Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Сейчас становится очевидно, что история создания общей теории реактивного движения работами И.В. Мещерского, К.Э. Циолковского, Т. Леви-Чивита и многих других известных ученых вовсе не заканчивается. Открываются большие перспективы в связи с развитием очередного витка этой области естествознания. Настоящая книга посвящена детальному и математически корректному изложению новых гипердинамических принципов.
Гипердинамика в самом общем виде может быть определена как научная концепция изучения движения тел с переменными массами, когда масса тела рассматривается в качестве новой обобщенной (лагранжевой) координаты наряду с другими обобщенными пространственными координатами движения.
Скорее всего, гипердинамика обязана своим появлением наличию трех основных факторов. Во-первых, осознанию того, что традиционная теория реактивного движения содержит в своей основе подход, который в конечном итоге приводит к противоречивым и неточным уравнениям движения и их решениям. Во-вторых, пониманию того, что уравнения реактивного движения должны включать в себя не только такие динамические величины, как переменную массу системы и скорость ее изменения, но также и ускорение изменения массы. В-третьих, накоплению огромного количества фактических данных об аномальных движениях в атмосфере и окружающем нас космическом пространстве.
По-видимому, впервые обратили внимание на обстоятельство, что с теорией реактивного движения происходит ’’что-то не то”, астрофизики в 20 — 30-х годах XX века в космогонических исследованиях проблемы эволюции звезд и, в частности, двойных звезд. Речь идет об известной дискуссии Дж. Джинса — Э. Брауна по решению космогонических задач, связанных с вековой убылью масс, интенсивностью излучения массы звездами и задачей двух тел с
убывающими массами. В основе дискуссии стоял кардинальный вопрос о правильном выборе уравнения движения тел с переменной массой (масса х ускорение = сила, либо скорость изменения количества движения = сила) и дальнейшем его использовании.
Серьезные замечания к существующей теории возникли у специалистов в период бурного развития реактивной и космической техники, когда из-за различного рода нестационарностей, турбулентных явлений в реактивных потоках расчетные траектории объектов заметно отличались от реальных. В дальнейшем сложные программы управления реактивными аппаратами строились, исходя из эмпирических данных в виде результатов измерений и обработки поступающей информации. Таким образом, имеются достаточно убедительные причины и глубокие предпосылки для корректировки и аргументированного обобщения теории реактивного движения.
Хотелось бы также обратить внимание, предваряя эту книгу, вот еще на что. Для создания гиперреактивного режима движения с дополнительной гиперреактивной силой тяги (например, с помощью космического летательного аппарата) могут пригодиться теоретические разработки в области ядерной электродинамики. Имеется в виду реальная возможность создания мощного ядерного двигателя на базе ядерного генератора, вырабатывающего электроэнергию за счет эффективного использования кинетической энергии зарядовых продуктов ядерного распада.
Простые расчеты показывают, что в ядерном электрогенераторе ядерная энергия в виде кинетической энергии зарядовых продуктов распада, которая затем преобразовывается в электромагнитную энергию, будет по этой схеме передаваться практически полностью, без особых потерь, подобно тому, как это происходит в ядерной бомбе, только без взрыва и различных разрушительных катаклизмов. Для образного представления работы ядерного генератора, чтобы была яснее тема обсуждения, приведем в качестве аналога работу лазерного (квантового) генератора в сравнении со светящим фонариком.
И последнее. Гиперреактивный космический аппарат с двигателем на ядерном электрогенераторе способен развивать колоссальную скорость порядка 30 000 км/с, т.е. 1/10 скорости света. До Луны этот аппарат ’’доберется” за 12,85 с, до Венеры — за 0,4 ч, до Марса — за 0,7 ч, до Юпитера — за 5,8 ч, до Сатурна — за 11,8 ч, до Урана — за 25 ч, до Нептуна — за 40 ч, до Плутона — за 53 ч. Итак, за двое суток полета гиперреактивный космический аппарат сможет достигнуть окраин Солнечной системы.
В. Тертичний-ДауриВ. Тертичний-Дауриг. Санкт-Петербург, 2003 г.
В. Тертичний-Даури
В. Тертичний-Даури
Введение
Книга посвящена исследованию задач, связанных с движением механических систем, масса которых меняется со временем. Эта книга о реактивном движении и о механизмах реализации этого движения.
История реактивной механики насчитывает не одну сотню лет; история эта богата наивными представлениями и глубокими заблуждениями, острыми идейными столкновениями, яркими интуитивными догадками. Часто общественный интерес, вызванный техническими достижениями на этом нелегком пути, сменялся полным забвением и длительным отсутствием всякого внимания к вопросам реактивного движения.
Особенно примечательна история решения важнейшей задачи о вычислении силы реакции текущей жидкости. Д. Бернулли в результате точных расчетов получил для этой силы величину, в два раза превышавшую результат, выведенный И. Ньютоном. Несмотря на то, что опытные данные подтверждали теорию вод Д. Бернулли, последний все же изменил свое мнение в пользу И. Ньютона, возможно, в силу его огромного авторитета.
Гидродинамической модели Д. Бернулли можно при соответствующих обозначениях придать форму записи, сходную с записью уравнений движения точки переменной массы с удвоенным значением реактивной силы. В дальнейшем мы покажем, что такой первоначальный вариант гидродинамической модели Д. Бернулли является частным случаем гиперреактивного уравнения движения. Налицо удивительная общность в описании закономерностей осуществления различных процессов, в которых присутствуют реактивные проявления. Объяснить это можно, прежде всего, тем, что гиперреактивное уравнение динамики базируется на принципе полноты, учитывающем в полной мере характер изменения массы системы.
Дальнейшие достижения в области механики тел переменной массы и ракетостроения связаны с именами выдающихся отечественных ученых И.В. Мещерского и К.Э. Циолковского. Первый обосновал вывод уравнения реактивного движения на основе классического представления о количестве движения материальной точки, второй — выход в открытый космос с помощью ракет-носителей. И.В. Мещерский
писал [229]: ”В то время как ракета летит вверх, масса ее уменьшается вследствие сгорания того горючего вещества, которым она начинена. Силы, действующие на ракету, суть: сила тяжести, сопротивление воздуха, давление газов, развивающихся при горении движущегося состава, и прибавочная сила, если принять во внимание, что сгорающие частицы отрываются с некоторою относительною скоростью”. Учет последней, реактивной силы особенно важен в динамике тел переменной массы.
В ранних работах по гиперреактивной механике [327, 328, 330] была предпринята попытка ввести в динамический анализ систем с переменной массой величины, которые бы зависели не только от скорости изменения, но и от ускорения изменения массы во времени. Принципиальная реализация такого учета стала возможной лишь благодаря введению нового понятия — полного (обобщенного) импульса материальной точки. Полный импульс точки включает в себя все скоростные компоненты движения, т.е. скорости изменения всех обобщенных (независимых) лагранжевых координат, описывающих движение точки — скорость изменения положения и скорость изменения массы. Из принципа полноты естественным образом возникла гипердинамика.
Настоящая книга построена по той же схеме, что и две предыдущие книги автора ’’Адаптивная механика” и ’’Стохастическая механика”: она состоит из четырех частей, где первая — вводная обзорная часть; вторая и третья — авторские исследовательские разработки; четвертая часть — приложение вместе с задачами и упражнениями. Кратко остановимся на каждой из частей.
Обзор сопровождается обширным историографическим очерком (глава 1) важнейших этапов развития реактивной механики. В главе 2 основное внимание уделяется классическим моделям в механике тел переменной массы, господствующим в современном научном представлении, несмотря на очевидные неточности и неполноту такого традиционного описания. Глава 3 посвящена механике космического полета и ракетодинамике как прямому практическому следствию теоретических достижений. В главе 4, ’’экстремальной” по своему материалу, в качестве своеобразного дополнения к реактивной и ракетокосмической тематике выступают различные вариационные проблемы вместе с обзором ряда известных работ, в которых их авторы предлагают приближенные и точные методы решения экстремальных космодинамических задач.
Во второй части собраны результаты по гиперреактивной теории, имеющие важное обще динамическое значение, поскольку именно на них основаны теоретические выводы и практические рекомендации для конструирования новых, более эффективных космических и энергетических установок.
В главе 5 вводится основной гиперреактивный принцип — прин-
цип полноты, обосновывается уравнение гиперреактивного движения, рассматриваются задачи Циолковского в гиперреактивной постановке и различные режимы гипердвижения. Общий вывод таков: динамическая система с параметрами, испытывающими временной дрейф (точка, тело переменной массы, очевидно, также относятся к этим системам), описывается уравнениями движения, в которых эти параметры играют роль независимых переменных.
Динамика объекта при этом приобретает своего рода ’’параметрическую особенность”, а полное количество движения имеет дополнительное слагаемое, включающее скорость изменения этого параметра. Данное обстоятельство приводит к появлению (помимо кинетической и потенциальной энергии) нового специфического вида энергии — параметрической энергии.
Введение в анализ новых гиперреактивных сил с помощью уравнения гиперреактивного движения было вызвано новым структурным подходом к понятию импульса точки с переменной массой. В данном материале, который носит исследовательский и обобщающий методологический характер, представлены уравнения и расчетные формулы, позволяющие в наиболее полной и точной форме описать движение нестационарной гипердинамической системы.
Глава 6 объединяет результаты по решению различных задач гиперреактивной механики относительно: 1) энергетических преобразований, связанных с вариационным интегралом и соответственно с вариационным принципом Гамильтона; 2) движения в центральном поле тяготения и 3) управляемого гипердвижения в центральном поле.
В главе 7 сформулированы и доказаны основные теоремы гиперреактивной механики для тела переменной массы, включая теоремы об изменении: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии, и ряд других (теорема о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента в подвижной системе координат).
Глава 8 знакомит с элементами релятивистской гиперреактивной механики. Сюда вошли некоторые сведения по четырехмерной механике специальной теории относительности, а также осуществлен вывод основных уравнений релятивистской гипердинамики и обоснована аналитическая динамика релятивистской гиперреактивной точки в различных обозначениях (канонических, релятивистских и гиперреактивных).
Третья часть посвящена решению важнейших задач ядерной электродинамики (ядерный электромагнитный генератор) и кибернетической физики (ядерная кинетика, стабилизационные и идентификационные процедуры в адаптивной ядерной кинетике). Отметим, что под кибернетической физикой в настоящее время понимается то синтетическое научное направление, в котором рассматриваются задачи управления протеканием различных физических процессов.
Предметом исследования главы 9 является изучение собственных полей и движения заряженных частиц, а также заряженных осколков деления тяжелых ядер в нерелятивистском приближении. Основные усилия сосредоточены на поиске компонентов зарядовой части при радиоактивном /З--распаде. Получены соответствующие полевые уравнения и уравнения движения в процессах ядерной электродинамики и найдены их решения. Анализ микроскопических уравнений: 1) обобщается до уровня макроскопического описания электродинамики сплошных сред и 2) сопровождается некоторыми квантовомеханическими дополнениями.
В главе 10 речь идет о некоторых вопросах нейтронной и зарядовой кинетики, включая стохастические задачи при наличии малых случайных возмущений и диффузию нейтронов в тороидальном ядер- ном электрогенераторе. В главах 11 и 12 предложены стабилизационные и фильтрационные схемы решения задач управляемой адаптивной ядерной кинетики.
Остановимся кратко на четвертой части книги в виде Приложения, содержащего различный справочный материал. Укажем попутно на список работ в дополнение к той литературе, ссылки на которую имеются в Приложении. Приложение 1 включает теоретический материал и задачи по механике космического полета и небесной механике (подробные сведения см. в [3, 9, 13, 14, 26, 32, 33, 51, 56, 68, 82, 100, 106, 103, ПО, 111, 115, 119, 134, 145, 152, 168, 172, 178, 182, 195, 196, 221, 226, 232, 264, 279, 287, 296, 299, 308, 376, 415, 419, 425, 429-431, 442]). Выделим также некоторые книги по механике переменной массы [151, 176, 183, 229] и примыкающие к механике космического полета работы по ракетным двигателям [10, 64, 71, 77, 88, 120, 158, 199, 222, 225, 235, 254, 260, 262, 282, 351, 393, 405].
Вопросам специальной и общей теории относительности посвящена огромная литература. Для Приложения 2 была отобрана лишь небольшая часть, имеющая, в основном, учебно-методическую, фундаментальную направленность. К перечисленному в Приложении 2 списку можно добавить также работы [49, 56, 74, 135, 156, 179, 184, 212, 219, 273, 286, 289, 346, 408]. Тем, кто интересуется квантовомеханическим описанием движения в микромире (Приложение 3), можно порекомендовать дополнительно также книги [39, 40, 43, 72, 144, 231, 253, 312, 318].
Для более эффективного изучения вопросов прохождения цепных ядерных реакций в направленных электромагнитных полях и управления формируемым при этом кинетическим процессом образования зарядового и нейтронного потоков в конце четвертой части отдельно выделено Приложение 4. Различным проблемам ядерной физики, включая вопросы о свойствах ядер, радиоактивности, моделях ядерных оболочек, ядерных взаимодействий, посвящены многочисленные
исследования отечественных и зарубежных специалистов. Отметим лишь некоторые из этих работ, сведения из которых использовались в этой книге [1, 5, 15, 23, 24, 52, 53, 61, 62, 70, 93, 112, 125, 159, 162, 174, 185, 211, 238, 244-246, 259, 288, 314, 322, 348, 359 365, 368, 394-396, 401, 436].
Что же касается физики элементарных частиц, их взаимодействия с электромагнитным полем и другими телами, то подробную информацию по этим и близлежащим вопросам можно получить из некоторых специальных научных изданий [8, 16, 18, 75, 84, 95, 149, 165, 167, 169, 170, 190, 207, 230, 239, 240, 242, 249, 256, 257, 271, 281, 284, 293, 311, 321, 326, 344, 357, 367, 392].
Особое значение придается в книге развитию теории нейтронной и зарядовой кинетики в ядерных электрогенераторах. Более подробно с кинетикой ядерных реакторов можно познакомиться, например, по работам [65, 73, 83, 107, 161, 280, 349, 358, 370]. Кого волнуют задачи по кибернетической физике и вопросы по целенаправленному управлению физическими процессами, можно направить к специальной литературе, включающей, например, следующие издания [7, 58-60, 129, 130, 180, 278, 305, 427].
Подведем общий итог. Скорее всего эпоха ракетного (теплового и химического) развития космонавтики будет постепенно подходить к своему естественному концу, уступая место новому этапу. На смену должна, на наш взгляд, прийти эпоха гиперреактивного развития. Данный этап будет связан с созданием космических аппаратов с двигателями, работа которых будет основана на нетепловых, физических принципах действия. Это не досужие вымыслы автора гиперреактивной теории, предпочитающего облекать некоторые идеи в форму мистифицированных и гипотетических гиперреактивных моделей новых космических аппаратов будущего. Просто логика научнотехнического развития подсказывает, что ракетная техника, основанная на малоэффективных химических превращениях, практически полностью себя исчерпала. В самом деле, наивно полагать, что с помощью тепловых ракетных установок человечеству удастся покорить бескрайние космические пространства. Кроме того, жесткая логика математико-механических причинно-следственных конструкций также требует критического подхода ко многим устаревшим и неверным представлениям о самой природе реактивного движения во всем ее изначальном философском и физическом смысле.
В заключение выражаем искреннюю надежду на заинтересованного читателя этой книги среди широкого круга специалистов, студентов и аспирантов в области механики реактивного движения, ракетной техники, небесной механики, космодинамики, ядерной физики и атомной энергетики, кибернетической физики, прикладной математики и многих других смежных отраслей современного естествознания.
Список обозначений и сокращений
Основные обозначения
Л = кагз^пхт — матрица размерности п х т (п строк и т столбцов) с элементами а^-, % = l,n, j = 1,т.
Rn — вещественное евклидово пространство размерности п.
х Е Rn — вещественный n-мерный вектор-столбец, х* = (ад, ад, •••, ад) — вектор-строка, * — знак транспонирования.
х*у = (ж, у) = ^1=1 хгУг — скалярное произведение n-мерных векторов х и у.
| х | = (т*^)1/2 — модули (длина) вектора х.
х х у — векторное произведение n-мерных векторов х и у.
det А — определитель квадратной матрицы А.
5J — вариация функционала J.
А-1 — матрица, обратная к квадратной матрице А, А+ — матрица, псевдообратная к прямоугольной матрице А.
I — единичная матрица.
5ij — символ Кронекера, 5ц = 1, &%з = 0 при г ^ j.
sup { х Е X } — точная верхняя грань величин х Е X; inf { х Е X } — точная нижняя грань величин х Е X.
lim (lim) — верхний (нижний) предел.
gradT/(ж,т) = Vt/(t,t) — градиент по т функции (вектор-функции)
D, = ^ ^- — ^-, г = l,n, t > О — дифференциальный оператор Эйлера-Лагранжа (оператор вариационного дифференцирования) по обобщенной координате q^.
Sh = fto Ь(’) dt — действие (функционал действия) по Гамильтону, L = Т + U — функция Лагранжа, Т — кинетическая энергия, U — потенциал поля внешних сил, — U = П — потенциальная энергия.
х (xr, хп) — скорость точки с радиальной хт и трансверсальной хп составляющими.
^ос — скорость точки на бесконечности (т.е. когда точка неограниченно удалена от притягивающего центра).
Ф(т, у, z, t) — волновая функция в пространственных переменных х, у, z и времени t.
^ ” "lx "ly "lz — оператор Гамильтона в пространственных переменных X, у, Z.
А = V2 = ^2 + ^т + ^2 — оператор Лапласа.
diva = ^L + ^^ + ^T ~ (^’ а) —дивергенция трехмерного векторного поля а (ах, ayi az\
rot a = V х a — ротор векторного поля а.
Ст [to, К ] — множество непрерывно дифференцируемых порядка г > 1 функций на промежутке времени [to, ti ].
Н2 [to, В ] — множество вектор-функций f (t) Е С [to, В ], для которых
С । / со I2 ^ < °°-
[Л, В] = АВ — В А — коммутатор операторов Л и В.
Л, В } = АВ + В А — антикоммутатор операторов Л и В со скалярным произведением.
Л, В } = Л х В - В х Л — перестановочная форма операторов А и В с векторным произведением.
Основные сокращения
КА — космический аппарат.
СТО — специалвная теория относителвности.
ОТО — общая теория относителвности.
РТГ — релятивистская теория гравитации.
Часть I
Задачи и методы исследования реактивного движения механических систем
Глава 1
Очерк развития теории реактивного движения
Первая часть книги носит всецело обзорный характер. Предполагается, что она поможет естественным образом войти в круг обсуждаемых вопросов, посвященных в общем-то одной большой теме — реактивному движению. Рассматриваемый в дальнейшем перечень вопросов не ограничивается выяснением лишь природы реактивности; он намного шире и включает в себя смежные задачи космодинамики и ракетостроения, управления полетом и энергетическими двигательными установками, а также конструирования мощных физических ускорителей.
Первая глава посвящена истории вопроса о самом предмете реактивного движения материальных систем. Как известно, история эта насыщена многими, зачастую наивными и противоречивыми, гипотезами, представлениями, теориями, в разработку которых свой вклад внесли многие выдающиеся механики и математики далекого и недавнего прошлого. Включение этого материала в книгу представляется вполне логичным, поскольку в ней излагаются основы новой корректной, обобщенной и универсальной гиперреактивной теории.
Острый интерес к механике реактивного движения (механике тел переменной массы) объясняется довольно простой причиной: в
данный момент человеку известен лишь один способ освоения космического пространства — ракетно-реактивный. Если связать будущее развитие нашей цивилизации с широким проникновением в космические просторы, то становится понятным приоритетное внимание, которое уделяется в наиболее развитых странах мира раке- тодинамике и разработке космических летательных аппаратов. Вот почему так важно дать верные теоретические ориентиры в космической науке и указать на средства достижения сверхвысоких скоростей. Без соответствующего критического осмысления исторического опыта, без анализа труда предшественников сделать это практически невозможно.
При написании главы использовался научно-исторический материал, опубликованный в книгах [99, 214, 215, 233, 302, 330, 406]. В главе показана ретроспектива этих работ в хронологическом порядке. В § 1.1 дается сжатое описание ранних представлений о сути такого явления, каким является реактивное движение. Упоминаются имена различных ученых, так или иначе связанных с многочисленными попытками уяснить смысл реактивного процесса и с первоначальными разработками в этом направлении.
1.2 посвящен изучению реактивных движений в гидродинамике. Много места уделяется истории вопроса гидродинамического взаимодействия идеальной жидкости с сосудом.
касается разработок первых математических теорий движения ракет и разнообразных систем переменной массы. В последнем § 1.4 главы рассматриваются работы по учету реактивности в задачах небесной механики, в частности, движения комет, двух небесных тел с переменными массами, движения за счет выпадения метеоритов и космической пыли, излучения масс звездами и др.
Ранние представления
о природе реактивного движения
В XVIII и XIX веках расчеты движения механических систем с переменной массой, а также составление общих уравнений механики этих систем производились неоднократно. По причине еще достаточно слабых научных связей не соблюдалось в должной мере теоретическое закрепление полученных результатов. Поскольку основные прикладные задачи были поставлены перед разработчиками динамики систем с переменной массой лишь в середине XX века, предшествующие исследования носили не системный, а скорее инициативный характер. Надо отметить, что периоды резкого повышения интереса к системам с переменной массой чередовались
с практически полным безразличием к ним. Так, например, идея гидрореактивного судостроения возникла в XVIII веке в связи с поисками средств беспарусного плавания, вызванными быстрым ростом торгового и военного флота, а также освоением новых земель. Но она не была доведена до реального использования по причине успешного внедрения парового судостроения. Далее, в первой половине XIX века возросло внимание к теории движения пороховых ракет в качестве боевых средств, но затем оно упало из-за появившейся на вооружении дальнобойной и высокоточной нарезной артиллерии. Только накануне второй мировой войны вновь появился интерес к задачам ракетодинамики.
Реактивное движение тел за счет истечения из них жидкости или газа было известно еще в античные времена. Герои в своей ’’Пневматике” (I век н. э.) описал, в числе других различных технических игрушек, реактивную вертушку ’’эолипил”, вращающуюся под действием струи пара. В Древнем Китае были известны пороховые ракеты. В эпоху Возрождения знакомство с героновыми игрушками и пиротехникой породило ряд утопических идей об устройстве некоторых средств передвижения с помощью реактивных двигателей. Но реалистические представления о реактивном использовании водяных или газовых струй в практической деятельности появились значительно позже.
Быстрое развитие социально-экономических факторов в обществе обусловило начало научно-технической революции в XVII веке. Однако в этот период еще не встречается обоснованных описаний машин, использующих реакцию струй. В сборнике итальянского механика Дж. Бранки ’’Машины” (1629 г.) помещены рисунки различных водяных машин типа простейших водяных турбин, использующих в основном вес, т.е. потенциальную энергию сливающейся воды и лишь в незначительной мере — реакцию вытекающей жидкости. Надо отметить, что ракетному делу в XVII веке была посвящена значительная техническая литература. Можно в этой связи указать на обширный трактат польского артиллериста К. Семеновича ’’Первая часть великого искусства артиллерии” (1650 г.).
Природа реактивного движения и сил, вызывающих движение ракеты, до середины XVII века оставалась не совсем понятной . Во второй половине века Э. Мариотт во Франции и И. Ньютон в Англии дали первые объяснения этому явлению, придерживаясь двух различных точек зрения на механизм реакции вытекающей струи. Приступить к изучению данных явлений оказалось возможным, так как в это время появился закон равенства действия и противодействия. При изучении становления механики в XVII веке этому закону, как правило, не придают большого значения. Обычно этот
закон приписывается исключительно И. Ньютону. Однако понятие о нем можно обнаружить уже в некоторых работах первой половины XVII века. Например, в трактате Д. Риво ’’Элементы артиллерии” (1605 г.) есть утверждение: ’’Пушка откатывается в то же время, что она стреляет”. Пояснения к нему дают авторское истолкование причины отката орудий при выстреле, близкое к понятию о равенстве действия и противодействия. Иногда в качестве предшественников Ньютона указывают Дж. Баллиани и Р. Декарта. В середине XVII века этот закон для случая непосредственного взаимодействия тел неявно присутствует в работах Дж. Уоллиса, X. Гюйгенса и К. Рена по теории удара, а также в работах Э. Мариотта.
В 70-х гг. XVII века Мариотт, исходя из теории соударения тел, в общем правильно объяснял откат орудий при вылете снарядов и позже проверял свои выводы на экспериментах по стрельбе пулями из пистолетов. Одновременно с этим он объяснял реакцию вытекающей струи отталкиванием от воздуха или от воды, если струя вытекает в резервуар с водой, без рассмотрения взаимодействия струи с емкостью, из которой она вытекает. Аналогично этому Мариотт считал, что движение ракет определяется отталкиванием или ударом струи вытекающего газа (’’пламени”) о наружный воздух. Рассуждая об откате орудий, он отмечает, что ’’хотя бы пушка была заряжена только порохом, она не преминет откатиться, так как при взаимодействии воздуха и выходящего пламени последнее сжимается и приводится в упругое состояние и оно пользуется также упругостью воздуха как опорой для отталкивания пушки назад примерно таким же образом, как весло упирается в воду для продвижения лодки. Сходный эффект виден также в ракетах, пламя которых, ударяющее стремительно воздух, дает телу ракеты движение назад”. Неверная в основе своей точка зрения Мариотта долгое время имела своих сторонников, хотя его аргументация и не давала каких-либо количественных оценок движущей силы ракеты. Из французских последователей Мариотта в первой половине XVIII века упомянем А. Фрезье, автора издававшегося несколько раз ’’Трактата о фейерверках для зрелищ”.
Общепринятая классическая формулировка закона равенства действия и противодействия была дана И. Ньютоном в его ’’Началах натуральной философии” в качестве третьего закона движения: ’’Действию всегда есть равное и противоположное противодействие (’’reactio”); иначе, действия двух тел между собой всегда взаимно равны и направлены в противоположные стороны”. В предложении XXXVII первого издания ’’Начал” (1687 г.) Ньютон рассмотрел движение вытекающей через отверстие в сосуде воды и пришел к выводу, что скорость истечения равна скорости тела, которое свободно
падает с высоты, равной половине ’’напора воды” (высоты столба воды) над отверстием. При доказательстве делается предположение: ’’Если сосуд будет наполнен водой и продырявлен в дне так, чтобы вода вытекала из отверстия, то очевидно, что сосуд будет испытывать вес всей воды, за исключением веса той ее части, которая отвесно возвышается над отверстием”. Затем Ньютон дал первую количественную оценку силы реакции горизонтально вытекающей струи, которая оказалась наполовину меньше, чем оценка, полученная им в дальнейшем.
Эта оценка Ньютона, в отличие от теории Мариотта, отражала в целом правильный подход к выяснению причин возникновения силы реакции как силы взаимодействия струи с сосудом. Отметим, что в сохранившихся экземплярах первого издания ’’Начал”, содержащих правку Ньютона, текст предложения XXXVII исправлен следующим образом: ’’Ведь будет снято давление, которое достаточно для порождения движения истекающей воды, а это давление равно удвоенному весу столба воды”. В первом издании ’’Начал” Ньютон дал также свое объяснение движению ракет как движению начиненных порохом шаров, увлекающихся в процессе извержения вещества с пламенем через сделанное в них отверстие в сторону, противоположную направлению пламени.
В последующих двух изданиях своего труда Ньютон переработал раздел, посвященный истечению воды из отверстий. При этом он опустил всякие упоминания о силе реакции вытекающей струи воды, ограничившись одним замечанием: ’’Сила, которая может породить все движение низвергающейся воды, равна весу цилиндрического столба воды, основание которого есть отверстие ЕЕ и высота 2GI или 2СК. Ведь извергающаяся вода за то время, пока она сравнивается с этим столбом, может приобрести, падая под действием своего веса с высоты GI, ту скорость, с которой она вытекает”. Здесь ЕЕ — отверстие, через которое происходит истечение жидкости, GI = СК — ’’напор воды” над отверстием с учетом скоростного потока, поступающего сверху для поддержания постоянного уровня воды в сосуде. Объяснение движущей силы вытекающей струи, равносильное данному Ньютоном в 1687 г., получило широкое распространение в XVIII веке во всей Европе. Ссылки на Ньютона не встречаются, но используются его аргументы: сила давления жидкости или газов действует одинаково во все стороны, и движущая сила возникает за счет отсутствия противодействия со стороны отверстия, через которое извергается вещество.
При исследовании движения ракеты аналогичные, но менее четкие рассуждения проводит французский математик Ф.де Лагир. Остановившись в своем мемуаре ”О влиянии упругости воздуха в
пушечном порохе и в молнии” (1702 г.) вначале на причине отката орудий, Лагир далее пишет: ’’Летающая ракета представляет собою не что иное, как маленькую, очень легкую пушку, которая вследствие усилия содержащегося в ней зажженного вещества совершает свой откат в воздухе со стороны своего замка с такой скоростью, которую зажженное вещество имеет при выходе через отверстие, обращенное вниз. Этот откат есть подъем ракеты”. Через 40 лет, делая ссылки на Лагира, Ж. Бюффон, однако, определяет в качестве движущей силы ракеты, наряду с неуравновешенным внутренним давлением, также отталкивание ракеты от воздуха струей горячего вещества.
Сходные высказывания имеются также и у голландского физика В. Схавесанде (1721 г.), исследовавшего движение тележки под действием реакции струи выходящего пара и подъем пороховых ракет в своем трактате ’’Математические элементы физики”. Рассмотрев сначала действие выходящей струи пара в приборе, подобном ге- роновому ’’эолипилу”, Схавесанде объясняет движение тележки и ракет так: ’’Сильно сжатый пар стремится разойтись равно во все стороны, и поэтому противоположные давления взаимно уничтожаются, а на открытое отверстие выходящий пар не давит; следовательно, с одной стороны некоторое давление снимается и противоположное преобладает, так что тележка движется. Зажженные трубки, начиненные порохом, увлекаются вверх, поскольку зажженный порох приобретает упругость и частицы его стремятся разойтись куда бы то ни было; так как с одной стороны труба открыта, давление в трубе становится меньше в эту сторону и поэтому противоположное преобладает”.
Во второй половине XVIII и в начале XIX веков изложенное представление о движении ракет связывалось также с именем английского физика Дж. Дезагюлье, который изложил его в 40-х гг. XVIII века в ’’Курсе экспериментальной философии”. Он указывает, что многие авторы ошибочно полагают, будто ракета движется, отталкиваясь от воздуха, в то время как на самом деле ракета поднимается в пустоте легче, а воздух лишь препятствует ее движению. Согласно Дезагюлье, если в закрытой подожженной ракете развивается давление, например, в 40 фунтов в каждую сторону, то при открытии выходного отверстия давление со стороны этого отверстия снимается и ракета будет продвигаться в противоположную сторону силой в 40 фунтов. Аргументация, приведенная Дезагюлье, часто приводилась в дальнейшем многими исследователями. Например она встречается в известном английском ’’Математическом и философском словаре” Ч. Хаттона (1795 г., 1815 г., статья ’’Ракета”) и в работе французского военного инженера Ж.Ф.де Монжери
’’Трактат о военных ракетах” (1825 г.). Однако в начале XIX века многие еще не пришли к окончательному согласию с точкой зрения Ньютона-Дезагюлье, продолжая приводить и альтернативные соображения Мариотта. Это хорошо видно на примере энциклопедии Э. Риса (1819 г.), где автор, изложив гипотезу Дезагюлье, добавляет: ’’Хотя в приведенных выше рассуждениях имеется некоторое остроумие и правдоподобие, мы никоим образом не склонны принять их правильность”. Далее автор соглашается с равенством действия пороховых газов во все стороны лишь в закрытой ракете, но утверждает, что все это мгновенно утрачивает силу, как только пламени дается выход; кроме того, ракета не смогла бы двигаться в вакууме в силу отсутствия реакции окружающего воздуха.
Точка зрения Мариотта встречается и в более поздних сочинениях. Например, М.М. Силич в ’’Руководстве к преподаванию артиллерии в Императорской Военной академии” (1843 г.) утверждает, что ’’воздухообразная жидкость, при горении состава образующаяся, упираясь в воздух, сообщает ракете движение”. Это высказывание было подвергнуто критике рецензентом ’’Артиллерийского журнала”, который писал в 1844 г.: ’’Так думали прежде, хотя уже в 1751 г. Дезагюлье доказал, что ракета от одного действия форсо- вого состава приобретает движение и что это движение произошло бы и в безвоздушном пространстве”. ’’Точно таким же образом, — поясняет рецензент, — совершается и откат орудия”.
В середине XIX века причины движения ракет становятся более понятными. В учебном пособии ” О боевых ракетах” (1856 г.) [171] К.И. Константинов пишет: ’’При зажжении движущего ракетного состава образуются газы, производящие давление во все стороны и устремляющиеся огненною струею из открытой части ракеты. Давления, происходящие на внутреннюю боковую поверхность гильзы, взаимно уничтожаются; давление же на часть глухого состава, противоположную выходу газов, ничем не уравновешенное, побуждает ракету к движению по направлению ее длины”. И затем он продолжает: ’’Устремляющиеся из ракеты газы встречают в воздухе некоторое сопротивление и в этом прежде видели причину движения ракеты. Мнение это не имеет никакого основания, как то, между прочим, доказывает известный физический опыт приведения газами в движение сегнерова колеса в безвоздушном пространстве. Но не менее того сопротивление, которое воздух оказывает истечению газов из ракеты, имеет влияние на ее движущую силу, ибо от упомянутого сопротивления увеличивается упругость газов внутри ракеты”.
Данная работа находится как бы на грани между старыми качественными рассуждениями о природе движения ракет и строгой
количественной теорией этого движения. Константинов, внесший существенный вклад в усовершенствование боевых ракет, писал в начале 60-х гг. того века об исследованиях в области ракетной техники: ’’Факты эти составляют только результаты наблюдений, но они указывают уже возможность математической теории конструкции и стрельбы ракет, одним словом — возможность баллистики ракет. Но это наука, которую еще надобно создать”. Надо отметить, что интерес к развитию теории движения ракет был в 60-х гг. XIX века полностью потерян в связи со снятием ракет с вооружения из- за успешного внедрения появившейся тогда нарезной артиллерии. Боевые ракеты были забыты вплоть до второй мировой войны.
Изучение реактивных
гидродинамических движений
Основы теории движения идеальной жидкости в трубах и при истечении из сосудов были заложены в конце 20-х гг. XVIII века Д. Бернулли и Л. Эйлером. В своих исследованиях они исходили из закона сохранения ’’живых сил” (vis viva). Этот закон встречается у X. Гюйгенса, И. Ньютона, Г.-В. Лейбница, Д. Бернулли в разных формулировках. Начала учения о силе давления и реакции вытекающей струи жидкости относятся ко второй половине XVII века и связаны с именами И. Ньютона и Э. Мариотта. Мариотт полагал, что давление струи при истечении из отверстия равно весу столба жидкости, имеющего площадь поперечного сечения струи (отверстия) и высоту, соответствующую напору жидкости в сосуде над отверстием. Записывая это соотношение в виде формулы, получим для силы давления струи следующее выражение:
Р =
где у — объемный вес жидкости, ш — площадь отверстия, из которого вытекает струя, Н — напор (высота столба) жидкости над отверстием. Если воспользоваться формулой Торричелли для скорости истечения
V = ОднУ'У (1.1) где д — ускорение силы тяжести, то предыдущую формулу можно записать в виде
Р=^, (1-2) где через р обозначена плотность жидкости. Эта формула, соответствующая начальному ньютонову определению силы реакции струи, была исправлена в 30-х гг. XVIII века Д. Бернулли.
Д. Бернулли, всесторонне исследовавший взаимодействие тел с потоком жидкости, вначале не пришел ни к какому окончательному выводу о силе давления струи. В работе ”О действии жидкостей на твердые тела и движении твердых тел в жидкостях” (1727 г.), в первой части ”О давлении текущих вод” Бернулли получил, вычислив количество движения жидкости в струе, уничтожаемое при ударе струи о препятствие за единицу времени, соотношение, равносильное формуле
Р = 2pwv2, (1.3)
но тут же пояснил, что другие предположения приводят к другим результатам. Так например, гипотеза о неупругих частицах жидкости дает в два раза меньшую величину давления:
Р = рши^.
По Бернулли эта гипотеза не соответствует опыту. Далее он отмечает, что такая же величина силы давления получается и при гипотезе об упругих частицах жидкости, отскакивающих от препятствия и гасящих следующие за ними. Поэтому он указывает: ’’Эта гипотеза достаточно походила бы на истинную, если бы более соответствовала мере эксперимента”.
Следует обратить особое внимание на коэффициент ”2” в выражении (1.3) для реактивной силы. Этот коэффициент вновь появится (см. часть II, гл. 5-8) у реактивной силы в уравнении гиперреактивного движения.
Рассматривая затем вытекающую из сосуда вниз струю, Бернулли приводит пояснения, схожие с доводами Мариотта и утверждает, что при этом сила давления струи должна была бы равняться весу столба жидкости над отверстием, т. е. определяться соотношением (1.2).
Вопрос о взаимодействии жидкой струи с сосудом был подробно рассмотрен Д. Бернулли в его ’’Гидродинамике”. В части 13 ”О реакции жидкостей, вытекающих из сосудов и их напоре на плоскости, на которые они натыкаются, после того как вытекут” Бернулли подтвердил с помощью закона изменения количества движения, что при установившемся истечении ’’сила отталкивания равна весу водяного цилиндра, основанием которого является отверстие, пропускающее воды (т.е. сечение максимально сжатой горизонтальной струи), а высота которого равна удвоенной высоте поверхности воды над отверстием или, точнее, удвоенной высоте, обязанной скорости вытекающей воды”.
Силу реакции струи, эквивалентную данному определению, можно записать в следующем виде:
R = 2у^Я, (1.4)
где ш и Н — площадь поперечного сечения и скоростной напор струи соответственно. Используя формулу Торричели (1.1), это выражение переписывается как
R = рши2. (1.5)
С учетом того, что рши есть массовый расход жидкости, т.е. dm/dt для массы m(ty выражению (1.5) можно придать форму R = и dm/dt, в которой усматривается аналогия с современными формами записи уравнений движения точки переменной массы.
Затем Д. Бернулли исследует силу реакции при неустановив- шемся истечении воды из бесконечно большого сосуда через приставленную к отверстию горизонтальную трубу и с помощью закона изменения количества движения находит ее значение
R = рш (г + L —),
где L — длина трубы, через которую происходит истечение. В предположении отсутствия каких-либо потерь он определяет с помощью закона живых сил величину du/dt для случая трубы произвольного сечения. Для цилиндрической трубы получено
du 2gH — и2dt 2L '
где Н — напор в сосуде перед отверстием. При этом для силы реакции получаем величину
и2
Д. Бернулли особо оговаривает мнение И. Ньютона, высказанное им во втором и третьем изданиях ’’Начал”, о силе, порождающей движение при истечении из сосуда: ’’Это мнение, — пишет он, — когда-то мною и еще некоторыми оспаривалось, другими же, наоборот, поддерживалось. Но теперь, после того как я продумал настоящую теорию движущихся вод, мне кажется, что этот спор надлежит закончить на том, что когда воды достигают равномерного движения, а это допущение и делает Ньютон, то упомянутая выше сила правильно определяется с помощью высоты 2GI, но в начале движения, когда скорость еще равна нулю, эта сила соответствует простой высоте GI, а затем с увеличением скорости одновременно увеличивается и сила, побуждая воды к вытеканию, и, наконец, она достигает того размера, который указал Ньютон”. Итак, согласно Бернулли в начале истечения г = 0 и
R = ^шН,
а при установившемся режиме течения и = ^.дНу/2 и поэтому сила реакции находится по формуле (1.4).
Ж. Даламбер в ’’Трактате о равновесии и движении жидкостей” (1744 г.) так и не смог найти горизонтальную силу действия жидкости на сосуд, из которого она вытекает. В конце работы он замечает: ”Я полагаю, что очень трудно вычислить эту силу точно и это задача такой природы, где отсутствуют достаточные исходные данные”. Надо сказать, что интерес к строгому определению реакции струи идеальной жидкости сохраняется вплоть до настоящего времени (см., например, работы Н.Е. Жуковского, У. Чизотти, Д.А. Эфроса, Л.И. Седова [306] и др.).
Идея создания судов с гидрореактивными двигателями, подкрепленная простейшими расчетами, была впервые выдвинута англичанином Дж. Алленом, опубликовавшим свое предложение в 1730 г. Аналогичная идея была также предложена и теоретически обоснована в 30-х гг. XVIII века Д. Бернулли, который посвятил этому вопросу последний раздел 13-ой части ’’Гидродинамики”. Вот его запись: ’’Мне как-то пришло на ум, что мои размышления о силе отталкивания вод при их извержении могут быть с пользой применены для установления нового способа судоходства; ибо я не вижу, что воспрепятствовало бы тому, чтобы очень большие корабли могли продвигаться вперед без парусов и весел таким способом, при котором воды будут непрерывно подниматься вверх, с тем чтобы вытекать через отверстие в нижней части корабля, и будет устроено так, чтобы направление вытекающих вод было обращено к корме”.
Д. Бернулли замечает далее, что ’’корабль постоянно замедляется зачерпываемыми водами вследствие инерции последних, так как им сообщается та же скорость, с которой несется корабль, и пока она им сообщается, корабль теснится реакцией вод назад (сила ’’сопротивления”) и в то же время толкается вследствие их излива вперед”. ’’Допустим, — продолжает Бернулли, — что корабль продвигается с единообразной скоростью, и вообразим, что воды непрерывно притекают на корабль, например, в виде дождей”. Используя закон изменения количества движения и приравнивая приток воды на корабль расходу выбрасываемой струи, Бернулли находит эту силу ’’сопротивления” равной
Ф = Щри^2, где щ — скорость корабля, и^ — относительная скорость истечения воды из отверстия в корме корабля, и — площадь этого отверстия. Обозначая массовый расход забираемой или сбрасываемой воды через dm/dt, приведенному выражению можно придать вид
Ф = v^dm/dt, откуда получаем ’’гидродинамическую” модель тела переменной массы, в отличие от ’’точечной” модели последующих исследователей.
Учитывая, что сила реакции вытекающей воды R = рши^ для силы, продвигающей корабль, Бернулли получает
F = R — Ф = рши^ — и^рши2 = рши2 (^2 — ^1)-
В предположении, что гидродинамическое сопротивление при движении корабля пропорционально квадрату скорости, Бернулли полагает для стационарного движения корабля
pWU2 (и2 - щ) = 0^1, (1.6)
где а — коэффициент пропорциональности. Приведенный Бернулли в ’’Гидродинамике” расчет движущей силы гидрореактивного судна является первым строгим расчетом влияния изменения массы тела на его движение.
Дальнейшее развитие теория гидрореактивных судов получила в трудах Л. Эйлера, в частности в мемуаре ”О продвижении кораблей без силы ветра” (1753 - 1771 гг.). Эйлер рассматривает два способа продвижения гидрореактивных судов: 1) путем подъема воды в открытый резервуар и сброса ее у кормы под действием собственного веса и 2) путем накачивания воды поршневым насосом с забором ее через вертикальную трубу и выбрасыванием через горизонтальную.
При расчете движения корабля с гидрореактивным двигателем Эйлер допустил неточность [233]: он приравнивает силу реакции водяной струи непосредственно гидродинамическому сопротивлению корабля, опустив в уравнении движения дополнительное ’’сопротивление” корабля за счет преодоления инерции забираемой из него воды. В результате Эйлер получает уравнение стационарного движения корабля в виде: рши^ = аи^ вместо уравнения Бернулли (1.6).
Выделим замечание о принципах движения таких судов, принадлежащее Б. Франклину (1785 г.). Говоря о предложении Бернулли относительно гидрореактивного движения судов, Франклин подчеркивает необходимость преодоления ’’силы инерции” поднимаемой на судно воды (’’что даст вычет из движущего усилия”).
В дальнейшем Л. Эйлер занимался теорией сегнерова колеса — прообраза реактивной гидравлической турбины, и в 1753 г. им был подготовлен мемуар ’’Более полная теория машин, которые действуют от реакции воды”, в котором, по существу, предлагается первая модель реактивной гидравлической турбины.
Динамика систем переменной массы в своем эволюционном развитии
В 1799 г. английская колониальная армия в сражении под Се- рингапатамом встретила упорное сопротивление индийских войск, применявших боевые ракеты с радиусом действия порядка 1-2 км. Использовав этот опыт, английский генерал и изобретатель У. Кон- грев усовершенствовал конструкцию боевых ракет, и они были приняты на вооружение английской армии. Впервые ракеты были с успехом применены англичанами при бомбардировке Копенгагена (англо-датская война 1807 - 1814 гг.) в 1807 г. Вслед за этим боевые ракеты получили широкое распространение в европейских армиях. В русской армии значительный вклад в развитие ракетной техники в первой половине XIX века внесли военные-артиллеристы А.Д. Засядко и К.И. Константинов.
Первая математическая теория движения ракет была разработана в Англии в начале XIX века У. Муром, но вскоре была практически полностью забыта. Основная задача была сформулирована Муром в виде следующего предложения: ’’Пусть задано напряжение или первая сила газа при загорании смеси в военной ракете, а также вес количества смеси, содержащейся в ракете, вместе со временем ее горения и вес и размеры ракеты; найти высоту, на которую она поднимется, если будет запущена перпендикулярно, а также скорость, достигаемую в конце этого времени; при этом предполагается, что слои горят равномерно и выжигаются параллельно основанию ракеты” .
Мур вводит следующие обозначения: w — вес корпуса ракеты, с — вес всего горючего вещества, которым она наполнена, а — время, за которое оно равномерно потребляется, п (= 230 унций) — среднее давление атмосферы на один квадратный дюйм, s (= 1000) — отношение зажженной смеси к давлению атмосферы, d — диаметр основания ракеты, х — путь, пройденный ракетой за время t, и — скорость, достигнутая за это время.
Далее он находит ’’постоянную движущую силу смеси”, равную snird2/4. Общая движущая сила в момент t составляет величину
sn^d2 , сГ
где через т обозначен суммарный вес ракеты w+с. Здесь и далее выкладки соответствуют работе [233]. При расчетах У. Мур исходит из принципа ускоряющих сил (второй закон Ньютона). Согласно соотношению (1.7) ускоряющая сила (ускорение), действующая на
ракету, равнаракету, равнаasn^d2 ^4 (ат — ct)asn^d2 ^4 (ат — ct)
ракету, равна
ракету, равна
asn^d2 ^
4 (ат — ct)
asn^d2 ^
4 (ат — ct)
Принцип ускоряющих сил в староанглийской системе обозначений записывается следующим образом:
V = 9 ft,
где g (у Мура — 2g) соответствует ускорению силы тяжести. Таким образом уравнение движения ракеты представляется в виде
. aqsTVxd2i .
с = —7г — gt,
4 (ат — ct)
откуда соответствующий интеграл, с учетом того, что г = 0 приоткуда соответствующий интеграл, с учетом того, что г = 0 приt = 0, равенt = 0, равенagsnTfd24сagsnTfd24сInInатат — ctатат — ct-gt.-gt.
откуда соответствующий интеграл, с учетом того, что г = 0 при
откуда соответствующий интеграл, с учетом того, что г = 0 при
t = 0, равен
t = 0, равен
agsnTfd24с
agsnTfd24с
In
In
ат
ат — ct
ат
ат — ct
-gt.
-gt.
В момент конца горения пороховой смеси (t = а)
agsriKd2 _ w + сг?! = - Inag.
4сw
Высота подъема х в процессе выгорания горючей смеси находится Муром с помощью вычисления интеграла из уравнения х = vt^ т.е. из повторного интегрирования. Для этого Мур разлагает натуральный логарифм 1/(1 — z) в степенной рядно стандартной формуле
InIn11 — z11 — z
In
In
1
1 — z
1
1 — z
и проводит почленное интегрирование. Затем он вычисляет зависи
мость x(t) с учетом того, что х = 0 при t = 0 :
gt2
(am — ct) In (am — ct) + bt—,
agsriKd24c
Отсюда при t = а (в момент конца выгорания горючей смеси) высота подъема ракеты составляет
abсabсw Inw InU)w + сU)w + сасд\2Ьасд\2Ь
abс
abс
w In
w In
U)
w + с
U)
w + с
асд\2Ь
асд\2Ь
У. Мур рассматривает также поъем ракеты в поле переменной силы тяжести согласно закону тяготения. Записывая уравнение движения тела постоянной массы для этого случая в виде
— г2 ’
где т — расстояние от центра Земли и R — радиус Земли, он находит, с учетом того, что и = Ui при г = гц,
у2 = ^д^а^о
Скорость и обращается в нуль при
_ 2г1дЛ2
Г2 2gR2 — nv2'
Для рассмотренного Муром примера R = 3980 миль, г2 — R = = 136000 футов (41,5 км).
Затем У. Мур определяет скорость вертикально поднимающейся ракеты, при которой она не возвращается более на Землю (по современной терминологии это вторая космическая скорость). Однако Мур допустил неточность в вычислениях. Выписав уравнения для движения в поле ньютонова тяготения, он затем пропустил постоянную интегрирования. Это дает величину второй космической скорости 39450 фут/с (12,0 км/с) по сравнению с 36700 фут/с (11,2 км/с), которая прямо следует из его формул.
Далее Мур рассматривает траекторию ракеты при наклонном ее запуске и движении в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости. Эту задачу он решает с помощью разложений в степенные ряды по времени. Мур отмечает, что с помощью аналогичных разложений в ряды можно решать задачу и при других законах сопротивления. Теория Мура основана на известных уравнениях движения точки, где движущая сила определяется независимо от движения ракеты, хотя при этом масса ракеты и убывает линейно со временем. Более строгий подход к движению ракеты как к задаче динамики тела (частицы) переменной массы был осуществлен лишь в середине XIX века.
К началу XIX века относится деятельность самобытного чешского ученого Г. Букуа (И. Буквоя). Отметим его работу ’’Дальнейшее развитие и приложение закона виртуальных скоростей в отношении механики и статики” (1814 г.), в которой проведено исследование непрерывных изменений масс системы. Изучая движение отдельной частицы, Г. Букуа отмечает, что классическое уравнение F = m^’
выражающее второй закон Ньютона, справедливо лишь для частицы постоянной массы. Напомним, что этот закон гласит [251]: ’’Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует”. В случае непрерывного изменения массы т частицы со временем изменение количества движения, отвечающее действию силы F, составляет не mdu, а т du + (и — w) dm, где через w обозначена абсолютная скорость, с которой присоединяется к частице с массой т приращение массы dm. При этом уравнение (1.8) должно быть заменено на более общее уравнение
(1-9)
Букуа указал, что в случае ии = и уравнение (1.9) обращается в уравнение (1.8), а в случае w = О — в уравнение
F =F =dudm— F и dtdtdudm— F и dtdt(1-Ю)(1-Ю)
F =
F =
dudm
— F и dtdt
dudm
— F и dtdt
(1-Ю)
(1-Ю)
В общей задаче Г. Букуа рассматривает движение произвольной системы с изменяющимися массами. Записанное им уравнение
dujdtdujdtdmidt
dujdt
dujdt
представляет собой обобщение лагранжевой формулы динамики на случай изменяющихся масс системы, где через da^ и dst обозначены соответственно составляющие перемещений вдоль направления сил Fi и элементарных количеств движения
dqt = mt dui + (ui - w^) dm^.
Букуа разобрал также специальный тип систем с неизменными по количеству, но переменными по составу массами, когда происходит одновременное присоединение и отсоединение равных по величине масс с отличными от нуля относительными скоростями. Так как в этом случае величины т^ количественно неизменны и dm^ = 0, Букуа вводит для элементарных (близких к нулю) изменений масс т^ условные обозначения: Fmi fi(t)/ос, —mifi^/oo, где ^(t) — некоторая непрерывная функция времени, полагая, что элементарные массы mifi^/oo присоединяются к массам т^ со скоростями и^, а отделяются без относительных скоростей, и записывая общее уравнение для этого случая в виде
duidtduidtттнМЧ
duidt
duidt
Далее Букуа рассмотрел подъем постоянной вертикально действующей силой гибкой однородной тяжелой нити, лежащей в свернутом виде на горизонтальной плоскости, исходя из уравнения (1.10). Обозначив через у вес единицы длины нити, через s — длину уже поднятой ее части, через и — скорость подъема в момент времени t и через р — действующую силу, Букуа получил дифференциальное уравнение движения
77 у (su du + и2 ds}
р ds — у ds = ,
9
где g — ускорение силы тяжести. Он указал, что выражение для скорости имеет вид
и = ( А + Bs + — ).
Букуа выделил также ряд задач, где необходимо учитывать непрерывное изменение масс системы. В случае вращательного движения тела это, в частности, задача о скатывании снежного кома при непрерывном налипании на него снежинок. Практическое значение имеют указанные Букуа задачи о движении машин с изменяющимися скоростями частей, с перемещением каких-либо посторонних масс на отдельных участках. Сюда относится динамика разнообразных водоподъемных машин, водяных двигателей, землечерпалок, транспортеров и т. п.
Исследования Г. Букуа по динамике систем переменной массы опередили задачи его времени, но тогда фактически остались вне поля зрения ученых. Лишь С.Д. Пуассон посвятил работам Букуа критическую заметку ”О движении системы тел в предположении переменности масс” (1819 г.). Пуассон отметил, что ’’новый принцип Букуа представляет собой не что иное, как принцип Лагранжа, распространенный на случай переменных масс”. Далее он дал краткий вывод уравнений Букуа на двух страницах непосредственно из принципов виртуальных скоростей и Даламбера в предположении, что изменения dm каждой массы системы складываются, вообще говоря, из нескольких независимых частей, присоединяющихся с разными скоростями. Выписывая уравнения, Пуассон для определенности полагает, что изменения dm складываются из двух частей:
dm = gidt + Д2 dt,
причем Пуассон подчеркивает, что каждая из величин д^ и Д2 может быть как положительной, так и отрицательной, т.е. может происходить как присоединение, так и отделение масс.
dxxdt ' ’dxxdt ' ’Если компоненты скорости движения элемента массы Д1 dt перед его присоединением к т (или отделением) равны Pi, 91 и гц, а соответствующие компоненты скорости движения элемента /ы ^ — Р2, 92 и тд, то потерянное при присоединении (отделении) количество движения составляет вдоль оси х величину
dxx
dt ' ’
dxx
dt ' ’
тХ dt + Р1Д1 dt + Р2Ц2 dt — d
где mX — сила, действующая на массу т (аналогично вдоль осей у и %Y С помощью двух упомянутых классических принципов Пуассон получил уравнение движения в виде
(1.И)(1.И)^2 { [т^ dt + Р1Ц1 dt + Р2Ц2 dt — d (m^^ бх 4 + [ mY dt + 91^1 dt + 92^2 dt — d (m ^) ] бу + + [ mZ dt + ri Д1 dt + Г2Ц2 dt — d (m —) ] бг }
(1.И)
(1.И)
где суммирование производится по всем точкам системы, а бх^ бу и бг — соответствующие вариации ж, у и г, удовлетворяющие наложенным на систему связям. В случае Ц1 = Ц2 — 0 это уравнение обращается в известную общую лагранжеву формулу динамики. Из уравнения (1.11) для свободной точки вытекают уравнения, эквивалентные векторной записи
_ dmi dm2 d (mvA _
F + W! — + W2 ~= 0,dt dt dt
где Wi и W2 — абсолютные скорости присоединения (отделения) масс dmi и dm2. В этом соотношении F^ wi, W2, и — векторы. Статья Пуассона явилась единственной, в которой имеется содержательная ссылка на работы Г. Букуа по механике.
Во второй половине XIX века в Кембриджском университете в рамках общего курса динамики проводилось изучение разнообразных задач с системами переменной массы. В 1856 г. вышел учебник по динамике П. Тейта и У. Стила ’’Трактат по динамике частицы”, в котором рассматриваются некоторые задачи по механике систем с переменной массой. Первая задача связана с вертикальным движением ракеты и звучит так: ’’Если ракета массы М выбрасывает за каждую единицу времени массу еМ с относительной скоростью V и если М' есть вес корпуса , показать, что ракета не может подняться сразу же без того, чтобы соблюдалось условие Ve > 9, и вовсе не
может подняться без соблюдения условия MVe/Mr > g.” Если же ракета сразу поднимается вертикально, надо показать также, что ее наибольшая скорость составляет
КГКГ
КГ
КГ
а наибольшая высота, которойа наибольшая высота, которойона достигает, составляетона достигает, составляет
а наибольшая высота, которой
а наибольшая высота, которой
она достигает, составляет
она достигает, составляет
v2 г mV гv2 г mV гМ' . м\ 1In — I.М' . м\ 1In — I.ммМ'М'
v2 г mV г
v2 г mV г
М' . м\ 1In — I.
М' . м\ 1In — I.
м
м
М'
М'
Для решения задачи не делается никаких указаний. По-видимо- му, авторы считали, что решение находится по способу, изложенному в учебнике. Обе написанные формулы, вывод которых необходимо было осуществить, представляют интерес для ракетодинамики. Первая из них была найдена позже в отсутствие действия силы тяжести К.Э. Циолковским [378] и получила в этом частном виде название первой формулы Циолковского.
Вторая задача посвящена одному вопросу небесной механики, а именно учету влияния непрерывного выброса вещества кометой на элементы ее орбиты. Формулировка задачи следующая: ’’Комета при движении от одной заданной точки к другой выбрасывает в каждый момент времени маленькие порции своей массы, которые всегда имеют одно и то же отношение п к массе, которая остается. Если и есть скорость, с которой каждая частица выбрасывается, а — наклон направления ее движения к радиусу-вектору, доказать, что период t будет уменьшаться на величину
[(у/ — ^(ар)1/2 sin о — (Г — г) cos о] Bnut
Та ’
где р и рг — эксцентрические аномалии, гиг7 — фокальные расстояния в разных точках, а — среднее расстояние, р — параметр, / — сила на расстоянии а.”
Эта задача, решение которой содержит оценку влияния выброса вещества на период обращения кометы, заимствована составителями учебника из работы немецкого астронома и математика Ф.В. Бесселя (1836 г.). Раздел учебника, посвященный динамике систем переменной массы, содержит также различные упражнения на отыскание законов движения тяжелых гибких нитей (цепей).
В 1857 г. появилась статья кембриджского профессора математики А. Кейли ”06 одном классе динамических задач”. Вот что
он пишет: ’’Задачи, о которых идет речь и которые можно назвать задачами непрерывного удара, — это те, в которых к системе непрерывно присоединяются частицы бесконечно малой массы (т.е. массы, содержащей в качестве множителя приращение времени), так что не она сама подвергается внезапным изменениям скорости, а она подвергает внезапным изменениям скорость присоединяющихся частиц”.
Целью статьи Кейли является нахождение общего уравнения динамики в форме уравнений Лагранжа второго рода:
d ЭТЭТ6>ПЭК _
dt ЭдЭдЭдЭд
с кинетической энергией Т и потенциальной энергией П, в которых имеется дополнительное слагаемое вида ЭК/дер представляющее собой ’’обобщенные реактивные силы”. При выводе Кейли ограничивается случаем наличия потенциальных сил и рассматривает связи, не зависящие от времени. В заключение Кейли разбирает задачу о спускающейся со стола цепи, получает для длины s свисающей части цепи дифференциальное уравнение
и находит первый интеграл
sds(s3_Z3)l/2m
в предположении, что в начале движения s = I.
Особенности и традиции курса Тейта и Стила в отношении задач динамики систем переменной массы сохранились в Кембриджском университете и в последующие годы. В 1891 г. был издан известный учебник Э.Дж. Рауса по динамике систем твердых тел. ’’Принцип линейного количества движения, — отмечает Раус, — может быть также приложен, как и принцип момента количества движения, для определения постепенных изменений, производимых изменениями масс”. Вначале автор рассмотрел движение тела при непрерывной безударной (ш = и) потере массы и показал, что в этом случае справедливо обычное уравнение mdv/dt = F. Затем он остановился на движении тела, когда присоединяющиеся к нему элементарные массы dm имеют непосредственно перед моментом присоединения скорости ш. Для этого случая Раус получил уравнение движения в виде
d (mu) = F dt + w dm.
Как и учебник Тейта и Стила, учебник Рауса содержит ряд интересных задач о движении гибких тяжелых нитей, расширяющих границы применения механики тел переменной массы.
1.4. Исследования реактивных движений
в небесной механике и астрофизике
Прежде всего отметим, что еще на рубеже XIX века рассматривались вопросы движения небесных тел при внезапном отделении от них некоторой массы. Так Ж.Л. Лагранж в ’’Аналитической механике” исследовал изменение элементов орбиты планеты при получении ею в некоторый момент времени какого-либо импульса, в том числе за счет отделения от планеты определенной малой ее части с заданной относительной скоростью. Однако эти случаи мгновенного конечного изменения массы тела не входят в рассматриваемое понятие системы с переменной массой, так как у нас имеется в виду именно непрерывное изменение массы.
Задачи небесной механики тел с непрерывно изменяющейся массой были рассмотрены Ф. Бесселем в 30-х гг. XIX века в связи с его исследованиями движения комет. При несоответствии наблюдений с расчетами кометных орбит, Бессель обратил внимание на то, что некоторые кометы при приближении к Солнцу извергают заметное количество вещества в сторону последнего. Бессель высказал предположение, что неточности вычисления кометных орбит могут объясняться, в частности, и неучетом извержения кометного вещества.
В статье ’’Замечания о возможной недостаточности теории комет, учитывающей только притяжения” (1836 г.) он поясняет: ’’Комета не может удалить от себя никакой части своей массы без того, чтобы не испытать обратное действие потребной для этого силы. Это обратное действие придает остальным частям кометы движение в противоположном направлении, количество которого таково же, что и количество движения удаляющихся частей”. Отсюда следует, что извержение кометного вещества должно влиять на орбиту самой кометы. ” С помощью расчета, — продолжает Бессель, — можно легко проследить связь между истечением заданной массы, скоростью его, направлением и его влиянием на элементы траектории кометы, что позволяет получить соответственно представление о величине этого влияния”. Далее он получает оценку этого влияния на изменение характерного размера орбиты и периода обращения кометы.
Рассмотрим кратко расчетную схему Бесселя. Пусть комета массы т обращается вокруг Солнца (масса которого принимается за единицу). Выпишем классические соотношения задачи двух тел,
которые потребуются для дальнейшего вывода. Уравнение плоской
орбиты имеет вид
(1-12)(1-12)Р
(1-12)
(1-12)
1 + е cos и'
где т — радиус-вектор, проведенный из фокуса конического сечения (от Солнца), р — параметр орбиты, е — эксцентриситет, и — истинная аномалия. Интеграл площадей равен
(1-13)(1-13)г2 -^ = k [р (1 + т) ] ^2,
(1-13)
(1-13)
где к2 — постоянная тяготения. Интеграл ’’живых сил” имеет вид
11 и22а г 2к2 (1 + т) ’11 и22а г 2к2 (1 + т) ’(1-14)(1-14)
11 и2
2а г 2к2 (1 + т) ’
11 и2
2а г 2к2 (1 + т) ’
(1-14)
(1-14)
ниениегде а — большая полуось эллипса, и = (и2 + г^)1/2 — скорость на орбите. Для полного периода обращения Т имеет место соотноше
ние
ние
(1-15)(1-15)2яа^/2
(1-15)
(1-15)
к (1 + т)1/2
Связь эксцентрической аномалии е с истинной аномалией и дается
формулойформулойtgs =tgs =271/2 tg 51 -7tg2 У271/2 tg 51 -7tg2 У
формулой
формулой
tgs =
tgs =
271/2 tg 5
1 -7tg2 У
271/2 tg 5
1 -7tg2 У
где 7 = (1 - s)/(l + е).
Пусть комета извергает за единицу времени количество вещества, которое пропорционально ее массе в этот момент и относится к этой массе как д : 1, и пусть это вещество извергается со скоростью q внутрь орбиты с опережением на угол а против направления на Солнце. Проекции количества движения, извергаемого кометой за элемент времени St вещества вдоль осей координат х и у, составляют
— q cos(r — о) цт dt,— q sin(r — о) p/m dt.
За счет этого комета получает дополнительные скорости
5иж = q cos(r — о) pdt, duy = q sin(r — о) д dt. (1.16)
Предполагая д, а вместе с тем и дополнительные скорости, малыми, можно оценить влияние этих скоростей на величину 1/(2п)
в первом приближении с помощью непосредственного вычисления д (1/(2п)) из интеграла ’’живых сил” (1.14). Имеем
1/с2 (1 + т)1/с2 (1 + т)(пж бих + иу 5uyY(пж бих + иу 5uyY(1-17)(1-17)
1
/с2 (1 + т)
1
/с2 (1 + т)
(пж бих + иу 5uyY
(пж бих + иу 5uyY
(1-17)
(1-17)
Подставляя выражения (1.16) в соотношение (1.17), получим
qp Stk2 (1 + т)qp Stk2 (1 + т)[ их cos(v — а) Г иу sin(v — о) ].[ их cos(v — а) Г иу sin(v — о) ].(1-18)(1-18)
qp Stk2 (1 + т)
qp Stk2 (1 + т)
[ их cos(v — а) Г иу sin(v — о) ].
[ их cos(v — а) Г иу sin(v — о) ].
(1-18)
(1-18)
Из уравнений (1.12) и (1.13) следует, что
к(1ГтУ^2 .к^Гту/2
их = smv, иу = (cosv + e).(1.19)
Подставляя далее соотношения (1.19) в зависимость (1.18), найдем
г ( 1 \QM ^г .. /\ 1
о — = —smo - е sin г - о) .
Заменяя здесь St его выражением из закона площадей (1.13), получим
х ( 1 A QM/pdrsino\
\2а jк^ОГтп) \l + ecosv/
Вычислим интеграл
/
pdv2р/ 2 у \
l + ecosv = (1 - e2)V2 arctg О tg =
= щ5)Т7^ =Р1/2а1/2е.(1-21)
где через а обозначена величина: а = (1 — е)(1 + s). При подстановке выражения (1.21) в соотношение (1.20) будем иметь в итоге
д ( г (р1/2 d1^2 де sin о — dr cos о).(1.22)
\2а) к2УГтрР}v v
Таким образом, изменение величины 1/(2а) за счет извержения кометного вещества при движении кометы по орбите из точки (ri,Vi) в точку (г2,Г2) в данном приближении составляет величину
т
Чтобы получить подобную оценку изменения периода обращения Г, надо обратиться к соотношению (1.15), из которого следует
6Т = — ЗаТ б6Т = — ЗаТ б
6Т = — ЗаТ б
6Т = — ЗаТ б
Имеем отсюда
6Т = -х [р1/2 а1/2 (е2 - ч) sin о - (г2 - n) cos о].(1.24)
+ m)
Если теперь учесть, что сила притяжения / на расстоянии а в относительном движении двух небесных тел равна k2 (1 + т)/а2, то коэффициент при квадратной скобке в выражении (1.24) можно записать в виде — 3qpT/(Ja).
Получение оценок (1.22) — (1-24) явилось основным результатом теоретического исследования Ф. Бесселя. Не претендуя на строгие количественные оценки, он показал, тем не менее, что извержение кометой вещества может оказать существенное влияние на элементы ее орбиты.
Данный подход Бесселя обсуждался во второй половине XIX века в связи с вопросами теории движения комет. К нему не раз обращался и известный русский астроном Ф.А. Бредихин, который указывал на основные существовавшие тогда гипотезы, объяснявшие возмущения в движении комет сопротивлением среды (Ньютон, Эйлер, Лаплас) и реактивным действием истекающего из комет вещества (Бессель). Бредихин отмечал наличие влияния реакции истечения кометного вещества на элементы ее орбиты, но полагал эти возмущения малыми и не выделяемыми из других возмущений.
В конце XIX века задачи небесной механики тел переменной массы привлекли внимание астрономов независимо от теории движения комет. Оказалось, что систематическим увеличением массы небесных тел за счет выпадения метеоритов и космической пыли можно объяснить некоторые погрешности в их движении и, в частности, в движении Луны (часть векового ускорения долготы Луны). Эта идея была высказана в 1866 г. швейцарским физиком Ш. Дюфуром, а затем в 1884 г. австрийским астрономом Т. Оппольцером.
В том же 1884 г. была поставлена задача двух тел с переменными массами шведским астрономом Х.Гюльденом. Гюльден в классических уравнениях задачи двух тел
d?x 2 mi + т2Лу 2тг+т2
вместо постоянной величины mi + m2 рассмотрел функцию времени M(t). Эта подстановка предполагает, что скорости центра инерции
при(от)соединяющихся масс относительно рассматриваемых небесных тел (материальных точек) равны нулю. Задача Гюльдена породила обширную научную литературу и впоследствии оказалась связанной также с космогоническими исследованиями. Сам Гюль- ден решал задачу приближенно. Он свел ее к классической задаче двух тел с помощью перехода от времени к новой переменной, которая связана со временем дифференциальным уравнением. Далее он применил для построения решения метод последовательных приближений, который был в дальнейшем упрощен Л. Терканом, использовавшим в качестве независимой переменной истинную аномалию. Применение к задаче Гюльдена метода возмущений осуществил Э. Стремгрен, который в случае малых вариаций получил формулы для вычисления оскулирующих элементов орбиты. Для случая линейной временной зависимости M(t) = т(1 + ext) метод Стремгрена был усовершенствован Г. Пламмером и Р. Леман- Филесом. В 20-х г. XX века Г.Н.Дубошин предложил метод решения задачи, основанный на решении вспомогательного интегро- дифференциального уравнения с помощью сходящихся рядов по степеням малого параметра. Кроме того, им был предложен метод, опирающийся на теорию вариации произвольных постоянных.
Случаи интегрируемости в задаче Гюльдена были выделены впервые в 1893 и 1902 гг. И.В. Мещерским (их иногда называют ’’законами Мещерского”). Это случай M(t) = mo/(l + ot) и более общий случай
<L25)
Мещерский отметил, что закон изменения (1.25) является единственным, когда задача сводится к классической задаче двух тел постоянной массы с помощью преобразования координат вида
^ = ^(х,у^^ г/= т^х^уО), dx = u^x^t) dt.
Этот случай был позже разобран У. Макмилланом. Случай оказался интересным и с точки зрения астрофизических приложений, поскольку согласно теории Дж. Джинса масса звезды при лучеиспускании убывает в первом приближении по закону
Г1 = -аМг, M(f) = -М° „ .1/9.(1.26)
Впоследствии было установлено, что уменьшение массы звезд описывается более общим степенным дифференциальным законом убывания: dM/dt = — аМп, который иногда называют законом
Эддингтона-Джинса. По современным оценкам величина показателя п находится в пределах от 1,4 до 4,4. Случаям интегрируемости И.В. Мещерского отвечают значения п = 2 и п = 3. Надо отметить, что в наше время были найдены и другие случаи интегрируемости уравнений движения в задаче двух тел. Б.Е. Гельфгат нашел два способа построения решений при п = 0ип=1,5, а затем рассмотрел строгие решения для обобщенной задачи двух тел. С помощью теории непрерывных групп были исследованы случаи сведения нестационарной задачи Гюльдена к стационарной форме путем преобразования Куммера-Лиувилля:
£ = p(t) х, r] = p(t)y, dr = ^(t)dt (у?, ^>0; p^EC2).
Б.Е. Гельфгат и Л.М. Беркович показали, что такое сведение возможно лишь для трех следующих случаев задания массы M(t) :
M(t) =2.M(t) =2.. 3-. 3-(exit + Д)р / (с^ + Д)р+1, exp ^/(at -V 0)^/(at + ^), Mg exp (at).
M(t) =2.
M(t) =2.
. 3-
. 3-
Был получен также ряд точных частных решений задачи Гюльдена для неквадратичных степенных законов взаимного притяжения небесных тел. Среди первых работ в этом направлении отметим исследования К. Мадерни, Э. Ловетта, Дж. Армеллини, относящиеся к 1921 - 1922 гг.
Следует указать, что задача Гюльдена относится к динамике систем с переменными массами формально, поскольку в ней не учтены особенности законов движения при непрерывном движении масс тел (материальных точек). В строгой математической постановке задачу двух тел переменной массы в небесной механике сформулировал в 1891 г. немецкий астроном X. Зеелигер в работе по динамике соударения и разъединения планетарных масс. Зеелигер рассматривает движение системы тел в условиях при (от) соединения дополнительной массы путем мгновенного неупругого столкновения. При выводе уравнений автор исходит из принципа сохранения движения центра тяжести системы. Зеелигер отмечает, что уравнения движения можно получить, разлагая реальные ускорения отдельных точек на две составляющие, обусловленные соответственно внешними силами с при (от) соединяющимися массами. Для второй части ускорений он записывает в проекциях на оси координат выражение
где и = dr/dt, w — абсолютные скорости небесного тела массы т и присоединяющихся масс dm. Применительно к задаче двух тел (Солнце — планета) Зеелигер выписывает ускорение для силы притяжения: — k2 (1 + m)r/s3, где s — расстояние, и, перенося его в левую часть, получает уравнение задачи в виде
(1-27)(1-27)d2 г dt2
(1-27)
(1-27)
Здесь г, ио, и — векторы. Приближенное решение системы (1.27) может быть получено, согласно Зеелигеру, с помощью метода возмущений, если в качестве возмущающей силы рассматривать силу
_7 9 л т 1 dm , х
F = — к /\т — 4— (w — и).
т dt
Дальнейший интерес к задачам небесной механики тел переменной массы в 20-х гг. XX века был связан с космогоническими исследованиями, а именно с проблемой эволюции звезд, и в частности двойных звезд. Решая космогонические задачи, связанные с вековой убылью масс, Джинс выдвинул отмеченную выше гипотезу (1.26) об интенсивности излучения массы звездами и провел некоторые расчеты для задачи двух тел с убывающими массами. При этом он исходил из традиционной постановки задачи динамики тела (точки), записывая уравнение движения в виде
(1)(1)масса х ускорение = сила.
(1)
(1)
Другой астрофизик, Э. Браун, возражая Джинсу, отмечает, что можно принять в качестве исходного уравнения и другое:
скорость изменения количества движения = сила. (2)
Однако сам Браун не смог отдать сколько-нибудь обоснованного предпочтения ни одной из этих гипотез, склоняясь из косвенных соображений правдоподобности практических результатов ко второй. Джинс, в свою очередь, не согласился с Брауном, отстаивая первоначальную точку зрения.
Независимо от дискуссии Дж. Джинса с Э. Брауном на задачи небесной механики тел с переменными массами обратил внимание в 1928 г. итальянский математик Т. Леви-Чивита [432]. Вначале Леви-Чивита получил уравнение
d (ти)dt
для случая статистически изотропной эмиссии частиц. Позже, в 1930 г. Леви-Чивита отказался от уравнения (1.28) и применил традиционное уравнение
ди _,
т — = F:(1.
dtv
В том же 1930 г. Г.Н. Дубошин [121] указал, что формула (1.28) ”не может считаться доказанной и остается по-прежнему аксиомой”. В результате Дубошин рассматривал тогда уравнения (1.28) и (1.29) как равноправные аксиомы (’’так как эти формулы обе представляют собой принятые определения, то они одинаково аксиоматичны, и следовательно, нет никаких оснований предпочесть одну другой”) и выбрал (1.29), лишь ’’следуя примеру большинства исследователей, как более простую и позволяющую вместе с тем вести исследование в рамках классической механики”.
За публикацией Т. Леви-Чивита 1928 г. последовали и другие исследования задачи двух тел с изменяющимися массами на основе ’’неклассического” уравнения (1.28). Среди них выделим работы Г.Вранчеану, М.Манарини, Д. Граффи, К.Н. Савченко. Обширная литература, возникшая в связи с обсуждением и развитием работ Т. Леви-Чивиты, а также большой интерес в 30-х и 40-х гг. XX века к прикладным задачам динамики тел переменной массы послужили причиной того, что уравнение (1.28) стали называть тогда уравнением Леви-Чивита. Это название встречается и сейчас за рубежом. В отечественной литературе уравнение движения точки (тела) переменной массы называют уравнением Мещерского, поскольку оно было рассмотрено И.В. Мещерским в его магистерской диссертации 1897 года [229].
На самом деле вопрос о приоритетности использования какого- либо из уравнений (1.28) и (1.29) носит в достаточной мере принципиальный характер (см. по этому поводу рассуждения А. Зоммерфель- да в его ’’Механике” [139], § 4 о переменных массах, с. 42). Наше мнение в этом важном вопросе совпадает с мнением Зоммерфельда и однозначно склоняется в пользу употребления именно аксиоматического уравнения (1.28).
Для такого заключения есть несколько причин. Во-первых, сам Ньютон рассматривал свое ’’классическое”, традиционное уравнение (1.29) лишь в предположении, что масса т = const. Во-вторых, уравнение (1.28) имеет более общий, изначальный характер, соответствующий второму закону Ньютона (’’изменение импульса равно силе”), а уравнение (1.29) является его частным случаем, когда масса постоянна. В-третьих, уравнение (1.28) имеет дифференциальную форму изменения, т.е. может рассматриваться в качестве некоторого всеобщего дифференциального динамического принципа
(откуда получаем закон сохранения количества движения). И наконец, в-четвертых, если уравнение (1.29) все же принять за основу, то в записи m(t) du(t)/dt = F(t) правая часть F(t) представляет собой лишь активную, внешнюю силу по Ньютону, действующую на систему извне (со стороны). В этой записи нет места внутренней реактивной силе.
Напротив, в уравнении (1.28) вида
, х du _ dm(O , х л = р-и "лН (L3°)
I CLI
реактивная составляющая присутствует в правой части в качестве второго слагаемого. Отметим, что в соотношениях (1.28) - (1.30) F и и — векторы силы и скорости.
Видимо, принимая во внимание такого же рода соображения, И.В. Мещерский при создании им своей теории движения систем с переменными массами попытался не противопоставлять эти две точки зрения (и делать трудный ’’психологический” выбор между уравнениями (1.28) и (1.29)), а постарался объединить, вернее, отождествить их.
Такое равенство было им достигнуто на путях конкретизации понятия силы и использования ’’гипотезы близкодействия”, когда к внешней активной силе Fa) действующей на систему, автоматически добавляется реактивная сила, вычисляемая по правилу Fr = = — udm/dt, т.е. имеем, тем самым, уравнение (1.30). Если же ввести обозначение F = Fa + ГГ. то, очевидно, получим классическое уравнение (1.29). Вывод: согласно Мещерскому, нет разницы в уравнениях (1.28) и (1.29); разница лишь в дешифровке правой части F, в том, что содержит эта сила и что под ней понимается. На наш взгляд, доводы Мещерского нельзя не признать логически обоснованными по целому ряду позиций.
Из такого небольшого обсуждения видно, что природа реактивного движения, несмотря на свою, казалось бы, простоту, наглядность и даже очевидность, несет на себе отпечаток внутренней глубины и требует строгости рассуждений.
Глава 2
Механика точки переменной массы в традиционном изложении
Механика точки переменной массы, или по нынешней терминологии механика точки переменного состава, в своих современных аналитических формах как раздел общей теоретической механики была развита в основном в работах И.В. Мещерского, а затем применительно к задачам практической космонавтики и ракетодинамики — в работах К.Э. Циолковского. В дальнейшем, по мере становления теории реактивного движения и ее технического обеспечения в развитие идей механики тел (точки) переменной массы внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные исследователи.
Отметим характерную особенность традиционной теории движения тел (точки) переменной массы — это учет добавочной реактивной силы, действующей со стороны испускаемых частиц на тело (точку), в виде произведения скорости изменения массы тела (точки) на относительную скорость движения.
Традиционная модель реактивного движения, о которой сейчас идет речь, строится на классическом представлении об импульсе материальной точки через хорошо всем известное, стандартное соотношение в виде произведения массы этой точки на скорость ее движения. Такой стандартный и во многом консервативный подход к понятию количества движения в конечном итоге не позволяет получить точные уравнения движения точки переменной массы с учетом ускорения изменения массы этой точки. Вопросам такого учета изменения массы, приводящего к появлению гиперреактивной силы в уравнениях движения, посвящена вторая часть книги.
В § 2.1 кратко рассмотрено основное содержание диссертации И.В. Мещерского, посвященной исследованию различных задач динамики точки переменной массы, связанных с составлением уравнений движения, анализом задачи о вертикальном подъеме ракеты и некоторых других вопросов. В этом же параграфе дается вывод уравнения реактивного движения Мещерского и его модификаций.
Подробно рассматриваются задачи Циолковского в их традиционном толковании и исследуются оптимальные режимы движения точки при различных законах изменения массы.
В § 2.2 изложена концепция прямолинейного движения точки переменной массы в среде с сопротивлением. Анализируются случаи квадратического и линейного законов сопротивления, т. е. в предположении, что сила сопротивления среды зависит от квадрата скорости либо пропорциональна скорости движения точки. При заданном характере изменения массы определяются скорость движения и закон изменения пройденного точкой расстояния. Кроме этого обсуждается задача о движении точки переменной массы в однородном поле силы тяжести при линейном законе сопротивления среды и находится ее оптимальное решение для вертикального подъема.
Завершает вторую главу § 2.3, посвященный важнейшим законам динамики точки переменной массы. В первом разделе представлены теоремы об изменении: количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, а во втором дается беглое описание вариационного принципа Гамильтона в связи с его исходной, основополагающей ролью для составления уравнений движения Лагранжа в обобщенных криволинейных координатах.
Классическая теория движения
точки переменной массы
Под классической теорией движения точки переменной массы будем понимать современную концепцию метода, предложенного И.В. Мещерским [229], по составлению уравнений реактивного движения с использованием закона сохранения количества движения. Эта концепция основана: 1) на стандартном понятии величины количества движения (импульса) и 2) на гипотезе близкодействия — гипотезе механизма отделения частиц в виде контактного взаимодействия точки и отбрасываемых частиц.
Введение в классическую теорию. Наиболее глубоко задачи динамики точки переменной массы были проанализированы И.В. Мещерским в его диссертации 1897 г. Здесь в предварительном ’’Очерке литературы” Мещерский отметил, что первое известное ему исследование механических систем с непрерывным изменением масс принадлежит А. Кейли. Далее он привел лагранжеву общую формулу динамики для систем переменной массы в форме Кейли и остановился на решении двух его задач о движении цепей. Кроме того, Мещерский сослался на ряд работ по небесной механике тел
48 Часть I. Задачи и методы исследования реактивного двиэюения с изменяющимися массами и отметил существенное значение работ X. Зеелигера.
Аналогично предыдущим исследователям Мещерский ограничился в своей диссертации рассмотрением тех случаев, в которых ’’при действии данных сил на движение тела влияют не только массы, положения и скорости материальных точек в тот момент, когда они присоединяются к телу или отделяются от него, а также и силы, к ним приложенные, когда они находятся в соединении с телом”.
По Мещерскому изменение массы точки является, вообще говоря, результатом неупругого удара, происходящего при встрече двух материальных точек: изменяемой и изменяющей. Скорости обеих точек могут быть и равны между собою, тогда при изменении массы удара не происходит, поскольку относительная скорость их движения равна нулю.
Пусть в некоторый момент т и и — масса и скорость рассматриваемой точки переменной массы; // — изменяющая масса, взятая со знаком + или - , смотря по тому, присоединяется ли она к массе точки или отделяется от нее; и — скорость изменяющей массы; тогда масса точки после изменения будет т + д, а скорость ее по величине и направлению выражается формулой: фм + ри) /(т + д), где в числителе стоит геометрическая (векторная) разность количеств движения (везде далее для простоты записи векторные величины не выделяются). Движение точки в последующий затем промежуток времени определяется как движение точки постоянной массы.
Сначала автор рассматривает на примере вертикального подъема аэростата при выбрасывании балласта движение тела, масса которого изменяется через известные промежутки времени. Далее он переходит к случаю непрерывного изменения массы и получает уравнения движения ’’при отсутствии ударов”, которые имеют тот же вид, что и для тела постоянной массы.
Затем выводятся уравнения поступательного движения твердого тела (точки) переменной массы при учете действия ударов, осуществляемых при (от) соединяющимися массами. Делается это следующим образом.
Пусть точка свободна и масса ее выражается формулой
т = f(t,x,y,z,s),
где t — время, х, у, г — декартовы координаты точки, з обозначает длину пути, пройденного точкой; относительно функции / полагается, что она непрерывна во время движения точки и не обращается в нуль.
Обозначая через X^Y^Z' проекции на координатные оси прибавочной силы, найдем, согласно Мещерскому:
(2-1)
dm dm dm . dm . dm . dm
cx^P^ — проекции скорости центра инерции изменяющихся масс.
Соотношения в системе (2.1) показывают, что прибавочная сила имеет направление геометрической (векторной) разности скоростей изменяющей массы и движущейся точки, а по величине равна произведению этой разности на полную производную от массы точки по времени.
Отметим, что векторную величину, имеющую размерность силы, с компонентами dm/dt • (а — х), dm/dt • ф ~у\ dm/dt • ф — 2ф Мещерский называет ’’прибавочной силой”, поскольку добавление ее к действующим на тело (точку) силам как бы сводит уравнения движения тела (точки) переменной массы к уравнениям для тела (точки) постоянной массы (эту силу сейчас принято называть реактивной).
Присоединяя прибавочную силу к силам задаваемым, уравнения движения свободной точки, переменная масса которой не зависит от скорости, можно представить в виде
d2x dt2d2x dt2dm (.——— xdt vd2zmdrdm (.——— xdt vd2zmdrdm ,.dm ,.(2-2)(2-2)
d2x dt2
d2x dt2
dm (.
——— x
dt v
d2z
mdr
dm (.
——— x
dt v
d2z
mdr
dm ,.
dm ,.
(2-2)
(2-2)
где X, У, Z обозначают проекции равнодействующей задаваемых сил, приложенных к точке. Если масса точки зависит от длины пройденного пути, то тогда к уравнениям (2.2) надо добавить уравнение
• 2 । -2 । -2 = X + у + Z .• 2 । -2 । -2 = X + у + Z .
• 2 । -2 । -2 = X + у + Z .
• 2 । -2 । -2 = X + у + Z .
В работе содержится также детальный разбор как случая, когда точка и изменяющаяся масса имеют одинаковые скорости, так и случая, когда они имеют различные скорости. Для второго случая Мещерский пользуется уравнениями (2.2) и, как и в первом случае, рассматривает уравнения движения несвободной точки. В частности, он выписывает аналог лагранжевой общей формулы динамики для точки переменной массы в виде
^у dmdt2 dt
d2z dm ,.z ~(7 -;)d2z dm ,.z ~(7 -;)дг = 0.дг = 0.
d2z dm ,.
z ~(7 -;)
d2z dm ,.
z ~(7 -;)
дг = 0.
дг = 0.
Остальные части работы Мещерского посвящены решению различных задач движения точки переменной массы, в частности, задачи о вертикальном движении ракеты и аэростата, а также точки с массой т = то (1 + at2) при сопротивлении воздуха, пропорциональном квадрату ее скорости, задачи о движении точки переменной массы в поле сил ньютонова притяжения.
В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим задачу о восходящем движении ракеты. Пусть т обозначает массу ракеты, R^x) — сопротивление воздуха, р — давление газов и ш — величину относительной скорости, которую имеют сгорающие частицы в момент их отделения.
Изучая вертикальное движение ракеты до тех пор, пока в ней происходит сгорание, приходим к следующей задаче: требуется определить восходящее вертикальное движение точки переменной массы т, на которую, кроме силы тяжести, действует сила, вообще говоря, переменной величины р, направленная по вертикали вверх, и сопротивление среды R^x)^ изменяющееся в зависимости только от скорости точки. При этом предполагается, что геометрическая разность между скоростями изменяющей массы и точки направлена по вертикали вниз и равна данной переменной величине ш.
Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда уравнение движения точки будет
d2 хd2 хdmdmт~ггя = -mg+ р- — ш -dt2dtт~ггя = -mg+ р- — ш -dt2dtR(x).R(x).(2.3)(2.3)
d2 х
d2 х
dm
dm
т~ггя = -mg+ р- — ш -dt2dt
т~ггя = -mg+ р- — ш -dt2dt
R(x).
R(x).
(2.3)
(2.3)
Если масса m, давление р и скорость ш выражены как некоторые функции времени, то решение задачи, как видно из уравнения (2.3), приводится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка относительно х. Это уравнение будет уравнением Риккати, если сопротивление воздуха принять пропорциональным квадрату скорости.
Если же сопротивление воздуха может быть выражено двучленом а^Ьх при некоторых значениях постоянных а и 5, то тогда уравнение (2.3) будет линейным первого порядка относительно х :
dx dtdx dt= ~9 += ~9 +р1 dm1— ш т т dtтр1 dm1— ш т т dtт(а + Ъх).(а + Ъх).(2-4)(2-4)
dx dt
dx dt
= ~9 +
= ~9 +
р1 dm1
— ш т т dtт
р1 dm1
— ш т т dtт
(а + Ъх).
(а + Ъх).
(2-4)
(2-4)
В том случае, когда сгорание в ракете происходит равномерно с течением времени, имеем
т = то (1 — at).
где а — постоянная положительная величина. Допуская при этом, что давление р и скорость ш постоянны, получим из уравнения (2.4) следующее выражение для скорости точки:
оо (1 —
где д = Ь/(схто); С — произвольная постоянная. Отсюда находим
p + moaw-aд(1-Д)2
ж =;11 — ai)—г —
ab2а2 (1 — У
а У + 1)’
где D — произвольная постоянная.
Диссертация И.В. Мещерского не вызвала у современников интереса и прошла незамеченной за рубежом. По свидетельству известного российского механика Е.Л. Николаи, ”И.В. Мещерский вспоминал впоследствии, что диспут во время защиты диссертации показал, между прочим, как неясно еще было для многих в то время значение изучения в науке движения изменяющихся масс”. В диссертации и в последующих своих работах И.В. Мещерский обобщил имеющиеся на тот момент достижения по динамике точки переменной массы, развил ряд ее направлений и впервые дал подробное изложение вопроса. Таким образом можно считать, что благодаря работам Мещерского динамика тел (точки) переменной массы оформилась в самостоятельный раздел теоретической механики, поскольку до того она была представлена лишь разрозненными исследованиями.
Уравнения динамики реактивного движения. Рассмотрим движение некоторой точки массой М = М^Тр которая изменяется с течением времени t. Движение этой точки будем изучать относительно неподвижной системы координат Oxyz. Обозначим через и абсолютную скорость (в системе Oxyz) точки в момент времени t, через Qq = Ми — ее количество движения.
Пусть за время dt точка (излучающий центр) массой М отбросила от себя частицу массой dM. Обозначим через и абсолютную скорость этой частицы. Количество движения всей материальной системы (точка плюс отброшенная частица) в момент времени t-\- dt равно
Q = (М + dM) (и + dm) - dM и^
где dui — приращение скорости точки, обусловленное процессом отбрасывания частиц.
Пользуясь законом сохранения количества движения Q = Qo^ можем написать
(М + dM^u + dui) — dM и = Ми^
откуда в пренебрежении членом второго порядка малости dM dui получим
М =(2-5)
Итак, согласно традиционной теории реактивного движения отбрасываемая частица массой dM^ действуя на точку массой М, вызывает приращение скорости точки, вычисляемое по формуле (2.5).
При действии на точку внешней силы F согласно второму закону Ньютона приращение скорости точки du^^ вызванное силой F, с точностью до малых второго порядка равно
dv2 = -^ F dt.(2.6)
Из соотношений (2.5), (2.6) найдем полное изменение скорости точки переменной массы du = dui + du^ :
з dM x 17
dy = _(u_vH_Fdti
откуда несложно получить уравнение (Мещерский И.В., 1897 г.):
, r du _ dM , х.
^^7 = Г+-^-(и-г;).(2-7)
В уравнении Мещерского (2.7) обычно вводят следующие обозначения: и — и = V — относительная скорость излучаемых частиц, (dM/dt) V = Ф — добавочная, или реактивная сила, обусловленная истечением частиц, т.е. [81, 91, 177, 229, 250, 274]
=Р + Ф,dt
где величина \dM/dt\ дает секундный расход массы излучающего центра.
Очевидно, что уравнение (2.7) можно записать в терминах количества движения Qo — Ми :
В зарубежной научной литературе уравнение (2.8) в частном случае, когда и = 0, иногда называют уравнением Леви-Чивита (1928 г.) [432]: dQ0/dt = F.
В случае, когда относительная скорость отбрасываемых частиц V = 0, уравнение Мещерского (2.7) приводит к соотношению
M^=F, M = M(t),
одинаковому по своей форме с уравнением движения точки, масса которой постоянна.
Для многих задач механики тел (точки) переменной массы, особенно задач ракетодинамики, широко используют с целью более эффективного анализа гипотезу Циолковского [377, 378], суть которой сводится к следующему естественному допущению:
и — и = — \'ти Хит0,
где V = const, А = A(t), т° — единичный вектор касательной к траектории излучающей точки, направленный по вектору скорости.
Уравнение Мещерского (2.7) тогда примет вид
Уравнение (2.9) является основным при выводе известной формулы Циолковского в простейших случаях прямолинейного движения.
