ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АСТРОФИЗИКИ

Редакционная коллегия:

В. 4. АМБАРЦУМЯН, 3. Р. МУСТЕЛЬ,Л. Б. СЕВЕРНЫЙ, В. В. СОБОЛЕВ

В. В. ИВАНОВ

ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯИ СПЕКТРЫНЕБЕСНЫХ ТЕЛ

523. 8.

И 20

УДК 523. 035

Всеволод Владимирович, ИвановПеренос излучения и спектры небесных телМ., 1969 г., 472 стр. с илл.

(Серия: «Проблемы теоретической астрофизики»)Редактор И. С. Щербина-Самойлова

Техн, редактор А. А. БлаговещенскаяКорректор И. Б. Мам у лова

Сдано в набор 7/1 1969 г. Подписано к печати 27/VIII 1969 г. Бумага 8 4х108%2. Физ. печ. л. 14,75. Условн. печ. л. 24,78. Уч.-изд. л. 24,03. Тираж 1700 экз. Т-10892. Цена книги 2 р. 24 к. Заказ № 1590

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-матемэтической литературы.Москва В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография изд-ва «Наука». Москва, Шубинский пер., 10

2-6-3

149 — 69

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 8

Введение И

Глава I. Основные понятия 14

Излучение 14

Вещество 20

Процессы взаимодействия 27

Уравнения стационарности 37

Рассеяние света в частотах спектральных линий . .45

Перенос излучения 61

Глава II. Линейное приближение 71

Монохроматическое рассеяние 72

Уравнение переноса в частотахлиний 76

Случаи плоской и сферическойгеометрии 82

Интегральные уравнения, выражающие условие стационарности 89

Учет нелинейных эффектов для атома с двумя уровнями (плоская геометрия) 97

Общие свойства ядер интегральных уравнений и связанных с ними функций 105

Ядра интегральных уравнений и связанные с ними функции для коэффициентов поглощения важнейших частных видов 114

Глава III. Монохроматическое рассеяние в бесконечной и полу- бесконечной средах 125

Точечный источник в бесконечной однородной среде125

Диффузионная длина и связанные с нею величины. . 132

Точечный источник в бесконечной среде. Общий анализ решения 135

Точечный источник в бесконечной среде. Детальный анализ и численныерезультаты 139

Эффект накопления 146

Плоский изотропныйисточник 149

Полубесконечная среда 156

Частные задачи о рассеянии света в полубесконечной среде 167

Связь между асимптотиками решений для бесконечной и полубесконечной сред 177

Глава IV. Рассеяние в частотах линии в бесконечной среде .179

Точечный источникв однородной среде 180

Поведение решениявблизи источника 187

Поведение решениявдали от источника 189

Преобразование решения 197

Перераспределение по частотам и эффект накопления. Длина термализации 201

Плоский изотропный источник 210

Г л а в а V. Рассеяние в частотах линии в полубесконечной среде 217

Основные уравнения 218

Вероятностная трактовка 227

Функция Грина для полупространства 232

Я-функция 236

Исследование резольвентной функцииисвязанных

с ней величин 246

Случай доплеровского профиля253

Случаи фойгтовского и лоренцовского профилей...260

Глава VI. Частные задачи о рассеянии света в полу бесконечней среде 274

Среда с равномерным распределением источников. Обобщенная проблемаМилна 274

Толщина пограничного слоя 281

Населенность первого возбужденного уровня атомов вблизи границыгаза с вакуумом 283

Диффузное отражениесвета 291

Среда с экспоненциальным распределением источников 301

Степень возбуждения в газе, освещаемом извне излучением в непрерывномспектре 308

Внутренние источникиизлучения других видов. . .314

Среднее число рассеяний 317

Глава VII. Рассеяние в линии с учетом поглощения и излучения в непрерывном спектре ,322

Ядра интегральных уравнений и связанные с ними функции 323

Бесконечная среда 333

Длина термализации 339

Бесконечная среда. Анализ решения 347

Полубесконечная среда 350

Образование линий в изотермической атмосфере . .356

О структуре пограничного слоя 372

оглавление7

Глава VIII. Среда конечной оптической толщины 376

Основные уравнения 377

Х・ и /-функции 382

Роль диссипативных процессов 395

Асимптотический режим при монохроматическомрассеянии 400

Асимптотический режим при рассеянии с перераспределением по частотам 409

Задача Шустера 421

Диффузное отражение и пропускание.Средасравномерным распределениемисточников 429

Свечение однородного изотермического слоя газа (случай В 4 °) 441

Среднее число рассеяний 454

Литература 459

Основные обозначения 469

ПРЕДИСЛОВИЕ

Существует более десятка книг, посвященных теории переноса. Зачем же нужна еще одна? Ответ па этот естественный вопрос состоит в том, что в последние годы получила большое развитие новая важная область теории переноса —— исследование многократного рассеяния излучения в частотах спектральных линий. Изложение относящихся к этому вопросов в имеющихся монографиях не отражает современного состояния проблемы. Между тем не подлежит сомнению, что этой области исследований принадлежит большое будущее, так как она составляет теоретическую основу интерпретации линейчатых спектров оптически плотной плазмы.

Теория переноса излучения в частотах линий создана в основном усилиями астрофизиков. Это, конечно, не случайно и объясняется той важной ролью, которую эти вопросы играют в астрофизике. Ведь именно из изучения линейчатых спектров и получена подавляющая часть наших сведений о небесных телах. К сожалению, теоретики все еще не могут ответить па многие, казалось бы, простые вопросы, давно уже поставленные перед ними астрофизиками-наблюдателями .Однако есть основания полагать, что столь нужные наблюдателям надежные методы расчета интенсивностей и профилей линий появятся в недалеком будущем. Они придут на смену тем во многом кустарным приемам, которыми приходится пользоваться в настоящее время. Залогом такой уверенности служат недавние успехи теории переноса излучения в частотах линий и, в частности, ее численных методов.

В этой книге какие-либо конкретные астрофизические объекты не рассматриваются. Поэтому может сложиться впечатление, что название книги не соответствует ее содержанию. По нашему мнению, это не так, поскольку боль-

шинство решаемых нами модельных задач возникло именно в связи с изучением спектров небесных тел. Рассматриваемые модели, как правило, слишком грубы, чтобы ими можно было непосредственно пользоваться для интерпретации наблюдений. Значение их состоит в том, что они позволяют хорошо понять физику явления и дают возможность научиться чувствовать проблему. Наконец, такие модели могут служить для оценки точности и границ применимости приближенных и численных методов теории переноса.

Книга написана в первую очередь для теоретиков, хотя отдельные вопросы должны представить интерес и для экспериментаторов. В самых общих чертах изложение построено по схеме «от физики задачи — к математике и затем опять к физике». Что касается места, отводимого математике,то здесь возможна критика с двух сторон.Одни читатели, вероятно, не будут удовлетворены строгостью изложения, другим же, наоборот, покажется неоправданным излишнее внимание к чисто математическим вопросам. По- видимому, правильнее всего будет сказать, что в книге дается решение ряда задач прикладной математической физики на физическом уровне строгости.

Отбор материала в значительной мере определялся личными интересами автора. Большое место отведено результатам, полученным в последние годы группой астрофизиков- теоретиков Ленинградского университета. Заметная часть материала публикуется впервые.

Список литературы не претендует на полноту. Из огромного числа имеющихся работ отобраны только те, которые имеют непосредственное отношение к разбираемым нами вопросам. Нелегким делом оказался выбор обозначений. По самой своей сути рассматриваемые задачи довольно громоздки, решения их зависят от многих параметров. Положение осложняется также разнобоем в обозначениях, используемых различными авторами. Для удобства читателей в конце книги дан список основных обозначений с указанием страниц, на которых они вводятся.

Формулы в пределах главы имеют двойную нумерацию. Первое число означает номер параграфа данной главы, второе ——порядковый номер формулы, например, ссылка (6.56) в гл. II означает формулу (5.6) из § 2.6. При отсылке к формуле другой главы слева добавляется номер этой главы

Скажем, при упоминании той же формулы (6.56) гл. II в любой другой главе она обозначается как (2.6.56).

Хочу выразить глубокую признательность В. В. Соболеву, влияние которого сыграло определяющую роль в формировании моих взглядов на проблемы теории переноса. В. В. Соболев прочитал книгу в рукописи и сделал множество замечаний, учтенных при ее доработке.

В течение нескольких лет автор работал в тесном контакте с Д. И. Нагирнером, что способствовало постановке и выяснению ряда важных вопросов. Д. И. Нагирнеру принадлежат многие результаты, приводимые в этой книге, в том числе большая часть ие публи ковавшегося ранее числового материала. Большую роль сыграла также переписка с Д. Хаммером (США), который, в частности, предоставил в мое распоряжение ряд важных результатов до их опубликования.

Нелегкий труд по проверке формул взял на себя сотрудник Потсдамской обсерватории X. Домке. Большую помощь в изготовлении рисунков и подготовке рукописи к печати оказали Т. М. Максимова, И. И. Лебедева и Л. Ф. Громова.

Всем этим лицам я выражаю самую искреннюю благодарность.

В. Иванов

ВВЕДЕНИЕ

Эта книга посвящена главным образом изложению теории переноса излучения в частотах спектральных линий. Основная задача этой теории состоит в исследовании многократного рассеяния света в газовых средах. Отличительной чертой проблем, с которыми нам придется иметь дело, является двусторонний характер взаимодействия излучения и вещества: с одной стороны, поле излучения определяется состоянием вещества, с другой стороны, само это состояние существенным образом зависит от поля излучения.

В достаточно разреженном газе населенности возбужденных уровней атомов определяются главным образом радиа- тивными процессами, т. е. полем излучения. Расчет этих населенностей при отсутствии термодинамического равновесия и является той проблемой, которая составляет основное содержание настоящей книги. Задача эта чрезвычайно сложна, и с самого начала приходится вводить ряд приближений, довольно сильно суживающих область применимости результатов. Однако в настоящее время это, по-видимому, единственно возможный путь, или, во всяком случае, тот путь, который следует пройти, прежде чем обращаться к исследованию проблемы при менее ограничивающих предположениях.

Круг явлений, в которых мы имеем дело с излучением термодинамически неравновесного газа, непрозрачного в частотах спектральных линий, чрезвычайно широк. Недаром перед исследователями, занимающимися изучением столь различных по своим масштабам явлений, как свечение обычной люминесцентной лампы и гигантских облаков межзвездного газа, часто стоят по сути дела одни и те же проблемы.

Особенно часто с линейчатыми спектрами, излучаемыми неравновесной оптически плотной плазмой, приходится

иметь дело астрофизику^. Наружные слои Солнца и звезд, где возникают линии поглощения и излучения, не находятся в состоянии термодинамического равновесия. Взаимодействие с излучением играет в них главную роль в заселении возбужденных уровней атомов. Другой не менее известный пример аналогичной проблемы ——это определение поля излучения в резонансных линиях в туманностях и межзвездной среде. Список астрофизических проблем, в которых вопрос о переносе излучения в спектральной линии имеет важное значение, легко можно было бы продолжить. В этом списке оказались бы и проблемы -солнечной хромосферы и переходного слоя от короны к хромосфере, и исследование атмосфер планет, в том числе земной атмосферы и даже отдельные вопросы, касающиеся интерпретации спектров квазаров.

Взаимодействие излучения и вещества в газовых массах космического масштаба в принципе ничем не отличается от аналогичных процессов, происходящих в плазме лабораторного газового разряда. Не случайно поэтому, что и в оптике газового разряда явлениям многократного рассеяния света или, как иногда говорят, пленения излучения, уже давно уделяют большое внимание.

Казалось бы, вопрос об экспериментальном определении сечений возбуждения электронным ударом далек от наших проблем. Однако это не так. Часто учет эффектов многократного рассеяния света оказывается совершенно необходимым и здесь.

В исследованиях в ысо котем пер атур ной водородной плазмы видное место занимает изучение механизмов ее энергопотерь. Одним из них является линейчатое излучение многократно ионизованных атомов примесей. Вопрос о переносе излучения представляет интерес и в этой связи.

Общность проблем переноса излучения в спектральных линиях, встающих перед исследователями то в одной, то в другой области, совершенно очевидна. Именно этим и оправдывается, на наш взгляд, появление на свет этой книги. Основное внимание в ней намеренно уделяется не рассмотрению тех или иных конкретных задач,встречающихся в разных частных случаях,а выяснению общих черт проблемы в целом. С этой целью подробно разбирается несколько сильно идеализированных модельных задач, каждая из которых —

именно в силу своей идеализированности ——представляет целый класс задач, которые могут встретиться в различных конкретных исследованиях.

Физика проблем переноса излучения сравнительно проста. Этого нельзя сказать о математической стороне дела. Уже простейшие задачи приводят к довольно сложным интегральным уравнениям. Решить эти уравнения удается лишь в исключительных случаях. Поэтому в теории переноса очень важную роль играют приближенные и численные методы. Мы, однако, не касаемся этих методов. Отдавая должное их богатым возможностям, нельзя недооценивать и аналитический подход. В конечном счете, машинное решение задачи без предварительного исследования свойств ее решения — не больше чем математический аналог физического эксперимента. Поэтому основу теории переноса излучения, как и всякой теории, составляют ее аналитические методы.

К настоящему времени в астрофизике и нейтронной физике развиты эффективные методы строгого аналитического решения проблем переноса. Эти методы в полной мере применимы и к задачам о рассеянии излучения в спектральной линии. Это следует специально подчеркнуть, поскольку особенности процесса переноса линейчатого излучения затрудняют или даже делают невозможным использование многих стандартных приближенных методов. В частности, не годится диффузионное приближение, сослужившее столь верную службу в проблемах переноса нейтронов и рассеяния света в непрерывном спектре. Поэтому вполне естественно, что основой, на которой строится все изложение, является систематическое использование строгих аналитических методов.

Глава /

ОСНОВНЫЕ понятия

Изучение стационарных состояний газа в поле собственного излучения находится сейчас на том этапе, который с большим правом можно назвать эпохой пионерских исследований, чем периодом подведения итогов и завершения построения теории. Поэтому полезно начать изложение с более или менее подробного анализа основных понятий. Вводить с самого начала те довольно специальные предположения, при которых уже на нынешнем этапе развития теории проблема может быть решена до конца, кажется нецелесообразным.

Настоящая глава преследует две цели. С одной стороны, она является введением ко всему дальнейшему изложению. С другой стороны, в ней выясняются границы применимости излагаемой в последующих главах теории и намечается более общий подход к проблеме.

Излучение

В теории многократного рассеяния света излучение рассматривается как совокупность отдельных квантов, образующих фотонный газ. Считается, что кванты представляют собой частицы, движущиеся со скоростью света с. Соответственно этому, каждый квант характеризуется следующими параметрами:

энергией Е или связанной с ней соотношением Е = =hv частотой v (九——постоянная Планка);

тремя компонентами радиуса-вектора 尸,определяющего положение кванта в пространстве относительно некоторой системы отсчета;

g) двумя угловыми переменными, дающими направление движения кванта. Это направление будем характеризовать единичным вектором со.

Совокупность шести переменных — частоты, трех пространственных sкоординат и двух угловых переменных (например, направляющих косинусов вектора s)——определяет некоторое шестимерное фазовое пространство. Каждый квант представляется точкой в этом пространстве.

Теория переноса является статистической теорией.Поле излучения рассматривается в ней как статистический ансамбль квантов, описываемых перечисленными параметрами. Полное описание этого статистического ансамбля дается соответствующей функцией распределения /v (v, г, s, /). Величина / (v,г,(о,/) dv dV dco есть число квантов с частотами от V до у + находящихся в момент времени / в объеме dV около точки 尸 и движущихся в телесном угле dco около направления s. Если фазовая плотность / не зависит от времени /, то поле излучения называется стационарным. Только такие поля мы и будем рассматривать.

В теории переноса излучения принято иметь дело не с самой функцией распределения /, а со связанной с ней величиной /v(r,(о), определяемой соотношением

Л(г,(о) = chvf(y,尸，s).(1.1)

Величина /v назвывается интенсивностью излучения. Физический смысл интенсивности излучения состоит в с л еду к- щем. Пусть имеются кванты с частотами от v до v + dv, летящие в окрестности точки 尸 в направлениях, заключенных в пределах телесного угла dco вокруг (о. Тогда /v (/•,s)dv dodco есть энергия,переносимая этими квантами за единицу времени через перпендикулярную s площадку do, расположенную в точке 尸.Интенсивность излучения /У, как и фазовая плотность /, полностью описывает поле излучения.

Важной интегральной характеристикой поля излучения в данной точке является плотность излучения pv (г), определяемая следующим образом: pv dv dVесть количество лучистой энергии в интервале частот от v до v + dv, содержащееся в объеме dV. В соответствии с этим определением pv(尸)=/iv f f (% 尸，》)d6,(1・2)

где интегрирование производится по всем телесным умам. Учитывая (1.1), можем также написать

pv") = 3\/v (尸,》) d“，(1.3)

или

рДН = ^Л(г),(1.4)

где Jv 一 средняя интенсивность излучения:

jAr}^IAr^^ ・(1.5)

Другой интегральной характеристикой поля излучения в данной точке является вектор потока излучения Н、(г), определяемый равенством

HAr^^^IAr.^d^,(1.6)

Проекция вектора потока на заданное направление называется потоком в этом направлении. Обозначив поток в направлении о через "v (г), будем иметь

儿(尸)=、/v (尸，s')cosYdG/,(1.7)

где 丫 一 угол между направлениями о и s', так что cos 丫= =о・с/. Из последнего равенства следует, что 儿(尸)есть энергия, протекающая за единицу времени в единичном интервале частот через единичную площадку, перпендикулярную о. Задав направление о, мы определили тем самым и ориентацию перпендикулярной к этому направлению площадки. Имея это в виду, величину Н~ (г) называют также потоком через площадку.

Поток излучения через площадку легко выразить через потоки в направлении координатных осей. Пусть направляющие косинусы вектора о есть cos 必 cos 必，cos д3, так что

о =力 с0sz&1 + j cos 屯 + 月 cos 83,(1.8)

где Z, j, k ——орты координатных осей. Аналогичным образом, положим

» = / cos 8'1 十 j cos 8；十月 cos8；.(L8‘)

Поскольку

COSY = (О • s'= COS 81cos 仆 1 + cos д2 COS^ + cos% cos% из (1.7) находим, что

"v = "vxCOS^i + "w COS 82 + HvzCOS 也, (1.9) где 儿%, Hvy и H、z — потоки в направлении осей %, у и z соответственно. Первый из них равен

"vx (尸)=\ /v (г, o') cos di dco\ (1.10)

Аналогично определяются и Н»? (г) и Hv2 (г).

Таким образом, запас лучистой энергии в элементе объема характеризуется плотностью излучения, а направление и скорость ее течения в данном месте —— вектором потока. Однако одни эти величины, разумеется, не дают еще полной информации о поле излучения.

Интенсивность излучения полностью характеризует поле излучения лишь тогда, когда можно не принимать во внимание поляризационных эффектов. Вопрос об описании поля излучения с учетом поляризации подробно разбирается в книге С. Чандрасекара [I]. На современном этапе развития тех областей теории переноса излучения, которым посвящена эта книга, учет поляризационных эффектов не является первоочередным делом.

Основная проблема, которой мы будем заниматься в этой книге, состоит в исследовании физических условий в газе, не находящемся в состоянии термодинамического равновесия. Интенсивность излучения в таком газе, как правило, сильно меняется от точки к точке. Поле излучения существенно неизотропно, а его спектральный состав зависит как от координат, так и от направления. Таким образом, интенсивность излучения /丫 (г, о)) в неравновесных системах зависит, вообще говоря, от всех фазовых координат. Однако иногда оказывается, что в то время как для одной области значений фазовых переменных условия не имеют ничего общего с термодинамическим равновесием, для других областей они более или менее близки к равновесным. Поэтому будет не лишним напомнить в нескольких словах свойства поля излучения при термодинамическом равновесии.

Интенсивность излучения при термодинамическое равновесии не зависит от координат и направления, т^к что поле излучения однородно и изотропно. Более того, интенсивность излучения, являющаяся, таким образом, функцией только частоты, представляет собой универсальную функцию температуры системы Т и не зависит от свойств вещества, с которым это излучение взаимодействует. Интенсивность излучения при термодинамическом равновесии будет, как обычно, обознач аться через 8丫 (Т). Она дается формулой Планка

民(7) =(备 一1 尸， (1.11)

где 力 и 万 —— постоянные Больцмана и Планка. Плотность излучения, для которой в случае термодинамического равновесия удобно ввести специальное обозначение и» (Т), дается выражением

人(7)=笥1 (湍-1 尸, (1.12)

вытекающим из (1.11) при учете (1.3). Интегральная плотность излучения

〃(「)=、厶(7)dv,(1.13)

о

как это следует из (1.12), пропорциональна четвертой степени температуры (закон Стефана — Больцмана):

〃(Т) = а7\(1.14)

_8л5”_8л5”где

_8л5”

_8л5”

(1.15)

Величина а связана с постоянной Стефана о соотношением

В «коротковолновой» области, т. е при 霄•袋>1, формула Планка переходит в формулу Вина

昆(7)=宇"募 (告 >1),(L16)

а в «длинноволновой» области, где 缜 У 1, — в формулу Рэлея — Джинса:

瓦(Т)=胃… (等 <1). (1.17)

Заметим, что замена формулы Планка на формулу Вина соответствует пренебрежению вынужденным излучением по сравнению со спонтанным.

Интенсивность излучения при отсутствии термодинамического равновесия в ряде случаев удобно относить как к стандарту к планковской интенсивности, соответствующей надлежащим образом выбранной температуре Т. Этот выбор можно сделать различным образом. Простейший путь состоит в том, чтобы выражать /v в долях & (Т). Однако отклонения /、丿 от Bv (Т) часто оказываются очень большими. Поэтому удобнее поступить несколько иначе, введя температуру излучения Тг, определяемую равенством

hv

ИЛИ

=夙(「)•(1.189

Строго говоря, равенство (1.18) не есть определение температуры излучения. Излучение ——это фотонный газ, и температура его должна вводиться в соответствии с общими принципами статистической физики, т. е. через энтропию. При таком подходе выясняется, что в действительности формула (1.18) есть следствие общего понятия температуры неравновесной системы, а не определение вводимого специально для данного случая интерполяционного параметра Тг (см., например, Дж. Оксиниус [1]).

Ясно, что температура излучения Тг является функцией тех же аргументов, от которых зависит /v, т. е., вообще говоря, Tr = Tr(V,尸,о). Разность Тг —— Т служит мерой отклонения /v от Bv (?j. Особенность такого способа описания поля излучения состоит в том, что в виновской области большим различиям в -интенсивности соответствуют сравнительно небольшие различия в температуре излучения.

Аналогично температуре излучения, характеризующей интенсивность излучения частоты v в данном месае и в

данном направлении, температурный параметр можно ввести и для описания средней интенсивности или плотности излучения. Величину 7\, определяемую соотношением

人（尸）=& （无），（1.19）

или, что то же самое,

Р«）=弘（个），（1.19）

можно назвать средней температурой излучения частоты v в данной точке. Понятно, что средняя температура излучения является функцией частоты и координат: Tr = Tr （v, г）. С точки зрения теории описание поля излучения с помощью температурных параметров ничего нового,конечно, не дает. Более того, поскольку эти параметры связаны с интенсивностью излучения довольно сложным образом, их использование ведет лишь к неоправданному усложнению формул. Поэтому в исследованиях по теории переноса различного рода «температуры» встречаются редко. Однако благодаря наглядности температурного описания оно все же довольно широко используется （главным образом, наблюдателями и экспериментаторами）. К сожалению, часто при этом не подчеркивается, что именно та или иная «температура» описывает. Делать же это совершенно необходимо, особенно ес〃и учесть, что для характеристики состояния вещества также используют разного рода температурные параметры. Отождествление друг с другом различных «температур» не раз служило причиной досадных недоразумений.

Вещество

Рассмотрим теперь, как описывается состояние газа, с которым взаимодействует излучение. Химический состав газа, точнее говоря, относительное число атомов различных элементов, а также плотность газа в каждой точке будем считать известными. Свойства атомов, составляющих газ, такие, как расположение энергетических уровней, вероятности переходов, сечения столкновений и т. п., также считаются заданными. Задача состоит, таким образом, в описании состояния газа, рассматриваемого как совокупность отдельных частиц с заранее заданными свойствами.

В каждом элементе объема атомы одного сорта могут быть представлены ионами разных стадий ионизации. Для описания состояния газа должна быть поэтому найдена степень ионизации атомов. Кроме того, нужно знать распределение ионов по энергетическим уровням дискретного спектра, а также распределение скоростей ионов данной стадии ионизации, находящихся в данном энергетическом состоянии. Должна быть найдена и функция распределения скоростей свободных электронов, образующихся при ионизации атомов. Если все перечисленные параметры найдены, то состояние газа полностью охарактеризовано.

Обычно в силу тех или иных причин возникают (или, во всяком случае, вводятся при теоретическом рассмотрении) разного рода упрощения, так что в обсуждении вопроса в столь общем виде большой необходимости нет. Мы разберем сейчас типичные примеры ситуаций, с которыми приходится иметь дело.

Начнем с простейшего случая, когда можно считать, что газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Скорости частиц каждого сорта в отдельности (скажем, г-кратно ионизованных атомов /-го элемента, находящихся в z-м состоянии) должны иметь максвелловское распределение скоростей с одной и той же температурой Т. Пусть nt — полное число таких частиц в единице объема. Тогда число их со скоростями от и до и + du равно

"期=%48(21m打)% e 2叮。2 血， (2.1) где т — масса частицы. Скорости свободных электронов также должны быть распределены по закону Максвелла с той же температурой Т.

Распределение атомов по уровням должно описываться формулой Больцмана

齐如可 (2⑵

где 修 一 населенность i-ro уровня, т. е. число атомов на этом уровне в единице объема, g» — статистический вес i-ro уровня,九У]» ——энергия его возбуждения.

Ионизация должна следовать формуле Саха

g十 2 (2ат/7)з/2 -钵g十 2 (2ат/7)з/2 -钵(2.3)(2.3)

g十 2 (2ат/7)з/2 -钵

g十 2 (2ат/7)з/2 -钵

(2.3)

(2.3)

где /г】 ——число атомов некоторой (например, r-й) стадии ионизации, находящихся в основном состоянии в 1 с儿з,九十 _ концентрация ионов следующей (厂 + 1-й) стадии ионизации в основном состоянии,几е—концентрация свободных электронов, gi и g十 ——статистические веса основных состояний «атома» и «иона» соответственно, те ——масса электрона, hvlc ——энергия ионизации r-кратно ионизованного атома из основного состояния.

Интенсивность излучения должна описываться формулой Планка (1.11) с той же температурой Т, которая входит в выражения (2.1) — (2.3).

С достаточной для нас строгостью совокупность этих четырех условий можно рассматривать как определение термодинамически равновесного состояния. Ясно, что эти условия являются довольно жесткими и выполняются лишь в исключительных случаях.

Однако часто оказывается, что в то время как одно или несколько из перечисленных условий не выполняются, другие с достаточно высокой степенью точности все еще остаются в силе. Примером состоя-ний такого типа является так называемое состояние локального термодинамического равновесия, или, сокращенно, ЛТР. Говорят, что газ находится в состоянии ЛТР, если в каждой точке выполнены условия 1—3. При этом температура Т не обязательно должна быть постоянной, а может меняться при переходе от одного места к другому. Следует подчеркнуть, что в состоянии ЛТР интенсивность излучения может быть любой. Она может сколь угодно сильно отличаться от планковской интенсивности с локальной температурой Т, если только это не приводит к нарушению условий 1—3. Когда в ионизации и возбуждении атомов процессы столкновений преобладают над радиативными процессами, состояние газа близко к ЛТР (подробнее см. § 1.4).

Значительно чаще, чем с ЛТР, приходится иметь дело с такими случаями, когда не выполняется уже не одно, а несколько из условий 1—4. Если при этом имеется хотя бы

один сорт частиц, скорости которых имеют максвелловское распределение, то для такого газа оказывается возможным ввести понятие кинетической температуры. Такой газ будем называть частично равновесным. Если же ни для одного сорта частиц кинетическую максвелловскую температуру ввести нельзя, то систему можно назвать полностью неравновесной.

Мы будем изучать только частично равновесные системы. Однако уже это позволит охватить большинство практически интересных задач. В самом деле, даже в столь крайних условиях, какие существуют в межзвездной среде, свободные электроны, а также атомы и ионы, находящиеся в основном состоянии, имеют максвелловское распределение скоростей. Более того, электронная и ионная температуры практически совпадают. Пожалуй, еще дальше от термодинамического равновесия состояние плазмы газового разряда. Однако и здесь в большинстве случаев можно говорить об электронной и ионной температурах. Правда, часто эти температуры сильно отличаются друг от друга.

Совокупность частиц одного сорта, имеющих максвелловское распределение скоростей, естественно назвать равновесной частью системы, или равновесной подсистемой. Таких равновесных подсистем может быть несколько, именно, столько, сколько типов частиц имеют максвелловское распределение скоростей. Может оказаться, что неравновесная в целом система целиком разбивается на совокупность отдельных равновесных подсистем. Так обстоит дело тогда, когда не существует ни одного типа частиц, скорости которых не были бы распределены по Максвеллу.

Кинетические температуры отдельных подсистем, вообще говоря, могут отличаться друг от друга. Однако даже если они совпадают, это не значит, что система в целом является термодинамически равновесной. Это лишь указывает на то, что в каждой точке среды существует единая кинетическая температура всех частиц, т. е. что выполнено условие 1 со стр. 21. В теории газового разряда такие системы иногда называют изотермическими, однако этот термин кажется неудачным, так как кинетическая температура может меняться от точки к точке. Можно предложить называть такие системы однотемпературными. Неравновесность одно, температурных систем проявляется в том, что отдельные

подсистемы не находятся в равновесии друг с другом: иониза- циявтаких системах,вообще говоря, не следуетформулеСаха, а степень возбуждения не обязательно описывается формулой Больцмана. Хорошим примером однотемпературной системы, чрезвычайно далекой от термодинамического равновесия, может служить межзвездный газ. В тех областях межзвездной среды, где водород сильно ионизован (так называемые области Н II), степень ионизации, например, атомов водорода (равная 103——104) на много порядков ниже термодинамически равновесного значения, отвечающего кинетической температуре газа (Г п 104° К) и его плотности (乙— 4 101— 103).

Частицы, распределение скоростей которых немаксвелловское, образуют неравновесные подсистемы (скажем, подсистему r-кратно ионизованных атомов /-го сорта, находящихся на i-м уровне). Как мы увидим в дальнейшем, для возбужденных атомов, концентрации которых контролируются главным образом радиативными процессами, существование отклонений от максвелловского распределения является скорее правилом, чем исключением.

В соответствии с только что изложенным, для полного описания состояния частично равновесного газа в данном месте нужно знать: 1) концентрации частиц каждого сорта; 2) кинетические температуры тех частиц, скорости котор-ых имеют максвелловское распределение и 3) функции распределения скоростей немаксвелловских компонент газа. Однако часто используются и другие способы описания, в принципе эквивалентные указанному, но в силу тех или иных соображений практического характера более удобные. Мы изложим сейчас эти способы применительно к чисто максвелловскому однотемпературному газу.

Первый из этих способов состоит в том, что для каждого места задаются кинетическая температура газа Т, его электронная плотность пе и концентрации ионов каждого типа в основных состояниях. Концентрации же г-кратно ионизованных атомов данного элемента на возбужденных уровнях выражаются в долях термодинамически равновесных концентраций, отвечающих этим значениям Т, пе и концентрации г + 1 раз ионизованных атомов этого элемента в данном месте. Пусть 九？ —— населенность i-ro уровня r-кратно ионизованного атома /-го элемента, а 〃十一концентрация ато-

мов того же элемента в следующей стадии ионизации на основном уровне. Тогда в состоянии термодинамического равновесия. как следует из (2.2) и (2.3),

勿=几簿十亲2 3二户)% 'kT， (24)

где hvic ——энергия ионизации г-кратно ионизованного атома из i-ro состояния. Для частично равновесного однотемпературного газа полагают

血=几簿"亲2 (2,网)% C"bi (2.5)

и характеризуют населенность уровня безразмерным параметром bi — так называемым мензеловским множителем (Д. Мензел [1]). Этот способ задания концентрации возбужденных атомов особенно удобен тогда, когда заселение уровней происходит в основном сверху, путем рекомбинаций и переходов из лежащих выше состояний.

Следует подчеркнуть, что значения Ь», большие единицы, еще не указывают на то, что по отношению к основному уровню населенность i-ro уровня выше термодинамически равновесной населенности, отвечающей температуре Т. Когда степень ионизации ниже равновесной, населенность f-ro уровня и при bt〉1 может быть ниже больцмановской.

Иногда используется другой способ описания состояния газа, отличающийся от только что изложенного лишь тем, что населенности возбужденных уровней вместо параметров bi характеризуются числами Q, вводимыми равенством

2 =包2一 才 Q. (2.6)

Безразмерный параметр q показывает, во сколько раз населенность i-ro уровня г-кратно ионизованного атома отличается от больцмановской населенности, отвечающей локальной температуре Т. При этом в качестве стандарта, к которому эта населенность относится, берется концентрация ионов той же (г-й) стадии ионизации, находящихся в основном состоянии, тогда как при использовании чисел 九 населенность относится к концентрации (г + 1)-кратно иони-

зованных атомов. Заметим, что если обозначение 九 является вполне установившимся, то для величины с» применяются разные обозначения (у^ 瓦 и др.). Величину cz называют иногда приведенной концентрацией возбужденных атомов.

Из (2.5) и (2.6) следует, что

〃+g+2(2n%盯)％ -請 ％〃+g+2(2n%盯)％ -請 ％(2・7)(2・7)

〃+g+2(2n%盯)％ -請 ％

〃+g+2(2n%盯)％ -請 ％

(2・7)

(2・7)

Таким образом, отношение ©/& показывает, во сколько раз степень ионизации отличается от термодинамически равновесной, отвечающей локальной температуре Т и электронной плотности пе. Поскольку левая часть в (2.7) не зависит от i, заключаем, что величины q и ® отличаются лишь на постоянный множитель.

Наконец, третий способ описания состояния газа, который можно назвать температурным, состоит в следующем. Задается локальная кинетическая температура Т, электронная плотность пе и концентрации ионов в основных состояниях. Населенности же возбужденных уровней представляются в виде

〃i〃i(2 8)(2 8)

〃i

〃i

(2 8)

(2 8)

(2.9)(2.9)и характеризуются значениями ТеХ. Величина Тех называется температурой возбуждения i-ro уровня относительно основного. Аналогичным образом, степень ионизации описывается температурой ионизации 丁山八,определяемой равенством

(2.9)

(2.9)

° /21 gi必

При ЛТР значения Тех и Т也注 для всех уровней атомов всех элементов, находящихся в любых стадиях ионизации, равны между собой и совпадают с локальной температурой газа Т. Отличие значений Тех или Tt0rl от кинетической температуры Т свидетельствует об отклонении от ЛТР и служит мерой того, насколько сильно нарушено равновесие между отдельными равновесными подсистемами, из которых состоит однотемпературный газ.

Мы обсудили в этом параграфе, как описывается неравновесный газ, находящийся в стационарном состоянии. Само это стационарное неравновесное состояние может существовать только тогда, когда есть какая-то внешняя по отношению к газу причина, которая поддерживает такое состояние. Этой причиной может быть, например, излучение, падающее на газ извне, хотя это и не единственная возможность. Во всяком случае, стационарный неравновесный газ никогда нельзя рассматривать как изолированную систему.

Процессы взаимодействия

Стационарное состояние газа устанавливается в результате разного рода процессов взаимодействия. Обсудим кратко те из этих процессов, которые играют определяющую роль в условиях, с которыми приходится иметь дело в астрофизике. Прежде всего остановимся на взаимодействии частиц (атомов, ионов и свободных электронов), не связанном с процессами излучения и поглощения света, а потом разберем радиативные процессы, т. е. взаимодействие излучения и вещества.

Упругие столкновения вызывают лишь изменение скоростей частиц и не сопровождаются их внутренней перестройкой, т. е. ионизацией и переходами между уровнями. Эти процессы ведут к установлению максвелловского распределения скоростей. Можно считать, что если для частиц данного сорта упругие столкповения происходят гораздо чаще неупругих столкновений и радиативных процессов, то скорости этих частиц будут распределены по Максвеллу. Для атомов и ионов, находящихся в основных состояниях, эти условия обычно оказываются выполненными. Из-за большой величины сечения кулоновского взаимодействия электроны, как правило, также имеют максвелловское распределение скоростей.

Иначе обстоит дело с возбужденными атомами. Время жизни возбужденных состояний сравнительно мало, так что при достаточно низких плотностях атом успевает совершить переход вниз задолго до того, как произойдет хотя бы одно упругое столкновение. Поэтому для ответа на вопрос, будет ли распределение скоростей возбужденных атомов максвелловским, требуется внимательно рассмотреть

механизмы заселения возбужденных уровней. Оказывается, что если при этом радиативные процессы преобл адаютнад процессами столкновений и интенсивность падающего на атомы излучения сильно меняется в пределах линии, в которой происходит возбуждение, то могут возникнуть заметные отклонения от максвелловского распределения. Мы еще вернемся к этому вопросу в одном из следующих параграфов и рассмотрим его более подробно.

При неупругих столкновениях происходит возбуждение атомов или их ионизация, а также противоположные процессы— девозбуждения и рекомбинации. В астрофизических условиях обычно наибольшую роль играют неупругие столкновения атомов и ионов со свободными электронами. Только о них и пойдет речь.

Рассмотрим в первую очередь ударные переходы между дискретными уровнями. Столкновение, в результате которого происходит возбуждение атома за счет кинетической энергии налетающего электрона, называется ударом первого рода. Противоположный процесс носит название удара второго рода, или деактивации. Пусть 〃》и 孔月—— населенности соответственно нижнего и верхнего уровней, пе — электронная концентрация. Число переходов под действием столкновений, происходящих в единице объема за единицу времени, обозначим следующим образом:

возбуждающие соударения f ^ A: ntneCik, ] (3D деактивации A f i (удары второго рода): nkneCkt] ''

Величина С»к связана с эффективным сечением возбуждения qth (р) соотношением (v —— скорость налетающего электрона):

&〃= ^ q^vKv)dv , (3.2) 県

где / (и) —— функция распределения скоростей электронов, vrh 一 пороговая скорость, определяемая очевидным условием

—-—=hvik^ (3.3) где hvik — разность энергий уровней.

Если распределение скоростей электронов максвелловское с температурой 7\, коэффициенты С^ и С^г выражаются друг через друга, а именно,

h'4k

c广粤^e肅.(3.4)

Действительно, в состоянии термодинамического равновесия каждый прямой процесс в точности компенсируется обратным, так что

(3.5)(3.5)〃£/ — ^liQ (а，

(3.5)

(3.5)

С другой стороны, отношение населенностей уровней определяется в этом случае формулой Больцмана (2.2). Из (3.5) и (2.2) сразу же следует, что при термодинамическом равновесии соотношение (3.4) в самом деле имеет место. Однако поскольку Cih и Chi определяются лишь атомными характеристиками (сечениями) и распределением электронов по скоростям, соотношение (3.4) остается в силе и при отсутствии термодинамического равновесия, если только распределение скоростей электронов такое же, как при термодинамическом равновесии, т. е. максвелловское.

Для получения порядковой оценки числа переходов под действием электронных ударов можно исходить из полуклас- сического выражения для сечения возбуждения qik (и):

仇左(u)=仇左(u)=现2C34端*2现2C34端*222(3.6)(3.6)

仇左(u)=

仇左(u)=

现2C3

4端*2

现2C3

4端*2

2

2

(3.6)

(3.6)

где Aki — эйнштейновский коэффициент спонтанного перехода 々 f i, е — заряд электрона. Из (3.6) и (3.2) следует, что при максвелловском распределении электронов по скоростям с температурой Те

九V决

徐f尸俏，(3.7)

где

夕(X)= АР" U - ^Е^Х)] ,(3.8)

Таблица 1

Функция Р (X)

¥

Атомы

Положительные ионы

X

Атомы

Положительные ионы

<0,005

•ЙЕКХ)

笠Н (X)

0,4

0,209

0,109

0,290

0,214

0,01

1,160

1,160

0,063

0,201

0,02

0,956

0,977

0,040

0,200

0,04

0,758

0,788

10

0,023

0,200

0,1

0,493

0,554

_ 1

0,2

0,331

0,403

>10

0,066

0,200

а £\ (X) —— первая интегральная показательная функция:

?g)=，/^.(3.9)

Несколько лучшая оценка величины С^ получается, если функцию Р (等”)вычислять не по формуле (3.8), а использовать ее значения, приведенные в табл. 1 (отдельно для столкновений с нейтральными атомами и с положительными ионами; по А. ван Регемортеру [1]). Значения функции 品(X), фигурирующей в таблице, в данном случае удобно вычислять, используя ее разложение в ряд:

邑(X) = — In X — 丫 +〉(—告p ,(3.10)

где у = 0,5772 ——постоянная Эйлера. Формула (3.7) применима тогда, когда переход 々 f i является разрешенным.

Переходы под действием электронных ударов между состояниями дискретного спектра и континуумом описываются аналогичным образом. Существуют два таких процесса— ионизация электронным ударом и рекомбинация при столкновении трех частиц, или тройная -рекомбинация. При последнем процессе, являющемся аналогом удара второго рода, энергия, которая освобождается при захвате электрона, уносится третьей частицей. Будем сейчас считать, что эта

третья частица также есть электрон, хотя это и не всегда бывает так. Число переходов между i-м уровнем и континуумом (с), происходящих в единице объема за единицу времени, обозначим следующим образом:

(З.Н)(З.Н)ионизации электронным ударом 2 —> с : nineCiC, тройные рекомбинации с—>力：〃十〃^С& .

(З.Н)

(З.Н)

Величина Cic связана с сечением ионизации qic (и) соотношениями (3.2) ——(3.3), в которых индекс А следует всюду заменить на с. Рассуждения, аналогичные тем, которые привели к формуле (3.4), показывают, что при максвелловском распределении электронов по скоростям

с「『尹(3.12)

(3.13)(3.13)Порядковая оценка коэффициента вероятности ионизации атома электронным ударом дается выражением

(3.13)

(3.13)

、—4л 2〃л«41

辽—ТрТ 石Г (2jwz/T»“

где /г — число эквивалентных оптических электронов, а функция Р дается формулой (3.8). Это выражение получается при использовании классической формулы Томсона для сечения ионизации:

%ь®) = -^~ (為一^) •(3.14)

Перейдем к радиативным процессам. Обсудим сначала те из них, которые связаны с переходами между дискретными уровнями. Пусть /г» и 九九——населенности соответственно нижнего и верхнего уровней,丄丿——средняя интенсивность излучения:

(3.15)(3.15)7人警•

(3.15)

(3.15)

Будем пока считать, что в пределах линии она не зависит от частоты и равна 几.Тогда за единицу времени в единице

объема происходит

спонтанных переходов Л —> z :п^А^,

вынужденных переходов fe—>z: 〃々吕就J说,，(3.16)

фотовозбуждений f —> й :niBikJik--

A ui —A ui —5“・=^倣,5“・=^倣,Величины A ku 8行 и 8»在 есть эйнштейновские коэффициенты спонтанного и вынужденного излучения и поглощения соответственно (рассчитываемые на среднюю интенсивность, а не на плотность излучения). Они связаны между собой хорошо известными соотношениями

A ui —

A ui —

5“・=^倣,

5“・=^倣,

(3.17)

(3.18)

так что достаточно иметь один из этих коэффициентов. Обычно задают коэффициент спонтанного перехода / /^ или силу осциллятора 沁,связанную с А соотношением

ЛЛg£g£8N2ё2哦8N2ё2哦fik •fik •(3.19)(3.19)

Л

Л

g£

g£

8N2ё2哦

8N2ё2哦

fik •

fik •

(3.19)

(3.19)

Имеются многочисленные сводки значений 力先(см., например, К. Аллен [1]). Методы теоретического расчета и экспериментального определения сил осцилляторов, сечений ударного возбуждения и ионизации, а также вероятностей других элементарных процессов подробно рассматриваются в книгах И. И. Собельмана [1], Д. Бейтса [1] и Дж. Хастеда [1], к которым мы и отсылаем за дальнейшими сведениями. Подробная сводка данных о сечениях ионизации электронным ударом опубликована недавно В. Лотцем [1].

Число фотов оз буждени й можно выразить не только через эйнштейновский коэффициент В^, но и через атомный коэффициент поглощения 々》九.Он определяется следующим образом. Пусть /v ——интенсивность излучения в частоте V в пределах линии i f А Тогда

而 kkik^mdvd^

есть число фотовозбуждений i f 山，происходящих за единицу времени в единице объема под действием излучения с частотами otv aov+^v, падающего в пределах телесного угла do около некоторого направления. Если распределение скоростей атомов, находящихся на ”м уровне, изотропно, то kik(V)не зависит от направления. Полное число фотовозбуждений i f 山 за 1 сек в 1 с^ равно тогда, очевидно,

电• \ 做(V)~^~ \ /м8,(3.20)

о

или

《dv

4冗电・)財％(V)・(3.21)

о

Коэффициент поглощения ^^ (v) имеет резкий максимум вблизи центра линии. Поэтому величина интеграла (3.21) целиком определяется значениями подынтегральной функции в узкой области частот вблизи центра линии, и последнее выражение можно заменить на

勿丽丁\ 励。(”)/$”，(3.22)

о

где V/无 ——центральная частота линии. Если средняя интенсивность излучения 人 в пределах линии слабо зависит от частоты и равна 几，то вместо (3.22) имеем

(3.23)(3.23)8

(3.23)

(3.23)

几)做(v)dv・

"° О

Это и есть искомое выражение для числа фотовозбуждений через коэффициент поглощения k[k (v). Приравнивая его riiB^J^, приходим к соотношению

\ kik（V）dv =前民左. о\ kik（V）dv =前民左. о(3.24)(3.24)

\ kik（V）dv =前民左. о

\ kik（V）dv =前民左. о

(3.24)

(3.24)

Если интенсивность излучения нельзя считать не зависящей от частоты в пределах линии, то для нахождения числа фотовозбуждений следует пользоваться выражением

С помощью (3.24) его можно записать в виде 几出》目th, где

(3.25)(3.25)&%W)/#v f ^ (v)rfvj 嘿

(3.25)

(3.25)

J曲々⑺厶f kik (v) dv

о0

Таким образом, при произвольной зависимости падающего на объем излучения от частоты число происходящих в нем радиативных процессов по-прежнему определяется выражениями (3.16), в которых J th дается формулой (3.25).

пеп^А[С,_ ' nen+Biclic, (3.26)勿田b J ic •пеп^А[С,_ ' nen+Biclic, (3.26)勿田b J ic •Обратимся теперь к переходам, при которых одно из состояний принадлежит непрерывному спектру, а другое — дискретному. Таких процессов также существует три: спонтанные фоторекомбинации, вынужденные фоторекомбинации и фотоионизации. Пусть свободные электроны имеют максвелловское распределение скоростей при температуре Те. Обозначим число указанных процессов, происходящих в единице объема за единицу времени, следующим образом:

пеп^А[С,_ ' nen+Biclic, (3.26)

勿田b J ic •

пеп^А[С,_ ' nen+Biclic, (3.26)

勿田b J ic •

спонтанные фоторекомбинации с f i: вынужденные фоторекомбинации с f i: фотоионизации i f с:

Коэффициент Aci является функцией электронной температуры и равен

4加=『^t^vf (и) du,о4加=『^t^vf (и) du,о(3.27)(3.27)

4加=『^t^vf (и) du,о

4加=『^t^vf (и) du,о

(3.27)

(3.27)

где 自(и) — эффективное сечение фоторекомбинации, f (v)— функция распределения скоростей электронов. Что касается величины BdJic определяющей число вынужденных рекомбинаций, то она следующим образом выражается через среднюю интенсивность излучения 7V и эффективное сечение захвата 仇(и):

B就 =f Bi⑼vf (U)篇人公， (3.28) о

где

hv = hvic +•(3.29)

Наконец, число фотоионизаций с f-ro уровня равно

niBicJic — 4лП1kic(V)Jv -^- ,(3.30)

где kic(V)——атомный коэффициент фотоионизации с i-ro уровня. Величина pz (и) связана с kic (v) соотношением Милна

力 2Y2 g-

BMS = ^^ 肝瓦(V)，(3-31)

которое легко выводится из условия детального баланса при термодинамическом равновесии.

Формулы (3.27), (3.28) и (3.30) вместе с соотношением (3.31) показывают, что при известной средней интенсивности излучения для вычисления числа радиативных переходов с ”го уровня в континуум и обратно достаточно знать одну атомную характеристику — коэффициент фотоионизации с f-ro уровня kic(V).

Для водородоподобных ионов с зарядом Z

267c4«10〃z Z4 4

帆⑺=17而632)

(3.33)(3.34)(3.33)(3.34)где gic (v)——так называемый множитель Гаунта. В астрофизических расчетах при нахождении числа ионизаций излучением и фоторекомбинаций его часто заменяют на единицу, что приводит к ошибкам всего в несколько процентов. В приближении gic (v) = 1 (приближение Крамер- са) величина Acii как это следует из (3.27), (3.31) и (3.32), оказывается равной

(3.33)

(3.34)

(3.33)

(3.34)

л — к 4九 з

гдегдеci — 丁 炉 2 (2冗〃z*TJ%

где

где

297c5戏0m

Ko - ■—.

3了3炉步

Если интенсивность излучения равна планковской интенсивности с Т = 7\, то в том же приближении

,(3.35)

垃户g十2(2%叭)% C Q J

(3.36)

где

(3.37)

(3.38)

Заметим, что

/* (X) = E^X)^ Q^(X)

(3.39)

/*(X)= * + 貝 X + Rin У■石一百謚爲I，(3・4。) где 丫 = 0,5772 — постоянная Эйлера, В2；—— числа Бер- нулли (В2 = -0- > -^4 ——前，•••)•

Аналогичным образом описываются и переходы, при которых оба состояния принадлежат непрерывному спектру, т. е. спонтанное и вынужденное тормозное излучение и тормозное поглощение. Если электроны имеют максвелловское распределение скоростей с температурой 7\, то для водородоподобных ионов с зарядом Z коэффициент тормозного поглощения в расчете на один ион и один свободный электрон равен

8冗風Z2 1 1

瓦с(")= 3 V3mech (2冗丁 纟州⑺， (3.41)

где gcc (v) — множитель Гаунта (в оптической области он порядка единицы).

Уравнения стационарности

Если состояние газа, характеризуемое степенью ионизации атомов, их распределением по уровням и т. п., не меняется с течением времени, то говорят, что газ находится в стационарном состоянии. Уравнения, описывающие такие состояния, носят название уравнений стационарности. Они выражают условие баланса между различными элементарными процессами, ведущими к установлению этого состояния.

Огромное разнообразие стационарных состояний, весьма частными примерами которых являются состояния полного и локального термодинамического равновесия, обусловлено различиями в элементарных процессах, являющихся определяющими в том или ином конкретном случае. В дальнейшем будут исследоваться главным образом такие состояния, в установлении которых существенную роль играют фотовозбуждения собственным излучением газа. Однако не будем с самого начала ограничиваться тем или иным частным случаем и рассмотрим в общих чертах уравнения стационарности, учитывающие все основные типы элементарных процессов.

Для простоты будем считать газ максвелловским. Его состояние в данном месте будет полностью охарактеризовано, если найти распределение атомов по уровням, степень их ионизации, и, наконец, температуру. Рассмотрим уравнения стационарности, определяющие эти величины. Концентрация атомов на i-м уровне определяется равенством числа приходов на этот уровень числу уходов с него. За единицу времени в 1 сж различные элементарные процессы ведут к появлению следующего числа атомов данного элемента на i-м уровне:

радиативные переходы с расположенных выше дискретных уровней (спонтанные и вынужденные):

переходы сверху под действием ударов второго рода: СО

& Di п^Сhi；

тройные рекомбинации:

欣心С足

фото воз буждени я с расположенных ниже уровней 4—1

/=1

возбуждения при ударах первого рода:

/-1

/=1

Полное число переходов на i-й уровень за 1 сек в 1 см3 равно, таким образом,

с1

2：伙(4/+ &"/々 + &С/и) +》勿(斗J“ + &С"), (4.1) 々=/+1/=1

где символ 2 означает, что суммирование распространи-

ется как на состояния дискретного спектра (々=i + 1, i 十 2, ..., оо), так и на континуум (k = с), причем под пс следует понимать пеп+.

Найдем теперь число уходов с ”го уровня при различных процессах:

радиативные переходы (спонтанные и вынужденные) на расположенные ниже уровни:

/-1

修2(4了 +筑"")；/=1

переходы вниз под действием ударов второго рода:

фотовозбуждения на расположенные выше уровни:

" 2 b讯jth；k=i+l

переходы вверх под действием электронных ударов:

ОО

九=/+1

фотоионизации:

П»В icJ ic,

ионизации электронным ударом:

几е几iC%c《

Для полного числа уходов с f-ro уровня имеем поэтому с

%Е (4j+ B^jJ宣 + 几£ij)十 ％ 2 (B“Jh + neCik). (4・2) /=1九=，+1

Приравнивая число переходов на данный ”й уровень числу уходов с него, приходим к следующей системе уравнений для населенностей п；:

сZ-1

2 九左(4, + BkiJ kt + &С加 + 2 勿(В/"〃 + 九е&2)= k=i+l/=1

=勿 2(4j + BjiJij + neC[j) + rii 2〈B/J決 + 〃e&Q (4.3) /=1左=/+l

G= 1,2,・・・)・

Система (4.3) определяет состояние газа в данной точке среды лишь при выполнении ряда дополнительных условий: а) интенсивность излучения известна; б) температура задана; в) электронная плотность пе и концентрация ионов п+ также известны. Отказ от этих предположений ведет к дальнейшему усложнению задачи. Так, если концентрацию ионов /г* нельзя считать известной, к системе (4.3) следует добавить уравнение ионизационного равновесия, выражающее равенство числа ионизаций и рекомбинаций в

элементарном объеме:

〉几i (Вjj/с + 九e&b) — &九+ 21 (*cj + BcjJjc + &&/)♦ (4.4) /=i /=1

Здесь слева стоит сумма числа фотоионизаций и ионизаций электронным ударом со всех уровней, а справа — полное число рекомбинаций, слагающееся из числа спонтанных и вынужденных фоторекомбинаций на все уровни и числа рекомбинаций при столкновениях трех частиц.

Если нельзя считать заданной и температуру, то систему (4.3) — (4.4) следует решать совместно с уравнением энергетического баланса. Это уравнение выражает тот факт, что в стационарном состоянии энергия, приобретаемая элементарным объемом, должна быть равна теряемой им энергии. Когда газ однотемпературный, достаточно найти электронную температуру. Приток энергии к электронному газу, т. е. его нагрев, происходит за счет ряда процессов: 1) при тормозном поглощении электроны приобретают энергию поглощенного кванта; 2) при каждой тройной рекомбинации в тепло переходит энергия, равная энергии связи того уровня, на который захватывается электрон; 3) при ударе второго рода выделяется энергия, равная разности энергий уровней; 4) при фотоионизации электронный газ получает энергию, равную разности энергии ионизующего кванта и энергии связи уровня, с которого произошла ионизация. В ряде случаев действуют также и другие источники нагрева электронного газа. Что касается его охлаждения, то оно происходит за счет тормозного излучения, фоторекомбинаций, ударных ионизаций и возбуждающих соударений.

Можно составить уравнение энергетического равновесия, учитывающее все перечисленные процессы. Однако обычно лишь немногие из этих процессов оказываются существенными, поэтому вряд ли целесообразно выписывать это общее уравнение. К тому же в дальнейшем температуру газа мы будем считать заданной.

Для решения уравнений стационарности (4.3) —— (4.4) нужно знать поле излучения в среде, входящее в эти уравнения через величины J. Если эти величины известны, то расчет стационарного состояния в принципе не встречает трудностей. Он сводится к решению системы алгебраичес-

ких уравнений. Однако когда в газе заметную роль играют радиативные переходы под действием его собственного излучения, положение сильно усложняется. Поле излучения не может тогда быть найдено независимо от решения уравнений стационарности, которые должны решаться совместно с уравнениями переноса излучения. Уравнения стационарности оказываются в этом случае интегральными. Физически это означает, что условия в каждой точке определяются состоянием среды в целом. Эта нелокальность связана с тем, что удаленные друг от друга объемы эффективно взаимодействуют, обмениваясь излучением. Более подробное обсуждение уравнений стационарности для этого важнейшего случая дается в следующей главе.

Познакомимся теперь детальнее с некоторыми частными видами стационарных состояний однотемпературного газа.

Полное термодинамическое равновесие. Это такое сос- стояние, при котором распределение скоростей всех частиц максвелловское, степень возбуждения следует формуле Больцмана, ионизация — формуле Саха, а интенсивность излучения дается формулой Планка. Состояние системы полностью определяется заданием одного параметра — температуры Т.

В состоянии полного термодинамического равновесия каждый прямой процесс в точности компенсируется обратным (так называемый принцип детального равновесия). В частности, число радиативных переходов с верхнего i-ro на нижний /-й уровень должно равняться числу фотовозбуждений j f i:

电•(4/+ 8〃 石〃v") = %£户石уv",(i = 2, •.•； j</), (4.5)

где 〃,.j — планковская плотность излучения частоты v/7, определяемая формулой (1.12). Аналогичным образом, число ионизаций излучением с i-ro уровня niBic 訂区历 равно числу фоторекомбинаций на этот уровень:

九簿+(4,+ Bet 〃vj ~ 几 fBic 石^ 〃vjc (' = 1,2, ...). (4.6)

Для переходов под действием столкновений соотношения

детального баланса имеют вид

(4.7)(4.8)(4.7)(4.8)几©н =几jC~(力,j = 1,2, ...; i =^= j),

(4.7)

(4.8)

(4.7)

(4.8)

Пе几+Cci ―- П[С迎(力 1,2,

Локальное термодинамическое равновесие (ЛТР), как говорилось выше, есть такое состояние максвелловского газа, когда населенности уровней больцмановские, ионизация следует формуле Саха, а интенсивность излучения, вообще говоря, не дается формулой Планка. При этом, в отличие от полного термодинамического равновесия, температура может меняться от точки к точке. Выясним, каковы должны быть физические условия, чтобы установилось такое состояние. Ограничимся формулировкой достаточных условий.

Положим в уравнениях (4.3) и (4.4) (пока чисто формально) среднюю интенсивность J и все коэффициенты / равными нулю. Получим

сZ—1Z—1с

2 几hChi + Х 畑&工=ГЦ》Cq + П{ 2。阪(4.9)

々=£+1/=1/=1左=厶+1

(z = 1,2,...),

』rijCic = &〃十 W Cc}.(4.10)

/•=i/=1

Если населенности уровней больцмановские, а ионизация дается формулой Саха, выполняются соотношения детального баланса (4.7) и (4.8). Используя их, нетрудно убедиться в том, что уравнения (4.9) и (4.10) в этом случае также удовлетворяются. Поскольку эти уравнения линейны относительно величин П[/пеп+, равновесные значения населенностей дискретных уровней и континуума являются их единственным решением. При этом температура, входящая в формулы Больцмана и Саха, может быть функцией точки. Таким образом, газ, стационарное состояние которого описывается уравнениями (4.9) и (4.10), находится в состоянии ЛТР.

Система (4.9) — (4.10) отличается от (4.3) — (4.4) отсутствием членов, учитывающих радиативные переходы. Возможность пренебрежения этими членами по сравнению с теми, которые описывают переходы под действием столкновений, и есть то условие, при выполнении которого газ можно считать находящимся в состоянии ЛТР. Иначе говоря,

достаточное условие применимости предположения о ЛТР состоит в малой роли рад нативных переходов по сравнению с переходами под действием столкновений. Поскольку роль переходов, обусловленных столкновениями, тем больше, чем больше электронная концентрация, при достаточно высоких плотностях должно существовать ЛТР.

Частичное локальное термодинамическое равновесие. В условиях, с которыми приходится иметь дело в астрофизике, ЛТР в чистом виде встречается сравнительно редко, так как плотности, как правило, недостаточны для его установления. Значительно чаще газ находится в состоянии, которое можно назвать частичным ЛТР. Под этим термином понимается следующее. Предположим, что имеется некоторый объем газа, находящийся в заданном поле непланковского излучения. Проследим, как будет меняться его состояние, если уменьшать плотность. Пусть первоначально она была достаточно высока, так что газ находился в состоянии ЛТР. При уменьшении плотности наступит момент, когда пренебрегать радиативными переходами по сравнению с ударными можно будет уже не для всех уровней. Оказывается, что отклонения от ЛТР обычно в первую очередь проявляются для нижних уровней, тогда как населенности верхних уровней по отношению к континууму все еще остаются равновесными. По мере падения плотности число уровней, населенности которых заметно отличаются от равновесных, постепенно увеличивается. Существует широкий интервал плотностей, при которых верхниеуровни заселены по отношению к континууму также, как при ЛТР, тогда как для нижних уровней пренебрегать вкладом радиативных переходов по сравнению с переходами под действием столкновений уже нельзя. В этом случае населенности нижних уровней могут сильно отличаться от равновесных. Это и есть состояние частичного ЛТР.

Грубо говоря, всю область отрицательных энергий можно разбить в этом случае на две зоны — равновесную и неравновесную. Пусть，о ——номер уровня, разделяющего эти зоны. Относительные населенности уровней, расположенных в равновесной зоне, т. е. достаточно близко к континууму, такие же, как при ЛТР ® n 1 при i》，（））• Населенности же уровней, лежащих в неравновесной энергетической зоне （i < ’о）, определяются уже не только локальной температу-

рой и плотностью, но и полем излучения в данном месте, так что, вообще говоря, числа 仇 для этих уровней могут сильно отличаться от единицы. Разумеется, размер неравновесного энергетического «зазора», характеризуемый номером критического уровня 君,определяется, во-первых, свойствами атомов, из которых состоит газ, во-вторых, его плотностью и, наконец, в-третьих, полем излучения в данном месте.

В звездных атмосферах, в верхних слоях планетных атмосфер, в туманностях и межзвездной среде газ находится в состоянии частичного ЛТР. Конечно, число уровней, скажем, водородного атома, населенности которых не находятся в равновесии с континуумом, в случае звездных атмосфер и областей Н II межзвездной среды существенно различно. Однако нет оснований для априорного предположения, что в атмосферах звезд всех типов населенности всех уровней атомов любых элементов являются равновесными. Это предположение составляет так называемую гипотезу 。ЛТР, вот уже около пятидесяти лет используемую в теории звездных атмосфер. Применимость этой гипотезы, столь привлекательной теми огромными упрощениями, которые ею вводятся, в каждом конкретном случае нуждается в специальном обосновании. Последовательный подход к теории звездных атмосфер должен основываться на детальном рассмотрении элементарных процессов. Пока в этом направлении делаются только первые шаги. Трудно предвидеть, насколько сильно результаты будут отличаться от того, что дают расчеты, основанные на гипотезе о ЛТР.

Локально-контролируемое состояние. Если состояние газа в данном месте среды не зависит от условий в других частях системы, можно говорить о локально-контролируемом состоянии. ЛТР ——пример состояний такого типа, хотя и не единственный.

