Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ
С ВЕЩЕСТВОМ
Редактор Р.А. Бунатян
Оригинал-макет: Р.А. Бунатян
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 11.08.03. Формат 60x90/16.
ISBN 5-9221-0432-2ISBN 5-9221-0432-2Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 9,5. Заказ №
ISBN 5-9221-0432-2
ISBN 5-9221-0432-2
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
Оглавление
Предисловие4
Глава 1. Введение. Основныепонятия иопределения7
Глава 2. Дозиметрияионизирующихизлучений16
Глава 3. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом23
Ионизационные потери энергии тяжелых заряженных частиц24
Потери энергии при упругом рассеянии тяжелых заряженных частиц26
Многократное рассеяние тяжелых заряженных частиц29
Пробег тяжелых заряженных частиц33
Кривая Брэгга36
Каналирование38
Глава 4. Прохождение электронов через вещество63
Ионизационные потери энергии электронами63
Радиационные потери энергии электронами66
Глава 5. Взаимодействие гамма-излучения с веществом... 87
Глава 6. Взаимодействие нейтронов с веществом102
Глава 7. Взаимодействие античастиц с веществом114
Приложения 131
Приложение 1 132
П.1.1. Кинематика взаимодействия частиц 132
П.1.2. Импульсные диаграммы 138
Приложение 2. Таблицы 143
Литература149
Предметный указатель 151
250-летию Московского университета посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего учебного пособия положен курс лекций и семинарских занятий «Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом», в течение ряда лет читаемый автором на кафедре физики ускорителей высоких энергий физического факультета МГУ.
В настоящем пособии теоретический материал кратко излагается в начале каждого раздела. Выводы теоретических формул представлены в виде задач, которые даются с решениями вслед за изложением теории. Часть задач составлена автором и сотрудниками кафедры, другая — собрана из учебной и научной литературы. В конце каждого раздела представлено несколько задач без решений для самостоятельной работы.
В учебном пособии представлена оригинальная информация из периодической научной литературы: элементы теории Мольера, кривая Брэгга, взаимодействие античастиц с веществом и др. В заключительном разделе представлен табличный материал, часть которого связана с прохождением ионизирующего излучения через живые ткани и тканеэквивалентные среды.
В несколько меньшем объеме представлен материал по прохождению нейтронов через вещество. Он хорошо изложен в учебнике К.Н. Мухина «Экспериментальная ядерная физика».
При подготовке курса лекций и настоящего пособия автор ориентировался на подготовку студентов по специальностям «Физика», «Ядерная физика» и «Медицинская физика», которые последние годы развиваются на физическом факультете МГУ. Этим настоящее пособие отличается от уже существующих пособий по аналогичным курсам.
Учебное пособие может быть полезно студентам физических специальностей; студентам, специализирующимся по использованию ионизирующих излучений в медицине; студентам радиобиологам и радиологам, а также преподавателям настоящего курса и специалистам.
Автор выражает благодарность сотруднику кафедры С.М. Варзарю, аспирантам Л. В. Алексеевой и А. Б. Плотникову за большую помощь в подготовке настоящего пособия. С. М. Варза- рем подобрана и составлена значительная часть задач, в первую очередь в гл. 2, 3 и 4. Л. В. Алексеева руководила подготовкой электронной версии настоящей работы. Помощь в подготовке пособия также оказывал студент А. В. Белоусов.
Автор выражает искреннюю признательность за внимание, рекомендации при подготовке настоящего пособия профессору В. К. Гришину и доценту Е. К. Козловой.
Автор будет признателен всем, кто выскажет пожелания по совершенствованию настоящего пособия. Их следует направлять по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы. МГУ, физический факультет, кафедра физики ускорителей высоких энергий.
Работа поддержана грантом Президента РФ НШ-1619.2003.2
Обозначения
а — а-частицы, ядра 2 Не
р — протон
d — дейтроны, ядра ^Не
t — тритоны, ядра |Не
Е — энергия частицы, полная или относительная (МэВ)
S — удельные потери энергии (МэВ/см)
J — поток частиц
А — атомный вес
Z — заряд ядра
х — заряд налетающей частицы
р — импульс налетающей частицы
I — интенсивность пучка
р — плотность потока частиц
N — число частиц
п — число атомов среды в единице объема
j — ток пучка, электрический заряд в единицу времени (К/с)
р — плотность пучка
— эмиттанс пучка
1е — интенсивность излучения (плотность потока энергии)
Т — энергия, передаваемая атому
b — параметр наибольшего сближения
аь — параметр экранирования
ЛСК — лабораторная система координат
СЦИ — система центра инерции
Т — кинетическая энергия или энергия, переданная в результате взаимодействия
1ИОН — потенциал ионизации атома
Ткр — критическая энергия
V — частота электромагнитного излучения
А — длина волны
Ед — число Авогадро
R — пробег частицы в веществе
— параметр, характеризующий эффект плотности
Ra — радиус атомного ядра
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ»
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В атомной и ядерной физике доминируют три вида взаимодействия излучения с веществом: электромагнитное, слабое и сильное. Вкладом гравитационного взаимодействия пренебрегают вследствие его малой величины.
Сильное взаимодействие наиболее интенсивное. При прохождении частиц через вещество оно проявляется как в процессах непосредственного взаимодействия (ядерных реакциях с захватом одних частиц ядром и образованием других), так и в процессах распада ядер и частиц. Для него характерно большое сечение взаимодействия 10-24-10-27 см2. В некоторых случаях (например, резонансного захвата) при взаимодействии нейтронов с ядрами сечение может быть больше: 10-20 см = 104 б (16 = 10-24см2). Сильное взаимодействие со средой происходит при прохождении через нее адронов (р, п, атомных ядер).
Ионы могут сохранять на оболочке часть электронов, что уменьшает роль сильного взаимодействия.
Электромагнитное взаимодействие — второе по интенсивности. Оно определяет взаимодействие заряженных частиц и 7- квантов с атомами среды. Сечение взаимодействия с атомными ядрами существенно ниже, чем сильного. Дальнодействующий характер взаимодействия определяет в большей части рассматриваемого интервала энергий излучений доминирующую роль взаимодействия с атомами. Процессы электромагнитного распада протекают в 102—103 раз медленнее сильных процессов.
Слабые взаимодействия в 106 раз слабее сильных и настолько же медленнее протекают. Частицы, распадающиеся в слабых процессах, проходят путь 10-100 см.
По механизму прохождения через вещество частицы условно делятся на четыре группы:
тяжелые заряженные частицы (а, р, d^ Z, легкие и тяжелые ионы);
легкие заряженные частицы (е“, е+, //±, 7Г±);
7-излучение;
нейтроны.
Ниже подробно рассматриваются процессы взаимодействия со средой 7-квантов, заряженных частиц и нейтронов. Описываются основные механизмы взаимодействия заряженных частиц с веществом — ионизационное торможение, упругое рассеяние, тормозное, черепковское, синхротронное и переходное излучения, вклад ядерных реакций; взаимодействие 7-квантов с веществом — фотоэффект, эффект Комптона, образование электронно-позитронных пар, когерентное рассеяние и ядерный фотоэффект; взаимодействие нейтронов с веществом — ядерные реакции с участием нейтронов; некоторые данные о взаимодействии античастиц с веществом.
Чтобы описать движение отдельной частицы в веществе, необходимо знать ее массу т1 заряд z, энергию Е, импульс р. К основным характеристикам вещества относятся его плотность с, средний потенциал ионизации Z, атомный номер А и заряд Z образующих вещество элементов.
Взаимодействие ионизирующей частицы с атомами и ядрами вещества может быть упругим или неупругим.
Упругим рассеянием называется процесс взаимодействия частиц, при котором сохраняется полная кинетическая энергия всех взаимодействующих частиц, но происходит ее перераспределение между частицами:
МИН ГКИН/1 1 \
Неупругим рассеянием называется процесс взаимодействия частиц, при котором часть полной энергии расходуется на возбуждение внутренних степеней свободы атома или ядра, энергию излучений или образующихся частиц:
Енач — ^кон Евоз5 .(1.2)
Информацию о вероятности процесса или механизме ядер- ной реакции можно получить с помощью эффективного сечения соответствующего процесса.
При прохождении через вещество ионизирующие излучения заряженных частиц и нейтронов взаимодействуют с атомами
(атомными ядрами и атомными электронами). Энергии ионизирующих излучений, представляющих интерес для их применения в задачах радиационной физики и химии, техники, медицины, биологии и т.д., составляют от единиц электрон-вольт до 100 МэВ. Свойства ионизирующих излучений рассматриваются в этом интервале энергий.
Известно четыре вида взаимодействия, в которых могут участвовать частицы, входящие в состав ионизирующих излучений. Их свойства представлены в табл. 1.
Таблица 1
Взаимодействие
свз
Частицы
Кванты
m, МэВ
^ЖИЗН 5
С
Рассто
яние, см
сильное
1
адроны (кварки)
глюоны
0
10-23Ч-
Ч-Ю-20
~ кг13
электромагнитное
ю-2
заряженные частицы
фотоны
0
Ю-18
ОО
слабое
10"6
все
частицы
w± z°
80
91
10"12
10"16
гравитационное
10-2°
все
частицы
гравитоны
0
ОО
Интегральное эффективное сечение ст определяется на основании соотношения
(1-3)(1-3)ТУвз
(1-3)
(1-3)
NnS ’
где N — число частиц (поток), падающих на 1 см2 тонкой мишени, 7VB3 — полное число взаимодействий в 1 см2 тонкой мишени, тг — концентрация ядер в единице объема мишени, 5 — толщина
мишени.
Реакции, в начальном и конечном состояниях которых имеются по две частицы, характеризуются спектрами и дифференциальным эффективным сечением рассеяния.
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния dat'd,ф,ЕА
—v^связано с интегральным сечением соотношениями
(1.4а)
(1-46)
где dQ = sin OdO dtp — телесный угол, в который рассеиваются частицы, в и tp — полярный и азимутальный углы частиц.
Формула (1.4а) описывает энергетическую зависимость сечения, проинтегрированную по всем углам, а (1.46) — угловую зависимость сечения, проинтегрированную по всем энергиям.
Спектром частиц в реакции а + А —> b + В называется зависимость числа частиц продуктов реакции, вылетающих в телесный угол dQ, и имеющих энергию в интервале (S, Е-V йЕ\ от угла dQ. = sin 6 d0 dtp и энергии Е:
dE dndE d^dE dndE d^(1-5)(1-5)
dE dndE d^
dE dndE d^
(1-5)
(1-5)
Дифференциальные эффективные сечения рассеяния ^^ф^ и do-lEA
,'„ ' связаны со спектрами частиц соотношениями
<И^)dQ,dcr^dE<И^)dQ,dcr^dEdEd^. ’dEd^. ’1"End1"EnddE d?LdE d?L(1.5a)(1.56)(1.5a)(1.56)
<И^)dQ,dcr^dE
<И^)dQ,dcr^dE
dEd^. ’
dEd^. ’
1"End
1"End
dE d?L
dE d?L
(1.5a)
(1.56)
(1.5a)
(1.56)
Зависимость дифференциального эффективного сечения ^^ от углов 6 и tp называют угловым распределением частиц, образующихся в реакции.
Эффективное сечение обычно измеряют в барнах или его производных:
1 б = 10 СМ =10 М ,
поэтому наглядно его можно рассматривать как эффективную площадь мишени, попадая в которую частицы вызывают определенную реакцию.
Одними из основных характеристик являются потери энергии и полный пробег.
Удельными потерями энергии или линейной тормозной способностью вещества S называются потери частицей энергии на единицу пути:
5 =5 =dE dxdE dx(1-6)(1-6)
5 =
5 =
dE dx
dE dx
(1-6)
(1-6)
Принято измерять удельные потери энергии в МэВ/см.
Удельная ионизация — это число пар ионов, образующихся в веществе на единице длины пробега.
Удельная ионизация U и удельные потери энергии S связаны соотношением
где W — средняя энергия, затрачиваемая на образование одной пары ионов.
Тормозная способность вещества сильно зависит от его плотности, поэтому потери энергии удобно характеризовать через массовую тормозную способность Sm^ которая соответствует удельным потерям энергии в слое поглощающего материала толщиной 1г/см2:
SM=-S = --^(1.8)
р р dx
где р — плотность вещества.
Размерность массовой тормозной способности МэВ/(г/см2).
Различают атомную Sa и электронную Se тормозную способность:
S = SenZ = 5д—pZ,(1.9)
где n, Z, Л — соответственно количество атомов в единице объема, заряд ядра и вес атома вещества.
В случае прохождения частицы через среду, содержащую атомы разного сорта, тормозная способность вещества определяются правилом Брэгга (композиционный закон Брэгга): если вещество представляет собой химическое соединение, то его
тормозная способность складывается с соответствующими весами из тормозных способностей составляющих его химических элементов:
1 dE _ 1 / 1 <ZS\р dx М Пг \ р dx )
где М — молекулярный вес соединения, тц — количество атомов г-го сорта с атомным весом Л^ в единице объема.
Л/, отн. ед.Л/, отн. ед.О 1О 1Рис. 1.1. Зависимость числа частиц от глубины проникновения в вещество пучка а) протонов или ионов; б) электроновРис. 1.1. Зависимость числа частиц от глубины проникновения в вещество пучка а) протонов или ионов; б) электронов
Л/, отн. ед.
Л/, отн. ед.
О 1
О 1
Рис. 1.1. Зависимость числа частиц от глубины проникновения в вещество пучка а) протонов или ионов; б) электронов
Рис. 1.1. Зависимость числа частиц от глубины проникновения в вещество пучка а) протонов или ионов; б) электронов
Максимальным пробегом называется толщина слоя вещества R^ в котором задерживаются все частицы пучка.
Средним пробегом называется слой вещества Rcpi который проходят частицы в среднем:
VNiXi FxN(xAdx..
(L11)
где N^ — число частиц, прошедших слой х^.
Флуктуации длины пробега называются разбросом пробега частиц или стрэгглингом.
Для тяжелых заряженных частиц зависимость числа частиц в пучке от пробега в веществе изображена на рис. 1.1, а. Для легких заряженных частиц вводятся понятия как среднего, так и максимального пробега. Для электронов часто используется понятие экстраполированного пробега (рис. 1.1, б).
Для нейтронов вместо понятия пробега вводится понятие ослабления пучка:
N = Noe"^(1.12)
где ст — сечение взаимодействия, п — количество атомов в единице объема, ^ — число частиц, падающих на единицу площади в единицу времени (поток) ж — глубина проникновения пучка в среду.
Аналогично по экспоненциальному закону ослабевает и интенсивность излучения 7-квантов:
N = Noe-^
(1-13)
где // характеризует вещество и называется коэффициентом поглощения.
Массовым коэффициентом поглощения называется величина
Ир = - [см2/г].
(1-14)
Характеристиками пучка частиц являются тип частиц, их энергия, продольный и поперечный импульсы, интенсивность, пространственное и энергетическое распределения, временная структура.
/, отн. ед.
/, отн. ед.
t, мкс
/, отн. ед.
t, мкс
Рис. 1.2. Примеры непрерывного (а), (6) и импульсного (в) пучков ускорителя
Отношение числа частиц, переносимых пучком за определенный промежуток времени, к величине этого промежутка называют интенсивностью пучка I. Пучки бывают непрерывными и импульсными. Непрерывным называется пучок, интенсивность которого либо не меняется во времени, либо, когда импульсы следуют с одинаковой частотой (рис. 1.2). Импульсным называется пучок, в котором с одинаковой частотой следуют пучки импульсов.
Интенсивность импульсного ускорителя определяется двумя параметрами: частотой импульсов в секунду v и количеством частиц в импульсе N:
I — Nv. (1.15)
Отношение электрического заряда Q, переносимого пучком заряженных частиц за определенный интервал времени, к величине этого интервала М называют током пучка.
Различают мгновенный, средний и импульсный токи пучка. Мгновенный ток пучка jMrH — предел отношения электрического заряда AQ, переносимого пучком заряженных частиц за интервал времени Ai, когда последний стремится к нулю:
7мгн = д™0^- (1Л6)
Средний ток пучка jcp — отношение электрического заряда Q, переносимого пучком заряженных частиц за промежуток времени, равный периоду появления импульсов Тимп, к этому промежутку времени:
J=p = ^-. (1.17) имп
Импульсный ток пучка jHMn — отношение электрического заряда AQ, переносимого пучком заряженных частиц в течение импульса тока, к длительности этого импульса тимп:
3™ = —• (1.18)
Тимп
Временная структура пучка характеризуется величиной, называемой скважностью:
7имп ^ИМП1
«СКВ = ” = •(1-19)
Jcp Тимп
Отношение величины разброса частиц по энергии AS к среднему значению энергии пучка Е называют энергетическим разрешением пучка R3H:
АЕ
яэн = — • юо%.(1.20)
Зависимость числа частиц, приходящихся на единицу объема, от координат называют пространственным распределением частиц.
Координаты частицы при попадании в мишень могут быть рассчитаны, если известны координаты и импульсы частицы в горизонтальном (ж, рх) и вертикальном (z, р^ направлениях на выходе из ускорителя. Вместо поперечных импульсов рх и ра можно использовать углы отклонения
~ Рхdxpzaz
ахи — = —, аги — = —,(1.21)
рdyрay
где р — продольный импульс частицы, у — ее продольная координата.
Изменение размеров пучка до попадания в мишень удобно описывать в фазовом пространстве — шестимерном координатно-импульсном пространстве, в котором каждой частице соответствует определенная точка (у, ж, z, р, pxipz\ Объем, который занимает пучок частиц в фазовом пространстве, называется фазовым объемом.
Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый объем, занимаемый пучком частиц, остается неизменным при движении частиц в отсутствие диссипативных сил, хотя его положение и форма могут изменяться.
Вертикальным (радиальным) эмиттансом называется величина s^ (s^), представляющая собой площадь проекции фазового объема пучка на соответствующую фазовую плоскость (г,аг) «х^а^.
На выходе из ускорителя эмиттанс пучка — это эллипс, площадь которого равна
_ л max_л max
— Я^шах^ >— ^^max^x •
Вертикальным (радиальным) нормализованным эмиттансом называется не зависящая от импульса р величина
£норм,2: — £ z3^ >£норм,ж — ^хЗЧ 1(1.23)
где /3 = t;/c, 7 = 1/^/1 — /З2, v и с — соответственно скорость частицы и скорость света.
ДОЗИМЕТРИЯ
ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Ионизирующим излучением называется поток заряженных или нейтральных частиц, при взаимодействии которых с веществом образуются электрические заряды различных знаков.
Характеристиками ионизирующего излучения являются тип частиц, их энергия, направление распространения, интенсивность, энергетическое, пространственное и временное распределения.
В зависимости от состава излучения различают однородное и смешанное ионизирующие излучения. Излучение, состоящее из частиц одного вида, является однородным, из двух и более видов — смешанным.
Моноэнергетическое ионизирующее излучение создается частицами с одинаковой энергией. Если энергия частиц различна, излучение является немоноэнергетическим. Так, /3-излучение и тормозное излучение — примеры немоноэнерге- тического излучения. Примером моноэнергетического излучения может служить вылет о-частиц определенной энергии при распаде радионуклидов.
По характеру распространения в пространстве выделяют направленное и ненаправленное излучения. Если в рассматриваемую точку пространства излучение приходит только по одному направлению, то такое излучение является направленным. Излучение, приходящее в рассматриваемую точку по нескольким направлениям, называется ненаправленным. Вид ненаправленного излучения, не имеющего преимущественного направления распространения, принято называть изотропным. К направленному излучению относятся, например, излучение точечного
источника или пучка частиц из ускорителя, а к ненаправленному — рассеянное излучение.
При прохождении ионизирующего излучения через вещество принято выделять две его составляющие: первичное и вторичное излучения.
Первичным ионизирующим излучением называется излучение, состоящее из частиц, которые получены на ускорителе или из источников радиоактивного излучения.
Вторичным ионизирующим излучением называются виды излучения, образующиеся при взаимодействии первичного излучения с веществом.
Для вторичного излучения характерны следующие особенности:
интенсивность пропорциональна интенсивности первичного излучения;
энергетическое и пространственное распределения частиц вторичного излучения не зависят от аналогичных характеристик первичного излучения.
Примером вторичного излучения являются: тормозное излучение, образующееся при облучении электронами мишени, и пучки нейтронов, возникающие при облучении мишени протонами.
Потоком (флюенсом) N называется число частиц излучения, переносимых через единичную поверхность за некоторый промежуток времени.
Отношение изменения потока dN за промежуток времени dt к длительности этого промежутка есть плотность потока частиц у>:
Интенсивность излучения (плотность потока энергии) 1в — это энергия, переносимая излучением в единицу времени через единицу площади:
dN
Ie = ^°"^" =(2.2)
где Е — энергия моноэнергетического излучения. Единицей измерения интенсивности излучения служит Дж/(м2-с).
Основной причиной радиационных эффектов в веществе является поглощение энергии облучаемым объектом. Ее мерой в дозиметрии принята поглощенная доза. Поглощенная доза D — это поглощенная энергия излучения Е, рассчитанная на единицу массы облученного вещества:
_ dE1 dE
D = — =dmps dx
где p и s — соответственно плотность вещества и площадь, на которую падает энергия Е. Поток энергии излучения на единицу площади:
dE
В системе СИ поглощенная доза измеряется в греях (Гр). 1Гр равен поглощенной дозе излучения, при которой веществу массой 1кг передана энергия 1Дж. Кроме единицы грей используется внесистемная единица дозы излучения рад:
1рад = 10“2Гр.(2.4)
Кроме поглощенной дозы вводятся понятия экспозиционной и эквивалентной доз.
Экспозиционная доза излучения Дэксп представляет собой характеристику излучения фотонов и оценивается по числу зарядов одного знака, образующихся при облучении в единице массы воздуха:
Рэксп =(2-5)
Единицей измерения экспозиционной дозы излучения в СИ служит кулон на килограмм. На практике экспозиционную дозу чаще измеряют в рентгенах (Р). 1 Р равен 1 единице СГСЭ заряда, образующегося в 1 см3 воздуха при нормальных условиях:
1Р = 2.58-10"4 Кл/кг.
Внесистемная единица 1 фэр — доза любого ионизирующего излучения, при котором энергия, поглощенная в 1г облучаемого вещества, равна потере энергии на ионизацию, создаваемую в 1 г воздуха дозой в 1 Р 7-лучей:
Различные виды излучения при прочих равных условиях вызывают разный биологический эффект. Для оценки биологического действия излучения вводится понятие эквивалентной дозы излучения. Она равна произведению поглощенной дозы на коэффициент качества излучения К, характеризующего относительную биологическую эффективность излучения:
D3KB = KD.(2.6)
Значения коэффициентов качества для различных видов излучения приведены в табл. 2.
Таблица 2
Относительная биологическая эффективность различных видов излучения
Вид излучения
к
Рентгеновское и 7-излучения
1
Электроны
1
Протоны
10
а- Частицы
20
Медленные нейтроны (10-50 кэВ)
3
Быстрые нейтроны (>50кэВ)
10
Тяжелые ионы
20
Для смешанного излучения эквивалентная доза равна
Пт=£кД,(2.7)
где К^ — коэффициент качества г-го излучения, поглощенная доза которого равна Di.
В системе СИ установлена единица измерения эквивалентной дозы излучения зиверт (Зв). Эквивалентная доза 1 Зв соответствует поглощенной тканью дозе излучения, биологически эквивалентной дозе 1Гр 7-излучения. Применяют также внесистемную единицу эквивалентной дозы — бэр (биологический эквивалент рентгена):
тью дозы:тью дозы:Изменение дозы в единицу времени называется мощнос
тью дозы:
тью дозы:
(2-9)(2-9)_ dD
(2-9)
(2-9)
- "dt'
В зависимости от типа дозы различают мощность поглощенной дозы, мощность эквивалентной дозы и мощность экспозиционной дозы. Если известна временная зависимость мощности дозы, то дозу за некоторый интервал времени от t^ до t^ можно рассчитать по формуле
D = J P(t) dt. (2.10)
Связь между мощностью экспозиционной дозы Рэксп, интенсивностью I и потоком 7-излучения с энергией Е определяется выражением
Р = pkI = pkNE, (2.11) где р,к — коэффициент передачи энергии. Для 7-излучения до 10 МэВ его можно принять равным коэффициенту поглощения энергии. Коэффициенты поглощения энергии для 7-излучения в разных средах представлены в табл. 6 Приложения.
Активностью радиоактивного вещества называется число актов распадов в единицу времени. Единицей активности в СИ является беккерель (1Бк), равный активности изотопа, в котором в 1с происходит 1 распад. Также активность может измеряться в кюри (1Ки):
1 Ки = 3.7 • 1010 Бк.
ЗАДАЧИ
Какому числу пар ионов в м3 и какой поглощенной энергии в Дж/кг, МэВ/кг и МэВ/м3 соответствует доза в 1 Р?
Решение. Согласно определению
1 р _ КЭсгсэ1 см31 р _ КЭсгсэ1 см33.34-10“10Кл10-6 м33.34-10“10Кл10-6 м3= 3.34 • 10-4 Кл/м3.= 3.34 • 10-4 Кл/м3.
1 р _ КЭсгсэ
1 см3
1 р _ КЭсгсэ
1 см3
3.34-10“10Кл
10-6 м3
3.34-10“10Кл
10-6 м3
= 3.34 • 10-4 Кл/м3.
= 3.34 • 10-4 Кл/м3.
Разделив полученное значение на плотность воздуха при нормальных условиях свозд = 1.293кг/м3, получаем эквивалент рентгена в Кл/кг:
1Р = 2.58 • 10-4 Кл/кг.
Так как элементарный заряд равен е = 1.602 • 10 19 Кл, число пар ионов, соответствующих 1Р, равно
S3 2.08 • 1015.S3 2.08 • 1015.3.34-10"4Кл
S3 2.08 • 1015.
S3 2.08 • 1015.
1.602 • 10"19 Кл
Средняя энергия, затрачиваемая на образование одной пары ионов в воздухе, — примерно 34эВ, отсюда поглощенная доза, соответствующая экспозиционной дозе 1Р, составляет
1Р S3 2.08-1015м"-34эВ to 7.1-1010 МэВ/м3 S3 5.47-1010 МэВ/кг.
Рассчитать интенсивности излучения и плотности потоков у-квантов^ имеющих энергию фотонов 1 МэВ, если мощность экспозиционной дозы в воздухе и в алюминии — 0.1 Р/с.
Решение. В табл. 6 Приложения находим, что для 7- излучения с энергией 1 МэВ коэффициенты линейной передачи энергии в алюминии //д1 и воздухе рв равны 0.072 и 0.0361 см-1 соответственно. Следовательно, используя (2.11), имеем
Р 0 1Р/с
ZAi ==:1.39Р-см/с^ 1.57 • 10"4 эВ/с -м2,
Mai 0.072см"177’
Iв = — =ОЛР/С ~ 2.77 Р - см/с S3 3.13 • 10"4эВ/с -м2.
/zB 0.0361см"1''
Разделив полученные значения для интенсивности излучения на энергию 7-квантов, находим их плотности потоков:
^А1 ^А1=^-^А1 ^А1=^-1.57 • 10"10 МэВ/с • м21.57 • 10"10 МэВ/с • м21МэВ1МэВ= 1.57- 10"10 с"1 -м"2= 1.57- 10"10 с"1 -м"2УвУв/вЕ/вЕ3.13 • 10"10 МэВ/с • м23.13 • 10"10 МэВ/с • м21МэВ1МэВ= 3.13 • 10“10с-1= 3.13 • 10“10с-1м 2м 2
^А1 ^А1=^-
^А1 ^А1=^-
1.57 • 10"10 МэВ/с • м2
1.57 • 10"10 МэВ/с • м2
1МэВ
1МэВ
= 1.57- 10"10 с"1 -м"2
= 1.57- 10"10 с"1 -м"2
Ув
Ув
/в
Е
/в
Е
3.13 • 10"10 МэВ/с • м2
3.13 • 10"10 МэВ/с • м2
1МэВ
1МэВ
= 3.13 • 10“10с-1
= 3.13 • 10“10с-1
м 2
м 2
косвенно ионизирующим излучением в единице массы облучаемого вещества. В случае фотонного излучения, если пренебречь энергией, которую образующиеся частицы тратят на тормозное излучение, экспозиционная доза и керма связаны между собой следующим соотношением:
(2.12)(2.12)_ еК
(2.12)
(2.12)
эксп ^’
где е — элементарный заряд, W — средняя энергия ионизации в газе.
При ионизации воздуха 7-квантами W = 34 эВ, следовательно, выделившаяся в 0.01м3 энергия равна
ЕВЫд = 7.5 • 1010 •34эВ = 2.55 • 1012 эВ,
отсюда получаем, что
2.55 • 1012-1.6-10"19Дж/м3_7тт /
К =s'-— ss 3.16 • 10-7 Дж/кг,
1.293кг/м3
или в расчете на 1 г
К = 3.16 • 10-10 Дж/г.
Задачи для самостоятельного решения
В вакууме находится сферическая поверхность, равномерно покрытая тонким непоглощающим слоем радиоактивного нуклида, испускающего 7-излучение с полной энергией 2 • 107 МэВ в 1 с. Чему равна интенсивность излучения на расстоянии 1м от центра сферы, если ее радиус равен 0.5 м?
В человеческом теле содержится около 18% углерода. Рассчитать активность человеческого тела и поглощенную дозу, обусловленную /3-распадом 14С. Отношение количества ядер 14С/12С = 1.2 • 10"12, Ер = 0.05МэВ.
Найти мощность экспозиционной дозы в Р/мин на расстоянии 200 см от точечного источника 7-излучения с энергией 0.7 МэВ активностью 2 • 107 Бк.
Экспериментатор находится в центральном реакторном зале в поле смешанного излучения. Мощность поглощенной дозы в биологической ткани, создаваемая быстрыми и тепловыми нейтронами и 7-излучением, равна 0.9, 1.3 и 2.1 мрад в сутки соответственно. Определить мощность дозы в миллибэрах в неделю для шестидневной рабочей недели.
Глава 3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕТЯЖЕЛЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦС ВЕЩЕСТВОМ
Потери энергии тяжелой заряженной частицей в веществе происходят при взаимодействии с атомами среды. В общем случае при столкновении частицы массы та с атомом массы Мд оказываются возможными различные каналы реакции:
та + Мд —> та + Мд — упругое рассеяние;
та + Мд —> та + Мд — неупругое рассеяние с возбуждением атома;
та + Мд —> т!а + Мд + тпе — неупругое рассеяние с ионизацией атома;
та + Мд -^ maY + та2 Нк МА1 + МА2 Нядерные реакции;
прочие каналы (перезарядка, тормозное излучение и т.д.).
