Глава 1. Основные понятия газодинамики 9

Некоторые сведения из статистической физики . . .9

Уравнения газовой динамики 15

Движение газа в присутствии магнитного поля; уравнения магнитной газодинамики 28

Плоское изэнтропическое движение газа,36

Стационарные ударные волны 42

• Автомодельность -движения и метод автомодельных решений 52

Глава 2. Газодинамическая устойчивость 59

Понятие об устойчивости иметодыееисследования59

Устойчивость равновесныхгазовыхконфигураций73

Гравитационная неустойчивость 86

Неустойчивости Рэлея — Тейлора и Кельвина — Гельмгольца 93

Устойчивость ударных волн .101

Глава 3. Турбулентность, конвективная и тепловая неустойчивости 107

Турбулентное движение и методы его исследования 108

Роль турбулентности в генерации космических магнитных полей 123

Конвективнаянеустойчивостьвкосмическихусловиях 134

Турбулентнаяконвекцияипереносэнергииконвекцией 149

Тепловая неустойчивость 155

Глава 4. Газодинамика межзвезднойсреды 165

Влияние тепловой неустойчивости на структуру межзвездного газа 166

Движение межзвездной среды £75

Столкновения облаков и структура межзвездных ударных волн .182

Вспышка сверхновой как точечный взрыв в мeжJ звездной среде194

Ионизационные фронты 205

Глава 5. Движения газа в звездах 218

Строение конвективной зоны звезды и конвекция в звездных атмосферах 219

Колебания звезд 230

Взрывы в звездах 244

Ударные волны во внешних областях звезд и звездных оболочках . . ., 257

Разлет газа с поверхности звезды; звездный ветео 277

Глава 6. Течения во вращающихся звездах и в тесных двойных системах 291

Влияние вращения на состояние звезды 292

Динамика оболочек звезд типа Be 305

Динамические приливы в тесных двойныхсистемах314

Турбулентные струи и дискообразные оболочки в тесных двойных системах 324

Нестационарная конвекция и энергетическая неустойчивость компонент тесных двойных систем . . .335

Литература 342

Предметный указатель .1 359

ПРЕДИСЛОВИЕ

По мере того, как астрофизики переходили от интерпретации фотометрических и спектральных наблюдений к разработке динамических и эволюционных схем и моделей процессов, происходящих в звездах и Туманностях, роль газодинамических методов в астрофизике быстро возрастала. Теперь космическая газодинамика является наряду с теорией переноса излучения одним из важнейших разделов теоретической астрофизики. Однако в моногра? фической и учебной литературе этот факт еще не отражен в надлежащей мере. Хотя имеющиеся книги по космической газодинамике, получившие широкую известность и сыгравшие видную роль в ознакомлении астрофизиков с газодинамическими методами, и не утратили своей ценности, но, будучи изданными более десяти лет назад, они не включают многих важных результатов. Кроме того, в них излагаются главным образом вопросы динамики межзвездной среды и лишь в малой степени затрагивается динамика газовых конфигураций и звездных оболочек. Эти обстоятельства оправдывают, как нам кажется, появление еще одной монографии, посвященной преимущественно динамике звезд и звездных оболочек.

Специфические условия, с которыми приходится иметь дело в космической газодинамике, — огромные пространственные и временные масштабы явлений, высокие скорости, изменения температуры и плотности в очень широких пределах, важная роль гравитационных и магнитных полей,— определяют ее особенности по сравнению с обычной «земной» газодинамикой. Точное аналитическое решение задач здесь большей частью невозможно. Поэтому приходится применять приближенные методы, причем характер приближений определяется указанными осог бенностями космических явлений. В астрофизике редко удается использовать результаты лабораторных экспериментов. Таким образом, космическая газодинамика оказывается слабо связанной с обычной газодинамикой.

Поскольку университетскими программами изучение астрономами газодинамики не предусмотрено, в книге приводятся необходимые сведения по этому предмету.

В данной монографии, как и в ранее изданных книгах серии, внимание обращается главным образом на выяснение физической сущности астрофизических явлений и на получение количественных характеристик наблюдаемых процессов. Поэтому, естественно, приходится уделять значительное место данным наблюдений. Однако они приводятся не настолько подробно, чтобы книга могла служить справочником. Не следует ее рассматривать и как систематический курс по одному из разделов теоретической астрофизики. Книга задумана как обзорная монография, цель которой — дать астрономам и специалистам в смежных дисциплинах представление о возможностях применения газодинамических методов в астрофизике и о разработанных при помощи этих методов моделях явлений, происходящих в звездах и межзвездной среде.

Круг применения газодинамических методов в астрономии очень велик. При сравнительно небольшом объеме книги в ней не нашлось места для многих важных проблем, в частности, Газодинамики релятивистских объектов, протозвезд и галактик. Это обстоятельство частично обусловлено интересами автора, работающего в области изучения звезд и околозвездной среды. Поскольку указанные проблемы находятся в стадии интенсивной разработки, надо полагать, что они в свое время будут достаточно освещены в монографической литературе.

Несколько слов о содержании книги. В первых трех главах излагаются главным образом методы космической газодинамики, в остальных — результаты применения их в исследованиях межзвездной среды и звезд. Специальных разделов, посвященных газодинамике Солнца, нет, но, поскольку оно является типичной звездой, многие вопросы, относящиеся к движениям газа в солнечной оболочке, в той или иной мере затронуты. Последняя глава в большей мере, чем другие, связана с работами автора. Многие из исследований, описываемых в ней, и некоторые из излагаемых в главе 5, выполнены автором.и его сотрудниками на кафедре астрофизики Ленинградского университета.

В. Г» Гарбацкий

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОДИНАМИКИ

Целью данной главы является краткое описание математического аппарата газодинамики. Для тех, кому не пришлось с ним познакомиться ранее, эта глава дает возможность освоить методы решения специфических задач космической газодинамики. В ней же рассмотрены наиболее простые с математической точки зрения и хорошо изученные течения. В последнем параграфе излагается метод решения, широко применяемый как в задачах обычной газодинамики, так и в исследованиях космических объектов.

§ 1. Некоторые сведенияиз статистической физики

Изучение движений газа, составляющее предмет газовой динамики, более сложно, чем исследование движений несжимаемой жидкости как в математическом отношении, так и с физической стороны. Газ отличается от других видов сплошной среды способностью сильно менять свою плотность и внутреннюю энергию при изменениях занимаемого им объема. Необходимость определения плотности газа в зависимости от состояния его движения увеличивает число искомых функций, а значит, растут и математические трудности при решении соответствующих задач. С другой стороны, при исследовании неравновесных состояний достаточно разреженного газа часто бывает нужно рассматривать, совместно с макроскопическими Движениями, и элементарные микропроцессы. Поэтому приходится сочетать два подхода к газу. С точки зрения классической гидродинамики тело, состоящее из газа, рассматривается как континуальное множество точек,

а согласно кинетической теории это тело представляет собой систему из очень большого количества частиц.

Рассмотрим с точки зрения статистической физики вопрос о величинах, определяющих состояние газа. Будем считать систему (тело) замкнутой, т. е. пренебрежем взаимодействием ее с другими телами, а также примем, что макроскопическая скорость тела равна нулю. Тогда энергия системы (движения и взаимодействия составляющих ее частиц) Е является интегралом движения. Элементарный объем газа (в дальнейшем часто называемый частицей газа или просто частицей) также содержит очень большое количество частиц и может рассматриваться как малая система, или подсистема, взаимодействующая с другими подсистемами. Когда макроскопические величины, характеризующие систему-, с очень большой точностью равны своим средним, то ее называют находящейся в термодинамическом равновесии. В этом случае значение производной от Е по энтропии 8 одинаково для всех подсистем:

Величину Т называют температурой. В статистической физике энтропия вводится как безразмерная величина и Т имеет размерность энергии. При измерении Т в градусах Кельвина нужно использовать переводный множитель к = 1,38-IO'16 эрг*град-1 (постоянная Больцмана) и записывать вместо (1.1)

5--4Г.(1.2)

Состояние газа определяется значениями его плотности р и температуры в каждом элементарном объеме. При термодинамическом равновесии значение р, как и Т, одинаково для всех таких объемов («частиц»). Состояние тела зависит также от внешних условий, в частности, от объема тела У. Поскольку масса тела не меняется, для характеристики его состояния можно использовать У и 5, а энергию считать функцией этих величин:

Е - Е (У, 8).

Если изменение состояния замкнутой системы сопровождается возрастанием энтропии, то обратный процесс,

приводящий к исходному значению энтропии, невозможен, так как он противоречил бы второму закону термодинамики. В том случае, когда изменение состояния происходит без изменения энтропии, процесс является обратимым.

Если тело, представляющее собой часть замкнутой системы, не подвергается никаким воздействиям, кроме изменения внешних условий, то его называют теплоизолированным. В тех случаях, когда внешние условия меняются достаточно медленно, энтропия тела остается постоянной. Тогда процесс изменения состояния тела называют адиабатическим. В соответствии со сказанным выше, адиабатический процесс обратим.

Газ действует на границу занимаемого им объема. Сила, действующая на элемент этой поверхности ds, равна

Г = - , (1.3)

где г — радиус-вектор элемента. Средняя (по времени) величина силы, действующей на единицу площади, называется давлением (р). Если процесс адиабатический, то, как можно показать, среднее значение силы равно произ- йодной от энергии, вычисленной при постоянном значении энтропии. Поэтому, учитывая, что ^- -= ds, из (1.3) имеем

где индекс 5 показывает, что производная берется при постоянном значении энтропии. Так как производная в равенстве (1.1) вычисляется при постоянной величине У, то оно может быть записано в виде

г - (4Я <W')

и вместе с (1.4) дает известное термодинамическое тождество

dE = TdS - pdV. (1.5)

Слагаемое pdV описывает изменение энергии газа вследствие работы, производимой им против внешних сил при расширении. Работа dR, совершаемая при сжатии

тела, считается положительной:

d,R = —pav*(1.6)

Величина

Td,S = aQ(1.7)

представляет собой изменение энергии, обусловленное получением ее от внешних тел или отдачей (количество полученного или отданного тепла). Таким образом,

dE = aQ + ан.(1.8)

Следует иметь в виду, что величины aQ и аН не являются полными дифференциалами.

В процессе, происходящем без изменения объема- (изохорическом), aQ = аЕ. Если же в течение процесса остается постоянным давление (изобарический процесс), то

aQ = а{Е 4- pVY(1.9)

Функция г = Е + pV называется энтальпией (теплосодержанием). Для теплоизолированного тела г = const* Энтальпия в изобарическом процессе играет ту же роль, Что Энергия Е в изохорическом.

Зависимость давления от плотности и температуры, называемая уравнением состояния газа, при решении задач о движении газа считается известной. В большинстве случаев газ, составляющий космические объекты, можно считать идеальным и использовать соответствующее уравнение состояния

Р =(1.10)

Здесь R* = 8,31 *107 эрг-град-1-моль-1 — газовая постоянная и р, — молекулярный вес. Величины R* и к связаны условием 7?* = Ак, где А = 6,0-1023 — число Авогадро.

Приведем. выражения теплоемкостей для идеального газа. Как известно^ теплоемкостью называется количество тепла; необходимое для того, чтобы температура тела увеличилась на единицу. Отсюда для теплоемкости при постоянном объеме су и при постоянном давлении ср имеем

Cv \ ат )у ат 1 Ср \ ат )р ат *

При посредстве (1.11), используя (1.5) и выражение (1.10), дающее величину удельного объема 7 = 1/р, находим разность удельных теплоемкостей ср — су. Обозначая отношение ср!су через у, получаем

В*В*(л

Су -,Ср = —Ц:.(1*12)

v у— 1 р ’у — 1 у,4'

В статистической физике выводится следующее выражение удельной энтропии идеального газа, измеряемой, как это обычно делается в термодинамике и газодинамике, в единицах R*:

s = cv\n рУ* + const.(1*13)

Из (1.13) получается, в частности, зависимость между давлением и плотностью для адиабатического процесса:

р = A(s)pY.(1.14)

Величина Л($) называется энтропийной константой.

Если достаточно большое тело считать замкнутой системой, а его элементарные объемы также рассматривать как отдельные тела («частицы»), то понятия температуры, плотности и давления для каждой из частиц следуют из введенных выше определений. При больших, по сравнению с размерами частицы, характерных масштабах тела величины Г, р и р можно считать функциями точки. Энтропия в указанном смысле также является функцией точки. Адиабатичность процесса, происходящего с большим телом, означает, что в каждой частице S = const. При условии, что величина 5 не только не меняется с > временем, но и одинакова во всех точках тела, процесс называют изэнтропическим.

Газ, находящийся в равновесном состоянии, даже при наличии внешних полей характеризуется максвелловским распределением частиц по скоростям поступательного Движения. Температура газа является параметром распределения. Число частиц, скорости которых заключены в интервале от v до v + dv, обозначаемое п (v)cZv, равно:

п (v) Ди = 4nN (^rVе-^'^т v4v, (ld5)

где тп — масса частицы и А — общее число частиц в системе.

Система, выведенная каким-либо образом из равновесного состояния, возвращается в прежнее состояние, если ее энергия и энтропия не изменились, либо переходит в другое равновесное состояние^ Время, за которое устанавливается равновесие, называется временем релаксации. Если характерное время изменения факторов, обусловливающих переход в другое состояние, велико по сравнению с временем релаксации, то такой переход можно рассматривать как прохождение системы через последовательность равновесных состояний. В том случае, когда указанное условие не выполняется, нужно рассматривать кинетику процесса, используя общее уравнение кинетической теории (уравнение Больцмана), определяющее скорость изменения функции распределения частиц в фазовом пространстве.

Для установления максвелловского распределения частиц по скоростям требуется, чтобы каждая частица испытала несколько столкновений с другими частицами. Обычно время между последовательными столкновениями очень мало по сравнению с временным разрешением при наблюдениях и поэтому понятием температуры можно пользоваться почти всегда, даже при исследовании неравновесных состояний. В этих случаях говорят о кинетической температуре.

Газ может состоять из частиц нескольких видов. В состоянии термодинамического равновесия температура для всех видов частиц одинакова. Если такая система не находится в состоянии равновесия, то можно говорить о температуре частиц каждого вида, поскольку для них максвелловское распределение устанавливается .достаточно быстро. Так, в частности, употребляют понятие ионной температуры, электронной температуры и т. п. В тех случаях, когда скорость обмена энергией между частицами разных видов мала по сравнению со скоростью обмена для одинаковых частиц, возможны неравновесные состояния с разным значением температуры для различных видов, частиц.

В системе может присутствовать и излучение (фотонный газ). В состоянии термодинамического равновесия плотность его соответствует излучению абсолютно черного тела с температурой, равной температуре газа. При отсутствии равновесия такого соответствия может

и не быть и для исследования релаксации к равновесному состоянию необходимо рассматривать элементарные процессы взаимодействия между излучением и веществом.

Понятие температуры вводится для характеристики распределения частиц не только по степеням свободы, соответствующим поступательному движению, но также и для других степеней свободы. Так, говорят, о колебательной и вращательной температурах. В состоянии термодинамического равновесия они равны кинетической температуре.

Внешние факторы могут создавать в газе градиенты плотности, давления и температуры. Примером подобной системы служит земная атмосфера, поскольку на составляющий ее газ действует гравитационное поле Земли. Такая система не находится в состоянии термодинамического равновесия, но в тех случаях, когда отдельные малые объемы газа не обмениваются энергией и их можно считать находящимися в термодинамическом равновесии, говорят о состоянии локального термодинамического равновесия всей системы.

При наличии в теле градиентов давления, плотности или температуры, не компенсируемых внешними полями, происходит смещение различных частей тела по отношению друг к другу — механическое равновесие системы нарушается. При таком нарушении она может переходить в какое-то другое состояние механического равновесия за время, называемое временем механической релаксации, в отличие от времени энергетической или тепловой релаксации, о котором говорилось выше.

Затронутые в этом параграфе вопросы подробно рассмотрены в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1964), а взаимодействие газа с излучением — в монографии В. В. Иванова (1969).

Уравнения газовой динамики

Система уравнений газовой динамики представляет собой законы сохранения массы, потока импульса и энергии, записанные в дифференциальной форме:

Уравнение неразрывности. Выделим в газе произвольный объем V и запишем изменение содержащейся в нем массы. Оно равно ее потоку через поверхность 2,

ограничивающую объем:

pvndS.pvndS.(1.16)(1.16)

pvndS.

pvndS.

(1.16)

(1.16)

(V)

Здесь через vn обозначена проекция вектора скорости на внешнюю нормаль к поверхности S. Применим формулу Гаусса — Остроградского, которая записывается при помощи известного оператора Гамильтона V,

v = <4+^(^i7)

ox 1 а оу 1 ozх ’

в следующем виде:

^рУпй2 = Щ V(pt,)dV.(1.18)

(2)(V)

При посредстве (1.18) получаем

Ш^г^М6^0-(1Л9)

(Ю

Так как (1.19) выполняется для произвольного объема 7, то

_|L + V(ptO = O.(1.20)

Полученное уравнение неразрывности выражает факт отсутствия в среде источников или стоков вещества, т. е. закон сохранения массы в частице. В нем не содержится указаний на специфические свойства газа, т. е. на взаимодействие составляющих газ атомов или молекул. Поэтому (4.20) справедливо для сплошной среды любого вида. Если сжимаемостью среды пренебречь и считать поэтому плотность постоянной, то из (1.20) имеем соотношение

(Vv) = 0,(1.21)

выполнение которого является и достаточным условием несжимаемости.

Уравнение движения. Это уравнение получается путем применения второго закона Ньютона к единице объема жидкости:

(1.22)

Величина F включает в себя градиент давления, а также силы, обусловленные присутствием силовых полей, и силу, вызванную внутренним трением (вязкостью) ^вязк. Среди внешних полей главную роль обычно играет тяготение (потенциал которого обозначим через ф^), а также, в случае, когда газ представляет собой плазму, и магнитное поле. Последнее создает силу Лоренца, действующую на движущиеся заряды. Обозначим суммарную силу, действующую со стороны магнитного поля, через Ем- Тогда

F = ^Р Р^ф# + Fм + -Рвязк- (1.23)

Величина dvldt в (1.22) относится к некоторому выделенному заранее единичному объему, скорость которого зависит только от времени. Во многих случаях удобнее рассматривать уравнение, в котором скорость связывается с фиксированными точками пространства: D = = ^ (#> У, я; ty Так как изменение скорости данного элементарного объема со временем вызвано изменением как времени, так и координат частицы, то полное приращение скорости, соответствующее приращению А^, равно

Av = 4г Аж + 4г Ау + 4г Аг + 0 W ^

Учитывая, что

= эГ ’ Уу = Tit' ’ Vz = ~дГ ’С1-2^)

из (1.24) имеем

dv dv . dv . dv , dv..

-йГ = -дГ + ^Г^ + -дГ1,у + "д7Уг-(L26)

G помощью оператора V сумма последних трех слагаемых в (1.26) записывается в виде

^-5-+^+vz-|r=w^№

и> соответственно,

dVI

^F = —+W^

Уравнение движения (1.23), записанное в форме

+ (yV) у = - -1- ^Р - V<р5 + -L ^м + 4- ^вязк, (1.28) называется уравнением в эйлеровых координатах. Оно описывает перенос количества движения в газе. Вводя тензор потока импульса, компонента которого П^- при отсутствии магнитного поля и вязкости имеет вид

nifc = pViVk + р61к (i, к = 1, 2, 3),(1.29)

где

Г 1,I = к,

8tic = I О,i^k,

уравнение (1.28) записываем в форме (считая FM = О, ^ВЯЗК — 0)

-1г^= -^-Р^ (ь =1, 2, 3). (1.30)

Компонента Щк тензора потока импульса равна количеству движения, связанного с компонентой скорости в направлении t, переносимому за единицу времени через единичную площадку в направлении компоненты к*\ Уравнение (1.30) выражает поэтому тот очевидный факт, что при указанных условиях изменение количества движения в данном объеме может быть вызвано только внесением его в объем через ограничивающую поверхность и работой внешних сил.

Вывод уравнений газовой динамики (1.20) и (1.28) использованным выше способом (феноменологически) пригоден лишь для течений среды, имеющей достаточно высокую плотность, а также в предположении статистического равновесия в каждом из элементарных объемов, содержащем большое число частиц. При несоблюдении этих условий нужно применять кинетическую теорию газов. Макроскопические величины, характеризующие газ, представляют собой результат усреднения соответствующих микроскопических величин, характеризующих частицы, составляющие газ. Усреднение производится

с помощью функции распределения частиц по координатам и скоростям, которая определяется уравнением Больцмана. Уравнения газовой динамики получаются как моменты уравнения Больцмана. Такой вывод уравнений можно найти, например, в монографии Чепмена и Кау- линга (1960).

в) Закон сохранения энергии. Уравнение, замыкающее систему уравнений (1.20) и (1.28), получается из термодинамического тождества (1.5). Оно имеет вид

= (L31)

и означает, что изменение энергии частицы газа может быть вызвано только притоком тепла к ней (или оттоком от нее) и работой, совершаемой газом при его расширении. Величина dQldt может зависеть от ряда факторов. Во-первых, в ней должно быть учтено количество тепла, выделяемого в гаае в результате диссипативных процессов. Во- вторых, следует принять во внимание обмен энергией данного элемента с другими элементами и внешними телами. В астрофизике особенно важным является обмен энергией в форме излучения. В-третьих, в плазме приток энергии может быть обусловлен выделением джоулева тепла. Конкретная форма зависимости dQldt от всех этих факторов при решении той или иной задачи должна быть известной. Тогда, поскольку энергия Е является известной фупщией температуры и плотности, а температура выражается через р и р при помощи уравнения состояния газа, остается всего пять неизвестных функций точки и времени: ^, v^ v„ р, р.

Для их определения имеем систему из пяти нелинейных уравнений: (1.20), (1.30), (1.31) в частных производных. Аналитическое решение этой системы удается осуществить только в очень ограниченном числе случаев.

Если мы имеем дело с движениями, при которых происходят лишь малые изменения величин, описывающих состояние газа, то систему уравнений газодинамики можно линеаризовать. Процесс линеаризации подробнее будет рассмотрен в гл. 2, а здесь ограничимся частным случаем плоского адиабатического движения при отсутствии тяготения. Решение линеаризованных уравнений позволит Установить некоторые важные свойства газа.

Пусть в газе, характеризующемся постоянными в пространстве значениями плотности р — рд и давления р = ро и движущемся в направлении оси Ох со скоростью v0, происходит некоторое возмущение, приводящее к малым изменениям величин р, р и и. Подставим в уравнения движения и неразрывности

Эу ду 1 dp

dt ‘ U dx — р dxd(py) = _ дрdxdt 1

вместо р, р и v величины

Р = Ро + Р'» Р = Ро + р'. V = Vo + v', (1.34)

и пренебрегая в получающихся уравнениях малыми высших порядков по отношению к р', р', v\ v0, находим

d^' _ 1 dp'дУ _ Эр' н окх

dt р0 дх ’ Р° дх dt * ( * )

Поскольку, по предположению, изменение давления и плотности в газе происходит адиабатически, то с точностью до малых высших порядков по отношению к р' имеем

Для коэффициента при р' из уравнения (1.14) получаем

При посредстве (1.37) из (1.35) получаются уравнения

02р'Э'У dv _ 2 dv38х

№дх^ ’ dt^ ~ С dx^ 1

которые показывают, что малое возмущение распространяется по газу со скоростью с, определяемой по (1.37). Эта величина, называемая скоростью звука, при помощи уравнения состояния газа (1.10) записывается в таком виде:

■c=V^-^t-и-39)

Нетрудно видеть^ что она порядка средней квадратичной скорости движения частиц, составляющих газ, что вполне понятно, так как передача возмущения по газу производится этими частицами. Величина с в земной атмосфере, состоящей в основном из молекул азота и имеющей температуру 300 °К, равна 330 м/сек. В водороде при Т = Ю4 °К величина с составляет около 10 км/сек.

Общее решение уравнений (1.38) имеет вид

V' = Ы$- Ct) + /а (X + Ct),40

р' = -7-Ы® — ct) — ^-/а (Ж 4- ct),

где fi и /2 — произвольные функции, определяемые из начальных условий. Решение (1.40) показывает, что малое возмущение, называемое звуковой волной, распространяется, вообще говоря, в обе стороны от места своего возникновения со скоростью с относительно газа. Если возмущение распространяется только в одну сторону, например, под действием поршня, вдвигающегося в трубу,— то говорят о простой волне.

Звуковая волна является продольной. Сжатие газа в каждой точке сменяется расширением, при котором энергия от данного элемента газа переходит к следующему. Можно показать, что средняя энергия, переносимая звуковой волной, в расчете на единицу объема пропорциональна средней величине квадрата скорости газа:

еав = pov'2*(1.41)

Из соотношений (1.40) следует, что

Р' = ±РО-^,(1.42)

где знак выбирается в зависимости от направления распространения возмущения. Из (1.42) вытекает, что если Движения газа происходят со скоростью, малой по сравнению с с, то вызываемые такими движениями изменения плотности малы по сравнению с начальной плотностью. В подобных случаях газ приближенно можно рассматривать как несжимаемую жидкость.

Уравнения движения (1.28) при F^ = 0 и FBa3K = О можно записать несколько иначе, используя соотношение

(t^V) = [[Vv] v] + -^- VzA(1.43)

Вводя вектор, называемый вихрем скорости,

О = [V^l,(1.44)

получаем (1.28) в виде

$-+ М +4Vp2 =V^‘(1-45)

При 0 = 0 поле скоростей называется безвихревым, или потенциальным, так как в этом случае существует потенциал скорости ф (ж, у, г; £), т. е. такая функция, что

ЭфЭфЭф,1

= vx. (1.46) ох х ду у oz гх '

При В ^ 0 в каждой точке жидкости имеет место вращение с угловой скоростью, равной | Q'| /2.

При условии постоянства плотности и пренебрежении сжимаемостью из (1.45) путем векторного умножения на V получается

-^- + [V[^]] = 0.(1.47)

Из (1.47) видно, что если 0 = 0, то и-|~ = 0, т. е. потенциальное движение само по себе не может превратиться в вихревое. Поле скоростей при потенциальном течении несжимаемой жидкости полностью описывается системой уравнений

[Vd=O, (V^.) = О(1.48)

при соответствующих граничных условиях.

Линией тока называется кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости движения газа в этой точке. Вдоль линий тока при стационарном движении выполняется так называемое уравнение Бернулли. Чтобы получить его, можно использовать уравнение (1.45) при -~- = 0, (1.20) при -4~ = 0 и уравнение, определяющее изменение удельной внутренней энергии е

за счет работы сил давления в адиабатическом случае:

(^)е = -p(vV)^-.(1.49)

Умножая уравнение

[Ovi+4v^ = --^-v^(L5°)

на D скалярно и учитывая (1.49) и условия

V(p^) = 0, (НВД = 0,(1.51)

получаем

^ {4-1,2 + Фе + _Е_ + 6}) = 0.(1.52)

Соотношение (1.52) означает, что вдоль линии тока

Ч"р2 + "^ + Vs + 8 = c°nst- (1.53)

Уравнение Бернулли (1.53) показывает, что вдоль линии тока сохраняется энергия единицы массы газа.

При изучении локальных процессов, таких, например, как излучение или поглощение энергии, уравнения в эйлеровой форме неудобны, поскольку приходится исследовать движение данной частицы, свойства газа в которой являются определяющими. В таких; случаях используют уравнения в лагранжевых координатах. . Они удобны главным образом при изучении одномерных движений.

Рассматриваемую частицу газа нужно как-то выделить среди остальных, «пометить». Такая «метка» и является лагранжевой координатой. В случае плоского движения за лагранжеву координату можно принять массу вещества, находящегося между данной частицей и некоторой фиксированной. Эта величина не меняется при движении. Для сферически-симметричных движений, когда «частицей» является шаровой слой радиуса г, за лагранжеву координату принимают массу, заключенную в шаре радиуса г.

Зависимость между эйлеровой координатой (ж в случае плоского движения и г для сферически-симметричного) и лагранжевой координатой т записывается следующим

образом:

Xт

ш = § р(ж\ t)dxf; m= ^4лг'2р(г', t^drf. (1.54) Х1о

Здесь хг — координата некоторой фиксированной точки. Величины у, р и р для точки с данным значением m зависят лишь от времени.

Скорость v (m, t) точки с лагранжевой координатой m dx(m,t) / dr(m,f)\ т-r

равна —~—- (или —^ М. Поэтому уравнение неразрывности следует из (1.54) в виде

—■ =W = 1и та

dm dt 1 dm 4л dt\ • /

для плоского и сферического случаев соответственно.

Обозначения частных производных от скорости используются для того, чтобы подчеркнуть зависимость от лагранжевой координаты. Величина иг сохраняет для данной частицы одно и то же значение и производная dpldm определяет скорость изменения давления при переходе от данной частицы к соседним.

Уравнения движения записываются в форме

=(1.56)

dt dm dtdm4'

соответственно для плоской и сферической симметрии.

Эе dQ dt ~ dtЭе dQ dt ~ dtУравнение, определяющее изменение удельной энергии е в частице, совпадает с (1.31), записанным для единицы массы газа:

Эе dQ dt ~ dt

Эе dQ dt ~ dt

(1.57)

При условии, что плотность среды в начальный момент во всех точках одинакова (р = р0), в качестве лагранжевой переменной можна принять эйлерову координату, точки в начальный момент. Обозначая эту лагранжеву координату через § для плоского случая и г0 для сферического, имеем

р^5 = Ро^я, 4m^pdr = 4лгор(Ао- (1.58)

Для плоского движения система уравнений неразрывности и движения записывается так:.

ЗЦ^О ~\ Р /Э»^^1 др ^Qx

—дГ~ - р0dt ’~’ ( • }

а для сферически-симметричного случая

JJA

1 aw Л р ? эрLzL2p м

г2 эг0 Ро at 1 at " ро г2 дг0 ■ I ,

После решения системы, записанной в лагранжевых координатах, переход к эйлеровым (ж или г) осуществляется по соответствующей из следующих формул:

tt

х^тп,^ = § v (m, f) dt + ж17 г (m3) = ^ i? (m, t) dt. (1.61) оо

В случае плоского движения переход можно осуществить также и при помощи уравнения неразрывности:

m

Если движение адиабатическое, система уравнений в лагранжевых координатах существенно проще, чем в эйлеровых. В плоском случае остается всего два уравнения первого порядка.

В общем уравнении (1.28) содержатся два члена, структура которых еще не выяснялась. Здесь будет рассматриваться только выражение для силы вязкости, а исследование вида Fm производится в следующем параграфе.

В сплошной среде при относительном смещении соседних ее слоев возникают силы, препятствующие этому смещению. Внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади, называется напряжением. Сила является векторной величиной и зависит от ориентации сечения. Поэтому напряжения описываются тензором второго ранга. Тензор напряжений имеет вид

/^xt ° ху °xz\

ам|-<4-63)

Vac °zy °ZZ/'

Здесь, например, зх31 представляет собой силу вдоль оси Ох, действующую на единичную площадку, перпендикулярную к оси Оу. Тензор напряжений должен быть симметричным, так как в противном случае (при о^ ^ Оу,) на элементарный объем (кубик) действовал бы крутящий момент, равный (о^ — а^ X ребро кубика и ничем не уравновешиваемый.

Пусть оп — сила, действующая на единичный элемент поверхности с нормалью п. Проекция этой силы на ось Ох выражается через компоненты тензора напряжений следующим образом:

^ = ^cos (п, Х^ + o^t/ cos (и, у) + охг cos (п, 2). (1.64)

Аналогичный вид имеют выражения для оуп и ozn.

Выражение для ^вязк получается с помощью тензора напряжений. Пусть в теле выделен произвольный объем V, ограниченный поверхностью 5. Внутренняя сила (действующая на объем) должна уравновешиваться поверхностными силами. Поэтому для компоненты Ft силы, действующей на единичный объем, имеем:

$ aindS -^FidV.(1.65)

(В)(У)

Преобразуя поверхностный интеграл в интеграл по объему, находим, в силу произвольности объема V,

(1.66)

Из данных эксперимента известно, что величина напряжения пропорциональна градиенту скорости движения. Исходя из этого и учитывая симметрию тензора напряжений, для компонент тензора принимают следующее выражение:

°У = *’+ "дг) + ^ ^^<1167)

где ц — коэффициент вязкости и связь между т] и ц' опрег делена ниже.

Вторым слагаемым в (1.67), не равным нулю только для сжимаемой жидкости, учитывается возможность отличия давления в движущемся газе от давления в неподвиж-

ном газе. Обычно принимают, что сумма нормальных напряжений, действующих на поверхность кубика с ребром, равным единице, равна нулю:

о»с + »w + "zz = 0.(1.68)

Из (1.68) получается, что

Ч' = — -у'П-(1-69)

Величина РВязк, входящая в уравнение (1.28), на основе (1.66), (1.67) и (1.69) определяется формулой

^вязк г - т)?2^ i- 4~'П (V (Vv)}i +

+(1.70)

у dXj дх^ j Эх) о дх^ ''''

При г) = const и отсутствии магнитного поля получаем из (1.28), при помощи (1.70), так называемое уравнение Навье—Стокса:'

^2L + W v = - -KL - V<ps + vV2r + -^ V (Vv), (1.71) где v = т]/р — коэффициент кинематической вязкости, имеющий размерность [v] = см^*сек*\ Вязкость газа обусловлена переносом количества движения от слоя, движущегося с большей скоростью, к слоям с меньшей скоростью. Поэтому при наличии вязкости в выражение тензора потока импульса (1.29) добавляется слагаемое, соответствующее переносу импульса вязкостью:

njk = ри^к + p6ik — oik.(1.72)

Если в уравнении (1.30) использовать в качестве П^ выражение (1.72), то подучатся уравнения Навье—Стокса.

В астрофизических объектах перенос импульса, обусловленный молекулярной вязкостью, обычно не играет существенной роли. Гораздо более важным оказывается перенос количества движения в результате так называемой турбулентной вязкости, о которой в гл. 3 говорится подробно. С учетом турбулентной вязкости приходится решать уравнения, по форме совпадающие с (1.71), но для соответствующим образом осредненного движения. При этом величину v не всегда можно считать одинаковой во всем течении г

Движение газа в присутствии магнитного поля;уравнения магнитной газодинамики

Между движением электропроводящей жидкости при наличии магнитного поля и изменениями поля существует тесная взаимосвязь. Пондеромоторные силы, возникающие в движущейся жидкости, влияют на ее движение, а последнее в свою очередь сказывается на поле.

(1.73)(1.74)(1.75)(1.73)(1.74)(1.75)В газодинамическом приближении плазма считается непрерывной средой и движение отдельных частиц не рассматривается. Поэтому движение плазмы, как и обычного газа, можно характеризовать макроскопическими скоростью V, плотностью р и давлением р. Кроме того, входящая в уравнение движения величина пондеромоторной силы зависит от плотности тока j в плазме. Если плазма состоит из электронов, концентрация которых пе и макроскопическая скорость ^е, И ионов только одного типа с зарядом Ze, концентрацией ni и скоростью ^1,то v, j и р определяются следующим образом (Спитцер (1965)):

(1.73)

(1.74)

(1.75)

(1.73)

(1.74)

(1.75)

V = — («№<>1 + nemeVeb j = e(niZvi — nev^, р = п\пг\ + петй.

Уравнение движения, которое может быть получено строго путем нахождения моментов кинетического уравнения для частиц каждого сорта, имеет вид (без учета вязкости) *)

Р 4г = "Г иН^ ~^Р~ ^ (1.76)

где Н — напряженность магнитного поля. Уравнение неразрывности сохраняет прежнюю форму. Еще одно уравнение дает закон сохранения энергии. Что касается величины j, то она связана со скоростью при посредстве закона Ома:

j = Ое (s + 4- [VН^ . (1.77)

♦)'3десь и в других формулах, описывающих электромагнитные явления, с означает скорость света. Совпадение с обозначением’ скорости звука не должно приводить к недоразумениям.

В (1.77) Е означает напряженность электрического поля и ае — проводимость. Величины Ек И определяются системой всего трех уравнений Максвелла:

(1.78)

t^i = -4-4r’

(1.79)

(VS) = 0.

(1.80)

Вследствие электрической нейтральности газа в астрофизических условиях

(1.81)(1.81)(VS) = 0.

(1.81)

(1.81)

При скорости v ^ с и характерном размере L системы, таком, что I <^ L < ct. где t — характерное время движения и I — длина свободного пробега частицы, членом, соответствующим току смещения, можно пренебречь и использовать (1.78) в виде

[VS]=^y.(1.82)

По порядку величины

(1.83)(1.83). ~ сН]~ 4nL 1

(1.83)

(1.83)

На основе оценки / для различных астрофизических объектов можно получить, что | d^ | ^> | ^ | — | vQ |. Макроскопическая скорость плазмы определяется в основном движением ионов, так как tyly ^> те.

В (1.77) не учтено изменение плотности тока со временем. Это допустимо, так как при больших характерных размерах L величина j не может быстро меняться. Однако иногда изменение тока со временем приходится учитывать.

Преобразуем теперь выражение пондеромоторной силы в уравнении (1.76). Используя (1.82), а также соотношение

ТОНН^Н^^Н1,(1.84)

находим

~ =+(SV)Н-(1.85)

dt р V 8л / 1 4лр 4'\/

1 Н2

Слагаемое — V -g^- определяет градиент магнитного давления, а член ^р (НV) Н учитывает силу натяжения вдоль магнитных силовых линий. В случае статических конфигураций газа (когда v = 0) магнитные силы должны уравновешиваться градиентом газового давления и полем

тяготения.

Из (1.77), (1.79) и (1.82) получается уравнение, определяющее изменение поля в движущемся газе со временем:

Т = ~ 4^v ^П + tv 1уН1Ь <L86>

Учитывая (1.80) и известное выражение для двойного векторного произведения, преобразуем (1.86) к виду

I IV |У,7/И.(1.87)

Физический смысл выражения (1.87) становится ясным, если учесть, что уравнение (1.79), из которого оно получено, выражает закон электромагнитной индукции. В.соответствии с этим законом циркуляция по замкнутому контуру определяется скоростью изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром. Вследствие движения среды контур изменяется. Взаимосвязь изменений контура и напряженности поля со временем и описывается уравнением (1.87). Первое слагаемое в правой части (1.87) определяет диффузию магнитного поля при конечной проводимости. Диффузия поля означает диссипацию магнитной энергии в тепло. Если проводимость велика, и, значит столкновения между электронами и ионами происходят редко, то диссипация поля занимает большое время. Изменение поля в этом случае обусловлено главным образом движением газа.

Проводимость для слабо ионизованной плазмы, где определяющими являются столкновения электронов с нейтральными атомами концентрации па? равна

(1.88)

Vea па

где . Qea — сечение столкновений электрона с атомом, сложным образом зависящее от Те.

В случае полностью ионизованной плазмы существенную роль в определении величины проводимости играют далекие взаимодействия, и выражение ое имеет вид

с1-89)

где Z — заряд ионов, а In Л — так называемый кулоновский логарифм, учитывающий далекие взаимодействия (обычно In Л ж 10). Так как эффективное сечение для столкновений электронов с ионами на несколько порядков превосходит сечение столкновений с атомами, то формула (1.88) применима только при очень низкой степени ионизации 10"3^ .

Когда в плазме электронная температура значительно превосходит ионную, появляется так называемое аномальное сопротивление. При достижении некоторого критического значения напряженности электрического поля Е возрастание./ с увеличением Е происходит медленнее, чем следует из закона Ома (1.77). Этот факт объясняется тем, что движущиеся электроны теряют энергию не только при столкновениях с атомами и ионами, но также возбуждают ионно-звуковые волны, представляющие собой один из видов колебаний плазмы (подробнее см. С. А. Каплан, В. Н. Цытович (1972)). Эффект аномального сопротивления оказывается существенным для ряда явлений, происходящих в космической плазме.

Данные о величине бе Для различных астрофизических объектов вместе со значениями их характерного размера L приводятся в табл. 1.

Скорость диссипации поля характеризуется временем t^ за которое оно распространяется из области, первоначально им занимаемой, на расстояние ее размера L;

В соответствии с данными табл. 1 это время практически для всех объектов существенно превосходит продолжительность их существования, благодаря главным образом большой протяженности. Для солнечных пятен оно порядка 300 лет, для звезды класса А около 108 лет.

Таблица 1

Объект

«в о о

«О

й °,

<у S “В gg ;°н SsS

*8

gS

j!

its eu^

о &^

eg

s

5

cS § cd

« R « «ю о У ou

Ту °К

50

10*

104

2-IO6

5.103

104

107

L, см ,

1021

Ю20

1017

Юи

10»

1011

10»

ае’

(ед. GGSE)

10Ю

1013

1013

10i° '

1012

1013

Ю13

Отношение второго слагаемого правой части уравнения (1.87) к первому порядка —^—, где у — характерная скорость движения. Величина 5 ^ 105 см/сек и поэтому

-^>1. (1.91)

В тех случаях, когда играет роль аномальное сопротивление, условие (1.91) может не выполняться. Обычно же диффузией поля в астрофизических условиях пренебрегают и используют уравнение

^.=[V№], (1.92)

показывающее, что изменение поля полностью определя" ется движением вещества. Оно замыкает систему уравнений магнитной газодинамики. Общее число уравнений в этой системе,— восемь,— равно теперь числу неизвестных: р, р и II.

Из (1.92) вытекает очень важное свойство «вморожен- ности» поля в вещество. Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая (1.80), получаем

^L^^H = ^H^d-H^dY (1.93)

Подставляя в (1.93) величину (Vy), определяемую уравнением неразрывности (1.20), записываемым в форме

имеемимеем(1.95)(1.95)

имеем

имеем

(1.95)

(1.95)

Соотношение (1.95) показывает, что при движении газа в направлении, перпендикулярном к магнитному полю, отношение Н/р остается постоянным вдоль линий тока, т. е. поле движется вместе с веществом. Силовые линии как бы «приклеены» к частицам газа. В этом случае поле называют «вмороженным». Из (1.95), как можно показать, следует сохранение магнитного потока через поверхность, охватываемую любым замкнутым контуром, движущимся вместе с газом.

Физически состояние вмороженности поля обусловлено тем, что при движении в магнитном поле вещества с очень большой проводимостью индуцируется сильное электрическое, поле, препятствующее изменениям магнитного потока.

Так как Н ^ р, то при движении газа поперек поля напряженность поля меняется пропорционально р, а магнитное давление ~р2. При движении контура вдоль поля магнитный поток, естественно, не изменяется. Поэтому при сжатии газа вдоль поля напряженность поля и магнитное давление не менцются.

При изотропном сжатии газа, занимающего, например, объем шара радиуса 7?, площадь сечений, перпендикулярных к полю, меняется пропорционально 7?2-и поэтому в силу сохранения магнитного потока Н ~ 7Р2. Плотность газа внутри шара р ~ 7?*3 и, следовательно,

Н — р2'3, рм ~ Р4'8.Н — р2'3, рм ~ Р4'8.(1.96)(1.96)

Н — р2'3, рм ~ Р4'8.

Н — р2'3, рм ~ Р4'8.

(1.96)

(1.96)

При движении проводящего газа в магнитном поле энергия поля не изменяется. Магнитная энергия, содержащаяся в объеме 7, выражается известной формулой:

-sr S H4V-

(1.97)

и отсюда, учитывая (1.87), находим

<"|V[^ll)dV +

+ т $(L9S)

(П

Второе слагаемое в правой части преобразуется, при помощи (1.82), к форме

(Пw

откуда видно, что оно определяет потери энергии вследст- вии выделения джоулева тепла. Первое же слагаемое в (1.98), которое может быть представлено в виде А- (H[V[«H]])d7 =

(V)

= \^"^dV”^\ (y(ffV)ff)d7, (1,100) (V)(V)

определяет величину работы, совершаемой газом при движении его в магнитном поле против сил магнитного давления и сил натяжения магнитных силовых линий. Если это слагаемое положительно, кинетическая энергия газа уменьшается, а энергия магнитного поля за счет этого возрастает. Когда первое слагаемое отрицательно, то часть энергии поля преобразуется в кинетическую энергию газа.

Рассмотрим теперь вопрос о распространении малых возмущений в газе, находящемся в магнитном поле. Силовые линии поля сопротивляются изгибанию и в этом отношении напоминают натянутые струны. Эта аналогия простирается и далее, поскольку, как сейчас будет показано, вдоль силовых линий при возмущениях распространяются поперечные волны. Исследование проводится путем линеаризации уравнений магнитной газодинамики, аналогичной выполненной в § 2.

Если в первоначально покоившейся жидкости с плотностью р0 и ое = оо, находившейся в однородном магнитном поле П^ произошло возмущение скорости, равное

V, то оно вызывает возмущение и других величин, соответственно равное р', р nh. Линеаризованная путем отбрасывания малых членов высшего порядка по сравнению с каждой из указанных величин система записывается так:

4r + PoW=O, (1.101)

Ро -^ = - vy - ^ V (JToЛ) + 4? (Н^ ^ (* -102)

^ = ЦЯ^ - Но (Vt/). (1.103)

При Но= 0 из (1.101) и (1.102) получается система уравнений, рассмотренная выше (см. (1.35)), из которой было установлено существование звуковых волн и определена их скорость.

В присутствии магнитного поля движения газа под действием малого возмущения более сложные. Для выяснения характера этих движений будем считать, что все возмущения (г/, р', р', й) представляются плоской волной, т. е. пропорциональны величине е^*^. где к— волновой вектор и со — круговая частота. Если выбрать систему координат так, чтобы направление Oz совпало с к, а вектор Н0) составляющий угол ф0 с к, находился в плоскости yOz, то при учете адиабатичности возмущений из (1.101)—(1.103) получается следующая система:

®Ро?х + "^Г &^ж cos= °’

СОрО^у + toy cos фо = 0,

(1.104)(1.104)®р0У2 — Arc2p'^"^У S™ Ф® = ®*

(1.104)

(1.104)

®йж+ Я0/гужсозф0 = 0,

tohu + Hokvy cos фо — HJwz sin ф0 = 0,

<йНг = 0, юр' — kpovz = 0, (Vfo) = 0,

где через у’х, у у, у'г, р', К, Кп ^z обозначены амплитуды соответствующих волн. После их исключения из системы

имеем соотношение

(Ст — a? COS2 фо) [Ст — ст (а? + с2) + а? с? COS2 ф01 =0,

(1.105) где обозначено

Кубическое относительно Ст уравнение (1.105) имеет три корня:

с^ = a2 cos2 фо, (1.107) с™^ = 4" ^2 "^ с2 — ^^2 + с^ ”" 4а2б‘2 cos2 ^^ С1*108)

Это означает возможность распространения в газе при наличии магнитного поля волн трех видов:

Волны с фазовой скоростью, равной a cos ф0. Эти волны, называемые магнитогидродинамическими или аль- веновскими, являются поперечными и могут быть представлены как колебания магнитных силовых линий вместе с газом, в который они вморожены. Групповая скорость волны направлена вдоль поля.

Быстрые магнитозвуковые волны, фазовая скорость которых получается при знаке плюс у корня в выражении (1.108).

Медленные магнитозвуковые волны с фазовой скоростью, определяемой формулой (1.108) при знаке минус.

Магнитозвуковые волны являются продольными и похожи на обычные звуковые с той разницей, что в их движении играет роль не только газовое, но и магнитное давление.

Подробное описание свойств альвеновских и магнитозвуковых волн, так же как и других видов колебаний в плазме, относящееся, по существу, к физике плазмы, можно найти в ряде книг, в частности, Д. А. Франк-Каменецкого (1968) и С. А. Каплана и В. Н. Цытовича (1972).

Плоское изэнтропическое движение газа

В неподвижном газе малое возмущение распространяется со скоростью звука с. Если газ движется как целое с некоторой скоростью р0, то возмущение распространяется со скоростью vQ + с вправо и со скоростью р0 — с

влево (в неподвижной системе координат). Такое движение означает снос возмущения потоком. Этим простым соображением пользуются для преобразования уравнений газодинамики, облегчающего в ряде случаев их решение. Одним из важных течений, которое можно исследовать при помощи преобразованных уравнений, является плос

Рис. 1. Графическое представление характеристик в задаче о плоском изэнтропическом течении газа.Рис. 1. Графическое представление характеристик в задаче о плоском изэнтропическом течении газа.кое изэнтропическое течение газа.

Рис. 1. Графическое представление характеристик в задаче о плоском изэнтропическом течении газа.

Рис. 1. Графическое представление характеристик в задаче о плоском изэнтропическом течении газа.

Плоское течение характеризуется функциями v (х, t) и р (ж, f) (илир (я, ^)). Пусть при х = xQ в момент f0 возникает малое возмущение скорости V (ж0, t^ и давления р* (ж07 toY В достаточной близости от точки (ж0, £0) на плоскости (ж, f) можно считать V (х, t) ^v (ж0, t^ и р (ж, f) ^ ж р (ж0, £0). Вправо от точки (ж0, £0) распространяется

возмущение со скоростью v (ж0, £0) + с (ж0, t0Y а влево — возмущение со скоростью v {xQ, t^ — с (х0) £0). Так как

ри с меняются от точки к точке, то и скорости распространения этих возмущений не остаются постоянными-

Линии на плоскости (ж, f), вдоль которых происходит распространение возмущений, называются характеристиками (рис. 1). Уравнения их таковы:

— ^v-V-c (^-характеристика), (1.109)

(1.110)(1.110)-г- = v — с ((^-характеристика).

(1.110)

(1.110)

Если движение не изэнтропично, а лишь адиабатично, то энтропия в частице может испытывать возмущение. Однако это возмущение остается связанным с частицей и перемещается вдоль линий тока. Поэтому Уравнение

= и ((^-характеристика) (1.111)

соответствует линии, вдоль которой распространяются возмущения энтропии.

Уравнения неразрывности и движения при условии адиабатичности нетрудно преобразовать таким образом, чтобы в них входили производные от функций v и р только вдоль характеристик. Для величины р=р (р, S) имеем

^Р / dp \ dp . ( др\ dS at \dp)s at ^yds/p at *

Второе слагаемое в правой части (1.112) в силу изэнтропич- ности (адиабатичности) равно нулю и поэтому

(1.113)(1.113)а? 2 аРdt at *

(1.113)

(1.113)

С другой стороны, р = р (ж, £) и

Подставляя (1.113) при учете (1.114) в уравнение неразрывности, получаем

J_^. + ±p^L + c_|L = 0.(1.115)

ср dt 1 ср дх 1 дхх '

Уравнение неразрывности, совместно с уравнением движения

dv , dvI1 др

dt ' dxр дх

дает

4+(»±.=)£±^[(» + =)-8- + -^1-0- (1.117)

При верхнем знаке (плюс) (1.117) представляет собой уравнение, описывающее изменение вдоль С+-характеристики, и может быть записано в виде

dv + — dp = 0.dv + — dp = 0.(1.118)(1.118)

dv + — dp = 0.

dv + — dp = 0.

(1.118)

(1.118)

При нижнем звуке (минус) — это уравнение вдоль С.-характеристики

dv— — dp = 0.(1.119)

Таким образом, в плоском одномерном адиабатическом течении вдоль характеристик С+ и С_ распространяется

постоянное значение величин

(1.120)(1.121)(1.120)(1.121)Л =(вдоль С+),

(1.120)

(1.121)

(1.120)

(1.121)

J- = V — ^ -^ (вдоль С_).

Эти величины, называемые инвариантами Римана, представляют собой, по существу, новые переменные. Особенно просто выражаются инварианты J+ и J _ при изэнтропическом течении, когда произведение рр*4 не зависит ни от координат, ни от времени.

Так как

с3 = 72[Л(«)Н?рЦ,(1.122)

то

2с-^ = ^1-^ •(1.123)

дх р дхх '

Поэтому уравнение движения (1.117) в этом случае записывается в виде

^1+ p^L + _L^_ = o. (1.124) dt ■ 1 дх 1 у— 141

Используя (1.124), вместо (1.120) и (1.121) получаем

(1.125)

=(1.126)

Эти формулы позволяют простым образом выразить кие через инварианты. Использование постоянства J+ и J _ вдоль характеристик дает приближенный метод численного решения уравнений газодинамики в случае плоского изэнтропического течения — так называемый метод характеристик. Он изложен в ряде книг, в частно- оти в монографии И. А. Климишина (1972). Однако в астрофизических исследованиях этот метод вследствие Ряда ограничений, обусловливаемых им при постановке задачи, применялся сравнительно редко.

Как было отмечено выше, возмущение, распространяющееся по газу в одну сторону, называется простой

волной. Это нестационарное одномерное изэнтропическое течение, обладающее тем свойством, что все величины, характеризующие газ (р, р, с), являются функцией одной из них, например, и.

В случае простой волны один из инвариантов остается постоянным во всем течении все время. Когда газ занимает всю полуплоскость ^>0, это видно непосредственно» Если заданы такие начальные распределения рис, что, например, J (ж, 0) = const, то, так как через каждую точку верхней полуплоскости проходит (^-характеристика, это же значение J_ будет во всех точках. Для движения газа в ограниченном пространстве доказательство указанного утверждения сложнее (см., например, Я. Б. Зельдович и Ю. П. Райзер (1966)).

Постоянство величины J_ (х, t) (или J+ (х, $)) во всем течении дает возможность получить решение задачи о движении газа при распространении по нему простой волны.

Пусть

р — ^ ^ с = const;(1.427)

тогда (1.124) записывается в следующей форме:

>+(»+')>-°-<1Л28>

Решение (1.128) имеет вид

р = ^ [ж — (v + e)t\(1.129)

где F — произвольная функция. Решая (1.129) относительно ж, находим

ж = (у + c)t + /(р).(1.130)

Поскольку в (1.130) входит только одна функция, это выражение представляет особенное решение уравнений плоского изэнтропического течения газа. Функция / (у) определяется из начальных условий. При / (у) — 0 скорость и и другие величины, характеризующие течение, зависят не от ж и t в отдельности, а от отношения ж/#. В таком движении сохраняется форма зависимости v, р и р от координаты, а со временем меняется лишь масштаб профиля. Поэтому оно называется автомодельным.

Указанным методом получено, в частности, решение задачи о расширении плоского слоя газа в пустоту. Оно нашло важные применения в астрофизике, о которых будет сказано в соответствующем разделе (гл. 5). Здесь же приведем лишь решение для идеализированного случая расширения бесконечного однородного слоя при отсутствии тяготения.

Выберем систему координат таким образом, чтобы в невозмущенном состоянии весь газ находился справа от начала координат (ж > 0). Пусть в момент f = 0 начинается движение газа влево —- в область с х < 0. От границы раздела х = 0 в противоположную сторону распространяется волна разрежения. Координата волны определяется уравнением (1.130). Скорость звука в невозмущенном газе равна с0.

Величины v и с в начальный момент (при t = 0) на границе (при ж=0) не определены. Из условия: при t = 0 х = 0 получаем / (v) = 0 и поэтому

x = ^4-c^t.(1.131)

Поскольку волна разрежения распространяется вправо, то J_ = const и, следовательно,

v =(1-132)

Из соотношений (1.131) и (1.132) определяются зависимости v и с от х и t:

' = ^[^ + ^тЧ- (1-133)

На фронте волны разрежения с = с0, v = 0, так как в любой момент фронт соприкасается с невозмущенным газом. Скорость течения растет с удалением от фронта и достигает наибольшего значения при с = 0. Это значение ^пред равно-

(1.134)

Плотность газа в этой точке равна нулю, но -^ #=0. Для одноатомного'газа (у = 5/3) иПред =—Зс0. В той точке, где Скорость разлета максимальна, внутренняя энергия рав-

газа, причем непрерывно прогаза, причем непрерывно проэнергию разлетающегосяэнергию разлетающегосяРис. 2. Профили величин у и с при разлете плоского бесконечного слоя газа в вакуум.Рис. 2. Профили величин у и с при разлете плоского бесконечного слоя газа в вакуум.на нулю. В процессе расширения в вакуум внутренняя энергия покоящегося газа переходит в кинетическую

газа, причем непрерывно про

газа, причем непрерывно про

энергию разлетающегося

энергию разлетающегося

Рис. 2. Профили величин у и с при разлете плоского бесконечного слоя газа в вакуум.

Рис. 2. Профили величин у и с при разлете плоского бесконечного слоя газа в вакуум.

исходит перераспределение энергии в слое, так что значения v и с в разлетающемся газе зависят от отношения xlt линейно. Графически зависимости v (ж) и с (ж) для некоторого момента времени (при у = 5/3) представлены на рис. 2.

более сложный характер. Подробное исследованиеболее сложный характер. Подробное исследованиеВ том случае, когда слой конечен, волна разрежения, дойдя до границы, отражается и движение приобретает дви-

более сложный характер. Подробное исследование

более сложный характер. Подробное исследование

жения газа под действием отраженной волны приведено в книге К. П. Станюковича (1971).

Стационарные ударные волны

Достаточно быстрое и сильное повышение давления в газе приводит к образованию поверхности разрыва, на которой скачком возрастают давление и плотность. Такое уплотнение, называемое ударной волной, распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны, очень часто возникающие в звездах и межзвездной среде, являются весьма эффективным средством переноса энергии. При прохождении по газу ударной волны он нагревается и существенно меняет свою скорость. Эти обстоятельства делают возможным наблюдение ударных волн в астрофизических условиях.

Математически образование разрыва обусловлено нелинейностью уравнений газодинамики. Чтобы это продемонстрировать, найдем в простейшем случае плоского движения скорость распространения конечного возмущения давления. Изменение давления связано с изменением плотности, которая в свою очередь согласно уравнению неразрывности зависит от скорости. Так как р = р (у), то р — р (у). Учитывая этот факт, уравнение

движениядвиженияdv . dv1 др

движения

движения

dt ' dxр ddc

записываем в виде

(1.135)(1.135)dw . / . 1 dp \ dv dt 1 \ 1 р dv / Эх

(1.135)

(1.135)

—dtduдх—dtduдх-h-h1 dp р dv1 dp р dv(1.136)(1.136)Скорость v является функцией t и, значит, при каждом данном значении массовой скорости vx величина х является неявной функцией от t. Поэтому

—dt

du

дх

—dt

du

дх

-h

-h

1 dp р dv

1 dp р dv

(1.136)

(1.136)

где ^-^ _у представляет собой скорость распространения по газу величины массовой скорости vv Если волна простая,— скажем, возникшая под действием вдвигаемого в трубу с газом поршня,— и движется вправо, то инвариант J. на плоскости (ж, Z) постоянен и, следовательно,

(1.137)(1.138)(1.137)(1.138)dp

(1.137)

(1.138)

(1.137)

(1.138)

= ос.dv г

Из (1.136) тогда находим, что

Таким образом, скорость распространения величины иг зависит от интенсивности самой этой величины, что и является следствием нелинейности (1.32). Физически это обусловлено зависимостью скорости звука от температуры. При адиабатическом сжатии температура газа возрастает по сравнению с ее значением в невозмущенном газе. Так как по нагретому газу возмущение распространяется быстрее, то профиль скорости становится асимметричным. Точки смещаются тем сильнее, чем выше они находятся над осью (рис. 3). Крутизна касательной, определяемая величиной dvldx^ увеличивается до тех пор, пока не достигается значение dv/dx = оо. Дальнейшее искажение профиля скорости невозможно, так как оно

привело бы к неоднозначности величины скорости газа в данной точке.

Слой, в котором градиенты газодинамических величин очень велики, называется ударным фронтом. Если не учитывать элементарных процессов (т. е. в газодинамическом приближении), его нужно считать поверхностью разрыва

По обе стороны от фронта уравнения газодинамики применимы. Заметим, что для возникновения ударного фронта не требуется, чтобы движение газа было обязательно сверхзвуковым (у^> с), а нужно лишь, чтобы возмущение состояния газа было достаточно сильным.

Ударная волна называется стационарной, если величины скачков характеристик газа —- давления, скорости, плотности — на разрыве не меняются со временем. Это оказывается возможным, когда действие причины, вызвавшей появление волны, одинаково в течение долгого времени.

В случае, когда параметры невозмущенного газа (перед волной) известны и, задан скачок давления на волне, скорость волны, а также скорость и плотность газа за фронтом определяются из условий сохранения массы, потока импульса и потока энергии при переходе через разрыв.

Будем считать движение плоским и скорость газа перпендикулярной к плоскости разрыва. Так как скорость стационарной волны постоянна, то можно выбрать систему координат, связанную с ее фронтом. Величины, характеризующие состояние невозмущенного газа, обозначаем индексом «1», а соответствующие величины за фронтом — индексом «2». .

На самом деле ударная волна представляет собой слой газа малой, но конечной толщины, и градиенты в ней ко-

нечны. О процессах, происходящих внутри слоя, говорится ниже, а здесь примем, что характеристики газа вне его не меняются. Если между поверхностями, ограничивающими слой, нет стоков вещества, импульса и энергии, то на граничных поверхностях потоки соответствующих величин одинаковы. Поэтому имеем условия:

P1V1 = p2v2,(1.139)

Pi + Piyi = Ра + Рг^»(1.140)

\/\

P181 + Pl + Pl™ ) rl = l Pa82 + P<2. + ?2 — I ^2, (1.141)

где e — удельная внутренняя энергия. При учете (1.139) вместо (1.141) можно написать равенство:

81+Zl + ^ = 62 4_^+^.(1.142)

PiРа

Если волна распространяется по неподвижному газу, то скорость ее равна ии а скорость газа после прохождения волны составляет рг — v2. В системе (1.139), (1.140), (1.142) неизвестными являются величины vx, р2, ий.

Из (1.139) и (1.140) нетрудно найти, что

^ — Va = ]/ (?2 — Pi) ^ — ~) .(1.143)

При использовании (1.142), а также известного выражения для внутренней энергии газа

6 = cvT = -^^,(1.144)

путем несложных преобразований получается зависимость между величинами р19 р2, рх и р2, называемая ударной адиабатой ),

Р2 _ (? + 1) Д2 + (Y О ^1/л л дк\

Pi ~ (т + 1)Р1+(Т~1)Р2 ’k '

Отношение давлений определяет силу ударной волны. Для очень сильной волны (р2/рх ->■ оо) соотношение (1.145) дает (при у = 5/3) р2 = 4рР

Таким образом, плотность газа при сжатии его ударной волной может возрасти не более, чем вчетверо, Это объясняется увеличением сопротивления газа сжатию, вызванным повышением его температуры при прохождении волны. Действительно, из уравнения состояния газа и (1.145) получается, что

Т2 __ Р2 + ^Pi р2 На/j

Л^A-Pi Pi Hi ’k

Здесь цх и ц2 — молекулярный вес газа до и после прохождения волны соответственно. Для сильной волны, когда рг <Ср2,

Т. _ р2 На?i Pi ^Н1 ’

Это означает, что нагрев газа волной пропорционален силе волны. Полученный вывод очень важен для астрофизики, так как чаще всего присутствие ударных волн в космических объектах может быть обнаружено по свечению газа за фронтом.

Скорость, с которой газ втекает в волну, равная скорости D распространения волны по неподвижному газу, получается из (1.139) и (1.140):

V1 = D=V(1.148)

В случае сильной ударной волны р2 ^> pv р2 = 4рх и

таким образом, температура газа за фронтом зависит только от скорости волны.

Если считать Pi<^p2> т- е- пренебрегать внутренней энергией невозмущенного газа по сравнению с энергией, переносимой волной, то находим

V1 —V2 = -|~pi(1.150)

и

J-(„i-„2)=-4^r„(1.151)

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫСТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ4747§ 5]

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

47

47

Так как в правой части этого соотношения стоит удельная тепловая энергия газа за фронтом волны, то оно выражает факт равнораспределения кинетической и тепловой энергии. Половина энергии, переносимой стационарной ударной волной, переходит в кинетическую энергию, а другая половина — в теплоту. Для того чтобы волна оставалась стационарной, затраты ею энергии на нагревание газа должны компенсироваться работой, совершаемой внешними силами, например, давлением поршня, вдвигаемого в трубу с газом. Если такой компенсации нет, то волна затухает — скорость ее уменьшается.

Использовав выражение для скорости звука в идеальном газе, нетрудно найти, что при р2 > рг выполняются условия

Vi>Ci, 14 <с^ (1.152)

означающие, что волна распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью, а скорость газа за фронтом — дозвуковая.

Энтропия газа после прохождения по нему ударной волны возрастает. В этом можно убедиться, использовав выражение (1.13) для энтропии идеального газа:

s2 — Sx = су In -^ ^~У • (1.153)

При р2^>Р1 разность s2,— $i > 0. Возрастание энтропии газа обусловлено преобразованием внутри фронта волны части энергии упорядоченного,—направленного,— движения газа в тепловую энергию.

В волне происходят диссипативные процессы, связанные с вязкостью и теплопроводностью газа, т. е. с обменом энергией между частицами. Поэтому исследование процессов, происходящих внутри фронта, требует применения методов кинетической теории газов.

При расчете структуры фронта ударной волны необходимы значения функций и констант, определяющих взаимодействие частиц между собой и с излучением. Далеко не для всех газов со сложным составом такая информация имеется. Для одноатомных газов расчеты наиболее просты. В одной из первых работ по расчету структуры фронта волны, распространяющейся по нейтральному газу (Мотт-Смитт (1951)), функция распределения частиц

внутри фронта представлялась как сумма двух максвелловских распределений, а частицы, из которых состоит газ,моделировались упругими шариками. Решение уравнения Больцмана показало, что потеря энергии частицами, врывающимися в холодный газ, происходит на расстоянии нескольких длин свободного пробега частицы I. Эта величина определяется, как известно, формулой

(1Л54)

где ^ст — эффективное газокинетическое сечение столкновения между частицами и п — концентрация частиц.

Тем же методам Тидманом (1958) была изучена структура фронта ударной волны в полностью ионизованном водороде. В этом случае, представляющем значительный интерес для астрофизики, важную роль играет различие в характере взаимодействия между ионами и электронами и между одинаковыми частицами. Как известно, ионы и электроны из-за различия в массах обмениваются энергией значительно медленнее, чем одинаковые частицы. Поэтому фронт ударной-волны оказывается состоящим из нескольких областей. В первой, наиболее узкой области ионного удара происходит обмен энергией между ионами путем кулоновских взаимодействий. Длина свободного пробега вычисляется при учете далеких прохождений (об аналогичном расчете см. в § 3), а вычисленная толщина слоя, где совершается обмен энергией, порядка удвоенной длины свободного пробега. Что касается электронного газа, для которого предполагается максвелловское распределение скоростей, то приобретение им энергии от ионов и установление равновесия с ионным тазом занимают большее время и соответствующая область во фронте гораздо протяженнее, чем область ионного удара. Макроскопическая скорость электронного газа, поскольку он увлекается ионами, такая же, как и у ионного газа, даже если температуры газов различны.

В структуре ударных волн, распространяющихся в достаточно разреженной плазме, существенную роль могут играть различные виды плазменных неустойчивостей. Подробное описание соответствующих явлений, относящихся, по существу, к физике плазмы, можно найти на-

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫСТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ4949§ 5]

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

49

49

пример, в монографии С. А. Каплана и В. Н. Цытовича (1972).

Структура фронта в частично ионизованном газе более сложна. Для условий межзвездной среды она обсуждается в гл. 4, а для оболочек звезд — в гл. 5.

Из сказанного следует, что толщина фронта ударной волны определяется столкновениями между частицами, и для той области, где в основном происходит преобразование энергии поступательного движения в тепловую, толщина составляет несколько длин свободного пробега частицы. В сильных ударных волнах, где газ нагревается до высокой температуры, важную роль играет лучистая теплопроводность. В таких случаях характерный размер определяется средней длиной пробега фотона, которая порядка х”1 (х — объемный коэффициент поглощения). Излучение не только влияет на состояние газа внутри фронта и за ним, но может также прогревать газ перед фронтом, влияя тем самым на условия распространения волны. При сильном излучении из-за фронта скачок становится менее резким — «размывается». Влияние прогрева газа излучением на структуру волны подробно рассматривается в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера (1966). Действие излучения на структуру фронта и его движение для астрофизических условий описано в книге И. А. Климишина (1972), где приведена и библиография по этому вопросу.

Во многих случаях излучение нагретого волной газа выходит из среды практически без поглощения. Тогда говорят об ударных волнах с высвечиванием. Высвечивание приводит к охлаждению газа и, следовательно, к уменьшению его сопротивления сжатию. Поэтому при данной силе скачка в волне с высвечиванием достигается большая степень сжатия газа, что следует из уравнения адиабаты Гюгонио (1.145). Возможны и другие виды стока энергии в волне, например, при затрате энергии на ионизацию. Опи также способствуют возрастанию степени сжатия газа за фронтом.

Рассматривая движение стационарной ударной волны при наличии стоков энергии, уравнение (1.142) следует видоизменить, записав его-, так:

где q — сток энергии, рассчитанный на единицу массы. Тогда уравнение ударной адиабаты принимает такой вид:

Р2 __ ^2_+l£lpi 4pi+p-2Р2 __ ^2_+l£lpi 4pi+p-22<7Р24^1+Р2 *2<7Р24^1+Р2 *(1.156)(1.156)

Р2 __ ^2_+l£l

pi 4pi+p-2

Р2 __ ^2_+l£l

pi 4pi+p-2

2<7Р2

4^1+Р2 *

2<7Р2

4^1+Р2 *

(1.156)

(1.156)

Из (1.156) и вытекает отмеченная выше возможность большего сжатия газа ударной волной при q > 0. Влияние расхода энергии на ионизацию играет сравнительно малую роль в изменении отношения p2/pi- Так, для волны, распространяющейся в чистом водороде, сток энергии за счет изменения степени ионизации от хг до х<> составляет (С. А. Каплан (1958)) "

q =q =^2 — х\ к A>Vg,^2 — х\ к A>Vg,(1.157)(1.157)

q =

q =

^2 — х\ к A>Vg,

^2 — х\ к A>Vg,

(1.157)

(1.157)

где fev0 — энергия ионизации атома водорода с основного уровня, что приводит в случае сильной волны (р^ ^> р^ к выражению

(1.158)(1.158)р.э / , х^ — хг 313000

(1.158)

(1.158)

= 4 4- —=

Pi1+^ То

Сжатие возрастает при Т^^^-Ю^К не более чем на 20 — 30%. Высвечивание же может приводить к увеличению p2/pi в сильных волнах в десятки раз.

При высвечивании меняется плотность газа, а скорость потери энергии газом зависит от плотности и степени ионизации атомов, составляющих газ. Поэтому расчет структуры ударных волн с высвечиванием представляет сложную задачу. Для решения ее в случае стационарной волны к уравнениям сохранения потоков массы, импульса и энергии следует добавить уравнения, определяющие изменение степени ионизации и скорость потери энергии в зависимости от состояния газа. Ряд результатов расчетов, относящихся к движению стационарных волн с высвечиванием, приведен в книге С. А. Каплана (1958).

Возможны случаи, в частности, при движении ударных волн в межзвездной среде, когда высвечивание настолько интенсивно, что температура по обе стороны от фронта (в который включена и область высвечивания) оказывается одинаковой и равной температуре невозмущенного га-

5151СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫСТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ6 51

51

51

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

за. Плотность и давление за фронтом, естественно, являются более высокими. Такие волны называются изотермическими. Об их расчетах также говорится в указанной книге С. А. Каплана.

Если под фронтом ударной волны понимать слой, содержащий все области релаксации, включая лучистую, то толщина этого слоя может оказаться сравнимой с размерами системы. Тогда само понятие фронта становится неотчетливым. Поэтому под фронтом ударной волны часто подразумевается лишь область вязкой диссипации, где происходит переход от упорядоченного движения атомов к хаотическому. Излучение из этой зоны не настолько велико, чтобы эффекты высвечивания сказались на движении волны.

Если давление за фронтом волны и плотность в среде, по которой она распространяется, меняются достаточно медленно, то волну приближенно можно считать стационарной. В таких случаях структура фронта не зависит от того, что происходит в далеких от него точках. Когда отношение р^рх меняется быстро, переменной является и скорость волны. При распространении волны по среде с переменной плотностью* скорость ее также меняется. Величины р2, р^ и г;2 при этом определяются, как и для стационарной волны, из условий сохранения на фронте, но эти величины характеризуют состояние газа лишь непосредственно у фронта. Распределение же газодинамических характеристик в захваченной волной области находится путем решения уравнений газодинамики, для которых условия сохранения играют роль граничных условий, а ударный фронт рассматривается как поверхность разрыва.

Для сильной ударной волны (р2 ^* Pi) граничные условия обычно записываются в следующем виде:

р2 = ^|рь ?2 = ^-гР1^2> v^^D, (1.159) где D — скорость волны. Для слабых волн эти условия имеют несколько более сложную форму.

Присутствие магнитного поля в среде существенно сказывается на характере распространения ударной волны. Подробно влияние поля на движение волны рассматривается в гл. 4 (§ 3) в связи с описанием свойств ударных волн в межзвездном газе.

Автомодельность движенияи метод автомодельных решений

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений газовой динамики даже в простейших случаях связано с большими трудностями. Для таких задач предложен ряд численных методов. Те из них, которые применяются в космической газодинамике, описаны в книге И. А. Кли- мишина (1972) и здесь их излагать нецелесообразно. Применение аналитических методов оказывается возможным сравнительно редко. Из них наиболее употребительным является так называемый метод автомодельных решений, по существу, представляющий известный способ разделения переменных в уравнениях в частных производных. В тех случаях, когда такое разделение выполнимо, дело сводится к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, а эта задача гораздо проще.

Метод автомодельных решений используется обычно в задачах об одномерных движениях газа, т. е. для течений, обладающих плоской, сферической или цилиндрической симметрией. Система уравнений газовой динамики в простейшем случае адиабатического движения без учета вязкости, тяготения и электромагнитных сил записывается для всех указанных видов симметрии в следующем виде:

^ + | + »^ + (*-117-«1(1.160)

+" _о,(1.161)

dt 1 dr 1 у dr у dr4’

[InC2pi-Vj + vMp, = 0,(1.162)

где N — 1, 2, 3 для плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно. Эти уравнения являются математическим выражением законов, связывающих физические величины, обладающие определенными размерностями. Численные значения таких величин зависят от выбора единиц измерения — масштабов. Достаточные условия, при выполнении которых в системе переменные разделяются, находятся из анализа, основанного на теории размерности. Прежде чем устанавливать эти условия, вы-

пишем дифференциальные уравнения, к которым сводится задача после разделения переменных.

Преобразуем систему (1.160) — (1.162) таким образом, чтобы вместо независимых переменных г и t в ней содержались t и безразмерная переменная g, где

6 =6 =(1.163)

6 =

6 =

a R — некоторая, пока неизвестная функция времени, имеющая размерность длины. Поскольку g — безразмерная величина, то любая функция от g также не зависит от принятых масштабов г и t Что же касается неизвестных функций р (г, Z), v (г, Z) и с2 (г, Z), то их запишем в виде произведений:

p(r, t) = Mt) G (У, v(r, t)=2_u®, сЧг, t) = ^Z®.

(1.164)

(1.165)

(1.166)

Функции G, U и Z называются представителями соответствующих величин.

После подстановки функций, выраженных этими формулами, в (1.160) и (1.161) при учете (1.163) находим

W-U +к+-5-«14гТ- + — 4гт- 4

11 R J с? In £ 1 у й?1п£ *

=(1.168)

1 у 1 у d In 5'7

В этих уравнениях не остается явных функций времени, т. е. переменные разделяются, если выполняются условия:

= const, —^ t = const. (1.169) л/1

Из (1.169) следуют выражения для R и

R = Ata, jx = В^(1.170)

где Л, 2?, а, 0 — постоянные. Можно показать, что при выполнении условий (1.169) в уравнении (1.162) также не будет содержаться величин, в явном виде зависящих от времени. Таким образом представление R (Z) и /х (0 в виде степенных функций является необходимым и достаточным условием разделения переменных в системе (1.160) — (1.162).

Величины А и В имеют следующие размерности:

М] = см*сек*а-\ [В] = г^сдГ^сек-^. (1.171)

Очевидно, что они должны быть связаны с теми пара метрами, которые по условиям задачи являются определяющими, например, начальная плотность среды, заданная энергия процесса вызвавшего движение и т. п.

Функция ^х (t) и R (t) имеют простой физический смысл. Они являются масштабными множителями, определяющими профили газодинамических величин, характеризующих состояние газа. Записывая (1.164) — (1.166) с помощью выражений (1.170), имеем:

р(г, 0 = BW^Y (1-172) v (г, t) = At^4U^Y (1.173)

с2 ^ t^ = ДЧ^-^Z ^Y (1.174)

Из этих соотношений можно видеть, что от времени явно зависят только масштабы функций р, v и с2, т. е. значения функции от g при переходе от одного момента времени к другому меняются в одинаковое число раз. Распределение р, v и с2 по пространственной координате г также меняется, но, зная функции G (^Y U' (£) и ^ ^Y можно найти зависимости плотности, скорости газа и скорости звука от г в, любой момент времени. Смысл понятия автомодельности и заключается в том, что при движении сохраняется форма профилей газодинамических характеристик.

Заметим, что рассмотренное в § 4 течение газа при его расширении в вакуум является частным случаем автомодельного движения. Для него а = 1, р = 0.

Еще отчетливее то обстоятельство, что профили газодинамических характеристик при движении остаются подобными самим себе, видно, если масштабные множители

(1.175)(1.176)(1.177)(1.175)(1.176)(1.177)выразить через посредство R:

(1.175)

(1.176)

(1.177)

(1.175)

(1.176)

(1.177)

v~ R^1VaU ®%,c\~R^V«^Z£y

При изменении R профили растягиваются (сжимаются) вдоль оси* абсцисс и оси ординат (рис. 4).

Начальные и граничные условия газодинамической задачи содержат значения искомых функций, а также фик

Рис. 4. Схематическое представление изменения профиля плотности при автомодельном движении.Рис. 4. Схематическое представление изменения профиля плотности при автомодельном движении.сированные значения координат. Они также преобразуются к безразмерной форме и дают, тем самым, соответствующие условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рис. 4. Схематическое представление изменения профиля плотности при автомодельном движении.

Рис. 4. Схематическое представление изменения профиля плотности при автомодельном движении.

Помимо указанного способа введения безразмерной переменной £ ее можно определить и иным путем, полагая, например, (К. П. Станюкович (1971))

£ = — е-а^, р = po^a2tG (Е),

(1.178)

и аналогично для и и с2. Тогда переменные в уравнениях (1.160) — (1.162) также разделяются.