Взаимодействие между удаленными друг от друга объемами осуществляется через поле излучения. Поэтому, чтобы условия в данном месте не зависели от состояния среды в- целом, не должны играть заметной роли те радиативные процессы, которые обусловлены собственным излучением газа. Если столкновения преобладают над всеми радиатив- ными процессами (тогда существует ЛТР), это условие, очевидно, выполнено. Если же это не так и радиативыыми пере-

ходами пренебрегать нельзя, то для существования локалыю- контролируемого состояния радиативные переходы, обусловленные излучением, падающим на среду извне, должны преобладать над переходами, которые вызываются собственным излучением газа. Поэтому, чтобы газ находился в таком состоянии, он долженилииметьдостаточповысокуюплотность (тогда будет существовать ЛТР), или быть практически прозрачным. Первый случай осуществляется, например, в лабораторном газовом разряде высокого давления. Второму случаю соответствуют условия в солнечной короне. Уравнения стационарности при этом являются алгебраическими, и их решение не встречает каких-либо принципиальных трудностей, если не считать, конечно, того, что вероятности элементарных процессов, как правило, известны плохо.

§ 1.5. Рассеяние светав частотах спектральных линий

Радиативные процессы, связанные с переходами между дискретными уровнями, заслуживают более внимательного изучения.

В первую очередь следует обсудить вопрос о зависимости коэффициента поглощения в линии от частоты. Согласно квантовой теории излучения, для изолированного неподвижного атома коэффициент поглощения в линии, соответствующей переходу i -> й, равен (см. В. Гайтлер [1]) е2 ^A»r

阮(V)=麻% i^ Aki "一V0)2十(八心)2 ^(5. 1)

где

z-ik-1

4nAv^ = 2 4/ + 2 4/・(5・2)

/=i/=1

Величину Avr называют естественной, или радиационной шириной линии. На расстоянии Av^ от центра линии коэффициент поглощения вдвое меньше, чем в центральной частоте (при V = у。).

Если атом не изолирован, то действие окружающих частиц приводит к увеличению ширины линии (так называемые эффекты давления). Как известно (см., например, И. И. Со- бельман [1]), форма линии при этом часто по-прежнему

описывается формулой (5.1),с той разницей, что величину Avr следует заменить на

Av* = Avr + Avc,(5.3)

где Avc ——ширина линии, обусловленная столкновениями.

В действительности атомы не неподвижны, а находятся в тепловом движении. Пусть излучение распространяется вдоль оси г, а проекция скорости атома на это направление равна %. Тогда вследствие эффекта Доплера центральная частота линии смещается и становится равной

"="о + "о^ •(5.4)

Коэффициент поглощения такого движущегося атома в частоте у в пределах линии равен, очевидно, с? g^丝

Eh (") " 8 冗2* / 4必(V — %)2+(A%)2 .(5・5)

Чтобы получить коэффициент поглощения в расчете на один атом элемента объема газа, выражение (5.5) следует усреднить по функции распределения г-компонент скоростей поглощающих атомов. Если атомы, находящиеся на исходном (нижнем) уровне, имеют максвелловское распределение скоростей с температурой Т, то доля атомов с г-компонен- той скорости от vz до vz + dvz равна

(2电/2 exp(5.6)

где m — масса атома. Усредняя (5.5) по распределению (5.6) с учетом (5.4), находим, что

С2 g h 4^i

也々(v) = 8 冗唸 @(5，7)

где

U(〃，％) = £ \•(5.8)

Обозначения, использованные в двух последних формулах,

имеют следующий смысл. Величина

(5.9)

и, наконец,и, наконец,(5.10)(5.H)(5.10)(5.H)есть так называемая доплеровская ширина линии, % ——безразмерная частота, представляющая собой расстояние от центра линии, измеренное в доплеровских ширинах:

и, наконец,

и, наконец,

(5.10)

(5.H)

(5.10)

(5.H)

Av A-r + А%

CL = т~— = 7

Av° Avd

Функция U (a, %) известна под названием (нормированной) функции Фойгта. Она определяет зависимость коэффициента поглощения в линии от частоты и играет поэтому важнейшую роль во всех вопросах, связанных с интерпретацией формы спектральных линий.

Выражение (5.7) применимо лишь в том случае, когда распределение скоростей поглощающих атомов максвелловское. Если рассматриваются линии резонансной серии, возникающие при переходе из основного состояния, то это предположение, как правило, не вызывает сомнений. Если же речь идет о линиях субординатных серий, то, как мы вскоре увидим, предположение о максвелловском распределении скоростей поглощающих атомов может быть довольно грубым. Однако за неимением лучшего оно все же используется и в этих случаях.

При тех плотностях, с которыми приходится иметь дело в астрофизике, параметр о мал (о 〜 Ю-2 10"4). Оказывается, что в этом случае зависимость коэффициента поглощения от частоты в центральных частях линии и в далеких крыльях существенно различна. Именно, существует некоторое критическое расстояние от центра линии (обозначим его |х01), такое, что при |х|, заметно меньших %|, с достаточно высокой степенью точности

U (о, %) 4 嘉(5」2) При |%|, заметно больших |х0|, можно считать, что в первом

(5.13)(5.14)(5.13)(5.14)приближении

(5.13)

(5.14)

(5.13)

(5.14)

Значение 阂| определяется уравнением

2 а

l。=у^ •

Оно тем больше, чем меньше о:

а

IO'2

10'8

10-4

1 %о 1

2,67

3,12

3,51

Наряду с коэффициентом поглощения, определяемым формулами (5.7)—— (5.8), в дальнейшем будут рассматриваться также две его предельные формы, соответствующие а = О и о = 8. В первом из этих случаев получаем так называемый доплеровский коэффициент поглощения:

=(5・15)

Во втором случае имеем

•(5.16)

В отличие от предыдущих формул этого параграфа в (5.16) безразмерная частота % измеряется не в доплеровских ширинах Av。，а в единицах Av*:

V — Vo

•(5.17)

*

Коэффициент поглощения (5.16) называют лоренцовским.

Сравнивая эти формулы с приближенными выражениями для U (о, %) при |%| < |%о1 и |х| 〉 |%о1，видим, что при малых о в центральных частях линии коэффициент поглощения мало отличается от доплеровского, а вдали от центра линии его можно считать лоренцовским. Соответственно этому, часто говорят о доплеровском ядре и лоренцовских крыльях линии,

Рассмотрим немного подробнее доплеровский коэффициент поглощения. Он соответствует о = 0, т. е. случаю, когда Av* пренебрежимо мало по сравнению с Avq. При Av*f О имеем

7чо —> яб(V — Vo),

(V —Vo)2+(A”*)2'

где 6(V — v0) — дельта-функция. Поэтому коэффициент поглощения неподвижного атома в этом предельном случае оказывается равным

с2

財М") = 8牖 i? 4檢 W —Vo).(5・18)

Усредняя (5.18) по максвелловскому распределению (5.6) с учетом доплеровского смещения центральной частоты линии для движущегося атома, приходим к (5.15). Такой способ вывода (5.15), в отличие от перехода к пределу при q f О в общей формуле (5.7), делает совершенно очевидным физический смысл зависимости от частоты, описываемой доплеровским коэффициентом поглощения. Она является непосредственным отражением максвелловского распределения скоростей поглощающих атомов.

Зависимость коэффициента поглощения в линии от частоты обычно описывают так называемым профилем коэффициента поглощения а (%). Он представляет собой отношение коэффициента поглощения в частоте v к коэффициенту поглощения в центре линии:

(5.19)

Профили коэффициентов поглощения, отвечающие трем рассмотренным выше случаям (о=0, 0<а< 8ио = оо), будем называть соответственно доплеровским, фойгтовским и лоренцовским, используя для их обозначения индексы D, V и

&d (%) = е~х\(5.20)

3(%)=爲，(5・21)

%l(%)=[，行2 •(5.22)

Характерный интервал частот, в единицах которого измеряется безразмерная частота % (равный А”。в случаях D и V и А”* в случае L), будет в дальнейшем обозначаться просто через Av. Нормировочная константа А, определяемая условием

(5.23)(5.23)4 \ а (%) dx =言 \ а (%) dv = 1,

(5.23)

(5.23)

—80

в случаях D, V и L равна соответственно

& = и@0);卜 (5.24)

Заканчивая на этом обсуждение вопроса о коэффициенте поглощения в спектральной линии, отметим, что если условия в среде (такие, как ее температура и плотность) меняются от точки к точке, то коэффициент поглощения оказывается функцией не только частоты, но и координат. Если же распределение скоростей поглощающих атомов неизотропно, то он зависит и от направления.

Досих пор речь шла о процессах фотовозбуждения атомов. Теперь нам предстоит рассмотреть процессы излучения при радиативных переходах. Вопрос этот гораздо сложнее, и мы вынуждены будем приводить большинство результатов без доказательств.

Остановимся сначала на терминологии. Процесс фотовозбуждения i f 々 с последующим радиативным переходом k f i будем называть рассеянием кванта в линии. Если всеми процессами опустошения верхнего fe-го уровня можно пренебречь по сравнению с радиативными переходами 々 f i, будем говорить, что происходит чистое, или консервативное, рассеяние в линии. Все процессы переходов с ^-го уровня вслед за фотовозбуждением i f 也 за исключением радиативных переходов k -> f, будем объединять под общим названием процессов (истинного) поглощения излучения данной линии. Примерами процессов истинного поглощения слу-

жат удары второго рода, ионизации с верхнего уровня, спонтанные переходы 々-> j (/ / i) и т. п. Последний процесс сводится к тому, что квант энергии hvik превращается в квант hvij. Следует специально подчеркнуть, что такой процесс также считается процессом истинного поглощения для излучения в линии i f k. Будем, далее, говорить, что квант в линии, соответствующей переходу между i-м и fe-м уровнями, пришел от первичных источников, или, короче, родился, если его излучение при радиативном переходе k f i произошло не непосредственно вслед за фотовозбуждением ，f 々 под действием собственного излучения среды в линии. Таким образом, если произошла следующая цепочка радиа- тивных переходов: ifhfj fhfi, то считается, что один квант в линии i -> k «погиб» вследствие истинного поглощения, а затем родился новый квант, пришедший от первичных источников. Сколь ни странной может показаться эта терминология с первого взгляда, она оказывается очень удобной.

Рассмотрим подробнее процессы рассеяния. Начнем с простого иллюстративного примера. Проследим судьбу квантов резонансной линии, соответствующей переходу 1 —2. Предположим, что происходит чистое рассеяние и газ достаточно разрежен, так что эффекты давления не играют роли. Более того, пренебрежем сначала для простоты и размытостью верхнего уровня, т. е. примем, что коэффициент поглощения неподвижного атома дается формулой (5.18). Распределение скоростей поглощающих атомов будем считать максвелловским. Рассмотрим элементарный объем газа, освещаемый со всех сторон монохроматическим излучением частотыv1? интенсивность которогонезависит от направления. Спрашивается, какова будет форма линии, излучаемой этим объемом за счет резонансного рассеяния возбуждающего излучения? Поспешный вывод, что она будет «конечно, доплеровской», оказывается неверным.

Убедиться в этом можно, например, так. При сделанных предположениях профиль эмиссионной линии непосредственно отражает распределение скоростей возбужденных атомов, подобно тому как чисто доплеровский коэффициент поглощения отражает максвелловское распределение скоростей поглощающих атомов. Между тем скорости возбужденных атомов не будут в данном случае распределены по

Максвеллу. Частота поглощаемого атомом излучения равна

V = "о 十 , где vz — проекция его скорости на направ- ление распространения излучения. Поэтому, чтобы атом мог поглотить квант частоты v】,его полная скорость должна быть не меньше

Значит, среди возбужденных атомов вовсе не будет таких, скорости которых были бы меньше

Анализ показывает, что функция распределения скоростей возбужденных атомов имеет в данном случае вид

'0при V < ^1?

d“2 =， 7n Г m(v2 — г?2)1/(5.26)

〃2 將 ехр」и dv при и > %

где 九2 — населенность верхнего уровня, dn2 ——число возбужденных атомов со скоростями от v до и + du, Т ——кинетическая температура атомов, находящихся в основном состоянии. Распределение скоростей (5.26) совершенно не похоже на максвелловское.

Чтобы ответить на поставленный выше вопрос о форме излучаемой объемом линии, нужно перейти от распределения полных скоростей атомов к распределению их проекций на луч зрения, который удобно принять за ось z. Выполняя это, находим, что нормированная функция распределения г-компонент скоростей имеет вид

=易ехр (寫 g exp (—舞严 (5.27)

где \v\=v1 при 也|<% и I矶=|%| при | 以| >% Очевидно, что интенсивность излучения частоты v2, испускаемого объемом вследствие резонансного рассеяния падающего на него излучения, определяется условием

人2厶=£^ /21^2/ (/) d/,

где v2 и vz связаны соотношением v2 = v0 + v0 —,

так что

呼)(5・28) где х2 — безразмерная частота, отвечающая v2. Населенность верхнего уровня определяется уравнением стационарности, имеющим в данном случае вид

〃2』21 =栽 ^1^12 出) или

4 тс

九2厶21 =砒九& Wo) /°」1 ,(5.29)

где /\ — интенсивность возбуждающего излучения, хх — безразмерная частота, соответствующая vx. Из (5.28) и (5.29) находим, учитывая (5.27),

人2=九 1瓦2 Wo) /： J (%1, %2)不3，(5.30)

где

r(/,也)=-产成(5.31)

и |х| — большее из чисел |/|, l&L Таким образом, форма линии описывается функцией г(хх, х2). Ее график (для хх = —0,5) приведен на рис. 1. Профиль линии совершенно не

Рис. 1. Функция перераспределения по частотам при чисто доплеровском уширении.Рис. 1. Функция перераспределения по частотам при чисто доплеровском уширении.похож на доплеровский и определяется частотой возбуждающего излучения. Чем больше |хх|, тем шире плосковершинная часть профиля.

Рис. 1. Функция перераспределения по частотам при чисто доплеровском уширении.

Рис. 1. Функция перераспределения по частотам при чисто доплеровском уширении.

Функция г(хх, %2)описывает преобразование квантов одних частот в кванты других, происходящеевэле-

ментарном объеме газа. В рассмотренном простейшем примере это преобразование вызывается эффектом Доплера. В более сложных случаях, как мы вскоре увидим, действуют и другие механизмы перераспределения квантов по частотам в пределах

линии. Однако во всех случаях, когда падающее на объем излучение изотропно, а функция распределения скоростей атомов, находящихся на исходном (нижнем) уровне, максвелловская, интенсивность рассеянного объемом излучения можно представить в виде (5.30). Конечно, функция r(%i，％2)не будет при этом, вообще говоря, даваться формулой (5.31).

Величина г (尤曾 х2) называется функцией перераспределения излучения по частотам, или просто функцией перераспределения, Во всех случаях, перечисляемых ниже, как и в частном примере, который только что обсуждался, функции перераспределения нормированы так, что

\ 厂(%i, %2)厶2 = а (/)• (5.32)

Физический смысл г (х» х?) определяется формулой (5.30) и состоит в следующем. Величина г (修,/) dx2 есть коэффициент поглощения излучения частоты хг с последующим испусканием квантов с частотами (х2, х? + dxj, рассчитанный на один поглощающий атом и выраженный в долях коэффициента поглощения в центре линии.

Вернемся опять к нашему примеру, немного его видоизменив. Заменим изотропное освещение объема направленным, а остальные предположения оставим в силе. Пусть воз・ буждаюЩее излучение распространяется в направлении ^. Понятно, что распределение скоростей возбужденных атомов в объеме будет теперь зависеть от направления. Сферическая симметрия, которая существовала при изотропном освещении, уступает место аксиальной, причем ось симметрии направлена по О]. Интенсивность рассеянного излучения должна зависеть не только от частоты, но и от угла с направлением первоначального распространения света. Вместо (5.30) будем иметь

人2 ®2)= ^1^12 (”0)/； (°h)厂(％工，％2； Т)爾， (5.33)

где 丫 ——угол между направлениями ш1 и ш2, так что

cos у = о)!-^. (5.34)

Функции г (%1, %2； Y)и г (%i, %2) связаны между собой очевидным соотношением

г (%i, /) = 2冗、厂(修，％2； Г)sin 丫^丫.(5.35)

о

Величину г (%i, %2； Y)будем называть функцией перераспределения излучения по частотам и направлениям. В том частном случае, когда естественная ширина линии считается равной нулю,

Г + 播一2%1 必 cos 丫

厂В，%2； Y) = ^― expетJ- (5・36)

Функция г (%], %2), соответствующая (5.36), дается формулой (5.31).

Существует дополнительный эффект, которым мы пренебрегали. Атом может рассеивать падающее на него излучение неизотропно. Обозначим через % (у) ^ вероятность рассеяния излучения в пределах телесного углайсо около направления, образующего угол у с первоначальным пучком. Функция % (у) называется индикатрисой рассеяния, или фазовой функцией. Выше принималось, что атомы рассеивают падающее на них излучение во все стороны с одной и той же вероятностью (изотропное рассеяние). Соответствующая индикатриса рассеяния

X(Y)= 1(5.37)

называется сферической. В действительности приходится иметь дело с дипольным рассеянием, которому отвечает рэлеевская индикатриса рассеяния:

%(丫)=告(1 +cos2 T).(5.38)

Строго говоря, это обстоятельство должно учитываться. Однако при исследовании процессов многократного рассеяния света в частотах линий отличием индикатрисы рассеяния от сферической, как правило, пренебрегают. Это не самое грубое из приближений, которые делаются в этой теории.

Отказ от предположения о нулевой естественной ширине •линии ведет к дальнейшему усложнению функций перерас-

пределения. Если по-прежнему рассматривается резонансная линия, а плотность газа настолько мала, что эффектами давления можно пренебречь, то и здесь перераспределение квантов по частотам вызывается только эффектом Доплера. Оказывается (В. Г. Левич [1], Л. Хеньи [1], В. Унно [1]), что в этом случае

(5.39)(5.39)(5.40)(5.40)厂\ tg* +arc t ГY)=新?(：0)而 ёхр(一产 csc2 i) X

(5.39)

(5.39)

(5.40)

(5.40)

X U (a sec e， ssec^ где

(5・41)(5・41)/ — I I — %1 + %2

(5・41)

(5・41)

a ——отношение естественной ширины линии к доплеровской, U (а, %) — функция Фойгта, определяемая формулой (5.8). При a = 0 формулы (5.39) и (5.40) переходят соответственно в (5.31) и (5.36).

Если эффектами давления пренебрегать нельзя, то картина меняется. До сих пор в системе координат, связанной с атомом, частоты кванта до и после рассеяния не отличались друг от друга, хотя с точки зрения наблюдателя они и были разными. Теперь же к эффекту Доплера добавляется новый механизм перераспределения по частотам. За время жизни атома в возбужденном состоянии расположение окружающих частиц, которые вызывают смещение уровня, успевает полностью измениться. Так, если плотность порядка 1012 см"3, то среднее расстояние между частицами 〜10一4 см. При температуре 104° К средняя относительная скорость вопород- ных атомов ^2 • 106 см!сек, так что путь ^10"4 см атом проходит за 5- 10~п сек. Поскольку время жизни атома в возбужденном состоянии 〜IO"®сек, никакой корреляции между расположением окружающих частиц в момент поглощения и вмоментизлучения ожидать не приходится. Хотя такая трактовка является очень приближенной и в действительности вопрос гораздо сложнее, основной вывод об отсутствии кор-

реляции между частотами поглощаемого и излучаемого кванта оказывается верным. Можно считать, что в системе координат, связанной с атомом, вероятность излучения кванта частоты у вслед за поглощением кванта частоты % не зависит от % и пропорциональна коэффициенту поглощения в частоте v2. Дополнительным механизмом перераспределения по частотам является эффект Доплера, влияние которого было довольно подробно рассмотрено выше. Результирующая функция перераспределения имеет очень сложный вид, и приводить ее мы не будем. Свойства этой функции исследованы недавно Дж. Финном [1]. На одно обстоятельство следует специально обратить внимание. Если |х/ и %丨 ве・ лики, то

г (%i, %2)℃ %；2•马(5.42)

Этот результат отражает отсутствие корреляции между частотами поглощаемого и излучаемого квантов. Он справедлив в той области, где ролью эффекта Доплера в перераспределении по частотам можно пренебречь.

До сих пор говорилось о резонансных линиях. Для линий субординатных серий положение еще сложнее. Во-первых, предположением о максвелловском распределении скоростей возбужденных атомов нужно пользоваться с осторожностью. В этой связи следует напомнить, что весь приведенный выше анализ базировался на том, что с кор ости атомов, которые находятся на исходном (нижнем) уровне, считались распределенными по Максвеллу. Во-вторых, так как время жизни атома на обоих уровнях конечно, ни один из них нельзя считать бесконечно тонким. Вледствие этого даже при рассеянии на изолированном неподвижном атоме частота кванта может меняться. Этот механизм перераспределения служил предметом многочисленных исследований. Он подробно обсуждается в книге Р. Вулли и Д. Стиббса [1], где имеются ссылки на более ранние работы (недавно Д. Хаммер [1] указал на то, что обычный подход не вполне корректен).

Главным объектом нашего исследования будут служить резонансные линии. Поэтому не будем разбирать подробнее вопрос о функциях перераспределения для линий субординатных серий. Это тем более оправдано, что на практике для них всегда используются приближенные выражения, причем делается то же приближение, которое вводится и для

резонансных линий (так называемое приближение полного перераспределения по частотам; см. ниже).

Всестороннее обсуждение вопроса о функциях перераспределения в различных случаях, в том числе вывод формул, приведенных выше без доказательства, а также исчерпывающую библиографию по этому вопросу можно найти в работах Д. Хаммера [1], [2].

Чрезвычайно громоздкий вид функций перераспределения настоятельно диктует необходимость ввести приближение, которое описывало бы основные черты процесса перераспределения излучения по частотам, отвлекаясь в то же время от несущественных деталей. Такое приближение впервые было предложено, насколько нам известно, Дж. Хаут- гастом [1], а затем и рядом других авторов. Это приближение, известное под названием приближения полного перераспределения по частотам при рассеянии, сводится к следующему. Во-первых, принимается, что зависимостью функций перераспределения от угла рассеяния можно пренебречь, т. е. всюду вместо г (/, х2; у) используется г (/, /)• Во-вторых, точную функцию перераспределения г (%i, х2) заменяют на приближенную, полагая

r(/, /)= 44(%1)a(%2), (5.43)

где а (%)——профиль коэффициента поглощения в рассматриваемой линии.

Это приближение является сейчас общепринятым. Оно положено в основу всего нашего дальнейшего изложения. Какие соображения можно привести в пользу этого приближения и когда оно обеспечивает разумную точность? Что касается пренебрежения зависимостью функций перераспределения от угла, то главный аргумент в пользу этого состоит в том, что обычно возбуждающее излучение падает со всех сторон. За исключением областей в непосредственной близости к границам занимаемого газом объема, интенсивность излучения, как правило, не очень сильно зависит от направления. Гораздо серьезнее второе приближение, выражаемое формулой (5.43). Оно базируется на двух фактах. Во- первых, если профиль коэффициента поглощения фойгтов- ский, то в лоренцовских крыльях, как это следует из

и (5.13),

加⑶〜*/,0产2, (5・44)

так что при достаточно больших |х/ и 阂|, согласно (5.43), 厂(打，小) ~ ^^ %2.%} (5.45)

В том случае, когда эффекты давления существенны, тот же результат получается и при использовании точной функции перераспределения [см. формулу (5.42)]. Во-вторых, в ядре линии, где перераспределение по частотам практически целиком обусловлено эффектом Доплера, некоторая доля квантов всегда будет рассеиваться с полным перераспределением по частотам. Это следует из формулы (5.36), показывающей, что для тех квантов, которые рассеиваются под прямым углом к направлению первоначального распространения 卜=^),

г (хг, /；冗/2 ) ос 靖*2 = md (%J а。(/)• (5.46)

Эти соображения позволяют надеяться, что в случае, когда эффекты давления играют существенную роль (Avc》 登A”r), предположение о полном перераспределении по частотам является разумным приближением для всех частот. Если же роль эффектовдавления мал а, то приближением полного перераспределения можно пользоваться лишь для центральных частот линии. При этом возбуждение атомов должно в основном производиться излучением, приходящим в пределах доплеровского ядра. Детальные расчеты подтверждают эти качественные соображения.

Дальнейшие сведения по вопросу о точности приближения полного перераспределения по частотам можно найти в монографии В. В. Соболева [1] и в статьях Р. Томаса [1], Дж. Джефриса и О. Уайта [1], А. Хёрна [1], Д. Хаммера [2, 3], Дж. Оксиниуса [2], М. Добровольного и Ф. Ингель- мана [1] и автора [1].

Согласно основной идее приближения полного перераспределения по частотам, доля энергии, излучаемая элементарным объемом при спонтанных переходах ^ ->/в интервале

частот(V, V + dv), равна 内冗(V)dv,

где функция %h(V)не зависит от механизма заселения верхнего уровня и пропорциональна коэффициенту поглощения kik(V). Условие нормировки

СО

\ eik(V)dv = 1(5.47)

о

вместе с соотношением (3.24) позволяет определить коэффициент пропорциональности. Оказывается, что

e/(v) =響 ^闻如(V)，(5.48)

ИЛИ

А

Gh(v) = *~^~8(%)・(5.48‘)

Это выражение для ^^(v) будет использовано в следующем параграфе при выводе уравнения переноса излучения в частотах спектральной линии.

В течение почти полустолетия в астрофизической литературе широко использовалось, да и сейчас еще иногда применяется приближение, в некотором смысле диаметрально противоположное приближению полного перераспределения по частотам. Оно состоит в постулировании неизменности частоты кванта при рассеянии, так что

г (%, %2)= а(%) 6 (/ — %),(5.49)

где 6 (%) ——дельта-функция. Если при полном перераспределении по частотам квант полностью «забывает» при рассеянии свою первоначальную частоту, то здесь, наоборот, он ее «помнит» и сохраняет.

Приближение (5.49) не имеет реальных физических оснований и должно быть оставлено. Результаты расчетов, основанных на этом приближении, находятся в прямом противоречии с рядом экспериментальных данных. Наоборот, эксперименты, специально поставленные с целью проверки применимости предположения о полном перераспределении по частотам, показали, что оно действи-

тельно является хорошим приближением (Л. М. Биберман и И. М. Гуревич [1]; А.①елпс [1]; П. Уолш [1]; А.①елпс и А. Маккобри [1]).

В заключение — замечание о терминологии. Рассеяние с полным перераспределением по частотам часто называют полностью некогерентным. Для обозначения рассеяния без изменения частоты широко используется термин «когерентное рассеяние». Эту терминологию вряд ли можно признать удачной — ведь речь идет не о фазовых соотношениях между падающей и рассеянной волнами, а об изменении частоты кванта при рассеянии. «Когерентное» рассеяние мы будем называть монохроматическим, а «полностью некогерентное» ——рассеянием с полным перераспределением по частотам. В последнем случае иногда используют также термин «некоррелированное рассеяние».

§ 1.6. Перенос излучения

Для решения уравнений стационарности нужно знать поле излучения в каждой точке среды. Оно определяется уравнением переноса излучения.

Будем сначала считать, что мы имеем дело с излучением в частотах некоторой спектральной линии, соответствующей переходу между нижним /-м и верхним ^-м уровнями. Предположим, далее, что в рассматриваемом интервале частот единственными существенными процессами взаимодействия излучения и вещества являются фотовозбуждения i f 左 и обратные переходы h f L Пусть /v (г, о) — интенсивность излучения частоты v в точке 尸 в направлении о. Тогда, по определению, /v (г, о) dv do d(o есть энергия, протекающая за единицу времени через перпендикулярную о площадку do в интервале частот (v, v + dv) в телесном угле d(o. Уравнение переноса описывает изменение интенсивности вдоль луча. В точке 尸+ о ds интенсивность в направлении о равна 人(г + sds, о). Разность

[Ц{г + о ds, о) — /v(r, о)] dvdod(o (6.1)

и характеризует изменение интенсивности на пути ds.

Это изменение обусловлено двумя причинами. С одной стороны, энергия затрачивается на возбуждение атомов. Если ktk(V)— коэффициент поглощения в линии в расчете на

один атом, за единицу энергияодин атом, за единицу энергия〃加泣(V)人(尸，S)dv do ds d3.〃加泣(V)人(尸，S)dv do ds d3.(6.2)(6.2)

один атом, за единицу энергия

один атом, за единицу энергия

〃加泣(V)人(尸，S)dv do ds d3.

〃加泣(V)人(尸，S)dv do ds d3.

(6.2)

(6.2)

находящийся в i-м состоянии, то на пути ds времени на возбуждение атомов расходуется

С другой стороны, атомы, находящиеся на верхнем 归-м уровне, сами излучают при переходах А -> f, что ведет к увеличению интенсивности. Энергия, излучаемая при спонтанных переходах h fi объемом do ds за единицу времени в пределах телесного угла ds, равна -^ А^пь do ds d(o. В приб

лижении полного перераспределения по частотам доля этой энергии, излучаемая в частотах (v, v + d”)， равна ^m(v) dv. Таким образом, вклад в первоначальный пучок за счет спонтанного излучения составляет

(6.3)(6.3)^^ eih(V)nh Aki dv do ds d3.

(6.3)

(6.3)

Необходимо еще учесть вынужденные переходы. Поле излучения представляет собой бозонный газ. Поэтому, согласно общим принципам квантовой статистики, для учета вынужденного излучения вероятность спонтанного перехода в некоторую ячейку фазового пространства координат и импульсов нужно умножить на 1 + М где N — число частиц (в данном случае квантов света) в этой ячейке. Если f — фазовая плотность квантов в пространстве (v,尸,о) (она связана с интенсивностью излучения /v соотношением /v = =chvf\ см. § 1.1), N ——число квантов в ячейке фазового пространства координат 尸 и импульсов ", то

/dvdl/d①= 22*,

где dF ——элемент объема пространства (г, р), т. е. dF = ="2 dp dV ds. Здесь р ——импульс кванта: р = hv/c\ множитель 2 учитывает два возможных состояния поляризации. Отсюда

или

(6.4)

Учет вынужденного излучения сводится поэтому к умножению вероятности спонтанного перехода на

"+ " = " + 詣^人♦

Таким образом, вследствие радиативных переходов 々 f i энергия первоначального пучка возрастает на

^^/t(v)nkAkdi + 誨Jg <o)]dvd^dsd^. (6.5)

Воспользовавшись (5.48), можем переписать (6.5) в виде

f "^林⑺”目‘ + 瓦够s)]dv而dsd(o・(6.6)

Собирая вместе выражения (6.1), (6.2) и (6.6), на основании закона сохранения энергии имеем

[А (г + s ds,(о)—人(г, о)] d” do ds =

2%唸

-kih （v）电人（尸，s） T—济百々/（V）拉九X

*j+福人（3*j+福人（3H dv 而 ds ds.H dv 而 ds ds.

*j+福人（3

*j+福人（3

H dv 而 ds ds.

H dv 而 ds ds.

Разлагая /v (г + sds, w) по формуле Тейлора, получаем

q0%(厂,s) I q a/У (厂，G))d/y (厂，s)

cos 必- +cos “ 一^- + cos 83=

2九

——kik (v) ni Iv (r, 0)) 4" у 总左(v)九左 X

X J+鳥人(尸,0))X J+鳥人(尸,0))(6.7)(6.7)

X J+鳥人(尸,0))

X J+鳥人(尸,0))

(6.7)

(6.7)

где cos 8» ——направляющие косинусы вектора о:

о = / cos дх + j cos 通 + 尼 cos 83.(6.8)

Уравнение (6.7) можно записать также в виде

s gradr Л (г, о) = —ktk(V)々厶(尸，о) +

+/ + 大人(尸，s) ,(6.9)

или, перегруппировывая члены в правой части, sgradr/v (尸,s) = — hk (v) \/v (尸,о) +

(69)(69).2万唸&

(69)

(69)

H声忌々/(V)几餡

Это.— уравнение переноса излучения в частотах спектральной линии (в приближении полного перераспределения по частотам).

Множитель при ——/、丿 в правой части уравнения (6.9') называется объемным коэффициентом поглощения в спектральной линии:

О〃с (")= kik (v)О〃с (")= kik (v)ghgh(6.10)(6.10)

О〃с (")= kik (v)

О〃с (")= kik (v)

gh

gh

(6.10)

(6.10)

Второе слагаемое в правой части (6.9') есть энергия, излучаемая в линии единицей объема в единичном интервале частот около частоты v за единицу времени в единичном телесном угле за счет спонтанного излучения. Эту величину называют коэффициентом излучения Е/ (v):

(6.И)(6.И)2九v?/c g：

(6.И)

(6.И)

£/ (v) = w 豆 kik (v) nk.

Отношение коэффициента излучения к объемному коэффициенту поглощения известно под названием функции источников S. Из (6.11) и (6.10) следует, что в приближении полного перераспределения по частотам функция источников не зависит от частоты и направления, являясь функцией точки. Она связана с населенностями уровней следующим образом:

S，%6 =寶説一「 (6/2)

Обозначая через Тех температуру возбуждения k-ro уровня относительно Z-ro, определяемую аналогично (2.8), можем переписать (6.12) в виде

S"e (尸)=8岂々(几Х (尸)),S"e (尸)=8岂々(几Х (尸)),(6.12‘)(6.12‘)

S"e (尸)=8岂々(几Х (尸)),

S"e (尸)=8岂々(几Х (尸)),

(6.12‘)

(6.12‘)

где Bv (Т)—функция Планка. Учитывая (6.10) и (6.12), уравнение переноса (69) можно представить в форме

o)gradr/v(r,①)=—ztk (v) [Zv (г, ш) — S泌(尸)].(6.13)

Получим теперь уравнение переноса излучения в непрерывном спектре. Изменение интенсивности на пути ds обусловлено, с одной стороны, ее уменьшением за счет потерь на фотоионизацию атомов и тормозное поглощение и, с другой стороны, возрастанием вследствие излучения при спонтанных и вынужденных фоторекомбинациях и тормозном излучении.

Если на объем do ds падает излучение с частотами (v, V + dv), распространяющееся в пределах телесного угла d(o около направления о, то энергия, затрачиваемая этим излучением за 1 сек на фотоионизацию атомов, равна

》hjc(V)"/А (尸，s)dvdodsd①，(6.14)

/=1

где kjC (v)——коэффициент поглощения за границей /-й серии, так что

kjC(V)= 0 при V < 匕ь(/ =1,2, ...).(6.15)

Потери энергии на тормозное поглощение составляют

nen+kcc (v)/v (г, о) dv do ds d(o,(6.16)

где kcc (v)——соответствующий коэффициент поглощения. Объединяя (6.14) и (6.16), находим, что полная потеря энергии равна

С

W kjC(V)九/八(尸，to) dv do dsds,(6.17)

где, как и в § 1.4, символ £ означает, что суммирование распространяется как на состояния дискретного спектра (/ = 1, 2, ....), так и на континуум (/ = с), причем пс = =пеп+.

Энергия, излучаемая при спонтанных фоторекомбинациях на у-й уровень в элементе фазового объема dv dV dco, лежащем около точки фазового пространства с

координатами (v,尸，cd), равна (dV = da cis)

hicg%e 。 &几十京 2(2Л/叭)% e " ё * 而 ds 面• (6.18)

Это выражение получается при предположении о максвелловском распределении скоростей электронов с температурой Те. Вывод его, не представляющий каких-либо трудностей, основан на использовании соотношения (3.31).

Энергия, излучаемая за счет спонтанных тормозных процессов, дается формулой (6.18), если в ней заменить j на с, приняв, что "сс = 0 и

gc =gc =十 2(2шп^Те)% g ^十 2(2шп^Те)% g ^(6.19)(6.19)

gc =

gc =

十 2(2шп^Те)% g ^

十 2(2шп^Те)% g ^

(6.19)

(6.19)

В соответствии с общим рецептом, для учета вынужден- ных переходов надо умножить (6.18) на 1 +'§^，、‘・ Суммируя получающиеся выражения по всем j, включая континуум, находим окончательно, что полная энергия, излучаемая при фото рекомбинациях и тормозном излучении, есть

九Vсh、)扪

辱2一［i +爲人(尸，同視⑺乜矶X gc

X dvdodsd①.(6.20)

Из (6.1), (6.17) и (6.20) следует, что

sgradrA (尸，s) = — 1s 財c (v)%/v (尸，⑴)+

/=1

+萼2-蘭［1 +蕊人(Г,叫м£航⑺部證(6.21)

/=1'

Уравнение (6.21) есть уравнение переноса излучения в непрерывном спектре для максвелловского газа.

Иногда оказывается удобным сгруппировать члены в правой части (6.21) несколько иначе, а также перейти от населенностей уровней п； к мензеловским параметрам bj, определяемым соотношением (2.5). Уравнение (6.21)

принимает тогда вид

e色£九'丿

ogradr/v(r, о) =— /v?+ £ kjc (v)~ ekTe 电一〕％) x /=1 gc

X人",电瓦(v)年e氾(6.2г)

причем 瓦=1.

Величина

e九v/c九、丿

夕(V)= &几十 n k/c(V)也 e 忆 ®・ 一 Г 不) (6.22)ёс

есть объемный коэффициент поглощения в непрерывном спектре. Функция ас (v) имеет скачки у границ серий (знаменитая «пила», схематическое изображение которой приводится во всех учебниках астрофизики).

Коэффициент излучения в непрерывном спектре ес (v) равен

% 3 旦e空

С) =』”е2 軌⑺纟产、 (6.23)

/=1

Отношение ес (夕)什 (v) есть функция источников в частотах непрерывного спектра:

сW)

&")=而-(6・24)

Пользуясь введенными только что обозначениями, приводим уравнение переноса (6.2У) к стандартной форме:

s gradMv (/<s) = — а”)“у (尸，w) — Sv(г)].(6.25)

Уравнение переноса необходимо дополнить граничными условиями. Пусть газ занимает объем, ограниченный выпуклой 'поверхностью. Будем считать, что эта поверхность не отражает падающего на нее излучения. В этом случае граничное условие имеет вид

人(尸о, s) =/?(尸о, s) при «-и<0,(6.26)

где 尸° — радиус-вектор произвольной точки граничной по-

верхности, п — орт внешней нормали к границе в точке “, /3 (尸о, ®) —— заданная функция, представляющая собой интенсивность излучения частоты ”，падающего извне на границу среды в точке г0 в направлении s. Если граница отражает часть падающего на нее излучения или если граничная поверхность не является выпуклой, условие (6.26) должно быть соответствующим образом видоизменено.

Строго говоря, мы были не вполне последовательны при выводе системы уравнений переноса, так как не учли взаимодействия непрерывного и линейчатого спектра. Примером процесса, обусловливающего такое взаимодействие, может служить фотоионизация возбужденных атомов линейчатым излучением того же элемента. Так, лайман-аль- фа кванты могут ионизовать водородные атомы, находящиеся в возбужденных состояниях. Существует еще одно предположение, которое мы молчаливо считали выполненным. Оно состоит в том, что газ должен быть однокомпонентным, т. е. состоящим из атомов только одного элемента. Более того, неявно предполагалось, что этот элемент представлен ионами всего двух стадий ионизации, причем ионы более высокой стадии ионизации находятся лишь в основном состоянии. Эти предположения, очевидно, строго выполняются только для газа, состоящего из чистого водорода.

Если отказаться от всех перечисленных сейчас предположений, то в уравнении переноса в частотах линии наряду с радиативными процессами, обусловленными переходами i W k, следует учесть потери на фотоионизацию атомов того элемента, который является основным источником поглощения в непрерывном спектре, а также излучение при фото- рекомбинациях, обусловленное этим элементом, и тормозное поглощение и излучение. Уравнение переноса в частотах линии принимает тогда вид

(ogradr/v(r, s)= — [^tk^+^I^r, s) +

+ 6% (v) S〃O + 蟲(6.27) где о^ и £，——коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре в частоте vzz；. В пределах линии их можно считать не зависящими от частоты.

Несколько слов о локальном термодинамическом равновесии. При ЛТР система уравнений стационарности и пе-

реноса излучения радикально упрощается. Решение уравнений стационарности для дискретных уровней и континуума дается формулами Больцмана и Саха. Поскольку населенности уровней известны, уравнения переноса оказываются дифференциальными уравнениями первого порядка. Рассмотрим немного подробнее ту предельную форму, которую они принимают в этом случае.

Так как населенности уровней больцмановские, объемный коэффициент поглощения в линии, определяемый формулой (6.10), равен

6%(V)= kik (v)电(1 — £ 砖).(6.28)

Функция источников (6.12) переходит в функцию Планка с температурой, равной локальной кинетической температуре:

S"。 (尸)=&〃。(北"))，(6.29)

так что уравнение переноса (6.13) превращается в

s grad「人(尸，о)) = — o/(v){/v (尸，s) —&决(北⑺)}・(6.30)

Аналогичным образом, коэффициент поглощения в непрерывном спектре (6.22) принимает вид

^(v)^nen+》％ ⑺萼 С防(1 一〔百， (6.31) /=1&

а функция источников оказывается равной функции Планка:

S：(r) = 5(北⑺)，(6.32)

так что вместо (6.25) имеем

(о gradr /Дг,(о)— бс (v){/v (г, о) — & (北"))}• (6.33)

Как следует из (6.30) и (6.33), при известной зависимости температуры от координат расчет интенсивности излучения сводится к простым в принципе, но подчас громоздким квадратурам. Так как при ЛТР температура может меняться от точки к точке, коэффициенты поглощения, вообще говоря, меняются при переходе от одного места к другому.

До сих пор кинетическая температура среды всегда считалась заданной. В действительности же она должна нахо-

диться из уравнения энергетического равновесия, которое следует решать совместно с уравнениями стационарности и переноса излучения. Если поглощение и излучение радиации являются единственными механизмами нагрева и охлаждения газа и его состояние не меняется с течением времени, то говорят, что такой газ находится в состоянии лучистого равновесия. Уравнение, выражающее условие энергетического баланса, называется в этом случае уравнением лучистого равновесия. Для одпокомпопентпого газа оно имеет, очевидно, вид

ОООО

\ [ос(V)+ N o〃e(v)] Jv(r)dv = \ [&с(V)+》&ik(v)]dv, (6.34) Оi, /со，，％

(，、/е)(i^k)

и, в частности, при ЛТР

R[g(v) + 2 6%")1｛人6-区(北(尸))｝九=0.(6.35) о

(«)

Даже при ЛТР совместное решение уравнений переноса и лучистого равновесия является довольно трудным. Приходится вводить разного рода приближения. Это есть центральная проблема «классической» теории непрерывных спектров звезд, исходящей из априорного предположения о существовании ЛТР в звездных атмосферах (см. Г. Мюнч [1]).

В дальнейшем мы всегда будем считать температуру известной. Однако если плотность газа мала и ЛТР нет, то и в этом случае положение оказывается очень сложным. В уравнениях стационарности есть члены, зависящие от интенсивности излучения в данной точке среды. С другой стороны, интенсивность излучения, которая должна находиться из решения уравнения переноса, в свою очередь зависит от населенностей уровней. Поэтому, если радиативные процессы играют существенную роль в создании населенностей уровней, расчет стационарного состояния сводится к совместному решению уравнений стационарности и переноса излучения. Это как раз и есть тот вопрос, которому, по существу, посвящена эта книга.

Глава 〃

ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Система уравнений стационарности и переноса излучения нелинейна. Ее решение сопряжено с огромными трудностями, полностью преодолеть которые до сих пор не удалось. Приходится ограничиваться довольно грубыми моделями. В таком положении естестиенно по возможности подробно исследовать все те частные случаи, когда можно получить точные решения уравнений в замкнутой форме.Таких случаев не так уж много. Все они относятся к сильно идеализированным ситуациям, подчас довольно далеким от тех конкретных задач, которые интересуют астрофизика, пытающегося интерпретировать наблюдения. Тем не менее, такие модельные задачи представляют большой интерес.

Во-первых, на примере простейших моделей можно выявить специфические черты проблемы в целом. Исследование модельных задач позволяет составить ясное представление о физической стороне дела и дает ту свободу ориентировки, без которой в более сложных случаях за деталями трудно было бы уловить главное. Во-вторых, модельные задачи, допускающие решение в явном виде, могут служить в качестве своего рода стандартов при оценке точности и границ применимости различных приближенных и численных методов. Наконец, в-третьих, эти задачи сами по себе все же представляют, как правило, известный практический интерес. Исследованию таких стандартных задач и посвящена бдль- шая часть этой книги.

Вполне естественно, что точное решение много легче получить в тех случаях, когда систему уравнений стационарности и переноса излучения можно линеаризовать. Имея это в виду, мы рассматриваем в настоящей главе линеаризованную форму этих уравнений.

Линейная теория переноса излучения в частотах спектральных линий является некоторым обобщением ставшей к настоящему времени уже классической теории монохроматического рассеяния. Поэтому изложение начинается с краткого обзора основных понятий феноменологической теории переноса излучения без изменения частоты. Затем подробно обсуждаются упрощения, возникающие в системе уравнений стационарности и переноса излучения в линейном случае. После этого показывается, что в некоторых случаях существенно нелинейные задачи можно свести к линейным. Наконец, в конце главы исследуются свойства ряда специальных функций, играющих важную роль при изучении стационарных состояний газа, находящегося в поле собственного излучения.

Монохроматическое рассеяние

В классической теории многократного рассеяния света делаются два основных предположения. Во-первых, считается, что воздействием излучения на среду, в которой оно распространяется, можно пренебречь. Тем самым обеспечивается линейность уравнения переноса. Во-вторых, предполагается, что взаимодействие излучения и вещества не приводит к изменению частоты квантов. Это предположение определенно не выполняется в отношении многократного рассеяния в частотах линий (см. § 1.5). Однако существует множество задач, где оно является очень хорошим приближением к действительности. В качестве примера можно указать на проблемы многократного рассеяния света на частицах, размеры которых сравнимы с длиной волны излучения. Условие применимости предположения о неизменности частоты состоит в том, что в спектральном интервале, охватывающем возможные частоты кванта как до, так и после рассеяния, оптические свойства среды меняются мало. В этом случае их зависимостью от частоты можно пренебречь. Очевидно, что частота кванта не играет тогда никакой роли. Поэтому можно принять, что частоты всех диффундирующих квантов совпадают, т. е. говорить о рассеянии монохроматического излучения без изменения частоты.

Теория многократного рассеяния света чрезвычайно близка к теории переноса нейтронов. Когда изменения энер-

гии нейтронов при рассеянии на ядрах малы (тепловые нейтроны), зависимость сечения рассеяния от энергии можно не принимать во внимание. В теории переноса нейтронов говорят в этом случае о приближении постоянных сечений, или одногрупповом приближении. Задачи о переносе нейтронов в этом приближении математически ничем не отличаются от проблем монохроматического рассеяния света. Поэтому, хотя мы будем говорить о квантах света и пользоваться терминологией, принятой в теории рассеяния излучения, все результаты этого параграфа (а также гл. III) в равной мере применимы и к нейтронам.

Оптические свойства элемента объема среды описываются в теории монохроматического рассеяния тремя величинами—— объемным коэффициентом поглощения о, вероятностью выживания кванта при рассеяния 九 и индикатрисой рассеяния % (у). Эти величины определяются следующим образом. Пусть на единичный объем в единичном телесном угле около некоторого направления падает излучение интенсивности / (индекс V в теории монохроматического рассеяния можно всюду опускать). Тогда о/ есть лучистая энергия, испытывающая взаимодействие с веществом за единицу времени. Это взаимодействие может быть двух типов. Часть энергии претерпевает истинное поглощение, т. е. переходит в другие формы энергии (например, в тепло). Обозначим эту энергию через % /. Величину % называют объемным коэффициентом истинного поглощения. Другая часть излучения первоначального пучка в результате взаимодействия с веществом лишь изменяет направление своего распространения, сохраняя первоначальную частоту. Обозначим эту, как говорят, рассеиваемую энергию через as /. Величина as называется объемным коэффициентом рассеяния. Очевидно, что

о =仇 + %•(1.1)

Отношение

a = - = —■— есть вероятность выживания кванта при рассеянии, или альбедо однократного рассеяния (другие часто встречающиеся в литературе обозначения той же величины: (о0,

Зо, 1 ——8）. Если 九=1, то говорят, что в среде происходит чистое, или консервативное, рассеяние. Что касается индикатрисы рассеяния %（у） （обозначаемой также часто через %（丫）， Р （у） и т. д.）, то, как уже говорилось в § 1.5, она представляет собой плотность вероятности рассеяния на угол у с первоначальным направлением. Ее нормировка:

^\%（ 丫）厶=1.（1.3）

Среда может не только поглощать, но и испускать лучистую энергию. Энергия, излучаемая единицей объема за единицу времени в единичном телесном угле, называется коэффициентом излучения 8. При монохроматическом рассеянии коэффициент излучения 8, как и интенсивность /. не обязательно рассчитывать на единичный интервал частот. Их можно относить к любому спектральному интервалу, в пределах которого оптические свойства среды не зависят от частоты.

Коэффициент излучения £ （г, о） является, вообще говоря, функцией точки и направления и складывается из двух частей. Во-первых, объем рассеивает часть падающего на него со всех сторон излучения. Вклад в коэффициент излучения 8 （尸，о）, обусловленный рассеянием, равен, очевидно, 寫/（尸,d）N（丫） dd，

где 丫 ——угол между направлениями о и о/. Во-вторых, в объеме могут быть внутренние источники излучения, мощность которых не зависит от интенсивности падающего на него излучения и считается заданной （первичные, или истинные, источники）. Обозначая их вклад в коэффициент излучения через £* （г, о）, имеем

£（，8）= ^У（г，»）% （丫）"」+ £* С ®・（1・4）

Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения есть так называемая функция источников:

S"，s）=*?・（L5）

Если индикатриса рассеяния сферическая, т. е. % （丫） = 1, а истинные источники изотропны, так что е* = е* （г）, tq

функция источников не зависит от направления п равна

S(尸)=^"(尸，")dQ’+SF尸)，(1.6)

где S* — первичная функция источников:

S*(1.7)

Уравнение переноса излучения получается, как всегда, из рассмотрения изменения интенсивности вдоль луча. При монохроматическом рассеянии оно имеет вид

о)g「ad「/ = — о/ + £,(1.8)

или

sgrad「/ = —。(/― S).(1.9)

По форме это уравнение не отличается от (1.6.13) и (1.6.25). Однако в (1.9) коэффициент поглощения о считается заданным, тогда как величины Gik (v) и o' (v) зависят от населенностей уровней, которые, вообще говоря, заранее неизвестны.

При сферической индикатрисе рассеяния и изотропии первичных источников имеем из (1.9), учитывая (1.6), ш gradr / (尸，о)=

=一。(尸)u(尸，0))-A- V", ")do/ - S* (r)]. (1.10)

В дальнейшем, чтобы избежать излишних усложнений, мы будем иметь дело исключительно с уравнением (1.10). Граничное условие, при котором должно решаться это уравнение, имеет вид

/ "о, s) =/° (尸о,硝 при <о я <0,(1.11)

где г0 ——произвольная точка граничной поверхности, п —— орт внешней нормали к границе в точке г0- Однако, не ограничивая общности, это условие можно заменить па

/(Го, о) — 0 при о・〃〈0.(1.12)

Действительно, если /° (г, s)——интенсивность излучения в точке 尸 в направлении о, пришедшего непосредственно от внешних источников (и ослабленного средой), то можно

ПОЛОЖИТЬ

S*(r) = 3 +負 V°(「，“)dd (1.13) и решать уравнение переноса (1.10) при граничном условии (1.12). При этом для получения полной интенсивности излучения в данной точке к / (г, о) надо добавить /° (尸，о)). Величины /° и / называют соответственно интенсивностью прямого и диффузного излучения.

В случае, когда коэффициент поглощения не зависит от координат (о = const), уравнение переноса (1.10) вместе с граничным условием (1.12) эквивалентно следующему интегральному уравнению для функции источников:

S ⑺=° 負、ехР(：?#1)s(Q 〃，+ S* (г), (1.14) где интегрирование распространяется на весь объем, занимаемый средой. Уравнение (1.14) называется уравнением Пайерлса (его вывод можно найти, например, в книге Б. Дэвисона [1]; см. также §2.4). Если функция источников найдена, то, как видно из (1.9), решение уравнения переноса сводится к квадратурам.

Когда среда и распределение первичных источников излучения обладают той или иной симметрией, уравнения (1.10) и (1.14) упрощаются. Однако мы немного отложим рассмотрение этих упрощений. Это позволит особенно ясно увидеть аналогии, существующие между задачами о монохроматическом рассеянии и проблемами линейной теории переноса излучения в спектральных линиях.

Уравнение переноса в частотах линий

Простейшая задача о расчете стационарного состояния газа, находящегося в поле собственного излучения, состоит в следующем. Изотермический газ, состоящий из атомов, имеющих только два дискретных уровня, занимает некоторый заданный объем. Плотность газа и электронная концентрация являются известными функциями координат. Газ не освещается излучением извне и имеет достаточно низкую температуру, так что средняя энергия теплового движения частиц много меньше энергии возбуждения верхнего

уровня: kT << hv12. Требуется найти степень возбуждения и рассчитать поле излучения в линии.

Очевидно, что при сделанных предположениях населенность возбужденного уровня п2 во всех точках будет мала по сравнению с концентрацией атомов в основном состоянии 〃i. Действительно, если изотермическая среда бесконечна, она находится в состоянии термодинамического равновесия. Тогда населенности уровней следуют формуле Больцмана. Поскольку 九”12 発 hT, даже в бесконечной среде степень возбуждения оказывается очень низкой. Если же газ занимает ограниченный объем, то она будет, разумеется, еще ниже. Поэтому полная концентрация атомов 〃 = %i 十 /г2 c высокой степенью точности равна населенности нижнего уровня: п = 〃1. Далее, в бесконечной среде интенсивность излучения в линии была бы планковской, и множитель 1 +g^/v

с точностью до членов порядка е kT был бы равен единице. В ограниченной среде эта величина еще ближе к единице, так как часть излучения выходит из среды, и интенсивность излучения меньше равновесной. Значит, процессами вынужденного излучения можно пренебречь. Поэтому уравнения стационарности и переноса излучения имеют вид

”2 (41 + 几е °21)=九I (当2」12 + 九е&_2)，(2.1)

sgrad/v (尸，砌=2 (v)(尸瓦2(v)九2・(2.2) с 62

Пользуясь соотношениями между эйнштейновскими коэффициентами, выражая С12 через C2i и вводя явное выражение для </12, даваемое формулой (1.3.25), имеем вместо (2.1)

九2 (4 21 + 九eC^i)—

oo

。/iV12

(2.3)(2.3)三量/9най-仃пес21

(2.3)

(2.3)

12 j %2") dv'о

ПоложимПоложим九=41+ 〃е&1，

Положим

Положим

S =%2竺竺.

(2.4)(2.5)(2.4)(2.5)Величина % есть вероятность того, что вслед за возбуждением атома совершится радиативный переход вниз. Иначе говоря, % есть вероятность выживания кванта при рассеянии. Величина S представляет собой функцию источников при пренебрежении вынужденным излучением.

(2.4)

(2.5)

(2.4)

(2.5)

0 九0 九J 62") dV \ 1、),(г, d)dd оJ 62") dV \ 1、),(г, d)dd о8У 012 ")W о8У 012 ")W о+ S*,+ S*,(2.6)(2.6)С учетом (2.4) и (2.5) условие стационарности (2.3) принимает вид

0 九

0 九

J 62") dV \ 1、),(г, d)dd о

J 62") dV \ 1、),(г, d)dd о

8

У 012 ")W о

8

У 012 ")W о

+ S*,

+ S*,

(2.6)

(2.6)

где

О 九 V12

(2.7)(2.7)一九)

(2.7)

(2.7)

и о】？ (v)——объемный коэффициент поглощения в линии:

012 (А —瓦2(V)九I •(2・8)

Уравнение переноса переписывается в форме

s grad/(尸，s) = — J? (v)[人(尸，s) — S (r)].(2.9)

Подставляя (2.6) в (2.9), приходим окончательно к следующему линейному интегро-дифференциальному уравнению переноса:

о)gradr/v(r, s)=—邑2 (v) X

XXУ 012 (、dv，\ 1V，(г, »)dd((…)— 3 0*У 62(")加 оУ 012 (、dv，\ 1V，(г, »)dd((…)— 3 0*У 62(")加 оS*")S*")(2.10)(2.10)

X

X

У 012 (、dv，\ 1V，(г, »)dd

((…)— 3 0*

У 62(")加 о

У 012 (、dv，\ 1V，(г, »)dd

((…)— 3 0*

У 62(")加 о

S*")

S*")

(2.10)

(2.10)

Подчеркнем, что в рассматриваемом случае коэффициент поглощения в линии известен, так как п± можно принимать равным полной концентрации атомов /г, которая считается заданной. Уравнение переноса (2.10) должно решаться при граничном условии

(2.Н)(2.Н)/(尸о, s) = 0 при ш-п <； 0,

(2.Н)

(2.Н)

выражающем отсутствие излучения, падающего на среду извне. Если интенсивность излучения найдена, задача решена, так как уравнение стационарности позволяет тогда сразу же получить и населенность верхнего уровня.

Для линеаризации уравнения переноса предположение о том, что атом имеет только два уровня, не является обязательным. Если можно пренебречь вынужденным излучением и считать населенность нижнего уровня заданной, линейность уравнения переноса будет обеспечена. В самом деле, пусть задача состоит в расчете поля излучения в линии, возникающей при переходах между i-м и 力-м уровнями. При пренебрежении вынужденным излучением уравнение переноса излучения в частотах линии (1.6.9) принимает вид

о gradrZv (г,о) =—kik(V)щЦ (г, s)十？^理力注(v)九力，(2.12)

а условие стационарности может быть записано в форме

rik(Aki + DO = niBikJik + &,(2.13)

где rikDk — число переходов с fe-го уровня за единицу времени всеми возможными способами, кроме радиативных переходов А -> z, а £\ ——число переходов на 力-й уровень за счет всех процессов, за исключением фотовозбуждений i -> 瓦 Повторяя дословно рассуждения, использовавшиеся при выводе (2.10), из (2.12) и (2.13) получаем следующее линейное уравнение переноса:

оgradr /v (г, о) = — о(V)X

f[ /丿(г, ») ds'

XX(2.14)(2.14)/v(i)—豕。一—S*6

X

X

(2.14)

(2.14)

гдегде4/и

где

где

4/н + Dh '

竺^生 е/С

c? g丸勺(4/〃 +以)

(2.15)(2.16)(2.15)(2.16)Так как населенность нижнего уровня считается заданной, коэффициент поглощения о (v) = kih (v) nt известен. Сложнее обстоит дело с величинами X и S*. Через посредство Dh и Ek они зависят, вообще говоря, от населенностей всех уровней, кроме fe-го, а также от полей излучения во всех линиях и континуумах, кроме поля излучения в линии i ^k. В некоторых случаях, однако, и эти величины можно считать известными (см., например, [2]).

(2.15)

(2.16)

(2.15)

(2.16)

Повсюду в этой книге мы будем считать, что зависимость коэффициента поглощения в линии от частоты во всех точках среды одна и та же. Тогда можно положить

о(V)= о (у。)а (%) = ntkik (у。)а (х), (2.17)

причем профиль коэффициента поглощения а (х) не зависит от координат. Если рассматривается линия, уширение которой обусловлено эффектом Доплера, то это предположение эквивалентно тому, что среда считается изотермичной (так как с изменением температуры изменяется доплеровская ширина, в единицах которой измеряется безразмерная частота %). Если же уширение линии целиком обусловлено столкновениями (лореыцовский профиль), то должна быть постоянной и плотность. Если существенны оба механизма уширения линии одновременно (фойгтовский профиль), то предположение о независимости коэффициента поглощения от координат также означает, что как температура, так и концентрация частиц, вызывающих эффекты давления, должны быть всюду в среде одни и те же.

Подставляя (2.17) в (2.14), получаем

cd grad「/ (г, о), %) = — о (v0)a (х) / (尸，cd, x)十

+。(v°)4口 (x) \x，)+

—"+o“o)a(x)S*6,(2.18)

ИЛИ

о gradr / (г, о),х) = —6(v0)a(x) [Z(r, о), х) — S (г)], (2.19) где S (尸) 一 функция источников в линии

S") =^4 $(x(£)d』V(j“，/)d“ 十 S*(r), (2.20)

а Л ——нормировочная постоянная:

Л \ а (%) dx = 1.(2.21)

Хотя в качестве переменной, описывающей частоту, мы используем теперь %, нормировка интенсивности осталась прежней, так что / (尸,о, %) dods dv есть энергия, протекающая за 1 сек через перпендикулярную к направлению луча площадку do в пределах телесного угла ds в интервале частот (V, V + dv), где V = “о + xAv.

В тех случаях, когда необходимо учитывать поглощение в непрерывном спектре, уравнение переноса излучения в частотах линии принимает вид [см. формулу (1.6.27)]

sgrad，/(尸，о, %) = — о(Vo)a(x) [/(г, s, %) — S (r)]—

-^[Цг^.х^8с{г)], (2.22)

где Sc (尸)一функция источников в непрерывном спектре:

S' = = .(2.23)

Заметим, что функции S* и S，описывают распределение «истинных» источников излучения в данной линии. Таким образом, как уже говорилось в § 1.5, всякий раз, когда ра- диативный переход k -> i происходит не непосредственно вслед за фотовозбуждением i f k собственным излучением среды в линии, считается, что квант пришел от первичных источников.

Уравнение переноса (1.10), описывающее изотропное монохроматическое рассеяние, является частным случаем уравнения (2.18). Действительно, будем считать, что

профиль коэффициента поглощения прямоугольный, так что

(2.24)(2.24)i 1 при |%| & 1,“(%) - X о при |х|>1.

(2.24)

(2.24)

Из (2.18) тогда следует, что в пределах линии (в данном случае при |х|《1) интенсивность излучения не зависит от частоты, а само уравнение (2.18) превращается в (1.10).

§ 2.3. Случаи плоской и сферической геометрии

Если среда обладает симметрией того или иного рода, уравнение переноса упрощается. Рассмотрим случаи плоской и сферической геометрии.

Плоская геометрия. Когда коэффициент поглощения в центре линии ^(vq), коэффициент непрерывного поглощения

Рис. 2. Обозначения, используемые в уравнении переноса при плоской геометрии.Рис. 2. Обозначения, используемые в уравнении переноса при плоской геометрии.о、 вероятность выживания кванта при рассеянии % и функции S* и S： описывающие распределение источников, зависят только от одной пространственной координаты (например, г), система обладает плоской симметрией. Интенсивность излучения / является тогда функцией г, частоты и угла между положительным направлением оси г и направлением распространения излучения. Этот угол,

Рис. 2. Обозначения, используемые в уравнении переноса при плоской геометрии.

Рис. 2. Обозначения, используемые в уравнении переноса при плоской геометрии.