Процесс потери частицей энергии в результате ионизации атомов среды называют ионизационным торможением. Ионизационное торможение характеризуется удельными ионизационными потерями энергии.
Удельными ионизационными потерями энергии 5ИОН называются потери энергии на единицу пути, происходящие вследствие ионизационного торможения частицы:
Для тяжелых заряженных частиц определяющий вклад в тормозную способность вещества дают неупругие столкновения частицы с атомами среды, приводящие к возбуждению и ионизации атомов. Процессы ионизации оказываются наиболее существенными при энергии на нуклон г > 10 кэВ/нуклон, поэтому
удельные ионизационные потери тяжелых заряженных частиц 5ТЯЖ в веществе примерно равны тормозной способности:
5тяж5тяж5ион5ион(3.2)(3.2)
5тяж
5тяж
5ион
5ион
(3.2)
(3.2)
Ионизационные потери энергиитяжелых заряженных частиц
Если скорость заряженной частицы и много больше средней скорости электронов в атоме среды < ve >, то величина удельных ионизационных потерь определяется формулой Бете-Блоха:
5ион5ион2mcv22mcv2/ион(1-/32)/ион(1-/32)dE\4?rz2e4 _ Г1
5ион
5ион
2mcv2
2mcv2
/ион(1-/32)
/ион(1-/32)
—= — Zn In
(з.з)(з.з)^/ионте^ L
(з.з)
(з.з)
где z, /3 = и/с — заряд и относительная скорость частицы;
Z^ п — заряд и плотность числа атомов среды; 1ИОН — I^Z — средний потенциал ионизации (/о — 10 ^ 13 эВ); 8, U — па
раметры, учитывающие соответственно релятивистский эффект
поляризации среды и энергию связи электронов на оболочках К, L и т.д. (5 и U получают из экспериментов).
В случае оценочных расчетов после подстановки известных постоянных величин и пренебрежения параметрами 8 и U соотношение (3.3) приобретает вид
„( dE\S„oh= -^- =3.05-10у аж / ион„( dE\S„oh= -^- =3.05-10у аж / ион,5^2Р,5^2РАр2Ар2,/З211.2+ п /,/З211.2+ п /-р2 [МэВ/см],-р2 [МэВ/см],(3-4) где А — массовое число ядер вещества среды, р — плотность(3-4) где А — массовое число ядер вещества среды, р — плотность
„( dE\
S„oh= -^- =3.05-10у аж / ион
„( dE\
S„oh= -^- =3.05-10у аж / ион
,5^2Р
,5^2Р
Ар2
Ар2
,/З2
11.2+ п /
,/З2
11.2+ п /
-р2 [МэВ/см],
-р2 [МэВ/см],
(3-4) где А — массовое число ядер вещества среды, р — плотность
(3-4) где А — массовое число ядер вещества среды, р — плотность
среды.
Переводной коэффициент 3.05 • 105 имеет размерность [см2 • МэВ/г].
Для массовой тормозной способности формула Бете-Блоха может быть представлена в виде
1 dE 47rz2NAe4 1 Г 2тег2 2"
5м = —-т- = 2—и 1п Wm- Р — o — U ,
р ах mev^ к— Р )
(3-5)
где р — плотность вещества, Na = 6.022 • 1023 моль-1 — число Авогадро, к = A/Z ^ 2^2.6 — коэффициент, характеризующий вещество. Так как для различных веществ к меняется в довольно узких пределах, массовая тормозная способность практически не
зависит от типа вещества.
Рис. 3.1. Удельные ионизационные потери энергии в зависимости от энергии частицРис. 3.1. Удельные ионизационные потери энергии в зависимости от энергии частицВ области малых энергий сильны явления перезарядки. Эффективный заряд частицы Хэф определяется соотношением вероятности захвата и потери электрона. Сечения этих процессов соответственно составляют
Рис. 3.1. Удельные ионизационные потери энергии в зависимости от энергии частиц
Рис. 3.1. Удельные ионизационные потери энергии в зависимости от энергии частиц
^пот — 7Га0^эф^^пот — 7Га0^эф^
^пот — 7Га0^эф^
^пот — 7Га0^эф^
__ „„2 yl/3 2 /^У
^захв — IVd^Z X J *
^захв^захвУ“5 ~ S"2'5У“5 ~ S"2'5^пот^пот(3.6)(3.6)Между собой они связаны соотношением
^захв
^захв
У“5 ~ S"2'5
У“5 ~ S"2'5
^пот
^пот
(3.6)
(3.6)
При скорости частицы V, близкой к скорости орбитального электрона и, ^"захв ~ ^пот*
Эффективный заряд:
^эф^эф«о ’«о ’(3.7)(3.7)
^эф
^эф
«о ’
«о ’
(3.7)
(3.7)
где г?о = е2/^ — скорость орбитального электрона, V — скорость
частицы,частицы,(к) _ Ze2 ^°рб -(к) _ Ze2 ^°рб -= ^о-= ^о-
частицы,
частицы,
(к) _ Ze2 ^°рб -
(к) _ Ze2 ^°рб -
= ^о-
= ^о-
На рис. 3.1 представлена зависимость удельных ионизационных потерь от энергии. На участке I значителен эффект перезарядки для частиц с Z > 1; на участке II зависимость потерь пропорциональна l/v2; на участке III происходит, в результате
возрастания вклада релятивистских эффектов, увеличение потерь; на участке IV уменьшаются ионизационные потери из-за усиления влияния эффекта поляризации среды.
Таблица 3
Основные закономерности ионизационных потерь тяжелых заряженных частиц
Ионизационные потери пропорциональны квадрату заряда частицы
\ ах ) ион
Ионизационные потери пропорциональны плотности числа электронов вещества
(-^)
\ ах / ион
Для широкого диапазона энергий значение логарифма изменяется слабо, поэтому ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы
(—^) ~ 1/^2
\ ах / ион7
Ионизационные потери пропорциональны плотности вещества
(-^)ион
Ионизационные потери не зависят от массы налетающей частицы
("^ион
Потери энергии при упругом рассеяниитяжелых заряженных частиц
Упругое рассеяние тяжелых заряженных частиц происходит в результате их взаимодействия с атомом как с целым. Потенциал взаимодействия зависит от расстояния сближения частицы с атомным ядром.
На расстояниях, соизмеримых с радиусом действия ядерных сил (г to 10"15 м), частица кроме электростатического отталкивания испытывает притяжение в результате действия ядерных сил.
При увеличении расстояния взаимодействие частицы с ядром атома определяется кулоновским потенциалом
. zZe1. ,
^кулИ = ~ •(3-8)
На расстояниях, когда частица имеет энергию, недостаточную для глубокого проникновения в атомную оболочку, потенциал отличен от кулоновского вследствие экранирующего действия атомных электронов:
(3.9)
где аъ = а^I— параметр экранирования, а0 = = ti*]те(? = 0.53 • Ю-10м — радиус первой боровской орбиты. Расстояние наибольшего сближения частицы z и ядра Z при лобовом соударении определяется соотношением
(3.10)(3.10)zZe2
(3.10)
(3.10)
где Е — энергия частицы в ЛСК.
Различают слабое и сильное экранирование: слабое экранирование имеет место, когда параметр наибольшего сближения меньше параметра экранирования, Ь < а^. Если Ь > аъ3 то имеет место сильное экранирование.
Для кулоновского потенциала дифференциальное сечение упругого рассеяния описывается формулой Резерфорда:
(3.11)(3.11)z2Z2e4 dQ ?rz2Z2e4 cos | d# d<r(6, E) = ^^26 =6
(3.11)
(3.11)
10Г/СЦИ sm 2 ^^СЦИ sm 2
где £<щи = м^^^лск — кинетическая энергия обеих частиц, 0, Q — соответственно угол рассеяния и телесный угол в СЦИ, z, Z — заряды налетающей частицы и ядра.
Энергия, передаваемая частицей атому при рассеянии, связана с углом рассеяния соотношением
4тМл 9 09 0, х
Т = 7^Ss n2 - = Tmaxs n2 -,(3.12)
(т + МдУ 2 max 2,V ;
где Tmax = ^^^р Е — максимально возможная передаваемая энергия.
Таблица 4
Основные закономерности при упругом рассеянии тяжелых заряженных частиц
Упругие потери пропорциональны квадрату заряда частицы
(-—)
х dx / упр
~ г2
Упругие потери пропорциональны квадрату заряда ядра и плотности атомов среды
(-^) '
х dx / упр
Z2n
Упругие потери слабо зависят от массы налетающей частицы
(_^Е\~
1
х dx / упр
Упругие потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы
г
х dx / упр
~ 1/v2
Упругие потери обратно пропорциональны массе атомов среды
х dx / упр
^(Мд
Удельные потери энергии при упругом рассеянии тяжелых заряженных частиц описываются формулой
2^-nZ2 In^211+^)2^-nZ2 In^211+^)^мин^мин(3.13)(3.13)
2^-nZ2 In
^211+^)
2^-nZ2 In
^211+^)
^мин
^мин
(3.13)
(3.13)
где z, Z^ т, Мд — соответственно заряды и массы налетающей частицы и атомов среды, 0т}п ^ Ь/аь — оценка нижнего предела угла рассеяния частицы, который обусловлен экранированием ядра электронной оболочкой.
Максимальная и минимальная передаваемые частицей ядру энергии связаны соотношением
rminrminTmaxTmax22(3.14)(3.14)
rmin
rmin
Tmax
Tmax
2
2
(3.14)
(3.14)
где аь — параметр экранирования, b = zZe2/Е — расстояние наибольшего сближения налетающей частицы и ядра атома.
С учетом (3.11) формула удельных потерь энергии при упругом взаимодействии приобретает вид
dx // упрdx // упр— , b пТтах— , b пТтах44Т maxТ • *-*- minТ maxТ • *-*- min(3.15)(3.15)
dx /
/ упр
dx /
/ упр
— , b пТтах
— , b пТтах
4
4
Т max
Т • *
-*- min
Т max
Т • *
-*- min
(3.15)
(3.15)
Отношение упругих и неупругихОтношение упругих и неупругихпотерь равнопотерь равно
Отношение упругих и неупругих
Отношение упругих и неупругих
потерь равно
потерь равно
dx ) упрdxdx ) упрdxmZ2 zМд 2эфmZ2 zМд 2эф(3.16)(3.16)
dx ) упр
dx
dx ) упр
dx
mZ2 z
Мд 2эф
mZ2 z
Мд 2эф
(3.16)
(3.16)
Многократное рассеяниетяжелых заряженных частиц
При столкновении с атомами среды частица не только теряет энергию, но и изменяет направление своего движения. Отклонение частицы от первоначального направления характеризуется средним углом многократного кулоновского рассеяния. Средний квадрат угла отклонения частицы пропорционален числу столкновений и для тонкого слоя вещества с постоянной плотностью зависит от пройденного пути линейно:
zZe2zZe2^сци^сци7ГПЖ 1п7ГПЖ 1птгтгжа2^ТзТ^Тзтгтгжа2^ТзТ^Тз1/21/2
zZe2
zZe2
^сци
^сци
7ГПЖ 1п
7ГПЖ 1п
тгтгжа2^ТзТ^Тз
тгтгжа2^ТзТ^Тз
1/2
1/2
(3.17)(3.17)—(тгпж Ытгтгжа^)1/2, ^лск
(3.17)
(3.17)
где «о = f^ (me2, ар — соответственно радиус первой боровской орбиты и параметр экранирования, ж — глубина в слое вещества, z, Zm^ М — соответственно заряды и массы налетающей частицы и атомов среды, тг — плотность атомов среды.
Упругое взаимодействие двух заряженных частиц в результате действия кулоновских сил между ними описывает формула Резерфорда (3.11). Вероятность рассеяния на малые углы в результате отдельного акта взаимодействия, как следует из формулы Резерфорда, более вероятно, чем на большие углы.
Моттом в формуле Резерфорда (3.11) была учтена тождественность налетающих частиц и частиц-мишеней, а также наличие спина у взаимодействующих частиц.
Таблица 5
Основные закономерности многократного кулоновского рассеяния тяжелых заряженных частиц
Средний угол пропорционален
V< у2
> ~ Z
заряду частицы
Средний угол пропорционален
V< У2:
>~ Z
порядковому номеру атомов вещества
Средний угол пропорционален
V< №>~
V# 1пж
квадратному корню из пройденного пути
Средний угол пропорционален
квадратному корню
V< 02>-
> V^lnn
из плотности числа атомов вещества
Средний угол обратно пропорционален
V< 02>~
1/£<щи
энергии частицы
Средний угол слабо зависит
V< 02>~
1
Нт/М4
от массы налетающей частицы
По сравнению с формулой Резерфорда (3.11), которая в Л СК системе координат приобретает вид
da^E, 0) =da^E, 0) =z2 е2 \ 2 cos 9dQ.^лск / sin4 6 ’z2 е2 \ 2 cos 9dQ.^лск / sin4 6 ’(3.18)(3.18)
da^E, 0) =
da^E, 0) =
z2 е2 \ 2 cos 9dQ.^лск / sin4 6 ’
z2 е2 \ 2 cos 9dQ.^лск / sin4 6 ’
(3.18)
(3.18)
в формуле Мотта тождественность частиц (детектор зарегистрирует как налетающую частицу, так и ядро отдачи) приводит к возрастанию сечения рассеяния:
da^E, 0) =da^E, 0) =2 2 \^лск/2 2 \^лск/cos 6cos 611sin4 6 "I” cos4 611sin4 6 "I” cos4 6(3.19)(3.19)
da^E, 0) =
da^E, 0) =
2 2 \
^лск/
2 2 \
^лск/
cos 6
cos 6
11
sin4 6 "I” cos4 6
11
sin4 6 "I” cos4 6
(3.19)
(3.19)
Учет квантово-механического эффекта, связанного с неразличимостью взаимодействующих частиц (смысл заключается в интерференции волн, описывающих движение налетающей частицы и ядра отдачи, когда квадрат суммы амплитуд двух волн не равен сумме квадратов их амплитуд) вносит изменения в формулу Мотта. Для частиц со спином, равным нулю (s = 0), она имеет вид
9 9 \ 2■ cos 99 9 \ 2■ cos 911sin4 6 cos4 6sin4 6 cos4 61. 2cos ^lntg20sin2 9 cos2 9|1. 2cos ^lntg20sin2 9 cos2 9|
9 9 \ 2
■ cos 9
9 9 \ 2
■ cos 9
1
1
sin4 6 cos4 6
sin4 6 cos4 6
1. 2cos ^lntg20
sin2 9 cos2 9|
1. 2cos ^lntg20
sin2 9 cos2 9|
(3.20)(3.20)
(3.20)
(3.20)
а для частиц со спином $ = 1/2
/2 \ 2i i COS I" In tg2 #1 )
da(E, 0) = I — I cos 6 —г1—^-= > .
\Епск/sin4 0 cos4 0 sin2 0 cos2 0 j
(3.21)
Заряженная частица, проходящая через слой вещества, в результате взаимодействия с ядрами атомов испытывает отклонение на малые углы. В большинстве случаев эти отклонения обусловлены кулоновским (электромагнитным) взаимодействи
ем, однако для адронов и ионов дает вклад в многократное рассеяние и сильное взаимодействие.
Многократным называют рассеяние, когда частица испытывает в слое вещества большое число актов взаимодействия (считается, что их число более двадцати). При прохождении такого слоя вещества, когда рассеяние можно считать многократным, преобладающим в нем является рассеяние на малые углы. Многократное рассеяние описывает теория Мольера. В ней для
малых углов рассеяния угловое распределение рассеянных частиц хорошо описывается гауссовой кривой. Для больших углов поведение распределения частиц имеет менее спадающий хвост, что ближе к форме, описываемой формулой Резерфорда.
Однако реально рассеяние происходит не в кулоновском, а в экранированном потенциале, причем потери энергии происходят в достаточно толстых слоях. К тому же при высоких энергиях частиц необходимо учитывать релятивистские эффекты, а в плотных средах — квантовые эффекты.
Теория Мольера рассматривает рассеяние на малые углы (У < 20°) частиц с точечным зарядом ze, движущихся в однородной изотропной среде с атомным номером Z, когда ядро
FM(9)9d9 =FM(9)9d9 =ddd2тгddd2тгэкранируется атомными электронами. Выражение для дифференциального углового распределения частиц F^v^ после прохождения слоя вещества толщиной t описывается соотношением
FM(9)9d9 =
FM(9)9d9 =
ddd
2тг
ddd
2тг
/(о) W + ^fW W + ^fW W + К\ , (3.22)15
где т? = 9]xc\fB — приведенный угол рассеяния, В — параметр формы, описывающий степень отклонения функции Fm($) от распределения Гаусса и связанный с числом эффективных столкновений частицы в среде Q^ = Хс/Ха соотношением
В - In В = In Qb - 0.1544 ...,(3.23)
а величины Ха и Хс определяются соответственно угловыми параметрами:
Ха = (Ла + ЯаЬ2)1/2,(3.24)
Хс = (tttzZ)1/2— = 2(тг№)1//25Д,(3.25)
где А = h/mv, b — расстояние наибольшего сближения, аь — параметр экранирования поля ядра атома среды его электронными оболочками, t — толщина слоя.
Для перечисленных параметров и характеристик, используемых в теории Мольера, известно, что
ab = 0.885oqZ"1/3,
«о = 0.53 • 10 8 см,
(3.26)
Аа = 1-17,
Ва = 3.72,
(3.27)
2 Tit Qb = 4тгаь — tin
= 2.65a02Z"1/3nt
(3.28)
Универсальные функции в (3.22) определены выражением
ооп2 п2— In — ехрп2 п2— In — ехрМА я — паи.4 7МА я — паи.4 7(3.29)(3.29)
о
о
п2 п2
— In — ехр
п2 п2
— In — ехр
МА я — паи.
4 7
МА я — паи.
4 7
(3.29)
(3.29)
Угловое распределение частиц F^O^ может быть описано распределением Гаусса:
1(
— ехр —dQ,
2тп?0к
13.6 МэВ—z(Зср13.6 МэВ—z(Зсркогда параметр распределения i?o имеет вид
13.6 МэВ
—z
(Зср
13.6 МэВ
—z
(Зср
^0 =^0 =Д (1 + 0.038 In -(3-30)
^0 =
^0 =
рад \Дад /
где р, /Зс, х — импульс, скорость и заряд налетающих частиц; 0х и 0у — углы отклонения частиц в плоскости, перпендикулярной направлению пучка (У2 = 02 + 02); t^ /рад — соответственно толщина слоя вещества и радиационная длина:
,716.408г/см2А/о odX
= *+1)1-='(3'31)
Для смесей различных веществ радиационная длина вычисляется при помощи выражения
(3.31а)
где w^ 1-^ — доля данного j-ro вида вещества в среде и его радиационная длина.
Пробег тяжелых заряженных частиц
Полный путь, проходимый заряженной частицей в веществе, называется пробегом:
(3.32)(3.32)=/ ,4^
(3.32)
(3.32)
„\ dx / полн
110
Полные потери энергии тяжелых заряженных частиц в веществе включают в себя ионизационные, упругие и ядерные неупругие потери энергии:
dE dxdE dxdE dxdE dxупрупрdE dxdE dxяд. неупр(3.32a)яд. неупр(3.32a)
dE dx
dE dx
dE dx
dE dx
упр
упр
dE dx
dE dx
яд. неупр
(3.32a)
яд. неупр
(3.32a)
В случае когда учитывается вклад многократного рассеяния тяжелых заряженных частиц, пробег частиц в веществе становится больше и определяется выражением
R'№ = R^E^ + |ДЯ f < У2 >сР dR, (3.33)
где
(3.33а)(3.33а)АЯ(Я) = |дя Г <92 >ср dR,
(3.33а)
(3.33а)
где < 62 >ср — средний угол многократного рассеяния в данной среде. На основании теории Мольера эта поправка может быть вычислена с использованием выражения
^R(E0) = |дя^R(E0) = |дяЕЕSiSiX^BdEk dx )X^BdEk dx )(3.336)(3.336)
^R(E0) = |дя
^R(E0) = |дя
Е
Е
Si
Si
X^BdE
k dx )
X^BdE
k dx )
(3.336)
(3.336)
где Хс и £ определяются выражениями (3.23) и (3.25).
Если известна зависимость пробега частиц в веществе R^E^) для одного сорта частиц, то, пользуясь формулой Бете-Блоха,
можно получить аналогичнуюможно получить аналогичнуюзависимость для другого сортазависимость для другого сорта
можно получить аналогичную
можно получить аналогичную
зависимость для другого сорта
зависимость для другого сорта
частиц:
Е2
W^ = / /_± =
\ dx /ион
Ег = ^ Е2
_ *i ^2 f dEj zf т^ /_ пи
- z2 Д(~® ион ” z2 ™1 1 V
шениемшениемоткуда видно, что пробеги двух тяжелых заряженных частиц с разными массами mi и т^ и зарядами zi и Z2 связаны соотно
шением
шением
(3.34)(3.34)^2(^2) _ 4 т1
(3.34)
(3.34)
Ri^E^ zlm2’
где Ех = ^Е2.
1 т2 д
Формула (3.34) справедлива для энергетичных частиц, когда их пробег больше той его части, где происходит перезарядка.
Относительный разброс пробегов частиц называют стрэг- глингом:
/\ 1/2
5СТрэг =•(3.35)
Стрэгглинги частиц, имеющих одинаковые начальные скорости и тормозящихся в одном веществе, связаны соотношением
/х 1/2/xl/2
МИ)(тЛ''2 (зм
^01Л02\т2 /
В случае, когда передача энергии электронами в отдельных столкновениях носит статистический характер, разброс пробегов описывается нормальным распределением:
Р(Ж) = V2^6XP'(3'37)
Среднеквадратичный разброс пробегов ст тяжелых ионов описывается эмпирическим выражением
а = О.О12Д°-951Л“0-5.(3.38)
Для расчета пробега а-частиц в воздухе при нормальных условиях может быть использована следующая эмпирическая форму-
ЯВозд.,« [см] = 0.318^У2 [МэВ].(3.39)
Пробег протона с энергией Ер в воздухе можно оценить через пробег а-частицы:
ЯВОзд.,р [см] = (Явозд — 0.2),(3.40)
где ЯвОЗД « — пробег а-частицы с энергией Еа = 4.01Sp.
Пробег тяжелой заряженной частицы в веществе с массовым числом А и плотностью р определяется через ее пробег в воздухе ЯВОЗд по формуле
R = 3.2 • 1O"4^^VA.(3.41)
Р
Для воды эмпирическое соотношение между энергией частицы Е и ее пробегом в среде R приближенно записывается в виде
(3.42)(3.42)R = аЕр.
(3.42)
(3.42)
Значения коэффициентов а и р для протонов и а-частиц приведены в табл. 6.
Таблица 6
Коэффициенты а и р при прохождении протонов и а-частиц через воду
Тип частиц
Энергия частиц
а
Р
Протоны
10-200 МэВ
1.9 • 10-3
7.4
200-1000 МэВ
1.9 • 10-3
1.52
а- Частицы
<10 МэВ
1.73 • 10-3
1.5
3.5. Кривая Брэгга
Рис. 3.2. Распределение дозы в веществе при прохождении пучка тяжелых заряженных частиц: а) монохроматического; б) модулированного по энергииРис. 3.2. Распределение дозы в веществе при прохождении пучка тяжелых заряженных частиц: а) монохроматического; б) модулированного по энергииРаспределение дозы, приходящейся на единицу площади, Д(ж) при прохождении монохроматического пучка тяжелых заряженных частиц (называемое в литературе кривой Брэгга) в веществе имеет вид
Рис. 3.2. Распределение дозы в веществе при прохождении пучка тяжелых заряженных частиц: а) монохроматического; б) модулированного по энергии
Рис. 3.2. Распределение дозы в веществе при прохождении пучка тяжелых заряженных частиц: а) монохроматического; б) модулированного по энергии
^б(ж)^б(ж)1 dEр dx1 dEр dx_1
^б(ж)
^б(ж)
1 dE
р dx
1 dE
р dx
ppar/p{R — хУ-г!р ’ (3.43) где р — плотность среды.
Уравнение (3.4), которое описывает линейную тормозную способность вещества, математически существенно проще формулы Бете-Блоха (3.3).
На рис. 3.2 представлена зависимость поглощенной дозы при прохождении тяжелых заряженных частиц через воду для монохроматического и модулированного по энергиям пучков. Модулированием распределения дозы пучка протонов называется получение в некотором интервале глубин (жа,ж^) постоянства дозы Р(ж). Это математически определяется выражением
D^ = j W(R)DB(x,R) dR,
X
где И^(Я) — весовые функции, изменяющие амплитуду и положение пика Брэгга по глубине таким образом, чтобы суперпозиция кривых Брэгга протонов с различными пробегами R давала постоянную дозу Do в интервале жа < ж < ж^.
Аппроксимация модулированного пика Брэгга осуществляется соотношением
DoDoУз (1 + г)2Уз (1 + г)24тг 1 — ж + ж24тг 1 — ж + ж23/2г-1
Do
Do
Уз (1 + г)2
Уз (1 + г)2
4тг 1 — ж + ж2
4тг 1 — ж + ж2
arctg =—
2тг Ч
О < ж < ж а,О < ж < ж а,D-мод (*^) ^
О < ж < ж а,
О < ж < ж а,
Dq ^а << ^bi
Ожь < ж,
(3.44) где ж — координата по оси, вдоль которой распространяется
пучок, жа и жь определяют положение плато на кривой Брэгга, т = Vr, г = ^5^.
В большинстве случаев применима аппроксимация кривой
Брэгга:
(3.45)(3.45)D (г) % —
(3.45)
(3.45)
^W- 1 +0.44г0-6 ’
Энергия, выделяемая в тканях, описывается выражением
4 4тг
/ ^ЛУЗ, (1 + а)2 з 2а-1]\,,
+* + “) [ ^1П 1-а+а* - toarctg^г]) •(3'46)
где введено следующее обозначение: а =i Eq — энергия,
выделяемая в тканях в области максимума дозы.
(3.46а)(3.46а)Аппроксимация формулы (3.46) имеет вид
(3.46а)
(3.46а)
1 + 0.277а0 55'
Каналирование
Эффект каналирования — это наличие аномально больших пробегов ионов средних энергий в кристалле при условии параллельности падающего пучка выходу одного из плотноупакован- ных кристаллографических направлений.
При движении частиц под малым углом к атомным рядам и плоскостям кристалла (рис. 3.3, а) их пробег оказывается больше, чем пробег в аморфных телах (рис. 3.3, б).
Рис. 3.3. Движение заряженной частицы: а) в канале кристалла; б) в аморфном телеРис. 3.3. Движение заряженной частицы: а) в канале кристалла; б) в аморфном теле
Рис. 3.3. Движение заряженной частицы: а) в канале кристалла; б) в аморфном теле
Рис. 3.3. Движение заряженной частицы: а) в канале кристалла; б) в аморфном теле
В аморфных телах плотность электронов равномерна по всем направлениям, в кристалле — неоднородна.
Полные потери энергии каналированных частиц (быстрых ионов) описываются выражением
<Z£\_ 2Z2e2/ канал<Z£\_ 2Z2e2/ канал2тгп по InН п.2тгп по InН п.2meVVF2meVVFhwphwpЙ/ 1 ЬЧ J ’ (3.47)Й/ 1 ЬЧ J ’ (3.47)где b — (1 ^ 2) А — радиус канала; d — расстояние между атомами в цепочке атомов; п — число атомных цепочек, формирующих канал; / — число электронов той оболочки, которая даетгде b — (1 ^ 2) А — радиус канала; d — расстояние между атомами в цепочке атомов; п — число атомных цепочек, формирующих канал; / — число электронов той оболочки, которая дает
<Z£\_ 2Z2e2
/ канал
<Z£\_ 2Z2e2
/ канал
2тгп по InН п.
2тгп по InН п.
2meVVF
2meVVF
hwp
hwp
Й/ 1 ЬЧ J ’ (3.47)
Й/ 1 ЬЧ J ’ (3.47)
где b — (1 ^ 2) А — радиус канала; d — расстояние между атомами в цепочке атомов; п — число атомных цепочек, формирующих канал; / — число электронов той оболочки, которая дает
где b — (1 ^ 2) А — радиус канала; d — расстояние между атомами в цепочке атомов; п — число атомных цепочек, формирующих канал; / — число электронов той оболочки, которая дает
вклад в потери энергии; п^ — число валентных электронов, приходящихся на один атом; пЛ — локальная плотность электронов;
п — плотность атомов среды; Vp to 108см/с — максимальная скорость электронов в вырожденном электронном газе; hwp — потери энергии частицы в плазме (в предположении, что вещество представляет собой электронно-ионную плазму).
Осцилляции электронной плотности в среде происходят с частотой
«2.10'%-'.(3.47а)
те /
Выражение в квадратных скобках относится к потерям энергии в плазме твердого тела. Последнее слагаемое в (3.47) описывает потери энергии на внутренних электронах.
ЗАДАЧИ
Рис. 3.4. Движение заряженной частицы с массой m в поле кулоновских сил электронаРис. 3.4. Движение заряженной частицы с массой m в поле кулоновских сил электронаПолучить формулу для потерь энергии быстрой частицы с зарядом хе, пролетающей мимо свободного покоящегося электрона на расстоянии b (рис. 3.4). Вычислить потери энергии для ос- частицы^ протона и тг-мезона с энергией 1 МэВ, если b = 10-8 см.
Рис. 3.4. Движение заряженной частицы с массой m в поле кулоновских сил электрона
Рис. 3.4. Движение заряженной частицы с массой m в поле кулоновских сил электрона
Решение. Пусть частица пролетает мимо электрона с постоянной скоростью г по прямолинейной
траектории с прицельным параметром Ь. Будем считать, что в
момент t = 0 расстояние между частицей и электроном минимально, т.е. равно Ь.
Силу F(Z) = ^г^ действующую в каждый момент времени t со стороны частицы на электрон, разложим на продольную F|।(Z) и поперечную составляющие F±(^).
Изменение продольного импульса частицы равно нулю. Это следует из того, что продольный импульс силы jF||(i)di, полученный за время t < 0, будет полностью компенсирован импульсом силы, полученным за время t > 0.
Модуль поперечной составляющей импульса оказывается
равным
Г х Г^
J = ^ ] b^TWv^W
-ОО0
Приравняем поперечный импульс частицы к импульсу электрона и вычислим кинетическую энергию электрона после его взаимодействия с пролетевшей частицей:
Ре = Р1 = 2mc 2тс Ь2тег2Ре = Р1 = 2mc 2тс Ь2тег2(3.48)(3.48)
Ре = Р1 = 2mc 2тс Ь2тег2
Ре = Р1 = 2mc 2тс Ь2тег2
(3.48)
(3.48)
Согласно закону сохранения энергии прирост энергии электрона равен потери энергии частицы, т.е.
