Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Успешное проведение педагогического процесса возможно при наличии у студентов разнообразной учебной литературы. В этом отношении следует приветствовать инициативу, когда в дополнение к официально утвержденной литературе издаются новые учебные пособия. Такие пособия дополняют содержание учебника, предлагают свои методические подходы, отражают специализацию вузов.
К подобным изданиям относится и настоящее пособие «Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии». Пособие содержит достаточно компактное изложение теоретического лекционного материала и задачи по высшей математике, математической статистике, биофизике, физике.
Отличительной особенностью является то, что в пособии впервые представлена медико-реабилитационная направленность медицинской и биологической физики — во многих лекциях содержится раздел: элементы реабилитологии. Это делает пособие очень своевременным. Министерством здравоохранения Российской Федерации в 2003 году принято «Положение об организации деятельности врача восстановительной медицины». Восстановительная, то есть реабилитационная, медицина, таким образом, заняла важное место в системе медицинских специальностей. Пособие несомненно полезно будущим врачам, специализирующимся в области восстановительной и реабилитационной медицины.
Пособие предназначается для студентов и преподавателей медицинских вузов, однако оно представляет интерес и для студентов сельскохозяйственных и биологических вузов, а также для студентов факультетов физической культуры и спортивных врачей.
Профессор А.Н. Ремизов
План лекций
Лекция 1. Элементы теории вероятностей. Случайное событие. Объединение и пересечение событий. Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероятностей. Умножение и сложение вероятностей. Полная группа событий. Относительная частота события, закон больших чисел.
Лекция 2. Распределение случайных величин. Случайные величины, их виды. Ряд распределения, плотность вероятностей, функция распределения. Числовые характеристики случайных величин. Законы распределения. Нормальный закон распределения. Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана.
Лекция 3. Элементы математической статистики. Основные понятия. Числовые характеристики статистического ряда. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке: точечная оценка, интервальная оценка. Интервальная оценка генеральной средней для нормального закона распределения.
Лекция 4. Проверка статистических гипотез. Общие понятия. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Проверка гипотез относительно средних. Критерий Стьюдента. Проверка гипотез для дисперсий, F-критерий Фишера. Ранговый непараметрический [/-критерий Вилкоксона [Wilcoxon].
Лекция 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Функциональная и корреляционная зависимости. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. Уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.
Лекция 6. Механические колебания. Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания. Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Сложное колебание. Разложение сложного колебания на простые. Гармонический спектр. Элементы реабилито- логии. Колебательные движения тела при ходьбе, при вертикальном
положении. Механические колебания сердца. Вибрация. Механотерапия.
Лекция 7. Механические волны. Механические волны и их виды. Частота волны. Уравнение плоской волны. Длина волны. Энергетические характеристики волны. Некоторые специальные разновидности волн: ударные, поверхностные. Эффект Доплера и его использование в медицине. Элементы реабилитологии. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани.
Лекция 8. Акустика. Звук. Виды звука. Физические характеристики звука: скорость, интенсивность, звуковое давление, волновое сопротивление, уровень интенсивности. Характеристики слухового ощущения: высота, тембр, громкость, закон Вебера-Фехнера, кривые равной громкости. Звуковые измерения. Звуковые методы исследования: аускультация, фонокардиография, перкуссия. Элементы реабилитологии. Факторы, определяющие реабилитационную профилактику шума. Защита от шума.
Лекция 9. Некоторые вопросы физики слуха. Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового аппарата. Роль наружного уха. Роль среднего уха. Роль внутреннего уха. Определение локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный эффект. Определение локализации источника звука в вертикальной плоскости. Элементы реабилитологии. Слуховые аппараты и протезы.
Лекция 10. Ультразвук и инфразвук. Излучатели и приемники ультразвука. Особенности распространения УЗ волны: малая длина волны, направленность, поглощение, глубина полупоглощения, преломление и отражение. Взаимодействие ультразвука с веществом: деформация, кавитация, выделение тепла, химические реакции. Биофизическое действие УЗ. Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике. Инфразвук и его воздействие на человека. Элементы реабилитологии.
Лекция 11. Уравнение Бернулли и его следствия. Условие неразрывности струи. Уравнение Бернулли. Следствия уравнения Бернулли: горизонтальная трубка тока переменного сечения, наклонная трубка тока постоянного сечения, истечение жидкости из отверстия сосуда, измерение скорости жидкости. Элементы реабилитологии. Принцип работы инжектора, ингалятора.
Лекция 12. Вязкость жидкости. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление. Распределение давления
при течении реальной жидкости по трубам различного сечения. Методы определения вязкости жидкостей. Элементы реабилитологии. Ла- минарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.
Лекция 13. Механические свойства тканей. Способы деформирования тел: растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб, кручение. Виды деформации. Механические свойства материалов и методы их исследования. Механические модели: Максвелла, Кельвина-Фойгта, Зинера. Механические свойства биологических тканей. Элементы реабилитологии. Повреждение трубчатых костей. Травма лица. Акустическая анизотропия кожи — диагностический параметр.
Лекция 14. Физические основы гемодинамики. Гидродинамическая модель кровообращения. Сердце как насос. Пульсовая волна. Скорость пульсовой волны. Физические основы клинического метода измерения давления крови. Элементы реабилитологии. Значение давления крови и эластичности сосудов.
Лекция 15. Электричество и магнетизм. Электрический заряд. Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность. Потенциал, разность потенциалов. Проводники и диэлектрики, относительная диэлектрическая проницаемость. Магнитное поле, магнитная индукция. Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проницаемость. Электромагнитная индукция. Токи Фуко.
Лекция 16. Физические процессы в мембранах. Функции мембран. Структура и модели мембраны. Физические свойства мембран: прочность, деформируемость, вязкость, электроемкость, жидкокристаллическое состояние. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста-Планка. Виды транспорта через мембраны: пассивный и активный.
Лекция 17. Биоэлектрические потенциалы. Ионные потоки в мембране. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Кат- ца. Потенциал действия и его распространение. Волна возбуждения.
Лекция 18. Электрический диполь. Физические основы электрографии. Электрический диполь. Диполь во внешнем электрическом поле. Электрическое поле диполя. Диполь в равностороннем треугольнике. Токовый диполь. Физические основы электрографии. Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. Поле диполя-сердца, анализ электрокардиограмм. Векторкардиография. Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяющие ЭКГ.
Лекция 19. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания. Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. Зарядка конденсатора. Электрический импульс и импульсный ток. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия.
Лекция 20. Переменный ток. Переменный ток и переменное напряжение. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значение тока и напряжения. Конденсатор в цени переменного тока, емкостное сопротивление. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография.
Лекция 21. Электромагнитные волны. Уравнения электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн. Объемная плотность энергии электромагнитного поля. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине. Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн разного диапазона на человека.
Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма под воздействием токов и электромагнитных полей. Действие постоянного тока. Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ). Пороговые значения тока: порог ощутимого тока, порог неотпускающего тока. Действие высокочастотного тока. Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармонического. Действие постоянного электрического поля. Действие переменного электрического поля (УВЧ). Действие электромагнитных волн (СВЧ).
Лекция 23. Некоторые вопросы медицинской электроники. Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов. Электропроводимость тела человека. Электробезопасность медицинской аппаратуры. Надежность медицинской аппаратуры, вероятность безотказной работы, интенсивность отказов. Структурная схема съема, передачи и регистрации медико-биологической информации. Электроды. Датчики медико-биологической информации, их характеристики. Элементы реабилитологии. Устройство электродов.
Лекция 24. Усилители. Генераторы. Характеристики усилителей: амплитудная, частотная, коэффициент усиления. Особенности усиления биоэлектрических сигналов. Генераторы, их классификация и использование в медицине.
Лекция 25. Интерференция света. Сложение волн от обычных источников света. Сложение волн от когерентных источников. Интерференция света. Условия интерференционных максимума и минимума. Интерферометры, интерференционный микроскоп. Интерференция в тонких пленках.
Лекция 26. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция на щели в параллельных лучах. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр. Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора. Рентгеноструктурный анализ.
Лекция 27. Поляризация света. Свет естественный и поляризованный. Прохождение естественного света через поляризатор. Система «полязитор-анализатор». Закон Малюса. Способы получения поляризованного света: поляризация при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков, поляризация при двойном лучепреломлении, призма Николя, дихроизм, поляроиды. Фотоупругость. Вращение плоскости поляризации оптически активными веществами. Поляриметрия.
Лекция 28. Геометрическая оптика. Законы отражения и преломления света. Явление полного внутреннего отражения. Волоконная оптика. Линзы. Оптическая сила линзы. Аберрация линз. Оптическая система глаза. Недостатки оптической системы глаза. Элементы реа- билитологии. Акустическая биомеханика глаз.
Лекция 29. Микроскопия. Лупа, увеличение лупы. Оптическая система микроскопа. Ход лучей в микроскопе. Увеличение микроскопа. Предел разрешения. Разрешающая способность. Полезное увеличение. Специальные приемы и методы микроскопии. Электронный микроскоп.
Лекция 30. Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения: поток излучения, энергетическая светимость, спектральная плотность энергетической светимости, коэффициент поглощения. Черное тело и спектр его излучения. Закон Кирхгофа. Законы излучения черного тела: формула Планка, закон Стефана-Больцмана, закон Вина. Излучение Солнца. Физические основы термографии. Теплообмен человека и среды. Элементы реабилитологии. Светолечение. Лечебное применение ультрафиолета.
Лекция 31. Рентгеновское излучение. Природа рентгеновского излучения. Тормозное рентгеновское излучение, его спектр, коротковолновая граница. Характеристическое рентгеновское излучение. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом: когерентное рассеяние, фотоэффект, некогерентное рассеяние. Физические основы использования рентгеновского излучения в медицине.
Лекция, 32. Радиоактивность. Естественная и искусственная радиоактивность. Основной закон радиоактивного распада. Активность. Основные типы радиоактивного распада. Количественные характеристики взаимодействия ионизирующего излучения с веществом: линейная плотность ионизации, линейная тормозная способность, средний линейный пробег. Биофизические основы действия ионизирующего излучения. Элементы реабилитологии. Радиофармацевтические препараты.
Лекция 33. Дозиметрия. Детекторы ионизирующего излучения. Использование радионуклидов в медицине. Ускорители заряженных частиц и их использование в медицине. Дозиметрия ионизирующего излучения. Поглощенная, экспозиционная, эквивалентная и эффективная эквивалентные дозы. Соотношения между различными дозами. Мощность дозы. Дозиметрические приборы. Способы защиты от ионизирующего излучения. Элементы реабилитологии. Газ родон.
Лекция 34. Элементы квантовой механики. Волновая функция, ее физический смысл. Соотношения неопределенностей. Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для частицы в «потенциальной яме». Электронные энергетические уровни атомов. Энергетические уровни молекул. Электронные, колебательные, вращательные движения молекулы. Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами.
Лекция 35. Взаимодействие света с веществом. Поглощение света. Закон Бугера. Поглощение света растворами. Закон Бу- гера-Ламберта-Бера. Коэффициент пропускания, оптическая плотность, концентрационная колориметрия. Спектры поглощения. Рассеяние света. Рассеяние в мутных средах — явление Тиндаля. Молекулярное рассеяние на оптических неоднородностях. Зависимость рассеяния от длины волны, закон Рэлея. Ослабление при совместном действии поглощения и рассеяния. Элементы реабилитологии. Факторы, влияющие на рассеяние света в атмосфере. Оптические параметры кожи в области видимого света.
Лекция 36. Люминесценция. Виды люминесценции. Некоторые характеристики люминесценции. Фотолюминесценция: флуоресценция, фосфоресценция. Основные законы люминесценции: закон Стокса, закон Вавилова. Хемилюминесценция. Использование люминесценции в биологии и медицине.
Лекция 37. Фотобиологические процессы. Фотобиологические процессы, их основные стадии. Квантовый выход и поперечное сечение фотохимических превращений молекул. Спектры поглощения и спектры фотобиологического действия. Действие УФ-излучения на биологические объекты как пример фотобиологического процесса. Элементы реабилитологии. Действие света на человека.
Лекция 38. Лазеры. Лазерное излучение. Квантовые переходы. Распределение по энергетическим уровням. Активная среда. Общий принцип действия лазера. Работа рубинового и гелий-неонового лазеров. Особенности лазерного излучения. Характеристики лазерного излучения, применяемого в медицине. Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами. Динамика изменения свойств ткани и ее температуры при действии непрерывного мощного лазерного излучения. Использование лазерного излучения в диагностике, терапии и хирургии. Меры безопасности при работе с лазерами.
Лекция 39. Магнитные свойства вещества. Магнетики. Магнитные моменты электрона. Намагниченность. Парамагнетики. Диамагнетики. Ферромагнетики. Понятие о магнитобиологии. Понятие о биомагнетизме. Магнитный резонанс. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР). Ядерный магнитный резонанс (ЯМР). ЯМР-томогра- фия (магниторезонансная томография) как диагностический метод.
Часть I
ЛЕКЦИИ
Лекция 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайное событие. Объединение и пересечение событий.
Классическое определение вероятности, аксиомы теории вероятностей.
Сложение и умножение вероятностей. Полная группа событий.
Относительная частота события, закон больших чисел.
Случайное событие.
Объединение и пересечение событий
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера, и оперирует такими понятиями, как опит (эксперимент), исход опыта, событие.
Опыт проводится при соблюдении некоторого комплекса условий, которые создаются искусственно или осуществляются независимо от воли экспериментатора. То, что непосредственно получается в результате опыта, есть его элементарный исходу и каждый опыт заканчивается только одним исходом, обозначим его Совокупность всех возможных исходов опыта (wi, й?2, • • • , wn) определяется его сутью и условиями, в которых он проводится.
Совокупность всех исходов опыта называется множеством элементарных исходов и обозначается буквой Q.
Понятия теории вероятностей удобно иллюстрировать на примерах азартных игр. Так, при игре в кости бросаются несколько кубиков, грани которых помечены числами от 1 до 6. Множество элементарных исходов при броске одного кубика состоит из всех этих чисел: Q = (1, 2, . . . , 6). При игре в рулетку шарик попадает в одну из 37 лунок, помеченных числами от О до 36. Поэтому Q = (0, 1, . . . , 36). Лунки имеют и дополнительные метки: 18 лунок покрашены в красный цвет, 18 — в черный, лунка 0 — желтого цвета.
Случайное событие. В теории вероятностей рассматриваются ситуации, когда
все возможные исходы опыта известны, иначе говоря, множество Q = (1Щ, 1^2, ••• 1 ^n) известно, но
конкретный исход опыта заранее предсказать нельзя. Например, при бросании игральной кости исходом является выпадение одной из шести граней, а при игре в рулетку — попадание шарика в одну из 37 лунок.
При проведении опыта, как правило, важны не только конкретные исходы, но и их совокупности. Например, если при игре в рулетку мы делаем ставку на «красное», то мы выигрываем при попадании шарика в любую лунку красного цвета и проигрываем в противном случае. Таким образом, нас интересует не конкретное выпавшее значения, а только его цвет.
Случайным событием или просто событием называется любая совокупность исходов опыта.
В последнем примере событиями являются выигрыш — попадание шарика в красную лунку, и проигрыш — попадание в лунку другого цвета.
Случайные события будем обозначать заглавными латинскими буквами (Л, В, С, . . .).
Исход опыта, при котором наступает данное событие, называется благоприятствующим или благоприятным.
Событие считается наступившим, если имеет место один из благоприятствующих исходов.
Объединение и пересечение событий.
Объединением (суммой) двух событий А, В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Объединение событий обозначается А + В или Л U В (читается: А или В).
Событие А + В представляет собой совокупность исходов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из событий Л, В.
Произведением (пересечением) двух событий Л. В называется событие, состоящее в наступлении их обоих.
Произведение событий обозначается А • В, или АВ, или А П В (читается: А и В).
Событие А • В представляет собой совокупность исходов, принадлежащих каждому из событий А^ В.
Действия над событиями удобно изображать графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна (см. рис. 1.1).
Рис. 1.1. Объединение и пересечение событий
Важное место в теории вероятности занимают несовместние события.
Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно.
У несовместных событий нет общих исходов, поэтому они изображаются непересекающимися фигурами (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Несовместные события не пересекаютсяРис. 1.2. Несовместные события не пересекаются
Рис. 1.2. Несовместные события не пересекаются
Рис. 1.2. Несовместные события не пересекаются
Классическое определение вероятности,аксиомы теории вероятностей
Наблюдая случайные события, мы видим, что одни происходят чаще, другие — реже. Для того чтобы сравнивать случайные события по степени возможности их наступления, следует с каждым из них связать какое-то число, которое тем больше, чем более возможно это событие. Одним из вариантов является введение вероятности события.
Вероятность — это количественная характеристика возможности появления случайного события.
Вероятность обозначается буквой «Р»: например, вероятность события А обозначается как Р(А).
Свое первоначальное развитие теория вероятностей получила на материале азартных игр и применялась к опытам, все исходы которых равновозможны.
Равновозможными называются исходы, возможности наступления которых в силу объективных причин должны быть одинаковы.
Например, если игральный кубик однороден и симметричен, то возможности выпадения всех его граней одинаковы.
Разберем, каким образом вводится понятие вероятности для опыта с равновозможными исходами.
Классическое определение вероятности. Пусть выполняется опыт, в результате которого обязательно появляется один из N равновозможных несовместных исходов: Q = = (wi, W2, • • • ч ^nY Рассмотрим некоторое событие Л, являющееся подмножеством множества Q. Обозначим Мд — количество элементарных исходов, входящих в Л. В этом случае используют следующее определение вероятности:
Вероятность случайного события А — это отношение числа исходов Мд, благоприятствующих событию А, к общему числу равновозможных несовместных исходов N:
Рд = Мд/N. (1.1)
Исторически за этой формулой закрепилось название «Классическое определение вероятности». Это был первый количественный результат формирующейся теории. Он позволил строго определять шансы на успех в различного рода азартных играх. Рассмотрим применение этого определения к игре в кости.
Задача. Игроки А и В играют, бросая по 2 кости. Игрок А выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 7. Игрок В выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 8. Кому выгодна эта игра?
Решение. Выпадения различных граней одной игральной кости (однородного куба) — это события очевидно равновозможные и несовместные, так как две грани одновременно выпасть не могут.
Построим множество Q для задачи одновременного бросания двух костей. Мы имеем Qi = (1, 2, 3, 4, 5, 6) и Q2 = = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Множество Q формируется из всех возможных комбинаций выпавших граней и состоит из 36 элементов, записанных в таблице.
q2
1
2
3
4
5
6
1
IT
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Игроку А (событие А) благоприятствуют 6 исходов (1,6; 6,1; 2,5; 5,2; 3,4; 4,3), а игроку В (событие В) — только 5 исходов (2,6; 6,2; 5,3; 3,5; 4,4). Общее число исходов — 36. Используя классическую формулу, найдем: Р(А) = 6/36, Р(В) = 5/36. Таким образом, игроку А игра выгоднее.
Аксиомы теории вероятностей. В соответствии с «классическим определением» вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Эти граничные значения установлены по отношению к двум специальным событиям.
Достоверным называется событие, которое в результате эксперимента должно произойти обязательно. Такое событие представляет собой множество всех элементарных исходов и было обозначено выше буквой Q.
Невозможным называется событие, которое в данном опыте произойти не может. Например, при игре в рулетку не может выпасть число 38 — его просто нет на колесе. Невозможное событие обозначают символом 0.
Вероятность достоверного события принимают за единицу:
P(Q) = 1.
Вероятность невозможного события принимают за ноль:
Р(0) = 0.
К этим свойствам вероятности добавляют еще две аксиомы:
Вероятность любого события А лежит между нулем и единицей:
о< Ра < 1.
Для несовместных событий:
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В).(1.2)
Эту аксиому иногда называют 1-й теоремой сложения вероятностей: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Умножение и сложение вероятностей.
Полная группа событий
Перечисленные свойства и аксиомы сделали теорию вероятностей строгой наукой и позволили получить ряд важных для практики результатов. Один из них используют для расчета вероятности пересечения независимых событий. Понятие независимости занимает в теории вероятностей важное место и определяется следующим образом.
События А и В называются независимыми^ если факт наступления одного из них не меняет вероятности наступления другого.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет следующий вид: вероятность события, которое является произведением независимых событий Л и В, равна произведению их вероятностей:
Р(Л • В) = Р(Л) • Р(В).(1.3)
Замечание. Соотношение (1.3) используют в теории вероятностей для проверки независимости событий Л и В: если выполнено равенство (1.3), то события Л и В — независимы.
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны оба шара окажутся черными.
Событие А — извлечение черного шара из первой урны:
Р(А) = 5/15 = 1/3.
Событие В — извлечение черного шара из второй урны:
Р(В) = 3/20.
Событие А В — оба шара имеют черный цвет:
Р(А • В) = Р(А) • Р(В) = 1/3 • 3/20 = 1/20.
Следующий результат обобщает аксиому сложения вероятностей для объединения двух произвольных событий:
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) - Р(Л • В).(1.4)
Пример. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне — 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны хотя бы один шар окажется черным. Используя значения Р(А), Р(В) и Р(А • В), полученные в предыдущем примере, найдем
Р(А + В) = 1/3 + 3/20 — 1/20 = 22/60.
Полная группа событий.
В некоторых случаях при решении задач множество элементарных исходов разбивают на несколько несовместных (непере- секающихся) событий.
Полная группа событий — это несколько несовместных событий Ai, А2, ..., А^ объединение которых дает всё множество элементарных исходов:
Ах + А^ + ... + An = Q.
Из аксиомы сложения вероятностей вытекает, что для полной группы событий сумма всех вероятностей равна единице (условие нормировки):
п
£?(*) = !■(1.5)
Простейшим примером полной группы событий являются два противоположных события.
Противоположные события А и А — такие два события, из которых одно и только одно обязательно произойдет.
Вероятности таких событий дополняют друг друга до единицы:
Р(Л) = 1-Р(Л).
Относительная частота события,закон больших чисел
Условия, в которых допустимо использовать классическое определение вероятности, встречаются чрезвычайно редко, поскольку опыты с равновозможными исходами скорее исключение, чем правило. Например, при стрельбе по мишени возможны два исхода — попадание и промах. Очевидно, что ни о какой равновозможности этих исходов говорить не приходится.
Если же исходы не являются равновозможными, то вероятность события нельзя вычислять по формуле 1.1. В этом случае ее оценивают экспериментально. Проводят серию одинаковых опытов и подсчитывают, в скольких из них данное событие имело место. Пусть была проведена серия из п опытов и событие А произошло в тд из них.
Относительной частотой некоторого события в данной серии опытов называют отношение числа опытов, в которых событие произошло, к общему числу проведенных опытов:
Р* = тд/п.(1.6)
При небольшом п относительная частота события носит в значительной степени случайный характер. Однако по мере увеличения числа проведенных опытов частота все больше теряет свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой постоянной величине. Ниже приводится таблица, в которую для серии из 600 опытов бросания симметричной монеты занесены частоты выпадения герба.
Число опытов п
р*
Число опытов п
р*
Число опытов п
р*
20
0,650
220
0,472
420
0,502
40
0,575
240
0,479
440
0,507
60
0,550
260
0,477
460
0,504
80
0,512
280
0,482
480
0,504
100
0,490
300
0,497
500
0,500
120
0,492
320
0,503
520
0,494
140
0,500
340
0,506
540
0,496
160
0,475
360
0,497
560
0,500
180
0,472
380
0,492
580
0,495
200
0,465
400
0,498
600
0,499
При большом числе испытаний относительная частота событий стабилизируется; увеличение числа испытаний уменьшает колебание частоты события около постоянной величины. Поэтому справедливо следующее утверждение, называемое законом больших чисел:
при неограниченном увеличении числа испытаний частота события стремится к его вероятности:
—> Р(^4) при п —> оо. (1.7)
Это соотношение иногда называют статистическим определением вероятности. В соответствии с законом больших чисел, за вероятность события можно принять его относительную частоту при большом числе испытаний.
Лекция 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Случайные величины, их виды.
Ряд распределения, плотность вероятности, функция распределения.
Числовые характеристики случайных величин.
Законы распределения. Нормальный закон распределения.
Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана.
. Случайные величины, их виды
Часто со случайными событиями связывают числовые значения. Например, на гранях кубика написаны числа, поэтому выпадение какой-либо грани есть выпадение соответствующего числа. При повторных бросаниях кубика выпадающие числа будут меняться случайным образом. В этом случае говорят о случайной величине.
Под случайной величиной понимается величина, значения которой зависят от результатов опытов со случайными исходами.
Случайные величины обозначают большими буквами (X, У, . . .), а их значения — малыми буквами (ж, у, . . .).
Из множества всех случайных величин выделяют два наиболее часто встречающихся вида: дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина — такая случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений.
Эти значения нумеруются Ж1, Ж2, жз, . . ., а вероятности их появления обозначаются pi, р^ р^ ...
Непрерывная случайная величина — такая случайная величина, которая может принимать любое значение в некотором определенном интервале.
Ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности
Ряд распределения. Дискретная случайная величина считается заданной, если известны ее возможные значения жх, Ж2, . .., хи и соответствующие им вероятности pi, р^ ... рп. Совокупность X и Р, заданная в виде таблицы, называется рядом распределения, или распределением дискретной случайной величины:
XЖ1X?рР1Р2XЖ1X?рР1Р2хзХпРзРпхзХпРзРп
X
Ж1
X?
р
Р1
Р2
X
Ж1
X?
р
Р1
Р2
хз
Хп
Рз
Рп
хз
Хп
Рз
Рп
Так как совокупность всех возможных значений дискретной случайной величины образует полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
f> = L(2.1)
г=1
Функция распределения. Непрерывную случайную величину нельзя задать рядом распределения, так как для нее вероятность каждого отдельного значения равна нулю. Поэтому для непрерывной величины сначала вводят функцию распределения F(x), значение которой в каждой точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, не превосходящее х:
F(x) = Р(Х < ж).(2.2)
Укажем основные свойства этой функции:
F(ж) — неубывающая функция;
F(—ос) = 0 (ж ^ —ос — невозможное событие);
F(+oo) = 1 (ж < Too — достоверное событие);
Р(ж1 < X < Ж2) = F(ж2) — F(жl) для Ж1 < Ж2-
2.3. Плотность распределения. В силу первых трех свойств графики функций распределения вероятностей для всех случайных величин обладают общим свойством: возрастают от 0 до 1. Для дифференцируемых функций на практике помимо функции распределения используют ее производную.
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения:
/(ж) = F'(x) или /(ж) = dF/dx.(2.3)
Плотность распределения имеет следующее вероятностное истолкование: вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения из малого интервала (ж, х + dx), равна произведению плотности вероятности на ширину интервала:
dP = dF = f(x)-dx.(2.4)
делению
Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал (а, Ь) определяется выражением
ь
Р(а < х Ь) = /(ж) dx = F(b) — F(a).(2-5)
а
Плотность вероятности случайной величины удовлетворяет условию нормировки:
+оо
/(ж) dx = 1.(2.6)
— ОО
Со случайной величиной связаны различные характеристики; приведем две из них.
Если плотность распределения /(ж) непрерывной случайной величины имеет максимум, то точка максимума называется модой (Mod). Распределение случайной величины с единственным максимумом называется одномодальным.
Можно сказать, что мода — это наиболее вероятное значение случайной величины.
Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение Med, для которого выполняется условие:
Р(Х < Med) = Р(Х > Med) = 0,5.
Вероятности того, что значение случайной величины окажется левее или правее медианы, одинаковы.
. Числовые характеристики случайныхвеличин
Ряд распределений и плотность распределения вероятностей несут полную информацию о соответствующей случайной величине, однако при решении многих практических вопросов наиболее часто используются две числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть число, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
М(Х) =■ Pi.
г=1
Для непрерывной случайной величины суммирование заменяется интегрированием.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины — это число, равное определенному интегралу от произведения случайной величины на ее плотность распределения:
М(Х) = хД(х)дх.(2.7)
Возможные значения случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания М(Х): часть из них превышает М(Х), часть — меньше М(Х). Рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания оценивают с помощью дисперсии.
Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М[Х - М(Х)]2.(2.8)
Формулы для расчета дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин имеют следующий вид:
и
D(X) = ^[^-M(X)]2.^,(2.9)
г=1
+оо
D(X) =[®-M(X)]2-/(x)J®.(2.10)
— оо
Другое выражение для вычисления дисперсии имеет вид:
D(X) = М(Х2) - [М(Х)]2.(2.11)
Оно означает, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Как следует из формул для D(X), эта величина имеет размерность квадрата случайной величины. Оценивать разброс значений случайной величины в квадратных единицах неудобно. Поэтому для этой цели используют среднее квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) — это квадратный корень из дисперсии:
ах = VDPO(2.12)
(иногда употребляют термин «стандартное отклонение»).
При обработке данных над случайными величинами выполняют математические действия, в результате которых получаются новые случайные величины. Покажем, как меняются при этом математические ожидания и дисперсии.
При сложении случайной величины с константой (с) константа добавляется к математическому ожиданию, а дисперсия и СКО не меняются:
М(Х + с) = М(Х) + с; D(X + с) = D(X).
При умножении (делении, к / 0) случайной величины на константу (к) математическое ожидание умножается (делится) на эту константу, а дисперсия — на ее квадрат:
М(ЬХ) = £.М(Х); D(k • X) = к2 • D(X); акх = к • <гх;
М(ХД) = U^jk- ЩХ/к) = О(Х)Д2; ах/к = <7х/к.
При сложении случайных величин (как независимых, так и зависимых) их математические ожидания складываются:
М(Х1 + Х2) = М(Х1) + М(Х2).
При сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются:
D(Xi + X2) = D(Xi) + D(X2).
. Законы распределения непрерывныхслучайных величин
Рассмотрим некоторые важные для практического использования законы распределения вероятностей случайных величин.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Случайная величина X распределена по нормальному закону, если она определена на всей числовой оси и ее плотность вероятности определяется формулой:
( (х —\
=7^ • е*Р (’(2ЛЗ)
где а = М(Х) — математическое ожидание случайной величины, а — ее среднее квадратическое отклонение.
На рис. 2.1 показаны графики функции распределения и плотности вероятности для этого закона распределения.
Рис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности /(ж) для нормального закона распределенияРис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности /(ж) для нормального закона распределения
Рис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности /(ж) для нормального закона распределения
Рис. 2.1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности /(ж) для нормального закона распределения
Отметим некоторые свойства графика плотности вероятностей нормального закона распределения, показанного на рис. 2.1.
График плотности распределения вероятностей нормального закона имеет симметричный колоколообразный вид; линия симметрии проходит через математическое ожидание случайной величины (ж = а\
В точке х = а функция достигает максимума: /тах = = 1/(<т«2тг).
При изменении параметра а и неизменном а график будет перемещаться вдоль оси ОХ, сохраняя свою форму.
Параметр а характеризует форму кривой распределения: чем меньше ст, тем «уже» и «выше» график.
Важность нормального закона распределения состоит в том, что этому закону обычно подчиняются случайные погрешности прямых измерений.
Случайными величинами являются многие характеристики технических или биологических систем. При изменении состояния системы — например, при заболевании — меняются и характеристики соответствующих случайных величин. На рис. 2.2 показаны различия в плотностях распределений вероятностей для температуры тела в норме и при патологии.
Рис. 2.2. Функция распределения температуры тела человека в норме и при патологии
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из некоторого интервала (xi, x^Y вычисляется с помощью функции распределения вероятностей нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (говорят «нормальной, ^(0, 1)»):
ж
Ф(ж) = ^ ехр (—ж2/2) • йх^(2-14)
у2тг J — оо
таблицы которой представлены в учебниках по теории вероятностей. Как правило, значения этой функции приводятся только для неотрицательных значений аргумента. Чтобы получить ее значения для отрицательных значений, используют следующее правило:
Ф(-ж) = 1-Ф(ж).(2.15)
Расчет вероятности производится по формуле:
Р(Ж1 < X < ж2) = Ф[(ж2 - й)/сг] - Ф[(Ж1 - а^/а\(2.16)
Приведем вывод этой формулы. Пусть X ~ ^(a; ст2) нормальна с математическим ожиданием а и дисперсией ст2. Тогда У = ~ N(0; 1) нормальна с математическим ожидани-
(7
ем 0 и дисперсией 1. Следовательно, если понадобится вычислить Р{ж1 ^ X ^ ж2} для X ~ N^ ст2), делаем этот так:
P(xi < X < ж2) = P(xi — а ^ X — а ^ Х2 — а) =
В качестве иллюстрации применения формулы (2.16) вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания не превысит значения к • а. В этом случае х\ = а — к • а, х^ = а + + к • ст; (яд — а)/а = —к, (х^ — а) / а = к. По формулам (2.15), (2.16) получим:
Р(—к -а^Х-а^к-а) = Ф(к) - Ф(-к) = 2Ф(&) - 1. (2.17)
По таблицам найдем: Ф(1) = 0,8413; Ф(2) = 0,9772; Ф(3) = = 0,9987.
Подставив эти значения в формулу (2.17), получим:
(2-18)(2-18)Р(-<7 < X- а < <т) = 0,6826,Р(—2<т < X - а < 2<т) = 0,9544,Р(—3<т < X - а < 3<т) = 0,9974.
(2-18)
(2-18)
Последнее число показывает, что вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от среднего более, чем на Збт, составляет всего 0,26%. Соотношения (2.18) наглядно можно показать на графике, рис. 2.3.
—Зег — 2ст —ст а +ст +2ст +3ст—Зег — 2ст —ст а +ст +2ст +3стРис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожиданияРис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания
—Зег — 2ст —ст а +ст +2ст +3ст
—Зег — 2ст —ст а +ст +2ст +3ст
Рис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания
Рис. 2.3. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания
§2.5. Экспоненциальный закон распределения.Распределение Больцмана
Непрерывная случайная величина с положительными значениями, плотность вероятностей которой задана формулой
/(ж) = А • е"^,ж>0,(2.19)
называется распределенной по экспоненциальному закону.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение равны, соответственно:
М(Х) = 1/А, D(X) = 1/A2, <т(Х) = 1/А.(2.20)
Распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых полях называют распределением Больцмана.
Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п молекул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной
энергии mgh:
n = ng • ехр(—mgh) кТ\(2.21)
где по — концентрация молекул у поверхности Земли, m — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.
Графически эта зависимость изображена на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Распределение Больцмана
Лекция 3
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ
Основные понятия.
Числовые характеристики статистического ряда.
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке: точечная оценка, интервальная оценка.
Интервальная оценка генерального среднего для нормального закона распределения.
Законы теории вероятностей — это математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях. Существует специальный раздел математики, задачей которого является разработка практических методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, получаемых в опытах с массовыми случайными явлениями.
Математическая статистика — раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Основными «кирпичиками» здания математической статистики являются понятия генеральной совокупности и выборки.
. Основные понятия
Генеральная совокупность — подлежащая изучению совокупность однородных элементов, характеризуемых некоторыми признаками.
Например, если нас интересует распространенность в регионе какого-либо заболевания, то генеральная совокупность — все население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует
2 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
рассматривать две генеральные совокупности. Обычно генеральная совокупность имеет очень большой объем. Поэтому для изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую часть ее элементов.
Выборка — часть генеральной совокупности, выбираемая для статистической обработки.
Свойства объектов выборки должно соответствовать свойствам объектов генеральной совокупности.
Результаты исследования некоторого признака генеральной совокупности будут более надежны, если выборку формировать случайным образом, т. е. элементы берутся наугад и каждый из них может попасть в нее с одинаковой вероятностью. Кроме того, выборка должна иметь достаточно большой объем и быть репрезентативной (представительной).
Вопрос о том, как сформировать выборку, которая достаточно хорошо представляет генеральную совокупность, и как определить объем выборки, необходимый для получения достоверных результатов, является одним из главных вопросов статистического оценивания.
Рассмотрим подробнее вопрос об исследованиях распределения количественного признака. Для статистической обработки используют значения исследуемого признака, полученные для данной выборки. Каждое такое значение называют вариантой. Нередко значения вариант записывают в виде таблиц.
Простой статистический ряд — значения исследуемого признака, записанные для всех элементов выборки в том порядке, в котором они были получены.
Пример простого статистического ряда для выборки из 20 элементов приведен в табл. 3.1 (X — скорость поверхностной волны в коже, м/с; п — номер наблюдения).
Таблица 3.1
Простой статистический ряд
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
35
32
38
34
42
36
39
33
28
47
39
33
39
41
40
46
28
37
36
38
Из данных табл. 3.1 видно, что некоторые значения варианты в данной выборке повторяются. Для сокращения записи полученные данные располагают в упорядоченном (ранжированном) виде и указывают относительные частоты (р*) этих значений.
Вариационный статистический ряд — значения полученных признаков, записанные в упорядоченном виде с указанием их относительных частот.
Вариационный статистический ряд для примера, рассмотренного выше, представлен в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Вариационный статистический ряд
X
28
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
46
47
р*
од
0,05
од
0,05
0,05
од
0,05
од
0,15
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
Вариационный статистический ряд можно изобразить графически. Для этого берут систему координат, в которой по оси абсцисс отложены варианты, а по оси ординат — относительные частоты. Построив точки вариационного ряда и соединив их ломаной линией, получают иолигон относительных частот, приведенный на рис. 3.1.
Если относительные частоты всех значений ряда малы, то полигон относительных частот выглядит «неубедительно» и не дает наглядного представления о статистических закономерностях распределения значений признака. В практических исследованиях интервал изменения признака разбивают на несколько интервалов равной ширины и подсчитывают относительные частоты попадания признака в эти интервалы. Если область изменения разбита на к интервалов, то ширина интервала равна:
Дж = (^max ^min)/к.
Поскольку каждая точка является границей двух интервалов, то во избежание недоразумений придерживаются следующего соглашения: к интервалу (а, 6) относят значения варианты, удовлетворяющие неравенству:
а < Ь.
Интерваяънът статистический ряд образуют интервалы значений вариант и относительные частоты их попадания в эти интервалы.
В нашем случае можно образовать, например, такой интервальный статистический ряд (к = 5, Дж = 4), табл. 3.3:
Таблица 3.3
Интервальный статистический ряд
ж, ж + Дж
28-32
32-36
36-40
40-44
44-48
Р*
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10
Здесь к интервалу 28-32 отнесены два значения варианты, равные 28 (табл. 3.2), а к интервалу 32-36 — варианты 32, 33, 34 и 35.
Интервальный статистический ряд можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы значений вариант и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, равной его относительной частоте, деленной на ширину интервала (р*/Дж). Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой.
На гистограмме статистические закономерности распределения признака просматриваются достаточно отчетливо. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.
Если объем выборки неограниченно увеличивать и уменьшать ширину интервала, то гистограмма будет «приближаться» к плотности вероятности данного признака.
. Числовые характеристикистатистического ряда
Корректно построенная гистограмма дает достаточно полное представление о распределении рассматриваемого признака. Однако во многих случаях для этого бывает достаточно знать несколько числовых характеристик выборки.
Выборочное среднее X, полученное по выборке объемом п, есть среднее арифметическое значение всех вариант статистического ряда:
£ жг
(3.1)
Для нашего примера X = 37,05 м/с.
Выборочная дисперсия D, полученная по выборке объемом п, равна сумме квадратов отклонений вариант от выборочного среднего, поделенной на п — 1:
(3.2)
В нашем примере D = 25,2 (м/с)2.
Обратите внимание, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки n, а п — 1.
Выборочное среднее квадратическое отклонение — это квадратный корень из выборочной дисперсии:
(з.з)(з.з)а = VD.
(з.з)
(з.з)
Для нашего примера су = 5,02 м/с.
Мода (Mod) есть варианта, которая чаще всего встречается в исследуемой выборке, т. е. имеет наибольшую относительную частоту.
В нашем случае мода Mod = 39 м/с.
Если две или более несмежных вариант ряда имеют разные наибольшие частоты, то вариационный ряд является полимо- дальным. Полимодальность указывает на качественную неоднородность совокупности по исследуемому признаку.
Медиана (Med) есть варианта, которая расположена в середине распределения. Она делит ряд на две равные части.
Для ряда с нечетным числом вариант медианой будет центральная варианта. При четном числе вариант медиана равна полусумме двух соседних вариант, расположенных в центре ранжированного ряда.
Отметим, что все эти характеристики являются случайными величинами^ поскольку получены по случайной выборке. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные характеристики являются лишь оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности. Рассмотрим вопрос о том, как определить точности этих оценок.
. Оценка параметровгенеральной совокупности по ее выборке
Как указано выше, при изучении генеральной совокупности исходят из того, что рассматриваемый признак имеет непрерывное распределение с некоторой плотностью вероятности /(ж). Математическое ожидание и дисперсия, соответствующие этой плотности распределения, называются генеральным средним Хг и генеральной дисперсией Dr. Эти характеристики непрерывной случайной величины рассмотрены в лекции 2.
Точечная оценка. Как правило, значения генерального среднего и генеральной дисперсии неизвестны. Выборочные значения, полученные по формулам (3.1)-(3.3), являются статистическими оценками соответствующих генеральных значений. Эти оценки называют точечными. Например, выборочное среднее (3.1) является точечной оценкой генерального среднего, выборочная дисперсия (3.2) является точечной оценкой генеральной дисперсии и т. д.
Достоинство точечных оценок (3.1)-(3.3) состоит в том, что они являются в некотором смысле наилучшими и не зависят от вида плотности распределения. Недостаток точечных оценок состоит в том, что неизвестно, насколько сильно они отличаются от значений генеральных параметров. Однако справедливо утверждение, являющееся следствием закона больших чисел.
При неограниченном увеличении объема выборки точечные оценки стремятся к истинным значениям соответствующих генеральных характеристик:
Х^ХГ,
D —> Dr, при п —>- ос. (3-4) "ст —> ст г
Интервальная оценка. Недостатки точечного оценивания компенсирует интервальная оценка^ представляющая интервал возможных значений и вероятность того, что он «накрывает» оцениваемую величину.
Пусть Z — оцениваемый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т. д.), a Z — его точечная оценка, полученная по выборке.
Интервальной оценкой параметра Z называется оценка вида
P(Z - е < Z < "Z + Д = Ра. (3.5)
При этом интервал (Z — s, Z + г) называется доверительным интервалом.
Величина £ характеризует точность оценки, а величина Ра равна вероятности того, что параметр Z лежит в указанных пределах.
Доверительная вероятность Ра — вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится внутри доверительного интервала.
Задача интервального оценивания состоит в том, чтобы по заданной вероятности Ра найти «точность» оценки е.
Часто вместо доверительной вероятности используют связанную с ней величину о = 1 — Ра, которая называется уровнем значимости.
Уровень значимости — это вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится за пределами указанного интервала, т. е. вероятность того, что наша оценка ошибочна.
Иногда а и Ра выражают в процентах, например, 5 % вместо 0,05 и 95% вместо 0,95.
При интервальной оценке сначала выбирают соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра.
Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.
Чем ниже уровень значимости (чем больше Ра), тем «шире» интервальная оценка. Так, если при уровне значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < Z < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < Z < 40,25 (см. табл. 3.1).
Чем больше объем выборки п, тем «уже» (следовательно, точнее) интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5-процентная оценка генеральной средней (а/ = 0,05), полученная по выборке из 20 элементов, есть 34,7 < Z < 39,4. Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < Z < 38,6.
В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего признака, который распределен в генеральной совокупности по нормальному закону.
§3.4. Интервальная оценка генерального среднегодля нормального закона распределения
Пусть рассматриваемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону с неизвестными значениями генерального среднего и дисперсии. Для того чтобы получить интервальную оценку генерального среднего Хг, поступают следующим образом.
Из генеральной совокупности извлекают выборку некоторого объема п и составляют простой статистический ряд: яд, ж2, . . ., хи.
Для этого статистического ряда вычисляют выборочное среднее X и выборочное среднее квадратическое отклонение "а по формулам (3.1)-(3.3).
Выбирают доверительную вероятность Ра (обычно 0,95 или 0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят параметр t.
Рассчитывают полуширину доверительного интервала е:
(3.6)
Получают интервальную оценку генеральной средней с выбранной доверительной вероятностью:
Х-е < Хг < Х + г.Х-е < Хг < Х + г.(3.7)(3.7)
Х-е < Хг < Х + г.
Х-е < Хг < Х + г.
(3.7)
(3.7)
Кратко это записывается так:
(3-8)(3-8)Р(Х-е < Хг < Х + е) = Ра.
(3-8)
(3-8)
Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называемый числом степеней свободы, / = п — 1, и верхняя строка — уровень значимости а. На пересечении соответствующей строки и столбца находят коэффициент Стьюдента t.
Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента представлен ниже.
Таблица 3.4. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента
/
Уровень значимости а
0,5
0,4
0,3
0,2
од
0,05
0,01
1
1,00
1,38
2,00
3,08
6,31
12,71
63,66
10
0,70
0,88
1,10
1,37
1,81
2,23
3,17
19
0,69
0,86
1,09
1,33
1,73
2,09
2,86
Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (п = = 20, / = 19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты по формулам (3.1)-(3.3) дают:
X = 37,05; а = 5,02.
Выберем а = 0,05 (Ра = 0,95). На пересечении строки «19» и столбца «0,05» найдем t = 2,09.
Вычислим точность оценки по формуле (3.6): е = 2,09 х х 5,02/V20 = 2,34.
По формуле (3.7) построим интервальную оценку: с вероятностью 0,95 (или в 95 % случаев) искомая генеральная средняя удовлетворяет неравенству 37,05 — 2,34 < Хг < 37,05 + 2,34, или
34,71 < Хг < 39,39 (м/с).
Таким образом, кроме самой точечной оценки X мы указали уровень 95-процентной погрешности — 2,34 м/с.
При большой выборке (п > 30) величину е определяют по соотношению
е = т • "а ( Vtl^
где т находят по соответствующим таблицам.
Лекция 4
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Общие понятия.
Нулевая и альтернативная гипотезы. Задача проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости.
Проверка гипотез относительно средних, t-критерий Стьюдента.
Проверка гипотез для дисперсий, /^-критерий Фишера.
Ранговый непараметрический tt-критерий Уилкоксона.
Проверка гипотезы о нормальности закона распределения — критерий хи-квадрат.
. Общие понятия
Статистические гипотезы. Прежде чем сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий пример. Пусть требуется сравнить две методики лечения одного и того же заболевания. Для этого были составлены две группы пациентов по 36 человек каждая, лечение которых проводилось по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось количество процедур до получения положительного эффекта. Результаты представлены в табл. 4.1.
В первой строке указано количество процедур. Во второй и третьей строках указано, у скольких пациентов каждой группы положительный эффект достигнут после соответствующего количества процедур. Среднее количество процедур до получения положительного эффекта (выборочное среднее) указано в предпоследнем столбце. В последнем столбце приведены выборочные дисперсии.
Таблица 4.1
Число процедур
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Y
D% Dy
Количество пациентов 1-й группы (X)
1
6
2
6
8
5
4
3
1
4,8
4,08
Количество пациентов 2-й группы (У)
2
4
7
5
4
6
7
1
6,5
4,24
Количество процедур, необходимое для получения положительного эффекта — случайная величина, вся информация о которой на данный момент содержится в приведенных выборках. Из табл. 4.1 видно, что выборочное среднее в первой группе меньше, чем во второй: X < Y. Но значит ли это, что и для генеральных средних имеет место такое же соотношение: Хг < Yr? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза — это предположения, которые относятся к виду распределения или отдельным параметрам случайных величин.
Статистическая гипотеза может относиться к одной выборке или к нескольким. Например:
данная выборка извлечена из генеральной совокупности с нормальным законом распределения;
две выборки относятся к одной генеральной совокупности, т. е. имеют одинаковые генеральные средние и дисперсии.
Гипотезы о типах распределения и о значениях параметров распределения называют параметрическими.
Гипотезы, в которых о типе распределения никаких предположений не делается, называются непараметрическими.
Первая из приведенных выше гипотез — непараметрическая, а вторая — параметрическая.
§4.2. Нулевая и альтернативная гипотезы. Задачапроверки гипотез. Ошибки первого и второго рода.
Уровень значимости
Нулевая и альтернативная гипотезы. Вернемся к примеру, представленному в табл. 4.1. В процессе проверки гипотез всегда имеются две стороны: «скептик» и «оптимист». «Скептик» считает, что первая методика не лучше второй, а лучший показатель числа необходимых процедур получился случайно, из-за малого объема выборок. Он говорит nir = %2г (гипотеза скептика). «Оптимист» считает, что nir < %2г (гипотеза оптимиста). Арбитром между «скептиком» и «оптимистом» выступает статистика.
Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.
Hq — нулевая гипотеза — гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками.
Hi — альтернативная гипотеза — гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками.
Гипотеза
Позиция выдвигающего гипотезу
Нулевая — Но:
Наблюдаемые различия случайны
Альтернативная — Hi:
Наблюдаемые различия достоверны и вызваны объективными причинами
Задача проверки гипотез. Задача проверки гипотез заключается в том, чтобы на основании анализа выборочных данных принять решение о справедливости одной из них.
Ошибки первого и второго рода. При проверке гипотез могут быть допущены ошибки двух видов:
Принимается Hi, когда верна Но — ошибка первого рода.
Принимается Но, когда верна Hi — ошибка второго рода.
Результат, полученный при проверке
На самом деле
Верна гипотеза Но
Верна гипотеза Hi
Принята гипотеза Но
Правильное решение
Ошибка второго рода, /3
Принята гипотеза Hi
Ошибка
Правильное
первого рода, а
решение
Вероятность совершить ошибку первого рода должна быть достаточно мала, так как нужны веские основания для признания того, что один метод лечения лучше другого. Эта вероятность называется уровнем значимости (а).
При проверке статистических гипотез уровнем значимости (а) называется вероятность отклонения (неприятия) нулевой гипотезы, когда она верна.
В медицинских исследованиях обычно используют а = 0,05 или а = 0,01.
Как правило, для большинства случаев пятипроиршгный уровень значимости является вполне достаточным. И только при рассмотрении вопросов, в которых ошибочное отклонение нулевой гипотезы может повлечь тяжелые последствия (например, увеличение частоты летальных исходов), используют меньший уровень значимости.
Процедура проверки гипотез. Критерий. Критическая область.
Процедура проверки гипотез представляет собой правило, руководствуясь которым принимается статистически обоснованное решение о справедливости одной из них.
Построение таких правил и является задачей раздела математической статистики, называемого статистической проверкой гипотез. От исследователя, использующего статистическую проверку гипотез в прикладных задачах, требуется научиться пользоваться существующими критериями.
Проверка гипотез обычно проходит следующие этапы.
Исследователь набирает первичный статистический материал в виде выборок из одной или нескольких генеральных совокупностей.
Исследователь формулирует основную (Но) и альтернативную (Hi) гипотезы, а также выбирает уровень значимости а (0,01 или 0,05), соответствующие целям исследования.
Выбирают метод проверки, который подходит в данной ситуации, и по соответствующим формулам вычисляют значение статистического критерия для имеющихся данных (выборок).
По таблицам, соответствующим выбранному методу, находят границу критической области для принятого уровня значимости.
Принимается решение о справедливости гипотезы Но или Hi. Если значение критерия, вычисленного в п. 3, принадлежит критической области (п. 4), то основная гипотеза Но отвергается и не отвергается альтернативная гипотеза Hi. Если значения критерия не попадает в критическую область, то гипотеза Hq не отвергается.
Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.
Проверка гипотез относительно средних.t-критерий Стьюдента
Сравнение генеральных средних двух случайных величин по результатам независимых выборок, зависит от закона их распределения и объемов выборок. Рассмотрим решение этой задачи в следующем случае.
Постановка задачи. Для случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону с одинаковыми диспер- сиями^ получены выборки, объемы которых пх и пу соответственно. Требуется сравнить между собой математические оснсидания соответствующих генеральных совокупностей (сравнить генеральные средние).
Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем использовать данные из табл. 4.1.
Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 36 и пу = 36 элементов, соответственно. В последних столбцах таблицы приведены вычисленные значения выборочных средних X, Y и выборочных дисперсий D%, Dy.
Проверяемые гипотезы:
Но => Yr = Хг (генеральные средние одинаковы);
Hi => Yr > Хг, так как для выборочных средних Y > X, то и для генеральных дисперсий проверяется такое же соотношение.
Для проверки гипотез о равенстве генеральных средних при одинаковых генеральных дисперсиях применяется t-критерий Стьюдента, рассчитываемый по формуле
t =,(4.1)
/ (пх - 1) ■ D.V + {пу - 1) ■ Ру ’ пх 11 v
упх + пу - 2
Для наших данных t = —3,54.
По таблице ^-распределения находим пяти-процентн'ую критическую область. Для этого предварительно определяем число степеней свободы:
В нашем случае / = 70. По таблицам t-распределения в строке / = 70 находим границу критической области для двух уровней значимости:
а
0,05
0,01
^кр
1,99
2,65
Сама критическая область (область отвержения нулевой гипотезы, Но) определяется условием
|t| ^ ^кр-(4-3)
Проверяется попадание критерия в критическую область.
1,992,653,54
Из рисунка видно, что значение критерия принадлежит однопроцентной области. Поэтому нулевая гипотеза отвергается и признается более высокая эффективность второго метода лечения.
Применение t-критерия Стьюдента (см. семинар 8).
t-критерий Стьюдента применяется для оценки различия средних величин двух выборок, которые распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией.
Для случая неравных дисперсий применяется модифицированный критерий.
Отметим, что процедуры проверки многих параметрических гипотез включены в состав программы EXCEL’97.
Проверка гипотез для дисперсий.F-критерий Фишера
Во многих клинических исследованиях важной является проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных выборок. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.
Постановка задачи. Для случайных величин X и У, распределенных по нормальному закону, получены выборки, объемы которых пх и пу соответственно. Требуется сравнить между собой дисперсии соответствующих генеральных совокупностей.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком.
Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 16 и пу = 11 элементов, соответственно (табл. 4.2). В последней строке таблицы приведены вычисленные значения выборочных дисперсий Dx и Dy.
Таблица 4.2
Выборка 1
Выборка 2
0,80
5,13
1,97
4,39
-4,18
-3,53
-1,73
-4,75
0,22
-1,47
4,05
2,15
-1,63
-0,98
-3,91
1,25
1,02
2,56
-0,65
-0,67
-4,57
5,78
-0,96
2,68
-0,40
0,80
2,62
Fx =
: 2,83
aY =
: 3,35
Dx =
= 8,01
Dy =
: 11,22
Проверяемые гипотезы:
Но ^ Dry = Drx (генеральные дисперсии одинаковы);
Hq Dry > Drx так как для выборочных дисперсий Dy > > Dx, то и для генеральных дисперсий проверяется такое же соотношение.
Для проверки гипотез о равенстве дисперсий широко применяется F-критерий Фишера, рассчитываемый по формуле:
F = Dy/DX-(4.4)
При вычислении отношения по формуле (4.4) большая дисперсия делится на меньшую.
Для наших выборок F = 11,22/8,01 = 1,4.
По таблице F-распределения найдем 5 %-ную и 1 %-ную критические области. Для этого предварительно определим число степеней свободы для каждой выборки:
/1 = (пу - 1), /2 = <пх ~ 1), (4.5) где /1 и /2 — число степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно.
В нашем случае /1 = 10, /2 = 15. В таблице F-распределения находим границу критической области для двух уровней значимости:
а 0,05 0,01
FKp 2,54 3,80
Сама критическая область определяется условием
F > FKp. (4.6)
Полученное в п. 3 значение критерия (F = 1,4) не попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий:
§ 4.5. Ранговый непараметрический [7-критерийВилкоксона (Wilcoxon)
Для представления медицинских и биологических данных нередко используется порядковая или ранговая шкала. Измеренные признаки располагаются на этой шкале в порядке возрастания (обычно) или в порядке убывания (реже). Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место^ который она занимает среди других величин.
Постановка задачи. Для случайных величин X и Y с неизвестными законами распределения получены выборки, объемы которых rtx и пу^ соответственно. Значения элементов представлены в порядковой шкале. Требуется проверить гипотезу
о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи в соответствии с установленным выше порядком. Будем использовать данные из табл. 4.3.
Таблица 4.3
X
39
38
47
16
28
30
43
25
Y
46
18
50
45
25
41
31
55
37
Первичная статистическая информация получена в виде двух выборок из пх = 8 и пу = 9 элементов соответственно. Используется порядковая шкала измерений. Ни каких предположений о законах распределений не делается.
Проверяемые гипотезы: Но — выборки принадлежат к одной генеральной совокупности, Hi — выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Для проверки таких гипотез широко применяется [/-критерий Вилкоксона, применению которого предшествует подготовительная работа.
Сначала из исходных выборок составляется одна объединенная выборка, и ее элементы упорядочиваются. В результате получается табл. 4.4. Сами значения элементов расположены во второй строке. В первой строке указана принадлежность элемента к исходным выборкам. В третьей строке стоят порядковые номера элементов упорядоченного ряда.
Таблица 4.4
Принадл.
X
у
X
У
X
X
У
у
X
X
У
X
у
У
X
у
У
Знач.
16
18
25
25
28
30
31
37
38
39
41
43
45
46
47
50
55
Ранг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
По правилам ранжирования одинаковым значениям присваиваются одинаковые ранги. Поэтому в третью строку следует внести изменения: двум значениям 25 приписывается усредненный ранг (3 + 4)/2 = 3,5. После этих исправлений табл. 4.4 принимает следующий вид:
Принадл.
X
У
X
у
X
X
У
у
X
X
у
X
У
у
X
У
у
Знач.
16
18
25
25
28
30
31
37
38
39
41
43
45
46
47
50
55
Ранг
1
2
3,5
3,5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
е Теперь необходимо просуммировать полученные ранги по элементам отдельных выборок X и Y. Для этого удобнее сделать перестановку столбцов.
Итоговая таблица для [/-критерия:
Принадл.
X
X
X
X
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Знач.
16
25
28
30
38
39
43
47
18
25
31
37
41
45
46
50
55
Ранг
1
3,5
5
6
9
10
12
15
2
3,5
7
8
11
13
14
16
17
Rx
Ry
Rx = 61,5
Ry = 91,5
Все описанные действия легко выполняются в среде Windows с помощью приложения ЕхсеГ97.
По итоговой таблице среди значений Rx и Ry выбирается максимальное: /?тах = 91,5. Затем рассчитывают значение критерия по формуле
U — Tlx * ^У ^max Т Птах • (птах Т 1)/2,(4.7)
где птах — число членов в выборке с максимальным значением суммы рангов.
Для нашего случая птах = 9 и U = 72 — 91,5 + 45 = 25,5.
По таблице [/-распределения найдем пятипроцентную и однопроцентную критические области:
a
0,05
0,01
EKp
18
11
Сама критическая область определяется условием
и < икр.(4.8)
Полученное в п. 3 значение критерия ([/ = 25,5) не попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая гипотеза принимается.
1111181825,525,5
11
11
18
18
25,5
25,5
§4.6. Проверка гипотезы о нормальности законараспределения — критерий хи-квадрат
Критерий х2 (хи-квадрат) используется для проверки гипотезы об определенном виде закона распределения случайной величины, наблюдения которой мы имеем в виде выборки. Нас будет интересовать принадлежность выборки к нормальному закону распределения.
Постановка задачи. Для случайной величины X получена выборка объема N. Требуется проверить гипотезу о нормальности закона распределения.
Рассмотрим последовательность действий при решении этой задачи на следующем примере.
Пусть проведены измерения роста у 267 человек с точностью до 0,1 см. Первичная статистическая информация представляет собой соответствующую выборку.
Проверяемые гипотезы:
Но — выборка принадлежит к генеральной совокупности с нормальным законом распределения,
Hi — закон распределения не является нормальным.
Для проверки таких гипотез широко используется критерий хи-квадрат, применению которого предшествует подготовительная работа.
• Сначала для исходной выборки находят выборочное среднее X и выборочное среднее квадратическое отклонение "а. Затем весь диапазон полученных значений разбивается на несколько (п) одинаковых интервалов одинаковой ширины (Л) и подсчитывают количество элементов, попавших в каждый интервал (тД.
Центры интервалов ж^ и т^ — количество наблюдений, попавших в интервал с центром ж*, заносят в таблицу. Для нашего случая это табл. 4.5 представлена ниже.
Затем рассчитываются нормированные уклонения центров интервалов от выборочного среднего:
А, = (жг - Х)/^.(4.9)
Полученные значения заносят в третий столбец таблицы.
Затем по таблице «Ординаты нормальной кривой» находят значения плотности нормального распределения для г-го интервала:
Vi = ^ • ехр(—А?/2)(4.10)
Z7T и заносят их в четвертый столбец таблицы.
Таблица 4.5
Центры интервалов Хг П = 9
mi
X = 166,22 а = 4,06 Ai = («г - Х)/а
ф г
Mi
Xi
159
2
-2,77
0,0086
1,6
1,23
161
9
-2,03
0,0508
10,0
0,10
164
31
-1,29
0,1736
34,3
0,32
167
71
-0,55
0,3429
67,8
0,15
170
82
+0,19
0,3918
77,6
0,25
173
46
+0,93
0,2589
51,2
0,53
176
19
+1,67
0,0989
19,5
0,01
179
5
+2,41
0,0219
4,4
0,08
182
1
+3,15
0,0028
0,6
0,27
Значение критерия
X2 = 2,93
Далее, в пятый столбец заносят ожидаемые значения для величин М^:
Mi = ^-^+.(4.11)
(7
В шестой столбец таблицы заносят значения у2:
X? = (Mi - mi)2/Mi.(4.12)
Складывая эти величины, находят значение критерия:
X2 = S(Mi-mi)2/Mi.(4.13)
Число степеней свободы
/ = п - 3.(4.14)
По таблице у2-распределения найдем пятипроцентную и однопроцентную критические области:
а
0,05
0,01
Хкр
12,6
16,8
Сама критическая область определяется условием
х2 > Хкр-(4-15)
Полученное в п. 3 значение критерия (у2 = 2,93) не попадает в пятипроцентную критическую область. Поэтому нулевая гипотеза принимается: можно считать, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности.
2,912,616,8
Лекция 5
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙАНАЛИЗ
Функциональная зависимость. Корреляция и регрессия.
Коэффициент корреляции.
Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.
Регрессионный анализ. Линейная регрессия.
Выявление статистических связей между случайными величинами широко используется в медицинской практике. Этим методом решаются задачи установления обоснованного диагноза, оценки эффективности лечения. Установление зависимости между различными показателями состояния больного и влияние их изменений на жизнедеятельность организма является важной задачей лабораторных и клинических исследований. Более того, все системы, органы, ткани, клетки целостного организма находятся в связи друг с другом; эту связь можно измерить, например, с помощью коэффициента корреляции. Благодаря различным формам корреляции организм проявляется как единая сложная целостная система.
. Функциональная зависимость.Корреляция и регрессия
Функциональная зависимость между двумя переменными существует в том случае, когда каждому допустимому значению одной из них соответствует одно вполне определенное значение другой. Функциональные зависимости можно выразить аналитически. Так, например, объем шара зависит от его радиуса (V = 4/Зтг • г3), площадь квадрата от его стороны (5 = а2). В общем случае функциональная зависимость выражаются формулой у = /(ж). Функциональная связь свойственна неслучайным (детерминированным) переменным.
Между случайными величинами X, У может существовать и статистическая (вероятностная) связь. При этом каждому
значению одной величины соответствует не единственное значение другой величины, а некоторое множество значений с определенным законом распределения. Например, между возрастом и ростом детей связь выражается в том, что каждому значению возраста соответствует определенное распределение роста (а не одно единственное значение). При этом с увеличением возраста (до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста.
Корреляцией называется статистическая (вероятностная) зависимость между величинами, не имеющая, вообще говоря, строгого функционального характера.
При наличии корреляции между случайными величинами закон распределения величины Y зависит от значения, принятого случайной величиной X.
Простейший вид статистической связи возникает, когда на функциональную зависимость накладываются случайные возмущения. Например, если случайные величины Y и X связаны соотношением:
¥ = № + (5-1)
где а — не зависяи^ая от X случайная величина, с нулевым математическим ожиданием. В этом случае одному и тому же значению X будут соответствовать различные значения У, обусловленные различными значениями а. Если значение X известно, то среднее значение Y равно f(X) — т. е. зависит от X.
Зависимость среднего значения одной случайной величины от другой величины называется регрессией, а уравнение, отражающее эту зависимость, называется уравнением регрессии.
Для равенства (5.1) можно записать Уср = f(X\ Поэтому уравнение регрессии отражает функциональную часть корреляции.
. Коэффициент корреляции Пирсона
Количественно величину статистической связи между случайными величинами выражают с помощью коэффициентов корреляции, в частности, коэффициента линейной корреляции
Пирсона (г), который определяется следующей формулой:
_ М[(Х-М(Х)).(У-М(У))]сгх • <ту’'
где сух и сгу — среднеквадратические отклонения; М — знак математического ожидания.
Свойства коэффициента корреляции.
Величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин X и Y.
Величина коэффициента корреляции заключена в пределах — 1 ^ г ^ 1.
Если г < 0, то с увеличением X соответствующие им значения Y в среднем уменьшаются, т. е. существует обратная связь.
Если г > 0, то с увеличением X соответствующие им значения Y в среднем растут, то есть существует прямая связь.
Если г = 0, то между параметрами нет линейной корреляционной связи (но может существовать нелинейная корреляционная зависимость).
Значение г = 1 появляется обычно тогда, когда между величинами X и Y существует линейная функциональная связь (крайне редкая в медико-биологических исследованиях).
Если закон совместного распределения случайных величин X и Y известен, то проведя вычисления по формуле (5.2), можно найти значение коэффициента корреляции и тем самым установить наличие или отсутствие статистической зависимости между величинами X и Y. Но что делать в таком распространенном случае, когда закон совместного распределения неизвестен? В этом случае статистическую связь между величинами можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции.
Выборочный коэффициент корреляции. Пусть проведено N опытов, в каждом из которых измерены значения случайных величин X и Y. Полученные пары значений (ж*, р^ образуют связные выборки, которые записывают в виде табл. 5.1. В последние две колонки заносят вычисленные значения выборочных средних и выборочных среднеквадратических отклонений (лекция 3).
Таблица 5.1. Представление связных выборок
Номер опыта
1
2
3
N
Выборочные значения
Значения X
жх
ж2
ж3
xN
X
Значения Y
Ух
У2
Уз
Pn
Y
Для наглядности полученные пары значений можно нанести на координатную плоскость. Для этого по оси абсцисс откладывают значения а по оси ординат — ^ (г = 1, 2, ... N\ Нанесенные точки займут определенную область, называемую корреляционным полем. По расположению точек корреляционного поля можно сделать некоторые предварительные суждения о характере связи между величинами. Как правило, если между случайными величинами X и Y существует линейная статистическая связь, то корреляционное поле имеет вид эллипса со сгущением точек вокруг главной оси и с малым числом их на периферии, рис. 5.1, а. Если связь выражена слабо или отсутствует, то разброс точек велик. При этом длинная ось эллипса параллельна одной из координатных осей или же корреляционное поле похоже на круг (рис. 5.1, б).
Если связь между X и Y носит нелинейный характер, то корреляционное поле имеет более сложный вид, рис. 5.1, в.
Данные, представленные в табл. 5.1, используют для вычисления выборочного коэффициента линейной корреляции по следующей формуле:
-Y)
где X и Y — выборочные средние; cfx и cfy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Если X -4- оо, то выборочный коэффициент стремится к истинному значению коэффициента корреляции. Однако эта сходимость настолько медленная, что требуются очень большие объемы выборок, чтобы выборочное значение оказалось близким к истинному. Практически считается, что при |г| < 0,4 связь отсутствует, при 0,4 < |г| < 0,7 имеется слабая связь. Тесная связь между случайными величинами или процессами имеется при 0,7 < |r| < 1.
Корреляция
Вид зависимости
а) Наличие корреляционной зависимости
У J
► ж
б) Отсутствие корреляционной зависимости
У J
>- ж
в) Нелинейная корреляционная зависимость
У i
Рис. 5.1. Различные виды корреляционной зависимости
. Проверка статистической значимостивыборочного коэффициента линейной корреляции
Очень часто задачей исследования является не определение значения коэффициента корреляции, а выяснение вопроса о наличии или отсутствии статистической связи между случайными величинами X и Y. В качестве нулевой принимается гипотеза об отсутствии связи:
Hq — линейной корреляции между X и Y нет,
Hi — между X и Y присутствует линейная корреляция.
Критерием для проверки этих гипотез является значение выборочного коэффициента корреляции (5.3), которое сравнивается с критическим значением гкр, найденным по специальной таблице (табл. 5.2). Число степеней свободы f = N — 2.
Таблица 5.2. Критические значения коэффициента линейной корреляции Пирсона
/
а = 0,05
а = 0,01
/
а = 0,05
а = 0,01
2
0,950
0,990
23
0,396
0,505
3
0,878
0,959
24
0,388
0,496
4
0,811
0,917
25
0,381
0,487
5
0,754
0,874
30
0,349
0,449
6
0,707
0,834
35
0,325
0,418
7
0,666
0,798
40
0,304
0,393
8
0,632
0,765
45
0,288
0,372
9
0,602
0,735
50
0,273
0,354
10
0,576
0,708
60
0,250
0,325
11
0,553
0,684
70
0,232
0,302
12
0,532
0,661
80
0,217
0,283
13
0,514
0,641
90
0,205
0,267
14
0,497
0,623
100
0,195
0,254
15
0,482
0,606
125
0,175
0,230
16
0,468
0,590
150
0,163
0,210
17
0,456
0,575
200
0,138
0,182
18
0,444
0,561
250
0,142
0,163
19
0,433
0,549
300
0,113
0,148
20
0,423
0,537
400
0,098
0,128
21
0,413
0,523
500
0,088
0,115
22
0,404
0,515
1000
0,062
0,081
Если значения выборочного коэффициента линейной корреляции больше критического значения
I^bI > ^кр?(^*4)
то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о наличии статистической связи. В этом случае исследование статистической связи следует продолжить и попытаться выделить ее функциональную составляющую. Это делается методами регрессионного анализа.
Регрессионный анализ. Линейная регрессия
Как уже отмечалось выше (§ 5.1), регрессией называется зависимость среднего значения одной случайной величины от другой величины:
Ycp = HX).(5.5)
Для нахождения уравнения регрессии по экспериментальным данным используют регрессионный анализ.
Регрессионный анализ — это метод подбора детерминированных функций Y = f(X) или X = p^Y^ которые наилучшим образом соответствуют всей совокупности выборочных пар {ж^ у^.
Какая из этих двух зависимостей подлежит отысканию, определяется сутью проводимых исследований. Если X считают независимой переменной, то отысканию подлежит зависимость Y = f(X). При дальнейшем изложении материала мы будем считать, что X — независимая переменная и рассматривать только функцию Y = f^X).
Рассмотрим простейший случай, когда у нас есть основания предполагать наличие линейной зависимости между величинами X и Y. Тогда функция f(X) является линейной:
Y = а0 + а^ • X.(5.6)
График этой функции называют линией регрессии.
Для подбора наилучшего приближения в статистике используют метод максимума правдоподобия, в соответствии с которым значения коэффициентов ai и ад выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений Yi = ag + ai • ж^ от выборочных значений у г, была минимальной.
Можно показать, что удовлетворяющие этому требованию коэффициенты регрессии ад и ai определяются следующими формулами:
ag = Y — г • X • а%/ау, ai = г • ах/ау.(5.7)
При этом уравнение регрессии принимает вид
У = (y—г X- + г -. X,(5.8)
\"Х/ СТХ
Часто для записи уравнение регрессии записывают в более простом виде:
У = Y + f. . (X-X).(5.9)
Из формул (5.9) видно, что линия регрессии проходят через точку X, Y.
Рис. 5.2. Линия регрессии, построенная по методу наименьших квадратов
Лекция 6
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные колебания: гармонические и затухающие колебания.
Вынужденные колебания. Резонанс.
Автоколебания.
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.
Сложное колебание. Разложение сложного колебания на простые. Гармонический спектр.
Элементы реабилитологии. Колебательные движения тела при ходьбе, при вертикальном положении. Механические колебания сердца. Вибрация. Механотерапия.
Колебания это движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости.
Колебания могут быть разной природы: механические, тепловые, электрические и т. п. Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы, например, работа сердца. Все эти явления подчиняются общим закономерностям и подразделяются на три основных типа: свободные, вынужденные и автоколебания. Рассмотрим каждый из них.
. Свободные колебания: гармоническиеи затухающие колебания
Свободными собственными механическими колебаниями называют колебания, которые происходят без переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие начального смещения из положения равновесия или сообщения системе начальной скорости.
Такие колебания совершаются за счет первоначально полученной энергии.
Гармонические колебания. Колебания называются периодическими, если значения всех изменяющихся величин, характеризующих систему, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию называется периодом колебаний Т.
В качестве примера рассмотрим идеальный пружинный маятник (рис. 6.1), который представляет собой небольшое тело массой т, подвешенное на невесомой пружине с жесткостью к. Первоначально тело находится в состоянии равновесия (0), и сумма всех действующих на него сил равна нулю.
Если пружину оттянуть (сжать) на расстояние х от положения равновесия, то сила упругости, с которой деформированная пружина действует на внешнее тело, определяется законом Гука:
XРис. 6.1. Пружинный маятник зависит от ее размеров и ма-XРис. 6.1. Пружинный маятник зависит от ее размеров и ма-F = — кх. (6.1)
X
Рис. 6.1. Пружинный маятник зависит от ее размеров и ма-
X
Рис. 6.1. Пружинный маятник зависит от ее размеров и ма-
Постоянный множитель к называется жесткостью пружины и
териала; знак « —» показывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, то есть к положению равновесия.
Предположим, что силы сопротивления отсутствуют. Тогда, подставив выражение (6.1) в формулу второго закона Ньютона (ma = F), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:
(6-2)(6-2)d?x
(6-2)
(6-2)
т—тг = —кх.at21
Преобразуем выражение (6.2) следующим образом:
d2 ж
+ (&/т)ж = 0.
Отношение к/т положительно, поэтому его можно заменить квадратом некоторой величины (в данном случае это оказывается целесообразным):
(6.3)(6.3)Wq = к (т.
(6.3)
(6.3)
3 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Получили дифференциальное уравнение второго порядка:
— + Ш2Ж = 0,(6.4)
общее решение которого представляет периодическую функцию и может быть записано в одном из двух видов:
ж = A cos(cjq^ + ^о), или ж = A sin(cjo^ + ^о)-(6-5)
В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.
Гармонические колебания — такие, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени с определенной частотой по закону синуса или косинуса.
Таким образом, идеальный пружинный маятник совершает гармонические колебания.
Величины, входящие в формулу (6.5), имеют следующий смысл:
ж — смещение точки от положения равновесия в момент времени t;
А — амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия);
ц?о — собственная круговая (циклическая) частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2тг секунд);
р = (coot + т?о) — фаза колебаний (в момент времени ^);
ро — начальная фаза колебаний (при t = 0).
Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы. В рассматриваемом случае — от массы маятника и жесткости пружины (6.3).
Амплитуда колебаний определяются, как свойствами колебательной системы, так и начальными условиями (положением и скоростью тела в момент времени t = 0).
Начальная фаза зависит только от начальных условий. Соответствующим выбором момента начала отсчета времени она может быть сделана равной нулю (<^о — 0). Наиболее распространены следующие формы записи гармонических колебаний, в которых начальная фаза равна нулю:
ж = Acos(cjo^) — в момент t = О отклонение максимально (ж = Л), а скорость тела равна нулю;
ж = Asin(cjo^) — в момент t = О тело проходит через положение равновесия (ж = 0), а его скорость максимальна.
Для случая ущ = 0 зависимость смещения от времени при гармонических колебаниях представлена на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Зависимость смещения от времени для гармонических колебаний ж = Acos(cjo^)Рис. 6.2. Зависимость смещения от времени для гармонических колебаний ж = Acos(cjo^)Наряду с круговой частотой ощ используют и другие характеристики колебательного движения.
Рис. 6.2. Зависимость смещения от времени для гармонических колебаний ж = Acos(cjo^)
Рис. 6.2. Зависимость смещения от времени для гармонических колебаний ж = Acos(cjo^)
Частота колебаний и (число колебаний, совершаемых за единицу времени) равна
v = й?о/2тг = (1/2тг) vT/m.
(6.6)
Период колебаний Т — это время, в течение которого совершается одно полное колебание:
(6.7)(6.7)Т = 27г/й?о? Т = 2иу/т/к.
(6.7)
(6.7)
Связь между указанными характеристиками определяется формулами:
Т = \jv. w0 = ^v = 2тг(Т.
Зная закон движения, можно определить скорость и ускорение колеблющегося тела в любой момент времени: и = dx/dt, а = = dv/dt. Для случая ущ = 0 получим:
= -Awosm^t) = -^maxsin(^0^),
следовательно, = ЖтахС08(^о£ + тг/2),(6.8)
где жтах — максимальная скорость (амплитуда скорости); а = — Al/q cos(cvot) = —amax cos(wo£))
следовательно, a = flmax cos(cj0£ + ^г),(6.9)
где amax — максимальное ускорение (амплитуда ускорения).
з*
Из сравнения выражений (6.5), (6.8), (6.9) видно, что скорость опережает по фазе смещение на тг/2, а ускорение — на тг (то есть смещение и ускорение изменяются в противофазе).
Колеблющееся тело в любой момент времени обладает кинетической энергией собственного движения — Ек и потенциальной энергией Еп, связанной с деформацией пружины.
Полная энергия колеблющегося тела складывается из его кинетической и потенциальной энергий:
Ек = тх2/2 = mA2Wq sin2(cjo^ + ^о)/2,(6.10)
Еп = кх2/2 = кА2 со82(ц?о^ + ^о)/2,(6.11)
Е = ЕК + Еп = кА? (2 = mAV^.(6.12)
Как видно из (6.12), в этом случае полная механическая энергия системы не изменяется.
Свободные гармонические колебания могут возникать в системе, в которой нет потерь или притока механической энергии. При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, реализуются также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается), рис. 6.3.
Рис. 6.3. Математический маятник (а), физический маятник (5)
Математический маятник — небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити, рис. 6.3а. Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой угол а и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле
Т = ^VlTI, (6.13)
где L — длина нити, g — ускорение свободного падения.
Физический маятник — твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рис. 6.35 схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненный от положения равновесия на угол а. Период колебаний физического маятника описывается формулой:
Т = 2тг //(mgh^ (6.14)
где / — момент инерции тела относительно оси, т — масса, h — расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).
Затухающие колебания. Силы трения и сопротивления в реальных системах существенно изменяют характер движения: энергия движения постоянно убывает, и колебания либо становятся затухающими, либо вообще не возникают.
При наличии сил сопротивления среды (сил трения) второй закон Ньютона можно записать так:
52жm ^2 — кхFГр.52жm ^2 — кхFГр.(6.15)(6.15)
52ж
m ^2 — кхFГр.
52ж
m ^2 — кхFГр.
(6.15)
(6.15)
Сила сопротивления направлена в сторону противоположную движению тела и при не очень больших амплитудах и частотах колебаний пропорциональна его скорости:
(6.16)(6.16)dx
(6.16)
(6.16)
FTp = -ти = -т—,dt
где г — коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды, формы и размеров тела. Подставив (6.15) в (6.16), получим:
d?x , dxm—^ = — kx — г——.
dt2dt
Поделив обе части уравнения на массу тела и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение, описывающее свободные колебания при наличии сил сопротивления:
d^x9.
"dC + ^ И + ш°ж = °’(6Л7)
где 2/3 = г /т\ ш^ = к/т\ Р — коэффициент затухания; ощ — круговая частота собственных колебаний системы при отсутствии трения.
Вид общего решение полученного дифференциального уравнения зависит от соотношения между величинами /3 и цщ-
Пусть cjq —/З2 > 0. В этом случае решение уравнения (6.17) имеет вид
х = А^ ехр(—pt) cos^wt + ^о),(6.18)
где и) = д/(ц?д — /З2) — круговая частота затухающих колебаний. График таких колебаний представлен на рис. 6.4.
Рис. 6.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях (у?о = 0)Рис. 6.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях (у?о = 0)В этом случае колебательный характер движения сохраняется, но амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону А = Ад • ехр(—/3 • t). Круговая частота затухающих колебаний ш меньше^ чем при отсутствии силы трения, а период, соответственно — больше:
Рис. 6.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях (у?о = 0)
Рис. 6.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях (у?о = 0)
“ = ^"Я, Т = 2тг/^/(шд —/З2).(6.19)
Быстрота убывания амплитуды колебаний зависит от коэффициента затухания: чем больше /3, тем сильнее тормозящее действие среды, и тем быстрее уменьшается амплитуда.
В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания А:
А = Хп^А^/А^ + Т^ = рТ.
Если Wq < Р2 (сильное затухание), то в этом случае к моменту возвращения тела в положение равновесия запас его механической энергии практически полностью расходуется на преодоление сил трения, тело останавливается и колебания не возникают. Такое движение называется апериодическим.
Следует отметить, что рассмотренный пример является лишь частным случаем затухающих колебаний. При других видах сил характер затухающих колебаний может быть иным.
Вынужденные колебания, резонанс
Свободные колебания, как правило, являются затухающими вследствие наличия сил трения. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.
Вынужденные колебания — такие, которые возникают в системе при воздействии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.
Рассмотрим случай, когда на тело, помимо упругой силы F и силы трения FTp, действует еще и вынуждающая гармоническая сила FB = Fq-cos(li;bT), где Fq — амплитуда силы; с<;в — круговая частота ее колебаний.
Запишем дифференциальное уравнение движения, вытекающее из второго закона Ньютона:
d2xdx
илиилит—у = — kx - г— + Fo cos(wB£), dtzdt
или
или
d2x ^dx 9„....
-^ + 2/3—+ wq$ =/0cos(wB#),(6.20)
CL LCL L
где /о = Fq/ш.
Можно показать, что для больших значений t решение этого уравнения определяется формулой
х = Acos(c<jb£ + ув),х = Acos(c<jb£ + ув),(6.21)(6.21)
х = Acos(c<jb£ + ув),
х = Acos(c<jb£ + ув),
(6.21)
(6.21)
где ув — разность фаз между силой FB и смещением х.
График вынужденных колебаний представлен на рис. 6.5.
Таким образом, установившиеся вынужденные колебания, происходящие под воздействием внешней гармонически изменяющейся силы, являются тоже гармоническими. Их частота равна частоте вынуждающей силы.
Рис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных колебанияхРис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных колебаниях
Рис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных колебаниях
Рис. 6.5. Зависимость смещения от времени при вынужденных колебаниях
Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний зависит от собственной частоты колебаний, массы материальной точки, амплитуды и частоты вынуждающей силы и коэффициента затухания:
(6.22)(6.22)
(6.22)
(6.22)
Резонанс. Если wo и /3 для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы называется резонансом.
Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силыРис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы
Рис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы
Рис. 6.6. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы
При больших потерях на трение кривая резонанса не поднимается до больших значений.
Резонансную круговую частоту можно найти, если определить условие минимума знаменателя в (6.22):
(6.23)
При этой частоте имеет место максимум амплитуды вынужденных колебаний, определяемый формулой
ААрезрез/о/о(6-24)(6-24)
А
А
рез
рез
/о
/о
(6-24)
(6-24)
В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы.
Сопоставление колебательных процессов. В табл. 6.1 представлено сопоставление характеристик для рассмотренных выше различных колебаний.
Таблица 6.1. Характеристики различных колебаний
Вид колебаний
Уравнение для смещения
Условия возникновения
Частота
Свободные гармонические колебания
х = A cos(wot)
F = — kx
FTp = 0
FB = 0
a;o = ^k/m
Свободные затухающие колебания
х = Ае-^ cos^cot) 2/3 = г/т
F = — kx
FГр — tv
FB = 0
w = Vwo - ^2
Вынужденные колебания
х = A cos(cvBt)
F = — kx
FTp — tv FB = Fo cos(wB£)
WB
§6.3. Автоколебания
Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.
Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой
В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии этой системы.
Обратной связью называется воздействие результатов какого-либо процесса на его протекание.
Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется полоэюительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.
В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.
Примером механической автоколебательной системы являются часы. Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы как сердце, легкие.
Положительная обратная связь проявляется в процессе генерации потенциала действия в мембранах. При этом деполяризация мембраны приводит к увеличению проницаемости для ионов натрия, а это ведет к еще большему изменению мембранного потенциала.
Отрицательная обратная связь имеет место в аппарате регулирования ширины зрачка (чем больше попадает в глаз через зрачок квантов света, тем уже становится диаметр зрачка), в системе регуляции уровня сахара в крови, в системе терморегуляции в организме человека.
Сложение гармонических колебаний,направленных по одной прямой
Рассмотрим тело, которое участвует в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой линии. Требуется записать закон, по которому изменяется смещение тела в этом случае. Приведем без вывода решение этой задачи для случая, когда частоты обоих колебаний одинаковы.
Полное смещение тела (ж) равно сумме двух смещений:
жх = Лх cos(c<;Z + ^oi),^2 = Л2 cos(c<;Z + ^02)-(6.25)
Можно показать, что при этом получается гармоническое колебание с такой же частотой:
х = A cos(cut + <£о)>амплитуда и начальная фаза которого определяются формулами
А = ^ A^-V A^-V 2АХА2 cos(y0i - У02),(6.26)
Ai sin <£01 + A2siny?02,.
tg^o = -;—i(6.27)
Ai cos y>oi + A2 cos y?02
При сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и близкими частотами получается результирующее колебание, с периодически медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Биения, Т — период биений
Сложное колебание, разложение сложногоколебания на простые, гармонический спектр
Сложное периодическое движение — сложное колебание — можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Существуют математические методы обработки сложных колебаний. Фурье предложил метод разложения любой периодической функции в ряд гармонических функций, периоды которых кратны периоду сложного колебания. Разложение периодического сложного колебания на гармонические колебания называется гармоническим анализом.
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания. Пример периодической функции и ее спектра представлен на рис. 6.8. На этом рисунке показана периодическая функция ж(£), которая раскладывается на сумму двух гармонических функций (asinwC 6sin2c<;Z), и ее спектр.
x(f) = a sin ш^ + 6 sin 2wtСпектр функции x(t)
Рис. 6.8. Сложное колебание и его спектр
§6.6. Элементы реаби лито л огни
Анализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской реаби- литологии.
Колебательные движения тела человека при ходьбе.
Анализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков. Ходьба — это сложный периодический локомоторный процесс,
возникающий в результате сложной координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение Аг/ центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме до 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией, рис. 6.9.
Рис. 6.9. Смещение ЦМ тела человека по вертикальной оси во время ходьбы
При ходьбе колебательные движения совершают различные части тела и отдельные органы.
Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела. У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания ЦМ. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия — метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. В эту группу методов входит и стабилография — метод оценки способности человека удерживать проекцию центра масс в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью ста- билографа, основной частью которого является стабилоплатфор- ма, на которой находится испытуемый. Колебания, совершаемые центром масс испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается стабилограм-
ма — траектория перемещения центра масс испытуемого в горизонтальной плоскости. По гармоническому спектру стабило- грамми можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод эффективен при оценке результатов соответствующих спортивных реабилитационных тренировочных методик (для спортсменов, для больных после травмы и инсультов, для больных с церебральным параличом и т. д.)
Механические колебания сердца. Существует различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.
Баллистокардиография (БКГ) — метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется балли- стокардиограммой (рис. 6.10), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.
Рис. 6.10. Запись баллистокардиограммы
Апекскардиография (АКГ) — метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскар- диограммы производится, как правило, на многоканальном электрокардиографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ — сравнивают амплитуды кривой при
разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии — отрезок ЕО, принимаемый за 100 %. На рис. 6.11 представлена апекскардиограмма.
0Нулевая линия
Рис. 6.11. Запись апекскардиограммы
Кинетокардиография (ККГ) — метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве; вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГЖ), скорость перемещения (ККГу), а также ускорение (ККГа) для колебаний грудной клетки. На рис. 6.12 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.
Рис. 6.12. Запись кинетокардиограмм перемещения (ж), скорости (гф ускорения (а)
Динамокардиография (ДКГ) — метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки
человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30 х 30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая — масса грудной клетки; 2) переменная — механический эффект дыхательных движений; 3) переменная — механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.
Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуеммым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм
Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.
Вибрация. Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением
вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.
Вибрация — вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.
Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например руки рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частота (спектр частот, основная частота), амплитуда, скорость и ускорение колеблющейся точки, энергия колебательных процессов.
Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.
Вредное воздействие оказывают даже кратковременные вибрации, если в их спектре содержатся частоты, совпадающие с частотами собственных колебаний каких либо частей тела. Например, при запуске пилотируемых космических кораблей возникают вибрации корпуса с частотой около 4,5 Гц. После отделения двигателей первой ступени частота возрастает до 6 Гц, а после отделения третьей ступени — до 9 Гц. Человеческое тело и его отдельные органы имеют собственные частоты колебаний в диапазоне от 3 до 12 Гц. Когда корабль вибрирует на какой- нибудь из этих частот, вибрация органов человека, вследствие резонанса, увеличивается, эти органы деформируются, смещаются или теряют фиксацию, то есть может произойти их механическое повреждение. Для смягчения вибрации в космических кораблях имеются специальные устройства.
Вибрация, как проявление вынужденных колебаний, используется при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразде-
ляются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение для всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.) и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.
Механотерапия. В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии — форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (фр. balance'!— качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.
Анализ колебательных процессов и движений различных органов позволяет получать взаимодополняющую информацию. Поэтому при разработке способов медицинского контроля, тренировочно-реабилитационных медицинских методик, для обоснования их допустимых параметров необходимо учитывать характеристики колебательных процессов.
Лекция 7
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Механические волны и их виды.
Частота волны. Уравнение плоской волны.
Длина волны.
Энергетические характеристики волны.
Некоторые специальные разновидности волн.
Эффект Доплера и его использование в медицине.
Элементы реабилитологии. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани.
. Механические волны и их виды
Пусть тело, совершающее колебания, находится в среде, частицы которой связаны между собой упругими силами (такие среды называют упругими). В этом случае колебательное движение тела передается прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела.
Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой, или механической, волной.
С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают периодические деформации сжатия и сдвига, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Нужно заметить, что при распространении механической волны сами частицы среды не перемещаются вместе с ней, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
Механические волны различаются по тому, как колебания частиц среды ориентированы относительно направления распространения волны. Простейшие типы волн в этом случае следующие.
Продольные волны — такие, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения колебаний. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения.
Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).
Поперечные волны — такие, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения колебаний. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не возникают. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.
В природе не существует процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом среда делится на две области: область, точки которой уже вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области, называется фронтом волны.
Фронт волны — геометрическое место точек (поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Для всех точек фронта время, за которое до них дошло возмущение, одинаково.
При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны.
Скоростью волны d называется скорость перемещения ее фронта.
Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.
Скорость волны в среде не следует путать со скоростью движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с.
Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку — плоские и сферические.
Плоской называется волна, у которой фронтом является плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.
Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы.
Такой, например, является волна, вызываемая в однородной среде точечным источником.
7.2. Частота волны. Уравнение плоской волны
Волна возникает в результате периодических внешних воздействий на среду. Если источник, создающий волну, колеблется по гармоническому закону с некоторой частотой v. то точки среды вовлекаются в колебательное движение с такой же частотой. Эта частота называется частотой волны.
В соответствии с частотой механические волны разделены на различные диапазоны, которые указаны в табл. 7.1.
Голос человека имеет разные частотные параметры, которые приведены ниже в табл. 7.2.
Для волны, созданной гармоническими колебаниями источника колебания точек среды также являются гармоническими. Такая волна называется гармонической. Колебания каждой точки среды описываются уравнением
ж = A cos(cot + уо),
где А — амплитуда колебаний данной точки, со — круговая частота колебаний, определяемая частотой внешнего воздействия (со = 2тгг/) и потому одинаковая для всех точек, ф^ — фаза колебаний данной точки в момент времени t = 0.
Таблица 7.1. Шкала механических волн
Частота, Гц
Наименование диапазона
Примеры
0,5-20
Инфразвуковой
Цунами, тоны сердца
20-2 ■ 104
Звуковой
Голос, фонокардиограмма
2 • 104-105
Низкочастотный ультра-звуковой
Звуки, издаваемые дельфинами, летучими мышами
105-107
Среднечастотный ультра-звуковой
Колебания магнитострикционных излучателей
107-109
Высокочастотный ультразвуковой
109-1013
Гиперзвуковой
Тепловые колебания молекул
Таблица 7.2. Частотные звуковые параметры голоса человека
Действующий звук
Частота, Гц
Разговор у мужчин
85-200
Разговор у женщин
160-340
Наибольшая чувствительность уха
1500-4000
Пение
Бас (длина голосовых связок « 2,5 см)
80-350
Баритон
110-400
Тенор (длина связок 1,7-2,0 см)
130-520
Сопрано (длина связок ^1,5 см)
260-1050
Детский голос
260-1050
Колоратурное сопрано
350-1400
Рекордная высота женского голоса
2350
Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гармоническими колебаниями источника: жи = A cos(a;f). Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны — г, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время т = s/и. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t — sj^Y В результате колебания данной точки будут определяться уравнением:
ж = Acos[c<j(Z — s/v)].(7.1)
Уравнение (7.1), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны.
Аргумент при косинусе — величина ip = u(t — s/v) называется фазой волны.
Обычно вместо круговой частоты колебаний из указывают частоту v или период колебаний точек среды Т. Связь между этими величинами была приведена в лекции «Механические колебания»: ш = 2тгр = 2тг/Т.
. Длина волны
Для описания волновых явлений, например интерференции и дифракции, используют характеристику, называемую длиной волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время равное периоду колебаний частиц среды:
А = иТ.(7.2)
Обычно в качестве характеристики волны используют не период колебаний (Т), а их частоту ^v = 1/Т) и формулу для длины волны записывают в виде
(7.3)
Так как скорость распространения волны зависит от свойств среды, то длина волны Л при переходе из одной среды в другую изменяется, в то время как частота v остается прежней.
Данное определение длины волны имеет важную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 7.1а, на котором показаны смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение фронта волны отмечено точками А и В.
X
а
/ \ I \ V . Возмущение среды
В \ у \ Ав некоторый момент t
X
б
/ \\\\\ Возмущение среды
By \у * \j \J Ay в момент t + Т
Рис. 7.1. Иллюстрация к определению длины волны
Через время, равное одному периоду колебаний, фронт волны переместится. Его положения показаны на рис. 7.16^ точками Ai и Bi. Из рисунка видно, что длина волны равна расстоянию между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Например, это — расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения (рис. 7.16^).
7.4. Энергетические характеристики волны
При волновом движении происходит перенос энергии Е, которая складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформацией среды при взаимном смещении частиц.
Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.
Поток энергии (Ф) — величина, равная средней энергии, проходящей за единицу времени через данную поверхность:
Ф = dE/dt [Вт].(7.4)
Объемная плотность энергии (wp) — средняя энергия колебательного движения, приходящаяся на единицу объема среды:
wp = рА^ш^/2 [Дж/м3],(7.5)
где р — плотность среды.
Интенсивность волны (плотность потока энергии волны) (/) — величина, равная потоку энергии волны, проходящей через единичную площадь, перпендикулярную к направлению распространения волны:
/ = Ф/S [Вт/м2].(7.6)
Можно показать, что интенсивность волны определяется соотношением
. Некоторые специальные разновидности волн
Ударные волны. При звуковых волнах скорость колебания отдельной молекулы воздуха не превышает нескольких см/с, то есть она в сотни раз меньше скорости волны. При больших возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной.
При взрыве сильно нагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха.
Ударная волна — это распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое возрастание плотности вещества и скорости движения частиц среды; это распространение скачка уплотнения со сверхзвуковой скоростью.
Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.
Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физиком В. Стреттом (лордом Рэлеем) в 90-х годах 19 века. В идеальном случае волны Рэлея распространяются вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое.
Поверхностные волны — такие волны, которые распространяются вдоль свободной поверхности тела или вдоль границы тела с другими средами и затухают при удалении от границы.
Примером таких волн являются волны в земной коре (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине волны А, объемная плотность энергии волны wp составляет приблизительно 0,05 плотности на поверхности. Амплитуда смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает.
Волны возбуждения в активных средах. Активно возбудимая среда, или активная среда, — непрерывная среда, состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает запасом энергии.
При этом каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: 1 — возбуждение, 2 — рефрактерность (невозбу- димость в течение определенного времени после возбуждения), 3 — покой. В возбуждение могут перейти элементы только из состояния покоя.
Волны возбуждения в активных средах называют автоволнами.
Автоволны — это самоподдерживающиеся волны в активной среде, сохраняющие свои характеристики постоянными за счет распределенных в среде источников энергии.
Характеристики автоволны — период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и форма — в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. В табл. 7.3 представлено сходство и различие автоволн и обычных механических волн.
Автоволны можно сопоставить с распространением пожара в степи. Пламя распространяется по области с распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии — вся трава выгорела.
Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется в описании распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.
Таблица 7.3. Сравнение автоволн и обычных механических волн
Свойства и характеристики
Обычные волны
Автоволны
Источник энергии
Энергия подводится от источника возмущения
Энергия запасена в среде
Интенсивность
Интенсивность уменьшается — есть затухание
Затухания нет
Перенос энергии
Переносится энергия
Потребляется энергия среды
Взаимодействие с препятствием
Волна отражается от препятствия
Волна исчезает
Сложение волн
Проявляется интерференция
Волны гасятся
. Эффект Доплера и его использованиев медицине
Христиан Доплер (1803-1853 г.) — австрийский физик, математик, астроном, директор первого в мире физического института.
Эффект Доплера состоит в том, что воспринимаемая приемником частота ^ отличается от излучаемой источником частоты z/0 вследствие движения источника волн и приемника.
Эффект может наблюдаться в акустике и оптике.
Пусть гармонические колебания источника волн определяются уравнением
жи = АссДЗлгрД) = Acos(2Trf/7o),
где z/q — частота, a 7q — период колебаний источника.
На рис. 7.2 сплошной линией выделено одно полное колебание источника.
Рис. 7.2. Колебания источника волны
Т = ^2 — й, ^ — 1/Т.Т = ^2 — й, ^ — 1/Т.(7-8)(7-8)Возмущения, созданные началом (т. А) и концом (т. В) полного колебания, распространяются в среде со скоростью V и достигают приемника в моменты времени ti и ^ соответственно. При этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой:
Т = ^2 — й, ^ — 1/Т.
Т = ^2 — й, ^ — 1/Т.
(7-8)
(7-8)
Положения источника и приемника в моментПоложения источника и приемника в моментРис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебанияРис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебанияЦ = 0 + ri = S/(V — Гп).Ц = 0 + ri = S/(V — Гп).(7-9)(7-9)
Положения источника и приемника в момент
Положения источника и приемника в момент
Рис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебания
Рис. 7.3. Испускание и прием начала полного колебания
Ц = 0 + ri = S/(V — Гп).
Ц = 0 + ri = S/(V — Гп).
(7-9)
(7-9)
Найдем моменты ti и t^ для следующего случая. Пусть источник и приемник волн движутся в направлении оси X со скоростями Уи и Уп, соответственно. В начальный момент времен (^ = 0) расстояние между ними — S (рис. 7.3).
Положениеприемникав момент
Возмущение, созданное в среде началом полного колебания, «догонит» приемник через промежуток времени ti = 5/(У — Уп) и достигнет его в момент времени
Положениеприемникав моментПоложениеприемникав момент
Положениеприемникав момент
Положениеприемникав момент
Полное колебание источника завершается в момент времени t = 7 о, когда источник и приемник занимают новые положения и расстояние между ними — Si (рис. 7.4).
Положенияисточника и приемникав момент
Рис. 7.4. Испускание и прием конца полного колебания
Возмущение, созданное в среде завершением полного колебания, «догонит» приемник через промежуток времени Т2 = = Si/ (V — Уп) и достигнет его в момент
<2 = Т0 + т2 = T0 + 5i/(V-V„) = То + ^ЯУл-Ка-ТоШУ-Щ.
(7.10)
Используя формулы (7.8)-(7.10), найдем период колебаний, фиксируемых приемником: Т = ^2 — ^1 — То + [5 + (Vn — Уи) х х 7o]/(V — Vn) — S/(V — Vn). После преобразований получим
T =T =V- УиV-VnV- УиV-Vn•То.•То.
T =
T =
V- Уи
V-Vn
V- Уи
V-Vn
•То.
•То.
Эта формула получена для случая, когда VH и Vn направлены в сторону оси ж (от источника к приемнику). Для произвольных направлений вдоль оси ж формула принимает вид
ии(7.П)(7.П)“•То, п
и
и
(7.П)
(7.П)
Верхний знак берется, если соответствующая скорость направлена в сторону оси ж (от источника к приемнику), а нижний знак — для обратного направления.
V + V)V + V)Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук с частотой /щ, который распространяется в среде со скоростью V. Навстречу системе со скоростью Vo движется некоторый объект. В данном случае система выполняет роль источника (Уи = 0), а объект — роль приемника (Уп = Vo). По формуле (7.11) найдем частоту, воспринимаемую объектом:
V + V)
V + V)
(7-12)
Ультразвуковая волна с частотой v1 отражается объектом в сторону технической системы. Теперь система выполняет роль приемника (Уп = 0), а объект — роль источника (Уи = —Vo). В этом случае приемник воспринимает частоту
V- VoV- Vo• Z7• Z7V + V)V + V)
V- Vo
V- Vo
• Z7
• Z7
V + V)
V + V)
Таким образом, возникает разница между принятой и ис- пугценной частотами, которую называют доплеровским сдвигом частоты:
н ^ + И)2V0
VR = V -р0 = —-.^-р^ —(7.14)
В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (У >> Уо). В этом случае У — Уо ~ У или:
^Д = ДГ • ^0-(7.15)
При приближении объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается, а при удалении - уменьшается.
Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов. Большими возможностями и преимуществами обладает эффект Доплера, используемый в УЗ диагностике. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Схема установки для измерения скорости крови: 1 — источник ультразвука, 2 — приемник ультразвука
Она состоит из двух пьезокристаллических кристаллов, один из которых (основан на обратном пьезоэффекте) служит для генерации ультразвуковых колебаний, а второй (основан на прямом пьезоэффекте) — для приема ультразвука, рассеянного кровью.
Пример. Определить скорость кровотока в артерии, если при отражении ультразвука (z/q = 100 кГц = 100 000 Гц, У = = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты рД = 40 Гц.
Решение. Из формулы (7.15) найдем: Vo — ^д * V/2 • z/q = = 40 • 1500/(2 • 100 000) = 0,3 м/с.
Элементы реабилитологии
Анизотропия распространения поверхностных волн. При исследовании механических свойств кожи с помощью поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) проявляется акустическая анизотропия кожи. Это проявляется в том, что скорость распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях — вдоль вертикальной оси (У) и горизонтальной (X) осей тела, различаются.
Для количественной оценки степени выраженности акустической анизотропии используется коэффициент механической анизотропии, который вычисляется по формуле
к = (vy/vx) - 1,
где Ру — скорость вдоль вертикальной оси, Рх — вдоль горизонтальной оси.
Коэффициент анизотропии положительный (Ку), если ру > ^х; ПРИ ^у < ^х коэффициент отрицательный (К_). Численные значения скорости поверхностных волн в коже и выраженность анизотропии являются объективными критериями для оценки различных воздействий, в том числе и реабилитационно-восстановительных, на кожу (см. лекцию 11).
Действие ударных волн на биологические ткани. Во многих случаях воздействия на биологические ткани (органы) необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны.
При попадании пули в голову внутри возникают ударные волны, которые легко распространяются через жидкие среды внутри черепной коробки и вызывают огромные разрушения (подобно тому, когда попав в броню, снаряд не пробивает ее, но от внутренней поверхности броневой плиты отлетает рваный кусок металла; скорость и энергия этого осколка будут огромными, и разрушения тоже огромные).
Аналогичный эффект может вызвать тупой удар в лоб. Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том, чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при
лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске, которая на первый взгляд кажется необходимой для вентиляции.
Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них высокоинтенсивным лазерным излучением (см. лекцию 34). Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или иные) изменения. Например, это имеет место в реабилитацинных косметических процедурах. Поэтому для того, чтобы снизить вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств, как излучения, так и самой кожи.