который в предыдущей главе (в§1.1и 1.6) обозначался через 8з, будем впредь обозначать просто через й (рис. 2). Вместо (2.22) имеем тогда, учитывая (2.20),

cos 8 '"吟乱=-[0伍)a (%) +0，/ (z,仆,x) +

十 0 Go)—^-4a(%) \ a(x')d『\/(£O,x，)dW~h

十。(v0) a (%) S* (z) + ℃S《z) • (3.1)

Положим

Zi2。

т = \。(Vo) dzr = kik (v0) \ nt (z‘)dzf(3.2)

Z2

и назовем эту величину оптическим расстоянием в центре линии от плоскости г = %. Величина т представляет собой расстояние от плоскости г = г0, измеренное в длинах свободного пробега кванта, имеющего центральную частоту ли- нии(при 0c — 0). Полагая 卩=cos8, имеем окончательно 卩打需/ _ [a⑶+ R] /(%卩,%)一

ОО1

^—4а (%) \ a (xz) dxf \ / (тг, р/,/) dp/ —

—а (%) S* (т) — BS'(t),(3.3)

или

卩ф = a® [/(%卩,%)一5")]十

+ ^[I{Xl^x)-Sc^],(3.4)

где

ОО1

S ⑺=-^- Л § а (/)" \ / (% 卩,,/)如,+ S* ⑺(3.5) —8—1

и р — отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения в центре линии:

В =・(3.6)

1о (Vo)、丿

Получим теперь граничные условия, которым должна удовлетворять интенсивностьизлучения. Если интеграл

% =j <з (v0) dzf(3.7)

сходится, то говорят, что среда имеет конечную оптическую толщину т0. Чтобы не иметь дела с отрицательными оптическими расстояниями, систему отсчета т удобно

определить условием

工=$。伍)壮，(3.8)

в формуле (3.2) выбрать г0 = оо. Величина т, называемая в этом случае оптической глубиной, изменяется от 0 до т0, а граничные условия, выражающие отсутствие падающего на среду излучения, имеют вид

/(О,卩，х) = 0прин<0, I

/ (%,卩,х) = 0при卩〉0. ,( •)

Если среда освещается внешним излучением, уравнение переноса можно по-прежнему решать при граничных условиях (3.9), переопределив соответствующим образом функции, описывающие распределение первичных источников и отделив поля прямого и диффузного излучения (см. § 2.1).

Считая функцию источников S (т) известной, решение уравнения (3.4) при граничных условиях (3.9) можно написать сразу же:

/ (т,卩,%) = — \ [а (%) S (Y) + В В) Sc (Y)] exp I —

^[а(х)В —1)+, B(Z)山]* (卩<0), (3.10)

/ (% 卩，％) = \ [а (%) S (Y) + в (Y) S' В)] x

X ехр]--^[а(х) ^-х) + [ 3(0^1 J-^(P>0). (3.11)

Эти формулы дают лишь формальное решение уравнения переноса, так как функция источников S (т), как видно из (3.5), сама выражается через интенсивность.

Если интеграл (3.7) расходится, а (3.8) сходится при любом z#— оо, то среду называют полубесконечной, или слоем бесконечно большой оптической толщины. Систему отсчета т и в этом случае удобно определять формулой (3.8). Первое из граничных условий (3.9) остается при этом в силе,

а второе заменяется требованием, чтобы при т0 = 。。 интеграл (3.11) сходился для всех х. Наконец, если при любом г интегралы

\o(vo)d?‘ и \ °(v())dz'

расходятся одновременно, то среду можно считать оптически бесконечной.

Подавляющее большинство работ по теории переноса излучения в спектральных линиях посвящено решению уравнения (3.3) при тех или иных дополнительных предположениях. Чаще всего принимается, что величины 九 и [3 не зависят от оптической глубины. Кроме того, так как обычно В У 1, часто полагают р = 0. Тогда уравнение переноса принимает вид

卩 刃(^：，%) = a(%)/(% …)——与 Лa (%) X

X \ a(『)dH、/(т\ р/,/)dp/ — a(x)S* (i).(3.12)

Его формальное решение записывается так:

/（% 卩，％）=—，SB）"

0

（＜-.）dxf

" a（%）号

(卩 <0),

(3.13)

/ (Т, №%) = \ s(#)e

卩оф）к

(心 0).

(3.14)

В частности, интенсивность излучения, выходящего через границу т = 0, равна

7(0, ^x) = \S^)e 卩 а")普 (卩〉。)・(3.15) 0卜

Физический смысл этой формулы становится совершенно очевидным, если для S (т) подставить выражение (2.5) и от интегрирования по Y перейти к интегрированию по

геометрической глубине г\ После небольших преобразований получим

/(0,卩，％) —【^ 左厂 \ 4倫(z)c'.

— CO产

(3.16)

Уравнение переноса, описывающее изотропное монохроматическое рассеяние в средах плоской геометрии, как это следует из (1.10), имеет вид

1

卩^^ =/(…)一-\/(% 卩')W _ S* ⑴，(3.17) где т ——оптическая глубина, определяемая соотношением

8

т =卜(/)〃•(3.18)

Для слоя оптической толщины

То, не

освещаемого

извне

формальное решение (3.17) имеет вид

/",卩)= —卩

0

-dxr

(卩 с0),

(3.19)

SТ，—-

/(小2)=^S (T7) 。 р

dx

(2>0).

(3.20)

Многие методы, развитые для решения уравнения (3.17), можно с успехом применить и к уравнению (3.12). Поэтому следующая глава целиком посвящена исследованию проблем монохроматического рассеяния. В частности, в ней обсуждается и решение уравнения (3.17). В последующих главах та же методика используется для решения уравнения переноса в частотах линий. В главах IV —— VI изучается уравнение (3.12). В гл. IV принимается, что среда бесконечна, в гл. V и VI изучается полубесконечная среда. В гл. VII условие 0 = 0 заменяется более слабым требованием р = const. Наконец, в гл. VIII рассматривается случай конечных т0, причем особое внимание уделяется исследованию поля излучения в оптически толстом слое

Сферическая геометрия. Пусть оптические свойства среды, определяемые величинами X, о (v0) и ас, и мощность источников зависят только от расстояния г от некоторой точки, которую мы примем за начало координат. В силу симметрии интенсивность должна зависеть только от частоты, от г и от -&, где 心一угол между радиусом-вектором точки и направлением излучения. Имеем в этом случае

= cos・(3.21)

Обозначая 卩=cos仆，из (2.22) и (3.21) находим

T喏包+土产包嘅,")=7。仇)a⑴十

1

卄 6 ] / (r,卩,X)+0(%) -V- 4a ")X

X \ oc(£)dx，/ (^,н\ x^d^ + б (v0) а (%) S* (г) + <5CSC (г).

—8—1

(3.22)

Если о (v0) и ас не зависят от г (однородная среда), то, вводя оптическое расстояние в центре линии

工=о Wo",(3.23)

получаем

卩 也弟х) • + 士产 》吟『")=一 [a(%) + В1 / (%卩，盼+

H^—Лa (%) \ a (%9 dxf \ / (t，卩'，%') dp/+

+ ol(x)S^ (т) -\-^Sc (т).(3.24)

При тех же предположениях о симметрии при монохроматическом рассеянии и р = 0 уравнение переноса имеет вид и 8/",卩)丄[_卩2 a/ (T,卩)_ " ае 寸 Т 8卩 一

、1

干一/(工,n)+- / (% W)W + Si："),(3.25)

Уравнение (3.24) для бесконечной среды с 九 =const и 6 = 6 изучается в гл. IV. В гл. VII результаты обобщаются на случай р = const / 0.

В заключение — замечание о способе выбора оптических расстояний. Мы пользуемся оптическими расстояниями т, измеренными в центре линии. Иногда употребляют оптическое расстояние т, связанное с т соотношением

(3.26)(3.26)т = Ах.

(3.26)

(3.26)

Величина т обладает тем достоинством, что не зависит от формы профиля. В самом деле, при пренебрежении вынужденным излучением т =丸〃° (v0) Nh где Nt — число атомов на нижнем уровне на луче зрения, kik (v0)——коэффициент поглощения в центре линии в расчете на один атом. Воспользуемся известным соотношением (см. § 1.3)

\ (у) dv =―Виг. b

Так как а (%)= 財左(v)/財府(v0), можем написать

右〃с (”0)\ а (%) d” =3〃е,

о

откудаоткудаи поэтомуи поэтому用以力4hAv用以力4hAvBtN.BtN.(3.27)(3.27)

откуда

откуда

и поэтому

и поэтому

用以力

4hAv

用以力

4hAv

BtN.

BtN.

(3.27)

(3.27)

Таким образом, т, в отличие от т, зависит только от числа поглощающих атомов и атомных характеристик (а также от характерной ширины линии Av), но не от формы профиля. Использование т вместо т необходимо в тех случаях, когда нужно сравнивать между собой результаты, полученные для различных коэффициентов поглощения (скажем, для фой广 товских профилей с различными значениями а).

Интегральные уравнения,выражающие условие стационарности

В линейном случае решение интегро-дифференциального уравнения переноса в частотах линии, как уже отмечалось, эквивалентно определению населенности верхнего уровня 九冗 в функции координат. Действительно, зная интенсивность излучения, по формуле (2.20) легко найти функцию источников S (尸)или, что то же самое, величину nk (г). Теперь мы покажем, что для нахождения п^ может служить также интегральное уравнение, непосредственно выражающее условие стационарности. Решение этого уравнения дает возможность найти функцию источников. После этого легко рассчитать и поле излучения в среде.

Будем исходить из уравнения баланса (2.13), которое для удобства выпишем еще раз:

乙= &BmJ 订? + Eh・(4.1)

Обозначим через nk населенность 々-го уровня при отсутствии фотовозбуждений i f 々.Она определяется условием стационарности

加(4, + 力)=&•(4.2)

Заметим, что из (4.2) и (2.16) следует, что

Этой формулой определяется физический смысл функции S*. Из (4.1) и (4.2) имеем, учитывая обозначение (2.15),

В _

人(尸)=九期(尸)高'7", (尸)+加(尸).(4.4)

Член, описывающий фотовозбуждения i -> k, можно получить в явном виде. Правда, это требует определенной внимательности.

Пусть dV ——элемент объема около точки 尸，a dVr ——элемент объема около г (рис. 3). Радиативные переходы i -> k в dV происходят под действием излучения, приходящего в этот объем из всех точек среды. Подсчитаем вклад, который

дает излучение объема dVf. В dVr за единицу времени в интервале частот (v, v + dv) в линии k -> i излучается энергия [hvikAkitik {rf) А а^ + 4лес (г7)] dv dU- Обозначим через do проекцию объема dV на плоскость, перепендикуляр- ную к прямой, соединяющей точки гиг'. Объем dV виден на

Рис. 3. К выводу интегрального уравнения, выражающего условие стационарности.Рис. 3. К выводу интегрального уравнения, выражающего условие стационарности.

Рис. 3. К выводу интегрального уравнения, выражающего условие стационарности.

Рис. 3. К выводу интегрального уравнения, выражающего условие стационарности.

dVf под телесным углом do |г ——г' |~2. В этом телесном угле за 1 сек в частотах от v до v + dv в dVf излучается энергия

4л I г ♦— rz I'4л I г ♦— rz I'^hvikAkinu (г') Л ^^~ 丄 4冗呼(尸')]dwdo dV'.^hvikAkinu (г') Л ^^~ 丄 4冗呼(尸')]dwdo dV'.(4.5)(4.5)

4л I г ♦— rz I'

4л I г ♦— rz I'

^hvikAkinu (г') Л ^^~ 丄 4冗呼(尸')]dwdo dV'.

^hvikAkinu (г') Л ^^~ 丄 4冗呼(尸')]dwdo dV'.

(4.5)

(4.5)

На пути от 尸'до 尸 энергия частично поглощается, а частично рассеивается средой во всех направлениях, так что до dV доходит не вся эта энергия, а лишь ее доля

ехр{- а(%)т(r,尸‘)一于(尸，尸)}, .(4.6)

гдет (г,尸') ——оптическое расстояние между точками гиг' в центре линии, т. е.

S

с (尸，)=kik (у^гц^г^й^,(4.7)

о

причем s = \г —— 尸‘I и интегрирование ведется по прямой, соединяющей г и 尸.Аналогичным образом, т°(尸,尸')——оптическое расстояние между 尸 и 尸‘ в непрерывном спектре.

Из всей падающей на объем dVэнергии, излучаемой объемом dVf в интервале частот (% v + dw), в нем поглощается доля

标(W)) %•(尸)а (х) ds, (4.8) где ds —— высота объема dV в направлении распространения излучения.

硏竺7 0（尸）总% （0 ［例2硏竺7 0（尸）总% （0 ［例2Перемножая (4.5), (4.6) и (4.8), интегрируя по всем частотам и учитывая, что da ds = dV, получаем полную энергию, поглощаемую в dV из излучения объема dV в частотах линии k I:

硏竺7 0（尸）总% （0 ［例2

硏竺7 0（尸）总% （0 ［例2

(尸，尸')nk {r^Aia +

+ 例1(尸，(4.9) ГДО

Mfl (r, rz) = Л \ a〃 (无)exp {—a (%) t (尸,r^ — x^r, rf)}dx

—8

(〃=1,2).(4.10)

Наконец, деля эту энергию на h»m и на dU и интегрируя по всему объему среды, получаем полное число фотовозбуждений 片一＞ 々 в единице объема около точки г：

/ (广)В%几(广)=% (尸)比%(V0)+ \ -^丝? X

x磔"r)w+々(尸出仇)亲,f 编黑;£C (k) dV\

”(4.11)

Подставляя это выражение в (4.4), окончательно приходим к следующему уравнению стационарности для 力-ro уровня： 汝(尸)=ni(r)kik (v0)負\ ^t* nk(rf)dVf +

X Mi (r, r')4nAv

+ 4 (г).(4.12)

Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения. Если населенность нижнего уровня /〃 и коэффициент поглощения в непрерывном спектре о' не зависят от координат, вместо (4.12) получаем после несложных преобразований следующее уравнение для функции источников S (с):

s (с)=与、i I — Is Q) d# +

■ □ A, C n. _ _/ I Mi ( I r — Y I)

+ ₽^r'…I」，宀y)d・ + SFD

(4.13) где т = rttkikiy^r ——оптический радиус-вектор, di —— элемент объема ^'-пространства, [3 = ас/п^иг (v0) — отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения в центре линии,

Mk (т) = Л § а/г (%) e~a dx.(4.14)

Уравнение (4.13) (для частного случая 0 = 0) было получено независимо друг от друга и почти одновременно Л. М. Биберманом [1] и Т. Холстейном [1] и называется поэтому иногда уравнением Бибермана — Холстейна. Оно описывает рассеяние света в однородных средах при пренебрежении нелинейныЕ/и эффектами. За счет предположения об однородности достигается существенное упрощение: ядро уравнения становится функцией переменной | 尸——尸‘ |, а самих величин г и 尸',как это имеет место в общем случае, не Когда среда обладает той или иной симметрией, уравнение (4.13) принимает более простой вид. Рассмотрим важнейшие частные случаи.

Плоская геометрия. Этот случай наиболее важен с точки зрения приложений, в первую очередь астрофизических. Требование однородности среды было бы здесь очень существенным ограничением, так как обычно (например, в звездных атмосферах) плотность сравнительно быстро меняется с глубиной. Однако в плоском случае предположение об однородности не является обязательным. Интегральное уравнение, выражающее условие стационарности, в случае плоской геометрии сводится к уравнению с ядром.

зависящим от модуля разности аргументов, при произвольной зависимости концентрации атомов на нижнем уровне от глубины. Достаточно потребовать, чтобы от глубины не зависело лишь отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения в центре линии (Р = const).

Чтобы получить уравнение для функции источников в случае плоского слоя оптической толщины т0, можно поступить так. Подставим формальное решение уравнения переноса (3.10) — (3.11) в формулу (3.5), выражающую функцию источников через интенсивность излучения. При § = const будем иметь

ОО(Ор

S(t)= -~А \а(£)以"一，等，[a(/)SB) +

—ОО( —1^0

+ BSС a)]][心'*闺中五‘十 $ * j [a (x^S e) +

+3‘(/)]6-同"‘"阳"}+S*(t).(4.15)

Отсюда находим, что

s«)= Ц-\к(|т-Т|,В)5(С"十

+в—-\ Ко(|—и，вав)"-2«),(4.16)

о

где

К(тг,В) = / £ ос2(%)£\[(а(%) + В)口以， (4.17)

К。(％ В) = 4 f а (к)瓦[(ос (%)十 В) 口或， (4.18)

а Е] (/)——интегральная показательная функция:

邑«) = {〔善告・0.19)

Физический смысл отдельных членов в правой части (4.16) следующий. Первое слагаемое учитывает переходы атомов на верхний ^-й уровень с нижнего i・ro при фотовозбуждениях собственным излучением среды в линии k i, второе ——фотовозбуждения излучением среды в непрерывном спектре, наконец, третье описывает все другие возможные пути появления атомов на fe-м уровне, кроме фотовозбуждений i 々.Очевидно, решение уравнения (4.16) эквивалентно решению интегро-дифференциального уравнения переноса (3.3) при р = const и граничных условиях (3.9).

Если оптическая толщина в центре линии бесконечна (полубесконечная среда), то в уравнении (4.16) нужно положить % = 8. Если же среда имеет бесконечную в обоих направлениях оптическую толщину (бесконечная среда), то функция источников определяется уравнением

s⑺§k屮一门,B)S(i)"十

—ОО

ОО

+ в+ \ Ko(|tT，B)S'B)* + S*⑴.(4.20)

—ОО.

Коэффициент поглощения в непрерывном спектре обычно много меньше коэффициента поглощения в центре линии. Если поглощение и излучение в "непрерывном спектре не учитывать всвсе, то уравнение (4.16) переходит в следующее:

То

S (т) = —^ \ К (I 工一廿丨)S (О " + S* ⑴，(4.21) b

где

К ⑺三 К (工，0) = 4 \ а2 (%) Ex [а(^)т] d%,(4.22)

а вместо (4.20) имеем

ОО

S“) = + \ ^(|T-TJ)S(V)^ + S* (т).(4.23)

—00

В соответствии с рецептом, указанным в конце § 2.2, для получения уравнений, описывающих монохроматичес-

кое рассеяние, следует рассмотреть прямоугольный профиль коэ(|)финиента поглощения [формула (2.24)]. Из (4.22) следует тогда, что в этом частном случае К «)= 瓦 (г). Таким образом, при монохроматическом рассеянии функция источников в плоском слое определяется уравнением

S⑴邑(| — M)S(#)”+S* ⑺，(4.24) о

тогда как для бесконечной среды основное интегральное уравнение имеет вид

5«) = Ц— I 丛(丨t-『DS〈『)dJ + S*“)・ (4.25)

Свойства функции К (т), через которую выражаются ядра интегральных уравнений, а также различных величин, связанных с К (т), исследуются в § 2.6 и 2.7. Решение интегральных уравнений монохроматического рассеяния (4.25) и (4.24) подробно обсуждается в гл. III (для случая 九= =const). В гл. IV результаты переносятся на уравнение (4.23). Уравнение (4.21)при т0 = оо изучается в гл. V и VI, причем сначала (гл. V) рассматривается случай произвольной функции S* (т), а затем (в гл. VI) результаты детализируются для некоторых частных видов зависимости мощности источников S* (т) от глубины. Уравнение (4.16) при to = оо исследуется в гл. VII, случай же конечных т0 изучается в гл. VIII.

Сферическая геометрия. Рассмотрим сначала рассеяние в однородной сфере оптического радиуса т0. Для простоты будем считать, что поглощения и излучения в непрерывном спектре нет (§ = 0). В силу предположения о сферической симметрии функция источников S и распределение первичных источников S* должны зависеть только от расстояния от центра симметрии, который естественно принять за начало координат. Вместо (4.13) будем тогда иметь

S(')= 4г 产忙,；У S (i) d^+ S* (t),(4.26)

гдет= |т|, а интегрирование ведется по всей сфере радиуса т0.

Вводя сферические координаты В, О', ср', имеем бРт/ = x，2dr, зЕ WaWdq/,

I Т 一 с[2 =石2 十丁2 — 2TT，COS У.

Полагая р/ = cos 仆'и пользуясь (4.14), вместо (4.26) находим

%ОО

S⑹=~^-\ S(#)#2*4 \a2(/)d£x О—оо

X t ехр {_Ct胃孽■^也1VL dg + s*(T).(4.27)

Переходя к новой переменной

f = a (xz) 了工2 + 丁2 — 2vr"卩[

получаем

тоооа(%')(т+У)

S(т)=S (Y)『2d# 4 \ а2 (£) d/ ,+

О―ооа(£) ]т—У] /ТТ* 、

+ s*(t), (4.28)

и, окончательно,

То

tS(t)=-4^ \ [K(|t-E)-K(G + i)"S(O” + о

+ TS* ⑺，(4.29)

где К (т) по-прежнему дается формулой (4.22). Решение этого интегрального уравнения эквивалентно решению интегро-дифференциального уравнения переноса (3.24) при В = 0 и граничном условии / (т0,卩，％) = 0 при 卩 < 0.

Аналогичным образом можно рассмотреть и более сложные системы, обладающие сферической симметрией. Так, для функции источников в однородной сферической оболочке, окружающей абсолютно черную сферу и не

освещаемой извне, можно получить следующее уравнение:

tS(t)= [К{\х_^\}^К{у^—^ +

+ 3-т|1 TZS (t')dt' + tS* ⑴，(4.30)

где т = 6讯(v0) r — оптическое расстояние от центра, тх — внутренний оптический радиус оболочки, т2 — тх ——ее оптическая толщина. Для полой сферической оболочки уравнение оказывается еще сложнее (см. Т. А. Гермогенова [1]). Однако если толщина оболочки мала по сравнению с ее радиусом (скажем, внутренним), уравнение сильно упрощается и принимает вид

То

S(t)=[К(|т-t'l) + K(，+ t')]SB)df +

о

+ s*(t).(4.31)

Интегральное уравнение (4.29) при 九 = const рассматривалось в работах С. Купермана, Ф. Ингельмана и Дж. Ок- синиуса [1], [2] и В. В. Соболева [2], содержащих результаты его численного решения для некоторых частных случаев. М. Вайнштейн [1] получил более общее уравнение, описывающее рассеяние в однородной сфере с частично отражающей границей. Уравнение (4.30) при 九 = const и К (工)= =Ei (т) (монохроматическое рассеяние) было изучено Т. А. Гермогеновой [2]. Наконец, уравнение (4.31) рассматривалось В. В. Соболевым [31 в связи с задачей о переносе излучения в газовых туманностях.

Имея в виду применение результатов к исследованию переноса резонансного излучения в газоразрядных трубках, ряд авторов рассмотрели также среды с цилиндрической симметрией (Т. Холстейн [2], Л. М. Биберман и Б. А. Век- лен ко [1], М. Вайнштейн [1], М. Хислет и Р. Уорминг [1]):

Учет нелинейных эффектов для атомас двумя уровнями (плоская геометрия)

Под воздействием излучения часть атомов переходит с нижнего уровня на верхний. Поэтому, сторого говоря, концентр ацйя атомов на нижнем уровне не может считатьс я заданной, а должна находиться из решения уравнений ста-

ционарности. Если интенсивность излучения в линии, вызывающего перераспределение атомов по уровням, не слишком велика, этим эффектом в первом приближении можно пренебречь. До сих пор мы так и поступали. Однако при больших интенсивностях излучения картина иная. Здесь должно происходить «просветление» среды в частотах линии, обусловленное переходом заметной доли атомов с нижнего уровня на верхний. Одновременно с этим начинает играть роль и вынужденное излучение.

Учет этих нелинейных эффектов, вообще говоря, связан со значительными трудностями. Существуют, однако, частные случаи, когда нелинейные задачи удается свести к линейным. Обсуждению одного такого случая посвящен этот параграф.

Пусть среда обладает плоской симметрией, так что все величины зависят только от одной пространственной координаты —— геометрической глубины z, отсчитываемой от границы среды. Будем предполагать, что газ состоит из двухуровенных атомов. Полная концентрация атомов

〃=如⑵ + 〃2 ⑵(5.1)

и электронная плотность пе считаются заданными постоянными. Газ изотермичен. Каково будет стационарное состо- яние такого газа?

Если температура газа мала (kT <C^vi2)и интенсивность падающего на него снаружи излучения не слишком велика, то мы имеем вариант задачи, обсуждавшейся в начале § 2.2. Уравнение переноса (2.9) в случае плоской геометрии принимает вид (см. § 2.3)

卩里"J %)= — ос (%)自2 Wo) rii U (z,卩,％) —S(2)],

(5.2) или

卩 #(%也包=a(%)[/(% 卩,％) — S (t)],(5.3)

где оптическая глубина т определяется соотношением

г = \ ^12 (v0) &dz =々12 (Vo)厶(Zq — 2)(5.4)

(% — геометрическая толщина слоя). В линейном случае величина пх известна. Ее можно полагать равной полной концентрации атомов 九,так как п2 迄 п^ Функция источников S (т) в уравнении (5.3) связана с населенностями уровней соотношением (2.5) и согласно (3.5) и (2.7) выражается через интенсивность диффузного излучения следующим образом:

81

S ")=等 4 \ 06(%')d£ § / (т, р/, /) dp/ +

2加з 上空

+ T2-"(1一九)+ 又*"),(5.5)

где

S；“)=今4 \ a(%o)d%o у о (0,卩 0,%и)е 阿”飙.(5.6) —8О

Здесь /0 (0,卩0, %о) — интенсивность излучения, падающего под углом arccosjio к e^z/трен^ейнормалик границе в частоте х(), усредненная по азимуту (для простоты считается, что освещается только граница т = 0). Последнее слагаемое в правой части (5.5) учитывает фотовозбуждения внешним излучением, ослабленным средой. Вероятность выживания кванта при рассеянии 九 равна

九=41；底1 •(5・7)

При пе = const н Т = const она не зависит от координат. Подставляя формальное решение (5.3) в (5.5), приходим 女 следующему уравнению для функции источников:

S⑺= 3\k(i — c)s”y + о

2右93 九Т2

+ k(l 一九)+ S；“)，(5.8)

в котором К ") дается формулой (4.22), а оптическая

толщина слоя равна

工0 =比2(Vo)，恤(2)或,

о

или, так как 〃2 У 九i, 工0 = ^12 ("о)几2().

Если температура газа высока 侬丁三用％) или велика интенсивность падающего на него излучения, пренебрегать вынужденными переходами уже нельзя, и задача становится нелинейной. Уравнение переноса излучения имеет тогда вид (см. § 1.6)

卩"唱")=—ОС(Х)財2 (%)九1(2)[1 — ^ 需]/ ⑵卩,％) +

2九唸6

+ ^M(5.9)

а уравнение стационарности записывается в форме

几2 (^21 + ^21^ 12 + 九e&j)=几1 (^12^2 + &&2),(5.10)

ИЛИ

81

九2pl21 +/21^"4"4 , a(^)dx^ (Z (г, ^^) +

ooI

L 2九脸& 2&4

+ I^Z, ^^^d^+rieC^(5.11)

где / и /° — интенсивности соответственно диффузного и усредненного по азимуту прямого излучения. Покажем, что совместное решение нелинейных уравнений (5.9) и (5.11) можно свести к линейной задаче. Положим

(М2)(М2)

(М2)

(М2)

Величина т представляет собой оптическую глубину в центре линии с учетом вынужденного излучения, рассматриваемого как отрицательное поглощение. В уравнении переноса (5.9) можно перейти от геометрического расстояния г к оптической глубине т. Этот переход носит, правда, формальный характер, так как до тех пор, пока населенности уровней не найдены в функции г, зависимость т от г остается неизвестной.

Если ввести функцию источников

2仆彳2仆彳g2拉1gi拉？g2拉1gi拉？(5.13)(5.13)

2仆彳

2仆彳

g2拉1

gi拉？

g2拉1

gi拉？

(5.13)

(5.13)

то в переменной т уравнение переноса (5.9) записывается в той же самой форме (5.3), в которой оно фигурировало в линейном случае.

С другой стороны, из уравнения стационарности (5.11) отношение населенностей уровней 後，а следовательно, и функцию источников легко выразить через интенсивность излучения. После простых преобразований находим, что

S (t)=

ОО1

=豁 \ a(/)d/\ /(t，M£)W + (i—V%(T) + S；(c),

°°1(5.14)

где

九=卢 俏” ，(5.15)

+ rieC2i^ — exp

&i2 (T) — функция Планка:

殳”)=:号函(一朝-1丁：(5.16)

a S； (т) дается формулой (5.6), в которой т определено согласно (5.12). Наконец, подставляя в (5.14) формальное решение уравнения переноса (5.3), даваемое (3.13) и (3.14),

получаем для S (т) следующее линейное уравнение:

S ⑴=等 §к (11 一 1|) S В) * + (1 —九)九(Т) + S^). о

(5.17)

На первый взгляд может показаться, что нелинейный случай почти не отличается от линейного: достаточно вместо (2.5) использовать для функции источни ков выр ажение (5.13), параметр X вместо (5.7) рассчитывать по формуле (5.15) и, наконец, заменить коэффициент при 1 — X в интегральном уравнении для S (т) с функции Вина на функцию Планка [ср. (5.8) и (5.17)]. В действительности дело не ограничивается только этим, так как нам неизвестно то значение т0, при котором должно решаться уравнение (5.17). Согласно (5.12) под оптической толщиной всего слоя т0 следует понимать величину

% =自2 (%) $° 仰⑺[1 一 ^ 器]改，(5.18) о

которую, как кажется, можно вычислить лишь после того, как населенности уровней уже найдены в функции г, т. е. только когда задача уже решена. Можно, однако, указать путь получения т0 без предварительного определения населенностей уровней в функции г.

Обозначим через т； предельное значение оптической толщины среды, которое она имела бы, если бы все атомы находились на нижнем уровне:

То =自2 Wo) 〃Zo=瓦2 “0)\ S(Z’)+ 几2(2')] d/.(5.19)

0

Назовем эту величину предельной оптической толщиной среды. Очевидно, что действительная оптическая толщина среды т0 меньше т；, так как часть атомов находится на верхнем уровне. Введем также предельную оптическую глубину

I* =自2 Со" (z()— Z)=比2 Wo) \ [几I (z‘)+ 几2 (z‘)] dz-

(5.20)

Если будет определено значение т0 и затем тем или иным способом функция источников будет найдена в функции предельной оптической глубины т*, то задача будет полностью решена.

Для дальнейшего существенно, что функция источников, определяемая уравнением (5.17), зависит от т0 как от параметра: S = S (т, т0). Чтобы получить «реальное» значение т0, при котором решение уравнения (5.17) дает функцию источников в зависимости от оптической глубины т, поступим следующим образом. Из (5.12) и (5.20) имеем

или

察=+费)鳥 S (…。),(5.22)

откуда

to = to + (1 + ~^ ^^ S (t, to)dt. (5.23)

Это соотношение можно использовать для определения т0. В самом деле, если уравнение (5.17) решить для всех т0, меньших То, то правая часть в (5.23) будет известной функцией т0. Найдя значение т0, являющееся корнем уравнения (5.23), мы тем самым получаем возможность выбрать из всех функций S (т, т0) (т0 & То) ту, которая отвечает реальному значению т0.

Теперь остается в этой функции перейти от переменной т к предельной оптической глубине т*. Это можно сделать при помощи соотношения

代=。+ (1+圖前卜"」。)十，(5.24) 12 о

вытекающего из (5.22). Следует подчеркнуть, что величина т0 в этой формуле есть реальная оптическая толщина среды, являющаяся корнем уравнения (5.23).

Итак, решение нелинейной задачи разбивается на три этапа: 1) решение уравнения (5.17) для всех т0, меньших т；; 2) определение реального значения оптической толщины т0 из соотношения (5.23); 3) переход в функции источников S (т, т0) от т к предельной оптической глубине т* и тем самым к z [формула (5.24)]. Таким образом, если линейная задача сводится крещению одного интегрального уравнения для S (т, т0), то в нелинейном случае нужно уже решать семейство таких уравнений с ^。《工；.Это и есть та главная цена, которую приходится заплатить за нелинейность.

Существуют, правда, два важных частных случая, когда дело обстоит совсем просто. Это случаи бесконечной и полубесконечной сред. Рассмотрим, например, полубеско- нечную среду. Ясно, что и с учетом «просветления» она по-прежнему остается полубесконечной. Поэтому определять «реальную» оптическую толщину т0 здесь не нужно. Для получения функции источников в зависимости от т достаточно решить одно линейное интегральное уравнение, именно уравнение (5.17), при т0= оо . После этого по формуле (5.24) с т0 = оо легко осуществить переход от оптических глубин к геометрическим. Если же интересоваться не самой функцией источников, а лишь интенсивностью выходящего излучения, то можно вообще ограничиться определением S ⑴，не находя S в зависимости от г, так как

/(0,М,%)= \ S”)c 卩 а(х)—. (5.25) о

Последнее замечание остается в силе и для слоя конечной оптической толщины.

Задача, обсуждавшаяся в этом параграфе, была впервые рассмотрена Э. Милном [1], считавшим, однако, что частота кванта остается при рассеянии неизменной (точнее говоря, принимался прямоугольный профиль коэффициента поглощения). С учетом перераспределения по частотам эту задачу исследовал Р. Томас [1]. Как Милн, таки Томас считали среду полубесконечной и не касались вопроса о переходе от оптических глубин к геометрическим. Метод определения т0 и перехода от t к z был указан В. А. Амбарцумяном [2], см. также работы В.Ю. Теребижа [1] иЮ.Ю. Абрамова, А. М. Дыхне и А. П. Напартовича [11.

Общие свойства ядер интегральных уравнений и связанных с ними функций

Функция К (т), определяющая ядро интегрального уравнения для функции источников, и ряд связанных с ней функций играют важнейшую роль во всех задачах о переносе излучения в частотах спектральных линий. В этом параграфе исследуются наиболее часто встречающиеся из этих специальных функций (для случая, когда поглощением вне~ прерывном спектре можно пренебречь). Приводимые результаты постоянно используются в последующих главах. Значительная часть материала этого и следующего параграфов заимствована из работы Д. И. Нагирнера и автора [1].

Обозначим

Mk (т) - Л § 0(х)е-а(х)%%(т>0; k= 1,2,...) (6.1)

—8

И

Мсп(т) = 4 \ а^ (х)Еп [а(х)т]dx (т>0;&, м = 1,2,...),

°°(6.2)

где Е注(/) — n-я интегральная показательная функция:

Еп(0 =\(6.3)

о

Функцию Л!] (т) будем называть функцией ослабления, УМ? (т)——функцией вклада. Величина N居(т) есть не что иное, каквведеннаявыше функция/С (т), определяющая ядро интегрального уравнения для функции источников при плоской и сферической геометрии. Для краткости будем называть К (т) ядром. Удобно ввести специальное обозначение и для функции %2⑴：

厶(т)三 TVi2 (t) = / \(%(光)旦[a(%)t]d%.(6.4)

Заметим, что

上⑴=，К(О*(6.5)

и, вообще,

8

м〃⑴* Nh+…(6.6)

Из (6.1) — (6.3) следует соотношение

N 1mg = SmW)% (財 〃=1,2,(6.7)

Из (6.6) и (6.7) находим

八/%| ⑴=方，j [M.k ⑴—tN/г+l, н-1 (t)]

(々=〃 = 2, 3, . . .).(6.8)

Подставляя (6.3) в (С J) и делая замену

2 =(6.9)

а (х)7''

имеем

соа (х) т

^kn (t) = А \ а/г+^-1 (х) dx I с "#-2庚.(6.10)

—8о

Здесь и всюду в дальнейшем будем считать, что а (%) — четная монотонно убывающая с ростом \х\ функция. Меняя в (6.10) порядок интегрирования, получаем

М/е〃(" = \с z G厶切一2(2)疔2dZ,(6.11)

о

где

Gm(2)= 24 jа〃2+1 (£) d%‘(N《1),(6.12)

о

G〃O = 24 Ram+L(£)d『(心1).(6.13)

причем х (г) определяется из условия

а (% (г)) = ； ；% ⑵〉0.

(6.14)

Индекс 1

У

Gi ⑵ будем опускать, так что ④⑵三G⑵.

(6.15)

Тогда, в 1

частности,

СОт

К⑵等，

0

£ ⑴=\ с 2 G (г) dz.

0

(6.16)

(6.17)

Наряду с

М

冗(т) и Nkn ⑴ рассмотрим также функции

^(〃)=f年3点(6.18)

0

И

%(3)= 22i^^改.(6.19)

О

Первая из них с точностью до множителя совпадает с преобразованием Фурье от ядра:

[/ (//) = \ К (t)cosp〃 dr,(6.20)

о

откуда, между прочим, следует, что

9品

К ⑴V (и) cos хи du.(6.21)

о

Вторая связана с односторонним преобразованием Лапласа от ядра

СООО

R(s)三、e-s：K(t)dt = § ^^厶‘(6.22)

оо

соотношениемсоотношением软z)=软z)=十｝r(--Г) •十｝r(--Г) •(6.23)

соотношением

соотношением

软z)=

软z)=

十｝r(--Г) •

十｝r(--Г) •

Подставляя в (6.18) и (6.19) явное выражение для G (г)

и интегрируя по частям, получаем

'(")=\ oc2(%)arctg击d九(6.24)

--8

% ⑶=z 等 £ 心(X)In g^ dx. (6.25)

При вещественных г величина, стоящая в последней формуле под знаком логарифма, должна браться по абсолютной величине, а интеграл (6.19) пониматься в смысле главного значения.

При монохроматическом рассеянии ядро есть Ег (т), функция L (т) переходит в £2 ⑴，а функции V (〃)и % (г) равны

丿也(")=，(6.26)

弘w(z)=等 In |^4，(6.27)

причем при — 1 <2 < 1 значение |-^следует брать по абсолютной величине. Индекс М будет использоваться всюду в дальнейшем для обозначения величин, относящихся к монохроматическому рассеянию.

Для функций Mk (т) и N九“⑴ легко получить разложения в ряды. Обозначим

〃/ = А \ a"i(%)d%(/ = 0, 1,2, ...),(6.28)

а = А \ а2 (х) Ina (x) dx.(6.29)

Разлагая экспоненту в подынтегральной функции в (6.1),

§ 2.61 Общие свойства ядер интегральных уравнений ю9

находим

СОj

М/е ⑴=2 (— ^Yai+k-l •(6.30)

/=()J

Аналогичным образом, если воспользоваться известными разложениями интегральных показательных функций (см., например, В. Курганов [1]), из (6.2) можно получить ряды для Nhn (т)・ В частности,

К (т)三 N2、(т) = — a】 In т — а/ — & +

8T/ + l

+ 2(- 1)3.+20+1)(，+1)! ，("3D

/=о

厶(т)三 ^12 (工)=1 + afv In т + (%丫 一 ％ + a) t +

CO・°

+ S(- l)"%+2万吊, (6・32)

где 丫 = 0,577216 —— постоянная Эйлера. Эти ряды сходятся при всех t (0 < t < сю), однако они удобны для вычислений лишь тогда, когда т невелико.

Из (6.24) и (6.25) имеем

У〃)=$%； + £ (— 1 尸工夕2(/Х) (〃》1), (6.33)

吻(?)= £ 韶汐+2(0<г<1).(6.34)

/=о 丁

Исследуем асимптотическое поведение Ма(т) и Л^〃(т) при больших т. Полагая a (%) = 1/г и переходя в (6.1) от интегрирования по % к интегрированию по г, получаем

8_ т私（吗=2川厂"/⑵号，8_ т私（吗=2川厂"/⑵号，(6.35)(6.35)

8_ т

私（吗=2川厂"/⑵号，

8_ т

私（吗=2川厂"/⑵号，

(6.35)

(6.35)

где %(2)— функция, определенная согласно (6.14). Отсюда

0”)丿 t0”)丿 t(6.36)(6.36)

0”)丿 t

0”)丿 t

(6.36)

(6.36)

Предположим, что существует предел

/ ⑼=J™/ ⑼=J™£«)£«)(6.37)(6.37)

/ ⑼=J™

/ ⑼=J™

£«)

£«)

(6.37)

(6.37)

Из (6.36) находим тогда, что

Мк g ~ 2а \ 07#門乜)dy • ~^~ (Tf 8)・Мк g ~ 2а \ 07#門乜)dy • ~^~ (Tf 8)・(6.38)(6.38)оо

Мк g ~ 2а \ 07#門乜)dy • ~^~ (Tf 8)・

Мк g ~ 2а \ 07#門乜)dy • ~^~ (Tf 8)・

(6.38)

(6.38)

о

о

Если коэффициент поглощения убывает в крыльях линии по степенному закону, так что

а(х)〜呼|%尸(|%| -> оо),(6.39)

где

取 и 乂 一 некоторые постоянные (1 <% < оо), то

и

x(z)^W^(2 Г 8)(6.40)

Ry)二 y?J(6.41)

где

Y = ^U ・(6・42)

При доплеровском коэффициенте поглощения aD (%) = е-*， имеем %q (г) = У In г, так что 历(у) = у.

В дальнейшем будут рассматриваться только такие коэффициенты поглощения, для которых функция / (у) существует и дается выражением (6.41) с у, удовлетворяющим неравенствам 0<丫 《万.Легко убедиться, что хотя мы при. шли к такому выражению для ，(у), рассматривая только профили вида (6.39) и доплеровский профиль, функция f(y) имеет вид (6.41) при много более общих предположениях о профиле коэффициента поглощения.

Из (6.38) и (6.41) находим теперь окончательно, что асимптотика функций Mk (т) имеет вид

7ИН^)~2ДГ(^ + 2Т- 1)若 (troo), (6.43) где r(s) — гамма-функция. Идея изложенного только что способа получения асимптотики 乂汽(工)заимствована нами

из статьи Ю. Ю. Абрамова, А. М. Дыхне и А. П. Напарто- вича [1].

Чтобы получить Nkn (工)при т >> 1, подставим (6.43) в (6.7). Пользуясь тем же приемом, который был использован при переходе от (6.35) к (6.43), находим

2Ar(k+2y-l) Г(т)佯 44、

В частности, k⑴〜2，(6.45)

仆)〜24界驾 ”).(6.46)

Найдем, далее, С〃*) при z》> 1. Подстановка а (%')= =歹 приводит (6.13) к виду

⑵=2串⑺鳥 .(6.47)

Отсюда при г >> 1

или, учитывая (6.41),

⑶〜禺等 (ztoo). (6・49)

Между прочим, из (6.43), (6.46) и (6.49) следует, что

£ ⑺ ~郞~「(2丫) tG ⑺(t т oo). (6.50)

Чтобы получить асимптотику V(u) при 4 f 0, заметим прежде всего, что

『G ⑶dz= 1.(6.51)

о

Для доказательства достаточно положить t = 0 в (6.4) и в (6.17) и приравнять правые части. Пользуясь (6.51)»

из (6.18) находим

(6.52)(6.52)

(6.52)

(6.52)

Полагая здесь 〃z = у, имеем

(6.53)(6.53)

(6.53)

(6.53)

Согласно (6.49), (6.37) и (6.41), при 〃 f О

89О89ОGGGGЛ ОО"гЛ ОО"гJT2 sin лу(6.54)JT2 sin лу(6.54)так чтотак что

89

О

89

О

G

G

G

G

Л ОО"г

Л ОО"г

JT

2 sin лу

(6.54)

JT

2 sin лу

(6.54)

так что

так что

, 仆〜1-品小(；)…),(6.55)

или, воспользовавшись еще раз (6.49),

V (〃) ~ 1 一 -用…X’ ㈡.(6.56)

(2丫 + 1) sin n丫\、"丿

Из (6.19) аналогичным образом находим, что

吻(z)~1 ^-ctgnrzG ⑵ (zroo), (6.57) или

%(2)~1 —染件 ctgjvr・/(N)・ (6.58)

Ясно, что асимптотики ядра и связанных с ним функций во многом определяют и поведение решения интегрального уравнения для функции источников. Между тем, как мы только что убедились, эти асимптотики определяются поведением функции %Q) при больших г, или, что то же самое, поведением коэффициента поглощения в крыльях линии. Поэтому, даже не имея детальных сведений о коэффициенте поглощения в ядре линии, а зная лишь его поведение в крыльях, можно надеяться получить важную информацию

о стационарных состояниях газа, находящегося в поле собственного излучения. Как мы увидим в следующих главах, эти надежды вполне оправдываются.

Сделаем еще одно замечание, касающееся постоянной 丫. В том определении ее, которое применялось до сих пор, была использована представимость ядра в форме (4.22). Более того, принималось, что а(х) есть строго убывающая функция \х\ [в противном случае нельзя ввести функцию x(z)]. Предположения эти довольно жесткие. Например, при монохроматическом рассеянии, которому соответствует прямоугольный профиль коэффициента поглощения, они не удовлетворяются. Можно, однако, указать другой способ введения постоянной 丫， который вообще не связан с представимостью ядра в форме (4.22). Он состоит в следующем. Пусть К(т)— заданное (произвольное) ядро, нормированное на промежутке (0, оо) на единицу,丿(〃)一функция, связанная с К(т) соотношением (6.20) (по существу, его преобразование Фурье). Предположим, что при 4fo

1 — V (и) ~ ср (〃)僞丫，(6.59)

где у ——постоянная (0＜丫《1), а ср(〃) 一 медленно меняющаяся функция, т. е. такая функция, что при любом а 出瑞=1，(6・6。)

Соотношение (6.59) может служить определением 丫. Оно не противоречит определению, данному ранее. Это следует из (6.56) при учете (6.37) и (6.41). Вместе с тем определение (6.59) является более общим. Например, оно позволяет найти значение 丫，соответствующее монохроматическому рассеянию. Действительно,

^м(〃)=^^~1(〃т0),(6.61)

так что в этом случае 丫 = 1.

В заключение отметим без доказательства следующие интегральные соотношения:

宁G ⑵ dz=(6.62)

и

(6.63)(6.64)(6.63)(6.64)§2"z)G(z)^ = ；M〃)〃，

(6.63)

(6.64)

(6.63)

(6.64)

оо

\ % (z) G (г)鲁=夫 * о

Эти соотношения непосредственно не применимы к монохроматическому рассеянию. В этом случае существуют некоторые их аналоги, не представляющие, впрочем, особого интереса, так как %м (^) и Мм(〃) являются элементарными функциями.

§ 2.7. Ядра интегральных уравненийи связанные с ними функции для коэффициентовпоглощения важнейших частных видов

Конкретизировав вид коэффициента поглощения, можно получить более детальные сведения о функциях, рассмотренных в предыдущем параграфе.

1) Доплеровский профиль:

В этом случаеВ этом случае(7.1)(7.1)

В этом случае

В этом случае

(7.1)

(7.1)

см. формулу (1.5.23)] и, согласно (6.12)—(6.14),

Gq（2）=

а?=合при 1,

]/2\О?)

При 2 ^> 1 находим из (7.2) асимптотическое разложение

[00 g・

Gq(K~2 yWzWi^^o (In 2)/ '(7.3)

где

/ E⑵T)n

&• =(1)22/•(7.4)

Постоянные а? и aD, входящие в разложения исследуемых функций в степенные ряды, равны

о 11

а/ = /ПЛ ； а — — 4 從.(7.5)

Легко получить асимптотические ряды для Mk (т) и Nkn (t) при т >> 1 (В. В. Иванов и В. Т. Щербаков [1], Ю. Эвретт и Д. Хаммер [1]). Оказывается, что

八1。⑵一1）!! 小1

Mk （吁什，询g （2万!!—f但）山可^ о6）

где f(/)(s)——/-я производная гамма-функции. В част

ности,

М? (т)~М? (т)~Улт У1птУлт У1пт110,28 3610,74179 — 1,7015In т 十(In т)2 (In т)3 ~* ,6,44261十丽不…」，0,28 3610,74179 — 1,7015In т 十(In т)2 (In т)3 ~* ,6,44261十丽不…」，(7.7)(7.7)

М? (т)~

М? (т)~

Улт У1пт

Улт У1пт

1

1

0,28 3610,74179 — 1,7015

In т 十(In т)2 (In т)3 ~* ,6,44261

十丽不…」，

0,28 3610,74179 — 1,7015

In т 十(In т)2 (In т)3 ~* ,6,44261

十丽不…」，

(7.7)

(7.7)

Mf (T)1 Г1/лт2 /In т LMf (T)1 Г1/лт2 /In т L0,211390,308880,15296

Mf (T)1 Г1

/лт2 /In т L

Mf (T)1 Г1

/лт2 /In т L

十 Inc 十(In T)2 卜(In Т)3 Г

+瘠一……

При т = 103 разложение (7.7) с учетом всех выписанных членов дает М? (т) с тремя значащими цифрами, а (7.8) определяет М? (103) с ошибкой в несколько единиц пятого знака. Таблицы М? (т) и М^ ⑴ для т ^ 103 можно найти в работе В. В. Иванова и В. Т. Щербакова [1]. (функция М, (т) табулирована недавно также Т. Томацу и Т. Огава [1].

Асимптотическое разложение N^n(^) при т >> 1 имеет вид

D1 言 ⑵—1川 I

Nkn ~(2/)и~ (r^7 ， (7.9)

где

%=宫(一 1)CW(尉一("二1户1(7.Ю)

и С} — биномиальные коэффициенты. В частности,

Kd ") ~Kd ") ~1_ 0,03861-2 了《2 •/汇 L11_ 0,03861-2 了《2 •/汇 L10,33784 '(1пт)?0,33784 '(1пт)?Lo (T)—-—f1J 2 /ят /in т LLo (T)—-—f1J 2 /ят /in т L0,53861In T0,53861In T-醬A・・]sd ,1,145763,1337 _1十(lnt)2(In r)3 丁J *(7.12)-醬A・・]sd ,1,145763,1337 _1十(lnt)2(In r)3 丁J *(7.12)

Kd ") ~

Kd ") ~

1_ 0,03861

-2 了《2 •/汇 L1

1_ 0,03861

-2 了《2 •/汇 L1

0,33784 '(1пт)?

0,33784 '(1пт)?

Lo (T)—-—f1

J 2 /ят /in т L

Lo (T)—-—f1

J 2 /ят /in т L

0,53861

In T

0,53861

In T

-醬A・・]sd ,1,145763,1337 _1

十(lnt)2(In r)3 丁J *

(7.12)

-醬A・・]sd ,1,145763,1337 _1

十(lnt)2(In r)3 丁J *

(7.12)

Формулы (7.11) и (7.12) с учетом всех выписанных членов дают значения Ко⑴ и £q⑴ при t = 100 с точностью до двух единиц третьей значащей цифры. В работах В. В. Иванова и В. Т. Щербакова [1] и Т. Томацу и Т. Огава [1] даются подробные таблицы этих функций. Для Kq(t) получены также различные приближенные представления, специально приспособленные для быстрого вычисления этой функции на электронных счетных машинах (Д. Хаммер и Г. Рыбицкий [1], Ю. Эвретт и Р. Лёзер [11).

Асимптотическое разложение Vb(〃)при 4fo можно получить так. Из (6.24) имеем

言{〃[1 —!/(〃)]} = 24dli^^ * С》

При доплеровском коэффициенте поглощения, полагая 0一炉 _ 4/, находим

1о1оlnv+ ln7~) dtlnv+ ln7~) dt

1

о

1

о

lnv+ ln7~) dt

lnv+ ln7~) dt

откуда при и У 1

88(2/1—1)!!(2/1—1)!!(2〃)!!(2〃)!!XXXXf (In /尸力f (In /尸力1■ TV1■ TV

8

8

(2/1—1)!!

(2/1—1)!!

(2〃)!!

(2〃)!!

X

X

X

X

f (In /尸力

f (In /尸力

1

■ TV

1

■ TV

Вычисляя входящие сюда интегралы, получаем

Vo (〃)]} ~Vo (〃)]} ~，(7・14)，(7・14)

Vo (〃)]} ~

Vo (〃)]} ~

，(7・14)

，(7・14)

где £2п — числа Эйлера (£0 =1, 七2 = 一1, 七4 = 5, 七6 = — 61,...). Будем искать 卜。(〃)при малых 〃 в виде

Vd (^) ~ 1Vd (^) ~ 1(7.15)(7.15)

Vd (^) ~ 1

Vd (^) ~ 1

(7.15)

(7.15)

где Vj—неизвестные постоянные. Подставляя (7.15) в (7.14), выполняя дифференцирование и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях In —, приходим к следующим рекуррентным соотношениям для определения чисел 力：

U2〃+l = ^ У2н Г

—(4п + 3)!!%2 ^ [4 (п + 1)]!!—(4п + 3)!!%2 ^ [4 (п + 1)]!!#п+2|^2| +#п+2|^2| +(4〃 + 3) (4〃 + 1)16(4〃 + 3) (4〃 + 1)16У2нУ2н

—(4п + 3)!!

%2 ^ [4 (п + 1)]!!

—(4п + 3)!!

%2 ^ [4 (п + 1)]!!

#п+2|^2| +

#п+2|^2| +

(4〃 + 3) (4〃 + 1)

16

(4〃 + 3) (4〃 + 1)

16

У2н

У2н

(〃 =0, 1,2,・..)，(7.16)

причем % = 1. Приведем несколько первых коэффициентов V；

S = —0,25000;内=1,1128; из = — 1,3910;内=10,7577; g = —24,205.

Формула (7.15) с учетом членов до / = 5 включительно дает 1 — 匕)(〃)при u《10"5 с четырьмя значащими цифрами, а при и《10~8 — уже с шестью знаками.

Асимптотический ряд для %o(z) получается сходным образом. Из (6.25) имеем

ОО

.С7)

Отсюда можно получить, что при доплеровском коэффициенте поглощения и z -> оо

л — ^2〃+2л

X 出工 2 п*〔&"+2|^^，(7.18) где В2/一 числа Бернулли:

& = % ' %= 一亲,统=/•

Ищем 吻d(2)при 2 発 1 в виде

如⑶~為T3就广(7.19)

Из (7.18) и (7.19) получаем следующие рекуррентные соотношения для нахождения ир.

= 一 ""” 〃2〃，(/2 =。, 1,2,...)

"如2=4§^[22宀-1]2|斗…| +

+(4" + 5t + ?)*(7 20)

причем 〃о = 1. В частности,

〃i = _ 0,75000; 〃2 - 4,0218; 〃з = — 7,0381; а = 63,779; 他=_ 175,39.

2) Фойгтовский2) Фойгтовскийпрофиль'.ОСу (%) ^^профиль'.ОСу (%) ^^и (а,е)и (а,е)(7.21)(7.21)

2) Фойгтовский

2) Фойгтовский

профиль'.

ОСу (%) ^^

профиль'.

ОСу (%) ^^

и (а,е)

и (а,е)

(7.21)

(7.21)

где U(а, %) — нормированная функция Фойгта, определяемая формулой (1.5.8). Поскольку коэффициент поглощения дается довольно сложной неэлементарной функцией, нельзя получить простые выражения даже для Gy(z), не говоря уже о М^(т) и N^n (т). Единственные величины, которые удается вычислить точно, выразив их через табулированные функции,— это нормировочная константа А и

постоянная “匚

小=0依0) = 4"開\/小,v _ 1 и (а 頂,0)% = V^ U (а, 0).小=0依0) = 4"開\/小,v _ 1 и (а 頂,0)% = V^ U (а, 0).88(7.22)(7.22)(7.23)(7.23)

小=0依0) = 4"開\/小,v _ 1 и (а 頂,0)

% = V^ U (а, 0).

小=0依0) = 4"開\/小,v _ 1 и (а 頂,0)

% = V^ U (а, 0).

8

8

(7.22)

(7.22)

(7.23)

(7.23)

В отношении всех остальных величин приходится довольствоваться более ограниченной информацией.

Что касается самой функции U(a, х), то она может считаться известной. Детальное исследование ее свойств можно найти в обзоре Б. Армстронга [1], содержащем исчерпывающую библиографию. Имеются и многочисленные таблицы х), наиболее полными из которых являются 8-знач ные таблицы Д. Хаммера [4] (х = 0,00 (0,05) 5,00 (0,1) 10,0; 24 значения а от а = 10-4 до а = 0,5). При больших \х\ для U(а, х) можно получить следующее асимптотическое разложение:

и(〃，》)~ 談 £ & ⑷，(7.24)

где

Cj(a) = 2 (-1У——•(7.25)

При а > 10~4 и х〉5 формула

US，%)〜签[1 +(等 一")3 + (}_5a2 + 後)』]

(7.26)

обеспечивает точность в четыре значащие цифры; прих〉10 она дает уже шесть верных знаков.

Пользуясь (7.26), из (6.13) находим, что

2 匕力(〃,S 1 Гл 3 / з 2\•

X nU (。，0)-^-+ .…](?->8). (7.27)

Можно также показать, что при достаточно больших т

X jiU (d °)$ + •…]，(7 ・28)

Lv(T)--~yaU (a, 0)^-[1X

X nU (а, 0)吃 +•••]• (7.29)

Асимптотики м+(т) и К№) цированием по % так как 心(e)=-^М^.Асимптотики м+(т) и К№) цированием по % так как 心(e)=-^М^.получаются отсюда дифферен-К") = -备厶⑴.(7.30)получаются отсюда дифферен-К") = -备厶⑴.(7.30)

Асимптотики м+(т) и К№) цированием по % так как 心(e)=-^М^.

Асимптотики м+(т) и К№) цированием по % так как 心(e)=-^М^.

получаются отсюда дифферен-

К") = -备厶⑴.(7.30)

получаются отсюда дифферен-

К") = -备厶⑴.(7.30)

Имеем поэтому

(7.31)

X nU (a, 0) -J^ + • • • J . (7.32)

Следует сказать несколько слов об области применимости этих асимптотических выражений. Возьмем к примеру М? (т). Из (7.28) ясно, что этим разложением можно пользоваться лишь тогда, когда второе слагаемое в квадратных скобках мало по сравнению с единицей. Поскольку во всех практически интересных случаях значение а мало, множитель при 1/от в квадратных скобках по порядку не отличается от единицы, и сформулированное только что условие принимает вид

ах ^> \. (7.33)

Только при таких т и годится формула (7.28). То же самое можно сказать и о формулах (7.29), (7.31) и (7.32). Область их применимости зависит, таким образом, от значения а и тем шире, чем больше а.

Значения функции -у К(/т) для фойгтовского коэффициента поглощения с а = 0,001 и 0,01, а также для доплеровского (а = 0) и лоренцовского (а = оо) профилей приведены в табл. 2, заимствованной из работы Ю. Эвретта и

Таблица 2

Функция 攵 К (Дг)

lg T

4 = 0

a = 0,001

a = 0,01

a = oo

1,8861

1,8833

1,8587

8,0883 —1

—3

1,4269

1,4249

1,4067

6,2561 —1

—2

9,6842 —1

9,6711 —1

9,5549 -1

4,4255 —1

—1

5,1728 —1

5,1668 —1

5,1137 —1

2,6102 —1

1,3071 —1

1,3066 —1

1,3016 —1

9,3712 —2

2,1316 —3

2,1363 —3

2,1803 —3

6,4738 —3

1,2570 —5

1,2718 —5

1,4547 —5

1,6913 —4

9,9495 —8

1,1142 —7

3,2428 —7

5,2779 -6

8,5043 —10

2,6470 —9

1,6138 —8

1,6669 —7

7,5518 —12

1,5907 —10

5,2591 —10

5,2705 —9

6,8624 —14

5,2592 —12

1,6663 —11

1,6667 —10

6,3334 —16

1,6663 —13

5,2704 —13

5,2705 —12

5,9108 —18

5,2705 —15

1,6667 —14

1,6667 —13 .

5,5630 —20

1,6667 —16

5,2705 —16

5,2705 —15

+10

5,2703 —22

5,2705 —18

1,6667 —17

1,6667 —16

Д. Хаммера [1]. Здесь, как всегда, Л есть постоянная, нормирующая на единицу интеграл от а(х) по всем %. Для Kp(t) получены также приближенные представления в виде сумм экспонент, позволяющие с довольно высокой точностью быстро вычислять Ку (т) на ЭВМ, не прибегая к численному интегрированию (Ю. Эвретт и Р. Лёзер [1]).

Что касается функций Уу(〃)и %v (г), то

Vy ⑷一丫2 吗 m，0) 3 / 3 x

XJiU(a,0) — H——](〃一＞0), (7.34)

Лоренцовский профиль:

“厶（%）=・“厶（%）=・(7.36)(7.36)

“厶（%）=・

“厶（%）=・

(7.36)

(7.36)

При лоренцовском коэффициенте поглощения удается получить значительно более подробную информацию, чем в двух предыдущих случаях. Большинство интересующих нас величин выражается через известные функции.

Нормировочная постоянная А^ равна 1/л. Далее,

Gl (?)=Gl (?)=^i = -|-^i = -|-при г< 1,при г< 1,1 /11 /1■Ц2^) при г> 1.■Ц2^) при г> 1.(7.37)(7.37)

Gl (?)=

Gl (?)=

^i = -|-

^i = -|-

при г< 1,

при г< 1,

1 /1

1 /1

■Ц2^) при г> 1.

■Ц2^) при г> 1.

(7.37)

(7.37)

При 2〉1 функция GlQ) разлагается в ряд

ОО

(7.38)(7.39)(7.38)(7.39)Постоянные a夕 и aL равны

(7.38)

(7.39)

(7.38)

(7.39)

为=色‘(萧" ；/ = % - E2.

Функции М[(х) иЛ12(т) выражаются через бесселевы функции чисто мнимого аргумента:

册⑴=e厶(等)，(7.40)

Mp(t) = "4"e 2 卩。(g)—厶(子)],(7.41)

так что их можно считать известными. Подставив сюда асимптотики бесселевых функций, получим (т >> 1)

Mi⑺~Mi⑺~81 > [⑵ -1)!1]2 181 > [⑵ -1)!1]2 1仆）仆）1 У (2/ - 1川(2/ + 1)!! ~ VW爲 2/十彳2加一1 У (2/ - 1川(2/ + 1)!! ~ VW爲 2/十彳2加一(7.42)• (7.43)(7.42)• (7.43)

Mi⑺~

Mi⑺~

8

1 > [⑵ -1)!1]2 1

8

1 > [⑵ -1)!1]2 1

仆）

仆）

1 У (2/ - 1川(2/ + 1)!! ~ VW爲 2/十彳2加一

1 У (2/ - 1川(2/ + 1)!! ~ VW爲 2/十彳2加一

(7.42)

• (7.43)

(7.42)

• (7.43)

Вообще,

М /V ⑵一1川⑵+ 2" —3)!! 1

Me ⑺ ~ k々 2/+々-1 (2j)!l 怔•(7.44) Ул：Т 2 /=0

Из (7.44) с помощью (6.7) легко получить асимптотические разложения функций N^k) при т ^> 1:

/2 m ⑵一1)!!(2, + 2々—3)!!1

"々〃⑴ ~ 々一丄 Е 2"/~2 [2 (j+力+ 〃)一3] (2j)!l V '(745) /^т2 I

В частности,

*1 丄 9 1 丄儲5 1 丄 175 1\

(7.46)

了- 2/. , 3 1. 27 1. 25 1.\

(7.47)

Функции 卜厶(〃)и 砲厶(?)имеют вид

乙(〃)=1 — у= (了 1 + 〃2 + 〃)" + 击 arctg [Y2u x

X (/Г+7? + 〃产】，(7.48)

%⑶=

При 0<2< 1,

При 2〉1

(7.49)

и разлагаются в ряды

乙⑷=1一联五4(一1)丁肃謡布办(0<"<1),

(7.50)

砲L(z) = ] — y7 2 (― 1)' К，)")!!？ (2〉I'), (7.51)

где [а]——наибольшее целое, не превосходящее а.