Переменные можно разделить и в уравнениях, описывающих движение в однородном поле тяготения (g = = const), если положить а = 2 в (1.170), а иногда задача оказывается автомодельной и при учете самогравитации газа (К. П. Станюкович (1971)).

Как можно видеть из сказанного, характерной особенностью автомодельной задачи является возможность образования такой безразмерной переменной g из г и t, что решение уравнений газодинамики при заданных начальных и граничных условиях будет иметь вид (1.164) — (1.166). Достаточные условия того, что та или иная конкретная задача автомодельна, были впервые установлены Л. И. Седовым (1945). Основные положения ртой теории, а также

многочисленные применения ее для решения газодинамических задач различного характера, в частности, астрофизических, даны в книгах Л. И. Седова (1965) и Э. А. Дибая и С. А. Каплана (1976).

Применение теории размерности к вопросу об установлении достаточных условий автомодельности движений базируется на так называемой П-теореме, доказательство которой можно найти в первой из указанных книг. Смысл ее заключается в следующем. Пусть имеется некоторая размерная величина а, являющаяся функцией других размерных величин:

а = f (а^ а2,. . ., а^ (1.179)

и пусть первые I из них имеют независимые размерности. Как можно показать, формулы размерности должны иметь вид степенных многочленов, поэтому независимость означает невозможность представления любой из размерностей [а;] (/ = 1,. . ., Z) через многочлены от размерностей [aj (Z = 1,. . ., Z, Z^/). Тогда (1.179) равносильно равенству

(1.180)(1.181)(1.180)(1.181)П = /(1,1,..., 1, Пъ..., nn_z)

(1.180)

(1.181)

(1.180)

(1.181)

I раз где

— безразмерная величина и П1?. . ., ПпЧ — другие безразмерные комбинации из аи. . ., ап. Равенство (1.180) и выражает П-теорему, согласно которой связь между п + 1 размерных величин, из которых I имеют независимые размерности, может быть выражена соотношением между п + 1 — I безразмерными комбинациями из данных n + 1 размерных величин. Это соотношение не зависит от выбора единиц измерения и позволяет всякую зависимость между размерными величинами выразить в виде соотношения между некоторыми безразмерными величинами. Из (1.180) следует, в частности, что при Z = п величина а с точностью до численного множителя определяется соображениями размерности.

Обратимся теперь к. уравнениям газовой динамики (1.160) — (1.162). Они содержат пять размерных величин;

г, t, р, v, с2, из них три с независимыми размерностями, например, г, /, р. Кроме того, при постановке задачи задается ряд характерных для нее величин — определяющих параметров. Хотя бы один из этих параметров должен содержать размерность массы, так как [р] = г-см”3. Пусть размерность этого параметра, обозначаемого через а, такая:

= г»смнсек\(1.182)

Допустим, имеется еще только один параметр b с независимой от а размерностью:

= г.смт.сек\(1.183)

Функции р, у и с2 зависят от г, а и Ъ*.

р = Ф1 (г, t, а, 6), v = ср2 (г, t, а, 6),(1.184)

с2 = фз (г, £, а, Ь).

Каждое из равенств (1.184) представляет собой соотношение между пятью размерными величинами, из которых три имеют независимые размерности. По П-теореме каждое из этих равенств должно выражаться как соотношение между всего двумя безразмерными величинами и, следовательно, величины г и t не могут входить в безразмерные соотношения раздельно, а должны образовывать вместе саиб безразмерную комбинацию g:

Функции р, рис2 представляются в виде

р = 7^7^®,

v =(1.186)

с» = ^-Z®.

Таким образом, наличие в задаче всего двух определяющих параметров с независимыми размерностями является достаточным условием ее автомодельности. Если

в задаче число определяющих параметров с независимыми размерностями больше двух, то величины г и t входят в безразмерные соотношения-, получающиеся из (1.184), раздельно, в виде г/г0 и t/t0. Такая задача не автомо- дельна.

За параметр а часто принимают величину плотности невозмущенного газа р0. Тогда к = —3, 5 = 0 и

P = PaG©, v-^-u^.^Jlz®,(1.187)

где

8 =(1.188)

Размерность величины Л, выражаемой при посредстве определяющих параметров, зависит только от [г] и И].

В тех случаях, когда размерность параметра b не содержит размерности массы, переменная g определяется без помощи а:

8 =(1.189)

Примером подобной автомодельной задачи может служить рассмотренная в § 4 задача о расширении газа в вакуум. В ней определяющими параметрами служат плотность невозмущенного газа р0 и скорость звука в нем е0, а переменная $ определяется так:

6 =(1.190)

При наличии в задаче двух и только двух определяющих параметров с независимыми размерностями ее относят к первому типу. Задачи, в которых имеется лишь один параметр (в его размерность входит размерность массы), относятся ко второму типу. Для них величина £ также принимается в виде (1.188), но показатель степени а определяется особым способом, который будет описан и использован для конкретной задачи в гл. 5 (§ 4).

Глава 2

ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Проблема устойчивости очень важна для космической газодинамики. Различные виды неустойчивости оказываются определяющими в образовании структуры космических объектов, процессах переноса энергии и эволюции звезд и туманностей. В данной главе описываются главным образом методы исследования устойчивости. О результатах применения их к конкретным объектам говорится в соответствующих разделах (гл. 4—6). Много места уделено вириальному методу, обладающему большой общностью и позволяющему, в частности, изучать устойчивость быстро вращающихся объектов. Виды неустойчивости, обусловленные присутствием поля тяготения, также рассматриваются по возможности детально — в той степени, которая допускается объемом книги. Устойчивость статических конфигураций изучалась астрофизиками больше, чем устойчивость течений, и это обстоятельство нашло отражение в данной главе.

§ 1, Понятие об устойчивостии методы ее исследования

Всякая физическая система испытывает воздействие со стороны других, внешних по отношению к ней объектов. Если внешние воздействия (возмущения) не приводят к изменениям состояния системы, то такое состояние считают устойчивым. Точнее, состояние системы называется асимптотически устойчивым, если при любом достаточно малом его возмущении отклонение от этого состояния остается малым и с течением времени стремится к нулю. Схематически такое состояние можно представить рис. 5, а. В противном случае, т. е. при возрастании отклонений со временем, состояние называют неустойчивым (рис. 5, б).

В тех случаях, когда отклонение, возникшее в результате малого возмущения, оставаясь малым, к нулю не стремится, состояние называют устойчивым по Ляпунову.

Состояние механической системы, состоящей из N материальных точек, определяется положением точки

Рис. 5. Иллюстрация устойчивого (а), неустойчивого (б) и метаста- бильного (в) состояний.

в бУ-мерном фазовом пространстве. Устойчивому состоянию соответствует точка равновесия в фазовом пространстве. Это означает, что когда состояние системы под действием малых возмущений изменяется, траектория в фазовом пространстве, соответствующая изменению состояния системы, всегда будет сходиться в указанную точку равновесия. Поскольку исследование устойчивости сводится к изучению фазовых траекторий, то в этом отношении нет принципиальной разницы между статическими и движущимися системами. Исследование производится при посредстве канонических уравнений механики.

Другой метод исследования устойчивости механических систем основывается на хорошо известном необходимом и достаточном условии того, что состояние консервативной системы было равновесным. В таком состоянии величина полной потенциальной энергии ФПолн, опредег ляемой соотношением

Фполн = Ф2~ QBpA(2.1)

должна иметь абсолютный минимум. В (2.1) Ф означает потенциальную энергию, йвр — угловая скорость вращения и I — момент инерции системы.

Механическая система описывается конечным (или счетным) множеством обобщенных координат. Газовая среда рассматривается как континуальное множество. Указанный выше подход к исследованию устойчивости газовых систем вызывает поэтому сложности. Состояние проблемы

отражено в статье Леду (1958), где обстоятельно изложен вопрос об устойчивости газовых конфигураций. Вообще говоря, проблема устойчивости статических конфигураций жидкости или газа отличается по своему характеру от проблемы устойчивости движений. Однако в обоих случаях можно применять метод малых возмущений, существо которого описывается ниже. Что касается энергетического метода исследования устойчивости, то при его применении к газовым конфигурациям необходимо учитывать термодинамические факторы — возможность изменения энергии при изменении объема.

При движениях газа и в статических газовых конфигурациях возникают неустойчивости особого вида, не имеющие аналогий у механических систем. К ним относятся, в частности, турбулентная неустойчивость, конвективная неустойчивость и тепловая неустойчивость. Эти формы неустойчивости играют очень большую роль в астрофизике и рассмотрены отдельно в гл. 3. Некоторые из других, специфически газодинамических и часто встречающихся в астрофизике видов неустойчивости описываются ниже. Исчерпывающее (по состоянию на^ 1960 г.) изложение методов и результатов исследования устойчивости течений и конфигураций жидкости и газа дано в книге Чандрасекхара (1961). Различные виды неустойчивости несжимаемой жидкости рассмотрены в книге А. С. Монина и А. М. Яглома (1966). Вместе с обзорами Леду (1958) и В. А. Антонова (1975) указанные книги дают весьма полное представление о предмете и поэтому здесь можно ограничиться лишь очень кратким описанием широко известных методов и сконцентрировать внимание на более новых результатах. '

Сущность метода малых возмущений состоит в использовании линеаризованной системы уравнений газодинамики (с присоединяемыми к ней другими, например, уравнением теплопроводности). Вместо входящих в эти уравнения величин v, р, р, II и других в них подставляются соответственно г?0 + г?', рп + р', р0 + р\ Hft + h и т. п. Индексом «0» обозначены величины, характеризующие невозмущенное состояние и считающиеся известными, a d, р', р\ ^принимаются настолько малыми, что их квадратами в получающихся уравнениях можно пренебречь. В образованной таким образом системе уравнений, линей-

ных относительно р', К, коэффициенты зависят от координат и времени через посредство известных функций ^о? Ро, Ро, Но. Если изучается устойчивость в данной эйлеровой точке и невозмущенное движение стационарно, то коэффициенты в получающейся системе — постоянные величины.

Линеаризованная система однородна, так как у нее есть нулевое решение:

г/ = 0, р' = 0, р* = 0, Н = 0.(2.2)

Общее решение такой системы представляет собой линейную комбинацию функций вида произведения е*"^1 (о — комплексная величина) на функцию точки:

V^x, у, z; t) = e-^fx (х, у, z),

р' (х, у, z; £) = е-{"'/а (ж, у, z),2 g

р' (ж, у, z; 0 = e-lotf8(x, у, z),' ‘ '

Н (х, у, z; t) = e-iatf4^ у, z).

В тех случаях, когда коэффициенты системы не зависят от каких-либо координат, число аргументов у функций А меньше: Например, в сферически-симметричном движении коэффициенты в уравнениях не зависят от О и ф и поэтому решение можно искать в виде

«' (х, у, z; t) = ei(ki»+fc2<P-at)f 1(а> h- fe) (г),(2.4)

и аналогично для р', р\ К.

Величина о зависит от значений кг и к^ характеризующих пространственный масштаб возмущений по А и ф соответственно. Функции fls f^ /3, /4 находятся путем решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, получающихся после подстановки (2.3) в линеаризованную систему.

Алгебраическая система относително производных от искомых функций должна иметь решение и, следовательно, определитель такой системы должен быть равен нулю. Это условие дает характеристическое (дисперсионное), уравнение, из которого находится величина а.

Если все корни дисперсионного уравнения имеют отрицательную мнимую часть

оК = аК + WkVк, Ъ^ <0,(2.5)

§ то система устойчива относительно малых возмущений, поскольку все величины еь^ уменьшаются с течением времени, т. е. значения г/,р',р', h стремятся к нулю. При условии же, что хотя бы у одного из корней характерист- ческого уравнения мнимая часть положительна (6Z )> 0), система неустойчива. Скорость роста возмущений определяется так называемым инкрементом роста, равным Ь^1.

Когда при каком-либо значении к ак ^ 0 и 6к > 0, то в системе происходят колебания с экспоненциально растущей амплитудой и такую неустойчивость называют колебательной. Если же при всех к Ьк=0, то система устойчива по Ляпунову и для суждений об ее окончательном состоянии требуется более детальное исследование.

Состояние системы, устойчивое относительно бесконечно малых возмущений, может оказаться неустойчивым в отношении возмущений конечной амплитуды. Такое состояние называется метастабильным (см. рис. 5, в). Возможно также, что в результате любого — конечного или бесконечно малого — возмущения состояние системы меняется, но вызванные возмущением отклонения от начального состояния не меняются со временем. Тогда говорят о состоянии нейтрального равновесия.

Из неустойчивого состояния в результате возмущений система может перейти в устойчивое состояние или в состояние колебаний с конечной амплитудой. Если неустойчивость проявляется лишь в малой части в остальном устойчивой системы, такую неустойчивость называют локальной.

Линейная теория устойчивости (метод малых возмущений) имеет ограниченное значение. Она не дает возможности объяснить ряд экспериментальных фактов газодинамики и непригодна, когда приходится иметь дело с конечными возмущениями. В этих случаях бывает полезен энергетический метод исследования устойчивости,впервые использованный Рейнольдсом в 1891 г. при изучении течений. Суть метода можно разъяснить на примере вязкой несжимаемой жидкости в конечном объеме. Пусть на основное течение, характеризующееся скоростью ^о (я, 2А 2> 0, накладывается конечное возмущение V (ж, у, 2; t\ Поскольку величина dq + ^' должна, как и v0, удовлетворять уравнению Навье — Стокса и уравнению

неразрывности, то получаем

+ (V'V) vQ + (v0V) 13' + (г/V) 13’ = -+ vW, (2.6)

(V у’) = 0. Р(2.7)

Уравнение (2.6) отличается от соответствующего случая бесконечно малых возмущений присутствием слагаемого (г/V) V. Предположим, что на границе данного объема V величина ^ = 0 (например, имеется твердая стенка). Тогда путем умножения (2.6) скалярно на V и интегрирования по объему V при учете (2.7) получается равенство:

dt j(У)dt j(У)v'4dV = - ^ ((v'V) 13^^ dV -

dt j(У)

dt j(У)

(У)

— v— vp^Y+f^YP^YLy f2 8\

— v

— v

\ дх 1\ <>У } I да 1 Jх 7

(У)

Величина, стоящая слева, определяет изменение кинетической энергии вследствие возмущений. Первым слагаемым правой части описывается обмен энергией между основным течением и полем возмущений, вторым учитывается диссипация энергии вследствие вязкости (он всегда отрицателен). Будет ли кинетическая энергия возмущений расти или уменьшаться, зависит от обменного члена, знак и величина которого определяются конкретным характером течения.

Связь движений различных масштабов выявляется в нелинейности уравнений движения. Пусть движение состоит из движений двух масштабов и d = dx + ^2. Тогда произведение (vV) d, входящее в уравнение движения, включает слагаемые (t\V) v2 и (^2^) ^d чт0 указывает на связь движений и возможность перехода энергии от движений одного масштаба к движениям другого масштаба. Более вероятен переход энергии от больших масштабов к меньшим, так как в соответствии с общими принципами статистической физики должно происходить дробление энергии и распределение ее по большему числу степеней свободы. Именно это происходит при турбулизации течения (см. гл. 3). Поэтому уравнение (2.8) оказывается очень полезным для выяснения условий перехода ламинарного течения в турбулентное.

При исследовании устойчивости состояний газовых систем основываются на указанном выше положении о минимуме полной потенциальной энергии в устойчивом состоянии, используя так называемый вариационный принцип, или применяют теорему о вириале и ее обобщения.

Рассмотрим сначала вариационный принцип. Состояние системы является неустойчивым, если при каком- либо малом его возмущении изменение энергии отрицательно, т. е. она освобождается. Таким образом, исследование устойчивости сводится к определению знака приращения энергии при любом заданном изменении состояния. Изменение состояния определяется вариациями параметров, от которых это состояние зависит.

Формулировка вариационного принципа, применимая к конфигурациям сжимаемой жидкости при наличии магнитного поля (Волтьер (1958)), предусматривает существование семи интегралов движения системы уравнений магнитной газодинамики с добавлением уравнения Пуассона

V2(p^ = 4лСр.(2.9)

Устойчивое состояние соответствует условному минимуму потенциальной энергии при выполнении условия

в

б£ + 3 Uid/i = 0,(2.10)

г=1

где 6 означает вариацию, Е — энергия системы, af — лагранжевы множители и J{ - интегралы движения:

I1= $(A[V4])dV; к= $ [Н^У; (V)W

А = 5 p([^]v)^; А = § P(U>] ^dV; (2.11)

(V)(^) '

Л = $ р([йг]^)йУ; /б = $ pdV.(П(V)

Здесь г, j, к — орты, А — вектор-потенциал и 7 — объем, занимаемый системой. Решение указанной экстремальной задачи дало соотношения, определяющие равновесную конфигурацию. О них будет сказано в следующем параграфе.

При изучении устойчивости сферических или близкиЛ к ним газовых конфигураций, представляющих звезды, часто оказывается, что они колебательно-неустойчивы, причем в отношении не только радиальных, но и нерадиальных колебаний. Для таких конфигураций Чандрасекхар (1964) предложил обобщенный вариационный принцип, при помощи которого можно исследовать их колебательную неустойчивость. Для его формулировки рассмотрим уравнение движения элемента в конфигурации, выведенной из состояния гидростатического равновесия. Уравнение равновесия имеет следующий вид:

(2.12)

В результате малого возмущения | (г, i) вида

§ (г, 0 = 1 W е-^(2.13)

элемент, радиус-вектор которого г, движется, и это движение описывается уравнением:

-S = -t^-v^(2Л4)

При указанной форме возмущения и учете его малости, из (2.14) получается соотношение:

Р’рЬ^бр-^ + Р^,.(2.15)

где 6 означает эйлеровы возмущения соответствующих величин, вызванные возмущением § (г, t\ Уравнение неразрывности дает

6Р = - (Vp|),(2.16)

а из условия адиабатичности движения находим

6р = -^;-чр№(2л7)

Соотношение (2.14) имеет место для любой частоты о, определяемой характеристическим уравнением. Пусть g(X) — собственный вектор, соответствующий частоте о<х). Путем умножения (2.15), записанного для о^, на ^\ интегрирования по всему объему У, занимаемому газом

(при условии исчезновения р и др на его границе), использования соотношений (2.16) и (2.17) и выражения для потенциала тяготения

фНг) — ^ г^9т^(2Л8)

получается выражение, из которого следует, что

J р^х^тдг = 0.(2.19)

(П

При К = ц имеем следующее соотношение, выражающее собой обобщенный вариационный принцип (индекс опущен):

^^ Pltr^ = ^ ^Pro + JL^_^^dr +

+ с ^»^^„6г Г ^*WAV ы

3 r2p dr dr3 3[ г — г Iv *

m(П (V)

В правую часть этого соотношения при наличии магнитного поля следует добавить вариацию энергии магнитного поля 8РКМ (Ковец (1966)):

6^м = ^ <№ ТО + RV) № (Vg) + [(HV) Ip -

(V)

-2H (HV) 1 (V|) + (^ [|V (H^ H])} dV. (2.21)

Применяется вариационный принцип следующим образом. Задается смещение £ (г, 2) (пробная функция), например, в форме линейной функции от координат:

^ = Х^^ ,(2.22)

где коэффициенты Х^ играют роль вариационных параметров. Величина а2, определяемая по (2.20), должна быть стационарной по отношению к вариациям собственного вектора Принимаем, что 8а2 = 0 для произвольных вариаций величин Х^. Тогда соотношение (2.20) должно дать систему уравнений относительно величин Х^. Условие разрешимости этой системы приводит к характеристическому уравнению, из которого определяется %.

Получаемые таким путем значения X = —ш являются не точными, но «лучшими» из совместимых с данной пробной функцией £(л 0- Оптимальный выбор этой функции производится на основе точного решения более простых задач.

Расширение вариационного принципа на случай вращающихся конфигураций было сделано в работе Линден- Белла и Острайкера (1967). Вместо эйлеровых вариаций уравнений движения ими были использованы лагранжевы вариации. Эйлерова вариация величины Q (г, t) определяется соотношением

5Q = Q^ t^-Q^r, 0, (2.23) тогда как лагранжева вариация получается при возмущенном значении Q (г, £), равном Q {г + ^, t\ где ^ — возмущение. Путем исключения вариаций из уравнений движения, неразрывности и адиабатичности получено характеристическое уравнение в виде

- аМ- ® + нВ- (Ю + С-^ = 0, (2.24) где точкой обозначено действие оператора на переменную £, А и С — вещественные эрмитовы операторы (А — положительно определенный), В — чисто мнимый эрмитов оператор. Достаточное условие устойчивости заключается в том, что С должно быть положительно определенным оператором.

Вариационный принцип в применений к вращающимся 'конфигурациям дал квадратное уравнение для а. Это обусловлено разделением спектра, соответствующего данной сферической гармонике, на две последовательности мод (см. гл. 5, §2). Одна последовательность является такой, что в крайнем случае отсутствия вращения соответствует чисто радиальным колебаниям (р-моды), когда

l = ^=^'W,<p), ^ = |Ф=0. (2.25)

Другая последовательность соответствует поперечным ко лебаниям (g-моды по терминологии Каулинга (1942)) и

для нихдля них

для них

для них

1 ах и ^(^^

(2,26)(2,26)HI + 1V dr д$

(2,26)

(2,26)

=1 ах и 5У№ф)

I (Z + 1) у sin -О*dr дер

В (2.25) и (2.26) через УГ С^, ф) обозначена сферическая функция порядка I, а ф (г) и % (г) — некоторые радиальные функции.

< ^гж + Ф,< ^гж + Ф,Рассмотрим теперь другую форму энергетического метода исследования устойчивости, основанную на использовании известной теоремы о вириале, доказанной А. Пуанкаре в 1885 г. Согласно этой теореме для системы из N материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, имеет место равенство

< ^гж + Ф,

< ^гж + Ф,

(2.27)

где W и Ф — кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно и I — момент инерции системы относительно начала координат. Величина Ф определяется формулой:

стационарной системе = 0 и, следовательно,

2Ж + Ф = 0.(2.29)

В (2.27) под W подразумевается сумма энергий макроскопических (ТУмакр) и тепловых (ТУгепл) движений. Газовая система, вообще говоря, обладает еще энергией других микроскопических движений — вращения и колебаний молекул. Энергия теплового движения в расчете на одну частицу составляет 3&772, а общая энергия микроскопических движений ikTI2, где г — число взаимодействующих степеней свободы. Так как (у — 1) г = 2, то отношение энергии микроскопических движений 1УМИкр

к тепловой равно

(2.30)(2.30)W9

(2.30)

(2.30)

микрь

^тепл “ 3(7-1) 1

При учете (2.30), а также при наличии магнитного поля, вместо (2.27) получается (Чандрасекхар, Ферми (1953)):

4-5- = З^макр + 3 (? - 1) И^микр ++ Ф, (2.31)

где Жм — энергия магнитного поля, определяемая формулой (1.97).

Теорема о вириале, выражающая некоторое интегральное соотношение, которое должно выполняться в состоянии равновесия, дает возможность сформулировать необходимое условие устойчивости статической системы (при И^макр = 0). Полная энергия системы равна

^ = ЖМИКр+Ф + Жм.(2.32)

Если Е *> 0, то, так к^к Имикр > 0 и

^^ = <3? - WmhkP + Е,(2.33)

имеем при у > 4/3

V^>a>Q^ -5Г>2й< +const- (2-34)

Таким образом, при 5>0 момент инерции системы возрастает со временем и, следовательно, система распадается. Для устойчивости состояния системы необходимо, чтобы полная энергия в этом состоянии была отрицательной. Это условие не является достаточным, так как, вообще говоря, при Е < 0 система также может быть и неустойчивой, способной переходить в состояние с еще меньшей энергией.

Для исследования устойчивости различных конфигураций, в частности, несферических вращающихся систем весьма эффективным оказывается вириальный метод, разработанный Чандрасекхаром и его сотрудниками и детально описанный в его книге (1973). Этот метод заключается в использовании, наряду с (2.29), ряда других интегральных соотношении, которые должны выполняться в со-

стоянии равновесия. Такие соотношения, получаются путем нахождения последовательных моментов уравнений движения.

Пусть распределение плотности в среде определяется функцией р (г). Скалярный момент инерции относительно начала координат

I = p(r)|r|2dr(2.35)

представляет собой след тензора инерции 1^;

I^ = § px^jd/r.(2.36)

(V)

Аналогично вводится тензор кинетической энергии

И^у = -у pPi^ аг’(2-37)

(V)следом которого является кинетическая энергия системы:pi^iMy.

(V)

В вириальном методе используется тензорный потенциал, определяемый формулой

Фу W= S р "^-fS^T^"dr'* (2,38)

След ф^- (г) — это обычный потенциал фг (г), находимый по формуле (2.18). Тензор потенциальной энергии

Фу W = у S р ^ ^} (r )dr't2,39)

(V)

имеет в качестве следа потенциальную энергию Ф.

- Моменты второго порядка от уравнений движения, записанных без учета вязкости и магнитных сил, (dv. dv. \

"аГ + у, я-2-) = - ^-- р^Д (i,7= 1,2,3), (2.40) 011 J dXj j dx^ r ox^ x 1 J1 n 4'

при условии равенства нулю давления на границе области 7 дают следующие тензорные соотношения:

-^Т = 2Wy + Фу + 6УП, (2.41) где

П = J р^^’^^

(V)

Теорема о вириале (2.27) непосредственно следует из (2.41). Для стационарного состояния получается шесть интегральных соотношений:

2Ж^ + Ф^ = - 6^-П.(2.43)

Аналогичным образом находятся моменты третьего порядка от (2.40), дающие соотношения между тензорами третьего ранга Z^k, W^k й др.

Вириальные соотношения записываются также и для равномерно вращающихся систем и этим определяется значение вириального метода для исследования устойчивости вращающихся конфигураций. Так, в этом случае, при угловой скорости £2вр, вместо (2.41) можно найти следующие интегральные соотношения:

24^^ + Ф# + fiBZjy — Йвр|ЙВр%/кз ~Ь б^П -|-

+ 2е^,п^врт ^ pViXjdT = 0.(2.44)

(V)

Если относительные движения во вращающейся системе координат отсутствуют, то при выборе оси х3 вдоль вектора ЙВр соотношение (2.44) принимает вид

Ф# + ^вр(^ гз 6j3Z3y) = — буП. (2.45)

Следствия из (2.45) и вириальных соотношений третьего порядка, используемые при исследовании устойчивости вращающихся конфигураций, приведены в упомя- той книге Чандрасекхара. Там же даны их применения к исследованию устойчивости фигур равновесия вращающейся несжимаемой жидкости.

Когда система, находящаяся в равновесии, испытывает некоторое лагранжево возмущение |, то вириальные соотношения (2.43), (2.44) варьируются. Если § имеет вид

и является достаточно малым, то вариации этих и других вириальных соотношений дают систему линейных уравнений по отношению к неизвестным X#. Из условия разрешимости этих уравнений определяется значение а, являющееся приближенной величиной собственной частоты колебаний системы (наилучшим приближением). Таким образом, для,пробных функций вида (2.22) вариационный и вириальный методы приводят к идентичным результатам и, следовательно, являются эквивалентными. Однако, поскольку в вириальном методе ограничиваются конечным числом моментов уравнения движения, юн применим только для конечного числа обертонов (сфе- рически-гармоничного возмущения), тогда как использование соотношения (2.20) позволяет изучить все моды ■сферически-симметричных конфигураций. Если же конфигурация значительно отклоняется от сферической симметрии, то необходимо при исследовании устойчивости ее состояния употребить вириальный метод. Естественно, для его применения следует знать распределение плотности и давления в равновесной конфигурации.

Применению вириального и других методов к исследованиям газовых конфигураций посвящен следующий параграф.

Устойчивость равновесныхгазовых конфигураций

Рассмотрим вначале простейший случай, когда устойчивость сферической конфигурации исследуется в предположении адиабатичности и гомологичности изменений ее состояния. Гомологичность означает, что пространственные распределения параметров газа остаются подоб^ ными самим себе. Решение такой задачи, впервые изучавшейся Лейном в 1870 г., подробно описано в книге Д. А. Франк-Каменецкого (1959) и здесь можно ограничиться лишь кратким изложением результатов.

В данном случае удобно пользоваться методом малых возмущений и использовать уравнение (2.14). Так как При сферической симметрии

= t2,46)

где 9Rr = ^4лг2р dr — масса, заключенная в сфере радиу- о

са г, то уравнение (2.14) записывается в виде

=(2-47)

а£2р or г2х 7

Вместо г (£) вводится координата rlR = т] (R — переменный радиус звезды), которая в силу предполагаемой гомологичности изменений остается для данного элемента постоянной. Поскольку все пространственные поля остаются себе подобными, то выражения для давления и плотности могут быть представлены в такой форме:

Р кг А = Pc kt) Л (Т)),(2.48)

Р krit) = pc kt) it (n).(2-49)

где рс (Д и рс (£) — значения соответствующих величин в центре звезды. Характер движения зависит от условий в одной точке (она не обязательно должна совпадать с центром конфигурации) и поэтому такую модель можно назвать «сосредоточенной». Из (2.47) при учете (2.48*) получается обыкновенное дифференциальное уравнение:

^2^ _ Y ^с ^^/9

№ ~ % РсД R1 ’

где %! и Л7 — функции т].

Для нахождения связи рс с R можно использовать соотношения (1.13) — (1.14), которые дают:

p~esR7^.(2.51)

Если выполняется условие

т - °-р-52)

то конфигурацию называют находящейся в состоянии теплового равновесия. При выполнении (2.52) и условия

(2.53)(2.53)£* =0dtS и

(2.53)

(2.53)

считают, что данная система находится в состоянии полного термодинамического равновесия. Когда при выпол-

нении (2.53) условие (2.52) не выполняется, то говорят, что конфигурация находится в состоянии механического равновесия. Известным положением астрофизики (см., например, В. В. Соболев (1975)) является то, что время установления механического равновесия звезды гораздо меньше, чем время установления теплового равновесия, определяемое продолжительностью диффузии излучения из недр звезды. Поэтому отклонения от механического равновесия целесообразно изучать независимо от наличия теплового равновесия, т. е. использовать (2.50) при постоянном значении энтропии.

Устойчивость механического равновесия в предположении о гомологичности изменений определяется решением уравнения (2.50). Вводя вместо И переменную у = Н!Н^ где Но — радиус равновесной конфигурации, записываем (2.50) в виде

— гт2 t 9 dt? Q° фху— гт2 t 9 dt? Q° фху(2.54)(2.54)

— гт2 t 9 dt? Q° фху

— гт2 t 9 dt? Q° фху

(2.54)

(2.54)

где

(2.55)(2.55)Рс ,Рс 2 XiPo GM

(2.55)

(2.55)

9 Ф1 = рГ ’ °0 = p»Ro "кГ *

а индексом нуль отмечены величины, соответствующие состоянию равновесия. При учете уравнения неразрывности и условия (2.52) получаем

= п2 /_11_\

d^ 0 уЗТ-21/2 у •

Считая отклонения от механического равновесия малым, т. е. полагая

,У = 1 + |(2.57)

и пренебрегая величинами порядка выше первого, по отношению к £, находим

5_-„«(3?-4)$.5_-„«(3?-4)$.(2.58)(2.58)

5_-„«(3?-4)$.

5_-„«(3?-4)$.

(2.58)

(2.58)

Из (2.58) следует, что при у ^>4/3 состояние газовой конфигурации является колебательно-неустойчивым. Будучи выведенной из состояния равновесия, система совершает гармонические колебания относительно этого состояния

с частотой, равной

д = ой /3? — 4.(2.59)

Ёслй у < 4/3, то величина £ содержит слагаемое вида aebl, где Ъ вещественно и положительно. В этом случае состояние неустойчивое и конфигурация распадается за время порядка Оо1*

К аналогичным выводам об устойчивости сферической конфигурации приводит и теорема о вириале. При отсутствии макроскопических движений получаем из (2.33), полагая dMIAt^ = 0 и учитывая (2.32),

£-Т^Г(И'»-|Ф|)-(2.60)

Из (2.60) видно, что если PFM< [Ф|, то Е <. 0 лишь при у J> 4/3. Когда у < 4/3, £ > 0 и необходимое условие устойчивости системы не выполняется. Присутствие достаточно сильного (РИМ >|Ф |) магнитного поля делает конфигурацию неустойчивой и при у > 4/3. Физически это обусловлено давлением магнитного поля, способствующим расширению конфигурации.

Оценим напряженность поля, при которой оно решающим образом влияет на устойчивость. Примем, что конфигурация является политропой индекса п. Тогда, учитывая известное выражение Ф для политропного шара, ф=-^-Т’(2-61)

где 5Л и R — масса и радиус шара соответственно, находим, что магнитная энергия превышает потенциальную, если среднее (по всей конфигурации) значение напряженности Н удовлетворяет неравенству

Уя2^2.108-§-Уя2^2.108-§-(2.62)(2.62)

Уя2^2.108-§-

Уя2^2.108-§-

(2.62)

(2.62)

(Й и 5Й в солнечных единицах, Н — в гауссах).

В случае, например, красного гиганта критическое значение Н составляет около 102 ас, а для белого карлика превышает 1011 гс.

Необходимое условие устойчивости сферической конфигурации получено при помощи теоремы о вириале гораздо более простым путем, чем методом малых возмущений,

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ^ и без ограничивающего предположения о гомологичности изменений. Это демонстрирует преимущества вириального метода. Однако, в столь простой форме он дает только критерий устойчивости и не позволяет получить частоты колебаний. Поэтому для невращающихся или медленно вращающихся конфигураций широко используется метод малых возмущений. Если же форма конфигурации сильно отклоняется от сферической, применение метода малых возмущений сопряжено с очень большими математическими трудностями.

Дальнейшие исследования устойчивости газовых шаров имели целью учесть влияние различных факторов, например, переменности у, неадиабатичности (освобождения энергии в звезде), присутствия излучения, вращения, магнитного поля и др. Влияние вращения на устойчивость сферических конфигураций рассматривалось, в частности, А. Б. Северным (1945). В обстоятельной работе А. Б. Северного (1948) методом малых возмущений изучено влияние изменений эффективного показателя адиабаты внутри звезды на ее устойчивость. Построена диаграмма устойчивости шара на плоскости (pm, 9%) (рт — средняя плотность) и показано, что неустойчивость растет с увеличением массы. Помимо этого, в указанной работе рассмотрена устойчивость газовых шаров в отношении нерадиальных колебаний при сферически-гармонических возмущениях и обнаружено, что они колебательно-неустойчивы для возмущений с I = 1 (Z — порядок гармоники), причем медленное вращение приводит к возрастанию неустойчивости. К аналогичному выводу позже пришел Чандрасекхар (1964), использовав обобщенный вариационный принцип.

Как полученные А. Б. Северным, так и последующие результаты исследований влияния переменности у и неадиабатичности на устойчивость сферических газовых конфигураций изложены в статье Леду (1958). Кратко они сводятся к следующему. Если зависимость энерговыделения от плотности и температуры имеет вид

е = ^Г, (2.63) а коэффициент поглощения выражается формулой

и = xopm2"n, (2.64)

то при у > 4/3 условие вековой устойчивости заключается в выполнении неравенства

Зр, + v > п — Зтп(2.65)

в каждой точке конфигурации. Записанное для всей конфигурации условие устойчивости имеет форму

Зр + v Хп — Зяъ)д,(2.65')

где усреднение в левой части производится по внутренней области (именно там выделяется энергия), а (п — Зтп)д — значение, соответствующее поверхностным областям. Так как для термоядерных реакций v обычно велико, то неравенства (2.65) и (2.65') должны выполняться в реальных звездах.

Время затухания возмущений вследствие неадиаба- тичности, связанной с диссипацией энергии (расходом на излучение), определяется формулой

эд

j (^V — 4) су^ dm

=1(2'66)

где L (Д) — светимость, а интегрирование производится по всей звезде. В (2.66) не учтено влияние переменности химического состава внутри звезды.

Влияние непостоянства у на частоту фундаментальной моды колебаний о0 может быть определено при помощи формулы

j (3-4/v)(-6p0)dr

0 . j pr^av

Здесь 6p0 — лагранжева вариация давления, соответствующая возмущению £0 и связанная с вариацией плотности соотношением

6/>о = . бр0Ро У Ро *

При ^о ^> 0 имеем — (бр0) > 0.

Вопрос о том, как сказывается магнитное поле на устойчивости статической конфигурации, был рассмотрен Волтьером (1958). Применив вариационный принцип (2.10), он получил в качестве одного из условий равновесия (в предположении несжимаемости), при магнитной энергии, превосходящей тепловую, равенство, которому должно удовлетворять поле:

[VH] = а!Г, (2.68)

где a — постоянная величина. Такое поле называют бес- силовым, так как при движении в нем заряженной частицы лоренцова сила равна нулю. Исследование С. А. Капланом (1959) свойств бессиловых полей показало, что вероятность встретить их мала. Этот вывод подтвержден Вентзелом (1960), доказавшим, что бессиловые поля являются неустойчивыми. До настоящего времени нет убедительных данных о присутствии бессиловых полей в реальных космических объектах.

Устойчивость газового политропного шара при одновременном присутствии полоидального и тороидального полей рассматривались Треханом и Уберои (1972) при посредстве обобщенного вариационного принципа. Они подтвердили известный уже ранее (см., например, Леду (1958)) общий вывод об уменьшении частоты радиальных колебаний в присутствии магнитного поля. Физически это . связано с действием магнитного давления, которое уменьшает эффективную силу тяготения и, следовательно, приводит к возрастанию периода колебаний.

Применив вариационный принцип, Вентзел (1960) нашел, что самогравитирующие конфигурации могут сильно деформироваться полоидальными полями, а тороидальные поля уменьшают деформацию. Вращение, также деформирующее конфигурацию, при малых напряженностях поля действует независимо от него.

В тех случаях, когда вращение или магнитное поле заметно сказываются на равновесном состоянии, прежде чем исследовать устойчивость конфигураций, необходимо предварительно найти структуру равновесной конфигурации при учете указанных факторов. Ю. В. Вандакуро- вым (1968) была получена система уравнений, определяющих равновесие вращающегося газового шара при наличцц

сильного магнитного поля, энергия которого сравнима с кинетической энергией вращения. За малый параметр X принято отношение центробежной силы на экваторе к силе тяготения. Определены с точностью до величины порядка X отклонения от равновесного распределения давления и потенциала, обусловленные вращением и магнитным полем. Найдены также, с той же точностью, выражения для изменения энтропии и энергии конфигурации. Как в этой, так и в других работах о равновесии вращающихся конфигураций (Роксбург, Штриттматтер (1966)), не учитывалась меридиональная циркуляция, возникающая при вращении.

Очень важным для теории звездной эволюции и проблемы происхождения тесных двойных систем является исследование устойчивости быстро вращающихся конфигураций. Когда центробежное ускорение на экваторе ^экв сравнимо с ускорением тяготения 1^тяг, фигура равновесия сильно отличается от сферической. Определяющим параметром для таких конфигураций является отношение ^экв/^тяг* Оно должно быть меньшим единицы, т. е.

-^->^РЯЭкВ, (2.69) • экв

так как в противном случае возникает ротационная неустойчивость, заключающаяся в истечении вещества в экваториальной плоскости.

Более простой является проблема структуры и устойчивости вращающихся конфигураций несжимаемой жидкости. История этой проблемы и ее современное состояние весьма полно освещены в книгах Джинса (1929), В. А. Крата (1950), Чандрасекхара (1973) и других. Вкратце они сводятся к следующему. Незначительная при медленном вращении сплюснутость увеличивается с возрастанием параметра %:

о2

(2-70)

и сферическая вначале фигура равновесия деформируется в сфероид. При значениях % < 0,225 возможны как малые, так и большие значения эксцентриситета. При % ж 0,187 от ?тоц последовательности фигур, называемых сфероида-

ми Маклорена, ответвляется последовательность трехосных эллипсоидов Якоби. Как было обнаружено Пуанкаре, на последовательности эллипсоидов Якоби существует точка бифуркации, в которой они нейтральны по отношению к смещению, соответствующему третьей зональной гармонике. В ней ответвляется последовательность грушевидных фигур равновесия (рис. 6). Этот факт лег в основу

Рис. 6. Сечение грушевидной фигуры равновесия.

гипотезы о происхождении двойных звезд путем превращения быстро вращающегося тела в грушевидную конфигурацию и последующего распада ее на два отдельных тела (Дарвин (1906)). Впоследствии Ляпуновым было доказано, что грушевидные фигуры равновесия неустойчивы и поэтому указанная гипотеза потеряла привлекательность для большинства астрофизиков. Однако при этом упускалась из вида возможность катастрофического деления быстро вращающегося тела, о которой говорил еще Джинс (1929).

В шестидесятых годах было установлено, что вращение реальных звездных конфигураций может быть неоднородным (угловая скорость растет с приближением к центру), а также, что в процессе своей эволюции звезда сжимается и, следовательно, ее угловая скорость возрастает. Учитывая последнее обстоятельство, Роксбург (1966а) выдвинул гипотезу об образовании тесных двойных систем типа W UMa путем деления протозвезды, в процессе сжатия увеличивающей угловую скорость. С другой стороны, В. Г. Горбацкий (19756) предположил, что системы указанного типа образуются в результате ротационной неустойчивости ядра проэволюционировавшей звезды (на стадии красного гиганта). Возможность такого процесса подтверждается многими наблюдательными данными, но

точнее исследование процесса деления и образования двойной системы пока провести не удается. Об этой проблеме еще будет сказано в гл. 6.

Как уже отмечалось выше, при изучении устойчивости быстро вращающейся конфигурации должна быть известна ее структура. В частности, необходимо знать распределение угловой скорости. Расчет моделей неоднородно вращающихся звезд и других конфигураций, например, газовых дисков, связан с большими трудностями, в значительной мере обусловленными недостаточным знанием механизмов обмена вращательным моментом между различными областями конфигурации. Современное состояние этого вопроса описано в статье Фрике и Киппенхана (1972) и он подробно обсуждается в гл. 6. В настоящее время расчеты структуры неоднородно вращающейся сжимаемой конфигурации имеются лишь для моделей, соответствующих белым карликам. Устойчивость этих моделей изучалась Тессулом и Острайкером (1968, 1969) вириалы ным методом. Об этих работах скажем здесь подробнее.

Ранее было найдено, что однородно вращающиеся политропные шары со значительным уплотнением к центру (показатель политропы п > 0,8) динамически устойчивы, пока отношение кинетической энергии вращения И" к потенциальной р—j<^0,14.

При пробной функции, взятой в виде (2.22), где Х^ —

девять постоянных, для однородных и однородно вращающихся конфигураций вириальные уравнения второго порядка дают точное значение собственной частоты колебаний. Можно полагать, что для сжимаемой конфигурации с центральной конденсацией получаемая таким путем величина о будет близкой к точному значению.

Угловая скорость йвр предполагается зависящей только от расстояния до оси вращения, так как было показано (Голдрейч, Шуберт (1967)), что это является необходимым условием устойчивости относительно локальных возмущений в звезде без магнитного поля. Принимая направление оси Ох3 совпадающим с £)вр, имеем

^t W = Qa^h(2.71)

/0 —1 0\

^•(r) = QBp(r) 1 0 0 .(2.72)

\о о о/

Из вириального уравнения (2.45) при указанном выборе пробной функции £ (г, 0 получается система:

— а2Ху § px^x^dr -V 2гоХ^ С^^^ +

(V)(у)

+ ^ik 5 PQj^A dr + х№ $ PQikX^k dr'=

(v)

= - ^ks^; a + 6yXkkP, (2.73) где

W'Sk;ij=- $ P^-^dr,(2.74)

(v)*

p = — § ^—^pdr.(2.75)

(v)

Условие разрешимости системы (2.73) дает характеристическое уравнение, из которого находится частота а. Для быстро вращающегося белого карлика

о— — (^Bp)zL^—j^ 2—К^вр^2—2(Й2Р^ ,(2.76)

где

У йвР W ^2Р W ^

<^вР> = ^ - , (2.77)

(V)

и <йвр> — таким же способом усредненное значение квадрата угловой скорости.

При отсутствии вращения из (2.76) получаются моды колебаний

а2 =а2 =4 |Ж]5 I4 |Ж]5 I(2.78)(2.78)

а2 =

а2 =

4 |Ж]

5 I

4 |Ж]

5 I

(2.78)

(2.78)

соответствующие гармоникам второго порядка (Z = 2, на = ± 2) и называемые кельвиновскими по аналогии с модами, найденными Кельвином для нерадиальных колебаний несжимаемой сферы.

Когда

<Q2P> - —g^-,(2.79)

то о = 0. Существование нейтральной моды в случае одно родн о-в ращающейся несжимаемой жидкости при й|р = = —z12^-- указывает на возможность ответвления в этой 712

точке от последовательности эллипсоидов Маклорена последовательности эллипсоидов Якоби (Чандрасекхар (1973)). По-видимому, такая возможность имеется и в случае сжимаемых конфигураций. При достаточно большой ^-^j^<0,14^ кинетической энергии вращения осесимметричные сжимаемые конфигурации становятся нейтрально устойчивыми относительно не осесимметричных возмущений, что соответствует точке ответвления трехосных конфигураций.

Если

л>>—^-+4-<й*р>2’(2-8°)

то для одного из значений а будет Im а> 0 и конфигурация колебательно-неустойчива. Вычисления показали, что

WW0 и поэтому такая неустойчивость наступает лишь

W

W

при достаточно большой величине <Qsp>> соответствующей значению отношения р^ 0,26. Периоды колебаний составляют 10—15 сек.

Как известно, масса очень быстро вращающегося белого карлика может быть больше чандрасекхаровского предела. Для всех моделей белых карликов с большими массами отношение <0,26 и они должны быть колебательно-устойчивыми. Что же касается моделей однородно- вращающихся белых карликов, то для них отношение Wj | Ф | очень мало и поэтому они тоже колебательно-устойчивы.

Указанные критические значения отношения ГР/|Ф| оказываются не очень чувствительными к изменениям по

казателя политропы п.

Устойчивость быстро и однородно-вращающегося белого карлика с учетом поправок за счет ОТО рассматривалась В. С. Имшенником и 3. Ф. Сеидовым (1970). Они обнаружили, что при скорости вращения, близкой к предельной, период колебаний уменьшается почти втрое (с 1,8 сек до 0,5 сек).

Одним из существенных обстоятельств, влияющих на устойчивость однородного вращения звезды, является неоднородность химического состава в ней. Ю. В. Ванда- куров (1972) нашел необходимое условие устойчивости однородного вращения, заключающееся в совпадении поверхностей постоянного молекулярного веса с изобарическими или изотермическими поверхностями.

В реальных звездных моделях с быстрым вращением: меридиональная циркуляция и вязкость должны приводить к перераспределению углового момента внутри звезды. Вследствие такого перераспределения у достаточно быстро вращающихся конфигураций возможно образование дискообразной структуры. Изучение устойчивости газовых дисков является весьма актуальной задачей также в связи с изучением структуры Галактики. Так как возникающая в диске неустойчивость тесно связана с са- могравитацией, то о ней уместнее говорить в следующем параграфе.

Рукав галактики часто моделируется цилиндрической газовой конфигурацией. Подобная же модель используется при изучении газовых колец. В связи с этим понадобилось исследовать устойчивость газовых цилиндров.

Необходимое условие устойчивости получается путем применения теоремы о вириале, которая для бесконечного цилиндра записывается, согласно Чандрасекхару и Ферми (1953), в виде

4--Sr = ^акр + З^-^Жмикр + г^м-С^, (2.81)

где I и М — момент инерции и масса соответственно, рассчитанные на единицу длины цилиндра,

м

7 = § тЧт,(2.82)

о

аг— расстояние точки от оси цилиндра.

Величина Жтакр — энергия радиальных движений — определяется формулой

м

Т^макр = 4" ^ (-^У ^-(2.83)

о

Так как ТТмакр > 0 и РРмикр > 0, то условие устойчивости имеет вид

/я2<2л/С Rp,/я2<2л/С Rp,(2.84)(2.84)

/я2<2л/С Rp,

/я2<2л/С Rp,

(2.84)

(2.84)

где R — радиус цилиндра, р — плотность газа в нем, и V ТР — среднеквадратичное по цилиндру значение напряженности поля. Магнитное поле препятствует сжатию цилиндра. Применяя неравенство (2.84) к галактическому рукаву, следует учитывать тяготение находящихся в нем звезд и поэтому заменять величину р на ]^ppi, где рх — полная плотность вещества в рукаве. Численные оценки показали, что поля напряженностью в несколько микрогаусс эффективно препятствуют сжатию рукава под действием самогравитации. Существуют и другие точки зрения на причины наблюдаемой устойчивости рукавов (см. Паркер (1972b)). В частности, на состоянии рукава должны существенно сказываться его неоднородность, хаотические движения газовых масс и давление космических лучей.

Цилиндрическая конфигурация, устойчивая по отно,- шению к радиальным возмущениям, может стать неустойчивой при возмущениях формы ее поверхности. Под действием самогравитации вначале однородный цилиндр должен распадаться на части. Размеры частей и время распада зависят от напряженности поля и плотности.

Краткое изложение состояния проблемы устойчивости цилиндрических конфигураций показывает, что ‘она еще далека от решения. Эффекты сжимаемости могут проявляться в неожиданной форме. Так, Острайкер (1964) обнаружил, что у газового цилиндра наряду с колебательными существуют моды, соответствующие конвективной неустойчивости.

Гравитационная неустойчивость

Рассматривая неустойчивость газовых конфигураций, приходилось учитывать влияние гравитационного поля, т. е. говорить, по существу, о гравитационной неустойчивости. Здесь этот термин употребляется в более узком смысле, а именно, он подразумевает неустойчивость диффузной массы газа (более или менее однородной), которая

под действием собственного поля тяготения может распадаться на отдельные конденсации. Задача об устойчивости относительно малых возмущений равновесия самограви- тирующей бесконечной покоящейся газовой среды была решена Джинсом (1929) в предположении однородности газа и без учета других полей и диссипативных эффектов ). Путем линеаризации уравнений движения, неразрывности и Пуассона получается следующая система относительно малых возмущений р' и ф':

Ро ^ + c2Vp' + р0 Vq^ = 0,(2.85)

4г + Р»т = °-(2-86)

V2q>g - 4nGp' = 0.(2.87)

В (2.85) использовано соотношение, связывающее возмущения р' и р', верное не только в предположении об адиабатичности, но и в более общем случае:

р' = с2р'.(2.88)

Величина р0 в (2:85) и (2.86) означает плотность невозмущенного газа.

Задавая возмущение в простейшей форме плоской волны

V Р > ф£ ~(2.89)

имеем из (2.85) — (2.87):

— fop0v' + сЧкр' + poi/сф^ = 0, — шр' + polkv' = 0,(2.90)

— Л2ф^ — 4лСр' = 0.

Характеристическое уравнение, находимое из условия, что система разрешима относительно амплитуд ^', р', ф^, имеет вид

а2 = W - 4лСру(2.91)

Из (2.91) находится фазовая скорость возмущения:

а л4jTGpoк “ V №а л4jTGpoк “ V №(2.92)(2.92)

а л4jTGpo

к “ V №

а л4jTGpo

к “ V №

(2.92)

(2.92)

Когда 4лбр0 <^Л2с2, то фазовая скорость распространения возмущения близка к с и групповая скорость почти равна фазовой. С возрастанием отношения 4лбр0//с2 скорость распространения возмущения уменьшается. Это объясняется замедлением передающих возмущение частиц под действием тяготения. Влияние гравитационного поля тем сильнее, чем больше длина волны возмущения %. При значении %, приближающемуся к ХКрит,

%%Крит —Крит —2лт2лт= с= с(2.93)(2.93)

%

%

Крит —

Крит —

2лт

2лт

= с

= с

(2.93)

(2.93)

фазовая скорость стремится к нулю, а групповая — бесконечно возрастает. Если же тяготение настолько велико, что 4лСр0 > fc2c2, то о2 < 0 и одно из значений о обладает положительной мнимой частью. В таком случае среда оказывается неустойчивой. Возбуждаемые в газе колебания быстро затухают и он распадается на сгустки с размерами порядка Хкрит.

Критерий Джинса заключается в неравенстве

у ЛОроу ЛОро(2.94)

у ЛОро

у ЛОро

определяющем длины волн таких возмущений, по отношению к которым среда неустойчива. Если % < ХКрит, соответствующее возмущение должно распространяться, не приводя к заметным изменениям плотности.

Малое возмущение произвольного вида можно представить интегралом Фурье и, таким образом, свести задачу о его влиянии на среду к изучению действия возмущений вида (2.89). Следовательно, критерий (2.94) не зависит от формы возмущения.

Критерий Джинса, примененный к межзвездной среде, в которой р0 ^ 10~24 г-см-3 и с ^ 105 см/сек, показывает, что она неустойчива относительно возмущений с очень большой длиной волны X > 1021 см, и сгустки, на которые среда распадается вследствие неустойчивости, должны иметь массу порядка 1038—1039 г»

XXс2rtGpo Qgpс2rtGpo QgpВажная роль гравитационной неустойчивости для космогонии стимулировала ряд работ, в которых изучалось влияние на критерий Джинса различных факторов. Так, Чандрасекхар (1961) нашел, что при твердотельном вращении среды величина Хкрит остается той же самой, кроме случая, когда возмущение перпендикулярно к вектору угловой скорости. йВр- В этом случае вместо (2.94) получается

X

X

с2

rtGpo Qgp

с2

rtGpo Qgp

(2.95)

Силы Кориолиса оказывают стабилизирующее действие, уменьшая инкремент. При дифференциальном вращении критическая длина волны ХкрИт зависит от конкретного характера движения и формы возмущения. При учете вязкости и теплопроводности, критерий неустойчивости однородной среды получается в том же виде (2.94), но в этой формуле под с следует понимать изотермическую скорость звука.

Замена бесконечной среды плоскопараллельным слоем приводит к следующему видоизменению критерия Джинса для возмущений, распространяющихся вдоль слоя:

(2.94')

Х>Х>с2 + а2 л(?рс2 + а2 л(?рВ связи с тем, что в межзвездной среде имеется магнитное поле, во многих работах изучалось влияние поля на форму критерия гравитационной неустойчивости. Соответствующая литература приводится в статье А. Г. Пахольчика (1962) и в книге С. Б. Пикельнера (1967). В случае бесконечной среды, находящейся в однородном поле, для возмущений, не перпендикулярных к полю, вид критерия (2.94) не меняется. Если же возмущение перпендикулярно к полю, то вместо (2.94) получается следующее неравенство:

Х>

Х>

с2 + а2 л(?р

с2 + а2 л(?р

(2.96)

где а — альвеновская скорость. При конечной проводимости среды критерий (2.94) остается верным для возмущений любого вида.

При определенных условиях магнитное поле увеличивает устойчивость однородной среды. Это имеет место, в частности, для дифференциально вращающихся систем с тороидальным полем (А. Г. Пахольчик (1962)).

Так как предположения, при которых выведен критерий Джинса, об однородности и бесконечности среды, а также о малости возмущений, плохо соответствуют реальным ситуациям, представляющим интерес для космого- нии, рядом авторов исследовалась гравитационная неустойчивость при отказе от указанных предположений. Было рассмотрено также влияние на устойчивость межзвездного газа неоднородности, обусловленной присутствием звезд (Бертотти и Кавальери (1969)).

В связи с проблемой образования звезд много внимания уделялось изучению устойчивости среды, занимающей сферический объем (Хантер (1964), Хоредт (1970)). Газ под действием тяготения должен спадаться к центру сферы (коллапсировать). Его способность противостоять коллапсу и находиться в равновесии зависит от скорости теплоотдачи. Если излучение энергии, освобождающейся при сжатии газа, происходит достаточно быстро, то тя^ готение преодолевает силу, обусловленную градиентом давления, и газ продолжает сжиматься. При этом, как показывают вычисления, возможна фрагментация газа и образование конденсаций в результате гравитационной неустойчивости. Физической причиной неустойчивости является, по-видимому, ускорение освобождения гравитационной энергии при образовании конденсаций. Критерий неустойчивости (2.94) в этом случае видоизменяется. Он обобщен также для случая среды, занимающей сферический объем и при этом расширяющейся и вращающейся (Бёрд (1969)).

Приближенное решение задачи о гравитационной неустойчивости под действием конечных возмущений расширяющегося газа в пренебрежении давлением (Я. Б. Зельдович (1970)) привело к интересному выводу. Оказалось, что возникающие в результате неустойчивости конденсации имеют форму дисков. На эволюции каждого диска сильно сказывается образующаяся при гравитационном сжатии ударная волна.

Другой, более традиционный подход к задаче о гравитационной неустойчивости по отношению к конечным воз-

мущениям использован в работах Ж. Тессул и Пелье (1972) и Ж. Тессул и М. Тессул (1972). Ими рассмотрена одномерная бесконечная однородная среда с начальной плотностью р0. Уравнения неразрывности и движения записываются в лагранжевой форме:

дхдхР да Р°’Р да Р°’(2.97)(2.97)

дх

дх

Р да Р°’

Р да Р°’

(2.97)

(2.97)

(2.98)(2.98)д^х дх 1 др дх

(2.98)

(2.98)

dt2 дар да ' ^ да

где а — начальная координата данной точки и х (a, f) — ее эйлерова координата. Флуктуация плотности р — р0 связана с ускорением тяготения g уравнением Пуассона, которое в данном случае представляется в виде

(2.99)(2.99)^L = _4nG(p-po)-^--дахг ги/ да

(2.99)

(2.99)

В предположении адиабатичности движения из (2.97) и (2.98) получается уравнение

(2.100)(2.100)д^ 2 9 Г 1 / дх \-Vl .

(2.100)

(2.100)

"dS" - — ^"daVTVda-/ J + ^’

где с0 = т —— скорость звука в невозмущенном газе.

\ Ро /

Дифференцирование (2.100) при учете (2.99) дает следующее уравнение, записанное в безразмерных переменных:

(2Л01)(2Л01)

(2Л01)

(2Л01)

где

(2.102)(2.102)т — (4лСр0)1/2-^

(2.102)

(2.102)

2 = kja,2 = kja,/ 4л(7р0 \ v2 ^<7 ' |п ) •

2 = kja,

2 = kja,

\со /

Уравнение (2.101) решалось при следующих начальных

условиях:

-г = 0, u = 1,-^- = esinA:z, (2.103)

содержащих параметры е и к.

Решение линеаризованного уравнения (при 8^1 и к > 1) имеет вид

и (£,£) = 1 + -5— sin 2л£- sin о0т, (2.104)

где Од = к? — 1. Если е очень мало и к^ 1, то длина волны возмущения меньше значения %Крит, определяемого по (2.94), и возмущения со временем не растут. Численное решение (2.101) при не очень малом е (^0,2), к = 2 и у = б/3 показало, что возмущения не являются строго периодическими в пространстве и нелинейные эффекты растут со временем. Приближенно характер нелинейности выяснен путем исследования аналитического решения уравнения (2.101), полученного разложением по параметру е с точностью до членов второго порядка малости включительно. Оно продемонстрировало, что существование устойчивых решений возможно только, если к удовлетворяет условию

& ^> 1 + (у + 1) (у + 2). (2.105).

Когда у < 2, нелинейность приводит к небольшому увеличению критической длины волны, за которой нет устойчивых движений. Этот эффект пренебрежимо мал при | 81 ^ ^0, 1.

Если к^Л, нелинейность очень существенно сказывается на движении, происходит раскачка колебаний, причем тем сильнее, чем больше е.

Из приведенного решения нелинейной задачи вытекает, что критерий (2.94) применим и в случае конечных возмущений, так как критическая длина волны %Крит оказывается близкой к определяемой из соотношения (2.91). Хотя подобное исследование для трехмерного случая произвести трудно, можно полагать, что благодаря нелинейной связи между пространственными движениями и для него указанный вывод остается в силе.

Конденсации, возникающие вследствие гравитационной неустойчивости, называют волнами плотности. Если среда представляет собой вращающийся газовый диск, то возникающие в нем волны плотности имеют вид спиралей. С волнами плотности связывают образование спиральной структуры у галактик.

§ 4]

Обзор проблем, возникающих в связи с такими представлениями о происхождении спиральных ветвей, содержится в статье С. А. Каплана и С. Б. Пикельнера (1974).

Неустойчивости Рэлея — Тейлораи Кельвина — Гельмгольца

Конфигурация, состоящая из двух плоскопараллельных слоев жидкости неодинаковой плотности и находящаяся в поле тяжести, является неустойчивой, когда более плотная жидкость находится сверху (т. е. ускорение тяготения направлено от тяжелой к легкой жидкости). В этом случае говорят о неустойчивости Рэлея — Тейлора (Р — Т). Как показали недавние исследования, неустойчивость этого вида играет важную роль в динамике звездных оболочек и межзвездной среды.

Физический смысл неустойчивости Р — Т очень простой. Если в неоднородной жидкости градиент плотности противоположен направлению силы тяжести, то при смещении элемента, например, «вниз», он окажется в слоях с меньшей, чем у него, плотностью, и поэтому будет продолжать движение в ту же сторону. Таким образом, эта система всегда является неустойчивой. Подобные соображения применимы и для сжимаемой жидкости, хотя критерий неустойчивости в этом случае сложнее.

При синусоидальном возмущении £ плоской границы между двумя слоями жидкости с плотностью рв («верхняя») И рн («нижняя»)

^е№-^) (2.106)

в предположении о том, что по обе стороны от граничной поверхности движение безвихревое, получается (Лемб (1947)) следующее выражение для о2:

О» = Рн~Рв kg, (2.107)

где g — ускорение силы тяжести, считаемое положительным. Когда рв > рн, то существует такое оъ что Im Ot > 0 и, следовательно, имеет место неустойчивость. Она возникает всегда при ускорении, направленном в сторону более легкой жидкости, причем ускорение

не обязательно должно быть гравитационным, а может иметь и иной характер.

В системе из двух несжимаемых жидкостей при наличии однородного магнитного поля Н, параллельного поверхности раздела, вместо (2.107) получается (Талуор (1959)):

о2 = Рн~Рв kg + 4gL_.(2.108)

Рн "1* Рв ^Л рв -f- рн

Из (2.108) следует, что при достаточно большом значении к, т. е. для возмущений с малой длиной. волны, присутствие поля делает границу, раздела устойчивой. Ее искривлению препятствует натяжение магнитных силовых линий. При к <_ к^ где

=(2.109)

поверхность неустойчива. Таким образом, магнитное поле может препятствовать развитию неустойчивости Р — Т в случае несжимаемых жидкостей. При учете сжимаемости результат получается иным.

Устойчивость более сложной системы — слоя сжимаемой жидкости с непрерывно меняющейся плотностью, находящейся в однородном магнитном поле, перпендикулярном к полю тяготения, рассмотрел Паркер (1966). При этом, имея в виду применение результатов к условиям Галактики, он учитывал также давление космических лучей Р. Считая направление оси Oz противоположным направлению g, уравнение равновесия записываем в виде

Т^» + Р + -£)--?« 8 и- (2-»0)

Решение этого уравнения получено в предположении, что

= Р = РА р =р^(2.111)

где а и р — некоторые постоянные, a vz — средняя скорость в направлении оси Oz. При помощи этого решения находится шкала высот й (расстояние вдоль оси Oz. на котором плотность изменяется в е раз):

7 _ у£ (1 + а + Р)7 _ у£ (1 + а + Р)(2.112)(2.112)

7 _ у£ (1 + а + Р)

7 _ у£ (1 + а + Р)

(2.112)

(2.112)

Критерий устойчивости системы относительно малых возмущений магнитного поля вида

ЬА = f ^е^-°1\ЬА = f ^е^-°1\(2.113)(2.113)

ЬА = f ^е^-°1\

ЬА = f ^е^-°1\

(2.113)

(2.113)

где А — вектор-потенциал, получен обычным способом — линеаризацией системы и решением находимого для нее характеристического уравнения. При этом принималось, что

_^Р =о.(2.114)

р ’ рdtх 7

Последнее равенство записывается потому, что тяготение не сказывается на газе космических лучей, а скорость их велика по сравнению со скоростью распространения возмущений. Величина g считается не зависящей от z. Возмущения должны обращаться в нуль у основания слоя и оставаться конечными при 2->оо.

Условие возникновения неустойчивости при указанных условиях имеет вид

(1+а + Р-у)(1+а + р)--^

>2aV + ^(2a + ?)(l + -^-) + Z7\ (2.115) где

U=^-, т = 1ша,(2.116)

а и — тепловая скорость. Условие нейтральной устойчивости получается из (2.115), когда полагают U = 0. Если при этом а = 0, р = 0 и у > 1, то неравенство (2.115) невозможно и, следовательно, в отсутствие поля и космических лучей система устойчива. В присутствии достаточно сильного магнитного поля и при наличии космических лучей система становится неустойчивой. Если у ^ 1, газ неустойчив сам по себе.

Неустойчивость выражается в скатывании тяжелого газа вниз вдоль изгибающихся силовых линий поля. Это приводит к еще большему изгибанию силовых линий. Вместе с тем, когда газ «стекает», то он облегчает те области, где силовые линии выпуклы — области под действием

магнитного давления расширяются вверх и силовые линии изгибаются в ту. же сторону (рис. 7). Что касается космических лучей, то поскольку их давление вдоль силовой линии предполагается неизменным, они способствуют углублению впадин и усилению выпуклостей.

К аналогичным выводам о неустойчивости Р — Т пришел С. Б. Пикельнер (1965), рассматривая равновесие

Рис. 7. Схематическое представление неустойчивости Рэлея — Тейлора при наличии магнитного поля.

в галактическом рукаве вблизи нейтральной повехности поля Галактики.

Неустойчивость Р — Т приводит к накоплению газа во «впадинах» поля. Когда газ достаточно сожмется, в нем может развиться гравитационная неустойчивость и происходить конденсация.

Развитие неустойчивости Р—Т при отсутствии поля происходит путем «стекания» более тяжелой жидкости в виде языков, вклинивающихся в жидкость, расположенную ниже. На поверхности раздела между текущей и неподвижной жидкостями имеет место тангенциальный разрыв.

Тангенциальные разрывы скорости встречаются в астрофизических условиях довольно часто. Вопрос об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости рассмотрен сравнительно подробно также и потому, что впервые в данной книге мы встречаемся с неустойчивостью течения, а не статической конфигурации. Неустойчивость такого течения носит название неустойчивости Кельвина — Гельмгольца (К — Г). Она детально

описана в книге Чандрасекхара (1961)у а обзор более поздних исследований сделан Джервином (1968), изложению которого мы будем здесь следовать.

Выберем систему координат таким образом, чтобы поверхность раздела между движущейся и неподвижной жидкостями совпадала с плоскостью yOz. Газ в области ж^> 0 течет со скоростью р0 в направлении оси Oz, а при х < 0 — покоится. Невозмущенное значение плотности обозначим р0 и давления — р0. Вязкость, тяготение и магнитное поле не учитываются.

Обозначая через 1)^ р^ р.^ возмущения соответствующих величин в движущемся газе, записываем линеаризованные уравнения движения и неразрывности в таком виде:

(2.117)(2.118)(2.117)(2.118)дУ2 , „ дУ2

(2.117)

(2.118)

(2.117)

(2.118)

~дГ" + V° На* + ^V^ = ®"

Из условия адиабатичности движения

^-(pp-v)=O(2.119)

можно получить уравнение:

8Р»„ 9р^ - с» ( 9р» + „Г2 120^

где с — скорость звука в невозмущенном газе.

Зададим синусоидальное возмущение g на поверхности раздела

£ — exp {г (куу + kzz —ot)}.(2.121)

Тогда для возмущений «а, Рг и рк имеем соответственно:

«г — exp (i (куу + kzz— а^)},(2.122)

pa ~ exp {i У$уу + kzz — ai)),(2.123)

Рг = / (ж) exp {i (куу + kxz — at)Y(2.124)

При помощи (2 117), (2.118), (2.122) и (2.123) из (2.120) получаем

°" %- +с^ ^г = -°'^Чг- с^ъ %- - (2Л25)

где обозначено

о' = о — kzv0.(2.126)

Из (2.125) следует, что при учете (2.124), уравнение, определяющее / (ж):

Г + (^*2) / = 0,№ = к»^ kV (2.127)

решение которого имеет вид

/ (х) = Ае^, q^y^-21,(2.128)

и поэтому

?2 = а ехр {—q^x + i (куу + kzz — а^)}. (2.129) Так как возмущение не должно возрастать с удалением от поверхности раздела, то если д2 вещественно, то оно и положительно, а если q^ комплексно, то Re g2 > 0. Полагая в уравнениях (2.117), (2.118) и (2.120) р0 = 0, аналогичным образом получаем выражения для возмущения давления р^ в неподвижном газе:

Рх = В exp {до + i (куу^[- kzz — at)^ (2.130)

гДе qx = у кй^- также положительно или Re qt > 0.

В случае чисто мнимого д2 или qx возмущение не стремится к нулю при удалении от поверхности раздела и поэтому соответствующее значение а не согласуется с граничными условиями.

При х = 0

v^ = ^=-to^ ^ = -^-4-^-^- = — ^. (2.131)

Членом v0 ^ во втором из этих выражений учитывается изменение скорости течения, вызванное малым угловым

отклонением потока, когда он вынужден пересекать созданную возмущением «рябь» на границе между жидкостями.

По уравнению (2.117)

2Х ~* ia'po дхЩ'ро

и, следовательно, при учете (2.131),

г-г~ = — Ш Е.мт Роъ

Аналогично находим

—— = — lOLмтро*

£ из (2.133).£ из (2.133).При х = 0 р[ = р'ъ и поэтому, исключая

£ из (2.133).

£ из (2.133).

(2.132)(2.132)(2.133)(2.133)(2.134)(2.134)a'29i + п2д2 = 0.a'29i + п2д2 = 0.(2.135)(2.135)и (2.134), находим характеристическое уравнение:

(2.132)

(2.132)

(2.133)

(2.133)

(2.134)

(2.134)

a'29i + п2д2 = 0.

a'29i + п2д2 = 0.

(2.135)

(2.135)

Соответствующее уравнение для несжимаемой жидкости получается отсюда при = g2 = 1 (с со):

ц'2 + а2 = 0.(2.136)

Его решение имеет вид

° = -у- ^e (1 ± 0,(2.137)

показывающий, что тангенциальный разрыв в несжимаемой жидкости всегда неустойчив. В случае газа, как показывает анализ уравнения (2.135), разрыв может быть устойчивым по отношению к возмущениям, составляющим достаточно малый угол со скоростью v0.

Введем безразмерную фазовую скорость % и эффективное число Маха М соотношениями:

-^ = ъ= м (2.138)

В этих обозначениях характеристическое уравнение записывается таким образом:

х211 - (х - М)2Г/! = -(х - м)2(1 - X2)*'2. (2.139)

Исследование уравнения (2.139) приводит к выводу, что при М > Мкрит = 1^8 возможно существование волн, соответствующих % ж 1, % ж М — 1 и некоторому промежуточному значению %. При М -э-1^8 + 0 оба корня приближаются к промежуточному. Когда М < ^8, указанные корни превращаются в комплексные сопряженные и система является неустойчивой по отношению к одной из мод.

Значение М становится меньше Мкрит, когда угол А достаточно велик. Поэтому относительно возмущений, у которых волновой вектор составляет достаточно малый угол со скоростью потока, возможна устойчивость. Однако, поскольку всегда существуют неустойчивые моды (соответствующие достаточно большим углам А), тангенциальный разрыв в рассмотренных условиях неустойчив и поэтому распадается. Вязкость оказывает стабилизирующее действие на разрыв.

Исследование неустойчивости - К — Г при наличии магнитного поля выполнено Паркером (1964) для различных моделей, представляющих астрофизический интерес. В случае полубесконечных областей при поле, параллельном направлению скорости г0, Паркером найдено следующей условие неустойчивости:

С2 Г1 _ /4^4УЧ< Уо2 <С41 + (4^У‘А ; (2.140)

где а означает альвеновскую скорость.

При различии в плотностях обеих жидкостей и наличии поля условия неустойчивости имеют сложный вид. Для несжимаемых жидкостей, занимающих области — оо < < # < 0' и 0 < х < оо соответственно, условие неустойчивости выглядит таким образом

У° ^ —а— ^° + ^s)’У° ^ —а— ^° + ^s)’(2 141)(2 141)

У° ^ —а— ^° + ^s)’

У° ^ —а— ^° + ^s)’

(2 141)

(2 141)

где а- = ps/po^ Ро и Р« — плотность в движущейся и покоящейся' жидкости соответственно, а0 и as — соответствующие значения альвеновской скорости

Когда поле Направлено параллельно скорости движения газа и толщина 2d движущегося слоя конечна, то существуют две моды, могущие привести к неустойчивости

Первая из них неустойчива, если

a th Ы • i?o > ^1 + а th kl^ ^ -1- аа^ th kd^ ,(2.142)

и называется «сосисочной» («sausage»), поскольку вследствие неустойчивости увеличивается ширина потока при неизменном положении центральной линии. Вторая мода, называемая «змеевидной» ^ («serpentine»), неустойчива, если

acthfcd-i?o >~-(1 + acthM) (ao + aa? cthkdy (2.143)

Ширина потока в этом случае сохраняется, но он становится синусоидально искривленным.

Наиболее благоприятные условия для развития неустойчивости существуют, когда a^l и-у^М. При v0 ж 10 а все возмущения с длиной, волны, удовлетворяющей указанному неравенству, приводят к неустойчивостям обоих видов. Время роста неустойчивости порядка времени, за которое пробегается длина волны. Поэтому в случае широких потоков в солнечной короне действие неустойчивости ограничивается поверхностными слоями

§ 5. Устойчивость ударных волн

В предыдущем параграфе рассматривалась задача об условиях устойчивости тангенциальных разрывов относительно малых возмущений. Аналогично можно изучать устойчивость произвольного разрыва, в частности, перпендикулярных и наклонных ударных волн. Такие исследования производились многократно и с их результатами можно познакомиться по книгам Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1953), С. А. Каплана (1958), Э. Андерсона (1968), по обзору Р. Э. Половина (1960) и другим источникам. Тем не менее, поскольку ударные волны встречаются в космических объектах очень часто и ряд важных задач относительно их распространения все еще не решен, здесь стоит изложить основные представления об устойчивости ударных волн. Сначала рассмотрим Волну при отсутствий магнитного поля.

Ударную волну называют устойчивой, если при достаточно малых возмущениях ее форма не меняется и воз-

мущения течения также остаются малыми. При нарушении устойчивости волна может распасться на несколько устойчивых ударных волн или возникает течение другого вида.

Пусть возмущение плоской ударной волны возникает в результате падения на нее звуковой волны заданной амплитуды. От возмущенного фронта могут расходиться звуковые волны, причем каждой из них соответствует определенная амплитуда. Кроме того, возникает возмущение энтропии в волне, уносимое потоком. На фронте ударной волны должны выполняться законы сохранения потоков массы, импульса и энергии. Из них можно однозначно найти амплитуду уходящей волны, если она одна. Эти же условия определяют возмущение фронта и амплитуду энтропийной волны.' Если скорость ударной волны по отношению к невозмущенному газу сверхзвуковая, а относительно газа за фронтом дозвуковая, т. е.

рх > cv р2 < с2> (2.144)

то вперед звуковая волна распространяться не может При нарушении первого из условий (2.144) с фронта возможно излучение большего числа волн. При этом волна оказывается неустойчивой, так как она самопроизвольно излучает энергию в форме звуковой волны (или волн). Если же г2 ^> с2 и гх ?> cv то энергия падающей волны накапливается. Следовательно, условия (2.144) являются необходимыми для того, чтобы ударная волна была устойчивой. Как было показано в гл. 1 (§ 6), они выполняются для стационарных ударных волн. При изучении тангенциальных разрывов (§ 4) было установлено, что при возмущении от такого разрыва расходятся две звуковые волны и он оказывается неустойчивым.

Достаточные условия устойчивости ударной волны были установлены С. П. Дьяковым (1954). Метод их получения заключается в следующем. На плоскости разрыва бесконечной протяженности вдоль оси Ох (при у = 0) задается синусоидальное возмущение вида

В = So exp (i (fczz — st^Y (2.145)

В результате возникают возмущения удельной энтропии 6s? давления бр, удельного объема 6У и скорости бг>,

причем

dp, 67, 6^ — exp {i (fczz — ot^ • exp {i (Z^ у)}. (2.146) Из уравнения сохранения энергии

—+^-дг=°(21

следует, что

to — б^8 = 0.(2.148)

Это означает существование решений двух видов. Если

kyVy — б — Э, 6s ^^ 0,

(2.149)

то из уравнения движения

ddv ,db-vТ7Т7о

dt +ду =7V6^

(2.150)

вытекает, что

[V б^1)] ^ 0.

(2.151)

Соответствующее решение (обозначаемое Индексом «1») представляет энтропийно-вихревые волны, переносящие энтропию и вихрь скорости. Во втором случае, когда

куиу — о ^ 0, 6s = О,(2.152)

из уравнения (2.150) и условия неразрывности

t + ^^^-pW(2Л53)

получается другое решение (обозначаемое индексом «2»):

^ = - тг67(2)1(21154)

Это соотношение показывает, что решение второго вида соответствует звуковым волнам.

Далее, возмущения представляются в виде суммы решений, соответствующих обоим типам волн, например:

6v = б^1) + 6v<2\(2.155)

Величины 6^, 8р и 67 должны удовлетворять уравнениям (2.150), (2.153), (2.154) и условиям сохранения на разрыве. Используя получающиеся соотношения между 6р<2), б^1), б^(2), 67^, 67<2> и б (6р(1) = 0) и исключив

из них все величины, кроме б, можно получить характеристическое уравнение в виде

у1 \ V2 /\у1у2/ 4 У У/\ др /г J

(2.156)

где / — поток массы через разрыв, иг — значение невозмущенной скорости газа до фронта, р2 — скорость за фронтом, (^-1 — величина производной, взятой вдоль адиабаты Гюгонио, и к1 = 1^ + к^.

Исследование уравнения (2 Л 56) приводит к условиям т <-.L или m >1(1 + 2^, (2.157) \ др /г J2\ др /г J2 \ 1 с р х 1

при выполнении одного из которых Im a > 0 и, следовательно, ударная волна неустойчива. Для волн в идеальном газе при отсутствии стоков энергии за фронтом неравенства (2.157) не выполняются и, следовательно, такие волны устойчивы. Условия (2.157) показывают, что волна неустойчива, когда с ростом давления плотность уменьшается или растет недостаточно быстро. Такая ситуация в астрофизических условиях обычно не встречается.