Задачи Циолковского. В первой задаче Циолковского рассматривается точка переменной массы в среде без сопротивления, без действия каких-либо внешних сил. Требуется найти скорость и и закон прямолинейного движения точки при условии, что выполнена гипотеза Циолковского (У = const, V коллинеарна и противоположно направлена к и).
Из уравнения (2.9) тогда получим
мл_удм
dt di
и далее будем иметь
du = V ——.
М
Допустим, что М = Mg /(t), где /(f) — функция времени, характеризующая изменение массы, такая, что /|г=о = 1- Из уравнения (2.10) в этом случае будет следовать
и = -И1п/+ С.
Пусть /(0) = 1, г(0) = го- Тогда С = го, откуда
V = «о -= Vo + Vln^.(2.11)
Формула (2.11) носит название формулы Циолковского (о некорректности этой формулы в рамках модели Мещерского, когда V = = const, и = const, подробно сказано во второй части книги).
Обозначим через М* массу точки в конце процесса отбрасывания частиц, а через т — отброшенную массу (массу топлива для ракеты). Тогда для скорости г*, которую имеет точка в конце процесса отбрасывания (горения) при uq = 0, из формулы (2.11) получим зависимость
Л/Т
v* = Kln J ^2,3Vlg(l + Z),(2.12)
где отношение Z = т/М* называется числом Циолковского.
Логарифмический закон (2.12) (Циолковский К.Э., 1914 г.) был сформулирован в виде теоремы: ’’Когда масса ракеты плюс масса взрывчатых веществ, имеющихся в реактивном приборе, возрастает в геометрической прогрессии, скорость ракеты увеличивается в прогрессии арифметической”.
Это утверждение легко объяснимо из формулы (2.12), записанной в виде
Мо
V = ln5T
Полагая Mq/M* = q°/ где q — знаменатель геометрической прогрессии, имеем
— = QlnQ.
Здесь а — некоторый числовой коэффициент пропорциональности, 1пд — разность арифметической прогрессии.
Из формулы Циолковского вытекает важный практический вывод о том, что достижение больших итоговых скоростей точки переменной массы выгоднее получать путем увеличения относительных скоростей V отбрасываемых частиц, чем путем увеличения относительного запаса топлива.
илиилиdu dtdu dt= ”9”Vli ln^-= ”9”Vli ln^-
или
или
du dt
du dt
= ”9”Vli ln^-
= ”9”Vli ln^-
Во второй задаче Циолковского точка переменной массы движется вертикально вверх в однородном поле силы тяжести при отсутствии сопротивления среды. Начальная скорость точки равна и^ начальная масса Mq. Относительная скорость V излучаемых частиц постоянна по величине и направлена по вертикали вниз. Требуется найти скорость точки (ракеты) и высоту ее подъема как функции времени в предположении, что закон изменения массы точки по времени задан.
На точку действует внешняя сила — сила тяжести, направленная вертикально вниз. Пусть прямая, по которой движется точка — это ось Oz. В проекции уравнения (2.9) на ось Oz получим
л т dudM
dt 'dt 'М — = -Mg-V —dt a d+
dt '
dt '
С учетом выполнения гипотезы Циолковского, когда V = const, последнее уравнение можно переписать в виде
(2.13)(2.13)(v + Tln/) = -g.
(2.13)
(2.13)
При интегрировании уравнения (2.13) получим
и + У In / = — gt + С,
где С — постоянная интегрирования. Воспользовавшись начальными условиями при t = 0, когда г(0) = гд, /(0) = 1, найдем, что
и = и0 - gtrVXn^.и = и0 - gtrVXn^.(2-14)(2-14)
и = и0 - gtrVXn^.
и = и0 - gtrVXn^.
(2-14)
(2-14)
Если проинтегрировать соотношение (2.14) при условии, что s(0) = 0, определим закон движения точки s(t) или, иначе, высоту подъема z(t) точки (ракеты) в зависимости от времени:
Qt2
s = z = vot-V / In J(t)dt,
2 Jo
откуда получим, что
gt2 aVt2
s = uot - — A—
при f(t) = е at и
s = uot — ——h — Г (1 — ext) In (1 — ext) + atA(2.16)
2 a
при /(f) = 1 — at.
Пусть масса точки убывает по экспоненциальному закону, т.е.
/ (t) = e-at. Из равенства (2.14) в этом случае получим
v = ng +— g) t.
паде-паде-Отсюда будет следовать, в частности, что вертикальный подъем возможен при условии, что aV > g, а именно если ускорение точки, вызванное реактивной силой, больше ускорения свободного ния.
паде-
паде-
когдакогдаНайдем максимальную высоту подъема точки Н = гтах, и = 0, при /(t) = e-at. Имеем, опять же, из равенства (2.14)
когда
когда
г0 — gt + aVt = О
(2-17)(2-17)и далее
(2-17)
(2-17)
g-aV
Из формулы (2.17) становится ясно, что точка будет иметь конечную высоту подъема при уменьшении массы до нуля, если выполнено ограничение g > aV.
При подстановке выражения (2.17) в соотношение (2.15) найдем максимальную высоту подъема точки. Имеем
Подчеркнем, что при выводе формулы (2.18) считается, что процесс отделения частиц (горения топлива) от основной точки (ракеты) длится непрерывно на всей траектории движения вплоть до момента, когда скорость станет равной нулю.
Аналогичные соображения можно привести и при выводе величины Н = ^тах в случае, если масса точки меняется по линейному закону, т.е. если f(t) = 1 — at. Тогда
и = Vo — gt — V In (1 — at),и время движения до момента, когда г = О, определится из уравненияго — gt + V In (1 — at).
Подставляя найденное значение t в формулу (2.16), найдем искомое значение Н.
При показательном законе изменения массы длина пройденного пути s(t) в первой задаче Циолковского определяется из формулы (2.11):
ds = го dt — V In / dt, откуда после интегрирования получим
s = sq + not — V f In f(t) dt,Jo
а затем при /(f) = e-at
aVt2,
s = sq + vot H-—.(2.19)
Пусть в конце процесса отделения частиц (сгорания топлива), когда t = t*, имеем: s = s*, М* = Moe~at\ В этом случае формула (2.19) дает
s* = Sq + rof* Н ^—’(2.20)
причем величина ext* в формуле (2.20) имеет постоянное значение, равное
at* = hi —— = hi Р + — =111 —= д, С = -.(2.21)
Поэтому в соотношении (2.20) после исключения t* получим
Vnll U?V.
s* = Sq Н1—-—, и* = г0 + pV.(2.22)
а 2а
При мгновенном сгорании топлива (случай единовременного удара) имеем: t* = 0, а = оо, s* = Sq. При а ^ 0, что соответствует сколь угодно малым секундным расходам топлива, из выражения (2.22) следует s* оо.
Перейдем теперь к рассмотрению оптимального режима вертикального движения в однородном поле силы тяжести во второй задаче Циолковского. При показательном законе убывания массы имеем: М* = Moe-at*, Mq = М* +m, д = ln(l + m/M*), t* = р/а.
Скорость точки (ракеты) в конце активного участка (в конце процесса сгорания топлива) г* и высота z* активного участка траектории находятся по формулам (2.14), (2.15):
V* = «0 + Ц (v - -),_ д _|_ QC.(2.23)
\ а/2а2 \ ц/
После процесса отделения частиц, при t > t^ масса точки будет постоянна. Имея скорость и* = u(t*\ точка от момента t = t* до максимальной высоты подъема пройдет расстояние
2g2g[у0 +ДУ-д/а)]22g[у0 +ДУ-д/а)]22g(2.24)(2.24)
2g
2g
[у0 +ДУ-д/а)]22g
[у0 +ДУ-д/а)]22g
(2.24)
(2.24)
Таким образом полная высота подъема точки Н с учетом формул (2.23), (2.24) будет равна
, ТД . [уо +/Щ-д/Д]2
Я = ^ + s = —g + aV + -tЪ (2.25) 2cr уд/2g
Отсюда нетрудно заметить, что с ростом а растет и величина Н. Максимальная высота Нтах соответствует тому, что
dH(a)dadH(a)da„ g2v
dH(a)da
dH(a)da
= 0,-= О,
когда о = оо (случаю мгновенного сго-когда о = оо (случаю мгновенного сго-2 а2
когда о = оо (случаю мгновенного сго-
когда о = оо (случаю мгновенного сго-
т.е. соответствует случаю, рания топлива). Тогда
^шах^шах(«0 + pVY^9(«0 + pVY^9(2.26)(2.26)
^шах
^шах
(«0 + pVY^9
(«0 + pVY^9
(2.26)
(2.26)
Итак, для достижения максимальной высоты подъема выгодно наиболее быстрое сжигание запаса топлива.
Найдем, наконец, при каких значениях а активный участок 2* достигнет своей максимальной величины. Пользуясь формулой (2.23), определим
dz*(a) _ _ vop _ ДУДд _
daа2 2а2а3 '
откуда
= NdI = 2g
2г0 + цИ’ lvo=0 V
Отметим здесь, что при гд — О оптимальный режим реализуется, когда ускорение, сообщаемое реактивной силой, вдвое больше ускорения свободного падения.
Имеем, следовательно,
^* max^* max(2v0 + мД28g(2v0 + мД28g
^* max
^* max
(2v0 + мД28g
(2v0 + мД28g
Поскольку и* = рМ/2, то высота подъема Н по формуле (2.25) будет равна max т о“г•
8g8g
В частности при vq = О
а это значит, что при 2* тах высота подъема точки в два раза меньше, чем Hmaxi которая определяется формулой (2.26). Другими словами, при мгновенном сгорании (отбрасывании) частиц топлива максимальная высота подъема в два раза больше, чем при медленном горении, когда обеспечивается активный участок, максимальный по своей величине.
Движение точки переменной массы в среде с сопротивлением
Ниже рассматриваются законы прямолинейного движения точки переменной массы в сопротивляющейся среде в двух вариантах задач, подробно исследованных в работе [177]: когда сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и когда сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения точки.
Движение при квадратическом законе сопротивления. Предположим, что точка переменной массы движется прямолинейно вдоль некоторой оси s; пусть на нее действует извне лишь сила сопротивления среды G^ : G^ = аег, где ае — некоторый числовой коэффициент. Уравнение движения точки
при дополнительном предположении о линейном характере изменения массы, т.ч. М = Mg (1 — of), М = — аМ^ запишется тогда в виде
е-а1^=аУ-кЛ,(2.27)
где обозначено к = ж/Мз-
Интегрируя уравнение (2.27), получим
Положим, что г(0) = 0 при t = 0; тогда С = 0. В этом случае из уравнения (2.28) найдем
/аУ\1/27=Ш/аУ\1/27=Ш/гУД/2/гУД/2где обозначено
/аУ\1/2
7=Ш
/аУ\1/2
7=Ш
/гУД/2
/гУД/2
При больших значениях а, начиная с некоторого момента времени t, будет выполняться оценка (l — cxt^ < е для малых по сравнению с единицей е. Поэтому скорость точки (2.29) будет достигать своего предельного постоянного значения
Щ = 7 =
где If = Mog = Р(0) — вес точки в начальный момент времени t = 0.
Из сравнения силы сопротивления G = аег2 с аналогичной силой аэродинамического сопротивления G = CxpSv2 найдем, что
Здесь Сх — аэродинамический коэффициент сопротивления, р — плотность воздуха, S — характерная площадь объекта (площадь миделя — среднего сечения обтекаемого тела, крыла самолета и т. д.).
Подставляя выражение ае (2.30) в формулу для предельной скорости г*, получим
2ДМД1/2
C^pgS)
Воспользуемся далее соотношением (2.29):
d s _ ds df _1 - fа
dt df dt * 1 + Л ’
где f = f(t) = 1 — af для нахождения закона изменения расстояния s(t\ Имеем
ds _ и* fa - 1df^Vf-pV
откудаоткуда
откуда
откуда
(2.31)(2.31)^ [f (Г ~^df =(/ - 1) М С df
(2.31)
(2.31)
а Л Г + 1« a Jf f-+ 1'
Для приближенного вычисления последнего интеграла в соотношении (2.31) в практических задачах ракетодинамики пользуются аппроксимацией
Тогда имеем
м гa Jfм гa JfdfF + ldfF + l
м гa Jf
м гa Jf
dfF + l
dfF + l
2vt (1 - П у» (1 " Паас
В этом случае расстояние s, пройденное точкой, определяется по формуле
• -■(1"/а" ДД |2"32)
где
= (v_\ 1/2f f = Ml
a V^/ ’ 2V А * Мо’
t* — время окончания активного участка движения.
Из выражения (2.32) вытекает, что при о 0 расстояние з оо. Отсюда можем заключить: при прямолинейном движении точки переменной массы под действием силы квадратического сопротивления среды и реактивной силы выгоден тот режим движения, при котором удельный расход массы (топлива при сгорании) сколь угодно мал.
Движение при линейном законе сопротивления. Известно, что в некотором интервале сверхзвуковых скоростей сила сопротивления среды G^ может быть достаточно точно описана линейным законом: G^ = аег, где ае — некоторый числовой коэффициент.
Исследуем прямолинейное движение точки переменной массы под действием реактивной силы и силы сопротивления G(u) :
л dvdM _ Л
М — = — геи— V.atat
Пусть M(t) = Mg /(t), к = ге/Мо. Тогда уравнение движения примет
видвидdu dtdu dtku 1 dfrн1 ¥ = 0.f f atku 1 dfrн1 ¥ = 0.f f at(2.33)(2.33)
вид
вид
du dt
du dt
ku 1 dfr
н1 ¥ = 0.
f f at
ku 1 dfr
н1 ¥ = 0.
f f at
(2.33)
(2.33)
найдемнайдемИнтегрируя линейное по и дифференциальное уравнение (2.33),
найдем
найдем
а¥
к 1
где С — постоянная интегрирования. Будем считать, что г(0) = = го, /(0) = 1 при t = 0. Тогда С = uq — а¥/к и для скорости можем
написать
и =и =г0-— 1-рГ/а + —. у к /кг0-— 1-рГ/а + —. у к /кОтсюда несложно получить после интегрирования закон изменения расстояния, пройденного рассматриваемой точкой:Отсюда несложно получить после интегрирования закон изменения расстояния, пройденного рассматриваемой точкой:а¥ t8 ■ "Т"а¥ t8 ■ "Т"(«0 - -Д) (1 - aty+k/a у к у(«0 - -Д) (1 - aty+k/a у к у+ D,+ D,где для определения постоянной интегрирования D положим, чтогде для определения постоянной интегрирования D положим, что$(0) = 0 при t = 0. Тогда найдем$(0) = 0 при t = 0. Тогда найдемD =D =1к + а1к + а' а¥^оГ" к' а¥^оГ" ка затем получима затем получима¥ t1—11” "iк к + аа¥ t1—11” "iк к + а
и =
и =
г0-— 1-рГ/а + —. у к /к
г0-— 1-рГ/а + —. у к /к
Отсюда несложно получить после интегрирования закон изменения расстояния, пройденного рассматриваемой точкой:
Отсюда несложно получить после интегрирования закон изменения расстояния, пройденного рассматриваемой точкой:
а¥ t
8 ■ "Т"
а¥ t
8 ■ "Т"
(«0 - -Д) (1 - aty+k/a у к у
(«0 - -Д) (1 - aty+k/a у к у
+ D,
+ D,
где для определения постоянной интегрирования D положим, что
где для определения постоянной интегрирования D положим, что
$(0) = 0 при t = 0. Тогда найдем
$(0) = 0 при t = 0. Тогда найдем
D =
D =
1
к + а
1
к + а
' а¥
^оГ" к
' а¥
^оГ" к
а затем получим
а затем получим
а¥ t1
—11” "i
к к + а
а¥ t1
—11” "i
к к + а
Пусть /* = /р) = 1 — ext* = М*/Мо, где М* — масса точки (ракеты) в конце активного участка (масса ракеты без топлива). Поставим задачу о поиске экстремального, или наиболее выгодного режима удельного расхода массы о, обеспечивающего smax. Имеем
, 1к к + а, 1к к + аа¥ \ /pl + k/aу0 -1 - Лк / уа¥ \ /pl + k/aу0 -1 - Лк / у(2.34)(2.34)
, 1
к к + а
, 1
к к + а
а¥ \ /pl + k/a
у0 -1 - Л
к / у
а¥ \ /pl + k/a
у0 -1 - Л
к / у
(2.34)
(2.34)
Дифференцируя s по а и приравнивая ds/da к нулю, найдем в итоге, что активный участок будет наибольшим при а = 0. При подстановке о = 0 в формулу (2.34) найдем
^тах^тахГЩЛ1±«окГЩЛ1±«ок
^тах
^тах
ГЩЛ1±«о
к
ГЩЛ1±«о
к
т.е. максимальное расстояние будет величиной конечной, в отличие от рассмотренного выше случая, когда G^v) = аег2 и smax ею при о 0.
Движение в однородном поле силы тяжести при линейном законе сопротивления. Исследуем движение точки переменной массы по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести в среде с сопротивлением G^v) = аег. Пусть М = Mq (1 — at). Тогда уравнение движения точки в проекции на вертикаль имеет вид
л duлdM _ Л
М — = — М д — ат— V,dtdt
или в обозначении к = ае/Mg с учетом того, что М = — аМ^
(Л A dv11(Л A dv11= — (1 — at) д — kv + aV= — (1 — at) д — kv + aV
(Л A dv
11
(Л A dv
11
= — (1 — at) д — kv + aV
= — (1 — at) д — kv + aV
и далееи далее(2.35)(2.35)еТ5 (1 _+к /еТ5 (1 _+к /^)(1 -at)1+k/a -^)(1 -at)1+k/a -
и далее
и далее
(2.35)
(2.35)
еТ5 (1 _+
к /
еТ5 (1 _+
к /
^)(1 -at)1+k/a -
^)(1 -at)1+k/a -
dv kvaV
dt 1 — at 1 — at
Линейное дифференциальное уравнение (2.35) имеет общий интеграл
у = С (1 - at^01 ++ Т.(2.36)
а — к к
Чтобы найти постоянную интегрирования С, зададим г(0) = Гд при / = 0. Тогда
С — «о-- .
а — кк
Следовательно, скорость точки (2.36) как функции времени t будет выражаться зависимостью
д (1 — at)aV
а — к к
После интегрирования этого соотношения найдем высоту подъема точки (на активном участке траектории) в функции времени t :
д (1 — at)2aVt
2а (а — к) к
64 Часть I. Задачи и методы исследования реактивного двиэюения где постоянная интегрирования D может быть найдена из условия, что s(0) = 0 при t = 0. Имеем
D =1■ (v0 -9- —) -9
а + к \ а — к к ) 2а (к — а)'
Отсюда найдем закон движения точки на активном участке траектории
= aVt g [1 - (1 - Д)2]
к 2а (к — а)
+" ^) [1 " С1 ".
а + к у а — к к )
Если в это выражение подставить значение t = t*^ где t* — момент времени, соответствующий окончанию процесса отбрасывания частиц (горению топлива, окончанию работы двигателя ракеты), то найдем высоту активного участка траектории s(t*) = г*.
Для нахождения полной высоты подъема точки Н надо знать движение на пассивном участке, т. е. когда процесс отбрасывания частиц закончен и реактивная сила в динамическом описании уже не участвует.
На пассивном участке масса точки постоянна и равна М* и совпадает с массой в конце активного участка: М* = Мд — ттц где т — отбрасываемая масса (масса топлива). Имеем уравнение движения
лr du
М* — = - М^д - аег,
откуда, т.к. М* = Mof«, f« = /(£*), du ku _,
После интегрирования линейного уравнения (2.37) найдем его общее решение
к
Задавая в момент t = t* (конец активного и начало пассивного участков) скорость u(t*) = г*, найдем
При подстановке этого значения С в выражение для и найдем характер изменения скорости точки на пассивном участке траектории:
v = С + РА е-к(г-г.ш. _ 9ру к /к
Чтобы определить закон движения на пассивном участке, проинтегрируем соотношение (2.38). Получим
s = _ к L + РА e-k(t-t.)/f. _PP + q.к у к )к
Постоянную интегрирования D найдем из условия, что s = О при t = t*. Имеем
। 9f* А । 9f*t*d = t v
Значит, закон движения на пассивном участке имеет вид
= к Г + РА (1 _e-k(t-t.)/fA _ gfA-e) (2 3g) к у к ) у/ к
При подстановке в соотношение (2.39) значения времени t = Т, где Т — время подъема, найдем длину пассивного участка траектории s(T) = ^**. Суммарное время подъема Т и высоту подъема Н = 2* + ^** найдем, зная, что при t = Т скорость точки и = 0. Получим в этом случае из формулы (2.38)
+ РА е-к(т-иш. =
* к /к '
Отсюда будем иметь
Таким образом, формула для определения Т запишется в виде
T = ^ + Ab(i + y^Y(2.40)
к \ дм
Отметим здесь, что величины t*,v* в формуле (2.40) были определены ранее с помощью выражения
а также зависимости
а — ка — кgf* «Уа — к к 'gf* «Уа — к к '
а — к
а — к
gf* «У
а — к к '
gf* «У
а — к к '
считаются заданными.считаются заданными.где постоянные Го, V, g^ к, J* и о
считаются заданными.
считаются заданными.
Теоремы динамики точки переменной массы
Приведем основные теоремы об изменении для динамического описания точки переменной массы в традиционном изложении, опираясь при этом, главным образом, на работу [177]. Говоря о теоремах изменения, следуя традиции, будем иметь в виду важнейшие теоремы динамики об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии точки переменной массы, поскольку именно в этих теоремах сконцентрированы характерные свойства движения и законы сохранения кинетических величин.
Основные теоремы динамики. Вначале остановимся на обосновании теоремы об изменении количества движения, полагая, что количество движения точки переменной массы M(t) в момент времени t представляет собой векторную величину Q^t\ равную Q = Мг, где r(t) — скорость точки в неподвижной системе координат Oxyz.
Будем исходить из уравнения движения Мещерского, записан
ного в виденого в видеdQdtdQdtdMdtdMdt(2.41)(2.41)
ного в виде
ного в виде
dQdt
dQdt
dMdt
dMdt
(2.41)
(2.41)
где F — равнодействующая всех внешних сил, и — скорость отбрасываемых частиц в неподвижной системе координат.
Согласно [177] сила (dM/dt)u = G есть сила, обусловленная абсолютным движением отброшенных в единицу времени частиц. Поэтому уравнение (2.41) можно записать так:
dQ = Fdt + GdF
где F dt — элементарный импульс внешних сил, приложенных к точке. Таким образом приходим к теореме об изменении количества движения точки переменной массы в следующей трактовке.
Теорема 2.1. Дифференциал количества движения точки переменной массы равен элементарному импульсу равнодействующей всех внешних приложенных к точке сил плюс элементарный импульс силы, обусловленной абсолютным движением отбрасываемых частиц.
Замечание. В уравнении (2.41) негласно подразумевается, что абсолютная скорость отбрасываемых частиц и = u(t) есть вектор- функция времени. При таком допущении традиционная теория реактивного движения по Мещерскому сразу же ’’ущемляет права” скорости и^ вернее ускорения du/dt, выводя величину, связанную с ней, из общего динамического описания. В этом, на наш взгляд, кроется один из серьезных недостатков модели Мещерского (подробности во второй части книги).
Проанализируем далее случай, основываясь на традиционной теории, когда и = const. Очевидно, что тогда из уравнения (2.41) получим
Ми — Мого + (Мо — ^) = F dt,
где го — ^о)? Mo = M(to\ u(t) = u(to) = и, to — начальный момент времени. Затем можем написать
М (и — и) — Mo (и0 — и) = f F dt.
либолибо^ М (v - и) = F,^ М (v - и) = F,(2.42)(2.42)либолибоd(MV) _d(MV) _V = и — и.V = и — и.
либо
либо
^ М (v - и) = F,
^ М (v - и) = F,
(2.42)
(2.42)
либо
либо
d(MV) _
d(MV) _
V = и — и.
V = и — и.
Отметим, что форма записи уравнения (2.42) весьма примечательна: от нее рукой подать до гиперреактивного уравнения движения. Важность этой формы заключается в том, что она вводит в рассмотрение как бы ’’результирующее” количество движения точки, а именно М (и — и).
В случае, если V = 0, и = г, реактивная сила будет равна нулю, и уравнение (2.41) запишется так:
(2.43)(2.43). г du _М — = F,dt
(2.43)
(2.43)
т.е. уравнение движения точки переменной массы будет иметь такой же вид, как и уравнение движения точки постоянной массы с той лишь разницей, что М в уравнении (2.43) есть функция времени t.
Перейдем к рассмотрению теоремы об изменении кинетического момента. Напомним, что кинетическим моментом (моментом количества движения) исследуемой точки относительно центра (точки) О называется вектор
К = г х Ми^
где г — радиус-вектор точки в неподвижной системе координат Oxyz.
Умножим уравнение (2.41) слева векторно на т :
d (MF _ dMг х -= г х F + г х —— и,
dtdi ’
или, что то же самое,
dKdtdKdtd(r х MFdM
dKdt
dKdt
(2.44)(2.44)—L = T x p ^ T x __ udtdt
(2.44)
(2.44)
Исходя из соотношения (2.44), сформулируем теорему об изменении кинетического момента для точки переменной массы.
Теорема 2.2. Производная по времени от кинетического момента точки относительно центра неподвижной системы координат Oxyz равна моменту действующих на точку внешних сил плюс момент количества движения частиц, отброшенных за единицу времени, по отношению к тому же центру О неподвижной системы координат Oxyz.
Проанализируем несколько частных случаев. Пусть в уравнении (2.44)
(2-45)(2-45)dM
(2-45)
(2-45)
F + ——и = 0.
dt
Тогда, несомненно, получим из того же уравнения
r x Mv = C = const.r x Mv = C = const.(2.46)(2.46)
r x Mv = C = const.
r x Mv = C = const.
(2.46)
(2.46)
Умножим равенство (2.46) скалярно на вектор г :
(2.47)(2.47)Ст = 0.
(2.47)
(2.47)
Уравнение (2.47) представляет собой векторное уравнение плоскости, т.е. при текущем значении r(x,y,z) соотношение (2.47) будет давать плоскую траекторию точки.
В равенстве (2.46) имеем
г х Ми = М (г х = М '= С,
Jdt
где dafdt — секториальная скорость точки (скорость радиуса- вектора г, следящего за точкой). Получим, следовательно,
da dtda dt= —~ У GOHS!, 2М Т '= —~ У GOHS!, 2М Т '
da dt
da dt
= —~ У GOHS!, 2М Т '
= —~ У GOHS!, 2М Т '
откуда вытекает, что в рассматриваемом случае теорема площадей места не имеет.
(2.48)(2.48)Условие (2.45) можно конкретизировать. К примеру, если считать, что внешняя сила F пропорциональна массе точки М, т. е. F = Ма, где а — некоторый векторный коэффициент пропорциональности (ускорение). Этому случаю, заметим, соответствуют сила тяжести, сила ньютонова притяжения и т.д. В результате получим
(2.48)
(2.48)
Ма 4— и = 0.at
При задании закона изменения массы точки, т. ч. M(t) = Mq /(t), где ^(t) — известная функция времени, Мо = M(t0^ из уравнения (2.48) легко найти скорость истечения частиц:
U df^ ' ° d In /(t) ' °-dtdt
Если движение точки переменной массы происходит в центральном поле силы F^ т.е. при условии, что г х F = 0, и при дополнительном предположении, что и || и -^Д> и = Хи^ где А — некоторое число, то тогда уравнение (2.44) примет вид
d (г х МиАЛ dM , х
——-- = А —— (г х г),dtdt
откуда получим
d(r х иА ,. х dM z х _
M —- + (1 - A) —- (r xv) = 0.(2.49)
LLLLLL
После деления уравнения (2.49) на М получим
dv8 (1 - A) dM
где обозначено щ = г х г, или в более компактном варианте
dv8(А - 1) dMdtМ dtdv8(А - 1) dMdtМ dt(2.50)(2.50)
dv8(А - 1) dM
dtМ dt
dv8(А - 1) dM
dtМ dt
(2.50)
(2.50)
Из соотношения (2.50) непосредственно вытекает и8 || щ, а это значит, что вектор и8 меняет только свою величину, но не направление. Постоянство направления вектора и8 = г х и приводит к тому, что плоскость, образуемая векторами г и г, также сохраняет свою ориентацию (положение) в пространстве. Отсюда следует,
что траектория точки, определяемая уравнением (2.50), есть плоская экспоненциальная кривая.
Поэтому в проекции на ось с ортом и® уравнение (2.50) имеет вид
М т2
= ydt, us = ги = г ш, где us,r,u — длины соответствующих векторов, ш — угловая скорость точки. Интегрируя последнее уравнение, можем написать решение в полярных координатах:
г2 = С ed = С ed м ,dt’
где С — постоянная интегрирования, г — полярный радиус, р — полярный угол точки.
Завершим обзор основных теорем динамики упоминанием о теореме изменения кинетической энергии. Пусть, как обычно, кинетическая энергия точки переменной массы М определяется соотношением Т = Ми2/2.
Будем исходить из уравнения Мещерского, записанного в виде
dMdtdMdtdudM
dMdt
dMdt
V и dtdt
Если это уравнение умножить скалярно на величину и dt = dr, то получим
Ми du + и2 dM = F dr + ии dM,
откуда будет следовать
/ и2 \1
d ( —— 1 + - и2 dM = F dr + ии dM,(2.51)
где величину ии dM можно интерпретировать как элементарную работу реактивной силы, обусловленной абсолютным движением отбрасываемых частиц.
Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии точки переменной массы в стандартном изложении звучит так.
Теорема 2.3. Дифференциал кинетической энергии точки переменной массы плюс кинетическая энергия элементарного количества отброшенных за время dt частиц равняется элементарной работе всех приложенных к точке внешних сил плюс элементарная работа реактивной силы, обусловленной абсолютным движением отбрасываемых частиц.
Для формулировки теоремы об изменении кинетической энергии часто пользуются не соотношением (2.51), а его преобразованным выражением
= F dr + Ф dr += F dr + Ф dr +г2 dM2г2 dM2(2.52)(2.52)
= F dr + Ф dr +
= F dr + Ф dr +
г2 dM
2
г2 dM
2
(2.52)
(2.52)
где Ф = V dM/dt — реактивная сила, V = и — г — относительная скорость. Уравнение (2.52) легко получить из обычного уравнения Мещерского путем скалярного умножения на вектор г dt = dr :
Mr dr = F dr + Ф dr.
Тем самым, пользуясь соотношением (2.52), приходим к следующему утверждению, которое можно рассматривать как аналог теоремы 2.3: дифференциал кинетической энергии точки переменной массы равен сумме элементарных работ приложенных к точке внешних и реактивных сил плюс кинетическая энергия элементарного количества отброшенных за время dt частиц.
Вариационный принцип Гамильтона. Пользуясь связью вариационного принципа Гамильтона с экстремальными свойствами реальных движений, найдем уравнения движения точки переменной массы в обобщенных лагранжевых координатах.
Уравнения реактивного движения Мещерского — векторные, силовые; поэтому задачи динамики с их использованием требуют знания сил и моментов в любой момент времени. Это ведет к известным математическим трудностям, если требуется определить движение материального объекта при различных начальных и конечных условиях.
В самом деле, задачу определения движения между произвольно выбранными точками по неизвестной заранее траектории трудно анализировать с помощью основных уравнений динамики (см. раздел 2.3.1), поскольку без указания траектории движения нельзя найти и действующие силы.
Такие задачи наиболее успешно решаются при помощи уравнений движения, полученных на основании вариационного принципа, доставляющего экстремальное значение интегралу от некоторой скалярной функции, определенной на траектории движения.
В интегральном принципе Гамильтона в качестве такой скалярной функции берется функция Лагранжа L = Т — П, где Т — кинетическая энергия системы в функции соответствующих координат и скоростей, П — потенциальная энергия в функции координат (если рассматривается консервативная система).
Принцип Гамильтона утверждает, что движение системы на промежутке времени [to, Н] должно быть таким, чтобы интеграл, называемый действием по Гамильтону (мера механического движения),
SH= [ 1 Ldt,J to
принимал экстремальное значение, т.е. чтобы его вариация б8н = 0.
Пусть L = L(r,r,t) = Т + U, где т = (ту) = т(х,у, г) — вектор- радиус точки, где г = 1,2,3, U(r) — потенциал, F = gradt/ — поле внешних консервативных сил. Воспользуемся для вывода уравнений Лагранжа принципом Гамильтона. Имеем
(2.53)(2.53)д Ldt = 6Ldt = l—drtF^dradt,
(2.53)
(2.53)
J toJ toJ to \dri dri /
где за обобщенные координаты точки выбраны ее декартовы координаты, а по одинаковым индексам г = 1, 2, 3 производится суммирование.
В соотношении (2.53):
J to driJ to driJ to L W / dt dTi
dL cОТ^dL cОТ^d dL 7 — —- dr^ dt, db Отd dL 7 — —- dr^ dt, db От
dL c
ОТ^
dL c
ОТ^
d dL 7 — —- dr^ dt, db От
d dL 7 — —- dr^ dt, db От
откуда с учетом того, что dr(to) = dr(ti) = 0, получим
(2.54)(2.54)C1 dLC1 d dL
(2.54)
(2.54)
/— drzdt=-dt
J to driJ to dt drt
Согласно принципу Гамильтона для истинного движения системы б8н = 0, поэтому имеем, принимая во внимание соотношения (2.53), (2.54),
СЧdL d dL\ с ,/ (а) дтч dt = 0Jto \dri dtdrij
и далее в силу произвольности бт^
£8L _8Ll dt Oft ЭГг£8L _8Ll dt Oft ЭГгi = 1,2,3.i = 1,2,3.
£8L _8Ll dt Oft ЭГг
£8L _8Ll dt Oft ЭГг
i = 1,2,3.
i = 1,2,3.
Аналогично можно поступить и для вывода канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона Н(р, г, t) = CiPi — L(r,f,t),
где р = Mt. Отсюда Г = TiPi — Н. Используя принцип Гамильтона к этой функции Лагранжа Г, придем в итоге к каноническим уравне
ниямниямЭНЭНЭргЭтiЭНЭНЭргЭтiг = 1,2,3.г = 1,2,3.
ниям
ниям
ЭНЭН
ЭргЭтi
ЭНЭН
ЭргЭтi
г = 1,2,3.
г = 1,2,3.
Формализм Лагранжа и Гамильтона можно распространить на случай неконсервативных сил, т.е. сил, которые не могут быть получены из скалярной потенциальной функции. Сила Ф = udM/dt, где и — абсолютная скорость отбрасываемых частиц, как раз является примером такой силы. Приведем уравнение Лагранжа без соответствующего вывода:
£ аг _ ЭГ
dt ЭТг Эт i
Несложно получить уравнения Мещерского непосредственно из уравнений (2.55). Положим для простоты U = О, F = О, Г = Т = = Мт^ (2^ Ф* — UidM/dt. Тогда получим
d(MtAdM
; =—г-dtdt
или (ft = v£или (ft = v£dvi т г dMdt dtdvi т г dMdt dtVi = Ui — Vi.Vi = Ui — Vi.
или (ft = v£
или (ft = v£
dvi т г dMdt dt
dvi т г dMdt dt
Vi = Ui — Vi.
Vi = Ui — Vi.
Метод Лагранжа позволяет также учитывать возможные ограничения, накладываемые на движение точки переменной массы. Пусть движение точки стеснено связями с уравнениями связей вида /7 (г, t) = 0, з = 1,2. Тогда принцип Гамильтона для определения уравнений движения с учетом наложенных ограничений можно применить к новой функции Г + Xjfj, где Xj — неопределенные числовые множители Лагранжа. В этом случае вариационный принцип Гамильтона в общем виде выглядит так:
(2.56)(2.56)6SH = 6 t ‘ (L + Xjf3 dt = 5 Г Ldt + 6 / ‘ XJ, dt = 0. J toJ toJ to
(2.56)
(2.56)
Первое слагаемое в равенстве (2.56) приводит к уже известным уравнениям Лагранжа, а второе — дает дополнительные составляющие Xj dfj/dTi. В результате придем к уравнениям
d эг эг _ х Э£dt дт i дт i 7 дт i
в случае консервативных сил и
d ЭГ ЭГ т дГdt ЭТг ЭТгЭТг
в случае неконсервативных сил 4^5 ^ — 1,2,3, j = 1,2.
Модельный пример. Рассматривается плоское движение точки переменной массы М (ракеты) по окружности радиуса R. Имеем для этого случая в полярных координатах (г, р) : /(г, р, t) = r—R = 0. Лагранжиан равен
где иг = г — радиальная скорость точки, ир = гф — трансверсальная скорость точки; и = и(иг^ ирф иТ ± ир. Кроме того, wr = г — гф2 — радиальное ускорение, wp = гф + ^гф = (1/г) • d(r2ф')/dt — трансверсальное ускорение, w = w(wr, трф wT ± wp.
Из принципа Гамильтона получим два уравнения с одним множителем Лагранжа А :
-Мгр2 = А + (г + Иг) —-atх at
для движения по г и
1 d(Mr2ф) , . х dM
для движения по р. Здесь V = V(Vr)Vp) — относительная скорость истечения частиц в проекции на радиус и касательную к нему в точке пересечения с окружностью.
Разрешим первое уравнение относительно А с учетом того, что г = Л, г = 0 :
А = — К —h Мгф2 .у at/
Совершенно ясен смысл этого выражения: первый член дает радиальную составляющую реактивной силы (силы тяги реактивного двигателя), а второй член равен центробежной силе. Отсюда заключаем, что множитель А равен ограничивающей силе, которая должна быть приложена к точке (ракете), чтобы она двигалась по окружности заданного радиуса R.
Из второго уравнения найдем
М д(г2ф) dMг dt р dt '
Разрешим это уравнение относительно М :
/ Г d(r2ф^\/ f rdф\
М = Мо exp -—-— = Мо exp -—— ,
V J rVp )\ J Vp )
что дает нам закон изменения массы при движении по заданной окружности. Пусть для простоты Vp = const, г = R. ф(фо) = 0. Тогда из последнего соотношения получим значение массы точки
М(t) = Mg exp (— к ф^Г^
в момент времени к к = R)Vp.
Глава 3
Механика космического полета и элементы ракетодинамики
О выдающемся влиянии работ К.Э. Циолковского на общий ход становления и развития ракетной техники, теоретических исследований в области ракетодинамики и в целом космонавтики было уже сказано. Подчеркнем важность пионерских работ Циолковского [377, 378] в плане демонстрации огромных возможностей самого принципа реактивного движения. Проведенные им расчеты, полученные формулы устанавливают взаимосвязь между массой ракеты и скоростью ее движения, указывают наиболее выгодные пути преодоления силы тяготения. Его по праву можно считать изобретателем жидкостных реактивных двигателей, основоположником теории многоступенчатой ракетодинамики и теории межпланетных сообщений.
По мере становления ракетной техники и космонавтики в развитие теоретических и практических идей Циолковского внесли свой вклад многие российские и зарубежные исследователи. Не претендуя на полноту, укажем лишь на некоторые широко известные теоретические и технические разработки [11, 22, 27-30, 81, 89, 92, 101, 108, 109, 126, 127, 131, 136, 141-143, 147, 160, 173, 175, 187, 188, 198, 206, 232, 252, 263, 266-270, 301, 302, 316, 324, 377, 378, 389, 404, 414]. Дополнительный список литературы по данной тематике приведен также во Введении. Исходным аналитическим материалом для настоящей главы послужили различные сведения и теоретические результаты, помещенные в работах [25, 214, 215, 233, 406].
В § 3.1 собраны хронологические этапные данные из новейшей истории развития теории реактивного движения, а также материалы по практическому ракетному воплощению. Классический период в механике тел переменной массы, затронувший весь прошлый век, ознаменовался бурным развитием космонавтики и в целом ракетостроения. В параграфе отмечается важное прикладное значение формулы Циолковского для скорости движения ракеты на общий ход развития космических исследований. Большое внимание уделяется
оптимизационным задачам ракетодинамики и их связи с баллистическими возможностями реактивных устройств.
В следующем § 3.2 рассматривается задача о движении космического летательного аппарата в центральном гравитационном поле планеты. Определяются уравнения плоского движения в полярной системе координат, интегрируя которые можно найти траекторию полета аппарата. Изучаются уравнения орбит, их параметры и особенности в тесной взаимосвязи со скоростными характеристиками движения самого аппарата.
В § 3.3 продолжается детальное изучение задачи об орбитальном полете космического аппарата (КА) в гравитационном поле. Определяются соотношения между скоростью КА в конце активного участка, углом наклона траектории и радиусами эллиптической орбиты. Фиксируются условия для выхода из поля тяготения. Для полета по замкнутой траектории находится период орбитального движения. Данные результаты используются также в задачах, связанных с межпланетными полетами, с определением особенностей движения КА по различным орбитам.
Заключительный § 3.4 разбит на два идеологически дополняющих друг друга раздела. Первый из них посвящен полету ракеты с большой реактивной тягой и, как следствие, с большим ускорением. Второй, наоборот, — полету с малой тягой и с малым ускорением. Плоские уравнения движения уточняются для различных важных частных случаев. Кроме того, первый раздел знакомит с интересной задачей о движении многоступенчатых ракет, о распределении масс ступеней для придания составной ракете максимальных скоростных показателей. При исследовании полета с малым ускорением в свободном полете и в поле тяготения анализируются оптимальные режимы работы двигателей КА с помощью решения условных вариационных задач.
Краткая историческая справка
Общее понимание законов, управляющих движением ракеты на активном участке ее движения, было достигнуто еще в середине XIX века. В учебном пособии К.И. Константинова (1856 г.), например, сказано: ”В каждый момент горения ракетного состава количество движения, сообщаемое ракете, равно количеству движения истекающих газов”. Задача о подъеме ракеты в строгой математико-механической постановке имеется уже в учебнике по динамике П. Тейта и У.Дж. Стила (1856 г.), а затем в более общем виде — в диссертации И.В. Мещерского (1897 г.).
Новый этап в развитии теории движения ракет начался с зарождения инженерных идей космического полета. В статье К.Э. Циолковского ’’Исследование мировых пространств реактивными приборами” (1903 г.) с помощью простых расчетов движения ракеты как точки переменной массы была обоснована возможность применения ракет для межпланетных полетов и заложена программа развития космонавтики и ракетостроения.
К.Э. Циолковский вывел ”на основании закона о постоянстве количества движения” известную формулу для скорости движения ракеты в отсутствие тяготения:
V Mi + м2
Ц ” П М! + м ’
где Mi, М2, М — соответственно массы корпуса ракеты ”со всем содержимым, кроме запаса взрывчатых веществ”, исходного и текущего запаса взрывчатого вещества, Vi — постоянная относительно ракеты скорость отбрасываемого взрывчатого вещества. Отсюда при М = 0 Циолковский получил формулу для наибольшей скорости ракеты:
Н П ( + М1)'
Эта формула Циолковского явилась фундаментом для дальнейшего теоретического анализа возможностей и перспектив космического полета.
В случае вертикального движения ракеты в поле постоянной силы тяжести К.Э. Циолковский получил без обращения к дифференциальным уравнениям следующую формулу для скорости ракеты по окончании активного участка:
4 = (1--) In б+^Уу р /\ Mi;
где g — ускорение силы тяжести, р — постоянное ускорение, сообщаемое ракете взрывчатыми материалами в отсутствие тяготения и предполагающее экспоненциальное убывание массы. Рассмотрев задачи определения запасов топлива на ракете, необходимых для совершения космических полетов, Циолковский изучил и вопрос о запасах топлива, обеспечивающих обратную посадку космической ракеты на Землю без учета сопротивления атмосферы.
За рубежом инженерные идеи реактивного ракетного полета получили развитие в начале XX века во Франции (Р. Эно-Пельтри, 1913 г.) и в США (Р. Годдард, 1919 г.). В Германии исследования в
области освоения космического пространства с помощью ракет были начаты Г. Обертом (1923 г.). Теоретическая часть этих работ, относящаяся к общим расчетам движения ракет, основана на динамике точки переменной массы. Приведем для примера исходное уравнение движения ракеты в форме, предложенной Р. Годдардом:
с (1 — k) dm = (М — т) dv + [ R + д (М — т) ] dt.
где М — первоначальная масса ракеты, т — масса, отброшенная до момента t^ и — скорость ракеты в этот момент, с — скорость выброса извергаемой массы, R — сила сопротивления воздуха, д — ускорение силы тяжести, dm — элементарная масса, извергаемая за промежуток времени dk к — постоянная доля массы dm^ состоящая из частей ракеты, отбрасываемых с нулевой относительной скоростью.
Важным для исследования движения ракет было нахождение скорости выброса газа из ракетного сопла. Расчеты истечения газа из сопла рассматривались до того в теории газовых турбин и были перенесены на ракеты, в основном без особых изменений. Из первых работ, посвященных адиабатическому истечению газов из сопел применительно к ракетам, отметим работу Д.П. Рябушинского ’’Теория ракет” (1920 г.). В 20-х гг. прошлого века в исходное уравнение движения ракет было внесено уточнение, а именно указано на необходимость учета избытка давления на внешнем срезе сопла ракеты в сравнении с атмосферным давлением.
Вопрос этот, по-видимому, впервые рассмотрел в 1923 г. П. Лан- жевен при исследовании баллистических эффектов истечения из сопла ракет пороховых газов. Анализируя скорость адиабатического истечения газа из емкости высокого давления через сопло с неполным расширением, он обнаружил, что тяга Т ракеты не равна силе реакции истекающих газов —V dM/dt, но складывается из нее и из силы (р — ра) ш, действующей на входное сечение сопла с площадью и за счет разности давлений в этом сечениии р и атмосферного ра.
Следовательно, общая сила тяги ракеты составляет
т = -у(^Г + (р-ра')ш.
Разделив силу тяги Т на массовый расход газа q = —dM/dt, получаем величину
Ке = у+(^А,
q
имеющую размерность скорости, которую Ланжевен назвал эффективной скоростью истечения газов. В ряде практических случаев
для ракет на твердом топливе Ve > V^ т. к. истечение газа происходит в сверхзвуковом режиме и давление в выходном сечении сопла превышает атмосферное.
Таким образом, в основу расчета вертикального движения ракет, начиная с 20-х гг. XX века, бралось уравнение
M^ = -Mg^-Q(v,^-^-Ve, (3.1) I CLI
где M = M(t) — масса ракеты, g(h) — зависящее от высоты полета h ускорение силы тяжести, Q(u^h?) — зависящее от скорости и и высоты h аэродинамическое сопротивление ракеты, Ve — эффективная относительная скорость истечения продуктов горения из сопла реактивного двигателя.
Уравнение (3.1) впоследствии трактовалось многими исследователями не всегда правильно. Об этом хорошо сказано в выпущенной в США в 1947 г. монографии Дж. Россера, Р. Ньютона и Дж. Гросса ’’Математическая теория полета ракет”. Излагая общие теоремы механики применительно к реактивному движению ракет, авторы сформулировали следующий принцип: ’’Общая сумма внешних и реактивных сил, действующих на ракету, равна произведению массы ракеты на ускорение ракеты”. Относительно этого принципа они сделали следующее замечание: ’’Это звучит подозрительно похоже на закон Ньютона о том, что сила равна произведению массы на ускорение. По этой причине этот принцип был одно время источником существенного недоразумения, поскольку множество исследователей формулировало этот принцип в форме, где общая сила, действующая на ракету, равна скорости изменения количества движения ракеты”. Относительно ’’недоразумения” см. комментарии в конце § 1.4 по поводу уравнений (1.28) и (1.29) и понятия силы.
Различные важные вопросы ракетодинамики сводятся, как известно, к решению разнообразных оптимизационных задач, прежде всего связанных с оптимизацией расхода топлива. Первая задача подобного рода была поставлена в 1919 г. Р. Годдардом. Это задача о минимальной стартовой массе ракеты при заданной полезной ее массе, необходимой для достижения заданной высоты. Годдард исследовал эту задачу в приближенной постановке, разбивая путь ракеты на ряд отрезков с постоянным ускорением движения dv/dt и сопротивлением Q. Ему удалось получить некоторые практические выводы, в частности о росте перегрузки при оптимизации режима полета, на что впервые обратил внимание еще К.Э. Циолковский.
Более удачный подход к проблеме оптимизации вертикального подъема ракеты был развит Г. Обертом, который предложил в ка-
честве приближенного критерия оптимальности условие
- =0,ои \ V )
где через R обозначена сумма внешних сил R = Q + Мд. При этом решение для скорости ракеты и можно найти в квадратурах. Подробный анализ оптимизационных подходов Р. Годдарда и Г. Оберта имеется в известном двухтомном учебнике по механике А.А. Космодемьянского [177], где, в частности, показано, что метод Оберта приближается к оптимальному решению ropt с уменьшением отношения v/Ve (< 1).
В строгой математической постановке задача Годдарда была рассмотрена в 1927 г. с помощью методов вариационного исчисления немецким механиком Г. Гамелем в предположении экспоненциально убывающей по высоте плотности воздуха и постоянства эффективной скорости Ve и силы тяжести.
К 30-м гг. XX века относятся работы российских ученых по теории реактивного движения ракет: В.П. Ветчинкина, Л.С. Душкина, В.С. Зуева, М.К. Тихонравова, И.А. Меркулова, Ю.А. Победоносцева. Из зарубежных исследователей выделим работы по динамике ракет Ф. Дж. Малины и А.М. Смита (1938 г.). В 30-х и 40-х гг. основные исследования в ракетном деле были связаны с разработкой эффективных реактивных двигателей и поиском конструктивных решений. В то же время обширные теоретические исследования по динамике тел переменной массы были проведены в Советском Союзе А.А. Космодемьянским, Л.П. Смирновым, Ф.Р. Гантмахером, Л.М. Левиным, И.П. Гинзбургом, а в США — Дж. Джаратанной.
Укажем также на новый самостоятельный раздел ракетодинами- ки, получивший развитие в конце 40-х гг. Речь идет о релятивистской ракетодинамике. Первая публикация по этой теме принадлежит швейцарскому механику Я. Аккерету (1946 г.), который получил уравнение релятивистского движения ракеты в координатах ’’неподвижного” наблюдателя в виде
” = 1 - „ = ^ |32)
где М^ и Мд — конечная и начальная массы покоя ракеты, ш — относительная скорость истечения, с — скорость света. При w/c< 1 из формулы (3.2) следует формула Циолковского v = w ^(Мо/ЛД). Аккерет рассмотрел возможность использования для привода ракеты ядерной энергии (ядерно-импульсная ракета взрывного типа). Вопросы релятивистской ракетодинамики, а также теории движения
82 Часть I. Задачи и методы исследования реактивного двиэюения фотонных ракет получили в 50-х гг. наибольшее развитие в работах немецкого инженера-физика Е. Зенкера.
Многие послевоенные исследования были посвящены задаче Годдарда об оптимизации тяги для достижения максимальной высоты с заданной полезной массой. В этой задаче оптимизируемые характеристики являются функционалами, заданными неявно через дифференциальные уравнения движения и начальные условия. В вариационном исчислении задачи подобного типа были поставлены А. Майером и О. Больцем.
К 1946 г. относятся публикации трех известных работ по динамике ракет: А.А. Космодемьянского [175], А.Ю. Ишлинского [147] и Д.Е. Охоцимского [266]. А.А. Космодемьянский получил для задачи Годдарда в предположении зависимости сопротивления Q от скорости ракеты и формулу
,(л - Мй - ("U -Vem + vVe9Q/8v
gVe’(}
позволяющую с помощью квадратур находить искомое соотношение /(f) в параметрическом виде: / = / (г), t = t(u\
При исследовании вариационной задачи Годдарда А.Ю. Ишли- нский предложил ввести в качестве независимой переменной величину скорости и. На самом деле еще Г. Оберт пользовался скоростью и в качестве независимой переменной. Д.Е. Охоцимский исследовал первую вариацию 6J оптимизируемого функционала по всей совокупности допустимых траекторий. Из результатов Д.Е. Охоцимского отметим обобщение им формулы (3.3) на произвольные зависимости g = g^h\ Q = Q(u^h). Были изучены также случаи однородной атмосферы, квадратичного закона сопротивления, случай переменной по высоте плотности воздуха, входящей коэффициентом в величину аэродинамического сопротивления Q. При этом было установлено наличие трех типов оптимального расхода топлива в соответствии с различными начальными условиями и параметрами задачи.
Среди первых послевоенных зарубежных исследований по ракетной технике отметим обзорную работу X. Сейферта, М. Миллза и М. Саммерфилда ’’Физика ракет” (1947 г.). В 1951 г. С. Цянь и Р. Эванс опубликовали подробные расчеты к задаче Годдарда с помощью классических методов вариационного исчисления. Ими были, в частности, проанализированы случаи линейного и квадратичного аэродинамического сопротивления при экспоненциальном изменении плотности воздуха с изменением высоты. Для более общего подхода к оптимизации траекторий эта задача была еще раз рассмотрена Д. Лоуденом (1954 г.). Затем Дж. Лейтман (1956 г.) дал
решение задачи Годдарда для модели конусообразной ракеты, когда поперечное сечение ракеты уменьшается с уменьшением ее массы и Q ~ М2/3.
В середине 50-х гг. стали широко развиваться общие вариационные методы в применении к задачам оптимизации ракетных траекторий с привлечением общих математических средств исследования задачи Больца-Майера. Среди работ этого направления, опубликованных за рубежом, отметим исследования Д. Лоудена, П. Чикала, А. Миеле, Дж. Лейтмана. Ряд исследований по оптимизационным проблемам ракетных траекторий был выполнен в конце 40-х и начале 50-х гг. в СССР Л.Р. Воробьевым, А.И. Зенкиным, Л .С. Каменомостским, А. А. Космодемьянским, Д.Е. Охоцимским, Б.И. Рабиновичем, Р.Е. Соркиным, П.Е. Эльясбергом, Т.М. Энее- вым.
При решении проблемы баллистических возможностей простых и составных ракет при полете на дальние расстояния важным теоретическим и практическим этапом того времени явились также работы по расчетам летных характеристик ракет, для получения высоких конечных скоростей в конце активного участка, снижения веса конструкции и т.д.
Обратимся к одной из таких этапных работ [160], посвященных исследованию баллистических особенностей ракетных устройств простого и составного (пакетного) типа. Большой интерес вызывают результаты, позволяющие сформировать определенное представление о перспективах использования модифицированных ракетных схем и установленных на них двигателей.
Для достижения наибольшей дальности полета следует идти по пути увеличения конечной скорости ракеты на активном участке. Следуя работе [160], будем при выводе основной формулы для конечной скорости ракеты учитывать тягу двигателя и составляющую силы тяжести, касательную к траектории. Кроме того предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь; косинус угла атаки полагается равным единице. В этих условиях уравнение движения в проекции на касательную к траектории имеет вид
du F .
— = q sin dt Р/д У ’
где и — скорость ракеты, F — тяга двигателя, Р — вес ракеты, а — угол наклона траектории, д — ускорение силы тяжести.
Интегрируя уравнение движения на активном участке полета при t Е [0, Т], Т — время движения на этом участке, найдем для
конечной скорости соотношение
F dt т _~ J9T' FigF dt т _~ J9T' Fig
F dt т _
~ J9T' Fig
F dt т _
~ J9T' Fig
где величина J = f^ sin a dr, т = t/T^ представляет собой среднее значение синуса угла наклона траектории на активном участке, а слагаемое JgT характеризует потерю конечной скорости из-за действия силы тяжести.
Обозначим через F* удельную тягу двигателя. Тогда расход топлива двигателем можно выразить уравнением
dPm _ _ F_dt F* ’
где Pm — вес топлива в ракете. Несложно отсюда путем интегрирования найти время Т движения ракеты на активном участке:
Т = F*JoТ = F*Jo'Р™° dP„. F 1'Р™° dP„. F 1
Т = F*
Jo
Т = F*
Jo
'Р™° dP„
. F 1
'Р™° dP„
. F 1
где Fmg — начальный вес топлива.
Используя написанные выражения, получим формулу для конечной скорости
Вес ракеты можно представить суммой Р = Pm-\- РкР Р^ где обозначено: Рт — вес топлива, Р^ — вес конструкции, Рп — вес полезного груза.
Стоит отметить, что интегрирование в этой формуле проводится на участках постоянного значения F^ и F в двух интегралах соответственно с последующим суммированием полученных результатов. Важное значение этой формулы для и состоит в том, что она позволяет подсчитать конечную скорость как простой, так и составной ракеты.
Заканчивая этот краткий обзор, проведенный по материалам работ Г.К. Михайлова, А.П. Мандрыка, Н.А. Шуваева и других специалистов — исследователей истории развития теории реактивного движения систем переменной массы, отметим в заключение, что новые математические постановки и разнообразные методы решения сегодня широко проникли в космодинамику, затрагивая вопросы динамики космического полета, выбора оптимальных параметров
космического аппарата, оптимального управления его двигательной системой и оптимальных траекторий полета.
Общее исследование движения ракеты показывает, что конечная скорость ракеты может быть увеличена несколькими способами: путем повышения удельной тяги реактивного двигателя, путем повышения отношения начального веса ракеты с топливом к весу полезного груза, путем снижения веса конструкции. Существует еще и гиперреактивный путь увеличения скоростных показателей — за счет придания процессу изменения массы динамического, т.е. ускорительного характера.
Движение в центральном гравитационном поле. Свободный баллистический полет
Изучим плоское движение летательного аппарата в космическом пространстве при наличии доминирующего центрального гравитационного поля. Пусть М — масса тела, создающего гравитационное поле, т — масса космического аппарата (КА), совершающего движение в этом поле. Запишем кинетическую энергию этой системы двух тел в виде суммы кинетической энергии центра масс и кинетической энергии отдельных масс, движущихся вокруг центра
масс:масс:Т =Т =т + М • 21т + М • 21тМт + МтМт + М(3.4)(3.4)
масс:
масс:
Т =
Т =
т + М • 21
т + М • 21
тМт + М
тМт + М
(3.4)
(3.4)
где R — радиус-вектор центра масс системы относительно некоторой инерциальной системы координат, г — вектор между центрами масс т и М.
Обозначим приведенную массу в соотношении (3.4):
тМтГ М'
При условии, что т <^ М, имеем ц т.
Поскольку первый член в выражении (3.4) описывает кинетические возможности движения центра масс системы (и не вызывающего, заметим, большого интереса), это слагаемое опустим. Такое игнорирование, очевидно, равносильно приведению к системе координат, которая движется со скоростью R относительно введенной инерциальной системы координат.
Рассмотрим потенциальную функцию U(r). В соответствии с законом тяготения Ньютона потенциальная энергия взаимодействия
исследуемых масс обратно пропорциональна расстоянию г между центрами масс, т.е.
^тМ^цМ
г г (1 — ^Мф
= 7М
11-ц/М’
(3-5)
где у — гравитационная постоянная.
Запишем далее функцию Лагранжа L в полярных координатах (г, рф пользуясь зависимостями (3.4) и (3.5) и принимая во внимание, что г2 = г2^2 + г2. Получим
L = Т- U = (rV + г2) + —.(3.6)
2г
Тогда скалярные уравнения Лагранжа (по г и р) с функцией L (3.6) в предположении отсутствия внешних неконсервативных сил будут
иметь вид
-^1 _+ ^ = о,
atг2
d (^ф) =dt '
(3.7)
Из второго уравнения системы (3.7) следует, что величина углового момента системы
Р = —- = нт^ф = const. оф
Следовательно, при постоянном значении ц получим второй закон Кеплера движения планет: скорость изменения площади, ’’заметаемой” радиусом-вектором орбитальной точки, постоянна.
Первое уравнение системы (3.7) тогда можно записать так:
Р2
ЦТ += 0.(3.8)
рт3 г2
Найдем далее полную энергию Е исследуемой консервативной системы:
E = T + U=- (рф2 + г2) - Р =
Домножая уравнение (3.8) на г и интегрируя по времени, найдем
. dr P2r fur _
pr —з + ~Г = °’diг2
откуда получим после интегрирования
9 1 р2
- • иг + - • —= const.
р 2 дг2 г
Таким образом, в соотношении (3.9) имеем Е = const, dE/dt = 0.
Разрешив уравнение (3.9) относительно г, придем в результате к дифференциальному уравнению первого порядка по г :
22г = —г = —ПР2г2р,г2ПР2г2р,г21 1/21 1/2(3.10)(3.10)
2
2
г = —
г = —
ПР2
г2р,г2
ПР2
г2р,г2
1 1/2
1 1/2
(3.10)
(3.10)
Определим теперь уравнение орбиты г = г(р) — траектории, по которой движется КА. Пользуясь выражением для Р, найдем
Тогда уравнение (3.10) перепишется в виде
dr =dr =" 2" 2Пр2г2/ir2Пр2г2/ir2"I 1/22"I 1/22
dr =
dr =
" 2
" 2
Пр2
г2/ir2
Пр2
г2/ir2
"I 1/22
"I 1/22
откуда сразу же вытекает
dr Р Г 2 г2 ц [ цdr Р Г 2 г2 ц [ цР22дг2Р22дг2- -1/2— ^5- -1/2— ^5
dr Р Г 2 г2 ц [ ц
dr Р Г 2 г2 ц [ ц
Р22дг2
Р22дг2
- -1/2
— ^5
- -1/2
— ^5
и далее будет следовать
-d (--d (-'2д£2/Ур2 р2'2д£2/Ур2 р2112 -1 -1/22 -1 -1/2= dp.= dp.(3.11)(3.11)
-d (-
-d (-
'2д£2/У
р2 р2
'2д£2/У
р2 р2
1
1
2 -1 -1/2
2 -1 -1/2
= dp.
= dp.
(3.11)
(3.11)
Интегрируя уравнение (3.11), придем в итоге к выражению
1 =г Р21 =г Р21+1 +1+1 +2ЕР2 \ 1/2""ТгТ cosy , ГК /J2ЕР2 \ 1/2""ТгТ cosy , ГК /J(3-12)(3-12)
1 =
г Р2
1 =
г Р2
1+1 +
1+1 +
2ЕР2 \ 1/2"
"ТгТ cosy , ГК /J
2ЕР2 \ 1/2"
"ТгТ cosy , ГК /J
(3-12)
(3-12)
где ср — угол относительно координатной оси, проходящей через центр (г = 0) и перигей орбиты (ближайшая к центру точка).
Уравнение (3.12) представляет собой уравнение конического сечения, эксцентриситет которого равен
2SF2 \1/2
I + 7V / ■
Эллиптическая орбита соответствует случаю, когда е < 1, Е < О (т. е. когда в выражении (3.9) для Е отрицательная величина U = — — fpYr2 преобладает над положительной величиной Т). Параболическая орбита соответствует случаю, когда е = 1, Е = 0, а гиперболическая — когда е > 1, Е > 0.
Модельный пример. Рассмотрим случай движения ракеты около невращающейся Земли радиуса Ra. Пусть ракета запускается со скоростью ир по эллиптической траектории при г = R^ и р = pk. Обозначим через 9к угол траектории к горизонту в момент запуска (в момент, когда скорость ракеты равна rPY Угол 9к можно найти по формуле
dr
г dp R
либо исходя из соотношений, установленных ранее:
dr Р dr dt pr2 dpdr Р dr dt pr2 dp1/21/2
dr Р dr dt pr2 dp
dr Р dr dt pr2 dp
1/2
1/2
откуда по формуле (3.13) получим
tg 9k = - гtg 9k = - гdr dpdr dpгр Г 2 У Vpгр Г 2 У Vp2/tr2 fp,fn2/tr2 fp,fn1/21/2-1-1
tg 9k = - г
tg 9k = - г
dr dp
dr dp
гр Г 2 У Vp
гр Г 2 У Vp
2/tr2 fp,fn
2/tr2 fp,fn
1/2
1/2
-1
-1
r=Rp
Уравнение орбиты (3.12) симметрично по р. Поэтому конечное значение угла 9S равно 9kl причем ps = 2л — рк. Без учета атмосферы можем положить R^ = Ra. Баллистическая дальность S равна
(3-14)(3-14)S — Ra Yps Рк) — ^Ra (^ PkY
(3-14)
(3-14)
Найдем уравнение орбиты (3.12) относительно скорости ир (скорости в конце активного участка) и угла запуска 9к. Для этого воспользуемся равенствами
S=—, Р =/iR^p cos 0kl
Кр
справедливыми для модели невращающейся Земли. При подстановке зависимостей (3.15) в результате ряда алгебраических преобразований получим из соотношения (3.12) уравнение, определяющее рк в функции Vp^Ok^Rp :
R^p cos 6k” JR^p cos 6k” J(3.16)(3.16)
R^p cos 6k” J
R^p cos 6k” J
(3.16)
(3.16)
до видадо видаЭто уравнение можно упростить, если продолжить преобразования,
до вида
до вида
(3.17)(3.17)/ f \
(3.17)
(3.17)
Ctg№ = 1 - у2Тй" Ctg^-\ Rpv‘ cos2 9k /
Используя выражения (3.14) и (3.17), можем написать итоговую формулу для баллистической дальности S полета в модели невращающейся Земли без учета сопротивления атмосферы (Rp = Ra) :
S = 2Ra arcctgS = 2Ra arcctg/ /\RMp cos2 9k/ /\RMp cos2 9k- 1- 1ctg 9kctg 9k(3.18)(3.18)
S = 2Ra arcctg
S = 2Ra arcctg
/ /
\RMp cos2 9k
/ /
\RMp cos2 9k
- 1
- 1
ctg 9k
ctg 9k
(3.18)
(3.18)
Из соотношения (3.18) следует, что S 0 при 9к ^0, 9к тг/2. Для невращающейся Земли это соответствует 1) горизонтальному запуску и дальнейшему полету по окружности радиуса Rp и 2) вертикальному запуску с последующим возвращением в исходную точку запуска.
Если учесть эффект вращения Земли, надо в формуле (3.15) в выражении для Р добавить слагаемое Р' = цшаР^ cos2 ^ — угловой кинетический момент, возникающий за счет вращения Земли; здесь ша — угловая скорость вращения Земли, t[) — долгота точки запуска. Разрешение уравнения орбиты относительно рк^ равно как и запись формулы для дальности полета S будут представляться намного более сложной задачей, так как надо в этом случае учитывать вращение Земли относительно траектории КА.
В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о влиянии величин ир и 9к на дальность полета S. Чтобы найти оптимальный угол наклона 9* вектора скорости ир ракеты в конце активного участка, разрешим уравнение dS/d9 = 0 относительно 9^ где величина S определяется формулой (3.18). Дифференцируя S по 9 и приравнивая результат к нулю, найдем оптимальное решение
9* = arctg [ 1 —9* = arctg [ 1 —му/2му/2(3.19)(3.19)
9* = arctg [ 1 —
9* = arctg [ 1 —
му/2
му/2
(3.19)
(3.19)
При подстановке значения 9* (3.19) в формулу (3.18) для 9к : 9к = 9*, найдем максимально возможную баллистическую дальность S*.
Этим соотношениям можно придать более простую и практичную форму, если пренебречь членом 1 — ц/М ^ 1 в выражении для / (3.5) и воспользоваться тем, что ускорение силы тяжести g на уровне моря равно g = g® = ^M/R^. Тогда уравнения (3.18), (3.19) запишутся соответственно в виде
Хорошо видно, что для обеспечения высокой точности по дальности S и S* полета ракет дальнего действия следует обеспечить высокую точность по скорости ир в конце активного участка.
Орбитальные и межпланетные полеты
Рассмотрим задачу о полете КА по замкнутой орбите в гравитационном поле планеты. Для определения характеристик и условий устойчивого полета при описании движения спутника будем исходить из уравнений орбит (3.12), (3.16).
l + tl+SEPHUVYR2l + tl+SEPHUVYR2Пусть производится запуск спутника с помощью ракеты-носителя на орбиту Rg > Ra. Предполагается, что вектор ир в конце активного участка касателен орбите. Для нахождения соотношения между гр, 0^ (угол наклона траектории) и Дтах) Дтт (максимальный и минимальный радиусы эллиптической орбиты) надо воспользоваться уравнениями (3.12) и (3.15). Получим в результате преобразований
l + tl+SEPHUVYR2
l + tl+SEPHUVYR2
1 - (1 +2ЕР2/(/2/Р))1/2
(3.20)(3.20)1+ [ 1 + (^ — 2) ^cos2 (Д/2
(3.20)
(3.20)
1- [l + ^-2)Ncos26»fe]1/2'
Здесь положено
В формуле (3.20) значение угла 6^ можно найти из уравнения
при заданных значениях ир и Rg. Отметим также, что случай
горизонтального запуска на орбиту, когда 0^ = 0, дает из уравнения (3.20) следующее отношение радиусов эллиптической орбиты:
(3.21)(3.21)= 1 ± (1 - ТУ)
(3.21)
(3.21)
^min i=f(i-aO'
В соотношении (3.21) Rmax соответствует верхний знак, a Bmin — нижний знак при запуске из точек Rp = Rm&x^ Rp — ^min? причем Up — требуемая скорость для запуска на эллиптическую орбиту из точек радиуса Rp = Ятах или Rp = Emin вокруг тела радиуса Ra.
Найдем условия для выхода из поля тяготения. Для этого положим Rmax = оо. Из соотношения (3.21) получим, что Л = 2. следовательно, скорость ухода ракеты по параболической траектории
равнаравнаvp = Цvp = Ц2>Д\1/2 /^yV72Rp )\ R3 )2>Д\1/2 /^yV72Rp )\ R3 )(3.22)(3.22)
равна
равна
vp = Ц
vp = Ц
2>Д\1/2 /^yV72
Rp )\ R3 )
2>Д\1/2 /^yV72
Rp )\ R3 )
(3.22)
(3.22)
Формула (3.22) позволяет найти скорость ухода с любого гравитационного тела при условии, что Rp = Ra. Для круговой орбиты N = 1, следовательно, из уравнения (3.21) найдем скорость орбитального
полета спутника
vP = vsvP = vsRp /Rp /(3.23)(3.23)
vP = vs
vP = vs
Rp /
Rp /
(3.23)
(3.23)
Из соотношения (3.23) вытекает, что кинетическая энергия КА уменьшается с увеличением перигея. Тем не менее полная энергия, затраченная на запуск, увеличивается до предельного значения энергии, требуемой для выхода из поля тяготения при Rp = оо.
Воспользуемся уравнениями (3.15) и (3.23). Тогда получим для круговой орбиты при Up = vs :
E = ESE = ESel2el2RpRp2Kp2Kp
E = ES
E = ES
el
2
el
2
Rp
Rp
2Kp
2Kp
цЛ = _ figoRq2 SRpцЛ = _ figoRq2 SRp
цЛ = _ figoRq
2 SRp
цЛ = _ figoRq
2 SRp
при допущении, что выполнены условия
Е\Е\= о,= о,мм
Е\
Е\
= о,
= о,
м
м
При движении по орбите в свободном полете интерес представляет также и задача об определении периода орбитального движения. Пользуясь законом сохранения количества движения, из уравнения (3.8) найдем
N _ dG
2 dt 2/i dt '
где G — площадь, ’’заметаемая” орбитальным радиусом-вектором; соответственно dG/dt — скорость изменения этой площади.
Проинтегрируем уравнение (3.24) по всей эллиптической кривой, принимая во внимание, что площадь эллипса G = nab; а и b — большая и малая полуоси. Имеем
Я(3.25)
Здесь через т обозначен период обращения по орбите.
Для нахождения требуемой орбитальной скорости КА ир в перигее воспользуемся уравнением (3.21), где надо взять нижний знак. В результате относительно ир получим уравнение
Rmin 2 Дтах
90 RaRma.c 4" -^min
Для нахождения up в апогее надо в уравнении (3.21) взять верхний знак, что соответствует простой перемене мест Rmax и Bmin в уравнении (3.26).
Подставим значение b = Рт/(2тгпд) из соотношения (3.25) в выражение для эксцентриситета г эллипса (е < 1) : г2 = 1 — (Ь/а)2. Тогда получим
р2 9
£2 - 1 = -
С другой стороны из уравнения (3.12) имеем
21 = 2ЕР2
/2д3 ’
где величина Е определяется соотношением (3.15). Приравнивая эти выражения, найдем
Т = “Д•
ГР
При подстановке сюда разрешенных относительно ир уравнений (3.15), (3.20) получим в итоге (подробности см. в работе [25]) формулу для вычисления орбитального периода КА:
(Дпах + Дпт)3/2 _ (Дпах + -^min)3^2 _
~ V2W “
3/23/2
3/2
3/2
в предположении, что
4 ч Ц < М, М = -
где р — средняя плотность планеты.
Уравнения орбит, полученные для случая центрального силового поля, конечно же, можно применить и к задаче полета КА в гравитационном поле Солнца или какого-либо другого центра гравитации.
Отметим, что для использования данных результатов к задачам, связанным с межпланетными полетами, особый интерес вызывает установление соотношений между начальными и конечными скоростями и положениями КА на орбитальных траекториях, а также нахождение времени полета по различным орбитам.
Пусть требуется осуществить переход с одной круговой орбиты Lt радиуса Ri на другую Lj радиуса Rj. Понятно, что здесь возможны различные варианты. Траекторией минимальной энергии является так называемая орбита Хомана — единственная баллистическая траектория, касательная к орбитам Li и Lj. Хотя перелеты по другим орбитам могут давать выигрыш по времени, энергетически они будут менее выгодны. При этом надо учитывать, что в конце переходной орбиты потребуются затраты энергии на уменьшение или, наоборот, увеличение кинетической энергии радиального движения, создание необходимого углового момента для дальнейшего полета по орбитам Li или Lj.
Соотношение между радиусами орбит и скоростью ир в конце активного участка можно найти, если разрешить уравнение (3.12) относительно ир в функции Rp с помощью уравнений (3.13) и (3.15) для Ок^Е и Р, где Р — угловой кинетический момент относительно Солнца (в центре Солнца расположено начало системы координат).
Изменение скорости перехода Д^, требуемой для хомановской орбиты, касающейся круговых орбит Ri и Rj, равно разности между скоростью на орбите перехода в точке запуска и скоростью на устойчивой круговой орбите перед запуском.
Таким образом, применяя уравнения (3.23) и (3.26), получим требуемые изменения скорости:
для запуска с орбиты радиуса Ri :
\ Ri /_ у Rt + Rj /_
для запуска с орбиты радиуса Rj :
дм1/2 [ (у72 1
Rj /\ R^ + Rj /
где через Ms обозначена масса Солнца.
Поскольку у орбиты Хомана точка возврата находится в точке запуска и в точке орбитального радиуса-вектора планеты-цели, то время перехода t* с одной орбиты на другую можно найти как т/2 из уравнения (3.27):
= 7Г (Л + К^
*2'•
Если орбита перехода КА не хомановская, то для нахождения z\t'L и t* следует решать уже нестационарные уравнения орбитального движения с конечными ненулевыми значениями углов 9^ и р^. Очевидно, что решение этой задачи в полном объеме с учетом наличия реальных параметров и внешних воздействий вряд ли возможно аналитическим способом без применения средств вычислительной техники.
Внешняя баллистика под действием реактивной силы тяги
Ниже исследуются несколько задач [25], посвященных внешней баллистике неконсервативных систем, т.е. систем, наделенных реактивной тягой. Действие реактивной силы с большой и малой силой тяги может создавать движение как с большим, так и с малым ускорением. Соответственно будем эти два случая различать между собой.
Полет с большим ускорением. Рассмотрим полет с большим ускорением в поле гравитации Земли. Для описания движения КА возьмем функцию Лагранжа L в виде соотношения (3.6). При ее подстановке в уравнение Лагранжа для неконсервативных сил (2.55) в инерциальной неподвижной системе координат с началом в центре Земли получим следующие дифференциальные уравнения в обобщенных координатах (по г и р) :
-Лу-^2 + ^ = дг,
(3.28)(3.28)atг2
(3.28)
(3.28)
at "
где р — масса ракеты (КА) в текущий момент времени t, R =
= (RT) R^) — обобщенная сила с компонентами
Яг = (^ + К) г° = [ г + V sin (9 + ф) ],
(3.29)(3.29)LLLLLL
(3.29)
(3.29)
R^ = Г (и + У) р° = г ^тр + Vcos (9 + V9 ] LL LLLL
Здесь V = и — и — относительная скорость истечения частиц: г0, (р° — единичные векторы направлений г и ^ соответственно, г = и — вектор скорости КА, | т* |2 = | и |2 = г2 + г2ф2 = и2 + п2;
9 — угол наклона траектории полета по отношению к местной горизонтали, ф — угол между вектором тяги и вектором скорости КА. Считается, что вектор тяги проходит через центр масс аппарата и
тем самым не создает вращающих моментов.
При подстановке соотношений (3.29) в систему (3.28) получим уравнения
(3.30)(3.30)dr .о fudu
(3.30)
(3.30)
dф_ . .du
дг ——h ^дгф = V cos (9 + ф) • —.
LLLLLL
Часто вместо системы (3.30) рассматривают равносильную ей систему с помощью замены ф = (г/г) ctgO. Имеем в этом случае
drг29 _ fuц — - ц — ctg2 9 + —diгг2drг29 _ fuц — - ц — ctg2 9 + —diгг2д ctg#д ctg#дгф sin2 9дгф sin2 9V sin (9 + ф) • ^,V cos (9 + ф) • ^.V sin (9 + ф) • ^,V cos (9 + ф) • ^.(3.31)(3.31)
drг29 _ fu
ц — - ц — ctg2 9 + —
diгг2
drг29 _ fu
ц — - ц — ctg2 9 + —
diгг2
д ctg#
д ctg#
дгф sin2 9
дгф sin2 9
V sin (9 + ф) • ^,V cos (9 + ф) • ^.
V sin (9 + ф) • ^,V cos (9 + ф) • ^.
(3.31)
(3.31)
(3.32)(3.32)Система нелинейных уравнений (3.31) не интегрируется в общем виде, поэтому переходя к важному частному случаю вертикального подъема, когда вектор силы тяги коллинеарен траектории движения, получим (9 = тг/2, ф = 0) из первого уравнения системы (3.31):
(3.32)
(3.32)
dt г2 dt
dr , ,rdp, d(f + got)dr , ,rdp, d(f + got)(3.33)(3.33)Пусть запуск ракеты производится вертикально с поверхности Земли в предположении, что изменением г по сравнению с На можно пренебречь и / ^М = дрЁ^- Тогда уравнение (3.32) запишется в виде
dr , ,rdp, d(f + got)
dr , ,rdp, d(f + got)
(3.33)
(3.33)
Обозначим через [0, tp^ интервал времени активного полета. Для упрощения выкладок заменим величину до ее усредненным по времени [0, tp^ ускорением силы тяжести д : д = 0-/tp) J0P g(t) dt. Тогда из уравнения (3.33) после интегрирования получим
ш0ш0— = ехр тр— = ехр тргР- гр Г gtpгР- гр Г gtp-V-V
ш0
ш0
— = ехр тр
— = ехр тр
гР- гр Г gtp
гР- гр Г gtp
-V
-V
где то = m(0), тр = m(tp) — масса КА т = д в начале и конце активного участка.
При движении ракеты под постоянным углом 6* 7^ тг/2 уравнению движения можно придать вид
(3.35)(3.35)d (г + g sin 9t) V dgdtg di
(3.35)
(3.35)
Интегрируя уравнение (3.35) с усредненным по времени значением psin 9, получим
т0т0— = ехр тр— = ехр тр— Vq + S' sin 9 ^р— Vq + S' sin 9 ^р(3.36)(3.36)
т0
т0
— = ехр тр
— = ехр тр
— Vq + S' sin 9 ^р
— Vq + S' sin 9 ^р
(3.36)
(3.36)
Если в своем анализе пойти дальше и рассмотреть движение ракеты с учетом сил аэродинамического сопротивления — G, то в уравнение (3.35) надо ввести силовую величину, равную G = V Adg/dt, где А — отношение аэродинамического сопротивления к тяге двигателя ракеты:
(1Дг+^^ = 1,(1_д)^(3 37)
В предположении малости А по сравнению с единицей можно воспользоваться приближением, связанным с усреднением по времени величины А. Интегрируя в этом случае уравнение (3.37), получим решение
то (ир — ио + gsin 9tp\
-K(l-A)
где △ = (1Д) /о” ^№
Рассмотрим в этом разделе также и задачу о движении многоступенчатых ракет [25, 160]. Конструктивные особенности этих аппаратов позволяют им достигать конечных скоростей, в несколько раз превышающих скорости одноступенчатых ракет при одинаковых параметрах двигательных установок. Пусть ракета состоит из п ступеней. Тогда общее отношение масс равно произведению отношений масс каждой ступени, а именно
где (mo/mp)t = еау eg — показатель степени у числа е в соотношениях (3.34), (3.36), (3.38).
Из формулы (3.39) следует, что а* (а тем самым и конечная скорость КА) увеличивается с ростом числа ступеней п. Уравнение для отношения масс /с-ой ступени (соответствует одному члену уравнения (3.39)) имеет вид
(3.40)(3.40))СТк = (ток + E-J (mo)i
(3.40)
(3.40)
(тРк + Ei=i (ток ’
где Стк — показатель степени у числа е в уравнениях для отношений масс, когда используется топливо &-ой ступени.
Введем в анализ параметр Х^ равный отношению общей массы всех к — 1 ступеней к общей массе &-ой ступени, и параметр б^ равный отношению конечной массы после сгорания топлива к общей массе &-ой ступени:
х _ ЕДДо^ л - ХкЛк (ток ’ (ток'
С применением этих соотношений уравнение (3.40) запишется в виде
Ок + М
Теоретический и практический интерес имеет задача о нахождении максимума приращения скорости аппарата за счет одной ступени. Приближенно ее можно решить, исходя из условия максимума пользуясь тем, что в соотношениях (3.34), (3.36), (3.38) в выражениях для показателя степени а к у числа е лишь разность ир — Го зависит от к^ остальные величины от к не зависят, либо зависят слабо.
Для нахождения max а к продифференцируем а к по к, пользуясь уравнением (3.41). Имеем
(Тк = 1П(Тк = 1П1 + ^fcбк + ^к1 + ^fcбк + ^к
(Тк = 1П
(Тк = 1П
1 + ^fcбк + ^к
1 + ^fcбк + ^к
откуда будет следовать
(3.42)(3.42)dxy^ дек dXk до"к 36^dk дХк dk Эдк dk '
(3.42)
(3.42)
Если в уравнении (3.42) величина бк не меняется от ступени к ступени, то d6k/dk = 0 и условие экстремума (максимума) будет выглядеть так:
= ” 1= Q /3 43Ч dk (дк + Afc)(l + Хк) dk
В исследуемом случае Х^ и 6^ постоянны, следовательно величина сг^ не зависит от к и одинакова для всех ступеней. При 5^ ^ \ имеем в соотношении (3.43)
dX^ dop dk ’ dk '
т.е. Хк = const, op = const. Вывод: параметры многоступенчатой ракеты будут оптимальными, если каждая ступень будет иметь одинаковое отношение расходуемой массы к общей.
Полет с малым ускорением. Отметим прежде всего, что запуски ракет с поверхности планеты могут производиться только при наличии двигателей большой мощности в течение достаточно короткого промежутка времени. Между тем запуски с орбитальных траекторий можно осуществлять при малых ускорениях полета, с двигателями малой мощности на больших интервалах действия реактивной силы тяги.
Для анализа динамики полета КА на больших промежутках времени надо уметь исследовать оптимальные режимы работы двигателей КА. Введем в рассмотрение такие параметры, как мощность Q двигателя и коэффициент эффективности q в виде отношения мощности, расходуемой на создание реактивной тяги (dm/dt) И2/2, ко всей потребляемой мощности Q :
V2 dm 2q dt 1
где знак минус взят с учетом отрицательного значения dm/dt в процессе реактивного отбрасывания частиц.
Считая параметры Q и q постоянными, из уравнения (3.44) несложно найти закон изменения массы ракеты m(t) в функции времени:
3 dt
mP = m0-2qQ J °(3-45)
Расход энергии Qtp^ где tp — время окончания активного участка в формуле (3.45), определяет min m(t) при max V(t) и, соответственно, max m(t) при минимизации интеграла (3.45). Одновременно потребуем выполнения условия
w(t) dt = vp — vq = const,(3.46)
где w(t) — ускорение ракеты на промежутке времени реализации активного участка [0, tPY
тяги ускорение задается формулойтяги ускорение задается формулой(3.47)(3.47)При полете КА в свободном пространстве под действием только реактивной силы
тяги ускорение задается формулой
тяги ускорение задается формулой
(3.47)
(3.47)
тХ) dt
С ПОМОЩЬЮ СОО"С ПОМОЩЬЮ СОО"(3.45), (3.47) из уравнения (3.46)(3.45), (3.47) из уравнения (3.46)получимполучим
С ПОМОЩЬЮ СОО"
С ПОМОЩЬЮ СОО"
(3.45), (3.47) из уравнения (3.46)
(3.45), (3.47) из уравнения (3.46)
получим
получим
^0 =^0 =ftp V dm _ ftp V (—2qQdt) о m Jo m V2ftp V dm _ ftp V (—2qQdt) о m Jo m V2
^0 =
^0 =
ftp V dm _ ftp V (—2qQdt) о m Jo m V2
ftp V dm _ ftp V (—2qQdt) о m Jo m V2
dtdt22(3.48)(3.48)
dt
dt
2
2
(3.48)
(3.48)
Наряду с вариационной задачей с условием (3.46), дающей экстремум интеграла (3.48) при некотором V(t\ ввиду сложности ее аналитического решения рассмотрим вариационную задачу, в которой исследуем вариацию ускорения ракеты 6w(t).
Для этого возьмем уравнение (3.44) и подставим в нем вместо V2(t) величину ей равную из уравнения (3.47):
2 w2m2 (dt)2(dm)2
После подстановки, очевидно, получим
dm w2 dt/ . х
Интегрируя затем уравнение (3.49), будем иметь
—f w2(s)ds.(3.50)
m(t) т0 2qQ JQ
Из соотношения (3.50) следует вывод о том, что наибольшее значение m(t) будет достигаться при наибольшей величине Q (либо при наибольшей величине V согласно предыдущему выводу). Если Q = const, то max m(t) будет достигаться при минимальном значении интеграла в правой части соотношения (3.50).
Воспользуемся для решения этой вариационной задачи с интегралом J0Pw2(s)ds и интегральным условием (3.46): JQP w(s) ds = = const, методом множителей Лагранжа для функции w2(t) + Xw(t) с постоянным множителем А. Тогда получим решение уравнения Эйлера: 2w(t) + А = 0, откуда вытекает, что w = const, Vt 6 [0, tp].
Чтобы обеспечить это условие, согласно уравнениям (3.44) и (3.47) надо потребовать, чтобы величина произведения m(t) V(t) была постоянной.
В этом случае при допущении, что мощность двигателя постоянна, имеем равенство постоянных величин, из которого можно найти конечную скорость
Ур - ^0Ур - ^0= W^ Up — Vq = W tp.= W^ Up — Vq = W tp.(3.51)(3.51)
Ур - ^0
Ур - ^0
= W^ Up — Vq = W tp.
= W^ Up — Vq = W tp.
(3.51)
(3.51)
11w2 tpтртр2qQ 111w2 tpтртр2qQ 1а из уравнения (3.50) имеем равенство для определения конечной массы
11w2 tp
тртр2qQ 1
11w2 tp
тртр2qQ 1
(3.52)(3.52)либо
(3.52)
(3.52)
тр2qQ
Исключим tp из уравнений (3.51), (3.52). Тогда постоянное ускорение системы определится формулой
В уравнении (3.53) вместо Q и ио подставим их значения, пользуясь соотношениями (3.44) и (3.47). Тогда найдем зависимость V(t) в функции массы т^др а также начальных и конечных значений скорости и массы:
W) =W) =2qQ2qQ(3.54)(3.54)тр / т0тр / т0
W) =
W) =
2qQ
2qQ
(3.54)
(3.54)
тр / т0
тр / т0
где величина m(t) задается уравнением (3.50) при w = const. Из уравнения (3.54) найдем далее
ур ~+ ^Ртр - иртрур ~+ ^Ртр - иртрт0 / тр — 1тр — трт0 / тр — 1тр — тр
ур ~+ ^Ртр - иртр
ур ~+ ^Ртр - иртр
т0 / тр — 1тр — тр
т0 / тр — 1тр — тр
При исследовании полета ракеты с малым ускорением в гравитационном поле надо в уравнения движения КА включить силу гравитации. Рассмотрим уравнения орбитального движения (3.30) под действием внешних сил Fr, Fp :
Fr = Vsin^ + VO ~, Д = Гсо8(6> + ^)-^,CLlCLL
и соответствующую задачу оптимизации для радиального wT = Ег/// и углового иОф = F^f р ускорений силы тяги; /а = т — масса КА.
Отметим, что уравнения (3.30) являются частными случаями общих уравнений динамики
где через U(x-^ х^^ хп Д) обозначена гравитационная потенциальная функция, ^ Хг = Э /Эхг — оператор частного дифференцирования по координате х^.
Экстремальное решение в этом случае при заданных начальных и конечных условиях определяется соотношением
(3.55)(3.55)d2w.Э2Г
(3.55)
(3.55)
dt2 + Wk dxk dxi 'к
Зададим потенциальную функцию К(г) с помощью равенства (3.5). Тогда условие (3.55) для составляющих шг,шу запишется соответственно в виде
d2 wr 2 / wrdt2 r3d2 wr 2 / wrdt2 r3d2 w^dt2d2 w^dt2= 0.= 0.(3.56)(3.56)
d2 wr 2 / wrdt2 r3
d2 wr 2 / wrdt2 r3
d2 w^dt2
d2 w^dt2
= 0.
= 0.
(3.56)
(3.56)
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений (3.30) и (3.56) для нахождения движения ракеты в функции времени. Уточним, что по причине нелинейности этих уравнений общий анализ оптимального полета в активном режиме в гравитационном поле затруднителен. Поэтому определение точных траекторных решений с некоторыми заданными начальными и конечными условиями требует привлечения приближенных численных методов.
Модельный пример. Рассмотрим движение ракеты, осуществляющей орбитальный полет с радиусом Rq вокруг гравитационного тела и стартующей в некоторый начальный момент времени с этой орбиты [25]. Положим в начальный момент р = 0, г = Rq, т = 0. В выражении (3.24) имеем: Р = цг2ф = ц (JRq)1^2.
Для определенности зададим еще четыре начальных (полетных) условия для двух составляющих ускорения силы тяги и их производных. Простоты ради считаем тягу постоянной во все время активного полета и направленной касательно к начальной орбите: wr = 0, wr = 0, w^ = w*, w^ = 0, где ш* — некоторая заданная постоянная величина.
Уравнения (3.56) при этих условиях выполняются тождественно во время всего полета. Уравнения (3.30) имеют в этом случае вид
^-2/
(3.57)(3.57)— - tv2 + у = °, dtrz
(3.57)
(3.57)
dф .
r — + 2 гф = ue
Система нелинейных уравнений (3.57) интегрированию в конечном виде не поддается. Поэтому возьмем величину Р/р = г2 ф = Lb качестве углового кинетического момента единицы массы. Тогда получим одно уравнение относительно L = L(t) :
(3.58)(3.58)1 d3L fdEV f dLw4 dt3 \dt ) w* dt
(3.58)
(3.58)
В общем виде уравнение (3.58) не имеет аналитического решения, тем не менее попытаемся его оценить. Для этого с помощью уравнений (3.24) и (3.30) найдем начальное значение величины dL/dt :
(3.59)(3.59)dL\w*L^
(3.59)
(3.59)
i. I яр Ro -,
^Л=оf
где Lq = ЦО). Дифференцируя L(t\ можно найти
\д3 Л=о\д3 Л=о6w3Lo _ 6 w* Ro6w3Lo _ 6 w* Ro(3.60)(3.60)
\д3 Л=о
\д3 Л=о
6w3Lo _ 6 w* Ro
6w3Lo _ 6 w* Ro
(3.60)
(3.60)
Сравним выражения (3.59) и (3.60): при выполнении неравенства
(3.61)
первое слагаемое в уравнении (3.58) намного меньше остальных двух и им можно пренебречь.
Чтобы лучше представить масштаб этих оценок, рассмотрим конкретный численный пример. Пусть ракета запускается с круговой орбиты Земли радиуса Ro = 109 см = 104 км. Имеем: / = = 4 . ю20 см3/сек2 и выполняется неравенство ш* <^ 160 см/сек2 или ш* <С 0,16 до. В случае если w* <^ 10-2 до^ то, пренебрегая первым членом в уравнении (3.58), получим уравнение
dLdtdLdtL2 ""ГL2 ""Г
dLdt
dLdt
L2 ""Г
L2 ""Г
с общим решением
1 -1 -w*Rot\ 1U )w*Rot\ 1U )(3.62)(3.62)
1 -
1 -
w*Rot\ 1U )
w*Rot\ 1U )
(3.62)
(3.62)
В соотношении (3.62) в правых частях стоят выражения для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряда) со знаменателем
u)*Rotu)*Rot//
u)*Rot
u)*Rot
/
/
Чтобы этот ряд сходился, надо наложить ограничение на знаменатель прогрессии: q < 1, т.е. время полета должно удовлетворять
неравенствунеравенству(3.63)(3.63)
неравенству
неравенству
(3.63)
(3.63)
При ограничении (3.63) решение (3.62) можно заменить степенным рядом
£(t) = Lq + (w^0) у11” * * *(3.64)
Прокомментируем ограничение (3.63) и разложение (3.64). Сравнение условия (3.63) с соотношениями (3.22), (3.23) показывает, что ограничение (3.63) равносильно условию, при котором траектория полета КА остается в пределах действия центрального гравитационного поля: скорость полета КА wR меньше известного скоростного гравитационного барьера; t — время до момента покидания эффективного действия гравитационного поля.