Формулы (7.48) и (7.49) проще всего получаются с помощью соотношений (7.13) и (7.17). При лоренцовском коэффициенте поглощения интегралы, входящие в правые части этих формул, сравнительно легко вычисляются. Имеем

言山乙(4)]=言山乙(4)]=(7.52)(7.53)(7.52)(7.53)/г+^)Т/2

言山乙(4)]=

言山乙(4)]=

(7.52)

(7.53)

(7.52)

(7.53)

L 2(i+ 〃2)—j，

1 —Г Vf^，1《“ < 8'

Z у 1 + 2

1 1 11 1

причем второе из выражений (7.53) справедливо при всех комплексных г с Re г > 0, за исключением точек вещественной оси [1, оо). Интегрируя (7.52) и (7.53) соответственно по и и г, приходим к (7.48) и (7.49).

Глава 111

МОНОХРОМАТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЙ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДАХ

Перенос излучения в частотах спектральных линий обладает рядом особенностей, существенно отличающих эти проблемы от классических задач о монохроматическом рассеянии и эквивалентных им в математическом отношении проблем диффузии тепловых нейтронов. Нам не раз придется говорить об этих различиях. Поэтому кажется целесообразным предпослать решению проблем переноса излучения в частотах спектральных линий специальную главу, посвященную монохроматическому рассеянию. Она призвана сообщить читателю некоторые важные факты, относящиеся к этой области. Дальнейшие сведения можно найти в ряде монографий (Э. Хопф [1], С. Чандрасекар [1], В. Курганов [1], К・ Кейс,①.Гофман и Г. Плачек [1], В. В. Соболев [1], Б. Дэвисон [1], И. Басбридж [1], Дж. Винг ⑴)и в многочисленных оригинальных работах. Некоторые из них будут указаны ниже.

Точечный источникв бесконечной однородной среде

Первый вопрос теории монохроматического рассеяния, который мы рассмотрим,— это расчет поля излучения изотропного точечного источника, находящегося в бесконечной однородной среде. Совместим начало координат с источником и обозначим через Sp функцию источников этой задачи, т. е. отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения. Индикатрису рассеяния будем считать сферической. Из соображений симметрии ясно, что

функция источников должна зависеть только от расстояния от источника г, которое удобно измерять в оптических единицах (в длинах свободного пробега кванта). Функция Sp(q 入)определяется интегральным уравнением Пайерлса (см. § 2.1)

Sp(% 九)=\ 3 Spg 九)"+ ± 5 • С」)

Здесь т = {тх, ty, т2} — оптический радиус-вектор, т = = |т| — оптическое расстояние от источника,九一вероятность выживания кванта при рассеянии (отношение сечения рассеяния к полному сечению). Интегрирование в (1.1) распространяется на все пространство. При написании этого уравнения принято, что мощность источника (в расчете на единичный интервал частот) равна 4л/а2, где о ——коэффициент поглощения, или, точнее, коэффициент экстинкции (полное макроскопическое сечение). Индекс р у функции источников подчеркивает, что она описывает поле излучения точечного источника (сокращение от point).

Физический смысл уравнения (1.1) состоит в следующем. Излучение объема, расположенного на расстоянии т от источника, складывается из двух частей — рассеянного этим объемом прямого излучения источника и переизлуча- емой им радиации, приходящей из всех других точек среды. Это уравнение есть частный случай обсуждавшегося в § 2.4 уравнения (2.4.26), описывающего перенос излучения в частотах линии в сферически-симметричной среде, соответствующий прямоугольному профилю коэффициента поглощения, X = const и S*(t) = ,

Прежде чем решать уравнение (1.1), несколько его преобразуем. Пусть компоненты оптического радиуса-вектора точки наблюдения М есть тх, т^,工力 Проинтегрируем функцию источников Sp(q 九)вдоль плоскости tz = const. Обозначим получающуюся в результате величину через ①8(Q,九)，т. е. положим

ОО ОО

①8(応,九)=\ ，Sp (т, X) dxxdxy. (1.2)

—8 —8

Переходя от прямоугольных координат тх, т〃, т2 к цилиндрическим (q, ср, g； см рис. 4), находим

①8(応,九)=2冗 § Sp (т, K)rldx1.(1.3)

Рис. 4. К преобразованию уравнения для функции источников.

Учитывая, что

4 =£ + 或

окончательно имеем

①8(点，九)= 2n \ Sp (т, X) тЛ.(1.4)

Аналогичным образом, СО СООО

\ § ^ dxxdxy = 2л \ "dt = 2п£\(Е|)(1.5)

-ОО-8|，|

и, наконец,

£ £也也 =2吗 1l一吟•(1.6)

—8 —8

Поэтому, если уравнение (1.1) проинтегрировать по всем

t尤ие[八получим

ОООО ОО

①8(匕，九)=等 \ Ei(|tz —K|)dK \ ，Sp (x\^dxxdXy + 一oo--oo -oo

十等七1(旧).(1.7)

Пользуясь еще раз (1.2) и заменяя для простоты обозначение независимой переменной т2 на т, окончательно приходим к следующему уравнению для ①8 (т,九)：

Фоо (% М = 4 ! Е^х^х^ ① 8 С,九)"+ 整 J (111).

—oo

(1.8)

Из него видно, что ①8“，九)является четной функцией, так что достаточно найти ее для t〉0.

Решив уравнение (1.8), мы получаем и решение уравнения (1.1), так как Sp (т,九)и ①8(工，九)связаны соотношением

Sp(t) =石①8 ⑴，(1.9)

вытекающим из (1.4).

Уравнение (1.8) относится к классу уравнений, стандартным методом решения которых является использование преобразования Фурье или двустороннего преобразования Лапласа (см., например, Е. Титчмарш [1], ①. Морс и Г. Фешбах [1]). Условимся обозначать одностороннее преобразование Лапласа от функции Дт) через f(s):

『⑻=宁广^⑴右.(1.10)

о

В результате применения к уравнению (1.8) двустороннего преобразования Лапласа и использования теоремы о свертке получим

68(5.九)+不8(-5,%)=等十 七?•三9)——.

1 — У £1 (s)—芽 & (— s)

(口1)

= Л1п(1 +S), (1.12)= Л1п(1 +S), (1.12)НоI

= Л1п(1 +S), (1.12)

= Л1п(1 +S), (1.12)

瓦(S)=\C-SPE] (Т) dt =\1工с

о0厂

так что последнюю формулу можно записать также в виде

X ln £ + s 68(5,九)+不8(一邑九)=^^^ .(1.13)

Для получения ①8(工,九)при 工〉0 нужно обратить преобразование Лапласа, т. е. вычислить контурный интеграл

0卍8

①8 (с,九)=2储・ У ①оо (s,九)Ads,(1.14)

где о。должно быть таким, чтобы все особенности ①8(s,九)лежали слева от прямой Re s = о。. Нас интересует решение уравнения (1.8), ограниченное на бесконечности. Преобра

зование Лапласа такого решения 0^(5,九)представляет собой функцию комплексной переменной s, регулярную в правой полуплоскости. Поэтому в формуле (1.14) можно положить о。= 0, взяв за путь интегрирования мнимую ось. Воспользовавшись (1.13) и учтя регулярность ①8(—s,九) в левой полуплоскости, вытекающую из регулярности Фоо (s,九)в правой полуплоскости, вместо (1.14) можем написать

①8 (t ,九)①8 (t ,九)2л72л7+，81+，811 野 ds.1 野 ds.(1.15)(1.15)

①8 (t ,九)

①8 (t ,九)

2л7

2л7

+，8

1

+，8

1

1 野 ds.

1 野 ds.

(1.15)

(1.15)

Замена s = i〃 приводит этот интеграл к виду

①8(а)=/ f^^^COSMd".(1.16)

О

Наконец, применение соотношения (1.9) дает

00

&①九)=-^-\ "上中祟良" 〃sint "也(*7) о

Эта формула неудобна для вычислений, так как под интегралом стоит осциллирующая функция. Можно, однако, указать другой путь преобразования интеграла (1.15), приводящий к выражению, свободному от этого недостатка.

——&

-/ м

Рис. 5. Контур интегрирования длявычисления функции источников примонохроматическом рассеянии.

Этот путь состоит в деформировании контура интегрирования.

При Re s V 0 подынтегральная функция имеет следующие особенности:

1) полюс на вещественной оси в точке s =—比 где k — положительный корень так называемого характеристического уравнения

2) точку ветвления s =

1,

詣 1п£=1；(1，8)

в которой In (1 + s)

неоднозначен. Проведем разрез вдоль вещественной оси от —оо до —1 и деформируем контур интегрирования в (1.15) так, чтобы он охватывал все особенности подынтегральной функции, лежащие в левой полуплоскости (рис. 5). Для вычисления интеграла вдоль разреза заметим, что на верхнем

его берегу s = % + 力0, и

九

тогда как на нижнем s = % — М

1一与1 一

2s 1 —s2а

Поэтому интеграл по контуру равен

,так что

[I х + 1 I I 九 Jt .

Z, охватывающему разрез,

—1 г

一 1 - 为"

+击Г

2

X + 1 I 人门 х — 1 2х

1

-—1 етх dx +

1

九冗

—1 е" dx,

или

斬5九，1+sz〈2Г1п-гтг斬5九，1+sz〈2Г1п-гтг~ 1\ ezs ds —~ 1\ ezs ds —-27ln-27ln*4（大留*4（大留3".(1.19)3".(1.19)

斬5九，1+s

z〈2Г1п-гтг

斬5九，1+s

z〈2Г1п-гтг

~ 1\ ezs ds —

~ 1\ ezs ds —

-27ln

-27ln

*4（大留

*4（大留

3".(1.19)

3".(1.19)

Подсчитаем теперь вклад в интеграл (1.15), даваемый полюсом s =——k. Вычет в этом полюсе равен

Res —"( 1 —必)_ eF

H's —九—1 + 依 **

Дифференцируя (1.18) no 九，убеждаемся в том, что коэффициент при e-阮 есть не что иное, как 九 |際卜 Поэтому полюсной член записывается как

Полагая в (1.19) % = —— , добавляя вклад от полюса и учитывая четность ①8(T,九)， окончательно получаем

①8(小九)=等 ? 黑 宀寸+ ，7?(卩，九)等.,(1.20) 0

где

R (卩,九)=《1 一学in 4^!?+卜子卩)「(1.21)

С помощью соотношения (1.9) из (1.20) находим, что поле излучения изотропного точечного источника мощности 4л / а2, находящегося в бесконечной однородной среде, характеризуется функцией источников

邑旧九)=急｛ I 霁卜/* + j R (卩,M(1.22)

Вывод этого выражения и составлял основную задачу настоящего параграфа. В дальнейшем мы детально его проанализируем. В большинстве стандартных руководств по теории переноса такой анализ либо отсутствует, либо дается очень кратко, причем ряд вопросов, представляющих для

нас особый интерес, вовсе остается в стороне. Исключение составляет редко встречающаяся у нас книга К. Кейса, Ф. Гофмана и Г. Плачека [1], из которой в основном и взяты результаты, приводимые в ближайших параграфах.

Диффузионная длина и связанные с нею величины

Рис. 6. Корень характеристического уравнения 々 как функция альбедо однократного рассеяния 九.Рис. 6. Корень характеристического уравнения 々 как функция альбедо однократного рассеяния 九.Характер светового поля при монохроматическом рассеянии в значительной мере определяется введенным выше параметром k. Как мы помним, величина k представляет собой положительный корень трансцендентного характеристического уравнения （1.18） и определяет положение полюса преобразования Лапласа функции ①8«,九）.В § 3.3 показывается, что вдали от источника поле излучения целиком определяется значением k.

Рис. 6. Корень характеристического уравнения 々 как функция альбедо однократного рассеяния 九.

Рис. 6. Корень характеристического уравнения 々 как функция альбедо однократного рассеяния 九.

Корень характеристического уравнения и ряд связанных с ним величин играют важную роль и в других задачах о монохроматическом рассеянии. Рассмотрим их поведение в функции параметра 九.

Величина k представляет собой изменяющуюся от 々=1 при 九=0 до 力=0 при 九=1

（рис. 6）. Величина, обратная 力,называется диффузионной длиной. Мы будем обозначать ее %. Существенно подчеркнуть, что диффузионная длина заметно отличается от единицы, т. е. от длины свободного пробега кванта, только тогда, когда относительная роль поглощения мала. Например, если при рассеянии выживает каждый второй квант （九= =0,5）, диффузионная длина больше длины свободного пробега кванта еще всего примерно на 5%. При 九=0,9 она становится приблизительно вдвое больше, и только при очень малом поглощении （1—九忘 0,01） диффузионная длина и длина свободного пробега становятся величинами разного

порядка.

Из (1.18) нетрудно получить следующие асимптотические разложения, удобные для расчетов при малых А:

_2е-т(1 +〔^ + %-廿"е-т+ …),

22З⑴

依〜q — 4eT(l + 土产 е— + +上联竺宀…). (2.2)

В противоположном случае, когда 1 —九《1, имеем

而三吁备(1一)「 9

5^~(1 -九)3 + . . . ,(2.3)

3"二九)=1一亏(1 -九)+ -^(1 -м2 +

4

十 Т75~(1 一 九)3 + • • •(2.4)

Отсюда видно, что в предельном случае очень слабого поглощения диффузионная длина равна 1 / 了3(1——九).

Из (1.18) следует, что

(2.5)(2.5)d依 —2胪(1—々2»

(2.5)

(2.5)

d九X (X — 1 + 依).

Эта величина уже встречалась нам — она стоит множителем при эспоненциальном члене в формуле (1.22). Дифференцируя (2.2) и (2.4), находим для нее следующие полезные разложения:

壮依 8 —4- /1 .壮依 8 —4- /1 .8 —6九8 —6九2«F +2«F +72 - 84% + 19V 一寺 I好 C 十72 - 84% + 19V 一寺 I好 C 十

壮依 8 —4- /1 .

壮依 8 —4- /1 .

8 —6九

8 —6九

2

«F +

2

«F +

72 - 84% + 19V 一寺 I

好 C 十

72 - 84% + 19V 一寺 I

好 C 十

+ ...)(У1),(2.6)

-黑=3[1—告(1_九)+ 張(1—大)2 +

需(1一九)3+...](1-Х<1).(2.7)

Т а б л и ц а 3

Корень характеристического уравнения и связанные с ним величины

入

力

左2

—竺

D

8

0,0

1,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

0,1

1,0000

1,0000

0,1649•10-5

0,9000

0,1484•10-5

0,2

0,9999

0,9998

0,9094-10-2

0,8001

0,7277-IO"2

0,3

0,9974

0,9948

0,1162

0,7036

0,8176.1g-1

0,4

0,9856

0,9715

0,3733

0,6176

0,2305

0,5

0,9575

0,9168

0,7319

0,5454

0,3992

0,6

0,9073

0,8233

1,1460

0,4859

0,5568

0,7

0,8286

0,6866

1,5900

0,4369

0,6947

0,8

0,7104

0,5047

2,0511

0,3963

0,8128

0,9

0,5254

0,2761

2,5224

0,3622

0,9136

0,92

0,4740

0,2247

2,6175

0,3561

0,9320

0,94

0,4140

0,1714

2,7128

0,3501

0,9498

0,96

0,3408

0,1162

2,8083

0,3443

0,9670

0,98

0,2430

0,0590

2,9041

0,3388

0,9838

0,99

0,1725

0,0298

2,9520

0,3360

0,9919

1,00

0,0000

0,0000

3,0000

0,3333

1,0000

Величина D, определяемая равенством

0=与工（2.8）

называется коэффициентом диффузии. Можно показать, что 0〜（1 -九）（1 +41^ + 8今 + ...） （九V1）,

（2.9） Q = $[1 + -!~ ^ -九）+ -^!" （1 -九）2 +

需（1 一九）3+…]（l-x<l）. （2.10）

Кроме того, полезно иметь в виду, что правая часть формулы （2.3） дает разложение （ЗО）-% при 1 — Z << 1.

В следующем параграфе мы встретимся с величиной 1-Х 诚2 _ 2（1—九）（1 一依）9 11、

0 =^ ЗT 一九（九-1 +心）' У ）

которая, как оказывается, имеет очень простой физический смысл. Для нее можно получить следующие разложения:

при 九 у 1

2

х 8Q1 I 8 — 2九272 一 36厶 + 3九2 4

6人（1_九）（1 + -5c—,—+ 九? ГЧ + ・•・），（2.12）

при 1 —九 W 1

6=1$ （1 —九）摆-（1 ~ Z）2 — -q^^ （1 —九）3 + ..・

（2.13）

Значения всех перечисленных только что величин даны в табл. 3.

Точечный источник в бесконечной среде.Общий анализ решения

Переходим к обсуждению полученного в § 3.1 решения задачи о точечном источнике, находящемся в бесконечной однородной среде. Из формулы （1.22） видно, что функция т5р（т,九）представляет собой сумму двух слагаемых. Одно из них —— внеинтегральный член — убывает с расстоянием как e-右工 причем 々 < 1. Второе же, являясь суперпозицией функций с 卩 с 卩《1, должно убывать по крайней мере как с-。（в действительности оно стремится к нулю немного быстрее; см. ниже）. Поэтому надостаточно больших расстояниях от источника внеинтегральный член должен стать преобладающим. Он описывает асимптотическое поведение решения при т -> оо. Наоборот, интегральное слагаемое можно рассматривать как отклонение от этого асимптотического решения, которое существенно только при сравнительно небольших т, т. е. вблизи источника. Таким образом, функцию источников （1.22） можно представить в виде

Sp（t,九）-Sas （T,九）+ S〃（t，九），（3.1）

где

凡《九）=鳥|罂口，（3.2）

a S〃 （т,九）описывает световой режим в ближней зоне.

Индексы《os》и «Zr» означают соответственно «асимптотический» и «переходный». Возможность такого разбиения на асимптотическую и неасимптотическую части является важнейшей особенностью найденного выше решения. Как станет ясно из дальнейшего, эта особенность присуща не одной только задаче о точечном источнике в бесконечной однородной среде, но и всему классу проблем монохроматического рассеяния в целом.

Однако столь ли универсальна в действительности возможность такого разбиения решения на две части? На «достаточно больших» расстояниях от источника экспоненциальный член, конечно, является доминирующим, и указанное разбиение становится законным. Но не оказываются ли эти расстояния одновременно достаточно большими и для того, чтобы можно было просто считать, что сюда излучение источника уже практически не доходит? Когда вероятность выживания кванта заметно отличается от единицы, дело так именно и обстоит.

Чтобы как следует разобраться в этом вопросе, исследуем прежде всего интегральные свойства решения (1.22). Выясним, какую долю из находящихся в среде квантов составляют кванты, которые описываются асимптотической частью решения? Иначе говоря, найдем, чему равно отношение

fSas(£,九)九

6 = ,(3.3)

]S&(t,九)de

где интегрирование в обоих случаях р аспр остр ан я ется на все пространство.

Что касается числителя этого выражения, то он вычисляется непосредственно:

必(g)次=大I警灯J若丿(3.4) Несколько сложнее находится интеграл, стоящий в знаменателе. С помощью соотношения (1.9) интегрированием по частям убеждаемся в том, что (при 九 < 1)

\ 工2〃 Sp(£ 九)dt = 2 (2/г + 1) \ 兀2八①8 (т,九)dx о

(/г = 0,1,2,...).(3.5)

При небольших п входящий в правую часть интеграл можно вычислить так. В области регулярности функции Фоо （s, X）, т. е. при Re s> —左,ее можно разложить в ряд Тейлора:

Ф- （s,入）三，①8 （t, X） dt =，①8 （г, X） dx — оо

—s\ тФоо （% 九）dt + -^- \ t Фоо （c,九）dx — ... （3.6） оо

Отсюда следует, что в полосе —々 < Re s < 々

ОО

①8 （s,入）+ ①8 （— s,九）=2，Фоо （% 九）dx 十

0

+ $2§七2 ①8（3.7）

0

ОООООО九.1+s-石 1ПТ=^九.1+s-石 1ПТ=^L （3.8）L （3.8）Подставляя это выражение в формулу （1.13）, получаем

ОО

ОО

О

О

九.1+s

-石 1ПТ=^

九.1+s

-石 1ПТ=^

L （3.8）

L （3.8）

Разлагая правую часть в степенной ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, находим значения интересующих нас интегралов. В частности, оказывается, что

ОО

\ Фоо（J %）dp = -2 （4 乙九）一，（3.9）

\ t2①8 （小九）dt = 3（[匕九产（3.10）

Из （3.5） и （3.9） следует, что

§ Sp （т,九）dt =]—九-.

Эта формула имеет очень простой физический смысл. Чтобы понять его, заметим, что отношение полного числа квантов, излучаемых в среде за 1 сек, к числу квантов, поставляемых источниками за единицу времени, дает среднее число рассеяний кванта N、так что

_ f Sdx

——， (3.12)

где S* —— первичная функция источников, а интегрирование распространяется по всему объему рассеивающей среды (подробнее см. § 6.8). Применим эту формулу к разбираемой задаче. В качестве S* нужно подставить свободный член исходного интегрального уравнения (1.1), а в качестве S ——решение этого уравнения 5р(т,九).Получим

J (т, X) dr 4 р N = ^=\ S〃 (с,九)dt,

W 4л т2что в комбинации с (3.11) дает而=下^・(3.14)

Итак, формула (3.11) есть непосредственное следствие того физически очевидного факта, что в однородной бесконечной среде среднее число рассеяний кванта равно (1 ——Z)-1.

После этого небольшого отступления возвратимся к вычислению доли квантов, описываемой асимптотической частью решения. Подставляя (3.4) и (3.11) в (3.3), получаем для нее такое окончательное выражение:

6=(3」5)

Отсюда следует, что она совпадает с величиной 6, введенной в предыдущем параграфе [формулы (2.11)—(2.13)].

Обращаясь к значениям 6, приведенным в табл. 3 (стр. 135), видим, что при сильном поглощении (малые 九)асимптотическая часть решения описывает сравнительно небольшую долю всех квантов. Так, при 九=0,4 эта доля не превышает 25%, а при 九=0,3 она уже меньше 10%. Лишь при почти чистом рассеянии (1 ——九 У 1) кванты, находящиеся в той зоне, где уже установился асимптотический

режим, описываемый формулой (3.2), становятся подавляюще преобладающими. Следовательно, чем больше роль поглощения, тем осторожнее нужно быть с заключениями о характере поля излучения, делаемыми по одной лишь асимптотической части решения. В лучшем случае они справедливы в отношении небольшой доли всех квантов. В действительности область значений параметров, где замена точного решения на асимптотическое обеспечивает разумную точность, еще уже, чем можно думать на основании только что приведенных цифр. Основной вклад в интеграл от Sas (J 九)дают те области, где S"(t,九)еще не мало по сравнению с Sas(x, Z). Поэтому доля квантов, находящихся в асимптотической области, т. е. там, где Sas(r,入)登 登 S〃(t, X), оказывается существенно меньше 6.

Точечный источник в бесконечной среде.Детальный анализ и численные результаты

Обсудив в целом свойства поля излучения точечного источника и выяснив в общих чертах границы применимости асимптотической теории, перейдем теперь к детальному анализу формулы (1.22). Этот анализ, по существу, сводится к исследованию поля излучения в «ближней» зоне, где невозможна замена точного решения (1.22) на асимптотику (3.2). Слово «ближняя» стоит здесь в кавычках потому, что в действительности, как мы видели выше, при малых 九 размеры этой зоны очень велики. Существуют особые причины, пробуждающие нас исследовать световой режим в «ближней» зоне со всей возможной тщательностью: изучая рассеяние света в частотах спектральных линий, мы все время будем иметь дело с положением, чрезвычайно сильно напоминающим положение в этой «ближней» зоне.

Рассмотрим сначала поле излучения в непосредственной окрестности источника, т. е. при малых т. Будем исходить из интегрального уравнения (1.1). Умножая обе его части на т2 и переходя к пределу при т -> 0, получаем

X S«,九)dd.X S«,九)dd.(4.1)(4.1)

X S«,九)dd.

X S«,九)dd.

(4.1)

(4.1)

Предел справа равен нулю. Поэтому при достаточно малых т функция источников

(4.2)(4.2)邑（。，九）〜备

(4.2)

(4.2)

Вклад в Sp(t, Z), обусловленный излучением, приходящим от источника без рассеяний,равен

S*")T-T-，(4・3)

что при т у 1 совпадает с (4.2). Такого результата, конечно, можно было ожидать заранее.

Поведение Sp«,九)при t W 1 можно исследовать и более детально. Методика такого исследования, основанного на использовании формул (1.17) и (1.22), излагается со всеми подробностями в § 4.2. Результат оказывается следующим: S〃 (Т, %) = -4~- [ 1 十(毕 一 Q) Т + ①一九2 圣)X

X т21пт] +0(1) (т<1). (4.4)

Что касается интенсивности излучения /, то очевидно, что она зависит от двух переменных ——расстояния от источника и угла 仆 между радиусом-вектором и направлением распространения излучения. Можно показать (М. Смит [1]), что при |1 = cos(&5>0ht<^1

/(% 卩)=备 yrh^k—arcsin и 1 一必)4-+

(4.5)(4.5)+。(1口*

(4.5)

(4.5)

/(小一卩)=4г 7Т=г arcsin Н Т V +

+ 0(1口*

или, если перейти от переменной 卩 к углу 仆，

/0分)=备 ^Й^； + °(МT)(0《分《叫 Ty»

(45)

Заметим, что в приводимые в статье М. Смита выражения вкрались ошибки: в главном члене разложения пропущен множитель 九/2, второй же член вообще неверен. Вместо

этого члена в формулах （4.5） и （4.5,） дана только оценка порядка его роста при т f 0.

Вернемся к рассмотрению функции источников. Из сравнения формулы （4.4） с （1.22） видно, что при малых т основной вклад в функцию источников дает неасимптотическая часть решения, т. е. величина

S. （小 九）=急 \ R （卩,九）С一不器•（4.6）

о

Ее удобно представить в виде

S/r （t,九）=4川（2 L E。 （T,九），（4.7）

где ^р（т,九）учитывает отклонение Str （т,九）от «прямопролетного» выражения （4.3）. Таким образом,

电（小九）=m、R（卩，九）0 "寸.（4.8）

о

Такая форма записи S"（t,九）целесообразна потому, что при не очень больших т （скажем, при т^20）, функция ^р（^Л） по порядку величины не отличается от единицы. Ее можно рассматривать как поправочный множитель и при грубых оценках полагать равной единице. Когда же т велико, функция Ер«,九）заметно упрощается, и для нее можно получить сравнительно несложное асимптотическое представ

ление. Покажем, как это делается. Подстановка

（4.9）（4.9）（4.Ю）（4.Ю）1

（4.9）

（4.9）

（4.Ю）

（4.Ю）

卩="1打

приводит （4.8） к виду

^р （т, X） = т \ R （ ] + % е р" dx. о

При больших т основной вклад в этот интеграл дают малые х.При больших т основной вклад в этот интеграл дают малые х.можно,（4.11）можно,（4.11）

При больших т основной вклад в этот интеграл дают малые х.

При больших т основной вклад в этот интеграл дают малые х.

можно

,（4.11）

можно

,（4.11）

гдегде

где

где

%о = 2е 入.

гдегдеииПодставляя (4.11) вместо R в (4.10) и полагая р= хх, для Ер«,九)при т 発 1 получаем окончательно

где

где

и

и

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Формула (4.12) и дает искомое асимптотическое выражение для 5р(^,九)при больших т. Замечательной его особенностью является то, что величина 九2自卩«,九),зависящая от двух переменных, в предельном случае больших т оказывается довольно простой функцией одной переменной /. Разумеется, это чрезвычайно сильно упрощает дело. В последующих главах мы увидим, что аналогичные упрощения играют огромную роль при исследовании рассеяния в частотах спектральных линий.

Для получения функции источников нужно иметь значения F(/). При /2 я2 эта функция разлагается в ряд Тейлора

尸⑺=0,88322 - 0,04684/ - 0,11500 -^- + 0,01863-J- +

+ 0,08280- 0,0202 -|г • • -(4.15)

который с учетом всех выписанных членов дает 尸(/) при |/|《0,5 с четырьмя значащими цифрами. При /2 >> я2 имеет место асимптотическое разложение

尸⑴〜（号）力尸⑴〜（号）力"屮L + G(4/6)"屮L + G(4/6)

尸⑴〜（号）力

尸⑴〜（号）力

"屮L + G(4/6)

"屮L + G(4/6)

где 丫 一 постоянная Эйлера. При /, не удов л етвор я ющи х

ни одному из неравенств |/| у л, |/| >> л, значения F(Z) находятся по формуле (4.13) численным интегрированием (табл. 4).

Таблица 4

Функция 尸(£)

e⑴

t

E (力

尸(0

—20

0,0259

Т

0,7670

0,2600

—18

0,0320

—1

0,8723

0,1236

—16

0,0407

—0,5

0,8920

10

0,0835

—14

0,0535

0,8832

12

0,0601

—12

0,0732

0,5

0,8460

14

0,0452

—10

0,1058

0,7851

16

0,0352

—8

0,1640

0,6256

18

0,0281

—5

0,3624

0,4686

20

0,0230

-J

0,6208

(формулы (4.12)—(4.14) определяют gp(r,入)при т ^> 1.

В противоположном предельном случае т У 1 из (4.4) находим

Ep(G)=1 + (手塞]卜+他一年卜ми + + 0^). (4.17)

Для полного определения функции источников Sp(t,入) нам недостает теперь только значений ^р(т,入)в промежуточной области. Их можно найти численным интегрированием по формуле (4.8). В книге К・ Кейса, Ф. Гофмана и Г. Пла- чека [1] приводятся четырехзначные таблицы ^р(т,入)для т;《20. К сожалению, эти таблицы неточны. Мы даем трехзначную таблицу Ep(t, 1), полученную округлением значений Ер(т, 1), приводимых К. Кейсом и др. (табл. 5). При т = 20 асимптотическое выражение (4.12) обеспечивает уже достаточно хорошую точность (рис. 7).

После исследования неасимптотической части решения полезно еще раз вернуться к вопросу об области применимости асимптотической теории, соответствующей пренебрежению Sfr(t,入)по сравнению с Sas(r, X). Пользуясь приведенными выше результатами, легко найти отношение Sas(叫入)/Sp(t, X) в функции т для различных значений X.

Рис. 7. К СплошнаяРис. 7. К Сплошная闺闺

Рис. 7. К Сплошная

Рис. 7. К Сплошная

闺

闺

Соответствующие данные представлены в графической форме на рис. 8.

Таблица 5

функция |р(т, 1)

t

已小1)

t

/，1)

t

J« 1)

0,0

1,000

0,8

0,791

4,0

0,544

0,1

0,956

0,9

0,775

4,5

0,525

0,2

0,922

1, и

0,761

5,0

0,508

0,3

0,893

1,5

0,702

6,0

0,479

0,4

0,868

2,0

0,657

7,0

0,455

0,5

0,846

2,5

0,621

8,0

0,435

0,6

0,826

3,0

0,591

9,0

0,417

0,7

0,808

3,5

0,565

10,0

0,402

Из рисунка видно, что при слабом поглощении, когда X близко к единице, уже на расстоянии одной длины свобод-

оценке точности асимптотики gp(r, X).

кривая — функция F (/), точки — значения

匕& (20, X), полученные численным интегрированиемпо формуле (4.8).

ного пробега от источника основной вклад в функцию источников дает асимптотическая часть решения. В консервативном случае (九=1) пренебрежение S/厂(т, 1) по сравнению

с Sas (т, 1) ири т > 2 дает ошибку менее 2%. При т > 3 ошибка уже не превышает 0,5%.

Таким образом, при 1 —九《 1 член Sir (т,九)следует принимать во внимание лишь при сравнительно небольших т. Между тем в этой области при 1 —九 V 1 можно

Рис. 8/Доля квантов, описываемаяТасимптотической частью решения, в функции оптического расстояния от источника.

приближенно принять S/「(t, %) равным Str (т, 1). Поэтому при почти консервативном рассеянии функцию источников можно приближенно представить в виде

Sp (% 九)〜Sas (% 九)+ &「(％ 1)(1-X<1).(4.18)

I成2 I

Далее, в выражении (3.2) для Sas(r, %) множитель 九 衣 можно без большой потери точности заменить главным членом его разложения при 1 ——九 У 1 [формула (2.7)], а от S/r(q 1) по формуле (4.6) перейти к gp(r, 1). Тогда (4.18) примет вид:

S，(%九)〜-7^-【3贯-/" + Сf“(%1)](1 -大 <<1).

(4.19)

Отсюда следует, что при т у = ~^с точностью до главного члена разложения по (1——九尸佟 функция Sp(t,入)не отличается от Sp(t, 1). Иными словами, при почти консервативном рассеянии на расстояниях от источника, малых по сравнению с диффузионной длиной, поглощением в первом приближении можно пренебрегать. Оно начинает заметно сказываться только с расстояний порядка диффузионной длины. В следующей главе мы увидим, что аналогичная картина наблюдается и при рассеянии света в частотах линий, с той разницей, что размеры «области консервативного рассеяния» определяются не диффузионной длиной, а так называемой длиной термализации.

Эффект накопления

Выясним теперь, к чему сводится суммарный эффект многократных рассеяний. Точнее говоря, рассмотрим, как изменяется функция источников на заданном расстоянии от источника в результате взаимодействия излучения со средой.

Представим себе, что источник мощности 4冗/。2 находится в пустоте, а на расстоянии г от него помещен «пробный» объем с веществом. Свойства этого вещества (его коэффициент поглощения о, значение параметра 九 и т. д.) будем считать теми же самыми, которыми мы ранее наделяли все вещество, заполняющее пространство. Пусть объем имеет форму цилиндра сечением 1 см2 и толщиной dr, ось которого направлена на источник. Поток излучения, падающего на этот объем, равен ^-耳％ =皆.Из него за единицу времени поглощается энергия odrh2. Доля 九 этой энергии излучается затем во все стороны. Поэтому функция источников в таком пробном объеме равна

S^=W (5・1)

Если тот же источник находится в бесконечной однородной среде, то на расстоянии т от него функция источников равна S/《，九).Поэтому отношение

9)=豁哥

показывает, во сколько раз изменяется под влиянием среды излучение пробного объема, находящегося на расстоянии г = t / о от источника. Величину /р（т,九）можно назвать

коэффициентом влияния среды. Графики гр（т,九）для нескольких значений %, построенные с использованием данных из книги К. Кейса, Ф. Гофмана и Г. Плачека [1], приведены на рис. 9. Наша цель состоит в обсуждении общего поведения кривых гр（т,九）.

При большом поглощении （малые Z） среда сильно ослабляет излучение. В предельном случае Z -> 0 это ослабление происходит экспоненциально （е—）. С ростом 九 убывание коэффициента влияния при возрастании т становится все более медленным. При 九〉$ = 0,405 вокруг источника существует область, где среда действует как своего рода усилитель или, правильнее сказать, накопитель. Однако пока поглощение играет сравнительно большую роль, размеры этой области и «накопление» квантов не очень велики. Так, даже при 九=0,9 максимальное значение коэффициента влияния составляет лишь около 1,9, а радиус зоны накопления, где ip（q 九）〉1, не превышает 4,8 длин свободного пробега кванта. Только при очень слабом поглощении （1——九 V 1） эффект накопления становится значительным.

Представляет известный интерес рассмотреть случай почти консервативного рассеяния немного подробнее. Из (5.2) и (4.19) следует, что

片他九)〜Зтс* + с-%(к 1) (1 -Х<1). (5.3)

При больших т второе слагаемое в правой части этой формулы пренебрежимо мало по сравнению с первым, так что при т》> 1

ip (% 九)〜3te"^T. (5.4)

Из рис. 9 видно, что с уменьшением роли поглощения максимум /р(т,九)быстро сдвигается в сторону больших т. Поэтому при оценке положения максимума можно исходить из последней формулы. Дифференцируя ее по т и приравнивая производную нулю, находим, что максимум накопления приходится на расстояние от источника, равное ттах == =万.Иначе говоря, при почти консервативном рассеянии максимальное накопление наблюдается на расстоянии^ одной диффузионной длины от источника. Принимая во внимание, что при почти консервативном рассеянии А 〜• 〜для коэффициента влияния в максимуме находим из (5.4)

2p(tmax,九)〜j/^^" еТ (1—九у I). (5.5)

Для определения радиуса зоны накопления 工1 нужно в (5.4) приравнять 勿(工，九)единице:

3匕宀=1. (5.6)

При разумно малых значениях 々 решение этого уравнения дает для радиуса зоны накопления величину, в несколько раз превышающую диффузионную длину % = 1 /々. Например, при Z = 0,99 из (5.6) находим q ~ 4,3^, при 九=0,9999 имеем q ~ 7,1^.

Какова физическая природа эффекта накопления? В пустоте траектории квантов были бы лучами, исходящими из источника. Когда источник окружен веществом, кванты испытывают рассеяния. Их траектории из лучей превращаются в ломаные линии. В результате отток квантов от источника затрудняется, что и служит причиной обсуждае-

мого эффекта. Предел накоплению квантов в бесконечной среде кладет поглощение.

Мы специально столь подробно говорим об этих понятных, почти очевидных вещах. В следующей главе будет исследоваться поле излучения источника, излучающего в частотах спектральной линии. Казалось бы, и здесь положение должно быть таким же. Однако это не так, или, вернее, не совсем так. Возможность изменения частоты при рассеянии сильно меняет картину, в одних случаях резко уменьшая, а в других и вовсе сводя на нет эффект накопления в консервативной области.

Плоский изотропный источник

Найдя функцию Sp（t,九）,мы в принципе решили все задачи о рассеянии в бесконечной среде, отличающиеся друг от друга расположением и мощностью первичных источников. В силу линейности уравнения переноса расчет функции источников сводится к простому интегрированию *р（т,九）по распределению источников.

Рассмотрим один важный частный случай. Будем считать, что источники равномерно распределены вдоль некоторой плоскости и излучают во всех направлениях изотропно. Мощность источников в единичном интервале частот в расчете на 1 см2 излучающей поверхности примем равной 4л. Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат лежало на плоскости, в которой сосредоточены источники. Тогда функция источников будет зависеть только от оптического расстояния т от этой плоскости. Обозначим функцию источников через SPi （т,九）（индекс «р/» — сокращение от plane, т. е. «плоский»）. Пусть Р — оптическое расстояние от точки наблюдения М до произвольной точки на излучающей плоскости, or — оптическое расстояние этой точки от основания перпендикуляра, опущенного из М на плос, кость （рис. 10）. Функция источников SPi （т,九）есть суперпозиция вкладов, даваемых каждым из «точечных» источников, распределенных вдоль плоскости t = 0. Учитывая- что Sp относится к источнику мощности 4冗/。2, имеем

SPi （т,九）=2n \ 02 sp （т\ X）rdr. （6.1） о

Но

寸2 =p2 + 02r2.

Поэтому

Spi (% 九)=2n \ Sp (#,九)廿 dW.(6.2)

Из сопоставления (6.2) с (1.4) заключаем, что

Spz",九)—①8 (% 九).(6.3)

Таким образом, функция ①8(怎九)имеет двоякий физический смысл. С одной стороны, как было показано в § 3.1,

Рис. 10. К выводу формулы (6.2).

она представляет собой интеграл от функции S для точечного изотропного источника мощности 4л/а2, взятый вдоль плоскости, находящейся на расстоянии т от него. С другой стороны, как мы только что убедились, она дает функцию источников на расстоянии т от плоскости, изотропно излучающей за 1 сек с каждого квадратного сантиметра энергию 4л. Никакой неожиданности в этом совпадении, конечно, нет. То, что дело так именно и должно обстоять, вытекает из простых физических соображений.

Теперь можно воспользоваться многими готовыми результатами из предыдущих параграфов. Самый важный из этих результатов — это явное выражение для функции ①8“,九)，даваемое формулой (1.20). Подобно Sp(t,九),функция Фто(т, Z) есть сумма двух членов — асимптотического

①(小九)="备卜h15 (6.4)

и неасимптотического

①々（小九）=与' R （卩,九）L牛， （6.5） о叱

первый из которых преобладает при больших |т|, а второй — при малых. Неасимптотическую часть целесообразно записать в форме

电《,九）=号丛（1门）與（%九），（6.6）

где ^（т,九）показывает, во сколько раз функция Ф/г（т,九）отличается от того значения, которое она имела бы, если бы была обусловлена только рассеянием первого порядка. Значения ^（т,九）для т ^ 30 и X = 1 приведены в табл. 6

Таблица 6

Функция 自8 （% 1）

Т

% С，1)

t

^oo "，1）

p

^oo ", 1）

t

匕8 ", 1）

0,0

1,0000

K2

0,6733

6,0

0,4594

16

0,3352

0,1

0,8679

44

0,6548

7,0

0,4385

17

0,3283

0,2

0,8320

1,0

0,6382

8,0

0,4208

18

0,3220

0,3

0,8051

1,8

0,6232

9,0

0,4054

19

0,3161

0,4

0,7830

2,0

0,6095

10

0,3919

20

0,3105

0,5

0,7640

2,5

0,5798

11

0,3799

22

0,3005

0,6

0,7473

3,0

0,5550

12

0,3692

24

0,2916

0,7

0,7322

3,5

0,5338

13

0,3595

26

0,2836

0,8

0,7185

4,0

0,5153

14

0,3507

28

0,2764

0,9

0,7059

4,5

0,4990

15

0,3426

30

0,2698

1,0

0,6943

5,0

0,4844

（соответствующая таблица в книге К. Кейса, Ф. Гофмана и Г. Плачека [1] неточна; значения ^（т, 1） были вычислены заново）.

При RI У 1 для ①8（т,九）можно получить следующее разложение:

①8 （t,九）=等｛— 1口 I I I J — Т + P-i （^）] +

+ （1-毕加|+3卜2*一2九）Т2]口]叫 +0（12）,

（6.7）

где y — постоянная Эйлера и

办.(6.8)

о М

Значения р\ (九)даны в табл. 7. Из (6.7) и (6.6) следует, что при

Для полного определения функции ^(т,九)осталось найти ее при больших |т]. Так как при т》1

&⑺〜(6.10)

из (6.6) находим, что

国(小九)〜1T1。e，7?(卩，九)葭"(6.11) оа

Сравним это выражение с (4.8). При больших | т | в обоих интегралах основной вклад дают 卩,близкие к единице.

Таблица 7 функция р}[仇)

入

乙（入）

入

乙（入）

0,0

0,0000

0,6

0,1668

0,1

0,1478

0,7

0,0459

0,2

0,3083

0,8

—0,0715

0,3

0,3991

0,9

—0,1825

0,4

0,3744

1,0

—0,2861

0,5

0,2830

Поэтому различие на множитель 出 в подынтегральных функциях несущественно, и ^(т,九)имеет ту же асимптотику, что и gp(r,九).Она дается формулами (4.12)—(4.14). Результаты, приведенные в § 3.4, непосредственно применимы и здесь.

На этом можно было бы закончить обсуждение плоского изотропного источника. Однако кажется не лишним сделать ряд дополнительных замечаний. Первое из них касается поведения решения при слабом поглощении. Из （2.3） находим, что при 1 —九 W 1 с точностью до главного члена разложения

dk I 〜У~93

Следовательно, при Z -> 1 функция ①8（G 九）расходится [см. формулу （1.20）]. Это означает, что в бесконечной консервативно рассеивающей среде с плоским изотропным источником стационарного поля излучения существовать не может. В действительности рассеяние никогда не бывает строго консервативным, а среда — бесконечной. Этим и устраняется расходимость.

Однако стремление ①^（工，九）к бесконечности при 九-> 1 заметно сказывается на особенностях поля излучения при почти консервативном рассеянии. Здесь имеется в виду следующее. Неасимптотическая часть решения ①卄（т,九） при 九 f 1 остается конечной, и вся расходимость обусловлена асимптотическим членом （6.4）. Поэтому, какое бы малое значение т мы ни взяли, найдется такое 九，начиная с которого Фа5（т,九）будет превосходить Ф/Г（т,九）.Значит, чем меньше роль поглощения, тем с меньших расстояний точное выражение для ①^（工,Z） можно заменять па асимптоты ку Фа5（т,九）.В предельном случае очень слабого поглощения （1 —— 儿《 1） имеем приближенно

①8（小九）〜击击耳（1"）弘（7 1）.（6.13）

Эта формула является аналогом выражения （4.19）.

Второе замечание состоит в следующем. До сих пор среда считалась однородной. Для точечного источника это предположение было принципиальным. В случае же плоского источника его можно заменить более слабым требованием, чтобы коэффициент поглощения о зависел только от расстояния от плоскости, в которой сосредоточены источники （см. § 2.4）. Все результаты настоящего параграфа остаются при этсм в силе. Изменяется только формула перехода от оптических расстояний к геометрическим.

Вместо t = о? имеем

t = \о(2，)dz\(6.14)

о

где 2 — геометрическое расстояние от излучающей плоскости.

Если источники распределены в бесконечной среде таким образом, что их мощность зависит только от одной пространственной координаты т, то определение функций источников сводится к решению уравнения

S(R =等弋 Er^x-^^S^d^ + S^ (т)?(6.15)

где S*⑴ описывает распределение и мощность первичных источников. Обозначим через Г^ (т, т') резольвенту (6.15), т. е. решение уравнения

8

%(Т,厂)=今、丛(I т 一 ⑴ ％ & s л+4 £1(|т 一 #).

00(6.16)

Из него следует, что резольвента зависит не от самих величин т и т\ а лишь от | т — Y |. Поэтому

Гоо(т, Y) = %。，т)(6.17)

и

гео(T + ^1,工‘+ 工1) =?8", Y),(6.18)

где 工1—произвольное число. Последнее равенство выражает трансляционную инвариантность резольвенты, т. е. независимость ее от выбора системы отсчета т.

Иногда вместо резольвенты вводят функцию Грина Geo (т, V), определяемую как решение уравнения

Gs (т"')=伞；瓦(I т Т I) Gs( f, d)必 + 6 (т — 亡)，

-8(6.19)

где 3(х)——дельта-фукция. Резольвента и функция Грина связаны между собой следующим образом:

G^t, V) = % (D + б(т — Y).(6.20)

Сравнивая уравнения (6.16) и (1.8) и пользуясь трансляционной инвариантностью резольвенты, находим, что

J (т, Р) = % (0, — Y)=①8 (工 一 Y)・(6.21) Отметим еще, что резольвента, являясь функцией модуля разности своих аргументов, удовлетворяет соотношению

(6.22)(6.22)仄8丄»8。

(6.22)

(6.22)

Имея резольвенту уравнения (6.15), его решение можно написать сразу же:

S “) = S乎(т) +《S* С) % (小亡)dx\ (6.23)

или, с учетом (6.21),

S (т) = S* (т) + J S* В)①8 (т 一 т‘)必‘，(6.24)

— ОО

или, наконец, еще так:

ОО

S(t)= \ S*(Y)G8(t")df・(6.25)

Сейчас предполагалось, что мощность источников зависит только от одной из координат. Если же это не так, и S* = S*(t), то функция источников находится по формуле

S (t) = S* (т) + \ S* ⑺ Sp(\x-5)dd, (6.26) в которой интегрирование ведется по всему пространству. Величина

Goo (Т, в = 6 « 一 В + s〃卜一门)(6.27)

является функцией Грина для бесконечной однородной среды.

В дальнейшем будут рассматриваться только такие случаи, когда все величины зависят от одной пространственной координаты. Поэтому мы будем иметь дело только с функцией Грина (6.20), которую также будем называть функцией Грина для бесконечной среды.

Полубесконечная среда

До сих пор речь шла о рассеянии света в бесконечной среде. Теперь нам предстоит исследовать влияние границ на поле излучения в среде. Геометрия рассеивающего объема может быть самой разнообразной, и изучить влияние границ в общем виде, для объема произвольной формы, конечно, невозможно. Однако если радиус кривизны граничной поверхности по порядку величины превосходит длину свободного пробега кванта, границу приближенно можно считать плоской, и мы приходим к классической задаче о рассеянии света в полубескоыечной среде. Такую полубеско- нечную среду, ограниченную плоскостью, можно, в частности, рассматривать1 как очень хорошую идеализацию звездной атмосферы. Именно в этой связи и изучалась первоначально эта проблема. В последствии и с аналогичными задачами пришлось встретиться и при изучении переноса нейтронов.

Полубесконечная среда может считаться хорошей моделью лишь для тех областей среды, где на поле излучения заметным образом влияет только одна (ближайшая) граница. При необходимости учитывать «интерференцию» границ проблема оказывается гораздо сложнее.

Уравнение переноса излучения для плоскопараллельной среды имеет вид (см. § 2.3)

2^§^ = /(% 卩)—} \ /(% 旷)如'一S* ⑺，(7.1)

где 卜I — косинус угла между направлением распространения излучения и внешней нормалью к границе, т — оптическая глубина, S*(t) — функция, описывающая распределение первичных источников в среде. Уравнение переноса должно решаться при граничном условии

/(О,卩)=0 при 卩 < 0, (7.2) соответствующем тому, что на границу среды извне излучение не падает.

Задача (7.1) — (7.2) эквивалентна решению следующего интегрального уравнения для функции источников S(t)

(см. § 2.4):

S ⑺=4>fEi(|P — Y|)SB)dY + S*(“・(7.3)

о

Функция источников связана с интенсивностью излучения соотношением

S⑴=令 ， /(% 卩')加+S* ⑴.(7.4)

Исследованию приведенных только что уравнений посвящена огромная литература, и в любом руководстве по теории многократного рассеяния света можно найти обсуждение методов их решения. Мы ограничимся поэтому простым перечнем основных фактов, отсылая за всеми подробностями к монографиям, упомянутым в начале главы, и к указанным ниже оригинальным работам. Хотя точное решение уравнения (7.3) и получено в явном виде, использование этого решения в практических расчетах крайне обременительно вследствие его громоздкости. Поэтому, не ограничиваясь сводкой формул, мы приводим также таблицы вспомогательных величин, облегчающих их использование. Заметим, что многие из приводимых формул справедливы и в случае рассеяния с полным перераспределением по частотам. Вывод таких соотношений общего характера можно найти в гл. V.

Решение уравнения (7.3) при произвольном свободном члене S*(t) сводится к отысканию его резольвенты Г(т, т'), удовлетворяющей уравнению

г(T, 0 =整r当("一俨(『)山+ 4~丛(1一口). о

(7.5)

Если резольвента Г(т,工‘)известна, функция источников находится простым интегрированием:

S (т) = S* (т) +；； S* (Y) Г (т, Y) dY.(7.6)

о

Оказывается (см. § 5.1), что для получения резольвенты 「(工户')，зависящей от двух аргументов, т и т\ достаточно найти ее частное значение Г(0, т) = Г(т, 0), которое мы обозначим через ①⑴：

①«)三 Г{0, т).(7.7)

Как следует из (7.5) и (7.7), функция Ф(т) есть (ограниченное на бесконечности) решение уравнения

①⑺=等f 小(I -门)①e)" +令团(t).(7.8)

о

Что касается выражения резольвенты через функцию Ф(т), то оно имеет вид

Г (т, Y)=①(I t 一 门)+ § Ф (т — /)①(J 一 /) dt, (7.9)

где 工一меньшее из чисел т, Y (Б. Дэвисон [1], гл. VI; В. В. Соболев [1], гл. VI; см. также § 5.1).

Функция Ф(т) имеет следующий физический смысл. Пусть в полубесконечной среде па оптической глубине т находится плоский изотропный источник, мощность которого в расчете на 1 см2 равна 4л. Тогда функция источников на границе среды равна Ф(т). На ①⑴ можно смотреть также как на функцию источников па глубине т в среде, на границе которой находится плоский изотропный источник с мощностью на единицу площади, равной 4n. Возможность такого двойственного толкования физического смысла функции Ф (т) есть частное проявление принципа обратимости.

.Для функции Ф (т) получено следующее явное выражение (И. Н. Минин [1]; см. также § 5.3):

+ ?(卩，九)髙牛 I，(7.10)

где все обозначения имеют тот же смысл, что и в формуле

а（р（|1,九）一 решение уравнения

ф（и, ^）^1 + 4и（р（^ ^）^ т. （7.П）

Функцию 屮（出）будем называть функцией Амбарцумяна （В. А. Амбарцумян [4], [5], см. также [1]）. Она играет важную роль во всех задачах об изотропном монохроматическом рассеянии в полубесконечной среде. Справедливости ради следует отметить, что уравнение （7.11） было впервые получено и решено О. Гальперном, Р. Люнебургом и О. Кларком [1], однако их исследование, в отличие от работ В. А. Амбарцумяна, не привлекло к себе должного внимания.

Прежде чем рассматривать функцию Ф （т,九），нужно познакомиться со свойствами функции Амбарцумяна 屮（出，九）. Для нее можно получить явное выражение в виде некоторого интеграла. Впервые интегральное представление 屮（出，九） （для частного случая консервативного рассеяния） было найдено Э. Хопфом [1]. Впоследствии для 屮（出，九）были найдены и другие представления. Так, О. Гальперы, Р. Люнебург и О. Кларк [1], а затем независимо от них В. А. Фок [1] показали, что

（00、

屮=exp j一号 \ In （1 —j . （7.12）

Из этой формулы, в частности, следует, что при 0、；出《 оо функция 屮（出，九）монотонно возрастает с ростом *, причем （р（0,九）=1; ф（оо,九）= （1—九尸2.（7.13）

В большинстве работ функция 屮（出，九）рассматривается только для значений аргумента 出 из промежутка [0, 1]. Как видно из （7.11）, имея 屮（出，九）для этого «основного» промежутка, простым интегрированием можно найти ее значения и при любых других

Имеются многочисленные таблицы 屮（出，九）для 0《 出 ＜；1. Укажем, в частности, на таблицы, приводимые в книге С. Чандрасекара [1]. Они были составлены путем численного решения уравнения （7.11） методом итераций. Наиболее полными являются таблицы Д. Стиббса и Р. Уира [1], исходивших при их составлении из интегрального представ-

лепия 屮（卩，九）.Табл. 8 является извлечением из данных Д. Стиббса и Р. Уира. Д. Стиббс [1] опубликовал также таблицу 屮（卩，1） для 卩〉1.

Таблица 8

Функция ①（卩,X）

入

卩

0,5

0,7

0,8

0,9

0,950

0,975

0,995

1,000

0,00

1,0000

1,0000

1,0000

1,000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,05

1,0443

1,0677

1,0819

1,0997

1,Ш5

1,1194

1,1293

1,1366

0,10

1,0724

1,1130

1,1388

1,1721

1,1952

1,2111

1,2316

1,2474

0,15

1,0947

1,1503

1,1866

1,2349

1,2694

1,2936

1,3256

1,3508

0,20

1,1135

1,1825

1,2286

1,2914

1,3373

1,3703

1,4146

1,4504

0,25

1,1297

1,2109

1,2663

1,3433

1,4007

1,4427

1,5001

1,5473

0,30

1,1439

1,2364

1,3006

1,3914

1,4605

1,5117

1,5829

1,6425

0,35

1,1566

1,2595

1,3320

1,4363

1,5171

1,5778

1,6635

1,7364

0,40

1,1680

1,2806

1,3611

1,4785

1,5710

1,6414

1,7421

1,8293

0,45

1,1783

1,3000

1,3881

1,5183

1,6225

1,7027

1,8191

1,9213

0,50

1,1877

1,3179

1,4133

1,5560

1,6718

1,7621

1,8946

2,0128

0,55

1,1964

1,3346

1,4368

1,5918

1,7192

1,8196

1,9688

2,1037

0,60

1,2043

1,3501

1,4590

1,6259

1,7647

1,8753

2,0417

2,1941

0,65

1,2117

1,3646

1,4798

1,6583

1,8086

1,9295

2,1134

2,2842

0,70

1,2186

1,3781

1,4995

1,6893

1,8509

1,9822

2,1840

2,3740

0,75

1,2249

1,3909

1,5182

1,7190

1,8918

2,0334

2,4635

0,80

1,2309

1,4029

1,5358

1,7474

1,9313

2,0834

2,5527

0,85

1,2365

1,4142

1,5526

1,7746

1,9695

2,1320

2,6417

0,90

1,2417

1,4250

1,5685

1,8008

2,0065

2,1785

2,7306

0,95

1,2466

1,4351

1,5837

1,8259

2,0424

2,2258

2,8193

1,00

'1,2513

1,4447

1,5982

1,8501

2,0771

2,2710

2,9078

Рассмотрим интегральные свойства 屮（出，九）.Обозначим через а» i-й момент функции 屮（*, %）, т. е.

% （九）=，рАр （出 ％）d卩（z = 0, 1,2,...）.（7.14）

о

Устремляя в （7.11）出 к бесконечности и пользуясь вторым из равенств （7.13）, находим, что

%（九）=》（1一联口）.（7.15）

Все остальные моменты выразить через элементарные или специальные функции не удается, и их приходится находить численным интегрированием. Исключение составляет а】 при 九 = 1. Можно показать, что при 1 —九 У 1 网(九)=y^ [1 - 了8q(°°)" 一九+ 下(1 -九)+ …].

(7.16)

Отметим еще, что

(MD =祸9(8)；%⑴=/3[4~ + 也2(8)] • (7.17)

Здесь q(oo) — значение функции Хопфа q(* на бесконечности (см. § 3.8). Нам встретится в дальнейшем также величина

0 出0 出(7.18)

0 出

0 出

представляющая собой сходящуюся часть минус первого момента функции 屮(出，九).Оказывается (Дж. Чемберлин и М. Макэлрой [1]), что

а±10) = 2 1п(р(1,九).а±10) = 2 1п(р(1,九).(7.19)(7.19)

а±10) = 2 1п(р(1,九).

а±10) = 2 1п(р(1,九).

(7.19)

(7.19)

Значения а^, а0, с^ и а2 приведены в табл. 9.

Можно показать (см., например, В. В. Соболев [1], гл. IV), что наряду с (7.11) функция 屮(出，九) удовлетворяет также уравнению

屮(小九)0一岑1rl昌)=1 一令，譽體力，，(7.20)

причем при 0 & 出《 1 аргумент логарифма следует брать по абсолютной величине, а интеграл в правой части понимать в смысле главного значения. Это уравнение справедливо при всех комплексных *, кроме— 1 W 2Vo• Полагая в (7.20)卩=1 / 力 и учитывая (1.18), находим, что

①（卩'，九）1 -他，①（卩'，九）1 -他，dp/ = 1.dp/ = 1.(7.21)(7.21)

①（卩'，九）

1 -他，

①（卩'，九）

1 -他，

dp/ = 1.

dp/ = 1.

(7.21)

(7.21)

Таблица 9

Моменты функции э (ц, к)

入

J

ао

«1

а?

0,1

0,0723

1,0263

0,5156

0,3444

0,2

0,1514

1,0557

0,5332

0,3568

0,3

0,2388

1,0889

0,5531

0,3710

0,4

0,3368

1,1270

0,5762

0,3875

0,5

0,4483

1,1716

0,6035

0,4070

0,6

0,5785

1,2251

0,6366

0,4309

0,7

0,7359

1,2922

0,6787

0,4614

0,8

0,9378

l,3S20

0,7358

0,5032

0,85

1,0671

1,4416

0,7744

0,5316

0,90

1,2305

1,5195

0,8253

0,5694

0,925

1,3336

1,5700

0,8588

0,5944

0,950

1,4620

1,6345

0,9019

0,6268

0,975

1,6404

1,7269

0,9645

0,6741

0,985

1,7435

1,7818

1,0021

0,7027

0,995

1,9013

4,8679

1,0617

0,7485

1,000

2,1348

2,0000

1,1547

0,8204

Приведем формулы, х ар а ктер изующие 屮(出，九)при малых и больших *. Из (7.11) легко получить, что при 1 Ф (|i, Z.) = 1 — и In и + 4"а!1(^) И + О [ (и In 卩К], (7.22)

так что производная 屮(出，九)по 卩 при 出一＞ 0 логарифмически расходится. Комбинируя (7.12) и (7.22), можно показать, что при 出О

1口中(卩，九)—^- pt In pi -|- -a±i (九)pi +

+ 为2九一戸毕)产 + 0(*1”). (7.22，)

Для частного случая 九=1 это соотношение было найдено К. Марком [1]. С помощью (7.22') легко получить коэффициенты всех членов разложения 屮(出,九)——1, которые стремятся к нулю при pt f 0 медленнее, чем *з jn *. При 科 из (7.11) с помощью (7.15) можно найти, что ^=]/Е+等[芈一¥ + * — •••]•(723)

Отсюда при 卩〉(1 —入尸/2%(九)

屮也，九)=(1 一入L/2[1^- (1 -九尸厶出(九),

(7.24)

тогда как при 1 <2 <与(1 —九尸育出(九)

中(出九+屮丄 + ...一

*/ 九 ai (X) di (A) !i 1

(7.25)

В частности, при чистом рассеянии (九=1) из последней -формулы находим, принимая во внимание (7.16) и (7.17), 屮(图 1) = 了3 卩 + 联名q(8)- "^["|— ^2(°0)] "7" +

+ 0(^)(И>1). (7.26)

Как следует из (7.10), для вычисления Ф(т,九)нужно иметь значения 屮(卩，九)при 出=Ilk. Они приведены в

Таблица 10

1

Значения функции 少(м,入)при м=万

入

夕a，入）

入

"善'入）

0,1

1,0368

0,8

1,6955

0,2

1,0786

0,85

1,8743

0,3

1,1269

0,90

2,1710

0,4

1,1843

0,925

2,4193

0,5

1,2552

0,950

2,8340

0,6

1,3479

0,975

3,7656

0,7

1,4799

табл. 10 (по И. Кущеру [1])/При малых 1——九 полезно следующее разложение:

屮(£, ^ = ^ + — q(oo) + 亭 3(°°) — К]/с +。睇)・

(7.27)

При почти консервативном рассеянии （1 —九 yi） функция 屮（卩，X） на «основном» промежутке [0,1] следующим образом выражается через 屮（卩，1）:

①（出入）=中（*,1）{1 - 了3 卩（1 —九）" + [3 卩 2 — r （pt）] X

X （1 -%）+ VГ^H^3卩2 + r（卩）（1 -九）% _|_

+。[（1-九）2]},（7.28）

где

"卩）=号^（出'，1）事・（7.29）

Значения функции 尸（出）даны в табл. 11. Относительно доказательства этой формулы см. § 5.4. Первые два члена раз-

Таблица 11

Функция г （林）

卩

卩

Г （n）

世

r （卩）

0,00

0,0000

0,35

0,2040

0,70

0,2622

0,05

0,0695

0,40

0,2154

0,75

0,2677

0,10

0,1077

0,45

0,2255

0,80

0,2728

0,15

0,1356

0,50

0,2344

0,85

0,2774

0,20

0,1576

0,55

0,2424

0,90

0,2818

0,25

0,1757

0,60

0,2497

0,95

0,2858

0,30

0,1909

0,65

0,2562

1,00

0,2896

ложения легко получить непосредственно из （7.11） с учетом （7.15）.

Теперь мы можем перейти к обсуждению свойств функции Ф（т,九）.Поступая примерно так же, как и при рассмотрении функции источников для бесконечной среды （см. § 4.2）, можно показать, что при т W 1

①（t,入）=备[-1口 T — Y + W （九）+ 号 T In2 T ——

^" （j + 1—7） t In 口 +。⑺，（7.30）

где 丫 = 0,577216 —— постоянная Эйлера. Вывод этой формулу, прЬстой по существу, требует длинных выкладок.