Волны, которые сопровождаются высвечиванием газа за фронтом, причем настолько сильным, что их можно считать изотермическими, оказываются устойчивыми (С. А. Каплан (1958)). Однако когда в газе происходит сток энергии путем излучения, возможно (Скалафурис (1969)) возникновение неустойчивости другого вида — тепловой (гл. 3), которая сказывается и на движении волны. Это обстоятельство бывает существенным для ударных волн, распространяющихся в межзвездной среде и оболочках звезд (Мафсон (1974), Стейн (1975)), и о нем будет подробно сказано в соответствующих разделах книги.

До сих пор речь шла об устойчивости ударных волн, распространяющихся в однородной среде. Точное исследование устойчивости волны, движущейся по среде переменной плотности, связано с очень большими математическими трудностями и до сих пор не произведено. В работе Л. Э. Гуревича и А. А. Румянцева (1970) сделана попытка подойти к вопросу с качественной стороны, ис-

пользовав наглядные соображения. Действительно, кажется почти очевидным, что ударная волна при движении по среде с убывающей плотностью неустойчива* Если вследствие возмущения какой-либо участок волны выдвигается вперед по сравнению с другими, то его скорость станет больше, чем у соседних областей фронта, и возмущение должно продолжать расти. Это обстоятельство было отмечено еще ранее в работе Скалафуриса (1969), исследовавшего распространение ударной волны по атмосфере звезды. Как им было найдено, тяготение cтaбилизиpyQт слабые волны, но если число Маха превосходит 1,3, волна обязательно теряет устойчивость.

Вывод о неустойчивости ударной волны при распространении ее в сторону убывания плотности среды нельзя считать окончательным. Во-первых, он противоречит данным многих экспериментов, указывающих на высокую степень устойчивости ударных волн, и результатам астрофизических наблюдений, демонстрирующих существование устойчивых ударных волн. Во-вторых, в работе Л. Э. Гуревича и А. А. Румянцева этот вывод получен математически недостаточно строго, поскольку предполагалось, что возмущения бр, б^ и скорости волны 6D независимы, а это ниоткуда не следует, и вопрос о развитии возмущений нуждается в специальном исследовании.

При изучении газомагнитных разрывов нужно пользоваться полной системой уравнений магнитной газодинамики. В этих случаях возможно существование энтропийных, медленных магнитозвуковых, быстрых магнитозвуковых и альвеновских волн. Число допустимых расходящихся волн возрастает, как и число условий на разрыве. Типы газомагнитных- разрывов были рассмотрены в работе С. И. Сыроватского (1953). В наиболее простом случае волны, распространяющейся перпендикулярно к однородному магнитному полю, необходимые условия устойчивости («эволюционное™») имеют вид (см., например, Р. Э. Половин, (I960))

(^m-)i < ^-i < ^iJ v~^ *^ (^7п-)г ^ ^i (2.158) и

^1 < (Ст+)2 < ^+15 ^2 < ^+2 < (Стп+)2- (2.159) Здесь через ст_ и стЛ. обозначены скорость медленной и быстрой магнитозвуковой волн соответственно, а — аль-

веновская скорость и индексы «1» и «2» означают скорость до и после разрыва соответственно. Условие (2.158) соответствует ударным волнам, называемым медленными, а (2.159) относится к быстрым волнам.

Сложный вопрос об устойчивости наклонных ударных волн детально обсуждается в книге Э. Андерсона (1968). Вообще говоря, их устойчивость может зависеть от ряда факторов — угла наклона ударной волны, типа волны, вызывающей возмущение, направления ее волнового вектора — и общего решения задачи дать не удается. Отметим, что в той же книге доказывается важное утверждение, согласно которому выводы об устойчивости относительно малых- нормальных возмущений остаются в силе и при любых малых возмущениях.

Глава 3

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ,КОНВЕКТИВНАЯ И ТЕПЛОВАЯНЕУСТОЙЧИВОСТИ

Большие масштабы движений* газа в астрофизических объектах при относительно малой его вязкости приводят к возникновению особого вида неустойчивости движения— турбулентности. Перенос количества движения турбулентностью играет важную роль в звездах и звездных оболочках. Генерация магнитных полей в межзвездной среде согласно распространенным теориям обусловлена турбулентными движениями. Общие понятия о закономерностях турбулентного движения излагаются в первом параграфе, а вопрос о возможности генерации им магнитных полей — в следующем.

Перенос энергии конвекцией оказывается в большой мере определяющим строение звезд типа Солнца и более поздних спектральных классов. Особенно важным является исследование конвективного переноса для понимания структуры внешних слоев Солнца и природы происходящих в них явлений.

Основные особенности конвективных движений в линейном приближении описываются в третьем параграфе, а в четвертом рассматриваются нелинейные процессы переноса энергии конвекцией.

С конвекцией тесно связан еще один специфический вид неустойчивости — тепловая неустойчивость. Она приводит к возникновению в газе сильных неоднородностей и является одним из главных факторов, определяющих наблюдаемую структуру межзвездной среды.

Теории тепловой неустойчивости посвящен пятый параграф.

§ 1. Турбулентное движениеи методы его исследования

В отличие от ламинарного движения,— спокойного, меняющегося лишь при изменении внешних условий или действующих сил,— при турбулентном движении происходит непрерывное и немонотонное изменение газодинамических величин в любой точке потока.

Условия перехода ламинарного течения в турбулентное определяются на основе эксперимента. При обтекании бесконечного круглого цилиндра плоскопараллельным потоком несжимаемой жидкости турбулентность возникает при определенном критическом значении скорости, которое связано с величиной диаметра цилиндра d и коэффициента вязкости V. Установить эту связь можно, использовав уравнение движения (1.71) (при (Vq)g)=O, (V d) = 0) в безразмерных координатах, когда за единицу длины принято d, а за единицу скорости — скорость потока р0 на бесконечном расстоянии от цилиндра (там, где возмущающее действие цилиндра на поток не сказывается) Из него получается тем же путем, что и (1.47), урав- ненивгДля вихря О:

^-+.[V[Q^]] = -^-V2Q, (3.1)

где через Re обозначен безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса:

Ве = -^L . (3.2)

Так как уравнение (3.1) имеет стационарное решение при любом значении Re, то характер течения зависит только от величины Re и эксперимент дает то критическое значение ReKPHT, при котором движение становится турбулентным.

Число Рейнольдса определяет отношение инерционных членов в уравнении движения к членам, учитывающим вязкость. Силы инерции способствуют возникновению неоднородностей в газе, так как приводят к сближению различных его объемов. Действие силы внутреннего трения направлено на выравнивание скоростей. При большой вязкости и соответственно малом числе Re сущест-

Таблица 2

Наименование объекта

Характерная длина, см

Характерная скорость, см'сек

V, см^сек-1-

Re

Облако в области Н I

1018—1019

10е

3.1018

10»—10б

Область Н II

1017—1018

10е

Ю19

104—105

Планетарная туманность

ЮМ—1017

10е

101°

1012—1013

Оболочка нестационарной звезды

1011—1012

.107—108

106—107

ЮИ—1013

Корона звезды

1010—1011

107—108

1017

1—10

Фотосфера

1010—1011.

105—106

10—103

ЮЮ—1014

Внутренняя область звезды

109—101°

105—106

1—10

1013—1015

венных неоднородностей не возникает. Из эксперимента для Кекрит получается значение порядка 103—104.

В табл. 2 приведены величины Re в различных астрофизических объектах. При. ее оценках использованы приближенные формулы, определяющие кинематическую вязкость:

а) для полностью ионизованного водорода (Спитцер (1965)):

V = 2,21 • Ю"15 ■ ■ f2 Ж — Т^,(3.3)

’р In А п 1х '

где In А — кулоновский логарифм и п — концентрация атомов. Обычно принимают In А » 10;

. б) для слабо ионизованного (м+ ^ 10“4п) газа:

v ж 1018v ж 1018J!1^пJ!1^п(3.4)(3.4)

v ж 1018

v ж 1018

J!1^п

J!1^п

(3.4)

(3.4)

Таким образом, из данных табл. 2 следует, что почти во всех часто встречающихся объектах, за исключением корон звезд, движения не должны быть ламинарными. Однако не во всех случаях можно, говорить о турбулентности в точном смысле этого слова, так как в турбулентном движении имеют место определенные статистические закономерности. Не всякое хаотическое движение газа является турбулентным.

При наличии развитой турбулентности величины, определяющие состояние газа — скорость, плотность, давление, в каждом элементе газа меняются случайным образом. В таких случаях употребляют выражение «турбулентные пульсации». Эти пульсации случайны, но между ними существует статистическая связь. Поэтому при изучении турбулентности используется теория случайных процессов. Если же изменения параметров газа в элементе происходят не чисто случайным образом, то движение уже нельзя называть турбулентным в газодинамическом смысле. Это обстоятельство имеет смысл подчеркнуть, так как в астрофизике термином «турбулентные» иногда определяют любые хаотические движения.

Одна из важнейших особенностей турбулентного течения — перенос количества движения в жидкости вследствие взаимодействия турбулентных пульсаций — выявляется при усреднении уравнений движений. Усреднение производится при выполнении некоторых условий, называемых условиями Рейнольдса (см., например, А. С. Монин и А. М. Яглом (1966)).

Ограничимся при усреднении случаем несжимаемой жидкости. Разность между истинным значением компоненты скорости рг и средним ее значением ^и^ дает пульсационную компоненту

Ui = Vi — <vt>.(3.5)

После усреднения уравнений движения

р5- + Р(^)^ = —-^-Н-т!?2!;»(i= 1,2,3) (3.6)

при учете уравнения неразрывности

Эк-

(3.7)

получаем следующую систему уравнений Рейнольдса для величин <Vi>:

k 9t + (P <yi> + P <u^j>) =

= ~(3.8)

Эти уравнения совпадают с системой (1.30) (при Vq>5 = = 0), если в качестве тензора потока импульса принять величину П^:

nik = Р <Vi> <vk> + 6it <р> — «а46> — T-fc), (3.9) где,

Tik = P <UiUK>(3.10)

означает так называемый тензор напряжений Рейнольдса.

Из (3.9) следует, что перенос количества движения в турбулентном потоке происходит также в результате взаимодействия пульсаций скорости. На этом основании вводят понятие турбулентной вязкости, для которой величина, соответствующая коэффициенту кинематической вязкости, определяется следующим образом:

^i^k^ = ^турб ^^ •(3.11)

Размерность [vTyP6] = см^-сек"1 та же, что и коэффициента молекулярной вязкости.

Величины т^, входящие в (3.9), являются новыми неизвестными, и, следовательно, система уравнений (3.8) оказывается незамкнутой. Это обстоятельство составляет главную трудность в теоретических исследованиях турбулентности.

Одним из способов замыкания системы является использование эмпирических соотношений или общих физических соображений. Соответствующие теории называются пол у эмпирическими. В качестве примера подобного подхода, имеющего значение и для астрофизики, рассмотрим решение задачи о турбулентном течении несжимаемой жидкости между двумя параллельными плоскостями, одна из которых покоится, а другая движется со скоростью v0. При выборе плоскости уОх так, чтобы она совпадала с неподвижной плоскостью, и направления оси Ох совпадающим с направлением скорости vQl система (3.8) сводится к одному уравнению,

"Т-ТГ»^-0'<ЗЛ2>

где ц — коэффициент молекулярной динамической вязкости. Напряжение трения т (z)

т (z) ”11 "■ ^ - р (3лз) согласно (3.12) оказывается постоянным вдоль оси Oz и равным напряжению т0 на неподвижной плоскости.

Течение на расстоянии z от неподвижной плоскости может зависеть только от этой величины z, т0, v и р, причем вследствие независимости z и v от массы скорость течения, поскольку ее размерность не содержит символа массы, должна зависеть лишь от отношения т0/р. Так как [-—-] = [v2] = см^-сек"^(3.14)

то можно ввести параметр V* такой, что

(3.15)

Из v*, v и z составляется лишь одна безразмерная комбинация v^zh. Поэтому

<vx (z)> = v*f (-^-) .(3Л6)

Течение определяется молекулярной вязкостью лишь при z*^ — , а при z^>—закон изменения <vx> с высотой не должен зависеть от у, так как турбулентная вязкость на достаточно больших расстояниях от неподвижной плоскости играет преобладающую роль. Из ^ и z составляется лишь одна комбинация с размерностью градиента скорости и, следовательно,

(3.17)

dzzх 1

откуда получается

<^ (z)> = »*К (In z — In z0).(3.18)

Такая форма зависимости скорости жидкости от высоты хорошо согласуется с экспериментами, из которых опре- (V \ ж 30 — 1 .

В полуэмпирических теориях турбулентности очень часто используется понятие «длина перемешивания»,

введенное Прандтлем в 1-925 г. по аналогии с длиной свободного пробега молекул. Предполагается, что в среде существуют «турбулентные элементы», каждый из которых проходит в среднем путь I. Между коэффициентом утуРб, определяемым по (3.11), и I имеет место зависимость вида

vTyp6 <^>(3.19)

по аналогии с формулой

^МОЛ = ^мол^молХ(3.20)

Если принять, что

д /у \

иу »их^ I — -,(3.21)

то для величины vTyp6 получается выражение

^турб — ^2^турб — ^2ауау(3.22)(3.22)

^турб — ^2

^турб — ^2

ау

ау

(3.22)

(3.22)

где I характеризует некоторый средний путь перемешивания. Обычно считают, что длина пути перемешивания для турбулентного элемента равна его размеру. Проходя этот путь, элемент теряет свою индивидуальность, «растворяется», передавая количество движения и энергию другим элементам.

При статистическом описании турбулентной среды она представляется совокупностью элементов (их также называют турбулентными вихрями) различных масштабов. Элементу масштаба I сопоставляется волновое число к = 2лЛ. Наибольший масштаб турбулентного вихря L по порядку величины соответствует размерам области, охваченной турбулентностью. Наименьший из масштабов Zo определяется тем, что турбулентное движение возможно только в достаточных больших объемах, где Re > 1. Вязкость препятствует развитию турбулентности в меньших объемах, где энергия макроскопического движения диссипирует, превращаясь в тепловую.

Так как энергия турбулентного движения непрерывно диссипирует, в стационарном состоянии должен существовать поток энергии к вихрям наименьшего масштаба. Энергия источника, возбуждающего турбулентность, передается вихрям наибольшего масштаба L. В соответст7 вии со сказанный должен существовать поток энергии

через иерархию вихрей, т. е. к вихрям со все меньшими масштабами. Это означает дробление энергии по все большему числу степеней свободы.

Поток энергии через иерархию вихрей промежуточного масштаба I

l0<l<L(3.23)

не должен зависеть ни от способа притока энергии, ни от диссипации, определяемой молекулярной вязкостью. Если пренебречь сжимаемостью, то его можно считать зависящим лишь от масштаба вихря и соответствующего значения турбулентной скорости и. Зависимость потока энергии (s) через иерархию вихрей, рассчитанного на единицу массы и имеющего размерность

[е] = см^сек"3,(3.24)

определяется из соображений размерности:

е^.(3.25)

В хстационарном состоянии е = const и из (3.25) получается известный закон Колмогорова — зависимость скорости вихря от его масштаба:

и ~ Гк(3.26)

Внутренний масштаб турбулентности определяется только величинами тмол и е. Учитывая их размерности, находим

(3-27)

Нетрудно видеть, что для I ^ 10 величина Re порядка единицы. Если для всей системы число Рейнольдса есть Иеь, где L — характерный масштаб, то число вихрей наименьшего масштаба в этой системе порядка Ве’ь. Таким образом, турбулентная жидкость соответствует механической системе с очень большим 'порядка Ree/) числом степеней свободы (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц (1953))*).

Движения и диссипация кинетической энергии в сжимаемой жидкости зависят от скорости звука с. Поэтому

характер движения определяется не только величиной Re, но и числом Маха М. При достаточно большой скорости движения, т. е. для вихрей больших масштабов, диссипация энергии происходит также в ударных волнах. Поскольку теория сверхзвуковой турбулентности пока не развита, в астрофизике часто используются, в качестве приближений, выражения (3.25) и (3.27).

В турбулентном газе при М <^ 1 диссипация энергии происходит путем образования акустических волн. Мощность возникающего шума F (определенная при предположениях о том, что турбулентность однородна и изотропна, а звук возбуждается только в квадрупольном приближении) в расчете на единицу массы равна (Лайтхилл (1952))

F = 38sM5. (3.28)

Это выражение часто используется в астрофизике при расчете нагрева внешних слоев звезды вследствие диссипации механической энергии.

При М ^ 1 турбулентную среду можно рассматривать как ансамбль турбулентных вихрей и ударных фронтов. Попытки изучения такого ансамбля пока не привели к значительным результатам (см., например, Хёрнер (1958)). Большие возможности для учета диссипации в ударных волнах предоставляет спектральный метод, о котором будет сказано несколько ниже, а сейчас рассмотрим корреляционный метод в теории турбулентности.

Так как все величины, характеризующие состояние жидкости в данной точке, являются случайными функциями, то метод статистической теории турбулентности заключается в составлении и решении уравнений, определяющих функции распределения вероятностей скорости, плотности и давления. Имея такие функции, можно находить средние значения газодинамических характеристик, которые обычно и являются определяемыми экспериментально. При усреднении уравнений газодинамики получается система уравнений для моментов функции распределения. Обычно ограничиваются определением первых моментов, поскольку функцию распределения найти не удается.

При турбулентном движении, каждая из компонент скорости в частице является случайной функцией времени. Пусть ик (г, £) — значение А-й компоненты скорости

(&= 1, 2, 3) в момент t в точке, определяемой вектором г (ж, у, z); Среднее по времени значение ^ (г, 2) определяется следующим образом:

Г/2

vk(r, О = Ит 4г ^ vk(r, t + f) at*. (3 29)

-Т/2

При условии, что vk (г, t) не зависит от времени, поле случайной величины vk (г, t) называется стационарным. Величина Вкк (г, /т, £2), определяемая формулой

®to (г, <1, ^) = Vk (г, Н) ик (г, t^ =

Т/2

= Пт 4г ^ vk (г, Н + f) vk (г, t2 + Г) dt', (3.30)

называется корреляционной функцией поля vk (г, t). Если процесс стационарный, величина Вкк (г, tYl t^ зависит только от разности £2 — tv Можно ввести корреляционную функцию пульсаций Ъкк (г, ^, t2), которая для стационарного процесса также зависит лишь от разности t^ — t^

= Вкк (г, к — ^) — \vk (г^.- (3.31)

Необходимое и достаточное условие стационарности поля записывается в виде

г

lim А- ВкК (г, ^, ^ + Г) df = [yk (г)]2.(3.32)

Т-»оо 1 J

0

В турбулентном потоке существует связь между значениями скоростей в различных точках. Она описывается моментами различных порядков от компонент поля скоростей, получаемых при помощи функции распределения вероятностей. Важную роль в теории играет тензор двухточечных моментов второго порядка В^ (rX) r^ tX) t^, компоненты которого получаются усреднением при помощи функции распределения р (vf (r^; Vj (г2)):

Вц (гь r2; tx, t2) = \vi (гь ^i) v5 (r^ t2) P (Vi, Vj) dvi dvj =

= <Vi (Г1, i,) Vj (r2, t^>,(3.33)

i,7 = 1, 2, 3.

Величины В^, В22 и В33 называют корреляционными функциями (пространственными) для полей vls z;2 и v3 соответственно. Величина Вм (r^ r2\ ^i, tO представляет собой взаимную корреляционную функцию полей vk и vt. Наряду с корреляционным тензором В^ вводят структурный тензор:

Ъгэ (^1, ^2; ^Ъ t^ =

= <{Mi ^ ^ — ^г (^2, ^)] [Vj (Гь £1) - Vj (Г2, t2)]}> == Вц (Гь гг\ tA) to + BVj (r2, r2; ^7 to —

— B^ (rb r2; h, tO — B^ (r^ rf, t^ t^. (3.34)

Этот тензор описывает корреляционные связи между точками в меньших масштабах, чем тензор Вц* Если

Вц (^*1» ^2? ^1» ^з) = Вij (?*2 Г-^ tv j^2), (3.35) то турбулентность называется однородной, а в случае, когда к тому же

Вц (^*!> ^*2» ^1» ^2) = В^з (|^2 ^1 |> ^1» ^1 (3.36)

она является и изотропной. При условии, что аналогичные соотношения имеют место для компонент тензора Ь^ но не для Btj, турбулентность называется локально однородной и локально изотропной соответственно. В астрофизических условиях трудно ожидать присутствия однородной и изотропной турбулентности, поскольку для нее требуется однородное распределение источников турбулизации по всему объему объекта. Требования для осуществления локально изотропной турбулентности менее жесткие.

Путем нахождения моментов от уравнений движения получаются уравнения относительно тензора В^ и тензоров более высокого ранга, также представляющих собой моменты полей скоростей. В случае, если турбулентность локально изотропная, также можно найти уравнения, в которые входит тензор Ь^ и соответствующие структурные тензоры более высокого ранга.

Как обычно, система моментных уравнений оказывается незамкнутой, и для ее замыкания используются различные предположения, о которых подробно говорится в монографии А. С. Монина и А. М. Яглома (1966).

Система уравнений для корреляционных (или структурных) тензоров получается в предположении о том, что жидкость несжимаема. Когда сжимаемостью пренебречь нельзя, корреляционный метод неприменим. В связи с этим обстоятельством, а также трудностью физически обоснованного замыкания системы указанный метод сравнительно мало использовался в астрофизике. Гораздо шире возможности применения спектрального метода, который позволяет яснее понять физическую сторону явлений.

Спектральный метод основывается на возможности аппроксимировать любую случайную функцию суммой некоррелированных между собой гармонических случайных функций (см., например, Т. А. Агекян (1974)). В частности, случайная функция — скорость v (t) элемента газа — представляется в виде интеграла Стилтьеса

v{t) = 5 e™4Z{4(3.37)

где Z (со) — некоторая случайная комплексная функция, удовлетворяющая условиям:

Щю) = 0,

dZ (со) dZ* (toi) = F (co) 6 (co — toi) dto dtov (3.38)

Первое из этих условий выражает стационарность, а второе — статистическую независимость (звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина).

Так как среднее по времени значение кинетической энергии, рассчитанной на единицу массы, пропорционально значению корреляционной функции (3.30) при ^i — ^2

М^= 5(0),(3.39)

то функция F (со), в соответствии с (3.37) и (3.38), выражает среднюю энергию, приходящуюся на единичный интервал частот со, и поэтому ее называют спектральной плотностью.

Корреляционная функция'

В (t) = v* (т) v (t + т)

представляет собой результат преобразования Фурье от спектральной плотности:

(0 = $ еЫ^ ^ ^(0 = $ еЫ^ ^ ^(3.40)(3.40)

(0 = $ еЫ^ ^ ^

(0 = $ еЫ^ ^ ^

(3.40)

(3.40)

а обратное преобразование Фурье дает

F^ = 4г V^B^at.(3.41)

Соответствующее понятие спектральной плотности вводится и для однородного процесса, причем роль величины 67ш/ играет е^1*, где к — волновой вектор. Вместо интервала частот со вводится пространство волновых векторов и соответственно случайная функция Z (fc). Произвольная случайная функция координат v (^) представляется в виде

v^ = ^e^aZ^,v^ = ^e^aZ^,(3.42)(3.42)

v^ = ^e^aZ^,

v^ = ^e^aZ^,

(3.42)

(3.42)

где интеграл берется по всему пространству волновых векторов. Корреляционная функция В (г') определяется следующим образом:

(3.43)(3.43)В (^') = <v* (г) Z2 (г + г')>.

(3.43)

(3.43)

Она выражается интегралом Фурье от спектральной плотности F (£), вводимой равенством

AZ (kJ az (kJ = F (к)6 (к2 — kJ ак^. (3.44) Имеем

В (г) = J eikrF (к") ак (Дк = акг ак2 &kj (3.45) и соответственно

^ (л?) = -L ^ е-^в (г) аг(аг'= ах ау а&\ (3.46)

Путем осреднения уравнений Навье — Стокса получаются уравнения для спектральной плотности. Они описывают, в частности, изменение со временем энергосодержания в вихрях с различными волновыми числами.

Вместо величины F (к) удобно ввести функию Е (| к |) выражением

Е^= ^ F^dS(k\1^1=^Е^= ^ F^dS(k\1^1=^(3.47)(3.47)

Е^= ^ F^dS(k\

1^1=^

Е^= ^ F^dS(k\

1^1=^

(3.47)

(3.47)

где dS (к) — элемент поверхности сферы радиуса | к |. Так как Е (К) dk определяет энергию, приходящуюся на интервал волновых чисел от к до к + dk, то

S(0) =^E(k)dk.(3.48)

о

Для однородных и изотропных полей

(М = ^ -т- 5 (г’ ^г2 йг(3-49)

о

Е (к, t) = WF (к, t).(3.50)

При этих предположениях из уравнений Навье — Стокса получается следующее уравнение для спектральной функции F (к, t):

-^^ = г (fc, () - 2v^ (к, t),(3.51)

где

Г (к, /) = - 2kF3 (к, t)(3.52)

и F3 (к, t) — преобразование Фурье от Bln,n — двухточечного момента третьего порядка функции v, равного

Bln, n = ^l (x)vN (x)vN (х + r)>.

Здесь vl — составляющая скорости вдоль вектора г, а vn — составляющая, перпендикулярная к этому вектору.

Из уравнения (3.51) видно, как меняется спектр турбулентности с течением времени. Вторым слагаемым правой части учитывается диссипация энергии турбулентного движения под действием сил вязкости, а первое слагаемое описывает взаимодействие вихрей.

При изотропной турбулентности

что означает компенсацию потерь энергии у больших вихрей приобретением от них энергии малыми вихрями.

Так как непрерывно происходит диссипация кинетической энергии в теплоту в вихрях наименьшего масштаба, уравнение для стационарной турбулентности ^ ^ ^-^ = 0^ получается путем подстановки в правую часть члена, описывающего поступление энергии е (fc) от источников турбулизации.

Как и всегда при осреднении нелинейных уравнений, в данном случае неизвестных функций (F (к, t) и Е3 (к, £)) больше, чем уравнений, их определяющих. Поскольку механизм обмена энергией между вихрями не выяснен, для получения замкнутой системы предлагались различные гипотезы.

Умножив уравнение (3.51) на 4л/с2 и проинтегрировав сначала в интервале [0, кА, а затем от к до оо, находим к\

^Е (к',t)dk’ = -W(к, 0 - 2v'Jк,2Е(к', 0dk', (3.54) Оо

4г\е О1*' ^^ = W(к, 0 — 2v ^ к'^Е(к', t)dk’,(3.55)

кК

где через W (к, t) обозначено количество энергии, передаваемой от вихрей с волновыми числами, меньшими к, вихрям с волновыми числами, превосходящими к:

W (к, 10 = J 8лк'8Е3 {к', 0 dk' = - $ 8nk'3F3 ф, 0 dk'. (3.56) о к

Рядом авторов предлагалось, на основе различных соображений, выражение для «обменногб члена» W (к, t\ Отсылая за подробным изложением этих гипотез к монографии А. С. Монина и А. М. Яглома (1946), заметим лишь, что для значений к, лежащих в интервале

<3’57)

все использовавшиеся выражения для W (к, t) дают так называемый спектр Колмогорова — Обухова

Е (к) ~ к"^(3.58)

Эта зависимость следует непосредственно из соображений размерности. В соответствии с предположением Колмогорова, при достаточном большом значенйи Re все характеристики вихрей в указанной области (3.57) зависят лишь от потока энергии е. Таким образом, и Е (&) не должно зависеть от иных величин, кроме е. Поскольку [А] = см-1, [е] = см^-сек-3, [Е (&)] = см3-сек"2, то из этих величин можно составить только одну безразмерную величину, имеющую вид Е (^е"”2'3-^/» и, значит, имеет место соотношение (3.58).

В области, где доминирует вязкость, величина Е (&) быстрее убывает с ростом к:

Е (к) ~ к”3.(3.59)

Решение спектрального уравнения обычно осуществляется путем перехода к дифференциальному уравнению, которое содержит в качестве неизвестной величины турбулентную вязкость.

После того как источники турбулизации прекращают действие, происходит процесс постепенного превращения кинетической энергии турбулентного движения в теплоту — турбулентность вырождается. Шкала времени затухания /Зат Для вихря масштаба I в области (3.57), согласно (3.26),

^зат~“I43.(3.60)

Поэтому движения сравнительно больших масштабов продолжаются еще долго после выключения источников турбулизации и существует поток энергии через иерархию вихрей. Когда в самых больших вихрях сохраняется еще много энергии, то, так как Re = ulL/v ^ const, t ^ L/ul, скорость и масштаб наибольших из вихрей изменяются со временем следующим образом:

uL~Ms L~txK(3.61)

На последней стадии, когда процесс определяется уже лишь молекулярной вязкостью, из соображений размерности получается

uL~f^\ L~W«.(3.62)

На промежуточной стадии, когда энергия больших вихрей уже исчерпана, но в вихрях промежуточного масштаба еще ее много,

uL ~ ей, l ~ ^\ (3.63)

Эти зависимости получены на основе так называемого инварианта Лойцянского — соотношения, показывающего сохранение квадрата момента количества движения во всей области, охваченной турбулентностью. Так как момент содержится главным образом в больших вихрях, то можно считать, что

ulL5 ж const, (3.64)

и найти отсюда, при учете (3.60), выражения (3.63).

Роль турбулентностив генерации космических магнитных полей

Так как магнитное поле препятствует хаотическим движениям поперёк поля в проводящем газе, то можно ожидать увеличения устойчивости (стабилизации) движения при наличии достаточно сильного регулярного поля. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости при конечной проводимости в однородном магнитном поле методом малых возмущений (см. Каулинг (1959)) подтверждает это обстоятельство.

В рассматриваемом случае устойчивость зависит от величины коэффициента магнитной вязкости vM и соответствующего магнитного числа Рейнольдса ReM, определяемых выражениями

Re» = -^-, (3.66)

где v0 — характерная скорость и d — характерный масштаб течения. Число ReM характеризует относительную величину членов, определяющих взаимодействие магнитного. поля с полем скоростей, и диффузионного члена в уравнении (1.87). При бе-> оо ReM -> оо и диффузией поля можно пренебрегать.

Устойчивость течения несжимаемой жидкости между параллельными пластинами, находящимися на расстоянии Lo друг от друга, в случае, когда поле Яо параллельно пластинам, зависит от безразмерной величины SLOl записываемой в виде

sl0 = 4^

где v0 — скорость невозмущенного движения и а — аль- веновская скорость. При SL0 <^ 1 наличие поля не сказывается на устойчивости. Если же 5Л0^>1, то критическое число КеКОиг, при котором наступает неустойчивость, значительно больше, чем в отсутствие поля. При движении поперек поля (направленного перпендикулярно к пластинам) критическая величина числа Рейнольдса зависит от безразмерной величины, называемой числом Гартмана,

Мг =Мг =сс(3.68)(3.68)

Мг =

Мг =

с

с

(3.68)

(3.68)

Число Гартмана характеризует отношение силы, действующей на жидкость со стороны поля, к силе, обусловленной кинематической вязкостью. Оказывается, что

(3.69)(3.69)R®KpHT ~ Мр

(3.69)

(3.69)

и, следовательно, стабилизирующее действие поля растет пропорционально его напряженности.

В случае проводящей жидкости устойчивость зависит от того, насколько быстро вещество может «просачиваться» сквозь поле. Это отчетливо видно, если записать SL0 в виде

д2у0^дд2у0^д(3.70)(3.70)

д2у0^д

д2у0^д

(3.70)

(3.70)

тде> уд -т- скорость диффузии поля. В астрофизически важных случаях проводимость очень велика и эффект «прокачиваемости» обычно пренебрежимо мал. Поле тесно связано с веществом, «вморожено» в него. В этих случаях не приходится говорить о внешнем по отношению к газу поле. Вещество вместе с вмороженным в него магнитным по-

лем представляет единую систему. Исследование условий устойчивости газа с вмороженным в него полем при? полном учете сжимаемости является очень ^трудной задачей и пока не осуществлено.

Когда Re > КекрИт, то движение и* в присутствии магнитного поля турбулентное. При ое оо хаотические движения газа приводят к запутыванию вмороженных в него магнитных силовых линий. Поэтому поле в турбулентной среде также приобретает хаотический характер и можно употреблять выражение «пульсации магнитного поля», а также использовать понятие среднеквадратичной напряженности поля <Я2>.

Запутывание силовых линий при определенных условиях должно приводить к возрастанию средней напряженности. При этом будет увеличиваться и магнитная энергия за счет кинетической. Закон возрастания средней напряженности поля со временем получается из условия вмороженности, которое может быть записано в виде

Н - pS7, (3.71)

где 6? — элемент силовой линии. Если линии удлиняются равнобмерно и плотность среды при этом не меняется, то 5^- = 08?(3.72)

и, следовательно,

(3.73)(3.73)dH □ тт— = ^н-

(3.73)

(3.73)

Из (3.73) получается, что средняя квадратная напряженность поля экспоненциально возрастает со временем:

<1Р> = <Н^ е^.<1Р> = <Н^ е^.(3.74)(3.74)

<1Р> = <Н^ е^.

<1Р> = <Н^ е^.

(3.74)

(3.74)

Изменения плотности могут играть существенную роль в процессе усиления поля. Тем не менее обычно считают, что в межзвездном газе и в других случаях, когда можно пренебречь гравитацией, запутывание поля происходит таким же образом, как и в несжимаемой жидкости;

Характерное время нарастания доля ^"1 порядка времени перемешивания Ии. Пока магнитная-энергия-существенно меньше, чем кинетическая, скорость запутывания не зависит от напряженности. Более сильное поде сопро-

тивляется запутыванию линий, и в конечном счете возрастание средней напряженности поля должно прекратиться. Широко распространено мнение о том, что в турбулентной среде устанавливается равнораспределение магнитной и кинетической энергий, т. е. имеет место равенство

Т<Я,>=-Г<Р“*>-(3-75>

с2с2Равнораспределение возможно лишь в случае, когда время диссипации поля вследствие конечной проводимости существенно превосходит характерное время «запутывания», т. е. при условии

с2

с2

(3.76)

В межзвездной среде оно выполняется, но все же предположение о равнораспределении энергии по всем масштабам нельзя считать достаточно обоснованным. Возрастание поля из-за запутывания линий происходит главным образом в малых масштабах. Построение теорди, описывающей процессы обмена энергией между жидкостью и полем во всех масштабах, встречается с большими трудностями. Попытка развития такой теории была предпринята С. А. Капланом (1958). Он ввел, помимо спектральной функции Е (к) (формула (3.47)), соответствующую ей функцию G(fc). Величина G (k)dk представляет собой количество магнитной энергии, рассчитанное на единицу массы и содержащееся в вихрях с волновыми числами от к до к + dk. Таким образом, получается система двух уравнений. Одно из них — это уравнение (3.54), если в него добавить члены, учитывающие переход кинетической энергии в магнитную и диссипацию энергии в ударных волнах, а другое — аналогичное уравнение для G (к). Форма обменных и диссипативных членов постулируется из физических соображений и, в частности, из соображений размерности. Поэтому указанные уравнения не могут считаться единственными, соответствующими истинной картине явления.

Уравнения сводятся к дифференциальным и после этого решаются. Для стационарного случая существует

решение вида

JE(/c) = JE(M(4)28’1> (3-77)

где 6 — величина, зависящая от скорости диссипации энергии в ударных волнах. При отсутствии диссипации 6 = = 4/3 и соотношение (3.77) представляет обычный колмогоровский спектр. Если же происходит диссипация энергии в ударных волнах, величина 6 > 4/3 и, значит, спектр более крутой. Это обстоятельство обусловлено тем, что до вихрей с большими волновыми числами в этом случае доходит меньше энергии.

При условии равнораспределения кинетической и магнитной энергий в вихрях всех масштабов зависимость G от к должна быть аналогичной (3.77). Однако, как отмечено выше, нет оснований утверждать, что такое равнораспределение существует.

Другое решение системы соответствует колмогоровскому спектру для Е (к) (при отсутствии диссипации в ударных волнах), а зависимость G (к) имеет вид

G (к) ~ к*^. ^Л^

Таким образом, в области больших волновых чисел кинетическая энергия вихрей того же порядка, что и магнитная. С переходом к вихрям большего масштаба относительное содержание кинетической энергии в них возрастает и магнитная энергия в самых больших вихрях оказывается малой по сравнению с кинетической. По-види- мому, это решение лучше соответствует* действительной картине газомагнитной турбулентности.

В вихрях наименьших масштабов происходит омическая диссипация магнитной энергии наряду с вязкой диссипацией кинетической энергии. Наименьший масштаб вихрей Zmin определяется из условия равенства по порядку величины времени запутывания Ии времени диссипации, определяемому по (1.90):

<3-79>

Поскольку кинетическая энергия в вихрях больших масштабов, поступившая от источника турбулизации, значительно превосходит магнитную, а переход кинетической

энергии в магнитную происходит в меньших масштабах, допустимо решать задачу о влиянии, поля скоростей на магнитное поле приближенно, без учета обратного влияния поля на движения. За счет механических движений может происходить рост напряженности поля. В этих случаях говорят о механизмах «динамо»-усиления поля. На йих основано наиболее распространенное объяснение присутствия достаточно сильных магнитных полей в косми

Рис. 8. Схема усиления магнитного поля турбулентными движениями (складывающаяся «восьмерка»).Рис. 8. Схема усиления магнитного поля турбулентными движениями (складывающаяся «восьмерка»).ческих объектах — звездах и галактиках.

Рис. 8. Схема усиления магнитного поля турбулентными движениями (складывающаяся «восьмерка»).

Рис. 8. Схема усиления магнитного поля турбулентными движениями (складывающаяся «восьмерка»).

Рассмотрим подробнее вопрос об усилении поля механическими движениями. Они не только приводят к увеличению средней напряженности поля в соответствии с (3.74), но, при определенных условиях, способны усиливать и регулярные крупномасштабные поля,

разевание «восьмерок», женные вдоль силовойразевание «восьмерок», женные вдоль силовойВ качестве способа усиления поля обычно предполагается об- Если частицы газа, располо- линии, своим движением прев

разевание «восьмерок», женные вдоль силовой

разевание «восьмерок», женные вдоль силовой

ращают эту линию в «восьмерку» и затем «складывают» (рис. 8), то напряженность поля в меньшем масштабе возрастает. Таким образом, усиление поля достигается не простым запутыванием, а более сложными движениями. Можно показать, что «двумерное динамо», т. е. усиление крупномасштабных полей при двумерных движениях невозможно. Многие другие симметричные движения также не приводят к усилению регулярного поля. Что же касается усиления хаотического мелкомасштабного поля, то точной теории, описывающей его усиление, до сих пор нет и приходится использовать общие соображения. Одним из них является известная симметрия между преобразованными уравнениями магнитной газодинамики. После введения переменных

= +=(3.80)

г гЧ/4лр1 /4лр К 1

уравнения, определяющие скорость движения d и напряженность поля Н, в случае несжимаемой жидкости

записываются в виде (см. Каулинг (1959))

ЭУ. 6U.д Рл

+=— + ^*0, + v,W,.

ot 1 г дх^dxt р 1г»

где рс — сумма газового и магнитного давлений и

Начальные и граничные условия также записываются в симметричной форме. Из аналогии (3.81) с обычными уравнениями движения жидкости был сделан вывод, что величины Я/]Л4лр и и одного порядка и, следовательно, должно иметь место равнораспределение кинетической и магнитной энергий.

Другим доводом, подтверждающим, по мнению Бет- челора (1950), указанное равнораспределение, является сходство между уравнениями для вихря скорости Й и для Н. Первое из них имеет вид

+ (vV) Й - (Й?) 1) = vV2O,(3.83)

а второе

+ № н - (JTV) у = ^Н.(3.84)

Предполагается, что если поле достаточно слабое, то вследствие быстрого увлечения его вихревым движением магнитное поле быстро становится подобным полю вихря скорости. При vM < v диссипация магнитного поля в малых вихрях меньше, чем диссипация кинетической энергии, и поэтому магнитное поле может возрастать. Надо полагать, что связь между полем вихря скорости и магнитным полем эффективно действует лишь в области достаточно больших волновых чисел, где и устанавливается, как было отмечено выше, равнораспределение энергий путем увеличения энергии поля.

При оценке этйх и подобных соображений, основывающихся на аналогии уравнений, нужно иметь в виду физическое различие поля скоростей и магнитного поля.

Поле скоростей создается внешними источниками турбулизации, а магнитное поле от них непосредственно не зависит. Поэтому можно думать, что усиление полей в области малых масштабов происходит за счет образования магнитных петель в тех масштабах, где связи между полем скорости и магнитным не препятствует диссипация. Кинетическая же энергия вихрей не вносит решающего вклада в энергию магнитного поля и экспоненциального роста поля не происходит. Хотя эти соображения весьма качественные, они подтверждаются расчетами для некоторых частных случаев. Общего же решения проблемы пока нет.

Перейдем теперь к проблеме усиления регулярного поля. Оказывается, что если в среде со стохастическим полем скоростей имеется первоначальное слабое магнитное поле, то при условии, что поле скоростей гиротропно,

(vQ) ф 0,(3.85)

магнитное поле может усиливаться. Физически условие (3.85) означает, что такие пульсации скорости способны закручивать магнитные петли, превращая их в сложенные восьмерки. Пусть поле Н в несжимаемой жидкости представимо в виде

Н = Но + h,(3.86)

где Но — крупномасштабное однородное поле и й, —магнитные пульсации такие, что <Л> = 0. Из уравнения

^. = [V№]]+vMV2ff(3.87)

при | h | <^ | Но | получается ^==[V№]]+vMV^.(3.88)

При помощи (3.88) находится величина <[vM>, которая записывается в виде

<[зЖ]> = aZJ0,(3.89)

где величина

а =^- ^ <(f(0[V«(O])>^'(3.90)

—ОО

выражается через посредство корреляционного тензора Bt). Предполагая, что а слабо зависит от координат, и учитывая, что <БЕ> = _НГ0, имеем после усреднения (3.87)

■^ = a tVffo] + VmV^o.(3.91)

Таким образом, при выполнении (3.85) оказывается возможным усиление поля. Оно происходит через посредство Н. При наличии первоначального полоидального поля турбулентными движениями в первом приближении генерируется тороидальное поле, пропорциональное a [V-ff0]. Последнее же в свою очередь создает поле того же характера, что и Н^ т. е. а2 [V [VJT0]] ~ а27^0.

Описанный «а-механизм» усиления поля был рассмотрен Штеенбеком и др. (1966) для случая, когда ReM <С 1, что означает очень медленную диссипацию поля. В астрофизически интересных случаях ReM ^> 1 и приближений, сделанных в указанной работе, оказывается недостаточно. О дальнейших исследованиях в этом направлении сказано в обзоре С. И. Вайнштейна и Я. Б. Зельдовича (1972).

Обобщенное представление механизма динамо дано в ряде работ Лерча (1971). Основные уравнения теории динамо в среде с хаотическими флуктуациями магнитного поля и скорости записываются в виде

4r - чмр) т = - т -^ + ei*6 ^п<лъ (з.92>

(4 - v»V2) &т = - 6Я? -^ + г* [ЧН^, (3.93)

где Hi и ЬНг — г-я компонента регулярного и стохастического поля соответственно, a 6v — поле турбулентных пульсаций скорости, причем

<б^> = 0,<6 [7И0]> = 0.(3.94)

При условии, что среда бесконечная, однородная и несжимаемая, а также, что <#>; = 0 и

W [V1TO])> = а^В^,(3.95)

уравнения (3.92) и (3.93) дают а-механизм.

Условие (3.95) означает, что лоренцовы силы, обусловленные турбулентными движениями, не имеют центра

симметрии и поэтому возникает электромагнитная сила, генерирующая поле, совпадающее по направлению с первоначальным. Лерч (1971) показал, что это эффект более общего характера, чем даваемый a-механизмом, т. е. он имеет место и для конечной среды при наличии крупномасштабного поля скоростей и даже при изотропии поля скоростей. В последнем случае турбулентная лоренцова сила, выражаемая членом <(Sv6 [VJT0])>, вообще говоря, не изотропна, поскольку не изотропна величина 6 [VjT0], пропорциональная [V [Sv [VJT0]]]. Присутствие упорядоченного поляЛо вносит «винтообразность» и в результате оказывается, что крупномасштабное поле может усиливаться мелкомасштабной турбулентностью даже при отсутствии крупномасштабных движений.

Усиление крупномасштабных полей a-механизмом возможно, если поле Но удовлетворяет неравенству

#gр4

8л2 *

При этом можт быть, что вПри этом можт быть, что вобласти малых масштабовобласти малых масштабов

При этом можт быть, что в

При этом можт быть, что в

области малых масштабов

области малых масштабов

(3.97)(3.97)р <иЪ <Л2>

(3.97)

(3.97)

2' ' 8л *

Так, например, поле в галактическом диске может усиливаться за счет турбулентности, пока энергия крупномасштабных движений в Галактике существенно превосходит магнитную энергию.

Вопрос об усилении поля в Галактике рассмотрен в работе С. И. Вайнштейна и А. А. Рузмайкина (1971), определившими инкремент у нарастания поля самого крупного масштаба. Для величины у получено выражение

Ч=(_г?^^\ (3.98)

• \ от ог / ’ х 7

где £2вр — угловая скорость и 2 — расстояние от галактической плоскости. Оно дает на расстоянии, соответствующем Солнцу, при uL 5 км/сек, масштабе L = 100 пс и полутолщине диска 400 пс время нарастания поля 2-108 лет. Аналогичная величина для инкремента найдена Паркером,(1971) иным методом. Следует иметь в виду, что вопрос о турбулентности в галактическом диске пока не впол-

не ясен и приведенный результат нельзя считать доказательством того, что крупномасштабные поля в Галактике возникли именно таким путем.

Во вращающихся звездах также может происходить генерация магнитного поля различными механизмами динамо. Об этом подробнее говорится в гл. 6. Исследование действия электромагнитной силы на турбулентный элемент показало, что при отсутствии вращения системы величина (Я"0 [VIf 0]) -> 0 с течением времени (см. С. И. Вайнштейн, Я. Б. Зельдович (1972)). Это означает, что силы уменьшаются. При наличии вращения и генерации крупномасштабного поля a-механизмом электромагнитные силы уменьшают скорость генерации и делают возможным такое установившееся состояние, при котором имеет место условие (3.96). Таким образом, равнораспределение энергий реализуется только в области больших волновых чисел.

В процессах взаимодействия турбулентного поля скорости с магнитным полем существенная роль принадлежит так называемой «топологической дйссипации» поля (Паркер (1972а)). Она происходит в результате слияния магнитных силовых линий с противоположными направлениями («перезамыкания»). При этом магнитная энергия превращается в джоулево тепло. Отношение времени топологической диссипации поля к времени турбулентной диссипации (в малых вихрях) определяется формулой (дж-д,(3.99)

^турб. д ^v (4лр)1/2

где Ь ^ 1 — безразмерная константа. Топологическая диссипация ограничивает возрастание мелкомасштабных полей. Если

^012

"SiF < Т pUL’

где ul — скорость больших вихрей, то мелкомасштабные поля могут быть сильнее, чем Яо, но слабее, чем те, которые получались бы при условии равнораспределения энергий.

В теориях генерации магнитного поля механизмом динамо предполагается существование малого начального,

«затравочного» поля. В настоящее время трудно указать с уверенностью источники затравочных полей. С одной стороны, не исключено, что имеется метагалактическое поле, усиливающееся при конденсации газа в галактики и затем еще более возрастающее при образовании звезд. Другая возможность состоит в образовании слабых полей при различных физических процессах. Например, Бирман и Шлютер (1950) указали в качестве причины образования зародышевого поля на диффузию электронов из области повышенной их концентрации. При этом ток j = 0 и, следовательно, результирующее электрическое поле

Е = -4г^Ре-(ЗЛ0°)

Если поверхности уровня для и и ре не совпадают, то интеграл по замкнутому контуру

§ЕА1^0,(3.101)

т. е. в этом случае электрическое поле имеет вихревую составляющую и потому возникает магнитное поле. Такая ситуация может иметь место во вращающихся телах. О некоторых иных гипотезах по поводу происхождения зародышевых полей сказано в обзоре Местела (1967).

Конвективная неустойчивостьв космических условиях

Конвективная неустойчивость обусловлена силами плавучести, возникающими в температурно неоднородной жидкости, находящейся в гравитационном поле. Силы плавучести вызывают движение объемов, в которых плотность меньше, чем в окружающей их среде, в направлении, противоположном направлению силы тяготения. В случае несжимаемой жидкости конвективная неустойчивость наступает, если градиент температуры совпадает по направлению с силой тяжести (направлен «вниз»). Тогда «наверху» температура ниже и соответственно плотность больше. При смещении элемента жидкости «вверх» его плотность окажется меньшей, чем в том месте, куда он попадает. Поэтому движение «вверх» должно продолжаться. Соответственно будет возрастать и начальное смещение «вниз».

В сжимаемой среде конвекция происходит при несколько иных условиях. Элемент газа, попадая в области с иной плотностью, изменяет свой объем. При этом меняется также его температура — либо адиабатически, либо иным образом, если происходит теплообмен с окружающей средой. Неустойчивость имеет место, если в движущемся «вверх» элементе температура будет оставаться большей, чем в окружающей среде, а в движущемся «вниз» — меньшей, чем вокруг него.

Поскольку элемент всегда обменивается энергией с окружающей его средой, для исследования конвективной неустойчивости к системе уравнений газодинамики нужно присоединить уравнение теплопроводности. Это усугубляет математические трудности соответствующих задач. Как и в теории турбулентности, здесь приходится использовать различного рода гипотезы и данные экспериментов. При изучении конвекции в звездах необходимо учитывать сжимаемость, а также и турбулентный характер движений, так как в конвективно неустойчивых слоях обычно величина Не^>1. Пока не решена полностью задача о турбулентности при учете сжимаемости, трудно ожидать больших успехов в более сложной проблеме турбулентной конвекции. О том, что сделано в этой области, говорится в § 4, а сейчас рассмотрим вопрос о критериях конвективной неустойчивости и другие вопросы, относящиеся к линейной теории.

Начнем с конвективной неустойчивости несжимаемой жидкости. Вообще, говорить о несжимаемости в строгом смысле слова при исследовании конвекции не приходится, так как само возникновение конвективных движений обусловлено изменениями плотности. Несжимаемость означает, что учитывают изменения плотности только при вычислении силы плавучести, а в уравнениях движения и неразрывности считают р = const. Система уравнений, определяющих конвекцию, в этом случае записывается следующим образом:

-^- +(vV)t> = — A-Vp —Vvg4-vV2v, (3.102)

(Vv) = 0,(3.103)

-^- + (vV)T = xTV^,(3.104)

где %т — коэффициент температуропроводности, связанный с коэффициентом теплопроводности Хг соотношением

=(З.Ю5)

Размерность [%г1 = см2-сек-1 совпадает с размерностью V.

В отличие от вынужденной конвекции, когда поле скоростей можно считать не зависящим от поля температуры, в случае свободной конвекции поля 1) и Т взаимосвязаны. В дальнейшем будет рассматриваться только свободная конвекция, при которой влияние поля температур на движение жидкости обусловлено силой плавучести.

При изменении температуры в элементе на величину Т плотность р меняется вследствие теплового расширения на величину р'.

Зависимость между р' и Т имеет вид

р' = -рРог.(3.106)

У идеального газа коэффициент теплового расширения Р определяется, в соответствии с (1.10), простой формулой р=4-’(з-107)

о

где Тй — невозмущенное значение температуры.

Выберем систему координат так, чтобы оскОг совпадала с направлением ускорения силы тяжести g и градиента температуры. Будем также считать, что в невозмущенном состоянии имеет место гидростатическое равновесие и, значит,

Ро + Ро^ = const.(3.108)

При свободной верхней границе на уровне 2 = 0 величина р0 = 0.

Сила плавучести РПл, рассчитанная на единичный объем, равна

^пл = РоР^Г.(3.109)

Для величин р', Т и компонент скорости vx, vy, 1)г из (3.102), (3.104), (3.108) и (3.109) получается следующая

система:система:

система:

система:

^ + и». = -|^ + «Ч,(З.но)

^ + w„, = _A-»£- + ^„„(З.Н1)

Sr + №+ ^”- Р-112)

^ + ^«+^_0,(З.НЗ)

дх ' ду ‘ да4 ’

^ + (о?)Г = Хт^Г'.(3.114)

Движение зависит от параметров %т, у, р и g. Кроме того, оно должно зависеть от масштаба длины — толщины слоя жидкости d и масштаба А изменений температуры вдоль оси Oz:

^--А. (3.115)

Размерность [Л] = град/см, Поскольку величины р и g входят в систему только в форме произведения Pg, независимых параметров всего пять. Если А = const, то

Г = —Az + TvГ = —Az + Tv(3.116)(3.116)

Г = —Az + Tv

Г = —Az + Tv

(3.116)

(3.116)

где через Тк обозначено малое возмущение температуры.

Жидкость становится неустойчивой в отношении конвекции, когда сила плавучести не подавляется вязкостью и теплопроводностью. Найдем методом малых возмущений условия, при которых наступает конвективная неустойчивость. Система уравнений (3.110) — (3.114), линеаризованная при условии, что Тг, р', vx, vy и vz малы и пропорциональны 5-io<, и в предположении стационарности движения, имеет вид

^их—L^L = o, Vv8vu-—-^ = о, 1

х Ро Эх ’у р0 ду ’

(3.117)(3.117)PgT'-^-^ + ^vz=pgAZ,

(3.117)

(3.117)

dv dv dv

-я^- + -^ += 0, Av, + Xt-V^ = 0.

9* d^ d?• ■ 1 •

Такое движение имеет место на границе устойчивости, когда Im б меняет знак и Re б = 0.

Система (3.117) сводится к уравнению

^-^УВ-+^У(ЭЛ18)

Если в (3.118) принять за единицу длины d, то, как нетрудно видеть, течение зависит лишь от одного параметра, называемого числом Рэлея (Ra)

Ra = ^L.(3.119)

Величина Ra может быть представлена как произведение двух других безразмерных величин:

Ra =.(3.120)

V Хг d

Первым множителем характеризуется отношение силы плавучести к силе торможения вязкостью, а вторым — относительная роль в переносе тепла механических движений и теплопроводности. Постоянство Ra означает взаимную компенсацию соответствующих противодействующих факторов. Величина Ra записывается и в таком виде:

Ra = A^_L_,(3.121)

Хтх

где первый из множителей называют числом Грассхофа (Gr), а второй — числом Прандтля (Рг). Если считать, что величины v и %г постоянны в среде, то устойчивость в отношении конвекции зависит только от Ra и волнового числа возмущения к. При малых значениях А все значения б (&, Ra) имеют Im б < 0. С возрастанием А при некотором значении Ra = RaKpHT появляется значение к = = &крит, при котором Im б = 0. Тогда одно устойчивое стационарное движение сменяется другим.

Для определения критического наименьшего значения числа Рэлея — RaKpHT — будем искать решения уравнения (3.118) в виде

T1~e~l<R»x,a*Ry^f(^,(3.122)

где t, = zld. Из (3.118) при учете (3.122) имеем

^ * ^ + &2 Ra/ = О (^ = &2 + 4).(3.123)

Величина к определяет периодичность движения в горизонтальной плоскости. На свободных границах — поверхностях фиксированной температуры — должны выполняться условия

^ = ^ = -^-=0 при ^ = 0Л (ЗЛ24)

При синусоидальном возмущении вида

j^ = Sin лп^(3.125)

волновое число к должно удовлетворять соотношению

(л2п2 + /с2)3 = № Ra.(3.126)

При каждом данном значении к минимальное число Рэлея получается при п = 1. Следовательно, наименьшее значение Ra, при котором оказывается возможным движение, периодическое в горизонтальной плоскости, Вакрит, равно

Вакрит = min-^±^-.(3.127)

Минимальные / значения кх = -^-, ку = -^-, к = —у-— , и поэтому Ракрит =657,5. При твердых границах

ВакРит 1708.

Таким образом, линейная теория конвекции в несжимаемой жидкости дает следующее условие наступления стационарной конвекции:

Ra > Вакрит.(3.128)

Как следует из экспериментов, стационарная конвекция при Рг ^ 0,7 реализуется в форме так называемых валов. Возможно также появление ячеек в форме правильных шестиугольников. В центре ячейки более горячая жидкость поднимается вверх, далее движется горизонтально и на краях ячейки охладившаяся жидкость стекает вниз. Из теории получается и средний размер ячеек, определяемый величиной к.

При возрастании Ra движение приобретает более сложный характер в связи с тем, что увеличивается влияние нелинейных эффектов. В частности, возрастает скорость движения газа, и когда она становится настолько большой, что Re ^> 1, конвекция становится турбулентной. Перенос энергии конвективными потоками обусловлен взаимодействием полей скорости и температуры. Поэтому он должен рассматриваться при помощи нелинейных уравнений и о нем будет сказано ниже (§ 4).

Специфические условия, существующие в звездах, сильно влияют на характер конвективной неустойчивости. Перечислим основные факторы, которые следует учитывать при исследовании конвекции в астрофизических условиях:

сжимаемость среды;

преобладание лучистой теплопроводности над молекулярной;

изменение плотности в зависимости от расстояния до центра звезды;

вследствие большой роли излучения изменение температуры в газе при его движении «вверх» или «вниз» происходит со значительными отклонениями от адиабатичности;

на конвекции в плазме существенно сказывается влияние магнитных полей;

звезды вращаются, и на конвективные элементы действует центробежное и кориолисово ускорения.

Критерий конвективной неустойчивости при учете первого из указанных обстоятельств получается из элементарных соображений. При перемещении элемента газа в слои с более низкой (или более высокой) температурой объем его увеличивается (уменьшается). На расширение элемента затрачивается работа, а при сжатйи элемента энергия в нем увеличивается. Следовательно, сила плавучести определяется не просто величиной градиента температуры, а величиной разности

-- (-Т- ) I = ^Т,(3.129)

[ dr \ drх 1

называемой сверхадиабатическим градиентом. Лишь при условии, что после затраты тепла на адиабатическое расширение элемент останется горячее окружающей среды,

воз ств пр( го чш

можно его дальнейшее перемещение наружу под дей- ием силы плавучести. Соответствующее рассуждение )водится и для опускающегося элемента. Из сказанно- вытекает необходимое условие конвективной неустой- юсти в звезде,

("\ >"(ЗЛЗО)

\ dr /ад/ dr ’''

наг заг

$ываемое критерием Шварцшильда. Это соотношение [исывается в более удобной форме, если учесть, что

^^ g? In Т Т dp Т dp,п л ол \

drd In р р drр dr *' *7

Так как в адиабатическом процессе

т — р^,(3.132)

то

(^Х = ч^_21^р(3.133)

\ dr /адур dr4’

По, dp dr

дставляя (3.131) и (3.133) в (3.130) и учитывая, что < 0, имеем

4^>^1.(3.134)

d In рх7

Как известно, в «серой» фотосфере (при коэффициенте

Hei

В J

грозрачности, не зависящем от частоты), находящейся [учистом равновесии,

-^ = - ~г^ •(3.135)

drх7

Tai

к как из условия гидростатического равновесия

(3.136)

то

(4^) = _L(3.137)

\ d In р /луч4 ’х7

и, В (

в соответствии с (3.134), «серая» фотосфера устойчива отношении конвекции при у ^> V3. Однако изменения

коэффициента поглощения и величины -у с глубиной могут привести к возникновению конвекции. В частности, при переходе к тем слоям звезды, где происходит ионизация распространенного химического элемента, величина у уменьшается. Это связано с затратами энергии, поступающей в данный элемент газа, не только на его расширение и увеличение содержания тепла, но и на ионизацию атомов. С другой стороны, величина d In T/d In р возрастает вследствие увеличения коэффициента непрозрачности при переходе от атмосферы звезды к более глубоким слоям. В результате действия обеих указанных причин в звездах определенных классов существует область, неустойчивая в отношении конвекции,— так называемая внешняя конвективная зона. Такая область, во всяком случае, должна быть у звезды, если водород в ее самых внешних слоях не полностью ионизован, т. е. в спектральном классе F и более поздних. Ионизация Не — второго по распространенности элемента — также может, вообще говоря, привести к образованию конвективной зоны. Вопрос о существовании конвективной зоны в конкретной звезде и ее свойствах может быть решен только путем расчетов — численного решения самосогласованной задачи о конвективном переносе энергии (см. гл. 5, § 1).

Если строение звезды или хотя бы ее внешней области может быть представлено политропой с показателем Г, т. е. в звезде давление и плотность связаны зависимостью

р - рг, (3.138) ТО

dlnT Г —1d In р — Г ’

и условие конвективной неустойчивости записывается в простом виде:

у < Г. (3.140)

Для «серой» фотосферы, находящейся в лучистом равновесии, Г = 4/3, при коэффициенте поглощения, меняющемся по закону Крамерса, Г = 17/i3.

Достаточное условие наступления конвекции можно получить с помощью Какрит. Однако вместо градиента температуры А в формуле (3.119) следует использовать

величину сверхадиабатического градиента, поскольку именно ею определяется сила плавучести. Кроме того, в качестве величины хт нужно применить коэффициент температуропроводности %Изл> обусловленной излучением. Его выражение имеет, как известно, вид

(3.141)(3.141)непрозрач-(3.142)непрозрач-(3.142)_ хизл4 асТ3

(3.141)

(3.141)

непрозрач-

(3.142)

непрозрач-

(3.142)

Хизл — ——-=^

РСр6 хр2ср

^ИЗЛ \ ХР )^ИЗЛ \ ХР )где х — росселандово среднее коэффициента ности. При х = %13Л

^ИЗЛ \ ХР )

^ИЗЛ \ ХР )

во внешней конвективной зоне. По-видимому, в случае турбулентной конвекции вместо v следует -использовать vTyP6, что существенно увеличит Рг, но становится не ясной роль числа Рг, так как в этом случае существенны нелинейные эффекты. Вероятно, дело сводится к тому, что турбулентная конвекция просто не зависит от v.

В качестве масштаба длины d, входящего в выражение Ra, для неоднородной среды нужно использовать в соответствии с экспериментальными данными выражение

d = а^, (3.143) где

^ = ~ (ЗЛ44)

— так называемая высота (по давлению) однородной атмосферы,— расстояние, на котором давление изменяется в е раз, и а — коэффициент порядка единицы.

В работе Унно и др. (1960) и Като и Унно (1960) показано, что при использовании средних (по конвективной зоне) значений Хизл и v в политропной атмосфере величина Какрит слабо зависит от изменений плотности и ее можно считать постоянной в пределах конвет^гивной зоны. Вместе с тем при значительном изменении давления с высотой (например, по барометрической формуле) величина Какрит и соответственно наименьшее значение к будут иными, чем для однородного слоя. Так, если толщина слоя d

очень велика по сравнению с 56 {d!56-> оо), то

(3.145)(3.145)ВакРит-> 0,1550,4314

(3.145)

(3.145)

и, значит, устойчивость возрастает.

Как установлено численными методами (Гоуф и др. (1976)),-значение Какрит в политропном слое увеличивается с толщиной слоя. Этот результат служит основанием, чтобы считать слой со стратифицированной плотностью более устойчивым в отношении конвекции, чем однородный слой той же толщины.

Использование условия Ra )> Какрит для оценки величины сверхадиабатического градиента, при котором цаступает конвективная неустойчивость, дает, с учетом (3.127), (3.107), (3.141) и (3.143), неравенство

4

(3.146)(3.146)Пизл (Я2+Л2)33 aC^tgS (Л2+/(2)3

(3.146)

(3.146)

ga^ №^c^R»^№

Как показал Спигел (1960), исследовав влияние высвечивания конвективных элементов на конвективную неустойчивость, соотношением (3.146) можно пользоваться лишь при условии достаточно большой оптической толщины т0 элементов,

т0 = хр/>1. (3.147)

В противном случае высвечивание приводит к изменению критерия (3.146).

При исследовании конвекции в астрофизике часто используют так называемое приближение Буссинеска. Оно основано на двух предположениях: а) изменения плотности обусловлены не движениями, а лишь нагревом или охлаждением газа; б) изменения плотности учитываются только при вычислении силы плавучести и ими пренеб- регается в уравнениях движения и неразрывности. Как показано Спигелом и Веронисом (1960), приближение Буссинеска применимо для слоя сжимаемой среды, если, во- первых, характерный масштаб слоя в вертикальном направлении намного меньше шкалы высот 36 и, во-вторых, изменения плотности и давления, вызванные движениями, не превышают общего изменения этих величин (по координате ^ в статическом состоянии,

Условие конвективной неустойчивости само по себе не дает информации о скорости ее развития. Определение скорости роста конвективных элементов является одной из важных задач линейной теории. Спигел и Унно (1962) нашли время роста t^ элементов с волновым числом к- в политропной атмосфере:

tГ Т(2Г — d)6 L г-тtГ Т(2Г — d)6 L г-тgk Jgk J(3.148)(3.148)

tГ Т(2Г — d)

6 L г-т

tГ Т(2Г — d)

6 L г-т

gk J

gk J

(3.148)

(3.148)

Было также получено выражение для tK при учете высвечивания элементов (Спигел (1964)). И в том и в другом случаях ^ -^ О при к-^- оо, т. е. скорость роста элемента неограниченно растет с уменьшением его размера. Поскольку это физически не оправдано, должны иметься какие-то факторы, ограничивающие рост малых элементов.

Более полно влияние лучистых потерь энергии элементом на конвективную неустойчивость исследовано Н. С. Петрухиным (1969). Путем линеаризации системы уравнений газодинамики для плоского политропного слоя при учете неадиабатичности движения, но без членов, описывающих действие вязкости, выводится довольно сложное выражение для дивергенции скорости X. Если принять для X выражение

X = ^at-^x-^y)^ ^ (3.149) и аналогичное выражение для некоторой функции, описывающей влияние высвечивания, то можно далее получить уравнение для амплитуды / (и) и дисперсионное соотношение, из которого находится величина инкремента. Для основной моды инкремент t^1 выражается формулой

1^~1^~(3.150)(3.150)(Г — т) gk 2Г-1

1^~

1^~

(3.150)

(3.150)

у [2Г — 1 + гт (2kd) 2(Г~1) ]

где d — толщина слоя, а е и m — некоторые сложные функции, которые здесь выписывать не будем. Значение тп определяется главным образом величинами у и Г, а е существенно зависит от х, g и d. Величина е, пропорциональная потоку излучения, определяет степень неадиабатичности. При е-^0 формула (3.150) переходит в (3.148). Из (3.150) нетрудно видеть, что чем быстрее плотность газа меняется с глубиной и, значит, чем больше Г. тем силь-

нее влияние неадиабатичности на конвективную неустойчивость. Критерий же конвективной неустойчивости (3.140) не меняется.

Поскольку для сложных условий, существующих в звездных оболочках, аналитические методы исследования конвективной неустойчивости оказываются недостаточными, в этих задачах часто использовались численные методы. Так, Бём (1963) рассчитал величину tk для модели солнечной атмосферы и нашел, что

tkx 2-10~6 к-1 сек(3.151)

при к ^ 2-10“8 см”1. Согласно (3.151) tk меняется с возрастанием к иначе, чем по формулам (3.148) или (3.150). Это объясняется более быстрым возрастанием температуры с глубиной в реальной оболочке Солнца по сравнению с политропной оболочкой. Численным же путем определена для Солнца горизонтальная длина волны для фундаментальной моды (соответствующей наименьшему значению к) с учетом переноса количества движения и переноса тепла турбулентностью. Она составляет около 1500 км (Бём (1976)).

случае оп-(3.152)(3.153)случае оп-(3.152)(3.153)Конвективная неустойчивость приводит к циркуляционным движениям газа. Таким движениям препятствуют магнитные поля. Детально задача о конвективной неустойчивости несжимаемой жидкости в присутствии однородного магнитного поля была рассмотрена Чандрасек- харом (1961), показавшим, что Бакрит в этом ределяется выражением

случае оп-

(3.152)

(3.153)

случае оп-

(3.152)

(3.153)

_ (л2 + fc2) [(^2 + £2)2 + „^ ]^^Крит —да’

где

л __ аг^2 cos2 ^vv ’

а — альвеновская скорость и $ — угол между направлением магнитного поля и нормалью к слою. Горизонтальная компонента поля не сказывается на величине Какрит, но меняет форму течения —- конвективные элементы вытягиваются в горизонтальном направлении. Жидкость просачивается сквозь поле. При полной вморожен- ности поля конвекция невозможна, так как при ае -> оо Накрит QQt

КОНВЕКТИВНА# НЕУСТОЙЧИВОСТЬКОНВЕКТИВНА# НЕУСТОЙЧИВОСТЬ147147§ з!

КОНВЕКТИВНА# НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

КОНВЕКТИВНА# НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

147

147

Если

2W(v + vM)V + VM

На— Накрит —-— ,(3.154)

где Кадрит — критическое число Рэлея .при отсутствии поля, то возникает так называемая колебательная неустойчивость. Условие компенсации силы плавучести натяжением магнитных силовых линий записывается в виде (Кау- линг (1959))

ХШ^<пН\(3.155)

где % — длина волны возмущения. Колебания в вертикальном направлении происходят, когда имеется возвращающая сила, достаточная, чтобы выпрямить силовые линии, искривленные поднимающимся конвективным элементом. Избыток температуры в элементе уменьшается пропорционально %г, а возмущение поля уменьшается пропорционально vM. Таким образом, результирующая возвращающая сила превосходит силу, вызывающую отклонение, если

(3.156)

В астрофизических условиях %Изл 2> vM и поэтому (3.156) совместимо с (3.155). Работа сил плавучести увеличивает магнитную энергию. Поле опускает уже достаточно остывший элемент. Остальная магнитная энергия уносится в виде альвеновской волны, распространяющейся вдоль поля и придающей неустойчивости сносовый характер.

Вблизи границы устойчивости при наличии горизонтального магнитного поля движение происходит валами с осями, параллельными полю,— так называемая перестановочная неустойчивость. Она связана с сильным вытягиванием в горизонтальном направлении конвективных ячеек полем.

В политропной среде при наличии однородного поля HQ критерий неустойчивости Шварцшильда модифицируется следующим образом (С. А. Каплан и Н. С. Петрухин (1965)):

/ я2 \

Т^Г 1-,(3.157)

где рй — газовое давление у основания конвективной зоны. В выражении КакРИТ нужно использовать, как и при отсутствии поля, сверхадиабатический градиент и вместо d — величину а^ (формула (3.143)).

Вычисления, произведенные Ван дер Борхтом и др. (1972), продемонстрировали подавление конвекции при большом значении Qc. С возрастанием поля происходит также увеличение минимального значения к. Эффекты эти особенно существенны при большой величине Re. В таких случаях приходится учитывать влияние нелинейности.

Действие вращения, а также совместное действие вращения и магнитного поля на конвекцию исследовалось аналитически и численными методами. Обзор работ для случая несжимаемой жидкости, проведенных до 1970 г., можно найти в статьях Спигела (1971, 1972). Вращение увеличивает устойчивость в отношении конвекции, так как кориолисовы силы закручивают горизонтальные течения. Влияние вращения на конвекцию определяется безразмерной величиной, называемой числом Тейлора (Та),

Та =Та =^4^4(3.158)(3.158)

Та =

Та =

^4

^4

(3.158)

(3.158)

которое выражает относительную роль кориолисовых сил и сил вязкости. Размер конвективных ячеек уменьшается с возрастанием Та (Ван дер Борхт, Мерфи (1973)). Величина Какрит при наличии вращения больше, чем для невращающейся жидкости. Таким образом, если на жидкость налагается магнитное поле или вращение, она приобретает способность сопротивляться конвекции. При наличии вращения конвекция, так же как и в магнитном поле, может происходить валами, причем, если ректор угловой скорости совпадает с ускорением тяготения, то оси валов параллельны оси вращения. Вычисления Мерфи и Ван дер Борхта (1972) как для конвекции валами, так и для ячеистой, с учетом нелинейных эффектов, продемонстрировали существенное влияние вращения и поля на скорость переноса тепла конвекцией. Эта задача относится уже к нелинейной теории, рассматриваемой в следующем параграфе. Заметим, что все расчеты пока производились для однородной среды в пренебрежении сжимаемостью и поэтому их результаты не могут непосредственно применяться в астрофизических задачах.

§ 4. Турбулентная конвекцияи перенос энергии конвекцией

При Re 2> 1 конвекция является турбулентной. Это означает,, что величины, характеризующие состояние газа, V, р, р, Т флуктуируют около своих средних значений. Поэтому, например, для температуры Т можно написать

Т (ж, у, z; f) = Т (z, f) + й (ж, у, z; £),(3.159)

где

<» (ж, у, z; 0> = О-

и среднее берется'по всей горизонтальной плоскости. Система уравнений турбулентной конвекции получается путем осреднения уравнения Навье — Стокса и уравнения теплопроводности. Для однородного слоя несжимаемой жидкости толщины d при постоянном значении g эта система имеет вид (Спигел (1967))

^ _ vV2V - ^е + v -^^ = - (У V) * + <w »>,

(3.160)

-^-XtV2»-<4VT.,v2> = -№»+ <№^>,(3.161)

-^ = -gp <рД7Г> - <Р> ^ ,(3.162)

^ = -g<P>,^) = 0.(3.163)

Второе слагаемое в правой части (3.162) учитывает турбулентное давление. При получении этой системы предполагалось, что суммарный перенос количества движения через горизонтальную плоскость отсутствует. На границах слоя флуктуации температуры обращаются в нуль:

^U=o = ^U=d = 0.(3.164)

Среднее значение вертикальной скорости также равно нулю:

<и2> = 0.(3.165)

На свободных границах вертикальная компонента скорости обращается в нуль и должны отсутствовать касательные напряжения. Таким путем задаются граничные условия и задача может быть решена численно.

Как обычно бывает при усреднении, в результате присутствия нелинейных членов в уравнениях появились новые неизвестные <(^V)^>, ((^V)^). Для решения системы нужны замыкающие ее уравнения. Их можно получить на основе различных гипотез, как в обычной теории турбулентности. Наиболее простым способом замыкания системы является введение длины перемешивания I. Тогда можно написать

— (vV) v + <(t,V) -v) = -^- и,(3.166)

~(^)$ + <(^V)^> = -^-»,(3.167)

где и определяется по (3.5).

Величина Т должна быть при решении системы известной, так же как и величина сверхадиабатического градиента. Вообще говоря, следует решать самосогласованную задачу, так как поле температуры в слое и величина AV Т зависят от характеристик конвекции. Способы приближенного решения самосогласованной задачи о конвекции в звездных оболочках рассмотрены ниже (гл. 4, § 1).

Представление о средней длине перемешивания, одинаковой для всех элементов, является чрезмерно грубым и может привести к большой погрешности в результатах вычисления при ее помощи потока энергии, переносимого конвекцией. При турбулентной конвекции тепло переносится взаимодействующими элементами различных масштабов L Каждому волновому числу к = 2л/Z соответствуют свои значения скорости и теплосодержания. Учесть взаимодействие конвективных элементов пытались Леду и др. (1961), предложившие следующее уравнение для спектральной функции Е (к) — кинетической энергии, приходящейся на единичный интервал волновых чисел:

коо

Х=^- —Е (к') ^- = 2ч\е (к') k’^dk' +

Г? ХтВ Т J v /с'2)

коко

ксю

+ 2^о ^ Е (к') k'^dk' ^ ]/ ^£1 dk'. (3.168) коко

Здесь в левой части стоит выражение, описывающее приток кинетической энергии к турбулентным вихрям за

счет работы силы плавучести, т. е. в результате конвекции. В правой части вторым слагаемым учитывается обмен кинетической энергии между вихрями различных масштабов (член W {к) в (3.54) в форме, предложенной Гейзенбергом), а другим слагаемым учитывается вязкая диссипация. Основному масштабу турбулентности соответствует волновое число к0 = tt/d, где d — толщина слоя. Постоянная £0 — свободный параметр — порядка единицы. Путем сведения (3.168) к дифференциальному уравнению и решения последнего найдено следующее выражение для Е {к)\

/ к \ч, к (ЗЛ69)

Таким образом, оказалось, что спектр очень быстро спадает при к, близких к к01 а при достаточно больших к — спектр колмогоровский. Это означает, что преобладающая доля кинетической энергии сосредоточена в больших вихрях, а вихрям меньших масштабов передается лишь немного энергии, которая затем переходит через иерархию вихрей и в конечном счете диссипирует.

В работе С. А. Каплана (1963) к уравнению (3.168) было добавлено уравнение, определяющее спектр магнитной энергии, содержащейся в вихрях различных масштабов. Учет магнитной энергии не сказывается существенно на выводе о том, что кинетическая энергия сосредоточена преимущественно в больших вихрях.

Величина потока энергии, переносимой конвекцией, в расчете на единицу объема записывается в виде

Еконв = ср<ру^>. (3.170)

Конвективный поток можно найти, рещив систему (3.160) — (3.163). Однако для звезд подобные вычисления весьма трудоемки. Часто, используя приближение длины перемешивания, вместо (3.170) применяют выражение

Еконв — СР <Р> ^Z^ Т ч (3.171)

где

Здесь К — среднее расстояние, проходимое элементом по вертикали. Средняя скорость движения элемента в этом направлении находится по его средней кинетической энергии, создаваемой работой сил плавучести на среднем пути Д/2:

-f^(4Y = 4-<^>2- <ЗЛ73)

При посредстве (3.172) и (3.173) из (3.171) находим

^конв = У f- №. ^ЛЧ^

Для величины К принимают то же значение, что и для d (формула (3.143)), или считают ее пропорциональной шкале высот по плотности.

Формула (3.174) дает неплохие результаты при применении ее для вычисления конвективного потока в тех областях звезды, где AVT <^ Т и движение элемента происходит при условиях, близких к адиабатическим.

Более точное выражение для ^конв получается, если отказаться от предположения об одинаковой роли конвективных элементов различных масштабов в переносе тепла. Используя, например, результаты расчета спектра турбулентной конвекции (Леду и др. (1961)), можно путем усреднения величины-^^ A VT по всем волновым числам получить

^конв = ^W -L. (3.175)

Из полученного выражения видно, в частности, что самыми эффективными в отношении переноса тепла являются элементы наибольших масштабов.