В разложении (3.64) второе, линейное по t слагаемое — это, по сути, результат теоремы об изменении кинетического момента: скорость изменения кинетического момента равна приложенному (вращающему) моменту действующих сил. Члены ряда (3.64) более высокого по t порядка дают поправки к движению КА. В частности это движение не круговое, орбитальный радиус с течением времени меняется, придавая траектории, близкой к круговой, своеобразный спиральный характер.
Орбитальный радиус в соотношениях (3.62), (3.64) можно приближенно описать выражением для радиуса круговой орбиты г = = L2//, если положить г = r(t), L = L(t\ Кроме того, ограничимся в разложении (3.64) членами, порядок которых по t не превосходит двух. Имеем следующую аппроксимацию:
.■от = ^ « ед fi +(3.65)
J\ J J )
где в силу неравенства (3.63) коэффициент w*£q// = w^Rq/Lq при степенях t мал по величине.
pwJ^PpwJ^PОценим, отбрасывая слагаемое с t4 в выражении (3.65) и дифференцируя затем полученное соотношение по t, величину г по начальному значению. Будем иметь в результате приближенную формулу для скорости изменения радиуса т^ :
pwJ^P
pwJ^P
(3.66)(3.66)dr\ 2w*Lq di)t=0 "
(3.66)
(3.66)
С учетом ограничения (3.61) на ускорение ракеты ш* можем продолжить запись (3.66) и найти условие на скорость изменения радиуса иг = г :
которое, заметим, находится в согласии с условием (3.63).
Рассмотренный выше численный пример о запуске ракеты с орбиты спутника Земли приводит к следующим значениям в соотношении (3.66): ит ~ ЗДО3 w* = 3-103 см/сек, либо при w* = 10-3 go имеем ит = 30 м/сек — скорость ракеты в начальный момент времени.
В заключение следует сказать о том, что исследованная задача оптимизации движения ракеты с малым ускорением в поле гравитации может быть распространена на различные случаи и критерии оптимизации, достижение оптимального значения по разным показателям функционирования системы. В качестве таковых могут выступать, к примеру, минимальный расход массы (топлива) за время активного полета при заданной общей массе или минимальная величина времени полета при заданном ограничении на количество используемого топлива. Для решения этих задач, очевидно, потребуется решение комплекса оптимизационных проблем реактивной динамики, главным образом связанных с вопросами распределения масс внутри системы, их связью с силовыми, энергетическими характеристиками, воздействием гравитационного поля, соотношениями в расходе массы и конечными скоростями, траекторными параметрами и т. д.
Глава 4
Некоторые вариационные задачи динамики точки переменной массы
Обратимся теперь к главе, посвященной обзору ряда известных методов решения оптимизационных задач механики реактивного движения и, в частности, решения практических задач современной ракетодинамики [22, 30, 31, 101, 131, 142, 143, 175, 177, 187, 198, 206, 232, 252, 263, 266, 269, 270, 316, 414].
На движение системы с переменной массой свое непосредственное воздействие оказывают два типа сил. Часть сил (внешние возмущения в виде сил тяготения, сопротивления среды и т.д.) вполне определена самой природой, механизмом взаимодействия этих сил с объектом и не поддается изменению. Другая часть сил (внутренние возмущения в виде реактивных, управляющих сил) регулируема и способна эффективно формировать закон движения исследуемой системы.
В ракетодинамике задачи о целенаправленном выборе таких регулируемых внутренних сил называют задачами с управляющими, свободными функциями. При изменении управляющих функций, подчиняющихся некоторым экстремальным условиям, естественным образом возникают вариационные задачи. Отметим при этом, что экстремальному выбору этих управляющих функций (регулируемых сил) в виде аналитически найденных оптимальных режимов соответствуют свои, вполне конкретные оптимальные траектории движения, идеальные параметры конструкции, экстремальные режимы расхода топлива и т.д.
В § 4.1 в концентрированном виде представлен материал по приближенным методам решения вариационных задач, связанных с вертикальным подъемом ракеты в поле силы тяжести при наличии силы сопротивления атмосферы. Его основу составляют известные методы Р. Годдарда и Г. Оберта, помещенные в работе [177]. Рассмотрены схемы приближенного нахождения оптимального режима вертикального подъема ракеты, включая законы изменения массы и движения центра масс.
Следующий § 4.2 посвящен точным методам решения экстремальных задач о вертикальном подъеме с помощью аппарата вариационного исчисления и решения соответствующих уравнений Эйлера. Подробно исследуются оптимальные режимы движения, обеспечивающие максимальную высоту подъема ракеты, оптимальный закон программирования тяги реактивного двигателя в однородной и неоднородной атмосфере для линейного и квадратического закона сопротивления среды.
Заключительный § 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина.
Вариационные задачи
о вертикальном подъеме ракеты.
Приближенные методы решения
Рассматривается одна из основных задач классической раке- тодинамики — задача о нахождении оптимального режима вертикального подъема ракеты в поле тяготения Земли с учетом силы сопротивления атмосферы. В проекции на вертикаль уравнение Мещерского в гравитационном поле и в атмосфере Земли имеет вид
M^ = -Mg^-^V^-Qs^,^, (4.1) LLL LLL
где М = M(t) — масса ракеты в момент времени t на высоте 2, Qs(u^z) — сила лобового сопротивления, и — скорость ракеты, V(z) — эффективная относительная скорость истечения частиц горения топлива, g(z) = g^R2/{R + z)2 — ускорение силы тяжести на высоте z, R — радиус Земли, до — ускорение силы тяжести на поверхности Земли, когда z = 0.
Ниже исследуются приближенные аналитические методы решения уравнения (4.1) с помощью приемов вариационного исчисления. Первый из них связан с предположением, что g(z) = go = const, V = = const. Пусть далее M(t) = Mg/(t), где Mo — начальная масса, /(t) — функция, задающая характер работы реактивного двигателя. При t = 0 имеем: М(0) = Mg, /(0) = 1; в конце активного участка при t = ta^ M(ta) = Мо, f (to) = Д, где Ма — масса ракеты без топлива. Уравнение (4.1) тогда можно записать в виде
= (4.2) at at
где Q = Qs/Mo.
Из уравнения (4.2) вытекает, что движение реактивной системы зависит как от внешних сил, так и от режима изменения массы, определяемого функцией f(t). Кроме того, из соотношения (4.2) следует, что некоторые характеристики движения, например скорость и и пройденное расстояние s, являются в общем случае функционалами, а именно
с произвольными постоянными Ci,C2. Поэтому для изучения экстремальных свойств движения естественно было бы воспользоваться аппаратом вариационного исчисления.
Анализируя уравнение (4.2), поставим задачу о нахождении минимального значения массы ракеты для поднятия на заданную высоту фиксированного полезного груза. Эту вариационную задачу можно решить приближенным методом, полагая, что полная высота подъема ракеты состоит из п частей, причем на каждом участке: 1) сила сопротивления среды постоянна; 2) ускорение силы тяжести g постоянно; 3) ускорение движущейся точки постоянно.
Пусть V = const ^ 0. Тогда из уравнения (4.2) получим
Разрешая линейное уравнение (4.3) по /(t), найдем его общее реше-
Чтобы найти постоянную интегрирования Ст, положим М(0) = Мд, /(0) = 1. Тогда
Обозначим через m(t) израсходованную к моменту времени t массу. Имеем: M(t) = Mg — m(t^ f(t) = 1 —m(t)/Mg. При подстановке значений Ci и / в решение (4.4) получим
либолибо(w + g) t— е v(w + g) t— е v(4-5)(4-5)
либо
либо
(w + g) t
— е v
(w + g) t
— е v
(4-5)
(4-5)
Заметим, что соотношение (4.5) справедливо на любом n-ом участке подъема, на котором выполняются сделанные выше предположения: w = const, g = const, V = const, Q = const.
Будем считать для простоты, что в конце активного участка поднятая масса равна единице, т.е. Мо — т = 1. Из соотношения (4.5) тогда получим
Мо = еМо = е(w + g) t(w + g) tw^gw^g(4-6)(4-6)
Мо = е
Мо = е
(w + g) t
(w + g) t
w^g
w^g
(4-6)
(4-6)
При Q = 0, g = 0 из этой формулы имеем
Мо* = ехрМо* = ехрwt\/wt\/(4-7)(4-7)
Мо* = ехр
Мо* = ехр
wt\
/
wt\
/
(4-7)
(4-7)
Таким образом, по уравнениям (4.6) и (4.7) можно составить отношение начальных масс Мд/Мд*, которое меняется (увеличивается) в зависимости от влияния сил тяжести и сопротивления атмосферы. В случае, если Мд/Мд* = min, имеем Мд = min для данного интервала. Следовательно, для подъема единичной массы на заданную высоту надо взять общую начальную массу как сумму минимальных масс Мд для каждого из п интервалов.
Второй приближенный метод нахождения оптимального режима в задаче о вертикальном подъеме точки переменной массы более точен по сравнению с первым методом. Критерий точности определяется правилом: отношение скорости движения ракеты и относительной скорости отбрасываемых частиц должно быть малой величиной по сравнению с единицей.
Обозначим через R результирующую сил, препятствующих вертикальному подъему, т.е. R = Qs + Mg, где Ws — сила лобового сопротивления, Мд — вес ракеты. Уравнение движения принимает
(4-8)(4-8)тогда вид
(4-8)
(4-8)
dtdt
При введении в обращение новой переменной z вместо t получим
dududMdM
— = u—,——=u——.
dtdzdtdz
В этом случае основное уравнение вертикального движения ракеты (4.8) запишется как
(4-9)
Примем следующую модель прохождения ракеты на высоте z в плотном воздушном пространстве. Пусть на этой высоте ракета преодолевает слой толщины dz = const, в пределах которого постоянны плотность воздуха и величина М du. С учетом этих предположений найдем оптимальный закон движения ракеты, исходя из того, что расход массы топлива будет минимальным.
Продифференцируем по скорости и уравнение (4.9). Так как при минимальном расходе массы топлива dM/dz = 0, отсюда, следовательно, получим
д й du \д / R\
Эи у dz)Эи \и у
По условию величины М du и dz постоянны. Значит, критерий оптимальности закона движения можно записать в следующем виде:
дЭидЭиRRииЭ fQs + Mg ди \ иЭ fQs + Mg ди \ и= 0.= 0.(4.Ю)(4.Ю)
д
Эи
д
Эи
R
R
и
и
Э fQs + Mg ди \ и
Э fQs + Mg ди \ и
= 0.
= 0.
(4.Ю)
(4.Ю)
Укажем на простую механическую интерпретацию условия (4.10). Поскольку сумма сил, препятствующих движению, есть R, то отношение R/и определяет величину сопротивления движению на единицу пути в единицу времени. Заключаем отсюда, что оптимальная или, другими словами, наиболее выгодная скорость подъема ракеты характеризуется тем, что при этой скорости будут минимальными удельные потери от сил, препятствующих вертикальному движению.
По аэродинамическим стандартам примем, что
Qs = ^С$Р8<
где Сх — коэффициент лобового сопротивления, р — значение плотности воздуха на высоте г над поверхностью Земли, S — характерная площадь объекта, движение которого описывается уравнением (4.9). Пусть М = const в пределах слоя dz. Тогда из условия (4.10)
получимполучим
получим
получим
откуда найдем уравнениеоткуда найдем уравнениедля определения оптимальной скоростидля определения оптимальной скорости
откуда найдем уравнение
откуда найдем уравнение
для определения оптимальной скорости
для определения оптимальной скорости
подъема ракетыподъема ракеты2МдpS (Сж + v дСЛЭр '2МдpS (Сж + v дСЛЭр '(4.11)(4.11)
подъема ракеты
подъема ракеты
2МдpS (Сж + v дСЛЭр '
2МдpS (Сж + v дСЛЭр '
(4.11)
(4.11)
При Сх = const из формулы (4.11) определим оптимальную ско
рость г* :рость г* :г*г*2Мд \CxpS )2Мд \CxpS )1/21/2(4-12)(4-12)
рость г* :
рость г* :
г*
г*
2Мд \CxpS )
2Мд \CxpS )
1/2
1/2
(4-12)
(4-12)
Из соотношения (4.12) следует, что в среде с квадратическим законом сопротивления вес ракеты равен силе сопротивления среды, а именно
Мд=^ схр8Л
для любого момента движения. Итак, приходим к выводу, что оптимальная скорость и* движения ракеты в среде с данной плотностью и квадратическим законом сопротивления равна предельной скорости ракеты весом Мд. приобретаемой ею при свободном падении в однородной атмосфере с заданной плотностью.
Важно отметить, что для оптимальных режимов движения, которые определяются условиями (4.11), (4.12), когда Сх = const, кинематические и динамические характеристики движения находятся в квадратурах. Покажем это.
Рассмотрим следующее уравнение для оптимального закона движения:
Mp = -Mg-MXSU(4.13)
где Мд = CxpSv2/2. Будем считать, что плотность атмосферы убывает с ростом высоты % по показательному закону
(4.14)(4.14)pW = р0 exp (- pz\ р > 0,
(4.14)
(4.14)
где ро — плотность воздуха на поверхности Земли, Р > 0 — числовой коэффициент, выбираемый из условия наилучшей интерполяции экспериментальных данных международных стандартов атмосферы в рассматриваемом диапазоне высот.
Получим из уравнения (4.14):Получим из уравнения (4.14):— = — pdz. Р— = — pdz. Р(4-15)(4-15)Затем найдем скорость u(t, z) для оптимального режима, пользуясь уравнением (4.13). ИмеемЗатем найдем скорость u(t, z) для оптимального режима, пользуясь уравнением (4.13). Имеемf du л г Т dMМ- = -2Mg-V — ,dtdtf du л г Т dMМ- = -2Mg-V — ,dtdtи далееи далее77тт dMdu = — 2g dt — V ——. y M77тт dMdu = — 2g dt — V ——. y M(4.16)(4.16)Проинтегрируем уравнение (4.16) при g = const, V = const :Проинтегрируем уравнение (4.16) при g = const, V = const :и = -2gt-VlnM + C,и = -2gt-VlnM + C,(4.17)(4.17)
Получим из уравнения (4.14):
Получим из уравнения (4.14):
— = — pdz. Р
— = — pdz. Р
(4-15)
(4-15)
Затем найдем скорость u(t, z) для оптимального режима, пользуясь уравнением (4.13). Имеем
Затем найдем скорость u(t, z) для оптимального режима, пользуясь уравнением (4.13). Имеем
f du л г Т dMМ- = -2Mg-V — ,dtdt
f du л г Т dMМ- = -2Mg-V — ,dtdt
и далее
и далее
77тт dM
du = — 2g dt — V ——. y M
77тт dM
du = — 2g dt — V ——. y M
(4.16)
(4.16)
Проинтегрируем уравнение (4.16) при g = const, V = const :
Проинтегрируем уравнение (4.16) при g = const, V = const :
и = -2gt-VlnM + C,
и = -2gt-VlnM + C,
(4.17)
(4.17)
где постоянная интегрирования С может быть найдена из условий, что г(0) = г0, М(0) = Мо, т. е. С = г0 + dn Мо.
Следовательно, уравнение (4.17) приобретает вид
v = «о - 2gt + V In(4.18)
Поскольку для оптимального режима движения выполняется соотношение
Мз _ С^£о6«о/2 _ £(Д
м схр8ЛЛ ■ рЛ ’
то имеем в уравнении (4.18):
и = г0 — ^gt + V In — + 2V In —. pи
Подставим в это соотношение выражение для отношения плотностей
(4.14). Получим
v = v0-2gt + P¥z + 2VXn—.(4.19)
и
В полученной формуле (4.19) хорошо видна зависимость скорости г ОТ t И Z.
Сделаем далее в уравнении (4.13) переход к новой независимой переменной z. С этой целью запишем уравнение (4.13) в виде
du _ _ V dMdtМ dt
Принимая во внимание соотношение М = CxSpu2/(2д\ получим
1 dM 1 dp 2 duМ dt р dt и di"
Уравнение (4.20) при переходе к переменной z преобразуется к виду
dzр dz dz
откуда получим уравнение
(v + 2K) dv = -2gdz-vV —. Р
С учетом зависимости (4.15) придем к соотношению
(г + 2У) du = — (2д — (3uV) dz.
После разделения переменных получим
7 (и + 2V) du= aw -'
Правую часть этого уравнения можно трансформировать в удобное для интегрирования выражение:
v - IN/W)v - IN/W)(4.21)(4.21)
v - IN/W)
v - IN/W)
(4.21)
(4.21)
Интегрирование выражения (4.21) дает
_ 1- w_ 1- wг + 2г + 2+ С,+ С,
_ 1
- w
_ 1
- w
г + 2
г + 2
+ С,
+ С,
где постоянная интегрирования С может быть найдена, например, из условия z = 0, и = Го :
+ po + 2(v + ^)ln (^о-^)
При подстановке этого значения С найдем величину высоты подъема ракеты в зависимости от скорости движения, т. е.
v - Qg^W^Уо - (2д)/(/ЗУ)v - Qg^W^Уо - (2д)/(/ЗУ)(4.22)(4.22)
v - Qg^W^Уо - (2д)/(/ЗУ)
v - Qg^W^Уо - (2д)/(/ЗУ)
(4.22)
(4.22)
_ 1_ 1Приравняем далее выражения % (4.22) и г, полученное из уравнения (4.19):
_ 1
_ 1
(и — и0) + 2 ( gt — У In —
Тогда, очевидно, придем к формуле
InIn(ЗиУ - 2g^oV - 2g(ЗиУ - 2g^oV - 2g+ Vin — = gt,и+ Vin — = gt,и(4.23)(4.23)
In
In
(ЗиУ - 2g
^oV - 2g
(ЗиУ - 2g
^oV - 2g
+ Vin — = gt,и
+ Vin — = gt,и
(4.23)
(4.23)
задающую неявным образом функциональную зависимость скорости и от текущего времени t. Если известна функция и = ^У\ то тогда из формулы (4.18) можно определить закон изменения массы М = M(t) в зависимости от времени:
М = Мд ехрМ = Мд ехри^-и - 2gtVи^-и - 2gtV(4.24)(4.24)
М = Мд ехр
М = Мд ехр
и^-и - 2gtV
и^-и - 2gtV
(4.24)
(4.24)
Набор формул (4.19), (4.23), (4.24) позволяет найти все кинематические и динамические параметры исследуемого оптимального движения ракеты. Определим, к примеру, величину ускорения. При дифференцировании соотношения (4.23) по t получим после разрешения относительно du/dt :
(4-25)(4-25)du (Зи — 2g/Vdi = l/V + 2/v '
(4-25)
(4-25)
На малых высотах атмосфера может считаться однородной с J = 0. Формула (4.25) в этом случае приводит к выражению
du2g
dt = ” У(1/Уг2/иУ
откуда можно вычислить начальное значение ускорения
dt) 0 l + 2V/<v v
Располагая информацией о величине (du/dt)o вида (4.26), найдем с помощью уравнения (4.13) отношение начальной силы тяги Фо к начальному весу:
Фо = (-VdM/dty = 2g + (du/dt)o = 2 _2
Mog Mogg1 + 2У/«о’
и, продолжая, получим
(4.27)(4.27)фр =2
(4.27)
(4.27)
Мод l + v0/^Vy
Найдем далее величину начальной скорости ио ракеты из условия, что Мод = CxpoSvo/2. Имеем
( 2Мод \ 1/2«о = ^ . с '\ х РО /
Обычные значения ио лежат в пределах ио ~ 300 - 400 м/с. При ио = 300 м/с, V = 3000 м/с из соотношения (4.27) найдем Фо/(Мор) = = 2/(1+ 0,05)1,9.
Заметим, что на начальном отрезке времени, когда плотность воздуха меняется незначительно, оптимальное движение ракеты будет происходить с потерей скорости, так как Ro = Мод + (Qs)o? где Ro = Я(0) — равнодействующая сил, препятствующих подъему при t = 0. Этот вывод, собственно, вытекает также из формулы (4.26): при /3 = 0 ускорение будет отрицательным вблизи поверхности Земли при оптимальном режиме движения.
Из точного решения вариационной задачи об оптимальном режиме движения ракеты с целью достижения максимальной высоты подъема при фиксированном запасе топлива следует, что рассмотренный выше приближенный метод решения справедлив лишь при выполнении условия, когда скорость движения ракеты относительно мала.
Вариационные задачи о вертикальном подъеме ракеты.
Точные методы решения
Изучим вначале задачу о нахождении оптимальной схемы движения ракеты, при которой достигается максимальная высота подъема в однородном поле тяготения.
Пусть требуется найти закон изменения массы ракеты, обеспечивающий максимальное значение пройденного вертикального расстояния s :
s= ds = udt^(4.28)
/о /о
где И — время преодоления реактивной точкой (ракетой) расстояния s, и — скорость движения. На активном участке полета и удовлетворяет уравнению Мещерского вида (4.2)
J dt Jadt'
а на пассивном участке, когда реактивный двигатель выключен, — уравнению движения точки с постоянной массой Ма = Мд — М-^ где Мо — начальная масса ракеты, М^ — масса отброшенных за время В частиц топлива, т. е.
ма = — Mag -(4.29)
Производя деление уравнения (4.29) на Мд, получим уравнение движения ракеты на пассивном участке траектории в следующем виде: fa^ = ~ fa9 ~(4.30)
Следовательно, мы приходим к задаче о нахождении экстремума функционала (4.28) при выполнении дополнительных условий (уравнений связей) вида (4.2), (4.30), налагаемых на функцию скорости и. Таким образом, задача об определении максимальной высоты подъема ракеты smax равносильна условной вариационной задаче об экстремуме интеграла при дополнительных неголономных (дифференциальных) связях. Методика решения таких задач хорошо известна и заключается в сведении условной вариационной задачи к безусловной с помощью правила множителей Лагранжа.
В общем динамическом случае для нахождения решений xi(t), ад (£),••-Мп (£) на интервале времени [tg, И], доставляющих экстремум определенному интегралу
J = F(t,Xi,X2, ...,Xn,Xi,X2, ...,Xn) dt
J to
при дополнительных условиях (уравнениях неголономных связей)
<pk(t^ ^1, Т2, хП) ±i, ±2, хп) = 0, к = 1^т^ т < тц надо составить вспомогательную функцию
F, = F + Хксркк=1
с неопределенными множителями Хк. Функции x^t\ г = 1,п, вместе с функциями Xk^t\ к = 1, т, должны удовлетворять системе уравнений Эйлера с подинтегральной функцией F* :
d dF^ dF*dF*z x
dt ox^uXioXk
где г = l,n, k = 1,т, а второе уравнение (4.31) представляет собой уравнение связи. Система п + т уравнений (4.31) — это система уравнений для нахождения п + т неизвестных функций «^1 ? «^2 ? •• •? *^п ? ^1 > ^2 ? • •• ? Ат.
Приступим к решению поставленной ракетодинамической вариационной задачи (подробности решения см. в работе [177]). Для упрощения вычислений будем считать, что масса объекта меняется на всем пути s, причем на активном участке секундный расход массы есть величина конечная, а на пассивном — величина сколь угодно малая. Принятая модель позволяет разрывную функцию df /dt заменить близкой ей непрерывной функцией.
Преобразуем уравнение связи (4.2) к уравнению с независимой переменной z. Учитывая, что
dfdf— = и — = ut . dtdzdfdf— = и — = ut . dtdzdudu ,—- = и — = ии dtdzdudu ,—- = и — = ии dtdz
dfdf
— = и — = ut . dtdz
dfdf
— = и — = ut . dtdz
dudu ,
—- = и — = ии dtdz
dudu ,
—- = и — = ии dtdz
получимполучимfuu' + fg + Q£ z) + uVf = 0.fuu' + fg + Q£ z) + uVf = 0.(4.32)(4.32)
получим
получим
fuu' + fg + Q£ z) + uVf = 0.
fuu' + fg + Q£ z) + uVf = 0.
(4.32)
(4.32)
Если время И в соотношении (4.28) не фиксировано, то рассматриваемый интеграл можно считать интегралом с переменным верхним пределом. Поэтому помимо вариации вспомогательной функции F^ т. ч.
С = I + х^ ^м + fg + Q + , (4.33)
надо учесть слагаемые, которые возникают при вычислении полной вариации от интеграла с переменным верхним пределом.
Вспомогательная функция F* (4.33) является следующей функцией: F* = F^z^uf /, ff А). Необходимые условия экстремума в виде уравнений Эйлера дают систему уравнений
_ d dF* dF*
dz ди' ди 1 dz df' df
где частные производные функции If (4.33) легко вычисляются:
at", 1 ,
ЭР, , _
"8f = Xl,V' "of = X^W^9Y
При подстановке выражений (4.35) в уравнения Эйлера (4.34) получим
f (х«л -x(w + f/ + vA = о,dz\ ди J
^- (ХиV) — X (иГ + д) = О, и далее
. dX / dQ X
Ь — + A Uf - Vf = О,
\ Эи )(43б)
Vv Г + A (Vv1 — vv' — g) = О.
Уравнения (4.36) вместе с уравнением связи (4.32) образуют систему трех уравнений относительно трех неизвестных функций /, и и А. Приступим к ее разрешению. Для этого умножим первое уравнение (4.36) на V, а второе уравнение на /. Вычитая, получим
- V^f - Г ^ = fW - fW - fg,
OU
откуда придем к записи
Выделим из уравнения связи (4.32) отношение /V/ :
Г _ Q .. д/ fuV V XVГ _ Q .. д/ fuV V XV(4.38)(4.38)
Г _ Q .. д
/ fuV V XV
Г _ Q .. д
/ fuV V XV
(4.38)
(4.38)
При подстановке выражения (4.38) в уравнение (4.37) получим
(^ - V) Q 1 9Q = д_
fuV f ди и1
либо
(и -V)QruVdQ/du _ д
fиУи'
Из последнего соотношения следует
у = ^-V^Q^^VdQ/dv3Q)
Учтем, что Qs = CxpSv2/2, где СТ = Сж(г), р = pUY и тогда из формулы (4.39) получим
М _ CxPSu2 (u-V)r pSu2V (2СХ + и ЭСх/ди) _
~2MogV-
_ CxpSv2 (v + V) + pSv^V dCx/dv
" 2MogV ' ' '
Обратим внимание, что соотношение (4.40) устанавливает в случае оптимального режима движения ракеты определенную зависимость между массой ракеты, ее траекторным положением и скоростью движения.
В предположении пренебрежимой малости изменения ускорения силы тяжести при изменении высоты имеем у = у(). и соотношение (4.40) принимает вид
М = (сж(у + Ю+^^). (4.41)
В случае квадратического закона сопротивления получим
Мд = - СхР8Л О + - У (4.42)
Интересно сравнить формулу (4.42) с полученной ранее формулой Оберта (4.12) и соответствующей величиной Мд. В соотношении (4.42) учет изменения массы и плотности воздуха ведет к дополнительному слагаемому, которое зависит от отношения г/И Отсюда следует вывод о том, что при малых скоростях и движения ракеты по сравнению с относительными скоростями V отбрасываемых частиц в случае квадратического сопротивления среды можно пользоваться приближенной формулой (4.12).
Если задан линейный закон сопротивления, когда Q = ки^ где к — коэффициент пропорциональности, то из формулы (4.39) получим, опираясь на выводы работы [175]:
I4-43)
Итак, в случае, если закон сопротивления среды известен, то при оптимальном режиме движения ракеты согласно полученным результатам следует, что определенной высоте полета соответствует вполне определенная скорость движения, удовлетворяющая равенству (4.41).
Преобразуем далее формулы (4.42) и (4.43), полагая к = const, д = const, V = const. Из формулы (4.43) тогда получим: / = const • и2. При и = Vo, / = 1, откуда const = l/^o- Таким образом, линейный закон сопротивления дает / = и2/и^.
При квадратическом законе сопротивления, считая в соотношении (4.42), что Сх = const, g = const, р = const, получим
2V
J = const • v 1 + -
Полагая г = vq? / — 1? найдем
Поэтому формула для вычисления функции / в рассматриваемом случае запишется в виде
Л (1 + v/V)via+ vo/vy
Задача о нахождении оптимального режима движения ракеты в однородном поле тяготения с однородной атмосферой в действительности может быть сведена к простейшей вариационной задаче. Пусть s — расстояние, проходимое центром масс ракеты при движении по заданному прямолинейному пути (4.28): s = J^1 v dt.
В случае однородного поля тяготения и однородной атмосферы уравнение Мещерского (4.2) упрощается до записи
(4.44)
При допущении, что скорость и — это новая независимая переменная, уравнение (4.44) преобразуем к виду
-Ug + QY-Ug + QY
-Ug + QY
-Ug + QY
откуда получим выражение
U + vndvU + vndvdvdv(4.45)(4.45)
U + vndv
U + vndv
dv
dv
(4.45)
(4.45)
Подставляя далее соотношение (4.45) в интеграл для величины расстояния s, найдем путь, проходимый ракетой до полной остановки, в виде следующего функционала:
Для определения функции / = f(vY доставляющей экстремум функционалу (4.46), надо составить уравнение Эйлера относительно /, /' с подинтегральной функцией F :
£ эр _ЭЕ=(f + Vf>
du df' df ’fg + Q '
Вычислим соответствующие частные производные
№ = гДд + ОЬдЧНуП эр = Ук(fg + QY ’ эг fg + Q'
d dF _V (fg + Q)- vV (f'g + dQ/dv)d^ar"(fg + QY '
Подставляя эти выражения в уравнение Эйлера, получим следующее необходимое условие экстремума функционала (4.46):
v (fg + Q) -vV (f'g + dQ/dv) ~v(fg + Q) + gv (f + V f) = (fg + QY’
откуда, ввиду того что fg + Q ф 0,
(v-V)Q-Vfg + vV^ =0,
OU
и далее найдем формулу для определения функции / = / (г) :
у = (v-V)Q + vV dQ/dv47)
Отметим здесь, что формула (4.47) является частным случаем формулы (4.39) при g = const, Q = Q^Y
Пусть функция / = /(г) задана, т.е. известен закон изменения массы в функции скорости и. Тогда интегрируя уравнение (4.45) при t Е [0, if и Е [г, Го], получим соотношение для t = t(u) :
t = р (fFVf>du
Jv fg + QE) '
Тем самым два параметрических уравнения / = /(г) и / = t(u) задают закон изменения массы ракеты в функции времени.
Исследуем далее более детально основные особенности оптимального движения ракеты в однородной атмосфере. Для линейного закона сопротивления, когда Qs = ksu^ ks = const, уравнение экстремали имеет, как это было показано ранее, следующий вид:
/ = У(1.18)
gv
При подстановке формулы (4.48) в уравнение движения получим
ku2 du ku22ku du
~gV dt = ~~
Выделяя du/dt, найдем
(4.49)(4.49)du g (и + V)dt и + 2V
(4.49)
(4.49)
После интегрирования уравнения (4.49) будем иметь
и = го - gt + V Inи = го - gt + V InVo г Vurv 'Vo г Vurv '(4.50)(4.50)
и = го - gt + V In
и = го - gt + V In
Vo г Vurv '
Vo г Vurv '
(4.50)
(4.50)
Таким образом, формулы (4.48) и (4.50) задают закон изменения массы ракеты. Учитывая соотношение (4.48), где / = 1 при t = 0, г(0) = Го, можем написать для оптимального движения с начальной скоростью Го, что
1/2
gv'gv'VO =VO =у к /у к /
gv'
gv'
VO =
VO =
у к /
у к /
Укажем на то, что в силу уравнения (4.49) активный участок полета ракеты характеризуется замедленным движением, а именно г = - д(1 + г/У)/(2 + г/У).
При линейном законе сопротивления, когда / = и2/и^ и = Uq Vh с помощью формулы (4.50) можно найти режим работы реактивного двигателя, определяя зависимость / = /(£) :
7 = i-- + -h.Vo Vq7 = i-- + -h.Vo Vq1 + V/uo1 + V)u '1 + V/uo1 + V)u '
7 = i-- + -h.
Vo Vq
7 = i-- + -h.
Vo Vq
1 + V/uo
1 + V)u '
1 + V/uo
1 + V)u '
Найдем из уравнения Мещерского (4.32) для dz = ds \
ПосколькуПосколькуaf-af-г/ du + uV dfs= Jg + Q
Поскольку
Поскольку
af-
af-
2ku du7
—Q = ku,gv
то тем самым получим
dsds(г2 + 2гУ) du g(v + V) ’(г2 + 2гУ) du g(v + V) ’
ds
ds
(г2 + 2гУ) du g(v + V) ’
(г2 + 2гУ) du g(v + V) ’
После интегрирования уравнения (4.51) получим закон изменения расстояния s в функции скорости и : если и = Го, s = 0, то
1 "s = - g _1 "s = - g _К («о - v) + | («о - V2) - Г2 InК («о - v) + | («о - V2) - Г2 In(4-52)(4-52)Итак, выражения (4.50), (4.52) дают нам закон оптимального движения ракеты в однородной атмосфере. Для определения функции s = s(t) в соотношение (4.52) подставим, пользуясь зависимостью (4.50), выражениег0 + У и -u0+gt1,17■Тогда, очевидно, получим8 =Из соотношения (4.48)Итак, выражения (4.50), (4.52) дают нам закон оптимального движения ракеты в однородной атмосфере. Для определения функции s = s(t) в соотношение (4.52) подставим, пользуясь зависимостью (4.50), выражениег0 + У и -u0+gt1,17■Тогда, очевидно, получим8 =Из соотношения (4.48)А 2)А 2)можно записатьможно записатьМksu иMoМод У1Мksu иMoМод У1откуда следует формулаQs ~ VДругими словами, можно сделать вывод о том, что отношение веса ракеты к силе сопротивления среды при оптимальном режиме движения представляет собой конкретную величину, равную отношению скорости движения ракеты к относительной скорости истечения частиц топлива.Перейдем теперь к рассмотрению случая квадратического закона сопротивления среды. Уравнение экстремали имеет видоткуда следует формулаQs ~ VДругими словами, можно сделать вывод о том, что отношение веса ракеты к силе сопротивления среды при оптимальном режиме движения представляет собой конкретную величину, равную отношению скорости движения ракеты к относительной скорости истечения частиц топлива.Перейдем теперь к рассмотрению случая квадратического закона сопротивления среды. Уравнение экстремали имеет видМд иМд иku2 (и + У)gvku2 (и + У)gv(4.53)(4.53)При подстановке этого выражения в уравнение движения найдем, что на активном участке полета движение будет замедленным:При подстановке этого выражения в уравнение движения найдем, что на активном участке полета движение будет замедленным:du д (и2 + 2иУ)~dt=~ и2 + 4иУ + W2 'du д (и2 + 2иУ)~dt=~ и2 + 4иУ + W2 '(4.54)(4.54)
1 "
s = - g _
1 "
s = - g _
К («о - v) + | («о - V2) - Г2 In
К («о - v) + | («о - V2) - Г2 In
(4-52)
(4-52)
Итак, выражения (4.50), (4.52) дают нам закон оптимального движения ракеты в однородной атмосфере. Для определения функции s = s(t) в соотношение (4.52) подставим, пользуясь зависимостью (4.50), выражение
г0 + У и -u0+gt
1,17■
Тогда, очевидно, получим
8 =
Из соотношения (4.48)
Итак, выражения (4.50), (4.52) дают нам закон оптимального движения ракеты в однородной атмосфере. Для определения функции s = s(t) в соотношение (4.52) подставим, пользуясь зависимостью (4.50), выражение
г0 + У и -u0+gt
1,17■
Тогда, очевидно, получим
8 =
Из соотношения (4.48)
А 2)
А 2)
можно записать
можно записать
Мksu и
MoМод У1
Мksu и
MoМод У1
откуда следует формула
Qs ~ V
Другими словами, можно сделать вывод о том, что отношение веса ракеты к силе сопротивления среды при оптимальном режиме движения представляет собой конкретную величину, равную отношению скорости движения ракеты к относительной скорости истечения частиц топлива.
Перейдем теперь к рассмотрению случая квадратического закона сопротивления среды. Уравнение экстремали имеет вид
откуда следует формула
Qs ~ V
Другими словами, можно сделать вывод о том, что отношение веса ракеты к силе сопротивления среды при оптимальном режиме движения представляет собой конкретную величину, равную отношению скорости движения ракеты к относительной скорости истечения частиц топлива.
Перейдем теперь к рассмотрению случая квадратического закона сопротивления среды. Уравнение экстремали имеет вид
Мд и
Мд и
ku2 (и + У)gv
ku2 (и + У)gv
(4.53)
(4.53)
При подстановке этого выражения в уравнение движения найдем, что на активном участке полета движение будет замедленным:
При подстановке этого выражения в уравнение движения найдем, что на активном участке полета движение будет замедленным:
du д (и2 + 2иУ)
~dt=~ и2 + 4иУ + W2 '
du д (и2 + 2иУ)
~dt=~ и2 + 4иУ + W2 '
(4.54)
(4.54)
Поступая аналогично тому, как это делалось в линейном случае, проинтегрируем уравнение (4.54) после разделения переменных. В результате получим закон изменения скорости в функции времени:
V + г In ^Г^Гу ■ (4'55)
Таким образом, формулы (4.53), (4.55) определяют на активном участке траектории закон изменения массы с течением времени.
При оптимальном режиме движения ракеты начальная скорость Го выбирается исходя из условия, которому Гд должна удовлетворять, а именно г(0) = гд, /(0) = 1. С помощью формулы (4.53) найдем при t = 0 :
гг20202Мод C^S*2Мод C^S*Сила сопротивления среды Qs для квадратического закона представима в виде Qs = CxpSv2/2. Поэтому имеем: к = к3/М$ = = CxpS/(2Mg). Значит, начальная скорость точки гд должна удовлетворять требованию
г
г
2
0
2
0
2Мод C^S*
2Мод C^S*
(4.56)
Приемлемой аппроксимацией этой формулы в приближенных расчетах может служить формула для вычисления начальной скорости
(4-57)(4-57)fSMogV^у° ” \c^s)
(4-57)
(4-57)
при допущении, что в соотношении (4.56) выполнены условия: Гд <С <^ V; (rg/V) ~ 0. В итоге получим формулу (4.12). Сравнение точной формулы (4.56) и приближенной формулы (4.57) позволяет сделать важный практический вывод о том, что начальные оптимальные скорости ракеты должны принимать большие значения.
Отметим также, что из соотношения (4.53) для активного участка оптимального полета можно получить формулу
(4.58)(4.58)У9 , £
(4.58)
(4.58)
Q8 V
Таким образом, из формулы (4.58) заключаем, что отношение силы веса ракеты к силе сопротивления атмосферы при оптимальном режиме является функцией скорости г движения. Полагая, что г
мало, и <^ V и величиной u)V можно по сравнению с единицей пренебречь, получим равенство силы веса и силы сопротивления среды при оптимальном режиме движения, т. е. приходим к приближенному методу и формуле Оберта. При больших значениях и^ сравнимых со значениями К приближенные методы будут давать слишком грубый расчет и значительную погрешность. В этом случае, очевидно, надо пользоваться точным способом вычисления характеристик оптимального режима движения.
Далее найдем величину отношения Фо/(Мод), где Фо — начальное значение реактивной тяги:
Величину (df/dv)o определим из соотношения (4.53), а величину (du/dt)o — из соотношения (4.54). Подставляя, получим
gv+ 4г0 V + 2У2
Выражение (4.53) предоставляет также возможность найти отношение (при г(0) = Го, / = 1)
1gV г0 + V'
Поэтому с учетом полученной формулы при делении величины Фо (4.59) на начальный вес ракеты М^д найдем
либолибоФо = К (3 + 2К/«о)(«о + 2v0K)Мод (уо + М(уо+М^ + 2У2)’
либо
либо
(4.60)(4.60)Фр _ «(«о, Г)Мод " (З^о, VY
(4.60)
(4.60)
где обозначено
а(у°’У/)-2(1 + ^)(1 + |к)’
ЖъЮ =ЖъЮ =1 + ^У1 + ^ + Д\
ЖъЮ =
ЖъЮ =
V / \ V 2У2)
При допущении го <^ И; (^о/^) 0 из уравнения (4.60) следует Фо/(Мор) = 2. С ростом го величина Фо/(Мдд) становится меньше. При го = V имеем Фд/(Мдд) = 15/14.
Для нахождения схемы движения ракеты определим высоту з = = s(u\ Поскольку du/dt = udu/dz, z = s, то из уравнения (4.54) получим
7(и2 Г 4иУ Г 2V2) и du 1/ 77 W2 du
ds =—= и du + 2 V du—
(и2 + 2uV) gg \v + 2V
Проинтегрировав уравнение (4.61), найдем
s = —s = —1 и2"g И1 и2"g И+ 2uV - 2V2 In Qu + 2V)+ 2uV - 2V2 In Qu + 2V)+ C,+ C,
s = —
s = —
1 и2"g И
1 и2"g И
+ 2uV - 2V2 In Qu + 2V)
+ 2uV - 2V2 In Qu + 2V)
+ C,
+ C,
где постоянная интегрирования С может быть получена из условия, что г(0) = Vo, s(0) = 0 :
11«о«оg L 2g L 2+ 2v0V -2V2 ln(v0 + 2K)+ 2v0V -2V2 ln(v0 + 2K)
1
1
«о
«о
g L 2
g L 2
+ 2v0V -2V2 ln(v0 + 2K)
+ 2v0V -2V2 ln(v0 + 2K)
Тогда
g = ы + 2у (уо _ у) _ 2у21П ^^ 1(4 62)
У Zи Z V
Итак, полученные соотношения (4.55), (4.62) выражают алгоритм, по которому осуществляется оптимальное движение ракеты на активном участке полета.
При Qs = CxpSu2/2, где Сх = CxQu\ из уравнения экстремали получим
2Mg = pSu2 Сх(1Г-)Ги^ ,
\ V ) ди
и далее найдем выражение для и2 :
ии222М^ Г Г"^s" Гч ю2М^ Г Г"^s" Гч юI"1 диI"1 ди
и
и
2
2
2М^ Г Г
"^s" Гч ю
2М^ Г Г
"^s" Гч ю
I"1 ди
I"1 ди
В случае неоднородной атмосферы, при g = const и показательном законе изменения плотности воздуха как функции высоты z (р = Ро ехр(— Pz)^ Р = const) вычисление характеристик движения можно свести к квадратурам.
Изучим вертикальный подъем ракеты в неоднородной атмосфере при допущении, что
р = Pq e~^zР = const, V = const, Сх = const, g = const.
Решая в этом случае вариационную задачу, получим
+(463)
При подстановке выражения (4.63) в уравнение Мещерского (4.2) найдем ускорение центра масс ракеты:
du v[/3vV4 + V~) - да + 2У~)]
57 =7^57FTW3'(4'64)
а затем получим
t= Г ^ + 4W + 2V^dV.(4.65)
Ло У ^У (у + у) ~9(v + 2Ю] ''
Принимая во внимание, что du/dt = vdv/ds, вместо формулы (4.65) найдем соотношение
_ Г ^ + 4vV + ^V^dy(л RR\
s"L мт + У^-д^ + М ■
Итак, зависимости (4.63), (4.65) определяют закон изменения массы ракеты, а зависимости (4.65), (4.66) — закон движения центра масс ракеты на активном участке полета при оптимальном режиме движения. Отметим также, что знак числителя в формуле (4.64) определяет, будет ли движение ракеты в среде с неоднородной атмосферой (переменной плотностью) при оптимальном режиме замедленным или ускоренным.
Оптимальные программы реактивного ускорения
Ниже рассматриваются вариационные задачи об оптимальном программировании ускорения а\1\ создаваемого тягой реактивного двигателя, помещенного в точку с переменной массой M(t) (более подробное изложение см. в работе [101]). Движение точки осуществляется в поле одного гравитационного центра с ускорением д(гД) = — А:г/1 т* |3, где к = дМ*, к — гравитационная постоянная, д — универсальная гравитационная постоянная, М* — масса центрального тела, и — радиус-вектор точки.
Вариационная задача о построении оптимального закона реактивного ускорения может быть поставлена как динамическая задача
Лагранжа с дифференциальными (неголономными) связями и краевыми условиями:
J = [ a2 (t)dt^ min,(4.67)
Jo
г = и, й = аеГ g^ a(t) Е [0, сю), | e(t) | = 1,
г(0) = г0, г(Н) = щ, г(0) = г0, г(Н) = щ, Г = аМ, где u(t) — скорость точки, e(t) — орт вектора реактивного ускорения, P(t) — сила тяги реактивного двигателя, a(t) — ускорение, создаваемое силой тяги, приложенной к точке с массой M(t\ Решение задачи (4.67) предназначено для расчета и реализации вполне определенного динамического маневра с целью выбора оптимального режима работы двигательной установки.
Важно отметить, что в оптимальном режиме реактивное ускорение а^Гр за исключением изолированных точек, нигде не выходит на граничное значение а = 0. Более того, отсутствие ограничивающих управлений позволяет решать задачу (4.67) стандартными методами вариационного исчисления.
Задачу (4.67) можно для удобства дальнейшего решения переформулировать, использовав дифференциальные связи и заменив ускорение а в интеграле с помощью векторного уравнения движения г = а + gQpt) в произвольном гравитационном поле с одним гравитирующим центром. Имеем в этом случае
J = [ (г — g(r^ t))2 dt —> min,(4.68)
Jo
r(O) = ro, г(О) = го, r^^r^ r(t1) = v1.
Таким образом, задача (4.68) представляет собой вариационную задачу на нахождение минимизирующих экстремалей функционала (4.68), соединяющих в пространстве состояний фиксированные начальную (го, го) и конечную (щ, щ) точки на заданном промежутке времени [0, tiY
Вариационная задача (4.67) может быть сформулирована также в виде задачи Майера, а именно
^ = а2 = (не)2, 7(0) = 0, ДР) —> min,
г = г, г(О) = го, r(ti) = ru
й^аеГд^ г(0) = го, ^(^т) = Щ,
где a(t) > 0, | e(t) | = 1.
Найдем далее уравнения экстремалей и выявим их свойства. Для этого функционал J (4.68) запишем в инерциальной декартовой системе координат Oxyz :
J = f^O-xy + ^-vy + Cz-zy^dt = Jo
= / F(x^ у, z,x, у/zF) dt,(4.69)
Jo
где считаются заданными величины
х(0) = х0, у^ = уо, 2(0) = 20, x(ti) = хъ yit^ = уъ z^ = 2Ъ
±(0) = По, £(0) = Го, 2(0) = Wo, х^ = ПЪ у^ = ГЪ Z^ = WT.
Здесь X = Х(х, у, z3\ ¥ = Y(х, y,z,t\ Z = ¥{х, у, 2,f) — компоненты
вектора гравитационного ускорения #(гД); г = r(x,y,z\
Проварьируем интеграл (4.69):
г т /dFdF dF . d dF.d dF . d dF\ .
5 J = Д -дv- д д^ - — +д + ^- — pt
tiоtiоfdFdFdF\ dxdydzfdFdFdF\ dxdydzооfddF d dFd dF\(' dt Эх+ У dt dy+ dt dz)fddF d dFd dF\(' dt Эх+ У dt dy+ dt dz)^1+0^1+0\dxdy dz dt oxdi dy dt dz /
ti
о
ti
о
fdFdFdF
\ dxdydz
fdFdFdF
\ dxdydz
о
о
fddF d dFd dF\
(' dt Эх+ У dt dy+ dt dz)
fddF d dFd dF\
(' dt Эх+ У dt dy+ dt dz)
^1
+
0
^1
+
0
d2 dF dF\ r / d2 dF dF\ r / d2 dF dF\ r 1 7dF dx^ dx) Ж+ \dF dy dy ) \dt2 dz dz) Z
(4.70)
В соотношении (4.70) вариации концов траектории при заданных точках (то, уо До? ^о До? ^о? 0) и (xi Д1,2i, Hi, ri, wi, ^) равны нулю. Приравняв затем к нулю выражения при бх^ бу^ 6z под знаком интеграла, найдем уравнения Эйлера вариационной задачи (4.69):
dXdYdZdXdYdz
(4.71)(4.71)дх ^ж ^ 2 Q^y ^ 2 c^zi dy — ax + — Oy + — azidxdxdxdydydy
(4.71)
(4.71)
.. dXdYdz
^z — аж ^2 ay H 2 azi
dzdzdz
где ax = x — X^ ay = ij — Y^ аг — z — Z. Система скалярных уравнений (4.71) в векторной форме имеет вид
a="^Va’ 9Ъ a = r-g.
В случае пространственного движения в центральном поле, когда g = — kr /\ г |3, уравнения экстремалей (4.71) имеют согласно работе [31] четыре первых интеграла, из которых один скалярный и один векторный:
- (а •— (а • г) — (а • кг/\ г I3) = Н = const,, х
2 Vу V у V’(4.72)
(а х г) — (а х г) = К = const.
Скалярный интеграл в системе (4.72) имеет место при наличии стационарного гравитационного поля (dg/dt = 0), когда под знаком интеграла (4.69) функция F не зависит от времени (dF/dt = 0). В плоском случае получим лишь два интеграла
(4.73)(4.73)| (а2 + а2) - (ахи + ауи) - к (ахх + ауу) (ж2 + у2) 3/2 = const, (ахи — ауи) — (аху — аух) = const.
(4.73)
(4.73)
Изучим более детально экстремальное движение, задаваемое системой (4.71) в частном плоском случае, когда 2 = 0. az = 0, считая при этом, что движение происходит в центральном гравитационном поле: 00 = kxj\ г |3, У = ку/\ г |3, | г | = (х2 + т/2)1/2.
Воспользуемся далее безразмерными переменными. Возьмем в качестве характерных величин следующие:
+ _ г-1/2 3/2_i/2 -1/2_ ,2
— гъ / *,и^ — гъ / *,у^ — гъ! *,
где r^t^u^ д* — характерные расстояние, время, скорость и ускорение соответственно. Физический смысл этих величин следующий: — период обращения по круговой орбите радиуса г*, г* — модуль скорости движения по орбите, д* — ускорение, создаваемое гравитационным центром на расстоянии г*. Возьмем за единицы измерения расстояния, времени, скорости и ускорения г*, t*, г*, д^ тогда уравнения движения
кхk I3’кхk I3’_ куУ _ ау । г |з ’_ куУ _ ау । г |з ’2 — az2 — azkz| г |3kz| г |3
кх
k I3’
кх
k I3’
_ ку
У _ ау । г |з ’
_ ку
У _ ау । г |з ’
2 — az
2 — az
kz
| г |3
kz
| г |3
в безразмерных переменных, для которых сохранены прежние обозначения, записываются в виде уравнений, не содержащих параметр к :
Отметим попутно, что характерная величина функционала J (4.69) равна k3^2rZ5^2.
Сделаем переход в интеграле (4.69) от прямоугольных координат ж, у к полярным координатам г, р :
г(0) = го, ^(0) = Рен г(0) = го, ^(0) = фо,г(С) = П, p(ti) = ръ г(С) = Г1, p(ti) = pi.
В интеграле (4.74) подинтегральное выражение не содержит явно время t и полярный угол р(1^ что предоставляет возможность понизить дифференциальный порядок этого выражения. Поэтому воспользуемся следующими обозначениями для первых производных: г = г^ р = и^/r, где иТ — радиальная скорость, и^ — трансверсальная скорость. Введем также вместо переменной t переменную г по формуле связи dt = dr/иг.
Интеграл (4.74) после преобразований принимает вид
где и^ = dvr/dr, r^ = dv^/dr. Хорошо видно, что экстремальные решения интеграла (4.75) должны удовлетворять граничным условиям, которые накладываются на функции г, гг,г^. Более того, если зависимости ит = ит(г) и гу = ^М известны, то по ним можно найти соответственно время движения И и угловое перемещение ^р = р± — р^ после интегрирования равенств dt = dr/иг и dp = ip dr/^rVr) :
(4.76)(4.76)
(4.76)
(4.76)
При заданных И, ^р имеем изопериметрические условия (4.76).
Таким образом, в новых переменных условная вариационная задача, эквивалентная задаче (4.74), принимает вид [101]:
J -J -+2Ai+2A2- —Г+2Ai+2A2- —ГММ = Ууо,ММ = Ууо,п(г0) = v.п(г0) = v.w(ri) = «п,w(ri) = «п,drdr(4.77)(4.77)Мп) = «сМп) = «с
J -
J -
+2Ai+2A2- —
Г
+2Ai+2A2- —
Г
ММ = Ууо,
ММ = Ууо,
п(г0) = v.
п(г0) = v.
w(ri) = «п,
w(ri) = «п,
dr
dr
(4.77)
(4.77)
Мп) = «с
Мп) = «с
В функционале (4.77) множители 2Ai, 2А2 — это множители Лагранжа для вспомогательной подинтегральной функции, которые соответствуют изопериметрическим условиям (4.76), а коэффициент 2 здесь введен для удобства вычислений.
Если приравнять нулю первую вариацию функционала (4.77), то получим два дифференциальных уравнения второго порядка относительно скоростей иг и Пф. Вновь переходя к аргументу t и воспользовавшись уравнениями движения
тф = Гу,тф = Гу,г = гг,г = гг,Гу ПуГу Пу
тф = Гу,
тф = Гу,
г = гг,
г = гг,
Гу Пу
Гу Пу
получим систему дифференциальных уравнений первого порядка, которая задает оптимальные режимы плоского движения в центральном поле
2пг Гу + А2).2пг Гу + А2).
2пг Гу + А2).
2пг Гу + А2).
В системе (4.78) последние два уравнения определяют оптимальный режим изменения элементов вектора реактивного ускорения.
Остановимся подробнее на свойствах системы уравнений (4.78) шестого порядка, которая содержит две постоянные Ai и А2. Значит, для ее решения надо задать восемь краевых условий типа (4.74). Отметим, что в системе (4.78) предел ат в точке гг = О равен бесконечности при условии, что выражение в квадратной скобке не равно нулю. Таким образом, заключаем, что точка гг = О особая.
Найдем характер особенности этой точки. С этой целью в системе (4.78) выделим уравнения для гг и пг, причем функции гфЬ\ Гу(^) и a^t) в них будем считать известными функциями времени. Эти два уравнения преобразуем к виду
В системе (4.79) после исключения аТ придем к линейному уравнению по и2!^ с аргументом ит. Запишем его решение
-2 _2 yr - W-2 _2 yr - W- I hi + h2 ) • 4 dv,2/
-2 _
2 yr - W
-2 _
2 yr - W
с помощью постоянной интегрирования С. После разложения подинтегральной функции в окрестности особой точки г, = 0 в ряд по степеням ит найдем интеграл
2 ^г ~ 2 ^1 — ^2 + Сит + ...(4.80)
В разложении (4.80) в правой части не записаны лишь члены ряда, содержащие ит в степенях выше первой.
Итак, на координатной плоскости (щ, ^/2) интегральные кривые, описываемые соотношением (4.80), при пересечении оси щ = 0 проходят через одну и ту же точку V С :
|«г = 1^1 - ^2, «г = о.(4.81)
Значит, эта особая точка — узел. При подстановке в выражение (4.81) значений гг, h\ и h^ из соотношения (4.79) получим условие равенства нулю числителя дроби для ат (4.79):
- (п^ + а2) + ат f —2 — Ai — А2 — = 0,(4.82)
когда знаменатель дроби ит = 0.
Остановимся сейчас на вопросе об интегрировании в окрестности особой точки. Наряду с системой уравнений (4.78) рассмотрим систему
..1 .
г = щ,Vr = ar4 —5-, Vm = аФ
ГрГрГр Zi'*
За^2arг.15—h 2A2 —pp ZipЗа^2arг.15—h 2A2 —pp Zip— 2пгГ(р + Л2),— 2пгГ(р + Л2),(4.83)
За^2arг.
15—h 2A2 —
pp Zip
За^2arг.
15—h 2A2 —
pp Zip
— 2пгГ(р + Л2),
— 2пгГ(р + Л2),
которая отличается от системы (4.78) лишь пятым уравнением, продифференцированным по I.
Обратим внимание, что в системе (4.83): 1) нет неопределенности в точке иТ = 0; 2) отсутствует интеграл системы, соответствующий параметру Ai; 3) число степеней свободы системы осталось прежним, но увеличился дифференциальный порядок системы. Вывод: система (4.78) обладает определенными преимуществами по сравнению с системой (4.83) везде, за исключением особых точек.
Зададим в начальный момент времени t = 0 координаты, скорость, реактивное ускорение системы и параметр А2 :
г(0) = го, у(0) = <^о, «г(0) = vro, гД°) = ar(0) = aro, оДО) = avo, A2 = A2.
При rro 4 0к набору начальных данных (4.84) надо добавить параметр Аь Эти все начальные значения составят задачу Коши для системы дифференциальных уравнений (4.78). При гго = 0 имеем особую начальную точку, в которой выполняется соотношение (4.82). Отсюда, решая уравнение (4.82), найдем значение параметра Ai. В этом случае задача Коши ставится для уравнений (4.83) с начальными условиями (4.84), дополненными заданием еще одного начального условия ar(0) = aTQ.
Отметим, что данную схему решения задачи Коши (4.78), (4.84) можно применить на этапе выполнения конкретного динамического маневра, когда одна соответствующая краевая задача разбивается на несколько последовательных краевых задач. В каждой из этих краевых задач недостающие начальные условия находятся путем поочередного подбора.
Выявим далее связь параметров начала и конца траектории. При перелете между двумя круговыми орбитами краевые точки траектории перелета особые, причем значения радиуса г и скоростей щ, и^ в моменты времени t = 0, t = И следующие:
г(0) = 1, ДО) = 0, ДО) = 1, r(ti) = и, ДД = 0, ДД = rp/2.
Условие в особой точке (4.82) применим дважды к началу и концу траектории. Тогда получим два ограничивающих соотношения
| «0 — Ai — А2 = 0,| a2 - Ai - А2 гД2 = 0,(4.85)
где По = «(0), ai = a(ti\ Исключим параметр Ai из уравнений (4.85). Будем иметь в результате
ДаДДД3/2),(4.86)
откуда при г > 1 вытекает ряд заключений:
di = по, если Л2 = 0;
di > по, если Л2 < 0;
di < по, если Л2 > 0.
Из соотношения (4.86) также должно следовать выполнение ограничения а2 > 0, что означает справедливость неравенства, которому удовлетворяет параметр Л2 :
А <
2 “ 2 (1 - гД2)'
Написанные выше неравенства при ту < 1 меняются на обратные.
В работе [30] показано, что в качестве критерия эффективности двигательной установки с малой тягой при осуществлении межпланетных полетов надо взять функционал
J = I a2(t) dt, Jo
минимальное значение которого (вектор реактивного ускорения a(t) можно рассматривать в этом случае как оптимальное управление) доставляет наибольшее значение отношению масс ракеты
Мк =1
М° ^ + ^f>2dt
где Мд = М(0) — начальная масса ракеты, М^ = M^t^ — ее конечная масса (полезный груз). Здесь M^/Mq = exp ^— (1/V) adt^, V — относительная (относительно ракеты) скорость истечения продуктов сгорания или, иначе, скорость движения частиц в реактивной струе, которую можно считать постоянной: V = const. Имеем а = — (V/ М) (dM / dt), M(t) — масса ракеты в момент времени t, N = — (dM/dt) -V2 (^ — мощность двигательной установки в предположении, что N = const.
Задача оптимального управления полетом сводится к задаче его выполнения с минимально возможным расходом массы (топлива). Решая задачу оптимального управления полетом, мы должны тем самым решить задачу о выборе оптимального закона изменения во времени реактивного ускорения a(t).
Напомним, как можно поставить данную задачу в терминах общей теории оптимального управления с использованием принципа
максимума Понтрягина. Будем полагать, что векторные уравнения системы имеют вид
x = f(x, иУ хЕйф иен8,(4.87)
где ж(ж1, Ж2,хп) — вектор координат системы, u(ui,U2, ...,и8) — вектор управлений, и EU^U* — замкнутое множество допустимых управлений, состоящее из кусочно-непрерывных функций u^ty к = = 1, 8.
Качество процесса управления движением (4.87) будем характеризовать функционалом
J = Г f0(x, и) dt,(4.88)
J to
где /о(ж, и) > 0. Задача оптимального управления (4.87), (4.88) ставится следующим образом: требуется среди всех допустимых управлений и = ^(t), переводящих фазовую точку Жо = x(to) в фазовую точку Ж1 = ж(Н), выбрать такие оптимальные управления Uo(ty которые минимизируют значение функционала (4.88).
Обозначим через ф = V^ch ^i? 'Фп) — вспомогательный вектор, где фо = const < 0, фг = ФгУФ — некоторые функции времени, г = 1,п. Затем введем функцию Н :
Я=У Д(4.89)
г = 0
где /о? А? s А — функции из соотношений (4.88) и (4.89).
Уравнения движения (4.87) в этом случае можно переписать в видеэн
ж* =, i = l,n.(4.90)
Функции ^i(ty г = 1,п, зададим дифференциальными уравнениями
Ег = -ф—>г=1,п.(4.91)
ОХг
Известно, что для наличия оптимальности в смысле минимизации функционала (4.88) процесса (ж(£), и(ф?)У переводящего фазовую точку Жо в фазовую точку Ж1, необходимо существование такого нетривиального решения системы (4.91) и такой фо = const < 0, при которых Vt 6 [to? А ] выполнено условие максимума:
Н (^(t), ж(£), uo(ty = max Н (^(t), ж(£), и(Г)У (4.92)
Таким образом, соотношение (4.92) — это условие для определения оптимального управления Uo(f) через вектор-функции фит. Совместное интегрирование уравнений (4.90) и (4.91) (или равносильного им уравнения движения (4.87)) позволяет найти оптимальную траекторию.
Обратим здесь внимание на два обстоятельства: 1) для интегрирования системы уравнений (4.91) необходимо соответствующим образом задать начальные данные; 2) решение системы (4.90), (4.91), которая имеет порядок 2п, зависит от 2п произвольных постоянных; поэтому решение этой системы может обеспечить выполнение 2п краевых условий: х^о) — ^го? x^t^ = т^ь г = 1,п.
Пусть ракета массой М осуществляет движение в силовом поле с потенциалом U8. Введем следующие обозначения:
U(х. у. z) = —,U(х. у. z) = —,gradE/ =gradE/ =ЭП 8U дП дх’ ду’ dzЭП 8U дП дх’ ду’ dz
U(х. у. z) = —,
U(х. у. z) = —,
gradE/ =
gradE/ =
ЭП 8U дП дх’ ду’ dz
ЭП 8U дП дх’ ду’ dz
г = т(х, у, z\ и = г(гж, vy, vz\ а = а(аж, ау, az\
где г(ж,?/, г) — вектор координат ракеты, г(гж, vy, uz) — вектор ее скорости, а(аж, ау, а^ — вектор ее реактивного ускорения. Запишем векторные уравнения движения
и — grad U = а, г = и,и — grad U = а, г = и,(4.93)(4.93)
и — grad U = а, г = и,
и — grad U = а, г = и,
(4.93)
(4.93)
в предположении, что | ах | < Л, | ау | < Л, | az | < Л, где А — некоторая заданная постоянная.
Полагая, что мощность реактивного двигателя N постоянна, следует найти решение, доставляющее минимум функционалу качества J = /^ а2^ dt.
В соответствии с формулой (4.89) с учетом системы (4.93) введем в рассмотрение функцию
(4.94)(4.94)
(4.94)
(4.94)
где для определенности положено фо — — 1-
Чтобы управления axiayiaz были оптимальны, согласно принципу максимума (4.92) они должны максимизировать величину Н (4.89). Порядок вхождения всех управлений в Н идентичен, поэтому можно рассмотреть лишь одно управление аж. Пусть, к примеру,
фуж > 0. Тогда Нтах достигается при ах = ^x/2, если | ^Vx 1/2 < А, и при ах = А, если 1ф^ |/2 > А. Аналогичные соотношения получим для ау и az. Следовательно, оптимальное управление а° задается набором выражений
(4.95)(4.95)' А , если фУж/2 > А,
(4.95)
(4.95)
аа< фуж/2 , если — А < ^^/2 < А,— А , если фуж/2 < — А.
а
а
Для оптимальных управлений а^ а® можно написать аналогичные формулы.
(4.97)(4.97)Принимая во внимание соотношения (4.91), (4.94), (4.95), запишем систему шести дифференциальных уравнений относительно величин фж, ф^,фу, 1/;Хж, г^, (jVz :
(4.97)
(4.97)
дфх dt
/ , XU , XU , д^и \
=^ж2 +Ь
\ ox2y OX Эуox dz /
Ng _ dt
/ , d2u , э2и , э2и \
= ХГи. Л Л + Гуу л 2 + rVz Л Л ,
\оу оху оу2oyoz /
Nz _ dt
/ д2и , Э2и , Э2и\
=^ Л Л + ^ Л Л + ^ Л 2’(4-96)
\OZOXУ OZ оуOZ2 /
d^Vx dt
"dt " ^’ dt "
Система уравнений (4.96) имеет следующую векторную запись:
фг + В фж = 0, фу = - фу,
/ d2U/dx2
d2U/Эх ду
d2U(дх dz
В =
d2U /ду Эх
д2И (ду2
d2U(ду dz
уд2 U )dz Эх
d2U(dz ду
d2U(dz2
= ^ (^, -фу, ф^, фу = фу (ф^, ф^, ф^.
Итак, можно утверждать, что система уравнений (4.93), (4.95), (4.97) образует замкнутую систему уравнений оптимального полета ракеты в потенциальном силовом поле при наложенных на управления ограничениях типа неравенств, обеспечивающих выполнение целевого условия в смысле минимизации функционала качества J = /^ a2(t) dt.
Принцип максимума обладает универсальностью, применим к самым разнообразным задачам оптимального управления в различных динамических системах. Достоинство этого принципа проявляется прежде всего в учете ограничений, накладываемых на систему управления.
При отказе от ограничений на управления аж, ау, аг из соотношения (4.94) для функции Н будет следовать, что вектор-функция оптимального управления (реактивного ускорения) определяется формулой а0 = ^K/S. Тогда систему уравнений (4.97) можно записать как систему дифференциальных уравнений относительно оптимального управления. В совокупности с уравнениями движения (4.93) эти уравнения будут представлять собой замкнутую систему уравнений оптимального полета:
т — grad U = а, а — Ва = 0,(4.98)
где матрица В была определена ранее в системе (4.97).
Для решения системы (4.98) двенадцать постоянных интегрирования надо задать так, чтобы выполнялись двенадцать краевых условий:
r0 = r(t0), Го = r(d)), т^т^У гк = г(В\ (4.99)
Укажем на то, что система (4.99) имеет первый интеграл
Н = Hq = const,(4.100)
откуда запишем выражение для Н (4.94) в преобразованном виде
При дополнительном условии, что силовая функция U есть силовая функция поля центральных сил, система уравнений (4.98) допускает еще три первых интеграла или один векторный интеграл:
(г х а) + (а х г) = К = const. (4.101)
Очевидно, что для полного интегрирования системы (4.98) этих четырех интегралов (4.100), (4.101) явно недостаточно. Можно указать на частный случай оптимального управления для системы (4.98):
где а — произвольная постоянная. Управление (4.102) позволяет решать задачу оптимального полета с семью краевыми условиями. По-видимому, общая задача (4.98), (4.99) неинтегрируема [30] и надо прибегнуть к приближенным или численным методам ее решения.
Заканчивая эту обзорную главу, посвященную различным вариационным задачам динамики систем переменной массы, скажем несколько слов еще об одном классе задач, возникающих в ракето- динамике реактивных оптимальных движений. Как было показано ранее, уравнение движения точки с переменной массой содержит одну свободную (управляющую) функцию — закон изменения массы.
С учетом выполнения гипотезы Циолковского о постоянстве относительной скорости отбрасываемых частиц оптимальный закон изменения массы однозначно определяет оптимальную программу изменения тяги реактивного двигателя. Возникающие отсюда задачи о нахождении этих оптимальных законов сводятся либо к простейшей задаче вариационного исчисления, либо к вариационной задаче на условный экстремум.
Современная ракетодинамика выдвигает также новый класс экстремальных задач, связанных с отысканием оптимальных законов программирования силы тяги. Имеются в виду задачи динамики, когда поиск оптимальных режимов обусловлен дополнительными интегральными соотношениями, которые приводят к изопериметрическим задачам динамики систем с переменной массой. С некоторыми из этих задач можно познакомиться, например, по работам [22, 30, 101, 177, 198, 206, 232, 266].
Часть II
Основные принципы гиперреактивной механики
Глава 5
Введение в механику гиперреактивного движения
Теория реактивного движения, несмотря на свои, казалось бы, завершенные и отработанные формы и построенная в основном на результатах работ И.В. Мещерского [229], К.Э. Циолковского [377, 378], Т. Леви-Чивита [432], тем не менее вызывает, по крайней мере, два естественных, хотя и не равнозначных вопроса. Первый их них: если абсолютная скорость и отбрасываемых частиц (излучающего потока) не удовлетворяет условию стационарности, то каков должен быть вид уравнений движения в этом случае и каковы дополнительные силы, которые могут возникнуть из-за эффекта нестационарно- сти?
И второй вопрос, тесно связанный с первым и наиболее важный с точки зрения общемеханических конструкций: почему стандартные уравнения реактивного движения содержат лишь массу системы (точки) M(t) в текущий момент времени t и скорость ее изменения dM(t)/dt и вовсе не содержат в качестве полноправного члена ту величину, куда входит ускорение изменения массы d2M(t)/dt2 ?
Последнее обстоятельство может показаться тем более странным, что начиная с Ньютона и Лагранжа в динамике основной упор делается именно на такого рода составляющие. В последующих разделах мы попытаемся ответить на эти и некоторые другие вопросы по проблемам нестационарной реактивности с помощью модели гиперреактивного движения [327, 328, 329, 330].
Есть веские основания считать, что малозаметным источником разного рода разногласий в гидро- и аэродинамических, а также реактивных и космодинамических теориях является так называемый ^-фактор — принципиальная невозможность практически точного, непосредственного вычисления абсолютной скорости и истечения отбрасываемых частиц.
Разброс измеряемых значений и может быть весьма значительным и колебаться в достаточно широком диапазоне. В этих условиях точным параметром измерения остается конечный динамический результат в виде некоторой силовой нагрузки: давления, силы тяги, реактивной силы и т.д. В зависимости от этого конечного динамического ’’продукта” производится вычисление скорости истечения и — именно в такой последовательности, а не в обратном порядке. И если методика расчета ущербна, то, очевидно, и скорость истечения и будет вычислена не совсем точно.
Введение в анализ новых гиперреактивных сил потребовало и качественно нового структурного подхода к основным динамическим принципам механики, их детализации и модернизации. В этом смысле результаты теории Мещерского-Леви-Чивита по выводу уравнений реактивного движения, а также расчетная схема Циолковского не могут в целом считаться вполне удовлетворительными.
В предлагаемом материале, который носит исследовательский характер, получены результаты и алгоритмические формулы, позволяющие в наиболее полной и точной форме описать общее движение нестационарной гиперреактивной динамической системы. Изучению тонких и сложных вопросов движения динамических систем переменной массы посвящена обширная литература (см., например, работы [6, 81, 91, 177, 216, 229, 250, 274, 369, 377, 378, 432]) и, тем не менее, любая новая разработка модели переменной массы, приводящая к появлению дополнительных и эффективных сил, заслуживает самого пристального внимания и апробации.
В § 5.1 обосновывается концепция нового вида реактивного движения — гиперреактивного движения точки переменной массы. Главное в новом подходе — учет гиперреактивных составляющих, т. е. учет слагаемых, зависящих от ускорения изменения массы точки и участвующих в динамическом описании движения системы равноправно с другими составляющими. Новый аксиоматический принцип динамики получил название ’’принцип полноты”.
Следующий § 5.2 знакомит с наиболее простыми приложениями гиперреактивной модели. Применения касаются известных космодинамических задач Циолковского и задачи внешней баллистики. Осуществлен вывод гиперреактивных уравнений движения и получены некоторые интегральные характеристики движения.
Затем в § 5.3 подробно изучены задачи Циолковского в гиперреактивной постановке. Определены интегралы движения. Особое внимание уделено поиску законов изменения массы, при которых система обладает заданным характером движения. Были исследованы также оптимальные режимы движения и найдены параметры, обеспечивающие эти режимы функционирования гиперреактивной системы.
В § 5.4 последовательно представлены некоторые варианты задач по гиперреактивному моделированию движения точки переменной массы, находящейся под действием силы тяжести в воздушной среде. В процессе теоретического исследования были найдены соответствующие значения динамических величин, при которых движение точки приобретает оптимальный характер.
В § 5.5 рассмотрена еще одна гиперреактивная модель движения, основанная на так называемом несимметричном принципе полноты. Поводом для анализа этой модели послужила попытка очередного сравнения с моделью Мещерского. Обе эти модели менее предпочтительны по отношению к симметричному принципу полноты (см. § 5.2), основанному на равнозначном динамическом взаимодействии.
Принцип полноты
Этот параграф посвящен обоснованию важнейшего динамического принципа в механике точки переменной массы — принципа полноты, позволяющего подойти к проблеме нестационарного реактивного движения с новых позиций.
Ниже предлагается (симметричная) гиперреактивная модель движения точки переменной массы, с помощью которой удается вести корректный учет силовых воздействий. Гиперреактивная модель, основанная на новом дифференциальном законе движения (принципе полноты), содержит в уравнении движения слагаемые, зависящие не только от массы точки M(t) в момент времени t и скорости ее изменения dM(t)/dt^ но и от ускорения изменения массы d2M(t)/dt21 что принципиально важно с точки зрения глобального описания процесса движения материальных тел.
Рассмотрим на промежутке времени [to, £ ] движение материальной точки, масса которой M(t) изменяется непрерывным и достаточно гладким образом. Пусть для определенности M(t) уменьшается за счет наличия у точки излучающего потока частиц, движущихся с абсолютной векторной скоростью и (везде далее, ради простоты записи , векторные величины не выделяются).
В случае, если заданная на [to? ^] вектор-функция времени u(t) стационарна, т.е. du(t)/dt = 0, u(t) = const, то уравнение движения Мещерского имеет вид
, Т dvdM , х.
= F+ —(u-v),(5.1)
LLLLLL
где v(t) — абсолютная скорость движения точки, F — действующая на точку внешняя активная сила.
Обычно уравнение (5.1) записывается следующим образом:
М^=^ + Ф1, ф1 = ^К,(5.2)
LLLL
где Ф1 — реактивная сила, V = и — v — относительная скорость излучаемых частиц, \dM/dt\ — расход массы излучающего центра в единицу времени. Кстати, если воспользоваться теоремой об изменении количества движения именно для величины Qi(t) = M^u^t^ то из уравнений (5.1), (5.2) получим
dQ^dM
—— = Ь Н— и.
dtdt
Напомним также, что в основе вывода уравнений (5.1), (5.2) лежит не совсем корректная гипотеза близкодействия Мещерского, при которой допускается производить учет лишь отбрасываемых частиц массой dM и использовать только величину количества движения (импульса) точки в виде Qi = Ми.
Ниже будет предложена новая модель взаимодействия системы ’’точка-частица”, которую можно назвать моделью равнозначного симметричного взаимодействия. В этой модели точка и частица имеют импульсы одного и того же порядка и выполняют как бы одну и ту же роль — роль полноправного участника взаимодействия. Здесь, по существу, безразлично, что от чего отделяется — точка от частицы или частица от точки, т. е. разница между ними условная.
Поэтому можно говорить об относительной скорости V = и — и движения точки по отношению к частице (потоку частиц) и с тем же основанием можно говорить об относительной скорости движения частицы по отношению к точке. Симметричная модель взаимодействия оставшейся и отделившейся массы учитывает влияние последней на динамику остающейся и наоборот.
Будем исходить в своем анализе из следующего важного аксиоматического положения: применительно к системам с дрейфующими параметрами (в том числе с изменяющимися массами) понятия количества движения, импульса или меры движения имеют всеобщий,
т. е. абсолютный характер [329, 331]. Эти понятия должны включать все скоростные показатели динамического состояния рассматриваемой системы (г, и, dM/dt).
Так как динамика объекта описывается в обобщенных независимых координатах, то, следовательно, к пространственным координатам надо добавить в качестве новой базисной координаты еще одну независимую переменную, т. е. массу. Именно такой подход и лежит в основе принципа полноты.
Приступим к последовательной реализации той программы, о которой говорилось выше. Начнем с наиболее простого случая, когда предполагается, что скорость истечения частиц u(t) нестационарна и u(t) т^ const, Vt G [to? tY Поскольку с этой скоростью (вернее, со скоростью — и) в момент времени t частица действует на материальную точку массой M(t), логично помимо импульса Qi(t) рассмотреть также дополнительный импульс Q2^ ~ M(t)n(t) и соответствующую ему силу
(5.3)(5.3)dQ^ dM л r du= ——и + М —.dt di di
(5.3)
(5.3)
dMdtdMdtdu dt'du dt'При этом точка движется с относительной скоростью и — и и испытывает результирующий импульс Q* = Q± — Q2 = М (и — и) = = — МУ^ а само уравнение движения с учетом выражения (5.3) приобретает вид
dMdt
dMdt
du dt'
du dt'
dQidt
и далее
, r du _ dM , х r du,
М — = F Н— (и —+ М — .(5.4)
dt dt vdtv v
По своей форме уравнение (5.4) является модифицированным вариантом уравнения Мещерского, третье слагаемое в правой части которого — это дополнительная реактивная сила Ф2, возникающая в результате эффекта нестационарности:
либолибоМ —— — F + Ф1 + Ф2dt
либо
либо
(МУ) 0dt
В терминах количества движения Q* уравнение (5.4) имеет более простую и компактную форму:
Q.-Q1-Q2, dtQ.-Q1-Q2, dt(5-5)(5-5)
Q.-Q1-Q2, dt
Q.-Q1-Q2, dt
(5-5)
(5-5)
которая соответствует теореме об изменении количества движения.
Отметим также, что стационарная модель Мещерского (5.1) не может считаться удовлетворительной для большого класса задач по причине несоответствия такой модели реальному протеканию динамических процессов.
Кроме того, в качестве еще одного замечания следует сказать о том, что нестационарная модель Мещерского (5.5) предполагает наличие у системы разгоняющего, нестационарного излучающего центра (например, двигателя-ускорителя), обеспечивающего появление дополнительной силы.
Вместе с тем было бы преждевременно считать, что уравнение (5.5) дает наиболее полное и правильное описание динамики точки переменной массы. Представленные здесь рассуждения — это своего рода одна из логических ступеней лестницы, которую надо преодолеть перед рассмотрением более общей модели.
Исходя из предложенной концепции всеобщего скоростного характера количества движения и полного набора независимых переменных (координат), следует продолжать наращивание величины импульса, действующего на точку, т. е. необходимо включить величину, зависящую и от скорости изменения массы dM(t)/dt.
Таким образом, считая массу еще одной обобщенной координатой, полное количество движения точки (системы) может быть записано в виде
\\ dR(t) dMU,A . хх
Q^ = М^ + —Г WY(5.6)
где вектор R(t) = r(t) — p(t) назовем реактивным вектором, dr^fdt = = r(t) — абсолютная скорость движения точки, dp^fdt = u(t) — абсолютная скорость истечения частиц излучающего центра, представляющая собой заданную на [to? ^] вектор-функцию времени. Здесь r(t), p(t) — текущие радиусы-векторы точки и частицы в абсолютной системе координат соответственно.
Второе слагаемое в правой части уравнения (5.6) представляет количество движения, возникающее за счет изменения массы на пространственном векторном отрезке R(t). Если ввести для этого слагаемого обозначение
=(5.7)
то с учетом (5.7) полный импульс точки будет равен Q = Qi — Q2+Qs- Итак, мы видим, что полный результирующий импульс Q(t) представляет собой сумму стандартного импульса M(t) ^dR^/dt^, возникающего за счет наличия относительной скорости dR^fdt у
точки (системы) массой M^t\ и импульса (c/M(t)/c/t) J?(t), возникающего, как уже было сказано, за счет скорости изменения массы dM(t)/dt вдоль вектора R(t\
Из соотношения (5.6) вытекает, что количество движения системы ’’точка - элементарная частица” за время dt равно
Q(t) dt = M(t) dR(t) + (dM(t)) R(t),
т.е. масса точки M(t) переносится на малое расстояние dR(t); при этом она уменьшается и элементарная масса dM^t\ переходя в категорию отбрасываемых частиц, проходит расстояние R(t\ Другими словами, за время dt масса M(t) сдвигается на расстояние dr, но так как за это время от нее отделяется некоторая часть, то тем самым M(t) сдвигается в обратную сторону на расстояние dp. Фактически масса M(t) испытывает результирующую относительную скорость dR/dt = и — и.
Отметим также, что элементарная масса dM(t) принадлежит к сложной диалектической категории масс: с одной стороны, она принадлежит еще остающейся массе точки M^t\ но с другой — она уже становится как бы частью отделившейся массы частиц (потока частиц). За время dt происходит глубинный процесс взаимодействия и перераспределения масс и формируется фаза отделения.
Назовем произведение массы точки M(t) и реактивного вектора E(t) вектором состава движения S(t) = M(t)R(t\ Тогда из соотношения (5.6) получим новый дифференциальный закон движения.
Теорема 5.1 (принцип полноты или теорема об изменении состава движения). Производная по времени от вектора состава двиэ^ения системы равна вектору ее полного импульса:
dS(O х х
& = Q^- (5-8)
Относительно закона движения (5.8) можно высказать следующие соображения.
Замечания. 1. Полученный закон движения универсален в том смысле, что он соответствует локальным законам динамики, которые представляют собой дифференциальные законы изменения (количества движения, момента количества движения и кинетической энергии).
Из структуры величины состава движения видно, что это понятие является замыкающим в динамике и оно не может быть разложено на компоненты с ” более низкими” дифференциальными размерностями, например, J^ R(s) ds. Отсюда принцип полноты приобретает черты исходного и основного динамического закона.
Теперь приступим к наиболее ответственной части анализа — записи уравнений движения материальной точки переменной массы. Для этого применим к величине Q(t) (5.6) теорему об изменении
количества движения:количества движения:dQ(t)dtdQ(t)dt= т= т
количества движения:
количества движения:
dQ(t)dt
dQ(t)dt
= т
= т
где F(t) — действующая на точку внешняя активная сила. Получим
d2R dMdR dMdR d2Mdt2 dt dt dt dt dt2
откудаоткудаd2Rdt2d2Rdt2dM dR d2Mdt dt dt2dM dR d2Mdt dt dt2
откуда
откуда
d2Rdt2
d2Rdt2
dM dR d2Mdt dt dt2
dM dR d2Mdt dt dt2
(5-9)(5-9)и далее
(5-9)
(5-9)
М —— — F + 2Ф1 + Ф2 + Фз,dt
где введены следующие обозначения:
dM dR dMФ, == dt dt dtdM dR dMФ, == dt dt dtdud2M
dM dR dM
Ф, ==
dt dt dt
dM dR dM
Ф, ==
dt dt dt
Фз = М—, фз = -~дгЕ-dtdt2
Здесь Ф1 — стандартная реактивная сила с относительной скоростью истечения частиц V = и — и, Ф2 — сила, возникающая в результате эффекта нестационарности скорости и. Силу Ф3, которая генерируется ускорением изменения массы точки, впредь будем называть гиперреактивной.
Отметим в дополнение, что в терминах реактивного вектора R(t\ относительной скорости R(t) = — V(t) нестационарное уравнение реактивного движения Мещерского имеет вид
dtdt
а общее уравнение гиперреактивного движения записывается как
d (MR + MR) _
; — '•dt
где точка сверху обозначает производную по времени. Хорошо видно, за счет какого слагаемого и благодаря чему возникает эффект гиперреактивности.
Прокомментируем полученные уравнения гиперреактивного движения (5.9). В уравнении (5.9) наибольший интерес вызывает
сравнение с уравнением Мещерского, представимого в виде (5.2). Как видим, новая запись претерпевает значительные изменения. Даже в случае, когда мы имеем дело со стационарным выбросом частиц и когда d2M/dt2 = 0, все равно говорить об одинаковых уравнениях не приходится.
Собственно, одинаковых уравнений движения и не могло быть по причине выбора в качестве импульса разных величин. В модели Мещерского принципиально нельзя осуществить учет членов, содержащих d2M/dt\ и в этом ее максимальный недостаток, чего не скажешь о новой модели. С формальной точки зрения за исходный импульс следует взять полный результирующий импульс Q, а не стандартный импульс бД.
Разница при вычислении стационарной реактивной силы может быть объяснена следующим образом (с помощью ^-фактора): реальное, точное нахождение абсолютной скорости истечения частиц и^ а тем самым и относительной скорости V, весьма затруднительно и представляет, как известно, сложную техническую задачу; ошибки при измерении и вычислении могут достигать весьма и весьма значительных величин.
Поэтому, во-первых, картина происходящего движения, даже будучи представлена ’’искривленной” моделью Мещерского, может вызывать определенную степень доверия, особенно в условиях наличия стационарности и относительно низких скоростей истекающих частиц.
Во-вторых, игнорирование членов Ф2 и Ф3 в соотношении (5.9) на разных этапах движения приводило и приводит к ощутимым погрешностям в траекториях динамических объектов, к излишней коррекции и затратам энергии. Эти члены с помощью эмпирических данных могут быть идентифицированы разного рода случайными и детерминированными возмущениями.
Вновь вспомним уже отмечавшуюся в гл. 1 работу Д. Бернулли ”О действии жидкостей на твердые тела и движении твердых тел в жидкостях”, где автор пишет, что сила реакции струи жидкости (реактивная сила) должна иметь удвоенный коэффициент. Другие варианты, по его мнению, не отвечают опыту, т.к. ’’достаточно походили бы на истинные, если бы более соответствовали мере эксперимента”. К сожалению, его практические выводы, основанные на тщательном измерении скорости реактивной струи, не были подкреплены теоретическим анализом. Тем не менее Д. Бернулли можно считать предтечей гиперреактивной механики.
К уже сказанному о коэффициенте 2 при реактивной силе Ф1 добавим, что натурные, стендовые испытания ракетно-реактивных двигателей на измерение силовых характеристик Ft показывают
лишь, что относительная скорость V истечения газов из сопла (в рассматриваемом случае, когда и = 0, имеем V = и) на самом деле имеет величину в два раза меньшую, чем это принято считать, т.к. надо исходить из формулы Ft = 2Ф1, а не Ft = Ф1-
Некоторые применения гиперреактивной модели
В данном параграфе не ставится цель дать развернутый и детальный перечень всех задач механики точки переменной массы, решенных с помощью предложенной гиперреактивной модели. Цель состоит в апробации новой модели, в обосновании основных динамических соотношений. Поэтому в качестве рабочих формул предложим для гиперреактивного случая алгоритм решения задачи Циолковского в общей постановке.
Пусть на точку, движение которой происходит прямолинейно в среде без сопротивления, не действуют внешние силы. Очевидно, что в этом случае относительная скорость истечения частиц V коллинеарна реактивному вектору R и направлена в сторону, противоположную движению точки. Следует определить закон движения и скорость движения точки. При сделанных допущениях получим интеграл движения Q(t) = С = const, который в скалярной записи
дает уравнениедает уравнениеdR dMdt dtdR dMdt dt(5.10)(5.10)ЗдесьЗдесьСо = МоСо = Моt = tot = toMo — М(Ц),Mo — М(Ц),dRdtdRdtdRdtdRdtRo = R(to\t=t0Ro = R(to\t=t0
дает уравнение
дает уравнение
dR dM
dt dt
dR dM
dt dt
(5.10)
(5.10)
Здесь
Здесь
Со = Мо
Со = Мо
t = to
t = to
Mo — М(Ц),
Mo — М(Ц),
dRdt
dRdt
dRdt
dRdt
Ro = R(to\
t=t0
Ro = R(to\
t=t0
Интегрируя выражение (5.10) относительно R. получим
MqRq + Со (t— to)dR
R =~~
гдегдеMdt
где
где
dR _Co _ MoRo + Co (t - to) dkiMdt MMdt
Большой интерес представляет сравнение полученных результатов с формулой Циолковского, которая обосновывается, исходя из дополнительных предположений о стационарности потока частиц
и неизменности величины V (гипотеза Циолковского). Для этой модели имеем уравнение Мещерского
dt dtdt dtV = const,V = const,
dt dt
dt dt
V = const,
V = const,
откуда после интегрирования получаем логарифмический закон (формулу) Циолковского: . тг л
г = го + Шп—-,г0 =
Обратим внимание на некорректность этих соотношений: с одной стороны, V = const, и = const и, как следствие, г = const, но с другой — скорость г изменяется по нелинейному логарифмическому закону. Может быть стационарность не предполагается, хотя центральное требование V = const остается? Но тогда вновь приходим к противоречию, поскольку скалярное (одноосное) уравнение для старой модели должно иметь вид
У^ = 0.dtУ^ = 0.dtr du dM r du
У^ = 0.
dt
У^ = 0.
dt
М — = -V — + м — ,dt dt dt
Какой отсюда можно сделать вывод? В рамках старой модели гипотеза Циолковского неправомерна, а само требование V = const не может быть обеспечено движением точки. Если же отказаться от чрезмерного условия V = const, то приходим к интегралу движения
VМоM0V0
— = , и = и Н,
v0 мм '
естественному для закона dQ^^jdt = 0, Q* = Qi — Q^.
Обратимся к общему нестационарному гиперреактивному случаю. Как это ни покажется удивительным, но гипотеза Циолковского для новой модели вполне корректна; более того, создается впечатление, что Циолковский хорошо осознавал всю разумность своей гипотезы и пытался втиснуть ее в рамки не совсем удачной модели Мещерского. Итак, предположим, что векторы V и R коллинеарны и V = const ^ 0 :
dVdM г,.d2M dVz х
м ^-"2V^r + ^Ro"v(t"t°^^e1 dF"0’(5Л1)
где dR/dt = — V — заданная постоянная величина.
Из уравнения (5.11) получим дифференциальный закон изменения массы, обеспечивающий выполнение основного требования V = const :
(PMdM
” Ro-v(t-toy”dT)
Уравнение (5.12) — это уравнение в полных дифференциалах, т.е.
^R0-V(t-t0^ ^-VM = C,(5.13)
где С = Rq (dM/dt)0 - VM0.
Интегрируя соотношение (5.13), получим зависимость массы как функции начальных данных, времени t и относительной скорости V :
м= RqMq Г С (t — t0)
Несколько слов о второй задаче Циолковского в условиях выполнения его гипотезы — задаче поднятия точки переменной массы в однородном поле силы тяжести. Уравнение для заданной постоянной относительной скорости V имеет вид
dVdM г,.d2M_
где dV/dt = 0, g — ускорение свободного падения, откуда получим уравнение, согласно которому должно происходить изменение массы с целью обеспечения условия V = const :
(PM2V dM gM _ Q
dt2 Rq — V (t — t0) dt Ro — V (t — t0)'
Стандартными приемами это уравнение сводится к уравнению Риккати в одном из неинтегрируемых в конечном виде случаев.
Рассмотрим теперь задачу внешней баллистики с использованием новой модели при следующих дополнительных упрощающих предположениях. Будем считать, что реактивная и гиперреактивная силы направлены по касательной к траектории, поле силы тяжести однородно и ” Земля плоская”. Силу сопротивления среды G будем считать также направленной по касательной к траектории движения объекта, причем
_ LpSv2 _ LpopSv2
=2= 2ро *
где L — коэффициент лобового сопротивления; р. ро — плотность воздуха на высоте z и у поверхности Земли соответственно, S — характерная площадь объекта, и — скорость объекта.
Предположим также, что коэффициент L допускает разложение вида L = P(v)H(z\ где Р^Н — непрерывные функции своих аргументов. Тогда
P(v) НС) popSv2
G == k h(z) о (у),
где введены следующие обозначения:
Ро2
Исходя из сделанных предположений о действующих силах, можно утверждать, что траектория системы — плоская кривая. Уравнения движения в проекциях на оси Ох и Oz имеют вид
(5-14)(5-14)ЬИ «И + 2V — + Л — + м 0.
(5-14)
(5-14)
dt2
Л\\ dMd2Mdu\ . .
— к h(z) йМ + 2 У —h R + М — I sin 6.