(3.49)(3.49)2z2e42z2e4
(3.49)
(3.49)
Ь2теи2Ь2тес2Р2'
Вычислим квадраты относительной скорости а-частицы, протона и тг-мезона с энергиями 1МэВ:
/З2 % 1 -
тс2
938.3 V АААА% 0.002,1 + 938.3 /’
/ 4-931.5 V
V1 + 4- 931.5/
„/ 139.6 V
/З2 % 1 - % 0.014.
тVi+ 139.67
После подстановки в формулу (3.49) получаем
Тр ^ 0.4эВ, Та ^ 6эВ, Т^ ^ О.ОбэВ.
Быстрая тяжелая частица с зарядом хе движется со скоростью v через среду с концентрацией электронов пе. Определить энергию, теряемую частицей на единице пути в результате взаимодействия с электронами, относительно которых ее прицельный параметр заключен в интервале (Ьд, &о + АЬ).
Решение. Рассмотрим слой толщиной dx, перпендикулярный траектории частицы. Число электронов с прицельным параметром в интервале (6, b + dE) составляет
8п _ nedx • Sirbdb,
а энергия, которая передается частицей этим электронам, равна
5Т = Те8п = 2тгТепеЬ db dx
(3.50)
где Те — кинетическая энергия, приобретенная каждым электроном. Согласно задаче 1 энергия Те равна
После подстановки (3.51) в (3.50) получим
b mev2 b0
3. Получить из (3.3) формулу (3.4).
Решение. Выражая плотность числа атомов вещества п через плотность р и массовое число А;
NAp
и пренебрегая параметрами 8 и U, запишем формулу (3.3) в виде
dE
4тге4^ Z
шес2/32 А
(3.52)
Подставляя численные значения констант, получаем
/ </Р\ _ 4 • 3.14 • (1.43 • 10"13 см • МэВ)2 • 6.022 • 1023 моль"1
\ иоГ0.511 МэВ
Z рх^ Г 2 • 0.511 • 106 эВ •/З2 А
А ^ [ Z • ХЗ.бэВ • (1 —/З2)Р _
Z ох^ Г/З2"
Рассчитать для углерода отношение удельных ионизационных потерь протонов и a-частиц с одинаковой кинетической энергией;
1) 1МэВ; 2) 1ГэВ.
Решение. Согласно формуле (3.4) имеем
= 3.05 • 105= 3.05 • 105Z pz2Z pz2ионион11'2 + ь-я(г/я-,3г11'2 + ь-я(г/я-,3г(3.53)(3.53)
= 3.05 • 105
= 3.05 • 105
Z pz2
Z pz2
ион
ион
11'2 + ь-я(г/я-,3г
11'2 + ь-я(г/я-,3г
(3.53)
(3.53)
Относительную скорость частицы найдем из выражения для полной энергии:
^полн — ТП^уС => 1/3 —^полн — ТП^уС => 1/3 —2\ 277Z0 С\Т + 77Z0 С2 )2\ 277Z0 С\Т + 77Z0 С2 )
^полн — ТП^уС => 1/3 —
^полн — ТП^уС => 1/3 —
2\ 2
77Z0 С\
Т + 77Z0 С2 )
2\ 2
77Z0 С\
Т + 77Z0 С2 )
dE\dx / ион, р~dE~\dx / ион, аdE\dx / ион, р~dE~\dx / ион, аТогда для отношения тормозных способностей протонов и а- частиц получим
dE\
dx / ион, р
~dE~\
dx / ион, а
dE\
dx / ион, р
~dE~\
dx / ион, а
2рРа 1112 + 1П Zfl+^J “ Рр
ZaPp 11-2 + In Z^l-P^ — ^а
Для Тр = Та = 1 МэВ находим
,/ 938.3 V
З2 % 1 - % 0.002,
р\1 + 938.3/
/ 4-931.5 V 54.10-« \1 + 4- 931.5)
Следовательно,
(-^\I2 • 5-4 ■ 10"4 [11.2 + In ви0-^^ - 0.002]
0.11.0.11.V ^/ион,р L6(1-0.002)J
0.11.
0.11.
(-^)ион, «22 . 0.002 [11.2+1П б,^10^^) - 5.4 • 10"4]
Аналогично вычисляем отношения тормозных способностей протонов и а-частиц для случая Тр = Та = 1ГэВ:
/3>1-/3>1-/938.3 V\1000 + 938.3//938.3 V\1000 + 938.3/0.766,0.766,
/3>1-
/3>1-
/938.3 V
\1000 + 938.3/
/938.3 V
\1000 + 938.3/
0.766,
0.766,
01011 -1 -/4-931.5 V\1000 + 4-931.57/4-931.5 V\1000 + 4-931.57ss 0.378.ss 0.378.
01
01
1 -
1 -
/4-931.5 V
\1000 + 4-931.57
/4-931.5 V
\1000 + 4-931.57
ss 0.378.
ss 0.378.
Следовательно,
_ 1^0-378 [11-2+ 11^^-0.766
У ■ 0.766 [11.2 + In ””L,. - 0.378
'Oli — U *О I О )
dE\
^ 0.14.^ 0.14.dx /ион,р
^ 0.14.
^ 0.14.
~dE\
dx / ион, а
Рассчитать отношение удельных ионизационных потерь для протонов с энергией 10 МэВ в углероде и свинце.
Решение. Согласно (3.4) для отношения тормозной способности протонов в углероде и свинце имеем
("S)C _ ^^ [l^1"^ ~«]„
/ dE\ГS21
\ d$/PbZpblPlMc [11.2 4- In z^l-^p - 0pj
Для протонов с энергией 10 МэВ относительная скорость равна
Д2 = 1 -Д2 = 1 -тр<?Т + трс2тр<?Т + трс20.021.0.021.(3.55)(3.55)
Д2 = 1 -
Д2 = 1 -
тр<?
Т + трс2
тр<?
Т + трс2
0.021.
0.021.
(3.55)
(3.55)
Подставляя численные значения в (3.40), вычисляем
(-S)c6.1.6Г/СМ3-208 [11.2+ 11^+2^-0.021]
(-^)рь82 ■ П.Зг/см3 ■ 12 [11.2 + In о^г^тт " °-0211 ’
'O^I1U»U^1II
0.34.0.34.(-^) \ dx / С
0.34.
0.34.
Т^4ДЛ X С?Ж/РЪ
С помощью закона Брэгга определить удельные ионизационные потери и среднее число ионов на 1 см пробега в воздухе для a-частицы с энергией 10 МэВ. На образование одного иона в воздухе необходимо 35 эВ.
Решение. Считая, что воздух — это смесь газов, основные составляющие которой азот (75%) и кислород (23%). Из композиционного закона Брэгга для удельной тормозной способности воздуха имеем
1 dS\
Р ^/возд
+ 0.23-16
N
0.75-14+ 0.23-16
(3.56)
Квадрат относительной скорости протонов с энергией ЮМэв равен
/2\ 2
/З2 = 1 - -— % 5 • 10"3.
у Т + тас2 /
Подставляя /З2 в формулу (3.4), вычисляем массовые тормозные способности азота и кислорода:
1 dS\
Р dx jN
7.12
3.05 • 105г
14•5•10-3
11.2 +In
5•10“3,
7(1 - 5 • 10"3) - 5 ‘ 10
—— ) % 121 МэВ • см2/г, Р dx / N
(3.57)
dE\ ~
р dx / о
о 12
.05 • 1057
16 - 5 • 10"3
11.2 +In
, '— 5 ■ Ю-3
8(1 - 5 • 10"3)
( 1dE\9 ,
I— I % 117МэВ • см2/г.
у р dx / о
Таким образом, для воздуха получаем
(3.58)
/ 1 dE\ \ р dx )
(0.75-14-121 + 0.23-16-117)0.75 • 14 + 0.23 • 16
МэВ • см2/г,
1 dE\
р dx )
г / возд
120МэВ • см2/г.
Среднее число ионов, образующихся в воздухе на расстоянии
1см, равно
1 <ZS\ 1Р ^/возд W’1 <ZS\ 1Р ^/возд W’
1 <ZS\ 1
Р ^/возд W’
1 <ZS\ 1
Р ^/возд W’
где w — энергия, необходимая для образования ионной пары. Окончательно вычисляем
QQСМо
N и 1.27 • 10-3 г/см3 • 120МэВ • см2/г % 4.35 • 103.
** 35 эВ
Энергия протонов в ускорителе 100 МэВ. Оценить толщину поглотителя из углерода^ необходимую для снижения энергии пучка протонов до 20 МэВ.
Решение. В формуле (3.4) величина логарифма изменяется слабо, а значение выражения в квадратных скобках лежит в пределах от 9.42 для 100 МэВ до 6.26 для 20 МэВ. Для оценки толщины поглотителя выберем среднее значение 7.84. Следовательно, (3.4) принимает вид
= 2.39 • 106= 2.39 • 106Zz2 рс2At;2
= 2.39 • 106
= 2.39 • 106
Для нерелятивистских протонов кинетическая энергия равна
Е = трт?
2
8.36 ■ ВТ^нач8.36 ■ ВТ^начпоэтому для толщины поглотителя следует
8.36 ■ ВТ
^нач
8.36 ■ ВТ
^нач
4.18 • 10"7Ar„2. ,
\Е^ — Е2 1.
Zz^pm^ L кон Ha4j
Таким образом, для протонов проходящих через углерод находим
[(100МэВ)2 - (20МэВ)2],[(100МэВ)2 - (20МэВ)2],4.18 • 10"7 • 12
[(100МэВ)2 - (20МэВ)2],
[(100МэВ)2 - (20МэВ)2],
/\
6-I2-1.6 г/см3 -1.5-10-3г-см2/с2
Дж ^ 3.34см.
Оценить граничную энергию, при которой необходимо учитывать эффект перезарядки для протонов и а-частиц.
Решение. При прохождении через вещество эффективный заряд частицы определяется соотношением между вероятностью захвата и вероятностью потери электрона. Вероятности захвата и потери электрона становятся сравнимы при скорости частицы, близкой к орбитальной скорости захваченного электрона. Орбитальная скорость электрона в атоме может быть оценена по формуле
ze2
ге ^ —— ^ х • 2.2 • 108 см/с,
где х — заряд ядра частицы.
Так как при скоростях, сравнимых с ге, тяжелые заряженные частицы можно считать нерелятивистскими, то для энергии частицы Е имеем
Е =Е =^част^е2^част^е2AmpV2 A(mpc2)V^2=2^AmpV2 A(mpc2)V^2=2^
Е =
Е =
^част^е
2
^част^е
2
AmpV2 A(mpc2)V^
2=2^
AmpV2 A(mpc2)V^
2=2^
25Az2 [кэВ],25Az2 [кэВ],938МэВ(г • 2.2 • 108 см/с)22(3 • 1010 см/с)2
25Az2 [кэВ],
25Az2 [кэВ],
где А — массовое число частицы.
Следовательно, для протонов и а-частиц вычисляем
Ер 25 • 1 • I2 кэВ = 25 кэВ, Еа 25 • 4 • 22 кэВ = 400 кэВ.
Вывести формулу для удельных потерь энергии при упругих столкновениях. Считать, что рассеяние происходит в кулоновском поле.
Решение. На участке dz в веществе с атомной плотностью по изменение энергии частицы dE составляет
ттах
—dE =
Тт£п
где da^E, Т) — эффективное сечение столкновения частицы с энергией Е, при котором теряется энергия Т.
Следовательно, удельные потери энергии равны
(3.59)(3.59)
(3.59)
(3.59)
Из соотношения (3.12) после дифференцирования находим
^max ®in 2 COS 2
Учитывая, что сечение рассеяния описывается формулой Резерфорда (3.11), получаем
,7rz2Z2e* dT
da(E^ 0) — ^2 Tmax-^.(3.60)
Подставляя (3.60) в (3.59), окончательно получим
/ dE\ -kz^Z^ m Г dT -kz^Z^ m , Tmax
("^)“ 4^ T—u J "J"4E2 ГшмГг1п 7^/
x / упрmin
Оценить для протонов с энергией 2 МэВ, рассеивающихся на углероде, расстояние наибольшего сближения, параметр экранирования^ минимальный угол рассеяния протонов 0m[n и минимальную передаваемую энергию Tm[n.
Решение. Расстояние наибольшего сближения можно получить, приравняв энергию электростатического отталкивания частицы ядром к кинетической энергии частицы Е;
zZe^
Е=~Г
откуда находим
, zZe^ 1 • 6 • 1.44 • 10-13 МэВ • см1Чb = == 4.3 • 10"13 см., zZe^ 1 • 6 • 1.44 • 10-13 МэВ • см1Чb = == 4.3 • 10"13 см.ЕЕ2 МэВ2 МэВ(3.61)(3.61)
, zZe^ 1 • 6 • 1.44 • 10-13 МэВ • см1Ч
b = == 4.3 • 10"13 см.
, zZe^ 1 • 6 • 1.44 • 10-13 МэВ • см1Ч
b = == 4.3 • 10"13 см.
Е
Е
2 МэВ
2 МэВ
(3.61)
(3.61)
0.53 • 10"10м0.53 • 10"10м^z^ + ^2/3V12/3 + 62/з^z^ + ^2/3V12/3 + 62/з0.26 • 10~18см.(3.61а)0.26 • 10~18см.(3.61а)Согласно (3.9) параметр экранирования для случая рассеяния протонов на ядрах углерода равен
0.53 • 10"10м
0.53 • 10"10м
^z^ + ^2/3V12/3 + 62/з
^z^ + ^2/3V12/3 + 62/з
0.26 • 10~18см.(3.61а)
0.26 • 10~18см.(3.61а)
(3.62)(3.62)(3.63)(3.63)b 4.3 • 10 13 смb 4.3 • 10 13 смаъ 2.6 • 10-9 смаъ 2.6 • 10-9 см1.65 • 10-4рад = 0.005°.1.65 • 10-4рад = 0.005°.
(3.62)
(3.62)
(3.63)
(3.63)
b 4.3 • 10 13 см
b 4.3 • 10 13 см
аъ 2.6 • 10-9 см
аъ 2.6 • 10-9 см
1.65 • 10-4рад = 0.005°.
1.65 • 10-4рад = 0.005°.
На расстоянии, большем аь, поле ядра сильно экранируются атомными электронами. Считают, что максимальный прицельный параметр, при котором протон испытывает влияние ядра, равен
Лпах ~ ^Ъ-
При малых углах рассеяния прицельный параметр р и угол рассеяния связаны следующим образом:
2 2р
Из соотношений (3.61) и (3.61а) получаем минимальный угол рассеяния
Связь между углом рассеяния и переданной ядру энергией определяется формулой (3.12). Таким образом, зная минимальный угол рассеяния, находим и минимальную энергию, которая может быть передана атому при упругом рассеянии:
Tmin^6.7-10-33B.
Оценить отношения упругих и ионизационных потерь протонов с энергией 5 МэВ в воде.
Решение. Вода представляет собой химическое соединение, состоящее из двух атомов водорода и одного атома кислорода, поэтому для нее композиционный закон Брэгга для удельных тормозных способностей записывается в следующем виде:
/1^£Л1 // 1^£Л/1<Z£A \ z .
2+ 16• (3-64)
ур ах /н2о18 уу р ах ) нур ах ) о/
Квадрат относительной скорости протонов с энергией 5 Мэв ра
венвен/З2 = 1 -/З2 = 1 -2\ 2трс \Т + трс2)2\ 2трс \Т + трс2)^ 0.01.^ 0.01.
вен
вен
/З2 = 1 -
/З2 = 1 -
2\ 2
трс \
Т + трс2)
2\ 2
трс \
Т + трс2)
^ 0.01.
^ 0.01.
С помощью (3.4) вычисляем удельные ионизационные потери протонов в водороде и кислороде:
/ 1^£ЛX Р^Лон.Н/ 1^£ЛX Р^Лон.Н3.05-1053.05-1051-121-0.011-121-0.01X Р^Лон.НX Р^Лон.Н11.2 +In11.2 +In0.011 • (1 - 0.01)0.011 • (1 - 0.01)201 МэВ • см2/г,201 МэВ • см2/г,0.010.01(3.65)(3.65)1 dS\Р dx ) ион, о1 dS\Р dx ) ион, о3.05-1053.05-1058 • I216-0.018 • I216-0.0111.2 +In11.2 +In0.018(1 - 0.01)0.018(1 - 0.01)0.010.011 dSр йх1 dSр йх69МэВ • см2/г.69МэВ • см2/г.(3.66)(3.66)ион, Оион, О
/ 1^£Л
X Р^Лон.Н
/ 1^£Л
X Р^Лон.Н
3.05-105
3.05-105
1-12
1-0.01
1-12
1-0.01
X Р^Лон.Н
X Р^Лон.Н
11.2 +In
11.2 +In
0.01
1 • (1 - 0.01)
0.01
1 • (1 - 0.01)
201 МэВ • см2/г,
201 МэВ • см2/г,
0.01
0.01
(3.65)
(3.65)
1 dS\
Р dx ) ион, о
1 dS\
Р dx ) ион, о
3.05-105
3.05-105
8 • I216-0.01
8 • I216-0.01
11.2 +In
11.2 +In
0.01
8(1 - 0.01)
0.01
8(1 - 0.01)
0.01
0.01
1 dS
р йх
1 dS
р йх
69МэВ • см2/г.
69МэВ • см2/г.
(3.66)
(3.66)
ион, О
ион, О
Для вычисления удельных упругих потерь преобразуем (3.13), выражая плотность числа атомов тг среды через плотность вещества р\
4?rz2e4 Z^ p 24?rz2e4 Z^ p 2
4?rz2e4 Z^ p 2
4?rz2e4 Z^ p 2
После подстановки численных значенийПосле подстановки численных значенийпостоянных величин на-постоянных величин на-
После подстановки численных значений
После подстановки численных значений
постоянных величин на-
постоянных величин на-
ходимходимв эВ • см2/г:в эВ • см2/г:1 dE \р dx /1 dE \р dx /7 упр7 упр1.7 • 1021.7 • 102z2Z2 12л(л + 1)^ 0“?z2Z2 12л(л + 1)^ 0“?(3.67)(3.67)
ходим
ходим
в эВ • см2/г:
в эВ • см2/г:
1 dE \
р dx /
1 dE \
р dx /
7 упр
7 упр
1.7 • 102
1.7 • 102
z2Z2 12
л(л + 1)^ 0“?
z2Z2 12
л(л + 1)^ 0“?
(3.67)
(3.67)
Угол #т;п для протонов с энергией 5 МэВ, учитывая, что аь ~ «о, оценим следующим образом:
аь Еа0
(4.8.10--вд.СГСЭ)= v
Vmin ~ г Tl Г Т> А Г О 1 А Я ^^ V ^ ' Т,
5 МэВ • 0.53 • 10-8 см
(3.68)(3.68)0min to 0.54 • 10-52^^27знГ^рад.
(3.68)
(3.68)
Подставляя (3.68) в (3.67), для удельных упругих потерь энергии находим
22!^А, „ 1п2г2^21
2
2
0.54 • 10-6zZV?73ir^273 1(3.69)0.54 • 10-6zZV?73ir^273 1(3.69)-3-= 1-7-Ю • л/ . , 1Ч^у1п
0.54 • 10-6zZV?73ir^273 1
(3.69)
0.54 • 10-6zZV?73ir^273 1
(3.69)
Р^УА(А + 1)/З2
Следовательно, для упругих потерь в водороде и кислороде
имеем
/ ltto\
\ Р ^ж / упр.Н
2 I2 • I22
“ 1,7 ’ 10 ’ 1-(1 + 1)-0.01 ln 5.4-10-6-l-lVl2/3 + l2^’
(—-/— ) to 106.1 кэВ • см2/г,(3.70)
V Р^/упр,Н
( 1dE\ _
V Р^/упр,О-
1 2 о29
= 1.7 - 102 - ,In2 ,,
(16 + 1)-0.015.4 -IO”6 -1 - 8V12/3 + 82/3
( VdE\,,,
I— I 636 , кэВ • см/г.(3.71)
V /’^/упр.о
Таким образом, из композиционного закона Брэгга с учетом вычислений (3.65), (3.66), (3.70) и (3.71) находим
/ 1 dE\
\ Р dx / ион,Н2О
— (2 • 200 + 16 • 69) МэВ • см2/г = 83.6 МэВ • см2/г, 18
/ ldS\
\ о dx J тт
\ р / уПр,Н2О
% —(2 • 106.1 + 16 • 636)кэВ • см2/г = 0.577МэВ • см2/г. 18
Отсюда отношение упругих и ионизационных удельных потерь составляет
А 1 ^еАК Р dx / уПр,Н2ОА 1 ^еАК Р dx / уПр,Н2ОА 1 ^еАV Р ^/ион,Н2ОА 1 ^еАV Р ^/ион,Н2О0.577МэВ • см2/г83.6МэВ • см2/г0.577МэВ • см2/г83.6МэВ • см2/г• 100% ^ 0.7%.• 100% ^ 0.7%.
А 1 ^еА
К Р dx / уПр,Н2О
А 1 ^еА
К Р dx / уПр,Н2О
А 1 ^еА
V Р ^/ион,Н2О
А 1 ^еА
V Р ^/ион,Н2О
0.577МэВ • см2/г
83.6МэВ • см2/г
0.577МэВ • см2/г
83.6МэВ • см2/г
• 100% ^ 0.7%.
• 100% ^ 0.7%.
Пучок протонов с энергией частиц 500 МэВ и током 1 мА проходит через медную пластину толщиной 0.1см. Рассчитать мощность, рассеиваемую пучком в пластине.
Решение. Мощность, рассеиваемая пучком в тонкой пластине, определяется выражением
ее1Д.х.1Д.х.
е
е
1Д.х.
1Д.х.
Согласно (3.4) имеем
dE dx
onr 29 • I2-8.93 г/см3= 3.05 • 10564-0.57onr 29 • I2-8.93 г/см3= 3.05 • 10564-0.57,0.5711.2 +In—;- — 0.57 ,29(1 - 0.57)’,0.5711.2 +In—;- — 0.57 ,29(1 - 0.57)’
onr 29 • I2-8.93 г/см3
= 3.05 • 105
64-0.57
onr 29 • I2-8.93 г/см3
= 3.05 • 105
64-0.57
,0.57
11.2 +In—;- — 0.57 ,
29(1 - 0.57)’
,0.57
11.2 +In—;- — 0.57 ,
29(1 - 0.57)’
16.3МэВ/см.16.3МэВ/см.
16.3МэВ/см.
16.3МэВ/см.
Таким образом, получаем
(3.72)(3.72)Р ^ —16.3МэВ/см • 1 мА • 0.1 см = 1.63кВт.
(3.72)
(3.72)
1.6-10"19Кл7
Получить среднеквадратичный угол многократного рассеяния для тяжелых заряженных частиц в среде толщиной х. Считать, что потенциал рассеяния кулоновский, а акты рассеяния статистически независимы.
Решение. Выберем систему координат на плоскости, перпендикулярной к первоначальному направлению пучка. Угловое отклонение частицы будем характеризовать углами (рхи(ру1 между направлением частицы и осями. Так как акты рассеяния статистически независимы, а отклонения в одну и другую стороны в каждом акте равновероятны, то распределение этих результирующих отклонений описывается распределением Гаусса:
РЫ aVx = -1Ь=е"^ /2^ dVl, (3.72а)
dVy = —d^.(3.726)
Направление частицы в пространстве будет определяться углом ф\ 22,2
Распределение частиц по углу ^ есть результат перемножения распределений (3.72а) и (3.726):
PQp) dp =^ е~у Z2^2 dp,(3.73)
у 2тгу>2
где учтено, что у?2 = 2у>| = 2^?2.
Если рассеивающий слой достаточно тонкий, то потерями энергии частицы можно пренебречь и, следовательно, после к актов рассеяния средний угол отклонения будет равен
к
(3.74)(3.74)= кр2.
(3.74)
(3.74)
Формула Резерфорда для рассеяния заряженных частиц в кулоновском поле (3.11) записана в системе центра инерции, а углы Ф и ^ в лабораторной, поэтому воспользуемся соотношением (П.2.12) из Приложения:
tg №ck =tg №ck =Мд sin 0с сцит + МА cos 0Сци ’
tg №ck =
tg №ck =
которое в случае малых углов выглядит так:
Отсюда для к актов рассеяния получаем
Ф2 = 7(3.75)
Вероятность рассеяния на угол 6 найдем, воспользовавшись ре- зерфордовским сечением рассеяния da^Oy.
, nxda(0Az х
dw^ = (3.76)
где п — плотность рассеивающих атомов в среде, ж — толщина слоя, к — полное число актов рассеяния. Таким образом, получаем
№ = 192 dw(9) = ^ J е2 da^.
Используя (3.75) и формулу Резерфорда (3.11), для случая малых углов имеем
-з 27rz2Z2e4n0® Г М l-rcz^Z^e^nox 9max
ф = —7^ Т = —7^1п "9—'(3'77)
в2(1 + ж) Б,(1 + ж)
В формуле (3.63) нижний предел обусловлен экранированием ядра атома электронной оболочкой. Поэтому из задачи 6 получаем
zZe^Еаь "zZe^Еаь "(3.78)(3.78)
zZe^
Еаь "
zZe^
Еаь "
(3.78)
(3.78)
d(T^ = 1.d(T^ = 1.
d(T^ = 1.
d(T^ = 1.
Верхний предел определим, предполагая, что на углы больше ^тах по всей толщине мишени происходит только один акт рас
сеяния, т. е.
(3.79)
Подставляя в (3.79) выражение для йа^9\ после интегрирования находим
^max ~V^O^.(3.80)
Таким образом, из (3.77) с учетом (3.78) и (3.80) для среднего угла многократного рассеяния следует
Ф2 = тГ- <УтГшИп(7Г^^ .
Используя эмпирические формулы, найти кинетическую энергию а-частиц, средний пробег которых в железе равен 11 мкм.
Решение. Как следует из формулы (3.39), энергия и пробег а-частиц в воздухе связаны степенной зависимостью:
ЯВозд,а[см] = 0.318££/2 [МэВ].
Чтобы найти пробег а-частиц в отличной от воздуха среде, воспользуемся формулой (3.41):
R = 3.2 • 1O"4^^VA % 1.02 • IO"4—S®/2.
РР
Отсюда получаем формулу для энергии а-частиц в МэВ, если известен пробег:
Е„Е„R^p^ - 108\ 1/3А /R^p^ - 108\ 1/3А /(11 • 10"4)2 • 7.872 -1081.022 -56(11 • 10"4)2 • 7.872 -1081.022 -561/з1/з5 МэВ.5 МэВ.
Е„
Е„
R^p^ - 108\ 1/3
А /
R^p^ - 108\ 1/3
А /
(11 • 10"4)2 • 7.872 -108
1.022 -56
(11 • 10"4)2 • 7.872 -108
1.022 -56
1/з
1/з
5 МэВ.
5 МэВ.
На алюминиевую фольгу падают нормально а-частицы с кинетической энергией 13.7МэВ. При какой толщине фольги кинетическая энергия прошедших частиц равна 7 МэВ?
Решение. Из формул (3.39) и (3.41) следует следующая зависимость пробега а-частиц от энергии:
R [см] % 1.02 ■ 10"4 — е5^ [МэВ].
Р
-еУ\-еУ\Разница между пробегом а-частиц с энергией 13.7 и 7 МэВ будет равна
-еУ\
-еУ\
АД = Д1 - Д2 = 1.02 • 10"4 —(д/2р
АДАДл/971.02 • 10~4—-(13.73/22.7л/971.02 • 10~4—-(13.73/22.773/2) ss 6.2 • 10"3см.73/2) ss 6.2 • 10"3см.
АД
АД
л/97
1.02 • 10~4—-(13.73/2
2.7
л/97
1.02 • 10~4—-(13.73/2
2.7
73/2) ss 6.2 • 10"3см.
73/2) ss 6.2 • 10"3см.
Найти с помощью эмпирических формул число пар ионов, которые образует a-частица с начальной кинетической энергией 5.5 МэВ на первом сантиметре своего пути в воздухе. На образование одной пары иона в воздухе необходимо 35 эВ.
Решение. Из формулы (3.39) следует, что для а-частиц с энергиями Si и Е^ (Si > Е^) пробег в воздухе при нормальных условиях отличается на величину
АД = 0.318(Д3у/2 - Д3у/2).
Выражая Е^ через ДР и Еу, находим
S2S2АД \ 2/3 0.318/АД \ 2/3 0.318/1 \2/3
S2
S2
АД \ 2/3 0.318/
АД \ 2/3 0.318/
5.53/2% 4.6 МэВ.
0.318 /
Следовательно, проходя в воздухе 1 см, а-частица теряет энергию
АД = Д1 - Д2 % 5.5МэВ - 4.6 МэВ = 0.9 МэВ.
Отсюда число пар ионов равно
АДАДww0.9 МэВ35 эВ0.9 МэВ35 эВ2.57-104.2.57-104.
АД
АД
w
w
0.9 МэВ
35 эВ
0.9 МэВ
35 эВ
2.57-104.
2.57-104.
Быстрая тяжелая заряженная частица, скорость которой равна г, при движении в среде с концентрацией электронов пе образует на своем пути 8-электроны. Считая процесс образования 8-электронов результатом упругого рассеяния первичной частицы на свободных электронах, определить:
сечение da образования 8-электронов с кинетической энергией в интервале (Т, Т + dT\,
полное число 5-электронов, создаваемых первичной частицей на единице длины ее траектории; предполагается, что известно минимальное значение кинетической энергии Тпор, которой должен обладать электрон для образования видимого следа.
Решение. В лабораторной системе координат угол рассеяния налетающей частицы 6 и угол ^, под которым вылетают 5-электроны, связаны соотношением
Используя его, получаем
• 44 /
sin - = cos гр,
^сци = 2тг sin 0 d6 = 4тг sin 2^ d^ =
= 2тг sin ^ dip • 4 cos ^ = 4 cos ^ dto^ck •
Следовательно, формулу Резерфорда (3.11) для случая рассеяния тяжелой частицы на электроне можно записать в виде
dcr\ip) I I з / ’(3.81)
\meiP / COSd
где учтено, что суммарная энергия в системе центра инерции равна
_теМ г2 т(г2
Из формулы (3.81) видно, что большая часть 5-электронов вылетает под углом тг/2 относительно направления движения частицы.
