самосогласованного поля, предложенным Острайкером и Марком) для расчета строения химически однородных звезд главной последовательности массами 15, 30 и 60 М© (X = 0,70, Z = 0,03). Как обычно при таком анализе, модели вычислялись в предположении осевой симметрии, а магнитные поля, вязкое трение и меридиональные течения не учитывались. Помимо полной массы и химического состава необходимо задать полный момент количества движения J и закон вращения, в котором распределение момента количества движения у (/л ~) выражается через m石,долю массы в цилиндре радиуса &, коаксиальном оси вращения. На рис. 12.7 показаны три заданных закона дифференциального вращения (кривые Л — С) и функция j(m~), соответствующая модели при твердотельном вращении (кривая D). В последнем случае момент количества движения в основном сосредоточен во внешних слоях, а в случаях В, Л и С он все в большей степени концентрируется к центру. Кроме того, j(m~) во всех случаях является возрастающей функцией т®, т.е. удовлетворяет критерию динамической устойчивости Хейланда (ср. с разд. 7.3). Распределение момента количества движения в цилиндре, содержащем конвективное ядро, отдельно не рассматривается, не учитывается и роль вращения в возникновении конвекции (см. разд. 14.5).
Боденхеймер построил семь серий химически однородных звезд главной последовательности, в каждой из которых масса, химический состав и j(m~) фиксированы, а значения J возрастают. Из рис. 12.8 следует, во-
Рнс, 12.7. Момент количества движения на единицу массы/(mJ для трех заданных законов дифференциального вращения (кривые Л — С) и для твердотельно вращаю- те?ся модели (кривая D). {Bodenheimer Р. Ар. J., 167, 153, 1971. С разрешения The University of Chicago Press. © 1971 by the University of Chicago.)
6再
l9 reff
Рис. 12.8. Теоретическая диаграмма Герцшпрунга ——Рессела, на которой изображены последовательности моделей с растущим моментом количества движения (сплошные линии). Числа у кривых — расчетные скорости вращения на экваторе (в км/с). Распределение момента количества движения для каждой последовательности указано буквами Л, В, С или D. Штриховая линия — главная последовательность невращающихся э>езд. (fladenheimer Р. Ар. J., 167, 153, 1971. С разрешения The University of Chicago Press. © 1971 by the University of Chicago.)
первых, что быстрое дифференциальное вращение существенно влияет на соотношение между массой и светимостью. Например, светимость модели с массой 60 М^ (случай Л) может уменьшиться в 5,5 раза по сравнению со светимостью невращающейся модели. Последние модели в различных последовательностях, изображенных на рис. 12.8, не являются предельными ни в каком физическом смысле, поэтому возможны конфигурации с еще меньшими светимостями* Во-вторых, дифференциально вращающиеся модели смещаются вправо от невращающихся звезд главной последовательности нулевого возраста. Расчетные значения экваториальной скорости ve хорошо укладываются в наблюдаемый диапазон для верхней части главной последовательности, где средняя скорость ve звезд поздних подклассов О и ранних подклассов В равна примерно 180 — 200 км/с, а максимальная раза в два больше. Наконец, мы видим, что дифференциально вращающиеся модели населяют ту же область диаграммы Герцшпрунга — Рессела, что и твердотельно вращающиеся звезды, и имеют сравнимые с ними скорости вращения на экваторе.
Рис. 12.9. Подробное строение трех моделей с 30 (случай Л). Re — полный экваториальный радиус. Заштрихованная область цзсюражает конвективное ядро. В верхних частях показаны изопикнические поверхности, содержащие доли массы 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,95; 0,999 и 1,0. В нижних частях приведено отношение угловой скорости Q к ее значению в центре 0с, доля 加疗 полной массы, заключенная в цилиндре соответствующего радиуса вокруг оси вращения, и отношение скорости вращения v к ее значению на поверхности ve. Звездочкой показана граница конвективного ядра. (fiodenheimer Р. Ар. J., 167, 153, 1971. С разрешения The University of Chicago Press. © 1971 by the University of Chicago.)
На рис. 12.9 показаны характеристики вращения трех моделей массой 3Q М ⑥(случай А). Заметим, что вблизи полюсов они существенно сплюс- 电ты: отношение экваториального радиуса к полярному достигает 4. В результате искажения внешних слоев при этом образуется тороидальная структура. Однако внутренние области искажены в меньшей степени, и от- вошение радиусов на уровенной поверхности, содержащей 20% массы, достигает всего 2,5. Кроме того, в самых искаженных моделях сила тяжести на поверхности у полюсов иногда достигает значений, в 11 раз больших,
у экватора. Поэтому следует ожидать, что видимая звездная величина тщсих конфигураций сильно зависит от ориентации оси вращения (см. разд. 12.3). Однако, несмотря на большие значения J в некоторых случаях, ни ВДва из этих моделей не приближается к пределу нулевой эффективной си- 皿 тяжести на экваторе. (Например, для наиболее сильно искаженной модели на рис. 12.9 отношение центробежной силы к силе тяготения на эква-
旳a
Рис. 12.10. Последовательности вращающихся моделей с увеличивающимся моментом количества движения J (сплошные линии) на плоскости lg рс - 1g % Числа у кривых ——логарифм J в единицах СГС. Во всех случаях берется закон вращения Л. Штриховая линия ——главная последовательность невращающихся звезд. (Bodenheimer Р. Ар. J., 167, 153, 1971. С разрешения The University of Chicago Press. © 1971 by the University of Chicago.)
торе равно 0,2.) Наконец, в отличие от случая твердотельного вращения условия в центральных областях под действием дифференциального вращения сильно меняются. Как видно на рис. 12.10, с ростом J конфигурации сдвигаются вниз почти параллельно главной последовательности невращающихся звезд. (Например, при законе вращения Л условия в центре последней из моделей 60 Mq приблизительно такие же, как в невращающейся модели массой, в три раза меньшей.) С ростом J давление в центре медленно увеличивается, т.е. ведет себя так же, как в невращающихся моделях при уменьшении массы (рис. 12.3).
Как же зависят эти результаты от принятого распределения момента количества движения внутри модели? Из рис. 12.8 очевидно, что твердотельно вращающиеся модели (случай D) смещаются почти горизонтально, между тем как модели, соответствующие случаю С, смещаются вниз,и вправо почти параллельно главной последовательности невращающихся звезд. Таким образом, чем выше степень концентрации момента количества движения к центру, тем круче наклон смещения, вызванного увеличением J. В таком поведении отчетливо проявляется влияние вращения на радиус звезды в зависимости от j(m^). В самом деле, при данном J сосредоточение момента количества движения у поверхности приводит к росту ради-
уса вследствие более сильного влияния центробежной силы на внешние слои. Другими словами, при данных массе М и скорости вращения на поверхности ve изменение болометрической звездной величины решающим образом зависит от распределения момента количества движения внутри звезды. В предельном случае твердотельного вращения Л/Ьо1 практически не отличается от своего значения в отсутствие вращения даже при ve * ■ 500 км/с; в противоположном предельном случае, когда момент количества движения в значительной степени сосредоточен в центре, изменение Л/Ьо1 может значительно превышать 1力 уже при ve * 300 км/с. Однако при данных значениях полной массы М “ момента количества движения J 6о・ /гомерическая звездная величина вращающейся звезды практически не зависит от распределения момента количества движения. На рис. 12.11 показано, в какой мере это утверждение справедливо для звезд массой 30 Мф. (Чтобы проверить его справедливость для более низких значений массы, требуются дальнейшие расчеты.) Из рис. 12.11 следует также, что при данном J значения рс и Тс малочувствительны к j(w~), но отнюдь не столь независимы от него, как светимость.
Посмотрим теперь, как влияет вращение на время жизни звезды на главной последовательности. С этой целью Боденхеймер определяет величину /ms = 1,4-1011 Mcore/L, которая, если судить по ядерной энергии, содержащейся во всем конвективном ядре в начальный момент, служит оценкой времени жизни на главной последовательности в годах. (Величина /ms примерно вдвое больше истинного времени жизни на главной последовательности, тем не менее она полезна при сравнении вращающихся и невра- щающихся моделей.) Согласно Боденхеймеру, время /ms может увеличиваться более чем в два раза вдоль последовательности моделей с М = 30 М и примерно в три раза для 60 М @ ・ Однако время жизни моделей. с Уе » 300 км/с, как правило, лишь на 25% больше, чем невращающей- ся модели той же светимости, а модели с Уе » 400 км/с больше лишь на 50%. Пои данных М и J значение /ms почти не зависит от J(m^)9 но если заданы М и %, то Js по-прежнему зависит от вида /(加亩),оставаясь в предельном случае твердотельного вращения почти таким же, как в отсутствие вращения.
Эти результаты можно резюмировать следующим образом. Положение модели звезды главной последовательности (с данными М и J) на диаграмме Герцшпрунга — Рессела самым решительным образом зависит от распределения момента количества движения вследствие его влияния на экваториальный радиус. Последовательность моделей с растущим J лишь в том случае располагается вблизи главной последовательности невращаю- Щихся звезд, если момент количества движения очень сильно концентрируется к центру, в противном случае конфигурации ложатся правее нее. Тот факт, что нельзя непосредственно узнать вид функции J(w~) в звездах, а также неопределенность в наклоне осей вращения к лучу зрения значительно затрудняют сравнение этих моделей с наблюдениями. Кроме того, хотя окончательной оценки времени Эддингтона ——Свита для дифференциально вращающихся звезд нет (см. разд. 8.3), грубый расчет Монагана и Смарта
0,6
44
52,7
Рис. 12.11. Температура в центре, плотность в центре и светимость в зависимости от момента количества движения J для вращающихся моделей с 30 М@ с учетом изменений в распределении j(m^. Сплошными линиями соединены точки, соответствующие закону вращения A. Lo ——светимость невращающейся модели. (Boden- heimer А Ар. J., 167, 153, 1971. С разрешения The University of Chicago Press. © 1971 by the University of Chicago.)
0,8
飞з 7 *<
%2
указывает на то, что характерное время циркуляции для звезды с 60Mq' и с наибольшим (заданным) моментом количества движения, по-видимому, составляет около 105 лет. Поскольку характерное время эволюции таких массивных звезд всего около 106 лет, можно усомниться, оправдана ли на современном этапе высокая точность, которую дают сложные итерационные схемы. Ясно, что для дальнейшего прогресса в нашем понимании звезд главной последовательности нужна согласованная теория меридиональных течений в звездах, сильно отклоняющихся от сферической симетрии (см. разд. 8.3).
В заключение этого краткого обзора дифференциально вращающихся
моделей звезд главной последовательности скажем несколько слов о соотношении между М и J для звезд с ve вблизи середины наблюдаемого диапазона. При данном значении % увеличение степени концентрации момента количества движения к центру соответствует росту J при данной массе М. Поэтому результаты Боденхеймера позволяют думать, что момент количества движения звезды с данными массой и t^ может в 5 ——8 раз превышать значение, полученное Крафтом в предположении твердотельного вращения. Как указали Боденхеймер и Острайкер (см. разд. 11.4), существенный разрыв между значениями момента количества движения на единицу массы, выведенными для одиночных звезд в предположении твердотельного вращения, и для двойных звезд можно в значительной степени заполнить, если удастся доказать, что хотя бы некоторые из одиночных звезд главной последовательности вращаются дифференциально.
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА НАБЛЮДАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Как было показано в разд. 7.2, поток 笈 выходящий с поверхности псевдобаротропной модели с лучистой оболочкой, пропорционален эффективной силе тяжести на поверхности g. Поскольку эта величина на экваторе меньше, чем на полюсах, то и локальная эффективная температура, и яркость поверхности вращающейся звезды ниже на экваторе, чем на полюсах. Отсюда в свою очередь следует, что различные звездные величины и показатели цвета вращающейся звезды зависят от i ——угла наклона оси вращения к лучу зрения (см. рис. 2.1). Задача теории естественным образом распадается на три части: 1) построить модель внутренних слоев, чтобы эффективная температура и сила тяжести стали известными функциями широты на поверхности: 2) рассчитать энергетический спектр излучения в зависимости от угла наклона, подобрав в каждой точке поверхности достаточно реалистичную модель атмосферы: 3) проинтегрировать выходящий поток и для каждого* угла наклона найти обычные фотометрические параметры. Сейчас построены подробные модели внутренних слоев для различных законов дифференциального вращения: они рассматривались в разд. 12.2. Точный анализ атмосферы, окружающей вращающуюся звезду, затруднен из-за наличия меридиональных течений, которые переносят энергию в данную область и из нее. Однако подсчеты порядков величин, выполненные Хардорпом и Штриттматтером, показывают, что у звезд верхней части главной последовательности скорость циркуляции существенно ниже второй космической скорости и скорости звука, так что поток энергии, обусловленный меридиональными течениями, мал по сравнению с лучистым потоком. Кроме того, как показал Коллинз, «горизонтальный» поток, вызываемый разностью температур в атмосфере вращающейся звезды между полюсами и экватором, также мал по сравнению с «радиальным» лучистым потоком. Из этих результатов ясно, что приближенные свойства излучения, испускаемого вращающейся звездой, можно рассчитать исходя из допущения о гидростатическом равновесии, причем выходящий поток опре-
деляется из закона фон Цейпеля 夕ос g в каждой точке поверхности. Обратимся теперь к изменениям, которые вызывает вращение в непрерывном спектре и в линиях.
Самая ранняя попытка описать влияние наклона оси вращения осесимметричной звезды принадлежит, по-видимому, Свиту и Рою. Однако их вычисления относились лишь к полной светимости звезды, а не к величине, которую измерил бы наблюдатель. Следуя пионерским работам Коллинза и Жу 1963 г., многие авторы провели расчеты порождаемых наклоном оси изменений в спектрах, звездных величинах и показателях цвета для различных вращающихся моделей. К сожалению, в основе большей части этих исследований лежат либо модели внутренних слоев Свита — Роя, либо ошибочные модели Роксбурга, Гриффита и Свита. (В обеих группах моделей предсказываются значения lAL/L(J и IARp/RI, завышенные по крайней мере в три раза по сравнению с данными табл. 12.1.) Наиболее достоверны расчеты Мадера и Пейтреманна. Пользуясь моделями внутренних слоев Фолкнера — Роксбурга — Штриттматтера, они вычислили спектр энергии излучения твердотельно вращающихся звезд массами 5, 2 и 1,4 М。, учитывая не только непрозрачность в континууме, но и в линиях водорода для серий Бальмера и Лаймана. Кроме того, были выполнены расчеты для твердотельно вращающейся звезды массой 1,4 М @ , в которых учитывались непрозрачность в континууме и в линиях водорода, а также в линиях металлов. Такие уточнения и аккуратность описания внутренних слоев важны при сравнении теории с наблюдениями.
На рис. 12.12 приведена диаграмма показатель цвета — звездная величина для моделей Мадера ——Пейтреманна без учета поглощения в линиях металлов. Каждый отрезок соответствует конфигурации, меняющейся от невращающейся до твердотельно вращающейся модели, в которой □/□с = 0,99, где 0с ——угловая скорость на пределе вращения. Для каждой массы рассматриваются различные значения угла наклона /, который меняется от / = 0° (звезды, обращенные к наблюдателю полюсом) до / = 90° (звезды, обращенные экватором). Для моделей с массой 2 М© указано также распределение звезд по углам наклона в предположении о случайной
Рис. 12.12. Диаграмма показатель цвета — звездная величина для звезд массами 5, 2 и 1,4 М© при различных углах /. В конечных точках 0/0, = 0,99. Сплошная линия — расчетная последовательность невращающихся звезд. (Maeder A., Peyt- remann Е. А. Ар., 7, 120, 1970. С любезного разрешения д-ра А. Мадера.)
ориентации осей вращения. (Оно, разумеется, одинаково для всех масс.) Аналогично, на рис. 12.13 показаны некоторые треки при различных углах наклона i для модели 1,4 М® в твердотельном вращении с учетом и без учета поглощения в линиях металлов. Мы видим, что модель с / = 0° выглядит ярче и имеет почти такой же цвет, как и невращающаяся модель той же массы, а модель с / = 90° слабее и значительно краснее. Однако вращающаяся конфигурация всегда кажется ярче, чем невращающаяся звезда того же цвета на главной последовательности, так как блеск сильнее зависит от ve и слабее от угла наклона /. Кроме того, при М = 1,4 М© вертикальные сдвиги абсолютной звездной величины АМ卩 за счет твердотельного вращения при учете линий металлов увеличиваются на 10 ——25%. Во всех случаях наибольший сдвиг ДЛГИ на диаграммах показатель цвета ~ звездная величина равен 0,5” На рис. 12.14 показаны треки на двухцветной диаграмме с учетом и без учета линий металлов. Легко заметить сильное смещение главной последовательности невращающихся звезд спектральных классов, более поздних, чем АО, при учете линий металлов. Для этих звезд максимальное изменение U - В равно 0,175巾 по сравнению с 0,135巾 для звезды массой 5 М@ , вращающейся как твердое тело.
Как сравнить эти результаты с имеющимися данными наблюдений для нормальных звезд главной последовательности? Штриттматтер впервые указал, что отклонение ДМИ от главной последовательности невращаю-
Рис. 12.13. Диаграмма показатель цвета — звездная величина для твердотельно вращающихся моделей при различных углах наклона / с учетом и без учета поглощения в линиях металлов. Тонкие штриховые линии — геометрическое место точек максимальных экваториальных скоростей. (Maeder A., Peytremann Е. А. Ар., 21, 279, 1972, пересмотрено). Сплошная линия — последовательность невращающихся моделей с учетом линий металлов, штриховая линия — без учета линий металлов.
щихся звезд приближенно описывается формулой
АМр=И)-5力哈(2)
поскольку величина ^Mv слабо зависит от sin / (табл. 12.3). (Как обычно, ve выражено в км/с.) Однако, согласно Голэ и Мадеру, разброс за счет вращения меняется вдоль главной последовательности и становится больше у холодных звезд. (Для звезд спектрального класса А наблюдения дают квадратичную зависимость ^Mv от %; для звезд поздних классов, даже если эта зависимость выражается более высокой степенью и? приведенная формула все равно очень полезна при сравнении теории с наблюдениями.) Изменение А (В - И) показателя цвета 6 - 0 за счет вращения можно выразить формулой
А(5 - И) = 10-4(yesin/)2,(3)
Рис. 12.14. Треки твердотельно вращающихся моделей на диаграмме (U-B) — (6— И) с учетом (сплошная линия) и без учета (штриховая линия) линий металлов, (Afaeder А,, Peytremann Е. А. Ар., 21, 279, 1972.)
т.е. А (8 - К) зависит в моделях не только от %, но и от %6ini. (Как обычно, ve выражено в км/с.) В табл. 12.3 наблюдаемые значения сравниваются с теоретическими, выведенными по экстремальным моделям Мадера и Пейтреманна. Для звезд главной последовательности спектральных классов, более ранних, чем А7, наблюдаемые величины хорошо согласуются с самыми большими значениями, полученными в предположении твердотельного вращения. Однако для звезд классов, позже класса А7 V, согласие отсутствует ——наблюдаемые значения 力 и 左 по крайней мере в 2 раза превышают соответствующие значения, вычисленные для твердотельно вращающихся моделей вблизи предела вращения. К аналогичному заключению Мадер и Пейтреманн пришли, сравнивая наблюдаемые и теоретические изменения бальмеровского скачка и показателя Стремгрена с】. Таким образом, для звезд главной последовательности спектральных классов, ^олее поздних, чем А7 (примерно до класса F5/0e скорости вращения ре-
Таблица 12.3
Теоретические и наблюдаемые значения h и к
{Maeder A., Peytremann Е. А. Ар., 7, 120, 1970; 21, 279, 1972; Golay М. Arch. Sci. Geneve, 21, 105, 1968 (G); Strittmatter P. A. Sargent W, L. %. Ap. J., 145, 130, 1966, для Яслей (SS); Maeder A. Thesis (не опубликовано), Univ, of Geneva, 1971, для Яслей (M); Smith R C. M.N., 151, 463, 1971, для Яслей (SI) и Гиад (S2)]
Спектральный класс
Теоретическое значение
Наблюдаемое значение
Наблюдатель
A0V - A7V
Л » 0,4
Л = 0,5
G
0,5 W 2 w 0,7
к = 0,6
G
Более поздний,
Л < 0,45
1,0 S 力 S 1,7
G
чем А7 V
А « 1,1
SS
А » 1,3
М
Л = О,8(±О,3)
S1
Л = 2,2(+1,8, -0,8)
S2
к < 0,14
左 * 2,0
G
зко падают), максимальные эффекты в твердотельно вращающихся моделях всегда меньше, по крайней мере в 2 раза, чем наблюдаемый разброс главной последовательности за счет вращения. Другими словами, малые изменения, порожденные твердотельным вращением, адекватно отражают наблюдаемые эффекты для звезд классов, более ранних, чем А7 V, тогда как в звездах более поздних классов, чем А7 V, фотометрические эффекты вращения слишком велики, чтобы их можно было объяснить при помощи твердотельно вращающихся моделей даже с учетом покровного эффекта в атмосфере, вызываемого линиями металлов.
К этому важному выводу следует добавить несколько замечаний. Во- первых, хотя изложенные результаты явно основаны на законе фон Цейпеля (см. примечание* на стр. 302), Смит и Уорли показали, что коэффициент Л весьма малочувствителен к принятому закону гравитационного потемнения. Поскольку спектры Мадера ——Пейтреманна вычислялись при довольно реалистических непрозрачности и согласованных расчетах внутренних слоев, можно сделать вывод, что твердотельное вращение звезд главной последовательности спектральных классов, более поздних, чем А7, по- видимому, исключается. Во-вторых, тот факт, что наблюдения звезд класса А до A7V адекватно представляются при помощи твердотельно вращающихся моделей, еше не доказывает, что вращение этих звезд строго твердотельное. В самом кте, пользуясь моделями Боденхеймера (см. разд. 12.2), Смит и Уорли показали, что значение Л 之 0,4 может получаться и из-за сильной концентрации момента количества движения к центру. Поэ-
тому небольшой разброс вокруг главной последовательности у звезд до класса А7 V может свидетельствовать либо о твердотельном, либо о сильном дифференциальном вращении. Если это верноt то каков же истинный закон вращения звезд главной последовательности? Эту чисто наблюдательную проблему рассмотрел Смит, который проделал статистический анализ имеющихся данных о вращающихся звездах скоплений Ясли и Гиа- ды. Оказалось, что наблюдаемый разброс около главной последовательности можно использовать только для исключения альтернатив (например, твердотельного вращения). К сожалению, при подробном изучении соответствующих погрешностей выявляется такая неопределенность, что из наблюдений нельзя выбрать конкретный закон дифференциального вращения.
Рассмотрим теперь вкратце влияние вращения на спектральные линии звезды. Самый явный наблюдательный эффект вращения звезд ——это доплеровское уширение спектральных линий, поэтому не удивительно, что вначале все усилия были сосредоточены на этой частной стороне проблемы. Как указывалось в разд. 2.3, тщательный анализ линий, уширенных вращением, позволяет легко определить проекции экваториальных скоростей для многих вращающихся звезд. В общих чертах стандартный метод можно описать следующим образом. Прежде всего задают форму для локального профиля линии на видимом диске звезды, а затем, вводя поправки на доплеровский сдвиг из-за вращения, берут свертку всех этих профилей по диску [см. разд. 2.3, формула (6)1. Наконец, сравнивая полученный профиль с наблюдаемым профилем подходящей линии, выбранной в спектре звезды, находят значение vesini. Следуя пионерской работе Слеттебака, локальный профиль линии обычно определяют при помощи тщательно измеренных профилей в спектрах известных звезд с узкими линиями и считают его одинаковым во всех точках видимого диска звезды. Кроме того, поскольку цель большинства проводимых исследований — оценить только значения %sini, эффекты второго порядка (такие, как отклонение от сферической симметрии, дифференциальное вращение, гравитационное потемнение и угол наклона оси вращения к лучу зрения наблюдателя) обычно в расчет не принимаются. После того как в 1960-х гг. возродился интерес к вращению звезд, воздействие этих эффектов на профили линий поглощения стало внимательно изучаться. Как показали впервые Колликз и Харрингтон, возможный подход следующий: подгонка к моделям внутренних слоев на ряде широт плоскопараллельной атмосферы с постоянным потоком и последующий расчет локального профиля линии на каждой широте диска в соответствии с теорией лучистого переноса. Затем, зная, как выглядит локальный профиль, можно проинтегрировать результат по видимому диску Для различных значений угла наклона и получить полный профиль. Упомянем в этой связи, что Слеттебак, Коллинз, Бойс, Уайт и Паркинсон измерили профили линий Не1Л4471, Mgll Х4481 и Fei Х4476 в спектрах 217 ярких северных и южных звезд классов 09 — F9 при помощи сканирующего фотомера и фотографических спектрограмм в фокусе кудэ. Ширины по половинной интенсивности наблюденных профилей линий сравнивались с соот-
ветствующими величинами из набора теоретических профилей, уширенных врашением, которые были рассчитаны на основе моделей звездных атмосфер. Полученные значения yesinz были использованы для создания системы звезд со стандартными значениями скорости вращения, чтобы прямо измерять ^eSini при визуальной обработке спектрограмм. Это самый подробный атлас спектров, уширенных вращением.
Многие авторы изучали влияние твердотельного вращения на эквивалентные ширины некоторых выбранных линий. Вследствие многих неопределенностей в расчетах и трудностей при наблюдении эффектов второго вррядка мы перечислим некоторые их результаты с известной осторожностью. Во-первых, проделав подробные вычисления для линии Не 1X4471, Хардорп и Шольц пришли к выводу, что слабость линий гелия в спектрах некоторых звезд класса В с узкими лини兄ми нельзя объяснить тем, что эти звезды вращаются твердотельно и обращены к нам полюсом. В самом деле, из рис. 12.15 следует, что, хотя модели, обращенные полюсом, лежат ниже последовательности невращающихся звезд, максимальное смещение при дшсном показателе цвета составляет всего-навсего 20%. По той же самой причине эквивалентные ширины линий Hei, по-видимому, не позволя-
2,。
L5
7,0
0,5
-0/0 -0/8 -0,06 -0,04 -0 02 0,00т
Рис. 12.15. Зависимость эквивалентной ширины линии Hei Х4471 от наклона оси ращения и показателя цвета. Жирная линия — невращающиеся модели. Точки — самые быстровращающиеся модели с углами наклона оси вращения / = 0, 45 и 90°. Тонкие линии соединяют модели одинаковой массы. У звезд с узкими лн- Ш1ями вследствие твердотельного вращения линия Hei入 4471 ослаблена менее чем на 20%. (Hardorp J., Scholz М А. Ар., 13, 353, 1971.)
z Wndirm KdHE/ysagTyQxn
ют с уверенностью отличить быстро вращающиеся звезды, обращенные к нам полюсом, от медленно вращающихся звезд. Во-вторых, как показали Хардорп и Штриттматтер, твердотельное вращение вносит значительный разброс в калибровку светимости по интенсивности бальмеровских линий для звезд ранних спектральных классов. Фактически, для моделей, вращающихся почти с предельными скоростями, максимальное смещение Mv при данной интенсивности бальмеровской линии в зависимости от угла наклона оси вращения может меняться на ±0,5". В-третьих, независимые расчеты Коллинза и Харрингтона, а также Хардорпа и Штриттматтера недвусмысленно указывают на то, что эквивалентные ширины линий Н0 и Н) должны убывать приблизительно как (vesini)2. Оказалось, что корреляция, наблюдаемая между интенсивностью бальмеровских линий и проекцией скорости вращения (рассмотренная Гутри для звезд в молодых скоплениях), неплохо согласуется с этим теоретическим результатом; такое же согласие получил и Балона. Подобным же образом, для звезд около спектрального класса В2 Хардорп и Шольц предсказали корреляцию между ve^ni и эквивалентной шириной линии Не1Х4471, а именно: при больших скоростях ее ширина должна уменьшаться. Согласно Норрису и Шольцу, в горячих звездах спектрального класса В с данным бальмеровским скачком эквивалентная ширина этой линии в звездах с узкими линиями и в самом деле систематически больше, чем в звездах с широкими линиями (с учетом поправок на эффекты эволюции). В-четвертых, для звезд, обращенных к нам полюсом, Хардорп и Штриттматтер пришли к выводу, что впшпше самого по себе твердотельного вращения на определение содержаний химических элементов по линиям с эквивалентными ширинами от 25 до 150 мА пренебрежимо мало и что с его помощью нельзя объяснить избыточную интенсивность линий Silll в горячих звездах класса В. (Как указали Вилху и Туоминен, линии с эквивалентными ширинами меньше 100 мА должны исчезать вследствие уширения вращением в быстро вращающихся звездах, если только эти звезды не обращены к нам почти полюсом!) В-пятых, для звезд класса В, в особенности при углах наклона оси i 4 45°, быстрое вращение вызывает лишь малые отклонения от обычной зависимости между спектральным классом (измеряемым по отношению эквивалентных ширин линий Не 1X4121 и Si IIХ4130) и показателем цвета b - у. Разброс показателей цвета (или эффективных температур), выведенный по спектральным классам и вызываемый разбросом турбулентных скоростей, больше, чем получающийся за счет одного лишь твердотельного вращения. Таким образом, в тех случаях, когда спектральную классификацию можно осуществить с достаточной точностью, само по себе твердотельное вращение очан> мало меняет соотношение спектральный класс ——показатель цвета. Этот результат принадлежит Хардорпу и Штриттматтеру.
Поскольку ни теоретическое рассмотрение, ни наблюдения континуума не позволяют выявить угловую скорость на поверхности быстро вращаю- хцеЛся звезды, обратимся к влиянию дифференциального вращения на фор- W спектральных линий. Еще в 1949 г. Слеттебак пришел к выводу, что зтот эффект второго порядка трудно обнаружить из наблюдений. Впос-
ледствии Стокли и его сотрудники предложили теоретический метод для определения угла наклона оси вращения, а также выявления дифференциального вращения по спектрам звезд. Согласно этим авторам, имеется достаточно надежных данных, по которым можно узнать этот угол и степень дифференциального вращения у быстро вращающихся звезд. Никаких результатов пока не получено. Упомянем в этой сзязи, что с целью обнаружить дифференциальное вращение Грей измерил профили линий в спектрах шести звезд класса А. Его результаты указывают, по-видимому, на то, что дифференциальное вращение у звезд ранних классов отсутствует или очень мало. Однако как указал Грей, возможны и другие заключения. Не исключено, что его выборка звезд слишком мала и не дает представления о звездах класса А в целом. Быть может, спектроскопические проявления дифференциального вращения исчезают или смазываются из-за других эффектов. Чтобы ситуация полностью прояснилась, нужны дополнительные наблюдения.
В заключение укажем еще на возможность интерферометрических наблюдений деформированной поверхности у быстро вращающихся звезд. Правда, согласно Джонстону и Барингу, до тех пор пока чувствительность приборов значительно не увеличится, наблюдать деформацию за счет вращения будет очень трудно, тем не менее и при современной чувствительности можно было бы установить, находится звезда в состоянии очень быстрого дифференциального вращения или нет. Определенный результат до сих пор не получен.
ВРАЩЕНИЕ ЗВЕЗД КЛАССОВ Аш И Ар
Как впервые показал Слеттебак, проекции скоростей вращения vesini у звезд с линиями металлов (Ат) и пекулярных (Ар) звезд класса А относительно невелики по сравнению с их средними значениями для нормальных звезд соответствующих классов (см. рис. 2.5). Первый основной вопрос: является ли вращение звезд классов Ат и Ар в принципе медленным или это нормальные звезды, обращенные к нам полюсом? Поскольку во многих существенных отношениях эти две группы отличаются друг от друга, мы рассмотрим их поочередно. В конце раздела мы сделаем несколько замечаний о связи вращения с процессами диффузии в звездах классов Ат и Ар.
После открытия Абтом, что все или почти все звезды класса Ат являются спектрально-двойными, едва ли можно сомневаться, что резкое различие между средними скоростями вращения этих звезд и нормальных звезд класса А нельзя объяснить только эффектом наклона оси вращения. Согласно Абту, против такого объяснения можно привести три довода. Во-первых, звезды класса Аш обычно, если не всегда, являются членами спектрально-двойных систем, тогда как нормальные звезды класса А являются компонентами двойных лишь изредка, причем только долгопериодических систем (尸 之 300 сут). Поскольку в тесных двойных приливное взаимодействие ведет к параллельности нормали к плоскости орбиты и осей вращения (см. раздел 2.4 и 16.3), характеристики спектрально-двойных этих
двух групп в точности противоположны ожидаемым в случае, если бы сказывался эффект наклона оси: звезды, обращенные к нам полюсом, скорее всего встречались бы в двойных, плоскость орбиты которых лежит в картинной плоскости, а их труднее обнаружить; между тем именно звезды класса Аш часто наблюдаются в тесных двойных. Во-вторых, если бы различие между двумя группами было обусловлено только эффектом наклона, то полное отсутствие двойных звезд с периодами меньше 300 сут среди нормальных звезд класса А и высокая частота короткопериодических двойных среди звезд класса Ат были бы невозможны В-третьих, если бы звезды класса Ат были нормальными звездами класса А, обращенными к нам полюсом, то короткопериодических затменных двойных класса Ат не наблюдалось бы, а имелось бы много затменных двойных класса А, однако наблюдения показывают, что затменных двойных класса Ат много, а за- тменные двойные среди нормальных звезд класса А не известны.
Учитывая эти доводы, мы вместе с Абтом приходим к заключению, что звезды класса Ат не обязательно обращены к нам полюсом и, значит, не от sin / определяющим образом зависит их распределение по проекциям экваториальных скоростей %sini, хотя всегда остается возможность, что часть различий между скоростями вращения звезд класса Аш и нормальных звезд класса А обусловлена эффектами наклона. Предполагая, что ориентация осей в обеих группах звезд случайна, мы можем статистически преобразовать проекции экваториальных скоростей %sini в истинные экваториальные скорости，夕 На рис. 12.16 изображены функции распределения
Рнс. 12.16. Функция распределения скоростей вращения на экваторе звезд классов Ат и Ат: и нормальных звезд класса А. Площади под тремя кривыми пропорциональны числу звезд в выборках, или 28 : 19 : 53% соответственно. (Abt Я. А. Ар. J., 195, 405, 1975. С разрешения The University of Chicago Press. © 1975 by the American Astronomical Society.)
истинных экваториальных скоростей для представительных выборок звезд с сильно (Ат) и слабо (Ат:) выраженными линиями металлов и нормальных звезд классов А5 — А9 (классы светимости IV или V). Распределения звезд с линиями металлов и нормальных звезд класса А немного перекрываются. Согласно Абту, это пересечение можно объяснить расхождениями в спектральной классификации. Тогда скорость вращения ——необходимый и достаточный параметр, по которому в определенном интервале спектральных классов и возрастов можно узнать, является ли спектр звезды нормальным или содержит линии металлов. (Но нельзя определить, сильно или слабо выражены аномалии в содержании металлов.) Анализ опубликованных данных о двойных звездах указывает, кроме того, что частота встречаемости короткопериодических двойных класса Ат: такая же, как и звезд класса Ат, и что в обоих случаях низкие скорости вращения объясняются в основном стремлением тесных двойных к синхронному вращению (см. рис. 2.12). Иначе говоря, если сложить три кривые на рис. 12.16, то получится бимодальное распределение (с максимумами при 35 и 150 км/с и минимумом при 80 км/с), а это указывает, что у холодных звезд класса А современные скорости вращения определяются действием двух различных механизмов, поэтому они делятся на две группы: члены двойных систем, у которых экваториальные скорости малы главным образом из-за приливного взаимодействия, и одиночные звезды (или компоненты широких двойных), в значительной степени сохранившие свои начальные моменты количества движения. Тот факт, что медленное вращение — это единственная по-настоящему существенная причина аномальных спектров у звезд класса А, снова подтвердился, когда Стрёмгрен первым обнаружил, что умеренное вращение понижает наблюдаемое содержание металлов в звездах класса Ат. Наконец, как следует из табл. 12.4, средние значения возрастания светимости в результате эволюции, ДЛ/К, над главной последовательностью нулевого возраста показывают также, что звезды классов Ат и Ат: лежат гораздо ближе к этой последовательности, чем нормальные звезды класса А. Этот результат согласуется с результатом Смита, что феномен металличности исчезает вблизи области гигантов.
Таблица 12.4
Характеристики звезд классов Am, Ат: и нормальных звезд спектрального класса А (Abt Я. А, Ар. J., 195, 405, 1975. С разрешения The University of Chicago Press. © 1975 by the American Astronomical Society)
Группа
Число звезд
〈％sin> км/с
Максимум %sini, км/с
км/с
Доля с Му>0,5т
Am
66
33
95
42
0,38m
36%
Am:
44
47
ПО
58
0,25
25%
A5 — A9
123
141
265
186
0,78
60%
IV, V
Обратимся теперь к проекциям скоростей вращения звезд класса Ар. Нет ли среди этих звезд подгрупп, в которых скорости вращения достаточно отличаются, чтобы стоило рассматривать их отдельно? Мы видим, что у трех подгрупп, перечисленных в табл. 12.5, средние скорости вращения и
Таблица 12.5
Характеристики подгрупп Ар
(Abt Н. А., Chaffee К Н., Suffolk G. Ар. J., 175, 779, 1972. С разрешения The Universityof Chicago Press. © 1972 by the American Astronomical Society)
Группа
Число звезд
Средний водородный класс и средняя вероятная ошибка
Интервал спектральных классов
〈％sini〉и средняя вероятная ошибка, км/с
Интервал %sini, км/с
Hg, Mn
15
В8,0 士 0,9
В5 — АО
29 ±5
5—100
Si
20
В7,8 士 0,8
В5 — В9
46 ± 4
16 — 105
Sr, Cr, Eu
24
АО,9 士 0,4
В8 — F0
30 ± 3
5 — 85
диапазоны скоростей имеют лишь второстепенные различия и только открытый Гутри дефицит звезд с очень узкими линиями кремния (i^sini < 10 км/с) вновь находит сильное подтверждение. На рис. 12.17 показана функ-
Рис. 12.17. Слева — функция распределения по проекциям скоростей вращения %sini Для 49 звезд класса Ар с водородными классами В7 — АО по сравнению с распределением для 73 нормальных звезд класса А. Шаг составляет 20 км/с для звезд класса Ар (точки) и 50 км/с для нормальных звезд (кружки); кривые проведены от руки. Справа — распределения по скоростям вращения на экваторе %，нормированные для Доли звезд класса Ар 20%. (Abt Я. 4, Chaffee К Я., Зц//о1к G. Ар. J., 175, 779, 1972. С разрешения The University of Chicago Press. © 1972 by the American Astronomical Society.)
ция распределения по скоростям вращения для 49 звезд класса Ар и 73 нормальных звезд спектральных классов В7 — АО (класс светимости IV или V). Средние проекции скоростей для звезд класса Ар и нормальных звезд равны соответственно 42 и 178 км/с, т.е. отличаются в четыре раза. Однако в отличие от звезд класса Ат распределения значений i^sini перекрываются; это показывает, что если оси вращения ориентированы случайно, то в статистической выборке имеются нормальные звезды с меньшими скоростями вращения, чем у некоторых звезд класса Ар. Из этого следовало бы, что низкая скорость вращения не является достаточным условием химических аномалий в холодных звездах класса В. Важный вопрос, не могут ли звезды класса Ар быть нормальными звездами, обращенными к нам полюсом (т.е. не связаны ли аномалии химического состава лишь с полярными областями, где скорости вращения низки), изучался (наряду с другими авторами) Престоном, а также Абтом, Чэффи и Саффолком. Согласно этим авторам, сравнение проекций скоростей вращения с экваториальными скоростями, вычисленными по периодам колебаний блеска, магнитного поля или спектра, говорит в пользу твердотельного вращения и случайной ориентации осей (ср. с разд. 15.4).
Итак, судя по всему, можно думать, что по природе своей звезды класса Ар вращаются медленно, но что одного лишь вращения может быть недостаточно, чтобы отличать их от нормальных звезд, хотя не исключено, что часть звезд класса Ар попала в выборку нормальных звезд, а на самом деле эти две группы не перекрываются по ^夕 Кроме того, низкие скорости вращения звезд класса Ар, по-видимому, не связаны с приливным взаимодействием в двойных системах. Как показали Абт и Сноуден, повил имому, для всех трех подгрупп звезд класса Ар доля визуально-двойных нормальна. Какой же механизм обеспечивает аномально низкие скорости вращения звезд класса Ар по сравнению с нормальными звездами главной последовательности той же температуры? Разумеется, при отсутствии протяженных субфотосферных конвективных зон и вследствие кратковременности стадии конвективного перемешивания в ходе сжатия до главной последовательности эту аномалию нельзя отнести на счет магнитного торможения звездным ветром теплового происхождения (см. разд. 11.4). Хавнес и Конти высказали предположение, что звезды класса Ар могут захватывать и раскручивать на границе магнитосферы ионизированное вещество из окружающей межзвездной среды. При таком допущении время торможения получается порядка 107 — 108 лет, т.е. достаточно малое, так что магнитное торможение звезд верхней части главной последовательности окажется заметным. Кулсруд изучал также вопрос, не может ли вращение магнитных звезд замедляться только за счет излучения гидромагнйтных волн без потери массы. Наконец, Штриттматтер и Норрис предположили, что эволюция к стадии Ар может критически зависеть от начального отношения магнитной энергии к кинетической энергии вращения. В их картине получается, что если это отношение превышает некоторое критическое значение, то циркуляционные течения тепловой природы в атмосфере подавляются магнитным полем, и поэтому магнитные силовые линии всегда оста-
ются над поверхностью звезды. Затем магнитное поле продолжает распространяться из фотосферы в окружающую среду и может передавать ей момент количества движения посредством центробежного ветра, впервые рассмотренного Местелом (см. разд. 11.4). Подсчет по порядку величины показывает, что потеря момента происходит с характерным временем Ю7 — 109 лет. Ясно, что все эти попытки объяснить, почему скорости вращения звезд класса Ар ниже средних, носят предварительный характер и нуждаются в количественном подтверждении.
Насколько нам известно, согласия относительно механизма, который вызывает аномалии содержания химических элементов в спектрах звезд классов Аш и Ар, пока еще нет. Что касается звезд класса Ат, то имеется вполне определенная корреляция между медленным вращением и аномальным спектром. Для этих звезд часто принимают рабочую гипотезу, что члены тесных двойных медленно вращаются из-за приливного взаимодействия, и поэтому из-за отсутствия существенного перемешивания циркуляционными течениями в атмосферах их спектры аномальны. В самом деле, как утверждали Мишо и его сотрудники, если макроскопические движения 6 атмосфере звезды ничтожно малы, то в результате процессов микроскопической диффузии легкие и тяжелые элементы могут разделяться, т.е. те элементы, которые поглощают больше идущей наружу лучистой энергии на атом, движутся к поверхности, а поглощающие меньше энергии опускаются вглубь. Этот же механизм предлагался и для объяснения аномалий содержания химических элементов в звездах класса Ар: они медленно вращаются, имеют неглубокие поверхностные конвективные зоны, а магнитные поля у некоторых из них сильны. Поэтому весьма вероятно, что именно эти звезды обладают устойчивыми оболочками, в которых возможно гравитационное разделение элементов . Хотя при современном уровне неопределенности явных расхождений между теорией и наблюдениями, по-видимому, не найдено, этот механизм сопряжен с серьезной трудностью: микроскопическая диффузия важна только тогда, когда все характерные времена перемешивания (за счет циркуляции, конвекции и турбулентности) или обновления вещества (за счет аккреции или потери массы) значительно превышают характерные времена гравитационного разделения. Шацман, Баглен и Воклер специально рассмотрели роль меридиональных течений, однако в настоящее время окончательные выводы невозможны, потому что еще не получены самосогласованные модели течений вблизи поверхности вращающейся звезды (ср. с разд. 8.2 и 8.3). Цан подчеркнул также важность неустойчивостей течений с градиентом скорости в диффе-
ренциально вращающихся звездах, но здесь пока не установлен практический критерий устойчивости (ср. с разд. 8.4). Поэтому, вместо того чтобы искать условия отсутствия перемешивания в медленно вращающихся звездах, следует, по-видимому, принять в качестве самого вероятного объяснения гравитационное разделение и рассматривать скорости диффузии (< 1см/с) как грубый верхний предел скоростей циркуляции (до тех пор пока не будут получены приемлемые модели циркуляционных течений в лучистых зонах).
ВРАЩЕНИЕ ЗВЕЗД В РАССЕЯННЫХ СКОПЛЕНИЯХ
В разд. 2.3 были перечислены основные наблюдения, относящиеся к вращению звезд в рассеянных скоплениях и ассоциациях. Весь этот раздел мы посвятим следующим двум вопросам: в чем причина различий между проекциями скоростей вращения у звезд отдельных скоплений и звезд поля и как сказывается вращение на оценках возраста рассеянных скоплений?
На рис. 2.7 сравниваются значения <yesinz> нескольких рассеянных скоплений и ассоциаций и звезд поля. Кажется очевидным, что в среднем проекции скоростей вращения в скоплениях уникальны. Сразу возникает вопрос, объясняются ли необычные значения <yesinz> данного скопления высокими или низкими экваториальными скоростями ve или преимущественной ориентацией осей вращения. Крафт выдвинул доводы в поддержку точки зрения, что оси вращения в скоплениях распределены случайным образом. Во-первых, исследуя наклон плоскостей орбит визуально-двойных в скоплениях Гиады и Волосы Вероники, он не обнаружил преимущественной ориентации, а можно ожидать, что оси вращения компонентов приблизительно параллельны. Во-вторых, как скоплению Гиады так и скоплениц) Волосы Вероники, многие характеристики которых одинаковы, свойственна неообычная зависимость〈％sini〉от спектрального класса (рис. 2.7); поскольку эти два скопления расположены в сильно различающихся направлениях от Солнца (卢= -24 и +84。соответственно) было бы удивительно, если бы их скорости ve и наклоны оси i привели к одинаковому значению yesin i. Напротив, Феррер и Яшек привели аргументы в пользу преимущественной ориентации осей вращения в скоплении IC4665, правда, эти доводы не слишком убедительны. Следует признать, что мы не знаем, случайно ориентированы оси тесных двойных или оси вращения в рассеянных скоплениях или в некоторых (если не во всех) скоплениях имеется предпочту- тельное направление.
Что касается причин различий средних скоростей вращения звезд от скопления к скоплению, то Абт внимательно исследовал три вероятных объяснения: эффект расширения в ходе эволюции, доля двойных звезд и доля пекулярных звезд. Изложим вкратце его рассуждения.
Когда звезда покидает главную последовательность нулевого возраста и расширяется, ее скорость вращения на экваторе убывает обратно пропорционально радиусу, если внешние слои сохраняют свой начальный момент количества движения, или медленнее, если момент количества движения
внутри звезды переносится так, что поддерживается приблизительно твердотельное вращение (см. разд. 12.6). Другими словами, значения i^sini у самых ярких звезд скопления становятся в ходе эволюции меньше, чем у звезд поля такого же типа, потому что их радиусы систематически больше, чем у звезд главной последовательности со сравнимой абсолютной звездной величиной. Как показывает рис. 2.7, этим эволюционным эффектом можно, по-видимому, объяснить низкие скорости вращения самых ярких звезд, например в IC4665. Однако расширение в ходе эволюции не является главной причиной аномальных скоростей вращения звезд в скоплениях, что хорошо видно на примере скопления а Персея, в котором средние скорости вращения у проэволюционировавших звезд не меньше, а больше, чем у звезд поля! Итак, мы приходим к выводу, что эволюцию после главной последовательности и ее влияние на скорости вращения звезд учитывать нужно, но что одним этим влиянием нельзя объяснить наблюдаемые различия между звездами отдельных скоплений и звездами поля.
Абт предложил две другие возможности. Как было показано в разд. 2.4 и 12.4, начальные скорости вращения звезд могут постепенно меняться из- за приливного взаимодействия в тесных двойных (например, звезд класса Ат) или из-за магнитной связи со средой в магнитных звездах (например, звезд класса Ар). Если какие-то скопления отличаются по числу спектрально-двойных или звезд класса Ар, то можно ожидать, что средние скорости вращения звезд также будут значительно отличаться от средних скоростей звезд поля. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 12.18, на котором изображены зависимость между долей двойных звезд (с периодами меньше 100 и 10 сут соответственно) вместе с звездами класса Ар и отношением скорости их вращения к скорости вращения звезд поля тех же
仞明 I I I I I гп I I I I I 100%
^ ^ ^ ^ dysPEB9m 77 pooodCJ33XQ9U^ ^ ^ ^ dysPEB9m 77 pooodCJ33XQ9Uо NGC 2576о М39о NGC 2576о М39о NGC 6475о М?С 2516 о IC 4665о NGC 6475о М?С 2516 о IC 4665О , "4 46О , "4 460,8 1,00,8 1,0Плеяды° or ПерсеяПлеяды° or Персея智h忆智h忆dy -qpma9n а各3d98方唁97^ ^ ^ ^dy -qpma9n а各3d98方唁97^ ^ ^ ^1,21,4 0,4 0,6 0,87,01,2 1,4〈％ sin1,21,4 0,4 0,6 0,87,01,2 1,4〈％ sin
^ ^ ^ ^ dysPEB9m 77 pooodCJ33XQ9U
^ ^ ^ ^ dysPEB9m 77 pooodCJ33XQ9U
о NGC 2576
о М39
о NGC 2576
о М39
о NGC 6475
о М?С 2516 о IC 4665
о NGC 6475
о М?С 2516 о IC 4665
О , "4 46
О , "4 46
0,8 1,0
0,8 1,0
Плеяды° or Персея
Плеяды° or Персея
智h忆
智h忆
dy -qpma9n а各3d98方唁97^ ^ ^ ^
dy -qpma9n а各3d98方唁97^ ^ ^ ^
1,21,4 0,4 0,6 0,87,01,2 1,4
〈％ sin
1,21,4 0,4 0,6 0,87,01,2 1,4
〈％ sin
Рис. 12.18. Доля спектрально-двойных звезд с периодами меньше 100 сут (слева) или 10 сут (справа), включая звезды класса Ар для рассеянных скоплений с различными отношениями средних скоростей вращения к скоростям звезд поля тех же спектральных классов. (Abt Я. Л., Sanders W. L. Ар. J., 186, 177, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
классов. Рассматривая двойные звезды с периодами меньше 100 сут, мы замечаем приблизительную обратную корреляцию в том смысле, что скопления (а Персея, Плеяды) с быстро вращающимися звездами содержат гораздо меньше двойных и звезд класса Ар, чем скопления с нормальными (М 39) или особенно с низкими (NGC 6475, NGC 2516, IC 4665) скоростями вращения . Если использовать для статистики только двойные с периодами меньше 10 сут, то получается гораздо более четкая корреляция. Согласно Абту и Сэндерсу, ее можно объяснить двумя способами: либо приливное взаимодействие в двойных системах с периодами от 10 до 100 сут уменьшает скорости вращения не очень эффективно, либо в некоторых скоплениях имеется предпочтительная ориентация осей вращения и орбит. (Стрелка на рис. 12.18 слева, у кружка IC 4665 показывает, куда переместится этот кружок, если поменять наклоны осей вращения и орбит так, чтобы согласовать средние функции масс IC 4665 и NGC 6475.)
Итак, ясно, что приливное взаимодействие и магнитное торможение весьма эффективно уменьшают скорости вращения; поэтому многие различия средних скоростей вращения звезд в скоплениях можно приписать этим эффектам. Однако, как указал Абт, при этом мы просто свели задачу объяснения разных средних скоростей вращения в скоплениях к задаче объяснения различной частоты встречаемости в них двойных и звезд класса Ар. Кроме того, если эти и другие очевидные эффекты уже учтены, то остается еще узнать, зависят ли средние скорости вращения в данном скоплении конкретно от начальных скоростей вращения облака, из которого оно сконденсировалось, или же всем скоплениям свойственна общая зависимость средней скорости вращения от спектрального класса. Ясный ответ на этот вопрос помог бы понять, как звезды приобрели свои исходные моменты количества движения.
Рассмотрим теперь изменения, которые вносит вращение в оценки возрастов рассеянных скоплений. Как известно, возраст рассеянного скопления обычно определяют по его диаграмме показатель цвета — звездная величина, сравнивая наблюдаемую последовательность в области точки поворота с изохронами, выведенными для невращающихся моделей звезд. Влияние вращения на оценки возраста, в сущности, двоякое: влияние наклона на показатель цвета и звездную величину каждой звезды, принадлежащей к скоплению, и влияние на внутреннее строение моделей, которые используются при выводе теоретических изохрон. Мадер рассмотрел оба эти аспекта в предположении твердотельного вращения на главной последовательности и выше нее. Обоснованность этой гипотезы подтверждается многими исследованиями наблюдаемых свойств, в частности тех, которые связаны с вли-
янием вращения на фотометрические измерения звездных величин и показателей цвета звезд класса А (см. разд. 12.3), а также тех, которые связаны со средними скоростями вращения звезд классов А и F на главной последовательности и выше нее (см. разд. 12.6). Как убедительно показал Мадер, влияние твердотельного вращения на внутреннее строение в оценках возраста ничтожно по сравнению с влиянием наклона оси вращения. (Увеличение характерного времени эволюции из-за твердотельного вращения составляет всего несколько процентов, тогда как пренебрежение эффектами наклона приводит к такому завышению оценки возраста, которое для скоплений с самыми быстровращающимися звездами может достигать 70%.) Поэтому наша главная задача ——для каждой звезды в скоплении найти показатель цвета и звездную величину соответствующей сферической звезды такой же полной светимости. (Вообще говоря, эти показатель цвета и звездная величина, отличаются от параметров невращающейся звезды!) К счастью, влияние вращения на абсолютную звездную величину мало сказывается на оценках возраста, поскольку в области точки поворота касательная к изохронам почти вертикальна (рис. 12.19). Кроме того, в силу формулы (3), поправка в показателе цвета существенно зависит от произведения %sin /, а не от конкретных значений ve и i. Таким образом, с помощью моделей Мадера ——Пейтреманна, рассмотренных в разд. 12.3, можно сразу получить поправки для каждой звезды в отдельности.
На рис. 12.19 приведена диаграмма показатель цвета — звездная величина для скопления а Персея с поправками для каждой звезды/ в области точки поворота скопления. В табл. 12.6 собраны оценки возраста этого и шести других скоплений. Эти значения возраста были найдены (с поправка-
Таблица 12.6
СкоплениеСкоплениеВозраст, 106 летВозраст, 106 летОценки возраста семи рассеянных скоплений(Maeder А. А. Ар., 10, 354, 1971)
Скопление
Скопление
Возраст, 106 лет
Возраст, 106 лет
Завышениевозраста, %
без учетабез учетас учетомс учетом
без учета
без учета
с учетом
с учетом
а Персея
54
32
69
Плеяды
78
48
62
IC 4665
60
51
18
М39
230
200
15
Волосы Вероники
560
500
12
Гиады
600
560
7
Ясли
660
600
10
вращения
вращения
(в-и)。
Рис. 12.19. Диаграмма показатель цвета — звездная величина для скопления а Персея с поправками на твердотельное вращение для отдельных звезд (только в области точки поворота). Изохроны соответствуют возрасту с учетом (штриховая линия) и без учета (сплошная линия) поправок на вращение. Стрелка в правой части главной последовательности указывает, что она еще продолжается к более слабым звездам. Сферические модели взяты из работы Kelsall Т., Stromgren В. Vistas in Astronomy, ed. Beer A., 8, 159, 1966. (Заимствовано из Maeder A. A. Ap., 10, 354, 1971.)