Лекция 8
АКУСТИКА. ЗВУК
Звук, виды звука.
Физические характеристики звука.
Характеристики слухового ощущения, звуковые измерения.
Звуковые методы исследования.
Элементы реабилитологии. Факторы, определяющие реабилитационную профилактику шума. Защита от шума.
Акустика — область физики, изучающая упругие колебания и волны, методы получения и регистрации колебаний и волн, их взаимодействие с веществом. Звуковые явления, изучаемые в акустике, чрезвычайно важны для медицины, особенно для оценки слуховых ощущений.
§8.1. Звук, виды звука
Звук в широком смысле — упругие колебания и волны, распространяющиеся в газообразных, жидких и твердых веществах; в узком смысле — явление, субъективно воспринимаемое органом слуха человека и животных. В норме ухо человека слышит звук в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц. Однако с возрастом верхняя граница этого диапазона уменьшается:
Возраст
Верхняя граница частоты, Гц
Маленькие дети
22000
До 20 лет
20000
35 лет
примерно 15000
50 лет
примерно 12000
Звук с частотой ниже 16 Гц называется инфразвуком^ выше 20 кГц — ультразвуком^ а самые высокочастотные упругие волны в диапазоне от 109 до 1012 Гц — гиперзвуком.
Существующие в природе звуки разделяют на несколько видов.
4 Федорова В.Н., Степанова Л. А.
Звуковой удар - это кратковременное звуковое воздействие (хлопок, взрыв, удар, гром).
Тон — это звук, представляющий собой периодический процесс. Основной характеристикой тона является частота. Тон может быть простым, характеризующимся одной частотой (например, издаваемый камертоном, звуковым генератором), и сложным (издаваемым, например, аппаратом речи, музыкальным инструментом).
Акустический спектр. Сложный тон можно представить в виде суммы простых тонов (разложить на составляющие тона). Наименьшая частота такого разложения соответствует основному тону, а остальные — обертонам, или гармоникам. Обертоны имеют частоты, кратные основной частоте.
Акустический спектр тона — это совокупность всех его частот с указанием их относительных интенсивностей или амплитуд.
Обычно наибольшая амплитуда спектра соответствует основному тону. Именно он воспринимается ухом как высота звука (см. ниже). Обертона создают «окраску» звука. Звуки одной и той же высоты созданные разными инструментами воспринимаются ухом по-разному именно из-за различного соотношения между амплитудами обертонов. Сложные тоны имеют дискретный спектр.
Шум — это звук, имеющий сложную, неповторяющуюся временную зависимость, и представляет собой сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Акустический спектр шума — сплошной (шорох, скрип).
. Физические характеристики звука
Скорость (и). Звук распространяется в любой среде, кроме вакуума. Скорость его распространения зависит от упругости, плотности и температуры среды, но не зависит от частоты колебаний. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна примерно 330 м/с (^ 1200 км/ч). Скорость звука в воде равна 1500 м/с; близкое значение имеет скорость звука и в мягких тканях организма. (Это очень большая скорость — 5400 км/ч. Кроме ракет, ни один аппарат, созданный человеком для движения, не может развивать такой скорости).
Интенсивность (/). Это энергетическая характеристика звука. По определению — это плотность потока энергии звуковой волны. Для уха человека важны два значения интенсивности (на частоте 1 кГц):
порог слышимости — /q = 10-12 Вт/м2, такой порог выбран на основе объективных показателей — это минимальный порог восприятия звука нормальным человеческим ухом; встречаются люди у которых интенсивность может быть 10-13 или 10-9 Вт/м2;
порог болевого ощущения — /щах — Ю Вт/м2, звук такой интенсивности человек перестает слышать и воспринимает его как ощущение давления или боли.
Органы слуха человека невероятно чувствительны: 1Ш^//о = = 1013, то есть воспринимаемая максимальная интенсивность превышает минимальную интенсивность в 10 000 000 000 000 раз!
Громкому разговору (на частоте 1 кГц) соответствует интенсивность звука, равная 10-6 Вт/м2, то есть одной миллионной доле ватта на 1 м2.
Звуковое давление (Р). Распространение звуковой волны сопровождается изменением давления.
Звуковое давление (Р) — это давление, дополнительно возникающее при прохождении звуковой волны в среде; оно является избыточным над средним давлением среды.
Физиологически звуковое давление проявляется как давление на барабанную перепонку. Для человека важны два значения этого параметра:
звуковое давление на пороге слышимости — Pq = 2 • 10-5 Па;
звуковое давление на пороге болевого ощущения — Ртах = = 60 Па.
Между интенсивностью (/) и звуковым давлением (Р) существует связь:
I = P^/lpv, (8.1)
где р — плотность среды, v — скорость звука в среде.
Волновое сопротивление среды (Ра). При падении звуковой волны на границу раздела между двумя средами возникают явления отражения и преломления звука (как плоской волны). Интенсивности отраженной и преломленной волн зависят от волновых сопротивлений сред.
Волновым сопротивлением среды (Ra) называется произведение плотности среды (р) на скорость распространения звука (гф
Ra = pv.(8.2)
В табл. 8.1 приведены скорости и волновые сопротивления некоторых веществ при 20 °C.
Таблица 8.1. Скорость звука и акустическое сопротивление для некоторых веществ и тканей человека при t = 25 °C
Вещество
и^ м/с
Ra. 106 кг/(м2с)
Воздух
331
0,00043
Вода
1497
1,49
Сталь углеродистая
5100
40,0
Гладкие мышцы
1550
1,54
Жировая ткань
1460
1,32
Мозг
1520
1,6
Кости черепа
3660
6,22
Печень
1570
1,7
Хрусталик
1650
1,73
Стекловидное тело
1530
1,54
Интенсивность отраженной волны зависит от коэффициента отражения.
Коэффициент отраэюения (г) — величина, равная отношению интенсивностей отраженной и падающей волн:
= ^отр/^пад-($-3)
При нормальном падении коэффициент г рассчитывается по формуле:
r=V(Ra2-Ra1>)/(.Ra2 + Ra1)f.(8.4)
Интенсивность преломленной волны зависит от коэффициента пропускания.
Коэффициент пропускания (/3)- величина, равная отношению интенсивностей прошедшей (преломленной) и падающей волн:
3 Атрош/Атад*
При нормальном падении коэффициент /3 рассчитывается по формуле
P = 4(RajRa2y(RajRai + lf. (8.5)
Коэффициент /3, выраженный в процентах, на границе воздуха с водой и бетоном равен, соответственно: /ЗВОДа = 0,122%, Дбетон = 0,037%.
Из соотношений (8.4) и (8.5) видно, что чем меньше различаются волновые сопротивления сред, тем меньшая доля энергии отражается на границе раздела. В частности, если сопротивления равны, то при нормальном падении волны отражения вообще не происходит.
Отметим, что сумма коэффициентов отражения и преломления равна единице, а их значения не зависят от того порядка, в котором звук проходит данные среды. Например, для перехода звука из воздуха в воду значения коэффициентов такие же, как для перехода в обратном направлении.
Уровень интенсивности. При сравнении интенсивности звука удобно пользоваться логарифмической шкалой, то есть сравнивать не сами величины, а их логарифмы. Для этого используется специальная величина— уровень интенсивности (L):
L = lg(///0) = 2 lg(P/Po). (8.6)
Единицей измерения уровня интенсивности является — бел, [Б].
Логарифмический характер зависимости уровня интенсивности от самой интенсивности означает, что при увеличении интенсивности в 10 раз уровень интенсивности возрастает на 1 Б.
Интенсивность, Вт/м2
Л)
ю-/о
ю2 • /о
ю3 • /о
Уровень интенсивности, Б
0
1
2
3
Один бел большая величина, поэтому на практике используют более мелкую единицу уровня интенсивности — децибел [дБ]: 1 дБ = 0,1 Б. Уровень интенсивности в децибелах выражается по следующим формулам:
РдБ = 101g(///0); LflB = 2Olg(P/Po).
Если в данную точку приходят звуковые волны от нескольких некогерентных источников, то интенсивность звука равна сумме
интенсивностей всех волн:
/ = /1 + /2 + . . .(8-7)
Для нахождения уровня интенсивности результирующего сигнала используется следующая формула:
L = lg(10L1 +10L2 +(8.8)
Здесь интенсивности должны быть выражены в белах. Формула для перехода имеет вид
Т = 0,1£дБ.(8.9)
Высокий уровень интенсивности звука приводит к необратимым изменениям в слуховом аппарате. Так, шум в 160 дБ может вызвать разрыв барабанной перепонки и смещение слуховых косточек в среднем ухе, что приводит к необратимой глухоте. При 140 дБ человек ощущает сильную боль, а продолжительное действие шума в 90-120 дБ приводит к поражению слухового нерва.
. Характеристики слухового ощущения,звуковые измерения
Звук является объектом слухового ощущения. Он оценивается человеком субъективно. Все субъективные характеристики слухового ощущения связаны с объективными характеристиками звуковой волны.
Высота, тембр, громкость. Воспринимая звуки, человек различает их по высоте, тембру, громкости.
Высота тона обусловлена, прежде всего, частотой основного тона (чем больше частота, тем более высоким воспринимается звук). В меньшей степени высота зависит от интенсивности волны (звук большей интенсивности воспринимается более низким).
Тембр звука определяется его гармоническим спектром. Различные акустические спектры соответствуют разному тембру, даже в том случае, когда основной тон у них одинаков. Тембр — это качественная характеристика звука.
Громкость звука — это субъективная оценка уровня его интенсивности.
Закон Вебера-Фехнера. Использование логарифмической шкалы для оценки уровня интенсивности звука хорошо согласуется с психофизическим законом Вебера-Фехнера:
Если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (то есть в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает в арифметической прогрессии (то есть на одинаковую величину).
Этот закон не может быть назван физическим, так как характеризует свойство субъективных ощущений. Поэтому его называют психофизическим (подобный закон справедлив и при оценке зрительной чувствительности яркости, тактильной чувствительности для кожи и т. д.).
На первый взгляд кажется, что громкость звука следует измерять в белах или децибелах. Действительно, при таком подходе увеличение интенсивности (раздражителя) в 10 раз вызовет увеличение громкости (ощущения звукового раздражения) на 1 Б. Однако субъективное восприятие интенсивности звука связано не только с уровнем интенсивности, но и с частотой звука. Так, например, ухо человека не воспринимает ультразвук даже при большом уровне интенсивности. По этой причине при построении шкалы громкости следует учитывать восприимчивость уха «среднего» человека к различным частотам.
Поступают следующим образом.
Для звука с частотой 1 кГц вводят единицу уровня громкости — фон, которая соответствует уровню интенсивности 1 дБ.
Для других частот уровень громкости также выражают в фонах по следующему правилу:
громкость звука равна уровню интенсивности звука (дБ) на частоте 1 кГц, вызывающего у «среднего», человека такое же ощущение громкости, что и данный звук.
Уровень громкости обозначают буквой Е, например, Е = = 30 фон. Ниже приводится пример зависимости уровня громкости от частоты.
Зависимость громкости от частоты при уровне интенсивности 60 дБ
Частота, Гц
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
Громкость, фон
10
30
47
57
60
64
59
49
Кривые равной громкости. Зависимость громкости от частоты колебаний в системе звуковых измерений определяется на основании экспериментальных данных при помощи графиков, которые называются кривыми равной громкости (рис. 8.1). Эти кривые дают зависимость уровня интенсивности L от частоты и звука при постоянном уровне громкости. Нижняя кривая соответствует порогу слышимости. Она дает зависимость пороговой интенсивности Lq от частоты: Lq = f^Y
Рис. 8.1. Кривые равной громкости
У человека с нормальным слухом колебания с частотой ниже 16 Гц или выше 20000 Гц слухового ощущения не вызывают. При увеличении частоты, начиная с 16 Гц, чувствительность уха растет, и порог слышимости снижается; в области частот 1000-5000 Гц чувствительность наибольшая, то есть порог минимален. При дальнейшем увеличении частоты чувствительность падает до нуля при 20 000 Гц.
Верхняя кривая показывает верхний предел чувствительности уха, когда слуховое ощущение переходит в ощущение боли (Е = 120 фон).
Каждая кривая соответствует одинаковой громкости, но разной интенсивности для разных частот. По отдельной кривой равной громкости можно найти интенсивности, которые при определенных частотах вызывают ощущение этой громкости.
Звуковые измерения. Различные звуки окружают человека. Характеристики часто встречающихся звуков приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2. Характеристики встречающихся звуков
Действующий звук
Интенсивность звука, Вт/м2
Уровень интенсивности, дБ
Звуковое давление, Па
Порог слышимости
Ю-ю
0
0,00002
Тихий шепот
НГ9
30
0,0002
Негромкая музыка
10"8
40
0,002
Разговорная речь на расстоянии 1 м
10"7
50
0,0064
Шумная улица
10"5
70
0,064
Шум мотора грузового автомобиля
10"5
70
0,0645
Крик
10“4
80
0,2
Шум в поезде метро
10"3
90
0,64
Пневматический молот
10"1
ПО
645
Реактивный двигатель, удар грома
10°
120
20
Порог болевого ощущения
ю1
130
64
Для субъективной оценки слуха применяется метод тональной пороговой аудиометрии (воздушное и костное проведение).
Аудиометрия — метод измерения остроты слуха. На специальном приборе (аудиометре) определяется порог слухового ощущения или порог восприятия L^ на разных частотах :
Ln = 101g(/n//min),
где /п — пороговая интенсивность звука, которая приводит к возникновению слухового ощущения у испытуемого.
Получают кривые — аудиограммы, которые отражают зависимость порога восприятия от частоты тона, то есть это спектральная характеристика уха на пороге слышимости. При построении аудиограмм ось 0Ln направлена вниз, рис. 8.2, в этом случае отклонение кривых от нулевого уровня наглядно характеризует снижение слуха у испытуемых.
Сравнивая аудиограмму больного пациента (рис. 8.2в) с нормальной кривой порога слухового ощущения (рис. 8.2а), ставят диагноз. Аудиограмма в зависимости от характера заболевания имеет специфический вид, отличный от аудиограммы здорового уха.
Рис. 8.2. Аудиограммы: а — воздушное проведение, б — костное проведение, в — воздушное проведение при заболевании
Аудиометр оснащен костным вибратором для исследования костного звукопроведения, (рис. 8.25). Отклонение тональных порогов в среднем на ±10 дБ на каждой частоте считается нормальным, если воздушная и костная проводимость совпадают.
Нарушение функции звуковоспринимающего аппарата может привести к тугоухости — стойкому снижению чувствительности к различным тонам и шепотной речи.
Международная классификация степеней тугоухости, основанная на усредненных значениях порогов восприятия на речевых частотах, приведена в табл. 8.3.
Таблица 8.3. Международная классификация тугоухости
Степень тугоухости
Среднее значение порогов слышимости, дБ
I
26-40
II
41-55
III
56-70
IV
71-90
Глухота
> 91
Шумомеры — приборы для измерения уровня громкости. Шумомер снабжен микрофоном, который превращает акустический сигнал в электрический. Уровень громкости (дБ) регистрируется стрелочным измерительным прибором.
. Звуковые методы исследования
Звук может быть источником информации о состоянии органов человека.
Аускуяътауия — непосредственное выслушивание звуков, возникающих внутри организма. По характеру таких звуков можно определить, какие именно процессы протекают в данной области тела и в некоторых случая установить диагноз. Приборы, применяемые для выслушивания: стетоскоп, фонендоскоп.
Фонендоскоп состоит из полой капсулы с передающей мембраной, которая прикладывается к телу, от нее идут резиновые трубки к уху врача. В полой капсуле возникает резонанс столба воздуха, вызывающий усиление звучания и, следовательно, улучшение выслушивания. Выслушиваются дыхательные шумы, хрипы, тоны сердца, шумы в сердце.
В клинике используются установки, в которых выслушивание осуществляется при помощи микрофона и динамика. Широко применяется запись звуков с помощью магнитофона на магнитную ленту, что дает возможность их воспроизведения.
Фонокардиография — графическая регистрация тонов и шумов сердца и их диагностическая интерпретация. Запись осуществляется с помощью фонокардиографа, который состоит из микрофона, усилителя, частотных фильтров, регистрирующего устройства.
Перкуссия — исследование внутренних органов посредством постукивания по поверхности тела и анализа возникающих при этом звуков. Постукивание осуществляется либо с помощью специальных молоточков, либо при помощи пальцев.
Если в замкнутой полости вызвать звуковые колебания, то при определенной частоте звука воздух в полости начнет резонировать, усиливая тот тон, который соответствует размеру полости и ее положению. Схематично тело человека можно представить суммой разных объемов: газонаполненных (легкие), жидких (внутренние органы), твердых (кости). При ударе по поверхности тела возникают колебания с разными частотами.
Часть из них погаснет. Другие совпадут с собственными частотами пустот, следовательно, усилятся и из-за резонанса будут слышны. По тону перкуторных звуков определяют состояние и топографию органа.
. Элементы реаби лито л огни
Факторы, определяющие реабилитационную профилактику шума. Для реабилитационной профилактики шума необходимо знать основные факторы, определяющие его воздействие на организм человека: близость источника шума, интенсивность шума, длительность воздействия, ограниченность пространства, в котором действует шум.
Длительное воздействие шума вызывает сложный симптоматический комплекс функциональных и органических изменений в организме (и не только органа слуха).
Воздействие длительного шума на ЦНС проявляется в замедлении всех нервных реакций, сокращении времени активного внимания, снижении работоспособности.
После длительного действия шума изменяется ритм дыхания, ритм сердечных сокращений, возникает усиление тонуса сосудистой системы, что приводит к повышению систолического и диастолического уровня кровяного давления. Изменяется двигательная и секреторная деятельность желудочно-кишечного тракта, гиперсекреция отдельных желез внутренней секреции. Имеет место повышение потливости. Отмечается подавление психических функций, особенно памяти.
Специфическое действие оказывает шум на функции органа слуха. Ухо, как и все органы чувств, способно адаптироваться к шуму. При этом под действием шума порог слышимости повышается на 10-15 дБ. После прекращения шумового воздействия нормальное значение порога слышимости восстанавливается только через 3-5 минут. При высоком уровне интенсивности шума (80-90 дБ) его утомляющее действие резко возрастает. Одной из форм расстройства функции органа слуха, связанной с длительным воздействием шума, является тугоухость.
Сильное воздействие как на физическое, так и на психологическое состояние человека оказывает рок-музыка. Современная рок-музыка создает шум в диапазонах от 10 Гц до 80 кГц.
Экспериментально установлено, что если основной ритм, задаваемый ударными инструментами, имеет частоту 1,5 Гц и имеет мощное музыкальное сопровождением на частотах 15-30 Гц, то у человека наступает сильное возбуждение. При ритме 2 Гц при таком же сопровождении человек впадает в состояние, близкое наркотическому. На рок-концертах интенсивность звука может превышать 120 дБ, хотя человеческое ухо настроено наиболее благоприятно на среднюю интенсивность 55 дБ. При этом могут возникать контузии звуком, звуковые «ожоги», потеря слуха и памяти.
Шум оказывает вредное воздействие и на орган зрения. Так, длительное воздействие производственного шума на человека, находящегося в затемненном помещении, приводит к заметному снижению активности сетчатки глаза, от которой зависит работа глазного нерва, а, следовательно, и острота зрения.
Защита от шума достаточно сложна. Это связано с тем, что вследствие сравнительно большой длины волны звук огибает препятствия (дифракция) и звуковая тень не образуется, рис. 8.3.
Рис. 8.3. Дифракция звуковых волн
Кроме того, многие материалы, применяемые в строительстве и технике, имеют не достаточно высокий коэффициент поглощения звука.
Эти особенности требуют специальных средств борьбы с шумами: подавление шумов, возникающих в самом источнике, использование глушителей, применение упругих подвесов, применение звукоизолирующих материалов, устранение щелей и т. п.
Для борьбы с шумами, проникающими в жилые помещения, большое значение имеют правильное планирование расположения зданий, учет розы ветров, создание защитных зон, в том
числе и растительных. Растения — хороший гаситель шума. Деревья и кустарники могут снижать уровень интенсивности на 5-20 дБ. Эффективны зеленые полосы между тротуаром и мостовой. Лучше всего шум гасят липы и ели. Дома, находящиеся позади высокого хвойного заслона, могут быть избавлены от шумов улицы почти полностью.
Борьба с шумом не предполагает создание абсолютной тишины, так как при длительном отсутствии слуховых ощущений у человека могут возникнуть расстройства психики. Абсолютная тишина и длительный повышенный шум одинаково противоестественны для человека.
Лекция 9
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СЛУХА
Звукопроводящая и звуковоспринимающая части слухового аппарата.
Роль наружного уха.
Роль среднего уха.
Роль внутреннего уха.
Определение локализации источника звука в горизонтальной плоскости — бинауральный эффект.
Определение локализации источника звука в вертикальной плоскости.
Элементы реаби литологии. Слуховые аппараты и протезы. Тимпанометрия.
Слух — восприятие звуковых колебаний, которое осуществляется органами слуха.
. Звукопроводящая и звуковоспринимающаячасти слухового аппарата
Орган слуха человека представляет собой сложную систему, элементы которой представлены на рис. 9.1.
Среднее ухо
Наружное Барабанная Евстахиева^хо перепонка труба
Рис. 9.1. Строение слухового аппарата (а) и элементы органа слуха (5): 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой проход, 3 — барабанная перепонка, 4 — молоточек, 5 — наковальня, 6 — стремечко, 7 — овальное окно, 8 — вестибулярная лестница, 9 — круглое окно, 10 — барабанная лестница, 11 — улитковый канал, 12 — основная
(базилярная) мембрана
По выполняемым функциям в слуховом аппарате человека можно выделить звукопроводящую и звуковоспринимающую части, основные элементы которых представлены на рис. 9.2.
Наружное ухоНаружное ухоСреднее ухоСреднее ухоВнутреннее ухоВнутреннее ухоЗвукопроводящая часть Звуковоспринимающая частьЗвукопроводящая часть Звуковоспринимающая часть
Наружное ухо
Наружное ухо
Среднее ухо
Среднее ухо
Внутреннее ухо
Внутреннее ухо
Звукопроводящая часть Звуковоспринимающая часть
Звукопроводящая часть Звуковоспринимающая часть
РаспространениебиопотенциалаРаспространениебиопотенциалаРаспространение механическихколебаний
Распространениебиопотенциала
Распространениебиопотенциала
Рис. 9.2. Схематическое представление основных элементов слухового аппарата человека: 1 — ушная раковина, 2 — наружный слуховой проход, 3 — барабанная перепонка, 5 — улитка, 4 — система косточек, 6 — основная мембрана, 7 — рецепторы, 8 — разветвление слухового нерва
Слуховая система связывает приемник звука с мозгом.
. Роль наружного уха
Функционирование наружного уха. Наружное ухо состоит из ушной раковины, слухового прохода (в виде узкой трубки), барабанной перепонки. Ушная раковина играет роль звукоулавливателя, концентрирующего звуковые волны на слуховом проходе, в результате чего звуковое давление на барабанную перепонку увеличивается по сравнению со звуковым давлением в падающей волне примерно в 3 раза. Наружный слуховой проход вместе с ушной раковиной можно сравнить с резонатором типа трубы. Барабанная перепонка отделяет наружное ухо от среднего уха и представляет собой пластинку, состоящую из двух слоев коллагеновых волокон, ориентированных по-разному. Толщина перепонки около 0,1 мм.
Причина наибольшей чувствительности уха в области
кГц. Звук поступает в систему через наружный слуховой канал,
который является закрытой с одной стороны акустической трубой длиной L = 2,5 см. Звуковая волна проходит через слуховой проход и частично отражается от барабанной перепонки. В результате интерференции падающей и отраженной волны образуется стоячая волна. Возникает акустический резонанс. Условия его появления: длина волны в 4 раза больше длины воздушного столба в слуховом проходе. При этом столб воздуха внутри канала будет резонировать на звук с длиной волны, равной четырем его длинам: А = 4L = 4 • 0,025 = 0,1 м. Частота, на которой возникает акустический резонанс, определяется так: v = V/X = = 300/(4 • 0,025) = 3 кГц. Этот резонансный эффект объясняет тот факт, что человеческое ухо наиболее чувствительно в диапазоне приблизительно 3 кГц (см. кривые равной громкости в лекции 8).
. Роль среднего уха
Строение среднего уха. Среднее ухо является устройством, предназначенным для передачи звуковых колебаний из воздушной среды наружного уха в жидкою среду внутреннего уха. Среднее ухо (см. рис. 9.2) содержит барабанную перепонку, овальное и круглое окна, а также слуховые косточки (молоточек, наковальня, стремечко). Оно представляет собой своеобразный барабан (объемом 0,8 см3), который отделяется от наружного уха барабанной перепонкой, а от внутреннего уха овальным и круглым окнами. Среднее ухо заполнено воздухом. Любая разность давлений между наружным и средним ухом приводит к деформации барабанной перепонки. Барабанная перепонка — это воронкообразная мембрана, вдавленная внутрь среднего уха. От нее звуковая информация передается косточкам среднего уха (форма барабанной перепонки обеспечивает отсутствие собственных колебаний, что весьма существенно, так как собственные колебания перепонки создавали бы шумовой фон).
Проникновение звуковой волны через границу «воздух-жидкость». Для того, чтобы понять назначение среднего уха, рассмотрим непосредственный переход звука из воздушной среды в жидкую. На границе раздела двух сред одна часть падающей волны отражается, а другая часть проходит во вторую среду (см. лекцию 8). Доля энергии, проходящей из одной среды
в другую, зависит от коэффициента пропускания /3:
(9.1)(9.1)/5 — ^прошУ/пад
(9.1)
(9.1)
При нормальном падении волны коэффициент /3 зависит от соотношения между волновыми сопротивлениями Ra обеих сред (напомним, что волновое сопротивление среды равно произведению скорости звука на плотность среды, Ra = up):
p = 4^RaJRa2y^Rai/Ra2 + lf. (9.2)
Оценим коэффициент пропускания на границе воздух-вода. Волновое сопротивление воздуха (/?а1) составляет 440 кг/(м2с). Волновое сопротивление среды внутреннего уха (Яа2) близко к сопротивлению воды — 1440 000 (кг/м2с). Подставив эти значения в (9.2), получим для перехода из воздуха в воду /3 = 0,00122. Это означает, что /прОш ~ 0,001 /паД5 т.е только тысячная доля интенсивности попадает в воду. В логарифмическом масштабе потери интенсивности составляют:
£дБ = Ю 1ё(7пад/7прош) = 10 lg(l/0,00122) = 29 дБ.
То есть при переходе из воздуха в воду уровень интенсивности звука уменьшается на 29 дБ. С энергетической точки зрения такой переход абсолютно не эффективен. По этой причине эволюция и создала специальный передаточный механизм — систему слуховых косточек, которые выполняют функцию согласования волновых сопротивлений воздушной и жидкой среды для уменьшения энергетических потерь.
Физические основы функционирования системы слуховых косточек. Система косточек представляет собой последовательное звено, начало которого (молоточек) связано с барабанной перепонкой внешнего уха, а конец (стремечко) — с овальным окном внутреннего уха (рис. 9.3).
Площадь барабанной перепонки равна 5бп — 64 мм2, а площадь овального окна 8ОО = 3 мм2. Схематически их взаимное расположение представлено на рис. 9.4.
Рис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 — круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница преддверияРис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 — круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница преддверия
Рис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 — круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница преддверия
Рис. 9.3. Схема распространения звуковой волны от наружного уха через среднее ухо во внутреннее ухо: 1 — барабанная перепонка, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремечко, 5 — овальное окно, 6 — круглое окно, 7 — барабанная лестница, 8 — улитка, 9 — лестница преддверия
Рис. 9.4. Схематическое представление расположения барабанной перепонки и овального окна: 5бп — площадь барабанной перепонки;
Soo — площадь овального окна
На барабанную перепонку действует звуковое давление Pi, следовательно сила равна
(9.3)(9.3)Г1 = PxS6n.
(9.3)
(9.3)
Система косточек работает как рычаг с соотношением плеч L1/L2 — 1,3, который дает выигрыш в силе со стороны внутреннего уха в 1,3 раза (рис. 9.5).
FjF^LjF^
Рис. 9.5. Схематическое представление работы системы косточек какрычага
Поэтому на овальное окно действует сила F^ = l,3Fi, создающая в жидкой среде внутреннего уха звуковое давление Ps, которое равно
Р2 = F2/Soo = 1,3F1/SOO = 1,3P1 . (S6n/Soo). (9.4)
Из соотношений (9.3) и (9.4) следует, что
Р2/Р1 = 1,3.(5бп/5ОО).(9.5)
Отношение S^J Soo « 20. Таким образом, различие площадей барабанной перепонки и овального окна совместно с системой косточек обеспечивают усиление звукового давления в 26 раз.
В логарифмических единицах этот выигрыш составляет
£дБ = 20 lg(P2/Fi) = 28 дБ.(9.6)
Выполненные расчеты показывают, что при прохождении звука через среднее ухо происходит увеличение уровня его интенсивности на 28 дБ. Потери уровня интенсивности звука при переходи из воздушной среды в жидкую составляют 29 дБ. Общая потеря интенсивности составляет лишь 1 дБ вместо 29 дБ, которая имела бы место при отсутствии среднего уха.
Еще одна функция среднего уха — ослабление передачи колебаний в случае звука большой интенсивности. С помощью мышц рефлекторно может быть ослаблена связь между косточками при слишком больших интенсивностях звука.
Сильное изменение давления в окружающей среде (например, связанное с изменением высоты) может вызвать растяжение
барабанной перепонки, сопровождающееся болевыми ощущениями, или даже ее разрыв. Для избавления от таких перепадов давления служит небольшая евстахиева труба, которая соединяет полость среднего уха с верхней частью глотки (с атмосферой).
. Роль внутреннего уха
Звуковоспринимающей системой слухового аппарата являются внутреннее ухо и входящая в него улитка.
Внутреннее ухо представляет собой замкнутую полость. Эта полость, называемая лабиринтом, имеет сложную форму и заполнена жидкостью — перилимфой. Лабиринт состоит из двух основных частей: улитки, преобразующей механические колебания в электрический сигнал, и полукружия вестибулярного аппарата, обеспечивающего равновесие тела в поле силы тяжести.
Строение улитки. Улитка является полым костным образованием длиной 35 мм и имеет форму конусообразной спирали, содержащей 2,5 завитка. Улитку схематично можно представить в вытянутом виде. Вдоль улитки проходят три канала, их можно представить и в сечении улитки (рис. 9.6).
Рис. 9.6. Схематическое строение улитки, содержащей каналы: 1 — вестибулярный, 2 — барабанный, 3 — улитковый; 4 — основная (базилярная) мембрана, 5 — слуховой нерв
Вестибулярный и барабанный каналы соединены между собой, это единая система, наполненная перилимфой. Колебания стремечка передаются мембране овального окна, от нее перилимфе и выпячивают мембрану круглого окна, а затем рассеиваются через носоглотку. Пространство между вестибулярным и барабанным каналами (улитковый канал) заполнен эндолимфой. Между улитковым и барабанным каналом вдоль улитки проходит основная (базилярная) мембрана. На основной мембране находится кортиев орган, содержащий рецепторные (волосковые) клетки (около 24 000), в которых возникают электри-
ческие потенциалы, передаваемые по слуховому нерву в мозг. Кортнев орган является преобразователем механических колебаний в электрический сигнал.
Длина основной мембраны приблизительна равна 32 мм. Она очень неоднородна по своей форме: расширяется и утончается в направлении от овального окна к верхушке улитки. Вследствие этого модуль упругости основной мембраны вблизи стремечка примерно в 100 раз большее, чем у вершины.
Частотно-избирательные свойства основной мембраны улитки. Основная мембрана является неоднородной линией передачи механического возбуждения. При действии акустического раздражителя по основной мембране распространяется волна, степень затухания которой зависит от частоты: чем меньше частота раздражения, тем дальше от овального окна распространится волна по основной мембране. Так, например, волна с частотой 300 Гц до затухания распространится приблизительно на 25 мм от овального окна, а волна с частотой 100 Гц распространяется приблизительно на 30 мм.
В настоящее время считается, что восприятие высоты тона определяется положением максимума колебаний основной мембраны.
Колебания основной мембраны стимулируют рецепторные клетки, расположенные в кортиевом органе, в результате чего возникают потенциалы действия, передаваемые слуховым нервом в кору головного мозга.
. Определение локализации источника звукав горизонтальной плоскости — бинауральныйэффект
Бинаурад-ьный эффект — способность устанавливать направление на источник звука в горизонтальной плоскости. Суть эффекта поясняется на рис. 9.7.
Пусть источник звука поочередно располагают в точках А, В и С. Из точки А, находящейся прямо перед лицом, звуковая волна попадает одинаково в оба уха, при этом путь звуковой волны до ушных раковин один и тот же, то есть для обоих ушей разность хода б и разность фаз Д^ звуковых волн равны нулю:
= 0, Ду> = 0. Поэтому приходящие волны имеют одинаковую фазу и интенсивность.
Из точки В звуковая волна приходит в левую и правую ушные раковины в разных фазах и с отличающимися интенсивностями, так как проходят до ушей разное расстояние.
Рис. 9.7. Различная локализация источника звука (А, В, С) в горизонтальной плоскости, L — расстояние между ушными раковинами
Если источник расположен в точке С против одной из ушных раковин, то в этом случае разность хода б можно принять равной расстоянию между ушными раковинами 5 ~ Л ~ 17 см = = 0,17 м. При этом разность фаз Д^ = (2тг/А)5. Для частоты v = 1000 Гц и v ~ 340 м/с длина волны А = р(v = 0,34 м. Отсюда получим: Ду? = (2тг/А)5 = (2тг/0,340)0,17 = тг. В данном примере волны приходят в противофазе.
Всем реальным направлениям на источник звука в горизонтальной плоскости будут соответствовать разности фаз от 0 до тг (от 0° до 180°).
Таким образом, разность фаз и неодинаковость интенсивностей звуковых волн, попадающих в разные уши, обеспечивают бинауральный эффект. Человек с нормальным слухом может фиксировать направление на источник звука при разности фаз 6°, что соответствует фиксированию направления на источник звука с точностью до 3°.
. Определение локализации источника звукав вертикальной плоскости
Рассмотрим теперь случай, когда источник звука расположен в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно прямой, соединяющей оба уха. В этом случае он одинаково удален от обоих ушей и разности фаз не возникает. Не отличаются при этом и интенсивности звука, попадающего в правое и левое ухо. На рис. 9.8 показаны два таких источника (А и С). Различит ли слуховой аппарат эти источники? Да. В данном случае это произойдет благодаря особой форме ушной раковины, которая (форма) способствует определению локализации источника звука.
А •
Рис. 9.8. Различная локализация источника звука в вертикальнойплоскости
Звук, исходящий от этих источников, падает на ушные раковины под различными углами. Это приводит к тому, что дифракция звуковых волн на ушных раковинах происходит по-разному. В результате на спектр звукового сигнала, попадающего в наружный слуховой проход, накладываются дифракционные максимумы и минимумы, зависящие от положения источника звука. Эти различия и позволяют определять положение источника звука в вертикальной плоскости. По всей видимости, в результате огромного опыта слушания люди научились ассоциировать различные спектральные характеристики с соответствующими направлениями. Это подтверждается опытными данными. В частности, установлено, что специальным подбором спектрального состава звука ухо можно «обмануть». Так, человек воспринимает звуковые волны, содержащие основную часть энергии в области 1 кГц, локализованными «сзади» независимо от действительного направления. Звуковая волна с частотами ниже 500 Гц и в области 3 кГц воспринимается локализованной «спереди». Звуковые
источники, содержащие большую часть энергии в области 8 кГц, распознаются локализованными «сверху».
. Элементы реабилитологии
Слуховые аппараты и протезы. Потеря слуха в результате нарушения проведения звука или частичного поражения звуковосприятия может быть компенсирована с помощью слуховых аппаратов-усилителей. В последние годы в этой области наблюдается большой прогресс, связанный с развитием аудиологии и быстрым внедрением достижений электроакустической аппаратуры на основе микроэлектроники. Созданы миниатюрные слуховые аппараты, работающие в широком частотном диапазоне.
Однако при некоторых тяжелых формах тугоухости и глухоты слуховые аппараты не помогают больным. Это имеет место, например, когда глухота связана с поражением рецепторного аппарата улитки. В этом случае улитка не генерирует электрические сигналы при воздействии механических колебаний. Такие поражения могут быть вызванные неправильной дозировкой лекарственных препаратов, применяемых для лечения заболеваний, совсем не связанных с лор-болезнями. В настоящее время возможна частичная реабилитация слуха и у таких больных. Для этого необходимо имплантировать электроды в улитку и подавать на них электрические сигналы, соответствующие тем, которые возникают при воздействии механического стимула. Такое протезирование основной функции улитки осуществляется с помощью кохлеарных протезов.
Тимпанометрия. Тимпанометрия — метод измерения податливости звукопроводящего аппарата слуховой системы под влиянием аппаратного изменения воздушного давления в слуховом проходе.
Данный метод позволяет оценить функциональное состояние барабанной перепонки, подвижность цепи слуховых косточек, давление в среднем ухе и функцию слуховой трубы.
Исследование начинается с установки зонда с надетым на него ушным вкладышем в начале наружного слухового прохода, который герметично перекрывает слуховой проход. Через зонд
в слуховом проходе создается избыточное (+) или недостаточное ( —) давление, а затем подается звуковая волна определенной интенсивности. Дойдя до барабанной перепонки, волна частично отражается и возвращается к зонду, рис. 9.9.
Подаваемые звуковые волны
_ _ _ _ Звуковые волны, отражающиеся от барабанной перепонки и возвращающиеся к зонду
ЦЦЩ Жидкость
Рис. 9.9. Определение податливости звукопроводящего аппарата методом тимпанометрии
Примечание. Здесь и далее значение давления со знаком «+» показывает, насколько давление выше атмосферного, а со знаком « —» — насколько давление ниже атмосферного.
Измерение интенсивности отраженной волны позволяет судить о звукопроводящих возможностях среднего уха. Чем больше интенсивность отраженной звуковой волны, тем меньше подвижность звукопроводящей системы. Мерой механической податливости среднего уха является параметр подвижности^ измеряемый в условных единицах.
В процессе исследования давление в среднем ухе изменяют от +200 до —200 дПа. При каждом значении давления определяется параметр подвижности. Результатом исследования является тимпанограмма, отражающая зависимость параметра подвижности от величины избыточного давления в слуховом проходе. При отсутствии патологии среднего уха максимум подвижности наблюдается при отсутствии избыточного давления (Р = 0), рис. 9.10.
Давление, при котором наблюдается пиковая подвижность
Рис. 9.10. Тимпанограммы при различной степени подвижностисистемы
Повышенная подвижность свидетельствует о недостаточной упругости барабанной перепонки или о вывихе слуховых косточек. Пониженная подвижность указывает на избыточную жесткость среднего уха, связанную, например, с наличием жидкости.
При патологии среднего уха вид тимпанограммы изменяется, рис. 9.11.
ааДавлениеДавлениеДавлениеДавлениеДавлениеДавлениеДавлениеДавление0 Давление0 ДавлениеРис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха: а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточекРис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха: а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточек
а
а
Давление
Давление
Давление
Давление
Давление
Давление
Давление
Давление
0 Давление
0 Давление
Рис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха: а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточек
Рис. 9.11. Основные типы тимпанограмм при патологиях среднего уха: а — отсутствие патологии; б — экссудативный средний отит; в — нарушение проходимости слуховой трубы; г — атрофические изменения барабанной перепонки; д — разрыв слуховых косточек
Лекция 10
УЛЬТРАЗВУК И ИНФРАЗВУК
Излучатели и приемники ультразвука.
Особенности распространения УЗ волны.
Взаимодействие ультразвука с веществом.
Биофизическое действие УЗ.
Использование УЗ в медицине: терапии, хирургии, диагностике.
Инфразвук и его воздействие на человека.
Элементы реабилитологии.
Ультразвук — это упругие механические колебания и волны, частоты которых лежат в интервале 2 • 1О4-1О10-12 Гц. Верхняя граница частот обусловлена физической природой упругих волн, которые могут распространяться в среде при условии, что длина волны не меньше расстояния между элементами среды, передающими взаимодействие друг другу.
Излучатели и приемники ультразвука
Так как ультразвуковые исследования широко применяются в медицине, рассмотрим физические принципы, используемые для излучения и приема ультразвуковых волн.
Электромеханические УЗ излучатели используют явление обратного пьезоэлектрического эффекта, сущность которого заключается в механической деформации тел под действием электрического поля. Хорошо выраженными пьезоэлектрическими свойствами обладают кристаллические диэлектрики такие, как кварц, сегнетова соль и др.
УЗ излучатель состоит из следующих элементов (рис. 10.1):
пластина из вещества с пьезоэлектрическими свойствами;
электроды, нанесенные на нее в виде проводящих слоев;
генератор, от которого к электродам приложено переменное электрическое напряжение.
При подаче на электроды (2) переменного напряжения от генератора (3) пластина (1) начинает деформироваться. Величина
деформации пропорциональна напряжению. Поэтому возникают вынужденные колебания пластины (сжатия и растяжения), частота которых зависит от частоты изменения напряжения. Пластина начнет вибрировать, излучая механическую волну с соответствующей частотой.
Рис. 10.1. Ультразвуковой излучатель
УЗ приемник (рис. 10.2) действует на основе прямого пьезоэффекта. В этом случае под действием механической УЗ волны возникает деформация кристаллической пластины (1), которая приводит к генерации переменного электрического поля и появлению переменного напряжения на электродах (2). Это электрическое напряжение может быть измерено регистрирующей системой (3).
УЗ волна
Рис. 10.2. Ультразвуковой приемник
В медицинских приборах генератор ультразвуковых волн одновременно используется и как их приемник. Используются генераторы УЗ колебаний, работающие как в непрерывном, так и в импульсном режимах (например, при эхокардиографии).
При непрерывном излучении информацию об исследуемом объекте несет стоячая волна, возникающая при интерференции падающей волны и волны, отраженной от поверхности объекта.
При импульсном режиме работы УЗ излучается короткими импульсами. Интервал между ними используется для приема отраженного импульса и определения времени распространения УЗ до исследуемого объекта и обратно. Зная скорость распространения ультразвука V, можно определить глубину Н залегания исследуемого объекта, так как путь S, проходимый волной, равен S = Vt. При определении глубины залегания отражающей поверхности путь, проходимый УЗ, делят пополам: Н = (Vf)/2.
Особенности распространения УЗ волны
По физической сущности УЗ не отличается от звука и представляет собой механическую волну. При ее распространении образуются чередующиеся участки сгущения и разряжения частиц среды. Скорость распространения УЗ и звука в средах одинаковы: в воздухе — 330 м/с, в жидкости — 1500 м/с. Однако существуют особенности.
Малая длина волны. Направленность. Длина волны УЗ существенно меньше длины звуковой волны. Учитывая, что длина волны А = v/и. найдем: для звука с частотой 1 кГц длина волны Азв = 1500/1000 = 1,5 м; для ультразвука с частотой 1 МГц длина волны Ауз = 1500/1000 000 = 1,5 • 10-3 м = 1,5 мм.
Благодаря малой длине волны отражение и дифракция УЗ происходит на объектах меньших размеров, чем для слышимого звука. Например, тело размером 10 см не будет препятствием для звуковой волны с А = 1,5 м, но станет преградой для УЗ волны с А = 1,5 мм. При этом возникает УЗ тень, поэтому в некоторых случаях распространение УЗ волн можно изображать с помощью лучей и применять к ним законы отражения и преломления. То есть при определенных условиях УЗ волна распространяется направленным потоком, к которому применимы законы геометрической оптики.
Поглощение^ глубина полупоглощения. При прохождении УЗ через вещество происходит его ослабление вследствие поглощения:
I = /02-л/я, (10.1)
где /о, I — интенсивности УЗ волны у поверхности вещества и на глубине h^ соответственно; Н — глубина полупоглощения, зависящая от частоты УЗ волны, а также от вязкости и плотности среды. Поглощение УЗ в веществе весьма значительно, что обусловлено его малой длиной волны.
Глубина полупоглощения — это глубина, на которой интенсивность УЗ волны уменьшается вдвое.
Глубина полупоглощения для разных тканей имеет различное значение. Поэтому в медицинских целях используют УЗ волны различных интенсивностей: малая — 1,5 Вт/м2, средняя — (1,5-3) Вт/м2 и большая — (3-10) Вт/м2.
Значения глубины полупоглощения для некоторых тканей (на частоте 1 МГц) даны в таблице.
Ткань
Глубина полупоглощения, см
Мышечная
2,10
Жировая
3,30
Костная
0,23
Кровь
35,00
Видно, что поглощение в жидкой среде значительно меньше, чем в мягких тканях и тем более в костной ткани.
Преломление и отражение. Как и всем видам волн, ультразвуку присущи явления отражения и преломления. Законы, которым подчиняются эти явления полностью аналогичны законам преломления и отражения света. Поэтому во многих случаях распространение УЗ волн изображают с помощью лучей.
При прохождении УЗ через границу раздела сред с различными волновыми сопротивлениями происходит его преломление и отражение. Преломление состоит в изменении направления ультразвукового луча. На рис. 10.3 показано преломление, когда скорость волны в среде 2 меньше, чем в среде 1.
sin(aj/sin(a2)=r/y2
Рис. 10.3. Преломление волн на границе раздела двух сред
Энергия падающей УЗ волны распределяется между преломленной и отраженной волнами. Энергии отраженной (ГИОтр) и преломленной (ГИпрел) волн рассчитываются через безразмерный коэффициент отражения г (0 ^ г ^ 1):
WOTp = rW* Wnpejl = (l-r)W,
где W — энергия падающей волны.
Коэффициент отражения зависит от угла падения и волновых сопротивлений (V р) обеих сред. Обозначим через х отношение меньшего значения волнового сопротивления к большему:
жж(К р) меньшее(К р) меньшее(^Р) большее(^Р) большее0 < х <0 < х <1.1.(Ю.2)(Ю.2)
ж
ж
(К р) меньшее
(К р) меньшее
(^Р) большее
(^Р) большее
0 < х <
0 < х <
1.
1.
(Ю.2)
(Ю.2)
Тогда при нормальном падении УЗ волны на границу раздела между средами коэффициент отражения рассчитывается по следующей формуле:
(10.3)
Видно, что чем сильнее различаются волновые сопротивления сред (малые значения ж), тем больше доля отраженной энергии и меньше доля энергии, переходящей через границу раздела.
Волновое сопротивление биологических сред примерно в 3000 раз больше волнового сопротивления воздуха (ж = = 1/3000), поэтому отражение на границе воздух-кожа составляет 99,99 %. Если УЗ излучатель приложить непосредственно к коже человека, то УЗ не проникнет внутрь, а будет отражаться от тонкого слоя воздуха между излучателем и кожей. Чтобы исключить воздушный слой, поверхность кожи покрывают слоем соответствующей смазки (водным желе), которая играет роль переходной среды, уменьшающей отражение.
Смазка должна удовлетворять соответствующим требованиям: иметь акустическое сопротивление, близкое к акустическому сопротивлению кожи, обладать малым коэффициентом поглощения УЗ, иметь значительную вязкость, хорошо смачивать кожу, быть нетоксичной (вазелиновое масло, глицерин и др.)
Кроме эффектов отражения и преломления, имеет место поглощение ультразвука средой, в которой он распространяется. Поглощение УЗ волны приводит к тому, что эхосигнал, отраженный от структуры, расположенной в глубине, значительно слабее того, который образовался при отражении от подобной структуры, расположенной недалеко от поверхности.
Взаимодействие ультразвука с веществом
Интенсивность УЗ волны, определяемая по аналогии со звуком по формуле / = риДиА2/2, пропорциональна квадрату круговой частоты. При этом ускорение частиц, колеблющихся в УЗ волне, может быть большим. Так, например, в воде для УЗ волны с частотой 1 МГц при интенсивности / = 105 Вт/м2 амплитуда смещения частиц воды мала и составляет А = 0,4 мкм. Амплитудное значение ускорения велико — ам = 4-106 м/с2. При этом амплитудное значение избыточного акустического давления также высоко — 5,5 • 105 Па (5,5 атм).
Приведенные параметры свидетельствуют о наличии существенных сил, действующих на частицы воды (а, следовательно, и биологических тканей) при облучении УЗ.
Деформация, кавитация. При распространении УЗ волны в веществе развиваются деформации, связанные с поочередным сгущением и разряжением его частиц (так как УЗ волна является продольной). В зависимости от интенсивности УЗ волны эти деформации могут вызывать либо незначительные изменения структуры, либо ее разрушение. Это используется при измельчении или диспергировании сред.
При распространении УЗ в жидкости в областях разряжения возникают растягивающие силы, которые могут привести к разрыву в сплошной жидкости в данном месте и образованию пузырьков, заполненных парами этой жидкости. Это явление называется кавитацией (кавитация — пустота, лат).
Кавитационные пузырьки образуются, когда растягивающее напряжение в жидкости становится больше некоторого критического значения, называемого порогом кавитации Рк. Для чистой воды Рк = 1,5 • 108 Па. Кавитация существует недолго. Пузырьки быстро захлопываются, что сопровождается сильным разогревом их содержимого. При этом также выделяются газы, содержащие атомарные и ионизированные компоненты. В результате вещество в кавитационной области подвергается интенсивным воздействиям: в небольших объемах выделяется значительная энергия, происходит разогрев вещества, а также ионизация и диссоциация молекул. При интенсивностях меньших, чем 0,8 • 104 Вт/м2, кавитация не возникает.
5 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
УЗ вызывает и другие эффекты: возникают акустические потоки (звуковой ветер), скорость которых достигает 10 м/с. Эти потоки перемешивают облучаемые жидкости, изменяя их физические свойства.
Выделение тепла. Поглощение ультразвука веществом сопровождается переходом механической энергии во внутреннюю энергию вещества, что ведет к его нагреванию. Наиболее интенсивное нагревание происходит в областях, примыкающих к границам раздела сред с различными волновыми сопротивлениями. Это связано с тем, что при отражении интенсивность волны вблизи границы увеличивается, и соответственно возрастает количество поглощенной энергии. В этом можно убедиться экспериментально. Надо приложить к влажной руке излучатель УЗ. Вскоре на противоположной стороне ладони возникает ощущение, (похожее на боль от ожога) вызванное УЗ, отраженным на границе «кожа-воздух».
Химические реакции. Под воздействием УЗ в веществе могут происходить изменения в окислительно-восстановительных реакциях. При этом могут протекать даже такие реакции, которые в обычных условиях неосуществимы.
Биофизическое действие УЗ
Комплексное действие УЗ на биологические объекты основано на механических, тепловых, химических факторах. Эффективность этих факторов зависит от частоты и интенсивности УЗ.
Механическое действие на клетки. Ультразвуковые механические колебания частиц вещества в тканях могут вызывать благоприятные структурные перестройки вследствие микровибрации на клеточном и субклеточном уровне, микромассажа тканевых структур.
Действие на мембраны. УЗ оказывает воздействие на клеточные мембраны. Акустические течения приводят к переносу вещества и перемешиванию жидкости. Внутри клетки микропотоки могут менять взаимное расположение клеточных органелл, перемешивать цитоплазму и изменять ее вязкость. Они могут отрывать от клеточных мембран биологические макромолекулы (ферменты, гормоны, антигены), изменять поверхност-
ный заряд мембран и их проницаемость, оказывая этим влияние на жизнедеятельность клетки.
При достаточно большой интенсивности УЗ происходит разрушение мембран. Однако разные клетки обладают различной резистентностью: одни клетки разрушаются при интенсивности 0,1 • 104 Вт/м2, другие — при 25 • 104 Вт/м2.
Изменение проницаемости клеточных мембран является универсальной реакцией на УЗ воздействие, независимо от того, какой из факторов УЗ, действующих на клетку, превалирует в том или ином случае.
Разрушение микроорганизмов. Облучение ультразвуком с интенсивностью, превышающей порог кавитации, используют для разрушения имеющихся в жидкости бактерий и вирусов.
Химическое действие. Химическое действие УЗ проявляется, в частности, в реакции расщепления молекулы воды на радикалы Н+и ОН- с последующим образованием перекиси водорода Н2О2.
Тепловое действие. При облучении УЗ происходит нагревание тканей. Теплота выделяется в основном не в объеме ткани, а на границах раздела тканей с разными акустическими сопротивлениями или в одной и той же ткани на неоднородностях ее структуры. Ткани со сложной структурой (легкие) более чувствительны к УЗ, чем однородные ткани (печень). Сравнительно много тепла выделяется на границе мягких тканей и кости.
Локальный нагрев тканей на доли градусов способствует жизнедеятельности биологических объектов, повышает интенсивность процессов обмена. Однако длительное воздействие может привести к перегреву.
Использование УЗ в медицине: терапии,хирургии, диагностике
Деформации под воздействием УЗ используются при измельчении или диспергировании сред.
Явление кавитации используется для получения эмульсий несмешивающихся жидкостей, для очистки металлов от окалины и жировых пленок.
УЗ терапия. Терапевтическое действие УЗ обусловлено механическим, тепловым, химическим факторами. Их совместное действие улучшает проницаемость мембран, расширяет кровеносные сосуды, улучшает обмен веществ, что способствует восстановлению равновесного состояния организма. Дозированным пучком УЗ можно провести мягкий массаж сердца, легких и других органов и тканей.
В отоларингологии УЗ воздействует на барабанную перепонку, слизистую оболочку носа. Таким способом осуществляют реабилитацию хронического насморка, болезней гайморовых полостей.
Фонофорез — введение с помощью УЗ в ткани через поры кожи лекарственных веществ. Этот метод аналогичен электрофорезу, однако, в отличие от электрического поля, УЗ поле перемещает не только ионы, но и незаряженные частицы. Под действием УЗ увеличивается проницаемость клеточных мембран, что способствует проникновению лекарственных веществ в клетку, тогда как при электрофорезе лекарственные вещества концентрируются в основном между клетками.
Аутогемотерапия — внутримышечное введение человеку собственной крови, взятой из вены. Эта процедура оказывается более эффективной, если взятую кровь перед вливанием облучить УЗ.
УЗ облучение повышает чувствительность клетки к воздействию химических веществ. Это позволяет создавать более безвредные вакцины, так как при их изготовлении можно использовать химические реактивы меньшей концентрации.
Предварительное воздействие УЗ усиливает действие 7- и СВЧ облучения на опухоли.
В фармацевтической промышленности ультразвук применяется для получения эмульсий и аэрозолей некоторых лекарственных веществ.
Хирургия. Для разрушения тканей с помощью УЗ в хирургии есть два метода. Первый основан на действии самого УЗ, второй — на ультразвуковых колебаниях хирургического инструмента.
Первый метод. Разрушение опухолей. Несколько излучателей, укрепленных на голове пациента, испускают пучки УЗ,
фокусирующиеся на опухоли. Интенсивность каждого пучка такова, что он не приводит к повреждению здоровой ткани, но в том месте, где все пучки сходятся, интенсивность возрастает и опухоль разрушается под действием кавитации и тепла.
В урологии с помощью механического действия УЗ дробят камни в мочевых путях и этим спасают больных от операций.
Сваривание мягких тканей. Если сложить два разрезанных кровеносных сосуда и прижать их друг к другу, то после облучения образуется сварной шов.
Сваривание костей (ультразвуковой остеосинтез). Область перелома заполняют измельченной костной тканью, смешанной с жидким полимером (циакрин), которые под действием УЗ быстро полимеризуются, образуя прочный сварной шов, который постепенно рассасывается и заменяется костной тканью.
Стерилизация. Губительное действие УЗ на микроорганизмы используется для стерилизации.
Второй метод. УЗ можно рассекать ткань, для чего хирургические инструменты (скальпели, пилки, иглы) соединяют с источником ультразвуковых колебаний. Амплитуда колебаний режущего инструмента при частоте 20-50 кГц составляет 10-50 мкм. Преимущества этого метода: снижение усилия резания, уменьшение болевого ощущения, кровоостанавливающий и стерилизующий эффекты. УЗ скальпели позволяют проводить операции без вскрытия грудной клетки в дыхательных органах, пищеводе, на кровеносных сосудах. Вводя длинный и тонкий УЗ скальпель в вену, можно разрушить холестериновые утолщения в этих сосудах.
УЗ диагностика. Существуют различные методы, в которых УЗ используется в диагностических целях.
Эхоэнцефалография — определение опухолей и отека головного мозга.
Ультразвуковая кардиография — измерение размеров сердца в динамике.
Эходоплерография — измерение скорости движения кровотока, клапанов сердца.
Ультразвуковая локация — определение размеров глазных сред, применение УЗ для ориентации слепых в пространстве.
Отражение УЗ волн (эхо-метод) на границе раздела различных сред используется в УЗ диагностике. Этим методом можно
обследовать состояние внутренних органов. Направляемые на тело исследуемого больного ультразвуковые импульсы отражаются от поверхностей раздела, например, передней и задней границ расположенной неоднородности, — «эхо» звука на экране прибора сравнивается с посланным импульсом, что дает возможность не только обнаружить эту неоднородность, но и определить ее размеры. Обнаруживаются внутренние дефекты, отражающие 3-5 % падающей звуковой энергии.
С помощью ультразвука можно регистрировать изменение объема сердца, размеры полости желудочка, амплитуду сокращений и толщину сердечной мышцы.
Инфразвук и его воздействие на человека
Инфразвук — это механические колебания и волны с частотой менее 16 Гц. Эти волны не создают слуховых ощущений. Из- за большой длины волны инфразвуковые волны дифрагируют и огибают большие препятствия; могут распространяться на большие расстояния. Инфразвук воспринимают некоторые животные.
Природные источники инфразвука — землетрясения, штормы, цунами (L = 120 дБ, v ~ 11 Гц). Искусственные источники — взрывы, работающие автомашины, станки. Например, легковые автомобили на скорости 100 км/час создают инфразвук с уровнем интенсивности 100 дБ (частично он обусловлен срывом встречного потока воздуха позади автомобиля); в моторном отделении крупных судов зарегистрированы инфразвуковые колебания, создаваемые работающими двигателями, на частоте 7-13 Гц с уровнем интенсивности 118-113 дБ.
На человека инфразвук оказывает, как правило, отрицательное действие: вызывает угнетающее настроение, усталость, головную боль, раздражение. При небольших интенсивностях возникают расстройство органов зрения, общая слабость. При средней интенсивности (140-155 дБ) могут проявляться обмороки, временная потеря зрения. При больших интенсивностях (порядка 180 дБ) может наступить паралич со смертельным исходом.
Предполагают, что негативное влияние инфразвука связано с тем, что в инфразвуковой области лежат частоты собственных
колебаний некоторых органов и частей тела человека. Это вызывает нежелательные резонансные явления. Укажем некоторые частоты собственных колебаний для человека:
центр тяжести человека в положении лежа — (3-4) Гц,
грудная клетка - (5-8) Гц,
брюшная полость - (3-4) Гц.
Особенно вредно воздействие инфразвука на сердце. При достаточной мощности возникают вынужденные колебания сердечной мышцы. При резонансе (6-7 Гц) их амплитуда возрастает, что может привести к кровоизлиянию.
Так как инфразвук оказывает неблагоприятное действие на организм, то одной из задач является снижение уровня его интенсивности в жилых и производственных помещениях, в транспортных средствах.
Элементы реабилитологии
Ультразвук. Биологическое действие УЗ зависит от его интенсивности.
Ультразвук низкой и средней интенсивности. Ультразвуковые волны малой (до 1,5 Вт/см2) и средней (1,5-3 Вт/см2) интенсивности вызывают в живых тканях положительные биологические эффекты, стимулирующие протекание нормальных физиологических процессов.
Успешное применение УЗ указанных интенсивностей находит в неврологии при реабилитации таких заболеваний как хронический радикулит, полиартрит, неврит, невралгия. Ультразвук используется при лечении болезней, позвоночника, суставов (разрушение солевых наслоений в суставах и полостях); при реабилитационном лечении различных осложнений после повреждения суставов, связок, сухожилий и т. д. УЗ используется часто совместно с другими физическими воздействиями, например, сочетанное крио-ультразвуковое воздействие при лечении гемангиом и различных рубцов.
Ультразвук большой интенсивности. УЗ большой интенсивности (3-10 Вт/см2) оказывает вредное воздействие на отдельные органы и человеческий организм в целом. Например,
при длительном воздействии УЗ частотой 20-30 кГц, возникающих в некоторых производственных условиях, у человека появляются расстройства нервной системы, повышается утомляемость, существенно поднимается температура.
Очень интенсивный УЗ для человека смертелен. Так в Испании 80 добровольцев были подвергнуты действию УЗ турбулентных двигателей. Результаты этого варварского эксперимента оказались плачевными: 28 человек погибли, остальные оказались полностью или частично парализованы.
Тепловой эффект, производимый УЗ, может быть весьма значительным: при ультразвуковом облучении мощностью 4 • • 104 Вт/м2 в течение 20 с температура тканей организма на глубине 2-5 см повышается на 5-6 °C.
В целях реабилитации профессиональных заболеваний у лиц, работающих на ультразвуковых установках, когда возможен контакт с частями, в которых возбуждаются ультразвуковые колебания, для защиты рук обязательно необходимо применение 2-х пар перчаток: наружных — резиновых и внутренних — хлопчатобумажных.
Сопоставление ультразвукового и рентгеновского «просвечивания». В некоторых случаях ультразвуковое просвечивание имеет преимущество перед с рентгеновским. Это связано с тем, что рентгеновские лучи дают четкое изображение «твердых» тканей на фоне «мягких». Так например, на фоне мягких тканей хороши видны кости. Для получения рентгеновского изображения мягких тканей на фоне других мягких тканей (например, кровеносный сосуд на фоне мышц) сосуд нужно заполнить веществом, хорошо поглощающим рентгеновское излучение (контрастное вещество). Ультразвуковое просвечивание, благодаря уже указанным особенностям, дает в этом случае изображение без применения контрастных веществ.
Инфразвук. У человека, подвергнутого воздействию инфразвука низкой интенсивности, появляются симптомы «морской болезни», тошнота, головокружение. Появляется головная боль, повышается утомляемость, слабеет зрение.
Шум на частоте 2-15 Гц при уровне интенсивности 95 дБ приводит к возрастанию ошибки слежения за стрелочными индикаторами. Проявляется судорожное подергивание глазного яблока, нарушение функции органов равновесия.
Летчики и космонавты, подвергнутые на тренировках воздействию инфразвука, медленнее решали даже простые арифметические задачи.
Существует предположение, что различные аномалии в состоянии людей при плохой погоде, объясняемые климатическими условиями, являются на самом деле следствием воздействия инфразвуковых волн.
Инфразвук с уровнем интенсивности 160 дБ на частоте 7 Гц смертелен для человека.
Лекция 11
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
Условие неразрывности струи.
Уравнение Бернулли.
Следствия уравнения Бернулли.
Элементы реабилитологии. Принцип работы инжектора, ингалятора.
Гидроаэродинамика — раздел физики, в котором изучают законы движения жидкостей и газов и их взаимодействие с твердыми телами.
Различия между жидкостью и газом заключается только в характере зависимости их плотности от давления, т. е. в практической несжимаемости жидкостей и заметной сжимаемости газов.
Условие неразрывности струи
Течение жидкости изображается линиями тока — линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившемся, стационарним^ если скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
При ламинарном течении (лек. 12) часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем жидкости V, протекающей за единицу времени через любое сечение S, перпендикулярное оси трубки тока, определяется формулой
V = S • v = const,(11.1)
где и — скорость движения частиц жидкости в данном сечении.
Для идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости движения частиц во всех точках поперечного сечения трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в уравнение (11.1).
На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Внутренняя поверхность твердой трубы затормаживает прилегающий слой жидкости фактически до полной остановки (v = 0). Частицы этого слоя затормаживают следующий слой и так далее. Поэтому скорость частиц жидкости в одном сечении трубы различна: она максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок (здесь речь идет о реальной трубе, а не о воображаемой трубке тока). В этом случае в формуле (11.1) v — это средняя скорость течения жидкости в данном сечении.
Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки тока, каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.
Уравнение (11.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:
V1/V2 = S2/S1. (11.2)
Если жидкость движется по системе последовательно соединенных трубок различного сечения, то скорость ее движения обратно пропорциональна площади сечения трубок, рис. 11.1.
Рис. 11.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости
Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра трубки (S = ivd? (4\ поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше, чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше, чем площадь сечения А. Следовательно и скорость потока в сечении С будет в четыре раза больше, чем в сечении А.
Уравнение неразрывности струи при протекании крови в сосудах. Кровеносная система человека — это сложная замкнутая система эластичных трубок разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется по главным артериям, затем по более мелким и в конце концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с. За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость кровотока в разных сосудах различна. Ориентировочные значения этой скорости представлены в табл. 11.1.
Таблица 11.1. Скорость и давление крови в различных сосудах
Сосуды
Диаметр, мм
Скорость, 10 2 м/с
Давление, мм рт. ст.
Аорта
20
30-50
50-150
Артерии
10-5
20-50
80-20
Артериолы
0,1-0,5
1-20
50-20
Капилляры
0,5-0,01
0,01-0,05
20-10
Венулы
0,1-0,2
0,1-1,0
10-5
Вены
10-30
10-20
(-5Н+5)
На первый взгляд кажется, что приведенные значения противоречат уравнению неразрывности — в тонких капиллярах скорость кровотока меньше чем в артериях. Однако это несоответствие кажущееся. Дело в том, что в табл. 11.1 приведен диаметр одного сосуда, но ведь по мере разветвления сосудов площадь каждого из них уменьшается, а суммарная площадь разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (примерно 2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты — этим и объясняется такая малая скорость крови в капиллярах.
Уравнение Бернулли
Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных сечения (рис. 11.2).
В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (Л1 и Л2), и их площади различны (Si и S2). Вследствие уравнения неразрывности, различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (гц и и^- Обозначим давления жидкости в этих сечениях Pi и Р2, соответственно.
Рис. 11.2. Параметры сечений в трубке тока
Можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:
Pi + pv^/S + pghi = Р2 + ри*^ + pgh2, (11.3) где р — плотность жидкости.
Так как выбор сечений трубки произволен, то соотношение (11.3) можно записать в общем виде:
Р + pv2/2 + pgh = const,(11-4)
где Р — статическое давление, ри2/2 — динамическое давление, обусловленное движением жидкости, a pgh — гидростатическое давление.
Уравнение Бернулли формулируется так: при стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.
Следствия уравнения Бернулли
Горизонтальная трубка тока переменного сечения.
При этом hi = hs и уравнение (11.3) принимает вид
Pl + р^/2 = Р2 + И/2.(11.5)
Отсюда следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается, и наоборот. Это можно продемонстрировать с помощью манометрических трубок, уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому давлению (рис. 11.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сечении (5).
а) б)
Рис. 11.3. Горизонтальная трубка переменного сечения
Наклонная трубка тока постоянного сечения. В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (и = const), и уравнение (11.3) принимает вид
Pi + pghi = Р2 + pgh^(11.6)
ИЛИ
Pi - Pl = pg(hx - /г2), ^Р = pg^-hi). (11.7)
В этом случае разность давлений обусловлена разностью высот на которых находятся рассматриваемые сечения (рис. 11.4).
Рис. 11.4. Наклонная трубка постоянного сечения
Истечение жидкости из отверстия сосуда. Жидкость истекает из широкого сосуда площадью Si через небольшое отверстие площадью S2 (рис. 11.5).
Рис. 11.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда
В данном случае h\ = h, h^ = 0, а давления Pi и Р2 одинаковы и равны атмосферному давлению Ра. Кроме того, в соответствии с (11.2) щ << ^2, поскольку Si ^ S2. Поэтому можно принять, что гц ~ 0. С учетом этих условий получаем
Ла + 0 + pgh = Ра + p^f^ + 0,(11.8)
откуда
у2 = V^gh-(П.9)
Следовательно, скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с высоты h. Соотношение (11.9) — это формула Торричелли.
Измерение скорости жидкости. Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости) одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито) (рис. 11.6).
Рис. 11.6. Измерение скорости жидкости
Манометрическая трубка позволяет измерить статическое давление Pi. Трубка Пито позволяет измерить полное давление
Р^ равное в данном случае сумме статического и динамического давлений. Так как труба горизонтальна, a v% = 0, то имеем
откудаоткуда?1 + P^i/2 = Р2,?1 + P^i/2 = Р2,VI = V2(^2 - Р1Ур.VI = V2(^2 - Р1Ур.(11.10)(11.11)(11.10)(11.11)
откуда
откуда
?1 + P^i/2 = Р2,
?1 + P^i/2 = Р2,
VI = V2(^2 - Р1Ур.
VI = V2(^2 - Р1Ур.
(11.10)
(11.11)
(11.10)
(11.11)
Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (11.11).
Элементы реабилитологи
В медицине широкое применение имеют приборы, действие которых основано на использовании законов гидроаэродинамики. Рассмотрим два таких прибора.
Инжектор. Этот прибор используют для дозированной подачи пациенту газообразного препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона поступает в смесительную камеру через узкое сопло (рис. 11.7). При этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в соответствии с уравнением Бернулли, падает.
Рис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапииРис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапии
Рис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапии
Рис. 11.7. Подача кислорода при кислородной терапии
В смесительной камере возникает разряжение и в нее засасывается атмосферный воздух. Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска. Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие, регулируют состав смеси, подаваемой пациенту.
Ингалятор. Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном виде, рис. 11.8.
Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым углом. Горизонтально расположенная трубка (1) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца располагается верхний конец вертикальной трубки (2), нижний конец которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку подается пар. При прохождении суженного конца скорость пара возрастает, а давление падает. В область пониженного давления засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через патрубок (4) поступает к пациенту.
Лекция 12ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ
Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона.
Ньютоновские и неньютоновские жидкости.
Ламинарное и турбулентное течение, число Рейнольдса.
Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление.
Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения.
Методы определения вязкости жидкостей.
Элементы реабилитологии. Ламинарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.
Внутреннее трение (вязкость) жидкости.Уравнение Ньютона
В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 12.1).
Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости между пластинами
Поместим слой жидкости между двумя параллельными твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью Vi, то с такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью Уз, причем Уз < Уь Каждый слой (выделим п слоев) передает движение нижележащему
слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным.
Слои взаимодействуют друг с другом: n-й слой ускоряет (п + 1)-й слой, но замедляет (п — 1)-й слой. Силы, действующие между слоями, направленные по касательной к поверхности слоев, называются силами внутреннего трения, или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и тем больше, чем больше их относительная скорость. Силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона;
FTp = y^dVfdx^S, (12.1)
где ось х перпендикулярна направлению движения слоев жидкости; у — коэффициент внутреннего трения, или динамическая вязкость (размерность у в СИ — [Па • с]); dV/dx — градиент скорости (grad V), показывающий изменение скорости, в направлении х (если слой с координатой х имеет скорость V, а другой слой с координатой х + dx имеет скорость V + dV, то grad V = = dV/dx).
Коэффициент внутреннего трения зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (от сил межмолекулярного взаимодействия). Вязкость определяется с помощью специальных приборов — вискозиметров. Значения коэффициента вязкости для некоторых веществ представлены в таблице.
Вязкость некоторых веществ
Вещество
Воздух
Вода
Глицерин
Кровь
Плазма
Температура [°C]
20
20
20
36
36
Вязкость [Па • с]
1,8-10"5
1 •10"3
1,5-КГ3
4 • 10"3
1,5 • 10~3
Вязкость крови увеличивается при тяжелой физической работе. При некоторых заболеваниях увеличивается вязкость крови до 23 • 10-3 Па-с (сахарный диабет), при других уменьшается до 1-10-3 Па-с (туберкулез). Вязкость сказывается на таком клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ).
Ньютоновские и неньютоновские жидкости
Ньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость не зависит от градиента скорости, они подчиняются уравнению Ньютона. К ним относят воду, водные растворы, низкомолекулярные органические жидкости (этиловый спирт, ацетон).
Неньютоновские жидкости — такие, для которых вязкость зависит от режима течения и градиента скорости. К ним относят высокомолекулярные органические соединения, суспензии, эмульсии. Это жидкости состоят из сложных и крупных молекул. Благодаря сцеплению молекул или частиц в них образуются пространственные структуры. При прочих равных условиях этот вид вязкости много больше, чем у ньютоновсих жидкостей. Это связано с тем, что при течении таких жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской вязкости, но и на разрушение структурных образований.
Цельная кровь (суспензия элементов в белковом растворе — плазме) является неньютоновской жидкостью. Ее вязкость тем выше, чем медленнее она течет. В основном это обусловлено агрегацией эритроцитов. В неподвижной крови эритроциты агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», при быстром течении крови агрегаты эритроцитов распадаются, и вязкость уменьшается. На рис. 12.2 показана агрегация эритроцитов при патологии крови.
Рис. 12.2. Агрегация эритроцитов при патологии крови
Ламинарное и турбулентное течение, числоРейнольдса
В жидкости течение может быть ламинарным или турбулентным. На рис. 12.3 это показано для одной окрашенной струи жидкости, текущей в другой.
Рис. 12.3. Ламинарное (а) и турбулентное (д') течение струи жидкости
При течении однородной жидкости по сосуду в ней можно выделить несколько слоев.
Ламинарное (слоистое) течение — такое, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Ламинарное течение — это плавное, медленное, упорядоченное, регулярное течение жидкости. При этом течении скорость разных частиц жидкости, попадающих поочередно в некоторую точку пространства, одинакова. Такое движение возможно при небольших скоростях, в трубах с гладкими стенками, в трубах без резких изгибов, при одинаковом давлении по сечению трубы.
Течение крови в артериях в норме является ламинарным. Вследствие симметрии ясно, что в трубе, при ламинарном течении, частицы жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость.
Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе радиусом R и длиной L. Для сохранения постоянного режима течения требуется перепад давлений Py-Ps- Выделим произвольный цилиндрический слой радиусом г. Течение жидкости в нем тормозится под действием силы трения, пропорциональной вязкости жидкости 7/, площади боковой поверхности (S = 2тггТ) и градиенту скорости — dV/dr. Так как полная разность сил
давления равна произведению перепада давления на площадь поперечного сечения выделенного цилиндра, то имеем
тгг2(Р1 - Р2) = -2irrLr)dV/dT.(12.2)
Знак « —» в правой части уравнения обусловлен тем, что скорость уменьшается с увеличением радиуса г, то есть dVj dr < 0.
Разделим переменные в уравнении (12.2):
dV = -[(Pi - P^^L^rdr.
или в интегральном виде, Vг
(12.3)(12.3)(12.4)(12.4)' Р1 — Р^ Г ,dv = г dr.
(12.3)
(12.3)
(12.4)
(12.4)
J ^Ly J
0R
Интегрируя, получим:
v =- r2\
В соответствии с приведенным выражением имеет место параболическая зависимость скорости V слоев жидкости от расстояния их до оси трубы г (огибающая всех векторов скорости есть парабола), рис. 12.4.
Рис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее к центру трубкиРис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее к центру трубки
Рис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее к центру трубки
Рис. 12.4. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе. На частицы действует сила F, которая толкает ее к центру трубки
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль осп трубы (г = 0); слой, «прилипший» к стенке (г = R), неподвижен.
Низкая скорость течения около стенки означает, что давление здесь высокое (в соответствии с уравнением Бернулли). В центре трубы давление минимальное. Следовательно, давление Р возрастает с удалением от центра трубы. Это означает, что частица (например, клетка крови) будет испытывать разность давлений по сечению. Эта разность давлений создаст силу F (рис. 12.4), которая толкает частицу к центру трубы. По этой же причине клетки крови скапливаются вдоль оси потока, а плазма (малой вязкости) — по его периферии.
Толщина плазмы составляет 0,004-0,040 мм. В этот слой эритроциты попадают сравнительно редко. Пристеночный слой плазмы играет роль смазки, благодаря которой сопротивление движению эритроцитов по сосуду меньше, чем было бы в том же сосуде при равномерном распределении эритроцитов по всему сечению. Причем, чем тоньше сосуд, тем эффект снижения сопротивления более выражен. Этот факт, а также преимущественная концентрация эритроцитов в слоях, движущихся с большей скоростью, приводят к тому, что в своем движении по кровеносной системе они всегда имеют немного большую скорость, чем средняя скорость плазмы.
Турбулентное {вихревое) течение — такое течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке непрерывно меняются, приходят в колебательное движение, которое сопровождается появлением звука. Турбулентное течение — это хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию между слоями жидкости и к образованию местных завихрений. При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно только в среднем за какой-то промежуток времени. При турбулентном течении крови эритроциты, которые обычно ориентированы своей длинной осью по направлению потока, переориентируются и располагаются хаотически. При этом движении местное изменение давления вызывает колебательное движение жидкости, которое сопровождается шумом.
Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на беспорядочное движение, направление которого отличается от основного направления потока, что в случае крови приводит
к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается на плечевой артерии при измерении давления крови.
Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополнительную работу дыхательных мышц.
При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, течение крови в артериях становится турбулентным.
Турбулентное движением крови может возникнуть вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто является пусковым в формировании тромба. Кроме того, если тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого перепада давления вдоль него, вследствие турбулентности, он может начать двигаться.
Число Рейнольдса. Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы. Английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842-1912) изучал переход от ламинарной формы течения к турбулентной. Он экспериментально показал, что турбулентность возникает, когда определенная комбинация величин, характеризующих движение, превосходит некоторое критическое значение. Им было введено безразмерное число, позднее названное в его честь числом Рейнольдса, которое характеризует течение жидкости по трубе (каналу).
Число Рейнольдса определяется по формуле
Re = (pVD^/p, (12.5) где р — плотность жидкости, р — ее вязкость, V — скорость течения, D — диаметр трубы. Это число является критерием вида течения. Существует критическое значение числа Рейнольдса: для гладких цилиндрических труб /?екр = 2300. Если число Рейнольдса больше критического, то движение жидкости турбулентное, если меньше, то ламинарное.
Удобно использовать величину, называемую кинематической вязкостью', v = р/р (размерность — м2/с). Тогда число Рейнольдса можно записать в виде Re = VD {и.
Число Рейнольдса является критерием подобия. При моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае не будет соответствия между ними.
Переход от ламинарной формы к турбулентной происходит не только при течении в трубе (канале). Он характерен почти для всех течений вязкой жидкости. В частности, обтекание жидкостью профиля корабля или подводной лодки, тела рыбы или крыла самолета или птицы также характеризуется ламинарнотурбулентным переходом, при этом в формулу нужно подставить характерный размер обтекаемого тела и константу, зависящую от формы тела.
Важным свойством турбулентного течения (в сравнении с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных лодок, самолетов.
Формула Пуазейля, гидравлическоесопротивление
Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости, протекающей по горизонтальной трубе.
Формула Пуазейля. При ламинарном течении жидкости по трубе радиусом R и длиной L объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr (рис. 12.5).
dS^ixrdr
Рис. 12.5. Сечение трубы с выделенным слоем
Площадь поперечного сечения его равна dS = 2^rdr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с одинаковой скоростью — V. За одну секунду слой перенесет объем жидкости
dQ = VdS = V^rdr.(12.6)
Подставляя в (12.6) формулу для скорости (12.4), получаем
dQ = тг[(Р1 - P2)/(2LJ?)](P2 - ?ydT.
Интегрируя по всему сечению трубы,
R
Q = тг[(Р1 - P2)/(2L??)] (Р2 - r2)rdr,
о
получаем формулу Пуазейля:
Q = VirR4/8nL^Pi-P2).(12.7)
Это соотношение справедливо для ньютоновских жидкостей.
Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим отношение (Pi — Р2)/L на градиент давления dP/dl, тогда получим
Q = ^R4/^)dP/dl.(12.8)
Как видно из (12.7), при заданных внешних условиях объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Если по какой- то причине радиус трубы уменьшается, то для поддержания прежнего потока необходимо значительное увеличение перепада давлений. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то перепад давлений нужно увеличить в 16 раз. При этом сердце будет работать с перегрузкой.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужение или расширение) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.
Объемная скорость Q жидкости обратно пропорциональна ее вязкости: Q ~ 1/щ Следовательно, изменяя вязкость крови, можно влиять на объемную скорость кровотока. Известно, что вязкость жидкости обратно пропорциональна ее температуре Т: т] ~ 1/Т. Следовательно, имеет место зависимость объемной
скорости кровотока от температуры: с повышением температуры увеличивается объемная скорость кровотока.
Гидравлическое сопротивление. Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи без источника тока: / = АС//R. Для этого перепишем формулу (12.7) в следующем виде: Q = (Pi — Р^^рЬ)/(тгР4)]. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина З^ТДтг/?4) соответствует электрическому сопротивлению. Эта величина называется гидравлическим сопротивлением'.
X = %-пЦ<<кН4\ (12.9)
Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость и длина трубы и чем меньше площадь поперечного сечения.
Если в сосуде появляется препятствие (при остром атеро- слерозе нарушается эластичность сосуда, и изменяется просвет за счет образующихся бляшек, вследствие чего наступает недостаток кислорода в тканях — ишемия), то производят операции шунтирования. Шунтирование — это способ обхода препятствия в русле посредством присоединения обводного русла выше и ниже препятствия. При этом кровоток частично восстанавливается.
Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб, рис. 12.6.
Рис. 12.6. Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (5)
Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 12.6а) и параллельно (рис. 12.65), вычисляется по формулам, соответственно:
X = Xi + Х2 + Хз,X = Xi + Х2 + Хз,(12.10)(12.10)
X = Xi + Х2 + Хз,
X = Xi + Х2 + Хз,
(12.10)
(12.10)
JMl/X + l/X + l/Xy. (12.11)
В заключение следует отметить, что формулу Пуазейля можно применять и к газам при условии ламинарного течения и несжимаемости (малой сжимаемости).
Распределение давления при теченииреальной жидкости по трубам различного сечения
При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости ее энергия расходуется на работу по преодолению внутреннего трения, и статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Поэтому в начале течения жидкости надо создать давление, не меньшее величины, на которую падает статическое давление вдоль всей трубы.
Установим в разных местах горизонтальной трубы, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки, рис. 12.7.
ааРис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сеченияРис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сечения
а
а
Рис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сечения
Рис. 12.7. Течение жидкости по трубе переменного сечения
Из рисунка видно, что:
в трубе постоянного сечения давление падает пропорционально длине L, поэтому dP/dL = const;
в трубе с переменным сечением давление падает «быстрее» в узкой части.
Из формулы Пуазейля следует, что при фиксированном объеме Q протекающей жидкости падение давления зависит от гидравлического сопротивления:
Pi - Р2 = QX. (12.12)
По мере разветвления сосудов (артерии-артериолы-капилляры) кровеносной системы полное сечение кровотока увеличивается, но гидравлическое сопротивление при этом высокое (благодаря уменьшению радиусов сосудов). Поэтому значительное падение давления (до 70 %) приходится на мелкие сосуды.
Методы определения вязкости жидкостей
Совокупность методов измерения вязкости жидкости называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром. В зависимости метода измерения вязкости используют следующие типы вискозиметров.
Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по результату измерения времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.
Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами, в которых движутся две жидкости (например, дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же время обратно пропорционально их вязкости вычисляют вязкость второй жидкости.
Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно которому при движении шарика в вязкой жидкости с небольшой скоростью сила сопротивления пропорциональна вязкости этой жидкости.
Вискозиметр ротационный, в котором вязкость измеряется по угловой скорости ротора, подвижного цилиндра в системе двух соосных цилиндров, в зазоре между которыми находится жидкость. Данный вискозиметр позволяет измерять вязкость при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод позволяет установить зависимость между вязкостью и градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.
Элементы реабилитологии
В некоторых медико-реабилитационных мероприятиях используется наркоз. При этом необходимо по возможности уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотра- хеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза, рис. 12.8.
Рис. 12.8. Дыхание больного через эндотрахиальную трубку
Для обеспечения плавного газового потока используются плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диаметра трубок и соединений часто (рис. 12.9) являются причинами перехода ламинарного потока в турбулентный, что затрудняет процесс дыхания у больного.
Рис. 12.9. Возникновение турбулентности газового потока в трубке с резкими неоднородностями по сечению
На рис. 12.10 приведен рентгеновский снимок головы больного. Эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. У больного обязательно возникнут затруднения дыхания.
Рис. 12.10. Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхательной трубки
Введение жидкостей через капельницу и шприц. Закон Пуазейля используется при введении жидкостей с лечебной целью. Капельница (стандартный набор для внутривенного вливания) позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на определенную высоту. Объемная скорость, с которой препарат поступает в вену, зависит от условий введения. Согласно формуле Пуазейля, скорость введения препарата можно увеличить за счет установки камеры на большую высоту или за счет использования иглы большего диаметра. При подъеме камеры на высоту вдвое больше стандартной (120 см вместо 60 см) расход жидкости примерно удваивается, так как поток жидкости через иглу прямо пропорционален разности давлений, рис. 12.11 а. При удвоении диаметра иглы (рис. 12.115), поток жидкости должен увеличиться в 16 раз.
Рис. 12.11. Разные способы введения жидкости самотеком: увеличена высота подъема банки с жидкостью (а), увеличен диаметр иглы (5)
Формула Пуазейля предполагает медленное течение жидкости, при котором изменением ее кинетической энергии можно пренебречь. При существенном повышении скорости течения имеют место значительные отклонения от формулы Пуазейля. Так, при переходе от иглы с диаметром 0,36 мм к игле такой же длины (3 см) с диаметром 0,93 мм расход жидкости повышается только в 17 раз вместо 45-кратного увеличения, которое дает формула Пуазейля (0,93/0,36 = 2,58; 2,584 = 45). Это связано
с тем, что в большой игле на сообщение жидкости кинетической энергии расходуется более 50 % работы сил давления. В малой игле скорость течения мала и кинетическая энергия незначительна.
Другим устройством для введения лекарственных препаратов является шприц. Введение препарата происходит за счет разности давлений, создаваемой нажатием на подвижный поршень (рис. 12.12).
Рис. 12.12. Работа шприца
Скорость введения препарата так же определяется формулой Пуазейля. При неизменном усилии удвоение диаметра иглы приводит к 16-ти кратному увеличению скорости инъекции. Для того, чтобы добиться такого увеличения при неизменном диаметре иглы, потребовалось бы 16-ти кратное увеличение силы.
Риноманометрия. Полноценное носовое дыхание является необходимой предпосылкой для нормальной функции слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто являются некоторые врожденные патологии, например, расщелина верхней губы и неба. Часто при реабилитации этой патологи используются хирургические методы, например реконструктивная ринохейлопластика (ринопластика — операции восстановления носа). Для объективной характеристики результатов оперативного вмешательства используется риноманометрия — метод определения объема носового дыхания и сопротивления.
6 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазей- ля; при этом учитывается градиент давления в носоглоточном пространстве, диаметр и длина носовой полости, характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора — риноманометра, который позволяет регистрировать давление в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это осуществляется с помощью катетера, который крепится в носу. Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить степень восстановления носового дыхания.
Фотогемотерапия. При заболеваниях, сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается в том, что у больного берут небольшое количество крови (примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л) циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов. Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все эти явления приводят к значительному улучшению как макро-, так и микроциркуляции крови.
Лекция 13
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ
Способы деформирования тел и виды деформации.
Механические свойства материалов и методы их исследования.
Механические модели.
Прочность.
Разрушение.
Механические свойства биологических тканей.
Элементы реабилитологии. Повреждения трубчатых костей. Травма лица. Акустическая анизотропии кожи — диагностический параметр
Способы деформирования тел
Механическое воздействие на тело изменяет взаимное расположение его частиц.
Деформация — изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров.
При действии на тело внешней деформирующей силы расстояние между частицами меняется. Это приводит к возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальное положение. Действие этих сил характеризуется механическим напряжением. Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Косвенный способ выявления механического напряжения в деформируемом образце основан на явлении фотоупругости (см. лекцию «Поляризация света»).
В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько способов деформирования, которые рассматриваются ниже.
Растяжение (сжатие). Деформация возникает, когда к стержню (бруску) с закрепленным основанием прикладывается
сила F, направленная вдоль его оси (рис. 13.1 а, б). Под действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину Д/ (/ — первоначальная длина).
абв
Рис. 13.1. Деформация растяжения (а), сжатия (б) и сдвига (в)
Действие растягивающей силы характеризуется механическим напряжением су, которое в данном случае равно отношению силы к площади поперечного сечения стержня (малое изменение площади поперечного сечения не учитывается):
а = F/S. (13.1)
В СИ механическое напряжение измеряется в паскалях (Па).
Абсолютная деформация (Д/) зависит от первоначальной длины стержня, поэтому степень деформации выражают через отношение абсолютной деформации к первоначальной длине. Это отношение называется относительной деформацией (г):
е = Ы/1.
Относительная деформация — величина безразмерная. Иногда ее выражают в процентах: е = (Д///)100%.
При небольшой величине относительной деформации связь между деформацией и механическим напряжением выражается законом Гука:
а = Ее, (13.2)
где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости, Па). При упругой деформации напряжение прямо пропорционально величине деформации.
Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образца в два раза (практически разрушение образцов наступает при значительно меньших напряжениях). В табл. 13.1
представлены значения модулей упругости некоторых материалов.
Таблица 13.1. Модуль упругости (модуль Юнга) некоторых материалов
Материал
Модуль Юнга Е, Па
Эластин
105-106
Коллаген
107-108
Мембрана эритроцита
4-107
Клетки гладких мышц
104
Мышца в покое
9 • 105
Кость
2-109
Сухожилие
1,6 • 108
Нерв
18,5 • 106
Вена
8,5 • 105
Артерия
5 • 104
Древесина
12 • 109
Резина
5 • 106
Сталь
2 ■ 1011
В большинстве случаев при растяжении или сжатии степень деформации в различных сечениях стержня — различна. Это можно увидеть, если на поверхность тела нанести квадратную сетку. После деформирования сетка исказится. По характеру и величине этого искажения можно судить о распределении напряжения вдоль образца (рис. 13.2).
Рис. 13.2. Искажение квадратной сетки при растяжении стержня
Видно, что изменения формы ячеек сетки максимальны в средней части стержня и почти отсутствуют на его краях.
Сдвиг. Деформация сдвига возникает, если на тело действует касательная сила, приложенная параллельно закрепленному основанию (рис. 13.1 в). В этом случае направление смещения свободного основания параллельно приложенной силе и перпендикулярно боковой грани. В результате деформации сдвига прямоугольный параллелепипед превращается в косоугольный. При этом боковые грани смещаются на некоторый угол 7, называемый углом сдвига.
Абсолютная деформация сдвига измеряется величиной смещения свободного основания (Д/). Относительная деформация сдвига определяется через тангенс угла сдвига tg7, называемый относительным сдвигом. Так как угол 7 обычно мал, то можно считать tg(7) « 7.
При сдвиге в образце возникает напряжение сдвига т (касательное напряжение), которое равно отношению силы (F) к площади основания (S), параллельно которому действует сила:
т = F/S. (13.3)
При небольшой величине относительной деформации сдвига связь между деформацией и механическим напряжением выражается эмпирическим соотношением:
т = G^, (13.4)
где G — модуль сдвига.
Изгиб. Деформация изгиба характеризуется искривлением оси или срединной поверхности деформируемого объекта (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 13.3).
If
Рис. 13.3. Деформация изгиба
При изгибе один наружный слой стержня сжимается, а другой наружный слой растягивается. Средний слой (называемый
нейтральный) изменяет лишь свою форму, сохраняя длину. Степень деформирования бруска, имеющего две точки опоры, определяется по перемещению А, которое получает середина стержня. Величина Л называется стрелой прогиба.
Материал, находящийся в нейтральном слое, не работает, а лишь утяжеляет конструкцию, как правило в форме балки. Поэтому часть материала около этого нейтрального слоя можно удалить без большого ущерба для прочности балки, работающей в таких условиях. Это одно из решений задачи минимальной массы конструкции при сохранении заданной прочности. Такой способ в природе используется для уменьшения массы человека и животных при сохранении прочности их скелета. Во многих костях скелета частично отсутствует «сердцевина», так как цилиндрический слой около оси кости не претерпевает существенных деформаций при ее изгибе.
Применительно к прямому брусу в зависимости от направления действующих сил изгиб называют продольным или поперечным. Продольный изгиб возникает под действием сил, направленных вдоль бруса и приложенных к его концам навстречу друг другу (рис. 13.4а). Поперечный изгиб возникает под действием сил, направленных перпендикулярно брусу и приложенных как к его концам, так и в средней части (рис. 13.45). Встречается также и смешанный продольно-поперечный изгиб (рис. 13.4в)
а
Рис. 13.4. Различные виды изгиба: а) продольный, б) поперечный,в) продольно-поперечный
Кручение. Этот способ деформирования характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием моментов (пар сил), действующих в плоскости этих сечений. Кручение возникает, например, когда нижнее основание стержня закреплено, а верхнее основание поворачивают вокруг продольной оси, рис. 13.5.
При этом расстояние между различными слоями остается практически неизменным, но точки слоев, лежащих на одной вертикали, сдвинуты относительно друг друга. Этот сдвиг в раз-
ных местах будет различен. Например в центре сдвига совсем не будет, по краям он будет максимальный.
Рис. 13.5. Деформация кручения
Таким образом, деформация кручения сводится к деформации сдвига, различным в различных частях, то есть к неоднородному сдвигу.
Абсолютная деформация при кручении характеризуется углом поворота (у) одного основания относительно другого. Относительная деформация (У) равна отношению угла ср к длине стержня:
9 =
Сравнивания различные способы деформирования однородных тел, можно увидеть, что все они сводятся к комбинации растяжения (сжатия) и сдвига.
Виды деформации
Зависимость механического напряжения от относительной деформации для твердых тел при растяжении представлена на рис. 13.6.
Рис. 13.6. Зависимость напряжения от деформации - диаграмма рас
тяжения
Участок О В соответствует упругой деформации, которая исчезает сразу после снятия нагрузки.
Точка В — предел, упругости <туПр — напряжение, ниже которого деформация сохраняет упругий характер (то есть справедлив закон Гука).
Участок ВМ соответствует пластической деформации, которая не исчезает после снятия нагрузки.
Участок MN соответствует деформации текучести, которая возрастает без увеличения напряжения. Напряжение, начиная с которого деформация становится текучей, называется пределом текучести.
Точка С — предел прочности о"пр — механическое напряжение, при котором происходит разрушение образца. Предел прочности зависит от способа деформирования и свойств материала.
В области упругих деформаций (линейная область) связь между механическим напряжением и деформацией описывается законом Гука (13.2).
Механические свойства материалови методы их исследования
Ползучесть. Практически все материалы под действием постоянной нагрузки деформируются, то есть обладают ползучестью.
Ползучесть — процесс изменения во времени размеров образца под действием постоянной нагрузки.
Исследование этого свойства материалов осуществляется посредством метода, в котором к образцу (как правило, в форме стержня) подвешивается груз, под действием которого длина образца увеличивается. Процесс установления размеров образца может продолжаться очень долго. Механическое напряжение а при этом считается постоянным. Изменение деформации со временем при этом представлено на рис. 13.7.
На кривой ползучести можно выделить различные участки: участок ОА — мгновенная упругая деформация; участок АВ — участок неустановившейся ползучести; ВС — участок установившейся ползучести, где скорость деформации постоянна; CD —
участок ускоренной ползучести, где скорость ползучести возрастает; в точке D происходит разрушение.
По кривой ползучести определяется модуль упругости.
Рис. 13.7. Кривая ползучести: а = const, £ = f(t)
Релаксация напряжения. Если растянуть образец до некоторой длины (то есть создать деформацию) и закрепить его в этом положении с помощью динамометров, то показания динамометров (пропорциональные механическому напряжению) будут уменьшаться. Происходит явление релаксации (уменьшения, расслабления) напряжения.
Релаксация, напряжения — процесс изменения механического напряжения в образце при условии постоянной относительной деформации.
Изменение напряжения в образце со временем показано на рис. 13.8.
Рис. 13.8. Релаксация напряжения: е = const, а = f(t)
Вследствие происходящего распрямления и взаимного перемещения макромолекул напряжение будет уменьшаться. Через некоторое время оно может упасть до нуля. По данным этого метода определяется время релаксации.
Механические модели
Вязкоупругие свойства тел (сочетание вязкого течения и высокой эластичности) моделируются системами, состоящими из различных комбинаций двух простых моделей: пружшни (упругий элемент) и поршня (вязкий элемент). Эти элементы и «конструируемые» с их помощью модели показаны на рис. 13.9 слева. Справа показаны зависимости деформаций (г) от времени при импульсном воздействии внешней силы: в момент времени ^ = О к телу, поведение которого моделируется, прикладывается постоянная сила F; в момент времени t\ действие силы прекращается.
Моделью упругого тела является пружина (рис. 13.9а), подчиняющаяся закону Гука. Деформация (г) мгновенно появляется в момент t = 0 и мгновенно исчезает в момент ty.
Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 13.95). Связь между скоростью деформации вязкой среды (скорость перемещения поршня) и напряжением имеет вид
а = y^de / dt^ a = F/S^(13.5)
где у — коэффициент вязкости среды; S — площадь поршня. Деформация нарастает линейно до некоторого значения, а после прекращения действия силы (момент £Д перестает меняться.
Модель Максвелла. В модели Максвелла упругий и вязкий элементы соединены последовательно (рис. 13.9в). Напряжение в каждом элементе является одинаковым. В любой момент времени для деформации выполняется условие
^общ ^упр "Г ^вяз •
Скорость общей деформации равна: deG^/dt = deyn^/dt + + de^3/dt. Используя формулу (13.2) для упругого элемента и (13.5) для вязкого, получаем:
5гобщ/(//: = (1/E)da / dt + a/у.(13.6)
Решение этого уравнения приводит к следующему характеру развития деформации. В момент ^ = 0 пружина мгновенно растягивается, а затем начинается линейное нарастание деформации, связанное с движением поршня. В момент ty пружина
сокращается до начального размера, а поршень останавливается — имеет место остаточная деформация.
££Упругий элемент (пружина)
£
£
t
4t4tв) Модель Максвеллав) Модель МаксвеллаFFг) Модель Кельвина - Фойгтаг) Модель Кельвина - ФойгтаFFРис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тия деформацииРис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тия деформациител и динамика разви-тел и динамика разви-Вязкий элемент (поршень)
4t
4t
в) Модель Максвелла
в) Модель Максвелла
F
F
г) Модель Кельвина - Фойгта
г) Модель Кельвина - Фойгта
F
F
Рис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тия деформации
Рис. 13.9. Механические модели вязкоупругих тия деформации
тел и динамика разви-
тел и динамика разви-
С помощью модели Максвелла можно моделировать следующие механические процессы.
Релаксация напряжения в материале: £ = const, ds/dt = О, то есть поддерживается постоянная деформация. В этом случае из (13.6) следует:
(1/E)da / dt = —а/тр или da / а = — (E/y^dt.
Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и начального напряжения erg до текущих значений t и а, получаем выражение, описывающее изменение напряжения со временем, то есть релаксацию напряжения:
а = сщехр ^— —^ ,(13.7)
где т = г]/Е — время релаксации, за которое величина а уменьшается в е раз.
Ползучесть: а = const. В этом случае da/dt = 0, и из уравнения (13.6) следует, что ds/dt = а)тр или ds = (afy^dt. Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и г, получаем выражение, описывающее изменение деформации со временем (ползучесть):
£ = ^a/y^t^(13.8)
то есть под действием постоянной приложенной силы происходит вязкое течение (поршень движется с постоянной скоростью).
Модель Кельвина-Фойгта. Модель Максвелла не учитывает упругости, отличной от той, которая подчиняется закону Гука, то есть упругости, возникающей за счет раскручивания макромолекул (высокоэластичности). Основной особенностью этого вида упругости является необходимость известного промежутка времени для ее развития (аналогия — деформация пружины в вязкой среде). Такая «запаздывающая» упругая реакция представляется моделью Кельвина-Фойгта, в которой пружина и поршень соединены параллельно (рис. 13.9г). Удлинение одинаково для обоих элементов. При воздействии внешней силы общее напряжение равно сумме напряжений на каждом
элементе: <7общ — ^упр + <7ВЯз- Подставляя выражения для каждого элемента, получаем:
^общ — Ее + pdEf dt. (13.9) Деформация системы в момент tj (вывод опускаем) определяется формулой
£1 = (<т/Е')[1 - exp(-tiE/?y)]. (13.10) (При больших #1 экспонента в формуле (13.10) стремится к 0. Поэтому деформация стремится к постоянному значению Е = СТ ) Е\
После прекращения действия силы деформация будет убывать постепенно до полного исчезновения по закону
е = £i ехр(—тЕ/р), T = t — ti. (13.11)
Модель Зинера. В материалах реализуются разные виды деформаций: упругая обратимая (модель — пружина), вязкоупругая обратимая (модель Кельвина-Фойгта) и необратимая (модель — поршень). Сочетание трех моделей, рассмотренных выше, позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие механические свойства тел и, в частности, биологических объектов.
Примером такой модели является модель Зинера (рис. 13.9д), которая состоит из последовательно соединенных упругого элемента и модели Кельвина-Фойгта. Временная зависимость относительной деформации (без вывода) показана на рис. 13.9д. При действии постоянной нагрузки мгновенно растягивается пружина 1, затем вытягивается поршень, и растягивается пружина 2, после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пружины 1, а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение; остаточная деформация отсутствует.
Прочность
Прочность — способность тел выдерживать без разрушения приложенную к ним нагрузку.
Прочность обычно характеризуют величиной предельного напряжения, вызывающего разрушение тела при данном способе деформирования.
Предел прочности — это предельное напряжение, при котором образец разрушается.
При различных способах деформирования значения предела прочности отличаются. Ниже (табл. 13.2) это показано на примере бедренной кости человека и лошади.
Таблица 13.2. Пределы прочности бедренной кости
Предел прочности, МПа
Человек
Лошадь
Сжатие
170
145
Растяжение
124
121
Предел прочности в одном органе существенно различен в его различных тканях. В табл. 13.3. приведены характеристики тканей различных органов.
Таблица 13.3. Прочностные характеристики различных тканей
Вид ткани
Предел прочности на сжатие, МПа
Сплошная кость
147
Минеральный компонент
44
Белковый компонент
0,1
Эмаль
34-45
Дентин
20
Ребро
1-4
Позвонок
7
Компактное вещество бедренной кости
1470-2940
Губчатое вещество бедренной кости
68
Связки крупных суставов
10-16
Кожа (живот)
17-36
Разрушение
Разрушение — макроскопическое нарушение сплошности тела (материала) в результате механических или каких либо иных воздействий.
В процессе разрушения тела можно выделить две стадии: начальную — развитие пор, трещин и конечную — разделение тела на две и более частей.
В зависимости от того, как протекают эти стадии, различают хрупкое и пластическое (вязкое) разрушения.
Рассмотрим, как происходит разрушение однородного стержня при его растяжении. Пусть один конец стержня закреплен, а к другому приложена продольная растягивающая сила, которую постепенно увеличивают. Эта сила вызывает относительное удлинение стержня (г), в результате которого в материале возникает механическое напряжение (ст). На рис. 13.10 показано, как изменяется величина механического напряжения в зависимости от величины относительного удлинения при вязком (1) и хрупком (2) разрушениях.
Рис. 13.10. Зависимость напряжения от относительной деформации при одноосном растяжении для пластичного (1) и хрупкого (2) материалов (О — точка разрушения)
Вязкое разрушение. Прямолинейный участок на диаграмме соответствует упругой деформации, при которой напряжение в материале возрастает пропорционально величине относительного удлинения. Затем начинается область необратимых изменений размеров и формы тела, обусловленная зарождением и развитием трещин в наиболее слабом месте. Скорость протекания процесса вязкого разрушения обычно невелика, а сам процесс можно замедлить (остановить), снизив приложенную нагрузку. Когда относительное растяжение достигает некоторого критического значения, происходит разрушение (разрыв) стержня (точка О).
Хрупкое разрушение. Это разрушение начинается практически сразу после завершения упругой деформации (прямолинейный участок) и характеризуется высокой скоростью протекания процесса. Зародившаяся трещина довольно быстро достигает критического размера, после чего происходит ее стремительное самопроизвольное распространение, завершающееся разрушением.