Энергия Т§, которая передается заряженной частицей 5- электрону, равна
Т„ = 71 лт\2 ^лск cos Ф = 2fM cos2 ^.(3.82)
(me + Му
Отсюда, дифференцируя
12m(,v2
COS2 ^
получимполучим(3.82а)(3.82а)2 sin ^d^о dT§
получим
получим
(3.82а)
(3.82а)
—-— = -2mcv ——.cos3 ^Тз
da(T) =da(T) =2тгг2е4 \dTs\mev2 T^ '2тгг2е4 \dTs\mev2 T^ '(3.83)(3.83)С учетом (3.82а) из формулы (3.81) получаем сечение da^T);
da(T) =
da(T) =
2тгг2е4 \dTs\mev2 T^ '
2тгг2е4 \dTs\mev2 T^ '
(3.83)
(3.83)
Число 5-электронов на участке пути dx равно
ттах
dn§dn§(3.84)(3.84)j da(T)nedx, тпор
dn§
dn§
(3.84)
(3.84)
где пе — плотность электронов в среде. Так как максимальная энергия, которая может быть передана электрону, согласно (3.82) равна
^тах = 2ш(Л7 ,
то для линейной плотности 5-электронов из (3.83) и (3.84) получаем (учитывая, что пе = nz)
dn§ Г _ , . 2тгг2е4 / 11
(3.85)(3.85)= пе / dam = nZ-
(3.85)
(3.85)
dx Jmer2 \Гпор 2m(,v2
тпор
где Тпор — некоторое пороговое значение энергии 5-электронов.
Считая, что пробеги отдельных частиц распределены около среднего пробега по закону Гаусса, получить аналитическое выражение для среднеквадратичного разброса энергий частиц монохроматического пучка после прохождения слоя Дж.
Решение. Средние потери энергии частиц в слое Дж равны
/ dE\
<д^ = () Дж,
у dx )
тогда гауссово распределение может быть записано в виде
Р^Е) =Р^Е) =11-(ДЕ-(ДЕ))2/2<т2-(ДЕ-(ДЕ))2/2<т2
Р^Е) =
Р^Е) =
1
1
-(ДЕ-(ДЕ))2/2<т2
-(ДЕ-(ДЕ))2/2<т2
где ст — среднеквадратичное отклонение энергии от среднего значения. Учитывая, что средние потери энергии при столкновении имеют порядок (s') ~ тег2 для среднего числа столкновений в слое толщиной Дж получаем из (3.3) следующую оценку (пренебрегая параметрами п, 5 в нерелятивистском случае):
NN^Е)^Е)4тгг2е4(гПе^У4тгг2е4(гПе^УZn InZn In2mev2 .Аж.-*ион2mev2 .Аж.-*ион
N
N
^Е)
^Е)
4тгг2е4
(гПе^У
4тгг2е4
(гПе^У
Zn In
Zn In
2mev2 .
Аж.
-*ион
2mev2 .
Аж.
-*ион
Корень из среднего числа столкновений дает среднеквадратичное отклонение числа неупругих столкновений от среднего:
^N = Vn^N = Vn2ze2тег22ze2тег2ivZn InivZn In2mcu2 Дж. ^ион2mcu2 Дж. ^ион
^N = Vn
^N = Vn
2ze2тег2
2ze2тег2
ivZn In
ivZn In
2mcu2 Дж. ^ион
2mcu2 Дж. ^ион
Отсюда среднеквадратичное отклонение от среднего для энергии, потерянной в слое Дж, равно
AN(e) 2ze2 JirZnln —Дж.
Учитывая, что логарифмический множитель меняется в пределах 6.911.5, получим
ст ~ const -ze2 VivznKx.
Используя эмпирическую формулу для пробега протонов в воде, получить аналитическое выражение линейной тормозной способности и поглощенной дозы.
Решение. Согласно формуле (3.42) для протонов имеем
R = аЕр.
Тогда для случая, когда оставшейся энергии пучка должно хватить, чтобы пройти путь R — ж, получаем
R - ж = аЕ^р.
Отсюда следует, что
Е^ =Е^ =R — жR — ж1/р1/рОО
Е^ =
Е^ =
R — ж
R — ж
1/р
1/р
О
О
Дифференцируя энергию по координате, найдем линейную тормозную способность на глубине ж:
s ( dEA 1
\ ^ж / poP/p(R — ж)1-р
Отсюда для поглощенной дозы на единицу площади получаем выражение, которое является аппроксимацией кривой Брэгга:
Св И = ^ =1—-(3.86)
Р ppoP/p(R — xy р
Получить аналитическое выражение для весовой функции W(R), чтобы суперпозиция кривых Брэгга D^ (ж) протонов с различными пробегами R в воде давала постоянную дозу Dq в интервале 0 < ж < ж^.
Решение. Математически постоянство дозы в интервале О < ж < хъ может быть описано с помощью функции Хэвисайда Я(Ж):
= D0H^b - ж) = j W^Db^x, R) dR. (3.87)
Зависимость D^ от R дается формулой (3.86), следовательно,
D(x) = D0H(xb-x)= f W(R)T^ydR. (3.88) J ppoP!p^R — ж)1 p
Для удобства введем новые переменные и — хъ — R и г — хъ — х^ в которых уравнение (3.88) приобретает вид
D0H(uA = / И^(жь — и)—г du.
JрроМр^с - uf"^
Это выражение можно записать в виде интеграла свертки:
D0H^ = У F(u)G(v - u) du.
о
С помощью преобразования Лапласа получим
Учитывая изображение функций
Н^ = - и G^ = —Ц1^)
т/рраг1^рг1^
найдем изображение функции Е^у.
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим
р(иХ =^^
Г(1/р)Г (1 - 1) uMp
Отсюда, учитывая, что
получаем
w(s) --л) - —к— (Z„ - й)1/„ ■<3-89*
В заключение отметим, что случай, когда плато модифицированного пика Брэгга расположено в интервале ха < х < хъ, соответствует изменению R в интервале от ха до хъ-
Используя аналитические выражения кривой Брэгга и весовой функции ТУ (Я), получить выражение для зависимости У(ж) в случае, когда плато модифицированного пика Брэгга расположено в интервале ха < х < хь-
Решение. В случае, когда модифицированный пик Брэгга расположен в интервале жа < ж < ж^, неизвестной является только зависимость В^ж) при ж < жа. Распределение дозы в данной области может быть найдено с помощью формул (3.86) и (3.88) при условии, что R изменяется от жа до ж^:
п/ х Do . (7Г\ D\x) = — sin —7Г \р /п/ х Do . (7Г\ D\x) = — sin —7Г \р /хь
п/ х Do . (7Г\ D\x) = — sin —
7Г \р /
п/ х Do . (7Г\ D\x) = — sin —
7Г \р /
/ —rdR(ж < жо).
J (жь - Я)1/р(Я - ж)1 р
°(3.90)
Переходя к переменным и = хь — R и v = хь — ж, приведем уравнение (3.90) к виду
D(x) =D(x) =du.du.(3.91)(3.91)
D(x) =
D(x) =
du.
du.
(3.91)
(3.91)
Интеграл в выражении (3.91) можно взять, если произвести следующие замены:
и^ — р>
pvt^^
du =2 dt.
(р - 1)+ 1)
Производя подстановки, получаем
D^ =
Dopsin (^тг(р - 1)
^р-1 _р х
(3.92)
Р(ж) = DoР(ж) = Do1 — Г + 7121 — Г + 712(3.93)(3.93)
Р(ж) = Do
Р(ж) = Do
1 — Г + 712
1 — Г + 712
(3.93)
(3.93)
В случае р = 1.5 находим
3/2г-1
Задачи для самостоятельного решения
Во сколько раз отличаются энергетические потери протонов и 7Г+-мезонов с энергией 100 МэВ в алюминиевой фольге толщиной 1 мм?
Оценить минимальную и максимальную границы угла ^min и Ущах, в пределах которых происходит рассеяние в тонком слое воды 1см протонов с энергией 5 МэВ.
Ускоритель дает пучок протонов с кинетической энергией 100 МэВ. Для данного эксперимента требуется энергия протонов 50МэВ. Подсчитать толщину поглотителя (в см и г/см2) из углерода и свинца.
Найти с помощью эмпирических формул число пар ионов, которое образует протон с начальной кинетической энергией 2.5МэВ на первой половине среднего пробега в воздухе. На образование одной пары иона в воздухе необходимо 35 эВ.
Глава 4
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
Взаимодействие электронов с веществом отличается от взаимодействия тяжелых заряженных частиц вследствие их малой массы.
Для них характерны два механизма потери энергии:
ионизационные потери энергии (ионизационное торможение);
радиационные потери энергии (радиационное торможение — испускание фотонов при кулоновском взаимодействии электронов с атомными электронами и ядрами или магнитным полем;
электроядерные (под действием электронов) реакции.
Полные потери энергии электронов в среде составляют
Ионизационные потери энергии электронами
Формула для ионизационных потерь для электронов имеет несколько другой вид, чем для тяжелых заряженных частиц:
нерелятивистский случай (Se <С тес2у Ее < 50 кэВ:
релятивистский случай (Ее ^> тес2у.
теи2Ее
dx /ион mfu2
(4.3)(4.3)-^1-/32-1+/32) 1п2++Ч/-\/М4-5
(4.3)
(4.3)
- при подстановке некоторых констант (4.3) преобразуется в удобный для вычисления вид
dE dxdE dxееионион=L510i^=L510i^7.25 +In7.25 +InZ2(l -/32)Z2(l -/32)
dE dx
dE dx
е
е
ион
ион
=L510i^
=L510i^
7.25 +In
7.25 +In
Z2(l -/32)
Z2(l -/32)
- ^VT^-l + /32)ln2 + l-/32 +
4t1 -4t1 -22[эВ / см],[эВ / см],(4-4)(4-4)где 3 = u/c Qu — скорость частицы, A, Z — заряд и массовое число ядер вещества, ^ и р — плотность атомов среды и вещества среды [г/см3], Те — кинетическая энергия электронов [эВ], I — потенциал ионизации, 5 — поправка на эффект плотности. В случае Ее 5> тес2 формула (4.4) представима в видегде 3 = u/c Qu — скорость частицы, A, Z — заряд и массовое число ядер вещества, ^ и р — плотность атомов среды и вещества среды [г/см3], Те — кинетическая энергия электронов [эВ], I — потенциал ионизации, 5 — поправка на эффект плотности. В случае Ее 5> тес2 формула (4.4) представима в видел р \ еу 3—— )= 4.6 • КГ4#е—+(14.6 - In Z) эВ/см./ ионл р \ еу 3—— )= 4.6 • КГ4#е—+(14.6 - In Z) эВ/см./ ион(4.4а)(4.4а)В ультрарелятивистском случае (4.3) имеет видВ ультрарелятивистском случае (4.3) имеет видdEV 2тге4 , Е2 1—=-NZ In, е + -^7 ион m«c^РфГЙР 8dEV 2тге4 , Е2 1—=-NZ In, е + -^7 ион m«c^РфГЙР 8(4-5)(4-5)Ионизационные потери протонов и электронов в последнем случае становятся сравнимы по величине:Ионизационные потери протонов и электронов в последнем случае становятся сравнимы по величине:dE\ е dx / ион о dE\P ~ dx / ионdE\ е dx / ион о dE\P ~ dx / ион(4-6)(4-6)Пробег электронов в среде. Количество электронов, достигающих слоя вещества на глубине ж имеет сложную форму.Пробег электронов в среде. Количество электронов, достигающих слоя вещества на глубине ж имеет сложную форму.
4t1 -
4t1 -
2
2
[эВ / см],
[эВ / см],
(4-4)
(4-4)
где 3 = u/c Qu — скорость частицы, A, Z — заряд и массовое число ядер вещества, ^ и р — плотность атомов среды и вещества среды [г/см3], Те — кинетическая энергия электронов [эВ], I — потенциал ионизации, 5 — поправка на эффект плотности. В случае Ее 5> тес2 формула (4.4) представима в виде
где 3 = u/c Qu — скорость частицы, A, Z — заряд и массовое число ядер вещества, ^ и р — плотность атомов среды и вещества среды [г/см3], Те — кинетическая энергия электронов [эВ], I — потенциал ионизации, 5 — поправка на эффект плотности. В случае Ее 5> тес2 формула (4.4) представима в виде
л р \ еу 3
—— )= 4.6 • КГ4#е—+(14.6 - In Z) эВ/см.
/ ион
л р \ еу 3
—— )= 4.6 • КГ4#е—+(14.6 - In Z) эВ/см.
/ ион
(4.4а)
(4.4а)
В ультрарелятивистском случае (4.3) имеет вид
В ультрарелятивистском случае (4.3) имеет вид
dEV 2тге4 , Е2 1
—=-NZ In, е + -
^7 ион m«c^РфГЙР 8
dEV 2тге4 , Е2 1
—=-NZ In, е + -
^7 ион m«c^РфГЙР 8
(4-5)
(4-5)
Ионизационные потери протонов и электронов в последнем случае становятся сравнимы по величине:
Ионизационные потери протонов и электронов в последнем случае становятся сравнимы по величине:
dE\ е dx / ион о dE\P ~ dx / ион
dE\ е dx / ион о dE\P ~ dx / ион
(4-6)
(4-6)
Пробег электронов в среде. Количество электронов, достигающих слоя вещества на глубине ж имеет сложную форму.
Пробег электронов в среде. Количество электронов, достигающих слоя вещества на глубине ж имеет сложную форму.
Рис. 4.1. Распределение электронов в зависимости от толщины слоя веществаРис. 4.1. Распределение электронов в зависимости от толщины слоя веществаМаксимальным, или экстраполированным пробегом называется минимальная толщина вещества, в которой задерживаются все электроны. Средним пробегом называется слой вещества, который проходят электроны в среднем.
Рис. 4.1. Распределение электронов в зависимости от толщины слоя вещества
Рис. 4.1. Распределение электронов в зависимости от толщины слоя вещества
Для смеси:
N
(4-7)(4-7)£ ^ _ f Rn(R) dR
(4-7)
(4-7)
“ f n(R) dR
2=1
где N — полное число электронов, тц — плотность атомов г-го вещества смеси, Я^ — пробег электронов в этом веществе.
Известны эмпирические формулы для оценки пробега электронов в алюминии:
R = 0.407^ 38 г/см2R = 0.407^ 38 г/см2для 0.15МэВ < Ее < 0.8МэВ; (4.8)
R = 0.407^ 38 г/см2
R = 0.407^ 38 г/см2
R = 0.562SeR = 0.542SeR = 0.562SeR = 0.542Se0.094г/см2 для Ее > О.бМэВ; (4.8а)
R = 0.562Se
R = 0.542Se
R = 0.562Se
R = 0.542Se
0.133г/см2 для 0.8МэВ < Ее < ЗМэВ; (4.9)
R = 0.246Se - 0.106г/см2 для 10МэВ < Ее < 23МэВ. (4.9а)
Основные закономерности ионизационного торможения электронов:
- ионизационные потери энергии электронов пропорциональны заряду и плотности среды:
nZ;nZ;
nZ;
nZ;
- логарифмически зависят от энергии электронов:
lnSe;lnSe;
lnSe;
lnSe;
- ионизационные потери энергии обратно пропорциональны квадрату скорости частиц:
/ dEV J_
Радиационные потери энергии электронами
Радиационные потери энергии происходят, когда частицы в среде движутся с ускорением. Радиационные потери обратно пропорциональны квадрату массы частицы, поэтому для тяжелых заряженных частиц они не велики. Для электронов вклад радиационных потерь в суммарные потери энергии может достигать 100%. Причинами потерь является ускоренное движение частиц.
Известны различные причины, приводящие электроны к ускоренному движению:
частицы тормозятся, двигаясь по прямой траектории;
частица движется по криволинейной траектории (например, в магнитном поле);
частица движется в оптически плотной среде со скоростью больше фазовой, из-за поляризационных эффектов;
частица движется в неоднородной среде.
Перечисленные причины ускоренного движения электронов приводят к появлению тормозного, синхротронного, черепковского и переходного излучений соответственно.
При разных энергиях 7-квантов соотношение между двумя механизмами торможения электронов, ионизационным и радиационным, меняется.
Область энергий условно делят на две: когда ионизационные потери ниже радиационных и наоборот. На границе между ними вводят понятие критической энергии.
Критической энергией называется энергия, при которой ионизационные и радиационные потери равны. Критическая энергия электронов оценивается по формуле*
ГкрГкр800 МэВZ + 1.2800 МэВZ + 1.2(4.10)(4.10)
Гкр
Гкр
800 МэВ
Z + 1.2
800 МэВ
Z + 1.2
(4.10)
(4.10)
Для твердых веществ и газов хорошей аппроксимацией являются формулы [13]
_ 610 МэВ/^твердые“ Z+ 1.24тгазы 710 МэВкр —Z + 0.92"_ 610 МэВ/^твердые“ Z+ 1.24тгазы 710 МэВкр —Z + 0.92"(4.11)(4-12)(4.11)(4-12)
_ 610 МэВ
/^твердые
“ Z+ 1.24
тгазы
710 МэВ
кр —
Z + 0.92"
_ 610 МэВ
/^твердые
“ Z+ 1.24
тгазы
710 МэВ
кр —
Z + 0.92"
(4.11)
(4-12)
(4.11)
(4-12)
Формулы (4.11) и (4.12) применимы для широкого круга химических элементов (1 < Z < 100).
Соотношение между радиационными и ионизационными потерями энергии электронов обычно определяется по формуле
(4.13)(4.13)Т7dx / рад d. Zj^Y ~ 800dx / ион
(4.13)
(4.13)
Характеристиками радиационного торможения являются радиационная длина и радиационная толщина.
Радиационной длиной называется расстояние, на котором энергия электрона в результате потерь на излучение уменьшается в е раз. Другая характеристика радиационного торможения — радиационная толщина t^:
^0 — ^радРз(4.14)
где р — плотность вещества,
рад 4nor|Z2ln(183/Z1/3)рад 4nor|Z2ln(183/Z1/3)(4-15)(4-15)
рад 4nor|Z2ln(183/Z1/3)
рад 4nor|Z2ln(183/Z1/3)
(4-15)
(4-15)
— радиационная длина.
Для электронов высоких энергий радиационная длина /рад может быть определена соотношением [13]
J_ = 4a^{Z2 [/рад - /(Z)] + Zl^Y (4.16)
где
/(Z) = а2 [(1 4- а2)"1 + 0.20206 - 0.0369а2 + 0.0083а4 - 0.002а6] ,
где о = е2/he = 1/137 — постоянная тонкой структуры, ге = = ^ /те<? — классический радиус электрона, п = ZpNa/A^ р — плотность вещества, Na — число Авогадро, A, Z — соответственно атомный вес и заряд атомов среды.
Для Z > 4
^аД = ln(184.15Z"1/3)) ;'ад = ln(119.4Z-2/3).
Для Z = 1 4- 4 /рад и /рад соответственно составляют:
Z = l:5.34и6.144;
Z = 2:4.79и5.62;
Z = 3:4.74и5.81;
Z = 4 :4.71и5.92.
Более компактная формула для вычисления радиационной длины получена в [13]:
dE dxdE dxРадиационные потери пропорциональны энергии электронов и определяются следующей формулой:
dE dx
dE dx
=(4.19)
рад ^РаД
из которой видно, что энергия электронов уменьшается экспоненциально:
Е = Ейе"х!1^.(4.20)
Тормозное излучение. Электромагнитное излучение, испускаемое заряженной частицей при ее торможении в поле ядра и атомных электронов, называется тормозным излучением (ТИ). Энергия излучения
2 е2
И^ти =(4-21)
Учитывая, что
_ 1 Ze2
т, R? ’
формулу (4.21) можно представить в виде
(4.21а)(4.21а)Ы7 2 е6 Z2 le^cT^Z2^ “ 3^^ “ ЗЯ4
(4.21а)
(4.21а)
Из (4.21а) следует, что энергия тормозного излучения тяжелых заряженных частиц мала:
^ти^ти^ти^тиS3 3 • 106.S3 3 • 106.(4.22)
^ти
^ти
^ти
^ти
S3 3 • 106.
S3 3 • 106.
ТИ имеет энергетический спектр, называемый спектром Шиффа (рис. 4.2).
Потери энергии электрона на ТИ в веществе с атомной плотностью N описываются выражением
nZ22= const(Те + тес ), тес2nZ22= const(Те + тес ), тес2(4.23)
nZ22
= const(Те + тес ), тес2
nZ22
= const(Те + тес ), тес2
Рис. 4.2. Энергетический спектр тормозного излучения Е^ах = Т€ — т€с2 = = ^^тах (а) и угловое распределение ТИ для пучков электронов с ростом энергии 7-квантов, как показано на рисунке (6), становится все более остронаправленнымРис. 4.2. Энергетический спектр тормозного излучения Е^ах = Т€ — т€с2 = = ^^тах (а) и угловое распределение ТИ для пучков электронов с ростом энергии 7-квантов, как показано на рисунке (6), становится все более остронаправленнымгде Те — кинетическая энергия электронов, а выражение в квадратных скобках в широком интервале энергий (как видно из рис. 4.2, а) примерно равно константе.
Рис. 4.2. Энергетический спектр тормозного излучения Е^ах = Т€ — т€с2 = = ^^тах (а) и угловое распределение ТИ для пучков электронов с ростом энергии 7-квантов, как показано на рисунке (6), становится все более остронаправленным
Рис. 4.2. Энергетический спектр тормозного излучения Е^ах = Т€ — т€с2 = = ^^тах (а) и угловое распределение ТИ для пучков электронов с ростом энергии 7-квантов, как показано на рисунке (6), становится все более остронаправленным
При разных кинетических энергиях электронов Те потери энергии на ТИ хорошо описываются выражениями:
в нерелятивистском случае (Те <С те<?)
=(4‘24)
У (ZeC у fpy V
где Z — заряд ядра, те = е2)те(? — классический радиус электрона, ос = 1/137 — постоянная тонкой структуры;
в случае пренебрежения экранированием ядра атомными электронами (mec2 <СТе < /-т^.с2^1/3)
-—)=„TeZ2r^(41n^--);(4.25)
ах / ти\ тес3/
при полном экранировании ядра атомными электронами (Те > ImeC2^-1^)
/ dE\, , /1832\ z х
(-dT„="r'zM41n^+97 (4-26)
Основные закономерности радиационных потерь энергии на тормозное излучение:
(ТИ) возникает в поле отдельного атома среды;
потери пропорциональны энергии электронов:
\ dx J е’
- потери на ТИ обратно пропорциональны квадрату массы частицы:
dE\™радdE\™рад1^част1^част
dE\™
рад
dE\™
рад
1
^част
1
^част
- потери на ТИ пропорциональны плотности среды и квадрату заряда атомов среды:
тирадтирадnZ2;nZ2;
ти
рад
ти
рад
nZ2;
nZ2;
- с ростом энергии электронов уменьшается угол вылета 7- квантов (ТИ становится узконаправленным).
Синхротронное излучение. Синхротронным излучением
называют электромагнитное излучение в диапазоне от радиочас
тот до мягкого 7-излучения, возникающее при движении элек
тронов по круговой орбите в магнитном поле.тронов по круговой орбите в магнитном поле.Синхротронное излучение (СИ) релятивистских электронов испускается в узком конусе с половинным углом раствора (рис. 4.3):
тронов по круговой орбите в магнитном поле.
тронов по круговой орбите в магнитном поле.
л те(?0 = Еел те(?0 = Еегде 7 = 1/Р2.
л те(?
0 = Ее
л те(?
0 = Ее
Рис. 4.3. Синхротронное излучение пучка электро-Рис. 4.3. Синхротронное излучение пучка электро-I/O = 4.6-10"2НТе,I/O = 4.6-10"2НТе,нов в ускорителе (4.28)нов в ускорителе (4.28)СИ имеет непрерывный спектр с максимумом на частоте v^ (в герцах)
Рис. 4.3. Синхротронное излучение пучка электро-
Рис. 4.3. Синхротронное излучение пучка электро-
I/O = 4.6-10"2НТе,
I/O = 4.6-10"2НТе,
нов в ускорителе (4.28)
нов в ускорителе (4.28)
где Н — напряженность магнитного поля в Тл, Те — энергия электронов в эВ.
4р М() ^тт2 гр2 ^0тт2 /р2синх бтгс^тп^ 1 е 6тгст| 1 е ’4р М() ^тт2 гр2 ^0тт2 /р2синх бтгс^тп^ 1 е 6тгст| 1 е ’(4.29)(4.29)В релятивистском случае мощность СИ определяется по формуле
4
р М() ^тт2 гр2 ^0тт2 /р2
синх бтгс^тп^ 1 е 6тгст| 1 е ’
4
р М() ^тт2 гр2 ^0тт2 /р2
синх бтгс^тп^ 1 е 6тгст| 1 е ’
(4.29)
(4.29)
4,(4.30)4,(4.30)где Те — энергия электронов, Н^ — составляющая магнитного поля, перпендикулярная скорости, /zq = 4тг • 10-7^ — магнитная постоянная вакуума. Мощность синхротронного излучения может быть выражена также соотношением р_ dE _( те А
4
,(4.30)
4
,(4.30)
dt 3 R2 \mec2)
где R — радиус орбиты вращения электронов.
Потери энергии при синхротронном излучении могут быть оценены соотношением
<ZS\ _ dE 1_ 1 dE
dx )dt dx/dt и dt
/ синхр'
(4.31)(4.31)c 2 e2p4 ( Te V _2 e2/?^4
(4.31)
(4.31)
v 3 R2 \mec2)3 R2
Основные закономерности синхротронного излучения:синхротронное излучение (СИ) поляризовано в плоскости орбиты (степень поляризации 100%);потери на СИ с ростом энергии электронов возрастают:Основные закономерности синхротронного излучения:синхротронное излучение (СИ) поляризовано в плоскости орбиты (степень поляризации 100%);потери на СИ с ростом энергии электронов возрастают:dEdEdx // синхрdx // синхрпотери на СИ обратно пропорциональны квадрату радиуса вращения электрона в магнитном поле:потери на СИ обратно пропорциональны квадрату радиуса вращения электрона в магнитном поле:dE J_IS ~dE J_IS ~- энергетическоестигаемое в СИ- энергетическоестигаемое в СИразрешение согласно (1.20) по энергии до- составляетразрешение согласно (1.20) по энергии до- составляет^E^Eю-6.ю-6.Черенковское (Вавилова-Черенкова) излучение —
Основные закономерности синхротронного излучения:
синхротронное излучение (СИ) поляризовано в плоскости орбиты (степень поляризации 100%);
потери на СИ с ростом энергии электронов возрастают:
Основные закономерности синхротронного излучения:
синхротронное излучение (СИ) поляризовано в плоскости орбиты (степень поляризации 100%);
потери на СИ с ростом энергии электронов возрастают:
dE
dE
dx /
/ синхр
dx /
/ синхр
потери на СИ обратно пропорциональны квадрату радиуса вращения электрона в магнитном поле:
потери на СИ обратно пропорциональны квадрату радиуса вращения электрона в магнитном поле:
dE J_
IS ~
dE J_
IS ~
- энергетическоестигаемое в СИ
- энергетическоестигаемое в СИ
разрешение согласно (1.20) по энергии до- составляет
разрешение согласно (1.20) по энергии до- составляет
^E
^E
ю-6.
ю-6.
это излучение, возникающее при движении заряженной частицы
в среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в
данной среде.данной среде.Рис. 4.4. Черенковское излучение частицы, движущейся со скоростью VРис. 4.4. Черенковское излучение частицы, движущейся со скоростью VОсобенность заключается в том, что под некоторым углом 6 излучает заряженная частица, движущаяся прямолинейно и равномерно (рис. 4.4). Причина этого — запаздывающий эффект поляризации среды,
данной среде.
данной среде.
Рис. 4.4. Черенковское излучение частицы, движущейся со скоростью V
Рис. 4.4. Черенковское излучение частицы, движущейся со скоростью V
когда возникает направление, вдоль которого возникает когерентное излучение диполей.
Угол 6 между направлением когерентного излучения диполей и направлением движения частицы:
(4.32)(4.32)cos0 = ;Урп
(4.32)
(4.32)
откуда для малых углов 6 в газах
6 = arccos6 = arccos1 А п/3 )1 А п/3 )(4.33)(4.33)
6 = arccos
6 = arccos
1 А п/3 )
1 А п/3 )
(4.33)
(4.33)
Максимально возможный угол распространения излучения при /3=1:
Ушах = arccosп
где п — показатель преломления, ^ — d]c (у — скорость частицы) .
Интенсивность черепковского излучения ^(А) — число фотонов, испускаемых частицей на единице пути в интервале частот dv^ согласно теории Франка-Тамма описывается выражением
AN И ар =dxAN И ар =dx2?rz2e2 /1 Аhe \2?rz2e2 /1 Аhe \, 2тгг2е2 . 9 Лх
AN И ар =
dx
AN И ар =
dx
2?rz2e2 /1 А
he \
2?rz2e2 /1 А
he \
dv = ——— sin2 6 dv. (4.34) he2
Учитывая v — ^- ^ dv — — dX. можем записать
AA2 ’
(4.35)(4.35)dN(X)2?rz2e2 /1 A dX
(4.35)
(4.35)
dxhe \/32n2(A) / A2
Так как Е^ = hvNty^ удельные потери энергии частицы на черенковское излучение равны
2тгг2е2 с22тгг2е2 с2v dv —v dv —(4.36)(4.36)
2тгг2е2 с2
2тгг2е2 с2
v dv —
v dv —
(4.36)
(4.36)
где A, v — соответственно длина волны и частота излучения, х — заряд налетающей частицы, тг(д/) — число фотонов с энергией hv.
Особенности черенковского излучения и закономерности потерь энергии частицей;
черепковское излучение имеет сплошной спектр;
максимальная интенсивность черенковского излучения находится в коротковолновой области;
черепковское излучение возможно для плотных сред с показателем преломления n > 1;
для черенковского излучения характерны мягкие фотоны, оно ограничено видимой областью;
угол испускания черенковского излучения растет с ростом энергии частиц до 0max = arccos ^;
потери энергии на черепковское излучение (—77)~
потери энергии на черепковское излучение не зависят от свойств среды.
Переходное излучение. Переходным излучением (ПИ) называется излучение, возникающее при равномерном и прямолинейном движении заряда в неоднородной или переменной во времени среде. Показатель преломления среды пср может меняться либо в пространстве при переходе частицы из одной части оптически неоднородной среды в другую (пср(«) ф const), либо при его резком изменении для однородной среды (ncp(i) ф Ф const).
Параметры переходного излучения назад и вперед для релятивистских электронов различны: спектр излучения назад сосредоточен только в оптической части спектра, спектр излучения вперед содержит высокие частоты вплоть до
^тах^тахт-*- етес2т-*- етес2= 9 • 103V^= 9 • 103V^т-*- етес2т-*- етес2(4.37)(4.37)
^тах
^тах
т
-*- е
тес2
т
-*- е
тес2
= 9 • 103V^
= 9 • 103V^
т
-*- е
тес2
т
-*- е
тес2
(4.37)
(4.37)
Интенсивность переходного излучения определяется соотношением
(4.38)(4.38)е2 7 ^/47rner|те с2 аЗ^с
(4.38)
(4.38)
где те — классический радиус электрона, а — постоянная тонкой структуры, пе — число электронов в единице объема.