уdtdt2dt /
Учитывая, что v cos 9 = dx/dt, vsin^ = dz/dt, систему (5.14) можно представить в виде
d?1 z
vM — = - Мд- dt2
7 7 / \\П ^^^и\ dZ
к h(zA 6М +2V —— +R + М — —-
v 7 v 7 dt dt2 dt dt
Если основное векторное уравнение (5.9) при сделанных допущениях спроектировать на касательную и нормаль к траектории и добавить два кинематических соотношения, получим следующую систему дифференциальных уравнений движения:
б/г . .1 Л 7 / \\d2M л du\
57 + 5 s,“ e + TiV,,|г| sw + 'aPiT + R^№+al»)= °'
и + 9 cos 9 = 0, у cos 9 = 0, rsin6* = 0. (5.15) dt У dt ’ dt v v
Вряд ли стоит комментировать систему (5.15), которая без гиперреактивных составляющих хорошо известна [255]. Как и раньше, основная цель в использовании новой модели применительно к баллистической задаче состояла в написании точных динамических соотношений с учетом гиперреактивных слагаемых.
Отметим также, что уравнения баллистического движения (5.15) могут быть решены компьютерным способом, где численный анализ поможет установить более тщательно все особенности движения. Предлагаемая гиперреактивная модель, при которой масса является еще одной независимой переменной, позволяет свести ошибки и девиацию баллистических траекторий к минимуму, так как динамика объекта в этом случае описывается наиболее точными уравнениями движения.
В заключение остановимся на некоторых выводах представленной теории. Один из наиболее важных: количество движения динамических систем с переменной массой включает все скоростные характеристики — изменения положения и изменения массы, поскольку масса для таких систем приобретает все признаки новой независимой переменной.
Правомерность нового подхода может быть установлена экспериментально и подтверждена практическим путем. Преимущества нового метода можно раскрыть в следующих нескольких положениях: расчет кривых позволяет минимизировать ошибки и коррекцию траекторий, а запас топлива (имеется в виду ракета) в процессе всего движения выбрать наиболее оптимальным образом.
Важнейший вывод представленной гиперреактивной теории заключается в том, что метод указывает основные направления получения дополнительных сил, посредством которых исходная динамическая система может развивать весьма значительные абсолютные скорости.
Задачи Циолковского
в гиперреактивной постановке
Ранее, основываясь на положении о независимости обобщенных координат точки и ее массы M(t) в текущий момент времени t, t Е [to, t], и считая массу еще одной обобщенной (лагранжевой) координатой, полное количество движения точки Q(t) определялось по формуле
qw = m(0^ + ^W),
где реактивный вектор R(t) = r(f) — p(t), причем dr(t)/dt = ^(t^ dp(t)/dt = и(1).
Введенный таким образом (симметричный) импульс позволяет получить новый дифференциальный закон динамики (принцип полноты):
для вектора состава движения S(t) = M(t) R(t\
Применяя далее закон изменения количества движения к величине Q^t\ можем найти уравнение гиперреактивного движения точки (5.9):
txt dur du dM dR d2M
M-=FlM--t-— R.
dtdt dt dt dt2
Исходя из новой концепции движения точки переменной массы, ниже рассматривается ряд задач, связанных с конкретными условиями реализации этого движения, выявляются характерные особенности, соответствующие принципу полноты.
Первая задача Циолковского. Исследуем более подробно первую задачу Циолковского, когда точка переменной массы движется прямолинейно в среде без сопротивления в отсутствие действия внешних сил в предположении, что относительная скорость истечения частиц V постоянна, коллинеарна реактивному вектору движения R и направлена в сторону, противоположную движению точки. При этом наборе условий, который составляет содержание гипотезы Циолковского, требуется определить движение точки.
Выше уже было сказано о противоречивости логарифмического закона Циолковского. Воспользуемся поэтому скалярным уравнением гиперреактивного движения (5.9). При сделанных допущениях получим
dR Rd2M/dt2 , .
= ~ 2dM/dt • (5Л6)
Интегрируя выражение (5.16) относительно Я, имеем
R = Rq expR = Rq expT1"T1"dM/dtXdMjWodM/dtXdMjWo
R = Rq exp
R = Rq exp
T1"
T1"
dM/dt
XdMjWo
dM/dt
XdMjWo
где Ro = R^to), (dM/dt^o = (dM/df)t=t0, откуда
(5-17)(5-17)
(5-17)
(5-17)
Подставим найденное выражение (5.17) в соотношение (5.16). Тогда
dR _ Ro (dM/dt^2 (d^M/dt2)
2 (dM/dt^/2'(5' )
Будем для определенности считать, что масса точки M(t) является непрерывной, монотонно убывающей функцией времени:
dMdtdMdt<0,<0,сРМсРМ(dM/dt)0dM/dt(dM/dt)0dM/dt0.0.
dMdt
dMdt
<0,
<0,
сРМ
сРМ
(dM/dt)0dM/dt
(dM/dt)0dM/dt
0.
0.
Следовательно, в правой части соотношения (5.18) стоит положительная величина и скорость точки и увеличивается по закону
(5.19)(5.19)Ко d2M/dt2(dM/dt)3/2 '
(5.19)
(5.19)
где Ко = Ro (dM/dt)^2 / 2.
Выполнение зависимости (5.19) обеспечивается изменением массы по некоторому заранее заданному закону М = M(t). Скорость точки v(t) будет определена, если в соотношении (5.19) скорость u(t) является известной функцией времени. Если, кроме того, задана относительная скорость V = const, то изменение массы должно протекать по следующему дифференциальному правилу:
d2M _ /dM\ 3/2dt2 у dt /
Это уравнение можно представить в виде
d2MW dM
dt2 Ro — V (t — to) dt
откуда после интегрирования получим закон изменения массы:
C = RoC = Ro- VMo,- VMo,_ RqMq ГС (t - tp)
C = Ro
C = Ro
- VMo,
- VMo,
W Ro-V^t-to) '
либолибоM (t) — Mo H-M (t) — Mo H-Ro (dM/dt)p (t - tp)Ro — V (t — to)Ro (dM/dt)p (t - tp)Ro — V (t — to)dM\^ / оdM\^ / о< 0.< 0.
либо
либо
M (t) — Mo H-
M (t) — Mo H-
Ro (dM/dt)p (t - tp)Ro — V (t — to)
Ro (dM/dt)p (t - tp)Ro — V (t — to)
dM\
^ / о
dM\
^ / о
< 0.
< 0.
Рассмотрим теперь некоторые законы изменения массы. Закон изменения массы определяется режимом работы излучающего центра (двигателя). Выясним, при каких изменениях массы M(t) обеспечивается постоянство реактивной и гиперреактивной сил при прямолинейном движении. Пусть
(5.20)(5.20)dM(t) dR(t) _ сdt dt 9
(5.20)
(5.20)
где СТ = const ^ 0. Так как dR^fdt = — V(t\ то, интегрируя соотношение (5.20) на промежутке времени [to, ^Ь получим
(5.21)(5.21)С d s
(5.21)
(5.21)
Обсудим формулу (5.21). В этом соотношении V(t) ф const. В самом деле, предполагая противное, получим линейный закон изменения массы, откуда d2M(t)/dt2 = 0. В основном уравнении движения (5.9) dV/dt = 0 в левой части; если выполнено условие F = 0, то приходим к противоречию и гипотеза Циолковского несостоятельна.
(5.22)(5.22)Возьмем случай, когда
(5.22)
(5.22)
где Си = const ^ 0, R(t) ф const. Дважды интегрируя уравнение (5.22), получим зависимость
хГ dm ds
M(t) = Мо + [ —- ) (t - t0) - Ch.
VMoJt0Jt0 RW
Поскольку во многих работах наибольший интерес вызывают два случая изменения массы: 1) линейный закон M(t) = Mq[1 — —a (t — to) ] и 2) экспоненциальный закон M(t) = Mq exp [ —a (t — to) ], где a > 0, уделим им особое внимание.
Если M(t) = Mo [ 1 — a (t — to) ], то секундный расход массы равен dM/dt = — аМо, где параметр а называется удельным секундным расходом массы; кроме того, d2M/dt2 = 0. Пусть F = 0. Тогда гипотеза Циолковского о постоянстве V не выполняется и относительная скорость для линейного случая должна удовлетворять уравнению
dtdt
т. е.
^) = 7Г—’ W) = R»- 1 ^^ ) ’(5-23)
[ 1 — a (t —]1 Q Г ^о)
где Vq — V(to). Обозначим через аТ ускорение, обусловленное действием удвоенной реактивной силы. Тогда при линейном законе изменения массы с учетом выражения (5.23) будем иметь
_ 2VdM/dt _ 2aVoм [ 1 - а е - to)]3
Перегрузка, создаваемая реактивной силой, равна в этом случае
ат2aVo
9 g [1 - a(t - to)]3’
где g — ускорение силы тяжести.
Рассмотрим теперь экспоненциальный закон изменения массы М(t) = Mq exp [ —a (t — to) ] . Имеем
—— = — аМо е to) = — &М,7 о = а2М.
dtdt2
Пусть F = 0. Заметим, что и для экспоненциального закона гипотеза Циолковского не выполняется, так как уравнения противоречивы. Имеем
M<i2R _dMdRd2M R
dt2dtdtdt2 '
или
d2RdR 2_
После интегрирования уравнения (5.24) получим
K(t) = [Ко + а (Ко + aRo^t - t0)] exp [a (t - t0) ],
R(t) = \^R0 - (Ko + aRo^t - t0)] exp [a? (t - t0) ], откуда найдем выражения для ускорений и перегрузки:
аг = — 2аК, ан = — a^R, ar+h = — а (2К + ctR), п = °г+/г,
где ar+h = ar + ah.
Вторая задача Циолковского. Исследуем вторую задачу Циолковского, а именно движение точки переменной массы в однородном поле силы тяжести по вертикали вверх. Требуется определить закон изменения скорости и расстояния как функции времени и найти максимальную высоту подъема точки. Относительная скорость V излучаемых частиц постоянна и направлена по вертикали вниз. Уравнение движения в этом случае имеет вид
(5.25)(5.25)(5.26)(5.26)dR__ Rd2M/dt2 _ Мдdt2 dM/dt2 dM/ di'
(5.25)
(5.25)
(5.26)
(5.26)
Интегрируя уравнение (5.25), получим
(dM/dt)^2 Гg C Mdt "
TdW^ [ ° " ^(dM/dt^2 k WW7"2 .'
Если подставить выражение (5.26) в соотношение (5.25), то найдем зависимость dR(t)/dt в функции M(t), dM(t)/dt и d2M(t)/dt2, откуда
(5-27)(5-27)дм^dMjdt
(5-27)
(5-27)
^dMldt^2 d2M!dt2 Гg C Mdt "
2(^М)з/2 V ° " ^(dM/dt^2 k WW7"2 . ’
где u(t\ M(t) — заданные функции времени.
Если указана постоянная относительная скорость V, то тогда уравнение (5.25) представляет собой дифференциальный закон изменения массы в виде
d2M _ 2У dM _ дМ =
dt2 Rq — V (t — to) dt Rq — V (t — to)
Однородное линейное уравнение второго порядка (5.28) не интегрируется, как известно, в конечном виде. Отметим, что уравнение (5.28) — это уравнение относительного равновесия точки переменной массы в поле силы тяжести при условии, что V = и = const.
Определим теперь максимальную высоту Н подъема точки. Поскольку для этого значения высоты v(t*) = 0, то время подъема t* находим из уравнения (5.27). Имеем далее (при H(to) = 0) :
Н =Н =-tt(t*) — R(to) +-tt(t*) — R(to) +u(s) dsu(s) ds
Н =
Н =
-tt(t*) — R(to) +
-tt(t*) — R(to) +
u(s) ds
u(s) ds
= В(Г)ГроГ / u^ds, р0 = p(toy
где и(Гр M(t) — заданные функции времени, а величина R(t*) определяется с помощью формулы (5.26) для t = t*.
Сравнив полученный результат со случаем, когда M(t) = MqX
х exp [ —a (t — to) ]? ex > 0, и V ^ const, получим
d^R _ _ dMdR _ d2MM Itd^R _ _ dMdR _ d2MM ItMgMg
d^R _ _ dMdR _ d2M
M It
d^R _ _ dMdR _ d2M
M It
Mg
Mg
илиили
или
или
d2 R dR 2
ИЯ"2аХЯ^а R = "9’
откуда найдем
(5.29)(5.29)R(t) = [Яо - (К +aR0Xt - to)] exp[a(t - t0)] - ^, Г(0 = [Го + a (Vo + aRoW ~ to) ] exp [a (t - t0)].
(5.29)
(5.29)
Время t* находится из уравнения
u(t*) = [ Vo + a (Vo + aR0Xt - to) ] exp [a (t* - t0) ],
а затем определяется величина Н. Аналогично можно рассмотреть случай, когда масса убывает по линейному закону.
Оптимальные режимы движения. Займемся далее исследованием оптимальных режимов движения в задачах Циолковского. Ранее было показано, что основные интегральные характеристики движения точки зависят от закона изменения ее массы; поэтому есть повод поговорить о формировании оптимальных режимов движения.
Обозначим через m(f) запас топлива: M(t) = N + m(t^ где N = const — масса точки без топлива. Из соотношений (5.19) и (5.27) следует, что скорость, приобретаемая точкой, зависит от скорости (M(t)/dt = dm(t)/dt) и ускорения (d2M(t)/dt2 = d?m^ fdt2^ изменения массы топлива. Это весьма важный вывод.
В выражение (5.19) масса вообще не входит. Попробуем из логических соображений предугадать этот результат. Согласно старой (затратной) теории, чем больше масса топлива у объекта, тем большую скорость он приобретает, причем не играет роли, каков характер изменения величин dm(t)/dt и d2m(t)/dt2.
На самом деле, конечно, это вовсе не так: учет массы топлива при игнорировании этих величин, по сути, означает учет лишь ударных эффектов по мере движения (имеется в виду рассредоточенный
или распределенный удар). В действительности же, как показывает новая теория, и малая масса топлива при соответствующих изменениях может доставлять значительные и необходимые абсолютные скорости.
Обратимся вновь к первой задаче Циолковского. Длина активного участка, когда масса топлива m(t) становится равной нулю при t = t*, будет равна
Яр (dM/dt^2(dM/dt^V2Яр (dM/dt^2(dM/dt^V2
Яр (dM/dt^2(dM/dt^V2
Яр (dM/dt^2(dM/dt^V2
где время I* определяется из уравнения MQU) = N. Если задана относительная скорость V = const, то Д, (dM/dt)* = (dM/dt)t=t* вычисляются с помощью полученной ранее формулы
— ^°М° + С (t - Д)
U R0-V(t-t0) •
Таким образом, получим
ш0 До
moV — Др (dm/dt)o ’
Rq (dm/dt^QRq (dm/dt^Q[Ro-VX-A]2'[Ro-VX-A]2'
Rq (dm/dt^Q
Rq (dm/dt^Q
[Ro-VX-A]2'
[Ro-VX-A]2'
(dm/dt)oт0(dm/dt)oт0Случай мгновенного отброса топлива (сосредоточенный единовременный удар) соответствует t* = Д? т.е.
(dm/dt)oт0
(dm/dt)oт0
НС) = г(£о) = ро + Ro, — /to
Если же
> До (dm/dt^Q
то t* сю : наблюдается бесконечно малое изменение массы топлива и, кроме того, г(Д) сю.
Перейдем ко второй задаче Циолковского. Найдем максимальную высоту активного участка при подъеме точки переменной массы, движущейся по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести в случае, когда закон изменения M(t) задан заранее. Имеем M(t*) = N (для V = const, причем V заранее не задается):
(dm/dt)^2g Г1* М dt
(dm/dt)*^2 I °2(dmM)o/2 Ло (dm/dty/2 _ '
Эта задача будет иметь аналитическое решение, если функция времени M(t) известна. Пусть
M(t) = Мо exp [ — a (t — to) ], Мо = ^ + m0, V const.
Решая уравнение M(t*) = N^ найдем время Л*, при котором запас топлива будет равен нулю (конец активного участка):
(N + т0) exp [ - a (t* - t0) ] = N,
откудаоткудаt* = to + Int* = to + In1/a1/a(5.30)(5.30)
откуда
откуда
t* = to + In
t* = to + In
1/a
1/a
(5.30)
(5.30)
Рассмотрим уравнение (5.29) для R(t). При подстановке выражения (5.30) в соотношение (5.29) получим
R(t*) =R(t*) =До — (И) + oiRo) In М + -^гДо — (И) + oiRo) In М + -^г9 а2'9 а2'(5.31)(5.31)
R(t*) =
R(t*) =
До — (И) + oiRo) In М + -^г
До — (И) + oiRo) In М + -^г
9 а2'
9 а2'
(5.31)
(5.31)
Если теперь соотношения (5.30) и (5.31) подставить в выражение для
Н — роГН — роГ
Н — роГ
Н — роГ
то получим значение высоты активного участка при убывании запаса топлива по экспоненциальному закону.
Определим, при каком значении а высота подъема точки в этом случае будет максимальной. Дифференцируя Н по а, приведем уравнение дН/да = 0 для определения оптимального значения а (после сокращения на 1/<а2) к виду
ч\ч Л тпо \га Г тпо\ 3 Л то \
41+Дт ( ъ ] Д+Д+Дч1+Д
(5.32)
В частности, максимальная высота активного участка может быть достигнута, если в уравнении (5.32) положить а = сю, что соответствует мгновенному отбросу топлива. Имеем отсюда ограничение на выбор начальных данных: должно выполняться условие До) = К (1 + то/Д-
Подчеркнем то обстоятельство, что старая теория максимальную высоту определяет лишь для а = эс: новая гиперреактивная модель дает целое семейство решений этой задачи. Случай линейного убывания массы топлива может быть рассмотрен подобным же образом и на нем останавливаться не будем.
Если заранее задана величина V = const, то уравнение (5.28) не интегрируется в конечном виде относительно M(t). Однако из его численного решения можно приближенно найти время С, для которого m(t*) = 0, а тем самым будет найдена и максимальная высота активного участка.
Некоторые заключения. Сформулируем основные выводы, которые базируются на представленных результатах по гиперреактивному моделированию, хотя ясно, что их число может быть значительно больше.
Модель Мещерского-Циолковского в своей концептуальной основе содержит недостатки. Во-первых, эта модель на дифференциальном уровне противоречива; во-вторых, она не позволяет вести учет членов, содержащих d2M(t)/dt2, и, наконец, эта модель не вписывается в схему Лагранжа описания динамического объекта в обобщенных независимых координатах.
Гиперреактивная модель позволяет достигать необходимых абсолютных скоростей главным образом за счет характера скорости и ускорения изменения массы объекта.
Старая теория основной упор делает на задание относительной скорости истечения частиц V, новая отдает предпочтение заданию абсолютной скорости истечения частиц и. В этом случае динамика объекта полностью определена.
Как показывают результаты, во многих случаях предположение Циолковского о том, что V = const, не оправдано: движение точки при этом имеет ’’скованную” динамику.
Для эффективного функционирования гиперреактивной модели и достижения необходимой финальной скорости требуется обеспечение разгона частиц массы топлива (скорее даже не топлива, а рабочего вещества) внутри двигательной установки, своего рода компактного ускорителя [330].
Гиперреактивный двигатель должен осуществлять движение частиц рабочего вещества с ускорением. В основе конструирования такого разгоняющего двигателя-ускорителя могут лежать самые разные физические и технические идеи, например, связанные с реализацией проекта по созданию ядерного электрогенератора (см. часть III настоящей книги). На современном этапе развития
ракетной техники в реальных системах малый гиперреактивный эффект сказывается в наличии нестационарности (при разгоне) и отклонении траектории от расчетной.
Гиперреактивное движение
в среде с сопротивлением (в атмосфере)
В этом параграфе исследуется гиперреактивное движение точки переменной массы, находящейся под действием силы тяжести, в воздушной среде, где сила лобового сопротивления воздуха имеет квадратическую зависимость от абсолютной скорости движения точки, что хорошо согласуется с опытными данными.
Динамика точки формируется на основе разработанного дифференциального принципа движения (принципа полноты), позволяющего в наиболее точной форме учитывать внутренние динамические особенности объекта и ведущего к появлению нового класса гиперреактивных сил. В проводимом теоретическом анализе основное место отводится нахождению оптимальных режимов движения, а также их связи с вариационным методом.
Будем считать, что известен закон изменения массы М = M(t) и, кроме того, определена функция времени u(t\ т. е. происходящие изменения массы и скорости истечения частиц заданы, что, очевидно, обеспечивается определенной работой излучающего центра (двигателя). Тогда относительно реактивного вектора движения R общее уравнение гиперреактивного движения имеет вид
MR + 2 MR + MR = F,(5.33)
где F — действующая на точку внешняя сила.
Исходя из уравнения (5.33), рассмотрим несколько случаев движения, когда сила F имеет вполне конкретное содержание. Для начала положим, что движение происходит по вертикали вверх в поле силы тяжести в среде с сопротивлением. Обычно считают, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и точки (— ки2^ к = const > 0.) Итак, пусть
F = - Мд-ки2.(5.34)
Подставляя выражение (5.34) в уравнение (5.33), получим
MR + 2 MR + MR + Мд + к (R + и)2 = 0,
или
R + ai (t) R + а2(t) R2 + a3(t) R + / (t) = 0,(5.35)
гдегде2 (М + ku) 01 м = —м—2 (М + ku) 01 м = —м—/ х, х М х ки2/ х, х М х ки2
где
где
2 (М + ku) 01 м = —м—
2 (М + ku) 01 м = —м—
/ х, х М х ки2
/ х, х М х ки2
Нелинейное уравнение (5.35) допускает численное решение для произвольных законов изменения M(t) и u(t). В случае выполнения гипотезы Циолковского (V = const, R(t) = Ro — V (t — to)) уравнение (5.35) определяет характер поведения M(ty а тем самым задает алгоритм управления изменением массы:
d2M W dM дМ к (и - V)2
” R0-V(t- i0) ' "dT + R0-V(t- i0) + R0-V(t- i0) “ '
В уравнении (5.35) можно определить еще одно управляемое по массе движение, если обеспечить такой режим функционирования, при котором относительная скорость истечения частиц будет носить заданный характер. Например, потребуем, чтобы в уравнении (5.35) выполнялось условие
а2(<)Я2 + /Д = G(t),а2(<)Я2 + /Д = G(t),(5.36)(5.36)
а2(<)Я2 + /Д = G(t),
а2(<)Я2 + /Д = G(t),
(5.36)
(5.36)
где G(t) — заданная функция времени. Тогда
(M(i)GVi) - М(1)9-/ж2Д)1/2
Re^Ro + ^j^ J (M(s)G(s) - M(s)g -/sm2(s))1/2ds.
При таком движении из соотношения (5.35) получим уравнение, определяющее закон изменения массы и выражающееся в виде интегро-дифференциального уравнения:
1 MG + MG — Мд —2 кий ।
2/GG '(MG-Mg-ku2)1/2+
( | Л ; . / <-VW С;М --'Ito <J-t «Ч«<)1/1 d, 1=0.
Отметим, что в случае задания соотношения (5.36) движение точки равносильно движению без сопротивления окружающей среды и силы тяжести при действии на нее внешней силы — G(t\
Исследуем случай, когда движение точки, совершающей вертикальное гиперреактивное движение, происходит под действием силы тяжести и силы лобового сопротивления Q = С pSv2/2^ где С = const — коэффициент лобового сопротивления, р — плотность атмосферы, S — характерная площадь объекта, и когда требуется определить оптимальный закон движения точки при условии, что расход массы топлива будет минимальным. Имеем
MR + 2 MR + MR = -Q- Мд.MR + 2 MR + MR = -Q- Мд.(5.37)(5.37)
MR + 2 MR + MR = -Q- Мд.
MR + 2 MR + MR = -Q- Мд.
(5.37)
(5.37)
Введем переменную г, где z — высота точки над поверхностью Земли, по правилу
dR -dR dM • dM
—— = R—:— = R —— .
dt dz di dz
Исходя из этих соотношений, можем записать
R dM 1 dM _ dM
откудаоткудаR2 dt R dt dz 1
откуда
откуда
1 dM _dM dR dM
R dt dz dz dz
Подставив эти выражения в уравнение (5.37), получим
dR dM • f dM dR dM\ Q + Mgz
—У = 0.5.38
dz dz \ dz dz dz )R
Предположим, что точка на высоте z проходит слой малой толщины dz = const с постоянной плотностью атмосферы, где величина М dR также постоянна. Продифференцируем уравнение (5.38) по R, обеспечивая минимум расхода массы dM/dz = 0 (dM/dz = 0) :
d dRd dRd8Rd8R(Q + Mg\V R )(Q + Mg\V R )
d dR
d dR
d
8R
d
8R
(Q + Mg\
V R )
(Q + Mg\
V R )
Принимая во внимание условия dz = const, М dR = const, отсюда получим критерий оптимальности движения
(5.39)(5.39)9 (О + Мд\ = 0ЭН \ R )'
(5.39)
(5.39)
Так как в пределах слоя dz имеем М = const, то из выражения (5.39), где Q = С pSv2/2^ получим
(5.40)(5.40)Мд CpS R2 - и2"1? + "1 р?
(5.40)
(5.40)
для заданной абсолютной скорости истечения частиц u(t\
Из формулы (5.40) найдем оптимальное значение скорости точ
ки г* :ки г* :Щ = и +Щ = и +2 Мд \ 1/2 CpS )2 Мд \ 1/2 CpS )(5.41)(5.41)
ки г* :
ки г* :
Щ = и +
Щ = и +
2 Мд \ 1/2 CpS )
2 Мд \ 1/2 CpS )
(5.41)
(5.41)
Из зависимости (5.41) вытекает, что в среде с квадратическим законом сопротивления вес точки равен
Мд = CpSu (и/2 — и).(5.42)
Кроме того, из соотношения (5.42) получим, что
= Мд + CpSuR + CpSu2.
При этом уравнение движения системы (5.37) приобретает вид
MR + 2 MR + MR = - 2Мд - CpSu (R + м),
или
R + 6i (t) R + 62(6) R + р^ = 0,(5.43)
где введены обозначения
, , ,2М + CpSu , , , М z „ CpSu2
Для произвольно заданных M^t\ u(t) уравнение (5.43) может быть решено численно.
Зададим массу точки в затухающей экспоненциальной функции переменной г, где z — высота точки над поверхностью Земли:
М = Mq exp (— az\ M0 = M(z0), z0 = 0, a > 0.(5.44)
При оптимальном режиме движения (5.42)
C^pv22C^pv22= C^pv • - == C^pv • - =Mgvи — 2MMgvи — 2M
C^pv2
2
C^pv2
2
= C^pv • - =
= C^pv • - =
Mgvи — 2M
Mgvи — 2M
где С* = CS = const, уравнение движения (5.38) может быть представлено следующим образом:
= 0.(5.45)= 0.(5.45)dR •/ 9• dR\ 2 Mg
= 0.(5.45)
= 0.(5.45)
М 2aMR + I a2MR - 2aM — I R + -.—- dz\dz J R -и
После сокращения на М и разделения переменных из уравнения (5.45) получим:
(1 - 2aR)(R - и) dR
aR (R — n)(2 — aR) — 2g
Интегрируя это выражение, найдем зависимость высоты z в функции В, R и коэффициента а.
Предположим, что гипотеза Циолковского (R = — У = const) имеет место. Согласно оптимальному режиму движения, формула (5.42) принимает вид
(5.46)(5.46)_ С*рЛ _ Mg (V - и)2“ V + и
(5.46)
(5.46)
Уравнение движения точкиУравнение движения точкис учетом того, что dR/dz = 0,
Уравнение движения точки
Уравнение движения точки
представимо в виде
2У^+Д^-^ = 0
dz dz У
или, принимая во внимание условие (5.46), в виде
dMdM
2 MgV + и2 MgV + игдегдеdzdzdM _d?Mdzdz2 'dM _d?Mdzdz2 '-2V — yR —dzdz
2 MgV + и
2 MgV + и
где
где
dz
dz
dM _d?M
dzdz2 '
dM _d?M
dzdz2 '
Таким образом, оптимальное движение подчиняется уравнению
(5-47)(5-47)d^MdM 2 Мд
(5-47)
(5-47)
dz2dzУ (У + u) ’
решая которое, можно найти зависимость М = М^У^ и^ z). Интересно отметить, что если в уравнении (5.47) задать закон изменения массы (5.44), то тогда получим алгоритм для выбора функции u(t) :
aR д 1
V = “ а¥ * УГи
откуда
(5.48)(5.48)= 2g1аЧ 2 — aRo + аЧ (t — to)
(5.48)
(5.48)
где u(t) — V при t ос.
В силу оптимального закона (5.42), (5.46)
М =М =С,р(У2-и2)^дС,р(У2-и2)^д
М =
М =
С,р(У2-и2)^д
С,р(У2-и2)^д
экспоненциальное убывание массы по формуле (5.44) соответствует следующему изменению плотности:
(5.49)(5.49)2g Mg ехр (— аг)а v2 -п2
(5.49)
(5.49)
После подстановки выражения (5.48) в соотношение (5.49) получим формулу
(2 — aR) a Mq exp (— az)
Р =2С* T^g/Wm^aRfy
Найденная зависимость
Р = Ро exp (- Pz), ро = рСо)
для конкретного (3 > 0 хорошо согласуется с опытными данными и реальной физической моделью атмосферы.
В случае, когда масса убывает с набором высоты линейно (М = = Mg (1 — az)) при оптимальном режиме, уравнение (5.38) переписывается в виде
- 2aM0R - 2aM0R + ^izL = q, dzdz R - и
откуда после сокращения на Mq получим
_\ dR а dR 2 (1 — az) д
(1 - az) -2aR - 2aR — + —= 0.dzdz R-u
В этом уравнении разделить переменные не удается, поэтому потребуем дополнительно, чтобы выполнялась гипотеза Циолковского. Тогда получим алгоритм для выбора скорости и :
2п1, _ 2(1 -<„)^
V + и
откуда получим
«М =- V.
av
Полученные результаты имеют важное практическое значение при моделировании оптимального гиперреактивного движения точки переменной массы на начальном этапе вертикального подъема (или отрыва) от земной поверхности при наличии сил лобового сопротивления воздуха.
Заканчивая параграф, рассмотрим простейшую вариационную задачу о нахождении параметров такого движения точки переменной массы, при котором достигается максимальная высота вертикального подъема в однородном поле тяготения при наличии силы сопротивления атмосферы.
Покажем, что определение оптимального режима можно свести к задаче вариационного исчисления для второй задачи Циолковского при добавлении в соответствующее уравнение силы лобового сопротивления, а именно:
2 MR = - MR -Мд- ри2,(5.50)
где р = С pS /2, и = R + и. С этой целью введем в обращение функционал L, означающий пройденный за время t Е [to? И ] путь:
L= [ dL = [ udt, u(to) = uq, r(ti) = 0.(5.51)
VoJ to
Для уравнения (5.50) требуется найти закон изменения R(t), M(t), при котором будет достигаться максимальное значение функционала (5.51). Из уравнения (5.50) получим выражение для скорости и :
v = S^MR + ^MR + Mg)1^, s = (-1/р)1/2, подставляя которое в функционал (5.51), получим
L = s Г (MR + 2 MR + Мд)1/2 dt = s Г F(R, R, М, М, М) dt.
J t0J to
Функции R(t), M(t), доставляющие экстремум функционалу L, должны удовлетворять уравнениям Эйлера следующего вида [86]:
№_£ГЭГ\_о ЭГ^_£ГЭГ\65 52)
8R dt\dRj~ ’ ЭМ dt \ЭМ) + dt2 \ЭМ) ”'
с соответствующими граничными условиями. Система (5.52) может быть разрешена численно с помощью стандартных процедур, поэтому на вопросах цифрового анализа этих уравнений мы останавливаться не будем, полагая, что компьютерное исследование уравнений (5.52) требует своего отдельного и более тщательного рассмотрения.
Отметим также, что такие вопросы, как внешнее вхождение в атмосферу, учет сил линейного сопротивления воздуха (закон Си- аччи) и некоторые другие, также остались вне рамок обсуждения.
5.5. Несимметричная гиперреактивная модель движения
Ранее уже оговаривалась возможность построения несимметричной гиперреактивной модели движения. По мнению автора, недостаток этой модели кроется в слабом или, по крайней мере, недостаточном учете влияния отделяющихся частиц на движение остающейся массы точки.
Последствия такого неравнозначного динамического взаимодействия системы ’’точка - частица” находят свое отражение в соотношении для несимметричного полного количества движения Q(t). Вместо Q(t) (5.6) имеем
Q^ = М^R^,(5.53)
где v(t) — скорость движения точки в абсолютной неподвижной системе координат.
В этом случае (несимметричный) принцип полноты приобретает ВИД_
= Q^Y(5.54)
где вектор несимметричного состава движения S(t) равен
S(t) = М^ т^S(t) = М^ т^p(t)dM(t) =p(t)dM(t) =
S(t) = М^ т^
S(t) = М^ т^
p(t)dM(t) =
p(t)dM(t) =
= M(t)r(t) — / p^M^dt, M = M(t\ Mo = M(toyJ to
Если применить теорему об изменении количества движения к полному несимметричному импульсу Q(t) (5.53), то получим уравнения движения для несимметричной гиперреактивной модели
d2Mdt2d2Mdt2d?r dM dt2 dt
d2Mdt2
d2Mdt2
либо
(5.55)(5.55)d2r_dMdM
(5.55)
(5.55)
М —- = F + Ф4 + Ф3, ф4 = ~7rW =— и.
dt2dtdt
Здесь F — внешняя активная сила, Фз — гиперреактивная сила, Ф4 — несимметричная реактивная сила, W = и — 2и = V — и, Ф1 — стандартная реактивная сила. Как видим, коэффициент 2 в правой части уравнения (5.55) сохраняется лишь у скорости и.
На самом деле уравнению (5.55) можно придать несколько другую форму, сравнимую с уравнением Мещерского. Речь идет о том, чтобы записать уравнение (5.55) с помощью силы ’’излучения” (dM/dt) и. Имеем
dM
dM
М —
= Гл V -
и —
—
dt2
dt
dt
dt2
откуда получим
d(Mu)
dM
= FF-u- dt
dM _
d2M
dt
dt
dt2
Напомним, что уравнение Мещерского (5.2) выглядит как
d (Ми)dtd (Ми)dtdMdtdMdt
d (Ми)dt
d (Ми)dt
dMdt
dMdt
Несимметричная гиперреактивность дает отличие от модели Мещерского в значительно меньшей степени, чем рассмотренная ранее симметричная гиперреактивность, поскольку уравнение (5.9) приводит к соотношению вида
d (Ми)dtd (Ми)dtdMdM—— и Н—dtdtdMdM—— и Н—dtdtdu d2M dt dt2du d2M dt dt2
d (Ми)dt
d (Ми)dt
dMdM
—— и Н—dtdt
dMdM
—— и Н—dtdt
du d2M dt dt2
du d2M dt dt2
Для несимметричной гиперреактивной модели движения точки также последовательно изучим две задачи Циолковского. В первой задаче имеем для скалярного случая F = О, V = R = const. В соответствии с уравнением (5.55) и соотношением для Q (5.53) получим первый интеграл движения
(5.56)(5.56)Mv + ^ R = Со,dt
(5.56)
(5.56)
где Со = Моио + (dM/dt)0 Ro. Поэтому из равенства (5.56) сразу получаем выражение, характеризующее процесс увеличения скорости u(t) точки в зависимости от особенности уменьшения массы
Д) =Д) =Срм(иСрм(иM(t)[Ro-V(t-to)]м(ПM(t)[Ro-V(t-to)]м(П(5.57)(5.57)
Д) =
Д) =
Срм(и
Срм(и
M(t)[Ro-V(t-to)]м(П
M(t)[Ro-V(t-to)]м(П
(5.57)
(5.57)
где V — заданное число. Если к правой части формулы (5.57) добавить V, то получим величину изменения скорости u(t).
Найдем далее закон изменения массы, при наличии которого скорость точки увеличивается согласно формуле (5.57). Из соотношения (5.56) имеем
Для того, чтобы проинтегрировать по М линейное уравнение (5.58), надо, видимо, положить известными число V и функцию времени u(t).
Если масса точки М(t) уменьшается линейно с течением времени: М(t) = Mg [ 1 — a (t — to) ] ? > 0, то тогда, находясь в условиях гипотезы Циолковского, для решения первой задачи получим согласно выражению (5.57):
Vo -aV(t- to)
v 71 - a (t - t0)
Соответственно для экспоненциального убывания массы M(t) = = Mq ехр [ —о (t — to) ], о > 0, получим с помощью формулы (5.57):
r(t) = aRo + (го — exRo) ехр [о (t — to) ] — cxV (t — to).
Рассмотрим в заключение вторую задачу Циолковского, для которой 7 = — Мд, V = — R = const. Вновь воспользуемся соотношениями (5.53) и (5.55), откуда получим интеграл движения вида
Mv + ^ R + д [ M<s^ ds = Со,(5.59)
где Со имеет то же значение, что и ранее. Функциональная зависимость изменения массы от времени позволяет сразу разрешить уравнение (5.59) относительно скорости v(t) точки:
Со M(t)VR0-Ve-t0)\ д
10
для заданного значения V.
С другой стороны, если в уравнении (5.59) скорость и — известная функция времени (v(t) = и^ — У), то уравнение (5.59) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение для нахождения закона изменения массы точки в зависимости от времени.
В случае, если M(t) = Mg [ 1 — a (t — to) ], а > 0, то тогда имеем в соотношении (5.60):
ГГ1
wW = 7Г—ГТ ’ ) уо - «V (t - Zq) - g / [ 1 - a (s - i0) ] ds ^.
1 - a (t - i0) IJtoJ
Для M(t) = Mo exp [ — a (t — to) ], о > 0, имеем следующее выражение в соотношении (5.60):
u^t) = \ ио — оДд — ~ ) ехр [о (t — to) ] — aV (t — to) + aRo + —. a
Наконец, максимальная высота H вертикального подъема точки определяется по схеме, описанной ранее в § 5.3, с учетом того, что u(t*) = 0 в формуле (5.60), где t* — время поднятия точки на максимальную высоту Н.
Глава 6
Энергетические преобразования
и гипердвижение
в центральном гравитационном поле
В предыдущей главе была поставлена и решена общая задача по выводу уравнений движения точки, претерпевающей изменение массы как функции самой массы, скорости и ускорения ее изменения в зависимости от времени. Несмотря на всю очевидную важность такого динамического исследования, вне рамок анализа остались вопросы энергетического обеспечения гиперреактивного движения и его фундаментальной связи с вариационными принципами механики. Решению этих задач посвящена первая часть главы. Другая часть содержит результаты исследования гиперреактивного движения в центральном поле тяготения в различных вариантах.
В § 6.1 для гиперреактивного движения вводятся новые понятия реактивной и эффективной энергии точки переменной массы, а также обосновывается теорема об изменении эффективной энергии. Затем осуществляется переход к криволинейным обобщенным координатам и вывод гиперреактивных уравнений Лагранжа второго рода в криволинейной системе координат. Параграф заканчивается формулировкой принципа Гамильтона в гиперреактивном случае.
С целью записи полученного принципа Гамильтона в традиционном виде в § 6.2 вводится вариационный интеграл. Этот класс интегралов оказывается настолько эффективным, что позволяет проводить разного рода преобразования, где встречается операция варьирования функционалов (сложных функций). С помощью вариационного интеграла удается сравнительно просто получить запись принципа Гамильтона и уравнений Лагранжа для гипердвижения в стандартном виде.
Можно даже сказать, что классическое восприятие основных принципов и уравнений движения механических систем вызвало ”к жизни”, или другими словами, явилось веской причиной появления ’’неклассического” вариационного интеграла, сделав его своеобразным математическим, аппаратным средством записи и решения гиперреактивных задач.
В § 6.3 исходные уравнения гипердвижения записываются с использованием тензорного исчисления в криволинейных сферических координатах, так как пространственный анализ возмущенного и невозмущенного движения удобно проводить именно в этой координатной системе. Затем особое внимание уделяется плоскому или орбитальному движению относительно притягивающего центра, получению различных дифференциальных уравнений плоского гиперреактивного движения.
В § 6.4 определяется дифференциальное уравнение орбиты гиперреактивной точки и находятся элементы орбитальной траектории в плоскости движения Лапласа. Поиск уравнения орбиты осуществляется в зависимости от параметров и характера работы излучающего центра (двигателя) точечного гиперона, т. е. в зависимости от динамики изменения массы объекта и ее производных по времени.
Завершающий § 6.5 главы посвящен управляемому движению гиперона и аналитическому интегрированию гиперреактивных уравнений в центральном гравитационном поле. Показывается, что управляемое ускорение силы тяги может быть выбрано оптимальным по энергетическим затратам, причем гамильтонов функционал качества на оптимальной траектории принимает постоянное значение, обеспечивая тем самым консервативность системы и выполнение закона сохранения энергии. Решение задачи в этом случае доводится до общего интегрирования в квадратурах по методу Гамильтона- Якоби.
Энергия точки переменной массы.
Вариационный принцип Гамильтона
Простоты ради проведем рассуждения для отдельной точки, масса которой изменяется с течением времени, причем на ее положение не наложено никаких ограничивающих связей. Суммируя все точечные соотношения, можно получить в итоге гиперреактивные преобразования для механической системы материальных точек и далее для тела переменной массы.
В главе 5 точка с массой M(t) и действующей на нее внешней силой F(t) описывается уравнением движения (5.9):
^^ = ре\ q^m^r^+m^r^,
где Q(t) — полный (симметричный) импульс точки, R(t) — реактивный вектор движения.
Пусть движение рассматриваемой точки не стеснено геометрическими (голономными или неголономными) связями. Выберем в качестве обобщенных координат, характеризующих положение точки в пространстве, координаты вектора R(t\ Попытаемся выяснить, какова должна быть энергия движения точки в гиперреактивном случае, т.е. для динамического описания с помощью уравнения (5.9).
Имеем следующую цепочку тождественных преобразований (в предположении, что масса точки M(t) является непрерывно дифференцируемой функцией только времени t) :
d ,•• х d ,•• х dR
F=-(MR + MR) = -(MR + MR).— =dvоit
гдегде(6.1)(6.1)dtdt(MR + MR^dR J(MR + MR^dR Jd d dt dRd d dt dRIMRRIMRR8R_8R dR~ dk8R_8R dR~ dk£ (9R\dt \dRJ£ (9R\dt \dRJ= 0.= 0.
где
где
(6.1)
(6.1)
dt
dt
(MR + MR^
dR J
(MR + MR^
dR J
d d dt dR
d d dt dR
IMRR
IMRR
8R_8R dR~ dk
8R_8R dR~ dk
£ (9R\dt \dRJ
£ (9R\dt \dRJ
= 0.
= 0.
Везде далее слово ’’симметричный” в словосочетании ’’полный симметричный импульс”, чтобы не загромождать запись, в соответствующих местах будем опускать. Таким образом, с помощью соотношения (6.1) эффективная энергия Те движения точки в поле внешней силы F может быть представлена в виде следующей суммы:
(6-2)(6-2)Те = Тк + Тт,
(6-2)
(6-2)
где в терминах реактивного вектора R обозначены: Т^ = MR2/2 — кинетическая энергия, Тт = MRR — вводимая сейчас реактивная энергия точки.
Наряду с теоремой об изменении полного импульса точки приведем, опираясь на соотношения (6.1), (6.2), также и теорему об изменении эффективной энергии точки переменной массы.
Теорема 6.1. Производная по времени от вектора градиента эффективного энергетического скалярного поля Те (6.2) точки по элементам вектора R (или отрицательной относительной скорости — V истечения частиц) равна вектору действующей на нее внешней активной силы:
)l^Te)=F. (6.3)
Замечание. В уравнении (6.3) через V^ = 9/9R обозначен вектор частного дифференцирования (градиента) по соответствующим компонентам вектора R. Отсюда заключаем, что наибольшую скорость изменения эффективной энергии точка имеет в направлении вектора скорости R.
Пусть положение системы п точек с массами МД) и силами F(t) = (^F^t)), i = 1,п, определяется s независимыми обобщенными координатами q(t) = УД^Ь 3 — l?s, причем имеет место голоном- ность:
= R(q(t)), (6.4)
где векторы ГД), ГД) представляют собой вектор силы и реактивный вектор в трехмерном евклидовом пространстве R3 для г-ой точки соответственно.
Воспользуемся известными кинематическими соотношениями для криволинейных и декартовых координат и их скоростей:
8^з'8^з'(6-5)(6-5)М _ М £ (dRA 9qj 9qj ’ dt \ 9qj /
8^з'
8^з'
(6-5)
(6-5)
(6-6)(6-6)К координате qj можно отнести обобщенную внешнюю силу
(6-6)
(6-6)
9Чз
где в выражении (6.6) и везде далее по одинаковым индексам производится суммирование.
Имеем с учетом соотношений (6.4) и (6.5):
1(мД,гмдд^ =dtdqj
d_ dtd_ dt(МД +8qj J(МД +8qj Jdt \ dqjdt \ dqjddd " dtd " dt1d Rмд + Дд,) - mA + млг -Г- =8(Ц Jд1d Rмд + Дд,) - mA + млг -Г- =8(Ц Jд99dt dqj \ 2dt dqj \ 299qj \ 299qj \ 2■ dRid ЭТеЭТе• • dRiVliRi = - уД -+ МЛг уД,dqjdt dqjdqjdqj■ dRid ЭТеЭТе• • dRiVliRi = - уД -+ МЛг уД,dqjdt dqjdqjdqj(6.7)(6.7)где Te — эффективная энергия системы гиперреактивных точек.где Te — эффективная энергия системы гиперреактивных точек.
d_ dt
d_ dt
(МД +
8qj J
(МД +
8qj J
dt \ dqj
dt \ dqj
d
d
d " dt
d " dt
1d R
мд + Дд,) - mA + млг -Г- =
8(Ц Jд
1d R
мд + Дд,) - mA + млг -Г- =
8(Ц Jд
9
9
dt dqj \ 2
dt dqj \ 2
9
9qj \ 2
9
9qj \ 2
■ dRid ЭТеЭТе• • dRi
VliRi = - уД -+ МЛг уД,
dqjdt dqjdqjdqj
■ dRid ЭТеЭТе• • dRi
VliRi = - уД -+ МЛг уД,
dqjdt dqjdqjdqj
(6.7)
(6.7)
где Te — эффективная энергия системы гиперреактивных точек.
где Te — эффективная энергия системы гиперреактивных точек.
£ ЭТеdt dqj£ ЭТеdt dqj(6-8)(6-8)В предположении идеальности связей (6.4) из выражения (6.7) получим уравнения Лагранжа второго рода для системы точек переменной массы в общем гиперреактивном случае
£ ЭТеdt dqj
£ ЭТеdt dqj
(6-8)
(6-8)
^ = 0.4 Р3, Р3 = - МгРг —Аoq3oq3
где Р3 — обобщенная реактивная сила, отнесенная к координате q3.
В предположении, что поле действующих сил потенциально, т. е.
G = gradC7, G?-= ^,
где U(qi, q^ ...^ qs) — потенциальная функция, — U = П — потенциальная энергия, можем для полного кинетического потенциала Т* системы написать
Т* = Te + U = L + Tr,(6.9)
где L = II + U — функция Лагранжа.
Поскольку потенциал U является функцией только координат, то
ЭТ* _ ЭТе
94з 9qj'
Следовательно, в терминах функции Т* (6.9) уравнение (6.8) может быть записано в виде
d ЭТ^ ЭТ^dt dq3 dq3
Выберем далее в качестве меры механического движения функционал 8н^ называемый действием по Гамильтону. Выведем вариационный принцип Гамильтона из уравнения гиперреактивного движения материальной точки переменной массы и установим экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений. Будем при этом пользоваться известными понятиями и конструкциями вариационного анализа при синхронном варьировании траекторий [413].
Итак, пусть задано векторное универсальное уравнение гиперреактивного движения и
Vdt )’v v
где через 6R обозначена вариация реактивного вектора. Будем считать, что поле действующих сил потенциально, т. е.
Для остальных слагаемых в уравнении (6.11) можно выполнить следующие преобразования:
(MR + RR) ■ 5R =
= У [ (MR + MR) 6R] - (MR + MR) у (5R) =
d ••..\(6.13)
= — [ (MR + MR) 5R ] - (MR + MR) 5R =
= ^ [ (MR + MR) SR] — S (yy + MRR^ + MR5R,
где MR2/2 Г MRR = Te. Таким образом, выражение (6.13) записывается как
^-5R= rQ5R) _ 5Те +MR5R.(6.14)
LLLLLL
Учитывая соотношения (6.12) и (6.14), универсальное уравнение гиперреактивного движения (6.11) можно представить в виде
5Te+dU = ^ (QdR) + MR5R
ИЛИ
дТ* dt = d(Q 5R) + MR Ш dt.
Проинтегрируем последнее соотношение по времени от to до t*. Получим
[ * 6T,.dt = Q6R\tt*o+ t* MRSRdt. J toJ to
При синхронном варьировании для фиксированных моментов времени t = to и t = t* имеем SR = 0, т. е.
[ (ST* - MR5R) dt = 0.(6.15)
Jto
Итак, принцип Гамильтона для гиперреактивного движения приобрел математическую запись в виде формулы (6.15).
В то же время напомним, что принцип Гамильтона в классическом изложении звучит так: из всех возможных (с учетом наложенных связей) движений консервативной механической системы, переводящих в течение определенного времени систему из данной
начальной конфигурации в другую данную конфигурацию, действительно реализуемым заданными силами и реакциями связей (идеальных, голономных, стационарных) будет такое движение, для которого функционал действия по Гамильтону Sh имеет экстремальное значение
Ldt = 5SH = 0, (6.16) Ло
где L — классическая функция Лагранжа, представляющая собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
Принцип Гамильтона (6.16) может быть сформулирован и более кратко [189]: действие по Гамильтону Sh имеет стационарное значение, если 6Sh = 0. Доказывается также (см. работы [177, 208]), что действие Sh в этом случае принимает не только стационарное значение, но имеет при этом только минимум.
Компактная запись принципа Гамильтона в виде соотношения (6.16) очень удобна, поскольку позволяет связать действительное движение системы с экстремальными свойствами функции Лагранжа. Сделать аналогичные преобразования в формуле (6.15), пользуясь обычными приемами интегрального и вариационного исчисления, невозможно, так как нельзя во втором слагаемом подинтегрального выражения (6.15) вынести вариацию подобно тому, как это делается в первом слагаемом.
Вариационный интеграл: конструкция и свойства
Чтобы все-таки записать формулу (6.15) в стандартном виде, поступим следующим образом. Введем в рассмотрение понятие ’’вариационного интеграла” как математической операции, обратной к операции варьирования функционала (впервые вариационный интеграл был определен в работах автора [330, 337]).
С этой целью зададим на временном интервале [to? С ] достаточно гладкую из Cr[t0, t* ], г > 1, функцию g(t). Рассмотрим близкую (в смысле близости г-го порядка) к функции g(t) допустимую функцию (кривую) g(t\
Разность 6g(t) = g(t) — g(t\ как известно, называется вариацией функции g(t) и играет в вариационном исчислении роль, аналогичную роли приращения независимого переменного At = dt в задачах дифференциального исчисления и исследования экстремумов функций дСУ
На промежутке [to, F] далее рассмотрим также функционалы JVg(t) ] и F^g(t) ]. Определим вариацию функционала 3F^g(t) ] известным образом [413], как линейную по отношению к Зд часть приращения функционала AF, а именно положим
Я^д^ = Цд^), дд],
где приращение функционала
AF = F\ge)+5g"\ - Р[д^]
можно представить в виде
^F = Hg(e, 6д] + (3 (g^t), dg) max |5g|.
Здесь F[g(t), Зд^ — линейный по отношению к Зд функционал, а величина max | д | — максимальное значение | Зд |, где
3(д(е, 5д)0 (max \5д |^0).
Определение 6.1. Будем называть функционал F[g(t)] первообразным функционалом для функционала /[^(t)] на отрезке [to, t*], если во всех точках этого промежутка выполняется равенство
$FlgX)] = Ад^НМИ
Очевидно, что при исследовании экстремальных свойств функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании аналогичных свойств функций.
Определение 6.2. Пусть функционал F[g(t)] является первообразным функционалом для функционала /[^(t)]. Тогда выражение
пдш = / /шш
назовем неопределенным вариационным интегралом по интегрирующей функции g(t\
Замечания. 1. Обычный неопределенный интеграл определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной интегрирования С. В этом его отличие от неопределенного вариационного интеграла, для которого ЗС Ф 0.
Для существования неопределенного вариационного интеграла надо, видимо, потребовать наличия гладкости г-го порядка,
г > 1, у интегрирующей функции g(t) и непрерывности функционала /[p(t)] при всех соответствующих значениях функции g(t).
Из данных выше определений вытекает как следствие основное интегральное равенство:
5 j ЛдЛСМк = ЛдЛНбдЛУ(6-17)
Из равенства (6.17) непосредственно следует, что
5рудеол = 5рудел\ = о,
т.к. 5g(to) = dg(t*) = 0, т.е. первообразный функционал F[g(t)] в начальный и конечный моменты времени должен быть закреплен.
Несколько сложнее определяется вариационный интеграл по промежутку [to, £*]• Так как время t не варьируется, то вариационный интеграл будет пониматься в смысле интеграла от измеримых на [to, t* ] вектор-функций /(t), g(t\
Разобьем отрезок [to, t* ] на п частей:
to < Н <С t2 ••• tn — t*,
где 6g(to) = 5g(t*) = 0. Рассмотрим далее сложную вектор-функцию (векторный функционал) /(t) = /[^W] £ Cr[to, t*], г > 1. Пусть при §к £ Vki Д+i)? & = 0,п — 1, имеет место равенство /(t) = f(sk) = = /[sCsfe) ]•
Обозначим через H2\to, t* ], 0 < to < t* < сю, совокупность сложных вектор-функций, для которых
pt*/ pt*\ 1/2
/ \Ht)\2dt<^, ||/|+ = / |Д)Ы , j toto/
где | f (t) | — модуль вектора /(t). Для таких функционалов /[^(t)] из F2[to, t* ] определим вариационный интеграл по интегрирующей вектор-функции g(t\ t 6 [to, t* ], положив
/ ЛдХЛ5д(Л= lim V Лд(§к) ] 5g{sk),
Jt0max I 8gW HO
где SgCO = g(sk) - g(sO — вариация функции дЛ в точке sk, g(sk) — допустимая функция в точке sk.
Следовательно, согласно данному выше определению сопоставляется ступенчатая функция (функционал) / и величина
F = [ ЛдЯЛбдШ
J to
причем это отображение сохраняет норму. Данное отображение, первоначально определенное для ступенчатых функций, можно продолжить с сохранением нормы на замыкание, которое для множества ступенчатых функций в Д2[£о? С] будет совпадать с Д2[^о? С] (см. работы [150, 298]). В итоге каждому элементу / Е Я2[to, t* ] ставится в соответствие величина F, которая называется определенным вариационным интегралом от функции (функционала) fVg(t) ] по промежутку [to, t* ] и обозначается Jt* / [^(t) ] 6g(t\
Важно отметить, что понятие определенного вариационного интеграла не укладывается в привычные стереотипы наглядного геометрического представления на плоскости [440]. Дело в том, что хотя вариационный интеграл и здесь определяется через предел последовательности интегральных сумм, но составляющие этих интегральных сумм fVg(sk) ] бд(§к) берутся для одного (!) момента времени 8^. Роль своеобразного ’’сдвига”, но не во времени, а в пространстве выполняет вариация функции dg(t). Тем не менее не существует каких-либо объективных, логико-математических причин в ’’отказе” от построения и введения в практику такого класса интегралов.
Введем далее также понятие вариационного интеграла с переменным верхним пределом. Для этого, пользуясь известными соотношениями, рассмотрим величину /to f [p(s) ] 5p(s), где t Е [to, t*]. Имеем
5Ut ^9^59^=^9^б9^г^ =
= /[p(0 ЫД0 = <5^[ ДО Ъ dg(to) = O.
Освобождаясь от вариации в этом равенстве слева и справа, определим вариационный интеграл с переменным верхним пределом по следующему правилу:
Г fVg(.s^Sg(s)=FVg(t^-FVg(t0U
Это равенство справедливо в силу того, что 5F[g(to)] = 0.
Отсюда, в частности, вытекают важные следствия-аналоги для вариационного интеграла.
Формула связи между неопределенным вариационным интегралом и вариационным интегралом с переменным верхним пределом (теорема Барроу) вида
У ЛдХЛддЛ = у fVg(sH5g(.s) + FVgtto^.
Формула Ньютона-Лейбница для определенного вариационного интеграла:
= Р\де*Л - F[g(<o)].= Р\де*Л - F[g(<o)].
= Р\де*Л - F[g(<o)].
= Р\де*Л - F[g(<o)].
Конструкция интеграла J f\g\5g позволяет записать принцип Гамильтона (6Л5) с помощью соотношения (6Л7) в стандартном виде. В самом деле, имеем
5SH« = 6 f L^dt = 6 f (и- f MR6r) dt = 0,(6.18)
J to\ J/
где t
Sh* — dt, L* = lvj MR6R.
Здесь Sh* — полное (обобщенное) действие по Гамильтону, Г* — обобщенная функция Лагранжа, причем в соотношении (6.18) выполнено равенство
6 У MR5R = MR5R.
Суммируя изложенное выше, сформулируем итоговое утверждение, представляющее собой принцип Гамильтона для общего гиперреактивного движения.
Теорема 6.2. Действительное движение гиперреактивной системы при заданных потенциальных силах и идеальных, голономных, стационарных связях на промежутке времени [to, С] соответствует такому движению, при котором полное действие по Гамильтону Sh* (6.18) принимает стационарное (минимальное) значение.
Замечания. 1. Из теоремы 6.2 получаем в виде следствия привычные по форме уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах Qi,^? -Дз :
(6.19)(6.19)d ЭЬ* ЭЬ*dt dqj dqj
(6.19)
(6.19)
относительно обобщенной функции Лагранжа L^ :
L* =+ MRR + U - J MR5R,
где произведение векторов понимается как их скалярное произведение.
Если сравнить уравнения Лагранжа (6.19) относительно L^ и (6.10) относительно Т*, то можно сделать вывод о том, что уравнение (6.19) представляет собой наиболее компактную форму записи уравнения гиперреактивного движения в обобщенных криволинейных координатах.
Завершим этот параграф, посвященный новому виду вариационных интегралов, рассказом о новом виде вариаций функций, которые можно с успехом использовать в общей нелинейной механике, в частности, при канонических преобразованиях переменных.
Речь идет о том, что существует определенный класс так называемых динамических вариаций обобщенных координат Qj, j = = l,s, при которых достигается равенство значений вариационного и обычного определенного интегралов.
Введем важное понятие динамической вариации для функции Qj(t) Е Сг[£о> £*] с тем, чтобы обеспечить равенство вариации и приращения функции Qj(t) :
5qAsO = МА8ь swY sk e \tk,(6.20)
где_
^qj(sk, Sfe+1) = %(sfc+i) - Qj^sO,
где к = 0, n — 1. Очевидно, что равенство (6.20) будет выполняться при соблюдении условий
q^sO = qAsk+i), 5зЫ = %(«о), qj(sn) = qj(sn), (6.21) где sq ^о? ^n ^**
Последние соотношения естественны, поскольку функция Qj(t) по смыслу является ’’допустимой” или ’’возможной” функцией, достаточно близкой по своим значениям к функции Qj(t). В равенствах (6.21) эта допустимость функции Qj(t) приобретает черты реально осуществляемой ’’допустимости”: в следующий момент времени допустимая функция становится действительно реализовавшейся функцией. Это означает, что соотношения (6.21) описывают множество физически и реально возможных, т. е. допустимых функций,
описываемых во времени конкретными дифференциальными уравнениями для конкретных динамических систем.
При выполнении соотношений (6.20) и (6.21) для функции g(t) имеем равенство значений на промежутке времени [to, С] вариационного и обычного определенного интегралов:
[ fVg(e\5g(t) = [ f[g(t)]dg(t),
т. к. оба представляют один и тот же предел последовательности интегральных сумм
п— 1
п Г fVg(sO\6g(sO = max | од'
п— 1
=l1?1, V, J\.g(sOWg(sk, sk+iY
max | Ад НО
Следовательно, можем заключить, что с учетом принятия для реактивного вектора R(t), функций обобщенных координат Qj(t), j = = 1, s, и их траекторий условия динамического варьирования (условия физической реализуемости) принцип Гамильтона в гиперреактивном случае формулируется в виде теоремы 6.2. При этом надо воспользоваться соотношениями (6.18), (6.19) с обобщенной функцией Лагранжа вида
L* =+ MRR + U - j MRdR,
где неопределенный интеграл J MRdR можно поменять на интеграл с переменным верхним пределом J^ MRdR, если выполнено условие: MRdR\t=to = 0.
3. Гиперреактивное движение в центральном поле тяготения
Рассмотрим гиперреактивное движение точки массой M(t), где t Е [to, t], с помощью уравнения движения (5.9) в центральном поле ньютонова притяжения со стороны тела массой М* (M(t) <^ М^ в прямоугольной инерциальной системе координат г (ж, у, z) с началом в гравитационном центре. После несложных преобразований можем
написать векторное уравнение (векторные величины, напоминаем, не выделяются):
где в старых обозначениях
Р = MpP^MV - MR, R = r — p, V = p — r = u — v.
Здесь Р — вектор тяги точечного гиперона, g — вектор ускорения гравитационных сил, G — вектор внешних сил (сопротивление среды и т. д.).
Будем считать, что гравитационные силы N образуют стационарное потенциальное поле с силовой функцией U [22, 101, 268, 269]:
8b г > a М
_ fM^Mr0 _ fM^Mr
где N — вектор гравитационных сил, / — универсальная гравитационная постоянная, г° = г/з — единичный вектор радиуса-вектора г, 8 = | Г | = (ж2 + у2 + г2)1/2.
В предположении малости сил G уравнение (6.22) перепишется в виде
т = ai(t) г + a2(t) г + a3(t) - |^,(6.23)
где at(t), г = 1,2,3, — известные (заданные) функции и вектор- функции времени, обусловленные режимом работы гиперреактивного двигателя:
/ х 2М z х М 7„
=<w) = -^p к == const,
а3^ = - ai(t) р - a2(t) р Г р.
В выражении (6.23) к — гравитационный параметр, а — вектор ускорения сил тяги, а = a(r, г, t) = (аж, ау, az\ т. ч.
Ра == aiT-\-a2r-V- а3.
Сделаем переход к сферическим координатам ^(s,cp,6) по формулам
х = s cos 9 cos <р, У = s cos 9 sin р, z = s sin 9(6.24)
и поставим следующую локальную задачу: пользуясь тензорным переходом [329], получить уравнения (6.23), записанные в декартовых координатах n^y^z^ в новых криволинейных сферических координатах ^(s, р, 6).
Матрица преобразования Якоби имеет вид
(cos 9 cos p— s cos 9 sin p— s sin 9 cos p(cos 9 cos p— s cos 9 sin p— s sin 9 cos pcos 9 sin p sin 9s cos 9 cos p 0— s sin 9 sin p s cos 9cos 9 sin p sin 9s cos 9 cos p 0— s sin 9 sin p s cos 9/ dx/ds dy/ds dzfds I дх/др ду/др dzjdp \Эх/Э9 ду/дО dzjd9
(cos 9 cos p
— s cos 9 sin p
— s sin 9 cos p
(cos 9 cos p
— s cos 9 sin p
— s sin 9 cos p
cos 9 sin p sin 9
s cos 9 cos p 0
— s sin 9 sin p s cos 9
cos 9 sin p sin 9
s cos 9 cos p 0
— s sin 9 sin p s cos 9
Домножим уравнение (6.23)
/1 ° 0\
bpq Iq = -^-pi Pi Q ~ 1?2,3, bpq — I 0 1 0 I ,
\0 ° 1/
на матрицу Якоби ^Tpld^ co сверткой по одинаковым индексам, где £ = £(s, р, 9), г = т(х, у, z), при наличии связи (6.24), т. е. г = т(^) :
где р, А, ц = 1, 2,3.
Введем следующие обозначения:
bpqbpqЭтр Этр _Этр Этр _ЭТр d^TqЭТр d^Tq
bpq
bpq
Этр Этр _
Этр Этр _
ЭТр d^Tq
ЭТр d^Tq
^-Xp = Yx, p,q,X,n,v= 1,2,3.
Тогда уравнения движения гиперона в сферических координатах можно записать в виде
(6.25)(6.25)
(6.25)
(6.25)
где A\p — метрический тензор (матрица кинетической энергии), B\pv — трехиндексный символ (тензор) Кристоффеля, Уд — обобщенная сила. Отметим, что уравнения в криволинейных координатах (6.25) автоматически обеспечивают выполнение уравнений связи (6.24).
Приведем алгоритм вычисления составляющих коэффициентов уравнения (6.25).
Вычисление метрического тензора Ахр. Имеем л Эх Эх х Эу ду ! Эг dz
Найдем элементы матрицы Ахр :
An = cos2 0 cos2 р + cos2 0 sin2 р + sin2 0 = 1,
Л12 =A2i=—s cos2 0 cos р sin р + s cos2 0 sin р cos р = О,
Л1з =Л31=—8 cos 0 sin 0 cos2 р — s cos 0 sin 0 sin2 p + 8 sin 0cos 0 = 0,
Л2з =Л32=s2cos 0 sin p sin 0 cos p — s2 cos 0 cos p sin 0 sin p= 0,
л22л• 2 I 22л 22 2л
Л22 = 8 COS O'SIH p + 8 COS O'COS p = 8 COS 0, л2 • 2 л 2,2 • 2 л • 2।22 л 2
Азз = 8 Sin 0 COS p + 8 Sin O' Sin p + 8 COS 0 = 8 .
Таким образом,Таким образом,0s2 cos2 000s2 cos2 000000
Таким образом,
Таким образом,
0
s2 cos2 0
0
0
s2 cos2 0
0
0
0
0
0
Вычисление трехиндексного символа Кристоффеля Вх^.
мулымулыТрехиндексный символ Кристоффеля определяется с помощью фор
мулы
мулы
1 /ЭАХц ЭАХу _ дА^Х
2 \ Э^ д^ эи Л
Вычисляя, получим
/00Blj^tv =0 — s cos2 0\оо/00Blj^tv =0 — s cos2 0\оо0 \/00s\
/00
Blj^tv =0 — s cos2 0
\оо
/00
Blj^tv =0 — s cos2 0
\оо
0 I ,ВзЦ1У =I 0s2 sin 0 cos 00 I,
-s)\s 00/
2p,v —2p,v —/ о8 COS20\ 0/ о8 COS20\ 08 COS200— s2 sin 0 cos 08 COS200— s2 sin 0 cos 00— s2 sin 0 cos 000— s2 sin 0 cos 00
2p,v —
2p,v —
/ о
8 COS20
\ 0
/ о
8 COS20
\ 0
8 COS200— s2 sin 0 cos 0
8 COS200— s2 sin 0 cos 0
0
— s2 sin 0 cos 0
0
0
— s2 sin 0 cos 0
0
Вычисление обобщенной силы У\. Имеем
_ UTp _. ОТр ОТ q •м ОТрОТр
^"дГх ^^ЖэГА11 bpq 9ГхТр bpq дГх a3q ’
&3q —&3q —^Зж а3у a3z^Зж а3у a3zbpqbpq/10 \°/10 \°0 0\/ai1 о ,= О° !/\ 00 0\/ai1 о ,= О° !/\ 00ai00ai000ai00ai
&3q —
&3q —
^Зж а3у a3z
^Зж а3у a3z
bpq
bpq
/1
0 \°
/1
0 \°
0 0\/ai
1 о ,= О
° !/\ 0
0 0\/ai
1 о ,= О
° !/\ 0
0
ai0
0
ai0
00ai
00ai
ОбозначимОбозначимb'Ub'U02 — к/S30 О02 — к/S30 ОО02 — к/в3ОО02 — к/в3ООО02 — к/в3ОО02 — к/в3A,=b"^Pr = A opq ^^A,=b"^Pr = A opq ^^ду Эхду Эх
Обозначим
Обозначим
b'U
b'U
02 — к/S3
0 О
02 — к/S3
0 О
О02 — к/в3
О
О02 — к/в3
О
ОО02 — к/в3
ОО02 — к/в3
A,=b"^Pr = A opq ^^
A,=b"^Pr = A opq ^^
ду Эх
ду Эх
/ сд О0\[(а2 — k/s3)s
А'Хр = I 0ois2 cos29 ОI, Лд = I О
у О 0 dis2)у О
||, Эгр Эх 9у Эх
I Op I = Opq O^q = Озж НОзу +
Получим в результате
Уд = ^1Лдм ^ц + А\ + Вд.
Уравнения движения в сферических координатах. Пользуясь проведенными вычислениями, можем теперь написать ковариантные уравнения движения гиперона в криволинейных сферических координатах ^ = ^(s, р, 9) :
Ли В + В122 ф2 + В133 92 = У1,
Л22 ф + 2В212 §ф + 2В223 ф9 = ^2?
А33 9 + 2В313 s9 + В322 ф2 — Уз-
И далее, продолжая, получим
(6.26)(6.26)8 — 0^8 + фк/s3 —02 — ф2 cos2 9 — 92) 8 = bs^
(6.26)
(6.26)
8 cos 9 {ф — ai(^) + ^ф (sees 9 — s^sin#) = Ьф^829 + 9 (2ss — ois2) + 82ф2 sin# cos 9 = be,
где компоненты bs,bp,be выражаются через азх, азу, азг следующим образом:
bs = озх cos 9 cos р + озу cos 9 sin р + озг sin 9, bp = - а3х sin р + а3у cos р,
be = — озж sin 9 cos р — азу sin 9 sin р + аз2 cos 9.
Важным частным случаем системы (6.26) является система уравнений для плоского орбитального движения, когда 0 = 0:
(6.27)(6.27)s = bs + a^s + a2s- + зф2,зф = b^ + а^зф — ^зф.
(6.27)
(6.27)
В полярных координатах з и р рассмотрим две составляющие вектора скорости гиперона и: радиальную vs = s, направленную по радиусу-вектору г, и трансверсальную е^ = зф, направленную по нормали к радиусу-вектору в сторону движения. В этом случае система (6.27) приобретает вид
s = Щ, зф = иф, к
vs = bs + ари8 + a2s + -у - —,(6.28)
Если в системе (6.28) ускорение а сил тяги отсутствует («1,^2, Пз = 0), то из уравнений
88(6.29)(6.29)к .
8
8
(6.29)
(6.29)
vv =з2
можно получить известные интегралы энергии и момента количества движения (интеграл площадей). Для нахождения интеграла энергии достаточно первое уравнение (6.29) домножить на щ, а второе — на иф. После сложения уравнений приходим к записи
d /и2 + v^ \ d бк\dt у 2 / dt у з р
откуда получим интеграл энергии
_ ^S +к
Домножим второе уравнение системы (6.29) на з :
SV.P = -VgU^.
С учетом выражения
d^^s)dtd^^s)dt= sr^ + sr^= sr^ + sr^
d^^s)dt
d^^s)dt
= sr^ + sr^
= sr^ + sr^
получим интеграл момента количества движения
S = v^s.
Введем угол о, называемый истинной аномалией, — угол между векторами v^ и г, а также угол 3 — угол между векторами b и и. Тогда из системы (6.28) получим следующую систему уравнений с использованием углов а и 3 (s = г sin о, зф = г cos о) :
г sin о + г cos о • а = bs + aivsina + a^s + C°S Q —
288(6.30)
...7v sin a cos a
v cos a — v sin a • a =+ a^ v cos a.
S
В системе (6.30) умножим второе уравнение на множитель cos aj sin а и сложим с первым уравнением. Запишем новое уравнение
/к \
г = bcos 3 + ори + I 028- ) sin ср(6.31)
\8/
где bcos3 = bs sino + ^ cos о. Если теперь первое уравнение системы (6.30) умножить на cos о, а второе — на — sin о, и затем сложить, то получим уравнение
va = 6sin/3 +va = 6sin/3 +и2 к \02 8 3.8 8 )и2 к \02 8 3.8 8 )cos о,cos о,(6.32)(6.32)
va = 6sin/3 +
va = 6sin/3 +
и2 к \
02 8 3
.8 8 )
и2 к \
02 8 3
.8 8 )
cos о,
cos о,
(6.32)
(6.32)
где 6sin/3 = 6scoso — la sin а. Уравнения (6.31), (6.32) вместе с уравнениями s = v sin ср зф = v cos о составляют систему уравнений относительно углов а и 3-
Если в этой системе вместо независимой переменной t ввести новую переменную I — длину дуги траектории движения, где (dl) = = (ds)2 + s2 (dp)2 = v2 (dt)2^ то получим систему уравнений
ds .dp
— = sin о,s — = cos о,
dldl
= bcos 3 + oiv + (O2S —% ) sin a,
dl\8 )
и cos a dv 1_/ к \ .
— = о cos р + ори + a^s sin а,
s dp\ s2 р
и2 cos a da7 ./и2к \
— = OSinp + 028 Н cos а.
8 dp\882 )
Таким образом, получены различные виды дифференциальных уравнений плоского гиперреактивного движения, выраженные через разнообразные независимые переменные относительно притягивающего центра. Численное интегрирование этих уравнений позволит определить кинематические характеристики гиперреактивного движения в зависимости от параметров гравитационного поля, местоположения объекта в нем и особенностей работы его двигателя подобно тому, как это делалось в некоторых ранних исследованиях по механике космического полета (см., например, работы [26, 126, 127, 141-143, 160, 198, 206, 263, 316]).
Плоскость Лапласа
и элементы орбитальной геометрии
В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в поле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гиперреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s(р).
С этой целью предположим, что величины а^ г = 1,2,3, введенные в § 6.3, зависят от времени t не явно, а лишь функционально через полярный угол р = p(t\ т.е. работа излучающего двигателя организована таким образом, что известен закон орбитального изменения массы гиперона как функции p(t) : М = М(рр(^\
Обозначим
Q = 8 р, и =
8
причем
d . d d2 d . 2 d2
dt dp1 dt2 dp^ dp2'
Пусть и' = du/dpQ' = dQ/dp. Имеем в этом случае
р = Qu2 р = Qu2 + 2Quu = pQ'u2 + SQupu' == QQ'u4 + IQ2^^,
s =T = - Qu ,
йи2 + 2ий2.. . о ,
s = -., и = pu = Qu и s
u = pu' + p2u" = (QQzn4 + 2Q2n3nz) u' + Q2u4u'\
s = — QQ'u2u' — Q2u2u".
Найденные выражения подставим в систему уравнений (6.27). Тогда получим уравнения
QQ'u2u' — Q2u2u" = bs — a^Qu' + — — ku2 + Q2u3 и
QQ'u4 + 2Q2u3u' = b^u + aiQu2 + 2Q2u3u', откуда система дифференциальных уравнений орбиты принимает вид,. .
,, k bs ара П2 Q и
4 Qu^ и2'
Интегрируя систему (6.33), найдем зависимость и(р) и Q(p) и далее найдем время t из дифференциального уравнения
Очевидно, что случай отсутствия возмущающих реактивных и гиперреактивных ускорений (ai = а^ = 0, bs = Ь^ = 0) должен приводить к кеплеровскому движению по коническому сечению, в фокусе которого сосредоточена гравитирующая масса М* (первый закон Кеплера). Для этого случая система уравнений (6.33) перепишется в виде
и" + и=Q' = 0
Q2
с решением
ккU Q2U Q2++0^70^7cos д,cos д,Q = const,Q = const,
к
к
U Q2
U Q2
+
+
0^7
0^7
cos д,
cos д,
Q = const,
Q = const,
либо
В уравнении конического сечения (6.34) введены следующие обозначения:
_ Q2 _ Q2^ - к _ Q2up
S к к 1
1
д — р Рр, Up —.
Здесь р — фокальный параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры; е — эксцентриситет орбиты, характеризующий ее форму (s = 0 — окружность, 0 < е < 1 — эллипс, s = 1 — парабола, s > 1 — гипербола); // — истинная аномалия, т.е. угол между осью симметрии (линией апсид) и текущим радиусом-вектором точки; sp и рр — радиальное и угловое расстояния перицентра Р от притягивающего центра Qi и оси х соответственно.
Выделим дополнительно для эллиптической орбиты: большую ось АР (линия апсид), где А — апоцентр, Р — перицентр; а,Ь — длины полуосей, с — фокусное расстояние. Величины а,Ь,с с параметром р и эксцентриситетом е связаны с помощью известных формул
= РР= р£
а 1-Е^(1-S2)V2’ С 1 —
Итак, если возмущающие ускорения отсутствуют, то у орбитальной системы (6.33) величины sp,pp,Q (или их комбинации) в соотношении (6.34) выступают в качестве постоянных интегрирования. В случае, когда ai Ф 0, «2 ф О, 5S Ф 0, Ьр ^ 0, эти величины уже не являются постоянными и служат для выбора оскулирующих переменных ^(^), рр(^), р^р\ где
q =- ^у, ipp =
Найдем затем относительно этих переменных дифференциальные уравнения, рассмотрев дополнительно функцию w = du/dp. После этого система (6.33) преобразуется к виду
dudw1 Abs02bpw\
= w^- u +2Г ’
dpdppk \uzu6u6 J
Запишем в системе (6.35) функции и и ш в следующем виде:Запишем в системе (6.35) функции и и ш в следующем виде:1и = —V q cos ц, Р1и = —V q cos ц, Рw = — q sin д,w = — q sin д,(6.36)(6.36)где ц = р — рР) которое совпадает с выражением (6.34) для постоянных р^рр. Подставляя функции (6.36) в систему уравнений (6.35),где ц = р — рР) которое совпадает с выражением (6.34) для постоянных р^рр. Подставляя функции (6.36) в систему уравнений (6.35),получимполучимр ,z.—л + 9 cos р — qp sm Р — — Qsm Pi р2р ,z.—л + 9 cos р — qp sm Р — — Qsm Pi р2— q' sin ц — qp/ cos ц == - q cos ц—-Hpkn2 \ np' =(— + ai (pkpA,knz \ n)— q' sin ц — qp/ cos ц == - q cos ц—-Hpkn2 \ np' =(— + ai (pkpA,knz \ n)b^q sin цb^q sin ц(6.37)(6.37)гдегде1, dpn= —Н^СО8Ц, p = —, pdp1, dpn= —Н^СО8Ц, p = —, pdpdq dp'dq dp'/ _ i _ ^p^dp '/ _ i _ ^p^dp 'Наконец, разрешая систему (6.37) относительно q^p^r^ получим систему уравнений
Запишем в системе (6.35) функции и и ш в следующем виде:
Запишем в системе (6.35) функции и и ш в следующем виде:
1
и = —V q cos ц, Р
1
и = —V q cos ц, Р
w = — q sin д,
w = — q sin д,
(6.36)
(6.36)
где ц = р — рР) которое совпадает с выражением (6.34) для постоянных р^рр. Подставляя функции (6.36) в систему уравнений (6.35),
где ц = р — рР) которое совпадает с выражением (6.34) для постоянных р^рр. Подставляя функции (6.36) в систему уравнений (6.35),
получим
получим
р ,z.
—л + 9 cos р — qp sm Р — — Qsm Pi р2
р ,z.
—л + 9 cos р — qp sm Р — — Qsm Pi р2
— q' sin ц — qp/ cos ц =
= - q cos ц—-H
pkn2 \ n
p' =(— + ai (pkpA,
knz \ n)
— q' sin ц — qp/ cos ц =
= - q cos ц—-H
pkn2 \ n
p' =(— + ai (pkpA,
knz \ n)
b^q sin ц
b^q sin ц
(6.37)
(6.37)
где
где
1, dp
n= —Н^СО8Ц, p = —, pdp
1, dp
n= —Н^СО8Ц, p = —, pdp
dq dp'
dq dp'
/ _ i _ ^p
^dp '
/ _ i _ ^p
^dp '
1 Г 9, < 2 cos ц — + сн kpn2 ( у пр1 Г 9, < 2 cos ц — + сн kpn2 ( у пр•k I °2— sin ц I bs Н•k I °2— sin ц I bs Нbpq sin цbpq sin цdppdpdppdp1 < 2 sin ц + Hi kpqn2 (\ пр1 < 2 sin ц + Hi kpqn2 (\ пр(6.38)(6.38)— cos ц— cos цdp dpdp dpкп2кп2— + ai (рк) п— + ai (рк) пdq dp
1 Г 9,
< 2 cos ц — + сн kpn2 ( у пр
1 Г 9,
< 2 cos ц — + сн kpn2 ( у пр
•k I °2
— sin ц I bs Н
•k I °2
— sin ц I bs Н
bpq sin ц
bpq sin ц
dppdp
dppdp
1
< 2 sin ц + Hi kpqn2 (\ пр
1
< 2 sin ц + Hi kpqn2 (\ пр
(6.38)
(6.38)
— cos ц
— cos ц
dp dp
dp dp
кп2
кп2
— + ai (рк) п
— + ai (рк) п
Итак, система (6.38) — это система уравнений в оскулирующих переменных, т. е. таких переменных, которые в отсутствии возмущающих ускорений (ai = 02 = 0, bs = bp = 0) становятся постоянными. Операция приведения уравнений движения в центральном поле при действии возмущающих ускорений к уравнениям в оскулирующих переменных является стандартным приемом, хорошо разработанным в небесной механике.
Обобщая, аналогично можно написать систему уравнений в оскулирующих переменных для описания пространственного движения точки. За подробными пояснениями по этому поводу отсылаем к специальным изданиям [28-30, 101, 122, 208, 232, 269, 299, 414].
Управляемое интегрируемое гипердвижение в центральном поле
Рассматривается задача об управляемом движении точечного гиперона в поле тяготения, когда возмущающее ускорение а (ускорение силы тяги) представляет собой обратную связь по состоянию и направлено вдоль одной из осей абсолютной системы координат Oxyz с центром в точке притяжения.
Подобного рода задачи (например, задача с ’’постоянной тягой” Селерье-Сен-Жермена) имеют важное прикладное значение [27, 29, 30, 131, 267] и возникают при исследовании задач, связанных с межпланетными запусками и (или) прохождением объекта вблизи какого-либо центра притяжения. К этой же задаче сводится и предельная классическая задача с ’’двумя неподвижными центрами” в небесной механике [108, 109, 187, 188].
Предлагается поэтапное решение заявленной задачи, а именно: вначале найдем простейшие интегралы движения, которые затем помогут сформулировать математически строгую задачу управления и решить ее. С этой целью рассмотрим скалярные уравнения (6.22) в предположении, что G = 0, а управляемое ускорение сил тяги направлено в течение всего времени движения вдоль оси х :
кх .. ку .. kz т ■-, у =-, г-,(6.39)
где —А(ж,ж) = а = Р/М — обратная связь по состоянию гиперона. Другими словами, предполагается, что закон изменения массы M^t\ скорости и ускорения ее изменения M(t), M(t), или работы излучающего центра (двигательной установки) формируется в зависимости от значений положения и скорости самого объекта управления.
Домножая первое уравнение на х, второе — на гр третье — на z, после их сложения получим следующий ’’интеграл энергии”:
к
- (х2 + у2 + z2) + / X(x,x)xdt= оц,(6.40)
Ao8
где сд > 0 — постоянная, скалярные функции A[:r(t), ±(t)], а также x(t), y(t\ г^ на промежутке времени [to? £] предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Интеграл энергии для консервативных систем означает связное движение системы на соответствующем изоэнергетическом уровне. В соотношении (6.40) интеграл Jt А(х, ж) dx представляет величину работы, совершаемой удельной силой А(х,х), т.е. ускорением сил тяги, вдоль пути x(t) на промежутке времени [to, t^ to < t < ti, где to, И — некоторые фиксированные моменты времени.
Для сравнения, интегрируемая в квадратурах задача Селерье- Сен-Жермена
.. кх ... ку .. кг
где / — постоянный вектор реактивного ускорения, направленный вдоль оси ж, допускает интеграл энергии
1 /..р к
- (ж + у + г) — jx= а = const.
Соотношение (6.40) запишем в более удобном виде
А + Т + П = аъ(6.41)
гдеt
— A(x,x)xdt, ац = T(to) + II(to),
T=4x2+-y2 + i2), П = -и, П=--.28
Здесь T и П — кинетическая и потенциальная энергии единицы точечной массы гиперона соответственно. В энергетическую величину А входят внутренние реактивные и гиперреактивные составляющие. Отметим также, что оц — это полная механическая энергия консервативной системы.
Если умножить второе уравнение (6.39) на г, третье — на у, а затем вычесть одно уравнение из другого, то найдем интеграл площадей относительно оси х :
гу — уг = а^ с^з = const.(6.42)
Найти третий интеграл движения, пользуясь столь же простыми приемами, к сожалению, не удается. Поэтому рассмотрим следующий этап решения, который свяжем непосредственно с переходом исходной управляемой системы к системе в канонических переменных и с задачей интегрирования этой системы по методу Гамильтона- Якоби [330, 337].
Поставим задачу локально-оптимального управления для системы (6.39). Требуется найти закон оптимального управления Ао(ж,ж), обеспечивающий минимизацию функционала качества Н для любого момента времени t в предположении, что указанный минимум существует:
Н = Т + П + [ (^А2 + ^ dt —> min, (6.43)
где to < t < И? Л* — множество допустимых управлений из класса непрерывно дифференцируемых скалярных функций A[#(t), ±(t)]; здесь р^х,х\ ф^х) — некоторые положительно определенные непрерывно дифференцируемые функции, выбираемые из условий оптимального регулирования. Минимизация функционала Н (6.43) означает минимизацию энергетических и мощностных затрат системы управления гиперреактивным объектом.
Важно отметить также, предваряя решение задачи, что при постановке задачи о выборе оптимального управления Ао(ж,ж) нигде не предполагается выполнение условия измеряемости переменных состояния x(t), x(t) в любой момент времени (как, впрочем, и переменных у, у, z, z). Иначе говоря, требуется обеспечение полной интегрируемости системы и определение на этой основе состояния объекта в любой момент времени t, t Е [£оД1 ]•
Теорема 6.3. Пусть задана система управления (6.39) с интегралом энергии (6.40) и функционалом качества (6.43). Тогда управление, задаваемое формулой
Ло = (6.44)
является оптимальным относительно критерия (6.43) для любого момента времени t, to < t < К, где функции р и ^ в соотношениях (6.43), (6.44) выбираются из условия
(6.45)(6.45)= х?.
(6.45)
(6.45)
Кроме того, функционал (6.43) Н при выполнении равенств (6.44), (6.45) представляет собой функцию Гамильтона исходной системы: Н |Л_Ло = сд.
Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся методом динамического программирования. Запишем функциональное уравнение Беллмана для непрерывно дифференцируемой по своим переменным стационарной функции Беллмана V^x, у, z, х, у, z) с функционалом качества (6.43):
и с граничным текущим условием
Щ = (Т + П)4.(6.47)
Здесь L\ V = dV/dt — производящий дифференциальный оператор процесса V^ совпадающий для детерминированного случая с полной производной по времени от функции Беллмана V.
Выберем в качестве решения уравнения (6.46) функцию V в виде V = 7+11. Очевидно, что для нее граничное условие (6.47) выполняется тождественно. Имеем для выбранного решения
min f= 0.(6.48)
АеД* \ dtJv 7
Подставим в уравнение (6.48) выражение для d (Т+П)/с/£, исходя из движения исследуемого объекта и пользуясь интегралом энергии (6.40):
- Ах.(6.49)
Уравнение (6.48) запишется тогда, очевидно, в виде
min (—Ат + рХ2 + ф)* = 0,
АеД*
откуда получим выражение для оптимального управления (6.44): Ао = ж/(2(/?).
d(T^U)dtd(T^U)dtДалее при выбранной функции V = Т + П и найденном Ад (6.44) должно обеспечиваться тождественное выполнение уравнения Беллмана (6.48), т. е.
d(T^U)dt
d(T^U)dt
+ ^ + V = 0,(6.50)
А=А0
или с учетом соотношения (6.49):
— Ад.т + tyAg + ф = 0.(6.51)
Подставляя в уравнение (6.51) оптимальное управление Ад (6.44), получим
т2 т2 ,_
9^ АН Ф = 0,
откуда вытекает условие теоремы (6.45) о том, что 4у?ф = т2.
dHdtdHdt= 0,А=А0= 0,А=А0Равенство (6.50) может быть записано для функционала Н (6.43) в виде
dHdt
dHdt
= 0,
А=А0
= 0,
А=А0
н I = (Т + П) I = оц = const.
| А—А о47 11—to
Таким образом, действительно, при Ад (6.44) и выполнении условий (6.45), (6.51) функция Н :
Я|Л=Ло=Т + П + ^(Д2+^^ =
= Г Т П Т [ Адт dt = сдЛо
представляет собой полную энергию исходной механической системы, т.е. функцию Гамильтона. Теорема доказана.
Отметим некоторые следствия, вытекающие из доказанного утверждения. Прежде всего, оптимальное управление Ад (6.44) гарантирует выполнение закона сохранения полной энергии или закона сохранения функции Гамильтона.
Если из условия (6.45) выбрать у? = ±/(2с), ф = cxfl, где с = const, то Ад = с. Получим хорошо известный случай, когда ускорение силы тяги постоянно и движение системы допускает интегрирование в квадратурах. При этом Н = Т + П + сж = сд.
Из всего многообразия возможных случаев наиболее важны те, что допускают интегрирование в конечном аналитическом виде для функции Гамильтона II. превращая ее, тем самым, в стационарную функцию Н = Т + П + Л, принимающую постоянное значение «1.
Гамильтонов формализм сам по себе не обеспечивает безусловного интегрирования динамических систем. У спех этого метода связан прежде всего с использованием аппарата канонических преобразований Якоби, нахождением подходящей системы обобщенных координат и производящей функции, позволяющих определять интегралы движения. В этой ситуации, прежде чем дать решение исследуемой задачи, приведем некоторые сжатые сведения из теории интегрирования гамильтоновых систем [12, 109].
Обозначим через qt обобщенную координату, р^ — обобщенный импульс, г = l,n. С помощью производящей функции У(1, qi,..., qn, ^i,..., £п) перейдем от старых канонических переменных q^Pt к новым переменным ^г^Лг по формулам
ЭУ dq%'ЭУ dq%'ЭУ-=г = 1,п,ЭУ-=г = 1,п,(6.52)(6.52)
ЭУ dq%'
ЭУ dq%'
ЭУ-
=г = 1,п,
ЭУ-
=г = 1,п,
(6.52)
(6.52)
и сформулируем ниже теорему о канонических преобразованиях.
Теорема 6.4. Если канонические переменные qi^Pi преобразуются к новым переменным ^Лг с помощью производящей функции V(t, q. £) согласно соотношениям (6.52), то тогда дифференциальные уравнения для новых переменных имеют гамильтонову форму
с гамильтонианом (новой функцией Гамильтона?)
где H(t,q,p) = Т+П+Л — функция Гамильтона (6.41) (полная энергия системы^ удовлетворяющая уравнениям
ЭН . ЭНЭН . ЭН(6.53)(6.53)
ЭН . ЭН
ЭН . ЭН
(6.53)
(6.53)
Замечание. Преобразования, не нарушающие гамильтонову форму уравнений, называются каноническими. Теорема 6.4 о канонических преобразованиях указывает путь интегрирования уравнений движения и непосредственно приводит к уравнению Гамильтона -Якоби.
Пусть имеется гамильтонова система (6.53). Попытаемся найти такое каноническое преобразование, при котором гамильтоновы уравнения принимают вид
(6.54)(6.54)^г = 0, ТЦ = 0,
(6.54)
(6.54)
т.е. чтобы новая функция Гамильтона К была тождественно равна нулю:
(6.55)
Понятно, что в случае нахождения такого преобразования новая система уравнений (6.54) будет непосредственно интегрироваться и иметь общий интеграл
=г = 1,п,=г = 1,п,(6.56)(6.56)
=г = 1,п,
=г = 1,п,
(6.56)
(6.56)
где о^ St — произвольные постоянные.
Производящая функция У такого канонического преобразования должна, очевидно, удовлетворять уравнению (6.55), которое с учетом выражения (6.52) можно записать в виде
Hit, pi,..., qnHit, pi,..., qnЭУ8qi’ЭУ8qi’ЭУ9tЭУ9t(6.57)(6.57)
Hit, pi,..., qn
Hit, pi,..., qn
ЭУ
8qi’
ЭУ
8qi’
ЭУ
9t
ЭУ
9t
(6.57)
(6.57)
Уравнение (6.57) называется уравнением Гамильтона-Якоби. Если производящая функция V, удовлетворяющая уравнению (6.57) и условию на гессиан
detdet/ д2У \\9Ч»9^)г,з=Т^/ д2У \\9Ч»9^)г,з=Т^^0,^0,
det
det
/ д2У \
\9Ч»9^)г,з=Т^
/ д2У \
\9Ч»9^)г,з=Т^
^0,
^0,
содержит п произвольных постоянных, то функция У является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби (6.57). С помощью формул (6.56) несложно получить и общий интеграл гамильтоновых уравнений (6.53). Таким образом, приходим к следующей теореме Якоби.