Основными факторами, определяющими характер процесса разрушения, являются:
свойства материала и состояние вещества (структура вещества, температура, влажность и т.п.);
свойства объекта (конструкционные особенности, размеры, форма, качество поверхности);
динамика силового воздействия (скорость нагружения).
Механические свойства биологическихтканей
Структура материала являются главным фактором, определяющим его механические свойства и характер процесса разрушения. Большинство биологических тканей являются анизотропными композитными материалами, образованными объемным сочетанием химически разнородных компонентов. Состав каждого типа ткани сформировался в процессе эволюции и зависит от функций, которые она выполняет.
Костная ткань. Кость — основной материал опорнодвигательного аппарата. Так, в скелете человека более 200 костей. Скелет является опорой тела и способствует передвижению (отсюда и произошел термин «опорно-двигательный аппарат»). У взрослого человека скелет весит около 12 кг (18 % общего веса).
В компактной костной ткани половину объема составляет неорганический материал — минеральное вещество кости — гид- роксилапатит. Это вещество представлено в форме микроскопических кристалликов. Другая часть объема состоит из органического материала, главным образом коллагена (высокомолекулярное соединение, волокнистый белок, обладающий высокой эластичностью). Способность кости к упругой деформации реализуется за счет минерального вещества, а ползучесть — за счет коллагена.
Кость является армированным композиционным материалом. Например, кости нижних конечностей армированы высокопрочными волокнами в окружных и спиральных перекрещивающихся направлениях.
Механические свойства костной ткани зависят от многих факторов: возраста, заболевания, индивидуальных условий роста. В норме плотность костной ткани равна 2400 кг/м3. Модуль
Юнга Е = 1010 Па, предел прочности при растяжении сгПр = = 100 МПа, относительная деформация достигает 1 %.
При различных способах деформирования (нагружения) кость ведет себя по-разному. Прочность на сжатие выше, чем на растяжение или изгиб. Так, бедренная кость в продольном направлении выдерживает нагрузку 45 000 Н, а при изгибе — 2500 Н.
Запас механической прочности кости весьма значителен и заметно превышает нагрузки, с которыми она встречается в обычных жизненных условиях. Бедренная и берцовая кости выдерживают нагрузку в 25-30 раз больше веса нормального человека.
Механическое поведение костной ткани в первом приближении описывается моделью Зинера.
Кожа. Кожа представляет собой не только совершенный покров тела, но является сложным органом, выполняющим важные функции: поддержание гомеостаза; участие в процессе терморегуляции, регуляция общего обмена веществ в организме, секреторная функция (работа сальных и потовых желез), защита от повреждающего действия механических, физических, химических; инфекционных агентов. Она представляет собой обширное рецепторное поле, воспринимающее извне и передающее в ЦНС целый ряд ощущений. Кожа — граница раздела между телом и окружающей средой, поэтому она обладает значительной механической прочностью.
Кожа — самый крупный орган тела. Она важная анатомофизиологическая часть целостного организма. Функции кожи зависят от состояния всего организма. При различных заболеваниях, в том числе и внутренних органов, в коже происходят те или иные изменения.
Кожу часто рассматривают как гетерогенную ткань, состоящую из 3-х наложенных друг на друга слоев, которые тесно связаны между собой, но четко различаются по природе, структуре, свойствам: эпидермиса, дермы, подкожной клетчатки. Эпидермис покрыт сверху роговым слоем.
Функции каждого слоя, в том числе и механические, отражают биомеханическую природу ее компонентов и их структурную организацию.
В общий состав кожи входят волокна коллагена, эластина и основной ткани — матрицы. Коллаген составляет 75 % сухой массы, а эластин — около 4 %. Плотность кожи в норме (область руки, груди) составляет 1100 кг/м3. Эластин растягивается очень сильно (до 200-300%). Коллаген может растягиваться до 10%. Механические характеристики компонентов кожи:
коллаген Е = 10-100 МПа, сгпр — Ю0 МПа;
эластин - Е = 0,5 МПа, ггПр — 5 МПа.
Кожа является вязкоупругим материалом с высокоэластичными свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется.
При исследовании механических свойств кожи с помощью акустического анализатора тканей, позволяющего оценивать скорость распространения акустических возмущений звукового диапазона (5-6 кГц) была выявлена акустическая анизотропия кожи. Это проявляется в том, что скорость распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях — вдоль вертикальной оси (У) и горизонтальной (X) осей тела, различаются. Для количественной оценки степени выраженности акустической анизотропии был использован коэффициент анизотропии К (см. лекцию 5).
Проявление акустической анизотропии находится в соответствии с ориентацией линий естественного натяжения кожи, так называемых линий Лангера. Ориентация линий Лангера на коже лица и ладони представлена на рис. 13.11.
Рис. 13.11. Ориентация линий Лангера на коже лица и ладони
Сопоставление ориентации линий Лангера и акустической анизотропии показано на рис. 13.12.
Рис. 13.12. Проявление акустической анизотропии и ориентация линий Лангера на различных участках кожи
Мышечная ткань. Мышечная активность — это одно из общих свойств высокоорганизованных живых организмов. Вся жизнедеятельность человека связана с мышечной активностью. Она обеспечивает работу отдельных органов и целых систем: работу опорно-двигательного аппарата, легких, сосудистую активность, желудочно-кишечного тракта, сократительную способность сердца и т. д. Нарушение работы мышц может приводить
к патологии, а ее прекращение — даже к летальному исходу (например, смерть при электротравме от удушья в результате парализации дыхательных мышц).
Мышцы разнообразны по форме, размерам, особенностям прикрепления, величине максимально развиваемого усилия. Количество мышц превышает число звеньев тела. Каждая мышца состоит из большого числа двигательных единиц, каждая из которых управляется через собственный мотонейрон. Таким образом, количество управляющих воздействий в мышечной (нервномышечной) системе огромно. Тем не менее эта система обладает удивительной надежностью и широкими компенсаторными возможностями, способностью не только многократно повторять одни и те же стандартные комплексы движений, но и выполнять нестандартные произвольные движения.
Деятельность мышц отражается в структурах движения. Благодаря этому становится возможным, наблюдая движение, получать информацию о мышечной регуляции движения и ее нарушениях. Такой возможностью широко пользуются при диагностике заболеваний, при разработке специальных тестов для контроля двигательных навыков у спортсменов.
Независимо от назначения, особенности строения и способов регуляции принцип работы различных мышц организма одинаков.
В состав мышц входит совокупность мышечных клеток (волокон), внеклеточное вещество (соединительная ткань), состоящее из коллагена и эластина. Поэтому механические свойства мышц подобны механическим свойствам полимеров. Мышцы по строению разделяются на два вида: гладкие мышцы (кишечник, стенки сосудов, желудка, мочевого пузыря) и скелетные (мышцы сердца, мышцы, крепящиеся к костям и обеспечивающие движение головы, туловища, конечностей).
Среднее значение плотности мышечной ткани равно 1050 кг/м3. Модуль Юнга Е = 105 Па. Поведение гладких мышц во многих случаях описывается моделью Максвелла. Они могут значительно растягиваться без особого напряжения, что способствует увеличению объема полых органов, например мочевого пузыря. Мышцы способны деформироваться на десятки процентов, чему способствует распрямление молекул коллагена.
Механизм поведения скелетной мышцы соответствует модели Зинера с соответствующими параметрами упругостей и вязкости.
Для исследования характеристик сокращения мышц реализуют два искусственных режима.
Изометрический режим — когда напряжение мышцы происходит в искусственных условиях сохранения ее длины, что достигается с помощью фиксатора. Изотонический режим — когда искусственно поддерживается постоянство напряжения мышцы. Например, мышца поднимает постоянный груз Р = const, а регистрируется изменение ее длины при сокращении.
В процессе жизнедеятельности мышцы непрерывно подстраиваются под внешнюю нагрузку. Но сохранение напряжения в мышечной ткани требует непрерывного подвода энергии. Расход энергии приводит к усталости мышц. Только обморок или смерть прерывают мышечные процессы.
Сосудистая ткань. Механические свойства кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Содержание этих составляющих сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной системы. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон, в артериолах они уже являются основной составляющей сосудистой ткани.
Так как стенки кровеносных сосудов построены из высокоэластичного материала, то они способны к значительным обратимым изменениям размера при действии на них деформирующей силы. Деформирующая сила создается избиточним внутренним давлением.
Рассмотрим деформацию сосуда как результат действия давления изнутри на упругий цилиндр. Имеется часть цилиндрического кровеносного сосуда длиной L, с толщиной стенок h и внутренним радиусом г. Сечение вдоль и поперек оси цилиндра показаны на рис. 13.13.
Две половинки сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок цилиндра (заштрихованные области на рис. 13.13а). Общая площадь этого сечения, вдоль которого взаимодействуют обе половинки сосуда, равна 26 L. Если в сосудистой стенке существует механическое напряжение а то сила взаимодействия
двух половинок равна
(13.12)(13.12)F = cr2hL.
(13.12)
(13.12)
Эта сила уравновешивается силами избыточного давления на цилиндр изнутри (они показаны стрелками на рис. 13.13а). Силы направлены под разными углами к горизонтальной плоскости. Для того чтобы найти их равнодействующую, следует просуммировать горизонтальные проекции. Однако проще найти равнодействующую силу, если умножить давление на проекцию площади полуцилиндра на вертикальную плоскость ОО\ Эта проекция равна 2r L. Тогда выражение для силы через избыточное давление имеет вид
(13.13)(13.13)F = P2rL.
(13.13)
(13.13)
Приравнивая (13.12) и (13.13), получим &2hL = P2rL, откуда
о- = Pr/h.(13.14)
Это соотношение называется уравнением Ламе.
Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек оси (б)Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек оси (б)
Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек оси (б)
Рис. 13.13. Сечения цилиндрического сосуда вдоль оси (а) и поперек оси (б)
Элементы реабилитологии
Представления о механических свойствах биологических тканей важны для различных медико-реабилитационных направлений.
Повреждения трубчатых костей. Ниже для примера рассмотрены повреждения, характерные для длинных трубчатых костей. Разрушения таких костей можно рассматривать, как
разрушения стержня при воздействии нагрузок в продольном или поперечном направлениях.
Продольные нагрузки (сжатие) возникают, например, при падении на кисть вытянутой руки, на руку, согнутую в локтевом суставе или на согнутое колено (рис. 13.14).
Рис. 13.14. Повреждение нижнего эпифаза бедренной кости вследствиеразрывных или сдвиговых деформаций возможно при падении на со-гнутое колено
В спортивной практике часто имеет место повреждение костей вследствие их изгиба под влиянием внешнего воздействия. Зона начала разрушения диафиза длинной трубчатой кости при изгибе располагается на выпуклой стороне (рис. 13.15) дуги, где сосредотачиваются наибольшие значения растягивающих напряжений.
Рис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие, г — растягивающие усилияРис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие, г — растягивающие усилия
Рис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие, г — растягивающие усилия
Рис. 13.15. Схема разрушения диафиза длинной трубчатой кости вследствие изгиба: а, б — векторы внешних усилий, в — сжимающие, г — растягивающие усилия
Другой вид повреждений больших трубчатых костей, сопровождающийся множественными переломами, возникает при ударе тупым предметом (рис. 13.16).
Рис. 13.16. Схема механизма образования фрагментарного перелома диафиза с равномерным (а) и с неравномерным сечением (б) при воздействии тупым предметом
Травма лица. Часто при повреждениях мягких тканей, особенно на открытых участках тела, в посттравматическом периоде применяют простые методы с использованием подручного материала. Так, для устранения асимметрии лица после травмы проводится лейкопластырное натяжение со здоровой стороны на больную, рис. 13.17.
Лейкопластырное натяжение направлено против тяги мышц здоровой кожи и осуществляется прочной фиксацией другого свободного конца пластыря к специальному шлему — маске, изготовленному индивидуально.
Рис. 13.17. Устранение асимметрии лица с помощью лейкопластыря
Акустическая анизотропии кожи — диагностический параметр. Проявление акустической анизотропии в различных участках кожи представлено в табл. 13.5, где указаны преимущественные соотношения скоростей и коэффициенты акустической анизотропии (данные указаны для лиц 18-30 лет). Доля проявления соответствующей акустической анизотропии указана для лиц нормального телосложения.
Таблица 13.4. Проявление акустической анизотропии в коже
Область измерений
Соотношение скоростей
Коэффициент анизотропии
Доля проявления
Лоб (середина)
vy > vx
К+
90%
Лоб (края)
vy < vx
К-
90%
Веко верхнее
Гу < vx
к_
95%
Щека (середина)
Гу < vx
к_
70%
Предплечье
Vy > vx
К+
83%
Запястье
Vy < vx
к_
85%
Пальцы
Vy > vx
К+
80%
Ладонь
Vy < vx
к_
90%
Лопатка
Vy < vx
к_
87%
Молочная железа
Vy < vx
К-
88%
Грудь
Vy < vx
К-
93%
Поясница
Vy < vx
К-
85%
Живот (средн, лин.)
Vy < vx
к_
79%
Подколенный сгиб
Vy < vx
к_
75%
Голень
Vy > vx
к+
94%
Степень анизотропии кожи при некоторых патологиях силь
но изменяется: например, при псориазе, при атопических дерматитах (особенно в областях сгибательных поверхностей) или в коже верхнего века при прогрессирующей близорукости. Анизотропия кожи лица, особенно в области лба позволяет оценивать возрастные изменения. Многочисленные исследования в самых различных областях медицины показали, что анизотропия кожи является объективным диагностическим критерием.
В спортивной и космической медицине следует знать устойчивость различных биологических структур по отношению к различным деформациям. В челюстно-лицевой хирургии, пластической хирургии и косметологии механические свойства тканей определяют объем воздействия и служат объективным критерием для оценки эффективности лечения. В травматологии и ортопедии вопросы механического воздействия на организм являются определяющими.
Лекция 14
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕМОДИНАМИКИ
Гидродинамическая модель кровообращения.
Сердце как насос.
Пульсовая волна.
Физические основы клинического метода измерения давления крови.
Элементы реабилитологии. Значение давления крови и эластичности сосудов.
Гемодинамика — раздел биомеханики, в котором исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов.
Гидродинамическая моделькровообращения
Модель Франка — это гидродинамическая модель (с сосредоточенными параметрами) кровеносной системы. В ней решается задача: установить связь между ударным объемом крови, гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения и изменением давления в артериях.
Схематическое представление модели изображено на рис. 14.1.
Рис. 14.1. Модель Франка
Элементы модели:
УР — упругий резервуар, артериальная часть системы кровообращения;
Q — объемная скорость кровотока, с которой кровь из сердца поступает в упругий резервуар;
Qo — объемная скорость кровотока, с которой кровь оттекает от УР в периферическую систему;
Хо — гидравлическое сопротивление периферической системы (артериолы, капилляры). Оно постоянно и моделируется жесткой трубкой на выходе из УР.
В данной модели предполагается:
упругость материала стенок является линейной (справедлив закон Гука);
толщина стенок не меняется.
Объем крови в УР в любой момент времени определяется следующим соотношением:
V = V^kP.(14.1)
где Vq — объем УР при отсутствии давления (Р = 0), к — коэффициент эластичности.
Продифференцировав соотношение (14.1), получим:
dV/dt = kdP/dt.(14.2)
Далее из очевидных соображений имеем следующее уравнение:
Q = dV/dt + Qo,(14.3)
показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца равна скорости возрастания объема dV/dt для упругого резервуара и скорости оттока Qo крови из упругого резервуара в периферическую систему.
Для периферической части системы Qo имеем по формуле Пуазейля:
Qo = (р - Ро)/Хо,(14.4)
где Р — давление в упругом резервуаре (в начале трубы); Pq — давление в конце трубы, то есть в конце периферической системы.
В месте впадения полых вен в сердце Pq = 0, поэтому имеем:
Qo = Р/Хо.(14.5)
Окончательно для объемной скорости кровотока получаем:
Q = dV/dt + Р/Хо, или Q = kdP/dt + Р/Хо. (14.6)
Из последнего выражения можно получить важные соотношения, описывающие рассматриваемую модель. Для этого перепишем (14.6) в виде
Qdt = kdP + ^PfX^dt, (14.7)
а затем проинтегрируем. Выберем для времени следующие пределы интегрирования: нижний предел равен 0; верхний предел равен периоду пульса Тп (периоду сокращения сердца).
Этим временным пределам соответствуют одинаковые давления, равные, например, диастолическому давлению Рд. Запишем интегралы с указанием пределов интегрирования:
тпQdt = отпQdt = оТп kdp + ^~ оТп kdp + ^~ оPdt.Pdt.(14.8)(14.8)
тп
Qdt = о
тп
Qdt = о
Тп kdp + ^~ о
Тп kdp + ^~ о
Pdt.
Pdt.
(14.8)
(14.8)
Pdt.Pdt.(14.9)(14.9)У первого интеграла верхний и нижний пределы одинаковы, поэтому он равен 0. Окончательно получим:
Pdt.
Pdt.
(14.9)
(14.9)
Qdt = V
J Ло Jоо
Теперь воспользуемся экспериментальной кривой (рис. 14.2), показывающей зависимость давления в сонной артерии от времени.
Рис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращенияРис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращения
Рис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращения
Рис. 14.2. Зависимость давления от времени за период сокращения
На рис. 14.2 показаны: Тс — длительность систолы, ТД — длительность диастолы, Рс — максимальное систолическое давление, Рд — минимальное диастолическое давление.
Проанализируем соотношение (14.9). Левая часть равна объему крови, который выталкивается из сердца за одно сокращение, то есть это ударный объем крови. Он может быть найден экспериментально.
Ударный объем крови — объем крови, выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу.
тп
Интеграл Pdt соответствует площади фигуры, ограниченной о
кривой давления и осью времени. Его также можно найти экспериментально.
Во время систолы (сокращения сердца) происходит расширение упругого резервуара. Во время диастолы происходит отток крови к периферии. Для этого периода имеем Q = 0, и уравнение (14.7) принимает вид
dP/P = -dt^kX^.(14.10)
Проинтегрировав полученное выражение, получим зависимость давления в резервуаре после систолы от времени (учитывая, что t = 0 соответствует началу диастолы):
Р = Рсехр(-^/^Х0).(14.11)
Эта теоретическая формула приближенно описывает спад давления на рис. 14.2.
Подставив (14.11) в (14.5), получим приближенную формулу для скорости оттока крови во время диастолы:
Q0 = Qcexp(-t/kX0Y(14.12)
где Qc = Рс/Х^ — объемная скорость кровотока из УР в конце систолы.
Таким образом, хотя модель Франка лишь приближенно описывает реальное явление, она проста и качественно верно отражает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются. В более точных моделях используется большее количество эластичных резервуаров (модели с распределенными параметрами).
Сердце как насос
Для поддержания электрического тока в замкнутой цепи требуется источник тока, который создает разность потенциалов, необходимую для существования тока при наличии сопротивления в цепи. Аналогично, для поддержания движения
жидкости в замкнутой гидродинамической системе требуется «насос», который создает разность давлений, необходимую для поддержания движения жидкости при наличии гидравлического сопротивления. В системе кровообращения роль такого насоса играет сердце.
При сокращениях сердца стенки желудочков воздействуют на находящуюся в них кровь. Полная сила F, действующая на содержащуюся в полости желудочка кровь, определяется формулой F = PS, где Р — давление, S — площадь внутренних стенок полости желудочка. Оценим силу, развиваемую сердцем с помощью упрощенной модели, в которой желудочек принимается за сферу. При нормальной работе сердца человека объем желудочка меняется от 85 см3 (85 • 10-6 м3) в начале систолы до 25 см3 (25 • 10-6 м3) в конце ее. Используя геометрические формулы для площади сферы и объема шара, можно рассчитать, что поверхности стенок при этих объемах равны, соответственно, 93,7 см2 (93,7 • 10-4 м2) и 41,2 см2 (41,2 • 10-4 м2). Тогда полная сила, развиваемая сердцем в начале систолического выброса (Р = 70 мм рт. ст. = 9300 Па), равна 87 Н; в конце систолы (Р = 120 мм рт.ст. = 16 000 Па) развиваемая сердцем сила равна 66 Н. Это означает, что в результате сокращения объема желудочка и площади его стенок сердце развивает меньшую силу при наибольшем давлении.
Работу сердца как насоса можно представить следующими фазами.
Вследствие эластичности стенок крупные артерии за время систолы воспринимают больше крови, чем ее отток к периферии. Схема явлений, происходящих в большом круге кровообращения, такова.
При каждом сокращении левого желудочка в аорту, уже заполненную кровью, при некотором давлении выталкивается ударный объем крови, равный приблизительно Ууд = 60-70 см3. Затем клапан аорты закрывается, поэтому кровь не течет в обратном направлении.
В аорте происходит следующее: дополнительный объем крови повышает давление в ней и вызывает растяжение ее стенок, что приводит к увеличению ее объема. Сосудам при этом сообщается потенциальная энергия, переданная им сердцем через ток крови. При этом возникает систолическое давление крови Рс. Во время расслабления сердца (диастолы) растянутые кровеносные сосуды (стенки аорты) спадают до исходного состояния. Их потенциальная энергия Еп переходит в кинетическую энергию тока крови Ек. При этом поддерживается диастолическое давление Рд. Происходит проталкивание поступившего объема крови в прилегающие крупные артерии. Стенки последних, в свою очередь, растягиваются и затем сокращаются, проталкивая кровь в последующие звенья сосудистой системы. В результате ток крови принимает непрерывный характер.
При таком механизме продвижения крови происходит следующее расходование энергии, высвобождаемой при сокращении сердечной мышцы.
Пульсовая волна
Возникшая в кровеносном сосуде деформация распространяется в виде пульсовой волны.
Пульсовая волна — распространяющаяся по аорте и артериям волна повышенного (над атмосферным) давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в период систолы.
Пульсовая волна распространяется со скоростью Vn = = 5-10 м/с. За время систолы она пройдет путь, равный S = VnZc = 1,5-3 м, что больше расстояния от сердца до конечностей. Это означает, что фронт пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте. Профиль артерии в различные фазы волны схематически показан на рис. 14.3.
Перед прохождениемпульсовой волныПеред прохождениемпульсовой волныВ артериипульсовая волнаВ артериипульсовая волнаЧерез артерию начинаетпроходить пульсовая волна
Перед прохождениемпульсовой волны
Перед прохождениемпульсовой волны
В артериипульсовая волна
В артериипульсовая волна
Спад пульсового давления,Прохождение пульсовой
кровь проталкивается сокращением стенокволны закончено
Рис. 14.3. Профиль артерии при прохождении пульсовой волны
Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови существенно меньше скорости распространения пульсовой волны. Скорость кровотока составляет 0,3-0,5 м/с.
Сокращение сердца имеет периодический характер, что приводит к периодическим изменениям давления.
Характер распределения давления в различных участках сосудистого русла представлен на рис. 14.4. Здесь показано превышение давления над атмосферным.
Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения давления)Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения давления)
Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения давления)
Рис. 14.4. Распределение давления в различных участках сосудистого русла (вертикальные отрезки показывают амплитуду изменения давления)
7 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Из рис. 14.4 видно, что при переходе к более мелким сосудам амплитуда колебаний давления уменьшается и в капиллярах спадает до нуля. Это показано на рис. 14.5, на котором показаны временные зависимости давления для артерии и артериолы.
Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (5)Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (5)
Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (5)
Рис. 14.5. Колебания давления в артерии (а) и артериоле (5)
Вязкость крови и упруговязкие свойства кровеносных сосудов обусловливают затухание пульсовой волны. Можно считать, что затухание экспоненциально. То есть для амплитуды пульсовой волны (АР = Рщах — Pmin) можно записать:
АР = АРоехр(—кх^(14.13)
где АРо — амплитуда давления в начале сосуда, АР — амплитуда давления на расстоянии ж от начала; к — коэффициент затухания волны, увеличивающийся с уменьшением сечения сосуда.
Скорость пульсовой волны в крупных сосудах (для тонкостенной упругорастяжимой трубы) равна
(14.14)(14.14)Vn = VEhjpd,
(14.14)
(14.14)
где Е — модуль упругости, h — толщина стенки сосуда, р — плотность вещества сосуда, d — диаметр сосуда.
Физические основы клинического методаизмерения давления крови
В медицине широко используется метод измерения давления крови, предложенный Н.С. Коротковым (1905), который состоит в следующем.
Вокруг руки между плечом и локтем накладывают манжету, в которую накачивают воздух. Как только давление в манжете
Рис. 14.6. Манжета всегда накладывается на уровне сердцаРис. 14.6. Манжета всегда накладывается на уровне сердцапревысит давление крови в плечевой артерии, кровоток прекращается. При стравливании воздуха из манжеты кровоток возобновляется сначала частично, а потом полностью. По манометру фиксируют давления, при которых начинается и заканчивается восстановление кровотока.
Рис. 14.6. Манжета всегда накладывается на уровне сердца
Рис. 14.6. Манжета всегда накладывается на уровне сердца
Манжету накладывают всегда в области плечевой артерии, рис. 14.6.
Такой выбор места для наложения манжеты позволяет стандартизовать результаты, так как плечевая артерия в опущенной руке находится на уровне сердца, и измеряемое давление совпада
ет с давлением крови в ближайшей к сердцу части аорты. Если бы давление измерялось, например, на щиколотке, то результат измерения зависел бы от роста человека и его положения (вертикальное, горизонтальное, сидя).
Рассмотрим физические основы этого метода. Схема процес-
сов, последовательно проявляющихся при измерении давления, представлена на рис. 14.7.
Сначала избыточное давление Ри воздуха в манжете отсутствует и кровоток не прерывается.
По мере закачивания воздуха в манжету последняя сдавливает плечевую артерию. Когда давление в манжете превысит систолическое давление (Рс), кровоток прекращается.
Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете. Когда давление на артерию станет равным систолическому, кровь начнет проталкиваться через сдавленную артерию. В ней создается поток, сопровождающийся шумами. Эти шумы обусловлены вибрацией стенок артерии непосредственно за манжетой под действием толчков от порций крови, которые прорываются сквозь сжатый манжетой участок сосуда. Эти шумы хорошо прослушиваются через фонендоскоп. В момент появления шумов по манометру регистрируется систолическое давление («верхнее давление»).
Когда давление в манжете станет меньше диастолического давления Рд, манжета перестанет пережимать артерию. Кро-
воток прерываться перестанет, и шумы, связанные с вихрями, прекращаются. В момент прекращения шумов по манометру регистрируется диастолическое давление («нижнее давление»).
г) РД>РИг) РД>РИв) РД<РЙ<РСв) РД<РЙ<РСРис. 14.7. Схема измерения давления кровиРис. 14.7. Схема измерения давления крови
г) РД>РИ
г) РД>РИ
в) РД<РЙ<РС
в) РД<РЙ<РС
Рис. 14.7. Схема измерения давления крови
Рис. 14.7. Схема измерения давления крови
Описанный метод имеет тенденцию заниэюатъ «верхнее давление» и завшшатъ «нижнее давление» Причина этого понятна из рис. 14.8. Прямой линией показано изменение давление в манжете. «Синусоида» показывает характер изменения артериального давления. «Верхнее» и «нижнее» давления, фиксируемые по показаниям манометра, отмечены жирными точками. Видно, что при быстром «стравливании» давления в манжете погрешности становятся больше.
Рис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального давления при медленном (а) и быстром (5) «стравливании» давления в манжетеРис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального давления при медленном (а) и быстром (5) «стравливании» давления в манжете
Рис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального давления при медленном (а) и быстром (5) «стравливании» давления в манжете
Рис. 14.8. Погрешности, возникающие при измерении артериального давления при медленном (а) и быстром (5) «стравливании» давления в манжете
Элементы реабилитологии
Значение давления крови и эластичности сосудов. Артериальное давление необходимо контролировать при всех медико-реабилитологических мероприятиях. В норме в течение каждого сердечного цикла артериальное давление меняется от 16 кПа (120 мм рт. ст.) до 10 кПа (80 мм рт. ст.). Эти числа показывают, насколько давление крови в артерии выше атмосферного давления.
Величина артериального давления определяется в основном следующими факторами:
силой, с которой кровь во время систолы выталкивается в сосудистое русло;
эластичностью стенок сосудов;
сопротивлением сосудистого русла, зависящим от величины просвета сосудов и вязкости крови.
Уровень артериального давления изменяется при мышечной нагрузке, при эмоциональных напряжениях, при изменениях функционального состояния, при воздействии ряда физических факторов (звук высокой интенсивности, ультразвук, инфразвук, вибрация, перегрузки и т. д.). Повышением артериального давления сопровождаются некоторые заболевания почек (почечная гипертензия). Величина кровяного давления также изменяется при заболеваниях, связанных с нарушением нервной регуляции просвета сосудов. В одних случаях имеет место увеличение давления до 220/120 мм рт. ст. (гипертония), в других давление снижается ниже нормы до величины 90/60 мм рт. ст.
Чрезмерное снижение внешнего давления представляет серьезную опасность для организма. Длительному нахождению при пониженном давлении подвергаются, например, альпинисты. Опасности попасть в условия с сильно пониженным давлением подвергаются летчики и космонавты.
Исследования показали, что снижение внешнего давления ниже 267 мм рт. ст. (что соответствует высоте 8 км) может привести к развитию «декомпрессионных расстройств». Если внешнее давление падает до 40 мм рт. ст., то такие нарушения становятся необратимыми. Снижение внешнего давления до опасных уровней предотвращается использованием систем герметизации кабин, специальных скафандров, гермошлемов и т. д.
Установлено, что нормальная жизнедеятельность космонавта обеспечивается и при снижении давления до 500 мм рт. ст. Оптимальное парциальное давление кислорода в кабине не должно превышать 420 мм рт. ст. — большие концентрации оказываются вредными. Соотношение между общим давлением и парциальным давлением кислорода регулируется химическим путем — с помощью регенерации.
С возрастом, в связи с развитием склеротических изменений, сосуды теряют эластичность, становятся жесткими, поэтому их положительное влияние на деятельность сердечно-сосудистой системы резко снижается. Пульсовые колебания кровотока возрастают, эффективность работы сердца снижается, а нагрузка на него растет. Кроме того, наличие склеротических изменений в сосудах, в соответствии с формулой Пуазейля, значительно меняет скорость кровотока, и, следовательно, питание тканей. При этом существенно меняются различные регуляторные воздействия. Так, вместо расширения сосуды часто надолго суживаются, что ведет к нарушению кровоснабжения (ведь объем кровотока пропорционален четвертой степени ширины просвета сосуда). Это приводит к ухудшению функции мозга, сердца и других органов.
В области склеротических изменений имеет место не только сужение просвета сосуда, но и возникновение турбулентности, что приводит к образованию внутрисосудистых тромбов. При резких перепадах давления они могут оторваться и, попадая в сосуды мозга или сердца, перекрыть кровоток (тромбоэмболия), что приводит к развитию тяжелых осложнений.
Лекция 15
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Электрический заряд.
Закон Кулона, электростатическое поле, напряженность.
Потенциал, разность потенциалов.
Проводники и диэлектрики, относительная диэлектрическая проницаемость.
Магнитное поле, магнитная индукция.
Магнитное поле в веществе, относительная магнитная проницаемость.
Электромагнитная индукция. Токи Фуко.
Характеристики электрического и магнитного полей, которые создаются биологическими системами или действуют на них, являются источником информации о состоянии организма.
Электрический заряд
Все тела состоят из атомов, которые, в свою очередь, состоят из элементарных частиц. Важнейшей характеристикой этих частиц является электрический заряду который обусловливает электромагнитное взаимодействие между ними. По признаку электрического заряда различают три класса элементарных частиц:
отрицательно заряженные частицы (например, электрон);
полоэюительно заряженные частицы (например, протон); в) электронейтральные частицы (например, нейтрон).
Одноименные частицы отталкиваются, а разноименные — притягиваются.
Электроны и протоны имеют одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды. Самая минимальная порция электрического заряда — это заряд электрона, абсолютная величина которого в международной системе единиц (СИ) равна е = 1,67 х х 10"19 Кл.
Тела, в которых количество электронов и протонов одинаково, называются незаряженными.
Если по какой-то причине равенство между числом электронов и протонов нарушено, тело называется заряженным и его электрический заряд определяется формулой:
Q = e(np-ne),(15.1)
где пр — число протонов, а пе — число электронов.
Закон Кулона, электростатическое поле,напряженность
Наиболее простой вид электромагнитное взаимодействие имеет для неподвижных зарядов. Такое взаимодействие называется кулоновским^ или электростатическим.
Закон Кулона. В вакууме сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
р = 1 ЫЫ4ttso г2
где Qi, q2 — модули зарядов, т — расстояние между ними, so — константа, называемая электрической постоянной. Ее значение в международной системе (СИ) равно so = 8,85 • 10-12 Ф/м.
Кулоновское взаимодействие представлено на рис. 15.1.
FгF
-<• •w
92
Рис. 15.1. Кулоновское взаимодействие одноименных зарядов
Электрическое поле есть разновидность материи, посредством которой осуществляется силовое воздействие на электрические заряды, находящиеся в этом поле. Электрическое поле есть одна из форм проявления электромагнитного поля.
То есть электрическое поле создается зарядами, основное свойство электрического поля — действие на заряды. Силовой характеристикой электрического поля является векторная величина, называемая напряженностью поля.
Напряэк^ш электрического поля (Е) равна отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к величине этого заряда:
E = F/q, [В/м].E = F/q, [В/м].(15.3)(15.3)
E = F/q, [В/м].
E = F/q, [В/м].
(15.3)
(15.3)
Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.
Напряженность электрического поля, созданная точечным зарядом Q на расстоянии г от него, равна
Е = Q^e^Y (15.4)
Электрическое поле графически представляется силовыми линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля. Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки. На рис. 15.2 изображены силовые линии однородного и неоднородного полей.
+ Е -+ Е -Силовые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля.Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поляСиловые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля.Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поля
+ Е -
+ Е -
Силовые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля.
Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поля
Силовые линии однородного поля. Силовые линии неоднородного поля.
Рис. 15.2. Графическое изображение электрического поля
Потенциал, разность потенциалов
При перемещении заряда из одной точки поля в другую силы поля совершают работу, которая не зависит от формы пути. Отношение работы к заряду не зависит от заряда и является энергетической характеристикой поля, относящейся к двум конкретным точкам. Эта характеристика называется разностью потенциалов:
Ui,2 = ^1 - ^2 = A/q, [В].(15.5)
Потенциал (р) точки электрического поля чис-ленно равен работе, совершаемой силами поля, по
перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечно удаленную точку пространства:
р = А/q.(15.6)
Для потенциала поля точечного заряда Q в вакууме (на расстоянии г от него) справедлива формула
Ут.з = Q/4-neoT.(15.7)
Потенциал и разность потенциалов — скалярные величины.
В однородном поле существует связь между напряженностью и разностью потенциалов:
- ^2 = Ed.(15.8)
где d — расстояние вдоль силовой линии между точками с потенциалами ф1 и ^2*
Проводники и диэлектрики, относительнаядиэлектрическая проницаемость
Свободные молекулы имеют одинаковое число электронов и протонов, и поэтому их заряд равен нулю. Однако в веществе молекула может либо потерять часть своих электронов, либо распасться на ионы. В этом случае в веществе появятся заряды, способные к самостоятельному перемещению.
Заряды, находящиеся внутри вещества и способные перемещаться на макроскопические расстояния, называются свободными.
Вещества, в которых имеются свободные заряды, называются проводниками. а вещества, в которых их нет — диэлектриками.
Если в электрическое поле с напряженностью Eq поместить проводник. то свободные заряды перераспределятся таким образом, что созданное ими электрическое поле Еи скомпенсирует внешнее поле и результирующая напряженность внутри проводника станет равной нулю (рис. 15.3). Это явление называется электрической индукцией.
Е0Е0+
Е0
Е0
+ Е = Ео+Еи = О
+
Рис. 15.3. Компенсация внешнего электрического поля в проводнике
ЕЕРис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрикеРис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрикеЕсли в электрическое поле (Eq) поместить диэлектрик, то его полярные молекулы будут «стремиться» расположиться вдоль поля и на поверхности диэлектрика появятся связанные заряды. Напряженность созданного ими электрического поля Еп направлена против Eq, но (в отличие от проводников) компенсирует внешнее поле не полностью. Поэтому поле внутри диэлектрика уменьшается не до нуля (рис. 15.4). Это явление называется поляризацией диэлектрика.
Е
Е
Рис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрике
Рис. 15.4. Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрике
Относительная диэлектрическая проницаемость (s) (часто называемая просто диэлектрической проницаемостью) — безразмерная, скалярная величина, показывающая, во сколько раз напряженность электрического поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с полем в вакууме:
е = Eq)Е (для вакуума е = 1).(15.9)
Магнитное поле, магнитная индукция
Магнитное поле есть разновидность материи, посредством которой осуществляется силовое воздействие на движущиеся электрические заряды, помещенные в поле, и другие тела, обладающие магнитным моментом. Магнитное поле есть одна из форм проявления электромагнитного поля.
То есть магнитное поле порождается током, магнитами и движущимися зарядами. Оно обнаруживается по действию на внесенные в него токи, магниты, движущиеся заряды.
Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Его удобно определять по ориентирующему действию магнитного поля на маленький контур с током / и площадью S, внесенный в данную точку поля. Характеристикой контура является величина рт = IS — магнитний момент контура с током. Для плоского контура с током вектор рт расположен перпендикулярно плоскости контура и связан с направлением тока / правилом правого винта.
По противоположным сторонам контура токи текут в противоположных направлениях. Поэтому на них действуют противоположные силы, которые создают врагцателъный момент М. Величина вращательного момента зависит от ориентации плоскости рамки (рис. 15.5).
Существует положение, в котором вращающий момент равен 0 (положение равновесия).
Если плоскость рамки расположена перпендикулярно положению равновесия, то вращающий момент максимален —
Рис. 15.5. Контур с током в магнитном полеРис. 15.5. Контур с током в магнитном поле
Рис. 15.5. Контур с током в магнитном поле
Рис. 15.5. Контур с током в магнитном поле
Величину Мтах используют при выборе характеристики магнитного поля — магнитной индукции.
Магнитная индукция (В) в некоторой точке поля равна отношению максимального вращающего момента, действующего на контур с током в однородном магнитном поле, к магнитному моменту этого контура:
(15.10)(15.10)В — Мтах / рт
(15.10)
(15.10)
Вектор В совпадает по направлению с вектором рт в положении устойчивого равновесия контура. Единицей магнитной индукции является тесла [Тл].
Магнитное поле графически изображается с помощью линий магнитной индукции (магнитные силовые линии). Касательные к силовым линиям показывают направление вектора В в соответствующих точках. Густота линий пропорциональна модулю вектора В. В отличие от силовых линий электростатического поля, линии магнитной индукции замкнуты (рис. 15.6).
Прямой проводВитокПостоянный магнит
Рис. 15.6. Линии магнитной индукции
Магнитная индукция в центре кругового витка радиусом R с током / равна
В =y^I/2R.(15.11)
Магнитная индукция В на расстоянии r от прямолинейного бесконечного проводника с током / равна
В = /10//2тгг.(15.12)
Величина уо = 4тг10-7 Гн/м есть магнитная постоянная.
Зная значение магнитной индукции (В) в данном месте, можно вычислить силу, действующую со стороны магнитного поля на проводник с током или движущийся заряд.
Сила Ампера, действующая на прямолинейный участок проводника с током, перпендикулярна как направлению В, так и проводнику с током:
F = BL/sina,(15.13)
где / — сила тока, L — длина проводника, а — угол между направлением тока и вектором В.
Сила Лоренца, действующая на движущийся заряд, перпендикулярна как направлению В, так и направлению скорости заряда:
F = BV^sina,(15.14)
где q — заряд, V — его скорость, а — угол между направлением V и В.
Характеристикой магнитного поля является также магнитный поток Ф, определяемый числом магнитных силовых линий, пронизывающих какую-либо площадку. Магнитный поток через площадку S вычисляется по формуле
Ф = В5со8<а,(15.15)
где а — угол между вектором В и вектором нормали п к площадке S. Магнитный поток измеряется в веберах [Вб]. Магнитный поток — это скалярная величина.
Магнитное поле в веществе, магнитнаяпроницаемость
Вещество, создающее собственное магнитное поле, называется намагниченным. Намагниченность возникает при помещении вещества во внешнее магнитное поле. Магнитная индукция в веществе В выражается через магнитную индукцию внешнего поля Bq (в той же точке пространства) по формуле:
В = дВ0,(15.16)
где // — относительная магнитная проницаемость вещества.
Относительная магнитная проницаемость вещества (д) — это безразмерная, скалярная величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в веществе изменяется по сравнению с магнитной индукцией поля в вакууме.
Для вакуума /1 = 1. Остальные вещества по своим магнитным свойствам делятся на три группы:
диамагнетики, у которых ц < 1;
парамагнетики, у которых д > 1;
ферромагнетики, у которых ц >> 1, ц = f(B\
Электромагнитная индукция. Токи Фуко
По закону Фарадея при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в нем возникает ЭДС (8) электромагнитной индукции, которая равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:
g = -АФ/АЛ (15.17)
Явление электромагнитной индукции используется, например, для производства электроэнергии. В некоторых случаях это явление проявляется и при отсутствии специально созданного контура. Пусть в переменном магнитном поле находится проводящее вещество. Любой сплошной проводник можно рассматривать как «набор» вложенных друг в друга замкнутых контуров. Изменение магнитного поля приводит к изменению магнитного потока, поэтому в каждом контуре возникнет электрический ток, протекание которого вызовет выделение теплоты. Такие токи называются токами Фуко. В технике с токами Фуко приходится бороться (потери энергии). Однако в медицине эти токи находят применение в физиотерапии.
Лекция 16
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МЕМБРАНАХ
Функции мембран.
Структура и модели мембран.
Физические свойства мембран.
Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика.
Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение Нернста-Планка.
Виды транспорта через мембраны: пассивный и активный.
Изучение структуры и функционирования биологических мембран имеет важное значение для медицины, так как многие патологические процессы в клетке связаны с нарушением функций мембран. Общая площадь мембран в органах и тканях достигает огромных размеров. Благодаря этому клетки располагают достаточной площадью для обеспечения многочисленных процессов, протекающих на мембранах, обеспечивающих жизнеспособность человека.
Функции мембран
Мембрана выполняет в жизнедеятельности живых клеток самые различные функции.
Механическое разделение. Клетка — элементарная живая система. Каждая клетка окружена наружной клеточной мембраной (плазматической), которая заключает внутри себя содержимое клетки. С другой стороны, тонкая регуляция внутриклеточных процессов осуществляется на основе пространственного разделения органоидов клетки (внутриклеточные мембраны). Мембрана является поверхностью раздела (диэлектрической границей).
Транспортная функция. Через мембрану происходит перенос (транспорт) различных веществ, то есть она принимает активное участие в жизнедеятельности клетки.
Селективный барьер. Мембрана защищает клетку от проникновения нежелательных частиц и веществ.
Рецепция. Через мембрану происходит распознавание других клеток, веществ.
Распространение нервного импульса. В мембране локализованы основные биоэлектрические процессы. Реализуется генерация электрического потенциала. Посредством мембраны происходит распространение нервного импульса.
Матрица. Мембрана является матрицей (основой) для удержания белков, ферментов.
Таким образом, мембрана — важнейший орган клетки, регулирующий каждое взаимодействие клетки как внутри ее, так и с окружающей средой. Если функции мембраны нарушаются, то происходит изменение нормального функционирования клеток и, как следствие, заболевание организма.
Структура и модели мембран
Структурную основу любой мембраны составляет двойной фосфолипидный слой (рис. 16.1). Липиды (вещества на основе жирных кислот) построены из полярной головки (содержащей атомы водорода, углерода, азота, фосфора) и двух длинных неполярных углеводородных «хвостов». Полярные головки гидрофильны^ то есть могут притягивать к себе дипольные молекулы воды. «Хвосты» обладают гидрофобными свойствами, то есть не любят взаимодействовать с водой.
В мембране молекулы фосфолипидов ориентированы так, что их гидрофильные головки выходят наружу и образуют внешнюю и внутреннюю поверхности мембраны, а гидрофобные «хвосты» обращены к середине бимолекулярного слоя, то есть внутрь мембраны. Гидрофильные головки взаимодействуют с внешними белковыми слоями и молекулами воды вне и внутри клетки и образуют с ними водородные связи.
Двойной фосфолипидный слой выполняет функцию барьера и матрицы для различных белков. Липиды и белки в бислое могут перемещаться: достаточно быстро внутри слоя вдоль плоскости мембраны (латеральная диффузия) и очень медленно между двумя монослоями поперек мембраны (флип-флоп-переходы).
Расположение белков в мембране. В липидную матрицу встроены белки (на одну молекулу белка приходится 75-90 молекул липидов) и функциональные белковые комплексы. Белки
как бы плавают в липидном слое. Схематично строение мембраны показано на рис. 16.1.
полярная
пбпбтиии0ииу\тиии0ииу\гидрофильная головка
пб
пб
тиии0ииу\
тиии0ииу\
неполярый гидрофобный
«хвост»
Рис. 16.1. Схематичное строение мембраны: L — толщина мембраны; пб — поверхностные белки; иб — интегральные белки; к - белки, формирующие ионный канал (пору)
Поверхностные белки (пб). Эти белки могут находиться либо на внешнем, либо на внутреннем липидном монослое, удерживаясь преимущественно электростатическими силами. Такие белки занимают 75-80 % поверхности. Белковые молекулы покрывают мембрану с обеих сторон и придают ей эластичность и устойчивость к механическим повреждениям.
Часть этих включенных в мембрану молекул составляют гликопротеиды, которые одной из пептидных цепей с присоединенными к ней разветвленными углеводами выступают во внешнее примембранное пространство. Таким образом, образуется рыхлый поверхностный слой (выполняющий роль носителя электростатического заряда).
Интегральные белки (иб). Эти белки могут пронизывать двойной слой липидов насквозь. Такие белки являются главным компонентом, ответственным за избирательную проницаемость клеточной мембраны. Некоторые из них (к) образуют систему селективных каналов (пор) или функционируют как ионные насосы и регулируют, например, электрохимическую систему возбуждения клетки. Диаметр каналов составляет 0,35-0,8 нм. Количество их относительно невелико (например, в эритроцитах вся площадь каналов составляет 0,06 % от площади поверхности). Полярные группы молекул белков в каналах направлены в сторону отверстия каналов, а неполярные вступают во взаимодействие с молекулами липидов. Стенки каналов обладают электрическими зарядами.
Модели мембран. Уточнение строения биомембран и изучение их свойств осуществляется с использованием физикохимических моделей мембраны.
Первая модель — монослой. Молекулы фосфолипидов, будучи помещенными на границу раздела вода-воздух (вода-масло), выстраиваются в один слой так, что гидрофильные (полярные) головки погружаются в воду, а гидрофобные «хвосты» в контакт с водой не вступают, остаются в воздухе (масле). Молекулы фосфолипидов как бы «отслаиваются» от воды. Пока молекул немного, они располагаются на поверхности, «прильнув» к воде головками и выставив наружу хвосты, рис. 16.2а.
аб
Рис. 16.2. Поведение молекул фосфолипидов в воде
Вторая модель - плоский бислой. Если в водном растворе липидных молекул становится больше, то эти молекулы собираются вместе так, что гидрофобные углеводородные цепи закрыты от воды, а полярные головки, наоборот, выставлены в воду, рис. 16.25. Такая модель позволяет изучать ионную проницаемость, генерацию электрического потенциала на мембране.
Третья модель — липосоми. Липидные бислои, если они имеют большую протяженность, стремятся замкнуться сами на себя, чтобы спрятать гидрофобные «хвосты» от воды. При этом образуются фосфолипидные везикулы — липосомы, рис. 16.2в. Они представляют собой мельчайшие пузырьки (везикулы), состоящие из билипидной мембраны. Липосомы фактически являются биологической мембраной, полностью лишенной белковых молекул. На липосомах часто проводят эксперименты по изучению влияния различных факторов на свойства мембраны, или, наоборот влияния мембранного окружения на свойства встраиваемых белков. В медицине липосомы используются для доставки
лекарственных веществ, приготавливая их в среде, содержащей нужное вещество, в определенные органы и ткани. Таким способом готовятся липосомные кремы и мази в дерматологии и косметологии. Сами липосомы не токсичны, полностью усваиваются в организме и являются надежной липидной микрокапсулой для направленной доставки лекарства.
Физические свойства мембран
Плотность липидного бислоя составляет 800 кг/м3, что меньше, чем у воды.
Размеры. По данным электронной микроскопии, толщина мембраны (L) меняется от 4 до 13 нм, причем различным клеточным мембранам присуща разная толщина.
Прочность. Предел прочности на разрыв для мембраны низок. В условиях организма средние деформации составляют около 0,01 %. Чтобы довести мембрану до разрыва, достаточно внутреннего давления 100 Па. Живая клетка может осуществлять осморегуляцию только за счет изменения своей формы, но не за счет растяжения мембраны.
Деформируемость. Клеточная мембрана легко подвергается деформации сдвига. Например, в потоке эритроцитов с градиентом скорости происходит вращение мембраны вокруг содержимого клетки. Это явление получило название «феномен гусеницы танка». Мембрана обладает высокой гибкостью. При оценке механических свойств мембраны эффективный модуль упругости принимается равным 0,45 Па.
Вязкость. Липидный слой мембраны имеет вязкость у = = 30-100 мПа • с (что соответствует вязкости растительного масла).
Поверхностное натяэюение равно 0,03-3 мН • м-1, что на 2-3 порядка ниже, чем у воды (73 mH • м-1).
Коэффициент проницаемости мембранного вещества для воды равен 25-33 • 10-4 см/с.
Мембрана — конденсатор. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану плоскому конденсатору, обкладки которого образованы поверхностными белками, а роль диэлектрика выполняет липидный бислой. Электроемкость 1 см2 мембраны составляет 0,5-1,3 мкФ. Напряженность электрического поля в мембране составляет приблизительно 20 • 106 В/м (расчет
§16.4. Перенос молекул (атомов) через мембраны, уравнение Фика 213 проведен для мембран митохондрий, имеющих на своих поверхностях разность потенциалов U = 0,2 В, при толщине d = 10 нм; Е = U/d = 20 • 106 В/м).
Диэлектрическая проницаемость мембраны составляет: для фосфолипидной области е = 2,0 2,2; для гидрофильной области г = 10-20.
Электросопротивление 1 см2 поверхности мембраны составляет 102-105 Ом (что в десятки миллионов раз больше сопротивления внеклеточной жидкости или цитоплазмы). Электроизоляционные свойства мембраны значительно превосходят свойства технических изоляторов.
Жидкокристаллическое состояние. Для мембраны характерно жидкокристаллическое состояние, при котором вещество обладает текучестью, но сохраняет определенную упорядоченность в расположении молекул и анизотропию свойств. Измерение подвижности молекул мембран и диффузии частиц через них свидетельствуют о том, что би липидный слой ведет себя как жидкость, в тоже время мембрана является упорядоченной структурой.
При изменении температуры в мембране можно наблюдать фазовые переходы: плавление липидов при нагревании и кристаллизацию при охлаждении — липиды превращаются в гель. При фазовых переходах меняется толщина двойного слоя. В бислое при фазовых переходах могут образовываться каналы, по которым через мембрану способны проходить различные ионы и низкомолекулярные соединения.
Показатель преломления вещества мембраны равен 1,55 (для сравнения приведен показатель преломления глицерина — 1,47).
Перенос молекул (атомов) через мембраны,уравнение Фика
Явления переноса - это самопроизвольные необратимые процессы, в которых благодаря молекулярному движению из одной части системы в другую переносится какая-либо физическая величина.
К явлениям переноса относятся:
диффузия (перенос массы);
вязкость (перенос импульса из слоя в слой);
теплопроводность (перенос энергии);
электропроводность (перенос электрического заряда).
Как синоним переноса частиц в биофизике используется термин транспорт частиц.
Уравнение диффузии в однородной среде. Рассмотрим ситуацию, когда в однородную жидкую (газообразную) среду введено некоторое количество инородного вещества. В начале распределение этого вещества по объему жидкости будет неравномерным. Однако с течением времени вследствие явлений переноса концентрации этого вещества в различных областях жидкости будут выравниваться.
Диффузия — явление самопроизвольного переноса массы вещества из области с большей концентрацией в область с меньшей. Диффузия приводит к равномерному распределению вещества по всему объему.
Количественно диффузия описывается специальными параметрами.
Поток вещества через некоторую поверхность
В пространстве, заполненном частицами диффундирующего вещества, выделим некоторое направление ОХ. вдоль которого изменяется концентрация частиц, и небольшой элемент поверхности, перпендикулярный этому направлению.
Потоком вещества (Ф) через элемент поверхности, который перпендикулярен направлению диффузии, называется количество этого вещества, переносимого через данный элемент за единицу времени.
Количество переносимого вещества можно измерять в килограммах или молях ^и\ В зависимости от этого поток определяется формулами:
Ф = шД [кг/с] или Ф = v/t [моль/с]. (16.1) Очевидно, что поток пропорционален площади S выделенного элемента. Кроме того, можно показать, что поток пропорционален градиенту концентрации (dc/dx} диффундирующего вещества в направлении ОХ. Поэтому имеет место следующая формула для расчета потока:
Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии. Знак « —» означает, что поток направлен в сторону убывания концентрации (плотности) вещества (то есть перенос происходит из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией).
В формуле (16.2) и далее термин концентрация с используется для обозначения как массовой плотности, так и молярной плотности. Этим и определяется единица измерения потока (кг/с или моль/с). Независимо от единиц плотности размерность коэффициента диффузии одинакова: [D] = м2/с.
Коэффициент D зависит от свойств жидкости, свойств диффундирующих частиц, температуры. Его численное значение выражается формулой D = сг2/(3т), где а — среднее перемещение молекул (среднее расстояние между молекулами), т — среднее время «оседлой жизни» молекулы.
Плотность потока вещества
Плотностью потока вещества (J) называется отношение потока вещества (Ф) через элемент поверхности к площади этого элемента (S): J = Ф/S.
Единица плотности потока — [кг/(м2 • с)] или [моль/(м2 • с)].
В соответствии с определением и формулой (16.2) плотность потока выражается уравнением диффузии (уравнение Фика):
J = -D^dc/dx). (16.3)
Знак « —» показывает, что суммарная плотность потока вещества при диффузии направлена в сторону, противоположную градиенту концентрации. Соотношение (16.3) справедливо для плотности потока в общем случае.
Уравнение Фика для мембраны. Уравнение Фика описывает диффузию в однородной среде. Модифицируем его для случая диффузии через мембрану. Обратим внимание на следующий известный факт: на границе раздела двух сред (например, воды и масла) обязательно имеет место скачкообразное изменение концентрации частиц диффундирующего вещества. Например, если в сосуд, в котором поверх воды налито масло, бросить соль, то ее концентрации в этих средах будут различны.
Коэффициент распределения вегцества (К) — это величина, равная отношению концентраций частиц в граничащих средах:
К = ССреда 1/Середа 2- (16.4)
Коэффициент распределения вещества — величина безразмерная.
Рассмотрим диффузию незаряженных частиц (молекул или атомов) через мембрану (на рис. 16.3 обозначены: «о» — характеристики снаружи мембраны, «i» — характеристики внутри клетки).
Рис. 16.3. Распределение концентрации частиц, проходящих через мембрану
Вещество, диффундирующее через мембрану, преодолевает три барьера (рис. 16.3):
примембранный слой,
саму мембрану,
противоположный примембранный слой.
Концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно равны ^ и со. Концентрация частиц в мембране у ее внутренней и внешней поверхностей обозначены cMi и смо-
Коэффициент распределения вещества между мембраной и окружающей средой равен коэффициенту распределения вещества между мембраной и клеткой:
К = смо/со = cMi/ci.(16.5)
Из (16.5) следует:
Смо = Ксо,См i — КCf,(16.6)
причем, величины со и Q можно измерить.
Учитывая малую толщину мембраны, можно считать, что концентрация молекул диффундирующего вещества изменяется в ней линейно. Поэтому градиент концентрации диффундирующего вещества постоянен:
dc/dx = (смо - cM^/L.(16.7)
Теперь запишем выражение для плотности потока. С учетом (16.3), (16.6), (16.7) запишем:
J = —D(cMO - cM^(L = ОКф, - c^fL. (16.8)
Введем коэффициент проницаемости мембраны (м/с):
Р = DK/L,(16.9)
который зависит от коэффициента диффузии, а также от толщины биомембраны и коэффициента распределения вещества между мембраной и окружающей средой (между липидной и водной фазами). Под проницаемостью понимают способность мембраны пропускать сквозь себя определенные вещества.
Окончательно имеем уравнение Фика для диффузии в мембранах:
J = р(с.-со).(16.10)
Это уравнение Фика определяет плотность потока вещества при диффузии через мембрану, то есть описывает пассивный транспорт в мембранах. В уравнении фигурирует измеряемая величина Р, которая хорошо характеризует способность мембраны пропускать вещества.
Перенос заряженных частиц,электродиффузионное уравнение Нернста—Планка
Рассмотрим перенос ионов. При отсутствии внешнего воздействия между поверхностями мембраны существует разность потенциалов, то есть в мембране постоянно есть электрическое поле. При отсутствии градиента концентрации главная движущая сила при переносе ионов - это электрическое поле.
На отдельный ион в электрическом поле действует сила /о — = qE, где Е — напряженность электрического поля, в котором находится ион, a q = Ze — заряд иона (Z — валентность иона).
Напряженность поля выражается через градиент электрического потенциала известной формулой: Е = — grad 79 = —(Ep/dx. Поэтому можно записать:
/о = —Ze^dip/dx). (16.11)
В дальнейшем мы будем рассматривать силу /, действующую на один моль ионов: / = /о Ад. С учетом (16.11) она определяется формулой
/ = -ZeN^d^ldx^ = -ZF^Idx^ (16.12)
где Nx — постоянная Авогадро, F = cNx — постоянная Фарадея, которая традиционно используется в электрохимии (этим и объясняется переход от /о к /)•
Помимо электрической силы, на ионы действуют различные силы сопротивления. Поэтому в среднем их движение является равномерным и характеризуется средней скоростью v. Между средней скоростью движения ионов и силой, действующей на один моль, существует прямо пропорциональная зависимость:
у = umf. (16.13)
Коэффициент пропорциональности Um называется подвижностью ионов.
В общем случае, подвиэюностъю диффундирующей частицы (молекулы, атома, иона, электрона) Um называется коэффициент пропорциональности между скоростью v частицы и силой /, двигающей частицу, в том случае, когда на частицу не действуют другие силы (например, трение или соударения с другими частицами).
Выражение (16.13) с учетом (16.12) можно переписать в виде
т; = -UmZF(d(p/dxY (16.14)
Чтобы найти поток вещества, переносимый ионами через элемент поверхности S, выделим цилиндрический объем электролита, ограниченный двумя такими элементами. Длину цилиндра I выразим через скорость и время:
Объем цилиндра: К = SI = StH
За время t все ионы, находившиеся в цилиндре, пройдут через левую площадку S. Количество перенесенного при этом вещества равно произведению концентрации на объем: т = eV = = cSvt (кг) или v = cSvt (моль). Применив формулу (16.1), найдем поток Ф:
(16.16)(16.16)Ф = cSv.
(16.16)
(16.16)
Плотность потока найдем по определению J = Ф/S' = си.
Используя (16.14), получим:
J = -cU^ZF^IdxY(16.17)
В общем случае перенос частиц определяется как градиентом их концентрации, так и воздействием электрического поля:
J = — Ddc/dx - cU^ZF^IdxY(16.18)
Это — уравнение Нернста Планка (электродиффузионное уравнение). Оно устанавливает зависимость плотности диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности электрического поля.
Виды транспорта через мембрану
Пассивный транспорт — перенос молекул и ионов через мембрану, который осуществляется в направлении меньшей их концентрации. Пассивный транспорт не связан с затратой химической энергии. Он стремится выровнять концентрации частиц по разные стороны от мембраны, то есть свести к нулю их градиенты. Если бы в клетках существовал бы только пассивный транспорт, то значения физической величины внутри и вне клетки сравнялись бы, но этого не происходит.
Различают несколько типов пассивного транспорта, рис. 16.4.
Рис. 16.4. Виды пассивного транспорта: простая диффузия (а), транс-порт через каналы (б-), облегченная диффузия (в), эстафетная пере-дача (г)
Простая диффузия через липидный слой. Она подчиняется уравнению Фика для молекул или в более общем случае для нейтральных и заряженных частиц — уравнению Нернста-Планка. В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кислорода и углекислого газа, ряда лекарственных веществ. Однако простая диффузия протекает достаточно медленно и не может снабдить клетку в нужном количестве питательными веществами.
Транспорт через каналы (поры). Канал — участок мембраны, включающий белковые молекулы и липиды, который образует в мембране проход. Этот проход допускает проникновение через мембрану молекул воды, крупных ионов. Наличие каналов увеличивает проницаемость Р. Проницаемость Р зависит от числа каналов и от их радиуса. Каналы могут проявлять селективность по отношению к разным ионам, это проявляется в различии проницаемости для разных ионов.
Облегченная диффузия — перенос ионов специальными молекулами-переносчиками за счет диффузии переносчика вместе с веществом. Наиболее подробно это явление изучено для случая переноса ионов некоторыми антибиотиками, например валиномицином. Установлено, что валиномицин резко повышает проницаемость мембраны для ионов К+ благодаря специфике своей структуры. В нем формируется полость, в которую точно и прочно вписывается ион К+ (ион Na слишком велик для отверстия в молекуле валиномицина). Молекула валиномицина, «захватив» ион К+, образует растворимый в липидах комплекс
и проходит через мембрану, затем ион К+ остается, а переносчик уходит обратно.
Эстафетная передача. В этом случае молекулы-переносчики образуют временную цепочку поперек мембраны и передают друг другу диффундирующую молекулу.
Активный транспорт — перенос молекул и ионов, который происходит при затрате химической энергии в направлении от меньших значений величин к большим. При этом нейтральные молекулы переносятся в область большей концентрации, а ионы переносятся против сил, действующих на них со стороны электрического поля. Таким образом, активным транспортом осуществляется перенос веществ в направлении, противоположном транспорту, который должен был бы происходить под действием градиентов (прежде всего концентрационного и электрического). Энергия получается за счет гидролиза молекул особого химического соединения — аденозинтрифосфор- ной кислоты (АТФ). Экспериментально установлено, что энергии распада одной молекулы АТФ достаточно для выведения наружу трех ионов натрия и введения внутрь клетки двух ионов калия. Одна из схем активного транспорта представлена системой на рис. 16.5.
Рис. 16.5. Схема активного транспорта (калий-натриевый насос)
Захватив одним активным центром ион калия из наружной среды, а другим ион натрия — из внутренней, система, потребляя АТФ, поворачивается внутри мембраны на 180°. Ион натрия оказывается вне клетки и там отделяется, а ион калия попадает внутрь и тоже освобождается, после чего молекула белка принимает исходное положение и все начинается сначала.
За счет активного транспорта клетка поддерживает внутри себя высокую концентрацию калия и низкую концентрацию натрия. При этом ионы могут перемещаться против градиента их концентрации (аналогия с газом: это все равно, что перекачивать газ из сосуда с низким давлением в сосуд с высоким).
Активный транспорт обеспечивает механизм селективной проницаемости клеточных мембран. Активный транспорт — важнейшая особенность жизненных процессов.
Лекция 17
БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Ионные потоки в мембране.
Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Катца.
Потенциал действия и его распространение.
В живых организмах происходят разнообразные электрические процессы. Функционирование живых тканей сопровождается электрическими явлениями. Генерация и распространение электрических потенциалов — это важнейшее физическое явление в живых клетках и тканях.
Биоэлектрический потенциал — это разность потенциалов между двумя точками живой ткани, определяющая ее биоэлектрическую активность.
Биопотенциал имеет мембранную природу.
Ионные потоки в мембране
Сквозь мембрану проходят потоки ионов, для которых справедливо уравнение Нернста-Планка:
J = — D{dc/dx) — cUmZ F^dip) dx\
Подвижность ионов Um можно выразить через коэффициент диффузии и температуру (формула Эйнштейна): Um = D/(RTY тогда уравнение принимает вид
J = — D(dc/dx + {cZF/RT)d^/dxY (17.1)
В первом приближении можно считать, что поле внутри мембраны однородно. В этом случае d<p / dx = <pMf L, где срм — разность потенциалов между стенками мембраны, a L — ее толщина. Теперь уравнение Нернста-Планка будет иметь вид
J = -D\dc/dx + c^ZF^lRT^LY(17.2)
Введем величину ^, которую называют безразмерным потенциалом:
Тогда уравнение (17.2) будет иметь вид
J = — D(dc/dx + c^jLY(17.4)
Это уравнение решается методом разделения переменных (решение не рассматривается).
Решая (17.4) получаем следующее выражение для потока ионов через мембрану:
J = Р^(с; - сое^)/(е^ -1).(17.5)
Уравнение (17.5) устанавливает количественную связь между плотностью потока какого-либо иона и следующими величинами, характеризующими мембрану: безразмерный потенциал ^ (17.3); проницаемость мембраны для данного иона Р; концентрации иона в водной среде по обе стороны мембраны (ci и со).
Проанализируем частные случаи полученного уравнения.
Пусть ^ = 0, что означает либо Z = О (нейтральные частицы, то есть поле есть, а переносить нечего), либо отсутствие электрического поля в мембране (у>м = 0, даже при наличии ионов ничего переноситься не будет), либо и то и другое. Уравнение приобретает вид
J = P^-coy(17.6)
При этом вся диффузия будет обусловлена нейтральными молекулами.
Если Ci = со = с — одинаковая концентрация ионов по разные стороны от мембраны при наличии электрического поля, то
J = -^Рс.(17.7)
Это соответствует электропроводности в электролите.
Р = 0, мембрана непроницаема для частиц, плотность потока равна нулю.
Потенциал покоя. УравнениеГольдмана-Ходжкина-Катца
Внутри клетки поддерживается наиболее благоприятный состав ионов. Концентрация каких-либо определенных ионов различна по разные стороны мембраны. Это приводит к появлению разности потенциалов в нормально функционирующей клетке.
Потенциал покоя — разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой в нормально функционирующей клетке.
Получим уравнение, позволяющее вычислить потенциал покоя. Через мембрану проходят потоки разных ионов. Основной вклад в суммарный поток, а следовательно, в создание и поддержание потенциала покоя вносят ионы Na+, К+, С1-. Суммарная плотность потока этих ионов с учетом их знаков равна
“ ^Na+ + ^К+ — ^СГ *(17.8)
В стационарном состоянии (когда параметры системы не изменяются) суммарная плотность потока равна нулю, то есть число различных ионов, проходящих в единицу времени через мембрану внутрь клетки, равно числу ионов, выходящих из клетки через мембрану: ,7 = 0.
Для потока различных ионов электрический мембранный потенциал равен
_ RT ( Рк[К+]; + PNa[Na+]i + Р01[СГ]о \
F Чрк[КД, + Рна[НаЧ> + Рс1[С1^1
Здесь квадратными скобками [ ]; и [ ]о обозначены концентрации ионов, соответственно, внутри и вне клетки.
Полученное выражение называется уравнением Гольдма- на-Ходжкина-Катца, оно отражает состояние системы в том случае, когда через мембрану непрерывно идут встречные потоки ионов. Мембранный потенциал (потенциал покоя) зависит от различия концентрации ионов и от проницаемости.
В качестве примера использования уравнения (17.9) рассчитаем потенциал покоя для гигантского аксона кальмара. Значения концентраций приведены ниже.
Ион
Концентрация (ммоль на 1 кг ЩО)
Внутри (i)
Вне (о)
к+
340
10,4
Na+
49
463
СГ
114
392
В состоянии покоя при физиологических условиях соотношение коэффициентов проницаемости равно:
Рк : PNa : Pci = 1 : 0,04 : 0,45.
8 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Проницаемость мембраны для ионов калия самая высокая.
Диффузия калия и хлора идет в обе стороны. Натрий идет через мембрану за счет простой диффузии лишь в одну сторону — снаружи вовнутрь. Однако АТФаза интенсивно выводит ионы натрия из клетки, а калий — в клетку.
Следовательно, основной вклад в потенциал покоя вносят только ионы К+ и С1-. Согласно уравнению (17.9) при 30 ° С имеем:
8,3 • 303 ,= In96 0008,3 • 303 ,= In96 000= -59,7 мВ.= -59,7 мВ.340 + 0,45 • 392
8,3 • 303 ,= In
96 000
8,3 • 303 ,= In
96 000
= -59,7 мВ.
= -59,7 мВ.
10,4 + 0,45-114
Из уравнения (17.9) можно получить уравнение для равновесного состояния. При этом следует пренебречь проницаемостями всех ионов, кроме ионов одного вида. Тогда имеем уравнение Нернста:
Ум = —(RT/FZ) ln([c]i/[c]o). (17.10)
Эту разность потенциалов называют равновесным мембранным потенциалом.
Потенциал действия и его распространение
Все живые клетки при действии различных раздражителей переходят в возбужденное состояние. При возбуждении разность потенциалов между клеткой и окружающей средой изменяется, появляется электрический импульс, возникает потенциал действия. Общее изменение разности потенциалов на мембране, происходящее при возбуждении клеток, определяет потенциал действия.
Потенциал действия — разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой при возбуждении.
Механизм распространения потенциала действия по нервному волокну рассматривается в курсе нормальной физиологии. В данном курсе рассмотрим некоторые физические аспекты этого процесса, которые иллюстрирует рис. 17.1.
Распространение импульса определяется изменением состояния мембраны. В состоянии покоя (рис. 17.1а) в результате активного транспорта концентрация ионов К+ значительно выше
в мембране, чем во внешней среде. Для ионов Na+ все наоборот. При этом на внутренней поверхности мембраны находится отрицательный заряд (в рассмотренном выше примере для потенциала покоя мы получили значение —59,7 мВ). При возбуждении будет происходить следующее.
Рис. 17.1. Возникновение потенциала действия и деполяризация мембраны
В начале увеличивается проницаемость мембраны для ионов Na+.
Натриевые каналы открываются лишь при возбуждении. Ионы Na+ входят в мембрану, в результате чего внутренняя поверхность мембраны изменяет свой заряд с « —» на «+», то есть происходит деполяризация мембраны (рис. 17.16). Натриевый канал открыт малое время (0,5-1 мс). В течение этого времени происходит изменение мембранного потенциала от —60 до +30 мВ.
Во время генерации импульса натриевый канал закрывается и открывается калиевый канал. Ионы К+ выходят наружу, что приводит к восстановлению отрицательного заряда на внутренней стороне мембраны (рис. 17.1 в). Во время импульса проводимость мембраны увеличивается в 103 раз.
Наступает рефрактерный период. Мембрана не воспринимает импульс, а возвращается в основное физиологическое состояние (рис. 17.1г).
Сравнение потенциала покоя и потенциала действия. При возбуждении мембрана меняет избирательную проницаемость: из проницаемой главным образом для К+ мембрана стано-
вится проницаемой главным образом для Na+. А так как натрия снаружи больше, то он стремится внутрь и перезаряжает мембрану.
В табл. 17.1 приведено сравнение по некоторым факторам обоих потенциалов.
Таблица 17.1. Сравнение потенциала покоя и потенциала действия
Сравниваемые параметры
Потенциал покоя
Потенциал действия
Заряд на поверхности мембраны
снаружи «+» внутри « —»
снаружи « —» внутри «+»
Концентрация ионов
ионов (К+) внутри больше, снаружи меньше
ионов (Na+) снаружи больше, внутри меньше
Проницаемость мембраны
мембрана проницаема для ионов калия (К+)
мембрана проницаема для ионов (Na+)
Ионные токи
калиевый и натриевый токи уравновешивают друг друга (состояние устойчивого равновесия)
калиевый и натриевый токи не уравновешивают друг друга (состояние неустойчивого равновесия)
Распространение потенциала действия. При деполяризации мембраны возникают токи, замыкающиеся через наружную проводящую среду. Между возбужденным и невозбужденным участками нервного волокна потечет электрический ток, так как у возбужденного участка внутренняя поверхность имеет положительный заряд, а у невозбужденного — отрицательный и между ними возникает разность потенциалов. Этот локалъншй ток служит раздражителем для невозбужденных участков нервного волокна, непосредственно примыкающих к месту деполяризации. В них также возникает возбуждение, то есть потенциал действия (или деполяризация), и так далее. По поверхности клетки локальный ток течет от невозбужденного участка к возбужденному; внутри клетки он течет в обратном направлении. Локальный ток, как и любой электрический ток, раздражает соседние невозбужденные участки и вызывает увеличение проницаемости мембраны. Это приводит к возникновению потенциалов действия в соседних участках. В то же время в ранее возбужденном участке происходит восстановительные процессы реполяризации. Вновь возбужденный участок в свою очередь
становится электроотрицательным и возникающий локальный ток раздражает следующий за ним участок. Этот процесс многократно повторяется и обусловливает распространение импульсов возбуждения по всей длине клетки в обоих направлениях
Процесс распространения потенциала действия происходит гораздо медленнее, чем течет локальный электрический ток.
У позвоночных животных повышение скорости распространения возбуждения достигается миелинизацией волокон (мякотные волокна). Волокно покрыто миелиновой оболочкой. Толщина оболочки составляет единицы мкм. Миелин — изолятор. Диффузия ионов через миелиновую оболочку невозможна. Поэтому в волокнах генерация потенциала действия сосредоточена только там, где миелиновая оболочка отсутствует. Эти места в мембране называются перехватами Ранвье (или активными узлами). В области перехвата мембрана контактирует с внеклеточным раствором. Длина перехвата составляет 2 мкм. От перехвата к перехвату (скачкообразно) нервные импульсы передаются через движение локальных токов. На долю перехватов приходится 0,02 % от общей длины нервного волокна.
На рис. 17.2 показана схема распространения возбуждения по нервному волокну с перехватами Ранвье.
Рис. 17.2. Схема распространения возбуждения по нервному волокну с перехватами Ранвье
Миелиновая изоляция имеет большое сопротивление — в сотни раз выше, чем сопротивление мембраны аксона кальмара, а емкость — в сотни раз меньшую. В результате получается довольно хороший «кабель», а перехваты с каналами и насосами играют роль источника тока. Если возбудить один перехват, то генерируемый им ток почти без потерь достигнет следующего перехвата. Ток, подошедший к другому перехвату, возбуждает его, вызывает появление в этом месте потенциала действия, и процесс распространяется по всему волокну. Такое проведение возбуждения называют «прыгающим». Импульс быстро перепрыгивает от одного перехвата до другого, затрачивая на распространение
между перехватами только несколько сотых долей миллисекунды (50-70 мкс). Затраты энергии при таком распространении сигнала значительно меньше, чем по немиелинизированному волокну, так как общее количество ионов натрия, проходящих через мембрану в области перехватов, значительно меньше, чем если бы они проходили через всю поверхность мембраны.
Нарушение миелиновой оболочки ведет к нарушению распространения потенциала действия по нервному волокну (тяжелые нервные заболевания). Особенности распространения биопотенциала безусловно важны во многих направленияю медицинской реабилитологии.
Скорость распространения возбуждения по гладким немие- лизированным нервным волокнам пропорциональна квадратному корню из их радиуса, и ~ VR. Поэтому головоногие моллюски пошли по пути увеличения радиуса нервного волокна, создав гигантские аксоны.
У беспозвоночных скорость распространения потенциала действия составляет 20-30 м/с.
Распространение потенциала действия по нервному волокну называется волной возбуждения. Эта волна не затухает, так как получает энергию из среды — от заряженной мембраны. Волна возбуждения является автоволной в активной среде возбудимых клеток.
Лекция 18
ДИПОЛЬ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫЭЛЕКТРОГРАФИИ
Электрический диполь.
Диполь во внешнем электрическом поле.
Электрическое поле диполя.
Диполь в равностороннем треугольнике.
Токовый диполь.
Физические основы электрографии.
Теория отведений Эйнтховена, три стандартных отведения. Поле диполя - сердца, анализ электрокардиограмм.
Векторкардиография.
Элементы реабилитологии. Физические факторы, определяющие ЭКГ.
Электрический диполь
Электрический диполь — система из двух равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расстояние I между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля.
Основной характеристикой диполя является векторная величина, называемая электрическим моментом диполя — р. Вектор р равен произведению заряда на плечо диполя 1. Плечо диполя — вектор, который направлен от « —» к «+»:
р = 91.(18.1)
Вокруг диполя, расположенного в диэлектрике, образуется электрическое поле, изображенное на рис. 18.1. Штрихом изображены эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал (в плоскости рисунка эквипотенциальные поверхности изображаются линиями). Центральная поверхность представляет собой плоскость, проходящую перпендикулярно плечу диполя через его середину. Все
Рис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое полеРис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое полеее точки имеют нулевой потенциал (<р = 0). Она делит электрическое поле диполя на две половины, точки которых имеют соответственно положительные (<р > 0) и отрицательные (<р < 0) потенциалы.
Рис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое поле
Рис. 18.1. Диполь и образуемое им электрическое поле
Силовая линия
Эквипотенциальная поверхность
Величина потенциала возрастает по мере приближения поверхности к одному из полюсов диполя и убывает при приближении к центральной поверхности или при удалении на бесконечность.
Диполь не только сам является источником электрического поля, но также может определенным образом взаимодействовать с внешним электрическим полем, созданным другими источниками.
Жесткий диполь во внешнемэлектрическом поле
Жесткий диполь (р = const) в однородном электрическом поле. В однородном электрическом поле напряженностью Е на полюса диполя действуют равные по величине и противоположные по направлению силы (рис. 18.2). Поскольку сумма таких сил равна нулю, то поступательного движения они не вызывают. Однако они создают вращательный момент, который можно записать в скалярной (18.2) или в векторной (18.3) форме (р — электрический момент диполя, Е — напряженность внешнего поля):
(18-2)(18-2)(18.3)(18.3)М = р • Е • sin а^
(18-2)
(18-2)
(18.3)
(18.3)
М = р х Е.
Этот момент «стремится» расположить диполь параллельно линиям поля, то есть перевести его из некоторого положения а) в положение б).
Рис. 18.2. Диполь в однородном электрическом поле
Диполь в неоднородном электрическом поле. В неоднородном электрическом поле вращающее действие тоже имеет место, и диполь ориентируется вдоль соответствующей линии поля. Однако в этом случае значения сил, действующих на полюса диполя (силы F+ и F” на рис. 18.3), не одинаковы, и их сумма не равна нулю. Поэтому возникает результирующая сила, втягивающая диполь в область более сильного поля.
Рис. 18.3. Диполь в неоднородном электрическом поле
Результирующая сила зависит от изменения напряженности приходящегося на единицу длины диполя. Обозначим Е+ и Е~ модули напряженности поля у положительного и отрицательного полюсов. Тогда
F^ = qE\ Е" = qE",
F = F^ - Е” = q(E^ - Е~) =
= ql^ - Е")/1 = р^ - Е~)/1.
Так как плечо диполя мало, то приближенно можно считать, что
(Е+ - E~)/l = dE/dl,(18.4)
где dE/dl — градиент поля.
Таким образом, на диполь, который ориентирован вдоль силовой линии и имеет момент р, действует сила, втягивающая его в область поля с большей напряженностью:
F = pdE/d/, или F = grad(p • Е).(18.5)
Электрическое поле диполя
Сам диполь является источником электрического поля, напряженность которого зависит от дипольного момента р, от диэлектрической проницаемости среды е и геометрических параметров. Пусть диполь находится в непроводящей бесконечной среде и некоторая точка А удалена от его центра на расстояние г ^ I. Обозначим через а угол между вектором р и направлением на эту точку. Тогда потенциал, создаваемый диполем в точке Л, определяется следующей формулой (рис. 18.4):
pcosaфА = "л2 *
А
а
Рис. 18.4. Потенциал электрического поля, созданного диполем
Диполь в равностороннем треугольнике
Если диполь поместить в центр равностороннего треугольника, то он будет равноудален ото всех его вершин (на рис. 18.5 диполь изображен вектором дипольного момента — р).
Можно показать, что в этом случае разность потенциалов (напряжение) между двумя любыми вершинами прямо пропорциональна проекции дипольного момента на соответствующую сторону (U а в ~ PabY Поэтому отношение напряжений между
вершинами треугольника равно отношению проекций дипольного момента на соответствующие стороны:
Рас • Рав • Рсв = Uас : Uав • Ucb- (18.7)
Сопоставляя величины проекций, можно судить о величине самого вектора и его расположении внутри треугольника.
Рис. 18.5. Диполь в равностороннем треугольнике
Токовый диполь
В вакууме или в идеальном диэлектрике электрический диполь может сохраняться сколь угодно долго. Но в проводящей среде под действием электрического поля диполя возникает движение свободных зарядов и диполь экранируется (рис. 18.6).
™ +
Рис. 18.6. Экранирование диполя в проводящей среде
Для сохранения «диполя» в проводящей среде можно использовать источник тока. Пусть в проводящую среду (например, в сосуд с раствором электролита) введены два электрода, подключенные к источнику напряжения (рис. 18.7).
Заряды, индуцированные источником на электродах, будут играть роль полюсов обычного диполя (то есть клеммы «К» источника напряжения можно представить как диполь). В этом случае в среде возникнет электрический ток /, который будет препятствовать эффекту экранирования «диполя». Обозначим сопротивление среды между электродами через R. Тогда сила
тока определяется законом Ома:
(18.8)(18.8)I = ^/(Н + Ту
(18.8)
(18.8)
Если сопротивление среды между электродами значительно меньше, чем внутреннее сопротивление источника г, то I = ^/г.
Рис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, 8 — ЭДС источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток токаРис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, 8 — ЭДС источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток тока
Рис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, 8 — ЭДС источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток тока
Рис. 18.7. Токовый диполь: R — эквивалент сопротивления проводящей среды, г — внутреннее сопротивление источника, 8 — ЭДС источника; электроды: 1 — исток тока, 2 — сток тока
Для того чтобы сделать картину более наглядной, представим себе, что в сосуд с электролитом опущены не два электрода, а обычный элемент питания. Линии электрического тока, возникшего в сосуде в этом случае, показаны на рис. 18.8.
Рис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии токаРис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии тока
Рис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии тока
Рис. 18.8. Токовый диполь и созданные им линии тока
Ток движется в среде от положительного электрода к отрицательному. Эти электроды называют истоком тока и стоком тока соответственно.
Двухполюсная система в проводящей среде, состоящая из истока и стока тока, называется диполъ- ным электрическим генератором^ или токовым диполем.
Характеристикой токового диполя является величина, называемая дипольным моментом. Дипольный момент электрического
генератора определяется формулой
рТ = /L,(18.9)
где I — сила тока через генератор, L — расстояние между истоком и стоком тока.
Между дипольным электрическим генератором и электрическим диполем есть аналогия:
при одинаковой форме электродов линии тока совпадают с линиями напряженности электростатического поля;
формулы, характеризующие электрическое поле токового диполя, очень похожи на формулы электростатического поля обычного диполя.
Потенциал, создаваемый токовым диполем в точке А, удаленной от него на расстояние г >> L, равен
^Т ^Т рт cos а4тг7г2рт cos а4тг7г2(18.10)(18.10)
^Т
^Т
рт cos а4тг7г2
рт cos а4тг7г2
(18.10)
(18.10)
Эта формула аналогична формуле (18.6). Если для электрического диполя величина е характеризовала диэлектрические свойства среды, то для токового диполя величина 7 характеризует проводящие свойства среды и называется удельной электропроводностью (7 = 1/р, где р — удельное электрическое сопротивление).
Теория токового диполя применяется для модельного объяснения возникновения потенциалов, регистрируемых при снятии электрокардиограмм.
Физические основы электрографии
Живые ткани являются источником электрических потенциалов. Регистрация биопотенциалов тканей и органов называется электрографией.
Существуют следующие диагностические методы.
ЭКГ — электрокардиография — регистрация биопотенциалов, возникающих в сердечной мышце при ее возбуждении.
ЭРГ — электроретинография — регистрация биопотенциалов сетчатки глаза, возникающих в результате воздействия на глаз.
ЭЭГ — электроэнцефалография — регистрация биоэлектрической активности головного мозга.
ЭМГ — электромиография — регистрация биоэлектрической активности мышц.
Примерная характеристика регистрируемых при этом биопотенциалов указана в табл. 18.1.
Таблица 18.1. Характеристики биопотенциалов
Биопотенциалы
Интервал частот, Гц
Амплитуда, мкВ
максимальная
минимальная
ЭКГ
0,2-120
1500-2000
100-300
ЭМГ
3-600
1000-1500
30-40
ээг
1-300
200-300
5-10
При изучении электрограмм решаются 2 задачи:
прямая — выяснение механизма возникновения электрограммы или расчет потенциала в области измерения по заданным характеристикам электрической модели органа;
обратная (диагностическая) — выявление состояния органа по характеру его электрограммы.
Почти во всех существующих моделях электрическую активность органов и тканей сводят к действию определенной совокупности токових электрических генераторов, находящихся в объемной электропроводящей среде.
Для токовых генераторов выполняется правило суперпозиции электрических полей:
^ = ^1 + ^2 + • • • + ^п-(18.11)
Потенциал поля генераторов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых генераторами.
Дальнейшие конкретные рассмотрения физических вопросов электрографии показаны на примере электрокардиографии.
Теория отведений Эйнтховена, тристандартных отведения. Поле диполя сердца,анализ электрокардиограмм
Сердце человека — мощная мышца. При синхронном возбуждении множества волокон сердечной мышцы, в среде, окружающей сердце, течет ток, который даже на поверхности тела создает разности потенциалов порядка нескольких мВ. Эта разность потенциалов регистрируется при записи электрокардиограммы.
Моделировать электрическую активность сердца можно с использованием дипольного эквивалентного электрического генератора.
Дипольное представление о сердце лежит в основе теории отведений Эйнтховена, согласно которой
сердце есть токовый диполь с дипольным моментом рс, который поворачивается, изменяет свое положение и точку приложения за время сердечного цикла.
(В биологической литературе часто вместо термина «дипольный момент сердца» используются термины: «вектор электродвижущей силы сердца», «электрический вектор сердца»).
По Эйнтховену, сердце располагается в центре равностороннего треугольника, вершинами которого являются: правая рука — левая рука — левая нога. (Вершины треугольника равноудалены как друг от друга, так и от центра треугольника.) Поэтому разности потенциалов, снятые между этими точками, суть проекции дипольного момента сердца на стороны этого треугольника. Эти разности потенциалов со времен Эйнтховена в физиологии принято называть «отведениями».
Таким образом, теория Эйнтховена устанавливает связь между разностью биопотенциалов сердца и разностями потенциалов, регистрируемых в соответствующих отведениях.
Три стандартных отведения. На рис. 18.9 представлены три стандартных отведения.
kUi
Левая нога
Рис. 18.9. Схематическое изображение трех стандартных отведенийЭКГ
Отведение I (правая рука -левая рука), отведение II (правая рука-левая нога), отведение III (левая рука-левая нога). Им соответствуют разности потенциалов U\^ Un^ Um. Направление вектора рс определяет электрическую ось сердца. Линия электрической оси сердца при пересечении с направлением 1-го отведения образует угол а^ который определяет направление электрической оси сердца.
Соотношения между разностью потенциалов на сторонах треугольника (отведениях) могут быть получены в соответствии с формулой (18.7) как соотношения проекций вектора рс на стороны треугольника:
U\ : 1/ц : Um = pci : рсц : рсш- (18.12)
Так как электрический момент диполя-сердца изменяется со временем, то в отведениях будут получены временные зависимости напряжения, которые и называют электрокардиограммами.
Допущения теории Эйнтховена. Электрическое поле сердца на больших расстояниях от него подобно полю токового диполя; дипольный момент — интегральный электрический вектор сердца (суммарный электрический вектор возбужденных в данный момент клеток).
Все ткани и органы, весь организм — однородная проводящая среда (с одинаковым удельным сопротивлением).
Электрический вектор сердца изменяется по величине и направлению за время сердечного цикла, однако начало вектора остается неподвижным.
Точки стандартных отведений образуют равносторонний треугольник (треугольник Эйнтховена), в центре которого находится сердце — токовый диполь. Проекции дипольного момента сердца — отведения Эйнтховена.
Сердце и конечности находятся в одной и той же фронтальной плоскости.
В 1937-46 гг. появились работы Катца, посвященные концепциям генеза кардиограмм. В них анализировалось положение эквипотенциальных линий на теле человека, создаваемых электрическим полем дипольного эквивалентного электрического генератора сердца.
Поле диполя сердца. В каждый данный момент деятельности сердца его дипольный электрический генератор создает вокруг электрическое поле, которое распространяется по проводящим тканям тела и создает потенциалы в его различных точках. Если представить, что основание сердца заряжено отрицательно (имеет отрицательный потенциал), а верхушка положительно, то распределение эквипотенциальных линий вокруг сердца при максимальном значении дипольного момента рс будет таким, как на рис. 18.10.
Рис. 18.10. Распределение эквипотенциальных (прерывистые) линий на поверхности тела
Потенциалы указаны в некоторых относительных единицах. Вследствие асимметричного положения сердца в грудной клетке его электрическое поле распространяется преимущественно в сторону правой руки и левой ноги и наиболее высокая разность потенциалов может быть зафиксирована в том случае, если электроды разместить на правой руке и левой ноге.
В табл. 18.2 приведены значения максимального дипольного момента сердца в сопоставлении с массой сердца и тела.
Таблица 18.2. Значения дипольного момента рс
Объект
Масса сердца, г
Масса тела, кг
рс, мА • см
Лягушка
0,16
0,036
0,005
Крыса
1,10
0,277
0,107
Собака
108
14,2
1,63
Человек
300
71,5
2,32
Лошадь
3060
419
13,0
Анализ электрокардиограмм. Теоретический анализ электрокардиограмм сложен. Развитие кардиографии шло в основном эмпирическим путем. Катц указывал, что расшифровка электрокардиограмм производится на основе опыта, опирающегося лишь на самое элементарное понимание теории возникновения биопотенциалов.
Данные ЭКГ обычно дополняют клиническую картину заболевания.
На рис. 18.11 представлена нормальная электрокардиограмма человека (обозначения зубцов были даны Эйнтховеном и представляют взятые подряд буквы латинского алфавита).
С
Рис. 18.11. Электрокардиограмма здорового человека (а) и ее спектр (б-), р — деполяризация предсердия, QRS — деполяризация желудочков, Т - реполяризация; частота пульса 60 ударов в минуту (период сокращения — 1с)
Она представляет собой зависимость от времени разности потенциалов, снимаемой двумя электродами соответствующего отведения за цикл работы сердца. Горизонтальная ось является не только осью времени, но и осью нулевого потенциала. ЭКГ представляет собой кривую, состоящую из трех характерных зубцов, обозначениями Р, QSR, Т, разделенных интервалом нулевого потенциала. Высоты зубцов в различных отведениях обусловлены направлением электрической оси сердца, то есть углом а (рис. 18.9). Электрокардиограмма, записанная при норме в стандартных отведениях, характеризуется тем, что ее зубцы в разных отведениях будут неодинаковы по амплитуде, рис. 18.12.
Зубцы ЭКГ будут наиболее высокими во II отведении и наиболее низкими в III отведении (при нормальном положении электрической оси).
Сопоставляя кривые, зарегистрированные в трех отведениях, можно судить о характере изменения рс за цикл работы сердца,
на основании чего и составляется представление о состоянии нервно-мышечного аппарата сердца.
Для анализа ЭКГ используют также ее гармонический спектр (рис. 18.11, б\
Рис. 18.12. Нормальная ЭКГ в трех стандартных отведениях
Векторкардиография
Обычные электрокардиограммы являются одномерными. В 1957 г. немецкий врач физиолог Шмитт разработал метод объемных кривых (векторкардиография).
Напряжение от двух взаимно перпендикулярных отведений подают на взаимно перпендикулярные пластины осциллографа. При этом на экране получаются изображение, состоящее из двух петель — большой и малой. Малая петля заключена в большой и сдвинута к одному из полюсов.
Вторая аналогичная картина может быть получена на втором осциллографе, где одно из двух уже использованных отведений
сопоставляется с третьим. Картины на обоих осциллографах можно рассматривать через стереоскопическую систему линз или фотографировать одновременно, чтобы в дальнейшем построить пространственную (трехмерную) модель.
Для расшифровки электрокардиограмм нужен большой опыт. С появлением ЭВМ стало возможным автоматизировать процесс «чтения» кривых. ЭВМ сравнивает кривую данного больного с образцами, хранящимися в ее памяти, и выдает врачу предположительный диагноз.
Иной подход используется при проведении электрокардиото- пографического исследования. При этом на грудную клетку накладывают около 200 электродов, строят картину электрического поля по 200 кривым, которые анализируются одновременно.
Элементы реаби лито л огни. Физическиефакторы, определяющие особенности ЭКГ
Для точной реабилитационной диагностики работы сердца важно знать от чего зависит ЭКГ у разных здоровых людей. ЭКГ у разных людей и даже у одного и того же человека характеризуется большой вариабельностью. Это зависит от индивидуальных анатомических особенностей проводниковой системы сердца, от различий в соотношении мышечных масс анатомических фрагментов сердца, от электропроводности окружающих сердце тканей, от индивидуальной реакции нервной системы на воздействие внешних и внутренних факторов.
Физические факторы, определяющие особенности ЭКГ. Факторы, определяющие особенности ЭКГ у отдельного человека следующие:
положение сердца в грудной клетке,
положение тела,
дыхание,
действие физических раздражителей, в первую очередь физических нагрузок.
Положение сердца в грудной клетке. Оно может оказывать существенное влияние на форму ЭКГ. При этом надо знать, что направление электрической оси сердца совпадает с анатомической осью сердца. Если угол а имеет значение:
в пределах от 40° до 70°, то такое положение электрической оси сердца считается нормальным; в этих случаях ЭКГ будет иметь обычные соотношения зубцов в I, II, III стандартных отведениях;
близкое к 0°, то есть электрическая ось сердца параллельна линии первого отведения, то такое положение электрической оси сердца обозначается как горизонтальное, и ЭКГ характеризуется высокими амплитудами зубцов в I отведении;
близкое к 90°, то положение обозначается как вертикальное; зубцы ЭКГ будут наименьшими в I отведении.
В основном положение анатомической и электрической осей сердца совпадают. Но в отдельных случаях может быть расхождение: рентгенограмма свидетельствует о нормальном положении сердца, а ЭКГ показывает отклонение электрической оси в ту или другую стороны. Такие расхождения имеют важное диагностическое значение (клинически это означает одностороннее поражение миокарда).
Изменение положения тела всегда вызывает некоторые изменения положения сердца в грудной клетке. Это сопровождается изменением электропроводности окружающих сердце сред. ЭКГ у человека с вертикальным положением сердца будет отличаться от нормальной. Если ЭКГ не изменяет своей формы при перемещении тела, то этот факт тоже имеет диагностическое значение; характеристики зубцов изменяются при любом отклонении электрической оси.
Дыхание. Амплитуда и направленность зубцов ЭКГ изменяются при любом отклонении электрической оси, меняясь при вдохе и выдохе. При вдохе электрическая ось сердца отклоняется примерно на 15°, при глубоком вдохе это отклонение может достигнуть 30°. Нарушения или изменения дыхания (при тренировках, при реабилитационных упражнениях и гимнастике) могут быть диагностированы по изменению ЭКГ.
Физическая нагрузка. В медицинской реабилитологии роль физических нагрузок чрезвычайно велика. Физическая нагрузка всегда вызывает существенное изменение в ЭКГ. У здоровых людей эти изменения состоят главным образом в учащении ритма, форма зубцов тоже изменяется в определенной закономерности. При функциональных пробах с физической нагрузкой могут иметь место такие изменения, которые явно указывают
на патологические изменения в работе сердца (тахикардия, экстрасистолия, мерцательная аритмия и т. д.).
Искажения при записи ЭКГ. При записи ЭКГ всегда нужно иметь в виду, что существуют причины, которые могут исказить ее форму: неисправности в усилителе электрокардиографа, переменный ток городской сети может наводить ЭДС вследствие электромагнитной индукции в рядом расположенных усилительных цепях и даже биологических объектах, нестабильность блока питания и т. д. Расшифровка искаженной ЭКГ приводит к постановке неправильного диагноза.
Диагностическая значимость метода электрокариографии несомненно велика. Этот метод совместно с другими методами оценки деятельности сердца (методы регистрации механических колебаний сердца, рентгеновский метод) позволяет получать важную клиническую информацию о работе сердца.
Лекция 19
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные электромагнитные колебания.
Апериодический разряд конденсатора. Постоянная времени. Зарядка конденсатора.
Электрический импульс и импульсный ток.
Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия.
Свободные электромагнитные колебания
Электромагнитные (электрические) колебания — это периодические изменения различных электрических и магнитных характеристик: токов, напряжений, напряженности электрического поля и др.
Свободные электромагнитные колебания совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Электромагнитные колебания можно создать в колебательном контуре, который представляет собой соединение конденсатора (С) и катушки индуктивности (L).
Незатухающие колебания. Рассмотрим идеальный колебательный контур, который не обладает активным сопротивлением.
Если зарядить конденсатор такого колебательного контура (рис. 19.1) от источника й, установив ключ К в положение «1», а затем ключ К перевести в положение «2», то конденсатор начнет разряжаться через катушку.
Рис. 19.1. Цепь идеального колебательного контура
При этом в контуре возникает ЭДС самоиндукции ^i = — — Ldl/dt, которая будет равна напряжению на обкладках конденсатора U = q/С,™ есть
где / — ток в цепи контура, q — заряд на обкладках конденсатора.
Учитывая, что / = dq/dt, получаем: — L(d2q / dt2) = q/С, или
^ + ^9 = 0,(19.2)
где
^ = 1/(LC).(19.3)
Решение уравнения (19.2) по аналогии с механическими колебаниями приводит к гармоническому закону:
Q = Qmax COS(W0< + ^о),(19-4)
где qmax — начальный (максимальный) заряд на обкладках конденсатора, ц?о — собственная круговая частота колебаний в контуре, фо — начальная фаза.
По гармоническому закону изменяются также напряжение (U = q/С) и сила тока (/ = dq/dt) в контуре (рис. 19.2):
и = Umax cos(w0< + уо),(19.5)
ГДе Стах — Qmax/Сs
I = -/max Sin(woi + фо\(19.6)
ГДе /max ~ Qmax^O*ГДе /max ~ Qmax^O*Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)
ГДе /max ~ Qmax^O*
ГДе /max ~ Qmax^O*
Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)
Рис. 19.2. Зависимость заряда, напряжения и тока от времени в идеальном колебательном контуре (незатухающие колебания)
Период собственных колебаний равен (формула Томсона):
Т = — = WbC.wqТ = — = WbC.wq(19-7)(19-7)
Т = — = WbC.wq
Т = — = WbC.wq
(19-7)
(19-7)
Энергия электрического поля конденсатора И4Л и энергия магнитного поля катушки РИМ периодически изменяются со временем:
Ичл = (Cl/2ax/2) cos2^ + М (19.8)
И м = (L/^ax/2) зт2(Шо< + ^о)- (19.9)
В идеальном контуре не происходит выделения теплоты. Поэтому суммарная энергия электрического и магнитного полей сохраняется, и колебания являются незатухающими.
Затухающие колебания. Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением (в цепь включен резистор R. рис. 19.3), поэтому колебания в нем затухают.
Рис. 19.3. Цепь реального колебательного контура
Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции равна напряжению на сопротивлении и обкладках конденсатора:
—L(dl/dt) = IR + q/C.(19.10)
Преобразовав это равенство, d^q/dt1 + (R/L)dq/dt + ^(LC^q = 0,(19.11)
и сделав замену
2p = R/L, ^ = 1/{LC),(19.12)
получим дифференциальное уравнение:
d2q/dt2 + 23(dq / dt) + co^q = 0.(19.13)
Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением механических колебаний. Его решение зависит от соотношения между параметрами:
шо = 1/УЦС) и p = R/^LY
Если ц?о > 3- то уравнение (19.13) описывает затухающие колебания (рис. 19.4):
q = Qmax exp(-pt) cos(w£ + ^o),(19.14)
где ш = Уш^ - /З2.
Рис. 19.4. Зависимость заряда от времени в реальном колебательном контуре (затухающие колебания)
Амплитуда колебаний А = Qmax ехр(—3^ уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Характеристикой затухания является логарифмический декремент затухания А = = рт = tvRVcJl.
Следует отметить, что полученное решение подобно решению для механических затухающих колебаний (лекция 6) с вязким трением. Это дает основание представлять движение зарядов в проводниках подобно движению жидкости по трубам
Если ц?о < 3- то колебаний не возникает, и конденсатор просто разряжается. Такой разряд называется апериодическим.
Апериодический разряд конденсатора.
Постоянная времени. Зарядка конденсатора
Апериодические процессы возникают и в более простых случаях. Если, например, заряженный конденсатор соединить с резистором (рис. 19.5) или незаряженный конденсатор подключить к источнику постоянного напряжения (рис. 19.6), то после замыкания ключей колебания не возникнут.
Разрядка конденсатора с начальным зарядом между пластинами Qmax происходит по экспоненциальному закону:
q = 9max ехр(-#/т),(19.15)
где т = RC называется постоянной времени.
Рис. 19.5. Разряд конденсатора через резисторРис. 19.5. Разряд конденсатора через резистор
Рис. 19.5. Разряд конденсатора через резистор
Рис. 19.5. Разряд конденсатора через резистор
По такому же закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора:
С = Стахехр(-#/т).(19.16)
Изменение напряжения при зарядке конденсатора от источника с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением г показано на рис. 19.6.
tРис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного токаtРис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного тока
t
Рис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного тока
t
Рис. 19.6. Зарядка конденсатора от источника постоянного тока
Напряжение на обкладках конденсатора нарастает по закону:
U = ^[1 — ехр(—1(т^U = ^[1 — ехр(—1(т^(19.17)(19.17)
U = ^[1 — ехр(—1(т^
U = ^[1 — ехр(—1(т^
(19.17)
(19.17)
где т = г С также называется постоянной времени.
Электрический импульс и импульсный ток
Электрический импульс — кратковременное изменение электрического напряжения или силы тока на фоне некоторого постоянного значения.
Импульсы подразделяются на две группы:
Видеоимпульсы — электрические импульсы постоянного тока или напряжения.
Радиоимпульсы — модулированные электромагнитные колебания.
Видеоимпульсы различной формы (а) и пример радиоимпульса (б) показаны на рис. 19.7.
В физиологии термином «электрический импульс» обозначают именно видеоимпульсы, характеристики которых имеют важное экспериментальное значение. Для уменьшения возможной погрешности при измерениях условились выделять моменты времени, при которых параметры имеют значение 0,lt/max и 0,9t/max (0,l/max и 0,9/max). Через эти моменты времени выражают характеристики импульсов.
ВидеоимпульсыРадиоимпульс
Рис. 19.7. Электрические импульсы
Импульсный ток — повторяющиеся импульсы.
Характеристики импульса и импульсного тока указаны на рис. 19.8.
Рис. 19.8. Характеристики импульса (а) и импульсного тока (б)
На рис. 19.8 указаны:
Umax — максимальное значение напряжения (тока) импульса;
Тф — длительность фронта импульса;
тср — длительность среза (заднего фронта) импульса;
ти — длительность импульса;
Т — период импульсного тока.
Кроме характеристик, указанных на чертеже, используются следующие понятия.
К рис. (а): крутизна фронта, равная отношению 0,8(/тах/тф;
к рис. (б): скваэюность следования импульсов Q = Т/тн,
коэффициент заполнения К = \/Q:
частота повторения импульсов (величина, обратная периоДУ) V = Щ.
Элементы реабилитологии. Импульснаяэлектротерапия
Прямоугольные импульсы используются в следующих методах.
Электросонтерапия — метод лечебного воздействия на структуры головного мозга. Для этой процедуры применяют прямоугольные импульсы с частотой 5-160 имп/с и длительностью 0,2-0,5 мс. Сила импульсного тока составляет 1-8 мА.
Транскраниальная электроанальгезия — метод лечебного воздействия на кожные покровы головы импульсными токами, вызывающими обезболивание или снижение интенсивности болевых ощущений. Для этого метода используются следующие режимы воздействия (рис. 19.9):
Рис. 19.9. Основные виды импульсных токов, используемых при транскраниальной электроанальгезии
а) прямоугольные импульсы напряжением до 10 В, частотой 60-100 имп/с, длительностью 3,5-4 мс, следующие пучками по 20-50 импульсов;
б), в) прямоугольные импульсы постоянной и переменной скважности продолжительностью 0,15-0,5 мс, напряжением до 20 В, следующие с частотой 150-2000 имп/с. Сила импульсного тока при этом не превышает 1 мА.