Спектральная плотность излучения нерелятивистского электрона описывается выражением
2
dW e2v2 . 2(no-llcosw
где Vz — составляющая скорости частицы вдоль нормали к поверхности среды; ^ — угол, под которым наблюдается излучение в вакууме; ns = n + ik — комплексный показатель преломления.
Основные закономерности переходного излучения;
ПИ возникает при прохождении электронов с г = const через среду с п^т) или n(f) ф const;
ПИ пропорционально энергии электрона;
ПИ в видимой области спектра направлено назад, а в релятивистской — вперед.
Число фотонов с энергией Kv^ большей некоторой заданной hvo^ оценивается соотношением
QZ2Nj^nv > nvo) = 7ГQZ2Nj^nv > nvo) = 7Г/\ 21п ъ1/\ 21п ъ17Г2127Г2122г.2— Q^2 .32г.2— Q^2 .3(4.40)(4.40)
QZ2
Nj^nv > nvo) =
7Г
QZ2
Nj^nv > nvo) =
7Г
/\ 2
1п ъ1
/\ 2
1п ъ1
7Г2
12
7Г2
12
2г.2
— Q^2 .
3
2г.2
— Q^2 .
3
(4.40)
(4.40)
ЗАДАЧИ
Покажите, что максимальная энергия, которую можно сообщить за одно столкновение электрону частицей с кинетической энергией Е и массой М (М те) составляет ^^Ее.
Решение. Используем метод импульсных диаграмм (Приложение, П.1.2), где Му = М^ Ms = me^ импульс налетающей частицы в JICK ру = m^i. Вторая частица (электрон) покоится, Ps = тег^ = 0. Импульсы частиц после соударения ру и р^.
Для получения импульсов рассеянной частицы и ядра отдачи надо сделать следующие построения (рис. 4.5):
отложить отрезок АБ^ равный исходному импульсу частицы ру = тс у;
разделить его точкой О в отношении масс АО (ОБ = = Му/М^ и из точки О провести окружность, проходящую через точку Б;
из точки А провести прямую под углом рассеяния 6 до пересечения с окружностью в точке Д и соединить точку Д с точкой Б.
построить диаметр, проходящий через точку Д.
Отрезок АД изображает импульс рассеянной частицы р^; LБAД — 0 — угол рассеяния частицы М; отрезок ДБ — импульс электрона после рассеяния в Л СК р2; LДБA = = ^ — угол рассеяния электрона те; LДOБ — О1 — угол
рассеяния частицы М в СЦИ;
Рис. 4.5 О А = рСци и ОД = Р;сци — импульсы частицы М в СЦИ р^ЦИ до и после рассеяния; ОБ = р!?ци и ОБ = Р2СЦИ — импульсы частицы те в СЦИ до
и после рассеяния;
рсци + рсци = 0?(4.41)
уСЦИ =
МсциМ
=.V1’V2 =,vl,(4-42)
М + теМ + те
СЦИтеСЦИ(д
Р= = М + т.Р1= Р* '(4'43)
Учитывая
Р2 = ДБ,р( = АД,
получим
(Рэ)2 ДБ2
2 2те 2те ’
ДБ2 = ОД2 + ОБ2 - 2*0Д*0Б* cos О',
ОД = ОБ, О' = тг - 2<р,(4.45)
откуда
ДБ2 = 2*О52*(1 + cos2^).
Отсюда, учитывая, что ОБ = р2 ц = — ^^ет Pi, запишем
= (W^? ^^„ЭД.(4.46)
Окончательно получим
т?ск=^^1+^|- <4-47'
В нашем случае М 5> те, Г^ск = Т, поэтому
2МтеТ _,. 2теТ. (А А.
Т-=(МЧ^р(1 + =°^)«—(1 + cos2y),(4.48)
(4.49)
Определять максимальный угол отклонения а-частицы при соударении со свободным покоящимся электроном.
Решение. Из рис. 4.5 видно, что
• й - ОД _0Б _ те
sm6—-A0-A0-Ma(4'5°)
Таким образом,
. те .0.511 МэВ
Утах = arcsin= arcsm—— = 1.4-10 рад.
тах Ма2 • 938МэВ + 2 • 940МэВР
(4.51)
При прохождении слоя свинца толщиной 0.40см электронами с энергией Те = 200 МэВ их энергия уменьшилась в среднем на 25%. Найти радиационную длину, если известно^ что потери энергии электрона в основном радиационные.
Решение. Оценим соотношение ионизационных и радиационных потерь электронов:
/ dT \ е
(■ ^)рад TeZ_ = 200 • 82/4 524
(-dry 800800U’5’( "5 j
Из (4.52) следует, что потери энергии электрона в основном радиационные. Кинетическая энергия электрона в веществе уменьшается по закону
Т = Tqc~x/1^ ,откуда радиационная длина /рад имеет значение
х0.4
рад “ In (То/Г) “ 1п(1/0.75) “ 1Лсм-
Оценить первоначальную энергию электронов^ если после прохождения свинцовой пластинки толщиной 0.5см энергия электронов в среднем составляет 42 МэВ.
Решение. Воспользуемся экспоненциальным законом уменьшения энергии:
т2 = тое ж/гр»«;т2 = тое ж/гр»«;, =1
т2 = тое ж/гр»«;
т2 = тое ж/гр»«;
рад 4nar2Z2ln(183/Z1/3)-
Учитывая, что концентрация атомов в веществе
Na 11.6 • 6.02 • 1023 по, 1п23 оп = р—^ == 0.34 • 1023 см-3,
А208
вычислим радиационную длину согласно (4.15): / = i= рад 4nar2Z2ln(183/821/3)
-137- П
“ 4 • 0.34 • 1023 • 2.82 • 10"26 • 822 In 183/821 /3 “ '
Отсюда
То = Т,^1^™ = 42 МэВ ■ ео.5см/о.5см = 112МэВ.
Следовательно, начальная энергия электронов была равна То = = 112 МэВ.
Оценить соотношение потерь на ТИ электронов с Те = = 100 МэВ в воде и золоте.
Решение. Тормозные потери энергии электронами при прохождении через воду определяются взаимодействием электронов с ядрами кислорода. Поэтому будем считать, что для воды Z = 8. Тогда значения me^Z-x!^]ot для кислорода и золота равны 35 и 16.3МэВ соответственно. Следовательно, для оценки тормозных потерь нужно использовать формулу (4.26). Учитывая пе = рНд(А^ получаем соответственно
/ d£;x вода/183 2х
()= nEeZ2T^a ( 4 In ——- Н— =
1.0 г/см3 • 6.02 • 1023 • 100 МэВ • 82 • 2.8см2 • 10"26
16 • 137
1832\
4 In——— 4—) % 2.53МэВ/см;
^/з 1 g //’
dE dxdE dxзолотоТИзолотоТИ
dE dx
dE dx
золото
ТИ
золото
ТИ
_ 19.3г/см3 • 6.02 • 1023 • 100МэВ • 792 • (2.8)2 см2 • 10"26
“197-137
х ( 4 Inй 115 МэВ/см.
\79^39 /'
Соотношение тормозных потерь на золоте и в воде составляет
золотоТИзолотоТИ</руода^ж / ти</руода^ж / ти= 45.= 45.
золото
ТИ
золото
ТИ
</руода
^ж / ти
</руода
^ж / ти
= 45.
= 45.
Вычислить кинетическую энергию электронов, средний пробег которых в алюминии равен 100мг/см2.
Решение. Средний пробег электронов R [г/см2] с энергией Е [МэВ] в алюминии (0.15МэВ< Е < 0.8МэВ) определяется соотношением (4.8)
Л = 0.407Р138,
откуда
Е =Е =R \ 0.407/R \ 0.407/1/1.381/1.380.1 г/см20.4070.1 г/см20.4071/1.381/1.38= 0.36 МэВ.= 0.36 МэВ.
Е =
Е =
R \ 0.407/
R \ 0.407/
1/1.38
1/1.38
0.1 г/см2
0.407
0.1 г/см2
0.407
1/1.38
1/1.38
= 0.36 МэВ.
= 0.36 МэВ.
Найти пробег релятивистских электронов в магнитном поле Вр = 5.0 кГс • см в графите.
Решение. Зная Вр, можно определить импульс частицы р*.
р = eBp.
Тогда кинетическая энергия частицы равна
Е = ^р^с? + т^с4 — т^с^ 1.08МэВ.
Отсюда находим пробег электронов по формуле (4.9):
R = 0.542Р - 0.133 = 3.1 мм.
Пучок электронов с кинетической энергией Eq = 0.50 МэВ падает нормально на алюминиевую фольгу толщиной L = = 50 мг/см2. Оценить с помощью эмпирических формул пробег в воздухе электронов, прошедших эту фольгу.
Решение. Пробег электронов с энергией Е < 0.8 МэВ в алюминии
R = 0.407S138.
На выходе из фольги энергия электронов Е равна
/ L VZ1-38/ 0.05 \ 0 7246
Е = Е0- ——=0.50- ——% 0.28МэВ,
\0.407/\0.407/’
тогда пробег электронов в воздухе
R = 0.407 • 0.281'38 = 0.071г/см2.
И пробег электронов в метрах составляет
R =R == 0.55м.= 0.55м.0.071 г/см2
R =
R =
= 0.55м.
= 0.55м.
1.29 • 10-3 г/см3
Электрон из ускорителя с энергией 10 ГэВ проходит через алюминиевую пластину толщиной 1 см. Сколько энергии он при этом теряет?
Решение. Из формулы (4.13)
®Рад ~ TeZ _ 104-13_ Na
(dE\ ~ 800800 > ’ П Р А
V ах / ион
следует, что основной вклад в потери энергии вносят радиационные потери. Найдем радиационную длину электронов:
/рад = 4nar2Z2 1п^ =
-27-137- 9 7см
“ 4 • 2.7 • 6.02 • 1023 • (2.82)210"26 • 132 In’ СМ’
Из (4.19) получаем
dE dx „„
—7Г = , Е = Еое
^рад
откуда находим
AS = Ео-Е = Е^Х-е'^-Э = 10ГэВ (1 - е"1/9-7) = 0.98ГэВ.
Каковы должны быть минимальные энергии электрона, протона и тг-мезона, чтобы их прохождение через среду с показателем преломления 1.3 сопровождалось черепковским излучением.
Решение. Из соотношения (4.32)
11с
1 > COS0 = —,/3 > -; V > -.
рппп
Энергия частицы, необходимая для возникновения черепковского излучения:
Для электрона, протона и тг-мезона она соответственно составляет:
Те = 0.51 -0.565 = 0.29 МэВ,
Тр = 938 -0.565 = 530 МэВ,
Т^ = 139.5 • 0.565 = 7В.ШэВ.
Черенковское излучение может быть использовано для отличия алмаза (тг = 2.4) от его стеклянных имитаций (тг = = 2.2). Какова должна быть энергия электронов, используемых для подобной диагностики?
Решение. Аналогично предыдущей задаче
= 51.1кэВ.= 51.1кэВ.
= 51.1кэВ.
= 51.1кэВ.
Необходимо использовать два пучка электронов с энергией 62.7 и 51.1 кэВ соответственно, когда в стекле возникает черепковское излучение.
Оценить угол 0^ и максимальную энергию фотонов^ с которой испускается синхротронное излучение в ускорителе электронов с энергией 150 МэВ. Магнитное поле ускорителя 2 Тл.
Решение. Угол У, в который испускает синхротронное излучение, определяется по формуле
тес2Те + тсс2тес2Те + тсс20.5 МэВ150 МэВ0.5 МэВ150 МэВ= 3.4 • 10 3 град.= 3.4 • 10 3 град.
тес2
Те + тсс2
тес2
Те + тсс2
0.5 МэВ
150 МэВ
0.5 МэВ
150 МэВ
= 3.4 • 10 3 град.
= 3.4 • 10 3 град.
Максимальная энергия излучения составляет
Етах = ^о = ^•4.6-10“2ЯТ2 = 6.58-10~22-4.6-10~2-2(1.5-108)2 =
= 1.36-10"6 МэВ = 1.36эВ.
Рассчитать потери энергии на СИ для электронов с энергиями Те = 100 МэВ и 1 ГэВ, движущихся по орбите ускорителя R = 1 м.
Решение. Воспользуемся формулой (4.31):
синхрсинхр2 е2Д3743 Я22 е2Д3743 Я2
синхр
синхр
2 е2Д374
3 Я2
2 е2Д374
3 Я2
, 1196,V1^, 1196,V1^синхрсинхр2 1.44 • 10-13 см • 1.0 • 196431002 см2 1.44 • 10-13 см • 1.0 • 196431002 см0.014эВ.0.014эВ.
, 1196,
V1^
, 1196,
V1^
синхр
синхр
2 1.44 • 10-13 см • 1.0 • 1964
31002 см
2 1.44 • 10-13 см • 1.0 • 1964
31002 см
0.014эВ.
0.014эВ.
Для электронов с энергией Те = 100 МэВ
Те + тес2тес2
В случае Те = 1 ГэВ
dE\
—% 141 эВ.
ах /
/ синхр
Рассчитать частоту утах и энергию ПИ, направленного вперед, возникающего при прохождении электронов с Ее = = 10 МэВ границы раздела воздух-медь.
Решение. Воспользуемся формулой (4.37):
о , Те^тах = 9*10 д/Пе2meczо , Те^тах = 9*10 д/Пе2meczо / pZNд Те = 9 • 103V^—г-—ЧV A meczо / pZNд Те = 9 • 103V^—г-—ЧV A mecz
о , Те
^тах = 9*10 д/Пе2
mecz
о , Те
^тах = 9*10 д/Пе2
mecz
о / pZNд Те = 9 • 103V^—г-—Ч
V A mecz
о / pZNд Те = 9 • 103V^—г-—Ч
V A mecz
= 2.8 • 1016Гц.= 2.8 • 1016Гц.„. /8.9 • 29 • 6.02 • 1023 10
= 2.8 • 1016Гц.
= 2.8 • 1016Гц.
9•103V
V 230.511
Возникающее ПИ лежит в мягкой рентгеновской области. Максимальная энергия ПИ составляет
Етах = Hvmax = 6.58 • 10"22 МэВ • с • 2.8 • 1016 с"1 = 18.4 эВ.
Найти радиус вращения электронов с Те — 40 МэВ в магнитном поле 1, 5 Тл, а также пройденный им путь в воде.
Решение. Воспользуемся соотношением
рт = 300ВЯ,
где напряженность магнитного поля В выражена в теслах, радиус R в метрах, энергия Е в МэВ. Отсюда
300В"
Считая /3^1, получим
R =R =40 МэВ = 8.9 см. 300 Тл-300
R =
R =
Пройденный путь оценим по формуле
Дж =Дж =ЕЕdE dx радdE dx рад
Дж =
Дж =
Е
Е
dE dx рад
dE dx рад
Радиационные потери энергии электронами в воде, учитывая
1.1;30.5-137
—mec2Z х'3 ==— = 34.25,
QV8
оценим по формуле (4.26):
dx )
/ рад
' 183 2 4 In —= + - к ^8 9,' 183 2 4 In —= + - к ^8 9,_ 1.0г/см3-6.02-1023-40МэВ-82-(2.8)2-10-26 см2
' 183 2 4 In —= + - к ^8 9,
' 183 2 4 In —= + - к ^8 9,
16-137
^ 1.0МэВ/см.
Ионизационные потери электронов в воде вычисляем по формуле (4.4а):
—= 4.6 • 10-4Те —— (14.6 -In Z) эВ/см =
^ / ионЛ
оЗ | Q
= 4.6 • 10-4 -40 • 106 х ' (14.61п8) = 7.37МэВ/см.
Отсюда путь Дж:
Дж =Дж =40 МэВ40 МэВ1.0 МэВ/см + 7.4МэВ/см $1.0 МэВ/см + 7.4МэВ/см $
Дж =
Дж =
40 МэВ
40 МэВ
1.0 МэВ/см + 7.4МэВ/см $
1.0 МэВ/см + 7.4МэВ/см $
Задачи для самостоятельного решения
Рассчитать: 1) эффективный пробег в см в алюминии электронов с энергиями 2 и 10 МэВ; 2) толщину алюминиевой мишени, полностью поглощающей электроны с энергией 1МэВ.
Какова энергия электронов, имеющих ту же длину пробега в алюминии, что и протон с энергией 20 МэВ?
В пучке мюонов с кинетической энергией 100 МэВ надо установить счетчик. Ни один мюон не должен проникнуть в счетчик. Сколько меди потребуется для остановки всех мюонов пучка?
Заряженная частица движется с постоянной скоростью d вдоль оси цилиндрического черепковского счетчика радиуса Я, вещество которого имеет показатель преломления п > c(d. Определить длины черепковских волн, испускаемых частицей, для которых выполняются условия взаимного усиления в счетчике.
От чего зависят угол и удельные потери энергии на черепковское излучение? Нарисовать форму фронта черепковского излучения прямолинейно и равномерно движущейся заряженной частицы.
Почему движущаяся прямолинейно и равномерно со скоростью и заряженная частица не излучает в вакууме, но излучает в среде с показателем преломления п > с/и"? Будет ли иметь место излучение, если частица неподвижна, а среда движется относительно ее со скоростью и"?
Электрон с Т = 20 МэВ попадает в воду, находящуюся в магнитном поле Н = 2Тл. Определить радиус поворота электрона в магнитном поле, глубину проникновения в среду и время торможения.
Глава 5
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
При прохождении через вещество 7-кванты взаимодействуют с атомами, атомными ядрами и атомными электронами. Известно несколько механизмов взаимодействия 7-излучения с веществом: когерентное рассеяние, фотоэффект, комптоновское рассеяние (комптон-эффект), рождение электронно-позитронных пар и ядерный фотоэффект.
Сечение полного фотопоглощения 7-квантов атомами вещества складывается из сечений этих процессов — фотоэффекта (сТфОТ), комптоновского рассеяния (<ткомп), образования электронно-позитронных пар (сгпар), когерентного рассеяния (^ког) и фотоядерных реакций (сгфя):
^погл — 0"фот Н™ ^комп Н™ ^пар Н™ ^ког Н™ ^фя • (^-l)
Рис. 5.1. Сечение полного фотопоглощения 7-излучения веществом и вклад в него различных механизмов передачи энергииРис. 5.1. Сечение полного фотопоглощения 7-излучения веществом и вклад в него различных механизмов передачи энергииСечение полного фотопоглощения представляет суммарный вклад всех механизмов взаимодействия 7-квантов с веществом. На рис. 5.1 представлено сечение полного фотопоглощения и вклад в него различных механизмов поглощения энергии 7-излучения.
Рис. 5.1. Сечение полного фотопоглощения 7-излучения веществом и вклад в него различных механизмов передачи энергии
Рис. 5.1. Сечение полного фотопоглощения 7-излучения веществом и вклад в него различных механизмов передачи энергии
Фотоэффект. Фотоэффектом называется ме
ханизм взаимодействия 7-кванта со связанным электроном, приханизм взаимодействия 7-кванта со связанным электроном, при
ханизм взаимодействия 7-кванта со связанным электроном, при
ханизм взаимодействия 7-кванта со связанным электроном, при
котором вся энергия 7-кванта передается электрону атома:
7 + А —> А+ + е .7 + А —> А+ + е .(5-2)(5-2)
7 + А —> А+ + е .
7 + А —> А+ + е .
(5-2)
(5-2)
Кинетическая энергия вылетающего электрона Те тем больше, чем ниже потенциал ионизации /^ соответствующей атомной оболочки:
Те = Е^ — Ц — Тд^(5-3)
где Та — энергия атома отдачи ^Тд^ Ц\
Дифференциальное сечение фотоэффекта имеет вид
/ ,\/2 \ 2
^jr^ К = 4^/2Z5a:57■2 [ ^^— ) sin2 6 cos2 у>(1 + 4/3 cos У), UAL\ у
(5-4) где 0 — угол между импульсом 7-кванта р^ и импульсом электрона ре1 ^ — угол между плоскостями (ре, р7) и (S, р^ Е — вектор напряженности электрического поля.
Сечение фотоэффекта сильно зависит от заряда атома и энергии падающего 7-кванта (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Зависимость сечения фотоэффекта на оболочках атома от энергии 7-квантов
Основной вклад в полное сечение фотоэффекта дает сечение на К-оболочке атома, которое имеет аналитическое выражение для случая Z <С 1/си
(9 _L
(о-фот)к = 47гг|аХ5^X
где те<? — энергия покоя электрона, ге = е2 /те<? — классический радиус электрона, е = hv/mec2 а = е2(he — постоянная тонкой структуры.
Сечение фотоэффекта на К-оболочке при малых энергиях 7-квантов hv <С тес? описывается выражением
(<тфот)к = 1.09 • 10-16Z5(<тфот)к = 1.09 • 10-16Z5'13.611 7/2hv'13.611 7/2hv(5-6)(5-6)
(<тфот)к = 1.09 • 10-16Z5
(<тфот)к = 1.09 • 10-16Z5
'13.611 7/2hv
'13.611 7/2hv
(5-6)
(5-6)
при энергиях 7-квантов hv те<?
(<ткфот)к =(5.7)
ИЛИ
(<тфот)к = 1.34.10-33 —,(5.8)
где hv в формуле (5.6) в эВ, в (5.8) — в МэВ, сечение в см2.
Относительный вклад в сечение за счет фотоэффекта на L-, М- и других оболочках невелик. Сечение фотоэффекта на L- оболочке составляет ~ 20% от величины сечения на К-оболочке, а на М-оболочке ~ 5% сечения на К-оболочке. Полное сечение фотоэффекта примерно равно ^((Тфот)^-
Основные закономерности фотоэффекта:
вероятность фотоэффекта возрастает с ростом энергии связи электрона в ядре;
интенсивность фотоэлектронов при /3 <С 1 максимальна в плоскости, перпендикулярной направлению движения 7- кванта, при /3 ^> 1 уменьшается угол, под которым интенсивность фотоэлектронов максимальна;
сечение фотоэффекта сильно зависит от заряда ядер вещества среды (ффОТ)^ ~ Z5 при всех энергиях 7-квантов;
- сечение фотоэффекта сильно зависит от энергии (сгфот)^ ~ ~ 1/Z^5 для Еу < тес2 и (<7фот)х ~ 1/Z7 для Е^ > тес2. Когерентное рассеяние. Когерентным (томсоновским) рассеянием называется рассеяние электромагнитного излучения, при котором его частота до и после взаимодействия остается неизменной (рис. 5.3). Оно исследовалось при взаимодействии с веществом мягкого, а затем и жесткого рентгеновского излучения.
Описано в рамках классической теории рассеяния электромагнитного излучения.
Рис. 5.3. Когерентное (1) и комптоновское (2) рассеяние на атомных электронахРис. 5.3. Когерентное (1) и комптоновское (2) рассеяние на атомных электронахВ случае рассеяния неполяризо- ванной первичной волны на свободном электроне (рис. 5.3) дифференциальное сечение рассеяния (полученное Дж. Дж. Томсоном) имеет вид
Рис. 5.3. Когерентное (1) и комптоновское (2) рассеяние на атомных электронах
Рис. 5.3. Когерентное (1) и комптоновское (2) рассеяние на атомных электронах
^(1 + со82У),(5.9)
aS 22
где Q — телесный угол, в который происходит рассеяние, 0 — угол между направлением импульса падающего и рассеянного 7-кванта. Полное сечение когерентного рассеяния имеет вид
<тког = у г2 = 0.66 • 10"22 см2,(5.10)
где те = е2/тес2 — классический радиус электрона.
В результате когерентного рассеяния возникает дифракционная картина.
Основные закономерности когерентного рассеяния:
частота и энергия излучения остается неизменной до и после рассеяния;
дифференциальное сечение когерентного рассеяния d^r ~ ~ cos2 У;
сечение когерентного рассеяния не зависит от длины волны падающего электромагнитного излучения.
Комптон-эффект. Комптон-эффектом (комптоновским рассеянием) называется рассеяние 7-кванта на свободном электроне. Это происходит, когда энергия связи электрона в атоме много меньше энергии падающего 7-кванта (S7 ^> ^св). Различают прямой и обратный комптон-эффект. Прямым называют процесс комптоновского рассеяния на свободном покоящемся электроне, обратным — на движущемся электроне.
В прямом комптон-эффекте энергия рассеянного 7-кванта Е^ и электрона отдачи Ее в зависимости от угла рассеяния 6 соответственно имеют вид
Е
71 + S7(l — cos У)]me(? ’
ЕеЕеЕ,Е,1 + тес2 / Е^(Д — cos 0) ’1 + тес2 / Е^(Д — cos 0) ’(5-12)(5-12)
Ее
Ее
Е,
Е,
1 + тес2 / Е^(Д — cos 0) ’
1 + тес2 / Е^(Д — cos 0) ’
(5-12)
(5-12)
где 0 — угол вылета рассеянного 7-кванта в СЦИ.
Углы вылета рассеянного 7-кванта 0 в СЦИ и электрона отдачи ^ в ЛСК связаны соотношением
tg^ =tg^ =ctgf1 + Е^!тес^ ’ctgf1 + Е^!тес^ ’(5.13)(5.13)
tg^ =
tg^ =
ctgf
1 + Е^!тес^ ’
ctgf
1 + Е^!тес^ ’
(5.13)
(5.13)
ИЛИИЛИ^комп dQ^комп dQТе (EyVТе (EyVРис. 5.4. Угловое распределение рассеянных 7-квантов при различных энергиях исходного пуч-Рис. 5.4. Угловое распределение рассеянных 7-квантов при различных энергиях исходного пуч-- sin2 0Е^ Е~- sin2 0Е^ Е~(5.15)(5.15)
ИЛИ
ИЛИ
^комп dQ
^комп dQ
Те (EyV
Те (EyV
Рис. 5.4. Угловое распределение рассеянных 7-квантов при различных энергиях исходного пуч-
Рис. 5.4. Угловое распределение рассеянных 7-квантов при различных энергиях исходного пуч-
- sin2 0
Е^ Е~
- sin2 0
Е^ Е~
(5.15)
(5.15)
Дифференциальное сечение комптоновского рассеяния описывается формулой Клейна-Нишины-Тамма:
^комп
г2 /1 + cos2 0\ /е(1 — COS У)2\
2 V (1 + s(l- cos У))2 / V+ (1 + COS2 0)(1 + £(1-cost?)) у ’
(5.14)
где те = ^]те(? — классический радиус электрона, г = Е^!те(?} Е^ и Ev — энергии падающего и рассеянного 7-квантов соответственно. Угловое распределение 7- квантов в результате комптоновского рассеяния с ростом энергии 7-квантов становится все более вытянутым вперед (рис. 5.4).
Полное сечение комптоновского рассеяния описывается аналитическим выражением
ка 7-квантов
, Г 1 + s F2(l + s)1,/
^комп = 27Гг|—1п(1 + 2е) +
+ ^1п(! + 2е)-+ ^1п(! + 2е)-1 + Зе(1 + 2е)21 + Зе(1 + 2е)2( Е2 L 1 + 2е£_
+ ^1п(! + 2е)-
+ ^1п(! + 2е)-
1 + Зе(1 + 2е)2
1 + Зе(1 + 2е)2
В предельных случаях при s < 1 и s > 1 можно пользоваться более простыми формулами, имеющими соответственно вид
8тг е4 А_26s2\
^комп — о 4 ( 1 —+ К Ь • • • I 7(5.17)
3\5/
^комп^комп(5.18)
^комп
^комп
Видно из (5.16)-(5.18) и рис. 5.5, в, что при низких энергиях 7- квантов сечение комптоновского рассеяния примерно постоянное, а при высоких энергиях ~ Z/E^.
Рис. 5.5. Комптоновское рассеяние 7-квантов: а) схема рассеяния; б) зависимость дифференциального сечения комптоновского рассеяния от угла в и полного сечения от энергии 7-квантов Е^ (в)Рис. 5.5. Комптоновское рассеяние 7-квантов: а) схема рассеяния; б) зависимость дифференциального сечения комптоновского рассеяния от угла в и полного сечения от энергии 7-квантов Е^ (в)
Рис. 5.5. Комптоновское рассеяние 7-квантов: а) схема рассеяния; б) зависимость дифференциального сечения комптоновского рассеяния от угла в и полного сечения от энергии 7-квантов Е^ (в)
Рис. 5.5. Комптоновское рассеяние 7-квантов: а) схема рассеяния; б) зависимость дифференциального сечения комптоновского рассеяния от угла в и полного сечения от энергии 7-квантов Е^ (в)
Обратный комптон-эффект. Экспериментально наблюдалось комптоновское рассеяние на движущемся электроне при рассеянии мягких фотонов из видимой области спектра на пучках ультрарелятивистских электронов. При этом энергия фотонов возрастала и частота светового излучения оказывались в рентгеновской области.
Формула для энергии фотона Е^ рассеянного на движущемся электроне, получается из (5.11) преобразованием из системы координат, связанной с электроном в ЛСК:
Е' _ Е 1 — /3 cos 0Х
77 1 — /3 COS 02 + ^7(1 — cos $) (Ее ’
где 01 — угол между направлением движения электрона и падающего на него 7-кванта, 6^ — угол между направлением движения электрона и рассеянным 7-квантом, 6 — угол между падающим и рассеянным 7-квантами.
Основные закономерности комптоновского рассеяния:
комптон-эффект происходит как на покоящемся, так и на движущемся электроне;
- сечение комптон-эффекта при малых энергиях приблизительно постоянно (сгкомп = const), а при больших энергиях — обратно пропорционально энергии падающего 7-кванта (^КОМП ^/"^7)’
сечение комптон-эффекта пропорционально заряду атомов среды <ткомп ~ X;
монохроматическим 7-квантам, рассеянным на свободных электронах соответствует непрерывный спектр:
рассеянных 7-квантов ттгД2 < Е' <
рассеянных электронов 0 < Ее < 1+.ш ^^е •
Рождение электронно-позитронных пар. Рождением пар называется процесс одновременного возникновения электронов и позитронов (е“е+) при взаимодействии 7-квантов с кулоновским полем атомного ядра или электрона: 7 —> е+ + е-.