При всем несовершенстве теории длины перемешивания ею приходится пользоваться при расчетах конвекции не только во внутренних, близких к центру слоях звезды, но и во внешних конвективных зонах, где на движении элемента сильно сказывается неадиабатичность. Следует иметь в виду, что в феноменологической теории длина перемешивания для разных величин — скорости, плотности, температуры,— неодинакова. Она характеризует про-

ТУРБУЛЕНТНАЯ конвекцияТУРБУЛЕНТНАЯ конвекция

ТУРБУЛЕНТНАЯ конвекция

ТУРБУЛЕНТНАЯ конвекция

1531536 4]

153

153

странственный масштаб изменений соответствующего динамического параметра. Под величиной I часто подразумевают характерный размер конвективного элемента. Как было отмечено выше, тепло переносится главным образом элементами с масштабами, близкими к основному, который в случае звезд порядка высоты однородной атмосферы. Поэтому такое определение длины перемешивания физически оправдано. Элементы малых масштабов в теории турбулентной конвекции, использующей понятие длины перемешивания, представляют лишь фактор, подавляющий крупномасштабные движения. Однако вблизи внешней границы — поверхности звезды — их роль в переносе тепловой энергии может быть значительной.

Недостаточность теории длины перемешивания проявляется, в частности, в невозможности объяснения на ее основе существования крупномасштабных турбулентных элементов вблизи поверхности звезды. Наблюдения сверхгранул демонстрируют существование таких движений, которые могут приводить к значительным динамическим эффектам (Нойес (1967), Симон и Вейсс (1968)).

Одним из главных недостатков ряда приближенных теорий, основывающихся на понятии длины перемешивания, например, широко применяемой теории Бём-Витензе (см. гл. 5, § 1), является их локальность. Это означает, что при расчетах используется одинаковое значение термодинамической величины (плотности, давления, температуры) во всем пространстве, занятом элементом, и не учитывается ее изменение во внешней среде, граничащей с элементом. Поскольку размер элементов по высоте велик — порядка высоты однородной атмосферы — параметры, определяющие состояние газа в нем, могут значительно меняться с высотой.

Среди попыток развития нелокальной теории турбулентной конвекции, использующей понятие длины перемешивания, следует отметить' так называемую «обобщенную теорию длины перемешивания» (Спигел (1963)). В ней записывается такое уравнение для интенсивности конвективного потока /конв в направлении ср = arccos [х:

И = JKOHB - Sc, (3.176)

где Sc — функция источника, а величина s связана с геометрической глубиной 2 следующим образом:

(3.177)(3.177)I ds = dz.

(3.177)

(3.177)

Здесь I — длина перемешивания, задаваемая произвольно. При помощи (3.176) можно корректно рассчитать конвективный поток, если величина I выбрана надлежащим образом. Однако такой выбор является очень трудным делом.

Нелокальность частично учитывается в теории Парсонса (1969) предположением о переменности сверхадиабатического градиента при вычислении скорости восходящего движения, определяемой вместо (3.173) выражением

Г2

^=4- S g^Tv4-W^ <зл78>

—П2

где AV77 — разность логарифмических градиентов температуры в среде и элементе, v — коэффициент вязкости, М — высота однородной атмосферы и

(3.179)(3.179). _ /dlnp t

(3.179)

(3.179)

р ~\ d in т jp ‘

Более полно влияние нелокальности учтено в теории Ульриха (1970), принявшего, что не только скорость, но и величина конвективного потока зависит от глубины. Конвективные элементы представляются при этом в форме так называемых вихрей Хилла («термиков»), каждому из которых соответствует скорость U, избыток энергии на единицу массы Ф' и избыток температуры Iй. Рассматривается ансамбль «термиков», появляющихся и исчезающих на разных уровнях, и в результате получены уравнения, определяющие изменение U, Ф' и Т' с высотой в слое, причем в них учтено изменение состояния газа в «термике» с глубиной и обмен энергией и массой с окружающей средой. При посредстве этих уравнений удается найти конвективный поток и усредненное по высоте атмосферы значение <Z72>.

В работе Нордлунда (1974) предложена модификация метода Ульриха и выяснен физический смысл многих, предположений, сделанных при разработке этого мето-

да. В частности, установлено, что относительная роль конвекции в переносе энергии определяется скоростью высвечивания конвективных элементов. Скорости «термиков» зависят от характера перехода их кинетической энергии в энергию турбулентного движения. Длина перемешивания в нелокальной теории характеризует не масштаб расстояния, проходимого «термиком», как принимается в обычных локальных теориях, а скорость турбулентного рассеяния тепловой и кинетической энергии «термика».

Важным обстоятельством, следующим из нелокальной теории конвекции, оказывается отсутствие симметрии между поднимающимися и опускающимися потоками газа. Эта асимметрия вызвана сильной зависимостью высвечивания! и теплоемкости от температуры. Поэтому необходима разработка более точного варианта теории, где асимметрия потоков будет учтена. Эффекты, обусловленные асимметрией, являются особенно важными во внешних областях звезды, где велика роль высвечивания конвективных элементов.

Тепловая неустойчивость

Конденсация диффузной среды под действием гравитационной неустойчивости возможна лишь в достаточно больших объемах. Вместе с тем в астрофизике часто приходится встречаться с конденсациями малой массы, происхождение которых не может быть объяснено самограви- тацией2 например, уплотнения в планетарных туманностях, протуберанцы и др. Во многих случаях образование конденсаций связывают с тепловой неустойчивостью. Она возникает, например, в среде, у которой сжатие объема приводит к увеличению теплопотери. В астрофизических условиях чаще всего потеря энергии газом происходит путем излучения, обусловленного столкновениями атомов. Поэтому потери энергии пропорциональны квадрату плотности. При малом возмущении (возрастание р в некотором объеме) температура в нем становится меньше, чем в окружающей среде, давлением которой этот объем будет сжиматься. Сжатие должно продолжаться до тех пор, пока внешнее давление не уравновесится давлением в данном объеме.

Обстоятельное исследование условий тепловой неустойчивости и критерий ее для разных случаев — однородной среды, наличия вращения, присутствия магнитного поля, неоднородностей и т. п.— проведено Филдом (1965). Рассмотрим, следуя этой работе, тепловую неустойчивость однородной среды, плотность которой р0 и температура То.

Пусть функция — Ж(р0, То) означает разность между количеством приходящего в объем тепла $Л и его оттоком Ж" (рассчитанную на единичную массу):

-^(Ро, То) =^-Ж- (3.180)

Уравнение равновесия записывается в виде

Ж (Ро, Т0) = 0. (3.181)

Будем считать скорость роста неустойчивости не очень большой, так чтобы во всем объеме давление р успевало выравниваться. Если при возмущении р и Т значение р не меняется, то тепловая неустойчивость идеального газа возможна лишь при условии

т<0, (3.1-82)

\ от /р \ оТ /р го \ Эр )т х ’ которое означает возрастание потерь тепла при увеличении температуры. Отметим сходство этого условия с критерием неустойчивости звуковых волн

^\<й- (ЗЛ83)

При выполнении (3.183) амплитуда волны растет — энергия втекает в область сжатия.

Изучать тепловую неустойчивость можно обычным методом малых возмущений, линеаризуя систему уравнений неразрывности, движения и энергии среды при учете получения и потери тепла. Уравнение энергии записывается следующим образом:

+ рЖ — V (xrVT) = 0, (3.184) где %т —- коэффициент теплопроводности. Ионизационная энергия в (3.184) не учитывается.

В предположении, что возмущения величин ds р, р, Т пропорциональны exp {i (кг + nf)^ и принимая во внимание (3.181), можно получить линеаризованную систему уравнений и из нее следующее характеристическое уравнение:

п3 + пЧ ^кт -|- -А_) + пс^к*2- +

Л~(кт -/ср+^ = 0,(3.185)

в котором

Н7-1)Ро^)тНТ-Л^

Р ~’ кт’

кк = —./ЗЛ86)

Величины кр и кт представляют собой волновые числа для волн, распространяющихся со скоростью с, частоты которых численно равны скорости роста изохорических и изотермических возмущений соответственно. Исследование соотношений (3,186) приводит к условиям неустойчивости. В изобарическом случае условие неустойчивости (3.182) соответствует конденсациям. В изэнтропическом случае получается критерий (3.183), соответствующий звуковым волнам. Теплопроводность выравнивает температуру и тем самым стабилизируёт газ:

Инкремент роста конденсаций определяется формулой

п =п =?Д*Го?Д*Го(3.187)(3.187)

п =

п =

?Д*Го

?Д*Го

(3.187)

(3.187)

При наличии магнитного поля Но получаются две дополнительные моды, соответствующие альвеновским волнам, которые, как известно, распространяются вдоль поля. Когда к || Hq, на конденсационной моде поле не сказывается, но при ZeJ_ST0 возникает неустойчивость. Она связана с тем, что газовое давление в разреженных областях становится достаточно большим, чтобы преодолеть увеличивающееся магнитное давление в сжимающейся области.

Критерий неустойчивости при конденсации в поперечном поле (к -L-Hq) имеет вид

<ЗЛ88>

Критерий тепловой неустойчивости самогравитирую- щей среды получается тем же методом малых возмущений (Манфруа (1971)). При этом в уравнение движения добавляется член, соответствующий тяготению (—pVcpg), и к

системе присоединяется уравнение Пуассона. Достаточное условие тепловой неустойчивости в этом случае имеет вид

гдегде,24л(7рG —C^™,24л(7рG —C^™(3.189)(3.190)(3.189)(3.190)

где

где

,24л(7р

G —C^™

,24л(7р

G —C^™

(3.189)

(3.190)

(3.189)

(3.190)

Для возмущений с достаточно большой длиной волны (малым к) всегда имеет место тепловая неустойчивость. Этот вывод указывает на большую роль гравитации. Тепловая неустойчивость уменьшает длину критической джинсов- ской волны Хкрит в у1/2 раз. Если % < ^КритУ"1/2, то гравитация не играет роли и имеет место только тепловая неустойчивость.

Теплопотери в среде сильно зависят от состояния ионизации. Степень ионизации меняется при конденсации и это сказывается на форме функции <5$ (р, Г), а значит, и на устойчивости. Помимо этого, скорость охлаждения сильно зависит от химического состава газа. При условии, что в газе возможны химические реакции, его химический состав меняется в ходе конденсации, так как изменяется скорость реакций. Влияние обоих факторов — изменения ионизации и химического состава — на тепловую неустойчивость было исследовано Ионеямой (1973). В этом случае получается характеристическое уравнение четвертой степени ’относительно п, так как в уравнении состояния, также линеаризуемом, учитывается изменение молекулярного веса р. Входящие в коэффициенты уравнения величины — и -дт-) зависят от химического соста- \ Эр /т \ оТ /р

Обозначим разность между скоростью рекомбинации и скоростью ионизации через X. Если рекомбинация обусловлена парными столкновениями, то -^— > 0. ПосколькуОбозначим разность между скоростью рекомбинации и скоростью ионизации через X. Если рекомбинация обусловлена парными столкновениями, то -^— > 0. Посколькува газа и характера химических реакций. В рассматриваемом случае, помимо трех неустойчивых мод, указанных Филдом (1965), появляется четвертая, названная «химической».

Обозначим разность между скоростью рекомбинации и скоростью ионизации через X. Если рекомбинация обусловлена парными столкновениями, то -^— > 0. Поскольку

Обозначим разность между скоростью рекомбинации и скоростью ионизации через X. Если рекомбинация обусловлена парными столкновениями, то -^— > 0. Поскольку

охлаждение происходит путем излучения, вызываемого возбуждением атомов столкновениями, то -^->0. Для реакций вида

р + е^Н + %н, (3.191)

соответствующих рекомбинации и ионизации в чисто водородной плазме при условии ее нагрева космическими лучами, Ж и X представляются в таком виде:

Ж = Кп^ркТ-1^ - const,(3.192)

X = Кне^рТ^'ч^В^Хн^ -

- 1пе$ (1 - х^—Т1^'1^, (3.193)

где х — степень ионизации, К и I — постоянные. При посредстве этих выражений из решения характеристического уравнения получен критерий тепловой (рекомбинационной) неустойчивости:

Хн3(1 + ®)4

~йг< 2(2+®)(1-®)11^ЛУ4)

Таким образом, газ, состоящий из ионизованных атомов водорода, неустойчив при х ^ 0,9, что соответствует температурам Г ^ 17 500 °К. Указанная величина представляет нижний предел температур, при которых газ с постоянным притоком тепла, охлаждающийся вследствие свободно-свободных переходов, неустойчив. Таким же оказывается граничное для неустойчивости значение температуры, если в охлаждении играют роль и свободносвязанные переходы, причем ионизация обусловлена столкновениями. Конденсация происходит в том случае, когда длина волны возмущения меньше длины свободного пробега Lc кванта в среде (т. е. оптическая толщина конденсации для этого излучения меньше единицы).

Другие реакции, в частности, образование молекул и аккреция молекул пылинками, могут оказать существенное влияние на тейловую неустойчивость межзвездного газа.

Характер неустойчивости в стратифицированной среде, находящейся в поле тяготения, иной, чем в однородной среде. Различие объясняется существованием градиента давления, уравновешивающего тяготение. В общем виде исследование тепловой неустойчивости среды, находящейся в поле тяготения, провести затруднительно, так как одновременное выполнение условий гидростатического и теплового равновесий возможно лишь при специальной форме функции Ж (р, Г). Филд (1965) рассмотрел частный случай, когда й имеет вид

Ж - р (^^ - с2), (3.195)

где N, cv с2 — положительные константы. Для устойчивости однородной среды необходимо, чтобы вариации температуры уравновешивали изменения плотности. В стратифицированном действием тяготения газе температурные вариации не обязательны, так как изменения давления могут уравновешиваться тяготением. Поэтому в последнем случае возможна неустойчивость даже при сильной теплопроводности. Она проявляется или в общем сжатии или в расширении всего объема газа. В использованных Филдом уравнениях движения опущены члены, описывающие ускорение в вертикальном направлении; им также не рассматривались моды, соответствующие горизонтальным движениям. Тем самым исключалась возможность конвективных движений. Впоследствии Дефу (1970) показал, что в слое газа, находящемся в поле тяготения, тепловая неустойчивость приводит к конвективной неустойчивости независимо от величины градиента температуры. При учете этого обстоятельства можно уточнить критерий Шварцшильда (3.130). Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть некоторый объем («пакет») газа характеризуется значениями термодинамических величин р*, Т*, р*, а значения соответствующих величин в окружающей среде р, Т, р. При р* = р уравнение состояния газа дает

^+^=.0. (3.196)

Из уравнения энергии для пакета находим

T-V-^^- + (V-l)P*^(P*^*) = 0. (3.197)

(Здесь d/dt означает лагранжеву производную для этого пакета.) С точностью до малых первого порядка относительно разностей р* — р и Т* —. Т из (3.197) при учете (3.196) можно получить

dp Р dp*

dt • р dt

- (V -!)г [(#-), - т (Or] №*- Р> - °' <ЗЛ98>

Если скорость пакета vz, тоdP __ „ dP dt dz ’Если скорость пакета vz, тоdP __ „ dP dt dz ’в вертикальном направлениив вертикальном направленииdp __ „ dp dt Uz dz 'dp __ „ dp dt Uz dz '(3.199)(3.199)

Если скорость пакета vz, то

dP __ „ dP dt dz ’

Если скорость пакета vz, то

dP __ „ dP dt dz ’

в вертикальном направлении

в вертикальном направлении

dp __ „ dp dt Uz dz '

dp __ „ dp dt Uz dz '

(3.199)

(3.199)

а уравнение движения пакета

P* ^- = — (p* — p) g.(3.200)

Выраженйе (3.198) записывается с помощью уравнения состояния газа в виде

+^[O-(OJ°- <3-201>

Из (3.200) с учетом (3.201) получается уравнение

^z , 1 г/ as? \ р (as \ I Ч_ .

№ + Ср Ц ат )р Т \ др /т] at "Г

+^О-(О>=0-(3-202)

Полагая

находим из (3.202) выражение для инкремента возмущения:

п =п =92£\р / ^ \ 1 ,

п =

п =

2срЦ дТ Ур Г Эр )т\ —

.г1 Г/ ^\Р/923\ I2_

— V4дТт\дР)ТА

(3.204)(3.204)gVdT(dT \1Г/яТLdz\dz /адЗ)

(3.204)

(3.204)

При g = 0 из (3.204) получается критерий тепловой неустойчивости (3.182). Если X = 0, то соотношение (3.204) дает условие монотонного роста возмущений со временем в виде

-у-Гт А^ 1>°(3-205)

7 L az \ az /ад J

ИЛИ

”<("\ ,(3.206)

dz \ dz /адх

совпадающее с критерием Шварцшильда. Когда 2 = 0 и имеет место неравенство, противоположное (3.206), то возмущение приводит к колебаниям газа в поле тяготения. Из равенства (3.204) следует, что условия (3.182) и (3.205) связаны между собой, т. е. термическая неустойчивость слоя газа может приводить к конвективной неустойчивости.

Когда имеет место неравенство

Г/ ^ \Р ( 926 \ I2g Г dT/ dT \ 1

44 L\ 9Т УРТ \ Эр )т\Т V dz\ dz Уад] ’

(3.207)

возмущение монотонно возрастает. В противном случае смещенный пакет будет испытывать колебания с экспоненциально растущей амплитудой. При 2^0 колебательная неустойчивость возможна и при условии (3.206), в отличие от адиабатического случая.

При учете диссипативных факторов —- вязкости и теплопроводности — критерий тепловой неустойчивости в отношении возмущения с волновым числом к записывается

в виде1 Г/ ^ \Ср [д дТ ]рв виде1 Г/ ^ \Ср [д дТ ]рХт/(3.208)Хт/(3.208)

в виде

1 Г/ ^ \Ср [д дТ ]р

в виде

1 Г/ ^ \Ср [д дТ ]р

Хт/

(3.208)

Хт/

(3.208)

Это выражение получено в приближении Буссинеска для плоскопараллельного слоя со свободными границами. Из (3.208) вытекает, что вязкость и теплопроводность оказывают стабилизирующее действие. Как было отмечено выше, в астрофизике обычно имеют дело со средами, для которых v/xT<^l. Смысл условия (3.208) состоит в том, что при достаточно малой величине к характерное время сглаживания температурных флуктуаций теплопроводностью порядка (хг/с2)-1, т. е. больше, чем время роста возмущения, и поэтому возникает неустойчивость.

Можно показать, что условие (3.208) является (при v = 0) достаточным условием монотонной неустойчивости слоя газа и при его твердотельном вращении вокруг оси, перпендикулярной к слою. Оно же служит достаточным условием тепловой неустойчивости при наличии однородного магнитного поля, перпендикулярного к слою. Когда альвеновская скорость достаточно мала, доминируют колебательно-неустойчивые моды, а при большой скорости—моды, соответствующие монотонному росту неустойчивости.

Понятие тепловой неустойчивости имеет отчетливый физический смысл только в тех случаях, когда возможен отток энергии из среды. При очень большой оптической толщине слоя газа быстрый выход энергии из него невозможен. Эффекты, связанные с тем, что оптическая толщина слоя газа не мала, оценивались Дефу (1970) при использовании приближения Эддингтона. В этом приближении уравнение энергии для серой атмосферы имеет вид (Унно, Спигел (1966))

ат ^"аГат ^"аГ= V= Vр <^рр <^р..р at..р atЛ^)]+4лВ}, (3.209)Л^)]+4лВ}, (3.209)

ат ^"аГ

ат ^"аГ

= V

= V

р <^р

р <^р

..р at

..р at

Л^)]+4лВ}, (3.209)

Л^)]+4лВ}, (3.209)

где В — функция источника, й — росселандово среднее. Оказывается, что для возникновения тепловой

неустойчивости достаточным является условие

(3.210)(3.210)дВр эв

(3.210)

(3.210)

дт т Эр

Указанное неравенство является обобщением неравенства (3.182), пригодного лишь для оптически тонкого слоя, на случай слоя большой оптической толщины.

В заключение необходимо отметить, что все сделанные выводы основаны на локальном анализе. В частности, это относится к критерию Шварцшильда. Более общий подход к проблеме конвективной неустойчивости связан с проблемой нерадиальных колебаний звезды и обсуждается в гл. 5 /§ 2).

Глава 4

ГАЗОДИНАМИКАМЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЫ

По сравнению с другими астрофизическими объектами межзвездная среда представляет лучшие возможности для наблюдения различных кинематических и структурных ее особенностей. Кроме того, физические процессы, происходящие в межзвездном газе, относительно просты. Указанные причины сделали межзвездную газодинамику одним из наиболее развитых разделов астрофизики. В последнее время многие аспекты этой, казавшейся устоявшейся, области пришлось пересмотреть в связи с обнаружением определяющей роли тепловой неустойчивости межзвездного газа. Характер тепловой неустойчивости в конкретных условиях межзвездной среды рассмотрен в первом параграфе этой главы, а особенности макроскопического движения газа и причины, определяющие движение,— во втором. Одной из таких особенностей является образование ударных волн при столкновении движущихся областей конденсированного газа. В третьем параграфе изучается структура этих волн.

Преобразованная энергия вспышек сверхновых звезд представляет собой один из важнейших факторов, поддерживающих движения межзвездной среды. Взаимодействие оболочек сверхновых звезд с межзвездным газом составляет предмет четвертого параграфа. Другим важным источником кинетической энергии в межзвездной среде является расширение областей НИ, окружающих горячие звезды. Динамические проблемы, связанные С областями Н И, обсуждаются в последнем, пятом параграфе этой главы ♦ "

Влияние тепловой неустойчивостина структуру межзвездного газа

Физические условия в межзвездной среде определяются многими факторами. До недавнего времени считалось, что основную роль в нагреве газа играет излучение горячих звезд. Это остается справедливым для областей НИ, окружающих горячие звезды и занимающих около одной десятой всего объема межзвездной среды. Что же касается областей HI, то представления об их энергетическом балансе и структуре в конце шестидесятых годов подверглись значительным изменениям.

Наблюдаемая структура областей нейтрального водорода детально описана Уивером (1970) и эта картина уточнена в последние годы Хейлсом (1975). Пространственное распределение газа сильно отличается от принимавшейся ранее модели хаотически движущихся облаков. Однако можно употреблять понятие облака как области повышен- йой концентрации газа. Содержание пн атомов водорода в облаках составляет 5—10 см"3, а в межоблачном пространстве оно на два порядка меньше.

Данные радионаблюдений межзвездной среды и межзвездной поляризации излучения звезд не соответствуют проводившимся в 50—60 годах расчетам. Эти расчеты, выполнявшиеся в предположении, что газ в областях Ш нагревается излучением с длиной волны % > 912 А, приводили к значениям температуры 20—25 °К.

По наблюдениям на длине волны % = 21 см средняя температура межзвездного газа порядка 100 °К, причем для согласия с наблюдениями отдельных облаков, где она равна 30—60 °К, нужно предположить, что между облаками находится гораздо более горячий газ с Т > 103 °К. Для того чтобы нагреть межоблачный газ до таких температур, необходим какой-то источник энергии. В качестве фактора, приводящего к нагреву, предполагаются космические лучи.

Возможны и другие источники нагрева межзвездной среды — столкновения облаков (см. § 3), расширение областей Н II (§ 5). Роль последнего из них некоторые авторы считают преобладающей (Лайон (1976)). Все же наиболее распространенным является мнение о том, что

влияние 'Тепловой неустойчивостивлияние 'Тепловой неустойчивости167167§ И основным источником нагрева межзвездного газа служит энергия космических лучей.

влияние 'Тепловой неустойчивости

влияние 'Тепловой неустойчивости

167

167

Нагревание газа должно сопровождаться повышением степени ионизации в нем. По наблюдаемому вращению плоскости поляризации, а также по наблюдаемой «размытости» радиоимпульсов пульсаров среднее значение концентрации свободных электронов в межзвездном пространстве пе ^ 0,03 см-3. Данные внеатмосферных наблюдений заставляют предполагать, что эта величина определяется главным образом содержанием свободных электронов в зонах Н II (Элмергрин (1976)). Тем не менее и в межоблачном пространстве степень ионизации водорода должна быть высокой по сравнению с ионизацией в облаках.

Расчет ионизации межзвездного газа космическими лучами оказывается сложной задачей главным образом из- за недостаточности сведений о мягком космическом излучении; которое в этих процессах должно играть определяющую роль. Наблюдаемыми являются лишь космические лучи большой энергии (^>100 Мэв^ доходящие до поверхности Земли без заметной модуляции солнечным ветром. Ионизующая способность их невелика. Поэтому необходимо делать некоторые предположения об энергетическом спектре космических лучей в межзвездном пространстве.

В предположении о том, что ионизация производится мягкой компонентой космических лучей с полной плотностью энергии 1 эв-см-3., С. Б. Пикельнер (1967) рассчитал ионизацию межзвездного газа и его равновесную температуру, соответствующую условию

Ж+-Ж- = 0,.(4.1)

где Ж+ — приток энергии в газ от космических лучей, а Ж" —- потери на охлаждение (в эрг-см”3 •сек'гу В качестве факторов, приводящих к охлаждению газа, учитывалось возбуждение С+, Si\ Fe+, О, N, Н. Уравнение (4.1) приводится к виду

~ *35* Пе \«'(Т). 1,6-10-12 nJ1

где q — общая потеря энергии космическими лучами на ионизацию (в эрг-сек-1), рассчитанная па один атом водо-

рода, и а' (Т) — суммарный коэффициент рекомбинации водорода на все уровни, кроме первого. Значения констант в (4.2) получены для обычного космического содер

жания элементов. Величина , зависящая только от

пнпе

Т и химического состава, быстро возрастает при Т > > 5000 °К, а при Т < 103°К уменьшается.

Поставлять свободные электроны могут и атомы гелия. При учете этого обстоятельства и при условии, что пне ~ 0,1 пн, ионизационное равновесие водорода определяется уравнением

1,6 . КГ12»^ (Т) = -^- 9ПН.(4.3)

Если q = const, соотношения (4.2) и (4.3) дают величину Т в зависимости от пн. При пн = 2—10 см-^ Т = 60— — 100 °К, а для пн ~ 0,1 см"^ значение Т ж 5000 °К. Первые величины характерны для условий в облаках, а вторые — в межоблачном пространстве.

Для Т ^ 5000 °К произведение инТ (пропорциональное газовому давлению) достигает максимума. С увеличением ин давление падает и, достигнув минимума при Т « ж 400 °К, ин^ 0,3, снова повышается. Когда ин = 2—4, то давление такое же, как при пн ~ 0,1. Таким образом, облака и межоблачная среда представляют устойчивые состояния газа, а при промежуточных значениях ин газ термически неустойчив. Этот вывод подтвердил сделанное ранее предположение Филда (1962) об образовании конденсаций в межзвездном газе в результате его тепловой неустойчивости.

Указанная идея о происхождении конденсаций в межзвездном газе получила дальнейшее развитие в ряде работ.

Более точное вычисление функции Ж+, определяющей нагрев газа космическими лучами, выполнено Голдсмитом, Хабингом и .Филдом (1969). Ввиду неопределенности данных о космическом излучении приходится вводить параметры, которые можно определить путем сравнения теории с наблюдениями. Нагрев газа определяется параметром £, определяемым как число ионизаций космическими лучами *всех атомов й ионов на единицу объема за единицу времени.

§ 1]

Величина Ж^ представляется как сумма соответствующих функций для электронов и ионов:

ЖХ = 4,6-1О“Хо пе £ эрг • см~3 • сек-1 (4.4)

(при энергии космических лучей А = 2 Мэв),

Ж? = тге [3,2-10^9 п (Н I) + 4,1-10^ тге] эрг-см"3-сек1,

, (4.5) где пе — концентрация сверхтепловых электронов, возникающих при непосредственной ионизации^ атомов космическими лучами.

Величина Ж~ была рассчитана при учета более новых данных о сечениях столкновений, приводящих к охлаждению газа. Наряду с уравнением теплового равновесия (4.1) решались и уравнения ионизационного равновесия. Ионизация водорода определяется уравнением

п (Н I) [£ (Н I) + Пе <0^ + НебУ! — апн^е = 0, (4.6) где первый член в квадратных скобках соответствует непосредственной ионизации космическим излучением, второй — ионизации тепловыми и третий — ионизации сверхтепловыми электронами. Аналогичные уравнения записываются для Не и Не+.

Решение уравнений продемонстрировало быстрое уменьшение температуры для п0 > 0,21 см-3 (тг0 = тгнх + + тгне I + ^не н) и присутствие в соответствии с этим провала на кривой р (п^ (см. рис. 9, а, нижняя сплошная кривая). Поэтому возможно существование двух разных конфигураций с одинаковым давлением, как и предполагалось ранее. Особенности кривой р (nQ) обусловлены изменением способности газа к охлаждению с температурой. Что касается неопределенности в определении величины £, то она не влияет на характер кривой, посколькупри изменении ее значения в а раз температура, соответствующая п0) будет соответствовать ап0. При плотности энергии космических лучей 6-10~и эрг* см-3 (для энергии протонов в 2 Мэв) величина £ = 4-10~16 сек-1.

В качестве возможного источника нагрева межзвездного газа в областях Н I ряд авторов рассматривали также энергию мягкого рентгеновского излучения (Силк и Вернер (1969), Хабинг и Голдсмит (1971), Н. F. Бочкарев (1972)). В последних двух работах учтен каскадный

процесс потери энергии первичными нетепловыми электронами, получаемыми при ионизации рентгеновским излучением и космическими лучами. Хабинг и Голдсмит рассчитали этот процесс при помощи уравнения Больцмана, записываемого в виде

L ut Jneynp L ^ Jynp. тепл,

где Sp (5) — функция, определяемая процессами первичной ионизации и дающая распределение первичных электронов

Рис. 9. Равновесные значения давления и электронной концентрации (а) и температуры (б) в зависимости от концентрации частиц; пунктиром обозначены кривые, соответствующие ионизации рентгеновским излучением (цифры означают энергию), сплошные кривые — ионизация космическими лучами (Хабинг, Голдсмит (1971)).Рис. 9. Равновесные значения давления и электронной концентрации (а) и температуры (б) в зависимости от концентрации частиц; пунктиром обозначены кривые, соответствующие ионизации рентгеновским излучением (цифры означают энергию), сплошные кривые — ионизация космическими лучами (Хабинг, Голдсмит (1971)).по энергии. Членпо энергии. ЧленГ д^1) dtГ д^1) dt|неупр|неупручитывает неупругие столкучитывает неупругие столк

Рис. 9. Равновесные значения давления и электронной концентрации (а) и температуры (б) в зависимости от концентрации частиц; пунктиром обозначены кривые, соответствующие ионизации рентгеновским излучением (цифры означают энергию), сплошные кривые — ионизация космическими лучами (Хабинг, Голдсмит (1971)).

Рис. 9. Равновесные значения давления и электронной концентрации (а) и температуры (б) в зависимости от концентрации частиц; пунктиром обозначены кривые, соответствующие ионизации рентгеновским излучением (цифры означают энергию), сплошные кривые — ионизация космическими лучами (Хабинг, Голдсмит (1971)).

по энергии. Член

по энергии. Член

Г д^1) dt

Г д^1) dt

|неупр

|неупр

учитывает неупругие столк

учитывает неупругие столк

. dt Jynp.тепл. dt Jynp.теплновения нетепловых электронов и член

. dt Jynp.тепл

. dt Jynp.тепл

упругие столкновения между тепловыми и нетепловыми электронами. Уравнение (4.7) решалось методом Монте- Карло. Расчеты степени ионизации водорода в обей

§ 11

работах дали сходные результаты. На рис. 9 приведены равновесные значения давления, электронной концентрации и температуры в зависимости от концентрации частиц для случаев ионизации космическими лучами и рентгеновским излучением. По форме кривые для обоих случаев близки. Равновесие между холодными плотными облаками и горячей разреженной межзвездной средой достигается в первом случае при Т = 6700 °К, а во втором — при 5500 °К. Последнее значение находится в лучшем согласии с данными наблюдений, приводимыми в работе Филда, Голдсмита, Хабинга (1969). В настоящее время трудно сделать решающий выбор между двумя возможностями из-за отмеченной выше неопределенности в принимаемой величине потока космических лучей, но, по-ви- димому, роль космических лучей в нагреве газа значительнее.

Среди других источников нагрева и ионизации среды необходимо отметить коротковолновое излучение звезд и выделение энергии при столкновениях облаков. Так как излучение звезд может нагреть газ лишь до 20—25°, а нагрев космическими лучами дает более высокие температуры, то, если учесть зависимость охлаждающих факторов от Т, действие излучения звезд на температуру газа и его ионизацию получается пренебрежимо малым. О нагреве газа при столкновениях облаков подробно говорится ниже (§ 2).

Все сделанные расчеты показывают, что в областях Н I возможно существование газа в двух устойчивых фазах — плотные холодные облака и разреженный горячий межоблачный газ. При промежуточных значениях плотности в газе возникает тепловая неустойчивость. Параметры двухфазной модели межзвездной среды приводятся в табл. 3, взятой из обзора С. А. Каплана и С. Б. Пи- кельнера (1974).

Таким образом, при сжатии газа до такой степени, что 3-102 < пТ, происходит его частичная конденсация в облака, тогда как остальной газ переходит в разреженную фазу. Сжатие газа до такого давления в спиральных рукавах Галактики объясняется действием ударных волн, создаваемых волнами плотности (см. С. А. Каплан и С. Б. Пикельнер (1974)). Характерное время развития неустойчивости определяется формулой (3.187). При значении

Таблица 3

Объект

Давление рГк=пТ, см-3*град

Плотность П, С№3

Разреженная среда Межоблачная среда Облака

Плотные облака

^3-102 3*W<nT<l^*W *

^1,5-Ю3

^2,5.10-2

2,5.10“2< и < 0,2 1^п^50 5:50

Объект

Температура Г, ° К

Состояние

Разреженная среда Межоблачная среда Облака

Плотные облака

1,2-104

7,5*103 < Т < 1,2* 104

<30

Устойчивое Неустойчивое

Устойчивое

Ж, получаемом, как указано выше, оно порядка 106— 107 лет. Это время меньше, чем время между столкновениями облаков.

Равенство давлений между конденсированной и разреженной фазами еще не означает полного равновесия. Должен существовать поток тепла от горячего газа к холодному, который может приводить к фазовым превращениям — испарению или конденсации на границе облака. Это явление, впервые изученное Я. Б. Зельдовичем и С. Б. Пикельнером (1969) для одномерной модели, было затем детально исследовано в работе Грема и Ленджера (1973), результаты которой здесь приводятся.

При вычислениях сделано предположение, что в межзвездной среде осуществляется детальное равновесие, т. е. каждая флуктуация в давлении, обусловленная испарением, уравновешивается процессом конденсации. Это позволяет из. условия максимума удельной энтропии s оценить долю объема газа ж, приходящуюся на конденсации.

Пусть пи зг — концентрация частиц и удельная энтропия для разреженной фазы, а п2 и s2 — соответствующие величины для конденсированного газа. Обозначая

s = п^х + п^ (1 —- ж), (4.8) п = пгх + (1 — х) п2 (4.9)

и считая п постоянным, из условия dsldp = 0 и выражения для энтропии идеального газа

s =^ кп In п + — кп In р + пС, (4.10)

где С — энтропийная константа, можно оценить х в зависимости от р. При р/к = 103—1,5-103 град-см*3 получается, что х = 0,03—0,04, что согласуется с имеющимися оценками доли объема, занимаемого облаками (5—10% всего объема среды).

Система газодинамических уравнений, определяющих движение границы облака в результате конденсации или испарения, записывается в виде

(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)-±L + V(pV) = O,

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Р? [-|- + (у V) s] = V (хг?Л - a ф, t),p = к (n0 + ne) T,

где xy — коэффициент теплопроводности, полагаемый рав-

ным

хг = ”Н1ХН1 + "НП«НП .(4 15)

ЛН1 + лнп

Для величин Хш и хнп можно принять

хш = 2,5 • 1(№ эрг^град • сек *см\

(4.16)

хНп = 1,2 • 10"6Р/2 эрг!град • сек • см\

Процесс предполагается квазистационарным и происходящим при постоянном давлении. При этих предположениях уравнение движения (4.12) выпадает и, кроме того,

TVs = Vf, (4.17)

где г — энтальпия:

(4.18)(4.18)5 кТ

(4.18)

(4.18)

2 ^нН %Н пНтН "Ь пНе7ЛНе

Здесь -£- =Здесь -£- =”н + "Не + ”е”Н + 4”не”н + "Не + ”е”Н + 4”неХн = 13,6 Эв.Хн = 13,6 Эв.

Здесь -£- =

Здесь -£- =

”н + "Не + ”е”Н + 4”не

”н + "Не + ”е”Н + 4”не

Хн = 13,6 Эв.

Хн = 13,6 Эв.

Уравнение (4.11) при учете малой толщины граничного слоя заменяется условием

| pv | ж т = const.| pv | ж т = const.(4.19)(4.19)

| pv | ж т = const.

| pv | ж т = const.

(4.19)

(4.19)

Тогда для сферически-симметричного случая из (4.13) и (4.17) следует уравнение

^гр д In иТ / др \ 2 /2 /п di \ dT

“^2“ Н эт+ V"^Ит") dr

_ JL = о, (4.20)

котороекотороенужно решать при следующих граничных усло

которое

которое

виях:

г = 0,г —> оо,г = 0,г —> оо,Г =Г0,Г =Г0,т = тхт = тх^ = 0drdr^ = 0drdr(4.21)(4.21)

г = 0,

г —> оо,

г = 0,

г —> оо,

Г =Г0,

Г =Г0,

т = тх

т = тх

^ = 0

dr

dr

^ = 0

dr

dr

(4.21)

(4.21)

где То — температура в центре области, Т2 — температура межоблачной среды. Величины р и То являются свободными параметрами. Каждому значению То соответствует определенный радиус облака R, определяемый условием

Г(Л) = 4-^о + Г2). (4.22)

Численное решение уравнения (4.20) дает изменение радиуса облака со временем,, т. е. скорость испарения, характеризуемую потоком массы m через его границу. Величина m зависит от R, и эта зависимость для двух значений р, полученная на основе решения (4.20), приведена на рис. 10.

Характерное время испарения облака определяется формулой

(4.23)(4.23). ^обл

(4.23)

(4.23)

исп ~' 4л,№п *

Испарение облаков размером порядка 10х7 ель должно происходить за время, сравнимое со временем их образования. Эти выводы существенно дополняют картину движения границы облака, полученную ранее для плоского

случая, и должны быть учтены при расчете процесса образования облаков.

Процесс конденсации облаков из первоначально однородной среды пока с надлежащей точностью не рассматривался, поскольку требуется решение нелинейных уравнений газодинамики в неодномерном случае. Численное

Рис. 10. Зависимость скорости испарения облака от его размера для двух значений давления (Грем, Ленджер (1973)).

решение их для плоского случая производилось Голдсмитом (1970). Им получена на этой основе оценка времени формирования облака t ^ 107 лет.

Движение межзвездной среды

В этом параграфе рассматриваются такие движения газа в межзвездной среде, характерный масштаб которых мал по сравнению с размерами спиральных рукавов Галактики. Наиболее крупномасштабные из них — это движения, связанные с предполагаемой в галактическом диске неустойчивостью Рэлея — Тейлора.

Как известно, в галактических рукавах существует крупномасштабное магнитное поле, приблизительно параллельное галактической плоскости, напряженностью (3—6)-10~6гс. Если газ в достаточной мере однороден, то его равновесие в поле тяготения Галактики поддерживается магнитным полем и давлением космических лучей.

Возмущение магнитного поля должно вызывать также развитие тепловой неустойчивости с характерным временем порядка 10е лет. Так как магнитное давление на один-два порядка превосходит газовое давление в межзвездной среде, конденсация газа приводит к образованию облаков, вытянутых вдоль силовых линий. «Тяжелые» облака должны стекать вдоль силовых линий магнитного поля к галактической плоскости, увеличивая их прогиб. Разреженный, более легкий газ всплывает, оставаясь в пределах силовой трубки. При этом он нагревается космическими лучами и в результате его давление еще более возрастает. Время развития неустойчивости Рэлея — Тейлора определяется при помощи формулы (2.112) и составляет для Галактики около 107 лет.

В конечном счете должна установиться конфигурация типа изображенной на рис. 7. Область, занятая тяжелым газом, поддерживается натяжением магнитных силовых линий. Детальных расчетов указанного процесса пока не сделано и многие черты его остаются неясными. В частности, не исключена возможность развития динамической неустойчивости. Не вполне ясен вопрос о радиусе кривизны «ямы». Согласно оценкам С. Б. Пикельнера он должен составлять около 150 пс.

Прямых наблюдательных подтверждений наличия неустойчивости Рэлея — Тейлора в галактическом диске очень мало. Среди них следует отметить существование течений нейтрального водорода на больших расстояниях — 300—400 пс от галактической плоскости — со скоростями ж 30 км/сек, направленными в сторону этой плоскости. Их можно интерпретировать как стекание газа вдоль магнитных силовых линий. Поскольку скорость стекания должна быть близкой к скорости свободного падения, которая на этих высотах составляет 30—40 км/сек, такое объяснение наблюдаемых движений вполне допустимо, хотя возможны и другие истолкования их.

Движения конденсаций межзвездного водорода — облаков—в настоящее время не представляются столь хаотическими, как это считалось ранее. Обширное исследование распределения по скоростям около 200 облаков, расположенных на площади 500 квадратных градусов, произведенное Верскером (1974) по данным радионаблюдений, продемонстрировало, что облака движутся по от-

ношению друг к другу не случайным образом. Они образуют сильно вытянутые структуры — цепочки или волокна, простирающиеся на несколько градусов. Существует градиент скорости вдоль волокна, составляющий около 5 км-сек"1 • град"1. По-видимому, волокна располагаются вдоль силовых линий галактического магнитного поля. Средняя скорость облаков равна 7,3 ± 4,2 км/сек.

В указанной работе приводятся средние характеристики изученных облаков: масса ЗКОбл ~ 4—10 SR©, размеры & ^ 2—3 пс; концентрация атомов пн = 3—100 см"3, <^н> ~ 50 см"3.

Таким образом, понятие дискретного облака может использоваться при исследовании межзвездного водорода, хотя существует мнение, что этим действительная картина слишком упрощается. В работе Хейлса (1975) подчеркивается, что структура газа очень часто волокнистая, причем волокна параллельны полю. Распределение плотности в межзвездном водороде более непрерывное, чем предполагалось раньше, и среда может быть рассматриваема скорее как совокупность потоков газа, чем облаков. Все эти факты ставят под сомнение концепцию облачной структуры. Но даже если она применима к межзвездному газу в качестве очень приближенной и нуждается в уточнении, то все же нет оснований связывать неоднородность плотности и соответствующий ей разброс скоростей движения облаков с крупномасштабной турбулентностью в межзвездной среде.

Представление о турбулентности в межзвездной среде, широко обсуждавшееся в пятидесятых годах, основывалось, с одной стороны, на очень большом значении числа Рейнольдса для областей нейтрального водорода и, с другой стороны, на оптических спектральных наблюдениях, дававших картину хаотических движений облаков. Однако, как видно из приведенных выше данных радионаблюдений, упрощенная модель турбулентности в нейтральном водороде не соответствует действительности. Большая величина Re является лишь необходимым условием турбулентности.

Радионаблюдения отдельных облаков, выполненные с высоким разрешением по скорости (0,2 км/сек), указывают на возможность турбулентности в самих облаках. Дисперсия скоростей внутри облака по линиям тяжелых

элементов доходит до 1,5 км/сек, тогда как при температурах 7^100 °К, существующих внутри облака, скорости соответствующих атомов незначительны. Следовательно, большая ширина линий должна быть обусловлена движениями газовых масс внутри облака. Не исключено, что она связана с движениями малых конденсаций — «облачков» — с массами порядка солнечной.

Для проверки того, являются ли наблюдаемые движения газа турбулентными, можно использовать ту же методику, которая была разработана в пятидесятых годах. Она основывается на отыскании корреляционных связей между лучевыми скоростями газа в различных направлениях. Предполагается, что эти связи в случае наличия локально-изотропной турбулентности должны соответствовать закону Колмогорова (гл. 3, § 1). Соотношение (3.26) имеет место тойько для несжимаемой среды, а при учете сжимаемости корреляционные зависимости между скоростями и масштабами пульсаций могут оказаться иными, не говоря уже о том, что пульсации скорости оказываются связанными с пульсациями плотности. Отсут; ствие теории турбулентности сжимаемой среды заставляет применять методы, разработанные в предположении малой ее сжимаемости. Они детально изложены в монографии С. А. Каплана и С. Б. Пикельнера (1963).

Из наблюдений лучевых скоростей ит в принципе возможно определить структурную функцию

Ьтг (у) = <[vr (Н — Vr (r")]2>, I г' — г" I = г, (4.24) представляющую собой корреляционную функцию пульсаций скорости. Приближенное выражение структурной функции для однородной и изотропной турбулентности^ несжимаемой жидкости задается формулой

+ ы

из которой для движений с масштабом L, меньшим основного, получается колмогоровский закон. Величина 8 представляет собой скорость диссипации энергии через иерархию вихрей. При г ^> L величина Ътт (г) та const, так как на столь больших расстояниях корреляпионных связей между движениями нет. Поскольку на луч зрения

могут попадать различные элементы турбулентности, то на практике используется усреднение по двум лучам зрения, угол между которыми а, и из наблюдений определяется лишь структурная функция, зависящая от углового расстояния а между точками на картинной плоскости.

Путем анализа лучевых скоростей в туманности Ориона Хёрнером (1951) была найдена средняя турбулентная скорость в ней, (^турбУ'2 = 7,4 км/сек. В дальнейшем Мюнч (1960) пересмотрел этот результат, исходя из формулы

А2 =А2 =рЗ^^ [г> (s) — W^dsрЗ^^ [г> (s) — W^ds-H 62,-H 62,(4.26)(4.26)р2е T(s) dsр2е T(s) ds

А2 =

А2 =

рЗ^^ [г> (s) — W^ds

рЗ^^ [г> (s) — W^ds

-H 62,

-H 62,

(4.26)

(4.26)

р2е T(s) ds

р2е T(s) ds

где p означает плотность, v (s) — радиальная компонента скорости. Формула (4.26) определяет наблюдаемую ширину линии А, создаваемую радиальными движениями, в зависимости от скорости <р> в центре линии. В (4.26) множителем е~х^ учтено влияние экстинкции излучения в туманности. Величина 6 — средняя квадратичная скорость, соответствующая максвелловскому распределению при температуре Т. Плотность р (s) считается постоянной и поэтому т (s) = ks. Величина к-1 характеризует эффективную толщину слоя, доступного наблюдениям.

Пусть известны лучевые скорости va и и^ в двух точках аир поверхности, отстоящих друг от друга на данное расстояние Л. Путем усреднения квадрата разности иа — — и^ по всем парам таких точек получается структурная функция b (Л):

Ь (Л) = <(иа - v^y(4.27)

Из закона Колмогорова следует, что

z (ЛЧ кХ>1,пп

/Ь(Л)~, а /л(4.28)

' v '[k'W,, кХ<Л,х '

а также зависимость . (Д^ - б2 — к"1'».(4.29)

Для достаточно больших расстояний Л наблюдения привели к зависимости структурной функции вида Л1'8. Однако из этого еще не следует выполнение закона Колмогорова в случае движений в туманности Ориона. Если наблюдаемую зависимость распространить на малые значения Л, то к-1 оказывается незначительным по сравнению с размерами/туманности, которую тогда следует рассматривать как тонкий слой. В тонком слое при к-1 < Л не должно быть значительной дисперсии скоростей вдоль луча зрения. Действительно, при таких значениях к-1 соотношение (4.29) дает ширину А, втрое меньшую наблюдаемой. Принимая же по данным наблюдений звезд, находящихся в туманности, большее значение к-1, придем к зависимости VW^ — №*, не соответствующей наблюдениям. Отсюда можно сделать вывод, что если в туманности Ориона и имеет место турбулентность, то для нее не выполняются предположения, сделанные при выводе соотношений (4.28) и (4.29). В первую очередь следует отказаться от предположения о несжимаемости, так как наблюдения показывают, что в туманности происходят движения со сверхзвуковыми скоростями. При этом должны возникать ударные волны, приводящие к диссипации кинетической энергии в вихрях промежуточного масштаба и к «заваливанию» спектра турбулентности.

Аналогичным способом были исследованы движения в ряде областей ионизованного водорода (Луиз, Монне (1970)). Для них также оказалось, что У"Ь (Л) — Л1/з, причем в области М8 скорость движений соответствует закону Колмогорова, тогда как в других областях турбулентные скорости вдоль луча зрения в несколько раз больше, чем следует из этого закона. Такое несоответствие обл>-> ясняется эффектом сжимаемости и присутствием в них расширяющихся конденсаций.

Как указанные работы, так и те, где отыскиваются структурные функции для флуктуаций яркости (С. Б. Пикельнер (1954)), степени межзвездной поляризации и других характеристик, показывают, что в туманностях происходят движения, похожие на турбулентность. Сходство заключается в том, что существует связь между масштабами и соответствующими структурными функциями, в общем близкая к ожидаемой из теоретических соображе-

ний. Отсутствие теории сверхзвуковой турбулентности не позволяет пока подойти ближе к решению вопроса о характере движений газа в туманностях.

Так как в масштабах, превосходящих размеры туманностей, движения явно не имеют турбулентного характера, наибольший масштаб турбулентности в межзвездной среде определяется* размерами туманностей. Возникновение движений такого масштаба вряд ли связано с процессами масштаба Галактики, например, ее дифференциальным вращением. Причины их окончательно не выяснены, но есть веские основания считать, что одним из основных источников энергии движений как в туманностях, так и во всей межзвездной среде является расширение областей Н II, обусловленное излучением горячих звезд. Здесь уместно подробнее рассмотреть проблему баланса кинетической энергии межзвездной среды.

По величине массы межзвездной среды и наблюдаемым скоростям движений оценивается плотность кинетической энергии в ней. Она составляет с точностью до множителя, равного трем, 10"12 эргУсм3^ а суммарная энергия в Галактике ж 1055 эрг. Плотность энергии космических лучей и магнитного поля того же порядка. Кинетическая энергия диссипирует при столкновениях облаков, расходуясь на нагрев газа вследствие вязкости, при взаимодействии газа с магнитным полем Галактики и другими способами. Характерная продолжительность времени между столкновениями облаков при их скоростях порядка 10 км/сек и межоблачных расстояниях 1020—1021 см составляет 1014—1015 сек. Таким образом, время диссипации кинетической энергии получается около 107 лет. Конечно, состояние межзвездной среды в целом за это время не может существенно меняться и, следовательно, потери энергии должны компенсироваться ее притоком. Приведем оценки кинетической энергии, поступающей в межзвездную среду от различных источников (в расчете на всю Галактику в год):

Расширение зоны Н II Вспышки сверхновых Вспышки новых Истечение из звезд WR Звездный ветер Истечение из двойных системРасширение зоны Н II Вспышки сверхновых Вспышки новых Истечение из звезд WR Звездный ветер Истечение из двойных систем1048 эрг/год1048 эрг/годЮ»7—Ю48 эрг/год 1047—1048 эрг/годЮ»7—Ю48 эрг/год 1047—1048 эрг/год1047 эрг/год1046 эрг/год1047 эрг/год1046 эрг/год1043 эрг/год1043 эрг/год

Расширение зоны Н II Вспышки сверхновых Вспышки новых Истечение из звезд WR Звездный ветер Истечение из двойных систем

Расширение зоны Н II Вспышки сверхновых Вспышки новых Истечение из звезд WR Звездный ветер Истечение из двойных систем

1048 эрг/год

1048 эрг/год

Ю»7—Ю48 эрг/год 1047—1048 эрг/год

Ю»7—Ю48 эрг/год 1047—1048 эрг/год

1047 эрг/год

1046 эрг/год

1047 эрг/год

1046 эрг/год

1043 эрг/год

1043 эрг/год

Таким образом, механическая энергия, поступающая в газ главным образом от расширения зон Н II и звездных вспышек, превосходит 1048 эрг/год и достаточна, чтобы возместить потери энергии межзвездной среды. Заметим, что космические лучи способны оказывать давление на межзвездный газ и являются, следовательно, одним из источников энергии. Поскольку они образуются главным образом при вспышках сверхновых, их действие учтено в «коэффициенте эффективности» преобразования энергии вспышки в кинетическую энергию. В следующих разделах вопросы о механизме диссипации кинетической энергии и об основных процессах, определяющих поступление энергии в межзвездную среду, рассматриваются более подробно.

§ 3. Столкновения облакови структура межзвездных ударных волн

Относительные скорости облаков нейтрального водорода составляют 10—15 км/сек. Поскольку скорость звука в облаках гораздо меньше,— около 1 км/сек, — то Яри столкновениях облаков возникают слабые ударные волны, распространяющиеся в обе стороны от поверхности контакта. Они сжимают газ и нагревают его до температуры в несколько тысяч градусов. При последующем охлаждении нагретого газа должно возникать длинноволновое излучение, которое наблюдаемо.

Представление о фронте ударной волны, как о поверхности разрыва, является идеализацией. На саМом деле он обладает структурой, которая зависит от ряда факторов, в частности, от состояния ионизации невозмущенного газа. Здесь мы ограничимся случаем, когда ударная волна распространяется по неионизованному газу и является при этом настолько сильной, что хотя бы частично его ионизует.

В такой ударной волне можно выделить четыре области:

область прогрева газа излучением, выходящим из-за фронта;

область вязкого скачка, в которой происходит превращение энергии волны в энергию движения тяжелых частиц, главным образом атомов, поскольку ионов мало;

область ионизационной релаксации, в которой происходит ионизация атомов;

область высвечивания или охлаждения (лучистой релаксации), из которой в основном и выходит в форме излучения энергия, переданная газу ударной волной.

В случае слабых ударных волн, распространяющихся в межзвездной среде, поток излучения, способного значительно нагреть газ перед волной, настолько мал, что его можно не учитывать и область I поэтому считать отсутствующей.

Если волна мало отличается от стационарной, то в области II половина ее энергии переходит в тепловую энергию атомов. Это происходит за время порядка (п^ст^)"1» где п — концентрация атомов, ^ст — эффективный поперечник столкновений между ними4 и D — скорость волны. При п = 100 см-3, QCT 10“15 см2* иВ » 2 • 106 см!сек, это время порядка 5 • 106 сек, т. е. толщина области ^ 1013 см. Кинетика процессов в этой области сложна. Они исследуются на основе уравнения Больцмана. Сметодикой расчетов можно познакомиться, например, по книге Берджерса (1969).

В области II свободных электронов и ионов мало — имеются лишь те, которые присутствовали в газе первоначально. В области III путем кулоновских взаимодействий энергия ионов передается электронам, которые производят ионизацию. Скорость ионизации нарастает лавинообразно, поскольку число электронов, способных ионизовать атомы, увеличивается по мере роста степени ионизации газа. Ионы же непрерывно черпают свою энергию от атомов. Кинетика в области ионизационной релаксации для условий межзвездной среды впервые была изучена С. Б. Пикельнером (1954), использовавшим для этого уравнения, определяющие:

изменение степени ионизации при учете столкновений с электронами

= bk (Те) пкпе — Ск (Те) ,(4.30)

где Ск — суммарный коэффициент рекомбинации (к — индекс элемента);

энергетический баланс электронного газа

^ ( 2 ^е^е^ ( 2 ^е^еdtdt= nen+Eie — fl= nen+Eie — fl(4.31)(4.31)

^ ( 2 ^е^е

^ ( 2 ^е^е

dt

dt

= nen+Eie — fl

= nen+Eie — fl

(4.31)

(4.31)

И

скорость потери энергии тяжелыми частицами (концентрация которых п^ а температура Т^

( 3\

^ \—Т" п^^ j )

—L = _ п^Е^.(4.32)

В уравнениях (4.31) и (4.32)

EVe = 10"17 ^ (Л - Те)(4.33)

и /х — член, определяющий потери электронным газом в различных элементарных процессах. Поскольку свободные электроны обеспечиваются в основном за счет водорода и гелия, то электронная концентрация пе равна

(4.34)(4.34)тге = тгн + пне + 2тгн+е.

(4.34)

(4.34)

Как указанный, так и последующие расчеты показали, что ширина области ионизационной релаксации на два порядка превосходит ширину вязкого скачка. При этом значительная часть энергии свободных электронов в области III затрачивается на возбуждение атомов, излучение которых уходит из области скачка. В результате эффективность ионизации снижается. Например, для начальной температуры тяжелых частиц за фронтом, равной 2-105 °К и при иных условиях,— в плотном газе,— достаточной, чтобы ионизация водорода была почти Полной, газ оказывается ионизованным лишь частично.

Для расчета области лучистой релаксации необходимо знать функцию $" (Т), определяющую потери энергии газом. Вычисления производились в зависимости от химического состава газа неоднократно и многие^результа- ты их приведены в обзорной статье Далгарно и Маккрея (1972). Изменение состояния газа определяется с помощью соотношения

^+ _ 2- = р 4- In а(4.35)

L dt \ р / 1v <

где d/dt означает лагранжеву производную. При отсутствии притока энергии ^ = 0 и из уравнения (4.35) сов- мебтно с уравнениями движения, неразрывности и состояния газа находятся значения Т и р в нем.

Важные для различных астрофизических приложений обширные расчеты структуры ударной волны, включая области II, III и IV (С. А. Каплан, Т. С. Подстригал (1965), Т. С. Подстригал (1969)), выявили ряд интересных закономерностей.

Для улета высвечивания вводится параметр у0 соотношением

3^>«<.>е-‘4.-", =„„х„^(4.36)

где суммирование в левой ласти производится по всем переходам ъ ->• к всех элементов с концентрацией тг(8). Вычисление показало, в частности, что для значений скорости волны D от 50 до 100 км/сек при начальной концентрации свободных электронов тге = 0,1 тгн и различных значениях параметра высвечивания у0 на протяжении всей области ионизационной релаксации ионная температура остается выше электронной на несколько тысяч градусов.

Максимум электронной температуры тем выше, чем больше скорость волны, а высвечивание его снижает.

Структура ударной волны существенно зависит от напряженности магнитного поля. Облака нейтрального водорода содержат поля с напряженностью 10"5—10~6 гс и соответственно с достаточно большим магнитным давлением. Поэтому при изучении столкновений облаков, движущихся поперек поля, последнее надо учитывать. Если столкновения происходят вдоль поля, то оно не влияет на структуру волны.

Особенности стационарных ударных волн при наличии магнитного поля рассмотрены в книге С. А. Каплана. (1958). В межзвездном пространстве проводимость ое велика и поля можно считать вмороженными, т. е. принять

-™-= const.(4.37)

Влияние поля на ударную волну наиболее отчетливо выявляется в случае, когда скорость газа перпендикуляр-

на к силовым линиям. Тогда для стационарной волны условия сохранения записываются аналогично (1.139) — (1.141), с той разницей, что вместо давления и энергии газа используются суммарные давление газа и поля р и энергия е:

Р = Реаз + -^- ,Р = Реаз + -^- ,8лр *8лр *(4.38)(4.38)

Р = Реаз + -^- ,

Р = Реаз + -^- ,

8лр *

8лр *

(4.38)

(4.38)

Должна быть учтена и работа сил магнитного давления (соответственно величине р/р в уравнении (1.142)). Из уравнений сохранения с учетом (4.38) следует, что при наличии поля скачок плотности меньше, чем при той же силе волны без поля:

Р2Р1Р2Р1Y + 17-1 ’Y + 17-1 ’(4.39)(4.39)

Р2

Р1

Р2

Р1

Y + 1

7-1 ’

Y + 1

7-1 ’

(4.39)

(4.39)

Это обстоятельство вызвано тем, что энергия волны частично расходуется на увеличение энергии магнитного поля. Приращение магнитной энергии Дем равно -

Дб„ =-^-(р2—Р1), (4.40)

где Ъ = Яр”*1.

При условии, что первоначальная кинетическая энергия газа гораздо больше энергии поля и р^ ^> ръ имеем (Т = 6/з)

ДеКин = — -^- + Tgjf-р^"” ^’(4.41)

"юл р2

где г — энтальпия.

(4.42)(4.42)Если же поле сильное и

(4.42)

(4.42)

8л 2 ’

то в тепловую энергию переходит сравнительно малая доля энергии волны:

AiАекинAiАекинр — Pi у . Р2+ Р1 / *р — Pi у . Р2+ Р1 / *(4.43)(4.43)

AiАекин

AiАекин

р — Pi у . Р2+ Р1 / *

р — Pi у . Р2+ Р1 / *

(4.43)

(4.43)

В этом случае поле препятствует сжатию газа, поэтому газ нагревается меньше.

Как и в случае обычных ударных волн, степень сжатия газа за фронтом возрастает при наличии стоков энергии (высвечивания). При очень сильном высвечивании (р2 2^> ^> pi) скорость волны D равна

D~\f Р2 ( ^т» I , (4.44) г Pi \ М-2 2 /

где а2 — значение альвеновской скорости за фронтом волны.

В газомагнитной ударной волне происходит диссипация энергии. Когда энергия поля того же порядка, что и кинетическая энергия газа, и значительно превосходит тепловую, то ударная волна диссипирует медленно, так как большая часть ее энергии переходит в энергию поля, которая при расширении сжатого газа снова превращается в кинетическую. По расчетам С. Б. Пикельнера (1957) в слабой волне, где ем ~ еКин, в тепло диссипирует около 4% энергии волны.

Обычные ударные волны (без поля), у которых скорость направлена не перпендикулярно к поверхности разрыва, называют косыми, или наклонными. У них тангенциальная компонента скорости не меняется, так как вдоль разрыва количество движения не переносится. В наклонной газомагнитной волне происходит перенос количества движения также и вдоль разрыва, что вызывает неравенство тангенциальных компонент скорости по обе стороны разрыва. В соответствии с этим система уравнений сохранения на таком разрыве более сложная. Вид этих уравнений и закономерности, из них вытекающие, приведены в монографиях по магнитной газодинамике (см., например, Андерсон (1968)).

В области скачка градиент магнитного поля очень велик и даже при высокой проводимости может происходить диссипация энергии вследствие джоулевых потерь. Помимо этого фактора, изменяющего структуру скачка в присутствии магнитного поля, нужно учитывать различие в действии поля на частицы в зависимости от их заряда. Нейтральные атомы пересекают ионный скачок беспрепятственно, и поэтому фронт размывается. Количество движения нейтральной компоненты газа может превращаться в магнитное давление только путем столкновений атомов

с ионами. Согласно С. Б. Пикельнеру (1959), толщина переходной зоны, в которой происходит выравнивание энергий нейтральных атомов и ионов, составляет несколько длин свободного пробега ионов относительно атомов. Более детально структура скачка при учете поля изучена Мелланом (1971а).

Когда газомагнитная волна распространяется по слабо- ионизованному газу, происходит усиление поля, связанное с действием атомных столкновений на ионы. Ион движется по окружности перпендикулярно к силовым линиям. Столкновения с атомами увеличивают радиус кривизны, создавая дрейф по отношению к атомам. Поэтому возникает ток, приводящий к росту поля. При расчетах структуры скачка в водороде было учтено, что взаимодействие между атомами и ионами осуществляется также путем перезарядки. Для ширины скачка Дс (области роста поля) в указанной работе приводится приближенное аналитиче* ское выражение

д9^111

° ~' 4 4jt/nin1 ^! naR 1

где

И = <а^> = 2,28.10-10r/» [1-O,181gr +

+0,008 (IgT)2] см^сек\ (4.46)

ап — сечение перезарядки, п\ и па — концентрация ионов и нейтральных атомов соответственно, Т — температура^ равная -g- (Та + Ti). При значениях ni = 10"2 см”*\ па = =10 см"\ Т=100-1000°К и Я1=(2-3)«10“б гс ширина Дс получается весьма значительной — 1015—1016 см. Для слабых волн величина Дс сравнима с шириной области лучистой релаксации. Оценки Дс по формуле (4.45) подтверждаются численным решением уравнений, определяющих перенос количества движения.

Точный расчет условий в области лучистой релаксации весьма важен, потому что наблюдать можно излучение только из этой области и лишь таким образом удается изучать ударные волны в межзвездном пространстве. В расчетах Циммермана (1968) в качестве основных факторов, определяющих охлаждение, принималось возбуждение вращательных уровней молекулы Нг, возбуждение ионов

С+, Si+, Fe+ электронным ударом и столкновения атомов и ионов с пылевыми частицами. Эти расчеты, произведенные без учета магнитного поля, показали, что газ, нагретый при столкновении холодных облаков с концентрацией п = 10 см-3 при относительной скорости облаков 18 км1сек до температуры около 1000 °К, менее чем за 105 лет должен охладиться до 3 °К.

При достаточно большом содержании молекул Н2 возбуждение их может оказаться основным фактором, ведущим к охлаждению газа. Эти молекулы должны образовываться в значительном количестве в нагретой области на графитовых пылевых частицах. Структура ударной волны, возникающей при столкновении облаков, при учете образования молекул Н2 рассчитана Вентзелом (1967). Ударная волна предполагалась изотермической, т. е. высвечивание газа за фронтом считалось очень интенсивным.

Когда сталкиваются два одинаковых по скорости и массе облака, поверхность соприкосновения их неподвижна. Пусть v0 — скорость облака относительно этой плоскости и D — скорость распространяющейся по нему ударной волны. Параметр ц характеризует роль магнитного поля:

а параметр М — силу скачка:

2

м» =.(4.48)

Здесь р определяется первым из соотношений (4.38)- В силу предположения об изотермичности волны принимается Тх = Т^ где Тео — температура за фронтом на достаточно большом расстоянии от него. Уравнение, определяющее скорость волны, получается из условий сохранения массы, потока импульса и магнитного потока на разрыве и имеет вид

= 0.(4.49)= 0.(4.49)(4.50)(4.50)^ У i / ^ \2 г 1 + П D Т] ^о / + \ ^0 / М2 ^0>2

= 0.(4.49)

= 0.(4.49)

(4.50)

(4.50)

При М -> 0 (слабая волна)

D = (#1 + Сизз)1^

где а^ — альвеновская скорость в невозмущенном газе и £из1 — изотермическая скорость звука в нем. Для сильной волны (М оо)где а^ — альвеновская скорость в невозмущенном газе и £из1 — изотермическая скорость звука в нем. Для сильной волны (М оо)Д1/2 ’кТ,тнУ0 ’Д1/2 ’кТ,тнУ0 ’1М2 ’1М2 ’(4.51)(4.51)

где а^ — альвеновская скорость в невозмущенном газе и £из1 — изотермическая скорость звука в нем. Для сильной волны (М оо)

где а^ — альвеновская скорость в невозмущенном газе и £из1 — изотермическая скорость звука в нем. Для сильной волны (М оо)

Д1

/2 ’кТ,тнУ0 ’

Д1

/2 ’кТ,тнУ0 ’

1

М2 ’

1

М2 ’

(4.51)

(4.51)

Результирующий скачок плотности равен

(4.52)

Условия в той части сжатой области, где высвечиванием можно пренебречь (адиабатический скачок), являются граничными условиями для расчета области высвечивания, который производится при помощи уравнения энергии

"(4— ^-^--^-^С^.Т) (4.53) и уравнения неразрывности для молекул Н2

А(пти) = пЧЦТ). (4.54)

Здесь через пт обозначена концентрация молекул, С (n, Т) — коэффициент, определяющий излучение на одну молекулу (в эрг-сен"1^ и Н (Т) определяет скорость образования молекул:

« m -7 ■ 10~“ ■ (4-55>

При использовании условий сохранения массы и потока импульса на разрыве из (4.53) и (4.54) получается дифференциальное уравнение. Численное решение его при следующих значениях параметров: т] = 0,9; М = 2,5; Тг = =100 °К; пх = 10 ^“3; v0 = 7 км/сек*, Нг = 5,6-10“6 гс дало такие значения параметров газа за адиабатическим скачком: ^ 1000 °К, л2 25 см-3 и Ию = 32 см~3. Толщина излучающего слоя ~3-1017 см, т. е. много больше, чем протяженность адиабатического скачка, составляющего lO16^1 » 1016 см, и области, где выравниваются характеристики ионов и атомов (»3-1017 п"1 ж 3-1016 см). Таким образом, наличие магнитного поля, как и следовало

ожидать, привело к уменьшению температуры и плотности в сжатом ударной волной газе. Конкретное значение ширины зоны высвечивания следует рассматривать лишь как ориентировочное, поскольку использованные данные о скорости образования молекул на пыли недостаточно надежны.

Очень существенным фактором, приводящим к охлаждению газа за фронтом волны, оказывается возбуждение

Рис. И. Профили температуры, плотности, газового и магнитного давлений за фронтом волны при числе Маха, равном 10 и п-д = = 10"3 пн (Филд и др. (1968)).2

атомов кислорода при столкновениях с атомами водорода, потому что сечения возбуждения уровней О+ являются большими и концентрация атомов О+-сравнительно велика. При учете атомных и электронных столкновений, а также возбуждения молекул Н2 Филд и др. (1968) рассчитали структуру ударной волны в межзвездном водороде, обращая особое внимание на область лучистой релаксации. В отличие от рассмотренной работы Вентзела, отношение Н2/Н в зоне предполагалось неизменным (рис. 11).

Из условия сохранения потока массы и потока импульса во всей области высвечивания нетрудно получить выражение давления как функции плотности:

р (р) = Pi + Piv! (1 —7-) + -g^1 - -^г) ’ <4-56)

где индексом «1», как обычно, обозначены значения соответствующих величин в невозмущенном газе. Соотношение (4.35) при отсутствии притока энергии в газ и у = 5/3 дает после интегрирования

цр) =цр) =R* { рт(р)и } ^-[р;Г(р)1р2R* { рт(р)и } ^-[р;Г(р)1р2d In |d In |[^(р)]3'2р[^(р)]3'2р(4.57)(4.57)

цр) =

цр) =

R* { рт(р)

и } ^-[р;Г(р)1

р2

R* { рт(р)

и } ^-[р;Г(р)1

р2

d In |

d In |

[^(р)]3'2р

[^(р)]3'2р

(4.57)

(4.57)

где величина Т (р) определяется из (4.56) с помощью уравнения состояния газа. Формула (4.57) может быть использована для расчета времени охлаждения газа за фронтом волны. Из нее находится функция р (£) и, значит, скорость газа из равенства

Pi^iР(0 *Pi^iР(0 *(4.58)(4.58)

Pi^i

Р(0 *

Pi^i

Р(0 *

(4.58)

(4.58)

Изменение температуры за фронтом волны в зависимости от числа Маха М для разных значений поля Нг представлено на рис. 12. При достаточно сильном поле температура за фронтом существенно уменьшается. Так, при Нг = 10“5 гс и М 10 величина Т^ = 190 °К, тогда как при отсутствии поля она была бы вдесятеро большей. Это обстоятельство чрезвычайно сильно сказывается на процессе охлаждения газа в области лучистой релаксации. Когда нагрев вследствие присутствия поля мал, то температура и плотность меняются в этой области медленно. Если же поля нет, то в области лучистой релаксации давление остается приблизительно постоянным. Постоянство давления обусловлено высвечиванием, при котором уменьшение температуры компенсируется возраставшем плотности. Этот факт был ранее выявлен и использован при расчете ударных волн с высвечиванием в оболочках новых звезд (В. Г. Горбацкий (1962)).

. Время охлаждения, рассчитанное при помощи формулы (4.57), оказалось лежащим в пределах 5»103—15-103 лет, т. е. оно на один-два порядка меньше, чем давали более ранние вычисления (при постоянном значении Н2/Н), и близко к полученному Вентзелом при учете кинетики реакций образования молекул. Причиной столь быстрого охлаждения является сильное излучение атомов О+, уносящих 84% всей энергии, и С+, на долю которых приходится 8% энергии. Важным фактором, влияющим на

охлаждение газа в зоне лучистой- релаксации, оказывается также излучение в молекулярных полосах. Так, по расчетам Аанестеда (1973), выполненным при помощи той же формулы (4.57), время охлаждения получается в 3—4 раза меньшим, чем у Филда и др. (1968).

Заметим, что вследствие использования во всех рассмотренных работах недостаточно точных выражений

для сечений различных элементарных процессов приведенные результаты расчетов могут считаться в лучшем случае верными только по порядку величины и нуждаются в уточнении.

Лучшей проверкой теоретических расчетов структуры области лучистой релаксации явилось бы соответствие наблюдаемых потоков излучения от сталкивающихся облаков с теорией.

Рядом авторов было рассчитано инфракрасное излучение из-за фронта волны. Так, Филд и др. (1968 подсчитали интенсивность излучения Ii на единицу площади фронта для ряда линий с длинами волн 4—

156 мкм при помощи формулы

Ц = ~ t №.(4.59)

z=o

где Ж — энергия, излучаемая в данной линии с номером г единицей объема за 1 сек. Соответствующих наблюдений пока не производилось.

Вспышка сверхновой как точечный взрывв межзвездной среде

Вспышка сверхновой представляет собой быстрое выделение огромной энергии — порядка 1061 эрг. Эта энергия производит возмущение в окружающей звезду среде, причем объем, охваченный возмущением, очень велик по сравнению с тем объемом, где произошло освобождение энергии. Поэтому вспышку сверхновой можно рассматривать как точечный взрыв в межзвездной среде, если изучать те стадии процесса, когда ударная волна, образующаяся при взрыве, удалилась на расстояние, большое по сравнению с радиусом звезды.

Задача о точечном взрыве, имеющая очень много приложений не только в астрофизике, но и в других областях науки, наиболее просто решается при следующих предположениях:

взрыв адиабатический, т. е. потери энергии на излучение незначительны;

давление в невозмущенном газе (противодавление) пренебрежимо мало по сравнению с давлением в области возмущения;

среда является однородной;

теплопроводность газа можно не учитывать.

При выполнении этих условий задача о точечном взрыве является автомодельной. Она была решена Л. И. Седовым в 1945 г., а также независимо Тейлором. Это решение представляет собой основу для более сложных задач о взрывах, когда одно или несколько из указанных условий не выполняется.

Рассмотрим подробно решение этой задачи при выполнении всех указанных условий. Очевидно, что точечный

взрыв в однородной среде приводит к сферически-симмет- ричным движениям. Процесс распространения возмущения определяется всего двумя величинами с независимыми размерностями—освободившейся при взрыве энергией So и плотностьюсредыр0. Так как из размерностей этих величин

[р0] = г-с^3, [До] — г-см^-секГ2 (4.60)

нельзя составить размерностей длины или времени, то, в соответствии с общей теорией (гл. 1, § 6), в такой постановке задача является автомодельной. Для сведения ее к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений вводим безразмерную переменную £:

^=т^У1^Г1,<4-61>

От точки взрыва по среде распространяется сферическая ударная волца. Фронту волны соответствует некоторое значение £0 этого параметра и поэтому зависимость радиуса R области, охваченной возмущением, от времени определяется по (4.61) следующим образом:

7? =^о(—У4^5-(4.62)

\ Ро /

Зависимость скорости ударной волны!) от времени получаем из (4.62):

р = -зг = -гт- = 4^ IvT (4163) U t\ Ро /

Таким образом, на основе одних лишь соображений о размерностях получен очень важный вывод о законе распространения ударной волны, вызванной взрывом. Для того же, чтобы определить состояние газа в каждой точке охваченной возмущением области, следует решать полную систему уравнений — неразрывности, движения и энергии при граничных условиях, получаемых из условий сохранения на фронте волны (1.159).

Как это обычно делается при решении автомодельных задач, вводятся функции G (£), U (£) и Z ^ — представители, плотности, скорости и температуры соответственно. На границе (при £ = £0) они должны удовлетворять

условиям

/7 V + 177 _У §У (V 1)

U - 5 т + 1 ’~ 25(7 + 1)2 ’

(4.64)

где у — показатель адиабаты.

Из соотношения (4.62) и системы уравнений для представителей (см. гл. 1, § 6), из которой с помощью уравнения состояния газа исключается G (^), получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

-§- = АФ, ^,= h (U, ZY(4.65)

Систему (4.65) удается свести к одному уравнению, использовав интеграл энергии (Л. И. Седов (1965)). Он получается следующим образом. Величина энергии, заключенной между двумя движущимися сферическими поверхностями, на которых значения $ постоянны,

g = g' = const, ^ = ^ = const,. (4.66) выражается формулой

£ (0 = \ (+ + 8) 4лрг2 dr,(4.67)

гЧО

где е означает внутреннюю энергию среды, приходящуюся на единицу массы, а г' (£) и г" (£) — радиусы поверхностей. Изменение $ равно работе сил давления на этих поверхностях, т. е. имеем

+~ = - 4л (j)"v"r',e - p'v'r'\(4.68)

При учете (4.68) соотношение (4.67) записывается в видеПри учете (4.68) соотношение (4.67) записывается в виде(4.69)(4.69)

При учете (4.68) соотношение (4.67) записывается в виде

При учете (4.68) соотношение (4.67) записывается в виде

(4.69)

(4.69)

Символом d/dt обозначается производная, взятая для движущегося объема, состоящего из одних и тех же частиц, V' — объем, перемещающийся вместе с частицами, и 8 — поверхность, движущаяся со скоростью волны D.

Между d^/dt и d^ldt существует зависимость вида

d^ d^ . С / dr \/ р . ру2 \ т

^T = — ^\ VF-иКТ^ + V)dS' <4'7°)

(S)

dr

где в разности —и уменьшаемым учитывается поступление энергии в объеме между сферами в результате Смещения его границ, а вычитаемым — потеря энергии объемом вследствие движения газа. Величина 8 имеет ту же размерность, что и Е01 и зависит от ^ и £". Поэтому

8 =№(4.71)

Так как £', V и Ео не зависят от времени, то

Т - О(4.72)

и отсюда, используя (4.69) и (4.70), находим

^[т-^^г + ^-Н^’0' (4ЛЗ> (8)

Из соотношений (4.73) вытекает, что

][-^—Я(+ ~Тг) ~ Иг2 = const- (4-74)

Подстановка в (4.74) вместо р, р и и их выражений через представители и использование значений этих представителей на фронте волны приводит к соотношению

P£7 + (t7_4)(_™l + _Z_)_0(4.75)

(р — представитель давления), из которого нетрудно получить зависимость Z (U). На основе этой зависимости второе из уравнений (4.65) дает функцию U (£) и из первого уравнения тогда получается Z (£). Исследование получаемых уравнений и доказательство единственности решения было проведено Л. И. Седовым. Численное интегрирование (4.65) продемонстрировало следующие особенности состояния газа в области, охваченной взрывом:

плотность газа быстро падает к центру — почти вся захваченная волной масса сосредоточена около ударного фронта;

давление с удалением от фронта сначала падает, а затем остается приблизительно постоянным;

температура резко возрастает к центру. Последнее обстоятельство объясняется тем, что при движении по близким к центру взрыва областям волна была очень сильной и поэтому нагревала там газ до очень высоких температур. Поскольку предполагается отсутствие обмена тепловой энергией между центральными и периферическими областями, то температура вблизи центра остается высокой и в дальнейшем. Численное решение не являющейся уже автомодельной задачи о точечном взрыве при учете теплопроводности показывает, что в этом случае температура остается конечной в центре и более выровненной вдоль радиуса.