В противоположном предельном случае т 登 1 имеем из (7.10)

①（*九）〜亏行凉①（*九）〜亏行凉(7.31)(7.31)

①（*九）〜亏行凉

①（*九）〜亏行凉

(7.31)

(7.31)

При тех t, где нельзя воспользоваться ни одной из этих формул, функцию Ф(т,九)следует находить численно из ее явного выражения (7.10). При этом Ф(т, Z), подобно ①8(7 九)，целесообразно представить в форме

①(％ 九)=等^懐X)1 (7.32)

时r大)J

и табулировать медленно меняющийся поправочный множитель ^(т,九).Этот множитель при не слишком больших т по порядку величины не отличается от единицы. При больших же т для него можно получить такое асимптотическое представление:

^(^ ^-wh)^F^ (7.33)

где 尸(f) и / даются соответственно формулами (4.13) и (4.14). Таким образом, в асимптотической области 虱q 九)отличается от ^р(т,九)и 占8(£ 九)лишь на постоянный множитель [屮(1,九)尸.

При почти консервативном рассеянии вклад второго слагаемого в (7,10) существен лишь при сравнительно небольших т, где ^(т, Z) мало отличается от 虱£ 1). Пользуясь (2.7) и (7.27), находим поэтому, что приближенно

①(小九)〜u加^+ }j⑴自(%1) (1-X<1)? (7.34) или

Ф(т, z)~/3(e-^- 1) + Ф(т, 1). (7.35)

В отличие от ①8(品 厶),коэффициент при полюсном экспоненциальном члене в Ф(т,九)при 九 f 1 остается ограниченным (он стремится к У3). Это связано с влиянием границы, через которую происходит отток квантов, кладущий предел их накоплению.

Функция Ф(т,九)удовлетворяет ряду полезных интегральных соотношений. Приведем их для справок, опуская доказательства.

оо

\ & (т) Ф (叫九)dr =々А (簿，(7.36)

О

co

о

(〃 = 2, 3,..・)，(7.37)

，①(％ ；4 dt = (1 —九尸/2 — 1,(7.38)

о

Rt①(t,九)九=等泻，(7.39)

01

、 Ф2 (T,九)dz = -^~ 卜J (九)一a*1 (入)+ % I 察 1] ' (7.40)

о L屮

一」

一 2尼(I -々)丨次I / 1」 叭T，大

При 九=1 вместо (7.38)—(7.41) имеем соответственно

ОО

卜①(t, 1)-/3] dr - J3q(oo)_ 1,(7.42)

8

“[①(т,1)-УЗ]厶=吋 ir4 一 q? (оо)],(7.43)

ОL

[Ф2(т, 1)—3]dz = 2q(oc) — },(7.44)

О оо

，夕[①(％ 1) 一 f3]dr = ^- I-(7.45)

9

Все эти соотношения можно получить элементарными средствами. Правда, в ряде случаев выкладки довольно утомительны [в особенности при доказательстве (7.44)].

Интересно также отметить, что функция Ф (т, 1), являющаяся ,по определению, ограниченным при tf 8 решением интегрального уравнения второго рода

Ф(T, 1)=扌弋丛(1一门)①(Y, 1)" + 4⑴，(7.46)

-о

есть одновременно решение следующего уравнения первого рода:

f&(% 一门)①(к 1)责‘=贵一丛⑴.(7.47)

ОУ

Кроме того, Ф (т, 1) удовлетворяет уравнению 手現(1一T)①(1,1)"一i邑"一亡№(匸1)"=邑(「 тО

(7・48)

Для доказательства этих утверждений продифференцируем (7.47) и (7.48) соответственно два и один раз. В обоих случаях мы приходим к (7.46). Далее, при т=0 (7.47) и (7.48) удовлетворяются, так как дают соотношения, непосредственно вытекающие из (7.37). Этим и завершается доказательство.

Частные задачи о рассеянии светав полубесконечной среде

Расчет светового режима в полубесконечной среде при том или ином распределении в ней первичных источников излучения можно выполнить с помощью общих формул, приведенных в предыдущем параграфе. Поэтому мы ограничимся сводкой результатов, относящихся к двум задачам, которые будут в дальнейшем подробно рассмотрены применительно к рассеянию в частотах спектральных линий.

Равномерное распределение источников. Проблема ， Милна. Нахождение поля излучения в среде с равномерно распределенными источниками сводится к решению уравнения переноса (7.1) или интегрального уравнения

.3) при S* = const. Функция источников равна в этом случае (В. В. Соболев [4]; см. также § 6.1)

S (小九)= У^屮(小九)，(8.1)

где

屮(小 九)=1 + f ① B, X)加‘，(8.2)

о

S*

причем она монотонно возрастает от S (0,九)=——_ .

ТУТ 0J ~ 4 ~ j 血

Рис. 11. Зависимость функции источников от глубины в среде с равномерно распределенными источниками (монохроматическое рассеяние).

ДО S(8,九)=]±汇(рис. 11). Интенсивность выходящегоизлучения оказывается пропорциональной функции

Амбарцумяна 屮(出，九)：

/(0,k) = S*(8.3)

С увеличением угла выхода излучения из среды интенсивность излучения уменьшается, причем это уменьшение происходит тем быстрее, чем больше 九(рис. 12).

Рис. 12. Угловая зависимость интенсивности излучения, выходящего из полу- бесконечной среды с равномерным распределением источников.

Рассмотрим подробнее один важный частный случай. Положим S* = 了1 —九 и перейдем затем к пределу X 1. Тогда мы найдем, что решение однородного уравнения

V(Т)= 4"f &("- 门)SB) "，(8.4)

о

нормированное таким образом, что S(0) = 1, можно представить в виде

S(r) = ^^ 1)三]/^代 + 火力，(8.5)

где

“⑴=今0 + j①e‘ i)*j —t. (8.6)

Согласно (8.3) интенсивность выходящего излучения равна в этом случае

/(0,卩)—屮(卩，1)・(8.7)

С помощью (7.16) из последней формулы находим, что поток

4 выходящего излучения равен при этом

Решение уравнения (8.4) и определение соответствующей интенсивности выходящего излучения составляет содержание так называемой проблемы Милна, исследованию которой были посвящены десятки, если не сотни работ [см., в частности, книгу В. Курганова [1], почти целиком посвященную этой проблеме]. Формулы (8.5) —— (8.7) дают решение проблемы Милна.

Функция {/(т), входящая в выражение для S(t), известна как функция Хопфаг). Ее явное выражение получается из (8.6) с учетом (7.10). При 九 =1 из (7.10) находим, пользуясь (2.7) и (7.27),

①(％ 1)=体+ ；哭㈣(8.8)

Подставляя (8.8) в (8.6), приходим к следующему явному выражению для qg, впервые найденному К・ Марком [1]:

2+ +•(8・9)

()

Из него непосредственно видно, что функция Хопфа монотонно возрастает, причем q(0) == 0,577... Значение

9(оо), равное согласно (8.9)

9(8)=合+ i!fW(小(8」°)

Обобщение функции Хопфа на задачи о рассеянии в частотах линий с перераспределением по частотам дается в работе автора, готовящейся к печати.

было вычислено еще Э. Хопфом [1], который показал, что r/2

q^oo)=— {仆= 0,710 … (8.11)

0

Наряду с (8.10) и (8.11), для q(8)можно получить множество других интегральных представлений, например, q(g) = 1一"1),

q (°°) = ~2~【a二 1 (1) — pli (1) — 1],

где «卩)，仪二：(九)и pZ (九)даются формулами (7.29), (7.18) и (6.8). Г. Плачек и В. Зайдель [1] переписали (8.11) в форме

,兀/2 ,

(8.12)(8.12)q（8）= ^+g \ 僚一—；ctEs）d令（）

(8.12)

(8.12)

и использовали это выражение для вычисления q(8) с восемью знаками. Соу-Шу Хуан [1] и Дж. Кинг, Р. Силларс и Р. Гаррисон [1] различными путями получили q(8) с десятью знаками, что, конечно, намного превосходит любые практические потребности. Согласно Соу-Шу Хуану

дЗ) = 0,710 446 089 4...,

тогда как Дж. Кинг с сотрудниками нашли, что q(g) на две единицы последнего знака больше этого значения1).

Имеются многочисленные таблицы q(t) разной точности и подробности. Долгое время рекорд в смысле точности принадлежал таблицам В. Курганова [1], дающим q(t) с семью знаками. И здесь пальма первенства недавно перешла к Дж. Кингу, Р. Силларсу и Р. Гаррисону [1], опубликовавшим 8-значную таблицу функции Хопфа. Мы приводим q(t) с пятью знаками (табл. 12). При t У 1, как следует из (7.30) и (8.6),

q “ = ут —з —2—丿 т+

I2oc_i + 3 — 2丫

+ ^~(tlnt)2^^т21пт +。"2).(8.13)

В только что опубликованной работе Ван де Хюлста (J. Coinput. Phys. 3, 291, 196 ) приводится вычисленное К. Гроссманом значение 7 ( о) с 12 знаками: q (о<) = 0,710 44 6 0^9 800...

Таблица 12

Функция Хопфа q (т)

q⑴

t

q⑴

t

q⑴

t

q (p)

0,00

0,57735

0,08

0,62185

0,70

0,69011

2,00

0,70792

0,01

0,58824

0,09

0,62499

0,80

0,69353

2,25

0,70867

0,02

0,59539

0,10

0,62792

0,90

0,69629

2,50

0,70919

0,03

0,60124

0,20

0,64955

1,00

0,69854

2,75

0,70955

0,04

0,60629

0,30

0,66337

1,25

0,70257

3,00

0,70931

0,05

0,61076

0,40

0,67309

1,50

0,70513

3,25

0,70999

0,06

0,61479

0,50

0,68029

1,75

0,70630

ОС

0,71045

0,07

0,61847

0,60

0,68580

Это разложение другим путем было получено К. Марком [1]. Его можно использовать для вычисления q(t) при малых т.

Два обстоятельства вызвали столь большой интерес к функции Хопфа. Одно из них имеет практическую или, працильнее сказать, прикладную основу и состоит в том, что решение проблемы Милна теснейшим образом связано с расчетом распределения температуры с глубиной в атмосферах солнечного типа (см., например, А. Унзольд [1]). Второе обстоятельство имеет совсем другой характер. Как видно из (8.6), резольвента интегрального уравнения (7.3) в случае чистого рассеяния связана с функцией Хопфа простым соотношением. Поэтому через 小)можно выразить не только решёние самой проблемы Милна, но и всех других задач о консервативном рассеянии в полубесконеч- ной среде.

Возвратимся к изучению среды с равномерно распределенными источниками. Рассмотрим подробнее случай почти консервативного рассеяния (1——九 у i). Учитывая (7.35) и (8.6), вместо (8.1) имеем приближенно

S (т,九)〜г~7== [1 — e~kx + 闽(т)]， (8.14) k У 1 一九

или, так как м3(1—九)при 1—-九殳 1,

S",九)~岑[l-e-^ +kq (т)]. (8.15)

Что касается интенсивности выходящего излучения, то с точностью до главных членов разложения по степеням 左 находим из (8.3), учитывая (7.28),

/ (0,卩)~ ■■屮(卩，1) (1-々卩)(1-九《1). (8.16)

Из (8.15) следует, что на больших расстояниях от границы

S",九)〜鲁(1—е"：) (т>1, 1-^<1), (8.17)

откуда видно, что в этой области величина fe2 S(t,九)зависит не от т и Z,, а лишь от их комбинации t = 左t. При t < 1 функция источников сравнительно быстро возрастает с удалением от границы. Когда t становится порядка единицы, начинает наступать насыщение (см. рис. 11, стр. 168), и функция источников приближается к своему предельному значению S(oo,九)=S* / 1 —九.Таким образом, влияние границы заметно сказывается вплоть до глубин, которым соответствуют значения t порядка единицы, т. е. до т порядка td = 1 /左.Аналогичная картина наблюдается и при рассеянии в частотах линий. Разница состоит только в том, что толщина пограничного слоя дается в этом случае не диффузионной длиной, а некоторой другой величиной (см. §6. 2).

Диффузное отражение света. Пусть на полубес- конечную среду под углом arc cos 卩о к внутренней нормали падают параллельные лучи, создающие на перпендикулярной к ним площадке освещенность /0. Требуется найти интенсивность диффузно-отраженного средой излучения. Эта задача восходит еще к А. Эддингтону, рассмотревшему ее в связи с эффектом отражения у двойных звезд. Для консервативного случая ее решение было дано Э. Хопфом [1], а для произвольного 九《 1 ——О. Гальперном, Р. Люнебургом и О. Кларком [1], показавшими, что

/(0,卩，"。)=//。中吗?鼎叫。■ (8.18)

Эта задача представляет большой интерес также в связи с изучением рассеяния света в планетных атмосферах. В. А. Амбарцумян [5] (см. также [1]) указал новый подход

к решению задачи о диффузном отражении, вошедший в теорию переноса под названием принципа инвариантности. Этот подход позволил из простых физических соображений получить формулу (8.18) и уравнение (7.11) для функции 屮(出九)，носящей теперь его имя. Метод В. А. Амбарцумяна, оказавшийся чрезвычайно плодотворным, был развит С. Чандрасекаром [1], В. В. Соболевым [1] и Р. Беллманом с сотрудниками (см., в частности, книгу Дж. Винга [1], где можно найти многочисленные ссылки на работы группы Р. Беллмана по применениям принципов инвариантности в теории многократного рассеяния и в других областях физики). Мы i,e будем касаться этого круга вопросов.

Наряду с интенсивностью диффузно-отраженного излучения полезно иметь и соответствующую функцию источников. Легко понять, что она должна удовлетворять уравнению

s (% 阿，九)=fidr —т7 |)S B，卩 о,入)df 十

о

+ 亲/。。一京.(8.19)

s（t,卩0,九）=元/。屮他，九）e + 5-оs（t,卩0,九）=元/。屮他，九）e + 5-оЕго решение имеет вид (см., например, В. В. Соболев [1], гл. III, а также § 6.4)

s（t,卩0,九）=元/。屮他，九）e + 5

-о

s（t,卩0,九）=元/。屮他，九）e + 5

-о

e卩。①(#,九)dY .

(8.20)

В частности,

5(0,卩。,九)=亲/。屮(卩。,九)，(8.21)

а при т 导 1

S(t,阿，大):小譬!^^宀(822)

Последняя формула получается из (8.20) при использовании явного выражения для Ф(т,九),даваемого (7.10).

Подставляя (8.22) в уравнение переноса

哪=/一 S,(8.23)

находим, что при т》1

阿)4П0/ 1d九丨(1 一如0)(1+期ё.

2砌(石，大)

(8.24)

Отсюда следует, что в глубоких слоях среды распределение интенсивности излучения по направлениям тем ближе к изотропному, чем меньше роль поглощения. В частности, при 九=1 имеем 左=0, и (с точностью до членов по крайней мере порядка е~х) интенсивность излучения не зависит от направления, а поток равен нулю. При этом средняя интенсивность излучения

丿⑴=\ /(£ Н)丿⑴=\ /(£ Н)1某=} \ /h*)*(8.25)1某=} \ /h*)*(8.25)

丿⑴=\ /(£ Н)

丿⑴=\ /(£ Н)

1

某=} \ /h*)*(8.25)

1

某=} \ /h*)*(8.25)

в пределах той же точности не зависит от глубины и равна

J(D~ 言/。了言卩。屮(卩。，1)(^-1,т>1). (8.26)

Если среда освещается изотропным излучением интенсивности /0, то интенсивность отраженного излучения и функцию источников можно получить из (8.18) и (8.20) интегрированием по направлениям:

/ (0, *) = 2п у (0, *, *о)如°,(8.27)

о

S (т,九)=2n \ S (т,阿，九)dpt0-(8.28)

()

Опираясь на соотношения, приЕеденные в § 3.7, можно показать, что

/ (0, *) = /° [ 1 — УГ^ ср (出九)],(8.29)

S(x^) = I. [1- |<Г^Хт(тД)],(8.30)

где 4r(工，九)определяется формулой (8.2).

При слабом поглощении второй член в выражении для функции источников становится порядка первого только

при больших т, где уже для 4r (т,九)можно взять асимптотическое выражение, вытекающее из (7.10) и (8.2) при 1 —X W 1 ： 屮(％ X)〜у^ (1 一。-勻(т>1,1-Х<1). (8.31)

Поэтому при почти консервативном рассеянии имеем приближенно

S国九)〜 厶/忆(8.32)

Как ясно из доказательства, это выражение справедливо при т ^> 1. Однако непосредственно из (8.30) и (8.31) следует, что при небольших т и 1——九 у 1 функция источников мало отличается от /0. Тот же результат дает и формула (8.32), которая оказывается поэтому справедливой при всех т.

Из (8.32) следуют два вывода. Первый сводится к тому, что хотя прямое излучение ослабляется как е-\ диффузное излучение проникает в среду до больших глубин, тем больших, чем меньше 力,определяемое ролью поглощения. Характерный масштаб глубины проникновения внешнего излучения равен диффузионной длине 工“=髙.Второй вывод состоит в следующем. Пусть имеются две почти чисто рассеивающие среды со значениями Z, равными 九i и Z2 (соответствующие значения k равны

/3(1 —九1) и

m3(1 —九2).

Тогда функция источников в первой среде на глубине q будет асимптотически (X -> 1) равна функции источников во второй среде на глубине т2, где % и т2 связаны соотношением

心 1工1心2。2,(8.33)

или

(1 —九 i)t； — (1—^2)t2-(8.34)

Соотношение (8.34) выражает своего рода принцип подобия. Он выполняется тем точнее, чем ближе 九】и Z2 к единице (ср. § 6.6).

Связь между асимптотиками решений для бесконечной и полубесконечной сред

В случае чистого рассеяния между асимптотиками решений для бесконечной и пол у бес конечной сред существует простая связь, до сих пор, по-видимому, не отмечавшаяся. Как будет показано в § 6.1, аналогичная связь существует и при рассеянии в частотах линий.

Обозначим (т >0)

屮力(小九)=1 +4n^2Sp (r\K)dT\(9.1)

()

Эта функция монотонно возрастает от V^O, Z) = 1 до 屮s(8,九)=Г4r.(9.2)

Из (9.1) и (1.9) следует, что функция ^(т, X) следующим образом связана с резольвентой основного уравнения для бесконечной среды:

屮в (т,九)=1 一 2T①8 (% 入)+ 2 j ①8 (丁，%) d丁. (9.3)

0

Подставляя сюда явное выражение для Фоо(т, X), даваемое формулой (1.20), выполняя интегрирование и полагая т = =8, с учетом (9.2) приходим к соотношению

1

(9.4)

О

В частном случае 入=1 находим отсюда с помощью (2.4) и (2.7)

Для 4r8(т，入)при 入=1 удобно ввести специальное обозначение:'

*“(т)三 丫8(% 1).(9.6)

Хотя при-入-> 1 резольвента Фоо (т,九)расходится, однако

разность

T①8 (T,九)—、①CQ (T\ 九)dt' 6 остается конечной, так что

豆二⑴=1 -2 1im ge(G)—、①“В,九)"]• (9.7)

Из (9.7) и (1.20) находим, учитывая (9.5), что Sqo(t) можно представить в виде

"(t)=』炉+底⑴],(9.8)

где

=4年\R(出DC +^KR如.(9岁)

0

Величина q^ (т) является аналогом функции Хопфа: q8 g есть монотонно возрастающая функция, которая изменяется в довольно узких пределах:

-|-= 9оо (0) < q^ (т) < 7оо (оо) = -|- .(9.10)

При т 导 1 (8.5) и (9.8) принимают вид

J(t)~/3 [т + ^(оо)Ь(9.11)

§оо(т)〜》|-[T2 + Qoo(OO)].(9.12)

Отсюда вытекает, что (с точностью до главного члена асимптотики) между решениями для бесконечной и полубеско- нечной среды существует следующая простая связь:

*(т)~ ^[^(т)]^(т—оо).(9.13)

Иначе говоря, асимптотика решения проблемы Милна оказывается просто связанной с асимптотикой функции 5р(т,1), описывающей поле излучения точечного источника в бесконечной однородной среде. Замечательно, что функциональная форма связи между S(t) и Ss(t) 一 пропорциональность S(t) и [Soo (т)]1/г—сохраняется и при рассеянии в частотах линии, причем коэффициент пропорциональности во всех случаях близок к единице (см. § 6.1).

/ 'лава IV

РАССЕЯНИЕ В ЧАСТОТАХ ЛИНИИВ БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

В главе I мы познакомились с тем, как описываются стационарные состояния газа и поля излучения при отсутствии термодинамического равновесия. Были также указаны элементарные процессы, ведущие к установлению таких состояний, и выведены уравнения стационарности макроскопических масс газа. В гл. II эти уравнения были рассмотрены более подробно. Поскольку задачи о переносе излучения в частотах линий и проблемы монохроматического рассеяния очень близки друг к другу, следующая, третья глава была целиком посвящена исследованию решений уравнения переноса излучения для монохроматического рассеяния.

Теперь мы переходим к выполнению своей основной задачи —решению уравнения переноса излучения в частотах линии. Главные предположения можно сформулировать так: полное перераспределение по частотам при рассеянии и 九=const. Сначала (гл. IV——VI) для простоты считается также, что коэффициент поглощения в непрерывном спектре пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом поглощения в линии. Более громоздкие задачи, возникающие при необходимости одновременно учитывать поглощение в линии и непрерывном спектре, обсуждаются в гл. VII.

В настоящей главе исследуется поле излучения в бесконечной среде. Разумеется, в действительности среда никогда не бывает бесконечной. Однако очень часто размеры области, занятой газом, много больше длины свободного пробега кванта, имеющего частоту центра линии, т. е. газ имеет большую оптическую толщину в линии. К внутренним частям таких систем и относится излагаемая в этой главе

теория. Она была развита в совместных работах Д. И. Нагир- нера и автора (Д. И. Нагирнер и В. В. Иванов [1 ], В. В. Иванов и Д. И. Нагирнер [1]).

Детальное исследование рассеяния в бесконечной среде предпринято по двум соображениям. Во-первых, как уже упоминалось, при выполнении определенных условий среду конечных размеров можно приближенно считать бесконечной. Во-вторых, и это главное, знание поля излучения в бесконечной среде значительно облегчает изучение сложных эффектов, наблюдающихся в близких к границам областях газа, занимающего конечный объем. Анализ поля излучения в этих пограничных областях, где обязательно должен учитываться выход излучения, составляет содержание следующих глав.

Точечный источник в однородной среде

Рассчитаем (в линейном приближении) пространственное распределение возбужденных атомов в бесконечной однородной среде, содержащей изотропный точечный источник. Считается, что среда состоит из двухуровенных атомов. Если начало координат совмещено с источником, то уравнение переноса имеет вид (см. § 2.3)

卩也(霓上) + ? ^^. = - a (%) / (q 卩,%) ++ ??1% (%)、 m(X)dx?j / (T, [1\ ^) d^! + a (%) S* (T),

-со -1

(1.1)

где S*(t) — первичная функция источников, обусловленная рассеянием излучения, пришедшего непосредственно от источника, /(т,邑 ％) — интенсивность диффузного излучения.

Найдем S* (т). Пусть полная мощность источника, проинтегрированная по всем частотам в линии и по всем направлениям, равна Q. Рассмотрим единичный объем, имеющий форму цилиндра с площадью основания 1 см2 и осью, направленной на источник. Пусть этот объем находится на геометрическом расстоянии г от источника. Тогда он виден из начала координат под телесным углом <2. В этом

телесном угле источник излучает за единицу времени энергию Q / 4пг2, в том числе в интервале частот (v, v + dw)

丁 Да (х)职.

4Гг2 \ / Av

На пути от источника до объема происходит ослабление излучения, так что на объем падает энергия

где т — оптическое расстояние объема от источника (т = =々12 Wo)几 J)・ Из этой энергии в объеме поглощается или, точнее говоря, затрачивается на возбуждение атомов доля а (х) ^12 (v0) пг. Полная энергия, приобретаемая объемом за единицу времени под воздействием прямого излучения источника, равна поэтому

СО

\ a2(%)eya(%)d%.^2Wo)〃i,

или

祟鲁Q ［瓦2 M) 几iF,

где Л!?") дается формулой (2.6.1). Доля этой энергии, пере- излучаемая в интервале частот (v, v + dv), равна Ма(х) X Х^*. Поэтому «первичный» коэффициент излучения рассматриваемого объема есть

812 (”)= 4F 怨包 00(%)―黑v ［財2(W)) "1Г •

Соответствующая функция источников

S* ⑴=曦2 _£%(")

' '012(V) a(%)自2"0)"1

равна

S*(t) =L Q.(1.2)

Полагая для простоты

Q = ti^G^ (1・з)

приходим к следующему уравнению переноса:

+ ^-Ла(х)，а(/)" ^ 7 (т, p.z, х') d|xz +

+ 爲а(х)审.(1.4)

Как было показано в § 2.4, уравнение переноса (1.4) эквивалентно интегральному уравнению для функции источников SP(T), имеющему вид

又")=含「江亍評，(『)"，+ ^中.(1.5)

Функция источников Sp«) представляет собой сумму двух последних членов в правой части (1.4), деленную на а(х), и связана с населенностями уровней q и /г2 соотношением

S〃(t) = *旦*.(1.6)

Интегрирование в (1.5) ведется по всему пространству. Обсуждение физического смысла этого уравнения и объяснение всех обозначений было дано в гл. II. Что же касается, его решения, то оно получается в общем так же, как и для монохроматического рассеяния. Отсылая за всеми подробностями к § 3.1 (см. также § 7.2), наметим кратко лишь общий ход рассуждений, остановившись более подробно на тех моментах, которые отличают эти две задачи.

Интегрированием обеих частей уравнения (1.5) вдоль плоскости q = const его решение можно свести к решению следующего уравнения для функции ①8(工)：

СО

①8⑴=告 \ К(|Т —门)① 8(l)dY+等 K(g), (1.7)

где K(t) определяется формулой (2.4.22). Функции S”(t) и Фгс (т) связаны между собой соотношением

Sp ⑴=-~^ri^^ ^'(L8)

Для получения Фоо (т,九)к уравнению (1.7) применяется двустороннее преобразование Лапласа, после чего оно принимает вид

Ф.(5Д)+Фоз(-5,九)=А―竺+ 仆芝—,(1.9)

1 一后 R (S)—于k(一s)

где /(s) — одностороннее преобразование Лапласа функции /«). Учитывая (2.6.23), вместо последнего уравнения имеем

(1.Ю)(1.Ю)Фоо (S,九)+ ①8 (- S,九)=

(1.Ю)

(1.Ю)

1

Из (1.10) следует, что стремящееся к нулю приИз (1.10) следует, что стремящееся к нулю прирешение теграларешение тегралауравления (1.7) можно представитьуравления (1.7) можно представитьввI Т I —> оо виде ин-I Т I —> оо виде ин-

Из (1.10) следует, что стремящееся к нулю при

Из (1.10) следует, что стремящееся к нулю при

решение теграла

решение теграла

уравления (1.7) можно представить

уравления (1.7) можно представить

в

в

I Т I —> оо виде ин-

I Т I —> оо виде ин-

(1・11)(1・11)① 8(% X)=丁》,产 s,

(1・11)

(1・11)

—Zoo 1—九勿()

или

① 8(%九)=Y 尚为 cossd"，① 8(%九)=Y 尚为 cossd"，(1.12)(1.12)

① 8(%九)=Y 尚为 cossd"，

① 8(%九)=Y 尚为 cossd"，

(1.12)

(1.12)

где V(u) определяется формулой (2.6.24). Из (1.12) и (1.8) находим, что

Sp (叫九)=1^Г f [ ”靠严i""〃“〃•С」？)

I)

В дальнейшем эта формула будет использована для исследования поведения S〃G,九)в непосредственной окрестности источника (при т 1). Заметим, что формулы (1.12) и (1.13) не меняют своего вида и тогда, когда рассматривается монохроматическое рассеяние. В этом случае V(u) дается формулой (2.6.26), а (1.12) и (1.13) переходят соответственно в (3.1.16) и (3.1.17).

Деформированием контура интегрирования в (1.11) можно получить представление Sp(t,九),более удобное для практических расчетов. Мы ищем решение уравнения (1.17),

Рис. 13. Контур [интегрирования при вычислении функции источников (рассеяние с полным перераспределением по частотам).Рис. 13. Контур [интегрирования при вычислении функции источников (рассеяние с полным перераспределением по частотам).

Рис. 13. Контур [интегрирования при вычислении функции источников (рассеяние с полным перераспределением по частотам).

Рис. 13. Контур [интегрирования при вычислении функции источников (рассеяние с полным перераспределением по частотам).

стремящееся к нулю при т —> сю. Преобразование Лапласа такого решения Фто (s, А) регулярно в правой полуплоскости. Из (1.10) следует тогда, что при Re s < 0 особенности 万8 (s,九)должны совпадать с особенностями выражения, стоящего в правой части этой формулы. Рассмотрим поэтому функцию

T 三 1 -大吻=1к (s)К (- s).(1.14)

Как видно из (2.6.22), К (s) есть интеграл типа Коши. Из общих свойств интегралов типа Коши следует (см., например, Н. И. Мусхелишвили [1], Ф. Д. Гахов [1]), что при некотором достаточно общем предположении относительнофункции

GQ), которое выполняется во всех рассматриваемых ниже конкретных случаях (условие Гёль- дера), функция K(s) регулярна на всей плоскости комплексной переменной s, за исключением точек, лежащих на отрицатель

ной части вещественной оси, где она неоднозначна. Кроме того, можно показать, что функция (1.14) не обращается в нуль (см. § 7.2). Поэтому единственной особенностью ①8(s,九)в левой полуплоскости является линия ветвления (—оо, 0], и в формуле (1.11) интегрирование вдоль мнимой оси можно заменить интегрированием по контуру /, изображенному на рис. 13. В результате для Фто (т,九)при т ^> 0 получаем

2,—— К(-х-沁)一 К(х)

1】

(1.15)(1.15)广二X e-~xdx.

(1.15)

(1.15)

i - -2- К (- % + 2)— ~ k(*)

Согласно формулам Сохоцкого—Племеля (см., например, Н. И. Мусхелишвили [1], Ф. Д. Гахов [1])

К(—%土iO) = R(_%)干加G 仔);，(1.16) где

К-(%)=『綜di,(1.17)

о

причем интеграл понимается в смысле главного значения. Подставляя (1.16) в (1.15), полагая z = 1 / % и учитывая, что Фто (т,九)一четная функция, находим

Фоо (тД)-А^(гд)е-^в^^^(1.18)

о

где

R(2,九)={[ 1 一 九砲(z)]2 + 也子 zG(2)了『，(1.19)

а 砲(2)дается формулой (2.6.19) или (2.6.25). Для интересующей нас сейчас функции источников Sp(q 九)получаем отсюда с помощью (1.8) такое окончательное выражение:

оот

Sp (吟九)=為 \ R(2,心 G (г)警・(1.20)

о

В такой форме функции Фто (т,九)и Sp (т,九)были получены впервые Д. И. Нагирнером [1], [2].

В следующих параграфах это решение будет тщательно проанализировано и табулировано. Пока же нам хотелось бы сделать два замечания. Первое из них относится к выводу формулы (1.20) и состоит в следующем. В случае монохроматического рассеяния для вычисления интеграла вдоль разреза не было нужды прибегать к формулам Сохоцкого — Племеля. Функция T〃(l/s) настолько проста, что вполне можно обойтись и без их помощи. Иное дело ——задачи о переносе излучения в линиях. Применение этих формул является здесь тем шагом, который легко позволяет довести дело до конца.

Второе замечание касается структуры решения (1.20). В отличие от случая монохроматического рассеяния, здесь нет экспоненциально убывающего полюсного члена. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Он приводит к тому, что в задачах о переносе излучения в частотах спектральных линий диффузионное приближение, основанное на пренебрежении интегральным слагаемым по сравнению с полюсным членом, оказывается неприменимым принципиально. На основании других соображений этот вывод был сделан еще в пионерских работах Л. М. Бибермана [1] и Т. Холстейна [11; см. также С. И. Брагинский и Г. И. Буд- кер [1].

В заключение этого параграфа приведем три интегральных соотношения, которым удовлетворяет функция RQ,九)： j R(z,九)G ⑵庚,(1.21)

о

匕^⑶厶=等弋肖爆也(1.22) оо

f R ⑵？i G (z)庚=午 *(1.23)

()

где а】 определяется формулой (2.6.28).

Первое из этих соотношений можно получить, например, так. Ясно, что среднее число рассеяний кванта в бесконечной однородной среде равно (1 — Z)-1. На этом основании можно утверждать (см. § 3.3), что

4л § Sp (т,九)т2 dx =]二元・(1.24)

о

Подставляя (1.20) в (1.24), приходим к (1.21). Что касается соотношений (1.22) и (1.23), то они будут доказаны соответственно в § 4.6 и 4.2. Заметим, что формулы (1.21)—(1.23) непосредственно применять к монохроматическому рассеянию нельзя. В этом случае существуют, однако, некоторые аналоги этих соотношений. Так, аналогом формулы (1.21) является соотношение (3.9.4).

Поведение решения вблизи источника

Перейдем к исследованию функции источников Sp(t,九). Рассмотрим в первую очередь, как она ведет себя при малых т, т. е. в непосредственной окрестности источника.

Перепишем (1,20) в виде

第(%九)=黯 £ r(2,以)—1 e一支 G(z)dz +

+ \e-^G ⑵警(2.1) о_

и изучим поведение входящих сюда интегралов при fy 1. Дифференцируя (2.6.16) и (2.6.31), находим, что

\ е z G (?),£ = Т—出 + ° (т)・(2.2)

Далее, ОО-8

\旦誓工-^⑵d" \ *L G⑶厶+

8t

(矮二1i)g ⑵庚.(2.3)

1

При т < 1 для третьего слагаемого в правой части имеем оценку

8t

\ R(2，?二丄(展亍一 l)G(N)dz = O(t).(2.4)

Обращаясь ко второму слагаемому, замечаем, что при г <^ 1, как это следует из (1.19), (2.6.12) и (2.6.34),

RN?F = (2大& 一九2 孚喲 十0(芍，(2.5)

так что

i旦号工6*— dg⑶厶= о

-^1 (2九饱-九2，a:)[邑⑴一1 ] +0⑴，(2.6) или

=%佟九& —九2 B*)。In t + О (т). (2.7)

Поэтому вместо (2.3) при 工《1 можем написать

j R(z,}L ?92)就=j g ⑵宓 + Оо

+ % 件九& —九2，就)t In t + О (т).(2.8)

Объединяя этот результат с (2.2), для функции источников Sp(r,九)при т у 1 находим

S。(%九)=磊b + Е "号二3G⑶dz — %卜+ о

+ 4](2储2 - V^^T2lnr} + O(l).(2.9)

Входящий в эту формулу интеграл просто выражается через постоянную %. Изучая поведение функции источников при ру 1, мы могли бы исходить из представления решения в форме (1.13). Подстановка у = хи дала бы тогда

邑(G)= ~^4f U冷® (2.1。)

При 〃〉1 с помощью (2.6.33) получаем

匸提® 一 1 =子儲1}一今九(W出一九多山)％+…

(2.11)

Из (2.10) и (2.11) находим, что при т у 1

Sp (% 九)=3 *1 + 卜手就 一 &卜 +。(谭 In T)}. (2.12)

Сравнивая (2.12) и (2.9), приходим к (1.23). Учитывая это соотношение, вместо (2.9) имеем окончательно

Sp (Т,九)=《^^F 卜 1 + (九+。； 一 &) Т +

+%侬&-炉冬4加2]口力+ 0⑴.(t w 1)(2.13)

Отметим, что первый член зависит от Z линейно, второй член содержит V, третий — уже Z3. Это означает, что чем дальше от источника находится элемент объема, тем большее в среднем число рассеяний совершают те кванты, которые вызывают возбуждение атомов в этом объеме. Такого результата можно было ожидать и из физических соображений.

Поведение решения вдали от источника

Упрощения в решении в другом предельном случае — на больших расстояниях от источника ——определяются поведением коэффициента поглощения в крыльях линии.Пусть x(z) — неотрицательная функция, определяемаяУпрощения в решении в другом предельном случае — на больших расстояниях от источника ——определяются поведением коэффициента поглощения в крыльях линии.Пусть x(z) — неотрицательная функция, определяемаяусловиемусловиемa (% ⑵)a (% ⑵)Предположим, что пределПредположим, что предел丄г丄г/(//)= lim/(//)= lim=у lim ——-九一8%")=у lim ——-九一8%")(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)

Упрощения в решении в другом предельном случае — на больших расстояниях от источника ——определяются поведением коэффициента поглощения в крыльях линии.

Пусть x(z) — неотрицательная функция, определяемая

Упрощения в решении в другом предельном случае — на больших расстояниях от источника ——определяются поведением коэффициента поглощения в крыльях линии.

Пусть x(z) — неотрицательная функция, определяемая

условием

условием

a (% ⑵)

a (% ⑵)

Предположим, что предел

Предположим, что предел

丄

г

丄

г

/(//)= lim

/(//)= lim

=у lim ——-九一8%")

=у lim ——-九一8%")

(3.1)

(3.2)

(3.1)

(3.2)

существует и равен

川)=产，(3.3)

где 0 V Y《2 • В частности, как было показано в § 2.6, эти условия выполняются как при доплеровском профиле (при этом 丫 = 1/2), так и при коэффициентах поглощения, убывающих в крыльях пропорционально | % |-х, где 1 < 乂 V g. В последнем случае

так что 0 V Y <С ~^・ Таким образом, предположение о выполнимости соотношения (3.3) является достаточно общим и позволяет охватить все практически интересные случаи. Исследуем поведение Зр(т,九)при 工登 1, считая это условие выполненным.

При т^> 1 основной вклад в интеграл (1.20) вносят значения подынтегральной функции при больших г. Поэтому согласно (2.6.57) и (1.19) при выполнении условия (3.3) функцию R (г,九)в (1.20) можно приближенно заменить на

{[1 -九 + 九 ~^~ ctg ny.zG(2)]十[骏-^- ?g ⑶]} • (3.5)

Подставляя это выражение для RQ,九)в (1,20) и полагая т

~ = У, получаем

当(%入)~ f{口 -九+入斗ctg吋予G (习，+

+ [X4vG(T)]2}-1(V)dy・ ©б)

Как было показано в § 2.6, при г -> оо

G吁扇零•(3.7)

Поэтому при 1 находим, учитывая (3.2) и (3.3),

так что

G仔)〜科上粤严丫 ~尸丫 G⑺.(3.9)

Обозначим

…-raw…-raw(З.Ю)(З.Ю)

…-raw

…-raw

(З.Ю)

(З.Ю)

Пользуясь формулами (3.9) и (3.10), вместо (3.6) получаем

окончательноS。（％ 九）~鳥「（2丫 + 2） j^ Fp （/）， гдеокончательноS。（％ 九）~鳥「（2丫 + 2） j^ Fp （/）， гдеFp （ОFp （О2一"犷+ 2 丫的2一"犷+ 2 丫的F （2丫 + 2），（％ + 力y ctg 1T产 + 尸?F （2丫 + 2），（％ + 力y ctg 1T产 + 尸?（3.11）（3.12）（3.11）（3.12）

окончательно

S。（％ 九）~鳥「（2丫 + 2） j^ Fp （/）， где

окончательно

S。（％ 九）~鳥「（2丫 + 2） j^ Fp （/）， где

Fp （О

Fp （О

2一"犷+ 2 丫的

2一"犷+ 2 丫的

F （2丫 + 2），（％ + 力y ctg 1T产 + 尸?

F （2丫 + 2），（％ + 力y ctg 1T产 + 尸?

（3.11）

（3.12）

（3.11）

（3.12）

и Г （%） — гамма-функция. Формула （3.11） и дает искомое асимптотическое представление Sp（t,九）при больших т. Главное упрощение состоит в том, что величина

4лт2（1 —九）24лт2（1 —九）2Sp （т,Sp （т,九）,九）,

4лт2（1 —九）2

4лт2（1 —九）2

Sp （т,

Sp （т,

九）,

九）,

зависящая от двух переменных « и 九），в асимптотической области превращается в функцию одной переменной /, просто выражающейся через т и Z. С аналогичными упрощениями мы уже встречались в § 3.4 при исследовании монохроматического рассеяния.

Когда роль поглощения мала （1 —九у 1）, в асимптотической области （工 発 1） можно выделить три зоны:

Зона почти консервативного рассеяния. Здесь влияние поглощения мало. Это та область, где уже 工袋 1, но еще / у 1. Размер ее тем больше, чем ближе 九 к единице. В этой области, как следует из （3.10） — （3.12）,

Sp（Т, %） ~ Sp （Т, 1） ~ ^2-—г（2）。丫 t?G（T）.（3.13）

В частности, при доплеровском коэффициенте поглощения 丫 = 1/2 и

Go"）~ 2 мКу氤 （煤 1）・（3.14）

Переходя в （3.13） к пределу у -> у и пользуясь （3.14）, получаем

£；3 九）П^・（3.15）

4 ух- л J

При 九=1 условие /《1 не ограничивает значений т сверху. Поэтому при строго консервативном рассеянии （3.15） дает асимптотику функции источников, справедливую при

всех т^> 1. Если в разложениях 砲о (г) и Gd ⑵ при г 导 1 взять несколько первых членов [см. формулы (2.7.3) и (2.7.19)1, то из (1.20) можно получить не только первый, но и следующие члены асимптотики S? (t, 1) при т оо：

'产+ 3•部+(3.16)

ИЛИ

S?…煮"М欝-綜+■（3」7）

В (3.16) y = 0,577216 — постоянная Эйлера.

Фойгтовскому коэффициенту поглощения соответствует у = 1/4. Учитывая (2.7.27), из (3.13) находим, что в той части зоны консервативного рассеяния, где уже можно пользоваться фойгтовскими асимптотиками,

S匕(p,九)~S；(% 1)!(3.18)

Устремив здесь а к бесконечности, получим асимптотику, отвечающую лоренцовскому профилю. Как следует из (2.7.22),

aU (а, 0) rg при а—> оо.(3.19)

Поэтому

^(G)~SM1)〜七鬲黯(3.20)

При строго консервативном рассеянии можно вывести и более точную формулу, аналогичную разложению (3.16) в

1053 1両31053 1両3+ …) (3.21)+ …) (3.21)доплеровском случае:

1053 1

両3

1053 1

両3

+ …) (3.21)

+ …) (3.21)

Sp (т, 1)— Ч~ 八'4ят2 2 /л т/г \20 т

Последнее разложение справедливо при всех т ^> 1.

Переходная зона. Здесь поглощение уже заметно сказывается, хотя и не играет еще определяющей роли. Этой области соответствуют расстояния от источника, для которых параметр / по порядку не отличается от единицы. Функция источников должна находиться по формуле (3.11)、

Зона сильного поглощения. Это та область, где уже Z*1. Функция источников дается следующим выражением, вытекающим из (3.11) и (3.12):

男(%大)~急「(2Y+2)芸为.(3.22)

Поскольку эта зона существует всегда, в том числе и тогда, когда 九 не близко к единице, мы сохранили в этом выражении множитель 九.Разумеется, при 1 ——九 У 1 его можно заменить на единицу.

Для полного определения функции источников при т 発 1 осталось найти значения 尸卩(方).Рассмотрим случаи доплеровского и фойгтовского коэффициентов поглощения. Для доплеровского профиля 丫 =三,и (3.12) принимает вид 尸7(/)= 貝招崇•(3.23)

О

Этот интеграл выражается через известные функции, а именно:

尸？ (/)=等-等(cif.sinf-sif.cos/), (3.24) где si / и ci / — интегральные синус и косинус:

s" = — '乎厶， ci2 = — ^(3.25)

tt

Из (3.24) можно получить разложение 尸，«), быстро сходящееся при малых /. Несколько первых членов этого разложения таковы:

尸7(/)=£ [1 一》f - Z2]nf +(1一丫)产 +

+ 子公 + 4■公 1口/ +。(公)],(3.26) где 丫 = 0,577216 ——постоянная Эйлера. При больших / функция 尸;(/) разлагается в асимптотический ряд 尸7(方)〜30 —号+皆一％+…

…+ (一1)〃 粤护 + …)，(3.27)

Функция Fp(t)Функция Fp(t)коюрый нетрудно получить из ее интегрального представления (3.23). Значения 尸f (Z) даны в табл. 13.

Функция Fp(t)

Функция Fp(t)

吧力

ap⑺

1寸⑺

吧/)

0,0

0,00000

2,6

0,5034

0,8122

13,6

0,9434

0,1

0,00435

2,8

0,5320

0,8275

14,0

0,9462

0,2

0,01545

3,0

0,5586

0,8411

14,4

0,9489

0,3

0,03118

3,2

0,5833

0,8533

14,8

0,9513

0,4

0,05011

3,4

0,6062

0,8642

15,2

0,9535

0,5

0,07122

3,6

0,6275

0,8740

15,6

0,9557

o,

0,09377

3,8

0,6474

8：8

0,8828

16,0

0,9577

0,7

0,1172

4,0

0,665В

9,2

0,8907

16,4

0,9596

0,3

0,1411

4,2

0,6830

9,6

0,8979

16,8

0,9613

0,9

0,1652

4,4

0,6991

10,0

0,9045

17,2

0,9629

1,0

0,1893

4,6

0,7140

10,4

0,9104

17,6

0,9645

1,2

0,2365

4,8

0,7280

10,8

0,9159

18,0

0,9659

1,4

0,2820

5,0

0,7411

11,2

0,9209

18,4

0,9673

1,6

0,3252

5,2

0,7533

11,6

0,9254

18,8

0,9686

1,8

0,3658

5,4

0,7647

12,0

0,9296

19,2

0,9698

2,0

0,4039

5,6

0,7755

12,4

0,9335

19,6

0,9709

2,2

0,4395

5,8

0,7855

12,8

0,9371

20,0

0,9720

2,4

0,4726

6,0

0,7950

13,2

0,9404

Таблица 13

Фойгтовскому профилю соответствует 丫 =彳，и (3.12) дает 尸丿(f) =f —7^坦—.(3.28)

Прп / У 1 значения F% (Z) можно найти из ее разложения 片(z)=；产一一訖评十子公十 .・.，(3.29) а прп Z 袋 1 ——по асимптотической формуле

СО/с+1

(/)〜詣巨1 产 2~sin• Г (弊)击=

IJ 誥十+ 5^+…(3.30)

Для промежуточных / значения 尸貝％) находятся из (3.28) численным интегрированием (табл. 14).

Таблица 14

Функция Гр (О

小

t

唳)

t

t

叩/)

0,0

0,00000

2,8

0,3963

7,2

0,6710

14,8

0,8190

0,1

0,00299

3,0

0,4173

7,6

0,6844

15,2

0,8232

0,2

0,01078

3,2

0,4372

8,0

0,6968

15,6

0,8272

0,3

0,02199

3,4

0,4558

8,4

0,7033

16,0

0,8311

0,4

0,03562

3,6

0,4734

8,8

0,7189

16,4

0,8347

(),5

0,05091

3,8

0,4899

9,2

0,7283

16,8

0,8383

0,6

0,06733

4,0

(),5055

9,6

0,7331

17,2

0,8416

0,7

0,0 И45

4,2

0,5203

10,0

0,7467

17,6

0,844 $

0,8

0,1020

4,4

0,5342

10,4

0,7549

18,0

0," 0

0,9

0,1197

4,6

0,5474

10,8

0.7625

18/l

0,8510

1,0

0,1374

4,8

0,5600

11,2

0,7696

18,8

0,8539

1,2

0,1722

5,0

0,57Г)

11,6

0,7763

19,2

0,8566

1,4

0,2060

5,2

0,5832

12,0

0,7828

19,6

03593

1,6

0,2382

5,4

0,5939

12,4

0,7888

20,0

0,8619

1,8

0,2687

5,6

0,6041

12,8

0,7945

30,0

0,9052

2,0

0,2974

5,8

0,6133

13,2

0,8000

50,0

0,9418

2,2

0,3245

6,0

0,6232

13,6

0,8050

So,。

0,9701

2,4

0,3499

6,4

0,6405

14,0

0,8099

2.6

0,3733

6,8

0,6564

14,4

0,R145

Подчеркнем, что вид функции 爲(/) не зависит от значения параметра 〃，входящего в выражение для фойгтов- ского профиля. В частности, при а = 8 фойгтовский профиль переходит в лоренцовский (см. § 1.5). Поэтому оказывается, что £；(/)=尸力«)・ Однако область применимости формулы (3.11) с у м^при разных а различна. Чем меньше о, тем больше минимальное т, при котором эта формула уже может служить разумным приближением.

АСИМПТОТИКИ Sp(t,九)при 1 —九 У 1 их》1 можно получить и другим способом, который интересен тем, что позволяет рассматривать рассеяние в линии и монохроматическое рассеяние единым образом. Поскольку наша цель состоит сейчас лишь в иллюстрации метода, исследуем только

простейший случай X = 1. Будем исходить из представления функции источников в форме (1.13). При больших т и 1 —九 У 1 основной вклад в интеграл (1.13) дает область малых 〃，в которой U(〃)можно заменить на (см. конец § 2.6) %)〜1 —屮⑷〃2丫 (〃 _> 0),(3.31)

где 屮(〃)一некоторая медленно меняющаяся функция 〃 (в частности, это может быть постоянная). Из сравнения (3.31) и (2.6.56) видно, что в тех случаях, которые до сих пор рассматривались в этом параграфе,

屮_.(3.32)

，'丿(2у + 1) sin jty \ u /' 丿

При монохроматическом же рассеянии у = 1 и(р(〃) = 1/3. Подставляя (3.31) в (1.13), находим, что при 九 =1 и т>1

旦6 1-爲i\(力“也(3•33)

о

Полагая т〃 = у и учитывая (2.6.60), имеем отсюда

SP (т, 1)1 /sin у dy. (3.34)

2卄2丫？

Интеграл в правой части следует понимать в некотором обобщенном смысле, например, как предел интеграла

\ е~сУуг~^s^nуdy о

при с -> 0. Вычисляя его и пользуясь еще раз (3.31), находим окончательно

S°(%1)〜一?——~(т>1). (3.35) 4лт2 Г (2丫)cos 冗丫 t l — V

Выведенная ранее формула (3.13) является частным случаем (3.35). Она получается из (3.35) при использовании (2.6.55). В случае монохроматического рассеяния 丿(1Аг)〜

1 при т —> оо, и (3.35) дзет

(3.36)(3.36)s『(t，1)~言">i)，

(3.36)

(3.36)

что совпадает с результатом, полученным в гл. III другим путем.

Случай ненулевых 1 ——九 исследуется аналогично.

Преобразование решения

Выполненное в предыдущем параграфе исследование асимптотического поведения функции источников при больших т подсказывает представление решения в несколько иной форме, имеющей с практической точки зрения известные преимущества перед (1.20).

Начнем с более простого случая строго консервативного рассеяния (九=1). С помощью (2.6.43) и (2.6.49) асимптотику (3.13) можно представить в форме

(% 1) ~鳥［m］\b2，(4.1)

где

°р = ―丫，(4.2)

Весьма существенно, что коэффициент Ср во всех случаях близок к единице. Он монотонно убывает с ростом 丫 от С〃 = 1 при 丫 = 0 “о Ср = ^ = 0,811 при 丫 = 1/2.

Представим теперь Sp(q 1) при всех т в виде

，丿 一 4лт2［^1 ⑴］丿，

где Ep(t, 1) —— поправочный множитель к асимптотике (4.1), существенный только при сравнительно небольших т. Последнее равенство есть определение функции ^р(т, 1).

Сравнивая (4.3) и (2.13) и принимая во внимание (2.6.30), находим, что

Ер (т, 1) = С：［1 + ^Цр^-т + 佟& —内 X

X т2mт 十。(吟］ (рУ 1).(4.4)

Таким образом, при малых т функция J£q 1) не очень сильно отличается от единицы. Для доплеровского и лорен- цовского профилей легко получить и оценку скорости стрем- лення gp (т, 1) к единице при т сх?. Приравнивая правые части (4.3) и (3.16) и пользуясь (2.7.6), можно показать, что ^(t, 1)~ 1—+… (т>1), (4.5)

где 丫 ——постоянная Эйлера. Аналогично доказывается, что

&£(% 1)~ 1鑑* + …(т>>1). (4.6)

Функция Sp (т, 1)Функция Sp (т, 1)Значения функции Sp (т, 1), найденные по формуле (1.20)

Функция Sp (т, 1)

Функция Sp (т, 1)

、力"，1)

,1)

t

s 力《 1)

0,01

3,998 +2

|119

1,198

—2

6,5

6,515 —4

0,05

1,627 +1

2,0

1,070

-2

7,。

5,410 —4

0,1

4,144 0

2,2

8,671

—3

7,5

4,549 —4

0,2

1,0630

2,4

7,135

—3

8,0

3,867 -4

0,3

4,855 —1

2,6

5,950

—3

8,5

3,320 —4

0,4

2,778 —1

2,8

5,019

—3

9,0

2,874 —4

0,5

1,800 —1

3,0

4,277

—3

9,5

2,503 —4

0,6

1,261 —1

3,2

3,677

-3

10,0

2,204 —4

0,7

9,316 —2

3,4

3,187

—3

11

1,733 —4

0,8

7,154 —2

3,6

2,781

-3

12

1,391 —4

0,9

5,658 —2

3,8

2,444

—3

13

1,137 -4

丄

4,579 -2

4,0

2,159

—3

14

9,432 —5

1 ,丄

3,775 —2

4,2

1,918

—3

15

7,927 —5

丄,/

3,160 —2

4,4

1,713

—3

16

6,737 —5

1 , о

2,679 —2

4,6

1,536

—3

18

5,007 —5

丄，т：

2,297 -2

4,8

13%

—3

20

3,840 —5

1,9B7 -2

5,0

1,251

—3

22

3,021 —5

1,6

1,733 —2

5,5

9,884

一4

24

2,427 -5

1,7

1,523 —2

6,0

7,958

一4

25

2,191 一5

1,8

1,347 —2

I

Таблица 45

численным интегрированием, даны в табл. 15. Имея Sp(r, 1), из соотношения (4.3) легко найти и g。(т, 1), так как функции

_『(2 丫+ 2) 1 —九_『(2 丫+ 2) 1 —九лу 九例 1 (т)'лу 九例 1 (т)'(4.8)(4.8)

_『(2 丫+ 2) 1 —九

_『(2 丫+ 2) 1 —九

лу 九例 1 (т)'

лу 九例 1 (т)'

(4.8)

(4.8)

Mi(T) и ТИ2(т) для лорепцовского профиля известны (СМ. §2.7). График ^ (т, 1) приведен на рис. 14.

Замечательной особенностью представления (4.3) является то, что функция ^р(т, 1) не сильно отличается от единицы при всех т. Поэтому 三〃«, 1) можно рассматривать как не очень существенный поправочный множитель. Для получения оценки функции источников его вполне можно заменять на единицу. Пренебрегая также отличием Ср от единицы, приходим к простой приближенной формуле

W 4〜[%⑴产.

(4・7)

Откажемся теперь от предположения о том, что

С помощью(2.6.50) величину Z, определяемую выражением (3.10), можно представить в форме

а формула (3.11) с учетом (2.6.43) и (2.6.49) принимает вид

九）〜鳥含*■%（）九）〜鳥含*■%（）(4.9)(4.9)

九）〜鳥含*■%（）

九）〜鳥含*■%（）

(4.9)

(4.9)

Оба этих соотношения относятся к значениям т, по порядку величины большим единицы. Однако (4.8) позволяет вычислять величину Z для любых т, в том числе и тех, где асимптотики неприменимы. С учетом только что сказанного, функцию источников при всех т естественно представить в виде (точное равенстве!)

斗& 九)』"Д^%У)&Р(% 入)，(4.10)

где 自卩(т, Z) — пог рапочный множитесь к асимптотике (4.9).

При 1——九 у 1 поглощение начинает существенно сказываться лишь на больших расстояниях от источника, а Ер (т,九)заметно отличается от единицы только при сравнительно небольших т. Поэтому величину Е〃 (т,九)можно в этом случае с очень хорошей точностью заменить на ^р (т, 1). В результате будем иметь

凡(叫九)〜鳥ц^"&(/)Е〃(％ 1)(1 -X<1).(4.H)

Формула (4.11) является аналогом (3.4.19). Мы не вполне последовательны в обозначениях. Если быть строго последовательными и всюду, где возможно, использовать в задачах о переносе излучения в частотах линий те же обозначения, которые применялись для монохроматического рассеяния, то в формуле (4.11) через 占卩 следовало бы обозначить множитель при величине j^/2(t)・

В зоне консервативного рассеяния, т. е. при таких т? для которых Z《1, из (4.10) и (4.11) имеем

S。(小九)〜Sp(t, 1)=媒 р^^^Н 1).(4.12)

При этом отличие ^р (т, 1) от единицы существенно только в части этой зоны, соответствующей сравнительно небольшим расстояниям от источника. Для переходной зоны и зоны сильного поглощения, в которых значения / по порядку не меньше единицы, (4.11) можно заменить на

S〃(％ 九)〜f^2(｝，(* Fp (/).(4.13)

В частности, при /登 1 (зона сильного поглощения) находим из (3.12)

Fp (/) - 1,(4.14)

так что (4.13) принимает вид

(4.15)

Сколь бы мало ни отличалось 九 от единицы, на достаточно больших расстояниях от источника в конце концов устанавливается асимптотический режим, описываемый формулой (4.15).

На этом мы" заканчиваем формальное-исследование функции источников для бесконечной однородной среды, содержащей точечный источник излучения. В следующем параграфе будет дана физическая интерпретация результатов. Однако прежде чем переходить к этому, упомянем о том, что в работах Б. А. Векленко [1], [2] и Ю. Ю. Абрамова и А. П. Напартовича [11 было изучено нестационарное поле излучения «мгновенного» источника, находящегося в бесконечной однородной среде, рассеивающей излучение с полным перераспределением по частотам. В этих работах, в частности, исследовано поведение решений нестационарных задач в различных предельных случаях (на больших расстояниях от места вспышки, а также по прошествии большого времени после нее).

§ ”.5・ Перераспределение по частотами эффект накопления. Длина термализаций

В предыдущей главе (§ 3.5) было показано, что в случае монохроматического рассеяния в слабо поглощающей среде вокруг источника существует область накопления. В этой области функция источников больше, чем она была бы в пробном объеме, находящемся в пустоте на том же расстоянии от этого источника. Посмотрим теперь, как сказывается на эффекте накопления перераспределение по частотам.

При рассеянии с полным перераспределением по частотам функция источников в пробном объеме, находящемся в пустоте на расстоянии г от источника, имеющего мощность

С 41. Av

Q "若伙 12 (%。)， равна

S°(D = M*， (5・1)

где т =々12 (v0)几1 几 Множитель “i есть значение М2 (т) при t = 0. Он появляется из-за того, что число квантов с частотами от % до % + dx, излучаемых источником и вызываюш.их затем фотовозбуждения в пробном объеме, пропорционально а2 (х) dx. При интегрировании этой величины по всем

Рис. 15. Коэффициент влияния среды при рассеянии с доплеровским профилем.Рис. 15. Коэффициент влияния среды при рассеянии с доплеровским профилем.

Рис. 15. Коэффициент влияния среды при рассеянии с доплеровским профилем.

Рис. 15. Коэффициент влияния среды при рассеянии с доплеровским профилем.

частотам и появляется коэффициент а】. Учитывая (5.1), для коэффициента влияния среды имеем по определению (см. § 3.5)

zp(t'、)=需5卩0 2・ (5.2)

Будем сначала считать, что коэффициент поглощения доплеровский. При 1 ——九《1 м т;纟 1 находим из (5.2), пользуясь (4.13) и (3.23),"

zf(% 九)=£ d勿 (5，3)

R^d + У

График этой функции приведен на рис. 15. Качественно все обстоит так же, каки при мо/гохроматическом рассеянии,——

вокруг источника существует зона накопления, в которой

i, (т，入)> U причем размер ее тем больше, чем меньше 1 —А. Однако с количественной стороны различия огромны. При доплеровском профиле коэффициент влияния в зоне накопленияпо порядку величины не отличается от единицы, тогда как при монохроматическом рассеянии он мо-

жет достигать очень больших значений. Например, при 1 —入=10~6 имеем »?(%ах) 4 5,6, тог

да как i『(Tm”)亠 0,6 ・10"см. формулу (3.5.5)1. Причиной

этого различия служат перераспределение по частотам при элементарном акте рассеяния, приводящее к постепенной «перекачке» квантов из ядра линии в крылья. В крыльях коэффициент поглощения м^л. Поэтому квант, попавший в крыло, проходит без рассеяний относительно большое расстояние. Это значит, что такой квант обладает "много меньшей способностью возбуждать атомы, чем квант с частотой, близкой к центру линии.

Итак, при рассеяниях происходят два явления, действующие в противоположных направлениях. Во-первых, ме

няются направления движения квантов, что ведет к «запутыванию» их траекторий и вызывает эффект накопления. Во-вторых, меняется частота. После каждого рассеяния в

крыльях линии оказывается все большая доля излучения.С увеличением пути, пройденного излучением в среде, растет число испытанных квантами рассеяний, и излучение постепенно утрачивает способность возбуждать атомы. В случае доплеровского коэффициента поглощения первый эффект все еще преобладает над вторым, хотя и в очень слабой степени. Поэтому- то卽九) в зоне на-

Рис. 16. Коэффициент влияния среды при консервативном рассеянии с лоренцовским профилем.Рис. 16. Коэффициент влияния среды при консервативном рассеянии с лоренцовским профилем.копления и не отличается по порядку от единицы.

Рис. 16. Коэффициент влияния среды при консервативном рассеянии с лоренцовским профилем.

Рис. 16. Коэффициент влияния среды при консервативном рассеянии с лоренцовским профилем.

При рассеянии с лоренцовским коэффициентом поглощения доминирует уже эффект перераспределения. Даже в строго консервативном случае, когда эффект накопления должен был бы быть наибольшим, его не существует, поскольку, как видно из (5.2) и (3.21),

^", 1)~栈£(1 +言；一...) (t>1). (5.4)

Правда, в непосредственной окрестности источника существует небольшая область, где i^ (t, 1)〉1・ Это видно, например, из формул (5.2) и (2.13), показывающих, что при малых т

if (% 1)=1+ т + • • •(5・5)

Однако уже при небольших т рост ip (z, 1) сменяется убыванием (рис. 16), и во всей асимптотической области (т^> 1)

коэффициент влияния оказывается много меньше единицы. В противоположность этому, при монохроматическом рассеянии и в доплеровском случае ip (т, 1)〉1 при всех z〉0.