Пороговая энергия образования (е-е+) пар в поле атома или ядра:
snopi 2тес2 = 1.02 МэВ,(5.20)
а также в поле электрона составляет
Snop24m ес2 = 2.04МэВ.(5.21)
Полное сечение образования пар при 1 <С Е^ <С тес2/а2^3 без учета экранирования кулоновского поля ядра электронами атома
составляет
(5.22)(5.22). о Г28 , z х 218'сг = Z2ot2 — ln(2s)
(5.22)
(5.22)
а при Е^ <С те<?)otZ^!^ соответствует случаю полного экрани
рования:
"пар — ^ аге"пар — ^ аге^1п(18=г-/3)_Л^1п(18=г-/3)_Л(5.23)(5.23)
"пар — ^ аге
"пар — ^ аге
^1п(18=г-/3)_Л
^1п(18=г-/3)_Л
(5.23)
(5.23)
Сечение образования пар (е“е+) пропорционально квадрату заряда ядер атомов среды. При малых энергиях 7-квантов (тес2 <С Е^ < m^/ciZ1^ сечение образования пар зависит от логарифма энергии сгпар ~ lnS7 (рис. 5.7), причем в поле ядра оно больше, чем в поле электрона в ~ 103 раз. С ростом энергии (Е^ > met? ]а2х!^ сечение образования пар в пределе не зависит от нее (рис. 5.6).Сечение образования пар (е“е+) пропорционально квадрату заряда ядер атомов среды. При малых энергиях 7-квантов (тес2 <С Е^ < m^/ciZ1^ сечение образования пар зависит от логарифма энергии сгпар ~ lnS7 (рис. 5.7), причем в поле ядра оно больше, чем в поле электрона в ~ 103 раз. С ростом энергии (Е^ > met? ]а2х!^ сечение образования пар в пределе не зависит от нее (рис. 5.6).Рис. 5.6. Схема рассеяния в обратном комптон- эффектеРис. 5.6. Схема рассеяния в обратном комптон- эффектеПри энергии Е^ > 10 МэВ количество пар, образованных на электронной оболочке легких ядер, составляет ~ 1% от числа пар, образованных на ядре. На тяжелых ядрах это число составляет ~ 10%.При энергии Е^ > 10 МэВ количество пар, образованных на электронной оболочке легких ядер, составляет ~ 1% от числа пар, образованных на ядре. На тяжелых ядрах это число составляет ~ 10%.Рис. 5.7. Зависимость сечения об- Рис. 5.8. Сечение гигантского диполь- разования пар от энергии 7-кван- ного резонанса (ядерного фотоэффектов для различных веществ та)Рис. 5.7. Зависимость сечения об- Рис. 5.8. Сечение гигантского диполь- разования пар от энергии 7-кван- ного резонанса (ядерного фотоэффектов для различных веществ та)
Сечение образования пар (е“е+) пропорционально квадрату заряда ядер атомов среды. При малых энергиях 7-квантов (тес2 <С Е^ < m^/ciZ1^ сечение образования пар зависит от логарифма энергии сгпар ~ lnS7 (рис. 5.7), причем в поле ядра оно больше, чем в поле электрона в ~ 103 раз. С ростом энергии (Е^ > met? ]а2х!^ сечение образования пар в пределе не зависит от нее (рис. 5.6).
Сечение образования пар (е“е+) пропорционально квадрату заряда ядер атомов среды. При малых энергиях 7-квантов (тес2 <С Е^ < m^/ciZ1^ сечение образования пар зависит от логарифма энергии сгпар ~ lnS7 (рис. 5.7), причем в поле ядра оно больше, чем в поле электрона в ~ 103 раз. С ростом энергии (Е^ > met? ]а2х!^ сечение образования пар в пределе не зависит от нее (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Схема рассеяния в обратном комптон- эффекте
Рис. 5.6. Схема рассеяния в обратном комптон- эффекте
При энергии Е^ > 10 МэВ количество пар, образованных на электронной оболочке легких ядер, составляет ~ 1% от числа пар, образованных на ядре. На тяжелых ядрах это число составляет ~ 10%.
При энергии Е^ > 10 МэВ количество пар, образованных на электронной оболочке легких ядер, составляет ~ 1% от числа пар, образованных на ядре. На тяжелых ядрах это число составляет ~ 10%.
Рис. 5.7. Зависимость сечения об- Рис. 5.8. Сечение гигантского диполь- разования пар от энергии 7-кван- ного резонанса (ядерного фотоэффектов для различных веществ та)
Рис. 5.7. Зависимость сечения об- Рис. 5.8. Сечение гигантского диполь- разования пар от энергии 7-кван- ного резонанса (ядерного фотоэффектов для различных веществ та)
Основные закономерности процесса образования электронно-позитронных пар:
при достаточно высокой энергии 7-квантов (£7 > Snop) электронно-позитронные пары образуются в кулоновском поле ядра или электрона;
сечение образования пар пропорционально квадрату заряда (^пар Е ),
при энергии 7-квантов те(? <С Е^ <С те(? j аЕх^ сечение образования пар пропорционально логарифму энергии 7-квантов (сгпар ~ lnS7);
при энергии 7-квантов те(? ^ Е^. ^ те(? ) осЕх^ сечение образования пар не зависит от энергии 7-квантов.
Ядерный фотоэффект — это процесс неупругого взаимодействия 7-квантов с атомными ядрами. Он происходит при энергиях 7-квантов выше порога фотоядерных реакций, в результате которых образуются вторичные частицы (р, п^ d^ о и т. д.).
Сечение ядерного фотоэффекта имеет форму гигантского дипольного резонанса (рис. 5.8). Амплитуда сечения составляет 10 7- 800мб (1 мб = 10"27 см2).
Интегральная величина сечения взаимодействия 7-квантов с атомными ядрами описывается выражением
е2
^Гяд = ~ бОХМэВ • Мб.(5.24)
фяд mecZv 7
В интервале энергий Е < те(? Z^"l^ ] а вклад ядерного фотоэффекта в сечение полного фотопоглощения составляет ~ 1%. Для тяжелых ядер и для области энергий 7-квантов 10-50 МэВ это значение выше 1%.
Основные закономерности ядерного фотоэффекта:
имеет форму колокола с максимумом при Е^ = 10-15 МэВ;
интегральное сечение пропорционально заряду атомов среды Z;
вклад в сечение полного фотопоглощения составляет ~ 1%.
Интенсивность I моноэнергетического пучка 7-квантов при прохождении тонкого слоя однородной среды толщиной ж уменьшается по экспоненциальному закону:
1 = 1^"^(5.25)
где р = т + сгполн — линейные коэффициенты соответственно ослабления, поглощения и рассеяния, Iq — интенсивность излучения при ж = 0 на входе в среду.
ЗАДАЧИ
Показать, что фотоэффект на свободном электроне невозможен.
Решение. Предположим, что фотоэффект на свободном электроне возможен. Учитывая, что
тРс2о
Ее = —,— тес ,
т^гт^Зс
Ре =
запишем законы сохранения энергии и импульса:
m3 с Е^
Решая систему, получим
2/ 1 \
тРс —,= тРс—,— 1 ,
(i - уу = 1 - /з2.
Отсюда следует, что при /3 = 0 должно быть Ее = Е^ = 0, при /3 = 1 — ve = с, что невозможно.
Рассчитать и сравнить полные сечения фотоэффекта, комптоновского рассеяния и эффекта рождения пар при облучении алюминия 7-квантами с энергией 5 МэВ.
Решение. Найдем параметр е:
5
е= = 9 79
тес2 0.511
Следовательно, для расчета сечения фотоэффекта воспользуемся формулой (5.7):
^фот = ^(^фот)к = -4тггеа Z — ет v7 =
= 1.04- 10"27 см2 = 1.04мб.
Сечение комптоновского эффекта и рождения пар рассчитаем с помощью (5.18) и (5.22):
о-комп = -^0 (1п 2е + |) = 7Т (2-82 •10-13 см)2 (In 2 • 9.8 + | £\2 /9.8\2
= 8.86 • 10"26см2 = 88.6 мб,
22 /28 , „218
= Z ате ( — 1п2е - —
= 132 — (2.82-10"15)2 (— 1п2-9.8 — —
137 v’ \927
= 11.6 • 10"26см2 = 116мб.
Таким образом, сечение рождения пар в 1.3 раза выше сечения комптон-эффекта.
Фотон с энергией 10 МэВ рассеялся на покоящемся электроне. Определить кинетическую энергию электрона после столкновения и угол У, если длина волны рассеянного фотона увеличилась в 2 раза.
Решение. Учитывая, что
Соотношение (5.11) приобретает вид
cosO = 1 -= 0.95,0 = 20°,
а энергия электрона:
Ее = Еу - Е^ = 5 МэВ.
Фотон с энергией Е^ испытывает рассеяние на свободном электроне (рис. 5.6). Получить зависимость энергии рассеянного фотона Еу и электрона Ее от угла рассеяния фотона 6.
Решение. Законы сохранения энергии и импульса позволяют составить систему уравнений
Е~ = Еу> -|- Ее,
77’(5.26)
Р7 — Р7' + Ре-
Второе уравнение из (5.26) перепишем в виде
Ре = Р^ + Ру - 2Р7Р7- COS(5‘27)
учитывая, что
' р2 = (Ее + тес?У - (тес2) = Ее(Ее + 2тес2),
< р2с2 = Я2,(5.28)
, р2, с2 = Е2,.
Подставляя (5.28) в (5.27), получим
Ее^Ее + 2тес2) = Е2 + Е2, - SE^Ey cos 0.(5.29)
Принимая во внимание, что
Ее = Еу - E^f ,
получим энергию рассеянных 7-кванта и электрона:
Р 7— 1S7(i—cosе) ’Р 7— 1S7(i—cosе) ’(5.30)(5.30)
Р 7
— 1S7(i—cosе) ’
Р 7
— 1S7(i—cosе) ’
(5.30)
(5.30)
(5.31)
При каких энергиях Е^ у-квантов сечение фотоэффекта в воде становится много меньше сечения комптон-эффекта (^"фото/^компт 0.01)?
Решение. Вследствие сильной зависимости сечения фотоэффекта от заряда ядра пренебрежем вкладом водорода в сечение фотоэффекта для воды. Для оценки энергии 7-квантов воспользуемся формулами (5.8) и (5.17):
у.1.34-IO"33f,
^компт ^(2.8 • 10"13)2 (1 - ^2^ “
Это соотношение преобразуем к виду
0.668 • 10-2 < 1 _ 2Е^
Еу — тес2 ’
откуда получаем
9
> -тес2 = 0.25 МэВ.
7 - 2
Получить формулы для вычисления порога образования пары е^е- в поле ядра и электрона.
Решение. Запишем инвариант для энергии в СЦИ и Л СК:
Е2 — р2 с2 = inv,
Епор + Мяс2 - (ЕпорУ = (Мя + 2те)2с4,
где Ма — масса ядра, р^ = Snop/c, откуда
S2op + 2^порМяс2 + МУ - Епор,
Епор = 2mec2 I 1 + — ) •
Получаем
Е*ор^2тес2 = 1.02 МэВ,
^ор % 4тес2 = 2.04МэВ.
Определить длину свободного пробега у-квантов в среде, слой половинного ослабления которой равен 10см.
Решение. Воспользуемся формулой (5.28):
1 =
откуда длина свободного пробега 7-кванта
ц —ц —1Т х— = ж In — = рIqIn 21Т х— = ж In — = рIqIn 210 смIn 210 смIn 2= 14.4см.= 14.4см.
ц —
ц —
1Т х
— = ж In — =
рIqIn 2
1Т х
— = ж In — =
рIqIn 2
10 см
In 2
10 см
In 2
= 14.4см.
= 14.4см.
Найти вероятность фотопоглощения у-кванта с энергией 2.0МэВ в свинцовой пластинке толщиной 1мм (сгполн ^ 16.56, 0"фото 2.05 6).
Решение. Вероятность фотопоглощения
Р =Р =^фото ^полн^фото ^полн(1 - е"^) .(1 - е"^) .
Р =
Р =
^фото ^полн
^фото ^полн
(1 - е"^) .
(1 - е"^) .
Учитывая, что р = <тполнп = <тполнр-д-, получаем
2.0516?52.0516?516.5 • 11.6-6.02 ■ IO"24-1023 )\ —И=0.013
2.05
16?5
2.05
16?5
208J)
Вычислить порог фотоядерной реакции.
Решение. Релятивистский инвариант в СЦИ для продуктов реакции:
7 + А В + 6,(s')62 - c\pf)2 = (mb + тв^с\так как для начала реакции р^ = р^ = 0.
В ЛСК до реакции
е^ - eV ЦМд^^^
Учитывая, что (так как М^ = 0)
с2»2 = Т2 ь^пор?
получим
£2 - с2^2 = М2с4 + 2ТпорМлс2 + Т2ор - Т2ор = ^mb + mB?c\
откуда
т _ (тъ + твУс4 - М2с4 _пор2Мас2
_c4(mb + mB-mA)(mb + mb + ma) ( Q \
“2Мас2~Wy 2MA^)’
где Q = (ть + тв - т^с2.
Задачи для самостоятельного решения
Степени ослабления узких пучков рентгеновского излучения с энергиями 200 и 400 кэВ при прохождении свинцовой пластинки отличаются друг от друга в 4 раза. Найти толщину свинцовой пластинки и степень ослабления пучка с энергией 200 кэВ.
Вычислить толщину слоя половинного ослабления узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 6.2нм для углерода, воды и воздуха.
Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, ослабляющей узкий пучок моноэнергетического излучения в 100 раз?
Вычислить линейный коэффициент комптоновского рассеяния 7-квантов с энергией 6 = 3 для углерода.
Вычислить массовый коэффициент комптоновского рассеяния 7-квантов с энергией 6 = 2 для легких веществ.
Вычислить суммарную кинетическую энергию электронно-позитронной пары, которую образовал 7-квант с пороговым значением энергии в поле покоящегося протона.
Массовый коэффициент поглощения рентгеновского излучения с длиной волны А = 20.9нм для железа равен 1.26см2/г. Найти атомный коэффициент поглощения.
Рассчитать и сравнить полные сечения фотоэффекта, комптоновского рассеяния и эффекта рождения пар при облучении алюминия 7-квантами с энергией 25 МэВ.
Глава 6
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
НЕЙТРОНОВ С ВЕЩЕСТВОМ
Нейтроны взаимодействуют с веществом в результате следующих механизмов:
упругого рассеяния;
неупругого рассеяния;
ядерных реакций;
деления ядер.
Взаимодействие нейтронов с веществом происходит, в основном, благодаря их взаимодействию с атомными ядрами. Электромагнитное взаимодействие нейтрона с электронами определяется взаимодействием между их магнитными моментами и в большинстве случаев оказывается пренебрежимо мало.
Сечение взаимодействия нейтронов с ядрами сильно зависит от энергии нейтронов, поэтому условно нейтроны делятся на:
ультрахолодные ^Е < 10—7 эВ);
очень холодные (10-7 < Е < 10 “4 эВ);
холодные (10-4 < Е < 0.025эВ);
тепловые (0.025эВ < Е < 1кэВ);
промежуточные (1 < Е < 500кэВ);
быстрые (500кэВ < Е\
Первые четыре вида нейтронов иногда называют медленными.
При попадании нейтронов в вещество могут происходить следующие процессы:
радиационный захват (Sn < 500 кэВ)
A, Z) + п -> (А + 1, Z) + 7,115In + п 1161п + 7';
реакции с образованием протонов (500 кэВ < Е < 10 МэВ)
Л, Z) + п —> (Л, Z — 1) + р, 14N7 + n—>14Сб+р;
реакции с образованием а-частиц
(A,Z) + n^ (А - 3, Z - 2) + 4Не2, 7Li + n 3НХ+4Не2;
реакции деления
(A Z) + п —> (Ai, Zi) + (Л2, z^y
A + А^ = А + 1, Zi + Z^ = Z^——-;
реакции с образованием нескольких частиц в конечном состоянии
(A Z) + П —> (A , Zi) + (А 7 А) + (А, А) + • • •
при условии
А + А + А + • • • = А + I, Z\ + Z^ + Z^ + • • • = Z,
например
12C6 + n —> Ac + 2n;
неупругое рассеяние нейтронов (Л, Z) + п —> (Л, Z)* + п;
упругое рассеяние нейтронов (Л, Z) + п —> (Л, Z^ -\- тг!.
Упругое рассеяние нейтронов может осуществляться при взаимодействии непосредственно с силовым полем без проникновения частицы в ядро (потенциальное рассеяние) и с проникновением (резонансное рассеяние). Потенциальное рассеяние возможно при любой энергии нейтронов, резонансное рассеяние происходит, когда энергия нейтрона близка к энергии одного из уровней ядра.
Для медленных нейтронов сечение потенциального рассеяния сгп не зависит от энергии и определяется соотношением
<7П = 4tT^,(6.1)
где Ня — радиус ядра.
Сечение захвата медленных нейтронов в области резонансов описывается формулой Брейта-Вигнера
^(тгл) = д^п^(тгл) = д^пГПГ7ГПГ7(6-2)(6-2)<7р(п,п) = 07ГА2<7р(п,п) = 07ГА2(^п - Ярез)2 +’(^п - Ярез)2 +’(6.3)(6.3)
^(тгл) = д^п
^(тгл) = д^п
ГПГ7
ГПГ7
(6-2)
(6-2)
<7р(п,п) = 07ГА2
<7р(п,п) = 07ГА2
(^п - Ярез)2 +’
(^п - Ярез)2 +’
(6.3)
(6.3)
где Spe3 — энергия уровня, Г — ширина уровня составного ядра, Гп/Г и Г7/Г — вероятности перехода ядра в основное состояние с испусканием нейтрона или 7-кванта.
Спиновый множитель представляет собой вероятность образования 2J + 1 состояний составного ядра со спином s при взаимодействии медленных нейтронов с Z = 0 и спином sn = т/2 и ядра мишени со спином Г.
2J+1z ч
9 = f9 = J-1 W9 Г-U 1 V(6'3а)
При Еп Ерез
Гп ~ v Г7 = const.(6.36)
При низких энергиях нейтронов из (6.36) следует, что Гп <С Г7 и
Г — Г -к Г г
При резонансных значениях энергии нейтронов
рез^(-^рез) — ПАрезрез^(-^рез) — ПАрезГп(^рез)ГГп(^рез)Г
рез^(-^рез) — ПАрез
рез^(-^рез) — ПАрез
Гп(^рез)Г
Гп(^рез)Г
^(и,?) =^(и,?) =
^(и,?) =
^(и,?) =
Сечение реакции (п, 7) в области резонанса имеет вид
^рез9
(Еп - £рез)2 + (f)
1Ч)1Ч)Вдали от резонансов <ур изменяется обратно пропорционально скорости нейтронов (закон 1/v):
1
Ч)
1
Ч)
(6-4)
Полное сечение взаимодействия быстрых нейтронов с ядрами ^быстр представляет собой сумму сечений неупругого рассеяния сгн и сечения дифракционного рассеяния сгдиф:
^н — 7г(Я + Ап) , О"диф — 7г(Я + Ап) ,
^быстр — ^н + ^диф — 2тг(Д Ф Ап) 2тгR ,(6-5)
где Хп— И/р — длина волны де Бройля нейтрона, р — импульс налетающего нейтрона.
Оценим радиус ядра:
R =R =1^быстр ^^ •1^быстр ^^ •
R =
R =
1
^быстр ^^ •
1
^быстр ^^ •
Экспериментально показано, что радиус ядра зависит от массового числа А:
Я = (1.37Л1/3 + 1.3)-10"13см.(6.5а)
Для легких ядер
R = (1.37Л1/3 + 0.5)(1 - е-°-49^ . 10-13 см (б 5б)
Энергия нейтрона Eq после п соударений в водородосодержащей среде составляет Еп = Е^/ЗГ.
Среднелогарифмические потери энергии нейтрона £ при одном соударении с ядром определяются соотношением
= 1 -= 1 -(Л-1)2 Л + 12 АШ А - 1 ’(Л-1)2 Л + 12 АШ А - 1 ’(6-6)(6-6)
= 1 -
= 1 -
(Л-1)2 Л + 1
2 АШ А - 1 ’
(Л-1)2 Л + 1
2 АШ А - 1 ’
(6-6)
(6-6)
где Eq, Е — энергии нейтрона до и после соударения, А — мас
совое число ядра.
ле:ле:Среднее число соударений нейтронов в тяжелом замедлите
ле:
ле:
(6-7)(6-7)_ ГА 1 А и — I — -|“ — -|“ —
(6-7)
(6-7)
V 2318
Средняя длина свободного пробега нейтронов в веществе составляет
, =<6'8’
пег
Поток нейтронов 7п(ж), прошедший тонкий слой вещества толщиной ж, связан с падающим потоком Jo экспоненциальным законом:
7п(ж) =,(6.9)
где о* — сечение взаимодействия нейтронов, п — концентрация атомов в единице объема.
22При небольших энергиях (0.01 < Е < 100 эВ) для получения монохроматических нейтронов может использоваться дифракция нейтронов в кристалле. Зависимость энергии нейтрона от угла их отражения от поверхности кристалла ^ определяется формулой Брэгга-Вульфа:
2
2
(6.10)(6.10)n^h2 с? sin ^
(6.10)
(6.10)
где тн — масса нейтрона, d — расстояние между соседними атомными плоскостями в кристалле, п^ — целое число (порядок спектра).
Основные закономерности взаимодействия нейтронов с веществом:
взаимодействуют с атомными ядрами при упругом и неупругом рассеянии и в результате ядерных реакций;
сечение рассеяния медленных нейтронов
медл1
сечение рассеяния быстрых нейтронов
^быстр (^я + ^) )
сечение рассеяния быстрых нейтронов
1
^быстр 77 •
ЗАДАЧИ
Определить угол^ под которым будут наиболее эффективно отражаться от поверхности кристалла NaCI (d = 0.28 нм) нейтроны с энергией 1эВ.
Решение. Согласно формуле (6.10) наиболее эффективно нейтроны будут отражаться при n = 1. Тогда получаем
_ h4.136-КГ21 МэВ-
V 2dV2mnE 2 - 0.28 • 10"9 м • ^2 (з^^Гм
2.9°.2.9°.Следовательно,
2.9°.
2.9°.
Сечение захвата тепловых нейтронов в железе 2.56, плотность железа 7800 кг/м3. Оценить длину свободного пробега тепловых нейтронов в железе и вероятность захвата нейтрона при прохождении тонкого слоя.
Решение. Длина свободного пробега нейтрона в веществе определяется по формуле (6.8):
1
па
где п — концентрация атомов вещества в единице объема.
Для железа массовое число А = 56, отсюда находим массу атома железа:
= 56 • 1.67 • 10"27 кг % 93.5 • 10"27 кг.концентрация атомов железа равнар 7800_328 -= 56 • 1.67 • 10"27 кг % 93.5 • 10"27 кг.концентрация атомов железа равнар 7800_328 -шж
= 56 • 1.67 • 10"27 кг % 93.5 • 10"27 кг.
концентрация атомов железа равна
р 7800_328 -
= 56 • 1.67 • 10"27 кг % 93.5 • 10"27 кг.
концентрация атомов железа равна
р 7800_328 -
Следовательно,
П ~ тж “ 93.5 • IO"27 ±v±~ "
Таким образом, / = 1
8.34-1028-2.5-Ю"28^
Для нейтрона вероятность захвата равна
Р ^ПОВ * ^ч
где ппов — число ядер на единицу поверхности мишени, которое можно оценить из соотношения
п
'^ПОВ •
Для железа находим
ппов S3 (8.34 • Ю28)2/3 • 1.9 • 1019 м-2;
Р и 1.9 • 1019 • 2.5 • 10"28 = 4.75 • 10"9.
Какая доля падающего пучка нейтронов с энергией Еп = = 5 МэВ поглотится в слое воды толщиной 10 см?
Решение. Импульс нейтрона составляет
р„ = V2^^,(б-li)
а дебройлевская длина волны
Полное сечение рассеяния нейтронов можно определить из (6.5), учитывая Ня = гдА1^3:
^полн = 2тг(Яя + А)2 = 2?Г frgA1/3 Н,:
Вычисляя плотность атомов в воде:
^воды
и используя (6.9):
JnN — Л) СХр { ^полн^} )
получим
^J =
= 1 — ехр <= 1 — ехр <Рв■водыРв■водыNa2ttNa2tt1/зВОДЫ1/зВОДЫh \■\/2^nllZ^ /h \■\/2^nllZ^ /118118• 6.02 • 1023 • 2 • 3.14 (1.1 • 181/3 • 10-13+
= 1 — ехр <
= 1 — ехр <
Рв
■воды
Рв
■воды
Na2tt
Na2tt
1/з
ВОДЫ
1/з
ВОДЫ
h \
■\/2^nllZ^ /
h \
■\/2^nllZ^ /
1
18
1
18
= 0.4.= 0.4.4.14-IO"21 - 3-lOloy+ V2 • 5 • 940/
= 0.4.
= 0.4.
Вычислить энергию ядра отдачи при упругом рассеянии на нем нейтрона с энергией Еп и пределы изменения энергии
рассеянного нейтрона.рассеянного нейтрона.Решение. Согласно рис. 6.1 законы сохранения энергии и импульса имеют вид
рассеянного нейтрона.
рассеянного нейтрона.
Рп = Рп' 4" Ря 1k Ен = Е!п + Ея.
Первое уравнение перепишем в виде
Рп = Рп' + Ря - ^РпРя COS у>,(6.14)
где (р — угол между первоначальным направлением движения нейтрона и направлением движения ядра отдачи.
Учитывая, что
Рп = 2т„Е„, ря = 2МяЕя, р^, =2mnE'H = 2mn^En-EaY
(6.15) Подставляя (6.14) в (6.13), получим
4Л24Л24тппМя2
4Л2
4Л2
^я — 7, , \2 ^n COS ^ —
принимая во внимание, что А ^ Мя/тп^ А — массовое число, найдем максимальную энергию ядра отдачи:
ипах г
я “ (Л + I)2 п
Энергия рассеянного нейтрона непрерывно изменяется в пределах
° < < (л + 1)2^п.
Оценить степень непрозрачности ядра С12 взаимодействием с быстрыми нейтронами. Пучок быстрых нейтронов ослабляется в 2 раза в слое 10см.
Решение. Полное сечение взаимодействия нейтронов сгбыстр с ядрами определяется соотношением
N
р ^,(7быс1рж
где 7V0 и N — число нейтронов перед слоем толщиной ж и после его прохождения соответственно, п — плотность ядер в единице объема. Отсюда
<7быстр - 1П N ,
а радиус ядра из (6.5)
1 1 , 7V0,
2тг nx N
Учитывая
оценим радиус ядра С12:
R ~ А In — - ^С ~27vpNax П N у/ТЁ~т^
_ /12 In 26.58 • 10"22 • 3 • 1010 _
“ V 2 • 3.14 • 1.6-6.02-10"23-0.1 V2 • 5 • 940“
= 3.68 • 10-13 см.
Используя формулу (6.56), получим экспериментальную оценку радиуса ядра:
Дэксп = (1.37^12 + 0.5)(1 - e-°-49VT2) = 2.97 • 10"13см.
Отсюда степень непрозрачности ядра при взаимодействии с быстрыми нейтронами
^££ = 0.81.R
Показать, что средний квадрат угла рассеяния нейтрона пропорционален пройденному слою вещества.
/Решение. Пусть У^-х — угол отклонения
после (г — 1)-го рассеяния, соответственно 0^ — \ после г-го; т^ — угол отклонения в г-м столк- ' I новении; — угол между плоскостью рисунка и направлением рассеяния.
Рис. 6.2
cost^ = cos(^-i+^) = cosт^-1 cos 0г — sin^-i sin^siny?. (6.16)
Усредняя (6.16) в предположении о независимости столкновений, получаем
(cOST^) = (cOS^-i + #г)) = (cOS 7^-1 COS 0^) — (sin 7^-1 sin 0^ (sin ^?) .
Среднее значение угла y> (sin^?) = 0. Полагая, что для малых углов cos ж = 1 — у- получаем
4/4/l_^\ = /l_^zl_^
4/
4/
2 /\22
Пренебрегая последним членом, получаем
т.е. средний квадрат угла отклонения нейтрона пропорционален числу столкновений. Предполагая, что между столкновениями нейтрон проходит расстояние, равное длине его свободного пробега, можем заключить, что число столкновений линейно зависит от пройденного пути.
Детектор нейтронов тонкого слоя 10В облучали в течение недели потоком тепловых нейтронов с плотностью J = = 1.00 • 1013 см-2с-1. Найти уменьшение эффективности детектора (в процентах).
Решение. Уменьшение числа ядер 10В со временем составляет
откудаоткуда— dn — / пет dt,
откуда
откуда
n = n^e Jat,
где n0 — первоначальное количество ядер 10В. Относительное уменьшение эффективности счетчика определяется соотноше
ниемниемAwи?Awи?АппАпп= 1 - e"jCTt и Jat = 2.3%.= 1 - e"jCTt и Jat = 2.3%.
нием
нием
Aw
и?
Aw
и?
Ап
п
Ап
п
= 1 - e"jCTt и Jat = 2.3%.
= 1 - e"jCTt и Jat = 2.3%.
Найти среднее время замедления нейтрона в бериллии. Средний свободный пробег нейтрона между двумя соударениями не зависит от энергии и равен А5 = 1.15см. Нейтроны замедлялись от Ео = 2.0 до Ео = 0.025МэВ.
Решение. Нейтрон, за время dt замедлившийся до скорости г испытывает соударений.
Средняя логарифмическая потеря энергии нейтрона за одно соударение £ в Ве определяется по формуле (6.6):
^ = 1 +^ = 1 += 0.21.= 0.21.(Л -I)2, А — 1— ш
^ = 1 +
^ = 1 +
= 0.21.
= 0.21.
ТогдаТогда2 А Л + 1
Тогда
Тогда
Cudtd^ = din Е = —-—.
Ac
УчитываяУчитывая
Учитывая
Учитывая
получаем
Отсюда
1.15см0.21 • 3 • Ю10см/с1.15см0.21 • 3 • Ю10см/с/2 • 940 • 106V 2.5 • 10"2/2 • 940 • 106V 2.5 • 10"2/2 • 940 • 106V 2 • 106/2 • 940 • 106V 2 • 1065-Ю"5 с.5-Ю"5 с.
1.15см
0.21 • 3 • Ю10см/с
1.15см
0.21 • 3 • Ю10см/с
/2 • 940 • 106
V 2.5 • 10"2
/2 • 940 • 106
V 2.5 • 10"2
/2 • 940 • 106
V 2 • 106
/2 • 940 • 106
V 2 • 106
5-Ю"5 с.
5-Ю"5 с.
Решение. Отношение вероятностей распада с испусканием нейтрона и испусканием 7-кванта определяется соотношением
Гп <т(п,п\ /X/0.178
X / и/Х = 0.0022а/—— = 0.06.