При ^ -^ оо величина давления р (г) уменьшается и dp пг

—^—>0, а значит, и~ —, т. е. движение должно становиться инерционным. Однако на определенном этапе расширения, когда р (г) становится настолько малым, что нельзя пренебрегать противодавлением, характер движения изменяется. Его можно определить путем решения соответствующей неавтомодельной задачи о точечном взрыве при учете противодавления. Эта задача рассматривалась многими авторами, применявшими как приближенные аналитические, так и численные методы (см., например, книгу В. П. Коробейникова, Н. С..Мельниковой и'Е. В. Рязанова (1961)).

Характерная длина г0 в задаче о взрыве с учетом противодавления определяется расстоянием, на котором давление на фронте волны становится равным по порядку величины противодавлению pv Ее можно оценить, приняв, что при переходе всей энергии взрыва в тепло давление на фронте станет равным рг:

2R*p2T2 = Р1,(4.76)

-^RV ЗД*р2Г2 = ^0(4.77)

(в этих соотношениях принято, что ионизация газа волной полная и что среда состоит из водорода).

Из (4.76) и (4.77) находим

_ 1Г° “ (2л),/з_ 1Г° “ (2л),/з(4,78)(4,78)^0 У^3 „ Q 5 / Eq у/з

_ 1

Г° “ (2л),/з

_ 1

Г° “ (2л),/з

(4,78)

(4,78)

Pi /’ \ Pi / ’

что лишь в 1,5—2 раза отличается от результата, получаемого путем численного решения неавтомодельной задачи. При г > г0 движение ударной волны еще продолжается, но со сравнительно малой скоростью.

Приведенное здесь решение задачи о точечном взрыве применимо при условии, что масса захваченного ударной волной газа значительно превосходит массу продуктов, образовавшихся при взрыве.

В астрофизических условиях нагретый газ всегда излучает и строгое условие адиабатичности не выполняется. Однако неадиабатичность существенно сказывается па движении, когда энергия, излученная газом, становится сравнимой с энергией, выделившейся при взрыве. Следовательно, процесс движения можно считать адиабатическим, пока выполняется неравенство

t

\U^at<E^ (4.79) о

где Lo — излучение за единицу времени всего объема газа, захваченного волной.

Если точечный взрыв происходит в неоднородной среде с экспоненциальным распределением плотности

Ро = РооеЧ1/А% (4.80)

то ударная волна движется в сторону меньшей плотности быстрее, чем в сторону возрастания плотности. Форма ее поверхности, обладающей осевой симметрией, вытянутая и описывается формулой (А. С. Компанеец (I960))

Rs (fl) = Ло (1 —^^-) , (4.81) где 'О' — угол, отсчитываемый от направления градиента плотности, а — некоторая постоянная.

Как уже отмечалось в § 2, энергия вспышек сверхновых звезд играет видную роль в энергетическом балансе межзвездной среды. Обсудим детальнее процесс преобразования этой энергии в межзвездной среде, рассматривая вспышку как точечный взрыв. Решение задачи об адиабатическом взрыве было впервые применено к вспышкам сверхновых И. С. Шкловским (1962).

В эволюции оболочек сверхновых можно выделить четыре стадии, различные по их газодинамическим особенностям.

Начальное расширение оболочки, определяемое условиями вспышки и мало зависящее от присутствия внешней среды.

Адиабатическая стадия движения, описываемая на основе теории точечного взрыва. В этой стадии начальная масса оболочки mQ много меньше массы возмущенного газа. Радиус ударной волны R (t) и скорость ее D (£) определяются формулами (4.62) и (4.63). Из второго соотношения (1.159) находится температура газа непосредственно за фронтомг

(4.82)

Стадия, когда потери энергии газом на излучение становятся достаточно большими, чтобы влиять на распределение температуры за фронтом. В это время наиболее существенным эффектом является перераспределение плотности за фронтом волны, приводящее к концентрацйи почти всей массы захваченного газа вблизи фронта (Кокс (1972b)).

После сформирования плотной тонкой оболочки потери энергии на излучение настолько велики, что оболочку можно рассматривать как движущуюся с постоянным количеством движения. В этой стадии газодинамические эффекты не очень сильно влияют на скорость движения оболочки. Поэтому приближенно можно получить эту скорость при помощи соотношения, описывающего постоянство количества движения (Оорт (1951)):

—|- л7?3р0у = т^(4.83)

где г0 — начальная скорость сброшенной звездой оболочки. Величина R при этом меняется со временем следующим образом:

R = 4^,(4.84)

в отличие от второй стадии, когда

R=-^-Dt.(4.85)

Для оценок продолжительности каждой из стадий примем следующие характерные значения параметров: Ео = = 4-Ю50 эрг; т0 = 1033 г; v0 = 109 смкек^ р0= 10~24 г-см"^. Тогда получаем, учитывая, что в первой стадии R = = V, условие ^^>5-109 сек, при котором расширение является адиабатическим, т. е. вторая стадия должна начаться приблизительно через 103 лет после вспышки. В йа- чале этой стадии температура газа за волной 72 ~ « 2 • 108 °К. Она относится к атомам и ионам, а электронная температура гораздо ниже, так как вследствие малой плотности плазмы равновесие между электронной и ионной температурами не успевает устанавливаться. Излучательная способность плазмы малой плотности очень низка и стока энергии в это время практически нет. Условие Те = ^ начинает выполняться при Т^ ^ 5 • 107 ° К (И. С. Шкловский (1966)), т. е. через несколько тысяч лет после взрыва. Излучение плазмы становится достаточно сильным при более низких температурах, и поэтому неадиабатичность (начало третьей стадии) будет сказываться на состоянии оболочки лишь при Г2^5-106°К. В соответствии с (4.82) такое значение Т^ должно достигаться спустя 30—50 тысяч лет после начала движения газа.

Более точная оценка времени /ад начала третьей стадии была произведена Коксом (1972b). Из очевидного условия, заключающегося в том, что температура элемента за фронтом падает из-за высвечивания быстрее, чем из-за расширения фронта, он нашел (в последующие формулы входит энергия Ео в единицах 0,75-1051 эрг^

tw = 2,76 ^у/1,(Юа2^-п0)-‘/” • Ю4 лет. (4.86) При Т )> 107 °К можно принять постоянным произведение S~^o2- Из (4.86) тогда получается, что к моменту £ад газом за фронтом будет потеряна путем излучения энергия 0,09 Eq. В интервале 106 °К < Т < 107 °К более точным является следующее представление функции Ж":

.= ^Зб.Ю^МГ-1.(4.87)

При посредстве (4.87) получаем

t

L (0 at = £0Т1 - (^Т] (< < <(с)),(4.88)

а время охлаждения t^ (т. е. продолжительность третьей стадии) соответственно равно

t^ = 5,3 /17п^8/17 • 104 лет.

Таким образом, плотная оболочка приблизительно за 10—15 тысяч лет охлаждается до температур порядка 103 °К.

Газ, находящийся ближе к центру, остается горячим (Т ^ 106 — 108 °К) в силу своей малой плотности и сжимает оболочку. Давление на фронте волны падает и это обстоятельство, вместе с давлением газа изнутри, приводит к образованию тонкой и довольно плотной оболочки, которая постепенно переходит в четвертую стадию своей эволюции.

В течение третьей стадии, а значит, тем более и во время второй противодавление можно не учитывать. В это время радиус фронта волны составляет 1019—3 • 1019 см, тогда как величина г0, определяемая согласно (4.78), даже при Т-= = 101°К превосходит 1021 см.

Процессы, протекающие внутри оболочки сверхновой, очень сложны. При вспышке образуются космические лучи, оказывающие давление на оболочку; пульсар, находящийся на месте вспыхнувшей сверхновой, продолжает излучать в области жесткого рентгена; внутри оболочки может находиться множество релятивистских частиц и т. п. Все .это, безусловно, сказывается на характере движения оболочки во всех стадиях, но расчет соответствующих эффектов сложен и сейчас их нельзя в газодинамической картине строго учесть. Обзор соответствующих проблем произведен1 Волтьером (1972), а также содержится в статьях И. С. Шкловского (1962), Строке (1974) и Строке, Лада (1975) (там же ссылки на другие работы). Что касается взаимодействия оболочки с межзвездной средой, то во многих работах оно обсуждается в различных аспектах. Прежде чем говорить о них, остановимся на наблюдательной стороне вопроса.

К 1975 г. в Галактике было известно более ста объектов, которые могут считаться туманностями, образованными в результате вспышек сверхновых (Миллс (1975)). Среди наиболее известных укажем на Крабовиднутд туманность, «остатки» сверхновых Тихо Браге и Кеплера, радиоисточ-

ник Кассиопея А, система волокнистых туманностей, называемая Петлей, в созвездии Лебедя. Крабовидная туманность по всем данным находится в первой стадии, возможно, то же самое имеет место и для Кассиопеи А. Об эволюционной стадии других остатков сверхновых трудно сделать определенные заключения, кроме Петли, которая, по-видимому, находится в стадии охлаждения (третьей стадии) и является одним из самых удобных объектов для проверки теоретических моделей. К тому же она много наблюдалась в радио- и оптическом диапазонах.

Согласно С. Б. Пикельнеру (1954) волокна в Петле являются плоскими ударными фронтами, образующимися при столкновении расширяющейся оболочки с облаками межзвездной среды. Мы видим их с ребра. Время охлаждения газа в таком слое около 2-103 дет. Скорость ударной волны, по данным наблюдений, около 100 км/сек. Расчет свечения волокон в линиях На и [О III] подтверждает эту картину, поскольку вычисленные интенсивности линий согласуются с наблюдаемыми.

В центральных областях Петли содержится горячий (Z = (1—2)-106°К) газ. Эта температура определена по наблюдениям рентгеновского излучения, дающим поток Lp = 1036 эрг-сек"1. По этой температуре, зная объем 7, занимаемый газом (радиус туманности 20 пс и V ^ « 1060 см3), и его массу (230 9R©), можно рассчитать излучение в частоте корональной линии [Fe X] % 6374 А. Результат вычислений зависит от предположений о плотности газа внутри оболочки и энергии вспышки. Две альтернативные модели дают один и тот же результат:

Ео = 4-1050 эрг, п — i, возраст 45 000 дет;

Ео = 6 • 1050, п = 0,15, возраст 16 000 лет.

Модель а) соответствует этапу, когда охлаждение почти закончилось; модель б) — стадии продолжающегося высвечивания. Величина £х6374 = ЗЛО33 эрг-сек*1 слишком мала, чтобы ее можно было наблюдать современными средствами.

Расширяющаяся оболочка сверхновой подвержена влиянию разного рода неустойчивостей особенно на последних стадиях .эволюции. Неустойчивостями многие авторы объясняют образование наблюдаемых волокнистых структур в остатках сверхновых. Для быстро расширяющихся оболочек на ранних стадиях может играть роль

неустойчивость Рэлея — Тейлора (Гелл (1975)). Наблюдения ее в это время затруднительны. На поздних стадиях возможно развитие тепловой неустойчивости (Маккрей, Стейн (1975)) за фронтом ударной волны и соответственно фрагментация оболочки. Такая же неустойчивость, согласно расчетам Мафсона (1974), имеет место в ударной волне, распространяющейся в межзвездном газе. При определенных условиях волна вызывает фазовый переход. Расширяющаяся оболочка сверхновой при скоростях 200—10 км!сек дает ударную волну, способную превратить в плотную фазу очень большое количество — до 3 • 103 SR© — мещоблачного газа.

Возникновение волокон возможно более простым путем — при взаимодействии ударной волны с плотными облаками. Фронт волны огибает облако, искривляется и образует излучающую в спектральных линиях На и [N II] узкую область (Макки, Коуи (1975)). В работе Сгро (1975) подчеркивается, что под действием ударной волны облака уплотняются, образуя светящиеся «узлы» в «остатке». При достаточно большой начальной плотности облака (п ^ 103 слС3) эти узлы движутся гораздо медленнее, чем остальной газ. Таким путем удается объяснить некоторые особенности «молодого» остатка Кассиопея А.

Кроме указанных причин, каждая из которых может играть роль в образовании наблюдаемых структур оболочек, нужно принимать во внимание магнитные поля. При движении оболочки она заметает вместе с газом и вмороженное в него магнитное поле. Это поле, уплотняясь за фронтом волны, препятствует сжатию оболочки и, естественно, должно оказывать влияние на ее динамику, но в ряде расчетов (Кокс (1972а, Ь)) оно в должной мере не учитывалось. С другой стороны, на ранних стадиях расширения может оказаться существенным и действие на оболочку магнитного поля нейтронной звезды, образующейся в процессе вспышки (Н С. Кардашев (1964)). На динамике оболочки должна сказываться также продолжающаяся долгое время после взрыва инжекция релятивистских электронов в туманность, о которой свидетельствуют данные радионаблюдений (И. С. Шкловский (1966)), Эти обстоятельства сильно усложняют точное исследование действия вспышки сверхновой на межзвезд-

ную среду. Тем не менее надо полагать, что картина явления, описанная выше, в общих чертах правильна.

Отметим еще одну интересную работу, касающуюся влияния «глобальной» неоднородности межзвездной среды на структуру оболочки сверхновой. Как известно, плотность межзвездной среды с удалением от галактической плоскости убывает. Использовав теорию точечного взрыва в среде с экспоненциально убывающей плотностью, Галлисфорд (1974) объяснил специфическую форму — вытянутость,— одного из остатков сверхновых — туманности IC443. На основе расчетов формы и свечения остатка путем сравнения теории с наблюдениями удалось найти энергию вспышки (Ео = 1,8-1050 эрг), начальную концентрацию атомов межзвездной среды вблизи центра взрыва (тг ж 8 см'3) и шкалу высот Ао = 1,2 Но, где 7?0 — радиус туманности в направлении, перпендикулярном к градиенту плотности в ней.

Ионизационные фронты

Ударная волна с классической точки зрения представляет собой движущуюся поверхность разрыва величин, характеризующих состояние газа. В условиях межзвездной среды существуют разрывы особого типа, обусловленные различием в степени ионизации по обе стороны от некоторой узкой области, например, на границе зоны ионизованного водорода. Как обычно считается в астрофизике (см., например, В. В. Соболев (1975)), толщина переходного слоя от зоны НИ, образованной под действием излучения горячей звезды, к области нейтрального водорода мала по сравнению с радиусом зоны НИ. Такой скачок называют ионизационным фронтом.

Ионизационный фронт может быть покоящимся относительно среды (и тогда поток газа через него равен нулю) только при условии равенства давлений по обе стороны фронта. Однако для такого равенства необходимо, чтобы отношение плотности газа в зоне Н II к плотности в области нейтрального водорода было обратно пропорциональным отношению соответствующих температур. Величина температуры в обеих областях определяется совершенно различными факторами, и отношение температур сильно отличается от единицы, а плотности межзвездного

газа меняются в пространстве независимо от этого. Следовательно, ионизационный фронт должен двигаться до тех пор, пока давления по обе стороны его не станут одинаковыми, что, вообще говоря, происходит не обязательно. Движение ионизационного разрыва может сопровождаться образованием ударной волны, и тогда нужно совместно рассматривать систему обоих взаимодействующих разрывов.

Важнейшим обстоятельством, отличающим ионизационный фронт от разрывов других видов, является то, что поток массы через разрыв определяется внешним фактором — потоком фотонов от звезды, ионизующих газ. После того как атомы водорода в данном элементе газа, находившемся в области Н I, под действием излучения звезды будут ионизованы, этот элемент следует относить уже к зоне НИ. Поэтому для чисто водородной среды условие сохранения потока массы на ионизационном разрыве записывается в следующем виде:

Р2 C^i ^2) ™ Pi-^i ~ J о (4.89)

где, как обычно, индексами «1» и «2» обозначены значения соответствующих величин до фронта и за ним, Dx — скорость фронта относительно области нейтрального водорода, предполагаемой покоящейся, и Jc — поток ионизующих фотонов через единицу площади фронта. Величина Jc определяется соотношением

Jc = стнJc = стн(* * (Zv\ Ру I , J r Av ’V0(* * (Zv\ Ру I , J r Av ’V0(4.90)(4.90)

Jc = стн

Jc = стн

(* * (Zv

\ Ру I , J r Av ’

V0

(* * (Zv

\ Ру I , J r Av ’

V0

(4.90)

(4.90)

где р* — плотность излучения звезды, hv0 — потенциал ионизации водорода, тн — масса атома водорода и с — скорость света. Если принять, как это часто делают, что оптическая толщина тНп зоны НИ мала (тип <^ 1), то для Jc получаем (С. А. Каплан (1958))

Т 6 • 10“16 /А ч т

Jc =^g(l — q^L.(4.91)

Здесь L — светимость звезды, г — расстояние фронта от звезды, q — доля излучения ее, приходящаяся на лаймановский континуум, и ^ — среднее значение той доли энергии фотона, которая при ионизации атома переходит

в кинетическую энергию отрывающегося электрона. Величины^ n^i зависят от распределения энергии в спектре звезды.

Условия сохранения потока импульса и потока энергии на ионизационном разрыве записываются в такой форме:

Pi + Pi^i = р2 + р2 (-Dj — v2)%(4.92)

' п т .. хГ (°i - ^ I 5 Я*72 1 Q„x = р2 Di — v2)5h - о[Г^ • 4193)

L ““r"2 I

Последнее слагаемое в левой части (4.93) дает поток энергии от источника, внешнего по отношению к неиони- зованному газу. Это энергия потока фотонов за вычетом энергии ионизации. В уравнении (4.93) не учитываются потери на излучение внутри фронта, а в (4.92) опущен член, соответствующий давлению излучения.

Из соотношений (4.89), (4.92) и (4.93) при заданных значениях pD 7\, Г2 и известных величинах L, q, qTl г можно найти скорость фронта D^ скорость и плотность газа за фронтом в предположении о стационарности движения.

Хотя движение ионизационного фронта в стационарном случае определяется лишь потоком фотонов, нужно иметь в виду, что невозмущенный газ перед фронтом подвергается давлению со стороны области Н II и поэтому уплотняется. Становясь в дальнейшем ионизованным и имеющим температуру порядка 104 °К, он при определенных условиях в силу своей повышенной плотности расширяется — оттекает от фронта в сторону источника ионизации. Если движение газа в это время обусловлено только давлением в нем, то отток должен происходить со скоростью, равной местной скорости звука:

Va = ca = yr^-^.(4.94)

Соотношение (4.94), называемое условием точки Жуте, переопределяет систему уравнений (4.89), (4.92), (4.93) и приводит к тому, что решение системы может существовать только при определенном значении pv Если же

величина рх иная, то стационарное движение фронта невозможно.

Условие (4.94) выполняется не всегда. В частности, достаточно высокое давление газа в зоне НИ препятствует оттоку газа от фронта. Как показали расчеты Ласкера (1967), при увеличении размеров зоны и соответствующем уменьшении Jc наступает состояние, когда давление во вновь ионизованном газе недостаточно велико, чтобы вызвать его отток.

Вообще говоря, движение ионизованного фронта не является стационарным, так как величина г меняется со временем. При этом изменяется и состояние зоны НИ, а также структура фронта. Поэтому задачу об эволюции ионизационного фронта следует решать как нестационарную газодинамическую задачу, причем соотношениями (4.89), (4.92) и (4.93) задаются граничные условия для системы уравнений газодинамики, описывающей движение газа. В предположении сферической симметрии движения эти уравнения, одинаковые для обеих областей Н I и Н II, таковы:

Ф + ^-^^-О,(4.95)

+.(4.96)

dt ' drр dr г2х 7

Здесь — масса звезды.

В зоне Н II к этой системе следует добавить уравнение, определяющее изменение степени ионизации п+1п, обозначаемой через ж:

(4.97)

и уравнение, описывающее изменение потока ионизующих фотонов:

4 ^ = -~ Х^ (4-98)

Здесь через а1с обозначен коэффициент поглощения этих фотонов и Сг — коэффициент рекомбинации атомов водорода на основной уровень.

В общее уравнение энергии, которое здесь не выписывается, должны быть добавлены члены, учитывающие

потери тепловой энергии при рекомбинациях и прирост ее в результате ионизаций.

Прежде чем говорить о расчетах эволюции ионизационных фронтов путем решения полной системы (4.95) — (4.98), рассмотрим вопрос о структуре области, прилегающей к ионизационному разрыву. Точное определение структуры требует, помимо задания величин Jc, рх, Тх, также знания условий в зоне Н II. При приближенном исследовании структуры можно ограничиться заданием величины Т2-

Характер движения в слое неионизованного водорода, непосредственно прилегающем к ионизационному разрыву, зависит от соотношения между величиной потока ионизующих фотонов и значением плотности рх (Кан (1954)). Если плотность неионизованного газа достаточно мала (рх < < рв), то ионизационный фронт движется по газу со сверхзвуковой скоростью. Такой фронт относят к типу R. При условии рв < рх < рп впереди ионизационного фронта движется ударный фронт, а между ними находится область сжатого газа. В таком случае говорят о фронте типа М. Наконец, в том случае, когда плотность рх достаточно велика (рр < рх), ионизационный фронт движется с дозвуковой скоростью, а перед ним со скоростью звука распространяется волна сжатия (фронт типа D). Критические значения плотности рв и рр зависят от Jc.

Газ за ионизационным-фронтом,— в зоне Н II, расширяется. Фронт (типа R или D) называют сильным, если расширение происходит со сверхзвуковой скоростью, и слабым, когда скорость расширения дозвуковая. Промежуточный случай, соответствующий критическому фронту, возможен лишь при рх = рв или рх = рр, т. е. только при определенном значении плотности газа перед фронтом. Для критического фронта (как типа R, так и типа D) выполняется условие (4.94). Этим обусловливается, как отмечалось выше, необходимость того, чтобы рх имело некоторое определенное значение.

Существенное влияние на движение ионизационного фронта оказывает высвечивание газа за фронтом волны. Если температуру газа за фронтом считать определяющейся лишь полем излучения и близкой к 104 °К, то из условий сохранения на фронте получается следующее выражение для величины Dy с точностью до членов первого порядка

малости по отношению к TJТ2 (у = 5/3) (С. А. Каплан (1958)):

Отсюда следует, что возможны два значения скорости: Dy » 20 км/сек и Dx ж 0,3 км/сек. Первое из этих решений соответствует фронту типа Д, второе — фронту типа D. Поскольку во втором случае неионизованный газ должен быть нагрет волной сжатия, его температура принята равной Тг = 103 °К.

При детальном изучении структуры слоя газа, отделяющего ионизованный газ от неионизовапного, необходимо учитывать различные релаксационные процессы, в которых важную роль играет излучение. В работе Макферсона (1974) структура ионизационного фронта рассчитана путем решения кинетического уравнения в стационарном случае для смеси атомов, электронов, протонов и фотонов. При этом предполагалось, что концентрация атомов пг и температура Тг в невозмущенной среде равны соответственно пг = 100 см-3 и TY = 100 °К. Ионизующее среду излучение — чернотельное, соответствующее температуре 20 000°К. В качестве внешнего параметра задается 'также значение числа Маха М для образующейся ударной волны. Оно принято равным 7,5. Величина М для волны зависит от параметра Jc и, следовательно, значение М определяет радиус ионизационного фронта. При М = = 7,5 радиус фронта в 15 раз превосходит радиус звезды и поэтому внутри фронта можно пренебречь кривизной слоев.

Результаты расчета структуры ионизационного фронта для того момента, когда он находится на указанном расстояния от звезды, представлены графически (рис. 13 и 14). На первом из них показано, как меняются температура и плотность, а на втором — скорость в зависимости от расстояния до невозмущенной области. Структура переходной области оказывается весьма сложной. Внутри нее имеются минимум плотности и максимум температуры электронного газа. Скорость газа также меняется немонотонно и при этом не одинаково для различных частиц.

Из результатов расчета следует, что толщина области, в которой происходят релаксационные процессы,

Рис. 13. Распределение плотности (кривая 7) и температуры (кривая 2) внутри ионизационного фронта (Макферсон (1974)).

Расстояние от небозмущенной. области перед скачком, см

Рис. 14. Распределение скорости внутри ионизационного фронта (Макферсон (1974)): О — водородные атомы, Л — электроны, □ — протоны.

оказывается не очень малой по сравнению с радиусом зоны Н II. В рассматриваемом случае она составляет около 0,05 пст что на два порядка превосходит толщину, по прежним оценкам равную 0,0005 пс (С. А. Каплан, С. Б. Пикельнер (1963)).

Вопрос об относительной толщине зоны сжатого газа между ионизационным и ударным фронтами приобрел актуальность после того, как радионаблюдениями было установлено, что многие из зон НИ окружены расширяющимися плотными оболочками нейтрального водорода, имеющими толщину около половины радиуса зоны (Филд (1972)). Расчеты эволюции зон Н II приводят к меньшим значениям толщины сжатой области — 0,01—0,1 радиуса зоны.

При исследованиях эволюции областей ионизованного водорода обычно предполагают, что в некоторый момент в нейтральном газе возникает источник ионизующего излучения — горячая звезда. За короткое время — около lO4/^ лет — быстро распространяющийся по газу (со скоростью порядка 103 км/сек^ ионизационный фронт приводит к возникновению зоны НИ, радиус которой *s0 определяется хорошо известной формулой (см. В. В. Соболев (1975))

so =so ="3 R^T*V44ас”1"3 R^T*V44ас”1(4.100)(4.100)

so =

so =

"3 R^T*V

44ас”1

"3 R^T*V

44ас”1

(4.100)

(4.100)

где ас — коэффициент поглощения за пределом лаймановской серии, R* — радиус звезды и / (Т*) — функция температуры звезды Т^, имеющая вид

КТ^ = ^ ^ 1 № ^е^*. (4.101)

В дальнейшем тип ионизационного фронта меняется (он становится типа D^ и возрастание радиуса зоны НИ происходит гораздо медленнее.

В подробных расчетах эволюции областей-Н Невыполненных Метьюзом (1965) (см. также Метьюз, О’Делл (1969)), учитывалось возрастание светимости звезды в лаймановском континууме Lc со временем, обусловленное эволюцией самой звезды. В эпоху, когда радиус зоны Н II достигает значения s0, за ионизационным фронтом суще-

ствует пик температуры высотой до 3-104°К. В основной части области Н II температура гораздо ниже — близка к8-102°К вследствие охлаждения газа путем возбуждения атомов кислорода и последующего выхода их излучения наружу. Поток Lc прямого излучения, доходящий до ионизационного фронта, уменьшается со временем, так как это излучение поглощается внутри зоны Н II. Поглощением компенсируется эффект рекомбинаций, приводящий к «дроблению» фотонов Lc внутри зоны и выходу их из нее.

Вычисления позволили также проследить образование ударного фронта. Скорость ионизационного фронта оказывается после достижения им радиуса $0 очень малой — 0,1—0,2 км/сек. Скорость ударной волны выше (М ж 4) и она сжимает газ, одновременно нагревая его до Т ж 104 °К. Нагретый газ очень быстро охлаждается, и температура в слое между ионизационным и ударным фронтами составляет около 2000 °К. Ширина слоя сжатого газа на том этапе, до которого были доведены расчеты (через 6-104 лет после начала процесса), составляла около 0,1 радиуса зоны.

Таким образом, результаты расчета согласуются с той схемой движения стационарного ионизационного фронта, которая была описана выше и получена путем анализа условий сохранения на фронте.

Реально наблюдаемые зоны НИ имеют, по-видимому, возраст больший, чем 6-104 лет, и к ним применимы результаты расчетов Ласкера (1967), изучавшего эволюцию за время начиная от 2-104 лет до 2-106 лет. Температура в зоне НИ принимается постоянной и равной 104°К, а также вводится ряд упрощающих предположений относительно структуры переходной области. Указанные расчеты позволили отчетливо проследить образование ударного фронта и возрастание толщины слоя, сжатого ударной волной. Однако она остается меньшей 0,1 7?нп, что, как уже отмечалось, не согласуется с наблюдениями.

В качестве возможных причин сильного увеличения толщины сжатой области различными авторами указывалось на турбулентное давление в облаках нейтрального водорода и действие магнитного давления. Соответствующие расчеты пока не производились. Вместе с тем нужно учитывать, что охлаждение газа на пыли, имеющейся

в нейтральном водороде, должно приводить к уменьшению толщины сжатой, области.

Картина сферически-симметричного ионизационного фронта, распространяющегося под действием точечного источника ультрафиолетового излучения в однородной среде, представляется крайне идеализированной. С одной стороны^ межзвёздная среда очень неоднородна, с другой стороны, горячие звезды располагаются в ней агрегатами. Поэтому в действительности ионизационные фронты часто создают сложную конфигурацию. Так, если ионизационный фронт встречает на своем пути уплотнение нейтрального газа, то он может обходить его, образуя так называемый «слоновый хобот». Это явление наблюдается как темная полоска внутри светлой диффузной туманности, окаймленная ярким ободком — «римом». Газ, составляющий яркий-ободок, оттекает от ионизационного фронта, который в данном случае относится к критическому типу D. Распределение яркости, полученное для такой модели, хорошо согласуется с наблюдениями (Потташ (1958)) и, кроме того, на отток газа указывают и спектроскопические данные. Заметим, что имеется и другая точка зрения на причины образования «слоновых хоботов», связывающая их с действием магнитно-гравитационной неустойчивости Рэлея — Тейлора. Об этом будет сказано несколько ниже.

Когда в неоднородной межзвездной среде достаточно близко расположено несколько горячих звезд, то образуется система ионизационных фронтов. Так, Эллиот и Миберн (1974) нашли, что в ядре туманности М 8 существует комплекс ионизационных фронтов, связанных, в частности, со звездами Трапеции. В М 42 вся область ионизованного газа является совокупностью ионизационных фронтов, по выражению авторов, «вгрызающихся» в огромный объем нейтрального вещества, во много раз превосходящий видимую туманность.

Присутствие «слоновых хоботов» и других наблюдаемых нерегулярностей в ионизационных фронтах неоднократно пытались объяснить неустойчивостью фронтов. Спитцером (1954) было высказано мнение, что при движении ионизационного фронта развивается неустойчивость Рэлея — Тейлора, прцчем роль «тяжелой жидкости» играет нейтральный газ, а ускорение обусловлено расширением области НИ. Хотя анализ наблюдений проде-

монстрировал, что возникновение «слоновых хоботов» и других наблюдаемых особенностей не может быть объяснено таким путем, к идее о важном значении неустойчивости Рэлея — Тейлора в динамике ионизационных фронтов неоднократно возвращались. В работе Каприотти (1973) предположение о такой неустойчивости привлекается для объяснения неоднородностей в туманности NGC 7293. Анализ устойчивости туманности, применимый и к ионизационным фронтам, производится методом малых возмущений. Уравнения неразрывности и движения записываются в системе координат, связанной с ионизационным фронтом:

^ + PVV = O, p-^ + c2Vp + Pi7 = O, (4.102) причем в области нейтрального водорода

Т - °.<41°3)

а в зоне НИ

(4-Ю4)

Из (4.102) получаются уравнения, определяющие возмущения плотности 6р и скорости Sv, которые после исключения Sv дают

(4+^ У 6р -с^ -а^=0’ (4Л05) где а = 0 для области Н II и а = 1 для области нейтрального водорода.

Решение уравнения (4.105) ищется в виде

6р = A expin^ + i (кхх + к^ + az], (4.106) где a — некоторый параметр. С помощью соответствующего характеристического уравнения находится инкремент возмущения. Он стремится с возрастанием радиуса зоны НИ к значению

« г~[—g/ai + Л-« г~[—g/ai + Л-(4.107)(4.107)

« г~[—g/ai + Л-

« г~[—g/ai + Л-

(4.107)

(4.107)

Масштаб возмущения плотности в направлении, перпендикулярном к невозмущенному фронту, определяется

величиной а! < 0. Критическая длина волны Хкрит находится из условия

XXКрит ^Крит ^с2 g *с2 g *(4.108)(4.108)

X

X

Крит ^

Крит ^

с2 g *

с2 g *

(4.108)

(4.108)

Неустойчивость ионизационного фронта развивается, когда поток нейтральных атомов через невозмущенный фронт больше, чем поток ионизующих фотонов. Эти фотоны оказываются тогда не в состоянии подавить «языки» или «пички» нейтрального газа, вклинивающиеся в зону НИ. Условие развития неустойчивости записывается в такой форме:

(4.109)

где ^Рек — время рекомбинации атома водорода на все уровни, кроме основного. При условии (4.109) рекомбинации идут медленнее чем нужно, чтобы подавить смещения «языков» noHH3QBaHHoro газа в направлении движения фронта.

«Пички», состоящие из нейтрального газа, вклинившегося в зону НИ и стекающего в сторону, противоположную направлению ее расширения, подвергаются действию неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. В результате они трансформируются в образования типа глобул с характерным размером порядка ХКрит. Соответственно массы этих глобул получаются порядка 1027 г.

Образование глобул в результате разрушения «слоновых хоботов» предполагалось и ранее (Потташ (1958)). Что же касается образования самих «слоновых хоботов», то они, согласно Дибаю (1971), могут возникать в результате магнитно-гравитационной неустойчивости межзвездной среды. Различные проблемы, связанные с динамикой образования глобул и их эволюцией, обсуждаются в работе Дибая (1958). Он, в частности, предполагает, что в процессе уплотнения газа в глобулу существенная роль принадлежит кумулятивной ударной волне, сходящейся к центру глобулы.

Ввиду математических трудностей задача об условиях устойчивости ионизационного фронта, обладающего, как было показано выше, очень сложной структурой, до

конца не решена и необходимы дальнейшие исследования в этом направлении. В частности, очень важно оценить роль нелинейных эффектов в развитии неустойчивости.

Выше (§ 3) на расширение областей НИ указывалось как на один из важнейших источников поступления кинетической энергии в межзвездную среду. В областях НИ энергия излучения горячих звезд перерабатывается в тепловую энергию газа, а давление горячего газа сообщает кинетическую энергию окружающей среде. Согласно расчетам Ласкера (1967) в среднем в кинетическую энергию переходит 0,0024 излучения всех горячих звезд. Это составляет лишь около V6 общей энергии движения межзвездной среды. Дополнительная энергия в области НII может вноситься также вследствие истечения вещества из звезд. Роль этого фактора будет обсуждаться в гл. 5 (§ 5).

Глава 5

ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ

В этой главе рассмотрен ряд задач газодинамики звезд и звездных оболочек для тех случаев, когда вращение звезды не сказывается определяющим образом на характере течения. Изложение начинается с описания структуры внешних конвективных зон. От строения конвективной зоны и характера движений в ней существенно зависит динамическое состояние наблюдаемых наружных слоев звезды. Кроме того, наличие конвективной зоны сказывается на глобальных свойствах звезды, в частности, на ее колебаниях и динамике взрыва. Эти явления дают очень много сведений о строении и эволюции звезд и их исследование в большой степени стимулировало развитие космической газодинамики. Результаты изучения колебаний звезд и взрывов в звездах методами газодинамики описываются во втором и третьем параграфах.

Взрывы в звездах приводят к наблюдаемым явлениям, обусловленным выходом ударной волны наружу и выбрасыванием газа из звезд, как в виде дискретных оболочек, так и в форме непрерывного истечения. Газодинамические проблемы, возникающие в связи с изучением этих течений, еще далеки от полного решения, но многое уже удалось выяснить. В четвертом параграфе изложены основные результаты исследований ударных волн, распространяющихся во внешних слоях звезд и в оболочках новых звезд. Нестационарное истечение нагретого волной газа с поверхности звезды описано в последнем параграфе. Там же рассмотрено стационарное течение, называемое звездным ветром и возникающее вследствие сильного нагрева самых наружных областей у звезд, имеющих внешние конвективные зоны, а также под действием давления излучения у звезд очень высокой светимости.

§ 1]

Строение конвективной зоны звездыи конвекция в звездных атмосферах

Возникновение внешней конвективной зоны у звезд спектральных классов F и более поздних вызвано уменьшением эффективного показателя адиабаты у на уровне ионизации наиболее распространенного элемента и изменением коэффициента поглощения, приводящим к уменьшению лучистого градиента температуры. Прежде чем описывать свойства этих зон, скажем коротко о внутренних конвективных зонах, которые должны быть в центральных областях горячих массивных звезд.

Скорость выделения энергии в результате реакций угле- родно-азотного цикла очень сильно зависит от температуры (^Т20), тогда как поток излучения пропорционален Г4. В этих случаях перенос энергии излучением оказывается недостаточным и действует более эффективный способ переноса конвекцией. Во внутренней конвективной зоне величина сверхадиабатического градиента обычно очень мала по сравнению с адиабатическим градиентом:

I dr \йг Ад dr |ад

и поэтому уравнение состояния для этой зоны записывается в виде (у = 5/3)

р = №, (5.2) где К — некоторый коэффициент. Соответственно для расчета потока энергии во внутренней конвективной зоне можно использовать выражения типа (3.174) и этотрас- чет производится сравнительно просто. Что же касается внешней конвективной зоны, то для нее расчет строения очень сложен, так как здесь температура и давление в каждой точке зависят от величины потока энергии, который сам по себе определяется строением оболочки. Таким образом, необходимо решать самосогласованную задачу.

Метод расчета внешней конвективной зоны был впервые предложен Бём-Витензе (1958). В указанной работе предполагается, что величина конвективного потока на Данном уровне определяется лишь характеристиками состояния газа на этом же уровне. Такая теория конвективной зоны называется локальной. Рассмотрим метод Бём- Витензе более детально, поскольку он и его модификации

(5-4)(5-4)(5.6)(5.6)

(5-4)

(5-4)

(5.6)

(5.6)

до настоящего времени широко используются, хотя в конце шестидесятых годов были предложены и более точные нелокальные теории. Предварительно укажем общие условия, при которых производятся подобные расчеты.

Конвективная зона принимается находящейся в стационарном состоянии, т. е. поток энергии, обусловленный конвекцией (FKohb), и поток энергии, переносимый излучением (Гизл), считаются не зависящими от времени. Кроме того, на каждом уровне предполагается выполненным условие гидростатического равновесия

где % (pg, Т) — росселандовский средний коэффициент непрозрачности. При условии, что имеет место ионизационное равновесие, описываемое формулой Саха, для заданного химического состава можно вычислить как х (pgt 71), тац и величину

;= / с? In Т \

ад \ d In р /ад *

Поскольку звезда находится в лучистом равновесии, логарифмический лучистый градиент ?изл определяется известным выражением:

В самых наружных слоях звезды (на оптических глубинах т <^ 1) величины pg и и очень малы и там выполняется условие

^изл <С ^ад*

Соответственно эти слои конвективно устойчивы. В атмосферах звезд главной последовательности условие (5.6) нарушается уже при т^ 1, главным образом вследствие быстрого возрастания % с оптической глубиной. Значение т, соответствующее верхней границе конвективной зоны, существенно зависит от температуры звезды и, значит, от ее спектрального класса. У звезд классов F0 и более ранних (Г9фф> 7000°К) уменьшение величины 7ад недостаточно быстрое для того, чтобы вызвать образование внешней конвективной зоны (В. Г. Горбацкий, А. К. Колесов (1966)).

Существует и другая точка зрения, основывающаяся на расчетах, произведенных для моделей атмосфер звезд класса А. Эти вычисления указали на возможность инверсии плотности в той области, гДе х резко возрастает (Читре, Шевив (1967)) — при оптических глубинах порядка единицы. По тем же, а также более поздним (Латур (1970)) расчетам во внешних слоях даже сравнительно горячих звезд (7^ 104 °К) должна иметься сравнительно тонкая конвективная зона. Однако вследствие трудностей, связанных с расчетами конвективных областей, вопрос о конвекции в оболочках звезд класса А остается пока открытым. В частности, нужно подчеркнуть очень большую зависимость результатов от постановки условий на границах (Э. В. Эргма (1971)).

Однократная ионизация гелия при его обычном содержании не меняет величину у настолько, чтобы соответствующее снижение 7ад вызывало наступление конвекции. Поэтому у горячих звезд (7^ 104 °К) главной последовательности конвективной зоны, связанной с ионизацией Не, не должно быть (В. Г. Горбацкий, А. К. Колесов (1966)).

Обширные конвективные зоны, связанные с изменением у из-за ионизации, должны существовать у звезд, близких по массе к Солнцу и с температурой Т ^ 7000 °К. В соответствии с (5.6) при вычислениях принимается, что на. поверхности звезды конвективный поток равен нулю. Поэтому там

Тизл = ОТэфф,(5*7)

а в более глубоких слоях имеет место равенство

FКОНВ “Ь ИЗЛ = ^7Эфф.(5*8)

Величина конвективного потока определяется выражением

^конв = ср^Т<^и^«ср9Т ^(И^^,(5.9)

где усреднение производится по сферической поверхности.

Задача о вычислении конвективного потока в работе Бём-Витензе и последующих решалась в приближении пути перемешивания Для учета неадиабатичности — обме-

на энергией между конвективным элементом и окружающей средой — вводится логарифмический градиент в элементе V' такой, что

(5.10)(5.10)Va„<^'<V.

(5.10)

(5.10)

Среднее значение относительной разности температур ^MlT^ записывается в виде

(5.11)(5.11)

(5.11)

(5.11)

(5-12)(5-12)где ^ принимается согласно (3.144). Выражение (5.11) получают, считая, что в среднем элемент, до того как смешаться со средой, проходит в вертикальном направлении путь Z/2. Если конвекция ламинарная, то множитель х/2 следует опустить. Из (5.9) с учетом (5.11) имеем

(5-12)

(5-12)

^КОНВ — СРрТ <^> (V V ) 2^ •

Введем величину у, представляющую собой отношение энергии, перенесенной элементом, к энергии, потерянной им на излучение за время движения (равное Z/<v>):

(5.13)(5.13)?= 3—£-

(5.13)

(5.13)

Для величины у, в предположении о чернотельном характере излучения, принимают выражение

(5.14)(5.14)(1 + У^рЗ) ср

(5.14)

(5.14)

Y “ 8стТзт0 <^’

где т0 — оптическая толщина элемента. Выражение (5.14) введено в качестве обобщения того, которое использовалось ранее Бём-Витензе, считавшей, что т0 ^> 1. Величина у представляет собой параметр, зависящий от геометрии элемента и распределения температур в нем. Обычно у рассматривают как свободный параметр.

Из (5.13) находим

При адиабатической конвекции нужно считать у —> оо, а при у = 0 конвекции нет — элемент за время движения теряет всю избыточную энергию. При у < 1 говорят о сверхадиабатической конвекции.

Величину скорости элемента можно найти из уравнения его движения. Оно содержит члены, определяющие действие силы плавучести, силы сопротивления движению и учитывающие изменение энергии элемента при его расширении, и записывается в следующем виде:

— — dr у (5.16)

где Нк и Vk — радиус и объем элемента соответственно, Рк — плотность газа в нем и сх — коэффициент сопротивления движению. Обычно же для нахождения и пользуются более простым соотношением

4-=-V^^ (5-17) j pk

выражающим равенство кинетической энергии элемента и работы, произведенной над ним силой плавучести. Так как

(5.18)(5.19)(5.18)(5.19)АрАТ

(5.18)

(5.19)

(5.18)

(5.19)

рТ

где множитель ^ определяется формулой п d dlnp, din Г

и учитывает влияние изменения молекулярного веса р на величину плотности, то из (5.17) при посредстве (5.11) получается среднее значение скорости на пути I в виде

(5.20)(5.20)

(5.20)

(5.20)

После подстановки (5.20) в (5.12) получаем выражение для конвективного потока. Используя (5.15), можно записать соотношение (5.8) в такой форме:

(5.21)(5.21)Т3 - , m 1 / i \2 / н*т \v2

(5.21)

(5.21)

v +?/

Расчет структуры конвективной зоны производится при помощи (5.21). При вычислениях величину I принимают пропорциональной шкале высот по давлению с коэффициентом пропорциональности а, лежащим в интервале а = 0,5—-2,0. Результаты вычислений моделей конвективных зон по указанной'методике (при а = 1,5) содержатся в таблицах, составленных Бекером и Темес- вари (1966).

Обобщение метода Бём-Витензе расчета конвективной зоны путем введения нескольких разных «длин перемешивания», связанных с усреднением различных величин, входящих в газодинамические уравнения, было предложено Унно (1969). По существу, оно сводится к введению некоторых коэффициентов в выражения (5.15) и (5.20). Для этих коэффициентов получены сложные соотношения. Пока нет таких расчетов конвективных оболочек методом Унно, которые продемонстрировали бы его лучшие возможности при объяснении наблюдений.

Обзор результатов расчетов конвекции в звездах типа Солнца и более поздних классов, произведенных при посредстве метода Бём-Витензе и его обобщений, сделан в статье Э. В. Эргмы и А. Г. Масевич (1971). Эти вычисления дают большое значение толщины конвективной зоны — 10б—2-105 км. Они продемонстрировали не только сильную зависимость рассчитываемой структуры зоны от величины а, но также и от выбора в качестве Ж шкалы по давлению или по плотности. Результаты вычислений сильно зависят также от параметра у. В конечном счете следует констатировать, что для условий на внутренней границе конвективной зоны расчет по локальной теории дает крайне неуверенные результаты. Значения температуры при различном выборе параметров могут отличаться на порядок, а плотности — даже на несколько порядков. Большие неточности может вносить произвол в выборе значения длины перемешивания, а также предполагаемая локальность свойств газа в элементе, ив теоретически определяемые динамические характеристики внешних слоев звезд, т. е. именно там, где возможно сравнение теории с наблюдениями.

Эта сторона вопроса будет обсуждена ниже, а сейчас остановимся на некоторых результатах расчетов конвекции по нелокальным теориям.

Согласно нелокальной теории Ульриха (1970), конвективный поток находится из выражения

Т^КОНВ (^0 ) —

*

WU^XWU^X(5.22)(5.22)C ( W ^i(zi) 1 f ^2(zo)^г(21)

WU^X

WU^X

(5.22)

(5.22)

Л ЛZ0 — Z1Л ЛZ0 — Z111.*,*

Л Л

Z0 — Z1

Л Л

Z0 — Z1

* Izozi

2min

где функции J^z*) и /2 (z*) определяются так:

ии(5.23)

и

и

л * dz d\np/ ^«^Qu\1/2

(5.24)(5.24)dz =^=-v^ ^ = к-т^;

(5.24)

(5.24)

Величина Wt7* — так называемая весовая функция, в выборе которой существует известный произвол, а — параметр, Zmax и Zmin — наибольшее и наименьшее значения координаты того уровня, от которого конвективный элемент может достичь уровня z*. Таким образом, путем интегрирования в (5.22) учитывается вклад элементов, возникающих на разных уровнях, в величину конвективного потока на уровне z*. При WU* = 6 (zt — г*) выражение (5.22) переходит, как показано Э. В. Эргмой (1972), в соответствующее выражение локальной теории. Расчеты строения конвективной зоны по теории Ульриха, выполненные Э. В. Эргмой (1972) при весовой функции вида

(5-25>

установили, в частности, значительное влияние проникающей конвекции на внутренней границе зоны на величину конвективного потока энергии. По локальной теории конвективный поток на этой границе должен быть близок к нулю, тогда как по нелокальной теории он составляет около половины полного потока энергии. Граница зоны при этом определяется с помощью критерия конвективной устойчивости. Размеры же самой области неустойчивости получаются меньшими, чем по локальной теории.

Нелокальная теория Спигела, основывающаяся на уравнении (3.170), была использована для расчетов структуры конвективной зоны Тревисом и Мацушимой (1973).

Их результаты существенно отличаются от получаемых по локальной теории и близки к результатам модельных расчетов Ульриха. В частности, при учете нелокальности понижается величина V.

Особое положение среди работ, в которых изучается структура конвективной зоны, занимает работа Меллана (1971b). Он основывается на модели конвективного переноса, предложенной Эпиком (1950), в которой учитывается наличие горизонтальной компоненты скорости газа в конвективной ячейке. Скорость направлена преимущественно Ьтщентра к периферии в верхней части ячейки и в противоположную сторону — в нижней ее части. Поэтому масса ячейки сохраняется. Это двухпотоковая модель, в которой необходимо учитывать взаимодействие между восходящими и нисходящими потоками газа. Очевидно, что при учете этого обстоятельства эффективность конвективного переноса должна быть меньше.

Выражение для конвективного потока, используемое в работе Меллана, аналогично обычно применяемому (5.9). Однако вместо разности V — V' в (5.11) подставляется величина w (V — Гад), где w — множитель, учитывающий потери тепла горячим элементом как путем лучеиспускания, так и при турбулентном обмене с нисходящим («холодным») потоком. На основе экспериментальных данных принято, что в случае малых потерь на излучение, т. е. при учете лишь турбулентного обмена, w = 0,0926. Величина <и> определяется довольно сложным образом.

При помощи указанной теории было рассчитано строение конвективной зоны для 31 модели, которые соответствуют звездам классов от АО до КО. Толщина конвективной зоны получилась очень малой по сравнению с расчетами других авторов. Так, в случае модели, соответствующей Солнцу, конвективная зона заканчивается на глубине 104 км. Для моделей звезд иных классов различие с результатами других расчетов также очень велико. У звезд F0, например, плотность на внутренней границе зоны получается на два порядка меньше, чем находимая по обычной теории длины перемешивания. В другой работе Меллана (1972) получено, что между классами G0 и G2 происходит переход к глубоким конвективным зонам.

§ 1]

Различия в структурах конвективных зон, получающиеся при расчетах разными методами, свидетельствуют о мало удовлетворительном состоянии теории конвекции в звездах. Часто феноменологическим путем трудно учесть все стороны этого сложного явления, и существующих представлений явно недостаточно для получения убедительных теоретических выводов. Возможность проверки той или иной модели заключается в исследовании обусловленных конвекцией движений в атмосферах звезд.

Наиболее отчетливо в наблюдательном отношении конвекция проявляется в солнечной грануляции. Проблема грануляции и других явлений на поверхности Солнца, тем или иным образом связанных с конвекцией, рассмотрена в очень большом числе работ. Обзор их можно найти в выпуске «Итоги науки», посвященном физике Солнца (М. А. Лифшиц (1970)), в статье С. А. Каплана, С. Б. Пи- кельнера и В. Н. Цытовича (1974), а также в других публикациях. Теоретические вопросы, связанные с грануляцией, сверхгранулами, полем скоростей в атмосфере, и другие излагаются в книге Ю. В. Вандакурова (1976). Учитывая эти обстоятельства, а также ограниченность объема данной монографии, остановимся здесь лишь на вопросе о связи наблюдаемых полей скоростей во внешних слоях Солнца и звезд с конвективными движениями и о соответствии результатов различных теорий наблюдениям.

Наблюдаемые вертикальные движения во внешней фотосфере Солнца отражают действие поднимающихся конвективных потоков газа. Эти движения имеют характер колебаний с периодом около 5 мин и характерным масштабом ячеек, близким 1500 км. Частота колебаний близка к частоте собственных колебаний на этом уровне фотосферы, которые, по-видимому, возбуждаются конвективными движениями. Менее отчетливы другие квазиколебатель- ные компоненты вертикального поля скоростей в верхней фотосфере и хромосфере, также, возможно, возбуждаемые конвекцией.

Горизонтальные крупномасштабные движения в атмосфере с характерными размерами около 30 000 км являются определяющими для явления сверхгрануляции. Скорость газа, текущего от центра к периферии ячейки, порядка 5-Ю4 см! сек.. Сверхгранулы связывают с конвективными течениями на больших глубинах — порядка 104 км.

По модели Меллана они являются отражением движений основного масштаба в конвективной зоне, т. е. непосредственно наблюдаемой частью потока, текущего от внутренней границы конвективной зоны.

Рис. 15. Зависимость отношения величины конвективного потока к полному потоку от оптической глубины в атмосфере для разных моделей: кривая 1 — локальная теория; 2 — модель Тревиса и Мацушимы (1973); 3—модель Ульриха (1970); 4—расчеты Нордлунда (1974).

Хаотические движения в атмосферах Солнца и звезд, скорость которых определяется при помощи кривых роста и называется микротурбулентной скоростью, возникают, по-видимому, в результате преобразования кинетической энергии восходящих конвективных потоков в энергию волн различных видов — ударных, альвеновских, звуковых, магнитно-звуковых, и взаимодействия этих волн. Необходимо иметь в виду, что такие движения не являются турбулентными в строгом смысле слова, поскольку нет данных об иерархической структуре полей скоростей, а значит, и о передаче энергии от крупномасштабных движений к мелкомасштабным. В случае Солнца удается изучать микротурбулентные скорости газа над малыми участками поверхности, но для звезд можно полу^

§ И

чать лишь некоторое значение этого параметра,.усредненное по всей наблюдаемой полусфере звезды.

Так как микротурбулентные скорости определяются по кривым роста, они характеризуют движения в тех областях, где образуются спектральные линии, т. е. на оптической глубине в непрерывном спектре, малой по сравнению с единицей. Основанные на нелокальной теории расчеты моделей атмосфер при учете конвекции, произведенные Ульрихом (1970) и Тревисом и Мацушимой (1973), показали, что у звезд типа Солнца конвективный перенос энергии играет существенную роль до оптических глубин т порядка 0,1. По нелокальным теориям в области 0,1 ^ ^ т ^ 1 температурный градиент меньше, чем даваемый локальной теорией. Эти результаты иллюстрируются рис. 15.

Модели атмосфер звезд различных классов на основе нелокальной теории конвекции рассчитывались также в работе Нордлунда (1974). В отличие от Ульриха, использовавшего заранее известное распределение температуры, Нордлунд численно решил самосогласованную задачу о конвективном и лучистом переносе для случая несерой атмосферы. Результаты Нордлунда подтвердили тот факт, что конвективный поток играет значительную роль при т < < 1, но дали при т = 0,1 значение ^конвД^изл + Т^конв) <С < 10“2 (см. рис. 15). К хорошему согласию с наблюдательными данными о солнечной грануляции приводят расчеты конвекции в звездной атмосфере при учете отсутствия симметрии между восходящими и нисходящими потоками газа по так называемой двухпотоковой модели (Нордлунд (1976)).

Один из важных выводов, следующих из указанных вычислений, заключается в том, что поле конвективных скоростей простирается далеко в видимые области солнечной атмосферы. Физически это связано с отсутствием механизма, приводящего к затуханию вертикальной компоненты скорости, тогда как охлаждение из-за излучения достаточно быстро уравнивает температуру элемента с температурой окружающей среды. Крупномасштабные движения поэтому проникают глубоко (на свой масштаб) в устойчивую зону, а мелкомасштабные движения, вызванные ими, распространяются еще глубже. Этот вывод находится в согласии с имеющимися данными о поле скоростей в срлцеч-

ной атмосфере (де Ягер (1972)). Таким образом, скоростк самих конвективных движений газа оказывается важным элементом в наблюдаемом поле микротурбулентных скоростей, а также в поле более крупномасштабных движений (макротурбулентности).

Исследование движений в атмосферах гигантов и сверхгигантов на основе спектральной теории турбулентности при учете потерь газа на высвечивание проводилось О. П. Голландским (1972). Расчеты продемонстрировали значительное увеличение крутизны спектра по сравнению с колмогоровским в области вихрей с масштабами, сравнимыми с длиной пробега фотона.

У звезд главной последовательности, по типу близких к Солнцу (до КО), и у гигантов поздних классов поле скоростей, обусловленное конвекцией, должно соответствовать наблюдаемой по смещению линий «средней вертикальной скорости». Этот факт может служить для наблюдательной проверки расчетов конвективных зон.

Различные спектральные линии образуются на разных эффективных уровнях в атмосфере. Это обстоятельство позволяет по спектру определять скорости в атмосферах звезд на разных уровнях. Из наблюдений следует, что у многих звезд большой светимости скорости возрастают с высотой в атмосфере (Хуан, Струве (1963)). Более поздние данные подтверждают этот факт(Бонсек, Калвер (1966)), указывая, что у звезд класса К при переходе от фотосфер- ного к хромосферному уровню макротурбулентная скорость возрастает в несколько раз. Возможно, что такой рост скорости связан с распространением из глубоких слоев звезд ударных волн, порождаемых конвективными движениями.

Колебания звезд

В обширной проблеме колебаний звезд за последние десятилетия произошли очень важные сдвиги. От формализованных исследований устойчивости газовых шаров удалось подойти, в частности, благодаря пионерским работам С. А. Жевакина, к пониманию физической природы наблюдаемых колебаний цефеид и произвести расчеты, позволяющие детально объяснять наблюдения. В связи с этим теория звездных колебаний заняла видное место в общей теории строения звезд и звездной эволюции. Существует

КОЛЕБАНИЯ ЗВЁЗДКОЛЕБАНИЯ ЗВЁЗД231231§ 2]

КОЛЕБАНИЯ ЗВЁЗД

КОЛЕБАНИЯ ЗВЁЗД

231

231

много книг и обзоров, посвященных проблемам колебаний звезд и снабженных обширными списками литературы по этой проблеме. К их числу относится монография Россе- ланда (1952), статьи Леду и Вальравена (1958), Кристи (1964, 1966), С. А. Жевакина (1970), Дж. Кокса (1975). Помимо этого, в очень многих работах описаны наблюдательные данные о пульсирующих звездах. Таким образом, нет надобности, да и невозможно из-за ограниченности места останавливаться здесь на различных аспектах проблемы колебаний звезд. Рассмотрим лишь, по возможности кратко, газодинамическую сторону проблемы, обращая внимание наг еще нерешенные вопросы.

О гомологических радиальных колебаниях газовых шаров в поле собственного тяготения говорилось выше (гл. 2, §2). Несмотря на крайнюю схематичность, эта теория позволила выяснить некоторые важные особенности пульсаций и, в частности, оценить их частоту. Расчет колебаний звезды для любой конкретной модели ее сводится к решению системы газодинамических уравнений при соответствующий начальных и граничных условиях. В аналитической форме решение даже линеаризованной задачи о радикальных колебаниях возможно только в очень редких случаях, например, для однородной звезды. Для модели с очень высокой концентрацией массы к центру (и некоторых других), в предположении адиабатичности колебаний, аналитически определяются частоты колебаний (см. Росселанд (1952)). Малые адиабатические колебания звезд, построенных по политропному закону, сравнительно легко рассчитываются путем численного решения линеаризованного уравнения движения.

В сферически-симметричном случае из системы уравнений газодинамики получается следующее уравнение колебаний (Росселанд (1952)):

--^[^-^(pe-VF)], (5.26) где в — скорость поступления энергии в среду, JF — поток энергии, г

gr =-тг^^р dr. (5-27)

о

Показатель адиабаты -ft для смеси материи и излучения определяется соотношением

-^ = (71-1)-^- + ^-,(5.28)

где s — удельная энтропия.

Предполагая, что смещение от положения равновесия может быть представлено в виде

г — r0 = ^те iat.г — r0 = ^те iat.(5.29)(5.29)

г — r0 = ^те iat.

г — r0 = ^те iat.

(5.29)

(5.29)

в случае адиабатических пульсаций (е = О, VP = 0, о = = о0) получаем уравнение

4г^Р^) + (о£ + -ty Р^г = 0.(5.30)

Результаты расчетов по формуле (5.30) для разлйчных моделей звезд привели к известному соотношению между периодом колебаний звезды Р и ее средней плотностью р":

(5.31)(5.31)pV = const.

(5.31)

(5.31)

Физический смысл соотношения (5.31) очень прост. Так как колебания происходят под действием тяготения звезды, то у поверхности (при г = R) их период пропорционален величине Rif2gRf\ и поскольку gR = -|-лСр^,то и получается указанная формула.

Вследствие наличия вязкости и теплопроводности в реальных звездах механическая энергия колебаний должна диссипировать и колебания будут постепенно затухать, если эта диссипация не компенсируется поступлением энергии от каких-либо источников. Неадиабатические радиальные колебания будут затухающими, если Imo = = иа < 0. Величина диссипации энергии определяется последним слагаемым в правой части уравнения (5.26). Скорость поступления тепла в элемент равна

4г = 6 (е - ^4 , (5.32)

где LT — поток энергии на расстоянии г от центра звезды. Из соотношения (1.7) получается, что при изменении равновесной температуры Т на величину 6Т, обусловленном

смещением элемента £г,

atat-Mat. <5.зз)

При интегрировании (5.33) по периоду Р и по всей массе звезды SR*, используя тот факт, что d(65) является полным дифференциалом, находим для диссипации энергии пульсащии Жд за период выражение

WK = - ^ dm^^^-di.(5.34)

Коэффициент затухания ха определяется, согласно Эддингтону (1926), формулой

^=-4-4- \ ^f4-4r^(5-35)

гг и ЛГ Jv J. Ц#и

где РИП — полная энергия пульсаций. Величина И/д может быть отрицательной только в том случае, когда в колеблющуюся систему (звезду) поступает тепловая энергия, тогда хо )> 0. Для оценки величины диссипации важно, как зависят ЪТ/Т и dQ/dt от времени. Если они меняются таким образом, что имеют один и тот же знак, то диссипация WA < 0. Поэтому для поддержания колебаний необходимо, чтобы энергия поступала в фазе сжатия звезды, когдабГ^О..

Поступление добавочной тепловой энергии в звезду в период ее сжатия возможно в результате действия источников энергии, расположенных в центральных областях, если скорость тепловыделения достаточно сильно зависит от плотности и Давления. Однако, как было показано многими авторами, вследствие убывания амплитуды пульсаций к центру сколько-нибудь значительного возрастания тепловыделения при сжатии звезды не произойдет ни при каких реальных законах освобождения энергии центральными источниками.

Реальная возможность дополнительного выделения энергии во внешних слоях звезды при их сжатии связана с существованием там зон ионизации распространенных элементов — водорода и гелия. При возрастании плотности газа степень ионизации должна уменьшаться и часть ионизационной энергии при этом освобождается. При

последующем расширении слоев степень ионизации снова возрастает. Поэтому часть энергии, идущей из недр звезды, поглощается, переходя в энергию ионизации, которая освобождается при последующем сжатии. Таким образом, зона критической ионизации представляет собой «клапан», периодически задерживающий и затем освобождающий энергию. Если работа этого «клапана» достаточно эффективна, чтобы обеспечить отрицательную диссипацию для всей звезды, то возможно возбуждение колебаний.

На возможность возникновения отрицательной диссипации в зоне критической ионизации было указано еще Эддингтоном (1941). Однако лишь С. А. Жевакину в 1954— 1960 гг. удалось доказать, что при наличии в звезде достаточно большого количества Не (не менее 15%) отрицательная диссипация в зоне критической ионизации Не+ может обеспечить поддержание колебаний звезды. Важная роль области ионизации Не+ обусловлена главным образом большой величиной потенциала ионизации этих атомов. В дальнейшем Кристи и Дж. Коксом было показано, что зона ионизации водорода также может играть существенную роль в создании отрицательной диссипации.

Наряду с отрицательной диссипацией в зонах критической ионизации существует положительная диссипация в более глубоких слоях звезды, а также вблизи атмосферы, где неадиабатичность выражается в стоке энергии путем излучения. Чтобы колебания не затухали, нужна отрицательная суммарная диссипация для всей звезды. Эти соображения, развивавшиеся С. А. Жевакипым (1970) и подтвержденные расчетами нелинейных моделой Кристи (1966), легли в основу модифицированного энергетического метода исследования устойчивости звезд. В нем используется условие устойчивости W < 0. Величина W рассчитывается для конкретной модели. Такое вычисление оказывается возможным и для звезд, не находящихся в состоянии теплового равновесия (Деви, Дж. Кокс (1974)).

Расчеты пульсаций звезд проводились С. А. Жеваки- ным в предположении достаточно малой амплитуды пульсаций, т. е. в линейном приближении. В дальнейшем В. И. Алешин (1964) начал расчеты нелинейных колебаний. При подобных вычислениях внешние области звезды разбиваются на множество сферических слоев, а колебания центральной области считаются адиабатическими. Си-

стема уравнений газодинамики записывается в лагранжевых координатах, причем за координату принимается величина массы ®Jr, заключенной в шаре радиуса г. Эта система имеет вид

"9^7 =4лг2р ’(5.36)

32гG^Ор

"ОрГ ~7гдЭДг»(5-37)

32»г - 01 + Р 01 ( р ) -(5.38)

При расчетах предполагается, что величина внутренней энергии U как функция р и Т известна. Поскольку определяющую роль в переносе энергии играет лучистая теплопроводность, то в уравнение (5.38) существенным образом входит коэффициент поглощения и, зависимость которого от р и Т должна быть задана. Величина LT определяется формулой

(5-38)

К этим уравнениям должны быть добавлены граничные условия. Обычно на границе адиабатического ядра задается поток энергии, а колебания самого ядра считаются гармоническими. На внешней границе звезды давление полагается равным нулю. Начальные условия могут быть заданы в форме некоторой зависимости скорости от координаты. Эта зависимость выбирается оптимальным образом, т. е. так, чтобы звезда возможно быстрее вышла на автоколебательный режим. Такой выбор производится на основе результатов решения линеаризованных уравнений. Тем не менее, даже при этом звезда выходит на установившийся режим автоколебаний через несколько десятков циклов.

При вычислениях применяется разностная схема, позволяющая производить расчеты при наличии ударных волн (см. § 3, стр. 256, а также И. А. Климишин (1972)). Вычисления продемонстрировали для ряда моделей, соответствующих звездам типа RR Лиры, появление скачка скорости в зоне ионизации Не+, распространяющегося наружу. Интересное обстоятельство, которое при этом выявилось, заключается в ограничении амплитуды

колебаний при достаточно сильном развитии ударной волны. Волна, нагревая газ, изменяет его непрозрачность. Взаимодействие нелинейности в законе непрозрачности с нелинейностью соотношений, определяющих теплоемкость в зоне ионизации Не+, оказывается фактором, ограничивающим амплитуду. Отмеченный факт, как и другие результаты решения нелинейной задачи (см., например, Бекер, Сенгбуш (1969)), указывают на сложность процессов, происходящих при нелинейных колебаниях. Вместе с тем оказывается возможным объяснить такие важные наблюдательные факты, как присутствие ударной волны на восходящей ветви кривой блеска у звезд типа RR Лиры.

Расчеты привели также к значениям наблюдаемых параметров звезд (блеска, лучевой скорости, температуры), соответствующим наблюдениям. Характеристики эти зависят от того, происходят ли колебания в фундаментальной моде или в первой гармонике, чем объясняются различия в наблюдаемых особенностях звезд подтипов а, b и с. Более подробные данные по этому вопросу можно найти в статье Кристи (1966).

Одной из основных трудностей теории пульсаций звезд долгое время была ее неспособность удовлетворительно объяснить сдвиг по фазе наблюдаемой кривой лучевых скоростей относительно кривой блеска. Расчеты по нелинейной теории лишь частично разрешили эту трудность. Для звезд подтипа с получилось отрицательное смещение по фазе, согласующееся с наблюдениями. Для других же типов звезд такого согласия нет. Возможно, что известную роль в расхождении расчетов с наблюдениями играют трудности в теории образования спектральных линий, по которым определяются лучевые скорости. На разных фазах эти линии образуются в различных слоях и эффективный уровень в атмосфере оценить трудно.

В соответствии с теоретическими оценками и расчетами С. А. Жевакина (1970) поток излучения при его прохождении через зону ионизации должен отставать по фазе от колебаний звезды. Изменения потока LT зависят от изменений градиента температуры, а также коэффициента непрозрачности. Если х выражается формулой

(5.40)(5.40)х = хораТЛ

(5.40)

(5.40)

то из (5.39) получаем

-^ = (1 + а)-^ + (3 + Р)-^-+ 2 41 +-^1. (5.41) дг

Величины бр/р, ЬТ/Т и остальные слагаемые в (5.41) меняются с фазой колебаний различным образом, и поэтому их сумма меняется с фазой иначе, чем бг. Расчеты приводят к величине запаздывания bLIL относительно бг/г по фазе ^л/2. Хотя указанные соображения и являются очень важными для теории пульсаций, они не дают возможности непосредственно проверить их наблюдениями, поскольку, как отмечено выше, неизвестно, к каким слоям относить величину 6г, когда наблюдаются линии в разных фазах.

Расчеты нелинейных пульсаций классических цефеид производились Стоби (1969) для моделей звезд, на порядок превосходивших по массе модели, рассмотренные в работах Кристи. Вычисления, проделанные по той же методике, воспроизвели теоретически многие из наблюдаемых особенностей кривых блеска, в частности, смещение «горба» на кривой с увеличением периода. Однако они также показали чувствительность результатов расчетов к значениям различных свободных параметров. Величина периода оказывается связанной с амплитудой скорости.

Среди пульсирующих звезд особое место занимают звезды типа 6 Щита, имеющие малые периоды (^0\ 2) и амплитуды (^0т,3). Эти звезды характеризуются значительными изменениями формы кривой блеска и амплитуды колебаний. А. А. Памятных (1974) рассчитал нелинейные колебания звезд типа б Щита и ему удалось объяснить некоторые наблюдаемые особенности.

Как известно, в звездах спектральных классов F и более поздних существуют конвективные зоны. Пренебрежение конвекцией при расчете нелинейных пульсаций, если и может быть в какой-то мере оправдано для звезд типа RR Лиры, недопустимо для пульсирующих звезд классов G и К, к каким относятся классические цефеиды и звезды типа RV Тельца. В расчетах Кристи конвективный перенос полностью не учитывался и это является коренным недостатком их. Трудность учета конвекции обусловлена отсутствием соответствующей теории.

В работе Унно и др. (1967) сделана попытка учесть конвективный перенос, использовав для оценки конвективного потока теорию Бём-Витензе, основанную на понятии длины перемешивания. Поскольку в этой работе предполагалось, что характерный размер конвективного элемента много меньше пространственной шкалы пульсаций, и использовалось приближение Буссинеска, то оказалось возможным отделить задачу о вычислении потока FKOhb от задачи о пульсациях. Путем осреднения уравнений движения, неразрывности и энергии получены аналогичные обычным уравнения пульсаций для средних величин. Влияние конвективного переноса на величину лучистого потока энергии находится с помощью выражения

4дсх <р> <Т^Т

ГТГ ’(5.42)

+ — к<Р> —

<Т>з<Т>з^ + (^) + ^+^ с^ + (^) + ^+^ сгде (Т) и <р> — соответственно средние по горизонтальной плоскости значения температуры и плотности, Г' — температура в элементе, находимая из уравнения

<Т>з

<Т>з

^ + (^) + ^+^ с

^ + (^) + ^+^ с

Г =

- Ж ' 2^ <Г>- ?«>'<5-43>

Здесь и — скорость конвективного элемента, I — длина перемешивания, 96 — высота однородной атмосферы. Конвективный поток вычисляется по формуле (3.171).

Расчеты нелинейных пульсаций по указанной теории не производились, и она явно недостаточна для правильного учета конвекции, поскольку в ней предполагается, что в каждый данный момент конвективный поток «приспособлен» к состоянию звезды, т. е. рассматривается квазиста- ционарная конвекция.

Более общий подход к вопросу о влиянии конвективного переноса энергии на пульсации имеется в работах Дж. Кокса и др. (1966). Зависимость конвективного потока FK0HB от времени определяется из уравнения

—— ч— [^кон в (О — F конв (0L(5.44)

грел

где ^Рел ~ характерное время релаксации конвективных элементов и /*Конв (£) — величина потока, получаемая по теории длины перемешивания для значений параметров, определяющих условия в данной точке в данный момент. Таким образом, поток /'конв (О соответствует случаю ква- зистационарной конвекции. Для £рел принимается выражение

£рел = |“ |, (5.45)

считаемое постоянным. При зависимости ^Конв (0 вида

(5.46)(5.46)^коив (О — Fконв (1& sin (0^)

(5.46)

(5.46)

из (5.44) получается

FКОНВ(0 —FКОНВ(0 —г конвг конв1 41 4/!+(®W/!+(®Wsin(co^ — а) , (5.47)sin(co^ — а) , (5.47)

FКОНВ(0 —

FКОНВ(0 —

г конв

г конв

1 4

1 4

/!+(®W

/!+(®W

sin(co^ — а) , (5.47)

sin(co^ — а) , (5.47)

где фазовый сдвиг а = arctgoT (0 <^ а ^ л/2). При условии ^Рел <^ со"1, что соответствует случаю, рассмотренному Унно, FK0HB (/) изменяется синхронно с ^Конв (О и амплитуда его такая же. В другом предельном случае, когда ^рел 3^ 0 "Л амплитуда изменений Т^онв (О меньше, чем У -^конв (0, н0 они происходят не синфазно с изменениями FКОНВ (О’

Иное выражение для Т^конв (0 в случае (о^рел ^ 1 было получено Л. Н. Ивановым на основе разрабатывавшейся им теории нестационарной конвекции (см. гл. 6, § 5). В частности, оказывается, что при согрел -> оо величина а л/2.

Выражение (5.47), дающее удовлетворительные качественные результаты в указанных предельных случаях, неприменимо, когда время релаксации конвективных элементов того же порядка, что и период изменений внешних условий, определяющих величину ^Конв (О- Именно такое положение существует у цефеид, так как размер конвективных элементов достаточно велик (Л. Н. Иванов (1972)). Вблизи нижней границы конвективной зоны характерный размер элемента порядка толщины зоны. Поэтому время его тепловой релаксации сравнимо с временем тепловой релаксации всей зоны, а оно, в случае цефеид, близко к времени механической релаксации. Следовательно, при расчете пульсаций звезды, обладающей конрер-

тивной зоной, необходимо иметь достаточно точное решение задачи о нестационарной конвекции. Вообще же, как было отмечено еще в работах С. А. Жевакина, если перенос энергии осуществляется в основном конвекцией, пульсации в звезде не должны возникать. Физически это объясняется тем, что в таких случаях условия в зоне ионизации близки к адиабатическим, а возможность отрицательной диссипации обусловлена именно неадиабатичностью.

Роль конвекции может быть значительной и в создании положительной диссипации. В расчетах пульсаций вязкая диссипация обычно не принимается во внимание, поскольку пренебрегается конвективным переносом. Если учитывать, что конвекция является турбулентной, то необходимо принимать во внимание и турбулентную вязкость. В работе Унно и др. (1967) отмечено, что взаимодействие пульсационных и турбулентных движений может оказать очень существенное влияние на состояние внешних слоев звезды.

Помимо указанных очень важных обстоятельств, подлежащих выяснению в будущем, в теории радиальных неадиабатических пульсаций имеется еще ряд трудностей. Остается непонятным, в частности, взаимодействие различных мод, для которого вычисления дают запутанную картину. Нуждается в убедительном объяснении тот факт, что далеко не у всех звезд, находящихся в полосе неустойчивости, наблюдаются пульсации. Не получило также истолкования различие между классическими цефеидами и звездами типа W Девы (цефеиды II типа), очень близкими по своим периодам. Аномальное поведение цефеиды II типа RU Жирафа, прекратившей за короткое время колебания, а затем опять их возобновившей, до сих пор является загадкой. Наконец, отсутствует сколько-нибудь разработанная теория изменений блеска долгопериодических переменных, относимых к пульсирующим звездам. Множество особенностей этих звезд заставляет сомневаться в применимости к ним изложенной выше теории пульсаций (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)).

Совершенно неразработанным остается до сих пор вопрос о пульсациях звезд — компонент двойных систем. Как известно, процент двойных цефеид и других пульсирующих звезд гораздо меньше, чем для обычных звезд. Принадлежность же пулвсирующей звезды к тесной двой-

ной системе является исключением. Этот чрезвычайно важный факт до сих пор не получил истолкования. Невидимому, нахождение звезды в тесной двойной системе препятствует развитию пульсационной неустойчивости.

Как можно полагать, вследствие искажения фигуры тела, входящего в двойную систему, и вращения, колебания его должны быть нерадиальными. Рассмотрим кратко состояние проблемы нерадиальных пульсаций.

В теории нерадиальных пульсаций используется система уравнений неразрывности, движения и энергии, записываемая в сферической системе координат. При применении обычного метода малых возмущений все амплитуды возмущений (плотности, давления, скорости) представляются в виде произведений радиальных и сферических функций УТ, например,

6р = ^¥Т ^^е"4"1 (5.48) и аналогично для других величин. Вектор возмущения § задается в виде

/ ау™ 1 аУ™ \

<5-49)

где ^ и £<р — меридиональная и азимутальная составляющие горизонтального смещения.

В линейном приближении система сводится в общем случае — при учете изменений потенциала тяготения фг — к дифференциальному уравнению 4-го порядка (подробнее см. Леду и Вальравен (1958)). Обычно в качестве граничных используют следующие физически очевидные условия: смещение в центре звезды обращается в нуль, изменение давления на поверхности звезды также должно быть равно нулю.

Рассматривая адиабатические линейные нерадиальные колебания политропных газовых шаров в пренебрежении изменениями фг, Каулинг (1942) свел задачу к системе двух дифференциальных уравнений. Анализ этих уравнений позволил ему установить существование двух видов колебаний. Одни, названные им ^-модами, обусловлены главным образом изменениями давления. Они близки к чисто радиальным движениям. Другие, называемые g-модами, имеют гораздо больший период и происходят главным

образом в поперечном направлении. Механизм их заключается в действии тяготения, направленном на выравнивание плотности в сферических слоях. Среди радиальных мод существует фундаментальная; она не имеет узлов внутри звезды, т. е. смещения сохраняют вдоль радиуса один и и тот же знак. Наряду с этим могут происходить колебания в обертонах, когда имеется один и больше узлов.

Из работы Каулинга вытекала возможность резонанса между нерадиальными колебаниями и вращением звезды, входящей в тесную двойную систему. Помимо указанного вывода, рассмотрение нерадиальных колебаний позволяет подойти с весьма общей точки зрения к проблеме конвективной неустойчивости. Звезду, в которой происходит конвекция, можно представлять находящейся в состоянии нерадиальных колебаний, соответствующих очень большим значениям I и т. При таких колебаниях в радиальном и поперечном направлениях существует большое число узлов.