ми на вращение и без них) с помощью изохрон, полученных интерполяцией между сферическими моделями Келсолла и Стрёмгрена (X = 0,70, У = 0,28). Завышение возраста скоплений Плеяды и а Персея из-за пренебрежения вращением звезд достигает примерно 60 — 70%, напротив, возрасты скоплений Гиады, Волосы Вероники и Ясли (скорости вращения
звезд в которых меньше) претерпевают небольшие изменения, приблизительно 10 ——20%. Здесь, пожалуй, уместно напомнить, что речь идет только о порядке величин. В самом деле, при помощи моделей Келсол- на — Стремгрена с X = 0,70 и У = 0,27 (вместо У = 0,28) Мадер находит оценки возраста, которые на 22 — 28% меньше приведенных в табл. 12.6, с помощью сферических моделей Ибена с X = 0,71 и У = 0,27 получаются значения выше на 12 — 35% для возрастов между 108 и 7 • 108 лет и на 0 — 12% для возрастов меньше 108 лет! Согласно Мадеру, вследствие параллельности зависимостей между логарифмом возраста и логарифмом Teff в точке повопота у различных последовательностей имеющихся моделей его поправки на вращение в оценках возраста одинаковы при различном выборе возрастной шкалы. Поэтому третий столбец в табл. 12.6 должен давать надежные результаты.
СТАДИИ ПОСЛЕ ГЛАВНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Среди многих проблем, стоящих перед теорией вращающихся звезд, меньше всего ясности в проблеме распределения момента количества движения эволюционирующих звезд. Эволюция звезды после главной последовательности сопровождается сильным сжатием ее богатого гелием ядра и соответствующим расширением окружающей оболочки. Ясно, что если никаких механизмов переноса момента количества движения от ядра к оболочке не существует, то вращение ядра должно заметно ускоряться, а оболочки ——замедляться. Поэтому при расчете общих изменений, вызываемых вращением в эволюции звезды после главной последовательности, мы сразу же сталкиваемся с двумя важными вопросами: сохраняется или теряется полный момент количества движения J звезды в ходе ее эволюции? Есть ли эффективные средства переноса момента количества движения от ядра к оболочке? Поскольку ответы на них совершенно не известны, в литературе рассматривались различные предельные случаи (главным образом при постоянном J). Вот они:
в лучистых областях момент количества движения на единицу массы локально сохраняется, а в конвективных оболочках имеет место твердотельное вращение),
момент количества движения на единицу массы иокалвно сохраняется лишь в слоях с устойчиво стратифицированной атомной массой (см. «д- барьеры» в разд. 8.3), а в остальных слоях имеет место твердотельное вращение,
звезда покидает главную последовательность, вращаясь твердотельно и продолжает вращаться твердотельно в течение своей эволюции после главной последовательности.
Прежде всего мы остановимся на проверке путем наблюдений различных предположений о переносе момента количества движения в эволюционирующих звездах. Теоретические результаты и соображения, связанные с этими вопросами, кратко излагаются в конце раздела.
Наблюдателъные тесты
Звезды класса Be. Как упоминалось в разд. 1.4, Струве первым высказал догадку, что свойства эмиссионных спектров быстро вращающихся звезд класса Be объясняются наличием диска горячего газа, который извергается, когда скорости вращения звезд класса В на экваторе достигают предельных значений (см. разд. 2.3). Вслед за качественным исследованием Крэмпина и Хойла многие авторы рассчитали эволюционные последовательности твердотельно вращающихся моделей звезд с учетом экваториального истечения массы (т.е. для случая 3). Теперь имеются подробные численные результаты для звезд с начальной массой в диапазоне от 5 до 10М@; истечение вещества на экваторе происходит тогда, когда отношение (скажем, а$) центробежной силы к силе тяготения на поверхности больше единицы. Самая важная особенность этих расчетов состоит в том, что звезда раннего класса, эволюционируя от главной последовательности с умеренным твердотельным вращением (%》0,2), достигает предельной скорости вращения во время стадии горения водорода (отрезок АВ на рис. 12.20) задолго до второй стадии сжатия, наступающей после истощения запасов водорода в ядре (отрезок ВС на рис. 12.20). Расчеты Нобили и Секко для звезды массой 7 М @ показывают, что потеря массы идет со скоростью около 10~9 М® /год во время стадии горения водорода и около Ю~7 — 10~6 Мq/год на стадии истощения запасов водорода. Впоследствии Штриттматтер, Робертсон и Фолкнер получили подобные скорости потери массы для звезды массой 9М©, а именно 3-10~9 М® /год на первой стадии расширения и 4-10~7 М©/год на второй стадии сжатия. (Полная потеря массы оказалась равной всего 0,6%, а сопутствующая потеря момента количества движения достигала 23% начального значения.) Позже Мейер-Хофмейстер и Томас также рассчитали эволюцию звезды массой 9М©, предполагая, что вращение твердотельное по крайней мере в однородной лучистой зоне (т.е. для случая 2). В этом случае были четко выявлены две стадии потери массы. Первая начинается сразу при вступлении на главную последовательность, поскольку с самого начала угловая скорость предполагалась критической, и завершается в конце первой стадии расширения. Эта стадия продолжается 2,6-107 лет, причем средняя скорость потери массы составляет около 10~ 9 M ⑥ /год. Однако на второй стадии сжатия, примерно в течение 106 лет, потери массы не происходит; затем она возобновляется и продолжается 5 • 104 лет со скоростью около 3 ТО 一 7 M ⑥ /год, пока звезда расширяется, переходя в область красных гагантов.
Что показывает сравнение этих теоретических оценок потери массы с наблюдениями звезд класса Be? Согласно Штриттматтеру и его сотрудникам, теоретическая скорость потери массы около 3-10~9 М® /год на стадиях горения водорода удовлетворительно согласуется с многими (косвенными) измерениями потери массы у звезд класса Be, особенно с полученными в работе М. и Дж. Бербиджей. По их мнению, предположение Струве об этих звездах хорошо подтверждается данными наблюдений. Однако, как указали Гре дли и Борра, другие (косвенные) измерения потери массы
звездами класса Be (особенно выполненные Марлборо и Хатчингсом) дают значения на один или два порядка величины выше указанных Штриттматтером и его сотрудниками. В частности, Хатчингс находит, что скорости потери массы лежат в интервале от 10-7 Мq/год у горячих звезд класса В до 2,5* 10-8 Mq /год у холодных звезд класса В. Если мы примем эти числа, руководствуясь тем, что они выведены из подробных численных моделей, довольно хорошо соответствующих наблюдаемым профилям линий, то нам придется выбирать между двумя альтернативами: либо звезды класса Be находятся на второй стадии сжатия, когда скорости потери массы могут сильно превышать 10-9 Mq /год, либо предположение об экваториальном истечении вещества не вполне подходит для объяснения свойств излучения этих звезд. Хардорп и Штриттматтер провели тщательный статистический анализ этих звезд. Согласно этим авторам, предположение, что все звезды класса Be пребывают на второй стадии сжатия, несостоятельно, поэтому следует считать, что большинство из них находится на первой стадии расширения и эволюционирует, по-видимому, вращаясь' с постоянной угловой скоростью, по крайней мере в лучистых зонах. Учитывая серьезные расхождения между «наблюдаемыми» скоростями потери массы, нам остается узнать, теряют ли звезды класса Be массу вследствие того, что вращаются почти (но, может быть, не точно) с предельными скоростями, или под действием другого механизма истечения (такого, как звездный ветер, обусловленный излучением и усиленный центробежными эффектами). В последнем случае вращение лишь уменьшало бы эффективную силу тяжести в экваториальных областях, способствуя тем самым потере массы.
Проэволюционировавшие звезды классов а и f. Оук и Гринстейн первыми исследовали, как перераспределяется момент количества движения во внутренних слоях звезды в ходе эволюции. Предполагая, что полный момент количества движения звезды сохраняется вдоль ее эволюционного трека, они рассмотрели два предельных случая, между которыми, как можно думать, заключены остальные возможности: а) полный радиальный обмен моментом количества движения (т.е. твердотельное вращение) и б) отсутствие радиального обмена моментом количества движения (т.е. каждая оболочка сохраняет свой собственный момент). В случае (б) мы имеем (% sin i)/(% sin /)0 = Ro/R, где R ——средний радиус звезды, а индекс 0 относится к начальному состоянию на главной последовательности. Однако в случае (а) в изменение ve sin i по сравнению с начальным значением нужно еще внести поправку на перераспределение массы внутри эволюционирую- звезды; эта поправка связана, разумеется, с мгновенным моментом инерции звезды и должна быть вычислена из теоретического эволюционно- m трека. Вследствие увеличения плотности в центре в ходе эволюции звез- 嘉м скорости вращения в случае (а) всегда больше, чем в случае (б). Теперь главная цель анализа — определить, действительно ли момент количества Движения сохраняется при эволюции звезд и если сохраняется, то какой из Двух случаев лучше согласуется с наблюдениями.
Данцигер и Фабер применили этот метод, рассматривая вращение проэволюционировавших звезд спектральных классов от А5 до F9. Основные результаты их исследования можно суммировать так. Для звезд в полосе главной последовательности, содержащей звезды истинных классов светимости IV и V, случай (а) согласуется с наблюдениями гораздо лучше, чем случай (б). Таким образом, не исключено, что все звезды, радиусы которых выросли не более чем в 2 раза, действительно вращаются как твердые тела. (Отметим небольшое расхождение между случаем (а) и результатами Мадера ——Пейтреманна (разд. 12.3) по крайней мере для звезд более поздних спектральных классов, чем А7!) При анализе гигантов и сверхгигантов возникают дополнительные осложнения. Как следует из табл. 12.7, эти звезды разумно сгруппировать в четыре различных класса: сверхгиганты 1а, сверхгиганты lb, звезды класса светимости lb II — II и звезды класса III. Табличная величина К^ равна отношению < ve sin i}^/{ve sin / >, где < ve sin / > и < ve sin i〉ms — соответственно среднее значение ve sin / для группы звезд и среднее значение % sin /, которое было у этой группы на главной последовательности. Величины Ка и Кб ——теоретические значения этого отношения, вычисленные для случаев (а) и (б) соответственно; они рассчитаны для средней модели в каждом классе светимости путем интер> полиции между теоретическими треками для сферических моделей Ибена. Ошибки в расчетных значениях К“ и Кб возникают из-за неопределенностей в положении звезд на плоскости (МЬо1 ——lg Peff), затрудняющей определение радиуса, которого достигнет звезда в результате расширения. Мы видим, что для звезд меньшей светимости, а именно класса III, данные наблюдений допустимо истолковать так, что эти звезды лежат в переходной области между случаями (а) и (б). Однако твердых выводов относительно фактического закона вращения этих гигантских звезд сделать нельзя. Рассматривая результаты для звезд класса светимости lb II — II и класса lb, мы видим, что положение явно складывается в пользу случая (б). Это может служить еще одним указанием на ослабление связи между внутренними слоями звезды при переходе к ситуациям, в которых радиусы меняются во много раз, так что твердотельное вращение становится уже невозможным. Этот вывод дополнительно подтверждается тем, что другие механизмы уширения линий (такие, как турбулентность) еще больше увеличили бы значения Kobs по сравнению с Ка. (Данные табл. 12.7 относятся к наблюдаемому макроскопическому уширению без поправки на турбулентность. )Аналогичные замечания можно сделать о результатах для сверхгигантов класса 1а, хотя в этом случае для перехода от видимого хорошего согласия наблюдений со случаем (а) к согласию со случаем (б) понадобились бы гораздо ббльшие поправки. Согласно Данцигеру и Фаберу, изменения такого масштаба, по-видимому, не исключены, если принять турбулентные скорости, выведенные Розендалем из его данных об уширении линий в сверхгигантах ранних спектральных классов. Кроме того, как указал Абт, весьма вероятно, что основной вклад в уширение линий у сверхгигантов класса 1а вносит турбулентность, поскольку для каждого класса свети-
Таблица 12.7
Звезды над полосой главной последовательности (Danziger Л /, Faber S. М. А. Ар., 18, 428, 1972)
Класс Спектральный светимостикласс
Число〈％sini〉，
членовкм/сK°bsК ^Кб
laА5—F2
lbА5—F2
lbF5—F8
lb II —IIА5—F2
lb II —IIF3—F8
IIIА5—А9
IIIF0—G0
326±45,8士0,83,6—5,721,0 —32,9
717±28,6士0,83,1—5,16,8 —11,3
512±312,1士2,34,0—6,78,9 —14,9
1130±85,7±1,52,0—2,93,7 —5,4
1030±75,6士1,32,3—3,44,3 —6,3
649 ± 233,4 士 1,6 1,2 — 1,4 2,0 — 2,3
1787 士 141,90 士 0,3 1,4 — 1,6 2,2 — 2,5
мости минимальное уширение велико, а диапазон уширений мал, тогда как при вращении и случайной ориентации осей можно ожидать, что иногда будут наблюдаться спектры с узкими линиями и широкий диапазон уширений. По всем этим причинам поразительное согласие между твердотельным вращением и наблюдениями для сверхгигантов 1а следует, вероятно, считать случайным.
Гиганты классов g и к. Еще одна интригующая проблема — низкие скорости вращения, наблюдаемые у гигантов классов G и К в молодых звездных скоплениях. Поскольку исходное положение этих звезд на главной последовательности известно неплохо, можно надежно сравнить теорию и наблюдения, используя подход Оука и Гринстейна. Крафт применил их способ к скоплениям Гиады, NGC 6633 и NGC 2281, а Штриттматтер и Норрис ——к движущейся группе Гиад. Во всех случаях средние скорости вращения гигантов (% sin / w 10 км/с) гораздо ниже, чем можно было бы ожидать, если бы они эволюционировали либо а) оставаясь в твердотельном вращении с сохранением полного момента количества движения, либо 6) с сохранением момента количества движения каждого элемента. Следовательно, если только скорости вращения этих гигантов на главной последовательности случайно не были ниже средних, то по крайней мере их поверхностные области должны были потерять момент количества движения. Чтобы объяснить низкие наблюдаемые скорости вращения, Крафт предположил, что момент количества движения либо переносится каким-то образом из поверхностных слоев вглубь, либо уносится с поверхности каким-то механизмом потери массы в ходе эволюции через пробел. Герцш- прунга. Первый случай подтверждается предположением Гафа и Линден- Велла о том, что момент количества движения может теряться конвектив-
ными областями при наличии подходящего стока. Однако их главный довод основан только на эксперименте Алка-Зельцера. Независимая проверка Штриттматтера, Иллингворта и Фримена показывает, что прежде чем делать определенные выводы, нужно значительно усовершенствовать экспериментальную установку, которой пользовались Гаф и Линден-Белл. Пока что самое вероятное объяснение расхождения — это, по-видимому, механизм Шацмана, т.е. магнитное торможение за счет выбросов при вспышках (или за счет звездного ветра) из внешних конвективных слоев этих гигантских звезд (см. разд. 11.4). Отметим в этой связи, что эмиссия Са II наблюдается почти у всех звезд, более поздних, чем холодные звезды класса F на диаграмме Герцшпрунга — Рессела. Этот результат (принадлежащий Уилсону и Баппу) сильно подкрепляет точку зрения, что аномально низкие скорости вращения гигантов класса К обусловлены потерей массы и действием механизма Шацмана. Однако, поскольку нам не известна хоть с какой-нибудь точностью скорость потери массы, которая необходима для осуществления в этих звездах магнитного торможения за время от 105 до Ю6 лет, осмысленное сравнение с наблюдаемыми скоростями потери массы (т.е. 10~7 — 10~5 М@/год) пока невозможно. Согласно Штриттматтеру и Норрису, различие между двумя предложенными механизмами можно выявить, применяя метод Оука — Гринстейна к гигантам поздних подклассов К и ранних подклассов класса М.
Переменные звезды. Поскольку правильные физические переменные звезды (такие, как 6-цефеиды, звезды типа 3 Щита, а возможно, и 0- цефеиды) встречаются на стадиях эволюции после главной последовательности, мы коротко остановимся здесь на их скоростях вращения. Престон выдвинул идею, что спектральные линии 6-цефеид потому так узки, что их «поедками» могут быть лишь звезды главной последовательности с малыми экваториальными скоростями вращения. (В предположении, что их линии уширены только вращением, Крафт получает значение ve sin i = 20 км/с.) Другой взгляд, лучше соответствующий современным значениям об эволюции после главной последовательности, выразил Крафт: все 6- цефеиды в сущности являются потомками сверхгигантов класса К, что согласуется с эволюционными треками Пбена, и профили их линий объясняются турбулентностью, а не вращением. Иными словами, d-цефеиды раньше находились в той части диаграммы Герцшпрунга — Рессела, где мог теряться момент количества движения (предположительно, в виде замагни- ченного звездного ветра), и потому они происходят от очень медленно вращающихся стационарных звезд. Общая мысль, что пульсация и вращение физически несовместимы, высказывалась также для /3-цефеид и звезд типа 3 Щита. Что касается /3-цефеид, то наблюдения Хилла не подтвердили это старое предположение. Изучение данных о вращении 41 звезды этого типа показывает, что преобладающей скорости вращения нет и величины ve sin i меняются в диапазоне от 0 до 300 км/с (есть две переменные типа 6 Цефея с ve sin i > 300 км/с!). То же самое можно сказать и о переменных типа 3 Щита, поскольку диапазон проекций их скоростей вращения также широк
(уе sin i s 200 км/с). Однако, как показал Брегер, для этих звезд связь пульсаций с вращением довольно сложна. На основе более подробного исследования Данцигера и Фабера можно сказать, что амплитуды пульсаций переменных типа 3 Щита с самыми низкими светимостями малы, а их скорости вращения такие же, как у стационарных звезд. Напротив, переменные типа 3 Щита с высокой светимостью вращаются медленнее, чем стационарные звезды, и для этой группы медленное вращение служит необходимым условием больших амплитуд. Таким образом, есть указания, что степень влияния вращения на пульсации звезд типа 3 Щита может зависеть от их светимостей.
Связь вращения с эволюцией
Чтобы проиллюстрировать влияние вращения на эволюцию после главной последовательности, мы прежде всего рассмотрим результаты, полученные Киппенханом, Мейер-Хофмейстер и Томасом для звезды массой 9М© (с начальным химическим составом X = 0,739 и У = 0,240 на главной последовательности). Поскольку истинное перераспределение момента количества движения в эволюционирующей звезде (а также его распределение в ней на главной последовательности!) совершенно не известно, необходимо задать изменение угловой скорости со временем. Для исходной модели на главной последовательности принималась максимально возможная при твердотельном вращении угловая скорость; расчет эволюции проводился для случаев 1 и 2, описанных выше (т.е. со схематическим заданием состояния вращения в конвективной и лучистой областях и при условии сохранения момента количества движения). Расчеты заканчивались на стадии, когда углерод-кислородное ядро окружено оболочкой горящего гелия, в которой вырабатывается большая часть энергии, излучаемой с поверхности модели. Для сравнения рассчитывалась и эволюция невращающейся звезды массой 9Mq. На рис. 12.20 изображены эти эволюционные треки на диаграмме Герцшпрунга — Рессела. В табл. 12.8 приведены возраст, положение и экваториальная скорость вращения на некоторых характерных стадиях эволюции, отношение ас центробежной силы к силе тяжести в центре для приведенных моделей. Буквы в шестой колонке соответствуют моделям, изображенным на рис. 12.20. Из этого анализа следуют два основных результата. Во-первых, поскольку подъемный эффект центробежной силы эквивалентен уменьшению массы звезд, время жизни на главной последовательности из-за вращения слегка увеличивается, примерно на 4% в случаях 1 и 2. Этот эффект сильнее на стадии горения гелия в центре (13% в случае 1 и 11% в случае 2). Вследствие этого петли на диаграмме Герцшпрунга —Рессела увеличиваются. Во-вторых, в обоих случаях на стадиях между истощением гелия в ядое и загоранием углерода в конечном счете образуется быстро вращающееся ядро (с периодом около 60 с!). Этот результат ——прямое следствие того, что при расчете моделей не допускался перенос момента количества движения через области с переменной атом-
叮 Teff
Рис. 12.20. Диаграмма Герцшпрунга — Рессела с эволюционными треками для модели массой 9 Mo. Вверху ——невращающаяся модель, в середине — вращающаяся модель в случае 1, внизу — вращающаяся модель в случае 2. (Kippenhahn К., Meyer- Hofmeister Е., Thomas Я. С. А. Ар., 5, 155, 1970.)
ной массой. (Правда, последующую эволюцию такого ядра предсказать нельзя, потому что после сгорания гелия упрощенное рассмотрение центробежной силы становится неприменимым в глубоких слоях.) Мейер- Хофмейстер получила аналогичные эволюционные треки для вращающихся моделей массами 5 и 6 М® на стадии говения гелия в ядре.
Исходя из таких же предположений, Сакманн и Вайдеманн далее исследовали эффекты вращения на плоскости Sc 一 兀)на стадиях до загорания углерода в звезде с массой 5M⑥.Отправляясь от средней скорости твердотельного вращения на главной последовательности (t^ = 200 км/с) и сохраняя на всех дальнейших стадиях начальный момент количества движения на единицу массы, они получили в конечном счете дифференциально вращающуюся конфигурацию, которая в первом приближении напоминает моде-
Таблица 12.8
Модели после главной последовательности
(Kippenhahn R., Meyer-Hofmeister £., Thomas Я. С. А. Ар., 5, 155, 1970)
Возраст, 107 лет
1g (L/L。)
1g Teff
%， км/с
Невращающиеся модели
0
3,5233
4,3655
0
0
Л
2,5968
3,7836
4,2936
0
0
В
2,6733
3,8389
4,3315
0
0
с
2,7059
3,8220
3,5967
0
0
£
3,0512
3,8982
3,9563
0
0
F
3,1106
3,7774
3,6029
0
0
G
3,1187
\7236
3,6144
0
0
Я
Вращающиеся модели, случай 7
0
3,4906
4,3328
434
0,008
Л
2,6593
3,7416
4,2586
306
0,008
В
2,7929
3,8047
4,3041
328
0,011
с
2,8307
3,7889
3,5986
4,5
0,044
Е
3,2198
3,9194
3,9985
112
0,038
尸
3,3124
3,8247
3,7226
37,6
0,081
G
3,3534
3,9735
4,0685
132
0,065
Я
3,3693
3,4832
3,6339
14,8
0,134
I
3,3914
4,2029
3,5712
2,7
0,182
К
Вращающиеся модели,
случай 2
0
3,4906
4,3328
434
0,008
2,6883
3,7552
4,2409
(381)
0,008
2,7526
3,8022
4,2888
(424)
0,011
2,7925
3,7609
3,6004
4,7
0,017
3,1743
3,9127
3,9613
132
0,017
3,2551
3,7877
3,6032
5,9
0,020
3,2970
3,9713
.4,0432
183
0,015
3,3171
3,4725
3,6362
21,3
0,021
3,3365
4,2271
3,5696
2,5
0,021
ли белых карликов Острайкера ——Боденхеймера, погруженные в протяженную оболочку (см. разд. 13.2). Кроме того, они обнаружили, что в случае строгого сохранения момента количества движения достаточно даже средней скорости вращения на главной последовательности, чтобы предотвра-
тить взрывное загорание углерод-кислородного ядра звезды массой 5M©. Точнее говоря, взрыв углерода либо предотвращается, либо при меньших скоростях вращения на главной последовательности будет происходить в ядрах массой много больше 1,4М© (т.е. выше критической массы взрывного загорания углерод-кислородных ядер невращающихся моделей звезд). Согласно Сакманн и Вайдеманну, затем эта стадия эволюции закончится из-за потери массы, вызванной соответствующим ростом светимости. Их численные результаты впоследствии подтвердились в аналитических исследованиях Мадера: а именно, при наличии вращения могут образовываться значительно ббльшие вырожденные ядра, чем без него; при данной плотности в центре светимость звезды сильно увеличивается, если степень дифференциального вращения в ядре достаточно высока. Позднее Махаффи и Хансен проделали новые расчеты взрывного загорания углерода в быстро вращающихся ядрах звезд. Начав с дифференциально вращающихся изотермических ядер (с плотностями в центре от 2-109 до 1010 r/см* и произвольно выбранным распределением момента количества движения), они установили, что из-за вращения значение плотности в центре, необходимое для образования связанного остатка, не снижается до нужного диапазона плотностей, в котором, как предсказывают современные расчеты эволюции, происходит взрывное загорание углерода. Судя по этим предварительным расчетам, проблему, которая сразу возникает пои объяснении сверхновых II типа взрывом в ядрах звезд массами 4 — 8М @, нельзя разрешить при помощи «разумных» значений скоростей вращения.
Ббльшая часть этих теоретических результатов получена при явном предположении, что момент количества движения не переносится от ядра к оболочке эволюционирующей звезды. Поэтому законно теперь спросить, верно пи, что никаких средств переноса момента количества движения через области с переменной атомной массой нет? Иными словами, является ли действительная ситуация промежуточной между случаями 1 и 2 или больше соответствует случаю 3?
Пока что есть два довольно умозрительных аргумента в пользу того, что в эволюционирующих звездах возникают быстро вращающиеся ядра: избыток массивных звезд выше главной последовательности на диаграмме показатель цвета — звездная величина рассеянного скопления NGC 6819; существование пульсаров с наблюдаемыми периодами. Первый аргумент следует из работы Мадера о влиянии вращения на предельную массу изотермического ядра звезд верхней части главной последовательности, т.е. на предел Шенберга ——Чандрасекара. В самом деле, уменьшение этой предельной массы для однородно вращающейся модели ничтожно (максимум 3 — 4%), но она увеличивается примерно на 10%, если ядро вращается в 20 раз быстрее оболочки. Значит, поскольку рост массы Шенберга — Чандрасекара приводит к увеличению времени жизни звезды на стадии слоевого горения водорода, экстремальное дифференциальное вращение вызывало бы избыток звезд на этой стадии (по сравнению с тем, что можно ожидать от твердотельно вращающихся и невращающихся моделей). Согласно Мадеру, наблюдения NGC6819, проведенные Беркхедом, можно, тем самым,
истолковать в пользу существования быстро вращающихся ядер на стадии слоевого горения водорода. Второй аргумент принадлежит Фрике и Кип- пенхану. В согласии с идеей Голда, они предполагают, что пульсары — это вращающиеся нейтронные звезды, высокие угловые скорости которых объясняются запасом момента количества дви*ния в ядрах звезд с начальными массами 4 ——10М @ (в соответствии с анализом данных наблюдений, проведенным Ганом и Острайкером). В таком случае простой подсчет показывает, что вращение этих ядер было бы слишком медленным для образования пульсаров с наблюдаемыми периодами, если бы еще до стадии горения гелия в ядрах оно не перестало зависеть от вращения окружающих оболочек. По мнению Фрике и Киппенхана, это соображение сильно подкрепляет гипотезу о том, что развязка вращения ядра от оболочки эволюционирующей звезды произошла на более ранней стадии эволюции и привела к тому, что на стадии гелиевого горения в ядре онб вращается раз в 50 быстрее, чем оболочка.
С другой стороны, выдвигались и доводы в пользу того, что внутреннее ядро эволюционирующей звезды интенсивно обменивается с оболочкой моментом количества движения. Особенно привлекают внимание два белых карлика с линиями водорода: 40 Эридана В и Wolf 1346, у каждого из которых видны узкие ядра в линиях поглощения На и Н6. Как показали Гринстейн и Петерсон, первый из них, по-видимому, имеет конечную скорость вращения % sin / = 40 ( + 20, - 10) км/с, а второй % sin i = 50 (+30, -20) км/с. Если только эти две звезды не обращены к нам полюсом, то они вращаются медленно и, значит, йотеряли почти весь момент количества движения прежде, чем достигли конечного состояния. Согласно качественным соображейиям Хардорпа, зтоТ результат показывает, что если мы не хотим допустить, что у более массивных карликов под медленно вращающимися оболочками имеются быстро вращающиеся ядра, то вращение должно каким-то образом тормозиться через Д-барьеры. В этой связи интересно отметить, что и белый карлик с сильным магнитным полем вращается, по-видимому, чрезвычайно медленно. Энджел и Л эн детрит обнаружили, что круговая поляризация у звезды G195-19 циклически изменяется с периодом 1,33 сут. Согласно Гринстейну и Петерсону, если эти вариации вызваны вращением, то они соответствуют vp « 0,4 км/с и свидетельствуют либо о связи ядра с оболочкой на гораздо более поздних стадиях эволюции, либо о последующей потере момента количества движения в межзвездную среду или же о том и другом вместе. Отметим, наконец, что пока не известен ни один белый карлик класса DA с vp sin i 刁 150 км/с.
На основании всех этих результатов можно полагать, что ядра звезд не полностью изолированы от окружающих оболочек, т.е. что при сжатии ядра ускорение его вращения в какой-то степени тормозится остальной частью звезды. В настоящее время имеются полуколичественные исследования по переносу момента количества движения из внутренних слоев быстро вращающихся ядер звезд за счет сильных магнитных полей, однако окончательных результатов нет. До тех пор пока мы не поймем, какие механизмы обеспечивают перенос момента количества движения внутри эволюцио-
нирующей звезды (например, трение, магнитные поля и меридиональные течения), вряд ли имеет смысл рассчитывать подробные эволюционные треки после главной последовательности для вращающихся моделей ззезд.
БИБЛИОГРАФИЧЁСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общие сведения по рассматриваемой в этой главе теме можно найти в книгах
Kraft R. Р. Stellar Rotation, in Stellar Astronomy, eds. Chiu H. Y., Warasila R. L., Remo J. L., 1, New York: Gordon and Breach, 1969, pp. 317 — 367.
Kraft В. P. Stellar Rotation, in Spectroscooic Astroohysics, ed. Herbig G. H., Berkeley: Univ, of California Press, 1970, pp. 385 — 422. См. также [1 — 31 к гл. 7.
Однородно вращающиеся модели построены в [25 ——30, 32, 34, 39] к гл. 5 и в [26] к гл. 16. См. также
Limber D. N., Roberts Р. Н. Astrophys. J., 141, 1439 — 1442, 1965.
Sackmann I-J., Anand S. P. S. Astrophys. J., 155, 257 — 264, 1969; 162, 105 — 124, 1970.
Sackmann 厶J. Astron. Astrophys., 8, 76 — 84, 1970.
Sanderson A. D., Smith R. C.,Hazlehurst J. Astrophys. J. Letters, 159,
L69 — L71, 1970.
Поскольку некоторые ранние модели либо слишком грубы, либо просто ошибочны, можно приступить к изучению литературы сразу со следующих работ:
Jackson S., Sanderson A. D., Smith R. C., Hazlehurst J. Astrophys J., 165, 223 — 224, 1971.
Whelan J. A. J., Papaloizou J. C. A, Smith R. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 152, 9P — 13P, 1971
Aranda J., Thomas H. C. Astron. Astrophys., 45, 441 —442, 1975, Дифференциально вращающиеся модели впервые рассмотрел Марк [34] к гл. 5. См. также
Bodenheimer Р. Astrophys. J., 167, 153 — 163, 1971.
Monaghan J. J., Smart N. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 153; 195 — 204. 1971.
Tuominen I. К Ann. Acad. Scr. Fennicae (A), VI. Phys., No 391, 1 — 49, 1972; No 392, 1 — 27, 1972, No 393, 1 — 20, 1972.
Изложение в нашем тексте следует работам [5, 10].
Можно отметить такую общую работу
Collins G, W. The Effects of Rotation on the Atmospheres of Early-Type Main- Sequence Stars, in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 85 — 109.
Ранние работы по влиянию вращения на наблюдаемые параметры следующие:
Collins G, W. Astrophys. J., 138, 1134 — 1146, 1963; 139, 1401, 1964; 142, 265 — 277, 1965; 146, 914 — 939, 1966.
Zhu C.-S. Acta Astron. Sinica, 11, 41 ——48, 1963 (резюме на английском языке на стр. 48).
См. также пионерскую работу Свита и Роя ([25] к гл- 5). Дальше эта тема развивается в работах
Roxburgh /. FK, Strittmatter Р. A. Zeit. f. Astrophys., 63, 15 ■— 21, 1965.
Ireland J, G. Publ. Roy. Obs. Edinburgh, 5, 63 — 88, 1966.
Rubin R. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 133, 339 — 344, 1966.
Ireland Л G. Zeit. f. Astrophys., 65, 123 — 132, 1967.
Hardorp J., Strittmatter P. A. Astrophys. J., 151, 1057 — 1073, 1968.
Jordahl P. R. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 116 — 121.
См. также [27] к гл. 5. Самые подробные исследования следующие:
Maeder A., Peytremann Е. Astron, and Astrophys., 7, 120 — 132, 1970; 21, 279 — 284, 1972.
В этих последних работах результаты приводятся в системах UBV, uvby и женевской. Сравнение теории с наблюдениями можно найти в работах
Kraft Л. R, Wrubel М Н. Astrophys. J., 142, 703 — 711, 1965.
Roxburgh I. %., Sargent W. L. %., Strittmatter P. A. The Observatory, 86, 118 — 120, 1966.
Strittmatter P. A. Astrophys. J., 144, 430 — 434, 1966.
Strittmatter P. A., Sargent W. L. W. Astrophys. J., 145, 130 — 140, 1966.
Dickens R.丄，Kraft R. R, Krzeminski W. Astron. J., 73, 6— 13, 1968.
Golay M Archives des Sciences (Gendve), 21, 105 — 124, 1968.
Maeder A. Archives des Sciences (Gendve), 21, 125 — 132, 1968.
Smith R. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 151, 463 — 483, 1971.
См. также [21, 22]. Гравитационное потемнение при различных законах вращения рассматривалось в работе
Smith R, С., Worley R. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 167, 199 — 213, 1974.
В этой работе рассматриваются также изменения AfK для псевдобаротроп Боденхей- мера [10] и бароклин Роксбурга — Штриттматтера [31, рр. 345 — 357《к гл. 7. Собственная поляризация в континууме быстро вращающихся звезд ранних спектральных классов рассматривается в статьях
Harrington J.尸.，Collins G. W. Astrophys. J., 151, 1051 — 1056, 1968.
Collins G. W. Astrophys. J., 159, 583 — 591, 1970.
Cassinelli J. R, Haisch В. M. Astrophys. J., 188, 101 — 104, 1974.
Peraiah A. Astron. Astrophys., 46, 237 — 241, 1976.
Классические результаты по уширению спектральных линий звезд за счет вращения собраны в [24, 25] к гл. 2. Дальнейшие исследования на ту же тему можно найти в статьях
Qu Q.-Y., Zhao J.-В. Acta Astron. Sinica, 12, 23 — 38, 1964. (Резюме на английском языке на стр. 38.)
Friedjung М. Astrophys. J., 151, 779 — 781, 1968.
Stoeckley Г. R. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 140, 121 — 139, 141 — 147,
149 — 154, 1968.
Underhill A. В. Bull. Astron. Soc. Netherlands, 19, 526 — 536, 1968.
Wilson A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 144, 325 — 332, 1969.
Collins G. W. Astrophys. J・，191, 157 — 164, 1974.
Delcroix A. Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 43, 223 — 248, 1974.
Stoeckley T. R, Morris C. S. Astrophys. J., 188, 579 — 594, 1974.
Buscombe %., Stoekley T. R, Astrophys. Space Sci., 37, 197 — 220, 1975.
См. также [29] к гл. 2. Влияние однородного вращения на профили и эквивалентные ширины линий впервые рассматривалось в работах
Collins G. %., Harrington J. Р. Astrophys. J., 146, 152 — 176, 1966.
Collins G. W. Astrophys. J., 151, 217 — 226, 1968; 152, 847 — 858, 1968.
См. также [38, pp. 149 — 154; 41]. Ряд независимых работ:
Hardorp J., Strittmatter P. A. Astrophys. J., 153, 465 — 482, 1968.
Hardorp J., Scholz M Astron. Astrophys., 13, 3 53 — 3 5 8, 1971.
Hardorp J,, Strittmatter P. A. Astron. Astrophys., 17, 161 — 164, 1972.
Norris J., Scholz M Astron. Astrophys., 17, 182 — 189, 1972.
Другие исследования имеются в работах
Tuominen I. К, Vilhu О. in Steller Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 110 — 114.
Tuominen I. K, Vilhu O. Astrophys. Letters, 6, 143 — 145, 1970.
Vilhu O., Tuominen I. К Astron. Astrophys., 13, 136 — 146, 1971.
Большинство расчетов профилей и сил лйний основано на ошибочных моделях внутреннего строения Роксбурга, Гриффита и Свита ([26] к гл. 5), поэтому предлагается начать чтение с [48, 53]. Ссылаясь на Гутри и Балона, мы имеем в виду их работы 54. Guthrie В. N. G. Publ. Roy. Obs. Edinburgh, 3, 83 — 107, 1963.
5. Balona L. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 173, 449 — 464. 1975.
Эффекты дифференциального вращения специально рассмотрены в [36, 38, рр. 121 — 139; 43, 44]; см. также третью из ссылок [115]. В тексте цитируется и следующая работа:
Johnston Z. D., Wareing N, С. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 147, 47 — 58, 1970.
Измерения значений vg sin / для звезд классов Am и Ар впервые сделаны в работах
Slettebak A. Astrophys. J., 119, 146 — 167, 1954; 121, 653 — 669, 1955.
Этим звездам посвящена обширная литература, обзор их свойств можно найти в
Preston G. W. The Chemically Peculiar Stars of the Upper Main Sequence, in Ann. Rev. of Astron. Astrophys., 12, 257 — 277, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1974.
Из многих работ по звездам класса Ат упомянем следующие:
АЫН. A. Moyd К. /. Astrophys. J., 182. 809 — 816, 1973.
Abt Я. Л., Levy S. G. Astrophys. J., 188, 291 — 294, 1974.
Abt Я. Л. Astrophys. J., 195, 405 — 409, 1975.
Изложение в тексте в значительной степени следует [61]; см. также
Stromgren В. Quart. J. Roy. Astron. Soc. London, 4, 8 — 36, 1963.
Smith M. A. Astrophys J. Suppl., 25, 277 — 314, 1973.
Скорости вращения звезд класса Ар рассматривались в работах
Preston G. W. Publ. Astron. Soc. Рас., 83, 571 — 584, 1971.
Abt Н. 4, Chaffee Л Н.,.Suffolk G. Astrophys. J., 175, 779 — 785, 1972.
Abt Н. 4, Snowden М. S. Astrophys. J. Suppl., 25, 137 — 162, 1973.
В тексте цитируется также работа
Guthrie В. N. G. Publ. Roy. Obs. Edinburgh, 5, 1 — И, 1965.
Различные механизмы торможения для звезд класса Ар рассматриваются в статьях
Havnes О., Conti Р. S. Astron. Astrophys., 14, 1 — 11, 1971.
Kulsrud R. M. Astrophys. J., 163, 567 — 576, 1971.
Strittmatter P. A., Norris J. Astron. Astrophys., 15, 239 — 250, 19力.
Последующие работы:
Havnes О. Astron. Astrophys., 32, 161 — 17a 1974.
Gedzelman S. D. Astrophys. J., 201, 509 — 520, 1975.<
Wolff S. C. Astrophys. J., 202, 121 — 126, 1975.
Современное состояние вопроса о процессах диффузии в звездах классов Ат и Ар излагается в работе
Michaud G. Abundance Anomalies, Diffusion and Constraints on F, A and В Stellar Envelope Models, in Physics of Ap Stars, eds. Weiss W. W., Jenkner H., Wood H. J., Vienna, Austria: Universitatssternwarte Wien, 1975, pp. 81 — 107.
Механизм магнитной аккреции предложен в [68]. Критический обзор этих и других теорий можно найти в [58]. В следующих работах делаются попытки изучить роль турбулентности, циркуляции и дифференциального вращения в гравитационном разделении:
Schatzman Е. Astron. Astrophys., 3, 331 — 346, 1969.
Baglin A. Astron. Astrophys., 19, 45 — 50, 1972.
Zahn J. R in Journee d^tude sur les binaires serrees, Nice, 1974.
8. Vauclair G Astron. Astrophys., 50, 435 — 444, 1976.
См. также [70]. Другая точка зрения представлена в статье
Mullan D. J. Astron. Astrophys., 27, 379 — 381, 1973.
Изложение этого раздела следует работам
Abt Н. A. Stellar Rotation in Open Clusters, in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 193 — 203.
Abt H. A., Sanders W.丄.Astrophys. J., 186, 177 — 183, 1973.
См., однако,
Crampton D, Hill G., Fisher W. A. Astrophys. J., 204, 502 — 511, 1976.
См. также [1, 2] и следующие работы:
Kraft R. P. Astrophys. J., 142, 681 — 702, 1965.
Ferrer O., Jaschek C. Publ. Astron. Soc. Pac., 85, 207 — 212, 1973.
Можно указать и такую работу:
Guthrie В. N. G. The Observatory, 90, 233 —236, 1970.
Влияние вращения на оценки возраста рассмотрено в работах
Hazlehurst J., Thomas Н. С. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 150, 311 — 323, 1970.
Maeder A. Astron. Astrophys., 10, 354 — 361, 1971.
В этих же работах приведены другие оценки возраста (без поправок на вращение).
Общий обзор этого и других воспросов можно найти в [2] к гл. 7. В следующих работах качественно подкрепляется предположение Струве:
Limber D. N., Marlborough J. M. Astrophys. J., 152, 181 — 193, 1968.
Hardorp J., Strittmatter P. A. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 48 — 59.
Можно отметить и такие работы:
Stothers R. Astrophys. J., 175, 431 — 452, 1972.
Maeder A. Astron. Astrophys., 42, 471 — 473, 1975.
Потеря массы звездами класса Be теоретически исследовалась в работах
Crampin J., Hoyle F. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 120, 33 — 42, 1960.
Schmidt-Kaier T. Veroff. Astron. Inst. Univ. Bonn. No 70, 1 — 43, 1964.
Подобные расчеты моделей имеются в работах
Nobili L., Secco L. in Mass Loss from Stars, ed. Hack M., New York: SpringerVerlag New York, Inc., 1969, 135 — 138.
Kippenhahn R., Meyer-Hofmeister E., Thomas H. C. Astron. Astrophys., 5, 155 — 161, 1970.
Meyer-Hofmeister E., Thomas Я. C. Astron. Astrophys., 5 , 490, 1970.
Strittmatter P. A., Robertson J. %., Faulkner D. J. Astron. Astrophys., 5, 426 — 430, 1970.
Gredley P. R, Borra E.尸.Astrophys. J., 172, 609 — 614, 1972.
Самое последнее исследование:
Slettebak A. Be Stars as Rotating Stars: Observations, in Be and Shell Stars, ed. Slettebak A., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1976, pp. 123 — 136.
В этой книге можно найти и другие полезные работы. В тексте излагаются также следующие исследования:
Burbidge Е. М., Burbidge G. R. Astrophys. J., 117, 89 — 94, 1955.
Marlborough J. M. Astrophys. J., 156, 135 — 155, 1969.
Hutchings J. B. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 150, 55 — 66. 1970; 152, 109 — 119, 1971.
Подробные сравнения теории с наблюдением имеются в [97 — 99]. Быстро вращаТю- щиеся звезды ранних классов со звездным ветром, вызванным излучением, рассматриваются в статье
Marlborough J. M, Zamir М. Astrophys. J., 195, 145 — 155, 1975.
В этой же статье указаны предыдущие работы, посвященные проблеме звездного ветра. См. также [55, 99] и следующие статьи:
Massa D. Publ. Astron. Soc. Рас., 87, 777 — 784, 1975.
Snow T. P., Marlborough J. M. Astrophys. J. Letters, 203, L87 — L90, 1976.
Совершенно иной подход к проблеме звезд класса Be имеется в статье
Kriz S., Harmanec Р. Bull. Astron. Inst. Czechoslovakia, 26, 65 — 81, 1975.
Пионерские работы по зависимости между осевым вращением и звездной эволнэ- цией — это
Оке J. A, Greenstein J. L Astrophys. J., 120, 384 — 390, 1954.
Sandage A. R. Astrophys. J., 122, 263 — 270, 1955.
Abt H. A. Astrophys. J., 126, 503 — 508, 1957; 127, 658 — 666,1958.
Kraft R. P. Astrophys. J., 144, 1008 — 1015, 1966.
См. также [1, 2]. Последние исследования：
Faber S. M, Danziger L J. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 39 — 47.
Strittmatter Р. A., Norris J. Astron. Astrophys., 11, 477 — 481, 1971.
Danziger I. J., Faber S. M. Astron. Astrophys., 18, 428 — 443, 1972.
Ранние работы по вращению и турбулентности можно найти в [25] к гл. 2. Самые недавние исследования — это 114. Rosendhal J. D. Astrophys. J., 159, 107 — 118, 1970.
Gray D. F. Astrophys. J., 184, 461 — 471, 1973; 202, 148 — 164, 1975 ; 211, 198 — 206, 1977.
Smith M. 4, Parsons S. B. Astrophys. J. Suppl., 29, 341 — 361, 1975.
Smith M A. Astrophys. J., 208, 487— 499, 1976.
См. также замечания Абта [111, p. 47]. Механизм извержения завихренности подробно рассматривается в статьях
Gough D. О, Lynden-Bell D. J. Fluid Mechanics, 32, 437 — 447, 1968.
Strittmatter P. A., Illingworth G., Freeman К. C. J. Fluid Mechanics, 43, 539 — 544, 1970.
В тексте излагается .и следующая работа:
Wilson О. С, Варри М. К. Vainu, Astrophys. J., 125, 661 — 683, 1957.
Мнение, что вращение звезды* может подавить пульсации, поддерживалось главным образом в работе
Preston G. W. KI. Verfoff. Remeis-Sternwarte Bamberg, No 40, 155 — 163, 1965. Вращение 6-цефеид рассматривается в [ПО]. Самые подробные исследования по наблюдениям вращения ^-цефеид и переменных типа 8 Щита следующие: 122. Hill G. Astrophys. J. Suppl., 14, 263 — 300, 1967.
BregerM Astrophys. J. Suppl., 19, 99 — 113, 1969.
См. также [76, 78, ИЗ]. В этих работах указаны предыдущие исследования. Современное состояние проблемы эволюции сферических моделей после главной последовательности рассматривается в работе
Iben Л, Jr. Post-Main-Sequence Evolution of Single Stars, in Ann. Rev. Astron.
Astrophys., 12, pp. 215 — 256, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1974. Подробные теоретические исследования влияния вращения на эволюцию после главной последовательности можно найти в работах 125. Kippenhahn R. Astron. Astrophys., 8, 50 — 56, 1970.
LeBlanc J. M, Wilson J. R. Astrophys. J., 161, 541 — 5 51, 1970.
Maeder A. Astron. Astrophys., 14, 351 — 358, 1971; 34, 409 — 414, 1974.
Meyer-Hofmeister £. Astron. Astrophys., 16, 282 — 285, 1972.
Sackmann L-J., Weidemann К Astrophys. J., 178, 427 — 432, 1972.
Mahaffy J. Я., Hansen C J. Astrophys. J., 201, 695 — 704, 1975.
Зенцова A. G Астрон. ж., 52, 905 — 910, 1975.
Bisnovatyi-Kogan G. S., Popov Yu. P., Samochin A. A. Astrophys. Space Sci., 41, 287 — 320, 1976.
Meier D. L., Epstein R. I., Arnett Ж D., Schramm D. N., Astrophys. J., 204, 869 — 878, 1976,
Mengel J. G., Gross P. G. Astrophys. Space Sci., 41, 407 — 415, 1976.
См. также [95]. Далее в тексте излагается работа
Burkhead М S. Astron. J., 76, 251 — 259, 1971.
Обзорные работы по пульсарам и нейтронным звездам приводятся в [124]. См., в частности,
Gold Т. Nature, 218, 731 — 732, 1968. [Имеется перевод: сб. Пульсары. — М.: Мир, 1971, с. 163.]
Gunn J. Е, Ostriker J. Р. Astrophys. J., 160, 979 — 1002, 1970.
Отчасти количественные исследования торможения на стадиях после главной последовательности можно найти в статьях
Морозов В. Н. Астрофизика, 9, 567 — 579, 1973.
Hardorp J. Astron, and Astrophys., 32, 133 — 136, 1974.
Levy E. "., Rose W. K. Astrophys. J., 193, 419 — 427, 1974.
Роль меридиональных течений во вращающихся вырожденных объектах рассматривали также Киппенхан и Мелленхоф ([45] к гл. 13). Малые скорости вращения некоторых белых карликов рассматриваются в работах
Angel J. R. Р., Landstreet J. D. Astrophys. J. Letters., 165, L71 — L75, 1971.
Greenstein J. L., Peterson D. M Astron. Astrophys., 25, 29 — 34, 1973.
13
ВРАЩАЮЩИЕСЯ БЕЛЫЕ КАРЛИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Хотя точно не известно, каким образом достигаются различные возможные конечные состояния звездной эволюции, в нашем понимании белых карликов как остывающих вырожденных звезд достигнут большой прогресс. Поскольку много глубоких работ посвящено теории сферических моделей белых карликов, для наших целей будет достаточно привести лишь краткий обзор их свойств. Как известно, в белом карлике сила гравитации уравновешивается главным образом давлением, обусловленным кинетической энергией вырожденных электронов, а его светимость почти полностью обеспечивается тепловой энергией невырожденных ионов, причем адерные процессы уже не происходят, а гравитационное сжатие почти прекратилось. Поскольку в ионах запасена почти вся тепловая энергия, нЪ они почти не порождают давления, механические и тепловые свойства белого карлика практически не зависят друг от друга.
В самом общем случае электронное давление ре в белом карлике зависит от плотности р, температуры Т и химического состава. Однако электронный газ в основном объеме белого карлика столь сильно вырожден, что даже «ри довольно высоких внутренних температурах (скажем, Т 制 107 К) в большинстве случаев прекрасным приближением является полное вырождение (Т = О К) по крайней мере в том, что касается глобального внутреннего строения звезды. Другими словами, в первом приближений белый карлик можно рассматривать как баротропу (см. разд. 4.2), следовательно, можно написать
〃е 二 ЛДх),(1)
где
Дт) = х(2уЗ - 3)(/ + I»/? + 3arshx,(2)
х = (р/В)1/з.(3)
Величина М = pQ/mec)——максимальный импульс в безразмерной форме; обозначая через Де среднюю атомную массу на электрон, имеем также 力=6,002-1022 дин/см2 и 8/见=9,736-105 г/см3. В предельном случае нерелятивистских скоростей электронов уравнения (1) и (3) сводятся к
ре 一 У^А(р/В)5/3 при х - 0,(4)
а в предельном случае релятивистских скоростей электронов аналогично получаем
ре — Z4S/5)4/3 при х — 8. (5)
В существовании наибольшей допустимой массы сферических вырожденных звезд — чандрасекаровского предела — нетрудно убедиться из следующих оценок по порядку величины. При достаточно высоких массах звезд электроны становятся релятивистскими, поэтому в силу (5) имеем ре a M"3/R4. Далее, сравнивая силу давления (gradpe ос M"3/R5), необходимую для равновесия звезды, с силой тяготения на единицу объема Sg ос M2/R5), мы видим, что они одинаковым образом зависят от R; значит, совсем не обязательно, чтобы существовал радиус, достаточно малый для равенства этих двух сил. Подробные расчеты показывают, что масса полностью вырожденного белого карлика, удовлетворяющего уравнениям (1) — (3), должна непременно подчиняться условию
М < (5,75/〃；)М® = Мз・ (6)
Хотя этот предел слегка уменьшается из-за различных поправок в уравнении состояния, изменений Де за счет обратных 0-распадов и изменений уравнения гидростатического равновесия вследствие эффектов общей теории относительности, первоначальные вычисления Чандрасекара выдержали испытание временем.
В какой степени меняются эти результаты, если учесть вращение? Не удивительно, что наблюдения не дают информации о том, каково фактическое распределение момента количества движения в белом карлике. (Как указывалось в разд. 12.6, известно несколько белых карликов с очень низкими значениями %sini, что, однако, не мешает существованию быстро вращающихся звезд этого типа.) В следующем разделе мы рассмотрим влияние законов твердотельного и дифференциального вращения на глобальное строение, периоды пульсаций и устойчивость белых карликов. В заключение будут рассмотрены эволюционные эффекты (такие, как вязкое трение, кристаллизация и меридиональные течения).
МОДЕЛИ В СОСТОЯНИИ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ
Из формул (4) и (5) очевидно, что холодные полностью вырожденные белые карлики очень напоминают политропные конфигурации с показателями от л = 3/2 (в пределе М -* 0) до л = 3 (в пределе М 一 М3). Исходя из результатов разд. 10.3, можно считать, что последовательности твердотельно вращающихся белых карликов (с фиксированной массой и растущим
моментом количества движения) должны обязательно обрываться на моделях, у которых эффективная сила тяжести на экваторе падает до нуля, и что точек бифуркации (т.е. точек, в которых ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия) на этих последовательностях быть не может. Другими словами, поскольку уравнения (1) — (3) очень похожи на уравнение политропы р = Кр(" + W" (при 3/2《〃& 3), а центрально конденсированные политропы с 〃 》0,808 не могут накопить большой момент количества движения, ограничиваясь твердотельным вращением, нельзя построить модели белых карликов с отношением т = К/\ W\ выше нескольких процентов. (Как обычно, £ и % — соответственно кинетическая энергия вращения и потенциальная гравитационная энергия.) Отсюда в свою очередь следует, что твердотельное вращение должно мало сказываться на чандрасекаровском пределе даже для самых быстро вращающихся звезд при их предельных скоростях. Из нижеследующих рассуждений станет ясно, что все обстоит именно так. Затем мы рассмотрим дифференциально вращающиеся модели с заданным распределением момента количества движения и увидим, что они обладают совсем иными свойствами.
Твердотелъно вращающиеся модели
Многие авторы рассчитывали влияние твердотельного вращения на глобальное строение белых карликов, подчиняющихся классическому уравнению состояния (1) с /^ = 2 и ньютоновскому условию механического равновесия. Джеймс представил подробные численные расчеты, выполненные на основе метода, аналогичного тому, который используется в теории твердотелъно вращающихся политроп (см. разд. 10.3). Внутреннее строение белых карликов определялось и при помощи различных методов разложения по квадрату угловой скорости О2. Самое подробное аналитическое исследование принадлежит Ананду и Дюба, которые рассмотрели разложения второго порядка, включающие все члены порядка вплоть до О4. Во всех этих работах найдено, что твердотельное вращение незначительно меняет глобальное строение белых карликов, поскольку полные момены количества движения, соответствующие равновесным моделям с этим специальным законом вращения, строго ограничены условием, что центробежная сила на экваторе меньше силы тяготения. В результате твердотельно вращающиеся белые карлики не сильно отклоняются от сферической симметрии, а чандрасекаровский предел увеличивается всего на 3%・ Так, например, сохраняя все члены порядка до О4, Ананд нашел, что неравенство (6) следует заменить на
М < (5,92/^2)М© (7) в том крайнем случае, когда белый карлик вращается с максимальной скоростью, совместимой с условиями равновесия и постоянства угловой скорости. (В первом порядке по О2 Роксбург сначала установил предел
5,96М®/" ^・) Пунктирная кривая в нижнем левом углу рис. 13.6 ограничивает небольшой диапазон масс и моментов количества движения, для которых можно построить модели твердотельно вращающихся белых карликов. удовлетворяющих уравнениям (1) — (3).