Г7 o-Qn^N ЕV 0.025
Для нейтронов с орбитальным моментом I = 0 найти вероятность того, что в результате взаимодействия с ядром со спином 1=1 промежуточное ядро образуется со спином J = 3/2.
Решение. При взаимодействии медленного нейтрона (Z = 0) и ядра мишени возможно образование (2s + 1)(27 + 1) состояний составного ядра (s — спин нейтрона, I — спин ядра). Состояний со спином составного ядра J будет 2J + 1.
Вероятность возникновения числа состояний составного ядра 2J + 1:
_2 J + 1
9 ~ (27^1X2741)"
В данном случае
_2-| + 1_ 2
9 ~ (2 1 + 1) (2 • 1 + 1) " 3-
Задачи для самостоятельного решения
Какая доля падающего пучка нейтронов поглотится в листе железа толщиной 1см? Сечение захвата нейтронов 2.5 6.
Пучок нейтронов с энергией 0.5 МэВ падает на алюминиевую фольгу толщиной 1мм. Определить, какая часть нейтронов будет захвачена ядрами фольги, если сечение захвата ядрами 27А1 нейтронов указанной энергии равна 0.026.
Какая должна быть толщина кадмиевой пластинки, чтобы поток тепловых нейтронов при прохождении через нее уменьшился в 100 раз?
Во сколько раз ослабится узкий пучок тепловых нейтронов при прохождении слоя тяжелой воды толщиной 2 см?
Оценить величину эффективного сечения рассеяния нейтрона с кинетической энергией 10 МэВ, налетающего на ядро углерода.
Интенсивность узкого пучка медленных моноэнергети- ческих нейтронов уменьшается в 20 раз при прохождении через пластинку из углерода. Массовая толщина пластинки 0.5 г/см2. Определить энергию нейтронов, имея в виду справедливость в данном случае закона 1/г.
Глава 7
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АНТИЧАСТИЦС ВЕЩЕСТВОМ
Античастицами называют элементарные частицы, обладающие рядом характеристик, которые имеют те же численные значения, что и частицы, и некоторыми характеристиками с противоположным знаком. Так, у частицы и античастицы одинаковые массы, спины, изоспины, времена жизни; противоположные знаки у электрических, барионных и лептонных зарядов, магнитных моментов, проекций изоспина, четности и др. Характеристики частиц и античастиц представлены в табл. 7.
Таблица 7
Связь характеристик частиц и античастиц
Характеристика
Частица
Античастица
Масса
м
M
Электрический заряд
+{-}Q
-WQ
Спин
S
s
Магнитный момент
+(_)м
_(+)m
Барионное число
+в
-B
Лептонное число
A-Le^ +L^ -\-LT
Lei L pi LT
Странность
+(-)*
Charm
+ НС
-( + )c
Bottomness
+(-)6
-(+)6
Topness
+(-)£
-(+)£
Изоспин
I
I
Проекция изоспина
+ (-Пз
-(+Пз
Четность
+(-)
-(+)
Время жизни
T
T
Схема распада
n -> p 4- e" 4- ve
n -> p 4- e+ 4- Ve
Как видно из последней строки, схемы распада частиц и античастиц — зарядово-сопряженные (операция замены частиц на античастицы получила название зарядового сопряжения). У истинно нейтральных частиц (7, тг°, ту0) частица и античастица тождественны — при операции зарядового сопряжения они переходят сами в себя.
В сильных и электромагнитных взаимодействиях имеется полная симметрия между частицами и античастицами: если возможен какой-то процесс с частицами, то возможен и имеет те же характеристики аналогичный процесс с соответствующими античастицами.
Рождение античастиц происходит в столкновениях частиц вещества, разогнанных до энергий, превосходящих порог рождения пары частица-античастица. В лабораторных условиях античастицы рождаются во взаимодействиях частиц на ускорителях; хранение образующихся античастиц осуществляют в накопительных кольцах при высоком вакууме. В естественных условиях античастицы рождаются при взаимодействии первичных космических лучей с веществом.
Столкновение любой частицы с ее античастицей может приводить к их аннигиляции. Аннигиляция — один из видов взаимопревращения элементарных частиц (процесс превращения пары частица-античастица в другие частицы и античастицы или фотоны). Материя в этом процессе не уничтожается, а переходит из одной формы в другую.
Процесс аннигиляции происходит с сохранением энергии, импульса и различных зарядов.
При низких энергиях процесс аннигиляции есть превращение пары частица-античастица в более легкие частицы или фотоны, например для е+е“-пары:
е+ + е —> 27.
При высоких энергиях сталкивающихся частиц и античастиц (при условии, что полная энергия аннигилирующих частиц превышает порог рождения тяжелых частиц в СЦИ, который равен сумме их масс покоя) происходит их превращение в более тяжелые частицы, например
е++ е —^// + ^+? е++ е —> т +т+.
В экспериментах на встречных пучках при столкновении электронов и позитронов наблюдаются процессы
е+ + е —> адроны,
где, в основном, образуются тг± и тг°-мезоны. С ростом энергии частиц возрастает число барион-антибарион:
е+ + е —> барион + антибарион + адроны.
Процесс аннигиляции идет в сильных и электромагнитных взаимодействиях, например, аннигиляция протонов и антипротонов:
р + р —> 7Г + 7Г+ + 7Г° + 7Г° + 7Г°.
Предполагается и существование процесса аннигиляции в слабых взаимодействиях, например
ve + е -^ ^ + //
Взаимодействие с веществом античастиц происходит в результате ионизационного торможения, многократного рассеяния, радиационного излучения, а также их аннигиляции. Этим последним механизмом различается взаимодействие с веществом частиц и античастиц.
В классической теории тормозная способность частиц в веществе не зависит от их знака. Однако вследствие того что античастицы взаимодействуют с веществом, а не антивеществом, существует ряд причин, в силу которых взаимодействие с ним частиц и античастиц становится неодинаковым. Среди них:
кулоновское искривление траектории движении частицы (в сторону от ядра атома для положительно заряженных и в сторону к ядру для отрицательно заряженных частиц);
увеличение энергии связи атомных электронов при сближении с ядром положительно заряженной частицы и уменьшение ее при сближении с ядром отрицательно заряженной частицы;
наличие процесса перезарядки при прохождении через оболочку атома положительно заряженной частицы и отсутствие такого процесса при прохождении отрицательно заряженной частицы.
Перечисленные механизмы действуют так, что сечения отрицательно заряженных частиц должны быть больше, чем положительно заряженных. Описываемый эффект знака заряда частицы получает объяснение при учете в формуле Бете-Блоха нелинейного эффекта — £3-поправки.
Используя формулу Бете-Блоха (3.5) и пренебрегая параметром U запишем
1 dEр dx1 dEр dxУчитывая, чтоУчитывая, что4irz2 Nat^Z2mct’2ТПе^Ар2 _ IqZ^I — Р2)_ NApП~ А ’4irz2 Nat^Z2mct’2ТПе^Ар2 _ IqZ^I — Р2)_ NApП~ А ’(7-1)(7-2)(7-1)(7-2)
1 dE
р dx
1 dE
р dx
Учитывая, что
Учитывая, что
4irz2 Nat^Z2mct’2
ТПе^Ар2 _ IqZ^I — Р2)
_ NAp
П~ А ’
4irz2 Nat^Z2mct’2
ТПе^Ар2 _ IqZ^I — Р2)
_ NAp
П~ А ’
(7-1)
(7-2)
(7-1)
(7-2)
где Na — число Авогадро, р — плотность среды, z, ZА — соответственно заряд частицы, заряд атомов среды и их атомный вес, 8 — поправка на эффект плотности, формулу (7.1) можно
представить в виде
4тг£2е4т-ZnL, mevz4тг£2е4т-ZnL, mevz(7.3)(7.3)
4тг£2е4
т-ZnL, mevz
4тг£2е4
т-ZnL, mevz
(7.3)
(7.3)
где L = In т^утдту — «ионизационный логарифм».
Рис. 7.1. Показатель г3-поправки Li/Lq для алюминия по данным о тормозной способности этих веществ для а-частиц и протонов. Сплошными линиями показан коридор предсказаний на основе разных вариантов теории ионизационного торможения [AshlayJ.C. et al. // Phys. Rev. 1972. V.85. P. 2393]Рис. 7.1. Показатель г3-поправки Li/Lq для алюминия по данным о тормозной способности этих веществ для а-частиц и протонов. Сплошными линиями показан коридор предсказаний на основе разных вариантов теории ионизационного торможения [AshlayJ.C. et al. // Phys. Rev. 1972. V.85. P. 2393]
Рис. 7.1. Показатель г3-поправки Li/Lq для алюминия по данным о тормозной способности этих веществ для а-частиц и протонов. Сплошными линиями показан коридор предсказаний на основе разных вариантов теории ионизационного торможения [AshlayJ.C. et al. // Phys. Rev. 1972. V.85. P. 2393]
Рис. 7.1. Показатель г3-поправки Li/Lq для алюминия по данным о тормозной способности этих веществ для а-частиц и протонов. Сплошными линиями показан коридор предсказаний на основе разных вариантов теории ионизационного торможения [AshlayJ.C. et al. // Phys. Rev. 1972. V.85. P. 2393]
Линдкард показал, что L можно разложить в ряд по заряду:
L — Lq ++ z2^2 + ...
(7-4)
Учет второго члена в (7.3) приводит к тому, что — ^ зависит от знака тормозящейся частицы:
^) ~z3Lv (7.5)
/ ион
Для третьего слагаемого в (7-4)
хЧг и 1.202^-. (7.5а)
Формула (7.5) представляет г3-поправку к тормозной способности заряженных частиц в веществе.
Учитывая £3-поправку, можно ожидать, что тормозная способность для быстрых а-частиц (—^5) будет больше, чем в 4 раза отличаться от тормозной способности того же вещества для протонов V^p-
Это предположение подтверждается данными, приведенными на рис. 7.1. Отношения тормозных потерь а-частиц и протонов различаются на ~ 1,5%. С ростом энергии частиц это различие уменьшается, поскольку связь электронов с атомами становится все менее существенной (при больших энергиях электроны атома могут считаться свободными).
Передача энергии веществу позитронами происходит в результате упругого рассеяния, ионизационных и радиационных потерь, электроядерных реакций, а также их аннигиляции с веществом. Для описания различий в ионизационных потерях
энергии позитронами и электронами формула (7.3) представлена в виде
1 dE р dx1 dE р dx21V Nxr^mec2 Z21V Nxr^mec2 ZЛ/32Л/32‘"щтт^-^Ч- (7'6)‘"щтт^-^Ч- (7'6)
1 dE р dx
1 dE р dx
21V Nxr^mec2 Z
21V Nxr^mec2 Z
Л/32
Л/32
‘"щтт^-^Ч- (7'6)
‘"щтт^-^Ч- (7'6)
где различия между потерями электронов и позитронов описываются фактором ^±(7), который для них соответственно имеет
вид
Г"I 1
F-(7) = l-/32+ Г_(27 + 1)1п2 -——-—,(7.7)
L °J (7+ 1)
F+(7) = 21n2-— ^23+^^ + ^^ + ^^j , (7.8)
где 7 = 1/V^ — З2 — 1 — кинетическая энергия электронов и позитронов в единицах тес2 3 8 — параметр, характеризующий эффект плотности.
На рис. 7.2 приведены для свинца потери энергии на ионизационное и радиационное торможение позитронов и электронов, потери энергии при аннигиляции позитронов. Видно, что ионизационные потери позитронов в случае, когда энергия на столкновение меньше 0.255МэВ, немного выше, чем электронов. При потерях на столкновение больше 0.255МэВ различия потерь существенно больше. Для энергий частиц Ее± > 10 МэВ эти различия нивелируются.
На рис. 7.3 представлены зависимости ионизационных потерь для электронов и позитронов, рассчитанных по формулам (7.6Н7.8).
Механизм взаимодействия позитронов и электронов с веществом отличается тем, что позитрон, в отличие от электрона, притягивает электроны среды и отталкивается от ее ядер.
Рис. 7.2. Сравнение вклада различных механизмов в потери энергии электронами и позитронами на единице радиационной длины в свинце: 1, 2 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение меньше 0.255 МэВ; 3, 4 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение больше 0.255 МэВ; 5 — потери при аннигиляции позитронов на лету; 6 — потери при радиационном торможенииРис. 7.2. Сравнение вклада различных механизмов в потери энергии электронами и позитронами на единице радиационной длины в свинце: 1, 2 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение меньше 0.255 МэВ; 3, 4 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение больше 0.255 МэВ; 5 — потери при аннигиляции позитронов на лету; 6 — потери при радиационном торможенииВзаимодействие электронов и позитронов со средой отличается от взаимодействия тяжелых заряженных частиц тем, что их масса и спин идентичны аналогичным характеристикам электронов среды. С уменьшением энергии позитрона возрастает вероятность аннигиляции позитрона на лету. При встрече медленного позитрона с атомным электро-
Рис. 7.2. Сравнение вклада различных механизмов в потери энергии электронами и позитронами на единице радиационной длины в свинце: 1, 2 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение меньше 0.255 МэВ; 3, 4 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение больше 0.255 МэВ; 5 — потери при аннигиляции позитронов на лету; 6 — потери при радиационном торможении
Рис. 7.2. Сравнение вклада различных механизмов в потери энергии электронами и позитронами на единице радиационной длины в свинце: 1, 2 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение меньше 0.255 МэВ; 3, 4 — ионизационные потери электронов и позитронов соответственно, если энергия на столкновение больше 0.255 МэВ; 5 — потери при аннигиляции позитронов на лету; 6 — потери при радиационном торможении
Рис. 7.3. Ионизационные потери энергии электронов и позитронов в веществеРис. 7.3. Ионизационные потери энергии электронов и позитронов в вещественом позитрон может захватить его и образовать связанную систему, называемую позитронием (системы е+е“, в которой одна из частиц вращается вокруг другой). Аннигиляция позитрония
Рис. 7.3. Ионизационные потери энергии электронов и позитронов в веществе
Рис. 7.3. Ионизационные потери энергии электронов и позитронов в веществе
происходит из S-состояния. При этом соответственно из состояния 3Si (ортопозитрония) — на три 7-кванта, из состояния TSo (парапозитрония) — на два 7-кванта:
е+ + е“ З7, е+ + е“ 27. (7.9)
Трехфотонная аннигиляция менее вероятна, чем двухфотонная.
Потери энергии мюонами в среде также описываются формулой Бете-Блоха. На рис. 7.4 представлена зависимость полных потерь энергии ^-мюонов в медной мишени от параметра /З7. Они включают в себя ионизационные и радиационные потери энергии, а также потери энергии при взаимодействии с ядрами. В области ниже /З7 < 0.1 приводятся потери энергии для //“-мюонов, что иллюстрирует зависимость от знака частицы ионизационных потерь энергии для //+- и //“-мюонов. Для высоких значений /З7 > 100 отмечается зависимость от параметра эффекта плотности 5, а при /З7 > 1000 значительное возрастание радиационных потерь.
[Me V/cA[Ge V/c][Те V/c]
Рис. 7.4. Потери энергии /х+-мюонов на меди как функция /З7. Сплошная линия — полные потери энергии мюонами в веществе. При низких энергиях линия, обозначенная точками, относится к потерям энергии ^“-мюонами
С уменьшением энергии //“-мюонов до ~ 1 КэВ (например для атомов водорода) они сначала образуют с атомом диполь, а затем, когда скорость мюонов становится сравнимой со скоростью орбитальных электронов атома, происходит замещение
атомного электрона на внешней оболочке мюоном. Такое состояние, как правило, является высоковозбужденным. В дальнейшем атомы переходят в менее возбужденное состояние, освобождая энергию в виде 7-квантов и оже-электронов. Такие атомы получили название мезоатомов. Например, мюоний //+е — система, состоящая из положительно заряженного мюона и электрона. Мезоатом существует недолго (10“14-10“13 с) до тех пор, пока не распадется мюон:
Д —> е A-Vp.-VVe^ (7-Ю)
либо под действием слабого взаимодействия он захватится протоном ядра:
+ р п +(7.11)
В мезоатомах радиус //-орбиты в ~ 200 раз меньше радиуса орбиты электрона. Ядрами таких атомов могут быть протоны, дейтроны, а-частицы и т.д. Такие атомные системы позволяют осуществлять д-катализ — синтез более сложных молекул с помощью мезоатомов. Это обусловлено тем, что мюон экранирует ядро и позволяет //-атому подойти близко к другому ядру и образовать мезомолекулу, например:
// р + d -> д d-\- р;// р + d -> д d-\- р;(7-12)(7-12)
// р + d -> д d-\- р;
// р + d -> д d-\- р;
(7-12)
(7-12)
//-катализ увеличивает интенсивность хода реакции ядерного синтеза. Пример реакции ядерного синтеза:
dt // —> а + п+ рГ (Q = 17.6 МэВ).
Экспериментально установлено, что в среде, состоящей из легких элементов, время жизни д+- и //“-мюонов одинаково: т = 2.2 • 10“6 с вплоть до углерода. Для д+-мюонов оно не зависит от среды, а для //“-мюонов оно убывает от 2.0 • 10“6 до 7.0 • 10 “8 с. Зависимость времени жизни //“-мюона от атомного номера обусловлена тем, что с увеличением веса атомов среды
и заряда ядра Z происходит не только распад мюонов, но и поглощение их ядрами среды.
Взаимодействие тг^-мезонов (пионов) с веществом происходит в несколько стадий. При высоких энергиях, как и для других заряженных частиц, происходит ионизационное торможение тг^-мезонов. Установлено, что при средних скоростях частиц (0,50,7 с) тормозная способность вещества для тг+-мезонов
несколько выше, чем для 7Г“-мезонов, а полные пробеги, наоборот, несколько больше для 7г“-мезонов, чем для тг+-мезонов.
С уменьшением скорости 7г“-мезона возрастает вероятность его захвата на орбиту атома. При скоростях, сравнимых со скоростями орбитальных электронов, 7г“-мезон захватывается на орбиту с главным квантовым числом п > 20, образуя мезоатом. Испуская оже-электроны и рентгеновские лучи, 7г“-мезон переходит на орбиты с меньшим номером п^ пока не поглотится ядром с одной из них в результате сильного взаимодействия с нуклонами ядра. В случае легких элементов поглощение пиона ядром происходит с орбиты 1s. Чем тяжелее элемент, тем ближе к ядру расположены мезоатомные орбиты, тем раньше под действием сильного взаимодействия поглотится пион.
Распад тг“-мезонов происходит в процессах:
тг" -> /г" +-> е" + ^ + ve. (7.13)
Положительные тг+-мезоны не могут из-за кулоновского барьера подойти к ядру и распадаются в реакциях:
7Г+/z++ Z/^,/z+ -> е+ 4- Ve + Vp-(7.14)
Время жизни тг±-мезонов составляет тТ± = 2.603 • 10-8 с. Для тг“-мезонов оно значительно превышает время образования мезоатома и его девозбуждения. Поэтому, в отличие от мюонов, фактически каждый остановившийся в веществе тг“-мезон поглощается ядром. При этом ядру может быть передана энергия, эквивалентная массе покоя тг“-мезона: т^ ^ 140 МэВ.
Поглощение пиона происходит как на отдельных нуклонах, так и на парах нуклонов. Со значительной вероятностью (~ 50%) поглощение происходит на паре нуклонов (пр- или рр- парах):
тг- + пр —> п + п, тг” + рр —> п + р. (7-15)
В простейшем случае вероятность поглощения на пр-паре оценивается соотношением
NZ
где N и Z — соответственно число нейтронов и протонов в ядре.
При этом образовавшиеся нуклоны вылетают из ядра в противоположные стороны с примерно равной энергией ~ 70 МэВ и импульсом 350МэВ/с или выбивают из него каскадно еще несколько нуклонов, в результате чего образуются так называемые звезды. Пример:
тг + А —> Ai + Аз + • • • + Ан.
Рис. 7.5. Распределение дозы в воде (или ткани) в зависимости от глубины при облучении пучком тг--мезонов с импульсом 171 МэВ/сРис. 7.5. Распределение дозы в воде (или ткани) в зависимости от глубины при облучении пучком тг--мезонов с импульсом 171 МэВ/сХарактер взаимодействия 7г“-мезонов с веществом приводит к такой зависимости дозы от глубины, в которой в конце пробега тг-- мезонов наблюдается максимум (рис. 7.5).
Рис. 7.5. Распределение дозы в воде (или ткани) в зависимости от глубины при облучении пучком тг--мезонов с импульсом 171 МэВ/с
Рис. 7.5. Распределение дозы в воде (или ткани) в зависимости от глубины при облучении пучком тг--мезонов с импульсом 171 МэВ/с
Описанный выше меха-
низм механизм поглощения тг--мезонов (звездный распад ядер) и рост сечения их взаимодействия с атомами среды при уменьшении
энергии 7г“-мезонов объясняет появление широкого максимума в глубинном распределении дозы пучка тг--мезонов в веществе. При торможении тг--мезонов в жидком гелии значительная часть распадается в состоянии покоя, когда они уже находятся на мезоатомных орбитах. Доля таких событий в расчете на один остановившийся мезон составляет 1.0^ 1.2%. Замедлившиеся в веществе тг--мезоны захватываются на кулоновские орбиты мезоатома. В пионных атомах водорода (в отличие от пионных атомов других элементов) нет обычного поглощения пиона ядрами идущего по каналу сильного взаимодействия. Основными становятся каналы радиационного захвата и перезарядки пиона:
7Г +р—>п + 7,7Г +р—> 7Г° + П,
где 7Г° — мезон, образующийся в реакции перезарядки, распадается по схеме
7Г° —> 27.
Для антипротонов характерной особенностью взаимодействия с веществом является аннигиляция, сопровождающаяся образованием тг- и А-мезонов и 7-квантов, а также перезарядка с образованием быстрых нейтронов, антинейтронов и тг--мезонов. При аннигиляции, которая происходит в тонком поверхностном слое ядра, освобождается энергия 2трс2 95% которой идет на образование тг-мезонов и 5% на образование К- мезонов. В среднем на одну аннигиляционную звезду приходится около трех заряженных тг-мезонов и двух нейтральных. Таким образом, для антипротонов возможны процессы аннигиляции, например:
Р + Р —> 7Г” + 7Г+ + 7Г° + 7Г° + 7Г°,
Р + Р —> 7Г” + 7Г+ + 7Г” + 7Г+ + 7Г°,р + р К" + К^ + К® + 7Г° + 7Г°.
Рис. 7.6. Сечение двукратной ионизации атомов гелия протонами (сплошная линия) и антипротонами (крестики) [Andersen L. Н. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V.57. P.214]Рис. 7.6. Сечение двукратной ионизации атомов гелия протонами (сплошная линия) и антипротонами (крестики) [Andersen L. Н. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V.57. P.214]Аннигиляция остановившихся антипротонов в жидком водороде происходит из s- состояния, в газовых водородных камерах и из состояния с I + 0.
Рис. 7.6. Сечение двукратной ионизации атомов гелия протонами (сплошная линия) и антипротонами (крестики) [Andersen L. Н. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V.57. P.214]
Рис. 7.6. Сечение двукратной ионизации атомов гелия протонами (сплошная линия) и антипротонами (крестики) [Andersen L. Н. et al. // Phys. Rev. Lett. 1986. V.57. P.214]
При низких энергиях сечение аннигиляции в — 1.5 раза больше сечения упругого рассеяния антипротонов и составляет три полных сечения взаимодействия. С ростом энергии антипротонов сечение аннигиляции уменьшается.
Данные о двукратной ионизации атомов гелия прото
нами и антипротонами показывают, что сечение для последних значительно выше (рис. 7.6).
Протон и антипротон могут вместе образовывать антипро- тонный атом. Процесс аннигиляции таких атомов (^^-пap) происходит из состояний с высоким орбитальным моментом. Свойства протонов такой аннигиляции практически не изучены.
ЗАДАЧИ
Определить пороги рождения антипротона в следующих реакциях;
а^р+р^р + р + р + р^ б) 7 + р р + р + р.
Решение. Воспользуемся формулой (ПЛ.30) для определения энергии реакции:
Qo = vLm^ - У m/)Qo = vLm^ - У m/)(7-17)(7-17)
Qo = vLm^ - У m/)
Qo = vLm^ - У m/)
(7-17)
(7-17)
Для случаев а) и б) она соответственно составляет:
Qo = 2mp<?‘ — ^тр<? = — 2трс = — 2 • 938МэВ = —1876 МэВ;
Qo = трс2 — ^трс2 = — 2трс2 = —2 • 938 МэВ = —1876 МэВ.
Порог реакции вычисляем по формуле (П.1.31):
^пор — |Qo| fi нн \ тА^пор — |Qo| fi нн \ тАIQol А2тас2 / ’IQol А2тас2 / ’(7.18)(7.18)
^пор — |Qo| fi нн \ тА
^пор — |Qo| fi нн \ тА
IQol А
2тас2 / ’
IQol А
2тас2 / ’
(7.18)
(7.18)
а) £пор = 1876МэВ • (1 + 1 + 1) = 5628МэВ, б) Рпор = 1876МэВ • (1 + 1) = 3752 МэВ.
(S(e+) + m(e+)c2)2 - (р(е+)с)2 = (m(e+)c2)2 ,(7.21)
откуда
р(е+) =-— ————.(7.22)
Решая систему уравнений (7.19) с учетом (7.21), получим
О2
Е^=тата- (7-23)
Вычисляем максимальную энергию позитронов:
S(e+) = (4.6 МэВ)_
J 2(0.5МэВ + 4.6МэВ)''
Для случая Е^ре) <С ^(е+) система уравнений, описывающих законы сохранения энергии и импульса, имеют вид
(7.24)(7.24)' £(тг°) + Е(е^ = Qo„ р(тг°) = р(е+).
(7.24)
(7.24)
С учетом (7.21) система (7.24) приобретает вид
(^(тг0))2 4- 2S(7r°)m(7r°)c2 = #(е+)2 + 2Е(е+)т(е+)с2.
Используя (7.24), выразим Ее:
E(e+) = Q0E(e+) = Q02т(тг+)с22т(тг+)с2/ 135= 4.6 МэВ \ 139.5/ 135= 4.6 МэВ \ 139.54.6 \+ 2 ■ 139.5/4.6 \+ 2 ■ 139.5/= 4.5 МэВ,= 4.5 МэВ,
E(e+) = Q0
E(e+) = Q0
2т(тг+)с2
2т(тг+)с2
/ 135
= 4.6 МэВ
\ 139.5
/ 135
= 4.6 МэВ
\ 139.5
4.6 \
+ 2 ■ 139.5/
4.6 \
+ 2 ■ 139.5/
= 4.5 МэВ,
= 4.5 МэВ,
откуда получаем, что максимальную энергию позитрон приобретет во втором случае и она составит 4.5 МэВ.
При аннигиляции р и р в состоянии покоя возникает 4 заряженных тг-мезона. В каких пределах может меняться их кинетическая энергия?
Решение. Аналогично предыдущей задаче для реакцииР + Р —> 7Г + + 7Г” + 7Г + + 7Г™
энергия реакции:
Qo = 2mpc2 — 4трс2 = — 2трс2 = —2 • 938 МэВ = —1876 МэВ. Предполагая, что два тг-мезона, например тг“ и тг+, находятся в состоянии покоя, запишем закон сохранения энергии и импульса для оставшихся частиц:
,я(тг-) + я(7г+) = 90,
^(тг”) =Р(ТГ+).
Отсюда максимальная энергия тг-мезонов лежит в пределах:
О < Ятах(тг") = Ятах(тг+) < ^ = 938МэВ.
Сравнить пороги рождения антинейтрона в реакциях: а^р+р^р + р + п + п^ б) 7 + р —> р -\- п -\- п.
Решение. Для вычисления порогов этих реакций воспользуемся формулами (7.17) и (7.18). Получим
Qo = 2-938МэВ- 2-938МэВ- 2-939МэВ = -1878МэВ, ^пор(п) = 5634 МэВ;
Qo = -1878МэВ, Snop(%) = 3756МэВ.
В случае фотоядерной реакции б) порог рождения антинейтрона в 1.5 раза ниже.
Оценить радиус и энергию связи k-й орбиты мюонного ^РМ'У пионного (ртг-), каонного (рК~) мезоатомов и антипротония (рр).
Решение. Радиус k-й орбиты может быть оценен по формуле
«о 1z —«о 1z —
«о 1
z —
«о 1
z —
(R^ — 105 7 — 0.025 Фм,0.5(Rk) = 0.0055 Фм,(R^ — 105 7 — 0.025 Фм,0.5(Rk) = 0.0055 Фм,(R^ = 5-3'0-511 = 0.019 Фм, х '139.6(Яр) = 2.9 • 10“3Фм.(R^ = 5-3'0-511 = 0.019 Фм, х '139.6(Яр) = 2.9 • 10“3Фм.
(R^ — 105 7 — 0.025 Фм,
0.5
(Rk) = 0.0055 Фм,
(R^ — 105 7 — 0.025 Фм,
0.5
(Rk) = 0.0055 Фм,
(R^ = 5-3'0-511 = 0.019 Фм, х '139.6
(Яр) = 2.9 • 10“3Фм.
(R^ = 5-3'0-511 = 0.019 Фм, х '139.6
(Яр) = 2.9 • 10“3Фм.
По сравнению с радиусом ядра
R = (1.2А1/3 - 0.5) Фм = 0.7Фм
оказывается много меньше.
Энергия первой боровской орбиты
Ео = - ГД 1 ^2 Т^ А = 13.55ЭВ.
(4тг£0)2 2^ п2
Соответственно для мезоатомов
Ер = 2.9 кэВ, Е^ = 3.8 кэВ,
Ек = 6.7 кэВ, Ер = 24 кэВ.
Задачи для самостоятельного решения
Рассчитать максимальную энергию и импульс позитронов, образующихся в распадах:
a) /z+ е+ + ve + v^ б) т+ е+ + ve + vT.
Рассчитать порог рождения электронно-позитронной пары в поле ядра и электрона.
Найти энергию и импульс мезонов при аннигиляции в состоянии покоя протона и антипротона р+р —> тг++тг-, р+р —> ^7 + ?.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПЛЛ* Кинематика взаимодействия частиц
Законы сохранения энергии и импульса для распада частицы С на частицы 1,2,... , п:
С —> Ci + 62 + • • • + Сн(П.1.1)
записываются в виде
Ро = Pi + Р2 + • • • + Pn, Eq = Ei -\- Е2 + ... + ЕП1 (П.1.2) а для реакции вида
А а —В -\- b -\- с -\- ... ,
Ра + РД —> PS + Pb + Рс + • • • ,
Еа + Ед ——^ Ев + Еъ + Ес ...(П.1.3)
через 4-импульсы (П.1.1)-(П.1.3) записываются в виде
Ро = Pi + Р2 + ... +рп(распад),(П.1.4)
Ра + Ра = Рв +Ръ+Рс(реакция).(ПЛ.5)
Превращения частиц анализируются в различных системах отсчета. Наиболее часто используется лабораторная система координат (ЛСК) и система центра инерции (СЦИ).