Теорема 6.5. Пусть задана система канонических уравнений Гамильтона (6.53) и пусть У(t, qi,..., qn, сд,..., on) — некоторый полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (6.57). Тогда общее решение системы (6.53) можно представить в виде
ЭУРг =ЭУРг =ЭУЭоцЭУЭоцг = 1, п,г = 1, п,
ЭУ
Рг =
ЭУ
Рг =
ЭУ
Эоц
ЭУ
Эоц
г = 1, п,
г = 1, п,
где at, Pt — произвольные постоянные.
Следствие. В случае, если механическая система консервативна (стационарна, автономна) и ЭН/dt = 0, то полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби можно искать в виде
V =-a1t + W(q1, q2, qn),(6.58)
где сд — полная механическая энергия системы, причем функция W удовлетворяет уравнению
(6.59)(6.59)бdw9w\
(6.59)
(6.59)
Н I qi, ..., qn, — , ..., — I ai\9qi9qn /
Переходим к следующему этапу решения задачи, связанному с нахождением полного интеграла движения. Для этого силу тяги гиперреактивного двигателя заменим некоторым силовым полем. В самом деле, если считать, что
А(х) = A(x(t), x(t0)) = X0(x)dx^
то тогда результирующее силовое поле, в котором движется управляемый гиперон, может быть записано в виде
U* =Л(ж).(6.60)
Интегрирование проведем, пользуясь схемой решения, предложенной в работах [108, 109, 187, 188] в параболических координатах 91? 92? 9з? связанных с декартовыми координатами ж, у, z соотношениями
8 + X8 — Xу
Qi = —^—?^2 = —^—?1з = arctg -.
Обобщенные импульсы введем по формулам
91 (91 + 92)9191 (91 + 92)9192 (91 +92)л .
91 (91 + 92)
91
91 (91 + 92)
91
Р2 = , Рз = 4^^293-
92
Запишем выражения для кинетической энергии
Т = +— { (91 + 92)(92 91 + 919г) + 49192 9з }, ^9192
силовой функции (6.60) U* = U — Л, где
к
U* = ,K(qi - q^),91 +92
функции Гамильтона
н - ^Д4+^—^+л(„-„).(«.си
2(91+92) 8ад2 91 + 92
Составим далее уравнение Гамильтона-Якоби (6.57) для стационарной функции Н (6.61):
1 Г(9vVfdvV\
2(91+92) I\oqi)\0q2J J
/ x 2(6-62)
1 dvV кx
+ 5д— )+-—
Sqiq2 \oq3 J qi q2ot
полный интеграл которого будем искать в виде выражения (6.58):
(6.63)(6.63)V — — exit + cxsqs + W(qi, q2\
(6.63)
(6.63)
(9WV , (8WV , «Kq! +q-2)91 I д ) + 92 I Д )+ д\dqi / \dq2 J4qxq2(9WV , (8WV , «Kq! +q-2)91 I д ) + 92 I Д )+ д\dqi / \dq2 J4qxq2где функция VT (91,92) после подстановки выражения (6.63) в соотношение (6.62) находится из соответствующего уравнения Гамильтона -Якоби
(9WV , (8WV , «Kq! +q-2)
91 I д ) + 92 I Д )+ д
\dqi / \dq2 J4qxq2
(9WV , (8WV , «Kq! +q-2)
91 I д ) + 92 I Д )+ д
\dqi / \dq2 J4qxq2
— 2oi (91 + q2) + 2 (91 + q2) A(9i — q2) — 2k.(6.64).
Здесь схз = рз = 4919293. В декартовых координатах а^ = const = = yz — yz, т. е. эта величина представляет собой интеграл площадей (6.42).
Решение уравнения (6.64) можно найти методом разделения переменных [108, 109], предположив, что имеет место функциональное представление
2 (91 + 92) A(qi — 92) — Ai(9i) + Л2(92),
где Ai(qi), X2(q2) — некоторые непрерывные функции своих аргументов.
Тогда, полагая в уравнении (6.64) выполненными равенства
/ dW \2Ооа \
91+ 2а^ += «2 = const,
V dqi /491
/ dW \2a?\7
92 I д— I + з2«iQ2 + A2(92) = к — a2, V dq2 /4^2
общий интеграл задачи находится в квадратурах без особых затруднений с помощью производящей функции V^t,q-v,q2,q3^ :
К = - ах«з^з + j Qi(qi)dqi + jQ^^dq^, где
<21(91) =(4910:2 - Од + SctiQi - 4qiAi(qi))1/2,
<22(92) = 2- (492 (к - а2) - 03 + 8aiq2 “ 492A2(92))1/2• ^92
Таким образом показано, что управляемое, стационарное, энергетически оптимальное гиперреактивное движение допускает в случае определенных функциональных представлений общее аналитическое интегрирование.
Глава 7
Гиперреактивная механика тела переменной массы
Следуя работам [177, 216], твердым телом переменной массы будем называть механическую систему, образованную п материальными точками, расстояние между которыми остается неизменным, причем хотя бы одна из точек системы является материальной точкой с переменной массой.
Обобщим полученные ранее результаты на случай гипердвижения тел переменной массы. Для этого, пользуясь методологией, развитой в работе [177], сформулируем, прежде всего, основные теоремы динамики об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. Рассматривая тело как совокупность точек, движение которых определяется гиперреактивными уравнениями, можно получить формулировки основных теорем гипердинамики твердых тел переменной массы.
При дальнейшем анализе и выводе динамических соотношений будем пользоваться также гипотезой Мещерского контактного взаимодействия отбрасываемых частиц и тела, т. е. вне всякой связи с историей какого-либо движения частиц до их отделения от основного тела.
В § 7.1 обосновывается формулировка теоремы об изменении количества движения тела переменной массы. С учетом полученных ранее точечных уравнений гиперреактивного движения представлен вывод этой теоремы в различных формах записи.
В § 7.2 аналогичная задача решается в отношении кинетического момента. Закон об изменении кинетического момента тела переменной массы получен относительно неподвижной и подвижной (связанной с телом) систем координат. Рассматриваются модельные примеры для важных частных случаев вращения тела переменной массы.
посвящен теореме об изменении кинетической энергии относительно неподвижных осей координат. Формулировка теоремы
дается в виде равенства дифференциала (стандартной) кинетической энергии тела переменной массы сумме элементарных работ всех действующих на это тело сил.
В § 7.4 идеология лагранжевой и гамильтоновой механики обобщается на случай гипердвижения тела переменной массы. Получены уравнения движения в обобщенных независимых координатах при наличии идеальных голономных связей. Вторая часть параграфа отведена гамильтоновой форме записи уравнений гипердвижения тела переменной массы (в канонических переменных).
В последнем § 7.5 главы излагаются некоторые дополнительные результаты. Даются формулировки теоремы о движении центра масс (когда гипердвижение тела переменной массы представлено гипердвижением его центра масс) и теоремы об изменении кинетического момента относительно поступательно движущихся осей координат.
Теорема об изменении количества движения
Будем придерживаться относительно понятия ’’количества движения” (или импульса) точки, чтобы избежать каких-либо недоразумений, следующей терминологии, которую затем автоматически обобщим на материальное тело переменной массы. В старых обозначениях для точки переменной массы М имеем:
Q = MR + MR — полное количество движения точки;
Qq = MR — результирующее количество движения точки, где R = и — и;
Qr = MR — реактивное количество движения точки (возникающее за счет эффекта изменения массы); этой величине можно придать смысл количества движения отбрасываемых от данной точки частиц;
N = Mv = Qi — стандартное (обычное) количество движения точки.
Условимся о следующих обозначениях для стандартных кинетических величин исследуемого гиперреактивного движения тела (системы точек) переменной массы: N — количество движения, К — кинетический момент, Т — кинетическая энергия.
Обозначим также через mvi v — 1,п, переменные массы точек тела как функции времени t, полагая, что эти точки не имеют относительных скоростей движения по отношению к основному телу; через uv — скорости этих точек относительно некоторой неподвижной системы координат О^рС,.
Тогда по определению стандартных кинетических величин можем записать
N = ^2 mvVviV=1N = ^2 mvVviV=1
N = ^2 mvVvi
V=1
N = ^2 mvVvi
V=1
где rv — радиус-вектор 1/-ой точки в неподвижной системе координат О^р^.
Расположение центра масс всего тела изменяется в зависимости от изменения масс составляющих точек. Поэтому для описания движения тела удобно дополнительно ввести подвижную систему координат Oxyz, закрепленную с телом.
Пусть го — радиус-вектор точки О в неподвижной системе. Очевидно, что г^ = го + А^, где А^ — радиус-вектор 1/-ой точки в системе координат Oxyz. После дифференцирования этого равенства по t получим выражение для абсолютной скорости iv-ой точки в неподвижной системе координат:
г^ = г0 + ст х А^,
где ш — вектор мгновенной угловой скорости тела, обусловленной вращением.
Еще одно дифференцирование по t приводит к равенству ускорений
Wv = Wq + Е X А„ + Ш X Ш X А^,
где е — вектор мгновенного углового ускорения тела. Так как шхшх хА^ = — w2hVl где hv — расстояние от iv-ой точки до линии действия вектора ст, то имеем для вектора ускорения 1/-ой точки
Wv = Wq + £ X А^ — W2hv.
Отметим также, что кинематика центра масс тела (точка С) определяется радиусом-вектором
17=117=1
где М — масса всего тела в момент времени t, и абсолютной скоростью гс :
гс = rf + г£,
где г® = го + w х Ас — переносная скорость центра масс, Ас — радиус-вектор точки С в подвижной системе Oxyz; иТс — относительная скорость центра масс (относительно системы Oxyz).
В силу рассмотренных выше кинематических соотношений запишем цепочку преобразований для стандартного количества движения тела
пппп
N = ^2 mv^v = У^ THV (го + ^ X А^) = Го У^ THV + 0) X ^2 mv^v =
V=117=117=117=1
У^ = МАС.17=1У^ = МАС.17=1= Мг0 + ст х МАС = М (д Д ст х Дс) = Ми^
У^ = МАС.
17=1
У^ = МАС.
17=1
Итак, имеем
N = МГС = Мис - Ми^
и для закрепленного тела переменной массы c.V = 0 получим в этом частном случае равенство абсолютной и относительной скоростей центра масс: vc = игс.
Для записи теоремы об изменении количества движения тела воспользуемся гиперреактивным уравнением для 1/-ой точки тела (см. соотношение (5.9)):
mv = Fv + 2m^ (гд — д) + mviiv — mvRv1
либолибоddtddt(m^v^ = Fv + mvVv + — (mvuv) - mvRv,(m^v^ = Fv + mvVv + — (mvuv) - mvRv,(7.1)(7.1)
либо
либо
d
dt
d
dt
(m^v^ = Fv + mvVv + — (mvuv) - mvRv,
(m^v^ = Fv + mvVv + — (mvuv) - mvRv,
(7.1)
(7.1)
где Vv = uv — vy — относительная скорость iv-ой точки, uv — абсолютная скорость частиц, излучаемых iv-ой точкой, Rv — реактивный вектор 1/-ОЙ точки, v = 1,п.
После сложения уравнений вида (7.1) по всем точкам получим
_ d , х \х
"ЗТ = Д к + mvVv + — (,mvu0 ~ mvRv .(7.2)
LLL\CLl/
V=1 x7
Обозначим
F = У2 FV1 G = У^ mvuvi Фг = У2 mvVv = — У^ mvRv1 17=117=117=117=1
- уз mvRv,
17=1
где F — результирующая всех внешних сил, Фг — результирующая всех реактивных сил, Ф^ — результирующая всех гиперреактивных
сил, G — количество движения, получаемое телом от всех частиц, отбрасываемых с поверхности тела из точек v с абсолютной скоростью uv.
Тогда в новых обозначениях уравнение (7.2) примет вид
dNdtdNdt(7.3)(7.3)dGdt
dNdt
dNdt
(7.3)
(7.3)
Таким образом, приходим к следующей формулировке теоремы об изменении (стандартного) количества движения тела.
Теорема 7.1. Производная по времени от количества движения тела переменной массы равна результирующей всех действующих на тело внешних, реактивных и гиперреактивных сил плюс производная по времени от количества движения, получаемого телом со стороны отбрасываемых частиц.
Замечание. Приведенная выше теорема 7.1 об изменении количества движения тела может быть переформулирована в разных вариантах. Приведем некоторые из них в виде следствий.
Следствие 1. Соотношение (7.3) запишем в форме
dN т т
=^ + Фг + Ф^ + > nt
т. е. производная по времени от количества движения тела переменной массы равна результирующей всех действующих на тело внешних, реактивных и гиперреактивных сил плюс количество движения частиц, отбрасываемых с поверхности тела в единицу времени, плюс результирующая сила, возникающая за счет эффекта нестационарно сти скоростей отбрасываемых частиц.
Следствие 2. Соотношение (7.3) запишем в форме
^ = F + Фг + Фк, Qq = N-G, dt
т. е. производная по времени от результирующей количества движения тела переменной массы равна результирующей всех действующих на тело внешних, реактивных и гиперреактивных сил.
Следствие 3. Соотношение (7.3) запишем в форме
mvmvduv dt 1duv dt 1
mv
mv
duv dt 1
duv dt 1
т. е. производная по времени от количества движения тела переменной массы равна результирующей всех действующих на тело внешних, удвоенных реактивных и гиперреактивных сил плюс количество движения частиц, отбрасываемых телом в единицу времени, в их переносном движении, плюс результирующая сила, возникающая за счет эффекта нестационарности скоростей отбрасываемых частиц.
Теорема об изменении кинетического момента
Кинетический момент тела переменной массы К относительно неподвижной системы координат О^ту^ был определен ранее: К = = Е"=1 Tv X
Пусть в введенных обозначениях tv = tq + А^, uv = vq + ш х А^. Тогда при подстановке этих значений в выражение для К получим
К = У^ (г0 + А^) х т^ (и0 Г ш х А„) =
17=1
= У2 (r° ++ Г А^ х m^VQ +
17=117=1
+ У2 ro х thv xx mv (оз x
V=1V=1
Следовательно, кинетический момент тела относительно точки Оу системы Оу^рС, может быть представлен суммой:
К = Ко Т То х оз х М Кс Т То х Мио Т Ас х Muo-j (7-4)
где для 522=1 mvKv = МКС, 522=1 т^ ~ имеем
У2 го х mvuo = То х Mvq, У2 А^ х mvuo = Ас х Мг0) 17=117=1
У2 го х mv (ш х Kv) = То х ш х МКС, У^ А^ х mv (ш х Kv) = Ко.
17=117=1
Здесь через Ко обозначен кинетический момент тела переменной массы относительно точки О подвижной системы координат Oxiyi^i, коллинеарной по отношению к неподвижной системе О^рС,.
Соотношение (7.4) можно переписать с учетом переносного движения центра масс в виде
К = Ко + гс х МКС — Ас х М (ш х Дс).(7.5)
В самом деле, так как v^ = ио + ш х Дс, то отсюда имеем
го х (ш х МДС) х г0 х Mvq = го х М (vq + ш х Дс) = г0 х Mv^
Дс х Mvq = Дс х (^о + ш х Дс — ш х Дс) М =
= Дс х Ми^ - Ксх М ^ш х Дс).
При сложении этих выражений получим
г0 х Ми^ + Дс х Ми^ - Ас х М (ш х Дс) =
= гс х Ми^ — Дс х М (ш х Дс),
откуда следует равенство (7.5).
В важном частном случае, когда О = С, Дс = 0, т. е. когда начало подвижной системы совпадает с центром масс тела, имеем из соотношения (7.5):
К = Ко + гс х МКС,
где К — кинетический момент тела относительно неподвижной точки О^ Ко — кинетический момент центра масс тела, гс х М^ — кинетический момент центра масс в его переносном движении при условии, что в точке С сосредоточена масса всего тела.
При вращении тела переменной массы с угловой скоростью ш вокруг оси Ozi проекция вектора К на эту ось равна
Кг = ^ OvVv ~ UvK) =
V=1
— ТП^К^Ш — 0)122 1 Izz —I^V^v*)
v=lv=l
где 122 — момент инерции тела относительно оси O^i.
Проекции вектора К на подвижные оси Ox^Oy^Oz при вращении твердого тела переменной массы вокруг закрепленной точки О определяются следующим образом. По формуле Эйлера имеем иу = ш х Д^. Тогда
Ко = У^ Д^ х mv (w х Av^
откуда
Ко = ^2 тп^шЛ^ — ^2 mv^va)^v.v=lv=l
Проекции вектора кинетического момента Kq = (Kq$^ Коу, KozY на оси Ох, Оу, Oz, следовательно, будут иметь вид
Кох — ^ХхР IxyQ IxzF Коу — IxyP У Iyyq lyzT
Kqz ~ ^XzP lyzQ У Yz^ ~ (P? Qi Y 1 где осевые и центробежные моменты инерции тела задаются формулами:
Кх = Г ти ^ + ^)’ ^У = Г ти ^ + ^’ С^УУДжДуД 17=117=1V=1
ппп
=> ^vUv^V 1 Yz — ^ ^ T^lv^v^v 1 ^ху —.
17=117=117=1
Для обоснования формулировки теоремы об изменении кинетического момента рассмотрим гиперреактивное уравнение движения 1/-ОЙ точки с массой mv в виде уравнения (7.1). После векторного умножения этого уравнения на tv и последующего суммирования по всем точкам получим
V=117=1V=1
+ ^д tv х — (m^uY — У^ tv х mvRv.(7-6)
Учтем в уравнении (7.6), что
и обозначим результирующие моменты всех действующих на тело сил:
Му = У^ tv х Fv, МТ = У2 Tv х ttivVv,
17=117=1
Mh = - У XMu = 'Yjv 7
Тогда, очевидно, уравнение (7.6) перепишем в виде
= ТГу + МТ + М^ + Ми.(7.7)
dt J
Приходим, таким образом, к теореме об изменении кинетического момента тела относительно неподвижных осей.
Теорема 7.2. Производная по времени от кинетического момента тела переменной массы равна сумме моментов всех внешних, реактивных и гиперреактивных действующих на тело сил плюс момент производной по времени от количества двиэюения, получаемого телом со стороны отбрасываемых частиц.
Следствие. Соотношение (7.7) запишем в виде
dK
—— = Mf + 2Mr + Мн + dt J
E
dmv—^duv
m. e. производная no времени от кинетического момента тела переменной массы равна сумме моментов всех внешних, удвоенных реактивных и гиперреактивных действующих на тело сил плюс сумма моментов количеств двиэюения частиц, отброшенных телом в единицу времени, в их переносном двизюении плюс сумма моментов сил, возникающих в результате непостоянства абсолютных скоростей отбрасываемых частиц.
При вращении тела переменной массы вокруг неподвижной оси Ozi с угловой скоростью ш имеем: uv = шх Kv. В проекции уравнения (7.8) на ось O^i получим
— ^Щ + 2Мгг + M^z + Msz + ^27, ш^,(7-9)
LLL1 LLL
где Ms = 5Z™=i tv х mv ppp, hv — расстояние от оси вращения Ozy до 17-ОЙ точки.
Имеем по предыдущему рассмотрению
dmv 2d2dlzz
dtvdtvdt
Таким образом, уравнение (7.9) принимает вид
(^7гг) = M^z + 2MTZ + Mhz + Msz + ш ,LLLLLL
или (в более компактной форме)
^^ Ytt — ^Г + ^MTZ + Mhz + Msz,(7.10)
где слева стоит произведение момента инерции тела, вращающегося около неподвижной оси O^i, на его угловое ускорение.
Модельный пример 1. Рассмотрим частный случай вращения твердого тела вокруг оси, когда относительная скорость отбрасываемых частиц Vv = 0 (отделяющиеся от тела частицы имеют скорости соответствующих точек тела: uv = uvY
Имеем тогда в уравнении (7.10) MTZ = 0, М^ = 0 с учетом того, что Rv = 0, Ry = const = 0. Уравнение (7.10) перепишем в виде
d / , х г _ dlzz— (ulzz) = Mfz У 2lj —-—,dt v }dt ’
или
, du r dlzzх
Izz(7.11)
dt J dt ’v v
где Izz = Izz(tY
Хорошо видно, что уравнение (7.11) — это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка по и, и закон изменения и = u(t) со временем имеет более сложный характер, чем в известном ранее законе [177], определяемом уравнением
С^ = Му.(7.12)
Очевидно, что медленное изменение момента инерции Izz(t) по времени при вращении тела вокруг оси O^i, т.е. когда Izz ~ 0, может обеспечить близость решений уравнений (7.11) и (7.12).
Модельный пример 2. Условия этого примера соответствуют работе [216], ход его решения — не традиционному, а гиперреактивному подходу, основанному на применении уравнения (7.10).
Пусть тело, имеющее форму кольца радиусом г, вращается под действием постоянного момента М вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии. Когда тело приобретает угловую скорость ccq? его тормозят с помощью установленных на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра двух реактивных (гиперреактивных) двигателей. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна V = const. Секундный расход топлива равен q = const, начальный момент инерции тела с топливом равен /о-
Требуется найти расход топлива, необходимого для полного торможения тела.
Будем исходить из уравнения вращательного движения тела переменной массы вокруг оси (7.10). При условии q = const имеем Мн = 0, М8 = 0, й = 0, где и — абсолютная скорость истечения газов из двигательных установок.
Тогда уравнение, описывающее вращение кольца, примет вид
Со - qtr^ ^ = М- 2rqV,(7.13)
где qtr2 — момент инерции кольца, ’’потерянный” за счет убывания массы топлива к моменту времени t, rqV = МТ — результирующий момент реактивных сил.
После интеграции уравнения (7.13) найдем решение , х 2rqV — М 1 /qtr2 \
Ц1) = W0 Н2 In 1—- ,
qr2 V Jo /
где для целей торможения вращения тела надо потребовать выполнения условия: 2rqV > М.
Обозначим через t* время до полного торможения кольца. Из уравнения u(t^ = 0 найдем
. Ь Г./ qr^Wo \"
* qr- _ еХР ( 2rqV - м) ' откуда получим значение для необходимого расхода топлива т = = qt*.
Для записи уравнений движения тела переменной массы с одной неподвижной точкой воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента. Будем исходить из уравнения (7.8), где для тела с одной закрепленной точкой О имеем: uv = ш х Д^; здесь ш — угловая скорость вращения тела, Д^ — радиус-вектор 1/-ой точки относительно неподвижной точки О тела.
Производная по времени dK/dt относительно неподвижной системы связана с локальной производной d'K/dt относительных подвижных осей системы Oxyz соотношением
dK d'K _
— = —— + ш х К.
dt dt
Поэтому теорема об изменении кинетического момента в форме (7.8) относительно осей Oxyz запишется в виде
^ = ш х Kq = Mq + 2Mq + Mq + Mq +
A dm(7Л4)
+ £^ДуХ(шхДу),
где Ко — кинетический момент тела относительно точки О; М^ М^ Mq , Mq —главные моменты соответствующих сил (см. соотношения (7.8), (7.9)) относительно точки О.
Примем во внимание то, что
Ко = У^ mvKv х (оо х Kv) = loo,
dmv А , А х diх (оо х = — оо,dt v J dt '
где I — матрица тензора инерции тела для точки О. Тогда уравнение (7.14) перепишется как
di Т doo ,di
—— оо Т I —— Т оо х Iоо = Мо Т 2Мо Т Mq Т M^q Т —— сс,
CLlCLlCLL
или
1^ + ш х 1ш = Мо, Мо = М^ + 2Mg + М$ + Mg. (7.15)
Обозначая через р, д, г проекции угловой скорости оо тела на оси Oxyz, через /жж, Iyy, Izz, Ixy, Ixz, Iyz — осевые и центробежные моменты инерции, в проекции векторного уравнения (7.15) на подвижные оси системы Oxyz, неизменно связанные с телом, получим три скалярных уравнения:
dxxP — dxyq — Ixzt +
Т {dzz dyy^ дт + Iyz (т д ) + р (Ixyr dxzQ) MqXi dxyP Т dyyg dyzT +
Т {dxx Izz^) ^P Т Ixz (p^ ) Т Q (IyzP dxyr^ = Moyi
dxzP dyzg + dzz^ Т
+ ^УУ -^жж) PQ Т dXy (^p ) + Г {IXzQ dyzP) — Mqz-
(7.16)
Если в процессе гипердвижения оси Ox^Oy^Oz остаются главными осями инерции тела для точки О (в этом случае 1жу = Ixz = = Iyz = 0), то тогда уравнения (7.16) приобретают вид динамических уравнений Эйлера:
dxxP Т {dzz dyy^ дт = Mqx1
dyyQ. Т (7ЖЖ Izz^) ^Р — Моу^
Izz^ 4" {Iyy — Ixx} PQ — MqZi
где главные (осевые) моменты инерции тела являются функциями времени, т. е. приобретают вид, характерный для описания движения тела постоянной массы.
7.3. Теорема об изменении кинетической энергии
Найдем связь между кинетической энергией рассматриваемого тела Т
в неподвижной системе координат О^рС, и кинетической энергией тела в подвижной системе Ох-рухг^ движущейся поступательно относительно О^рС,. Имеем uv = го + г^, где u'v = ш х Д^ — скорость 1/-ОЙ точки с массой mv относительно поступательно движущихся осей. Поэтому можем написать
п
Г(v° + О2 =
17=1
= | +152+y° 5^т^-(7Л7)
и=1и=1
Здесь величина, равная
1 пто = 2 52
представляет собой кинетическую энергию тела относительно подвижной системы OxiPi^i. Третье слагаемое в правой части выражения (7.17) дает величину, равную
г° ^2 miTm = ^о (^ х М^с\
Таким образом, соотношение (7.17) имеет вид
Т = Tq + - Mvq + Го (^ х MZ\C\
В случае, если О = С (начало системы OxpyiZi совпадает с центром масс тела), то тогда vq = и^ Дс = 0 и
Т = ТСГ-М^\
где М (г®)2/2 — кинетическая энергия центра масс в его переносном движении при условии, что в точке С сосредоточена масса всего тела, Тс — кинетическая энергия тела при движении тела относительно системы О(= С) xiyiZi.
Рассмотрим далее гиперреактивное уравнение движения 1/-ой точки, которое непосредственно вытекает из уравнения (7.1):
d , х„ dmvduv
— V^pUp) = Fp + mvVv - mvRv H—- uv + mv
dididi
где uv — абсолютная скорость отбрасываемых от iv-ой точки частиц. После домножения левой части этого уравнения на uv dt, а правой части — на равную величину drvi и суммирования по всем точкам тела переменной массы получим
пппп
У^ Up d (mpVp) = ^2 Fp drv + ^2 FipVp drv — У^ FtpRp drv +
17=117=117=117=1
Левую часть уравнения (7.18) можно представить в виде
ПП9П 79
^(m^Wn + EI7’19)
17=117=117=1
поскольку n 2 n2 n
i/=lv=Yv=Y
Суммы элементарных работ внешних, реактивных и гиперреактивных сил в соотношении (7.18) запишем соответственно как
У^ Fp dTp = Му, У2 ^vVp dTp = У^ ФГр drv = Мг,
(7.20)(7.20)V=1V=1V=1
(7.20)
(7.20)
^2 (- m^RO drv = ^2 ф^ Atv = 5Ah.
v=Yi/=l
Кроме того, обозначим через 6AS элементарную работу сил, возникающих за счет эффекта нестационарности (непостоянства) скоростей отбрасываемых частиц:
(7.21)(7.21)
(7.21)
(7.21)
В правой части уравнения (7.18) имеем также
У^uv dr у = У2 ^mv иу Uy = У2 ^tp dry + У^ dmv (7.22)
17=117=117=117=1
При подстановке выражений (7.19) - (7.22) в соотношение (7.18) получим
17=117=1
= 5Л; + 25ЛГ + М, + М, + ^ dm,^,(7.23)
17=1
ИЛИ
dT = 5А{ + 26 Ar + 6Ah + 6AS + ^ —•(7-24)
17=12
Отсюда можно сформулировать теорему об изменении кинетической энергии тела переменной массы относительно неподвижных осей координат.
Теорема 7.3. Дифференциал кинетической энергии тела переменной массы равен сумме элементарных работ всех приложенных к телу сил: внешних, удвоенных реактивных, гиперреактивных сил, а также сил, возникающих из-за непостоянства скоростей отбрасываемых частиц, плюс кинетическая энергия частиц, отбрасываемых телом за время dt, обусловленная их переносным движением.
Замечания. 1. Из соотношения (7.23) для случая, когда uv = 0, V = 1, п, получим
17=1что совпадает со стандартным выражением для этого случая.
2. Из соотношения (7.24) для случая, когда Vv = 0, v = l,n, получим
dT = 5Л/ +•(7-25)
2
Выражение (7.25) отличается от стандартного значения для dT наличием в правой части слагаемого 6AS1 обусловленного нестацио- нарностью скоростей отбрасываемых частиц.
Лагранжев и гамильтонов формализм
в описании движения тела переменной массы
Вначале рассмотрим лагранжеву задачу о выводе уравнений гипердвижения тела переменной массы в обобщенных (независимых) координатах. Для этого будем положение тела переменной массы (механической системы) определять к обобщенными криволинейными координатами gi, q^^...^q^ к — число степеней свободы тела переменной массы.
Зададим уравнения голономных связей tv = rv(q^ q2,qkA^h v = l,n, и будем считать, что 1/-я точка системы удовлетворяет
гиперреактивному уравнению движения вида
(7.26)
Из системы уравнений (7.26) после домножения каждого из них на вариацию бг^ и суммирования этих уравнений по v получим
(7.27)
Варьируя уравнения связей, имеем
Тогда уравнение (7.27) приводится в виду
а затем
Кинематика уравнений голономных связей позволяет сделать вывод о том, что
9tv duv9tv duvd / drv \ duvdt ydq^j dq^d / drv \ duvdt ydq^j dq^(7.29)(7.29)
9tv duv
9tv duv
d / drv \ duvdt ydq^j dq^
d / drv \ duvdt ydq^j dq^
(7.29)
(7.29)
Рассмотрим более подробно левую часть уравнения (7.28), принимая во внимание соотношения (7.29). Полагая, что mv = mv^ — непрерывно дифференцируемая функция времени, имеем
d mvuv — dtd mvuv — dt1 ITrxTlгча ^ODVODV1 ITrxTlгча ^ODVODVd Эdt dq^d Эdt dq^12- mvvv -12- mvvv -(7.30)(7.30)
d mvuv — dt
d mvuv — dt
1 ITrxTlгч
а ^ODVODV
1 ITrxTlгч
а ^ODVODV
d Эdt dq^
d Эdt dq^
12
- mvvv -
12
- mvvv -
(7.30)
(7.30)
д ^ 12 _ d ЭТ dT
'H,2dt dq^ dq^ ’
где T = 52X1 m^v2/2 — кинетическая энергия системы.
Таким образом, уравнение (7.28) можно записать в виде
( d ЭТ ЭТ1
где для соответствующих обобщенных сил, отнесенных к координате q^^ введены следующие обозначения:
■A <Pmv drv^ dt2 " 9^■A <Pmv drv^ dt2 " 9^
■A <Pmv drv
^ dt2 " 9^
■A <Pmv drv
^ dt2 " 9^
E
dmv drv
V=LUV'
Используя предположение о независимости криволинейных координат 91,92? -^Qk^ получим из уравнения (7.31) уравнения Лагранжа 2-го рода для тела переменной массы:
^^"^^Г^ + ЗГ^ + З^(7-32)
где д = 1, к, к — число степеней свободы тела переменной массы.
Уравнение (7.32) можно переписать несколько иначе, если воспользоваться зависимостью uv = uv + Vv. Имеем в этом случае
d ЭТ 9Т _ f,
где обозначено
В работе [177] применительно к уравнениям Лагранжа рассматривается вариант, когда uv = А^)^, где Xv^ — некоторая непрерывно дифференцируемая функция времени. В гиперреактивном случае тогда получим
dmv duv Э dmv г^vVvЖ = Ж
duv duvdi dq^duv duvdi dq^
duv duvdi dq^
duv duvdi dq^
Э8Qh
Имеем отсюда
(2А,(2А,dmv dXLdt dtdmv dXLdt dt2 '2 '(7.33)(7.33)
(2А,
(2А,
dmv dXL
dt dt
dmv dXL
dt dt
2 '
2 '
(7.33)
(7.33)
Подставим выражение (7.33) в правую часть уравнения (7.32). Очевидно, получим
d ЭТ ЭТdt dq^ dq^d ЭТ ЭТdt dq^ dq^QUQpQ;- a^,QUQpQ;- a^,(7.34)(7.34)
d ЭТ ЭТdt dq^ dq^
d ЭТ ЭТdt dq^ dq^
QUQpQ;- a^,
QUQpQ;- a^,
(7.34)
(7.34)
где обозначено
^ = Е m-xl/=l^ = Е m-xl/=ldtdtdvv8Qhdvv8Qh«М Эг^dt dq^«М Эг^dt dq^P^ (2ЛP^ (2Лdmv dXLdt dtdmv dXLdt dty2Ty2T
^ = Е m-xl/=l
^ = Е m-xl/=l
dt
dt
dvv
8Qh
dvv
8Qh
«М Эг^dt dq^
«М Эг^dt dq^
P^ (2Л
P^ (2Л
dmv dXL
dt dt
dmv dXL
dt dt
y2
T
y2
T
Отметим, что в уравнении (7.34) в правой части обобщенные силы Q^ Q^ и функция Р характеризуют в целом приток дополнительных сил и энергии к телу переменной массы за счет гиперреактивного процесса отбрасывания частиц.
Вторую часть параграфа посвятим выводу канонических уравнений гипердвижения тела переменной массы, т. е. уравнений движения в канонических переменных.
Для этого уравнения Лагранжа 2-го рода вида (7.32) приведем к гамильтоновой форме. Возьмем вместо лагранжевых переменных и их скоростей 91Д2? ••• Д/с Д1Д2, ••• Д/с канонические переменные ДД2, ...Д/сД1Д2, • ••Д/с, где
ц = 1Д.ц = 1Д.(7.35)(7.35)ЭТР/л —. ,
ц = 1Д.
ц = 1Д.
(7.35)
(7.35)
8qp.
В силу того, что кинетическая энергия Т представляет собой квадратичную форму обобщенных скоростей, функции ЭТ/dq^ р = = 1Д, линейно зависят от q^. Поэтому для однозначного разрешения
системы линейных уравнений (7.35) относительно q^ надо потребовать, чтобы соответствующий гессиан удовлетворял условию
д. д. ) + О9qCT уд. д. ) + О9qCT уд, а = 1, к.д, а = 1, к.
д. д. ) + О9qCT у
д. д. ) + О9qCT у
д, а = 1, к.
д, а = 1, к.
которое, очевидно, выполняется для положительной квадратичной формы Т.
Проварьируем функцию Т = Т^^ q2^ q^ qi, q2, qk^t) :
В левой части этого выражения имеем функцию Гамильтона вида
т.е. можем записать с учетом Т = T(q-^ q2, ...^ qk^PbP2^ -^Рк^) и зависимостей (7.35):
5И = ^ <in 5Ри - П Ц" ^-I7-36)
м=1м=1
В выражении (7.36) найдем значение dT/dq^. Для этого воспользуемся уравнениями (7.32) и зависимостями (7.35):
Эдц dt dq^
При подстановке формулы (7.37) в соотношение (7.36) получим
кк
6H = ^q, 5р, - 52 (^ " 52 ^Р 5q^'
^=1^=1а
(7.38)
Проварьируем далее функцию Н как функцию канонических переменных: Н = H(q^q2^ ...^к^РъР2^ •••Hk^Y Имеем в этом случае
Еоиой
^м + Г 5рц.
М=1 8q,^ др.
(7.39)
Сравнение соотношений (7.38) и (7.39) дает нам в силу независимости вариаций канонических переменных следующую систему урав
нений:
ЭН
(7.40)
где индекс а принимает буквенные значения f,r,h, s,u. Систему дифференциальных уравнений (7.40) можно назвать системой уравнений Гамильтона для гиперреактивного движения тела переменной массы в канонических переменных.
Пусть действующие на систему внешние силы обладают потенциалом, т. е.
= ц = Т"кdq,'
где U = U(qi^q2^ ^^qk) — потенциальная функция. Для функции Лагранжа L = Т + U тогда, очевидно, получим уравнения Лагранжа в следующем виде (см. соотношение (7.32)):
d ЭЬdt dq^
(7.41)
где ц = 1, к, /3 = r^h, s, и.
Функцию Гамильтона Н в случае наличия внешнего потенциального поля можно представить с помощью функции Лагранжа как
^ 9q^
Имеем также соответствующие выражения для обобщенных импульсов
ЭГ—
=ц=Х.к.
С учетом этих зависимостей и уравнения (7.41) получим новую запись соотношения (7.38):
кк
5н = 5рц - ^ (Д - Г П)
М=1М=1/з
откуда следуют канонические уравнения
ЭН
Qu =
.ЭНд
Р^ = ~ "дГ + Г
где (3 = r,h,s,u, с функцией Гамильтона Н (7.42) в предположении, что внешние силы имеют потенциал.
Некоторые дополнительные результаты
Помимо теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии тела переменной массы, участвующего в гиперреактивном процессе, рассмотрим еще ряд важных утверждений.
Теорема о движении центра масс. При отбрасывании (излучении) частиц центр масс всей системы движется относительно подвижных осей координат Oxyz, неизменно связанных с телом переменной массы. По-видимому, впервые на относительное смещение центра масс, обусловленное отбрасыванием частиц, как на принципиально новый тип задач в механике тела переменной массы, было указано в работе [177].
На этом специфическом виде изменения положения центра масс системы в процессе гиперреактивного движения мы и остановимся чуть подробнее. Для начала возьмем точечные уравнения гипердинамики:
mvu;v = F^ + 2Фу1 + Ф^ + Ф^з, v = 1,п,(7.43)
где wv — ускорение 1/-ой точки в неподвижной системе координат О1^ц^; Fv — действующая внешняя сила;
Ф^1 = — rhvRv = fnvVv = mv {иу — uv\
Ф^2 = ТП^й^ Ф^з = - mvRv.
Сложим все уравнения (7.43) по v = l^n. Тогда в данных выше обозначениях получим
(7.44)(7.44)У^ mvwv = F + 2ФГ + Ф/, + Ф8, 17=1
(7.44)
(7.44)
Ф5Ф5
Ф5
Ф5
Имеем для iv-ой точки (см. § 7.1):
wv = wq + е х Д^ — u?hv.
Поэтому в левой части уравнения (7.44) стоит выражение
У2 mvW = У2 mv (w° + s х ^v — ^hv^ = V=117=1
ППП
= W0 У2 mv + £ X У2 mv^v —
17=117=117=1
В старых обозначениях
У2 mv = М, У2 mv^v = М/\С1 У2 mvhv = Mhc 17=117=117=1
получим
У2 mv^v = Muj^(7.45)
v=l
где
wc = wq + s х Ас — ш^йс
есть ускорение точки подвижного пространства, совпадающей в данный момент времени с центром масс (точкой С) тела переменной массы. В процессе отбрасывания частиц, повторим, центр масс меняет свое местоположение относительно самого тела, т. е. точек, составляющих это тело.
При подстановке выражения (7.45) в уравнение (7.44) получим
Таким образом, уравнение (7.46) приводит к следующему закону (теореме) гипердвижения центра масс тела переменной массы.
Теорема 7.4. Произведение массы тела на ускорение точки подвижного пространства (связанного с подвижной системой координат Оху Гр совпадающей в данный момент времени с центром масс тела, равно результирующей всех внешних, удвоенных реактивных, гиперреактивных сил и сил, обусловленных нестационарностъю скоростей отбрасываемых частиц.
Ускорение ш®, о котором идет речь в теореме 7.4, характеризует переносное движение центра масс тела переменной массы.
Движение какой-либо точки тела, например точки О (начала подвижной системы координат), в силу уравнения (7.46) описывается соотношением
Mwq = Г Т 2ФГ Т Ф/, Т Ф6 — £ х МДС Т МиГ Нс,
откуда при поступательном движении, когда ш = 0, е = 0, получим
Mw0 = F + 2ФГ + Ф/^ + Ф8.
В случае, если w® = wc, т.е. положение центра масс тела не изменяется с течением времени, то тогда, очевидно, получим из уравнения (7.46):
Mwc = F + 2ФГ + Ф/г + Ф8,
где переносное ускорение центра масс равно его абсолютному ускорению в неподвижной системе координат О^рГ
В общем случае при сложном движении по теореме Кориолиса (абсолютное) ускорение ш" точки С выражается суммой
= иГ + иГс + 2ш х иТс,
где ш® — переносное ускорение точки С : w® = wq + £ х Дс — иГбр wrc — относительное ускорение точки С, т. е. ускорение относительно подвижных осей системы Оху г; М) х итс — дополнительное ускорение, появляющееся в результате взаимодействия переносного и относительного движения. Это ускорение называется добавочным или кориолисовым ускорением. Здесь итс — скорость центра масс относительно подвижной системы координат Oxyz.
Отсюда получим
wf = w“ — wTc — М х vrc,
и далее из уравнения (7.46) имеем
М-и^ = F F 2ФТ F Фк F Ф8 F М « F 2ш х итс\ (7.47)
Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 7.5. Центр масс тела движется как точка, масса которой равна массе всего тела в данный момент времени. К этой точке приложена результирующая всех действующих внешних, удвоенных реактивных, гиперреактивных сил и сил, обусловленных наличием нестационарности скоростей отбрасываемых частиц, а также относительным и кориолисовым ускорением центра масс.
При поступательном движении тела переменной массы (ш = 0) уравнение (7.47) примет вид
Mw^ = F + 2ФГ + Фн + Ф8 + MFC.
Во многих практически значимых задачах величинами кориолисова и относительного ускорения можно пренебречь в сравнении с абсолютным ускорением. Тогда, очевидно, уравнение движения центра масс тела переменной массы примет вид уравнения движения точки переменной массы.
Теорема об изменении кинетического момента в системе координат OxlyiZv Пусть в принятых ранее обозначениях подвижная система координат OxiyiZi означает систему с началом в некоторой фиксированной точке О тела и с осями Oxi, Оу±, Oz±, коллинеарными во все время движения тела осям неподвижной системы Oi^p^. Сформулируем теорему об изменении кинетического момента (см. § 7.2) для этого важного частного случая.
Рассмотрим v-ю точку механической гиперреактивной системы массой mv и центр масс, в котором сосредоточена масса всей системы. Имеем в принятых обозначениях
tv = го + А^, uv = г0 + ш х А^,Тс = т0 + ш х Ас, Ас = гс - го,tv = го + А^, uv = г0 + ш х А^,Тс = т0 + ш х Ас, Ас = гс - го,
tv = го + А^, uv = г0 + ш х А^,
Тс = т0 + ш х Ас, Ас = гс - го,
tv = го + А^, uv = г0 + ш х А^,
Тс = т0 + ш х Ас, Ас = гс - го,
(7.48)(7.48)= го + ш х Ас + vrc — го = тгс + ш х А
(7.48)
(7.48)
d. d Ас
—— = w0 + s х Ас + w х ——- = dtdt
= w0 + s х Ас + ст х (г^ + w х Ac) =
= w0 + sxAc+wxr^ + wxwxAc = ufc + w x vrc,
где wf = wo + г х Ас + ст х ст х Ас.
Наша основная задача заключается в том, чтобы дать формулировку теоремы об изменении кинетического момента относительно поступательно движущихся осей системы координат OxipiZv Для этого воспользуемся соответствующей теоремой 7.2 в виде соотношения (7.7) или следствием (7.8).
Из выражения (7.4) для кинетического момента тела переменной массы относительно неподвижных осей координат получим
К = Ко + г0 х МГС + Ас х Мио-(7.49)
Продифференцируем соотношение (7.49) по времени с учетом равенств (4.48):
dK dKo л г Р dM рР
—— = —— + и0 X МГС + г0 X —— vec + То X М (w^ + Ш X г£) + dt dtdt
+ (vc + ш х Ас) х Mvq + Ас х —^- vo + Ас х Mw0 =
dK0dM
= —— + r0 х —— г! + r0 х М (ш! + ш х + dtdt
4” v^. x Mvq 4" Ac x ^ Vo 4" Ac x Mwq^(7.50)
так как
Vo x Mv^ + ш x Ac x Mvq =
= vo x M (v0 + ш x Ac) + w x Ac x Mv0 = 0.
Выражение (7.50) дает нам левую часть соотношения (7.8). В правой части этого соотношения имеем
Mf = г0 х F + М^ М- = Го х Фг + М^
Mh = ToX^hFM^, Мз = гохФ8+М§,(7.51)
E
ndmvх dmv ,. х
Tv X ——- Vv = > у (ГО + Д„) X ——- («о + W X Д„) =
dM ..^—' dmv .. х
= -^— (г0 X «о + То X W X Дс + Дс X То) + 2^ Д^ X —— (w X 2\v).
17=1
При подстановке выражений (7.50) и (7.51) в соотношение (7.8) получим после сокращений
- + г0 х Mwec + го х М (ш х v^?) + v^ х Mvo +
+ Ас х Mw0 = г0 х F + 2г0 х Фг + г0 х Фн + г0 х Ф8 +
+ Mq + 2Mq + Mq + Mq + ^ A^ x ^ (u; x A^).
Это равенство можно продолжить, если воспользоваться соотношением (7.46) о движении центра масс
Mwec = F + 2ФГ + Фн + Ф8.
Тогда, очевидно, получим запись теоремы об изменении кинетического момента относительно системы координат Ox^y-vZi в следующем виде:
^ = М^ + *2Mg + М^ + Mg + ^ Д„ X -^ (w х Д„) - LLLCLL
— (г0 х М (ш х г£) + vrc х Ми0 + Ас х Mwoy (7.52)
В случае совпадения точек О и С (т. е. начало поступательно движущихся осей координат совпадет с центром масс тела), когда Ас = 0, иТс = 0, из выражения (7.52) получим
^ = М/+2< + ^+Мс8+уДух^(шхДД (7.53) CLLCLL
где ш х А^ — скорость iv-ой точки относительно поступательно движущихся осей. Приходим в итоге к теореме об изменении кинетического момента относительно системы координат CxpyiZi.
Теорема 7.6. Производная по времени от кинетического момента относительно центра масс системы равна сумме моментов внешних, удвоенных реактивных, гиперреактивных сил и сил, обусловленных нестационарностью скоростей отбрасываемых частиц, плюс сумма моментов количеств двиэюения частиц, отброшенных телом в единицу времени, относительно осей системы координат Схру^.
Замечание. Из сравнения теоремы 7.2 (соотношение (7.8)) и теоремы 7.6 (соотношение (7.53)) следует, что в предположении выполнения гипотезы контактного взаимодействия отбрасываемых частиц и тела (гипотеза близко действия Мещерского), по которой частицы, получившие относительную скорость, не принадлежат телу переменной массы и на него уже не действуют, имеет место идентичность структуры величин dK/dt и dKc/dt относительно неподвижной
и подвижной систем координат, поскольку они состоят из слагаемых одного вида.
Подключим к изучению теоремы об изменении кинетического момента подвижную, связанную с телом систему координат Oxyz. Имеем
dK0 _ d/Kdt dtdK0 _ d/Kdt dt(7-54)
dK0 _ d/Kdt dt
dK0 _ d/Kdt dt
где d /dt — производная по времени относительно неподвижной системы О^р^ d' /dt — так называемая локальная производная по времени относительно подвижной системы Oxyz.
Предположим, что: 1) точки О и С совпадают; 2) оси системы Oxyz являются главными осями инерции тела. В этом случае вектор кинетического момента Кс имеет на эти оси проекции
Ксх — ^ХХ Р-) Ксу — Iyy Qi KCZ — IZZ Г.
Принимая во внимание равенство (7.54), запишем уравнение (7.53) относительно подвижных осей:
= Mf + 2 Ml + М^ + М^= Mf + 2 Ml + М^ + М^(7.55)
= Mf + 2 Ml + М^ + М^
= Mf + 2 Ml + М^ + М^
(7.55) имеет составляющую(7.55) имеет составляющуюВ проекции на ось Ох уравнение
(7.55) имеет составляющую
(7.55) имеет составляющую
dlxx , Т dp d Д 22 dp
= —;— Р + ^хх мР У thv (у;, + д д = 1ХХ — •dt Р жж dt dtv) жж dt
Аналогично найдем, проектируя на оси Оу^ Oz :
Имеем также для вектора и х Кс в уравнении (7.55):
[ х Кс ] ^ — U-yy — ^жж) PQ-
Поэтому, проектируя уравнение (7.55) на подвижные оси, получим
т dp , т т х л^ХХ ~^ 4" Ozz Iyy) Q1"
(7.56)
гдегдеdt ^^^^ж) PQ — Мс
где
где
Мс = М/ + 2Mcr + М^ + Ml.
Система скалярных уравнений (7.56) представляет собой гипердинамические уравнения Эйлера для тела переменной массы (см. также уравнения (7.15), (7.16) и далее по тексту).
Глава 8
Элементы релятивистской гиперреактивной механики
Более детально с основными принципами специальной теории относительности (СТО) можно познакомиться по Приложению 2 настоящей книги. Там же указана соответствующая библиография. Поэтому, оставляя как бы ”в стороне” от непосредственного изучения исходные релятивистские концепции, будем на основе известных положений СТО пытаться получить уравнения релятивистских гиперреактивных движений.
По-видимому, впервые вопросы специальной теории относительности в механике тел переменной массы (релятивистская ра- кетодинамика) рассмотрел Я.Аккерет [233, 330], а затем Е. Зенгер [136] применительно к движению фотонных ракет (см. часть I книги). Основная цель этих исследований заключалась в выводе уравнений релятивистского движения ракет на основе традиционных уравнений реактивного движения. Понятно, что гиперреактивное описание движения к аналогичной релятивистской задаче предъявляет несколько другие требования.
Вообще, важно отметить, что релятивистская гипердинамика обладает весьма существенной особенностью уравнений движения. А именно изменение массы материального объекта происходит по двум направлениям: по релятивистскому, за счет скоростных показателей самого движения, и по гиперреактивному, за счет работы излучающего центра (двигателя). Это своеобразное переплетение причин (по скорости и по времени), вызывающих изменение массы, конечно же, накладывает дополнительные сложности при исследовании рассматриваемых задач.
посвящен некоторым аспектам четырехмерной механики СТО, мало изученным в научной литературе. Анализируются вопросы четырехмерной кинематики и динамики, помогающие глубже понять специфику задач релятивистского движения.
В § 8.2 осуществляется вывод уравнений релятивистской гипердинамики. Обосновывается основной динамический закон, вводится
понятие релятивистской гиперреактивной массы. Формулируются теоремы об изменении кинетической энергии и кинетического момента для гиперреактивной точки в релятивистской интерпретации. Большое внимание уделяется выяснению особенностей взаимосвязи массы и энергии в исследуемом случае. Определяются основные энергетические соотношения.
В последнем § 8.3 главы излагается аналитическая динамика релятивистской гиперреактивной точки в различных формах записи, с использованием канонических, релятивистских и гиперреактивных переменных. Дается детальный вывод соответствующих уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона на основе одного и того же закона релятивистской гипердинамики, с использованием функционала действия и принципа Гамильтона в различных вариантах применяемых обозначений.
Четырехмерная механика
специальной теории относительности
Для дальнейшего анализа нам потребуются некоторые понятия СТО в терминах так называемых кинематических и динамических 4-векторов [223, 286]. Дело в том, что релятивистское описание в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве Минковского удобно проводить, пользуясь именно этим аппаратом 4-векторов.
1.1. Четырехмерная кинематика. Напомним, что основу специальной теории относительности составляют два принципа: 1) собственно, сам принцип относительности, согласно которому в любых инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково при одних и тех же условиях и 2) принцип постоянства скорости света вне зависимости от движения источника света.
В СТО делается отказ от абсолютизации времени — представления, столь характерного для механики Ньютона. А именно любой инерциальной системе отсчета К соответствуют свои координаты ж, у, г и свое время t. Г. Минковский в 1908 г. предложил геометрическую интерпретацию СТО, где обычное трехмерное пространство и время объединяются в четырехмерное пространство (пространство Минковского).
Таким образом, событие в этом 4-пространстве характеризуется определенным местом и временем по отношению к некоторой инерциальной системе отсчета К : (ж, у^ г, t) = (г, t\ Итак, в системе К координаты событий образуют некоторое четырехмерное многообразие.
По Минковскому интервал между двумя бесконечно близкими событиями
ds2 = с2 (dt)2 — (dx)2 — (dp)2 — (dz)2
есть инвариант относительно преобразования четырехмерных координат: ds2 = ds'2^ здесь с — скорость света. Метрика этого 4-пространства содержит три квадрата со знаком ”-” и один — со знаком ”+”. Такое пространство принято называть псевдоевклидо- вым.
Пусть материальное тело (точка) движется относительно некоторой инерциальной системы отсчета К. Время т^ измеренное с помощью часов, связанных с телом, называется собственным временем данного материального тела. Имеем
dr = - ds = - Vс2 (dt)2 — (dl)2 =— З2
где обозначено
(dl)2 = (dx)2 + (dp)2 + (dz)2^ 3 = и2 = x2 Г p2 Г z2.
Здесь v(t) — скорость материального тела в момент времени t в системе К.
Получим отсюда путем интегрирования
Ат = Т2 — Ti = / \/1 — З2 dt < At = Г — t-^
т. к. ^/1 — /З2 < 1. Приходим к эйнштейновскому эффекту замедления времени: собственное время (на теле) течет медленнее, чем время в какой-либо системе отсчета.
Согласно геометрической интерпретации Минковского ds2 = = ds'2^ т.е. инвариантность интервала соответствует определенному преобразованию координат в псевдоевклидовом 4-пространстве. Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца.
Введем, следуя Пуанкаре, вместо времени t мнимую четвертую координату:
Х4 = ict, (х,р, z) = (х±,Х2,Хз).
Если осуществляется переход от инерциальной системы отсчета К к другой инерциальной системе К'. движущейся относительно К вдоль оси ад с постоянной скоростью г*, то тогда получим следующие преобразования Лоренца:
Ж1 =Ж1 =a - i3*xf4a - i3*xf4$2 = ^2,$2 = ^2,ЖЗ = 4,ЖЗ = 4,гР«х'Л + х'«ж4 = —,гР«х'Л + х'«ж4 = —,
Ж1 =
Ж1 =
a - i3*xf4
a - i3*xf4
$2 = ^2,
$2 = ^2,
ЖЗ = 4,
ЖЗ = 4,
гР«х'Л + х'«
ж4 = —,
гР«х'Л + х'«
ж4 = —,
где р* = и*/с, либо
1 + и А'1 + и А'х2 = х2,х2 = х2,хз = Х3,хз = Х3,_ t' + (у*/с2) Ху_ t' + (у*/с2) Ху
1 + и А'
1 + и А'
х2 = х2,
х2 = х2,
хз = Х3,
хз = Х3,
_ t' + (у*/с2) Ху
_ t' + (у*/с2) Ху
Отметим попутно, что в пределе при с оо, когда г* <^ с, преобразования Лоренца приводят к преобразованиям Галилея:
Ж1 = ж^ + nA',Ж1 = ж^ + nA',х2 = х2,х2 = х2,Жз = х'3,Жз = х'3,t = t',t = t',
Ж1 = ж^ + nA',
Ж1 = ж^ + nA',
х2 = х2,
х2 = х2,
Жз = х'3,
Жз = х'3,
t = t',
t = t',
т.е. для кинематики СТО имеет место принцип соответствия, по которому, если скорость мала в сравнении со скоростью света, то релятивистское описание совпадает с описанием классической механики и равенство t = Р означает абсолютизацию времени.
Вновь вернемся к четырехмерной геометрии. 4-вектором назовем упорядоченную четверку чисел
At = (Ai, А2, А3, А4) = (А, А4).
Переход от одного вектора А^ к другому А'- (например, при переходе от одной системы отсчета к другой) задается с помощью матрицы а^з по формуле: А^ = оц^ А'^ цз = 1,4. Имеем также
АгВг = АгВ^ б^ = АВ + А4В4,
где 6ik = 1 ПРИ i = к; §гк = 0 при % ф к. В частности, А2 = А2 + А2, ж2 — c2t2 = — s2, ж = (ж1, ж2, ж3).
Ранее оговаривалась связь между дифференциалами йт и ds, где т — собственное время, s — 4-длина мировой линии: s = ст, ds = = cdx. Элемент смещения вдоль мировой линии dx^^ г = 1,4, имеет ВИД
dxi = —A ds^ Хг = (Ж1, Ж2, Жз, ж4),
где 4-вектор
dxi 1 dxids с drdxi 1 dxids с drdxic? (dt)2 — ^dxYdxic? (dt)2 — ^dxY(— ic}сЦ\- X(— ic}сЦ\- X
dxi 1 dxids с dr
dxi 1 dxids с dr
dxi
c? (dt)2 — ^dxY
dxi
c? (dt)2 — ^dxY
(— ic}сЦ\- X
(— ic}сЦ\- X
Здесь P — vfc^ v = dx/dt^ и Vt есть четырехмерный вектор скорости (4-скорость).
У 4-вектора Vi не все элементы независимы между собой. В этом несложно убедиться из скалярного соотношения
V; vt = V? = - 1.
Кроме того, можно заметить, что четырехмерный вектор ускорения (4-ускорение)
w = —г ds
ортогонален К : К Ж = 0. Это очевидно, если продифференцировать равенство V2 = — 1 по s.
1.2. Четырехмерная динамика. В релятивистской механике можно составить выражение для действия материальной точки, инвариантное относительно преобразований Лоренца. А именно при скалярном умножении векторного элемента мировой линии dxp где Xt = Xi(s\ % — 1,4, для рассматриваемой материальной точки на вектор Vi = dxi/ds получим инвариантный интеграл действия
Гр2гР2 Яж2
S = a Vi dxi = а= — a ds,(8.1)
Jp,Jp, ds JP1
в силу того что dx2 = —ds2. В соотношении (8.1) величина о > 0 — некоторая положительная постоянная, Р2 > Pi — фиксированные ’’времениподобные” 4-точки.
В интеграле (8.1) дифференциал ds не является полным (в механике СТО время не считается независимым, поскольку связано с пространственными координатами), поэтому при варьировании траектории (по s) пределы интегрирования Pi и Р^ будут меняться. Для устранения этого недостатка вводят независимый параметр А такой, чтобы его значения Ai = ^Pi) и А2 = ^(^2) были фиксированными. Имеем тогда
dx- dx-
S = a У^хг = а ~^-^dX =
Jp.JP1 ds dX
Времениподобный параметр А определяет соответствующую A-функцию Лагранжа
откуда найдем А-импульс как производную от A-функции Лагранжа по A-скорости V\t = dxi/dX :
□ 9LxРхг == - аdVXi□ 9LxРхг == - аdVXi-2УЛг-2УЛгаУХгаУХг(8.3)(8.3)
□ 9Lx
Рхг == - а
dVXi
□ 9Lx
Рхг == - а
dVXi
-2УЛг
-2УЛг
аУХг
аУХг
(8.3)
(8.3)
Уравнения движения в этом случае будут иметь вид
d?Xt ЭЪх 0
d\ dii '
или, что то же самое,
d / aVxi A _ QdXV\P4'"
откуда получим P\i = const, что является прямым следствием инвариантности А-действия S = S\ (8.2).
Для составления A-функции Гамильтона привлечем стандартную схему ее построения. Имеем
откуда следует равенство
РхгУхг = Ьх.(8.4)
Полагая далее параметр А = t, получим (опуская при этом индекс времени t) релятивистскую функцию Лагранжа
L = — a \J—и1 — (гс)2 — — ас \/1 — /З2,(8-5)
где и = dx/dt — стандартная 3-скорость, р = г/с.
Отметим, что в предельном случае малых скоростей из соотношения (8.5) получим следующее приближение:
L - ас (1 - - р ) = - ас + - —.
Пренебрегая здесь постоянным слагаемым (для функции Лагранжа это игнорирование вполне допустимо), найдем, что
а и2
= с
Отсюда заключаем: постоянную а надо положить равной тс^ где т — масса материальной точки, иначе принцип соответствия классической механике будет нарушаться. Таким образом, имеем хорошо знакомую релятивистскую функцию Лагранжа
L = — тс2 \/1 — Р2-
С учетом того, что а = тс, А = /. из равенства (8.3) получим
Pt = тсPt = тс(у, ic)с У1 — /З2 ’(у, ic)с У1 — /З2 ’
Pt = тс
Pt = тс
(у, ic)с У1 — /З2 ’
(у, ic)с У1 — /З2 ’
где первые три компоненты составляют релятивистское выражение стандартного 3-импульса
Р =Р =тити(8-6)(8-6)
Р =
Р =
ти
ти
(8-6)
(8-6)
а четвертая компонента равна
р4 =р4 =гтсгтс
р4 =
р4 =
гтс
гтс
Тогда равенство (8.4) примет вид
_ dx4 т
Р^ + ?4 —?Г -= О,
dt
или
pv~ L = -Р4at
В этом равенстве dx4/dt = гс, поэтому величина
(8-7)(8-7)-Гт°2
(8-7)
(8-7)
Е = ри — L = —.
представляет собой значение энергии материальной точки.
Из формулы (8.7) получим выражение для энергии покоя точки, когда г = 0 :
Е = Eq = тс2.
Если значения и малы и не равны нулю, то
Е = Е0 + ^.
Когда г с, энергия В сю. Отсюда следует вывод: разогнать материальную точку конечной массы до скорости света не представляется возможным.
ЕйЕйПользуясь соотношениями (8.6) и (8.7), получим формулу
Ей
Ей
(8-8)
откуда придем к выражению для полной массы точки, зависящей от скорости движения:
Е т
е - у 1 — /з2 ’
и к выражению для импульса точки, двигающейся со скоростью света с и с массой покоя т = 0 : р = Е/с.
Из соотношения (8.6) также следует, что
откуда получим
г2р2
с2 с2т2 + р2 ’
и далее в силу формулы (8.7) найдем выражение энергии через импульс:
Е = тС = с ^nEd^Wp2 = Н(р, г\ (8.9) V 1 “ с2тНр2
где Н(р,г) — функция Гамильтона (энергия как функция импульса) для свободной релятивистской точки, р — трехмерный вектор импульса, т = (ж, у, г).
Из формулы (8.9) можем получить два альтернативных приближения для функции Гамильтона:
если | р | <С тс, то имеем
р2
Н = тс2 + -— = Eq + IE,2т
где Eq — энергия покоя, IE = р2/(2т) — нерелятивистская функция Гамильтона;
если | р | ^> тс, то Н аз ср, т. е. приходим к выражению Е = ср в формуле (8.8) для движения с и = с.
Сразу после равенства (8.4) мы полагали параметр А = Е Если положить X = s. где s — инвариантный параметр, то тогда имеем 4-вектор скорости (см. раздел 8.1.1):
Согласно соотношению (8.3) получим
Pt = aV^ а = тс,
и далее имеем уравнения движения
dPi d^moVAdVi
ds dsds
Таким образом, приходим к выводу, что на траекториях движения должно выполняться условие постоянства (сохранения) 4-вектора импульса:
Pi = mcVi = const.(8.10)
При подстановке в соотношение (8.10) выражения для 4-вектора скорости Vi получим
Р, . f(8.11)
Хорошо видно, какие компоненты образуют 4-вектор импульса — это стандартный трехмерный импульс, а также энергетическая составляющая.
Если к 4-импульсу Pi применить преобразования Лоренца, данные ранее для 4-вектора ж^ то можно получить систему соотношений
Р1 +!<?,,
Pl = /Л ^’№ = р21 РЗ = Р3,
V1 ” Р«
= Е' + «А= Е' + «Асс
= Е' + «А
= Е' + «А
с
с
Отметим в дополнение к сказанному, что из соотношения (8.10) получим, принимая во внимание равенство V^ = — 1, следующее выражение для квадрата 4-импульса:
тэ22 2
Pf = -тс,
откуда в силу зависимостей (8.11) следует равенство, связывающее между собой трехмерный импульс р и энергию Е :
р + (тс) =
С2
Очевидно, что после извлечения корня мы придем к уже знакомому соотношению (8.9).
Основные уравнения релятивистской гипердинамики
Уточним вначале некоторые кинематические понятия для рассмотренного выше четырехмерного континуума
с2 (dx)2 = с2 (dt)2 — (с/ад)2 — (dx^2 — (с/ж3)2
с инвариантным интервалом времени dx :
dx = \/1 — /З2 dt, Р = и/с, г = (±2 + ±2 + ^э)^2,
применительно к материальной точке, движущейся со скоростью и.
Введем соответствующий 4-вектор скорости V = (Vk), к = 1,4, с компонентами
dxk _1 dxk
dx ^1 _ 32 dt 1
1 dX4Vi - p2 dt1 dX4Vi - p2 dticic/ v \
1 dX4
Vi - p2 dt
1 dX4
Vi - p2 dt
ic
ic
V =. Va Va
T 4
Вектор V можно записать в стандартном виде в разложении по векторам единичного четырехмерного базиса дк = (УР гДе dk — символ Кронекера. Имеем
— (r + ic^4) =— (r + ic^4) =V + ic 64V + ic 64
— (r + ic^4) =
— (r + ic^4) =
V + ic 64
V + ic 64
Здесь т = (^1Д2Дз,0) — вектор, соответствующий радиусу- вектору точки (Ж1Д2Д3); — (^1Д2Дз,0) — вектор, соответствующий вектору скорости евклидова трехмерного пространства.
Основной закон релятивистской гипердинамики. Вопрос об изменении массы точки в зависимости от скорости ее движения г и от времени приобретает в релятивистской гипердинамике принципиальное значение. Зависимость массы М точки от скорости в СТО, как известно, задается формулой
М = т (3=-,(8.12)
где т — масса покоя точки, М = М^ — релятивистская масса точки как функция скорости и.
Если считать массу т в формуле (8.12) некоторой непрерывно дифференцируемой функцией времени t, то придем к соотношению
(8.13)
характеризующему релятивистскую массу точки при гиперреактивном описании.
Обобщим гиперреактивное уравнение движения точки, записанное в терминах трехмерных векторов скоростей г, и^ реактивного вектора R и внешней силы /, т.ч.
= f,
на введенный четырехмерный континуум. Домножая это уравнение на множитель 1/УГДД получим
, 14 (М (у - м) + MRA = —, ^.(8.14)
Иначе, записывая уравнение (8.14) с помощью дифференциала йт — инварианта преобразований Лоренца, а также с помощью ’’текущей” массы ’’покоя” m(f) (8.13):
d йт (и — и)\
dr V Д - /З2 ) +
d Г /1 dmт и du \1/
+ dr [ \ yi - 32 dt + (1 - /З2) Д - /З2 с2 dt) J у 1 - у ’
где /3 = у/с, у = (х2 + х"! + ж2)1/2 — длина вектора скорости у. Продолжая запись предыдущего уравнения в собственном времени т, получим
d йт (и — и)\
— —;7 | +
dT \ Щ - /З2 /
т и dv\1 — Р2 с2 dr )т и dv\1 — Р2 с2 dr )ff(8.15)(8.15)
т и dv\
1 — Р2 с2 dr )
т и dv\
1 — Р2 с2 dr )
f
f
(8.15)
(8.15)
При обобщении уравнения (8.15) на четырехмерные векторы (скорости V^ U, реактивный вектор G и силы F), получим уравнение
т и dv\ Л1G Г + F’ 1 — р2 с2 dr / Jт и dv\ Л1G Г + F’ 1 — р2 с2 dr / J(8.16)(8.16)
т и dv\ Л
1G Г + F’ 1 — р2 с2 dr / J
т и dv\ Л
1G Г + F’ 1 — р2 с2 dr / J
(8.16)
(8.16)
где 4-векторы имеют соответствующее представление в разложении по векторам единичного базиса д^ к = 1,4 :
v + ми^гс84/„
у — ,: , U — .: , Г — : + Т4С4,
л/Т^рЦС^рЦС^р
G = R^i0d4, R = r-p, r = (x1,x2,x3P р = (рь р2) РзР
G4 = х4 — р4 = let — let = гО.
Важно отметить, что вектор У — [/, как и вектор G, имеет в мнимой части нулевую четвертую составляющую:
У - U = У + г054.
То, что G4 = гО, означает буквально следующее: в гипердинамике рассматривается положение исходной материальной точки и излучаемой частицы в одной инерциальной системе отсчета, когда их положения различаются местом, скоростью и ускорением, но никак не временем взаимодействия. Отсюда приходим к заключению, что силовая составляющая F4 = гО, а это означает, что в мнимой части гипердвижение вовсе отсутствует. Таким образом, основную смысловую нагрузку в релятивистской гипердинамике ’’берет” на себя скоростной ’’коэффициент искажения” 1/^/1 — Р2.
(8-17)(8-17)Принимая во внимание вышесказанное, запишем далее обобщенный закон гипердинамики (8.14) в форме
(8-17)
(8-17)
М — = / + 2М (и - F + МMR,dt J v J dt ’
где
m• mm v du
M = —.M = —.4
x/i - /з2 ’ yi - p2 (1 - P^Y^ c2 ’
^ т ! 2т v du (
=+ (1-/32)3/2+
т 1 [ ^ ( Зг2 ( dv^2 ( d2v(1 - /З2)3/2[ \ + (1 -/32)с2 Д dt)
Разумеется, уравнение (8.17) можно домножить на величину ^1 — Р2. В этом случае получим следующее уравнение релятивистского гиперреактивного движения точки:
duт — =dtduт — =dt/ \/1 - /З2 + 2 т +/ \/1 - /З2 + 2 т +du dtdu dtm v du 1 — P2 c2 dt 2m v dum v du 1 — P2 c2 dt 2m v dum1-p2m1-p21с21с2(1 — P2 c2 dtЗг2 \ й du \ 2 с2 (1 — pr) / \ dt /(1 — P2 c2 dtЗг2 \ й du \ 2 с2 (1 — pr) / \ dt /d2v " dt2d2v " dt2R.R.
duт — =dt
duт — =dt
/ \/1 - /З2 + 2 т +
/ \/1 - /З2 + 2 т +
du dt
du dt
m v du 1 — P2 c2 dt 2m v du
m v du 1 — P2 c2 dt 2m v du
m
1-p2
m
1-p2
1
с2
1
с2
(1 — P2 c2 dt
Зг2 \ й du \ 2 с2 (1 — pr) / \ dt /
(1 — P2 c2 dt
Зг2 \ й du \ 2 с2 (1 — pr) / \ dt /
d2v " dt2
d2v " dt2
R.
R.
dudt'v duс2 dtdudt'v duс2 dtт 11 — Р2 с2т 11 — Р2 с2d2v / Зг2 \ й du \2d2v / Зг2 \ й du \2
du
dt'
v du
с2 dt
du
dt'
v du
с2 dt
т 1
1 — Р2 с2
т 1
1 — Р2 с2
d2v / Зг2 \ й du \2
d2v / Зг2 \ й du \2
Это уравнение в сокращенной записи имеет вид
ш —— = / \/1 — /52 + 2тТ (и - и) Г т — Г mh R, (8.18)
где введены следующие функциональные обозначения для массы m(t) и ее производных:
,.т и
тТ = тт (т, т) = т + — —
1 — Р2 с2
,. х2т
-mh = -mh (m, т, т) = т + —
1 — р2
Хорошо видно, что в уравнении (8.18) на точку с переменной массой m(t) кроме обычных сил (внешней /, удвоенной реактивной 2т (и — г), нестационарной mdu/dt и гиперреактивной —mR) действует целый набор дополнительных сил, сложным образом участвующих в общей комбинации действующих на эту точку сил. Очевидно, что эти силы возникают в результате своеобразного синтеза двух эффектов — релятивистского и гиперреактивного.
Теоремы об изменении. Интересной представляется задача формулирования теорем об изменении (кинетической энергии и кинетического момента) для гиперреактивной точки в релятивистском, так сказать, исполнении.
Вначале обратимся к теореме об изменении кинетической энергии. Уравнение (8.18) домножим на v dt :
mv dv = (1 — /З2)1/2 /г dt +
+ 2тг (и — v) vdt + mv du + mhRv dt.
Затем добавим в этом уравнении с двух сторон величину dm • г2/2. Получим
d (^) =fvdt +
+ ^т^ У + 2тТ (и — и) vdt + mv du + mhRv dt.
Поскольку v dt = dr^ то можем продолжить запись
= (1 — /32)1/2 / dr + 2mT Qu — v)dr +
7 du , dm • v2.
+ mhRdr + m — dr H-—.(8.19)
Введем обозначения для элементарных работ внешних, реактивных, гиперреактивных, нестационарных сил с учетом всех дополнительных сил, возникающих за счет релятивистского эффекта:
(1 — /З2)1/2 f dr = 5А^ mr (n — v) dr = 5АТ1
7 г .du 1.
mhRdr = oAh^ m — dr = dAs.
dt
Тогда уравнение (8.19) запишется в компактном виде
dT = 6Af + 26 Ar + 6Ah + 6 Aa + IX_A,(8.20)
где кинетическая энергия точки Т = mv2/2.
Теперь можем сформулировать теорему об изменении кинетической энергии Т точки переменной массы относительно неподвижной инерциальной системы координат, связанной с наблюдателем.
Теорема 8.1. Дифференциал кинетической энергии Т точки переменной массы, движущейся с релятивистской скоростью и, равен сумме элементарных работ всех приложенных к точке сил: внешних, удвоенных реактивных, гиперреактивных и нестационарных с учетом возникающих релятивистских эффектов, плюс кинетическая энергия частиц, отбрасываемых точкой за время dt, обусловленная их переносным движением.
Замечания. 1. Легко обнаружить, что уравнение (8.20) по своему виду идентично уравнению (7.24), полученному для нерелятивистского случая. Убирая все релятивистские поправки в уравнении (8.20), придем к аналогичному результату.
На самом деле, и это надо четко понимать, кинетическая энергия релятивистской гиперреактивной точки (’’живая сила”) с точностью до собственной энергии (энергии покоя) точки тос2 (здесь то = m(to)) есть величина, равная (см. работы [390, 417]) M(v,t)c2, где M(v,t) — это релятивистская масса точки, определяемая равенством (8.13), т.е. величина, равная полной энергии точки. Однако для удобства дальнейшего использования за величиной Т = = m(t) v(t)/2 сохраним стандартное название ’’кинетическая энергия” и обозначение Т.
Предположим далее, что релятивистская точка осуществляет гипердвижение в поле сил с потенциалом U, т.е. Jj = — dU/dxj, j = = 1, 2,3. Тогда
f = — -,fvdt = — dU
Jv dt'J
и уравнение (8.19) запишется как
d(^) = Ml - PU/2 dU + 25Ar + 5Ah + 5AS + ДД. (8.21)
Проинтегрируем последовательно выражение (8.21), считая, ради простоты, что T(t0) = 0, Ar(t0) = Ah(to) = As(t0) = 0, u(t0) = = v (to) = 0. Тогда получим
T = (l-p2y/2dU + ‘2Ar + Ah + As+ / ——,(8.22)
JUJmo 2
где Uq = U(to)^ mo = m(to). Равенство (8.22) дает нам интеграл энергии для релятивистского гиперреактивного движения. В предельном классическом случае, когда (30, интеграл энергии (8.22) пре
образуется в обычный гиперреактивный интеграл энергии
Т + U = По + 2АГ + Ан + As Л-Те,
где через Те = (1/2) Jm и2 dm обозначена кинетическая энергия отбрасываемых точкой частиц, обусловленная их переносным движением.
Перейдем теперь к выводу теоремы об изменении кинетического момента. Напомним, что кинетическим моментом точки переменной массы К относительно неподвижной системы координат (связанной с неподвижным наблюдателем) называется вектор К = г х Ми, где М(г, t) — релятивистская масса точки (8.13), г — радиус-вектор точки, и — ее скорость.
Для обоснования теоремы об изменении кинетического момента точки массой М(г, t) в релятивистском случае запишем соответствующее гиперреактивное уравнение движения в виде
d(Mu) _d(Mu) _ d(MR)
dtdt dt
Умножая уравнение (8.23) векторно слева на г, получим
d (Ми) „ d (Ми) d т х ——- = Г X / + г х ——- - г х - dtdt
или
d ,_ х „ d (Ми) d(MR) ,
- V х г- , х ——.(8.24)
Уравнение (8.24) позволяет сформулировать теорему об изменении кинетического момента для релятивистской гиперреактивной точки в следующем виде.
Теорема 8.2. Производная по времени от релятивистского кинетического момента К точки, вычисленного относительно некоторого неподвижного наблюдателя, равна сумме моментов всех приложенных к точке с учетом релятивистских эффектов сил: внешних, реактивных, гиперреактивных, нестационарных, плюс момент количества движения частиц, отбрасываемых точкой в единицу времени, относительно того же наблюдателя.
Уравнению (8.24) можно придать более детальную, уточненную форму, если справа произвести дифференцирование по времени выражения релятивистской массы (8.13). Имеем в этом случае
(г х Ми) = rxf + rx^~ (Ми) + CLlCLL
т^Н
либолибо—— — Mj + МТ + М^ + Ми—— — Mj + МТ + М^ + Ми(8.25)(8.25)
либо
либо
—— — Mj + МТ + М^ + Ми
—— — Mj + МТ + М^ + Ми
(8.25)
(8.25)
где введены обозначения:
Mf = г х f^Mf = г х f^Mh = г хMh = г хmhRmhR
Mf = г х f^
Mf = г х f^
Mh = г х
Mh = г х
mhR
mhR
d(Mu)
Mu = r х —Ц—Tdt
Обратим внимание на то, что уравнение (8.25) имеет с учетом релятивистского множителя 1/^/1 — /З2 такую же структуру, как и уравнение (7.7), записанное для обычного гиперреактивного случая.
8.2.3. Гиперреактивная взаимосвязь массы и энергии. Соотношения (8.21), (8.22) указывают на наличие глубокой внутренней связи между массой и энергией точки, осуществляющей релятивистское гипердвижение в пространстве. Попытаемся придать этой связи строгую математическую форму.
Будем исходить из основного закона релятивистской гипердинамики вида (8.17), где функция М(иЭ) меняется согласно формуле (8.13). Пусть на материальную точку действует внешняя сила /. Тогда элементарная работа силы / на малом перемещении dr точки ее приложения равна
5А = f dr = fr dt.
Из уравнения релятивистской гипердинамики (8.17) следует,
чточто\ dt dt\ dt dtdMdtdMdtd2Mdt2d2Mdt2
что
что
\ dt dt
\ dt dt
dMdt
dMdt
d2Mdt2
d2Mdt2
где в силу соотношения (8.13) имеем зависимости:
dMсdmMr dr
dt Vc2 — г2 dt с2 — г2 dt ’
d2Mсd2m 2 dM dr
dt2 Vc2 — r2 dt2 c2 — r2 dt dt
M / dr\2 Mr2 й dr\2 Mr d2r+ c2 _ r2 \dt /(c2 — r2)2 \dt) c2 — r2 dt2
Поэтому можем написать
5A = frdt = Mr (dr — du) + 2r (r — u) dM +
+ ^ ^^ г?В = °2 ^^ + (у2 — 2w) dM —
— с \/ с2 — и2 dm — Ми du + ^^ vp>dt
В качестве замечания отметим, что если масса т точки с течением времени не меняется: m(t) = m(to) = mo, а меняется лишь в зависимости от скорости движения, т. е. имеем релятивистский, но не гиперреактивный (реактивный) случай, то тогда
М^ =М^ =т0т0
М^ =
М^ =
т0
т0
и исходить надо из основного закона релятивистской динамики
^(Лф-и)+.МЯ)=/,
где М = О, R = 0, и = 0, а именно из уравнения
dt - L
откуда . л r dudM
dtdt
Следовательно, имеем
5 A = fudt = Mu du + u2 dM = c2 dM,
поскольку (c2 — r2) dM = Mu du.
Пусть W — энергия движения рассматриваемой релятивистской гиперреактивной точки. Приращение dW равно работе, совершаемой действующей на эту точку силой / :
dW = 5 А = с2 dM + (v2 - 2vu) dM -
П>7 , л^ , dAdAT)
— c\J с2 — и2 dm — Ми du Н-uR, dt
где dM — соответствующее приращение релятивистской массы гиперреактивной материальной точки. Интегрируя последнее равенство, получим
а через Wa обозначен энергетический интеграл:
Wa = I (и2 — 2uu) dM + /с \/c2 — u2 dm —
JM(0,to)J m(t)
- / MuduP / uRd — .
Соотношение (8.26) выражает, таким образом, закон гиперреактивной взаимосвязи массы и энергии. Важно отметить также, что релятивистская масса M(uR) с увеличением скорости и возрастает, хотя масса m(t) с увеличением времени t, наоборот, убывает, создавая, тем самым, своеобразный эффект ’’возрастания - убывания”.
В формуле (8.26) имеем
W = с2 ( m^ - m(t0)) + ИХ,
где то = m(to) — начальная масса покоя точки, откуда найдем
W = с2т0 ( ^^- 1) + ИХ, цУ) =
V Щ -/З2/т0
Разлагая далее ^/1 — /З2 в ряд Маклорена, получим
W = с2то < д(£) — 1 + д(£)W = с2то < д(£) — 1 + д(£)" 12" 12+ Wa-+ Wa-
W = с2то < д(£) — 1 + д(£)
W = с2то < д(£) — 1 + д(£)
" 1
2
" 1
2
+ Wa-
+ Wa-
Отсюда следует, что при и ^ с данное соотношение приводит к известному интегралу энергии для гиперреактивного случая, когда М(г, t) = m(t\ W = T + WA:
H= —H /(v2 — 2vu) dm — mu du + vRdm.
2 Jm(to)Ju(t0)
Введем в рассмотрение релятивистское выражение для пространственного 3-вектора импульса
р = Ми =р = Ми =тити(8.27)(8.27)
р = Ми =
р = Ми =
ти
ти
(8.27)
(8.27)
Тогда 4-импульс Р можно сформировать с помощью импульса (8.27) и четвертой мнимой компоненты Р4 :
гтс
Записывая выражение полной энергии Е материальной точки через функции Лагранжа L и Гамильтона IL получим
E = pv-L = H = С. т^ + W^.(8.28)
Из формулы (8.28), в частности, вытекает, что для закрепленной точки при г = О имеет место равенство
Е = Е^ = с2 m(t^
где E*(t) — соответствующий гиперреактивный аналог энергии покоя Eq = с2шо, то = m|v=o, в релятивистской механике. Кроме того, для малых (при г 0). но не равных нулю скоростей из формулы (8.28) найдем
о ти2
Е = тс Н-h Wa = Е* + Т + ТКд.
Из соотношений (8.27), (8.28) вытекает зависимость
Р = (E-W^^.
Используя формулу (8.27), найдем
= р2с2 с2т2 + р2 '
Исходя из этого выражения, можно заключить, что полная энергия Е как функция импульса р вида
Е = е-т = + Wa = c2 Ц^Е^2 + Wa = h (8.29) с2т2 + р2 — р2
у р2 + с2т2
представляет собой релятивистскую функцию Гамильтона для гиперреактивного случая.
Из предыдущего следует, что значения р, М, Е, Wa (как функций скорости и и времени t) относительны между собой и различаются в двух инерциальных системах отсчета К(р^ М^ Е^ Ид) и К'^р^ АГ. Е\ ТКд). Важно отметить при этом, что в гиперреактивном случае к четверке относительных значений р, М, Е^ Ид надо добавить и величину m^t\ также имеющую относительный характер с
учетом зависимости от времени t. Из формулы (8.29) вытекает, что величина разности
1 АД-Ид)2 _ Л = 1 ((E'-Wk)2 _ ,2\ = 2 т2 ус2/ т'2 ус2/
постоянна в любой инерциальной системе отсчета.
Аналитическая динамика
релятивистской гиперреактивной точки
Аналитическую динамику для гипердвижения релятивистской материальной точки можно записать в нескольких вариантах, причем речь идет о записи одних и тех же уравнений в лагранжевой и гамильтоновой формах, но в разных функциональных обозначениях.
Дело в том, что одни и те же понятия (например, масса, кинетическая энергия, импульс и некоторые другие) и выражения для них имеют в стандартном, так сказать, каноническом и в релятивистском случаях разную запись соответствующих терминов и обозначений.
Эта путаница в обозначениях и терминологии приводит подчас к разным интерпретациям одних и тех же динамических законов, досадно противоречивым выводам. Сошлемся в этой связи лишь на две работы [286, 390], где лагранжева и гамильтонова механика специальной теории относительности изложены в разных смысловых значениях, но в одинаковых обозначениях и с использованием одних и тех же терминов (кинетическая энергия, функции Лагранжа и Гамильтона и др.).
Придавая формам записи должное значение, не будем, однако, забывать о главном — о смысловых нагрузках, которые эти формы записи, различные виды уравнений несут. Постараемся ниже эти особенности стандартных и релятивистских обозначений полностью учесть.
Для общего понимания ситуации важно указать, что релятивистский эффект приводит к тому, что в уравнениях Лагранжа, в их правой части появляется дополнительная сила, не являющаяся потенциальной, а уравнения Гамильтона записываются в таком же виде, как и для неконсервативной системы. Отсюда, в частности, вытекает, что действие по Гамильтону в релятивистском случае не носит привычного для классической механики экстремального характера.
Аналитическая динамика точки в канонических обозначениях. Преобразуем вначале релятивистское гиперреактивное
уравнение (8.18):
du . /-—,. du
т — = j у 1 — р2 + zmT (и — v) + т ——Н тнН^ CLlCLL
записанное в прямоугольных координатах г = (^1,^2,^з), в виде уравнения Лагранжа в обобщенных криволинейных координатах q = (q\q\q3\ Для этого зададим невырожденные уравнения связей Xt = Xi(q)3 = 1,2,3, и спроецируем уравнение (8.18) на оси криволинейной системы координат.
Умножим векторное равенство (8.18) на базисные векторы еа = = dr/dq^. С учетом того, что
и = qxe\, / = Q^, е^еа = д^ X^v = 1, 2, 3,
mu2mu2(8.30)(8.30)где 5^ — символ Кронекера (5^ = 1, 5^ = О, I/ ^ а), получим
mu2
mu2
(8.30)
(8.30)
d ЭТ ЭТ -dt 9qCT dqa °'
В уравнении (8.30) обобщенные силы Q и Q имеют значения
Qa = /ест, QCT = Qa (V1 - /З2 - 1) +
+ [ 2mr (и — и) + mu + mhR ] еа.
При наличии у внешней силы / потенциала [/, когда QCT = = — dU/dq^^ имеем уравнение Лагранжа с канонической функцией Лагранжа L = Т — U :
(8.31)(8.31)d ЭЬ 9L -dt 8qCT dqCT с
(8.31)
(8.31)
Следовательно, можем заключить, что канонические уравнения Лагранжа (8.31) для релятивистского гиперреактивного случая в правой части содержат дополнительные обобщенные силы Qa, которые не являются потенциальными.
Отметим также, что релятивистский эффект приводит к тому, что каноническое действие по Гамильтону не носит экстремальный характер [286], поскольку в силу уравнений (8.31) выполняется соотношение
б 1 Ldt = - j Qa6qa dt^O. (8.32)
Это значит, что канонические уравнения Гамильтона с функцией Н в релятивистском гиперреактивном случае можно представить в виде, как если бы мы имели дело с неконсервативной системой:
^ _ ЭЯ Д_п dt dq” "^ _ ЭЯ Д_п dt dq” "dqCT ЭНdt ЭрстdqCT ЭНdt Эрст(8.33)(8.33)
^ _ ЭЯ Д_п dt dq” "
^ _ ЭЯ Д_п dt dq” "
dqCT ЭНdt Эрст
dqCT ЭНdt Эрст
(8.33)
(8.33)
Займемся выводом гамильтоновых уравнений (8.33) в канонических переменных qCT и ра, а = 1, 2, 3, где
ЭТ _ ти2Per — о . 1 Т =~ ,
oq^2
исходя из уравнений Лагранжа вида (8.30). Здесь канонический импульс р^ не содержит релятивистский множитель 1 / ^/1 — /З2.
Варьируя уравнения связей, найдем
dx^-^dq^ г. а = 1,2,3,
где справа по одинаковому индексу а производится суммирование, и далее получим зависимости
Эт Эиd / dr \ Эи
dqa dqa 'dt у 9qCT / 9qCT
В выражении (8.34) кинетическая энергия Т как квадратичная форма обобщенных скоростей qCT дает линейность величины dT/def как функции от qCT. Таким образом, для однозначного разрешения уравнений (8.34) относительно qCT должно выполняться условие
(8.35)(8.35)й Э2Т \det —- + 0.
(8.35)
(8.35)
у 9qCT 9q^ /
Отметим, что требование (8.35) на гессиан для положительной квадратичной формы Т = T(qa,qa,t) очевидным образом выполняется.
Варьируя функцию Т = Т^, ga, t), получим
ЭТЭТ
6T=—5q^T—5q
9qCT9qCT
0q°\dq° / \dqa J
(8.37)(8.37)ЭТ 5H = qaSPa -—5qa.ЭТ 5H = qaSPa -—5qa.(8.38)(8.38)Чтобы из соотношения (8.38) найти величину ЭТ / dqa, ; трим уравнения Лагранжа (8.30) и формулы (8.34). ИмеемЭТ _ d ЭТ-dqa di Эq<тПодставим выражение (8.39) в соотношение (8.38). Получим6Н = qCT 5рст - (рст -Qa- Qj Л-Чтобы из соотношения (8.38) найти величину ЭТ / dqa, ; трим уравнения Лагранжа (8.30) и формулы (8.34). ИмеемЭТ _ d ЭТ-dqa di Эq<тПодставим выражение (8.39) в соотношение (8.38). Получим6Н = qCT 5рст - (рст -Qa- Qj Л-рассмо-рассмо-(8.39)(8.39)(8.40)(8.40)
(8.37)
(8.37)
ЭТ 5H = qaSPa -—5qa.
ЭТ 5H = qaSPa -—5qa.
(8.38)
(8.38)
Чтобы из соотношения (8.38) найти величину ЭТ / dqa, ; трим уравнения Лагранжа (8.30) и формулы (8.34). Имеем
ЭТ _ d ЭТ-
dqa di Эq<т
Подставим выражение (8.39) в соотношение (8.38). Получим
6Н = qCT 5рст - (рст -Qa- Qj Л-
Чтобы из соотношения (8.38) найти величину ЭТ / dqa, ; трим уравнения Лагранжа (8.30) и формулы (8.34). Имеем
ЭТ _ d ЭТ-
dqa di Эq<т
Подставим выражение (8.39) в соотношение (8.38). Получим
6Н = qCT 5рст - (рст -Qa- Qj Л-
рассмо-
рассмо-
(8.39)
(8.39)
(8.40)
(8.40)
Соотношение (8.36) позволяет составить следующее равенство:
ЭТ dqCT ^
В равенстве (8.37) слева стоит каноническая функция Гамильтона Н :
ЭТп = -ц^-тdqc
Отсюда, пользуясь выражениями (8.34), (8.37), можем записать для
T = T(qCT,pCT,t) :
Варьируя по каноническим переменным qCT и рст функцию Гамильтона Н = Н (qCT s ра s t) s получим
ЭНЭН
(8.41)(8.41)5И = —5q + — 6рст.
(8.41)
(8.41)
Эq<тЭрст
Заключаем, что сравнение двух соотношений (8.40) и (8.41), если принять во внимание независимость вариаций канонических переменных, приводит к системе уравнений Гамильтона для релятивистского гиперреактивного движения точки в канонических переменных следующего вида:
dqCT _ ЭНdi ЭрстdqCT _ ЭНdi Эрст(8.42)(8.42)
dqCT _ ЭНdi Эрст
dqCT _ ЭНdi Эрст
(8.42)
(8.42)
Наконец, рассмотрим случай, когда внешняя сила / обладает потенциалом [7, т.е. QCT = —dU/dqa. Тогда для канонической функции Лагранжа L = Т — U получим уравнения Лагранжа (8.31).
При наличии потенциального внешнего поля каноническая функция Гамильтона выражается через функцию Лагранжа в виде разности
ЭТ
H=wq--L. (8.43)
Введем далее соответствующее выражение для обобщенных канонических импульсов с помощью функции Лагранжа по формулам
Р^=дД =1,2,3.(8.44)
Тогда, учитывая соотношения (8.31), (8.43), (8.44), можем записать равенство (8.40) в виде
5Н = <f 6ра - ^Ра - QP 6qa-(8.45)
Из выражения (8.45), очевидно, получим канонические уравнения Гамильтона (8.33) для релятивистской гиперреактивной точки во внешнем потенциальном поле с функцией Гамильтона (8.43).
Аналитическая динамика точки в релятивистских обозначениях. В своих дальнейших рассуждениях будем исходить из релятивистского гиперреактивного уравнения, полученного из соотношения (8.17):
4 (Ми) = / + 4 (Ми) + М (и — v) — MR. (8.46) LLLLLL
В уравнении (8.46) функциональные зависимости М, М, М были определены ранее. Для релятивистского импульса р вида (8.27) можем написать
dtdtтитир d / mu \х
dt
dt
ти
ти
= / + — —.+ М (и — и) — MR.