Затем Острайкер и Хартвик построили модели твердотельно вращающихся белых карликов с магнитными полями, исчезающими на поверхности. Пользуясь описанным в разд. 5.5 методом самосогласованного поля, они установили, что если внутренние магнитные поля обладают как полои- дальным, так и тороидальным компонентами, то радиусы белых карликов могут значительно вырасти, причем их внешние области останутся почти сферическими. Точнее, для звезды массой 1,05 М ⑥ относительное приращение радиуса ведет себя как ехр[3,5(М/1 取1)], где М — полная магнитная энергия конфигурации. (Для самой крайней из рассмотренных моделей с М/1 W\ = 0,1 напряженность магнитного поля в центре достигает 1012 Гс, но полоидальные компоненты вблизи поверхности всегда остаются на несколько порядков величины меньше этого значения.) Согласно впервые высказанному .Местелом предположению, сильными внутренними магнитными полями могут объясняться наблюдения, судя по которым фотометрические радиусы Сириуса В, 40 Эридана В и некоторых других белых карликов оказываются несколько больше теоретических радиусов, предсказанных классическим соотношением масса — радиус при нулевой температуре* * (Как указали Острайкер и Хартвик, это расхождение нельзя объяснить одним вращением, поскольку для рассматриваемых здесь относительно маломассивных звезд при скоростях вращения, требуемых для заметного изменения радиусов, спектральные линии имели бы более широкие ядра, чем наблюдается.) Вопрос об устойчивости моделей белых карликов с сильными магнитными полями пока не решен. Тем не менее, поскольку устойчивость магнитной конфигурации обычно зависит от отношения М/1 W\ ( W 1), а не от средней напряженности магнитного поля (см. разд. 15.2), модели ОстраЙкера ——Хартвика с М/\ W\ s 0,1 вполне могут оказаться устойчивыми. Без подробного исследования их нормальных мод колебаний нельзя прийти к определенному выводу.
Приведенные результаты относятся только к моделям, которые подчиняются классическому уравнению состояния (1) и ньютоновскому условию механического равновесия. Однако при больших плотностях вследствие обратных 0-распадов и поправок на эффекты общей теории относительности максимальная масса сферической модели белого карлика уменьшается. Например, в случае ньютоновских моделей, удовлетворяющих уравнению со-
стояния Хамады — Солпитера, максимальная масса меняется от 1,40Mq для углеродного белого карлика до 1,11Mq для железного белого карлика. В случае моделей, учитывающих эффекты общей теории относительности и удовлетворяющих уравнениям (1) — (3) с & = 2, максимальная масса оказывается равной примерно 1,42 М @ (тогда как ньютоновский предел равен 1,44Mq). Влияние твердотельного вращения на эти предельные массы впервые рассмотрели Хартл и Торн. На рис. 13.1 показано, как влияет твердотельное вращение на массы и средние радиусы релятивистских конфигураций, удовлетворяющих уравнению состояния Харрисона ——Уилера. Мы видим, что максимальная масса моделей белых карликов на пределе вращения увеличивается вследствие твердотельного вращения примерно на 20%. (Хотя нейтронные звезды выходят за рамки этой книги, отметим,
Рис. 13.1. Влияние твердотельного вращения на массы Передние радиусы белых карликов и нейтронных звезд, подчиняющихся уравнению состояния Харрисона — Уилера. Жирная линия — зависимость массы от радиуса, параметризованная по логарифму плотности в центре (в г/см3), для невращающихся моделей. Тонкая линия — приближенная зависимость массы от радиуса для конфигураций, вращающихся с постоянной угловой скоростью 0 = (GM/R3)172. Это приближенное значение угловой скорости, при которой начинается экваториальное истечение. Стрелки указывают, куда смещаются модели при той же плотности в центре с рос- т°м угловой скорости. (Hartle J. В., Thorne К. S. Ар. J., 153, 807, 1968. С разрешения The University of Chicago Press. © 1968 by the University of Chicago.)
что на их внутреннем строении твердотельное вращение сказывается мало!) Аналогичные результаты получили Арутюнян, Папоян, Седракян и Чубарян для релятивистских моделей белых карликов, удовлетворяющих уравнению состояния Саакяна — Чубаряна, в котором приближенно учитывается влияние обратного /3-распада. Рис. 13.2 позволяет сразу же оценить относительную важность эффектов общей теории относительности, обратного /3-распада и твердотельного вращения. Ясно, что твердотельное вращение слегка модифицирует соотношение между массой и радиусом; единственное различие состоит в том, что твердотельно вращающаяся конфигурация имеет большую массу при той же плотности в центре (для Рс = Ю9 г/см3 это различие достигает всего 8%). Итак, что касается глобального строения белых карликов, задание ad hoc твердотельного враще-
Рис. 13.2. Влияние твердотельного вращения на массы и средние радиусы моделей белых карликов, подчиняющихся уравнению состояния Саакяна — Чубаряна. Кривые J и 3 относятся к сферическим моделям с учетом и без учета обратного 6- распада соответственно, кривые 2 и 4 — к твердотельно вращающимся с предельными скоростями моделям с учетом обратного 6-расиада и без него соответственно. Цифры вдоль кривых 7 и 4 — значения логарифма плотности в центре (в г/см3). Стрелками соединены конфигурации с одинаковой плотностью в центре. (Арутюнян Г. Г., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 7, 467, 1971.)
ния приводит лишь к незначительным поправкам, особенно по сравнению с изменениями, которые вносит в модели обратный 6-распад.
Рассмотрим теперь устойчивость моделей твердотельно вращающихся белых карликов, подвергшихся бесконечно малым возмущениям. Поскольку твердотельно вращающиеся белые карлики мало отклоняются от сферической симметрии, основную моду пульсаций этих звезд можно получить, соответственно изменяя самую низкую радиальную моду сферических звезд [см. разд. 6.4, уравнение (41)]. В самом деле, как мы увидим в разд. 14.2, самая низкая квазирадиальная частоту белого карлика с хорошей точностью описывается формулой
璃 ос (I ^1/7)[(3<1\> - 4) + а(5 - ЗГ/)£/1 W\ -创 ％1/Мс2],(8)
где а и 6 — положительные постоянные порядка единицы. Как обычно, I — момент инерции относительного центра масс, с — скорость света, а 〈Г» — средневзвешенное по давлению значение показателя адиабаты Г「 Для большинства невырожденных звезд главную роль играет первый член в квадратных скобках; второй член отражает стабилизирующее влияние вращения на пульсации, а третий ——дестабилизирующий эффект общей теории относительности. В данном случае, поскольку для релятивистских белых карликов с высокой плотностью〈Г/ близко к 4/3, обычно небольшие «поправочные» члены вблизи предельной массы могут оказаться важными. Несколько авторов представили подробные численные результаты, В табл. 13.1 (по Гриббину) мы приводим приближенные значения квазиради- ального периода 尸灭(=2朽/。灭)для релятивистских моделей, вращающихся с предельными скоростями и удовлетворяющих уравнению состояния Хамады — Солпитера. Равновесные модели содержат 56Fe26 при 1g р < 7,15 (в г/см3), а также более тяжелые и богатые нейтронами ядра при более высоких плотностях: 120Sr38 для самых высоких рассматриваемых плотностей (11,28 < 1gр < 11,40). Эти модели получены из уравнения, в котором одновременно учтены релятивистское уравнение внутреннего строения для соответствующих невращающихся моделей и ньютоновские эффекты твердотельного вращения. (Как показали Дэрни и Роксбург, хотя эта процедура не совсем корректна, использование ньютоновских эффектов вращения все же оправдано в приближении слабого магнитного поля и медленного вращения.) Для полноты в табл. 13.1 указаны также средний радиус R, масса М, отношение 0m = Q2/2irGpc (где рс — плотность в центре) и квадрат угловой скорости 泳.Числа в скобках ——периоды пульсаций основных мод соответствующих сферических моделей с теми же плотностями в центре. (Буква U указывает на неустойчивость модели.) Из этих линейных расчетов
Таблица 13.1
Периоды пульсаций для моделей полностью вращающихсябелых карликов, удовлетворяющих уравнению
Хамады — Солпитера
Числа с скобках ——периоды пульсаций соответ ствующих невращающихсямоделей с теми же плотностями в центре по Faulkner /., Gribbin J. R.
Nature, 218, 734, 1968
{Gribbin 丿.R. M. N., 144, 549, 1969)
lgpc R,107 см M, Ю33 г 103 Smax
12830 906837,5,3,2,h,6длл911 11 11 J 11 9 8 7 6 568Q2,4a^ o^ л^ 7- л w%ooo 00111( ( 11 1J 11 11 11 11 11 1112830 906837,5,3,2,h,6длл911 11 11 J 11 9 8 7 6 568Q2,4a^ o^ л^ 7- л w%ooo 00111( ( 11 1J 11 11 11 11 11 11BQ581 26027Q 0^^刃 7^ сч CM 11 1J 11 11 11 11 11 11BQ581 26027Q 0^^刃 7^ сч CM 11 1J 11 11 11 11 11 119 7 3 6 3 c^ 4^ 1^ X 9^9 7 3 6 3 c^ 4^ 1^ X 9^Jri，L"81122 4 5 8 11Jri，L"81122 4 5 8 111,62(2,01] 1,46(1,90] 1,34(1,83]1,23[L79J 1,14(1,84]1,07(2,22] 1,06[5 1,07[5 1,61[51,62(2,01] 1,46(1,90] 1,34(1,83]1,23[L79J 1,14(1,84]1,07(2,22] 1,06[5 1,07[5 1,61[5
12830 90683
7,5,3,2,h,6длл9
11 11 11 J 11 9 8 7 6 5
68Q2,4a^ o^ л^ 7- л w%ooo 00111
( ( 11 1J 11 11 11 11 11 11
12830 90683
7,5,3,2,h,6длл9
11 11 11 J 11 9 8 7 6 5
68Q2,4a^ o^ л^ 7- л w%ooo 00111
( ( 11 1J 11 11 11 11 11 11
BQ581 26027
Q 0^^刃 7^ сч CM 11 1J 11 11 11 11 11 11
BQ581 26027
Q 0^^刃 7^ сч CM 11 1J 11 11 11 11 11 11
9 7 3 6 3 c^ 4^ 1^ X 9^
9 7 3 6 3 c^ 4^ 1^ X 9^
Jri，L"
81122 4 5 8 11
Jri，L"
81122 4 5 8 11
1,62(2,01] 1,46(1,90] 1,34(1,83]
1,23[L79J 1,14(1,84]
1,07(2,22] 1,06[5 1,07[5 1,61[5
1,62(2,01] 1,46(1,90] 1,34(1,83]
1,23[L79J 1,14(1,84]
1,07(2,22] 1,06[5 1,07[5 1,61[5
строении вырожденного белого карлика. Как мы теперь увидим, совершенно иная картина получится для вращающихся белых карликов, если задавать распределение момента количества движения j(m^, где т~— доля массы внутри цилиндра радиуса g. Впервые эту задачу рассматривали Хойл и Роксбург; они указали, что для масс, сколь угодно превосходящих чандрасекаровский предел, могут существовать дисковидные равновесные конфигурации. В самом деле, поскольку при сжатии без потери момента количества движения отношение 7 = К/\ W\ растет как R-1, можно построить модели белых карликов произвольной массы для любого (ненулевого) момента количества движения ——всегда найдется достаточно малый радиус звезды, при котором электронное давление и центробежная сила уравновесят силу тяготения. Разумеется, результирующие конфигурации с необходимостью будут находиться в состоянии дифференциального вращения, причем во внешних слоях быстро вращающихся моделей угловая ско・ рост〉 будет приближенно определяться третьим законом Кеплера (т.е. R ос 齿-3/2) острайкер, Боденхеймер и Линден-Белл построили подробные модели массивных белых карликов с быстрым дифференциальным вращением.
Как было показано в разд. 4.2 и 4.3, рассматривая идеализированные конфигурации в состоянии стационарного вращения, мы вправе выбирать любое распределение момента количества движения вида /(mJ = 0(G) @4 лишь бы оно удовлетворяло критерию Хейланда (см. разд. 7.3). Следуя Острайкеру и Боденхеймеру, мы задаем распределение момента количества движения, аналогичное распределению для твердотельно вращающейся политропы с показателем 〃 = % [см. разд. 10.4 уравнение (44)]. Расчеты, выполненные для других распределений J(m^t показывают, что главные выводы, о которых пойдет речь, почти не зависят от фактически взятого распределения, пока оно остается в разумных пределах. Модели строились при помощи метода самосогласованного поля (см. разд. 5.5), причем все они подчиняются уравнениям (1) — (3) и ньютоновскому условию механического равновесия. В табл. 13.2 приведены основные физические характеристики шести отобранных конфигураций. В нее включены невращающаяся модель и пять моделей с возрастающей массой и с J, равным для каждой массы полному моменту количества движения твердотельно вращающейся звезды такой же массы на главной поеледовательности. На рис. 13.3 и 13.4 показано подробное строение моделей 3 и 6 соответственно. В 14 строках табл. 13.2 выписаны соответственно масса М, полный момент количества движения J, экваториальный радиус Re, кинетическая энергия вращения £, внутренняя энергия U^ потенциальная гравитационная энергия Wt плотность в центре %, отношение экваториального радиуса к полярному RJ% скорость вращения на экваторе ve (в км/с), отношение RJRc угловых скоростей на экваторе и в центре, гравитационное красное смещение c^v/v на полюсах (в км/с), поверхностная сила тяжести на экваторе ge и на полюсах gp и отношение R/儿 гирорадиуса к экваториальному радиусу. (Если это специально не оговорено, все величины приводятся в системе СГС.) Поскольку 1g% S 9, эти холодные полностью вырожденные конфигурации
守/年
Рис. 13.3. Подробное строение модели 3. Вверху изображены изопикнические поверхности с плотностями 0,9, 0,8, 0,7, 0,6, 0,5, 0,4, 0,3, 0,2, 0,1, 0,01, 0,001 от плотности в центре. Радиус в экваториальной плоскости обозначен через &, вдоль оси вращения — через z, а полный экваториальный радиус — через Re. Внизу ——отношение угловой скорости Q к ее значению в центре 0(0), доля 力窃 полной массы внутри цилиндра радиуса & и круговая скорость vg. (Qstriker J. Р., Во- denheimer Р. Ар. J., 151, 1089, 1968. С разрешения The University of Chicago Press. © 1968 by the University of Chicago.)
仃/Re
Рис. 13.4. Подробное строение модели 6. Смысл всех кривых такой же, как на рис. 13.3. (Qstriker J. Р., Bodenheimer Р. Ар. J., 151, 1089, 1968. С разрешения The University of Chicago Press. © 1968 by the University of Chicago.)
Таблица 13,2
Свойства дифференциально вращающихся белых карликов (Ostriker J. Р.,tBodenheimer Р. Ар. J., 151, 1089, 1968.
С разрешения The University of Chicago Press.
© 1968 by the University of Chicago)
Модель 1
Модель 2
Модель 3
Модель 4
Модель 5
Модель 6
м м©
0,79
1,36
1,81
2,26
2,72
3,17
J
0,00
2,69(49)
2,31(50)
5,77(50)
8,85(50)
1,21(51)
Re
7,27(8)
3,04(8)
6,17(8)
1,34(9)
1,67 ⑼
1,89 ⑼
К
0,00
1,16(49)
2,01(50)
2,86(50)
4,01(50)
5,37(50)
ит
1,24(50)
1,38(51)
1,16(51)
7,42(50)
8,17(50)
9,64(50)
W
-2,11(50)
-1,81(51)
-2,03(51)
-1,77(51)
-2,18(51)
- 2,73(51)
Рс
8,81(6)
4,84(8)
1,76(8)
4,07 ⑺
3,32 ⑺
3,25 ⑺
RJU
1,00
1,05
2,08
3,39
3,96
4,32
%
0,00
1,58(3)
5,01 ⑶
4,62(3)
4,75 ⑶
4,90 ⑶
Ус
0,00
0,476
0,350
0,274
0,254
0,241
сА">
4,82(1)
2,06(2)
2,46(2)
2,12 ⑵
2,32 ⑵
2,58 ⑵
ge
1,99(8)
1,88 ⑼
2,27(8)
3,71 ⑹
1,04 ⑺
1,28 ⑺
gp
1,99(8)
2,12(9)
2,09(9)
1,26 ⑼
1,23(9)
1,28⑼.
R/%
0,424
0,358
0,317
0,270
0,254
0,241
устойчивы относительно обратного 0-распада. По той же причине принятое уравнение состояния должно давать хорошее приближение (если химический состав в основном определяется С, О, Mg и Si), а неучтенные эффекты общей теории относительности не будут существенно сказываться на моделях. В разд. 13.3 мы рассмотрим ограничения, которые накладываются на модели массивных белых карликов в состоянии стационарного вращения из-за вязкого трения и меридиональной циркуляции.
Острайкер и Боденхеймер перечислили основные свойства этих идеализированных конфигураций. Во-первых, во всех случаях К < Up, а это значит, что модели в целом поддерживаются в основном давлением, а не центробежной силой. Во-вторых, энергия связи всегда велика и отрицательна, во всех моделях Е = £+ W Л- UT < -£. В-третьих, дифференциальное вращение ни в одной модели не является очень сильным. Это следует из того, что для всех представленных конфигураций 口/(^ >。工.В- четвертых, для моделей с М > 1,3Mq гравитационное красное смещение становится довольно нечувствительным к массе. В-пятых, экваториальные скорости моделей с М > М, заключены в диапазоне 3 • 103 — 7 • 103 км/с, а радиусы — между 5 • 10『и 3 • 109 см. Таким образом, экваториальные радиусы быстро вращающихся моделей лежат в том же диапазоне, что и радиусы невращающихся белых карликов с М V М3. В-шестых, сравнение
рис. 13.3 и 13.4 показывает, что обе конфигурации имеют довольно сферические твердотельно вращающиеся плотные центральные области; однако внешние области модели 6 (у которой J больше) значительно протяженнее и сильнее сплюснуты, чем у модели 3. В-седьмых, уменьшение скорости вращения с ростом радиуса во внешних областях модели 6 указывает на то, что влияние давления там настолько мало, что вещество в сущности движется по кеплеровым орбитам, причем сила тяготения в направлении, перпендикулярном оси вращения, уравновешивается в основном центробежной силой, а не градиентом давления.
Сравнивая рис. 13.3 и 13.4 с рис. 10.15, легко заметить разительное сходство дифференциально вращающихся полйтроп и моделей массивных белых карликов при почти одинаковых значениях отношения 7 = K/\W\. Следовательно, поскольку политропы, которые сильно отклоняются от сферической симметрии, могут стать неустойчивыми по отношению к неосесимметричным возмущениям, нужно внимательно исследовать модели Острайкера — Боденхеймера на устойчивость. В разд. 6.7 подробно описан общий метод определения приближенных значений для самых низких частот колебаний; этот метод применялся в разд. 10.4 при исследовании устойчивости дифференциально вращающихся политроп. Вириальные уравнения второго порядка описывают моды, скорее всего определяющие устойчивость конфигураций в дифференциальном вращении, а именно: самые низкие зональные моды (。灭 и 吃)，самые низкие тессерсьяьные моды (°+1，о_1 и %) и самые низкие секториальные моды (叫？ и。一力 В предельном случае отсутствия вращения эти моды сводятся к пяти /-модам, принадлежащим к сферическим гармоникам / = 2, самой низкой р-моде и одной тривиальной моде. На рис. 13.5 показаны семь соответствующих частот вдоль последовательности дифференциально вращающихся моделей белых карликов массой 1」ЗМ© с таким же распределением момента количества движения, как у твердотельно вращающегося однородного сфероида [см. разд. 10.4& уравнение (44)]. В табл. 13.3 приведены периоды колебаний моделей 2,26М©. На рис. 13.6 собраны результаты расчетов для различных последовательностей.
Как и ожидалось, неустойчивости по отношению к осесимметричным модам не возникает. Дело в том, что для всех моделей <Гр > %. Если бы мы учли обратный /3-распад и эффекты общей теории относительности, то обнаружили бы, что по крайней мере для малых значений отношения т = K/\W\ такая неустойчивость действительно может возникать (см. табл. 13.1). Однако особое внимание следует обратить на секториальные моды, так как они преобразуют осесимметричную конфигурацию в тело с трехосной симметрией. (Стоит сравнить рис. 13.5 с рис. 10.3, 10.16 и 10.17!) Так же как в случае сфероидов Маклорена и дифференциально вращающихся политроп, при т * 0,14 появляется нейтральная мода (т.е. 0-2 = °)，откуда следует существование за этим пределом массивных трехосных белых карликов. Точнее говоря, значение т = 0,14 определяет приблизительный верхний предел вековой устойчивости относительно реакции гравитационного излучения (ср. с разд. 10.4). Двигаясь вдоль последова-
Рис. 13.5. Частоты колебаний вдоль последовательности дифференциально вращающихся белых карликов (М = 1,13 М@). Распределение момента количества движения такое же, как и у твердотельно вращающегося однородного сфероида. Ju。даны, соответственно в единицах М5/3 G1/2p~1/6 и ^Gp^/2, Секториальные, тессераль- ные и зональные моды представлены соответственно сплошными, штриховыми и пунктирными линиями. Верхняя пунктирная кривая представляет зональную моду. Для отождествления остальных кривых см. табл. 13.3. Обратите внимание, что частота «радиальной» моды (нижняя пунктирная кривая) увеличивается с ростом J, т.е. при данной плотности период пульсаций убывает вследствие вращения. Обратите внимание и на нейтральную моду при J = 0,27, и на возникновение динамической неустойчивости при J = 0,46. (Ostriker J.尸.，Tassoul J. L. Ap. J., 155, 987, 1969. C разрешения The University of Chicago Press. © 1969 by the University of Chicago.)
тельности осесимметричных конфигураций, мы также замечаем, что за пределом т « 0,26 модели становятся динамически неустойчивыми с характерным временем роста неустойчивости порядка нескольких секунд (рис. 13.5). Расчеты для других последовательностей показывают, что в пределах точности вычислений нейтральная мода и динамическая неустойчивость всегда возникают соответственно при г « 0,14 и 0,26, почти незави^ симо от полной массы и распределения момента количества движения. На рис. 13.6 эти пределы показаны на плоскости (М— J). Исходя из разумного допущения, что предел а_2 = 0 определяет также наступление вековой неустойчивости, мы замечаем, что верхние пределы масс, за которыми возникают вековая и динамическая неустойчивости моделей, оказыва-
Рис. 13.6. Пределы устойчивости на плоскости (М - J). Распределение момента количества движения такое же, как у твердотельно вращающегося однородного сфероида. Для М s 2Mo кривые взяты из работы Острайкера и Тассуля (1969). Около штриховых кривых, соответствующих постоянному характерному времени q вековой неустойчивости из-за реакции гравитационного излучения, указаны 1g 7s (в годах). Пунктирная кривая ограничивает область, в которой, согласно Джеймсу (1964), заключены модели твердотельно вращающихся белых карликов. Углерод загорается в центрах углерод-кислородных моделей под штрихпунктирной линией. Жирная линия — предел динамической устойчивости, тонкая линия ——предел вековой устойчивости. (Durisen R. Н. Ар, J., 199, 179, 1975. С разрешения The University of Chicago Press. © 1975 by the American Astronomical Society.)
ются равными соответственно 2,5 и 4,6 M q. Как показал Дюризен, при 3,5Mq S М S 4,6М© вековая неустойчивость возникает главным образом из-за реакции гравитационного излучения (см. разд. 10.2) и ее характерные времена в этом диапазоне масс равны по порядку величины от 103 до 101 лет.
Итак, модели дифференциально вращающихся белых карликов с вековой и динамической устойчивостью к неосесимметричным возмущениям можно строить лишь в определенном диапазоне масс и полных моментов количества движения. Отметим, что на рис. 13.6 изображена также кривая, ниже которой модели с плотностями в центре, превосходящими 3 • 109 г/см3, могут становиться неустойчивыми относительно детонации или имплозии. Несмотря на эти строгие ограничения на плоскости (М — J), быстро вращающийся массивный белый карлик можно считать одной из возможных конечных стадий эволюции звезды массой больше М3. В частности, чтобы массивная звезда стала белым карликом, потеря массы уже не
Свойства и периоды дифференциально вращающихся белых карликов(М = 2,26М©)
Расчеты проведены при 力=2. При других значениях ^ следует умножить Р на (2/д^)1/2. Величины даныв системе СГС. Столбцы, набранные курсивом, относятся к моделям в точке, где а_2 = 0, и в точкединамической колебательной неустойчивости соответственно.
Ostriker J.尸.，Tassoul J, L. Ap. J., 155, 987, 1969. С разрешения The University of Chicago Press. © 1969 by theUniversity of Chicago)
J
2,31(50)
3,40(50)
3,85(50)
5,39(50)
6,93(50)
8,47{50)
1,00(51)
1,12(51)
1,15 ⑸)
R,
2,51 ⑻
4,33 ⑻
5,09(8)
7,70(8)
1,04 ⑼
1,33 ⑼
1,64 ⑼
1,90 ⑼
1,97(9)
R网
2,()2
2,12
2,20
2,46
2,力
3,10
3,45
VI
3,78
5,10(8)
4,35 ⑻
4,19(8)
3,87(8)
3,68(8)
3,52(8)
3,37 ⑻
3,25 ⑻
3,21(8)
6,23
5,21
4,91
4,21
3,81
3,58
3,42
3,32.
3,29
Pc
2,7M9)
4,26 ⑻
2,45 ⑻
6,17(7)
2,39 ⑺
1,14(7)
6,12(6)
4,08 ⑹
3,68 ⑹
и 丁
4,61(51)
2,17 ⑸)
1,71(51)
9,13(50)
5,74(50)
3,92(50)
2,81(50)
2,25(50)
2,13(50)
к
8,83(50)
5,45(50)
4,80(50)
3,62(50)
3,05(50)
2,66(50)
2,37(50)
2,18(50)
2,14(50)
陷1
7,27(51)
3,95(51)
3,30(51)
2/0(51)
1,53(51)
1,20(51)
9,71(50)
8,45(50)
8/5(50)
Р-2
6,56
oO
4,69(1)
2,05(1)
1,87(1)
1,89(1)
1,96(1)
1,93(1)
厶77(/)
Pl
4,29(-1)
/优
1,42
2,87
4,79
1仍⑴
1,50 ⑴
/,77(/)
6,37(-1)
2,09
4,09
6,51
1,27(1)
1,55 ⑴
1,63(1)
匕
3,81( —1)
9,25(-/)
1,20
2,27
3,53
6,71
8,17
8,60
P。
8,89( —1)
2〃
2,70
4,96
7,34
1：05 ⑴
1,38(1)
1,65 ⑴
1,73(1)
Р/
3,97(-1)
9,46(一 /)
1,21
2,20
3,23
5,52
6,45
6,72
Pr
1"
2,35
2,86
4,69
6,78
1,23(1)
1,49(1)
/,57(/)
обязательна. Тем не менее, поскольку ожидаемый диапазон экваториальных скоростей вращения составляет 103 ——104 км/с, а ядра линий в спектрах многих наблюдаемых белых карликов относительно узки, возможно, что быстро вращающийся массивный белый карлик — это исключительное явление природы. Кандидатами можно считать белые карлики класса DC, у которых спектры лишены линий. Чтобы проверить это предположение, Милтон рассчитал спектры излучения моделей богатых водородом дифференциально вращающихся белых карликов. Один важный вывод из этой работы состоит в том, что можно построить модели, белых карликов, у которых нет заметных линий. Однако, поскольку показатели цвета U — Р многих моделей со спектрами без линий значительно более отрицательны, чем у любых известных белых карликов класса DC, маловероятно, что с помощью этих моделей можно объяснить весь этот класс в целом .
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
Главный вывод, к которому мы пришли в предыдущем разделе, состоит в том, что массы полностью вырожденных белых карликов в состоянии быстрого дифференциального вращения могут намного превосходить предельную массу Чандрасекара. Поскольку этот результат получен при помощи идеализированных конфигураций с произвольно заданными распределениями момента количества движения, теперь мы должны заняться трудной проблемой эволюции этих моделей на стадии постепенного охлаждения. Иными словами, представляют ли быстро вращающиеся массивные модели белых карликов такую же «конечную» стадию звездной эволюции, как и невращающиеся белые карлики, или же в ходе охлаждения их механические и термические свойства существенно меняются? Поскольку поле скоростей эволюционирующего белого карлика может зависеть от очень многих факторов, не удивительно, что в литературе описывались самые различные картины эволюции дифференциально вращающихся белых карликов. Один лишь Дюризен попытался рассмотреть проблему количественно. В его работе подробно изучены изменения, вызываемые вязким трением в моделях Острайкера ——Боденхеймера. Для ясности мы сначала рассмотрим результаты, связанные с вязким трением, а затем сделаем несколько замечаний о возможном влиянии меридиональных течений, кристаллизации и магнитных полей на конечную эволюцию массивных белых карликов в состоянии дифференциального вращения.
Как легко видеть из табл. 13.2, количество кинетической энергии, накопленной за счет дифференциального вращения, сравнимо с полной гравитационной энергией массивного белого карлика. Значит, поскольку вязкое трение непрерывно генерирует тепловую энергию из дифференциального
вращения, а характерное время вязкой эволюции этих объектов оценивается в 109 лет и выше, то в течение всей стадии охлаждения полная светимость моделей Острайкера ——Боденхеймера будет зависеть и от остаточной тепловой энергии невырожденных ионов и от скорости вязкой диссипации кинетической энергии. Другими словами, если в природе существуют быстро вращающиеся белые карлики, то вследствие вязкой диссипации они должны быть горячими и яркими. Это доказал Дюризен. С этой целью строились эволюционные последовательности моделей дифференциально вращающихся холодных белых карликов и детально рассчитывался перенос момента количества движения за счет непостоянной изотропной вязкости. Принципиальное физическое предположение заключается в том, что момент количества движения на единицу массы считается постоянным на цилиндрах, коаксиальных оси вращения, т.е.丿=丿(з, Г) при некотором заданном распределении у = /@, /J = /。(齿)в начальный момент г = %. В расчетах используется коэффициент вязкости вырожденных электронов в углерод-кислородной смеси с релятивистскими поправками. Таким образом, расчет изменения во времени момента количества движения на единицу массы из-за одного только вязкого трения дает эволюционную последовательность с постоянными значениями М и J. «Начальные» модели при Г = % — это модели Острайкера и Боденхеймера, а функция %(&) та же, что и у твердотельно вращающихся политроп с показателем 勿=0 или % [см. разд. 10.4, уравнение (44)].
Если опустить подробности, то главный физический вывод из вычислений Дюризена состоит в том, что., вопреки распространенному мнению, вязкое трение в моделях быстро вращающихся белых карликов во многих интересных случаях не приводит к глобальному твердотельному вращению. Поскольку твердотельно вращающиеся модели существуют лишь при J W J〃(M) н М V М“ = 1,5М@, в зависимости от того, каковы значения М и J вдоль данной последовательности по сравнению с М и J, для которых существуют твердотельно вращающиеся модели, поведение бывает качественно различным (рис. 13.6). Согласно Дюризену, на плоскости (М —J) нужно различать три области:
М < Мм и J < J“(M). Дифференциально вращающаяся модель, лежащая в этой маленькой области, в ходе эволюции превращается в модель со строго твердотельным вращением при тех же значениях М и J.
M<MuhJ> J“(M). Масса сжимающегося ядра растет, а его вращение приближается к твердотельному в результате передачи момента количества движения внешним элементам массы. Конечная модель состоит из медленно сжимающегося твердотельно вращающегося ядра (О ос const), содержащего ббльшую часть массы, доля массы которого растет, из расширяющейся сплюснутой кеплеровой внешней оболочки (О ос ^-3/2), содержа- тей несколько процентов массы, и из переходной области (О ос 齿一$, ° V s V %) между ними.
М > М“. Поведение этих эволюционных последовательностей плавно меняется с ростом М. Во всех случаях масса сжимающегося ядра растет за счет переноса момента количества движения к расширяющейся оболочке,
которая становится кеплеровой. При Mw < М < 1,9М® эволюционные последовательности в рассматриваемом промежутке времени похожи на последовательности из области 2. При 1,9М© < М < ЗМ@ со временем оболочка становится толще. Наконец, при М > ЗМ® вращение какой бы то ни было заметной части центральных областей, по-видимому, не приближается к твердотельному. (Однако, как показано в разд. 13.2, все модели с 2,5М@ < М обладают вековой неустойчивостью по отношению к неосесимметричным возмущениям!)
Итак, когда атомный номер Z & 10 и 1,5М@ < М®, характерное время вязкой эволюции моделей Острайкера ——Боденхеймера порядка 109 лет или больше. Кроме того, уже одной вязкой диссипации хватает для поддержания светимости этих массивных моделей на уровне выше 10-1Lq и сохранения достаточно высоких внутренних температур, которые препятствуют кристаллизации в течение этого времени (если только конфигурации не состоят из вещества с очень большим атомным номером, например из железа). Поскольку во всех рассматриваемых эволюционных последовательностях плотность в центре растет со временем, большие характерные времена при некоторых значениях М и J дают нам основания полагать, что эти конфигурации могут в конце концов за 1010 лет достичь плотностей загорания углерода. Согласно Дюризену, такие модели могут быть предшественниками сверхновых I типа.
Обратимся теперь к возможному влиянию меридиональных течений на эволюцию массивных белых карликов. Как указывалось в разд. 8.1, меридиональная циркуляция возникает в лучистых областях невырожденных звезд, потому что условие механического равновесия несовместимо с условием теплового лучистого равновесия. Иными словами, скорость выделения энергии penuc постоянна на уровенных поверхностях химически однородной звезды, тогда как энергия, уносимая излучением или теплопроводностью div亥на этих поверхностях не постоянна. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии, необходимы меридиональные движения. Как указали Киппенхан и Мёлленхофф, циркуляционные течения должны иметь место и в вырожденных звездах, поскольку одна теплопроводность не может переносить всю энергию, выделяемую за счет остывания и трения, т.е. оба источника тепловой энергии обязательно должны порождать в дифференциально вращающихся массивных белых карликах меридиональные течения. Между прочим, циркуляция, вызываемая остыванием, весьма похожа на циркуляцию в лучистых зонах невырожденных звезд, так как тепловая энергия, выделяемая при остывании, постоянна на уровенных поверхностях. Если тепловая энергия выделяется за счет трения, скажем, ре, то все обстоит совсем иначе, поскольку ни ре, ни div 亥не постоянны на уровенных поверхностях. Согласно Киппенхану и Мёлленхоффу, если светимость белых карликов обусловлена остыванием почти изотермичных вырожденных внутренних слоев, то характерное время такой циркуляции может быть короче характерного времени остывания. Пользуясь аналогичным рассмотрением порядков величин, они показали также, что циркуляция, необходимая для выноса тепла, выделенного за счет вязкой диссипации, может быть важнее
для эволюции момента количества движения, чем перенос импульса трением. Однако все эти оценки .основаны на формулах, выведенных для медленно вращающихся слабо возмущенных конфигураций, поэтому истинную роль циркуляционных течений в массивных белых карликах на стадии постепенного остывания можно понять только после дополнительных исследований.
В заключение рассмотрим возможное влияние кристаллизации на внутреннее строение моделей Острайкера ——Боденхеймера. Как известно, из-за потерь тепловой энергии почти изотермичные внутренние слои невращаю- щейся модели белого карлика должны остывать, в результате чего от центра к внешним областям будет образовываться кристаллическая решетка. Согласно Шварцу и Африку, несмотря на возможное в некоторых случаях увеличение характерного времени остывания дифференциально вращающихся белых карликов из-за вязкой диссипации кинетической энергии вращения, диссипация не может предотвратить такое конечное состояние. Вкратце, нарисованная ими картина конечных точек эволюции моделей Острайкера ——Боденхеймера выглядит так. Любая часть вырожденной звезды, в которой образовалась кристаллическая решетка, должна вращаться твердотельно, потому что в противном случае решетка немедленно разрушалась бы из-за диссипации дифференциальных движений. Отсюда следует, что звезда охлаждается до тех пор, пока температура в центре не достигает точки плавления Tm(<xpi/3Z5/3)t причем момент количества движения перераспределяется во внутренних слоях так, чтобы ядро могло вращаться твердотельно. Затем от центра наружу идет отвердевание звезды, и внутренняя температура почти изотермичной звезды равна локальной температуре плавления, соответствующей плотности на границе твердого ядра. В конце концов масса этого твердого ядра вырастает настолько, что оно уже не сможет вращаться твердотельно; должен последовать катастрофический гравитационный коллапс, который, быть может, приведет к взрыву сверхновой. Однако, по мнению Кестера, кристаллизация может приводить либо к критической плотности в центре и взрывам сверхновой, либо к потере массы с последующим образованием устойчивых твердотельно вращающихся белых карликов. В связи с этим Острайкер указал на ewe одну интересную возможность. Если эти дифференциально вращающиеся белые карлики существуют и если у некоторых из них есть сильные магнитные поля, то можно полагать, что они теряют энергию вращения посредством магнитного дипольного излучения, т.е. так же как по общепринятому мнению теряют энергию вращающиеся нейтронные звезды. Этот процесс также привел бы к коллапсу, причем в результате энергия выделилась бы в форме космических лучей, а не в форме теплового излуче- «ня.
библиографические замечания
Уравнения (1) — (6) подробно выведены и разобраны, например, в [7, 8] к Гл* 3. Особого внимания заслуживают следующие обзоры:
Mestel 丄.The Theory of White Dwarfs, in Stellar Structure, eds. Aller L. H., McLaughlin D. В.» Chicago: The Univ, of Chicago Press, 1965, pp. 297 — 325. [Имеется перевод: Внутреннее строение звезд./Ред. Л. Ал лер, Д. Мак-Лафлин. — М.: Мир, 1970, гл. 4.]
Ostriker J.戶.Recent Developments in the Theory of Degenerate Dwarfs, in Ann. Rev. Astron. Astrophys., 9, pp. 353 — 366, Palo Alto, California: Annual Reviews. Inc. 1971. [Имеется перевод: Белые карлики. — М.: Мир, 1975, с. 236 — 254.]
Саакян Л С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. — М.: Наука, 1972.
В статье [2] ясХо и сжато описана роль вращения в белых карликах. Скорости вращения некоторых белых карликов рассматривались в [141, 142] к гл. 12; см. также ниже [40, 41].
Влияние однородного вращения на глобальное внутреннее строение моделей белых карликов впервые рассматривалось в работах
Chandrasekhar £ in Novae and White Dwarfs, ed. Shaler A. J., Colloque International d'Astrophysique, 3, Paris: Hermann et Cie, 1941, pp. 239 — 248.
Bardyopadhyay G. Bull. Calcutta Math. Soc.,44, 89 — 91, 1952.
S」曲 K・ Sci. Reports Tdhoku Univ. (I), 37, 307 — 319, 1953.
\rishan £, Kushwaha R S・ Publ. Astron. Soc. Japan, 15, 253 — 255, 1963.
Самые подробные модели принадлежат Джеймсу ([13] к гл. 10). Другие работы
Anand S：P・ S. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 54, 23 — 26, 1965.
Roxburgh /・ W, Zeit. f. Astrophys., 62, 134 — 142, 1965.
Monaghan J. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 132, 305 — 316, 1966.
Anand S. R S., Dubas О. К Astrophys. and Space Sci., 2, 520 — 528, 1968. Неравенство (7) вывел Ананд в [21] к гл. 10. Влияние обратного /3-распада рассматривается в статьях
Папоян В. В・,Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Сообщ. Бюраканской обсерватории, 39, 101 — 112, 1968; там же 40, 86 — 97, 1969.
Папоян В. В., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 7, 95 —- 105, 1971. См. также [19] к гл. 5. Роль магнитных полей рассматривалась в работах
Ostriker J. Р., Hartwick 尸.D. A. Astrophys. J,, 153, 797 — 806, 1968.
Raadu M. A, Astrophys. and Space Sci., 14, 464 — 472, 1971.
См., однако,
O'Connel R 尸.Astrophys, J., 195, 751 — 752, 1975.
Твердотельно вращающиеся модели с учетом эффектов общей теории относительности и обратного怎распада построены следующими авторами:
Hartle J. В., Thorne К, S. Astrophys. J., 153, 807 — 834, 1968.
Папоян В. В・,Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 5, 415 — 424, 1969.
Арутюнян Г. Г.» Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 7, 467 — 479, 1971.
Можно указать на следующие исследования устойчивости твердотельно вращающихся белых карликов:
Roxburgh /・ Ж, Durney В, R, Zeit. f. Astrophys., 64, 504 — 511, 1966.
Durney В. R, Faulkner J., Gribbin J. R, Roxburgh I, W, Nature, 219, 20 — 21, 1968.
Ostriker Z Р., Tassoul J. L. Nature, 219, 577 — 579, 1091, 1968.
Gribbin J. R. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 144, 549 — 552, 1969.
Имшенник В. С., Сеидов 3. Ф. Астрофизика, 6, 301 — 307, 1970.
Вартанян Ю. Л., Овсепян А. В. Астрофизика, 6, 601 — 613, 1970.
Папоян В. В., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 7, 643 — 649, 1971.
Арутюнян Г. Г., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрой, ж., 49, 1216 — 1220, 1972.
Вартанян Ю. Л. Астрофизика, 8, 413 — 418, 1972.
Вартаняй Q. Л., Овсепян А. В., Аджян Г. С. Астрон. ж., 50, 989 — 995, 1973.
Shapiro S. £., Teukolsky S. A. Astrophys. J., 203, 697 — 700, 1976.
См. также [35]. Статический метод применили также Бисноватый-Коган и Блинников ([58] к гл. 6). На отсутствие критической массы у быстро вращающихся белых карликов впервые указывалось в работе
Hoyle 尸.Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 107, 231 — 236, 1947.
См. также [9]. Подробные модели холодных белых карликов в дифференциальном вращении можно найти в работах
Ostriker 丿.Р., Bodenheimer Р., Lynden-Bell D. Phys. Rev. Letters, 17, 816—818, 1966.
Ostriker J.尸.，Bodenheimer R Astrophys. J., 151, 1089 — 1098, 1968.
Smart N. C, Monaghan J.丄 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 151, 427 — 435, 1971.
См. также [36] к гл. 5. Колебания и устойчивость этих моделей впервые рассматривались в работе
Ostriker J,尸.，Tassoul J. L. Astrophys. J., 155, 987 — 997, 1969.
В этой работе впервые установлены приближенные пределы устойчивости т』0,14 и 0,26; более тонкие вычисления имеются в работе
Durisen R, Я. Astrophys. J., 199, 179 — 183, 1975.
См., однако, [36] к гл. 10. Работы по смежным вопросам:
Gribbin J. R. Astrophys. Letters, 4, 77 — 79, 1969.
Баско М. М., Имшенник В. С. Астрофизика, 8, 387 — 391, 1972.
Wiita Р. Z, Press W. Я. Astrophys. J., 208, 525 — 533, 1976.
Влияние быстрого вращения на спектры белых карликов рассматривается в статьях
Wickramasinghe D. Т., Strittmatter Р. 4 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 147, 123 — 131, 1970.
Milton R. L. Astrophys. J., 189, 543 — 554, 1974.
Аналитические приближения для некоторых из рассматриваемых в этом разделе соотношений масса ——радиус можно найти в статье
Nauenberg М Astrophys. J., 175, 417 — 430, 1972.
Различные факторы, влияющие на эволюцию моделей Острайкера ——Бо- денхеймера, рассматривались в работах
Schwartz R., Africk S. Astrophys. Letters, 5, 141 — 144; 1970.
44・ Durisen R. H. Astrophys. J., 183, 205 — 214, 215 — 231, 1973; 195, 483 — 492, 1975.
Kippenhahn R, Mollenhoff C. Astrophys. and Space Sci., 31, 117 —» 141, 1974.
Koester D. Astron, and Astrophys., 35, 77 — 80, 1974.
Van Horn H. M in Physics of Dense Matter, ed. Hansen C. J., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1974, pp. 251 — 264.
См. также [2]. Другие работы
Вартанян Ю. Л., Овсепян А. В. Астрофизика, 7, 107 — 119, 1971.
Овсепян А. В. Астрофизика, 10, 99 — 107, 1974.
Работы по смежным вопросам
Finzi Л., Wolf R. A. Astrophys. J., 150, 115 — 129, 1967.
Hansen С. J., Wheeler J. С. Astrophys. and S命ce Sci., 3, 464 — 474, 1969.
2. Brecher К., Morrison R Astrophys. J. Letters, 180, U07 — LI 12, 1973.
3. Lamb D. Q., Van Horn H. M. Astrophys. J., 183, 959 — 966, 1973.
Durisen R. H. Astron, and Astrophys., 44, 473 — 476, 1975.
Влияние вращения на гравитационное разделение в белых карликах кратко рассматривается в работах
Strittmatter Р. Л., Wickramasinghe D. Г. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 152, 47 — 73, 1971.
Baglin A.加 European Workshop on White Dwarfs, Kiel, G.F.R., October 1974.
14
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
ВВЕДЕНИЕ
Как было показано в разд. 6.4, частоты свободных колебаний сферической звезды относительно состояния гидростатического равновесия можно разбить на несколько классов: (радиальные и нерадиальные) р-моды, (нерадиальные) /-моды и (нерадиальные) g-моды. В отсутствие диссипативного механизма неустойчивыми могут быть следующие моды сферической звезды: самая низкая радиальная мода, которая становится динамически неустойчивой, если показатель адиабаты меньше % в обширной области звезды, и g-моды, которые становятся конвективно неустойчивыми, если в какой-либо области звезды нарушается критерий устойчивости Шварцшильда (т.е. если локальный градиент температуры круче соответствующего адиабатического градиента).
В случае вращающейся звезды положение совершенно иное, поскольку картина неустойчивости может измениться в двух отношениях. Во-первых, из-за вращения изменяется критерий динамической неустойчивости самой низкой «радиальной» моды, оно влияет и на скорости роста конвективно неустойчивых движений. Во-вторых, при наличии вращения могут развиться другие неустойчивости за счет /-мод, которые, как говорилось, всегда устойчивы в предельном случае отсутствия вращения (см. разд. 6.4). Эти неустойчивости уже рассматривались в связи с быстро вращающимися сильно деформированными политропами и с моделями белых карликов (см. разд. 10.5 и 13.2); они соответствуют неосесимметричным возмущениям и возникают только в конфигурациях, которые сильно отклоняются от сферической симметрии. Главная цель этой главы ——описать влияние вращения на частоты колебаний, принадлежащие самым низким р- и /-модам, а также на частоты, соответствующие g-модам.
В разд. 14.2 рассмотрена динамическая устойчивость медленно вращающихся, слабо деформированных звезд по отношению к псевдорадиальным движениям; последовательно рассматриваются нерелятивистские и релятивистские звезды. В разд. 14.3 исследуются резонансы отдельных мод iq вращающейся звезде в качестве возможного объяснения эффекта биений, который наблюдается у некоторых переменных типа 6 Цефея. Следующий раздел посвящен влиянию вращения на пульсационную устойчивость звезд верхней части главной последовательности относительно осесимметричных возмущений. Глава заканчивается кратким разбором конвективно неустой-
чивых движений во вращающихся телах. Изменения, которые вносятся магнитными полями и приливными возмущениями в собственные частоты вращающейся звезды, рассматриваются в следующих двух главах.
ПСЕВДОРАДИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Псевдорадиальные изоэнтропические пульсации твердотельно вращающейся слабо деформированной звезды впервые в линейном приближении рассмотрел Леду в 1945 г. Формула Леду для квадрата характеристической частоты колебаний в медленно вращающейся нерелятивистской конфигурации выглядит так:
4 = (3) - 4)1 %1〃 + 弘(5 — 3))口2, (1) где 7 — (постоянное) отношение удельных теплоемкостей, в котором можно учесть эффекты лучистого давления, частичной ионизации и вырождения (см. разд. 3.4). Как обычно, 0 — (постоянная) угловая скорость, W — потенциальная гравитационная энергия, а / — момент инерции относительно центра масс. (Отметим, что в формуле (1) как 忆 так и I относятся к вращающейся конфигурации, и потому в них неявно входят члены порядка □2.) В силу формулы (1) критическое значение 7С, ниже которого наступает динамическая неустойчивость, оказывается меньше % ——критического значения для сферической звезды — и равно
7c(rot) = % - %冰"1%1. (2)
Как показал Лебовиц, стабилизирующее влияние медленного вращательного движения проявляется не только при твердотельном, но при любом законе вращения ——заведомо, если)постоянно, и с большой вероятностью во многих случаях, когда 7 переменно .
Теперь естественно возникает вопрос: сохраняется ли стабилизирующее влияние вращения на самую низкую р-моду в случае быстро вращающихся сильно деформированных конфигураций? До сих пор этой проблеме уделялось сравнительно мало внимания, поскольку при быстром вращении две самые низкие осесимметричные моды, которые в предельном случае гидростатического равновесия независимы, оказываются взаимосвязанными; речь идет о фундаментальной радиальной моде % н о самой низкой осесимметричной Лмоде az [см. разд» 6.7, уравнения (120) — (123)]. Судя по всему, есть серьезные основания полагать, что общее стабилизирующее воздействие вращения (при постоянном 7) будет иметь место и в случае больших отклонений от сферичности. На рис. 14.1 показана зависимость критического показателя адиабаты ус от отношения т = К/\ W\ кинетической
Рис. 14.1. Критическое значение у динамической неустойчивости в зависимости от т = К/1 W\ для четырех последовательностей: сплошная линия — л = 0, л^ = О, крестики — 〃 = 1,5, 〃' = 1,5, штрихпунктирная линия — л = 1,5, п1 = 0, штриховая линия — 〃 = 3, 〃' = 0. (Ostriker J. Р., Bodenheimer Р. Ар. J., 180, 171, 1973. С разрешения The University of Chicago Press. © 1973 by the American Astronomical Society.)
энергии вращения к потенциальной гравитационной энергии вдоль различных последовательностей дифференциально вращающихся политроп. (Остальные символы определены в разд. 10.4.) Последовательность (л, 〃')н (0, 0) впервые рассматривалась Чандрасекаром и Лебовицбм; она состоит из сжимаемых сфероидов Маклорена и дает точный предел динамической устойчивости относительно осесимметричных пульсаций. Разумеется, эти конфигурации нетипичны, поскольку принятое распределение массы в них весьма нереалистично. Остальные последовательности получены Ост- райкером и Боденхеймером на основе вириальных уравнений второго порядка и приближенного выражения для лагранжева смещения (см. разд. 6.7). Мы видим, что быстрое вращение влияет на стабилизацию самой низкой р-моды, правда, степень этого влияния зависит от л и от т. Для конфигураций около точки бифуркации (т * 0,14) критическое значение ус уменьшается от % до 1,23 при л = 1,5 и до 1,28 при 〃 = 3・
Этот результат особенно важен тогда, когда критический показатель адиабаты ус отличается от своего «классического значения» % из-за эффектов, не связанных с вращением. В самом деле, хорошо известно, что эффекты общей теории относительности оказывают дестабилизирующее воздействие на радиальные пульсации сферического тела и что в первом приближении
7c(GR) = % + Z Rs/R, (3)
где Z — некоторая (положительная) постоянная, зависящая от модели, Rs = 2GM/c? — радиус Шварцшильда, a R — радиус сферического тела.
Этот результат, который независимо получен в работах Каплана, Чандрасекара и Фаулера, является прямым следствием существования критического радиуса R$・ Если же присутствуют эффекты тв^дотельного вращения и общей теории относительности, причем и те и другие рассматриваются как эффекты первого порядка, то критическое значение %，ниже которого возникает динамическая неустойчивость^ в первом приближении равно
7c(rot + GR) = % — ^I/\ W\ + ZR.R. (4)
Этот результат впервые получили Фаулер, а также Дэрни и Роксбург в постньютоновском приближении общей теории относительности. В даль* нейших более точных исследованиях противоположность эффектов вращения и обшей теории относительности в значительной степени подтвердилась, по крайней мере для бесконечно малых возмущений.
Для рассмотренных выше движений с малой амплитудой первопричину стабилизирующего влияния вращения на самую низкую псевдорадиальную моду можно усмотреть в сохранении момента количества движения каждого элемента жидкости, выведенного из положения равновесия. Однако вовсе не очевидно, что этот физический аргумент останется справедлюым и тогда, когда на медленно вращающуюся конфигурацию накладываются осесимметричные возмущения конечной амплитуды. Действительно, устойчивость к движениям с конечной амплитудой решающим образом зависит от показателя адиабаты 7, от параметра вращения т, от отношения Rs/R и от количества энергии, запасенной в пульсациях. Более того, вблизи критического значения)门 предсказанного из линейного анализа устойчивости [см. формулу (4)], влияние последнего фактора становится преобладающим. Для простоты рассмотрим подробнее случай нерелятивистских звезд, а затем перейдем к релятивистским звездам в постньютоновском приближении общей теории относительности.
Ньютоновский случай
В линейном приближении в сжимаемом сфероиде Маклорена допускаются такие осесимметричные движения, для которых лагранжево смещение {(х, О линейно зависит от эйлеровых переменных х [см. разд. 6.7, уравнения (109), (120) и (121)]. Легко убедиться, что в этой идеализированной конфигурации возможен более широкий класс движений с конечной амплитудой, которые в предельном случае бесконечно малых возмущений сводятся к двум (нетривиальным) зональным модам, изученным в разд. 6.7. С этой целью рассмотрим сфероид во вращающейся системе отсчета и введем лагранжевы переменные X (см. разд. 3.2). В начальный момент, скажем Г = 0, сфероид Маклорена вращается с постоянной угловой скоростью Qo вокруг оси Х3; в лагранжевом представлении такое движение имеет вид
%1 = Xj cos00/ -占 sinQ0/t (5) 工2 = X2 cos00Z + X、sinQ0Z, (6) %3 = Xj. ⑺
Далее, если полностью пренебречь всеми диссипативными эффектами и электромагнитными силами, то можно показать» что простейшие движения с конечной амплитудой ——это
X]=贝/貝占 cos。- A"? sin。)， (8) х2 = v(t)(X2 cos。+ X{ sin</>), (9) %з = w(t)X3t (10)
где г
Ф(Г) = j 0")力， (Н)
о
а 0(0 — мгновенная угловая скорость однородного сфероида. Функции у(0 и w(0 удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно получить, подставляя уравнения (8) — (11) в основные уравнения гидродинамики. (Напомним, что при / = 0 х = X и О = Оо, так что в этот момент у » w ■ 1.) Формулы (8) — (11) дают точное гомологическое решение, которое в инерциальной системе отсчета представляет собой движения расширения и сжатия, сопровождаемые такими изменениями скорости вращения, что полный момент количества движения конфигурации сохраняется. В частности, если ограничиться медленно вращающимся сфероидом, то можно еще упростить это решение, положив
Wf) ■ w(r). (12)
Формулы (8) — (12) точно описывают простейшие псевдорадиальные пульсации однородного сфероида, частота которых в предельном случае бесконечно малых возмущений равна частоте Леду ⑴.