Выбор параметров (частоты, длительности, скважности, амплитуды) осуществляется индивидуально для каждого больного.
Полусинусоидалъние импулъси используются в диадинамотерапии. Основные виды таких токов представлены на рис. 19.10:
Рис. 19.10. Основные виды диадинамических токов
однополупериодный непрерывный с частотой 50 Гц;
двухполупериодный непрерывный с частотой 100 Гц;
однополупериодный ритмический — это прерывистый однополупериодный ток, посылки которого чередуются с паузами равной длительности (1-1,5 с);
модулированный разными по длительности периодами.
Токи Бернара представляют собой диадинамические токи — импульсы с задним фронтом, имеющим форму экспоненты, частота этих токов 50-100 Гц. Возбудимые ткани организма быстро адаптируются к таким токам.
Электростимуляция — метод лечебного применения импульсных токов для восстановления деятельности органов и тканей, утративших нормальную функцию. Основные виды импульсных токов, используемых в этом методе показан на рис. 19.11:
Рис. 19.11. Основные виды импульсных токов, используемых для электростимуляции
постоянный ток с прерыванием,
импульсный ток прямоугольной формы,
импульсный ток экспоненциальной формы,
импульсный ток треугольной остроконечной формы.
Электропунктура — лечебное воздействие импульсных и переменных токов на биологически активные точки (БАТ). По
Рис. 19.12. Прибор для электропунк- турыРис. 19.12. Прибор для электропунк- турысвойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия насвойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия насовременным представлениям такие точки являются морфо-функционально обособленными участками тканей, расположенными в подкожной жировой клетчатке. Они имеют повышенную электропроводность по отношению к окружающим их участкам кожи. На этом
Рис. 19.12. Прибор для электропунк- туры
Рис. 19.12. Прибор для электропунк- туры
свойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия на
свойстве созданы приборы для поиска БАТ и воздействия на
них, рис. 19.12.
электрод пациент держит в руке, а оператор прикладываетэлектрод пациент держит в руке, а оператор прикладываетРабочее напряжение измерительных приборов не превышает 2 В. Измерения проводятся следующим образом: нейтральный
электрод пациент держит в руке, а оператор прикладывает
электрод пациент держит в руке, а оператор прикладывает
Рис. 19.13. Зависимость силы тока от давления щупа на кожуРис. 19.13. Зависимость силы тока от давления щупа на кожук исследуемой БАТ измерительный электрод-щуп малой площади (точечные электроды).
Рис. 19.13. Зависимость силы тока от давления щупа на кожу
Рис. 19.13. Зависимость силы тока от давления щупа на кожу
Экспериментально показано, сила тока, протекающего в измерительной цепи, зависит от давления электрода- щупа на поверхность кожи, рис. 19.13.
Поэтому всегда имеется разброс в измеряемой величине. Кроме того, упругость, толщина, влажность кожи
в различных участках тела и у различных людей разная, поэтому нельзя ввести единую норму. Следует особо отметить, что механизмы электрического раздражения БАТ нуждаются в строгом научном обосновании. Необходимо корректное сравнение с концепциями нейрофизиологии.
Лекция 20ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Переменный ток и переменное напряжение.
Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения.
Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление
Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление.
Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс.
Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография.
Переменный ток и переменное напряжение
В широком смысле «переменным» называют любой ток, который изменяется с течением времени по величине и направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать:
I = /maxCOs(ct;^ + (£о).(20.1)
Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какого либо прибора в сеть переменного напряжения:
U = [7maxcos(w£).(20.2)
Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза равнялась нулю. Поэтому в формуле (20.2) нет слагаемого р^.
Как указано выше, при включении в сеть (20.2) какого-либо прибора в цепи возникает переменный ток (20.1). Его максимальное значение /тах и начальная фаза ро зависят от свойств элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.
Протекание переменного тока по резистору.Сопротивление резистора, действующие значениятока и напряжения
Резистором называется проводник, в котором при протекании переменного тока не возникает электродвижущая сила.
При протекании переменного тока через резистор выполняется закон Ома для участка цепи. Поэтому отношение напряжения к силе тока остается постоянным и называется сопротивлением резистора (R):
U(t)/I(t) = R.(20.3)
Таким образом, сопротивление резистора не зависит от частоты тока и совпадает с его сопротивлением в сети постоянного тока.
Из формул (20.2) и (20.3) вытекает формула, выражающая закон изменения переменного тока, текущего через резистор:
I = ^max COS^COt), /тах = ^тах/R*(20.4)
При протекании по резистору сила тока изменяется в одинаковой фазе с приложенным напряжением.
Для цепи переменного тока сопротивлением участка цепи принято называть отношение амплитуды напряжения к амплитуде силы тока.
Сопротивление резистора в сети переменного тока равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на резисторе к амплитудному значению силы тока в нем:
R = Umax r//шах-(20.5)
Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 20.1.
И
О►>-
О ~ О^шах ЛпахОсь ТОКОВ U
Рис. 20.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диа-грамма
9 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, вектора Umax и /тах отложены по одной прямой в одном направлении.
В принципе, любому переменному току сопутствует электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излучения ничтожно мала и потерями энергии на электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока протекающего через резистор полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим, сопротивление резистора называют активным.
Расчеты показывают, что средняя мощность выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока вычисляется по формулам
Р = 'max^/2 = U^J^Ry
Если ввести обозначения
/д = Imax/A ид = итлх/А (20.6) то формулы для мощности переменного тока примут такой же вид, как и для постоянного тока:
Р = I^R = U^/R. (20.7)
Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой (20.6), называется действующими. Существует договоренность о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения.
Конденсатор в цепи переменного тока,емкостное сопротивление
Включим в цепь переменного напряжения (20.2) конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет меняться заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Тогда заряд конденсатора связан с текущим напряжением в цепи соотношением
q = CU = C[7maxcos(wt). (20.8)
Учитывая, что / = dq/dt, получим
/ = -CUmax^O S*m(coty
(20.9)(20.9)Используя формулы тригонометрии, найдем I = /maxCOS^/; + Тг/2),
(20.9)
(20.9)
где
Атах — С wU таж.
Эта формула показывает, что
ток в цепи с конденсатором опереэюает напряжение по фазе на тг/2.
Иногда удобнее говорить, что напряжение отстает по фазе от тока на тг/2.
Цепь с конденсатором характеризуется емкостним сопротивлением.
Емкостное сопротивление равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на пластинах конденсатора к амплитудному значению силы тока в цепи:
max С /Апах — 1/(67^).max С /Апах — 1/(67^).(20.10)(20.10)
max С /Апах — 1/(67^).
max С /Апах — 1/(67^).
(20.10)
(20.10)
Цепь с конденсатором С и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 20.2.
UUРис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграммаРис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграммаОсь токовОсь токов
U
U
Рис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма
Рис. 20.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма
Ось токов
Ось токов
Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на тг/2, вектор Umax повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отриидтельним).
Протекание переменного тока по идеальнойкатушке индуктивности, индуктивноесопротивление
Включим в цепь переменного напряжения (20.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно
пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие явления самоиндукции в ней возникнет ЭД С, препятствующая изменению тока в цепи.
Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебрегаем, ЭДС и напряжение одинаковы: 8 = [7. Используя закон электромагнитной индукции, получаем дифференциальное уравнение для тока в цепи:
— Ldl/dt = Umax cos(coty
Интегрируя это уравнение, получаем:
-LI = -(Umax/w) Sm(wt) = -(tTmaxyM COs(<x>f - Тг/2).
Таким образом, сила тока в катушке изменяется по следующему закону:
I = Imax COs(ut — 7Г/2),(20.11)
где
Imax = Umax/^L*
Это соотношение показывает, что
сила тока в идеальной катушке индуктивности отстает по фазе от приложенного напряжения на тг/2.
Иногда удобнее говорить, что напряжение опережает по фазе ток на тг/2.
Цепь с катушкой характеризуется индуктивным сопротивлением.
Индуктивное сопротивление равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на катушке индуктивности к амплитудному значению силы тока в ней:
Xl = Umax ь/Imax = Ьш.(20.12)
Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 20.3.
Поскольку напряжение опережает по фазе ток на тг/2, то вектор Umax повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положительным).
При протекании переменного тока по конденсатору и идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии, емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными и вместо обозначения R используют обозначение X.
Ось токовОсь токов
Ось токов
Ось токов
Рис. 20.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма
Протекание переменного тока по
RLС-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений
Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R. катушки индуктивности L и конденсатора С. Если на нее подать переменное напряжение (20.2), то ток в цепи будет изменяться по закону
I = /max COS(CJ£ - р\(20.13)
где р — разность фаз напряжения и силы тока.
Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обозначают Z.
Импеданс равен отношению амплитудного значения переменного напряжения на концах цепи к амплитудному значению силы тока в ней:
Z = Umax/Imax.(20.14)
RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 20.4.
Элементы (R. L^ С) полной цепи переменного тока на рис. 20.4 соединены последовательно. Поэтому по ним протекает одинаковый ток, а напряжение U(t) = Umax cos(cot)
складывается из напряжений на отдельных участках цепи:
U(t) = UR(t) + Uc(t) + UL(t).(20.15)
Для сложения напряжений используется следующий графический прием. На векторной диаграмме откладываются как век- тори все 3 амплитуды напряжений (Umax R, Umaxc, Umax L\ При этом направления векторов согласуются с рис. 20.1, 20.2, 20.3. Тогда сумма этих векторов дает вектор напряжения в цепи. Величина и направление вектора Umax дают амплитуду напряжения в сети и фазовый угол р между током и напряжением.
Рис. 20.4. ЯЬС-цепь в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма
На основании рис. 20.4 по теореме Пифагора имеем
U^ = U^ R + (Umax L - Umax с)2.(20.16)
Подставляя в (20.16) выражения этих амплитуд из (20.7), (20.10), (20.12) и учитывая закон Ома, находим:
iLxZ2 = iLxR2 + VUxLlu - ;тах/(СШ)]2.(20.17)
Из (20.17) получаем выражение для определения импеданса:
Z = VR2 + (XL - Хср.(20.18)
Из рис.20 46 найдем значение разности фаз р:
tg = (^max L — Umax о) / Umax д = ^Хl — Xq^ / R.(20.19)
Резонанс напряжений. Если величины L, С, и ш подобраны таким образом, что Xq = Xl, то полное сопротивление Z (формула 20.18) имеет минимально возможное значение, равное R (Z = R). При этом сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе (р = 0) так, как будто в цепи имеется только активное сопротивление; напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. В этом случае амплитуда
силы тока максимальна. Данное явление называется резонансом напряжений. Так как Umax L = Umaxc, то Lwpe3 = l/Ci^. Следовательно, резонансная частота равна
с^рез = 1/VIC. (20.20)
Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса.
География
Импеданс тканей организма. По своим электрическим свойствам ткани организма представляют собой разнородную среду. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят электролиты.
Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой мембраны обладает емкостным сопротивлением, т. е. она подобна конденсатору.
В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его тканей близка к нулю.
Таким образом, импеданс тканей определяется только активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Ниже приведены значения углов сдвига фаз, полученные при частоте 1 кГц для разных биологических объектов.
Биологический объект
Угол сдвига фаз у?, град
Кожа человека, лягушки
55
Нерв лягушки
64
Мышцы кролика
65
Десна
42
Эмаль зуба
25
Эквивалентная электрическая схема тканей. Активные и емкостные свойства биологических тканей можно представить электрической схемой, приведенной на рис. 20.5. Она состоит из резисторов, которые обладают активным сопротивлением, и конденсатора, обладающего емкостным сопротивлением.
Рис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная зависимость ее импедансаРис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная зависимость ее импеданса
Рис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная зависимость ее импеданса
Рис. 20.5. Эквивалентная электрическая схема ткани и частотная зависимость ее импеданса
Кривая 1 описывает зависимость сопротивления от частоты согласно эквивалентной схеме для живой ткани. Частотная зависимость (дисперсия) импеданса такой системы наиболее близка к частотной зависимости импеданса биологической ткани, которая имеет место в реальных экспериментах. В этой эквивалентной схеме электроемкость и диэлектрическая проницаемость остаются постоянными.
Кривая 2 соответствует мертвой ткани. В мертвой ткани разрушены мембраны, и она не обладает емкостным сопротивлением, поэтому нет частотной зависимости импеданса. Величину сопротивления схемы для этого случая можно найти по правилу параллельного соединения сопротивлений (учитывая, что Хс = о):
R = R1R2/(R1 + R2). (20.21)
Рис. 20.6. Частотная зависимость импеданса биологической тканиРис. 20.6. Частотная зависимость импеданса биологической тканиДисперсия импеданса. В реальных биологических тканях имеются отличия в частотной зависимости импеданса по сравнению с рис. 20.56.
Рис. 20.6. Частотная зависимость импеданса биологической ткани
Рис. 20.6. Частотная зависимость импеданса биологической ткани
На рис. 20.6 представлена частотная зависимость импеданса мышечной ткани (построена в логарифмическом масштабе ради компактности).
Общих ход зависимости свидетельствует о плавном уменьшении импеданса с уве
личением частоты. При этом четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы, соответственно, областями а-, (3- и 7-дисперсии.
При воздействии переменным (гармоническим) электрическим полем проявляется частотная зависимость диэлектрической проницаемости: е = f^Y Изменение диэлектрической проницаемости с изменением частоты электрического поля приводит к изменению электроемкости, а следовательно, к изменению импеданса (теоретическое доказательство этого здесь не приводится)
На рис. 20.7 показана частотная зависимость диэлектрической проницаемости, в которой также выделяются области а-, 3" и 7-дисперсии.
Рис. 20.7. Частотная зависимость диэлектрической проницаемости
Наличие областей дисперсии указывает на различные механизмы поляризации тканей в разных частотных диапазонах действующего внешнего электромагнитного поля. Каждый из механизмов поляризации характеризуется своей частотой, вблизи которой запаздывание смещения (поворота) различных элементов биологических тканей относительно изменения действующего переменного электромагнитного поля минимально.
Механизмы возникновения областей дисперсии следующие: а-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (1, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты (0,1-10 кГц); в этой области емкостное сопротивление мембран очень большое и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.
Р-дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточных мембран (5), в которой участвуют белковые макромолекулы (4\ а на их верхней границе — глобулярные водорастворимые белки (5), фосфолипиды (5, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (5); данный механизм проявляется при действии переменного электрического поля с частотой 1-10 МГц;
у-дисперсии обусловлена процессами ориентационной поляризации молекул (9, 10) свободной и связанной воды (частота около 20 ГГц), а также низкомолекулярных веществ типа сахаров и аминокислот (частотный интервал 1-10 ГГц).
По частотной зависимости импеданса можно оценивать жизнеспособность ткани, что важно при пересадке органов. Различия в частотных зависимостях импеданса имеют место при сравнении здоровой и больной ткани.
География. Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния, от степени наполнения кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Это используется в диагностических целях.
Реография — диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности.
Для реографии применяют переменный ток с частотой 20-30 кГц и измеряют полное сопротивление определенного участка тканей в течение цикла сердечной деятельности. Реограмма — зависимость Z = f(t) при v = const.
С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т. д.
Лекция 21
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Уравнения электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн.
Объемная плотность энергии электромагнитного поля
Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине.
Элементы реабилитологии. Влияние электромагнитных волн разного диапазона на человека.
Переменные электрические и магнитные поля не могут существовать независимо друг от друга. Нельзя создать переменное магнитное поле без того, чтобы одновременно не возникло и переменное электрическое поле, и наоборот.
Электромагнитное поле представляет собой взаимосвязанные колебания электрического (Е) и магнитного полей (В). Распространение единого электромагнитного поля в пространстве осуществляется посредством электромагнитных волн.
Уравнения электромагнитной волны.
Свойства электромагнитных волн
Электромагнитная волна — электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью и переносящие энергию.
Особенности электромагнитных волн, законы их возбуждения и распространения описываются уравнениями Максвелла (которые в данном курсе не рассматриваются). Если в какой-то области пространства существуют электрические заряды и токи, то изменение их со временем приводит к излучению электромагнитных волн. Описание их распространения аналогично описанию механических волн.
Если среда однородна, и волна распространяется вдоль оси X со скоростью г, то электрическая (В) и магнитная (В) составляющие поля в каждой точке среды изменяются по гармоническому закону с одинаковой частотой (и) и в одинаковой фазе
(21-1)(21.2)(21-1)(21.2)(уравнение плоской волны):
(21-1)
(21.2)
(21-1)
(21.2)
Е = Ет cos[o;(f — ж/г)],В = Вт cos[o;(f — ж/г)],
где ж — координата точки, a t — время.
Векторы Е и В взаимно перпендикулярны, и каждый из них перпендикулярен направлению распространения волны, то есть вектору скорости, рис. 21.1. Поэтому электромагнитные вол
ны являются поперечными.ны являются поперечными.Рис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнитной волнеРис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнитной волне
ны являются поперечными.
ны являются поперечными.
Рис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнитной волне
Рис. 21.1. Взаимное расположение векторов Е, В, v в электромагнитной волне
Модули векторов Е и В в плоской электромагнитной волне связаны соотношением е^еЕ2 = В^)ц^ц.
Скорость распространения электромагнитной волны зависит от относительной диэлектрической (е) и магнитной (д) проница- емостей среды и определяется по формуле:
V = 1/^гоцогц = с/(21.3) где ео и до — электрическая и магнитная постоянные, с — скорость электромагнитных волн в вакууме, равная с = 1/ д/еоДо — = 3 • 108 м/с.
В вакууме скорость распространения электромагнитных волн равна скорости распространения света (это послужило основанием для создания Максвеллом электромагнитной теории света).
Учитывая, что абсолютный показатель преломления среды равен п = с/ж, можно установить связь между п, е, д:
п =(21-4)
Свойства электромагнитных волн:
частичное поглощение волн диэлектриком;
практически полное отражение волн от металлов;
преломление волн на границе диэлектриков;
интерференция, дифракция волн.
Объемная плотность энергииэлектромагнитного поля
Объемная плотность энергии электромагнитного поля w3M складывается из объемных плотностей электрического w3 и магнитного wM полей:
g2 В^1
w3M = W3 + wM = еео— + —
Электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля в диэлектрике равноправны:
в^О^Л = В2/2W<0,(21-6)
поэтому для объемной плотности энергии можно записать несколько выражений:
w9M = ег0Е2 = В2)^ = ЕВ/уцоц. (21-7)
Плотность потока энергии волны^ или интенсивность волны (усредненную величину), получим из общего соотношения: I = wv, где и) — объемная плотность энергии, и — скорость распространения волны в среде:
/ = w3Mr = иЕВ(ирь^Ц = ЕВ) рь^рь [Вт/м2]. (21.8)
На границе атмосферы Земли среднегодовое значение I солнечного света составляет 1,5 кВт/м2 (солнечная постоянная). Эта интенсивность обеспечивает все процессы, которые протекают за счет солнечной энергии.
Шкала электромагнитных волн.Классификация частотных интервалов, принятаяв медицине
Шкала электромагнитных волн. Из теории Максвелла вытекает, что радиоволны, свет, рентгеновское излучение и гамма-излучение представляют собой электромагнитные волны с различной длиной волны (частотой). В физике принята следующая классификация электромагнитных волн. Вся шкала разделена на несколько диапазонов длин волн (см. табл. 21.1). Электромагнитные волны различных диапазонов по-разному взаимодействуют с веществом.
Таблица 21.1. Интервалы электромагнитных волн
Длина волны, м
Название диапазона
Источники
Ю4-10"4
Радиоволны (длинные, средние, короткие)
Переменные токи в проводниках
10"4-10"6
Инфракрасное излучение
Излучение атомов и молекул
8 • 10"7-4 ■ 10"7
Видимый свет (А = 400-760 нм)
4 • 10"7-5 • 10"9
Ультрафиолетовое излучение
5•10"9-4•10"12
Рентгеновское излучение
Внутриатомные процессы
4-10"12-10"13
7-излучение
Ядерные процессы, радиоактивный распад, космические процессы
Часто все электромагнитные волны изображают на единой шкале, рис. 21.2.
ЗвездыЗвездыРадиоисточники и радиогалактики
Звезды
Звезды
। Область । I реликтового I * излучения *
11
Оп^иче^кое излучение
11.О6 1 ю4 ю2.О6 1 ю4 ю210°10™210°10™2КН КН' 10"8КН КН' 10"8g Ультра- Рентге-g Ультра- Рентге-ииЮ™1010-12Ю™1010-12ммГамма-излучениеГамма-излучениеРадиоизлучениеРадиоизлучениеХ = 21Д - Линия Юпитер 2|. излученияХ = 21Д - Линия Юпитер 2|. излученияСолнцеСолнцефиолетовое излучениефиолетовое излучениеновское излучениеновское излучениеИнфракрасное излучениеИнфракрасное излучениеВенераВенераРис. 21.2. Шкала электромагнитных волнРис. 21.2. Шкала электромагнитных волн
1
1
.О6 1 ю4 ю2
.О6 1 ю4 ю2
10°10™2
10°10™2
КН КН' 10"8
КН КН' 10"8
g Ультра- Рентге-
g Ультра- Рентге-
и
и
Ю™1010-12
Ю™1010-12
м
м
Гамма-излучение
Гамма-излучение
Радиоизлучение
Радиоизлучение
Х = 21Д - Линия Юпитер 2|. излучения
Х = 21Д - Линия Юпитер 2|. излучения
Солнце
Солнце
фиолетовое излучение
фиолетовое излучение
новское излучение
новское излучение
Инфракрасное излучение
Инфракрасное излучение
Венера
Венера
Рис. 21.2. Шкала электромагнитных волн
Рис. 21.2. Шкала электромагнитных волн
Весь диапазон электромагнитных волн весьма широк: по длине волны от 10-12 м 1013 м; по частоте от 10-5 Гц до 1020 Гц. Некоторые диапазоны перекрываются, так как волны одной и той же длины могут образовываться в разных процессах. Так, например, наиболее коротковолновое ультрафиолетовое излучение перекрывается длинноволновым рентгеновским, коротковолновое рентгеновское излучение перекрывается 7-излучением.
Классификация частотных интервалов. В медицине принято следующее разделение электромагнитных колебаний на частотные диапазоны:
Название интервала
Частоты
Низкие (НЧ)
До 20 Гц
Звуковые (34)
20 Гц-20 кГц
Ультразвуковые (УЗЧ)
20 кГц-200 кГц
Высокие (ВЧ)
200 кГц-30 МГц
Ультравысокие (УВЧ)
30-300 МГц
Сверхвысокие (СВЧ)
300 МГц-300 ГГц
Крайне высокие (КВЧ)
Свыше 300 ГГц
Элементы реабилитологии
Влияние волн радиодиапазона на человека. Радиоволны, генерируемые с помощью электронных устройств, по длине охватывают диапазон от миллиметров до нескольких километров.
Длинные и средние радиоволны (А > 100 м) практически не взаимодействуют с биологическими объектами. В медицинских целях они не используются.
С уменьшением длины волны биологическая активность радиоволн возрастает. Волны ВЧ-диапазона заметно поглощаются биологическими тканями, а для УВЧ и СВЧ-диапазонов это поглощение становится очень значительным. УВЧ-диапазон используется в медицине для глубокого прогревания тканей.
Особенно эффективно поглощают такие волны ткани со значительным содержанием воды, что приводит к их сильному нагреванию. Большое выделение тепла опасно для органов и тканей, имеющих плохую систему кровоснабжения, например, для хрусталика. Так, радиоизлучение с длиной волны 10-12 см может
повысить температуру в задней части хрусталика на 20°. Подобное воздействие способно вызвать катаракту, которая развивается не сразу, а через несколько недель после облучения и прогрессирует даже при отсутствии дополнительного облучения.
Инфракрасное излучение. Низкочастотный край этой области не имеет резкой границы, которая отделяла бы ее от микроволновой области. Верхний предел инфракрасного излучения определяется началом области видимого света. На высокочастотной границе инфракрасной области фотоны имеют энергию ^W ~ 1,8 эВ), достаточную для возбуждения молекул некоторых типов. Это используется для изучения строения вещества (ИК-спектроскопия).
Источником инфракрасного излучения являются все тела. При повышении температуры интенсивность излучения растет. Это излучение является основным переносчиком тепла от Солнца. Молекулы, входящие в состав кожного покрова человека, «резонируют» на инфракрасных частотах; поэтому именно это излучение преимущественно поглощается и тем самым согревает человека.
Видимый свет. Видимая область спектра электромагнитного излучения очень узка и имеет весьма резкие границы, определяемые свойствами органа зрения человека. Длины волн (нм), соответствующие основным цветам видимого света, приведены в табл. 21.2.
Таблица 21.2. Длины волн основных цветов видимого света
Красный
760-620 нм
Оранжевый
620-590 нм
Желтый
590-560 нм
Зеленый
560-500 нм
Голубой
500-480 нм
Синий
480-450 нм
Фиолетовый
450-400 нм
Энергия высокочастотной границы этого диапазона составляет 3 эВ. Поскольку энергия связи атомов порядка 1 эВ, видимый свет может вызывать химические превращения (фотосинтез, фотография, фотобиологические реакции, отбеливание).
Видимый свет может генерироваться в большом числе различных процессов, которые происходит в связанных атомных или молекулярных системах — за счет их возбуждения вследствие нагревания или иного воздействия, например, электронного удара.
Ультрафиолетовое излучение испускается атомами при воздействии ускоренных заряженных частиц. Область ультрафиолетового излучения начинается у фиолетовой границы видимого света и сливается с длинноволновым рентгеновским излучением (подробнее см. лекцию 37).
Рентгеновское и 7-излучение. Рентгеновское излучение испускается при резком торможении электронов, движущихся с большой скоростью, при попадании на металлическую мишень. Точно также, как не существует четкой границы между ультрафиолетовым излучением и мягким рентгеновским излучением, так и отсутствует четкая граница с 7-излучением.
Лекция 22
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ,ПРОИСХОДЯЩИЕ В ТКАНЯХ ОРГАНИЗМАПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТОКОВ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Действие постоянного тока.
Действие переменного и импульсного токов (НЧ, 34, УЗЧ).
Действие высокочастотного тока.
Действие магнитного поля: постоянного, импульсного, гармонического.
Действие постоянного электрического поля.
Действие переменного электрического поля (УВЧ).
Действие электромагнитных волн (СВЧ).
Биологические ткани и органы обладают различными электрическими свойствами. Например, одни из них являются диэлектриками, а другие — проводниками. Значительную часть организма составляют биологические жидкости (электролиты), содержащие большое количество ионов, которые участвуют в различных обменных процессах. Свойства биологических тканей существенно зависят от действия на них токов и электромагнитных полей.
§ 22.1. Действие постоянного тока
Под воздействием постоянного электрического поля ионы, содержащиеся в биологических тканях, совершают направленное движение. При этом происходит их разделение и изменение их концентрации в различных элементах ткани. Как и при всяком протекании тока через электролит, на электродах происходит выделение веществ. Продукты электролиза являются химически активными веществами и в достаточной концентрации могут вызвать химический ожог подлежащих тканей (поэтому под электроды кладут влажные прокладки). Для предотвращения ионного дисбаланса тканей продолжительность процедур с постоянным током не превышает 20-30 минут.
Аппараты для проведения лечебных процедур постоянным током питаются от сети переменного тока с напряжением 220 В. Для получения постоянного тока осуществляется:
трансформаторное снижение переменного напряжения до требуемой величины;
преобразование переменного тока в пульсирующий с помощью полупроводникового двухполупериодного выпрямителя;
сглаживание пульсации фильтром;
величина постоянного тока, используемого в процедурах, регулируется потенциометром.
Гальванизация — физиотерапевтический метод, основан на пропускании через ткани организма постоянного тока напряжением 60-80 В.
При гальванизации различных участков тела используют следующие различные токи:
конечности — 20-30 мА,
туловище — 15-20 мА
части лица — 3-5 мА
слизистые — 2-3 мА.
При проведении гальванизации в подлежащих тканях активизируются системы регуляции локального кровотока. Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повышение проницаемости их стенок происходит не только в месте приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях, через которые проходит постоянный электрический ток.
Электрофорез — метод, основанный на введении лекарственного вещества через кожу или слизистые оболочки под действием постоянного тока. При этой процедуре осуществляется сочетанное воздействие на организм постоянного электрического тока и вводимого с его помощью лекарственного вещества. При использовании данного метода к перечисленным выше (см. гальванизацию) механизмам биологического действия постоянного тока добавляются лечебные эффекты конкретного лекарственного вещества (способ его введения, количество, область введения).
Для проведения электрофореза под электроды на кожу кладут прокладки, смоченные соответствующим лекарственным препаратом. Лекарство вводят с того полюса, зарядом которого
276 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма оно обладает. Через катод вводят анионы (йод, гепарин, бром), а через анод — катионы (Na, Са, новокаин).
Действие переменного и импульсного токов(НЧ, 34, УЗЧ)
Действие, которое оказывают на организм переменный или импульсный ток, зависит от частоты, максимальной силы тока и формы его импульсов. Первичное действие переменного тока низкой (НЧ), звуковой (34) или ультразвуковой (УЗЧ) частот связано с периодическими процессами смещения ионов в растворах электролитов, их разделением, перераспределением и изменением концентрации. Как и постоянный ток, переменный ток оказывает на ткани организма раздражающее действие.
Пороговые значения тока. Действие, которое оказывает на организм переменный синусоидальный ток, характеризуют двумя пороговыми значениями: порогом ощутимого тока и порогом неотпускающего тока. Эти значения зависят от индивидуальных особенностей организма и являются случайными величинами. Их средние значения и называют пороговыми значениями переменного тока.
Порог ощутимого тока — минимальная сила тока, раздражающее действие которого ощущает человек.
Эта величина зависит как от индивидуальных особенностей человека, так и от частоты тока, места и площади контакта. У мужчин для участка «предплечье-кисть» на частоте 50 Гц эта величина составляет приблизительно 1 мА. У детей и женщин пороговые значения обычно меньше.
Порог неотпускающего тока — минимальная сила тока, вызывающая такое сгибание сустава, при котором человек не может самостоятельно освободиться от проводника.
Для мужчин эта величина составляет 10-15 мА. Превышение порога неотпускающего тока может быть губительны для человека (паралич дыхательных мышц, фибрилляция сердца).
Рис. 22.1. Зависимость среднего значения порога ощутимого тока (1) и порога неотпускающего тока (2) от частотыРис. 22.1. Зависимость среднего значения порога ощутимого тока (1) и порога неотпускающего тока (2) от частотыРис. 22.2. Характеристика возбужденияРис. 22.2. Характеристика возбуждения
Рис. 22.1. Зависимость среднего значения порога ощутимого тока (1) и порога неотпускающего тока (2) от частоты
Рис. 22.1. Зависимость среднего значения порога ощутимого тока (1) и порога неотпускающего тока (2) от частоты
Рис. 22.2. Характеристика возбуждения
Рис. 22.2. Характеристика возбуждения
Пороговые значения тока зависят от частоты. На рис. 22.1 показана зависимость среднего значения порогов тока (для мужчин).
При использовании импульсного тока раздражающее действие зависит от формы, амплитуды и длительности импульсов
(см. лекцию 18). Особенно сильно влияет на характер воздействия крутизна фронта импульса. При увеличении крутизны фронта уменьшается пороговая сила тока, который вызывает раздражение. Наибольшей крутизной переднего фронта обладают прямоугольные импульсы поэтому пороговая сила тока, который вызывает раздражение, для них минимальна. Вместе
с тем, пороговое значение зави
сит и от длительности импульса. Кривая, отображающая эту зависимость, называется характеристикой возбуждения и показана на рис. 22.2.
Действие высокочастотного тока
При частотах более 500 кГц смещение ионов, вызванное переменным током, становится соизмеримым с их смещением в результате молекулярно-теплового движения, поэтому ток или электромагнитная волна не будет вызывать раздражающего действия, характерного для низких частот. Основным первичным эффектом в этом случае является тепловое воздействие. (Постоянный ток, токи НЧ и 34 для нагревания тканей не пригодны,
278 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма так как их использование при больших значениях может привести к электролизу и разрушению).
Преимущества лечебного прогревания ВЧ электромагнитными колебаниями перед грелкой:
образование теплоты во внутренних частях организма;
подбирая соответствующую частоту, можно осуществлять термоселективное воздействие;
можно дозировать нагревание, регулируя мощность генератора;
возникновение внутримолекулярных процессов, которые приводят к специфическим эффектам.
Вычислим тепловую мощность д, выделяющуюся в единице объема.
Мощность тока, расходуемая на нагревание тканей, определяется по формуле Р = I2 R. Преобразуем ее, считая, что образец биологической ткани длиной L контактирует с двумя плоскими электродами площадью S (рис. 22.3).
Ткань
о ~ о
и
Рис. 22.3. Схема расположение биологической ткани между электро-дами
Пусть плотность тока j одинакова во всех точках ткани и равна плотности тока на электродах. Учитывая, что R = pL/S, получаем:
Р = pR = fS^pLjS = fpV,(22.1)
где V = SL — объем ткани. Разделив полученное выражение на объем, получим количество теплоты д, выделяющееся за 1 с в 1 м3:
9 = iV(22.2)
Тепловая мощность q, выделяющаяся в единице объема ткани при протекании тока, пропорциональна квадрату плотности тока j, умноженному на удельное электросопротивление ткани р.
Пропускание тока высокой частоты через ткань используют в следующих физиотерапевтических процедурах.
Диатермия (сквозное прогревание) — получение теплового эффекта в глубоколежащих тканях. При диатермии применяют ток частотой 1-2 МГц, напряжением 100-150 В, сила тока 1-1,5 А. При этом сильно нагреваются кожа, жир, кости, мышцы (так как у них наибольшее удельное сопротивление). Меньше нагреваются органы, богатые кровью или лимфой: легкие, печень, лимфоузлы.
Недостаток диатермии — непродуктивное выделение теплоты в слое кожи и подкожной клетчатке.
Местная дарсонвализация — лечебное воздействие на отдельные участки тела больного слабым импульсным переменным током высокого напряжения, рис. 22.4. При этом применяют ток частотой 100-400 кГц, силой / = 10-15 мА и напряжением — десятки кВ.
Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен (5)Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен (5)
Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен (5)
Рис. 22.4. Дарсонвализация лица (а), десен (5)
При значительном увеличении амплитуды импульсного тока и некотором удалении от тела между электродом и кожей возникают разветвленные каналы, заполненные ионизированным воздухом. Здесь формируется искровой разряд, который сопровождается характерным треском. Кроме физиологического действия переменного тока, возникающий искровой разряд вызывает деструкцию оболочек микроорганизмов и их гибель.
Токи высокой частоты используются и для хирургических целей.
Диатермокоагуляция — прижигание, «сваривание» ткани. При этом применяется плотность тока 6-10 мА/мм2, в результате чего температура ткани повышается и ткань коагулирует.
Диатермотомия — рассечение тканей при помощи электрода в форме лезвия. При этом плотность тока составляет 40 мА/мм2.
Электрохирургическое воздействие сопровождается меньшими кровопотерями.
Действие магнитного поля: постоянного,импульсного, гармонического
Действие магнитного поля на биологические объекты обусловлено электродинамическими изменениями биологических структур в виде соответствующей ориентации доменов поляризации и жидкокристаллических образований, наведения электродвижущей силы. Эти изменения вызывают определенные конформационные перестройки структур тканей, что мягко модифицирует те или иные биохимические реакции и биологические процессы.
Постоянное магнитное поле. Постоянная магнитотерапия — лечебное использование постоянного магнитного поля. В настоящее время с лечебной целью используют устройства разных типов.
Магнитоэласты, изготовленные из смеси полимерного вещества с порошкообразным ферромагнитным наполнителем (имеет множество локальных магнитных полюсов). Наборы эластичных магнитов в корсете создают основу всевозможных радикулитных поясов, рис. 22.5. Магнитная индукция 8-16 мТл.
Рис. 22.5. Пояс противорадикулитный
Магниты кольцевые, пластинчатые, дисковые. Магнитная индукция 60-130 мТл.
Микромагниты — намагниченные иглы, шарики, клипсы (для магнитопунктуры). Магнитная индукция — 60-100 мТл.
Пластинчатые магниты используют в виде браслетов, носимых на запястье пациента. Магнитная индукция 20-70 мТл.
Импульсное магнитное поле. Импульсная магнитотерапия — лечебное применение импульсов магнитного поля низкой частоты. Используются импульсные магнитные поля с частотами 0,125-1000 имп/с, магнитная индукция которых не превышает 100 мТл. Действующим фактором в данном методе являются вихревые электрические поля, индуцируемые в тканях импульсным магнитным полем высокой амплитуды. За счет быстрого нарастания вектора магнитной индукции (скорость которого достигает 104 мТл/c) возникающие вихревые электрические поля вызывают круговые движения зарядов. Высокая эффективность данного метода обусловлена максимальной пороговой чувствительностью организма к импульсным магнитным полям, составляющей 0,1 Тл, в то время как для постоянных магнитных полей она равна 8 мТл, а для переменных — 3 мТл.
Применяются различные способы расположения индукторов. Например, при воздействии на конечности, их помещают внутрь блока соленоидов, рис. 22.6.
Рис. 22.6. Расположение индуктора при низкочастотной магнитотерапии нижней конечности
Гармоническое магнитное поле. Высокочастотная магнитотерапия — лечебное применение магнитной составляющей электромагнитного поля высокой частоты. Для формирования переменного магнитного поля в данном случае используют индукторы-соленоиды. В результате явления электромагнитной индукции (как и в случае импульсного магнитного поля) в проводящих тканях образуются вихревые токи Фуко, нагревающие объект.
Оценим тепловой эффект при действии переменного магнитного поля. По закону электромагнитной индукции в контуре при изменении магнитного потока возникает ЭД С, равная
£. = -dФ/dt = — S(dB/dt\(22.3)
где Ф — магнитный поток, пронизывающий контур, S — площадь контура, В — магнитная индукция, пронизывающая поверхность (предполагается, что вектор индукции перпендикулярен поверхности). Из (22.3) на основании закона Ома можно записать выражение для силы тока в контуре:
/ = — (S/R^dB/dt.
Используя формулу R = pl/S для сопротивления, получим
/ = -{kx/p^dB/dt,(22.4)
где к\ — некоторый коэффициент, учитывающий размеры образца. В нашем конкретном случае магнитная индукция меняется по гармоническому закону В = Bmcoscj£, тогда
dB/dt = — Втсо smcot.(22.5)
Подставляя в (22.2) вместо плотности тока силу тока из (22.4) и учитывая (22.5), находим
q = (к/р2)В^со2р sw? cot = (ксо2/р)Вsin2 cot = (ксо2 / р}В2.
Таким образом для 1 м3 за 1 с имеем:
q = ксо2В2/р.(22.6)
Тепловая моищостъ q, выделяемая в единице объема ткани под воздействием переменного магнитного поля, прямо пропорциональна квадрату магнитной индукции В, квадрату частоты и обратно пропорциональна удельному электросопротивлению р.
При высокочастотной магнитотерапии больше теплоты выделяется в тканях с меньшим удельным сопротивлением. Поэтому сильнее нагреваются ткани, богатые сосудами, например мышцы. В меньшей степени нагреваются такие ткани, как жир.
Нагревание области тела при действии высокочастотного магнитного поля осуществляется на частотах 10-15 МГц. Воздействие на биологический объект осуществляется с использованием кабельных индукторов, которые располагаются в трех положениях (рис. 22.7):
Рис. 22.7. Способы наложения индуктора кабеля при различных методиках высокочастотной магнитотерапии
плоская продольная петля (чаще на спине);
плоская круглая спираль (на туловище);
цилиндрическая спираль (на конечностях).
В результате выделения тепла происходит равномерный локальный нагрев облучаемой ткани на 2-4 градуса на глубину 8-12 см, а также повышение температуры тела пациента на 0,3-0,9 градуса. Для этого вида магнитотерапии используется старое название — индуктотермия — наведение тепла.
В процессе высокочастотной магнитотерапии проявляется и нетепловой эффект: вихревые токи вызывают изменение характера взаимодействия собственных магнитных полей заряженных частиц в ткани, но подробно этот механизм здесь на разбирается.
Действие постоянного электрического поля
Постоянный электрический ток является основой старейших методов электролечения.
Франкяинизауия — лечебное воздействие постоянным электрическим полем высокой напряженности. В аппаратах для франклинизации имеются электроды разной формы с иглами
на концах. Постоянное напряжение, создаваемое на концах электродов при общей франклинизации (электростатический душ) (рис. 22.8а) достигает 40-50 кВ, при местной (рис. 22.85) составляет 10-20 кВ. Во всех случаях сила тока не превышает 1 мА. При этой процедуре в проводящих тканях человека, помещенного в постоянное электрическое поле, возникают токи проводимости, плотность которых не превышает 5 мА/м2.
Рис. 22.8. Общая (а) и местная (б) франклинизация
Используется разновидность этого метода — акупунктурная франклинизауия^ в котором для усиления эффекта воздействия электрическое поле действует на иглы, введенные в биологически активные точки. При этом происходит «стекание» зарядов по иглам, вызывающее раздражение тканей.
Для групповых процедур применяют высоковольтный генератор, электроэффлювиальную лампу Чижевского (аэроионизатор).
Эта система предназначена для получения ионизированного воздуха, в частности ионов кислорода (озона), оказывающих биологическое действие. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского (рис. 22.9) подает высокое постоянное напряжение на «электроэффлювиальную люстру», снабженную большим количеством острых окончаний — игл. Вследствие высокой неоднородности электрического поля вокруг игл возникает тихий разряд, являющийся источником ионов.
При высоком напряжении постоянного электрического поля в воздушном пространстве между электродом с малым радиусом
кривизны и телом человека возникает коронный разряд. В этом случае вокруг электродов возникает ионизация молекул воздуха, формируется поток аэронов и озона (электроэффлювия). Воздействию аэроионами подвергаются лицо, Воротникова зона, верхние дыхательные пути
Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б)Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б)
Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б)
Рис. 22.9. Аэроионизатор системы А.Л. Чижевского с головным электродом (а), электрод для общей аэроионизации (б)
Действие переменного электрического поля(УВЧ)
Одним из распространенных методов высокочастотной терапии является воздействие высокочастотным электрическим полем УВЧ.
Ультрависокочастотная (УВЧ) терапия — лечебное использование электрической составляющей переменного электромагнитного поля ультравысокой частоты.
При этом биологическая система помещается между плоскими электродами, которые не касаются тела (рис. 22.10).
UРис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧUРис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧ
U
Рис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧ
U
Рис. 22.10. Схема воздействия полем УВЧ
Электроды могут накладываться различными способами,
рис. 22.11.
При УВЧ терапии колебания имеют В России в аппаратах УВЧ, в основном,
частоту 40-50 МГц.используется частотачастоту 40-50 МГц.используется частотаРис. 22.11. Способы наложения электродов: а — поперечное, б — продольное, в — тангенциальноеРис. 22.11. Способы наложения электродов: а — поперечное, б — продольное, в — тангенциальное40,58 МГц, длина волны 7,37 м. Также используются аппараты с частотой 27,12 МГц (длина волны 11,05 м), которая является международной. Воздействие оказывается на значительную поверхность тела пациента, который находится в ближней зоне источника электромагнитного поля.
частоту 40-50 МГц.используется частота
частоту 40-50 МГц.используется частота
Рис. 22.11. Способы наложения электродов: а — поперечное, б — продольное, в — тангенциальное
Рис. 22.11. Способы наложения электродов: а — поперечное, б — продольное, в — тангенциальное
Механизм воздействия УВЧ на проводящие и диэлектрические среды различен.
Воздействие поля УВЧ на проводник. Пусть проводник (например, электролит) находится в переменном электрическом поле. Высокочастотное поле вызывает колебательное движение ионов, то есть ток проводимости, сопровождающийся тепловым эффектом.
Количество теплоты выразим через напряженность Е электрического поля в проводящем теле, сопротивление которого R = pL/S. Для этого выполним следующие преобразования: Р = U2jR = ^EL^jR = E2L2S/(pL) = E2SL/p. Разделив это равенство на объем тела (SL^ получим количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 ткани:
q = Р / (S Е) = Е^ / р, где Е = Emax/V2. (22.7)
Тепловая мощность q, выделяемая в единице объема проводника в электрическом поле УВЧ, прямо пропорциональна квадрату напряженности Е электрического поля и обратно пропорциональна удельному электросопротивлению р.
Воздействие поля УВЧ на диэлектрик. Пусть в переменном электрическом поле находится диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью г. Под действием переменного электрического поля происходят ориентационная и структурная поляризации молекул. При этом возникает колебательное движение молекул, сопровождающееся выделением теплоты (диэлектрические потери). Количество выделившейся теплоты зависит от угла 5, на который колебания молекул отстают по фазе от колебаний напряженности поля, то есть это фазовый сдвиг между вектором напряженности электрического поля и плечом диполя полярных молекул в среде (угол 5 называется углом диэлектрических потерь).
Количество теплоты, выделяющееся за 1 с в 1 м3 вещества, определяется соотношением
q = s^ewE2 tg 5. (22.8)
Тепловая, мощность q, выделяемая в единице объема диэлектрика в электрическом поле УВЧ, прямо пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости s, круговой частоте ш^ квадрату напряженности электрического поля Е и тангенсу угла диэлектрических потерь tg 5.
При УВЧ терапии диэлектрические ткани организма нагреваются интенсивнее проводящих (на частоте около 40 МГц, которая используется на практике).
Тепловой эффект не всегда является главной целью УВЧ процедуры. Во многих случаях важным является действие на физиологическое состояние клетки, которое может изменяться под влиянием колебаний полярных молекул или отдельных частей органических молекул в переменном УВЧ электрическом поле.
Действие электромагнитных волн (СВЧ)
Существуют физиотерапевтические методы, основанные на использовании электромагнитных волн СВЧ диапазона (радиоволны).
Дециметровая терапия ^ДЦВ-терапия) — лечебное использование электромагнитных волн дециметрового диапазона (частота — 460 МГц, длина волны — 65,2 см). Под действием таких
288 Лекция 22. Физические процессы, происходящие в тканях организма волн в тканях организма возникают ориентационные колебания дипольных молекул связанной воды.
Микроволновая (сантиметровая) терапия — лечебное использование электромагнитных волн сантиметрового диапазона (частота — 2375 МГц, длина волны — 12,6 см). В первичном действии дециметровых и сантиметровых волн принципиальных различий нет.
Электромагнитные волны СВЧ диапазона вызывают тепловой эффект вследствие реализации следующих механизмов.
Поляризация молекул вещества и ориентационные колебания дипольных молекул, в первую очередь дипольных молекул связанной воды. Частоты воздействующего электромагнитного поля как раз и лежат в диапазоне 7-дисперсии диэлектрической проницаемости биологических тканей (лекция 18).
Электромагнитная волна воздействует на ионы биологических тканей и вызывает переменный ток проводимости.
Тепловой эффект определяется соотношением
q = kei?I2,(22.9)
где / — интенсивность волны, а к — некоторый коэффициент, зависящий от свойств ткани.
Тепловая мои^ностъ q, выделяемая в единице объема ткани при микроволновой терапии, прямо пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости ткани s, квадрату частоты и и квадрату интенсивности электромагнитной волны /.
Максимальное поглощение энергии СВЧ-волн, а следовательно и большее выделение тепла, происходит в органах и тканях, богатых водой (кровь, лимфа, мышечная ткань, паренхиматозные органы). В костной и жировой ткани воды меньше, они нагреваются меньше.
Следует иметь в виду, что на границе раздела сред с разным содержанием воды (с разными коэффициентами поглощения) может возникнуть перегрев тканей. Сильнее перегреваются ткани с недостаточным кровоснабжением и плохой терморегуляцией (хрусталик глаза, стекловидное тело).
Процедуры СВЧ-терапии осуществляются по двум основным методикам.
Дистанционная методика — облучение электромагнитными волнами осуществляется дистанционно, при этом расстояние между излучателем и биологическим объектом не превышает 5 см. В этом случае от поверхности будет отражаться энергия волны (в некоторых случаях до 70-80%).
Контактная методика — излучатель волн размещается непосредственно на теле больного или вводится внутрь.
При любом методе лечения необходимо строго дозировать воздействие по выходной мощности, генерируемой излучателем.
Глубина проникновения электромагнитных волн в биологические ткани зависит от способности этих тканей поглощать энергию волны. Сантиметровые волны проникают в мышцы, кожу на глубину до 2 см, в жировую ткань, кости — около 10 см. Дециметровые волны проникают на глубину в 2 раза большую.
Сравнение воздействий низкочастотного и высокочастотного полей (токов) представлены ниже в таблице.
Низкочастотное поле (ток)
Высокочастотное поле (ток)
v < 105 Гц
v = 1-300 МГц
Возбуждение нервной и мышечной ткани
Отсутствует возбуждение нервной и мышечной ткани
Длина волны многократно превосходит размеры тела, весь организм подвергается воздействию
Длина волны соизмерима или меньше размеров тела; воздействие как общее, так и локальное
Отсутствует заметное нагревание тканей
Нагревание тканей, тепловой эффект усиливается при возрастании частоты
Возможно возникновение электротравмы
Невозможно возникновение электротравмы
Применение: электродиагностика, электростимуляция, электрофорез
Применение: диатермия, индуктотермия, УВЧ терапия, микроволновая терапия
10 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Лекция 23
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕДИЦИНСКОЙЭЛЕКТРОНИКИ
Основные группы медицинских электронных приборов и аппаратов.
Электропроводность тела человека.
Электробезопасность медицинской аппаратуры.
Надежность медицинской аппаратуры.
Структурная схема съема, передачи и регистрации медикобиологической информации.
Принцип действия электродов.
Датчики медико-биологической информации.
Элементы реабилитологии. Устройство электродов.
Разделы электроники, в которых рассматриваются особенности применения электронных устройств в медико-биологических целях, получили название медицинской электроники.
Основные группы медицинскихэлектронных приборов и аппаратов
Медицинскую электронную аппаратуру можно разделить на два класса: медицинские приборы и медицинские аппараты.
Медицинский прибор — техническое устройство, предназначенное для диагностических или лечебных измерений (медицинский термометр, электрокардиограф и др.).
Медицинский аппарат — техническое устройство, позволяющее создавать энергетическое воздействие (часто дозированное) терапевтического, хирургического или бактерицидного свойства (аппарат УВЧ терапии, аппарат искусственной почки и др.), а также обеспечить сохранение определенного состава некоторых субстанций.
Выделены следующие основные группы приборов и аппаратов, используемые для медико-биологических целей.
— Устройство для получения (съема), передачи и регистрации медико-биологической информации. Большинство этих
устройств содержит в своей схеме усилитель электрических сигналов.
— Устройство^ обеспечивающее дозирующее воздействие на организм различными физическими факторами с целью лечения. С физической точки зрения эти устройства являются генераторами различных электрических сигналов.
— Кибернетические электронные устройства.
В ряде случаев электронное устройство может совмещать в себе различные группы приборов и аппаратов.
Электропроводность тела человека
В электрической сети действие на организм или органы оказывает электрический ток, то есть заряд, протекающий через биологический объект в единицу времени.
Сопротивление тела человека между двумя касаниями (электродами) складывается из сопротивления внутренних тканей и органов и сопротивления кожи. Электросопротивление можно смоделировать электрической цепью, представленной на рис. 23.1, состоящей из резисторов и конденсаторов, отображающих омические (R) и емкостные (С) свойства биологических тканей.
СкСвнСк
Рис. 23.1. Эквивалентная электрическая схема тела между двумя ка-саниями (электродами)
Сопротивление RBH внутренних частей организма слабо зависит от общего состояния человека, в расчетах принимают RBH = 1 кОм (для пути «ладонь-ступня»). Сопротивление кожи RK при прохождении тока от ее поверхности к внутренним тканям в десятки раз больше RBH. Поэтому для постоянного и низкочастотного тока (50-60 Гц) сопротивление кожи при точечном контакте является определяющим фактором, который определяет ток. (При высоких частотах более существенным фактором является внутреннее сопротивление тела). Электропроводность кожи зависит от ее толщины, состояния ее слоев
и содержания воды. Толщина эпидермиса большинства участков тела составляет 0,07-0,12 мм, а на ладонных поверхностях кистей и подошвенных поверхностях стоп достигает 0,8-1,4 мм. Содержание воды в поверхностном слое составляет всего 10 % от массы клеток, тогда как в нижележащих слоях достигает 70%. Площадь потовых и сальных желез, волосяных фолликулов на разных участках тела неодинакова и составляет 0,5 % поверхности кожных покровов. С учетом этих особенностей удельная электропроводность отдельных участков кожи существенно различается и составляет 10-3-2 • 10-2 Ом-1м-1. Следовательно, в большинстве ситуаций ток, протекающий через тело, в основном зависит от состояния тела в точке контакта. Сухая кожа имеет высокое сопротивление, а влажная или мокрая кожа будет обладать низким сопротивлением, так как ионы, находящиеся во влаге, обеспечат прохождение тока в тело. При сухой коже сопротивление между крайними точками тела (ладонь-ступня) может быть равным 105 Ом, а при мокрой коже может составить 1 % этого значения. Полное сопротивление тела между потными руками принимают равным 1500 Ом.
Максимальные токи, которые возникнут при контакте с бытовой электросетью с напряжением 220 В, будут равны:
/ = 220 В/105 Ом = 2,2 мА (сухая кожа),/ = 220 В/1500 Ом = 146 мА ( мокрая кожа).
Ток 1 мА при прохождении через тело будет едва заметен, но ток 146 мА будет смертелен даже при кратковременном воздействии.
Сопротивление кожи RK существенно зависит от внутренних и внешних причин (потливость, влажность, наличие раневого повреждения). Кроме того, на разных участках тела кожа имеет разную толщину и, следовательно, различное сопротивление. Поэтому, учитывая изменчивость сопротивления кожи, принимают RK = 0. Ток, протекающий через тело, рассчитывают по формуле
/ = U/RBH = [//1000 Ом.
При действии электрического тока на человека может иметь место электротравма. Наиболее чувствительными к электрическому току частями организма являются мозг, грудные мышцы и нервные центры, которые контролируют дыхание и сердце. Поэтому последствия электротравмы зависят от того, какая часть
тела оказалась включенной в электрическую цепь. Очень опасно, если электрический ток идет через сердце. Опасно и действие тока на кожу лица, где слабо развит роговой слой, обеспечивающий высокое сопротивление кожных покровов. Низким сопротивлением обладают слизистые оболочки.
Удельная электропроводность высокая (0,6-2,0 Ом^см"1)
Удельная электропроводность низкая (10"3-10"6 Ом^см"1)
Кровь, лимфа, желчь, спинномозговая жидкость, моча, мышечная ткань, ткань головного мозга
Ткань костная, жировая, нервная, грубоволокнистая соединительная, зубная эмаль
Характер электротравмы зависит и от силы тока. Так, при включении в цепь обеих рук с органами грудной клетки, расположенными между ними, происходит следующее:
ток 10 мА вызывает сокращение мышц обеих рук;
ток 20 мА вызывает расстройства дыхания, связанные с тетаническим сокращением дыхательных мышц;
ток 80 мА вызывает нарушение сердечной деятельности;
ток 100-400 мА вызывает необратимые расстройства в функционировании возбудимых тканей сердца (одна из причин гибели при электротравме).
Электробезопасность медицинскойаппаратуры
Главное требование при обеспечении безопасности аппаратуры — сделать невозможным случайное касание ее частей, находящихся под напряжением.
Для этого прежде всего изолируют друг от друга и от корпуса части приборов и аппаратов, находящихся под напряжением. Однако это еще не обеспечивает полной безопасности по двум причинам.
Сопротивление приборов и аппаратов переменному току не бесконечно. Не бесконечно и сопротивление между проводами электросети и землей. Поэтому при касании человеком корпуса аппаратуры через тело человека пройдет некоторый ток, называемый током утечки.
При конструировании аппаратуры учитывают допустимую силу тока утечки, которая различна в разных типах электро- медицинских приборов и аппаратов.
Допустимая сила тока утечки — безопасная для человека сила тока, который может проходить через его тело в результате касания корпуса и других частей аппарата.
В зависимости от типов электромедицинских изделий эта величина изменяется в пределах 0,05-0,25 мА.
Из-за порчи рабочей изоляции возникнет электрическое замыкание внутренних частей аппаратуры с корпусом («пробой на корпус»). При этом доступная для касания часть аппаратуры — корпус окажется под напряжением.
В обоих случаях должны быть приняты меры, которые исключали бы поражение током лиц при касании корпуса аппаратуры.
Одним из основных способов защиты от поражения электрическим током при работе с аппаратурой является заземление. Термин «заземление» означает электрическое соединение элементов электрической аппаратуры с землей или техническое устройство, обеспечивающее такое соединение.
Однако не всякая электромедицинская аппаратура надежно защищена заземлением. Существуют дополнительные способы защиты, которые не рассматриваются в данном курсе.
Надежность медицинской аппаратуры
Для медицинской аппаратуры проблема надежности особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя может привести не только к экономическим потерям, но и к гибели пациентов.
Надежность — способность изделия не отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение заданного интервала времени.
Способность аппаратуры к безотказной работе зависит от многих причин, учесть которые практически невозможно, поэтому количественная характеристика надежности имеет вероятностный характер.
Вероятность безотказной работы оценивается экспериментально отношением числа N исправных на данный момент t изделий к общему числу No изделий, взятых для испытаний:
P(t) = N(t)/N0.P(t) = N(t)/N0.(23.1)(23.1)
P(t) = N(t)/N0.
P(t) = N(t)/N0.
(23.1)
(23.1)
Эта характеристика оценивает возможность сохранения изделием работоспособности в заданном интервале времени.
Количественным показателем надежности является также
Интенсивность отказов — отношение числа отказов в единицу времени dN/dt к общему числу N работающих изделий:
(23.2)(23.2)А - dN 1“ ~~dtN'
(23.2)
(23.2)
Знак « —» взят потому, что dN < 0, так как число работающих изделий убывает со временем. Наиболее характерный вид функции А(^) представлен на рис. 23.2.
t
Рис. 23.2. График зависимости интенсивности отказов от времени
На графике выделены три области: 1 — период приработки, интенсивность отказов высока; 2 — период нормальной эксплуатации, интенсивность отказов сохраняет постоянное значение; 3 — период старения, интенсивность отказов возрастает.
Между вероятностью безотказной работы Р и интенсивностью отказов А существует связь. Установим ее для 2-го периода, А = const. Запишем дифференциальное уравнение, вытекающее из формулы (23.2):
dN/N = -Xdt. (23.3)
Интегрируя и подставляя нижние пределы (начальное число No испытывавшихся изделий в момент t = 0) и верхние пределы
(число А^о безотказно работающих изделий в момент времени 1\ получаем
Nt
" dNГNN
— = -х ^ ^> In = _\t => — = exp(-At). (23.4)
No0
Так как N/Nq = P, то имеем:
P(t) = exp(—Xt).(23.5)
Таким образом, при постоянной интенсивности отказа вероятность безотказной работы убывает с течением времени по экспоненциальному закону.
В зависимости от возможных последствий отказа в процессе эксплуатации медицинские изделия подразделяются на 4 класса.
А — изделия, отказ которых представляет непосредственную опасность для жизни пациента или персонала. Вероятность безотказной работы при этом должна быть не менее 0,99.
Б — изделия, отказ которых вызывает искажение информации о состоянии организма. Вероятность безотказной работы должна быть не менее 0,8.
В — изделия, отказ которых снижает эффективность лечебно-диагностического процесса.
Г — изделия, не содержащие частей, отказ которых возможен.
Структурная схема съема, передачии регистрации медико-биологической информации
Для того чтобы получить и зафиксировать информацию о медико-биологической системе, необходимо иметь целую совокупность устройств. Структурная схема измерительной цепи представлена на рис. 23.3.
связи
Рис. 23.3. Структурная схема измерительной цепи для получения ин-формации
Здесь X — измеряемый параметр биологической системы, Y — величина, регистрируемая на выходе измерительным прибором (для вычисления по измеренному значению Y параметра X должна быть известна зависимость Y = /(X)).
Принцип действия электродов
В некоторых случаях первичным элементом структурной схемы съема медико-биологической информации являются электроды.
Электроды — это проводники специальной формы, соединяющие измерительную цепь с биологической системой.
При диагностике электроды используются не только для снятия электрического сигнала, но и для подведения внешнего электромагнитного воздействия. К электродам предъявляются определенные требования: они должны быстро фиксироваться и сниматься, иметь высокую стабильность электрических параметров, быть прочными, не раздражать биологическую ткань и т. п.
Важная физическая проблема, относящаяся к электродам для снятия биоэлектрического сигнала, заключается в минима- лизации потерь полезной информации, особенно на переходном сопротивлении «электрод-кожа». Эквивалентная электрическая схема контура, включающего в себя биологическую систему и электроды, изображена на рис. 23.4.
।।^бп — ЭДС источника биопотенциалов;
ср।। г — сопротивление внутренних органов;
() ббп ^ВХ„
К — сопротивление кожи и электродов;
I।।— входное сопротивление усилителя.
Рис. 23.4. Эквивалентная схема снятия биопотенциалов
Из закона Ома (без учета разветвления цепи) следует, что
^бп = Ir-HR + IRBX.(23.6)
Падение напряжения на входе усилителя полезное, так как усилитель увеличивает именно эту часть ЭДС источника. Падение напряжения 1г и IR внутри биологической системы и на
контакте кожи с электродом бесполезное. Поскольку ё^п задана, а повлиять на уменьшение 1г невозможно, то увеличивать IRBX можно лишь уменьшением R и прежде всего уменьшением сопротивления контакта «электрод-кожа».
Это можно сделать разными способами:
используя салфетки, смоченные физраствором;
увеличивая площадь электрода (истинная картина в этом случае может искажаться, так как электрод будет захватывать сразу несколько эквипотенциальных поверхностей).
При работе с электродами возникают две проблемы. Первая — возникновение гальванической ЭД С в месте контакта электрода с биологической системой. Вторая — электролитическая поляризация электродов, что приводит к выделению на электродах продуктов реакции при прохождении тока. В результате возникает встречная (по отношению к основной) ЭД С.
В обоих случаях возникновение ЭДС искажает снимаемый электродами полезный биоэлектрический сигнал. Существуют способы, позволяющие снизить или устранить эти отрицательные явления, которые здесь не рассматриваются.
Датчики медико-биологическойинформации
Многие медико-биологические характеристики являются неэлектрическими (давление крови, температура, пульс). В этом случае применяются методы измерения неэлектрических величин и используются датчики. В медицинской электронике рассматриваются только такие датчики, которые преобразуют измеряемую неэлектрическую величину в электрический сигнал, так как электрические сигналы с помощью электронных устройств можно сравнительно легко усиливать, передавать и регистрировать.
Датчик — устройство, преобразующее измеряемую или контролируемую величину в сигнал, удобный для передачи и регистрации.
Преобразуемая величина X называется входной, а измеряемый сигнал а — выходной величиной.
Характеристика датчика — функциональная зависимость выходной величины а от входной X (описывается аналитически или графически).
Обычно стремятся иметь датчик с линейной характеристикой а = кХ, где к — постоянный коэффициент.
Чувствительность датчика S — отношение изменения выходной величины к соответствующему изменению входной величины:
S = Ха/ХХ. (23.7)
Предел датчика — максимальное значение входной величины, которое может быть воспринято датчиком без искажения и без повреждения датчика.
Порог датчика — минимальное изменение входной величины, которое можно обнаружить датчиком.
Датчики делятся на два класса: генераторные и параметрические.
Генераторные датчики — такие, которые под воздействием входного сигнала генерируют напряжение или ток (индукционные, пьезоэлектрические, фотоэлектрические и т.п.).
Параметрические датчики — такие, в которых под воздействием входного сигнала изменяется какой-либо параметр (тензометрические, емкостные, индуктивные, реостатные и т.п.).
В зависимости от энергии, являющейся носителем информации, различают механические, акустические, температурные, оптические и другие датчики.
Элементы реабилитологии
В медицинской реабилитологии большое применение имеют различные методы физиотерапии, в том числе и электромагнитотерапии. Рассмотрим устройство некоторых электродов, используемых при этом.
Плоские электроды. Такие электроды используются при гальванизации, электрофорезе. К телу больного подводят постоянный ток с помощью двух электродов, каждый из которых состоит из свинцовой пластинки (или токопроводящей углеграфитовой ткани) и гидрофильной прокладки.
Гидрофильные прокладки толщиной 1-1,5 см смачивают водой и размещают на соответствующем участке поверхности тела.
При помощи прокладок, как уже указывалось выше, создают хороший контакт электрода с телом больного, и его кожа (или слизистые) предохраняются от воздействия продуктов электролиза (кислоты и щелочи). Форма гидрофильной прокладки должна соответствовать форме металлической пластины электрода. Для предотвращения контакта металлической части электрода с кожей больного, гидрофильная прокладка должна выступать со всех сторон за края пластины на 1-2 см. Используют электроды различной формы, площадью от 8-15 см2 до 50 см2. Наряду с электродами прямоугольной формы для местной процедуры применяют электроды в виде полумаски (для лица), воротника (для верхней части спины и надплечий), в виде круга (для век) или специальные полостные электроды. На рис. 23.5 показаны разные способы наложения электродов.
Рис. 23.5. Расположение электродов при гальванизации в области лица (а) и век глаз (5)
При продольном расположении электродов (на одной стороне тела) воздействию подвергаются поверхностно расположенные ткани. При поперечном расположении электродов (на противоположных участках тела) воздействию подвергаются глубоко расположенные органы и ткани.
Вакуумные электроды. Такие электроды используются в дарсонвализации. Стандартные аппараты для этого метода имеют наборы вакуумных электродов для разного применения, рис. 23.6а. Воздух внутри стеклянных электродов баллонов имеет низкое давление (6,7-13,5 Па). Систему электрод-человек в этом случае можно представить как некоторый конденсатор: одной обкладкой служит помещенный в разряженное пространство стеклянного баллона металлический проводник, соединен-
ный с прибором; второй обкладкой служит участок тела больного, который подвергается лечению. При контактной методике (непрерывный контакт электрода с кожей) действующим фактором является среднечастотный электрический ток. При дистанционной методике (электрод удален от кожи) действующим фактором является искровой разряд. При обеих методиках вакуумные электроды перемещаются относительно кожи. Для улучшения контакта электрода с кожей перед процедурой его тщательно протирают, кожу присыпают тальком. При лечении волосистой части головы (рис. 23.66^) обязательно из волос удаляют металлические заколки.
Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование электродов при лечении волосистой части головы (5)Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование электродов при лечении волосистой части головы (5)
Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование электродов при лечении волосистой части головы (5)
Рис. 23.6. Стеклянные вакуумные электроды (а), использование электродов при лечении волосистой части головы (5)
Лекция 24
УСИЛИТЕЛИ. ГЕНЕРАТОРЫ
Усилители.
Характеристики усилителя.
Особенности усиления биоэлектрических сигналов.
Генераторы, их классификация и использование в медицине.
Усилители
В схемы медицинских электронных приборов и аппаратов входят усилители. Их применяют для усиления слабых биопотенциалов в системах, регистрирующих медико-биологическую информацию.
Усилитель электрических сигналов (электронный усилитель) — устройство, увеличивающее эти сигналы без изменения их формы.
Усилители могут создаваться на основе различных элементов (транзисторы, триоды и др.), однако в общих чертах их можно представить одинаково. Они имеют вход, на который подается усиливаемый электрический сигнал, и выход, с которого снимается усиленный сигнал. Усиление происходит за счет источника электрической энергии (рис. 24.1).
ВходнойВыходной
Рис. 24.1. Схема усиления сигнала
В зависимости от целей различаются усилители по напряжению, силе тока, мощности.
Характеристики усилителя
Все характеристики и параметры ниже будем рассматривать для усилителя по напряжению. Будем рассматривать усиление синусоидального сигнала.
Входное сопротивление. Важным параметром усилителя является его входное сопротивление Нвх — сопротивление между его входными клеммами, которое можно найти по формуле
Нвх = ^вх/^вх-(24.1)
Коэффициент усиления. Степень усиления усилителем подаваемого на его вход сигнала количественно оценивается коэффициентом усиления.
Коэффициент усиления усилителя равен отношению сигнала на выходе усилителя к значению сигнала на входе:
К = ивых/ивх.(24.2)
Если К имеет значения, не достаточные для получения на выходе сигнала нужного напряжения, то соединяют несколько усилителей. Каждый отдельный усилитель называется при этом усилител-ьным каскадом. Коэффициент усиления усилителя из нескольких каскадов равен произведению коэффициентов усиления усилителей всех используемых каскадов:
Кобщ = К!К2Кз...(24.3)
Амплитудная характеристика усилителя. Она выражает степень его усиления, от этой характеристики зависит также, насколько сильно искажается форма выходного сигнала.
Амплитудная характеристика усилителя — это зависимость максимального значения выходного сигнала от максимального значения входного.
Для рассматриваемого усилителя по напряжению амплитудная характеристика представляется зависимостью Umax ВЫх — f^Umax вх)-
Для неизменности формы сигнала коэффициент усиления должен быть одинаков в пределах изменения входного сигнала.
Для этого необходимо использовать усилитель с линейной амплитудной зависимостью: £/тахВых — KUmaxBX. В действительности у реального усилителя линейная зависимость выполняется в ограниченной области изменения входного сигнала (линейный участок на рис. 24.2). При выходе за пределы этой области линейность зависимости нарушается (штриховая линия на рис. 24.2).
Если входной гармонический сигнал выйдет за пределы линейной части амплитудной характеристики, то выходной сигнал уже не будет гармоническим. Возникнут нелинейные (амплитудные) искажения.
Рис. 24.2. Амплитудная характеристика усилителя
При линейной амплитудной характеристике выходной сигнал такой же по форме, как и входной. При нелинейной характеристике выходной сигнал не адекватен входному. Нелинейные искажения можно рассматривать как появление новых гармоник в сигнале при его усилении. Нелинейные искажения в этом случае оцениваются коэффициентом нелинейных искажений;
1 = V^I^TTu^ + ^WE^. (24.4) где f/max 1 — амплитуда напряжения основной гармоники, [/тах 2, [/max з, • • • — амплитуды новых гармоник. Чем меньше коэффициент 7, тем ближе по форме выходной сигнал ко входному.
Частотная характеристика. В том случае, когда усиливаемый сигнал несинусоидальный, его можно разложить на отдельные гармоники, характеризующиеся соответствующей частотой. Коэффициент усиления для каждой гармоники может оказаться разным. Поэтому необходимо учитывать частотную характеристику усилителя.
Частотная характеристика усилителя — это зависимость коэффициента усиления от частоты сигнала: К = f(n).
Для того чтобы несинусоидальный сигнал был усилен без искажения, нужно, чтобы коэффициент усиления не зависел от частоты, то есть K(v) = const. В общем случае это условие не выполняется, что приводит к искажениям формы сигнала, которые называются частотными. Частотная характеристика усилителя представлена на рис. 24.3.
V1 V2V1 V2V3 V4 VV3 V4 VВ интервале v^-v^ коэффициент усиления примерно постоянен и форма сигнала при усилении не искажается.
V1 V2
V1 V2
V3 V4 V
V3 V4 V
Рис. 24.3. Частотная характеристика усилителя
В радиотехнике принято считать, что и в области, где К ^ > 0,7/<тах (0,7^max ~ ^тах/л/2), искажения не существенны. Поэтому диапазон частот vy-V4 называют полосой пропускания усилителя.
Полосой пропускания усилителя называется интервал частот, в котором коэффициент усиления постоянен.
Полоса пропускания усилителя определяется задачами усиления. Поэтому, например, не всегда усилитель, предназначенный для записи одних биопотенциалов, может быть использован для записи других.
Особенности усиления биоэлектрическихсигналов
Биоэлектрические сигналы обычно весьма малы, поэтому для их регистрации необходимо использовать усилитель. Рассмотрим усиление сигнала, который снимается электродами с биологического объекта.
Специфика усилителей биопотенциалов определяется особенностями биопотенциалов:
выходное сопротивление биологической системы совместно с сопротивлением электродов, как правило, высокое;
биопотенциалы — медленно изменяющиеся сигналы;
е биопотенциалы — слабые сигналы.
При усилении необходимо согласовывать сопротивление входной цепи RBX усилителя и выходное сопротивление биологической системы. Выходное сопротивление биологической системы Ri может быть равно сумме сопротивлений внутренних органов и кожи.
При снятии биоэлектрического сигнала с помощью электродов можно считать (см. лекцию 23), что ЭДС источника биопотенциала определяется как ^бп — ЦЕл + ^вх)- Следовательно, сила тока равна / = ^6n/(^i + ^вх)- Тогда входное напряжение уСИЛИТеЛЯ раВНО U = IRBX = RBx^6n/ (^ + ^вх), или
= 8W(l + ^i//?BX)- (24.5)
Рассмотрим предельные случаи.
Входное сопротивление мало: RBX ~ 0. При этом UBX ~ 0, то есть на входе усилителя не будет сигнала.
Входное сопротивление велико: RBX -4- оо. При этом UBX = = Е^ то есть входное напряжение максимально возможное. В этом случае во входной цепи нет тока, следовательно, энергия сигнала не достаточна для функционирования усилителя, от источника сигнала не будет передаваться мощность.
В реальной ситуации на входе усилителя окажется часть напряжения, генерируемого биологической системой, зависящая от отношения Ri/RBX. В электрофизиологии считают, что RBX должно в 10-20 раз превышать наибольшее возможное значение Rv
Из радиотехники известно, что наибольшее усиление сигнала получается при равенстве выходного сопротивления предыдущего каскада входному сопротивлению последующего.
Низкая частота биоэлектрических сигналов приводит к тому, что для их усиления используются специальные усилители постоянного тока.
§ 24.4. Генераторы, их классификацияи использование в медицине
Большая группа медицинских аппаратов в физиотерапии, стимуляции, диагностике является по существу генераторами разнообразных электромагнитных колебаний.
Генераторы — устройства, которые преобразуют энергию источников постоянного напряжения в энергию электромагнитных колебаний различной формы.
Классификация генераторов:
по форме сигнала: генератор гармонических колебаний и генератор колебаний специальной формы (импульсные колебания);
по частоте сигналов;
по мощности;
по принципу работы: генератор с самовозбуждением и генератор с внешним возбуждением.
Генераторы гармонических колебаний работают на транзисторах или трех электродных лампах. Общие принципы функционирования их основаны на принципах работы автоколебательных систем. Типичная схема с автоколебаниями содержит: колебательный контур, цепь положительной обратной связи, регулятор поступления энергии в колебательный контур, источник питания.
В некоторых случаях используются генераторы импульсных (релаксационных) колебаний.
Релаксационные колебания — электромагнитные колебания несинусоидальной формы.
Рассмотрим принцип действия генератора релаксационных колебаний на примере генератора с использованием газоразрядной (неоновой) лампы.
Возьмем газоразрядную лампу (Л), у которой напряжение «зажигания» U3 и напряжение «гашения» Ur меньше ЭДС источника ^?И; Ur < U3 < 8ц.
Рассмотрим схему, показанную на рис. 24.4.
t
Рис. 24.4. Схема генератора релаксационных колебаний (а) и график изменения напряжения в цепи (б)
После замыкания ключа К начнется зарядка конденсатора с постоянной времени т = (R + г)С по закону:
и = 8„[1 - ехр(—t/т)].
В тот момент, когда напряжение на нем достигнет U3. в лампе начнется разряд (она загорается) и ее сопротивление упадет почти до 0. Пластины конденсатора окажутся замкнутыми этим малым сопротивлением, и конденсатор начнет разряжаться с малой постоянной времени. Когда напряжение на нем снизится до Ur, разряд погаснет, и лампа перейдет в непроводящее состояние, ее сопротивление значительно возрастет. После этого снова начнется зарядка и т. д. В системе возникнут релаксационные колебания напряжения на конденсаторе без изменения полярности пластин.
Период таких колебаний зависит от величин R^ г, С, U3. Ur. Скорость возрастания напряжения в такой схеме можно изменять, изменяя параметры R и С. Так, увеличение сопротивления R приведет к увеличению времени Ti, участок С А станет более пологим. Уменьшение напряжения на участке АВ происходит при разрядке лампы и зависит, следовательно, от ее характеристик.
Подбирая параметры схемы, можно график изменения напряжения (рис. 24.4) приблизить к «идеальному» виду, когда участки СА и АВ практически прямые. Напряжение с импульсами такой формы называется пилообразным. Такое напряжение используется в развертке электронного осциллографа.
Генераторы релаксационных колебаний используют для получения импульсных токов разной формы. Укажем некоторые примеры.
Амплипульстерапия — генератор соответствующего аппарата создает синусоидальные токи на частоте 5000 Гц, модулированные по амплитуде низкой частотой в пределах 10-150 Гц (аппараты «Стимул»). Выбор основной частоты 5000 Гц связан с тем, что на этой частоте сопротивление кожи очень мало. Это обеспечивает хорошее проникновение тока в глубь тканей.
Флюктуоризация — генератор соответствующего аппарата создает синусоидальный ток малой силы и небольшого напряжения, беспорядочно меняющегося по амплитуде и частоте в пределах 100-2000 Гц. Использование таких токов уменьшает веро-
Генераторы, их классификация и использование в медицине 309 ятность привыкания тканей к раздражителю (аппараты снятия боли — АСБ).
Электросон — генератор соответствующего аппарата создает импульсный ток низкой частоты и малой силы с импульсами прямоугольной формы (аппараты «Электросон»).
Диадинамотерапия — генератор соответствующего аппарата создает ток с импульсами полусинусоидальной формы (аппарат «Тонус»).
Электростимуляция — генератор соответствующего прибора создает импульсные токи (в частности, импульсы экспоненциальной формы) для восстановления функции нервно-мышечного аппарата человека (аппараты АСМ).
Лекция 25ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Сложение волн от обычных источников света.
Сложение волн от когерентных источников. Интерференция света.
Условия интерференционного максимума и минимума.
Интерферометры, интерференционный микроскоп.
Интерференция в тонких пленках.
Свет является электромагнитной волной. Сложение волн, распространяющихся в среде, определяется сложением соответствующих колебаний. Рассмотрим наиболее простой случай сложения электромагнитных волн (колебаний):
тоты их одинаковы,
равления электрических векторов совпадают.
В этом случае для каждой точки среды, в которой происходит сложение волн, амплитуда результирующей волны для напряженности электрического поля равна
Е2 = Е^ + ^2 + ‘2Е1Е2 cos Ду?,(25.1)
где Ду? — разность фаз слагаемых волн (колебаний).
Результат сложения волн зависит от особенностей источников света и может быть различен.
Сложение волн от обычных источниковсвета
Обычные источники (лампа, пламя, Солнце и т. п.) представляют собой совокупность огромного числа излучающих атомов. Излучение света атомом происходит при его переходе с одного энергетического уровня на другой. Длительность излучения каждого атома очень мала (~ 10-8 с), а момент излучения есть событие случайное. Излучение атомов в таких источниках не согласовано друг с другом. При этих условиях среднее значение cos Ay равно нулю и мы получаем следующее равенство:
С = <Р + <Р-(25.2)
Так как интенсивность волны / пропорциональна квадрату амплитуды, то
/ = Л + /2.(25.3)
Для обычных источников света интенсивность суммарного излучения равна сумме интенсивностей слагаемых волн.
Сложение волн от когерентных источников.Интерференция света
Результат сложения будет иным, если разность фаз будет иметь некоторое постоянное значение, что реализуется при использовании когерентных источников.
Когерентные источники — такие источники, которые обеспечивают постоянную во времени разность фаз слагаемых волн в различных точках.
Когерентные источники являются источниками когерентных волн. Когерентные волны — волны с постоянной во времени и пространстве разностью фаз.
Они излучаются лазерами или получаются специальными способами. Часто практически используется метод, который заключается в том, что исходящий из источника пучок (он должен быть достаточно малым) делится на два, происходит «расщепление» волны. Рассмотрим реализацию этого метода, рис. 25.1.
Рис. 25.1. Получение когерентных волн методом Юнга: а) непрозрачная преграда с двумя щелями, б) интерференция на щелях
Метод Юнга (рис. 25.1). На пути волны, идущей от источника S, установлена непрозрачная преграда с двумя щелями (а). Роль когерентных источников Sy и S2 играют две узкие щели,
освещаемые источником. Так как волны, исходящие из Si и S2 получены разбиением одного и того же волнового фронта, то они являются когерентными. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция (на рис. 25.15 эта область закрашена).
Зеркало Ллойда (рис. 25.2). Точечный источник S находится на близком расстоянии к поверхности плоского зеркала М. поэтому свет отражается зеркалом под некоторым углом. Когерентными источниками являются первичный источник S и его мнимое изображение Si в зеркале. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция.
Рис. 25.2. Получение когерентных волн с использованием зеркала Ллойда
При сложении двух когерентных волн интенсивность результирующей волны принимает в различных точках пространства значения от минимального (когда cos Д79 = — 1) до некоторого максимального (когда cos Д79 = +1). При этом наблюдается явление интерференции.
Интерференция света — такое сложение световых волн, в результате которого происходит пространственное перераспределение энергии, приводящее к образованию устойчивой картины их усиления или ослабления.
Условия интерференционного максимумаи минимума
Условия максимумов и минимумов интенсивностей удобнее выражать не через разность фаз, а через разность хода, так как пути, проходимые когерентными волнами при интерференции, обычно известны.
Рассмотрим пример сложения 2-х плоских волн, распространяющихся в направлениях, указанных стрелками (рис. 25.3). Колебания вектора Е этих волн в некоторой точке В происходят по гармоническому закону:
Ei = ^maxicos^i - жт/Щ], Е2 = Emax 2 cos[w(f - Ж2Д2)].
(25.4)
В точке В происходит сложение двух колеблющихся векторов Ei и Е^ с одинаковой частотой со. Возникает колебание той же самой частоты.
ni ::::: .
1-я волна
:::; 2-я волна
Рис. 25.3. Интерференция двух плоских волн
Амплитуда Ет этого колебания определяется по формуле:
Е^ = Е^ + Е^2 + 2SmlSm2 cos Д^.(25.5)
Для большей общности предположим, что волны распространяются в разных средах с показателями преломления ni и п^. Скорости распространения волн соответственно равны щ = с/п\, v^ = с/пъ, где с — скорость света в вакууме.
Найдем выражение для разности фаз:
Д^ = ip^ - ipx = co(t - X2/D2) - ^(t - Xi/ui) = co(xi/i)i - ^2/^2) или после деления и умножения на скорость света в вакууме — с:
Д79 = — | xi —— Х2~ ) .(25.6)
С \ Щ 1)2 у
Учитывая формулы: со = 2тг/Т (связь циклической частоты и периода колебаний света), Тс = А, (связь длины волны в вакууме с периодом колебаний и скоростью света), с)х = п, получим:
2тг
Ду = — (xini - х2п2).(25.7)
Произведение геометрического пути волны на показатель преломления среды (жп) называется оптической длиной пути. Разность оптических длин |xini — Ж2%2| = 5 называется оптической разностью хода.
Окончательно получим связь между разностью фаз и оптической разностью хода интерферирующих волн:
Ду> = 5(2тг/А), или 5 = Д^(А/2тг).(25.8)
Условия интерференционного максимума. Максимум получается, когда cos Д</9 = 1, (Д^ = 2&тг). В этом случае
§ = кХ, (к = 0, 1, 2, ...).(25.9)
Максимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн).
Условия интерференционного минимума. Минимум получается, когда cos Д</9 = — 1, (Д^ = (2& + 1)тг). В этом случае
5 = (2& + 1)А/2.(25.10)
Минимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.
Перераспределение энергии при интерференции. Интенсивность волны пропорциональна амплитуде / « Е^. Учитывая это, соотношение (25.5) можно записать в виде:
/ = /т + /2 + 2Vkh cos Д^.(25.11)
Для максимума (cos Д</9 = 1) имеем:
/ = /1 + /2 + 2^^7177,/ > (/1 + /2).
Для минимума (cos Д79 = — 1) имеем:
/ = /1 + /2_2v7I77, /<(/i + /2).
Действительно при интерференции происходит перераспределение энергии.
Интерферометры, интерференционныймикроскоп
Для исследований применяются измерительные и контрольные приборы, основанные на интерференции света.
Интерферометр. Принцип действия интерферометра показан на рис. 25.4.
5 — источник, узкая щель, освещенная монохроматическим светом
L — линза, в фокусе которой источник
К — одинаковые кюветы длиной I
Д — диафрагма с двумя щелями
Э — экран
Рис. 25.4. Ход лучей в интерферометре
На пути лучей устанавливаются кюветы Ki и К2, заполненные веществами с показателями преломления, соответственно, П1 и П2, один из которых заранее известен. Оптическая разность хода этих лучей равна 5 = Zni —Z%2 — Z(ni —П2). Если вследствие этой разности хода интерференционная картина сместится на N полос (по сравнению с картиной при одинаковых веществах), то 5 = N X. Тогда связь между показателями преломления имеет вид: m = П2 + NX/L
Назначение интерферометров: измерение с высокой степенью точности длин волн, показателей преломления (биологических объектов, газов), измерение эталонов длины. С помощью интерферометров легко и быстро обнаруживается содержание состава газа, появление примесей. Это используется в санитарной практике для контроля чистоты воздуха в помещениях, шахтах. По интерференционной картине, определяемой интерферометром, определяют величину отступлений от плоскости и форму микронеровностей различных поверхностей.
Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание оптического микроскопа и интерферометра (рис. 25.5).
В связи с разницей показателей преломления объекта М и среды лучи приобретают разность хода. В результате между
объектом и средой образуется световой контраст (при монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом свете).
М — прозрачный объект
Д — диафрагма
О — окуляр микроскопа для наблюдения интерферирующих лучей d — толщина объекта
Рис. 25.5. Ход лучей в интерференционном микроскопе
Этот прибор применяется для измерения концентрации сухого вещества, размеров прозрачных неокрашенных микрообъектов, которые не контрастны в проходящем свете.
Разность хода определяется толщиной d объекта. Оптическую разность хода можно измерить с точностью до сотых долей длины волны, что дает возможность количественно исследовать структуру живой клетки.
Интерференция в тонких пленках
Рассмотрим прохождение света через тонкую пленку, рис. 25.6.
Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение)Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение)
Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение)
Рис. 25.6. Прохождение лучей через тонкую пленку (отражение)
Малая толщина пленки L необходима для уменьшения поглощения света. Свет (луч 1) падает от источника S из воздуха на пленку с показателем преломления п под углом падения г. Свет будет частично отражаться от поверхности пленки (луч 2). При отражении от более плотной среды фаза отраженной волны изменится на противоположную. Это равносильно изменению оптической длины пути луча 2 на величину А/2. Вторая часть луча 1 преломится в пленке, отразится от ее нижней поверхности и выйдет из пленки (луч 3), параллельно лучу 2. Лучи 2 и 3
когерентны, так как они образованы от одного источника. При их сложении при помощи линзы (или глаза) будет происходить интерференция в отраженном свете. Между лучами 2 и 3 возникнет разность хода, определяемая соотношением (без вывода)
5 = 2L Vп2 — sin2 г + А/2.
При освещении пленки монохроматическим светом в отраженных лучах будет происходить интерференция. Условия для максимумов интерференции:
2L Vn2 — sin2 г = (2& + 1)(А/2), (25.12) условия для минимумов:
2lVn2 - sin2? = kA, к = 0, 1, 2, ... (25.13)
В проходящих лучах максимум интерференции в отраженном свете соответствует минимуму в проходящем, и наоборот. Из выражений (25.12) и (25.13) следует, что интерференционная картина в тонких пленках определяется значениями A, L, п, г. Для данных A, L^n каждому углу падения г лучей соответствует своя интерференционная картина.
Если на тонкую пленку (пластинку) под некоторым углом падает белый свет, то условия максимума и минимума выполняются для отдельных длин волн. Пленка при этом станет окрашенной.
Явление интерференция в тонких пленках используется в оптических устройствах, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих (вследствие закона сохранения энергии), следовательно, энергию поступающую к регистрирующим системам — фотопластинке, глазу.
Это явление обусловливает разную окраску мыльных пузырей, бензиновых пленок на воде, цвет на закаленном металле, окрас крыльев птиц.
Применение интерференции в тонких пленках. Просветление оптики. В современных оптических системах, использующих большое число отражающих поверхностей, прохождение света сопровождается значительными потерями (например, даже на границе стекло-воздух при нормальном падении отражается
до 4 % падающего света). В результате интенсивность прошедшего света ослабляется, потери светового потока могут составлять 50-80%. Кроме того, отражение ухудшает формируемое оптической системой изображение (например, создается фон, уменьшающий контраст изображений).
Поверхности объективов оптических приборов покрывают пленками. Толщину и вещество, из которого сделаны пленки, подбирают таким образом, чтобы получать максимум интерференции в проходящем свете в соответствующей области света. Это позволяет снизить потери интенсивности света при его отражении.
Бестеневые лампы — поверхности хирургических бестеневых ламп покрывают пленкой, дающей минимум отраженного света в инфракрасной области излучения. Этим самым понижают тепловую отдачу ламп и, следовательно, нагревание операционного поля.
Лекция 26
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.
Дифракция на щели в параллельных лучах.
Дифракционная решетка.
Дифракционный спектр.
Характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора.
Рентгеноструктурный анализ.
В природе существуют явления, при которых имеет место отклонение от законов распространения света, описываемых геометрической оптикой: распространение света сквозь малые отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т. д. Под дифракцией света обычно понимают отклонения от законов распространения света, описываемых геометрической оптикой. Дифракция наиболее отчетливо проявляется в том случае, когда размеры препятствия соизмеримы (одного порядка) с длиной волны падающего света.
Дифракция света. ПринципГюйгенса-Френеля
Дифракцией называется комплекс явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при распространении света в среде с резкими оптическими неоднородностями.
Дифракция, например, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и их проникновению в область геометрической тени, т. е. наблюдается отклонение от законов геометрической оптики.
Качественное объяснение явления дифракции дает принцип Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + AZ, если известно его положение в момент времени t.
По принципу Гюйгенса, каждая точка волнового фронта является центром вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.
Поясним применение принципа Гюйгенса на следующем примере. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает плоская волна, фронт которой параллелен преграде (рис. 26.1).
Фронт волны в момент t + AtФронт волны в момент t + AtФронт волны в момент t - AtФронт волны в момент tФронт волны в момент t - AtФронт волны в момент tРис. 26.1. Пояснение принципа ГюйгенсаРис. 26.1. Пояснение принципа Гюйгенса
Фронт волны в момент t + At
Фронт волны в момент t + At
Фронт волны в момент t - At
Фронт волны в момент t
Фронт волны в момент t - At
Фронт волны в момент t
Рис. 26.1. Пояснение принципа Гюйгенса
Рис. 26.1. Пояснение принципа Гюйгенса
Согласно Гюйгенсу, каждая точка волнового фронта, выделяемого отверстием, служит центром вторичных сферических волн. Из рис. 26.1 видно, что огибающая этих волн проникает в область геометрической тени, границы которой помечены штриховой линией.
Принцип Гюйгенса ничего не говорит об интенсивности вторичных волн. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн и их амплитудах. Дополненный таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля.
По принципу Гюйгенса-Френеля каждый малый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной световой волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемента dS. Волны излучаемые различными элементами волновой поверхности когерентны.
Интенсивность световых колебаний в произвольной точке О есть результат интерференции в этой точке вторичных волн, испускаемых всеми элементами волновой поверхности (рис. 26.2). Амплитуда каждой приходящей в точку О волны зависит от расстояния г и угла а между нормалью п и направлением излучения.
Рис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхностиРис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности
Рис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности
Рис. 26.2. Испускание вторичных волн элементами волновой поверхности
Дифракция на щели в параллельных лучах
Вычисления, связанные с применением принципа Гюйгенса-Френеля, в общем случае представляют собой очень трудную в математическом плане задачу. Однако в ряде случаев, обладающих высокой степенью симметрии, нахождение амплитуды результирующих колебаний может быть выполнено алгебраическим или геометрическим суммированием. Продемонстрируем это путем расчета дифракции света на щели.
На узкую щель (АВ) шириной а в непрозрачной преграде, падает плоская монохроматическая световая волна длиной А. Направление распространения волны перпендикулярно поверхности щели (рис. 26.3а). Поместим за щелью собирающую линзу L, а в ее фокальной плоскости расположим экран Э. В этом случае вторичные волны, испущенные под одним и тем снсе углом к оптической оси линзы, соберутся в одной точке экрана (О').
Рис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение интенсивности светаРис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение интенсивности света
Рис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение интенсивности света
Рис. 26.3. Дифракция на одной щели: а) ход лучей, б) распределение интенсивности света
11 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Можно показать, что разность хода (Д) лучей, идущих от краев щели, вычисляется по формуле
Д = a sin а.(26.1)
Рассмотрим только те направления распространения вторичных волн, для которых выполняется условие
Д = п(А/2), где п — целое число.
При п = 0 получим Д = 0 и а = 0. Это соответствует вторичным волнам, испущенным параллельно оси линзы. Они приходят в центр экрана (О) в одинаковой фазе (Д = 0), поэтому в центре экрана получается максимум интенсивности для волн любой длины.
При п = 2k щель можно разбить на 2к равных полос (зон Френеля). При этом разность хода соответствующих лучей, идущих от соседних щелей, равна А/2. Такие лучи приходят в точку О' в противофазе и гасят друг друга.
Минимум интенсивности при дифракции на щели будет наблюдаться для направлений лучей вторичных волн, удовлетворяющих условию
a sin а = ±2А:А/2 = ±&А, к = 1, 2, 3, . . .(26.2)
Между соседними минимумами располагаются максимумы интенсивности.
При п = 2 к + 1 щель можно разбить на 2 к + 1 равных полос. При этом разность хода соответствующих лучей, идущих от соседних зон Френеля, также равна А/2. В результате интерференции излучение 2к зон будет полностью погашено, но излучение одной зоны останется. В данной точке экрана будет наблюдаться локальный максимум интенсивности.
Максимум интенсивности при дифракции на щели будет наблюдаться для направлений лучей вторичных волн, соответствующих условию
asino = ±(2& + 1)А/2, к = 1, 2, 3, . . .(26.3)
На рис. 26.35 показан график распределения интенсивности в зависимости от направления отклоненного луча (since). Основная
часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. С увеличением угла дифракции интенсивность побочных максимумов резко уменьшается (относительная интенсивность максимумов: /о : /1 : /2 = 1 : 0,047 : 0,017).
Если щель освещена белым светом, то на экране центральный максимум будет белым (он общий для всех длин волн); побочные максимумы будут содержать системы цветных полос.
Дифракционная решетка. Дифракционныйспектр
Интенсивности максимумов, возникающих при дифракции на щели столь незначительны, что не могут быть использованы для решения практических задач. В качестве спектрального прибора используется оптическое устройство — дифракционная решетка, которая представляет собой систему параллельных равноотстоящих щелей. Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных царапин (через которые свет не проходит) на стеклянную пластину рис. 26.4. Непроцарапанные места (щели) будут пропускать свет.
Рис. 26.4. Сечение дифракционной решетки (а) и ее схематическое изображение (б)
Сумму ширины щели а и промежутка между щелями b называют постоянной (периодом) дифракционной решетки: d = a + b.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.
Ход лучей в дифракционной решетке представлен на рис. 26.5.
На решетку нормально падает плоская монохроматическая световая волна. Выберем направление вторичных волн под углом а относительно нормали к решетке. Лучи, идущие в этом направлении от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода, которая равна dsinta. Такая же разность хода будет
для всех вторичных волн, идущих от соответственно расположенных пар точек соседних щелей. Экран располагают в фокальной плоскости линзы. Поэтому все параллельные лучи соберутся в одной точке (О'), и между ними возникнет интерференция.
Рис. 26.5. Дифракция света на дифракционной решетке
При интерференции возникнут главные максимумы^ когда разность хода между лучами от соседних щелей кратна целому числу длин волн (основная формула дифракционной решетки):
dsina = ±&А, (26.4)
где к = 0, 1, 2 — порядок главных максимумов.
В том направлении, где одна щель дает минимум, каждая щель даст минимум, поэтому минимум для одной щели сохранится и для всей решетки:
a sin а = ^zkX. (26.5)
Если для некоторого направления будут одновременно выполняться условия минимума для одной щели (a sin а = АцА) и максимума для всей решетки (d sin а = к^ХУ то соответствующие главные максимумы не появятся.
Для характеристики решетки часто используется параметр N — число щелей дифракционной решетки. Между любыми двумя соседними главными максимумами имеется (^ — 1) добавочных минимумов. При большом числе щелей все пространство между главными максимумами выглядит темным.
Чем больше число щелей в дифракционной решетке, тем большее количество световой энергии проходит через решетку, тем более интенсивными и более острыми будут максимумы.
На рис. 26.6 представлены графики распределения интенсивностей, полученные от решеток с разным числом N щелей.
Рис. 26.6. Распределение интенсивностей при разных значениях N
Дифракционный спектр
Из основной формулы дифракционной решетки (26.4) видно, что угол дифракции се, под которым образуются главные максимумы, зависит от длины волны падающего света. Поэтому максимумы интенсивности, соответствующие различным длинам волн, получаются в различных местах экрана. Это и позволяет использовать решетку как спектральный прибор.
Дифракционной спектр — это спектр, полученный с помощью дифракционной решетки,
При падении на дифракционную решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр. При этом положение максимума порядка к определяется условием
since = -^кХ) d.
Чем больше длина волны (А), тем дальше от центра отстоит &-й максимум. Поэтому фиолетовая область главного максимума
каждого порядка будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Заметим, что при разложении белого света призмой, сильнее отклоняются фиолетовые лучи.
Характеристики дифракционной решеткикак спектрального прибора
Основное соотношение для дифракционной решетки (26.4), позволяет определить длину волны света измеряя угол а^ соответствующий положению &-го максимума. Таким образом дифракционная решетка позволяет получать и анализировать спектры сложного света.
Спектральные характеристики решетки.
Угловая дисперсия — величина, определяющая угловую ширину спектра и численно равная угловому расстоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу (dX = 1):
D = da/dX, D = k/(dcosaY (26.6)
Угловая дисперсия тем выше, чем больше порядок к спектра и чем меньше период решетки (d). Для анализа выгоднее использовать спектры больших порядков, период решетки уменьшать.
Разрешающая способность — величина, равная отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены:
R = X/^X, R = kN. (26.7)
Из формулы видно, что разрешающая способность дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок к спектра и число N щелей. Но практически это не используется, так как спектры больших порядков могут перекрываться, кроме того, их интенсивность мала.
Необходимо отметить, что явление дифракции может играть отрицательную роль: ограничивает использование оптических приборов в создании четкого изображения объектов наблюдения.
Рентгеноструктурный анализ
Основная формула дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны.
В качестве дифракционной решетки можно взять структурную решетку кристалла. Если на простую кристаллическую решетку направить поток рентгеновских лучей под углом 6 (рис. 26.7), то они будут дифрагировать, так как расстояние между рассеивающими центрами (атомами) в кристалле соответствует длине волны рентгеновского излучения. Если на некотором расстоянии от кристалла поместить фотопластинку, то она зарегистрирует интерференцию отраженных лучей. Разность хода между отраженными лучами равна 2d sin 6. Максимумы будут наблюдаться при условии
2dsin0 = kX, k = 1, 2, 3, . . . (26.8)
где d — межплоскостное расстояние в кристалле, 6 — угол между плоскостью кристалла и падающим рентгеновским лучом (угол скольжения), А — длина волны рентгеновского излучения. Соотношение (26.8) называется условием Брэгга-Вульфа.
Рис. 26.7. Дифракция рентгеновских лучей на простой кристаллической решетке, точками указано расположение атомов
Если известна длина волны рентгеновского излучения и измерен угол У, отвечающий условию (26.8), то можно определить межплоскостное (межатомное) расстояние d. На этом основан рентгеноструктурный анализ.
Рентгеностррктррный анализ — метод определе-ния структуры вещества по исследованию законо-
мерностей дифракции рентгеновского излучения на изучаемых образцах.
Рентгеновские дифракционные картины очень сложны, так как кристалл представляет собой трехмерный объект, и рентгеновские лучи могут дифрагировать на различных плоскостях под разными углами. Если вещество представляет собой монокристалл, то дифракционная картина представляет собой чередование темных (засвеченных) и светлых (не засвеченных) пятен, рис. 26.8а.
Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)
Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)
Рис. 26.8. Рентгенограмма для монокристалла (а), рентгенограмма для поликристалла (б)
В том случае, когда вещество представляет собой смесь большого числа очень маленьких кристалликов (как в металле или порошке), возникает серия колец (рис. 26.85). Каждое кольцо соответствует дифракционному максимуму определенного порядка к, при этом рентгенограмма образуется в виде окружностей, рис. 26.85.
Рентгеноструктурный анализ используют для исследования структур биологических систем. Например, этим методом была установлена структура ДНК.
Лекция 27ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Свет естественный и поляризованный.
Прохождение естественного света через поляризатор.
Система «поляризатор-анализатор». Закон Малюса.
Способы получения поляризованного света.
Фотоупругость.
Вращение плоскости поляризации оптически активными веществами.
Поляриметрия.
Элементы реабилитологии. Использование поляризованного света.
Свет естественный и поляризованный
Максвелл показал, что свет имеет электромагнитную природу, то есть представляет собой электромагнитные волны. Естественный свет, испускаемый солнцем, лампами и т. д., представляет собой совокупность огромного количества электромагнитных волн с различной частотой, испущенных различными атомами вещества. Электромагнитная волна, испущенная отдельным атомом, характеризуется взаимно перпендикулярными векторами напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. При этом направления этих векторов при распространении волны остаются неизменными. В дальнейшем нас будет интересовать только вектор напряженности электрического полл — Е, который называют световым вектором. Направления световых векторов, ’’испущенных’’различными атомами, различны. Поэтому в естественном свете имеются волны со всевозможными направлениями ориентации световых векторов, и все направления равноправны.
Естественный свет — это совокупность электромагнитных волн со всевозможными направлениями световых векторов (Е), и все направления равноправны.
Существуют устройства, позволяющие выделить из естественного света совокупность электромагнитных волн, у которых направления колебаний всех световых векторов одинаковы. Такой свет называется плоскополяризованным.
Плоскополяризованный свет — это совокупность электромагнитных волн с одинаковой ориентацией всех световых векторов.
Плоскость, в которой лежат световой вектор (Е) и направление распространения света, называется плоскостью поляризации.
Свет, в котором имеется преимущественное направление колебаний вектора Е (то есть имеются естественные и поляризованные составляющие) называют частично поляризованным светом.
На рис. 27.1 представлен свет: естественный, частично поляризованный, плоскополяризованный. Направление света (луч О) — перпендикулярно плоскости рисунка.
естественны! светестественны! светЕОЕОЕЕпл о ско-поляризо-ванный светпл о ско-поляризо-ванный светчастично-поляри-зованный светчастично-поляри-зованный свет
естественны! свет
естественны! свет
Е
О
Е
О
Е
Е
пл о ско-поляризо-ванный свет
пл о ско-поляризо-ванный свет
частично-поляри-зованный свет
частично-поляри-зованный свет
естественныйсветестественныйсветпл о ско-поляризо-ванный светпл о ско-поляризо-ванный светчастично-поляри-зованный светчастично-поляри-зованный свет
естественныйсвет
естественныйсвет
пл о ско-поляризо-ванный свет
пл о ско-поляризо-ванный свет
частично-поляри-зованный свет
частично-поляри-зованный свет
Рис. 27.1. Колебания вектора Е (а) и схематическое изображение (5)естественного и поляризованного света
Прохождение естественного света черезполяризатор
Процесс выделения из естественного света поляризованного называется поляризацией. Этот процесс может быть осуществлен посредством специальных устройств — поляризаторов.
Поляризатор — устройство, пропускающее составляющую светового вектора, лежащую в определенной плоскости, которую называют главной плоскостью поляризатора.