Критерий конвективной неустойчивости Шварцшильда является локальным и выводится феноменологически. Чандрасекхар и Лебовиц (1963) рассмотрели задачу об* устойчивости газовых шаров в отношении нерадиальных колебаний при учете изменений (pg, использовав вириаль- ные уравнения третьего порядка. Эти уравнения при смещении §, задаваемом в форме (2'. 13), имеют вид

а2^1Л к " $ЧМ, к + ^фгк, j + 6^6Пк -|~ 6^611^, (5.50) где 4>ibk — момент тензорного потенциала, определяемого по (2.38),

фу, »= 4" ^р ^ ^ ^ ^йг*’ <5-51) (V)

а Пк и У^ц записываются в форме

Щ = § p^^dr', (5.52)

Vi3,k= $ p^Hi^xW. (5.53)

Система (5.50) содержит восемнадцать уравнений. Исследование Облегчается тем, что их можно разбить на три независимые группы. При помощи (5.50) устанавливается,

в частности, что однородная сфера неустойчива для мод колебаний, соответствующих / = 1 и / = 3. Более сложное исследование для политропных шаров с показателем Г показало, что при условии у < Г они также неустойчивы в отношении колебаний с I = 1. Если подходить к проблеме конвективной неустойчивости с указанной общей точки зрения, то следует считать неустойчивость, соответствующую нерадиальным колебаниям при I — 1, также конвективной. Тогда полученный вывод можно рассматривать как строгое доказательство критерия Шварцшильда.

Неустойчивость более сложных звездных моделей в отношении нерадиальных колебаний исследовалась в работах Осаки и Ханзена (1973)' и Осаки (1974) в линейном приближении. Ими было показано, что в модели звезды сверхгиганта с лучистой оболочкой и конвективным ядром, соответствующей переменной типа р Цефея, g-мода расщепляется на две — колебательную моду g^ и конвективно неустойчивую g~. В качестве механизма, приводящего к наблюдаемым изменениям звезд указанного типа, был предложен резонанс между нерадиальными колебаниями всей звезды и колебаниями конвективного ядра.

В линейном приближении взаимодействие («сцепление») колебаний, происходящих в различных модах, учесть нельзя. В единственной имеющейся работе, где рассчитаны нерадиальные нелинейные адиабатические колебания звезд (Депре (1974)), выявлено резонансное взаимодействие колебаний в фундаментальной радиальной моде и нерадиальных колебаний, соответствующих I = 2. Этим взаимодействием Депре пытается объяснить наблюдаемый у звезд типа р Цефея феномен «биений» (см., например, О. А. Мельников, В. С. Попов (1970)).

Вычисления в указанной работе Депре производились в предположении о том, что имеет место осевая симметрия, и рассматривалась упрощенная модель звезды, состоящая из колеблющейся оболочки и инертного ядра. Даже при ^тих упрощающих предположениях расчет представил большие трудности и не мог быть доведен до стадии устоявшегося движения. По-видимому, при суще7 ствующей вычислительной технике вряд ли можно рассчитывать нерадиальные нелинейные пульсации при отсутствии адиабатичности.

Взрывы в звездах

Быстрые и сильные изменения блеска нестационарных звезд являются свидетельством происходящих в них взрывов, т. е. освобождения за очень короткое время в малом объеме большого количества энергии. С сильными взрывами связывают прежде всего вспышки сверхновых и новых звезд. Разлет оболочки звезды с большой скоростью, наблюдаемый непосредственно через некоторое время после вспышки, представляет одно из наиболее отчетливых проявлений происшедшего взрыва. Форма оболочки указывает на приблизительно сферическую симметрию взрыва. По массе оболочки, определяемой из спектроскопических данных и наблюдаемой скорости разлета, оценивается нижняя граница освободившейся энергии. У других нестационарных звезд динамические проявления взрывов менее отчетливы, например, у звезд типов Т Тельца, UV Кита. Очень важным обстоятельством является повторяемость взрывов у звезд многих типов — повторных новых, звезд типа UV Кита, и, по-видимому, также у обычных новых звезд.

По локализации взрывы в звездах можно разделить на несколько видов. Если большое количество энергии быстро освобождается в центральной области звезды, то можно говорить о центральном взрыве. Такой взрыв должен приводить к образованию сильной сферической ударной волны, распространяющейся к поверхности звезды. Взрыв, приводящий к вспышке сверхновой, обычно считают центральным.

Не исключена возможность нецентрального взрыва в глубоких слоях звезды. Если этот взрыв достаточно сильный, то он проявится, как будет показано ниже, в нагреве части поверхности звезды. Есть основания полагать, что быстрая переменность звезд некоторых типов — UV Кита, Т Тельца — связана с такими взрывами.

При вспышке новой звезды от нее отделяются поверхностные слои, образующие приблизительно сферическую оболочку. В соответствии с современной теорией вспышек быстрое освобождение энергии в этих случаях происходит в сферическом слое, находящемся не очень глубоко. Такой взрыв называют периферическим.

Взрывы происходят и в самых внешних слоях звезд.

Хорошо известным примером таких взрывов являются хромосферные вспышки, которые объясняются превращением энергии магнитных полей в тепловую и кинетическую энергию. Мощность этих взрывов гораздо меньше, чем взрывов, происходящих в недрах звезд, и они наблюдаются лишь благодаря своей локализации в видимых областях.

Рассмотрим сначала теорию центрального сфериче- ски-симметричного взрыва. В этом случае, при определенных предположениях о строении звезды в невозмущенном состоянии и о характере освобождения энергии можно применить метод автомодельных решений. Наиболее полное решение автомодельной задачи о точечном центральном взрыве в звезде, полученное Л. И. Седовым в 1957 г., приводится в его книге (1965 г.)

Движение предполагается адиабатическим, что достаточно оправдано для того этапа, когда ударная волна находится еще достаточно далеко от поверхности звезды. Система уравнений, описывающих движение, имеет вид др , d(pv) 2pv _ п dt + dr + г ~

dp dv _1 dpG^r

>(5.54)>(5.54)dt ‘ ^ dr “p drr2

>(5.54)

>(5.54)

jH£L2L -L и ^Ae£1L - 0dtdr ~ u

— = 4лг2р.

Распределение газодинамических величин в состоянии равновесия предполагается в следующей форме:

р = —ЭД = . ^Л гз-з

(5.55)

_ 2nA^G 1 т _ 2л AG 1

Р (р —1)(3 —р) г2р-2 ’1д*(р_1)(3_р) гр-з *

Здесь А — некоторый параметр, имеющий размерность [Л] = г-см^-3 и зависящий от безразмерной величины р, которая, очевидно, должна лежать в промежутке

1 < Р < 3. (5.56)

При различных значениях р распределение (5.55) дает разные звездные модели. Так, например, при р = 2 получается изотермический газовый шар.

В указанной постановке задача является автомодельной, так как в систему (5.54) и в начальные условия для нее (5.55) входят лишь две постоянные А и G с независимыми размерностями. Она останется автомодельной, если дополнительное условие, выражающее закон освобождения энергии, т. е. характер происшедшего в звезде взрыва, не содержит других постоянных с независимыми от указанных размерностями.

Для закона определяющего освобождение энергии 5, принимается выражение

Е = aG^A^t^^, (5.57) где а — некоторый коэффициент, конечный в том случае, когда энергия, выделившаяся в центре звезды, конечна.

(5.58)(5.59)(5.58)(5.59)В соответствии с методом решения автомодельных задач из системы (5'54) можно получить систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входят представители плотности, скорости и квадрата скорости звука, обозначаемые G (£), U (£) и Z (£) соответственно, а также М (^ — дополнительно вводимый представитель функции 9Rr. В данном случае

(5.58)

(5.59)

(5.58)

(5.59)

5 ^aAG^t^

где а — произвольно выбираемая постоянная. Использование алгебраических соотношений между представителями и величинами г и t, которые получаются из законов сохранения массы и условия адиабатичности (см. Л. И. Седов (1965)), позволяет понизить порядок системы и свести задачу к системе двух дифференциальных уравнений.

Граничные условия для системы уравнений для представителей представляют собой условия на фронте удар-

ной волны вида (1.159). В рассматриваемом случае радиус ударной волны R определяется следующим образом:

R = (aAGW^(5.60)

и соответственно величина g = r/R. Скорость волны получается из (5.60):

D =-^ = -^- (aAGy1^-1 = -j-laAG^R^M . (5.61)

При посредстве (5.61) условия на фронте, включая условие для величины 9Rr, можно преобразовать к безразмерному виду и после этого систему уравнений решать численно.

Распределение плотности и давления газа в зависимости от расстояния до центра для наиболее интересного астрофизического случая у = 5/3 имеет следующие особенности. Область вблизи центра «пустая» и дело обстоит так, как будто бы газ вытесняется сферическим поршнем. На внутренней границе возмущенного слоя газа плотность максимальна и монотонно спадает в направлении к фронту волны. Давление же, наоборот, на фронте максимальное (если волна достаточно сильная).

Численное интегрирование системы уравнений для представителей для частного случая у = 5/3, [3 = 2,5 было выполнено также Керрюсом и др. (1951). В работах М. Л. Лидова (1955) исследовался центральный взрыв при учете противодавления в линейном приближении и определены отклонения от автомодельности, вызванные учетом давления невозмущенного газа. Аналогичная задача рассматривалась также Роджерсом (1956).

По-иному решена задача о центральном точечном взрыве с учетом противодавления Сакураи (1956). В системе (5.54) вместо г и t выбираются новые переменные:

—<5-62>

Здесь R, как и выше, означает радиус ударной волны, а величина Ro связана с энергией взрыва Е соотношением

R0=JBVl3(5 63)

\4лр0/ 1х '

где ро — давление в центре равновесной конфигурации

до взрыва. Решение системы ищется в виде рядов по степеням z с коэффициентами, зависящими от х. Так, в частности, отношение скорости волны D к скорости звука в центре невозмущенной политропной конфигурации с0 с точностью до членов третьего порядка по z равно (при т = 7/5)

— l,3z-^ (1 + 0,415V + 0,57z3), (5.64) со

где

52 = шур°сс№^'’- <5>65)

Хотя при исследовании взрывов с учетом противодавления на равновесную конфигурацию накладывается меньше ограничений, чем в автомодельной задаче, и ее можно выбирать более близкой к реальным звездам, условия, в которых происходят вспышки сверхновой звезды, настолько сложны, что при исследовании таких взрывов приходится применять численные методы.

В работах В. С. Имшенника и Д. К. Надежина (1974; там же даны ссылки на другие работы) подробно изложены результаты исследования динамики взрыва при учете потери энергии sv вследствие излучения нейтрино и выделения энергии snuci при термоядерных реакциях. Соответственно уравнение энергии записывается в виде

4г+р й ^ = Enuci—^,66^

Величины Sv и snuci сложным образом зависят от р и Т, a Snuci также и от концентрации различных элементов. Уравнение состояния газа в данном случае имеет сложный вид. Относящиеся к этому вопросы рассмотрены в работе Л. Н. Ивановой, В. С. Имшенника и В. М. Чечетки- на (1975).

Одна из наиболее распространенных теорий вспышек сверхновых связывает вспышку с коллапсом массивного (Мре ^ 1 Si©) ядра звезды. Исследования неустойчивости, развивающейся вследствие распада ядер железа и последующего коллапса, производились неоднократно (В. С. Имшенник и Д. К. Надежин (1964), Колгейт и Уайт (1966), Арнет и Камерон (1967), Л. Н. Иванова и др. (1975)). Коллапс можно разбить на две стадии. В первой

среда прозрачна для нейтринного излучения, а во второй, начинающейся при достижении плотности 10п— 1012г-сл1~3, ядро коллапсирующей звезды становится непрозрачным для этого излучения и нужно учитывать диффузию нейтрино.

Расчет коллапса на первом этапе представляет автомодельную задачу, если потери энергии за счет излучения нейтрино выражаются степенной функцией плотности и температуры:

Ev — apsTn, (5.67) поскольку тогда в уравнения, помимо размерного параметра G, входит еще лишь одна размерная переменная а. Решение автомодельной задачи, полученное обычным методом при значениях s = 0, п = 6, у = 5/3, оказалось соответствующим результатам численного решения уравнений.

При коллапсе ядра возникает ударная волна, которая вызывает детонацию кислорода в оболочке и тем самым обусловливает быстрое выделение очень большой энергии (^ 1051 эрг\ Движение ударной волны можно рассматривать независимо от процессов, происходящих в ядре, так как по данным расчетов В. С. ИмшенникаиД. К. На- дежина (1964) оно слабо зависит от способа образования волны и определяется главным образом,ее энергией и законом изменения плотности в оболочке звезды.

Наиболее современные и полные расчеты коллапса ядра, выполненные Д. К. Надежиным (1975; 1976) при учете нейтринной теплопроводности для значений массы ядра 29%0 и ИЖ©, не продемонстрировали сброса оболочки. К аналогичному результату приводят работы и других авторов. Поэтому было высказано мнение, что сброс оболочки возможен только вследствие термоядерных реакций в плотном углеродном ядре (Л. Н. Иванова и др. (1976)). В таком ядре сначала должна возникать пульсационная неустойчивость и лишь затем возможен переход к детонационному режиму (Л. Н. Иванова и др. (1975)). Соответствующие расчеты сброса оболочки еще не выполнены.

О правильности той или иной модели предсверхновой можно судить путем сравнения вычисляемых кривых блеска с наблюдаемыми у сверхновых. Расчеты кривых блеска проводились для чисто водородных оболочек с заданной

энергией взрыва Ео. Оказалось, что основным параметром, влияющим на форму кривой блеска, является радиус модели R*. Форма кривой и высота максимума зависят также от Ео и массы звезды SR* (Э. К. Грассберг и др. (1971)).

Вопрос о выходе ударной волны на поверхность звезды и связанные с этим явления рассматриваются в следующем параграфе, но, для связности изложения, о том, что касается сверхновых звезд, скажем здесь. Для компактных моделей (Д* ж 10Д®) при выходе волны в фотосферу возникает острый пик излучения (продолжительностью в несколько минут). Газ, составляющий оболочку, быстро охлаждается вследствие ее расширения. Внутрь оболочки распространяется волна охлаждения.

Ширина пика светимости возрастает с увеличением Д*, а высота пика мало изменяется. Для протяженной модели, с R* = 500 Д® и SR* = 30 9R® ширина достигает ld. Вычисления для еще более протяженных моделей (до Д* ж 104Д®) показывают, что в протяженной атмосфере под действием излучения из-за фронта волны возникает обширная зона прогрева («тепловой язык»). Излучение- зоны прогрева определяет характер восходящей части кривой блеска. Продолжительность периода максимального блеска достигает при этом 8d. Срывающаяся оболочка в очень протяженных моделях предсверхновых представляет собой слой с толщиной, гораздо меньшей ее радиуса. Быстрое падение блеска, начинающееся согласно расчетам через несколько десятков суток, связано с распространением волны охлаждения, уменьшающей радиус фотосферы. Рекомбинации, происходящие в газе, не компенсируются ионизациями, степень ионизации падает и прозрачность оболочки соответственно увеличивается.

По основным характеристикам теоретические кривые блеска, рассчитанные для протяженных моделей, похожи на наблюдаемые. Тем не менее проблему истолкования кривых блеска сверхновых нельзя считать решенной до конца, пока не доказано, что реальная звезда перед вспышкой обладает столь протяженной атмосферой. Кроме того, существуют и теории, объясняющие специфический характер кривых блеска сверхновых по-иному, например, влиянием дополнительной энергии, освобождающейся при распаде неустойчивых изотопов, выносимых ударной волной

из недр звезды (Колгейт и Макки (1969)). Вспышки сверхновых могут быть связаны не с коллапсом, а со сравнительно медленным выделением энергии, и это радикально скажется на форме кривой блеска (Л. Н. Иванова и др. (1976)).

Перейдем теперь к описанию особенностей нецентрального взрыва. Если взрыв достаточно сильный и. образующаяся ударная волна может дойти до поверхности звезды, то его действие не будет отличаться от действия центрального взрыва, хотя говорить о сферической симметрии сбрасываемой оболочки в таких случаях не приходится. При более слабом взрыве ударная волна затухнет — превратится в звуковую — на сравнительно малом расстоянии от точки взрыва. В результате образуется приблизительно сферическая область с повышенной температурой и пониженной плотностью. Радиус этой области мал по сравнению с радиусом звезды. Если взрыв не центральный, то на сферу, содержащую энергию взрыва, должна действовать сила плавучести, вызывающая перемещение ее в направлении периферии. Вопрос о том, при каких условиях энергия слабого взрыва может быть указанным путем вынесена наружу, был рассмотрен В. Г. Горбацким (1964).

Энергия взрыва Ео в образующейся сферической области, которую в дальнейшем будем называть «пузырем», содержится в форме тепловой энергии и в виде излучения. Радиус пузыря Rn оценивается при помощи формулы (4.78), если энергия Ео перешла .главным образом в тепло. Аналогичным способом находится радиус «пузыря», содержащего энергию в основном в форме излучения. Таким образом,

Нп^№\ (5.68)

\ Pl /

где рг — наружное давление. При энергид Ео = 1033— 1035 эре «пузырь» в центральных областях звезды типа Солнца будет иметь радиус порядка 105—106 см и образуется за время порядка секунды (при условии мгновенного освобождения энергии Е^.

Уравнение движения «пузыря» записывается в виде, аналогичном (.5.16), с учетом так называемой «присоединенной массы» (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М.

Лифшиц (1953)):Лифшиц (1953)):=|-3tJ$^-1- «Мр2=|-3tJ$^-1- «Мр2С9ЛГГ2С9ЛГГ2г Piy2 л я2 сх 2 ^-“П’г Piy2 л я2 сх 2 ^-“П’(5.69)(5.69)

Лифшиц (1953)):

Лифшиц (1953)):

=|-3tJ$^-1- «Мр2

=|-3tJ$^-1- «Мр2

С9ЛГГ2

С9ЛГГ2

г Piy2 л я2 сх 2 ^-“П’

г Piy2 л я2 сх 2 ^-“П’

(5.69)

(5.69)

где р2 и р^ — плотность внутри «пузыря» и вне его соответственно, сх — коэффициент турбулентного сопротивления и -|- Jtflnpi — присоединенная масса для тела сферической формы.

одно-одно-Если равенство давлений внутри и снаружи «пузыря» устанавливается за время, малое по сравнению с тем, за

одно-

одно-

которое он проходит расстояние, равное высоте родной атмосферы, то

(5.70)(5.70)_ ^1 _ JP2_

(5.70)

(5.70)

^2 Pl

и уравнение (5.69) переписывается в виде

d^r _ dt^ "d^r _ dt^ "\ Tj j dP1 3 „14.2^- P1 *Г 4\ Tj j dP1 3 „14.2^- P1 *Г 4111+2'^‘1+2'^‘V2,V2,(5.71)(5.71)

d^r _ dt^ "

d^r _ dt^ "

\ Tj j dP1 3 „

14.2^- P1 *Г 4

\ Tj j dP1 3 „

14.2^- P1 *Г 4

1

1

1+2'^‘

1+2'^‘

V2,

V2,

(5.71)

(5.71)

а начальные условия имеют следующий вид:

t = 0,t = 0,dr пГ = ГО, -^ = 0.dr пГ = ГО, -^ = 0.(5.72)(5.72)

t = 0,

t = 0,

dr п

Г = ГО, -^ = 0.

dr п

Г = ГО, -^ = 0.

(5.72)

(5.72)

Когда сила сопротивления уравновешивает силу плавучести, движение «пузыря» происходит с постоянной скоростью vn, равной (при сх = 1)

vn = 1,6vn = 1,6^(1^(1(5.73)(5.73)

vn = 1,6

vn = 1,6

^(1

^(1

(5.73)

(5.73)

При условиях, соответствующим внутренним областям Солнца (г » 0,5Я©), значение г;п = 10б—106 см! сек, что существенно превосходит скорость движения элементов в конвективной зоне. Равновесное значение скорости достигается за время, по порядку величины равное времени прохождения «пузырем» пути Яп.

В процессе движения от центра звезды «пузырь» адиабатически расширяется. Кроме того, вследствие расцро-

странения от него тепловой волны граница между нагретым газом и внешней средой движется от центра «пузыря» и в результате масса заключенного в нем газа растет со временем. При коэффициенте непрозрачности й в форме (см., например, В. В. Соболев (1975))

« = 3-i°23Jr(5.74)

скорость движения границы «пузыря» за счет распространения тепловой волны получается равной

/ Г7»5\

ST = 1,8-10-«^^(—|Н •(5.75)

\ р;pf /

Принимая во внимание также скорость адиабатического расширения, с помощью соотношений (5.68), (5.71), (5.73) и (5.75) находим уравнение, определяющее скорость изменения величины у = TJТ^ в зависимости от безразмерного расстояния riR^ = и, при движении «пузыря», которое предполагается установившимся:

(

m3 \

in J-)

т - -»ir1- + «(“) (7т - *)(1 “ »У. <5-78)

где К (м) представляет собой известную функцию, сложным образом зависящую от распределения плотности и температуры в звезде по радиусу, а также от До и Д*.

звезд показало, что в моделях, соответствующих красномузвезд показало, что в моделях, соответствующих красномуЧисленное решение (5.76) для различных моделей

звезд показало, что в моделях, соответствующих красному

звезд показало, что в моделях, соответствующих красному

2kTt2kTtгиганту и звездам, близким по строению к Солнцу, дви

2kTt

2kTt

1 после1 послежение «пузыря» быстро затухает. Величина

1 после

1 после

прохождения им малого по сравнению с R^ расстояния. В случае модели, соответствующей карлику позднего спектрального класса (dM 4), даже при сравнительно низком значении Е = 1033 эрг «пузырь», возникший в центральных областях, может выйти во внешние слои звезды (и = 0,99), сохранив достаточно высокое значение Т^ соответствующее величине у = 0,38.

Полученный вывод может быть применен для объяснения вспышек звезд типа UV Кита, если они происходят,

как следует из гипотезы В. А. Амбарцумяна (1968), вследствие освобождения энергии во внутренних слоях звезд. Указанный механизм тогда служит одним из возможных средств переноса энергии. Попытка конкретизации этой гипотезы об освобождении внутризвездной энергии и интерпретации на этой основе явлений, происходящих при вспышках звезд типа UV Кита, сделана Г. А. Гурзадяном (1973).

Заметим, что более распространенной является точка зрения на вспышки звезд типа UV Кита, как на поверхностные взрывы, аналогичные хромосферным вспышкам на Солнце. Различные теории, основывающиеся на этой точке зрения, изложены в книге Р. Е. Гершберга (1970) и в его обзоре (1975).

Хромосферные вспышки, по современным взглядам, возникают в результате преобразования магнитной энергии в тепловую и кинетическую энергию в нижней хромосфере вблизи солнечных пятен, обладающих сйльными полями. Теория этого явления сложна и до конца не разработана. Изложение ее здесь заняло бы слишком много места. С современным состоянием теории вспышек можно ознакомиться, например, по работе С. А. Каплана, С. Б. Пикельнера и В. Н. Цытовича (1974), а также по обзору Б. В. Сомова и С. И. Сыроватского (1976). В последнем особое внимание уделено исследованиям газодинамических эффектов, вызываемых вспышкой, и проявлениям тепловой неустойчивости.

Заметим, что в теориях, представляющих вспышку как результат быстрого преобразования энергии магнитного поля в другие виды энергии, имеется ряд трудностей. Одна из них связана с проблемой генерации достаточно сильных полей. Энергия вспышек, особенно у звезд типа UV Кита, велика. Поэтому нужно предполагать наличие в атмосфере звезды магнитных полей очень большой напряженности $ охватывающих большую площадь и достаточно быстро возобновляющихся. О возможности генерации полей в таких масштабах по имеющимся теориям (см. гл. 6, § 1) судить трудно.

С сильным периферическим взрывом связывают явление вспышки новой звезды. Впервые предположение о такой природе вспышки было выдвинуто Л. Э. Гуревичем и А. И. Лебединским (1947), считавшими, что взрыв обус-

ловлей ядерными превращениями в периферических слоях звезды. После того как во внешних областях звезды в ходе ее эволюции будет достигнуто некоторое достаточно высокое значение температуры и скорость тепловыделения превысит скорость теплоотдачи, по мнению указанных авторов, должна возникать ударная волна.

Повторяемость вспышек у одной и той же звезды, а также ряд других обстоятельств делают теорию периферического взрыва в такой форме неприменимой к новым звездам. Подойти к проблеме происхождения вспышек новых с других позиций позволило установление фундаментального наблюдательного факта, заключающегося в том, что новые звезды входят в состав тесных двойных систем.

Из наблюдений следует, что как новые вспыхивают белые карлики, являющиеся компонентами таких тесных двойных систем, у которых другая компонента представляет собой холодный карлик. В этих системах происходит перетекание массы от холодной звезды и аккреция этого вещества белым карликом. Подробнее процесс перетекания и аккреции рассматривается в гл. 6. Здесь же достаточно отметить, что в результате аккреции поверхностные слои белого карлика обогащаются водородом, причем скорость аккреции ©J* = 10“8—10~9 $1®/год такова, что за промежуток времени, равный интервалу между вспышками, на белый карлик перетекает масса того же порядка, что и масса оболочки, сбрасываемой при вспышке новой.

При достижении некоторой критической массы во внутренних слоях образующейся путем аккреции водородной оболочки белого карлика возникает тепловая неустойчивость. Тепловыделение в результате ядерных реакций (преимущественно CN-цикла) быстро возрастает и происходит взрыв. Он сопровождается отделением от звезды тех слоев оболочки, которые лежат над областью максимального тепловыделения. Расчет процесса взрыва представляет собой газодинамическую задачу, поскольку выделение энергии вызывает движения газа, которые в свою очередь влияют на скорость ядерных реакций.

Газодинамика периферийного взрыва была исследована Роузом и Смитом (1972). Задача сводится к решению обычной системы уравнений, в которые добавлены члены.

описывающие «искусственную вязкость»,

(5-77)(5-77)— _ — 4лг ^^ (р + (? о) — Г2

(5-77)

(5-77)

Р 4лг2 Эг 1 dt ^^

ЛЕ . , , - . Д / 1 \ЗЦ

Дг + (р + Q^ At \ Р ) - 8Жг ’

Свободный параметр QOl определяющий искусственную вязкость, вводится для того, чтобы при помощи системы (5.77) можно было проводить расчеты при наличии ударной волны. Величина LT включает в себя энергию, переносимую как конвекцией, так и излучением. Так как роль конвекции в отводе тепла от слоя ядерного горения очень велика, а процесс горения происходит очень быстро, необходимо учитывать нестационарность конвекции. Это было сделано с помощью уравнений (5.44) и (5.45), т. е. тем же способом, каким пользуются при изучении пульсаций. Как было отмечено в § 2, этими уравнениями нестационарная конвекция не описывается с необходимой степенью точности.

Величина е, определяющая скорость энерговыделения, зависит от плотности и температуры в данной точке. Зависимость между р, ри Т в рассматриваемом случае не выражается простым уравнением состояния идеального газа, а имеет более сложный вид и задается в табличной форме.

Расчеты в работе Роуза и Смита производились для Звезды с массой Ж* = 0,76 SR®, начальной эффективной температурой 1,1»10боК и светимостью 38 Lq при массе оболочки, равной 1,3-10-4 $?©. Содержание водорода в оболочке X = 0,7. Технически расчет осуществлялся путем разбиения внешней области звезды на зоны, решения системы для каждой из зон и сопряжения этих решений.

Расчеты показали, что в результате неустойчивости, вызванной быстрым горением водорода, возможно как непосредственное возникновение ударной волны, так и возбуждение пульсаций в белом карлике. Сильные пульсации также приводят к выбрасыванию вещества путем кумуляции последовательно возникающих ударных волн. Однако вычисление массы и скорости оболочки, сбрасываемой в

результате пульсаций, оказалось слишком сложным и не было проведено. Что же касается скорости оболочки, сбрасываемой непосредственно возникающей сильной волной, то она существенно превосходит наблюдаемую. Имеются и другие различия между рассчитываемым процессом периферийного взрыва и наблюдаемой картиной вспышки. Таким образом, пока не приходится говорить о законченной теории вспышек новых. Тем не менее как результаты описанных вычислений, так и расчеты других авторов, например, Старрфилда (1971),— указывают на возможность полного объяснения вспышек новых на основе гипотезы о периферийном взрыве, происходящем вследствие энергетической неустойчивости в обогащенной водородом оболочке белого карлика. В дальнейших расчетах необходимо, в частности, использовать более совершенную теорию нестационарной конвекции и учитывать непрерывно продолжающуюся аккрецию. Кроме того, нужно иметь более полное представление о роли различных ядерных реакций в процессе развития тепловой н еустойчив о сти.

Ударные волны во внешних областях звезди звездных оболочках

Из наблюдений следует, что во внешних слоях звезд различных типов, как нестационарных, так и стационарных, распространяются ударные волны. Они различны по происхождению, по силе и по вызываемым ими наблюдаемым эффектам. Так, у звезд типа Солнца и других, обладающих конвективными зонами, ударные волны возникают, по-видимому, вследствие механического действия восходящих конвективных токов и по своей силе могут быть отнесены к слабым или умеренным. Вместе с тем при хромосферных вспышках на Солнце образуются и сильные волны.

У пульсирующих звезд типов RR Лиры и W Девы (цефеиды II типа), а также звезд типа RV Тельца и долгопериодических переменных образование ударных волн связывается с пульсациями. Для звезд типа RR Лиры численные расчеты пульсаций демонстрируют возникновение ударных волн в эпоху возрастания блеска. Ударные волны во внешних слоях звезд указанных типов могут быть отнесены к умеренным. Они создают дополнительное

излучение атмосферы звезды, главным образом в линиях водорода.

Сильные ударные волны, которые возникают при взрывах, приводящих к вспышкам сверхновых и новых звезд, радикальным образом меняют структуру внешних слоев звезды и приводят к огромным изменениям блеска.

Рассмотрим сначала волны, образование которых связывается с конвективными движениями. Конвекция вызывает резонансные колебания внешних слоев фотосферы, генерирующие звуковые волны. Распространяясь в среде с убывающей плотностью, звуковая волна вблизи границы между фотосферой и хромосферой превращается в ударную.

Вопрос о генерации звуковых волн в атмосфере Солнца и образовании из них ударных волн обсуждался в ряде работ (см., например, Э. Е. Дубов (1967), Мекле (1968)). Результаты исследований по этой проблеме изложены в монографиях (например, Томас и Атей (1965)) и обзорах (С. Б. Пикельнер (1966а)).

Ударные волны в атмосферах звезд типа Солнца сравнительно быстро диссипируют. Энергия слабой волны расходуется на высотах над фотосферой порядка 103 км или менее (И. А. Климишин (1972)), тогда как толщина солнечной хромосферы более 104 км. Поэтому ударными волнами может нагреваться только нижняя хромосфера, а в более высокие слои энергия должна переноситься иным путем. Поскольку во внешних слоях Солнца имеются магнитные поля, там возможно распространение волн различных типов и переход энергии от одних волн к другим. Вероятно, в переносе механической энергии в корону важную роль играют альвеновские волны.

Роль ударных волн в нагреве солнечной атмосферы исследовалась Бёрдом (1964а) путем численного решения задачи о движении волны в неоднородной среде методом Уизема (см. Климишин (1972)). Эта задача в одномерном случае сводится к уравнению, определяющему изменение числа Маха волны М с высотой. Для слабой волны (М—1*^1) в статической атмосфере такое уравнение имеет следующий вид:

J_da_ 1 / 1 ат. З^Ц 2^\ ,, 7Я. а аг 4(1+а) \ Т ат + R*Tr» г )’\оаб)

где

а = М - 1, (5.79)

g0 — ускорение силы тяжести на уровне г0, р, — молекулярный вес и N = 0, 1, 2 при плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно. Распределение температуры Т (г) в невозмущенной атмосфере предполагается известным. Из уравнения (5.78), в частности, следует, что приток тепловой энергии в атмосферу уменьшает силу волны. Таким образом, имеет место саморегуляция, т. е. сила волны зависит от величины потока переносимой тепловой энергии. Поэтому температурный профиль в атмосфере слабо меняется при изменении интенсивности волны. Указанное обстоятельство позволило рассчитать структуру атмосферы, по которой периодически распространяются ударные волны, и объяснить наблюдаемое возрастание температуры при переходе от хромосферы к короне (Бёрд (1964b, 1965)).

Нагрев солнечной атмосферы ударными волнами рассматривался также Вейманом (1960), использовавшим предположение о «зубчатом» профиле волны (см. ниже формулу (5.88)).

Как было отмечено, присутствие ударных волн умеренной силы в атмосферах пульсирующих звезд вызывает появление эмиссионных линий водорода в спектрах этих звезд. По ширине и смещениям этих линий оценивается скорость волны. Она составляет несколько десятков км/сек. Наименьшие скорости наблюдаются в случае долгопериодических переменных. В момент появления волны ее скорость составляет 25—30 км/сек и затем возрастает, так что в эпоху максимального блеска скорость равна 45—50 км/сек. Ударные волны в атмосфере других пульсирующих звезд движутся быстрее: так, в случае звезд типа W Девы их скорость достигает 60 км/сек, а у звезд типа RR Лиры еще выше.

При движении сила волны должна меняться в силу ряда причин — возрастания площади фронта, стока энергии при нагреве газа, излучение которого выходит из атмосферы, работы над газом в поле тяготения. Кроме того, при движении волны по атмосфере звезды позднего спектрального класса — долгопериодической переменной или звезды типа RV Тельца — сток энергии волны происходит

также вследствие ионизации атомов водорода и других элементов. Процесс ионизации волной в- атмосфере происходит иначе, чем в межзвездной среде (гл. 4), и мы здесь его рассмотрим детальнее, поскольку от него в значительной степени зависит структура ударной волны.

В атмосфере долгопериодической переменной водород находится в неионизованном состоянии. Однако благодаря наличию элементов с малым потенциалом ионизации небольшое количество свободных электронов (порядка Ю"4 тгн см"3) где тгн — концентрация атомов водорода) все же имеется. Ионизация водорода происходит за счет энергии, переданной тяжелым частицам ударной волной. Эти частицы постепенно отдают свою энергию свободным электронам. Особенность процесса в данном случае заключается в образовании в среде большого количества фотонов в линии Lai которые-вследствие высокой концентрации нейтральных атомов водорода остаются «запертыми». В конечном счете энергия этих фотонов переходит в энергию ионизации водорода в результате процесса

(5.80)(5.80)^VLa4-AVLa-»XH + ^V (v< —

(5.80)

(5.80)

dnadnaВ связи с этим к уравнениям (4.30) — (4.34), определяющим кинетику ионизации, добавляется еще одно, описывающее изменение концентрации па фотонов в линии La*

dna

dna

(5.81)

где фт — число фотонов, образующихся за единицу времени при рекомбинациях и столкновениях, и ср2 — число фотонов, расходуемых на ионизацию водорода (оно про- порционально na), металлов, теряемых при неупругих столкновениях и покидающих атмосферу вследствие эффекта Доплера. Соответствующие члены'должны быть добавлены в уравнение энергетического баланса электронного газа.

Численное решение получающейся указанным путем системы уравнений показало (В. Г. Горбацкий и И. Н. Минин (1963)), что сначала значительная доля энергии тяжелых частиц через свободные электроны перекачивается в энергию поля излучения La. После того как кон-

центрация па становится достаточно высокой, начинается ионизация атомов водорода в соответствии с процессом (5.80) (рис. 16).

Фотоны в линии La играют определяющую роль в ионизации водорода при условии малой ионизации и начальной концентрации атомов пн <С Ю12 см~\ В обычных звездах фотосферная концентрация пн > Ю14 см~^ и указанный процесс является менее существенным.

Рис. 16. Профили плотности (а) и температуры (б) квантов за фронтом волны в атмосфере, долгопериодической переменной при начальном значении Тг = 10б °К (по оси ординат на рис. 16 а) и б) отложены соответственно величины n^ln^naln и Т^ -10—5, Те -10~6).Рис. 16. Профили плотности (а) и температуры (б) квантов за фронтом волны в атмосфере, долгопериодической переменной при начальном значении Тг = 10б °К (по оси ординат на рис. 16 а) и б) отложены соответственно величины n^ln^naln и Т^ -10—5, Те -10~6).

Рис. 16. Профили плотности (а) и температуры (б) квантов за фронтом волны в атмосфере, долгопериодической переменной при начальном значении Тг = 10б °К (по оси ординат на рис. 16 а) и б) отложены соответственно величины n^ln^naln и Т^ -10—5, Те -10~6).

Рис. 16. Профили плотности (а) и температуры (б) квантов за фронтом волны в атмосфере, долгопериодической переменной при начальном значении Тг = 10б °К (по оси ординат на рис. 16 а) и б) отложены соответственно величины n^ln^naln и Т^ -10—5, Те -10~6).

Результаты расчетов протяженности d1 зоны ионизационной релаксации (И. А. Климишин (1972)) выражаются следующей приближенной формулой:

й^2.10зЖ(^У,й^2.10зЖ(^У,(5.82)(5.82)

й^2.10зЖ(^У,

й^2.10зЖ(^У,

(5.82)

(5.82)

где/) выражена в см!сек и^ — начальная концентрация атомов водорода в неионизованном состоянии. Эта формула дает величину d^ согласующуюся с ранее определенной для случая волн в атмосфере долгопериодических переменных (В. Г. Горбацкий и И. Н. Минин (1963)).

Расчеты кинетики процессов в ударной волне показали, что при малой начальной степени ионизации степень ионизации, близкая к единице, получается лишь при значении D ^ 107 см! сек. Если же D ^ 5-106 см/сек, то ионизуется не больше половины всех атомов. Этот вывод относится к среде* с плотностью пн ^ Ю14 см”3. Когда

дн > Ю15 см"3, то предельная степень ионизации определяется формулой Саха при температуре Т^ и уже при D ^ 7*106 см!сек ионизация водорода будет почти полной.

Ширина области ионизационной и температурной релаксации на 1—2 порядка больше, чем у предшествующей ей области ударной релаксации (вязкого скачка), где происходит возрастание энергии тяжелых частиц. За областью температурной релаксации следует область лучистой релаксации, толщина которой оказывается в случае долгопериодической переменной того же порядка, что и протяженность атмосферы. Время высвечивания составляет 106—107 суток, что сравнимо с временем распространения волны. В процессе охлаждения атмосферы возбуждается свечение в линиях [Fe I] и [Fe II], характерное для спектра долгопериодических переменных в период падения блеска (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)).

Излучение, идущее из-за фронта волны, вообще говоря, должно прогревать газ перед фронтом. Для волн, распространяющихся в атмосферах долгопериодических переменных, эффект прогрева оказывается несущественным вследствие малой плотности газа. Основную роль в создании зоны прогрева играет непрерывное излучение за пределом лаймановской серии. Кванты Lc образуются при рекомбинациях главным образом в глубине зоны лучистой релаксации. Из-за неполной ионизации водорода оптическая толщина этой зоны для излучения оказывается весьма значительной и в прогреве могут участвовать только те из квантов Lc, которые образуются в слое, примыкающем к вязкому скачку. Когда волна проходит путь D, в указанной области возникает около 109-Р квантов, а число нейтральных атомов в слое той же толщины перед фронтом на два-три порядка больше. Таким образом, £с-излучение не может создать сколько-нибудь заметной прогревной зоны перед волной.

При достаточно большой плотности и высокой скорости волны эффект прогрева может очень сильно сказываться на движении волны. Так, концентрация атомов в атмосферах звезд типа W Девы составляет 1014—1015 см"3 и степень ионизации газа за фронтом волны в этих случаях оказывается высокой. В результате велик и поток квантов LC1 выходящих из-за фронта волны. -

Расчет структуры ударной волны в водороде при учете существования зоны прогрева был произведен Уитни и Скалафурисом (1963). Следует иметь в виду, что при вычислении потока квантов Lc область лучистой релаксации считалась прозрачной для квантов, а это не соответствует действительности. Поэтому поток излучения оказался завышенным.

Для расчета зоны прогрева нужно знать скорость волны, которая сама зависит от структуры этой зоны. Таким образом, необходимо решать самосогласованную задачу. В указанной работе задача решена методом итераций и найдено, что газ перед фронтом волны ионизуется и нагревается до температур ж 2-104 °К (при D ^ 60 км/сек). Кроме того, при учете прогрева газа перед фронтом температура газа за скачком значительно выше, чем при движении волны той же силы по непрогретому газу. Остается не ясным, в какой мере на этих, достаточно очевидных с физической стороны выводах сказывается предположение о прозрачности области за фронтом для Lc-излучения^

При еще больших значениях плотности, соответствующих фотосферным слоям, эффект прогревания газа можно рассчитывать в предположении, что газ находится в состоянии локального термодинамического равновесия. О результатах таких расчетов будет сказано ниже.

Закономерности движения ударных волн в атмосферах звезд рассматривались многими авторами. Одна из первых работ в этом направлении выполнена Pi С. Ирошни- ковым (1961). В предположении плоской изотермической атмосферы с постоянным ускорением тяготения он рассчитал движение газа за фронтом методом характеристик и на этой основе объяснил наблюдаемые особенности структуры линии На в спектрах звезд типа RR Лиры. Свечение нагретой ударной волной атмосферы звезды указанного типа исследовалось также В. И. Голинько (1970) и Хиллом (1972).

Численным методом Бринкли — Кирквуда изучалось движение ударных волн в протяженной атмосфере (Бхатнагар, Кушваха (1961, 1962)).- Решение последних применялось для интерпретации явлений, наблюдаемых в звездах типа р Цефея. Аналогичным способом Оджерс и Кушваха (1960) исследовали ударные волны в атмосфере долгопериодической переменной. Ограничивающие предполо-

женин, сделанные в этих работах, и, в частности то, что атмосфера считалась однородной, не дают возможности удовлетворительно объяснить наблюдения при помощи рассчитанных моделей. В действительности в таких звездах ударная волна распространяется по среде с сильно меняющейся плотностью. Диссипация энергии ударной волны при учете этого обстоятельства была изучена И. А. Климишиным и А. Ф. Новаком (см. монографию И. А. Климишина (1972), И. А. Климишин и др. (1972)). Распределение плотности задавалось степенным законом

Р (г) = Ро (^)т ,Р (г) = Ро (^)т ,(5.83)(5.83)

Р (г) = Ро (^)т ,

Р (г) = Ро (^)т ,

(5.83)

(5.83)

а начальное значение скорости волны Do = 30 км/сек, что соответствует долгопериодическим переменным. При расчетах предполагалось, что охлаждение нагретого волной газа продолжается до тех пор, пока не достигается начальное значение его энтропии, а после этого он продолжает расширяться адиабатически до начального давления. Вычисления, также произведенные методом Бринкли — Кирквуда, показали, что скорость волны возрастает до значений 50—55 км/сек (в зависимости от mY и начальной энергии волны Е0У Почти вся энергия волны расходуется на этой стадии, совпадающей с периодом подъема блеска звезды. Поэтому скорость волны после максимума резко падает. Таким образом, расчеты подтвердили сделанный ранее на основе анализа наблюдений вывод о том, что действие ударной волны в эпоху максимального блеска резко ослабляется, а свечение атмосферы в эмиссионных линиях в послемаксимальный период обусловлено высвечиванием (В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)). Расширение атмосферы, вызванное ударной волной, затормаживается тяготением.

Наблюдения околозвездных оболочек у долгопериодических переменных показывают, что эти звезды теряют массу, причем потеря достигает Ю'6 ^й^/год (Герц, Вулф (1970)). Скорость расширения атмосферы долгопериодической переменной под действием ударной волны не достигает параболической и, по-видимому, ударные волны не являются непосредственной причиной потери массы этими звездами. Однако, как отмечается ниже, ударные волны, периодически распространяющиеся по атмосфере,

значительно увеличивают ее протяженность. Это обстоятельство создает более благоприятные условия для потери вещества звездой под действием различных факторов, например, вследствие давления излучения.

Действие ударных волн, периодически проходящих по атмосфере, в значительной мере определяет ее структуру. Впервые вопрос о структуре атмосферы, подверженной действию периодических ударных волн, рассматривался Уитни (1956). Так как под действием тяготения слои, по которым прошла ударная волна, затормаживаются не в одинаковой степени, то следующая ударная волна распространяется по неоднородно движущейся среде. Расчет в этом случае можно выполнить только при помощи упрощающих предположений. Расчеты Уитни производились в предположениях постоянства интенсивности распространяющейся волны и постоянства ускорения (направленного к центру звезды) у частиц, подвергшихся действию предшествующей волны. В одномерном случае получаются следующие уравнения вдоль характеристик:

< + ₽-!)<;- О, (5.84)

гдеR = и + In р + т,гдеR = и + In р + т,S = й — In р + т,(5.85)S = й — In р + т,(5.85)

где

R = и + In р + т,

где

R = и + In р + т,

S = й — In р + т,(5.85)

S = й — In р + т,(5.85)

а т, Цх и й — безразмерныеа т, Цх и й — безразмерныевремя, длина и скорость:время, длина и скорость:

а т, Цх и й — безразмерные

а т, Цх и й — безразмерные

время, длина и скорость:

время, длина и скорость:

<5-86)

Здесь 3{ — шкала высот в атмосфере.

Численное решение системы (5.84) при заданной частоте синусоидальных пульсаций фотосферы (играющей роль сферического поршня) показало, что под действием ударных волн величина ЭС возрастает на порядок по сравнению со значением ^ в стационарном состоянии атмосферы. Однако расчеты не были доведены до состояния установившегося движения.

И. А. Климишину (1967), решавшему аналогичную задачу приближенным методом, удалось получить установившееся распределение плотности в предположениях об изотермичности атмосферы и о «зубчатом» профиле волны. Последнее означает, что зависимость давления (и, анало-

гично, р и и) в данной точке от времени аппроксимируется выражением

Р = Р2--^^-^(5.87)

где t0 — период волны. Рассмотрение работы, производимой над газом ударной волной, приводит к уравнению

А=_[(58g)

где

d In D

9 = -ЧКГ-<5-89>

Решение уравнения (5.88) дает следующее распределение плотности с высотой:

p№^Poe«s(5.90)

где ^i в Dy# раз превосходит величину ЭС в атмосфере, не подвергающейся действию ударных волн. При значениях Do, соответствующих звездам типа RR Лиры, 36г ^ ж 36^. Этот вывод качественно подтверждает результат, полученный Уитни. Количественное же сравнение с ним невозможно, потому что в первой из рассматриваемых работ режим движения оставался не установившимся.

Ударные волны в атмосферах цефеид, хотя и увеличивают протяженность атмосферы, но, по-видимому, не приводят к значительной потере массы. Величина ^х для цефеид на порядок меньше, чем у долгопериодических переменных, тогда как по массам и по скорости ударных волн они близки к долгопериодическим переменным. При скорости волны, не превосходящей 60 км/сек, скорость газа в атмосфере цефеиды существенно меньше параболической.

Следует отметить, что хотя ударные волны и увеличивают протяженность атмосферы долгопериодической переменной, но относительно в меньшей степени, чем у цефеид, так как большая протяженность атмосферы вообще свойственна холодным гигантам.

Перейдем теперь к вопросу о движении сильной ударной войны в поверхностных слоях звезды. Сначала рассмотрим решение автомодельной задачи о выходе ударной волны на поверхность звезды, полученное Г. М. Гандель- маном и Д. А. Франк-Каменецким (1956) и, независимо,

Сакураи (1960). Задача является автомодельной, если считать слои звезды плоскопараллельными, а плотность в них распределенной по закону

Роо = Ьх\(5.91)

где х — расстояние точки от поверхности. Как известно (см., например, В. В. Соболев (1975)), в тех звездах, где лучистый перенос энергии является определяющим, распределение плотности описывается соотношением (5.91) при б = 13/4.

По своей постановке эта задача существенно отличается от рассмотренных выше автомодельных задач, например, о точечном взрыве. Здесь задается лишь один определяющий размерный параметр, а второй параметр А вводится таким образом, чтобы формула

X = A (-t)a(5.92)

описывала движение фронта волны (знак минус поставлен потому, что время удобно отсчитывать от момента выхода волны на поверхность звезды). Значение а и тем самым размерность А находятся особым путем, подробно описанным в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера (1966). Задачи, в которых задается только один размерный параметр, называют автомодельными задачами второго рода.

Вводя безразмерную переменную £ соотношением

g = х/Х(5.93)

и принимая за масштаб плотности (функция /4 (i) в формуле (1.164))> ее значение непосредственно перед фронтом волны, имеем на основании (5.91)

/т (0 = ЬХ\(5.94)

Обычным путем (см. гл. 1, § 6) получается система уравнений для представителей G (£), U (£) и Z (|), которая с помощью интеграла адиабатичности (Л. И. Седов (1965)) сводится к системе двух обыкновенных диффференциаль- ных уравнений:

ап ^utz) az kAU^

TEI ~’ dln£ ~ A(^Z) ’

где

д = (a - [7)2 - Z,(5.96)

а выражения для функций Аг и Д2 содержат также параметры а и 6. Условия на фронте волны имеют вид ит-^т.<5-97>

При выходе волны на поверхность звезды X = 0 и для всех значений я ^ О величина £ = оо. При этом величины v и с должны оставаться ограниченными и, значит, в соответствии с (1.165) и (1.166)

(7 (оо) = О, Z (оо) = 0.(5.98)

Из системы (5.95) получается уравнение

dZ _ Д2 (Z7,Z)dU ^(U,Z)'

Интегральная кривая этого уравнения на плоскости ф. Z) проходит согласно (5.98) через начало координат и в соответствии с (5.97) (при у = б/3) через некоторую точ- (35\

~а, у$-а2К Точка С лежит выше параболы Д = 0, и поэтому интегральная кривая обязательно пересекает параболу. В точке пересечения должны выполняться условия

А-0, А = 0.(5.100)

В противном случае из системы (5.95) вытекает, что одному значению £ соответствует более чем одна пара значений U и Z, т. е. решение уравнений газовой динамики приводит к неоднозначности характеристик газа, а это физически невозможно. Из (5.100) при условии Д = 0 следует, что Дт = Д2 = 0 и, значит, точка пересечения интегральной кривой и параболы Д = 0 должна быть особой точкой для уравнения (5.99). При произвольном значении а интегральная кривая, вообще говоря, пересекает параболу не в особой точке. Поэтому нужное значение а находится методом проб. При у = б/3 и 6 = 13/4 величина a = 0,590.

После того как найдено значение а, из системы (5.95) определяются U (£) и Z (£), а затем при помощи интеграла адиабатичности и G (£). Предельное распределение характеристик газа при X ->0 по координате х имеет вид l-a^ „1-а

v — с х а , р — х , р— х а .(5.101)

Из решения системы (5.95) следует, что скорость волны

D = X = aA\t\a^(5.102)

должна безгранично возрастать при приближении к поверхности, как и температура нагреваемого ею газа. Однако, как сейчас будет показано, на довольно большом расстоянии от поверхности звезды движение перестает быть адиабатическим. Этим обстоятельством ограничивается скорость волны, так как излучение из-за фронта выходит путем диффузии в пространство и энергия волны уменьшается. Точное решение задачи о неадиабатическом движении сильной ударной волны в поверхностных слоях звезды требует решения совместно с газодинамическими уравнениями и уравнений переноса излучения и может быть осуществлено только численными методами. Задача о неадиабатическом движении волны в поверхностных слоях тесно связана с расчетами структуры зоны прогрева, так как излучение, идущее из-за фронта, прежде чем уйти в пространство, прогревает газ перед волной.

Эффекты прогрева газа в подфотосферных слоях можно, как отмечено выше, рассчитывать в предположении локального термодинамического равновесия. Аппроксимация функции источника В (т) по обе стороны от фронта в виде

Вк^-а^ ^Ьъ(5.103)

где величины а^ и Ь^ зависят от температуры до фронта (при к = 1) и за фронтом (при к = 2), позволила И. А. Климишину (1972) найти выражение потока излучения в зоне прогрева и оптическую толщину тпр этой зоны. Задача решалась в приближении Эддингтона при учете условий сохранения на фронте. Величина тпр определяется выражением

тпр = А-1п^,(5.104)

где

SDp^* = t 3 1033 1’ Р1ОБ ’ v 1

и индексом «1» обозначены характеристики певозмущен- ного газа. Даже для волны умеренной интенсивности

(D = 70 км/сек), движущейся в атмосфере типа солнечной, величина тПр ~ 104. Таким образом, излучение сказывается значительно раньше выхода фронта в видимые области звезды.

Прогрев газа перед фронтом волны можно рассматривать как движение тепловой волны, о чем уже упоминалось в § 3 при рассмотрении теории кривых блеска сверхновых звезд. Скорость тепловой волны Dt, распространяющейся в политропной среде (индекс тг), при коэффициенте непрозрачности вида

х = Xop^T-si, (5.106) согласно И. А. Климишину (1972), меняется с расстоянием х от поверхности звезды по закону

DT~x*^m^\ (5.107)

При значениях тг = 3,25 и т = 2, соответствующих лучистой оболочке с преобладанием тепловой энергии над лучистой, из (5.107) получается Dt ~ х^, тогда как по формуле (5.102) имеем X ~ х~М\ Следовательно, если тепловая волна не затухает достаточно быстро, возможен ее отрыв от ударной волны. Условия образования тепловой волны и ее затухание в большой степени зависят от силы ударной волны и строения внешних слоев звезды. Поэтому роль указанного эффекта в каждом конкретном случае должна оцениваться особо.

Так как оптическая толщина зоны прогрева, оцениваемая согласно формуле (5.104), получается очень большой, то можно найти эффективную температуру ударной волны из. условия

1ДТэфф)«1. (5.108)

Это условие выражает тот факт, что на бесконечность могут выйти непосредственно только фотоны, длина свободного пробега которых ^ сравнима со средней по спектру длиной пробега I фотонов, прогревающих газ. Фотоны, для которых I» < Z, поглощаются в среде. Как показал И. А. Климишин (1972) на основе данных о поглощении в звездах в зависимости от температуры, при значениях плотности р > 10“9 г-см”3, характерных для фотосферы типа солнечной, условие (5.108) выполняется при Тэфф ~

12 000 °К.

Если распределение плотности в оболочке звезды экспоненциальное, то на расстоянии

^* —^* —WnWnРр^О2<^ффРр^О2<^фф(5.109)(5.109)

^* —

^* —

Wn

Wn

Рр^О2<^фф

Рр^О2<^фф

(5.109)

(5.109)

где ^ — шкала высот и До — скорость волны на уровне х = 0, ударная волна вследствие отрыва зоны прогрева перед ее фронтом и усиленного высвечивания превращается в изотермическую (И. А. Климишин (1972)).

Отсутствие адиабатичности особенно сильно сказывается на движении ударной волны по околозвездной оболочке новой звезды (В. Г. Горбацкий (1972, 1973)). Новые звезды входят в состав тесных двойных систем, теряющих вещество не только вследствие вспышек, но и путем непрерывного истечения газа (подробнее см. в гл. 6, § 2). Истекающий со скоростью 10—30 км!сек газ образует вокруг системы оболочку, называемую околозвездной. Плотность в оболочке должна меняться обратно пропорционально квадрату расстояния от системы, так как скорость течения остается приблизительно постоянной. Такой характер изменения плотности подтверждается наблюдениями (В. Г. Горбацкий (1972)). Характерный размер околозвездной оболочки составляет Ю15—1016 см, что очень велико по сравнению с размерами системы (^Ю11 см). Поэтдму оболочку можно считать обладающей осевой симметрией. При вспышке новой от звезды отрываются внешние слои, образующие так называемую главную оболочку. Она действует как сферический поршень на околозвездную оболочку и вызывает появление ударной волны. Эта ударная волна является сильной, так как скорость расширения главной оболочки во много раз превосходит скорость звука в околозвездной оболочке. Действием сильной ударной волны объясняется появление в спектрах новых звезд корональных линий [FeX] и [FeXIVL Появление этих линий возможно лишь в Среде достаточной низкой плотности (п = 107—108 см-3) и очень высокой температуры (Г ж 106—2-106 °К). Такие температуры достигаются при скорости главной оболочки («поршня») порядка 108 см/сек.

Решение газодинамической задачи о движении волны облегчается тем, что можно использовать условие посто-

янства количества движения в системе, так как главная оболочка новой расширяется по инерции. В предположении сферической симметрии как околозвездной, так и главной оболочки, уравнения неразрывности и движения газа записываются в виде

+ 9l + 21 = о,(5.110)

atЭг orг1х '

+ р^ = _1_^.(5.111)

Ot 1 drр drх '

Плотность в главной оболочке на два порядка больше, чем в околозвездной. Поэтому приближенно считаем главную оболочку несжимаемой тонкой сферой и рассматриваем движения газа лишь в околозвездной оболочке. Распределение плотности в ней в невозмущенном состоянии описывается соотношением

Ро (г) = Ро (Го) .(5.112)

Если обозначить через Р (г) количество движения, приходящееся на единицу площади поршня, то можно ввести два параметра:

а = Р (г) г2 = РоГад, Ь — Ро (г) г2 = рооГоо, (5.113) имеющих независимые размерности

[а] = г-см^сек-1, [6] = г-см-1.(5.114)

— (5.111) урав-(5.115)— (5.111) урав-(5.115)В качестве замыкающего систему (5.110) нения примем условие

— (5.111) урав-

(5.115)

— (5.111) урав-

(5.115)

р от

При этом задача становится автомодельной.

Условие (5.115) является следствием сильной неадиа- батичности, выражающейся в высвечивании газа за фронтом волны (В. Г. Горбацкий (1962)). Приблизительное постоянство давления за фронтом волны при наличии высвечивания неоднократно подтверждалось при численном решении различных газодинамических задач. Физические причины, приводящие к тому, что давление за фронтом в неадиабатических случаях меняется медленно, обсуждались выше (гл. 4, § 3).

В соответствии с общим методом решения автомодельных задач вводим параметр g в виде

^Ц^т-ТЦ^ч-^(5Л16)

и выражаем функции v и р через представители

v = ^u^, p = p0(r)G®.(5.117)

Координата R и скорость D ударной волны, распространяющейся по околозвездной оболочке, определяются формулами

л = £оГ-£фл D=^'(5Л18)

L Poo J

где £0 — значение g, соответствующее фронту.

При подстановке (5.117) в (5.110) и (5.111) и использовании (5.115) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для представителей. Они решаются аналитически при граничных условиях

G (go) = Go, U ^ = ^-12^ (5Л 19> следующих из условий, сохранения на фронте. При отсутствии стоков энергии внутри ударного фронта Go = 4. Решение уравнений для представителей позволяет получить в соответствии с (5.117) следующие выражения v и р:

(5.120)(5.121)(5.120)(5.121)

(5.120)

(5.121)

(5.120)

(5.121)

Выражение (5.121) показывает, что по мере высвечивания захваченного волной газа плотность его возрастает и при стремлении г где

(5.122)

величина р ->оо. Это означает, что часть вещества, захваченного ударной волной, присоединяется к «поршню». Масса сжатого газа, находящаяся перед «поршнем», составляет

RR4лг2р dr = 4лгоо4лг2р dr = 4лгоо£р— м п DGo +1 / Ро°Я’£р— м п DGo +1 / Ро°Я’(5.123)(5.123)Т1Т1

R

R

4лг2р dr = 4лгоо

4лг2р dr = 4лгоо

£р— м п D

Go +1 / Ро°Я’

£р— м п D

Go +1 / Ро°Я’

(5.123)

(5.123)

Т1

Т1

Поскольку масса всего захваченного волной газа равна ®?захв = 4лгдоРооЯ,(5.124)

то к поршню присоединяется его доля, равная |/ G _^^ • Таким образом, в околозвездной оболочке образуется слой сжатого газа, плотность в котором возрастает при г -г- гг до значения плотности в главной оболочке. Температура в сжатом слое, в соответствии с предполагаемым постоянством давления в нем, должна убывать, когда г -^Гр

Результаты решения этой газодинамической задачи позволяют рассчитать свечение нагретого волной газа, в частности, в частотах линий [FeX] и [FeXIV], Для такого вычисления нужно иметь закон распределения температуры по радиусу, который получается с помощью распределения плотности (5. 121) и условия постоянства давления за фронтом волны. Так как

Р2= 4ро(г)02(5.125)

и, с другой стороны,

р»=^гкт^(5Л26)

то при помощи (5.118) находим Т^ — значение температуры непосредственно за фронтом:

(5.127)(5.127)т (Л- 3 р« ^н 12W16 Рю kGot

(5.127)

(5.127)

Величина р (г, t) равна

Р (r’ ^ = V? ^’ ^ т ^’ ^ = Рй (5428)

и, следовательно,

Т1(М)=^^ТЖ(5.129)

где р (г, f) определяется выражением (5.121). Результаты вычислений интенсивностей корональных линий в зависимости от времени и сравнение их с наблюдавшимися интенсивностями в спектре повторной новой RS Змееносца позволили, в частности, определить скорость потери массы этой системой: Si 3-1017 г-сек"1.

Высвечивание данного элемента газа при условии прозрачности среды представляет собой локальный процесс. Поэтому для расчета скорости высвечивания газа за фронтом волны нужно решить соответствующую газодинамическую задачу в лагранжевых координатах. Такое решение было получено для случая плоской ударной волны, распространяющейся в однородной среде с плотностью р0 под действием поршня с постоянным количеством движения на единицу площади Ро. Задача, в этом случае также являющаяся автомодельной, имеет решение, аналогичное (5.120) и (5.121). Уравнения задачи в лагранжевых координатах имеют вид

dv др дадос. от

Р°"дГ ~ ~ "д^ 1 Р^—Ро» Р—"дГ* (5*130)

За координату £ принимается эйлерова координата час тицы в начальный момент. Так как выполняется условие (5.115), то также должно быть

= 0.(5.131)

Используя (5.131), нетрудно получить решение системы. Величина р»в частице оказывается меняющейся со временем следующим образом:

Р =i^тут- ’<5Л32)

где т^ — время, соответствующее приходу ударной волны в частицу с координатой £., Зависимость температуры от времени получается при посредстве (5.127) и (5.132)

в виде

Go + 1Go + 1Go-1Go-127 (t) + Та27 (t) + Та(5.133)(5.133)

Go + 1

Go + 1

Go-1

Go-1

27 (t) + Та

27 (t) + Та

(5.133)

(5.133)

Здесь То — температура в данной частице сразу после прохождения через нее волны.

Наряду с (5.133) изменение температуры в элементе газа можно рассчитать с помощью функции высвечивания 5?~ (р, 7") на основе уравнения

А (А М*^ = -п»$г (Т),(5.134)

где п — концентрация частиц, пропорциональная р. Подстановка (5.132) в (5.134) и последующее решение полученного уравнения дали выражение Т (t^ согласующееся с (5.133) (В. Г. Горбацкий (1962)). Тем самым доказывается, что приведенное решение задачи о движении ударной волны является самосогласованным.

Аналогичным методом при помощи уравнения (5.134) решалась задача о высвечивании газа Кафатосом (1973), который при этом принял во внимание изменение степени ионизации различных элементов в процессе охлаждения газа. Им получена следующая формула для оценки характерного расстояния, на котором газ охлаждается

1(Т-1)п^-(72) ’1(Т-1)п^-(72) ’(5.135)(5.135)

1(Т-1)п^-(72) ’

1(Т-1)п^-(72) ’

(5.135)

(5.135)

где индексом «2» обозначены соответствующие величины за фронтом. Величина Ж~ (Т), согласно расчетам Кафато- са в интервале температур 104 ^ Г ^ 106 °К представляется формулой

— 6,104

ST (Г) = 5 • 10“22е т эрг • см3 • сек~г. (5.136)

По порядку величины (5.135) соответствует тому значению, которое получается при помощи формулы (5.133).

Разлет газа с поверхности звезды;звездный ветер

В астрофизике часто приходится рассматривать расширение горячего газа в среду очень малой плотности. Например, такое расширение происходит у оболочек новых звезд, при нагреве поверхностных слоев звезды в результате взрыва, в газовых потоках. Лишь в очень редких случаях процесс можно описать при помощи решения простой задачи об адиабатическом разлете бесконечного однородного изотермического слоя в вакуум при отсутствии тяготения. Нарушение любого из указанных условий делает задачу неавтомодельной. Даже двусторонний разлет однородного плоского слоя описывается решением (1.133) лишь до того момента, пока волна разрежения не доходит до середины слоя, где она встречается с такой же волной, распространяющейся в противоположном направлении. После этого по расширяющемуся газу от середины слоя в обе стороны распространяется отраженная волна. Движение отраженной волны удается рассчитать и получить распределение плотности. Оно имеет сложную форму. Асимптотические (при t —» оо) распределения скорости и плотности за фронтом отраженной волны имеют вид (К. П. Станюкович (1971))

з—у

»=-Ь р=4L1 -(ттгУТ^ - <5-137) где х —- расстояние от задней стенки в случае одностороннего разлета ограниченного слоя или от центра слоя при двухстороннем разлете. Величина с0 означает скорость звука в невозмущенном газе и А — константа, определяемая из условия постоянства массы движущегося газа. Волна разрежения не догоняет передний фронт, движущийся со скоростью рПред, определяемой по (1.134), но масса, заключенная между этим фронтом и отраженной волной, стремится к нулю при £->оо. Таким образом, толщина разлетающегося слоя, например, оболочки новой звезды Ая, увеличивается со временем:

Дж = 2 . —^ cot + Дж0.(5.138)

При начальном среднем значении температуры порядка 106 °К за время 107 сек величина Аж становится сравнимой с радиусом оболочки, тогда как в начале вспышки толщина ее является очень малой даже по сравнению с радиусом карлика. При расширении оболочка охлаждается. К концу указанного периода ее температура снижается до нескольких десятков тысяч градусов. Аналогичный эффект охлаждения имеет место и в разлетающихся оболочках звезд других типов. Неавтомодельное расширение оболочки новой звезды в начальный период вспышки детально изучено в работе А. И. Лебединского (1946).

Околозвездная оболочка новой звезды, образующаяся в результате потери массы из двойной системы, сначала представляется плоским слоем газа, поскольку потеря массы происходит преимущественно в орбитальной плоскости. С возрастанием расстояния г от системы ее толщина, вследствие расширения газа в вакуум, увеличивается пропорционально г. Таким образом, сечение околозвездной оболочки меридиональной плоскостью представляет собой приближенно круговой сектор, и поэтому выводы о характере взаимодействия околозвездной оболочки с главной оболочкой, полученные в предположении сферичности (см. § 4), остаются в силе.

Задача о разлете ограниченного слоя не является автомодельной, так как, помимо двух параметров с0 и р0, в ней имеется еще один параметр — толщина слоя, и размерности всех трех параметров независимы. По той же причине не являются автомодельными аналогичные задачи об изэнтропическом разлете однородного изотермического бесконечного цилиндра и однородного изотермического шара. Эти задачи подробно обсуждаются в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Рейзера (1966). Движение становится автомодельным в пределе при t —уоо, так как величина члена, содержащего градиент давления, быстро уменьшается. В случае шара, радиус .которого Дш при расширении растет, как и величина Дж в (5.138), пропорционально времени

^ш = y-Ti с^ + ^ош’ (5.139) имеем

1 Эр £-37-2 Р аг

Таким образом, при £ —> оо сила, которая может вызвать перераспределение масс, очень быстро уменьшается. Движение как в случае сферической, так и цилиндрической симметрии становится инерционным. Из уравнения

следует, чтоследует, чтоdv , dv n"дГ + и^7 = °dv , dv n"дГ + и^7 = °V = rlt.V = rlt.(5.141)(5.142)(5.141)(5.142)

следует, что

следует, что

dv , dv n"дГ + и^7 = °

dv , dv n"дГ + и^7 = °

V = rlt.

V = rlt.

(5.141)

(5.142)

(5.141)

(5.142)

Выражение плотности, которое нетрудно найти из уравнения неразрывности, при условии (5.142) имеет вид

Р = ^>(5.143)

где N = 0, 1, 2 для плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно. Вид функции / (г/^) зависит от начальных условий.

Для случая плоской симметрии имеется выражение (5.137), полученное путем точного решения задачи. Поэтому функция / (г/^) для сферической симметрии записывает

f^=4;f^=4;1 —1 —з—у2(V-1)з—у2(V-1)(5.144)(5.144)ся в виде

f^=4;

f^=4;

1 —

1 —

з—у2(V-1)

з—у2(V-1)

(5.144)

(5.144)

При у = б/3 и массе шара Яйо постоянная А = Зйо/8л.

Задачи о разлете неоднородной среды, вообще говоря, могут решаться только приближенными методами. Однако в некоторых случаях, когда начальные распределения плотности и давления внутри шара (цилиндра) зависят лишь от отношения г/Дш, разлет в пустоту происходит в автомодельном режиме (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер (1966)). В частности, это имеет место при изэнтропическом разлете и начальных распределениях вида

1?

г2 \V~liг2

Р=Рс’P=^, (5.14э)

где рс — значение плотности в центре. Подобного рода выражениями удобно пользоваться для анализа явлений, происходящих при расширении газовых струй в двойных

системах, когда разлет надо учитывать с самого начала движения, т. е. нельзя пользоваться условием t -изо. 0ни будут использованы в гл. 6.

Учет гравитации и неадиабатичности разлета делает решение задачи чрезвычайно сложным. Приближенные методы решения подобных задач излагаются в книге К. П. Станюковича (1971). В частности, им отмечено, что разлет слоя газа в поле тяготения, если толщина слоя мала по сравнению с расстоянием слоя от гравитирующего центра, можно приближенно рассчитать, рассмотрев отдельно две стадии процесса. На первой стадии можно пренебречь тяготением и принять, чтов это время к моменту t0 устанавливается распределение плотности вида (5.137). На следующей стадии (при t *> t^ можно рассматривать движение невзаимодействующих между собой частиц в поле тяготения, причем движение каждой из них определяется скоростью, приобретенной на первой стадии. Этот способ решения был использован при исследовании разлета газа из тех слоев новой звезды, которые при вспышке были нагреты ударной волной (В. Г. Горбацкий (19746)).

Из наблюдений новых звезд следует, что после отрыва главной оболочки из новой звезды происходит интенсивное выбрасывание вещества со скоростью, превышающей скорость главной оболочки. Этот газ, догоняя главную оболочку, ускоряет ее. Ранее В. А. Амбарцумяном (1939) было показано, что замедление падения блеска новой после максимума обусловлено выбросом вещества. Действие быстро движущихся газовых конденсаций на оболочку установлено Э. Р. Мустелем (1948) и впоследствии детально исследовано В. Г. Горбацким (см. В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)).

Обозначим через а ту долю энергии взрыва SB3, происшедшего в подфотосферных слоях звезды, которая не была израсходована на отрыв главной оболочки и не унесена вместе с ней. За счет энергии aSB3 произошел нагрев газа, масса которого mv Если температура нагретых слоев достаточно велика, то, поскольку давление в них не уравновешивается внешними слоями, которые оторвались, должно начаться расширение газа. Та часть его, которая при этом приобретает скорость, большую или равную параболической, уходит от звезды. Таким образом, истечение вещества из новой звезды, следующее за отрывом оболочки, мо-

жет рассматриваться как расширение газа в вакуум в поле тяготения.

/10 а^вз \1/2 Сн “ \Т/10 а^вз \1/2 Сн “ \Ттхтх(5.146)(5.146)Расширение является, вообще говоря, неадиабатическим, а расширяющийся слой — неоднородным и неизотермическим. Поэтому задачу можно решить только в очень грубом приближении. Будем считать, что начальное значение скорости звука сн в нагретом слое всюду одинаково и равно

/10 а^вз \1/2 Сн “ \Т

/10 а^вз \1/2 Сн “ \Т

тх

тх

(5.146)

(5.146)

Так как высвечивание существенно скажется на условиях, существующих в нагретом газе, лишь через время порядка 107 сек и более, то для t ^ 106 сек разлет считаем происходящим адиабатически.

При расширении внешних слоев внутрь звезды дви- дется волна разрежения. В плотных слоях звезды образуется отраженная волна, которая определяет распределение плотности в расширяющемся газе. В соответствии с указанной выше возможностью пренебречь тяготением на первом этапе разлета, используется распределение р в виде (5.137). Запишем его следующим образом (у = 5/3):

<5-147>

где м0 — скорость, приобретенная частицей, В — постоянная. Далее, при t > t0 скорость частицы и должна меняться с расстоянием г до центра звезды так:

и» = 4- 2G91L (-J— -и» = 4- 2G91L (-J— -(5.148)(5.148)

и» = 4- 2G91L (-J— -

и» = 4- 2G91L (-J— -

(5.148)

(5.148)

При разлете газа в пустоту в поле тяготения звезды ее покидают лишь частицы со скоростью, большей параболической. Остальной газ, отдав свою энергию передним слоям, имеет скорость, меньшую параболической, и остается у поверхности.

При помощи (5.147) и (5.148) определяются значения массы тИ и кинетической энергии Жи = тиРи/2 тех частиц газа, которые способны догнать главную оболочку, движущуюся со скоростью vOl т. е. таких, у которых при г ^> Д* скорость и > р0 (здесь ри — скорость истечения). Из наблюдений известно изменение скорости главной

оболочки звезды, вызванное действием догоняющего ее газового потока. При данной массе главной оболочки новой тп0 отсюда получаются (см. В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)) наблюдаемые значения тпи и ри. Таким образом, имеем два уравнения с неизвестными Двз, а, тх и G^Sl^/R^. Добавляя уравнение

(1 - а) Евз = т0 ^ + ^-) , (5.149)

определяющее (с учетом нагрева ударной волной) энергию, затраченную на отрыв главной оболочки, при заданном значении параболической скорости на поверхности звезды можно получить характерные значения Евв, тт и а. Указанным путем удалось найти, что при допустимых для белого карлика значениях параболической скорости

Евз = З-Ю46 — 1047 эрг, тх = (1О^4О)тпо. (5.150)

Полученная величина Евз в десятки раз превышает кинетическую энергию оболочки. Оказывается, что большая доля энергии взрыва, обусловившего вспышку, расходуется не на отрыв оболочки, а на нагрев внешних слоев звезды. Масса нагретого газа более чем на порядок превосходит массу главной оболочки, но из звезды выбрасывается лишь небольшая его часть. Скорость звука сн в 1,5—2 раза превосходит z;0. Заметим, что величина Евз, значительно превосходящая делавшиеся ранее оценки, согласуется с данными наблюдений в инфракрасной области спектра, согласно которым при вспышке освобождается энергия порядка 1047 эрг.

Указанным механизмом можно объяснить мощное истечение вещества из новой, начинающееся почти сразу после отрыва главной оболочки и продолжающееся, как показывают наблюдения, не более нескольких суток. Гораздо более продолжительное — в течение месяцев — и менее интенсивное истечение вещества из новой, вероятно, связано с г 'ерей вещества другим компонентом системы — красным карликом, облучаемым вспыхнувшей звездой (В. Г. Горбацкий, Л. Н. Иванов (1974)). Облучение должно приводить к оттоку нагретого газа с поверхности спутника и последующему уходу газа из системы.

В процессе разлета ионизованного газа в вакуум в нем происходят рекомбинации. Так как скорость рекомбина

ций пропорциональна квадрату электронной плотности, которая очень быстро уменьшается при разлете, то оказывается возможным положение, когда газ разлетится, не успев полностью прорекомбинировать. Вблизи фронта разлета температура газа Т ^ 0 и, следовательно, равновесная степень ионизации должна быть равной нулю. В действительности же она отлична от нуля, т. е. выше равновесной. В таких случаях говорят о «закалке» ионизационного равновесия.

В качестве примера можно привести решение задачи об изменении степени ионизации в оболочке сверхновой при ее разлете (В. Г. Горбацкий (1970)). Если оболочку представить в виде однородно расширяющегося водородного шара, объем которого УОб ~ £“3, то изменение числа ионизованных атомов N* в нем описывается уравнением

dt ~ Ь Уоб ’dt ~ Ь Уоб ’(5.151)(5.151)

dt ~ Ь Уоб ’

dt ~ Ь Уоб ’

(5.151)

(5.151)

где С —- суммарный коэффициент рекомбинации на второй и высшие уровни, слабо зависящий от температуры. Из (5.151) находим

N* (#) = N* (f0)—,^ .(5.152)

При i -> oo

^(f)->—^0(5.153)

1 + Cn^t0

и, значит, газ разлетается на бесконечность частично ионизованным. Поскольку количество свободных электронов долго продолжает оставаться большим, происходит частое возбуждение ими различных атомов, и, в частности, нейтральных атомов кислорода, что вызывает свечение оболочки в линиях [01]. Эти линии наблюдаются в спектре сверхновой приблизительно через 100d после вспышки.

В рассмотренном сравнительно простом случае не учитывались ионизации атомов водорода столкновениями и тем самым с самого начала процесс считался неравновесным. Если же одновременно с рекомбинациями происходят и ионизации, то можно ввести равновесную степень

ионизации, определяемую из равенства

С (Г) п^ - b (Г) п^ев^^ , (5.154) где в левой части стоит число рекомбинаций, а в правой — число ионизаций столкновениями в единичном объеме за единицу времени. Функции С (Т7) и b (Т) медленно меняются с Т.

При падении температуры газа вследствие его расширения скорость ионизации резко снижается, так как она зависит от Т экспоненциально. Скорость рекомбинации меняется по степенному закону. Поэтому с некоторого момента равновесная степень ионизации меняется по экспоненциальному закону, тогда как фактическая — по степенному, т. е. гораздо медленнее. В результате степень ионизации оказывается избыточной по сравнению с равновесной, т. е. происходит закалка ионизационного равновесия. Подробнее с этим явлением можно познакомиться по книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера (1966).

При вспышке звезды типа UV Кита в ее атмосфере образуется область нагретого газа. Расширение этого газа и происходящая в ходе расширения закалка ионизации, по мнению И. Г. Колесника и Д. А. Франк-Каменецкого (1964), должны приводить к избыточному вынужденному излучению главным образом вблизи пределов бальмеровского и пашеновского континуумов. И. Г. Колесник (1965) истолковал на основе этих представлений ряд особенностей кривых блеска звезд типа UV Кита. Однако эта модель встречается с рядом трудностей, которые обсуждаются в книге Р. Е. Гершберга (1970).

Расширение газа в вакуум во всех рассматривавшихся выше случаях является нестационарным движением. При определенных условиях оказывается возможным стационарное истечение газа в центральном поле тяготения. Уравнение, определяющее стационарное истечение, выводится при помощи известных уравнений неразрывности и движения в сферическом случае (К. П. Станюкович (1971)). Если в этих уравнениях считать dv/dt = 0 и dpldt = 0, то они принимают вид

"$+рт+^-°. (5.155) 4-7¥4‘^ <5-156)

Величина dp/p получается из (1.13) при посредстве (1.7), (1.10) и (1.12):

^-c^-V^-^aQ,(5-157)

где dQ — количество тепла, теряемое (dQ < 0) или приобретаемое газом. Подставляя (5.157) в (5.156) и используя (5.155), а также выражение потенциала тяготения для звезды, имеем уравнение

v dr ~ с^ г* с^ dr + г ’

Из (5.158) следует, что под действием гравитации дозвуковое (v < с) расширение газа ускоряется. В том же направлении действует приток тепла. В случае сверхзвукового течения эти факторы приводят к уменьшению скоро- (di)

■^r^OL Расширение потока, учитываемое слагаемым 2/г в правой части равенства, оказывает такое же действие на скорость, как и потеря тепла,— дозвуковой поток затормаживается, а сверхзвуковой ускоряется.