Как и в разд. 6.7, воспользуемся теперь теоремой вириала и будем рас- сматридать формулы (8) — (12) как «пробное решение» для простейших осесимметричных движений медленно вращающейся центрально конденсированной звезды. Поэтому и в линейном, и в нелинейном режимах большему отклонению угловой скорости и распределения масс от однородности будет соответствовать ббльшая ошибка в описании движения. В общем случае скалярная теорема вириала имеет вид
霖jwm= j票普制+ %+3口叫 (13)
где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам; имеем также
W = -%Gj j lx 一 MLdmdW(14)
(см. разд. 3.7). Предполагается, что в момент Г = 0 тело находится в состоянии стационарного вращения, поэтому из уравнений (5) — (7) и (13) вытекает условие
j 凭(用 + 珞)dm + % + 3j (po/Po)dm = 0,(15)
где индекс «0» соответствует начальному значению при / = 0. В соответствии с законом сохранения массы, элемент массы dm можно записать двояко: dm = podX = pdx, отсюда
pJ = Р0»(16)
где J — якобиан преобразования, которое связывает зависимые переменные х с независимыми X [ср. с разд. 3.3, уравнение (22)]. Поскольку мы ограничиваемся одними изоэнтропическими движениями, имеем также
Р = R)S/Po 儿(17)
где показатель адиабаты 7 берется постоянным по всей массе. Наконец, мы должны наложить условие
j 口併 + g)dm = j Oo(xf + 珞)dm,(18)
в котором выражается закон сохранения момента количества движения.
Оценим теперь различные члены, входящие в уравнение (13). Прежде всего, подставляя (8) — (12), можно написать
%(解/力2)j x/%dm = [(dw/dt)2 + wd2w/ dt2]IQ9(19)
где IQ ——момент инерции относительно центра масс равновесной конфигурации при / = 0. Аналогично, поскольку из закона сохранения момента количества движения следует условие 0 = D0/v2, получаем далее
j (dxk/dt)(dxk/dt)dm = (dw/dt)2IQ + 恥/M,(20)
где К^ — кинетическая энергия вращения при / = 0. Затем, пользуясь формулой (14) и подставляя формулы (8) — (12) вместо координат без штрихов и со штрихами, получим 1х — х" = wIX - X，I, где х = X и х，= Xх при / = 0; отсюда
W = %/w.(21)
Наконец, если подставить формулы (8)——(12) в (16) и (17), то можно написать
3j (p/p)dm = 3标-37j(p“pjdm = w(3 ~ 3^)(l %| - 2^0).(22)
При этом мы воспользовались условием равновесия (15), чтобы исключить интеграл от давления.
Подставляя формулы (19) — (22) в скалярную теорему вириала (13), сразу получаем искомое уравнение для функции w(f):
d2w/dt2 = w-2(m - з7 _ i)| W^/IQ + w-3q -儲-з7)2^о/7о)(23)
где Iq, Kq и Wq относятся к вращающейся конфигурации в момент Г = 0. Значит, оба коэффициента в правой части уравнения (23) содержат члены, пропорциональные (для твердотельно вращающейся звезды) или некоторому среднеквадратичному значению угловой скорости 〈0^〉 (Для дифференциально вращающейся звезды). В последнем случае можно ожидать большей погрешности в описании движения, но качественным особенностям результатов следует доверять. Теперь нужно решить уравнение (23) с подходящими начальными условиями, например w = 1 и dw/dt = w0 при Г = 0. Индекс «0» в величинах %, %, % и 0。теперь можно отбросить — это не вызовет недоразумений.
Прежде чем заняться уравнением (23), рассмотрим случай твердотельно вращающейся звезды, подверженной бесконечно малым возмущениям. Очевидно, можно заменить тогда уравнение (23) его разложением в ряд Тейлора в окрестности значения w = 1, которое определяет положение равновесия. Полагая
w«) = 1 + £«)(24)
и пренебрегая второй и более высокими степенями £, получаем
d2e/dt2 + о爺=0,(25)
где о^ задается уравнением (1), поскольку 2K/I почти в точности равно 2Q2/3. уравнение (25) немедленно решается:
£«) = % sin%/,(26)
где £0 = w0/1 <тл I (при а^ 工 0). Из этого решения сразу следует, что критическое значение 7С, даваемое выражением (2), действительно отделяет устойчивые движения (璃 > 0) от неустойчивых (а^ < 0) в линейном приближении. В этом суть содержания классического результата Леду.
Обратимся теперь к псевдорадиальным движениям конечной амплитуды, которые описываются уравнениями (8) — (12) и (23). Последнее уравнение удобно переписать в безразмерном виде:
dZw/dt?=尸(w; у, т),(27)
где
尸(W；), 7)= w~2(w4 - Зу _ 1)+ 2w-3(i -炉—3))7,(28)
причем переменная Г задается здесь в единицах (I W\/I)~i/2. Таким образом, характерное время этих псевдорадиальных движений имеет порядок величины (Gp)-i/2, где р — средняя плотность конфигурации в момент / = 0. Первый интеграл уравнения (27) можно получить сразу:
^(dw/dt)2 + Ф(”； 7, т) = К。，(29)
где Е° ——постоянная. Потенциал Ф, связанный с движением, имеет вид 小(w； 7，т) = (т - w)/w? + %(1 - 2т)/[(7 - 1川3)-3] прИ)工 1, (30) ФЗ； 1, т) = (7 - w)/w“ - (1 - 27)lnw При 7=1.(31)
В соответствии с уравнением (29), константы 而° и £0 не являются независимыми, а связаны соотношением
(^0)2= 2[局一Ф(1；7,т)].(32)
Вторая квадратура дает в конечном счете неявное решение уравнения (27): 1
t = j [2№о - @)】—％dw;(33)
для периодических движений это многозначная функция.
Уравнение (29) просто означает, что в нашей модели осесимметричных пульсаций выполняется закон сохранения энергии. Следовательно, псевдо- радиальные движения, описываемые формулами (8)——(12), либо колебательные, либо монотонно растут со временем. (Для колебательных движений с растущей или затухающей амплитудой в уравнение (27) требовалось бы ввести член, пропорциональный dw/dt!) Поэтому, для каждого устойчивого (т.е. периодического) решения ускорение d2w/dt2 должно быть отрицательным при расширении (w > 1) и положительным при сжатии (w'< < 1). Условия, при которых выполняется этот критерий устойчивости, легко вывести, изобразив при данном параметре вращения 7 нули функции 尸(w; 7, т) на плоскости (w, 7)*. Этот способ (принадлежащий Пуанкаре) иллюстрируется на рис. 14.2 и 14.3. Физическая картина станет еще яснее, если изобразить зависимость потенциала Ф(т;), 7) от w при данных значениях 7 и т (рис. 14.4 и 14.5).
На рис. 14.2 легко видеть, что в отсутствие вращения устойчивые движения существуют только при)> %, а неустойчивые движения ——только при) V %. В этом случае положение равновесия w = 1 соответствует абсолютному минимуму (для устойчивых движений) или максимуму (для неустойчивых движений) потенциала Ф. При)= % смещение w(r) линейно зависит от времени, поскольку ускорение тождественно равно нулю; поэто-
См., например, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.
Рис. 14.2. Нули функции 尸(w; у, 0) в плоскости (w, У)для неврашающейся газовой сферы. В заштрихованных областях ускорение* отрицательно, в незаштрихованных — положительно. По Леду (1952). (Tassoul J. L. Ар. J., 160, 1031, 1970. С разрешения The University of Chicago Press. © 1970 by the University of Chicago.)
Рис. 14.3. Нули функции 尸(w; у, т) В ПЛОСКОСТИ(W, 7)для твердотельно вращающегося сфероида с г = 0,022874. Штриховая линия у = 4/3 служит асимптотой для вертикальной ветви кривой 尸(w; у, т) = 0. Заштрихованные и незаштрихованные области обозначают то же, что и на рис. 14.2 1,3174). (Tassoul Z £. Ар. J., 160, 1031, С разрешения The University of Chicago Press.
© 1970 by the University of Chicago.)
33Рис. 14.4. Потенциал Ф(и»; у, т) твердотельно вращающегося сфероида с т = 0,022874. Кривые а — г соответствуют 7 = 4/3, 1,3188, ус и 1,3160. Начато отсчета на вертикальной оси нронз- вольяо. (Tassoul J. £. Ар. 160, 1031, 1970. С разрешения The University of Chicago Press. © 1970 by the University of Chicago.)
3
3
Pmc. 14.5. Продолжение четырех кри- Bbix, изображенных на рис. 14.4, для очень больших значений Начало от- на вертикальной оси произвольно. Значения для w < 1 не приводятся (см.
. Отметим, что при w N 15 по- тнциал перестает зависеть от смет% «ня. (Tassoul J.L. Ар. J., 160, 1031, С разрешения The University of 6icago Press. © 1970 by the University Qf Chicago.)
му, если только начальная скорость В° не равна тождественно нулю, пограничное состояние, соответствующее) = %, всегда неустойчиво. Этот результат принадлежит Леду.
Если учесть медленное вращение, то эти выводы существенно изменятся. В самом деле, на рис. 14.3 ясно видно, что нули функции 尸 лежат теперь на линии w = 1 и на кривой, асимптоти чески приближающейся к % = %. Их точка пересечения, разумеется, определяет критический показатель адиабаты 7с, полученный из линейного Анализа устойчивости [см. формулу (2)]. Таким образом, в общем случае мы должны различать три возможности:
7 》％. Все движения устойчивыt так как состояние равновесия w = 1 соответствует абсолютному минимуму потенциала (рис. 14.4, кривая а). Следовательно, независимо от знака и величины 而°, медленно вращающееся тело будет всегда колебаться относительно среднего положения w = 1.
ус < 7 < %. Система метастабильна, т.е. движения с растущей амплитудой возникают, как только энергия, запасенная в пульсациях, становится слишком большой. Другими словами, чтобы имели место колебательные движения, наибольшее значение w за цикл, скажем wM, должно оставаться меньше критической амплитуды, скажем wmax, которая зависит от значений)и 7 (рис. 14.3). Этот случай также иллюстрируется на рис. 14.4 (кривая б). Потенциал Ф имеет теперь два экстремума, т.е. при w = 1 и w = %”• Таким образом, если %,)и 7 таковы, что 吗^ становится в точности равным wmax, то вращающаяся система стремится к новому положению равновесия. Это (неустойчивое) пограничное состояние показано на рис. 14.6 и 14.7 штриховой линией; оно четко отделяет колебательные движения от движений с расширением.
3))《％• Конфигурация абсолютно неустойчива (рис. 14.4, кривые в и г). При)= % равновесное состояние w = 1 соответствует точке перегиба потенциала Ф. Поэтому любое начальное возмущение будет неизбежно расти со временем. При у < ус потенциал Ф имеет два экстремума, скажем при w = 叩皿山 и ПРИ w = 1. На первый взгляд ситуация кажется очень похожей на случай 2; однако при любой начальной скорости медленно вращаг ющееся тело будет теперь становиться неустойчивым, поскольку положение w = 1 является относительным максимумом потенциала Ф. (В случае 2 w = I ——относительный минимум!) Кроме того, из закона сохранения энергии следует, что в конечном счете все эти неустойчивости всегда связаны с движениями расширения.
Итак, хотя линейный анализ устойчивости предсказывает критическое значение ус, которое четко отделяет устойчивые относительно псевдоради- альных возмущений конфигурации от неустойчивых, в случае колебаний конечной амплитуды такого ясного разделения нет. Иными словами, в диапазоне %《)W % устойчивость зависит от значений 7 и т, а также от количества энергии, запасенной в псевдорадиальных движениях. Это, в сущности, и есть результат, проиллюстрированный на рис. 14.3 — 14.7. Следует, однако, иметь в виду, что примеры, приведенные на рис.
Рис. 14.6. Псевдорадиальное движение твердотельно вращающегося сфероида с г = 0,022874 в плоскости (w, dw/dt). Кривые соответствуют у = 1,3188 и различ- ным начальным скоростям (случай 2). Кривые помечены буквами для соответствия с кривыми на рис. 14.7. Числа по вертикальной оси следует умножать на 0,001； Штриховая линия отделяет области устойчивых движений от неустойчивых. График для устойчивых движений симметричен относительно линии dw/ dt = 0, для неу~ стой«ивых движений эта симметрия имеет физический смысл только при w С 1. Псевдорадиальное расширение становится равномерным при w А 10 (см. рис. 14.5). {Tassoul J. £. Ар. J., 160, 1031, 1970.. С разрешения The University of Chicago Press. © 1970 by the University of Chicago.)
Phc. 14.7. Псевдорадиальное смещение твердотельно вращающегося сфероида с 丁 = 0,022874 в зависимости от времени [в единицах (I W\ /7)-1/2]. Кривые соответствуют 7 = 1,3188 и различным начальным скоростям (случай 2); кривые помече- йы буквами в соответствии с рис. 14.6. При очень больших значениях t (не приведе- m на рисунке) зависимость неустойчивых смещений от времени становится линей- (см. рис. 14.5). Отметим, что пограничное состояние (штриховая линия) быстро ®^естает зависеть от времени. (Tassoul J. L. Ар. J., 160, 1031, 1970. С разрешения University of Chicago Press. © 1970 by the University of Chicago.)
14.4 — 14.7, соответствуют таким значениям показателя адиабаты 7 и параметра вращения т, при которых критическая амплитуда колебаний составляет 20% от среднего радиуса медленно вращающейся конфигурации (т.е. “max = 1，2). Если при данном т взять у, едва превышающее ус, то wmax будет лишь немного превосходить единицу (рис. 14.3), что позволило бы расти начальным возмущениям с физически малыми амплитудами (и это несмотря на то, что линейный анализ предсказывает устойчивые псев- дорадиальные движения в медленно вращающемся теле!). Иначе говоря, хотя формула (2) определяет предел устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям, этим пределом нельзя пользоваться в нелинейном режиме, даже если допускаются лишь начальные движения с малыми, но конечными амплитудами.
Постньютоновский случай
В приведенных выше рассуждениях отчетливо выявилось различие между устойчивостью относительно бесконечно малых возмущений (т.е. движений, малых в математическом смысле) и устойчивостью относительно возмущений с малыми, но конечными амплитудами (т.е. движений, которые малы в физическом смысле). Согласно формуле (4), противоположные эффекты вращения и общей теории относительности начинают играть первостепенную роль в конфигурациях, в которых показатель адиабаты 7 очень близок к %. Следовательно, поскольку в случае движений с конечной амплитудой стабил из ирующее воздействие вращения уменьшается, мы должны оценить, как эти движения влияют на предел устойчивости (4). Мы снова применим скалярную теорему вириала и формулы (8) — (12) и получим приближенное описание псевдорадиальных колебаний медленно вращающейся звезды в рамках общей теории относительности. Однако для простоты мы ограничимся случаем медленно вращающихся однородных тел, для которых радиус Шварцшильда Rs составляет лишь небольшую долю среднего радиуса R, т.е. конфигурациями, для которых можно пренебречь всеми членами порядка О2^/^ и оставить только величины порядка Rs/R.
На рис. 14.8 и 14.9 показано поведение невращающейся конфигурации. В отличие от ньютоновского случая для сферического тела, нули ускорения 扶w/d卩 лежат теперь на линии и» » 1 и кривой с вертикальной асимптотой 7 = 4/з (ср. с рис. 14.2); точка их пересечения соответствует критическому значению %，определенному выражением (3). Сразу же видно, что при )W)с все Движения определенно неустойчивы; однако неустойчивость может возникать и в диапазоне 7 > %，если амплитуды начальных возмущений становятся слишком большими. Здесь мы снова имеем дело со случаем метастабильности.
Рис. 14.10 — 14.15 иллюстрируют противоположное действие вращения и эффектов общей теории относительности. Если преобладают последние, то ясно, что 7С > % и, как при отсутствии вращения, ус отделяет устойчивые движения от метастабильных. Если же допустить достаточно большое
1,335 7,弘0
рис. 14.8. Нули ускорения на плоскости (w, 7) для невращающейся сферы в шэстньютоновском приближении (R$/R = 0,007, ус = 1,33967). В заштрихованных областях ускорение отрицательно, в незаштрихованных — положительно. Значения
% использованные на рис. 14.9, показаны в виде маленьких кружков на линии w = 1. Штриховая линия 7 = 4/3 служит асимптотой для вертикальной ветви криво#. (Dedic Я., Tassoul J.丄.Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Olicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
^c* 14.9. Потенциал невращающейся сферы в постньютоновском приближении = 0,007, % = 1,33967). Начало отсчета на вертикальной оси произвольно, соответствуют пяти частным значениям у, указанным на рис. 14.8 S — 7 = 1,33350； б —7 = 1,33905； е —)=)/「一)= 1,34035; д —у = 1,34400). а и 0 аналогичны б и г; их второй экстремум находится далеко за рамками Однако в постньютоновском приближении описание становится нетерным " « L (Dedic 汉，TassoulZ L. Ap. J., 188, 173, 1974. С разрешения The Univer- ®^ °f Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
1,334 1,^71,334 1,^7
1,334 1,^7
1,334 1,^7
Рис. 14.10. Нули ускорения на плоскости (w, у) для медленно вращающегося сфероида (т = 0,0057185, Rs/R = 0,007, ус = 1,33584). Обозначения и пояснения те же, что на рис. 14.8; см. также рис. 14.13. (Dedic Я., Tassoul J. L. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 14.11. Нули ускорения на плоскости (w, у) для медленно вращающегося сфероида (т = 0,0008, Rs/R = 0,0007, 7с = 1,33343). Обозначения и пояснения те же, что на рис. 14.8; см. также рис. 14.14. (Dedic Я., Tassoul J. L. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 14.12. Нули ускорения на плоскости (w, у) для медленно вращающегося сфероида (т = 0,0057185, Rs/R = 0,0007, ус = 1,33007). Обозначения и пояснения те же, что на рис. 14.8; см. также рис. 14.15. (Dedic Н., Tassoul J. Z. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 14.13. Потенциал медленно вращающегося сфероида (，=0,0057185, Rs/R =0,007, ус = 1,33584). Обозначения те же, что на рис. 14.9; см. рис. 14.10 (〃一)；= 4/3, б — у = 1,33559, в —)= £, г — у = 1,33620, 0 — у = 1,33800). Кривая а имеет абсолютный максимум при w = 1. Кривая д аналогична г; ее второй экстремум находится далеко за рамкой рисунка. (Dedic Я., Tassoul J. L. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 14.14. Потенциал медленно вращающегося сфероида (7 工 0,0008, Rs/R =0,0007, ус = 1,33343). Обозначения те же, что на рис. 14.9; см. рис. 14.11 (а —)= 4/3, б — 7 = 1,33342, в — у = 7с, г — у = 1,33345, д — 7 = 1,33400). Пояснения те же, что к рис. 14.13. (Dedic Я., Tassoul J. L. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
Рис. 14.15. Потенциал медленно вращающегося сфероида (7 = 0,0057185, Rs/R = 0,0007, ус = 1,33007). Обозначения те же, что на рис. 14.9; см. рис. 14.12 (а — 7 = 1,32800, 6 — 7 = 1,32970, в — у = %， г — 7 = 1,33038, д — 7 = 4/3). Кривая а аналогична кривой 6; ее второй экстремум находится далеко за рамкой рисунка. Кривая д имеет абсолютный минимум при w = 1. (Dedic Н., Tassoul J. L. Ар. J., 188, 173, 1974. С разрешения The University of Chicago Press. © 1974 by the American Astronomical Society.)
увеличение скорости вращения, то ус становится меньше % (см. рис. 14.12 и 14.15); это существенно меняет всю картину, полученную из линейного анализа устойчивости! Как и в ньютоновском случае мы должны теперь различать три возможности:
1) 7 С )с，конфигурация всегда неустойчива по отношению к псевдора- диальным движениям;
2))с V ) V %, медленно вращающееся тело становится метастабиль^ ным, несмотря на то что линейный анализ предсказывает лишь устойчивые псевдорадиальные движения;
7 > 4/з, конфигурация полностью устойчива.
Таким образом, хотя противоположное влияние вращения и эффектов общей теории относительности очевидно уже при линейном анализе устойчивости, допущение о движениях с конечной амплитудой меняет всю ситуацию. В частности, стабилизирующая роль вращения значительно уменьшается. Для безусловной устойчивости по отношению к псевдоради- альным колебаниям с конечной амплитудой теперь обязательны два требо-
вания: 7 》％ и)с V %• Для моделей политроп последнее условие можно переписать в виде
Л71m > “-^KM/MoXR/R。)， (34) где Ап зависит от показателя политропы (Ло = 2,88; А3 =，7,15). Следовательно, даже при у》％, если условие (34) не выполнено, нужно быть очень осторожным, поскольку фактическое поведение метастабильной звезды зависит главным образом от количества энергии, запасенной в псевдо- радиальных колебаниях. Подробное изучение этой проблемы строго в рамках общей теории относительности представило бы большой интерес.
БИЕНИЯ В 0-ЦЕФЕИДАХ
Переменные типа 8 ЦесЬея (J3 Большого Пса) — горячие звезды среднего спектрального класса от ВО,5 до В2, которые группируются в узкой полосе, лежащей несколько выше и правее верхней части главной последовательности. (Отметим, что в этой области есть и непеременные звезды класса В!) Эти 0-цефеиды — самые горячие из известных переменных звезд, их эффективные температуры 乙ff составляют от 20 000 до 25 000 К, а периоды колебаний блеска ——всего несколько часов. Теория этих звезд до сих пор находится в весьма неудовлетворительном состоянии, особенно в отношении механизма, вызывающего их переменность. Собственно говоря, даже точная природа их колебаний еще не известна со всей определенностью. (Кривые лучевых скоростей некоторых переменных типа 6 Цефея весьма сложны и их не всегда можно истолковать просто радиальными пульсациями.) Кроме того, из-за высоких температур на поверхности можг но исключить возбуждение пульсаций в этих звездах за счет обычных механизмов ионизации в оболочке, которыми, очевидно, объясняется неустойчивость более холодных переменных. (Упомянем в этой связи фазовое соотношение между кривыми блеска и лучевой скорости, из которого при. самом простом истолковании следует, что у 0-цефеид запаздывание максимума светимости относительно минимума радиуса практически отсутствует.) Замечательная особенность некоторых переменных типа 6 Цефея — это явление биений (отчасти такое же, как у переменных типа RR Лиры и 6 Щита) и периодическое уширение и (или) расщепление линий. Эти наблюдаемые явления побудили многих авторов предположить, что в 3-цефеидах имеют место нерадиальные пульсации, быть может, в сочетании с вращением и (или) с приливным взаимодействием спутников. Сейчас мы коротко остановимся на двух таких механизмах.
Подход леду — осаки. Как было показано в разд. 6.4, свободные колебания невращающейся звезды соответствуют поверхностным сферическим гармоникам 斤(8,份)，где \т\ W 厶 причем характеристические частоты。/ в этом случае (2/ + 1)-кратно вырождены. При медленном вращательном движении вырождение 户,>・ и g-мод снимается и в первом порядке по угловой скорости R частоты, соответствующие заданным значениям / и т, при-
обретают вид
°7, т = °! ± "6/ R, /и = 0, 1, 2, . . (35) где 。/ — частота свободных колебаний невращающейся звезды, а В, — некоторые постоянные, которые зависят от модели и которые можно найти из расчета. В частности, для 户мод, принадлежащих к гармоникам второго порядка 7 = 2, остается всего пять частот. Зональная мода (加=0) соответствует стоячим волнам, симметричным относительно оси вращения; моды с положительными т описывают волны, бегущие против вращения, а моды с отрицательными т — волны, бегущие в направлении вращения. Секториальные моды (\т\ = 2) симметричны относительно экваториальной плоскости, а тессеральные моды (1ди1 = 1) антисимметричны по отношению к ней.
В теории Леду постулируется, что биения в 0-цефеидах — это результат сложения во вращающейся звезде двух различных нерадиальных колебаний, каждое из которых представляет собой сферическую гармонику второго порядка. Поскольку в отсутствие вращения частоты двух таких мод были бы одинаковы, Леду предполагает, что пульсирующая звезда имеет небольшую угловую скорость, которую можно определить по наблюдаемой частоте биений. Впоследствии, основываясь на этом предположении, Осаки рассчитал переменные профили линий и кривые лучевых скоростей различных моделей при наличии волны, бегущей в направлении вращения звезды. Его расчеты подтверждают замечание Кристи, что такой волной действительно можно объяснить переменность ширины линий и разрывы кривых лучевых скоростей у некоторых 0-цефеид. Отождествив эти два колебания почти равных периодов с волной, бегущей в направлении вращения, и со стоячей волной, Осаки оценил затем экваториальные скорости вращения по периодам биений и сравнил их со скоростями вращения, найденными по наблюдаемым ширинам линий. Поскольку согласие теории с наблюдениями оказалось довольно хорошим, Осаки пришел к выводу, что большинство свойств переменных типа В Цефея можно объяснить при помощи нерадиальных колебаний.
Но какой же механизм возбуждения выделяет из всех мод волну, бегущую вдоль экватора в направлении вращения? Согласно Осаки, такой механизм может быть связан с колебательно неустойчивыми ^--модами в (предполагаемых) быстро вращающихся ядрах массивных слабо проэволю- ционировавших звезд, в которых горит водород (см. разд. 14.5). Действительно, подбирая подходящую скорость вращения конвективного ядра звезды массой 12 Mq, Осаки находит, что может достигаться резонанс крупномасштабных конвективных движений с некоторыми из самых низких g+・ мод в лучистой оболочке. Вероятнее всего, этим механизмом возбуждается секториальная мода, которая представляет собой волну, бегущую вдоль экватора в направлении вращения, что, как мы видели, неплохо согласуется с наблюдениями. Однако поскольку в этом методе много неясного, нужны дальнейшие исследования, чтобы решить, пригоден ли такой механизм воз-
буждения для переменных типа 6 Цефея и можно ли с помощью механизма Леду — Осаки правильно объяснить эти звезды.
Подход Чандрасекара - Лебовица. Как было показано в разд. 6.7, вращение связывает две моды колебаний, которые в его отсутствие представляют собой чисто радиальную и чисто нерадиальную моды. В предельном случае гидростатического равновесия соответствующие характеристические частоты в первом приближении равны
硝=(3)- 4)1%1〃， (36) о^=%|%|〃 (37)
[см. разд. 6.4, формулы (41) и (37)]. Следовательно, при 7 = 1,6 эти частоты совпадают, и мы имеем случай вырождения. Поэтому биений можно ожидать, если 1) обе моды возбуждены и 2) 7 близко к 1,6. (Более тонкие расчеты Хэрли, Робертса и Райта указывают на то, что в центрально конденсированных телах это случайное вырождение всегда наступает примерно при 7 = 1,6, если pjG S 50, где рс — плотность в центре, а /7 — средняя плотность.) Учитывая эти результаты, можно обрисовать механизм Чандрасекара ——Лебовица следующим образом. Прежде всего предполагается, что физические условия в 0-цефеидах (в частности, отношение удельных теплоемкостей) таковы, что между частотами aR и az на~ ступает вырождение. Согласно теории, вращение снимает это вырождение и образуются две нерадиальные моды со слегка различными частотами, причем их разность пропорциональна квадрату угловой скорости О2.
В применении к переменным типа 6 Цефея эта гипотеза обладает тем преимуществом, что самая низкая осесимметричная 户мода естественно связывается посредством вращения с самой низкой радиальной модой, в результате чего получаются две различные нормальные моды, каждая из которых нерадиальна. Механизм Чандрасекара — Лебовица впоследствии подтвердился в обширных численных расчетах Харпера и Роуза, а также Дюпри. Расчеты Харпера и Роуза показывают, что когда сферические модели с IOMq поднимаются примерно на 1切 над главной последовательностью, их частоты пульсаций о& близко согласуются с частотами /3-цефеид и теоретические частоты aR и g% оказываются почти в резонансе. Дюпри обнаружил подобное же согласие между своими реалистическими моделями и многими ^-цефеидами с явлением биений. Однако, как известно из работ Дейви, еще не найден механизм, который возбуждает ?ти две моды в сферической модели. Помимо этой серьезной трудности с подходом Чандрасекара — Лебовица связано еще одно возражение: в предположении твердотельного вращения при таком объяснении биений в 0-цефеидах угловые скорости должны быть в 3 или 4 раза больше наблюдаемых на поверхностях этих звезд. Правда, согласно Клементу, расхождения между наблюдениями и расчетами, основанными на предположении твердотельного вращения, можно устранить, подобрав подходящие модели в дифференциальном вращении. Наконец, как показал Осаки, использование двух осесим-
метричных мод приводит также к затруднениям при объяснении наблюдаемой переменности в профилях линий. До тех пор пока мы не поймем истинный механизм, который поддерживает мультипериодичность в некоторых 0-цефеидах, справедливость этой модели останется под вопросом.
ПУЛЬСАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Вопросы динамической устойчивости вращающихся звезд уже описаны в разд. 6.1. Как известно, для исследования динамической устойчивости достаточно рассматривать малые изоэнтропические возмущения, т.е. движения, при которых энтропия каждого элемента массы на всем его пути сохраняется. При этом в самом общем случае лагранжевы вариации давления и плотности связаны соотношением
&р/р = JAp/p = -FidivE,(38)
где Г】 ——первый обобщенный показатель адиабаты (см. разд. 3.4). Хотя в большинстве случаев соотношение (38) представляет собой достаточно разумное предположение, в некоторых ситуациях существенную роль может играть отклонение от изоэнтропичности, (например, в звездах верхней части главной последовательности, в которых лучистое давление преобладает над газовым). Насколько нам известно, вопрос пульсационной устойчивости вращающихся звезд, по крайней мере в связи с их глобальным внутренним строением, еще не изучался. (В разд. 7.4 рассматривалось отклонение от изоэнтропичности в задаче о нарушении теплового равновесия в бароклинах, однако там учитывались лишь локальные возмущения.) Следуя Айзенману и Коксу, мы сначала приведем формальное решение задачи о пульсационной устойчивости для звезд в состоянии стационарного вращения (см. разд. 4.2). В конце раздела мы скажем несколько слов о максимальной массе, в случае превышения которой в звездах главной последовательности может возникать пульсационная неустойчивость по отношению к осесимметричным пульсациям.
В разд. 6.6 был изложен вариационный принцип, с помощью которого определяется динамическая устойчивость бароклины относительно осесимметричных движений, удовлетворяющих уравнению (38). Если учитывается отклонение от изоэнтропичности, то это уравнение более неприменимо и следует пользоваться полным уравнением энергии [см. разд. 3.4, уравнение (63)]. Пренебрегая вязкой диссипацией и теплопередачей, перепишем это уравнение в удобном виде
Dp/Dt - Г^/pyDp/Dt = (Г3 - 1)р(%ис - О」】div麦)，(39)
где, не опасаясь недоразумений, мы пишем 夕вместо 疼.Поскольку операторы △ и D/Dt в линейном приближении коммутируют, отсюда следует
D^p/Dt - Г^/р^Др/Л = Тз - 1)pA(%uc - О"4div疹) (40)
[см. разд. 6.2, уравнение (12)]. Вообще говоря, это уравнение верно, если предположить, что в невозмущенном состоянии всюду соблюдается тепло-
вое равновесие; таким образом, мы совершенно не учитываем возможное влияние меридиональных течений (см. разд. 8.1). Далее в цилиндрических координатах (5 伤 z) имеем
если оператор D/pt применяется к скалярной величине. Для осесимметричных возмущений уравнение (40) сводится поэтому к
3Ap/3t - I\(p/p)3Ap/at = (Гз — 1)рД(£пис — рТ div 疹)，(42)
на которое заменяется，теперь уравнение (38).
Применяя метод, использованный в разд. 6.6, переопределим лагранжево смещение f(w, z, /) как двумерный вектор с компонентами J и J затем, подставляя уравнения (74) — (77) из разд. 6.6 в уравнение (42), в конечном счете получим
0殁/初3 = |_夾例-(г3 - l)grad[pd(£nuc 一 pTdiv 员)],(43)
где значение линейного оператора L то же, что в разд. 6.6. Как обычно, мы предполагаем, что зависимость двумерного вектора £ от времени имеет вид
E(g z, /)=式必 ^at.(44)
Умножая уравнение (43) на { и интегрируя по всему объему Хвращающей- ся звезды, мы можем написать
成• Е dx +。Т Е • LJ dx 4-成• Е dx +。Т Е • LJ dx 4-
成• Е dx +。Т Е • LJ dx 4-
成• Е dx +。Т Е • LJ dx 4-
+ / [(J - l)f • grad[pd(£nuc - p — div货)Jdx = 0.(45)
Если проинтегрировать третий интеграл по частям и воспользоваться условиями Др = Др = 0 на внешней поверхности，то из уравнений (38) и (45) получаем кубическое уравнение
а3 - W。— 2»以=0,(46)
где
W = -〕L Md)/〕应 Tdx,(47)
% = - j (Гз - 1)ДрД(£пис - рТ div>)cb02W j 成 rdx. (48)
Как и следовало ожидать, если пренебречь возможными отклонениями от изоэнтропичности (т.е.九=0), то из уравнения (46) легко выводится необходимое для динамической устойчивости условие Фьертофта — Лебовица, т.е. в наших обозначениях W > ° (см. разд. 6.6 и 6.8).
В принципе, чтобы уравнение (46) давало точные собственные значения о задачи, коэффициенты % и % нужно вычислять, подставляя точные собственные функции {(^» z)・ Поскольку найти эти (комплексные) величины не так просто, мы ограничимся системами, которые мало отклоняются от изоэнтропичности, т.е. вращающимися звездами, в которых выполняется условие lx/al < 1. В этом предположении вклад свободного члена в уравнении (46) мал; это означает, что теперь можно получить частоты а, просто подставляя в коэффициент % (действительные) собственные функции Е/&, z) соответствующей изоэнтропической задачи, тогда коэффициент W равен (действительному) квадрату частоты, связанной с функцией f^(w, z)・ В указанном приближении два решения уравнения (46) можно записать в виде
о = ± % + 加， (49) а третий (действительный) корень интереса для задачи о пульсациях не представляет. В том же предположении двумерный вектор f (G, z, 0 приобретает вид
f(w, z, 0 = Е/&, z) ехр [士也/ - W】・ (50)
С учетом этих приближенных результатов очевидно, что квазиизоэнтропи- ческие пульсации с малой амплитудой, как правило, являются колебаниями с периодами 2тг/%, но их амплитуды либо растут, либо медленно затухают со временем. Точнее говоря, при %》0 колебания устойчивы, при х < 0 их амплитуды растут. Поэтому величину “ обычно называют коэффициентом пульсационной устойчивости.
Решение, даваемое выражениями (49) и (50), на удивление просто и сильно напоминает формальное решение, полученное в 1919 г. Эддингтоном для случая сферических звезд. Однако теперь выражение (48) следует вычислять, интегрируя по полному объему вращающейся звезды и пользуясь двумерным смещением 力(&, z) или, если оно не известно, заменяя его приближенными пробными функциями (ср. с разд. 6.6). Физический смысл коэффициента * можно установить следующим образом. Для обычных термоядерных реакций £nuc = %рТ'; пренебрегая любыми возможными задержками по фазе вследствие изменений химического состава, можно связать лагранжеву вариацию Депис с вектором 昂 соотношением
ДеАис/£пис = ^Р + 必〃Т = [1 + 〃Тз - l)Jg/p =
=-[1 + 叫-1)] di*. (51)
Поскольку величина Депис всегда имеет тот же знак, что и Др, она стремится сделать “ отрицательным, способствуя тем самым пульсационной неустойчивости звезды. Ясно, что этот механизм термоядерного возбуждения становится особенно эффективным, если амплитуда пульсаций в центре относительно велика (например, если под действием лучистого давления〈Г. снижается до значения, близкого к 4/3). Часть интеграла устойчивости (48), которая определяется переносом энергии, может как стабилизировать, так и возбуждать пульсации вращающейся звезды. В последнем случае де-
стабилизирующее влияние обусловлено модуляцией потока посредством «клапанных» механизмов, связанных с зонами ионизации элементов с высоким содержанием (таких, как водород и гелий) во внешних слоях звезды. Эти механизмы ионизации 6 оболочке привлекались в основном для объяснения переменности обычных типов пульсирующих звезд. Поскольку такие звезды вращаются, по-видимому, необычайно медленно, «клапанные» механизмы выходят за рамки этой книги.
Подробные расчеты пульсационной устойчивости невращающихся звезд главной последовательности с нормальным для населения I химическим составом впервые провел Леду в 1941 г. Как известно, преобладание лучистого давления над газовым в звездах верхней части главной последовательности приводит к тому, что масса химически однородной звезды, обладающей пульсационной устойчивостью, оказывается ограниченной сверху. Наличие теоретического предела массы для сферических звезд главной последовательности следует из того, что с приближением (Гр к 4/3 самая низкая радиальная мода становится почти гомологичной (т.е. Jr ос г в сферических координатах); поэтому амплитуда пульсаций этой моды в центре велика, а это позволяет механизму термоядерного возбуждения в ядре преодолеть гасящие эффекты переноса энергии в оболочке. Основанный на более реалистических моделях, линейный анализ устойчивости дает верхний предел масс лля свойственного населению I химического состава в диапазоне 60 — 120Mq . До недавнего времени считалось, что пульсационная неустойчивость приводит к столь сильному нарастанию амплитуд пульсаций, что становится неизбежной потеря массы и что масса пульсационно неустойчивой звезды главной последовательности в конечном счете становится меньше верхнего предела масс. К сожалению, подробные нелинейные расчеты не подтвердили это раннее предположение. Рассматривая движения с конечной амплитудой, многие авторы обнаружили, что радиальные пульсации сферических звезд с М « 100 - 300 Mq достигают предельной амплитуды и оказывают куда менее разрушительное воздействие на звёзды, чем предсказанное линейным анализом. Иными словами, сферические модели в диапазоне масс 100 — 300 М® вполне способны пережить пульсационную неустойчивость термоядерной природы без значительной пот^и массы. Поэтому механизм Леду может оказаться неэффективным для ограничения масс звезд верхней части главной последовательности. Кроме того, поскольку под поверхностью этих звезд может накапливаться большой момент количества движения, еще нужно выяснить, способно ли вращение сильно увеличить верхний предел масс по сравнению с пределом, найденным для невращающихся моделей. ,
Упомянем в связи с этими проблемами, что Ларсон и Старфилд, основываясь на теориях образования звезд с пренебрежимым моментом количества движения, выдвинули доводы в пользу того, что звезды с массами, превышающими 60— 120Mq , по-видимому, не могут сконденсироваться из современной межзвездной среды. При установлении этого предела могут играть роль несколько факторов, точный вклад которых зависит от начальных условий. Во-первых, время, необходимое для образования звезды
путем аккреции в центре коллапсирующего протозвездного облака, становится больше, чем эволюционное время жизни на главной последовательности для М 60 — 120 М q, в зависимости от условий, преобладающих в облаке. Во-вторых, лучистое давление, действующее на внешние части протозвездного облака, может оказаться достаточным, чтобы остановить коллапс, когда масса нарастает примерно до 50 — 100М q. В-третьих, самое сильное ограничение на массу звезды главной последовательности возникает при образовании области Н II в коллапсирующей протозвездной оболочке, которая окружает рождающуюся звезду; это происходит при массе порядка 25 — 60 М。в зависимости от начальных условий. Однако у звезд, которые не содержат или содержат мало тяжелых элементов, масса может быть гораздо больше. Согласно Конти и Бюрнишону, с учетом многочисленных неточностей в используемых параметрах эти аргументы не противоречат существованию обнаруженных ими звезд вблизи главной последовательности нулевого возраста с массами в диапазоне 60 — 120Mo.
Что касается влияния вращения на критическую массу Леду, то ничего определенного почти не известно. Предварительные расчеты Стотерса указывают к по-видимому, на то, что теоретический предел масс для быстро вращающихся звезд главной последовательности может быть намного выше, чем для сферических звезд. (Заметим, что этот результат получен не из прямого расчета коэффициента устойчивости х!) Если этот вывод верен, то доводы Ларсона — Старфилда подтверждаются. Как указал Стотерс, быстрое вращение может — и даже в решающей степени — поддерживать предложенные ими механизмы. В частности, приблизительное сохранение момента количества движения в ходе сжатия исходного газового облака могло бы воспрепятствовать образованию очень массивных отдельных звезд, если и в самом деле действует механизм деления (см. разд. 11.3). Однако наших знаний о ранних стадиях звездной эволюции недостаточно, чтобы надежно предсказать верхний предел масс у звезд до главной последовательности.
КОНВЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Несмотря на большое число независимых работ, взаимодействие вращения с конвекцией остается одной из нерешенных проблем в теории вращающихся звезд. Следует рассмотреть два вопроса: меняется ли при вращении условие для возникновения конвекции? Сильно ли различаются по своим общим свойствам конвекция, уже установившаяся во вращающейся звезде, и конвекция в невращающейся звезде? Мы остановимся главным образом на первом вопросе, причем здесь будет изучена устойчивость относительно малых изоэнтропических смещений.
В сферически симметричной звезде конвекция возникает, если квадрат локальной частоты Брунта ——Вяйсяля (см. разд, 6.4)
N2 = р'1 gradp • [рТ gradp -(7Р)-1 gradp] (52)
становится отрицательным. Из простых соображений напрашивается вывод, что в общем случае вращение стремится подавить конвекцию. Чтобы пояснить эту точку зрения, рассмотрим твердотельно вращающуюся звезду. Ее момент количества движения на единицу массы Ow2 постепенно увеличивается наружу, и только для осесимметричных движений величина постоянна для любого элемента жидкости при его смещении. Таким образом, элемент массы, который уносится этими движениями от оси вращения, будет обладать меньшим моментом количества движения, чем окружающие элементы, и будет замедляться; аналогично, вещество, переносимое внутрь, будет обладать избыточным моментом количества движения и также будет замедляться (см. разд. 7.3). Так, например, Рандерс получил следующий критерий локальной устойчивости для ячеек, вытянутых по радиусу от центра звезды:
N2 + 4Й2 sin2^ > 0,(53)
где 0 — дополнение широты до 90°. Однако, как указал Каулинг, если рассматриваются неосесимметричные движения, то из・зА азимутальных градиентов давления величина Rg? не остается постоянной; поэтому для таких смещений стабилизирующее влияние вращения на коцвекцию может исчезнуть. Каулинг убедительно показал это, проведя линейный анализ устойчивости при локальных возмущениях вида
exp [i(k@G + к# + 油 з + iat].(54)
В этих предположениях условие конвективной устойчивости в твердотельно вращающейся звезде приобретает вид
N2[(m/g)2 + (标 cos а - kz sin а)2] + 4Q2^ > 0,(55)
где а ——угол (почти равный 6) между вектором эффективной силы тяжести g и полярной осью. В этом условии локальной устойчивости учитываются основные эффекты вращения на возникновение конвекции как при осесимметричных, так и неосесимметричных смещениях.
В отсутствие вращения неравенство (55) сводится к N2 > 0 и переходит в обычное условие, что фактический градиент температуры у звезды в лучистом равновесии не превосходит адиабатический градиент. Кроме того, если рассматриваются только смещения, симметричные относительно оси вращения, то в неравенстве (55) нужно положить 加=0. В частности, если m = 0 и 左色 sin© + kz cos© = 0 (это соответствует радиальным смещениям), то критерий Каулинга сводится к виду
N2 cos2 (а - 6) + 4Q2 sin2^ > 0,(56)
что, в сущности, равносильно критерию Рандерса (53), поскольку
а —夕一малый угол между g и радиальным направлением. Аналогично, если положить ш = 0 и /г~ = 0, то неравенство (55) сводится к критерию устойчивости Валена
N2 sin2a + 402 > 0 (57)
для смещений, перпендикулярных оси вращения. В общем случае неравенство (55) показывает, что N2 должно быть сравнимо по величине с 4О2,так что конвекция не возникает до тех пор, пока градиент температуры не превысит адиабатический градиент на величину, хоть и малую, но не настолько, чтобы ею можно было пренебречь; отсюда следует, что вращение стабилизирует конвекцию для широкого класса смещений. Однако при некоторых возмущениях критерий Каулинга (55) показывает, что для существования конвективных движений градиент температуры должен превысить адиабатический градиент лишь на очень малую величину; это возмущения, для которых kz мало по сравнению с 左石 или с т® или с обеими этими величинами. Следовательно, конвективные движения в твердотельно вращающейся звезде должны возникать всякий раз, когда фактический градиент температуры превышает адиабатический, но если это превышение недостаточно велико, то они возникают лишь для смещений определенных типов. Другими словами, при твердотельном вращении критерий Шварцшильда остается неизменным, а вращение просто стабилизирует некоторые возмущения, которые в его отсутствие были бы неустойчивыми.
Эти выводы Каулинг впервые получил на основе анализа локальной устойчивости твердотельно вращающейся звезды; таким образом предполагалось, что размеры элементов, участвующих в конвекции, малы по сравнеНшо с характерными вариациями макроскопических переменных (таких, как плотность и давление), а какие-либо флуктуации в силе гравитации, вызванные возмущениями, в расчет не принимались. В дальнейших исследованиях влияния вращения на возникновение конвекции в звезде усилия были сосредоточены на простых конфигурациях, которые допускают анализ глобальной устойчивости их р-, /■ и g-мод. Рассмотрим три такие системы; в каждой из них подтверждается приближенный, но убедительный анализ Каулинга.
Простейшая из этих моделей ——полубесконечная изотермическая атмос- ф^)а, которая в отсутствие вращения становится конвективно неустойчивой при N2 < 0, т.е. при 7 < 1. (Вытекающее из этого неравенства физическое противоречие не сказывается на полученных из него качественных выводах.) При наличии вращения в изотермической атмосфере имеется два набора мод: р-моды (высокочастотные) и g-моды (низкочастотные). Как. показал Лебовиц, связанные с этими изоэнтропическими движениями характеристические частоты имеют вид
"=%(402 + 女2 + 唠+ 1/4) 士 %((4Q2 + 22 + 抬 +1/4户 一
一 4[曲2(电 + 1/4) + 公6 - 1)/72])1/2. (58)
где / н Z ——«вертикальное» и «горизонтальное» волновые числа соот-
ветственно. [Все переменные безразмерны за счет выбора характерной высоты Н в качестве единицы длины и (H/^g)"? в качестве единицы времени.] Устойчивы моды, для которых а2 > 0, поэтому конвективные моды неустойчивы, если
402(^ + 1/4)+ 6 - 1 冰2勺2 V 0 (59)
Значит, необходимое условие конвективной неустойчивости — это у < 1. Кроме того, это условие и достаточное, в чем легко убедиться, взяв «достаточно большое» к и «достаточно малое» 左于 Это согласуется с выводами Каулинга, т.е. если N2 V 0； то существуют смешения с достаточно большим горизонтальным волновым числом, которые относятся к неустойчивому типу. '
Анализ Каулинга подтверждается вновь при глобальном исследовании нерадиальных колебаний твердотельно вращающихся цилиндров конечного радиуса и бесконечной длины, в котооых давление и плотность связаны политропным соотношением р = Кр(" + 1)/“. [В отсутствие вращения эти конфигурации становятся конвективно неустойчивыми при у < (л + 1)/〃.] Для таких чисто нерадиальных движений лагранжево смещение приобретает вид
Е(&, m Г) = f(w) exp 卩(加8 + at)]. (60)
Особенно поучителен предельный случай п = 0 (т.е. однородный цилиндр), поскольку здесь имеются точные решения, которые выражаются при помощи многочленов Якоби; более того, если выбрать в качестве единицы времени (2ttGp)-i/2, то можно показать, что 尸・и g-моды являются решениями уравнения четвертой степени
Q4 - 2д„a2 - 4^0(1 -弹)0-m2a - 口2)2 =0， (61) где
А” =)(1 - r2)s + ds + \m\ + 1)+ 2(? - 1 (62)
(»/ = 0, 1, 2, . . . ). Насколько нам известно, это единственная самосогласованная конфигурация, для которой получены полные наборы акустических и конвективных мод. На рис. 14.16 показана зависимость самых низких g-мод от скорости вращения О2. (Чтобы выполнялось условие механического
Q2
>ис. 14.16. Действительная и мнимая части характеристических частот самых низких ^*мод в зависимости от О? для однородных цилиндров в твердотельном вращении. Ошошная линия — ^ = 0, штриховая линия — 〃 = 1. Около кривых указаны значения т, которым они соответствуют (7 = 5/3); а и fi даны в единицах (2тг6р)1/2. Действительные частоты (о? и о/ представлены только для 掰=2 н 〃 = 0 (пунктирные линии). (Cretin М, Tassoul J. L. Ann. Ар., 28, 982, 1965.)
равновесия, мы должны иметь О W R? W L) Итак, во-первых, вращение снимает двукратное вырождение, которое преобладает в предельном случае гидростатического равновесия. Во-вторых, в этом предельном случае все ^-моды динамически неустойчивы, но при вращении конвективные движения превращаются в колебания с растущей амплитудой. В-третьих, скорости роста этих колебаний уменьшаются за счет вращения. В-четвертых, хотя вращение может стабилизировать последовательно некоторые из g- мод, тем не менее для g-мод с достаточно большими значениями \т\ и р возможна колебательная неустойчивость. Роуб пришел к аналогичным выводам для цилиндров с увеличивающейся к оси вращения плотностью с показателями 勿=1иЗису = 5/3. Однако, как показал этот автор, при любой скорости вращения такого цилиндра собственные значения всех g- мод всегда остаются комплексными. Таким образом, полная стабилизация мекоторых g-мод (которая видна на рис. 14.16) может быть артефактом ноотропных моделей с показателем политропы, равным (или почти равным) ЯУ〃2. Так или иначе, обе работы ясно указывают на то, что в твердотель- М вращающихся политропных цилиндрах при у < (л 4- )/〃 всегда возни- ^°т конвективные движения (колебательно неустойчивые). Тем самым анализ локальной устойчивости Каулинга снова подтверждается.
Сложность нашей задачи, пожалуй, лучше всего видна на примере сжимаемых сфероидов Маклорена. (Хотя такие быстро вращающиеся конфигурации весьма нереалистичны, из всех ограниченных систем только они были тщательно исследованы на конвективную неустойчивость.) На рис. 14.17 и 14.18 изображены три конвективные моды, которые в предельном случае гидростатического равновесия вырождаются в (тройную) g-моду, соответствующую р = 0 и / = 1 [см. разд. 6.4, уравнение (42)1. Для ясности мы приводим зависимость частот от сплюснутости / [= 1 - 例/勺)],где a^Q\ — отношение полуосей (0 《/W 1). В данном случае компоненты лагранжева смещения, связанного с этими движениями, можно записать в точном виде
{(х, 0 = kHjXk + 丄川。「， '(63) где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Константы 丄* 曲 к 厶» можно вычислить; они зависят от моды, поскольку вращение снимает трехкратное вырождение, которое наблюдается в предельном случае/ = 0. Как видно на рис. 14.17, характеристическая частота осесиммет- рвчной g-мццы сначала остается мнимой, однако далее вдоль последовательности сфероидов Маклорена она становится действительной. (Отметим, что точное место перехода от неустойчивости к устойчивости сильно зависит от значения 7.) Поэтому колебательно неустойчивой эта мода никогда не становится; если отклонение от сферической симметрии оказыва
ние. 14.17. Характеристическая частота самой низкой осесимметричной g-моды в зависимости от сплюснутости / для однородных, ио сжимаемых сфероидов Маклорена. Около кривых указаны значения 7, для которых они рассчитаны; <т дано в единицах (vGp)y\ (TassoulM., Tassoul J. £. Ap. J., 150, 1031, 1967. С разрешения The University of Chicago Press. © 1967 by the University of Chicago.)
tac. 14Л8. Характеристические частоты самых низких неосесимметричных g-мод в шисимости от сплюснутости / для однородных, но сжимаемых сфероидов Макло- )№а 6 = 5/3). Мнимая часть Ima приводится по абсолютной ветшчине;。дано в ^Щшощах (万Gp)"2. (TassoulM., Tassoul J. L. Ap. J., 150, 1031, 1967. С разрешения The University of Chicago Press. © 1967 by the University of Chicago.)
tlra достаточно большим, то она может даже стать полностью устойчи- Ш^й・ Напротив, две неосесимметричные моды (g】и g2 на рис. 14.18) сначала становятся колебательно неустойчивыми, но их инкременты несколько по- яижены вследствие вращения. Таким образом, при медленном вращении |Г《1) эти результаты очень похожи на результаты Смейерса и Дениса Для более высоких мод. (Клемент, а также Дэрни и Скуманич обнаружили, Wo самые низкие g-моды медленно вращающихся слегка деформированных Я0®троп ведут себя аналогично.) Однако при больших скоростях враще- поведение мод g] и g2 становится довольно сложным, как видно на Ж. 14.18, на котором показано, что существует взаимосвязь между этими модами и еще одной модой, которая в предельном случае гидроста- Мческого равновесия имеет частоту <г = 0. (При 7 s 1,5 в игру вступает ^^твертая мода, т.е. /-мода, которая в предельном случае / = 0 принадлежит сферическим гармоникам / = 3!) Поэтому, хотя полная стабилизация 2贝 81 и g? при промежуточных скоростях вращения может быть опять- артефактом этих моделей, судя по нашему точному решению, есть все «новация полагать, что задача отыскания высоких g-мод в быстро вращавшихся сильно деформированных телах может в конечном счете оказаться безнадежной. Чтобы продвинуться в этом направлении, нужно изучать
дифференциально вращающиеся центрально конденсированные конфигурации, возможно, с помощью уравнения (63) и многочленов более высокого лорядка в качестве пробных функций для лагранжева смещения. Пока не получено таких результатов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Псевдорадиальные колебания медленно вращающейся звезды впервые рассматривались Леду ([45] к гл. 6). Можно отметить и такие работы:
Bhatnagar A Z. Bull. Calcutta Math. Soc., 38, 93 — 95, 1946.
Cowling T. G., Newing R. A. Astrophys. J., 109, 149 — 158, 1949.
Huang S. S. Ann. Astrophys., 16, .315 — 320, 1953.
Chandrasekhar 5., Lebovitz N. R. Astrophys. J., 135, 248 — 260, 1962; 136, 1069 丁 1081, 1082 — 1104, 1962; 152, 267 — 291, 1968.
Clement M. J. Astrophys. J., 141, 210 — 231, 1965.
Zahn J. P. Comp. Rend. Acad. Sci. Paris, 263B, 1077 — 1079, 1966.
Occhionero F. Ann. Astrophys., 30, 761 — 771, 1967; 31, 1 — 4, 345 — 347, 1968.
Дьяченко В. Ф., Зельдович Я. Б., Имшенник В. С., Палейчик В. В. Астрофизика, • 4, 159 — 180, 1968.
Simon R. Astron. Astrophys., 2, 390 — 397, 1969.
Simon R. in Stellar Rotation, ed. A. Slettebak, New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 37 — 38.
Подробнее всех рассмотрел эту задачу Лебовиц ([12] к гл. 5); в этой работе также содержатся существенные замечания по литературе. Дальнейшее развитие этой проблемы см. в статье
Lebovitz М R, Russell G. W. Astrophys J., 171, 103 — 105, 1972.