Схематично действие поляризатора можно представить следующим образом. Пусть на него падает световая волна, в которой световой вектор лежит в плоскости, образующей с главной плоскостью поляризатора некоторый угол р. Такой световой вектор можно разложить на 2 компоненты, одна из которых (Епроп) лежит в главной плоскости, а другая (ЕперП) перпендикулярна ей. Первую составляющую поляризатор пропустит, а вторую — нет. Это иллюстрирует рис. 27.2, где показаны световые вектора падающего (Епад) и пропущенного поляризатором (Епроп) света. Здесь же показано изменение интенсивности света, для которого вектор Е образует с главной плоскостью угол р.
Дпроп Дзад cos (ф) Лфоп — ^пад СОЗ^ф)Дпроп Дзад cos (ф) Лфоп — ^пад СОЗ^ф)Не выходит из поляризатораНе выходит из поляризатораРис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе естественного светаРис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе естественного света
Дпроп Дзад cos (ф) Лфоп — ^пад СОЗ^ф)
Дпроп Дзад cos (ф) Лфоп — ^пад СОЗ^ф)
Не выходит из поляризатора
Не выходит из поляризатора
Рис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе естественного света
Рис. 27.2. Действие поляризатора на отдельную волну в составе естественного света
Описанная операция будет «проделана» для каждой волны, входящей в состав естественного света. В результате все световые волны на выходе поляризатора будут иметь световые вектора, лежащие в одной плоскости.
При этом интенсивность естественного света после прохождения поляризатора уменьшается в два раза. Действительно, для естественного света все направления световых векторов равновероятны и средний угол между световым вектором и главной плоскостью поляризатора составляет 45° (cos2 45° = 1/2). Отсюда получаем
^проп — Азад COS фср = Азад (1/2).
Система «поляризатор-анализатор». ЗаконМалюса
Для изучения свойств предварительно поляризованного (полностью или частично) света используют второй поляризатор, который в данном случае называют анализатором.
Анализатор — это поляризатор, используемый для анализа предварительно поляризованного света.
Пусть, например, на анализатор падает свет, прошедший через поляризатор и, вследствие этого, являющийся плоскополяризо- ванным. Плоскость его поляризации совпадает с главной плоскостью поляризатора. Анализатор пропустит только ту составляющую светового вектора, которая параллельна его (анализатора) главной плоскости. Если угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора равен р, то Епроп = Епад cos(^). Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора. Поэтому
^проп — ^пад COS р. (27.1)
Это уравнение выражает закон Малюса.
При падении на анализатор плоскополяризованно- го света интенсивность пропущенного пучка (/прОп) равна произведению интенсивности падающего света (/Пад)т умноженной на квадрат косинуса угла между плоскостью поляризации и главной плоскостью анализатора.
Из выражения (27.1) следует, что интенсивность света, прошедшего последовательно через поляризатор и анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла между их главными плоскостями. Как видно из закона Малюса, при повороте анализатора вокруг луча падающего плоскополяризованного света интенсивность вышедшего света изменяется от 0, при р = 90° (плоскость поляризатора и анализатора перпендикулярны друг другу) до /Пад, при у? = 0 (плоскость поляризатора и анализатора параллельны друг другу).
Если же на анализатор падает частично поляризованный свет, то при повороте анализатора интенсивность прошедшего света не будет спадать до нуля. В частности, если на анализатор падает естественный свет, то интенсивность вышедшего света при повороте анализатора вообще не изменяется.
Способы получения поляризованного света
Рассмотрим несколько способов получения поляризованного света из естественного.
Поляризация при отражении и преломлении. При падении светового луча на границу раздела двух изотропных диэлектриков (например, воздух и стекло) он частично отражается, а частично проникает во вторую среду. При этом в общем случае оба луча оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают направления вектора Е, перпендикулярные плоскости падения, а в преломленном — параллельные ей. Степень поляризации лучей зависит от угла падения. При некотором угле падения отраженный луч оказывается полностью плоскополяризован (рис. 26.3). Этот угол называется углом Брюстера (гб) и определяется условием
tgzB = ^,(27.2)
где п = n^/ni — показатель преломления второй среды относительно первой.
Отметим, что поляризация преломленного луча в этом случае является максимальной^ хотя и далеко не полной.
Рис. 27.3. Поляризация света при отражении и преломлении на границе раздела диэлектриков
Степень поляризации преломленного луча может быть значительно повышена путем многократного преломления при условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера. Если, например, для стекла (п = 1,53) степень поляризации преломленного света луча составляет примерно 15 %, то после преломления на 8-10 наложенных друг на друга стеклянных пластин вышедший из такой системы свет будет полностью поляризованным. Такая совокупность пластинок называется стопой Столетова. При этом интенсивность света будет незначительной.
Поляризация при двойном лучепреломлении. При переходе луча света из одной изотропной среды в другую выполняется закон преломления, и во второй среде распространяется один преломленный луч. Явление осложняется, если вторая среда является анизотропной. Анизотропия — зависимость физических свойств от направления. Многие кристаллы анизотропны из-за асимметрии кристаллических решеток. Вследствие этого показатель преломления зависит от направления падающего луча и от ориентации электрического вектора Е световой волны. В некоторых кристаллах наблюдается двойное лучепреломление'. преломленный луч раздваивается. Это явление имеет место, например, в кристаллах кварца и исландского шпата. Один луч подчиняется законам преломления и называется обыкновенным (о). Для другого луча эти законы не выполняются, и его называют необыкновенным (е). На рис. 27.4 двойное лучепреломление показано при нормальном падении луча на границу раздела.
Рис. 27.4. Двойное лучепреломление
Объяснение механизма двойного лучепреломления выходит за рамки данной лекции. Отметим лишь следующее.
Обыкновенный и необыкновенный лучи плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных направлениях (луч «о» поляризован перпендикулярно главной плоскости кристалла, а луч «е» — параллельно ей).
Показатели преломления (по, пе) среды для этих лучей и скорости (и^ ve) их распространения различны.
После выхода из среды с двойным лучепреломлением оба луча идут параллельно друг другу.
Таким образом, двойное лучепреломление — способность анизотропных веществ разделять (расщеплять) падающий световой
луч на два, распространяющихся в разных направлениях с разной скоростью и поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях.
На использовании двойного лучепреломления основано действие некоторых поляризаторов. Поскольку при двойном лучепреломлении задача получения полностью поляризованного света решается автоматически, остается лишь из двух лучей выделить один. Рассмотрим два способа.
Призма Николя. Этот поляризатор изготавливается из исландского шпата, для которого показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей различны: по = 1,65, пе = 1,48. Призма разрезана по диагонали и склеена канадским бальзамом с «промеэкууточным» показателем преломления Пк.б. = 1,55 (пе < пк.б. < по).
При соответствующих углах падения на грань призмы обыкновенный луч «о» претерпевает полное внутреннее отражение на прослойке канадского бальзама (не проходит через границу) и поглощается зачерненной нижней гранью. Необыкновенный луч «е» проходит через границу и выходит из призмы параллельно нижней грани.
Дихроизм, поляроиды. В некоторых кристаллах с двойным лучепреломлением обыкновенный луч «о» поглощается значительно сильнее, чем необыкновенный «е». Такое явление называется дихроизмом. Дихроизмом в диапазоне видимого света обладает, например, турмалин. В толстой пластине из турмалина при падающем видимом свете луч «о» практически целиком поглощается. Выходит только луч «е».
Поляроид представляет собой пленку очень сильно дихроичного кристалла — герапатита. Слой герапатита толщиною всего 0,1 мм практически полностью поглощает один из лучей, являясь
уже в таком слое совершенным поляризатором. В настоящее время научились изготавливать покрытия из герапатита с большой площадью, что дает возможность получать широкие пучки поляризованного света.
Подобные пленки широко применяются в дисплеях калькуляторов и жидкокристаллических экранах мониторов компьютеров.
Листовые поляроидные покрытия из соответствующих материалов применяются для автомобильных фар, чтобы не слепить водителей встречных машин.
Поляроидные очки с поляризационными стеклами уменьшают солнечные блики. При отражении от какой-либо поверхности свет поляризуется в плоскости, параллельной поверхности. Поляроидные очки пропускают только вертикально поляризованный свет, а отраженный от дороги горизонтально поляризованный свет поглощается стеклом очков.
Фотоупругость
Под влиянием механических воздействий (различных способов деформирования) изотропные тела могут становиться анизотропными, а анизотропные изменять свою анизотропию.
Фотоупругость — явление возникновения оптической анизотропии в первоначально изотропных телах (или изменение анизотропии) под действием механических нагрузок.
Например, при одноосном растяжении (сжатии) изотропное тело приобретает свойства оптически одноосного кристалла с оптической осью, параллельной оси растяжения (сжатия). В теле возникает двойное лучепреломление. Разность показателей преломления вещества для лучей с разной поляризацией, служащая мерой анизотропии, пропорциональна механическому напряжению ст:
Ап = Кст, (27.3)
где Ап — разность показателей преломления вещества для обыкновенного и необыкновенного лучей; К — упругооптическая константа.
При рассматривании в белом свете таких прозрачных объектов, точки с одинаковым внутренним напряжением будут соединяться линиями одинаковой окраски. Для анализа распределения внутренних напряжений в непрозрачных телах изготавливают их копии из прозрачных материалов.
Вращение плоскости поляризацииоптически активными веществами
Явление вращение плоскости поляризации заключается в повороте плоскости поляризации плоскополяризованного света при прохождении через вещество.
Оптически активные вещества — вещества, поворачивающие плоскость поляризации поляризованного света при прохождении через них. Угол поворота а плоскости поляризации пропорционален толщине слоя L вещества:
а = <roL, (27.4)
где ао — постоянная вращения (вращательная способность), размерность — [град/мм].
Оптически активными веществами являются также растворы оптически активных веществ. Для них угол поворота зависит еще и от концентрации:
а = aocL, (27.5)
где с — концентрация, ао — удельное вращение, (численно равное углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины с единичной концентрацией).
Примеры оптически активных веществ: твердые вещества — кварц, сахар, киноварь; жидкие вещества — водный раствор сахара, скипидар, винная кислота.
Вещество, которое поворачивает плоскость поляризации влево, называется левовращающим, и величину а считают отрицательной. Антипод данного вещества поворачивает плоскость поляризации на столько же вправо, величина а для него такая же по абсолютной величине, но положительная. Оптические антиподы, взятые по отдельности, не отличаются друг от друга по физическим свойствам (температура кипения или плавления, плотность, ИК-спектр). Столь же неотличима от них по этим
признакам невращающаяся, рацемическая смесьв которую антиподы входят в равных количествах.
Дисперсия оптической активности — явление, заключающееся в том, что существует зависимость удельного вращения ао от длины волны: ао = /(А). Существует вращательная дисперсия, которая приводит к тому, что при пропускании белого света составляющие с разной длиной волны поворачиваются на разные углы.
Поляриметрия
Исследования, основанные на измерении величины вращения плоскости поляризации при прохождении поляризованного света через оптически активное вещество, используются в медицине для определения концентрации сахара в моче, в биофизических исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответствующие измерительные приборы называются поляриметрами^ или сахариметрами (если они специально приспособлены для измерения концентрации сахара).
Поляриметрия — метод, применяемый при качественном и количественном анализе веществ с помощью поляриметров.
Поляризационный микроскоп, который отличается от обычного оптического микроскопа тем, что перед объективом помещен поляризатор, а в тубусе — анализатор. Он используется для исследования биологических систем, обладающих оптической анизотропией. В нем видны только те фрагменты биологического объекта, анизотропия которых изменяет поляризованный свет.
Элементы реаби лито л огни. Использованиеполяризованного света
Поляризованный свет используется в травматологии для определения механического напряжение, возникающего в костных тканях. Этот метод основан на явлении фотоупругости. Из прозрачного материала (часто плексиглаза) создают модель кости. В ненагруженном состоянии в скрещенных поляроидах эта модель однородна и выглядит темной. Под действием механической нагрузки, подобной той, которой кость подвергается в реальных условиях, возникает анизотропия модели. При этом появляется характерная картина полос и пятен. По этой картине,
а также по тем ее изменениям, которые возникают при увеличении или уменьшении нагрузки, можно делать выводы о механических напряжениях, возникающих в модели, а следовательно, и в натуре.
Поляроидные очки. При падении света на горизонтальную поверхность, например на воду, отраженный луч оказывается частично поляризованным параллельно этой поверхности. Используя поляроидные очки, ось которых перпендикулярна поверхности, можно ослабить отраженный свет попадающий в глаза. Это позволяет снизить слепящее действие света при отражении от воды, снежного покрова, льда и т. п.
Лекция 28
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Законы отражения и преломления света.
Явление полного внутреннего отражения. Волоконная оптика.
Линзы. Оптическая сила линзы.
Аберрации линз.
Оптическая система глаза.
Недостатки оптической системы глаза.
Элементы реабилитологии. Акустическая биомеханика глаз.
При решении многих задач, связанных с распространением света, можно использовать законы геометрической оптики, которые совпадают с законами волновой оптики при стремлении длины волны света к нулю. Геометрическую оптику можно рассматривать как предельный случай волновой оптики при стремлении длины волны к нулю (А —> 0).
Геометрическая оптика — раздел, в котором изучают законы распространения света на основании представления о световом луче как линии, вдоль которой распространяется энергия световой волны.
Законы отражения и преломления света
Законы отражения. Отражение волн — явление, происходящее на границе раздела двух сред, в результате которого волна изменяет направление своего распространения, оставаясь в первой среде. Отражение света бывает:
диффузное (рассеянное^ при котором отраженные от шероховатой поверхности лучи распространяются в этой же среде по различным направлениям;
зеркальное^ при котором отраженные от гладкой поверхности лучи распространяются по одному направлению. В дальнейшем будет рассматриваться зеркальное отражение (рис. 28.1).
Угод, падения а — угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным в точке падения луча.
Угол отражения 3 — угол между отраженным лучом и перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным в точке падения луча.
Рис. 28.1. Ход лучей при отражении
При отражении выполняются следующие законы отражения:
Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
Угол отражения равен углу падения: а = 3*
Эти два закона справедливы для всех видов электромагнитных волн.
Законы преломления. Когда световой луч падает на прозрачное вещество, то на границе раздела двух сред он делится на два луча: отраженный (рассмотренный выше) и преломленный. Каждая среда характеризуется абсолютным показателем преломления, который равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в этой среде:
п = c/v.(28.1)
На рис. 28.2 показаны лучи на границе раздела двух сред с показателями преломления ni и п^.
Рис. 28.2. Ход лучей при преломлении
Преломление волн — явление, происходящее на границе раздела двух сред, в результате которого волна изменяет направление своего распространения, переходя из одной среды в другую.
Угол преломления г — угол между преломленным лучом и перпендикуляром к границе раздела сред, восстановленным в точке падения луча.
При преломлении выполняются следующие законы:
Падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная, равная отношению абсолютных показателей преломления второй и первой сред:
sin а/ sin r = n^jnx. (28.2)
Величина n^jny = П21 называется относительным показателем преломления второй среды относительно первой.
Явление полного внутреннего отражения.Волоконная оптика
Явление полного внутреннего отражения. Рассмотрим переход света из среды с большим показателем преломления их (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления 712 (оптически менее плотную). На рис. 28.3 показаны лучи, падающие на границу стекло-воз дух. Для стекла показатель преломления ni = 1,520; для воздуха 712 = 1,000.
Рис. 28.3. Ход лучей на границе раздела стекло-воздух
Увеличение угла падения приводит к увеличению угла преломления до тех пор, пока угол преломления не станет равным 90°, рис. 28.Зе. При дальнейшем увеличении угла падения падающий луч не преломляется, а полностью отражается от границы раздела, рис. 28.3г (поверхность раздела в этом случае выступает как зеркало). Это явление называется полним внутренним отражением. Оно наблюдается при падении света из более плотной среды на границу с менее плотной средой и состоит в следующем.
Если угол падения превышает предельный для данных сред угол, то преломления на границе раздела не происходит, и падающий свет отражается полностью.
Предельным углом полного отражения является угол падения «пред, ПРИ котором угол преломления равен 90°. Для этого случая выражение (28.2) будет иметь вид
sin «пред/ sin 90° = 712/П1.
Следовательно, предельный угол определяется соотношением
sin «пред = n2/ni. (28.3)
Волоконная оптика. Явление полного внутреннего отражения используется в гибких световодах. Если свет направить на конец тонкого стеклянного стержня (волокна), то углы, под которыми лучи падают на стенки стержня, превысят предельный угол. Следовательно, претерпевая полное отражение, лучи будут распространяться в стержне даже в том случае, если он изогнут (рис. 28.4). При этом имеют место потери энергии, обусловленные
Рис. 28.4. Луч света распространяется по световоду
поглощением света веществом внутри стержня. Такие стержни (каналы) называются световодами (светопроводами).
Устройства, в которых осуществляется передача света по световодам называют общим термином — волоконная оптика.
Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы.
С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 28.5 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 — лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 — луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 — луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью; 4 — луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.
Рис. 28.5. Способы подведения лазерного излучения к ткани
Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству.
У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку, рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.
Линзы. Оптическая сила линзы
Линза — прозрачное тело, ограниченное обычно двумя сферическими поверхностями, каждая из которых может быть выпуклой или вогнутой. Прямая, проходящая через центры этих сфер, называется главной оптической осью линзы.
Линза, максимальная толщина которой значительно меньше радиусов обеих сферических поверхностей, называется тонкой.
Проходя через линзу, световой луч изменяет направление — отклоняется. Если отклонение происходит в сторону оптической оси, то линза называется собирающей, в противном случае линза называется рассеивающей.
Любой луч, падающий на собирающую линзу параллельно оптической оси, после преломления проходит через точку оптической оси (F), называемую главным фокусом (рис. 28.6а). Для рассеивающей линзы через фокус проходит продолжение преломленного луча (рис. 28.66').
Рис. 28.6. Фокус собирающей (а) и рассеивающей (б) линз
У каждой линзы имеются два фокуса, расположенные по обе стороны от линзы. Расстояние от фокуса до центра линзы называется главным фокусным расстоянием (/).
В расчетных формулах / берется со знаком «+» для собирающей линзы и со знаком « —» для рассеивающей линзы.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы: D = !//• Единица оптической силы — диоптрия (дптр). 1 дптр — это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м.
Оптическая сила тонкой линзы и ее фокусное расстояние зависят от радиусов сфер и показателя преломления вещества линзы относительно окружающей среды:
D = (п - l)(±l/7?i ± 1/Т?2), / = I/O, (28.4) где Ri, R^ — радиусы кривизны ограничивающих сферических поверхностей; п — показатель преломления для вещества линзы
относительно окружающей среды; знак «+» берется для выпуклой поверхности, а « —» — для вогнутой.
Линзы используются для получения изображений. Рассмотрим предмет, расположенный перпендикулярно оптической оси линзы, и построим изображение его верхней точки (А). Изображение всего предмета будет так же перпендикулярно оси линзы. В зависимости от положения предмета по отношению к лин
зе возможны два случая преломления лучей, показанные на
Рис. 28.7. Действительное и мнимое изображения
В случае (а) лучи, испущенные точкой А после прохождения линзы, пересекаются в одной точке (А'). Эта точка называется действительным изображением.
В случае (б) лучи, испущенные точкой А после прохождения линзы расходятся, и в точке (А') пересекаются их продолжения. Эта точка называется мнимым изображением.
Рассеивающая линза дает мнимое изображение предмета при всех его положениях.
Для расчета изображения используется формула линзы, которая устанавливает связь между положениями точки и ее изображения:
l/a1±l/a2 = ±l/f, (28.5)
где / — фокусное расстояние, а^ — расстояние от предмета до линзы; а2 — расстояние от изображения до линзы. (Знак «+» или « —» ставятся перед а2, или / в зависимости от того, являются ли изображение или фокус действительными или мнимыми).
Линза (даже тонкая) будет давать «правильное» изображение, подчиняющееся формуле линзы, только при выполнении следующих условий:
пучки падающего света можно считать приосевыми (параксиальными) *,
все лучи (как входящие, так и выходящие) идут под малыми углами к главной оптической оси линзы;
показатель преломления линзы не зависит от длины волны света или свет достаточно монохроматичен.
При получении с помощью линз изображений реальных предметов эти ограничения, как правило, не выполняются: имеет место дисперсия; некоторые точки предмета лежат в стороне от оптической оси; падающие световые пучки не являются параксиальными, линза не является тонкой. Все это приводит к искажению изображений.
Аберрации линз
Аберрации — общее название для погрешностей изображения, возникающих при использовании линз. Аберрации (от лат. «абер- рацио» — отклонение), которые проявляются только в немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как их проявление не связано со сложным спектральным составом реального света.
Сферическая аберрация — монохроматическая аберрация, обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее центральная часть. В результате этого изображение точки на экране получается в виде светлого пятна, рис. 28.8.
Рис. 28.8. Сферическая аберрация
Этот вид аберрации устраняется путем использования систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.
Астигматизм — монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости изображения вырождается в отрезок.
Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 28.9а точечный источник расположен на побочной оптической оси. При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях I и II. Изображение источника можно получить лишь в виде расплывчатого пятна между плоскостями I и II.
Астигматизм^ обусловленный асимметрией оптической системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу устройства самой системы. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Это наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 28.96.
Рис. 28.9. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный цилиндрической линзой (б)Рис. 28.9. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный цилиндрической линзой (б)
Рис. 28.9. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный цилиндрической линзой (б)
Рис. 28.9. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный цилиндрической линзой (б)
Цилиндрическая линза образует линейное изображение точечного объекта.
В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма служат очки, которые имеют различную кривизну в разных направлениях.
Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые предметом, составляют большой угол с оптической осью, то обнаруживается еще один вид аберрации — дисторсия. В этом случае нарушается геометрическое подобие между объектом и изображением. Причина состоит в том, что в действительности ли-
нейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 28.10.
Рис. 28.10. Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная
Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с противоположной дисторсией.
Хроматическая аберрация заключается в том, что пучок белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к линзе, чем красные, рис. 28.11.
Рис. 28.11. Хроматическая аберрация
Причина этого явления состоит в имеющей место зависимости показателя преломления вещества от длины волны падающего света.
Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы, изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы, апохроматы.
Оптическая система глаза
Строение глаза. Глаз как оптическая система состоит из следующих элементов, см. рис. 28.12.
Склера — достаточно прочная внешняя белковая оболочка белого цвета, защищающая глаз и придающая ему постоянную форму.
Роговица — передняя часть склеры, более выпуклая и прозрачная; действующая как собирающая линз, оптическая сила которой — примерно 40 дптр; роговица — наиболее сильно преломляющая часть (обеспечивает до 75 % фокусирующей способности глаза), толщина которой 0,6-1 мм, п = 1,38.
Рис. 28.12. Оптическая система глаза
Сосудистая оболочка — с внутренней стороны склера выстлана сосудистой оболочкой (темные пигментные клетки, препятствующие рассеиванию света в глазу).
Радужная оболочка — в передней части сосудистая оболочка переходит в радужную.
Зрачок — круглое отверстие в радужной оболочке, диаметр которого может изменяться в пределах от 2 до 8 мм (радужная оболочка и зрачок выполняют роль диафрагмы, регулирующей доступ света внутрь глаза), площадь отверстия изменяется в 16 раз.
Хрусталик — природная прозрачная двояковыпуклая линза диаметром 8-10 мм, имеющая слоистую структуру, наибольший показатель преломления в слоях хрусталика п = 1,41; хру-
сталик находится за радужной оболочкой, примыкает к зрачку, оптическая сила его равна 20-30 дптр.
Кольцевая мышца — она охватывает хрусталик и может изменять кривизну поверхностей хрусталика.
Передняя камера — камера с водянистой массой (п = = Иводы), которая находится в передней части глаза за роговицей, оптическая сила 2-4 дптр.
Зрительный нерв — подходя к глазу, разветвляется, образуя на задней стенке сосудистой оболочки светочувствительный слой — сетчатку.
Сетчатка — светочувствительный слой, она представляет собой разветвление зрительного нерва с нервными окончаниями в виде палочек и колбочек, из них колбочки (их примерно 10 млн. клеток) служат для различения мелких деталей предмета и восприятия цветов. Палочки же (120 млн. клеток) не дают возможности различать цвета и мелкие предметы, но они высокочувствительны к слабому свету. С помощью палочек человек различает предметы в сумерки и ночью. Палочки и колбочки очень малы. Диаметр палочки 2 • 10”3 мм, длина 6 • 10”3 мм, диаметр же колбочки 7 • 10”3 мм, а длина около 35 • 10”3 мм. Палочки и колбочки распределены неравномерно: в средней части сетчатки преобладают колбочки, а по краям — палочки.
Стекловидное тело — объем части глаза (задняя глазная камера) между хрусталиком и сетчаткой, заполненный прозрачным стекловидным веществом, (п = пВОды)5 имеет оптическую силу до 6 дптр.
Желтое пятно — самое чувствительное место на сетчатке, то есть человек видит ясно те предметы, изображение которых проектируется на желтое пятно.
Центральная ямка — наиболее чувствительная часть желтого пятна; это узкая область, в которой сетчатка углублена, здесь палочки совсем отсутствуют, а колбочки расположены очень плотно; особенно хорошо различимы детали, проектируемые на центральную ямку (глаз различает те детали объекта, угловое расстояние между которыми не меньше углового расстояния между соседними колбочками или палочками, в центральной ямке плотность палочек наибольшая, поэтому и различие деталей здесь оказывается наилучшим).
В том месте, где зрительный нерв входит в глаз, нет ни палочек, ни колбочек, и лучи, попадающие на эту область, не вызывают ощущения света, отсюда и название «слепое пятно».
Конъюнктива — наружная оболочка глаза, выполняет барьерную и защитную роль.
Свет, действующий на колбочки и палочки, вызывает в них химические превращения. Благодаря этому в нервном волокне, соединяющем светочувствительные клетки глаза с мозгом, возникают электрические импульсы, которые все время передаются в мозг, пока свет действует на глаз.
Рассматривание предмета целиком происходит следующим образом. Изображение отдельных деталей предмета фиксируются на желтое пятно и даже на центральную ямку. Поле зрения этих предметов не велико. Так, на желтое пятно одновременно может проектироваться картина, занимающая по горизонтальному направлению около 8°, а по вертикальному — около 6°. Поле зрения центральной ямки еще меньше и равно 1-1,5° по горизонтальному и вертикальному направлениям. Таким образом, из всей фигуры человека, стоящего на расстоянии 1 м, глаз может фиксировать на желтое пятно, например, только его лицо, а на центральную ямку — поверхность, немного большую глаза. Все остальные части фигуры проектируются на периферическую часть сетчатки и рисуются в виде смутных деталей. Однако глаз обладает способностью быстро перемещаться (поворачиваться) в своей орбите, так что за короткий промежуток времени глаз может последовательно (сканируя объект) фиксировать большую поверхность. Все изображение регистрируется за счет последовательного просматривания (яркий пример — чтение текста на странице — глаз последовательно просматривает каждую букву). Благодаря этой особенности глаза человек не замечает ограниченности поля ясного зрения. Общее поле зрения у глаза человека по вертикальному и горизонтальному направлениям составляет 120-150°, то есть больше чем у хороших оптических инструментов.
Светопроводящая часть глаза образована роговицей, жидкостью передней камеры, хрусталиком, стекловидным телом. Спереди она ограничена воздухом, сзади — стекловидным телом. Главная оптическая ось проходит через центры роговицы, зрачка, хрусталика (глаз — центрированная оптическая систе-
ма). Световоспринимающая часть (рецепторный аппарат) — сетчатка, в которой находятся светочувствительные зрительные клетки.
Направление наибольшей чувствительности глаза определяет его зрительная ось, которая проходит через центры роговицы и желтого пятна. В направлении этой оси глаз имеет наилучшую разрешающую способность. Угол между оптической и зрительной осью составляет 5°.
Оптическая сила глаза представляет собой алгебраическую сумму оптических сил всех основных преломляющих сред: роговица (D = 42-43 дптр), хрусталик (D = 19-33 дптр), передняя камера (D = 2-4 дптр), стекловидное тело (D = 5-6 дптр). Первые три среды подобны собирающим линзам, последняя — рассеивающей. В покое оптическая сила всего глаза — около 60 дптр, при напряжении (рассматривании близких предметов) D > 70 дптр.
Аккомодация. Из формулы линзы следует, что изображения предметов, удаленных от линзы на различные расстояния, получаются также на различных расстояниях от нее. Однако мы знаем, что для «нормального» глаза изображения различно удаленных предметов дают на сетчатке одинаково резкие изображения. Это означает, что существует механизм, позволяющий глазу приспосабливаться к изменению расстояния до наблюдаемых предметов. Этот механизм называется аккомодацией.
Аккомодация — приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов («наводка на резкость»).
Аккомодацию можно осуществить двумя способами:
первый — изменяя расстояние от хрусталика до сетчатки (по аналогии с фотоаппаратом);
второй — изменяя кривизну хрусталика и, следовательно, меняя фокусное расстояние глаза.
Для глаза реализуется второй способ, который обеспечивает четкое изображение предметов, удаленных от глаза на расстояния от 12 см до оо. Ближний предел аккомодации связан с максимальным напряжением кольцевой мышцы.
12 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
В норме при приближении предмета к глазу на расстояние до 25 см аккомодация совершается без существенного напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения СЩ.
Светочувствительность глаза изменяется в широких пределах благодаря зрительной адаптации — способности глаза приспосабливаться к различным яркостям.
Угол зрения. Размер изображения на сетчатке зависит от размера предмета и его удаления от глаза, то есть от угла, под которым виден предмет (рис. 28.13). Этот угол называют углом зрения.
Угол зрения — это угол между лучами, идущими от крайних точек предмета через узловую точку (оптический центр глаза).
При построении изображения, даваемого глазом, используют узловую точку У, которая аналогична оптическому центру тонкой линзы.
Рис. 28.13. Изображение, даваемое глазом, и угол зрения /3
Разным телам (Ви В') может соответствовать один и тот же угол зрения.
Из рис. 28.13 следует, что = В / L = b /1. Учитывая эти соотношения, можно записать следующую формулу для размера изображения:
b = BI/L.(28.6)
Для малых углов зрения (/3 < 0,1 рад) справедлива приближенная формула: tg/З ^ /3. Принимается, что I ~ 17 мм.
Разрешающая способность. Разрешающая способность — это способность глаза различать две близкие точки предмета раздельно.
Для количественной характеристики разрешающей способности глаза используют величину — наименьший угол зрения (Дг)-
Наименьший угол зрения — такой угол зрения, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета по раздельности.
Принято считать, что для нормального глаза наименьший угол зрения глаза равен 1' (3 • 10™4 рад). Поясним это значение. Две точки предмета будут восприниматься раздельно, если их изображения попадают в соседние колбочки сетчатки. В этом случае размер изображения (6) на сетчатке равен расстоянию между соседними колбочками, которое составляет около 5 мкм (5 • К)6 м). Используя рис. 28.13 и приближенное соотношение tg /3 « Д, находим:
Р = Ь/1 = 5 • 106/17 • К) 3 ~ 3 • 10™4 рад. ~ 1 угловая минута.
Если изображение двух точек на сетчатке займет линию короче 5 мкм, то эти точки не будут разрешаться, то есть глаз их не различит.
Наряду с наименьшим углом зрения используют и другую характеристику разрешающей способности глаза — предел разрешения.
Предел разрешения (Z) глаза — это наименьшее расстояние между двумя точками предмета, рассматриваемого с расстояния наилучшего зрения, при котором они различимы как отдельные объекты.
Предел разрешения глаза связан с наименьшим углом зрения простым соотношением:
Z = а^Р,(28.7)
Р подставляют в радианах.
Для нормального глаза взрослого человека ад = 0,25 м, Д = = 3 • 10-4 рад., Z = 75 • 10"6 м. = 75 мкм.
§ 28.6. Недостатки оптической системы глаза
Глаз почти не имеет аберраций, свойственных линзам.
Сферическая аберрация обычно отсутствует, так как зрачок ограничивает приосевой пучок света. Сферическая аберрация
в хрусталике не проявляется, так как он плотнее в середине, чем во внешних слоях). Этот вид аберрации может проявляться лишь в сумерках, когда зрачок расширен.
Хроматическая аберрация не проявляется по ряду причин, в том числе и из-за малости размера зрачка.
Астигматизма косых лучей нет, так как глаз всегда устанавливается в направлении наблюдаемого объекта.
Астигматизм может быть из-за асимметрии оптической системы глаза. Это обусловлено несферической формой роговицы, хрусталика. При этом глаз не способен видеть одинаково резко взаимно перпендикулярные линии. Компенсация — использование цилиндрических линз.
В норме в глазу при отсутствии аккомодации задний фокус совпадает с сетчаткой. Такой глаз называется эмметроиическим. Глаз, в котором это условие не выполняется, называется аметро- иическим. Видами аметропии являются близорукость (миопия) и дальнозоркость (гиперметропия), рис. 28.14.
а) Близорукий глаз
6) Дальнозоркий глаз
Рис. 28.14. Близорукий глаз (а) и дальнозоркий глаз (5), способы ихисправления
Близорукий глаз не может видеть четко далекие объекты. В спокойном состоянии задний фокус лежит внутри глаза перед сетчаткой, рис. 28.14а. Диаметр глазного яблока больше фокусного расстояния хрусталика (глаз вытянут). Для такого глаза расстояние наилучшего зрения меньше 25 см.
Исправление: нужно уменьшить оптическую силу преломляющей системы глаза, используют рассеивающие линзы.
Дальнозоркий глаз — не может видеть четко близкие объекты. В спокойном состоянии задний фокус лежит за сетчаткой, рис. 28.145. Диаметр глазного яблока так мал, что лучи фокусируются за сетчаткой (глаз сжат). Для такого глаза расстояние наилучшего зрения больше 25 см.
Исправление: нужно усилить оптическую силу преломляющей системы глаза, используют собирающую линзу.
Причиной близорукости и дальнозоркости может являться также изменение свойств хрусталика.
Острота зрения. Недостатки оптической системы зрения приводят к тому, что наименьший угол зрения оказывается больше 1 угловой минуты. Это связано с тем, что изображение точки на сетчатке получается в виде размытого пятна. Поэтому для раздельного восприятия двух точек предмета необходимо, чтобы соответствующие им пятна не перекрывались.
В медицине разрешающую способность глаза оценивают остротой зрения (У).
Остротой зрения называют величину, обратную наименьшему углу зрения (в угловых минутах): V = 1//3. Для нормального глаза острота зрения равна единице.
Величина остроты зрения (У) для нескольких значений наименьшего угла зрения (/3) приведена ниже.
3
1
2
4
10
У
1
0,5
0,25
0,1
На практике остроту зрения определяют по специальной таблице.
Элементы реабилитологии. Акустическаябиомеханика глаза
Для успешного проведения медицинской реабилитации больных с различными недостатками оптической системы глаза важны неинвазивные методы оценки механических свойств тканей глаза.
Акустическая биомеханика глаза. Скорость распространения поверхностных волн в тканях глаза обусловлена существующим в них механическим напряжением, которое в свою очередь связано с особенностями структуры тканей. Методы оценки скорости поверхностных волн с целью диагностики и оценки лечения разработаны и осуществлены в Российском государственном медицинском университете.
Оценка биомеханических свойств кожи верхних и нижних век (в тарзальной и орбитальной топографических зонах) посредством измерения скорости распространения поверхностных волн (рис. 28.15) позволяет диагностировать степень близорукости.
Рис. 28.15. Различные топографические зоны век: 1 — орбитальная, 2 — тарзальная (а); щупы измерительного прибора для измерения скорости поверхностной волны (б)
Одним из факторов, влияющих на биомеханические свойства склеры, является кровообращение. Для улучшения последнего используется инфразвуковой пневмомассаж, реализуемый с помощью офтальмологического аппарата вакуумного массажа со специальными глазными камерами, рис. 28.16.
Рис. 28.16. Камеры для инфразвукового массажа глаза
Камеры позволяют создавать дозированное механическое воздействие на глазное яблоко. Воздействие осуществляется путем подачи на глазное яблоко импульсов раздражения с частотой 4 Гц и соответствующим уровнем интенсивности. Эффективность данной процедуры оценивается по скорости распростране-
ния поверхностных волн в различных участках склеры. Диагностическим критерием при этом является степень выраженности акустической анизотропии в склере. Степень выраженности акустической анизотропии в тарзальной области верхних век учитывается при хирургических методах коррекции прогрессирующей близорукости (при коллагенопластике).
При коррекции аметропий в настоящее время широко применяется операции фоторефракционной кератэктомии при эк- симерлазерном вмешательстве. Принцип воздействия эксимерного лезера заключается в срезании (абляции) поверхностных слоев роговицы, то есть изменение ее оптической силы (коррекция близорукости, дальнозоркости осуществляется в пределах от —20 дптр до +20 дптр). При этом предоперационое обследование и послеоперационный реабилитологический мониторинг осуществляются по оценке механических свойств роговицы глаза.
Лекция 29
МИКРОСКОПИЯ
Лупа.
Оптическая система микроскопа.
Увеличение микроскопа.
Предел разрешения. Разрешающая способность.
Полезное увеличение.
Специальные приемы микроскопии.
Электронный микроскоп.
Способность глаза различать мелкие детали предмета зависит от размеров его изображения на сетчатке или от угла зрения. Для увеличения угла зрения используют различные оптические приборы.
Лупа
Рассмотрим действие простейшего оптического прибора - лупы.
Лупа — это оптическая система (одна или несколько линз) с небольшим фокусным расстоянием (от 1 до 10 см), располагаемая между предметом и глазом.
Рассматриваемый предмет помещают между лупой и ее передним фокусом с таким расчетом, чтобы его мнимое изображение находилось в бесконечности. Для этого предмет помещают в фокальной плоскости лупы. Другой способ состоит в том, что мнимое изображение получается на расстоянии наилучшего зрения для данного глаза. Хотя второй способ дает чуть большее увеличение, первый способ удобнее, так как в этом случае глаз не утомляется.
Сравним углы зрения, под которыми виден предмет, рассматриваемый «невооруженным» глазом и с помощью лупы (первый способ).
При рассматривании предмета невооруженным глазом (рис. 29.1а) для получения максимального угла зрения предмет
нужно поместить на расстояние наилучшего зрения а^. Угол зрения, под которым при этом виден предмет, равен: Р = В / а^
Рис. 29.1. Формирование изображения невооруженным глазом (а); с помощью лупы (5); N — узловая точка оптической системы глаза; / — фокусное расстояние
При рассматривании предмета с помощью лупы (рис. 29.15) его помещают вблизи передней фокальной плоскости лупы. Глаз рассматривает не сам предмет, а его мнимое изображение В', которое значительно удалено от лупы и глаза (при приближении предмета к фокальной плоскости его изображение отодвигается в «бесконечность»). Угол зрения, под которым видно изображение, равен: Р' ^ В) f.
Увеличение лупы — отношение угла зрения Р’ ^ подкоторым видно изображение предмета в лупе, к уг-лу зрения 3. под которым предмет виден «невоору-женным» глазом с расстояния наилучшего зрения:
Г = /37/3 = а0//.(29.1)
Увеличения лупы для близорукого и дальнозоркого глаза разные, так как у них различны расстояния наилучшего зрения.
Из (29.1) видно, что увеличение можно сделать очень большим, применяя короткофокусные линзы. Однако в этом случае появляются значительные аберрации. Для их устранения лупы с большим увеличением (до 50) делают из двух или трех линз. Однолинзовые лупы обычно делают с 2-4-кратным увеличением.
Оптическая система микроскопа
Большее увеличение можно осуществить, рассматривая при помощи лупы действительное изображение предмета, создаваемое другой линзой или системой линз. Такое оптическое устройство реализовано в микроскопе. Лупу в этом случае называют окуляром, а другую линзу — объективом. Ход лучей в микроскопе показан на рис. 29.2 (представлен один из возможных случаев).
Предмет В помещается несколько дальше переднего главного фокуса объектива, который дает его увеличенное действительное изображение В', рассматриваемое через окуляр.
Окуляр располагается так, чтобы изображение В* находилось между ним и его передним фокусом, а формируемое мнимое увеличенное изображение В" получалось на расстоянии наилучшего зрения или на бесконечности. Это изображение и рассматривается глазом.
Увеличение микроскопа
Важной характеристикой микроскопа является увеличение, определение которого аналогично тому, которое было дано для лупы.
Увеличение микроскопа — отношение угла зрения Р', под которым видно изображение предмета в окуляре, к углу зрения Р, под которым предмет виден «невооруженным» глазом с расстояния наилучшего зрения.
Поскольку микроскоп состоит из объектива и окуляра, то его увеличение зависит как от их фокусных расстояний, так и от их взаимного расположения. Основной характеристикой взаимного положения окуляра и объектива является оптическая длина тубуса Д — расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра (на рис. 29.2 соответствующий отрезок оптической оси между точками Fo^ и FOK выделен жирной линией).
Без вывода приведем формулу, определяющую увеличение микроскопа:
Г = а0А/(/ок/об).(29.2)
Для типичного случая, ад = 250 мм, Д = 160 мм, /ок = 15 мм, /об = 2 мм, получим Г = 1330.
Предел разрешения. Разрешающаяспособность
Может сложиться впечатление, что, уменьшая фокусные расстояния и увеличивая оптическую длину тубуса, можно добиться сколь угодно большого увеличения и, следовательно, рассмотреть самые мелкие детали предмета. Однако учет волновых свойств света показывает, что на размеры мелких деталей, различимых с помощью микроскопа, накладываются ограничения, связанные с дифракцией света, проходящего через отверстие объектива. Вследствие дифракции изображением освещенной точки оказывается не точка, а небольшой светлый кружок. Если рассматриваемые детали (точки) предмета расположены достаточно далеко, то объектив даст их изображения в виде двух отдельных кружков и их можно различить (рис. 29.3а). Наименьшему расстоянию между различимыми точками соответствует «касание» кружков (рис. 29.35). Если точки расположены очень близко, то соответствующие им «кружки» перекрываются и воспринимаются как один объект (рис. 29.Зе).
точки изображения объектив дает раздельное
а © е( J(_)изображение «удаленных»
точек;
> iпредельный случай
бее।। раздельного восприятия точек
(Z™ предел разрешения);
«близкие» точки
6° °воспринимаются как один
объект
Рис. 29.3. Разрешающая способность
Основной характеристикой, показывающей возможности микроскопа в этом отношении, является предел разрешения.
Предел разрешения Z микроскопа — это наименьшее расстояние между двумя точками предмета, при котором они различимы как отдельные объекты (то есть воспринимаются в микроскопе как две точки).
Величина, обратная пределу разрешения, называется разрешающей способностью. Чем меньше предел разрешения, тем больше разрешающая способность.
Теоретический предел разрешения микроскопа зависит: от длины волны света, используемого для освещения и от апертурного угла, связанного с объективом. Окуляр в отличие от объектива не влияет на разрешающую способность микроскопа.
Апертурный угол и — угол между крайними лучами светового пучка, входящего в линзу объектива от предмета.
объективобъективпредметпредмет
объектив
объектив
предмет
предмет
Укажем без вывода формулу для предела разрешения микроскопа в воздушной среде:
Z = 0,5A/sin(n/2),Z = 0,5A/sin(n/2),(29.3)(29.3)
Z = 0,5A/sin(n/2),
Z = 0,5A/sin(n/2),
(29.3)
(29.3)
где А — длина волны света, которым освещается объект. Учитывая, что А = Ао/п, (где Aq — длина волны в вакууме), можно
записать, что
Z = A0/2nsin(n/2),(29.4)
где величина nsin(?i/2) называется числовой апертурой А;
А = nsin(tt/2).(29.5)
С учетом выражения (29.5) формулу для предела разрешения можно записать, как
г = А0/2Л.(29.6)
В воздушной среде у современных микроскопов апертурный угол достигает 140°, числовая апертура А = 0,94. Если принять А = 0,555 мкм, то получим для предела разрешения значение Z = 0,3 мкм.
Полезное увеличение
Выясним, на сколько большим должно быть увеличение микроскопа при заданном пределе разрешения его объектива. Примем во внимание, что у глаза имеется собственный предел разрешения, обусловленный строением сетчатки. В разделе «Оптическая система глаза» мы показали, что наименьший угод зрения для глаза приблизительно равен 1 угловой минуте (/3 « 1'). Следовательно, если предмет рассматривать невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения ао, то глаз может раздельно воспринимать точки, расстояние между которыми не менее 2ГЛ = а^р. На самом деле практика показала, что удобная различимость должна соответствовать углу зрения в интервале от 2' до 4' (/3 = 2'-4'). Поэтому предел разрешения для нормального глаза лежит в интервале Ягл = 73-146 мкм (при вычислениях /3 берут в радианах, а^ — в метрах).
Теперь можно сопоставить пределы разрешения глаза и микроскопа. Минимальное расстояние между рассматриваемыми «точками» предмета при пользовании микроскопом определяют по формуле (29.3). Для того чтобы рассмотреть эти же точки глазом, нужно, чтобы расстояние между их изображениями лежало в пределах 73-146 мкм (Ягл). Таким образом, увеличение микроскопа должно определяться формулой
Гп = Ягл/Ям = ЯглД/(О,5Ао).(29.7)
Подставив в нее полученные выше значения для 2ГЛ и произведя расчеты при длине волны 0,555 мкм и числовой апертуре А = 0,94, получим интервал значений увеличения микроскопа: 500 < Гп < 1000 (округленно).
Эти увеличения называются полезными^ так как при них глаз различает все элементы структуры объекта, которые разрешимы микроскопом. Добиваться большего значение для увеличения микроскопа не имеет смысла, так как никаких дополнительных деталей увидеть все равно не удастся.
Полезное увеличение микроскопа — такое увеличение, при котором предмет, имеющий размер, равный пределу разрешения микроскопа, имеет изображение, размер которого равен пределу разрешения глаза.
Полезное увеличение микроскопа — такое увеличение, которое можно считать разумным с учетом разрешающей способности микроскопа и свойств глаза.
Отметим, что если микроскоп используют для фотографирования объекта, то в формуле (29.7) вместо 2ГЛ следует использовать предел разрешения пленки 2пл.
Специальные приемы микроскопии
Специальные приемы микроскопии используются для увеличения разрешающей способности (уменьшения предела разрешения) микроскопа.
Иммерсия. В некоторых микроскопах для уменьшения предела разрешения пространство между объективом и предметом можно заполнить какой-либо жидкостью. Такая жидкость называется иммерсией^ а микроскоп — иммерсионным. Если п — показатель преломления иммерсии, то предел разрешения определяется следующей формулой:
2 = Х^Уп-АЦи)^. (29.8)
Предел разрешения при использовании некоторых иммерсионных сред имеет значения: Хвозд = 0,30 мкм, Хвода = 0,22 мкм, -^масло — 0,19 МКМ.
УФ микроскопия. Для уменьшения предела разрешения используют коротковолновое ультрафиолетовое излучение, не
видимое глазом. В ультрафиолетовых микроскопах микрообъект исследуется в УФ лучах (в этом случае линзы выполняются из кварцевого стекла, а регистрация ведется на фотопленке или на специальном люминесцентном экране).
Измерение размеров микроскопических объектов. С помощью микроскопа можно определить размеры наблюдаемого объекта. Для этого применяют окулярный микрометр. Простейший окулярный микрометр представляет собой круглую стеклянную пластинку, на которой нанесена шкала с делениями. Микрометр устанавливают в плоскости изображения, получаемого от объектива. При рассматривании в окуляр изображения объекта и шкалы совмещаются, можно отсчитать, какое расстояние по шкале соответствует измеряемой величине. Предварительно определяют по известному объекту цену деления окулярного микрометра.
Микропроекция и микрофотография. С помощью микроскопа можно не только наблюдать объект через окуляр но и сфотографировать его или спроецировать на экран. В этом случае применяют специальные окуляры, которые и проецируют промежуточное изображение А'В' на пленку или на экран.
Улътрамикроскопия. Микроскоп позволяет обнаружить частицы, размеры которых лежат за пределами его разрешения. Этот метод использует косое освещение, благодаря чему микрочастицы видны как светлые точки на темном фоне, при этом строение частиц увидеть нельзя, можно только установить факт их наличия.
Электронный микроскоп
В 1924 г. Луи де Бройль высказал гипотезу о волновых свойствах частиц, длина волны движущейся частицы определяется соотношением
А = h/mv. (29.
Позже эта гипотеза подтвердилась экспериментально в опытах по дифракции электронов. Исходя из этих представлений движущийся электрон обладает волновыми свойствами, это как бы электронная волна. Эта электронная волна может дифрагировать, ее можно фокусировать (с помощью электрических и магнитных полей) и получать с ее помощью изображение предметов. На этом основан принцип действия электронного микроскопа.
Если электрон ускоряется электрическим полем с напряжением Щ то ему соответствует длина волны
А = hjV^emU.(29.10)
На основании формул (29.8) и (29.10) можно получить формулу для предела разрешения электронного микроскопа, в котором изображение предмета формируется электронными пучками:
Z = 0, 5/t/(V2^Z/.2nsinu/2).(29.11)
Видно, что изменяя величину ускоряющего напряжения, можно получить меньшее значение предела разрешения по сравнению с оптическим микроскопом. При ускоряющем напряжении U = 100 кВ и угловой апертуре порядка 10“2 рад, предел разрешения равен Z = 0,1 нм = 10-10 м, что в сотни раз меньше предела разрешения оптического микроскопа. Для биологических объектов предел разрешения составляет примерно 2 мкм (это обусловлено особенностями приготовления образцов и защитой их от радиационного поражения). Увеличение, даваемое электронным микроскопом, достигает величины Г = 106.
Элементы электронного микроскопа по своему назначению соответствуют оптическому. Сопоставление их представлено ниже.
Система
Носитель информации
Источник
Управляющая система
Получение изображения
Оптический микроскоп
Свет
Лампа накаливания
Оптические линзы
Глаз и фотопластинка, чувствительная к свету
Электронный микроскоп
Электроны
Нагреваемый катод
Электрическое и магнитное поле (электронные линзы)
Люминесци- рующий экран и фотопластинка, чувствительные к электронам
Образцы для электронного микроскопа требуют специальной подготовки. Это связано с тем, что поток электронов сильно поглощается (что приводит к разогреванию) и рассеивается веществом, поэтому готовят тонкие срезы (порядка 0,1 мкм). Ча-
сто делают оттиск исследуемой поверхности объекта на тонком слое полимерного материала. Такие тонкие копии поверхности предмета называются реплики. В электронном микроскопе в этом случае рассматривают не сам объект, а его реплику.
Фокусировка электронного пучка осуществляется в вакууме, чтобы исключить рассеяние пучка на молекулах воздуха. Поэтому необходимо учитывать, что вакуум искажает собственные свойства биологического объекта (например, за счет испарения воды с поверхности).
Использование электронного микроскопа позволило увидеть отдельные молекулы, в том числе и молекулы многих биологических систем.
Лекция 30
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Характеристики теплового излучения.
Закон Кирхгофа.
Законы излучения черного тела.
Излучение Солнца.
Физические основы термографии.
Теплообмен человека и среды.
Элементы реабилитологии. Светолечение. Лечебное применение УФ излучения.
Из всего многообразия электромагнитных излучений, видимых или невидимых человеческим глазом, можно выделить одно, которое присуще всем телам - это тепловое излучение.
Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счет его внутренней энергии.
Тепловое излучение обусловливается возбуждением частиц вещества при соударениях в процессе теплового движения или ускоренным движением зарядов (колебания ионов кристаллической решетки, тепловое движение свободных электронов и т. д.). Оно возникает при любых температурах выше О К, поэтому оно присуще всем телам.
Интенсивность излучения и спектральный состав зависят от температуры тела, поэтому не всегда тепловое излучение воспринимается глазом как свечение. Например, тела, нагретые до высокой температуры, значительную часть энергии испускают в видимом диапазоне, а при комнатной температуре почти вся энергия испускается в инфракрасной части спектра.
Характеристики теплового излучения
Процессы испускания и поглощения теплового излучения количественно характеризуются следующими величинами.
Поток излучения (Ф) — энергия, которую излучает все тело за единицу времени.
Размерность этой характеристики — [Дж/с = Вт].
Энергетическая светимость (Re) — энергия теплового излучения, испускаемая с единичной поверхности нагретого тела за единицу времени:
Не = Ф/8.(30.1)
Размерность этой характеристики — [Вт/м2].
И поток излучения, и энергетическая светимость зависят от строения вещества и его температуры: Ф = Ф(Т), Re = Re(T).
Энергетическая светимость Re, определенная выше, охватывает весь диапазон длин испускаемых волн (теоретически — от нуля до бесконечности). Однако часто требуется определить, какой вклад в энергетическую светимость вносят волны определенного диапазона (например, от Ai до А2). Для ответа на этот вопрос используют специальную функцию.
Обозначим энергию теплового излучения, испускаемую при данной температуре единичной поверхностью за 1 с в узком интервале длин волн от Л до Л + dX (рис. 30.1), через dRe.
dX
iC^^ хX X + dX
Рис. 30.1. Интервал длин волн шириной dX
Спектральной плотностью энергетической светимости г (испускательной способностью) называется отношение энергетической светимости в узком участке спектра (dRe) к ширине этого участка (dX):
rx = dReX/dX.(30.2)
Поясним физический смысл этой величины. Пусть dX = 1 м. Тогда выполняется численное равенство г (А) = dRe, поэтому спектральная плотность показывает величину энергии, излучаемой за единицу времени с единичной поверхности в интервале длин волн шириной 1 м (от Л до Л + 1 м). Размерность г — [Вт/м3].
Зависимость спектральной плотности энергетической зависимости от длины волны называют спектром излучения тела.
Зная спектральную плотность энергетической светимости тела, можно рассчитать энергетическую светимость тела в любом диапазоне. Например, энергетическая светимость, приходящаяся на диапазон длин волн (Ai, А2), определяется следующим интегралом:
А2
^е(А1, Л2) = г dX.
Ai
В частности, полная энергетическая светимость тела равна
ОО
Re = г dX.(30.3)
о
Как уже указывалось, тела не только испускают, но и поглощают тепловое излучение. Способность тела поглощать энергию характеризуется коэффициентом поглощения а.
Коэффициент поглощения а равен отношению потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него:
О = Фпогл/^пад.(30.4)
Если на тело падает поток монохроматического излучения Фпад с длиной волны Л, то в общем случае тело поглощает только частъ этого потока — ФПОгл- Безразмерная величина, показывающая, какая часть излучения данной длины волны поглощается телом, называется монохроматическим коэффициентом поглощения: а(Х) = ФПогл(^)/Фпад(^)- Из определения следует, что 0 < а < 1.
Коэффициент поглощения зависит не только от длины волны, но и от температуры тела. Если рассчитать его значения для всех длин волн и при всех температурах, то мы получим функцию а = а (А, Т\ В общем случае характер этой зависимости может быть весьма сложным. Ниже приводятся некоторые простейшие типы поглощения.
Абсолютно черное тело — такое тело, коэффициент поглощения которого равен единице для всех длин волн: а = 1. Оно поглощает все падающее на него излучение.
Хотя тел, которые являются абсолютно черними^ в при
роде нет, нетрудно построить достаточно хорошую модель абсолютно черного тела — маленькое отверстие в замкнутой непрозрачной полости со стенками, покрытыми сажей, рис. 30.2. Луч, попавший в это отверстие, после многократ
ных отражений от стенок, будет погло-I
щен практически полностью. Кроме то-<
го, к абсолютно черному телу близки \1
поглощательные свойства сажи, черного
бархата, платиновой черни и т. п.Рис. 30.2. Модель абсо-
Спектральная плотность энергетиче- лютно черного тела
ской светимости абсолютно черного тела
обозначается символом е. Ее зависимость от длины волны определяет спектр излучения черного тела, который играет особую роль. С ним связаны спектры других тел.
Абсолютно белое тело — такое тело, коэффициент поглощения которого равен нулю для всех длин волн: а = 0.
Истинно белых тел в природе нет, однако существуют тела, близкие к ним по свойствам в достаточно широком диапазоне. Например, зеркало в оптической части спектра отражает почти весь падающий свет.
Серое тело — такое тело, для которого коэффициент поглощения меньше единицы и не зависит от длины волны: а = const < 1.
Некоторые реальные тела обладают этим свойством в определенном интервале длин волн. Например, «серой» ^а = 0,9) можно считать кожу человека в инфракрасной области.
Закон Кирхгофа
Количественная связь между излучением и поглощением установлена Г. Кирхгофом (1859).
Закон Кирхгофа — при одинаковой температуре отношение спектральной плотности энергетической светимости к монохроматическому коэффициенту поглощения одинаково для всех тел и равно
спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела:
(гд/аА)1 = (гд/ад)2 = ... = (ед/1),(30.5)
гд/ад=£д,(30.6)
ИЛИ
гх = ах-ЕХ.(30.7)
Отметим некоторые следствия этого закона.
Если тело не поглощает какое-либо излучение, то оно его и не испускает. Действительно, если для некоторой длины волны коэффициент поглощения а = 0, то и г = as (А, Г) = 0.
При одинаковой температуре черное тело излучает больше, чем любое другое. Действительно, для всех тел, кроме абсолютно черного, а < 1, поэтому для них г = as(A, Т) < s.
Если экспериментально определить спектр черного тела s = s(A) и зависимость монохроматического коэффициента поглощения от длины волны а = а (А) для другого тела, то можно рассчитать и спектр излучения этого тела:
г = /(А) = ае.(30.8)
На основании (30.8) спектр излучения серого тела может быть определен как г = а • е, где а — коэффициент поглощения серого тела.
Законы излучения черного тела
Закон Кирхгофа ставит в центр внимания теории теплового излучения функцию £(А, Г) — испускательную способность абсолютно черного тела. Вид этой функции был найден не сразу.
В 1879 г. И. Стефан экспериментально, а в 1884 г. Л. Больцман теоретически определили энергетическую светимость абсолютно черного тела.
Закон Стефана—Больцмана — энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
Re = ст ■ Т4, ст — 5,66 ■ 10"8 Вт/м2К4. (30.9)
Для серого тела формула (30.9) принимает вид Re = ST4, где 5 = аа — приведенный коэффициент поглощения.
Видно, что имеет место сильная температурная зависимость. Так, при возрастании абсолютной температуры в 2 раза энергетическая светимость возрастет в 16 раз.
В табл. 30.1 приведены параметры поглощения для некоторых материалов.
Таблица 30.1. Характеристики поглощения
Материал
Коэффициент поглощения, а
Приведенный коэффициент поглощения 5, 10-8 Вт/(м2К4)
Хлопчатобумажная ткань
0,73
4,2
Шерсть, шелк
0,76
4,3
Кожа человека
0,90
5,1
Немецкий физик В. Вин определил длину волны, соответствующую максимуму испускательной способности (1893). Соотношение, которое он получил, было названо его именем.
Закон смещения Вина — длина волны, на которую приходится максимум спектра излучения черного тела (Атах), обратно пропорциональна абсолютной температуре:
Xmax = b/T, b = 2,89 • 10~3мК. (30.10)
Закон Вина называют законом смещения, так как он показывает, как смещается длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, при повышением температуры. Это показано на рис. 30.3.
На основе законов Стефана-Больцмана и Вина можно измерить температуру тел посредством измерения излучения этих тел. Например, так определяют температуру поверхности Солнца (~ 6000 К), температуру в эпицентре взрыва (~ 106 К) и т. д. Общее название этих методов — пирометрия.
Многочисленные попытки определить вид функции е(А, Г), опираясь на законы классической физики, не привели к успеху.
Рис. 30.3. Спектр излучения черного тела при разных температурах
Одна из таких попыток принадлежала Вину, другая — Рэлею. Зависимость Вина расходилась с опытом в длинноволновой области, а зависимость Рэлея — в коротковолновой.
Наконец, в 1900 г. М. Планк получил для испускателъной способности абсолютно черного тела формулу, которая полностью совпадала с экспериментальными данными для всех длин волн. Для этого ему пришлось отказаться от классических представлений о непреривности процесса излучения электромагнитных волн.
По представлениям Планка, излучающее тело есть совокупность осцилляторов (объектов, совершающих колебания), энергия которых может изменяться лишь порциями, или квантами. Энергия кванта равна
Е = hv, (30.11) где v — частота, h — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Планка, h = 6,6 • 10-34 Дж • с.
Поскольку постоянная Планка очень мала, каждый квант несет ничтожно малую энергию. Поэтому при больших потоках излучения его дискретная природа незаметна.
Формула Планка, описывающая спектр излучения черного тела, записывают через частоту света и;
(30.12)
или через длину волны А:
= (30.13)
где с — скорость света в вакууме, к — постоянная Больцмана.
Из формул (30.12), (30.13) можно вывести законы излучения, которые были установлены еще до Планка (Законы Стефана-Больцмана и Вина).
Излучение Солнца
Солнце — наиболее мощный источник теплового излучения, обусловливающий жизнь на Земле. Солнечное излучение обладает лечебными свойствами (гелиотерапия), используется как средство закаливания. Оно же может оказывать негативное воздействие на организм (ожог, тепловой удар).
Спектры солнечного излучения на границе земной атмосферы и на поверхности Земли различны, рис. 30.4.
J 555 нм
470 нм
Рис. 30.4. Спектр солнечного излучения: 1) на границе атмосферы, 2) на поверхности Земли
На границе атмосферы спектр близок к спектру черного тела. При этом максимум спектра излучения приходится на Aimax = = 470 нм. Используя закон Вина, по этому значению можно оценить температуру поверхности Солнца. Она примерно равна 6100 К.
У поверхности Земли спектр солнечного излучения имеет более сложную форму, что связано с поглощением в атмосфере. Максимуму этого спектра соответствует длина волны А2тах = = 555 нм, что соответствует наилучшей чувствительности глаза.
В спектре излучения Солнца, достигающего земной поверхности, отсутствуют самые коротковолновые ультрафиолетовые лучи, практически полностью поглощаемые озоновым слоем атмосферы (поэтому Солнце при наблюдении из космоса немного «зеленее», чем при взгляде на него с поверхности Земли). В области длин волн ниже 200 нм ультрафиолетовое излучение сильно поглощается всеми телами. Непоглощенную часть ультрафиолетового спектра условно делят на три области:
400-315 нм — длинноволновая область;
315-280 нм — средневолновая область;
280-200 нм — коротковолновая область.
Солнечная постоянная I — характеризует мощность солнечного излучения, приходящегося на 1 м2 площади.
На границе земной атмосферы / = 1350 Вт/м2, на экваторе вблизи поверхности земли — 1120 Вт/м2, в Москве — 930 Вт/м2.
Для биологических систем, существующих на земной поверхности, важным является то, как распределена энергия в спектре солнечного излучения. Это распределение резко меняется в зависимости от положения Солнца на небесном своде. При различной высоте над горизонтом солнечным лучам приходится проходить разные толщи атмосферы, которая рассеивает и поглощает эти лучи различным образом для разных длин волн (см. лекцию 35). На рис. 30.5 приведены сглаженные кривые распределения энергии солнечного света: I — за пределами атмосферы; II — при положении Солнца в зените; III — при высоте 30° над горизонтом; IV — при условиях, близких к восходу и закату, (10° над горизонтом).
Рис. 30.5. Распределение энергии в спектре Солнца при различных высотах над горизонтом
Физические основы термографии
У человека тепловое излучение составляет наибольшую долю теплопотерь (около 50%). Максимум излучения приходится на длину волны А = 9,5 мкм.
Мощность, теряемая телом человека при взаимодействии с окружающей средой посредством излучения, рассчитывается по формуле
Р = Satj^Tt - Т04), (30.14) где S — площадь поверхности, а — коэффициент поглощения, Ti — температура поверхности тела или одежды, Tq — температура окружающей среды.
Для одетого человека под температурой 71 следует понимать температуру поверхности одежды. Рассмотрим следующий пример.
Пример. Для раздетого человека, температура поверхности кожи которого 33°C (306 К), а площадь поверхности 1,5 м2, мощность потерь за счет теплового излучения при температуре окружающей среды 18 °C (291 К) равна (см. табл. 30.1)
Р = 1,5 • 5,1 • 10"8 • (3064 - 2914) % 122 Вт.
При той же температуре окружающей среды в хлопчатобумажной одежде, температура поверхности которой 24°C (297 К), мощность потерь в несколько раз меньше:
Род = 1,5 • 4,2 ■ 10-8 • (2974 - 2914) % 37 Вт.
Тепловое излучение человека может быть использовано как диагностический параметр.
Термография — диагностический метод, основанный на измерении и регистрации теплового излучения поверхности тела человека или его отдельных участков.
Определение различия температуры Т поверхности тела осуществляется двумя способами.
Использование жидких кристаллов, физические свойства которых чувствительны к небольшому изменению температуры. По изменению цвета жидких кристаллов можно определить местное изменение температуры.
Использование приборов ночного видения, тепловизоров. В технической системе тепловизора используются электроннооптические преобразователи, предназначенные для преобразования изображения из одной области спектра в другую. На входной элемент системы подается сигнал в области ИК излучения, а воспроизводится на экране телевизора в области видимого света. Части тела с разной температурой различаются на экране либо цветом, либо интенсивностью (тепловой портрет). Современные методы измерения позволяют отличать участки тела, разность температур которых составляет 0,2°.
Исследование распределения температуры кожи важно для функциональной диагностики. При патологических состояниях внутренних органов могут образовываться стойко существующие кожные зоны с измененной температурой. Различные патологические состояния характеризуются термоасимметрией и наличием температурного градиента между зоной повышенного или пониженного излучения и симметричным участком тела, что отражается на термографической картине и имеет диагностическое и прогностическое значение. Термографический метод облегчает дифференциальный диагноз между доброкачественными и злокачественными опухолями. Этот метод является объективным средством контроля за эффективностью терапевтических методов лечения. Так, при термографическом обследовании больных псориазом было установлено, что отдельные папулы, а также псориатические бляшки не всегда обладают повышенной теплопродукцией по сравнению с окружающим кожным покровом. При наличии выраженной инфильтрации и гиперемии в бляшках отмечается повышение температуры. Постепенное снижение температуры до уровня окружающих участков в большинстве случаев коррелирует с клинической картиной заболевания, свидетельствующей о регрессии процесса на коже.
Теплообмен человека и среды
Во многих медико-реабилитационных мероприятиях необходимо учитывать теплообмен человека и среды. Организм человека поддерживает постоянную температуру тела, которая отличается от температуры внешней среды. Вследствие этого между телом человека и окружающей средой возникает теплообмен.
Задача организма состоит в обеспечении равенства между теплотой, выделяющейся в организме (Увыд) и теплотой, отдаваемой в окружающую среду (Уотд)- Если по каким либо причинам поддержка баланса между выделяемой и отдаваемой теплотами становится невозможной, организм погибает от переохлаждения или от перегрева. Выделение теплоты в организме происходит за счет энергии метаболических процессов и характеризуется удельной теплопродукцией — количеством теплоты, выделяемой единицей массы тела за 1 с. Передача теплоты в окружающую среду осуществляется за счет процессов теплообмена, указанных ниже.
Тепловое воздействие на организм человека могут оказывать внешняя среда и процессы, протекающие в самом организме.
Теплообмен за счет теплопроводности. Теплопроводность — процесс передачи теплоты от более нагретых частей системы к менее нагретым, происходящий без переноса массы вещества и без излучения электромагнитных волн. Теплопроводность обусловлена тем, что частицы вещества, обладающие большей кинетической энергией, передают ее менее быстрым частицам. Передача теплоты путем теплопроводности может происходить между любыми телами при непосредственном контакте или через промежуточную среду (кроме вакуума).
Передачу теплоты путем теплопроводности в однородной среде описывают законом Фурье:
Тепловой поток (Р), переносимый через поверхность S, перпендикулярно направлению оси X. вдоль которой убывает температура, пропорционален площади этой поверхности и градиенту температуры АТ/ АХ:
АТ
K = "akS^x*(30Л5)
При расчете по этой формуле теплообмена между телом и окружающей средой, осуществляемого посредством теплопроводности через одежду, величины, входящие в (30.15), имеют следующий смысл:
S — площадь поверхности одежды (м2);
АТ — разность температур между внутренней и внешней сторонами одежды;
ДХ — толщина одежды (м);
а к коэффициент теплопроводности материала одежды.
Знак минус указывает на то, что энергия переносится в направлении убывания температуры.
Значения коэффициента теплопроводности для некоторых веществ приведены в табл. 30.2.
Таблица 30.2. Коэффициент теплопроводности
Вещество
Коэффициент теплопроводности а^, Вт/м2К
Сухой воздух
0,024
Ткань шерстяная сухая
0,025
Вода
0,585
Жировая клетчатка
0,17-0,21
Эпидермис человека
0,25
Мышечная ткань
0,58
Кость черепа
0,38
Серое вещество мозга
0,56
Ангиома (сосудистая опухоль)
0,56
Кровь
0,70
Кожа при слабом кровотоке
0,314
Кожа при сильном кровотоке
1,456
Снег свежевыпавший уплотненный тающий
0,105 0,35 0,640
Глицерин
0,286
Парафин
0,127
Спирт метиловый этиловый
0,223
0,189
Бумага
0,006
Вата хлопковая
0,003
Лед (—5 °C)
0,22
Отметим, что коэффициент теплопроводности воздуха сравнительно мал, поэтому потери тепла тела за счет теплопроводности воздуха невелики. Коэффициент теплопроводности воды превышает коэффициент теплопроводности воздуха более чем в 20 раз, поэтому в холодной воде человек начинает мерзнуть довольно быстро.
В живом организме ткани имеют различные теплопроводности, и это различие весьма существенно для поддержания теплового режима организма. Значительная теплопроводность мышечной ткани, в которой находится много кровеносных сосудов, позволяет быстро переносить тепло от внутренних органов к внешним, предохраняя внутренние органы от перегрева. Напротив, при низких температурах внешней среды слой жировой ткани препятствует быстрой утечке тепла. Аналогичную роль играет волосяной покров и слой воздуха между волосами.
Теплообмен за счет конвекции. В тех случаях, когда в теплообмене участвуют жидкости или газы, обычно возникают явления конвекции; одновременно с потоком тепла возникают потоки вещества — более нагретые слои всплывают кверху, а менее нагретые опускаются. Такое перемешивание в громадной степени ускоряет процесс теплообмена. В случае, когда твердое тело находится в обтекающем его потоке жидкости или газа, теплообмен также носит конвекционный характер и происходит значительно быстрее, чем в покоящейся среде. Поэтому даже небольшой ветер (сквозняк) приводит к увеличению потерь тепла с поверхности тела.
Теплообмен посредством конвекции описывается законом Ньютона
Рс = acS • (Тп - Тв), (30.16)
где Рс — тепловой поток от организма к среде; S — площадь поверхности тела; Тп и Тв — соответственно, температуры поверхности тела (внешней стороны одежды) и воздуха; ас — коэффициент теплопередачи конвекцией.
Для открытых участков конвекционные процессы значительно интенсивнее теплопередачи путем теплопроводности и в воздухе играют основную роль. Напротив, для участков тела, укрытых одеждой, конвекционные процессы могут быть сведены к нулю. Например, температура верхней поверхности зимней одежды обычно равна температуре окружающего воздуха: Тп = Тв и в соответствие с (30.16) Рс = 0.
Тепловой удар. Теплопередача путем теплопроводности и конвекции происходит в направлении уменьшения температуры. Если температура окружающей среды выше температуры тела, то
теплопроводность и конвекция создают тепловой поток, направленный внутрь тела, что при определенной длительности приводит к перегреву (тепловой удар). Живой организм не в состоянии функционировать без отдачи тепла наружу.
Теплообмен за счет испарения. Еще один механизм, посредством которого организм отдает теплоту в окружающую среду, связан с испарением жидкости. Количество теплоты, расходуемой на парообразование, определяется формулой
Q = rm, (30.17)
где т — масса испарившейся жидкости, г — удельная теплота парообразования.
При комнатной температуре и нормальной влажности человек выводит из организма около 0,35 кг влаги в сутки вместе с выдыхаемым воздухом и примерно 0,5 кг влаги в виде пота. Удельная теплота парообразования воды велика и равна 2,52 х х 106 Дж/кг. Поэтому тепловые потери организма на испарение могут достигать 0,85-2,52-106 « 2 ТО6 Дж в сутки, что составляет 25-30 % всей теплопродукции организма.
Потоотделение зависит как от температуры внешней среды, так и от ее относительной влажности, так как она в значительной мере обусловливает скорость испарения влаги с поверхности организма. Нормальная относительная влажность среды составляет 40-60 %. При высокой влажности процесс испарения с поверхности тела замедляется, а при 100 % прекращается полностью. При высокой температуре окружающей среды это ведет к перегреву организма. По этой причине человеку трудно выполнять физическую работу при повышенной влажности. Влажность менее 40 % приводит к усилению потери влаги организмом, к его обезвоживанию. Это также затрудняет выполнение работы.
Для протекания некоторых процессов важна не относительная, а абсолютная влажность. Так, испарение воды с поверхности альвеол в легких зависит от абсолютной влажности воздуха, так как из легких выдыхается воздух почти полностью насыщенный паром при температуре примерно 30 °C. Количество пара, которым воздух насыщается в легких, очевидно, зависит от абсолютной влажности вдыхаемого воздуха.
Особенности теплового излучения человека. Доля теплового излучения в теплообмене человека с окружающей средой достигает 45%. Инфракрасное излучение различных участков поверхности тела определяется тремя факторами:
особенностями васкуляризации (плотности снабжения органов и тканей ссудами) поверхностей тканей;
уровнем метаболических процессов (обмена веществ) в них;
различиями в теплопроводности (связанными с развитием жировой клетчатки).
При соблюдении стандартных условий регистрируемая топография излучения характерна для данного человека. Изменения топографии излучения могут наблюдаться в следующих случаях.
Нарушения
Механизм нарушения
Нарушение структурных соотношений сосудистой сети
Врожденные аномалии, сосудистые опухоли (например, различные гемангиомы)
Изменения тонуса сосудов
Нарушение вегетативной иннервации, рефлекторное изменение тонуса
Местные расстройства кровообращения
Травмы, тромбоз, склероз сосудов
Нарушение венозного кровотока
Застой, обратный ток крови при недостаточности клапанов вен
Локальные изменения теплопродукции
Воспалительные очаги, опухоли, ревматические артриты
Изменения теплопроводности тканей
Отек, уплотнение тканей, изменение содержания жира
Вследствие сильной температурной зависимости мощности излучения (четвертая степень термодинамической температуры) даже небольшое повышение температуры поверхности может вызвать сильное изменение излучаемой мощности. Так, если, температура поверхности тела человека изменится на 3 К, то есть приблизительно на 1 %, то мощность изменится на 4%. Такое изменение надежно фиксируется соответствующими приборами (тепловизорами, датчиками на жидких кристаллах ит.п.). У здоровых людей распределение температуры по различным точкам
13 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
поверхности тела достаточно характерно. Различные процессы (воспаление; изменение кровообращения в венах, например, при охлаждении или нагревании; опухоль) могут изменять местную температуру. Таким образом, регистрация излучения разных участков поверхности тела человека и определение их температуры является надежным неинвазивным диагностическим методом.
Воздействие низких температур. Холод — лечебное средство. Под воздействием холода (лед, снег) происходит спазм мелких сосудов, понижается нервная возбудимость, замедляется кровоток, снижается проницаемость мелких сосудов, предотвращается возникновение отеков. Криокомпресс, (гр. kryos — холод, мороз, лед) уменьшает боль при ушибах мягких тканей, суставов, растяжениях связок и других травм. С лечебной целью на кожу воздействуют процедурой криомассажа, которая осуществляется с использованием жидкого азота. Воздействие на кожу осуществляется при этом с помощью заполненного жидким азотом криодеструктора, на котором имеется тефлоновая насадка с температурой (—50 — —60) °C. Для криогенных методов создают специальную криогенную аппаратуру.
Защита от тепловых воздействий. Важным вопросом, связанным с работой человека в экстремальных температурных условиях, является организация защиты организма от тепловых воздействий. Защита от воздействия высоких температур — сложная задача, требующая комплексного решения. Кроме теплоизоляционных материалов для такой защиты используются металлизированные пленки, хорошо отражающие тепловое излучение, а в ряде случаев и специальный обдув тела охлажденным воздухом. Эффективность использования металлизированных покрытий (например, мелинекса) демонстрирует следующий пример. Испытуемые выполняли работу в помещении с t = 50 °C. При этом интенсивность облучения составляла 1487 Вт/м2. У одетых в хлопчатобумажный комбинезон температура тела повышалась в среднем до 39 °C, а при использовании одежды с покрытием из мелинекса — до 38 °C. При этом применение одежды с покрытием увеличивало время переносимости данных условий на 50-70%.
Для защиты от радиационного нагрева космонавтов, выходивших на поверхность Луны, применялся специальный комбинезон, надеваемый на скафандр. Он состоял из нескольких слоев ткани с блестящей металлической поверхностью (до 14 слоев). Внутри скафандра располагались трубки, по которым циркулировала охлаждающая жидкость. При разработки конструкции скафандра пришлось учитывать, что теплопродукция различных частей организма неодинакова. Поэтому охлаждающие трубки в защитном костюме располагают так, чтобы 50 % их приходилось на ноги, 23 % — на руки, 19 % — на туловище, 8 % — на голову и шею.
Одежда, предназначенная для защиты от низких температур окружающей среды, должна обеспечивать адекватную вентиляцию, чтобы под одеждой не конденсировалась влага, создавать изолирующую прослойку неподвижного воздуха вокруг тела. Теплоизоляционные свойства одежды снижаются при ветре и при движении. Для защиты от переохлаждения применяют, в частности, одежду с локальным подогревом (на спине, пояснице, стопах, предплечье, шее, лице) до 46-51 °C и суммарной мощностью энергопитания 100 Вт. Электрообогреваемая одежда должна не нагревать поверхность тела человека, а лишь способствовать уменьшению теплопотерь и поддерживать нормальную температуру тела независимо от изменений температуры и скорости движения окружающего воздуха, а также интенсивности физической работы. Используют и комбинезоны с водяным подогревом, в которых по системе трубок движется нагретая жидкость, как в отдельных элементах защитного костюма космонавта.
Элементы реабилитологии. Светолечение.Лечебное применение УФ излучения
Светолечение. Широкое лечебно-реабилитационное применение имеет светолечение — использование инфракрасного и видимого излучения в лечебных целях.
Источником инфракрасного излучения является любое нагретое тело. Интенсивность и спектральный состав такого излучения определяется температурой нагретого тела. Проникая в ткани, инфракрасные лучи (как и видимые) на месте своего
поглощения вызывают образование тепла. Различные слои кожи неодинаково поглощают оптическое излучение разной длины волны (см. рис. 30.6).
Рис. 30.6. Зависимость проникающей способности кожи от длины волны оптического излучения
В реабилитационно-лечебной практике в качестве искусственных источников инфракрасного излучения используются различные облучатели, рис. 30.7.
Рис. 30.7. Источники для светолечения: лампа Минина (а), светотепловая ванна ^б\ лампа Соллюкс (в)
Лампа Минина представляет собой обычную лампу накаливания (в которой также сочетаются видимое и инфракрасное излучение) с рефлектором, локализующим излучение в необходимом направлении (рис. 30.7а). Источником излучения служат лампа накаливания мощностью 20-60 Вт из бесцветного или синего стекла.
Светотепловые ванны представляет собой непроводящий по- луцилиндрический каркас, состоящий из двух половин, соединенных подвижно между собой (рис. 30.75). На внутренней поверхности каркаса, обращенной к пациенту, укреплены лампы накаливания мощностью 40 Вт (количество их и включение различно). В таких ваннах на биологический объект действует инфракрасное и видимое излучение, а также нагретый воздух, температура которого может достигать 70 °C.
Лампа Соллюкс представляет собой мощную лампу накаливания в которой сочетаются видимое и инфракрасное излучение), помещенную в специальный рефлектор на штативе (рис. 30.7в). Источником излучения служит лампа накаливания мощностью более 500 Вт (температура вольфрамовой нити 2800°С, максимум излучения приходится на 2 мкм).
Лечебное применение УФ излучения. В реабилитационных физиотерапевтических методах широко применяется ультрафиолетовое излучение длинноволнового (А), средневолнового (В), коротковолнового (С) диапазонов. При поглощении квантов ультрафиолетового излучения в тканях (в коже) происходят различные фотохимические и фотобиологические реакции (см. лекцию 37).
Облучение создается искусственными источниками: лампы высокого давления (дуговые ртутные трубчатые), люминесцентные лампы, газоразрядные лампы низкого давления, одной из разновидностей которых являются бактерицидные лампы. Источники подразделяются на интегральные, которые излучают все области спектра, и селективные, которые создают излучение преимущественно одной области.
Длинноволновое облучение (преимущественное эритемное и загарное действие). Оно используется при лечение многих дерматологических заболеваний. Некоторые химические соединения фурокумаринового ряда (например, псорален) способны сенсибилизировать кожу этих больных к длинноволновому
ультрафиолетовому излучению и стимулировать образование в меланоцитах пигмента меланина Совместное применение данных препаратов и последующего облучения длинноволновым ультрафиолетовым облучением является основой метода лечения, называемого фотохимиотерапией иди ПУВА-терапией (PUVA: Р — псорален, UVA — ультрафиолетовое излучение зоны А). При этом подвергают облучению часть или все тело.
Средневолновое облучение (преимущественно витаминообразующее, антирахитное действие).
Коротковолновое облучение (преимущественно бактерицидное действие). Под его воздействием происходит разрушение структуры микроорганизмов и грибов. Оно создается с использованием ртутно-кварцевых бактерицидных ламп, рис. 30.8а. Используются облучатели (рис. 30.85) при местном облучении слизистой оболочки носа, миндалин.
Рис. 30.8. Бактерицидный облучатель (а), облучатель для носоглотки (5)
При некоторых методиках коротковолновое излучение используется для облучения крови (см. лекцию 37).
Ультрафиолетовое голодание. Многие люди находятся в условиях недостаточного облучения. Это жители крайнего Севера, Заполярья, рабочие горнорудной промышленности, метрополитена, безоконных производств, жители крупных городов. В городах недостаток солнечного света связан с загрязнением атмосферного воздуха пылью, дымом, газами, задерживающими в основном УФ часть солнечного спектра. В помещении оконное стекло не пропускает УФ лучи с длиной волны А < 310 нм. Резко снижают УФ поток загрязненные стекла, занавеси (тюлевые занавески снижают УФ излучение на 20%). Поэтому на многих производствах и в быту наблюдается так называемая «биологическая полутьма». В первую очередь страдают дети
(возрастает вероятность заболевания рахитом). Поэтому для организации освещения всегда необходимо проводить санитарно- реабилитологические мероприятия.
Вредность ультрафиолетового облучения. Наряду с положительными биологическим воздействиями на организм этого излучения следует отметить и отрицательные стороны облучения. В первую очередь это относится к последствиям бесконтрольного загорания: ожоги, пигментные пятна, повреждение глаз — развитие фотоофтальмии. Действие ультрафиолета на глаз подобно эритеме, так как оно связано с разложением протеинов в клетках роговой и слизистой оболочек глаза. Живые клетки кожи человека защищены от деструктивного действия УФ лучей «мертвыми» клетками рогового слоя кожи. Глаза лишены этой защиты, поэтому при значительной дозе облучения глаз после скрытого периода развивается воспаление роговой оболочки (кератит) и слизистой оболочки глаза (конъюнктивит). Этот эффект обусловлен излучением с длиной волны короче 310 нм. Особенно рассмотрения заслуживает бластомогенное действие УФ радиации, приводящее к развитию рака кожи. Рак кожи распространен у всех народов земного шара, живущих в разных климатических условиях.
ПучокэлектроновПучокэлектронов
Пучокэлектронов
Пучокэлектронов
Лекция 31
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Природа рентгеновского излучения.
Тормозное рентгеновское излучение.
Характеристическое рентгеновское излучение.
Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом.
Физические основы использования рентгеновского излучения в медицине.
Рентгеновское излучение (Х-лучи) открыты К. Рентгеном в 1895 г., который в 1901 г. стал первым Нобелевским лауреатом по физике.
Природа рентгеновского излучения
Рентгеновское излучение — электромагнитные волны с длиной волны от 80 до 10-5 нм. Длинноволновое рентгеновское излучение перекрывается коротковолновым УФ излучением, коротковолновое — длинноволновым 7-излучением (см. шкалу электромагнитных волн).
Рентгеновское излучение получают в рентгеновских трубках (рис. 31.1).
К - катод А - анод
Рентгеновскоеизлучение
Рис. 31.1. Устройство рентгеновской трубки
Трубка представляет собой стеклянную колбу (с возможно высоким вакуумом; давление в ней порядка 10-6 мм рт. ст.) с двумя электродами: анодом А и катодом К, к которым приложено высокое напряжение U (несколько тысяч вольт). Катод является источником электронов (за счет явления термоэлектронной эмиссии). Анод — металлический стержень, имеет наклонную
поверхность для того, чтобы направлять возникающее рентгеновское излучение под углом к оси трубки. Он изготовляется из хорошо теплопроводящего материала для отвода теплоты, выделяющейся при ударах электронов. На скошенном торце имеется пластинка из тугоплавкого металла (например, вольфрама).
Под действием высокого напряжения электроны, испущенные катодом, ускоряются до больших энергий. Кинетическая энергия, приобретенная электроном, равна работе электрических сил и пропорциональна напряжению между катодом и анодом:
Ек = еЩ (31.1)
где е — заряд электрона, U — ускоряющее напряжение.
Рентгеновское излучение возникает вследствие интенсивного торможения быстрых электронов в веществе анода при столкновениях с его атомами (взаимодействие с электрическим полем атомного ядра и электронов).
Механизм возникновения можно представить следующим образом. Движущиеся электроны — это некоторый ток, образующий свое магнитное поле. Замедление электронов при столкновении с анодом ведет к снижению силы тока и соответственно магнитного поля. В соответствии с теорией Максвелла изменение магнитной индукции вызовет возникновение переменного электрического поля, то есть появление электромагнитной волны. Схематическое представление данного процесса показано на рис. 31.2.
Рис. 31.2. Схематическое представление механизма образования рентгеновского излучения
Таким образом, когда заряженная частица влетает в вещество, она тормозится, теряет свою энергию и излучает электромагнитные волны.
Тормозное рентгеновское излучение
Излучение, возникающее при торможении электрона в веществе анода, называют тормозным рентгеновским излучением.
Спектр тормозного рентгеновского излучения является сплошным. Причина этого в следующем. Разные электроны, взаимодействуя с отдельными атомами — мишенями анода, теряют разное количество энергии. При торможении электронов у каждого из них часть энергии идет на нагрев анода Wi = Q. другая часть — на создание фотона рентгеновского излучения IT2 = hv. Соотношение между этими частями случайное.
Таким образом, непрерывный спектр тормозного рентгеновского излучения образуется благодаря излучению множества электронов, каждый из которых испускает квант рентгеновского излучения hv. Величина этого кванта связана с сохранившейся к моменту излучения энергией Ж2, которая различна для разных электронов.
Зависимость потока рентгеновского излучения от длины волны А, то есть спектр рентгеновского излучения, представлена на рис. 31.3.
Коротковолновое (жесткое) излучение обладает большей проникающей способностью, чем длинноволновое (мягкое). Мягкое излучение сильнее поглощается веществом.
а б в
Рис. 31.3. Спектр тормозного рентгеновского излучения: а) при различном напряжении U в трубке, б) при различной температуре Т катода, в) при различных веществах анода, отличающихся параметром Z
Со стороны коротких длин волн спектр резко обрывается на определенной длине волны Amin. Такое коротковолновое тормозное излучение возникает тогда, когда энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле, полностью переходит в энергию фотона: ell = hpmax = /ic/Amin,
(31.2)(31.2)Amin — hc/{eU).
(31.2)
(31.2)
Спектральный состав излучения зависит от значения напряжения на рентгеновской трубке, с увеличением напряжения значение Amin смещается в сторону коротких длин волн (рис. 31.3а).
При изменении температуры Т накала катода возрастает эмиссия электронов. Следовательно увеличивается ток / в трубке, но спектральный состав излучения не изменяется (рис. 31.3бф
Поток энергии Ф тормозного излучения прямо пропорционален квадрату напряжения U между анодом и катодом, силе тока / в трубке и атомному номеру Z вещества анода:
(31.3)(31.3)Ф = kZU2I,
(31.3)
(31.3)
где к = 10 9 Вт/(В2А).
Характеристическое рентгеновскоеизлучение
Увеличение напряжения на рентгеновской трубке приводит к тому, что на фоне сплошного спектра появляется линейчатый, который определяется материалом анода и называется поэтому характеристическим рентгеновским излучением, рис. 31.4.
Рис. 31.4. Спектр характеристического рентгеновского излученияРис. 31.4. Спектр характеристического рентгеновского излучения
Рис. 31.4. Спектр характеристического рентгеновского излучения
Рис. 31.4. Спектр характеристического рентгеновского излучения
Механизм его возникновения таков. Ускоренные большим напряжением электроны проникают вглубь атома и выбивают из его внутренних слоев электроны. На свободные места переходят электроны с верхних уровней, в результате чего высвечиваются фотоны характеристического излучения.
Спектры характеристического рентгеновского излучения отличаются от оптических спектров и имеют следующие особенности.
Однотипность. Однотипность характеристических спектров обусловлена тем, что внутренние электронные слои у разных атомов одинаковы и отличаются только энергетически из-за силового воздействия со стороны ядер, которое увеличивается с возрастанием порядкового номера элемента. Поэтому характеристические спектры сдвигаются в сторону больших частот при увеличении заряда ядра. Опытным путем это было установлено сотрудником К. Рентгена — Г. Мозли, который, измерив и проанализировав рентгеновские спектры для 33 химических элементов, установил следующий закон.
Закон Мозли — корень квадратный из частоты характеристического излучения есть линейная функция порядкового номера элемента:
V^=A<Z-B\ (31.4)
где v — частота спектральной линии, Z — атомный номер испускающего элемента, А, В — константы.
Важность закона Мозли заключается в том, что по этой зависимости можно по измеренной частоте рентгеновской линии точно узнать атомный номер исследуемого элемента. Это сыграло большую роль в размещении элементов в периодической системе.
Независимость от химического соединения. Характеристические рентгеновские спектры атома не зависят от химического соединения, в которое входит атом элемента. Например, рентгеновский спектр атома кислорода одинаков для О2 и Н2О, в то время как оптические спектры этих соединений отличаются. Эта особенность рентгеновского спектра атома послужила основанием и для названия «характеристическое».
Взаимодействие рентгеновского излученияс веществом
Воздействие рентгеновского излучения на объекты определяется первичными процессами взаимодействия рентгеновского фотона с электронами атомов и молекул вещества.
Рентгеновское излучение в веществе рассеивается, или поглощается. При этом могут происходить различные процессы, которые определяются соотношением энергии рентгеновского фотона hv и работой ионизации Ли (работа ионизации Ли — энергия, необходимая для отрыва электронов от атома или молекулы).
Когерентное рассеяние (преимущественно длинноволнового излучения) происходит тогда, когда выполняется соотношение hv < Ли. У фотонов вследствие взаимодействия с электронами внутренних оболочек, крепко связанных с ядром, изменяется только направление движения, но энергия hv и длина волны не меняются (поэтому это рассеяние называется когерентным).
Рис. 31.5. Схема когерентного рассеяния
Так как энергии фотона и атома не изменяются, то когерентное рассеяние само по себе не влияет на биологические объекты. Однако при создании защиты от рентгеновского излучения следует учитывать возможность изменения первичного направления пучка.
Некогерентное рассеяние (эффект Комптона, 1922) происходит тогда, когда энергия фотона намного больше энергии ионизации:
hv > Ли.
При этом электрон отрывается от атома (такие электроны называются электронами отдачи) и приобретает некоторую кинетическую энергию Ек. Энергия самого фотона уменьшается:
Образующееся таким образом излучение с измененной частотой (длиной) называется вторичным, оно рассеивается по всем направлениям.
Электроны отдачи, если они имеют достаточную кинетическую энергию, могут ионизировать соседние атомы путем соударения. Таким образом, в результате некогерентного рассеяния образуется вторичное рассеянное излучение и происходит ионизация атомов вещества.
Рис. 31.6. Схема некогерентного рассеяния
В отличие от процессов рассеивания при фотоэффекте квант падающего излучения поглогцается.
Фотоэффект происходит тогда, когда энергия фотона hv достаточна для совершения работы Ли по отрыву электрона или ее превышает: hv ^ Ли.
При этом рентгеновский квант поглощается, а электрон отрывается от атома. Происходит ионизация. Оторвавшийся электрон приобретает кинетическую энергию: Ек = hv — Ли.
Рис. 31.7. Схема фотоэффекта
Если кинетическая энергия велика, то электрон может ионизировать соседние атомы путем соударения, образуя новые вторичные электроны.
Рентгенолюминесценция происходит тогда, когда энергии поглощенного кванта недостаточно для ионизации атома и происходит возбуждение атома или молекулы. При возвращении в основное состояние атом излучает несколько фотонов в области видимого излучения.
В тканях неионизирующее поглощение может приводить к активации молекул и фотохимическим реакциям.
/-^х^ядро
Ни”
Рис. 31.8. Схема рентгенолюминесценции
Рассмотренные процессы могут вызвать вторичные явления. Например, если при фотоэффекте происходит выбивание электрона с внутренней оболочки атома, то на его место могут переходить электроны с более высоких оболочек, что сопровождается вторичным характеристическим излучением данного вещества. Фотоны вторичного излучения, взаимодействуя с электронами соседних атомов, могут в свою очередь вызывать вторичные явления.
Закон ослабления. Поток рентгеновского излучения ослабляется в веществе по закону
Ф = Фо • ехр(—/1ж),(31.6)
где /1 — линейный коэффициент ослабления, который существенно зависит от плотности вещества. Он равен сумме трех слагаемых, соответствующих когерентному рассеянию /11, некогерентному /12 и фотоэффекту /13:
/1 = /11 + /12 + /1з-(31-7)
Физические основы использованиярентгеновского излучения в медицине
Рентгеновское излучение при падении на тело незначительно отражается от его поверхности, а в основном проходит вглубь, при этом частично поглощается и рассеивается, частично проходит насквозь.
Пользуются массовым коэффициентом ослабления, который не зависит от плотности вещества р;
Массовый коэффициент ослабления зависит от энергии фотона и от атомного номера вещества-поглотителя:
р,т = kX^Z\(31.9)
Массовые коэффициенты ослабления кости и мягкой ткани (воды) отличаются:
Дт кости/Отводы — 68.
Если на пути рентгеновских лучей поместить неоднородное тело и за ним поставить флуоресцирующий экран, то это тело, поглощая или ослабляя излучение, образует на экране тень. По характеру этой тени можно судить о форме, плотности, структуре, а во многих случаях и о природе тел. То есть существенное различие поглощения рентгеновского излучения разными тканями позволяет в теневой проекции видеть изображение внутренних органов.
Если исследуемый орган и окружающие ткани одинаково ослабляют рентгеновское излучение, то применяют рентгеноконтрастные вещества. Так, например, наполнив желудок и кишечник кашеобразной массой сульфата бария (BaSO4), можно видеть их теневое изображение (соотношение коэффициентов ослабления в этом случае равно 354).
Использование в медицине. В медицине используется рентгеновское излучение с энергией фотонов от 60 до 100-120 кэВ — при диагностике и 150-200 кэВ — при терапии.
Рентгенодиагностика — распознавание заболеваний при помощи просвечивания тела рентгеновским излучением.
Рентгенодиагностику используют в различных вариантах, которые приведены ниже.
При рентгеноскопии рентгеновская трубка расположена позади пациента. Перед ним располагается флуоресцирующий экран. На экране наблюдается теневое изображение. В каждом отдельном случае подбирается соответствующая жесткость излучения, так чтобы оно проходило через мягкие ткани, но достаточно поглощалось плотными. В противном случае получается однородная тень. На экране сердце, ребра видны темными, легкие — светлыми.
При рентгенографии объект помещается на кассете, в которую вложена пленка со специальной фотоэмульсией. Рентгеновская трубка располагается над объектом. Получаемая рентгенограмма дает негативное изображение, то есть обратное по контрасту с картиной, наблюдаемой при просвечивании. В данном методе имеется возможность наблюдать детали, которые трудно рассмотреть при просвечивании. Преимуществом этого метода является малое время облучения (меньшая доза), а недостатком — объект нельзя проследить в динамике.
При флюорографии на чувствительной малоформатной пленке фиксируется изображение с большого экрана. Снимки рассматриваются на специальном увеличителе.
Рентгенотерапия — использование рентгеновского излучения для уничтожения злокачественных образований.
Биологическое действие излучения заключается в нарушении жизнедеятельности особенно быстро размножающихся клеток.
Лекция 32РАДИОАКТИВНОСТЬ
Радиоактивность.
Основной закон радиоактивного распада.
Активность.
Основные типы радиоактивного распада.
Количественные характеристики взаимодействия ионизирующего излучения с веществом.
Биофизические основы действия ионизирующего излучения.
Элементы реабилитологии. Радиофармацевтические препараты.
Радиоактивность
Явление радиоактивности было открыто в 1896 г. А. Беккерелем.
Радиоактивность — способность некоторых атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием частиц.
Характерным признаком радиоактивности является спонтанность распада, который представляет собой вероятностный процесс. Нет возможности предсказать, сколько времени просуществует тот или иной атом, но можно определить вероятность распада в течение заданного промежутка времени.
Существуют два вида радиоактивности:
естественная^ которая встречается у природных неустойчивых ядер;
искусственная^ которая встречается у радиоактивных ядер, образованных в результате различных ядерных реакций; источником искусственной радиоактивности могут являться и радиоактивные осадки.
Оба вида радиоактивности имеют общие закономерности.
.1.1. Естественная радиоактивность. Особо необходимо сказать об естественной радиоактивности, иногда называемой природной атомной радиацией. Живой организм подвержен
этому облучению все время своего существования. Источники этой радиации могут находиться вне живых организмов, и тогда говорят о естественном внешнем облучении. Некоторые источники входят в химический состав живых организмов, облучая его клетки и ткани как бы изнутри, они определяют естественное внутреннее облучение организма.
Известно пять основных источников природной атомной радиации, табл. 32.1.
Таблица 32.1. Относительный вклад основных источников атомной радиации в природный радиоактивный фон
Доля
Источник природного радиоактивного фона
1
49,5 %
Газ радон 222 Rn и радиоактивные продукты его распада
2
15%
Радиоизотоп 40 К
3
15,3%
Космическое излучение
4
12,2 %
Радиевый ряд урана
5
8%
Ториевый ряд урана
Рассмотрим особенности каждого источника в формировании природного радиоактивного фона.
Газ радон образуется из рассеянного в породах земной коры, непрерывно распадающегося радия (236На). Радон, являясь инертным газом, сравнительно хорошо растворим в воде. Из почвы он поступает в приземный слой атмосферы и воды подземных источников, непрерывно облучая высокоэнергетичными (5,40 МэВ) альфа-частицами и гамма-излучением (0,51 МэВ) почву, корни растений и наземную флору и фауну. Радон, распадаясь, в свою очередь, дает ряд дочерних продуктов, часть из которых также является радиоактивными.
Концентрация радона подвержена значительным колебаниям. Содержание радона в водах различного происхождения (питьевая вода и вода в буровых скважинах) отличается более чем в 1000 раз. Велико его содержание в водах природных источников многих курортов мира. Вода является одним из источников, поставляющих радон в жилые помещения. Другими источниками радона в воздухе жилых помещений являются поступления из почвы (подвалы, первые этажи) и из строительных материалов.
Радиоизотоп 40 К. Природный калий состоит из трех изотопов один из которых 40К (0,0119%) является радиоактивным. Так как в природных условиях изотопный состав элементов не
меняется, то всюду, где бы не находился калий, он всегда сопровождается своим радиоактивным изотопом 40 К.
Калий-40 является основным радионуклидом, обусловливающим постоянное внутреннее облучение живых тел. Из почвы этот элемент поступает через корневую систему растений и с растительной пищей (зерновые, свежие овощи и фрукты, грибы) — в организм. Его распределение по тканям человеческого организма представлено в табл. 32.2.
Таблица 32.2. Содержание калия-40 в тканях человеческого организма
Ткань
Средняя концентрация (г/кг)
Активность 1 кг ткани (Бк/кг)
Тимус
0,6
18
Кожа
0,8
24
Щитовидная железа
1,2
36
Кишечник
1,2
36
Кровь
1,6
48
Легкие
1,9
57
Семенники
2,0
60
Сердце
2,1
63
Печень
25
75
цнс
2,9
87
Головной мозг
3,0
90
Мыщцы скелета
3,0
90
Селезенка
3,1
93
Эритроциты
3,4
102
Красный костный мозг
4,0
121
Космическое излучение. Из космического пространства исходит поток радиации, постоянно облучающей нашу планету. Во время солнечных вспышек этот поток существенно возрастает. Первичное космическое излучение состоит из протонов высоких энергий, ионов гелия, ядер других атомов, электронов, фотонов и нейтронов. Магнитное поле Земли отклоняет низкоэнергетические заряженные частицы. Высокоэнергетические частицы проникают в верхние слои атмосферы, где они, воздействуя на ядра атомов атмосферы, вызывают ядерные реакции с образованием ряда радиоактивных нуклидов. При этих реакциях возникают высокоэнергетические протоны, нейтроны, в свою очередь вы-
зывающие ядерные реакции. Образуются так называемые космические ливни, составляющие вторичное космическое излучение, уже проникающее в низкие слои атмосферы облучающие все на Земле.
В атмосфере, в результате реакции космических нейтронов с ядрами азота и кислорода, возникает радиоактивный изотоп водорода — тритий (3Н), который частично превращается в три- тиевую воду. Эта вода, участвуя в общем круговороте воды в природе, попадает в организм и является источником бета- лучей (0,01795 МэВ). Этому облучению подвержены все ткани организма.
Под действием космических нейтронов в атмосфере постоянно образуется радиоактивный изотоп углерода (14С). При соединении с кислородом этот изотоп дает углекислоту 14СО2. Таким образом, углекислота атмосферы всегда содержит примесь 14СО2. Участвуя в фотосинтезе, она несет радиоактивный 14С всем органическим веществам (углероды, белки, жиры и др.), образующим живой организм, что обеспечивает постоянное внутреннее облучение.
Урановый ряд. Уран в диффузно-распыленном состоянии является широко распространенным элементом в породах земной коры. Природный уран состоит из трех радиоактивных изотопов: уран-234, уран-235, уран-238. Основной вклад в естественную радиоактивность вносит уран-238, на который приходится основная масса природного урана. В местах с повышенным содержанием урана в земных породах повышается его концентрация в почве и воде, откуда он попадает в растения, организмы животных и человека.
При среднем содержании урана в окружающей среде за сутки в организм человека поступает 3,045 • 10-4 г, а выводится естественным путем 4,3 • 10-5 г.
Ряд тория. Вторым после урана широко распространенным естественным радионуклидом является торий-232 (232Th). Торий, как и уран, встречается в окружающем нас мире в виде крупных месторождений, образующих обширные области с высоким его содержанием, и в мелкодисперсном состоянии во всех земных породах и водах. Помимо самого тория, некоторый вклад в естественую радиоактивность вносит и продукт его распада — радий 228 (228Ra). В приземном воздухе концентрация тория
сильно меняется в зависимости от его запыленности. При дыхании торий попадает в легкие.
Ввиду схожести физических характеристик пяти различных источников природной радиации космического и земного происхождения рассматривают их общий суммарный уровень.
Основной закон радиоактивного распада
Радиоактивный распад — явление статистическое. Можно установить вероятность распада одного ядра за определенный промежуток времени. За равные промежутки времени распадаются одинаковые доли наличных (то есть еще не распавшихся к началу данного промежутка) ядер данного элемента.
Пусть за время (малое) dt распадается dN ядер. Это число пропорционально интервалу времени dt и общему числу радиоактивных ядер N:
dN = —XNdt,(32.1)
где А — постоянная распада, характеризующая вероятности распада данного ядра; знак « —» указывает на убывание со временем количества радиоактивных ядер (dN < 0).
Решим уравнение (32.1) методом разделения переменных:
dN/N = -Xdt.
Интегрируя это равенство, получаем:
Wo0
МЯ I# = -Xt И In N - In No = In -W = -At
Wo
Перейдя от логарифма к степени, получим
N/Nq = ехр(—Xt).