Выберем в качестве обобщенных лагранжевых координат qCT ортогональные декартовы координаты жа, а = 1,2,3. Найдем затем функцию Г так, чтобы выполнялось равенство (сравните с формулой (8.34)):
Р^ = ^Д, (8.47)
где вектор скорости и = г(±1,±2Дз)5 ^2 = ж2 + ^2 + ^з- Тогда, очевидно, из условия (8.47) следует
Т* = - me2 Д - X.Т* = - me2 Д - X.(8.48)(8.48)
Т* = - me2 Д - X.
Т* = - me2 Д - X.
(8.48)
(8.48)
Отметим, что функция Г (8.48) не является живой силой точки или кинетической энергией, а является отрицательно определенной скалярной функцией.
В случае наличия потенциальных (консервативных) сил /а = — Qcr = —dUldxCT получим уравнение Лагранжа вида
= L = T*-U,(8.49)
at охст охст
гдея
Qa = — (Ми) + М (и-v)- МН.
Очевидно, что и в этом случае (в отличие от обычного релятивистского случая [390]) релятивистское действие по Гамильтону J^1 Ldt, L = Т* — Г, не носит экстремальный характер (см. соотношение (8.32)).
Для вывода уравнений Гамильтона в релятивистских обозначениях применим уже известную схему вывода; различия будут лишь в деталях. Положим, что требование (8.35) на функцию Т* (8.48) выполнено. Тогда, варьируя функцию Т* = Д(±аД), получим
и далее
L(8.50)
Таким образом, можем ввести в рассмотрение релятивистскую функцию Гамильтона, стоящую в равенстве (8.50) слева под знаком вариации:
Н=-^ха-Т* = рстхст—Т^.
ОХСТ
Отсюда получим для Т* = Д(±аД) выражение (8.50) в виде
дН = ±а др^= 0.(8.51)
охст
Уравнение Лагранжа относительно функции Т* имеет запись
d дТ,dt Эх0
т. е.
Per Q(T Qty ” 0.
Поэтому дН в соотношении (8.51) переписывается как
5Н — хст бра- — хст 5рст (^Рст Qcr Qсг) 5хст.
эн дхстэн дхстСравнивая это выражение 5Н с вариацией 5Н^ где Н = Н^рстЭ\ т.ч.
эн дхст
эн дхст
ЭНЭН с ЭН с
5Н =+ о—
ЭриЭра Эхст
получим систему уравнений Гамильтона для релятивистского гиперреактивного движения точки в релятивистских обозначениях следующего вида:
dx _ ЭНdt 9рстdx _ ЭНdt 9рст
dx _ ЭН
dt 9рст
dx _ ЭН
dt 9рст
Возвращаясь к случаю, когда внешнее силовое поле потенциально, а именно /а = QCT = — 3U) дх^ получим уравнения Лагранжа (8.49) с функцией L = Т* — U. Запишем далее релятивистскую функцию Гамильтона с помощью релятивистской функции Лагранжа:
(8.52)(8.52)(8.53)(8.53)9L • т
(8.52)
(8.52)
(8.53)
(8.53)
. хст
Эх о-
где импульсы рст через функцию Лагранжа записываются как
9L
Р" =
Эхст
При подстановке выражения (8.53) в соотношение (8.52) найдем явный вид функции Гамильтона:
Н = р^х^ - L = pxii + р2Х2 + Рз^з - L.
Нетрудно видеть, что в этом случае
я = тУ + mc2 V^ ~ Р2 + U =
—+ U = M(v^ t) с2 + U.—+ U = M(v^ t) с2 + U.(8.54)(8.54)
—+ U = M(v^ t) с2 + U.
—+ U = M(v^ t) с2 + U.
(8.54)
(8.54)
Выражение (8.54) для релятивистской функции Гамильтона близко ”по духу” выражению (8.28) для релятивистской гиперреактивной функции Н (полной энергии). На формулу (8.54) также можно смотреть как на ’’полную энергию”, только без учета внутренних реактивных и гиперреактивных энергетических добавок в виде величины Нд.
Для релятивистских импульсов имеем
2 ।2 ।2Р1 + р2 + р3 =2 ।2 ।2Р1 + р2 + р3 =т2с2р21-р2т2с2р21-р2= тс2= тс2
2 ।2 ।2
Р1 + р2 + р3 =
2 ।2 ।2
Р1 + р2 + р3 =
т2с2р21-р2
т2с2р21-р2
= тс2
= тс2
Ут2с2 + р^ + р^ + р|тсУт2с2 + р^ + р^ + р|тсPi +р2 -Ур2 т2С2Pi +р2 -Ур2 т2С2Pl + Р2 + РЗт2с2Pl + Р2 + РЗт2с2
Ут2с2 + р^ + р^ + р|
тс
Ут2с2 + р^ + р^ + р|
тс
Pi +р2 -Ур2 т2С2
Pi +р2 -Ур2 т2С2
Pl + Р2 + РЗ
т2с2
Pl + Р2 + РЗ
т2с2
Поэтому
1
Следовательно, функция Н (8.54) может быть представлена с помощью релятивистских импульсов рст соотношением
где т = m(t) — текущая масса покоя точки в момент времени С известная как непрерывно дифференцируемая функция t при и = 0.
Аналитическая динамика точки в гиперреактивных обозначениях. В нерелятивистском (классическом) случае аналитическая динамика точки переменной массы была представлена в главе 6. Поэтому возникает естественная задача обобщения полученных ранее результатов с учетом действия релятивистских эффектов.
Согласно принципу полноты рассмотрим релятивистское гиперреактивное уравнение движения вида
(8.55)(8.55)— = /,s = MR + MR, R = v -и,
(8.55)
(8.55)
dt J1’
где s — полный (результирующий) релятивистский импульс точки, M(vR) — релятивистская масса гиперреактивной точки (гиперона) (8.13), R — реактивный вектор. Для импульса з имеем
s =s =т (и — и) ( тт и du
s =
s =
+ I + (1 - Я3/2 Я di
Выберем в качестве обобщенных (лагранжевых) координат, определяющих положение точки в пространстве, координаты реактивного вектора R = (Д1, R>. Rs)- По теореме 6.1 об изменении эффективной энергии Те точки переменной массы можем записать уравнение (8.55) с использованием массы M(vR) (8.13):
£ ЭТеdt dR£ ЭТеdt dRТе =Те =MR22MR22+ МДД,+ МДД,8 а8 аЭТеЖ’ЭТеЖ’(8.56)(8.56)о = 1,2,3.о = 1,2,3.
£ ЭТеdt dR
£ ЭТеdt dR
Те =
Те =
MR2
2
MR2
2
+ МДД,
+ МДД,
8 а
8 а
ЭТе
Ж’
ЭТе
Ж’
(8.56)
(8.56)
о = 1,2,3.
о = 1,2,3.
Первое слагаемое в выражении Те (8.56) может быть интерпретировано как кинетическая энергия движения (в терминах М и R\ а второе слагаемое — как реактивная энергия движения (в терминах М и R,R\
В свою очередь, из уравнения (8.56) вытекает уравнение Лагранжа второго рода относительно функции Те :
(8.57)(8.57)d ЭТе ЭТе _di dRa dRCT -
(8.57)
(8.57)
где для обобщенных сил QCT и Qa введены обозначения
QCT = U Qa = -MRa.
При дополнительном предположении о потенциальности поля внешних сил (/а = QCT = — dU(dR^ для функции Лагранжа L = Te — U получим уравнение Лагранжа вида
d ЭГ ЭГ -
dt dRa 9RCT -
Рассмотрим далее функционал действия 8н (действия по Гамильтону) с закрепленными концами
SH= [ 1 Ldt,J to
взятом вдоль действительной траектории. Имеем
5SH = 5 ( [ l dt\ = — / 1 Qa бRadt^ 0.
\Л0/ Ло
Для придания принципу Гамильтона традиционной ’’экстремальной” формы воспользуемся принципом Гамильтона для гипердвижения (6.15):
(5L — MR5R) dt = 0.
Ло
Конструкция и свойства вариационного интеграла позволяют записать это соотношение в виде (6.18):
68Щ =б [ Г* dt = б [ (l - [ MR6R\dt = 0,ЛоЛо X J /
где обозначеныгде обозначены
где обозначены
где обозначены
/ L* dt, L* = L
to
MR6R = MR6R.
Здесь 8н* — обобщенное действие по Гамильтону, Г* — обобщенная функция Лагранжа.
Таким образом, для обобщенной функции Лагранжа
L*=Te-U -
имеем уравнения Лагранжа стандартного вида
d ЭЬ* dL« _п _ i о о
dt dR^’’ ’ ’
описывающие гипердвижения материальной точки с релятивистской переменной массой M(vR) в трехмерном пространстве.
(8.58)(8.58)Для того, чтобы получить канонические уравнения Гамильтона с функцией Н*, возьмем релятивистскую гиперреактивную (обобщенную) функцию Гамильтона вида
(8.58)
(8.58)
Н - —dR,
где зависимость обобщенных импульсов рст от обобщенной функции Лагранжа определяется формулой
= st= stdL* ЭТе
= st
= st
Рст = ~ = ~dRCT dRc
(8.59)
Подставляя выражение (8.59) в соотношение (8.58), найдем вид обобщенной функции Гамильтона
MRl
2
Варьируя функцию II, = H*(Ra,pa,t) = ра11а — L*, получим
ЭН*ЭН*
5Н* = тГ 5R^5Р<
vRCTдра
и далее в силу уравнений Лагранжа
5И*q D 5Ra Ч- Ra 5рстрст 5 R^ Ч- Ro- 5рст^
откуда будут следовать уравнения Гамильтона известного вида
а = 1,2,3.а = 1,2,3.(8.60)(8.60). ЭН, • ЭН.
а = 1,2,3.
а = 1,2,3.
(8.60)
(8.60)
Perо D ’о
dR^9ро
Впрочем, надо отметить, что уравнения движения в форме (8.60), предложенной Пуанкаре (при закрепленных по RCT концах: dRCT(to) = = 6RCT(ti) = 0), будут непосредственно следовать из принципа Гамильтона б8н* = 0, если воспользоваться обычными приемами вариационного исчисления.
В качестве заключительного замечания к предложенному обоснованию канонических уравнений Гамильтона (8.60) для обобщенной функции Н* укажем еще на одно обстоятельство, связанное с методом Гамильтона-Якоби. Можно обнаружить, исходя из функционала действия
8щ = SH* / Udt,
J to
что уравнение Гамильтона-Якоби в рассматриваемом релятивистском гиперреактивном случае имеет вид
Э8Н.Э8Н.9191+ PcjRcj L+ PcjRcj L98^dt98^dt
Э8Н.
Э8Н.
91
91
+ PcjRcj L
+ PcjRcj L
98^dt
98^dt
откуда следует уравнение
Э8н. Mi^dt 2
MRCT5RCT.MRCT5RCT.
MRCT5RCT.
MRCT5RCT.
Последнее соотношение дает дифференциальную связь между обобщенным действием по Гамильтону 8н, и релятивистскими гиперреактивными составляющими движения М, М и R, R.
Часть III
Ядерная электродинамика и элементы кибернетической физики
Глава 9
Нерелятивистская модель
ядернои электродинамики
Третья часть книги посвящена описанию физических аппаратных средств и возможных механизмов реализации гиперреактивного движения. Материал в свою очередь делится на два раздела. ’’Ядерная электродинамика” вобрала в себя вопросы, связанные с расчетом параметров внешнего электромагнитного поля на тороиде и зарядовой ядерной кинетики, продукты которой это поле индуцируют. ’’Элементы кибернетической физики” включают задачи регулирования и идентификации нелинейных процессов ядерной кинетики.
В настоящей главе нашли отражение некоторые вопросы математического моделирования явления генерации сильнодействующих направленных электромагнитных полей на тороиде в результате процесса ядерного цепного деления. Подобно явлению квантовой генерации и некоторым другим физическим эффектам, идущим по нарастающей, лавинообразной схеме, аналогичного рода процессы происходят и при цепном делении тяжелых ядер: наблюдается стремительный рост общего числа нейтронов, заряженных частиц и заряженных осколков деления, имеющих огромную кинетическую энергию движения. Это известное явление (движение в вакууме зарядов с большой скоростью) положено в основу ядерного электродинамического эффекта.
На принципах этой теории могут быть построены сверхмощные энергетические установки, работающие не на тепловом взаимодействии различных веществ, что само по себе, конечно же, важно, а исключительно на основе физических электроядерных превращений. Так же как и в лазерной технологии, ядерная электродинамическая модель требует для начала своего функционирования предварительной ’’энергетической накачки” в виде внешнего направленного электромагнитного поля для создания анизотропного фона при прохождении цепной ядерной реакции деления в вакууме.
Представляется, что ядерный электрогенератор прямого действия может в будущем служить весьма эффективной и надежной альтернативой современному тепловому ядерному реактору. Более того, его роль и значение в дальнейшем широком и скоростном освоении космического пространства, по-видимому, будет преобладающей в качестве основной компоненты создаваемых компактных гиперреактивных ускорителей.
Подробную информацию о предполагаемом использовании тепловой ядерной энергии для нужд современного ракетостроения можно почерпнуть в некоторых инженерных и научных изданиях [19, 25, 89, 114, 173, 261].
В начале §9.1 приводится схема действия вакуумного тороидального электромагнитного ядерного генератора с управляемыми экранами из делящегося радиоактивного вещества. Функционально экраны могут состоять из нескольких слоев, выполняющих роль отражателя или замедлителя для противоположно заряженных продуктов деления. Затем производится расчет параметров индуцируемого во внешней обмотке тороида электромагнитного поля для разных начальных (задающих) режимов работы генератора.
Следующие четыре параграфа этой главы посвящены описанию поведения точечных заряженных частиц и осколков деления в рамках классической нерелятивистской ядерной электродинамики. В §§ 9.2 и 9.3 проводится последовательное микроскопическое описание на уровне уравнений полей Максвелла-Лоренца и уравнений движения Ньютона-Лоренца. Полученные в § 9.2 результаты служат основой для вывода законов нерелятивистской ядерной электродинамики заряженных осколков деления (§§ 9.3, 9.4), а также (при макроскопическом подходе с учетом статистического описания) законов электродинамики сплошной среды (§ 9.5). Нерелятивистская электродинамическая модель дополняется рассмотрением в § 9.6 более реалистической схемы, связанной с квантовомеханическим выводом микроскопических уравнений для полей и движения заряженных частиц и осколков деления.
Важной особенностью проведенного здесь исследования для не-
релятивистского случая является получение уравнений поля и движения осколков деления с учетом зарядовой части эффекта радиоактивного внутринуклонного распада в осколочных ядрах, т. е. с учетом испускаемых каскадных электронов, но без учета у-излучения.
Ядерный электромагнитный генератор.
Элементарная теория
на тороидальной вакуумной схеме
Настоящий параграф посвящен исследованию явления генерации возрастающей внешней электромагнитной энергии при возрастающей скорости (плотности) прохождения внутреннего процесса цепной реакции ядерного деления. Эффект, подобный лавинообразному квантовому возбуждению при соответствующей накачке лазерного генератора, проявляется и в ядерной среде при цепной реакции деления тяжелых ядер во внешнем (накачивающем) электромагнитном поле.
Каскадное развитие реакции ядерного деления приводит далее к лавинообразному усилению внешнего индуцируемого электрического тока и электромагнитного поля. При этом сценарий развития направленного скоростного движения возрастающего числа заряженных продуктов деления может служить основой для создания сверхмощных ядерных генераторов электрической энергии и электромагнитных силовых установок, а также ускорителей разного рода частиц.
Как следует из физики рассматриваемого процесса, ядерные генераторы преобразовывают кинетическую энергию заряженных продуктов деления (осколков и других частиц) непосредственно в электроэнергию, в отличие от ядерных реакторов, где в электроэнергию преобразуется лишь часть тепловой энергии продуктов распада. Совершенно ясно, что ядерные генераторы по своим энергетическим возможностям будут чрезвычайно сильно превосходить аналогичные возможности современных ядерных реакторов.
Принципиальная схема ядерного генератора представляет собой вакуумный тороид с равномерно намотанной внешней токопроводящей спиралью. Во внутренней полой части ядерного генератора по всему кольцу установлены круговые экраны из делящегося радиоактивного вещества. Экраны в данном случае выполняют роль топливных стержней в обычном ядерном реакторе. В отсутствие замедлителя регулируемый процесс ядерного цепного распада осуществляется за счет управляемого поворота экранов вокруг собственных осей вращения. Очевидно, что положение экранов вдоль общего
Гл. 9. Нерелятивистская модель ядернои электродинамики 269 нейтронно-осколочного потока приводит к немедленному изменению хода процесса деления.
Промежутки между экранами выбираются из расчета, во-первых, эффективно нарастающего прохождения цепной реакции распада и, во-вторых, достаточно полного пробега осколков и других продуктов деления (в пределах начала активной рекомбинации и нейтрализации зарядов). Конечно, возможны и другие, чисто инженерные, варианты сосредоточения делящегося материала в тороидальном вакуумном генераторе, приводящие к регулируемому усилению или ослаблению процесса ядерного деления.
Еще одно замечание, касающееся создания ядерного резонатора для направленного движения заряженных частиц. В качестве такого резонатора может служить сам топливный экран, если одна из его сторон будет являться отражателем (замедлителем) для положительно заряженных осколков деления, а другая, противоположная — для отрицательно заряженных частиц деления. Наконец, возможен вариант с одним отражателем на граничной поверхности экрана, вариант, когда на поверхность экрана подается напряжение и т.д.
Для простоты записи далее векторные и скалярные величины различать между собой каким-либо образом не будем, поскольку из контекста представленных аналитических выражений становится совершенно ясно, какая величина (векторная или скалярная) имеется в виду. Пусть на внешнюю обмотку тороида подан электрический сторонний ток силою /о и плотностью jf'o, возбуждающий внутри ядерного генератора направленное электромагнитное поле. Будем это внешнее, благоприятное для прохождения анизотропного процесса ядерного деления поле характеризовать напряженностью Eq и электрической индукцией Do (для электрического поля), напряженностью Hq и магнитной индукцией Bq (для магнитного поля). В рассматриваемом случае для поля в вакууме имеем
Do = eqEq, Bq = Цо^о?
где е = 8,854 • 10-12 ~ (1/(36тг)) 10-9 Ф/м (Фарад/метр) — электрическая постоянная, до = 4л • 10-7 = 1, 257 • 10-6 Гн/м (Генри/метр) — магнитная постоянная.
В положении, когда экраны ’’закрыты” и начинается процесс цепного деления, свободные промежутки между ними заполняются множеством заряженных быстродвигающихся частиц и осколков деления. По существу, достаточно сильное внешнее электромагнитное поле (Eg, Do, Hq, Bq) с током Iq необходимо лишь для их начального взаимнонаправленного и ускоренного движения вдоль тороида. Индуцируемые при этом во внешней обмотке ток I* с электромагнитным полем (Е*, D^ Н^ В*) с ростом числа нейтронов и свободных
зарядов по экспоненциальному закону также обнаруживают, как это будет показано ниже, экспоненциальный лавинообразный рост. Это, так сказать, феноменологическая сторона дела. Попытаемся сказанное облечь в аналитическую форму.
Воспользуемся общими макроскопическими уравнениями Максвелла для переменного электромагнитного поля (E,D,H,B), записанными в дифференциальном (локальном) виде:
ЭВrot Е = ——-,div D =
ээп
rot Н = j + —-,div В = 0.
J dt''
с граничными на Г условиями из некоторой области Q, а именно {E^D^H^B)y Е Q, где j + dD/dt — плотность полного тока, jсм — плотность тока смещения, j — плотность тока проводимости, р — объемная зарядовая плотность, I = JgjdS — ток проводимости, /см — ^ /5- D dS — ток смещения, S — поверхность. В силу векторного тождества div rot Н = 0 имеем div (3 + dD/dt) = 0. Если в этом соотношении поменять местами операторы div и d/dt^ то тогда с учетом div D = р получим уравнение непрерывности
. Эр
Отметим также связь между 3 и Е : J = аЕ^ где а — удельная проводимость. В общей системе уравнений Максвелла (9.1) согласно принципу суперпозиции имеем сложение внешних и внутренних электромагнитных полей:
Е = Е0 + Я, Я = Я0 + Я*.
Пусть в результате цепной ядерной реакции деления в момент времени t в ’’свободном” объеме тороида имеется некоторое конечное число К ’’свободных” заряженных частиц и осколков (легких и тяжелых) различного знака и N нейтронов. При взаимнонаправленном продольном движении во внешнем электромагнитном поле положительных и отрицательных частиц создаются ’’сверхтонкие” токи конвекционного типа с плотностями 3^ = рг^р ^ = 1? К, где pi — объемная плотность распределения заряда г-ой частицы (осколка), Ut = Ui(t) — ее скорость. Т.е. результирующий (в первом приближении) ток внутри тороидального ядерного генератора характеризуется плотностью:
j* = Е = Ер№-(9-2)
г = 1г = 1
К этому надо добавить, что на каждую заряженную г-ю частицу действует, как известно, во внешнем электромагнитном поле сила Лоренца
F^ = Z^E + Z^ (ui х В), (9-3)
где 2^ — заряд г-ой частицы (осколка), причем по теореме Гаусса для объема V с поверхностью S имеем
^) Di dS = Zi^) Di dS = ZiJ PidV,J PidV,dZjdtdZjdt
^) Di dS = Zi
^) Di dS = Zi
J PidV,
J PidV,
dZjdt
dZjdt
В результате действия силы Лоренца (9.3) траектория частицы внутри тороида будет закручиваться по спирали. Общая же картина движения заряженных частиц и других продуктов ядерного распа
да в сильном направленном возрастающем электромагнитном поле должна представлять, видимо, продольный взаимозакручивающий- ся с ускорением спиральный электромагнитный шнур внутри самого
тороидального ядерного генератора.Преобразуем уравнения Максвелла для вакуума (9.1), пользуясь стандартными приемами векторного дифференциального анализа и стараясь при этом разрешить систему (9.1) по магнитной (Н) и электрической (Е) составляющим. Имеем из второй группы уравтороидального ядерного генератора.Преобразуем уравнения Максвелла для вакуума (9.1), пользуясь стандартными приемами векторного дифференциального анализа и стараясь при этом разрешить систему (9.1) по магнитной (Н) и электрической (Е) составляющим. Имеем из второй группы уравненийненийiotH е0 ЭЕiotH е0 ЭЕdiv Я = 0.div Я = 0.(9-4)(9-4)Итак, по известному Н поле Е определяется с помощью уравнений (9.4). Далее для любого вектора А воспользуемся тождествамиИтак, по известному Н поле Е определяется с помощью уравнений (9.4). Далее для любого вектора А воспользуемся тождествамиdiv rot А = 0, rot rot А = grad div А — АД,(9-5)div rot А = 0, rot rot А = grad div А — АД,(9-5)где А — оператор Лапласа. Из уравнения (9.4) получим (а = const) :где А — оператор Лапласа. Из уравнения (9.4) получим (а = const) :rot rot НEd д = rot Е 4— rot Е.era dtrot rot НEd д = rot Е 4— rot Е.era dt(9-6)(9-6)Подставляя в уравнение (9.6) выражение для rot Я из первой группы уравнений (9.1), имеем с учетом соотношений (9.5) волновое уравнение для Н :Подставляя в уравнение (9.6) выражение для rot Я из первой группы уравнений (9.1), имеем с учетом соотношений (9.5) волновое уравнение для Н :лдН Э^Н— СГЦо -7— + ЕоЦо 9 , dtdt2лдН Э^Н— СГЦо -7— + ЕоЦо 9 , dtdt2я|г е п.я|г е п.(9-7)(9-7)Аналогично получим волновое уравнение для Е :Аналогично получим волновое уравнение для Е :лm ЭЕ ЛЕАЕ - grad div Е = сф0 -^- + гоМо -^-,лm ЭЕ ЛЕАЕ - grad div Е = сф0 -^- + гоМо -^-,Я|г е Q. (9.8)Я|г е Q. (9.8)
тороидального ядерного генератора.
Преобразуем уравнения Максвелла для вакуума (9.1), пользуясь стандартными приемами векторного дифференциального анализа и стараясь при этом разрешить систему (9.1) по магнитной (Н) и электрической (Е) составляющим. Имеем из второй группы урав
тороидального ядерного генератора.
Преобразуем уравнения Максвелла для вакуума (9.1), пользуясь стандартными приемами векторного дифференциального анализа и стараясь при этом разрешить систему (9.1) по магнитной (Н) и электрической (Е) составляющим. Имеем из второй группы урав
нений
нений
iotH е0 ЭЕ
iotH е0 ЭЕ
div Я = 0.
div Я = 0.
(9-4)
(9-4)
Итак, по известному Н поле Е определяется с помощью уравнений (9.4). Далее для любого вектора А воспользуемся тождествами
Итак, по известному Н поле Е определяется с помощью уравнений (9.4). Далее для любого вектора А воспользуемся тождествами
div rot А = 0, rot rot А = grad div А — АД,(9-5)
div rot А = 0, rot rot А = grad div А — АД,(9-5)
где А — оператор Лапласа. Из уравнения (9.4) получим (а = const) :
где А — оператор Лапласа. Из уравнения (9.4) получим (а = const) :
rot rot НEd д
= rot Е 4— rot Е.
era dt
rot rot НEd д
= rot Е 4— rot Е.
era dt
(9-6)
(9-6)
Подставляя в уравнение (9.6) выражение для rot Я из первой группы уравнений (9.1), имеем с учетом соотношений (9.5) волновое уравнение для Н :
Подставляя в уравнение (9.6) выражение для rot Я из первой группы уравнений (9.1), имеем с учетом соотношений (9.5) волновое уравнение для Н :
лдН Э^Н
— СГЦо -7— + ЕоЦо 9 , dtdt2
лдН Э^Н
— СГЦо -7— + ЕоЦо 9 , dtdt2
я|г е п.
я|г е п.
(9-7)
(9-7)
Аналогично получим волновое уравнение для Е :
Аналогично получим волновое уравнение для Е :
лm ЭЕ ЛЕ
АЕ - grad div Е = сф0 -^- + гоМо -^-,
лm ЭЕ ЛЕ
АЕ - grad div Е = сф0 -^- + гоМо -^-,
Я|г е Q. (9.8)
Я|г е Q. (9.8)
Будем считать, что зарядовый электромагнитный шнур в тороиде представляет собой в совокупности проводник, помещенный во внешнее электромагнитное поле. Тогда при мгновенном ’’выключении” источников поля оно не исчезнет, а будет экспоненциально по времени затухать согласно пространственно-эволюционным уравнениям (9.7), (9.8). Следуя известным методам решения задач математической физики, будем решения уравнений (9.7), (9.8) искать соответственно в виде
Н = Hm(x,y,z,)Е = Em(x,y,z)e~Smt (9.9)
с постоянными коэффициентами 7m,dm, т = 1,оо; здесь х^у^ z — де- картовые пространственные переменные, t — время. Для векторных функций Нт(х,у, z), Em(x,y,z) получим уравнения
^Нт — ( ^ЦО^т Т ^ОЦО^т) ^mi(9.10)
ASm - grad div Em = (- <тцодт + eo^oO Em- (9.11)
При определенном наборе собственных значений 7m,dm уравнения (9.10), (9.11) имеют не равные нулю решения, удовлетворяющие граничным условиям.
Выясним характер изменения чисел ут, 6т. Анализ проведем на примере ут. Возьмем уравнение (9.10) вида
ГО1 ГО1 Нт = (с^оТп ^OMEIm) ^т
и умножим скалярно вектор-строку Н^ на это уравнение. После интегрирования по всему пространству получим
(о-До?™ - eo№7m) j II Нт II2 dV =
= j Н*т rot rot Нт dV = j || rot Hm ||2 dV.(9.12)
Из равенства (9.12) с очевидностью следует вещественность и положительность величины а/хоУт — So^o7m- Этому условию удовлетворяют числа:
вещественные ут, для которых 0 < уш < а (е^
комплексные ^т = атЕгЬт^ где ат — a j(2so), bm — произвольные вещественные числа.
Совершенно аналогичные соображения можно привести и для чисел бт) если исходить из уравнения (9.11). В любом случае мы
имеем дело с динамическим процессом, решения которого (9.9) затухают по времени экспоненциально. Наконец, зададим распределение поля в начальный момент времени с помощью функций Н° (х, у, Гр Е°(х^ у^ Гр Разложим их в ряд Фурье по полным системам взаимно ортогональных векторных функций Нт^Ет :
Н°(.Х, У,Э = Т Ст Я™(Ж’ У, Л Я°Ц У, О = Е dm ЕтХЖ’ У, Л
Тогда общее решение задачи о затухании переменного электромагнитного поля запишется в виде
Я(ж, у, Z,t) = Е ст e"7mt Н^х, У, Я
Е(х, у, = Е Дт e”5mt Ет(х, у, z).
В следующий этап электромагнитного моделирования включим квазистационарное монохроматическое внешнее поле (Н^Ео) с частотой ш и внутреннее поле на зарядах (Н^ E*Y считая, что в результате управляемой цепной ядерной реакции в тороидальном генераторе имеется установившийся процесс распада (некоторое конечное число К заряженных частиц и заряженных осколков деления и N нейтронов). Рассчитаем соответствующие поля.
Сначала произведем расчет поля (Н^ЕГ)- В квазистационар- ном случае зависимость всех величин от времени дается множителем e-wt. Преобразованное уравнение Максвелла (9.7) принимает тогда вид
ДЯ0 +/с2Я0 = О, Я0|геП,(9.13)
где к2 = (сггш + еш2) Цо. Пренебрегая в исследуемом квазистационар- ном поле током смещения, можем из уравнения rot Hq = jo получить div Sq = 0 и далее, пользуясь уравнением (9.8), записать для Eq :
ДЯ0 +/с2Я0 = О, Я0|геП.(9.14)
Волновые уравнения (9.13), (9.14) приводят к общим уравнениям Бесселя. В нашем рассмотрении считается, что тороидальный ядерный генератор — это замкнутый круговой соленоид с цилиндрической проводящей поверхностью, по которой течет, по существу, поверхностный ток проводимости. Для такого полого проводника решения уравнений (9.13), (9.14) дают хорошо известный поверхностный скин-эффект [193, 247] на функциях Бесселя для соответствующих уравнений.
Пусть на этот раз ток во внешней обмотке тороида постоянный и имеет величину Е. В этом случае можем записать
rot Eq = О, rot Но = Jo,rot Eq = О, rot Но = Jo,(9.15)(9.15)Jo = aEo, div Jo = 0, div Bo = 0, Bo = ^qHq,
rot Eq = О, rot Но = Jo,
rot Eq = О, rot Но = Jo,
(9.15)
(9.15)
откуда, в частности, вытекает существование постоянного электрического поля Bq внутри проводника и его потенциальность. Из условия div Bq = 0 следует гармоничность потенциала электрического поля.
Для решения второй группы уравнений (9.15) обычно вводят векторный потенциал А, т.ч. Bq = rot A, div А = 0. При Bq = Цо^о имеем
/ 1Л .
rot — rot А = о •
\До/
Тогда с учетом тождества (9.5) запишем для А уравнение Пуассона: △л = - ЦоЗо, откуда
А=^- / Ev, ^о = б [ ЕД dV, (9.16) 4л J г4л J г6
где г — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV; г в числителе второй формулы (9.16) — радиус-вектор, сама же эта формула выражает закон Био-Савара. Пользуясь соотношениями (9.16), нетрудно рассчитать поле Но Для тороида, по которому течет постоянный ток /о, в цилиндрических координатах ^, г, 2. Магнитное поле вне тороидального соленоида Но = 0. Внутри
яОг = яОг = о, яОу = ^,
2лг
где п — число витков провода.
Перейдем теперь к расчету поля (Щ^Е^ полагая, что это поле представляет собой результат действия совокупности внутренних зарядных токов (9.2) в пренебрежении действия их между собой, где К — постоянное число. Разумеется, постоянство К и некоторых других величин здесь понимается в достаточно грубом, относительном смысле. Пусть Е — полный ток на К двигающихся в вакууме зарядах:
КГ
Е — Вг, Ei dl^ = Z^u^(9.17)
г = 1
т. е. движущийся со скоростью и^ заряд Z^ эквивалентен согласно выражениям (9.17) индуцируемому г-ой частицей линейному
току Hi. Имеем далее с учетом соотношения (9.2): Е* = Hl^' Частицы с разными по знаку зарядами, как уже было сказано ранее, под действием растущего результирующего поля (//. Е) двигаются в противоположных направлениях вдоль ядерного генератора по слабозакрученным спиралям.
Легко установить направление вектора магнитной индукции B*i в точке наблюдения, касательного линиям магнитной индукции, создаваемой точечным зарядом Zi в вакууме
(9.18)
В числителе формулы (9.18) u^Ti — векторы, причем Ui — вектор скорости точки с зарядом Z^ a Ti — радиус-вектор от этой точки до точки наблюдения. Отсюда получаем выражение для модуля вектора В^ :
ц02г | ^ | sina
4л
где а — угол между векторами Ui и т^. Отметим также однонаправленность векторов В^ и B^j для г-ой и J-ой частиц, если заряды Zi и Z^ разного знака и имеют противоположные направления движения. Из этого важного обстоятельства вытекает согласно принципу суперпозиции соотношение
В^ — B^i.г = 1
По величине В* получим далее Н* = В*/p,Q.
Поля и движение заряженных частиц деления
Нас интересует рецепт вычисления электрического E^(RR) Е R3 и магнитного В* (R^ t) Е R3 полей в точке с координатой R Е R3 в момент времени t, создаваемые (индуцируемые) точечными частицами с зарядами Z^ трехмерными координатами Ri(t) и скоростями Ri(t) = Vi(t\ г = 1,2, ... Известно, что эти векторные поля в гауссовой системе единиц (с учетом величин порядка 1/с, где с — скорость света, и множителя 4л в выражении для потенциалов) могут быть записаны с помощью системы микроскопических уравнений Максвелла-Лоренца [102] в следующем виде:
W = ^ z^Ub - RY
- Д + V х В* = | 52 Z"R' S(RiR^ (9Л9)
VB* = О, В' + V х Е, = О.
Здесь введены обозначения: для вектора V (дифференциального оператора Гамильтона) — дифференцирование по трехмерной пространственной координате R. штрих сверху — дифференцирование по ct; запись ху и х х у означает скалярное и векторное произведение векторов х и у соответственно, б (Ri — R) — дельта-функция от (Rt — Я), входящая в источники поля.
Чтобы найти решения уравнений (9.19), введем в рассмотрение потенциалы. Из третьего уравнения (9.19) имеем для векторного потенциала a(R, t) :
В* = V х а.(9.20)
С учетом четвертого уравнения (9.19) получим для скалярного потенциала p(R^ t) :
Е* = -^р-а'.(9.21)
После подстановки соотношений (9.20) и (9.21) в первые два уравнения (9.19) и пренебрегая членами порядка 1/с2, получим
Vy + V'a = - ^ z- 5(Ri - RY
.(9.22)
Va - V (Va + ЗА = - - > Z^ 60^ - RYC i
где A = VV = V2 — оператор Лапласа.
Соотношения (9.20), (9.21) определяют потенциалы а и р неоднозначно, с точностью до калибровочных равенств
as = а + Х7ф, р8 = р - ф',
где ф — некоторая произвольная функция. Воспользуемся данным обстоятельством с тем, чтобы потенциалы а и р удовлетворяли калибровочному условию Лоренца
Va + р* = 0,
которое позволяет уравнения (9.22) записать в виде двух независимых уравнений Пуассона по р и а. Пренебрегая членами порядка 1/с2, тогда получим
ду = -52х§№-r), Aa = ~lEZiRi5№~R|-
Если для решения этих уравнений, следуя работе [102], воспользоваться соотношением
А •= — 4л
И
где г = г^х^Гр | г | = (a^+^ + z2)1/2, то можно записать потенциалы
Zi1ZiRt
4л ae^с4л ae^
Далее, пользуясь соотношениями (9.20), (9.21), можно найти нерелятивистское электромагнитное поле:
Е* = Ei, Ei = — V -,
4л аег
г.(9.23)
„1ZiRiv
В, = УВИ Вг = -V х
“с4л аег
где через ае^ = | Ri — R | обозначено расстояние между точками с координатами Ri и R в пространстве R3.
Обратим внимание на то, что из соотношений (9.23) следует, что поле Е* является безвихревым. Тогда в четвертом уравнении системы (9.19) величина В* имеет порядок 1/с2 и ею в рассматриваемом нерелятивистском варианте можно пренебречь. Поэтому в системе (9.19) последнее уравнение можно записать как V х Е* = 0.
Обозначим через ^E(RiR^ B(RiR)^ полное электромагнитное поле в точке Ri в момент времени t. Это поле представляет собой сумму внешнего поля ^Eo^RiR^ Bo^RiR)^ и внутренних (индуцируемых) полей заряженных точечных частиц (^E^^RiR^ B^(RiR)^ в данной точке.
Уравнение движения г-ой частицы под действием силы Лоренца имеет вид
mi Ri = Zi ^E(RiR) + - Ri x B^RiR^ ],(9.24)
где
3
BlR^tmr Bj(.Ri,t) + B0(Ri,f),
причем j ^ г, ^ Ej = Е^ ^. Bj = В*. Для нерелятивистского случая уравнение движения (9.24) с учетом второй строчки системы (9.23) можно уточнить, а именно
ГГЦ А = Z, [ ОД,() + | ^ х Во№, t) ],(9.25)
где
Ж<) = - Vv, —^ + £0(/м, B№,t) = BoM z—'4тгае77-
jJ
з^з = I Ri — Rj 11 j 7^ ^ V7 — частное дифференцирование по элементам вектора R^.
Таким образом, уравнение (9.25) описывает нерелятивистское движение точечной заряженной г-ой частицы, г = 1,2,..., в электромагнитном поле внешних источников и со стороны остальных j-x частиц, J = 1, 2,..., J ^ г, в данной точке Rt. Этому уравнению можно придать гамильтонову форму
9Н = •^=.
ЭРг г’ ЭНг '
с помощью гамильтониана
+ Z7 (/?о(ВгД)• Aq(R^I)+ Z7 (/?о(ВгД)• Aq(R^I)CTTltCTTlt
+ Z7 (/?о(ВгД)• Aq(R^I)
+ Z7 (/?о(ВгД)• Aq(R^I)
CTTlt
CTTlt
в терминах канонических переменных для импульса Pi и координаты Д7, а также потенциалов (скалярного у о и векторного До) внешнего поля.
Поля и движение заряженных осколков деления
Целью этого параграфа является вывод полевых уравнений и уравнений движения заряженных осколков (агрегированных частиц с внутренней ядерной структурой), образующихся в результате цепной ядерной реакции деления. Эти сложные, агрегированные частицы можно рассматривать как многократно ионизованные положительные ионы по причине срыва электронов оболочки атома делящегося вещества (см. Приложение 4).
Для определения электромагнитного поля осколков деления будем придерживаться методологии, изложенной в работе [102], и исходить в своем анализе из микроскопических уравнений поля единичных частиц (9.19). Для этого к индексу г добавим индекс к. Вместо вектора R^ возьмем вектор R^ и разложим его на сумму двух векторов: Rkt = Rk+rkt, где к — индекс осколка, г — индекс частицы данного осколка, Rk — координата некоторой фиксированной точки (ядра) к-ro осколка, Tkt — внутренняя координата /сг-ой частицы (ее положение) по отношению к фиксированной точке к-ro осколка.
Однако в отличие от работы [102] здесь надо иметь в виду, что рассматриваемые заряженные сложные частицы-осколки не являются ’’стабильными комплексами”, а представляют собой сильно неустойчивые группы частиц, подверженных ярко выраженному мгновенному радиоактивному распаду (/3--распадв сопровождении у-излучения). Радиоактивная нестабильность осколков деления в свою очередь приводит к своеобразной и вместе с тем достаточно сложной деформации уравнений электромагнитных полей и движения этих агрегированных частиц. Наша задача, таким образом, заключается в том, чтобы ’’уловить” характерную особенность радиоактивного распада данных нестабильных частиц и получить корректную с математической и физической точек зрения запись этих уравнений.
Прежде чем приступить к синтезу уравнений, обсудим еще один важный момент теории. Проблема классической нерелятивистской электродинамики — учет радиоактивной неустойчивости заряженных частиц. Хорошо известно, что в этом случае, т. е. когда принимаются во внимание лишь члены до первого порядка по 1/с включительно, учесть эффект радиационного у-излучения (затухания) не удается. Этот эффект, вызванный ’’минус-полем” (запаздывающим полем) частицы, в нерелятивистском случае исчезающе мал. В связи с изложенным постараемся при выводе уравнений учесть эффект только зарядового радиоактивного распада без учета радиационного у-излучения.
Для дальнейшего важно различать между собой в /с-ом осколке деления единичные заряженные частицы в точке Rki с зарядами Zk% и заряженное ядро в точке R^^ подверженное радиоактивному /^--распаду. Напомним, что осколки деления являются интенсивнейшими Д излучателями. причем бета-распад — это внутринуклон- ный процесс, обусловленный слабыми взаимодействиями и идущий для избыточных нейтронов осколка по схеме: п р + е~ + v. Поэтому обозначим заряд в точке Rk в момент времени t через Zk- Заряд Zk представляет собой суммарный протонный заряд Хк самого ядра (первоначальный протонный заряд осколка + протонный заряд про-
дуктов распада) и электронный заряд Yk продуктов Т распада:
Zk = XkYYk.(9.26)
Очевидно, что величина Zk (9.26) совпадает с зарядовой величиной первоначального протонного заряда осколка. Тем не менее для учета эффекта радиоактивного распада ядра /с-го осколка необходимо воспользоваться разложением (9.26).
Далее будем считать, что решения Е* и В* уравнений поля можно аппроксимировать сходящимися рядами по параметру I rki 1/1 Rk — R I < 1? т.е. размер осколка Rki меньше расстояния тк от точки наблюдения R до фиксированной точки (ядра) Rk к-го осколка.
Трансформируем уравнения (9.19) с учетом всех разложений, включая разложение 5-функции в ряд Тейлора по гк/ в окрестности точки (Rk — R). Тогда получим
XE* = YYz^£№ - RH
к i n=0
+ Y Xk 5(Rk -RHYYk 5<Rk - RY кк
- E' + V x В* =(9.27)
ЧееZki {Rk + Iki)Y^r^W^Rk-RH к in=0
+| Y xkRk 5(Rk -RH-cY YkRk ^(Rk - R), кк
VB* = 0, В^ + V х Е* = 0.
В системе уравнений (9.27) имеем операторное равенство действия на трехмерную 5-функцию:
Xkd{Rk-R) = -Xd{Rk-R),
где Хк = d/dRk, V = d/dR. Рассмотрим эту систему более подробно. Первое уравнение можно записать в сокращенной форме:
V Е* = q — Yp + s_|_ + S—,(9.28)
где обозначено
q = Y4k, qk = YZki^Rk-RY (9-2Э)
00 /"_1Щ-1
Р = ^Pk, Рк = Zki Г п !^V)""1 5(Rk - Я),(9.30)
s+ = ^2xk5(Rk-R\ s_ = ^2Yk5(Rk-R\(9.31)
кк
Преобразуем далее второе уравнение системы (9.27) к виду
- Е* + V х В* = I \_j - ^ Rk Vpk+к
00 /1 \п
+ЕЕ ^кг 52 ^Г" и» b^W 6(Rk - Я)+(9.32)
к г п=0
+ 52 XkRk 5(Rk - Я) + 52 YkRk 5(Rk - Я) ], кк
где обозначено
j =jk = '^2кгНкд(Нк - R).(9.33)
Воспользуемся далее операторным равенством действия на 5-функцию:
^5(Rk — R) = — RkV6(Rk — R).(9.34)
И продифференцируем соотношение (9.30) по Э/Э(сГ) :
рк + | RkXpk-
Г (п + n I [^kii’kiV + nrkirkiV] (thV)""1 5(Rk - Я) = 0.
(9.35)
Затем просуммируем соотношение (9.35) по к и прибавим к правой части уравнения (9.32). С помощью векторного тождества V х (а х Ц = (V5) а — (Уа) 5, справедливого для любых векторов а и 5, второе уравнение поля (9.32) запишется в виде
-Е'+ V х Б* = - j+ р+V хш +- (n+ + u_Y (9.36) сс
где введены следующие обозначения:
m = 52mk, mk = ^pkxRk+(9.37)
00
+ У 2кг У / гкг х fki (r^V)""1 5(Rk - R) ],
«+ = У XkRk 5(Rk - R),= У YkRk 5(Rk - R).(9.38)
кк
Здесь вектор т носит название вектора намагничивания.
Отметим, что в уравнениях (9.28), (9.36) слагаемые s+, с-^и^ и s_, с-1и_ (9.31), (9.38) можно ассоциировать с опережающим и запаздывающим полями в релятивистской и плюс- и минус-полями в квантовой электродинамике [17, 36, 37, 102]. Величины s+, с-^и^ представляют собой собственные поля заряженных ядер всех осколков, a s_, с-1и_ — ’’деформацию” общего поля, вызванную эффектом радиоактивного распада ядер всех осколков.
Рассмотрим полный заряд к-ro осколка
& = Zki 4“— ^ZklYXkYYk.(9.39)
С учетом обозначения (9.39) для осколочного заряда и выражений (9.29) и (9.33) можно записать
Q = q + 5+ +8- = У^ (к 5(Rk — R\
к .(9.40)
J — 3 б- и,^ + U— = ^ ^ ^R^ 5(Rk RV к
Величины Q и J, определяемые равенствами (9.40), можно по аналогии с электродинамическими стандартами назвать плотностями осколочного заряда и тока соответственно.
Нетрудно заметить, что из системы (9.40) непосредственно вытекает закон сохранения осколочного заряда:
§ =(9-41)
В самом деле, формула (9.41) следует, если величину dQ/dt из первого соотношения системы (9.40) вычислить с помощью равенства (9.34), а затем воспользоваться вторым соотношением системы (9.40).
Величины р (9.30) и т (9.37) в соответствии с принятыми электродинамическими стандартами могут быть названы осколочными электрическим и магнитным поляризационными плотностями.
Таким образом, система уравнений поля заряженных осколков деления в терминах плотностей заряда, тока, электрической и магнитной поляризации выглядит так:
(9.42)(9.42)VE* = Q - ^р,
(9.42)
(9.42)
— Е^ + V х В* — — J + р* + V х ш,с
^В^ = О, в; + V х Е* = 0.
Система уравнений (9.42) представляет собой систему микроскопических полей (Е^В*), индуцируемых осколками; другими словами, это поля, в которые помещены осколки деления. Заметим попутно, что по своей форме они совершенно идентичны макроскопическим полевым уравнениям Максвелла для сплошной среды. Уравнения (9.42) можно назвать уравнениями осколочных полей. Если ввести вместо векторов р и т векторы смещения D* и Н* соответственно по формулам:
IE = Е* + р, Н* = В* - т,
то очевидно, что система уравнений осколочных полей (9.42) примет вид (сравните с системой уравнений (9.1)):
(9.43)(9.43)VD* = Q, - п; + V х Щ = - J,с
(9.43)
(9.43)
VB* = 0, В^ + V х Е* = 0.
Перейдем к составлению уравнений динамики заряженных осколков деления при наличии испускания электронов, возникающих в результате радиоактивного У распада.
Уравнение движения Ад-ой частицы в Уом осколке с зарядом Z^ массой т/^, координатой R^ в момент времени t в полном электромагнитном поле ^E^RkiRY В(Н^1У) имеет вид уравнения (9.24):
^ы Ёкг — Е^ [ EfRE^ A) + ^ Rkt х E^R^ А) ],(9.44)
причем полные поля E^R^R^ и В^Ны-А в рассматриваемом случае (сравните с выражениями для Е и В в уравнении (9.25)) имеют вид
E(Rki,t) = -^^kiE(Rki,t) = -^^kiEkjEkjГТГ 88/^ ^ JГТГ 88/^ ^ JV7 (Хк + Yk)Укг Л4ТГ Ж-к^гкV7 (Хк + Yk)Укг Л4ТГ Ж-к^гк
E(Rki,t) = -^^ki
E(Rki,t) = -^^ki
Ekj
Ekj
ГТГ 88/^ ^ J
ГТГ 88/^ ^ J
V7 (Хк + Yk)
Укг Л
4ТГ Ж-к^гк
V7 (Хк + Yk)
Укг Л
4ТГ Ж-к^гк
У Eq (Rki ^t^В (Rki Я) — Во (Rki
где j ^ г^ I ^ к; Vki — вектор градиента по элементам вектора Rki- В системе уравнений (9.45) введены обозначения:
^k,ij — I Rki — Rk] Ь ^k,ik = | Rki — Rkk || Rki — Rk Ь
^kl,ij — | Rki — Rlj I? &к1,И = | Rki — Rll | ~ | Rki — Rl b где
Rkk = R^ Ru = Ro I Rkt - Rk \ = \ ^ki I- (9.46)
Хорошо видно из соотношений (9.45), что полное поле (Е, В) включает:
внутриосколочное поле, создаваемое всеми частицами кг, j ф ^ г^ данного к-ro осколка и ядром этого осколка;
межосколочные поля, соответствующие частицам всех других I осколков, I т^ к, а также ядрам этих осколков;
внешнее поле (Е^ Bq), создаваемое внешними источниками.
Аналогично можно написать уравнение движения ядра к-го осколка с зарядом Zk = Х^б-Ук, массой т^ координатой Rk в полном электромагнитном поле (E^^f^ B(Rk,t)} :
тк Rk = Zk[ E(Rk.B{Rk, t) ],(9.47)
где
E(Rk,0 = "Z^k - Z Z ^k E
^^k.kj a^^kl.kj
(9-48)
-Xv^^ + £o№,<), B(Rk,t) = B0(Rk,t), 4л ^kl,kl
для I 7^ k^ т.е. система соотношений (9.47), (9.48) может быть получена из системы (9.44), (9.45) при г = к^ Xкк = Хк и с учетом тождественных равенств (9.46). В этом случае в соотношении (9.45) полагаем второе слагаемое в правой части тождественно равным нулю, Vk = djdRk-
Для описания движения к-го осколка с массой ffik и координатой центра масс R^ т.ч.
Е
^iTHkiRki "V mkRk
mki Етк, Rk = —z,
.mk
просуммируем уравнения (9.44) по г и сложим с уравнением (9.47). Тогда получим уравнение движения k-го осколка в виде
Rk ~^к% [ E^R^, t) + — R^i X B(R^, t) ] +
+ Z^ [ E^R^^ t) + — R^ x B^R^^ t) ].(9.49)
При подстановке выражений (9.45), (9.48) в уравнение (9.49) результирующая сила, соответствующая внутриосколочному полю для набора центральных сил, очевидно, будет равна нулю. С учетом этого обстоятельства уравнение (9.49) приобретает следующий вид:
w ». = ЕЕЕ - Е Е v« -
/ i J 47Г8еВДz i
_ v Z[j (X^ + У^) _(X[ + Y^X^ + Y^
k ^^kl.kj^k ^^kl.kl
+ ^2 %ki [ ^о№/сг^) + ~ Rki x Bo(R^R) ] +
+ № + Y^ [ So№, t) + Rk x B0(Rk, t) ],(9.50)
где I ^ k^ a внешнее поле (E^ Bq) удовлетворяет однородным уравнениям
VB0 — 0, Bq + V x Eq = 0.
Таким образом, уравнение (9.50) представляет собой уравнение движения к-го осколка в электромагнитном поле других осколков и внешних источников.
Важно отметить, что уравнение (9.50) наряду с традиционными слагаемыми в правой части, составляющими силу Лоренца, содержит также и слагаемые, составляющие силу, связанную с радиоактивным зарядовым излучением ядер в осколках деления (учет /3--зарядного излучения или радиоактивного электродинамического эффекта).
В следующем параграфе будет осуществлен вывод так называемого ’’уравнения энергии” для осколков деления с зарядовой радиоактивностью, а именно уравнения, в соответствии с которым полная производная по времени от энергии системы равна короткодействующим и дальнодействующим вкладам, содержащим мощностные составляющие различных сил.
Энергетические соотношения для заряженных осколков деления
Приступим к обоснованию уравнений энергии и внутреннего момента импульса k-го осколка на основе результатов предыдущего параграфа.
Для составления уравнения энергии возьмем ki-ю частицу и скалярно умножим уравнение движения (9.44) на скорость Rki :
Ш'кг ^ki ^ki — ^кг ^кг Е(^Rki Д) •(9.51)
Аналогично поступим с ядром к-ro осколка. Из уравнения (9.47) после домножения на вектор Rk имеем
тк Rk Rk = Zk Rk E(Rk, t\(9.52)
Затем просуммируем по г уравнения (9.51) и сложим с уравнением (9.52). С помощью выражений для mklRkl соотношений (9.45), (9.48) найдем для внутренней координаты fki = Rk^ — Rk. что
di (2 EmkiRki + 2 тк Rk) =
= У Zkt Rki E(Rki, t) + Zk Rk E(Rk,
либо
dtdt2 / v mki rki + 2 v mki rki Rk + -mkRk +2 / v mki rki + 2 v mki rki Rk + -mkRk +1•O-2\-mkiRk- Rk^ =1•O-2\-mkiRk- Rk^ =^ ' Eki Vk^^ ' Eki Vk^Ek% Zk24тг <3sk^jEk% Zk24тг <3sk^j^ Eki Vki^ Eki VkiEk%Zk4тГ c6,kiikEk%Zk4тГ c6,kiik^ Eki Vki Iki^ Eki Vki IkiEk% Е^з4тГ SQkl^ijEk% Е^з4тГ SQkl^ij^ ^ Eki V ki^ ^ Eki V ki2кг (Xt + Kz)4тг гек^ц2кг (Xt + Kz)4тг гек^ц
dt
dt
2 / v mki rki + 2 v mki rki Rk + -mkRk +
2 / v mki rki + 2 v mki rki Rk + -mkRk +
1•O-2\
-mkiRk- Rk^ =
1•O-2\
-mkiRk- Rk^ =
^ ' Eki Vk^
^ ' Eki Vk^
Ek% Zk24тг <3sk^j
Ek% Zk24тг <3sk^j
^ Eki Vki
^ Eki Vki
Ek%Zk4тГ c6,kiik
Ek%Zk4тГ c6,kiik
^ Eki Vki Iki
^ Eki Vki Iki
Ek% Е^з4тГ SQkl^ij
Ek% Е^з4тГ SQkl^ij
^ ^ Eki V ki
^ ^ Eki V ki
2кг (Xt + Kz)4тг гек^ц
2кг (Xt + Kz)4тг гек^ц
4" ^ ^ Rki Ek^ Eq^R^.) t)
jjZk Zkj4тг 26 k ^k jZk Zkj4тг 26 k ^k j^ Ёк V kId^ Ёк V kId(Xk + Yk) Zl34тГ 26[k kj(Xk + Yk) Zl34тГ 26[k kj
j
j
Zk Zkj4тг 26 k ^k j
Zk Zkj4тг 26 k ^k j
^ Ёк V k
Id
^ Ёк V k
Id
(Xk + Yk) Zl34тГ 26[k kj
(Xk + Yk) Zl34тГ 26[k kj
-VRk\7k ^k+JkXXi+YO ^^Y^Eo^f),(9.53)
'ЯР 7^7 7„7
где г з. I к.
В правой части уравнения (9.53) первое, второе и шестое слагаемые составляют внутриосколочный энергетический вклад, который может быть представлен в виде полной производной по времени от внутриосколочной кулоновской энергии данного к-ro осколка Вкул,К •
^ ^ Rki V кгКЗ^ ^ Rki V кгКЗ^кг^кзYlX 38/^ ^j^кг^кзYlX 38/^ ^j^ ^ Rki Vкг^ ^ Rki VкгZki^k4л Ж-клкZki^k4л Ж-клк^4-кжкк)3J^4-кжкк)3J= - 52(Rki Vki + Rkj Vfc,-) I^Tl, _ ^Rk. xk. + Rk ХЛ 4^b - J J ^K^kjj^^kjk= - 52(Rki Vki + Rkj Vfc,-) I^Tl, _ ^Rk. xk. + Rk ХЛ 4^b - J J ^K^kjj^^kjk^ (-^fc V к 4- Rkj V kj)3^ (-^fc V к 4- Rkj V kj)3^k ^kj8 л 2^k,kj^k ^kj8 л 2^k,kjdt кул’к’dt кул’к’илиили- F dt- F dtкул ,ккул ,кd 1 J Zki^kj dt 8л ( ^ | fki ~ rkj |d 1 J Zki^kj dt 8л ( ^ | fki ~ rkj |^ki^k^ki^k~^ I ^ki 4" Rk Rk |~^ I ^ki 4" Rk Rk |^k ^kjI ^kj 4" Rk Rk |^k ^kjI ^kj 4" Rk Rk |(9.54)(9.54)
^ ^ Rki V кг
КЗ
^ ^ Rki V кг
КЗ
^кг^кзYlX 38/^ ^j
^кг^кзYlX 38/^ ^j
^ ^ Rki Vкг
^ ^ Rki Vкг
Zki^k
4л Ж-клк
Zki^k
4л Ж-клк
^4-кжкк)
3J
^4-кжкк)
3J
= - 52(Rki Vki + Rkj Vfc,-) I^Tl, _ ^Rk. xk. + Rk ХЛ 4^b - J J ^K^kjj^^kjk
= - 52(Rki Vki + Rkj Vfc,-) I^Tl, _ ^Rk. xk. + Rk ХЛ 4^b - J J ^K^kjj^^kjk
^ (-^fc V к 4- Rkj V kj)
3
^ (-^fc V к 4- Rkj V kj)
3
^k ^kj8 л 2^k,kj
^k ^kj8 л 2^k,kj
dt кул’к’
dt кул’к’
или
или
- F dt
- F dt
кул ,к
кул ,к
d 1 J Zki^kj dt 8л ( ^ | fki ~ rkj |
d 1 J Zki^kj dt 8л ( ^ | fki ~ rkj |
^ki^k
^ki^k
~^ I ^ki 4" Rk Rk |
~^ I ^ki 4" Rk Rk |
^k ^kj
I ^kj 4" Rk Rk |
^k ^kj
I ^kj 4" Rk Rk |
(9.54)
(9.54)
В общем случае уравнение (9.53) с учетом зависимости (9.54) может быть представлено в виде
d к 1^2v-^- б 1 - б2
47 9 / > mki Гкг + / . ткг ^кг Rk + тк Rk +
(9.55)(9.55)4" 2 ^к {Rk -^/с) 4" ^кул,к ) — Rkj 4" А/^о?
(9.55)
(9.55)
где обозначено
Кк11 = - ^(Йк + fkj vki ZkiZli - 52(6 + ъл vki Zk^xi + Yi')’f-^4тг aefez у ^4тгжк1,и
^ Rk к id^ Rk к id{Xk + Yk) Zl34тГ <&kl,kj{Xk + Yk) Zl34тГ <&kl,kj'^Rk Yk'^Rk Yk{Xk + YM+Yt){Xk + YM+Yt)4л ^ki^ki4л ^ki^ki
^ Rk к id
^ Rk к id
{Xk + Yk) Zl34тГ <&kl,kj
{Xk + Yk) Zl34тГ <&kl,kj
'^Rk Yk
'^Rk Yk
{Xk + YM+Yt)
{Xk + YM+Yt)
4л ^ki^ki
4л ^ki^ki
Rk,o = ^{Rk + Tki^ ^ki ^{R^ ^) + ^к ^к + ^) Ео(НкЯ\
Таким образом, уравнение энергии к-го осколка (9.55) в своей левой части содержит члены внутриосколочной кинетической, потенциальной и кулоновской энергии; в правую часть этого уравнения вошли величины, определяющие межосколочные А^^ и внешние А&д поля на фоне /3--зарядного излучения.
Для составления уравнения внутреннего момента импульса к-го осколка воспользуемся соответствующим выражением для величины внутреннего момента импульса
*ь = 52 ты ч» х ^ki+тк ^Rk ~ Rfc^х ^Rk - Rk^ (9-56)
где т^ тк — массы составляющих частиц и ядра к-го осколка, fki = Rki ~ Rk — внутренние координаты частиц.
Дифференцируя соотношение (9.56) по времени, получим с использованием значений для m^, Rk :
^к ~ ^ ^ ^ki ^ki X ^ki Т ^к {Rk Rk) X {Rk Rk) ~
— ^ ^ ТПкг ^ki X Rki TTlk {Rk Rk) X Rk T TTlk {Rk Rk) X {Rk Rk) —
— ^ ^ THki ^ki X Rki T TTlk {Rk Rk) X Rk*(9.57)
Затем в уравнение (9.57) подставим уравнения движения (9.44), (9.47) и уравнения полей (9.45), (9.48). Окончательно получим
г кг XV кг — - V г ki X V кг 4 +
, . .4тг жы,ч V4тг ®к1,й
+ ^ 2iki fki X [ Eq {Rki > t) + — Rki X Bq {Rki Д) ] —
4яЖкЦк]^^kl.kl
+ {^k + Yk){Rk — Rk) x [ Eo{Rk Д) + - Rk x Bq{Rk Д) ], где г Д з^ l Д к и результирующее действие центральных сил, соответствующее внутриосколочным полям, равно нулю.
Статистическое описание законов
нерелятивистской ядернои электродинамики
Приводимые в § 9.1 уравнения Максвелла электромагнитного поля представляют собой в действительности макроскопические уравнения для описания поля и вещества с медленноменяющимися (во времени и пространстве) физическими переменными. Поэтому их использование для описания поведения микроскопических объектов с быстроменяющимися физическими переменными не может быть признано вполне адекватным и теоретически корректным.
Макроскопические уравнения оперируют не с отдельной частицей, а с целой группой частиц (средой). Очевидно с этой точки зрения, что для получения ядерных электромагнитных макроскопических законов следует провести усреднение по осколкам деления и воспользоваться принципами статистической механики, где физические переменные, описываемые с помощью функций распределения, рассматриваются уже как непрерывные функции пространственновременных координат.
Отметим также, что для выполнения законов статистической (макроскопической) физики необходимо, чтобы усреднение по рассматриваемым осколкам деления осуществлялось в объеме с размерами большими, чем межосколочные расстояния, но меньшими, чем макроскопические размеры самой системы.
Статистическое усреднение в статистической механике вводится с помощью функции распределения или фазовой плотности /(ж) в фазовом пространстве, где x(t) — фазовый вектор системы [192, 333].
В нерелятивистском случае микроскопические величины можно усреднять лишь по фазовому пространству координат и скоростей частиц. Поэтому, если ki-я частица характеризуется микроскопической величиной a^Rki^ Rki, £)> то среднее от нее определяется интегралом
A^RX =< а >= j ajdtp, (9.58)
где / = f(Rkt, R^ £) — функция распределения, dp = П^г dRkidRki — элемент объема фазового пространства, / dip — вероятность нахождения системы в элементе объема dp (в силу сохранения вероятности f dp = const вдоль фазовой траектории).
Отсюда вытекает коммутация операций дифференцирования по времени и усреднения по фазовому пространству, а также пространственного дифференцирования и фазового усреднения:
ЭЭf(da/ da\
— <а > =— at ар =—t dp = ( — )
**V"/(9.-59)
V < a > = V j af dp = ф ^af dp = < Va >, гдеj л
~ T / v n ki T / v Як! Vkiki
_ Э_ d
Чтобы получить уравнения Максвелла, надо применить статистическое усреднение к уравнениям осколочных полей (9.42). Тогда будем иметь
< VB* > = < Q > - < Vp >,
- < Е^ > + < \7хВ* >=-<./> + <//> + < Vxm >, (9.60)
< VB* > = 0,< В' > + < V х В* > = 0,
и далее, используя в системе уравнений (9.60) правила коммутации (9.59), получим
V < В* > = < Q > -V < р >,
— Ф Е* ф? + Vx <с В* > — — Ф J > + Ф р Ф? + Vx ф тп >,
°(9.61)
V <С В* > = 0, ф В* ф1 + V х ф Е* > = 0.
С помощью обозначения (9.58) для макроскопических полей, плотности заряда и тока, а также векторов поляризаций
6 = <Е, >, В = <В, >.Q-<Q>,3-<J>,
В = < р >, М = < т >,
можем систему (9.61) переписать в виде уравнений Максвелла:
^Е = Q - W,
(9.62)(9.62)-S' + V xB=tj + p' + V ХЛ4,с
(9.62)
(9.62)
VS = 0, В' + V х £ = 0.
Прибегая к обозначениям для векторов смещения (D = 8 + Р, Н = = В — Л4), систему уравнений Максвелла (9.62) удается записать в еще более компактной форме:
(9.63)(9.63)VP=S, -D' + V xH=-J,
(9.63)
(9.63)
С
VS = О, В' + V х 8 = 0.
Система уравнений (9.63) может быть получена также путем усреднения системы (9.43). Отметим, что система уравнений (9.63) в известных терминах максвелловских полей 8^В^Т) и Н удобна для использования в случае задания каких-либо граничных условий.
Продолжая вывод макроскопических уравнений на основе усреднения микроскопических уравнений, можно аналогично посредством усреднения уравнения (9.41) получить макроскопическое уравнение сохранения заряда
(М4)
Усредняя далее соотношения (9.40), найдем макроскопические плотности заряда и тока соответственно:
2СМ =<2СМ =<
2СМ =<
2СМ =<
Запишем решения макроскопических уравнений (9.62) с точностью до членов порядка 1 /с :
£(Я, t) = £q№ <) - V Л Q^R^ - VQ Р(Яа, t) ] —— dRaiJ4тг aea
B(R,t) = B0(R,t) +
+ V x+ V xJ сc atJ сc atУ ^a X «NA^Ron^У ^a X «NA^Ron^14тг ae^14тг ae^dR^dR^
+ V x
+ V x
J сc at
J сc at
У ^a X «NA^Ron^
У ^a X «NA^Ron^
1
4тг ae^
1
4тг ae^
dR^
dR^
где VQ = d/dR^ ae^ = | R — Ra |, (8^ Sq) — решение уравнений поля без источников (внешнее поле). Для проверки этих выражений достаточно подставить их в уравнения (9.62) и учесть зависимость (9.64).
Квантовомеханическая модель микроскопических уравнений
В этом заключительном параграфе главы попытаемся полученные ранее результаты для микроскопических уравнений ядерной электродинамики в нерелятивистском приближении применить к модели, основанной на квантовой механике с использованием теории операторов и собственных векторов состояний в гильбертовом пространстве.
Пусть имеется система частиц с массами т^^ зарядами Z^, которая описывается операторами координаты Я^ и импульса Pi во внешнем электромагнитном поле с потенциалами (ср^ Ло) с помощью эрмитова (поскольку энергия — вещественная величина) оператора Гамильтона с точностью до членов порядка 1/с :
г( Р г( РЛо(^о ^)Ло(^о ^)(9.65)(9.65)
г( Р
г( Р
Ло(^о ^)
Ло(^о ^)
(9.65)
(9.65)
где ае^- — \ Ri — Rj V антикоммутатор по скалярному произведению оператора импульса Pi и векторного потенциала Ло определяется по правилу {Л, В } = АВ + В А. Оператор Н (9.65) задает поведение во времени вектора состояния ^(t) для рассматриваемой системы согласно уравнению Шредингера (см. Приложение 3):
не = -~ене = -~е(9.66)(9.66)
не = -~е
не = -~е
(9.66)
(9.66)
Здесь г — мнимая единица.
В терминах эрмитовых операторов электрического и магнитного полей E(RR) и B(RR) уравнения поля имеют вид
vs = уДг^№ - л),
-Ё' + V х В = ^^7г{7?г, 5№- Я)},(9.67)
VB = О, В* + V х Ё = О,
где во втором уравнении системы (9.67) в правой части стоит антикоммутатор, обеспечивающий эрмитовость источников в уравнениях поля, причем для оператора А имеет место соотношение
дг^АА~сА -^И- А^Эп'дг^АА~сА -^И- А^Эп'(9.68)(9.68)
дг^А
А~сА -^И- А^Эп'
дг^А
А~сА -^И- А^Эп'
(9.68)
(9.68)
В равенстве (9.68) dA/dt означает явную производную по времени, т. е. считается, что оператор А явно зависит от времени. В частности, если в выражении (9.68) оператор А явно от времени не зависит, то имеем так называемое гейзенберговское уравнение движения для операторов, не зависящих явно от времени [356]:
^1 = ГнесАш^1 = ГнесАш(9.69)(9.69)
^1 = ГнесАш
^1 = ГнесАш
(9.69)
(9.69)
+ Zi+ ZiEo(RiA) +Eo(RiA) +—, SoCRM) mi—, SoCRM) mi
+ Zi
+ Zi
Eo(RiA) +
Eo(RiA) +
—, SoCRM) mi
—, SoCRM) mi
Поскольку уравнение (9.69) имеет явное сходство с соответствующим уравнением классической механики со скобками Пуассона, то коммутатор в правой части уравнений (9.68), (9.69) также называют квантовыми скобками Пуассона от Н и А. Напомним, что коммутатором двух операторов называется перестановочная форма вида [ Л, В ] = АВ — В А. Отметим также, что из выражения (9.65) следует с точностью до членов порядка с°, что Ri = Pt/mt.
Чтобы записать уравнение движения для заряженной г-ой частицы, надо при вычислении производных по времени от Ri воспользоваться правилом (9.68). Тогда с учетом выражения для Н (9.65) получим
rrii Ri = PiZi Ло (Ri, t),
c
(9.70)
где Vi = d/dRi, г 7^ j. Здесь внешнее поле (EOl Bo) связано со скалярным и векторным потенциалами ((/?о?^о) зависимостями (9.20), (9.21), т. ч.
Bq = — Vy?o — А^ Bq = V х Л о,
а в правой части уравнения (9.70) через { Л, В}х обозначена перестановочная форма с векторным произведением: { Л, В }х = Л х В — -В х А.
В заключение приведем квантовомеханическое описание микроскопических уравнений поля заряженных осколков деления (9.42) для средних значений соответствующих операторов. Система в гильбертовом пространстве описывается вектором состояния ^to? либо эрмитовым оператором плотности ^(t) = ф(1)ф*(1). Среднее значение А оператора А вводится так:
А = ф*Аф^ либо Л = 8р(ФЛ).
Формально для записи полевых уравнений осколков деления надо потребовать выполнения условия | r^ | = | R^ — R^ | < | Rk — R |, гарантирующего участие тех точек наблюдения R. которые расположены вне осколков, и обеспечивающего сходимость разложения в ряд (в этом случае ряд для источников сходится).
Имеем для средних значений операторов (сравните с системой (9-42)):
VE = Q - Vp,
-E' + VxS = -J + p' + Vxm,(9.71)
с
VB = О, В' + V х Ё = О,
где операторы определяются выражениями
Q = ^k^Rk-R\
(9.72)(9.72)к
(9.72)
(9.72)
J=\^№kMRk-Rm ^ = фн,нл
и во втором и третьем соотношениях (9.72) стоят антикоммутатор и коммутатор для оператора скорости соответственно.
Уравнение движения &г-ой частицы в &-ом осколке имеет вид операторного уравнения:
гдегде^кг Rki — 2^^кг Rki — 2^2с ( mki2с ( mki(9.73)(9.73)4ТГ L ^k.ij4ТГ L ^k.ij(М + УО^клк(М + УО^клкZjj^kl,ijZjj^kl,ij№ + kz)1№ + kz)1^kl,il^kl,il+ E^Rki Яф+ E^Rki Яф
где
где
^кг Rki — 2^
^кг Rki — 2^
2с ( mki
2с ( mki
(9.73)
(9.73)
4ТГ L ^k.ij
4ТГ L ^k.ij
(М + УО
^клк
(М + УО
^клк
Zjj^kl,ij
Zjj^kl,ij
№ + kz)1
№ + kz)1
^kl,il
^kl,il
+ E^Rki Яф
+ E^Rki Яф
R(RkiR) — BoU^k-tRy ЗУУ ^ У ^ Vкг — оКкг
Здесь обозначение ае указывает лишь на присутствие оператора координат R с соответствующими индексами.
Аналогично может быть записано в операторной форме и уравнение движения ядра к-ro осколка:
(9.74)(9.74)mkRk = Zk E(Rk,t) + 3-1 И , в0(Кк,кIC I TH к
(9.74)
(9.74)
№ + yz)^kl,kl№ + yz)^kl,klгде
№ + yz)^kl,kl
№ + yz)^kl,kl
+ E0(RkRy B(RkR) = Bo^RkR).
Суммирование уравнений движения частиц (9.73) и сложение их с уравнением движения ядра (9.74) приводят в итоге к уравнению движения центра масс к-го осколка.
Уравнения поля (9.67), (9.71) и уравнения движения заряженных частиц и осколков деления (9.70), (9.73), (9.74) образуют основу для дальнейшего вывода операторных макроскопических полевых уравнений и уравнений движения в квантовомеханической трактовке с учетом ^“-зарядного радиоактивного излучения.
Глава 10
Некоторые вопросы нейтронной и зарядовой кинетики
Переходим к рассмотрению ряда вопросов, связанных с составлением и решением кинетических уравнений для продуктов цепного деления в активной зоне ядерного тороидального электрогенератора. Понятно, что при написании уравнений кинетики размножения заряженных частиц и заряженных осколков деления это рассмотрение будет сопровождаться большой долей условности. Основная цель, которая здесь ставится — это описание общих закономерностей процесса размножения, а вовсе не подсчет точного количества зарядов, вплоть до последнего электрона и протона.
Чрезвычайно важно, на наш взгляд, отметить, что на динамику роста числа заряженных частиц Q определяющее действие будет оказывать рост числа мгновенных и запаздывающих нейтронов N в активной зоне тороида, так как каждый новый акт деления нейтронами будет приводить к новому распаду ядер и образованию других заряженных осколков и заряженных частиц.
В § 10.1 решается задача нейтронной кинетики в общем виде с учетом всех групп запаздывающих нейтронов. Вводится понятие матрицы полной нейтронной кинетики и определяются ее свойства. В задаче о нахождении явной формы решения кинетических уравнений применяется метод разделения и сведения интегродифференци- альной задачи к интегральной (лемма согласования).
Вывод зарядовых кинетических уравнений ядерного электрогенератора составляет содержание § 10.2. Помимо нахождения самих уравнений устанавливается экспоненциальная неустойчивость решений зарядовых уравнений для коэффициента размножения ионитов, большего единицы.
Исследование уравнений зарядовой кинетики продолжается и в § 10.3, когда исходная кинетическая система подвергается действию малых белошумных возмущений. Анализ свойств стохастического движения удается свести к известной схеме с функционалом
Гл. 10. Вопросы нейтронной и зарядовой кинетики 297 действия и к нахождению соответствующего кинетического квазипотенциала. Исходная задача в классе произвольных устойчивых кинетических матриц аналитических решений не имеет. Поэтому предлагается метод замены исходной задачи на близкую ей задачу кинетики с устойчивой нормальной матрицей.
В заключительном § 10.4 исследуется диффузия нейтронов в тороидальном ядерном электрогенераторе. При решении соответствующего диффузионного уравнения стандартным методом разделения Фурье обосновывается важный вывод о практически полном отсутствии диффузии нейтронов и ионитов через внешнюю границу при тороидальном движении.
Решение задачи нейтронной кинетики в общем виде
В процессе ядерного деления образуются две основные группы нейтронов, испускаемых осколками деления. В первой из этих групп нейтроны испускаются почти мгновенно (в течение 10“14 с после самого процесса деления) и поэтому называются мгновенными нейтронами. Мгновенные нейтроны составляют порядка 99,36 % общего количества испускаемых нейтронов. Вторую группу образуют запаздывающие нейтроны, которые исходят из осколков деления после их радиоактивного /3-распада спустя некоторое время, измеряемое долями и десятками секунд.
Основные понятия и предварительные пояснения. Можно указать 10 известных предшественников запаздывающих нейтронов [370], причем каждый из них производит нейтроны с соответствующими периодом полураспада и энергией, которая ниже, чем у мгновенных нейтронов. Из этих предшественников для учета ввиду сложности анализа обычно отбирают шесть [107, 161, 370], обладающих наибольшим выходом запаздывающих нейтронов.
При стационарном режиме работы ядерного устройства (реактора, генератора) критическое состояние системы, когда коэффициент размножения нейтронов k = 1, соответствует самоподдержива- ющейся реакции деления. Понятно, что при работе устройства в пределах этого режима коэффициент к будет меняться в окрестности единицы. Для описания состояния работы ядерного устройства поэтому вводят коэффициент
± /\к = к — 1,
298 Часть III. Ядерная электродинамика и кибернетическая физика называемый избыточным коэффициентом размножения или избыточной реактивностью. Очевидно, что устройство находится в критическом состоянии, если Ак = 0. в надкритическом — если Ак > 0 и в подкритическом — если Ак < 0.
Помимо величин к и Ак часто для характеристики состояния активной зоны используют величину
ААк к-1
Зк = —— = ——,к к
называемую реактивностью и означающую долю изменения плотности нейтронов в новом поколении.
Среднее время жизни поколения нейтронов I представляет собой время от момента образования нейтронов при делении до момента их поглощения (с вызовом нового акта деления или окончательным выходом из реакции). Скорость возрастания или убывания плотности нейтронов п (число нейтронов N в единице объема) в активной зоне зависит от среднего времени жизни I нейтронов. Естественно, что скорость возрастания плотности п тем больше, чем меньше время жизни I до захвата с делением, т. е.
dn1
dtI
Этому выражению можно придать более точную форму. В самом деле, в следующем поколении при наличии избыточной реактивности плотность нейтронов будет равна п (1+Д&). Поэтому скорость изменения плотности нейтронов без учета запаздывающих нейтронов подчиняется уравнению
dn п (1 + Ак) — п
dtI
откуда п = По ехр (Ак • t/l\ где п^ — плотность нейтронов в начальный момент времени.
В кинетическом анализе ядерных устройств вводят понятие периода Т данного устройства, т. ч. t = Т — время, в течение которого плотность нейтронов п изменяется в е раз, т. е.
Л = е = е^ьт/1
По
и, следовательно, Т = 1/Ак.
Если учесть запаздывающие нейтроны в общем уравнении кинетики, то получим следующий нейтронный баланс. А именно скорость изменения плотности нейтронов п = n(t) равна для ш = 6
групп запаздывающих нейтронов
dn kn dt Idn kn dt I(10.1)(10.1)
dn kn dt I
dn kn dt I
(10.1)
(10.1)
где первое слагаемое в правой части уравнения (ЮЛ) означает скорость образования всех нейтронов при делении, второе — скорость потери нейтронов, третье — скорость образования предшественников, четвертое — скорость образования запаздывающих нейтронов из этих предшественников, пятое — интенсивность S внешнего источника нейтронов.
Здесь Р — доля запаздывающих нейтронов, 1 — Р — доля мгновенных нейтронов, Xi = 1/U — постоянная распада осколков деления (ядер-предшественников), излучающих запаздывающие нейтроны г-ой группы, li — время жизни этих ядер-предшественников, Ci — число (концентрация) ядер-предшественников запаздывающих нейтронов г-ой группы.
Величина Ci = Cipp удовлетворяет уравнению
dCi _kpiiidCi _kpiiiг = 1, m,г = 1, m,(Ю.2)(Ю.2)
dCi _kpiii
dCi _kpiii
г = 1, m,
г = 1, m,
(Ю.2)
(Ю.2)
где Pi — доля запаздывающих нейтронов каждой группы. В уравнении (10.2) первое слагаемое в правой части дает уменьшение числа ядер-предшественников из-за распада, а второе — их образование. Отметим также, что при обосновании системы уравнений (10.1), (10.2) предполагается, что время жизни дочерних запаздывающих нейтронов и их ядер-предшественников совпадает.
Очевидно, что уравнение (10.1), если считать S = 0, можно за
писать в видеписать в видеdn _ \Ц1- 3)--Цп^dn _ \Ц1- 3)--Цп^(10.3)(10.3)
писать в виде
писать в виде
dn _ \Ц1- 3)--Цп^
dn _ \Ц1- 3)--Цп^
(10.3)
(10.3)
Система уравнений (10.2), (10.3) описывает поведение плотности нейтронов во времени и поэтому может быть признана наиболее важной в задаче кинетического нейтронного исследования. Хорошо видно из этой системы, что число (концентрация) ядер-предшественников Cip\ г = 1,т, образует обратную связь относительно плотности нейтронов.
Для упрощения и большей наглядности расчетов при кинетическом анализе обычно используется усредненное приближение одной группы запаздывающих нейтронов с усредненным временем жизни /ср, где
1ср = ^г=1? , з = ГА
г=1
Тогда, очевидно, среднее время жизни поколения нейтронов I может быть найдено в виде суммы средних времен жизни запаздывающих и мгновенных нейтронов с учетом их долей в общем составе нейтронов:
Т = Зкр + (1 - 33 = ^2 1А + (т - L (10-4)
г = 1
В выражении (10.4) имеем оценку
(1-/з)/ « у;
г=1
откуда следует важная констатация: среднее время жизни одного поколения нейтронов в ядерном устройстве фактически определяется временем жизни запаздывающих нейтронов.
Матрица полной нейтронной кинетики. Запишем систему дифференциальных уравнений (10.2), (10.3) в векторноматричном виде
±(t) = Ах^Ор±(t) = Ах^Орж(0) = ж0,ж(0) = ж0,(10.5)(10.5)
±(t) = Ах^Ор
±(t) = Ах^Ор
ж(0) = ж0,
ж(0) = ж0,
(10.5)
(10.5)
где введены обозначения
А; (1 -(3) - 1^о = ;А; (1 -(3) - 1^о = ;г = 1, т.г = 1, т.
А; (1 -(3) - 1
^о = ;
А; (1 -(3) - 1
^о = ;
г = 1, т.
г = 1, т.
Для постоянной квадратной матрицы А размерности т+1 уравнение (10.5) имеет единственное решение x(t) = eAt -xq. Однако этим решением из-за наличия матричной экспоненты нельзя воспользоваться для записи явного вида всех компонент решения х.
Матрицу А можно назвать матрицей полной нейтронной кинетики. Приведем алгоритм вычисления определителя этой матрицы.
Лемма 10.1. Определитель матрицы А вычисляется по формуле
i=l j=0
Доказательство. С целью вывода соотношения (10.6) воспользуемся методом разложения определителя по столбцам с наибольшим числом нулей и сведением к вычислению определителей меньшего порядка треугольного вида. Тогда, начиная со второго столбца, получим на 1-ом шаге
det А = — Ai det А^ — Ai det А^, где
/ ^1
7^2 ■
0
0 ...
0
/ до
^2
А3 ...
Ат
-А2
0 ...
0
7^2
—а2
0 ...
0
л(У =
^з
0
-А3 ...
0
, л(У =
7^з
0
-А3...
0
\ рт
0
0 ...
— Хт
\ рт
0
0 ...
— Ат
/
т. е.
det Л = (-l)”>:LA1A2...Am - Ах det лу.(10.7)
Затем в равенстве (10.7) на 2-м шаге det ЛУ снова разложим по элементам второго столбца:
det А^ = —А2 det А^ — А2 det А^,
где
AD _/12 —AD _/12 —\ут о о\ут о о/ р0 А3 А4^з — A3 0Р4 0 — А4/ р0 А3 А4^з — A3 0Р4 0 — А4
AD _
/12 —
AD _
/12 —
\ут о о
\ут о о
/ р0 А3 А4
^з — A3 0
Р4 0 — А4
/ р0 А3 А4
^з — A3 0
Р4 0 — А4
Это означает, что
det Л У = уД-АД-Аз) ... (-Am) - А2 det ЛУ.(10.8)
При подстановке выражения (10.8) в формулу (10.7) получим
det А = (—l)m Ai А2 ... Хт ((/?1 + <у2) + (—Ai) (—А2) det А2 .
Продолжая этот процесс и сводя его последовательно к вычислению det А^, det А^ и т. д., придем на заключительном m-м шаге к равенству (10.6):
det А = (—l)m AiA2 ... Хт {р^ + ^2 + • • • + ^m-i) +
+ (—Ai)... (—Ат_i)(—Ат) фт + (—Ai)... Ат_i)(—Ат) фо-
Лемма доказана.
Следствие. Подставим выражения для ф^ j = 0, m, в формулу (10.6). Тогда, очевидно, получим
mл 1т
5 Vj = —- где Т & =
3=0г=1
Отсюда вытекает важный вывод о том, что матрица А вырождена при k = 1, т.е. для критического состояния ядерного устройства. В этом случае имеем стационарный режим работы х = то, х = Ахо = 0 (скорость изменения плотности нейтронов и их предшественников равны нулю). Тогда уравнения (10.2), (10.3) приобретают соответственно вид (/с = 1)
г = 1
где по = ЦО), С^о = СДО), г = 1,т. Из первого уравнения С^ = = Дпо/(А^). Если подставить это значение С^ во второе уравнение системы (10.9), то придем к тождеству, что и доказывает справедливость обоснования данных начальных условий процесса ядерной (нейтронной) кинетики.
Рассмотрим далее задачу о нахождении явной формы решения уравнения (10.5) с учетом результатов леммы 10.1. Для этого надо, видимо, найти все элементы матричной экспоненты eAt. Эта задача, как известно (см., например, работы [34, 76, 80, 194]), в общем случае решается путем нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы А.
Обозначим через а^ j = 0,m, различные собственные значения матрицы А. Левая часть характеристического уравнения det(A— —al) = 0 для определения а^ будет иметь вид многочлена Pm+i(o) по а степени т + 1, коэффициенты которого (а тем самым, и корни) вычисляются достаточно сложно. В качестве наглядного примера приведем запись многочленов для различных групп запаздывающих нейтронов Р2(о), Р3(о) и Р^а).
Одногрупповая кинетическая модель:
Р2(о) — (—I)1 [ Ai (фо + ^i) + (^о — Ai) а — с? ].
Двухгрупповая кинетическая модель:
РзП — (—I)2 { ^1^2 (^о + ^1 + ^2) + [ (Ai + А2) ^о + А1уд +
+ A2^2 — Ai А2 ] о + [ 9^0 — (Ai + А2) ] о? — о? }.
Трехгрупповая кинетическая модель:
PlM = ( — I)3 { А1А2А3 ^^ + 9^1 + ^2 + 9^3) + [ (А1А2 + А1А3 + А2А3) р^ +
+ Ai (А2 + A3) уд + A2 (Ai + A3) ф2 + A3 (Ai + A2) 923 — A1A2A3 ] a +
+ [ (Ai + A2 + A3) p0 + Ai</?i + А2уд + Азуд — (A1A2 + A1A3 + A2A3) ] о2 ++ [ 9^0 — (Ai + A2 + A3) ] o3 — о4 }.
Отсюда становится ясной бесперспективность поиска аналитического решения с помощью обращения к алгоритму нахождения корней уравнения Pm+i(o) = 0 в общем случае. Между тем ситуация не столь уж безнадежна и коренным образом меняется, если разделить системные уравнения (10.2) и скалярное уравнение (10.3).
Метод разделения. Интегро-дифференциальная задача. Система (10.2) может быть переписана в виде
У Д = В У Д + ip, y(t), ip Е R™, у(0) = Уо, (10.10)
Напомним, что начальные условия ш^) = С^о, г = 1,т, определяются выражениями (10.9).
Интегрируя уравнение (10.10), получим
W) = eBtW) = eBt• Уо +• Уо +eB(i-s)eB(i-s)n(s) yds.n(s) yds.(10.11)(10.11)
W) = eBt
W) = eBt
• Уо +
• Уо +
eB(i-s)
eB(i-s)
n(s) yds.
n(s) yds.
(10.11)
(10.11)
Поскольку в решении (10.11) величина n(t) = ^i(t) скалярная, а вектор ср постоянный, то имеем
W) = eBtW) = eBt(10.12)(10.12)
W) = eBt
W) = eBt
(10.12)
(10.12)
В выражении (10.12) матричная экспонента eBt очень просто находится в виде /е-^до.0
Bt 0e~w...0
е =
\ 00...e-Xmt
УгО = СЛ) = Угое x,tУгО = СЛ) = Угое x,tа это значит, что решение (10.12) можно записать поэлементно:
УгО = СЛ) = Угое x,t
УгО = СЛ) = Угое x,t
(10.13)
Подставляя затем полученные значения Ci(f) (10.13) в уравнение (10.3), получим
тт
п(1) = фо n(f) + У А^о e-Xtt + У / n(s) eX1 ds.
г=1г=1 Jo
Очевидно, что это уравнение представимо в виде линейного неоднородного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра 1-го порядка
h(t) = уо Ц^) + / n^s) F^s, t) ds + F2(ty (10.14) Vo
где для известных функций времени Fi(s, t) и F2 введены обозначения (М) = ех-^ :
KAs^ = У \гфгеХ*^ #) = У А^г/г(б)/г(-О, г=1г=1
ЭД = У АгСг0 e-X,t = У АгСг0 Ы-tY г=1 г=1
Интегро-дифференциальные уравнения вида (10.14), по-видимо- му, впервые появились в задачах математической биологии (20 - 30-е г. XX века: задача Ферхюлста о популяциях и конкуренции внутри видов, задача Лотки-Вольтерра об ассоциациях типа ’’хищник- жертва” и т.д. [78]). Особенностью этих уравнений является то, что все они вызваны разнообразными эффектами запаздывания. Не удивительно поэтому, что наличие запаздывающих нейтронов в процессе ядерного деления также повлекло за собой появление соответствующего интегро-дифференциального уравнения, в котором эффект запаздывания задается с помощью функции Fi^tY
Для решения уравнения (10.14) можно воспользоваться одним из приближенных методов, например, квадратур, последовательных приближений и т.д. [331]. Один из наиболее радикальных аналитических методов решения интегро-дифференциальных уравнений — это метод сведения исходного уравнения к интегральному с последующим решением через резольвентное ядро.
Метод сведения к интегральной задаче. Однако в нашем случае сведение исходного интегро-дифференциального уравнения к интегральному уравнению сопряжено с большими трудностями, обусловленными присутствием сразу трех составляющих различной дифференциальной размерности: n(t), n(t) и fQ n(s)ds. Тем не менее попытаемся воспользоваться одним из вариантов метода сведения [331] с помощью подходящей замены переменных.
Обозначим
n(t) = / H(t)a(s)ds^ fi(t) = / H(t) a(s) ds + H(t) a(t\ JoJo
где a(t) — новая искомая функция, H(t) — функция однородного ядра, выбираемая в дальнейшем из определенных условий разрешимости уравнений. При подстановке этих выражений в уравнение (10.14) получим
/ H(t) a(s) ds-\-Н(1) а(1) = фо f H(t) a(s) ds +
JoJo
+ / Fi(s,t) I / H(s) a(v) du I ds + F2(t), Jo\Jo/
откуда
[ ^Н(1) - фо H(t) ] a(s) ds + H(t) a(t) -
Jo
— / Fi(s^t) I / H(s) a(v) du 1 ds = F2(t).(10.15)
Jo\Jo/
Обозначим далее
M(t) = H(t) -ф0Н(1), 0(1) = / M(t) a(s) ds-\-H(t) a(t)Jo
и запишем уравнение (10.15) в виде линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
0(1)- / N(s,t)0(s)ds = F2(t),(10.16)
где в дальнейшем ядро N^f) будет выбрано должным образом.
При тождестве уравнений (10.15) и (10.16) надо потребовать, чтобы выполнялось равенство
f N(s^t)\ / M(s) сг(и) du + H(s) a(s) 1 ds =
0VO/
Это соотношение выполняется, если, в свою очередь, справедливо равенство подинтегральных функций:
N(s^t) [ M(s) а(и) du + N(s^t) H(s) a(s) =
Jo
= Fi(s^t) [ H(s)a(u)du^Jo
т. e. имеет место равенство
N(s^t) H(s) a(s) = f (^Fi^s^t) H(s) — N(s^t) M(s)^) a(u) du^ Jo
иначеиначе(10.17)(10.17)
иначе
иначе
(10.17)
(10.17)
Очевидно, что в интегральном условии (10.17) первая дробь Fi(s, t)/N(s, t) не должна зависеть от I. Это произойдет, если выбрать в качестве функции N^f), например, такую
N(s,t) = g(s)^i(s,i),
где g(s) — некоторая известная функция времени з. Таким образом, приходим к ограничению
откуда получаем уравнение линейной голономной дифференциальной связи 1-го порядка:
<r(z) = Л0 ло, Л0 = 1 h^ ■(10.18)
Эта связь (10.18) может быть названа также регулируемой, поскольку в ней функциональный коэффициент д(£) может выбираться каким-либо целевым способом.
Рассмотрим самый простой и естественный случай решения уравнения (10.18), когда д(£) = д = const. Имеем a(t) = aoexp(^t), где erg = ^(О). В связи с наличием ряда новых вводимых функций (предполагаемых всюду непрерывно дифференцируемыми по всем аргументам) и соответствующих уравнений возникает важный вопрос о разрешимости этих уравнений. Ответ на него дает следующее утверждение.