См. также [44] к гл. 10. Дестабилизирующее воздействие эффектов общей теории относительности на радиальные пульсации сферической звезды независимо изучалось в работах
Каплан С. А. Ученые записки Львовского ун-та, 15, 109 — 115, 1949.
Chandrasekhar S. Astrophys. J., 140, 417 — 433, 1342, 1964; 142, 1519 — 1540, 1965.
Fowler W. A. Rev. Modern Phys., 36, 545 — 555, 1104, 1964.
Совместные эффекты вращения и общей теории относительности впервые рассматривались в работах
Fowler W. A. Astrophys. J., 144, 180 — 200, 1966.
Durney A R, Roxburgh I. W. Proc. Roy. Soc. London, A, 296, 189 — 200, 1967. см. также
Chandrasekhar S., Friedman J. L. Astrophys. J., 175, 379 — 405, 1972; 176, 745 — 768, 1972; 181, 481 — 495, 1973.
Hartle J. B., Thorne K. S., Chitre S. M. Astrophys. J., 176, 177 — 194, 1972.
WillC. M. Astrophys. J., 190, 403 —410, 1974.
Hartle J. B., Friedman J. L. Astrophys. J., 196, 65 3 — 660, 1975.
Hartle J. B., Munn M W. Astrophys. J., 198, 467 — 476, 1975.
Независимо эта проблема рассмотрена в работах
Вартанян Ю. Л., Овсепян А. В., Аджян Г. С. Астрофизика, 7 , 624 — 641, 1971.
Арутюнян Г. Г., Седраюш Д. М., Астрофизика, 8, 419 — 423, 1972.
Папоян В. В., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 8, 405 — 412, 1972.
Папоян В. В., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрон. ж., 49, 750 — 755, 1972.
Вартанян Ю. Л., Овсепян А. В., Аджян Г. С. Астрон. ж., 50, 48 — 59, 1973. См. также [20 — 30] к гл. 13. Скалярная теорема вириала впервые применялась к радиальным колебаниям с конечной амплитудой в сферической звезде в работе
Ledoux Р. Bull. Acad. Roy. Belgique: Classe des Sciences (5), 38, 352 — 365, 1952. Движения с конечной амплитудой во вращающихся телах рассматриваются в статьях
Tassoul J.L. Astrophys. J., 160, 1031 — 1042, 1970.
Tassoul J. £., Tassoul M Astrophys. J., 166, 621 — 625, 1971.
Dedic H・,Tassoul J. L. Astrophys. J., 188, 173 — 179, 1974.
Изложение в тексте в значительной мере следует [28, 30]. В [29] рассматриваются быстро вращающиеся, сильно искаженные тела.
Бблыпую часть основных работ по ^-цефеидам можно найти по обзорам 31. Сох J. Р. Pulsating Stars, in Rep. Progress Phys., 37, 563 — 698, 1974.
Cox J. P. Stellar Oscillations, Stellar Stability and Applications to Variable Stars, in M6m. Soc. Roy. Sci. Lidge (6), 8, 129 — 159, 1975.
Подход Леду — Осаки рассматривается в основном в работах
Ledoux Р., Astrophys. J., 114, 373 — 384, 1951.
Christy R. Е Astron. J., 72, 293 — 294, 1967.
Osaki У. Publ. Astron. Soc. Japan, 23, 485 — 502, 1971; 27, 237 — 25 8, 1975.
Osaki У. Astrophys. J., 189, 469 — 477, 1974.
Противоречивые сообщения о методе Чандрасекара ——Лебовица можно найти в статьях
Chandrasekhar S.t Lebovitz N. R. Astrophys. J., 135, 305 — 306, 1962; 136, 1105 — 1107, 1962.
Bohm- Vitense £. Publ. Astron. Soc. Pac., 75, 154 — 161, 1963.
van Hoof A. Zeit. f. Astrophys., 60, 184 — 189, 1964.
Clement M J. Astrophys. J., 141, 1443 — 1454, 1965; 144, 841 — 842, 1966; 150, 589 — 605, 1967.
Hurley M, Roberts P. Я., Wright K. Astrophys. J., 143, 535 — 551, 1966.
См. также
Вандакуров Ю. В. Астрон. ж., 43, 1009 — 1017, 1966; 44, 786 — 797, 1967.
Vandakurov Ju. К. Astrophys. J., 149, 435 — 43 8, 1967.
В тексте излагаются также следующие работы:
Harper R. Van R.t Rose W. К. Astrophys. J., 162, 963 — 969, 1970.
Davey W. R. Astrophys. J., 179, 235 —240, 1973.
Deupree R. G. Astrophys. J., 190, 631 —636, 1974; 194, 393 —401, 1974. Влияние приливного воздействия спутника рассматривалось в работах
Fitch W.S. Astrophys. J., 148, 481 —496, 1967; 158, 269 — 280, 1969.
Kato S. Publ. Astron. Soc. Japan, 26, 341 — 353, 1974.
Denis J., Smeyers P. Astron. Astrophys., 40, 411 — 414, 1975.
Формальное решение, приведенное в тексте, в значительной степени заимствовано из работы
Aize门так M.L., Сох J. Р. Astrophys. J., 202, 137 — 147, 1975.
Ббльшая часть работ, посвященных критической массе Леду, описана в [31]; другие работы:
Aizenman М. £., Hansen С. J., Ross R. R. Astrophys. J., 201, 387 — 391, 1975.
Conti P. £, Burnichon M.-L. Astron. Astrophys., 38, 467 —^470, 1975. В тексте цитируются также работы
Larson R. A, Starrfield S. Astron. Astrophys., 13, 190 — 197, 1971.
Stothers R. Astrophys. J., 192, 145 — 148, 1974.
Общий обзор по этому и связанным с ним вопросам можно найти в работе
Spiegel Е 4 Convection in Stars. II. Special Effects, in Ann. Rev. Astron. Astrophys., 10, pp. 261 — 304, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1972.
Самые ранние работы принадлежат Рандерсу ([14] к гл. 7), Валену ([26] к гл. 3) и Каулингу:
Cowling Т. G. Astrophys. J., 114, 272 — 286, 1951.
Влияние медленного вращения на возникновение конвекции в газовых массах рассматривалось в статьях
Clement М. J. Astrophys. J., 142, 243 — 252, 1965.
Durney В. R, Skumanich Л. Astrophys. J., 152, 255 — 266, 1968.
Smeyers R Astron. Astrophys., 7, 204 — 209, 1970.
Smeyers P., Denis J. Astron. Astrophys., 14, 311 — 318, 1971.
Технические вопросы, связанные с этой и другими проблемами, рассматриваются в [9], а также в работе
Denis J., Smeyers R Med. Kon. Acad. Belgie: Klasse der Wetenschappen, 37, No 1, 1 - 18, 1975.
Работа по смежной тематике:
Wolff С. £. Astrophys. J., 193, 721 — 727, 1974.
Явное вычисление g-мод в быстро вращающихся телах можно найти в статьях*
Cretin М, Tassoul J. L. Ann. Astrophys., 28, 982 — 991, 1965.
Lebovitz N. R. Astrophys. J., 150, 203 — 212, 1967.
Tassoul M, Tassoul J. L. Astrophys. J., 150, 1031 — 1040, 1967.
Robe H. Ann. Astrophys., 31, 549 — 558, 1968. См. также
Kochhar R. K., Trehan S. K. Astrophys. and Space Sci., 26, 271 — 287, 1974. Полубесконечной изометрической атмосфере посвящена работа [64]. В [63, 66] рассматривается соответствующая задача в цилиндрических координатах. В [65] получены самые низкие конвективные моды сжимаемого сфероида Маклорена во вращающейся системе отсчета; та же задача впоследствии изучена в невращающейся системе [67]. С поправкой на алгебраические погрешности уравнения Кочара и Трехана приводят к результатам, полученным в [65], т.е. их (исправленные) частоты можно сразу найти по частотам, выведенным в [65], подставляя о 士 力0 вместо о (при m = 0, 1, 2 или 3). См. в связи с этим
Tassoul М. Astrophys. and Space Sci., 48, 89 — 102, 1977.
В этой же работе рассматривается сложное поведение неосесимметричных мод, изображенных на рис. 14.18.
15
МАГНЕТИЗМ И ВРАЩЕНИЕ ЗВЕЗД
ВВЕДЕНИЕ
Роль магнитных полей во вращающихся звездах рассматривалась в разных главах этой книги. Например, в разд. 11.4 мы показали, что звездный ветер, «управляемый» магнитными нолями, является эффективным средством отвода момента количества движения из вращающихся звезд с конвективными оболочками. Цель настоящей главы — привести в общих чертах основные теоретические проблемы, которые представляют интерес при изучении вращающихся звезд с крупномасштабными магнитными полями. Наше рассмотрение отнюдь не будет исчерпывающим, одшако мы приведем ссылки для дальнейшего изучения. В разд. 15.2 рассматриваются общие изменения, вносимые крупномасштабными магнитШлми полями во внутреннее строение невращающихся моделей звезд. В разд. 15.3 излагаются современные взглвды на происхождение магнитных полей звезд. Следующий раздел посвящен замечательным особенностям звезд главной последовательности с сильными магнитными полями. Глава завершается краткими замечаниями о механизме динамо и дифференциальном вращении в конвективной зоне Солнца.
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Основные уравнения для магнитных звезд рассматривались в разд. 3.6; это уравнения Максвелла (без учета токов смещения) и уравнения гидродинамики, измененные так, чтобы учитывались сила Лоренца и омическая диссипация. Здесь мы вкратце рассмотрим некоторые общие свойства невращающихся моделей звезд с крупномасштабными магнитными полями.
В общем случае изменения магнитного поля Н описываются уравнением
ЭН/d/ = rot (V х Н) - rot (ут rot Н),(1)
где V—макроскопическая скорость, а 圖=1/4 万 ％)一коэффициент диффузии магнитного поля [см. разд. 3.6, уравнения (125) и (126)]. В частности, считая коэффициент электропроводности % постоянным и вспоминая, что div Н = 0, получим
ан/а/ = rot(V х Н)+ %^2н.(2)
Если L ——характерный линейный размер данного тела, то члены в правой части сравнимы с vH/L и с %印口 соответственно. (Здесь у и Н — величины порядка скорости и напряженности магнитного поля соответственно.) Следовательно, если vm < vLf то второй член в правой части уравнения (2) становится малым по сравнению с первым, так что уравнение (2) приближенно приобретает вид
ан/а? = rot(V х Н), (3)
оно было бы точным при бесконечно большом %• С учетом изложенного в разд. 3.6 это означает, что магнитные силовые линии в этом случае увлекаются движущимся веществом со скоростью V. Иными словами, вещество может свободно течь вдоль силовых линий; но если оно движется перпендикулярно силовым линиям, то должно увлекать их с собой или уноситься ими. В разд. 15.3 будет показано, что в электропроводящих массах размера звезды силовые линии перемещаются относительно вещества настолько медленно, что в большинстве случаев их можно считать вмороженными в него.
Магнитное поле звезды можно рассматривать как некую «упругую деформацию», обладающую потенциальной энергией М, которая задается формулой
М = (l/8T)j IHI2dx, (4)
где интеграл берется по всему пространству, занимаемому звездой и полем. Как указывалось в разд. 3.6, магнитное поле оказывает механическое влияние, эквивалентное действию магнитного давления I Н I 2/8тг, одинакового во всех направлениях, и натяжения I Н 12/4т вдоль силовых линий. Как показали в 1953 г. Чандрасекар и Ферми, чтобы установить верхний предел магнитной энергии звезды, можно воспользоваться скалярной теоремой вириала. В данном случае легко доказать, что
%d2//d" = 2£ + М - I W\ + 3()- 1)。丁， (5)
где все обозначения стандартные [ср. с разд. 3.7, уравнения (148)——(150)]. Таким образом, для модели невращающейся звезды в состоянии равновесия имеем
М -)吵)+ 3()- 1)。丁 = 0. (6)
Это соотношение выражает в интегральной форме, что звезда противостоит силам тяготения частично за счет магнитной силы； а частично за счет давления. Из уравнения (6) легко найти верхний предел магнитной энергии, допускаемой равновесием: из него следует, что
М < \W\. (7)
Таким образом, для равновесия необходимо, чтобы полная магнитная энергия невращающейся звезды не превосходила абсолютной величины потенциальной гравитационной энергии.
Однако в реальных звездах верхний предел (7) вряд ли достигается даже приближенно. В самом деле, написав
М = ^Р3Я§, I W\ =左GM2/R,(8)
где Н° ——среднее значение напряженности поля, а к ——численная постоянная порядка единицы, можно преобразовать неравенство (7) к виду % < (6ArG)%M/R2.(9)
Для однородной сферической звезды массы М « 2М0 и радиуса R = 3R@ с однородным магнитным полем напряженности Н。внутри и дипольным полем снаружи условие (9) дает
% V 4 • S Гс.(10)
Сопоставляя этот верхний предел с наблюдаемыми у типичных магнитных звезд величинами поля на поверхности несколько тысяч гауссов, мы видим, что предел Af = I М может достигаться только тогдМ, когда внутренние поля несравненно сильнее наблюдаемых на поверхности (см. разд. 15.4). Поэтому если у звезды нет очень сильных полей под поверхностью, то магнитная энергия составляет ничтожно малую долю потенциальной гравитационной энергии. Этот результат позволяет предполагать, что магнитные ноля, как правило, не вызывают серьезных изменений во внутреннем строении звезды.
Влиянию различных осесимметричных полей на форму невращающихся самогравитирующих тел (с % = 8)посвящена обширная литература. Помимо расширения вследствие магнитного давления модель звезды, вообще говоря, теряет сферическую форму. Другими словами, магнитное поле в меридиональных плоскостях, проходящих через диаметр (т.е. полоидальное поле), как правило, соответствует сплюснутой фигуре равновесия, а поле, силовые линии которого — окружности, охватывающие какой-нибудь диаметр (т.е. тороидальное поле), как правило, соответствует вытянутой фигуре равновесия. При разных комбинациях полоидальных и тороидальных полей возможны сплюснутые, вытянутые или сферические формы свободной поверхности. Для построения последовательностей невращающихся центрально конденсированных тел, пронизываемых полоидальным и (или) тороидальным магнитными полями, использовались^ различные методы возмущений. Во всех этих исследованиях установлено, что если М/\ W\ мало, то мало и искажение поверхности, вызванное магнитным полем; при этом сплюснутость внешней поверхности порядка М/\ W\. Монаган (с помощью метода возмущений) и Микетинак (путем интегрирования точных уравнений внутреннего строения) нашли также внутреннее строение невращающихся политроп с очень сильными полоидальными полями дипольного типа. Их расчеты показывают, что при столь сильных полях и при М/1 W\, достигающем 0,25, все центрально конденсированные осесимметричные политропы сильно искажаются, когда магнитная энергия составляет несколько процентов от потенциальной гравитационной энергии. Кроме
того, установлено, что магнитное поле довольно слабо зависит от показателя политропы. Вследствие неравенства (10) все эти результаты не дают основания изменить вывод о том, что магнитные поля не могут заметно возмущать нормальную звезду или оказывать решающее воздействие на ее глобальные свойства.
В специальном случае, когда присутствуют только магнитные поля, скалярной теоремой вириала можно воспользоваться и для исследования устойчивости. В самом деле, полная энергия £ невращающейся звезды в состоянии равновесия равна
Е = % + М - I %1, (И) или с учетом (6)
Е = —(3)— 4)。丁 = -[(37 -4)/36 - 1)1(1 取I 一 Л/)・ (12) Поскольку полная тепловая энергия UT всегда положительна, а полная энергия устойчивых конфигурахщй должна быть отрицательной, в силу соотношения (12) для устойчивости необходимо, чтобы отношение удельных теплоемкостей у было больше %. Это условие справедливо и в отсутствие магнитного поля (см. разд. 6.4). Однако и в случае устойчивости)> % с увеличением М до своего верхнего предела I W\ энергия Е растет до нуля, оставаясь отрицательной. Поэтому можно сказать, что устойчивость невращающейся звезды в некотором смысле уменьшается с ростом магнитной энергии. Собственно говоря, если пульсации такой звезды более или менее радиальны, то при наличии магнитного поля фундаментальная частота колебания снижается. Как показали Чандрасекар и Лимбер, в первом приближении эта частота становится равной
а2 = (3)— 4)(1 %I/Z)(1 - М/\ W\). (13)
Это указывает на ослабление динамической устойчивости звезды с- усилением ее магнитного поля. Далее, аналогичные расчеты показывают, что все собственные частоты колебаний невращающихся политроп со слабыми магнитными полями меняются из-за этих полей лишь незначительно. Грубо говоря, если М/\ W\ 《1, то различные квадраты частот, рассмотренные в разд. 6.4, умножаются на (1 + аМ/\ %1), где а — (положительная или отрицательная) постоянная порвдка единицы, которая зависит от моды. (Получены также моды с квадратами частот а2 = fiM/\ %1, где 8 — положительные постоянные.) Следовательно, если только магнитная энергия не составляет существенной доли потенциальной гравитационной энергии, то маловероятно, что глобальная устойчивость звезды нарушится из-за наличия магнитного поля.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ЗВЕЗД
Удовлетворительной во всех отношениях теории магнитных полей звезд пока не существует. За последнее время получили развитие лишь теории остаточного магнетизма и механизма динамо. Согласно теории
остаточного магнетизма, магнитное поле звезды — это медленно исчезающий реликт поля, существовавшего в газе, из которого образовалась звезда. В теории динамо предполагается, что при движении вещества поперек магнитных силовых линий существующего поля возникают электрические токи, которые поддерживают это «затравочное» поле. Как мы увидим в разд. 15.5, перемена знака общего поля Солнца в ходе солнечного цикла свидетельствует в пользу объяснения поверхностных полей Солнца и подобных ему звезд механизмом динамо, а не остаточным магнетизмом. Напротив, большое время распада полей в магнитных звездах позволяет предполагать, что эти поля могут быть медленно исчезающими следами далекого прошлого: либо остатками межзвездного поля, существовавшего в первичном газовом облаке, из которого образовались эти звезды, либо поляйи, порожденными динамо и сохранившимися с более ранней эпохи, например с конвективной стадии сжатия до главной последовательности. Здесь мы остановимся главным образом на теории остаточного магнетизма звезд.
Рассмотрим первичное магнитное поле в звезде, в которой нет движений вещества, а, значит и источника для восполнения энергии, рассеиваемой за счет большой, но конечной электропроводности тела. В этих условиях уравнение (2) сводится к уравнению диффузии
ан/аг =(i/4w£)v2h, (14)
которое показывает, что магнитное поле затухает, просачиваясь в области с противоположным направлением поля, и там нейтрализуется. Это уравнение указывает, что по порадку величины характерное время затухания td локального поля, которое заметно меняется на х叩актерном расстоянии £, равно
〃 =4тг% 丄 2. (15)
Как впервые показал Каулинг в 1945 г., это время свободного затухания магнитного поля равно по порядку величины 1010 лет, и, следовательно, оно того же порядка, что и время жизни звезды, или больше. Впоследствии Врубель, пользуясь уравнением (14), явно уменьшил значение декремента для наиболее медленно затухающего дипольного компонента квазистационарного поля Солнца до 4 • 109 лет. Поэтому в отсутствие движений вещества маловероятно, что магнитное поле звезды станет заметно слабее за счет свободного затухания, если звезда образовалась с таким полем. Этот результат лежит в основе теории остаточного магнетизма звезд.
Поскольку многие данные свидетельствуют о наличии фонового галактического магнитного поля напряженностью в пределах 3 • 10一6— 5 . io 一6「с, теория остаточного магнетизма тесно связана с проблемой образования звезд в присутствии вращения и магнитных полей. В частности, как указывалось в разд. 11.1, как вращение, так и магнитное поле препятствуют гравитационному коллапсу протозвездных облаков с массами меньше 103 — 104 М ⑥.Кроме того, если силовые линии строго
вморожены в вещество, то полный магнитный поток через массу остается постоянным в процессе сжатия [см. разд. 3.6, уравнение (131)]; следовательно, согласно закону сохранения массы, магнитное поле должно расти как °%・(Если принять, что в коллапсирующем облаке Н = 10-6 Гс и р = Ю-24 г/см3, то в конечном счете напряженность может достигнуть 1010 Гс!) Первое препятствие можно частично преодолеть, предполагая, что сжатие вдоль силовых линий сильнее, чем поперек. Согласно Местелу и его сотрудникам, вследствие такой анизотропии гравитационного коллапса плотность может расти при почти постоянном магнитном поле, а это вполне может привести к процессу последовательных фрагментаций, в результате которого массы образующихся протозвездных фрагментов окажутся требуемого порядка величины. Однако, поскольку магнитная энергия этих протозвезд оказалась бы сравнимой с гравитационной энергией, теория остаточного магнетизма содержит много трудных проблем: 1) почему сильные поверхностные магнитные поля наблюдаются лишь у явного меньшинства звезд главной последовательности, причем все они, по-видимому, относятся к классу Ар? 2) Почему самые сильные наблюдаемые магнитные поля звезд все же так слабы? 3) Почему слабое общее поле Солнца, генерированное, возможно, идущим сейчас процессом динамо, не маскируется более сильным первичным полем, исходящим из недр Солнца?
Теория остаточного магнетизма привлекательна тем, что время омической диссипации магнитного поля в звезде без движений вещества велико по сравнению с характерным временем ее эволюции. Однако, чтобы объяснить слабость магнитных полей у большинства звезд, нужно найти эффективный процесс уничтожения потока. Для ослабления нежелательного потока предлагались различные пути. Например, Местел и Спитцер предположили, что магнитное поле и ионизированный компонент низкой плотности коллапсирующего облака вместе уносятся из газа на ранней стадии сжатия. Однако более поздние исследования дают основания считать, что в газо-пылевых облаках HI поток остается практически вмороженным и при гораздо более высоких плотностях. Поэтому, хотя и правдоподобно, что некоторые протозвезды теряют большую часть первичного магнитного потока путем амбиполярной диффузии, по* прежнему неясно, что же происходит с протозвездами, которые все-таки достигают главной последовательности, сохранив в основном свой первичный поток.
Хорошо известно, что на некоторой стадии квазистатического сжатия до главной последовательности немагнитная звезда полностью (или почти полностью) конвективна. К сожалению, взаимодействие между турбулентной конвекцией и заданными магнитными полями изучено еще плохо. Согласно Гафу, Моссу и Тейлеру, не исключено, что в звезде, магнитная энергия которой превосходит турбулентную энергию вихревых движений (и несомненно, в любой звезде, магнитная энергия которой сравнима с гравитационной), поток может сохраниться на стадии медленного сжатия, разумеется, если доугие механизмы (такие, как
магнитогидродинамические неустойчивости) не приведут к быстрому затуханию потока. Тем не менее Свит и Эльзассер показали для случая слабого первичного поля с энергией, значительно меньшей, чем турбулентная, что конвективные движения могут сильно уменьшить характерный размер магнитного поля и омическое затухание будет проходить гораздо быстрее (точно так же, как молекулярная диффузия за счет турбулентности может приводить к значительно более сильному перемешиванию). Спитцер возражал, что, хотя турбулентность может уменьшать слабое магнитное поле в турбулентной области, она не приводит к заметному изменению полного магнитного момента звезды. То есть поток будет сосредоточен в верхних слоях звезды, а скорость затухания дипольного компонента поля останется почти неизменной; по окончании конвективной стадии поле снова погрузится в недра звезды и приобретет более обычный дипольный вид. Если это рассуждение справедливо, то слабо намагниченные звезды будут достигать главной последовательности, сохраняя магнитный поток. Учитывая, что используемые параметры весьма неопределенны, мы не можем пока прийти к какому-либо надежному выводу.
Другой механизм, с помощью которого . можно избавиться от излдшнего магнитного потока в звезде, связан с тем, что многие конфигурации с магнитным полем могут обладать неустойчивостями с коротким характерным временем, а эти локальные неустойчивости могут приводить к усилению затухания поля. Этот подход использовали главным образом Марки и Тейлер, а также Райт. Они показали, что эти неустойчивости по существу те же, что и возникающие в лабораторных опытах с цилиндрическими и тороидальными пинчами в газовых разрадах, которые так затруднили попытки осуществить управляемые термоядерные реакции. В частности, оказалось, что в звезде с чисто полоидальными полями (силовые линии которых замкнуты внутри звезды) неустойчивость возникает скорее всего в окрестности нейтральной силовой линии, а ее инкремент соответствует времени, гораздо меньшему, чем характерное время тепловой эволюции звезды. Вызванные этими локальными неустойчивостями движения практически параллельны уровенным поверхностям. Тейлер вывел также критерии устойчивости чисто тороидальных полей и доказал неустойчивость обширного класса таких полей; в этом случае неустойчивость возникает вблизи оси симметрии звезды. Согласно Райту, смешанное полоидально-тороидальное поле может быть устойчивым, если тороидальный компонент достаточно велик, однако пока нельзя установить, многие ли из таких конфигураций полностью устойчивы к возмущениям с малым характерным временем. Пока неясно, к чему в конечном счете приводят эти локальные неустойчивости. До сих пор доказано лишь появление неустойчивости в невращающихся звездах, а нелинейный рост таких возмущений вообще не рассматривался. Высказывалось предположение, что в результате поток затухает, но это не было строго доказано. Кроме того, хотя некоторые конфигурации с магнитным полем и устойчивы относительно изоэнтропи-
ческих возмущений, конечные теплопроводность и электропроводность могут порождать другие неустойчивости. Изучение этих неизоэнтропических процессов еще только начинается.
Итак, несмотря на неясность в вопросе, может ли крупномасштабное первичное магнитное поле, пронизывающее протозвездное облако, сохраниться на стадиях сжатия к главной последовательности, наблюдения показывают, что звезда главной последовательности должна «уметь» снижать магнитный поток до значения, которое существенно меньше максимального предела (7), полученного из скалярной теоремы вириала. Такое снижение может происходить в процессе образования звезды (за счет амбиполярной диффузии), а также после того, как звезда сформировалась, либо за счет усиленного омического затухания, либо из-за магнитогидродинамических неустойчивостей. Тем не менее, даже если принять теорию остаточного магнетизма для сильно намагниченных звезд, мы должны еще объяснить, почему поверхностные поля высокой напряженности обнаруживаются лишь у звезд на небольшом участке главной последовательности. Часто высказывалось предположение, что весь первичный магнитный поток, сохранившийся в холодной звезде главной последовательности, перекачивается внешней конвективной зоной в ее недра и потому ненаблюдаем. (Если это верно, то поверхностные поля Солнца и звезд его типа порождены действующим сейчас процессом динамо и никак не связаны с первичным полем в его недрах, в лучистом ядре.) Аналогично, давно уже считается, что меридиональные токи, которые обязательно текут в лучистой зоне быстро вращающейся звезды верхней части главной последовательности, возмущают данное первичное поле, увлекая его силовые линии вглубь, в результате чего быстро вращающееся тело кажется ненамагниченным. (Для медленно вращающихся звезд верхней части главной последовательности, например для звезд класса Ар, такой механизм накачки будет менее эффективным, поэтому сильные поверхностные поля выявятся лишь у звезд с узкими спектральными линиями.) Местел и Мосс построили модели циркуляции, в которых магнитные силовые линии могут мигрировать в глубь звезды (см. разд. 8.3).
Поскольку общего согласия по вопросу о происхождении магнитных полей в звездах главной последовательности пока нет, отметим в заключение, что ряд исследований (в особенности Брагинского, а также Штеенбека, Краузе и Рэдлера) определенно указывает на то, что турбулентность с достаточной степенью анизотропии может играть роль динамо (см. разд. 15.5). Следовательно, даже когда звезда достигает главной последовательности с небольшим остаточным первичным полем, она почти наверняка приобретает поле за счет механизма динамо на конвективной стадии сжатия до главной последовательности. Подробные численные расчеты Шюсслера показывают, что в медленно сжимающейся твердотельно вращающейся звезде (со слабым магнитным полем и М » 2М©) механизм динамо способен генерировать магнитное поле, которое может сохраниться при переходе от полностью конвективной
стадии к стадии главной последовательности. На основании этого результата Шюсслер далее предположил, что во время сжатия звезд спектральных классов О и В поле не может порождаться механизмом динамо; другими словами, поскольку звезды более ранних спектральных классов, чем А, не проходят через полностью конвективную стадию, по достижении ими главной последовательности у них не должно быть заметного поля, порожденного механизмом динамо. В связи с этим Р. Вольф и С. Вольф показали, что звезда HR7129 спектрального класса В с узкими линиями (переменная с гелиевым спектром) обладает продольным магнитным подем, которое меняется от +7000 до -5000 Гс с периодом в 3,670 сут (см. разд. 15.4). Температура поверхности этой звезды составляет около 20000 К, т.е. она показывает, что явления, наблюдаемые в магнитных звездах класса Ар, распространяются и на гораздо более горячие звезды. Иными словами, если мы не хотим принять (очень неправдоподобную) идею, что поверхностное магнитное поле этой звезды раннего класса В отличается по своему происхождению от полей, наблюдаемых у звезд класса Ар, то мы вынуждены вновь вернуться к теории остаточного магнетизма для звезд верхней части главной последовательности.
МАГНИТНЫЕ ЗВЕЗДЫ
Обычно магнитные поля звезд измеряют методами, которые восходят к фотографическому методу, развитому Хэйлом в 1908 г. для исследования полей солнечных пятен и впервые примененному для изучения магнетизма звезд в 1947 г. Бэбкоком. Эти поля измеряются спектроскопически благодаря эффекту Зеемана, который позволяет найтн усредненное но всему диску поле, направленное к наблюдателю; поэтому такие измерения не дают распределения поля, а указывают лишь, что оно покрывает заметную долю звездного диска. Как было указано выше, почти все известные у невырожденных звезд сильные магнитные поля обнаружены у пекулярных звезд класса Ар, т.е. звезд, которые лежат на главной последовательности или вблизи нее, имеют эффективные температуры в интервале примерно 8000 ——15 000 К и характеризуются аномальным содержанием элементов в спектрах (см. разд. 12.4) . За исключением марганцевых, у всех звезд класса Ар, спектральные линии которых не очень уширены вращением, усредненные по поверхности поля заключены в
пределах от порога обнаружения до 34000 Гс . Лэндстрит, Борра, Энджел и Иллинг предприняли поиски сильных магнитных полей (之 1000 Гс) в «быстро» вращающихся звездах класса Ар (т.е. в звездах, у которых проекции экваториальных скоростей vp sin i 之 30 км/с). У 16 звезд не удалось с уверенностью наблюдать поля, а это показывает, что продольные поля сильнее 1000 Гс у «быстро» вращающихся звезд класса Ар встречаются значительно реже, чем у медленно вращающихся. Кратко перечислим главные свойства магнитных звезд класса Ар: 1) магнитные поля переменны, причем у многих звезд происходит изменение полярности на противоположную; 2) самый момент этого изменения часто сопровождается кросс-овер-эффектом, открытым Бэбкоком, т.е. систематическим различием ширин компонентов с правой и левой круговой поляризацией, на которые анализатор разбивает линию; 3) для всех звезд класса Ар с хорошо определенными периодами одинаковая периодичность проявляемся в изменениях магнитного поля, спектра и блеска; типичны периоды порядка 5 — 9 суток, но наблюдаются и гораздо более короткие и длинные периоды. (Отметим, что многие магнитные звезды, которые ранее классифицировали как неправильные, теперь относят к правильным переменным!); 4) ширины линий правильных переменных звезд класса Ар тем больше, чем меньше их период (этот эффект впервые заметил Дейч).
Для объяснения магнитных звезд класса Ар предлагались три теории: 1) магнитный осциллятор, 2) модель «цикла звездной активности», 3) наклонный ротатор. Теории магнитного осциллятора придерживаются в настоящее время очень немногие — из нее, по-видимому, не выводятся наблюдаемые периоды и перемена знака поля (см. разд. 15.2). Вторая теория, в которой делается попытка объяснить изменения магнитных полей по аналогии с циклом солнечной активности, также встречает трудности и уступает другим в четкости формулировки. Здесь мы рассмотрим главным образом, модель наклонного ротатора. Общепринято, что она дает естественное объяснение магнитных звезд класса Ар. Следуя пионерской работе ♦ Бэбкока, Стиббса и Дейча, мы предполагаем, что магнитная звезда класса Ар твердотельно вращается вокруг оси, расположенной под углом к лучу зрения, а ее магнитная ось образует некоторый угол с осью вращения. (Отметим, что эта модель не зависит от выбора между гипотезами остаточного магнетизма или механизма динамо: все, что мы требуем,——это достаточная стационарность магнитного поля на поверхности; тогда его наблюдаемые изменения происходят вследствие вращения звезды как твердого тела.)
Самое сильное свидетельство в пользу теории наклонного ротатора — это обнаруженная Дейчем обратная пропорциональность ширин линий периодических переменных звезд класса Ар и их периодов. В самом деле, предположив, что ширины линий определяются главным образом вращением звезды и что радиусы различных звезд класса Ар примерно одинаковы, получаем % ос i/尸，точнее,
ve = 50,6R/P, (16) где средний радиус R, экваториальная скорость вращения ve и период вращения Р выражены соответственно в солнечных радиусах, в км/с и в сутках. Поскольку угол наклона / оси вращения к лучу зрения не известен, формула (16) дает верхний предел значений % sin i, если верна теория наклонного ротатора. Согласно Престону, для всех звезд класса Ар R * 3,2 R ⑥ и ничто не указывает на возможное увеличение R с ростом %f у этих звезд. Для этого среднего значения и построена сплошная линия на рис. 15.1. Очевидно, оно согласуется с равенством периода изменения магнитного поля и периода вращения.
Модель наклонного ротатора удовлетворительно объясняет наблюдаемые изменения полярности магнитного поля, а также порядок величины, правило знаков и фазы кросс-овер-эффекта. А именно, когда полярность меняется, скажем, с положительной на отрицательную, ширины зеемановских компонентов линии согласуются с одновременным присутствием на видимом диске спектроскопических и (или) магнитных пятен, причем пятна с положительной полярностью удаляются, а с отрицательной ——приближаются. Очевидно, что этот эффект согласуется с моделью наклонного ротатора, поскольку изменения полярности объясняются здесь передвижением пятен разной полярности с видимого диска на невидимый и наоборот. Упомянем» наконец, что Борра и Вогэн получили независимое подтверждение теории наклонного ротатора: они наблюдали поперечный эффект Зеемана в линии Fell 入4520,2 в спектре 8 Северной Короны и обнаружили, что за период изменения магнитного поля звезды плоскость линейной поляризации поворачивается на 360°.
Все подробные исследования моделей магнитных звезд класса Ар с наклонным ротатором по необходимости являются феноменологическими: в них спрашивается, при каком распределении магнитного поля и при каком угле межау магнитной осью и осью вращения воспроизводятся наблюдаемые у данной звезды изменения поля. Самая простая модель, которую впервые рассмотрел Стиббс, представляет собой магнитный диполь, расположенный в центре звезды под углом к оси вращения. После работы Лэндстрита считается, что все магнитные переменные звезды лучше описывать с помощью полоидального поля, центр симметрии которого не совпадает с центром звезды. Кроме того, в соответствии со статистическим анализом Престона считается, что у большинства звезд класса Ар (но не у всех) ось вращения и магнитная ось приблизительно перпендикулярны друг другу. Тем не менее, как указал Престон, если исходить из модели наклонного ротатора, то одна особенность данных
Р^ су тки
Рис. 15.1. Зависимость проекции экваториальной скорости вращения от периода изменения магнитного поля для периодических переменных звезд класса Ар. Сплошная линия ——зависимость экваториальной скорости от периода вращения для звезд радиуса R = 3,2% (см. текст). Отметим, что для нанесенных на график точек кривая служит приемлемой верхней гранью. Кружки ——Si, точки — Sr, Сг, Eu. (Preston G. W. P.A.S.P., 83, 571, 1971.)
наблюдений вызывает тревогу: некоторые известные или подозреваемые магнитные звезды класса Ар обладают периодами от 100 суток до нескольких лет. Правда, более поздние наблюдения Вольфа подтверждают гипотезу, согласно которой периоды изменений звезд класса Ар следует всегда отождествлять с периодами вращения, наличие же звезд класса Ар с очен^ большими периодами объясняется потерей момента количества движения вследствие магнитного торможения той или иной природы (см. разд. 12.4). Как подчеркнул Каулинг, «решение вопроса о справедливости модели наклонного ротатора остается в основном за наблюдателями».
Несмотря на очевидное требование отсутствия симметрии относительно оси вращения, почти все попытки построить модели сильно намагниченных звезд главной последовательности были сконцентрированы на случае осе-
вой симметрии ——как для моделей в строгом лучистом равновесии без крупномасштабных меридиональных течений в лучистой зоне, так и для моделей, в которых учитывалась циркуляция. Поскольку в разд. 8.3 мы уже описывали модели магнитных звезд с медленными меридиональными течениями, здесь мы остановимся на осесимметричных моделях, магнит- ные поля которых порождают циркуляцию, в точности компенсирующую течения, вызываемые вращением, что приводит к твердотельно вращающейся конфигурации со строгим лучистым равновесием вблизи поверхности . Такие модели звезд со слабым дипольным полем и медленным твердотельным вращением впервые независимо рассмотрели Дэвис и Райт. Оба автора показали, что при фиксированной напряженности магнитного поля в центре звезды поля на поверхности быстро вращающихся моделей слабее, чем у медленно вращающихся при тех же непрозрачности и выделении энергии. Позднее Монаган и Робсон пришли к такому же выводу для осесимметричных моделей с сильными дипольными полями, а Монаган и Мосс ——для аналогичных моделей с мультипольными полями. Если исходить только из этого результата, то можно было бы предсказать, что те из магнитных звезд данного спектрального класса верхней части главной последовательности, которые вращаются медленнее, должны иметь более сильные поля на поверхности. Хотя неясно, можно ли применять это утверждение к сильно намагниченным звездам, не обладающим осевой симметрией (о его применимости свидетельствуют и наблюдения, очень многие, но не все), такой результат позволял бы по-другому объяснить наблюдаемые свойства звезд класса Ар и нормальных звезд класса А. (Как отмечалось в разд. 15.3, весьма возможно, что в быстро вращающихся звездах верхней части главной последовательности сильные магнитные поля не наблюдаются потому, что крупномасштабные меридиональные течения перекачивают силовые линии под поверхность звезды.) Так или иначе, результат Дэвиса ——Райта носит лишь умозрительный характер, поскольку рассматриваемые ими поля чисто полоидальны, а значит, динамически неустойчивы (см. разд. 15.3). Поэтому Мосс построил также модели, соответствующие твердотельно вращающимся звездам верхней части главной последовательности, которые содержат смешанные полоидально- тороидальные поля. Оказалось, что полоидальные и тороидальные потоки равновесных моделей сравнимы, и потому разумно считать, что некоторые из них стабилизированы относительно локальных неустойчивостей, свойственных чисто полоидальным полям. Поскольку предполагается, что поля симметричны относительно оси вращения, подробное сравнение с данными наблюдений, по-видимому, невозможно и здесь. Монаган попытался как-то исправить этот недостаток, предположив, что вращение по-прежнему твер-
дотельно, а магнитное поле несимметрично относительно оси вращения. Вводя поле при помощи наклонного диполя, Монаган нашел, что отношение центрального поля к поверхностному уменьшается с ростом угла между осью вращения и магнитной осью. Таким образом, поля на поверхности магнитных звезд, у которых этот угол велик, скорее всего, будут более, сильными. Тем не менее, поскольку с ростом отношения энергии вращения к магнитной энергии имеет место расходимость вычислений, до тех пор пока не будут проведены более подробные расчеты, экстраполировать эти результаты следует с большой осторожностью.
В заключение упомянем два других механизма, которые могут приводить к самопроизвольному увеличению угла х между магнитной осью и осью вращения, что требуется и в модели наклонного ротатора, и для обращений полярности, наблюдаемых у большинства магнитных звезд класса Ар. Первый механизм, обобщающий рассмотренный в разд. 11.4 процесс магнитного торможения, разработан Местелом и Селли. Они постулируют наличие наклонного ротатора и звездного ветра, так что возникающий вследствие потери момента количества движения момент сил вызывает прецессию мгновенной оси вращения в звезде и вращение магнитной оси в пространстве. Приближенные вычисления показывают, что если торможение за счет звездного ветра не слишком велико, то изменение угла х всегда мало. Второе объяснение, при котором связь с внешней средой совершенно не учитывается, было предложено впоследствии Местелом и Такхаром. Для простоты вмороженное магнитное поле считается симметричным относительно оси, которая наклонена под углом х к вектору момента количества движения. Тогда из- за одновременного действия магнитной и центробежной сил тело будет обладать тремя неравными осями инерции; если бы оно было твердым, его движение можно было приближенно описать как комбинацию вращения, эйлеровой нутации и периодического покачивания магнитной оси в пространстве. Но в газовой звезде негидростатические напряжения поддерживаться не могут, поэтому она будет реагировать на нутацию сложной совокупностью внутренних движений. Как впервые отметил Спитцер, эти движения должны приводить к диссипативным процессам, которые откачивают энергию из поля скоростей вращения и тем самым постепенно меняют угол х до тех пор, пока звезда не начнет вращаться вокруг главной оси. Согласно расчетам Местела и Такхара, если звезда вытянута вдоль магнитной оси (возможно, из-за смешанного полоидально- тороидального поля), то совместное влияние нутации и диссипации внутри звезды приводит к тому, что вектор момента количества движения становится параллельным наибольшей главной оси. Таким образом, в этом случае ось вращения оказывается в конце концов перпендикулярной магнитной оси. Оценки скоростей диссипации позволяют предположить, что необходимое для большинства магнитных звезд класса Ар большое значение угла х может достигаться задолго до окончания жизни звезды.
СОЛНЕЧНОЕ ДИНАМО И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ
Картина магнитных полей на Солнце весьма пестра: общее магнитное поле напряженностью всего несколько гауссов, покрывающее большую часть поверхности, и сильные локализованные поля (до 4000 Гс) в солнечных пятнах и активных областях. В северной полярной области выше гелиоцентрической широты © = 55° преобладает слабое поле напряженностью примерно 1 Гс; приблизительно такое же поле противоположной полярности занимает соответствующую область в южном полушарии. Вблизи максимума солнечной активности в двух последних циклах наблюдалось обращение полярностей этих полей. Однако пока не ясно, всегда ли эти поля сохраняют преобладающую полярность в соответствии р «точным расписанием», синхронизированным с фазой 22летнего солнечного цикла. Аналогично, несмотря на то что детальная картина изменений магнитных полей в широкой экваториальной области чрезвычайно сложна, общая картина этих полей в целом повторяется с солнечным циклом, хотя эта регулярность и носит лишь статистический характер. Два примера такой статистической регулярности ——это обращение магнитных полярностей солнечных пятен в начале новой 11летней половины солнечного цикла и картина магнитных полей фотосферы по линии восток — запад. Слабые поля Солнца уносятся солнечным ветром и заполняют всю Солнечную систему до расстояний 30 а.е. и больше.
Хотя по магнитным полям на поверхности можно лишь косвенно судить о том, какие поля содержатся во внутренних областях Солнца, обычно считается, что наблюдаемые поля всплывают из водородной конвективной зоны, а солнечные пятна и биполярные магнитные области свидетельствуют о наличии на некоторой глубине под фотосферой общего тороидального поля напряженностью несколько сотен гауссов. Кроме того, поскольку наблюдения показывают, что за каждую 11-летнюю половину полного солнечного цикла эти тороидальные полосы перемещаются с широт порядка 45° к экватору, теперь принято считать, что поддержание солнечных полей ——это активный процесс, в ходе которого давно исчезли все следы первичного поля. Вот другие доводы в пользу миграционного механизма динамо в конвективной зоне Солнца: 1) турбулентная конвекция в этом поверхностном слое разрушила бы первичное поле лет за десять, 2) наблюдаемые в двух последних циклах солнечных пятен обращения полей вблизи полюсов противоречат существованию первичного поля. Таким образом, ниже мы предполагаем, что мигрирующие солнечные магнитные поля поддерживаются вопреки омической диссипации благодаря совместному воздействию дифференциального вращений и турбулентных движений в конвективной зоне. Проблема солнечного динамо не раз подробно рассматривалась в литературе, для нашей цели достаточно краткого обзора, дающего
информацию о (ненаблюдаемом) состоянии дифференциального вращения в субфотосферной конвективной оболочке из (наблюдаемых) свойств цикла солнечной активности.
Принцип механизма динамо впервые предложил Лармор в 1919 г.; этот механизм может действовать, если проводящая жидкость двигается таким образом, что возникают электродвижущие силы, способные поддерживать «затравочное» поле вопреки омической диссипации. Однако это никоим образом не вечный двигатель, поскольку энергия должна поставляться силами, вызывающими движение жидкости, и преобразовываться в магнитную энергию. Большинство исследований Солнца было посвящено так называемому кинематическому динамо, когда течение жидкости в конвективной эоне задается, а обратная реакция магнитного поля, препятствующего движению, не учитывается. Для задач физики Солнца такое приближение вполне приемлемо: 1) возбуждение за счет динамо должно возникать при произвольно малых затравочных полях и 2) средняя плотность магнитной энергии мала по сравнению с плотностью кинетической энергии в фотосфере. Поэтому естественно и удобно рассматривать сглаженные магнитные поля, а солнечный цикл истолковывать статистически. Напротив, движения нельзя сглаживать — для действия динамо и генерации мигрирующих магнитных полей в конвективной зоне и фотосфере Солнца нужны и крупномасштабные движения (такие, как дифференциальное вращение и меридиональные течения), и нерегулярные мелкомасштабные движения (такие, как турбулентность).
Открытие Каулингом в 1934 г., что симметричное относительно оси стационарное магнитное поле не может поддерживаться механизмом динамо, помешало всем ранним попыткам построить солнечное динамо. В самом деле, на некоторой окружности с центром на оси полоидальная составляющая такого поля должна обращаться в нуль, а значит, механизм динамо не может генерировать электродвижущую силу и ток вдоль этой нейтральной линии. Поэтому силовые линии вблизи этой окружности должны сжиматься к ней и стационарное магнитное поле в ее окрестности сохраняться не может. Вейсс предложил более общий подход к теореме Каулинга. Рассмотрим прежде всего осесимметричные поля и скорости внутри дифференциально вращающегося тела. Их можно разложить на полоидаль- ные и тороидальные составляющие:
Н =心 + /* V = % + %* (17) где I伊—единичный вектор в азимутальном направлении. (Отметим, что vp описывает меридисжальные течения, а % = Q& — скорость вращения.) Тогда ^-компонент для уравнения (2) будет иметь вид
^停)+ dW停» Н. • grad©) + 証2 _ 乡A, (18)
Второй член в левой части этого уравнения описывает адвекцию торой-
дальнего магнитного поля потоком жидкости； однако, как следует из правой части, тороидальный поток, возникающий в результате дифференциального вращения из полоидального поля, может компенсировать омические потери. Но полоидальное магнитное поле можно выразить через тороидальный векторный потенциал
Hp = rot(£Q), (19) так что интегрирование уравнения (2) дает
dA/dt + &一1" • grad(aL4) = %У? — &~2)4 (20) В отличие от уравнения (18) правая часть уравнения (20) чисто диссипативна. Из этого уравнения следует, что регенерация полоидального потока из тороидального поля невозможна: Нр должно в конечном счете затухать, а вслед за ним и Н中.Другими словами, осесимметричные поля скоростей такие, как при дифференциальном вращении, непригодны для поддержания осесимметричных магнитных полей при наличии омической диссипации.
Поэтому реалистическая модель динамо должна быть неосесимметричной и обладать таким усредненным по азимуту полем Н, что его полои- дальная составляющая поддерживается тороидальной э. д. с.
(V х % (21)
Как мы увидим ниже, в современных моделях фигурируют движения двух характерных размеров. В таком случае, усредняя по азимуту 勿,мы получаем упрощенное выражение для этой средней э. д. с., с помощью которого можно решить уравнение индукции для осредненного поля Н. Следовательно, главная задача — найти подходящие движения, способные препятствовать омической диссипации такого поля.
Из уравнения (18) следует, что тороидальное поле легко получить из полоидального посредством дифференциального вращения: такое крупномасштабное движение обязательно искажает любое полоидальное поле и вытягивает силовые линии в азимутальное поле. Однако для регенерации исходного полоидального поля за счет азимутальной составляющей необходимо, чтобы движения не обладали осевой симметрией. Это безусловно верно для турбулентной конвекции под поверхностью Солнца. Как впервые указал Паркер в 1955 г.» механизм регенерации можно представить себе следующим образом. Под действием кориолисовой силы конвекция становится циклонической, при этом поднимающаяся ячейка жидкости вращается, а силовые линии тороидального поля вытягиваются в петли с ненулевой проекцией на меридиональную плоскость. Большое число таких петель сливается, восстанавливая полоидальное поле. Таким образом, согласно Паркеру, кориолисова сила упорядочивает конвекцию, приводя к дифференциальному вращению (вследствие чего тороидальное поле образуется из полоидального) и заставляя циклонически вращаться отдельные конвективные ячейки (благодаря чему полоидальное поле образуется из тороидального). На основании этого топологического рассуждения Паркер эвристически утверждал, что скорость регенерации полоидального поля
пропорциональна напряженности тороидального поля, т.е. циклоническая конвекция порождает среднюю э. д. с.
% = %(22)
где (переменный) коэффициент Г служит мерой средней скорости и интенсивности локальной циклонической конвекции. (На Солнце благодаря кориолисовой силе эти движения направлены по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой стрелки в южном.) Следовательно, уравнение (20) нужно теперь заменить на
ЬА/Ы + &т> • grad(Z) = ГН^ + ^(V2 - L)力 (23) Благодаря наличию в уравнении (23) добавочного члена механизм динамо оказывается возможным.
Позже формальный расчет Штеенбека, Краузе и Рэдлера показал, что циклоническая турбулентность (а фактически любая турбулентность, не обладающая зеркальной симметрией) действительно способна регенерировать магнитные поля; иными словами, общее воздействие этой мелкомасштабной анизотропной турбулентности на осредненное поле Н описывается при помощи средней э. д. с.
в = аН - 3 rotH,(24)
где
а = - Иг vz : rotv,, 6 = %W • W,(25)
г — время корреляции для турбулентного вихря, а V' — турбулентная скорость. Поскольку при однородной изотропной турбулентности (переменный) коэффициент а обращается в нуль, существование этой э. д. с. («-эффект) связано с наличием ненулевой спиральности, соответствующей движениям с кручением и с некоторым преимущественным направлением вращения. Согласно Краузе, спиральность турбулентности в конвективной зоне Солнца обеспечивается кориолисовой силой, поэтому функция а имеет вид
а =(T2vjQ/Hp) cos0,(26)
где 出 ——среднее квадратичное значение турбулентной скорости, О ——угловая скорость, Нр ——характерная высота по плотности, а 6 ——полярный угол. Учитывая эти результаты, теперь с помощью уравнения (1) можно найти соотношение между средним полем скоростей v и средним магнитным полем Н аН/а» = rot(v х Н + аН) — rotg rotH),(27)
поскольку магнитная вязкость vm значительно меньше вихревой вязкости 6 (ср. с разд. 8.4). Уравнение (27) с заданными значениями а, 6 и v описывает кинематическое aw-динамо, в котором из-за деформации сдвига, вызванного дифференциальным вращением (з-эффекта) исходйое полоидальное поле преобразуется в тороидальное, а полоидальное поле противополож-
ноЬ полярности порождается из тороидального за счет циклонической турбулентности (a-эффекта) в конвективной зоне Солнца *. Если наложить соответствующие граничные условия, то проблема солнечного динамо превращается в задачу о поиске собственных значений: нужно найти такие собственные значения, скажем 入，что соответствующие им решения Н(х, 0 = Но(х)ехр(ХО растут или по крайней мере не затухают со временем.
Паркер первым высказал предположение, что среднее магнитное поле, определяющее 22-летний солнечный цикл, является колебательным решением аз・динамо. Теперь имеется много моделей динамо, при помощи которых можно неплохо объяснить поддержание и изменение солнечных полей,——от полуэмпирической модели Лейтона до модели Штеенбека и Краузе, разработанной более в теоретическом плане. В целом во всех этих моделях речь идет об образовании тороидального потока за счет дифференциального вращения в конвективной зоне Солнца и о глобальном влиянии неосесимметричных движений, из-за которого регенерируется полои- дальное поле. Неясным в этих кинематических моделях остается в основном следующее: 1) как меняется крупномасштабное поле скоростей v в конвективной зоне Солнца с изменением глубины и полярного угла, 2) какое из наблюдаемых или подразумеваемых конвективных движений лежит в основе механизма динамо для регенерации полоидального поля? Поскольку ответы на эти вопросы известны очень плохо, функции а&,夕)，6(八夕)，0(乙 夕) и Vp(r,夕)обычно выбирают так, чтобы получались решения, подобные тем периодическим изменениям, которые связаны с солнечным циклом. В частности, установлено, что модели солнечного динамо очень чувствительны к величинам 80/86 и ЭЙ/Эг. Это весьма удачно, поскольку зависимость О от глубины и широты должна теперь удовлетворять двум независимым условиям: 1) значения Й(г,夕)должны согласовываться с наблюдаемой на поверхности Солнца угловой скоростью 口(R©,夕)(см. разд. 2.2), 2) эта зависимость должна быть такой, чтобы теории динамо воспроизводили наблюдаемый цикл солнечной активности. Таким образом, теории дифференциального вращения (рассмотренные в гл. 9) и современные теории динамо оказываются тесно связанными между собой, так что они накладывают строгие ограничения друг на друга.
Частный результат теории аз・динамо состоит в том, что среднее тороидальное поле перемещается от высоких широт к солнечному экватору, если произведение а • (ЭЙ/dr) отрицательно в северном и положительно в южном полушарии. (С изменением знака а • (ЭО/Эг) это направление меняется на противоположное.) Поэтому в большинстве моделей динамо сол-
* Предлагались и другие механизмы динамо для средних магнитных полей: 1) а2 — динамо, в котором самоподдерживающиеся решения уравнения индукции для осредненного магнитного поля получаются за счет одного лишь «-эффекта (Штеенбек и Краузе), и 2) П х J-динамо, которое не зависит от спиральности турбулентности; вместо этого оно использует среднюю э. д. с., перпендикулярную вектору угловой скорости Р и средней плотности электрического тока j = rotH (Рэдлер).
нечного цикла требуется, чтобы угловая скорость возрастала с глубиной (30/» < 0), между тем как в большей части теорий дифференциального вращения предсказывается уменьшение угловой скорости с глубиной (80/8厂 > 0), поскольку ограничения на вращение обычно приводят к постоянству угловой скорости на цилиндрах, соосных оси вращения. Однако, согласно Иошимуре, в нижней части конвективной зоны Солнца a-член (связанный с глобальной конвекцией) меняет знак и становится отрицательным. Поэтому условие постоянства 0 на цилиндрах могло бы быть совместимо с моделью солнечного цикла Иошимуры, если, как утверждал Паркер , наблюдаемые тороидальные поля порождаются в нижней части конвективной зоны. Правда, как указал Стикс, между тороидальной и по- лоидальной составляющими среднего магнитного поля наблюдается фазовое соотношение, которое не будет справедливо, если 0 уменьшается с глубиной. Упомянем в связи с этим результат Келера, гласящий, что для циркуляционных течений, которые поднимаются у полюсов и погружаются на экваторе, т.е. для меридиональных течений, приводящих к дифференциальному вращению с более высокой скоростью на экваторе, угловая скорость должна расти с глубиной. Сейчас еще не ясно, так ли противоречивы эти результаты, поскольку приближения, которые использовались в (независимых) теориях дифференциального вращения и динамо, для Солнца не всегда оправданы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе мы не пытаемся дать полную библиографию. Можно отметить следующие общие ссылки:
Cowling Т. G. Magnetic Stars, 加 Stellar Structure, eds., Aller L. H., McLaughlin D. B., Chicago: The Univ, of Chicago Press, 1965, pp. 425 — 463.