Таким образом, при лоренцовском коэффициенте поглощения присутствие даже чисто рассеивающей среды уменьшает концентрацию возбужденных атомов на больших расстояниях от источника по сравнению с той, которая была бы в пробном объеме, находящемся в пустоте на том же расстоянии от источника. Спад концентрации возбужденных атомов е рассеивающей среде происходит при этом пропорционально 厂-'/о, где 厂——расстояние от источника [см. формулу (3.21)]. На первый взгляд этот результат может показаться странным. В чисто рассеивающей среде поток излучения через площадку убывает как г-2, а потому, казалось бы, не может убывать быстрее и концентрация возбужденных атомов. На самом деле это не так. Поток, проинтегрированный по всем частотам в линии, действительно убывает как г~2. Однако с расстоянием изменяется и распределение излучения по частотам. Вследствие сильной зависимости коэффициента поглощения в линии от частоты это обстоятельство должно обязательно приниматься во внимание. Оно может обеспечить и более быстрое убывание концентрации возбужденных атомов. Решающим здесь является поведение коэффициента поглощения в далеких крыльях линии. Чем медленнее убывает коэффициент поглощения с удалением от центра линии, тем быстрее спадает вдали от источника концентрация возбужденных атомов в чисто рассеивающей среде. Так, можно показать, что если

а (х) ос |х「при |х| -> 8, то Sp (т, 1) ос т х при z》1. Между прочим, отсюда следует, что если коэффициент поглощения убывает в крыльях по произвольному степенному закону, то на больших расстояниях от источника в чисто рассеивающей среде ip (т, 1) < 1, т. е. накопления не существует.

Кванты, испускаемые источником, испытывают в среде многократные рассеяния, каждое из которых представляет собой возбуждение атома с последующим спонтанным переходом. Чем дальше от источника находится возбужденный атом, тем большее в среднем число рассеяний должен

был испытать квант, дошедший сюда и вызвавший возбуждение. Между тем, за возбуждением атома с вероятностью 1 —九 следует безызлучательный переход, и квант «гибнет». Поэтому, сколь бы мала ни была величина 1 —九， на достаточно больших расстояниях от источника гибель квантов должна начать сказываться. Вблизи же источника, где возбуждение в основном производится квантами, испытавшими относительно небольшое число рассеяний, поле излучения должно быть почти таким же, как если бы гибели квантов не было вовсе.

Согласно только что сказанному при 1 —九 у 1 вокруг источника должна существовать область, где рассеяние приближенно можно считать консервативным, т. е. полагать 九=1. Понятно, что размеры этой области консервативного рассеяния должны быть тем больше, чем меньше роль поглощения. Это качественное заключение справедливо во всех случаях (при любой зависимости коэффициента поглощения в линии от частоты, любой индикатрисе и т. п.). Если же говорить о количественной стороне, то здесь уже все определяется процессами, происходящими при элементарном акте рассеяния.

Как мы видели в гл. III (§3.4), при изотропном монохроматическом рассеянии размер консервативной области по порядку величины равен диффузионной длине т^ = —. Поскольку считается, что 1 ——九 у 1, из (3.2.3) имеем k 〜

• 了3 (1 -九),tак что

1" m3(1-九)

При рассеянии в частотах линий все определяется поведением коэффициента поглощения в крыльях линии. Из результатов, полученных в двух предыдущих параграфах, ясно, что поглощением можно в первом приближении пренебрегать на расстояниях от источника, которым соответствуют значения параметра /, по порядку меньшие единицы. Поглощение начинает существенно сказываться только тогда, когда / приближается к единице. Порядковая оценка размеров области консервативного рассеяния дается поэтому значением т, которому соответствует /, равное единице.

Приведенные сейчас соображения показывают, что для любой среды, в которой наряду с рассеянием происходят также процессы «истинного» поглощения, должна существовать некоторая характерная длина. Она характеризует среднее расстояние, отделяющее место рождения кванта

Рис. 17. К определению длины термализации Т/ (кривые схематические).Рис. 17. К определению длины термализации Т/ (кривые схематические).

Рис. 17. К определению длины термализации Т/ (кривые схематические).

Рис. 17. К определению длины термализации Т/ (кривые схематические).

от места его гибели. Иначе говоря, это есть некоторое среднее расстояние от места первичного возбуждения атома до того места, где энергия, затраченная на возбуждение, превращается в тепло. Эта единица длины называется длиной термализации. Определяется она следующим образом.

Обозначим, как и в § 3.9,

子%) = 1 +4兀(y2S0(『，%)九[(5.7)

о

Soo (t) = Too (r, 1)(5.8)

и заметим, что в силу (1.24)(8,九)=(1 —九尸.Назо

вем длиной термализации q корень уравнения

*8⑹=(1 一人尸*8⑹=(1 一人尸(5.9)(5.9)

*8⑹=(1 一人尸

*8⑹=(1 一人尸

(5.9)

(5.9)

Чтобы сделать это определение более наглядным, на рис. 17 приводится его графическое пояснение.

Рассмотрим, что дает (5.9) в некоторых частных случаях. При 九=0 имеем q = 0, что соответствует тому факту, что за каждым актом возбуждения атома сразу же следует безызлучательный переход вниз. Значительно интереснее противоположный предельный случай 1—九《1. Из (4.1), (5.7) и (5.8) следует, что при т ^> 1

Ss(吁鼎)-(5・1()

Поэтому (5.9) принимает вид

必⑴〜& (1 —%)•(5・11)

Пользуясь асимптотиками функций Мт (т), приведенными в § 2.7, находим из (5.11) для коэффициентов поглощения важнейших частных видов:

Доплер: 伪〜哈[(1—九‘/in 匸\] 1,(5.11а)

①ойгг: q ~ 专〃U @ 0) (1—入厂2,(5.116)

Лоренц:色^- (1 — %)"2.(5.11b)

Отметим, что область применимости формулы (5.116) ограничена теми значениями хь при которых для функции Мг (g) уже можно пользоваться фойгтовскими асимптотиками [см. по этому поводу стр. 120]. Для профилей, убывающих в крыльях пропорционально |%|-х, (5.11) дает

q ос (1 —九)2丫，(5.11г)

где 丫 = ^^-. Наконец, для прямоугольного профиля коэффициента поглощения [монохроматическое рассеяние] при 1 —九 у 1 из (5.9) и (3.9.12) получаем

(5.12)

где т^ — диффузионная длина,

Из (3.35) и (5.7) — (5.8) следует, что при т; — оо

~ 2“ ：2彳徹犷[1 -"•(5.13)

Подставляя это выражение в (5.9), приходим к следующему соотношению для определения tz при 1 ——А У 1:

1 —〜°丫 —(1 -X).(5.14)

\ rf /2丫1 (2 r) cos 冗丫 '''7

Эта формула применима как при рассеянии в частотах линии, так и при монохроматическом рассеянии. В первом случае из нее следует (5.11), а во втором получаем (5.12).

Общий вывод, который можно сделать из приведенных только что результатов, сводится к следующему. При почти консервативном рассеянии длина термализации очень чувствительна к поведению коэффициента поглощения в крыльях линии. Чем медленнее убывает коэффициент поглощения в крыльях, тем больше длина термализации. Насколько велико влияние различий в коэффициенте поглощения, можно судить по такому примеру. Когда 1 —— 九=10-4 (в действительности часто приходится иметь дело и с много меньшими значениями 1 —— X), при доплеровском коэффициенте поглощения длина термализации равна примерно 2 -103, при лоренцовском — 3 -107, тогда как при монохроматическом рассеянии она составляет всего 0,8 402. Таким образом, различие достигает многих порядков. Однако и сейчас еще приходится иногда встречаться с одной очень распространенной в недавнем прошлом ошибкой. Длину термализации отождествляют с диффузионной длиной не только при монохроматическом рассеянии (что вполне допустимо при порядковых оценках), но и при рассеянии в частотах линий с любым коэффициентом поглощения, что уже совершенно недопустимо. К каким огромным ошибкам это может приводить, мы только что видели.

Понятие длины термализации чрезвычайно полезно для качественного суждения о характере решения большинства задач о переносе излучения в частотах линий. Значение TZ определяет радиус своего рода «сферы влияния» точечного источника, в пределах которой происходит «размазывание» первоначального возбуждения. Пусть в среде имеются

распределенные источники, мощность которых на расстояниях порядка TZ меняется мало. Тогда зависимость функции источников от координат будет почти в точности повторять зависимость мощности первичных источников. Наоборот, если на расстояниях порядка tz мощность первичных источников меняется сильно, влияние «размазывания» становится существенным, и столь простой связи между S (т) и S* (т) более не существует. Грубо говоря, функция источников в данном месте есть тогда результат некоторого осреднения S* (т) по области размером порядка 工加 Подробное качественное обсуждение этого вопроса можно найти в монографии Р. Томаса [2].

Конечная цель оптической диагностики плазмы состоит в том, чтобы по наблюдаемым характеристикам излучения восстановить физические параметры среды — распределение температуры и плотности в ней. Очевидно, что интенсивность излучения непосредственно отражает распределение возбужденных атомов, тогда как для нахождения температуры и плотности нужно по полю излучения найти распределение первичных источников. Эффект «размазывания», о котором только что говорилось, кладет теоретический предел возможностям оптической диагностики разреженной плазмы. Именно, можно утверждать, что в пределах масштабов, заметно меньших длины термализации, восстановить распределение температуры и плотности по полю излучения в частотах одной линии невозможно в принципе.

Систематическое использование длины термализации в теории переноса началось после опубликования работы Ю. Эвретта и Д. Хаммера [1], в которой была выяснена важная роль этой характерной длины. Первоначальное определение q было в ряде отношений не совсем удачным, и предпринимались попытки его улучшить. Поэтому в литературе можно найти слегка отличающиеся друг от друга варианты способа введения Q (см. В. В. Иванов [2], В. В. Иванов и Д. И. Нагирнер [1]). Однако все они обладают более или менее серьезными недостатками. Вопрос о наилучшем способе введения tz служил в последнее время предметом специального обсуждения ряда лиц, работающих в области проблем теории переноса в частотах линий (Д. Хаммер, Г. Рыбицкий, Дж. Стюарт, В. В, Иванов),

Определение (5.9) выражает ту точку зрения, которая выработалась у автора в ходе этого обсуждения.

Заметим в заключение, что термин «длина термализации» употребляется также в нейтронной физике, однако в совершенно другом смысле.

Плоский изотропный источник

До сих пор речь шла о точечном источнике. Пусть теперь в бесконечной среде имеется плоский изотропный источник. Будем считать, что мощность его в расчете на единицу 4л-Av 「

площади равна —^— . Если т — оптическое расстояние от излучающей плоскости (в центре линии), SPi (т) — соответствующая функция источников, то, как и при монохроматическом рассеянии (см. § 3.6),

Spt (т)=①8(т)・(6.1)

Явные выражения для ①8(工)были получены в § 4.1. Они даются формулами (1.12) и (1.18). Поступая так же, как в § 4.2, из (1.18) можно получить, что при малых |т|

Фоо (т,а)-+{— fZi In I Т I 4-[- "1丫 一 " + p_l (九)]+

+ ("2 -九条 I T I + "1 (%2 专一九"2)I T |} + 。 "2),

(6.2) где

р二(X) = j RZ?二丄 G (z) dz. (6.3) 6

С другой стороны, (1.12) и (2.6.21) дают

8

①а(т,%)=等{K("l)+ 4$r^mC0STZ^^(6・4) о

так что при малых |т|

Фоо (т,九)=~2 {— 〃1 In I t I + [— 〃1 丫 — 〃 +

十尹吕弱甸}+。g)(6.5)

и, таким образом, наряду с представлением (6.3), pj (入) можно записать также в виде

^=^^^)du-©6)

о

Тем самым, между прочим, мы доказали тождество (1.22). Однако сейчас нас интересует не это тождество само по себе, а одно интересное следствие, вытекающее из (6.6). Если коэффициент поглощения убывает в крыльях по произвольному степенному закону, т. е. пропорционален 叶乂(1 <乂 < 仪), то величина р_х (九)при 九 f 1 остается конечной. При доплеровском профиле картина иная. Как видно из (6.6) и (2.7.15), при стремлении 九 к единице величина pJ(A) неограниченно возрастает. Значит, в бесконечной чисто рассеивающей среде стационарного поля излучения существовать в этом случае не может. В этом отношении рассеяние при доплеровском коэффициенте поглощения не отличается от монохроматического рассеяния (см. § 3.6). Причина этого сходства состоит в том, что в обоих случаях существует эффект накопления (см. § 3.5 и 4.5).

Приведем асимптотики, описывающие поведение ①8 (т) при больших |т|. Для профилей, удовлетворяющих условию (3.3),

ОО

е21 f е~уу^ dy

где

』(1 —九)—^1^1-〜-ir1^——.(6.8)

九冗4亡(]r I )X-2-|t|G(|t| )

Формула (6.7) выводится непосредственно из (1.18). При этом следует воспользоваться асимптотиками G ⑵ и % ⑵, найденными в § 2.6. Использование асимптотики Sp(t,九 полученной в § 4.3, в сочетании с (1.8) также приводит к (6.7), однако этот путь оказывается гораздо длиннее.

При строго консервативном рассеянии (а при 1 — A W 1 в случае Y V 区一также и в асимптотической части зоны

консервативного рассеяния) имеем из (6.7)

①1)〜春斯匐('ПТ (|t|T8). (6.9)

В частности, для фойгтовского профиля у = 彳，а асимптотика функции G дается выражением (2.7.27). Из (6.9) находим

① *(т, 1)1J^lTp (^|т|>1). (6.10) 2л у aU (а, 0)

Переходя здесь к пределу а f 8, получаем асимптотику функции Фоо (т, 1) при лоренцовском профиле:

①匕(т, n-^l^lrp (|т|>1).(6.11)

Так же, как это делалось в случае точечного источника, путем соответствующего переопределения аргументов мож- по добиться того, что при Y < 2 асимптотика (6.7) будет хорошо работать и в неасимптотической области. Функцию источников при любых т и X можно представить в форме

①з(т, М-4тгМг Fcc(o 九)'(6.12) где

(6」3)

Y(6.伍)

а 占8 (т,九)——поправочный множитель к асимптотике.

При почти консервативном рассеянии (1—九 у 1) и 丫 V ^ множитель 占8(7 九)можно заменять на ^ (т, 1), а для получения грубой оценки функции источников просто полагать равным единице. При строго консервативном рассеянии (九=1) имеем из (6.12) — (6.14)

①。о(т, 1) — "^ 2,2(| т I)占8(工，1),(6.15)

где

c8 = *.(6.16)

Если 九 # 1, то при |т| — 8

—К(|т|)

Ф80%)〜％ 二1r■，(6.17)

однако при 1 —入《1 область применимости этого асимптотического представления ограничена очень большими значениями |т| (именно, теми, которым соответствуют значе ния /, существенно большие единицы).

Подчеркнем, что, в отличие от аналогичных формул, относящихся к точечному источнику, переход к пределу Y — 2 в (6.7)——(6.8) и (6.12)——(6.14) с целью получить

доплеровские асимптотики невозможен.

Таблица 16

Функция Ф上(％ 1)

Т

咱 т，1)

Т

吆Q 1)

Т

①&一)

①上"，1)

0,01

2,017

0,7013

(),4438

9,0

0,2861

0,05

1,610

0,6819

0,4326

9,5

0,2783

0,1

1,431

1 , о

0,6638

0,4221

10,0

0,2711

0,2

1,248

0,6470

0,4123

И

0,2582

0,3

1,138

1 , о

0,6342

0,4031

12

0,2470

0,4

1,059

0,6165

0,3945

13

0,2372

0,5

0,9960

0,(02；

0,3864

14

0,2284

0,6

0,9442

0,5772

0,3681

15

0,2205

0,7

0,9001

0,5545

0,3521

16

0,2134

0,8

0 力 617

2,6

0,534()

0,3380

18

(),2010

0,9

0,8278

3；0

0,5155

0,3254

20

0,1906

1,0

0,7975

0,4986

0,3141

22

0,1816

1,1

0,7701

0,4832

0,3039

24

0,1738

1,2

1,3

0,7452

0,7223

3；4

3,6

0,4690

0,4559

8,\5

0,2946

25

0,1702

Приведем теперь некоторые численные результаты.

В табл. 16 даны значения функции ①8 (工)при консервативном рассеянии с лоренцовским профилем, полученные из

Рпс. 19. Функция ①8 (г) при фойгтовском профиле с о = 10

(1.18) численным интегрированием. С помощью приведенных в таблице значений Ф^ (т, 1) по формуле (6.15) были найдены значения ^ (т, 1) [предварительно были табулиро-

Рис. 20. Функция(D「(т) при фойгтовском профиле с о = 10 -2.

ваны Kl(t) и 厶「(т)]. Оказалось, что функция Е七(т, 1) возрастает от п/4 = 0,79 при z = 0 до 1,46 при z = 0,1, а затем довольно быстро убывает. При т〉1 отличие ^ (т, 1) от единицы не превышает 8%. Таким образом, при лорен- цовском профиле представление (6.15) с ^ (т, 1) = 1 обеспечивает при всех т точность выше 50%; при т > 1 погрешность не превышает 8%; при z〉5 она меньше 3%.

Влияние фойгтовского параметра 〃 на вид Ф^ (т) наглядно иллюстрируется рис. 18——21, любезно предоставленными

автору Д. Хаммером. Значения Фоо (т), использованные для построения кривых, были найдены численным решением уравнения (1.7). Рис. 18, относящийся к доплеровскому профилю, хорошо иллюстрирует сделанный выше вывод о

Рис. 21. Функция ①《 (г) при лоренцовском профиле.

расходимости ①В (т; X) при 九—1. Когда а = 10~3, область значений т, где с достаточной точностью ①厶(т,九)можно считать равной ①厶(т, 1), существует лищь при 1 —九三 W IO"5 f 10一、Это видно из рис. 19. Практическая область применимости асимптотики (6.10) при а = 10~3 оказывается поэтому довольно узкой. Из сопоставления рис. 19——21 следует, что по мере роста а она расширяется. При лоренцовском профиле (а = 8)область значений т, где можно полагать Ф^ (т, X) ~ --у-—г |t |-72? существует уже при 1 ——X = 10~3. С уменьшением 1 —九_она быстро увеличивается в размерах.

Глава V

РАССЕЯНИЕ В ЧАСТОТАХ ЛИНИИВ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

В предыдущей главе среда считалась бесконечной. Тем самым были исключены из рассмотрения области, расположенные вблизи границ, в которых наряду с поглощением важную роль играет выход излучения. Теперь нам предстоит исследовать поле излучения в этих пограничных' областях. Эти области дают основной вклад в выходящее излучение, и потому их исследование представляет собой чрезвычайно важную проблему. В качестве первого шага естественно рассмотреть идеализированную среду, занимающую полупространство. Этому и будут посвящены ближайшие главы.

Задача о рассеянии света в полубесконечной среде принадлежит к числу тех немногих проблем теории многократного рассеяния, точное решение которых удается получить в замкнутой форме. Поэтому, не говоря уже об интересе к этой задаче как таковой, она приобретает еще и роль «пробного камня», служащего для проверки точности и границ применимости различных приближенных и численных методов теории переноса. Этим оправдывается то большое место, которое отводится этой задаче, а также наше стремление привести имеющиеся численные результаты, к сожалению, еще далеко не полные. Большое внимание уделяется изучению асимптотических свойств решения. Это обстоятельство также не случайно. Как будет показано ниже, когда рассеяние почти консервативно, так что за фотовозбуждением атома в большинстве случаев следует радиативныи переход вниз, толщина пограничного слоя оказывается очень большой. Асимптотики, о которых только что упоминалось, отражают упрощения в структуре этого толстого

пограничного слоя па оптических глубинах, по порядку больших единицы. Подобные упрощения имеют общий характер и должны бнть свойственны не только среде, ограниченной плоскостью, но и средам более сложной геометрии.

В настоящей главе дается формальное решение задачи о расчете поля излучения в полупространстве, справедливое при произвольной зависимости мощности источников от глубины. Функции, через которые выражается решение, подробно исследуются и некоторые из них табулируются. Применение этих общих результатов к различным конкретным частным случаям, а также обсуждение физической стороны дела составляет содержание следующей главы.

Основные уравнения

Будем предполагать, что мощность первичных источников излучения, вызывающих возбуждение атомов и тем самым свечение среды, зависит только от одной пространственной координаты — расстояния от границы. Вдоль любой плоскости, параллельной границе среды, она постоянна. В силу симметрии задачи интенсивность излучения должна зависеть только от глубины, от угла с нормалью и, наконец, от частоты. Пусть % — обычная безразмерная частота, т — оптическая глубина, т. е. расстояние по нормали от границы среды, измеренное в длинах свободного пробега кванта частоты % = 0, и 卩一 косинус угла между направлением распространения излучения и внешней нормалью. Тогда / = / (z,卩，х). При отсутствии поглощения в непрерывном спектре л 九=const уравнение переноса в частотах линии записывается в виде (см. § 2.3)

""嘴" =a (%) / (%卩,盼一

ОО1

^- 4 а (х) \ a (亡)dxr \ / (т, р/, £) dp/ — а (%) S* (т), ут(1・1)

а граничное условие, выражающее отсутствие падающего извне излучения, выглядит так:

/ (0,卩，х) = 0 при 卩 < 0.(1.2)

Решение уравнения (1.1) при граничном условии (1.2) и произвольной «первичной» функции источников S* (т) и составляет содержание настоящей главы.

Введя функцию источников

ОО1

S (т) = А- л 5 а ^) ^ $ ^ (^, nz，^ + S* (т), (1.3) -00-1

уравнение переноса можно переписать в виде

叁R产= /（%卩,%）—s⑺,叁R产= /（%卩,%）—s⑺,(1.4)(1.4)

叁R产= /（%卩,%）—s⑺,

叁R产= /（%卩,%）—s⑺,

(1.4)

(1.4)

из которого видно, что в действительности интенсивность излучения зависит не от самих величин 卩 и %, а лишь от отношения

Интенсивность как функцию т и г будем по-прежнему обозначать через /, что не должно привести к недоразумениям. Ее нормировка остается прежней, так что / (т, г) da dco dv есть энергия, протекающая за единицу времени в пределах телесного угла d(o в интервале частот (v, v + dv) через площадку do, находящуюся на оптической глубине т и ориентированную перпендикулярно к направлению распространения излучения.

Пользуясь обозначением (1.5), вместо (1.4) и (1.2) имеем соответственно

=/(%" —S ⑺，(1.6)

/ (0, 2)= 0 при 2 < 0.(1.7)

Выражение для функции источников S (т) также можно преобразовать, сделав во внутреннем интеграле в (1.3) замену 2’ = р//а (%'):

оо%，)

S(r) = ~—А ,心⑺改 \ /(t,d)d/ + S*(t). (1.8)

001

Меняя порядок интегрирования, получаем

S")= + £ /(qi)G©)di + S*"),(1.9)

-—8

где

а丄=4 \ а2 (£) dxf при | z |《1

G ⑵ Т 「(1・10)

2Д \ а2 (%') dx' при I z О 1, причем х (z) определяется из условия

а(%(») =-[7["，%(z) >0・

Заметим, что

G ⑵=G(—2).(1.11)

Далее, из (1.9) и (1.3) следует тождество

сооэ1

\ / (т, У) G е) dzf - А \ а (£)力‘ \ / 卜,-^у) ^*

Полагая в нем / = 1 и учитывая (1.11), находим

R G(z)dz= 1.(1.12)

О

Явные выражения для G (г) при доплеровском и лоренцов- ском коэффициентах поглощения были даны в § 2.7.

Для интенсивности излучения, распространяющегося на глубине т, из (1.6) при учете (1.7) находим [ср. формулы (2.3.13) и (2.3.14)1

/ (q 2)= — j S (『)厂一今3<0),(М3)

о

8t'—t,

/02)= \5(#)。一丁s(卩)0).(1.14)

В частности, интенсивность выходящего излучения равна /(0,z) = js(『)er 冬. (1.15)

Нетрудно получить интегральное уравнение для S (т), решение которого эквивалентно решению уравнения переноса (1.1) при граничном условии (1.2). Для этого достаточно подставить в (1.9) выражения для интенсивности излучения, даваемые (1.13) и (1.14). Таким путем получается следующее уравнение для функции источников S (т) (подробности см. в § 2.4):

5(c)=等 f K(| — C)S(『)d7 + S・* ⑴，(1.16) где

оо т

К⑺二 \ Lg©)*(1.17)

о

Уравнение (1.16) представляет собой основное интегральное уравнение рассматриваемой проблемы. В дальнейшем мы будем исходить именно из него, а не из уравнения переноса в дифференциальной форме. Относительно свойств ядра К (т) и связанных с ним функций см. § 2.6 и 2.7.

Для решения интегрального уравнения (1.16) используем метод, развитый В. В. Соболевым [1], [5]——[71 и К. Кейсом [1], [2]. Этот метод в последние годы получил довольно широкое применение в теории переноса излучения.

Решение уравнения (1.16) при произвольном свободном члене S* (т) сводится к отысканию его функции Грина G (т, Y), определяемой уравнением

G(q#)= U I т - /1) G (/, т7) ^ + 6 (т - rz) (1.18)

О

(где 6 (х) —— дельта-функция), или, что эквивалентно, к нахождению резольвенты Г (т, /), удовлетворяющей уравнению

「(…‘)=(i—川)г &『)成+о. о

(1.19) Функция Грина и резольвента связаны между собой

следующим образом:

G (т, Y) = Г (т, т7) + 5 (т — Т)・(1.20)

Если Г (т, Г) найдена, то функция источников S (т) получается простым интегрированием по распределению первичных источников:

8

S“) = S*(x)+ \「y)S*T)dY・ (1.21)

В силу симметрии ядра уравнения (1.16) функция Грина и резольвента должны быть симметричными функциями своих аргументов, т. е.

D = Г (V, т).(1.22)

Можно показать, что резольвента, зависящая от двух переменных, просто выражается через функцию одного аргумента Ф (т), являющуюся частным значением Г (т, т') при = 0:

Ф (т) - Г (т, 0) = Г (0, т).(1.23)

Докажем для этого вначале, что если функция / (т) ограничена при т f 0, то

к(丨‘—")'(/)〃=£ к(it—“)广⑺山+ оо

+ f(O)K(t).(1.24)

Разбивая интеграл, стоящий справа, на два ——один от 0 до т и другой от т до g и производя в первом из них замену у = т — /, а во втором у = t — т, получаем

£ К (\工一I \ ) f © 山=\ К 傅)— У) dy + ио

+ \ к (у) / (Т-у) %.(1.25)

о

Отсюда

ОО

凄-\ K(U|)f⑺力= /(0)К(т) + о

+ j к ®)尸(У — Q % + £ К 匂)尸(т + у) dy. (1.26) оо

Преобразуя сумму двух последних членов, стоящих в правой части, с помощью тождества (1.25) сразу же приходим к (1.24).

Продифференцируем теперь (1.19) сначала по т, затем по т/ и сложим почленно получающиеся равенства. Учитывая (1.24) и (1.23), находим

ОО

+ ①(『)4~К ⑺.(1.27)

Из уравнения (1.19) с учетом обозначения (1.23) имеем

ОО

①⑴=今\ к(|Р — /|)①⑴山+ 4~К⑺.(1.28) о

Сравнивая (1.27) и (1.28), заключаем, что

+崇=①⑺①(Н)・(1.29)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (1.23), при т7 ^> т имеет вид

Г(% 不)=① В — т) + \ ①(т 一 /)① В —Z) dt. (1.30)- о

В силу симметрии резольвенты отсюда следует, что при произвольном соотношении между тит7

Г (% 丁)=①(11 一 丁 IW ①(t 一 /)① В — /) 〃， (1.31) 0

где т — меньшее из чисел т, т/.

Формула (1.31) показывает, что определение резольвенты уравнения (1.16) действительно сводится к нахождению функции одной переменной Ф (т). Эта функция определяется уравнением (1.28). Она играет фундаментальную роль в задаче о рассеянии света в полубесконечном слое.

Соотношение (1.31) для частного случая К (т) = Ег (т) было найдено Г. Плачеком в 1945 г. (см. по этому поводу Б. Дэвисон [1], гл. VI). Изложенный выше вывод принад-

лежит В. В. Соболеву [5]. Интересно, что формулу (1.30) можно написать непосредственно из физических соображе- ний (см. следующий параграф).

Переходя к выводу соотношений, которые используются для определения Ф (т), введем в рассмотрение функцию 尸(т, г), у до в летвор я ющую уравнению

Р(%2)= 3 f К(|т —d|)PB,z)d『 +备〔十.

° (1.32)

Сравним это уравнение с (1.28). В силу (1.17) свободный член (1.28) является суперпозицией свободных членов уравнения (1.32). Из линейности этих уравнений вытекает, что и решение (1.28) должно поэтому быть суперпозицией решений уравнения (1.32). На этом основании можно утверждать, что

ОО

(1.33)(1.33)Ф (т) - 2л \ 夕(t,z)G(2)鲁. о

(1.33)

(1.33)

Дифференцируя (1.32) по т и используя (1.24), находим

@Р (т, 2)@Р (т, 2)8

@Р (т, 2)

@Р (т, 2)

:等 、К("一1)"A力 +

(L34)(L34)+ 夕(°, %)今 К (т) е z •

(L34)

(L34)

Из (1.34), (1 32) и (1.28) следует, что

^^} Р ", 2)+ Р (0, г) Ф ⑴.(1.35)

Из последней формулы имеем

Р(Т，2)= *”(2)(}^ + '厂子① В)*} (L36) где введено обозначение

”)=*Р(0,2)・(1.37)

Подставляя (1.36) в (1.33), получаем для Ф (т) следующее уравнение Вольтерра с разностным ядром (уравнение типа свертки):

Ф (т) -(т) + ^ (т - 丁) Ф В) ",(1.38)

где

N g = ± \ 0— 丁“(2') G (»)冬. (1.39)

Оно показывает, что вид Ф (т) целиком определяется свойствами Н (г). Мы сейчас получим для этой функции нелинейное интегральное уравнение.

Из (1.21) и (1.32) имеем

t8t，

p3"=备厂+ $ ，-%丁)l先，(1.40) о

или, учитывая (1.20),

°g)= $t G(%『)L”.(1.41)

Итак, функция Р (т, г) по существу является преобразованием Лапласа от функции Грина по одной из переменных. Этим объясняется большое значение, которое Р (т, г) будет иметь в дальнейшем. Полагая в (1.40) t = 0, получаем

"(z) = 1 + \ Ф(т9 dx\(1.42)

о

Входящий сюда интеграл с помощью (1.38) можно выразить через Я (г) и тем самым получить уравнение, определяющее эту функцию. Для этого обе части (1.38) нужно умножить

нас z и проинтегрировать пот от0 до со. После небольших преобразований получим

"(2)= 1 + 等 z "⑵弋 G С)忆 (1.43)

Это и есть искомое уравнение, определяющее Н (г). Оно играет чрезвычайно важную роль при исследовании рассеяния света в полубесконечной среде.

Формула (1.42) показывает, что "(1/s) — 1 есть не что иное, как преобразование Лапласа от Ф (т). Определение Ф (т) сводится поэтому к обращению преобразования Лапласа, то есть к вычислению интеграла

Oo+foo

①⑴\ ["g)-1卜曲. (1.44)

Оо—ЧОО

Впрочем, в дальнейшем для определения Ф (т) будет использован другой путь, который позволит выразить Ф (т) через Фоо(т) и Н (г), исходя непосредственно из физических соображений.

Отметим, что интенсивность выходящего излучения / (0, z) наряду свыражением (1.15) дается такжеформулой

/(0,2)=等『S* ⑺尸(％ z)售. (1.45) о

В самом деле, из (1.15) и (1.21) следует, что

'/(0")= j[s*(『) + gs* ⑹「(丁”)血卜-？勺.(1.46)

Меняя порядок интегрирования во втором члене, получаем

СОF，8у

/(0,z)= \(т)Ге—7 + \ Г~г (Y,t)血[咚.(1.47)

Учитывая симметрию резольвенты Г (т, т'), находим, что величина, стоящая в квадратных скобках, есть не что иное, как(4л/Х Р)(т, z). Это следует из (1.40). Поэтому последняя формула тождественна (1.45).

Резюмируем главные моменты изложенного метода решения основного интегрального уравнения (1.16). Ищется резольвента этого уравнения Г (т, т7). Она выражается через функцию одной переменной Ф (т) [формула (1.31)]. Для Ф (т) получается уравнение типа свертки (1.38). Его решение сводится к обращению преобразования Лапласа от функции Н (1/s)— 1, где Н (г) — решение нелинейного

интегрального уравнения (1.43). Таким образом, оказывается, что в конечном счете вид резольвенты Г (т, V) определяется свойствами Н (z).

Описанный метод непосредственно применим для решения уравнения (1.16) тогда, когда его ядро представимо в виде суперпозиции экспонент. При довольно широких предположениях о виде К (т) уравнение (1.16) изучено в работах В. А. Фока [1], К. Кейса [1] и др. Наиболее полное исследование уравнений типа (1.16) принадлежит М. Г. Крейну [1].

Вероятностная трактовка

Линейным задачам теории переноса излучения можно дать простое вероятностное истолкование, предложенное В. В. Соболевым [8], [I]. Само по себе оно не дает какого- либо нового метода решения проблемы, однако позволяет взглянуть на нее под иным углом зрения. Более того, такой подход дает возможность получить многие важные соотношения непосредственно из вероятностных соображений, минуя длинный ряд промежуточных преобразований.

Рассмотрим возбужденный атом, находящийся на некоторой глубине т. С вероятностью / атом перейдет на нижний уровень с излучением кванта в линии. В приближении полного перераспределения по частотам вероятность того, что этот квант будет излучен в пределах телесного угла de в интервале безразмерных частот от % до х + d%, равна 人 Aa(x)dx 鳴.(2.1)

Если квант излучен в направлении, образующем угол arc cos 卩 < к слоям, то с вероятностью

он выйдет из среды, не испытав по пути ни одного акта взаимодействия с веществом. Таким образом,

1а(*)

伞 Ла (尤)еd^dx(2.2)

есть вероятность того, что возбужденный атом, расположенный на глубине т, излучит квант с частотой от х до х + dx,

который сразу же, без последующих рассеяний, выйдет из среды под углом arccos 卩 к нормали в пределах телесного угла dco. Интегрируя (2.2) по всем частотам и углам выхода, получаем

з 1 а(х) 8

等4 \(x(%)d%\e 卩 ' d\i = -^- А ^ а (%) £2 [та (x)]dx = 一8 U —cО

=TL⑴，

где L (т)——функция, подробно исследованная в § 2.6. Итак, полная вероятность того, что возбужденный атом, лежащий на оптической глубине т, излучит квант в линии, который выйдет из среды без рассеяний, равна (九/2) L (т).

В § 2.6 было показано, что

厶⑴=\ е 2 g⑶dz.

Теперь легко понять, что (九/2) G(z) dz есть вероятность излучения возбужденным атомом кванта с такой частотой и в таком направлении, что отношение “ /а (к) заключено между г и г + dz. Заметим, что соотношение (1.12) получает тем самым очевидное вероятностное истолкование.

Рассмотрим, далее, два возбужденных атома, один из которых расположен на глубине т, а другой — на т + Л. Соответствующие вероятности излучения квантов, сразу же выходящих из среды, равны(A,/2)L(t) и (九/2)厶(т4-Л).Очевидно, что разность между ними, равная, как следует из (2.6.5), (?i/2)/C (т) dx, дает вероятность того, что квант будет излучен и впервые поглотится в плоском слое толщиной dt, расположенном на расстоянии т от излучающего атома. Тем самым мы выяснили вероятностный смысл ядра основного интегрального уравнения (1.16).

До сих пор речь шла о вероятностной интерпретации величин, характеризующих однократное рассеяние. Перейдем теперь к проблемам многократного рассеяния, ограничившись рассмотрением полубесконечной среды. Пусть р (т,卩，％) ds dx есть вероятность того, что возбужденный атом, находящийся на глубине т, излучит квант, который выйдет через границу (вообще говоря, после многократных

рассеяний） под углом arc cos 科 к нормали в пределах телесного угла d（o в интервале частот от х до х + dx. С вероятностью （Х/2） К（I т—Y I） dV квант будет излучен и в первый раз вызовет фотовозбуждение где-то в слое, лежащем между Y и т/ + dY. В этом слое возникнет возбужденный атом. Этот атом в свою очередь с вероятностью р （Y,卩，х） ds dx излучит квант, который выйдет из среды под углом arc cos 卩 в частоте%. Интегрируя величину （Х/2） К （|工一Y |） р （Y,卩,х） X X d（o dx по всем т\ получим вероятность выхода кванта с глубины т после по крайней мере одного рассеяния. Добавляя к ней вероятность непосредственного выхода кванта （2.2）, мы должны получить р （т,卩，х） dco dx. Таким путем приходим к следующему уравнению для р （т,卩，х）:

P（…,%）=等 宁 «（ 11 一 口），（丁，电 x）" +

0

+ 4咐备сг二 ②3）

Функция р （т,卩，％） называется вероятностью выхода кванта из среды. Из уравнения （2.3） видно, что отношение

Р（У）=（2.4）

зависит не от самих величин li и х, а лишь от их комбинации z =卩/а （%） и удовлетворяет уравнению

P（i） = 4~『K（l一门）「（％）* + /〕 о

（2.5）

Переписывая （2.4） в виде

Р （К 邑 ％）=备 4a（%）•手 P（小 Z）

и сравнивая это выражение с （2.1）, заключаем, что вследствие взаимодействия излучения со средой вероятность выхода кванта в заданной частоте и направлении изменяется в （4п小）尸（“）раз.Этим определяется физический смысл функции Р （т, z）, которую мы будем называть приведенной вероятностью выхода кванта из среды.

Формула (1.37) показывает, что (九/4л)" (г) есть приведенная вероятность выхода кванта с границы среды. Иначе говоря, величина (^/2)G (г) Н (г) йг есть вероятность того, что появление на границе полубесконечной среды возбужденного атома приведет к выходу из нее такого кванта, для которого величина г =卩/а (х) будет заключена между г и г + dz. Интегрируя эту вероятность по всем г, получим полную вероятность того, что если на границе среды появился возбужденный атом, то из нее выйдет квант. Эта вероятность равна (九/2) Яо, где

%= \ Н ⑵ G ®d"(2.6)

С вероятностью 1——(^/2)Я0 квант «застрянет» в среде или, точнее говоря, энергия первоначального возбуждения перейдет в тепло. Этим замечанием мы воспользуемся в дальнейшем.

Рассмотрим теперь резольвенту Г (ть т2). Учитывая вероятностный смысл функции К (t), Из (1.19) заключаем, что Г (q, т2) dx2 есть вероятность того, что появление возбужденного атома на глубине q рано или поздно вызовет фотовозбуждение атома в слое между т2 и т2 + Л2. Это утверждение становится совершенно очевидным, если Г (ть т2) представить в виде ряда Неймана

Г (工1,匕)—2 К" ( Е — т21),(2.7)

/2=1

где

8

К〃( IQ I)=等 \ К ( IП —门)К〃т ( в —工21 )", о

(2.8)

Ki(|q 一出[)=等 k(1n 一资|).(2.9)

Ясно, что /г-й член этого ряда есть вероятность миграции возбуждения с глубины тх на т2, происходящей с п — 1 промежуточным фотовозбуждением.

Указанный только что вероятностный смысл резольвенты позволяет легко получить соотношение (1.30), выражающее резольвенту через функцию Ф (т). Передача возбуждения с глубины к】 на глубину т2 происходит следующим образом. Возбужденный атом, находящийся на глубине т1? излучает квант. Этот квант совершает затем случайные блуждания в среде, в ходе которых он может попасть на уровень

т2 и вызвать здесь фотовоз- буждеыие атома. Вероятность того, что появление возбужденного атома па глубине Tj рано или поздно повлечет за собой фотовозбуждение атома в слое единичной оптической толщины, лежащем на глубине т2, будем для краткости называть вероятностью перехода тх — ”. Будем для определенности считать, что Q〉G・ Разобьем все траектории, которые может описать квант, на два типа. К первому типу отнесем те

Рис. 22. К выводу выражения для Г (q, т2) через Ф (т).Рис. 22. К выводу выражения для Г (q, т2) через Ф (т).из пих, которые ни разу неиз пих, которые ни разу непересекают плоскости т = q, ко второму — все остальные (рис. 22). Очевидно, что вероятность перехода q -> т2 по всем траекториям первого типа совпадает с вероятностью перехода 0 т2 — q, т. е. равна Г (0, т2 — q). Обратимся к траекториям второго типа. Пусть т = / —— наиболее близкий к границе т = 0 уровень, которого квант достигает в ходе блужданий, происходящих по какой-то из траекторий второго типа (Z < q). Очевидно, что на этой глубине должно произойти фотовозбуждение атома, так как в противном случае квант продолжал бы двигаться в сторону уменьшающихся т. Траектория, описываемая квантом, вызывающим фотовозбуждение где-то в слое между % и % + df, не пересекает уровня t = %, а в остальном произвольна. Поэтому вероятность перехода Tj -^ / с фотовозбуждением в слое толщиной dt равна Г (q ——/, 0) dt. Возбуждение с уровня / передается затем на уровень т2, причем единственное ограничение, накладываемое на траекто-

Рис. 22. К выводу выражения для Г (q, т2) через Ф (т).

Рис. 22. К выводу выражения для Г (q, т2) через Ф (т).

из пих, которые ни разу не

из пих, которые ни разу не

рию, состоит в том, что она не пересекает плоскости т;= 九 Соответствующая вероятность перехода равна Г (0, т2 ——％)• Таким образом, вероятность перехода % f R по тем траекториям второго типа, для которых самое близкое к границе т = 0 фотовозбуждение происходит между % и % + df, равна

Г (宽一/, 0) Г (0, т2 — %) dt.

Интегрируя это выражение по / от 0 до тх и учитывая вклад от траекторий первого типа, получаем полную вероятность перехода тх т2, равную Г (%,%)• Таким путем приходим к соотношению (т2〉

г (т1? %) = г (О, % — D)+ \ Г (% —厶 °) Г (°，％ — %)或，о

(2.Ю) которое в силу (1.23) тождественно (1.30).

Легко показать также, что

8

Г(т1? г) =「8 (%, %) — \ ①(/ + /)①(匕 + %)成.(2.11) о

Эта формула выражает тот факт, что в полубесконечной среде, в отличие от бесконечной, траектории квантов, пересекающие плоскость t = 0, являются «запрещенными».

Сходные соображения позволяют дать вероятностное толкование и многих других соотношений, полученных в предыдущем параграфе.

Функция Грина для полупространства

В главе IV было рассчитано поле излучения точечного источника, находящегося в бесконечной однородной среде, т. е. получена функция Грина уравнения переноса излучения для неограниченного пространства. Теперь мы найдем резольвенту интегрального уравнения (1.16), или, что есть, по существу, то же самое, функцию Грина для полупространства. Имея решение задачи о точечном источнике в бесконечной среде, это можно сделать очень просто (В.В. Иванов [3]).

Функция Грина для полупространства есть

G& “)= 3 (% — %) + Р(Z, 7),(3.1)

где Г(Z, т2) — решение уравнения

「(J T2)-今 \ k (I g - T[ )г(т/, T2) d丁+ 等 к (心一词).

° (3.2)

Наиболее прямой путь получения Г (q, т2) состоит в решении этого уравнения методом итераций. В результате получается представление Г (q, т2) в виде ряда Неймана [см. формулы (2.7) — (2.9)]. Физически решение методом итераций соответствует последовательному учету рассеяний разных порядков. Однако такое решение представляет лишь весьма ограниченный практический интерес, так как при не слишком малых 九 ряд сходится медленно. Между тем именно случай, когда 九 близко к единице, интереснее всего. Ясно, что здесь* нужен какой-то другой подход, который позволил бы учитывать все рассеяния сразу и дал бы возможность получить Г «1, т2) в замкнутой форме.

Такой подход может основываться, например, на вероятностных соображениях того типа, которые были использованы в предыдущем параграфе для вывода соотношения (2.10). Разобьем все траектории, по которым может совершиться переход т;】—工2 в бесконечной среде, на два типа. К первому типу отнесем те траектории, которые ни разу не пересекают плоскости t = 0, а ко второму — все остальные (предполагается, что тх и т2 неотрицательны). Подсчитаем отдельно вероятность перехода % — % в бесконечной среде по траекториям того и другого типа.

Поскольку траектории первого типа не пересекают плоскости т = 0, а в остальном произвольны, вероятность перехода по ним равна полной вероятности перехода тх — т2 в полубесконечной среде, т. е. Г «1, т2). Найдем вероятность перехода по траекториям второго типа. Кванты, описывающие такие траектории, испытывают хотя бы одно рассеяние в полупространстве t < 0, так как иначе, выйдя из области t〉0, они бы не могли вернуться на уровень т2〉0. Поэтому траектории второго типа можно классифицировать по той глубине, на которой совершается первое рассеяние в полупространстве т <^ 0. Получим вероятность перехода тх —工？ по тем траекториям, для которых первое рассеяние в области отрицательных т происходит в слое от

—/ до — / + df, где /〉0. Для перехода по такой траектории квант должен выйти с глубины тх из полупространства t〉0, пройти без рассеяний в полупространстве t < 0 до глубины — %, поглотиться между —— / и — t + dt и затем с этого уровня попасть на уровень 七2〉° (вообще говоря, снова после диффузии во всем бесконечном пространстве). Легко сообразить, что вероятность этого сложного события равна

2冗 \ dxf 加卩(“ k /) e「8 (―力 Q) a (%')学，

1(3.3)

или

8/

2打 、 P (j,，‘)G (炉)гоо (- f, %) - 厶‘，(3.4)

0

где 「8卜，工')——функция Грина для бесконечной среды. Множитель 2л и интегрирование по z‘ в этом выражении учитывают возможность выхода кванта из полупространства т ^> 0 под любым углом и в любой частоте. Если это выражение проинтегрировать по / от 0 до оо, то мы тем самым учтем все траектории второго типа. Таким образом, полная вероятность перехода тх -> т2 по таким траекториям равна

2п \ P^z^G^dz1 S 厂九8—小)号(3.5) оо

Переход т^ — т^ в бесконечной среде совершается или по траектории первого типа, или по траектории второго типа. Поэтому сумма Г (q, т2) и (3.5) должна быть равна полной вероятности перехода t】f т^ для бесконечной среды, т. е. Гоо СЧ, т2). Следовательно,

「8 (q,七2)=「(q, з)

+ 2л^ P^zr}G^zr)dzr Гг^ 「8(—/,匕)号.(3.6) оо

Эта формула дает важную связь между функциями Грина бесконечной и полубесконечной сред. С ее помощью функцию Ф (т) легко выразить через &8“)и "-функцию.

Положим для этого в (3.6) т；] = 0, заметив предварительно, что согласно (1.37) Р(0, г) = (Z/4h) Н (г). В результате получим

①8(Г)= Ф (t2) Н—% \ Гоо (一 ％, %)成 X о

X §e「第"(才)6(才)筝. (3.7) о

Воспользуемся теперь тем физически очевидным фактом, что в бесконечной среде вероятность перехода тх — т2 зависит не от самих величин тх и т2, а лишь от абсолютной величины их разности |q — Q (см. § 3.6). На основании этого можно утверждать, что %(— t, т2)=①8(“ + 0- Поэтому, заменяя в (3.7) обозначение независимой переменной т2 на т, находим

Ф ⑴= Фоо(т)-4Г ① 8 (t + %) 〃£"⑵)G (力岑.

ио

(3.8)

Поскольку Г (z, т2) полностью определяется функцией Ф (т), эта формула, по существу, выражает функцию Грина для полупространства через функцию Грина для бесконечной среды и Я-фупкцию. Мы вывели здесь это соотношение из простых физических соображений. Разумеется, его можно получить и чисто формальным путем (см. К. Кейс ⑴，⑵).

Подставим в (3.8) явное выражение для Ф^ (т) при t〉0, полученное в § 4.1:

①8(О = 4Л〔3r(z)G ⑵等，(3.9)

о

где R (г) дается формулой (4.1.19). Выполнив интегрирование по /, после простых преобразований получим

①⑴=告 (叩一整Z宁Ji^l-G(^]x

()uо 1

X G ⑶毋(3.10)

Величина, стоящая в квадратных скобках, есть не что иное, как 〃~1 (г). Это следует из основного уравнения (1.43) для Н (z). Поэтому окончательно

8 т

①(，％)=今(3.11)

Таким образом, Ф (т) отличается от ①8 (工)лишь тем, что в подынтегральной функции есть множитель Н"1 (г). Это сходство, конечно, не случайно. Оно связано с тем, что вся физика задачи уже содержится в ①8 (工)，и различие между Фоо(т) и Ф(т) целиком вызвано различием в геометрии. Множитель Я"1 (г) и учитывает это различие.

Для Я-функции известно явное выражение (см. следующий параграф). Поэтому (3.11) в явном виде выражает Ф (т), а вместе с нею и Г (q, т2) через а (х). Формула (3.11) была впервые получена Д. И. Нагириером [1], [2] иным путем.

Из (3.8) и (3.1.20) легко также получить выражение для Ф (т) при монохроматическом рассеянии, приведенное в § 3.7. Оно было найдено И. Н. Мининым [1] другим способом.

//-функция

Функция Я(2)играет весьма важную роль во всех задачах о рассеянии света в полубесконечной среде. Как мы только что видели, она входит в явное выражение для соответствующей функции Грина. Более того, в ряде случаев интенсивность выходящего излучения непосредственно выражается через Н ⑵(см., в частности, § 6.4 и 6.6). Эта функция встречается и при изучении рассеяния в оптически толстом слое.

Функция Н (z) является обобщением функции Амбарцумяна 屮(卩)，рассматривавшейся в § 3.7, для случая рассеяния с полным перераспределением по частотам. Нелинейное интегральное уравнение, которому она удовлетворяет,

8

"⑵=1 + 今 Z"(2)\ ⑺ dz\ (4.1)

обобщает уравнение Амбарцумяна

中也)=1+等卩屮叫黯(4.2)

(4.3)(4.3)Как уже неоднократно отмечалось, изотропное монохроматическое рассеяние есть частный случай рассеяния с полным перераспределением по частотам, отвечающий прямоугольному профилю коэффициента поглощения, т. е.

(4.3)

(4.3)

О, I心1・

z《 1 имеем тогда г 三 J^y = 卩，а функция G (г) согласно (2.6.12) и (2.6.13) равна единице при z & 1 и О при z〉1, так что (4.1) в этом частном случае переходит в (4.2). С другой стороны, само уравнение (4.1) есть частный случай более общего уравнения, которое было получено В. В. Соболевым [9], [10] при исследовании рассеяния излучения в частотах линий с учетом поглощения и излучения в непрерывном спектре (см. § 7.5 и 7.6). Задачи о монохроматическом рассеянии с несферической индикатрисой также приводят к //-функциям. Опи определяются уравнением (4.1), в котором G (г) = 0 при z〉1 (С. Чандрасекар [1]). Если индикатриса рассеяния представима в виде суммы конечного числа полиномов Лежандра, то при г《 1 функция G (г) представляет собой полином четного порядка по г (так называемая характеристическая функция Чандрасекара). Поэтому можно считать, что G ⑵ есть обобщение обычной характеристической функции на задачи о рассеянии с перераспределением по частотам. Относительно физического смысла G ⑵ в этих задачах см. § 5.2.

Исследованию Я-функций теории монохроматического рассеяния посвящена огромная литература (см., в частности, С. Чандрасекар [1] и И. Басбридж [1]). Некоторые из полученных результатов переносятся и на случай рассеяния в частотах линий. Однако перераспределение по частотам существенно сказывается на поведении //-функций, приводя к появлению принципиальных отличий от случая монохроматического рассеяния.

Знание функции Грина для бесконечной среды позво-! ляет получить явное выражение для Н (г) путем совершенно элементарных преобразований, без привлечения аппарата теории функций комплексной переменной. Дифференцируя (1.28) по 九，получаем

8

竺豁 = £§k(" 一门)吧卧川+ ；•①(%" о

(4・4)

Если считать функцию Ф (т,九)известной, это соотношение можно рассматривать как интегральное уравнение для 吃短".Согласно (3.11), свободный член этого уравнения,

т. е.(1/九)①(т, А,), есть суперпозиция функций вида е 2. Поэтому решение (4.4) должно быть суперпозицией решений уравнения (1.32), а именно:

Умножая обе части этого равенства на с z, интегрируя по т от 0 до оо и пользуясь (1.42) и (1.36), после простых преобразований находим

8吗户y =^R 九)如. (4.6)о十

Учитывая (4.1.18), имеем отсюда

入

1口"(2,九)=\不8(；,m)等,(4.7)

где ①8(s,九)——одностороннее преобразование Лапласа функции ①8(J 九)по переменной т:

СО

不8(s,九)= ?\ R(z\九)年;康一

Из (4.7) следует, что

н 亿九)="(Z, 1) охр I — j Фоо (4，九')賽卜 (4・7‘)

Легко убедиться в том, что это соотношение, как и представление (4.7),справедливо и при монохроматическом рассеянии (тогда как в правые части (4.5) и (4.6) при монохроматическом рассеянии надо добавить слагаемые, учитывающие полюсной член). Пользуясь (3.1.20), из (4.7') находим следующую связь между функциями Амбарцумяна при 九 < 1 и в консервативном случае:

中他九)=告~ exp卜当《母4Rm (储M)挖卜 ° 入(4.7")

Отсюда нетрудно получить разложение ср (卩,九)по степеням У1 — X, приведенное в § 3.7 [формула (3.7.28)].

Интегрирование по 九 в (4.6) можно выполнить непосредственно. Обозначим

8(z,九)=arctg 一九〒zG(z)・(4.8)

1 一死6Q)

Прямое вычисление дает:

門& =子次(г,九)G(z).

Из (4.6) находим поэтому, что (8)

Н(?，九)=旳 |彳 \ 3 М 九)-1 ・(4.9)

Вспомнив (4.1.21), при 九 <1 (4.6) можно переписать:

5 In Я(2,九)ах

1

2 (1 一九)

ОО

о

z'dz'

2 + 2’

,(46)

откуда приходим к следующему представлению Н (г, X), которое, однако, в отличие от (4.9), не годится при X = 1:

Я(2Д) = (1-ХГ^ехр|-4р(* 储

°(49)

ехрехр$=1 一入.$=1 一入.Из сопоставления (4.9) и (4.9'), между прочим, следует, что

ехр

ехр

$=1 一入.

$=1 一入.

(4.Ю)

Аналогичные интегральные представления можно получить и для функции Амбарцумяна ср (卩，А). Отличие этих представлений от (4.9) и (49) обусловлено учетом вклада от полюсного члена.

Другой способ вывода формул (4.9), (4.9') и аналогичных им, а также подробное их исследование можно найти в статьях Т. Малликина (см., в частности, работу Дж. Карлстедта и Т. Малликина [1], где дана сводка полученных результатов и приведены ссылки на более ранние работы).

Наряду с (4.9), для Н (г,九)известен и ряд других интегральных представлений. С вычислительной точки зрения особенно удобным является следующее выражение:

(8)(8)(4.11)(4.11)

(8)

(8)

(4.11)

(4.11)

где V (儿)дается формулой (2.6.18) [или (2.6.24)]. Вывод формулы (4.11) можно найти, например, в книге С. Чандрасекара [1]. Связь между различными представлениями Н (г) обсуждается в работе Д. И. Нагирнера [3].

Рассмотрим поведение Н (г,九)более подробно. Как следует из основного уравнения для Н (г, А), переписанного в форме

"(z,入)=11一分2 \ I0"(z,入)=11一分2 \ I0Ky-G(z)勺,Ky-G(z)勺,(4.12)(4.12)

"(z,入)=11一分2 \ I0

"(z,入)=11一分2 \ I0

Ky-G(z)勺,

Ky-G(z)勺,

(4.12)

(4.12)

г от 0 (4.13)г от 0 (4.13)

г от 0 (4.13)

г от 0 (4.13)

эта функция монотонно возрастает при увеличении до оо, причем

Н (0,九)=1.

Можно показать, что при z f G

In h(Z,入)=—电2 ]n 2 + -^- [H-[(入)—a]2 +

十"T 件& 一 入 2~ 〃:*2 + 0 (г3 In г),(4.14)

где

"二(入)=f "(2?T G ⑶ dz,(4.15)

о

а постоянные пх и п определяются соответственно формулами (2.6.28) и (2.6.29). Йз (4.14) следует, что производная Н (z) логарифмически расходится при z т 0.

Отметим без доказательства, что

入

"二(入)= ；\p」(X)dM,(4.16)

о

где р：](九)дается формулой (4.6.3) или (4.6.6). Пользуясь этими выражениями для р\ (九)，находим следующие представления для 〃，Q):

ОО

"二(入)=—告 \ {1п[1 —м/(叫 + 入I/(a)}dz,(4.16')

о

Н二W =等?回Z，人)一入告z G⑵]岑.(4.16〃)

Из формулы, следующей непосредственно за (4.7), и из (4.1.21) имеем

队的、)=

Полагая в (4.7) z = оо, находим поэтому, что

1

"(°°C、)= VCT・(4.17)

В консервативном случае (九 = 1) Я-функция неограничен" но возрастает при 2 f оо. Характер расходимости Н (г, 1) при 2— оо, как и скорость стремления Я (г,九)при 厶《1 к своему предельному значению Н (оо,九)=(1 —九)一％, определяются поведением коэффициента поглощения в крыльях линии. Однако мы немного отложим обсуждение этих важных вопросов и получим вначале одно интегральное соотношение, которое удовлетворяется при произвольном профиле.

Обозначим

%(入)=弋"(z,入)G(z)dz6%(入)=弋"(z,入)G(z)dz6(4.18)(4.18)

%(入)=弋"(z,入)G(z)dz6

%(入)=弋"(z,入)G(z)dz6

(4.18)

(4.18)

и назовем эту величину обобщенным моментом //-функции (относительно его физического смысла см. § 5.2). Переходя в (4.1) к пределу z — 8, находим

"(8」、)=1 + 等"(8,入)儿(入)・ (4.19)

Учитывая (4.17), получаем

/W^a—"377).(4.20)

Соотношение (4.20) находит множество применений.

С помощью (4.20) уравнение для Н (г, X) можно преобразовать к другой форме. Используя тождество

2 + 2’2 十 2’

можем переписать (4.1) в виде

"⑵入)=1 + 告"(2,入)HQ (人)—^ " ©入)f ** X О

xG (z')dz\

откуда окончательно

"(z,"]/T=^ + ^j^|^G©)dj 二 1.(4.21)

Особенно простую форму это уравнение принимает при 九=1:

等 ”(z,l)\*^G/)dz，=l・о 丁等 ”(z,l)\*^G/)dz，=l・о 丁(4・21‘)(4・21‘)

等 ”(z,l)\*^G/)dz，=l・

о 丁

等 ”(z,l)\*^G/)dz，=l・

о 丁

(4・21‘)

(4・21‘)

Укажем, что Н (г, X) удовлетворяет также слёдующему линейному уравнению:

"⑵入)[1 — к“2)] = 1 _ 等 2 弋"£g G (才)clz\ (4.22) - о

являющемуся обобщением (3.7.20). Это уравнение справедливо при любых комплексных г, за исключением г, лежащих на отрицательной вещественной полуоси. Когда г — положительное вещественное число, интеграл в правой части следует понимать в смысле главного значения.

Из (4.2Г) легко получить асимптотику Н (г, 1) при z — 8 (В. В. Иванов [4]). Умножая и деля подынтегральное выражение на Н (г, 1) G (г), имеем

4%^Г^г，= 1 •(4.23)

Положим 2’ = zy и предположим, что существует (пока не известный) предел

加(g)=吧 笈岂设7 •424)

Тогда из (4.23) находим, что при z — 8

(4.25)

где

一ОО一

1

с” =

2 г i+y 夕

(4.26)

Подставляя (4.25) в (4.24) и пользуясь (2.6.49), обнаруживаем, что

加匂)=十/巧，(427)

где

=(4.28)

2->oo X(2)

a % ⑵一функция, определяемая условием а (х (г)) = 1/г. Как и в § 2.6, считаем, что

/仅)=户，(4.29)

где 0 < Y《 密・ В частности, при доплеровском коэффициенте поглощения у = 1/2, а для профилей, убывающих в

крыльях пропорционально |%「х,

(4.30)(4.30)乂--1

(4.30)

(4.30)

Y =2乂 一

Подставляя (4.27) в (4.26), с учетом (4.29) находим

С” = ]/-^-sin яг.(4.31)

Формулы (4.25) и (4.31) и дают искомую асимптотику Я(г, 1) при z — оо. В частном случае доплеровского профиля получаем отсюда, учитывая (2.7.3),

HD (z, 1)〜^^^ (In z)% (2 т 8)・(4.32)

Для фойгтовского профиля (4.25) в комбинации с (2.7.27) дает

% 3，1)~[ 2导(%0)]%%(Zf8).(4.33)

Устремляя здесь а к бесконечности и принимая во внимание (4.3.19), получаем главный член асимптотики лоренцов- ской Я-функции:

& ⑵ 1)〜(4>戶％(z-8).(4.34)

Формулы (4.32)——(4.34) были найдены впервые в работе автора [5] другим, несколько более сложным способом. Асимптотика Н (г, 1) при z f 8, по существу совпадающая с (4.25), была найдена недавно Ю. Ю. Абрамовым, А. М. Дыхне и А. П. Напартовичем [2], использовавшими, однако, для ее получения более тонкие рассуждения, чем те, которые привели нас к формуле (4.25).

Поведение //-функций при больших г в неконсервативном случае 0 < 1) сложнее. Этот случай проще всего исследовать, исходя из представления Я-функции в форме (4.11). При этом будем предполагать, что выполнено соотношение (4.29).

Когда г велико, основной вклад в интеграл в правой части (4.11) дают значения подынтегральной функции при 〃， близких к нулю. Поэтому V (〃) в (4.11) можно заменить

асимптотикой (2.6.55). В результате будем иметь

1П Н(2,入)— -^- \ 1п О1П Н(2,入)— -^- \ 1п О1 G1 一入 ц-入 十 2 u sin口了 (^>1).1 G1 一入 ц-入 十 2 u sin口了 (^>1).du1 十 Z2〃2(4.35)du1 十 Z2〃2(4.35)

1П Н(2,入)— -^- \ 1п О

1П Н(2,入)— -^- \ 1п О

1 G

1 一入 ц-入 十 2 u sin口了 (^>1).

1 G

1 一入 ц-入 十 2 u sin口了 (^>1).

du

1 十 Z2〃2

(4.35)

du

1 十 Z2〃2

(4.35)

Полагая zu ~ у и пользуясь (2.6.49), (4.28) и (4.29), находим, что с той же точностью

In Я (г, К) Т 1nГ1 一入 + )、等L , л J L2 sш吋，」1 +外，

(4.36) или

Н(2,)、)~~^^^(z》l),(4・37)

где

^h(q^-±\\n(l+ q严)(4.38)

И

q =q =九2G（2）（1 -九）%九2G（2）（1 -九）%ХлЛ(1 ——九)(2T + 1) sin луХлЛ(1 ——九)(2T + 1) sin лу£(Z)・ (4.39)£(Z)・ (4.39)

q =

q =

九2G（2）

（1 -九）%

九2G（2）

（1 -九）%

ХлЛ

(1 ——九)(2T + 1) sin лу

ХлЛ

(1 ——九)(2T + 1) sin лу

£(Z)・ (4.39)

£(Z)・ (4.39)

Таким образом, в асимптотической области (г ^> 1) функция У1 ——X Н (г,九)，зависящая от двух переменных ——г и 九一 превращается в функцию одной переменной q, просто связанной с г и Z. В этом состоит главное упрощение. Асимптотическое представление (4.37) было получено в совместной работе автора и Д. И. Нагирнера [2].

hhУ?八(q)・У?八(q)・Что касается функции h (q), то оказывается, что ее достаточно получить для 0 弋 q《1, так как имеет место соотношение

h

h

У?八(q)・

У?八(q)・

(4.40)

Его легко доказать, исходя непосредственно из (4.38).