Лабораторная система координат соответствует постановке экспериментов на ускорителях, когда пучками частиц или 7-квантов облучается покоящаяся мишень. В ЛСК 4-импульсы налетающей частицы и мишени записываются в виде
Система центра инерции соответствует постановке экспериментов на встречных пучках, когда пучки частиц движутся навстречу друг другу, так что центр инерции сталкивающихся частиц покоится.
А. Нерелятивистский случай столкновения частиц
В системе центра инерции сталкивающиеся частицы имеют равные по абсолютной величине, но противоположные по направлению импульсы:
|Ра1 = -|Рл1, Ра + Рл = 0- (П.1.8)
Штрихами будем обозначать значения импульсов и энергий в СЦИ. Пусть частица а имеет в Л СК скорость и массу соответственно va и т(И а частица А — v^ = 0 и тА. Их энергии и импульсы в Л СК:
Pa = mava, рА = 0; Еа = ^у-, ЕА = 0.(ПЛ.9)
При переходе в СЦИ скорость центра инерции:
vcuh = ^ va.(ПЛ.10)
та + тА
В СЦИ импульсы имеют вид
,/тАтА
Ра = та (va - усци) = :mava = ра,
та + тАта + тА
г тА/ тА
Ра = .Ра, Va = Vo,(П.1.11)
та + тАта + тА
РА = -\ра\, v^ = vo.
та + тА
Кинетические энергии движения частиц в СЦИ:
т^д у2т2д
“ (та + тАу-2(та + тАу
22
Т, = тАт^ = тАта
А Уиа^г тАу 2 (та + тАу
Часть кинетической энергии расходуется на движение системы центра инерции:
Тсци =^ IV(П.1.13)
Переносным импульсом частиц называется разница между импульсами частиц в разных системах координат. При переходе из ЛСК в СЦИ и обратно переносный импульс определяется выражением
рпер _ р _ р/(ПЛ.14)
Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в СЦИ:
(ПЛ.15)(ПЛ.15)rp! гр! । гр! и, лQ,
(ПЛ.15)
(ПЛ.15)
1 а — 11 А — I’
та + ТПд 22
где р = ^^^- — приведенная масса частиц та и тд.
Кинетическая энергия налетающей частицы делится на энергию СЦИ и сталкивающихся частиц:
Та = ГСци + Tfa.Та = ГСци + Tfa.(ПЛ.16)(ПЛ.16)
Та = ГСци + Tfa.
Та = ГСци + Tfa.
(ПЛ.16)
(ПЛ.16)
Б. Релятивистский случай
Основные выводы специальной теории относительности используются в кинематических соотношениях, описывающих ядерные взаимодействия. Масса покоя частицы mg связана с энергией покоя Eq соотношением Эйнштейна
Ео = тос2.(ПЛ.17)
Полная энергия релятивистской частицы Е, импульс р и ее масса покоя удовлетворяют соотношению
S2 = eV+т^с4.(ПЛ.18)
Кинетическая энергия релятивистской частицы:
Т = c^jp2, + m^c2 — т^с^.(ПЛ.19)
Скорость релятивистской частицы:
Для определения энергии Е и импульса частицы р в разных системах координат используется соотношение
S2 - с2р2 = т^,(П.1.21)
где т^с4 не изменяется при переходе от одной системы координат к другой и называется инвариантом.
Связь между координатами частицы в двух различных системах координат определяется преобразованиями Лоренца;
х' = х, у' = у,
х! =- vt^ t' = 7\t-—xV(ПЛ.22)
\ с /
_1о _ V _ РС
79 с Е-
Полная энергия релятивистской частицы Е и импульс р в системе координат движущейся со скоростью v относительно покоящейся системы координат, имеют вид
_ тис29тпсЗ лх
Е = /1 д2 = ^т°С ’ Р = /1 д2 = ЧРтос, (П.1.23)
V1 - р2V1 - р
кинетическая энергия релятивистской частицы определяется как разность между полной энергией частицы и ее массой покоя:
Т = то с2 ( —.— 1Т = то с2 ( —.— 1= т0с2(7 - 1).= т0с2(7 - 1).(ПЛ.24)(ПЛ.24)
Т = то с2 ( —.— 1
Т = то с2 ( —.— 1
= т0с2(7 - 1).
= т0с2(7 - 1).
(ПЛ.24)
(ПЛ.24)
Полная энергия релятивистской частицы Е, ее кинетическая энергия Т и импульс р связаны между собой соотношениями
Е = Т + mo с2 = Vp2 + (moc2)2,г-——(ILL25)
р = у Е2 —= —.
Скорость СЦИ системы относительно ЛСК системы определяется соотношением
РасРас/уу 1
VCUH = v;.2 = ™.—2 ,(П.1.26)
Еа + тАс2 Та + тас2 + тАс2
а безразмерная характеристика скорости:
ЛЦИ =2(П.1.27)
с Еа + тАс2
Полная энергия Е и импульс р релятивистской частицы при переходе из системы координат СЦИ в ЛСК связаны соотношениями
pcosO = 7сци(У cos6f + /Зсци^),
psin# = p'sin#',(ПЛ.28)
Е = 7сци(^/ + АзциУ cos0'),
где лоренц-фактор системы СЦИ:
7сци = у = ,(ПЛ.29)
у 1 - /^сци
а в и в1 — углы, под которыми движутся частицы в системах координат ЛСК и СЦИ соответственно.
Энергией реакции называется разность энергий покоя частиц до и после взаимодействия:
Qo = (^mt - ^тА с2,(ПЛ.30)
где т^ и т^ — массы частиц в начальном и конечном состояниях. Если Qo > 0, реакция экзотермическая, Qo < 0 — эндотермическая. Для реализации эндотермической реакции необходимо, чтобы энергия сталкивающихся частиц была больше некоторой величины, которая в СЦИ тождественно равна |Qo|-
Минимальная кинетическая энергия сталкивающихся частиц в ЛСК, при которой реакция становится возможной, называется порогом реакции*.
^пор = |<?о| (1 + —+.(П.1.31)
\ тАу
Пример. Определить связь энергий частиц, участвующих в реакции в системах координат ЛСК и СЦИ.
Из соотношения (ПЛ.21) следует
(£сц„ + £сциу _ (Рсц„ + рсцир =
/ рЛСК , рЛСК\2 /_лск , лск\2 Л
= \Еа + ЕА ) - (Ра + Рл ) с •
Так как
„ЛСК л гЛСК2 „сци , СЦИ п
Рл = °, еа =тАс , рам +рл = О,
а энергия столкновения
Ео = ^Ци + ^ци,
ТО
Е’„ = (в=™ + ЕС™У = (В?™ + тл?)2 - (Р™ке)! =
= 2ВГктлсг + Н + ту с4.
Энергия столкновения Ео частиц в СЦИ связана с энергией налетающей частицы соотношением
So = 2ЕЛСКтдС2 + (m2 + т^ с4.
ПЛ.2. Импульсные диаграммы
А. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц(нерелятивистский случай)
Геометрический способ, позволяющий по известным направлениям движения частицы и ее скорости до и после рассеяния определить направление движения и скорость второй частицы, называется диаграммой рассеяния.
Этот способ позволяет также определить по скорости и направлению движения второй частицы скорость и направление движения первой частицы после рассеяния, угол разлета частиц.
Способ основан на том, что:
импульсы частиц в системах координат ЛСК и СЦИ связаны с переносным импульсом соотношением
Р = Рпер + р';(П.2.1)
величины переносных импульсов частиц а и А при переходе из ЛСК в СЦИ определяются делением импульса налетающей частицы в отношении пропорционально массам сталкивающихся частиц;
переносный импульс первоначально покоящейся частицы А равен по величине импульсу частиц а и Л в СЦИ. Рассмотрим случай та < тд^ скорость центра инерции г>сци определяется соотношением
^сци = -^^а = -^А^(П.2.2)
та + та
где га — начальная скорость частицы в системе ЛСК.
та . Ра?та + тАтА,Ра та + тАта . Ра?та + тАтА,Ра та + тА(П.2.3)(П.2.3)Из формулы (П.2.2) получим
та . Ра?
та + тА
тА
,Ра та + тА
та . Ра?
та + тА
тА
,Ра та + тА
(П.2.3)
(П.2.3)
Ра"1" = т^сЦИ = V"та + тАпер^'аТ^А
Рд = ™^Сци = :
та + тд
Для импульсов Ра и р^, р”ер и р^ер построим диаграмму. Импульсы р”ер и р^ер относятся как т^/тд^ так что их сумма равна ра. Поэтому первоначальный импульс АВ в лабораторной системе координат делится на две части: АО и ОВ (рис.П.1).
Обозначения: АО соответствует р”ер, О В — р^р, р’^ рА1 импульсы после рассеяния в СЦИ, а ра1 рд — импульсы после
рассеяния в ЛСК на импульсной диаграмме (рис. ПЛ).
Рис. П.1. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая та < тдРис. П.1. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая та < тдИмпульсы частиц на рис. П.1 соответственно равны:
Рис. П.1. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая та < тд
Рис. П.1. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая та < тд
~ „пер I /~ / I „пер
Ра — Ра + Ра? РД — Рд 4" Р^ ,
(П.2.4)
„ „пер I „пер ~. ~
Ра — Ра + Р^ , Ра — Ра 4" РД-
(П.2.5)
|РлР| = |Ра1 = |Рл1|РлР| = |Ра1 = |Рл1тАта + тАтАта + тА|Ра| •|Ра| •(П.2.6)(П.2.6)Импульсы частиц в СЦИ:
|РлР| = |Ра1 = |Рл1
|РлР| = |Ра1 = |Рл1
тАта + тА
тАта + тА
|Ра| •
|Ра| •
(П.2.6)
(П.2.6)
На рис.П.1 импульсам частиц а и А после упругого рассеяния
Ра и рл соответствуют векторы AD и DB:
AD = OD + АО,(П.2.7)
DB = ОЕ + OB = OB - OD.(П.2.8)
В векторном треугольнике, на рис. П.1
|ОС| = |OD| = |ОВ|.
Из точки О через точки S, D и С проводится окружность. Данную схему (рис.П.1) называют диаграммой упругого рассеяния частиц.
На диаграмме на рис. П.1 процесс рассеяния в СЦИ сводится к повороту пары импульсов относительно АВ на угол а/. Импульсы в ЛСК связывают с переходом к углу а, который представляет собой отклонение от первоначального направления налетающей частицы после рассеяния. Угол /3 представляет собой отклонение частицы А от направления импульса налетающей частицы в ЛСК, о + /3 — угол разлета частиц в ЛСК после столкновения.
Чтобы получить импульсы рассеянных частиц:
импульс налетающей частицы делится в отношении масс та к тА;
через точку деления О проводят окружность Я = |р^ер|;
угол рассеяния а в ЛСК обычно задается, поэтому строятся все векторы диаграммы.
Диаграмма имеет разный вид для случаев та < тд^ та > > тд^ та = тд. Для двух последних случаев диаграммы рассеяния представлены на рис. П.2.
Рис. П.2. Импульсная диаграмма упругого рассеяния для случаев:
а) та > тд; б) та = тд
Используя диаграмму на рис.П.1, по теореме синусов или косинусов можно найти неизвестные углы рассеяния, импульсы частиц, их кинетические энергии. Если известны углы а, /3 и импульс ра, то
. . Ра— == -^-.(П.2.9)
sin(7r — а — р) sin а sin р
Кинетические энергии частиц в ЛСК после столкновения соответственно равны
~ _ т^ + т^-У- ZmamA cos 2/3
(та + тАу(П.2.10)
(1+cos2№.
^тАу
По закону сохранения энергии при упругом рассеянии
Та^ТА = Та.(П.2.11)
между собой:между собой:Углы рассеяния частиц та и тд в ЛСК и СЦИ связаны
между собой:
между собой:
sin а/
tg а =
6^ + COS а’
тА
ниемниемУгол рассеяния частиц та и тд в Л СК связаны соотноше
нием
нием
(П.2.13)(П.2.13)sin 2/3tga = ^ - cos 2/3 *тА
(П.2.13)
(П.2.13)
Угол разлета частиц в ЛСК ^ = а + /3; в СЦИ — 180°.
.тА ODsmamax = = ——.та АО.тА ODsmamax = = ——.та АО(П.2.14)(П.2.14)Как следует из (П.2.9), для случая та > тд (рис. П.2, а) существует максимальное значение угла рассеяния частицы та в ЛСК:
.тА OD
smamax = = ——.
та АО
.тА OD
smamax = = ——.
та АО
(П.2.14)
(П.2.14)
В случае, когда та = тд на рис. П.2, б изображен прямоугольный треугольник и соответственно в СЦИ импульсы и энергии связаны:
Ра=Рл = у, Г'=^ = ^, Т^Т'А = ^. (П.2.15)
После рассеяния в ЛСК энергии и импульсы связаны соотношениями
Та = Та cos2 а, Тд = Та cos2 в = Та sin2 а:
Ра = Pacosa = pasin/3;(П.2.16)
Ра = Ра sin а = pacos/3.
Углы разлета частиц в этом случае:
а +/3 = —, а/= 2q, ctgа • ctg/3 = 1.(П.2.17)
Б. Неупругое рассеяние частиц(нерелятивистский случай)
Для ядерной реакции
a + A^b + B + Q(П.2.18)
кинетические энергии Та И-Т^ углы 6а и 6^ энергия реакции Q и массы частиц та^ тд^ т^ тв^ участвующих в реакции, связаны в лабораторной системе координат в случае Тд = 0 следующим соотношением:
Tb = (mb + ms)2 {cos 0b±
±^татьТа cos2 6b + (mb + тв) [QmB + (тв - т^Т^ !> .
Если второе слагаемое под корнем положительно или равно нулю, то перед корнем берется знак «+», если отрицательно, то для Ть возможны либо два значения, либо ни одного.
Необходимо иметь в виду, что частицы, участвующие в реакции, могут быть в возбужденных состояниях, например, конечное ядро может обладать энергией возбуждения Евозб и это необходимо учитывать при вычислении энергии реакции Q;
Q — Qq — Евозб.(П.2.19)
Для кинетической энергии частицы в системе СЦИ ^ЦИ справедливо соотношение
ГСЦИ = тв / тАТа \ = тв .ци (п 2 20) ° mb + mB\ma + mA J ть
Углы при переходе из Л СК в СЦИ преобразуются следующим образом:
8шУСЦИ
sin<UH-0b) = Kbsin0b, tggb= Sm ь(П.2.21)
Кb 4- COS ob
где #СЦИ — угол в СЦИ,
Къ = S? •(П.2.22)
\тв\.тАТ(1 + Qkma + тА^ J
Выражение в скобках справедливо в приближении
та + тА ть + тв.(П.2.23)
В большинстве практических применений достаточная точность достигается при замене масс соответствующими массовыми числами. Формулы для частицы В получаются перестановкой индексов b и В.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица ПЛ
Универсальные физические постоянные
Название
Символ
Величина
1
2
2
Элементарный заряд
е
1.60217733-10"19Кл = = 4.8032068 • 10"10 ед. СГСЭ
е2
1.44-10"13 МэВ-см =
= 1.44 МэВ • Фм
Скорость света в вакууме
С
2.997924 • 108 м • с-1
Гравитационная постоянная
G
6.6726 • 10"11 м3 • кг"1 - с-2
Постоянная Планка
h
6.6260755-10"34 Дж-с = = 4.135669 • 10-21 МэВ • с
h=£
1.0545727•10~34 Дж-с = = 6.582122-10~22 МэВ-с
Число Авогадро
Na
6.0221367-1023 моль"1
Масса покоя электрона
те
5.48579903 • 10"4 а.е.м. = = 9.109390 • 10"31 кг =
= 510.9991 КэВ/с2
Масса покоя протона
тр
1.007276470 а.е.м. = = 1.672623-10"27 кг = = 938.2723 МэВ/с2
Масса покоя дейтрона
md
1875.61339 МэВ/с2
Масса покоя нейтрона
тн
1.008664904 а.е.м. = = 1.674929 -10"27 кг =
= 939.5656 МэВ/с2
Масса атома водорода
тн
1.007825035 а.е.м. = = 1.673534-10“27 кг =
= 938.7833 МэВ/см2
Относительный заряд
1.75881962- 10й Кл/кг=
электрона
=5.27 • 1017 СГСЭ
Относительный заряд
тр
протона
9.5788309 • 107 Кл/кг
Таблица ПЛ (^продолжение)
1
2
3
Радиус первой боровской орбиты
«о =
5.29177249 • КГ11 м S3
S3 52918 Фм
Классический радиус электрона
т = е"
ете с2
2.81794092•10-15м=
= 2.818 Фм
Электрическая постоянная
£о
8.854187817-10-12 Ф/м
Магнитная постоянная
12.566370614 • 10-7 Гн/м
Постоянная тонкой
структуры
0.00729735308 =
_1
— 137.0359895
Атомная единица массы
1 а. е. м.
931.49432 =
= 1.6605402 -10~27 кг
Энергия
Е
1 эВ = 1.60217733 -10~12 эрг = = 1.7826627-10~36 кг-с2
Таблица П.2
Плотность некоторых веществ
Вещество
Плотность, кг/м3
Вещество
Плотность, кг/м3
Алюминий
2700
Кобальт
8600
Антрацен
1250
Медь
8930
Бетон
2200-2350
Парафин СЩ
890
Вода
1000
Свинец
11300
Воздух
1.293
Серебро
10500
Вольфрам
19300
Стекло
2400-2600
Графит
1600
Тяжелая вода D2O
1100
Железо, сталь
7100-7900
Уран
18700
Железо чистое
7870
Фосфор
2200
Золото
19320
Чугун
7200
Кадмий
8640
NaCl
4040
Таблица П.З
Состав мягкой биологической ткани
Элемент
Масса, %
Элемент
Масса, %
Водород
10
Кислород
74
Азот
4
Углерод
12
Таблица П.4
Нейтронные сечения
Элемент
Сечение, б
поглощения
^а
активации
^акт
рассеяния ^рас
Н
5-Ю"4
5.7-Ю"4
7
Li
71
-
1.4
Be
10“2
9 -10-4
7
В
755
-
4
С
3.8-10"3
-
4.8
0
2-Ю"4
-
4.2
F
<10“2
9-Ю"3
3.9
Na
0.53
0.53
4
Al
0.23
0.21
1.4
Си
3.77
-
7.2
Ag
63
-
6
Au
98.8
96
9.3
Таблица П.5
Соотношения между единицами измерения активности и дозы характеристик поля излучения в СИ и внесистемными единицами
Величина и ее символ
Названия и обозначения единиц
Связь между единицами
внесистемная единица
единица СИ
Активность А
1 Ки
1 Бк
1 Бк = 1 расп./с
1 Ки = 3.7 • 1010 Бк
1 Бк = 2.703 -Ю^Ки
Плотность потока I или тока Ji энергии частиц
1 эрг/см2- с
1 МэВ/см2- с
1Вт/м2
1 эрг/см2 - с = 10“3 Вт/м2
1 Вт/м2 = 103 эрг/см2 • с
1 МэВ/см2- с = 1.6 • 10“9 Вт/м2
1 Вт/м2 = 6.25 • 10s МэВ/см2 - с
Поглощенная доза D
1рад
1Гр
1 Гр = 1 Дж/кг =100 рад
1 рад = 10-2 Гр
Мощность поглощенной дозы Р
1рад/с
1Гр/с
1 Гр/с =100 рад/с
1 рад/с =10“2 Гр/с
Эквивалентная доза D3KB
1 бэр
1 Зв
1 Зв =1 Гр/К = 100 бэр
1 бэр = 10“2 Зв
Мощность эквивалентной дозы Рэкв
1 бэр/с
1 Зв/с
1 Зв/с = 100бэр/с
1 бэр/с = 10“2 Зв/с
Экспозиционная доза D3KC
1Р
1 Кл/кг
1 Кл/кг = 3.88 • 103 Р
1 Р = 2.58 • 10-4 Кл/кг
Мощность
ЭКСПОЗИЦИОННОЙ ДОЗЫ Рэкс
1Р/с
1А*/кг
1 А*/кг = 3.88 -103 Р/с
1 Р/с = 2.58 -10“4 А/кг
Керма К
1рад
1 Дж/кг
1 Дж /кг = 100 рад
1 рад = 10“2 Дж/кг
А* — ток пучка в амперах 1 А = Кл/с.
Таблица П.6
Линейные коэффициенты поглощения энергии 'у-излучения, см-1
Энергия 7-излучения, МэВ
Вода
Алюминий
Железо
Свинец
Воздух
0.03
0.145
2.42
57.305
315.447
0.188
0.04
0.0624
0.905
24.806
150.915
0.0804
0.05
0.0386
0.459
12.482
82.422
0.0486
0.06
0.0302
0.275
7.442
50.040
0.0371
0.08
0.0252
0.142
3.242
22.127
0.0303
0.10
0.0250
0.099
1.719
24.510
0.0299
0.15
0.0276
0.076
0.630
12.255
0.0322
0.20
0.0297
0.074
0.382
6.797
0.0344
0.30
0.0318
0.076
0.265
2.825
0.0371
0.40
0.0328
0.077
0.240
1.520
0.0318
0.50
0.0332
0.078
0.231
1.012
0.0387
0.60
0.0328
0.077
0.224
0.770
0.0383
0.80
0.0320
0.075
0.214
0.540
0.0372
1.0
0.0310
0.072
0.205
0.434
0.0361
1.5
0.0283
0.066
0.185
0.318
0.0330
2.0
0.0260
0.061
0.172
0.280
0.0303
3.0
0.0227
0.054
0.160
0.276
0.0265
4.0
0.0205
0.051
0.155
0.287
0.0239
5.0
0.0190
0.048
0.155
0.200
0.0224
6.0
0.0179
0.048
0.155
0.312
0.0211
8.0
0.0164
0.045
0.158
0.331
0.0194
10.0
0.0154
0.044
0.162
0.0.350
0.185
Таблица П.7
Массовые коэффициенты ослабления (д/р) и поглощения (т/р)7-излучения (г/см2)
Энергия
МэВ
Алюминий
Свинец
Вода
Воздух
р/р
т/р
р/р
т/р
р/р
т/р
р/р
т/р
0.1
0.169
0.0371
5.46
2.16
0.171
0.0253
0.155
0.0233
0.2
0.122
0.0275
0.942
0.586
0.137
0.0299
0.123
0.0269
0.4
0.0927
0.0287
0.220
0.136
0.106
0.0328
0.0953
0.0295
0.6
0.0779
0.0286
0.119
0.0684
0.0896
0.0329
0.0804
0.0295
0.8
0.0683
0.0278
0.0866
0.0477
0.0786
0.0321
0.0706
0.0288
1.0
0.0614
0.0269
0.0703
0.0384
0.0706
0.0310
0.0635
0.0276
1.5
0.0500
0.0246
0.0550
0.0280
0.0590
0.0283
0.0515
0.0254
2.0
0.0500
0.0227
0.0463
0.0248
0.0493
0.0260
0.0445
0.0236
3.0
0.0360
0.0201
0.0410
0.0238
0.0390
0.0227
0.0360
0.0211
4.0
0.0310
0.0188
0.0421
0.0253
0.0339
0.0204
0.0307
0.0193
6.0
0.0264
0.0174
0.0436
0.0287
0.0275
0.0178
0.0250
0.0173
8.0
0.0241
0.0169
0.0458
0.0310
0.0240
0.0163
0.0220
0.0163
10.0
0.0229
0.0167
0.0489
0.0328
0.0219
0.0154
0.0202
0.0156
Литература
Бор Н. Прохождение атомных частиц через вещество / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1950.
Стародубцев С. В., Романов А. М. Прохождение заряженных частиц через вещество. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1962.
Балашов В. В. Строение вещества. Изд-во Моск, ун-та, 1993.
Мухин К. Н. Экспериментальная ядерная физика. Т. 1, 2. М.: Энергоатомиздат, 1993.
Меликов Ю. В. Экспериментальная техника в ядерной физике. Изд-во Моск, ун-та, 1973.
Кумаков М.А., Комаров Ф. Ф. Энергетические потери и пробеги ионов в твердых телах. Минск: Изд-во БГУ, 1979.
Фраунфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика / Пер. с англ. М.: Мир, 1979.
Грас-Марти А., Урбассека Г. М.^ Аристов Н. Р.^ Флореса Ф. Взаимодействие заряженных частиц с твердым телом / Пер. с англ. М.: Высшая школа, 1994.
Балдин А. М., Гольданский В. И., Розенталь И. Л. Кинематика ядерных реакций. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959.
Иванов В. И. Курс дозиметрии. М.: Энергоатомиздат, 1988.
Иванов В.И.^ Машкович В. П. Сб. задач по дозиметрии ионизирующих излучений. М.: Атомиздат, 1973.
Тернов И. М.^ Михайлин В. В. Синхротронное излучение. Теория и эксперимент. М.: Энергоатомиздат, 1986.
Кунц К. Синхротронное излучение. Свойства и применения / Пер. с англ. М.: Мир, 1981.
Ишханов Б. С. Субатомная физика. Вопросы. Задачи. Факты. Изд-во Моск, ун-та, 1994.
Никитин Ю. И., Протасов В. П., Топоркова Э. П., Фесенко А. И., Котов Ю.Д. Сб. задач по физике элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1992.
Khan F. М. The Physics of Radiation Therapy. USA, Baltimore, 1992.
Chu W. T., Ludewigt B. A., Renner T. R. Instrumentation for treatment of cancer using proton and light-ion beams // Rev. Sci. Instrum. 1993. V. 64. P. 2055.
Martin J., Berger, Seltzer S.M. Tables of energy-losses and ranges of electrons and positrons // NAS-NRC. Publ. 1133.
Groom D. E., Klein S. R. Passage of particles through matter // The European Phys. J. С. V. 15. P. 163.
Bortfeld T., Schlegel W. An analytical approximation of depth-dose distributions for therapeutic proton beams // Phys. Med. Biol. 1996. V.41. P. 1331-1339.
Джонс X. Физика радиологии. M.: Атомиздат, 1965.
Скачков С. В., Константинова Л. В., Строганова Р. П., Юрова Л. Н., Топоркова Э. П. Сб. задач по ядерной физике. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963.
Столкновение быстрых ионов в веществе. К 75-летию профессора В. С. Николаева. М.: Изд. УНЦ АО, 2002.
Иродов И.Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. М.: Энергоатомиздат, 1984.
Капитонов И.М. Введение в физику ядра и частиц. М.: УРСС, 2002.
Предметный указатель
Авогадро число 25, 68, 117, 143
Активность 20, 22, 146
Аннигиляция 116-121, 125, 128
Бете-Блоха формула 24, 34, 36, 117, 121
Брейта-Вигнера формула 104
Брэгга-Вульфа формула 106 Биологическая эффективность излучения
относительная 19
Брэгга правило (композиционный закон) 11, 43, 44, 48, 50
кривая 36, 59, 60
модулированный пик 37, 60, 62
Деление ядер 102
Диаграмма упругого рассеяния 138-140
Дифракционная картина 90
Дифракция нейтронов 105, 106
Длина волны де Бройля 105
Доза 18, 36, 59, 61, 124, 146
-поглощенная 18-22, 36, 37, 58, 146
эквивалентная 19, 20, 146
экспозиционная 18-22, 146
Захват радиационный 25, 46, 103-113, 120-124 £3-поправка 117
Излучение
переходное 74, 84
синхротронное 71, 83
тормозное (ТИ) 68, 69
черепковское 72, 82, 86
Ионизационное торможение 23, 63-67, 117-120
Ионизирующее излучение 16-22
однородное 16
смешанное 16
моноэнергетическое 16
направленное 16
ненаправленное 16
первичное 17
вторичное 17
Инвариант 99, 100, 135
Интенсивность излучения 17, 95 Ионизационные потери энергии электронами 63, 118-120 Ионизационное торможение 23
Кинематика взаимодействия частиц 132
Кинетическая энергия релятивистской частицы 135 Клейна-Нишины-Тамма формула 91
Когерентное рассеяние 89, 90
Комптон-эффект
прямой и обратный 90-92
Критическая энергия 66
Лабораторная система координат 132
Мезоатом 122
Многократное кулоновское рассеяние 29-31
Мольера теория 31-33, 119 Мотт 29-31
Мощность излучения (дозы) 20 /х^-мюон 121, 122
Многократное рассеяние 29, 31
Перезарядка 25, 34, 117, 124
Переносный импульс 134
Плотность потока 17
Позитроний 121
Позитрония аннигиляция 121
Полная энергия релятивистской частицы 135
Полное сечение фотоэффекта 88
Полное число 5-электронов
Порог реакции 95, 116, 136
Поток 9, 13, 17
Преобразования Лоренца 135
Пробег
тяжелых частиц 33
электронов 64
максимальный 12
Радиационная длина 33, 67
толщина 33, 67
Радиационное торможение 63
Радиационные потери 66 Рассеяние
упругое 8, 23
неупругое 8, 23
потенциальное 103
резонансное 103
Расстояние наибольшего сближения 27
Резерфорда формула 27
Рождение электронно-позитронных пар 87, 93
Сечение
на /С-оболочке 88
образования 5-электронов 55
— пар 93
фотопоглощения 87
фотоэффекта 87
дифференциальное 88 Система центра инерции 52, 132
Скорость центра инерции 133
Средний пробег 12 Стрэгглинг 12, 35
Томсон Дж. Дж. 90
Ультрарелятивистский электрон 64, 92
Флюенс (поток) 17
Фотоэффект 87
Франка-Тамма теория 73
Черепковское излучение 72 4-импульс 132
Шиффа спектр 69
Экзотермическая реакция 136 Экранирование 27, 70, 93
сильное 27
слабое 27
Электроядерная реакция 63, 118 Эндотермическая реакция 136 Энергия атома отдачи 88
реакции 126, 136 Эффективный заряд 25
Ядерный фотоэффект 95
* См. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм и произведений.
УДК 539.1
ББК 22.38
4 49
Черняев А. П. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 152 с. - ISBN 5-9221-0432-2.
Учебное пособие соответствует курсу «Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом». Оно может быть полезно студентам физических специальностей вузов; студентам, специализирующимся по использованию ионизирующих излучений в медицине; студентам радиобиологам и радиологам, а также преподавателям настоящего курса и специалистам.
Рецензент:
канд. физ.-мат. наук Г.А. Иферов
Учебное издание
ЧЕРНЯЕВ Александр Петрович