Ledoux P., Renson R Magnetic Stars,加 Ann. Rev. Astron. Astrophys., 4, pp. 293 — 352, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1966.
Mestel £. The Theory of Magnetic Stars, in Quart. J. Roy. Astron. Soc. London, 12, 402 — 416, 1971.
Mestel L. Stellar Magnetism and Rotation, in Stellar Evolution, eds. Chiu H. Y., Muriel A., Cambridge, Massachusetts: The M. I. T. Press, 1972, pp. 643 — 734.
Mestel L. Effects of Magnetic Fields, in M6m. Soc. Roy. Sci. Liёge (6), 8, 79 — 91, 1975.
Классическая работа по рассматриваемому здесь вопросу следующая:
Chandrasekhar S.t Fermi Е. Astrophys. J., 118, 116 — 141, 1953; 122, 208, 1955. Пионерские работы Ферраро, Прендергаста, Вентцеля и Волтьера упоминаются в [1> 2]. Из многих статей, посвященных влиянию магнитного поля на строение само- гравитирующих систем, мы упомянем лишь те, которые связаны с невращающими- ся центрально конденсированными телами:
Monaghan J. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 131, 105 — 119, 1965; 132, 1 - 14, 1966; 134, 275 — 285, 1966.
Roxburgh L W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 132, 347 — 358, 1966.
Van der Borght R. Austral. J. Phys., 20, 643 — 650, 1967.
Monaghan Z J. Zeit. f. Astrophys., 69, 146 — 153, 1968.
Sinha N. K. Austral. J. Phys., 21, 283 — 291, 1968.
Chiam Г C., Monaghan J. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 155, 153 — 167, 1971.
Miketinac M J. Astrophys. and Space Sci., 22, 413 — 419, 1973 ; 35, 349 — 362, 1975.
Проблема глобальных колебаний и устойчивости намагниченного тела впервые разобрана в работах
Chandrasekhar S., Limber D. N. Astrophys. J., 119, 10— 13, 1954.
Ledoux P., Simon R. Ann. Astrophys., 20, 185 — 195, 1957.
WentzelD. G・ Astrophys. J., 135, 593 — 598, 1962.
Woltjer £. Astrophys. J., 135, 235 — 237, 1962.
Подробные оценки влияния различных магнитных полей на собственные частоты невращающихся сжимаемых конфигураций можно найти в статьях
Roxburgh I. W., Durney В. R. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 135, 329 - 337, 1967.
Tassoul J. L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 138, 123 — 136, 1968.
Anand S. R S. Astrophys. and Space Sci., 4, 255 — 274, 1969.
Singh S., Tandon J. N Astron, and Astrophys., 2, 266 — 273, 1969.
FaMman G. G. Astrophys. Space Sci., 12, 424 — 455, 1971,
Sood N. ^., Trehan S. K. Astrophys. Space Sci., 10, 393 —401, 1971; 16, 451 — 464, 1972; 19, 441 — 467, 1972; 33, 165 — 172, 1975.
Trehan S. К., Billings P. E Astrophys. J., 169, 567 — 584, 1971.
Goossens M Astrophys. Space Sci., 16, 386 — 404, 1972; 43, 9 — 18, 1976.
Trehan S. K., Uberoi M S. Astrophys. J., 175, 161 — 169, 1972.
Billings P. F., Singh M, Trehan S. K. Astrophys. and Space Sci., 25, 457 — 469, 1973.
Grover S. P., Singh S., Tandon J. N. Astron, and Astrophys., 22, 133 — 137, 1973.
Miketinac M J. Astrophys. Space Sci., 28, 193 — 203, 1974.
Goossens M, Smeyers P., Denis J. Astrophys. and Space Sci., 39, 257 — 272, 1976.
Sobouti У. Astron. Astrophys., 55, 339 — 346, 1977.
В своем изложении мы в значительной степени следуем [3 — 5]. Ббльшая часть работ по этой тематике упомянута в [1 ——6]. Теория остаточного магнетизма впервые рассматривалась в работе
Cowling Т. G. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 105, 166 — 174, 1945.
См. также
WrubelM. Я. Astrophys. J., 116, 291 — 298, 1952.
Smith T. S. Astrophys. J., 139, 767 — 772, 1964
Теория образования звезд в магнитных пылевых облаках разрабатывалась в статье
Mestel £., Spitzer L., ". Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 116, 503 — 514, 1956.
См. также [1, pp. 238 — 242； 9, 10] к гл. 11. Из пионерских работ по влиянию турбулентности на магнитное поле можно упомянуть следующие:
Sweet Р. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 110, 69 — 83, 1950.
7. Elsasser W. M. Rev. Mod. Phys., 28, 135 — 163, 1956.
См. также
Spitzer L., Jr. Astrophys. J., 125, 525 — 534, 1957.
Parker E. N Astrophys. J., 138, 552 — 575, 1963.
Weiss N. O. Proc. Roy. Soc. London, A, 293 , 310 — 328. 1966.
Влияние магнитного поля на критерий Шварцшильда изучалось в работах
Gough D. О., Tayler R. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 133, 85 — 98, 1966.
Kovetz A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 137, 169— 174, 1967.
Moss P. £., Tayler R. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 145, 217 — 240, 1969; 147, 133 — 138, 1970.
Различные локальные неустойчивости рассмотрены в статьях
Schubert G. Astrophys. J., 151, 1099 — Ш0, 1968.
Вандакуров Ю. В. Астрон. ж., 49, 324 — 333, 1972.
Markey Р., Tayler R. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 163, 77 — 91, 1973; 168, 505 — 514, 1974.
Tayler R. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 161, 365 — 380, 1Л73.
Wright G. A. E Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 162, 339 — 358, 1973.
В тексте излагаются также работы
Брагинский С. И. ЖЭТФ, 47, 1084 — 1098, 2178 — 2193, 1964.
Steenbeck М., Krause F., Radler K.-H. Zeit. f. Naturforschg., 21a, 369 — 376, 1966.
Schiissler M. Astron, and Astrophys., 38, 263 — 270, 1975.
См. также [55]. Работа по близкой тематике:
Дробышевский Э. М. Астрофизика, 9, 119 — 138, 1973.
Результаты измерений сильных магнитных полей приводятся в статьях
Wolff S. С., Morrison N. D. Publ. Astron. Soc. Рас., 86, 935 — 939, 1974.
Landstreet J. P., Borra E. E, Angel J. R. P., tiling R. M. E. Astrophys. J., 201, 624 — 629, 1975.
5. Wolff R. J., Wolff S. C. Astrophys. J., 203, 171 — 176, 1976.
Wolff S. C., Hagen W. Publ. Astron. Soc. Pac., 88, 119 — 121, 1976.
Модель наклонного ротатора подробно рассматривается в работе
Preston G. W. The Rotation of the Ap Stars from the Point of View of the Rigid Rotator Model, in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 254 — 263.
В этой работе упоминается и пионерская работа Бэбкока, Стиббса и Дейча; см. так-
же [64] к гл. 12. Дальнейшие разработки модели наклонного ротатора можно найти в статьях
Landstreet J. Р. Astrophys. J., 159, 1001 — 1007, 1970.
Hockey М S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 152, 97 — 107, 1971.
Huchra J. Astrophys. J., 174, 435 — 438, 1972.
Borra E. F. Astrophys. J., 187, 271 —274, 1974; 188, 287 — 290, 1974; 193, 699 — 703, 1974.
Monaghan Л J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 167, 163 — 168, 1974.
Stiff M. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 169, 471 — 476, 1974; 172, 133 — 139, 1975.
WolffS. C. Astrophys. J., 202, 127 — 136, 1975.
Borra E. E, Vaughan A. H. Astrophys. J. Letters, 210, L145 — L147, 1976.
Borra E. E, Landstreet J. D. Astrophys. J., 212, 141 — 148, 1977.
В [5] имеется интересный обзор теоретических работ по равновесным магнитным полям во вращающихся звездах. См. также
Davies G. Е Austral. J. Phys., 21, 293 — 305, 1968.
Вандакуров Ю. В. Астрон. ж., 45, 103 — 114, 813 — 822, 1968.
Wright G. A. E. Mon. Roy. Astron. Soc. London, 146, 197 — 212, 1969.
Trasco J. D. Astrophys. J., 161, 633 — 642, 1970.
Monaghan J. J., Robson K. W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 155, 231 — 247, 1971.
Maheswaran M., de Silva H. А. В. M Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 162, 289 — 293, 1973.
Monaghan J. J. Astrophys. J., 186, 631 — 642, 1973.
Monaghan J. J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 163 , 423 — 435, 1973.
Moss D. L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 164, 33 — 51, 1973; 171, 303 — 309, 1975; 173, 141 — 160, 1975; 178, 61 — 70, 1977.
Smith R. C. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 173, 97 — 102, 1975.
Das M. K., Tandon J. N. Astrophys. J., 209, 233 — 242, 1976.
Monaghan J. J. Astrophys. and Space Sci., 40, 385 — 391, 1976.
Теоретические труды по модели наклонного ротатора
Spitzer L., Jr. in Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, ed. B. Lehnert, Cambridge: At the Univ. Press. 1958, pp. 169 — 181.
Mestel L, Takhar H. 5. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 156, 419 — 436, 1972. См. также [78] к гл. 11.
Механизму динамо в небесных телах посвящена обширная литература. Ббльшая часть ранних ссылок упоминается в работах
Parker Е. N The Origin of Solar Magnetic Fields, in Ann. Rev. Astron. Astrophys., 8, pp. 1 — 30, Palo Alto, California: Annual Reviews, Inc., 1970.
Weiss N. O. Theories of Laige Scale Fields and the Magnetic Activity Cycle, in Solar Magnetic Fields, ed. Howard R., Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1971., pp. 757 — 769.
Gubbins D. Theories of the Geomagnetic and Solar Dynamos, Rev. Geophys. Space Phys., 12, 137 — 154, 1974.
Другие работы приведены в
Bumba К, Kleczek J., eds., Basic Mechanisms of Solar Activity, Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1976.
Особенно см. заключительные рассуждения (pp. 479 — 481) Дэрни, Гилмана и Стикса. Наблюдения магнитных полей Солнца описываются в работах
Stenflo J. О. Solar Phys., 23, 307 — 339, 1972.
Gillespie В., Harvey J., Livingston W.t Harvey K. Astrophys. J. Letters, 186, L85 — L86, 1973.
Из многочисленных теоретических работ по механизму динамо и солнечному циклу можно сослаться на следующие:
Parker Е. N. Astrophys. J., 122, 293 — 314, 1955; 164, 491 — 509, 1971; 198, 205 — 209, 1975.
Leighton R. В. Astrophys. J., 156, 1 — 26, 1969.
SteenbeckМ.、KrauseF. Astron. Nachr., 291, 49 — 84, 1969.
Ирошников P. С. Астрон. ж., 47, 1253 — 1267, 1970.
Deinzer W., Stix M. Astron, and Astrophys., 12, Ш — 119, 197h
Stix M. Astron, and Astrophys., 13 , 203 — 208, 1971; 20, 9— 12, 1972; 24, 275 一 281, 1973; 37, 121 一 133, 1974; 47, 243 — 254, 1976.
Lerche /., Parker E. N. Astrophys. J., 176, 213 — 223, 1972.
Roberts R H. Phil. Trans. Roy. Soc., London, A, 272, 663 — 698, 1972.
Roberts P. Я., Stix M. Astron, and Astrophys., 18, 453 — 466, 1972.
Yoshimura Я. Astrophys. J., 178, 863 — 886, 1972; 201, 740 — 748, 1975.
Kohler H. Astron, and Astrophys., 25 , 467 — 476, 1973.
Deinzer %., Kusserow H.-U., Stix M. Astron, and Astrophys., 36, 69 — 78, 1974,
Jepps S・ A. J. Fluid Mechanics, 67, 625 — 646, 1975.
Yoshimura H. Astrophys. J. Suppl., 29, 467 — 494, 1975.
Unno %・,Ribes E. Astrophys. J., 208, 222 — 223, 1976.
Yoshimura Я. Solar *hys., 50, 3 — 23, 1976.
Дифференциальное вращение, меридиональные течения и механизм динамо рассматриваются в статьях
Tuominen Z. К, Tuominen J. Astrophys. Letters, 1, 95 — 97, 1968.
Kohler Я. Solar Phys., 34, 11 一 14, 1974.
Durney В. R. Astrophys. J., 199, 761 — 764, 1975.
Работы по близкой тематике:
Piddington J. Я. Astrophys. and Space Sci., 38, 157 — 166, 1975.
Вандакуров Ю. В. Астрон. ж., 52, 351 — 358, 1975.
Wolff С. L・ Astrophys. J., 205, 612 — 621, 1976.
16
ВРАЩЕНИЕ В ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ
ВВЕДЕНИЕ
Основное место в этой книге занимал вопрос о влиянии вращения на внутреннее строение, эволюцию и устойчивость одиночной звезды. В предыдущей главе мы показали, что магнитные поля приводят к появлению новых степеней свободы, а это вносит в проблему вращения ряд новых элементов. Другие интересные задачи возникают при изучении двойных, компоненты которых достаточно близки, чтобы вызвать друг у друга приливные возмущения. (Основные данные наблюдений, связанные с этими вопросами, приведены в разд. 2.4.) Поскольку в современной литературе проблеме двойных звезд посвящено много*исчерпывающих обзоров, мы за・ тронем вопрос о тесных двойных лишь в той мере, в какой он имеет отношение к общей теории вращения и к звездной гидродинамике. Основные идеи об образовании двойных и кратных систем уже рассматривались в гл. 11; здесь мы остановимся главным образом на совместном влиянии вращения и приливного взаимодействия на основные свойства компонентов тесных двойных. В разд. 16.2 на основе идеализированных моделей рассматривается задача определения внутреннего строения компонента двойной при синхронном вращении. Далее в разд. 16.3 мы остановимся на различных физических механизмах, способных привести к синхронизации периодов осевого вращения и орбитального обращения в тесных двойных. Глава заканчивается кратким анализом истечения газа из компонента тесной двойной, теряющего массу.
СИНХРОННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ
Если пренебречь возмущениями, которые могут вызываться магнитны* ми полями, то компоненты тесной двойной испытывают деформацию двух типов: полярное сжатие из-за вращения вокруг осей, проходящих через их центры масс, и приливы, которые один компонент вызывает на другом. Кроме того, поскольку оба этих эффекта приводят к отклонению от сферической симметрии, чтобы в лучистых зонах одновременно выполнялись условия механического и теплового равновесия, следует учитывать крупномасштабные меридиональные течения. Почти во всех исследованиях внутреннего строения вращающихся звезд, деформированных гравитационным полем близкого спутника, подразумевалось, что эти звезды всегда остают-
ся в механическом равновесии; меридиональной циркуляции не уделялось должного внимания. Приближение механического равновесия, безусловно, оправдано, если угловая скорость компонента двойной как по величине, так и по направлению равна угловой скорости обращения по орбите (т.е. если твердотельное вращение точно синхронизировано с круговым орбитальным движением и приливные горбы стационарны). Откладывая изучение некоторых нестационарных задач до разд. 16.3, рассмотрим прежде всего сильно идеализированные эллипсоиды Роша, уже на их примере можно увидеть интересные особенности проблемы двойных звезд. Затем мы займемся центрально конденсированными деформированными приливным взаимодействием моделями и завершим раздел кратким описанием так называемой модели Роша, которая во многих случаях служит простым и полезным представлением реальных тесных двойных.
Как мы видели в разд. 10.2, общие свойства вращающихся тел адекватно описываются при помощи сфероидов Маклорена. Поэтому сначала мы рассмотрим равновесие и устойчивость одного класса эллипсоидальных фигур, которые получаются, если помимо осевого вращения в первом приближении учитываются возмущения, вызываемые соседней массой. В самой простой задаче, впервые решенной Рошем в 1850 г., речь идет об однородном эллипсоиде («главный компонент»), который обращается вокруг твердой сферы («вторичный компонент») так, что их относительное расположение не меняется и в главном компоненте нет внутренних движений.
Пусть массы главного и вторичного компонентов равны соответственно М и М', расстояние между их центрами масс d, а угловая скорость обращения вокруг общего центра масс □. Выберем систему отсчета, начало которой находится в центре масс главного компонента; для удобства ось хх направлена к центру масс вторичного компонента, а ось х3 — параллельно вектору О. Тогда ось вращения двойной, которая, разумеется, проходит через центр масс системы, задается выражениями
Х1 = МР/(М+М) х2 = 0. (1)
Следовательно, центробежная сила, действующая на массу М, обладает потенциалом
-力叫& - м V/(M + М)2 + 后｝. (2)
В рассматриваемой задаче Роша вторичный компонент считается твердой сферой, поэтому внутри главного компонента потенциал, порождающий прилив, можно разложить в ряд
Приближение, на котором основана эта теория, состоит в отбрасывании всех членов, кроме выписанных здесь. В этом предположении можно считать, что помимо собственного тяготения на первичный компонент дейст-
вует полное силовое поле с потенциалом
一发口2储 + 后)-从併-后/2 -后/2)-仅-М,Й^М + m/)]〃1，(4)
где
N = GM'/d3.(5)
Подставляя затем вместо Й2 его «кеплерово значение»
□2 = G(M + М，)ЛЛ(6)
можно записать условия относительного равновесия первичного компонента в виде
pTgradp = - grad [К - ^O2(xf + 硝 一从(君-后/2 -后/2)b(7)
где V — потенциал само гравитации первичного компонента.
Для однородного эллипсоида функция V квадратична по координатам [см. разд. 10.2, формулы (4) — (6)]; поэтому сразу же ясно, что такая конфигурация согласуется с уравнением (7), а также с условием постоянства давления на граничной поверхности. Чандрасекар получил подробные численные решения этой задачи для различных значений отношения
q = M/M'・(8)
Как и следовало ожидать, при q — 8 членом с 〃 в уравнении (7) можно пренебречь; при этом мы вновь приходим к конфигурациям Маклорена и Якоби, деформированным только вращением (см. разд. 10.2). Фигуры равновесия в диапазоне 0 W q V 8 — это эллипсоиды с такими полуосями, что ах > а2> <?з； точнее, для данного q каждая последовательность начинается со сферы и кончается бесконечно длинным вытянутым сфероидом. На рис. 16.1 изображено, как меняется О? (в единицах ?rGp) вдоль различных последовательностей эллипсоидов Роша. Для иллюстрации в табл. 16Л приведены решения уравнения (7) для случая q = 1; кроме основных констант (а2/ар а3/ар 0/^Gp и ц/^Gp) в этой таблице приведены полуоси эллипсоидов в единицах (с^а/з)%. Очевидно, что вдоль каждой последовательности нормированные величины О2 и g сначала растут, а затем, пройдя через максимум, убывают. При этом Й2 и д достигают максимума одновременно в некоторой точке на последовательности эллипсоидов Роша. Следовательно, если расстояние d меньше соотеетстеующего максимальному значению 从,то эллипсоидальные фигуры равновесия существовать не могут. Этот предел, определяющий наименьшее расстояние, при котором равновесие еще возможно, называют пределом Рота. В табл. 16.2 приведены точки на различных последовательностях Роша, в которых О2 и 祖 достигают максимума.
Считалось, что из-за отсутствия фигур равновесия за пределом Роша в точке,, где 从 достигает максимума, должна наступать та или иная неустойчивость. Недавно Чандрасекар пересмотрел этот вопрос. Он нашел, что в точке максимума О2 и д эллипсоид Роша остается динамически устойчивым относительно возмущений второго порядка; скорее, динамическая неустой-
arccos g/%
Рис. 16.1. Изменение й2 вдоль последовательностей эллипсоидов Роша. У кривых указаны соответствующие значения，； кривая, помеченная 8, соответствует комбинированной последовательности эллипсоидов Маклорена — Якоби. Максимумы кривых определяют предел Роша. (Chandrasekhar S. Ар. J., 138, 1182, 1963. С разрешения The University of Chicago Press. © 1963 by the University of Chicago.)
Таблица 16.1
Свойства эллипсоидов Роша при q = 1
Q2 н 从 в единицах irGp, а, в единицах (aia/з)%(Chandrasekhar S. Ар. J., 138, 1182, 1963. С разрешения The University of ChicagoPress. © 1963 by the University of Chicago)
arccos “з/а】
&/6
内/的
С?
Я
dj°2°3
12°
0,98660
0,97815
0,009293
0,004647
0,9984
0,9898
24
94376
.91355
.036152
018076
.9916
.9598
36
86345
80902
076342
038171
.9731
.9118
48
73454
.66913
118726
.059363
.9308
.8479
54
64956
58779
134284
.067142
8954
.8102
59
56892
51504
.140854
.070427
.8566
.7754
60
55186
50000
.141250
.070625
.8477
.7680
61
53451
48481
141298
.070649
8384
.7604
66
.44429
.40674
.135785
.067892
.7859
.7194
69
.38813
.35837
127424
.063712
.7491
.6917
71
35022
.32557
119625
.059812
.7222
.6714
72
33119
.309()2
115054
.057527
.7080
.6606
73
.31213
29237
110044
.055022
•6933
.6494
75
27405
25882
098753
.049376
.6620
.6252
78
21726
20791
078934
.039467
.6100
.5838
81
“16126
0,15643
0,056499
0,028249
0,5498
0,5334
Таблица 16.2
Предел Роша и константы критического эллипсоида 嗚ах и 〃тах в единицах TrGp, %• в единицах (д^^з)^ (Chandrasekhar S. Ар. J., 138, 1182, 1963.
С разрешения The University of Chicago Press. © 1963 by the University of Chicago)
q
^тах
Мтах
〃1
〃2
〃3
0
0,090068
0,090068
1,5947
0,8151
0,7693
1
0,141322
0,070661
1,5565
0,8418
0,7632
4
0,216861
0,043372
1,4944
0,8913
0,7508
20
0,306396
0,014590
1,3989
0,9821
0,7279
100
0,350562
0,003471
1,3224
1,0642
0,7106
ОО
0,374230
0
1,1972
1,1972
0,6977
чивость возникает немного дальше вдоль последовательности, где расстояние d чуть превышает расстояние допустимого сближения (табл. 16.3). Однако, как показал впоследствии Роуб, между пределом Роша и точкой возникновения динамической неустойчивости в эллисоиде Роша наступает вековая неустойчивость по отношению к чисто вязкой моде, принадлежащей к гармоникам второго порядка. Такая ситуация отчасти напоминает случай сфероидов Маклорена, вековая неустойчивость которых наступает раньше, чем динамическая, возникающая дальше вдоль последовательности (см. разд. 10.2). Однако в данном случае возникновение в пределе Роша вековой неустойчивости не связывается с наличием точки бифуркации, поскольку на последовательности эллипсоидов Роша нет такой точки, в которой ответвлялась бы другая последовательность эллипсоидальных фигур.
Из отсутствия равновесных фигур за пределом Роша (как отмечалось выше, установленного лишь для случая круговых орбит) делался и такой вывод: если главный компонент, обращающийся, например, по эксцентрической орбите, зайдет за предел Роша, то он распадется на части. Как показал Ндука, чтобы описание движения главного компонента при переходе через предел Роша было согласованным, нужно допустить существование внутренних движений с однородной завихренностью, а также возможность изменения ориентации его эллипсоидальной фигуры. Согласно Ндуке, до тех пор пока орбита остается вне предельной окружности Роша, форма и
Таблица 16.3
Точки возникновения динамической неустойчивости на последовательности эллипсоидов Роша
О2 и д в единицах ttG。，а? в единицах (д^^з)^ (Chandrasekhar S. Ар. J., 138, 1182, 1963.
С разрешения The University of Chicago Press. © 1963 by the University of Chicago)
q1
Aa1a2a3
00,090034
10,141229
40,216581
200,305937
1000,350303
оо0,374230
0,0900341,6110,81080,7655
0,0706141,5810,83500,7577
0,0433161,5260,88080,7439
0,0145681,4300,96830,7222
0,0034681,3431,05230,7078
01,1971,19720,6977
Рис. 16.2. Критические значения £, при которых в однородных, но сжимаемых эллипсоидах Роша возникает безразличное равновесие. За исключением кривой, обозначенной «-1», которая относится к сфероидам Джинса, около кривых указаны соответствующие значения q. Chandrasekhar S. Ар. J., 138, 1182, 1963. С разрешения The University of Chicago Press. © 1963 by the University of Chicago.)
рые, как правило, устойчивы при у > %, могут оказаться динамически неустойчивыми из-за совместного влияния твердотельного вращения и приливного взаимодействия. Само по себе вращение оказывает стабилизирующее влияние на самые низкие зональные моды, следовательно, приливное взаимодействие дестабилизирует эти изоэнтропические движения. Правда, увеличение неустойчивости газовой конфигурации из-за близкого спутника установлено лишь для однородных эллипсоидов. Неустойчивость самых низких зональных мод из-за приливов вряд ли свойственна только этим эллипсоидам, однако еще нужны расчеты, чтобы показать, что поведение центрально конденсированных возмущенных приливами тел действительно похоже на поведение эллипсоидов Роша.
Обратимся теперь к вопросу о внутреннем строении центрально конденсированного синхронно вращающегося компонента тесной двойной. Для простоты рассмотрим сначала так называемую модель Роша, в которой почти вся масса каждого компонента сосредоточена в центральной точке, окруженной разреженной оболочкой пренебрежимо малой плотности. Эта модель двойной (впервые предложенная Рошем в 1873 г.) противоположна однородным эллипсоидам Роша. Важность ее заключается в том, что она помогает получить не только точное выражение для уровенных поверхностей двойной, компоненты которой считаются точечными массами, но и хорошее приближение для компонентов с высокой, хотя и конечной, степенью центральной конденсации.
Обозначим, как и выше, через М и М' массы двух компонентов, а через d — расстояние между ними. Предположим, что положения обеих масс определяются в декартовой системе, началом отсчета которой служит центр масс главного компонента, причем ось хх совпадает с прямой, соединяющей центры обеих масс, а ось х3 перпендикулярна плоскости орбиты. В таком случае ось вращения определяется уравнениями (1), а полный потенциал 屮 суммы сил, действующих в произвольной точке Р(х), задается выражением
屮=- GM" - GM"尸-%02 n%] - M"/(M+ М')]2 + 国， (9) где гиг'— расстояния от точки Р до центров масс обоих компонентов соответственно. Первый член в правой части выражения (9) — потенциал, создаваемый массой М, второй — возмущающий потенциал спутника массы М', а третий ——потенциал центробежной силы. Если предположить, что угловая скорость, которая входит з формулу (9), совпадает с кеплеровой угловой скоростью (6), то уровенные поверхности можно описать уравнением
ф =$7+ £ G f * 淄=М 0。) где
Ф = -W/(l + М) + 力M，2/(l + м，)2, (11)
а система единиц такова, что G = М = d = 1. Но, как легко видеть из рассуждений в разд. 4.3, уровенные поверхности Ф = const совпадают с изопикническими поверхностями, а также с изобарическими поверхностями. Поэтому уравнение (10) полностью описывает тесную двойную, в которой синхронно вращающиеся компоненты считаются точечными массами.
На рис. 16.3 изображено сечение уровенных поверхностей плоскостью орбиты для отношения масс М'/М = 0,215. В общем случае уровенные поверхности, соответствующие большим значениям параметра Ф, состоят из отдельных полостей, каждая из которых включает один из двух центров масс и мало отличается от сферы. С уменьшением Ф полости, определенные уравнением (10), все сильнее вытягиваются в направлении центра масс
Рис. 16.3. Уровенные поверхности модели Роша в плоскости орбиты (М'/М = 0,215). Критическая поверхность Роша изображена жирной линией. (Plavec М. Adv. А. Ар., 6, 201, 1968.)
системы и, наконец, при некотором критическом значении ①=Фс, характерном для каждого отношения масс М'/М оба овала соприкасаются в одной точке на оси, соединяющей центры масс обоих компонентов, и образуют гантелевидную конфигурацию. Ниже мы будем называть ее критической поверхностью Роша, а две ее полости ——критическими полостями Роша. При Ф < Фс «ручка гантели» расширяется и оба тела окружены связной уровенной поверхностью, поэтому уже нельзя считать, что уравнение (10) описывает разделенную двойную звезду. Для любого Ф > Фс уравнение (10) определяет два непересекающихся набора уровенных поверхностей, форма которых приближенно соответствует центрально конденсированным компонентам тесных двойных. Что касается устойчивости масс М и М‘，то каждая из них остается устойчивой до тех пор, пока занимаемый ею объем меньше объема ее критической полости Роша. Однако (см. разд. 16.4) если вследствие эволюционного расширения растет объем, скажем, главного компонента, то, как только он заполнит свою критическую полость Роша, возникнет неустойчивость и вещество начнет перетекать через внутреннюю точку Лагранжа Lx (рис. 16.3).
Поскольку реальные звезды довольно сильно конденсированы к центру, модель Роша полезна при изучении эволюции тесных двойных. Чтобы проверить справедливость этого утверждения, рассматривалось совместное влияние вращения и приливного взаимодействия на внутреннее строение политроп и реалистических моделей звезд. Основные методы, которыми пользуются при изучении синхронно вращающихся компонентов тесных двойных, являются простыми обобщениями тех способов, которые применялись при построении моделей звезд, деформированных вращением (см. гл. 5). Все исследователи (в частности, Джексон, Киппенхан и Томас, а
также Нейлор и Ананд) обнаружили, что приливные силы почти не влияют на светимость компонента двойной системы, а средний радиус увеличивают в несколько раз менее эффективно, чем при твердотельном вращении. Кроме того, поскольку вращение считается синхронным, компонент двойной не может вращаться так же быстро, как одиночная звезда. Поэтому понижение светимости двойной звезды, которое происходит почти исключительно за счет вращения, будет меньше, чем одиночной. Как впервые указал Джембовски, по-видимому, вследствие этого синхронно вращающийся компонент тесной двойной можно рассматривать как сферически симметричную звезду, даже если в ходе эволюции она заполнит критическую полость Роша. Поскольку малые отклонения от сферической симметрии за счет осевого вращения и приливного взаимодействия не играют решающей роли в эволюции двойной звезды (по крайней мере для синхронно вращающихся моделей), эти вопросы выходят из рамки нашей книги.
Некоторые авторы (в частности, Плавец, Крушевски и Лимбер) рассмотрели задачу о несинхронных тесных двойных, явно допуская, что гравитационный потенциал каждой звезды такой же, как и у точечной массы, т.е. в модели Роша. Позднее Нейлор построил модели твердотельно вращающихся несинхронных двойных политроп и сравнил свои результаты с результатами Лимбера, полученными при помощи модели Роша. Он обнаружил, что модель Роша дает правильное представление об относительных размерах несинхронных систем; однако нельзя, по-видимому, пренебречь влиянием степени центральной конденсации на минимальное разделение компонентов. Иными словами, если осевое вращение несинхронно с орбитальным движением, то модель Роша можно применять только в том случае, когда мы интересуемся относительными размерами; если же нужно отдельно определить радиусы и разделение, то следует учитывать влияние конечной степени центральной конденсации в реальных звездах.
ПРИЛИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ
В разд. 2.4 отмечалось, что существуют важные доводы в пользу того, что во многих тесных двойных осевое вращение стремится к синхронизации с орбитальным движением. Во-первых, наблюдения показывают, что проекции скоростей вращения t^sini компонентов тесных двойных малы по сравнению со средними значениями для одиночных звезд соответствующих спектральных классов (см. рис. 2.11). Во-вторых, при сравнении экваториальных скоростей вращения ve с экваториальными скоростями ysyn (=ZttR/Pq), вычисленными для случая синхронизации с периодом орбитального движения Ро, оказывается, что в большинстве короткопериодических двойных имеет место полная или почти полная синхронизация (см. рис. 2.12); правда, примерно в 10% тесных двойных систем скорость вращения слишком велика для синхронизации, несмотря на их короткоперио- дичность. В-третьих, как доказал Левато, у проэволюционировавших звезд главной последовательности периоды, ниже которых осевое вращение синхронно с орбитальным движением, систематически больше, чем у звезд
вблизи главной последовательности нулевого возраста. В свете этих эмпирических данных принято считать, что необходимое торможение* вращения осуществляется за счет приливного взаимодействия между компонентами тесной двойной, причем степень синхронизации (для данного периода) зависит от того, как долго действовали приливные силы. По тем же причинам теперь считается, что скорость вращения звезд с заметными (Аш) и слабо выраженными (Аш:) линиями металлов невелики главным образом из-за приливного взаимодействия в тесных системах (см. разд. 12.4). Здесь мы скажем несколько слов о некоторых физических механизмах, которые могут вызывать синхронизацию в тесных двойных.
Еще в 1879 г. Дарвин описал эволюционные процессы, способные приводить к вековым изменениям в осевом вращении компонента тесной двойной, и установил, что основной причиной такой эволюции для систем, в которых нет потери масс или обмена массами, служат приливы, отстаю- 、щие по фазе от внешнего силового поля из-за вязкости звездного вещества. Как уже отмечалось, если относительная орбита компонента двойной является круговой, а твердотельное вращение синхронно с обращением, то приливные горбы, которые один компонент порождает на другом, остаются стационарными, т.е. они неподвижны в системе отсчета, вращающейся вместе с любой из двух звезд. Напротив, если ни одно из этих условий не выполнено, то наблюдатель, находящийся на одном из компонентов, увидел бы, что положение спутника со временем меняется. Если вещество можно считать невязким, то форма каждого компонента будет почти мгновенно (т.е. с характерным временем динамической эволюции) подстраиваться под внешнее силовое поле; это, впрочем, не означает, что будет подстраиваться и скорость вращения. При наличии вязкости реакция приливного горба на движение возмущающего тела не будет мгновенной, а будет опережать его или отставать от него в зависимости от того, больше или меньше угловая скорость вращения главного компонента, чем мгновенная угловая скорость его спутника. Вследствие несимметричного расположения приливных горбов относительно прямой, соединяющей оба центра масс, между компонентами тесной двойной возникает момент сил. Этот приливной момент сил в свою очередь приведет к вековому уменьшению спинового (связанного с осевым вращением) момента количества движения отдельных компонентов, что вызовет вековые изменения в элементах орбиты двойной. Вдобавок из-за относительных движений вещества конечной вязкости внутри каждого компонента кинетическая энергия внутреннего движения постепенно в результате процесса вязкого трения превратится в тепло. Следует отметить, что эти идеи Дарвин сформулировал, рассматривая случай однородного деформируемого тела, приливы на котором порождаются спутником с пренебрежимо малым спиновым моментом количества движения. Только в 1966 г. Цан вновь обратился к явлениям приливного запаздывания и вязкого трения в условиях, более подходящих Для задачи о двойной звезде. Впоследствии Копал и его сотрудники развили изящный формализм для исследования эволюции тесной двойной при наличии вязкого приливного взаимодействия между ее компонентами.
Если на звезду действует переменное внешнее гравитационное поле, то в ней легко возникают колебательные движения, которые можно описать и как «равновесный», и как «динамический» прилив. Первый представляет собой мгновенную форму, полученную в предположении, что, хотя возмущающий потенциал нестационарен, механическое равновесие все же соблюдается; другими словами, предполагается, что собственные колебания звезды быстро затухают и не влияют на «равновесное возмущение». Напротив, когда период приливного возмущения сравним с периодами некоторых собственных колебаний звезды, нельзя a priori исключить возможность резонанса или по крайней мере усиления приливов, вызванных внешним гравитационным потенциалом; это и есть динамический прилив.
Рассмотрим сначала равновесный прилив. Как впервые показал Цан, его эффекты относительно велики, если внешняя конвективная зона возмущенной за счет приливов звезды достаточно протяженна,— в такой области довольно велика турбулентная вязкость. Однако, согласно Копалу, приливный момент сил, который предсказан для звезд без конвективной оболочки, слишком слаб, и это не позволяет объяснить синхронизацию, наблюдаемую в тесных двойных с компонентами спектрального класса F или более раннего. Иными словами, до тех пор, пока причинами диссипации служат только плазменная и лучистая вязкости, приливное трение — очень неэффективный процесс. [Точнее, если потребовать, чтобы эффект приливного трения сказывался в течение жизни двойных звезд спектральных классов ВО ——А5 на главной последовательности, то коэффициент динамической вязкости окажется равным 1011 ——1015 г/(см • с), тогда как типичные для этих звезд коэффициенты плазменной или лучистой вязкости равны по порядку величины лишь 102 ——104 г/(см • с).] Су- тантио учел и возможность приливной диссипации энергии в звездах с магнитными полями напряженностью порядка 1 Гс. Но (как указал впервые Хоредт и независимо Пресс, Виита и Смарр) особого внимания заслуживает, по-видимому, другой естественный механизм: вязкость полностью развитой турбулентности» порождаемой приливным сдвигом. Согласно этим авторам, связанное с деформацией сдвига число Рейнольдса Re на много порядков превосходит критическое значение Rec, необходимое для возникновения полностью развитой турбулентности, а характерное время установления турбулентности, порождаемой приливами, значительно меньше времени Кельвина — Гельмгольца. Как справедливо указали те же ав-
торы, неравенство Re A Rec является необходимым (но не достаточным) условием возникновения турбулентности в стратифицированной среде (см. разд. 8.4). Поэтому чтобы убедиться, что приливный сдвиг действительно порождает турбулентность, характерное время и турбулентная вязкость которой достаточны для синхронизации, нужны дальнейшие исследования на основе критерия Ричардсона.
Задаче динамического прилива в тесной двойной уделялось сравнительно немного внимания. Каулинг, который первым описал вынужденные колебания звезды, ограничился лишь изучением возможных резонансов самых низких ^+-мод (см. разд. 6.4). Согласно этому автору, можно считать, что приливная деформация звезды за редкими исключениями будет мало отличаться от равновесной. Каулинг указал на следующие причины: 1) явно слабое влияние резонансного колебания на равновесную деформацию звезды и необходимость очень точного резонанса для усиления полного прилива, 2) быстрое нарушение такого точного резонанса эффектами второго порядка, которые вызываются большими горизонтальными смещениями, связанными с g+-модами высоких порядков. Изучая вслед за Каулингом эти обертоны, Цан обнаружил, что для возникновения приливов с большими амплитудами на поверхности не нужен слишком уж точный резонанс с g+-модой высокого порядка. Но, как указал Цан, оба результата сомнительны, поскольку они получены в изоэнтропическом приближении, которое у поверхности звезды становится очень грубым. В дальнейших работах при описании вынужденных колебаний невращающейся звезды с конвективным ядром и лучистой оболочкой Цан учел и эффект лучистого затухания. Он пришел к заключению, что лучистая диссипация в относительно тонкой области под поверхностью звезды гасит резонансы g+.мод. Но самые интересные результаты относятся к колебаниям, возбуждаемым в звезде-компоненте тесной двойной. Выводы Цана можно резюмировать следующим образом. Во-первых, вследствие лучистой диссипации вблизи поверхности звезды свойства симметрии у динамического прилива и у возмущающего потенциала не одинаковы. Поэтому на звезду действует суммарный момент сил, который стремится синхронизировать ее осевое вращение с орбитальным движением. Кроме того, в относительно тесных двойных этот момент сил достаточно велик, чтобы привести к синхронизации за время, малое по сравнению с ядерным характерным временем. Во-вторых, если период осевого вращения главного компонента двойной значительно отличается от синхронного, то распределение яркости по его поверхности, как правило, изменяется по сравнению с распределением на спутнике, в результате чего меняются наблюдаемые светимость и лучевая скорость. Судя по этим предварительным результатам, можно полагать, что наиболее эффективным механизмом синхронизации тесных двойных, компоненты которых лишены внешних конвективных зон, служит динамический прилив с лучистой диссипацией. Однако результаты Цана получены только для невращающихся моделей, поэтому было бы весьма желательно распространить такой неизоэнтропический анализ и на вращающиеся модели, хотя дело это далеко не тривиальное.
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ
Согласно общепринятой теории звездной эволюции, эволюция звезды после главной последовательности сопровождается сильным сжатием ее богатого гелием ядра и соответствующим расширением окружающей оболочки. Если двойная система достаточно широкая, то влияние одного компонента на другой незначительно и обе звезды будут эволюционировать как одиночные. Положение совершенно иное, если звезда, испытывающая вековое расширение, имеет спутник на близкой орбите — в этом случае рост звезды должен прекратиться, когда она заполнит свою критическую полость Роша (см. разд. 16.2). После того как звезда достигнет таких размеров, максимально допустимых с точки зрения динамики, стремление к дальнейшему расширению повлечет за собой вековую потерю ее массы: либо перетекание на спутник, либо истечение из системы. Такая картина подтверждается многочисленными наблюдениями особенностей, которые можно истолковать как результат течений газа в проэволюционировавших тесных двойных многих типов. Эволюции компонента тесной двойной, теряющего массу, посвящено много теоретических исследований, правда, ни в одном из них не рассматриваются детали реального перетекания массы, которое должно происходить, когда расширяющееся тело заполнит свою критическую полость Роша. Поскольку допущения ad hoc, которые принимались относительно скоростей перетекания массы и момента количества движения в тесно广 двойной, были самыми разнообразными, для более подробного знакомсхва с этими вопросами мы отсылаем читателя к литературе.
Если рассматривать синхронно вращающиеся компоненты тесной двойной как две точечные массы, то движение частицы газа, силой тяготения которой можно пренебречь, описывается уравнениями ограниченной задачи трех тел. Если, кроме того, мы интересуемся только движениями в орбитальной плоскости системы, то можно написать
%lv|2 + @ = const, (12)
где V — скорость частицы газа во вращающейся системе отсчета. [Потенциал Ф определен уравнением (10).] Если определить постоянную в уравнении (12) из начальных условий, то этот первый интеграл даст нам скорость Ivl в любой допустимой точке. В частности, если положить Ivl всюду равным нулю, то полученное уравнение определяет поверхности нулевой скорости как поверхности Ф = const, которые фактически совпадают с уровенными поверхностями модели Роша [см. уравнение (10)]. Особенно важны точки Лагранжа (обозначенные на рис. 16.3 Lv £2 и 5, поскольку они соответствуют положениям, в которых одновременно обращаются в нуль и скорости, и ускорения; еще две точки Лагранжа £4 и £5 находятся в вершинах равносторонних треугольников, основанием которых служит отрезок, соединяющий две точечные массы. После первоначального предположения Койпера, что существенную роль в этой задаче должна играть внутренняя точка Лагранжа £р было затрачено много усилий, чтобы на основе этих классических резуль-
татов разработать теорию потери массы. Когда звезда заполняет свою критическую полость Роша, то вещество в точке Lx не испытывает ускорения, так что достаточно сколь угодно малой направленной наружу начальной скорости, чтобы вызвать перетекание массы. Расчеты траекторий отдельных частиц, выполненные Копалом и другими, показали, что, подобрав подходящие начальные условия, можно найти семейства орбит, которые вдут из точки Z4 K спутнику, на который происходит аккреция массы, и образуют вокруг него кольцо. Однако, как впервые указал Прендергаст, правильнее описывать движения газа в тесной двойной гидродинамически, поскольку средняя длина свободного пробега частицы газа, как правило, меньше линейных размеров системы. Теперь подробно изучены гидродинамические течения, которые могут иметь отношение к нашей задаче. Обратимся к некоторым из этих решений.
Прендергаст и Таам, а также Флэннери представили детальные численные расчеты, в которых моделируется течение газа в тесной двойной при минимуме ограничивающих предположений. В обеих работах допускается наличие ударных волн, учитываются эффекты давления и гравитации в рамках модели Роша, а также лучистое охлаждение. Поскольку силы, перпендикулярные плоскости орбиты, стремятся сосредоточить газовый поток в этой плоскости, предполагается гидростатическое равновесие и изотермичность в направлении х3 (см. однако замечание в конце этого раздела). Предполагается также, что толщина струи поперек орбитальной плоскости гораздо меньше расстояния между двумя точечными массами. Численный метод Прендергаста и Таама основан на том, что уравнения гидродинамики являются моментами уравнения Больцмана. Поэтому их метод не связан с решением системы дифференциальных уравнений (как в работе Флэннери), а подобен решению уравнения Больцмана: считается, что на микроскопическом уровне газ состоит из большого числа отдельных частиц, причем учитывается, что столкновения с большой вероятностью приводят к максвелловскому распределению по скоростям. Таким образом, этот подход занимает промежуточное положение между методом отдельных частиц Койпера и чисто гидродинамическим подходом.
Метод Прендергаста ——Таама применялся для изучения движений газа за внутренней точкой Лагранжа в модели двойной системы типа U Цефея. Рассматривались стационарные решения для трех различных случаев: синхронного вращения обоих компонентов, несинхронного вращения менее массивного компонента и несинхронного вращения более массивного компонента. Во всех случаях на поверхности более массивного компонента образуется ударная волна; кроме того, от удара при столкновении возвратного течения (т.е. течения, совершившего полный оборот вокруг более массивного компонента) и основного течения между компонентами, возможно, возникает область турбулентности. Оказалось также, что несинхронное вращение менее массивного компонента приводит к образованию около другого компонента кольца с почти круговыми линиями тока газа; в этом случае на приближающемся полушарии более массивной звезды заметен выступ плотности. В двух других случаях происходит отрыв течения от поверхности этой звезды (там же, где
находится выступ), причем линии тока в этой области становятся более эллиптичными.
Численный метод Флэннери применялся для изучения перетекания массы в системе, напоминающей короткопериодическую катаклизмическую переменную. С учетом гидродинамических эффектов оказалось, что быстрая диссипация энергии за счет лучистого охлаждения в ударном фронте, образованном течением из точки и возвращающимся газом, обошедшим звезду, быстро придает течению кольцевую форму. Кроме того, на пересечении течения с кольцом возникает оптически толстый ограниченный ударный фронт. Согласно Флэннери, положение, температура и энерговыделение фронта хорошо согласуются с наблюдаемыми свойствами катаклизмических переменных и подтверждают основные черты модели «горячего пятна», предложенной для объяснения таких наблюдний.
Главный недостаток этих численных методов моделирования обмена массами в тесных двойных состоит в том, что они требуют огромного времени счета на больших машинах. Кроме того, как указали Любов и Шу, возможно, что используемые в таких расчетах сетки все еще слишком грубы и не дают надежных резудьтатов, поскольку эффекты давления могут играть важную роль на расстояниях, сравнимых с шагом сетки. Поэтому эти авторы представили полуаналитическое исследование течения газа в полуразделенной системе в рамках модели Роша. Для простоты предполагается, что компоненты вращаются синхронно, течение изотермично, а скорость звука составляет малую долю £ относительной орбитальной скорости Od обеих звезд. В этих предположениях стационарное течение можно найти, решая задачу с несколькими характерными длинами. Основные результаты Любова и Шу можно сформулировать следующим образом. Во-первых; истечение вещества с поверхности контактного компонента сопровождается сильно неизотропным течением, достигающим звуковых скоростей вблизи точки в области, размер кот<й)ой составляет долю £ расстояния d. Во-вторых, это течение вытягивается в узкую струю вещества под определенным углом к линии, соединяющей две точечные массы, который при всевозможных отношениях масс меняется от 19,5 до 28,4° • В-третьих, ширина струи остается почти постоянной в той части течения, которая почти прямолинейна, и несколько уменьшается там, где поток поворачивает к вторичному компоненту. В-четвертых, если размер вторичного компонента меньше некоторой величины, то течение приводит к образованию диска вещества определенных разме・ зов, который обращается вокруг вторичного компонента в прямом направле- <ии; по-видимому, это согласуется с наблюдениями.
Упомянем в заключение, что Любов и Шу рассмотрели также трехмерную хинамику течения в полуразделенных двойных в процессе переполнения поло- :ти Роша и обобщили тем самым вышеизложенные результаты с учетом ди- {амических эффектов в направлений, перпендикулярном орбитальной плоскости. Они нашли, что характерная толщина течения значительно превышает соответствующее значение в гидростатическом состоянии, поскольку (нерция не позволяет газу мгновенно реагировать на изменения гравитацион- (ого поля. Согласно Любову и Шу, этот эффект важен для истолкования наб-
людений, относящихся к столкновению струи с диском в катаклизмических переменных и в двойных рентгеновских источниках с малой полной массой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе мы не пытаемся привести полную библиографию. Классические ссылки по рассматриваемым здесь темам следующие:
Kopal Z. Close Binary Systems, London: Chapman and Hall, Ltd., 1959.
Batten A. H. Binary and Multiple Systems of Stars, Oxford: Pergamon Press, 1973. (Имеется перевод: А. Бэттен. Двойные и кратные звезды.——М.: Мир, 1976.)
Пионерские работы Роша (1850 — 1873) и Дарвина (1879 — 1905) описаны в [1]. В данном случае особого внимания заслуживает следующий обзор:
Plavec М. Rotation in Close Binaries, in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp.133 — 146.
Смежные вопросы, не рассмотренные в тексте, можно найти в
Eggleton 尸.,Mitton S., Whelan J., eds., Structure and Evolution of Close Binary Systems, Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1976.
Современное изложение вопросов равновесия и устойчивости эллипсоидов Роша можно найти в [28, рр. 189 ——240] к гл. 3. Чандрасекаровский анализ устойчивости конгруэнтных эллипсоидов Дарвина ошибочен; для эллипсоидальных фигур равновесия эту задачу правильно рассмотрела Моника Тассуль:
Tassoul М Astrophys. J., 202, 803 — 808, 1975.
Можно упомянуть также обобщение ее результатов на несинхронные колебания.
Chandrasekhar S. Astrophys. J., 202, 809 — 814, 1975.
Природа неустойчивости эллипсоидов Роша за пределом Роша разъяснялась Роубом ([5] к гл. 10). См. также
Nduka A. Astrophys. J., 170, 131 — 142, 1971.
Работа по смежной тематике
Kopal Z. Astrophys. Space Sci., 27, 389 — 418, 1974.
Влияние приливного взаимодействия спутника на собственные частоты сжимаемых тел определялось в работах
Chandrasekhar S., Lebovitz М R. Astrophys. J., 137, 1172 — 1184, 1963.
Ю. Chandrasekhar S. Astrophys. J., 138, 1182 — 1213, 1963.
Tassoul M, Tassoul J. L. Astrophys. J., 150, 213 — 221, 1967.
Denis J. Astron. Astrophys., 20, 151 — 155, 1972.
Denis J., Smeyers P. Med. Kon. Acad. Belgie: Klasse der Weterschappen, 38, No 4, 1 — 19, 1976.
См. также [5]. Можно отметить следующую работу:
Papaloizou J. С. В., Bath G. Г. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 172, 339 — 357, 1975.
Модель Роша подробно рассмотрена Копалом:
Kopal Z. The Roche Model and Close Binary Systems, in Advances in Astronomy and Astrophys., 9, 1 — 65, 1972.
Различные независимые методы построения неоднородных, искаженных приливным взаимодействием моделей можно найти в работах
Chandrasekhar S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 93, 462 — 471, 1933.
Agostinelli C. Rendiconti Seminario Mat., Univ, e Politecnico di Torino, 9, 179 — 224, 1949.
Evrard L. Ann. Astrophys., 14, 17 — 39, 1951.
В этих работах обобщаются соответственно метод Чандрасекара — Милна (разд. 5.3), метод Клеро — Лежандра (разд. 5.2 и ссылка [1]) и метод Вавра ([2] к гл. 4). Политропные модели тесных двойных построены в работах
Орлов А. А. Астрон. ж., 37, 902 — 907, 1960.
Durney A R, Roxburgh 7. W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 148, 239 — 247, 1970.
Martin 尸.G. Astrophys. Space Sci., 7, 119 — 138, 1970.
Naylor M. D. T., Anand S.尸.S. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, pp. 157 — 164.
Green L. C., Kolchin E. K. Astrophys. and Space Sci., 21, 285 — 288, 1973.
Green L C., Kolchin E K. Astrophys. J. Suppl., 28, 449 — 463, 1974.
Справедливость модели Роша впервые рассматривалась в статье
Dziembowski W. Acta Astron., 13, 157 — 164, 1963.
Подробные модели внутренних областей твердотелььо вращающихся двойных впервые независимо построили Киппенхан и Томас ([28] к гл. 5), а также Джексон:
Jackson S. Astrophys. J., 60, 685 — 699, 1970.
Другие модели принадлежат следующим авторам:
Naylor М. Р. Г, Anand 5.尸.S. Astrophys. Space Sci., 16, 137 — 150, 1972; 18, 59 — 84, 1972.
Whelan J. 4 J. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. London, 160, 63 — 77, 1972. Отклонение от синхронизации рассматривается в статьях
PlavecM. M6m. Soc. Roy. Sci. Liege (4), 20, 411 — 420, 1958.
Kruszewski A. Acta Astron., 13, 106 — 117, 1963.
Limber D. N Astrophys. J., 138, 1112 — 1133, 1963.
Naylor M. D. T. Astrophys. Space Sci., 18, 85 — 88, 1972.
Подробное исследование приливного взаимодействия в тесных двойных описано в работе
Zahn J. Р. Ann. Astrophys., 29, 313 — 330, 489 — 506, 565 — 591, 1966.
В следующих работах эти и связанные с ними вопросы рассматриваются с математическими уточнениями:
Kopal Z. Astrophys. Space Sci., 1, 179 — 215 , 284 — 300, 411 —423, 1968; 16, 3 — 51, 1972; 17, 161 — 185, 1972; 18, 287 — 305, 1972.
Roach G. F. Astrophys. Space Sci.； 1, 32 — 67, 1968.
Alexander M. E. Astrophys. Space Sci., 23, 459 — 510, 1973.
Haynes W. E Astrophys. Space Sci., 22, 165 — 192, 1973.
8. Tokis J. N. Astrophys. Space Sci., 26, 447 — 476, 477 — 495, 1974.; 36, 427 — 438, 1975.
Dolginov A. Z., Yakovlev D G. Astrophys. Space Sci., 36, 31 — 78, 1975.
Другие работы:
Dziembowski W. Comm. Obs. Roy. Belgique, B, 17, 105 — 108, 1967.
James R. Comm. Obs. Roy. Belgique, B, 17, 99 — 105, 1967.
Monaghan J. Л Astron. Astrophys., 6, 464 — 467, 1970.
Stothers R. Publ. Astron. Soc. Pac., 85, 363 — 378, 1973.
Дополнительные смежные работы упомянуты в [43]. Магнитные поля привлекались в работе
Sutantyo W. Astron. Astrophys., 35, 251 — 257, 1974.
Синхронизация за счет турбулентности, вызванной приливами, рассматривается в статьях
Horedt G. Astron. Astrophys., 44, 461 — 463, 1975.
Press W. H., Wiita R J., Smarr L. L. Astrophys. J. Letters, 202, L13 5 — L137, 1975.
См. также третью ссылку [49] и следующие работы:
Lecar М., Wheeler J. С., McKee С. Л Astrophys. J., 205, 556 — 562, 1976.