Из (4.38) следует, что /г (q) — 1 при q — 0. Поэтому из (4.37) получаем, что

"⑵入)〜"Vrbr(4.41)

при q у 1, т. е. при

镰 G ⑵《С/ (1 — %).(4.42)

Когда 九 близко к единице, существует область значений z, где z уже по порядку больше единицы, а величина q все еще велика. Это — та область, где одновременно выполняются неравенства

2>1, zG ⑵* 圖(1 一九).(4.43)

Из (4.40) следует, что при q 哀> 1

1

九⑨)〜(4・44)

Поэтому из (4.37) и (4.39) находим, что в этой области

"(zj、)〜-鳥彳〜н (z,l).(4.45)

Из (4.25) и (4.39) видно, что при 1 —九 У 1 величину можно представить в форме

q = a一九)"2亿 1).(4.46)

Исходя из этого представления q и принимая во внимание (4.40), имеем из (4.37)

Я(2, )、) ~ "亿 1) М» (1 一 у).(4.47)

В отличие от (4.37), последняя формула справедлива при всех 2》0, а не только при г 発 1, и выполняется тем точнее, чем ближе 九 к единице.

Исследование резольвентной функциии связанных с ней величин

Изучив свойства //-функций, мы можем теперь исследовать поведение фундаментальной функции Ф (т, X), через которую выражается резольвента основного интегрального уравнения для функции источников. Будем для краткости называть Ф (т,九)резольвентной функцией.

Непосредственно из интегрального уравнения, определяющего ①(г, X),

①(G)')=告 £ К (I —门)① В,)、) " + 告 К ⑺，(5.1)

следует, что

lim [Ф (% 入)一等 К ⑺]=等 g К B)ф (丁，)、)"• (5・2)

Но

ОО88t，

，/<(丁)①(丁，入)d丁=\ G ⑵岑\①(丁，入)g_丁 d丁.(5.3) оо0

Учитывая (1.42), имеем отсюда

\ k (丁)Ф (广 入)dxr =，H(z, ? —". q ⑵龙="二](k), оо

(5・4)

Из (5.2) находим теперь, принимая во внимание (2.6.31), что при т у 1

①(% 入)=2""i 1口 t H—% ["-1 (入)一%丫 一 a] + •..

(5.5)

Путем простых по существу, но довольно громоздких преобразований из явного выражения для Ф(т, А), даваемого формулой (3.11), можно получить и следующие члены разложения. Оказывается, что

ф (т, л) =^~ 〃i Inc + 等【”—i 0、)一 〃i丫 一用 +

+ 余”;t (Inс)? H—^― &i [〃i (丫 一 1) + 〃 一 Н_] (X)] т Int +

+ О (т)(t<l).(5.6)

В двух последних формулах 丫 есть постоянная Эйлера.

В противоположном предельном случае, т. е. при больших т, резольвентная функция также упрощается. Пусть

% (z)——такая функция, что а (% (z)) = l/z. Если

lim—=

_8%⑺

(5.7)(5.7)причем 0 < 丫《讶，то при т》1

(5.7)

(5.7)

где

/2 Тe-yy^dy

Г(2Т + 1)° {【/ +兴 ctg 吋2 十 *}“ 爲;;Y )

(5.8)

Здесь функция h (q) дается выражением (4.38), а величина f связана с т и А, следующим образом:

1 一入л入-у tG (т)1 一入л入-у tG (т)〜（1 —）、）〜（1 —）、）2丫+ 1入;п4х‘ (т)2丫+ 1入;п4х‘ (т)(5.9)(5.9)

1 一入

л

入-у tG (т)

1 一入

л

入-у tG (т)

〜（1 —）、）

〜（1 —）、）

2丫+ 1入;п4х‘ (т)

2丫+ 1入;п4х‘ (т)

(5.9)

(5.9)

Формула (5.7) получается из явного выражения для Ф (тД). Вывод ее ничем не отличается от того, который был использован в § 4.3 при исследовании поведения Sp (т, X) при больших т. Хотя представление (5.7) никак нельзя назвать простым, оно все же много проще точной формулы (3.11). Согласно (5.7) в асимптотической области (т 3 1) Функция У1 — ХтФ (т, Л) зависит не от переменных т н 九 в отдельности, а лишь от одного аргумента /, что очень сильно упрощает дело.

Точно так же, как это делалось в гл. IV при изучении рассеяния в бесконечной среде, резольвентную функцию при всех т можно представить в виде

ф (%入)=万 %_*/]尸(0 自 0 人)， (5.10)

где F (/) дается формулой (5.8), а величина Z связана с т и 入 соотношением

/ = 4•门2Y)/ = 4•门2Y)1 —入入L（t）1 —入入L（t）(5.И)(5.И)

/ = 4•门2Y)

/ = 4•门2Y)

1 —入入L（t）

1 —入入L（t）

(5.И)

(5.И)

В отличие от формулы (5.7), в (5.10) равенство не асимптотическое, а строгое. При достаточно больших т значения /, даваемые (5.9) и (5.11), асимптотически равны, так что (5.10) переходит в (5.7), причем 自(т,九)f 1 при т; f оо. Множитель & (т,九)учитывает, таким образом, отклонение от асимптотики при не слишком больших т. Когда А очень близко к единице, имеем J (т, X) ~ Е (т, 1), так что

Ф(^ ^-^-^^^^^(^^ (1 一入 У1)・(5.12)

Чтобы получить выражение для резольвентной функции при строго консервативном рассеянии, нужно в (5.10) устремить X к единице. Согласно (5.11) в этом случае f — 0. Принимая во внимание (4.44), из (5.8) легко найти, что при / У 1

(5.13)

Из (5.10) и (5.13) следует, что

①("Т Ц)Е(т」)，

(5.14)

где

ТГ(Т) V *「(2丫)sin яг.

(5.15)

Величина С монотонно уменьшается с ростом 丫 от С = 1 при у = 0 до С = 2% л"1 = 0,900 при 丫 = 1/2, так что чем медленнее убывает коэффициент поглощения в крыльях линии, тем ближе С к единице.

Представление функции Ф (т, 1) в форме (5.14) было предложено в работе автора [6]. Оно удобно тем, что Е (т,1) не сильно отличается от единицы при всех т. Как следует из сравнения (5.14) и (5.6),

占(0, 1) = С"1. (5.16)

С Другой стороны, при Т А 1

占 0 1)-1. (5.17)

Если нужна только оценка резольвентной функции при 九 = 1, отличием Е (т, 1) и С от единицы можно пренебречь. В результате получаем очень простую приближенную

формулу

Ф(т,1)^-|Ф(т,1)^-|К(。)L% (т)К(。)L% (т)(5.18)(5.18)

Ф(т,1)^-|

Ф(т,1)^-|

К(。)

L% (т)

К(。)

L% (т)

(5.18)

(5.18)

справедливую при всех т и произвольном профиле коэффициента поглощения.

Из (5.14) и (5.17) находим, что главный член асимптотики Ф (т, 1) при t — g имеет вид

①(Т,(т—>оо).

В частности, при доплеровском профиле получаем отсюда

①о(Т, 1)~2n-%T一% (In T)%,(5.20)

тогда как при фойгтовском и лоренцовском коэффициентах поглощения

①У% 1)〜"(5.21)

3〃u(a,0)]/叮 В，

①厶(т, 1)〜i/^N—%「-】(；) г%.(5.22)

Область применимости соотношения (5.21) ограничена значениями т, удовлетворяющими неравенству ах ^> 1. Она тем шире, чем больше значение а. Формулы (5.20)——(5.22) и их аналоги для одномерной полубесконечной среды, в которой рассеяние происходит только строго вперед или назад, были найдены в работах автора [5], [7], [8]. В этих работах асимптотики были получены иным путем, без использования явного выражения для резольвентной функции.

Как и в случае бесконечной среды, когда 九 близко к единице, существуют три различные зоны. При т, для которых значения Z, вычисляемые по формуле (5.11), по порядку меньше единицы, можно полагать

Ф(т, X) — Ф (т, 1)(/< 1).(5.23)

Это ——зона почти консервативного рассеяния. В асимптотической (т 身 1) части этой зоны можно пользоваться асимптотикой (5.19). При дальнейшем возрастании т значения Z становятся порядка единицы. Здесь резольвентную функ-

цию следует вычислять по формуле (5.7), находя F (/) численным интегрированием (переходная зона). Наконец, когда т настолько велико, что / ^> 1, мы находимся в зоне сильного поглощения. Здесь дело обстоит совсем просто. Поскольку 尸(/) -> 1 при / -> оо, из (5.10) находим

入 К (т)

①(％入)〜—入衿 OD・ (5.24)

При 九 V 1 зона сильного поглощения есть всегда, тогда как зона консервативного рассеяния существует только при 1 —— 九 У 1 (причем ее размер тем меньше, чем больше 九 отличается от единицы).

Функция Ф (т,九)удовлетворяет, помимо (5.4), еще трем полезным интегральным соотношениям, а именно:

5 乙⑺①(%入)加=4~ (1 -/т^、)一 1,(5.25)

()

со

\ Ф (т, X)dr - (11,(5,26)

о

£ ①2(力、)血=暮[p^ (X) 一 "二(入)],(5.27)

0

где р\ (九)дается формулой (4.6.3) [или (4.6.6.)]. Первое из них доказывается аналогично (5.4), второе следует из (1.42) при 2=* наконец, третье выводится с помощью формулы (2.11). Полагая в ней т2 = 0 и устремляя затем q к нулю, находим, что

8

£ Ф2 (т,入)dr = lim [Фео (% 入)一 Ф (% 入)].(5.28)

о3。

Подставляя в правую часть разложения ①8 (т,九)и Ф(т,九) при ty L даваемые формулами (4.6.2) и (5.6), приходим к (5.27).

Наряду с 6“，九)，часто приходится иметь дело также с функцией

卫(%入)=1 -卜勺①(丁，入)d丁,(5.29)

0

которая с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией источников в среде с равномерно распределенными первичными источниками (см. § 6.1). Из (5.6) и (5.29) находим, что при малых т она разлагается в ряд

屮(% 入)=1%%т/ Inr + % ["二(九)+(1 - 丫)一

—a 11 Н~ ~杂成 с? (In с)? + ~^~ 〃i [%丫 + 〃^

—"二 1 (X)] т2 In т 4- О (т2).(5.30)

Представив 4f (т, X) в форме

呼%入）=呼%入）=11\ Ф (т7, л) dx\\ Ф (т7, л) dx\(5.31)(5.31)

呼%入）=

呼%入）=

1

1

\ Ф (т7, л) dx\

\ Ф (т7, л) dx\

(5.31)

(5.31)

которая следует из (5.29) и (5.26), и воспользовавшись (5.24), получаем асимптотику этой функции при т ~> on*

屮（q入）〜不屮（q入）〜不fl⑴ )

屮（q入）〜不

屮（q入）〜不

]стуF - • • I (^ -> 0°).

(5.32)

Эта формула применима в зоне сильного поглощения, т. е. при /》1. Когда 1 ——九 у 1, существует также переходная зона (/、1) и зона почти консервативного рассеяния (У 1)・

Как и в случае монохроматического рассеяния (см. §3.8), для функции 4f (т, 1) удобно ввести специальное обозначение:

* ⑺三出(т, 1). (5.33)

Из (5.23) и (5.29) следует, что в зоне почти консервативного рассеяния

田 «,九)〜6⑴(/<!).(5.34)

При т -> сс из (5.29) и (5.19) находим

S ⑺ ~ >F~^ (tf оо),(5.35)

где С дается формулой (5.15). Функцию S (т) при всех т

удобно представить в форме

〜 e 〜

(5・36)

где 三(т)——мал。 меняющийся поправочный множитель к асимптотике (5.35). Заметим мимоходом, что (5.35) есть следствие общего асим птоти чес ко го представления

m⑴〜l(1 +丫)[1 — T『2(…。0), (5.35，)

одинаково пригодного как при рассеянии в частотах линии (при этом 0 <^у <^ 1/2), так и при монохроматическом рассеянии. Последнему случаю соответствует 丫 = 1.

Можно показать, что при 1 ——九У 1 функция ¥ (т,九) при всех t》0 асимптотически представима в виде

丫(％ 入)〜УТ=^ 岳('疋(т)(1 一、У 1 )， (5.37)

где Z дается формулой (5.11), а функция F (/) монотонно возрастает от нуля при / = 0 “о единицы при / = 8, причем при t у 1

戸(')〜号手А(5・38)

Явного выражения для F (/) мы не приводим ввиду его громоздкости. Заметим, что в пределе при 九 f 1 формула (5.37) переходит в (5.36). Упрощения, описываемые формулой (5.37), имеют хорошо уже нам знакомый характер: величина, зависящая от двух переменных, при 1 —Ay 1 выражается через функции одного аргумента.

Случай доплеровского профиля

В этом параграфе для частного случая доплеровского профиля ряд полученных выше результатов несколько уточняется, а также приводятся различные численные данные.

Начнем с рассмотрения строго консервативного рассеяния (九 =1). В § 5.4 был найден главный член асимптотики Hd (%, 1) при 2 导 1, даваемый формулой (4.32). Из (4.22) можно получить рекуррентную формулу для нахождения коэффициентов асимптотического ряда, главный член

которого дается выражением (4.32) (выкладки, однако, очень громоздки). Оказывается, что

8 h

"d(2, 1)〜2冗-%2%(1口沙 2(2T8),(6.1)

々=0 I

где hk ——постоянные, определяемые рекуррентным соотношением

^―1「/г—/k'

厶=~^—2 gif it И (4m + 1)

/=оL/=о/〃=/+/_

(*-1,2,...),(6.2)

причем 无о = 1. Здесь g» даются формулой (2.7.4),

/謂М叫К，(6・3)

где Вп — числа Бернулли, а 〃》определены согласно (2.7.20). Из (6.2) находим, в частности,

瓦= 0,125 000;九2= 一 弋费丄=-0,84138.

Постоянные hr и h2 были получены ранее различными способами Д. И. Нагирнером (не опубликовано) и автором [4]. Эти способы, однако, не позволяют получить общего рекуррентного соотношения (6.2), которое является новым ).

Значения функции HD (г, 1) даны в табл. 17. Они были получены по формуле (4.11) численным интегрированием (В. В. Иванов и Д. И. Нагирнер [21). При больших г значения Hd (%， 1) можно находить по разложению (6.1). При г = 100 учет одного только главного члена обеспечивает точность около 1 %; если же удержать три члена разложения, ошибка уменьшается до 0,05%.

Обратимся теперь к функциям SD (т) и ①° (т, 1). Так же как и для //-функции, можно уточнить асимптотики этих функций при больших т, полученные в предыдущем

Таблица 17

Функция НD(2)при консервативном рассеянии

Z

Hq 0)

"Q（2）

Z

"D⑶

z

HD（2）

0,00

1,0000

8,0

5,3180

90

20,556

1000

76,897

0,05

1,0887

8,5

5,4970

95

21,185

1100

80,950

1,1566

9,0

5,6718

100

21,793

1200

84,832

1,2743

9,5

5,8427

110

22,935

1300

88,563

1,3791

10

6,0100

120

24,123

1400

92,161

1,4759

И

6,3349

130

25,218

1500

95,639

1,5671

12

6,6478

140

26,575

1600

99,009

1,6538

13

6,9502

150

27,298

1700

102,28

1,7369

14

7,2431

160

28,290

1800

105,46

1,8168

15

7,5273

170

29,254

1900

108,56

1,894(

16

7,8038

180

30,192

2000

111,58

1,9691

17

8,0730

190

31,105

2200

117,42

2,1129

18

8,3356

200

31,997

2400

123,01

2,2491

19

8,5921

220

33,721

2600

128,33

2,3809

20

8,8429

240

35,374

2300

133,56

2,5070

22

9,3289

260

36,963 *

3000

138,57

2,6288

24

9,7963

280

38,497

3200

143,42

2,7466

26

10,247

300

39,980

3400

148,12

2,8610

28

10,683

320

41,418

3600

152,70

2,9722

30

11,106

340

42,814

3800

157,16

3,0805

32

11,516

360

44,173

4000

161,50

3,1863

34

11,915

380

45,497

4200

165,75

3,2896

36

12,304

400

46,788

4400

169,90

3,3906

38

12,684

420

48,050

4600

173,96

3,4896

40

13,055

440

49,283

4800

177,94

3,5866

42,

13,418

460

50,491

5000

181,83

3,6848

44

13,773

480

51,674

5500

191,27

3,7753

46

伍，121

500

52,835

6000

200,30

3,8671

48

14,462

550

55,644

6500

208,98

3,9575

50

14,797

600

58,335

7000

217,35

4,0464

55

15,610

650

60,923

7500

225,43

4,1339

60

16,389

700

63,419

8000

233,26

4,3471

65

17,140

750

65,832

8500

240,86

4,5531

70

17,866

800

68,170

9000

248,25

4,7526

75

18,568

850

70,440

9500

255,45

4,9463

80

19,249

900

72,648

10000

262,47

5,1346

85

19,911

950

74,799

параграфе,указав способвычисления коэффициентов соответствующих асимптотических рядов. Проще всего это делается так. Из (1.42), (5.33) и (5.29) имеем

со _ т

2”(2, 1) = \⑺加.(6.4)

о

Будем искать SD (т) при больших т в виде

ОО

即⑺~4л“/吋/2(1пт)%Е-А-・(6.5)

/==о(1пт)/

Подставляя (6.5) и (6.1) в (6.4) и выполняя ряд довольно громоздких преобразований, можно показать, что

sk = hk-2 ( - 1)‘-两一 П (4m 一 1) s^p•

(々=1,2, ...). (6.6)

Учитывая, что s()= 1, из (6.6) находим

Si= [2 (г + 2 In 2) - 3] - 0,1158&,

s2 — — j28 [4九2 + 12 (丫 -f- 2 In 2)2 — 36 (丫 + 2 In 2) + 81 ]=

=—0,75044.

При необходимости можно получить и последующие коэффициенты s/土. Значения производных гамма-функции, которые нужно иметь при таких вычислениях, можно найти в работе X. Джефри [1].

Дифференцируя (6.5) и пользуясь тем, что

S(r)= 1 +，①(t‘，l)dY,оS(r)= 1 +，①(t‘，l)dY,о(6.7)(6.7)

S(r)= 1 +，①(t‘，l)dY,о

S(r)= 1 +，①(t‘，l)dY,о

(6.7)

(6.7)

получаем

①0(% l)~2ir%"/2(hit)%E ^p (r->oo), (6.8)

где

屮0=1；佻= Se+^^t 3=1,2, ・・・)・ (6.9)

В частности, % = 0,61588,(р2 = — 0,92426.

Функция НD (z, X)Функция НD (z, X)Перейдем к средам с поглощением, ограничившись рассмотрением Я-функций. Значения HD (г, %) даны в табл. 18.

Функция НD (z, X)

Функция НD (z, X)

ig（1 —入）

—2

—3

—4

—5

-6

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,1503

1,1556

1,1565

1,(566

1,1566

1,2611

1,2721

1,2739

1,2742

1,2742

1,5301

1,5608

1,5662

1,5670

1,5671

1,8840

1,9539

1,9667

1,9687

1,9690

2,4274

2,5906

2,6227

2,6279

2,6286

3,5045

4,0002

4,1118

4,1307

4,1335

4,5765

5,6651

5,9500

6,0011

6,0088

5,7702

7,9761

8,6907

8,8180

8,8394

7,2797

12,069

14,212

14,702

14,784

8,2025

15,762

20,307

21,541

21,760

8,8791

19,583

28,356

34,314

31,894

9,4389

24,095

41,909

50,452

52,449

1000

9,6796

26,718

53,602

70,994

75,876

2000

9 8211

28,589

65,283

97,557

108,93

5000

9,9192

30,110

78,623

141,19

172,82

10000

9,9563

30,759

86,179

177,89

240,55

Таблица 18

Значительно более подробные таблицы имеются в работе В. В. Иванова и Д. И. Нагирнера [2]. При малых 1 — А, и z 登 1 для расчета 27-функций можно использовать асимптотическое представление (4.37). В рассматриваемом сейчас случае доплеровского профиля имеем

оэ

E'q (q) =^"\ 山(1 + W)淫у (6.10)

(6.И) справа(6.12)(6.И) справа(6.12)И

(6.И) справа

(6.12)

(6.И) справа

(6.12)

九 4z У1Ъг ・

Дифференцируя (6.10) и вычисляя получающийся интеграл, находим

而In九0(g)=一厅匸十十w[+g2， Отсюда

In坛(q)= — — ln(l +令2)十—In^.arctg^ —

一名卓*6.13) 0

При малых q имеем разложение

InfiQ (q) = ；qlnq^勺 + … (夕К 1)・(6・ 14)

При q A 1 (6.14) и (4.40) дают

In hD(7)=^Inq — ^-^― + • * * (q 袋 1)・(6.15)

Значения функции hD (夕)для 0《夕《1 даны в табл. 19. При q〉1 функцию ho (q) легко вычислить по табулированным значениям с помощью соотношения (4.40).

Относительно точности, которую обеспечивает при доплеровском профиле асимптотическое представление (4.37), можно сказать следующее. Уже при z = 10 эта формула дает значения Hd ⑵九)для всех 兄》0,9 с максимальной ошибкой около 3%. Когда г〉1000, точность выше 1,7%, а при z = 10 000 ошибка не превышает 1,1%.

Таким образом, область применимости асимптотических выражений очень широка. В комбинации с имеющимися таблицами Hd Q,九)они позволяют находить значения Я-функции при любых 九 и z с точностью, вполне достаточной для любых применений теории. Для практических целей достаточно иметь //-функции с 2——3 знаками. Может

g

hD (q)

g

"d S)

hD①)

g

hD (q)

g

也①)

0,00

1,000

0,20

0,840

0,40

0,761

0,60

0,705

0,80

0,663

0,01

0,982

0,21

0,835

0,41

0,758

0,755

0,61

0,703

0,81

0,661

0,02

0,969

0,22

0,830

0,42

0,62

0,701

0,82

0,659

0,03

0,958

0,23

0,826

0,43

0,751

0,63

0,698

0,83

0,657

0,04

0,947

0,24

0,821

0,44

0,748

0,64

0,696

0,84

0,655

0,05

0,938

0,25

0,817

0,45

0,745

0,65

0,694

0,85

0,653

0,06

0,929

0,26

0,813

0,46

0,742

0,66

0,692

0,86

0,652

0,07

0,921

0,27

0,803

0,47

0,740

0,67

0,689

0,87

0,650

0,08

0,913

0,28

0,804

0,48

0,737

0,68

0,687

0,88

0,648

0,09

0,905

0,29

0,800

0,49

0,734

0,69

0,685

0,89

0,646

0,10

0,898

0,30

0,796

0,50

0,731

0,70

0,683

0,90

0,645

0,11

0,891

0,31

0,792

0,51

0,728

0,71

0,681

0,91

0,643

0,12

0,885

0,32

0,789

0,52

0,726

0,72

0,679

0,92

0,641

0,13

0,879

0,33

0,785

0,53

0,723

0,73

0,677

0,93

0,640

0,14

0,873

0,34

0,781

0,54

0,720

0,74

0,675

0,94

0,638

0,15

0,867

0,35

0,778

0,55

0,718

0,75

0,673

0,95

0,636

0,16

0,861

0,36

0,774

0,56

0,715

0,76

0,671

0,96

0,635

0,17

0,856

0,37

0,771

0,57

0,713

0,77

0,669

0,97

0,633

0,18

0,850

0,38

0,767

0,58

0,710

0,78

0,667

0,98

0,631

0,19

0,845

0,39

0,764

0,59

0,708

0,79

0,665

0,99

1,00

0,630

0,628

Таблица 19

Функция hD (q)Функция hD (q)поэтому возникнуть вопрос, оправдано ли вообще табулирование &(2,九)со столь высокой точностью, как это было сделано выше. Нам представляется, что ответ на этот вопрос должен быть положительным. В самом деле, в большинстве случаев при решении уравнения переноса используются различные приближенные методы, точность которых оценить заранее очень трудно. Поэтому кажется полезным табулировать с высокой точностью строгие решения нескольких простейших стандартных задач.

Функция hD (q)

Функция hD (q)

Как будет показано в следующей главе, во многих важных частных случаях интенсивность выходящего излучения просто выражается через //-функцию. Чтобы избежать интерполирования табличных значений Но (^,九),интенсивность выходящего излучения удобно вычислять для тех значений частоты х, которым соответствуют имеющиеся

в таблицах значения z. Например, значению z 三 卩《炉 = 10 при 卩 =1 соответствует % = 1,52 и т. д.

Что касается функций Фр (т,九)и У。(％ ^), то их табулирование является делом ближайшего будущего.

§ 5.7. Случаи фойгтовского и лоренцовского профилей

Так же как и в доплеровском случае при строго консервативном рассеянии с фойгтовским и лоренцовским профилями асимптотики, полученные в § 5.4 и 5.5, можно несколько уточнить.

Начнем с //-функций. Из (4.11) находим, что

ОО

dzJ 1 _九I/ (") 1 + 22%2\/

При 2 > 1

Г 丿® udu _1 \

)1-%!/(4)1+22"2 = J 区).

Поэтому

凯 S)= -*Г缘綜 Т^ + О($)(Z>1)・ °(7.2)

В § 2.7 было показано, что при 〃-> 0

%(〃)〜1 - J厂2na?(体0) 〃%[]_得传 一标)*

X arU (a, 0) 2 + …]•

13 / 32\ и (а, 0) In Z13 / 32\ и (а, 0) In Z。4) •。4) •^m"i) =^m"i) =Подставляя это разложение в (7.2), находим, что при фойг- товском коэффициенте поглощения и 九=1

13 / 32\ и (а, 0) In Z

13 / 32\ и (а, 0) In Z

。4) •

。4) •

^m"i) =

^m"i) =

(7.3)

Из (7.3) и (4.33) следует, что

"v(2, 1) = [2 鳥(而]Л z" {1 +ж(4 -炉)绵22 X 义岑+0仔)}・(7・4)

При малых а (скажем, при а & 0,1) второе слагаемое в фигурных скобках мало по сравнению с единицей лишь при z〉a~i. Этим неравенством определяется область значений z, где для Я-функции применимы фойгтовские асимптотики.

Устремляя в (7.4) а к бесконечности и учитывая, что aU (a, 0)f 1/冗 при а-> оо (см. § 2.7), для лоренцовского профиля получаем

从(2,1)=得)%空一盖屮+。(；)] (z>I). (7.5)

Рассмотрим, далее, поведение ①"(т, 1) при т-> оо. Пользуясь (7.4) и разложениями ^у (z) и Gy (z) при z -> оо, приведенными в § 2.7, из явного выражения для Ф (т), даваемого (3.11), можно найти, что

W(% 1)=(际爲『言X

•(7.6)

В пределе при a f оо имеем отсюда

т(%1) =(4?志•(7.7)

Из (7.6) можно сделать вывод, что асимптотика резольвентной функции, соответствующая фойгтовскому профилю, применима не при всех 工発 1, а лишь при т^>а-1 (см. по этому поводу также § 2.7). Формула (7.6) позволяет получить любопытное интегральное соотношение, которому удовлетворяет функция Фу (т, 1), а именно

ОО

危 宀①-• (7.8)

Действительно, как было показано в § 5.1,

ОО т

§1^(% l)dt = "(Z, 1) — 1・

Отсюда

ОО2шД,/ 1- 朿(т，1)] dx2шД,/ 1- 朿(т，1)] dx-1~НУ^^+{2^^/4^(7-9)-1~НУ^^+{2^^/4^(7-9)

О

О

2шД,/ 1- 朿(т，1)] dx

2шД,/ 1- 朿(т，1)] dx

-1~НУ^^+{2^^/4^(7-9)

-1~НУ^^+{2^^/4^(7-9)

Устремляя здесь z к бесконечности и пользуясь (7.4), приходим к (7.8). В предельном случае лоренцовского профиля (7.8) принимает вид

L/4-a)L(Gi)dt=l・ (7.10)L/4-a)L(Gi)dt=l・ (7.10)

L/4-a)L(Gi)dt=l・ (7.10)

L/4-a)L(Gi)dt=l・ (7.10)

о

Перейдем к обсуждению численных данных, относящихся к //-функциям. Рассмотрим прежде всего, какое влияние оказывает значение параметра а, т. е. отношения ширины линии, обусловленной столкновениями и затуханием, к доп

леровской ширине. В табл. 20 для нескольких а приведены значения //-функций при консервативном рассеянии 0= 1). Доплеровская //-функция соответствует 〃 = 0, а лоренцов- ской отвечает 〃 = ©о. При z《1 в таблице даны значения Н (z, 1), а при z > 1 ——величины Я (^у~ , 1), табулированные по аргументу х. Для построения профилей линий удобно иметь именно значения Н (^~^у) в функции х.

На основании данных табл. 20 и 17 (стр. 255) был построен рис. 23, дающий представление о влиянии параметра 〃 на //-функции при чистом рассеянии. Один из выводов,

который следует из этого рисунка, состоит в том, что даже при а = 10"3 значения Ну (z, 1) близки к Hd (z, I) лишь при сравнительно небольших z. Поэтому практическая область применимости результатов, полученных для доплеровского профиля, оказывается довольно узкой. Это в особенности относится к асимптотическим результатам, соответствующим z货 1 (n t 発 1). Конечно, это не означает, что асимптотическая теория, подробно развитая в предыдущем параграфе, лишена какого-либо интереса. С чисто

Т а б л и ц а 20

//-функции при фойгтовском и лоренцовском профилях(консервативное рассеяние)

1 — X = 0

Н (z

,1)

0,001

0,01

0,1

ОС

0,00

1,000

1,000

1,000

1,000

0,02

1,041

1,041

1,038

1,027

0,06

1,103

1,(02

1,094

1,064

1,156

1,154

1,141

1,096

1,273

1,269

1,243

1,161

1,378

1,370

1,332

1,216

1,474

1,464

1,411

1,264

1,565

1,551

1,485

1,307

1,651

1,634

1,554

1,347

1,733

1,713

1,618

1,383

1,813

1,789

1,680

1,418

1,889

1,862

1,738

1,450

1,963

1,933

1,793

1,430

0,001

10,01

ОД

ОО

1,963

1,933

1,793

4,480

1,993

1,960

1,813

1,492

2,087

2,048

1,874

1,525

2,263

2,211

1,983

1,577

2,552

3,013

2,476

2,151

1,643

2,890

2,394

1,718

3,336

3,173

2,549

1,759

3,742

3,523

2,729

1,800

4,252

3,951

2,935

1,842

4,896

4,475

3,168

1,885

5,707

5,109

3,427

1,928

6,730

5,871

3,711

1,971

8,021

6,775

4,016

2,015

9,645

7,831

4,339

2,058

11,68

9,040

4,674

2,101

14,22

10,39

5,014

2,144

17,34

11,87

5,353

2,187

21,14

13,43

5,685

2,230

25,64

15,05

6,004

2,272

Таблица 20 (продол/кение)

h (*#

0,001

0,01

од

ОО

30,85

16,67

6,305

2,314

36,66

18,26

6,585

2,355

42,90

19,77

6,843

2,396

49,36

21,18

7,080

2,436

55,81

22,44

7,297

2,477

62,08

23,54

7,497

2,516

68,01

24,47

7,682

2,556

73,44

25,26

7,856

2,594

78,19

25,92

8,019

2,633

82,12

26,50

8,174

2,671

85,25

27,02

8,323

2,709

3；5

87,70

27,48

8,466

2,746

3,75

92,00

28,54

8,806

2,837

4,00

95,17

29,51

9,126

2,926

4,25

98,00

30,43

9,430

3,013

4,50

100,7

31,31

9,721

3,098

4,75

103,3

32,16

10,002

3,180

5,00

105,8

32,99

10,27

3,261

5,5

110,7

34,57

10,79

3,418

6,0

115,3

36,08

11,28

3,568

6,5

119,7

37,52

11,75

3,712

7,0

124,0

38,90

12,20

3,851

7,5

128,2

40,24

12,63

3,986

8；0

132,2

41,53

13,05

4,116

8,5

9,0

136,1

42,78

13,45

4,243

139,9

必，00

13,84

4,366

9,5

143,6

45,18

14,22

4,485

10,0

147,2

46,34

14,59

4,601

теоретической точки зрения она призвана обслуживать внутренние потребности теории как таковой. Однако и при более практическом подходе она оказывается полезной, так как идеализированный случай доплеровского профиля обычно служит тем стандартом, на котором опробуются различные приближенные и численные методы решения проблем переноса излучения в линиях.

Второй вывод из рис. 23 состоит в том, что, в согласии с полученным выше результатом, при а 方 0 функция Н ⑵ 1) при достаточно больших z возрастает пропорцио-

нально 2，/4. Область применимости этого столь привлекательного своей простотой асимптотического результата оказывается очень широкой. Вопрос этот заслуживает самого внимательного обсуждения, к которому мы и переходим.

Главные члены всех асимптотик, относящихся к фойгтовскому профилю, получаются заменой нормированной функции Фойгта U (о, %) ее асимптотическим представлением

U(。，%)，(7.11)

справедливым при достаточно больших \х\ (см. § 1.5). Поэтому

如(%)= U (а； 0) ~0) 3，12)

Подставляя это выражение в (7.4), находим, что с точностью до главного члена разложения при больших [х|

Сравнение точных значений //-функций, приведенных в табл. 20, со значениями, даваемыми этой формулой, пока-

зывает, что когда а = 10~3, формула (7.13) обеспечивает точность 5% при всех \х\ 己 3,2; точность 1% обеспечивается при |%| 及 10. При а = 10~2 погрешность не превосходит 5% при |%| 己 2,9 и 1% при \х\ 力 6,7. Когда а = 0,1, соответствующие значения \х\ составляют примерно 2,9 и 4,0.

Рис. 24. К оценке точности асимптотических представлений (7.13) и (7.14)

При лоренцовском профиле (а = оо) из (7.5) имеем

班(詰р 1)~(4")%小(7・14)

Это выражение по существу совпадает с (7.13), так как при рассеянии с лоренцовским профилем частота измеряется в единицах ширины, обусловленной столкновениями, а не в доплеровских ширинах (т. е. xL = ^ . При вычислении лоренцовской //-функции по асимптотике (7.14) точность 5% достигается при \х\ q 1,8; при \х\ 之 3,3 погрешность не превышает 1 %. Более детальные сведения о точности, обеспечиваемой представлениями (7.13) и (7.14), можно почерпнуть из рис. 24, на котором для ряда значений а

приведены кривые относительной погрешности

Д (%)=Д (%)=11(7.15)(7.15)

Д (%)=

Д (%)=

1

1

(7.15)

(7.15)

в функции %. В последней формуле Has «, есть асимп- \、а(х)/

тотика //-функции, вычисленная по (7.13) при 0 < 〃 < 8 и по (7.14) при а = оо.

Резюмируя, можно сказать, что при консервативном рассеянии асимптотическая теория очень хорошо описывает поведение Я-фуыкций вне доплеровского ядра линии. Асимптотика Н(^^ , 1J обеспечивает при данном х по порядку величины ту же точность, какую имеет при этом % представление (7.11).

Обратимся теперь к численным результатам и асимптотикам, относящимся к неконсервативному случаю. В табл. 21——23 приведены значения Я-функций при 九 <1. Они были получены из представления Н (г) в форме (4.11) численным интегрированием (значения //-функций при X = 1 находились таким же образом). Приводимые нами таблицы были составлены Д. И. Нагирнером, предполагающим опубликовать в ближайшее время более подробные численные данные, а также описание методики вычислений.

Для расчета //-функций вне доплеровского ядра при всех 九 < 1 можно воспользоваться асимптотической теорией, которая, так же как и при X = 1, обеспечивает здесь вполне удовлетворительную точность. Как было показано в § 5.4, в асимптотической области

"0⑵九)〜一,(7.16)

где

ОО

In 历(q) =^~\ In (1 +qVy) [?调 (7.17)

и

尸=(1一九)「3 = z%.(7.18)

“'/2n〃U(a, 0)

Таблица 21

ZZ-функции при фойгтовском и лоренцовскомпрофилях (Х = 0,99)

1 —入=10-«

"（2,入）

0,001

0,01

0,1

ОО

0,00

1,000

1,000

1,000

1,000

0,02

1,040

1,040

1,037

1,026

0,06

1,099

1,098

1,092

1,063

0,10

1,150

1,149

1,138

1,094

0,2

1,261

1,258

1,236

1,158

0,3

1,358

1,353

1,321

1,211

0,4

1,447

1,440

1,397

1,258

0,5

1,529

1,521

1,467

1,300

0,6

1,607

1,597

1,532

1,338

0,7

1,680

1,669

1,593

1,374

0,8

1,750

1,737

1,650

1,407

0,9

1,818

1,802

1,704

1,438

1,0

1,882

1,865

1,755

1,467

"（为入）

0,001

0,01

0,1

ОО

1,882

1,865

1,755

1,467

1,908

1,889

1,774

1,478

1,988

1,967

1,830

1,510

2,136

2,108

1,930

1,560

2,373

2,332

2,083

1,622

1；00

2,733

2,670

2,300

1,694

1,25

3,425

3,303

2,677

1,790

1,50

4,461

4,240

3,175

1,890

1,75

5,835

5,440

3,760

1,991

2,00

7,326

6,713

4,363

2,091

2,25

8,564

7,778

4,906

2,188

2,50

9,329

8,486

5,341

2,282

3,0

9,838

9,088

5,910

2,462

9,912

9,258

6,265

2,629

9,926

9,346

6,534

2,785

9,934

9,411

6,755

2,931

9,941

9,464

6,944

3,068

9,950

9,543

7,254

3,319

9,960

9,625

7,605

3,647

9,969

9,710

8,015

4,103

Т а б л и ц а 22

□ЕГ-функции при фойгтовском и лоренцовском профилях （九= 0,999）

I—入=Ю-з

H（z,入）

[^<^ ]0,001

0,01

0,1

ОО

0,00

1,000

1,000

1,000

1,000

0,02

1,041

1,041

1,038

1,027

0,06

1,102

1,101

1,093

1,064

0,10

1,156

1,153

1,141

1,096

0,2

1,272

1,267

1,242

1,161

0,3

1,375

1,368

1,330

1,215

0,4

1,470

1,461

1,410

1,263

0,5

1,559

1,547

1,483

1,306

0,6

1,644

1,629

1,551

1,346

1,382

0,7

1,725

1,707

1,616

0,8

1,803

1,782

1,675

1,417

0,9

1,878

1,854

1,734

1,448

1,0

1,950

1,924

1,789

1,479

"（志，入）

0,001

0,01

0,1

00

0,0

1,950

1,924

1,789

1,479

0,2

1,979

1,951

1,803

1,490

0,4

2,071

2,037

1,869

1,524

0,6

2,242

2,197

1,974

1,575

0,8

2,522

2,457

2,U4

1,641

1,00

2,954

2,859

2,384

1,716

1,25

3,877

3,664

2,811

1,818

1,50

5,444

4,969

3,395

1,924

1,75

8,050

6,951

4,123

2,032

2,00

12,05

9,618

4,928

2,139

2,25

17,24

12,62

5,715

2,244

2,50

22,38

15,38

6,402

2,347

2,75

25,05

17,47

6,957

2,447

3,00

28,04

18,81

7,401

2,545

3,25

28,97

19,61

7,771

2,640

3,50

29,36

20,15

8,096

2,733

3,75

29,54

20,57

8,394

2,823

4,00

29,66

20,94

8,670

2,910

4,25

29,76

21,28

8,931

2,995

Таблица 22 (продолжение)

0,001

0,01

0,1

ОО

4,50

29,85

21,59

9,178

3,079

4,75

29,93

21,88

9,414

3,160

5,00

30,00

22,15

9,640

3,239

5,5

30,12

22,63

10,06

3,392

6,0

30,23

23,07

10,46

3,538

6,5

30,32

23,46

10,84

3,679

7,0

30,40

23,81

11,19

3,814

7,5

30,47

24,13

11,52

3,945

8,0

30,53

24,42

11,84

4,071

8,5

30,58

24,69

12,14

4,193

9,0

30,63

24,94

12,42

4,311

9,5

30,68

25,17

12,70

4,425

10,0

30,72

25,38

12,95

4,538

Таблица 23)

//-функции при фойгтовском и лоренцовском профилях (九= 0,9999)

1—入=1()Т

H（z,入）

0,001

0,01

о/

8

0,00

1,000

1,000

1,000

1,000

0,02

1,041

1,041

1,038

1,027

0,06

1,103

1,101

1,094

4,064

0,10

1,156

1,154

1,141

1,096

0,2

1,273

1,268

1,243

1,161

0,3

1,377

1,370

1,331

1,216

0,4

1,474

1,463

1,411

1,264

0,5

1,564

1,551

1,485

1,307

0,6

1,650

1,634

1,554

1,347

0,7

1,732

1,713

1,618

1,383

0,8

1,811

1,788

1,679

1,418

0,9

1,888

1,861

1,737

1,450

1,0

1,962

1,932

1,793

1,480

Т

а б л и ц а 23

(продолжение)

m/，)

0,001

0,01

ОД

ОО

1,962

1,932

1,793

1,480

1,991

1,959

1,812

1,492

2,035

2,047

1,873

1,525

2,260

2,240

1,982

1,577

0,8

2,548

2,474

2,151

1,643

1,00

3,007

2,887

2,393

1,718

1,25

3,969

3,719

2,827

1,82(

1,50

5,672

5,094

3,423

1,928

1,75

8,683

7,246

4,170

2,036

2,00

13,88

10,30

5,005

2,144

2,25

22,20

14,03

5,832

2,250

2,50

33,49

17,86

6,565

2,354

2,75

45,33

21,19

7,165

2,456

3,00

54,65

23,58

7,652

2,554

3,25

61,03

25,14

8,061

2,651

3,50

64,24

26,25

8,425

2,744

3,75

65,93

27,17

8,760

2,836

4,00

67,11

28,00

9,074

2,925

4,25

68,12

28,78

9,373

3,011

4,50

69,03

29,53

9,659

3,096

4,75

69,88

30,24

9,934

3,173

5,00

70,68

30,92

10,20

3,259

5,5

72,13

32,22

10,71

3,415

6,0

73,43

33,43

11,18

3,565

6,5

74,70

34,57

11,64

3,709

7,0

75,66

35,65

12,08

3,848

7,5

76,63

36,67

12,49

3,982

8,0

77,52

37,65

12,90

4,112

8,5

78,34

38,58

13,29

4,237

9,0

79,10

39,48

13,66

4,360

9,5

79,80

40,33

14,03

4,479

10,0

80,46

4£,£6

14,38

4,595

Таблица 24

Функция 力y(q) (фойгтовский и лоренцовский профили)

g

hy{q)

g

hy{q)

g

hv(q)

0,00

1,0000

0,26

0,8690

0,51

0,7882

0,76

0,7282

0,01

0,9931

0,27

0,8652

0,52

0,7854

0,77

0,7262

0,02

0,9865

0,28

0,8614

0,53

0,7827

0,78

0,7241

0,03

0,9801

0,29

0,8577

0,54

0,7801

0,79

0,7220

0,04

0,9740

0,30

0,8541

0,55

0,7775

0,80

0,7200

0,05

0,9680

0,31

0,8505

0,56

0,7749

0,81

0,7180

0,06

0,9621

0,32

0,8469

0,57

0,7723

0,82

0,7160

0,07

0,9565

0,33

0,8435

0,58

0,7697

0,83

0,7140

0,08

0,9510

0,34

0,8400

0,59

0,7672

0,84

0,7120

0,09

0,9456

0,35

0,8366

0,60

0,7647

0,85

0,7101

0,10

0,9403

0,36

0,8333

0,61

0,7623

0,86

0,7082

0,11

0,9351

0,37

0,8300

0,62

0,7598

0,87

0,7062

0,12

0,930(

0,38

0,8268

0,63

0,7574

0,88

0,7044

0,13

0,9252

0,39

0^8236

0,64

0,7551

0,89

0,7025

0,14

0,9204

0,40

0,8204

0,65

0,7527

0,90

0,7006

0,15

0,9156

0,41

0,8173

0,66

0,7504

0,91

0,6988

0,16

0,9110

0,42

0,8142

0,67

0,7480

0,92

0,6969

0,17

0,9064

0,43

0,8112

0,68

0,7458

0,93

0,6951

0,18

0,9020

0,44

0,8082

0,69

0,7435

0,94

0,6933

0,19

0,8976

0,45

0,8052

0,70

0,7413

0,95

0,6915

0,20

0,8933

0,46

0,8022

0,71

0,7390

0,96

0,6898

0,21

0,8891

0,47

0,7994

0,72

0,7368

0,97

0,6880

0,22

0,8849

0,48

0,7965

0,73

0,7347

0,98

0,6863

0,23

0,8808

0,49

0,7937

0,74

0,7325

0,99

0,6845

0,24

0,25

0,8768

0,8729

0,50

1

0,7909

1

0,75

0,7304

1,00

0,6828

Значения функции hv (9) для 0《q《 1 даны в табл. 24. Для нахождения hv (q) при q g 1 следует использовать соотношение (4.40). Заметим, что при дУ 1

加⑺=1 — 7j^—^q2 1nq + …，(7.19)

тогда как при q 身 1

配(编=吉(1 一高+亿20)

Функция h (q), соответствующая лоренцовскому профилю, совпадает с hv (q).

При почти консервативном рассеянии удобнее применять другое асимптотическое выражение, также найденное в § 5.4 [см. формулы (4.47) и (4.46)], а именно:

"Q,九)〜H(z, 1)九[(1—九)"2 ⑵ 1)](1 -%<1). (7.21)

Оно справедливо при всех z и тем точнее, чем меньше 1 — %. Представление о порядке погрешности дает такой пример. При 1 —九=10-4 и а = 0,01 значения Н (z,九)」вычисленные по (7.21) с использованием данных табл. 20 и 24, отличаются от точных, приведенных в табл. 23, не более чем на доли процента.

Глава VI

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ СВЕТАВ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

Результаты предыдущей главы позволяют написать в явном виде решение интегрального уравнения, описывающего рассеяние света в полубесконечном слое при произвольной зависимости мощности источников от глубины. Однако оно оказывается довольно громоздким. Между тем, если мощность источников меняется с глубиной по какому- нибудь простому закону, например, убывает экспоненциально, остается постоянной и т. д., это решение можно сильно упростить и придать ему более компактную форму. Естественно рассмотреть простейшие случаи более подробно. На подобных простых примерах можно составить ясное представление о физической картине явления и лучше понять специфику задач о переносе излучения в спектральной линии, обусловленную возможностью изменения частоты кванта при рассеянии.

Применение общих результатов, полученных выше, к решению нескольких простейших задач и составляет содержание настоящей главы. Она имеет двоякую цель. С одной стороны,она призвана проиллюстрировать,как следует применять развитые выше общие методы в конкретных случаях. С другой стороны, она должна служить чем-то вроде справочника, содержащего готовые решения ряда задач, доведенные до числа.

§ 6.1. Среда с равномерным распределением источников. Обобщенная проблема Милна

Исследуем в первую очередь поле излучения в среде с равномерно распределенными источниками, когда S* (т)= =S* = const. Основное интегральное уравнение для

функции источников имеет в этом случае вид

8

S(小大)=等\ k(1t 一 门)S(* %)出 + s*.(1.1) о

Нетрудно показать, что

S(r,%) = S(0,%)(l + j ①(丁，九)d『)・(1.2)

о

Действительно, дифференцируя (1.1) по т, с учетом (5.1.24) имеем

ОО

s«t, %) = G、K(|t —П)'В,九)d『+s(o,九)Ок(т)・ о

(1.3)

Из сопоставления с (5.1.28) заключаем, что

Sz (т,九)=S (0,九)Ф ",九)，(1.4)

откуда непосредственно следует (1.2).

Значение S (0,九)можно получить таким образом. При т -> оо величина S (т,九)должна стремиться к функции источников в бесконечной среде при S* (т) = S*. В самом деле, когда источники распределены равномерно, условия в достаточно глубоких слоях полубесконечной среды мало отличаются от условий в среде, бесконечной во всех направлениях. Это связано с тем, что на больших глубинах процессы поглощения преобладают над выходом излучения через границу. В бесконечной среде каждый квант испытывает в среднем (1 —X)"1 рассеяний. Поэтому функция источников для бесконечной среды при S* (т) = S* равна 彳二展.Согласно только что сказанному имеем

，(1.5)

ИЛИ

(0,九)(1 +『①(i,九)加').(1.6)

Пользуясь (5.5.26), находим

s(^)= Tfer， (L7) и, окончательно,

5(%九)=^^(1 +$Ф«mИ ,(1.8)

или, если воспользоваться обозначением (5.5.29),

5(%九)=若三子(%九).(1.9)

Разумеется, это выражение можно получить и из общих соотношений, приведенных в § 5.1. Формула (5.1.21) при S* (т) = S* дает

ОО

S(t$)= S* (1+\「(％К 九)di)・(1.10)

о

Можно показать (см. ниже § 6.8), что

11+ ,(W)* = ^^> ,+ ,(W)* = ^^> ,(Ml)(Ml)

1

1

+ ,(W)* = ^^> ,

+ ,(W)* = ^^> ,

(Ml)

(Ml)

и мы снова приходим к (1.9).

Зная функцию источников S (т,九)，легко найти интенсивность излучения в любой точке среды. Ограничимся определением интенсивности выходящего излучения / (0,卩,％). Обычно именно она представляет наибольший интерес, так как проще всего может быть найдена из эксперимента. В задачах же астрофизики / (0,卩，％), как правило, является вообще единственной величиной, которую могут дать наблюдения .Как известно,

ооа (%)

/(0,卩，Х小)=\S"，九)1=%(%)w.(1.12)о卩

Подставляя сюда (1.8), интегрируя по частям и пользуясь (5.1.42), получаем

/(0,卩,居大)=徐"(詣，力.(m3)

Итак, при равномерном распределении источников в среде

относительное распределение выходящего излучения по

частотам и углам дается функцией Н ^-^L ,九).

Из (1.9) видно, что при чистом рассеянии 0 = 1) уравнение (1.1) решения не имеет. Однако в (1.1) и (1.9) можно

положить S = ]Л1 —九 и затем уже устремить 九 к единице. Тогда (1.1) переходит в однородное уравнение

W ⑹=4-§К (I 一 口) S (丁) g (1.14) о

а из (1.9) следует, что его решение, нормированное таким образом, что S (0) = 1, есть

3 (т) = 1 + ]①(『，l)d丁三屮(у 1).(1.15)

о

Исследование уравнения (1.14) составляет обобщенную проблему Милна (ср. § 3.8). Поскольку явное выражение для Ф(т,九)известно (см. § 5.3), формула (1.15) дает решение обобщенной проблемы Милна в виде некоторого интеграла, т. е. в замкнутой, хотя и довольно громоздкой форме. В §§ 5.5—5.7 были получены простые выражения, описывающие поведение "§ (т) при малых и больших т. Было бы очень полезно иметь подробные таблицы S (т) для коэффициентов поглощения, чаще всего встречающихся в приложениях. Пока в этом направлении сделано очень мало: опубликована лишь небольшая трехзначная таблица SD (т) (Ю. Эвретт и Д. Хаммер [1], табл. 2). Шаг по т очень большой, к тому же (по крайней мере при больших т) имеются ошибки в третьей значащей цифре.

Существует простая и весьма общая связь между решением обобщенной проблемы Милна и функцией Sp (т, 1), описывающей поле излучения точечного источника в бесконечной однородной консервативно рассеивающей среде.

(1.16)(1.16)Обозначим

(1.16)

(1.16)

В § 4.3 было показано, что при т оо

Sp (% 1) ~ 捻г г(& 尊吋 ^р~； (1)] •(1.17)

Подставляя это выражение в (1.16) и пользуясь тем, что при 4fo

Р (〃)〜1 —屮(〃)吟，

где ср (〃)一 медленно меняющаяся функция (см. конец § 2.6), получаем

$8(т)2打 訪1 *(1・18)

Сравнивая (1.18) с (5.5.35'), приходим к искомому соотношению:

W(t)~c УХ⑺(…8),(1.19)

где

с.(1.20)

При изменении 丫 от 0 до 1/2 величина с монотонно возрастает от 1 до У2. При у = 1 (монохроматическое рассеяние) (1.20) также дает с = ]Л2, что согласуется с результатом, полученным в § 3.9.

Заметим, что уравнение переноса в случае обобщенной проблемы Милна имеет вид

卩"(^¥一级=a (%) I (T,卩,x) 一

оо1

^-4a(%) \ a(x')d/ \/(%卩\/)如'，(1.21) —оо—1

а граничное условие есть / (0,卩,%) = 0 при 卩 < 0. Функция источников S (т) совпадает с интенсивностью излучения, усредненной по частотам [с весом /а (%)] и по направлениям:

81

*(t)=}4 \a(xf)dxf J I ^^^x^d^.(1.22)

—oo—1

Интегрируя уравнение переноса по 卩 от — 1 до + 1 и по % от — оо до + оо, находим, что

ОО1

•^ \ d% \ М (q 卩,％)d卩=0.(1.23)

一o0 -1

Величина, стоящая под знаком производной, есть не что иное, как полный поток в линии. Соотношение (1.23) показывает, что он не зависит от глубины. В этом отношении обобщенная проблема Милна ничем не отличается от классической. Однако если в случае монохроматического рассеяния величина потока конечна, в обобщенной проблеме Милна поток в линии бесконечно велик (хотя производная от него согласно (1.23) равна нулю).

Интегральное уравнение (1.14) для функции W ⑴ есть обобщение (первого) уравнения Милна

ОО

⑴=£\ Е工卜一门疥м В)此 (1.24) о

на случай произвольного профиля линии. Как известно, наряду с (1.24) функция S” (т), нормированная так, что W"(0) = 1, удовлетворяет также уравнению

『F2 (tz 一 t) SM В) di 一 j 当(t - S §M В)" = % ,

тО】3

(1.25)

которое называют иногда вторым уравнением Милна. С помощью (3.7.37) легко показать, что

ОО

!ё2(<>*""')血'=侖.(1.26)

Поэтому (1.25) может быть переписано также в форме

f ［邑B — t) 一当b)］訓⑺"一

一 j ［邑(т 一 M) + 邑 В)］ б" В)仪=0. (1.27) 0

Обобщение этого уравнения на случай произвольного профиля имеет вид

ОО

\ [L (rz -т) — L (rz)] S (rz) ^rz -

一 j [L (t —廿)+ L (Y)] S(rz)加,=0. (1.28) 0

Как видно из (1,14), обобщенная проблема Милна соответствует случаю, когда источники на конечной глубине отсутствуют. Можно считать, что поле излучения создается источником бесконечной мощности, находящимся в бесконечно глубоких слоях среды. Физически это означает, что возбуждение атомов в поверхностных слоях производится в основном излучением, приходящим с больших глубин.

Отметим еще, что функция

①(G)=依⑴，

кроме уравнения (5.1.28) с % = 1, удовлетворяет также следующим двум уравнениям:

ООт

\ 屮 一 т)① В, 1) di — “ (t 一 吟①(i, 1) di = L(r), r0

(1.29)

oo

5 [Мо「м(It — □)]① в, i)* = м ⑺，(1.30) о

где

М ⑺=\L(Y)di・(1.31)

6

В частном случае прямоугольного профиля, т. е. при монохроматическом рассеянии, (1.29) и (1.30) переходят соответственно в (3.7.48) и (3.7.47).

Обобщенная проблема Милна была поставлена и исследована в работах автора [8], [6], [4] (см. также статью Д. Хаммера и Дж. Стюарта [1]). Ее следует рассматривать как простейшую стандартную задачу о переносе излучения в частотах линий,

В следующих двух параграфах будет продолжено рассмотрение среды с равномерно распределенными в ней источниками. Основное внимание будет уделено физической стороне вопроса.

Толщина пограничного слоя

Влияние границы сводится к тому, что из близких к ней областей среды излучение выходит наружу. Граница играет роль поглощающей стенки. Чем ближе к границе, тем большую роль должен приобретать выход излучения. Поэтому при равномерном распределении первичных источников средняя интенсивность излучения, а вместе с ней и эффективность фотовозбуждеиий вблизи границы должны становиться меньше. Это ничем не компенсируемое уменьшение числа фотовозбуждений будет вызывать падение степени возбуждения при приближении к границе. Таким образом, в газе будет существовать пограничный слой.

Из (1.8) следует, что

=(2.1)

т. е. в пределах пограничного слоя функция источников уменьшается в (1 —九)-% раз. Отвлекаясь пока от всех деталей поведения S (т), постараемся дать ответ на важный вопрос о том, какова по порядку величины толщина пограничного слоя. Порядковую оценку можно получить из простых физических соображений (В. В. Иванов [2], [6]). Вероятность гибели кванта вследствие неупругих процессов в расчете на одно рассеяние есть 1 —— 九.Вероятность же того, что возбужденный атом, находящийся на глубине т, излучит квант, который затем сразу же (без рассеяний) покинет среду,равна (兄/2)£ (т) (см. § 6.2).Ясно, что при таких т, для которых (九/2厶)(工)W 1 ——^,выходом излучения можно в первом приближении пренебречь.Наоборот,при (九/2)厶(力義 発 1 —九 роль неупругих процессов мала по сравнению с влиянием границы. Обозначим оптическую толщину пограничного слоя через т6 (индекс b — сокращение от boundary, т. е. граница). Тогда по порядку величины при 1 ——А У 1 она должна определяться условием

十 L (%)=1_九.(2.2)

Это равенство можно было бы принять за определение 工匕. Однако по ряду соображений мы предпочтем определить т^ несколько иначе, но, разумеется, так, чтобы это определение не противоречило порядковой оценке, даваемой (2.2). Именно, назовем оптической толщиной пограничного слоя значение т = % такое, что

(2.3)(2.3)

(2.3)

(2.3)

где S (т) — решение однородного уравнения (L14).

Рассмотрим некоторые частные случаи. При 九 = 0 имеем § (“)= 1, откуда % = 0. В предельном случае 九 f 0 роль радиативных переходов пренебрежимо мала, а потому влияние границы не сказывается на степени возбуждения. Пограничный слой отсутствует.

1 一 71 一 7Г2 (1 + у) С 一九)•Г2 (1 + у) С 一九)•В противоположном предельном случае 1 —入 У 1 имеем из (2.3), принимая во внимание (5.5.35'),

1 一 7

1 一 7

Г2 (1 + у) С 一九)•

Г2 (1 + у) С 一九)•

(2.4)

При монохроматическом рассеянии получаем отсюда с помощью (2.6.26)

(2.5)(2.5)1

(2.5)

(2.5)

^Ь 〜 一т=== ~/3(1-х)

т. е. при почти консервативном рассеянии толщина пограничного слоя асимптотически равна диффузионной длине. Если же речь идет о рассеянии в частотах линии, то (2.4) в комбинации с (2.6.56) и (2.6.44) дает

L (%) ~ С2 (I - %),(2.6)

где

С =為)/年一2丫) sin 项^ 一.(2.7)

Так как С близко к единице, значения ть, даваемые (2.2) и (2.6), по порядку величины не отличаются друг от друга.

При почти консервативном рассеянии существует простая асимптотическая связь между толщиной пограничного

слоя ть и длиной термализации т/, а именно:

U〜病Ь，(2.8)

где

Q.9)

Коэффициент с монотонно убывает при возрастании у от О до 1, причем 工(0) = е = 2,718; с (1/4) = 2,327; 7 (1/2)= =2,000 и с (1) = ]Л2 = 1,414. Для доказательства (2.8) заметим, что согласно (2.4) и (4.5.14) при 1 —入 V 1

2Г (2丫) cos 吋

Но при 4fo

P ⑷〜1 — 42丫屮⑷，(2.11)

где ф (〃) 一 некоторая медленно меняющаяся функция, т. е. такая функция, что ср (а〃)〜ср (〃) при 〃 f 0 (см. § 2.6). Подставляя (2.11) в (2.10) и пользуясь медленностью изменения ф (〃)，приходим к (2.8) и (2.9).

Таким образом, при почти консервативном рассеянии длина термализации tz и толщина пограничного слоя ть есть величины одного порядка. Поэтому при грубых оценках нет особой нужды проводить между ними четкое различие.В частности,все выводы о влиянии поведения коэффициента поглощения в крыльях линии па длину термализации, которые были сделаны в § 4.5, полностью переносятся и на толщину пограничного слоя. Чем медленнее убывает коэффициент поглощения в крыльях линии, тем больше толщина пограничного слоя, причем зависимость ть от формы линии очень сильная.

Населенность первого возбужденногоуровн я атомов вблизи границы газа с вакуумом

Рассмотрим простейшую физическую задачу, сводящуюся к решению уравнения, которое обсуждалось в § 6.1. Эта задача как нельзя лучше может служить для уяснения

физики явления. Вместе с тем она представляет и несомненный самостоятельный интерес.

Пусть имеется однородный однотемпературный газ, заполняющий полупространство. Кинетическая температура Т во всех точках одна и та же. Газ состоит из атомов, населенности основного и первого возбужденного уровней которых равны соответственно пг и п2. Пусть, кроме атомов, имеются еще свободные электроны, концентрация которых 〃е везде одна и та же. Поскольку газ однотемпературный, электронная температура Те равна кинетической температуре атомов и, таким образом,также не зависит от координат.

Будем учитывать два процесса, ведущих к заселению возбужденного уровня,— переходы с основного уровня под действием электронных ударов и фотовозбуждения, и два процесса опустошения верхнего уровня — радиативные переходы вниз (спонтанные и вынужденные) и удары второго рода. Задача состоит в том, чтобы рассчитать степень возбуждения ^ в функции расстояния от границы. Считается, что извне на газ излучение не падает.

Как было показано в § 2.5, эта задача сводится к решению следующего интегрального уравнения для S (т):

ОО

S ⑴=等 \ К (I t 一 Y I) S В) " + %(Те) (1 一 九)・(3.1) о

Здесь S (т) — функция источников:

S 偿^ 一厂， (3.2)

Bvi2 (Те) — функция Планка,九一вероятность выживания кванта при рассеянии, в данном случае связанная с вероятностями элементарных процессов следующим сбразом:

41 + "4 f一exp (一

Таким образом, мы имеем дело с уравнением, рассмотренным в § 6.1, в котором

S* = (1 — 九)3^ (Те)・(3.4)

Пользуясь (1.9), находим, что решение (3.1) есть

S (т) = /r^BV12 (Те)Т(т, %).(3.5)

Как было показано в §5.5, функцию Т(т,九)при 1 ——九у 1 можно представить в форме

гдегде¥（%九）〜否冬戸（方）e （以¥（%九）〜否冬戸（方）e （以=A（2了嗝・=A（2了嗝・(3.6)(3.7)(3.6)(3.7)

где

где

¥（%九）〜否冬戸（方）e （以

¥（%九）〜否冬戸（方）e （以

=A（2了嗝・

=A（2了嗝・

(3.6)

(3.7)

(3.6)

(3.7)

Достоинство такого представления 4f (т,九)состоит в том, что функция 三(т) меняется в сравнительно узких пределах. При порядковых оценках ее вполне можно полагать равной единице.