Таким образом, решением дифференциального уравнения (32.1) является экспоненциальная функция:
N = ^ехр(-А^),(32.2)
где Nq — исходное число радиоактивных ядер, N их число, оставшееся к моменту времени ТА — постоянная распада, обратная времени, в течение которого число радиоактивных ядер уменьшается в «е» раз; ее размерность [с-1].
Формула (32.2) выражает закон радиоактивного распада:
Число радиоактивных ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.
На практике вместо постоянной распада Л часто используют другую величину, называемую периодом полураспада.
Период полураспада (Т) — это время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер.
Закон радиоактивного распада с использованием периода полураспада записывается так:
^ = ^ • cTtlT -(32.3)
Характеристики распада Т и Л связаны соотношением
Т = 1п2/А = 0,693/А.
Период полураспада может быть как очень большим, так и очень маленьким (от долей секунды до многих миллиардов лет). В табл. 32.3 представлены периоды полураспада для некоторых элементов.
Таблица 32.3. Периоды полураспада для некоторых элементов
Изотоп
Доля в природном элементе
Период полураспада (Т)
Уран-234
0,006%
2,48 • 105 лет
Уран-235
0,71 %
7,13 • 108 лет
Уран-238
99,28%
4,50 • 109 лет
Калий-40
0,012 %
1,3 • 109 лет
Йод-131
-
8 дней
Йод-132
-
2,26 часа
Литий-8
—
0,84 с
Торий-232
100%
1,4 • 101и лет
Радон-222
—
3,8 дня
Углерод-14
—
5570 лет
Уран-234 имеет значительно меньший период полураспада, поэтому в альфа-облучение среды он вносит почти такой же
вклад, что и уран-238, несмотря на его малое процентное содержание.
На рис. 32.1 изображены процессы радиоактивного распада для двух веществ с различными периодами полураспада.
Рис. 32.1. Убывание количества ядер исходного вещества при радиоактивном распаде
Активность
При работе с радиоактивным источником важно знать общее число частиц, вылетающих из препарата за единицу времени. Эта величина зависит от того, сколько частиц (включая 7-фотоны) образуется при распаде одного ядра, и от числа распадов за t =1 с. Скорость радиоактивного распада называется активностью.
Активность — число ядер радиоактивного препарата, распадающихся за единицу времени:
А = -dN/dt.(32.4)
Единица измерения активности в СИ — беккерель (Бк), что соответствует одному акту распада в секунду.
На практике более употребительна внесистемная единица активности — кюри (Ки):
1Ки = 3,77 • Ю10Бк = 3,77 • 1010 с"1.
Используя закон (32.2), (32.3), получаем формулу для расчета активности:
А = XNq ехр(—А • f) = (In 2 • No/T) • 2"^.(32.5)
Приведем еще одну полезную формулу. Пусть в некоторый момент времени активность равна Ло, тогда через время t активность определяется соотношением
Д = До • Tt!T. (32.6)
Зная активность препарата и продукты, образующиеся при распаде одного ядра, можно вычислить, сколько частиц каждого вида испускает препарат за 1 с. Например, если при делении одного ядра образуется п частиц то за одну секунду препарат испускает поток частиц N = nA.
Основные типы радиоактивного распада
В процессе изучения явления радиоактивности были обнаружены 3 вида лучей, испускаемых радиоактивными ядрами, которые получили названия а-, /3- и 7-лучей. Позже было установлено, что а-частицы — это ядра гелия, /3-частицы — электроны (позитроны), а 7-частицы — кванты электромагнитного излучения. Альфа- и 7-частицы образуются при распаде, получившем название а-распад, а /3-частицы возникают при /3-распаде.
Альфа-распад.
Альфа-распад состоит в самопроизвольном превращении ядра с испусканием а-частиц (ядра гелия).
Схема а-распада записывается в виде
^X-^Y + ^a, (32.7)
где X, Y — символы материнского и дочернего ядер, соответственно. Напомним, что а-частица — ядро гелия. Поэтому при записи а-распада вместо «а» можно писать «Не».
При этом распаде порядковый номер Z элемента уменьшается на 2, а массовое число А — на 4.
При альфа-распаде дочернее ядро может образоваться в возбужденном состоянии. В этом случае энергия возбужденного ядра чаще всего выделяется в виде 7-кванта. Поэтому альфа-распад сопровождается 7-излучением.
Альфа-излучение отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью. Энергия испускаемых а-частиц
практически для всех «-активных изотопов лежит в пределах 4-9 МэВ. Энергетический спектр «-частиц, испускаемых данным радиоактивным элементом, обладает «тонкой структурой»: испускается несколько групп «-частиц, и в пределах каждой группы их энергия практически постоянна. Поэтому наблюдается дискретный спектр, рис. 32.2а.
Рис. 32.2. Спектры «-частиц (а) и /3-частиц (б)
Бета-распад.
Бета-распад состоит в самопроизвольном превращении ядра с испусканием электронов (или позитронов).
Это излучение отклоняется электрическим и магнитными полями; его ионизирующая способность значительно меньше, а проникающая способность гораздо больше, чем у «-частиц; оно сильно рассеивается веществом. Различают следующие виды /3-распада.
Электронный. Схема электронного /3-распада записывается в виде
++(32.8)
где v — обозначение частицы антинейтрино. Электрон образуется вследствие внутриядерного превращения нейтрона в протон:
0п 1Р + -10 + v' •
При этом протон остается в ядре. При электронном /3-распаде порядковый номер Z элемента увеличивается на 1, массовое число А не изменяется.
В каждом акте /3-распада испускаются две частицы (электрон и антинейтрино). Высвобождающаяся энергия распределяется между ними случайным образом, поэтому спектр /3-излучения является сплошным, рис. 32.25.
Один из наиболее известных бета-распадов происходит у встречающегося в природе изотопа углерода-14. Удельная активность этого изотопа в тканях растений и человека составляет 22,7 Бк/кг углерода.
Позитронний. Схема позитронного /3-распада записывается в виде
^Х —> z-i^ + 13 + ^(32.9)
где v* — обозначение частицы нейтрино. Позитрон — частица с такой же массой как у электрона и положительным зарядом. Позитрон образуется вследствие внутриядерного превращения протона в нейтрон:
1Р оП + Др + V.
При этом нейтрон остается в ядре. При позитронном /3+-распаде порядковый номер Z элемента уменьшается на 1, массовое число А не изменяется.
Как и у /3 -распада спектр /3+-распада — сплошной.
Нейтрино и антинейтрино — электрически нейтральные частицы, слабо взаимодействующие с веществом. Их проникающая способность столь огромна, что пробег нейтрино с энергией 1 МэВ в свинце составляет 1018 км.
Кроме процессов /3-распада имеет место электронний захват. При этом ядро захватывает электрон с одной из внутренних оболочек атома. Схема электронного захвата записывается в виде
^Х + °_т/3 —> z-i^ + v-(32.10)
При захвате электрона в ядре протон превращается в нейтрон и испускается нейтрино:
Ь +-1/3 -Дп + гл
Электронный захват обнаруживается по сопровождающему его характеристическому рентгеновскому излучению.
Сравнительные характеристики альфа- и бета-излучения приведены ниже.
Характеристики
«-излучение
/3-излучение
Скорость, см/с
2-Ю9
2 • 101и
Энергия, МэВ
7
0,01-3
Пробег (воздух)
2 9 см
10-1000 см
Пробег (ткань)
0,1 мм
10-15 мм
Плотность ионизации (пар ионов/см)
50 • 103
40-50
Гамма-излучение.
Гамма-из л учение имеет электромагнитную природу и представляет собой фотоны с длиной волны А < КГ10 м.
Гамма-излучение не является самостоятельным видом радиоактивного распада. Излучение этого типа почти всегда сопровождает не только о-распад и /3-распад, но и более сложные ядерные реакции. Оно не отклоняется электрическим и магнитным полями. Оно обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью. Для него характерна малая длина волны (1-10 нм). Спектр 7-излучения линейчатый.
Количественные характеристикивзаимодействия ионизирующего излучения
с веществом
Заряженная частица при прохождении через вещество теряет свою энергию вследствие ионизационного торможения.
Ионизационное тормоэюение — это механизм потерь энергии заряженной частицы вследствие возбуждения и ионизации атомов среды, в которой она пролетает.
Для количественной характеристики взаимодействия заряженной частицы с веществом используется несколько величин:
линейная плотность ионизации (г) — число пар ионов, образующихся на единице пути пробега частицы: г = dn/dl\
линейная тормозная способность вещества (S) — энергия, теряемая заряженной частицей на единице пути пробега: S = = dE / dl;
средний линейный пробег заряженной ионизирующей частицы (R) — расстояние между началом и концом пробега частицы в данном веществе.
Рассмотрим некоторые характерные особенности взаимодействия различных видов излучения с веществом.
Альфа-излучение. По мере продвижения а-частицы в среде вызываемая ею линейная плотность ионизации изменяется (рис. 32.3). Плотность ионизации сначала возрастает, а при завершении пробега (х = R) резко убывает. Эти изменения связаны с уменьшением скорости движения частицы. Первоначальное возрастание плотности ионизации г обусловлено тем, что при уменьшении скорости а-частицы возрастает время, которое она проводит вблизи молекулы (атома) среды. Вероятность ионизации при этом увеличивается. Когда энергия а-частицы становится меньше энергии, необходимой для ионизации, образование ионов прекращается. Этим объясняется резкий спад плотности ионизации (рис. 32.3). После того как энергия а-частицы станет сравнимой с энергией молекулярно-теплового движения, она захватывает два электрона в веществе и превращается в атом гелия.
Rх
Рис. 32.3. Зависимость линейной плотности ионизации от пути, пройденного о-частицей в среде
Кроме первичных процессов ионизации и возбуждения атомов, могут проявляться вторичные процессы, представленные на следующей схеме.
Бета-излучение. Кроме ионизации и возбуждения атомов, это излучение вызывает и другие процессы. При торможении электронов возникает тормозное рентгеновское излучение. Бета-частицы рассеиваются на электронах вещества, поэтому их траектории сильно искривлены. Может возникнуть характерное черепковское излучение, когда скорость движения электрона в среде превышает скорость распространения света в этой среде.
Гамма-излучение. При попадании в вещество это излучение вызывает процессы, которые можно представить следующей схемой.
Указанные процессы приводят к тому, что полный ионизационный эффект от гамма-излучения является значительным.
Закон ослабления потока гамма-излучения Г:
Г = Го ехр(—цх),Г = Го ехр(—цх),(32.11)(32.11)
Г = Го ехр(—цх),
Г = Го ехр(—цх),
(32.11)
(32.11)
где х — расстояние, пройденное в веществе; ц — коэффициент ослабления, который складывается из коэффициентов ослабления, соответствующих перечисленным выше процессам
Ц — Мнк + Дф + Mnapa-Ц — Мнк + Дф + Mnapa-(32.12)(32.12)
Ц — Мнк + Дф + Mnapa-
Ц — Мнк + Дф + Mnapa-
(32.12)
(32.12)
§ 32.6. Биофизические основы действияионизирующего излучения
Под воздействием ионизирующего излучения в тканях организма возникают следующие процессы:
- при воздействии излучения на молекулы воды, содержащейся в тканях, происходят различные реакции, названые радиолизом воды;
— воздействие излучения на молекулы органических соединений приводит к образованию возбужденных молекул, ионов, радикалов, перекисей. Эти высокоактивные в химическом отношении соединения будут взаимодействовать с остальными молекулами биологической системы, что, в свою очередь, приведет к нарушениям мембран, клеток, а следовательно, и функций всего организма.
Отметим общие закономерности биологического действия ионизирующего излучения:
большие нарушения при малой поглощенной энергии;
действие на последующие поколения через наследственный аппарат клетки;
характерен скрытый, латентный период;
разные части клеток обладают различной чувствительностью к излучению;
прежде всего поражаются делящиеся клетки, что особенно опасно для детского организма;
губительное действие на ткани взрослого организма, в которых есть деление.
§ 32.7. Элементы реабилитологии.Радиофармацевтические препараты
Радиофармпрепараты (РФП) широко применяются в реабилитационной медицине. При выборе используемого радиоактивного нуклида руководствуются следующими критериями.
Оптимальным нуклидом для РФП является тот, который позволяет получить максимум диагностической информации при минимальной радиационной нагрузке на больного. Выбирается такой РФП, который быстро вводится в исследуемый орган и быстро выводится из организма.
РФП должен обладать коротким периодом полураспада.
Нуклид должен быть источником гамма-излучения, которое удобно для наружной регистрации.
Пригодность РФП определяется биологической характеристикой отражения функций организма или отдельного органа (например, избирательное поглощение изотопа йода 1311 щитовидной железой).
РФП, вводимые внутрь организма, не должны содержать токсических примесей или радиоактивных веществ, которые
в результате распада образуют долгоживущие дочерние нуклиды.
В настоящее время используется огромное количество изотопов для различных областей медицины. Характеристики некоторых часто используемых изотопов приведены в табл. 32.4.
Таблица 32.4. Характеристики изотопов
Изотоп
Период полураспада (Т)
Вид излучения
Механизм действия
Йод 131 j
8,1 дня
/з- излучение
7" излучение
Участвует в обменных процессах в организме, в т.ч. в щитовидной железе
Йод 125 j
60 дней
7" излучение
Для метки гормонов, определяемых в сыворотке крови больного in vitro
Йод 132j
2,3 часа
7" излучение
Короткий период полураспада и отсутствие /3-излучения уменьшает радиационную нагрузку на щитовидную железу примерно в 200 раз по сравнению с 1311, что позволяет применять его у детей
Технеций "Тс
6 часов
7" излучение
Используются стандартные наборы реагентов, связывающиеся с этим изотопом и поставляющие его в определенный орган (печень, желчный пузырь, кишечник)
Фосфор 32р
14,2 Дня
/з- излучение
Используется для диагностики злокачественных новообразований глаз, кожи слизистых оболочек, молочной железы, головного мозга.
Лекция 33
ДОЗИМЕТРИЯ
Детекторы ионизирующего излучения.
Использование радионуклидов в медицине.
Ускорители заряженных частиц и их использование в медицине.
Дозиметрия ионизирующего излучения.
Соотношения между различными дозами.
Мощность дозы.
Дозиметрические приборы.
Способы защиты от ионизирующего излучения.
Элементы реабилитологии. Газ радон.
33.1. Детекторы ионизирующего излучения
Детекторы — устройства, регистрирующие различные виды ионизирующего излучения. Работа детекторов основана на использовании тех процессов, которые вызывают регистрируемые частицы. Различают 3 группы детекторов:
трековые детекторы,
интегральные детекторы,
счетчики.
Трековые (следовые) детекторы. Детекторы этой группы предназначены для того, чтобы сделать видимым след (трек), оставляемый частицей в веществе.
Камера Вильсона. Наблюдаемая частица ионизирует атомы или молекулы вещества на своем пути в объеме камеры. В данном случае ионизируется газ (водяной пар). На образовавшихся ионах начинается конденсация пересыщенного пара. Образуются капельки тумана. След частицы становится виден, его можно фотографировать. Иногда камеру помещают в магнитное поле и по отклонению в нем более точно судят о частице.
Пузырьковая камера. Наблюдаемая частица ионизирует атомы или молекулы жидкости. При этом образуются ионы, которые являются центрами парообразования перегретой жидкости. Образуется след в виде маленьких пузырьков пара. В от-
14 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
линии от (а) образуется больше ионов. Частица заканчивает свой пробег в камере.
Метод толстослойных фотопластинок. Наблюдаемая частица ионизирует слой фотопластинки, вследствие чего идет химическая реакция. След частицы будет виден при проявлении.
Интегральные детекторы. Эти устройства дают информацию о полном потоке ионизирующего излучения.
Ионизационная камера. Камера заполнена газом. Внутри находятся вмонтированные электроды, соединенные с источником напряжения и с амперметром. При попадании ионизирующего излучения в газ происходит ионизация его молекул, и в цепи возникнет ток, который измеряется амперметром. Сила тока пропорциональна числу ионов и, следовательно, потоку энергии проходящих через камеру ионизирующих частиц.
Фотопленки. При этом фиксируется степень почернения после проявления пленки. На степень потемнения пленки влияет величина потока ионизирующих частиц.
Счетчики. Эти устройства предназначены для подсчета количества частиц ионизирующего излучения. Принцип их действия основан на образовании электрического импульсного разряда в газонаполненной камере при попадании отдельной ионизирующей частицы. Подсчитывая количество импульсов, определяют количество частиц, попавших в счетчик.
Счетчик Гейгера-Мюллера. Схема счетчика приведена на рис. 33.1.
Рис. 33.1. Схема счетчика Гейгера-Мюллера
Счетчик представляет собой стеклянную трубку с напыленным на ее боковую поверхность слоем металла (катод). Внутри трубки пропущена тонкая проволока (анод). Давление газа внутри трубки составляет 100-200 мм рт. ст. Между катодом и ано-
дом создается высокое напряжение порядка сотен вольт. При попадании в счетчик ионизирующей частицы в газе образуются свободные электроны, которые движутся к аноду. Вблизи тонкой нити анода напряженность поля велика. Электроны вблизи нити ускоряются настолько, что начинают ионизировать газ. В результате возникает разряд, и по цепи протекает ток. Самостоятельный разряд надо погасить, иначе счетчик не прореагирует на следующую частицу. На включенном в цепь высокоомном сопротивлении R происходит значительное падение напряжения. Напряжение на счетчике уменьшается, и разряд прекращается. Также в состав газа вводится вещество, соответствующее быстрейшему гашению разряда.
Счетчики сцинтилляционние. Под действием ионизирующего излучения в некоторых веществах происходят сцинтилляции, то есть вспышки. Их можно зафиксировать визуально или автоматически с помощью фотоэлектронного умножителя.
Работоспособность счетчиков характеризуют следующие параметры:
эффективность — отношение числа зарегистрированных частиц к общему числу пролетевших через счетчик частиц;
мертвое время — минимальное время, которое должно разделять следующие друг за другом частицы, чтобы они не были сосчитаны как одна.
§ 33.2. Использование радионуклидов в медицине
При введении в организм многие элементы избирательно сосредоточиваются в определенных органах или участках ткани. Иод, например, концентрируется в щитовидной железе, а кальций — в костях. Применение радиоизотопов этих элементов позволяет обнаруживать их по радиоактивному излучению и получать таким образом важную диагностическую информацию. С другой стороны, накопление радиоактивного элемента в некоторых тканях позволяет осуществлять их избирательное облучение. Это обуславливает 2 главных направления использовании радионуклидов (радиоактивных атомов) в медицине: диагностическое и терапевтическое.
Радиодиагностика — метод меченых атомов. Для осуществления радиодиагностики в организм вводят радионуклиды и определяют:
их расположение;
скорость их накопления;
активность в органах и тканях.
Типичным примером является обследование щитовидной железы: по показателям поглощения 1321 (период полураспада 2,26 часа) щитовидной железой оценивается ее функциональное состояние.
Для обнаружения распределения радионуклидов в разных органах используют гамма-топограф — прибор, который автоматически фиксирует распределение интенсивности радиоактивного препарата. Это сканирующий счетчик. Он последовательно проходит большие участки над телом пациента. Регистрация излучения фиксируется штриховой отметкой на бумаге.
Более точным является метод авторадиографии. При этом в объект вводятся радионуклиды. Затем на исследуемый объект наносится слой фотоэмульсии. Содержащиеся в объекте радионуклиды оставляют след в соответствующем месте эмульсии, как бы фотографируя себя. Полученный снимок называется радиоавтографом.
Широко используется метод радиоизотопная ангиография — исследование кровеносных и лимфатических сосудов после введения в них контрастного вещества в форме радиофармацевтических препаратов.
Во всех диагностических методиках радионуклиды вводятся в малом количестве и с малым периодом полураспада; ни они, ни продукты их распада не оказывают вредного действия.
Терапевтическое воздействие. Использование радионуклидов в терапевтических целях основано на разрушающем действии ионизирующего излучения на клетки опухолей.
Гамма-терапия — использование 7-излучения высокой энергии (источник 60 Со) для разрушения глубоко расположенных опухолей. Чтобы поверхностно расположенные ткани и органы не подвергались губительному действию, воздействие ионизирующего излучения осуществляется в разные сеансы по разным направлениям.
Алъфа-тераиия — лечебное использование а-частиц. Эти частицы обладают значительной линейной плотностью ионизации, поэтому поглощаются даже небольшим слоем воздуха. Использование альфа-частиц возможно при контакте с организмом или при введении внутрь (с помощью иглы). Применяется радоновая терапия с использованием 222 Rn: воздействие на кожу (ванны), органы пищеварения (питье), органы дыхания (ингаляции).
В некоторых случаях лечебное применение а-частиц связанно с использованием потока нейтронов. При этом методе в ткань (опухоль) предварительно вводят элементы, ядра которых под действием нейтронов вступают в ядерную реакцию с образованием а-частиц. Облучая после этого больной орган потоком нейтронов, вызывают ядерную реакцию и, следовательно, образование а-частиц. Таким способом а-частицы образуются прямо внутри органа, на который они должны оказать разрушительное воздействие. Радиоактивный препарат можно ввести в больной орган на острие иглы.
Ускорители заряженных частиц и ихиспользование в медицине
Ускоритель — установка, в которой под действием электрических и магнитных полей получаются направленные пучки заряженных частиц с высокой энергией (от сотен кэВ до сотен ГэВ).
В ускорителях заряженные частицы увеличивают свою энергию, двигаясь в электрическом поле. В зависимости от формы траектории частиц в процессе ускорения различают:
линейние ускорители, в которых траектория частицы близка к прямой линии;
циклические ускорители, в которых траектория частицы близка к окружности (или спирали).
Наибольшее распространение получили циклические ускорители. Рассмотрим принцип их действия на примере циклотрона.
Устройство циклотрона. Первый циклотрон был сконструирован в 1930 г. Э.О. Лоуренсом и М.С. Ливингстоном. Основной принцип действия циклотрона заключается в изменении
кинетической энергии заряженных частиц с помощью электрического поля при одновременном удержании их на круговой (спиральной) орбите магнитным полем, индукция которого перпендикулярна траектории (скорости) частиц.
Схема устройства циклотрона показана на рис. 33.2.
Рис. 33.2. Схема устройства циклотрона
Основными элементами циклотрона являются:
полост/ъ цилиндрической формы, рассеченная вдоль диаметра так, что образуются две части, называемые дуантами;
электромагнит (он не показан на рисунке), который создает магнитное поле, индукция которого В перпендикулярна плоскости дуантов;
высоковольтный источник питания, создающий разность потенциалов U между дуантами (внутри дуантов электрическое поле отсутствует); напряжение всегда должно иметь такую полярность, которая обеспечивает ускорение частиц, а не их торможение;
источник частиц S, расположенный рядом с центром дуантов;
устройство А для вывода пучка частиц.
Принцип действия
Полученные в результате ионизации заряженные частицы попадают в левый дуант. Под воздействием
магнитного поля В заряженные частицы движутся по круговой орбите (под действием силы Лоренца) до тех пор, пока они не выйдут из левого дуанта.
Далее частицы попадают в зазор между дуантами, где ускоряются электрическим полем. При этом ' энергия каждой частицы возрастет на величину
W = qU. (q — заряд частицы).
Пройдя зазор, частицы попадают в правый дуант, где вновь движутся по круговой орбите, но теперь уже ' большего радиуса, соответствующего их более высокой энергии.
4-
Пройдя правый дуант, частицы опять попадают в зазор и их кинетическая энергия снова возрастает (полярность напряжения, создаваемого высоковольтным источником, изменяется). Процесс 4. ускорения продолжается в течение многих переходов заряженных частиц через зазор. При каждом прохождении энергия частиц возрастает на величину qU. Поэтому частицы движутся по спирали все возрастающего радиуса.
Частицы приближаются к внешней стенке конструкции дуанта и выходят через устройство ' вывода А, который формирует пучок частиц высокой энергии.
Теоретическое описание движения частицы в циклотроне. На частицу в циклотроне действует сила Лоренца:
Fл = qvB.(33.1)
Движение частицы по окружности происходит под действием центростремительной силы, роль которой выполняет сила Лоренца, поэтому (2-й закон Ньютона)
^цс = С. m^jR = qvB,(33.2)
где R — радиус окружности, d — скорость движения частицы.
Из уравнения (33.2) можно найти скорость частицы:
(33.3)(33.3)d = qBR/m.
(33.3)
(33.3)
Найдем период обращения частицы в циклотроне:
Т = 2kR/v = ^m^qBY (33.4)
При этом не учитывается релятивистская зависимость импульса (количества движения) частицы от скорости. Из соотношения (33.4) следует, что период вращения Т не зависит от скорости частиды и радиуса траектории.
Время прохождения частицей любой полуокружности в каждом дуанте одинаково. Оно соответствует половине периода колебаний электрического поля. Следовательно, на каждые полоборота в дуантах частицы затрачивают одно и то же время и попадают в зазор строго в фазе с частицами, движущимися по орбитам других радиусов. Таким образом, магнитное поле обеспечивает вращение частицы по окружности, а электрическое поле — изменение ее кинетической энергии.
Циклотрон ускоряет протоны до энергии 20-25 МэВ. В циклотроне нельзя ускорять электроны до значительных энергий, так как они быстро достигают релятивистских скоростей.
Используются иные типы циклических ускорителей (принцип действия которых не рассматривается), ускоряющих различные частицы до разных энергий.
Использование ускорителей в медицине. Ускорители применяются в медицине как средства лучевой терапии и диагностики. Области применения показаны ниже.
Л У ч Е
В А Я
Т Е
Р А П И Я
1
Использование тормозного рентгеновского излучения, возникающего при торможении электронов, ускоренных бетатроном, что более эффективно, чем гамма-терапия, из-за большей энергии фотонов рентгеновского излучения (энергия 10 МэВ).
2
Лучевая терапия глубинных опухолей. Используется прямое действие ускоренных частиц: электронов и протонов. При этом наибольшее воздействие узкого пучка частиц оказывается не на поверхностные слои, а на опухолевые ткани, расположенные в глубине организма, так как наибольшая ионизация производится частицей непосредственно перед остановкой. Для лучевой терапии применяется и синхротронное излучение.
д и А Г Н О С т и к А
1
Получение сведений о средней плотности вещества посредством сравнения потока частиц до и после прохождения ткани, так как пробег тяжелых частиц зависит от плотности вещества (метод — ионная медицинская радиография). Преимущества перед рентгенографией в том, что он позволяет лучше различать структуру мягких тканей.
2
Ранняя диагностика злокачественных опухолей с помощью синхротронного излучения, которое может поглощаться преимущественно некоторыми элементами (например, йодом, который может иметь повышенную концентрацию в тканях). Поэтому возможна ранняя диагностика злокачественных опухолей.
Дозиметрия ионизирующего излучения
Необходимость количественной оценки действия ионизирующего излучения на различные вещества живой и неживой природы привела к появлению дозиметрии.
Дозиметрия — раздел ядерной физики и измерительной техники, в котором изучают величины, характеризующие действие ионизирующего излучения на вещества, а также методы и приборы для их измерения.
Количественно действие ионизирующего излучения (независимо от его природы) оценивается по энергии, переданной веществу. Для этого вводится величина — доза излучения (доза — порция).
Поглощенная доза (доза излучения) (D) — величина, равная отношению энергии Afi, переданной элементу облучаемого вещества, к массе Ат этого элемента:
D = ^Е/^т. (33.5)
В СИ единицей поглощенной дозы является грей [Гр].
Гр соответствует дозе излучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия ионизирующего излучения 1 Дж.
Иногда пользуются внесистемной единицей поглощенной дозы — рад:
1 рад = 10 2 Гр.
Экспериментально измерить дозу излучения трудно, так как тело неоднородно, энергия рассеивается по различным направлениям и т. п. Можно оценить поглощенную телом дозу по ионизирующему действию излучения в воздухе, окружающем объект.
Экспозиционная доза (X) характеризует ионизирующее действие рентгеновского и ^-излучения в воздухе, окружающем облучаемое тело.
В СИ единицей экспозиционной дозы является кулон на килограмм.
1 Кл/кг соответствует экспозиционной дозе фотонного излучения, при которой в результате ионизации в 1 кг сухого воздуха (при нормальных условиях) образуются ионы, несущие заряд, равный 1 Кл каждого знака.
На практике пользуются единицей, которая называется рентген [Р].
1 Р = 2,58- 10"4 Кл/кг.
При экспозиционной дозе 1 Р в результате ионизации в 1 см3 сухого воздуха при нормальных условиях образуется 2 • 109 пар ионов. Связь между поглощенной и экспозиционной дозами:
D = /X,(33.6)
где / — некоторый коэффициент, зависящий от облучаемого вещества и энергии фотонов. Для костной ткани / = 1-4,5, для воды и мягких тканей / « 1. Поэтому для воды и мягких тканей поглощенная доза излучения в радах численно равна соответствующей экспозиционной дозе в рентгенах (1 рад = = 1 Р). Это обуславливает удобство использования внесистемных единиц рад и Р.
Эквивалентная доза (Я) используется для оценки действия ионизирующего излучения на биологические объекты; она имеет ту же размерность, что и поглощенная доза излучения, но название другое.
В СИ единицей эквивалентной дозы является зиверт [Зв]:
1 Зв = 1 Дж/кг.
Внесистемная единица эквивалентной дозы - бэр;
бэр = К)2 Зв.
(Бер — аббревиатура слов «биологический эквивалент рентгена» ).
Следует учитывать различие в биологическом действии разных видов ионизирующего излучения при одинаковой поглощенной дозе излучения. Между экспозиционной и поглощенной дозами есть связь:
Н = KD, (33.7)
где К — коэффициент качества.
В дозиметрии принято сравнивать биологические эффекты различных излучений с соответствующими эффектами, вызванными фотонным излучением: рентгеновским и 7-излучением.
Коэффициент качества (К) показывает, во сколько раз эффективность биологического действия данного вида излучения больше, чем фотонного, при одинаковой дозе излучения в тканях.
Коэффициент К — безразмерная величина, поэтому размерности поглощенной и эквивалентной доз одинаковы (хотя названия разные).
Коэффициент качества устанавливается на основании опытных данных. Он зависит не только от вида частицы, но и от ее энергии. В табл. 33.1 представлены приближенные значения К для некоторых излучений.
Таблица 33.1. Значения коэффициента качества
Вид излучения
К
1. Рентгеновское (энергия кванта > 150 кэВ), 7-, /3-излучения
1
2. Рентгеновское (энергия кванта до 150 кэВ) излучение
2
3. Тепловые нейтроны (0,01 эВ)
3
4. Нейтроны (5 МэВ)
7
5. Нейтроны (0,5 МэВ), протоны
10
6. «-излучение
20
Биологическое действие. Биологическое действие излучения с различной эквивалентной дозой показано в табл. 33.2.
Таблица 33.2. Биологическое действие
Эквивалентная доза, бэр
Биологический эффект
0-0,1
Угнетение жизнедеятельности (замедленное деление, ухудшение развития)
0,1-0,2
Оптимум жизнедеятельности
0,2-5
Стимуляция жизнедеятельности (стимулирование и развитие, повышение сопротивления неблагоприятным условиям среды)
5-10
Регистрация мутаций
10-25
Для взрослого человека видимых нарушений нет, для эмбриона могут быть поражения мозга
25-50
Временная мужская стерилизация. Возможны изменения в крови
50-100
Обязательно есть изменения в крови, нарушение иммунитета
100-200
Иммунодефицитное состояние
200-400
Потеря трудоспособности, инвалидизация
400-500
Тяжелое поражение костного мозга, 50% смертность
600-1000
Тяжелое поражение слизистой кишок, 100% смертность 3-12 дн.
1000-10 000
Коматозное состояние, смерть через 1-2 часа
Н > 10 000
Смерть под лучом
Экспозиционная доза облучения при медицинских обследованиях представлена в табл. 33.3.
Таблица 33.3
Ткани органа
Метод обследования
Рентгеноскопия
Рентгенография
Флюорография
Легкие
3,5 Р
0,15 Р
1,1 Р
Желудок
25 Р
0,46 Р
-
Пищевод
8,5 Р
0,27 Р
-
г) Эффективная эквивалентная доза (//эф). Важно учитывать, что биологический эффект воздействия даже одного и того же вида излучения на разные органы различен. Если некоторый коэффициент риска (6) при облучении всего организма принять за единицу, то для отдельных органов этот коэффициент будет иметь следующие значения:
0,12 — красный костный мозг,
0,03 — костная ткань,
0,03 — щитовидная железа,
0,15 — молочная железа,
0,12 — легкие,
0,25 — яичники или семенники,
0,30 — другие ткани.
В связи с этим вводится эффективная эквивалентная доза (^эф):
Яэф = 6 • Я,(33.8)
где b — коэффициент риска для данного органа.
Соотношения между различными дозами
Таблица 33.4. Соотношения между различными дозами
Поглощенная доза излучения D
Экспозиционная доза
Эквивалентная доза Н
Эффективная эквивалентная доза (Яэф)
D = f X
Н = К • D
нЭф = ь. н
СИ: Гр = Дж/кг
СИ: Кл/кг
СИ: Зв = Дж/кг
Практ.: 1рад = 10-2 Гр
1 Р = 2,58 х х 10-4 Кл/кг
1 бэр = 10-2 Зв
Мощность дозы
Доза облучения пропорциональна времени действия ионизирующего облучения. Вводят количественную характеристику — мощность дозы.
Мои^ностъ дозы (N) — величина, определяющая дозу, полученную объектом за единицу времени.
При равномерном действии излучения мощность поглощенной дозы Nd численно равна отношению дозы D ко времени Г в течение которого действовало ионизирующее излучение:
Nd = D/t.(33.9)
Мощность экспозиционной дозы
Nx = X/t.
Мощность экспозиционной дозы связана с активностью А радиоактивного препарата (для точечного источника):
хр = А7А/г2,(33.10)
где т — расстояние от источника, к^ — гамма-постоянная, характерная для данного радиоактивного препарата.
Мощность эквивалентной дозы
NH = H/t.(33.11)
Соотношения между единицами доз приведены в табл. 33.5.
Таблица 33.5
Доза
Единицы в СИ
Внесистемные единицы
Поглощенная доза
Дж/кг = Гр (грей) 1 Гр = 100 рад
рад
1 рад = 10-2 Гр
Мощность поглощенной дозы
Вт/кг = Гр/с
рад/с
Экспозиционная доза
Кл/кг Кл/кг = 3876 Р
Р (рентген) 1 Р = 2,5810"4 Кл/кг
Мощность экспозиционной дозы
К л/(кг • с) = А/кг (ампер на кг)
Р/с
Эквивалентная доза
Дж/кг = Зв (зиверт) 1 Зв = 100 бэр
бэр
1 бэр = 10-2 Зв
Мощность эквивалентной дозы
Зв/с = Дж/(кг • с)
бэр/с
Нормы радиационной безопасности определяется предельно допустимой эквивалентной дозой за год (ПДД):
ПДД для взрослого населения — 0,5 бэр/год = 5 мЗв/год;
ПДД для детей, беременных женщин — 0,17 бэр/год = = 1,7 мЗв/год;
ПДД для профессионалов — 5,0 бэр/год = 50 мЗв/год.
Предельно допустимые мощности экспозиционной дозы:
норма — 0,02 мР/ч = 20 мкР/ч;
профессиональная норма — 0,57 мР/ч = 570 мкР/ч.
Летальные дозы (ЛД) для облучения всего организма:
ЛД50 - 400 Р; ЛД90 - 800 Р,
где цифры 50, 90 означают 50%, 90% летальных исходов. Формы лучевой болезни представлены в табл. 33.6.
Таблица 33.6. Влияние поглощенной дозы на патологические
процессы
Поглощенная доза при однократном облучении
Патологический процесс
1-4 Гр
Развитие иммунодефицита, опухоль кожи, уменьшение количества клеток в тимусе
4-6 Гр
ЛД50, костномозговая форма
6-10 Гр
Кишечная форма (менее 2 недель)
10-100 Гр
ЛД90, церебральная форма (несколько часов)
Естественный ^природный^ радиационный фон создается естественными радиоактивными источниками: космические лучи (0,25 мЗв/год); радиоактивность недр (0,52 мЗв/год); радиоактивность пищи (0,2 мЗв/год).
Это соответствует общей мощности (1-2) мЗв/год, или (10-20) мкР/ч.
Мощность эквивалентной дозы, соответствующая нормальному радиационному фону, равна 1,25 мЗв/год (125 мбэр/год). Предельно допустимый фон составляет 5 мЗв/год.
На земном шаре есть места, где нормальный фон равен 13 мЗв/год.
Дозиметрические приборы
Дозиметры — устройства для измерения доз ионизирующего излучения или величин, связанных с дозами. Дозиметр содержит в себе детектор излучения и измерительное устройство, которое градуировано в единицах дозы или мощности. Иногда они имеют сигнализацию.
На практике часто используются:
радиометр — прибор для измерения активности или концентрации радиоактивных изотопов;
рентгенометр — прибор для измерения экспозиционной дозы рентгеновского и гамма-излучения; детектором является ионизационная камера; заряд, протекающий в цепи камеры, пропорционален экспозиционной дозе, а сила тока — ее мощности.
Способы защиты от ионизирующегоизлучения
На организм оказывают воздействие ионизирующие излучения разного происхождения:
радиационный фон:
космические лучи — излучение, приходящее на Землю извне;
естественная радиоактивность (недра, почва, вода, воздух);
радиоактивность ядер, входящих в состав тела человека (внутреннее облучение);
техническое излучение:
радиоактивность пищи;
радионуклиды и фотонное облучение, используемые в медицине;
технические установки, а особенно аварийные ситуации на них;
военные системы, а также аварийные ситуации на них;
атомные взрывы.
Защита от негативных последствий излучения и некоторые способы уменьшения дозы облучения указаны ниже. Различают три вида защиты: защита временем, расстоянием и материалом.
Защита временем и расстоянием. Для точечного источника экспозиционная доза определяется полученным из (33.10) следующим соотношением:
X = ЦА1/-А(33.12)
из которого видно, что она прямо пропорциональна времени и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.
Отсюда следует естественный вывод: для минимизации поражающего радиационного действия необходимо находиться как можно дальше от источника излучения и по возможности меньшее время.
Защита материалом. Если расстояние до источника радиации и время облучения не возможно выдержать в безопасных пределах, то необходимо обеспечить защиту организма материалом. Этот способ защиты основывается на том, что разные
вещества по-разному поглощают попадающие на них всевозможные ионизирующие излучения. В зависимости от вида излучения применяют защитные экраны из различных материалов:
альфа-частиуы — бумага, слой воздуха толщиной несколько сантиметров, стеклянный кожух;
бета-частиуы — стекло толщиной несколько сантиметров, пластины из алюминия (следует иметь в виду, что при взаимодействии бета-частиц с веществом могут появиться рентгеновское и гамма-излучения);
рентгеновское и гамма-излучения — бетон толщиной 1,5-2 м, свинец (эти излучения ослабляются в веществе по экспоненциальному закону; нужна большая толщина экранирующего слоя; в рентгеновских кабинетах часто используют резиновый про- свинцованный фартук);
поток нейтронов — замедляется в водородосодеожащих веществах, например, воде, а затем поглощается в кадмиевых стержнях — поглотителях.
Для индивидуальной защиты используются респираторы^ оснащенные высокоэффективной фильтрующей тканью, которая защищает от внутреннего облучения.
В экстренных ситуациях можно воспользоваться защитными свойствами жилых домов. Так, в подвалах деревянных домов доза внешнего облучения снижается в 2-7 раз, а в подвалах каменных домов — в 40-100 раз.
При радиоактивном заражении местности контролируется активность одного квадратного километра, а при заражении продуктов питания — их удельная активность. В качестве примера можно указать, что при заражении местности более чем 40 Ки/км2 производят полное отселение жителей. Молоко с удельной активностью 2 • 1011 Ки/л и более не подлежит употреблению.
§ 33.9. Элементы реабилитологии. Методырадиографии. Радиационная гигиена
Методы радиографии. Для реабилитационной медицины всегда важным является оценка функционального состояния тех или иных органов, Для этого используются (наравне с другими методами) радионуклидные методы.
Радиометрия — измерение уровня накопления изотопов (ра- диофармакологических препаратов (РФП)) в исследуемом органе или биологических пробах в разные интервалы времени.
Радиография — непрерывная регистрация скорости прохождения изотопа через орган. Результаты измерений изображаются в виде кривых — радиограмм, которые подвергаются анализу и сравниваются с нормой. Методики радиографии в зависимости от цели исследования имеют соответствующие названия.
Название метода
Цель исследования
Радиокардиография
Регистрация скорости прохождения РФП через камеры сердца для определения минутного объема
Радио- гепатография
Регистрация скорости прохождения РФП через паренхиму печени для оценки поглотительной и выделительной функции
Радиоренография
Регистрация скорости прохождения РФП через почки с целью диагностики нарушений секреторной и выделительной функции каждой почки
Радио- церебрография
Регистрация скорости прохождения РФП через полушария мозга для определения нарушений мозгового кровотока
Радио- пульмонография
Регистрация скорости прохождения РФП через легкие (их отдельные сегменты) для определения параметров функции каждого легкого и сегментов
Методы изучения распределения в органах и тканях введенного РФП с получением их изображения на бумаге, фотографиях или экране дисплея носят название сканирование и сцинтиграфия. При этом врач получает объективные данные о размерах, форме, топографии органа и наличии в нем диффузных или очаговых патологических изменений.
Радиационная гигиена газа радона. Существенным среди естественных источников радиации является невидимый, не имеющий вкуса и запаха тяжелый газ радон (лекция 32).
Поступление радона в помещение складывается из следующих источников.
Таблица 33.7. Поступление радона в помещения
Источники
Радиоактивность (кБк)
Природный газ
3
Вода из водоемов
(Вода из артезианских скважин содержит радона во много раз больше)
4
Наружный воздух
10
Стройматериалы и грунт под зданием
60
Эмиссия радона уменьшается при облицовке стен некоторыми материалами. Даже при оклейке стен обоями эмиссия радона уменьшается примерно на 30%.
Герметизация помещений с целью утепления затрудняет выход радиоактивного газа из помещения, что ведет к увеличению его концентрации. Поэтому чрезвычайно важно регулярно проветривать помещения.
Особо следует обратить внимание на содержание радона в воде. При кипячении воды и приготовлении горячих блюд радон в значительной степени улетучивается. Основное поступление в организм с пищей связано с употреблением не кипяченой воды. Радон поступает в организм и другим путем: попадание паров воды с высоким содержанием радона в легкие вместе с вдыхаемым воздухом, что чаще всего происходит в ванной комнате. При включении теплого душа концентрация радона и его дочерних продуктов в ванной возрастает в десятки раз. Снижение их концентрации до исходного уровня происходит достаточно медленно.
Лекция 34
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Волновая функция, ее физический смысл.
Соотношения неопределенностей.
Уравнение Шредингера.
Решение уравнения Шредингера для частицы в «потенциальной яме».
Электронные энергетические уровни атомов.
Энергетические уровни молекул.
Излучение и поглощение энергии атомами и молекулами.
Квантовая механика — раздел физики, в котором рассматриваются законы и уравнения, описывающие движения микрочастиц. Микрочастицами называют элементарные частицы, а таксисе атомы, молекулы и ионы.
После того как физики научились получать потоки одинаковых микрочастиц и наблюдать их, оказалось, что поведение микрочастиц очень сильно отличается от поведения тел в макромире. Так, например, было установлено, что если поток электронов направить на узкую щель, за которой расположена фотопластинка, то после проявления на ней обнаружится дифракционная картина, полностью аналогичная картине, возникающей при дифракции света на щели (см. дифракция света на щели). Зависимость интенсивности потока электронов /е, в данном месте фотопластинки, от синуса угла, под которым это место видно из центра щели, показана на рис. 34.1.
Электроны,падающиена щель
sin а
Рис. 34.1. Дифракция электронов на щели
Дифракция присуща волновым процессам, поэтому была выдвинута гипотеза о том, что микрочастицы обладают волновими свойствами.
Волновая функция, ее физический смысл
Волновая функция. Гипотеза о том, что микрочастицы обладают волновыми свойствами, была высказана французским физиком-теоретиком Луи де Бройлем, за что он получил Нобелевскую премию (1929). Согласно этой гипотезе, движение микрочастиц с массой т и скоростью и подобно волновому процессу, длина волны которого определяется по формуле
А = h/mv,(34.1)
где h — постоянная Планка ^h = 6,6 • 10-34 Дж-с).
Для описания состояний микрочастиц в квантовой механике используют волновую функцию Ф(ж, у, z, f), зависящую от координат и времени. Эта функция аналогична функции для механической волны (см. лекцию 7). Далее мы будем рассматривать только стационарное состояние, в котором энергия частицы имеет определенное (и не меняющееся со временем) значение. Для стационарного состояния волновую функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей,
^(х, у, z,У,(34.2)
один из которых зависит только от координат, а другой только от времени.
Для стационарного состояния зависимость от времени не существенна, и для описания используется только функция ^(ж, у, z\
Физический смысл волновой функции. Выделим в пространстве достаточно малый объем dV = dxdydz, в пределах которого значения волновой функции можно считать одинаковыми. Вероятность dW того, что частица находится в выделенном объеме, пропорциональна его величине и зависит от квадрата модуля ф-функции:
Отсюда следует физический смысл волновой функции:
|^|2 = dW/dV. (34.4)
Квадрат модуля волновой функции равен вероятности нахождения частицы в единичном объеме, то есть плотности вероятности.
Интегрирование выражения (34.3) по некоторому объему V позволяет определить вероятность нахождения частицы в этом объеме:
W = |^2|Ж (34.5)
V
Соотношения неопределенностей
В классической физике предполагается, что, располагая «хорошими» измерительными приборами, можно с любой степенью точности определить все величины, характеризующие состояние тела в данный момент времени, например, координату материальной точки и проекцию ее импульса на соответствующую ось.
В квантовой механике считается, что: существуют такие пары величин, характеризующих состояние микрочастицы, которые не могут в один и тот же момент времени быть точно измерены (иметь точные значения). Мы рассмотрим две такие пары: «координата-проекция импульса» и «энергия-время».
Немецкий физик-теоретик В. Гейзенберг (1927) выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик так, чтобы они одновременно имели точные значения. Он предложил соотношения неопределенностей.
Соотношение неопределенностей для координаты и проекции импульса. Пусть известно, что координата частицы лежит в интервале (ж, ж + Аж), а проекция импульса на ось X лежит в интервале (рж, рж + Арж). Величины Аж и Арж называются неопределенностями соответствующих параметров. Между ними имеет место следующее соотношение неопределенностей:
Из соотношения (34.6) следует, что чем точнее определена координата (ж) частицы, тем более неопределенной будет проекция ее импульса (р) на эту ось: если Аж 0, то Арж А ос и наоборот. Это приводит к тому, что если мы достаточно точно определили импульс частицы (а значит и ее скорость), то мы очень плохо знаем ее положение (то есть траекторию).
Для других координатных осей выполняются аналогичные соотношения:
Ар • Ар^ h/(2тг), Аг • Арг h/(2тг). (34.7)
Невозможность одновременного точного определения координаты и соответствующей составляющей импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственную корпускулярно-волновую природу.
Соотношение неопределенностей для энергии и времени. Пусть известно, что частица находится в некотором состоянии в течение временного интервала (f, f + Af) и обладает в этом состоянии энергией из интервала ^Е, Е + АЕ). Величины Af и А£ также называются неопределенностями. Между ними имеет место аналогичное (34.7) соотношение неопределенностей:
^E -М^ /г,/(2тг). (34.8)
Из соотношения (34.7) следует, что чем меньше интервал времени, в течение которого частица может находиться на некотором энергетическом уровне, тем более неопределенной является энергия, которой она обладает: если Af -э 0, то ДЕ ч ос и наоборот. Это приводит к тому, что энергия фотона, испускаемого микрочастицей при переходе с одного энергетического уровня на другой, становится также неопределенной. Соотношение (34.8) имеет физический смысл и в том, что из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, а потому соответствующий уровень характеризуется конечной шириной, рис. 34.2.
Поэтому и частота испускаемого фотона имеет некоторый разброс: АЕ = А(Л^) = /zAza
Это явление действительно наблюдается и называется уширением (размытостью) энергетических уровней.
д
Е,
Е„
Рис. 34.2. Соответствующий энергетический уровень характеризуетсяконечной шириной
Уравнение Шредингера
Уравнение, определяющее волновую функцию (волновое уравнение), было составлено Э. Шредингером, австрийским физиком-теоретиком (1887-1961).
По своему значению это уравнение квантовой механики аналогично 2-му закону Ньютона в классической механике, но нахождение его решений — задача во много раз более сложная. Поэтому мы рассмотрим только простейшую ситуацию, которая демонстрирует особенности стационарных состояний микрочастицы.
Применительно к любому стационарному состоянию уравнение Шредингера записывается в следующем виде:
d1^/dx1 + d2^/dy2 + d2^/ dz2 + (8тг2т/h2^E — E^ •= 0,
(34.9) где m — масса частицы, E и En — ее полная и потенциальная энергии.
Рассмотрим одномерный случай, когда частица перемещается только вдоль оси ОХ. В этом случае уравнение (34.9) упрощается:
d^^ldx2 + (8тг2т//г2) • (Е - Еп) • ^ = 0.(34.10)
Потенциальная энергия Еп определяется воздействием силового поля, в котором находится частица.
Решение уравнения Шредингера длячастицы в «потенциальной яме»
Термин «потенциальная яма» принадлежит физическому жаргону. Поясним его следующим примером. Пусть небольшое тело, масса которого т, находится на дне обычной ямы глубиной Н. Если тело поднять на уровень, соответствующий краям ямы, то его потенциальная энергия увеличится на mgH. Для того чтобы тело смогло «выскочить» из ямы, оно должно обладать такой же (или большей) кинетической энергией.
Таким образом, термин «потенциальная яма» применяется к состоянию частицы, для выхода из которого ей необходима определенная энергия (в нашем примере Ек ^ mgH). Если частица принципиально не может выйти из данного состояния, то говорят, что у ямы бесконечно высокие стенки (или что яма бесконечно глубокая). Именно этот случай мы и рассмотрим: частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, рис.34 .3.
Е^-^Е=0 Е^ш
О L X
Рис. 34.3. Одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечновысокими стенками
Пусть частица может перемещаться только вдоль оси X, и ее движение ограничено непроницаемыми стенками: х = 0 и х = L. Между стенками движение частицы является свободным, то есть на нее не действуют внешние силы. В этом случае вероятность обнаружить частицу за пределами интервала (О, L) равна нулю. Учитывая смысл волновой функции, запишем:
^(ж) = 0, при х < 0 и х L. (34.11)
Поскольку движение частицы происходит без воздействия внешних сил, можно принять, что ее потенциальная энергия равна
нулю (Еп = 0). Поэтому уравнение Шредингера (34ЛО) записывается в упрощенном виде:
d2^/dx2 + (Вт^ш/Л2) • Е • ф) = 0.(34Л2)
Введя обозначение
S^mE/h2 = w2,(34ЛЗ)
получим
d2ф)/dx2 + ш2ф) = 0.(34Л4)
Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению механических гармонических колебаний (см. лекцию 6). Его решение имеет вид
= фо cos(wx + ^о),(34.15)
где фо — амплитуда волновой функции, ср о — ее начальная фаза. Отметим, что фо / 0, так как в этом случае волновая функция была бы равна нулю на всей оси (это означало бы, что в яме нет частицы).
Уравнение (34.15) показывает, как меняется волновая функция в зависимости от координаты х. В это уравнение входят постоянные ^о и ^о, а также параметр и) (связанный с Еф Чтобы найти их физический смысл, используем граничные условия (34.11).
х = 0 (левая граница потенциальной ямы). При этом ф = 0; тогда выражение (34.15) приобретет вид 0 = ^о * cos(0 + + ^о) — ^о * cos((/?o) — 0. Поскольку ^0 ^ 0, нулю равняется второй сомножитель cos(^o) — 0. Отсюда получаем:
ро = тг/2.(34.16)
х = L (правая граница потенциальной ямы). При этом ф = 0 и выражение (34.15) приобретет вид 0 = ^qcos^ooL + + тг/2) = —z0osin(^^) — 0. Второй сомножитель обращается в 0, когда coL = тгп, где n = 1, 2, 3, . . .
Отсюда получаем набор возможных значений w, который называют спектром волновой функции:
С учетом выражений (34.13) и (34.17) находим полную энергию частицы:
Е = (ш2 /г2) / (8тг2т) = (тг2тг2 h2) / (Ь28тг2т) = (h2/8mL2)n2,
En = [/z2/(8mL2)]n2.(34.18)
Подставив найденные значения (34.16) и (34.17) в уравнение волновой функции (34.15), получим следующее выражение:
../П7ГХ 7Г\
• cos — + 2 ) •
Амплитуда волновой функции находится из условия нормировки: вероятность того, что частица находится в пределах 0 < х < < L^ равна 1. Используя (34.5), запишем:
L
, Г ,927Г\ ,
1= V’o-c08 (-^+2)dx'
О
Отсюда получается, что ^о — V^/L (вычисления не приводятся).
Таким образом, окончательное выражение для волновой функции частицы, находящейся в потенциальной яме, принимает следующий вид:
,ГПЖХ 7Г
(34.19)(34.19)-ф = y2/Lcos (^—— + -
(34.19)
(34.19)
Если возвести (34.19) в квадрат, то получим выражение для плотности вероятности 1^12 нахождения электрона в разных точках потенциальной ямы.
На рис.34.4 изображены уровни энергии частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Здесь же представлены для п = 1, 2, 3 собственные функции (34.19) (рис. 34.4а) и плотности вероятности (рис. 34.45) обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Из рисунка следует, что, например, в состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на непригодность представлений о траектории частиц в квантовой механике. Классическая частица с равной вероятностью может быть в любой точке «ямы», рис. 34.4б.
Рассмотренный пример позволил выявить отличия квантовой механики от классической механики. Они заключаются в том, что микрочастица может принимать состояния только из некоторого дискретного ряда значений. Эти состояния характеризуются набором целых чисел, которые называются квантовыми числами. Мы нашли только одно квантовое число — п, которое характеризует энергию микрочастицы и называется главним квантовым числом. Другие характеристики микрочастицы (момент импульса, проекция момента импульса на координатную ось, спин) также принимают дискретные значения и характеризуются своими квантовыми числами.
Рис. 34.4. Частица в потенциальной яме: а) волновая функция для микрочастицы, б) плотность вероятности для микрочастицы частицы, в) плотность вероятности для классической частицы
§ 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Уравнение Шредингера можно применить и к более сложным системам, например, к электрону в атоме. Это приведет также к дискретности энергетических уровней. Электронных энергетических уровней в атоме больше, чем электронов. Электроны в невозбужденном состоянии заполняют нижние энергетические уровни, а верхние уровни остаются свободными (рис. 34.5). Если атом получает энергию из окружающей среды в результате столкновения с другими атомами или поглощая квант света, то он переходит в возбужденное состояние. При этом какой- либо электрон атома переходит с нижнего уровня на один из верхних. Через небольшой промежуток времени он возвращается на нижний уровень, испуская квант света соответствующей
частоты. Этим объясняется дискретность спектров испускания и поглощения у газов.
Рис. 34.5. Электронные энергетические уровни атомовРис. 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Рис. 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Рис. 34.5. Электронные энергетические уровни атомов
Состояние электронов в изолированном атоме и состояние электронов плотных веществ различаются. Рассмотрим, как выполняются основные положения квантовой теории в этом случае на примере твердого тела.
В твердом теле (кристалле) соседние атомы расположены настолько близко друг к другу, что между ними происходит взаимодействие. При этом на электроны влияет не только ядро собственного атома. Они подвергаются влиянию ядер и электронов соседних атомов, вследствие чего состояния электронов изменяются. Воздействие на электрон многих атомов вызывает смещение и расщепление его энергетических уровней. Заметное расщепление уровней наблюдается в основном у валентных электронов. При этом спектр возможных значений их энергии распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон (рис. 34.6).
Запрещенные зоныЗапрещенные зоныРазрешенные зоныРазрешенные зоны
Запрещенные зоны
Запрещенные зоны
Разрешенные зоны
Разрешенные зоны
Рис. 34.6. Разрешенные и запрещенные зоны в кристалле
Значения энергии, лежащие в запрещенных зонах, реализоваться не могут. В разрешенных зонах энергетические уровни расположены настолько «густо», что изменение энергии можно
считать непрерывным. Не вдаваясь в детали, отметим, что зонная структура энергетических уровней получается из решения уравнения Шредингера для электрона, который движется в периодическом силовом поле кристаллов.
Рассмотрим два типа разрешенных зон, которые объясняют проводящие и диэлектрические свойства веществ:
валентная зона — совокупность энергетических уровней
валентных электронов;
свободная зона — разрешенные уровни энергии, которые остаются незанятыми при температуре абсолютного нуля;
зона проводимости — незаполненная при абсолютном нуле часть валентной зоны или свободная зона, лежащая над валентной зоной.
При температуре абсолютного нуля валентные электроны занимают нижние уровни валентной зоны и отделяться от атомов не могут — в веществе нет свободных электронов. Над валентной зоной располагается запрещенная зона, за которой следует разрешенная зона. При абсолютном нуле она не заполнена и потому называется свободной (рис. 34.7).
Не заполненная валентная зонаНе заполненная валентная зонаЗаполненная валентная зонаЗаполненная валентная зонаЗаполненная валентная зонаЗаполненная валентная зонаметаллметаллполупроводникполупроводникв) диэлектрикв) диэлектрик
Не заполненная валентная зона
Не заполненная валентная зона
Заполненная валентная зона
Заполненная валентная зона
Заполненная валентная зона
Заполненная валентная зона
металл
металл
полупроводник
полупроводник
в) диэлектрик
в) диэлектрик
Рис. 34.7. Расположение зон у различных веществ
У металлов валентная зона заполнена не полностью. Поэтому достаточно сообщить электрону небольшую энергию (10-23-10-22 эВ), чтобы перевести его на один из свободных уровней валентной зоны и сделать его свободным электроном (его даже не нужно переводить в свободную зону). Для этого достаточно энергии теплового движения, которая уже при температуре 1 К составляет 10-4 эВ. Поэтому металлы остаются проводниками при самых низких температурах.
У полупроводников и диэлектриков валентные зоны заполнены полностью. Поэтому чтобы сделать электрон свободным^ его нужно переместить через запрещенную зону в ближайшую свободную зону.
У полупроводников ширина запрещенной зоны невелика (несколько десятых эВ). Поэтому энергии теплового движения достаточно, для того чтобы преодолеть запрещенную зону и перевести часть электронов в свободную зону. Чем выше температура, тем больше доля таких электронов. Этим и объясняется уменьшение сопротивления полупроводников при нагревании.
У диэлектриков ширина запрещенной зоны составляет несколько эВ, и энергии теплового движения недостаточно, для того чтобы сколько-нибудь заметное количество электронов смогло преодолеть запрещенную зону. Диэлектрики практически не проводят электрический ток.
Таким образом, квантовая теория оказалась способной сделать то, чего не могла сделать классическая физика: объяснить проводящие свойства веществ.
Энергетические уровни молекул
Молекулы состоят из взаимодействующих атомов. Вследствие этого внутримолекулярное движение сложнее внутриатомного. В молекуле проявляются различные типы движения:
движения электронов относительно ядер;
колебательное движение атомов около центра тяжести молекулы;
вращательное движение молекулы как целого вокруг каких-либо осей.
На рис. 34.8. представлены схематично типы движения двухатомной молекулы.
абв
Рис. 34.8. Различные формы движения в двухатомной молекуле: а) движение электронов относительно ядер, б) колебательное движение атомов около их положения равновесия, в) вращательное движение молекулы как целого вокруг оси
Электронному, колебательному и вращательному движениям молекулы соответствуют три типа уровней энергии: Еэл, Екол, Евр. Полная энергия молекулы равна
Е = Еэл + Екол + Евр.
Согласно квантовой механике, колебательная и вращательная энергии молекул, так же как и электронная энергия, имеют квантовый характер, то есть изменяются дискретно. Расстояния между колебательными уровнями энергии молекулы гораздо меньше, чем расстояния между электронными уровнями. Поэтому каждый электронный уровень молекулы распадается на ряд колебательных уровней (или подуровней). В свою очередь каждому колебательному уровню молекулы соответствует ряд вращательных подуровней, расстояние между которыми еще меньше, чем между колебательными уровнями. На рис. 34.9 дана схема относительного расположения уровней этих трех основных составляющих полной энергии для простейшей двухатомной молекулы: электронной Е№ колебательной Екол и вращательной Евр.
Рис. 34.9. Общая схема энергетических уровней молекул: Э — электронные, К — колебательные, В — вращательные уровни
На схеме показаны только два электронных уровня. Расстояние между однотипными соседними уровнями различны:
между электронными уровнями — несколько эВ; переходы между этими уровнями соответствуют видимому и ультрафиолетовому излучению;
между колебательными уровнями — 10-1-10-2 эВ; переходы между этими уровнями соответствуют инфракрасному излучению;
между вращательными уровнями — 10-5-10-3 эВ; переходы между этими уровнями соответствуют далекой инфракрасной области и микроволновому диапазону (СВЧ).
У многоатомных молекул эти наборы сильно усложняются по сравнению с приведенной схемой, но общая закономерность состоит в том, что Еэл > Екол > Евр. Различия в энергиях между электронными состояниями также наибольшие; относительно ближе друг к другу расположены колебательные уровни и еще теснее сгруппированы вращательные уровни энергии.
Излучение и поглощение энергии атомамии молекулами
Атом и молекула могут находиться в стационарных энергетических состояниях с энергией (34.18). В этих состояниях они не излучают и не поглощают энергии. При квантовых переходах атомы и молекулы скачкообразно переходят из одного стационарного состояния в другое. Излучаемая при переходах энергия определяет спектр испускания, а поглощаемая — спектр поглощения вещества.
Переход в атомах. Изменение состояния атома связано с энергетическими переходами электронов. При переходе электрона выделяется или поглощается энергия в виде кванта электромагнитного излучения. Если начальная энергия атома была Ei а конечная — после перехода электрона с одной орбиты на другую — Е^ то энергия АЕ, выделяемая или поглощаемая при переходе, будет в точности равна разности энергий начального и конечного стационарных состояний:
АЕ = Ei - Ek = hv, (34.20)
15 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
где h — постоянная Планка, v — частота излучаемого или поглощаемого кванта.
Соотношение (34.20) выражает закон сохранения энергии при квантовых переходах между каким-либо свободным и каким- либо заполненным уровнями.
Таким образом, энергии излучения и поглощения имеют квантовых характер: они могут принимать не любые значения, а только определенный ряд дискретных значений.
На практике это проявляется в том, что атомные спектры излучения и поглощения состоят из отдельных узких линий, то есть являются линейчатыми. Чем больше энергетический зазор между уровнями, тем выше частота спектральной линии (энергия поглощаемых или испускаемых квантов).
Переход в молекулах. В результате того, что электронные уровни молекул распадаются на колебательные и вращательные подуровни, количество возможных энергетических переходов молекул значительно возрастает по сравнению с атомами. Полное изменение энергии молекулы имеет квантовый характер:
hv = ^E = ^EЭЛ + ^EKOЛ + ^Eвp. (34.21)
Это приводит к значительному усложнению молекулярных спектров, которые в отличие от атомных спектров имеют не линейчатый, а сплошной характер. Спектральные полосы имеют форму, напоминающую кривые гауссова распределения, их полуширина (ширина на половине высоты) варьирует в пределах 30-70 нм.
Спектры — источники информации. Спектр испускания формируется энергией, испускаемой атомом или молекулой. Спектр поглощения формируется энергией, поглощаемой атомом или молекулой.
По виду спектра можно идентифицировать атомы и молекулы, что лежит в основе качественного спектрального анализа. По интенсивности спектральных линий можно определить количество излучающих (поглощающих) атомов, что составляет основу количественного спектрального анализа. Таким методом определяют наличие примесей в концентрациях до 10-6 %; устанавливают состав образцов очень малой массы — до 10-6 г.
Спектры являются источниками информации о строении атома или молекулы, структуре их энергетических уровней, подвижности отдельных частей больших молекул. Спектры являются важным источниками информации о биологически функциональных атомах и молекулах и широко используются в современных биохимии и биофизике.
15*
Лекция 35
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ
Поглощение света. Закон Бугера.
Поглощения света растворами. Закон Бугера-Ламберта-Бера.
Коэффициент пропускания, оптическая плотность.
Спектры поглощения.
Рассеяние света.
Зависимость рассеяния от длины волны.
Ослабление при совместном действии поглощения и рассеяния.
Элементы реабилитологии. Факторы, влияющие на рассеяние света в атмосфере. Оптические параметры кожи в области видимого света.
При распространении света в веществе его интенсивность может уменьшаться вследствие поглощения и рассеяния света частицами вещества.
Поглощение света. Закон Бугера
При прохождении света через вещество часть энергии расходуется на возбуждение атомов или молекул. Некоторая доля этой энергии возвращается излучению в виде вторичных волн. Однако другая доля переходит во внутреннюю энергию вещества. В результате световая энергия уменьшается. Этот процесс называют поглощением света.
Поглощение света — ослабление интенсивности света при прохождении через вещество вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии.
Рассмотрим закономерности ослабления интенсивности света при прохождении его через вещество вследствие поглощения. Сначала рассмотрим прохождение монохромотического света через тонкий слой вещества толщиной dx. Изменение интенсивности света di будет пропорционально толщине этого слоя и интенсивности падающего света /:
di = — к\ • / • dx.(35.1)
Коэффициент пропорциональности кх характеризует поглощающую способность данной среды и называется натуральным показателем поглощения. Его величина зависит от длины волны света (А), но не зависит от его интенсивности. Знак « —» означает, что интенсивность света уменьшается.
Рассмотрим теперь ослабление света при его прохождении через слой вещества с произвольной толщиной I (рис. 35.1).
Рис. 35.1. Поглощение света веществом
Изменение интенсивности при прохождении выделенного слоя dx описывается дифференциальным уравнением (35.1), которое решается методом разделения переменных:
di /1 = — kxdx.
При изменении ж от 0 до I интенсивность изменяется от Iq до /. Интегрируя в этих пределах, получаем:
//
^- = — кх dx —>1п(/) — 1п(/0) = —к\(1 — 0),
/оо
1п(///0) = -кх1 -^ I /10 = ехр(-кх1).
В результате мы получили закон поглощения, который называется законом поглощения света Бугера (по имени одного из основоположников фотометрии французского ученого Пьера Бугера, получившего его ещё в 18-м веке):
Интенсивность света при поглощении в веществе убывает экспоненциально в зависимости от пройденного пути:
/ = 10ехр(—кх1). (35.2)
Из уравнения (35.2) выясним физический смысл натурального показателя поглощения: пусть свет проходит путь L = ^(кх. Из (35.2) получим: I = 1$ • е1 = /д/е « /д/2,8. Таким образом, натуральный показатель поглощения кх есть величина, обратная толщине такого слоя, который ослабляет интенсивность света в «е» раз.
Зависимость интенсивности света от толщины поглощающего слоя показана на рис. 35.2.
Рис. 35.2. Изменение интенсивности света при прохождении через вещество
Поглощение света растворами. ЗаконБугера-Ламберта-Бера
Закон Бугера используется для определения концентраций растворов, в которых основным поглотителем являются молекулы растворенного вещества, а сам растворитель практически не поглощает свет. В этом случае натуральный показатель поглощения прямо пропорционален концентрации молекул растворенного вещества:
кх = ахп. (35.3) Концентрация молекул п равна отношению их количества к объему раствора:
п = N)V- V = S • I кх = а\Ж8 • /),
где N — число молекул в растворе, V — его объем, S — площадь поперечного сечения кюветы, I — ее длина, <ух — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность площади (м2).
Для того, чтобы выяснить смысл коэффициента (Гд, подставим выражение для показателя поглощения в показатель экспоненты в формуле (35.2):
kxl = ax/(S/NY
Выражение S/N есть средняя площадь сечения кюветы, приходящаяся на одну молекулу раствора. Поэтому величина (Гд, имеющая размерность площади, является геометрической характеристикой молекулы при взаимодействии с фотоном. Эту величину называют эффективным сечением поглощения. Она играет важную роль в фотобиологии.
Обычно в лабораторных исследованиях используют молярную концентрацию раствора С — моль/м3. В этом случае показатель поглощения записывают в следующем виде:
кх = ХхС.(35.4)
где хх — натуральный молярный показатель поглощения, зависящий от вида растворенного вещества и длины волны света.
Подстановка этого выражения в (35.2) приводит к закону Бугера-Ламберта-Бера:
/ =/оехр(-хд/).(35.5)
Иногда бывает удобнее перейти к степени с основанием 10. В этом случае уравнение (35.2) записывают в следующем виде:
I = IolQ~eCL,(35.6)
где е = у/2,3. Величина £ зависит от длины волны и называется молярным показателем поглощения.
Закон Бугера-Ламберта-Бера описывает поглощение монохроматического света в однородных растворах, когда молекулы растворенного вещества практически не взаимодействуют между собой. Этот закон перестает выполнятся, когда интенсивность падающего света очень высока (лазерное излучение).
Коэффициент пропускания, оптическаяплотность, концентрационная колориметрия
Прохождение света через весь слой вещества характеризуют коэффициентом пропускания (прозрачностью).
Коэффициент пропускания (Т) равен отношению интенсивности света, прошедшего через данный
слой вещества (/), к интенсивности падающего све
та (/0):
Т = 1/^.^ЬЛ^
Коэффициент пропускания зависит от длины волны. Зависимость Т = /(А) называется спектром пропускания.
В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера (35.6)
Т = 10“£С/.
Зависимость выражаемая этой формулой является нелинейной. Поэтому в лабораторных исследованиях используют ее десятичный логарифм.
Оптической плотностью раствора (D) называется десятичный логарифм отношения интенсивности света, падающего на слой жидкости, к интенсивности выходящего света:
D = lg(/0//).(35.8)
В соответствии с формулой (35.7),
D = Wo/П = - lg(n = eCi,(35.9)
то есть оптическая плотность пропорциональна концентрации растворенного вещества С, длине пути луча в растворе (толщине слоя) /, молярному показателю поглощения (е).
В англоязычной научной литературе оптическую плотность называют поглощающей способностью (absorbance) и обозначают буквой А.
На использовании формул (35.8), (35.9) основан фотометрический метод определения концентраций веществ в растворах, получивший название «концентрационная колориметрия». Для определения концентрации растворённого вещества на кювету с раствором направляют луч света и измеряют его интенсивность на входе в кювету (/о) ина выходе из нее (/). По формуле (35.8) вычисляют оптическую плотность D. а затем по формуле (35.9) находят концентрацию раствора (лабораторная работа № 34 [5], которая так и называется «концентрационная колориметрия»).
Спектры поглощения
Зависимости ст, е, D. % от длины волны (А) характеризуют спектр поглощения вещества.
Наибольшей простотой отличаются спектры одноатомных разреженных газов или паров металлов. Они состоят из отдельных узких линий и называются линейчатими^ (рис. 35.3а). Это обусловлено тем, что отдельный атом может поглотить квант света только при условии, что его энергия в точности равна разности энергий между определенными свободным и заполненным электронными уровнями.
UI
О X О Xа б
Рис. 35.3. Спектры линейчатые (а) и непрерывные (5)
Спектры газов, состоящих из многоатомных молекул (молекулярные спектры), значительно сложнее атомных, что обусловлено большим разнообразием движений и, следовательно, энергетических переходов в молекуле. Это приводит к тому, что спектры поглощения молекул состоят из широких полос, разделенных широкими же промежутками. Такие спектры называются полосатими. У плотных газов, жидких и твердых тел спектры имеют непрерывный характер с наличием характерных максимумов и минимумов (рис. 35.35).
Спектры поглощения являются важным источником информации о строении вещества и широко используются в современных биохимических и биофизических исследованиях. В свою очередь, знание структурной формулы соединения достаточно для того, чтобы определить, способно оно поглощать свет, и даже предсказать положение области (полосы) поглощения.
Рассеяние света
При прохождении света через неоднородную среду световые волны дифрагируют на имеющихся неоднородностях и дают дифракционную картину с довольно равномерным распределением интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию называют рассеянием.
Рассеяние света — явление, при котором свет, распространяющийся в среде, отклоняется по всевозможным направлениям.
Теорию рассеяния света разработал английский физик Дж. Рэлей (1842-1919).
Различают два вида рассеяния.
Рассеяние в мутных средах — явление Тиндаля. Мутной называют среду с явно выраженными оптическими неоднородностями. Примеры мутных сред: туман (капельки жидкости в газе), дым (мельчайшие твердые частицы в газе), эмульсия (дисперсная система, состоящая из мельчайших капелек двух не растворяющихся друг в друге жидкостей), взвесь или суспензия (дисперсная система, состоящая из взвешенных в жидкости мелких твердых частиц), аэрозоль (дисперсная система, состоящая из мелких частиц, взвешенных в воздухе или другом газе). Рассеяние света в мутных средах называют явлением Тиндаля.
Молекулярное рассеяние на оптических неоднородностях. Рассеяние имеет место и при отсутствии в среде инородных частиц. Оно обусловлено тем, что даже в «чистой» среде имеются микроскопические флуктуации плотности — отклонения плотности от ее среднего значения, наблюдаемые в пределах малых объемов. Соответствующие флуктуации имеет и показатель преломления света. Эти флуктуации вызваны беспорядочным движением молекул вещества; поэтому обусловленное ими рассеяние света называется молекулярным. Молекулярным, например, является рассеяние света в атмосфере (при отсутствии тумана или дыма).
Если неоднородности распределены в среде достаточно равномерно, то уменьшение интенсивности проходящего света для рассеяния обоих типов описывается функцией:
I = Ioe~mL, (35.10) где т — натуральный показатель рассеяния.
Зависимость рассеяния от длины волны
Интенсивность рассеянного света зависит от длины световой волны. При молекулярном рассеянии, а также при рассеянии в мутной среде с неоднородностями, размеры которых малы по сравнению с длиной волны (меньших 0,2А), выполняется закон Рэлея:
Интенсивность рассеянного света (/р) обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (А):
(35.11)(35.11)/Р ~ 1/А4-
(35.11)
(35.11)
Закон Рэлея объясняет некоторые явления, наблюдаемые в природе. Например, голубой цвет неба связан с тем, что в солнечном (белом) свете, рассеянном атмосферой, преобладают коротковол
новые синие лучи.
Высота стояния Солнца над горизонтом зависит от времени суток, рис. 35.4. Максимальное различие составляет 30 раз. Поэтому можно объяснить красный цвет солнца на закате. В это
Рис. 35.4. Высота стояния Солнца над горизонтомРис. 35.4. Высота стояния Солнца над горизонтомвремя суток солнечные лучи проходят более толстый слой воздуха (чем днем, когда солнце в зените), и короткие волны рассеиваются почти полностью. Поэтому в прошедшем свет остаются длинноволновые красные лучи, что мы и наблюдаем при прямом взгляде на Солнце. Из-за меньшего рассеяния красного света его используют в сигнальных огнях.
Рис. 35.4. Высота стояния Солнца над горизонтом
Рис. 35.4. Высота стояния Солнца над горизонтом
Направление рассеянного света,
степень его поляризации, спектральный состав дают информацию о параметрах, характеризующих растворы (в том числе и коллоидные), эмульсии, аэрозоли. Методы измерения рассеянного света с целью получения информации о рассеивающей системе называются нефелометрией.
Ослабление при совместном действиипоглощения и рассеяния
При прохождении света через вещество уменьшение его интенсивности обусловлено совместным действием поглощения и рассеивания. Ослабление интенсивности описывается следующей функцией:
I = Ioe-^L, (35.12)
где д — натуральный показатель ослабления, который равен сумме натуральных показателей поглощения и рассеяния: р = к + т. Эти показатели введены в формулах (35.2) и (35.10).
Факторы, влияющие на рассеивание светав атмосфере
Наличие солнечного света необходимо для нормального функционирования всего человеческого организма. Недостаток света приводит к нарушению физиологического равновесия в организме.
Поток солнечного излучения, попадающего на поверхность Земли за сутки, зависит от состояния атмосферы, времени года и широты места. Высота стояния Солнца над горизонтом определяет угол падения солнечных лучей на поверхность Земли и путь, пройденный лучами в атмосфере, рис. 35.4.
Чем ниже высота стояния, тем больший путь проходят в атмосфере солнечные лучи и тем сильнее они рассеиваются.
Другим фактором, влияющим на поглощение и рассеяние солнечного света является прозрачность атмосферы. Лучи с разной длиной волны по разному проходят через атмосферу при наличии облаков, загрязнений в виде пыли, дыма. В городах прозрачность атмосферы на 10-30 % (а в зимние месяцы на 60 %) ниже, чем в прилегающих сельских районах.
После прохождения атмосферы свет падает на поверхность Земли и отражается от нее. Поэтому фауна и флора получают часть света в виде отраженных лучей. Доля таких лучей может быть весьма значительна (например при отражении от снега). Способность поверхности какого либо тела отражать (рассеивать) падающий на нее свет характеризуют специальной величиной, называемой альбедо (лат. белизна). Альбедо показывает, какую часть падающей энергии отражает данная поверхность. Альбедо свежего снега — 81 %, воды 20%, черной земли — 3%.
Все перечисленные факторы необходимо учитывать при организации профилактических мероприятий, связанных с использованием естественного света.
Лекция 36ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Люминесценция, виды люминесценции.
Некоторые характеристики люминесценции.
Фотолюминесценция: флуоресценция, фосфоресценция.
Основные законы люминесценции.
Хемилюминесценция.
Использование люминесценции в биологии и медицине.
36.1. Люминесценция, виды люминесценции
Рассмотрим особенности поглощения и излучения энергии атомами и молекулами при люминесценции (лат. luminus — свет, escent — суффикс, означающий слабое действие).
Люминесценция — излучение, избыточное над тепловым излучением тела при данной температуре, характеризующееся длительностью возникновения, значительно превышающей период световых колебаний (10-15 с).
Люминесценция отличается от свечения нагретых тел. Люми- несцирующие вещества (люминофоры) светятся без нагревания (холодное свечение). Световое излучение люминофора возникает за счет энергии возбуждения, поступающей от специальных «источников». После прекращения возбуждения люминесцентное свечение не прекращается тотчас же, а продолжается еще некоторое время. Именно это позволяет отличить люминесценцию от свечения тел при других явлениях вторичного свечения, например, при отражении и рассеянии света.
Люминесценция обычно наблюдается в видимой или ультрафиолетовой областях спектра.
Вещества, способные превращать поглощаемую ими энергию в люминесцентное свечение (люминесцировать), называются люминофорами.
Энергия возбуждения, обеспечивающая процесс люминесценции, может поступать от внешних источников или выделяться внутри люминофора, например, в ходе химических реакций.
Различают следующие типы люминесценции, обусловленной внешним возбуждением:
ионолюминесценция — возникает при возбуждении атомов ионами;
катодолюминесценция — возникает при возбуждении атомов электронами (кинескоп телевизора, свечение экранов оцил- лографов, мониторов);
радиолюминесценция — возникает при возбуждении атомов продуктами радиоактивного распада атомных ядер;
рентгенолюминесценция — возникает при возбуждении атомов рентгеновским и 7-излучением (экраны рентгеновских аппаратов, индикаторы радиации);
фотолюминесценция — возникает при возбуждении атомов светом (ультрафиолетовые лучи и коротковолновая часть видимого света);
электролюминесценция — возникает при возбуждении атомов под действием электрического поля (возникает в газах при электрическом разряде, наблюдается в газоразрядных лампах, при северном сиянии)
хемилюминесценция — возникает при возбуждении атомов под действием энергии, выделяющейся при химических реакциях;
биолюминесценция — возникает в биологических объектах.
Воздействие перечисленных источников приводит к возбуждению атомов, молекул или ионов люминофора. Люминесцентное излучение возникает в результате квантовых переходов частиц вещества из возбужденных состояний в основное (или менее возбужденное состояние). При этом переходы частиц из возбужденных состояний в иные являются спонтанными, что и обеспечивает последействие: продолжение люминесценции после прекращения внешнего воздействия.
Некоторые характеристики люминесценции
Каждый люминофор характеризуется своими, только ему присущими, спектрами люминесценции и возбуждения.
— Спектр люминесценции — зависимость интенсивности люминесценции /л от длины волны Ал люминесценции: /л = /(Ал). При этом длина волны возбуждения Авоз остается постоянной.
Форма спектра люминесценции не зависит от длины волны возбуждающего света.
— Спектр возбуждения люминесценции — зависимость интенсивности люминесценции /л от длины волны Авоз возбуждающего света: /л = /(Авоз). Спектр возбуждения во многих случаях по форме соответствует спектру поглощения люминесцирующего вещества.
Фотолюминесценция: флуоресценция,фосфоресценция
Фотолюминесценция (иногда называемая просто люминесценция) начинается с возбуждения фотоном атома или молекулы. Фотолюминесценция подразделяется на два вида:
флуоресценция (кратковременное послесвечение) — фотолюминесценция, для которой длительность послесвечения составляет т = 10-9-10-8 с;
фосфоресценция (длительное послесвечение) — для которой длительность послесвечения составляет т = 10-4-104 с.
Флуоресценция. Рассмотрим один из механизмов флуоресценции — резонансную флуоресценцию. Этот механизм часто реализуется в одноатомных парах и газах (вещество состоит из практически невзаимодействующих атомов). Фотон с энергией hv возбуждает атом, который затем возвращается в основное состояние, излучая при этом фотон света с той же частотой: рл = ^BO3 (рис. 36.1а). Термин «резонансная люминесценция» использован потому, что частоты падающего и испускаемого света одинаковы.
В многоатомных молекулах более вероятна другая ситуация, которая обусловлена тем, что для молекулы характерны не отдельные энергетические уровни, а полосы, в каждой из которых расположены близко лежащие подуровни (за счет колебательного и вращательного движения в молекуле). При возбуждении фотоном молекула переходит на один из верхних подуровней. Переход в исходное состояние начинается с безызлучательного перехода на один из низших возбужденных подуровней (выделяется энергия ^без)) а затем на основной уровень (рис. 36.1бф При
этом излучается фотон с энергией, меньшей энергии возбуждающего фотона:
^^л = ^^воз ^бсз7
следовательно, ^л <с ^воз? ^л ^воз'
Рис. 36.1. Энергетические переходы при люминесценции: а) резонансная флуоресценция (г/л = г/во37 ^л = Авоз); ^) стоксова флуоресценция (^Л < ^воз, Ал > Авоз); в) стоксова фосфоресценция (/7Л < ^воз, Ал > Авоз); г) антистоксова люминесценция (г/л > г/воз, Ал < Авоз); жирные стрелки — поглощательные переходы; пунктирные стрелки — безызлучательные переходы; обычные стрелки — излучательные переходы
Фосфоресценция. Один из механизмов фосфоресценции реализуется в сложных органических молекулах. После облучения молекула переходит в возбужденное состояние 3 (рис. 36.1б). Затем молекула из возбужденного состояния 3 переходит безызлучательно в некоторое метастабильное состояние S', переход из которого в основное состояние маловероятен. Из состояния 2' возможен переход в возбужденное состояние 2 (за счет кинетической энергии окружающих частиц). Наконец, из состояния 2 молекула переходит в основное состояние 7, испуская фотон с энергией, меньшей, чем энергия возбуждающего фотона. При этом выполняются соотношения: ^Л < ^ВО3 7 ^л ^воз-
Основные законы люминесценции
Закон Стокса.
Спектр люминесценции сдвинут в длинноволновую область относительно спектра поглощения того же соединения.
Энергия фотонов при люминесценции не превышает энергию возбуждающих фотонов. Это свидетельствует о том, что длина
волны света, испускаемого при люминесценции, больше длины волны возбуждающего света.
Свет, испускаемый при люминесценции, имеет не одну частоту, а сложный спектр, так как совершаются переходы между подуровнями. Поскольку такие спектры могут перекрываться со спектром возбуждающего света, то закон Стокса имеет более общую формулировку.
Максимум спектра люминесценции сдвинут по отношению к максимуму спектра поглощения в сторону более длинных волн.
Например, в соответствии с законом Стокса ультрафиолетовое облучение может дать люминесценцию в видимой части спектра. Обычно расположение спектра люминесценции и спектра возбуждения соответствует расположению, изображенному на рис. 36.2.
Рис. 36.2. Схема, поясняющая закон Стокса: 1 — спектр поглощения, 2 — спектр люминесценции
Антистоксова люминесценция. При возбуждении отдельными монохроматическими излучениями можно наблюдать случаи отступления от закона Стокса — антистоксова люминесценция. При антистоксовой люминесценции длина волны испускаемого света короче длины волны возбуждающего света, рис. 36.3.
Рис. 36.3. Нарушение закона Стокса — заштрихованная область
Одна из причин этого в том, что молекулы, переходя на возбужденные уровни, могут получить извне дополнительную энергию и перейти на вышележащий подуровень, с которого и переходят на основной уровень, испуская фотон с большей энергией (рис. 36.1г).
Закон Вавилова. Способность люминофора испускать кванты люминесценции при поглощении света можно оценивать квантовым выходом.
Квантовый выход (у?) люминесценции равен отношению числа квантов, высвеченных в виде люминесценции, к числу поглощенных квантов.
Подсчитать число квантов очень сложно. Однако для оценки квантового выхода можно использовать интегральную энергетическую характеристику — интенсивность света:
ф = ^л / ( ^ВОЗ ^В ) 1
где /л — интенсивность люминесценции, /воз — интенсивность возбуждающего света, /в — интенсивность вышедшего света.
Обычно говорят о квантовом выходе для определенной длины волны ф\.
Для органических молекул характерно то, что даже при очень высоком уровне возбуждения люминесценция может начаться только с некоторого определенного уровня, а переходы с возбужденного уровня на него будут осуществляться только безызлучательно. Следовательно, независимо от длины волны поглощенного света квантовый выход будет одинаковым.
Закон Вавилова утверждает, что квантовый выход люминесценции не зависит от длины волны возбуждающего света.
Хемилюминесценция
Люминесценция, возникающая в химических реакциях, при которых происходит выделение энергии, называется хемилюминесценцией. При этом происходит превращение химической энергии в световую.
Хемилюминесценция испускается либо непосредственно продуктами реакции, либо другими компонентами, на которые передается возбуждение. Яркость хемилюминесценции зависит от числа квантов люминесцентного излучения, испускаемых за единицу времени. Яркость тем больше, чем выше скорость реакции. По хемилюминесценции можно определять состав вещества (см. люминесцентный анализ).
Хемилюминесценция, которая возникает в биологических объектах, называется биохемилюминесценцией. Биохемилюминесценция присуща самым разнообразным видам живых существ (всего около 250 видов).
Механизм биохемилюминесценции определяется реакциями окисления. Например, если поместить кусок светящейся гнилушки под колпак воздушного насоса и откачать воздух, то свечение прекратится. Если после этого под колпак подать воздух, то свечение возобновится. Было показано, что в биологических системах хемилюминесценция возникает при рекомбинации перекисных свободных радикалов липидов. Свечение при биохемилюминесценции бывает весьма интенсивным — до 0,02 кд (известен случай, когда хирурги оперировали в полевых условиях по ночам при свете банок, наполненных тропическими светляками).
Малоинтенсивная биохемилюминесценция проявляется в виде сверхслабого свечения. Для растительных и животных тканей оно составляет 10-100 фотонов на 1 см2 поверхности, поэтому его можно регистрировать лишь фотоэлектронными умножителями, имеющими коэффициент усиления 105 -109. Максимумы его интенсивности приходятся на видимый и инфракрасный участок спектра.
Использование люминесценции в биологиии медицине
Люминесцентный качественный и количественный анализы.
Люминесцентный анализ — совокупность методов для определения природы и состава вещества по спектру его люминесценции.
Качественный анализ — определение наличия (или отсутствия) каких-либо веществ (молекул) по форме спектра люминесценции. При этом можно изучать структуру молекул вещества; межмолекулярное взаимодействие; химические превращения.
Количественный анализ — определение количества вещества по интенсивности спектра люминесценции (можно обнаружить массу вещества т = 10-10 г).
По методике исследования люминесцентный анализ можно представить следующей схемой.
Макроанализ — наблюдение невооруженным глазом люминесценции объектов, облученных УФ излучением.
— Проверка качества и сортировка пищевых продуктов.
— Сортировка фармакологических средств.
— Свечение волос, чешуек, ногтей при диагностике их поражения грибком и лишаем.
Микроанализ — исследование люминесцирующих микрообъектов при помощи специальных люминесцентных микроскопов^ в которых есть специальный осветитель, содержащий ртутную лампу со светофильтром, пропускающим УФ излучение.
Люминесцентные зонды и метки. Флуоресцентные зонды. В медицине используется применение специальных флуоресцирующих молекул, добавляемых к исследуемым биологическим системам извне, в которых они распределяются в соответствии со своими свойствами. Такие молекулы получили название флуоресцентных зондов. Примером использования флуоресцентных зондов является метод флюоресцентной ангиографии — контрастирование сосудов флуоресцеином и их последующее фотографирование. Этот краситель вводится внутривенно пациентам. Этот краситель не токсичен, обладает очень высоким квантовым выходом флуоресценции. Он разносится с током крови по всему организму и диффундирует в дерму и эпидермис. Флуоресцеин возбуждается невидимым длинноволновым ультрафиолетовым излучением. Люминесценция его наблюдается в видимом свете. Диагностическая значимость этого метода заключается в том, что по скорости появления флуоресценции (люминесценции) в поверхностных тканях судят об участках тела с пониженным кровообращением, в них флуоресцеин появляется позже, чем в участках тела с нормальным кровообращением.
Флуоресцентные метки. Флуоресцирующие молекулы можно ковалентно связывать с определенными молекулами и затем эту систему ввести в исследуемый объект. Такие молекулы называются флуоресцентными метками. Примером является использование флуоресцентно-меченых антител. Если добавить такие антитела к суспензии смеси клеток, то они связываются только с теми из них, на поверхности которых находятся специфические к данному антителу антигены. Возникает яркая люминесценция определенных клонов клеток, наблюдаемая в люминесцентном микроскопе. Данная методика используется в иммунологических исследованиях крови.
Источники света. Для производственных и санитарногигиенических целей важны источники света, которые по своему спектру больше соответствуют видимому свету. Таким источником являются созданные на основе фотолюминесценции люминесцентные лампы. В этом источнике ультрафиолетовое излучение преобразуется с помощью люминофора в видимое излучение.
Лампа представляет собой стеклянную колбу (длинный цилиндр) с нанесенным на внутренней поверхности слоем люминофора, рис. 36.4.
Рис. 36.4. Люминесцентная лампа: а) внешний вид; б) схематическое изображение люминесцентной лампы: 1 — слой люминофора; 2 — ультрафиолетовое излучение; 3 — атомы ртути; 4 — электрон; 5 — электрод
В торцах колбы укреплены вольфрамовые спиральные электроды. В лампу вводят каплю ртути, которая испаряется при зажигании разряда, и некоторое количество инертного газа (аргон, неон), который способствует увеличению срока службы лампы и улучшению условий возбуждения атомов ртути. При подклю
чении лампы к источнику возникает электрический разряд, возбуждающий излучение паров ртути. Тонкий слой люминофора фотолюминесцирует под воздействием излучения паров ртути. Спектр люминесценции можно менять, подбирая подходящий
400500600700 X, нмРис. 36.5. Спектр, резкие мак-симумы которого соответст-вуют спектру паров ртути400500600700 X, нмРис. 36.5. Спектр, резкие мак-симумы которого соответст-вуют спектру паров ртутиспектр фотолюминесценции. На рис. 36.5 показан спектр, резкие максимумы которого соответствуют спектру паров ртути, излучение которых проходит через люминофор.
400500600700 X, нм
Рис. 36.5. Спектр, резкие мак-симумы которого соответст-вуют спектру паров ртути
400500600700 X, нм
Рис. 36.5. Спектр, резкие мак-симумы которого соответст-вуют спектру паров ртути
Среди люминесцентных ламп широко используется лампа дневного света с голубоватым свече
нием, применяемая для освещения помещений общественных и жилых зданий, промышлен
ных предприятий. Люминесцентные лампы имеют мощность 4-200 Вт, световая отдача до 85 лм/Вт, срок службы до 15 000 часов (для сравнения приведены параметры лампы накаливания: мощность до десятков кВт, световая отдача: 10-35 лм/Вт, срок службы от 5 до 1000 часов).
Лекция 37
ФОТОБИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Фотобиологические процессы, их основные стадии.
Квантовый выход и поперечное сечение фотохимических превращений молекул.
Спектры поглощения и спектры фотобиологического действия.
Действие УФ излучения на биологические объекты как пример фотобиологического процесса.
Элементы реабилитологии. Действие света на человека.
Фотобиологические процессы,их основные стадии
Фотобиологические процессы.
Фотобиологические процессы — процессы, которые начинаются с поглощения квантов света биологически функциональными молекулами и заканчиваются соответствующей физиологической реакцией в организме или тканях.
Результат таких процессов может быть как позитивным, так и негативным.
К фотобиологическим процессам относятся:
фотосинтез — синтез органических молекул за счет энергии солнечного света;
фототаксис - движение организмов (например, бактерий) к свету или от света;
фототропизм - поворот листьев (стеблей) растений к свету или от него;
фотопериодизм - регуляция суточных и годовых циклов животных путем циклических воздействий «свет-темнота»;
зрение - восприятие света глазом, сопровождающееся превращением световой энергии в энергию нервного импульса в сетчатке глаза или в аналогичных фоторецепторах; помутнение хрусталика;
световые воздействия на кожу — эритема, эдема, загар, пигментация, ожог, рак кожи.
Стадии фотобиологических процессов. Все разнообразие фотобиологических процессов условно можно свести к реализации нескольких последовательных стадий:
поглощение кванта света;
фотофизические процессы — внутримолекулярные процессы обмена энергией;
межмолекулярные процессы переноса энергии возбужденного состояния;
первичный фотохимический акт; причем варианты таких актов могут быть многообразными; общим для них является то, что получающиеся продукты, как правило, свободные радикалы;
темновые реакции, заканчивающиеся образованием стабильных продуктов;
биохимические реакции с участием фотопродуктов;
физиологический отклик на свет ткани или организма.
Квантовый выход и поперечное сечениефотохимических превращений молекул
Рассмотрим количественно начальные этапы фотобиологических процессов.
При поглощении света веществом (см. лекцию 35) выполняется закон Бугера:
I = IOe"kL,(37.1)
где I , /о — интенсивность прошедшего и падающего света, к — натуральный показатель поглощения (зависящий от длины волны), L — толщина слоя вещества.
Для растворов выполняется закон:
/ = /0 ехр(—anL^(37.2)
где п — концентрация молекул, поглощающих кванты света, ст — эффективное сечение поглощения молекулы (зависящее от длины волны).
Квантовый выход фотохимической реакции. Введем еще одну характеристику — квантовый выход фотохимической реакции (рж^ показывающий, какая часть молекул, поглотивших
фотоны, вступила в фотохимическую реакцию (число прореагировавших молекул):
Ц)х - (N/Nn)100%,(37.3)
где N — число молекул, которые после поглощения фотона вступили в фотохимическую реакцию; Nn — общее число молекул, поглотивших фотоны.
Если бы каждый поглощенный фотон вызывал реакцию, то квантовый выход равнялся бы 100%. Однако обычно (рж не превышает нескольких процентов или долей процента.
Изменение концентрации (п) молекул под воздействием света. В процессе облучения число не прореагировавших молекул уменьшается с течением времени. Получим закон, которому подчиняется это уменьшение. Пусть поглощение света происходит в достаточно тонком слое разбавленного раствора, что позволяет считать интенсивность света /о постоянной и одинаковой во всех точках. Тогда можно записать выражение для элементарного уменьшения концентрации dn молекул под действием света:
dn = —Lp^I^crndt^(37.4)
где dt — время облучения светом (знак « —» означает уменьшение числа молекул со временем). Разделим переменные и проинтегрируем:
ntt
dn/n = —^рх1а dt^(37.5)
noо
где ng — начальная концентрация молекул, nt — их концентрация в момент времени t.
Получаем
ln(nt/no) = -фж1ост1,
ИЛИ
Tit = Поехр(-у>ж/оо"<),(37.6)
где nt — фактически число молекул в единице объема, не вступивших в реакцию через время t. Таким образом, изменение концентрации молекул со временем происходит по экспоненциальному закону,
Поперечное сечение фотохимических превращений молекул. Введем обозначения:
/q^ = Dо — доза облучения;
аф;Е = а;Е — площадь поперечного сечения молекулы для фотохимического превращения, или поперечное сечение фотохимических превращений молекул.
Теперь формулу (37.6) можно записать в виде
ln(n0/nt) = Оо^ж,(37.7)
ИЛИ
nt = тгоехр(-Оо<Щ
Величина аж — эффективное сечение молекулы для фотохимического превращения. Оно пропорциональна вероятности такого взаимодействия фотона с молекулой, в результате которого произойдет фотохимическая реакция. Для ее нахождения строят зависимость 1п(по/пД = /(Do) и по наклону получившейся прямой определяют эту величину (рис. 37.1).
Д)
Рис. 37.1. Зависимость 1п(по/пД = f(DQ)
Поперечное сечение фотохимических превращений молекул есть величина, равная тангенсу угла наклона прямой, отражающей зависимость 1п(по/пД = D^ax = /(Dq)-
Спектры поглощения и спектрыфотобиологического действия
Спектр поглощения (см. лекцию 35) — кривая зависимости параметра а от длины волны поглощаемого света, то есть а = = /п(А).
Спектром фотохимического действия называют зависимость параметра аж от длины волны поглощаемого света, то есть сгж =
В общем случае спектром фотобиологического действия (спектром действия фотобиологических процессов) называется зависимость фотобиологического эффекта от длины волны действующего света.
Например, можно снять спектр действия эритемы (эритема — покраснение, обусловленное расширением кровеносных сосудов и повышением концентрации гемоглобина в коже). Для этого нужно на выбранном участке кожи выделить одинаковые сегменты (квадраты определенного размера) и облучить каждый из них УФ излучением одинаковой дозы (минимальной), но разной длины волны. Затем регистрировать степень покраснения на различных участках. В результате получится зависимость, представленная на рис. 37.2, которая и представляет собой спектр действия эритемы.
Рис. 37.2. Спектры фотобиологического действия эритемы, зарегистрированные через разное время после УФ-облучения кожи
Изучение спектров действия эритемы показало, что они представляют собой сумму по крайней мере двух кривых, соответствующих индукции УФ-В- и УФ-С-эритемы. Выявить этот факт
удалось, регистрируя эритемную эффективность через разное время после облучения. Дело в том, что УФ-С-эритема проходит быстрее чем, чем УФ-В-эритема. Если регистрацию проводить через 8 ч после облучения, то основной вклад дает УФ-С-эри- тема. Через сутки вклад обоих процессов примерно одинаков. Через несколько суток регистрируемый спектр соответствует спектру действия только УФ-В-эритемы. Таким образом, анализ спектров действия эритемы подтверждает качественные отличия в действии различных диапазонов ультрафиолета.
Одна из задач при изучении фотобиологических процессов состоит в определение вещества, которое поглощает действующее излучение и тем самым участвует в первичных стадиях фотобиологического процесса. Для этого изучают спектр фотобиологического действия и сравнивают его со спектрами поглощения предполагаемых участников реакции.
При изучении действия света на белковые системы было установлено, что в растворах квантовый выход фотохимических реакций (рж не зависит от длины волны действующего света. Отсюда следует, что спектр фотохимического действия стж = = /(А) и спектр поглощения ст = /(А) имеют одинаковый вид, так как различаются только постоянным членом (рж (стж = ст-(рж). Таким образом, спектр фотохимического действия для каждого вещества по форме соответствует спектру его поглощения. Измерив (в разбавленных растворах) по дозовым кривым спектр действия, можно определить спектр поглощения участвующего в процессе вещества, не проводя никаких спектрофотометрических измерений. Именно это и обусловливает интерес к регистрации спектров фотохимического действия в фотобиологии.
Путем сопоставления спектра фотобиологического действия со спектром поглощения разных биохимических соединений можно определить механизм воздействия света.
Действие УФ излучения на биологическиеобъекты как пример фотобиологического процесса
УФ излучение — это электромагнитное излучение с длинами волн от 400 до 10 нм, находящееся между видимым фиолетовым и мягким рентгеновским излучением (см. шкалу электромагнитных волн, лекция 21). Однако УФ излучение с длиной волны
менее 200 нм не представляет медицинского интереса из-за сильного поглощения даже в тонком слое воздуха. Используемый диапазон УФ излучения условно делят (см. лекцию 30) на три области: А (400-315 нм), В (315-280 нм), С (280-200 нм).
Определение механизма воздействия УФ излучения на биосистемы. Рассмотрим на некоторых примерах, как по спектру фотобиологического действия определяют механизм воздействия УФ излучения.
При исследовании процесса гибели бактерий под действием УФ излучения определялось число бактерий до облучения и число бактерий через некоторое время после облучения. Процесс изучался при различных длинах волн в области 200-300 нм. В результате исследования была получена кривая гибели бактерий под действием УФ излучения (спектр фотобиологического действия). Оказалось, что форма этой кривой похожа на форму спектра поглощения толъко одного вегцества в клетке — нуклеиновой кислоты. Кроме того обе кривые имели максимум в одной и той же области — 265 нм. На этом основании был сделан вывод, что гибель бактерий под действием УФ излучения связана с повреждением именно нуклеиновых кислот. На этом основано использование в медицине для обеззараживания помещений ртутных бактерицидных ламп, излучающих монохроматический свет с длиной волны 254 нм, что соответствует максимуму спектра действия бактерицидного эффекта.
Аналогичный вывод был сделан при изучении мутагенного действия ультрафиолета: спектр действия — зависимость возникновения мутаций от длины волны УФ излучения — у кукурузы оказался идентичным спектру поглощения нуклеиновых кислот.
Однако такая простая аналогия имеет место не всегда. Например, известно, что УФ излучение, действуя на кожу, в некоторых случаях вызывает эритему (покраснение). Но в этом случае спектр действия не совпадает ни с одним из содержащихся в коже веществ. Кроме того, спектр действия зависит от времени после облучения. До сих пор нет четкого ответа на вопрос, какое вещество является хромофором в коже.
Фотосенсибилизированные реакции. В некоторых случаях наблюдается резкое повышение светочувствительности биологических систем. Чаще всего это происходит при попадании
в объект экзогенных хромофоров, поглощающих видимый или УФ свет.
Фотосенсибилизатор — вещество, повышающее чувствительность биообъектов к свету.
Фотосенсибилизированные реакции используют в медицине. Некоторые химические соединения фурокумаринового ряда, например псоралены, способны сенсибилизировать кожу больных к длинноволновому УФ излучению области А (УФ-А излучение) и стимулировать образование в меланоцитах пигмента меланина. При предварительном пероральном приеме таких препаратов с последующим УФ-А облучением они соединяется с тимидиновыми основаниями ДНК клеток дермы. Продукты такой реакции подавляют частоту митозов быстроделящихся клеток дермы и дифференцировку базальных слоев эпидермиса. В результате в процессе лечения происходит восстановление структуры кожи и ее пигментации. Совместное действие псораленов и УФ-А-излучения называют ПУФА-терапией (см. лекцию 30).
При применении фотосенсибилизаторов необходимо соблюдать правила безопасности, чтобы избежать побочных негативных последствий. Так, например, часть сенсибилизаторов проникает в структуру глаза. Поэтому УФ-А облучение сенсибилизированных пациентов может привести к повреждениям роговицы, вещества внутренней камеры глаза, хрусталика (фотоповреждения хрусталика необратимы, так как поврежденные молекулы из него никогда не выводятся). Во избежание этого больные, получающие ПУФА-терапию, во время УФ-А облучения обязательно надевают светозащитные очки.
Больным, принимающим таблетки фурокумаринов, используемые при лечении кожи, запрещено в течение нескольких часов после приема находиться на прямом солнечном свету, поскольку он содержит значительное количество УФ-А-излучения.
Элементы реаби лито л огни. Действие светана человека
Свет — важнейший экологический фактор, к которому человек приспособился в процессе эволюции. Какие-либо изменения спектрального состава света или светового режима могут
вызвать патологические реакции. Биологически активен весь диапазон оптического излучения (200-800 нм), рис. 37.3.