Лемма 10.2 (согласования). При выборе функции времени
нХ =нХ =КОЛИh(t) a(t)1КОЛИh(t) a(t)1(10.19)(10.19)
нХ =
нХ =
КОЛИh(t) a(t)1
КОЛИh(t) a(t)1
(10.19)
(10.19)
где g(t) — некоторая заданная функция 1,1 > 0, 9(1) = 9 (Fi, F^ g,t) — известное решение интегрального уравнения (10.16), h(t), a(t) — известные функции времени, система интегральных зависимостей (10.16) - (10.18) будет согласованной, т. е. непротиворечивой и имеющей однозначное решение при заданных начальных условиях.
Доказательство. Будем исходить, прежде всего, из наличия уравнений (10.16) и (10.18). С одной стороны, задание функции N(s, 1) = g(s) Fi(s, 1) полностью определяет решение 9(1) в интегральном уравнении (10.16). С другой — решение а(1) в уравнении (10.18) определяет характер зависимости
9(1) = / M(t) a(s) ds + H(t) a(t),Jo
если известна функция времени Н(1).
Поступим следующим образом. Пусть // = const. Тогда в соотношении (10.18) имеем
h(t) = —p,h(t) + 1, h(t) = —h (Hq — 1) e Mt, ho = h(0).
В силу определения функции h(t) надо записать
+ Хо - 1)=УфДД(1,0.20)
Будем считать, что функции h(l) и а(1) — это известные функции времени. Зададим функцию g(t). Тогда из соотношения (10.20) получим
h(l) Н(1)
h(t) М(1) + Н(1)’
где h(t) — уже известная функция времени. Кроме этого имеем
6(t) = [ h(t) M(t) + H(t) ] a(t),(10.22)
где 9(f) = 6 (Fi, F^ дЯ) — известное решение интегрального уравнения (10.16). Подставляя выражение для h(f)M(f) + H(f) из соотношения (10.22) в зависимость (10.21), найдем
_ неново9V)0(f)’
откуда следует условие согласования (10.19), что и требовалось доказать.
Подводя общие итоги задачи решения кинетических уравнений, можем заключить, что интегральная схема решения состоит из нескольких этапов: вначале задаем функцию g(f) и число д, затем находим функции М(зЯ\ a(t) и h(t)^ по ним определяем функции 6(t) и H(f). Найденные значения позволяют определить решение задачи, а именно плотность нейтронного потока n(f) и концентрацию ядер- предшественников Ct(fp i = l,m.
Зарядовая кинетика ядерного электрогенератора
Гипердинамические потребности в высоких космических скоростях диктуют необходимость выработки ядерной энергии с помощью электрогенераторов на быстрых нейтронах. Эти ядерные устройства наиболее выгодны из-за высоких значений коэффициента воспроизводства.
Однако их использование выдвигает несколько требований к поддержанию ядерного кинетического процесса на должном уровне. Прежде всего, необходимо поддерживать высокую среднюю энергию нейтронов порядка нескольких сотен киловольт [161]. Здесь энергетический спектр нейтронов определяется свойствами горючего, сырья и конструкционных материалов по отношению к неупругому рассеянию нейтронов (большое сечение неупругого рассеяния имеет 238[/). Кроме того, для работы ядерных устройств на быстрых нейтронах для достижения критичности необходима высокая концентрация горючего в относительно малых объемах. Последнее вызвано низкими значениями сечения деления в области высоких энергий.
Поэтому в дальнейших наших рассуждениях будем считать, что рассматриваемое ядерное устройство (ядерный электрогенератор) имеет бридерную основу.
Все заряженные осколки и частицы обоих знаков (ионы, электроны, протоны и т.д.) для простоты и удобства использования назовем ионитами, а их совокупность (= Q) — ионитовым газом (ионитовым газовым шнуром).
Баланс ионитов будем характеризовать, как и в случае с нейтронами, коэффициентом размножения, но на этот раз коэффициентом размножения ионитов /. Коэффициент размножения / можно определить как отношение числа ионитов в любом поколении к числу ионитов в предыдущем поколении.
Полагаем при этом, что среднее время жизни одного поколения ионитов т пропорционально среднему времени жизни одного поколения нейтронов I :
г = Л/ + Г(£,17,фд), (10.23)
где А > 0 — коэффициент пропорциональности, (s, v, 5^ д) — набор параметров, характеризующих соответственно электромагнитное воздействие, воздушное сопротивление среды, динамические и конструктивные особенности, также непосредственно влияющих на величину г.
На самом деле зависимость (10.23) может иметь не константный, а довольно сложный функциональный вид, где все входящие сюда величины будут зависеть каким-либо образом от времени и пространственных переменных. В работе [330] для анализа простейшей зарядовой кинетики фиксировалось значение А = 1 с указанием на то, что величина г совпадает с величиной I и полностью ею определяется. Видимо, это не совсем так, о чем свидетельствует соотношение (10.23).
В отличие от потерь нейтронов (захват без деления, утечка и т.д.) потери ионитов, задающие время их жизни, определяются в основном степенью их нейтрализации (т. е. захватом недостающих зарядов), которая, в свою очередь, зависит от общего поля (Н^Е), скорости движения частиц и т.д.
При / = 1 процесс ядерного деления с образованием ионитов и нейтронов идет стационарно с постоянной скоростью {k = 1); активная зона критическая и в ней осуществляется самоподдерживающа- яся цепная реакция. В этом случае Q = const, элементы внутреннего электромагнитного поля (Н^ Е*), включая I*,j*, также будут близки к постоянным значениям.
Без учета запаздывающих ионитов изменение плотности ионитового газа q в активной зоне в течение одного поколения равно
фq — q = (ф — 1) q. Если г — среднее время жизни одного поколения ионитов, то за единицу времени плотность подвижных заряженных частиц q изменится в (/ — 1)/г раз, т.е.
dt г ' J
откуда q(t) = go ехр(£/Т*), где qo — начальная плотность ионитов, Т* = г/(ф — 1) — зарядовый период ядерного электрогенератора.
Выше уже обговаривалась важная роль и практическое значение запаздывающих нейтронов в управляемом процессе поддержания цепной ядерной реакции. Очевидно, что запаздывающие нейтроны и другие продукты Р--распада будут вносить свой вклад в образование ионитового газа.
Пусть у — доля запаздывающих ионитов (заряженных продуктов J~ распада). (1 — у) — доля мгновенных ионитов. Коэффициент размножения / можно записать как коэффициент, состоящий из двух частей: / = /о + А, где /о = (1 - 7)/, А = 7/- После /3“-распада осколков запаздывающие иониты становятся по существу мгновенными, а это значит, что их эффективное время жизни г* равно сумме: г* = ^ + Кн гДе Т6 — время запаздывания (время /3-распада), г о — время жизни мгновенных ионитов.
Следовательно, среднее эффективное время жизни поколения ионитов г равно
г = 7г* + (1 - 7) г0 ~ г0 + 7г*.
Так как ^г* У> го, то отсюда вытекает, что зарядовый период ядерного электрогенератора Т* = г/(ф — 1) определяется средним временем запаздывания ионитов.
Остановимся подробнее на простейшей линейной теории зарядовой кинетики. Будем считать, что плотность ионитового газа q представляет собой смесь из плотностей заряженных подвижных частиц и осколков деления названных выше двух видов, а именно q = qm + qz- Здесь qm — плотность мгновенно образующихся ионитов, qz — плотность запаздывающих ионитов. Тогда вместо соотношения (10.24), не учитывающего наличие запаздывающих ионитов, можно написать систему двух кинетических уравнений, описывающих динамику изменения плотности (концентрации) ионитового газа в ядерном электрогенераторе:
d qm dt
= K1 ”7)3 - 1] 9m + 97
rr* ’
(10.25)
dqz dt
= 7/9m _ 97
rr* ’
(10.26)
с заданными начальными условиями
Qm |^_q — QmOi^z \t=Q = ^0,Qm |^_q — QmOi^z \t=Q = ^0,d qmdtdqzdtd qmdtdqzdtQmO ’ t=0QmO ’ t=0— Qzo- t=0— Qzo- t=0(10.27)(10.27)
Qm |^_q — QmOi^z \t=Q = ^0,
Qm |^_q — QmOi^z \t=Q = ^0,
d qmdtdqzdt
d qmdtdqzdt
QmO ’ t=0
QmO ’ t=0
— Qzo- t=0
— Qzo- t=0
(10.27)
(10.27)
Прокомментируем запись правых частей системы уравнений (10.25), (10.26). В уравнении (10.25) коэффициент при qm характеризует изменение плотности (числа) мгновенных ионитов за время жизни одного поколения. Второе слагаемое характеризует рост величины qm за счет qz путем перехода последних в разряд мгновенных ионитов. Ситуация с подсчетом изменения плотности запаздывающих ионитов описывается уравнением (10.26). В этом уравнении первое слагаемое представляет увеличение концентрации числа запаздывающих ионитов за счет образования мгновенных ионитов; второе — наоборот, представляет уменьшение концентрации числа запаздывающих ионитов в пределах времени их жизни (т. е. в пределах времени J~ распада). Хорошо видно, что в системе (10.25), (10.26) плотность (концентрация числа) запаздывающих ионитов qz образует по отношению к плотности мгновенных ионитов qm обратную связь.
После несложных преобразований систему уравнений (10.25), (10.26) можно свести к дифференциальному однородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающему особенности кинетики ядерного электрогенератора как объекта регулирования:
х + 51 х — 52 ж = 0,
где х = qm (либо х = qz\
г + г* - (1 - 7) Ж/ - 1
di — ,02 — •
Характеристическое уравнение имеет два вещественных корня вполне определенного знака (/ > 1) :
— 51 + (5^ + 45^/^
2
Отсюда с учетом начальных условий (10.27) получим следующие решения уравнений кинетики как функций времени:
Qm (^) —Qm (^) —QmO ^2QmOAi — А2QmO ^2QmOAi — А2Al^mQ QmOAi — A2Al^mQ QmOAi — A2qA^ =qA^ =^0 - A2^o\ eAit + / Ai^o - ^0Ai — A2 /\ Ai — A2^0 - A2^o\ eAit + / Ai^o - ^0Ai — A2 /\ Ai — A2(10.28)(10.28)
Qm (^) —
Qm (^) —
QmO ^2QmO
Ai — А2
QmO ^2QmO
Ai — А2
Al^mQ QmOAi — A2
Al^mQ QmOAi — A2
qA^ =
qA^ =
^0 - A2^o\ eAit + / Ai^o - ^0
Ai — A2 /\ Ai — A2
^0 - A2^o\ eAit + / Ai^o - ^0
Ai — A2 /\ Ai — A2
(10.28)
(10.28)
В решениях (10.28) второе слагаемое в правой части для qm и qz быстро стремится к нулю. Пренебрегая им, считаем, что динамика нарастания плотности (числа) ионитов qm и qz определяется первым слагаемым в решениях (10.28). Ранее было сказано, что запаздывающие иониты в значительной степени замедляют переходный процесс, а зарядовый период Т* = r/(f — 1) практически полностью определяется средним временем запаздывания г*. Эта особенность прослеживается и в зависимостях (10.28). В самом деле, при следующих приближениях:
г* ~ г,г* ~ г,61 ~61 ~/-1/-1г2г2
г* ~ г,
г* ~ г,
61 ~
61 ~
/-1
/-1
г2
г2
вытекает справедливость оценок
9™to, <?Д) ~ eXlt ~ е^т*.
Таким образом, в ходе проведенного огрубленного кинетического анализа процесса ядерного цепного деления в вакуумном тороидальном электрогенераторе на фоне сильнодействующего направленного возрастающего электромагнитного поля можно считать установленным достижение экспоненциального роста плотности (числа) двигающихся с большой скоростью заряженных частиц и заряженных осколков деления. Итогом этого лавинообразного роста плотности ионитового газа будет стремительный рост, согласно рассмотренным выше электродинамическим закономерностям, индуцируемого во внешней обмотке ядерного электрогенератора электрического тока (см. соотношения (9.17)).
Очевидно, что в свете сказанного о принципах ядерной электродинамики решения преобразованных уравнений Максвелла (9.7), (9.8) для общего электромагнитного поля следует искать в виде
Я = Ят(ж, у, z) e°mt, Е = Ет(х, у, z) ebmt, (10.29)
где am^bm — постоянные положительные коэффициенты, т = 1,оо. Если известно фурье-распределение поля в начальный момент времени
Я°(ж, у, z) = ^2 ст Нт0, У, Д Е°0, у, z) = 52 dm Ет(х, у, z)
по полной системе взаимно ортогональных векторных функций II т. Emi то тогда общее решение задачи о неограниченном росте электромагнитного поля можно записать с помощью соотношений (10.29) в виде следующих расходящихся рядов:
H(x,y,z,t) = ^ cmeamt Нт(х, У,
Е(х, у, z,t) = ^ dm ebmt Ет(х, У, z).
Современная тепловая ядерная энергетика, как известно, вынуждена ограничивать свои возможности химическими и тепловыми превращениями на весьма низком энергетическом уровне. И это несмотря на то, что физика процесса ядерного деления позволяет достигать поистине колоссальных абсолютных значений. Основная проблема нынешней ядерной электротехники — быстрый лавинообразный рост числа нейтронов деления в активной зоне ядерного реактора, приводящий к неминуемому перегреву и тепловому взрыву.
В настоящей главе предлагается альтернативная схема вакуумного прохождения цепной ядерной реакции в сильном возрастающем и направленном электромагнитном поле. В рассматриваемых условиях просто ’’нечему” перегреваться и плавиться, разве что цилиндрическим стенкам тороида. Однако эта задача благополучно решается за счет наличия направленного электромагнитного поля, экранирующего каскадные потоки нейтронов и ионитового газа внутри самого ядерного генератора.
Зарядовая кинетика под действием малых случайных возмущений
Ниже рассматривается весьма актуальная для задач ядерной кинетики проблема стохастической устойчивости под действием малых случайных возмущений исходного кинетического процесса [19, 107, 114, 161, 261, 370]. Стохастические флуктуации в поведении динамической системы (10.25), (10.26) могут быть самой различной природы: от деформации внешних и внутренних электромагнитных полей до изменений температурного и вакуумного режима, химического состава участвующих в кинетическом процессе ядерных компонентов, из-за конструктивных несовершенств и инерционности действия регулирующих устройств. Разнообразие причин появления, пусть и незначительных, случайных возмущений, тем не менее,
может привести к одному общему катастрофическому итоговому результату, ведущему к разрушению самой кинетической системы.
Исследование стохастической устойчивости (неустойчивости) решений системы (10.25), (10.26) относительно малых случайных возмущений начнем с напоминания некоторых основных понятий.
Асимптотическая устойчивость и стохастическая неустойчивость. Рассматривается невозмущенная детерминированная кинетическая система (10.25), (10.26):
х = Ат, т(0) = то,(10.30)
где
А =°12 х = ( ^т
\«21«22 /\ Iz ;
_ (1-7)/"1_ 7/__ 1
«11 — ,6121 — ,«12 — — «22 — —,
ГГГ*
которая в начале координат (в точке 0, отождествляемой с двумерным нулем) имеет положение равновесия: 0 = АО.
Положение равновесия (точка 0) называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову), если для любой окрестности W : 0 Е W найдется окрестность Ж) : ^о Ж)? Для которой решения уравнения (10.30) x(t) Е Ж t > 0. Если, кроме этого, x(t) 0 при t ею, то положение равновесия называется асимптотически устойчивым.
Далее предполагается, что система (10.30) возмущена малым белым шумом
X^AX^sw, Х(0) = т0,(10.31)
где w(t) — двумерный винеровский процесс, е > 0 — малый числовой параметр, и нас интересует задача о выходе траекторий процесса X(t) из некоторой ограниченной области И, содержащей положение равновесия. Появление малого параметра в системе (10.31) можно объяснить предположением, что интенсивность шума мала по сравнению с детерминированными факторами, задающими динамику системы.
Пусть матрица А устойчива (гурвицева), т.е. ее собственные числа Ai и А2 имеют отрицательные вещественные части. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно [6], чтобы коэффициенты 51,^2 характеристического уравнения А2 + ДА — Д = 0 удовлетворяли неравенствам
0.0.г +- (1 - 7) Ж/ - 1
0.
0.
Д = > 0,0 2 =
ГТ*ГТ*
Очевидно, что эти неравенства имеют место при / < 1. Так как матрица А считается устойчивой, то положение равновесия невозмущенной системы (начало координат) будет асимптотически устойчивым:
| хЯ) | = I I < | ел* | ■ I I ^^> 0.
Отметим, что векторная функция w^t\ t > 0, не является ограниченной по норме. Поэтому решения Х(1) уравнения (10.31) могут, вообще говоря, выходить рано или поздно из любой окрестности положения равновесия, даже при наличии асимптотической устойчивости этого положения равновесия [67], т.е. траектории Х(1) с вероятностью 1 могут как угодно далеко отклониться от положения равновесия. Система тем самым становится неустойчивой. Для придания более точного смысла термину ’’неустойчивость” системы (10.31) введем в рассмотрение некоторые понятия, пользуясь определениями и схемой исследований, предложенными в работе [67].
Обозначим через D С R2 область, отличительной особенностью которой является то, что если вектор состояния X(t) Е D^ то объект (10.31) функционирует; если же фазовый вектор покидает D^ то объект разрушается. Область D носит название критической области.
Введем случайную величину т = min {t : X(t) ^ D^ — время до разрушения системы (10.31), где Х(1) — ее решение с начальным условием то, или иначе т — первый момент выхода процесса из D. В качестве меры неустойчивости можно взять величину вероятности Р^т < Т}, если отрезок времени [0, Т] работоспособности объекта фиксирован, или величину математического ожидания Мт, если этот промежуток времени заранее не известен. Оценки величин Р^т < Т }, Мт даются с помощью функционала действия.
Функционал действия и квазипотенциал. Обозначим через Сот (Я2) множество непрерывных функций на отрезке времени [0, Т] со значениями в R2. В этом пространстве рассмотрим метрику Рот^^) = suPo<t<T II 7^) — V’to II и Для абсолютно непрерывных функций (p(t) Е C0T(R2) определим функционал
S0T^ = ^j \\ФС)-bQHCf^ds, U<O^R\ (10.32)
причем если функция ср(1) не является абсолютно непрерывной на [0, Т] или написанный интеграл расходится, то полагаем Sqt^) ~ = +оо.
К примеру, в случае классической механической системы, для которой действие вдоль траектории ср(1) есть функционал S(pp\ дви-
жение этой системы будет происходить вдоль экстремалей функционала 8(ф). На языке невозмущенной динамической системы
Ф = Ь(фф ф^ = ф0, ь(ф) е R2.(10.33)
это означает, что если 5от(^) = 0, то функция ф(1) на [0, Т] является траекторией системы (10.33), поскольку ф(б) абсолютно непрерывна на [0, Т] и удовлетворяет почти всюду уравнению (10.33).
Пусть В — ограниченная в R2 (критическая) область, ЭВ — ее гладкая граница. Если траектория ф(б) системы (10.33), начинающаяся в точке фо Е В^ за конечное время выходит из В U ЭВ. то траектории процесса Ф(^)
Ф = Ь(Ф) + ew, Ф(0) = фо, £> 0,(10.34)
исходящие из фо, также с вероятностью, близкой к единице при малых s, покинут за это время область В [14]. Причем первый выход из области с большой вероятностью произойдет вблизи точки выхода из В траектории ф(Э) системы (10.33).
Более точная формулировка этого результата связана с тем, что при вычислении вероятностей событий { || Ф(^) — ф(1) || < 5 } имеет место приближение
Р{ II Ф(0 - ЛЭ II < 8 } « es°T^,e2
при достаточно малых Е^д > 0 для функционала Sot^) (10.32) на отрезке времени [0, Т]. Функционал S,qt(^)/s2 с постоянной нормировки е2 по аналогии с квантовомеханическими задачами [354] называется функционалом действия для семейства случайных процессов Ф(£), описываемых стохастическим уравнением (10.34).
Пусть точка 0 Е R2 является асимптотически устойчивым положением равновесия системы (10.33). Квазипотенциалом динамической системы (10.33) относительно точки 0 называется функция У\^фо\ определяемая равенством
K(0,^0) = inf Sot^Y(Ю.35)
где функционал действия задается равенством (10.32), причем
фЕСМФЧ ^ |t=0 = °, Д=Т = (М
а концы промежутка [0, Т] не фиксированы. Имеем: У(О,(/?о) > 0, У(0,0) = 0, функция У^^фо^) непрерывна.
Основное свойство квазипотенциала задается утверждением, согласно которому если векторное поле Ь(р) в системе (10.33) допускает разложение
(10.36)
(здесь V — оператор взятия градиента), где потенциальная функция U(p) непрерывно дифференцируема в В U ЭВ^ U(0) = 0, U(p) > 0, ^U^0 при р 0, ^XJ^pV ^(^)) = 0, то тогда:
квазипотенциал VX^p^ равен
У(О,^о) = 2П(^о)
для всех Pq Е D U ЭВ таких, что U(po) < Uq = ттуЕэп U(y);
единственная экстремаль p(t) функционала Sqt^) на множестве функций p(t) определяется уравнением
p = \7U(p)rv(p),(10.37)
где ^ lt=0 = °> ^\t=T = УоЛ € [0, Т].
Можно показать, что для любой кривой p(t\ соединяющей точки 0 и ро^ имеет место неравенство
Sqt^ > 2^(^о) = 8ОТ^Р\
т.е. VX^p^ = inf Sqt^) = 2U(po) и функция p(t) как единственное решение уравнения (10.37) является единственной экстремалью.
Кроме того можно обосновать, что асимптотика среднего времени выхода процесса Ф(Г) (10.34) из критической области В определяется предельным равенством
lim е2 In Мт = Кэ = min УХ^йу),
£—>0yEdD
где V(0, у) — найденный квазипотенциал динамической системы (10.33) относительно положения равновесия (точки 0), которое предполагается асимптотически устойчивым.
Кинетический квазипотенциал. Вновь обратимся к исходной кинетической системе (10.30) с известной устойчивой постоянной матрицей коэффициентов А. Пусть векторное поле Ь(х) = = Ах допускает разложение вида (10.36):
Ах = - V(Bt, ж) + Сх,(10.38)
где П(х) = (Вт, ж), т(т) = Сх; В^С — ненулевые квадратные матрицы размерности 2, подлежащие определению. Предполагается, что
В — положительно определенная матрица. С учетом результатов предыдущего раздела ставится задача о нахождении матриц В и С, потенциала Вфхф квазипотенциала V(0,Xq) и уравнения экстремали вида (10.37).
Из соотношения (10.38) имеем, очевидно, уравнение
А = — 2В + С,(10.39)
а из условия ортогональности (VB(x), г(х)) = 0, Vx 6 В2, получим
С* В = 0,(10.40)
где С* — транспонированная по отношению к С матрица.
Система уравнений (10.39), (10.40) приводит к квадратному матричному уравнению по В : А*В + 2В*В = 0, которое при произвольном задании матрицы А аналитического решения не имеет (имеется в виду решение, не приводящее к С = 0). Отметим также, что к этому же уравнению можно прийти из уравнения Якоби для квазипотенциала при условии ортогональности векторов VU(x) и г(х), где v(x) = Ах + VC(ж), V(0, х) = 2U(ж) :
| |^У(0,ж)||2 + (Лж, W(0,m =0.
В случае, если А — нормальная матрица (т.е. АА* = А*А) с отрицательно определенной симметрической матрицей А + А*, решение может быть найдено и имеет вид
В = -^(Л + Л*),С=|(Л-Л*),
U(x) = -| (Д + Л*) ж, х),V(0,x0) = 2U(x0).
К этому же случаю, когда А — нормальная матрица, относится и уравнение для экстремали:
ф = VC(р) + и(р) = - А*р.
Достаточно жесткое ограничение, накладываемое на матрицу А в виде условия ее нормальности, требуется, собственно, для обеспечения условия ортогональности
("| Д + Л*) X, | (Л - Л*) ж) = -1 [ (Ах, Ах) -
— (А*ж, А*ж)] = —| [(А*Аж, ж) — (АА*х^ ж)] = 0.
Поскольку в исходной задаче матрица А не является нормальной, то мы приходим к ситуации, имеющей в рассматриваемом случае численное решение. Более оптимистический прогноз связан с задачей аппроксимации, своего рода теоретическим аналогом приближенного численного метода. Речь идет о замене исходной системы (10.30) на асимптотически близкую ей кинетическую модель.
Аппроксимирующая кинетическая система. Вначале покажем, что матрица А не может даже в принципе быть нормальной при условии, что коэффициент размножения ионитов / < 1. Напомним, что в этом случае матрица А устойчивая. Нормальность А означает ее симметричность, т. е. обеспечение равенства элементов П12 = «21 •
1£ = Lг г*'
откуда
г _ ЛТ+АиА^ = 1 + д
где обозначено А = (1 — у) го/(уг*).
Важным моментом является то, что величине А можно придать ’’статус” малого параметра. В самом деле, из предыдущих оценок следует
Поэтому матрицу А будем аппроксимировать устойчивой отрицательно определенной нормальной матрицей А :
А = А + А5, As= (°(10.41)
где 5 > 0 — малый параметр.
Алгоритм приближения (10.41) выберем следующий. Пусть в нормальной матрице А коэффициент / < 1, точнее / = 1 — А :
г '
Имеем отсюда
= 7(1-А) == 1. !"Л
т yr* + (1 — 7) г0 г* 1 + Д’
г 1111-Д1 2Д
о =а =•— = — •—.
г*г*г*1 + Д71 + Д
Очевидно, н ^ —, J > 0 — малый параметр, т.к. здесь Д > 0 — малый параметр.
Таким образом, исходная кинетическая система (10.30) с ’’малым” возмущающим вектором А§х, || А§х || —> 0 при t —> ею (на ограниченном промежутке времени || А§х ||0 обеспечивается при 50),
вида
х = Ах + А§х, х(0) = х,приближается ’’нормальной” устойчивой кинетической системой
х = Ах, х(0) = х0.(10.42)
Дальше начинает работать описанная выше схема исследования стохастического движения системы (10.42), возмущенной малым белым шумом
X^AX^ew, Х(0) = х0(10.43)
с помощью теории квазипотенциала. Для системы (10.42) квазипотенциал относительно положения равновесия х = 0 имеет вид
V(0, х) = — ((Л + Л*) х, х) = — (Ах, х),
где А — устойчивая, отрицательно определенная нормальная (симметрическая) матрица. Выпишем уравнение для экстремалей:
^ = -|(Л + Л*7 + |(Л-Л*)^ = -Л> = -Л^.
Отсюда можно сделать следующий вывод: марковские траектории X(t) системы (10.43) с вероятностью, стремящейся к 1 при е 0, впервые выходят из критической области D вблизи точки уо Е ЭВ, т. е. вблизи экстремали, исходящей из этой точки: W) = exp(-At) ■ уо-
Диффузия нейтронов в тороидальном ядерном электрогенераторе
Ранее было сказано о решающем значении процесса образования свободных нейтронов в делящейся среде для осуществления и поддержания цепной ядерной реакции, а тем самым и для образования заряженного подвижного ионитового газа. Поэтому вопрос о распространении диффундирующего потока нейтронов по всему объему внешнего магнитного отражающего поля представляется достаточно важным.
В критическом стационарном генераторе коэффициент размножения нейтронов от поколения к поколению не меняется (к = 1). Поэтому для любой точки активной зоны можно написать следующее уравнение баланса нейтронов:
Об - У - П - От = О, (10.44)
где Об — ’’образование”, У — ’’утечка”, П — ’’поглощение”, От — ’’отражение” нейтронов, причем через От в соотношении (10.44) обозначено внешнее магнитное воздействие, выполняющее по отношению к нейтронному потоку отражающую и восстановительную функцию, а также отражающее действие самой тороидальной поверхности.
Основным уравнением для явлений диффузии (в данном случае диффузии нейтронов) является закон Фика [25, 161, 370], который устанавливает, что результирующий ток (поток) диффундирующего вещества пропорционален градиенту плотности этого вещества и направлен в сторону области с наименьшей плотностью:
J=-DW, (10.45)
где V = (Э/Эх, д/ду, d/dz) — оператор пространственного градиента, J — результирующий поток нейтронов, Ф = пи — скалярный нейтронный поток, D — коэффициент диффузии, определяемый соотношением (10.45). Здесь п — число нейтронов в единице объема (пространственная плотность), и — усредненная плотность нейтронов.
Обозначим утечку У в уравнении (10.44) через L. Величина L выражается
L = -D^Ф, (10.46) где А = (Э2/Эх2^ д2/ду2, д2fdz2^ — оператор Лапласа. Если теперь учесть, что в уравнении (10.44) ’’образование”, ’’поглощение”, ’’отражение” в отдельности пропорциональны потоку Ф, то с учетом соотношений (10.45), (10.46) уравнение диффузии (10.44) может быть для
322 Часть III. Ядерная электродинамика и кибернетическая физика некоторого коэффициента пропорциональности R записано в виде
D АФ + НФ = О,
либо
△Ф + а2Ф = О, Ф|геП,(10.47)
где а2 = R/D, Ф|г Е Q — граничное на Г условие из некоторой области Q относительно функции Ф. Решим уравнение (10.47) с заданным граничным (из области Q) условием в предположении, что поток Ф дважды непрерывно дифференцируем по пространственным переменным. С этой целью введем цилиндрические координаты (pr^zY Имеем для произвольной функции F(r, р, z) :
Л 1 а / ЭЕ\ 1 Э2Е Э2Ег Эт \ дт ) г2 Эр2 dz2
В силу симметрии тороида поток не зависит от угловой координаты р и диффузионная задача (10.47) становится двумерной: Ф = Ф(г, zY т. е.
д2Ф(г,г)1 ЭФ(г,г)д2Ф(г,г) 2 ,
Л ++?’ ’ + Л Ф г, z = 0,10.48
ОТ2Г ОТOZ2
где п < г < Г2, —го < z < го, tq = (г2 — ri)/2. Воспользуемся методом Фурье разделения переменных для решения уравнения (10.48), предположив, что поток Ф(г, z) представлен в виде произведения двух функций
Ф(т^) = R^Z^Y(10.49)
Подставим выражение (10.49) в уравнение диффузии (10.48). Производя почленное деление на R(r) Z(zY получим уравнение
1Я(г)1Я(г)d2R(r)1 dR(r)dr2г drd2R(r)1 dR(r)dr2г dr1 d2Z(z)Z(z) dz21 d2Z(z)Z(z) dz2(10.50)(10.50)
1Я(г)
1Я(г)
d2R(r)1 dR(r)
dr2г dr
d2R(r)1 dR(r)
dr2г dr
1 d2Z(z)
Z(z) dz2
1 d2Z(z)
Z(z) dz2
(10.50)
(10.50)
Левая часть уравнения (10.50) зависит только от г, а правая — только от z. Функция (10.49) может быть решением уравнения (10.50) только в случае, если обе части этого уравнения постоянны при произвольном изменении переменных г и г, т. е. должны выполняться следующие соотношения
1Д(г)1Д(г)d2R^ 1 dR^Qdr2гdrd2R^ 1 dR^Qdr2гdr(10.51)(10.51)
1Д(г)
1Д(г)
d2R^ 1 dR^Qdr2гdr
d2R^ 1 dR^Qdr2гdr
(10.51)
(10.51)
(10.52)(10.52)1 d^Z^ _
(10.52)
(10.52)
Z^ dz2
где а^, а^ — положительные числа, связанные в силу уравнения (10.50) равенством а2 = а^ + а2.
Рассмотрим уравнение (10.51). Умножим его вначале почленно на г2 R^ :
2 d2R(rAdR(r) 2 х 2
Г2 , ; 7 + г+ г2 д г о2 = 0
dr2dr
а затем, вводя новую переменную р = гаТ1 получим уравнение Бесселя нулевого порядка
dp^dp
Общее решение уравнения (10.53) представляется в виде
R(p)-C1 МрПС2¥(М
где Ci,C2 — произвольные постоянные, Jo(pY ¥о(р) — функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода, определяемые с помощью степенных рядов
00 /_ 1 \к п2к
^оИ = 1 + У "Ц])2 22к
Уо(р) = Нтп^ОУо(р) = Нтп^ОЛМ COS П7Г - J n(p)sin пл
Уо(р) = Нт
п^О
Уо(р) = Нт
п^О
Здесь J-^p^ = (—l)n Jn{p\ J^ — функция Бесселя n-го порядка с постоянной а^п\ т.ч.
J (оА = оп V
Пк \Г 2) • • • Г к) 22к 1
2™Г(п+1)’2™Г(п+1)’Г(п) = / е х хп 1 dx^JoГ(п) = / е х хп 1 dx^Jo
2™Г(п+1)’
2™Г(п+1)’
Г(п) = / е х хп 1 dx^Jo
Г(п) = / е х хп 1 dx^Jo
где Г(п) — гамма-функция Эйлера. Можно показать [220], что при
малых рмалых р^оМ^оМ22
малых р
малых р
^оМ
^оМ
2
2
где In7 = С = 0,5772... — постоянная Эйлера. Функция Yo^ иногда называется функцией Неймана (или Вебера) нулевого порядка. Возвращаясь к переменной г, можем в итоге записать
R^ = Ch J0(arr) + С2 Yo^rY(10.54)
Рассмотрим теперь уравнение (10.52). Его решение определяется элементарно:
Z(z) = С3 sincr^ + С4 cos azz,(10.55)
7 7 dZ^ az7 7 dZ^ azгде С3,С4 — произвольные постоянные. Положим из условий симметричности
7 7 dZ^ az
7 7 dZ^ az
= 0.(10.56)
2 = 0
Тогда, очевидно, в решении (10.55) при условиях (10.56) будем иметь С4 = Zg, С3 = 0 и, следовательно,
Z^ = Zocosn^^.(10.57)
В результате, перемножая два решения (10.54) и (10.57), получим выражение для потока (10.49):
Ф(г, z) = (Ci Jo(агт) + С2Уо(агг)) Zo cos a2z. (10.58)
Решение (10.58) должно удовлетворять основному граничному условию
Ф(г,г) = 0, Vr,zeTd,(10.59)
где Ts = { г, z : (г - (уд + г2)/2)2 + 22 = (г0 + 5)2, у? : 0 < ц) < 2л } — 5-тороид, и осевым условиям симметрии
э^И -о,.0.(10.(Ю)
г=г1+го2=0
Очевидно, что условиям (10.59), (10.60) отвечает нейтронный поток Ф = (Фг, Ф^), у которого
Фг = 0, Ф2 = 0,
(10.61)(10.61)а исходному уравнению диффузии (10.47) с граничными и осевыми условиями (10.59), (10.60) отвечает поток Ф = (Фг, Ф^, Фу) с компонентами
(10.61)
(10.61)
Фг = 0, Ф2 = 0, Ф^ = Фо = const.
Поток (10.61) соответствует отсутствию утечки в стационарном (k = 1) ядерном электрогенераторе, наличию нулевого параметра (а = 0) в уравнении (10.47) и выполнению уравнения нейтронного баланса:
Об - П - От = 0.(10.62)
Обеспечение условия (10.62) означает важную особенность и преимущество тороидальных вакуумно-ядерных систем — практически полное круговое движение потоков внутри тороидальной активной зоны реактора (генератора).
В условии (10.59) присутствует параметр 5, называемый длиной экстраполяции. Несколько слов о его физическом смысле. Оказывается, что нейтронный поток не обращается в нуль на самой границе или на краю среды, в которой протекает реакция. В тороидальном ядерном устройстве конечных размеров всегда будет, хотя и незначительная, утечка через эту внешнюю границу. Это означает, что в непосредственной близости от границы внутри активной зоны должны присутствовать нейтроны, которые выходят за ее пределы. На границе часть нейтронов выходит наружу, а другая часть диффундирует внутрь и повышает значение плотности нейтронного потока. Вследствие этого нейтронный поток на самой границе не равен нулю, а предполагается равным нулю снаружи на некотором малом расстоянии б.
Рассмотрим этот случай чуть подробнее. Пусть выполнено граничное условие (10.59), а на самом тороиде Т имеет место малая нейтронная утечка, т.е. Ф(г, г) 0, но
Ф(г, г) = Sy, Vr^z е Т,
где Sy > 0 — малый числовой параметр.
Тогда, очевидно, малая ’’внешняя” поперечная диффузия в уравнении (10.47) будет соответствовать тому, что а2 = а2 + а2 = s2, где s > 0 — некоторый малый параметр. В самом деле, это означает, что
R кг - к2 - к3 2
D - D ~ £ ’
где к-^ к^ кз — коэффициенты пропорциональности потока в ’’образовании”, ’’поглощении”, ’’отражении” нейтронов соответственно. Отсюда имеем ат = sr, az = г z\ ^r^z > 0 — малые параметры.
Далее можем написать для решения (10.58):
со8£гг~1, Cl JqCtO + с2 ГДгг) ~
Поскольку для функций Бесселя и Неймана нулевого порядка имеем
Jo(O)~l, У0(0)~-оо,
то естественно положить Ci = e^Z^ CZ = 0.
Таким образом, случай малой поперечной нейтронной диффузии с указанными характеристиками в тороиде вполне вероятен и может рассматриваться как своего рода ядерная аналогия диффузии Арнольда [201] поперек стохастического слоя.
В заключение исследуем нестационарный случай, ограничившись простой ситуацией, когда запаздывающих нейтронов нет и k > 1. Изменение плотности нейтронов со временем описывается соотношением n(t) = Hq ехр(^/то), где Hq — плотность нейтронов в начальный момент времени, то = Т/(к — 1) — период. Предположим отсюда, что поток нейтронов можно представить в виде
Ф(0 = Фо ЛЯ ф(°) = Фо ¥?(0) = Ф0<М
где у(() — некоторая непрерывно дифференцируемая функция времени. Тогда общее уравнение диффузии можно записать как
= ^(10.63)
Тdt’v J
где скорость изменения нестационарного нейтронного потока пропорциональна суммарной ’’проникающей диффузии” АФ + &эфф Ф за время жизни одного поколения Т; здесь &эфф = к — 1 — эффективный коэффициент размножения.
Осталось подставить в уравнение (10.63) Ф(^) = Фо ip^ и учесть, что АФ = 0. Имеем
dp(t) ^эффdt = Т ’
откуда
ле = Уо е*/то, Ф(0 = Фо^о е</то.
Отметим, что в силу задания потока Ф(^) имеет место АФ = 0. Однако нетрудно показать на основе предыдущего анализа, что и в случае Ф(шА) = Ф(ш)у>(£), где ш — пространственная переменная, имеем для тороида АФ(шА) = 0. Таким образом, можем отсюда сделать вывод об исключении случаев нейтронной утечки из активной тороидальной зоны. Те же самые рассуждения можно привести и для ионитового газа. Появятся другие коэффициенты и обозначения, но суть, надо полагать, останется прежней: иониты в тороиде практически не будут подвержены диффузии.
Глава 11
Стабилизационные процедуры
в задачах адаптивной ядерной кинетики
В процессе эксплуатации ядерной энергетической системы вне зависимости от типа и назначения устройства на первый план выдвигаются задачи эффективного управления этой системой, в частности, задачи адаптивной стабилизации образующихся при ядерном делении нейтронных и зарядовых потоков.
Под адаптивным управлением динамической системой традиционно понимается задача синтеза закона управления этой системой в условиях априорной неопределенности некоторых ее параметров или действующих на систему возмущений [331, 364, 440]. Совокупность задач по аналитическому формированию динамических систем управления можно условно разделить на два больших класса: стабилизационные и оптимизационные задачи. Иногда, правда, рассматриваются и задачи смешанного типа.
Вопросам автоматического управления ядерными энергетическими установками посвящена обширная научно-техническая литература (см., например, работы [19, 25, 73, 107, 114, 261, 370]). В связи с широким использованием и распространением ядерных регулируемых систем вопросы безопасного и эффективного управления ими, как уже было сказано, приобретают особое значение. К высокотехнологичным, содержательным задачам по принятию управленческих решений в особых, не полностью определенных условиях относятся и задачи адаптивного управления. В работах [330, 334, 337], по-видимому, впервые был проведен адаптивный синтез систем управления процессами ядерной и, в частности, диффузионной кинетики.
посвящен некоторым схемам синтеза стабилизирующего регулятора в кинетической системе нейтронного размножения. Центральное место в этом описании занимает так называемая ’’модель стабилизации Ферми”, определяющая порядок эксплуатации регулирующего стержня. Предложен ряд конструктивных обобщений
этой модели, направленных на переход к скалярному кинетическому уравнению с одним управляющим воздействием.
В § 11.2 представлены результаты по адаптивному синтезу обобщенной кинетической модели на основе метода интегральных преобразований [331, 440]. Рассматриваются два типа адаптивных задач нейтронной кинетики: с неизвестным параметрическим дрейфом во времени и с неизвестным равномерно ограниченным внешним возмущением.
В §§ 11.3 и 11.4 рассматриваются задачи адаптивной оптимальной стабилизации для линейных управляемых систем ядерной (зарядной) кинетики с интегральными функционалами А.М. Ляпунова и Н.Н. Красовского в детерминированном и стохастическом (по быстродействию) вариантах. Решения исследуемых задач определяются с помощью метода корректируемых параметров [331, 333, 440]. При синтезе регулируемых ядерных устройств в атомной энергетике крайне важно обеспечить надежное и точное функционирование оптимально-стабилизационных систем управления в условиях параметрической неопределенности и при наличии случайных возмущений. Материал двух последних параграфов посвящен определению точных аналитических законов управления и алгоритмов оценивания неизвестных параметров, гарантирующих обеспечение системой управления целевых условий с заданной степенью точности и на конечном промежутке времени.
11.1. Некоторые модели стабилизации процесса нейтронного размножения
Для организации эффективной схемы управления работой ядерной системы различные приборы контроля и датчики измерения стараются разместить в системе так, чтобы можно было достаточно точно измерить в течение всего времени среднюю плотность n(t) потока нейтронов.
При этом сама задача регулирования плотности нейтронного потока формулируется либо как задача стабилизации процесса n(t^ либо как равносильная ей задача стабилизации процесса реактивности p(t) ядерного устройства: p(t) = k(t) — 1, где k(t) — коэффициент размножения нейтронов как функции времени I.
Небольшой историко-теоретический экскурс. Из анализа системы уравнений (10.1), (10.2), описывающей динамику нейтронного размножения с учетом всех групп запаздывающих нейтронов, следует, что на уровень мощности ядерного устройства
можно влиять, изменяя реактивность p(t). Реактивность р(1) характеризует баланс нейтронов в результате генерации, утечки и поглощения нейтронов.
Управление ядерной системой путем воздействия на скорость генерации нейтронов предусматривает такой регулирующий механизм, который бы мог изменять массу делящегося вещества в активной зоне ядерной системы. Воздействие на величину утечки нейтронов из активной зоны возможно с помощью изменения свойств отражателя. Наконец, регулирование процесса поглощения нейтронов осуществляется за счет ввода или удаления в активную зону различных материалов с высоким эффективным сечением захвата нейтронов.
По-видимому, впервые простейшую задачу управления процессом нейтронного размножения рассмотрел Э. Ферми [370, 423] в связи с работой чикагского реактора СР-1 и движением регулирующего поток нейтронов стержня в активной зоне ядерного устройства: при введении стержень подавляет реактивность и уменьшает число возникающих мгновенных нейтронов.
Ферми на основании опытных данных сделал несколько допущений. Прежде всего предположил, что плотность нейтронов изменяется в соответствии с уравнением
(И.1)
где di — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Затем было принято, что система регулирования перемещает стержень со скоростью, пропорциональной
dp didp di'dn\о 2 п + аз —— I, di /'dn\о 2 п + аз —— I, di /(П-2)(П-2)
dp di
dp di
'dn\
о 2 п + аз —— I, di /
'dn\
о 2 п + аз —— I, di /
(П-2)
(П-2)
где 02,03 — некоторые постоянные. Введение второго слагаемого в правой части уравнения (11.2) было обусловлено тем обстоятельством, что при аз = 0 систему нельзя было бы сделать стабильной, т. е. без введения дифференцирующего звена аз система не может быть стабилизирована.
После дифференцирования уравнения (11.2) и подстановки в него соотношения (11.1) приходим к уравнению второго порядка
(11.3)(11.3)d? рdp
(11.3)
(11.3)
-—г + П1Пз —- + П1П2 /9 = 0.
di2di
Отсюда Ферми получил известное условие стабилизации, когда система может считаться приемлемой для надежной эксплуатации:
Отметим также, что вместо уравнения (11.3) с переменной p(t) можно использовать аналогичное уравнение второго порядка с переменной n(t) :
d?ndn
+ О1П2 п = 0.
dt2dt
Для этого, очевидно, надо вначале продифференцировать уравнение (11.1), а затем в него подставить выражение (11.2).
Регулируемый режим физического пуска ядерной системы. Остановимся чуть подробнее на регулируемом процессе физического пуска ядерного устройства. В этом случае для описания подкритической системы, когда к близко к единице и
дк =дк =к - 1кк - 1кР,Р,
дк =
дк =
к - 1к
к - 1к
Р,
Р,
используют модель с одной группой запаздывающих нейтронов. При этом считают, что в уравнениях (10.1), (10.2) коэффициент к в знаменателе равен единице. Тогда процесс физического пуска может быть описан системой уравнений
dn dtdn dtдк-рIдк-рI•n^XC^S,•n^XC^S,dCdtdCdt= -XC+^--n.= -XC+^--n.(И-4)(И-4)
dn dt
dn dt
дк-рI
дк-рI
•n^XC^S,
•n^XC^S,
dCdt
dCdt
= -XC+^--n.
= -XC+^--n.
(И-4)
(И-4)
Здесь все обозначения в системе сохраняют свое введенное ранее смысловое содержание.
Главное требование (цель управления) к системе в режиме физического пуска — это обеспечение регулирующим устройством изменения плотности нейтронов с постоянным периодом Т по закону
n(t) = п0 ^!тп0 = п(0).n(t) = п0 ^!тп0 = п(0).(И-5)(И-5)
n(t) = п0 ^!тп0 = п(0).
n(t) = п0 ^!тп0 = п(0).
(И-5)
(И-5)
В некоторых работах (см., например, [19, 370]) на основании эвристических соображений и допущений предлагаются модели дифференциальных регуляторов (т. е. регуляторов, удовлетворяющих некоторым дифференциальным соотношениям), решающих, по мнению их авторов, задачу (11.4), (11.5). Обратим внимание на то, что обсуждаемая задача не является задачей стабилизации в общепринятом смысле.
Покажем, что при соответствующих измерениях задача (11.4), (11.5) может быть решена с помощью обычных методов управления. Итак, решение (11.5), дающее изменение плотности нейтронов, будет
обеспечено, если в системе (11.4) управление и(1) = 5 k(t) удовлетворяет уравнению
ndCп
IdiТv J
В самом деле, решение (11.5) соответствует уравнению
а складывая два уравнения системы (11.4), получим
Очевидно, что из соотношений (11.7), (11.8) придем к уравнению (11.6).
Далее, разрешая уравнение (11.6) относительно управления u(tY найдем выражение для обратной связи:
<0 = - п<0 = - пdt ) + Т’dt ) + Т’(П-9)(П-9)
<0 = - п
<0 = - п
dt ) + Т’
dt ) + Т’
(П-9)
(П-9)
либо с учетом второго уравнения системы (11.4)
и^ = Цгп-хс"^ + ^'и^ = Цгп-хс"^ + ^'(11.10)(11.10)
и^ = Цгп-хс"^ + ^'
и^ = Цгп-хс"^ + ^'
(11.10)
(11.10)
Предполагается, что в управлениях (11.9), (11.10) величины l^T^X — постоянные, a n(t\ С^Ср S^ — непрерывно дифференцируемые переменные, измеряемые в каждый момент времени 1.
Очевидно также, что на выражения u(t) вида (11.9), (11.10) можно смотреть, как на решения некоторого дифференциального регулятора, выбираемого по правилу
/ ЛГ dF(s) ,
u(t) — м(0) = / —-—- ds,Jo ds
где
Д^) = ^(^-5(о), Д°) = 0’ и(°) = ^
nyt) у dtу1
для управления (11.9) и для управления (11.10)
F(t) =F(t) =j ■ n(t) — AC(t) — S(t)),j ■ n(t) — AC(t) — S(t)),ДО) = 0, <0) = 1ДО) = 0, <0) = 1
F(t) =
F(t) =
j ■ n(t) — AC(t) — S(t)),
j ■ n(t) — AC(t) — S(t)),
ДО) = 0, <0) = 1
ДО) = 0, <0) = 1
11.1.3. Синтез стабилизирующего управления. Детерминированная задача. Рассмотрим регулируемый процесс нейтронной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов в предположении, что S(t) = 0, Vt > 0 :11.1.3. Синтез стабилизирующего управления. Детерминированная задача. Рассмотрим регулируемый процесс нейтронной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов в предположении, что S(t) = 0, Vt > 0 :dnк — 1кВ х-- = —— • н -• н + АС,di IIdnк — 1кВ х-- = —— • н -• н + АС,di IIdCdtdCdt— — AC -|- —— • n.— — AC -|- —— • n.(11.11)(11.11)Поставим следующую задачу синтеза стабилизирующего управления системой (11.11): требуется найти скалярный закон управления и = u(t\ где и = р = к — 1, как функции известных параметров системы и как функции измеряемых Vt > 0 значений переменных n(t)^ C^t\ обеспечивающий с течением времени выполнение целевого условияПоставим следующую задачу синтеза стабилизирующего управления системой (11.11): требуется найти скалярный закон управления и = u(t\ где и = р = к — 1, как функции известных параметров системы и как функции измеряемых Vt > 0 значений переменных n(t)^ C^t\ обеспечивающий с течением времени выполнение целевого условия| x(t) — Xp(t) I < s, x(t) = n(t) + C(tY| x(t) — Xp(t) I < s, x(t) = n(t) + C(tY(П-12)(П-12)Здесь e > 0 — заданная постоянная,Здесь e > 0 — заданная постоянная,*£p(^)^p(^) "1" ^p^YY*£p(^)^p(^) "1" ^p^YYгде hp^Y Cp(t) — заданные программные функции времени для плотности мгновенных нейтронов и концентрации ядер-предшественников запаздывающих нейтронов соответственно.Задача (11.11), (11.12) при мультипликативном вхождении управления в уравнения системы (11.11) решается достаточно просто. Сложим уравнения системы (11.11):где hp^Y Cp(t) — заданные программные функции времени для плотности мгновенных нейтронов и концентрации ядер-предшественников запаздывающих нейтронов соответственно.Задача (11.11), (11.12) при мультипликативном вхождении управления в уравнения системы (11.11) решается достаточно просто. Сложим уравнения системы (11.11):dx и— = - - н. dt Idx и— = - - н. dt I(11.13)(11.13)При выборе управления вида (точка сверху означает дифференцирование по времени)При выборе управления вида (точка сверху означает дифференцирование по времени)v лэv лэ|Д(1) - а ОХ -ЖрХП’|Д(1) - а ОХ -ЖрХП’(11.14)(11.14)
11.1.3. Синтез стабилизирующего управления. Детерминированная задача. Рассмотрим регулируемый процесс нейтронной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов в предположении, что S(t) = 0, Vt > 0 :
11.1.3. Синтез стабилизирующего управления. Детерминированная задача. Рассмотрим регулируемый процесс нейтронной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов в предположении, что S(t) = 0, Vt > 0 :
dnк — 1кВ х
-- = —— • н -• н + АС,
di II
dnк — 1кВ х
-- = —— • н -• н + АС,
di II
dCdt
dCdt
— — AC -|- —— • n.
— — AC -|- —— • n.
(11.11)
(11.11)
Поставим следующую задачу синтеза стабилизирующего управления системой (11.11): требуется найти скалярный закон управления и = u(t\ где и = р = к — 1, как функции известных параметров системы и как функции измеряемых Vt > 0 значений переменных n(t)^ C^t\ обеспечивающий с течением времени выполнение целевого условия
Поставим следующую задачу синтеза стабилизирующего управления системой (11.11): требуется найти скалярный закон управления и = u(t\ где и = р = к — 1, как функции известных параметров системы и как функции измеряемых Vt > 0 значений переменных n(t)^ C^t\ обеспечивающий с течением времени выполнение целевого условия
| x(t) — Xp(t) I < s, x(t) = n(t) + C(tY
| x(t) — Xp(t) I < s, x(t) = n(t) + C(tY
(П-12)
(П-12)
Здесь e > 0 — заданная постоянная,
Здесь e > 0 — заданная постоянная,
*£p(^)^p(^) "1" ^p^YY
*£p(^)^p(^) "1" ^p^YY
где hp^Y Cp(t) — заданные программные функции времени для плотности мгновенных нейтронов и концентрации ядер-предшественников запаздывающих нейтронов соответственно.
Задача (11.11), (11.12) при мультипликативном вхождении управления в уравнения системы (11.11) решается достаточно просто. Сложим уравнения системы (11.11):
где hp^Y Cp(t) — заданные программные функции времени для плотности мгновенных нейтронов и концентрации ядер-предшественников запаздывающих нейтронов соответственно.
Задача (11.11), (11.12) при мультипликативном вхождении управления в уравнения системы (11.11) решается достаточно просто. Сложим уравнения системы (11.11):
dx и
— = - - н. dt I
dx и
— = - - н. dt I
(11.13)
(11.13)
При выборе управления вида (точка сверху означает дифференцирование по времени)
При выборе управления вида (точка сверху означает дифференцирование по времени)
v лэ
v лэ
|Д(1) - а ОХ -ЖрХП’
|Д(1) - а ОХ -ЖрХП’
(11.14)
(11.14)
где о > 0 — некоторая постоянная, цель управления (11.12) гарантированно выполняется. Это с очевидностью следует после подстановки соотношения (11.14) в уравнение (11.13).
Отметим, что одним лишь скалярным управлением и = к — 1 два процесса (два уравнения по n(t) и C(t)) в системе (11.11) однозначно стабилизировать в каких-либо программных режимах нельзя.
Для реализации и (11.14), когда с течением времени x(t) хр^ при t сю, вовсе не требуется наличие ’’сильной обратной связи”. Проверим это. Пусть, к примеру, выбрано пр(1) = Cp(t) = О, Vt > 0. Тогда
n(t) + C(t) = (no + Со) е > 0,
где по = ЦО), Со = С(0). Отсюда в силу физического смысла задачи (n(t) > 0, C(t) > 0, Vt > 0) вытекает, что n(t) 0, C(t) 0 (I сю) и две эти функции времени убывают к нулю с одинаковой экспоненциальной скоростью. Имеем при наших предположениях
u(<) = - al = - al (1 +| u(0 I < Си,
n\t)\ nit) /
где Си > 0 — некоторая постоянная, (C(t)/n(t)) const (t сю).
Обобщенная модель стабилизации Ферми. Рассмотренная ранее модель Ферми (ПЛ), (11.2) стабилизации нейтронного потока путем введения (выведения) в ядерное устройство с определенной скоростью регулирующего стержня не учитывает важную особенность — влияние запаздывающих нейтронов. На этапе физического пуска ими действительно в начальный момент можно пренебречь. Но по мере эксплуатации устройства, очевидно, такое игнорирование приведет лишь к построению грубой системы управления.
В схеме Ферми, по-видимому, наибольшее нарекание вызывает первое уравнение (ПЛ) как чрезмерно идеализированное и не описывающее достаточно точно процесс размножения мгновенных нейтронов. А вот второе уравнение (П.2) наводит на мысль о формировании соответствующей системы стабилизирующего управления.
Добавим к системе (11.11) еще одно уравнение — для дифференциального регулятора, организованного по правилу
= Хр — (х — Хр) — 02 (х — Хр\(11.15)
где Oi,O2 > 0 — заданные постоянные. Здесь уравнение (11.15) описывает движение с определенной скоростью перемещения регулирующего стержня в активной зоне ядерного устройства. Понятно, что введение (выведение) поглощающего стержня уменьшает (увеличивает) плотность нейтронов и ее скорость изменения.
Назовем регулятор
U(uC) = j • ^ и = к — 1,(11.16)
обобщенным. В соотношении (11.16) правая часть представляет собой результат сложения уравнений системы (11.11), т.е. выражение (11.13), которое обозначено через П(иЯ) = U(t\ Таким образом, имеем систему уравнений (11.13), (11.15) и (11.16), для которой поставлено целевое условие (11.12). Дифференцируя уравнение
dt
и подставляя в него соотношение (11.15), приходим, очевидно, к выполнению условия (11.12).
Осталось найти само выражение для выбора закона управления в поставленной задаче стабилизации. Из соотношения (11.15) получим
U(t) = Uq + xp(f) — жр(0) — oi / [ x(s) — Хр^ ] ds — Vo
о2 \_ж№ - x(0) - Xp(t) + Xp(0) ] = ^Oj]^(11.17)
где Uq = Д(0), Uq = uqHq/1^ uq = ^(0), hq = n(0). Разрешая равенство (11.17) относительно u(tY найдем окончательно
Покажем, что управление (11.18) при обеспечении целевого условия (11.12) ограничено по величине Vt > 0. В самом деле, действие заданного регулятора обеспечивает ’’движение” кинетической системы в соответствии с решением
z(t) = A eXvt + В eX2t > 0, z(t) = x(t) — xp(t^
O2 + VQ2 — 401—02 — VQ2 — 401
2 <=2 < °’
где A2 < Ai, А и В — известные постоянные. Сильная обратная связь u(t) (11.18) возможна при n(t) —> О (t —> оо), т.е. когда x(t) —> О (t оо), где xp(t) = 0. Имеем
x(Q = AeAlt + Bew > 0.
Отсюда и в силу системы уравнений получим
u^Q = ЛА1 еА1* + УА2 ew > 0.
t^OQ
В соотношении (11.18) тем самым
Utt) Аг ех^ + В^ ех^
—1> const
n(t) Л2 eAlt + В2 eAat t^oc
для некоторых постоянных Ai,A2,Bi,B2, что и требовалось показать. При задании любого другого хр(1) ф 0, очевидно, получим при выборе системы управления (11.18) неравенство | и(1) | < С^ где Си > 0 — некоторая постоянная.
Устойчивые схемы адаптивного синтеза на основе метода
интегральных преобразований
Ниже исследуются две адаптивные задачи синтеза систем ядер- ной кинетики в процессе нейтронного размножения, когда: 1) один из параметров системы кинетики испытывает неизвестный дрейф во времени и 2) детерминированное ограниченное возмущение, действующее на систему, также представляет собой неизвестную (неиз- меряемую) функцию времени.
Решение указанных задач параметрического оценивания предлагается провести с помощью метода интегральных преобразований [331, 440], предусматривающего фильтрацию старших производных системы, а именно фильтрацию значений x(t) = fi(t) + Сфф сходимость оцениваемых параметров и стабилизацию движения ядерной системы.
Адаптивная стабилизация при неизвестном параметрическом дрейфе. Пусть регулируемый кинетический процесс описывается основным динамическим уравнением (11.13) вида
тх = и, х = п + С, (11.19)
где т = I — неизвестный параметр (среднее время жизни поколения нейтронов), представляющий собой неизвестную ограниченную достаточно гладкую функцию времени т(Сф не доступную измерению: т(1ф r(t) Е Тт С R — ограниченное замкнутое множество; и = (к — 1) п — формируемое в соответствии с целевым условием управление, к — 1 = и/п — регулятор ядерной системы, осуществляющий необходимые действия, п(Д — измеряемая ^1 > 0 плотность нейтронов. Выбор в качестве неизвестного параметра величины I полностью соответствует физическому смыслу задачи ядерной кинетики, для
которой весьма характерно отсутствие надлежащей (имеется в виду точной и своевременной) информации об I.
Поставим задачу параметрического оценивания с неизвестным дрейфом в терминах стабилизационной задачи. Требуется для системы (11.19) сформировать:
адаптивное управление по принципу обратной связи как функции непрерывно измеряемых (наблюдаемых) значений x(t) и t^xR\ т.е. и = u^x(ty f(t^ t^ где f(t) Е R — оцениваемый параметр;
алгоритм для нахождения оценок f(t), т.ч. т = т[ж(1), т(1), t], обеспечивающих с течением времени предельные соотношения:
x(t) xp^t\ т(1)т(1) (t сю),(11.20)
где xp(t) — программное (номинальное) ’’движение” ядерной системы, заданное на всем интервале времени. Вместо целевых условий (11.20) можно взять целевые неравенства
|ж(1) - жр(1) | <|f(t)-т(1) | < s2,
где Si,S2 — положительные постоянные, задающие точность отслеживания на конечном отрезке времени.
Если в уравнении (11.19) выбрать управление в виде
и = ут,(11.21)
где т(1) — оцениваемый (настраиваемый) параметр,
y(t) = Xp(t) — a [x(t) — Xp(t) ], а > 0,
то, подставляя выражение (11.21) в уравнение (11.19), получим
хт — ХрТ + а (х — хр) т = 0,(11.22)
откуда при условии, что для любого момента времени т^ = т(^), следует: ±(t) — y(t) = 0 и x(t) —> xp^td) (I —> сю) с экспоненциальной скоростью. На самом деле условие f(t) = т(б) не выполняется и поэтому в уравнениях (11.21), (11.22) необходимо выбрать алгоритм для нахождения f(t), при котором соотношения (11.20) будут иметь место.
Поступим следующим образом. Разрешим уравнение (11.22) относительно неизвестного параметра т :
t = St, S =К-(11.23)
X
Хорошо видно, что при экспоненциальном стремлении у(1) к x(t) следует экспоненциальная сходимость S(t) —> 1 и т(1) —> т(1) с ростом 1.
Выберем в качестве сходящегося алгоритма параметрического оценивания уравнение
(11.24)
Покажем, что алгоритм (11.24) обеспечивает выполнение другого целевого условия x(t) xp(t\ t оо. Имеем в уравнении (11.22) с учетом решения уравнения (11.24):
[ х — хр + а (х — хр) ] т = [ хр — а (х — хр) ] (то — tq) e~yt^
где то = 7(0), то = т(0). Очевидно, что правая часть этого равенства стремится к нулю при t оо. Поскольку т > 0, имеем отсюда
X — Хр + О (х — Хр) ^0, X Хр
экспоненциально при t оо.
В алгоритме (11.24) параметр т неизвестен, поэтому, подставляя вместо т и т их значения из решения (11.23), получим алгоритм оценивания вида
(11.25)(11.25)(1 - S) т = (S + yS - 7) т.
(11.25)
(11.25)
Уравнения (11.24) и (11.25) тождественны друг другу в силу уравнения системы (11.22). Это значит, что решение алгоритма (11.25) т(1) стремится к т(1) с течением времени.
В алгоритме адаптации (11.25) величина S зависит от х и х. Понятно, что для реализации этого алгоритма потребуется дополнительное измерение х и ж, не совместимое с условиями поставленной задачи стабилизации.
Синтез устойчивых адаптивных фильтров. Исходя из соображений упрощения технической процедуры измерения переменных, проведем последовательную фильтрацию производных в алгоритме оценивания (11.24). С этой целью проинтегрируем уравнение (11.22) с весом exp [ — ае (t — s) ], ае > 0, на промежутке времени
[0,4]:
(11.26)(11.26)е ae(t s) £($) т($) ^s = е ж<-1 S7(s) t(s) ds.
(11.26)
(11.26)
Далее, вводя в рассмотрение функцию w(t), т.ч.
w(t) = ре 5tw(t) = ре 5t(11.27)(11.27)где ш(0) = д, д > 0 — заданные числа, убеждаемся в том, что w(t) (11.27) является решением устойчивого адаптивного фильтра 1-го порядка:w(t) + ае w(t) = x(t) т(1) + д (ае — J) e-5t. (11.28)где ш(0) = д, д > 0 — заданные числа, убеждаемся в том, что w(t) (11.27) является решением устойчивого адаптивного фильтра 1-го порядка:w(t) + ае w(t) = x(t) т(1) + д (ае — J) e-5t. (11.28)Вместо уравнения (11.24) возьмем в качестве алгоритма оценивания соотношениеВместо уравнения (11.24) возьмем в качестве алгоритма оценивания соотношениеw — w = — ^(w — w),7 > О,w — w = — ^(w — w),7 > О,(11.29)(11.29)где w(t) — выход соответствующего фильтра:где w(t) — выход соответствующего фильтра:w(t) + ае w(t) = x(t) r(t) + р (ае — д) е 5t(11.30)w(t) + ае w(t) = x(t) r(t) + р (ае — д) е 5t(11.30)с решениемw(f) = pe~5t + /х^ f(s) ds, w(0) = Д.JoПосле подстановки соотношений (11.27), (11.28), (11.30) в уравнение (11.29) получим следующую запись алгоритма оценивания:НО [ Д) - TJ) ] = (^ - "MP - Р~) e"5t -с решениемw(f) = pe~5t + /х^ f(s) ds, w(0) = Д.JoПосле подстановки соотношений (11.27), (11.28), (11.30) в уравнение (11.29) получим следующую запись алгоритма оценивания:НО [ Д) - TJ) ] = (^ - "MP - Р~) e"5t -— (7 — ае) / е ^^ 8^ x(s) [t(s) — t(s) ] ds. Jo— (7 — ае) / е ^^ 8^ x(s) [t(s) — t(s) ] ds. Jo(11.31)(11.31)В алгоритме (11.31) левая часть зависит линейно от x(t\ Чтобы получить алгоритм, зависящий лишь от текущих значений x^t\ вновь прибегнем к схеме фильтрации. Возьмем функциюВ алгоритме (11.31) левая часть зависит линейно от x(t\ Чтобы получить алгоритм, зависящий лишь от текущих значений x^t\ вновь прибегнем к схеме фильтрации. Возьмем функциюwi(f) = ve [ е S^w(s)ds =Jowi(f) = ve [ е S^w(s)ds =Jo= v е= v е-^t-^tpe~ds + / e-^^8-^x(r)T(r)dr Jope~ds + / e-^^8-^x(r)T(r)dr Jods, (11.32)ds, (11.32)где Wi(0) = v, > 0 — заданные числа. Функция (11.32) является решением фильтрагде Wi(0) = v, > 0 — заданные числа. Функция (11.32) является решением фильтраwi(t) + ае wi(t) = р е 5t + v (ае — ^) е ^ +wi(t) + ае wi(t) = р е 5t + v (ае — ^) е ^ +
w(t) = ре 5t
w(t) = ре 5t
(11.27)
(11.27)
где ш(0) = д, д > 0 — заданные числа, убеждаемся в том, что w(t) (11.27) является решением устойчивого адаптивного фильтра 1-го порядка:
w(t) + ае w(t) = x(t) т(1) + д (ае — J) e-5t. (11.28)
где ш(0) = д, д > 0 — заданные числа, убеждаемся в том, что w(t) (11.27) является решением устойчивого адаптивного фильтра 1-го порядка:
w(t) + ае w(t) = x(t) т(1) + д (ае — J) e-5t. (11.28)
Вместо уравнения (11.24) возьмем в качестве алгоритма оценивания соотношение
Вместо уравнения (11.24) возьмем в качестве алгоритма оценивания соотношение
w — w = — ^(w — w),7 > О,
w — w = — ^(w — w),7 > О,
(11.29)
(11.29)
где w(t) — выход соответствующего фильтра:
где w(t) — выход соответствующего фильтра:
w(t) + ае w(t) = x(t) r(t) + р (ае — д) е 5t(11.30)
w(t) + ае w(t) = x(t) r(t) + р (ае — д) е 5t(11.30)
с решением
w(f) = pe~5t + /х^ f(s) ds, w(0) = Д.
Jo
После подстановки соотношений (11.27), (11.28), (11.30) в уравнение (11.29) получим следующую запись алгоритма оценивания:
НО [ Д) - TJ) ] = (^ - "MP - Р~) e"5t -
с решением
w(f) = pe~5t + /х^ f(s) ds, w(0) = Д.
Jo
После подстановки соотношений (11.27), (11.28), (11.30) в уравнение (11.29) получим следующую запись алгоритма оценивания:
НО [ Д) - TJ) ] = (^ - "MP - Р~) e"5t -
— (7 — ае) / е ^^ 8^ x(s) [t(s) — t(s) ] ds. Jo
— (7 — ае) / е ^^ 8^ x(s) [t(s) — t(s) ] ds. Jo
(11.31)
(11.31)
В алгоритме (11.31) левая часть зависит линейно от x(t\ Чтобы получить алгоритм, зависящий лишь от текущих значений x^t\ вновь прибегнем к схеме фильтрации. Возьмем функцию
В алгоритме (11.31) левая часть зависит линейно от x(t\ Чтобы получить алгоритм, зависящий лишь от текущих значений x^t\ вновь прибегнем к схеме фильтрации. Возьмем функцию
wi(f) = ve [ е S^w(s)ds =
Jo
wi(f) = ve [ е S^w(s)ds =
Jo
= v е
= v е
-^t
-^t
pe~ds + / e-^^8-^x(r)T(r)dr Jo
pe~ds + / e-^^8-^x(r)T(r)dr Jo
ds, (11.32)
ds, (11.32)
где Wi(0) = v, > 0 — заданные числа. Функция (11.32) является решением фильтра
где Wi(0) = v, > 0 — заданные числа. Функция (11.32) является решением фильтра
wi(t) + ае wi(t) = р е 5t + v (ае — ^) е ^ +
wi(t) + ае wi(t) = р е 5t + v (ае — ^) е ^ +
+ / е s^ x(s)t(s) ds.(11.33)
Jo
Зададим сходящийся алгоритм оценивания
wi — wi = — 7 (wi — wi), 7 > 0,(11.34)
где Wi(t) — выход соответствующего фильтра вида (11.33) с заменой Ц,ю,т на Ц,й,т соответственно. Тогда алгоритм (11.34) в терминах т (t\ т(1) перепишется как
Г e-^(t-s) ж(5) [f(s) _ T(s) ] ^s =
Jo
= ^С^ ' [(7-ae)e"aet - Ь-^)6”54] - (7 -~
— (7 — ае) / /х^ [т(г) — т(т) ] drds.(11.35)
Jo Jo
Теорема 11.1. Пусть в алгоритме оценивания (11.35) все функции времени являются непрерывно дифференцируемыми, причем д < < св < 7, ^ < 7- Тогда имеет место сходимость т(1)т(1) при
I ОО.
Доказательство. В обозначениях
W) =- Ь-^)6”54] - (7р) e-€t,
М (t) = е^ N (t), ^(t) = / y?(s) ds, (p(t) = е^ x(t) [r(t) — r(t)]Jo
соотношение (11.35) принимает вид интегрального уравнения
t[)(i) = M(t) — X f t[;(s) ds, A = 7 — ae > 0,Jo
или линейного дифференциального уравнения
F(t) = -XF(t)rM(t), F(t)= / ijj^ds, F(0) = 0.
Jo
Решая это уравнение, получим
F(i) = [ e-A(#"s) ds =
= |-^ ■ [ 1 -1 ] + U - I/) [ е<ж-^ 4 - е<ж-«)4 ],
откуда после двойного дифференцирования по t имеем
= (Д - р^б - ае) е_С_8еП +
+ (р - i/)(ae - у)2 e-b-ae)t _ (р _ ^(ге - ^)2 е-^-8еА.
При сокращении на exp(aet), с учетом ограниченности величины |ж(£)|Д > 0, в силу исходного уравнения системы, найдем, что f(t) т(^) при t оо. Теорема доказана.
После подстановки выражения (11.26) в уравнение (11.35) получим окончательный вид алгоритма оценивания:
/ е-зе (t-s) г^ -^ ^8 = ^^ _ д / / е-ае
JoJo Jo
(11.36) где z(t) = x(t) — ^(1). Алгоритм (11.36) не зависит от x(ty Чтобы это проверить, достаточно применить формулу интегрирования по частям с последующим сведением к интегральному уравнению Воль- терра.
Покажем также, что алгоритм оценивания (11.35) ((11.36)) обеспечивает стабилизацию системы управления относительно программного движения. Для алгоритма (11.35) при подстановке в уравнение (11.22) его решения x(t) [r(t) — т(^) ] = 9(ty где
9(f) = (v — v) [ (ае — у)2 е-^ — (ае — £)2 е-^] — (Д — д)(ае — б) e~6t > 0,
получим z(t)f(t) = 6(ty откуда будет следовать, что x(t) — ^(t)0
и x(f) —> ХрУУ при t —> оо.
Адаптивная стабилизация при неизвестном ограниченном возмущении. Рассматривается управляемая кинетическая система (11.13) при действии на нее неизвестного ограниченного возмущения и^У :
Д — 1
х = и + г, и =—-—• п,(11.37)
где u(f) — формируемое управление, к — 1 = I • и/п — регулятор ядерной системы, I — известный параметр (который может меняться во времени известным образом), n(t) — измеряемая плотность нейтронов. Неизвестная помеха u(f) предполагается равномерно ограниченной: supt>0 \v(t) | < Су, где Су > 0 — некоторая неизвестная постоянная. Для определенности можно считать v(t) нерегулярной достаточно гладкой Vt > 0 неизвестной функцией.
В этих условиях требуется:
построить обратную связь и(1) как функцию непрерывно измеряемых значений х^Ср оценок г[ж(£), 1^ неизвестной функции и (Г) и времени С т-е- ^(^) — ^[x(t), u(fc t];
сформировать алгоритм для нахождения оценок й(1\ т.ч. й(1) = r[x(t), r(t), t], обеспечивающих с течением времени выполнение предельных целевых соотношений
x(t) хр^1\ v(t) v(t) (I сю),(11.38)
где Хр(1) — заданная ограниченная непрерывно дифференцируемая программная функция времени.
Приступим к решению поставленной задачи. В уравнении системы (11.37) зададим следующий закон управления:
(11.39)(11.39)и = у-и,
(11.39)
(11.39)
где y(t) = Xp(t) — o[x(t) — Xp(t)^ о > 0. Затем выберем алгоритм оценивания для нахождения оценок й(1) в виде
(11.40)(11.40)и — г + у (г — г)+ге ^ = 0, 7 > 0,
(11.40)
(11.40)
с решением r(t) = (1 — е-^) v(t) + e-7tr(0), обеспечивающим сходимость й(1) —> u(t) (t —> сю).
При подстановке выражения (11.39) в уравнение (11.37) найдем
(П-41)(П-41)х — у = г — и.
(П-41)
(П-41)
откуда, принимая во внимание наличие сходящегося алгоритма (11.40), получим в итоге стабилизацию системы относительно хр^ при t сю. Если разрешить уравнение (11.41) по г :
г = г + Г). D = х — уг = г + Г). D = х — у(11.42)(11.42)
г = г + Г). D = х — у
г = г + Г). D = х — у
(11.42)
(11.42)
и подставить выражение (11.42) в уравнение (11.40), то получим экспоненциально сходящийся алгоритм для определения оценок r(t) ви
да
(е"^ - 1) D - yD + б е"^ = 0.(11.43)
Итак, система уравнений (11.37), (11.39), (11.43) представляет собой систему адаптивного управления, обеспечивающую выполнение целевых условий (11.38). Для ее функционирования требуется информация о текущих значениях x(t)^ x(t)^ х(1)^ что не может быть
признано удовлетворительным, исходя из требований поставленной задачи.
Чтобы сформировать адаптивную систему управления, зависящую только от значений x(t), отфильтруем значения x(t), x(t) в алгоритмах (11.42), (11.43). Для этого вначале проинтегрируем уравнение (11.42) дважды с весом ехр[—ae(t — s)], ае > О, на промежутке времени [0, t^ :
/ f е r>) drds = / f е [г(г) + D^r)^ drds. (11.44)
Jo JoJo Jo
В качестве алгоритма оценивания возьмем уравнение аналогичное уравнению (11.40):
Ч-Ч + д(^-Я + V = 0.(11.45)
Здесь через V(t). V(f) обозначены выходы соответствующих фильтрующих устройств:
V(0) = 17.V(0) = 17.V(t) = v е + [ [ е r^v(r)drds. Jo Jo
V(0) = 17.
V(0) = 17.
V(t) = —v^e + f e ^^ s) r(s) ds — ж f f e ^^ T^r(r)drds. JoJo Jo
где ^, ae > 0 — заданные числа;
V(t) = v e+ f f e r>)v(r)drds, V(0) = v.
Jo Jo
V(t) = — v^e^ + / e-8e v(s) ds — ae / / e-8e v^ drds.
JoJo Jo
где v. v — заданные числа. Подставляя эти значения в уравнение (11.45), получим следующее выражение для алгоритма оценивания:
+ ю^ е-^+7^ — (7 — ае) / / е-ж^-Т^й(г) — и(г)^ drds-V- Jo Jo
Г гее-^1 [ [ e~^^~r^ v(r) drds — e~yt f е-ге^-8^ r(s) ds. (11.46) Jo JoJo
Алгоритм (11.46) является сходящимся и это устанавливается с помощью нижеследующей теоремы.
Теорема 11.2. В предположении, что в уравнении (11.46) все функции времени являются непрерывно дифференцируемыми и, кроме того, supt>0 | r(t) | < С^, ^ < се < 7, имеет место сходимость й(1) —> r(t) при I оо.
Доказательство. Введем обозначения:
W) = / ip^ds, ip(t) = е^ ^r(t) - г(1)^ Jo
F(t) = / ^(s)ds, N(^ = ^v —e-^1 Г v^ e-^^ —
Jo
-[ e"$(t"s)v^)dsjx [ [ е-^^-Т>) dcdsX.
\JoJo Jo/
Перепишем уравнение (11.46):
F(t) = -A F(t) + M(t), A = 7 - ae > 0, где F(0) = 0, M(t) = e^ N(t\ Получим решение в виде
F(t) = v е^ (е~^ -- e~xt [ [ е-ж г (г) drds +
Jo Jo
Г ve^-^1 (1 - е-^) Г eee-xt f / / e-ae (t~m) v^m) dm dr ds, Jo Jo Jo
откуда после двойного дифференцирования по t, умножения найденного выражения на ехр(—aet), получим в пределе при t оо утверждение теоремы.
Отметим, что в условиях теоремы имеет место также и сходимость x(t) Xp(t) при I оо. Действительно, при r(t) r(t) (t ос) в уравнении (11.41) x(t) y(t), т.е. x(t) хр^ (I оо).
Наконец, при подстановке в уравнение (11.46) соотношений (11.42), (11.44) получим выражение для алгоритма формирования оценок й(1), не требующего использования старших производных:
/ е-ае ^~8^ (е~^ - 1) D(s) ds - Ai(t) / / е-ж D(r) drds =
JoJo Jo
= (н -- 7) е-
— А2(£) / е-8е ^t-s^ v(s) ds + Аз(£) / / е-8е й(г) drds, (11.47) JoJo Jo
где обозначено Ai(t) = 7 — ae — же"А A2^) = e-7t, Ag(t) = же"А Пользуясь формулой интегрирования по частям и сводя соотношение (11.47) к интегральному уравнению, получим алгоритм, зависящий лишь от значений x(t).
11.3. Оптимальная стабилизация систем ядерной кинетики с функционалами Ляпунова—Красовского
Исследуется управляемый процесс ядерной (зарядной) кинетики (10.25), (10.26), записанный в векторно-матричном виде
(11.48)(11.48)х = А(9, т) х + и^х^ хр, хр, т),
(11.48)
(11.48)
где
\Qz ) '\Qz ) 'и =и =П1^2П1^2ДМ =ДМ =[(1 -7)/ - 1]/г7//^[(1 -7)/ - 1]/г7//^-1/г*-1/г*
\Qz ) '
\Qz ) '
и =
и =
П1
^2
П1
^2
ДМ =
ДМ =
[(1 -7)/ - 1]/г7//^
[(1 -7)/ - 1]/г7//^
-1/г*
-1/г*
Здесь x(t), u(t) € В? — векторы обобщенных координат системы и внешнего управляющего воздействия соответственно. Управление u(t) строится в виде обратной связи как функция измеряемых значений хУ\ настраиваемых параметров т(^) и известных вектор- функций времени хРУ\ ХрУУ xp(t\ xp(t) — программное движение системы, заданное на всем промежутке времени 0 < t < Н? И — фиксированный момент времени. Предполагается, что неизвестные параметры т постоянны и входят в матрицу А(9, г) 6 R2 xR2 линейно, а измерению в момент времени t подлежат точно и без запаздывания значения x(t\ Считается также, что dimr = dimr(t) < dimx(t). Через 9 в матрице А(9^ г) обозначены оставшиеся известные параметры системы.
Выберем в матрице A^9st\ к примеру, векторный параметр т, т.ч. т = (ti, т^У = (1/г? 1/г*)*? гДе * сверху обозначает операцию транспонирования. Тогда, полагая 9 = (^1, ^2)* — (7?/)*? можем матрицу Л(6*,т) записать в виде
АО ,4 =АО ,4 =[(1-51)02-1] П т2 А
АО ,4 =
АО ,4 =
0102П -Т2 ) '
При управляемом процессе цепного ядерного деления, когда система характеризуется физической неопределенностью и невозможностью измерить точно ряд параметров, адаптивная постановка задачи выглядит наиболее естественной.
Адаптивная задача с функционалом Ляпунова. Сформулируем следующую задачу управления. Требуется для исходной системы (11.48) найти закон адаптивного управления и(1) = = п[т(£), т(Сц t] = п[т(£), т(Сц Xp^t\ ^p(t)] и алгоритм параметрического оценивания Ф[ж(£), T^t\ х(1\ t] = 0, обеспечивающие в совокупности выполнение следующих целевых условий.
В предположении существования минимума и оптимального управления осуществление минимизации Vt Е [О, И] квадратичного функционала качества
R = 2* S(t) z |ti + j (г* S(t) z + и* R(x^t) и) dt min, (11.49) где z = x — xp; S(Cp R(x^t) E R2 x R2 — заданные непрерывно дифференцируемые, ограниченные по норме, положительно определенные, симметрические функциональные матрицы; U С R2 — множество допустимых управлений, характеризующее возможности системы управления. Найденный в дальнейшем закон оптимального управления по как раз и будет определять множество значений U.
Стабилизацию в окрестности программного движения с заданной точностью 5 > 0 вне зависимости от выбора начальных данных состояния системы
Пт || Д) || < 5. (11.50)
Прокомментируем эти условия. Минимизация функционала Ляпунова (11.49) гарантирует минимизацию совокупных затрат системы управления. Условие (11.50) для ядерного генератора означает выполнение важного условия выхода объекта регулирования на заданный (если xp(t) = const, то стационарный) режим электрогенерации. Ниже будет показано, что условие (11.49) означает выполнение изопериметрической интегральной связи, когда система в процессе своего функционирования остается на некотором неизменном качественном уровне, характеризуемом, в данном случае, функциональным условием (11.49).
Синтез оптимальной системы управления осуществим, пользуясь методом динамического программирования, для детерминированных систем, в случае, когда функция Беллмана как решение уравнения Беллмана задается изначально. Выполнение уравнения Беллмана при этом обеспечивается выбором соответствующего адаптивного алгоритма оценивания.
Итак, из функционала (11.49) зададим функцию Беллмана как нестационарную квадратичную форму:
V(z,t) = z* 8(У z.(11.51)
Очевидно, что в этом случае краевое условие V(z(ty, Н) = S(f) z тождественно выполняется.
Теорема 11.3. Пусть задан объект управления (11.48), поставлены целевые условия (11.49), (11.50) и выбрана функция Беллмана (11.51). Тогда управление, задаваемое формулой
uQ = - R-1(x,t) S(t) z,(11.52)
является оптимальным по отношению к критерию качества (11.49) Vt Е [0, ti ], причем
Ji \ио = const = V(z(tiy 0).(11.53)
Доказательство. В качестве необходимого условия оптимальности составим уравнение Беллмана с функционалом (11.49):
min (Lu V + z*Sz + u*RuY = 0,(11.54)
uEU x
где 0 < t < И, с производящим дифференциальным оператором процесса V. т. ч.
г ТЛ dv^X av , .. .av
Luv = ——— = — + (Ах + u - Хр) — =dt dtoz
= z*Sz + (Ax + и — хРУ 2Sz,(11.55)
и с граничным условием
V(z(ty, ty = z* S(t)z,
которое в силу задания функции Беллмана (11.51) тождественно выполняется.
При подстановке выражения (11.55) в уравнение (11.54) получим
z*Sz + 2z*S (Ах — хр) + z*Sz + min (2z* Su + u*Ru) = 0,uEU
d (z*Sz)dtd (z*Sz)dtоткуда оптимальное управление Uq находится по формуле (11.52). Отсюда имеем следующее уравнение Беллмана:
d (z*Sz)dt
d (z*Sz)dt
+ C*SzK + ^Ruq = 0,
Uo
dRdidRdiчто равносильно соотношениям
dRdi
dRdi
= о, R |и0 = const = V(z(Cp о).
Uo
Теорема доказана.
dVdidVdiЕсли теперь подставить и^ (11.52) в уравнение Беллмана (11.54), то получим
dVdi
dVdi
^U0^U0= -z*S(I rR~^z,(11.56)
^U0
^U0
Uo
где I — единичная матрица. Отсюда в силу положительной определенности матрицы S + SR^S следует выполнение по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости второго целевого условия (11.50), т.к. z(t) —> 0 при I —> оо.
Уравнение Беллмана (11.56) при и = Uq (11.52) должно тождественно выполняться за счет соответствующего выбора алгоритма параметрической идентификации. Возьмем в качестве алгоритма адаптации сходящийся алгоритм т + у (т — г) = 0, 7 > 0, куда вместо вектора неизвестных параметров т подставим его значение, пользуясь уравнениями Беллмана (11.56) и исходного объекта (11.48).
После подстановки uq (11.52) в уравнение (11.48) оно примет вид
% = Д(0, т) х — хр + D(x^ т, t)
где D(x^tR) = — R-1(x^ т) S(t). Домножим это векторное уравнение скалярно на вектор 2z*S^ после чего получим
^Sz = ^SAx - ^8хр + ^SDz.
Это значение 2z*Sz из уравнения объекта подставим в соответствующее выражение из уравнения Беллмана (11.56):
^Sz + z*Sz = - z*Sz + z*SDz,
т. e.
2z*SAx - 2z*Sxp + ^SDz + z*Sz = - z*Sz + z*SDz, или, сокращая на вектор-строку z\ получим отсюда уравнение
25 (Ах -xp)r(SDrSrS)z = 0.(11.57)
Уравнение (11.57) есть преобразованное уравнение исходного объекта (11.48) с системой управления, обеспечивающей выполнение уравнения Беллмана. Уравнение Беллмана (11.56) — это своего
348 Часть III. Ядерная электродинамика и кибернетическая физика рода дифференциальная связь, накладываемая на состояние, параметры объекта и его систему управления.
Уравнение (11.57) можно переписать в виде
Тт = хр- | СО + З^З + Щ,(11.58)
где Т = Дт [Л(0,т)ж] — градиент вектора А^ т) х по компонентам вектора т. Разрешая уравнение (11.58) относительно т, получим
т = Т+ [жр- |д + 3"3 + /)г],(11.59)
где Т+ = G-1T*, G = Т*Т, rankT = m<n(m = n = 2). Здесь п — размерность системы, m — размерность вектора неизвестных параметров, Т+ — псевдообратная для Т матрица. Если это решение (11.59) подставить в сходящийся алгоритм адаптации т+у (т — г) = О, то получим дифференциальный алгоритм нахождения оценок f(t).
Укажем в заключение этого раздела, что отличительной особенностью рассмотренной схемы оптимальной стабилизации от вариантов, предлагавшихся ранее, является, прежде всего, задание нестационарной функции Беллмана V^z^AY не зависящей явно от вектора т. Это позволило существенно расширить класс минимизируемых функционалов качества, но вместе с тем наложило определенные дополнительные ограничения на характер изменения вектора т : в исследуемом случае т — вектор постоянных параметров.
По-видимому, поставленную задачу адаптивного управления процессом ядерной кинетики можно решить также с помощью метода интегральных преобразований через фильтрацию высших производных вектора состояния системы в контуре обратной связи.
Адаптивная задача с функционалом Красовского. Во второй части параграфа вместо функционала (11.49) рассмотрим обобщенный интегральный функционал Н.Н. Красовского [181]. Требуется, как и ранее, выбором адаптивной системы управления обеспечить выполнение двух целевых условий:
Теорема 11.4. Пусть задан объект управления (11.48), поставлены целевые условия (11.50), (11.60) и выбрана функция Беллмана (11.51). Тогда семейство управлений, задаваемых соотношением
aSz
где а = cr(t) — произвольная положительная скалярная функция, является оптимальным относительно критерия (11.60) VI Е [0, Н], причем
Л ко = const = Дг(0), °) = л ко-
Доказательство. Найдем оптимальное управление и^ для рассматриваемого функционала J^, предполагая его существование, с помощью метода динамического программирования. Запишем уравнение Беллмана
min (Lu V + z*Sz + <р 11 и 11) = 0,(11.62)
где 0 < t < ti, V(z,t) \tl = z*Sz,
LUV = ^^ ^ = 8 г + (Ах + и — хРУ 28 z.
При подстановке Lu V в уравнение (11.62) получим
z* Sz + 2z* 8 (Ах — хр) + z*Sz + min (2z* Su + ip || и ||) = 0,
откуда найдем уравнение для определения Uq :
^ = -2S^.(11.63)
Уравнение (11.63) обладает семейством (11.61) оптимальных решений, что легко проверяется прямой подстановкой. Имеем, следовательно,
и = {u € и С Д : II и II = ст^-1 }
d (z*Sz)did (z*Sz)diи уравнение Беллмана (11.62) при u = uq (11.61):
d (z*Sz)di
d (z*Sz)di
+ (z*Sz)Uo +д UO II = о,
ио
dJ2dtdJ2dtоткуда получим
dJ2dt
dJ2dt
— 0, Д |ио — Д |uq-
Uo
Теорема полностью доказана.
Далее находим значение LUo V :
LUoV = -^Sz-a.(11.64)
Для обеспечения целевого условия (11.50) надо, видимо, в соотношении (11.64) потребовать, чтобы a(t) 0 (t оо), либо выбрать а = N(t) г, где N(f) — заданная положительно определенная, симметрическая, непрерывно дифференцируемая матрица.
Схему выбора алгоритма параметрического оценивания в задаче с функционалом Красовского оставим прежней. Внесем лишь необходимые изменения в полученные ранее выражения. Имеем отсюдал
Значение
^Sz = 2z*SAx - ^8хр + ^SDz
из уравнения объекта подставим в соответствующее выражение из уравнения Беллмана (11.64), а именно
2z*SAx - 2z*Sxp + ^SDz + z*Sz = - z*Sz - a. (11.65)
Чтобы разрешить уравнение (11.65), положим а = z*Nz. Тогда после сокращения на вектор-строку z* получим
2S (Ах - хр) + (2SD + S + S + N)z = 0.(11.66)
Уравнение (11.66) можно переписать в виде
Тт = хр - | [2D + 1 + S"1 (S + ^]
откуда после разрешения относительно т получим
т = Т+ ^хр- 1 [2D + I + S-X(S + ^]
Наконец, подставляя это значение т в уравнение f + у (т — г) = 0, у > > 0, получим выражение для сходящегося алгоритма адаптации.
Приведение стохастической системы ядерной кинетики
заданное эллипсоидальное множество
Вновь рассмотрим управляемый процесс ядерной кинетики, полагая при этом, что на систему (11.48) действуют малые внешние белошумные возмущения
х = А(0^ т) х + и^ хР) хр^ т) + е w(t), (11.67)
где w(t) Е В2 — гауссовский центрированный белый шум с корреляционной матрицей I5(1 — s); I — единичная матрица, 5 — дельтафункция, е > 0 — малый числовой параметр. Можно считать гауссовский процесс w(t) с независимыми приращениями винеровским процессом, заданным на стандартном вероятностном пространстве {Q,F, Р}, где Q — множество элементарных событий, Г — а-алгебра подмножеств (событий) в Q, Р — вероятностная мера (вероятность), определенная на элементах множества Г.
В качестве возможных возмущений sw в системе (11.67) можно рассмотреть широкий набор разного рода флуктуаций среды (в которой осуществляется процесс ядерного деления): внешнее электромагнитное поле, отсутствие глубокого вакуума в тороиде, турбулентность потоков ионитового газа и т.д.
Постановка задачи о стохастическом быстродействии. Зададим на плоскости целевое множество G (эллипс) с границей ЭС :
G=^z; z*S(t(1^1)z < г2 }, (11.68) где г > 0 — некоторая заданная постоянная, z = х — xpi 8(т(1^С) Е Е В2 х В2 — заданная непрерывно дифференцируемая, ограниченная по норме, положительно определенная, симметрическая функциональная матрица.
Поставим задачу о попадании или приведении системы (11.67) в целевое множество G (11.68) по быстродействию. Обозначим через ти^ момент первого достижения множества G процессом (11.67) при управлении и Е U С В2 с начальным условием ^(0) = Zq Е B2\G; здесь U — множество допустимых управлений. Если реализации процесса (11.67) не достигают множества G ни за какое конечное время, то для этих реализаций полагаем случайную величину ти^ = = оо. Управляющие воздействия будем выбирать лишь из множества U = { и : || и || < р }, где р > 0 — некоторое заданное число.
В этих условиях требуется выбрать управление п[т(£), хр(Ср хр^1\ 7(f)] и некоторый сходящийся алгоритм настраиваемых параметров Ф[ж(£), т(^), f(t), t] = 0, при которых выполняется целевое
условиеусловиеМти^ min,Мти^ min,(11.69)(11.69)
условие
условие
Мти^ min,
Мти^ min,
(11.69)
(11.69)
где среднее время достижения множества G при оптимальном управлении по минимально, т. е.