Seguin 尸.H. Astrophys. J., 207, 848 — 859, 1976.
Динамический прилив рассмотрен Каулингом ([12] к гл. 6) и Цаном:
Zahn J. Р. Astron. Astrophys., 4, 452 — 461, 1970; 41, 329 — 344, 1975; 57,
3 83 — 394, 1977.
Исчерпывающий обзор метода независимых частиц можно найти в работе
Kruszewski A. Exchange of Matter and Period Changes in Close Binary Systems, in Advances in Astronomy and Astrophysics, 4, 233 — 299. 1966.
Другие работы указаны в [4]. Гидродинамический метод впервые рассматривался в статье
Prendergast К. Н. Astrophys. J., 132, 162 — 174, 1960; 133, 732, 1961.
См. также
Huang S. S. Astrophys. J., 141, 201 — 209, 1965.
Простые модели обмена массой в тесных двойных можно найти в статьях
Sobouti У. Astron. Astrophys., 5, 149 — 154, 1970.
Biermann Р. Astron. Astrophys., 10, 205 — 212, 1971.
Самые подробные исследования следующие:
Prendergast К. Я., Taam R. £ Astrophys. J., 189, 125 — 136, 1974.
Flannery В.尸.Astrophys. J., 201, 661 — 694, 1975.
Lubow S. H., Shu E H. Astrophys. J., 198, 383 — 405, 1975.
5S.^Lubow S. H., Shu F. H.,Astrophys. J. Letters, 207, L5 3 — L55, 1976.
См. также
Sorensen S* A.、Matsuda Г., Sakurai T., Astrophys. Space Sci., 33, 468 — 480, 1975.
Изложение в тексте в значительной степени следует работам [55 — 581
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Теория вращающихся звезд зародилась во время научной революции, происходившей в Европе в XVII в., и с тех пор неизменно привлекала к себе интерес многих выдающихся ученых. Тем не менее большая часть теории вращающихся звезд (если не вся она) представляет собой то, что Кун назвал «нормальной наукой», т.е. деятельность, связанную с решением задач, в основе которой лежит одно или несколько крупных научных достижений прошлого и которая приводит к последовательному накоплению новых идей, логически вытекающих из прежних. В духе исследования Крейна можно заключить, что современный рост числа работ, посвященных вращающимся звездам, является частным проявлением процесса своеобразной диффузии, когда предшественники влияют на последователей, а рост знаний в данной области ——это накопление множества малых нововведений. Поэтому не удивительно, что увеличение набора в университеты в 1960-х годах и усиление интереса к астрономии в связи с соревнованием в космических исследованиях на время привели к экспоненциальному росту числа публикаций, посвященных вращающимся звездам. И все же, несмотря на то что этот большой и разнообразный поток работ дал несколько важных результатов, теория вращающихся звезд еще мирится с несоответствиями, незавершенностями и с тем, что поставленные цели часто не достигаются. Здесь мы попытаемся очертить эыстро меняющуюся границу знаний в этой области вплоть до конца 1980 г. и кратко наметить несколько многообещающих направлений исследования на десятилетие вперед.
Поскольку многие работы по вращающимся звездам посвящены
улучшению согласия теории с наблюдениями, остановимся сначала на имеющихся измерениях скоростей вращения одиночных немагнитных звезд. Ясно, что главный недостаток этих данных связан с тем, что при истолковании уширения линий вращением получаются лишь проекции экваториальных скоростей 沙/in /, между тем как нас интересует истинная экваториальная скорость v е и угол наклона /. Кроме того, вследствие различия методов, используемых для нахождения значений у esin /, наблюдательный материал, содержащийся в каталогах, далеко не однороден, а для некоторых групп звезд не исключена и возможность заметных систематических ошибок. Поэтому для уточнения существующих статистических данных о зависимости скоростей вращения от спектрального класса и класса светимости нужны новые измерения, основанные на стандартной калибровке. Для этого может оказаться полезным атлас спектров, уширенных вращением, составленный Слеттебаком и его сотрудниками на основе моделей звездных атмосфер (ср. с разд. 2.3).
Особенно интересны различные методы преобразований Фурье, которые уже принесли большую пользу для извлечения подробной информации из спектров с высоким разрешением. В самом деле, как показал Грей, фурье-аналкз уширенных профилей линий в принципе позволяет отделить вращение от макротурбулентности и, возможно, выявить малые отклонения от твердотельного вращения (ср. с разд. 12.3). С помощью прецизионных фотоэлектрических спектров звезд и метода преобразования Фурье были определены проекции экваториальных скоростей звезд нижней части главной последовательности. Согласно Смиту, сейчас мы находимся вблизи нижнего порога обнаружимости малых скоростей (%sini = 2,0 ——2,5 км/с). Другой многообещающий метод измерения малых экваториальных скоростей у холодных звезд состоит в отыскании частоты модуляции их блеска вследствие движения пятен по поверхности звезд. Что касается определения t^，а также i для немагнитных звезд верхней части главной последовательности, то и здесь за последнее время достигнут некоторый прогресс. Хатчингс и другие развили и применили метод нахождения / и 沙。для горячих быстро вращающихся звезд. Их анализ основан на том, что различие гравитационного потемнения между далекой ультрафиолетовой областью и видимым континуумом во вращающейся звезде приводит к более узким профилям линий в ультрафиолетовой области спектра. Хатчингс и его сотрудники уже получили значения ve и / более чем для сорока ярких звезд класса Be и быстровращающихся звезд.
Что касается теории, то из сказанного в предыдущих главах очевидно, ч го мы все еще очень далеки от адекватной картины строения и эволюции вращающихся звезд. Это особенно справедливо для стадий сжатия до главной последовательности, которые пока вызывают значительные разногласия. Например, в разд. 11.2 мы упоминали так называемую проблему момента количества движения, но не стали рассматривать ее подробно, поскольку определенного решения до сих пор нет. Я полагаю, что нужны новые наблюдения межзвездных облаков, прежде чем удастся построить надежную модель: объясняющую, как теряется момент количества движения протозвездного облака при образовании наблюдаемых звезд главной последовательности. За последнее время многие авторы рассматривали данные наблюдений в связи с этой и близкими к ней проблемами. Не исключено, что в ближайшем будущем можно ожидать некот орых успехов в решении проблемы образования двойных ——здесь удалось продвинуться и на наблюдательном, и на теоретическом фронтах. Однако, как указывалось в разд. 11.2, из данных наблюдений пока не совсем ясно, одинаково ли происхождение всех двойных или следует искать разные пути образования широких и тесных пар (например, захват и деление). Поэтому крайне необходимы дальнейшие наблюдения двойных звезд с такими расстояниями между компонентами, при которых влияние селекции сказывается сильнее всего.
Несмотря на то, что детали процессов образования двойных остаются малоизученными, большой прогресс в теории достигнут в связи с так называемой проблемой деления (ср. с разд. 11.3). Теперь общепринято, что при некоторых упрощающих предположениях свободный осесимметричный коллапс вращающегося облака приводит к образованию кольцевидной фигуры и что вследствие неустойчивостей, возникающих в таком вращающемся кольце, происходит фрагментация с образованием двух или более тел, которые обращаются относительно друг друга (ср. с разд. 11.2). С появлением трехмерных гидродинамических программ стало возможно численно изучать влияние вращения и изотермических градиентов давления на коллапсирующие газовые облака и определять условия, при которых может произойти фрагментация . Согласно Боденхеймеру, Толайну и Блэку,
тип фрагментации зависит от начального соотношения между тепловой и гравитационной энергией облака и она может идти как с промежуточной стадией образования кольца, так и без нее, причем энергия вращения исходного облака слабо влияет на развитие фрагментации. При относительно больших значениях начального отношения тепловой энергии к гравитационной неосесимметричные возмущения вначале затухают, облако сжимается в диск и на некотором расстоянии от оси возникает осесимметричное уплотнение (т.е. кольцо), которое в конечном счете может фрагментировать. Напротив, если время распространения звука велико по сравнению с временем свободного падения под действием гравитации, то начальное неосесимметричное возмущение не затухает, а непрерывно растет до тех пор, пока не образуется двойная или кратная система. Таким образом, гипотеза деления, которая так часто привлекалась для объяснения двойных» снова выглядит очень многообещающе. Ясно, что из-за множества неопределенностей, с необходимостью связанных с длительными машинными расчетами, для подтверждения этих результатов понадобятся независимые вычисления на других машинах. Поскольку немногие теоретики могут позволить себе такие долгосрочные исследовательские проекты, очевидно, что пройдет немало времени, прежде чем будут строго установлены справедливость и границы применимости различных теорий деления к широким и тесным двойным, а также к планетным системам.
Рассмотрим теперь вращение звезд главной последовательности. Многое свидетельствует сейчас о том, что резкое падение скоростей вращения в середине класса F на главной последовательности вызывается звездным ветром и (или) вспышечной активностью звезд, в которых в течение всего времени от стадии Хаяши до главной последовательности сохраняется внешняя конвективная зона, чему сопутствует корпускулярная эмиссия и потеря момента количества движения, усиленная магнитным полем (см. разд. 11.4). Однако, согласно Дэрни и Лятуру, падение скорости вращения звезд нижней части главной последовательности происходит вследствие действия магнитного динамо, поддерживаемого дифференциальным вращением, и «-эффектом в их конвективных зонах (см. разд. 15.5). Как бы то ни было, скорости вращения на поверхности звезд главной последовательности решающим образом зависят от существования или отсутствия внешней конвективной оболочки, поэтому задачи изучения вращения массивных и маломассивных звезд в корне различны.
Что касается Солнца, по-видимому, типичной звезды нижней части главной последовательности, то теперь общепринято, что скорость вращения на его поверхности так или иначе определяется взаимодействием вращения с турбулентной конвекцией во внешних слоях (см. разд. 9.4). Но. как известно, здесь возникают осложнения, связанные с солнечным циклом и изменени-
ями средней скорости вращения на поверхности за последние столетия. Обычно предполагается, что омическому затуханию мигрирующих магнитных полей Солнца препятствует совместное влияние дифференциального вращения и турбулентной конвекции под поверхностью (см. разд. 15.5). Многие авторы уже представили различные модели динамического динамо, построенные ad hoc с учетом связи между скоростью и магнитным полем, а также высокой сжимаемости конвективной зоны Солнца. До тех пор пока не будет понята турбулентная конвекция при отсутствии вращения и магнитного поля, можно серьезно сомневаться в необходимости дальнейшей разработки теоретических моделей солнечного цикла и вращения на поверхности Солнца.
Что же до внутренних скоростей вращения Солнца и маломассивных звезд главной последовательности, то с точки зрения теоретика положение также весьма плачевно (ср. с разд. 11.4). Возможно, конечно, что эти звезды подходят к главной последовательности с ядром, вращающимся гораздо быстрее внешних слоев. Однако в настоящее время о квазистатическом сжатии до главной последовательности, о быстро вращающихся адрах и о переносе момента количества движения в звездах нижней части главной последовательности ничего определенного не известно.
Не удивительно, что почти не решен и вопрос о распределении момента количества движения в звездах верхней части главной последовательности. Поскольку в достаточной близости от Солнца не обнаружено ни одной такой звезды, мы не знаем даже, каков истинный закон вращения на их поверхности (см. разд. 12.3). Поэтому во всех представленных до сих пор моделях скорость вращения всегда вводится ad hoc. Хотя для оценки общих изменений, вызываемых вращением в моделях звезд, такой способ вполне приемлем, хорошо известно, что для описания вращающихся звезд в строгом лучистом равновесии непригодны псевдобаротропные модели в состоянии стационарного вращения (см. разд. 7.2). Поэтому теперь нужно построить модели, в которых на чисто вращательное движение накладываются крупномасштабные меридиональные течения.
Проблема меридиональных течений, порождаемых вращением в немагнитной горячей звезде, недавно была пересмотрена с учетом вязкого трения (ср. с разд. 8.3). Оказалось, что в основном объеме лучистой оболочки химически однородной звезды влияние турбулентной вязкости на меридиональные течения незначительно; оно заметно лишь вблизи границы ядра и
свободной поверхности, где невязкое решение непригодно. Около каждой из этих границ имеется тонкий слой, в котором процессы вязкости изменяют поле скоростей от значений, отвечающих природе границы, до значений, соответствующих внутреннему невязкому решению. Установлено, что скорости циркуляции, удовлетворяющие всем заданным граничным условиям, равномерно малы в лучистой зоне звезды. Показано также, что может достигаться состояние, стационарное в среднем, в котором стремление вязкого трения выровнять дифференциональное вращение в точности уравновешивается переносом момента количества движения за счет меридиональной циркуляции.
Напомним в заключение, что влиянием меридиональных течений на эволюцию вращающихся звезд в расчетах, как правило, пренебрегают. Обычно считается, что ядерные реакции порождают градиенты средней атомной массы, которые при известных условиях будут подавлять циркуляцию и препятствовать перемешиванию эволюционирующего ядра за счет вращения. Однако полуколичественный анализ, проведенньхй Хуппертом и Спигелом, указывает, по-видимому, на то, что несмотря на д-барьер в ядре, скоростью перемешивания пренебрегать нельзя. Плохо известна и окончательная судьба модели вращающейся звезды, в которой, как обычно, заданы полная масса, полный момент количества движения и распределение момента. Главная причина в том, что мы пренебрегаем переносом наружу и потерей момента количества движения на стадиях звездной этолюции после главной последовательности (ср. с разд. 12.6). Судя по самым последним наблюдениям вращающихся белых карликов и пульсаров, по-видимому, следует постулировать очень эффективный перенос момента количества движения• Это еще сильнее подтверждает, что д-барьерам не удается подавить перенос момента количества движения от ядра к оболочке проэволюционировавшей звезды. Ясно, что, прежде чем нам удастся представить стройную картину очень поздних стадий эволюции звезд, понадобится подробный теоретический анализ меридиональных течений, переноса момента количества движения и потери массы в реалистических моделях звезд.
Приложение 工
ТАБЛИЦА ФИЗИЧЕСКИХ И АСТРОНОМИЧЕСКИХ
ПОСТОЯННЫХ
Цифры в скобках соответствуют одному стандартному уклонению в единицах последнего знака данной величины. (Allen С. W. Astrophysical Quantities, 3rd ed., London: The Athlone Press, 1973. (Имеется перевод: К. У. Аллен. Астрофизические величины. — М.: Мир, 1977.) Cohen Е. R, Taylor В. N. Journal of Physical and Chemical Reference Data, 2, 663, 1973.)
Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная Газовая постояннаяЗаряд электронаМасса покоя электронаОтношение массы протона к массе электронаПостоянная ПланкаПостоянная БольцманаПостоянная Стефана — БольцманаПостоянная давления излученияСветимость СолнцаМасса СолнцаРадиус СолнцаУскорение свободного падения на поверхности СолнцаЭффективная температура СолнцаАбсолютная болометрическая звездная величина СолнцаАстрономическая единица ПарсекСкорость света в вакууме Гравитационная постоянная Газовая постояннаяЗаряд электронаМасса покоя электронаОтношение массы протона к массе электронаПостоянная ПланкаПостоянная БольцманаПостоянная Стефана — БольцманаПостоянная давления излученияСветимость СолнцаМасса СолнцаРадиус СолнцаУскорение свободного падения на поверхности СолнцаЭффективная температура СолнцаАбсолютная болометрическая звездная величина СолнцаАстрономическая единица Парсекс = 2,99792458(1,2)-1010 см/с G = 6,672(X41)-IO"8 дин-см2/г2 区=8,31441(26)-107 эрг/(К-моль)е = 4,8032431(46)-10-10 ед. СГСЭ те = 9,109534(47)-10-28 гт /те = 1836,15152(70)〃 J 2朽力=6,626176(36)-IO"27 эрг-ск = 1,380662(44) «10-16 эрг/Ко = 5,67032(71)• 10-5 Эрг/(см2- Ка = 4а/с = 7,56566(71) «10-15 эрг/(см3-К4)L ° = 3,826(8)-Ю33 эрг/сМ ° = 1,989(2)-1О33 гR ° = 6,9599(7)-1010 смgo = 2,7398(4)-104 см/с2T；ff,。= 5770 кмь,0= +4亦1 a.e. = 1,495979(1)-1013 см1 пс = 206264,806 а.е.=3,085678-1018 смс = 2,99792458(1,2)-1010 см/с G = 6,672(X41)-IO"8 дин-см2/г2 区=8,31441(26)-107 эрг/(К-моль)е = 4,8032431(46)-10-10 ед. СГСЭ те = 9,109534(47)-10-28 гт /те = 1836,15152(70)〃 J 2朽力=6,626176(36)-IO"27 эрг-ск = 1,380662(44) «10-16 эрг/Ко = 5,67032(71)• 10-5 Эрг/(см2- Ка = 4а/с = 7,56566(71) «10-15 эрг/(см3-К4)L ° = 3,826(8)-Ю33 эрг/сМ ° = 1,989(2)-1О33 гR ° = 6,9599(7)-1010 смgo = 2,7398(4)-104 см/с2T；ff,。= 5770 кмь,0= +4亦1 a.e. = 1,495979(1)-1013 см1 пс = 206264,806 а.е.=3,085678-1018 см
Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная Газовая постоянная
Заряд электрона
Масса покоя электрона
Отношение массы протона к массе электрона
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Постоянная Стефана — Больцмана
Постоянная давления излучения
Светимость Солнца
Масса Солнца
Радиус Солнца
Ускорение свободного падения на поверхности Солнца
Эффективная температура Солнца
Абсолютная болометрическая звездная величина Солнца
Астрономическая единица Парсек
Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная Газовая постоянная
Заряд электрона
Масса покоя электрона
Отношение массы протона к массе электрона
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Постоянная Стефана — Больцмана
Постоянная давления излучения
Светимость Солнца
Масса Солнца
Радиус Солнца
Ускорение свободного падения на поверхности Солнца
Эффективная температура Солнца
Абсолютная болометрическая звездная величина Солнца
Астрономическая единица Парсек
с = 2,99792458(1,2)-1010 см/с G = 6,672(X41)-IO"8 дин-см2/г2 区=8,31441(26)-107 эрг/(К-моль)
е = 4,8032431(46)-10-10 ед. СГСЭ те = 9,109534(47)-10-28 г
т /те = 1836,15152(70)
〃 J 2朽力=6,626176(36)-IO"27 эрг-с
к = 1,380662(44) «10-16 эрг/К
о = 5,67032(71)• 10-5 Эрг/(см2- К
а = 4а/с = 7,56566(71) «10-15 эрг/(см3-К4)
L ° = 3,826(8)-Ю33 эрг/с
М ° = 1,989(2)-1О33 г
R ° = 6,9599(7)-1010 см
go = 2,7398(4)-104 см/с2
T；ff,。= 5770 к
мь,0= +4亦
1 a.e. = 1,495979(1)-1013 см
1 пс = 206264,806 а.е.
=3,085678-1018 см
с = 2,99792458(1,2)-1010 см/с G = 6,672(X41)-IO"8 дин-см2/г2 区=8,31441(26)-107 эрг/(К-моль)
е = 4,8032431(46)-10-10 ед. СГСЭ те = 9,109534(47)-10-28 г
т /те = 1836,15152(70)
〃 J 2朽力=6,626176(36)-IO"27 эрг-с
к = 1,380662(44) «10-16 эрг/К
о = 5,67032(71)• 10-5 Эрг/(см2- К
а = 4а/с = 7,56566(71) «10-15 эрг/(см3-К4)
L ° = 3,826(8)-Ю33 эрг/с
М ° = 1,989(2)-1О33 г
R ° = 6,9599(7)-1010 см
go = 2,7398(4)-104 см/с2
T；ff,。= 5770 к
мь,0= +4亦
1 a.e. = 1,495979(1)-1013 см
1 пс = 206264,806 а.е.
=3,085678-1018 см
Приложение Б
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Операторы D/Dt и V2, выписанные в формулах (Б.1), (Б.5), (Б. 18) и (Б.22), действуют на скаляр; они отличны от операторов над векторами (за исключением случая декартовых координат). Таким образом, в формулах (Б.1) и (Б. 18) этого приложения определяется оператор D/Dt, встречающийся в компонентах уравнений Навье — Стокса.
Цилиндрические координаты (&,夕,z)
~、1" д2
▽+卞中+备。(Б5)
Сохранение массы:
(Б.6)(Б.6)Зр + 1 8(&о%) + J %%) + as%)з 8з з d(p dz
(Б.6)
(Б.6)
Компоненты тензора вязких напряжений
%3 =賓从 + 从，出區/а@] + (勺 + дг - %〃)divv,(Б.7)
т你=23 ++ 對 + 3» + 人-%4)divv, (Б.8)
L 3 0夕3」
%z = 2(从 + 吟口％/8z] + 3仆 + 人-%4)divv,(Б.9)
*=^ = 2(“ + ",)以告器 + ^学],(БЛ0)
&=7=""+吟[告(譬+4-勁]6」i)
7茄=iz =n从 +.(A12)
L 2 '而 8z
Отметим, что величины в квадратных скобках служат компонентами тензора деформаций D, например = 8^二/86 и т.д. [ср. разд. 3.3, формулы (43) и (47)].
Уравнения движения
依…更一也+丄_^^L +
\ Dt ш / а@ а& @ а@
Диссипативная функция
%=2(从+吟(片曲+0北+0方+*中+ 22% +
+ 2D轰)+ (勺 + 乙-%Q(diw)2.(Б.16)
Сохранение тепловой энергии
RSp T —-=Dt
^ + (,е-^ъ^х + х^^ +
+ 齧[a + xj 副 +"(x +
阅
Операторы
Сферические координаты (г, 6,夕)
D
万.
а
а
-4- Vr - 勿 r dr
+ ^色+2色, г д0 rsin^ д<р
div®
1al 1 d
f —(户小)+®戸出6) +
/»“ rsin^ дО '
二哄
grad$
ЭФ.1 ЭФ .1 ЭФ
=--L +L +
drг дО rsin^ 沁
gt®
+ rsin^
急協臭Sine)-翁]+%.sin小+ *($)-帥,
『=*（w） +壶专（加哈）+
¥
/^siMp a 伊 2,
Сохранение массы
—+ Д 二Gpv) +色S%sin6) +?S%) = 0・
8f r2 drrsm^ d0rsm夕如
Компоненты тензора вязких напряжений
7〃 = 2(〃 + /хг) [dvr/dr] + (从о+ Mr - % 从)div v,
Tee
2（从+%[:需+可+ （勺+勺一%从）divv,
4-
vr
，2
+ За + Mr - gA)divv,
(Б. 17)
(Б. 18)
(Б. 19)
(Б.20)
(В.21)
(S3)
(Б.23)
(Б.24>
(Б.25)
(Б.26)
",切=2(“ + 端[；(噜 + 4?)J，6.27)
"+処隔芻+ %急)]，(B.28)
力=% + 4i(4^ **6.29)
Отметим, что величины в квадратных скобках служат компонентами тензора деформаций D, например Drr = \dvr/df\ и т.д. [ср. с разд. 3.3, формулы (43) и (47)].
Уравнения движения
bV bpР --—-+ dr 加bV bpР --—-+ dr 加++++++
bV bp
Р --—-+ dr 加
bV bp
Р --—-+ dr 加
+
+
+
+
+
+
+ U I 胆 “А") 4^ + 争]+ 包 - W,(Е31)
鸡=一2竺一丄里+
\ dt г г / rsinG 8夕 rsinG 8夕
+ 乎#5*3)+*]+孑+号92)
Диссипативная функция
篇=2仅+吟(必，十%+0北+ 2D^ + 2£% +竺办+
+ (聞 + 勺-%a)(divv)2. (R33) Сохранение тепловой энергии
рГ- = Ф, + р€пис + р-[(х4 ху-^ +
产sm6 d0 L86」8夕 L
Приложение 8
СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
Фундаментальное уравнение теории потенциала ▽« = 0 можно записать в виде
黑（噌+謚■貳崇也）步a黑（噌+謚■貳崇也）步a(ВЛ)(ВЛ)
黑（噌+謚■貳崇也）步a
黑（噌+謚■貳崇也）步a
(ВЛ)
(ВЛ)
где а 8 и © г обычные сферические координаты. Легко убедиться, что в этом уравнении можно разделить переменные и получить частные решения
中"&,，"）=［二h3叱爲:中"&,，"）=［二h3叱爲:(В.2)(В.2)
中"&,，"）=［二h3叱爲:
中"&,，"）=［二h3叱爲:
(В.2)
(В.2)
где 〃 一 неотрицательное, а т — любое целое число. Присоединенные функции Лежандра P^(cos^) определяются из дифференциального уравнения
壶总sin嘿)+卜…)一名k= 。,(В.3)
ИЛИ
(1 - p)d屮/dp - “dP^/d卜 + [n(n + 1)-加2/(1 - Q)]p^ = 0, (в.4) где 从=cos& Можно показать, что
-M)lml/2 dn + Imlg2 - у
Поэтому Р^(д) s 0 при \т\ > л, поскольку порядок производной в формуле (В.5) выше, чем степень дифференцируемого многочлена. Кроме того, так как в уравнении (В.4) встречается только т2, функция Р^ для отрицательных т может отличаться от Р加、лишь постоянным множителем. Наконец, сразу же видно, что для четных т функция Р^(д)——это многочлен степени л, а для нечетных т функция 叫⑺ равна mhoiочлену степени (〃 一1), умноженному на (1 -徜"?. В частности, из (В.4) и (В.5) находим
(В.6)(В.6)叫3三尸〃 3,
(В.6)
(В.6)
где Рп (д) — многочлены Лежандра.
Присоединенные функции Лежандра Р^(д) для самых низких значений п и m таковы:
(В.7)(В.8)(В.7)(В.8)尸 о&)= 1
(В.7)
(В.8)
(В.7)
(В.8)
Р]3)=从=COS0,
(1 —从 2)"2 = sinJ,
(B.9)
力(3从2 - 1)= Ц(1 + 3cos2<9),
(В. 10)
3(1 -从2)1/2从=%sin2仇
(B.ll)
3(1 - 42)= %(1 - 8s 28),
(В. 12)
力(5必一3从)=%(3cos& + 5cos 36),
(В.13)
%(1 -从2)1/2(5从2 - 1)= %(sin8 + 5sin38),
(В. 14)
15(1 -从2)从=i%(cos& - cos38),
(В.15)
15(1 -从2)з/2 = 1%(ЗзЕ& - sin38).
(В. 16)
\>/ \>/ \>/ \|/ \>/ \>/ \>/ \>/ 11 2 12 22 3 13 23 33 рррррррр
Сферические гармоники P^(cos 6)sin мд и P^(cos6)cos〃r периодичны на единичной сфере, причем индексы лит определяют число линий узлов. При /и = 0 линии нулей делят единичную сферу по ширине на области с разными знаками. В частности, при п = 1 и /и = 0 единственной линией узлов является экватор 8 = 90°, на котором функция равна нулю. При п = 2 и т = 0 имеются две линии узлов, приблизительно совпадающие с параллелями 8 = 55 и 125°. В общем случае получается п линий узлов и (〃 + 1) зона, в которой функция /^(cos ^) попеременно положительна или отрицательна. Поэтому многочлены Лежандра часто называют зональными гармониками. При /и н 0 присоединенная функция Лежандра P^(cos^) из-за множителя (1 - д2)1/2 обращается в нуль на полюсах, а число линий узлов, параллельных экватору, равно 〃一 ти; кроме того, эта функция обращается в нуль и на меридианах, определяемых нулями sin т(р и cos/ид. Следовательно, линии нулей делят единичную сферу на четырехугольники (тессеры) с различными знаками, ограниченные параллелями и меридианами. В частности, линии нулей функций Рп(cos0)sinn<p и 尸：(cos8)cos〃3 делят сферическую поверхность на секторы, в которых эти функции попеременно положительны или отрицательны. Поэтому функции 片^cos^sinmm и P^(cos^)cosm^ при 1ml < п часто называют тессералъными, а при п = т — секториальными гармониками. Очевидно, имеются 2〃 一 2 тессе- ральные и две секториальные гармоники степени п.
Приложение Г
ЭЛЛИПСОИДЫ МАКЛОРЕНА И ЯКОБИ
В табл. Г.З и Г.4 число в скобках после табличного значения — это показатель степени десяти, на которую следует умножить это значение. Величины 勺 приведены в единицах а = (a^^)173, J — в единицах (6М35)1/2,
□2 — в единицах 2ttGp, К и К — в единицах ^зтгбрМа2. Сравнивая последние столбцы табл.厂2 〃 厂 4, мы видим, что при равных значениях полного момента количества движения J полная механическая энергия К + % эллипсоида Якоби меньше, чем сфероида Маклорена с теми же значениями М и а. С разрешения И. Шарлана (эллипсоиды Якоби) и г-жи М. Тассуль (сфероиды Маклорена).
Таблица Л1
Свойства сфероидов Маклорена
т
0а】力1
0,00
0
1,000000
1,000000
0,666667
0,02
0,373909
1,025418
0,951039
0,707236
0,04
0,511028
1,051737
0,904035
0,748939
0,06
0,605447
1,079070
0,858817
0,791766
0,08
0,676908
1,107544
0,815227
0,83 5706
0,10
0,733413
1,137304
0,773121
0,880750
0,12
0,779224
1,168520
0,732365
0,926889
0,14
0,816962
1,201394
0,692834
0,974114
0,16
0,8483 80
1,236162
0,654409
1,022415
0,18
0,874723
1,273107
0,616978
1,071784
0,20
0,896912
1,312575
0,580433
1,122211
0,22
0,915652
1,354987
0,544666
1,173688
0,24
0,931495
1,400870
0,509571
1,226206
0,26
0,944881
1,450890
0,475041
1,279756
0,28
0,956167
1,505909
0,440963
1,33433】
0,30
0,965646
1,567062
0,407218
1,389921
0,32
0,973562
1,635890
0,373673
1;446520
0,34
0,980120
1,714542
0,340176
1,504119
0,36
0,985492
1,806147
0,306545
1,562710
0,38
0,989825
1,915476
0,272550
1,622285
0,40
0,993246
2,050287
0,237887
1,682837
0,42
0,995863
2,224338
0,202115
1,744359
0,44
0,997770
2,465304
0,164535
1,8()6844
0,46
0,999049
2,841411
0,123860
1,870283
0,48
0,999772
3/604033
0,076988
1,934671
0,50
1,000000
ОО
0.
0’
2,000000
Таблица「2
Свойства сфероидов Маклорена
К +用
0
0
0
0,6(ХХ)00
-0,6()0000
0,100445
0,011994
0,599698
-0,587704
0,145586
0,023951
0,598787
-0,574835
0,182704
0,035835
0,597252
-0,561417
0,216141
0,047606
0,595077
-0,547471
0,247*5
0,059224
0,592243
-0,533018
0,277797
0,070647
0,588724
-0,518077
0,307386
0,081829
0,584491
-0,502662
0,336674
0,092721
0,579508
-0,486787
0,365933
0,103272
0,573733
-0,470461
0,395384
0,113423
0,567113
-0,45 3690
0,425231
0Д23109
0.559586
-0,436477
0/55674
0,132258
0.551076
-0,418818
0,486924
0,140787
0,541490
-0,400703
0,519221
0,148599
0,530711
-0,382112
0,552848
0,155578
0,518594
-0,363016
0,588164
0,161584
0,504950
-0,343366
0,625639
0,166441
0,489533
-0,323092
0,665924
()/69923
0,472009
-0,302086
0,709969
0,171726
0,451909
-0,280184
0,759255
0,171418
0,428544
0,400826
-0,257127
0,816297
0,168347
-0,232479
0,885914
0,161418
0,366860
-0,205441
0,979309
0/48485
0,322793
-0,174308
1,134414
0J 23844
0,258009
-0,134165
СО
0
0.
0.
—0.
ю24^8024680246802468024680 аоиао111112222233333444445 оооооооооооооооооооооооооо
!40203
44243
0,1375 1,197234 1,197234 6,976571(-1) 0,14 1,362619 1,058823 6,931102(-1) 0,15 1,623843 9,128330(-1) 6,746283(-1) 0,16 1,829508 8,332346(-1) 6,559916(-1) 0J7 2,026971 7,742668(-1) 6,371794(-1) 0,18 2,228015 7,260630(-1) 6,181695(-1) 0,19 2,439037 6,845402(-1) 5,989390(-1) 0,20 2,665006 6,475539(-1) 5,794633(-1) 0,21 2,910679 6,138146(-1) 5,597169(-1) 0,22 3,181212 5,824744(-1) 5,396727(-1) 0,23 3,482603 5,529374(-1) 5,193021(-1) 024 3,822142 5,247622(-1) 4,985752(-1) 0,25 4,208964 4,976078(-1) 4,774606( -1) 0,26 4,654786 4,712008(-1) 4,559259(-1) 0,27 5,174943 4,453148(-1) 4,339376(-1) 0,28 5,789902 4,197578(-1) 4,114622(-1) 0,29 6,527538 3,943635(-1) 3,884668( -1) 0,30 7,426615 3,689867( -1) 3,649206(-1) 0,31 8,542318 3.435010(-1) 3,407974(-1) 0,32 9,955242 3,177994(-1) 3,160786(-1) 0,33 1,178655(+1) 2,917972(-1) 2,907582(-1) 0,34 1,422451( + 1) 2,654381(-1) 2,648497(-1) 0,36 2,234398( + 1) 2,116265(-1) 2,114801(-1) 0,38 4,060607(+1) 1,569406(-1) 1,56918 3(-1) 0,40 9,348701(+1) 1,034255(-1) 1,034240(-1) 0,45 1,387580(+4) 8,489281(-3) 8,489281( — 3)
0,50 со 0 0.
5,158905(-1)5,158905(-1)9,682190(-1)
4,331591(-1)5,976933(-1)9,691476(-1)
3,319254( - 1)6,953345(-1)9,727401(- 1)
2,722174(-1)7,517110(-1)9,760716(-1)
2,272467( -1)7,936073(-1)9,791460(-1)
1,909075(-1)8,271249(-1)9,819676(-1)
1,605615(-1)8,548969(-1)9,845416(-1)
1,347689(-1)8,783570( - 1)9,868740( -1)
1,126344( -1)8,983940( -1)9,889716(-1)
9,355011( - 2)9,156077(- 1)9,908422(-1)
7,707683( 一 2)9,304287( - 1)9,924944( - 1)
6,288051(- 2)9,431813(-1)9,939382( -1)
5,069614(- 2)9,541193( - 1)9,951845( - 1)
4,030532(- 2)9,634493( - 1)9,962454( -1)
3,152166(-2)9,713443(-09,971340(-1)
2,418071(- 2)9,779546(-1)9,978647( -1)
1,813288(-2)9,834143(-1)9,984528(-1)
1,323824( - 2)9,878473( -1)9,989145(-1)
9,362768( - 3)9,913709(- 1)9,992663( - 1)
6,375882( - 3)9,940987( -1)9,995254( - 1)
4,149021(- 3)9,961425( - 1)9,997085( -1)
2,555540(-3)9,976129(-1)9,998316(-1)
7,805414( - 4)9,992638( - 1)9,999557( -1)
1,567998(- 4)9,998506( - 1)9,999926( - 1)
1,591045(-5)*999847(-1)9,999994(-1)
1л048054(-П)1,0000001,000000
0.1,0000001,000000
Таблица ГЛ
Свойства эллипсоидов Якоби
т
jакМk + w
0,1375 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 027 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,36 0,38 0,40 0,45 0,50
3/>3751О(-*1) 1,871148(-1) 8,046137(-2) 5,85О?39(-О -5^45925(- 1； 3^115277(-1) 1,824065( -1) 8,147653(- 2) 5 用 9752( - 1} - 5,004987(- 1) 3,442578(-1) 1,640304(-1) 8/8107(-2) 5,6^207Н-1) -4,838261(-1) 3,791924(-1) 1,467275(-1) 8,894712(-2) 5,559195(-1) -4,669724(-1) 4,165932(-1) 1,304912(-1) 9,2J5489(-2) 5,420876(-1) -4,499327(-1) 4,567600(-1) 1,153154(-0 9,498333(-2) 5,276852(-1> -4,327018(-1) 5,000515(-1) 1,011921(-1) 9,741002(-2> 5,126843(-1) -4,152743(-1) 5,468926(-1) 8,811188(-2) 9,94Ш0(-2) 4,970555(-1) -3,976444(-1) 5,977918(-1} 7,606377(-2) 1,009612(-1) 4,807677(-1) -3,798064(-1} 6J3362&-1) 6,503467(-2) 1,020334(-0 4,637884(-1) -3,617549(-1) 7,143523(-1) 5,500897(-2) 1,025994(-1) 4,460843(-1) -3,434849(-1) 7,816773(-1) 4596804(-2) 1^)26292(-1) 4,276218(-1) -^49926(-1) 8,564756(-1) 3,788970(-2) 1^020919(-1) 4,083675(-1) -3,062757(-1) 9,401742(-1) 3,074758(-2) 1,009554(-1) 3,8828取一1) -2,873345(-1) 1,034584 2,451038(-2) 9,18741(-2) 3,673608(-1} -2,681734(-1) 1,142035 1,9 ⑷ 19(-2) 9,675635(-2> 3,455584(-1) -2,488020(-1} 1,265563 1,459669(-2) 9^3250(-2) 3,228707(-1} -2,292382(-1) 1,409194 1,082643(-2} 8,979020(-2) 2,993007(-1) -2,095105(-1) t,578352 7,772310(-3) 8,521076(-2) 2,748734(-1} -1,896627(-1) 1,780492 5,368300(-3) 7,88662(-2} 2,496457(-1) -1,697591(-1) 2,026084 3,540656(-3) 7,382694(-2) 2,237180(-1) -1,498911(-1) 2,330191 2,208922(-3) 6,706521(-2) 1,972506(-1) -1,301854(-1> 3,214870 6,909640(-4) 5,174956(-2) 1,437458(-1) -9,199922(-2) 4,810650 1,418663(-4) 3,5088034-2} 9,233692(-2) -5,724889(-2) 8204249 1,468656(-5) 1,925372(-2} 4,813429(-2) -2,888057(-2) 1/99293(+2) 1,010623(-10 2,918750(-4} 6,486111(-4) -3,567361f-4)
8 0. 0. 0. -0.
Приложение Д
力 и х-функции
В таблицах Д.1 — Д.5 число в скобках после каждого табличного значения —это показатель степош десяти, на которую следует умножить это значение (Aikawa Т. Sci. Rep. TWioku Univ,⑴，54, 13, 1971.)
Структурные функции для вращающейся политропы индекса л = 1,5
?е ,
叭）w2w4一Х。Х2一h
0,00,10000(+1)
0,30.985Т0
0,60,94159
0,90,87285
1,20,78398
1,50,68112
1,80,57072
2,10,45880
2,40,35049
2,70,24966
3,00,15886
3,30,79315(-1)
3,60,11091(-1)
{,0,00000
0,000000,000000,000000,000000,000000,00000
0,14899(-1)0,89138(-1)0,80505(-2)0,48404(-6)0,60782(-6)0T27007(-5)
0,58423(-1)0,346480,126490,39499(-4)0,45369(-4)0,15042(-3)
0,127280,734740,621660,43931(-3)0,51210(-3)0,16004(-2)
0,216690,12397( + 1)0,18875( + 1)0,23512(-2)0,27927(-2)0,84610(-2)
0,321280,17877( + 1)0,43866( + 1)0,84443(-2)0,10259(-1)0,30216(-1)
0,436000,23429( + 1)0,85937( + 1)0,2355 7(-1)0,30335(-1)0,86529(-1)
0,556950,28687( + 1)0,14957( + 2)0,55281(-1)0,71063(-1)0,19577
0,681960,33413( + 1)0,23891( + 2)0,114740,152450,40257
0,810950,37509(4-1)0,35797( + 2)0,218220,300310,75415
0,946240,41025( + 1)0,51132( + 2)0,391370,558440,13198(+1)
0,10929(4-1)0,44152( + 1)0,70526( + 2)0,681450,10078( + 1)0,22067(+1)
0,12607( + 1)0,47266( + 1)0,95032( + 2)0,12131( + 1)0,18547( + 1)0,36395( + 1)
0,12944(4-1)0,47874( + 1)0,10011( + 3)0,13720( + 1)0,21087( + 1)0,40029( + 1)
Структурные функции для вращающейся политропы ицдекса л = 2,0
С• о
Wo
屮2
力
-%。
/2
一%4
0,00,10000(4-1)
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0}00000
0,00000
0,30,9851,3
0,14867(-1)
0,88855(-1)
0,80342(-2)
0,17129(-5)
0,18013(-5)
0,74299( - 5)
0,60,94209
0,57935(-1)
0,34226
0,12552
0,11425(-3)
0,11808(-3)
0,43509(-3)
0,90,87521
0,12510
0,72471
0,61174
0,12105(-2)
0,12785(-2)
0,45756(-2)
1,20,79067
0,21095
0,11885( + 1)
0,18396(+1)
0,61402(-2)
0,66741( - 2)
0,23396(-1)
1,50,69537
0,31022
0,16857( + 1)
0:42362( + 1)
0,20704(-1)
0,23306( -1)
0,79952( -1)
1,80,59582
0,41902
0,21777( + 1)
0,82401(4-1)
0,53816(-1)
0,63079(-1)
0,21120
2,10,49745
0,53548
0,26404(4-1)
0,14288(4-2)
0,11700
0,14340
0,46721
2,40,40421
0,65980
0,30642( +1)
0,22831( + 2)
0,22386
0,28770
0,90954
2,70,31859
0,79403
0,34519( + 1)
0,34367( + 2)
0/9017
0,52648
0,16106(4-1)
3,00^4182
0,94165
0,38150(4-1)
0,49492(4-2)
0,63490
0,89928
0,26554( + 1)
3,30,17418
0,11072(4-1)
0,41699( + 1)
0,68948(4-2)
0,98229
0,14581( + 1)
0,41458( + 1)
3,60,11552
0,12961(+1)
0,45360( +1)
0,93675( + 2)
0,14651( + 1)
0,22725( + 1)
0,62076(4-1)
3,90,64252(-1)
0,15143( + 1)
0,49339( + 1)
0,12487( + 3)
0,21290( + 1)
0,34369(+1)
0,90000(4-1)
4,20,20160(-1)
0,17690( + 1)
0,53853( + 1)
0,16407(4-3)
0,30386( + 1)
0,50811( + 1)
0,12728(4-2)
&0,00000
0,19153( + 1)
0,56432( + 1)
0,18772( + 3)
0,36249( + 1)
0,61589(4-1)
0,15070(4-2)
Структурные функции для вращающейся политропы индекса п = 2,5
8
Wo
w2w4
-Xo 一
X2
0,0
0,10000(4-1)
0,00000
0,000000,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,3
0,98517
0,14834(-1)
0,88575(-1)0,80182(-2)
0,36658(-5)
0,33956(-5)
0,15186(-4)
0,6
0,94259
0,57465(-1)
0,338180,12458
0^2841(-3)
0〃235( - 3)
0,89119(-3)
0,9
0,87746
0,12310
0,706950,60246
0,23242(-2)
0,22272(-2)
0^1531(-2)
1,2
0,79686
0,20594
0,11428( + 1)0,17968( + 1)
0,11233(-1)
0,11205(-1)
0,45231(-1)
1,5
0,70807
0,30116
0,15993(4-1)0,41083( + 1)
0,35879(-1)
0,37552(-1)
0,14871
Ь8
0,61744
0,40601
0,20447( + 1)0,79538( + 1)
0,88109(-1)
0,97352(-1)
0,37762
2,1
• 0,52964
0,52036
0,24643( + 1)0/3768( + 1)
0,18095
0,21191
0,80428
2,4
0,44771
0,64550
0,28568( + 1)022027( + 2)
0,32747
0,40723
0,15117(4-1)
2,7
0,37321
0,78433
0,32297( + 1)0,33280( + 2)
0*075
0,71395
0,25926( + 1)
3,0
0,30668
0,94033
0,35947( + 1)0,48174( + 2)
0,83455
0,11678( + 1)
0,41511( + 1)
3,3
024793
0,11172( + 1)
0,39649( + 1)0,67482( + 2)
0,12244( + 1)
0,18101( + 1)
0,63058( + 1)
3,6
0,19642
0,13188( + 1)
0,43530( + 1)0,92117(+2)
0,17281(+1)
0,26882( + 1)
0,91930( + 1)
3,
0,15139
0,15487( + 1)
0,47701( + 1)0,12315( + 3)
0,23661( + 1)
0,38549( + 1)
0,12969( + 2)
4,2
0,11203
0,18102( + 1)
0,52264( + 1)0,16181( + 3)
0,31602( + 1)
0,53664( + 1)
0,17810(+2)
4,5
0,77554(-1)
0,21067( + 1)
0,57300( + 1)0^0950(4-3)
0,41307( + 1)
0,72774( + 1)
023913( + 2)
4,8
0,47238(-1)
024410( + 1)
0,62878(+1)0,26777( + 3)
0,52905( + 1)
0；96306( + 1)
0,31490(+2)
5,1
0,20443(-1)
0,28153( + 1)
0,69050( + 1)0,33834(+3)
0,66314( + 1)
0,12434( + 2)
0,40753( + 2)
&
0,00000
0,31665(+1)
0,74791(+1)0,40942(4-3)
0,78676( + 1)
0,15112( + 2)
0,50096( + 2)
Структурные функции для вращающейся политропы индекса л = 3,0
Wo
屮2
屮4
_Xo
X2
一%4
0,00,10000(4-1)
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,30,98520
0,14802(-1)
0,88297(-1)
0,80022(-2)
0,64727(-5)
0,53131(-5)
0,26644(-4)
0,60,94307
0,57011(-1)
0,33422
0,12366
0,38669(-3)
0,32263(-3)
0,15492(-2)
0,90,87962
0,12123
0,69034
0,59376
0,37904(-2)
0,32922(-2)
0,15515(-1)
1,20,80259
0,20152
0,11019( + 1)
0,17582(+1)
0,17530(-1)
0,16046(-1)
0,74284(-1)
1,50,71950
0,29364
0,15251(4-1)
0,39979( + 1)
0,53417(-1)
0,52006(-1)
0,23629
1,80,63631
0,39601
0,19349(+1)
0,77159(+1)
0/2518
0,13044
0,58148
2,10,55703
0,50935
0,23236( + 1)
0,13349(+2)
0,24596
0,27517
0,12043(+1)
2,40,48393
0,63593
0,26944( +1)
0,21391( + 2)
0,42737
0,51356
0,22097(+1)
2,70,41796
0,77878
0,30563( + 1)
0,32415( + 2)
0,68003
0,87619
0,37137( + 1)
3,00,35923
0,94108
0,34203(+1)
0,47094( + 2)
0,10146(+1)
0,13968(+ 1)
0,58455(+1)
3,30,30735
0tl 1260(+1)
0,37964(+1}
0,66210( + 2)
0,14427( + 1)
0,21126(+1)
0,87511(+1)
3,60,26169
0,13363(+ 1)
0,41938( + 1)
0,90659( + 2)
0,19774( + 1)
0,30635( + 1)
0,12595( + 2)
3,90,22156
0/5745(+1)
0,46198(+1)
0/2146( + 3)
0,26329( +1)
0,42921(+1)
0,17563( + 2)
4,20,18623
0,18430( + 1)
0,50805(+1)
0,15973( + 3)
0,34246( + 1)
0,58422(+1)
0,23861( + 2)
4,50,15507
0,21435( + 1)
0,55804( + 1)
0,20679( + 3)
0,43670( + 1)
0,77567( + 1)
0,31715( + 2)
4,80,12835
0,24778(+1)
0,61235(+1)
0,26397( + 3)
0,54733( + 1)
0,10075( + 2)
0,41373( + 2)
5,10,10296
0,24873( + 1)
0,67124( + 1)
0,33277(+3)
0,67524( +1)
0,12831( + 2)
0,53100( + 2)
5,40,81065(-1)
0,32530(+1)
0,73493( + 1)
0,41483( + 3)
0,82070( + 1)
0,16046( + 2)
0,67175( + 2)
5,70,61430(-1)
0,36958(+1)
0,80358(+1)
0,51184( + 3)
0,98300( + 1)
0,19724(-2)
0,83892( + 2)
6,00,43738(-1)
0,41762( + 1)
0,87727( + 1)
0,62564( + 3)
0,11601( + 2)
0,23849( + 2)
0,10355( + 3)
6,30,27723(-1)
0,46945( + 1)
0,95603( + 1)
0,75811(+3)
0/3482( + 2)
0,28373( + 2)
0,12645(+3)
6,60,13162(-1)
0,52507(+1)
0,10399( + 2)
0,91125( + 3)
0,15411( + 2)
0,33209( + 2)
0,15290( + 3)
&0,00000
0,58378(+1)
0,11277( + 2)
0,10851( + 4)
0,17281( + 2)
0,38170( + 2)
0,18285(+3)
Структурные функции для вращающейся политропы индекса 〃 = 3,5
《6w0屮2w4
Го
Х2
Т4
0,0
0,10000(4-1)
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,6
0,94177
0,56572(-1)
0,32033
0,12278
0,59465(-3)
0,44252(-3)
0,24444( 一 2)
1,2
0,80793
0,19761
0,10649(4-1)
0,17771(+1)
0,24993(- 1)
0,20918(-1)
0,11597
1,8
0,65299
0,38800
0,18426(+1)
0,75144(4-1)
0,16464
0,16139
0,82406( + 1)
2,4
0,51472
0,62940
0,25628(+1)
0,20868( + 2)
0,52585
0,60862
0,30130(+1)
3,0
0,40294
0,94311
0,32779(+1)
0,46819( + 2)
0,11865(+ 1)
0,15995(+1)
0,77755( + 1)
3,6
0,31556
0,13509(4-1)
0,40571(+1)
0,89349( + 2)
0,22230( + 1)
0,34092( + 1)
0,16482( + 2)
4,2
0,24749
0,18694(+1)
0,49485(+1)
0,15784( + 3)
0,37301(+1)
0,63453(+1)
0,30849( + 2)
4,8
0,19397
0,25107(+1)
0,59811(+1)
0,26082( + 3)
0,58157(+1)
0,10730(4-2)
0,52972( + 2)
5,4
0,15127
0,32829(+1)
0,71716(+1)
0,40906( + 3)
0,85829(+1)
0,16871( + 2)
0,85313(+2)
6,0
0,11665
0,41915( + 1)
0,85296(+1)
0,61500(+3)
0,12105( + 2)
0,25020( + 2)
0,13069( + 3)
6,6
0,88137(-1)
0,52398(+1)
0,10061( + 2)
0,89259( + 3)
0,16401( + 2)
0,35332( + 2)
0,19225(+3)
7,2
0,64307(-1)
0,64294(+1)
0,11767( + 2)
0,12574( + 4)
0,21320( + 2)
0,47599( + 2)
0,27037( + 3)
7,8
0,44119(-1)
0〃603( + 1)
0,13648( + 2)
0,17262( + 4)
0,26948( + 2)
0,62347( + 2)
0,37794( + 3)
8,4
0,26807(-1)
0,92315(+ 1)
0,15704(4-2)
0,23175( + 4)
0,32816( + 2)
0,78567( + 2)
0,50974( + 3)
9Q
0,11803(-1)
0,10841( + 2)
0,17933( + 2)
0,30509(+4)
0,38604( + 2)
0,96004( + 2)
0,67304( + 3)
3
0,00000
0,12394( + 2)
0,20066( + 2}
0,38430( + 4)
0,43420( + 2)
0,1 ⑵ 7( + 3)
0,84912(+3
Именной указатель
Номера страниц, набранные курсивом, относятся к библиографическим замечаниям, таблицам, рисункам или примечаниям.