УФ излучениеУФ излучениеВидимый светВидимый светИнфракрасноеизлучениеИнфракрасноеизлучение
УФ излучение
УФ излучение
Видимый свет
Видимый свет
Инфракрасноеизлучение
Инфракрасноеизлучение
* С 1 В 1200280 320* С 1 В 1200280 320АА400400600600Длины750 ВОЛН, нмДлины750 ВОЛН, нм
* С 1 В 1
200280 320
* С 1 В 1
200280 320
А
А
400
400
600
600
Длины
750 ВОЛН, нм
Длины
750 ВОЛН, нм
Эритема, загар,рак кожи,иммуносупрессияЭритема, загар,рак кожи,иммуносупрессияТерапия желтухиноворожденныхТерапия желтухиноворожденныхТерапевтическиеэффекты красногосветаТерапевтическиеэффекты красногосвета
Эритема, загар,рак кожи,иммуносупрессия
Эритема, загар,рак кожи,иммуносупрессия
Терапия желтухиноворожденных
Терапия желтухиноворожденных
Терапевтическиеэффекты красногосвета
Терапевтическиеэффекты красногосвета
ФотогемотерапияФотогемотерапияЗрение, фотопериодизмЗрение, фотопериодизм
Фотогемотерапия
Фотогемотерапия
Зрение, фотопериодизм
Зрение, фотопериодизм
Фототерапияпсориаза инейродермита
Синтезвитамина D
Рис. 37.3. Избирательное действие света при индукции фотобиологических процессов
Рассмотрим эффекты, вызываемые действием света на человека.
Видимый свет. Важная регуляторная роль принадлежит видимому свету. Известно, что в пасмурные осенние дни у многих людей возникает синдром «осенней грусти», сопровождающийся психической депрессией и даже приводящей к самоубийствам. Экспериментально доказано, что подобную депрессию можно снять, если человека помещать на несколько часов в течение ряда дней в ярко освещенную комнату.
Оптические параметры кожи в области видимого света. На использовании законов взаимодействия света с веществом основаны некоторые диагностические методы в медицине. Так, например, по характеру взаимодействия видимого света с кожей можно оценить ее состояние. В процессе такого исследования регистрируются значения коэффициентов отражения, поглощения, рассеяния. Эти оптические параметры зависят от топических, возрастных и половых особенностей. По отклонению оптических параметров измененной кожи от нормы разработаны критерии для диагностики некоторых заболеваний кожи. Так, у больных с базальноклеточным и плоскоклеточным раком кожи в очагах
поражения имеет место большая клеточная плотность опухолевых пролифератов. Это приводит к возрастанию коэффициента поглощения патологически измененной кожей. Данный метод позволяет объективизировать диагностику многих злокачественных новообразований кожного покрова.
Красный свет. Используются терапевтические эффекты красного света. Так, установлено, что красный свет ускоряет заживление ран. Издавна замечено, что лечение «рожи» улучшается, если на очаг воспаления наложить повязку из красной ткани.
Синий свет. Синий свет используется в родильных домах для лечения желтухи новорожденных. Это заболевание является следствием резкого повышения в организме концентрации билирубина, придающего коже желтоватый оттенок. Билирубин образуется из геминовой группы гемоглобина постоянно у всех людей, из крови он выводится при участии печени. У новорожденных содержание билирубина в крови примерно в 20 раз больше, чем у взрослых. Билирубин плохо растворяется в воде и хорошо — в жире. Поэтому он в больших количествах откладывается в тканях мозга. Это при желтухе новорожденных приводит к необратимым изменениям в ЦНС, делающим человека умственно отсталым. Билирубин имеет максимум поглощения в синей области спектра. Он очень легко фотоизомеризуется, и продукты его изомеризации не токсичны. Если новорожденных детей освещать синим светом, то фотоизомеризация билирубина с образованием водорастворимых фотопродуктов происходит прямо в кровеносных сосудах.
УФ-излучение. При УФ-облучении даже в момент получения опасной дозы человек ничего не чувствует. В коже отсутствуют специализированные УФ рецепторы. Глазом это излучение не воспринимается, тепловой эффект так мал, что человек его практически не ощущает.
Установлено, что действие УФ-излучения является главным фактором, вызывающим рак кожи, а также катаракту (помутнение хрусталика). Для полярников, альпинистов УФ-излучение опасно тем, что из-за большой интенсивности этого излучения появляются солнечные ожоги кожи и глаз.
Недостаток УФ может привести к D-авитаминозу.
УФ способен вызывать положительные эффекты. Так, у больных с дерматозами кожи, (например, псориаз) заболевания обостряются зимой, а летом наступает улучшение. Причина — терапевтическое действие УФ, которого летом в спектре солнечного света значительно больше, чем зимой.
Загар часто рекомендуется как реабилитационный метод при многих заболеваниях. Действие УФ-излучения вызывает гиперпигментацию кожи, которая и обусловливает загар. Загар является «замедленным» фотобиологическим процессом. Он начинается развиваться через 2-3 суток после облучения, достигает максимума на 13-21 день и затем угасает в течение нескольких месяцев. Спектр действия загара похож на спектр действия эритемы. Ультрафиолет запускает сложную цепь биосинтеза пигмента кожи меланина в специализированных клетках — меланоцитах. Появление меланина является защитной реакцией организма.
Загаром нельзя злоупотреблять. Попав на пляж весной, человек не должен забывать, что наша кожа за зиму утратила меланиновую защиту. Минимальная доза ультрафиолета, запускающая меланогенез, примерно вдвое ниже минимальной эритемной дозы. Поэтому в первые дни следует загорать очень недолго, так, чтобы эритема еще не возникла, а образование пигмента уже инициировалось. И только через несколько дней, накопив в коже меланин, можно постепенно увеличивать время пребывания под солнцем. После появления загара не следует злоупотреблять пребыванием на солнечном свету. Ультрафиолет (особенно УФ-В) вызывает ряд нежелательных эффектов: происходит преждевременное старение кожи, появление морщин на открытых участках тела, может развиться рак кожи.
УФ-излучением инициируется подавление клеточноопосредованного иммунитета — иммуносупрессия.
В медицине УФ широко используется в методе фотогемотерапии, применяемом при заболеваниях, связанных с повышением вязкости крови.
Большие дозы УФ (особенно УФ-В), которые может получать человек, связаны с состоянием атмосферы, в частности, с озоновыми дырами в атмосфере. Стратосферный озон определяет коротковолновую границу солнечного ультрафиолета. Разрушение
16 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
озона происходит, в частности, при выбросе в атмосферу фторуг- леродистых соединений, широко используемых в промышленных и бытовых холодильниках, а также при изготовлении аэрозолей. Схема защитного действия озонового слоя и процесс его разрушения оксидом азота NO показаны на рис. 37.4.
Рис. 37.4. Схема защитного действия озонового слоя (а) и процесс его разрушения оксидом азота NO (5); темные стрелки — тепловое излучение, светлые — УФ-излучениеРис. 37.4. Схема защитного действия озонового слоя (а) и процесс его разрушения оксидом азота NO (5); темные стрелки — тепловое излучение, светлые — УФ-излучение
Рис. 37.4. Схема защитного действия озонового слоя (а) и процесс его разрушения оксидом азота NO (5); темные стрелки — тепловое излучение, светлые — УФ-излучение
Рис. 37.4. Схема защитного действия озонового слоя (а) и процесс его разрушения оксидом азота NO (5); темные стрелки — тепловое излучение, светлые — УФ-излучение
Разрушение озона происходит из-за того, что атомы азота в молекулах загрязняющих газов сильно взаимодействуют с одним из атомов кислорода в молекуле озона и отрывают его от нее. В результате образуется кислород, через который беспрепятственно проходит УФ-излучение.
Лекция 38
ЛАЗЕРЫ. ЛАЗЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Квантовые переходы.
Распределение по энергетическим уровням. Активная среда.
Общий принцип действия лазера.
Работа рубинового и гелий-неонового лазеров.
Особенности лазерного излучения.
Характеристики лазерного излучения, применяемого в медицине.
Взаимодействие лазерного излучения с биообъектами.
Динамика изменения свойств ткани и ее температуры при действии непрерывного мощного лазерного излучения.
Использование лазерного излучения в диагностике.
Использование лазерного излучения в терапии.
Использование лазерного излучения в хирургии.
Меры безопасности при работе с лазерами
Вопросы, связанные с лазерами, рассматриваются в квантовой электронике.
Квантовал электроника — область физики, изучающая проблемы генерации, усиления, преобразования электромагнитных колебаний на основе использования явления вынужденного излучения квантовых (атомарных, молекулярных) систем.
Оптический квантовый генератор — лазер (аббревиатура от английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения).
Квантовые переходы
Согласно положениям квантовой механики, атомы и молекулы вещества (далее — частицы) могут иметь не любые, а строго определенные значения энергии (лекция 34), которые определяются строением вещества. «Разрешенные» значения энергии нумеруют в порядке возрастания: Е^ Е-^ Е<^ ...В состоянии с наименьшей энергией Eq (такое состояние называется основ- ним, или невозбужденным) частица может находиться неогра-
ниченно долго — до тех пор, пока внешнее воздействие не переведет ее на более высокий энергетический уровень. Время жизни частицы на остальных уровнях (в «возбужденном» состоянии) ограничено. Даже при отсутствии внешнего воздействия частица самопроизвольно (спонтанно) возвращается в основное состояние за один или несколько этапов. Так, например, из состояния Е^ в состояние Eq можно вернуться сразу: Е^ —^ Eq или через промежуточное состояние: Е^ —> Ei —> Eq.
При переходе с более высоких энергетических уровней на нижние атом или молекула отдают энергию, при обратных переходах — поглощают.
Рассмотрим эти процессы подробнее.
Переход с нижнего уровня на верхний (возбуждение).
Частица может перейти в возбужденное состояние при столкновении с другими частицами (тепловое возбуждение) или в результате ее взаимодействия с фотоном, энергия которого равна разности энергий верхнего и нижнего уровней. Например, для перехода из состояния Eq в состояние Е^ частица должна поглотить фотон, частота которого определяется соотношением: hv = Е^ — Eq. Другие фотоны для этого не годятся.
Переход с верхнего уровня на нижний (релаксация).
Механизмы такого перехода — различны.
Спонтанное излучение — самопроизвольный переход частицы из возбужденного состояния на нижний энергетический уровень. При этом в переходах участвует огромное количество частиц; переходы реализуются в случайные моменты времени; переходы происходят между различными уровнями. Поэтому фотоны, испущенные отдельными частицами, имеют различные направления движения, различные частоты, фазы и плоскости поляризации. Так излучают обычные источники света.
Индуцированное излучение — вынужденный переход возбужденной частицы на нижний уровень. Пусть частица находится в возбужденном состоянии и в нее попадает фотон, энергия которого равна разности между энергиями данного и одного из нижних уровней.
В этом случае частица переходит на соответствующий нижний уровень, испуская фотон, тождественный попавшему. Так, если частица находится в возбужденном состоянии Е^ и в нее
попадает фотон hv = Е% — Eq, то она перейдет в состояние Eq, испустив аналогичный фотон. Фотоны с другими частотами способствовать излучению не будут.
Из рассмотрения переходов между верхним и нижним уровнями видно, что воздействие на вещество внешним излучением «подходящей» частоты вызывает два противоположных процесса:
поглощение фотона невозбужденной частицей и ее переход в возбужденное состояние (при этом первоначальный фотон исчезает);
вынужденное излучение фотона, имеющее место при попадании «подходящего» по частоте фотона в возбужденную частицу. В этом случае первоначальный фотон сохраняется, а частица переходит на более низкий энергетический уровень, испуская фотон, тождественный первоначальному («удвоение», «дублирование» фотона).
Какой из этих процессов доминирует, определяется соотношением между числом возбужденных и невозбужденных частиц.
Распределение по энергетическим уровням.Активная среда
В состоянии термодинамического равновесия распределение частиц по энергетическим уровням за счет тепловой энергии определяется распределением Больцмана:
Nt = Noexp^-Ei/kT),(38.1)
где Ni — число частиц на г-м уровне, Ei — энергия этого уровня, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, Aq — число частиц на основном уровне.
Схематично данное распределение представлено на рис. 38.1.
^Ь, 1, 2, з ™ энергия частицы
на соответствующем уровне.
МЕуEqМЕуEqДлина «черты» для каждого
М
Еу
Eq
М
Еу
Eq
уровня пропорциональная
числу частиц на нем
Рис. 38.1. Распределение частиц по энергетическим уровням
Видно, что в этом случае число частиц, находящихся в основном состоянии, больше, чем на любом возбужденном уровне. Поэтому при прохождении света соответствующей частоты через такую среду поглощение будет доминировать. Усиление электромагнитной волны в такой системе невозможно.
Для того чтобы доминировал процесс дублирования фотонов, и имело место усиление электромагнитной волны, необходимо создать такое состояние среды, при котором число частиц на одном из верхних уровней было бы больше, чем на нижнем. Такое состояние среды называют инверсной населенностью (от inversio — переворачивание).
Инверсная населенность — такое состояние среды, при котором число частиц на одном из верхних уровней больше, чем на нижнем.
Состояние с инверсной населенностью можно создать, используя разные методы накачки (см. ниже).
Активная среда — среда, приведенная в состояние с инверсной населенностью.
Общий принцип действия лазера
Явление вынужденного излучения используется в лазерах. На рис. 38.2 представлено схематическое устройство лазера.
Зеркало 2Зеркало 1
/Лазерный
IIЕ^очее тело | луч
I
Система накачки
Рис. 38.2. Схематическое устройство лазера
Любой лазер содержит 3 компонента:
рабочее тело,
система накачки,
оптический резонатор.
Рассмотрим назначение каждого из них.
Рабочее тело — некоторая среда, которая внешним воздействием переводится в активное состояние. В зависимости от типа
рабочего тела лазеры делятся на газовые, твердотельные, жидкостные, полупроводниковые. В качестве активной среды могут применяться все материалы, у которых можно обеспечивать инверсную населенность. (В качестве курьеза следует отметить, что человеческое дыхание, состоящее из двуокиси углерода, азота и водяных паров, является подходящей активной средой для слабого СО2-лазера). В твердотельных лазерах активный элемент обычно изготавливается в виде цилиндра, длина которого много больше его диаметра. Газовые и жидкие активные среды помещают в цилиндрическую кювету.
Активные среды некоторых газовых лазеров составляют на основе эксимеров. Эксимеры — вещества, состоящие из двухатомных молекул и существующие только в электронновозбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния в невозбужденное (снятие возбуждения) сопровождается лазерным излучением. (Наименование данного лазера происходит от двух слов Excited dimer — возбужденный димер).
Система накачки — устройство для приведения рабочего тела в активное состояние (создание инверсной населенности). Накачка может быть непрерывной или импульсной. Используют следующие методы накачки
«Оптическая» накачка — возбуждение интенсивным светом. Для этого используются очень интенсивные лампы-вспышки, непрерывно излучающие лампы высокого давления, а также другие лазеры.
Возбуждение газовой среды электрическим разрядом. Ионы и электроны, которые в небольшом количестве всегда присутствуют в газе, ускоряются сильным электрическим полем. Быстрые электроны сталкиваются с атомами и передают им свою кинетическую энергию. Эта энергия и используется для заселения верхнего энергетического уровня.
Иногда используется электрический ток (полупроводниковые лазеры) или химические реакции (химические лазеры).
3. Оптический резонатор — это устройство, обеспечивающее положительную обратную связь и формирующее когерентный луч с очень малой степенью расходимости. В простейшем случае оптический резонатор представляет собой два плоскопараллельных зеркала (обращенными друг к другу) установленные на одной оси, между которыми помещается рабочее тело. Одно из
зеркал полупрозрачно. Ось резонатора указывает направление формирования луча.
Процесс генерации излучения. Рассмотрим, как происходит процесс генерации. Система накачки создает в рабочем теле инверсную населенность. После этого начинается процесс спонтанного возвращения частиц в невозбужденное состояние. При этом частицы испускают фотоны. Те из них, которые испущены под углом к оси резонатора, выходят через боковую поверхность и в процессе генерации не участвуют. Их поток быстро иссякает.
Те фотоны, которые после спонтанного излучения движутся вдоль оси резонатора, многократно проходят через рабочее тело, отражаясь от зеркал. За счет этого возрастает число их взаимодействий с возбужденными атомами и происходит «лавинообразное» нарастание индуцированных фотонов, движущихся в том же направлении. Многократно усиленный поток фотонов выходит через полупрозрачное зеркало, создавая мощный пучок почти параллельных когерентных лучей.
Таким образом, лазер преобразует энергию источника накачки в энергию монохроматического, когерентного света. Эффективность такого преобразования, то есть КПД, зависит от типа лазера и лежит в диапазоне от долей процента до нескольких десятков процентов. У большинства лазеров КПД составляет 0,1-1%.
Работа рубинового и гелий-неонового лазера
Рубиновый лазер. Рассмотрим создание инверсной населенности на примере трехуровневой системы, используемой в рубиновых лазерах.
Рубин — это кристаллическая окись алюминия AI2O3, являющаяся прозрачным и бесцветным веществом. В это вещество (в матрицу) внедрены атомы хрома в количестве около 0,05%. Именно хром придает рубину розовый цвет и именно он обеспечивает лазерную генерацию.
Из всего множества энергетических уровней атома хрома в (в рубиновом лазере используются три: основной, первый (метаста- бильный с время жизни около 3 мс) и второй уровень с малым временем жизни (рис. 38.3).
Для создания инверсной населенности рубин облучают мощным импульсом света. При этом поглощаются фотоны с частотой Z/02, соответствующей переходу частиц — атомов хрома — между уровнями 0 и 2 (Лг/02 = Е^ — Е^. Фотоны внешнего облучения с частотой гщ2 не могут создать инверсную населенность между уровнями 2 и 0, так как при выравнивании их населенностей вероятность поглощения фотона сравняется с вероятностью его вынужденного испускания. Для создания инверсной населенности используют метастабильный уровень 1. Попавшие на уровень 2 частицы быстро, спонтанно и безызлучательно переходят на метастабильный уровень 1.
Короткоживущий уровень
1 шшш Метастабильный уровень
/Лазерный
/ переход_~
- Основной уровень
Рис. 38.3. Трехуровневая лазерная система (рубиновый лазер)
Фотоны внешнего облучения z/q2 не могут вызвать индуцированное излучение с уровня 1, так как для этого требуются фотоны с другой частотой (^oi)- Поэтому на уровне 1 постепенно накапливаются частицы и в конце концов их количество превысит количество частиц на нулевом уровне. Таким образом, между уровнями 0 и 1 будет создана инверсная населенность. В обычных условиях переход с уровня 1 на уровень 0 происходит спонтанно и сопровождается излучением с длиной волны Д = 694,3 нм.
Гелий-неоновый лазер. Широкое распространение в реабилитационной медицине получил гелий-неоновый лазер. В нем используется четырехуровневая система создания инверсной населенности. Активной средой в данном случае является смесь газов гелия и неона в соотношении 10:1, содержащаяся в стеклянной трубке под низким давлением. Парциальные давления гелия и неона равны, соответственно, 1 мм рт. ст. и 0,1 мм рт. ст. Собственно лазерный переход происходит в неоне, то есть атомы неона являются излучающими (рабочими), атомы гелия — вспомогательными, необходимыми для создания инверсной населенности атомов неона. На рис. 38.4 показаны энергетические уровни атомов гелия и неона.
Подача энергии при возбуждении (накачка) осуществляется через электрический разряд. При электрическом разряде часть атомов неона переходит с основного уровня 0 на возбужденный уровень 2. Для чистого неона время жизни на этом уровне мало, и атомы переходят на уровни 1 или 0. Для создания инверсной населенности атомов неона, то есть для увеличения населенности уровня 2 и уменьшения населенности уровня 1, используют вспомогательные атомы гелия.
^Не1 ,
^НеО
Рис. 38.4. С
1Перенос энергии‘
при соударениях
Возбуждение электрическим разрядом
хема энергетических уровней ,
.^Ке2
^w^> Лазерное
Л^ излучение
^NeO
для гелий-неонового лазера
Первый возбужденный уровень атома гелия совпадает с уровнем 2 для атома неона. Поэтому при соударении возбужденных атомов гелия с невозбужденными атомами неона происходят передача энергии последним и перевод их в возбужденное состояние 2. Таким образом, атомы гелия способствуют увеличению населенности уровня 2 атомов неона. Разгрузке уровня 1 у атомов неона способствуют их столкновения со стенками трубки, в результате которых они отдают энергию и переходят с уровня 1 на уровень 0. Наиболее эффективно этот механизм разгрузки действует при диаметре трубки около 7 мм. В трубке создается активная среда, состоящая из атомов неона с инверсной населенностью уровней 2 и 1. Спонтанный переход отдельных атомов неона с энергетического уровня 2 на уровень 1 вызывает появление фотонов. При дальнейшем взаимодействии этих фотонов с возбужденным атомами неона возникает индуцированное когерентное излучение последних. Чаще всего используются гелий-неоновые лазеры с длиной волны А = 632,8 нм, мощностью 100 мВт.
Особенности лазерного излучения
Устройство лазера и свойства вынужденного излучения обуславливают отличие лазерного излучения от излучения обычных источников света. Лазерное излучение (ЛИ) характеризуется следующими важнейшими свойствами.
Высококогерентностъ. Излучение является высококоге- рентним^ что обусловлено свойствами вынужденного индуцированного излучения. При этом имеет место не только временная, но и пространственная когерентность: разность фаз в двух точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения, сохраняется постоянной (рис. 38.5а) (в следствии пространственной когерентности излучение может быть сфокусировано в очень малом объеме).
а) Когерентностьа) КогерентностьПространственная когерентностьПространственная когерентностьВременная когерентностьВременная когерентность
а) Когерентность
а) Когерентность
Пространственная когерентность
Пространственная когерентность
Временная когерентность
Временная когерентность
б) Коллимированность
ЛазерЛазер
Лазер
Лазер
Длина волны
Рис. 38.5. Когерентность (а), коллимированность ^б\ монохроматич-ность (в) лазерного излучения
Монохроматичности. Лазерное излучение является в высокой степени монохроматическим^ то есть содержит волны практически одинаковой частоты (фотоны имеют одинаковую энер-
гию). Это обусловлено тем, что вынужденное излучение связано с дублированием фотонов (каждый индуцированный фотон полностью подобен первоначальному). При этом формируется электромагнитная волна постоянной частоты. Ширина спектральной линии составляет ДА « 0,01 нм. На рис. 38.5в приведено схематическое сравнение ширины линии лазерного луча и луча обычного света.
До появления лазеров излучение с некоторой степенью монохроматичности удавалось получить с помощью приборов — монохроматоров, выделяющих из сплошного спектра узкие спектральные интервалы (узкие полосы длин волн), однако мощность света в таких полосах мала.
Высокая мощность. С помощью лазера можно обеспечить очень высокую мощность монохроматического излучения — до 105 Вт в непрерывном режиме. Мощность импульсных лазеров на несколько порядков выше. Так неодимовый лазер генерирует импульс с энергией Е = 75 Дж, длительность которого ^ = 3 • Ю12 с. Мощность в импульсе равна Р = Е/1 = 2,5 х х 1013 Вт (для сравнения: мощность ГЭС Р ~ 109 Вт).
Высокая интенсивность. В импульсных лазерах интенсивность лазерного излучения очень высока и может достигать / = 1014-1016 Вт/см2 (ср. интенсивность солнечного света вблизи земной поверхности / = 0,1 Вт/см2).
Высокая яркость. У лазеров, работающих в видимом диапазоне, яркость лазерного излучения (сила света с единицы поверхности) очень велика. Даже самые слабые лазеры имеют яркость 1015 кд/м2 (для сравнения: яркость Солнца L ~ 109 кд/м2).
Давление. Лазерный луч при падении на поверхность оказывает давление (р). При полном поглощении лазерного излучения, падающего перпендикулярно поверхности, величина создается давление р = I/с, где / — интенсивность излучения, с — скорость света в вакууме. При полном отражении величина давления в два раза больше. При интенсивности / = 1014 Вт/см2 = = 1018 Вт/м2, р = 3,3 • 109 Па = 33 000 атм.
Малый угол расходимости в пучке. Коллимированность. Излучение является коллимированным^ то есть все лучи в пучке почти параллельны друг другу (рис. 38.55). На большом расстоянии лазерный пучок лишь незначительно увеличивается в диа-
метре (для большинства лазеров угол расходимости составляет 1 угловую минуту или меньше). Так как угол расходимости мал, то интенсивность лазерного пучка слабо убывает с расстоянием. Остронаправленность позволяет передавать сигналы на огромные расстояния при малом ослаблении их интенсивности.
Поляризованность. Лазерное излучение полностью поляризовано.
Характеристики лазерного излучения,применяемого в медицине
Длина волны излучения. Длины волн излучения (А) медицинских лазеров лежат в диапазоне 0,2-10 мкм, то есть от ультрафиолетовой до дальней инфракрасной области. Интенсивно ведутся исследования по разработке лазеров, работающих в рентгеновском диапазоне длин волн.
Мощность излучения. Мощность излучения (Р) медицинских лазеров варьируется в широких пределах, определяемых целями применения. Для непрерывных медицинских лазеров Р = 0,01-100 Вт. Импульсные лазеры характеризуются мощностью в импульсе РИ и длительностью импульса ти . Для хирургических лазеров Р^ = 103—108 Вт, а длительность импульса ти = 10 9 10 3 с.
Энергия в импульсе излучения. Энергия одного импульса лазерного излучения (Ри) определяется соотношением Ей = ^И • ти, где ти — длительность импульса излучения (обычно ти = 10-9-10-3 с). Для хирургических лазеров Е^ = 0,1-10 Дж.
Частота следования импульсов. Эта характеристика (/) импульсных лазеров показывает количество импульсов излучения, генерируемых лазером за 1 с. Для терапевтических лазеров / = 10-3000 Гц, для хирургических / = 1-100 Гц.
Средняя мощность излучения. Эта характеристика (Рср) импульсно-периодических лазеров показывает, какую энергию лазер излучает за 1 с, и определяется следующим соотношением:
Рср — E^f = P^f.
Для терапевтических лазеров Рср = 10 3-10 1 Вт, для хирургических 1-100 Вт.
Интенсивность (плотность мощности). Эта характеристика (/) определяется как отношение мощности лазерного излучения к площади поперечного сечения пучка. Для непрерывных лазеров / = Р/S. Для импульсных лазеров различают интенсивность в импульсе /и = Р^/ S и среднюю интенсивность /ср = Рср/5.
Интенсивность хирургических лазеров и давление, создаваемое их излучением, имеют следующие значения:
для непрерывных лазеров / ~ 103 Вт/см2, р = 0,033 Па,
для импульсных лазеров /и ~ 105-10п Вт/см2, р = 3,3 х х 106 Па.
Доза облучения. Обычно с помощью этой величины (D, Дж/см2) характеризуют энергию, которая приходится на единицу площади облучаемой поверхности за весь сеанс. Для непрерывных лазеров D = It, где t — время облучения в секундах. Для импульсно-периодических лазеров D = /ср£-
Плотность энергии в импульсе. Эта величина (И/) характеризует энергию, которая приходится на единицу площади облучаемой поверхности за один импульс, и определяется соотношением W = EvJ S, где S (см2) — площадь светового пятна (то есть поперечного сечения лазерного луча) на поверхности биоткани. У лазеров, используемых в хирургии, W ~ 100 Дж/см2.
Параметр W можно рассматривать как дозу облучения D за 1 импульс.
Угол расходимости (расходимость лазерного пучка). Минимальный возможный угол расходимости ср (рад) определяется дифракцией на зеркальной поверхности резонатора и может быть вычислен по формуле: ср ~ AX/d3, где (/э — диаметр активного элемента, А « 1. Минимальный угол расходимости составляет 10-4-10-5 рад.
Фокусное расстояние фокусирующего элемента. При использовании лазера в качестве скальпеля необходимо его луч сфокусировать на биоткани в виде малого светового пятна (иначе вместо тонкого разреза получится широкий ожог). Для этого
обычно используются линзы. Характеристикой фокусирующего элемента является его фокусное расстояние F (см. лекцию 28).
Диаметр фокального пятна. Если лазерный пучок с однородным распределением интенсивности и фазы по сечению фокусируется линзой с фокусным расстоянием F, то минимальный достижимый диаметр пучка ((/) в фокусе линзы определяется явлением дифракции и задается формулой: d = l^XF / D, где D — диаметр лазерного пучка на входе в линзу.
В реальных линзах аберрации не сказываются вплоть до D « F, то есть практически достижимый минимальный диаметр фокального пятна соизмерим с длиной волны лазерного излучения: (/min ~ А. При D > F аберрации линз препятствуют дальнейшему уменьшению d.
Для приблизительных оценок диаметра фокального пятна можно пользоваться формулой: d = Ftp. На практике d « 10-100 dmin.
Взаимодействие лазерного излученияс биообъектами
Процессы, характеризующие виды взаимодействия ЛИ с биообъектами, можно разделить на 3 группы:
невозмусцаюсцее воздействие (не оказывающее заметного действия на биообъект);
фотохимическое действие (возбужденная лазером частица либо сама принимает участие в соответствующих химических реакциях, либо передает свое возбуждение другой частице, участвующей в химической реакции);
фоторазрушение (за счет выделения тепла или ударных волн).
Отражение, поглощение, пропускание в случае однородной среды. При попадании ЛИ на ткань могут наблюдаться три процесса:
отражение, которое характеризует отраженная часть потока (Фотр)?
поглогцение, которое характеризует поглощенная часть потока (ФПОГл),
пропускание, которое характеризует пропущенная часть потока (Фпроп)-
По закону сохранения энергии сумма этих потоков равна потоку падающего излучения:
Фотр + Фпогл + Фпроп — Фпад.(38.2)
На рис. 38.6 схематически показано распределение этих потоков.
Рис. 38.6. Прохождение лазерного излучения через однородную среду
Соотношение между потоками зависит от длины волны и свойств среды. Для оценки поглощения излучения в ткани используется коэффициент поглощения а = Фпогл/Фпад-
Отражение и поглощение в коже. Взаимодействие лазерного излучения чаще всего начинается с контакта с кожей. Перераспределение лазерного луча на коже показано на рис. 38.7.
Рис. 38.7. Перераспределение энергии лазерного луча при прохождении через кожу: 1 — роговой слой, 2 — эпидермис, 3 — дерма
Из-за отражения от нескольких слоев кожи суммарное отражение может достигать 60%.
Изменения, происходящие в ткани при воздействии мощного лазерного излучения. Действие лазера в хирургии, будь то в качестве режущего инструмента или коагулятора, базируется на превращении электромагнитной энергии лазерного луча в тепловую энергию. В облучаемом объекте возникает источник теплоты с мощностью q (Вт/м3). Поглощенное лазерное излучение приводит к проявлению различных процессов (рис. 38.8).
а - удаляемая тканьа - удаляемая тканьб - коагуляцияб - коагуляцияв - нагреваниеРис. 38.8. Действие лазерного излучения на тканьв - нагреваниеРис. 38.8. Действие лазерного излучения на ткань
а - удаляемая ткань
а - удаляемая ткань
б - коагуляция
б - коагуляция
в - нагревание
Рис. 38.8. Действие лазерного излучения на ткань
в - нагревание
Рис. 38.8. Действие лазерного излучения на ткань
Излучение удаляет нагретую до нескольких сотен градусов ткань (зона а) и проникает далее в ткань. Поглощенное там излучение недостаточно для удаления ткани, но приводит к коагуляции (иногда совместно с обугливанием — черная жирная линия) в слое, соответствующем глубине проникновения света (зона 6Y В дополнение к непосредственному нагреванию излучением окружающая ткань нагревается вследствие теплопроводности (зона б). На внешней границе этой зоны имеют место обратимые изменения ткани.
Если излучение исходит от высокоинтенсивного сфокусированного лазера, то термические повреждения сопровождаются механической травмой ткани за счет ударных волн (см. ниже).
Протяженности отдельных зон (ширина разреза, граница обугливания, граница коагуляции, зона обратимого изменения ткани, зона механического повреждения) зависят от характеристик ЛИ (длина волны, мощность, непрерывное или импульсное излучение, частота повторения импульсов), от свойств окружающей среды (воздух, вода, кровь) и свойств самой ткани (в первую очередь от коэффициента поглощения и теплопроводности).
Динамика изменения свойств ткани и еетемпературы при действии непрерывного мощноголазерного излучения
Динамика изменения свойств. Воздействие лазерного излучения приводит к повышению температуры тканей. По мере роста температуры в тканях протекают следующие процессы:
при 40-60 °C имеют место активация ферментов, образование отеков, изменение и, в зависимости от времени действия, гибель клеток, денатурация протеина, начало коагуляции и некрозы;
при 60-80 °C — денатурация коллагена, дефекты мембраны;
при 100 °C — обезвоживание, выпаривание тканевой воды;
свише 150 °C — обугливание;
свише 300 ° С — выпаривание обезвоженной обугленной ткани, газообразование.
Динамика изменения температуры. Превращенная в тепло энергия излучения вызывает в облученной ткани локальное повышение температуры. Рассмотрим динамику этого процесса для случая, когда нагревание осуществляется непрерывным лазером с постоянной интенсивностью излучения. При этом скорость выделения тепла в облучаемом объеме биоткани определяется ее коэффициентом поглощения а и интенсивностью излучения:
q = al Вт/см3.
В общем случае можно выделить несколько фаз, которые схематически показаны на рис. 38.9.
фаза. Сначала температура ткани повышается от 37 до 100 °C. В этом диапазоне температур термодинамические свойства ткани остаются практически неизменными и происходит линейный рост температуры со временем (а = const и / = const).
фаза. При температуре 100 °C начинается выпаривание тканевой воды, и до окончания этого процесса температура остается постоянной.
фаза. После выпаривания воды температура вновь начинает расти, но медленнее, чем на участке 1, так как обезвоженная ткань поглощает энергию слабее нормальной.
фаза. При достижении температуры Т « 150 °C начинается процесс обугливания и, следовательно, «почернения» биоткани.
При этом коэффициент поглощения а начинает расти. Поэтому наблюдается нелинейный, ускоряющийся со временем рост температуры.
фаза. При достижении температуры Т « 300 °C начинается процесс испарения обезвоженной обугленной биоткани и рост температуры вновь прекращается. Именно в этот момент лазерный луч рассекает (удаляет) ткань, то есть становится скальпелем.
Рис. 38.9. Динамика изменения температуры ткани под воздействием лазера
Абляция ткани под воздействием мощного импульсного лазерного излучения. При достаточно больших интенсивностях ЛИ и коротких длительностях импульса может реализоваться другой механизм рассечения или удаления биоткани. В этом случае мощность объемного теплового источника q = al столь велика, что происходит очень быстрый нагрев тканевой жидкости до температуры Т > Ткип. При этом возможно получение перегретого метастабильного состояния тканевой жидкости, когда она какое-то время не закипает даже при температуре, превышающей 100 °C. Этот перегрев будет тем выше, чем больше интенсивность / (то есть мощность источника q). Затем происходит быстрое взрывное вскипание тканевой жидкости. При этом давление ее паров поднимается. Это приводит к тому, что выбрасывается «клеточный каркас» ткани, происходит явление абляции — быстрого взрывного удаления вещества. Обычно при реализации процесса абляции не происходит обугливания ткани.
«Взрывное» удаление биоткани при абляции приводит к генерации механических ударных волн.
При большой мощности коротких лазерных импульсов этот процесс может приводить к механическому повреждению биотканей в окрестностях зоны лазерного воздействия. Этот факт необходимо учитывать при выборе параметров импульсного лазерного излучения, например, при шлифовке кожи, сверлении зубов или при лазерной коррекции остроты зрения.
Использование лазерного излученияв диагностике
Лазерная диагностика представляет собой невозмущающее воздействие на биообъект, использующее когерентность лазерного излучения. Перечислим основные методы диагностики.
Интерферометрия. При отражении лазерного излучения от шероховатой поверхности образуются вторичные волны, которые интерферируют между собой. В результате образуется картина темных и светлых пятен (спеклов), расположение которых дает информацию о поверхности биообъекта (метод спеклоинтерфе- рометрии).
Голография. С помощью лазерного излучения получают 3-мерное изображение объекта. В медицине этот метод позволяет получать объемные изображения внутренних полостей желудка, глаза и т. д. На основе гелий-неонового лазера с использованием волоконной оптики разработаны гастроскопы, которые позволяют голографически формировать объемное изображение внутренней полости желудка.
Рассеяние света. При прохождении остронаправленного лазерного пучка через прозрачный объект рассеивание света изменяет пространственное распределение интенсивности. Регистрация угловой зависимости интенсивности рассеянного света (метод нефелометрии) позволяет определять размеры частиц среды (от 0,02 до 300 мкм) и степень их деформации.
При рассеянии может изменяться поляризация света, что также используется в диагностике (метод поляризационной нефелометрии).
Эффект Доплера. Этот метод основан на измерении доплеровского сдвига частоты ЛИ, который возникает при отражении даже от медленно движущихся частиц (метод анемометрии). Таким способом измеряется скорость кровотока в сосудах, подвижность бактерий и т. д.
Квазиупругое рассеяние. При таком рассеянии происходит незначительное изменение длины волны зондирующего ЛИ. Причина этого — изменение в процессе измерения рассеивающих свойств (конфигурации, конформации частиц). Временные изменения параметров рассеивающей поверхности проявляются в изменении спектра рассеяния по сравнению со спектром подающего излучения (спектр рассеяния либо уширяется, либо в нем появляются дополнительные максимумы). Изменения в спектре незначительны, поэтому они не различимы традиционными методами спектрометрии. Данный метод позволяет получать информацию о меняющихся характеристиках рассеивателей: коэффициент диффузии, скорость направленного транспорта, размеры. Так осуществляется диагностика макромолекул белков.
Лазерная масс-спектроскопия. Этот метод используют для исследования химического состава объекта. Мощные пучки лазерного излучения испаряют вещество с поверхности биообъекта. Микропробы испаренного вещества подвергают масс-спектраль- ному анализу, по результатам которого судят о составе вещества.
Лазерный анализ крови. Лазерный луч, пропускаемый через узкий кварцевый капилляр, по которому прокачивается специально обработанная кровь, вызывает флуоресценцию клеток крови. Флуоресцентное свечение затем улавливается чувствительным датчиком. Это свечение специфично для каждого типа клеток, проходящих поодиночке через сечение лазерного луча. Подсчитывается общее число клеток в заданном объеме крови. Определяются точные количественные показатели по каждому типу клеток
Метод фоторазрушения. Его используют для исследования поверхностного состава объекта. Мощные пучки ЛИ позволяют брать микропробы с поверхности биообъектов путем испарения вещества и последующего масс-спектрального анализа этого пара.
Использование лазерного излученияв терапии
В терапии используются низкоинтенсивные лазеры (интенсивность 0,1-10 Вт/см2). Низкоинтенсивные лазеры не вызывают заметного деструктивного действия на ткани непосредственно во время облучения. В видимой и ультрафиолетовой областях
спектра их эффекты обусловлены фотохимическими реакциями и не отличаются от эффектов, вызываемых монохроматическим светом, полученным от обычных, некогерентнных источников. В этих случаях лазеры являются просто удобными монохроматическими источниками света, обеспечивающими точную локализацию и дозированность воздействия. Ниже указаны наиболее распространенные методы лазеротерапии.
Терапия с помощью красного света. Излучение Не-Ne лазера с длиной волны 632,8 нм используется с противовоспалительной целью для лечения ран, язв, ишемической болезни сердца. Лечебный эффект связан с влиянием света этой длины волны на пролиферативную активность клетки. Свет выступает в роли регулятора клеточного метаболизма.
Терапия с помощью синего света. Лазерное излучение с длиной волны в синей области видимого света используется, например, для лечения желтухи новорожденных. Это заболевание — следствие резкого возрастания в организме концентрации билирубина, который имеет максимум поглощения в синей области. Если облучать детей лазерным излучением такого диапазона, то билирубин распадается, образуя водорастворимые продукты.
Фотодинамическая терапия опухолей. Фотодинамическая терапия (ФДТ) используется при удаления опухолей, доступных для облучения светом. ФДТ основана на применении локализующихся в опухолях фотосенсибилизаторов, повышающих чувствительность тканей при их последующем облучении видимым светом. Часто в качестве фотосенсибилизаторов при ФДТ используют производные гематопорфирина, которые поглощают свет в красной области спектра и обладают свойством избирательно накапливаться в злокачественных образованиях. При освещении фотосенсибилизаторы продуцируют активные формы кислорода (наиболее эффективно синглетный кислород), способные повреждать биосубстрат вблизи места локализации фотосенсибилизатора без нарушения нормальной ткани. Разрушение опухолей при ФДТ основано на трех эффектах:
прямое фотохимическое уничтожение клеток опухоли;
повреждение кровеносных сосудов опухоли, приводящее к ишемии и гибели опухоли;
возникновение воспалительной реакции, мобилизирующей противоопухолевую иммунную защиту тканей организма.
Под действием света фотосенсибилизаторы вызывают противоопухолевые эффекты. Практически облучение опухолей, содержащих фотосенсибилизаторы, проводится чаще всего красным светом лазеров в области 600-850 нм. В этой области спектра глубина проникновения света в биологические ткани максимальна. Иногда при воздействии на опухоли кишечника используют зеленый свет лазеров, который сильно ослабляется биологическими тканями и проникает неглубоко. Это делается для того, чтобы не вызвать перфорацию стенок кишечника.
Фотодинамическая терапия применяется при лечении опухолей кожи, внутренних органов: легких, пищевода (при этом к внутренним органам лазерное излучение доставляется с помощью световодов).
Различают однофотонные и многофотонные возбуждения. Однофотонные возбуждения наблюдаются при малых интенсивностях лазерного излучения, многофотонные — при больших интенсивностях.
При большой интенсивности лазерного излучения (при высокой пиковой мощности), реализуемой, как правило, в коротких лазерных импульсах, возможно многофотонное возбуждение. При многофотонном поглощении в одном элементарном акте молекулой поглощается одновременно несколько фотонов. В результате этого вещество, прозрачное для излучения определенной длины волны при малых интенсивностях, может стать непрозрачным для него при больших интенсивностях. Поэтому могут идти фотохимические реакции, невозможные при малых интенсивностях. Лазерная терапия, использующая многофотонное поглощение, получила название нелинейной фототерапии.
Использование лазерного излученияв хирургии
В хирургии используются высокоинтенсивные лазеры. Лазерный луч используется в качестве универсального светового скальпеля. При воздействии на биоткань лазерного излучения большой интенсивности происходит ее нагрев, коагуляция, испарение или же абляция. Эти явления используются в лазерной хирургии для рассечения тканей, удаления ее патологических
участков, остановки кровотечения, сваривания биотканей. Выбирая должным образом длину волны излучения, его интенсивность и длительность воздействия, можно получать различные хирургические эффекты. Так, для разрезания биологических тканей часто используется сфокусированный луч непрерывного СО2-лазера, имеющий длину волны А = 10,6 мкм, мощность 2 • 103 Вт/см2.
Применение лазерного луча в хирургии обеспечивает избирательное и контролируемое воздействие. Лазерная хирургия имеет ряд преимуществ:
бесконтактность, дающую абсолютную стерильность;
селективность, позволяющую выбором длины волны излучения дозированно разрушать патологические ткани, не затрагивая окружающие здоровые ткани;
бескровность (за счет коагуляции белков);
микрохирургию тканей и клеток, позволяющую, благодаря высокой степени фокусировки луча;
незначительное механическое травмирование прилегающих областей;
точно определенная глубина проникновения в ткань.
Укажем некоторые области хирургического применения лазеров.
Лазерная сварка тканей. Соединение рассеченных тканей представляет собой необходимый этап многих операций. Лазер могут с успехом использоваться для решения этой задачи. Для сварки тканей используется различные лазеры. Для большинства тканей при сварке целесообразно, чтобы нагревание, ведущее к оплавлению и последующей сварке, происходило по возможности главным образом в наружном, самом прочном слое будущего анастомоза (соустье между сосудами). Защиту от обширного по объему и чрезмерного по температуре нагрева свариваемых структур осуществляют либо с помощью специально подбираемого режима работы или путем нанесения на поверхность будущего шва специального припоя, интенсивно поглощающегося свет в области излучения данного лазера. На рис. 38.10 показано сваривание одного из стволов крупного нерва, осуществляемого в контактном режиме с использованием припоя, который каплями из пипетки подается по месту сваривания.
Рис. 38.10. Сваривание нерва при помощи лазерного луча
Разрушение пигментированных участков. Лазеры, работающие в импульсном режиме, используются для разрушения пигментированных участков. Необходимыми условиями для этого являются: поглощение объектом излучения данной длины волны и достаточно короткая продолжительность импульсов. Используемая при этом малая энергия снижает опасность повреждения соседних тканей. В некоторых случаях используется малая глубина проникновения луча в ткань, что позволяет осуществить послойное испарение (абляцию). Данный метод (фототермолиз) используется для лечения ангиом, татуировок, склеротических бляшек в кровеносных сосудах и т. п.
Лазерная эндоскопия. Внедрение эндоскопии произвело коренной переворот в оперативной медицине. Чтобы избежать больших открытых операций, лазерное излучение доставляется к месту воздействия с помощью волоконно-оптических световодов. Световод изготавливается из кварцевого или стеклянного волокна в зависимости от диапазона длин волн, в котором он используется. Гибкие световоды позволяют подводить лазерное излучение к биотканям внутренних полых органов. При этом значительно снижается риск возникновения и передачи инфекций, опасность послеоперационных осложнений (спайки, перерождение нормальной ткани в рубцово-измененную). Операционная нагрузка на организм значительно снижается. Оперативное вмешательство может быть осуществлено амбулаторно.
Лазерный пробой. Короткоимпульсные лазеры в сочетании со световодами применяют для удаления бляшек в сосудах, камней в желчном пузыре и почках. Например, при удалении камней лазерное излучение подводят по световоду и фокусируют около мишени. При генерации лазерного импульса (длительностью 10-12-10-9 с) интенсивность излучения столь велика, что происходит так называемый лазерный пробой, аналогичный обычному электрическому пробою. То есть происходит процесс электронной ударной ионизации атомов мишени в высокочастотном (// = 1014-1015 Гц) электромагнитном поле, приводящий к лавинообразному росту концентрации свободных электронов и образованию облака электронной плазмы.
Это облако плазмы интенсивно поглощает оставшиеся фотоны лазерного излучения. В результате этого температура мишени в фокальной области резко возрастает до десятков тысяч градусов. Затем плазма быстро расширяется, порождая ударную волну, распространяющуюся во всех направлениях. Ударная волна разрушает мишень.
Оптическое волокно должно иметь соответствующую прочность. В противном случае оно разрушится, и его обломки могут нанести вред пациенту.
Лазеры в офтальмологии. Лазеры широко применяются при хирургических операциях в офтальмологии. Их применение позволяет выполнять бескровные, не требующие нарушения целостности глазного яблока, оперативные вмешательства, связанные с коагуляцией и фотодеструкцией тканей глаза. Это операции на стекловидном теле; приваривание отслоившейся сетчатки и заваривание ее сосудов (офтад-ьмокоагуляция); лечение глаукомы путем «прокалывания» лазерным лучом отверстий (диаметром 50-100 мкм) для оттока внутриглазной жидкости. Применяется послойная абляция тканей роговицы для коррекции зрения. При использовании эксимерного лазера (длина волны — 193 нм, продолжительность импульса — 10-25 нс) осуществляется холодное выпаривание (абляция) поверхностных слоев роговицы на глубину до 120 мк. При этом изменяется ее оптическая сила (фоторефракционная кератотомия). Эксимерные лазеры под компьютерным контролем способны производить коррекцию нарушений рефракции (от —20 до +20 дптр). Подбирается оптимальный режим работы лазерной установки,
в результате чего температура роговой оболочки повышается не более чем на 5-6 °C. Благодаря этому роговица в послеоперационном периоде остается прозрачной. Время лазерного вмешательства не превышает одной минуты.
Меры безопасности при работе с лазерами
Потенциальную опасность для организма человека при работе с лазерами представляет прямое и рассеянное лазерное излучение. В наибольшей степени ему подвержены глаза и открытые участки кожи. Во избежание этого необходимо выполнение следующих требований.
Интенсивность лазерного излучения не должна превышать предельно допустимый уровень (ПДУ), установленный ГОСТом.
Вблизи направления (трассы) прохождения лазерного луча не должно быть предметов с зеркальными поверхностями.
Должна быть исключена возможность неконтролируемых перемещений лазерного луча.
Зеркальные поверхности оборудования должны быть покрыты неотражающими материалами.
Необходимо использовать специальные защитные очки (изготовленные из из специального сине-зеленого стекла) — при работе с лазерами разного диапазона:
при красном излучении — для профилактики цистрансизомеризации ретинала колбочек и палочек сетчатки;
при инфракрасном излучении — для профилактики ретинопатического действия;
при ультрафиолетовом излучении — для профилактики поражения хрусталика и сетчатки.
Следует помнить, что и при работе в защитных очках запрещается попадание луча на глаза.
Элементы реабилитологии
Лазеротерапия — лечебное использование оптического излучения, источником которого является лазер.
В клинической-реабилитационной практике в настоящее время нашли применение лазеры различных конструкций и модификаций. Наиболее часто используются низкоинтенсивные гелийнеоновые и полупроводниковые лазеры. Они излучают в красном
и инфракрасном диапазонах и работают как в непрерывном, так и в импульсном режимах.
Некоторые лазеры имеют магнитные насадки для сочетанного действия лазерного излучения и магнитного поля — магнитолазеротерапии. К ним относится магнито-инфракрасный лазерный терапевтический аппарат «Мильта».
Для фотодинамической физиотерапии применяют лазеры видимого излучения с волоконными световодами и рассеивателями на конце. В качестве фотосенсибилизаторов используют соответствующие препараты, которые вводят больному внутривенно за несколько дней до облучения. Чаще всего используют излучение с длиной волны 632 нм (красный свет) и 800-1200 нм (инфракрасное излучение). Максимальная мощность излучения не превышает 60 мВт. Воздействие на ткани осуществляют как сфокусированным лучом (при непосредственном контакте), так и расфокусированным лучом (при дистанционной методике на расстоянии 25-30 мм).
Лазерофорез. Эффективность лазеротерапии увеличивается при сочетанном воздействии с лекарственными веществами, предварительно нанесенными на облучаемую зону.
Лазерное излучение используется при сочетании с другими методами электрофизиотерапии. Дозирование лазерофизиотерапевтических воздействий оценивают при помощи специальных измерителей мощности лазерного излучения.
Лекция 39
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Магнетики.
Магнитные моменты электрона.
Намагниченность.
Парамагнетики.
Диамагнетики.
Ферромагнетики.
Понятие о магнитобиологии.
Понятие о биомагнетизме.
Магнитный резонанс.
Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР).
ЯМР-томография (магниторезонансная томография) как диагностический метод.
Магнетики
В лекции «Электричество и магнетизм» мы уже отмечали, что все вещества при помещении их во внешнее магнитное поле (Bq) становятся источниками собственного магнитного поля (Вс). В этом смысле все вещества являются магнетиками, то есть намагничиваются. Полное магнитное поле в веществе (В) складывается из двух полей: В = Bq + Вс.
Причина возникновения намагниченности кроется в строении вещества. Атомы, входящие в состав вещества, состоят из движущихся электронов и ядер. Движение этих частиц создает магнитные поля внутри вещества. При отсутствии внешнего магнитного поля у большинства веществ эти поля ориентированы хаотически и среднее магнитное поле, создаваемое движением частиц, равно нулю. Когда вещество помещают во внешнее магнитное поле, в движении частиц появляется некоторая упорядоченность, которая и создает собственное магнитное поле вещества Вс. Модуль и направление вектора Вс зависят от модуля и направления вектора индукции внешнего поля Bq и от внутреннего строения вещества.
Магнитное поле ядра значительно меньше магнитного поля электронов, поэтому при рассмотрении многих вопросов его можно не учитывать. Случаи, когда такой учет необходим, будут рассмотрены отдельно, а сейчас разберем вопрос о том, как возникают и чем характеризуются магнитные поля электронов.
Магнитные моменты электрона
Будем рассматривать движение электрона в атоме как равномерное вращение вокруг ядра с некоторой скоростью v. Такое движение можно уподобить круговому току и применить к нему используемые в этом случае характеристики (см. лекцию «Электричество и магнетизм»).
Магнитный момент контура с током. Пусть по контуру с площадью S течет ток I. Величина рт = I • S называется магнитным моментом контура с током. Магнитный момент контура с током — это вектор, который направлен перпендикулярно плоскости контура и связан с направлением тока правилом правого буравчика (рис. 39.1).
“ Рт = IS
Рис. 39.1. Направление магнитного момента контура с током
Контур с током создает собственное магнитное поле. Расчеты показывают, что индукция этого поля прямо пропорциональна величине магнитного момента контура (именно по этой причине магнитный момент и выбран для описания магнитного поля контура).
Орбитальный магнитный момент электрона. Используя аналогию с контуром, вычислим магнитный момент, соответствующий орбитальному движению электрона (рОрбш)- Сила тока, соответствующая вращению электрона по круговой орбите, определяется формулой
где е — заряд электрона, Т - период его обращения.
Так как период Т = 2тгг/v (г — радиус орбиты, и — скорость электрона), то сила тока равна
/ = euf^rY(39.2)
Площадь контура в данном случае — это площадь круга S = = 7ГГ2.
Теперь можно рассчитать орбитальный магнитный момент электрона:
Рорбт = IS = [ev / (2тгг)]тгг2.
Выполнив очевидные сокращения, получим формулу для расчета орбитального магнитного момента:
Рорбт — е??г/2.(39.3)
Орбитальный момент импульса электрона. В физических экспериментах обычно измеряют не сам орбитальный магнитный момент, а его отношение к другой характеристике орбитального движения — моменту импульса.
Моментом импульса материальной точки относительно оси называют величину, равную произведению импульса точки на расстояние ее до оси вращения.
В соответствии с этим момент импульса электрона, вращающегося по круговой орбите, выражается следующей формулой:
(39.4)(39.4)^оРб = тит,
(39.4)
(39.4)
где т — масса электрона.
Направления векторов Ьорб и рорбт показаны на рис. 39.2.
Поскольку электрон - отрицательнаячастица, то его вращению по часовойстрелке соответствует «ток», текущийпротив часовой стрелки.
Рис. 39.2. Момент импульса и магнитный момент электрона, связан-ные с его орбитальным движением
Орбитальное магнитомеханическое отношение для электрона. С помощью формул (39.3) и (39.4) можно вычислить упомянутое выше отношение магнитного момента к моменту импульса для орбитального движения электрона. Это отношение называют магнитомеханическим отношением (Сорб):
^орб = Ро^вт/^орб = е^тп.(39.5)
Мы видим, что это отношение является постоянной величиной, то есть магнитный момент и момент импульса жестко связаны друг с другом.
Спин. Спиновый магнитный момент электрона. Обнаружилось, что электрон, помимо орбитального момента импульса, обладает и собственным моментом импульса, который называется спином. Первоначально это связывали с вращением электрона вокруг собственной оси (отсюда и название спин — волчок). Позже выяснилось, что эта наглядная аналогия является очень грубой. Поэтому физики от нее отказались и считают спин неотъемлемой характеристикой элементарных частиц, присущей их природе. Спин обозначают Lcn (формулу для расчета спина мы не рассматриваем).
Со спином электрона (и других частиц) связан еще один магнитный момент, который называется спиновым магнитным моментом (рСп)-
Таким образом, полный магнитный момент электрона складывается из двух частей: орбитальной (рОрб) и спиновой (рСп)-
Расчеты, которые мы не приводим, показывают, что для электрона отношение собственного магнитного момента к собственному моменту импульса (спину) вдвое больше, чем для орбитального движения:
GCn — Реп/Lcn = е/па.(39.6)
Это отношение называют спиновым магнитомеханическим отношением.
Множитель Ланде (g-фактор). Формулы (39.5) и (39.6) можно записать в обобщенном виде:
Коэффициент g называют множителем Ланде. Для орбитального движения электрона он равен 1 (gOp6 — 1), Для спина электрона он равен 2 (gcn = 2).
Специальные физические эксперименты позволяют определять магнитомеханические отношения для конкретных веществ и на основании этого делать выводы о роли орбитальных или спиновых магнитных моментов в процессах намагничивания.
Намагниченность
Мы уже отмечали, что магнитные свойства веществ связаны в основном с их электронами (магнитные моменты ядер малы). Поэтому
Магнитный момент атома или молекулы равен сумме магнитных моментов всех электронов.
Магнитное поле воздействует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты. В результате этого вещество намагничивается. Степень намагничивания вещества характеризуется специальной величиной — намагниченностью (J).
Намагниченность некоторой области вещества равна отношению суммарного магнитного момента всех ее частиц к объему этой области:
З-^Ртг/V. (39.8)
Таким образом, намагниченность является средним магнитным моментом единицы объема магнетика. Единицей намагниченности является ампер на метр (А/м).
По своим свойствам магнетики делятся на три основных класса: парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики.
Парамагнетики
К парамагнетикам относятся вещества, молекулы которых и в отсутствии магнитного поля имеют отличный от нуля магнитный момент (алюминий, кислород, цинк). Если внешнее магнитное поле отсутствует, то вследствие теплового движения молекул магнитные моменты ориентированы хаотически. Поэтому намагниченность равна нулю. При внесении парамагнитного образца
17 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
во внешнее магнитное поле магнитные моменты молекул ориентируются предпочтительно по направлению вектора индукции В (полной ориентации мешает все то же тепловое движение молекул). В результате возникает намагниченность, J ^ 0. На рис. 39.3 схематично показаны магнитные моменты молекулы парамагнетика при отсутствии внешнего магнитного поля (а) и во внешнем магнитном поле (5).
Парамагнетики усиливают внешнее магнитное поле, но их собственное поле, обусловленное намагниченностью, во много раз меньше внешнего поля (Вп <С Bq). Это означает, что относительная магнитная проницаемость парамагнетиков немного больше единицы (дп > 1), Цп = (Вп + Bq)/Bq = В/Bq.
Отметим еще одно свойство парамагнетиков: в неоднородном магнитном поле частицы парамагнитного вещества перемещаются в сторону большего значения магнитной индукции, «втягиваются в поле».
Рис. 39.3. Ориентация магнитных моментов молекулы парамагнетикаРис. 39.3. Ориентация магнитных моментов молекулы парамагнетика
Рис. 39.3. Ориентация магнитных моментов молекулы парамагнетика
Рис. 39.3. Ориентация магнитных моментов молекулы парамагнетика
Диамагнетики
К диамагнетикам относятся вещества, молекулы которых при отсутствии магнитного поля не имеют магнитного момента, то есть J = 0 (вода, водород, медь, графит).
Если такое вещество поместить в магнитное поле, то оно будет воздействовать на орбитальное движение каждого электрона, создавая вращательный момент. Согласно законам механики в этом случае возникнет прецессия электронной орбиты.
Прецессия — движение оси вращения тела, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность. Прецессия возникает тогда, когда
на вращающееся тело действует опрокидывающий момент.
Это явление знакомо каждому, кто хоть раз запускал детский волчок.
Можно показать, что прецессия всех электронных орбит происходит вокруг направления внешнего магнитного поля с одинаковой частотой. За счет прецессионного движения у всех электронов появляется добавочный магнитный момент рдоб? направленный против внешнего поля. В результате вещество приобретает намагниченность, направленную в сторону, противоположную магнитной индукции внешнего поля, и величина магнитной индукции в диамагнетике оказывается меньше магнитной индукции внешнего поля (Вд < Bq). Следовательно, относительная магнитная проницаемость диамагнетика меньше единицы (дд < 1), хотя отличие от единицы очень незначительно (тысячные доли).
Явление прецессии электронной орбиты пояснено схемой, приведенной на рис. 39.4.
Рис. 39.4. Прецессия электронной орбиты
На рис. 39.5 схематично показаны молекулы диамагнетика при отсутствии внешнего магнитного поля и во внешнем магнитном поле.
Отметим еще одно свойство диамагнетиков: в неоднородном магнитном поле частицы диамагнитного вещества перемещаются
в сторону меньшего значения магнитной индукции, «выталкиваются из поля».
В = ОJ = ОВ = ОJ = ОМолекула не имеет магнитного моментаМолекула не имеет магнитного моментаМолекула приобрела ^О магнитный моментвследствие прецессии электроновМолекула приобрела ^О магнитный моментвследствие прецессии электронов
В = О
J = О
В = О
J = О
Молекула не имеет магнитного момента
Молекула не имеет магнитного момента
Молекула приобрела ^О магнитный момент
вследствие прецессии электронов
Молекула приобрела ^О магнитный момент
вследствие прецессии электронов
Рис. 39.5. Состояние молекул диамагнетика при отсутствии магнитно-го поля и во внешнем магнитном поле
Ферромагнетики
Особый класс магнетиков образуют вещества, способные обладать намагниченностью даже в отсутствии внешнего магнитного поля. По своему наиболее распространенному представителю — железу они называются ферромагнетиками.
Ферромагнитные свойства присущи не отдельным атомам или молекулам, а некоторым веществам, находящимся в кристаллическом состоянии (железо, никель, кобальт). Установлено, что за ферромагнитные свойства отвечают собственные (спиновые) магнитные моменты электронов. При определенных условиях в кристаллах некоторых веществ образуются области, в которых магнитные моменты всех атомов (молекул), обусловленные спином электронов, выстраиваются параллельно друг другу. Такие области обладают максимально возможной намагниченностью и называются доменами. Вектора намагниченности различных доменов могут быть ориентированы хаотически — в этом случае намагниченность всего образца равна нулю. Однако если такой образец поместить в магнитное поле, то домены, намагниченность которых направлена параллельно полю, начнут расти за счет других доменов. Увеличивая магнитное поле можно добиться того, что во всем веществе останется только один домен с намагниченностью, направленной вдоль поля. Все остальные домены будут им поглощены. Получится образец, в котором
магнитные спиновые моменты всех атомов направлены в одну сторону (магнитное насыщение). В этом случае магнитное поле может возрасти в 1000 и более раз (д ^ 1000).
Если после того, как ферромагнетик намагничен (даже не до насыщения), внешнее магнитное поле устранить, начнется распад крупных доменов на более мелкие. Однако полного хаоса при этом не возникнет и достигнутая намагниченность частично сохранится. Это используют при изготовлении постоянных магнитов.
Отметим еще одно свойство ферромагнетиков. Для каждого ферромагнитного вещества существует температура (точка Кюри), выше которой ферромагнитные свойства полностью исчезают и вещество становится парамагнетиком.
В медицине ферромагнетики находят разнообразное применение: исправление грудной клетки у детей, магнитные заглушки для предотвращения выделений из искусственного наружного свища ободочной кишки, для удаления железных частичек из глаз и др.
Понятие о магнитобиологии
Магнитобиология занимается изучением воздействия магнитного поля на биообъекты.
Магнитное поле оказывает воздействие на биологические системы, которые в нем находятся. Так, например, имеются сведения:
о гибели дрозофилы в неоднородном магнитном поле;
об угнетении роста бактерий в магнитном поле;
о морфологических изменениях у животных и растений после пребывания в постоянном магнитном поле;
об ориентации растений в магнитном поле;
о влиянии магнитного поля на нервную систему и изменении характеристик крови;
об эффективности процессов регенерации при действии низкочастотного магнитного поля.
Первичными процессами во всех случаях являются физические или физико-химические процессы. Такими процессами могут быть: ориентация молекул; изменение концентрации молекул или ионов в неоднородном магнитном поле; силовое воздействие (сила Лоренца) на ионы и др.
Понятие о биомагнетизме
Биомагнетизм занимается проблемами, которые связаны с магнитными свойствами и магнитными полями, создаваемыми биологическими объектами.
Магнитное поле человека создается токами, генерируемыми клетками сердца и коры головного мозга. Оно очень мало: индукция магнитного поля составляет для сердца — 10-11, для мозга 10-13 Тл. (ср. с магнитным полем Земли — 10-5 Тл). Для измерения магнитного поля тела человека используют специальный магнитометр (сокращенное его название СКВИД), который регистрирует сверхмалые магнитные поля до 10“18 Тл. Метод основан на измерении не самого магнитного поля тела, а его изменения в пространстве.
Биотоки, возникающие в организме в результате сердечной деятельности, являются источником слабых магнитных полей. В некоторых случаях индукцию таких полей можно измерить. Так, например, на основании регистрации магнитной составляющей электромагнитного поля сердца создан бесконтактный диагностический метод — магнитокардиография (МКГ). Магнитокардиограмма внешне похожа на электрокардиограмму (ЭКГ), и ее элементы имеют те же обозначения. Метод МКГ используют, например, для раздельной записи магнитокардиограмм сердца матери и сердца плода. При исследованиях мозга используется магнитоэнцефалография (МЭГ), основанная на регистрации характеристик магнитных полей, обусловленных биоэлектрической активностью мозга.
Магнитный резонанс
Атом, обладающий магнитным моментом р, приобретает в постоянном магнитном поле дополнительную энергию
Afi = —р^В^
где рв — проекция магнитного момента на направление поля.
Согласно законам квантовой механики, эта проекция может принимать ряд дискретных значений. Следовательно, энергетические уровни атома в магнитном поле расщепляются на ряд
равноотстоящих подуровней, лежащих выше и ниже того уровня, из которого они получены. Это явление называется эффектом Зеемана. Расщепление энергетических уровней приводит к расщеплению спектральных линий.
Спонтанные переходы между подуровнями одного и того же уровня маловероятны. Однако, если помимо постоянного магнитного поля, которым обусловлен эффект Зеемана, на вещество воздействует переменное электромагнитное поле, такие переходы могут осуществляться индуцирование. Для этого необходимо, чтобы частота переменного электромагнитного поля совпадала с частотой фотона, соответствующего разности энергий между расщепленными подуровнями. При этом наблюдается поглощение энергии электромагнитного поля, которое называется маг- нитним резонансом.
Электронный парамагнитный резонанс(ЭПР)
Рассмотрим случай, когда под влиянием магнитного поля энергетический уровень Eq расщепляется на 2 подуровня (рис. 39.6).
Рис. 39.6. Расщепление энергетического уровня на два подуровня
В этом случае энергия одного подуровня оказывается больше Eq, а энергия другого — меньше Eq. Разница энергии составляет
^E = g№B,(39.9)
где цв = eh)4ivm — магнетон Бора (единица магнитного момента электрона).
Как уже отмечалось выше, спонтанные переходы между этими подуровнями маловероятны. Однако, если на вещество (атом, молекулу) воздействовать электромагнитной волной, частота которой удовлетворяет условию:
hv = ДЕ = gii^B, (39.10) то возникнет резонансное поглощение энергии. Это явление применительно к молекулам, ионам, радикалам называется электронным парамагнитным резонансом (ЭПР).
Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) — это резонансное поглощение электромагнитной волны за счет переходов между двумя подуровнями, возникшими в результате явления Зеемана.
Магнитный резонанс наблюдается, если на частицу одновременно действуют постоянное поле с индукцией В и электромагнитное поле с частотой /л удовлетворяющей (39.10). Понятно, что обнаружить резонансное поглощение можно двумя путями:
либо при неизменной частоте (около 10 ГГц) плавно изменять магнитную индукцию поля, вызывающего расщепление уровней;
либо при неизменной магнитной индукции плавно изменять частоту электромагнитной волны.
Технически более удобным является первый вариант, реализуемый по следующей схеме. Исследуемое вещество помещают в область, где можно создавать однородное магнитное поле, и направляют на него поток электромагнитного излучения с постоянной частотой v. С помощью специального прибора фиксируют мощность излучения, прошедшего через вещество. Затем начинают плавно увеличивать индукцию магнитного поля (от нуля). До тех пор, пока условие резонанса (39.10) не выполнено, поглощение волны отсутствует. При выполнении условия (39.10) начинается интенсивное поглощение электромагнитной волны. Индукция магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение, обозначается Врез. При дальнейшем увеличении индукции условие (39.10) нарушается и поглощение прекращается. На рис. 39.7 показано (а) расщепление энергетического уровня электрона в магнитном поле и изменение мощности Р электромагнитной волны, прошедшей образец (б), в зависимости от индукции магнитного поля.
Рис. 39.7. Расщепление энергетического уровня электрона (а) и резонансное поглощение волны в образце (б)
Прибор, используемый для исследования данного явления, называется ЭПР-спектрометром.
Использование ЭПР в медицине.
Метод ЭПР применяется для обнаружения и исследования собственных свободных радикалов в веществе. Так, спектры ЭПР облученных белков позволили объяснить механизм образования свободных радикалов и в связи с этим проследить изменение продуктов радиационного поражения. ЭПР используется для изучения фотохимических превращений, изучения канцерогенной активности некоторых веществ, определения концентрации радикалов в воздушной среде.
Метод спин-меток. Сущность метода состоит в том, что с молекулой исследуемого объекта ковалентно связывается парамагнитное соединение с хорошо известной структурой. По спектрам ЭПР находят положение этой спин-метки в молекуле. Вводя метки в различные части молекул, можно установить расположение различных групп атомов, их взаимодействие, особенности молекулярной подвижности.
Метод спиновых зондов. Суть метода состоит в том, что в исследуемую систему вводятся спиновые зонды — парамагнитные частицы, которые нековалентно связаны с молекулами системы. Изменение ЭПР спектра зонда дает информацию о состоянии окружающих его молекул, о микровязкости (вязкость ближайшего окружения спинового зонда). Такой метод широко используется для изучения биологических мембран, полимерных систем, используемых в медицине.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
Ядра атомов имеют магнитные моменты, которые складываются из магнитных моментов нуклонов. Если ядро находится в магнитном поле, то также возникает расщепление ядерных энергетических уровней, расстояние между которыми зависит от индукции магнитного поля. При пропускании через вещество электромагнитной волны соответствующей частоты возникает резонансное поглощение. Условие ядерного магнитного резонанса аналогично условию (39.10) для ЭПР:
hv = gap,aB, (39.11)
где §я — ядерный множитель Ланде, дя — ядерный магнетон.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) — избирательное поглощение электромагнитных волн определенной частоты в постоянном магнитном поле, обусловленное переориентацией магнитных моментов ядер.
При наблюдении ЯМР обычно фиксируют индукцию магнитного поля В, а частоту электромагнитного излучения меняют (в отличие от ЭПР). В реализации этого метода используют радиочастотный диапазон.
ЯМР можно наблюдать при выполнении условия (39.11) лишь для свободных атомных ядер. Для спектров ЯМР характерно различие линий. Кроме внешнего магнитного поля, на данный сорт ядер действует локальное магнитное поле. Отсюда следует, что для одних и тех же ядер, находящихся в различном окружении (разные молекулы или различные места одной и той же молекулы), резонанс наблюдается на различных частотах. Это определяет «химический сдвиг», то есть смещение резонансной линии от стандарта. Он зависит от природы химической
связи, электронного строения молекул, концентрации данного вещества, температуры и т. д. Если ядра в молекуле занимают химически не эквивалентные положения, то они имеют различный химический сдвиг. Спектр ЯМР такой молекулы содержит столько резонансных линий, сколько химически не эквивалентных групп ядер данного типа в ней имеется. Интенсивность каждой линии пропорциональна числу ядер в данной группе. Для химических соединений, в которых наблюдается ЯМР ядер, занимающих химически эквивалентные места в молекуле, наблюдается одиночная линия. Соединения более сложного строения дают спектры из многих линий.
По химическому сдвигу, числу и положению спектральных линий можно установить структуру молекул.
ЯМР широко используется для исследования структуры как простейших молекул неорганических веществ, так и сложнейших молекул живых объектов; для изучения особенностей протекания химических реакций. Важным преимуществом данного метода является то, что он не разрушает объектов исследования.
Энергии ядерных переходов очень малы, и соответствующие им кванты находятся в радиоволновом диапазоне (частоты от нескольких кГц до сотен Мгц). Поэтому ЯМР относится к группе методов, которые получили общее название спектроскопия в радиодиапазоне.
ЯМР-томография как диагностическийметод
Для медицины важным является то, что можно получить параметры спектров ЯМР во многих точках образца. Постепенно, послойно проходя весь образец (сканируя), можно получить полное представление о пространственном распределении молекул, содержащих различные атомы. Исследования можно осуществлять на живых объектах. Метод позволяет различать кости, сосуды, нормальные ткани и ткани со злокачественными процессами. При этом минимальные размеры патологических образований могут составлять доли миллиметра.
В современных установках дифференцируются органы брюшной полости, костные стенки спинномозгового канала, корешки спинномозговых нервов, структура межпозвонковых дисков. В ЯМР-изображении сердца дифференцируются стенки
и перегородки камер сердца, можно определить толщину стенок и объем камер.
В офтальмологии ЯМР-методом внутри глазницы дифференцируются глазное яблоко, зрительный нерв, мышцы глазного яблока, ретробульбарная клетчатка.
Белое и серое вещества мозга содержат различное количество воды и отчетливо дифференцируются на ЯМР-томограммах. У детей удается проследить процесс нормальной миелинизации. Можно исследовать внутреннее строение ствола мозга, мозжечка, спинной мозг, извилины мозга, ножки мозжечка, тройничный нерв, его ганглии. При исследовании тканей головного мозга получается отчетливое изображение различных участков мозга как в норме, так и при различных патологиях.
ЯМР-исследование позволяет установить наличие и объем опухолей (магниторезонансная томография). Несомненными возможностями обладает данный метод и в диагностике воспалительных процессов: удается непосредственно увидеть зоны воспаления, так как эти очаги по содержанию свободной воды отличаются от нормальных тканей.
Данным методом контролируется качество пищевых продуктов, измеряется магнитное поле Земли.
Использование ЯМР-метода в медицине чрезвычайно перспективно. Этот метод неинвазивен и очень чувствителен.
Часть IIСЕМИНАРЫ
Семинар 1ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Вопросы для подготовки
Задачи, приводящие к понятию производной.
Производная и дифференциал.
Правила нахождения производных и дифференциалов.
Таблица производных.
Производная сложной функции.
Производные высших порядков.
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости движения тела (материальной точки). Тело движется прямолинейно, и зависимость его координаты от времени задана функцией х = /(Z). Определить скорость движения тела в некоторый момент времени.
Пусть Xi — координата тела в интересующий нас момент времени Zi. Спустя некоторое время AZ оно изменит свое положение и будет иметь координату ж 2 = /(Zi + AZ). Перемещение тела за время AZ найдем как разность его координат: Аж = ж2 — xi. Отношение Аж/AZ называется средней скоростью движения на интервале (Zi, Z2).
При неограниченном уменьшении величины AZ перемещение тела (Аж) также будет неограниченно уменьшатся, а средняя скорость тела на интервале (Zi, Z2) будет стремиться к некоторому пределу, который и называется мгновенной скоростью тела в данный момент времени (Zi):
= л^п^®/Л^ = л^п^^1 + Л^ “ fM/M•(L1)
Таким образом, для нахождения мгновенной скорости движения тела необходимо научиться вычислять предел отношения приращения функции Аж к приращению ее аргумента AZ, если приращение аргумента стремится к нулю.
Задача о касательной к кривой. На рис. 1.1 представлен график некоторой функции у = /(ж). Какой наклон относительно оси абсцисс имеет касательная, проведенная к кривой в точке Mi?
Для ответа на этот вопрос выберем на кривой другую точку М^ и проведем секущую МуМ^. Тангенс угла наклона секущей (ас) относительно оси ОХ найдем из прямоугольного треугольника MiM^A:
tg(ac) = М^А/MiA = Ду/Дж. (1.2)
Если точку Mi фиксировать, а точку М^ приближать к Mi, то секущая MiM^ будет поворачиваться вокруг точки Mi, приближаясь к касательной. При этом угол наклона секущей ас будет стремиться к углу наклона касательной ак. Математически это может быть записано так:
tgQK = lim (tgac) = lim (Ду/Дж). (1.3) Аж—Щ Аж^О
При решении этой задачи также необходимо уметь находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.
Производная и дифференциал
В приведенных примерах показано, что в ряде задач нужно уметь находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Это привело к тому, что в математике появилось понятие производной.
Производной функции /(ж) в некоторой точке жо называется предел отношения приращения функции Ду = /(ж0+Аж) — /(ж0) к приращению аргумента Аж при стремлении Аж к нулю:
yf = lim (1.4)
Дж^о Аж
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
Рассмотрим вспомогательную величину £ = Ду/Дж — у’. Из определения производной следует, что при неограниченном уменьшении приращения аргумента Дж величина £ также уменьшается, стремясь к нулю. Выразив приращение функции через величину г, получим:
Ду = у* • Аж + £ • Дж.
Если у' / 0, то приращение, получаемое функцией при изменении аргумента, можно представить как сумму двух слагаемых (на чертеже Ду = АС -\-С М^. Сравним их величины. Для этого поделим второе слагаемое на первое: (г • Дж)/(у' • Дж) = е/у'.
Пока Дж велико, е также имеет значительную величину. Однако при уменьшении Дж величина £ (а вместе с ним и все отношение) также стремится к 0. Отсюда вытекает, что в случае «малых» приращений аргумента второе слагаемое (г • Дж) значительно меньше первого (у' • Дж) и им во многих случаях можно пренебречь: Ду « у' • Дж. Эта формула используется в приближенных вычислениях.
Дифференциал функции равен произведению значения производной на приращение аргумента, он обозначается символом dy:
dy = у' ♦ /Хх. (1.5)
Поскольку отношение Дж/Дж всегда равно 1, то производная аргумента равна 1: ж' = 1. Применяя определение дифференциала к аргументу ж, получим dx = ж' • Дж = Дж. Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению: dx = Дж.
Исходя из этого свойства, принято вместо dy = у' • Дж писать dу = у* • dx. Отсюда получается еще одно обозначение производной: у' = dy/dx.
Правила нахождения производныхи дифференциала
Производная суммы (разности) функций:
у = и ± щ у’ = и ± v .
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
у = С • и, у’ = С • и1.
Производная произведения двух функций:
у = и - v, у = и • х -V и • V.
Производная частного двух функций:
у = u/v, у = (и - v — и • v^/v1.
Дифференциал функции находят по общей формуле:
dy = у dx.
Таблица 1.1. Таблица производных
Тип функции
Обозначение
Производная
Постоянная величина
У-С
у'= 0
Линейная функция
у = а * х b
У1 = а
Степенная функция (ж > 0)
у = хп
у' = п • жп-1
Показательная функция (а > 0, а ф 1)
у = ех
у' = еж
У = ах
yf = ах • In а
Логарифмическая функция (а > 0, а ф 1)
у = In X
У* = 1/ж
У = loga ж
уг = 1/(ж • In а)
Тригонометрические функции
у = sin х
у' = cos ж
у = cos X
у' = — sin ж
У = tg ж
у' = 1 / cos2 ж
У = dg ж
у’ = — 1/ sin2 ж
Обратные тригонометрические функции
у = arcsin х
у' = 1/V1 — ж2
у = arccos х
у' = -1/V1 - Ж2
у = arctg х
у'= 1/(1 +ж2)
у = arcctg х
У* = -1/(1 + ж2)
Производная сложной функции
Если функция независимой переменной ж может быть записана в виде: у = ^и^\ то она называется сложной. Ее вычисление проводится в два этапа: сначала при заданном значении основного аргумента ж вычисляется значение и^х\ а затем уже вычисляется сама функция /(п). Здесь и называется вспомогательным, или промежуточным, аргументом.
Например, у = sin2 ж = (sin ж)2. Здесь и = sin ж, а у (и) = и2.
Вычисление производной сложной функции производится по формуле:
, dydy du ,,
ух = — = — • — = Уи- иж.dxdu dx
Например, у = sin2 ж; уж = (^У^ • (sin хУж = 2п • cos ж = 2 sin ж х х cos ж.
Производные высших порядков
Производной второго порядка называется производная от производной функции. Вторая производная обозначается d2y/dx2, или ум. Ее физический смысл — ускорение процесса. Например: ускорение тела n(Z) = d2x/dt\ где ж — координата движущегося тела, t — время движения.
Производная третьего и более старшего порядка определяется аналогично и обозначается dny/dxn, где п — порядок производной.
Задания
Найти производные следующих функций:
2жж31
у = - + -. 2. у = —-2^+2.
ж23ж
у = ж4 — 2ж3 — In ж + еж. 4. у = еж • cos ж. 5. у = ж • In ж.
Ох -Ч О1 + жж2
у = . 7. у = cos ж . 8. у = .9. у = .
In ж1 — ж1 — ж
12 cos ж .
. у = е sin ж . 11. у =. 12. у = cos 2ж.
13. у = 1п(ж2 + 1).13. у = 1п(ж2 + 1).1 — sin ж
13. у = 1п(ж2 + 1).
13. у = 1п(ж2 + 1).
14. у = Vin ж. 15. у = (ж2 — З)5.
у =у =бж1/3 — 4Ж1/2у =бж1/3 — 4Ж1/2у =у =у =(2ж2 — 4) •(2ж2 — 4) •In жIn жНайти производные второго порядка:
у =
у =
бж1/3 — 4Ж1/2
у =
бж1/3 — 4Ж1/2
у =
у =
у =
(2ж2 — 4) •
(2ж2 — 4) •
In ж
In ж
1. у = 5 cos ж + 4ж. 2. у = 1п(1 — ж). 3.
4. у = tg(2ж + 3). 5. у = А-8т(Ь-х + с\
. 9у = sin ж.6. у = Л-СО8(6-ж + с).. 9у = sin ж.6. у = Л-СО8(6-ж + с).У =У =4.4.У =У =7.7.У =У =2ж2 + ж2жж + 5ж1 + ежIn ж2ж2 + ж2жж + 5ж1 + ежIn жу = ж • sin ж2. 3. у =у = ж • sin ж2. 3. у =,2 ',2 'у = ж • cos ж + 1.6. у = ln(sin ж) + Зж.у = ж • cos ж + 1.6. у = ln(sin ж) + Зж.Зж8. у = .• 9. у = (1 - 5ж) •tg2ж.sin ЗжЗж8. у = .• 9. у = (1 - 5ж) •tg2ж.sin ЗжНайти дифференциалы функций:
. 9
у = sin ж.
6. у = Л-СО8(6-ж + с).
. 9
у = sin ж.
6. у = Л-СО8(6-ж + с).
У =
У =
4.
4.
У =
У =
7.
7.
У =
У =
2ж2 + ж2ж
ж + 5ж
1 + еж
In ж
2ж2 + ж2ж
ж + 5ж
1 + еж
In ж
у = ж • sin ж2. 3. у =
у = ж • sin ж2. 3. у =
,2 '
,2 '
у = ж • cos ж + 1.6. у = ln(sin ж) + Зж.
у = ж • cos ж + 1.6. у = ln(sin ж) + Зж.
Зж
8. у = .• 9. у = (1 - 5ж) •tg2ж.
sin Зж
Зж
8. у = .• 9. у = (1 - 5ж) •tg2ж.
sin Зж
у = sin2 ж.
Решить задачи.
В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа У вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону у = 210 • с-1!*1 (t — в сутках). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t = 0 и через 7 суток.
Заводская труба выбрасывает за единицу времени Р г вредного вещества, которое в результате диффузии распространяется в окружающем воздухе. Концентрация этого вещества на расстоянии г от трубы определяется формулой: С = Р (^4кВт\ где D — коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).
Путь s (м), пройденный телом за промежуток времени t (с), определяется формулой: s = 2£3 — 0,5L Найти скорость и ускорение тела через секунду после начала движения.
Смещение колеблющегося тела (см) определяется формулой: s = 2sin(?r^ + тг/2). Определить скорость тела в момент времени t = 1/6 с.
При ламинарном течении жидкости по цилиндрической трубе ее скорость зависит от расстояния ж до оси трубы: ж (ж) = = ДР(Р2 — ж2)/4?у/, где ДР — разность давлений на участке трубы длиной I, R — радиус трубы, у — коэффициент вязкости.
Найти выражение для градиента скорости в поперечном сечении трубы (по определению gradf = ^) .
Зависимость атмосферного давления от высоты над Землей дается формулой: Р = Р^ • е Msh-/RT^ Где Ро — давление на поверхности Земли (Л = 0), М — молярная масса воздуха, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, g — ускорение свободного падения. Получить выражение для определения градиента давления (изменения давления на единицу изменения высоты).
Концентрация некоторого раствора изменяется во времени по формуле: С = А • t/(1 + В • t^ где А и В — постоянные для данного процесса. Найти скорость растворения.
Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает колебания по закону: s = 20sin(l,57r^). Определить максимальные скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период колебаний. Смещение з задано в сантиметрах.
Семинар 2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопросы для подготовки
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Метод замены переменных.
. Первообразная функция
Математическая операция нахождения по функции ее производной называется дифференцированием. Однако нередко возникает и обратная задача: зная производную, найти саму функцию. Например, зная закон, по которому изменяется скорость движения тела, определить его координату (скорость есть производная от координаты по времени) или по известному закону изменения силы тока в цепи найти прошедший заряд.
Функция F(x), удовлетворяющая условию Ff(x) =
= /(ж), называется первообразной для функции /(ж).
Если найдена одна первообразная Г(ж), то после добавления к ней любой константы (С) мы снова получим первообразную. поскольку производная постоянной величины равна нулю: №) + су = г(жу =/(ж).
. Неопределенный интеграл
Операция нахождения совокупности первообразных называется интегрированием.
Неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных для данной функции.
Для обозначения неопределенного интеграла функции используют специальное обозначение: /(ж)dx, которое читается так: интеграл от f(x) по dx.
Если какая-нибудь первообразная (F(x)) функции известна, то в соответствии с определением можно записать:
f(x)dx = F(x) + С.f(x)dx = F(x) + С.(2Л)(2Л)
f(x)dx = F(x) + С.
f(x)dx = F(x) + С.
(2Л)
(2Л)
. Основные свойства неопределенногоинтеграла
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
f(x)dx ) = /(ж).(2.2)
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d ^ f(x)dx^ = f(x)dx.(2.3)
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с константой:
dF(x) = F(x) + С.(2.4)
Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
а • f(x)dx = а • f(x)dx.а • f(x)dx = а • f(x)dx.(2-5)(2-5)
а • f(x)dx = а • f(x)dx.
а • f(x)dx = а • f(x)dx.
(2-5)
(2-5)
Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:
[п(ж) + u^x^dx =[п(ж) + u^x^dx =u^dx + u^dx.u^dx + u^dx.(2-6)(2-6)
[п(ж) + u^x^dx =
[п(ж) + u^x^dx =
u^dx + u^dx.
u^dx + u^dx.
(2-6)
(2-6)
. Таблица интегралов
dx = х + С;dx = х + С;X^dx =+ с, n/-l;n + 1X^dx =+ с, n/-l;n + 1
dx = х + С;
dx = х + С;
X^dx =+ с, n/-l;
n + 1
X^dx =+ с, n/-l;
n + 1
exdx = еж + С;
dxsin2 xdxsin2 x= — ctgx + C.= — ctgx + C.sin х dx = — cos x + C; cos x dx = sin x + C;
dxsin2 x
dxsin2 x
= — ctgx + C.
= — ctgx + C.
dx
— = tgж + C; COS2 X
. Метод замены переменных
Практически, чтобы найти неопределенный интеграл, надо стараться свести его к табличному виду. Метод замены переменных позволяет решить задачу, обозначив некоторую часть подынтегрального выражения какой-либо буквой, которая и является новой переменной.
Последовательность действий ясна из следующего примера.
Найти cos(l + Зж) dx.
Введем новую переменную: z = (1 + Зж);
найдем ее дифференциал: dz = z'dx = 3(/ж;
выразим dx через dz: dx = (1/3) dz;
cos z dz.cos z dz.подставим новые значения в исходный интеграл:
cos z dz.
cos z dz.
cos(l + Зж) dx = - cos z dz = - v 733
Интеграл — табличный. Используя соответствующую формулу, запишем:
11cos(l + Зж) dx = ^ cos z dz = | sin z + С.cos(l + Зж) dx = ^ cos z dz = | sin z + С.33
1
1
cos(l + Зж) dx = ^ cos z dz = | sin z + С.
cos(l + Зж) dx = ^ cos z dz = | sin z + С.
3
3
Вернемся к старой переменной и запишем ответ: cos(l + Зж) dx = ^ sin(l + Зж) + С.
§2.6. Задания
Докажите формулы, входящие в таблицу интегралов, используя свойства интеграла и таблицу производных.
Найти интегралы, используя свойства интегралов и таб
лицу:
1.
5xdx. 2.
6x3dx. 3.
ж1/2^.4.
' dx
5.
7.
(ж2 + 5)(ж3 + 9^dx.
„2®+1 _ _2ж—1 dx.
6.
ж2 —^dx.
9.
11
13.
e
4 — x
2
2
COS2 X
5 dx.
3
sin2 x
dx.
8.
10.
12.
cos2 x sin xdx.
14.
15.
' In2 ж dx.
x
25 Ъ
— H—-j= + ox I dx.
sin2 ж — 3
sin2 x xdx
COS X
sin3 x
dx.
dx.
Семинар 3ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопросы для подготовки
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Интегральная сумма. Определенный интеграл.
Вычисление определенного интеграла.
. Задачи, приводящие к понятиюопределенного интеграла
Рассмотрим 2 задачи:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = С, осью X и двумя вертикальными прямыми, проходящими через точки а и Ь.
Найти работу, совершенную постоянной силой Fq на пути между точками а и Ь.
Решения этих задач очевидны. Площадь прямоугольника S = С • (Ь — а) (рис. 3.1). Работа постоянной силы равна ее произведению на пройденный путь: А = F^L = Fo*(b — а) (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Работа постоянной силы
Однако эти задачи значительно усложняются, если функция не является постоянной, или сила, действующая на тело, изменяется в процессе движения. Эти случаи представлены на рис. 3.3 и рис. 3.4.
Рис. 3.3. Площадь криволинейной трапеции
Рис. 3.4. Работа переменной силы
Разобьем отрезок (а, 6) на несколько равных интервалов шириной Дж и обозначим Ж1 = щ Ж2 = Ж] + Дж, жз = Ж2 + Дж, ж 4 = жз + Дж, Ж5 = Ж4 + Дж. Значения функции в этих точках обозначим, соответственно, ух, у^ Уз- У4- Уь- Тогда суммарная площадь всех прямоугольников приблизительно равна площади между графиком, осью X и двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки а и Ь. Такая фигура называется криволинейной трапецией.
В введенных обозначениях площадь трапеции
5
S « у1-Дж+у2-Д®+Уз-Д®+У4-Д®+У5-Д® « ^у^Дж, (3.1) г=1
работа постоянной силы
5
А ~ Гх-Дж+^-Дж+^з-Дж+Сх-Дж+Гб-Дж и ^ ^г Д®. (3.2) г=1
Если ширину каждого интервала уменьшать, то, как видно из рис. 3.5 и 3.6, их число (п) будет увеличиваться, а точность приближенных равенств (3.1) и (3.2) будет возрастать.
Рис. 3.6. Работа переменной силы (п —> ос)
Если число п устремить к бесконечности, то в пределе мы получим точные равенства:
пп
S = lim V у^ • Дж, А = lim V^ F^ • Дж. (3.3)
г=1г=1
. Интегральная сумма.Определенный интеграл
Из равенства (3.3) видно, что разные по смыслу задачи имеют один и тот же метод решения — вычисление предела некоторой суммы.
Если отрезок (а, Ь) из области определения функции у = /(ж) разбит на п равных интервалов шириной Дж точками Ж1, Ж2, ..., жп, то интегральной суммой называется сумма вида:
(3.4)
г=1
где у» = /(ж^.
Предел интегральной суммы, вычисленный при неограниченном увеличении числа интервалов, на которые разбивается отрезок (а, 6), называется определенным интегралом функции на этом
отрезке и обозначается: f(x)dx, т. е.
(3.5)
Величины а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, который представляет собой совокупность первообразных, определенный интеграл — это число.
Теперь мы можем записать решение задачи о нахождении площади криволинейной трапеции:
ь
S = /(ж) • dx
а
Рис. 3.7. Площадь криволинейной трапеции S > 0, если /(ж) > 0; S < 0, если /(ж) < 0
. Вычисление определенного интеграла
Для нахождения определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница:
ь
ft^-dx = F^ - F(a^(3.6)
a
где F(x) — любая первообразная функции /(ж).
Согласно этой формуле для вычисления определенного интеграла нужно:
Найти соответствующий неопределенный интеграл (константу С в этом случае записывать не нужно, поскольку при вычитании она сокращается);
В полученное выражение подставить вместо «ж» верхний и нижний пределы, а затем из первого результата вычесть второй.
Из формулы Ньютона-Лейбница вытекают два свойства определенного интеграла:
Ьа
(3.7)(3.8)(3.7)(3.8)/(ж) - dx = — /(ж) • dx^аЬ
(3.7)
(3.8)
(3.7)
(3.8)
а
f(x) • dx = 0.
а
Примеры решения
Вычислить площадь между участком синусоиды и осью X для интервалов: (0, тг); (тг, 2тг); (0, 2тг).
Решение.
F(ж) = sin ж • dx = — cos ж.
Si = F(tt) — F(0) = —(costt — cosO) = 2;
Ss = F(2tt) — F(tt) = — (cos2tt — costt) = —2;
S3 = F(2tt) - F(0) = — (cos2tt - cosO) = 0.
Скорость выброса крови из сердца за время систолы описывается некоторой функцией: ж = x(t\ Период сердечного сокращения То = 1 с, время систолы Т = 0,4 с. Определить минутный объем выбрасываемой крови Умин (объемную скорость) для двух случаев:
скорость выброса постоянна и составляет жд = 200 мл/с (например, при работе искусственного клапана);
скорость выброса изменяется во времени по параболическому закону (что в некотором приближении соответствует
реальной ситуации):
tt2 \ТТ^ /tt2 \ТТ^ /
tt2 \
ТТ^ /
tt2 \
ТТ^ /
Решение.
. Поскольку у = vq = const, то объем, выбрасываемый за одну систолу, равен х^ • Т. За минуту происходит 60 систол (Tq = 1 с), следовательно, Умин = 60 • го • Т = 4800 (мл).
. Выброс крови за одну систолу определяется интегралом:
тУ = v • dt =отУ = v • dt =от4?;о *от4?;о *о/ tV/ tV= 4ж0 •= 4ж0 •t2\,^2 J -t3 \ Т , /г37^) 0 -' (?t2\,^2 J -t3 \ Т , /г37^) 0 -' (?= 4Уо • —6= 4Уо • —6
т
У = v • dt =о
т
У = v • dt =о
т
4?;о *
о
т
4?;о *
о
/ t
V
/ t
V
= 4ж0 •
= 4ж0 •
t2\,
^2 J -
t3 \ Т , /г37^) 0 -' (?
t2\,
^2 J -
t3 \ Т , /г37^) 0 -' (?
= 4Уо • —
6
= 4Уо • —
6
Выброс крови за минуту Умин = 60V = 3200 (мл).
§3.5. Задания
I.I.Вычислить интегралы:
I.
I.
In 2In 297Г
In 2
In 2
1.1.4 тг/24 тг/22.2.ооsin х dx.sin х dx.3.3.ооIn 2In 2е Xdx.е Xdx.4.4.7.7.sin ж • cos ж dx.sin ж • cos ж dx.5.5.e2xdx.e2xdx.6.6.1' x3dx1' x3dxоеIn жdx.X17Г / 6оеIn жdx.X17Г / 67Г / 47Г / 4оооо8.8.ооdxcos2 жdxcos2 ж9.9.22dxdx(2ж2 + 1)2'-1(2ж2 + 1)2'-110.10.8ш6жс/ж. 11.8ш6жс/ж. 11.ож5(1 — x6)7dx.ож5(1 — x6)7dx.12.12.13.13.Отг/2Отг/2-1-11V1 + ж dx.о1V1 + ж dx.оооcos2 х • sin х dx.cos2 х • sin х dx.14.14.1' ж dxж2 + 5 о1' ж dxж2 + 5 о
1.
1.
4 тг/2
4 тг/2
2.
2.
о
о
sin х dx.
sin х dx.
3.
3.
о
о
In 2
In 2
е Xdx.
е Xdx.
4.
4.
7.
7.
sin ж • cos ж dx.
sin ж • cos ж dx.
5.
5.
e2xdx.
e2xdx.
6.
6.
1
' x3dx
1
' x3dx
о
е
In ж
dx.
X
1
7Г / 6
о
е
In ж
dx.
X
1
7Г / 6
7Г / 4
7Г / 4
о
о
о
о
8.
8.
о
о
dxcos2 ж
dxcos2 ж
9.
9.
2
2
dx
dx
(2ж2 + 1)2'
-1
(2ж2 + 1)2'
-1
10.
10.
8ш6жс/ж. 11.
8ш6жс/ж. 11.
о
ж5(1 — x6)7dx.
о
ж5(1 — x6)7dx.
12.
12.
13.
13.
Отг/2
Отг/2
-1
-1
1
V1 + ж dx.
о
1
V1 + ж dx.
о
о
о
cos2 х • sin х dx.
cos2 х • sin х dx.
14.
14.
1
' ж dx
ж2 + 5 о
1
' ж dx
ж2 + 5 о
1
15' exdx
J еж + 5) 0
2
7Г / 4
Г cos х dx
16.о.
sind х
0
тг / 2
х_ Г sin х dx
17. (х2 -Sx + ^dx. 18.
J 1 — COS X
1о
. Решить задачи.
Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону: г = 20e-t мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершенную током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.
Сжатие пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, произведенную при увеличении сжатия пружины с 2 до 2,5 см, если для сжатия не деформированной пружины на 1 см требуется сила 30 Н.
Какая работа совершается при растяжении мышцы на L мм, если известно, что при нагрузке Pg мышца растягивается на /о мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц,
пропорциональна ее удлинению.
Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону: г = 20e-t мА. Длительность импульса равна 0,1 с. Определить заряд, протекающий через
тело животного.
Семинар 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопросы для подготовки
Дифференциальное уравнение и его решение.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка.
. Дифференциальное уравнение и его решение
Дифференциал/ьимм 'уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию у. независимую переменную ж и производные 1-го, 2-го и т. д. порядков:
F^y, х, у', у", . . ., уп) = 0.(4.1)
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в него производной.
Решить дифференциальное уравнение — значит, найти функцию у = /(ж), которая удовлетворяет данному уравнению. При подстановке этой функции и ее производных в данное уравнение получается тождество.
Общее решение дифференциального уравнения порядка п содержит п произвольных величин Ci, С2, . . ., Сп, которые называются постоянными интегрирования:
у =/(Ж, (71,(72,(4.2)
. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае имеет вид
Г(ж, у, у') = 0,(4.3)
а его общее решение содержит одну постоянную интегрирования:
у = /(Ж, С).(4.4)
Частное решение находят с учетом дополнительных условий (которые иногда называют начальными).
Например, найти решение уравнения: у’ = 2ж?/, если известно, что у = 2 при х = 0.
Решение. Перепишем исходное уравнение в следующем виде: dy/dx = 2ху и разделим переменные: dy / у = 2xdx.
2xdx2xdxПроинтегрируем полученное равенство:dy/у
2xdx
2xdx
и найдем интегралы от обеих частей: In у = ж2 + С. Потенцируя это равенство, получим: у = еж +с = ес • еж
Приняв ес за новую константу С, запишем окончательный вид общего решения: у = С • еж .
Проверка. Найдем производную от полученной функции:
Подставим производную и функцию в данное уравнение:
(С • е$2у = 2 • х • С • е$2 = 2-х-у.
Полученное тождество подтверждает, что найденная функция действительно есть решение данного дифференциального уравнения.
Частное решение. Для нахождения постоянной С используем начальные условия: у(0) = 2. Подставив эти значения в общее решение, получим:
2 = С • е° = С,
следовательно, С = 2.
Таким образом, указанным начальным условиям соответствует следующее частное решение: у = 2 • е
Одинаковые дифференциальные уравнения могут описывать самые различные процессы в физике, биологии, химии и вообще в природе.
Примеры решения
Изменение численности популяции организмов.
. Рассмотрим процесс деления клеток в благоприятных условиях. Пусть начальный объем популяции равен п^ и за время dt прирост составляет dn. Очевидно, что для каждого
18 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
момента времени прирост пропорционален тому количеству клеток п, которые существуют в настоящий момент, и времени dt:
dn = к - ndt.
Отсюда получим уравнение:
— = kdt.п
интегрируя, получим
In п = к • t + С
откуда, потенцируя,
п = ek't+c = ekt . ес = noekt.
Его решением является следующая функция:
n = ng • ехр(к • t).
. Рассмотрим процесс гибели популяции клеток, если процесс деления подавлен. В данном случае имеет место соотношение dn = — k-ndt (коэффициент пропорциональности взят со знаком « —», поскольку популяция уменьшается).
В результате получим уравнение: dn/dt = —к • п, решением которого является функция: n = ng • ехр(—к • t).
Изменение количества вещества в процессе радиоактивного распада. Имеется начальное число ридиоактивных ядер NV Пусть за достаточно малый интервал времени dt распадается dN ядер. Это число пропорционально интервалу времени dt. а также числу оставшихся радиоактивных ядер:
dN = -А • N • dt
или
dN/dt = -XN.
Решением этого уравнения является функция
N = Nq ехр(—Л • t).
Здесь Л — постоянная распада, зависящая от вероятности деления радиоактивного ядра и различная для разных веществ. Знак « —» поставлен в связи с тем, что число нераспавшихся радиоактивных ядер убывает со временем (см. лекцию 32).
Поглощение потока рентгеновского излучения. На вещество падает поток рентгеновского излучения Фо. При прохождении излучения через вещество происходит его частичное поглощение. Обозначим через dФ величину потока, поглощенного при прохождении слоя толщиной dx. Как и в предыдущем случае, имеет место прямо пропорциональная зависимость:
dФ = —р • Ф • dx^
которая приводит к аналогичному уравнению:
dФ ( dx = — рФ.
Решение уравнения дает закон, в соответствии с которым происходит поглощение потока рентгеновского излучения при прохождении через вещество:
Ф = Фо ехр(—р • ж).
Здесь р — некий коэффициент ослабления, зависящий от природы вещества. Например, для костных тканей он в 68 раз больше, чем для мягких (см. лекцию 31).
Во всех рассмотренных случаях мы приходили к дифференциальным уравнениям одного и того же вида: у1 = ку с положительным или отрицательным коэффициентом.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае имеет вид
У, у', у") = 0,(4.5)
а его общее решение содержит две постоянных интегрирования:
У = /(®, Сь С2).
Большое значение имеют уравнения вида
-у" + а • у = О
ИЛИ
у" = -а-у,
где а — постоянный множитель.
Общее решение этого уравнения имеет вид
у = А • sin(c<j • t + т?о); ш = V&-(4.6)
Постоянные интегрирования обозначены здесь А и рц. Для их нахождения необходимо задать начальные условия типа:
у(0) = Уо, у'(0) = Уо-
Пример. Пусть тело массой т прикреплено к пружине жесткостью к.
В начальный момент времени пружину растягивают на жд и отпускают. Определить закон движения тела в отсутствии трения.
На тело со стороны пружины действует сила упругости, которая пропорциональна величине текущей деформации пружины и направлена в обратную сторону: F = —кх. Эта сила вызывает ускорение а, определяемое вторым законом Ньютона: а = F/т. Учитывая, что ускорение есть вторая производная по времени от координаты тела ж, получим уравнение его движения:
жм + (&/т)ж = 0.
Это уравнение вида (4.5) и его общее решение определяется формулой (4.6):
ж = А • cos(c<j • t + 79g);
где ш = у/к/т.
Найдем значения постоянных ро и А. Как следует из начальных условий, в момент времени f = 0 ж = жд^ а ж; = 0 (тело отпустили, не сообщив ему скорости). Для того, чтобы воспользоваться вторым условием, запишем производную по времени от координаты ж и подставим t = 0, х’ = 0:
х' = —А • w • sin(c<j • t + 79g)—>0 = —А • w • sin(y>o).
Отсюда получим, что sin(y>g) = 0. Следовательно, ро = 0. Подставив это значение в первое условие, получим: жд = А х х cos(O) = А. Следовательно, А = жд.
Запишем закон движения: ж = жд • вт^к/т t].
§4.5. Задания
Найти частные решения следующих дифференциальных уравнений:
у’ = 2?/3. 2. у* = 2ж3 + 1. 3. ydy = xdx. 4. у* = 7г/. 5. 3xdy = 4ydx.
Найти частные решения следующих дифференциальных уравнений:
у’ = 2ж2 + 3, если при ж = 0, у = 1.
у’ = sin ж + cos ж, если при ж = 0, у = — 1.
у’ = 2у2, если при ж = 1, у = — 1.