Поскольку при движении температура газа, вообще говоря, меняется, величина г2, входящая в (5.158), соответствует местной скорости звука. Если правая часть уравнения (5.158) меняет знак при некотором значении г, то в этой точке скорость движения становится равной местной скорости звука. Такая точка называется критической, или звуковой. Движение, бывшее вначале дозвуковым, превращается в сверхзвуковое. Координата критической точки находится из уравнения

С2 Г2С2 dr + Г *(ОЛЭУ)

Возможность сверхзвукового течения обусловлена превращением тепловой энергии в энергию направленного движения, что характерно для явления расширения газа в вакуум. Так как тепловая энергия в этом процессе непрерывно затрачивается, для стационарности движения необходимо, чтобы потери тепловой энергии чем-то компенсировались.

Квазистационарное течение, называемое солнечным ветром, представляет собой расширение горячего газа, составляющего солнечную корону, в межпланетное пространство. Корона нагревается за счет механической энергии, поступающей из конвективной зоны. Этой энергией компенсируются потери энергии короной на излучение и образование солнечного ветра. Таким образом, начальным источником энергии, обеспечивающим солнечный ветер, является механическое движение газа в конвективной зоне

Теории солнечного ветра и результатам наблюдении вызываемых им эффектов посвящено огромное количество статей, обзоров и книг. Нет возможности осветить здесь, хотя бы кратко, соответствующие проблемы. Подробный обзор их можно найти в книге Брандта (1973), снабженной обширной библиографией. Детальное описание ранних теорий солнечного ветра дано в книге Паркера (1965).

Действительная картина солнечного ветра гораздо сложнее, чем стационарное радиальное движение, описываемое уравнением (5.158). На движение газа влияют в сильной степени вращение Солнца, присутствие магнитных полей, вязкость газа, неоднородность солнечной короны и другие обстоятельства. Поэтому развитие теории солнечного ветра продолжается.

В плазме короны и солнечного ветра проводимость очень велика и, следовательно, магнитные силовые линии движутся вместе с газом. Движение солнечного ветра с вмороженным магнитным полем было впервые детально исследовано Вебером и Девисом (1967). Вращение Солнца приводит к искривлению потоков и соответственно искривлению силовых линий. В результате наличия азимутальной компоненты скорости движения и азимутальной компоненты магнитного поля происходит перенос момента количества движения через посредство магнитных напряжений. Поэтому на Солнце со стороны вещества действует вращательный момент. За время, сравнимое с возрастом Солнца, солнечный ветер в состоянии существенно уменьшить скорость вращения Солнца.

Важную роль в динамике солнечного ветра играют различного вида неустойчивости, например неустойчивость Кельвина — Гельмгольца, возникающая при движении корональных потоков (см. гл. 3).

Стационарного истечения газа из звезд, т. е. существования звездного ветра, следует ожидать во всех случаях, когда у звезды имеется конвективная зона и соответственно горячая корона. Однако мощное стационарное истечение газа происходит также из горячих звезд типа Вольфа — Райе, у которых нет оснований предполагать наличие внешних конвективных зон. Причиной истечения в этих случаях считают действие светового давления. Светимость звезд типа WR очень велика, и соответственно сила лучевого давления в поверхностных слоях может превышать силу тяготения (подробнее см. В. Г. Горбац- кий, И. Н. Минин (1963)).

Влияние давления излучения на динамику газа во внешних слоях звезд типа WR подробно рассматривалось в работах И. Ф, Малова (1972, 1974). Уравнения, определяющие сферически-симметричное радиальное и стационарное течение, записываются в таком виде:

-^(« = 0,(5.160)

Ру^ + ^ + Р^ = ^’(5Л61>

Zj^ 5 2^_С^у]д(5162)

г2 dr [ г 2 1 2 7/гНе г

где тн.е — масса атома гелия. Величины Ар и Ад учитывают поступление в газ количества движения и энергии соответственно. Если ускорение газа обусловлено действием излучения на свободные электроны, то

Ар = 4^' ’ ^Е = и&р.(5.163)

Величина L* означает светимость звезды, а От — коэффициент рассеяния на свободных электронах. Численное решение задачи показало, что давление излучения на свободные электроны может при SR* = 15 SR©, Д* = 57?© и £* = 6-1038 эрг-сек”1 обеспечить потерю массы звездой порядка 10"5 — 10-8 ^^(год со скоростью истечения около 1000 км/сек. Такое значение скорости достигается на расстоянии, равном нескольким радиусам звезды. При этом на ускорение затрачивается 4—7% общего импульса излучения, равного L^/c. Переход через скорость звука, по-ви- Димому, происходит на больших оптических глубинах.

В звездах типа WR селективное давление излучения (в частотах спектральных линий) не может обеспечить наблюдаемой потери массы. Оно может быть существенным для горячих сверхгигантов классов О и В, из которых также наблюдается истечение вещества с мощностью 10~6—10""7 SR^feod (Мортон (1967, 1969)). Однако и в этих случаях одного давления в частотах линий недостаточно, чтобы объяснить наблюдения.

Таким образом, механизм образования звездного ветра у горячих сверхгигантов отличается от того, с помощью которого образуется звездный ветер звезд типа Солнца и более поздних спектральных классов.

В этой, а также в предыдущей главе рассматривалось взаимодействие оболочки звезды (новой или сверхновой) с межзвездной средой. Если из звезды происходит истечение вещества, то при нахождении закона движения оболочки нужно учитывать возрастание ее количества движения вследствие действия звездного ветра и одновременного захвата межзвездной среды. И. Н. Минин (1955, 1960) рассматривал движение оболочки с помощью уравнения

—^ = ^И (Уи — V),(5.164)

где

t

ЭДоб = ^о + 4 ОД (^3 — ^о) + й ^ (уи — у) At, (5.165) о

аи^ — мощность истечения (количество газа, теряемого звездой за единицу времени), считаемая постоянной, р0 — плотность межзвездной среды. Закон движения оболочки получается в неявном виде:

^'-^fe^+ir^-^+t- <5Л66>

где Я — функция, выражение для которой из-за его громоздкости здесь не приводится. На том этапе, когда масса оболочки существенно превосходит 9№0, закон движения представляется формулой

г = 2vt,(5.167)

§ 5]

существенно отличающейся от выражения, получаемого без учета звездного ветра.

Аналогичная задача об учете взаимодействия оболочки со звездным ветром и межзвездной средой решалась численными методами Э. Р. Мустелем (1958, 1959). Газодинамические эффекты при этом, так же как и в работе И. Н. Минина, не учитывались.

Исследование взаимодействия звездного ветра с межзвездной средой на основе газодинамических уравнений стационарного движения было проведено С. Б. Пикель- нером и П. В. Щегловым (1968). Звездный ветер образует оболочку, движущуюся от звезды. Она должна состоять из двух слоев. Внутренний слой образован ударной волной, возникающей в газе звездного ветра при столкновении его с более плотной оболочкой. Так как охлаждение в этом слое незначительно, его температура остается в течение времени около 108 лет высокой, порядка 107 °К. В тонком внешнем слое оболочки начальная температура у фронта волны близка к 105 °К и скорость газа составляет 50—70 км!сек. Газ в этой области должен быстро высвечиваться и уплотняться, излучая в линиях [О III], [О II], [N II] и др. Излучение внутренней адиабатической области в основном соответствует рентгеновскому диапазону.

Расчет физических условий в плазме звездного ветра, образуемого звездой типа WR, и в сжатом ветром слое межзвездного газа производился В. С. Аведисовой (1971). Для области адиабатического течения применялось автомодельное решение Л. И. Седова (1945), а для быстро охлаждающегося газа — автомодельное решение, соответствующее нулевому градиенту давления за фронтом (В. Г. Горбацкий (1962а)).

Действие звездного ветра сказывается не только в особенностях излучения нагретых им областей и в создании необходимых высоких скоростей движения в туманностях. По-видимому, наблюдаемая сложная структура туманностей в ряде случаев обусловлена взаимодействием звездного ветра с неоднородностями, имеющимися в диффузных туманностях. Существенную роль может играть при этом неустойчивость Рэлея — Тейлора (В. С. Аве- дисова (1974)). Обзор проблем, связанных с наблюдаемыми проявлениями действия звездного ветра в туманностях, содержится в статье С. Б. Пикельнера (1973).

Часть энергии звездного ветра преобразуется, в конечном счете, в кинетическую энергию межзвездной среды. По имеющимся данным энергия звездного ветра от звезд ранних классов составляет около одного процента их светимости. Поэтому он не влияет существенно на размеры областей ионизованного водорода, но в небольших объемах туманностей (порядка 1 тгс3) может оказывать существенное влияние на динамику газа. С действием звездного ветра связываются, в частности, наблюдаемые движения газа в центральной области комплекса туманностей NGC 2237—2246, называемого «Розеткой» (М.Смит (1973)).

Глава 6

ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХИ В ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ СИСТЕМАХ

Исследование течений газа во вращающихся системах связано с большими математическими трудностями и не всегда может быть выполнено даже численными методами. Для вращающихся звезд сложности усугубляются недостаточностью наших знаний о физических процессах, происходящих в их недрах, например, о конвекции, о механизмах обмена угловым моментом и других. Поэтому, несмотря на большое число работ, в которых обсуждаются различные вопросы, связанные с вращением звезд, состояние проблемы далеко не удовлетворительное. Современные представления о влиянии вращения на движения газа в осесимметричных звездных конфигурациях кратко излагаются в первом параграфе этой главы.

Уже долгое время одной из актуальных задач астрофизики является выяснение механизма истечения газа из протяженных оболочек быстро вращающихся звезд класса Be. Этот вопрос обсуждается во втором параграфе.

Особенно трудно изучать движения газа в компонентах тесных двойных систем, так как в этих случаях приходится решать трехмерные газодинамические задачи. Тем не менее в отдельных вопросах, в частности, в вопросе о формировании газовых потоков в тесных двойных системах, достигнуты некоторые успехи и удалось выяснить важные обстоятельства, связанные с действием динамических приливов. О работах в этом направлении говорится в параграфе третьем. Четвертый параграф посвящен динамике газовых потоков и дискообразных оболочек звезд, которые в значительной степени определяют наблюдаемые свойства тесных двойных систем звезд-карликов.

Помимо приливной неустойчивости важную роль в физическом состоянии тех компонентов тесных двойных систем, которые обладают конвективными зонами, играет нестационарность конвекции, вызываемая периодическими изменениями поля тяготения. Нестационарная конвекция и обусловленная ею вспышечная активность в тесных двойных системах рассмотрены в последнем параграфе.

Влияние вращения на состояние звезды

Как известно, вращение звезды приводит к изменению профилей линий поглощения в ее спектре, при условии, что ось вращения не совпадает с лучом зрения. Многочисленные наблюдения, результаты которых суммированы в работах Хуана и Струве (1963), Штриттматтера (1969), Бернакка и Перинотто (1970, 1971) и ряде других, показывают, что скорости вращения на экваторе у звезд ранних классов (В и А) высоки — доходят до 300—400 км/сек. Вращение звезд поздних классов (G, К), по-видимому, настолько медленное, что не сказывается заметным образом на профилях спектральных линий (за редкими исключениями). Тем не менее, поскольку Солнце вращается (с линейной скоростью на экваторе около 2 км/сек), надо полагать, что вращаются и другие звезды того же типа. Даже очень медленное вращение Солнца существенным образом сказывается на процессах, происходящих в его внешних слоях. В частности, с его вращением связывается образование магнитных полей (см. гл. 3, § 2), которые играют определяющую роль в явлениях солнечной активности. Более быстрое вращение меняет структуру всей звезды.

Если не касаться проблем эволюции, то вращение одиночной звезды можно считать стационарным, так как ее момент инерции настолько велик, что действие любых тормозящих вращение факторов сказывается лишь через очень большой, по сравнению с периодом вращения, промежуток времени. Поэтому уравнение гидростатического равновесия звезды без учета магнитного поля записывается в виде

-^-Vq^+Q^-O,-^-Vq^+Q^-O,(6Л)(6Л)

-^-Vq^+Q^-O,

-^-Vq^+Q^-O,

(6Л)

(6Л)

где S2Bp — угловая скорость вращения и г — расстояние данной точки от оси вращения. Потенциал тяготения (pg определяется уравнением Пуассона

V2q)g = 4nGp.(6.2)

Для того чтобы выяснить причины одной из важнейших особенностей вращающихся звезд,— наличия циркуляционных течений,— будем считать вращение твердотельным, т. е. принимаем йВр = const. Тогда, вводя потенциал центробежных сил

<Рс = -4-й1р^(6.3)

и обобщенный потенциал

Ф< = Фй + фс,(6.4)

записываем (6.1) в виде

_^=Vq>(.(6.5)

Так как градиент давления совпадает по направлению с градиентом обобщенного потенциала, то поверхности

р = const и ср( = const(6<6)

совпадают. Поэтому величина р может рассматриваться как функция только от q^. Из (6.5) тогда следует, что р также зависит лишь от cpf, а учитывая уравнение состояния газа, то же самое можно сказать и о температуре. Таким образом,.

Р = Р (ф<), Р = Р (Ф<), Т = Т (cpt). (6.7) Источники тепловой энергии звезды расположены в ее центральной части. В той области, где источников энергии нет, поток энергии излучения равен

Гизп = -^-^Т.(6.8)

Так как х = / (р, Г), то с учетом (6.7) х = х (cpt) и поэтому в выражении потока, записанном в форме

Риэл =--3-^-5^ v<p„(6.9)

коэффициент при V(pt зависит лишь от cpf. Таким образом, поток на поверхности cpf = const пропорционален градиенту обобщенного потенциала. У вращающейся звезды указанные поверхности не являются сферами, поэтому поток излучения должен быть неодинаковым в разных точках эквипотенциальной поверхности. Из этого факта следует, как нетрудно показать, что

№зл)^о. (6.Ю)

В одних областях звезды дивергенция потока излучения положительна, в других отрицательна. Оказывается, что в звезде условия гидростатического и теплового равновесия одновременно не выполняются. В результате градиент температуры в звезде изменяется так, что на эквипотенциальных поверхностях создаются области повышенной и соответственно пониженной температуры. Более холодные области опускаются, а горячие поднимаются. Так как рассматриваемая область звезды предполагается находящейся в лучистом равновесии и, следовательно, устойчива относительно конвекции, то движущийся газ имеет ту же температуру, что и окружающая среда. Течения в однородно вращающейся звезде происходят в Меридиональных плоскостях и образуют замкнутые циркуляционные токи. Необходимость циркуляции во вращающейся звезде была установлена в 1929 г. Эддингтоном.

Скорость циркуляционного движения оценивается с помощью уравнения сохранения энергии, записываемого в виде

(

т \

«71ц—-) = р8В — (7РИЗЛ), (6.11)

где гв — производительность источников энергии на единицу массы, и условия равенства нулю потока вещества через эквипотенциальную поверхность в целом:

й, р№) (’WiK’' (V-^)й, р№) (’WiK’' (V-^)(6-12)(6-12)

й, р№) (’WiK’' (V-^)

й, р№) (’WiK’' (V-^)

(6-12)

(6-12)

Выражение (7РИЗЛ) находится из (6.8).

Возникновение циркуляции можно рассматривать с более общей точки зрения как следствие возмущения равновесного состояния звезды. При наличии возмущения,

записываемого в виде Хр/, где % — малый параметр, уравнение гидростатического равновесия принимает вид

— Vp = р (1 + V) V<pf.— Vp = р (1 + V) V<pf.(6.13)(6.13)

— Vp = р (1 + V) V<pf.

— Vp = р (1 + V) V<pf.

(6.13)

(6.13)

Исходя из такого представления, Свит (1950) развил метод расчета скорости циркуляции путем последовательных приближений. При этом нет надобности предполагать наличие потенциала срс и ограничиваться случаем однородного вращения звезды. За параметр %, определяющий величину возмущения для эддингтоновской циркуляции, можно принять величину % (формула 2.70):

(6.14)

Так как при % <^ 1 величина дивергенции потока излучения, обусловленная возмущением, порядка

(6.15)(6.15)

(6.15)

(6.15)

где LT и SRr — значения светимости и массы, относящиеся К уровню Г, ТО ДЛЯ скорости циркуляции Уцирк из (6.11) получается оценочное выражение

(6.16)(6.16)

(6.16)

(6.16)

Здесь g — ускорение силы тяжести на уровне г.

В случае достаточно медленного однородного вращения радиальная компонента скорости циркуляции определяется формулой (Шварцшильд (i960)), верной до малых первого порядка по %:

где V71 и 7адТ определяются по (3.131) и (5.4), а

^(cos й) ■= ^ cos 2-й + ~;$ •= arcsin у.(6.18)

Составляющая скорости циркуляции в горизонтальном направлении ^ЦИрк равна

^а цирк =^а (рг2 ^т sin # й4\.(6.19)

цирк prsinv dr \г J г] х ’

о

При условии неоднородного вращения, когда S2Bp = = QBp (г), в знаменателе формулы (6.17) вместо величины средней плотности р должна стоять величина р(г). (Бекер, Киппенхан (1959)). Это обстоятельство вызывает значительное возрастание скорости циркуляционных движений во внешних областях звезды.

Наблюдаемая скорость вращения Солнца QBp = = 3 • 10~6 сек-1 и, соответственно, скорость циркуляционных потоков в его центральных областях около 10-9 см!сек. В случае же быстро вращающихся звезд ранних спектральных классов величина циркуляционной скорости должна быть на много порядков больше и во внешних слоях может достигать нескольких км!сек. В качестве фактора, ограничивающего скорость циркуляционных движений во внешних областях звезды, предполагается вязкость газа. Согласно Смиту (1970) скорости циркуляции в поверхностной области быстро вращающейся звезды настолько велики, что движение является турбулентным в слое, толщина которого в несколько раз больше шкалы высот. Поэтому во внешних слоях скорость ограничивается турбулентной вязкостью.

В случае однородного вращения циркуляционные потоки в глубоких областях являются восходящими у полюсов и нисходящими у экватора. Текущий газ переносит угловой момент и таким образом циркуляция влияет на скорость вращения звезды. Следовательно, при исследовании циркуляции в быстро вращающейся звезде необходимо решать самосогласованную задачу, т. е. считать закон вращения зависящим от циркуляционных токов. При этом нужно учитывать и другие факторы, существенные для обмена моментом количества движения между различными слоями вращающейся звезды.

Помимо меридиональной циркуляции перенос углового момента может осуществляться вследствие турбулентной вязкости и присутствия магнитных полей. Принято считать, что действие турбулентной вязкости приводит

к однородному вращению звезды. Однако это произойдет только в том случае, когда турбулентность изотропна, а во вращающейся звезде анизотропия турбулентности может привести к стационарному состоянию неоднородного вращения. Расчет действия анизотропной турбулентной вязкости в конвективных областях звезды при современном состоянии теории осуществить нельзя. Влияние магнитных полей на вращение однозначно установить также не удается. По-видимому, сейчас нет достаточных оснований утверждать, что вращение звезд должно быть обязательно твердотельным или близким к однородному. Наблюдения Солнца ясно показывают, что, по крайней мере во внешних слоях его, вращение дифференциальное.

Характер вращения внутренних слоев звезд из наблюдений определить нельзя, пока не разработана достаточно полная теория вращения, позволяющая делать однозначные выводы относительно взаимосвязи движений в недрах с поверхностными движениями. Поэтому в ряде работ сделаны попытки устанавливать возможные законы вращения. Как показано Голдрейчем и Шубертом (1967) методом малых возмущений, дифференциальное вращение в осесимметричной конфигурации будет устойчивым только в том случае, когда удельный угловой момент является возрастающей функцией расстояния от оси вращения. Условия устойчивости записываются в виде

^>0, ^-0 (6.20)

(ось Oz совпадает с осью вращения). Эти условия имеют место, если отношение коэффициента лучистой температуропроводности %изл к коэффициенту v молекулярной вязкости Хизл/v ^> 1. Неустойчивость в данном случае обусловлена более быстрым обменом элементов газа, смещаемых в результате возмущения, энергией, чем угловым моментом. Поэтому смещенный элемент (предполагавшийся при исследовании кольцеобразным) будет восстанавливаться в первоначальное положение центробежной силой только при первом условии (6.20). Силы газового давления к такому восстановлению не приводят. Здесь существует андлорид с устойчивостью так цазмаемого

течения Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (см. А. С. Монин и А. М. Яглом (1966)).

Факт неустойчивости оказывается существенным для аакона вращения звезды лишь в том случае, когда время развития неустойчивости не очень велико. Согласно выводам, сделанным в работе Клемента (1972), указанная Голдрейчем и Шубертом неустойчивость не является достаточно эффективным средством перераспределения углового момента в звезде, за исключением тех случаев, когда локальное время циркуляции мало.

Второе из условий (6.20) означает, что в устойчивом состоянии угловая скорость вращения должна быть постоянной на цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью вращения. Вместе с тем, как показал Роксбург (1966b), в звезде, состоящей из невязкого газа, условие лучистого равновесия несовместимо с предположением о том, что угловая скорость есть функция только расстояния от оси вращения г. По его мнению, такая несовместимость должна приводить к движениям циркуляционного характера, вообще говоря, отличным от рассмотренной выше эддингтоновской циркуляции. Поскольку при выводе условий (6.20) циркуляция не учитывалась, результаты двух указанных работ нельзя считать взаимно противоречивыми, но они отчетливо демонстрируют ограниченность рассмотренных моделей.

Рядом других авторов также изучалась устойчивость вращения в областях лучистого равновесия (см., например, Фрике (1971)). Обзор результатов этих исследований содержится в статье Фрике и Киппенхана (1972). Для различных моделей были установлены условия устойчивости, но класс возможных устойчивых движений остается все же весьма широким, поскольку ни в одной из моделей не учтены все существенные обстоятельства, ввязанные с вращением. Например, В. В. Порфирьевым (1962) было показано, что твердотельное вращение звезды устойчиво по отношению к малым возмущениям закона вращения, если звезду считать однородной. В какой мере этот вывод применим к неоднородным конфигурациям, остается не ясным. В работе Роксбурга (1974) изучен класс моделей с неоднородным стационарным вращением и меридиональной циркуляцией, hq вязкость? при э.том де учцтывддась, '

В главе 2 уже отмечалось, что неоднородность химического состава звезды может сильно сказаться на устойчивости ее вращения. Стратификация молекулярного веса р, в ядре звезды, где он возрастает с глубиной, оказывает стабилизирующее действие на звезду (Голдрейч и Шуберт (1967)).

Как известно, при наличии внутри звезды поверхности разрыва молекулярного веса вещество, находящееся по разные стороны от этой поверхности, не перемешивается. Поэтому циркуляционные токи у той поверхности, где р, меняется скачком, отклоняются и скорость циркуляции при этом сильно возрастает. При возмущениях этой поверхности меняется и характер циркуляции вблизи нее. Взаимодействие меридиональной циркуляции с полем р, в звезде играет существенную роль в перемешивании вещества, которое в значительной степени должно определять эволюцию звезды. По существующим взглядам, перемешивания в одиночных звёздах не происходит даже при высокой скорости вращения, так как изменения химического состава, вызываемые циркуляцией, должны вызывать явления, замедляющие циркуляцию и тем самым компенсироваться • (Шварцшильд (I960)). Тем не менее на сегодняшний день проблему перемешивания нельзя еще считать окончательно решенной (подробнее см. Местел (1970)).

Достаточно сильное магнитное поле внутри звезды может радикальным образом влиять на ее вращение. Наблюдательные данные, позволяющие прёдполагать присутствие в недрах большинства звезд крупномасштабных. магнитных полей, очень скудные, однако мнение о том, что такие поля имеются, широко распространено. Основанием для этого мнения служит существование поля у Земли, Солнца и сравнительно редкого класса магнитных звезд, а также то обстоятельство, что межзвездная среда, из которой образуются, по современным воззрениям, звезды, содержит вмороженное магнитное поле. Поле должно усиливаться по мере сжатия газа, что и послужило исходным пунктом для гипотезы о реликтовой природе звездных полей (Пиддингтон (1973)). Однако, по крайней мере в случае Земли, гипотеза о первоначальном поле непригодна. Характер изменений солнечного поля также трудно согласовать с ней.

При наличии конвективных движений в звезде, вследствие дифференциального вращения, за счет полоидаль- ного поля должно усиливаться тороидальное поле. Изменение напряженности поля со временем описывается уравнениями (Паркер (1970а, Ь,. с)), следующими из (1.87):

[j— (в-21)

IF - v« (V2 - ^)] МФ = №}ф. (6.22) Здесь Нт — радиальная составляющая (полоидальное поле) и Яф — азимутальная составляющая (тороидальное поле), Лф — азимутальный вектор-потенциал, еф — единичный вектор в азимутальном направлении. Физический смысл уравнения (6.21) заключается в том, что оно указывает, как неоднородное вращение приводит к образованию «петель» магнитных силовых линий. Полоидальное поле должно восстанавливаться. Механизм восстановления заключается во взаимодействии поднимающихся конвективных токов с тороидальным полем (уравнение (6.22)). Кориолисовы силы вращают поднимающийся газ вместе с магнитными силовыми линиями так, что образуется петля, которая поворачивается вследствие вращения звезды. Таким путем образуется новая силовая линия (рис. 17). Расчет показывает, что у основания конвективной ячейки вращение происходит быстрее, поэтому поле и усиливается. Слияние петель способно дать достаточно сильное полоидальное поле, которое все же не может превзойти тороидальное. При использовании уравнений (6.21) и (6.22) нужно учитывать турбулентный характер конвективных движений. Источником энергии магнитного поля в рассматриваемой модели является конвекция. Аналогичным образом конвективными движениями во вращающемся ядре Земли объясняется возникновение у нее магнитного поля (С. И. Брагинский (1964)).

В применении к звездам указанный механизм генерации поля не разработан в количественном отношении и неизвестно, какова напряженность получаемого таким путем поля. Имеются существенные трудности в расчетах, обусловленные необходимостью учитывать топологическую диссипацию поля. Тем более не приходится пока

говорить о полном решении самосогласованной задачи, в которой бы учитывалось и обратное влияние поля на вращение звезды и на конвекцию в ней. Некоторое развитие теории генерации магнитных полей во внешних областях Солнца конвективными движениями при учете дифференциального вращения получено в работах Ю. Б. Пономаренко (1969 а, б).

Влияние тороидальных полей на равновесие вращающейся конфигурации рассмотрено Р. С. Оганесяном и

Рис. 17. Схема усиления магнитного поля во вращающейся звезде. М. Г. Абрамяном (1973). Сильное поле должно оказывать стабилизирующее действие, делая возможным, в частности, твердотельное вращение. Однако при подобных расчетах необходимо учитывать эффекты, связанные с диффузией поля, поскольку проводимость газа в звездах хотя и мала, но конечна, а время развития неустойчивости велико.

Вращение существенно меняет характер конвективных течений. Меридиональная эддингтоновская циркуляция в конвективной зоне отсутствует, но возникает особый вид циркуляции, связанный с анизотропией турбулентных движений в поле тяготения (Бирман (1951)). Турбулентное трение приводит к созданию в конвективной зоне дифференциального вращения, несовместимого с равновесным состоянием. В результате должны возникать крупномасштабные движения в меридиональных плоскостях. Энергия этих течений черпается из энергии вращательного движения. Направление токов может при одних условиях быть таким же, как и в случае эддингтоновской циркуляции — вещество поднимается на полюсах и опускается на экваторе, а в других — противоположным.

Характер движения определяется свойствами турбулентности.

Взаимодействие конвекции, вращения и меридиональной циркуляции исследовалось приближенно численными методами Дарни (1971) при частичном учете нелинейных эффектов. В результате такого взаимодействия вращение становится дифференциальным и возникает отличие температуры в полярных областях от температуры на экваторе. Анизотропия конвекции во вращающемся конвективном ядре звезды (внутренней конвективной зоне) согласно Тейлеру (1973) также вызывает усиление меридиональной циркуляции и перемешивания. Таким образом, факт взаимосвязи конвекции и вращения звезды как указанными, так и другими исследованиями выявлен отчетливо. Достаточно полная картина явлений может быть получена только при помощи точной теории конвекции, которой пока нет.

Проблема переноса момента количества движения в ходе эволюции вращающейся звезды и, в частности, вопрос о механизме, обеспечивающем потерю избыточного момента у сжимающейся протозвезды, рассматривалась во многих работах (см. Фрике и Киппенхан (1972)). Поскольку задача о переносе момента в полном виде не решена, при расчетах эволюции вращающихся звезд делается одно из двух предположений: а) удельный угловой момент сохраняется всюду; б) удельный угловой момент сохраняется в слоях с устойчивой стратификацией молекулярного веса; в остальных областях вращение твердотельное. Результаты расчетов Боденхеймера и Острайкера (1970) показывают, что при определенных условиях основная доля вращательного момента сжимающейся протозвезды может оставаться внутри нее и поэтому центральные области звезд должны вращаться значительно быстрее, чем наружные. Присутствие быстро вращающегося ядра у Солнца было независимо предположено Дикке (1970) на основе наблюдений формы солнечного диска. Одна из наиболее интересных работ в этом направлении выполнена Киппенханом и др. (1970). Расчеты эволюции массивной звезды (Ж* = 99Rq) продемонстрировали образование быстро вращающегося ядра на стадии выгорания гелия, причем вследствие, наличия «рь-барьера» вращательный момент не передается оболочке. При даль-

§ И

нейшем сжатии ядра скорость его может возрасти до предела ротационной неустойчивости, когда становится возможным деление ядра. Это должно полностью изменить ход эволюции звезды, которая в конечном счете превратится в новоподобную двойную систему (В. Г. Горбацкий (19756)).

Процессы, обусловленные существованием быстро вращающегося ядра звезды, очень сложны и детальный расчет их сейчас невозможен. На эволюцию такого ядра может повлиять магнитное поле. Расчеты Г. С. Виснова- того-Когана и др. (1975) показывают, что вследствие перехода энергии вращения в энергию поля и вызванного этим возрастания магнитного давления возможен срыв оболочки. С этим; связывается явление вспышек сверхновых. Однако, как уже неоднократно отмечалось, существующие представления о генерации поля в звезде недостаточны для развития точной теории подобных явлений.

Решение самосогласованной задачи о динамической эволюции вращающейся звезды до настоящего времени было получено только для белого карлика (Дарисен (1973, 1975)), для которого предполагалось, что угловой момент переносится изотропной вязкостью, меняющейся с плотностью по закону

lie ~ Р6/’, Л1 ~ Р’'% Л = Ле + ЛЬ (6.23) где индексы «е» и «1» соответствуют электронной и ионной вязкости соответственно. При расчете предполагалось также, что удельный угловой момент / является постоянным на цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью вращения,

^- = 0 и Х>0. (6.24)

Исследование равновесия конфигурации показало, что перенос момента меридиональной циркуляцией выражается величиной второго порядка малости относительно е = (QBp^B)-1, где tB —- временной масштаб изменения угловой скорости Йвр за счет вязкости. Поэтому в первом порядке влияние меридиональной циркуляции не учитывалось.

Уравнение, определяющее изменение удельного мо- Мецта с расстоянием, записывается в цилиндрических

координатах в следующем виде:

(6.25)(6.25)^/ _Ji r2 dn <* /М

(6.25)

(6.25)

dt р dr L r dr ' ф'3 p dr dr \ r /

Значения функций p0 (r, z) и /0 (r, z) определяются равновесной моделью звезды. Далее расчет проводится шаг за шагом.

Численное решение (6.25) совместно с уравнениями равновесия звезды при ®^ = 1,02 9Rq и полном моменте J* = 1,54» 1050 г-с^-сек"1 показало, что около половины общего начального момента количества движения передается сильно уплощенному поверхностному слою (диску), содержащему всего около 2% общей массы звезды. Движения в диске круговые кеплеровские. Вращение ядра, включающего 98% массы, приближается к твердотельному. Скорость диссипации энергии вследствие вязкости Ё^ определяется выражением:

(6.26)(время(6.27) проис-(6.26)(время(6.27) проис-Ё^- - \ (-^-)r8Tid7.

(6.26)

(время

(6.27) проис-

(6.26)

(время

(6.27) проис-

(V*)

Из расчета следует, что время эволюции звезды диссипации вращательной энергии)

составляет около 7-109 лет. Диссипация энергии ходит преимущественно во внешних слоях.

В связи с указанным теоретическим выводом об образовании у белых карликов дискообразных вращающихся оболочек можно напомнить о наблюдательных данных, указывающих на присутствие таких оболочек у белых карликов, не входящих, по-видимому, в состав тесных двойных систем (Куто (1957), Гринстейп (1963)).

В рассмотренном случае передача углового момента и образование дискообразной оболочки обусловлены действием молекулярной вязкости. В оболочках быстро вращающихся звезд типа Be перенос углового момента происходит, по-видимому, при посредстве магнитного поля. Движение газа в таких оболочках рассматривается р следующем параграфе. *

Динамика оболочек звезд типа Be

Присутствие оболочки у звезды типа Be приводит к появлению в наблюдаемом спектре эмиссионных линий бальмеровской серии водорода и эмиссии в бальмеровском континууме. Эти особенности спектра возникают из-за происходящих в оболочке рекомбинаций атомов водорода и при свободно-свободных переходах. Излучение оболочки в линиях и в непрерывном спектре обеспечивается за счет переработки излучения звезды за пределом лаймановской (а частично и бальмеровской) серии водорода.

Оптическая толщина оболочки звезды типа Be мала в видимой области непрерывного спектра. Вместе с тем, оболочка оказывается оптически толстой в линиях бальмеровской серии. Поэтому расчет излучения оболочки в континууме сравнительно прост, тогда как вычисление профилей и интенсивностей спектральных линий представляет довольно сложную задачу. Расчет линейчатого спектра оболочки выполняется на основе теории движущихся оболочек звезд, разработанной В. В. Соболевым (1947). Вычисления, проделанные им самим и впоследствии другими авторами (см. В. Г. Горбацкий, И. Н. Минин (1963)), дали возможность определить физические условия в оболочках звезд типа Be и установить, в общих чертах, характер движений в них.

Средние характеристики оболочек звезд типа Be достаточно уверенно определяются путем анализа линейчатого и непрерывного спектров этих звезд. Плотность газа в оболочках порядка 10“12 г-слГ3, а температура составляет около 104 °К.

Линии в спектрах звезд типа Be очень широки. Расширение линий вызвано быстрым вращением, скорость которого в экваториальной плоскости достигает 300— 400 км/сек. Вместе с тем, газ движется от поверхности звезды и в радиальном направлении, но со значительно меньшей скоростью — 10—30 км/сек.

Оболочки звезд типа Be являются протяженными. Это означает, что плотность вещества в них убывает с расстоянием от звезды медленно. Распределение плотности можно аппроксимировать зависимостью вида

, (6.28)

где к ^ 2. Вещество поступает в оболочку из звезды, но этот процесс является нерегулярным. Переменность оболочек за характерное время 5-107 сек показывает, что потеря вещества звездой типа Be не может быть связана только с ротационной неустойчивостью звезды. Причины выбрасывания газа из звезд пока остаются не выясненными. Однако вращение звезды должно способствовать преимущественному выбросу из областей, расположенных вблизи экватора. Поэтому в качестве модели оболочки звезды типа Be часто принимают уплощенный слой, толщина которого порядка диаметра звезды. Эффективный уровень образования эмиссионных линий по данным наблюдений соответствует расстоянию 27?* -г* 51?* от поверхности. Излучение в непрерывном спектре исходит из более глубоких слоев.

Из приведенных выше данных следует, что плотность тепловой энергии в оболочке порядка 1 эрг-см-3, тогда как плотность механической энергии на три порядка выше. Поэтому градиент газового давления не должен играть практически никакой роли в динамике оболочки.

Выбрасывание вещества из звезды типа Be происходит со скоростью гораздо меньшей, чем параболическая. Выброшенный газ в конечном счете уходит от звезды. Время, за которое данный элемент газа существенно удаляется от поверхности звезды, гораздо больше периода обращения элемента, так как азимутальная скорость v^ намного превосходит радиальную vT. Поэтому основная проблема динамики оболочек звезд типа Be состоит в том, чтобы выяснить, какие силы не только «поддерживают» газ против действия тяготения, но одновременно совершают работу против тяготения и обеспечивают квазиста- ционарную потерю газа звездой.

Простые оценки показывают (см. Лимбер, Мальборо (1968)^, что ни газовое давление, ни давление излучения не могут поддерживать оболочку звезды типа Be в квази- стационарном состоянии. Поэтому остается единственная возможность — поддержание и расширение оболочки объясняется действием центробежной силы.

При условии приближенного равенства центробежного ускорения гравитационному

£^г^^, (6.29)

где ЙВр — угловая скорость, движение Является приближенно круговым кеплеровским. Удельный момент количества движения

7 =(6.30)

при этом возрастает с г. Так как в наружных областях оболочки нет источников вещества и момента, то возрастание может происходить только за счет момента вращения самой звезды. Передача момента возможна посредством вязких напряжений, в частности, турбулентной вязкостью. G другой стороны, угловой момент звезды может передаваться оболочке при наличии достаточно сильного магнитного поля, связанного с вращающейся звездой.

Вязкие напряжения производят перенос углового момента в соответствии с уравнением (6.25). Подробно это уравнение и процесс переноса момента во вращающейся турбулентной среде обсуждается в § 4. Турбулентная вязкость может играть существенную роль в динамике оболочек звезд типа Be, но по ряду соображений (см. Лимбер, Мальборо (1968)) -перенос момента магнитным полем в данном случае представляется более важным. К вопросу о роли турбулентной вязкости мы вернемся ниже, а сейчас рассмотрим процесс передачи момента количества движения магнитным полем от звезды в окружающую ее оболочку. Соответствующая задача решалась Местелом (1968), рассмотревшим стационарное течение газа из изотермической короны вращающейся звезды с дипольным магнитным полем. В цилиндрической системе координат имеет место уравнение

*2* ир + ~2~ ^врг2 + сиз ln Р — aiQBpr2 = А, (6.31) где

a1 = QBp-^^,(6.32)

т — расстояние точки от оси вращения, vp и Нр — величины полоидальной составляющей скорости и напряженности магнитного поля соответственно:

рр=(^ + ^)*/2, Нр = ^А-Н^'\(6.33)

Через Яф обозначена величина тороидальной составляющей, а Сиз — изотермическая скорость звука. Уравнение (6.31) является обобщением интеграла Бернулли для изотермической вращающейся системы с магнитным полем. Членом a1QBpr2 учитывается работа, совершаемая над газом при передаче ему посредством поля углового момента. Величина А постоянна вдоль линий тока. Соотношение (6.32) является одним из интегралов уравнений магнитной газодинамики. Имеется и другой интеграл вида

-t + p^V = -^> (6-34)

описывающий передачу углового момента от поля газу. Величины ах и а2 остаются постоянными вдоль линий поля.

(6.35)(6.35)Из (6.32) и (6.34) с учетом соотношения, получающегося из уравнения неразрывности,

(6.35)

(6.35)

р<=а»’

где а3 также не меняется вдоль силовой линии, можно найти следующие выражения йВр и Яф:

а2а3О _ рг24ла21--Ра2а3О _ рг24ла21--Р«2-у + 4ла1о3гФ4ла?«2-у + 4ла1о3гФ4ла?(6.36)(6.36)

а2а3

О _ рг2

4ла2

1--

Р

а2а3

О _ рг2

4ла2

1--

Р

«2

-у + 4ла1о3г

Ф4ла?

«2

-у + 4ла1о3г

Ф4ла?

(6.36)

(6.36)

Знаменатель этих дробей может быть записан в виде 1 —^, где а — альвеновская скорость в данной точке. Отсюда следует, что при достаточно быстром убывании плотности от звезды на каждой силовой линии должна существовать некоторая критическая точка С, в которой значение vp совпадает с а, т. е. выполняется соотношение

р(гс) = 4лс&(6.37)

Числители в формулах (6.36) при этом также должны- обращаться в нуль.

Используя систему (6.31) — (6.37), Местел показал, что передача крутящего момента сильным магнитным полем, жестко связанным со звездой, на достаточно малых

расстояниях от звезды настолько эффективна, что движение газа там приближается к твердотельному. На расстояниях же, больших, чем до точки С, угловой момент сохраняется.

Звездам типа Ве, по-видимому, лучше соответствует модель, в которой предполагается, что истекающий газ образует цилиндрический слой, толщина которого мала по сравнению с радиусом. В таком случае можно заменить г расстоянием от центра звезды г и считать, что и- = vr ^>

ЭН ^v^H- = НТ^>НХ. Если принять также, что -^- = 0, то для радиальной компоненты поля Нт получается выражение:

нг = Н^ ^,(6.38)

где Н^ — напряженность поля на экваторе звезды. При этом в уравнениях (6.31) — (6.36), vp и Нр заменяются на vr и Нт соответственно, а величины aD а2, а3 и Л оказываются не зависящими от и.

Вопрос о происхождении радиальной компоненты Нт пока остается открытым, но при определенных условиях, например, при нестационарном истечении плазмы в экваториальной плоскости звезды с дипольным полем, как показано в работе В. Н. Морозова (1973а), может возникнуть поле вида (6.38). В этой работе на основе уравнений (6.31) — (6.36) при условии (6.38) было получено поле скоростей в экваториальной оболочке звезды типа Ве. Оно определяется выражениями

7,2 — I[ йвр + О

+ \н^ке)

1

v,, = (ni + 1) Q^r +(6.40)

где индексом (0) обозначено значение соответствующей величины на поверхности звезды, а m задается формулой

_ I Н^ | „(0)

Плотность газа определяется следующим соотношением:

(6.42)(6.42)Р=г—*

(6.42)

(6.42)

Расчет течения при значениях параметров v^\ v^Qt^ R*, соответствующих звездам Be (В. Н. Морозов (1973а)) показал, что на расстоянии нескольких радиусов от звезды газ приобретает скорость иГ1 превосходящую параболическую на этом уровне и, таким образом, происходит потеря газа из оболочки. Энергия, необходимая для преодоления поля тяготения, передается газу от звезды через посредство магнитного поля. Величина йврг2 при этом не является постоянной, так как в газе происходит перенос момента количества движения, получаемого от звезды. Очень важным обстоятельством, выяснившимся при вычислениях, является сравнительно малая величина напряженности поля на поверхности звезды (также задававшаяся в качестве параметра задачи), требующаяся, чтобы обеспечить передачу момента и энергии. Поля напряженностью порядка 300 гс достаточно, чтобы произошло достаточно быстрое ускорение вещества.

Поскольку движение газа вызывает изменение поля, то следует решать самосогласованную задачу о переносе момента количества движения при помощи полной системы уравнений магнитной газодинамики. В работе В. Н. Морозова (19736) исследовано взаимодействие поля угловой скорости в плоской оболочке с азимутальной составляющей магнитного поля при условии, что радиальная компонента поля определяется соотношением (6.38) и Hz = 0. Тогда для величин йвр и Н^ получаются следующие уравнения:

^=гНт^-. (6.44)

Если зависимость плотности от г имеет вид (6.28), то с учетом (6.38) из системы (6.43) и (6.44) получается уравнение

где

4 = ^-,t^^V^, £ = ^.(6.46)

Уравнение (6.45) решалось при следующих условиях:

t = 0, QBP = 9,^ — 0, г = R^ QBp = Qo,

Йвр>0, (6.47)

t. e. предполагалось, что в начальный момент оболочка не вращается и со стороны магнитного поля сила на нее не действует.

Решение уравнения (6.45), полученное при помощи преобразования Вебера, дало возможность найти характерное время tm передачи момента вращения от звезды в данную точку:

2-R

■(6.48)

Если считать, что tm соответствует наблюдаемому времени сброса оболочки (существенного изменения ее толщины), то из (6.48) можно получить оценку поля Н^. Оно составляет несколько десятков гаусс. Существование столь слабого поля вполне возможно, но обнаружить его у звезд класса Be при современных средствах наблюдения очень трудно. Таким образом, гипотеза о том, что именно магнитное поле обеспечивает передачу момента и энергии от быстро вращающейся звезды в ее оболочку не противоречит данным наблюдений.

Описанное выше решение задачи о стационарном течении газа в оболочке звезды типа Be в общих чертах совпадает с тем, которое было получено в работе Вебера и Девиса (1967) для солнечного ветра. Различия в моделях Солнца и звезды типа Be, обусловленные разницей в скорости вращения и тем, что оболочки звезд типа Be не похожи на корону Солнца, не позволяют сравнивать указанные работы в количественном плане. Уравнения, рассматривавшиеся Вебером и Девисом, были решены численно Лимбером (1974) при соответствующей модификации их, отражающей специфику звезд типа Be. Результату численного решения уравнений подтвердили

практически все выводы аналитического исследования. Значения напряженности поля Н^, при которых возможно стационарное истечение, лежат в пределах 10—100 гс, а полное поле Но — в пределах 100—1000 гс. Вычисления показали, что в интервале значений тс < г < 105Д* величина рф удовлетворяет соотношению •

рфг ж const, (6.49) что означает движение элемента газа при сохранении его углового момента. Таким образом, оболочка звезды типа Be может быть разбита на две области. Во внутренней (Д* < г < гс) области момент количества движения возрастает, а вне ее остается постоянным. При указанных выше значениях параметров, определяющих структуру оболочки звезды типа Be, величина гс ^ (2 ч- 10) R*.

Как в работе Лимбера, так и в исследованиях В. Н. Морозова указывается на возможность неустойчивости стационарного движения. Характер неустойчивости исследовать трудно вследствие сложности рассматриваемого течения. Возможно, что неустойчивость приводит к распаду оболочки на отдельные конденсации.

Неоднородность оболочек звезд типа Be отчетливо проявляется в наблюдениях, производимых с высоким разрешением по времени (Хатчингс и др. (1971)). Эти наблюдения показывают, что за время порядка 102 сек в профилях эмиссионных линий происходят значительные изменения. Устойчивый в течение месяцев характерный профиль линии с двумя компонентами получается лишь как усредненный по времени, если спектр фотографируется в течение десятков минут. Таким образом, оболочки реальных звезд типа Be оказываются состоящими, из отдельных газовых конденсаций, которые вращаются вокруг звезды со скоростями порядка 300 км/сек. Меняющееся доплеровское смещение для излучения различных, конденсаций и перемены в их возможном расположении приводят к наблюдаемым вариациям профилей спектральных линий.

Средний размер и число N конденсаций в оболочке звезды Be можно оценить следующим путем (В. Г. Гор- бацкий (1975в)). Все конденсации вместе должны перекрывать небольшую долю поверхности звезды, так как на спектральных линиях поглощения^ возникающих

в обращающем слое звезды, присутствие оболочки практически не сказывается. Следовательно, если конденсации имеют форму шара радиуса Дк, должно выполняться соотношение

NkR^ = а4лД2,(6.50)

где 0,1 ^ а ^ 0,3. С другой стороны, их суммарное рекомбинационное излучение должно быть равным излучению оболочки с непрерывным распределением плотности по закону (6.28), и, значит,

N (ПеК))2 • 4 лДк = 4л (n?)2 R^(6.51)

где п^ — электронная концентрация в конденсации и Пе — средняя электронная концентрация в случае непрерывного распределения плотности. Насколько можно судить по профилям эмиссионных линий, оптическая толщина каждой конденсации в частотах видимой части непрерывного спектра должна быть очень большой. При учете этого обстоятельства из формул (6.50) и (6.51) находим

Як ^^—г ,W = 4а(6-52)

где ат — томсоновский коэффициент рассеяния излучения на свободных электронах. При значениях п® и R*, соответствующих звездам типа Ве, из (6.52) имеем

RK = (1 н- 2) -109 см, N = 100-200.

Полученное значение RK подтверждается независимой оценкой этой величины по скорости изменения профилей спектральных линий (В. Г. Горбацкий (1975в)).

Сейчас трудно сказать, в какой мере наблюдаемая неоднородность оболочек связана с газодинамической неустойчивостью. Возможно, что выбрасывание вещества с поверхности звезды типа Ве происходит в форме отдельных сгустков. Если это так, то динамическая модель оболочки, описанная выше, нуждается в существенном видоизменении, поскольку расчет действия магнитного поля на отдельные сгустки должен производиться по-иному. Все же в настоящий момент представляется более вероят-

ным, что поддержание оболочек звезд типа Be и потеря массы из оболочки связаны с переносом момента количества движения и энергии от звезды через посредство магнитного поля. Характер турбулентности в оболочке, состоящей из отдельных конденсаций, сейчас совершенно не ясен. Можно думать, что роль турбулентной вязкости в переносе углового момента в такой оболочке меньше, чем в оболочке с непрерывным распределением плотности, но соответствующие расчеты не производились.

Динамические приливы в тесных двойных системах

Исследование течений газа в звездах-компонентах тесных двойных систем осложняется несферичностью компонент, обусловленной главным образом приливными взаимодействиями. Приливы влияют на процессы, происходящие в компонентах и, в частности, на перенос энергии конвекцией. Вместе с тем наличие конвективной зоны должно приводить к сравнительно быстрой синхронизации вращения и обращения в системе и к изменению приливного действия, так как приливы превращаются из динамических в статические. Таким образом, полное исследование энергетики, устойчивости и эволюции звезд, входящих в тесную двойную систему, требует решения очень сложной в математическом отношении самосогласованной проблемы динамических приливов.

Получение высококачественных спектров звезд, входящих в тесные двойные системы, является трудным делом, и не всегда удается определить, синхронизировано ли вращение с обращением в данной системе. Однако в ряде случаев можно утверждать с уверенностью, что синхронность в системе отсутствует (Плавец (1970)) и, следовательно, там имеют место динамические приливы. В отношении систем звезд-карликов, которые и представляют главным образом предмет дальнейшего изложения, вопрос о синхронности до сих пор остается не ясным, так как скорость вращения обеих компонент в этих случаях определить не удается. Тем не менее есть достаточно оснований считать, что динамические приливы в таких системах происходят. -

Динамические процессы, происходящие в тесной двойной системе, в значительной мере определяются формой

суммарного потенциала тяготения и центробежных сил. Эквипотенциальные поверхности имеют в этом случае сложный вид. Сечение их, проходящее через гщнтры звезд перпендикулярно к орбитальной плоскости, изображено на рис. 18. Среди этих поверхностей существует одна, называемая критической. Она образует две полости (полости Роша), смыкающиеся в точке, совпадающей с критической точкой Лагранжа Lv При отсутствии иных

Рис. 18. Сечения эквипотенциальных поверхностей в тесной двойной системе (стрелкой показано сечение критической поверхности Роша).

сил, кроме тяготения звезд, скорость и ускорение в точке LY равны нулю. Частица, находящаяся на критической поверхности, может двигаться по ней без затраты энергии и поэтому переходить из окрестности одной из звезд в окрестность другой. Если частица находится внутри полости Роша, она может удалиться от соответствующей звезды, лишь получив дополнительную энергию. .

Тесные двойные системы относят к одному из следующих трех типов:

Разделенные, когда ни одна из звезд не заполняет свою полость Роша.

Полуразделенные — только одна из компонент заполняет свою полость Роща.

Контактные — обе звезды заполняют соответствуй ющие полости и соприкасаются в точке Lv

Действие динамических приливов на звезду должно быть тем сильнее, чем ближе ее поверхность к критической эквипотенциальной поверхности. Очевидно, что для контактных систем говорить о динамических приливах не приходится и вращение в них должно быть синхронно с обращением.

Динамические приливы вызывают перераспределение момента количества движения в системе и диссипацию энергии. Это должно продолжаться до тех пор, пока вращение и обращение не синхронизируются. Если звезда обладает внешней конвективной зоной, то благодаря большому значению коэффициента турбулентного трения синхронизация однородно вращающейся звезды должна устанавливаться за короткое время — 103—10s лет. Однако о распределении углового момента в звездах и роли различных диссипативных факторов известно очень мало. Существование значительного числа асинхронно вращающихся компонент двойных систем с возрастом, заведомо превосходящим 106 лет, показывает, что существующие представления о характере вращения звезд являются очень неполными. Возможно, как уже отмечалось в § 1, что вращательный момент сосредоточен во внутренних областях звезды. Тогда время- торможения должно быть гораздо больше приведенных значений и синхронизация даже в тех случаях, когда она наблюдается, может относиться лишь к внешним слоям звезды. Эта проблема до настоящего времени совершенно не разра-. батывалась.

Динамические приливы в звезде, являющейся компонентой тесной двойной системы, происходят вследствие асинхронности осевого вращения и обращения по орбите, а также и при отличном от нуля эксцентриситете орбиты е. Уравнения, определяющие создаваемое приливами поле скоростей, в общем случае эллипсоидальной орбиты и неколлинеарных векторах угловой скорости вращения йвп и обращения ООб были получены Копалом (1968) при посредстве уравнений Эйлера для деформируемого тела. При е = 0 и коллинеарности указанных

вектороввекторов2 dU ft d^i ar7 \ •r d'd*r / 1(6.54)2 dU ft d^i ar7 \ •r d'd*r / 1(6.54)

векторов

векторов

2 dU ft d^

i ar7 \ •

r d'd*r / 1

(6.54)

2 dU ft d^

i ar7 \ •

r d'd*r / 1

(6.54)

9вр — (1 4“ /) ^об(6.53)

они имеют более простой вид. В этом случае для записи уравнений используем сферическую систему координат (г, $, ф), жестко связанную со спутником. Пусть начало координат совпадает с центром спутника, направление Ф = 0 (Ож) — на центр главной звезды, ось S — О (Oz) совпадает с £2вр. Обозначив через U. У, W составляющие скорости вдоль осей Ох. Оу и Ок соответственно, имеем

-^72Wo6 (l+^sinA =

= 9Ф1 9Р i [varr I 1 9Д

drP dr "T" p L з dr

2 / dV . 1 dW . TT , T, t n\1 . 2 dx\tdU Д\r2 \ dd + sinO dq> + + Т^С^'О'^Ч- p dr \dr 3 /’

- + ^-^te» _ 2№o6 (1 + /)cosО =

_ 1 / аф 1 Эр \ y) । 1 dA

" rp dS / p L 3r dS '

~ r2sin2^ (2 COS'S d(p +^)j + p 9r ( 9r 4

aw TT(cr + rctgS) , at + r +

+ 2£lO6(l+f)(FcosO-i7sin^)= -4-k№-— ^W

u '1 '''' r sin ■& \ Эф p Эф / 1

I ПГпаыл I 1 ЭД .2 f dU .„ dV Ж\1 ,

+ p p W + 3r gin ф 9ф + rasin2fl. (^ф +C0Sl9'dT 2 )j+

1 Эл fdW 1dU _ ж \

* p dr \ dr * r sin ft дф r ) *

Уравнение неразрывности записывается в виде

(6.55)(6.55)<=-рд-

(6.55)

(6.55)

Через А в (6.54) и (6.55) обозначена следующая величина:

л 1 d < tГ а /тт • л I dW" \П /л

А = —Г-Н: о- У SIR'S 4-, (6.56)

г2 dr v 7 1 г sm s L as \аф /j ’47

ц — коэффициент динамической вязкости, предполагаемый здесь зависящим лишь от г и

^ = Фг + Фс + ф'»

(6.57)

где ф' — возмущающий потенциал, а фс — потенциал центробежных сил. Величину ф' можно разложить по сферическим функциям, причем первый член разложения при е = 0 имеет вид (см., например, В. А. Крат (1950))

T^-^r^Hcosy), (6.58)

где а — расстояние между центрами компонент, Р^ (cos у) — полином Лежандра и у — угол между вектором г и линией, соединяющей центры компонент.

Граничные условия для системы (6.54), (6.55) обычно принимаются следующими: в центре звезды скорость газа должна равняться нулю, а на свободной границе должны отсутствовать радиальные вязкие напряжения и, кроме того, там должны быть непрерывными общий гравитационный потенциал и его нормальные производные.

Решение полной нелинейной системы (6.54), (6.55) в настоящее время не может быть получено даже численными методами. В работах Копала (1968) рассматривается соответствующая линеаризованная система. При ц (г) = = const и р (г) = const им найдено аналитическое решение, по существу описывающее вынужденные колебания спутника. При ц = 0 получаются кельвиновские частоты колебаний однородного жидкого шара.

В предположении сфероидальности приливных деформаций была приближенно оценена скорость вязкой диссипации энергии вращения звезды Е^ прИл П°Д действием динамических приливов. Диссипация при наличии лишь молекулярной вязкости для звезд главной последовательности незначительна. В тесной двойной системе, состоящей из двух белых карликов, скорость диссипации больше — Ё^ прИЛ ~ Ю30 эрг • сек~\ так как вязкость вырожденного газа значительно выше вязкости обычной плазмы. По мнению Копала, вследствие диссипации в такой системе вращательной энергии, составляющей ^1049 эргл может в течение миллиардов лет поддерживаться светимость компонент.

Изменение скорости вращения звезды со временем в результате приливной диссипации может быть определено в предположении твердотельного вращения, т. е. при скорости Явр, зависящей лишь от времени. Копалом

(1972а) получено следующее уравнение:

-^ + ^(г)/£20б = 0,(6.59)

где / (Z) — параметр асинхронности, определяемый по (6.53), и К (г) — величина, зависящая от структуры звезды и вида функции ц (г).

Для скорости диссипации вращательной энергии найдено выражение

5^Прил — j 7Q -^п^-J T}(r)r8dr. (6.60) о

Вид подынтегральной функции в (6.60) обусловлен тем, что диссипация энергии на единицу объема пропорциональна квадрату высоты прилива, которая в свою очередь пропорциональна г3. В работе Александера (1973) учтены более высокие члены в разложении ф' и принято во внимание изменение структуры звезды под действием приливов и вращения. Это привело к увеличению 5пПрил в несколько раз по сравнению с (6.60).

Как отмечалось выше, синхронизация вращения и обращения под действием динамических приливов может установиться за достаточно короткое время только в том случае, если вязкость обусловлена турбулентностью. В работе Пресса и др. (1975) предполагается возможность возбуждения турбулентности действием самих динамических приливов. На основе этого предположения при помощи формулы для среднего по звезде значения коэффициента вязкости <ц>, следующей из (6.60),

R

Т) (г) r^dr

^^■^—.(6-61)

*

было получено значение <Ц>Турб ~ Ю12 г-см”1-сек”1. Эта величина достаточна, чтобы привести к синхронизации вращения и обращения в тесной двойной системе, состоящей из звезд с массой порядка 105К@, приблизительно за 106 лет. За столь же короткое время первоначально эллиптическая орбита становится близкой к круговой*.

Таким образом, в указанной работе сделана попытка рассмотреть самосогласованную задачу о действии динамических приливов, т. е. учесть зависимость коэффициента вязкости от приливов. Конечно, для более точного решения самосогласованной задачи необходимо использовать уравнения теории динамических приливов совместно с уравнениями турбулентного движения, что, по-види- мому, не удастся осуществить в ближайшем будущем. Положение осложняется еще и тем, что для реальных звезд предположение об однородном вращении является чрезмерно упрощающим. Надо думать, что уравнение, сходное с (6.59), может быть выведено и для случая, когда £2Вр зависит не только от t, но и от г.

Другим важным следствием динамических приливов может быть нарушение устойчивости звезды. Впервые вопрос о возможности резонансных явлений, обусловленных приливами, был поставлен Каулингом (1942). Он нашел путем качественных оценок, что резонанс между колебаниями компоненты двойной системы с большим периодом и приливным воздействием не должен оказывать существенного влияния на амплитуду приливного возмущения. В последнее время Зан (1975) пришел к выводу, что подавление вследствие лучистой диссипации резонансных мод должно сопровождаться возникновением крутящего момента, который быстро приводит к синхронизации вращения и обращения. Пока нет расчетов этого эффекта для конкретных моделей.

Видное место в исследованиях тесных двойных систем занимает вопрос об их неустойчивости, обусловленной потерей массы. Предполагается, что компонента станет терять массу, когда ее размер сравняется с размерами соответствующей полости Роша и это приведет к наступлению динамической неустойчивости еще до синхронизации вращения и обращения (Плавец (1958, 1973)). Устойчивость компоненты, достигшей критической поверхности, рассматривалась Батом (1975) и Папалоизу и Батом (1975) методом малых возмущений. В результате возмущений поверхности компоненты она начинает терять массу и при этом должно нарушаться равновесие всей системы. Как в указанных, так и во многих других работах обычно предполагается, что потеря массы возможна лишь при условии увеличения размеров компоненты до совпаде-

ния с критической эквипотенциальной поверхностью. При этом, естественно, о динамических приливах вопрос не ставится. Однако ни наблюдения, ни теоретические результаты, о которых пойдет речь ниже, не дают оснований утверждать, что заполнение звездой своей полости Роша является необходимым условием потери массы. Один из важных результатов динамической теории приливов, полученный Ю. П. Коровяковским (1972, 1975), заключается в том, что при определенных условиях приливы вызывают истечение вещества из звезды, поверхность которой довольно далеко отстоит от критической. Этот вывод получен путем численного решения нелинейной системы уравнений, которая определяет поле скоростей в звезде, испытывающей приливные возмущения. Заметим, что все расчеты по теории приливов в двойных системах до этого производились лишь в линейном приближении (Копал (1968)).

При решении задачи было принято, что размеры главной звезды, вызывающей приливы в спутнике, очень малы, и ее можно считать точечной массой. Предполагается, что приливы возмущают только внешние слои спутника — «оболочку», масса которой мала по сравнению с массой «ядра», не подвергающегося возмущениям.

Выражение для центробежного потенциала фс в принятой системе координат получается следующим:

Фс- ra/Jo6 sin -ft cos (/йоб£ + ф) + -у- ^об (1 + /)2 sin2 О',

(6.62)

где сц — расстояние от начала координат до центра масс системы. Расчеты проводились для двух случаев:

изотермическая оболочка: р ~ р;

изэнтропическая оболочка: /7 = Лр7 (у = б/з)- Члены, содержащие 8х\18г в уравнениях (6.54), не учитывались. Для величины ц/р, в соответствии с предположением о развитой турбулентности в оболочке, задавались значения в интервале 1013—1015 см^-сек"1. Величина параметра несинхронности принималась равной 0,5 и 1,0.

Для того чтобы осуществить численное решение, было сделано предположение, использованное ранее Копалом (1968), о сфероидальности приливных деформаций. Таким путем удалось свести газодинамическую задачу к

одномерной. В соответствии с этим предположением, функции Щ V и W в (6.54) записываются в виде

и =u(r,t')SN^,wy, у = 5(г,;)-4^(^ф); /р_

(б.ЬЗ) ~1

W= ^^^Sn^^, P^P^IHSn^^ w , где

N I

sN^^ = S S УГ(^ф),(6.64)

i=o m=o

и УГ — сферическая функция порядка l и степени т. После подстановки (6.63) (при N = 2) в (6.54) — (6.55) и интегрирования по сфере получается система уравнений для функций й (г, t), v (г, I) и ^ (г, I), которая и решалась численно. Начальные условия для йы задавались в виде

й (г, 0) = у (г, 0) = 0.(6.65)

Что касается величины р (г, 0), то опа определялась в одном варианте в предположении гидростатического равновесия, а в другом варианте зависимость давления от г в начальный момент определялась при учете центробежных и кориолисовых сил и тяготения главной звезды.

Условия на внутренней границе оболочки, вообще говоря, зависят от структуры ядра, которая неизвестна. Поэтому они также задавались в нескольких различных вариантах. В одном из вариантов предполагалось непрерывное изменение скорости на внутренней границе, в другом — плотность в ядре считалась не зависящей от времени.•

Вычисления показали, что динамические приливы «раскачивают» оболочку, создавая в ней поле скоростей. Чем больше значение параметра несипхронпости /, тем сильнее нарастают скорости. Быстрое увеличение й (г, /) и v (г, Z) происходит за время порядка йёб, после чего каждая из этих величин колеблется около некоторого отличного от нуля значения. Существенным обстоятельством, выясняющимся из анализа уравнений, является то, что отличие средней скорости от нуля вызвано нелинейными взаимодействиями. Через некоторое время система

выходит на стационарный режим и при условии, что средние значения величин й (г, /) и v (г, ^) достаточно велики, происходит потеря вещества спутником. Как следует из проделанных вычислений, спутник, размеры которого меньше размеров полости Роша на 20%, теряет массу, если / ^ 1,5. При / ^ 2 потеря вещества спутником вследствие динамических приливов возможна, если его граница отстоит от полости Роша на 0,3—0,4 среднего радиуса полости.

Для того чтобы проверить, в какой мере предположение о сфероидальности деформаций сказалось на результатах вычислений, 10. П. Коровяковским были определены для некоторого набора параметров первые коэффициенты разложений величин U, У и W в ряды по сферическим функциям, и, таким образом, получено приближенное решение более общего вида. Оно показало, что на характер поля скоростей, вызываемого приливными воздействиями в области приливных выступов, предположение о сфероидальности деформаций существенно не влияет. 4

Газ, отрывающийся от спутника под действием динамических приливов, двигаясь в полости Роша, должен концентрироваться вблизи точки Llt и далее, выходя из этой области, течь в сторону главной звезды. При этом он под действием центробежной и кориолисовой сил отклоняется от линии, соединяющей центры звезд. Течение газа из точки Lx рассматривается в следующем параграфе.

Приведенное выше решение задачи о влиянии динамических приливов на состояние звезды, входящей в двойную систему, представляет значительный интерес не только потому, что показывает, как формируются газовые потоки. Оно выявило существенную роль нелинейных эффектов, которые должны приниматься во внимание при дальнейших исследованиях динамических приливов.

Поле скоростей, создаваемое динамическими приливами в не очень тесной двойной системе, рассчитывалось с помощью нелинейных уравнений в работе А. 3. Дол- гинова и Д. Г. Яковлева (1975). При этом среда считалась несжимаемой и вязкость не учитывалась. Полученное решение позволило, в частности, оценить высоту приливного выступа Ив и скорость на экваторе Ртах, создаваемую приливом у быстро вращающегося (йВр = 0,06 сек"1) белого карлика. При R^ = 1,1-109 см, а = 5-1010 см и

^об = 8-Ю"3 сект1, величина hB = 2,4-104 см и vmax = = 1,5-103 см1сек. В подобных условиях возможно интенсивное перемешивание вещества в звезде.

Заметим, что решение проблемы приливов важно не только для расчетов эволюции тесных двойных систем, но также и для определения точных фигур компонент двойных звезд (Копал (1974)). Однозначная интерпретация наблюдений двойной системы возможна лишь при известной форме компонент системы. Влияние излучения газовых потоков в интегральном излучении системы звезд- гигантов большей частью несущественно.

Турбулентные струи и дискообразные оболочкив тесных двойных системах

Течение потерянного спутником газа в двойной системе происходит в поле тяготения обеих звезд и под влиянием центробежных сил. Поэтому оно имеет сложный характер. Задача о стационарном движении газа в двойной системе рассматривалась Прендергастом (1960). Суммарный потенциал тяготения и центробежных сил записывается в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс системы, ось Ох проходит через центры звезд и ось От» совпадает с вектором Явр. Принимая 9КГЛ + 93?сп = 1, ^об = 1 и расстояние между звездами также равным единице, имеем

- (ф^ + Фс) = + ^ + 4 (^ + А (6-66) Г1 Г2 4

где % = 9%гл/(^гл + ®1сп), ^i и г2 — расстояние точки от главной звезды и спутника соответственно. Уравнения стационарного движения и неразрывности имеют вид

(vV) v + 2 [Qoo V] = — 1 Vp — V (ф6 + фс), (6.67)

V(pv) = 0. (6.68)

Решение этих уравнений при условии малости градиен- Ti давления по сравнению с силой тяготения показало, что в достаточной близости от центра главной звезды движение оказывается приближенно следующим:

рФ^(Ау\ Уг~о, (6.69)

где рф и vr — азимутальная и радиальная составляющие скорости соответственно. Таким образом, движение частиц в указанной области мало отличается от кругового кеплеровского и можно говорить о дискообразной оболочке главной звезды, поскольку толщина слоя газа, определяемая величиной градиента давления, мала по сравнению с радиусом оболочки. Эти выводы были подтверждены численным решением системы (6.67), (6.68) (Прендергаст, Таам (1974)).

Присутствие дискообразных оболочек в тесных двойных системах звезд-карликов следует из спектроскопических данных (подробнее см. В. Г. Горбацкий (1974а)). Имеются наблюдения и другой формы течения — струи газа, перетекающего из окрестности точки Lv к главной звезде. Дискообразные оболочки и струи представляют собой основные виды течений в области пространства, занимаемой двойной системой.

При исследовании движения газа в струе необходимо учитывать его расширение в окружающее пространство, т. е. в уравнениях движения удерживать члены, содержащие градиент давления. Оценка указанного эффекта с учетом только газового давления была сделана при посредстве соотношения (5.145), описывающего профиль давления в случае изэнтропического разлета газа (Ю. П. Ко- ровяковский (1971)). Для того чтобы выяснить влияние расширения струи на размеры и форму ее сечения, достаточно рассмотреть движение точек, находящихся на границе сечения. Это движение описывается в введенной выше системе координат следующими уравнениями:

_ 2 -^ = - ^^^ + л (,г _ Жо), (6.70) dt^ dt*9хХ4

*

£L + 2 ^ = - il^ff+lcl + л (у - Уо), (6.71) at? ALЭу х

^£ = _ ^й + фЛ + дз(6.72)

at»dz1 ’''

где I* = Q06^ и величина А выражается, в предположении, что сечение струи эллиптическое с полуосями X и

Z, формулой (А. В. Федорова (1973))

(V — 1) К» — и0)2 + (У - Уо)2 + z2lЯ2й2б (XZ«)Y -1'

(6.73)

Здесь До — радиус сечения, принимаемого в начальный момент круговым, х0 и z/0 — координаты осевой точки струи, рс0 и ис0 — начальная плотность в центре сечения и скорость газа в этой точке соответственно, А — энтропийная константа и а — расстояние между центрами компонент системы. Движение осевой точки определяется уравнениями (6.70) и (6.71) при А = 0, т. е. в них опущены члены, выражающие действие давления.

Рис. 19. Расширение газовой струи в тесной двойной системе.

Численное решение системы показало, что сечение струи под действием давления сильно расширяется в орбитальной плоскости. Это демонстрирует рис. 19. В области встречи струи с дискообразной оболочкой образуется ударная волна. Область нагретого газа, находящуюся в концевой части струи и примыкающую к оболочке, называют «горячим пятном». Излучение горячего пятна вызывает ряд наблюдаемых фотометрических и спектроскопических особенностей тесных звездных систем. Структура ударной волны в газе струи исследовалась В. И. Тарановым (1971), показавшим, в частности, что такая волна является стоячей и установившим возможность автоколебаний ее фронта. Эти вопросы, как и другие, связанные с динамическим взаимодействием газовых потоков в тесных двойных системах, подробно обсуждаются в книге В. Г. Горбацкого (1974а). Задача о движении струи в

тесной двойной системе решалась также Бирманом (1971) методом характеристик. Это решение подтвердило выводы о существенной роли градиента давления.

Расширение газовой струи под действием газового давления оказывается важным фактором, влияющим на потерю массы и момента количества движения двойной системой. Чем больше сечение струи при ее встрече с оболочкой, тем большая часть содержащегося в ней газа теряется системой. Газ на «внешней» (по отношению к главной звезде) стороне струи под действием давления может приобрести, как показывают вычисления (А. В. Федорова (1973)), скорость, достаточно высокую для того чтобы покинуть систему. При благоприятных условиях (9ЙСП <^ Жгл и ДОб ^ 0,3а) потеря массы может достичь 20 % — 40% всего расхода массы в струе. Таким образом, эффекты, связанные с расширением струи, необходимо учитывать в расчетах эволюции тесных двойных систем.

Основная часть газа струи попадает в дискообразную оболочку, передавая ей массу и момент количества движения. Наблюдаемые оболочки жвазистационарны. Отсюда можно заключить, что должен существовать сток массы и количества движения. Такой сток происходит у поверхности звезды. Вещество, поступающее от спутника, захватывается звездой через диск, поэтому в таких случаях уместно говорить о дисковой аккреции. Задача о дисковой аккреции впервые была рассмотрена В. Г. Горбацким (1965).

При исследовании дискообразных оболочек звезд,— компонент тесной двойной системы,— опять приходится сталкиваться с проблемой переноса момента количества движения через оболочку. В отличие от рассмотренного в § 2 переноса момента в оболочках звезд типа Be наружу, здесь источник углового момента находится на периферии оболочки и происходит перенос момента в противоположном направлении к центру оболочки. Само существование оболочки в данном случае обусловлено тем, что переносимый газ не может непосредственно упасть на поверхность звезды, так как угловой момент его относительно звезды не равен нулю. Следовательно, течения в струе и в диске взаимосвязаны и проблема дисковой аккреции должна решаться как самосогласованная задача. Однако в настоящее время полностью задачу решить не удается, и

при исследовании вопроса о переносе вещества и углового момента через дискообразную оболочку она считается квазистационарной, а потоки массы и момента на ее внешней границе предполагаются заданными в качестве внешних параметров (В. Г. Горбацкий (1965)).

Наиболее эффективным механизмом переноса момента в дискообразных оболочках представляется турбулентная вязкость. В неоднородно вращающейся оболочке при очень большом значении Re (^ 108) должна существовать развитая турбулентность. Как будет показано ниже, энергия турбулентного движения, непрерывно диссипирующая в тепло, обеспечивается за счет потенциальной энергии газа, поступающего в оболочку и приближающегося к звезде. Таким образом, система является самосогласованной и не требуется предположений о каких-то внешних источниках энергии. Этими соображениями не исключается, конечно, что в переносе момента количества движения известная роль может принадлежать и магнитному полю (см., например, Р. А. Сюняев, Н. И. Шакура (1973)). Однако из-за отсутствия необходимых данных о характере поля реалистическую самосогласованную модель с магнитным полем рассчитать трудно.

Воспользуемся уравнениями движения и неразрывности в цилиндрических координатах, соответствующим образом осредненными по турбулентным пульсациям. Эти уравнения были получены Вейцзекером (1948), впервые рассмотревшим динамику газовых дисков при наличии турбулентной вязкости.

Они имеют следующий вид в той же системе единиц, которая использована в (6.66) и (6.67):

/ЭуЭу у®\Qp dtp

Р ("ЧТ~ + vr~a — 2v<p ) ^-р -^- +

\1 г dr гdrdr 1

+ 24-U + 7T-7-)+!TT. <6-74>

/9% , 9уф , РА , о \

P(-ar + "'V- + ^JL + 2‘'')-

^Т \ dr2дг г‘Д ) ' дг \ дг г /* '

При условии, что влиянием тяготения спутника и кориолисового ускорения на движение газа пренебрегается, течение является осесимметричным и, значит,

^ = 0,= 0.(6.77)

Предполагая толщину оболочки малой по сравнению с ее радиусом, имеем

dydv

ТГ-0,^.0, уг — 0,(6.78)

(в-79)

При выполнении (6.78) и (6.79) уравнения (6.74)—(6.76) можно проинтегрировать по всей толщине оболочки. В результате получатся уравнения такого же вида с той разницей, что вместо р в них будет входить поверхностная плотность Одов (И» вместо цт — величина ц (г) и вместо Р — PW:

Опов(г) = $р(г, z^dz; т)(г) = ^(r, z)dz;

(b.oU)

Р^ = $P(r> ZW

Стационарное движение, когда градиент давления достаточно мал и им можно пренебречь, т. е. когда

1 ^р р дг1 ^р р дг(6.81)(6.81)

1 ^р р дг

1 ^р р дг

(6.81)

(6.81)

=, 2л (^r J_^^\|2 ^dVrг2 апов \ dr2' гdrг2 /' drdr=, 2л (^r J_^^\|2 ^dVrг2 апов \ dr2' гdrг2 /' drdrГРгОпов — С.ГРгОпов — С.^), (6.83)(6.84)^), (6.83)(6.84)

=, 2л (^r J_^^\|2 ^dVr

г2 апов \ dr2' гdrг2 /' drdr

=, 2л (^r J_^^\|2 ^dVr

г2 апов \ dr2' гdrг2 /' drdr

ГРгОпов — С.

ГРгОпов — С.