При /运 1, т. е. при т<^ть [практически при т^0,01т/,1, получаем из (3.5) и (3.6), пользуясь (5.5.38),

S ⑺〜]Л — 九氏 12 (Те)Е (Т) (t W %), (3・8)

где С дается формулой (2.7). Этот результат можно записать также в виде

S ⑺〜У8м (北)S ⑺ (t < %,(3.9)

где S (т)——решение однородного уравнения (1.14), нормированное таким образом, что S (0) = 1. Итак, в поверхностных слоях функция источников с точностью до постоянного множителя совпадает с решением однородного уравнения .(114). По мере роста т значения t увеличиваются. Когда % становится порядка единицы, т. е. т ——порядка толщины пограничного слоя ть, рост функции источников заметно замедляется. При /虽1 он практически прекращается. Из (3.5) и (5.5.32) находим, что в этой области значений t

( 等L⑴]

5(т) = BV12 (Ге)+ ... J (т>тд). (3.10)

Д. Хаммер и Дж. Стюарт [1] предложили следующую простую эмпирическую формулу для S (т):

Максимальная ошибка, даваемая этой формулой при 1—九У 1, составляет несколько процентов.

Приведенные только что результаты наглядно иллюстрируются рис. 25, на котором для доплеровского коэффициента поглощения даны графики 1g •f^ в функции 1g Ул т (по Д. Хаммеру и Дж. Стюарту [1]). Параметром кривых служат значения 1—九.Из рисунка видно, что при т -> оо функция источников стремится к постоянной. Этот

Рис. 25. Зависимость функции источников от глубины в среде с равномерно распределенными источниками. Коэффициент поглощения—доплеровский.Рис. 25. Зависимость функции источников от глубины в среде с равномерно распределенными источниками. Коэффициент поглощения—доплеровский.результат означает следующее. Поскольку газ изотермичен и не освещается внешним излучением, единственной причиной, вызывающей отклонения от термодинамического равновесия, является выход излучения через границу. Чем дальше от нее мы уходим, тем меньшую роль играет этот процесс, и степень возбуждения должна в конце концов приближаться к равновесной.

Рис. 25. Зависимость функции источников от глубины в среде с равномерно распределенными источниками. Коэффициент поглощения—доплеровский.

Рис. 25. Зависимость функции источников от глубины в среде с равномерно распределенными источниками. Коэффициент поглощения—доплеровский.

Наоборот, вблизи границы отклонения от равнове

сия быстроувеличиваются и могут стать очень большими. Примем для простоты, что температура газа не слишком велика, так что средняя энергия теплового движения частиц мала по сравнению с энергией возбуждения верхнего уровня (kTe^hv^. Предположим также, что плотность газа достаточно низка, так что спонтанные переходы происходят много чаще ударов второго рода {А21^>пеС^. Оба эти предположения не являются принципиальными и делаются только ради того, чтобы выводы были более нагляд

ными.

Первое из предположений позволяет пренебречь вынужденным излучением по сравнению со спонтанным. Формально это сводится к следующему. Во-первых,九 вместо (3.3)

следует вычислять по формуле

Во-вторых, функцию Планка можно заменить на функцию Вина. Наконец, в-третьих, (3.2) следует заменить на

S⑴=.(3.13)

Обсудим второе предположение. По порядку величины С21 弋 函2工,где V — средняя скорость теплового движения электронов (порядка 108 см!сек *при Те = 104°),灭工一среднее значение сечения, по порядку не отличающееся от газокинетического (10~16 см2). Для разрешенных оптических переходов Л21 а Ю8^"1. Поэтому неравенство Л21 於 neC2i при температурах около 10"° выполняется при электронных плотностях, по порядку меньших 1016 сж~3. В задачах астрофизики обычно приходится иметь дело со значительно меньшими плотностями. В высокотемпературных плазмах, исследуемых в лабораторных установках, плотности н температуры таковы, что и здесь условие #2工袋孔&^2工 часто выполняется. В этом случае можно полагать

1 —入 ,(3.14)

причем 1 —九 W 1.

Подставляя (3.13) и (3.14) в (3.5) и заменяя функцию Планка на функцию Вина, находим, что

靑=普鼠然/成(纪广Y (G »(3・15)

В частности, при тех т, которым соответствуют % у 1,

"2 = M成"工普研(尚*(t).(3.16)

Таким образом, при малых электронных концентрациях и не слишком высоких температурах населенность первого возбужденного уровня атомов вблизи границы изотермического полубесконечного слоя газа пропорциональна корню из

электронной концентрации. Подчеркнем, что это заключение справедливо лишь в том случае, когда, во-первых, гибель квантов в полете можно не учитывать и, во-вторых, роль фотоионизаций с возбужденного уровня мала по сравнению с ролью тушащих соударений, так что единственным процессом, конкурирующим со спонтанными переходами, являются удары второго рода.

Рис. 26. Зависимость температуры возбуждения от глубины в однородном изотермичном

,。 工 AVi2-

газе (доплеровский профиль,

17= 10-6).'

Как следует из (3.7) и (2.4), значения % по порядку меньше единицы при т<^ть. Поэтому область применимости формулы (3.16) ограничена значениями т, много меньшими толщины пограничного слоя. С уменьшением электронной концентрации величина 1 — % уменьшается пропорционально пе [см. формулу (3.14)]. Толщина пограничного слоя воз-

宀

растает при этом пропорционально пе^, где у — параметр, характеризующий скорость убывания коэффициента поглощения в крыльях линии.

Спад степени возбуждения к границе можно описать в терминах температуры возбуждения Тех, определяемой равенством

или, что то же самое,

s (т) = &12 [Тех (t)]・(3.18)

На рис. 26 в качестве иллюстраций приведен график Тех1Те в функции 1gт. Кривая относится к доплеровскому коэффи

циенту поглощения, 1 — А = 10-6 и = °-

ли из однородного изотермичного газа, занимающего полупространство, выраженная в долях планковской интенсивности. Коэффициент поглощения доплеровский. Числа у кривых ——значения 1 —— 九.

Отклонения населенности возбужденного уровня от больцмановской должны приводить к тому, что интенсивность излучения будет отличаться от планковской. Согласно (1.13) и (3.4)

/ (0,卩，х) = BV12 (兀)Н (寿 Д). (3.19) Профили линий, определяемые этим выражением, приведены для ряда значений 九 на рис. 27. Графики относятся к случаю, когда коэффициент поглощения доплеровский и излучение выходит по нормали к границе, так что 卩=1. Для построения кривых использованы численные данные, приведенные в § 5.6. Из рисунка видно, что граница однородной изотермичной плазмы, занимающей полупространство, испускает планковское излучение, на фоне которого видна линия поглощения. С уменьшением 卩 линия становится немного глубже, а ее ширина слегка увеличивается (рис. 28).

На протяжении всего этого параграфа для иллюстрации общих положений использовались численные данные, относящиеся к доплеровскому профилю. Приведем некоторые результаты также для фойгтовского и лоренцовского про-

филей. Влияние фойгтовского параметра а на зависимость функции источников от глубины иллюстрируется рис. 29

〃"产，划〃"产，划駿駿0,500,50入”入”-Z -/ О-Z -/ ОРис. 28. Профиль линии при различных углах выхода излучения (доплеровский коэффициент поглощения, % = 0,9).Рис. 28. Профиль линии при различных углах выхода излучения (доплеровский коэффициент поглощения, % = 0,9).(по 1Ю. Эвретту и Д. Хаммеру [1]). Соответствующие профили линий, рассчитанные по таблицам Я-функций и асимптотикам, приведенным в § 5.7, показаны на рис. 30. Из этих рисунков видно,что с увеличением а толщина пограничного слоя довольно быстро возрастает, а у линий существует ясно выраженное доплеровское ядро и широкие крылья затухания.

〃"产，划

〃"产，划

駿

駿

0,50

0,50

入”

入”

-Z -/ О

-Z -/ О

Рис. 28. Профиль линии при различных углах выхода излучения (доплеровский коэффициент поглощения, % = 0,9).

Рис. 28. Профиль линии при различных углах выхода излучения (доплеровский коэффициент поглощения, % = 0,9).

Задача, рассмотренная в

этом параграфе, была впервые исследована Л. М. Биберманом [2]. Он получил уравнение (3.1) для случая

Рис. 29. Функция источников в однородном изотермичном газе, занимающем полупространство. Числа у кривых}—— значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 —10-4.Рис. 29. Функция источников в однородном изотермичном газе, занимающем полупространство. Числа у кривых}—— значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 —10-4.无W12 発 kTe и решил его методом итераций для двух значений 又.Недавно А. Хёрн [2],

Рис. 29. Функция источников в однородном изотермичном газе, занимающем полупространство. Числа у кривых}—— значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 —10-4.

Рис. 29. Функция источников в однородном изотермичном газе, занимающем полупространство. Числа у кривых}—— значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 —10-4.

вновь рассмотрел эту же задачу. Пользуясь численными

Рис. 30. Интенсивность излучения, выходящего по нормали из однородного изотермичного газа, занимающего полупространство. Числа у кривых ——значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 — А = 10-4.Рис. 30. Интенсивность излучения, выходящего по нормали из однородного изотермичного газа, занимающего полупространство. Числа у кривых ——значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 — А = 10-4.

Рис. 30. Интенсивность излучения, выходящего по нормали из однородного изотермичного газа, занимающего полупространство. Числа у кривых ——значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 — А = 10-4.

Рис. 30. Интенсивность излучения, выходящего по нормали из однородного изотермичного газа, занимающего полупространство. Числа у кривых ——значения фойгтовского параметра а. Графики относятся к 1 — А = 10-4.

методами, он нашел функцию источников и рассчитал профили линийдлярядазначенийХ,втомчисле довольноблизких

к единице. В этих работах считал ось,чтоуширение линии целиком определяется эффектом Доплера. Для более общего случая, когда уширение линии обусловлено совместным действием эффекта Доплера и влиянием столкновений, задача была впервые рассмотрена Ю. Эвреттом и Д. Хаммером [1]. Уравнение (3.1) решалось численно нетолькопри постоянном 儿 но и при X, зависящем от т (Ю. Эвретт ⑴).

Диффузноеотражение света

Рассчитаем поле излучения в среде, освещаемой извне. Будем предполагать, что интенсивность падающего излучения не меняется от точки к точке вдоль границы среды. Примем, далее,

что среда освещается параллельными лучами, причем падающее излучение монохроматическое. Особенно интересно определить для этого случая распределение выходящего излучения по частотам и по углам. Это есть так называемая задача о диффузном отражении.

Строгое решение этой задачи для изотропного монохроматического рассеяния было получено Э. Хопфом [1] (для случая 九=1). Он выразил интенсивность выходящего излучения через соответствующую //-функцию (ф-функцию Амбарцумяна) и получил для этой функции явное выражение в виде некоторого интеграла. Результат Э. Хопфа можно обобщить на случай рассеяния с полным перераспреде-

ленпем по частотам при произвольном профиле коэффициента поглощения.

Пусть падающее излучение создает единичную освещенность на перпендикулярной к нему площадке и пусть х。一 его безразмерная частота, р0 — косинус угла падения. Обозначим через 卩 косинус угла между направлением распространения излучения и внешней нормалью. Тогда задача сводится к решению уравнения переноса

卩电^；,х） = J（%）/ （叫出 ％）一

со1

^~ Ла （х）\ а （х7） dx1 \ / （小 р/, x'）dp/ —

—8—1

一 "¥??不^ “（X）"（X。）“ "°（'」）

при граничном условии

/（О,…）=0（н<0）.（4.2）

Функция источников, соответствующая этой задаче, удовлетворяет следующему уравнению:

S （т,卩0, %。）=等，К （11 — 丁 I） S （t卩°, %о）如'+ о

+ 奈丽а（х。）。％ А》

Из него видно, что величина

0（* 2。）= x^7 S（% m。，X。）（4.4）

зависит только от т и от отношения

и определяется уравнением

夕（J 之。）=等f К （11 —#|） Р （丁，入）dxr -I- A J 不，（4.6） 0

т. е. совпадает с приведенной вероятностью выхода кванта из среды (см. § 5.2).

Интенсивность выходящего излучения / (0,卩，％;卩°, х。) выражается через функцию источников следующим образом: ооа(х)

/(О, М,Х；卩0,%0)= } s(t,囱，Хо)е “ а(л;)— .(4.7)

о

Согласно (4.4) отсюда следует, что / (0,卩，尤；林°, х0) можно представить в виде произведения а (х。) на функцию, зависящую только от 2 и г0. Будем для краткости опускать аргументы 卩о и %о и писать интенсивность выходящего излучения просто как / (0, г).

Чтобы найти / (0, г), можно вместо (4.7) использовать также формулу (5.1.45), которая в данном случае запишется так:

/©z)=高 Р & z)а (Хо)萼•(4.8)

о

Ею мы и воспользуемся для решения задачи о диффузном отражении.

Интеграл, стоящий в правой части (4.8), легко находится

из уравнения (5.1.35). Умножим для этого (5.1.35) на е ?。и проинтегрируем его по т от 0 до 8. Получим

ООт8 T

Оо

+ ^〃(2)§ J五①⑺dt. (4.9) о

Для интеграла, стоящего слева, находим

8TСОТ

оО

=一亲"⑵十 3； ё - е р (…)/•(4.10)

о

Поэтому вместо (4.9) имеем

(；+g)j % Р(* z)dt =亲 〃(z) (1 + j %①化小) о' о

(4.Н)

откуда с учетом (5.1.42)

е-云 Р (% z)如=言等^1 ^о.(4.12)

Окончательно получаем, подставляя (4.12) в (4.8) и исполь

зуя (4.5):

/(О, г)=/(О, г)=АЛ Н（2）"（2о）4г△З 一2 + 20 一卩。，АЛ Н（2）"（2о）4г△З 一2 + 20 一卩。，(4.13)(4.13)

/(О, г)=

/(О, г)=

АЛ Н（2）"（2о）

4г△З 一2 + 20 一卩。，

АЛ Н（2）"（2о）

4г△З 一2 + 20 一卩。，

(4.13)

(4.13)

Поскольку функцию Н (г) можно считать известной, эта формула дает решение задачи о диффузном отражении от полубесконечной среды.

Функция источников S (т,卩°, %о) дается формулой

S(q 阿,％о)=石枭/а(%о)" (No) (с〕+

+ je ①(Y)dY), (4.14)

о

вытекающей из (4.4) и (5.1.36). Конечно, это выражение можно было бы получить и из общей формулы (5.1.21), воспользовавшись (5.1.30). Однако в том простом случае, который мы сейчас рассматриваем, такой путь вряд ли был бы

самым простым. Заметим, что интегральный член в можно преобразовать интегрированием по частям, зультате получим

S (叫卩°, %о) = 4^ 4a (%。) Н (%)(Т ⑴-

(4.15)

При вычислениях это выражение имеет некоторые преимущества перед (4.14).

Ясно, что формулы (4.13) и (4.14) определяют интенсивность выходящего излучения и функцию источников не только при освещении среды монохроматическим пучком параллельных лучей, но и во всех тех случаях, когда в среде имеются внутренние источники излучения, мощность которых экспоненциально убывает с глубиной. Соответствующий пример подробно разбирается в следующем параграфе.

Посмотрим, что дают полученные формулы. Спектральное распределение выходящего излучения, т. е. профиль линии, оказывается весьма своеобразным. Перепишем (4.13), введя в явном виде зависимость от частоты % н от угловой переменной 卩，для чего подставим z =卩/а(х). Получим

Профиль линии г (卩，％), нормированный таким образом, что интенсивность излучения, выходящего по нормали (卩=1) в центральной частоте линии (х = 0), принята за единицу, дается тогда выражением

/ (°,卩,％) (1 + zq) а(х)

小，x)= E¥ = Ek・T(”・ (4・17)

Если угол падения внешнего излучения приближается к 冗/2, то величины 卩о и г0 стремятся к нулю. Из (4.17) видно, что при Zo = 0

а(х) "(Г?И)

Г(卩，x)= -1i肃步•修18)

В этом случае внешние лучи практически не проникают внутрь среды, а освещают лишь ее самый наружный слой. Поэтому здесь мы, по существу, имеем дело с задачей о свечении среды, в которой источники сосредоточены на границе. Из формулы (4.18) следует, что при этом излучается эмиссионная линия. В самом деле, хотя с увеличением расстояния от центра линии, т. е. с увеличением |х|, функ-

ция 〃(^^) и возрастает, это возрастание более чем компенсируется убывающим множителем а (х). В результате 厂(卩，х) оказывается монотонно убывающей функцией |х].

Противоположный предельный случай получается тогда, когда на среду под каким-то углом arc cos 卩о 方冗/2 падает излучение в далеком крыле линии (|х0| ^> 1). Тогда а (х0) У 1, н параметр г0 оказывается большим. В пределе при % — оо имеем

Г（卩，х）=4請Г（卩，х）=4請(4.19)(4.19)

Г（卩，х）=4請

Г（卩，х）=4請

(4.19)

(4.19)

С увеличением расстояния от центра линии величина ^), а вместе с ней и "(^^} растет. Поэтому 厂(& х) является теперь возрастающей функцией |х|, т. е. мы имеем линию поглощения. Сравнивая последнюю формулу с выражением (1.13), видим, что они, по существу, совпадают. Это и неудивительно. Чем больше величина z。, тем до больших глубин внешнее излучение проникает без заметного ослабления. В пределе при 20 foо мы получаем равномерное распределение источников в среде, для которого и была найдена формула (1.13).

При любом конечном г0 образуется линия излучения, ширина которой тем больше, чем больше г0 (рис. 31). При достаточно больших г0 в центре линии имеется провал. С ростом г0 его глубина возрастает. Одновременно увеличивается расстояние между максимумами интенсивности. Предельная форма этого центрального самообращения и дается формулой (4.19). Наоборот, в далеком крыле линии, где уже pi/а (х) ^> г0, вместо (4.17) с точностью до главного члена имеем

不（卩,%）~d + Zo）--而广.不（卩,%）~d + Zo）--而广.(4.20)(4.20)

不（卩,%）~d + Zo）--而广.

不（卩,%）~d + Zo）--而广.

(4.20)

(4.20)

Таким образом, в крыле линии зависимость от частоты оказывается такой же, как и при % = 0 ——интенсивность

убывает с ростом |х| пропорционально Н

Рассмотрим эту зависимость более подробно.

Если 九 не очень близко к единице, то можно приближенно принять, что Я (^~^j) ^ (1 —九)-%, так как в крыле линии 卩/а (х)登 1. Поэтому вместо (4.20) получаем

厂（卩，%）=厂（卩，%）=1 + 2о а (х) Н(1) нУТ^Г1 + 2о а (х) Н(1) нУТ^Г(4.21)(4.21)

厂（卩，%）=

厂（卩，%）=

1 + 2о а (х) Н(1) нУТ^Г

1 + 2о а (х) Н(1) нУТ^Г

(4.21)

(4.21)

причем отброшенные члены стремятся к нулю быстрее, чем а (%). Видим, что интенсивность в далеком крыле линии пропорциональна коэффициенту поглощения.

Рис. 31, Профили линий при экспоненциальном распределении первичных источников. Коэффициент поглощения доплеровский. Кривые относятся к X = 1=1,卩=1. Числа у кривых — значения —.Рис. 31, Профили линий при экспоненциальном распределении первичных источников. Коэффициент поглощения доплеровский. Кривые относятся к X = 1=1,卩=1. Числа у кривых — значения —.

Рис. 31, Профили линий при экспоненциальном распределении первичных источников. Коэффициент поглощения доплеровский. Кривые относятся к X = 1

=1,卩=1. Числа у кривых — значения —.

Рис. 31, Профили линий при экспоненциальном распределении первичных источников. Коэффициент поглощения доплеровский. Кривые относятся к X = 1

=1,卩=1. Числа у кривых — значения —.

Когда 九 близко к единице, положение немного сложнее. Разумеется, формула (4.20) и здесь остается в силе. Однако теперь возможно существование такой области частот |х|,

для которой условие применимости формулы (4.20), т. е. неравенство 卩/а (х)》2(), уже выполнено, но Н (*^у) еще значительно меньше своего предельного значения, равного (1 ——九)-%. При таких частотах функция Н сравнительно быстро возрастает с ростом |х|, и поэтому 厂(卩,х) убывает заметно медленнее, чем а (х). В этом случае для Н (•^j) следует воспользоваться общими асимптотическими выражениями, полученными в § 5.4. Может даже оказаться ,что существуют такие частоты |х|*1, где формула (4.20) уже применима, а для Н ( ^у，九)еще можно использовать асимптотики, соответствующие чистому рассеянию. С таким случаем приходится иметь дело всякий раз, когда при 1 —九《1 значение г0 по порядку величины меньше толщины пограничного слоя т&. Если это условие выполнено, то, например, при доплеровском коэффициенте поглощения для излучения, выходящего по нормали, в этой области частот имеем из (4.20) и (5.4.32)

「（1,盼〜^ «Т/ММ）〜

贵 了帀厂于・（丄22）

Таким образом, здесь интенсивность убывает с удалением от центра линии пропорционально ]/|%|ехр(—^) , т. е. значительно медленнее, чем коэффициент поглощения [ехр (— х2)].

При дальнейшем увеличении расстояния от центра линии достигаются настолько большие значения z =卩/а(х), что рост Н (z, X) замедляется, сначала незначительно, а потом все сильнее и сильнее. В конце концов он практически прекращается ——Н (z, X) приближается к своему асимптотическому значению Н (оо, X). Одновременно интенсивность выходящего излучения делается пропорциональной коэффициенту поглощения а (х).

Формула (4.17) позволяет также проследить, как профили линий изменяются с изменением 卩,иначе говоря, в за-

висимости от угла выхода излучения из среды. Зависимость от 卩 описывает изменение формы линии при переходе от центра диска звезды или планеты (卩 = 1) к ее краю (卩=0). Общий характер происходящих изменений ясен из рис. 32: с уменьшением 卩

линия расширяется, а центральный провал становится глубже.

В ряде случаев важно знать суммарную энергию, излучаемую единицей поверхности среды во всех направлениях. Обозначим эту величину через Е.

Энергия во всей спектральной линии, выходящая из среды через единицу поверхности за единицу времени в телесном угле dco, равна

ОО

\ / (0,卩，х) dv-^d^. о

Полная энергия Е, во всех направлениях,

Е = 2л

Рис. 32. Изменение профилей линий с изменением угла выхода излучения. Кривые относятся к доплеровскому профилю, % = 1 и -L =0,30. излучаемая за единицу времени есть(4.23)Рис. 32. Изменение профилей линий с изменением угла выхода излучения. Кривые относятся к доплеровскому профилю, % = 1 и -L =0,30. излучаемая за единицу времени есть(4.23)\ dv \/ (0,m，%)m外, о о\ dv \/ (0,m，%)m外, о оЕ =Е =m加m加(4.24)(4.24)Подставляя сюда (4.13), получаем

Рис. 32. Изменение профилей линий с изменением угла выхода излучения. Кривые относятся к доплеровскому профилю, % = 1 и -L =0,30. излучаемая за единицу времени есть

(4.23)

Рис. 32. Изменение профилей линий с изменением угла выхода излучения. Кривые относятся к доплеровскому профилю, % = 1 и -L =0,30. излучаемая за единицу времени есть

(4.23)

\ dv \/ (0,m，%)m外, о о

\ dv \/ (0,m，%)m外, о о

Е =

Е =

m加

m加

(4.24)

(4.24)

Введем вместо 卩 переменную г =卩/а (%). Тогда 1

(4・25)(4・25)Е =等卩о"⑵)\ 壮(%)办 § r^^dz-

(4・25)

(4・25)

—ООо

Меняя порядок интегрирования, получаем

(4.26)(4.26)e -告 卩。"(z0)\ 当空 G (z) dz.

(4.26)

(4.26)

乙，丿2十N0

0

Из уравнения (5.4.21) следует, что

(4.27)

(4.28)(4.28)Поэтому окончательно

(4.28)

(4.28)

e = м0 (1 - "(2。) /]一九).

Поскольку в этом параграфе мы считаем, что свечение среды вызывается освещением ее параллельными лучами, отраженную энергию естественно выразить в долях падающей. Эта последняя в расчете на единицу площади равна ?о = 卩°. Поэтому находим, что из всей падающей на границу среды энергии доля

4 =要=1 一 "⑶)(4.29)

отражается, а доля

1 _ 4 = " (Zo) /Г^Х (4.30) поглощается в самой среде. Вел-ичина Ло называется, как известно, альбедо среды.

Из (4.30) следует, что роль поглощения возрастает с увеличением г0. Это связано с тем, что чем больше г0, тем глубже проникает в среду внешнее излучение и тем большее число рассеяний кванты должны совершить, чтобы выйти наружу. Между тем при каждом рассеянии есть некоторая вероятность того, что квант «погибнет». Все это и ведет к возрастанию 1 — Ло с ростом %.

Из (4.30) легко получить явное выражение для среднего числа рассеяний N, испытываемых квантом. Для этого достаточно поделить долю квантов, поглощаемых в среде, на вероятность гибели кванта при одном рассеянии, равную 1 — А. В результате получим

戸=(4.31)

（см. также § 6.8, посвященный расчету среднего числа рассеяний, где эта формула находится из других соображений）.

Специально исследовать зависимость функции источников S （т, в。，л:。）от т, т. е. изменение степени возбуждения с расстоянием от границы, мы не будем. Ограничимся лишь краткими замечаниями. Когда z0 мало, степень возбуждения монотонно убывает с глубиной. В этом случае образуется эмиссионная линия （см. рис. 31, стр. 297）. С увеличением 2о близ границы появляется спад возбуждения, так что на кривой, изображающей зависимость S （т,卩°, х°） от т, образуется максимум. В этом случае испускается линия излучения с центральным самообращением, наличие которого и отражает падение температуры возбуждения к границе. Когда при дальнейшем росте величины га она становится по порядку больше толщины пограничного слоя 工仇 наступает своего рода насыщение. Отношение степени возбуждения в максимуме и на границе почти перестает расти с ростом 2°, а максимум на кривой S （т,卩°, %少）становится все более плоским. Соответственно этому изменяется и профиль линии излучения — максимумы интенсивности делаются все менее и менее резкими.

Как уже указывалось в начале параграфа, многие, если не большинство, из приведенных в нем соотношений являются аналогами формул, полученных ранее при изучении монохроматического рассеяния.

Использованный нами метод решения принадлежит В. В. Соболеву [1]. Изложение в общих чертах соответствует статье автора [8], но содержит гораздо больше подробностей.

Среда с экспоненциальнымраспределением источников

В предыдущем параграфе упоминалось о том, что его результаты применимы не только тогда, когда на среду падает пучок параллельных лучей, но и при наличии в среде внутренних источников излучения, мощность которых меняется с глубиной экспоненциально. Разберем подробно пример, когда задача приближенно сводится к такому случаю.

Выше, в § 6.3, была рассчитана концентрация атомов на первом возбужденном уровне в однородном изотермичном газе. При этом предполагалось, что уширение линии целиком обусловлено тепловыми движениями атомов, т. е. коэффициент поглощения принимался доплеровским. Считалось, что населенность верхнего уровня определяется балансом между возбуждениями под действием излучения и столкновений, с одной стороны, и радиативными переходами вниз и тушащими соударениями, с другой. Вернемся к задаче, отказавшись от предположения об изотермичности газа.

Неизотермичность газа приведет к тому, что вероятности электронных ударов первого и второго рода С12 и C2i, зависящие от электронной температуры Те, будут теперь некоторыми функциями т, явный вид которых определяется зависимостью температуры от глубины. Однако дело не ограничивается только этим. Доплеровская ширина линии, в единицах которой измеряются частоты, также оказывается функцией т. Это ведет к тому, что уравнение стационарности не сводится более к интегральному уравнению с ядром, зависящим от модуля разности. Поэтому при строгом подходе задача оказывается значительно сложнее, чем все рассмотренные до сих пор.

Мы пренебрежем зависимостью доплеровской ширины линии Avq от температуры. В этом будет состоять первое дополнительное приближение. Оно будет использоваться на протяжении всего этого параграфа. В этом приближении уравнение стационарности при пренебрежении вынужденным излучением имеет вид

8

几2 (t) (41 + 几£21) = "^，К( 11 — °1)拉2(『)dt‘ + 几*几eC]2・ 0

(5.1)

Величина С21 зависит от температуры слабо, и при приближенном решении задачи этой зависимостью также можно пренебречь. Что же касается влияния изменения температуры на вероятность возбуждающих соударений С12, то здесь положение иное. Из-за наличия экспоненциального множителя в соотношении, связывающем С21 и С12, зависимость С12 от температуры оказывается сильной, и пренебрегать ею нельзя. Только этот вид зависимости вероятно-

стей элементарных процессов от температуры и будет учитываться В этом будет состоять второе дополнительное приближение. Значение C2i можно брать, например, соответствующим тёмпературе на глубине т; = 0. При этих предположениях уравнение (5.1) можно переписать так:

л2加3空上

S ⑺=告 \ К (IТ — 口 )S В)" + (1 —九)T е 忆？ о

(5・2)

где S (т)——обычная функция источников, связанная с населенностями уровней соотношением (3.13), а величина 九 выражается через вероятности элементарных процессов по формуле (3.12).

Если зависимость температуры от глубины имеет вид £(。)=告駕，(5.3)

где т — некоторая постоянная, то (5.2) переписывается в форме

S⑺=当£ К(|—门)S(『)"+ q£F， (5.4) о

где

Q —(и丿

_ kTe (0)1

2。=•

Таким образом, в этом случае мы имеем дело со свечением среды с экспоненциально распределенными в ней источниками квантов, т. е. снова пришли к задаче, подробно разобранной в предыдущем параграфе. Пользуясь полученными там результатами, можем сразу же написать выражение для интенсивности выходящего излучения:

/(0,卩,％)=Qz°、輩曾,(5.7)

где 2 =卩/а (%). Нашей задачей сейчас будет анализ этого выражения, имеющий целью показать, как по форме

испускаемой средой линии можно судить об изменении температуры с глубиной. Следует, впрочем, отдавать себе ясный отчет в том,что этот анализ справедлив лишь при тех крайне специальных предположениях,которые были сделаны выше. Он не дает готового рецепта, которым можно было бы пользоваться на практике. Наоборот, этот анализ скорее может служить предостережением для тех, кто пытается вывести заключения о физических условиях в газе на основе исследования формы самообращенных линий.

Как видно из (5.7), форма линии, испускаемой газом, различна при различных значениях параметра г0. В свою очередь согласно (5.6) этот параметр определяется величиной т, т. е. зависит от распределения температуры с глубиной. Этот факт можно использовать для получения зависимости Те (т) по профилю линии.

Вероятность выживания кванта при рассеянии 厶 с уменьшением электронной концентрации стремится к единице, тогда как значение г0 согласно (5.6) от плотности не зависит и при сделанных предположениях определяется только распределением температуры с глубиной. Толщина пограничного слоя с уменьшением плотности увеличивается. При достаточно малых пе она становится по порядку величины больше «г。. В этом предельном случае, как было указано в предыдущем параграфе, форма линии перестает зависеть от 九(величину 九 в (5.4) можно при этом положить равной единице). Она целиком определяется значением параметра z0. Таким образом, профиль линии в предельном случае низких плотностей определяется только зависимостью температуры от глубины.

На рис. 31 (стр. 297) были приведены профили линий, рассчитанные по формуле (5.7) для доплеровского коэффициента поглощения и 兄=i. Считается, что излучение выходит по нормали к границе (卩=1). Параметром кривых служит значение — = tn. Из рисунка видно, что чем меньше т, т. е. чем медленнее температура убывает с глубиной, тем шире становится линия и тем больше делается глубина центрального самообращения.

Первый вывод, который следует из этого рисунка, состоит в том, что сам по себе факт роста кинетической температуры наружу еще не гарантирует появления эмиссион-

ной линии без самообращения. Только тогда, когда этот рост происходит достаточно быстро (малые т), линия не имеет провала в центре. В чем же состоит причина появления этого минимума интенсивности? Из-за роста температуры к границе число возбуждений столкновениями растет с уменьшением т. Однако одновременно с этим увеличивается и роль выхода излучения из среды, обусловливающая уменьшение числа фотовозбуждений. Если рост температуры происходит не слишком быстро, влияние второго фактора оказывается более существенным, и вблизи границы имеется спад концентрации возбужденных атомов. Он и служит причиной появления самообращения в центре линии.

Второе заключение, которое можно сделать на основании рис. 31, сводится к тому, что глубина центрального минимума значительно чувствительнее к распределению температуры, чем ширина линии, определяемая, например, по расстоянию между максимумами интенсивности. Рассмотрим этот вопрос немного подробнее.Частота, при которой интенсивность достигает максимума, определяется условием

0/(**)= 0,(5.8)

которое с помощью (5.7) может быть приведено к виду

一一.(5.9)

dz2 + Zo

Обозначим корень этого уравнения через zm. Зная его, частоты хт максимумов интенсивности можно вычислить из условия

=•(5.10)

В частности, при доплеровском профиле

土]/吟.(5.11)

При малых 俄,когда темпер атур а изменяется с глубиной медленно, ширина линии очень слабо зависит от т. Убедимся в этом, найдя зависимость |%ш| от т при малых т в явном виде. Когда т достаточно мало, значение %, как видно

из (5.6), оказывается большим. В этом случае и корень уравнения (5.9), т. е. г^, также должен быть большим. Поэтому при решении уравнения (5.9) для Н(2)можно взять асимптотическое выражение (см. § 5.4)

Hd ⑶〜2冗2 Hn z,(5.12)

с учетом которого уравнение для определения zm принимает вид

zm + z0 2

откуда zm ■^ 2°. Поэтому при достаточно малых т вместо (5.11) имеем

I I 〜}/^In ~ •(5.14)

Поскольку 2° пропорционально 加-匕 из последней формулы следует, что при малых т расстояние между максимумами растет примерно как ]Л1п 1/т, т. е. действительно очень медленно.

Что касается глубины центрального минимума, то при малых т ее также нетрудно оценить. В самом деле, из (5.7) имеем

/ (0, Р-» ХТП) — р. + Zo н(2тп)1 К\

/(0,卩，0)-

Когда /и мало, как только что говорилось, при доплеровском профиле 2m 〜2° 登 1, и вместо последнего выражения приближенно получаем

К •(5・16)

Таким образом, максимальная интенсивность, выраженная в долях интенсивности в центре линии, растет с уменьшением т, грубо говоря, пропорционально Уг0, т. е. как \/Ут. Хотя эта зависимость не очень сильная, ее все же можно использовать для определения значения т по профилю линии. Общий вывод, который можно сделать из изложенного, сводится к следующему. Когда имеется линия, излучаемая однородным неизотермичным газом, температура

которого медленно убывает с глубиной, а уширение линии обусловлено эффектом Доплера, параметром линии, наиболее чувствительным к распределению температуры, является глубина центрального самообращения.

Положение существенно меняется, если уширение линии обусловлено столкновениями, так что коэффициент поглощения можно считать лоренцовским. Ограничимся рассмотрением случая, когда температура меняется с глубиной медленно (малые т). Выясним, как зависит при этом от т ширина линии и глубина депрессии в ее центре. Все рассуждения, проведенные выше для доплеровской линии, остаются в силе и здесь, за тем единственным исключением, что для получения корня уравнения (5.9) при малых т мы должны теперь взять асимптотическое выражение не доплеровской //-функции, а лоренцовской, имеющее вид (см. § 5.4)

"厶(2)〜伍户/'•(5.17)

Подставляя это выражение в (5.9), получаем следующее уравнение для z^:

?7П + 2。4

откуда 7加~争.С учетом этого из (5.10) при лоренцовском профиле и N()》1 имеем

関~/露(5/9)

где |%е|— расстояние максимумов интенсивности от центра линии, выраженное в ширинах, обусловленных столкновениями. Что касается высоты максимумов, то из (5.15) и (5.17) следует, что

/ (0,卩,％7П)3 乙 %/Г

/(0,n,0)2%"((k) ° .( •)

Величина г0 пропорциональна Мт. Поэтому согласно (5.19) с уменьшением т расстояние между максимумами интенсивности растет пропорционально l/匕m,тогда как высота макси-

мумов увеличивается лишь как ггг'%. Последнее вытекает из формулы (5.20). Это означает, что при лоренцовском профиле ширина линии чувствительнее к распределению температуры, чем глубина центральной депрессии. Как мы помним, при доплеровском коэффициенте поглощения положение было прямо противоположным. Это может служить наглядным примером того, сколь осторожным нужно быть при анализе профилей эмиссионных линий с целью получения информации о физических условиях в среде.

Весь анализ в этом параграфе основывался на допущении, что влиянием изменения температуры на доплеровскую ширину можно пренебречь. Это и другие приближения, о которых говорилось в начале параграфа, являются очень грубыми. Строгое рассмотрение вопроса об образовании линий в среде с зависящей от глубины температурой можно найти в статьях Д. Хаммера и Г. Рыбицкого [2] и Г. Рыбиц- кого и Д. Хаммера [1].

Степень возбуждения в газе, освещаемом извнеизлучением в непрерывном спектре

Опираясь на результаты § 6.4, легко найти интенсивность диффузно-отраженного излучения и степень возбуждения атомов также и в некоторых других простейших случаях.

Получим в первую очередь функцию источников в среде, освещаемой изотропным излучением, интенсивность которого в пределах линии не зависит от частоты. Это соответствует тому, что на среду под всеми углами падает излучение в непрерывном спектре. Освещающее излучение можно представить как суперпозицию отдельных пучков, каждый из которых характеризуется своим углом падения arccos |i0 и частотой л:。. Ясно, что и функция источников должна быть суперпозицией функций S (т,卩°, %。)，определяемых уравнением (4.3). Поэтому если интенсивность падающего излучения равна У。，то функция источников этой задачи

18

(6.1)(6.1)S (т) — /°2冗，dp»。，S (t, p>o, %o) dv().()()

(6.1)

(6.1)

Из (4.3) следует тогда, что она определяется уравнением

S(t)= +、K(|t—『|)S(#)d#+ /。・等上口)，(6.2)

о

где

厶⑹=4，а (%) dx厶⑹=4，а (%) dx1a (х) 一8 p

厶⑹=4，а (%) dx

厶⑹=4，а (%) dx

*-、d卩=$ e- G ⑵ dz. (6.3)

о0

Решение этого уравнения имеет вид

S(t) = /о [1 — рТ^Х田⑺卜(6.4)

где, как обычно,

屮⑺=1 + jo)(Sd『・(6.5)

о

В этом нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (6.4) в (6.2), если воспользоваться тождеством

“K(|t-口)"= 1-；&)(6.6)

о

и результатами, полученными в § 6.1. Интенсивность выходящего излучения, соответствующая функции источников (6.4), как легко видеть, равна

/ (0,卩,％) = /° [1 — МГ^ ” (岛刀• (6.7)

Поясним физический смысл полученных результатов. Прежде всего перейдем от интенсивности падающего на границу излучения У。к температуре излучения Trt определяемой равенством (см. § 1.1)

/о = BV12 (Тг), (6.8)

где Bv (Т)——функция Планка. Введем также вместо функции источников S (т) температуру возбуждения TeXf т. е. положим

S ⑴=В МТ ex ⑴)• (6.9)

Тогда (6.4) примет вид

В^(Тех) = В^ (Л)[1 -УГ^К^(т)],(6.10)

Рассмотрим наиболее интересный с астрофизической точки зрения случай, когда 九 очень близко к единице. Тогда, как было указано в § 5.5, с тем большей точностью, чем ближе 九 к единице,

屮(V)〜戸⑴ £(t),(6.11)

где

% = ”2丫)号.(6.12)

Заменив здесь 己(т) на единицу, мы получим выражение, которое будет давать заметную ошибку только при малых т. Однако сама величина У1 ——%Т (т) при небольших т мала, и в формуле (6.10) ею можно пренебречь по сравнению с единицей. Поэтому, подставив в (6.10) выражение (6.11) с (т) = 1, мы получим асимптотическую формулу, которая справедлива при всех т и тем точнее, чем ближе 九 к единице: &12(7”)~3%(77)[1 —戸⑴](1 一入 у 1).(6.13)

На глубинах, малых по сравнению с толщиной пограничного слоя ть, параметр / мал, и из последней формулы следует, что

〜(УЗ,(6.14)

так как F (/) -> 0 при / -> 0 [см. формулу (5.5.38)]. Таким образом, при ту “ степень возбуждения практически не зависит от глубины и соответствует температуре возбуждения верхнего уровня относительно нижнего, равной температуре падающего на среду излучения. Начиная с глубин порядка ть степень возбуждения начинает падать. Ситуация здесь прямо противоположна той, с которой мы имели дело в § 6.3 при изучении самосветящегося изотермичного газа. Там 百匕 давала толщину неравновесного пограничного слоя, в котором температура возбуждения Тех заметно ниже электронной температуры Те. Теперь же, наоборот,百匕 определяет толщину слоя, в котором излучение и населенность верхнего уровня находятся в равновесии в том смыс-

§ 6.б! ГАЗ, ОСВЕЩАЕМЫЙ ИЗЛУЧЕНИЕМ В КОНТИНУУМЕ ЗЦ ле, что Тех = Тг, Иначе говоря, хь представляет собой глубину, в пределах которой между внешним излучением в непрерывном спектре и атомами среды происходит эффективное взаимодействие.

Из формулы (6.13) вытекает одно любопытное следствие: при 1 ——九 степень возбуждения зависит не от т и Х в отдельности, а лишь от их комбинации (6.12) Иначе говоря, выполняется следующий принцип подобия', степень возбуждения на оптической глубине т; = q в среде с 九=九1， освещаемой излучением в непрерывном спектре, такая же, как и в среде с 九 = 九？ на глубине т = т2, где q и т2 связаны соотношением

(1—九J 厶(％) = (1—%)厶(G (6.15)

Принцип подобия выполняется тем точнее, чем ближе 九】 и 九2 K единице.

Когда температура падающего на среду излучения велика, в пограничных областях заметная доля атомов переходит в возбужденное состояние, и становится существенным эффект «просветления». В случае полубесконечной среды этот эффект не сказывается на распределении выходящего излучения по частотам и по углам, однако его нужно учитывать при переходе от оптических глубин к геометрическим. Соответствующая методика была изложена в § 2.5.

До сих пор считалось, что внешнее излучение является единственной причиной появления возбужденных атомов в среде. Можно исследовать и более сложные случаи, когда одновременно с внешним излучением действуют и внутренние источники. Разберем один пример.

Будем считать, что на однородный изотермичный газ кинетической температуры 7\, занимающий полупространство, падает изотропное излучение, интенсивность которого в пределах линии не зависит от частоты. Пусть температура этого излучения есть Тг. Действуют два механизма заселения верхнего уровня ——электронный удар и фотовозбуждения, и два механизма ухода с него ——радиативные переходы и удары второго рода. Короче говоря, сохраняются все предположения § 6.3, кроме одного: считается, что на газ падает внешнее излучение, тогда как,в § 6.3 предполагалось, что такого излучения нет.

Легко понять, что функция источников в этом случае определяется следующим уравнением:

ОО

S⑴=整\k(1 - 11)5(丁)" + о

+ 等厶⑴+5V12 (乙)(1 一 人)，(6.16)

где 九 по-прежнему дается формулой (3.3). Здесь последний член справа учитывает ударные возбуждения, второе слагаемое —фотовозбуждения под действием внешнего излучения и, наконец, интегральный член ——радиативные возбуждения собственным излучением газа. Решение (6.16) является линейной комбинацией решений уравнений (6.2) и (3.1) и имеет вид

S (т) =(7「)[ 1 一 /Г^Х Т(т)]+(兀)/П=ГТ ⑺.

(6.17)

Наша задача состоит в выяснении характера этого решения. Чтобы придать результатам большую физическую наглядность, перейдем от функции источников S (т) к температуре возбуждения Тех (т), т. е. положим S = 5^2(7^). Обозначим еще через Т?% (т) температуру возбуждения верхнего уровня в той же самой среде при отсутствии падающего извне излучения, т. е. при Тг = 0. Очевидно, что она определяется соотношением

&,2(?г)= 3k (Те) /Г^ХТ(т).(6.18)

Если функция 4r (т) известна, расчет температуры возбуждения в функции т по формуле (6.17) не представляет трудностей. Мы ограничимся лишь одним иллюстративным примером и постараемся выяснить на этом примере общий характер результатов в различных случаях. Расчеты, о которых пойдет речь, были выполнены для чисто доплеровского коэффициента поглощения при следующих значениях параметров: 1 —九=10~6; hv12/kTe = 5; Tr/Te = 2,0; 1,5; 1,0; 0,8; 0,5; 0,0. Для нахождения 屮(т) были использованы результаты численного решения уравнения переноса, предоставленные автору Д. Хаммером (см. также Ю. Эвретт и Д. Хаммер [1]). По вычисленным значениям температуры

возбуждения Тсх (т) были построены графики Тех (т)/Те в функции 1g т, приведенные на рис. 33. Этот рисунок позволяет понять, как будут вести себя аналогичные кривые и при других значениях параметров. Существуют три области значений Тг, которым соответствуют три типа кривых на рис. 33:

Температура излучения Т г заметно выше электронной температуры Те. Тогда на глубинах, по порядку много

Рис. 33. Изменение с глубиной температуры возбуждения второго уровня в изотермичномРис. 33. Изменение с глубиной температуры возбуждения второго уровня в изотермичномгазе температуры температуры Тг.газе температуры температуры Тг.丁少 освещаемом излучением Коэффициент поглощения丁少 освещаемом излучением Коэффициент поглощениядоплеровский,доплеровский,历V12 _历V12 _1 一" 10-6.1 一" 10-6.

Рис. 33. Изменение с глубиной температуры возбуждения второго уровня в изотермичном

Рис. 33. Изменение с глубиной температуры возбуждения второго уровня в изотермичном

газе температуры температуры Тг.

газе температуры температуры Тг.

丁少 освещаемом излучением Коэффициент поглощения

丁少 освещаемом излучением Коэффициент поглощения

доплеровский,

доплеровский,

历V12 _

历V12 _

1 一" 10-6.

1 一" 10-6.

меньших толщины пограничного слоя 工匕,температура возбуждения Тех практически постоянна и близка к Тг. Затем она начинает падать и в конце концов становится равной Те (кривые, соответствующие Тг1Те = 2,0 и 1,5);

Температура излучения Тг ниже Т^，но заметно выше TgX (0), т. е. температуры возбуждения на границе среды, не освещаемой извне. В этом случае близ границы также существует область, где температура возбуждения близка к 7\ и меняется мало. Однако размер этой области определяется теперь не толщиной пограничного слоя, а разностью

Те ——Тг, увеличиваясь с уменьшением этой разности. На больших глубинах температура возбуждения возрастает, приближаясь к Те (кривые Тг/Те = 0,8 и 0,5);

Температура излучения Тг заметно ниже не только электронной температуры среды Tef но и 7% (0). В этом случае внешнее излучение вообще не играет заметной роли в создании населенности возбужденного уровня. На всех глубинах, начиная от самой границы, Тех (т) мало отличается ОТ Тех ⑴(кривая Т JTе = 0).

Профиль линии, излучаемой газом, и в разбираемой сейчас задаче просто выражается через функцию Н (^у)・ Не останавливаясь на этом вопросе подробно, укажем только, что если температура падающего на среду излучения Тт выше электронной температуры 7\, на фоне непрерывного спектра видна линия излучения, тем более интенсивная, чем больше разность между Тг и Те. При Тт = Те мы имеем чисто непрерывный спектр без каких-либо следов линии, а при Тт < Те образуется линия поглощения, глубина которой возрастает с уменьшением Тг.

Внутренние источники излучения других видов

Интенсивность выходящего излучения можно выразить через функцию Н (z) и при некоторых более сложных видах зависимости мощности источников от глубины. В этом параграфе мы разберем один такой случай, именно,тот, когда мощность источников дается произведением полинома от т на экспоненту (В. В. Иванов и Д. И. Нагирнер [2]).

Очевидно, что достаточно выразить через Н (z) интенсивность выходящего излучения при

S* (t) = S^ (т) = т% 2о (〃 = 0,1, 2,・..；0<z()< 8).

(7.1)

Обозначим соответствующую функцию источников через 5Л (т, Zo), а интенсивность выходящего излучения ——через 1п (0, z, Zo). Для Sn (т, No) имеем следующее уравнение:

8Р

s〃(叫 2。)=等 \ К ( " 一 Т1) S〃 (丁, Zo) d丁 +五• (7.2) о

Дифференцируя его по г0, получаем

dSn (% z"dSn (% z"dz0dz0K(|t —『K(|t —『I)I)0stiВ, Zo)0stiВ, Zo)决о决оdt' +dt' +j+1j+1

dSn (% z"

dSn (% z"

dz0

dz0

K(|t —『

K(|t —『

I)

I)

0stiВ, Zo)

0stiВ, Zo)

决о

决о

dt' +

dt' +

j+1

j+1

(7.3)

Сравнивая эти два уравнения, заключаем, что

=卜田(…。).(7.4)

Из формулы

/几(0, z, zo) =§S〃(t, %0)«一^勺(7.5)

0

следует поэтому, что

d/n(0,2,方)_ x

环声 (0,(7.6)

Из (7.2) при 〃 = 0 имеем S° (т, %) = ^ Р (т, %), и поэтому

IQ^^^ = ^P(^^)e~^^.(7.7)

о

Входящий сюда интеграл уже встречался нам выше в § 6.4 [формула (4.12)]. Пользуясь полученным ранее результатом, находим

厶(°, %, No)=厶(°, %, No)="(Z)” (％)z + %"(Z)” (％)z + %2о・2о・(7・8)(7・8)

厶(°, %, No)=

厶(°, %, No)=

"(Z)” (％)z + %

"(Z)” (％)z + %

2о・

2о・

(7・8)

(7・8)

Формулы (7.6) и (7.8) дают решение поставленной задачи, выражая /〃 (0, г, г0) через Н (г) и ее производные при любом целом /г〉0. Производные же //-функции с помощью уравнения, определяющего Н (г), легко выражаются через Н ⑵ и интегралы от нее.

В виде примера найдем /】(0, г, %). Из (7.6) и (7.8) имеем

Н (z) Н ⑵)(Z +次户

鴿響.（7.9）

Из (5.4.21) следует, что

О

Подставляя (7.10) в (7.9), находим окончательно

厶(0, г, г0)=个);黑 宕[йХ + 与 No" (No) C ⑸)],

(7.Н) где

^^^^^G^d^.(7.12)

Таблица функции Q ⑵ при доплеровском профиле и 九=1 имеется в работе В. В. Иванова и Д. И. Нагирнера [2].

/“(0, 2 No)/“(0, 2 No)t%t%WP(*N)學.WP(*N)學.Рекуррентную формулу для 1п (0, 2, 2°) можно привести к виду, более удобному для вычислений. Поступим для этого следующим образом. Согласно (5.1.45)

/“(0, 2 No)

/“(0, 2 No)

t%

t%

WP(*N)學.

WP(*N)學.

(7.13)

Умножая (5.1.35) натле 入и интегрируя потот0 до сю, после простых преобразований находим

〃(0, z, N°) =洋"у (0, z, г0) +

+ #^"(z)，(No)(〃= 1,2,・・・)，(7.14)

где

Dn (No) =〃 (0, z,无)G (z) dz.(7.15)

Подставляя (7.14) в (7.15), для определения Drl (г0) получаем следующее соотношение:

Di (%)=拉等乙"(г0) ^ ^^In-i (0, г, z0) G (г) dz. (7.16)

Поскольку /о (0, z, 2о) известно, формулы (7.15) и (7.16) позволяют последовательно находить /п /2 и т. д. В частности, подстановка (7.8) в (7.15) и (7.16) снова приводит нас к формуле (7.11).

Среднее число рассеяний

Определение среднего числа рассеяний ^, испытываемых квантом, представляет несомненный интерес. Это связано в первую очередь с тем, что произведение времени жизни атома в возбужденном состоянии на N и на общее число квантов, поступающих в единицу времени от источников, дает полное число возбужденных атомов в среде.

Для получения N поступим следующим образом. Рассмотрим цилиндр геометрической толщины d/, имеющий поперечное сечение 1 см2. Если для простоты пренебречь вынужденным излучением, то оптическая толщина такого цилиндра будет равна б!т = 瓦•九(v0)zifd/, где 瓦％ Wo) — атомный коэффициент поглощения в центре линии, /г» ——населенность нижнего уровня. В таком цилиндре за единицу времени источники поставляют Akinkdl квантов, где 拉；—— населенность верхнего уровня, обусловленная действием только первичных источников, без учета фотовозбуждений излучением рассматриваемой линии (см. § 2.4). Пользуясь связью 拉^ и S*, даваемой формулой (2.4.3), находим

2〃唸 gt

Во всем полубесконечном слое в столбе сечением 1 см2 за единицу времени от источников приходит следующее число квантов:

= Ata nidi = Akiо= Ata nidi = Akiо£1Г s* 〃風=2九哝gi£1Г s* 〃風=2九哝gi

= Ata nidi = Aki

о

= Ata nidi = Aki

о

£1Г s* 〃風=

2九哝gi

£1Г s* 〃風=

2九哝gi

Однако полное число квантов, излучаемых тем же столбом, больше N*, так как происходят многократные

рассеяния. Если населенность верхнего уровня есть 几左,то полное число квантов, излучаемых в столбе высотой d/, есть А航几鼠I. Пользуясь известной связью между функцией источников S и населенностями уровней, находим

Airikdl = Aki с粤 几jS dl.

2九嗑统

Поэтому полное число квантов, излучаемых во всем столбе за 1 сек, равное

ОО

= ^ki^ 几風1,(8.2)

о

можно записать также в виде

N = АN = АС?g 左1С?g 左12务V^蒿mз。）2务V^蒿mз。）\ S (t) dt・ о\ S (t) dt・ о(8.3)(8.3)

N = А

N = А

С?g 左1

С?g 左1

2务V^蒿mз。）

2务V^蒿mз。）

\ S (t) dt・ о

\ S (t) dt・ о

(8.3)

(8.3)

Очевидно, что отношение N/N* дает среднее число рассеяний кванта ^, т. е.

8

—£ S (т) dt

万=^ (&4)

«£ S*(t)dt о

Таким образом, определение среднего числа рассеяний сводится к вычислению интеграла от функции источников. Покажем, что при произвольном S* (т) этот интеграл просто выражается через фундаментальную функцию Ф (т).

Пусть источники сосредоточены в пределах бесконечно тонкого слоя, лежащего на глубине т — тг, так что S* (т)= =6 (т — g)・ Функцией источников служит тогда функция Грина G (т, q), и для определения N нужно найти интеграл

ОООО

§ G (% q) dt = 1 + § Г (% тх) dr. (8.5) оо

Воспользуемся соотношением (см. § 5.1)

+ ^^ =①⑴①(q)・(8.6)

Проинтегирируем это равенство по т в пределах от 0 до а：

R °ГУ 加+言§「(叫Q位=①(q)f①(т)办・(8.7) ооо

Пользуясь тем, что

ОО

1 +\①⑴右"(8)一大

0

(8.8)

И

「(8, Т1) = 0,

(8.9)

получаем

為\「(％%)" =嗡练-©О)

о

Отсюда находим

ОО

l+Jr(r,Ti)dt=—L=(l + jj Ф(Т)А),(8.11)

оУ 一 0

так что при S* (т) = 3 (т — q)

N =N =(8.12)(8.12)

N =

N =

(8.12)

(8.12)

В силу линейности основного интегрального уравнения функция S (т) при произвольном распределении источников получается из G (т, тх) простым интегрированием:

(8.13)(8.13)S (т) = f S* (q) G (吟 J) %,о

(8.13)

(8.13)

и поэтому среднее число рассеяний N оказывается равным

ОО

(8.14)(8.14)У S*⑴*⑴dr刃=」——

(8.14)

(8.14)

/1 — Г J S* ⑺ dr

Следует обратить внимание на то, что среднее число рассеяний кванта, начавшего свой путь в среде на глубине тх, даваемое формулой (8.12), с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией источников для среды с равномерно распределенными в ней первичными источниками (см. § 6.1 и 6.3). Поэтому анализ, проведенный в § 6.3, можно целиком перенести и на разбираемую сейчас задачу. В частности, оказывается, что до тех пор, пока тг по порядку величины меньше толщины пограничного слоя ть, среднее число рассеяний довольно быстро возрастает с Т]. Когда источники находятся па границе (тх =0), средняя кратность рассеяния минимальна и равна (1 —— 九)-%. Рост N с т1 замедляется, когда тх становится порядка ть, а при тх ^> ть вообще практически прекращается. При этом N оказывается близким к своему значению для бесконечной среды, равному (1 ——九)т.

Увеличение N с ростом тг объясняется весьма просто. Существуют две причины, вызывающие выбывание квантов из процесса многократных рассеяний. Одна из них ——это гибель квантов при рассеяниях за счет неупругих процессов, превращения в кванты других линий и т. п. Поскольку % считается не зависящим от т, этот механизм действует на всех глубинах с одинаковой эффективностью. Второй причиной, ограничивающей число рассеяний, служит выход квантов из среды. Очевидно, что эффективность этого механизма выбывания квантов из процесса рассеяний убывает с удалением от границы. Это и ведет к тому, что N возрастает с увеличением глубины расположения источников.

При чистом рассеянии N оказывается бесконечным. В действительности среднее число рассеяний всегда конечно, так как всегда есть процессы, вызывающие гибель квантов при рассеяниях (удары второго рода, фотоионизации из возбужденного состояния и т.п.), так что в чистом виде консервативный случай никогда не осуществляется.

В тех случаях, когда интенсивность выходящего излучения выражается через //-функцию, через нее можно выразить и N. В виде примера возьмем экспоненциальное распределение источников:

(8.15)(8.15)S* ⑴=е

(8.15)

(8.15)

Подставляя это выражение для S* (т) в (8.14), после простых преобразований получаем

月=工^(1 +*£①⑺次).(8.16)

Уо

Воспользовавшись связью между преобразованием Лапласа от Ф (т) и H-функцией (см. § 5.1), находим окончательно

Это выражение уже было получено в § 6.4 другим путем. Теперь мы нашли его как следствие общей формулы (8.14). Вычисление N по формуле (8.17) не составляет никакого труда, так как значения Н (г) для коэффициентов поглощения важнейших видов известны (см. § 5.6 и 5.7).

При

S* (х) = хе^(8.18)

среднее число рассеяний оказывается равным

万=^1г [1 +⑶ С ⑵]'(8.19)

где Q ⑵ дается формулой (7.12). На доказательстве этого соотношения мы останавливаться не будем.

Все соотношения, полученные в этом параграфе, справедливы при произвольном профиле коэффициента поглощения, в том числе прямоугольном (монохроматическое рассеяние). Это следует из того, что конкретный вид функции G (z) нигде не использовался.

В § 8.9 мы еще возвратимся к вопросу о расчете среднего числа рассеяний. Будет учтено влияние непрерывного поглощения и конечности оптической толщины среды, а также указан ряд статей, специально посвященных определению N,

Глава VII

РАССЕЯНИЕ В ЛИНИИ С УЧЕТОМ ПОГЛОЩЕНИЯИ ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

До сих пор при решении уравнения переноса считалось, что излучение в частотах рассматриваемой линии выбывает из процесса многократных рассеяний либо выходя из среды, либо претерпевая «истинное» поглощение при рассеяниях (за счет ударов второго рода, переизлучения в других линиях и т. п.). Возможность гибели квантов в полете не принималась во внимание. Наиболее важным процессом, приводящим к такой гибели, является ионизация атомов излучением исследуемой линии. Так же действует и поглощение линейчатого излучения макроскопическими частицами (например, частицами межзвездной пыли).

Другим важным процессом, которым мы до сих пор также пренебрегали при решении уравнения переноса, является собственное излучение среды в непрерывном спектре. Оно приводит к появлению континуума, на фоне которого обычно и видны линии. Это излучение может поглощаться атомами, вызывая переходы между дискретными уровнями. Тем самым оно становится дополнительным источником возбуждения атомов.

Уравнение переноса с учетом процессов излучения и поглощения в непрерывном спектре было выведено в § 1.6. В § 2.3 были рассмотрены частные виды этого уравнения, соответствующие средам плоской и сферической геометрии. Наконец, в § 2.4 была приведена интегральная форма уравнения переноса, непосредственно выражающая условие стационарности. Теперь мы получим решения этих уравнений для нескольких простейших случаев. На протяжении всей главы будет предполагаться, что вероятность выжи-

вания кванта при рассеянии 九，отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения в центре линии 6 и профиль коэффициента поглощения в линии а (%) не зависят от координат. Предполагается также, что вынужденным излучением можно пренебречь.

Многие из приводимых в этой главе результатов были получены в диссертации Д. И. Нагирнера (1966 г., не опубликовано; см. также Д. И. Нагирнер [3]). Важные сведения содержатся также в работе Д. Хаммера [5].

Ядра интегральных уравненийи связанные с ними функции

Решению уравнения переноса излучения в частотах линии с учетом поглощения и излучения в непрерывном спектре полезно предпослать^ исследование свойств ядра соответствующего интегрального уравнения для функции источников и ряда связанных с ним функций.

В § 2.4 были введены следующие две функции:

k(%b) = 4，a2(%)品[(a(%)+ 3)口厶，(1.1)

Ко(%В) = 4^ а (%) Ег[^ (%) + ₽)r]dx.(1.2)

—СО

Через первую из них выражается ядро основного интегрального уравнения для сред с плоской и сферической геометрией, тогда как вторая входит в член уравнения, описывающий возбуждение атомов под действием излучения среды в непрерывном спектре. Обозначим также

ОО

£"，В)= 4E^^ + ^x]dx, (1.3)

—c0

8

L。(gВ)= 4 \邑[(a(%)+В) 口现 (1.4)

—со

При р -> 0 функции К ", 6) и 厶(р, 6) переходят соответственно в функции К (т) и £ (т), подробно исследованные в

§ 2.6 и 2.7, Ко(т, 6) превращается в Nn (т), a L。 (т, §) стремится к бесконечности.

Аргументация, использованная в § 5.2 при выяснении физического смысла К (т) и L (т), сохраняет силу и для сред с непрерывным поглощением. Оказывается, что 入

玄 К (т, 6)dT есть вероятность того, что возбужденный атом излучит квант и этот квант поглотится затем в первый раз где-то в слое толщиной dq находящемся на расстоянии т от излучающего атома, вызвав в этом слое возбуждение атома. Отсюда следует, что величина

等 I K(|t|,B)dt = ：^K(T,B)血， (1.5)

— соО

равная, согласно (1.1),

入=入=ХЛХЛа2 (х) а (%) + Ва2 (х) а (%) + В(1.6)(1.6)

入=

入=

ХЛ

ХЛ

а2 (х) а (%) + В

а2 (х) а (%) + В

(1.6)

(1.6)

представляет собой вероятность того, что в бесконечной среде за первоначальным актом возбуждения атома последует излучение квантами этот^квант затем*где-то снова возбудит атом. Понятно, что-эта величина должна играть важную роль во всех задачах о переносе излучения в линии с учетом непрерывного поглощения, определяя (наряду с геометрией среды) роль многократных рассеяний. Зависимость X от 6 для коэффициентов поглощения различных видов подробно рассматривается в § 7.3.

Покажем, что ядро К(G 6) можно представить в форме

1

о

Диффер е нци р у я (1.1) по т и учитывая соотношение

七；(/)=-一，

находим

次НВ)

=—е~ 今 \ а®(%)