у* = 2у-2, если при ж = 1, у = 2.
у* = 5у^ если при ж = 0, у = 2.
(ж + 1)б/ж = 2жу dy, если при ж = 1, у = 1.
Решить задачи.
Скорость уменьшения концентрации лекарственного вещества пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 28 ч уменьшилась вдвое.
Скорость роста числа микроорганизмов пропорциональна их количеству в данный момент. В начальный момент имелось 100 микроорганизмов, и их число удвоилось за 6 ч. Найти: а) зависимость количества микроорганизмов от времени; б) количество микроорганизмов через сутки.
Закон распада лекарственного вещества в организме состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству лекарства. Какая часть введенного в организм лекарства распадается через t часов, если половина его распадается за время То?
Закон распада радиоактивного вещества состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству вещества. Известно, что период полураспада изотопа йода J131 равен 8 суток. Какая часть начального количества йода останется через 82 дня?
Тело, имеющее массу т, подвешено на невесомой нити. Расстояние от центра тела до точки подвеса равно L. Найти зависимость между величиной смещения S центра тела (по дуге) от положения равновесия и временем Z, если в начальный момент: а) смещение тела равно So и оно покоится; б) смещение тела равно Sq, но ему сообщена скорость Vo- Считать углы отклонения нити малыми. Сопротивлением движению пренебречь.
Семинар 5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вопросы для подготовки
Опыт, исход опыта, случайное событие.
Вероятность случайного события и ее свойства.
Классическое определение вероятности.
Относительная частота события и закон больших чисел.
Теорема сложения вероятностей, полная группа событий.
Теорема умножения вероятностей.
5.1. Основные формулы
Вероятность случайного события А
Р =М
где Мд — число исходов, благоприятствующих событию A. N — общее число равновозможных несовместных исходов.
Относительная частота события:
Р* = m/n,(5.2)
где т — число опытов, в которых данное событие произошло, п — общее число произведенных опытов.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Р(Л U В) = Р(Л или В) = Р(Л) + Р(В).(5.3)
Теорема умножения вероятностей для независимых событий:
Р(Л П В) = Р(Л и В) = Р(Л) • Р(В).(5.4)
. Примеры решения
Опыт состоит в том, что бросаются три монеты. Обозначая через О выпадение «орла», а через R — выпадение «решки», записать обозначения исходов и событий.
. Все элементарные исходы опыта:
ООО, ООН, ORO, ROO, ОНИ, ROH, RRO, RRR.
. Событие, состоящее в выпадении двух «орлов»:
OOR + ORO + ROO.
. Событие, состоящее в том, что число выпавших «орлов» больше числа «решек»:
ООО + ООН + ОНО + ROO.
2. Опыт состоит в том, что бросаются две игральные кости. Записать обозначения исходов и событий.
а). Все исходы опыта:
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
. Событие, состоящее в том, что сумма очков больше их произведения:
«1-1» + «1-2» + «1—3» + «1—4» +
+ «1-5» + «1-6» + «2-1» + «3-1» + «4-1» + «5-1» + «6-1».
. Событие, состоящее в том, что выпал «дупель»:
«1-1» + «2—2» + «3—3» + «4-4» + «5—5» + «6—6».
3. Структура занятых рабочих мест в крупной больнице имеет вид:
Структура
Женщины
Мужчины
Администрация
25
15
Врачи
35
25
Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он:
мужчина-администратор;
женщина-врач;
мужчина;
врач?
Решение.
В больнице работает п = 100 человек. Из них мужчин- администраторов ша = 15. Следовательно Ра = ша/п = = 15/100 = 0,15.
В больнице работает женщин-врачей т^ = 35. Следовательно, Рб = Шб/п = 35/100 = 0,35.
В больнице работает мужчин тв = 40. Следовательно, Рв = mB/n = 40/100 = 0,40.
В больнице работает врачей тг = 60. Следовательно, Рг = = шг/п = 60/100 = 0,60.
4. При бросании игральной кости определить: а) вероятность события А, представляющего собой выпадение числа очков, кратного трем; б) вероятность события В, представляющего собой выпадение четного числа очков.
Решение. Общее число исходов п = 6.
. Событие А наблюдается при выпадении очков: 3, 6, т. е. ша = 2. Следовательно, Р(А) = та/п = 2/6.
. Событие В наблюдается при выпадении очков: 2, 4, 6, т. е. тв = 3. Следовательно, Р(В) = тв/п = 3/6.
§5.3. Задания
Найти вероятности всех событий, рассмотренных выше.
Центр тяжести игрального кубика смещен к «6», вследствие чего вероятность выпадения «1» равна 1/2, а вероятности выпадения остальных граней — по 1/8. Может ли такое быть?
Центр тяжести игрального кубика смещен к «6», вследствие чего вероятность выпадения «1» равна 3/8, а вероятности выпадения остальных граней — по 1/8. Определить вероятность того, что выпавшее число: а) меньше 4; б) больше 3.
Бросаются два кубика. Определить, на сколько процентов вероятность выпадения семи очков больше, чем вероятность выпадения десяти.
Двое играют в кости с двумя кубиками. При выпадении 7 очков выигрывает первый, при выпадении 8 очков — второй, в остальных случаях — ничья. Сыграно 1440 партий. Оценить число выигрышей для каждого из участников.
Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло; в) все три события произошли, г) произошло по крайней мере одно их этих событий; д) произошло одно и только одно событие; е) ни одно событие не произошло.
Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А?
При стрельбе была получена относительная частота попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?
Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме 9 очков? 7 очков?
В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом — 10 белых и 5 красных шаров. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из них красного цвета.
В шкатулке 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
Имеются две урны, в каждой из которых содержится по 2 черных и 3 белых шара. Из каждой урны вынуто по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара черные? белые?
Семинар 6СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Вопросы для подготовки
Случайные величины, их виды: дискретная и непрерывная.
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Плотность вероятности, функция распределения.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
. Основные формулы
Пусть дискретная случайная величина X задана таблицей
х
Ж1
хн
р
Pi
Pz
Pn
где
Р1 +Р2 + • • • +Рп = 1.(6.1)
Математическое ожидание дискретной случайной величины X;
п
М(Х) = ^р^(6.2)
г=1
(математическое ожидание имеет ту же размерность, что и случайная величина).
Дисперсия дискретной случайной величины X:
п
D(X) = ^pH^-M(X)]2(6.3)
г=1
(дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины).
Непрерывная случайная величина X может быть задана своей функцией распределения вероятностей или плотностью распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей случайной величины X:
fx(x) = f(x) = dP/dx.(6.4)
Ф'ункищя распределения вероятностей случайной величины X;
Fx(x) = F(x) = Р(Х < ж),(6.5)
Р(ж1 < X < Ж2) = Р(хД - Р(хД.(6-6)
Связь функции распределения и плотности вероятностей:
/(ж) = F(x)f = дР^хД dx^
(6-7)
F^ =/(ж) • dx.
— 00
(6-8)
Условие нормировки для непрерывной случайной величины X;
+оо
/(ж) • dx = 1.(6-9)
—00
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X;
+оо
М(Х) = х • f(x) • dx.(6.10)
— 00
Дисперсия непрерывной случайной величины X:
+оо
D(X) = [ж — М(ж)]2 • /(ж) • dx.(6.11)
— 00
Общие соотношения:
D(X) = М{[Х - М(Х)]2}(6.12)
ИЛИ
D(X) = М(Х2) - [М(Х)]2.(6.13)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
= VDW-
. Некоторые законы распределения
Плотность распределения вероятностей для нормального закона распределения (закона Гаусса):
’(6Л4)
где а — математическое ожидание случайной величины, а — среднее квадратическое отклонение.
Функция распределения вероятностей для нормального закона:
F^x) = Ф(г),(6.15)
где t = (х — d)/d, значения функции Ф(£) даны в соответствующих таблицах.
Плотность распределения вероятностей для равномерного распределения на интервале [а, 6]:
f(x) = 0вне отрезка
= 1/(6 - пр.«оо.|616)
Плотность вероятности для экспоненциального закона распределения:
/(ж) = Аехр(—Аж),ж ^ 0.(6-17)
Распределение Больцмана:
п = ng ехр(—mghj кТ\(6.18)
где п — концентрация молекул, h — высота над уровнем Земли, m — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, g — ускорение свободного падения.
. Задания
Дискретная случайная величина X (1, 2, 3, 4, 5, 6) — число очков, выпавших при бросании игральной кости. Записать ряд распределения этой случайной величины. Проверить выполнение условия нормировки. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение для этой случайной величины.
Дано распределение случайной величины X:
X
-2
-1
0
1
2
р
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Требуется:
найти М(Х), D(X) (двумя способами), сг^Х);
найти вероятность того, что случайная величина X примет значения, не превышающие по абсолютной величине 1.
Дано распределение случайной величины X:
X
1
4
6
7
р
0,1
0,2
0,2
0,5
Найти M(JV), D(X) (двумя способами), сг^Х).
Дано распределение случайной величины X;
X
1
2
3
4
5
р
0,2
0,1
0,1
0,4
0,2
Найти М(Х), D(X) (двумя способами), сг^Х).
Случайная величина X задана функцией распределения:
О,F^ = (ж - 2)2,О,F^ = (ж - 2)2,еслиеслиеслиеслиеслиеслих < 2,2 < ж < 3, ж > 3.х < 2,2 < ж < 3, ж > 3.
О,
F^ = (ж - 2)2,
О,
F^ = (ж - 2)2,
если
если
если
если
если
если
х < 2,
2 < ж < 3, ж > 3.
х < 2,
2 < ж < 3, ж > 3.
Найти: а) плотность вероятности /(ж); б) вероятность попадания величины ж в интервал (1;2,5).
Случайная величина X задана функцией распределения
ж < 3,3 < ж < 5, ж > 5.ж < 3,3 < ж < 5, ж > 5.О,если
ж < 3,
3 < ж < 5, ж > 5.
ж < 3,
3 < ж < 5, ж > 5.
F(x) = < (2ж — 6)/4, если
1,если
Найти: а) плотность вероятности /(ж); б) вероятность попадания величины X в интервалы: (0; 2); (3,5; 4,5).
В ряде случаев о состоянии кожи можно судить по величине скорости распространения в ней механических волн. При измерении в контрольной группе детей (норма) были получены
следующие значения скорости V (м/с):
18, 19, 23, 26, 24, 24, 20, 21, 16,
18, 23, 24, 23, 22, 25, 24, 26, 19, 25.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Кожа верхнего века обладает механической анизотропией. При обследовании группы из 10 пациентов были получены следующие значения скорости распространения механической волны в веке во взаимно перпендикулярных направлениях:
вдоль вертикальной оси Уу:
41, 43, 48, 50, 49, 50, 51, 44, 49, 48;
вдоль горизонтальной оси Уж:
36, 38, 39, 40, 41, 39, 43, 41, 42, 40.
Определить числовые характеристики полученных случайных величин в различных направлениях. Скорость указана в м/с.
В урне 5 белых и 25 черных шаров. Из урны извлекается один шар. Случайная величина X — число вынутых белых шаров (0 или 1). Построить ее распределение.
В некотором опыте число а-частиц, регистрируемых счетчиком за 1 с, является случайной величиной, распределенной по следующему закону:
X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
р
0,021
0,081
0,156
0,201
0,195
0,151
0,097
0,054
0,026
0,011
0,007
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию числа частиц, регистрируемых счетчиком; б) вероятность того, что счетчик зарегистрирует не менее 40 частиц за секунду.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, которая имеет равномерное распределение на интервале [0, 2].
Случайная величина изменяется в пределах от 0 до 2. Функция плотности вероятности в указанном интервале имеет вид /(ж) = к-х (к определить самостоятельно, используя условие нормировки). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону: /(ж) = = А • ехр(—Аж), ж > 0.
На какой высоте концентрация молекул кислорода вдвое меньше его концентрации на уровне моря? Температура равна 27°C. Принять поле Земли однородным. (Использовать распределение Больцмана).
Случайная величина распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (а = 0) и средним квадратическим отклонением а. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения в интервалах:
а) — а < X < а; б) — 2(т < X < 2(7; в) — 3(7 < X < За.
Пример решения для интервала шириной а.
Согласно (6.6) и (6.15) запишем:
Р(—(7 < X < +(7) = F(a) — F(—(7) = Ф[((7—а)/(7]—Ф[(—(7—а)/(7],
Ф[((7 — О)/бг] = Ф(1) = 0,8413 (из таблицы),
Ф[(-(7 - 0)/(7] = Ф(-1) = 1 - Ф(1) = 1 - 0,8413 = 0,1587,
Р = ф(1) - ф(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826.
Иллюстрация правила трех сигм.
Среди 10 000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала (а — — 3(7, а + Збг). Это означает, что среди небольшого числа значений X практически нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала.
Случайная величина принимает значения только на интервале [0, тг/2] с плотностью вероятности /(ж) = С • sin ж. Найти коэффициент С и математическое ожидание случайной величины X.
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4. Найти вероятность того, что 1 < X < 7.
Решение, а = 3, а = V5 = 2 найдем искомую вероятность (без вывода):
Р(1 < X < 7) = [Ф{(7 — 3)/2} — Ф{(1 — 3)/2}] =
= [Ф(2) - Ф(-1)] = (0,9772 - 0,1587) = 0,8185.
Семинар 7ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ
Вопросы для подготовки
Основные понятия: генеральная совокупность, выборка, простой статистический ряд, вариационный ряд, интервальный ряд. Полигон распределений, гистограмма.
Числовые характеристики статистического ряда.
Оценка параметров генеральной совокупности (точечная и интервальная).
. Основные формулы
Выборочное среднее X, полученное по выборке объемом п:
Выборочная дисперсия D, полученная по выборке объемом п:
O-^Ef^-X)2.(7.2)
Выборочное среднее квадратическое отклонение
а = V6.(7.3)
Точность интервальной оценки по малой выборке
е = t • б f V^t(7.4)
гдекоэффициентСтьюдента t находится всоответствующих
таблицах по числустепеней свободы / = п -1и доверительной
вероятности Ра.
. Основные понятия
Поясним основные понятия на следующем примере. Рассмотрим значения случайной величины — скорости V (м/с) распространения механических волн в коже, измеренной у 20-летних
молодых людей в области предплечья (табл. 7.1). Эта величина часто используется для оценки эффективности лечения и при диагностике.
Выборка — группа обследованных молодых людей; признак — значение скорости распространения механических волн.
Простой статистический ряд — последовательность значений случайной величины (скорости V), записанных в порядке получения. Такой ряд представлен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V
35
32
38
34
42
36
39
33
28
47
п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
V
39
33
39
41
40
46
28
37
36
38
Вариационный статистический ряд — таблица значений вариант, расположенных в упорядоченном виде с указанием их относительных частот. Такой ряд приведен в табл. 7.2.
Таблица 7.2
V
28
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
46
47
р*
0,10
0,05
0,10
0,05
0,05
0,10
0,05
0,10
0,15
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
Полигон частот. Представим вариационный статистический ряд в графическом виде. Для этого на оси абсцисс отложим варианты, а на оси ординат — соответствующие им частоты. Нанеся точки вариационного ряда и соединив их ломаной линией, получим полигон частот (рис. 7.1).
Интервальный статистический ряд — таблица интервалов с указанием частот. Для построения разобьем диапазон изменения скорости на равные интервалы. Число интервалов выбирается по усмотрению экспериментатора. Процесс разбиения можно проводить в следующем порядке.
Выберем число интервалов разбиения, например, 5.
Определим ширину интервала, разделив ширину диапазона на число интервалов: А = (47 — 28)/5 = 3,8.
Округлим полученное значение в большую сторону для того, чтобы суммарная ширина интервалов была несколько больше ширины диапазона (в нашем случае примем А = 4).
Двигаясь от левой границы диапазона вправо, найдем координаты точек, разбивающих диапазон на интервалы: яд = = 28 + А = 32. х2 = 32 + А = 36, х3 = 36 + А = 40 и т. д.
Определим число точек, относимых к каждому из интервалов, и найдем соответствующие частоты (к интервалу (а, 6) относят точки, удовлетворяющие неравенству (а ^ X < 6): р^ = = 2/20 = 0,1; р^ = 5/20 = 0,25 и т. д.
Сформируем интервальный статистический ряд:
Таблица 7.3
ж-(ж+Аж)
28-32
32-36
36-40
40-44
44-48
р*
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10
Гистограмма — графическое изображение интервального статистического ряда с учетом нормировки. Для построения на оси абсцисс отложим интервалы значений вариант и на каждом из них, как на основании, построим прямоугольник с высотой, равной его частоте, деленной на ширину интервала: /?1 = 0,1 /4 = 0,025, h2 = 0,25/4 = 0,0625 и т. д. При этом площадь каждого прямоугольника равна частоте попадания случайной величины в данный интервал, а сумма всех площадей равна 1 (рис. 7.2).
§7.3. Оценка параметров
Найдем интервальную оценку генерального среднего Хг для случайной величины, имеющей нормальное распределение (табл. 7.1). Объем выборки — 20. По формулам (7.1), (7.2), (7.3) найдем X = 37,05, о7 = 5,02.
Зададим доверительную вероятность 0,95. По таблице коэффициентов Стьюдента найдем t = 2,08. Вычислим точность оценки: е = t • о7/у/п = 2,09 • 5,02/V20 = 2,34 (м/с).
Получим интервальную оценку
Р(37,05 - 2,34 < Хг < 37,05 + 2,34) = 0,95.
§7.4. Задания
Записать выборку 5, 6, 7, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4 в виде:
а) вариационного статистического ряда, б) интервального статистического ряда.
В приведенной ниже таблице указаны значения случайной величины и число случаев, в которых они наблюдалось (т). Построить полигон частот.
X
1
4
5
7
т
20
10
14
6
В приведенной ниже таблице представлено распределение 25 кроликов по массе. Построить гистограмму.
Масса (кг)
Число п
Масса (кг)
Число п
3,0-3,5
1
5,5-6,0
5
3,5-4,0
1
6,0-6,5
3
4,0-4,5
3
6,5-7,0
1
4,5-5,0
3
7,0-7,5
1
5,0-5,5
7
Построить гистограмму выборки, представленной в виде следующей таблицы.
Границы интервала
Число вариант в интервале
0-2
20
2-4
30
4-6
50
Числовые характеристики статистического ряда.
Пример 1. Найти медиану выборки 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.
Решение. Упорядочим выборку: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13.
Поскольку в выборке семь вариант, четвертая по порядку варианта будет иметь значение большее, чем первые три, и меньшее, чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертая варианта Med = 8.
Пример 2. Найти медиану выборки: 20, 9, 13, 1, 4, 11.
Решение. Упорядочим выборку: 1, 4, 9, 11, 13, 20. Поскольку здесь имеется четное число вариант, то существует две «середины» — 9 и 11. В этом случае медиана равна среднему арифметическому этих значений:
Med = (9 + 11)/2 = 10.
Для выборки 2, 4, 6, 8, 10 определить: выборочное среднее X, выборочную дисперсию D, среднее квадратическое отклонение о\
Для выборки, представленной в табл. 7.1, определить: выборочное среднее X, выборочную дисперсию D, среднее квадратическое отклонение "а.
Используя вариационный статистический ряд, представленный в табл. 7.2, найти моду Mod, медиану Med.
Оценка параметров генеральной совокупности.
Произвести интервальную оценку генерального среднего Хг для признака, имеющего нормальное распределение. Выборка представлена в табл. 7.1. Задать Ра = 0,99. Сравнить с результатами, полученными при Ра = 0,95.
Произвести точечную оценку генеральной совокупности по выборке, представленной в табл. 7.1.
При измерениях получены следующие значения некоторых величин:
а) 19, 20, 21; б) 37, 38, 37, 39, 40; в) 3, 2, 3; г) 4, 5, 6, 4.
Дать интервальную оценку истинного значения измеряемой величины, рассматривая полученные значения как малую выборку. Доверительную вероятность Ра принять равной 0,95 и 0,99.
Произведено 5 независимых измерений толщины пластины. Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17.
Оценить истинное значение толщины пластины с помощью доверительного интервала, принимая доверительную вероятность Ра = 0,95.
Случайной величиной является скорость распространения механической волны V (м/с), измеренная на пораженных участках кожи у больных псориазом в различных стадиях. Получен простой статистический ряд для разных стадий.
Регрессирующая стадия:
38, 39, 41, 41, 38, 43, 40, 40, 42, 38, 38, 39, 41, 42, 41,
41, 39, 43, 38, 42, 43, 40, 39, 40, 38, 43, 42, 39, 42.
Стационарная стадия:
49, 46, 54, 49, 50, 50, 46, 56, 49, 46, 54, 50, 56, 49, 46,
52, 52, 51, 51, 53, 53, 50, 47, 47, 55, 55, 50, 54, 56.
Прогрессирующая стадия:
65, 58, 58, 62, 64, 65, 64, 68, 68, 67, 59, 66, 66, 68, 70,
69, 67, 65, 68, 71, 71, 70, 67, 72, 69, 68, 68, 62, 60.
Построить и сравнить гистограммы. Найти и сравнить числовые характеристики статистических рядов.
При измерении скорости распространения механических волн в коже щеки после процедуры криомассажа у пациенток с разным типом кожи получены значения V (м/с), представленные простым статистическим рядом.
Сухая кожа:
58, 46, 39, 49, 62, 62, 49, 43, 44, 68, 41, 54, 64, 64.
Жирная кожа:
54, 54, 41, 64, 42, 56, 56, 42, 56, 56, 65, 65, 39, 54.
Построить и сравнить гистограммы. Найти и сравнить числовые характеристики рядов.
Случайной величиной является значение скорости V (м/с) распространения механической волны в рубцово-измененных тканях разного типа. Получен простой статистический ряд для разных рубцов.
Неосложненный рубец:
39, 42, 42, 43, 40, 41, 45, 42, 40, 44, 39, 40, 40, 41,
43, 42, 45, 42, 39, 38, 40, 45, 43, 42, 39, 38, 41, 42.
Гипертрофический рубец:
64, 65, 63, 66, 59, 58, 67, 71, 72, 72, 68, 67, 70, 69,
69, 68, 67, 70, 67, 66, 67, 70, 69, 71, 67, 70.
Келлоидный рубец:
85, 88, 89, 90, 95, 98, 99, 95, 100, 92, 96, 97, 99, 98,
89, 100, 102, 105, 99, 98, 82, 84, 83, 101, 99, 98, 97, 100.
Построить и сравнить гистограммы для трех типов рубцов. Найти и сравнить числовые характеристики рядов.
Таблица 7.3. Критические значения распределения Стьюдента, / = П - 1
/
Ра
/
Ра
а = 0,95
а = 0,99
а = 0,95
а = 0,99
1
12,71
63,66
12
2,18
3,05
2
4,30
9,92
13
2,16
3,01
3
3,18
5,84
14
2,14
2,98
4
2,78
4,60
15
2,13
2,95
5
2,57
4,03
16
2,12
2,92
6
2,45
3,71
17
2,11
2,90
7
2,36
3,50
18
2,10
2,88
8
2,31
3,35
19
2,09
2,86
9
2,26
3,25
20
2,09
2,84
10
2,23
3,17
25
2,06
2,79
11
2,20
3,11
30
2,04
2,75
Семинар 8
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Вопросы для подготовки
Статистическая проверка гипотез.
Проверка гипотез относительно средних — критерий Стьюдента.
Проверка гипотез относительно дисперсий — критерий Фишера.
Непараметрические критерии — критерий Вилкоксона.
. Основные формулы
t-критерий Стьюдента, t-критерий Стьюдента применяется для оценки различий величин средних двух выборок, которые распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией.
Первичная статистическая информация представляет собой две выборки X = {ж^} и У = {2/7}, содержащие пх и пу элементов соответственно.
Значение критерия t находят по формуле:
t =,I^X^Y (8J)
ltnx - 1) ■ Dx + (ny - 1) ■ Dy V w
уTix + ny — 2
где X, Y — выборочные средние значения выборок, ах1 ^У — выборочные средние квадратичные отклонения.
Число степеней свободы:
/ = пх + пу - 2,(8.2)
Критическая область для отклонения Нр:
Н ^ ^кр-(8-3)
Критическое значение tKp находят по таблице t-распределения.
F-критерий Фишера. F-критерий Фишера используют для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных выборок.
Первичная статистическая информация представляет собой две выборки X = {ж^} и У = {f/j}? содержащие пх и пу элементов соответственно.
Значение критерия F находят по формуле:
F = Dy/Dx,(8.4)
где Dy — большая выборочная дисперсия, a Dx — меньшая.
Число степеней свободы для каждой выборки:
fi = (пу - 1),/2 = (пх - 1),(8.5)
где fi и /2 число степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно.
Критическая область для отклонения Hq:
F > FKp.(8.6)
Критическое значение FKp находят по таблице F-распределения.
Критерий Вилкоксона. Критерий Вилкоксона применяется для проверки гипотезы о принадлежности сравниваемых независимых выборок, к одной и той же генеральной совокупности, когда данные представлены в порядковой или ранговой шкале.
Первичная статистическая информация представляет собой две выборки содержащие пх и пу элементов, значения которых представлены в порядковой шкале.
Подготовительная работа. Составляется объединенная выборка, элементы которой упорядочиваются. В результате получается таблица, в первой строке которой указана принадлежность элемента, во второй строке указаны значения элементов, а в третьей строке стоят порядковые номера элементов упорядоченного ряда от 1 до пх + пу.
Принадлежность
X
Y
X
Y
Y
X
Y
Значения элементов
Ранг (порядковый номер)
1
2
3
4
5
6
Пх + Пу
Если в таблице встречаются одинаковые значения, то им следует присвоить одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению рангов одинаковых элементов. После этого находят суммы рангов для каждой выборки Rx и Ry.
Значение критерия U находят по формуле:
(8-7)(8-7)U = Tlx * ^Y Rm + ^m * (лт + 1)/2,
(8-7)
(8-7)
где nm — число членов в выборке с максимальным значением суммы рангов.
Критическая область для отклонения Hq:
(8-8)(8-8)U < икр.
(8-8)
(8-8)
Критическое значение UKp находят по таблице ^-распределения.
. Примеры использования статистическихкритериев
Критерий Стьюдента.
Пример 1. Даны две выборки, взятые из нормально распределенных генеральных совокупностей X и У, для которых известно:
Объем пх = 42, выборочное среднее X = 119, выборочная дисперсия Dx = 126,9;
Объем пу = 35, выборочное среднее Y = 107, выборочная дисперсия Dy = 136,1.
Проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значимости 0,05.
Решение. Выборочные дисперсии близки, поэтому обоснованным является предположение о равенстве генеральных дисперсий. В этом случае можно воспользоваться ^-критерием Стьюдента.
Нулевая гипотеза Hq: генеральные средние двух совокупностей равны;
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние двух совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (8.1):
Числитель равен
(119 - 107)/У42- 35/(42 + 35) = 52,4.
Знаменатель равен
V(41 • 127 - 34 • 107)/(42 + 35-2) = 11,4.
Значение критерия равно t = 4,58.
Критические значения находим по таблицам ^-распределе- ния:
а
0,05
0,01
^кр
1,99
2,65
Значение критерия принадлежит однопроцентной области. Поэтому нулевая гипотеза отвергается и признается различие между выборками.
1,992,654,581,992,654,58
1,992,654,58
1,992,654,58
Пример 2. Длительность сердечного цикла (в секундах) в кардиограммах у здоровых и больных детей представлена следующими выборками по 60 элементов:
здоровые дети — выборка X:
0,91; 0,71; 0,73; 0,82; 0,67; 0,89; 0,90; 1,00; 0,77; 0,78; 0,90; 0,68; 0,52; 0,58;0,59;0,66;0,74;0,54;0,72;0,74;0,74;0,79;0,66;0,84;
0,85; 0,81;1,00;0,77;0,84;0,74;0,65;0,83;0,78;0,93;0,62;0,69;
0,5 7; 0,82;0,65;0,74;0,69;0,80;0,78;0,66;0,74;0,68;0,5 7;0,75;
0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 0,89; 0,75; 0,68; 0,62; 0,68; 0,85; 0,79; 0,75;
больные дети — выборка У:
0,91; 0,86; 0,74; 1,07; 0,79; 0,89; 0,98; 1,16; 0,77; 0,88;0,84;0,68;
0,73; 0,91;1,12;0,72;1,23;0,64;0,98;1,37;0,77;0,79;0,66;0,85;
0,85; 0,81;1,00;1,05;0,94;0,86;0,75;1,17;0,78;0,93;0,69;0,99;
1,07; 0,82;0,95;0,74;0,69;0,80;0,78;0,66;0,74;1,08;0,77;0,75;
0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 1,18; 0,75; 0,63; 0,82; 0,89; 0,85; 0,77; 0,75.
Оценить достоверность различий этой характеристики в представленных выборках. Исследовать влияние объема выборки на результат проверки гипотез. Для этого выполнить процедуру проверки при п равном: а) 10; б) 20; в) 60. Сделать вывод о влиянии объема выборки и доверительной вероятности на оценку достоверности различий.
Решение:
Выборочные дисперсии близки поэтому можно воспользоваться ^-критерием Стьюдента.
Нулевая гипотеза Hq: генеральные средние совокупностей равны.
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние совокупностей различны.
Промежуточные и конечные результаты, полученные при обработке первичной информации, представлены в таблице.
N
X
Y
<^х
<4
t
Ра
Fp
Соотнош.
Разл.
60
0,752
0,865
0,012
0,026
4,49
0,95 0,99 0,999
1,98
2,62
3,34
t > tPp
да да
да
20
0,74
0,92
0,017
0,038
3,25
0,95 0,99 0,999
2,02
2,70
3,55
t > tPp
да да нет
10
0,818
0,905
0,011
0,018
1,62
0,95 0,99 0,999
2,10
2,88
3,92
t < tpp
нет
нет
нет
F-критерий Фишера.
Пример 3. По исходным данным примера 2 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
Решение. Для проверки воспользуемся F-критерием Фишера.
Нулевая гипотеза Hq: генеральные дисперсии совокупностей равны;
Альтернативная гипотеза Hi: генеральные средние совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (8.4). Промежуточные и конечные результаты, полученные при обработке первичной информации, представлены в таблице.
N
D%
Dy
F
/1
/2
Ра
НГр
Соотнош.
Разл.
60
0,012
0,026
2,17
59
59
0,95 0,99 0,999
1,58
1,84
2,30
F > Fpp
F > F 1/г гр
F < F 17 гр
да да нет
20
0,017
0,038
2,23
19
19
0,95 0,99 0,999
2,17
3,03
4,45
F > Fpp
F < F 1\7 гр
F < F 1\7 гр
да нет нет
10
0,011
0,018
1,64
9
9
0,95 0,99 0,999
3,18
5,35 10,01
F < Fpp F < F 7\7 гр
F < F 1\2 гр
нет
нет
нет
Критерий Вилкоксона.
Пример 4. Получены две независимые выборки, значения элементов которых представлены в порядковой шкале.
Требуется проверить гипотезу о принадлежности выборок к одной и той же генеральной совокупности. Решим задачу с помощью непараметрического критерия Вилкоксона.
Выборка X
Выборка У
Выборка X
Выборка У
8
8
7
12
8
9
9
13
9
9
9
13
10
11
11
12
7
12
6
11
Проверяемые гипотезы:
Нулевая гипотеза Hq: выборки принадлежат к одной генеральной совокупности;
Альтернативная гипотеза Hi: выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Подготовительная работа выполнена в таблице.
Таблица 1. Объединенная Таблица 2. Данные табл. 1, выборка по возрастанию разнесенные по выборкам с ука- значений наблюдений занием исправленных рангов
X или УЗначенияРангиИсправленные рангиX611X722,5X732,5X845х855Y865X979X989X999Y9109У9119х101212х111314Y111414Y111514Y121617У121717У121817у131919,5у132019,5R =210210X или УЗначенияРангиИсправленные рангиX611X722,5X732,5X845х855Y865X979X989X999Y9109У9119х101212х111314Y111414Y111514Y121617У121717У121817у131919,5у132019,5R =210210XRxУRyх1X2,5X2,5X5х5У5х9X9X9у9У9х12х14у14у14у17У17У17у19,5у19,5Rx = 69Ry = 141XRxУRyх1X2,5X2,5X5х5У5х9X9X9у9У9х12х14у14у14у17У17У17у19,5у19,5Rx = 69Ry = 141
X или У
Значения
Ранги
Исправленные ранги
X
6
1
1
X
7
2
2,5
X
7
3
2,5
X
8
4
5
х
8
5
5
Y
8
6
5
X
9
7
9
X
9
8
9
X
9
9
9
Y
9
10
9
У
9
11
9
х
10
12
12
х
11
13
14
Y
11
14
14
Y
11
15
14
Y
12
16
17
У
12
17
17
У
12
18
17
у
13
19
19,5
у
13
20
19,5
R =
210
210
X или У
Значения
Ранги
Исправленные ранги
X
6
1
1
X
7
2
2,5
X
7
3
2,5
X
8
4
5
х
8
5
5
Y
8
6
5
X
9
7
9
X
9
8
9
X
9
9
9
Y
9
10
9
У
9
11
9
х
10
12
12
х
11
13
14
Y
11
14
14
Y
11
15
14
Y
12
16
17
У
12
17
17
У
12
18
17
у
13
19
19,5
у
13
20
19,5
R =
210
210
X
Rx
У
Ry
х
1
X
2,5
X
2,5
X
5
х
5
У
5
х
9
X
9
X
9
у
9
У
9
х
12
х
14
у
14
у
14
у
17
У
17
У
17
у
19,5
у
19,5
Rx = 69
Ry = 141
X
Rx
У
Ry
х
1
X
2,5
X
2,5
X
5
х
5
У
5
х
9
X
9
X
9
у
9
У
9
х
12
х
14
у
14
у
14
у
17
У
17
У
17
у
19,5
у
19,5
Rx = 69
Ry = 141
^max = 141, nmax = 10. Граничные значения для 1% и 5% областей равны 19 и 27.
По формуле (8.7) вычисляем значение критерия:
t/опыт = 10 • 10 - 141 + 10 - 11/2 = 14.
Значение критерия (U = 14) попадает в однопроцентную критическую область. Поэтому нулевая гипотеза отвергается и различия между выборками являются значимыми.
При исследовании влияния кофеина на величину систолического давления (мм рт. ст.) у мужчин в возрасте от 25 до 30 лет измеряли кровяное давление после приема кофеина (группа А) и ложной пилюли (группа Б) в двух группах пациентов (по 16 человек в каждой). Получены следующие значения:
А: 126, 145, 137, 116, 137, 157, 126, 139, 143, 129, 143, 145, 153, 135, 163, 133;
Б: 119, 133, 115, 106, 125, 134, 117, 120, 125, 123, 131, 138, 127, 129, 140, 123.
Оценить достоверность различий представленных выборок с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
Исследовали эффективность действия нового диуретика. При этом измеряли суточный диурез у пациентов (в мл) в двух группах: в группе А пациентам давали препарат, в группе Б — плацебо. Получены следующие результаты:
А: 1000, 1400, 1600, 1000, 1100, 1200, 1700, 1600, 1800, 1100, 1500, 1300, 1600;
Б: 1200, 1000, 1000, 1100, 1200, 1400, 1450, 1600, 1300, 1250. 1100, 1400, 980.
Оценить достоверность различий представленных выборок с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
Частота пульса (уд/мин) у детей с тяжелыми отравлениями при поступлении в больницу (группа А) и при вливании кровезаменителя (группа Б) представлена ниже:
А: 98, 120, 100, 62, 60, 62, 46, 74, 65, 48, 52, 46, 43, 60;
Б: 115, 100, 130, 80, 75, 102, 56, 69, 58, 66, 80, 96, 56, 49.
Оценить достоверность различий представленных выборок с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
Показатели СОЭ у 20 больных детей (группа А) и у 16 здоровых (группа Б) представлены ниже:
А: 11, 10, 12, 10, 10, 13, 9, 12, 13, 10, 10, 11, 9, 9, 12, 14, 11, 12, 13;
Б: 8, 10, 9, 7, 10, 12, 14, 13, 10, 8, 10, 13, 11, 12, 9, 8.
Оценить достоверность различий представленных выборок с доверительной вероятностью Ра = 0,95.
Производители нового типа аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 человек, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверить на уровне значимости 0,05 справедливость утверждения производителей аспирина о том, что лекарство излечивает головную боль за 30 мин.
Семинар 9
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙАНАЛИЗ
Вопросы для подготовки
Коэффициент линейной корреляции и его свойства.
Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.
Уравнение линейной регрессии.
Коэффициент регрессии.
. Коэффициент корреляции Пирсона
Коэффициент линейной корреляции Пирсона вычисляется по формуле
N__
Ё (Xj - X) • (Уг - Y)
Г = —==.
(N - 1) • ах • <ту
Здесь N — объем выборок; X и Y — выборочные средние; cfx и cfy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Если N -4 ос, то выборочный коэффициент стремится к истинному значению коэффициента корреляции. Практически считается, что при |г| < 0,4 линейная связь отсутствует, при 0,4 < |г| < 0,7 имеется слабая связь. Тесная связь между случайными величинами или процессами имеется при 0,7 < |r| < 1.
. Проверка статистической значимостивыборочного коэффициента корреляции
Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента корреляции проверяются следующие гипотезы:
Нулевая гипотеза Hq — корреляции между X и Y нет.
Альтернативная гипотеза Hi — между X и Y присутствует корреляция.
Критерием для проверки этих гипотез является значение выборочного коэффициента корреляции (9.1), которое сравнивается с критическим значением, найденным по таблице «Критические значения коэффициента корреляции Пирсона» с числом степеней свободы f = N — 2.
Если значения выборочного коэффициента корреляции больше граничного значения
И > гГр,(9.1)
то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о наличии статистической связи.
Если |г| < ггр, то вывод о независимости между X и У можно сделать только в том случае, если выборка произведена из нормальной совокупности. В противном случае требуется применение других коэффициентов корреляции.
9.3. Уравнение линейной регрессии,метод наименьших квадратов
Регрессионный анализ — это метод подбора детерминированной функции У = /(X), которая наилучшим образом соответствуют всей совокупности выборочных пар {ж^, у^.
Для подбора наилучшего приближения в статистике используют метод максимума правдоподобия.
Простейшим является случай, когда функция /(X) является линейной:
У = а0 + ai • X.(9.2)
Г рафик этой функции называют линией регрессии. Коэффициенты ад и ^1 определяются формулами:
ад = Y — г • X • <ту/<тх• а\ = х *"<ууf^x-(9.3)
Коэффициент «1 называют коэффициентом регрессии.
Часто для записи уравнения регрессии вместо уравнения (9.2) с коэффициентами (9.3) используют более простую форму:
У = Y + f ■■ (X-X).(9.4)
О"х
§9.4. Примеры нахождения коэффициентакорреляции и уравнения регрессии
Пример 1. Для выборок, представленных в таблице, найти коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X. Проверить статистическую значимость.
X
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
у
2,1
2,2
2,7
2,8
2,85
Решение. По соответствующим формулам вычисляем: X = = 2,00; Y = 2,53; ах = 0,79; aY = 0,35; г = 0,94; аг = 0,42; / = п - 2 = 3.
а
0,05
0,01
^кр
0,878
0,959
Гипотеза о наличии статистической связи принимается на уровне значимости 0,05.
0,8780,940,959
Уравнение регрессии:
Y = 1,69 + 0,42 X или У = 2,53 + 0, 42 (X - 2).
П р и м е р 2. Сравниваются два признака одной совокупности, представленные двумя выборками:
X
8
8
10
10
14
16
18
18
У
2
3
4
5
5
4
3
4
Найти уравнение регрессии У на X.
Решение выполним с помощью электронной таблицы EXCEL.
19 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Величины
Значения
Ср. зн.
ско
X
8
8
10
10
14
16
18
18
12,75
4,27
Y
2
3
4
5
5
4
3
4
3,75
1,04
г
0,24
Y = 3,51 + 0,06 X
«1
0,06
Проверим статистическую значимость коэффициента корре
/ = п-2 = 6.
а
0,05
0,01
^кр
0,707
0,834
ляции:ляции:Видно, что условие (9.2) не выполняется. Поэтому гипотеза о статистической зависимости величин X и Y не принимается. И хотя мы записали уравнение регрессии, доверять ему нельзя.
ляции:
ляции:
§9.5. Задания
У студентов были измерены рост Н (см) и вес т (кг), значения которых представлено в таблице:
Н (см)
165
176
174
169
167
171
174
181
т (кг)
56
74
69
61
61
63
72
81
Найти уравнение линейной регрессии и коэффициент корреляции.
При измерении показателя преломления (п) для растворов с разной концентрацией (С) получены данные, представленные в таблице:
С (г/см3)
0,000
0,025
0,050
0,10
0,20
0,40
0,80
п
1,333
1,338
1,340
1,350
1,362
1,377
1,389
Найти уравнение линейной регрессии и коэффициент корреляции.
Средние оценки случайно выбранных 10 студентов за 1-й и 4-й курс представлены ниже:
Оценки на 1-м курсе(X)
3,5
4,0
3,8
4,6
3,9
3,0
3,5
3,9
4,5
4,1
Оценки на 2-м курсе(Y)
4,2
3,9
3,8
4,5
4,2
3,4
3,8
3,9
4,6
3,0
Построить график исходных данных и определить по нему характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Общий вес некоторого растения (X) и вес его семян (У) представлены ниже (в граммах):
X
40
50
60
70
80
90
100
Y
20
25
28
30
35
40
45
Построить график исходных данных и определить по нему характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Даны две выборки:
X
ОД
0,1
0,2
0,3
0,4
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,9
0,9
¥
92
95
96
90
89
86
90
83
85
80
78
76
72
75
Построить график исходных данных и определить по нему характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Исследуется зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет курения. Получены следующие данные:
Число лет курения
25
36
22
25
48
39
42
31
28
33
Площадь пораженной части, %
55
60
50
30
75
70
70
55
30
35
Построить график исходных данных и определить по нему характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Ответы случайно выбранных 10 студентов о среднем балле по результатам сессии и о количестве часов, затраченных на самостоятельную подготовку, представлены ниже.
Средний балл
4,6
4,3
3,8
3,8
4,2
4,3
3,8
4,0
3,1
3,9
Число часов
25
22
9
15
15
30
20
30
10
17
Построить график исходных данных и определить по нему характер зависимости. Рассчитать коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверить его значимость при уровне значимости 0,05. Составить уравнение регрессии.
Семинар 10МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.ЗВУК
Вопросы для подготовки
Свободные колебания, гармонические и затухающие.
Вынужденные колебания.
Механические волны, характеристики волны.
Эффект Доплера.
Звук, его физические и физиологические характеристики.
Ультразвук.
Колебания
Дифференциальное уравнение свободных незатп/у- хающих колебаний имеет вид
d2x/dt2 + с^ж = 0,(10.1)
где х — смещение, t — время, w0 = ^kjm — круговая частота, к — коэффициент (жесткости) упругости, m — масса тела.
Решение уравнения (10.1):
х = Acos(cjo^ + ^о),(10.2)
где А — амплитуда колебаний, (cjq^ + ^o) = ^ ~ фаза колебаний, сро — начальная фаза.
Период колебаний для систем:
Т = 2тг/^0(Ю.З)
общая формула;
Г = 2тг - у/т/к(10.4)
пружинный маятник;
(10.5)(10.5)Г = 2тг . VLfg
(10.5)
(10.5)
математический маятник, где L — длина математического маятника, g - ускорение свободного падения;
Т = ^Vljmgh,(10.6)
физический маятник, где / — момент инерции тела относительно оси, m — масса, h — расстояние между центром тяжести и осью вращения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:
d2x / dt2 + 23dx / dt + ш^х = 0,(Ю-7)
где 3 = т/(2т) — коэффициент затухания, г — коэффициент сопротивления среды (для силы трения F = — г • и).
Решение уравнения (10.7) при cj2 = cj2 — /З2 > 0:
х = А •• cos(cj • t + <p^\(10.8)
где со — круговая частота затухающих колебаний, cjq — круговая частота собственных колебаний системы.
Период колебаний:
Т = 2тг/^.(10.9)
Логарифмический декремент затухания:
А = 1п[Л(^)/Л(^ + Т)], А = ЗТ.(10.10)
Дифференциальное уравнение выну заеденных колебаний:
d2x, dt2 + 23 • dx/dt + coq • x = /0 * coswt, (10.11)
где /о = ^/т\ co и Fo — круговая частота и амплитуда вынуждающей силы.
Смещение при вынужденных колебаниях:
ж = A cos(cot + уо),(10.12)
где
Волны
Уравнение плоской механической волны:
х = A cos[o;(t — s/v)],(10.14)
где х — смещение колеблющейся точки в волне, s — координата колеблющейся точки, г — скорость распространения волны.
Плотность потока энергии волны, или интенсивность волны:
I = Ф/S.(10.15)
Объемная плотность энергии:
Шр = рА^ш2/^,(10.16)
где р — плотность вещества.
Частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем (эффект Доплера):
v’ = v • (v ± и^Ди =р иИ),(10.17)
где vH и уи — скорости наблюдателя и источника волн относительно среды, v — скорость волны, v — частота испускаемых колебаний.
Доплеровский сдвиг частоты:
v^ = v^u^(u),(10.18)
где г>о — скорость движущегося тела, и — скорость волны.
Звук
Связь интенсивности звука и звукового давления:
I = Р2/(2р«),(10.19)
где р — плотность среды, ри — волновое сопротивление.
Уровень интенсивности звука, выраженный в белах (Б):
LB = lg(///0),/ = /о • 10L,(10.20)
или в децибелах (дБ),
Пример 1. Рассматривая ногу как физический маятник, определить период колебаний:
непосредственным измерением для собственной ноги;
пользуясь формулой для физического маятника Т = = 2тг д/TJrrigH.
Ногу считать длинным стержнем длиной 0,8 м с шарниром на конце, центр тяжести находится на расстоянии 0,5 м от ступни. Масса ноги 12 кг.
Решение.
I = ml2/3.
Т = 2TrV(mL2)/3mg(0,8 - 0,5) = 6,28 • VO,64/(3,08 • 9,8) = = 1,7 с.
§ 10.4. Задания
Когда к пружине подвешивают тело массой 0,3 кг, она удлиняется на 0,15 м. Пружину затем растягивают еще на 0,1 м от положения равновесия и отпускают. Рассчитать: а) жесткость пружины, б) амплитуду возникших колебаний, в) период и частоту колебаний, г) максимальную скорость тела, д) его максимальное ускорение, е) полную энергию, ж) скорость при t = 0,15 с. Записать зависимость смещения от времени.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид
d^x
0,2—^ + 0,8ж = 0.
at21
Найти период и частоту этих колебаний.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид
d?xdx
0,5—+0,25—+ 8ж = 0.
dtzdt
Определить коэффициент затухания и круговую частоту этих колебаний.
Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х = = 0,42 cos 7,40^, где t — измеряется в секундах, а х — в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при .т = 0,16 м.
Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент и коэффициент затухания. Написать дифференциальное уравнение этих колебаний.
За время 10 с амплитуда колебаний уменьшилась в «е» раз. Найти коэффициент затухания этих колебаний.
Вынужденные колебания описываются дифференциальным уравнением
с/^ж dx
0,4—+ 0,48——h 1,6ж = 0,8 • sin3L dtz dt
Найти: а) частоту этих вынужденных колебаний, б) частоту собственных колебаний системы, в) частоту внешней силы, при которой будет наблюдаться резонанс.
Чему равна разность фаз ср между вынуждающей силой и смещением при резонансе ^ш = ^о)? б) Каково при этом смещение в момент времени, когда вынуждающая сила имеет максимальное значение? в) Каково смещение в момент времени, когда вынуждающая сила равно нулю?
Две точки находятся на расстоянии 6 м и 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения v = = 300 м/с.
Сердце периодически сокращается. У эмбриона оно делает 1 сокращение в каждую секунду. У новорожденных — 140 сокращений в минуту. У взрослого человека 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений в разные сроки; б) посчитать сколько сокращений делает сердце за 50 лет жизни.
Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расположенными на расстоянии 20 см друг от друга. Скорость пульсовой волны 10 м/с, а колебания сердца считать гармоническими с частотой, равной 1,2 Гц.
Определить длину звуковой волны в воздухе при частотах: 20 Гц, 100 Гц, 20000 Гц.
Определить частоты волн, имеющих в воде (гц = = 1500 м/с) и в воздухе (??2 = 330 м/с) одинаковую длину 2 см.
Определить скорость волны в некоторой среде, если частота равна 5 Гц, а длина волны равна 5 м.
Две плоские звуковые волны имеют одинаковые амплитуды, но длина одной волны в 2 раза больше, чем другой. Которая из них переносит большую энергию? Во сколько раз?
Найти скорость распространения звука в стали, если модуль Юнга Е = 21,6 • 1010 Н/м2, плотность р = 7,8 • 103 кг/м3.
Во сколько раз отличаются скорости распространения продольной и поперечной волн в костной ткани? Модуль Юнга Е = 15 • 109 кг/м2, модуль сдвига G = 6 • 109 Н/м2.
Звуковая волна проходит по стальному рельсу расстояние 1 км за 0,2 с. Определить скорость распространения звуковой волны и модуль Юнга стали.
Известно, что на границе раздела двух сред угол падения Qi и угол преломления Q2 связаны со скоростями распространения волны в них (гц и Г2- соответственно) соотношением: sinQi/sinQ2 — ^2/^1- При прохождении границы между породами скорость сейсмической волны увеличивается с 6,5 до 8,0 км/с. Чему равен угол преломления, если волна падает на границу раздела под углом 30° ?
Звук, которому на улице соответствует уровень интенсивности Li = 50 дБ, слышен в комнате так, как звук с уровнем интенсивности L2 = 30 дБ. Найти отношение интенсивностей звука на улице и в комнате.
Уровень громкости звука частотой 5000 Гц равен Е = = 50 фон. Найти интенсивность этого звука, воспользовавшись кривыми равной громкости.
Вентилятор создает звук, уровень интенсивности которого L = 90 дБ. Найти уровень интенсивности звука от двух вентиляторов.
Нормальный разговор человека оценивается уровнем громкости звука Е = 50 фон (для частоты 1 кГц). Определить уровень громкости звука, соответствующего трем одновременно говорящим людям.
Разность хода звуковых волн, приходящих в левое и правое ухо человека, составляет 1 см. Определить сдвиг фаз между обоими звуковыми ощущениями для тона с частотой 1000 Гц.
Интенсивность плоской волны в воздухе равна I = = 10-10 Вт/м2. Найти амплитуду колебаний частиц (молекул) воздуха при нормальных условиях и объемную плотность энергии колебательного движения для частот: 20, 1000, 20000 Гц. Скорость звука в воздухе v = 330 м/с.
Скорость колебания участков барабанной перепонки одного порядка со скоростью смещения молекул воздуха при распространении плоской волны. Определить амплитуду колебания участков барабанной перепонки при пороге слышимости и пороге болевого ощущения. Частота равна 1000 Гц.
Определить максимальную силу, действующую на барабанную перепонку уха человека (S = 66 мм2), для двух случаев: а) порог слышимости, б) порог болевого ощущения.
Известно, что система косточек среднего уха (молоточек, наковальня, стремечко) обеспечивает выигрыш в силе при передаче звукового давления в 1,3 раза. Площадь барабанной перепонки, находящейся в контакте с молоточком, равна 0,55 см2. Площадь контакта стремечка с овальным окном равна 0,032 см2. Каково усиление давления звуковой волны при передаче ее посредством системы косточек среднего уха?
Уровень громкости звука от реактивного самолета на расстоянии 30 м от него равен 140 дБ. Каков уровень громкости на расстоянии 300 м? Отражением от земли пренебречь.
Источник создает звук частотой 400 Гц, когда он находится в покое. Затем он начинает двигаться к наблюдателю, стоящему на месте, со скоростью 30 м/с. Какую частоту звука будет воспринимать наблюдатель?
Звуковая волна с частотой 5000 Гц отражается от тела, которое приближается к источнику звука со скоростью 3,30 м/с. Чему равна частота отраженной волны?
Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями щ = 20 м/с и Г2 = Ю м/с. Первая машина дает сигнал с частотой 800 Гц. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин, б) после встречи машин?
Скорость движения эритроцита в артерии равна 0,3 м/с. Скорость ультразвука — 1500 м/с, частота — 100 кГц. Найти доплеровский сдвиг частоты, если эритроцит движется навстречу технической системе.
Определить длину волны ультразвука в воздухе при частоте 1010 Гц и в воде при частоте 1013 Гц. Принять скорость в воде v = 330 м/с, в жидкости v = 1500 м/с.
Оценить верхнюю границу (частоту) ультразвука в воздухе, если известна его скорость распространения v = 330 м/с. Считать, что молекулы воздуха имеют размер порядка d = = 10"10 м.
В физиотерапии используется ультразвук частотой v = = 800 кГц и интенсивностью / =1 Вт/см2. Найти: амплитуду колебания молекул; амплитудное значение ускорения молекул; амплитудное значение избыточного звукового давления при воздействии ультразвука.
Даны плотности соответственно для масла, воздуха, воды: pi = 800 кг/м3, р2 = 1,3 кг/м3, рз = 1000 кг/м3 и скорости ультразвука в них: ^х — ^з — 1500 м/с, и^ = 330 м/с. Найти коэффициент отражения на границе воздух-вода, масло-вода.
Плотность здоровой мышечной ткани р = 1060 кг/м3. Ее волновое сопротивление равно Ra = 1,63 • 106 кг/(м2с). При диагностировании патологических изменений ультразвуковым методом отраженный сигнал был принят через ^ = 2 • 10-5 с после излучения. На какой глубине L в мышечной ткани была обнаружена неоднородность?
Семинар 11СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Вопросы для подготовки
Уравнение неразрывности струи.
Уравнение Бернулли.
Уравнение Ньютона.
Формула Стокса.
Формула Пуазейля.
Число Рейнольдса.
Основные формулы
Уравнение неразрывности струи:
SiVi = 52V2.(11.1)
Уравнение Бернулли:
Pi + pV^/2 + pghi = р2 + pV^/2 + pgh2,(И.2)
где pi и р2 — статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока, У1 и V^ — скорости течения жидкости в этих сечениях, h\ и Л2 — высоты сечения над некоторым уровнем, р — плотность жидкости.
Уравнение Ньютона внутреннего трения в жидкости-.
F = -yS(dV/dx),(11.3)
где S — площадь соприкосновения слоев, dV/dx — градиент скорости, у — коэффициент внутреннего трения (вязкость). Сила сопротивления, испытываемая шариком небольшого радиуса г при падении в вязкой жидкости (формула Стокса):
F = 6TvrVy,(11-4)
где V — скорость движения шарика.
Объем жидкости, протекающей за время t = 1 с через сечение цилиндрической трубы (формула Пуазейля):
Q = тгг4(р1 - p^j^Ly,(11-5)
где L — длина участка трубы, на концах которого поддерживается разность давлений (pi — р^У
Число Рейнольдса:
Re = DVp/p = DV/y, (11.6) где D — диаметр трубы, р — динамическая вязкость, у = р/ р — кинематическая вязкость.
Задания
В дне сосуда цилиндрической формы имеется круглое отверстие диаметром 1 см. Диаметр сосуда 0,5 м. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня. Определить значение этой скорости для высоты 0,2 м.
В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом 2 см вставлен капилляр с внутренним радиусом 1 мм и длиной 2 см. В сосуд налито касторовое масло, вязкость которого р = = 1,2 Па с. Найти зависимость скорости понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты этого уровня над капилляром. Найти численное значение этой скорости при высоте 26 см. Плотность масла считать приблизительно равной р = 103 кг/м3.
На какую высоту поднимается вода в трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубки диаметром d = 2 см, если в широкой части трубы диаметром D = 6 см скорость воздуха равна 80 см/с при давлении 1 атм? Плотность воздуха р = = 1,32 кг/м3, плотность воды р = 1000 кг/м3.
Определить работу при однократном сокращении левого желудочка, если при этом в аорту со скоростью 0,5 м/с нагнетается 60 мл крови против давления 13 кПа. Плотность крови р = 1050 кг/м3.
Гидростатическое давление крови обусловлено собственным весом крови. Давление крови (систолическое) на уровне сердца человека равно 16 кПа. Определить полное давление на уровне головы, расположенной на 0,4 м выше сердца, и на уровне ступни, расположенной на 1,5 м ниже сердца. Плотность крови р = 1050 кг/м3.
Человек в вертикальном положении движется вверх с ускорением 4g. Определить полное давление в сосудах головного мозга и в сосудах на уровне ступни (см. задачу 5).
Вывести формулу для распределения скорости жидкости по сечению трубы.
При атеросклерозе число Рейнольдса в некоторых сосудах становится равным 1160. Определить скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна р = 1050 кг/м3, вязкость крови равна р = 5 • 10-3 Па с.
Определить характер течения крови по сосудам разного сечения: D = 2 мм, D = 2 см. (Использовать данные задачи 8).
Для воздуха, в котором взвешены частицы пыли, вязкость равна р = 0,000175 Па с. Плотность вещества частиц пыли равна р = 2,5 г/см3. Считая пылинки шариками с радиусом 5 мкм, определить скорость падения пылинок при условии полной неподвижности воздуха. Плотность воздуха р = 1,29 кг/м3.
Определить скорость оседания эритроцитов в плазме крови (в мм/ч), исходя из предположения, что они имеют форму шариков диаметром 7 мкм (не склеивающихся между собой). Плотность крови ро — 1050 кг/м3, плотность эритроцитов р = = 1092 кг/м3, вязкость крови р = 5 • 10-3 Па с.
Во сколько раз меняется скорость оседания эритроцитов у людей, больных сфероцитозом, по сравнению с нормой, если средний радиус эритроцита при этом увеличивается в 1,5 раза?
При инъекции возникает необходимость быстрого введения лекарственного вещества. В каком случае процедура пройдет быстрее: при увеличении давления в 2 раза или при увеличении диаметра иглы в 2 раза (длины игл одинаковы)?
Внутренние диаметры двух игл равной длины, присоединенных к одинаковым шприцам, относятся как 1 : 2. В каком отношении будут находиться объемы жидкостей, выбрасываемых в единицу времени через иглы, если на поршни шприцов действуют с одинаковой силой?
С еминар 12МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТЕЛИ БИОТКАНЕЙ
Вопросы для подготовки
Способы деформирования тел.
Виды деформации.
Закон Гука.
Диаграмма растяжения.
Механические модели.
Основные формулы
Механическое напряжение:
а = F/S,(12.1)
где F — сила, S — площадь поперечного сечения.
Относительная деформация сжатия (растяжения):
г = Дж/жо,(12.2)
где Дж — удлинение (абсолютная деформация), жо — первоначальная длина образца.
Закон Гука:
а = Е -г,(12.3)
где Е — модуль Юнга.
Скорость продольной волны:
V = VeJp.(12.4)
Скорость поперечной волны:
V = VgJp,(12.5)
где G — модуль сдвига.
Механические характеристики некоторых материалов
Материал
Модуль Юнга (Н/м2)
Предел прочности (Па)
^пр (растяжение)
<тпр (сжатие)
Сталь
2 • 1011
5-Ю8
5-Ю8
Дерево
1 ■ 107
4 • 107
3 -107
Бетон
3 • ю12
2 • 106
2-107
Кость
3 - 10а
13 • ю7
17 • 107
Сухожилия
1 • ю9
6- ю7
—
Мышцы
8 - 10е
1 ■ ю7
—
Задания
Сухожилие длиной 0,12 м и площадью поперечного сечения 2 • 10-6 м2 при нагрузке 68,8 Н удлинилось на 2,9 • 10-3 м. Определить модуль Юнга.
Определить силу тяги трехглавой мышцы голени при удерживании человека на носках, если в этот момент времени сила тяжести тела Р = 500 Н проходит относительно оси голеностопного сустава спереди на расстоянии 0,1 м (гД, а плечо мышечной тяги равно 0,04 м (г2).
Вычислить запас прочности бедренной кости штангиста массой 80 кг, при поднятии им штанги весом 160 кг, если диаметр d бедренной кости 30 мм. Допустимое напряжение равно 15 • 107 Н/м2.
Нагрузка на бедренную кость, равная 1800 Н, при сжатии вызывает относительную деформацию 3 • 10-4. Определить эффективную площадь поперечного сечения кости, если модуль упругости ее равен 2 • 109 Па.
Определить удлинение сухожилия длиной 5 см и диаметром 4 мм под действием силы 31,4 Н. Модуль упругости сухожилия равен 109 Па.
Какая сила необходима для разрушения путем сжатия бедренной кости диаметром 30 мм и толщиной стенок 3 мм, если предел прочности кости равен 1,4 • 108 Па?
Определить эффективный модуль упругости портняжной мышцы лягушки, если при возрастании приложенного к мышце напряжения от 10 до 40 кПа ее длина увеличилась от 0,032 до 0,34 м.
Рояльная проволока имеет диаметр 0,20 см и длину 1,6 м. Какое натяжение испытывает проволока, когда при закреплении в инструменте ее удлиняют на 0,30 см?
Определить относительное удлинение скелетной мышцы, моделируемой телом Кельвина-Фойгта, за 3 мин, если модуль упругости мышцы 1,2 МПа, площадь поперечного сечения 0,8 • 10-8 м2, а нагрузка на мышцу равна 6,3 Н. Вязкость вещества мышцы равна 1,25 г/(см-с).
Рассчитать относительное удлинение скелетной мышцы, предполагая, что ее механические свойства можно описать моделью чисто вязкого элемента. Условия взять из задачи 9.
Скорость распространения поверхностной сдвиговой волны в нормальной коже равна 50 м/с. Определить модуль сдвига кожи.
Скорость распространения поверхностной сдвиговой волны в рубцовой ткани (келоид) равна 130 м/с. Определить модуль сдвига для рубцовой ткани.
Скорость распространения поверхностной волны в коже ладони равна 60 м/с. Определить длину волны, если частота равна 6 кГц.
Семинар 13ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯ.ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Вопросы для подготовки
Интерференция света. Явление интерференции в тонких пленках. Интерферометрия.
Дифракция света. Дифракционная решетка.
Поляризация света. Оптическая активность.
Интерференция света
Оптическая длина пути:
L = х • п.(13.1)
где х — геометрическая длина пути, п — показатель преломления среды.
Соотношение между разностью фаз △</? и оптической разностью хода 8:
^(p = 2тг(5/А),(13.2)
где А — длина волны в вакууме.
Условие интерференционного максимума:
6 = кХ, к = 0, 1, 2, . . .(13.3)
Условие интерференционного минимума:
8 = (2& + 1)А/2.(13.4)
Условие интерференционного максимума в тонкой пленке (отраснсение):
2LVn2-sin2 г = ^к + 1)А/2,(13.5)
где L — толщина пленки, г — угол падения. В формуле учтена «потеря» полуволны при отражении от оптически более плотной среды.
Условие интерференционного минимума в тонкой пленке ^отраэюениеу.
2L\/ri21 — sin2 г = kX.(13.6)
Для интерференции в проходящем свете условия обратные.
Дифракция света
Условие максимума:
asince = ±(2^ + l)A/2.(13.7)
Условие минимума: при дифракции на щели (нормальное падение):
а • since = zhkX^(13.8)
где а — ширина щели, а — угол отклонения.
Основная формула дифракционной решетки (главный максимум):
d • sin а = ±&А,(13.9)
где d — постоянная решетки.
Угловая дисперсия:
D = da/dX.(13.10)
Угловая дисперсия дифракционной решетки (расчетная формула) :
D = k/(dcosa).(13.11)
Разрешающая способность дифракционной решетки:
R = А/ДА = kN.(13.12)
Поляризация света
Закон Малюса:
/ = /0СО82у.(13.13)
Закон Брюстера:
tgiB = n.(13.14)
Угол поворота плоскости поляризации
е в оптически активном веществе:
а = «о/;(13.15)
• в растворе оптически активного вещества:
а = а^сЦ(13.16)
где с — концентрация в относительных единицах.
Задания
Разность хода волн от двух интерферирующих источников равна 0,2А. Чему равна при этом разность фаз? Каков результат интерференции?
Разность хода волн от двух когерентных источников света в некоторой точке экрана равна 4,36 мкм. Каков результат интерференции, если длина волны равна: 670, 438, 536 нм?
На мыльную пленку (п = 1,36) падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки, при рассматривании ее в отраженном свете, пленка будет представляться окрашенной в желтый цвет (Л = 600 нм)? Как изменится окраска пленки, если она будет набухать? усыхать (без изменения показателя преломления)?
Мыльная пленка толщиной 0,3 мкм освещается белым светом под углом падения z = 0 и рассматривается в отраженном свете. Какого цвета будет при этом представляться пленка, если показатель преломления мыльного раствора равен 1,33? Что будет при изменении толщины пленки? Где это имеет место в природе? Что будет, если изменить угол падения?
Интерферометр освещается монохроматическим светом с Л = 589 нм. Длина кюветы I = 10 см. Когда воздух в одной кювете заменили на аммиак, интерференционная картина на экране сместилась на 17 полос. Показатель преломления воздуха п = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака. Как изменится картина, если систему освещать белым светом?
Два громкоговорителя расположены на расстоянии 1 м друг от друга. В 4 м от одного из них находится человек. Громкоговорители воспроизводят звук на частоте 1150 Гц. На каком минимальном расстоянии от второго громкоговорителя должен находиться человек, чтобы почувствовать интерференцию с усилением?
Оранжевый свет с длиной волны 610 нм, и зеленый свет с длиной волны 540 нм проходят через дифракционную решетку, имеющую 4000 штрихов на сантиметр. Чему равно угловое расстояние между оранжевым и зеленым максимумами: а) первого порядка, б) третьего порядка?
В спектре, полученном от дифракционной решетки с числом щелей N = 100 000, имеются две линии вблизи длины волны 600 нм. Могут ли в спектре 3-го порядка эти линии соответствовать длинам волн 600,00 и 600,01 нм?
Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия 589 нм, если постоянная решетки равна 2 мкм.
Чему равна постоянная дифракционной решетки, если в спектре 2-го порядка красная линия (700 нм) видна под углом 30° ?
Длина волны света, падающего на щель перпендикулярно, укладывается в ширине щели 6 раз. Под каким углом будет видеться 3-й дифракционный минимум?
Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в 4 раза?
Плоскости поляризации двух призм Николя, поставленных на пути луча, образуют между собой угол в 30°. Как изменится интенсивность света, прошедшего через эти призмы, если угол между их плоскостями поляризации станет 60° ?
Параллельный пучок света падает нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси кристалла. Толщина пластинки равна 0,03 нм. Показатели преломления вещества для обыкновенного и необыкновенного лучей равны 1,659 и 1,486, соответственно. Определить разность хода лучей по выходе из пластинки.
Определить удельное вращение для раствора сахара, концентрация которого равна 0,33 г/см3, если при прохождении света через трубку с раствором угол поворота плоскости поляризации равен 22°. Длина трубки равна 10 см.
Определить толщину кварцевой пластинки, для которой угол поворота плоскости поляризации света с длиной волны 509 нм равен 180°. Постоянная вращения в кварце для этой длины волны равна 29,7 град/мм.
Семинар 14ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ГЛАЗА.МИКРОСКОПИЯ
Вопросы для подготовки
Линзы. Оптическая сила линзы. Аберрации линз.
Понятие о центрированной оптической системе.
Глаз как центрированная оптическая система. Аккомодация.
Угол зрения. Разрешающая способность глаза. Наименьший угол зрения. Острота зрения.
Микроскоп. Ход лучей в микроскопе. Увеличение микроскопа.
Разрешающая способность микроскопа. Предел разрешения.
Основные формулы
Оптическая сила линзы:
D = 1//,(14.1)
где / — фокусное расстояние линзы.
Оптическая сила системы линз, расположенных вплотную:
Ообщ = Dy + D^ + . . . + Dn.(14.2)
Связь между размерами предмета (В) и размерами его изображения (6) на сетчатке:
b = B(l/L\(14.3)
где I и L — расстояния от узловой точки до изображения и до предмета, соответственно.
Связь между остротой зрения (V) и наименьшим углом зрения (Р):
V = 1/(3.(14.4)
Предел разрешения микроскопа:
Z = О,5Ао/[п • sin(n/2)],(14.5)
где Ло — длина волны в вакууме, п — показатель преломления среды, и — апертурный угол.
Разрешающая способность а отверстия с диаметром d ограничена дифракцией и равна:
а = (l,22A)/d.(14.6)
Задания
Оптическая сила линзы составляет 3 дптр. Чему равно фокусное расстояние линзы?
Фокусные расстояния у двух линз равны, соответственно: Fi = +0,4 м, F2 = —0,4 м. Чему равна оптическая сила каждой линзы?
Определить оптическую силу для двух систем линз:
собирающая линза Di = 1 дптр и рассеивающая линза F2 = 40 см;
собирающая линза Fi = 1 м и собирающая линза Z?2 = = 1,5 дптр.
Суммарная преломляющая сила аппарата глаза представляет собой алгебраическую сумму рефракций (оптических сил) всех основных преломляющих сред: роговица Dp = 42-43, хрусталик Dxp = 19-33, передняя камера Fn/K = 2-4, стекловидное тело DCT/T = 5-6 дптр. Рассчитать оптическую силу глаза в состоянии покоя и при напряжении (рассматривание близких предметов).
Рассчитать оптическую силу системы линз глаза при полной аккомодации, принимая расстояние от роговицы до предмета ах = 25 см, расстояние от роговицы до изображения на сетчатке «2 = 23 мм.
Человек, страдающий дальнозоркостью, способен сфокусировать зрение на предмете, если предмет находится на расстоянии 60 см. Какие очки нужны для исправления этого дефекта?
Абсолютная световая чувствительность зрительных клеток определяется величиной биопотенциала, возникающего при световом раздражении. Сравнить светочувствительности зрительных клеток, если для палочек световая чувствительность составляет 13 мВ, а для колбочек — 0,12 мВ.
Сравнить максимумы чувствительности зрительного восприятия, если при восприятии палочками максимум приходится
на длину волны А = 510 нм, при восприятии колбочками — на Д = 554 нм.
Сравнить время достижения амплитудного значения биопотенциала: для колбочек это время составляет 100 мс, для палочек — 300 мс.
Угловой предел разрешения составляет 5 угловых минут. Во сколько раз ниже острота зрения по сравнению с нормой?
Нормальный глаз человека на расстоянии наилучшего зрения различает две точки, удаленные одна от другой на 70 мкм. Размер изображения на сетчатке в этом случае равен среднему расстоянию между двумя колбочками. Оценить предел разрешения глаза, принимая диаметр зрачка d = 2 мм, а длину волны А = 555 нм. (Формулу для предела разрешения микроскопа можно использовать и для глаза).
В каком случае большую роль играет дифракция в глазу: при большей или меньшей яркости света? Чем объясняется нерезкость изображения в сумерках?
Сравнить изображение на сетчатке глаза при рассматривании предмета: а) невооруженным глазом, б) лупой.
Чему равно разрешаемое (различаемое) с помощью лупы расстояние между двумя точками при 10-кратном увеличении?
Линза с фокусным расстоянием 0,8 см используется в качестве объектива микроскопа с фокусным расстоянием окуляра, равным 0,2 см. Оптическая длина тубуса равна 18 см. Какое увеличение у этого микроскопа?
Определить предел разрешения для сухого и иммерсионного объектива (п = 1,55), для апертурного угла и = 140°.
Определить предел разрешения иммерсионного микроскопа, если пространство между предметом и линзой объектива заполнено маслом с показателем преломления п = 1,55.
Чему равен предел разрешения, если числовая апертура равна: Л1 = 0,25, А^ = 0,65?
На каком угловом расстоянии должны располагаться 2 точечных источника света, которые может различить отверстие диаметром 6 мм при свете с длиной волны 600 нм?
Семинар 15ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Вопросы для подготовки
Природа теплового излучения.
Характеристики теплового излучения.
Законы теплового излучения.
Излучение Солнца.
Использование теплового излучения в медицине.
§ 15Л. Основные формулы
Спектральная, плотность энергетической светимости:
r = dR/d\.(15.1)
Энергетическая светимость тела:
ОО
Re = rdX.(15.2)
о Коэффициент поглощения:
— Фпогл/Фпад(15.3)
где Фпогл — поток излучения, поглощенного данным телом, Фпад — поток излучения, падающего на тело.
Закон Кирхгофа:
VtIol^i = ^rfa^ = ... = £,(15.4)
где £ — спектральная плотность энергетической светимости черного тела.
Формула Планка:
г = 27vhc2/Х^ • {1/[ехр(Лс/kTX) — 1]},(15.5)
где h = 6,63 • 10-34 Джс — постоянная Планка.
Закон Стефана-Больцмана:
Re = аТ\(15.6)
где ст = 5,66 • 10 8 Вт/(м2К4).
Закон Вина:
Атах = Ь/Т,(15.7)
где b = 0,289 • 10"2 м-К.
Энергия фотона:
Е = hv.(15.8)
Могцностъ, теряемая телом при взаимодействии с окружающей средой посредством излучения:
Р = Saa(T^ - Т^,(15.9)
где S — площадь поверхности, Ту — температура поверхности, То — температура окружающей среды.
Задания
Найти температуру печи, если известно, что из отверстия в ней размером 6,1 см2 излучается 34,8 Дж в секунду. Излучение считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Поверхность тела нагрета до температуры 1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на 200 К, другая охлаждается на 200 К. Во сколько раз изменится суммарная энергетическая светимость поверхности этого тела?
Определить количество энергии, излучаемой ежесекундно 1 см2 поверхности стальной болванки, имеющей температуру Т = 1000 К, если коэффициент поглощения стали при этой температуре равен 0,7.
Кусок железа при температуре 800 °C светится ярким красным светом. Кусок кварца при этой же температуре не светится. Объяснить причину этого явления.
В каких областях спектра лежат длины волн, соответствующие максимуму излучательной способности, если в качестве источника света взяты:
спираль электрической лампочки при Т = 3000 К,
поверхность Солнца при Т = 6000 К,
атомная бомба, имеющая в момент взрыва Т = 107 К?
Излучение считать близким к излучению абсолютно черного тела.
На какую длину волны приходится максимум излучательной способности абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную температуре человеческого тела t = 37 °C?
Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела, максимум излучательной способности сместился с 2400 нм на 800 нм. Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость тела?
Исследование спектра испускания Солнца, которое принимается за абсолютно черное тело, показывает, что максимум ис- пускательной способности соответствует длине волны 4,7-10-7 м. Определить солнечную постоянную. Радиус Солнца 6,95 • 108 м, расстояние от Земли до Солнца составляет 1,5 • 1011 м.
Нить накала в электролампе имеет площадь поверхности 1 см2 и нагревается до Т = 3000 К. При этом коэффициент поглощения а = 0,34. Найти энергетическую светимость лампы.
Температура черного тела Т = 1000 К. На сколько процентов изменится его энергетическая светимость при повышении температуры на AT = 1 К?
Температура поверхности кожи раздетого человека равна 33 °C, температура окружающей среды равна 18 °C. Определить мощность, теряемую человеком с единицы поверхности тела при взаимодействии с окружающей средой посредством излучения.
Человек одет в хлопчатобумажную одежду, температура поверхности которой равна 24 °C. Температура окружающей среды равна 18 °C. Определить мощность, теряемую человеком с единицы поверхности при взаимодействии с окружающей средой посредством излучения.
Найти максимальную спектральную плотность энергетической светимости при заданной температуре.
Семинар 16РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Вопросы для подготовки
Природа рентгеновского излучения.
Тормозное и характеристическое рентгеновское излучение.
Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом.
Ослабление потока рентгеновского излучения в веществе.
Использование рентгеновского излучения в медицине.
Основные формулы
Граница спектра тормозного рентгеновского излучения:
в единицах СИ (длина волны — в метрах, напряжение — в вольтах):
Amin = hc/eU,(16.1)
в «практических» единицах (длина волны — в нм, напряжение в кВ):
Amin = 1,23/t/,(16.2)
где U — напряжение в рентгеновской трубке.
Поток тормозного рентгеновского излучения:
Ф = klU^Z,(16.3)
где / — сила тока в рентгеновской трубке, Z — порядковый номер элемента вещества анода, k = 10-9 В-1.
Закон ослабления потока рентгеновского излучения в веществе:
Ф = Фо • ехр(—рх\(16.4)
где ц — линейный коэффициент ослабления.
Массовый коэффициент ослабления:
Рт ~ Р /Pi Рт ~ kX Z ,(16.5)
где р — плотность вещества.
Соотношения единиц энергии:
1 эВ = 1,6 • 10"19 Дж. (16.6)
Задания
Найти границу тормозного рентгеновского излучения (частоту и длину волны) для напряжений t/ = 2 кВ и (/ = 20 кВ.
Найти поток рентгеновского излучения при U = 10 кВ, / = 1 мА. Анод изготовлен из вольфрама (Z = 74). Скольким фотонам в секунду соответствует этот поток, если допустить, что излучается электромагнитная волна, длина которой равна 1/2 от длины волны, соответствующей границе спектра тормозного рентгеновского излучения?
Считая, что поглощение рентгеновского излучения не зависит от того, в каком соединении атом представлен в веществе, определить, во сколько раз массовый коэффициент ослабления кости [Саз(РО4)2] больше массового коэффициента ослабления воды.
Для рентгенодиагностики мягких тканей применяют контрастные вещества. Например, желудок и кишечник заполняют массой сульфата бария BaSO4. Сравнить массовые коэффициенты ослабления сульфата бария и мягких тканей (воды).
Определить граничную длину волны тормозного излучения, полученного при попадании в мишень пучка электронов с энергией 80 кВ.
Вольфрамовая мишень бомбардируется электронами с энергией 65 кэВ, 75 кэВ. Описать получаемые излучения.
Электроны, ускоренные разностью потенциалов t/i = 15 кВ и t/2 = 25 кВ, бомбардируют молибденовую мишень. Определить граничные длины волн генерируемого рентгеновского излучения.
С еминар 17
ДОЗИМЕТРИЯ ИОНИЗИРУЮЩЕГОИЗЛУЧЕНИЯ
Вопросы для подготовки
Основной закон радиоактивного распада. Активность.
Виды радиоактивного распада.
Поглощенная доза, мощность поглощенной дозы.
Экспозиционная доза, мощность экспозиционной дозы.
Эквивалентная доза, мощность эквивалентной дозы. Соотношения между дозами.
Эффективная эквивалентная доза.
Предельно допустимая доза.
Летальные дозы облучения.
Способы защиты от ионизирующего излучения.
Биофизические основы действия ионизирующего излучения.
Основные формулы
Основной закон радиоактивного распада:
N = No ехр(-А£) = 7VO2(“*/T),(17.1)
где А — постоянная распада, Т — период полураспада.
Связь Т и А:
Т = 1п2/А.(17.2)
Активность:
А = -dN/dt, А = In 2 • N/T = N • А. (17.3)
Поглощенная доза:
D = Е/т.(17.4)
Мощность поглощенной дозы:
Р = D/t.(17.5)
Связь между поглощенной дозой и экспозиционной дозами:
D = fX,(17.6)
где / — коэффициент эквивалентности (энергетический эквивалент рентгена).
Связь между эквивалентной и поглощенной дозами;
(17.7)(17.7)(17.8)(17.8)Н = kD,
(17.7)
(17.7)
(17.8)
(17.8)
где к — коэффициент качества.
Мощность экспозиционной дозы:
X/t = kA)r\
где к — постоянная, А — активность, г — расстояние.
Соотношения между единицами доз приведены в табл. 17.1.
Т абл ица 17.1
Доза
Единицы в СИ
Внесистемные единицы
Поглощенная доза
Дж/кг = Гр (Грей) 1 Гр = 100 рад
рад
1 рад = К)2 Гр
Мощность поглощенной дозы
Вт/кг = Гр/с
рад/с
Экспозиционная доза
Кл/кг Кл/кг = 3876 Р
Р (рентген) 1 Р = 2,5810"4 Кл/кг
Мощность экспозиционной дозы
Кл/(кг • с) = А/кг (ампер на кг)
Р/с
Эквивалентная доза
Дж/кг = Зв (Зиверт) 1 Зв = 100 бэр
бэр
1 бэр = К)2 Зв
Мощность эквивалентной дозы
Зв/с = Дж/ (кг • с)
бэр/с
Нормы радиационной безопасности (предельно допустимая эквивалентная доза за год):
ПДД для взрослого населения 0,5 бэр/год
ПДД для детей и беременных женщин 0,17 бэр/год
ПДД для профессионалов 5,0 бэр/год
Дозы облучения при медицинских обследованиях представлены в табл. 17.2.
Т абл ица 17.2
Ткани органа
Метод обследования
Рентгеноскопия
Рентгенография
Флюорография
Легкие
3,5 Р
0,15 Р
1,1 р
Желудок
25 Р
0,46 Р
—
Пищевод
8,5 Р
0,27 Р
—
Предельно допустимые мощности экспозиционной дозы: норма — 0,02 мР/ч;
профессиональная норма — 0,57 мР/ч.
Летальные дозы (ЛД) для облучения всего организма:
ЛД50 - 400 Р; ЛД90 - 800 Р.
Формы лучевой болезни представлены в табл. 17.3.
Т абл ица 17.3
Поглощенная доза при однократном облучении
Патологический процесс
1-4 Гр
Развитие иммунодефицита, опухоль кожи, уменьшение количества клеток в тимусе
4-6 Гр
ЛД50, костномозговая форма
6-10 Гр
Кишечная форма (менее 2 недель)
10-100 Гр
ЛД90, церебральная форма (несколько часов)
Задания
Телом массой т = 60 кг в течение 6 ч была поглощена энергия Е = 1 Дж. Найти поглощенную дозу и мощность поглощенной дозы в единицах СИ и во внесистемных единицах.
В ткани массой 10 г поглощается 109 а-частиц с энергией Е = 5 Мэв. Найти поглощенную дозу. Коэффициент качества для а-частиц К = 20.
Мощность экспозиционной дозы 7-излучения на расстоянии 1 м от точечного источника составляет Рэкс = 2-10-7 Кл/(кг- •с). Определить минимальное расстояние от источника, на котором можно ежедневно работать по 6 ч без защиты, ПДДЭКС = 5 • •10-2 Дж/кг (в течение года). Поглощение 7-излучения воздухом не учитывать.
20 Федорова В. Н., Степанова Л. А.
Средняя мощность экспозиционной дозы в рентгеновском кабинете равна 6 • 10-12 Кл/(кг • с). Врач находится в кабинете в течение 5 ч. Какова его доза облучения за 6 рабочих дней?
На сколько градусов увеличится температура фантома (модели человеческого тела) массой 80 кг, если его теплоемкость 4,2 • 103 Дж/кг при дозе облучения 600 рад?
Какова ПД мощность экспозиционной дозы при постоянном облучении всего тела, если за 1 год норма составляет 0,17 бэр?
Какой толщины нужно взять материал, чтобы ослабить дозу рентгеновского или 7-излучения в 2 раза?
Определить предельно допустимые мощности дозы для обычного человека и профессионала, если соответственно ПДДэкв! = о,5 бэр, ПДДэкв2 = 5 бэр.
Литература
Антонов В.Ф.^ Черныш А.М.^ Пасечник В.И.^ Вознесенский С. А., Козлова Е.К. Биофизика. — М.: Владос, 2000.
Баврин И. И. Краткий курс высшей математики для химикобиологических и медицинских специальностей. — М.: Физматлит, 2003.
Белановский А.С. Основы биофизики в ветеринарии. — М.: ВО Агропромиздат, 1989.
Березовский В. А., Колотилов Н.П. Биофизические характеристики тканей человека. Справочник. — Киев: Наукова думка, 1990.
Блохина М.Е., Эссаулова И. А.. Макарова Г.В. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике. — М.: Дрофа, 2001.
Боголюбов В.М.^ Пономаренко ГН. Общая физиотерапия. — М., СПб. 1998.
Богомильский М.Р.. Ремизов А.Н. Кохлеарная имплантация. — М.: Медицина, 1986.
Бранков Г. Основы биомеханики. — М.: Мир, 1981.
Владимиров Ю.А., Рощупкин Д.И.. Потапенко А. Я., Деев А.И. Биофизика. — М.: Медицина, 1983.
Газенко О. Г.. Кальвин М. Основы космической биологии и медицины. — М.: Наука, 1975.
Глазер Р. Очерки основ биомеханики. — М.: Мир, 1988.
Губанов Н.И.. Утепбергенов А. А. Медицинская биофизика. — М.: Медицина, 1978.
Джанколи Д. Физика (в 2-х томах). — М.: Мир, 1989.
Дубровский В.И. Спортивная медицина. — М.: Владос, 1999.
Кортуков Е.В., Воеводский В. А., Павлов Ю.К. Основы материаловедения. — М.: Высшая школа, 1988.
Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. — М.: Физматлит, 2003.
Медицинская биофизика / под ред. Самойлова В.О. — Л.: из-во Военно-медицинской академии, 1986.
Мухарлямов Н.М. Клиническая ультразвуковая диагностика. — М.: Медицина, 1987.
Обрубов С. А., Сидоренко Е.И., Федорова В.Н., Дубовая Т.К., Дре- валь А. А. Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники. — М.: из-во РГМУ, 2001.
Пивоваров Ю.П. Гигиена и экология человека. — М.: изд-во РГМУ, 1999.
Политехнический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1989.
Пономаренко Г.Н. Электромагнитотерапия и светолечение. — СПб: Мир и семья, 1995.
Радиация, дозы, эффекты, риск. — М.: Мир, 1988.
Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. — М.: Высшая школа, 1987.
Справочник по элементарной математике, механике и физике. — М.: Акалис, 1995.
Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике. — М.: Высшая школа, 1987.
Ремизов А.Н., А.Г. Максина, А.Я. Потапенко Медицинская и биологическая физика. — М.: Дрофа, 2003.
Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики. — М.: Дрофа, 2002.
Роуэлл Г., Герберт С. Физика. — М.: Просвещение, 1994.
Словарь физиологических терминов. — М.: Наука, 1987.
Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1983.
Lehrvaterial Physik/Biophysik, Teil 1/ Bereich Medizin der Humbold Universitat, Institut fur medizinische Physik und Biophysik. 1986.
Ristanoyic D., Simonovic J., Vukovic J., Radavanovic R. Biofizika. Beograd. — Zagreb: Medicinska Knjiga, 1981. 354.
Приложения
Фундаментальные физические константы
Обоз-
Размерность
Константа
наче-
Числовое значение
и единица
физической
величины
Скорость света в вакууме
с
299 792 458
м/с
Магнитная постоянная
Мо
4тг • 10-7 = = 12,566 370 614 ...
10“7 Н/А2
Электрическая постоянная
so
(Мое2)’1 = = 8,854 187 817...
10-12 Ф/м
Гравитационная постоянная
G
6,672 59(85)
10-11 м3/(кг-с2)
Постоянная Планка
h
6,626 075 5(40)
10-34 Дж-с
в электрон-вольтах ^/{е}
4,135 669 2(12)
НГ15 эВ-с
Д/2тг
к
1,054 572 66(63)
10-34 Дж-с
в электрон-вольтах Я{е}
6,582 1220(20)
10“16 эВ-с
Планковская масса (hc/G)1^2
тР
2,176 71(14)
10-8 кг
Элементарный заряд
е
1,602 177 33(49)
10“19 Кл
Магнетон Бора ек/2те
Цв
9,274 0154(31)
10“24 Дж/Тл
Боровский радиус а/(4тгНоо)
ао
0,529 177 249(24)
10“10 м
Масса покоя электрона
те
9,109 389 7(54)
10“31 кг
Отношение заряда электрона к его массе
е
те
-1,758 819 62(53)
1011 Кл/кг
Классический радиус электрона о?а^
Те
2,817 940 92(38)
10“15 м
Масса покоя протона
тр
1,672 6231(10)
10-27 кг
Отношение массы протона
тр
1836,152 701(37)
к массе электрона
те
Масса покоя нейтрона
тп
1,674 9286(10)
10“27 кг
Масса покоя дейтрона
md
3,343 5860(20)
10-27 кг
Постоянная Авогадро
Атомная единица массы
Na
6,022 1367(36)
1023 моль-1
1 а.е.м. = — т(12С)= та.е.м.
а.е.м.
1,660 5420(10)
10-27 кг
Постоянная Фарадея
F
96 485,309(29)
Кл/моль
Универсальная газовая постоянная
R
8,314 510(70)
Дж/(моль-К)
Постоянная Больцмана RJNA
к
1,380 658(12)
10-23 Дж/К
Основные единицы физических величини их размерности в СИВнесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицамиСИ, отмечены кружком
Величина
Единица
Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение
Определение
Длина
L
метр
° астрономическая единица длины
° световой год
°парсек
м
а.е.
св.
год
ПК
Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды 1 а. е. = 1,49598 • 1011 м
1 св. год = 9,4605 • 1015 м
1 пк = 3,0857 • 1018 м
Время
Т
секунда
°минута
° час
°сутки
с
мин ч сут
Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующегопереходу
между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут = 86 400 с
Масса
М
килограмм
°тонна
° атомная единица массы
кг
т
а. е. м.
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма 1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655 • • 10“27 кг
Температура (термодинамическая)
0
кельвин
° градус Цельсия
к
°C
Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды
t^C = Т(К - 273,15
Количество вещества
N
моль
моль
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Продолжение
Величина
Единица
Определение
Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение
Сила электрического тока
I
ампер
А
Ампер равен силе неизме- няющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2•107 Н
Сила света
J
кандела
кд
Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540 • 1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср
Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований
Множитель
Приставка
Множитель
Приставка
наименование
обозначение
наименование
обозначение
1018
эксо
Э
ю-1
Деци
Д
ю15
пета
П
10“2
санти
с
1012
тера
т
1(Г3
милли
м
109
гига
г
1(Г6
микро
мк
10®
мега
м
10“9
нано
н
103
кило
к
10"12
ПИКО
п
102
гекто
г
1(Г15
фемто
ф
101
дека
Да
IQ-W
атто
а
Предметный указатель
Аберрация сферическая 347
— хроматическая 349
Абляция 499
Автоколебания 74
Автоволны 90
Аккомодация 353
Акустика 97
Анализатор 332
Анизотропия кожи 179
Альфа-распад 409
Апекскардиография 78
Апертура 365
Аппарат медицинский 290
Аппарат слуховой 121
Астигматизм 348
Апериодический разряд конденсатора 250
Аудиометрия 105
Аускультация 107
Баллистокардиография 78
Бета-распад 410
Биения 75
Биомагнетизм 518
Биомеханика глаза акустическая 358
Биопотенциал 223
Величина случайная 23
Вероятность случайного события 17
— безотказной работы 295
— доверительная 39
Вещества оптически активные
337
Вибрация 81
Видеоимпульсы 251
Вискозиметрия 157
Волновая функция 437
Волны когерентные 311
— механические 83
— поверхностные 89
— поперечные 84
— продольные 84
— пульсовые 192
— ударные 89
— электромагнитные 267
Волоконная оптика 343
Выборка 34
Высота тона 102
Вязкость динамическая 147
— кинематическая 152
— крови 147
Гальванизация 275
Гамма-излучение 412
Гемодинамика 187
Генератор 307
Гипотеза альтернативная 45
— нулевая 45
— статистическая 44
Гистограмма 36
Глаз близорукий 356
— дальнозоркий 357
—, строение 349
Глубина полупоглощения 126
Громкость звука 102
Группа событий полная 20
Давление звуковое 99
Датчик 298
—, чувствительность 299
Дарсонвализация 300
Декремент затухания логарифмический 70
Детекторы ионизирующего излучения 417
Деформация 163
—, тела, способы, изгиб 166
кручение 167
растяжение 163
сдвиг 166
Диамагнетики 514
Диатермия 279
Диатермокоагуляция 279
Динамокардиография 79
Диполь токовый 236
— электрический 231
Дисперсия случайной величины
26
— выборочная 37
— угловая дифракционной решетки 326
— импеданса 264
Дисторсия 348
Дифракция света 319
Дифракционная решетка 323
Диффузия 213, 214
Диэлектрики 202
Диэлектрическая проницае
мость 203
Длина волны 87
Доза излучения (поглощенная) 425
эквивалентная 426
экспозиционная 426
эффективная эквивалент
ная 428
Дозиметрия 425
Доплеровский сдвиг частоты 94
^Жидкость ньютоновская 147
— неньютоновская 148
Жидкокристаллическое состояние 213
Закон Бугера 453
— Бугера-Ламберта-Бера 455
— Вавилова 466
— Вебера-Фехнера 103
— Вина 375
— Гука 164
— Кулона 200
— Кирхгофа 373
— Малюса 332
— Мозли 396
— преломления 341
— ослабления рентгеновского излучения 399
— отражения света 340
— радиоактивного распада 407
— Рэлея 459
— Стефана-Больцмана 374
— Стокса 464
Заряд электрона 199
Звук 97
—, скорость 98
—, уровень интенсивности 101
Излучение индуцированное 484
— спонтанное 484
— космическое 404
— рентгеновское 392
— рентгеновское тормозное 394
— рентгеновское характеристическое 395
— тепловое 370
— Солнца 377
Иммерсия 366
Импеданс 261
— тканей организма 263
Импульс электрический 251
Индуктотермия 283
Инжектор 144
Ингалятор 145
Инверсная населенность 486
Интенсивность волны 88
Интенсивность отказов 295
Интерференция света 312
в тонких пленках 316
Интерферометр 315
Инфразвук 134
Испускательная способность 371
Источники когерентные 311
Кавитация 129
Капельница 159
Кинетокардиография 79
Колебания механические 64
— вынужденные 71
— гармонические 66
— затухающие 69
— свободные 64
— сложные 76
Колебания электромагнитные 247
— затухающие 249
Коэффициент корреляции 57
Коэффициент диффузии 215
— заполнения 253
— затухания 70
— качества 427
— ослабления массовый 399
— ослабления линейный 399
— отражения 100
— поглощения 372
— проницаемости мембраны 217
— пропускания 100
— распределения вещества 216
— усиления усилителя 303
Кривые равной громкости 104
Критерий хи-квадрат 53
— Вилкоксона 50
— Стьюдента 47
— Фишера 48
Лазера принцип действия 486
Лазер рубиновый 488
Лазер гелий-неоновый 489
Лазерного излучения характеристики 493
Линза 345
Лампа Минина 388
— Соллюкс 389
Лупа 360
Люминесценция 461
Люминесценции типы 462
Люминесцентный анализ 467
Магнетики 509
Магнитная индукция 204
Магнитная проницаемость 206
Магнитное поле 203
Магнитобиология 517
Магнитотерапия 280
Медиана 38
Мембраны биологические 208
—, функции 208
—, модели 211
—, структура 209
—, физические свойства 212
Метод измерения давления крови 194
Механические свойства тканей
кожи 178
костной ткани 177
мышечной ткани 180, 181
сосудистой ткани 182
Механотерапия 82
Микропроекция 367
Микроскоп
— интерференционный 315
— ультрафиолетовый 366
— электронный 367
—, оптическая система 362
—, увеличение 363
— полезное 366
Микрофотография 367
Мода 37
Модели механические 171
— кровообращения Франка 187
Модель черного тела 373
Модуль Юнга 164
— сдвига 166
Мощность дозы 429
Надежность медицинской аппаратуры 294
Намагниченность 513
Напряжение механическое 163
Напряженность поля электрического 201
Ожидание математическое 26
Оптика волоконная 343
— геометрическая 340
Острота зрения 357
Оценка интервальная 39
Отражение полное внутреннее
342
Ошибки первого рода 45
— второго рода 45
Парамагнетики 513
Переноса явления 213
Перехват Ранвье 229
Период колебаний маятника математического 69
пружинного 67
физического 69
Период полураспада 407
Перкуссия 107
Плоскость поляризации 330
Плотность ионизации линейная
412
Плотность энергии механической волны 88
— энергии электромагнитной волны 269
— объемная энергии 269
Плотность оптическая 456
Поглощение света 452
Ползучесть 169
Полигон 35
Поляризатор 330
Поляризация света
— при отражении и преломлении 333
— при двойном лучепреломлении 334
Плоскополяризованный свет 330
Поляриметрия 338
Полоса пропускания усилителя
305
Порог датчика 299
Порог тока неотпускающего 276
ощутимого 276
Порог слышимости 99
— болевого ощущения 99
Постоянная Планка 376
— распада 406
— солнечная 378
Потенциал действия 226
— покоя 225
Потенциал электрического поля
201
Предел датчика 299
Предел разрешения глаза 355
Предел разрешения микроскопа 364
— электронного 368
Прецессия 514
Призма Николя 335
Принцип Гюйгенса-Френеля 320
Проводники 202
Протезы кохлеарные 121
Процессы фотобиологические 471
Прочность 174
Прочности предел 175
Радиоактивность 402
Радиоимпульсы 251
Радиофармпрепараты 415
Радон газ 403
Разность хода волн оптическая 314
Разрешающая способность решетки 326
Разрушение 175
Распределение Больцмана 31
— нормальное 28
— экспоненциальное 31
— дискретных случайных величин 24
Рассеяние света 457
молекулярное 458
Регрессионный анализ 62
Резонанс 72
— электронный парамагнитный 520
— ядерный магнитный 522
Релаксация напряжения 170
Рентгенодиагностика 400
Рентгенолюминесценция 462
Рентгеноструктурный анализ
327
Рентгенотерапия 401
Реография 266
Ряд вариационный простой 34 — вариационный статистический 35
— интервальный статистический 36
Свет естественный 329
Светимость энергетическая 371
Световоды 343
Светолечение 387
Световоспринимающая часть глаза 353
Светопроводящая часть глаза 352
Связь обратная 74
Сейсмокардиография 80
Сердце-насос 191
Силовые линии 201
Скважность следования импульсов 252
Скорость волны 84
Событие достоверное 18
— невозможное 18
— случайное 15
События независимые 19
— несовместные 16
— противоположные 21
— равновозможные 17
Соотношения неопределенностей 438
Сопротивление волновое 99
— гидравлическое 155
— емкостное 259
— индуктивное 260
— резистора 257
Спектр гармонический 76
— дифракционный 325
— поглощения 474
— фотобиологического действия 475
Среда активная 486
Среднее выборочное 37
Среднее квадратическое отклонение 27
Стабилография 77
Статистика математическая 33
Счетчик Гейгера-Мюллера 418
Тело абсолютно черное 372
— серое 373
Тембр звука 102
Теплообмен человека 380
— за счет теплопроводности 381
— за счет конвекции 383
— за счет испарения 384
— за счет теплового излучения
385
Термография 379
Течение жидкости ламинарное
149
— турбулентное 151
Тимпанометрия 121
Ток импульсный 252
— переменный 256
— утечки 293
Тон 98
Транспорт активный 221
— пассивный 219
Торможение ионизационное 412
УВЧ-терапия 285
Угол зрения 354
— наименьший 355
— потерь диэлектрических 287
Удар звуковой 98
Ударный объем крови 190
Удельное вращение 337
Ультразвук 124
—, излучатели 124
—, приемники 125
Ультрамикроскопия 367
Уравнение волны плоской 86
— Бернулли 141
— Гольдмана-Ходжкина-Катца
225
— Ламе 183
— Нернста-Планка 219
— Ньютона 147
— Фика 217
— Шредингера 440
Уровень значимости 40
Уровень интенсивности 101
Усилитель 302
Условие нормировки 20
Угол Брюстера 333
Ухо наружное 112
— среднее 113
— внутреннее 117
Ферромагнетики 516
Флуоресценция 463
Фонокардиография 107
Фонофорез 132
Фосфоресценция 464
Фотогемотерапия 162
Фотоупругость 336
Формула (условие)
Брэгга-Вульфа 327
— Планка 376
— Пуазейля 154
— Томсона 248
— тонкой линзы 346
Франклинизация 283
Фронт волны 84
Функция распределения 24
Характеристика амплитудная усилителя 303
— частотная усилителя 304
Хемилюминесценция 466
Холод 386
Частота события 21
Число Рейнольдса 152
Шкала электромагнитных волн
269
Шприц 161
Шум 98
Эйнтховена теория отведений 239
Эквипотенциальные поверхности 231
Электрическое поле 200
Электробезопасность аппаратуры 293
Электроды 297
Электрография 237
Электропроводность тела человека 291
Электрофорез 275
Электропунктура 255
Электростимуляция 254
Эффект бинауральный 118
Эффект Доплера 91
Явление Тиндаля 458
Ядерный магнитный резонанс
523
Яма потенциальная 441
Федорова Валентина Николаевна
Профессор, доктор биологических наук, заведующая кафедрой медицинской и биологической физики Московского института медико-социальной реаби- литологии, профессор Российского государственного медицинского университета. Имеет тридцатилетний опыт преподавания физики в медицинском вузе. Область научных интересов: механические свойства кожи, разработка методов дифференциальной диагностики и оценки эффективности лечения по механическим свойствам кожи и других мягких тканей.
Степанова Людмила Анатольевна
Профессор, декан Московского института медико-социальной реабилитоло- гии. Имеет большой опыт в организации учебно-методического процесса при подготовке специалистов в области восстановительной медицины. Область научных интересов: объективизация методов оценки состояния здоровья человека при медицинской реабилитации.
Учебное издание
ФЕДОРОВА Валентина НиколаевнаСТЕПАНОВА Людмила Анатольевна
КРАТКИЙ КУРС МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙФИЗИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ РЕАБИЛИТОЛОГИИ.ЛЕКЦИИ И СЕМИНАРЫ
Редактор М.Б. Козинцова, И.Л. ЛегостаеваОригинал-макет: М.В. Башевой, А.М. СадовскийОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.01.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 39. Уч.-изд. л. 39,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0568-Х
9785922 105682
УДК 53.047:57(075.8)
ББК 22.3
ФЗЗ
Федорова В. Н., Степанова Л. А. Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии. Лекции и семинары: Учебное пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 624 с. - ISBN 5-9221-0568-Х.
Учебное пособие написано в соответствии с официальной программой по медицинской и биологической физике. Наряду с вопросами физики и биофизики пособие содержит вопросы теории вероятностей, математической статистики, корреляционного и регрессионного анализа. В основу пособия положен материал лекций и семинаров по курсу «Медицинская и биологическая физика». Отличительная особенность пособия — многие лекции имеют раздел, посвященный вопросам медицинской реабилитации.
Предназначается для студентов, преподавателей и аспирантов медицинских вузов, а также институтов физической культуры.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0568-ХISBN 5-9221-0568-Х© В. Н. Федорова, Л. А. Степанова,
ISBN 5-9221-0568-Х
ISBN 5-9221-0568-Х
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
План лекций 6
Лекции
Элементы теории вероятностей 14
Распределение случайных величин 23
Элементы математической статистики 33
Проверка статистических гипотез 43
Корреляционный и регрессионный анализ 56
Механические колебания 64
Механические волны 83
Акустика. Звук 97
Некоторые вопросы физики слуха 111
Ультразвук и инфразвук 124
Уравнение Бернулли и его следствия 138
Вязкость жидкости 146
Механические свойства тканей 163
Физические основы гемодинамики 187
Электричество и магнетизм 199
Физические процессы в мембранах 208
Биоэлектрические потенциалы 223
Диполь. Физические основы электрографии 231
Электромагнитные колебания 247
Переменный ток 256
Электромагнитные волны 267
Физические процессы, происходящие в тканях организма
под воздействием токов и электромагнитных полей 274
Некоторые вопросы медицинской электроники 290
Усилители. Генераторы 302
Интерференция света 310
Дифракция света 319
Поляризация света 329
Геометрическая оптика 340
Микроскопия 360
Тепловое излучение 370
Рентгеновское излучение 392
Радиоактивность 402
Дозиметрия 417
Элементы квантовой механики 436
Взаимодействие света с веществом 452
Люминесценция 461
Фотобиологические процессы 471
Лазеры. Лазерное излучение 483
Магнитные свойства вещества 509
Семинары
Производная функции 526
Неопределенный интеграл 533
Определенный интеграл 537
Дифференциальные уравнения 544
Элементы теории вероятностей 550
Случайные величины 554
Элементы математической статистики 560
Проверка статистических гипотез 567
Корреляционный и регрессионный анализ 575
Механические колебания и волны. Звук 581
Свойства жидкостей 589
Механические свойства тел и биотканей 592
Интерференция. Дифракция. Поляризация света 595
Оптическая система глаза. Микроскопия 599
Тепловое излучение 602
Рентгеновское излучение 605
Дозиметрия ионизирующего излучения 607
Литература 611
Приложения 613
Предметный указатель 616