^), (6.83)

(6.84)

^), (6.83)

(6.84)

описывается следующей системой уравнений:

<Zy_У?,

Ur drг

(6.82)

Течение газа в дискообразной оболочке рассмотрено на основе этих уравнений в работе В. Г. Горбацкого (1965). Будем считать величину rj постоянной. Тогда уравнение (6.83) с помощью (6.84) записывается следующим образом:

С 1 , х d Г1 ^(^ф) 1,п п^х

У W.(6-85)

и его общее решение имеет вид

уф = —г1+ ^ + А.(6.86)

ф 2 + С/т]гх '

Движение оказывается близким к круговому кеплеровскому в достаточно широком интервале значений г только в том случае, если выполняются условия

С2 = 0, 0=-^С2 = 0, 0=-^—(6.87) 2 + С/т]V '—(6.87) 2 + С/т]V '

С2 = 0, 0=-^

С2 = 0, 0=-^

—(6.87) 2 + С/т]V '

—(6.87) 2 + С/т]V '

Так как по физическому смыслу tj > 0, то С < 0, а это значит, что и vr < 0. Следовательно, при наличии турбулентной вязкости в оболочке должен существовать поток вещества, направленный к ее центру. С приближением к поверхности звезды потенциальная энергия газа уменьшается и часть этой энергии переходит в энергию турбулентного движения, а другая часть — в кинетическую энергию. Если не учитывать работы сил давления, то можно записать указанное условие в расчете на единицу массы и единицу времени в виде

Xvr?2"Xvr?2"— ^турб 4” ®кин>— ^турб 4” ®кин>(6.88)(6.88)

Xvr

?2"

Xvr

?2"

— ^турб 4” ®кин>

— ^турб 4” ®кин>

(6.88)

(6.88)

где 8туРб — приток турбулентной энергии. Так как при приблизительно кеплеровском характере движения

△екин ~ ^ф ^ VT)△екин ~ ^ф ^ VT)(6.89)(6.89)

△екин ~ ^ф ^ VT)

△екин ~ ^ф ^ VT)

(6.89)

(6.89)

то с учетом (6.84) из (6.88) получаем

(6.90)(6.90)_ |С|г£^-2^7

(6.90)

(6.90)

Если величина ит достаточно мала, то турбулентность в данном объеме близка к стационарной и величину етуРб можно приравнять величине диссипации турбулентной энергии

(6.91)(6.91)I С I < _ «L

(6.91)

(6.91)

2^иов ~ L

(6.92)(6.93)(6.92)(6.93)где ul — скорость вихрей наибольшего масштаба L. Турбулентная вязкость определяется вихрями больших масштабов и, следовательно,

(6.92)

(6.93)

(6.92)

(6.93)

Ч ^ СГпов^^Ь •

Из (6.91) и (6.92) получается

МЬ 1 / | С | \1/2£ ~ /2 \ rj / г *

Другое соотношение между ul и L находится независимо. При развитой стационарной турбулентности энергия от вихрей масштаба L должна переходить к вихрям меньших масштабов за время Ыи^ (см. гл. 3, § 1). За это время большой вихрь не должен существенно размываться вследствие дифференциального вращения оболочки. Следовательно,

откуда имеемоткуда имеемdrdrULUL“L 1 уФL ~ 2 r •“L 1 уФL ~ 2 r •(6.94)(6.95)(6.94)(6.95)

откуда имеем

откуда имеем

dr

dr

UL

UL

“L 1 уФ

L ~ 2 r •

“L 1 уФ

L ~ 2 r •

(6.94)

(6.95)

(6.94)

(6.95)

Сопоставление (6.93) и (6.95) показывает, что величина Ч ~ | С |, т. е. получается второе из соотношений (6.87). Таким образом, выводы о приближенно круговом кеплеровском движении газа и постоянстве ц вытекают один из другого и рассматриваемая модель дисковой аккреции оказывается самосогласованной. Нетрудно получить (см. В. Г. Горбацкий (1974а)) следующие выражения для характеристик пульсаций основного масштаба на расстоянии г от центра оболочки:

uL « V\ Vr|v».uL « V\ Vr|v».(6.96)(6.96)

uL « V\ Vr|v».

uL « V\ Vr|v».

(6.96)

(6.96)

Характеристики вихрей наименьшего масштаба в условиях дискообразной оболочки определяются выражениями

Zo ^ (НГ4 — IO"5) L, ultt « (НГ1 -т- 10~2) иь.

(6.97)

При условиях (6.87) из (6.82) можно найти выражение радиальной компоненты скорости

(6.98)(6.98)

(6.98)

(6.98)

и затем из (6.84)

(6.99)

По спектрам дискообразных оболочек получается, что температура газа в той области, где оболочка прозрачна в континууме, т. е. в преобладающей части, не превосходит, нескольких десятков тысяч градусов. Из приведенных оценок характеристик турбулентности следует, что при таких температурах газовое давление мало по сравнению с турбулентным ^турб. По порядку величины градиент турбулентного давления равен

(6.100)(6.101)(6.100)(6.101)1 ^турб4

(6.100)

(6.101)

(6.100)

(6.101)

рdrг

Из (6.96) следует

UL/ уф* ^ ।

Г/ ~^Ф

и поэтому градиентом турбулентного давления можно пренебрегать, пока | рг | <С рф- Вблизи поверхности звезды главную роль играет газовое давление и условие (6.81) нарушается, но можно показать (В. Г. Горбацкий (1974а)), что это происходит в области, толщина которой мала по сравнению с радиусом оболочки. Поэтому описанная газодинамическая модель должна быть применимой почти по всей дискообразной оболочке (для значений г ^ ^ 0,1 J?o6).

Турбулентная вязкость пропорциональна величине С, которая представляет собой поток массы в оболочке. Значение С определяется условиями на внешней границе дискообразной оболочки. Газ струи, текущей из точки Ln захватывается в оболочку. Если количество этого газа ^д, то предполагая его равномерное распределение по всей боковой поверхности диска, имеем

<?д = глЯобОпов^г0)!(6.102)

где индекс «0» относится к г = ДОб- Масса оболочки ^=%Q^.(6-1°3)

Принимая значения параметров, соответствующие оболочкам в новоподобных системах (В. Г. Горбацкий (1974а)):

Лоб ~ Ю10 см,Опов ~ 0,03—0,1 г-см-2,

v^ ^ 108 см/сек, 10б см/сек ^ vr ^ рф, имеем

Ю16 ^ <?д < Ю18 г-сект1,ЗКоб < Ю22 г.

При изменении ^д состояние оболочки также меняется. Время релаксации £рел к новому стационарному состоянию по порядку величины равно

(6.104)

В этом состоянии величина ц оказывается снова такой, чтобы обеспечить, перенос момента количества движения газа, попавшего в оболочку, к поверхности звезды, где согласно принятой модели имеет место сток момента. Величина момента, передаваемого струей на внешнюю границу оболочки, зависит от ряда обстоятельств, обусловливающих течение газа от спутника и присоединение его к диску. В реальных ситуациях полной согласованности между состоянием диска и расходом газа в струе не может быть хотя бы потому, что струя имеет значительную толщину и, значит, величина плотности газа и удельный момент количества движения различны по сечению струи. Тем не менее характер движения газа и энергетика турбулентности в областях оболочки, достаточно удаленных от внешней границы, должны быть близки к описанным.

Как отмечалось выше, наличие магнитного поля может оказывать существенное влияние на динамику дисковой аккреции. В работе Р. А. Сюняева и Н. И. Шакуры (1973) показано, что когда сумма энергии турбулентного движения и магнитного поля меньше тепловой энергии, структура оболочки релятивистского объекта слабо зависит от магнитного поля. По-видимому, это утверждение справедливо и для дискообразных оболочек обычных звезд. Все же магнитное поле может существенно сказаться на самом процессе аккреции. Наблюдения бывшей новой DQ Геркулеса дают основания полагать, что газ присоединяется к звезде це в экваториальной области, а вблизи магнитных полюсов, где магнитное поле меньше препятствует течению газа. Влияние магнитного поля на процесс аккреции в случае релятивистских объектов оценивалось в ряде работ (см., например, статью В. Ф. Шварцмана (1971)).

Уравнения динамики газовых дисков при наличии вязкости обсуждаются в работе Линден-Белла и Прингла (1974) и при этом поток момента на внешней границе оболочки не задается. Ими сделан вывод о том, что вязкость приводит к аккреции на центральный объект лишь того газа, который содержится в центральной части оболочки, после того как он отдает свой*момент количества движения в наружные области диска, откуда газ уходит на бесконечность. Этот вывод, неоднократно получавшийся и другими авторами (см., например, Прендергаст и Бербидж (1968)), обусловлен самой постановкой задачи. Его нельзя применять к рассмотренным выше стационарным дискам в тесных двойных системах, где обязательно существует приток массы и углового момента в оболочку извне. Хотя уравнения задачи одни и те же, но граничные условия совершенно разные. Очевидно, что без притока массы извне стационарная аккреция осуществляться не может.

При приближении газа, содержащегося в диске, к поверхности звезды выделяется большое количество энергии и возникающее таким путем излучение может сильно действовать на процесс аккреции. Это обстоятельство, безусловно, существенно для динамики оболочек, окружающих релятивистские объекты, но вряд ли может повлиять на состояние внешних областей дискообразных оболочек обычный Ввейд;

Нестационарная конвекцияи энергетическая неустойчивость компоненттесных двойных систем

Вспышки новых звезд, рассматривавшиеся выше (гл. 5), происходят вследствие нарушения энергетического равновесия во внешних слоях белого карлика. Накопление газа, перетекающего от спутника, приводит к условиям, благоприятствующим термоядерным реакциям. Таким образом, неустойчивость энергетического равновесия вызвана присутствием в системе второй звезды. В тесных двойных системах возможна энергетическая неустойчивость и другого вида, обусловленная нестационарностью конвективного потока. Она также приводит к вспышкам, хотя и меньшего масштаба, чем вспышки новых. Речь идет о звездах типа U Близнецов, которые, как показали наблюдения, представляют собой тесные двойные, очень схожие с системами, содержащими новые звезды.

Вспышечная активность звезд типа U Близнецов имеет циклический характер. Промежуток времени между циклами в среднем составляет 25d — 100d. Блеск звезды остается повышенным в течение нескольких суток и всего за время вспышки излучается энергия порядка 1039 эрг. За период между двумя соседними вспышками излучается в 10—30 раз меньше энергии.

Многие наблюдательные факты показывают, что светимость звезды типа U Близнецов в состоянии минимального блеска меньше, чем производительность внутризвезд- ных источников энергии. Поэтому вспышку можно связать с выходом наружу энергии, накопленной в периоды минимального блеска (подробнее см. В. Г. Горбацкий (1971)). Накопление энергии в подфотосферных слоях звезды представляет собой специфический вид энергетической неустойчивости.

Из наблюдений следует, что вспышка начинается со значительного повышения блеска спутника. Спутник в системе типа U Близнецов представляет собой карликовую звезду класса G или К и, следовательно, должен обладать конвективной оболочкой. При условии асинхронности осевого вращения и обращения по орбите конвекция в спутнике является нестационарной.

Одиночная звезда является самобалансирующейся системой, в которой мощность конвективного потока и протяженность конвективной зоны приспосабливаются к условиям, в ней существующим, в частности, к производительности источников энергии. Если же звезда входит в двойную систему, то на величину конвективного потока накладываются внешние условия, которые могут помешать такому приспособлению. Тогда должно происходить накопление эффектов, обусловленных нарушением энергетического равновесия, и возникать неустойчивость.

Оценки времени накопления энергии и последующего развития энергетической неустойчивости в холодном спутнике (В. Г. Горбацкий (1971)) дали величину ^ 25d, что в общем соответствует средней продолжительности интервала между вспышками. Более точное вычисление времени развития энергетической неустойчивости возможно на основе теории нестационарной конвекции (Л. Н. Иванов (1972а, б)).

Нестационарность конвекции уже обсуждалась выше в связи с проблемой звездных пульсаций. Времена меха; нической релаксации и релаксации конвективного потока у пульсирующих звезд оказываются одного порядка и это сильно усложняет задачу. Спутник в тесной двойной системе подвержен действию динамических приливов, период которых составляет в системах звезд-карликов несколько часов. Время механической релаксации конвективной зоны в этих случаях равно нескольким минутам. Следовательно, можно принять, что гидростатическое равновесие устанавливается мгновенно и вместо уравнения движения использовать уравнение гидростатического равновесия. Тогда оказывается возможным приближенное аналитическое решение самосогласованной задачи о переносе энергии конвекцией в среде при учете зависимости свойств среды от величины конвективного потока (Л. Н. Иванов (1972)).

Как и в случае пульсирующих звезд, в оболочке спутника в тесной двойной системе изменение величины ускорения силы тяжести представляется формулой

g (0 = go С1 + 8 sin «О- (6.105)

Амплитуда относительного изменения g для тесных двойных систем звезд карликов лежит в интервале

0,1 ^ 8 ^ 0,4. Величина со равна

(6.106)(6.106)со —2/Q06,

(6.106)

(6.106)

где / — параметр асинхронности и Q06 — угловая скорость орбитального движения спутника. Принимается, что на внутреннюю границу конвективной зоны, моделируемой плоским слоем, поступает постоянный поток энергии Fo. Распределения температуры, плотности и давления в слое представляются выражениями

Т (т, t) = T0 (m)(l + -^Л8зш®^ (6.107) \ г 1 о /

р (т, £) = р0 (т) ^1 4- -у е sin со^ + -у-^ ,(6.108)

р (m, f) = Ро (т) (1 + е sin Ы),(6.109)

где т — масса, содержащаяся в столбе единичного сечения от внутренней границы до данной точки, То (jn^ р0 (т) и Ро (w) — значения соответствующих величин в стационарном состоянии. Через Т\ и рг обозначены изменения температуры и плотности, происходящие вследствие неади- абатичности. Членами, содержащими множитель s sin со^, учитывается действие динамических приливов. В соответствии со сказанным выше предполагается, что состояние гидростатического равновесия в слое устанавливается очень быстро по сравнению с временем со-1. Значение g (£) считается одинаковым для всего слоя и поэтому

dp (m, t) dmdp (m, t) dm-g^Y-g^Y(6.110)(6.110)

dp (m, t) dm

dp (m, t) dm

-g^Y

-g^Y

(6.110)

(6.110)

Величины Тг и pt определяются при посредстве уравнения энергии и уравнения состояния газа соотношениями:

д / ГЛ = _1 ЭЕ

dt \Т0 ) срТ0 dm ’

5 (_Pi.\/4 + 2-y_fe .( А 1_ Э£_(6112)

Si \ Ро /\ Vv V ерТо 8m ' х '

где F — общий поток энергии, переносимой излучением Физ л) и конвекцией фКонв):

F ((, ти) = Fизл (i, m) 4“ Т^конв (i, го). (6.113)

Для потока лучистой энергии принимается выражение

F излF излат~ ^о “^" dm 1ат~ ^о “^" dm 1(6.114)(6.114)

F изл

F изл

ат

~ ^о “^" dm 1

ат

~ ^о “^" dm 1

(6.114)

(6.114)

где к0 — некоторая постоянная. Величина конвективного потока определяется, как и выше (формула (5.47)):

“^конв (^ Т^ — Fконв (go) I 1 “Ь #“^конв (^ Т^ — Fконв (go) I 1 “Ь #8/г+^8/г+^sin(G)Z — а) . (6.115)sin(G)Z — а) . (6.115)

“^конв (^ Т^ — Fконв (go) I 1 “Ь #

“^конв (^ Т^ — Fконв (go) I 1 “Ь #

8/г+^

8/г+^

sin(G)Z — а) . (6.115)

sin(G)Z — а) . (6.115)

Здесь а. — сдвиг по фазе и q = соцйонв» где величина ^конв определяет характерное время релаксации конвективных элементов. Выражение для Цконв, полученное в работе Л. Н. Иванова (1971), имеет вид

Чконв —Чконв —(6.116)(6.116)2^онв Г/42(AVT)£(t)C^\

Чконв —

Чконв —

(6.116)

(6.116)

Хизл 1\ + ^Хизл /

где Я конв — размер конвективного элемента, %изл — коэффициент лучистой температуропроводности, определяемой по (3.141), AV77 — сверхадиабатический градиент (формула (3.129)). Множитель a — порядка единицы. При AV7, не зависящем от времени, a = 3/2.

Величины TJTq и рг/р0 удобно представить в виде

^ = »1+»,+(6.117)

1 оРо

где ^ и ог — периодические составляющие, а О и о — медленно меняющиеся (вековые) составляющие, присутствие которых установлено непосредственно при численном решении системы (6.111) — (6.112). Вековая составляющая /с (£, т) имеется и в выражении конвективного потока. Путем исследования выражения (6.113) с учетом (6.114), (6.115), и (6.117) можно показать, что изменения структуры слоя гораздо сильнее сказываются на величине конвективного потока, чем на потоке лучистой энергии. Поэтому .

^/КОНВ д/ПОЛИ

dt ~ dt ’

где /полн (^ ^) — вековая составляющая полного потока.

Периодические составляющие исключаются путем разложения величины F (^ т) в ряд по степеням е и усреднения уравнений (6.111) и (6.112) по времени. При этом удерживаются только члены не выше второго порядка по е. После довольно громоздких вычислений в результате получается следующее уравнение для /полн (^ ^):

^=к\^+(6.119)

dt[ dm dm2 1 2у dm J ’ к '

где введены обозначения

~g2~

/ = /полн ^4 ^~ -^2 (/полн — F0) 4" /о (^))

Ф = ^1 (/полн — ^о) + фо (^)

и fo» Фо» Аг (т), Л2 (т) — известные функции. Величина К слабо зависит от т и при приближенном решении (6.119) может считаться постоянной. Решение (6.119) при условиях, выражающих постоянство потока Fo на внутренней границе и возможность свободного стока на внешней границе слоя, имеет вид

/полн (^ т^ = Fq 4- h (m) 4- А (£, m\ (6.121)

Функция h (£, тп) выражается с помощью бесселевых функций порядка 7/5 соотношением

h kt, m^ = CoeW (1 _ ^ + ^'“ § С^К^У^, . (6.122) i=l

где

t = Kt, £ = M~m .(6.123)

Здесь M — количество вещества в конвективном слое, приходящееся на единицу его поверхности. При i > 1 и е достаточно малом, Xf < 0, а величина Хо > 0. Поэтому при больших t

h kt, m) ж Сое^ (1 - ^(6.124)

причем v0 = X0K > 0. Таким образом выявляется вековая неустойчивость конвективного потока в периодически меняющемся поле тяжести. При Со < 0 поток энергии

уменьшается, причем это уменьшение особенно сильно сказывается у внутренней границы конвективного слоя (при £ = 0). Поскольку поток энергии, поступающей из недр звезды на эту границу, не меняется, вблизи границы должно происходить накопление энергии, приводящее к разогреву газа.

Характерное время накопления энергии согласно (6.124) порядка Vq1. Для величины v0 в работе Л. И. Иванова (1972) приводится оценочное выражение

<6Л25)

При тех значениях входящих в (6.125) величин, которые соответствуют спутнику в системе типа U Близнецов, v0 ж 10~7 сект1. Таким образом, характерное время развития неустойчивости получается по более точной теории того же порядка, что и найденное ранее (В. Г. Горбац- кий (1971)), и совпадает с наблюдаемой продолжительностью интервала между вспышками.

Нестационарность конвективного _ потока приводит к изменению свойств внешних областей спутника. Из соображений, основанных на теории внутреннего строения звезд (см. Шварцшильд (I960)), вытекает, что при прогреве конвективной зоны и соответственном уменьшении в ней величины сверхадиабатического градиента должно происходить расширение внешних областей звезды. Увеличение радиуса спутника при вспышке следует и из наблюдений. Перестройка внешних областей звезды меняет характер истечения газа из нее. В конечном счете мощность истечения вещества должна возрасти, так как чем больше радиус звезды, тем сильнее сказывается действие динамических приливов на ее поверхностные слои.

Возрастание мощности истечения из спутника приводит к увеличению количества газа, захватываемого дискообразной оболочкой, а это в свою очередь вызывает усиленное энерговыделение в оболочке. В результате общая энергия, излучаемая во время вспышки, должна возрасти. Это обстоятельство позволило интерпретировать процесс вспышки в системе типа U Близнецов (В. Г. Гор- бацкий (1975а)). Вначале накопившаяся в результате вековой неустойчивости конвективного потока энергия вы-

ходит в поверхностные слои спутника, вызывая повышение его температуры и некоторое увеличение радиуса. Блеск звезды при этом возрастает на 3m—4т, а спектр переходит от класса G или К к классу А. Далее, увеличившееся истечение газа из спутника приводит к возрастанию свечения дискообразной оболочки главной звезды, представляющей собой, по-видимому, белый карлик. Оценки показывают, что выделяющаяся в результате аккреции энергия на порядок превосходит энергию, запасенную в глубине конвективной зоны в интервале между вспышками.

Энергетическая неустойчивость в тесных двойных системах звезд-карликов, проявлениями которой являются вспышки новых и новоподобных звезд, тесно связана с приливной и конвективной неустойчивостями. Задача будущих исследователей — выяснить в какой мере различные виды неустойчивости влияют на процессы в тесных двойных системах других типов. Решение этой задачи должно быть важным этапом в разработке проблемы эволюции звезд и звездных систем.

ЛИТЕРАТУРА

Аанестад (Aannestad Р. А.), 1973, Molecule formation. II In interstellar shock waves. Astroph. J. Suppl. ser. 25, № 217, 223—252.

АведисоваВ.С., 1971, Образование туманностей звездами типа Вольфа—Райе, Астрон., ж. 48, 894—901.

Аведисова В. С., 1974, Образование структурных форм в межзвездном газе за фронтом ударной волны, Астрон. ж. 51, 479—588.

А г е к я н Т. А., 1974, Теория вероятностей для астрономов и физиков, «Наука».

Александер (Alexander М. Е.), 1973, The weak friction approximation and tidal evolution in close binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 23, 459—510.

Алешин В. И., 1964, Автоколебания переменных звезд, Астрон. ж. 41, 201—211.

Амбарцумян В. А., 1939, Теоретическая астрофизика, Гостехиздат.

Амбарцумян В. А., 1968, Проблемы эволюции Вселенной, Изд. АН Арм.ССР.

Андерсон Э., 1968, Ударные волны в магнитной гидродинамике,^ Атомиздат.

Антонов В. А., 1975, Фигуры равновесия, в сб. «Итоги науки и техники», т. 10, 7—60, ВИНИТИ.

А рн ет, Камерон (Arnett W. D., Cameron А.), 1967, Supernova hydrodynamics and nucleosynthesis, Canad. J. Phys. 45, 2953—2964.

Бат (Bath G. T.), 1975, Dynamical instabilities and mass exchange in binary systems, MNRAS 171, 311—328.

Баум Ф. А., Каплан С. А., Станюкович К. П., 1958, Введение в космическую, газодинамику, Физматгиз.

Бекер, Киппенхан (Baker N., Kippenhahn R.), 1959, Untersuchungen fiber rotierende Sterne. III. Meridionale Zirkulation bei nichtstarrer Rotation, Zs. Astroph. 48, 140—154.

Бекер, Сенгбуш (Baker N. H., von Sengbusch K.), 1969, Non-linear periodic pulsations of stars, Mitteil. Astron. Gesell. N 27, 162—167.

Бекер, Темесвари (Baker, N., Temesvary S.), 1966, Tables of convective stellar envelope models, Il ed N. Y., NASA.

Берджерс (Burgers J. M.), 1969, Flow equations for composite gases, N. Y., Acad. Press.

Б ернакк а, Перинотто (Bernacca Р. L., Perinotto), 1970, 1971, A catalogue of stellar rotational velocities, Contr. Oss. Astroph. Asiago Univ. Padova, N 239, N 250.

Бертотти, Кавальере. (Bertotti В., Cavaliere A.), 1969, On gravitational instability of the interstellar gas, Astroph. and Sp. Sci. 5, 78—91.

Бетчелор (Batchelor G. K.) 1950, On the spontaneous magnetic field in a conducting liquid in turbulent motion, Proc. Roy. Soc. 201A, 405—417.

Б ё м (Bohm К. H.), 1963, Unstable modes in the solar hydrogen convection zone, Astroph. J. 137, 881—900.

Б ё м (Bohm К. H.), 1976, Convective modes with turbulent viscosity and conductivity, Coll, intern, du CNRS № 250, Physique des mouvements dans les atmospheres stellaires, 57—64.

Б ё м-B и т e н з e (Bohm-Vitense'E.), 1958, Uber die Wasser- stoffkonvektionszone in Sternen verschiedener Effektivtemperaturen und Leuchtkrafte, Zs., Astroph. 46, 108—143.

Бёрд (Bird G. A.), 1964a, The behaviour of shock waves in a gravitational atmosphere, Astroph. J. 139, 675—683.

Бёрд (Bird G. A.), 1964b, A gasdynamic model of the outer solar atmosphere, Astroph. J. 139, 684—689.

Бёрд (Bird G. A.), 1965, The equilibrium state of a shockheated atmosphere, Astroph. J. 141, 1455—1462.

Бёрд (Bird J. F.), 1969, Gravitational instability of spheroidal expansions: a cosmogonic fragmentation mechanism, Astroph. and Sp. Sci. 3, 312—329.

Бирман (Bierman L.), 1951, Bemerkungen iiber das Rotations- gesetz in irdischen und stellaren Instabilitatzonen, Zs, Astroph. 27, 304—309.

Бирман, Шлютер (Biermann L., Schluter A.), 1950, Uber den Ursprung der Magnetfelder auf Sternen und im interstellaren Raum, Zs. Naturforsch. 5a, 65—71.

Бирман (Biermann P.), 1971, A simple gasdynamical model of mass exchange in close binary systems, Astron. Astrophys. 10, 205—212. .

Б и сн о в а тый - К о г ан Г. С., Попов IO. И., Самохин A. A., 1975, Магнитогидродинамическая вращательная модель взрыва Сверхновой, Препринт ИПМ № 16, 1—64.

Боденхеймер, Острайкер (Bodenheimer P.r Ostriker J.), 1970, Rapidly rotating stars VI Premain—sequence evolution of massive stars, Astroph. J. 161, 1101—1113.

Б о н с e к, Калвер (Bonsack W. K., Culver R. B.), 1966, Line widths and turbulence in К-type stars, Astroph. J. 145, 767—783.

Б о ч к a p e в H. Г., 1972, Свойства HI областей, нагреваемых рентгеновыми и космическими лучами, Астрон. ж. 49, 756—767.

БрагинскийС.И., 1964, О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости, ЖЭТФ 47, 1084—1098. .

Брандт Дж. (Brandt J. С.), 1973, Солнечный ветер, «Мир».

Бхатнагар, К у ш в а х a (Bhatnagar М. S., Kushwaha R. S.), 1961, 1962, Decay of a shock wave in a stellar atmosphere, Ann. d’Astrophys. 24, 211—218; 25, 410—415,

Вайнштейн С. И., Р узм айкин А. А., 1971, Генерация крупномасштабного магнитного поля Галактики, Астрон. ж. 48, 902—909.

ВайнштейнС. И., Зельдович Я. Б., 1972, О происхождении магнитных полей в астрофизике, УФН 106, 431—457.

Вандакуров Ю. В., 1968, О равновесном состоянии вращающегося магнитного газового шара, Астрон. ж. 45, 103—114.

ВандакуровЮ. В., 1972, Об устойчивости вращающейся неоднородной среды, Астрофизика 8, 433—439.

ВандакуровЮ.В., 1976, Конвекция на Солнце и механизм 11-летнего цикла, «Наука».

Ван дер Борх т, Мерфи, С п и г е л (Van der Borght В., Murphy J. О., Spiegel E. A.), 1972, On magnetic inhibition of thermal convection, Austral. J. Phys. 25, 703—718.

Ван дер Борх т, Мерфи (Van der Borght R., Murphy J. O.), 1973, The effect of rotation on non-linear thermal convection, Austral. J. Phys. 26, 341—357.

Вебер, Девис (Weber E. J., Davis L.), 1967 > The angular momentum of the solar wind, Astroph. J. 148, 217—227.

В e й м а н (Weymann R.), 1960, Heating of stellar chromospheres by shock waves, Astroph. J. 132, 452—460.

Вейцзекер (Weizsacker C. F.), 1948, Die rotation Kosmi- scher Gasmassen, Zs. Naturforsch. 3a, 524—539.

В e н т з e л (Wentzel D.), I960,' Hydromagnetic equilibria, Astroph. J. Suppl. Ser. 5, N 47, 187—232.

В e н т з e л (Wentzel D. G.), 1967, An upper limit on the abundance of H2 formed by chemical—exchange reactions, Astroph. J. 150, 453—460.,

В e p с к e p (Verschuur G. L.), 1974, Studies of neutral hydrogen cloud structure, Astroph. J. Suppl. ser. 27, N 238, 65—112.

В о л т ь e p (Woltjer L.), 1958, On hydromagnetic equilibrium, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44, 833—841.

В о л т ь e p (Woltjer L.), 1972, Supernova remnants, В сб. «Annual Review of Astronomy and Astrophysics» 10, 129—158.

Галлисфорд (Gullisford P.), 1974, A simple shock wave model of supernova remnant, Astrophys. and Sp. Sci. 31, 241—249.

Гандельман Г. M., Ф p ан к -К а м e н e ц к ий Д. А., 1956, Выход ударной волны, на поверхность звезды, ДАН СССР 107, 811—815.

Гелл (Gull S. F.), 1975, The X-ray, optical and radio properties of young supernova remnants, MNRAS 171, 263—268.

Гершберг P. E., 1970, Вспышки красных карликовых звезд, «Наука».

Гершберг Р. Е., 1975, Flares of red dwarf stars and solar activity, В сб. «Variable stars and stars evolution», 47—64.

Герц, Вулф (Gehrz R. D., Woolf N. J.), 1970, Mass loss from M stars, Astropn. J. 165, 285—294.

Голдрейч, Шуберт (Goldreich P., Shubert G.), 1967, Differential rotation in stars, Astroph. J. 150, 571—588.

Голдсмит (Goldsmith D. W.), 1970, Thermal instabilities in interstellar gas heated by cosmic rays, Astroph. J. 161, 41—54,

Голдсмит, X а б и н г, Филд (Goldsmith D. W., Habing Н. J., Field G. В.), 1969, Thermal properties of interstellar gas heated by cosmic rays, Astroph., J. 158, 173—183.

Голинько В. И., 1970, О свечении из-за ударного фронта в звездных атмосферах, Астрон. ж. 47, 145—148.

Голландский О.П., 1972, Влияние высвечивания на спектр турбулентности в звездной атмосфере, Изв. Крымск. АО. 46, 83—89.

Горбацкий В. Г., 1962а, О динамике оболочек новых звезд, Астрон. ж. 39, 198—208.

Горбацкий В. Г., 19626, О свечении оболочки новой звезды за фронтом ударной волны, Вестник ЛГУ № 19, 112—123.

Гороацкий В. Г., 1964, О переносе энергии точечного взрыва в звезде, Астрон. ж. 41, 53—62.

Горбацкий В. Г., 1965, О газовых потоках в затменных двойных системах звезд-карликов, Труды А.О. ЛГУ 22, 16—30.

Горбацкий В. Г., 1970,. О происхождении линий [0 1] в спектрах сверхновых звезд, ДАН СССР 194, 45—48.

Горбацкий В. Г., 1971, О происхождении вспышек звезд типа U Близнецов, Астрон. ж. 48, 676—683.

Горбацкий В. Г., 1972, 1973, Образование корональных линий в спектрах новых звезд, Астрон. ж. 49, 42—53; 50, 42—50.

Горбацкий В. Г., 1974а, Новоподобные и новые звезды, «Наука».

Горбацкий В. Г., 19746, О механизме истечения вещества из новой звезды после отрыва оболочки, Астрон. ж. 51, 753— 760.

Горбацкий В. Г., 1975а, О модели вспышки звезды типа U Близнецов, Письма в АЖ 1, № 1, 23—25.

ГорбацкийВ. Г., 19756, On the origin of nova-like binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 33, 325—332.

Горбацкий В. Г., 1975в, О структуре оболочек звезд типа Be, Письма в АЖ 1, №.3, 36—38.

ГорбацкийВ. Г., И в а но в Л. Н., 1974, О непрерывном истечении вещества из новой звезды в послемаксимальный период, Астрофизика 10, 73—83.

Г о р б а ц к и й В. Г., К о л е с о в А. К., 1966, Модели внешних слоев горячих звезд главной последовательности, Астрофизика 2, 273—296.

ГорбацкийВ. Г., Минин И. Н., 1963, Нестационарные звезды, Физматгиз.

Г о у ф и др. (Gough D. О., Moore D. R., Spiegel Е. A., Weiss N. О.), 1976, Convective instability in a compressible atmosphere II, Astroph. J. 206, P. I. 536—542.

Грассберг Э. К., Имшенник В. С., Надежин Д. К., 1971, К теории кривых блеска сверхновых звезд. Astroph. and Sp. Sci. 10, 3—27*

Г p e м, Ленджер (Graham R., Langer W. D.), 1973, Pressure equilibrium of finite-size clouds in the interstellar medium, Astroph. J. 179, 469—481.

Гринстейн (Greenstein J.), 1963, Спектры звезд, лежащих ниже главной последовательности, в сб. «Звездные атмосферы», ИЛ, 668—706.

Гуревич Л. Э., Лебединский А. И., 1947, Периферические взрывы в звездах, обусловленные ядерными реакциями, ДАН СССР 56, № 2, 137—140.

Гуревич Л. Э., Румянцев А. А., 1970, Распространение ударных волн в среде убывающей плотности, ЖЭТФ 58, 1395—

Гурзадян Г. А., 1973, Вспыхивающие звезды, «Наука».

Далгарно, Маккрей (Dalgarno A., McCray R. А.), 1972, Heating and ionization of HI regions, Ann. Rev. Astron. Astroph. 10, 375—426.

Дарвин (Darwin G. H.), 1906, On the figure and stability of a liquid satellite, Phil. Trans. Roy. Soc. 206, 161—248.

Д a p и с e н (Durisen R. H.), 1973, Viscous effects in rapidly rotating stars with application to white dwarfs models: I. Tneory and techniques, Astroph. J. 183, 205—214; II. Numerical results, Astroph. J. 183, 215—223.

Д a p и с e н (Durisen R. H.), 1975, Viscous effects in rapidly rotating stars with application to white dwarfs models; III. Further numerical results, Astroph. J. 195; 483—492.

Дарни (Durney B.), 1971, Differential rotation, meridional velocities and pole-equator difference in temperature of a rotating convective spherical shell, Astroph. J. 163, 353—361.

Деви, Кокс (Davey W., Cox J.), 1974, Pulsational stability of stars in thermal imbalance: II. An energy approach, Astrophys. J. 189, 113—124.

Д e n p e (Deupree R. G.), 1974, Non-linear, adiabatic nonradial stellar pulsation: calculation and application, Astroph. J. 194, 393-401.

Дефу (Defouw R. J.), 1970, Thermal—convective instability, Astroph. J. 160, 659—669.

Де Ягер (De Jager C.), 1972, Micro and macroturbulent motions and the velocity spectrum of the solar photosphere, Solar Phys. 25, 71-80.

Д ж e p в и н (Gerwin R. A.), 1968, Stability of the interface between two fluids in relative motion, Rev. Mod. Phys. 40, N 3, 652—658.

Джинс (Jeans J.), 1929, Astronomy and Cosmogony, Cambridge.

Д и б а й Э. A., 1958, Эволюция глобул в окрестностях горячих звезд, Астр он. ж. 35, 469—478.

Д и б а й Э. А., 1971, Образование кометообразных туманностей, глобул и связанных с ними звезд, Астрон. ж. 48, 1134—1144.

Д и б а й Э. А., К а п л а н С. А., 1976, Размерности и подобие астрофизических величин, «Наука».

Дикке (Dicke R. Н.), 1970, Internal rotation of the Sun, Ann. Rev. Astron., Astroph. 8, 297—328.

Д о л г и н о в A. 3., Яков л е в Д. Г., 1975, Tidal flows in binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 36, 31—78.

Д у б о в Э. E., 1967, Структура нижней хромосферы, Астрон, ж. 44, 342—351.

Д ьяковС. П., 1954, Об устойчивости ударных волн, ЖЭТФ 27, 288—295.

Ж е в а к и н С. А., 1970, Теория звездных пульсаций, в сб. «Пульсирующие звезды», «Наука», 18—63.

Зан (Zahn J. Р.), The dynamical tides in close binaries, Astron., Astrophys. 41, 329—344.

Зельдович Я.Б., 1970, Распад однородного вещества на части под действием тяготения, Астрофизика 6, 319—335.

Зельдович Я. Б., Пике льнер С. Б., 1969, Фазовое равновесие и динамика газа при объемном нагревании и охлаждении, ЖЭТФ 56, 310—315.

Зельдович Я. Б., Р а й з е р Ю. П., 1966, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, «Наука».

ИвановВ. В., 1969, Перенос излучения и спектры небесных тел, «Наука».

И в а н о в Л. Н., 1971, О конвекции в периодическом гравитационном поле, Астрофизика 7, 143—158.

ИвановЛ.Н., 1972, Конвективно неустойчивый слой в периодическом гравитационном поле, Вестник ЛГУ № 13, 126—133.

Иванова Л. Н.,ИмшенникВ. С., Н адёжинД. К., 1969, Исследование динамики взрыва сверхновой, Науч, информ. Астросовета АН СССР 13, 3—109.

ИвановаЛ.Н., ИмшенникВ. С.,ЧечёткинВ.М., 1975, Термоядерный взрыв вырожденного углеродного ядра звезды, Препринт ИПМ № 31, 1—63.-

ИвановаЛ. Н. и др., 1976, Гравитационный коллапс, слабые взаимодействия и вспышки сверхновых звезд, Препринт ИПМ № 23, 1—9,

Имшенник В. С., НадежинЛ.К., 1964, Газодинамическая модель вспышки сверхновой II типа, Астрон. ж. 41, 829—841.

ИмшенникВ. С., Н а д е ж и н Д. К., 1974, Предсверхно- вые, Науч, информ. Астросовета АН СССР 29, 26—48.

Имшенник В. С., Сеидов 3. Ф., 1970, Устойчивость вращения белого карлика, Астрофизика 6, 301—307.

Ирошников Р. С., 1961, Ударные волны в атмосфере RR Лиры, Астрон. ж. 38, 623—633.

И о н е я м a (Yoneyama Т.), 1973, Thermal instability in reacting gas, Publ. Astr. Soc. Japan 25, 349—373.

Кан (Kahn F. D.) 1954, The acceleration of interstellar gas, Bull. Astron. Inst. Netherl. 12, 187—212.

Каплан C. A., 1958, Межзвездная газодинамика, Физматгиз.

К а п л а н С. A., 1959, О космических бессиловых полях, Ас- трон. ж. 36, 800—806.

Каплан С. А., 1963, Спектр магнито-гидродинамической турбулентной конвекции, Астрон. ж. 40, 1047—1054.'

Каплан С. А., П е т р у х и н Н. С., 1965, К теории конвекции в политропной атмосфере с однородным магнитным полем, Ас- трон. ж. 42, 74—77.

Каплан С. А., Пикельнер С. Б., 1963, Межзвездная среда, Физматгиз..

Каплан С. А., Пикельнер С. Б., 1974, Large-scale dynamics of the interstellar medium, Ann. Rev. Astron., Astroph. 12, 113—133.

Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Цыто в ич В. Н.., 1974, Plasma physics of the solar atmospheres, Physics rep. 15C, 1—82.

Каплан С. А., Подстригая T. C., 1965, Параметры ударных волн в частично ионизованном газе, Астрон. ж. 42, 552—556.’

КапланС. А., ЦытовичВ. Н., 1972, Плазменная астрофизика, «Наука».

Каприотти (Capriotti Е. Е.), 1973, The structure and evolution of planetary nebulae, Astroph. J.179, 495—516.

КардашевН. C., 1964, Магнитный коллапс и природа мощных источников космического радиоизлучения, Астрон. ж. 41, 807—813.

К а т о, У н н о (Kato Sh., Unno W.), 1960, Convective instability in polytropic atmospheres, Publ. Astr. Soc. Japan 12, 427—440.

КаулингТ. Г. (Cowling T. G.), 1942, The non-radial oscillations of polytropic stars, MNRAS 101, 367—373.

К а у л и н г T., 1959, Магнитная газодинамика, ИЛ.

К а ф а т о с (Kafatos М.), 1973, Time-dependent radiative cooling of a hob low-density cosmic gas, Astroph. J. 182, 433447,

К e p p ю с и др. (Carrus P., Fox P., Gaas F., Kopal Z.), 1951, The propagation of shock waves in a stellar model with continuous density distribution, Astroph. J. 113, 496—518.

Киппенхан, Мейер-Хофмейстер, Томас (Kip- penhahn R., Meyer-Hofmeister E., Thomas H. C.), 1970, Rotation in evolving stars, Astron., Astrophys. 5, 155—161.

Клемент (Clement M. J.), 1972, Meridian circulation with rapid differential rotation in radiative stellar envelopes, Astroph. J. 175, 135—145.

КлимишинИ. A., 1967, О влиянии периодических ударных волн на распределение плотности в атмосфере пульсирующей звезды, Астрофизика 3, 259—265.

Климишин И. А., 1972, Ударт хвил! в неоднорщних се- редовищах, Изв. Львовского университета.

Климишин И. А., Кор дуба Б. М., Новак А. ф., 1972, К исследованию закономерностей движения ионизационных ударных волн в протяженных звездных атмосферах, Перем, звезды 18, 435—442.

К о в е ц (Kovetz А.), 1966, A general variotinal principle governing the oscillations of gaseous masses in the presence of magnetic fields, Astroph J. 146, 462—470.

Кокс (Cox D. P.), 1972a, Theoretical structure and spectrum of a shock wave in the interstellar medium: The Cygnus Loop. Astroph. J. 178, 143—157.

Кокс (Cox D. P.), 1972b, Cooling and evolution of a supernova remnant, Astroph. J. 178, 159—168.

К о к с Дж. (Cox J. P.), 1975, Stellar oscillations, stellar stability and application to variable stars, В сб. «Memoires de la Soc. Roy. des Sci. de Liege», Ser. 6, VIII, 129—159.

Кокс Дж. и др. (Сох J. Р., Сох A. N., Olsen К. Н., King D. S., Eilers D. D.), 1966, Self-excited radial oscillations in thin stellar envelopes, Astroph. J. 144, 1038—1068.

Колгейт, Макки (Colgate S. A., McKee C.), 1969, Early supernova luminosity, Astroph. J. 157, 623—643.

Колгейт, Уайт (Colgate S. A., White R. H.), 1966, The hydrodynamic behaviour of supernovae explosions, Astroph. J. 143, 626—681.

К о л e ch и к И. Г., 1965, Закалка ионизационного равновесия в атмосфере звезды, Астрон. ж. 42, 67—73.

КолесникИ. Г., Франк-Каменецкий Д. А., 1964, Анализ распределения энергии в спектре близ бальмеровского предела для нестационарных звезд, Астрон. ж. 41, 178—181.

КомпанеецА. С., 1960, Точечный взрыв в неоднородной атмосфере, ДАН СССР 130,1001—1003.

Копал (Кopal Z.), 1968, Dynamical tides in close binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 1, 179—215; 284—300; 411—423.

Копал (Kopal Z.), 1972a, The effects of viscous friction on axial rotation of celestial bodies, Astroph. and Sp. Sci. 16, 3—51.

Копал (Kopal Z.), 1972b, Tidal evolution in close binary systems, Astroph. and Sp. Sci. 17, 161—185; 18, 287—305.

Копал (Kopal Z.), 1974, On secular stability of tidally distorted stars of arbitrary structure. Astroph. and Sp. Sci. 27, 389—418.

Коробейников В. IL, Мельникова H. С., Ря- з а н о в Е. В., 1961, Теория точечного взрыва, Физматгиз.

Коровяковский 10. П., 1969, 1971, О движении газа в тесных двойных системах, Астрофизика 5, 67—73; 7, 71—83;

Коровяковский Ю.П., 1972, Динамические приливы в тесных двойных системах. 1. Случай изотермической оболочки, Изв. САО 4, 115—129.

Коровяковский Ю.П., 1975, Динамическая теория приливов. Изэнтропическое движение вещества, Изв. САО 7, 27—34.

К р а т В. А., 1950, Фигуры равновесия небесных тел, Гостех- издат.

Кристи (Christy R. F.), 1964, The calculation of stellar pulsation, Rev. Mod. Phys. 36, 555—571.

Кристи (Christy R. F.), 1966, Pulsation theory, Ann. Rev. Astron., Astroph. 4, 353—392.

К у т о (Couteau P.), 1957, Contribution a la theorie du spectre des naines blanches, Ann. d’Astrophys. Suppl. N 3, 51.

Лайон (Lyon L.), 1976, В stars and the structure of the interstellar medium, Astroph. Lett. 17, 81—86.

Лайтхилл (Lighthill M. J.), 1952, On sound generated aerodynamically, Proc. Roy. Soc. A211, 565—587.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц E. M., 1953, Механика сплошных сред, Гостехиздат.

Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М., 1964, Статистическая физика, «Наука».

Ласкер (Lasker В. М.), 1967, The energization of the interstellar medium by ionization-limited HII regions, Astroph. J. 149, 23—28.

Латур (Latour J.), 1970, Envelope models for A type stars. The density inversion zone with the mixing length theory, Astron. Astrophys. 9, 277—287.

Лебединский А. И., 1946, Структура оболочек новых звезд, Астрон. ж. 23, 15—30.

Леду (Ledoux Р.), 1958, Stellar stability, Handbuch der Phy- sik 51, 605—687.

Леду, Вальравен (Ledoux P., Wahiraven Th.), 1958, Variable stars, Handbuch der Physik 51, 353—604.

Леду, Шварцшильд, С п и г e л (Ledoux Р., Schwarzschild М., Spiegel Е. А.), 1961, On the spectrum of turbulent convection Astroph. J. 133, 184—197.

Л e м 6 (Lamb T.), 1947, Гидродинамика, Гостехиздат.

Лерч (Lerche L.), 1971, I. Kinematic-dynamo theory. Astroph. J. 166, 627—638; II. Dynamo action in infinite media with isotropic turbulence, 639—649.

Лидов M. Л., 1955, К теории неустановившихся движений газа с учетом сил тяготения, ПММ 19, 54'1—550.

Л им б е р (Limber D. N.), 1974, Steady state mass loss for Be stars, Astroph. J. 192, 439—445.

Лим бе p, Мальборо (Limber D. N., Malborough J. M.), 1968, The support of the envelopes of Be stars, Astroph. J. 152, 181—194.

Линден-Белл, Острайкер (Lynden-BellD., Ostri- ker J.), 1967, On the stability of differentiallyrotating bodies. MNRAS 136, 293—310.

Л инден-Б e л л, Прингл (Lynden-Bell D., Pringle J. E.), 1974, The* evolution of viscuous disc and the origin of the nebular variables, MNRAS 168, 603—637.

Лифшиц M. A., 1970, Итоги науки: Астрономия. Физика Солнца, ВИНИТИ.

Луиз, Монне (Louise R., Monnet G.), 1970, Sur la turbulence dans le regions H II, Astron. Astrophys. 8, 486—488.

Макки, Коуи (McKee Ch. F., Cowie L. L.), 1975, The interaction between the blast wave of a supernova remnant and interstellar clouds, Astroph. J. 195, 715—725.

Маккрей, Стейн (McCray R., Stein R.), 1975, Thermal instability in supernovae shells. Astroph. J. 196, 565—570.

Макферсон (Macpherson A. K.), 1974, The structure of HI —H II boundary, Astroph. J. 192, 369—378.

Малов И. Ф., 1972, О возможности ускорения вещества в горячих звездах за счет поглощения в спектральных линиях, Астрофизика 8, 227—233.

М а л о в И. Ф., 1974, Об ускорении вещества в звездах Вольфа — Райе за счет томсоновского рассеяния излучения на свободных электронах, Астрофизика 10, 575—583.

М а н ф р у a (Manfroid I.), 1971, Instabilite thermique et cri- tere de Jeans, Bull. Soc. Roy. Sci. de Liege, N 1—2, 24—36.

M а ф с о н (Mufson S. L.), 1974, The structure ,and stability of shockwaves in a multiple interstellar medium, Astroph. J. 193, 561-574.

М е к л е (Mackie R.), 1968, Modelle fin* das Ubergang-gebiet Chromosphare — Korona, Mitt. Astron. Gesellschaft 25, 200—214.

M e л л а н (Mullan D. J.), 1971a, The structure of transverse hydromagnetic snocks in regions of low ionization, MNRAS 153, 145—170.

M e л л а н (Mullan D. J.), 1971b, Cellular convection in model stellar envelopes, MNRAS 154, 467—489.

M e л л а н (Mullan D. J.), 1972, Transition from shallow to deep convection zones in stars. Astroph. Lett. 12, N 1, 13—16.

Мельников О. А., Попов В. С., 1970, Звезды типа Р Цефея, в сб. «Пульсирующие звезды», «Наука», 282—303.

Мерфи, Ван дер Б о р х т (Murphy J. О., Van der Borght R.), 1972, Finite amplitude convection under the combined effect of rotation and a magnetic field, Proc. Astr. Soc. Austral. 2, 147—148.

M e с т e л (Mestel L.), 1967, Theories of stellar magnetism, в сб. «Magnetism and Cosmos», Edinb.— Lend., Ed. Oliver and Boyd, 194—208.

M e с т e л (Mestel L.), 1968, Magnetic braking by a stellar wind, 'MNRAS 138, 359—391.

M e с т e л (Mestel L.), 1970, Меридиональная циркуляция в звездах, в сб. «Внутреннее строение звезд», «Мир», 249—289.

М е т ь ю з (Mathews W. G.), 1965, The time evolution of an H II region, Astroph. J. 142, 1120—1140.

M e т ь ю з, О’Делл (Mathews W. G., O’Dell C. R.), 1969, Evolution of diffuse nebulae, Ann. Rev. Astron., Astroph. 7, 67—98.

Миллс (Mills B. Y.), 1975, Observational aspects of supernova remnants, в сб. «Galactic Radio Astronomy I AU Symp. 60», D. Reidel, 311—327.

M и н и нИ. H., 1955, Об истечении материи из звезд Вольфа — Райе, в сб. «Труды 4-го совещ. по вопросам космогонии», Изд-во АН СССР, 214—219.

Минин И. Н., 1960, О движении оболочки переменной массы, Астрой, ж. 37, 939—940.

М о н и н А. С., Ягл ом А.М., 1966, Статистическая гидромеханика, т. 1, 2, «Наука».

Морозов В. Н., 1973а, О влиянии магнитного поля на динамику оболочек звезд типа Be, Астрофизика 9, 388—400.

Морозов* В. Н., 19736, Перенос момента количества движения в оболочках звезд при помощи магнитного поля, Астрофизика 9, 567—579.

Мортон (Morton-D. С.), 1967, The far-ultraviolet spectra of six stars in Orion, Astroph. J. 147, 1017—1024.

Мортон (Morton D.), 1969, Rocket observations of mass loss from hot stars, Astroph. and Sp. Sci. 3, 117—122.

Мотт-Смит (Mott-Smith H. M.), 1951, The solution of the Bolzman equation for a shock wave, Phys. Rev. 82, 885—903.

M у с т e л ь Э. P., 1948, О происхождении эмиссионных полос в спектрах новых звезд, Астрон. ж. 25, 156—167.

М у с т е л ь Э. Р., 1958, 1959, Проблема истечения вещества из стационарных звезд, Изв. Кр. АО 19, 153—164; 21, 24—39.

М ю н ч (Miinch G.), 1960, Внутренние движения в туманности Ориона, в сб. «Космическая газодинамика», ИЛ, 208—216.

Н а д ежин Д. К., 1975, Гравитационный коллапс железных звезд с массами 2 и 10 М0, Препринт ИПМ № 106, 1—43.

НадежинД. К., 1976, Нейтринное излучение при образовании горячей нейтронной звезды и проблема выброса оболочки, Препринт ИПМ № 26, 1—38.

Н о й е с (Noyes R. W.), 1967, Observational studies of velocity field in the solar atmosphere and chromosphere. Summary-Introduction, в сб. «V Symp. Cosm. Gasdynam.», Nice 1965, Acad. Press, London —N. Y., 293—320.

Нордлунд (Nordlund A.), 1974, On convection in stellar atmospheres, Astron., Astrophys. 32, 407—422.

Hop д л у н д (Nordlund A.), 1976, A two-component representation of stellar atmospheres with convection, Astron., Astroph. 50, 25—39.

О г а н e ся н P. С., А б p а м я н M. Г., 1973, К магнитогидродинамической теории равновесия вращающихся самогравитирующих жидких фигур, Астрон. ж. 50, 996—1000.

О д ж е р с, Ку шва ха (Odgers G. F., Kushwaha R. S»), 1960, Shock waves in the atmosphere of a long-period variable, Puhi. Domin. Astroph. Obs. 11, 253—258.

Оорт (Oort J. H.), 1951, Взаимодействие оболочек новых и и сверхновых звезд с межзвездной средой, в сб. «Problems of Cosmical Aerodynamis», Dayton Ohio (русск. пер.: Проблемы космической аэродинамики, ИЛ, 1953). *

Осаки (Osaki Y.), 1974, An excitation mechanism for pulsations in P Cephei stars, Astroph. J. 189, 469—477.

Осаки, Ханзен (Osaki Y., Hansen C. J.), 1973, Nonradial oscillations of cooling white dwarfs, Astroph. J. 185, 277—292.

Острайкер (Ostriker J.), 1964, On the oscillations and the stability of a homogeneous compressible cylinder, Astroph. J. 140, 1529—1546.

Памятных A. A., 1974, Пульсационная неустойчивость модели звезды главной последовательности с массой 1,5 9Rq, Науч, информ. Астросовета АН СССР 29, 108—117.

Папалоизу, Бат (Papaloizou J. С. В., Bath G. Т.), 1975, Stellar stability in close binary systems, MNRAS 172, 339—357.

Паркер (Parker E. N.), 1964, Dynamical properties of stellar coronae and stellar winds, Astroph. J. 139, 690—709.

Паркер (Parker E. N.), 1965, Динамические процессы в межпланетной среде, «Мир».

Паркер (Parker Е. N.), 1966, The dynamical state of the interstellar gas and field, Astroph. J. 145, 811—833.

Паркер (Parker E. N.), 1970a, The origin of magnetic fields, Astroph. J. 160, 383—404.

Паркер (Parker E. N.), 1970b, The generation of magnetic fields in astrophysical bodies. Astroph. J. 162, 665—673.

Паркер (Parker E. N.), 1970c, The origin of solar magnetic fields, Ann. Rev. Astron., Astroph. 8, 1—30.

Паркер (Parker E. N.), 1972a, Topological dissipation and the small-scale fields in turbulent gases, Astroph. J. 174, 499—510.

Паркер (Parker E. N.), 1972b, Происхождение и динамические эффекты магнитного поля и космических лучей в диске Галактики, в сб. «Космическая газодинамика», «Мир», 198—216.

Паркер (Parker R.), 1971, The generation of magnetic fields in astrophysical bodies, Astroph. J. 166, 295—300.

Парсонс (Parsons S. B.), 1969, Model atmospheres for yellow supergiants, Astroph. J. Suppl. 18, 127—165.

Пахольчик А. Г., 1962, Проблема гравитационной неустойчивости сжимаемой среды, Астрон. ж. 39, 953—960.

Петрухин Н. С., 1969, Исследование влияния излучения на конвекцию в политропной атмосфере, Астрофизика 5, 615—622.

Пиддингтон (Piddington J.), 1973, Dynamo theories of the solar and galactic magnetic fields, Astroph. and Sp. Set 24, 259—267.

Пикельнер С. Б., 1954, Спектрофотометрическое исследование механизма возбуждения волокнистых туманностей, Изв. Кр. АО 12, 93—117.

Пикельнер С. Б., 1957, Диссипация энергии, нагрев и ионизация ударными волнами межзвездного газа, Астрон. ж. 34, 314—320.

Пикельнер С. Б., 1959, Структура магнито-гидродинамической ударной волны в частично ионизованном газе, ЖЭТФ 36, 1536—1541.

Пикельнер С. Б., 1965, Спиральные ветви и взаимодействующие галактики, Астрон. ж. 42, 515—526.

Пикельнер С. Б., 1966а, Динамика солнечной атмосферы, УФН 88, № 3, 505—526.

Пикельнер С. Б., 19666, Основы космической электродинамики, «Наука».

Пик е л ь н е р С. Б., 1967, Ионизация и нагрев межзвездного газа субкосмическими лучами: Образование облаков, Астрон. ж. 44, 915—929.

Пикельнер С. Б., 1973, Stellar winds and related phenomena in surrounding nebulae, Comm. Astroph. Sp. Phys. 5, 151—158.

Пикельнер С. Б., Щеглов П. В., 1968, Движение газа в диффузионных туманностях и звездный ветер, Астрон. ж. 45, 953—961.

П л а в е ц (Plave$ М.), 1958, Dynamical instability of the components of close binary systems, Mem. Soc. Roy. Sci. de Liege 20, 411—420.

П л а в e ц (Plavec M.), 1970, Rotation in close binaries, в сб. «Stell. Rotation», Proc. IAU Coll., ed. Sletteback, Dordrecht, 133— 146.

П л а в e ц (Plavec M.), 1973, Evolutionary aspects of circumstellar matter in binary systems, в сб. «Extend, atm. and circumst. mat. spectr. binary syst.», Dordrecht—Boston, 216—259.

Подстригая T.C., 1969, Сильные ударные волны в частично ионизованном водороде, Укр. физ. журн. 14, 1367—1377.

Половин Р. Э., 1960, Ударные волны в магнитной гидродинамике, УФН 72, вып. 1, 33—52.

Пономаренко 10. Б., 1969а, О возникновении турбу- летности в проводящей жидкости, Астрон. ж. 46, 117—122.

Пономарей ко Ю. Б., 19696, О генерации магнитного поля звезд конвективными движениями поверхностных слоев, Астрон. ж. 46, 376—385.

Порфирьев В. В., 1962, Устойчивость вращения звезд, Астрон. ж. 39, 1038—1040.

П о т т а ш (Pottasch S.), 1958, Dynamics of bright rims in diffusenebulae, Bull. Astron. Netherl. 14, 29—37.

Прендергаст (Prendergast K.), 1960, The motion of the streams in close binary systems, Astroph. J. 132, 162—174.

Прендергаст, Б e p б и д ж (Prendergast К., Burbidge G.), 1968, On the nature of some galactic X-ray sources, Astroph. J. 151, 183—188.

Прендергаст, T а а м (Prendergast К. H., Taam R. E.), 1974, Numerical simulation of the gas flow in close binary systems, Astroph. J. 189, 125—136.

Пресс, Виита, Смарр (Press W., Wiita P., Smarr L.), 1975, Mechanism for inducing synchronous rotation and small eccentricity in close binary systems, Astroph. J. 202, L 135—L 137.

Роджерс (Rogers M. H.), 1956, The propagation and structure of shock waves of varying strength in self-gravitating gas sphere, Proc. Roy. Soc. A235, 120—136.

Роксбург (Roxburgh J. W.), 1966a, On the fission theory of the origin of binary stars, Astroph. J. 143, 111—120.

Роксбург (Roxburgh J. W.), 1966b, On stellar rotation, Thermally generated magnetic fields, MNRAS 132, 201—220.

Роксбург (Roxburgh J. W.), 1974, Non-uniformly rotating self-gravitating compressible masses with internal meridian circulation. Astroph. and Sp. Sci. 27, 425—435.

Роксбург, Штриттматтер (Roxburgh J. W., Strittmatter P. A.), 1966, On stellar rotation, The structure of rotating stars, MNRAS 133, 345—358.

Росселанд C.,1952, Теорйя пульсаций переменных

звезд, ИЛ.

Роуз, Смит (Rose W. К., Smith R. L.), 1972, Nova hydrodynamics, Astroph. J. 172, 699—712.

Сакураи (Sakurai A.), 1956, Propagation of spherical shock waves in stars, J. Fluid Meeh. 1, 436—453.

Сакураи (Sakurai A.), 1960, On a problem of a shock wave arriving at the edge of a gas, Comm. Pure Appl. Math. 13, 553—570.

Свит (Sweet P. A.), 1950, The importance of rotation in stellar evolution, MNRAS 110, 548—558.

С гр о (Sgro A. G.), 1975, The collision of a strong shock with a gas cloud: a model for Cassiopeia A, Astroph. J. 197, 621—634.

Северный А. Б., 1945, Об устойчивости вращающегося газового шара, ДАН СССР 46, № 2, 57—60.

Северный А. Б., 1948, Об устойчивости и колебаниях газовых шаров и звезд, Изв. Кр. АО 1, ч. 2, 3—90.

С е дов Л. И.,. 1945, О некоторых неустановившихся движениях сжимаемой жидкости, ПММ 9, 293—311.,

Седов Л. И., 1957, О динамическом взрыве равновесия, ДАН СССР 112, № 2, 211—212.

С е д о в Л. И., 1965, Методы подобия и размерности в механике, «Наука».

С и л к, Вернер (Silk J., Werner М. W.), 1969, Heating of Н I regions by soft X-rays, Astroph. J. 158, 185—192.

Симон, Вейсс (Simon G. W., Weiss N. О.), 1968, Supergranules and the hydrogen convection zone, Zs. Astroph. 69, 435—450.

Скалафурис (Skalafuris A. J.), 1969, The structure of a shock front in atomic hydrogen, Stability, dissipation and propagation. Astroph. and Sp. Sci. 3, 234—257.

С м и т M. (Smith M. G.), 1973, Observations of gas motions in and near the central cavity of the Rosette nebula, Astroph. J. 182, 111—120.

Смит (Smith R. C.), 1970, Meridional circulation in rotating stellar astmospheres, MNRAS 148, 275—312.

Соболев В. В., 1947, Движущиеся оболочки звезд, ЛГУ.

Соболев В. В., 1975, Курс теоретической астрофизики, «Наука».

Сомов Б. В., Сыроватский С. И., 1967, Физические процессы в атмосфере Солнца, вызываемые вспышками, УФН 126, вып. 2, 217—257.

С п и г е л (Spiegel Е. А.), 1960, The convective instability of a radiating fluid layer, Astroph. J. 132, 716—728.

С п и г e л (Spiegel E. A.), 1963, A generalization of the mixing length theory of turbulent convection, Astroph. J. 138, 216— 225.

С п и г e л (Spiegel E. A.), 1964, The effect of radiative transfer on convective growth rates, Astroph. J. 139, 959—974.

С п и г e л (Spiegel E. A.), 1967, The theory of turbulent convection, в сб. «Aerodynamic phenomena in stellar atmospheres», Acad. Press., N. Y., 348—365.

С п и г e л (Spiegel E. A.), 1971, Convection in stars, Basic Boussinesq Convection, Ann. Rev. Astron. Astroph. 9, 323—352.

С п и г e л (Spiegel E. A.), 1972, Convection in stars, Special effects, Ann. Rev. Astron., Astroph. 10, 261—304.

С п и гe л, Вер онис (Spiegel E. A., Veronis G.), 1960, On the Boussinesq approximation for a compressible fluid, Astroph. J. 131, 442—447.

С п и г e л, Унно (Spiegel E. A., Unno W.), 1962, On the convective growth rates in a polytropic atmosphere, Publ. Astr. Soc. Japan 14, 28—32.

Спитцер (Spitzer L.), 1954, Behaviour of matter in space, Astroph. J. 120, 1—17.

Спитцер Л., 1965, Физика полностью ионизованного газа, «Мир».

Станюкович К. П., 1971, Неу становившиеся движения сплошной среды, «Наука».

Старрфилд (Starrfield^S.), 1971, On the cause of the nova outburst, MNRAS 152, 307—322.

Стейн (Stein R. F.), 1975, Thermal instability in supernovae shells, Astroph. J. 196, 565—570.

С т о б и (Stobie R. S.), 1969, Cepheid pulsation, MNRAS 144, 461—484; 485—510; 511—535.

Строке (Stroka W. C.), 1974. Numerical models of the evolution of supernova remnants: the shell-formation stage, Astroph. J. 190, 59—68.

Строке, Лада (Stroka W. С., Lada С. J.), 1975, Emission from supernova remnants, Thermal bremsstrahlung in the Sedov — Taylor phase, Astroph. J. 195, 563—566.

СыроватскийС. И., 1953, Об устойчивости тангенциальных разрывов в магнитогидродинамической среде, ЖЭТФ 24, 622—630.

С ю н я е в Р. А., III а к у р а Н. И., 1973, Черные дыры в двойных системах, Наблюдательные проявления, Astron. Astrophys. 24, 337—355.

Т а л у о р (Talwar S. Р.), 1959, Hydromagnetic stability of а conducting inviscid incompressible fluid of variable density, Zs. Asrtoph. 47, 161—168.

Таранов В. И., 1971, Ударные волны в газовых потоках в тесных двойных системах звезд-карликов, Астрофизика 7, 295—302.

Т е й л е р (Tayler R. J.), 1973, Convection in rotating stars, MNRAS 165, 39—52.

T e с с у л, Острайкер (Tassoul J. E., Ostriker J. H.), 1968, 1969, On the oscillations and stability of rotating stellar models, Astrophys. J. 154, 613—626; 155, 987—997.

T e с с у л, П e л ь e (Tassoul J. L., Pellieux G.), 1972, Nonlinear condensations in self-gravitating media, A numerical approach, Astroph. J. 171, 485—493.

T e с с у л Ж., T e с с у л M. (Tassoul J. L., Tassoul М.), 1972, Non-linear condensations in self-gravitating media, An analytical approach, Astroph. J. 171, 495—501.

T и д м а н (Tidman D. A.), 1958, Structure of a shock wave in fully ionized hydrogen, Phys. Rev. Ill, 1439—1455.

Тревис, Мацушима (Travis L. D., Matsushima S.), 1973, The role of convection in stellar atmospheres, Astroph. J# 180, 975—985; 182, 189—207.

Томас P., А т e й P., 1965, Физика солнечной хромосферы, «Мир».

Т р е х а н, У б е р о и (Trehan S., Uberoi М.), 1972, Magnetically distorted poly tropes: structure and radial oscillations, Astroph. J. 175, 161—169.

Уивер (Weaver H.), 1970, в сб. «Interstellar Gas Dynamics», ed. H. J. Habing (русск. пер. «Космическая газодинамика», «Мир», 1972).

Уитни (Whitney Ch.), 1956, Stellar pulsations, Ann. d’Astrophys. 19, 34—43, 142—164.

Уитни, Скалафурис (Whitney Ch. A., Skalafuris A. J.), 1963, The structure of a shock front in atomic hydrogen, The effects of precursor radiation in the Lyman continuum, Astroph. J. 138, 200—215.

Ульрих (Ulrich R.), 1970, Convective energy transport in stellar atmospheres, Astroph. and Sp. Sci. 7, 71—86; 183—200; 9, 80—95.

У н н о (Unno W.), 1969, Theoretical studies on stellar stability. II Undisturbed convective non-gray atmosphere, Publ. Astr. Soc. Japan 21, 240—262.

У н н о, Като, Макита (Unno W., Kato Sh., Makita M.), I960, Convective instability in polytropic atmospheres, Publ. Astr. Soc. Japan 12, 192—202.

У н н о (Unno W.), 1967, The stellar radial pulsation coupled with the convection, Publ. Astr. Soc. Japan 19, 140—153.

Унно, Спигел (Unno W., Spiegel E. A.), 1966, The Eddington approximation in the radiative heat equation, Publ. Astr. Soc. Japan 18, 85—95.

ФедороваА. B., 1973, Потери газа тесными двойными системами, Вестник ЛГУ № 19, 138—144.

Филд (Field G. В.), 1962, Thermal instabilities in the interstellar medium, в сб. «Distrib. and Motion Interstell. Matter Galaxies», N. Y.

Филд (Field G. B.), 1965, Thermal instability, Astroph. J. 142, 531—567.

Филд (Field G. B.), 1972, Теоретическое описание межзвездной среды, в сб. «Космическая газодинамика», «Мир», 64—93.

Филд, Голдсмит, Хабинг (Field G. В., Goldsmith D. W., Habing Н. J.), 1969, Cosmic-ray heating of the interstellar gas, Astroph. J. 155, L 155—158.

Ф и л д и др. (Field G. В. and other), 1968, Hydromagnetic shock waves and their infrared emission in HI region. Astroph. J. 151,953—975.

Франк-КаменецкийД.А., 1959, Физические процессы внутри звезд, Физматгиз.

Франк-Каменецкий Д. А., 1968, Лекции по физике плазмы, Атомиздат.

Фрике (Fricke К. J.), 1971, On global dynamical stability of rotating stars, Astron., Astrophys. 15, 329—331.

Фрике, Киппенхан (Fricke К., Kippenhahn R.), 1972, Evolution of rotating stars, Ann. Rev. Astron. Astroph. 10, 45—73.

Хабинг, Голдсмит (Habing H. J., Goldsmith D. W.), 1971, Heating of the interstellar medium by X-rays and by cosmic rays, Astroph. J. 166, 525—541.

Хантер (Hunter C.), 1964,. The development of gravitational instability in a self-gravitating gas cloud, Astroph. J, 139, 570—586.

Хатчингс, Уокер, Ом он (Hutchings J. В., Walker G. A., Aumon J. R.), 1971, Rapid spectral variations in Be stars, New techniques and results, IAU Coll. N 15, Bamberg, 279—285.

Хей л „с (Heiles C.), 1975, A modern look at «interstellar clouds», в сб. «Galactic Radio Astronomy IAU Symp. 60», ed. D. Reidel, 13—44.

X ёрнер (Hoerner S.), 1951, Eine Methode zur Untersuch- ung der Turbulenz der interstallaren Materie, Zs. Astroph. 30, 17—27.

X ё p н e p (von Наёгпег S.), 1958, Instationare Stossfronten und ihre Wechselwirkung, Fortschr. Phys. 6, 375—425.

Хилл (Hill S. J.), 1972, Hydrodynamic and radiative-transfer effects on an RR Lyrae atmosphere, Astroph. J. 178, 793—808. '

X о p едт (Horedt G.), 1970, Gravitational instability of polytropic gas spheres under external pressure, MNRAS 151, 81—86.

Хуан Ш-Ш., С т p у в e О. (HuangJSu-Shu, Struve O.), 1963, Вращение звезд и атмосферная турбулентность, в сб. «Звездные атмосферы», ИЛ, 323—368.

Циммерман (Zimmermann Н.), 1968, Zur Theorie der inter- stellaren Wolken neutralen Wasserstoffs, Astron. Nachr. 290, 193—239.

Чандрасекхар (Chandrasekhar S.), 1961, Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Chicago Univ. Press.

Чандрасекхар (ChandrasekharS.), 1964, A general variational principle governing the radial and non-radial oscillations of gaseous masses. Astroph. J. 139, 664—674.

Чандрасекхар (Chandrasekhar S.), 1973, Эллипсоидальные фигуры равновесия, «Мир».

Чандрасекхар, Л е б о в иц (Chandrasekhar S., Le- bovitz N\R.), 1963, Non-radiad oscillations and convective instability of gaseous masses, Astroph. J. 138, 185—199.

Чандрасекхар, Ферми (Chandrasekhar S., Fermi E.), 1953, Problems of gravitational stability in the presence of a magnetic field, Astroph. J. 118, 116—141.

Ч e п м e н С., К а у л и н г Т., 1960, Математическая теория' неоднородных газов, ИЛ.

Читре, Ш е вив (Chitre S. М., Shaviv G.), 1967, On the inversion of the density gradient at the fringe of the convection zone, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 57, N 3, 573—579.

Шварцман В. Ф., 1971, Ореолы вокруг черных дыр, Ас- трон. ж. 48, 479—488.

Шварцшильд М., 1961, Строение и эволюция звезд, ИЛ.

ШкловскийИ. С., 1962, Вспышки сверхновых и межзвездная среда, Астрон. ж. 39, 209—215.

Шкловский И. С., 1966, Сверхновые звезды, «Наука».

Штеенбек, Краузе, Р адлер (Steenbeck W., Krause F., Radler К. H.), 1966, Berechnung der mittleren Lorentz — Feld—starke (vkB) fur elektrisch leitendes Medium in turbulen- ter, dutch Coriolis-Krafte beeinflusster Bewegung, Zs. Naturforsch. 21a, 369—376.

Штриттматтер (Strittmatter P. A.), 1969, Stellar rotation, Ann. Rev. Astron., Astroph. 7, 665—684.

Эддингтон (Eddington A. S.), 1926, Internal constitution of the stars, Cambridge.

Эддингтон (Eddington A. S.), 1941, On the cause of Cepheid pulsation, MNRAS 101,482—194.

Эллиот, M и6 e p н (Elliot К. H., Meaburn J.), 1974, Observation of major ionization fronts in M 42 and M 8, Astroph. and Sp. Sci. 28, 351—364.

Элмергрин (Elmergreen B. G.), 1976, The ionization of cloud and in tercloud hydrogen by О and В stars, Astroph. J. 205, 405—408.

Эпик (Opik E. J.), 1950, Transport of heat and matter by convection in stars, MNRAS 110, 559—589.

Э p г м а Э. B., 1971, Конвекция в оболочках A—F звезд главной последовательности, Астрофизика 7, 605—609.

Э р г м а Э. В., 1972, Нелокальная модель конвекции для звездных оболочек, Научн. информ. Астросовета АН СССР 29, 33—43.

Э р г м а Э. В., М а с е в и ч А. Г., 1971, Convection in stars, Astron. Nachr. 93, 145—154.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аномальное сопротивление 31, 32

Белые карлики 82, 84, 255, 256, 282, 303, 304, 318, 323, 335, 341

Вариационный принцип 65—68, 73, 77, 79

Вириальный метод исследования устойчивости 70—73, 77, 82, 83, 242

Вихрь скорости 22, 103, 106, 132

Волна простая 21, 39, 40

— разрежения 41, 42, 277, 281

Волны магнитогидродинамические 36, 105, 187, 258

— магнитозвуковые 36, 105

— плотности 92, 93, 171

— энтропийные 103, 105

Высота однородной атмосферы (шкала высот) 143, 144, 152, 153, 224, 238, 265, 266, 296

Вязкость магнитная 123—125, 147 — молекулярная 25—27, 111, 112, 297, 304, 318

— турбулентная 27, 111, 112, 143, 296, 297, 300, 301, 307, 314, 316, 319, 328, 330, 333

Газомагнитные разрывы 185 —188

Галактическое магнитное поле 132,

Глобулы 216

Грануляция 227, 229

Давление излучения 287, 288

— магнитного поля 36, 186

Динамо механизмы генерации магнитного поля 128, 130—133, 300, 301

Диффузия магнитного поля 30, 124, 125, 127, 130

Длина перемешивания 113, 150—155, 221, 222

Долгопериодические переменные звезды 240, 257, 259—264

Закалка ионизационного равновесия 283, 284

Запутывание магнитного поля 125— 128

Затравочное поле 134

Звезды типа Be 291, 305—314 RR Лиры 235—237, 257, 259, 263, 266

RV Тельца 237, 257, 259'

Т Тельца 244

U Близнецов 339—341

UV Кита 244, 253, 254, 284

WR 287—289

Р Персея 243, 263

6 Щита 237

Зоны критической ионизации 233, 234

— НИ 109, 167—175, 180, 181, 205—20 9, 212, 213, 216, 217,- 290

Инварианты Римана 39—41

Колебательная неустойчивость 147, 162

Коллапс ядра звезды 244, 249

Колмогорова закон 114, 178—180, 230

Колмогорова — Обухова спектр 121, Корона Солнца 32, 101, 286, 311 Корреляционный тензор поля 116—

Космические лучи 94—96, 166—170, 176

Коэффициент непрозрачности 142, 143, 220, 221, 235, 253, 270

— температуропроводности 136, 143, 297

— теплопроводности 136, 156, 173, 338

Критерий Джинса 88—92, 158 — Шварцшильда 141, 160, 162, 164, 242, 243

Критическая точка Лагранжа 315

Лагранжевы координаты 23—25, 235, 275

Максвелловское распределение 13, 14

Меридиональная циркуляция 85, 292—299

Молекулы Н2 188—192

Молекулярный барьер 299

Новые звезды 244, 254—256, 271, 275, 280—282, 288, 335

Области Н I 166, 167, 170, 205, 206,

208, 209, 214

Столкновения с ионами 48, 167, 191 — электронные 48

Перестановочная неустойчивость 147

П-теорема 56

Планетарная туманность 32, 109,

Политропа 76, 79, 142, 147

Полость Роша 315

Потенциал скорости 22

Приближение Буссинеска 144, 163, 238

Проводимость 28—34

Процесс адиабатический 11, 13, 141, 194, 199

— изобарический 12

— изохорический 12

— изэнтропический 13

— обратимый И

Равновесие гидростатическое 74, 136, 141, 160, 220

— локальное термодинамическое 15, 263, 264

— лучистое 15, 141, 142, 220

— механическое 75

— термодинамическое 10, 14, 15, 76, 160

Равнораспределение энергии 126— 128, 132, 233

в ударной волне 47

Расширение газа в пустоту 41, 42, 58, 277—284

Ротационная неустойчивость 81

Рукав Галактики 85, 86, 175, 176

Сверхадиабатический градиент 140, 143, 144, 154, 219, 338, 340

Серая фотосфера 141, 142

Сила плавучести 134, 136, 137, 140, 141, 143, 144, 147, 151, 223, 2 51

«Слоновые хоботы» 214—216

Столкновения с атомами 48, 167, 155, 191

Тензор напряжений 25—27

— потока импульса 18, 27

Теорема о вириале 65, 69, 70, 76,

Теплопроводность лучистая 49, 140 — молекулярная 47, 136, 140

Топологическая диссипация 133

Ударная адиабата 43

— волна изотермическая 51, 104,

189, 271

Уравнение Бернулли 22, 23, 307

— теплопроводности 133

Уравнения Максвелла 29—35

Фигуры равновесия вращающейся жидкости 80, 81, 84

Характеристики 37—39, 263, 265, 327

Хромосфера Солнца 258, 259

Хромосферные вспышки 245, 254

Цефеиды 237, 239, 240, 257, 259, 262, 266

Число Гартмана 124

— Грассхофа 138

— Маха 115, 191, 192, 258

— Прандтля 138, 143

— Рейнольдса 108, 114, 124, 125, 130, 140, 148, 177, 328

магнитное 123, 131

— Релея 138—140, 142—144, 146— 148

— Тейлора 148

Энтальпия 12, 173, 186

ПРОБЛЕМЫТЕОРЕТИЧЕСКОЙАСТРОФИЗИКИ

Редакционная коллегия:

В. А. АМБАРЦУМЯН, Э. Р. МУСТ ЕЛЬ,А. В. СЕВЕРНЫЙ, В. В. СОБОЛЕВ

В. Г. ГОРБАЦКИИ

КОСМИЧЕСКАЯ

ГАЗОДИНАМИКА

524

Г 67

УДК 523

Космическая газодинамика. Горбацкий В. Г., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977, 360 стр.

Космическая газодинамика является ныне одним из важнейших разделов теоретической астрофизики, что, однако, еще недостаточно отражено в монографической и учебной литературе. Цель монографии — дать астрономам и специалистам в смежных областях представление о возможностях применения газодинамических методов в астрофизике и о разработанных при помощи этих методов моделях явлений, происходящих в звездах и межзвездной среде.

Книга рассчитана на аспирантов и научных раиит- ников — астрономов, физиков, механиков. Может быть использована студентами.

Табл. 3, илл. 19, библ. 360.

Виталий Герасимович ГорбацкийКОСМИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА(Серия: «Проблемы теоретической астрофизики»)М., 1977 г., 360 стр. с илл.Редактор И. Г. ВиркоТехн, редактор Н. В. КошелеваКорректоры Е. А. Белицкая, Н. Д. Дорохова

Сдано в набор 03.02.1977 г. Подписано к печати 14.06.1977 г, Бумага 84X108V32. Физ. печ. л. 11,25. Условн. печ. л.18,9. Уч.-изд. л. 18,48. Тираж 2300 экз. Т-08488. Цена книги 2 р. 10 к.

Заказ № 2016

Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография издательства «Наука»,Москва, Шубинский пер., 10

20605—093053 (02)-7720605—093053 (02)-77Главная редакция

20605—093

053 (02)-77

20605—093

053 (02)-77

ф из ико-математ ичес кой л итерат уры издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 7