Абт (Abt) 36, 37, 39, 40, 47, 48, 261, 283, 310 — 314, 316 — 318, 324, 334 , 335 , 33 7
Агостинелли (Agostinelli) 434
Адамс (Adams) 14, 15
Аджян Г. С. 359, 391
Аикава (Aikawa) /75, 229, 232 — 235, 253 , 254, 452
Айтон (Alton) 23
Айзенман (Aizenman) 379, 392
Айлэнд (Ireland) 333
Александер (Alexander) 434
Аллен (Allen) 442
Альвен (A(fven) 176
Ами (Нашу) 84, 92
Ананд (Anand} 253, 285, 287, 288, 332, 341, 358,
413, 426, 434
Андерсон (Anderson) 39
Андерхилл (Underhill) 333
Антонуччи {Antonucci) 27, 46
Аппель (Appell) 91
Аранда (Aranda) 332
Арнетт {Arnett) 338
Арни (А ту) 282
Арутюнян Г. Г. 334, 358, 359, 391
Аухмути (Auchmuty) 254
Африк (Africk) 357, 359
Баглен (Baglin) 315, 335, 33 7, 360
Балаш (Balazs) 168, 176
Балона (Balona) 309, 334
Бандиопадхья Bandyopadhyay) 358
Баппу М. К. Вайну (Варри М. К. Vainu) 326, 337
Бардин {Bardeen) 150, 247, 253 — 255, 359
Бартон Б. (Barton В. J.) 233
Бартон Р. (Barton R. Г.) 260, 438
Баско М. М. 359
Бат (Bath) 433
Бейкер (Baker) 174, 186, 203
Белведере (Belvedere) 46, 216, 218, 440
Бем (Bohm) 47
Бем-Витензе (Bohm- Vitense) 391
Бербидж Е. М. (Burbidge М) 322, 336
Бербидж Дж. Р. (Burbidge G. R.) 322, 336
Бержерон (Bergeron) 74, 9八 148
Беркхед (Burkhead) 330, 338
Бернакка (Вегпасса) 40, 43, 47、48
Берри (Berry) 22
Бертэн (Bertin} 253
Бивер (fieaver) 441
Биллингс Д. Е. (Billings D. Е) 26
Биллингс Д. Ф. (Billings D.尸.)413
Билс (Beals) 254
Бирманн Л. (Biermann 丄.)199, 202, 205, 208, 216
Бирманн П.. (Biermann Р.) 435
Бисноватый-Коган Г. С. 145,乃0, 255, 338, 359, 440
Блаау (Blaauw) 261
Блинников С. И. 112, 145, 150, 231, 233, 253, 255, 359, 440
Блэк (Black) 259, 260, 283, 438
Боденхеймер (Bodenheimer) 224,238,
241 — 250, 255, 259, 260, 269, 272 — 276, 281 —284, 294 — 301, 306, 329, 332, 333, 347 — 350, 354 — 357, 359, 363, 390, 438
Боесгор (Boesgaard) 285
Бойс (Воусе) 47, 307, 334
Боксенберг (Boksenberg) 441
Борра (Во/та) 322, 336, 402, 403, 414, 415
Босс (Boss) 438
Боярчук А. А. 36, 47, 48
Брагинский С. И. 400, 414
Брандт (Brandt) 279, 284
Браун (Brown) 47
Брегер (Breger) 327, 337
Брей (Bray) 22
Брехер {Brecher) 360, 402, 441
Броше (Brosch^) 285
Бруцек (Bruzek) 26
Брэнд (Brand) 204
Букериус {Bucerius) НО
Бумба (Bumba) 29, 47
Бури (Воигу) 148
Бурки (Burki) 438
Буссинеск (Boussinesq) 198
Бхатнагар (Bhatnagar) 255, 390
Бхатья (Bhatia) 284
Бьеркнес В. (Bjerknes И.) 22, 67, 74, 75, 82, 92, 148
Бьеркнес Ж. (Bjerknes J.) 74, 91, 148
Бэбкок (Babcock) 401, 402, 414
Бэттен (Batten) 283、433
БюЙ-Балло (Buys-Ballot) 14
Бюрнишон (Burnichon) 383, 392
Бюскомб (Buscombe) 334
Бюссе (Busse) 214, 218
Вавр (Wavre) 20, 81, 83, 89, 91 — 93, 96, 434
Вагнер Р. (Wagner R. L.) 342
Вагнер У. (Wagner W. J.) 46
Вазсони (Vazsonyi) 69, 75
Вайдельт (iVeidelt) 285
Вайдеманн (Weidemann) 328, 330, 33 7, 441
Вайнштейн С. И. 200
Вайссман (Weissman) 282
Вайцзекер, фон (yon Weizsackef) 282
Вален (Walen) 71, 75, 385, 392
Вальдмайер (Waldmeier) 26
Вальравен (Walraven) 74
ван Альбада (van Albada) 258, 261, 262, 282, 283
Ванбеверен (Vanbeveren) 441
Вандакуров Ю. В. 749, 7 75, 218, 3911 414 — 416 ван ден Хейвель (va〃 den Heuvel) 36, 41, 47, 48, 285
Ван дер Боргт (Van der Borght) 413
Ван'т Веер (Van*t Veer) 284
ван Хооф (van Hoof) 391
Ван Хорн (Иал Нот) 360
Варинг (Wareing) 310, 334
Вартанян Ю. Л. 359, 360, 391
Васкес (Vazquez) 46
Вассерман (Wasserman) 402
Васютыньски (Wasiutynski) 199, 200, 205
Вебер Е. (Weber Е J.) 284
Вебер С. (Weber S. И) 282
Вейр (Weir) 205
Вейс (Weis) 43, 48
Вейсс (唳» 213, 214, 217, 408, 4丿4, 415
Вель (Wdhtj 46
Вентцель (Wentzel) 413
Верле (Wehr吟 167, 169, 175
Веронис (Veronis) 213, 217
Веронне (Уёгоппе1) 91、92
Виита (Wiita) 359, 428, 435
Викерс (Vickers) 217
Викрамасингх (Wickramasinghe) 358 — 360
Вилху (Vilhu) 309, 334
Вильчинский (Wilczy处ki) 89, 93
Виргопиа (Virgopid) 282, 285
Витт А. А. ЗМ
Вогэн (Vaughan) 403, 415
Воклер (Vauclair) 315, 335, 337
Волтьер (Woltjef) 413
Вольтерра (Volterrd) 84, 9八 92
Вольф К. (Wolff С. L.) 46, 2", 3处，416
Вольф Р. (Wolff R. J.) 401, 414
Вольф С. (Wolff S. С.) 335, 401, 4мч, 414、415
Вонг (Wong) 283
Врубель (Wrubel) 333, 397, 414
Вулф (Wolf} 360
Габриэль (Gabriel) 148
Галилей Галилео (Galilei Galileo) 12, 13
Ган (Gunn) 331, 338
Гангули (Ganguly) 92
Гарриот (Harriot) 12
Гаф (Gough) 324, 33 7, 398, 414
Гедзельман (Qedzelman) 335
Гельмгольц, фон {yon Helmholtz) /8, 67, 167, 174
Герат (Qierasch) 217
Гжедзельски (Grzedzielski) 284
Гийо '(Giao) 169, 175
Гиллеспай (Gillespie) 416
Гиллис (Gillis) 258, 282
Гилман (Gilman) 46, 207, 211, 212, 215—2/8, 〃6, 440
Глакин (Glackin) 46
Годоли (Godoli) 46
Голд (Gold) 331, 338
Голдрейх (Goldreich) 162, 175
Голэ (Golay) 304, 306, 333
Граттон (Gratton) 183, 203
Гредли Fredley) 322, 336
Грей (Gray) 47, 310, 334, 337、437
Гриббин (Gribbin) 345, 346, 358, 359, 391
Грин (Green) 434
Гринспен (Greenspan) 74、75
Гринстейн (Greenstein) 323, 325, 327, 331, 336, 338, 358, 441
Грисвар (Grisvard) 149
Гриффит (Griffith) 〃八 180, 203, 302, 332, 334
Гровер (Grover) 413
Гросс (Gross) 338
Губбинс (Gubbins) 415
Гусейнов О. X. 285
Гуссенс (Goossens) 129, 149、413
Гутри (Guthrie) 309, 3/3, 334, 335
Гхош (Ghosh) 92, 203
Гюйгенс (Huygens) 16, 17
Д'Азамбужа Л.(p*Azambuja L.) 26
Д'Азамбужа М. (D^zambuja М) 26
Дайнцер (Deinzer) 416
Даноз (Danoz) 255
Данцигер (Danziger) 324 — 327, 33 7
Дарвин (Darwin) 427, 433
Дас (Dos) 415
Де Вито (De Vito) НО, 112
Де Грев (De G№ve) 285、441
Дедебант (Dedebant) 167, 169, 175
Дедик (Dedic) 373 — 375, 3 91
Дейбнер (Deubner) 46
Дейви (Pevey) 378, 391
Дейч (Deutsch) 402, 403, 414
Декарт (Descartes) 17
Делкруа (Delcroix) 334
Де Лоор (0е Loore) 285, 441
ДеЛюри (DeLury) 23
Демарк Remarque) 279, 284
Денис (Denis) 149, 389, 391, 392, 413, 433
Денуайель (Denoyelle) 149
де Сильва (de Silva) 415
Детуейлер (Detweiler) 228, 253
Де Ягер (De Jager) 285
Джеймс Uames) "0, 164, 165, 175、229 — 235, 237, 253, 254, 341, 352, 358, 434
Джексон (Jackson) ПО, 〃2, 295, 332, 425, 434
Джембовски (Dziembowslci) 426, 434
Джеппс Qepps) 416
Джинголд (Gingold) 438
Джинс (Jeans) 20, 21, 166, 170, 172, 176, 220, 252, 256, 264, 265
Джиули (Giuli) 74, 357
Джой (Joy) 15
Джокипии Qokipii) 217
Джонстон (Johnston) 310, 334
Джордал Uordahl) 333
Джоуль (Jo〃/e) 18
Джюзбери (Jewsbury) 39
Див (Dive) 20, 83, 85, 89, 91, 92
Дикке (Dicke) 206, 216, 281, 285
Диккенс (Dickens) 333
Долгинов А. 3. 434
Домманже (Dommanget) 261, 283
Дробышевский Э. М. 283, 414
Дьяченко В. Ф. 390
Дэвис Дж. (Davies G.尸.)405, 415
Дэвис Л. (Davis L., Jr.) 284
Дэвис-Джонс (Davies-Jones) 218
Дэрни (Durney) 175, 210, 213, 214, 2/6 — 2", 345, 358, 364, 389 — 392, 4乃，416, 434, 439
Дюба (Dubas) 341, 358
Дюваль 0“уа//) 440
Дюпри A. {Dupree А. К.) 27, 46
Дюпри Р. (Deupree R. G.) 378, 391
Дюризен {Durisen) 254, 277, 352, 354 — 356,
359, 360
Жао (Zhao) 333, 334
Жарков В. Н. ПО
Жу (Zhu) 302, 332
Замир (Zamir) 336
Зебергс (Zebergs) 23
Зельдович Я. Б. 142, 25a 152, 390
Зенцова А. С. 337
Зисман (Zisman) 146, 150
Золберг (Solberg) 22, 74,力，148, 174
Ибен (Iben) 321, 325, 327, 33 7, 338
Иванова Т. С. 440
Ивейнс Qweins) 149
Иллинг (Illing) 402, 414
Иллингворт Illingworth) 326, 337
Имамура Qmamura) 254
Имшенник В. С. 359, 390, 391
Ингэм (Ingham) 402
Иошимура (Yoshimura) 2/G, 214, 2/7, 2/8, 412, 4/6, 440
Ирошников Р. С. 227, 416
Ито (ЛоЛ) 75
Йе (УеА) 284
Йорк (Yorke) 438
Йосс (Yoss) 48
Каламам (Calamai) 150
Калама Маханта (Kalama Mahanta) 110
Кальдонаццо (Caldonazzo) 93
Камерон QCameron) 283
Камия (Kamiya) 260
Кан (Kahn) 164, 165, 175
Каииель (Kaniel) 149
Каплан С. А. 364, 390
Карсвелл (Carswell) 441
Картая (Cartan) 265
Кассинелли {Cassinelli} 333
Касумов Ф. К. 285
Като (Kato) 212, 214, 2〃，218、391
Каулинг (Cowling) 120,126, 148、 176,
384 — 387, 3%, 392, 397, 404, 408, 4/2, 413, 429, 435
Квилгини (Quilghini) 88, 93
Квичала (Kviiala) 26
Келер (Kohler) 208 — 2/0, 214, 2〃，412, 416
Келлог (Kellogg) 90
Келсолл (Kelsalh 320, 321
Кельвин, лорд Томсон (Kelvin, Lord Thomson)
20. 121, /26. 225 , 262
Кестер (Koester) 357, 359
Киям (Chiam) 413
Киппеихан (Kippenhahn) 103, JOS, 106,丿丿八 165, 173 — /75, 186, 199, 202 — 205, 208, 2/6, 282, 284, 287, 288, 323 , 327 , 329, 331, 332, 335 - 338, 356, 359、425, 434
Кларк ©ark) 204, 285
Клемент (Clement) ПО, "2, 131, /叫 161, 169 — 172, /75, 176, 185, 203, 255, 378, 389 — 392
Клеро (Clairaut) 17 — 19, 99, 110
Кляйншмидт (Kleinschmidt) 174
Ковец {Kovetz) 75, 〃人 146, 149、150, 253、414
Койпер (Kuiper) 34, 430, 431
Кок (Cocke) 208, 216
Кокс (Сох) %, 357、379, 3% 392
Колгейт [Colgate) 165, 175
Колдинг folding) 18
Коллинз (Collins) 47, 301, 302, 307, 309, 332 — 3%, 437
Кольчин (Kolchin) 434
Конти [Conti) 314, 315, 335, 383, 392
Копал (Кора!) 110、111、253 , 284、427 , 428 , 431, "3, 434
Копецки (Кореску) 26
Копылов И. М. 36, 47, 48
Костюк Н. Д. 440
Кох {Koch) 48
Кочар (Kochhar) 392
Коши (Cauchy) 18、56, 67
Коэн (СоАеп) 442
Крайкен (Kreiken) 44, 48
Крат В. А. 23, 255
Краузе (Krause) 400, 410, 411, 414、416
Крафт (Kraft) 39, 274, 275, 281, 284, 285, 301, 316, 325, 326, 332, 333, 335, 337
Крейн (Crane) 436
Кржиж (КН力 336
Кристенсен-Дальсгор(Christensen-Dalsgaard)
149
Кристи (Christy) 377, 391
Кришан (Krishan) 358
Крогдал gogdahl) 111, 203, 253
Крокко (Сгоссо) 69, 75
Крудели (Crudeli) 88, 92、怨
Крушевски (Kruszewski) 426, 434、435
Крэмпин (Crampin) 322, 336
Крэмптон (Crampton) 3/8, 335
Ку (Qu) 333, 334
Кук (Cook) 438
Кулсруд (Kulsrud) 149, 150, 314, 335
Кумар (Kumar) 282, 285
Кун {Kuhn) 436
Купер [Cooper) 26
Куссеров, фон (уо〃 Kusserow) 6
Кухи (Kuhi) 279, 285
Кушваха (Kushwaha) 358
Кшемински (Krzeminski) 333
Кьяра (Chiara) 93
Кэррингтон (Carrington) 13, 24
Кэррол ©arroll) 30, 47
Кэссиди (Cassidy) 437
Лаваль {Laval) 129, 149
Ламли (Lumley) 204
Ламп {Lampe) 75
Ландау Л. Д. 74, 75, 3“
Ланцано (Lanzano) ПО
Лаплас (Laplace) 18, 19, 262
Ларсон (Larson) 259, 260, 271, 282, 382, 383, 392, 438
Ларссон (Larsson) 39
Лебединский А. И. 199, 200, 202, 205, 208, 216
ЛеБлан (LeBlanc) 337
Лебовиц (LebovitzY 91, %, 111, 122, 126, 133, 135, 137, 142, 146, 148 —乃0, 158, 223, 224, 253 , 254, 266 — 271, 283 , 362, 363 , 378, 385, 390 - 392, 433
Левато (Levato) 40, 45, 48, 426, 428
Леви С. (Levy, S. G.) 261, 283, 334
Леви Э. (Levy, Е Я.) 338
Легг (Legg) 175
Леду (Ledoux) 74, 124, 127, 128, 148 一 150, 362, 365, 367, %夕，370, 376 一 378, 382, 383, 390 — 392, 412, 413
Лежандр (Legendre) 18, 19, 110
Лейтон (Leighton) 411, 416
Лекар (Lecaf) 435
Лерш (Lerche) 416
Либерт (Liebert) 441
Ливингстон (Livingston) 416, 440
Лимбер (Limber) 332, 336, 396, 413, 426, 434
Лин (L加)282
Линдблом (Lindblom) 228, 253
Линден-Белл (Lynden-Bell) 131, 148 — 150, 282, 283、324, 337, 347, 359
Линнелл (Linnell) 253
Литтлтон (Lyttleton) 252, 253, 270, 283
Лиувилль (Liouville) 19
Лифшиц E. M. 74、75
Лихтенштейн (Lichtenstein) 20, 83, 91, 96
Лоухед (Loughhead) 22
Лумис Roomis) 26, 27, 46
Лэндстрит (Landstreet) 331,338,358,
401 — 403, 4〃，415
Любов (Lubow) 432, 435
Люси (Lucy) 438
Ляпунов А. М. 20, 91, 96, 265
Лятур (Latour) 439
Мадер (Maeder) 302 — 306, 318 — 321, 324, 330, 333, 335 — 33 7, 438
Майер {Mayer) 18
Мак-Дональд (McDonald) 175, 195, 204
Мак-Ки (McKee) 435
Маклафлин (McLaughlin) 15
Маклорен (Maclaurin) 17, 18, 219
Макнамара (McNamara) 39
Мак-Нолли (McNally) 37, 38, 48, 281, 282, 285
Маммано (Маттапо) 278, 284
Манебах (Mansbach) 262, 28^
Маргони (Margoni) 284
Марк (Mark) 107 — 109, 112, 149, 294, 295, 332
Марки (Markey) 399, 414
Маркс (Marks) 170, 176
Марлборо (Marlborough) 323, 336
Мартин (Martin) 434
Масса (Massa) 336
Мацуда (Matsuda) 282, 435
Махаффи (Mahaffy) 330, 337
Махесваран (Maheswaran) 182, 184, 190, 203, 2例，415
Мейер Д. [Meier D. L.) 338
Мейер К. (Meyer С. О.) 19
Мейер-Хофмейстер(Meyer-Hofmeistef) 322,
323, 327, 329, 336 — 338
Мелленхоф ①[jllenhoff) 283, 338, 356, 359
Мендес (Mendes} 92
Менджел (Mengel) 338
Мендоза (Afe〃doza) 273
Мерсье (Mercier) 129, 745
Местел (Mestef) 183, 185, 188, 191, 194, 195, 203 , 204, 258, 263 , 279, 281 — 284, 315 , 342, 3%, 398, 400, 406, 412 — 〃S, 438
Мизуно (Mizuno) 282
Микетинак (Miketinac) 233 , 395, 413
Миллер 价filler) 228, 237 , 253 , 254
Милн (Milne) 21, 23, 111, 253, 2 8 9
Милтон (Milton) 354, 358, 359
Минео (Mineo) 92, 93
Мишо (Michaud) 315, 335
Модисетт (Modisette) 284
Мойд (Moyd) 36, 334
Монаган (Monaghan) 111, "2, /75, 229, 234, 294, 299, 332, 358, 359, 395, 405, 406, 413, 4乃，435, 438
Мопертюи, де (Maupertuis P. L. M. de) 17
Морозов В. H. 338
Моррис (Morris) 334
Моррисон Н. (Morrison N. D.) 40/, 414
Моррисон П. (Morrison 尸.)360
Морс (Morse) 96
Мосс (Moss) 190 — 192, 204, 277, 284, 398, 400, 405, 414, 415
Мотта (Motta) 46, 216
Моултон (Moulton) 92
Мунн (Munn) 390
Мушовиас (Mouschovias) 438
Мэллан (Mullan) 335
Мюллер (Mtillef) 26
Мюнч (Miinch) 33, 47
Найдиг (Neidig) 440
Накагава (Nakagawa) 212, 217
Наказава (Nakazawa, 282, 438
Накано (Nakano) 282、414, 438
Нанн (Nunn) 24 — 27
Нариаи Bariai) 48, 284
Нарита (Narita) 438
Науенберг (Nauenberg) 359
Ндука (Nduka) 421, 433
Нейлор (Naylor) 426, 434
Немец (Nemec) 437
Никел (Nickel) 211, 213, 2/7
Никлиборц (Nikliborc) 88, 92
Нобили (Nobili) 277, 284, 322, 336
Нойес (Noyes) 27, 46
Норман (Normari) 260, 438
Норрис (Norris) 309, 314, 324, 326, 334, 335, 337
Ноэль (Noels) 148
Ньюинг (Newing) 390
Ньютон И. Newton /.) 16 — 18
Ньютон X. (Newton ". %.) 24— 27
Обэн (Aubin) 266, 271, 283
Овсепян А. В. 359, 360, 391
Окамото (Okamoto) 278, 283, 284
Оккьонеро (Occhionero) 253, 390
О* Коннелл ^Connell) 358
Олсон (Olson) 43 — 45, 48
Ом (Ohm) 69
Орлов А. А. 434
Осаки (Osaki) "5, 187, 193, 194, 204, 213, 22 7, 376 — 378, 391
Острайкер (Ostriker) 5, 94, 106 — 108, "2, 131, 148 — 150, 224, 236, 238, 241 — 250, 254, 255, 265, 266, 269, 272 — 275, 283、284、 295, 301, 329, 331, 338, 342, 347 — 360, 363, 386, 390, 391
Оук (OR) 323, 324, 327, 336
Пайн (Pine) 283
Пайпер (Рурег) 43, 48
Палейчик В. В. 390
Палеологу (Paleologou) 438
Панофски (Panofsky) 197
Папалойзу (Papaloizou) 112, 287 — 289, 332, 433
Папоян В. В. 111, 253、344, 358, 359, 391
Паркер (Parker) 217, 279, 409, 411, 412, 414 — 416
Паркинсон (Parkinson) 47, 307, 334
Парсонс (Parsons) 47, 337
Патерно (Paternd) 46, 216, 2/8, 440
Пейтреманн (Peytremann) 302 — 306, 319, 324, 333
Пекерис (Pekeris) 122, 124,-148, 149, 386
Пелля (Pellat) 129, 149
Перайа (Peraiah) 333
Перданг (Perdang) 121, 149
Перинотто (尸"血。〃。)40, 47, 48
Петерсон (Peterson) 331, 338, 358
Пиблс (Peebles) 250
Пиддингтон (Piddington) 416
Пиццетти (Pizzetti) 84, 92
Плавец (Plavec) 48, 425、426, 428、433, 434
Пламмер (Plummer) 92
Пласкетт (Plaskett) 28, 46, 211, 217
Плаут (Plaut) 48
Попов Ю. П. 338
Порфирьев В. В. "5, 204
Прендергаст (Prendergast) 413, 431, 435
Прентис (Prentice) 282
Пресс (Press) 226, 227, 253, 359, 428, 435
Престон (Prestori) 314, 327, 334, 335, 337, 403, 404、414、415
Прингл (Pringle) 283
Птачек (Ptadek) 26
Пуанкаре (Poincari) 20, 81, 88, 89, 91 — 93, 253, 264, 368
Пуассон (Poisson) 19
Путине (Putnis) 93
Пэкет (Packet) 441
Пэрис (Paris) 258, 282、438
Рааду (Raadu) 358
Радикати (Radicati) 253
Райбс (Ribes) 412, 416
Райт Дж. (Wright G. 4 К.) 399, 405, 4", 415
Райт К. [Wright К.) 378, 391
Рандерс (Renders) 22, 158, 174, 179, 188, 193, 203, 204, 384, 392
Рассел (Russel) 390
Pay (Rau) ПО
Редер (Roeder) 279, 284
Ренсон (Renson) 412, 413
Риттер (Ritter) 148.
Робертс (Roberts) 110, 224, 229, 234, 250, 253 — 255, 332, 378, 3911 416
Робертсон (Rbbertson) 322, 336
Робсон (Robson) 405, 415
Розендаль (Rosendahl) 324, 337
Розенкилд (Rosenkilde) 224, 253
Рой (Roy А. Е.) Ill, 287, 302, 332, 333
Рой С. (Roy £ К.) 255
Роксбург (Roxburgh) 103, 111, 154, 166, 174, "5, 180, 190, 202 — 205, 213, 2/6, 217, 229, 234, 275, 278, 2M 287, 288、302, 332 — 334, 341, 345, 347, 358, 359, 364, 3刃，413, 434
Росс (Ross) 392
Росселанд (Rosseland) 22, 82, 9八 154, 174, 175
Росситер (Rossiter) 15
Росснер (Rossner) 265, 283
Роуб (Robe) 121 —⑵，/48, 149, 253, 387, 392, 421, 433
Роуз (Kose) 338, 378, 391
Роуч (Roach) 434
Рош (Roche) 418, 424, 433
Рубин (Rubin) 333
Рузмайкин А. А. 200, 440
Рэдлер (Rddlef) 400, 410, 411, 414
Рюдигер (Rudiger) 213, 217
Саакян Г. С. 358
Саймон (Simon R) 390、392, 413
Сакманн (Sackmann) 287 — 2W, 328, 330, 332, 337
Сакураи (Sakurai) 194, 204, 205, 208, 216, 217, 284, 435
Самохин А. А. 338
Самсоненко Л. В. ПО
Сандерсон (Sanderson) 332
Сарджент (Sargent) 5 8, 75, 306, 333
Сато (Sato) 283
Саффолк (Suffolk) 36, 3/3, 314, 334
Свалгаард (Svalgaard) 27, 46
Свит (Sweet) 〃八"6, 180, 183, 194, 203, 287, 302, 332 — 334, 399, 414
Себехей (Szebehely) 283
Сегэн (Seguin) 435
Седракян Д. М. 111, 253, 344, 358, 359, 391
Сеидов 3. Ф. 〃0, 359, 391
Секко (Secco) 277, 284、322, 336
Селли (Se//ey) 28* 406, 415
Сен (Se〃)203
Серрэн (Serrin)存，乃
Симон (Simon G. FK) 27, 46, 214, 217
Сингх M. (Singh A/.) 413
Сингх C. (Singh S.) 413
Синха (Sinha) 413
Скуманич (Skumanich) 281, 285, 389, 392
Скюфлер (Scuflaire) 122, 128, 148, 149
Слеттебак {Slettebak} 16, 32, 33, 35 — 39, 43, 4 7, 48、293, 307, 309, 310, 334, 336, 437
Слэттери (flattery) ПО, 112
Смарр 也таг» 428, 435
Смарт [Smart) 2%, 299, 332, 359
Смейерс ^meyers) 123 — /25, 127 — 129, "8, /49, 389, 391, 392, 〃3, 433
Смит Б. (Smith В. L.) 102, 111, 112、253, 332
Смит М. (Smith М. А.) ", 312, 3%, 337, 437 Смит Р. (Smith R С) 162, 172, 174 — 176, 186, 187, 203, 204, 302, 306, 307, 332, 333, 415
Смит С. (Smith S. Е) 29
Смит Т. (Smith Г. £> 414
Сноу (Snow) 336
Сноуден (Snowden) 314, 334
Собоути (Sobouti) /40, 413、4S
Соннеборн (Sonneborn) 437
Соренсен (5фгегиел) 435, 438
Соркин (Sorkin) /50, 247, 253 — 255, 359
Софиа (Sofia) 441
Спигел (Spieg* 174, 216, 255, 281, 285, 392, 441
Спинрад (Spinrad) 441
Спитцер (Spitzer) 75, 160, 281, 282, 398, 406, 414, 415
Сполдинг (Spalding) 36
Среенивасан (Sreeniyasari) 441
Станьи (Stagni) 284
Старр (Starr) 211, 217
Старфилд (Starrfield) 382, 383, 392
Стеенсхолт (Steensholt) 253
Стейниц {Steinitz) 43, 48
Стенфло (Stenflci) 46, 416
Стерн (Sterne) 148
Стиббс (Stibbs) 402, 403, 414
Стикс (Stix) 412, 416, 440
Стифт (Stiff) 415
Стоили Р. (Stoeckly R.) 39, 238 — 241, 255
Стокли Т. (Stoeckley Т. Л.) 310, 333, 334, 437
Стокман (Stockman) 441
Стокс (Stokes) 57, 89, 93
Стотерс (Stothers) 336, 383 , 392、435
Стоуни (Stoney) 262
Отремгрен (Stromgren) 312, 320, 321, 334
Струве (Struve] 15, 16, 21, 23, 29, 35, 39,42, 4 7, 48, 278, 322, 333, 335, 33 7
Стюарт (Stewart) 283
Стюартсон (Stewartson) 224, 253
Суд (Mood) 413
Суда (Sudd) 358
Суинге (Swings) 45, 48
Сунг (Sung) 162, 774, 175
Сутантио (Sutantyo) 428, 435
Суффрэн ^otiffrin) 149
Сэндерс (Sanders) 317, 318, 335
Сэндидж (Sandage) 336
Таам (Таат) 431, 435
Тадемару (Tademani) 282, 414
Такеда (Takeda) 103, 111
Такхар (Takhar) 406, 415
Тандон (Tandon)而，4/5
Тассуль Ж. Л. (TassoW J* L.) /49, 150, 236, 254, 266, 351 — 353, 359, 369, 371, 373 — 375, 386 — 389, 3勿，392, 413, 433, 440
Тассуль M. (Tassoul M) 149, 387 — 389, 39/, 392, 433, 440, 449
Таунсенд (Townsend) 197, 204
Тейлер (Tayler) 202, 205, 398, 399, 414
Тейлор (Taylor) 442
Тейт (Tait) 20, 225, 262
Теннекес (Tennekes) 204
тер Хаар (ter Haar) 282
Тодхантер (Todhuntef) 23, 91, 110
Токис (Tokis) 434
Толайн (Tohline) 438
Толман (Tolman) 150
Томас Л. (Thomas L. Я.) 58, 75,乃0, 160
Томас X. (Thomas Я. С) 103, /05, 106, 111, 287, 288、322, 323, 327 , 329, 332, 333 336, 33& 425, 434
Томпсон (Thompson) 62
Торн (Thorne) 143, 145, 150, 343, 358, 390
Тоулмин (Toulmiti) 436
Траско (Trasco) 415
Треллис (Trevis) 26
Трехан (Trehan) 392, 413
Тринор (Тгеапог) 48
Троттер (Trotter) 440
Трубицын В. П. ПО
Трусделл (Truesdell) 23, ”，68, 75
Туоминен И. (Tuominen /.匕)309, 332, 334, 416
Туоминен Й. (Tuominen J.) 28, 47, 416 Тюкольски (Teukolsky) 226, 227, 253, 359, 391 Тюринг (Thuring) 253
Уайт М. (White М. L.) 217
Уайт Н. (White N. М.) 4 7, 307, 334
Уберои (Uberop 413
Уесуги (Uesugi) 47
Уилер Дж. A. (Wheeler J. 4) 150
Уилер Дж. К, (Wheeler J. С.) 360, 435
Уилл (仍7Z) 390
Уилкокс (Wilcox) 26, 27, 46
Уилсон A. (Wilson 4) 47, 333
Уилсон Дж. (Wilson J. &.) 260, 33 7, 438
Уилсон О. Bilson О. С.) 280, 281, 284, 326, 337
Уилсон У. (Wilson W. J з/
Уильямс И. (Williams / /.、5
Уильямс П. (Williams Р. 3)253, 284
Уинклер (Winkler) 438
Унзольд (Unsold) 46, 333
Унно (Unno) 150, 412, 416
Уокер Е. (Walker Е.) 91
Уокер Н. (WalkerN.) 37, 48
Уорд (Ward) 25 — 28, 46, 47, 211, 217
Уорли (Worley) 302, 306, 333
Уэлен (Whelan) 112, 287 — 289, 332, 434
Уэстгейт (Westgate) 16
Фабер (Faber) 324 — 327, 337
Фабр &ab啕 176
Фабрициус [Fabricius) 12
Фай (Faye\ 13, 24
Фалле (Faiie) 282
Фальман (fahlmam 285, 413
Фаул^э (Fow/er) 364, 390
Федорова А. В. “0
Ферми (Fermi) 2紡，394, 413
Ферраиоли (Ferraioli) 282
Ферраро (Ferma) 173, "6, 190, 284, 413
Феррер FerreD 316, 335
Фешбах (feshbach) 96
Физо (fizeau) //
Финци (Ям» 360
Фитч (fitch) 391
Фишер (Fisher) 318, 335
Флауерс (powers) 75
Флек (F版火)282
Флэннери (tannery) 431, 432, 435
Фогель (匕喈е/) 14, 15
Фогт (Vogt) 21r»23, .154, 155, 7% 177, 203
Фок В. А. 106
Фолкнер Д. (Faulkner D J) 322, 336
Фолкнер Дж. (Faulkner J.) 7〃, 287, 288、302,
333, 346, 358, 391
Фридман А. А. 67, 75
Фридман Дж. (Friedman J. £.) 750, 228, 247, 253 - 2", 3”，3兆
Фридъюнг (Friedjung) 333
Фрике Fricke) 162, 165, 173 — "6, 203,
282 — 284, 331, 332, 335
Фримен (Freeman) 326, 337
Фудзимото (Fujimoto) 265, 282, 283, 438
Фукал (foukg 210, 217
Фукуда (Fukuda) 47
Фьертофт Wjbtoft} 22, 142, 750, 174, 212
Хаббард (Hubbard)乃，НО, 〃2, 342
Хавнес (Havnes) 314, 315, 335
Хаген (Hagen) 414
Хадсон (Hudson) 48
Хазлхерст (Hazlehurst) 5 8,乃，332, 335
Хайнц (Heintz) 261, 283
Хайш (Haisch) 333
Хансен К. (Hansen С. J.) 330, 337, 360, 392
Хансен Р. (Hansen R Г) 26, 27、46
Хансен С. (Hansen S. F.) 26, 27, 46
Хантер Дж. (Hunter J. Я.) *6, $9, 282
Хантер К. (Hunter С.) 247, 254
Хара (Нага) 282
Харви Дж. (Harvey J.) 26, 28, 46, 216, 416
Харви К. (Harvey К.) 416
Хардорп (Hardorp) 301, 308, 309, 324, 331,
334, 336, 338
Харлоу (Harlow) 438
Харманец (Нагтапес) 336
Харпер (Harper) 378, 391
Харрингтон Дж. (Harrington J.尸.)307, 309,
333, 3%
Харрингтон Р. (Harrington R. S.) 282
Харрис (Harris} 172, 176
Хартвик (Hartwick) 342, 358
Хартл (Hartle) 145, 150, 343, 358, 390
Хартри (Hartree) 106
Хатчингс (Hutchings) 323, 336, 437
Хеггинс (Huggins) 14
Хейланд (Hdiland) 22, 158, 159, 174
Хензе (Henze) 27, 46
Хербиг (Herbig) 36, 273、275
Хиард (Heard) 217
Хилл (Hill) 378, 327, 335, 33 7
Ховард (Howard) 26 — 29, 36, 37、46,亿 216
Хойл (Hoyle) 282, 322, 336, 347, 359
Хоки (Hockey} 415
Холм (Halm) 14
Холмбоу (Holmboe) 22, 159, 174
Холтон (Holton) 436
Хоредт (Hoed» 428, 435
Хуанг (Huang) 4 7, 48, 263, 283, 285, 333, 33 7,
390, 435
Хупперт (Huppert) 441
Хучра (Huchra) 415
Хэк (Hack) 39, 48
Хэйл (Hale) 14, 401
Хэйнс (Haynes) 434
Хэрли (Hurley) 229, 234, 254, 378, 391
Цан (Zahn) 149, 174, 197, 2“ 315, 335, 390, 427 — 429, 434, 435
Цейпель, фон (vo〃 Zeipel) 21, 153, 774, 177
Цельнер (Zdllner) 14
Цернер (Zerner) 149
Чандрасекар (Chandrasekhar) 21, 23、33, 47, 63,乃，勿，〃0, III. 122, 135, 137, 148 — 150, 165, 188, 1处 204, 2", 226, 228, 253, 254, 266, 340, 358, 363, 364, 378, 390, 39Ц 394, 3%, 413, 419 — 423, 433, 434
Чарнутер (Tscharnuter) 259, 260, 283, 438
Чемберс Chambers) ПО, "2, 2M 332
Ченмугам (Chanmugam) 441
Чистяков В. Ф. 46
Читре (Chitre) 390
Чубарян Э. В. "7, 253, 344, 358, 359, 391
Чэффи (СЛфТее) 36, 39, 313, 314, 334
Шаар (Schaaf) 271, 283
Шавив (Shaviv)乃，146, 150
Шада (Csada) 203
Шайн Г. А. 15, 16, 29, 47
Шапиро (Shapiro) 359, 391
Шарплесс (Sharpless) 39
Шарлан (Charland) 449
Шацман (Schatzmari) 277 — 279, 284, 315, 326,
327, 335
Шварц (Schwartz) 357, 359
Шварцшильд К. (Schwarzschild К.) 126
Шварцшильд М. {Schwarzschild М.) %, 166,
/75, /76, 179, 203, 35 7
Шейнер (Scheiner) 12, 14, 24
Шерешевский (Schereschewsky) 175
Шерклиф (Shercliff) 75
Шлезингер (Schlesinger) 15, 41
Шмидт-Калер (Schmidt-Kaier) 336
Шноль Э. Э. 127
Шольц (Scholz) 308, 309
Шортридж (Shortridge) 441
Шперер (SpbreR 13
Шрамм (Schramm) 338
Шретер (Schrdter) 46
Штеенбек (Steenbeck) 400% 410, 411, 4/4, 416
Штриттматтер {Strittmatter} 〃/, /73, /乃， 203, 287, 2戚 301 — 303, 306, 309, 314, 322 — 324, 325, 326, 332 — 337, 358 — 360
Шу (SAu) 282、432, 435
Шуберт (Schubert) 162, 173, "5, "6, 414
Шуц (Schutz)乃0, 228, 247, 253 - 2", 359
Шюсслер (Schiissler) 400, 401, 4/4, 440
Щиголев Б. М. 302
Эдмондс (Edmonds} 75
Эйзенфельд (Eisenfeld) 127, 148, 149, 158
Эйлер (Euler) 17, 51, 54, 57
Экарт 田ckart) /26
Элви (£/ve^) 16, 30, 35
Эльзассер В. (Elsasser W. М.) 399, 414
Эльзассер К. (ElsHsser К.) 205
Эндал (Endalj 441
Энджел (Angel) 331, 338, 358, 402, 4", 441
Эндрю U〃drew) 149
Эпик (йрИс) 183, 203
Эппс (迎"2, 332
Эпштейн (Epstein) 338
Эртель (Ertel) 64, 75
Эспи (^spy) 126
Эбни дЬпеУ) 14, 15
Эврард (Evrard) 434
Эдди (Eddy) “О
Эддингтон (Eddington) 21, 22, 34, 63, "8,
177, 203, 381
Якоби Qacobi) 19
Яковлев Д. Г. 434
Ярдецкий Qardetzky) 23, 91
Яшек Qaschek) 316, 335
Предметный указатель
Абсолютная звездная величина 302 ——305
Адиабатические движения 62
Альвеновская поверхность 280
Альвеновские волны 190, 314
Бальмеровский скачок 305, 309
Бароклинные волны 211 ——212
Бароклины 22, 79 — 83, 85, 94, 160 — 165, 169 — 173, 180, 193, 194, 379
Баротропы 19, 2 2, 79 — 83 , 85 ； 89, 94, 106, НО, 120, 145, 219, 346
Белые карлики 79, 109, 340, 341
ди（Й）еренциальное вращение 145, 252, 346 — 354
кристаллизация 357
магнитные поля 342, 402
меридиональные течения 356, 357
обратные ^-распады 342, 344, 345
остывание 356, 357
поправки на общую теорию относительности 342 — 346
твердотельное вращение 341 — 346
эволюционные последовательности 277, 354 - 356
Бернулли теорема 68
Брунта ——Вяйсяля частота 126, 383
Буссинеска приближение 214, 215
Быстро вращающиеся ядра звезд 281, 328, 330, 331, 440
Бьеркнеса — Росселанда правила 82, 83
Бьеркнеса теорема 67, 68, 174
Вековая неустойчивость белых карликов 350 — 352
политропных моделей 235 — 237, 247 — 252, 350
сфероидов Маклорена 222 ——229, 251, 264, 350
эллипсоидов Роша 421, 422
Якоби 264
Вектор напряжений 54, 225
Вириала теорема 86, 130, 135 — 140
Вириальные уравнения второго порядка 135 — 137
псевдорадиальных пульсаций 365 — 368
равновесия 72 ——74, 86
Внешнее гравитационное поле вращающейся звезды 89, 90
Возраст галактических скоплений 318 •— 321
Вращающиеся жидкости 16 — 20
Вращение белых карликов 331. 340, 441
—гигантов и сверхгигантов 16, 29, 36, 38, 324 - 327
—двойных звезд 15, 16, 29, 41 — 46, 312, 317, 318
—звезд галактических звездных скоплений и ассоциаций3 9 — 41,281,306,307,
316 - 321, 325,
главной последовательности 16, 33, 35 — 38
класса Ат 36, 39, 41, 310 — 312
Ар 29, 36, 39, 41, 193, 313 — 315, 400, 402
Be 21, 36, 39, 292, 322 — 324
О 29, 35, 37
населения П 38
типа Т Тельца 273, 275
6 Цефея 326 , 361, 376 — 379
6 Цефея 326
6 Щита 326, 327
Вязкие жидкости 18, 57 — 59, 166 — 172, 187, 188, 354 — 356, 427, 428, 440, 441
Вязкое трение 166 — 169, 427
Вязкость кинематическая 58, 161, 225
—лучистая 58, 160, 161, 170, 428
—магнитная 70
вихревая 410
—объемная 57
—сдвиговая 57, 160, 199, 428
—турбулентная 161, 197 — 199, 214, 270, 276, 412
анизотропная 200 — 202, 207 — 210
Гаусса теорема 53
Герцшпругна — Рессела диаграмма 195 , 296, 299, 328
Голдрейха — Шуберта — Фрике критерий 162 — 165
Гомэнтропические течения 66, 67
Гравитационное потемнение 32
закон фон Цейпеля 15* 301, 302, 306
— разделение элементов 315, 360
Гравитационный потенциал 54
Грушевидные фигуры 20, 264, 269, 271
Давление излучения 56, 62
Двойные рентгеновские источники 433
Дебаевский радиус 160
Динамическая неустойчивость белых карликов 351” 352
политропных моделей 247 — 250, 351
сфероидов Маклорена 224, 250, 266
эллипсоидов Римана 267, 268
———Poina 421423
Якоби 265
Динамо-механизмы для осредненных полей 410, 411
—теории 397, 400, 401
Диссипативная функция 61, 167, 226, 444 ——446
Длина перемешивания 199, 206, 208, 289
Доплера эффект 14
Завихренность 63—69
Закон изменения импульса 54 — 57
—изоротации Ферраро 172, 173, 190
—Фая 13, 14, 24
Звездный ветер 279 — 281, 315, 326
Зеемана эффект 401, 403
Золберга критерий 22, 158
Зональные моды 138 — 140, 223, 237, 247, 249, 345, 350, 351, 353, 362, 364, 365, 377, 378, 422, 423, 448
Идеальные жидкости 18, 56, 57, 59
Изоэнтропические движения 62, 63, 66, 68, 69,
116, 157, 366
Интерферометрические наблюдения 310
Катаклизмические переменные 432, 433
Каулинга модель 183, 184, 192, 195, 287
Кельвина — Гельмгольца характерное время
165, 186, 194, 264, 270, 428
Кельвина теорема о циркуляции 66
Клеро — Лежандра разложение 95 — 99, ПО
Коллапс до главной последовательности
258 — 261
Конвективные движения 383 — 390
Кориолисово ускорение 59
Лагранжа множители 168
Лагранжево смещение 114
Лагранжевы вариации 114 — 116
—переменные 50 — 52, 364
Лапласа уравнение 19, 101
Леду формула 362
Лейна — Эмдена функции 232, 452 — 457
Лихтенштейна теорема 83
Лоренца сила 69, 70
Лучистая теплопроводность 61, 62, 160 — 165
Магнитная гидродинамика звезд 69 — 72 Магнитное торможение вращения 258, 263, 278 — 281, 314, 315, 317, 326, 327, 406, 439
Максвелла уравнения 69
Меридиональная циркуляция в белых карликах 356, 357
двойных звездах 417
конвективных зонах 199 — 202 лучистых зонах 21, 104, 151, 155, 165, 172, 177 — 186, 272, 300, 315, 316
и магнитные поля 187 ——193, 400, 405
нелокальный лучистый перенос 187
ненулевая вязкость 187, 188, 440, 441
нестационарные движения 193, 194
на Солнце 28, 207 — 209, 213, 215
Метастабильность 370 ——376
Nferofl самосогласованного поля 106 — 110, 238, 295, 347
Модель Роша для двойных звезд 424 — 426, 430 - 432
одиночных звезд 99, 106, 186
Момент количества движения (происхождение) 256 — 258, 438
JF-градиенты (/Г-барьеры) 165, 194, 195, 321, 331, 441
Навье — Стокса уравнения 58, 59, 70, 225, 443, 444, 446
Наклонный ротатор 402 — 406
Нейтронные звезды 343, 344
Нормальные моды 119 — 129
—У-моды 121 — 123
—g-моды 125 — 129, 158
—р-моды 121 — 125
Образование двойных звезд 256,258,
260 — 271, 438, 439
Омическая диссипация 70, 188, 191, 398 — 400, 407 — 409
Парадокс фон Цейпеля 21, 152 — 155, 159, 177, 179, 202
Показатель адиабаты 62, 63
—цвета 302 — 305
Политропные модели 18, 79, 109, 120, 220
д ифференциальноевращение 145, 237 — 252, 269, 287, 350
твердотельное вращение 20, 229 — 237, 251, 268, 277, 286, 340, 341, 453 — 457
Потемнение к 1фаю 31, 32
Прандтля число 161, 173, 214
Предельное вращение 230, 233, 239 — 241, 251, 268, 269, 287 — 293, 302, 305, 322 - 324, 341, 343, 344
Прилив динамический 428, 429
—равновесный 428
Приливное взаимодействие 43 — 46, 310, 312, 317, 318, 426 — 433
Принцип минимальной диссипации 167, 168, 208
Псевдобаротропы 82, 85, 89, 94, 106, 110, 145, 152 — 154, 159, 180, 287, 301, 302, 440
Псевдорадиальные колебания 345, 362 — 376, 396
Пуанкаре — Вавра теорема 80 — 82, 287, 346
Пуассона уравнение 19, 79, 99, 118, 230
Пульсары 331, 441
Пульсационная устойчивость 379 — 383
Ракави — Шаеива ——Зинам она метод 146
Рейнольдса теорема 52, - 53
—число 196, 428
Ричардсона число 196, 429
Рэлея критерий 158
—число 214 — 216
Сверхновые 330, 356, 357
Секториальные моды 138, 139, 223 — 228,
235 — 237, 247 — 250, 350, 35】，353, 377, 448
Симметрия осевая 77, 78
—экваториальная 83
Солнечный ветер 279, 280
Солнце, внутреннее вращение 206, 216, 281, 440
—вихреобразные движения 28, 207
——доплеровское смещение спектральных линий 24, 26, 28, 210
—магнитные поля 29, 210, 407
—меридиональные течения 28, 206
—пятна и другие индикаторы 24 — 28, 210
—разность температур между полюсом и зкватором 28, 206
Сохранение массы 53, 54, 443, 445
—энергии 18 , 59 — 63, 445, 446
Стадии эволюции до главной последовательности 257 — 261, 271 — 278, 438, 439
после главнойп оследовательност и 321 — 332, 441
Стационарное вращение 77
Стокса формула 66, 67
Сферические гармоники 19, 96, 97, 120, 191, 447, 448
Сфероиды Джинса 422, 423
—Маклорена 18, 19, 86 — 88, 137, 219 — 229, 231, 235, 238, 240, 241, 243, 247, 250 - 252, 264 — 269, 278, 350, 363 — 365, 388, 389, 418 — 421, 448 — 450
Такеды разложение 103, 229, 233,. 234, 287
Тейлора — Праудмана теорема 165
Тейлора число 214 — 216
Тензор напряжений 18, 56 — 58, 444 — 446
Рейнольдса 198, 200, 201, 206
Теория деления 20, 252, 263 — 271, 275, 277,
302, 438, 439
—захвата 262, 438
—остаточного магнетизма 396 — 400
Теплопроводность 61, 160, 214
Тессеральные моды 138, 139, 223, 237, 247,
350 — 353, 448
Торможение излучением 166, 170 — 172
Точки Лагранжа 425, 430, 431
Третий закон Кеплера 252, 347
Турбулентность двумерная 210 ——213
—в звездах 195 — 199
Уменьшение скорости вращения звезд класса F5 V 37, 256, 278 - 281, 439
Уравншие состояния Саакяна — Чубаряна 344
Хамады — Солпитера 343, 346
Харрисона — Уилера 343
Уровенная поверхность 18 , 22 , 79 — 85 , 424, 425
Ускорение частицы жидкости 51, 52
Уширение линий вращением 14 — 16, 29 — 33, 307, 308, 325, 326, 43 7
Фрагментация коллапсирующего облака 256 — 258, 438, 439
Фурье-анализ спектральных линий 47, 437
Фьертофта — Лебовица критерий 133, 142, 148, 155, 157, 380
Хаяши стадия 277, 278, 439
Хейланда критерий 22, 158 — 160, 162, 164,
219, 23 8, 272, 295, 347
Хениея метод 110, 112, 238, 295
Циркуляция в жидкостях 64, 65
Чандрасекара — Милна разложение 99 — 102, 181, 229, 232
Чандрасекаровский предел 340 — 343, 347
Шайна — Струве метод 29 — 33
Шварцшильда критерий конвекции 126 — 129, 158, 361
—радиус 346, 363
Шёнберга — Чандрасекара предел 330
Штарка эффект 29
Эддингтона — Свита характерное время 165, 186, 301
Эйлеровы вариации 114 — 116
—переменные 50 — 52
Экваториальное истечение 21, 252, 277, 323
Экваториальные скорости вращения истинные
33 - 35, 437
проекции 29 — 33, 437
Эквивалентные ширины линий 308 — 310
Электропроводность 69
Эллипсоиды Дарвина 433
—Дедекинда 228
—Римана 266 — 268
—Роша 418 — 423
—Якоби 19 — 21, 222 — 224, 226 — 228, 235, 264 — 268, 419, 420, 448, 449, 451, 452
Эмиссия Са II 280, 281
Энергетический принцип 129 — 134
Энтальпия на единицу массы 65
Энтропия на единицу массы 61
578578ОГЛАВЛЕНИЕ
5
7
8
5
7
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ
1 • ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 12
Открытие вращения Солнца 12
Первые измерения вращения звезд 14
Вращающиеся жидкости 16
«Золотой век» теории вращения звезд 20
Библиографические замечания 22
ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ 24
Введение 24
Солнце 24
Одиночныезвезды 29
Двойныезвезды 41
Библиографические замечания 46
3 • ЗВЕЗДНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 49
Введение 49
Эйлеровы и лагранжевы переменные 50
Принципы динамики 53
Сохранение энергии 59
Циркуляция и завихренность 63
Звездная магнитная гидродинамика 69
Вириальные уравнения 72
Библиографические замечания 74
—• СТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ 76
Введение 76
Исходные предположения и определения 77
Баротропы, псевдобаротропы и бароклины 79
Сфероидальные стратификации 83
Некоторые неравенства 85
Внешнее гравитационное поле 89
Библиографические замечания 91
• МОДЕЛИ ЗВЕЗД: МЕТОДЫ РАСЧЕТА 94
Введение 94
Разложение Клеро — Лежандра 95
Разложение Чандрасекара — Милна 99
Квазисферическая аппроксимация 102
Метод самосогласованного поля 106
Библиографические замечания 11°
113113114116119129131135140 148151151152155160166 173177177 177186 195199 203206206 208210 213216113113114116119129131135140 148151151152155160166 173177177 177186 195199 203206206 208210 213216219219220229237251252219219220229237251252
113
113
114
116
119
129
131
135
140 148
151
151
152
155
160
166 173
177
177 177
186 195
199 203
206
206 208
210 213
216
113
113
114
116
119
129
131
135
140 148
151
151
152
155
160
166 173
177
177 177
186 195
199 203
206
206 208
210 213
216
219
219
220
229
237
251
252
219
219
220
229
237
251
252
. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ: МЕТОДЫ РАСЧЕТА ....
Введение
Эйлеровы и лагранжевы вариации
Уравнения для возмущений
Сферические звезды: краткий обзор
Энергетический принцип
Вариационный принцип
Теорема вириала второго порядка
Статический и квазидинамический методы Библиографические замечания
• РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Введение
Парадокс фон Цейпеля
Критерии Золберга и Хейланда
Отсутствие теплового равновесия в бароклинах
Некоторые квазистационарные решения Библиографические замечания
• МЕРИДИОНАЛЬНАЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ
Введение
Циркуляция в лучистых зонах
Критический обзор приближений
Турбулентные движения в звездах: краткий обзор
Циркуляция в конвективных зонах Библиографические замечания
• ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ СОЛНЦА
Введение
Анизотропная турбулентная вязкость
Бароклинные волны и двумерная турбулентность
Взаимодействие вращения с конвекцией Библиографические замечания
. СРАВНЕНИЕ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ
Введение
Классические результаты
Твердотельно вращающиеся политропы
Дифференциально вращающиеся политропы
Общие итоги
Библиографические замечания
• ГРАВИТАЦИОННОЕ СЖАТИЕ И ФРАГМЕНТАЦИЯ
11.1.
Введение
11.2.
11.3.
11.4.
Ранние стадии эволюции Проблема деления Квазистатическое сжатие
Библиографические замечания
6 6 7 3 1 1252525262728
12. МОДЕЛИ ЗВЕЗД: ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ И ЭВОЛЮЦИЯ
12.1.
Введение
12.2.
Модели звезд главной последовательности
12.5.
12.6.
Влияние вращения на наблюдаемые параметры Вращение звезд классов Ат и Ар Вращение звезд в рассеяннь1Х скоплениях Стадии после главной последовательности
Библиографические замечания
6 6 6 10 6 12 8 8801123
2 2 2 3 3 3 3 3
13.
ВРАЩАЮЩИЕСЯ БЕЛЫЕ КАРЛИКИ
39
13.1.
Введение
13.2. Модели в состоянии стационарного вращения
13.3.
Эволюционные эффекты
Библиографические замечания
9 0 4 7
3 4 5 5
3 3 3 3
14.
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Введение Псевдорадиальные движения Биения в jS-цефеидах Пульсационная устойчивость Конвективные движения
1 12 6
6 6 6 7
3 3 3 3
Библиографические замечания
1 5..МАГНЕТИЗМ И ВРАЩЕНИЕ ЗВЕЗД
390
393
15.1.
Введение
Некоторые общие свойства
Происхождение магнитных полей звезд Магнитные звезды Солнечное динамо и дифференциальное вращение
Библиографические замечания
3 3 6 1 7 2
9 9 9 ю ю 1、сп сп сп 4 4 4
ВРАЩЕНИЕ В ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ
17
16.1. Введение
16.2.
Синхронно вращающиеся модели
16.3. Приливное взаимодействие и синхронизация
7 7 6
414142
16.4. Газовая динамика тесных двойных 430
Библиографические замечания 433
ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 436
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ТАБЛИЦА ФИЗИЧЕСКИХ И АСТРОНОМИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ 442
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 443
ПРИЛОЖЕНИЕ В. СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 447
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ЭЛЛИПСОИДЫ МАКЛОРЕНА И ЯКОБИ 448
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. 〃 И х-ФУНКЦИИ 452
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ458
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 466
•• См., например, Morse Р. М., Feshbach Я. Methods of Theoretical Physics, 2, New York: McGraw-Hill, 1953, p. 1J74. [Имеется перевод: Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. 2. — М.: ИЛ, I960.]
**Как показали Хаббард и Вагнер, это расхождение можно объяснить и при помощи сферических моделей с конечными внутренними температурами, в частности для белых карликов низкой массы. Эта проблема выходит за рамки настоящей книги. См. Hubbard W. В., Wagner R. L. Ар. J., 159, 93, 1970 (и цитируемые там работы). [Современные данные наблюдений не приводят к такому расхождению.——Перев.]
L Ж:Л. ТЪссуль
Теория
вращающихся звезд
Издательство- Мир
PRINCETON SERIES IN ASTROPHYSICS
EDITED BY JEREMIAH P. OSTRIKER
JEAN-LOUIS TASSOUL
THEORY OF ROTATING STARS
PRINCETON UNIVERSITY PRESS PRINCETON, NEW JERSEY 1978
來二几 Дассуль
Теория вращающихся
Перевод с английского канд. физ.-мат. наук БЛИННИКОВА С. И. с предисловием д-ра физ.-мат. наук ИМШЕННИКА В. С.
МОСКВА «Мир» 1982
УДК 52
Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд /Пер. с англ. — М.: Мир, 1982, 472 с., с ил.
Книга канадского астрофизика профессора Монреальского университета Ж.-Л. Тассуля подводит итог многолетнему развитию теории вращения звезд. Изложены открытие вращения звезд и Солнца, данные наблюдений, общие вопросы гидродинамики звезд, особенности дифференциального вращения Солнца, проблема коллапса и деления протозвезд, колебания звезд и их устойчивость, воздействие вращения на движение в недрах, учет влияния магнитных полей.
Для астрофизиков и геофизиков, как специалистов, так студентов и аспирантов, изучающих физику звезд, Солнца и планет.
Редакция литературы по космическим исследованиям,астрономии и геофизике
Жан-Луи Тассуль
ТЕОРИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗД
Научный редактор М. Я. РутковскаяХудожник Н. Н. ДроноваХудожественный редактор М. Н. КузьминаТехнические радакторы Т. А. Максимова, Л. А. Тихомирова, Л. М. ЛихтероваСт. корректор И. П. Максимова
ИБ № 2525
Подписано к печати 28.06.82
Формат 60 х 90 力6. Бумага офсетная №4
Гарнитура тайме. Печать офсет. Объем 14,75 б ум.л. Усл.печ.л. 29,50. Усл. кр.-отт. 29,50Уч.-изд.л. 2 9,12. Изд. № 2 7/1041. Тираж 1700 зкз. Зак. 4 9 9Цена 4 р. 60 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер., 2
Набрано на фотонаборном комплексе издательства «Мир»
Отпечатано в Тульской типографии Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР поделам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109
TT© 1978 by Princeton University Press
T
T
-9^-82, ч. 1 © Перевод на русский язык с авторскими
дополнениями, Мир, 1982