М тио (г) = min М ти (г).uEU
Через М здесь обозначена операция усреднения (математического ожидания).
Физический смысл выполнения условий (11.68), (11.69) достаточно прост и заключается в достижении стабильного режима работы ядерного устройства за минимально возможное время, когда состояние системы принимает значения, не выходящие за вполне определенные границы.
Синтез оптимального управления. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом корректируемых параметров [333] с той отличительной особенностью, что стохастическая функция Беллмана, которую будем обозначать через У(г(1\ f(t), t), является в исследуемой задаче нестационарной, зависящей явно от времени t и векторов z(t), f(t\ Будем считать, что скалярная функция У^тУ^ дважды непрерывно дифференцируема по г и один раз по т и t.
В этом случае формула Ито, дающая выражение для стохастического дифференциала случайного процесса У^тУ^ ПРИ выполнении уравнения (11.67), будет иметь вид
.9VdV = е 2_^ -— dwk +.9VdV = е 2_^ -— dwk +
.9V
dV = е 2_^ -— dwk +
.9V
dV = е 2_^ -— dwk +
откуда производящий дифференциальный оператор процесса У запишется с помощью соотношения
(11.70)(11.70)г 9V .*9У, .. _9V s2 о (92У
(11.70)
(11.70)
УУ=^ + Т + {^х + и - хр) — + — Sp di ЭтЭг 2 \Э z2
где след матрицы Э2Уj 9 z2 равен
Э2У\ _ Э2У 92У 9 z2)9 z2 9’Э2У\ _ Э2У 92У 9 z2)9 z2 9’^2^2
Э2У\ _ Э2У 92У 9 z2)9 z2 9’
Э2У\ _ Э2У 92У 9 z2)9 z2 9’
^2
^2
Итак, зададим стохастическую функцию Беллмана в виде нестационарной квадратичной формы
V(z^tR) = z* S(tR) z — г2.(И-71)
Следующий шаг — составление уравнения Беллмана для функционала (11.69). Имеем
min(£n У(2,тД) + 1) = О, zER2\G,(11.72)
с граничным условием
V(z(t^ т(У, t) = 0, zE ЭС.(11.73)
Оператор LUV определяется согласно равенству (11.70):
Lu V = z*Siz + 7*522 + (Ах + и - хРУ 2Sz + е2 Sp5, (11.74)
где
sx = s3f,е + 9УУ\ s^ = s2(z,т,е = vpz. at
Здесь V^G) — градиент соответствующей вектор-строки по элементам вектора т. Решение краевой задачи (11.72), (11.73) проводится непосредственно за счет выбора функции V (11.71) и попадания системы в целевое множество С (11.68).
При подстановке выражения (11.74) в уравнение Беллмана вида (11.72) получим
z*Syz + f* S2z + (Ах — хРУ 2Sz + е2 Sp5 + min 2z*Su = — 1. (11.75) uEU
Ясно, что вектор управления, направленный по нормали к целевому множеству G, обеспечивает наилучшим образом решение задачи быстродействия. Вектор нормали к G равен п = dV(dz = 252, поэтому управление, определяемое формулой
Uo = "Ts<(п'76)
удовлетворяет этому критерию и доставляет минимум по и^ || и || < < р, выражению z* Su в уравнении (11.75).
Управление Uq (11.76) является допустимым по определению, если при этом управлении существует решение исходного уравнения (11.67) и МtUq(z) < оо для конечных значений z. Для существования
решения системы (11.67) при управлении ио достаточным является [371, 388] существование такой функции W(z^tR) > 0, для которой £По ТБ (Л 7, t) < — cW^z^ f, t\ где с > О, W (г, fR) сю (^ ^ сю). В рассматриваемом случае в качестве функции W можно взять функцию Беллмана У(гЯЯ) (И-71), т.к. £иоУ(г,тД) = — 1. Отсюда оптимальность uq вытекает из допустимости управления и применения формулы Дынкина.
Управлению Uq соответствует время
К (г) = min М тД) = М т„Д).
II«II <р
Предположим противное, а именно, что при некотором допустимом управлении з при z Е R2 \ G выполняется условие
МтМ<ШЛ(П-77)
где в силу уравнения Беллмана
min Lu V = — 1, z Е R2 \G, \W<p
V = 0, z EdG.
По формуле Дынкина имеем
М { У(Д8)) } - V(z) = М I ф S< ' Ls К(Д)) dt ) >
Г fTsG)
>M<min LuV(z(t)) dt > = — M ts(z\
I Jo IMI<pJ
Следовательно, выполняется неравенство
V0^<V^<MtM
которое противоречит неравенству (11.77).
Асимптотическая сходимость функции Беллмана. Далее покажем, что функция Беллмана V(z(t)^ f(t)Д) (11.71) сходится по t к нулю при s —> 0 по вероятности, т. е. выполняется предельное равенство
lim Р ( limt^T„(z) f(t), t) > △ | = 0,(11.78)
V А > 0, и найдем оценки скорости сходимости. Согласно соотношениям (11.72), (11.75) и формуле Ито, функция V(z^tC) удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:
^ = -1 + 2гС Sw, zeR2\G.(11.79)
Ниже нам потребуются результаты следующей леммы [333]: при t Е [0, ti ], <p(t) = д21/р^ где 5, д — некоторые положительные константы, имеет место неравенство
26 / М { y(s) } ds < ц / М { у2^ } ds + cp(t)(11.80)
JoJo
для некоторого неотрицательного процесса у(1\
Теорема 11.5. Пусть функция V(гц тС) удовлетворяет соотношениям (11.71), (11.79), где У^к=1 (г*$)к — T^V для некоторой постоянной ri > 0. Тогда при t Е [0, тп(^)] имеет место оценка
М {У2(£)} < <p(t) ехр(д^),(11.81)
где <р(1) = 4г1£2^/д, и выполнено предельное соотношение (11.78).
Доказательство. Применяя формулу Ито к функции г (У) = У2, У = — 1 + 2ez*Sw^ получим
dv = 2г Е ^ (z*s)k d'Wk +k=l °
+ (- # + 2C E e*S?k S) dt, (11.82) k=l'
где BujeV = 2У, д2г/5У2 = 2.
Проинтегрируем соотношение (11.82) и возьмем математическое ожидание от результата интегрирования. С учетом того, что математическое ожидание стохастического интеграла обращается в нуль, имеем
M{y2(t)} = -2/ М { У(5)} ds + 4s2 / MlV(z*S)2kVds<
JoJoJ
< 4ris2 [ M {y(s)} ds^
откуда, воспользовавшись результатом (11.80) вышеприведенной леммы, получим
(11.83)(11.83)м мчт < ц f м мчзн d-s+ляJo
(11.83)
(11.83)
где cp(t) = 4г1£2^/д, д > 0. Применим к неравенству (11.83) лемму Гронуолла-Беллмана. Тогда получим оценку (11.81), откуда
М МЧО }0 (е 0, t € [0, Tu(z)]).
Из уравнения (11.79) следует
max V < 2е max0<s<t0<s<tmax V < 2е max0<s<t0<s<t44s) S(sy)kdwk(s)44s) S(sy)kdwk(s)(11.84)(11.84)
max V < 2е max
0<s<t0<s<t
max V < 2е max
0<s<t0<s<t
44s) S(sy)kdwk(s)
44s) S(sy)kdwk(s)
(11.84)
(11.84)
Согласно обобщенному неравенству Колмогорова запишем
/ Т ^(s^S^^dw^s)к=1/ Т ^(s^S^^dw^s)к=1^ Гм^(^Шз)ТДа8< А1к=1J^ Гм^(^Шз)ТДа8< А1к=1J4s2TiT2A24s2TiT2A2M{V(sHdsM{V(sHds
/ Т ^(s^S^^dw^s)
к=1
/ Т ^(s^S^^dw^s)
к=1
^ Гм^(^Шз)ТДа8< А1к=1J
^ Гм^(^Шз)ТДа8< А1к=1J
4s2TiT2
A2
4s2TiT2
A2
M{V(sHds
M{V(sHds
для некоторой постоянной т^ > 0. Если теперь вновь воспользуемся оценкой (11.80), то получим
р<Е [ M{V2(sHds^T](t\
Jo
где p(t) = 4£4т2Г2^/(А4^), Е > 0. Наконец, используя оценку (11.81), имеем
Р<Е 7^) ехр (цз) ds + p(t\
Jo
где правая часть неравенства стремится к нулю при s 0 на конечном интервале времени. Теорема полностью доказана.
Полученные оценки скорости сходимости в среднеквадратическом и по вероятности устанавливают асимптотику стремления к нулю функции Беллмана в зависимости от уровня помех. При е 0, t ти^ с вероятностью 1 имеем: V^z^t^ f(t^ t) 0, т.е. z*Sz г2 и процесс (11.67) попадает на границу целевого множества G.
Алгоритм параметрической идентификации. Для вывода закона оптимального управления в окончательном виде необходимо сформировать конечно-сходящийся алгоритм оцениваемых параметров. Подставим управление Uq (11.76) в уравнение (11.67) и учтем, что обеспечение стохастического уравнения (11.79) (преобразованной формулы Ито) равносильно тому, что уравнение Беллмана (11.75) имеет место. Уравнение (11.75) при и = Uq (11.76) должно тождественно выполняться за счет соответствующего алгоритма адаптации.
Выберем в качестве сходящегося алгоритма оцениваемых параметров ’’зашумленное” уравнение
г + 7 (г — г) = ysT+w, 7 > 0,(11.85)
где все величины имеют тот же смысл, что и ранее, а псевдообратная матрица Т+ определяется соотношениями (11.58), (11.59). Аналогично теореме 11.5 легко показать, что при е 0, t Е [0, тп(^)] имеет место сходимость т(1) г по вероятности.
После подстановки uq (11.76) в уравнение (11.67) получим
z = Ах — хр — pSz || Sz ||+ ew.
Затем это уравнение умножим скалярно на вектор 2z*S :
^Sz = ^SAx - ^Sxp - 2pz*S2z || Sz Ц”1 + 2ez*Sw. (11.86)
Это значение 2z*Sz из уравнения объекта при и = uq (11.76) подставим в уравнение Беллмана (11.75), выполняющее роль скалярной дифференциальной связи, накладываемой на систему. После подстановки имеем
2z*SAx - 2z*Sxp - 2pz*S2z || Sz Ц”1 +
+ 2ez*Sw + z* Sz + (s2S S + 1) z*z || z ||-2 = 0.
После сокращения на вектор-строку z* получим
2SAx = 2Sxp + 2pS2z || Sz Ц”1 - Sz - (e2 Sp5 + 1) г h ||“2 - 2eSw.
Отсюда нетрудно найти выражение для вектора неизвестных параметров т :
т = Т+(д -ew),(11.87)
где введено обозначение
т* = Хр + pSz II Sz II-1 - | S"1 [S + (s2Sp5 + 1) II z II-2 ] z.
При подстановке значения т (11.87) в известный сходящийся алгоритм адаптации (11.85) получим в итоге дифференциальное уравнение
7 + 7 (т - Т+ т*) = О
изменения т(^) в качестве алгоритма параметрической идентификации для выбора оценок неизвестных параметров.
Подводя общий итог результатам главы, отметим, что в ней рассмотрены различные схемы организации стабилизирующих систем управления процессами ядерной кинетики в детерминированном и адаптивном вариантах. Ввиду их практической значимости эти результаты могут найти применение в конструкторских разработках по созданию реально действующих высокоэффективных установок в атомной промышленности. Речь идет о создании энергетических устройств нового поколения.
К ядерным регулируемым системам на современном этапе развития предъявляются повышенные требования по точности и времени стабилизации, по уровню (степени) адаптации, т. е. степени неопределенности, по стабильности и надежности функционирования всех элементов системы управления. Использование сформированных в главе устойчивых схем синтеза ядерных кинетических систем, надеемся, будет содействовать осуществлению именно этих задач.
Глава 12
Идентификационные процедуры в задачах адаптивной ядерной кинетики
В процессе целенаправленного регулирования ядерной кинетической системы в отсутствие точного технического контроля и измерения во всех точках пространственной области активной зоны, когда практически невозможно установить верные значения состояния системы и ее характерных параметров, вопросы идентификации и оптимальной фильтрации приобретают актуальное значение.
Эта глава посвящена различным аспектам адаптивной фильтрации в задачах ядерной кинетики, т. е. вопросам формирования оптимальных адаптивных фильтров, при которых происходит ’’процесс совмещения оптимальных способов обработки принимаемого сигнала с процедурой восстановления недостающей информации” [363].
Недостаточность информации о тех или иных параметрах самого объекта управления или свойствах действующих на него помех резко затрудняет решение задачи синтеза фильтра — задачи получения оценок состояния системы. В этом случае говорят, что имеется априорная параметрическая неопределенность или априорная неопределенность о помехо-сигнальной обстановке.
Следует отметить, что задачами оптимальной адаптивной фильтрации в условиях отслеживания дрейфа неизвестных параметров (отслеживания дрейфа экстремума нестационарного функционала) занимался целый ряд исследователей (см., например, работы [154, 155, 363, 372, 385]), однако при этом модель дрейфа считалась известной. Задание законов изменения параметров тесно связано с описанием нестационарных объектов и широко использовалось при решении задач динамической стохастической аппроксимации [380, 382, 384, 420, 421, 437, 439, 441].
В значительно большей степени рассматривались задачи адаптивной фильтрации в случае, когда неизвестна дробно-рациональная спектральная плотность действующей стационарной помехи [4, 186, 319, 362, 363, 381, 383, 428, 433, 438]. Первый тип задач адаптивной фильтрации можно условно назвать внутренней адаптивной фильтрацией, а второй — внешней адаптивной фильтрацией.
В § 12.1 исследуется задача оптимальной адаптивной фильтрации в условиях неизвестного параметрического дрейфа. Большое внимание уделяется обоснованию разного рода ограничений и выводу уравнений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр. Здесь же получены условия (в виде соответствующей теоремы двойственности), при которых исходная адаптивная задача оптимальной фильтрации равносильна детерминированной задаче оптимального управления.
включает материал, в котором нашли отражение вопросы, связанные с синтезом адаптивного оптимального фильтра. Сюда вошли задачи алгоритмического обеспечения — настройки параметров и самого процесса фильтрации. Полученная схема адаптивного синтеза апробируется на известных модельных примерах линейного фильтра Калмана-Бьюси в нестационарном и стационарном случаях.
В § 12.3 анализируется задача адаптивной фильтрации в условиях неизвестной интенсивности внешних белошумных возмущений. Рассматривается несколько различных подходов к построению алгоритмов настройки параметров, решающих поставленную задачу внешней оптимальной фильтрации.
Полученные в предыдущих параграфах уравнения для отклонения оценки состояния системы от истинного значения состояния в § 12.4 изучаются для выяснения статистического и асимптотического характера поведения решений синтезированного оптимального фильтра. Центральное место в асимптотическом исследовании занимает наличие больших возмущений и применение принципа усреднения для создания системы эффективной ответной реакции, демпфирующей (гасящей) все такие возмущения.
Адаптивная фильтрация в условиях неизвестного параметрического дрейфа
В исследуемых ниже задачах внутренней и внешней адаптивной фильтрации процессов ядерной кинетики для синтеза оптимальных фильтров в качестве основной схемы решения выбран хорошо известный метод сведения задачи оптимальной фильтрации к двойственной ей задаче оптимального управления [265, 363, 426, 435].
Решение детерминированной задачи построения оптимальной адаптивной обратной связи находится с помощью метода корректируемых параметров [332, 333, 335, 336]. В отличие от предлагавшихся ранее вариантов формирования адаптивных фильтров, когда
модель дрейфа параметров считалась известной (например, вектор- функция параметров удовлетворяет какому-либо известному дифференциальному уравнению, характеризующему параметрическое изменение), на этот раз вводится достаточно жесткое условие о том, что параметры исходной системы испытывают неизвестный гладкий дрейф во времени.
Основные допущения. Постановка задачи. Пусть линейная кинетическая система с непрерывным временем задается уравнением вида (11.67):
х = F(t, т) х + Ф(^) w, x(to) = то, (12.1) где x(t) Е Rn — вектор состояния, т(1) Е Rm — вектор дрейфующих неизвестным и гладким образом во времени параметров (в рассматриваемой задаче ядерной кинетики п = m = 2), w(t) Е Rn — векторный гауссовский белошумный процесс, w(t) — соответствующий векторный винеровский процесс с независимыми приращениями. Невырожденная матрица ковариации приращений Rw(t)dt известна: М dw(t) duT (s) = Rw(t) dt dts, где 5ts — символ Кронекера (dtt = 1? Sts = 0 при t ^ s). Через Ф(£) = diag^(f) обозначена непрерывно дифференцируемая по t квадратная функциональная n-матрица параметров интенсивностей возмущений ^Pi(t), г = 1,п, которые считаются известными функциями времени. В уравнении (12.1) квадратная n х п матричная функция F(t,r) = А(6,т) предполагается непрерывно дифференцируемой относительно t и т и линейно зависящей относительно т, причем F(t,0) = 0. Для начального состояния х(to) зададим математическое ожидание m и ковариацию Ro-
Напомним, что если найдется вероятностное (Q, Д, Р) пространство с потоком сг-алгебр { Ft, t ^ [^оД1] } и такая пара процессов (x(t), w(t)), согласованных с этим потоком, что процесс ^w(t), Ft } будет винеровским, а процессы x(t) и w(t) с вероятностью 1 связаны соотношением (12.1) при всех t Е [to, П ], где F(t, т) x(t) — измеримая на множестве определения вектор-функция, то такую пару процессов (x(t), w(t)) называют слабым решением уравнения (12.1), в отличие от сильного, когда процесс x(t) при каждом t Ft -измерим и с вероятностью 1 соотношение (12.1) выполняется для всех t Е [to, И].
Понятно, что всякое сильное решение уравнения (12.1) является в то же время и слабым, т.е. если (x(t), w(t)) — слабое решение уравнения (12.1), то процесс x(t) не обязан быть Д^-измеримым. Часто при вольной трактовке сильным или слабым решением называют сам процесс x(t), а не соответствующую пару. Везде ниже мы будем рассматривать решения соответствующих стохастических дифференциальных уравнений, придавая им смысл сильных решений.
Для существования единственного (непрерывного, диффузионного, сильного) решения уравнения (12.1) потребуем, чтобы вектор- функция F(6 T(t)) x(t) удовлетворяла условиям: 1) была непрерывной по совокупности переменных и 2) для любого t Е [to, Н ] имело место для некоторой постоянной К > 0 неравенство || F(t, г) ж ||2 < <Д(1 + ||х||2), написанное с евклидовой нормой вектора.
Непрерывное наблюдение за выходом объекта (12.1) синтезируется в рамках линейной модели по правилу
y = G(i,T)$ + v, у(Ю = Уо,(12.2)
где уХ Е Rk — вектор наблюдаемых выходных переменных, v(0 € € Rk — гауссовская белошумная векторная помеха (ошибка наблюдения) с известной невырожденной матрицей R^^dt ковариации приращений процесса v(t) : М dv(t) dv*(s) = Rv(t) dtdts. Предполагается также, что G(6t) — известная непрерывно дифференцируемая прямоугольная к х п матричная функция времени. Считается также, что процессы w(t) и v(t) независимы между собой; кроме того, начальный случайный вектор x(to) не коррелирован с процессами w(t) и v^Y
Требуется получить оптимальную оценку Xt^RR^ процесса х^б) в момент времени ti на основе известных значений вектора наблюдений y^Y to < s < t. Будем считать, что формируемые оценки являются линейными функциями наблюдаемого выходного сигнала. Зададимся некоторым произвольным вектором а Е Rn. Под наилучшей формируемой оценкой будем понимать оценку состояния ядер- ной кинетической системы, при которой обеспечивается минимизация среднеквадратической ошибки оценки скалярного произведения a* x^Y а •
В принятой схеме оценивания оценка a* xtl (to, t) ищется в классе линейных интегральных оценок вида
a*xti(toR) = — / u*(t) dy^Y + b*m^(12.3)
V to
где u(t) E Rk — весовая вектор-функция фильтра, понимаемая как детерминированная настраиваемая обратная связь
uYY = u^z^tY i(tY t](12-4)
в функции состояния z(t) вспомогательной (двойственной) детерминированной управляемой системы
z = -F*(t,T^- G*(t,f)4tY(12.5)
времени t и настраиваемых (оцениваемых) параметров т(1) Е Нт. В соотношении (12.3) векторы и (t) Е Rk и b Е Rn — это векторы, подлежащие дальнейшему определению.
В задаче фильтрации считается, что t = R (верхний предел в интеграле (12.3)). Будем отсюда для простоты записывать xtl(toR) = — ^tARRi) = x^tiY Следовательно, оценка а* х(С) должна минимизировать квадратичный функционал качества:
Т[йь С ] = М [а* т(С) — о* т(С) ]2 min, aERn, (12.6)
причем основная цель построения оптимального адаптивного фильтра состоит в восстановлении оптимальной оценки состояния х(С) согласно критерию (12.6).
Теорема двойственности для внутренней адаптивной задачи. Задача оптимальной адаптивной фильтрации с уравнениями объекта (12.1), наблюдения (12.2) и функционалом качества (12.6) эквивалентна двойственной задаче оптимального адаптивного управления для некоторой детерминированной управляемой системы с соответствующим интегральным квадратичным критерием качества. Покажем это.
Подставим уравнение (12.2) в выражение для оценки (12.3). Тогда получим
а* ж(Н) = ~ [ \_и*(t) G(1^t) x(t) dt + и*(t) dv"^ + b*m. (12.7) V to
Определим далее вектор z(t) E Rn как решение дифференциального уравнения (12.5) с начальным условием ^(И) — а- Имеем в этом случае
а* т(И) = ^*(И) ж(И) = ^*(^о) x(t0) + / d [z*(t) x(t) ],(12.8)
V to
где с учетом уравнения (12.5) можем написать
d [г*ж] = dz* • х + 2* dx =
= [ — z* F(t, т) x — и* (t) G(t, т) x ] dt + z* dx.
Тогда выражение (12.8) будет выглядеть так:
п* x(ti) = ^(t0) x(t0) +
+{ [ — F(6 f) х — u*(t) G(t, f) x ] dt + 2* dx }.(12.9)
J to
Из уравнений (12.7) и (12.9) следует, что
а* [ж(И) — x(ti) ] = z*(£0) x(t0) — b*m +
+ / [ — z* F(t, t) x dt — u*(t) G(t, t) x dt + z* dx +
V to
+ u* (t) G(t, t) xdt F u* (t) du ],
или, принимая во внимание уравнение системы (12.1), получим
а* [ж(Н) — x(t^ ] = z*(t0) x(t0) — b*m +
+ /[Ж<> -F(t,r)]xdt +(12.10)
J to
+ u* (t) [ G(6 t) — G(t,r)] x dt + z* ^(t) dw + u* (t) du }.
Если в интеграле (12.10) вектор параметров т известен и т = т (неадаптивная задача), то тогда, очевидно, интеграл в правой части соотношения (12.10) принимает вид
Ja = [ z* (t) Ф(£) dw + и* (t) dv,(12.11)
J to
т. e. имеем интеграл, который после возведения в квадрат и взятия математического ожидания приводит к интегралу от квадратичных форм по z(t) и u(t\
В соотношении (12.10) введем важное ограничение, накладываемое на выбор оцениваемых параметров т(^), и закон оптимального управления: потребуем, чтобы в рассматриваемом интеграле тождественно выполнялось векторное равенство
МЭ [Жт) - F(t,M =[G(t,r) - G(l, f)],(12.12)
которое справедливо в неадаптивном случае и которое с очевидностью ведет к выполнению скалярного условия
z*(t) [F(t, т) — F(6 т) ] z(t) = — u*(t) [ G(6 т) — G(6 т) ] z(t).
Таким образом, при выполнении условия (12.12) в соотношении (12.10) получим
a* [ж(Н) — х(Г) ] = г* (to) x(to) — b*m + Ja- (12.13)
где интеграл Ja задается формулой (12.11). После взятия математического ожидания в соотношении (12.13), учитывая, что MJa = О, получим
Ма* [х(И) — х(Г) ] = [^(^о) — ЬУт^
откуда следует, что при b = %(toY выполнении условия (12.12) оценка a* x(ti) вида (12.3) будет несмещенной Vn Е Rn и при любом законе управления u(t).
Возведем выражение (12.13) в квадрат и затем возьмем от результата математическое ожидание. Получим после несложных преобразований
J = [ (z(to) - ьу т]2 + z*(io) Яо +
+ [\z40S(t)R40S(t)z(t)W(t)Ryt)^(12.14)
V to
где функционал J = J\to^ И] определяется формулой (12.6), Ro = = М [ (х(М - m)(2:(M - т)* ].
Следовательно, приходим к следующему заключению: чтобы критерий (12.14) был минимальным, т.е. оценка (12.3) была оптимальна в среднеквадратическом смысле, необходимо с учетом обеспечения условия (12.12) выбрать вектор b = z(to\ а закон управления u(t) для системы (12.5) определить, исходя из критерия W minn(t) :
W = 2*(to)Ro4tO) +
+ P\X(t) Ф(£) Rw(t) ФГО ^(t) + ^(t) Rv(t) u(t) ] dt. (12.15) J to
Выводы можно оформить в виде теоремы двойственности для внутренней адаптивной задачи оптимального оценивания и управления.
Теорема 12.1. Задача нахождения наилучшей в смысле критерия (12.6) оценки (12.3) состояния системы (12.1) по наблюдениям (12.2) эквивалентна задаче нахождения оптимального закона управления для детерминированной системы (12.5) с критерием (12.15) при соблюдении условия (12.12), которое обеспечивается соответствующим выбором систем управления и параметрической идентификации (настройки).
12.1.3. Синтез оптимального управления. Наряду с задачей оптимального управления для системы (12.5) с критерием (12.15) рассмотрим аналогичную детерминированную систему, но записанную в стандартной форме
Z = F4t,T)Z ^G,(tЯ) n(t)Z = F4t,T)Z ^G,(tЯ) n(t)(12.16)(12.16)
Z = F4t,T)Z ^G,(tЯ) n(t)
Z = F4t,T)Z ^G,(tЯ) n(t)
(12.16)
(12.16)
с заданным начальным условием Z^toY Следует найти закон оптимального управления для минимизации функционала качества
Ж = ЯЛ,)Оо^(М+/' '(12.17)
где матрицы Qo? Qi? Q2 предполагаются положительно определенными; элементы матриц Q^YQ^W — непрерывно дифференцируемые функции времени.
Соответствие оптимизационных задач (12.5), (12.15) и (12.16), (12.17) устанавливается с помощью следующей таблицы:
(12.5)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
(12.5)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
-t
t
p*
F*
tl
to
G*
G*
to
tl
Ro
Qo
z
Z
^Rw^
Qi
W
Rv
Q2
Основной результат в рамках принятых допущений по выбору оптимальной обратной связи запишем в виде следующего утверждения.
Теорема 12.2. Пусть задана управляемая система (12.16) с критерием качества (12.17). Тогда оптимальная стратегия управления задается формулой
и(0 = - Шб)"1 G^,f) B(t) z^Y (12.18)
где to < t < C, minup) W* = Z* (to) Qo Z(toY Здесь B(t) — некоторая заданная положительно определенная^t Е [to? С ] матрица, гладким образом зависящая от t и такая, что B(tY) = Qo-
Доказательство. Будем действовать по хорошо известной схеме, а именно решение данной оптимизационной задачи найдем с помощью уравнения Беллмана для функционала (12.17): W* minn(t) . Имеем
min( 22 + Z*QTZ+ u*Q2u ) =о,(12.19)
up) у atJ
где to < t < ti, V* = V*(Z,t) — функция Беллмана с граничным условием
уцгео, = z*eoQo гел
Зададим для уравнения (12.19) в качестве решения функцию Беллмана вида
УЛМ = Z* В^ Z. В^ = Qo,(12.20)
где B(t) — матрица из условия теоремы, и перепишем уравнение (12.19) с учетом соотношений (12.16), (12.20):
dt +dt +F*(1,t) Z Г Z* Qi(t) Z ГF*(1,t) Z Г Z* Qi(t) Z Г+ min u(t)+ min u(t)dVA*—) СД,т)и + и*С2(ЩdVA*—) СД,т)и + и*С2(Щ= 0,= 0,
dt +
dt +
F*(1,t) Z Г Z* Qi(t) Z Г
F*(1,t) Z Г Z* Qi(t) Z Г
+ min u(t)
+ min u(t)
dVA*
—) СД,т)и + и*С2(Щ
dVA*
—) СД,т)и + и*С2(Щ
= 0,
= 0,
откуда получим формулу для нахождения оптимального управления (12.18) и значение W* при этом u(t\ Теорема доказана.
Вернемся теперь к оптимизационной задаче (12.5), (12.15). Поставим ей в соответствие функцию Беллмана V^zRY Тогда уравнение Беллмана примет вид
minUp)minUp)-—I- z*^Rw^z + AR^u dt-—I- z*^Rw^z + AR^u dt= 0,= 0,
min
Up)
min
Up)
-—I- z*^Rw^z + AR^u dt
-—I- z*^Rw^z + AR^u dt
= 0,
= 0,
где V = V(zR) = A A(t) z — функция Беллмана с граничным условием
VЦЛ\ <о) = Д£о) Ro
Здесь A(t) — некоторая заданная квадратная п х п положительно определенная гладкая матричная функция, для которой A (to) = Ro-
Уравнение Беллмана для выбранной таким образом функции y(zR) переписывается как
dVdtdVdtЭУ\ *OZ /ЭУ\ *OZ /+ min up)+ min up)ЭУ\ *-д— I G*Ит) и Г и* RAt) и dz /ЭУ\ *-д— I G*Ит) и Г и* RAt) и dz /= 0,= 0,(12.21)(12.21)
dVdt
dVdt
ЭУ\ *
OZ /
ЭУ\ *
OZ /
+ min up)
+ min up)
ЭУ\ *
-д— I G*Ит) и Г и* RAt) и dz /
ЭУ\ *
-д— I G*Ит) и Г и* RAt) и dz /
= 0,
= 0,
(12.21)
(12.21)
откуда приходим к формуле для оптимального управления в задаче (12.5), (12.15):
u(t) = - (R^t))”1 G(t,f) A(t)z(t),(12.22)
где A(t0) = Rq^ т = т(1) E Rm — вектор настраиваемых параметров.
Замечания. 1. Принимая во внимание соотношения (12.21), (12.22), приведенную выше таблицу соответствия оптимизационных задач можно дополнить еще одной строчкой:
(12.5)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
(12.5)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
V
К
A
В
Можно показать (подробности см., например, в работах [265, 300, 426]), что матрица A(t) квадратичной формы для функции Беллмана V(zR) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати стандартного вида
да
— = FAf AF* + ФRWФ - AG*R”1GA)
где A(t0) = R0.F = F^t), G = G^tY
Синтез адаптивного оптимального фильтра
Для простоты и наглядности обоснования некоторых аналитических выражений в разделе 12.1.3 предполагалось, что матрица A(t) зависит явно лишь от времени t (так называемая нестационарная параметрическая задача [333, 335]).
С целью нахождения дифференциального алгоритма оценивания неизвестных параметров следует выбрать матрицу A(t) — матрицу квадратичной формы, определяющую функцию Беллмана, в виде матрицы, линейно зависящей известным образом от вектора настраиваемых параметров f(t), т.е. надо дополнительно потребовать, чтобы A(t) = А(б fY
Алгоритм настройки параметров. При сделанном выше предположении функция Беллмана запишется так:
V(z,r,t) = z*A(t,f)z, Л (to, т(Ы) = Ro. (12.23)
Уравнение Беллмана (12.21) с функцией V (12.23) примет вид
д¥diд¥didV\*.
д¥di
д¥di
) т +Ф(1) Rw(t) Ф(^) +
+ minu(t)+ minu(t)ЭУ\Эг /ЭУ\Эг /С*^т^ + Г R^uС*^т^ + Г R^u= 0.= 0.(12.24)(12.24)от /
+ min
u(t)
+ min
u(t)
ЭУ\
Эг /
ЭУ\
Эг /
С*^т^ + Г R^u
С*^т^ + Г R^u
= 0.
= 0.
(12.24)
(12.24)
Отсюда получим преобразованную формулу для оптимального управления (12.22):
y,y = -(R*y) 1 G(t,f)A(t,f)z(t).(12.25)
Отметим, что оптимизационное уравнение Беллмана (12.24) для заданной функции V должно тождественно обеспечиваться за счет формирования всей замкнутой регулируемой системы управления, включая помимо собственно самого закона оптимального управления и соответствующий закон настройки параметров.
При подстановке u(t) (12.25) в уравнение (12.24) найдем
— z* Ai (t, f) z + 2г* A* (t, f) F (t, f) z —
- г* A^t,Ф(1) Rw(t) Ф№ г -(12.26)
- z* а* у ус* у у цд))-1 су у Ayyz = о, где обозначено
ЭА(1,т).ЭА(1,т) .
1=13
/эух *, _ /эрдутИ А * - _ Д v' 9АУ У. "
\ Эт у Т I дт j т z у, & Tj z
Уравнение (12.26) останется в силе, если будет выполнено векторное равенство (после сокращения в уравнении (12.26) на вектор- строку г*) :
Ai (t, f) г + А2 (t, f) г - 2A* (t, f) F* (t, f) г - Ф(t) Rw (t) Ф(^) г +
+ A*(1, f) G(t, f) (R*^"1 G(t, У AU f)z = 0.(12.27)
Рассмотрим далее основное скалярное ограничение (12.12), накладываемое на выбор адаптивной системы управления. Если подставить в равенство (12.12) найденный закон оптимального управления (12.25), то получим
= F A*(t,f)G4t^W;4t) [G(t,r) -G(t,r)]z.(12.28)
Усилим равенство (12.28), потребовав выполнения векторного равенства (после сокращения на вектор-строку г*) :
N(t, z)(r -т) = A*(t, т) G*^ т) R^^ Цб z^t - f).(12.29)
Используя линейное вхождение векторов г, г в матрицы F и G, можно ввести обозначения для следующих матриц-градиентов:
N(kz) = VT ^F(t,T)zY UM = Vt VUMU*
Усилим в свою очередь равенство (12.29), а именно потребуем выполнения матричного равенства (после сокращения на вектор т-т):
= А^тсчьукрешья (12.30)
Очевидно, что при выполнении равенства (12.30) соотношение (12.29) будет иметь место для любого вектора т — т. Наконец, из выражения (12.30) получим
^R4ey' АЧЧ = SU2Y(12.31)
где обозначено
S(t,z) = (L(t,z)L*yOy1LyON*yO
в предположении, что матрица L(6 z) I? (t^ z) невырождена и имеет полный ранг, равный к. Заметим при этом, что соотношение (12.31) может рассматриваться как уравнение для выбора матрицы A(t, т).
Выражение (12.31) подставим в уравнение (12.27) для нахождения алгоритма параметрической настройки. Имеем после подстановки
Ai (t, т) z + Л2 (t, т) z — 2 A* (t, т) F* (t, т) z — - Ф(^) R^ Ф(^) + 8^ z) Rv(t) S(t, z) z = 0.
Воспользуемся опять линейностью вхождения вектора т в соответствующие матрицы и получим запись уравнения (12.32) в виде
В^(t, z)t Г В2(t, z)t — 2 A*(t, т) Вз(1^)т =
= V^tWwltWt) - S*(t, z) Rv(t) S(t, z)] z, (12.33) где введены следующие обозначения для матриц-градиентов:
Вт и U = Vf [ Л! е, т) 2 ],В2 и ^ = V Д л 2 (t, т)Ц,
B3(t,z) = ^r ^гч^т^у
Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (12.33) — это уравнение для настройки параметров т(1) в оптимальной системе адаптивного управления с матрицей A^t^ т\ удовлетворяющей уравнению (12.31), решение которого обеспечивает выполнение всех введенных выше целевых условий.
Алгоритм процесса фильтрации. Найдем стохастическое дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять наилучшая оценка а* х(р) (12.3), где u(t) определяется формулой (12.25) с калмановским адаптивным коэффициентом усиления К(1,т) :
= -куличу кич =
Для этого рассмотрим уравнение (12.5) с учетом соотношений (12.25), (12.31), (12.33). Имеем
z = -F^t,f)z-G^t,f)u(t) = -^F(t,T)-K*(t,T)G(t,T)Y(12-34)
Пусть Р^Г) — матричное решение линейного дифференциального уравнения
Р- [F(t,r) - K^t.T^G^t.T^P, P(Wi) = Г
где I — единичная n-матрица. Тогда решение уравнения (12.34) примет вид
z(t) = P*(t^ И) а,
где z^t^ = a, z^t^ = b = P*(to, П) а. Имеем отсюда для оптимального управления формулу
u(t) = -A(t,r)P*(t,ti)a.
Следовательно, уравнение для оценки (12.3) можно записать как
a* x(ti) = а* [ P(tRi) К*(1,т) dy(t) F a* P(t0Ri)m
J to
Заключаем, таким образом, что оценка
х(р) = [ 1 P(6ti)K*(6T)d<t)pP(t0.ti)m (12.35)
доставляет минимальное значение среднеквадратической ошибке оценки V а.
Остается продифференцировать соотношение (12.35) по С :
dx^ =(12.36)
dP(Wi)dP(Wi)(Их+к*х,техле-з =(Их+к*х,техле-з =
dP(Wi)
dP(Wi)
(Их+к*х,техле-з =
(Их+к*х,техле-з =
= \гхн - к*елтел= \гхн - к*елтелМ || х(С) — 5(C) ||2 minМ || х(С) — 5(C) ||2 min(12.38)(12.38)
= \гхн - к*елтел
= \гхн - к*елтел
М || х(С) — 5(C) ||2 min
М || х(С) — 5(C) ||2 min
(12.38)
(12.38)
■x(ti')dti +K*(t1,T(ti')')d-y(ti') = t=tl
= Ехмсу^х^!+к*х,теэ) [dy(ti) - G(<!,T(ti)) xxwiA
с начальным условием x(to) = m.
Имеем линейное стохастическое дифференциальное уравнение (12.36) относительно оценки х^др минимизирующей среднеквадратическую ошибку оценки:
dx = F(t,r)xdt + К* (бт) ^dy — G(6t)x dt^ х(10) = пр (12.37) где f(t) E Rm — вектор настраиваемых по адаптивному алгоритму (12.31), (12.33) параметров.
Итак, представление закона оптимального управления в виде u(t) = — Jf(t, f)z(t) послужило основой для записи уравнений оптимальной адаптивной фильтрации в замкнутой форме. Окончательный результат теперь можно сформулировать в виде обобщенной на параметрический случай (с неизвестным дрейфом во времени) теоремы Калмана-Бьюси.
Теорема 12.3. Наилучшая в смысле критерия качества
оценка состояния x(t) системы (12.1) по наблюдениям (12.2) удовлетворяет линейному стохастическому дифференциальному уравнению
где калмановский коэффициент усиления К(1,т) определяется формулой
K(t,f)=(R*(t))~1G(t,f)A(t,f), A(t0) = Ro,
причем пара (^А(1^т)^ т^ удовлетворяет системе уравнений (12.31), (12.33).
Замечания. 1. От критерия (12.6) для оценки состояния мы пришли к критерию (12.38) в силу соотношения (12.35).
Матрично-векторная пара (A(t, т), т) удовлетворяет системе уравнений (12.31), (12.33). Если выбор матрицы А(1Д) обусловить алгебраическим матричным уравнением (12.31), то имеем векторное дифференциальное уравнение (12.33) относительно т(1). Напротив, если взять уравнение (12.31) в качестве исходного уравнения для выбора вектора т(1) (например, путем домножения на вектор г), то матрица А^ т) должна удовлетворять матричному дифференциальному уравнению (см. уравнения (12.26), (12.31), (12.32)):
A^т)-Ф(t)Rw(t)Ф(t) +
+ S* (1^ г) Rv(t) S(t^ г) = 2А*(1,т)Г*(1,т\(12.39)
В любом случае можно резюмировать, что адаптивный вариант построения оптимального фильтра подразумевает организацию двух параллельных процессов идентификации: состояния самой системы и ее неизвестных, дрейфующих во времени параметров.
Модельные примеры. Интересно обнаружить связь полученных алгоритмических решений задачи оптимальной параметрической фильтрации с известными алгоритмическими решениями фильтра Калмана-Бьюси для непараметрической линейной задачи. С этой целью ниже рассматриваются два характерных примера. Для пояснения сути вопроса особо отметим, что решения оптимальных фильтров даются лишь в терминах оптимизационных дифференциальных уравнений. В случае наличия регулируемых параметров в системе удается за счет определенной параметрической настройки эти уравнения упростить до уровня получения их интегральных решений.
Пример 1. Задается линейная нестационарная параметрическая система двух скалярных уравнений фильтрации, которая в принятых обозначениях имеет вид
х = F(t^ т) х + w, x(Iq) = О, хЕН,
у = G(1,t)xEv, y(t0) = 0, у Е R, в предположении, что Rw(t) = Rv(t) = 1 и параметрическая зависимость т = т(^) от времени известна VC
Изложенная выше схема решения приводит к тому, что условие (12.12) приобретает вид зависимости
F(t, т) - F(t, f) = АХ И Ч [ G(t, т) - G(t, г) ],
где A(tOl r(tQ^ = 0. Настройка параметров по правилу f(t) = т(^), очевидно, удовлетворяет этому уравнению.
Будем считать поэтому, что т(^) = т(£), и из системы уравнений (12.31), (12.39) тогда получим стандартное дифференциальное уравнение Риккати для определения функции времени A(t) = A^T^ff) = = АХНеН
АХ + не АХ + g(t) АНе - 1 = о, A(to) = О,
где не = -2Г(^т), gX = G2(Z,t).
В этом случае из уравнения (12.37) имеем хорошо известное решение для линейной нестационарной задачи
dx = F(6 r^xdtEK^T) ^dy — G^t^x dt^
где x^t^ = 0, K(t, т) = G(6 т) A(t\
Пример 2. Рассматривается линейная непараметрическая система фильтрации вида
х = х + w, x(to) = 0; у = х + г, ^/(^о) = 0, где х^у Е R^ Rw(t) = Ru^t) = 1. Считаем, что F(Rt) = 1, G(Rt) = 1. В этом известном случае [335] оценка состояния системы удовлетворяет уравнению
dx = xdt + K(t) (dy — xdty ж(^о) = 0,
где калмановский коэффициент усиления K(t) = vl(t), причем ковариация ошибки оценки A(t) является решением известного уравнения:
А = 2А + 1 - A2,A(t0) = 0.
Проверим эти соотношения. Согласно предложенному методу сведения к двойственной задаче оптимального управления надо наряду с непараметрической системой фильтрации рассмотреть вспомогательное скалярное уравнение
у которого F(t^ т) = 1, G(t, т) = 1. Используя полученные ранее соотношения, обнаружим тождественное выполнение уравнения (12.12):
(1 -1) = л(0 (1 -1).
Кроме того, оптимизационное уравнение (12.39) представляется в виде уже записанного выше решения непараметрического оптимального фильтра Калмана-Бьюси:
А - 1 = (2 - A) A, A(t0) = О,
где dx = xdt + К (Г) (dy — xdt), х^) = 0, причем K(t) = A(t).
12.3. Адаптивная фильтрация в условиях неизвестной интенсивности внешних возмущений
Переходим к рассмотрению следующей важной задачи оптимальной адаптивной фильтрации — к внешней адаптивной задаче. Предполагается, что внутренние параметры т = т(1) системы (12.1) как вектор-функции времени известны, а положительно определенная функциональная матрица параметров интенсивностей белошумных внешних возмущений Ф(£) = diag^(t), г = 1, п, неизвестна. Полагаем, в уточнение, что вектор-функция ip(t) = (^zto)^-^ равномерно по времени ограничена: supt || cp(t) || < С^ t Е [to, Н], но постоянная С^ > 0 также считается неизвестной.
Договоренности о записи уравнений и формул. С целью упорядочения записи во всех полученных ранее соотношениях будем опускать выделение вектора т^ = ^(t), т.е., к примеру, уравнения (12.1), (12.2) будем записывать в виде
х = F(t) х + Ф(t) w, x(to) = то,
и
y = G(f)x + i),y(t0)=y0,
соответственно и т.д. В остальном все введенные ранее буквенные обозначения сохраняют свой первоначальный смысл.
Несколько слов об остальных соотношениях. Постановочная часть внешней адаптивной задачи имеет, в принципе, ту же форму, а именно оценка a* xtl (to, t) ищется по-прежнему в классе линейных
интегральных оценок вида (12.3), где t = Н, но на этот раз управление u(t) представляет собой настраиваемую обратную связь вида
u(f) = u^z^t\ ф^бф t](12.40)
как функции состояния ^(t) двойственной детерминированной управляемой системы
G*(t) u(t^(12.5)
времени t и оцениваемых параметров ф(б) Е Rn интенсивностей внешних возмущений, испытывающих гладкий, равномерно ограниченный неизвестный дрейф во времени. При этом матрица Rw(f)dt ковариации приращений винеровского процесса w(t) считается известной.
Соотношения (12.6), (12.7), (12.8), (12.9) имеют такую же структуру, что и ранее. Выражение (12.10) в новой задаче запишется в виде
а* [ж(Н) — $(Н) ] = ^*(^о) ^(to) — b*m +(12.13)
где интеграл Ja определяется по формуле (12.11).
Условие (12.12) тождественно выполняется и мы приходим к соотношениям (12.13), (12.14), (12.15). Следовательно, теорема двойственности для внешней адаптивной задачи формально ничем не отличается от теоремы 12.1 с той лишь разницей, что условие (12.12) в рассматриваемой задаче автоматически выполняется.
Оптимизационное уравнение Беллмана. По синтезу оптимального управления надо отметить следующее: соотношения (12.16), (12.17) остаются в силе; формулы (12.18) - (12.20) также справедливы.
В оптимизационной задаче (12.5), (12.15) возьмем функцию Беллмана V(z^R) с уравнением Беллмана
min (—+ F^Rw^z + u*Rvu ) = 0.
u(t) у dt)
Пусть V — V^z^ ф^ t) = А(ф^ t) z — функция Беллмана с граничным (начальным) условием
ДДо), y(to), to) =
где А(ф, t) — некоторая положительно определенная п х п-матрица, непрерывно дифференцируемая по всем своим переменным, причем А^ф(1оф to) — Ro- Считается, что матрица А(фА) линейно зависит от
вектора настраиваемых ’’внешних” параметров ^(t), выбираемого в силу какого-либо конкретного алгоритма адаптации.
Уравнение Беллмана (12.21) с выбранной функцией V^z^R) принимает вид
F^t)z- — фКУФ(1Ж^Ф(1^К ot yoz )\^Ф /
+ min u(t)+ min u(t)— G* (t) и К и* R^t) и =0,— G* (t) и К и* R^t) и =0,(12.41)(12.41)
+ min u(t)
+ min u(t)
— G* (t) и К и* R^t) и =0,
— G* (t) и К и* R^t) и =0,
(12.41)
(12.41)
где, напоминаем, диагональные элементы матрицы Ф(^) неизвестны. Уравнение (12.41) позволяет получить формулу для оптимальной обратной связи:
<t) = кок1 кипели<t) = кок1 кипели(12.42)(12.42)
<t) = кок1 кипели
<t) = кок1 кипели
(12.42)
(12.42)
Конечно же, как и ранее, справедливость оптимизационного уравнения Беллмана (12.41) для выбранной функции Беллмана У^ФА) должна обеспечиваться соответствующей схемой формирования адаптивной системы управления (оптимальный закон управления (12.42) + некоторый алгоритм настройки параметров).
Подставим u(t) (12.42) в уравнение (12.41). Тогда получим
— z* Ai(y?, t) z + 2г* А*фк I) F*(t) z —
- г* А^фц Ф^ Rw(t) Ф(£) г -(12.43)
- г* g*^ КМ"1 К) Дум) = °-
где обозначено
Алгоритм настройки параметров. Здесь можно рассмотреть два случая. В первом случае матрица А(ф, 1) задается изначально, а во втором — матрица А(ф, 1) находится в силу некоторых динамических соотношений.
Итак, пусть матрица A(t) = А(фЯ) задана, причем A(^(F)?F) — = Rq. Ниже мы укажем на примеры задания матрицы А(рфЯУ Уравнение (12.43) предоставляет нам возможность исходить в своем анализе из матричного уравнения
лед + 2л*ед Е*^ + W) М^ W) -
л*едв^ед лед = о, лед = ледед,
или (в разрешенной относительно Ф(£) Ew(t) Ф(^) форме)
^Rw^^-S^Y(12.44)
где 8(f) — известная квадратная п х п матричная функция времени:
s'ед = л ед + л* (t) Rg (t) A(t) - 2 л* (t) f* (t).
Rg^ = СЧЭ G^ = G*^ Rp^ GP-
Нелинейное матричное уравнение (12.44) по Фед аналитически однозначно не разрешимо [76, 80]; более того, п штук неизвестных ipiXtY ^ — 1,п, должны удовлетворять п2 уравнениям системы (12.44), что делает задачу поиска ^(t) трудноразрешимой.
На самом деле острой необходимости в обязательном определении величин ^ед нот, поскольку функционирование адаптивной системы управления обусловлено и задается, в основном, законом оптимального синтеза (12.42), куда в правую часть входит матрица A^RY а не вектор фф^-
Поэтому поступим следующим образом. В уравнении (12.44) всю матрицу Ф(^) Rw(t) Ф(^) = Ф(£) целиком (все ее и? элементов ф^'^)) объявим неизвестной. Согласно уравнению (12.44) ее функциональные параметры (элементы) фгз^) определяются однозначно через матрицу S(tY
Откажемся от линейной зависимости матрицы А от элементов вектора ф. Можно в качестве матрицы А(ф, t) взять матрицу ФМ = PijPY М = 1,п, где фгА^) — оценки величин ф^з^У Тогда, очевидно, управление (12.42) будет определяться формулой
<ф = -ведедседФедедед(12.45)
Алгоритм настройки параметров для выбора Ф(^) можно задать в виде устойчивого матричного дифференциального уравнения 1-го порядка:
Фед - Фед + а (Фед - Фед) = о, а > о, (12.46)
где pij(t) Pij(t) при 1 сю с экспоненциальной скоростью. Для придания алгоритму (12.46) окончательного вида надо вместо матриц Ф(1\ Ф(1) подставить их найденные значения, пользуясь уравнением (12.44). Имеем в результате вместо уравнения (12.46) уравнение.
^(t) - 8(1) + о (Ф(1) - 8(1)) = О, о > 0,(12.47)
где_
8(1) = Ф(1) + Ф(1) Rg(t) Ф(1) - 2^(1) F*(t).
Итак, матрица Ф(1) в законе управления (12.45) определяется выходом (решением) алгоритма (12.47).
Здесь можно поступить несколько иначе при формировании адаптивного алгоритма настройки, хотя суть общего подхода при этом останется прежней. Речь идет о том, чтобы матрицу А(ф^ 1) задать в виде
А(фр) = Ф(1) Rw(t) Ф(1),
где Ф(^) — оценка диагональной матрицы Ф(^).
В этом случае управление (12.42) задается формулой
-u(t) = -Rp (t) G(t) Ф Rw(t) Ф(£) z(t),
а алгоритм оценивания выбирается, исходя из соотношения (12.44) и матричного уравнения
(ФЛЮФ - ФЛЮФ) + а (МЛ - Ф^Ф) = О,
где Ф(^) Rw(t) Ф(1) = 8(1)^ и в силу неотрицательной определенности ковариационной матрицы Rw(t) имеем Ф(^)Ф(^) при 1 сю, либо
|| Ф(1) — Ф(1) || <5 при t ti^ где 5 > 0 — заданная точность отслеживания при а = о(5).
Модельный пример. Предложенную схему построения адаптивного алгоритма применим к задаче оценки состояния плоского гироскопического маятника [57, 300].
Предполагается, что момент вокруг оси подвеса для радиальной коррекции имеет вид — \N Р + b^t) ], где £(1) — гауссовский случайный процесс типа белого шума с нулевым средним значением; N, b — числовые параметры, причем b считается неизвестным, Р(1) — угол поворота гироскопа вокруг оси его кожуха.
В случае, если коэффициенты вязкого трения в опорах оси подвеса и оси кожуха гироскопа равны нулю, уравнения движения гироскопического маятника имеют вид
Fdt + Ир -|- Lot + Np -|- b£(t) = 0,
hp -На + ср = р
где схр) — угол поворота маятника вокруг его оси, С, /2 — соответствующие моменты инерции, Н — кинетический момент гироскопа, L — статический момент маятника, N — параметр радиальной коррекции, с — жесткость пружины, связывающей кожух гироскопа с маятником.
Ограничиваясь изучением прецессионного движения и отбрасывая инерционные члены фа и /2/З, уравнения движения можно записать в упрощенной форме
а = / 3,
с заданными значениями математических ожиданий начальных дан
ных:
Маро) = «о, Мрро) = до-
считается, что угол а поворота гироскопического маятника и угол Р поворота кожуха гироскопа недоступны измерению. При помощи измерений может быть получена только реализация скалярной случайной функции рр)., t Е [to? Н], удовлетворяющей соотношению
уМ = 30 + «О,
где ир) — гауссов случайный процесс типа белого шума с нулевым средним значением.
Предполагается, что корреляционные функции одномерных случайных процессов £(t) и ир) удовлетворяют равенствам
М£р) ^(s) = qi др — s), Мир) /(s) = g2 dp — s),
где M^p) /(s) = 0, £(•) — дельта-функция, qi^Q2 — положительные числа.
Представим уравнения движения и наблюдения в векторноматричном виде
х = Ех + Ф w(t), Мхро) = т, ^ = Gx + ирР
где введены обозначения
^О =^О =о£0о£0
^О =
^О =
о£0
о£0
Л 0 0 \Ф =.\° г)Л 0 0 \Ф =.\° г)G=(O1), ^=-|-G=(O1), ^=-|-
Л 0 0 \
Ф =.
\° г)
Л 0 0 \
Ф =.
\° г)
G=(O1), ^=-|-
G=(O1), ^=-|-
Предполагается также, что начальное состояние x(to) системы является гауссовой векторной случайной величиной, не зависящей от w(t) и r(t), со средним значением т и известной корреляционной матрицей М[т(^о) — ^] [^(^о) — ш] = Ro-
Переходим к рассмотрению алгоритма адаптивной настройки. Запишем последовательно:
уравнение (12.5) для вспомогательной системы
% = - F* z -% = - F* z -г е R2, и е R;г е R2, и е R;
% = - F* z -
% = - F* z -
г е R2, и е R;
г е R2, и е R;
оптимальное управление (12.42)
ле = - 921 (°!) А(ж е ле =
/ ц21^22 А /^1А\\ р
=1II. L A^Vteb to) = Ro,
\ Q2 Ц2 J \z2 J
где A = (aid), z = (^), ij = 1,2, Rv = q2;
в уравнении (12.44)
^Rw^ =^Rw^ =00000w2/ ’0w2/ ’R.R.0 00 9i0 00 9iRg —Rg —0000
^Rw^ =
^Rw^ =
0
0
0
0
0
w2/ ’
0
w2/ ’
R.
R.
0 0
0 9i
0 0
0 9i
Rg —
Rg —
0
0
0
0
Положим
ж т / 0z2
Отсюда зададим матрицу A(ip, t), т.ч.
an(t) a12(t)
a21(t) V^)
где ^(t) — настраиваемый параметр как функция t; an(t), ai2(t), &2i(^) — известные функции времени, определяемые в силу уравнения (12.44).
Имеем далее для матрицы 8(f) = (^(фУф i^j = 1,2, и в силу уравнения (12.44):
S11 — Иц н012^2177 012 — О,
q^ Н
1-2
S12 = 012 Н012'0 + 77 (^Оц + N а^) = О, 92Н
.17 2с 7
S21 — 012 НО210 — — 0 — О, 92Н
-1-2-
s22 = 7 Н72 + 77 Ц«21 + ^7) = Ф-
92 Н
Найденное значение «22 — 0 подставим в сходящийся алгоритм адаптивной настройки для случая, когда 0 = const, 0 = 0:
0 + 7 (0 — 0) = О, 7 > 0.
Подставив, получим скалярный алгоритм адаптации
(1 - 7) 7 + (7 - ^-) 7 - — 72 - ^ «12 = о.
К этому уравнению надо добавить еще три написанных выше уравнения:
5ц = 0,«12 = 0,«21 — О,
что в результате приводит к замкнутой системе четырех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций Оц(0, «12(7 «21(7 И 7(7
Фильтрация высших производных. Теперь изучим менее простой, по сравнению с первым, случай, когда матрица А(фЯ) заранее не задается. Дифференциальное уравнение (12.44), куда входит А^ф^ 0, не может служить для ее определения, поскольку это матричное уравнение содержит в свою очередь неизвестную матрицу Ф(0, t Е [to? Н]-
Возникшую трудность можно обойти, если воспользоваться вспомогательным уравнением (12.5) для двойственной системы. В правую часть уравнения (12.5) подставим найденный закон оптимального управления (12.42). Имеем
Из уравнения объекта (12.48) неизвестный вектор А(фА) z легко находится. Так как при к < п матрица Rg(t) является вырожденной Vt Е [to, ti ], то можем написать в предположении, что det GG* Ф 0 •
А^ф, t)z = Rp(t) (z + F (t) z),(12.49)
где Rp(t) = G+Rv (GG*)-1 G; G+ = G* (GG*)-1 — псевдообратная по отношению к G матрица. Здесь Rp(t) — известная матричная функция времени размерности п х п.
Несмотря на кажующуюся простоту и эффективность этого подхода, данная методика обладает определенным недостатком: присутствием в формуле (12.49) высших производных — компонент вектора z(t). Введем ограничение, а именно будем считать, что элементы векторов z^t\ z(t) и т. д. измерению не подлежат, т. е. измерению не доступны (измеряется лишь вектор z(t)). Воспользуемся на этом этапе процедурой фильтрации высших производных по методу интегральных преобразований [331].
Для удобства записи обозначим вектор А(ф,1) z(t) через r(t). Затем проинтегрируем уравнение системы (12.49) дважды на промежутке времени [^оДЬ to < t < G? с экспоненциальным весом exp [ — ае (t — s) ], ае > 0 :
f f e-Ee<-t-k'>r(k)dkds= f f e^^-^ {RPU)[z(k) +
J to J toJ to J to
+ F4k)z(k)^dkds.(12.50)
От матричного уравнения (12.44) перейдем к векторному уравнению
р(0 = 5(1) 2(1),(12.51)
где p(t) = ^(t) z(t)^ а матрицы 8(Гц ^(1) были введены ранее. Тогда роль сходящегося адаптивного алгоритма настройки параметров может играть векторное уравнение (ср. с уравнениями (12.46), (12.47)):
r(t) — p(t) + a (r(t) — p(t)) = 0, а > 0.(12.52)
Так как в уравнение (12.52) входят высшие производные от вектора z^t\ перейдем от уравнения (12.52) к его сглаженному варианту:
R<^ - P(t) + о (R(t) - P(t)) = 0.(12.53)
Здесь R(t^ P(t) — n-мерные выходы соответствующих устойчивых фильтров 1-го порядка:
К(0 + жК(0= [ e^^^r^ds, R(t0) = R°,(12.54)
где R0 — заданный вектор, ае > О — заданное число, с известным решением
R(t) = R° е-^^0'1 + [ [ e-^^-^r^akAs,
J to J to
R(t) =-R^e-5®^”^ + [ e^^^r^ds -(12.55)
J to
— ae f f е-ж^-к^т^ dkds-.
J to J to
а также фильтр
P(t)^^P(t)= [ e-^^-^p^ds, P(t0) = P°,(12.56)
J to
где P° — заданный вектор, с аналогичным решением
P(t) = P%"^(^^/ е”^-^ p(k)dkds,
Jto J to
P(t) =-P°$e-Ee(t-t0'1 + [ e-^^-^pOds -(12.57)
V to
- ae [ [ e-^-^ p(k)dkds.
J to J to
Фильтр (12.54) с учетом уравнения (12.49) можно переписать как
R(t) + aaR(t) = / е-ае ^-s^ Rp(s) z(s) ds +
J to
+ / e”^”^ Rp(s)F*(s)z(s)ds.(12.58)
J to
Очевидно, что за счет линейного вхождения z(t) в уравнение (12.58) его правая часть (с использованием формулы интегрирования по частям) будет зависеть только от элементов вектора z(t) и известных величин как функции времени I. В самом деле, имеем
кЯ)Р®^Э= / е-86^-5) RpO РЧб) z(s) ds +
V to
+ Rp(t) z(t) - e-ae(t"to) Rp(to) z(to) ~
/d \
e-ae(t-s) / gg^^) Rp(s) 1 z(s) ds.
Vds )
Совершенно аналогично использование уравнения (12.50) объекта позволяет записать решение (12.55) фильтра (12.54) только как функции измеряемых значений z(t) и величин, зависящих известным образом от 1. Подставляя найденные значения решений (12.55), (12.57) фильтров (12.54), (12.56), (12.58) в алгоритм настройки (12.53), будем иметь сходящийся параметрический векторный алгоритм оценивания относительно неизвестного вектора p(t) (12.51): p(t) = S(t) z(t) = Ф(1) Rw(t) Ф(1) z^tY
Об особенностях процесса фильтрации во внешней адаптивной задаче
Вначале несколько слов об основном фильтрационном уравнении. Стохастическое дифференциальное уравнение процесса фильтрации, которому удовлетворяет наилучшая оценка а* х(Н) (12.3), где u(t) определяется формулой (12.42) с калмановским адаптивным коэффициентом усиления K^RY т-4-
u(t) = — ^(Ф^t) zYtY к(ф^ь) = R^Hb) g^ МФ^bY
имеет во внешней адаптивной задаче вид уравнения (12.37):
dx = F(t) xdt + K*YT, b) \dy — G(t) xdt ], x(to) = m. (12.59)
Здесь функциональная матрица А^ф^ t) считается известной, а алгоритм настройки параметров фгYbY b = 1д, выбирается согласно уравнению (12.47). Поэтому и теорема Калмана-Бьюси, обобщенная на случай неизвестных интенсивностей действующих внешних возмущений, будет иметь, в целом, вид теоремы 12.3 с коэффициентом усиления K^RY
Статистические свойства решений. При подстановке в уравнение (12.59) выражения для dy (12.2) получим
dx = (F — K*G)xdt + К* YGxdt + dvY
где F = F(tY G = G(tY К = K^RY Принимая во внимание уравнение системы (12.1), найдем стохастическое дифференциальное уравнение относительно невязки (отклонения) оцениваемого состояния x(t) = x(t) — xYY :
dx = <F - K*G^x dt Г Ф dw - К* du,
которое может быть записано в виде стохастического дифференциального уравнения Ито
dx = Fi(f) х dt + T2(t) d^(12.60)
где Г! e Rn x Rn, Г2 e Rn x Rn^k,
r1= F-K*G, Г2 = (Ф| -к*),
Будем считать, что в уравнении (12.60) элементы матриц Г1 (£), Г2(£) являются непрерывно дифференцируемыми функциями времени, а х(to) — случайная величина со средним значением т~ и ковариационной матрицей R^.
Статистические свойства решений уравнения (12.60) хорошо известны (см., например, монографию [333] и содержащуюся там библиографию), поэтому только перечислим их, не занимаясь детально их выводом.
Прежде всего запишем решение уравнения (12.60) с помощью стохастического интеграла Ито:
x(t) = X(to,t)x(tQ) + f X(s,t)r2(s) d^s),(12.61)
J t0
где матрица X(toR) является решением уравнения
dX(t0R) = I\(t) X(t0, t) dt, X(t0, to) = I,
с единичной матрицей I размерности n.
Для среднего значения имеем
(t) = Mx(t) = X(to, t) m~, откуда
m*(t) = I\(t) X(toR)m~, m*(t0) = m~.
Вычисляя ковариацию процесса x(t), получим с учетом независимости процесса ^(s) от x(t) при s > t :
R(t, s) = cov [x(t), x(s) ] =
= Q(t) X*(t, s) + m*(t) m*(t) X*(t, s) - m*(t) m*(s), где Q(t) = R(t,t). Аналогично можем написать для s < t :
R(t,s) = X(s,t)Q(s) + X(s,t) m^(s) m*(s) - m*(t) m*(s),
где имеем для соответствующего значения Q(s) = R(s^ s).
Уравнение для ковариации в своем конечном виде выглядит так:
D(t) = Г^) D(t) + D(t) П(£) + R^(t)(12.62)
с начальным условием
У(Ы = Q^O) + Tn*(t0) m*(.to) = R0~ + m~m~,
где введены следующие обозначения:
D(e = Q(tHm*(tWAe, ад = ^[Щ0^(0Пг2^М(г)Г =
Дифференциальное уравнение Риккати (12.62) служит уравнением для нахождения ковариации ошибки оценки Q^t\ где Q(to) = ^Гс'
Замечания об асимптотических свойствах решений. Всякий раз, когда в исследуемом уравнении, описывающем состояние какой-либо динамической системы, присутствует малый числовой параметр е > 0, возникает задача об асимптотическом (при s —>■ 0) поведении ее состояния. Наличие малого параметра в правых частях дифференциальных уравнений, в возмущающих воздействиях, при старших производных в левых частях уравнений стимулировало в разное время острый интерес и бурное развитие важных разделов теории: теории возмущений и разложения решений в ряд по степеням малого параметра, принципа усреднения, теории сингулярных уравнений и т.д. Разумеется, присутствие малого параметра в уравнениях и необходимость рассмотрения асимптотических задач диктуются, прежде всего, обилием возникающих реальных ситуаций, множеством практических примеров, связанных с наличием малого параметра.
Напомним, что в уравнении для отклонения х(1) оцениваемого состояния (12.60) матрица Гг^) обладает непрерывно дифференцируемыми, ограниченными по времени функциональными элементами. Будем считать, что при белошумной помехе £(1) стоит малый параметр е > 0, появление которого обусловлено присутствием малых параметров при шумах ш и г в уравнениях (12.1) и (12.2). Тогда, очевидно, производя надлежащие переобозначения, уравнение (12.60) можно записать в виде
Всесторонний асимптотический анализ уравнения вида (12.63) проведен в работах автора [333, 336]. Основной смысл полученных там результатов сводится к следующему: если матричные коэффициенты уравнения (12.63) из класса C^to, Н], то тогда при е О имеет место сходимость по вероятности процесса x(t) к нулю, т.е. сходимость оценки состояния x(t) к истинному значению состояния x^t\ t е [t0, И ].
Поэтому далее ограничимся рассмотрением еще одного важного асимптотического случая, когда система (12.60) возмущена не малыми белошумными помехами, как в уравнении (12.63), а наоборот, большими, и мы имеем дело с уравнением вида
dx = I\(t)xdt + |r2(t)^-(12.64)
Возникает естественный вопрос: как в условиях наличия уравнения (12.64) обеспечить эффективность процесса фильтрации, о которой говорилось чуть выше, т. е. обеспечить сходимость x(t) x(t) при s —> 0 по вероятности? Иными словами, требуется обеспечить выполнение предельного соотношения
lim Р { max || x(t) || > А } = 0(12.65)
£—>0to^t^t-v
VA > 0, t Е [to, ti ], где || x(t) || — евклидова норма вектора x(t).
Оказывается, существует путь решения этой задачи в рамках привлечения ’’сильного” корректирующего множителя [333] с последующим применением принципа усреднения для стохастических систем [67]. Идея этого подхода довольно простая и заключается в том, чтобы соответствующей коррекцией правую часть уравнения (12.64) максимально приблизить к виду правой части уравнения (12.63). Легко видеть, что для реализации этой программы действий надо взять в качестве вектора Fi(t) х вектор порядка s-2 Fi(t) х.
Перейдем к формальным записям. Пусть система ’’объект- наблюдение” (12.1), (12.2) выглядит так:
4 = у F(t) х + - Ф^) w,
(12.66) У = -G(i)x + -V, ОЕ
где ради простоты и без ущерба для общности параметры интенсивностей больших возмущений взяты одного и того же порядка s-1, а в модель ’’объект-наблюдение” введен один и тот же сильный корректирующий множитель J-1, соответствующий сильной обратной
связи; 5 > 0 — малый параметр. Все остальные обозначения в системе (12.66) сохраняют свой прежний смысл.
Имеем в этом случае выражение для новой матрицы Г'^) :
= 1 F(t) - ачч сче s2 r;44 G(t), О
где е2 Н”1^) д-1 G(t) A(t) = Kf(t) = е25-1 К (Г) — новый калмановский коэффициент усиления. Выражение для новой матрицы T^t) :
ЦД = (|фД1 - Ед^кччу
Зададим 5 ~ е2. Тогда уравнение (12.64) примет вид
dx = — Bi (I) х di Н— Г2 (t) d^
Е2Е
где Г) = /^ K*G, Г2 = (Ф | — еК*\ или вид сингулярного стохастического дифференциального уравнения
Е2 dx = Г! (I) X dt + £ Г2 (t) d^(12.67)
т. е. уравнения с малым параметром при старшей производной.
Принцип усреднения и асимптотика уклонений при больших возмущениях. Для исследования уравнения (12.67) обратимся к принципу усреднения [67], по которому траектории х(1) исходной системы (12.67) и усредненной системы x(t) будут близки в вероятностном смысле.
Для этого проведем в уравнении (12.67) усреднение по времени при фиксированном значении х :
ММ1^1 — ^о1^1 — ^ох, s, ^(s)) ds — b*(x, s) ] dsх, s, ^(s)) ds — b*(x, s) ] ds(12.68)(12.68)
М
М
1
^1 — ^о
1
^1 — ^о
х, s, ^(s)) ds — b*(x, s) ] ds
х, s, ^(s)) ds — b*(x, s) ] ds
(12.68)
(12.68)
где b^xA^k^ = £-2Г1(£) х + s-1r2(t) ^t\ причем ae^) 0 при ti —> 00, а вектор 6*(жД) задает усредненное движение x(t). В самом деле, выберем в качестве b*(x,f) вектор ^*(тД) = ё-2Г1(£) ж, который определяет вектор усредненного движения по правилу
где постоянная матрица Г1 = (ti — to)-1 J^ ^(s) ds считается устойчивой, а несобственный интеграл J^ Fi(s) ds сходящимся.
Возьмем далее усредненную стохастическую систему в виде
х = Ь(х) + е2 F2(t) d^,x(t0) = x(t0),
или
(12.69)(12.69)X = E 2 Г1 x + e2 F2(t) d^.
(12.69)
(12.69)
Асимптотический анализ решения уравнения вида (12.69) проведен в работе [333]. Итогом может служить утверждение: для случайного процесса х^Рр определяемого уравнением (12.69) с постоянной устойчивой матрицей Fi и непрерывно дифференцируемой ограниченной матричной функцией времени F2(t), t Е [to, И], выполнены V A > 0 предельные соотношения
м^ II ле II2} >0, Щ max II ле II > А} >0.(12.70)
Е—>0Е—>0
Покажем теперь, что имеет место предельное равенство
lira Р { max || Т](1) || > А } = 0,T](t) = x(t) — x(t).
Отсюда и из соотношений (12.70) будет, очевидно, вытекать основное утверждение (12.65).
Теорема 12.4. Пусть выполнено неравенство (12.68). Тогда для процессов x(t) и x(t), определяемых соответственно уравнениями (12.67) и (12.69), где ЦГ^Ц < С^ ЦЙЦ < С^ ||r2(t)|| < С2; СЪС2 — некоторые положительные постоянные такие, что Ciе2, С2
~ е^!2, t 6 [to, ti], справедливы предельные со отношения V А > 0 :
М^ max h(i)||2} -> 0, Р{ max || 77Ц) II > А }-> 0.
(12.71)
Доказательство. Из определения процессов x(t) и x(t) согласно неравенству (12.68) следует, что
1_
ле = ле - ле = j [ri(s) ж($) - Г1 $(s)] ds +
+ fr^sNUse(12.72)
£ Jto
где t е [t0, <1 ]•
Обозначим m(t) = М{ || р(Г) ||2 }. Возводя в соотношении (12.72) обе части равенства в квадрат и используя условия теоремы, ряд преобразований и неравенств, получим после применения математического ожидания:
< ^ ^4 ^ / m(s) ds + С^а2 (t — to), (12.73)
где er = е-1 — е2 . Для вывода оценки (12.73) мы воспользовались преобразованиями, связанными со свойствами стохастического интеграла Ито, где для некоторой случайной функции ф(1^ш)^ ш Е Q имеем
/\ 2/\
2) м \jL ш) <^^Ц = м \JL А8,ш)ds) ’
и неравенством Гельдера
/ pt\ 2pt
( f(s,u)ds} <(t-t0) / f2(s,a))ds.
UtoJJto
Из неравенства (12.73) npnt G [to, ti ] по лемме Гронуолла-Беллмана имеем
m(t) < С^а2 (t - t0) ес^£"4(12.74)
откуда при выборе постоянных Ci s2, С^ е^!2 следует, что m(t) 0 (s 0).
Докажем второе утверждение теоремы. Из равенства (12.72) далее получим
maxto<^<^lmaxto<^<^l+ о- max to<t<ti+ о- max to<t<tiГ2(з)^(б)Г2(з)^(б)\\O\\<^ Г \\r^s№)-r1x^\\ds +
maxto<^<^l
maxto<^<^l
+ о- max to<t<ti
+ о- max to<t<ti
Г2(з)^(б)
Г2(з)^(б)
(12.75)
В силу неравенства Чебышева и первого утверждения теоремы (12.74) имеем VA > 0 :
||Г1(б)ж(б) -Г1ж(б) || ds >||Г1(б)ж(б) -Г1ж(б) || ds >4С^ (ii - io)Д2е44С^ (ii - io)Д2е4
||Г1(б)ж(б) -Г1ж(б) || ds >
||Г1(б)ж(б) -Г1ж(б) || ds >
4С^ (ii - io)Д2е4
4С^ (ii - io)Д2е4
Оценка второго слагаемого в неравенстве (12.75) проводится с помощью обобщенного неравенства Колмогорова для стохастических интегралов:
Р < a maxI to<t<tiР < a maxI to<t<tir2(s) d^s)r2(s) d^s)4ЛС^ (ii - io)4ЛС^ (ii - io)A2A2С^ОС^ОAA> 0.> 0.(12.77)(12.77)
Р < a max
I to<t<ti
Р < a max
I to<t<ti
r2(s) d^s)
r2(s) d^s)
4ЛС^ (ii - io)
4ЛС^ (ii - io)
A2
A2
С^О
С^О
A
A
> 0.
> 0.
(12.77)
(12.77)
Суммируя полученные результаты (12.76) и (12.77), приходим ко второму утверждению теоремы. Теорема полностью доказана.
Замечание. Поскольку неравенство (12.68) считается выполненным, то справедливость соотношений (12.71) остается в силе также и на больших интервалах времени порядка:
т.к. согласно неравенству (12.68) имеем оценку
С учетом соотношений (12.70) об асимптотической сходимости к нулю усредненного решения x(t) системы (12.69) получим аналогичное заключение (12.65) относительно решения x(t) системы (12.64), т.е. x(t) x(t) (е —> 0) с вероятностью 1 и решение построенного фильтра асимптотически устойчиво при сильном возмущении системы ’’объект-наблюдение”.
Часть IV
Приложение: элементы теории и сопутствующий справочный материал
Приложение 1
Некоторые сведения из небесной механики
Приложение 1 можно рассматривать как естественное теоретическое дополнение к материалу, помещенному в гл. 3, по механике космического полета. Задачам и методам небесной механики посвящена обширная научно-методическая литература (см., например, работы [54, 97, 122, 137, 290, 310, 317, 320, 345, 387, 391, 403]), в которой весьма подробно и разносторонне изучается предмет.
Быть может, менее тщательно, но зато в приближении к задачам космического полета элементы небесной механики излагаются в известных курсах [216, 269]. Именно этим учебным работам автор и старался в большей степени следовать при подаче данного материала. Краткое изложение основ небесной механики, надеемся, не приведет к какому-либо ущербному ее восприятию, а наоборот, поможет лучше понять и ’’переварить” космодинамические задачи.
§ П1.1 вводит в теорию притяжения по Ньютону. Для силового поля тяготения определяется потенциал в случае двух и п притягивающих материальных точек. Рассматривается случай, когда имеется притягивающее тело в виде шара со сферическим распределением плотности и соответственно находится потенциал создаваемого поля тяготения. Изучается также методика разложения потенциала в ряд по сферическим функциям (многочленам Лежандра) для тела произвольной формы. При решении задачи о силе тяжести на поверхности
Земли исследуется аппроксимация данной поверхности модельным геоидом в виде эллипсоида Клеро.
В § П1.2 изучается одна из основных задач небесной механики — задача двух тел. Вначале выписываются уравнения движения, в том числе и для случая непритягивающего спутника (ограниченная задача двух тел). Затем последовательно находятся интегралы уравнений движения: интегралы площадей, энергии и Лапласа. Использование интегралов площадей и Лапласа позволяет составить уравнение орбитальной траектории материальной точки в поле тяготения притягивающего центра. Попутно определяются геометрические параметры орбитального движения. Итогом этого рассмотрения служат известные законы Кеплера движения планет по орбите вокруг Солнца. Наконец, выясняется характер зависимости скорости точки от особенностей орбиты и положения точки на ней.
В последнем § П1.3 Приложения 1 исследуется движение твердого тела в центральном поле тяготения. С целью получения уравнений движения определяются главный вектор сил тяготения и их гравитационный момент относительно центра масс тела. Для сложного вращательного движения по орбите составлена замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела по отношению к центру масс. Анализ завершается рассмотрением важных частных решений, допускающих плоские движения твердого тела в центральном гравитационном ньютоновском поле.
П1.1. Введение в теорию притяжения
Движение в пространстве различных небесных тел, естественных и искусственных, происходит в основном под действием гравитационных сил, определяемых законом всемирного тяготения Ньютона.
Обозначим через М и. т массы двух материальных точек (точек М и т), г — радиус-вектор, проведенный от точки М к точке т. Тогда сила тяготения F, действующая на точку массой т, по Ньютону задается соотношением
тМ п тМг Г = -7 ~^г =тМ п тМг Г = -7 ~^г =(П1.1)(П1.1)
тМ п тМг Г = -7 ~^г =
тМ п тМг Г = -7 ~^г =
(П1.1)
(П1.1)
где 7 — универсальная гравитационная постоянная, г° = т(т — единичный вектор, г = | г |.
Зададим декартову систему координат Mxyz с началом в точке М. Тогда компоненты силы F в этой системе координат имеют вид
тМ х _ тМ утМ z
Fy = ~^~^r~^ Fz =~
где г = r(x^ у, z). Если в каждой точке (ж, у, z) пространства действует сила F(x^y^z)^ то говорят, что задано силовое поле. Если при этом выполнено условие (ПЕ1), то это силовое поле называют центральным или ньютоновым.
Для простоты положим m = 1. С учетом того, что сила притяжения F консервативна, т. е. зависит только от положения точки, следовательно, она имеет потенциал (обладает потенциальной функцией) :
/ х МU(x^z) =г
причем F = grad О. т.е. выполнены равенства
dUМ дтМ хdUМ дтМ у
дхг2 дхг2 тдуг2 дуг2 г
dU _ М дт _ М z dzг2 dz г2 гdU _ М дт _ М z dzг2 dz г2 гг = | г | = х/^М^^мМ2.г = | г | = х/^М^^мМ2.
dU _ М дт _ М z dzг2 dz г2 г
dU _ М дт _ М z dzг2 dz г2 г
г = | г | = х/^М^^мМ2.
г = | г | = х/^М^^мМ2.
Поверхностью уровня (изопотенциальной поверхностью) называется поверхность с уравнением
U(х, y.z) = С = const.
Элементарная работа потенциального силового поля равна величине dA = F dr = dU, откуда
ГММ
Л = / F dr = U(m2) — U(mi) =7—
J mim^Т2 Г1
есть работа потенциального силового поля при перемещении точки m из начального положения mi в конечное положение m2, где т^ г 2 — радиусы-векторы точек mi и m2 в системе координат Mxyz. При Г2 —> г, щ ос получим
м
Л = 7 — = U(x, у, z),
т. е. потенциальная функция представляет собой работу по перемещению точки массой m из бесконечности на расстояние г от точки М.
Естественным обобщением рассмотренного случая служит система п притягивающих точек с массами М^, г = 1, п, и координатами (х, у, z)i в декартовой системе Oxyz с началом в некоторой точке О. Пусть m — точка единичной массы с координатами xmiymizm. Обозначим через тг = ((жт - хгУ + (ут - у»)2 + (zm - гг)2)1/2 расстояние
между точками т и Mi. Имеем силу F^, с которой точка Mi притягивает точку т :
где rm = rm(xm,ym,zm) — радиус-вектор точки m; г, = г^Д,у»,24), г = 1,п, — радиус-вектор точки Mi.
Совокупность точек Mi,M2,...,Mn составляет равнодействующую F всех сил притяжения F^, приложенную к точке т :
где F = gradC, U = 7 ^^^ Mifvi — совокупный потенциал системы п притягивающих материальных точек.
Если точки Mi, М2,..., Мп представляют собой систему притягивающихся точек, то тогда равнодействующая Fi = F^(F^, F^, F^) сил притяжения Fi,..., F^-i, F^+i, ...,Fn, приложенных к точке Mi, вычисляется по формуле
Ег = -^МгМ3Ж-^-^ £ МгМ,^j = l^3j=i+l^3
где ггз = (Oi - х3У + (у» - у,)2 + (zy - Д2) — расстояние между точками Mi и Mj. Общий потенциал поля для случая системы п материальных точек равен
причем выполняются равенства
dUdUdU.
F-tx — д 1Fiy =—,Fiz =—,г= 1, п.
ОХ^^УъУ^ъ
Рассмотрим случай, когда притягивающее тело представляет собой шар с массой М радиуса R и сферическим распределением плотности рХд где I — расстояние некоторой точки шара от ее центра. Будем считать далее, что притягиваемая точка с массой т = 1 находится на расстоянии г от центра шара; г > R.
Введем сферические координаты I, А, р с началом в центре шара, где А Е [—тг, тг] — экваториальный угол, р Е [—тг/2, л/2] — меридиональный угол, определяющий широту местоположения точки на сфере М.
Найдем потенциал шара со сферическим распределением плотности. Для этого выделим элементарный объем шара, расположенный между сферами с радиусами I и I + dl (что соответствует углам А и А + dX) и между двумя плоскостями, проходящими через центр шара (точку М) и пересекающими данные меридиональные плоскости на широтах р и р + dp. Для величин элементарного объема dV и его массы dM имеем соответственно:
dV = Z2 cos р dl dp dX, dM = p(Z) Z2 cos p dl dp dX.
В этом случае потенциал шара М при действии на внешнюю точку т задается с помощью интеграла по объему шара V :
U =U =ЧЦ.ЧЦ.p(l) I2 cos pdl dp dX ^/r2 + Z2 — 2rZ sin p
U =
U =
ЧЦ.
ЧЦ.
= r'47r/ pXPdl =
Таким образом, видим, что шар со сферическим распределением плотности имеет потенциал на внешнюю материальную точку такой же, как и потенциал материальной точки, имеющей массу шара М и расположенной в центре этого шара.
Для небесных тел более сложной формы, чем шар, используют разложение потенциала в ряд по сферическим функциям. Поместим декартову систему координат Oxyz в центре масс тела М с объемом V, произвольной формы и непрерывной функцией плотности р(х, у, z).
Пусть вне этого тела находится некоторая точка т единичной массы с координатами ж, у, z. Потенциал притяжения тела М для внешней точки т определяется формулой
(П1.2)(П1.2)
(П1.2)
(П1.2)
где го = го(хо,Уо^о) — радиус-вектор некоторой точки N Е М; г = = т(х, у, z) — радиус-вектор точки m ^ М; I — длина вектора I = т—го- Несложно по теореме косинусов найти
I =I =т2 т^ — 2тто cos ф = тт2 т^ — 2тто cos ф = т^1-2^1-2
I =
I =
т2 т^ — 2тто cos ф = т
т2 т^ — 2тто cos ф = т
^1-2
^1-2
где cos^ = (жжо + УУо + zzoV^o; Ф — угол между векторами г и rg. Затем осуществим разложение 1/1 в ряд по степеням го/г^ точнее по многочленам Лежандра. Этот многочлен n-го порядка задается с помощью формулы Родрига
an (г2 - i)ndznan (г2 - i)ndzn
an (г2 - i)ndzn
an (г2 - i)ndzn
Пользуясь тем, что для многочленов Лежандра тождественно выполняется соотношение
запишем разложение 1/1 в ряд по многочленам Лежандра:
1100/ \п
7 = ”Т(”) Рп(сО8-ф).
Zг\г
п=0х 7
Тогда потенциал U (П1.2) будет выглядеть так:
(П1.3)(П1.3)и = ф / / ;Е у p"(cos7
(П1.3)
(П1.3)
J J JV I п=0 X /)
В сферических координатах г, А, р выполнены соотношения
ж = г cos р cos А,У = г cos р sin А, 7 = г sin р,
то = го cos ро cos Ао,у о = го cos ро sin Aq ,27 = го sin р0.
Поэтому для величины cos ф получим
cos ф = sin р sin ро + cos р cos ро cos (А — Ао),
а затем найдем
(П1.4)(П1.4)Fn(cosV’) = Pn (sin у) F„(sin^0) +
(П1.4)
(П1.4)
/с = 1/с = 1(п — к)\ (п + кф(п — к)\ (п + кф• P/k\smp) P/^Xsmpo) (cos kXcos кХо + sin /cAsin кХоф• P/k\smp) P/^Xsmpo) (cos kXcos кХо + sin /cAsin кХоф
/с = 1
/с = 1
(п — к)\ (п + кф
(п — к)\ (п + кф
• P/k\smp) P/^Xsmpo) (cos kXcos кХо + sin /cAsin кХоф
• P/k\smp) P/^Xsmpo) (cos kXcos кХо + sin /cAsin кХоф
к^ связанная с многочленом Лежандра зависимостьюк^ связанная с многочленом Лежандра зависимостьюгде Pn^^ — присоединенная функция Лежандра порядка п и индекса
к^ связанная с многочленом Лежандра зависимостью
к^ связанная с многочленом Лежандра зависимостью
Подставляя соотношение (П1.4) в формулу (П1.3) для потенциала тела произвольной формы, получим в результате
и = 7 52• T„(siny>) J j j^o Pn(sinp0)pdV +
ОО и
+ 7 52 52• рп4™^х(П1.5)
п=0 /с = 1
x^cos kX 111 Q^\^0,^o)cos kXopdV +
+ sin kX 111 Q^\pQ,r0)sm A;Aopdv}, где введено обозначение
Го) = 77—77? • Го P^HsmpoY
При разложении потенциала (П1.5) в ряд пользуются безразмерными коэффициентами Jn. С^ S^ величины которых зависят от формы тела притяжения и плотности распределения его массы:
Лп = ”1Хб? // jvTo P4smp0)pdV,
Cnk = WR^///уОпЧро^о) cos kXopdV,(П1.6)
Snk = IvYR" 11 lv Q"X*M Го) Sin kXopdV,
где R* — экваториальный радиус притягивающего тела М.
Производя вычисление коэффициентов (П1.6), можно в итоге формулу (П1.5) относительно потенциала притяжения тела М произвольной формы для внешней точки записать в виде следующего ряда:
РДвтр) +РДвтр) ++ ЕЕ+ ЕЕP^Xsinp) ^Спк cos kX + Snk sinP^Xsinp) ^Спк cos kX + Snk sinkX)kX)(П1.7)(П1.7)
РДвтр) +
РДвтр) +
+ ЕЕ
+ ЕЕ
P^Xsinp) ^Спк cos kX + Snk sin
P^Xsinp) ^Спк cos kX + Snk sin
kX)
kX)
(П1.7)
(П1.7)
Отметим, что ряд (П1.7) сходится равномерно и абсолютно при условии tq < rmax < г, т. к. в этом случае при | Fn(sin(/?o) | V 1 сходится равномерно и абсолютно ряд в формуле (П1.3). Здесь г — расстояние от точки (центра) М до точки m; rmax — расстояние от точки М до наиболее удаленной точки тела М; vq — расстояние от точки М до некоторой точки N Е М.
Для потенциала притяжения Земли в формуле (П1.7) имеем: А — долгота притягиваемой материальной точки относительно гринвичского меридиана, р — широта точки относительно плоскости экватора, М — масса Земли, R* — средний экваториальный радиус Земли. Отметим также, что коэффициенты С21 = S21 = 0, поскольку ось Oz — ось вращения Земли и является главной центральной осью инерции.
Рассмотрим далее вопрос о силе тяжести на поверхности Земли, называемой геоидом — невозмущенной поверхности океанов, продолженной под материками. На тело, находящееся на поверхности Земли, действуют сила притяжения и центробежная сила инерции, вызванная вращением Земли. Сила тяжести является равнодействующей этих сил, причем потенциал силы тяжести [7Т равен сумме потенциалов рассмотренной силы притяжения U и центробежной силы Дц: Ut-П^Пд.
Часто для облегчения аналитического описания геоид заменяют более простой, но близкой моделью поверхности. Рассмотрим одно такое приближение, предполагая, что распределение плотности Земли обладает осевой симметрией. В этом случае в формуле (П1.7) коэффициенты Cn^ = 8П^ = 0 и для такой модели Земли имеем
U = у —U = у —тт1 Г лп=21 Г лп=2Pn (sin р)Pn (sin р)(П1.8)(П1.8)
U = у —
U = у —
т
т
1 Г л
п=2
1 Г л
п=2
Pn (sin р)
Pn (sin р)
(П1.8)
(П1.8)
Пусть Дц — центробежная сила инерции, действующая на точку m единичной массы, которая находится на широте р и расстоянии г от центра Земли (точки М). Эта сила ортогональна оси вращения Земли и выражается формулой
Дц = и? г cos р,
где через ш обозначена угловая скорость суточного вращения Земли. Потенциал силы Гц задается, в свою очередь, формулой
ТТ ^222
(Ш.9)(Ш.9)Пц = - Ш Г COS р.
(Ш.9)
(Ш.9)
Складывая выражения (П1.8) и (П1.9), найдем потенциал силы тяжести UT. Отсюда легко найти уравнение поверхности, где UT имеет постоянное значение. Эта поверхность носит название уровенной
поверхности:
ММ1^ Jnп=21^ Jnп=2К (sin у?)К (sin у?)+ | CJ2r2 COS2 р = К+ | CJ2r2 COS2 р = К
М
М
1^ Jn
п=2
1^ Jn
п=2
К (sin у?)
К (sin у?)
+ | CJ2r2 COS2 р = К
+ | CJ2r2 COS2 р = К
с произвольной постоянной К.
В рассматриваемом случае, чтобы определить уравнение модельного геоида, надо считать г = R* при р = 0, т. е. имеет место совпадение экваториальных радиусов уровенной поверхности и Земли при р = 0. Тогда
ИЛИИЛИМ7ЖМ7Ж1 , ,2 р221 , ,2 р22/ Л рЗ иоq = УЖ'/ Л рЗ иоq = УЖ'Отсюда уравнение модельного геоида записывается в видеОтсюда уравнение модельного геоида записывается в видеММУ Г )1У Г )1= 7^(1-ЕЛК(0) + ^.\п—2/= 7^(1-ЕЛК(0) + ^.\п—2/(ШЛО)(ШЛО)Уравнение (ШЛО) с учетом осевой симметрии в распределении плотности Земли можно упростить. Опуская промежуточные выкладки, запишем результирующее уравнениеУравнение (ШЛО) с учетом осевой симметрии в распределении плотности Земли можно упростить. Опуская промежуточные выкладки, запишем результирующее уравнение1г1г1 +1 +С-А 2MRIС-А 2MRI\ 27\ 3— (1 - asm р) + - —-cos рт2 \\ 27\ 3— (1 - asm р) + - —-cos рт2 \С-А2MRIС-А2MRI(Ш.И)(Ш.И)
ИЛИ
ИЛИ
М
7Ж
М
7Ж
1 , ,2 р2
2
1 , ,2 р2
2
/ Л рЗ ио
q = УЖ'
/ Л рЗ ио
q = УЖ'
Отсюда уравнение модельного геоида записывается в виде
Отсюда уравнение модельного геоида записывается в виде
М
М
У Г )1
У Г )1
= 7^(1-ЕЛК(0) + ^.\п—2/
= 7^(1-ЕЛК(0) + ^.\п—2/
(ШЛО)
(ШЛО)
Уравнение (ШЛО) с учетом осевой симметрии в распределении плотности Земли можно упростить. Опуская промежуточные выкладки, запишем результирующее уравнение
Уравнение (ШЛО) с учетом осевой симметрии в распределении плотности Земли можно упростить. Опуская промежуточные выкладки, запишем результирующее уравнение
1
г
1
г
1 +
1 +
С-А 2MRI
С-А 2MRI
\ 27\ 3
— (1 - asm р) + - —-cos р
т2 \
\ 27\ 3
— (1 - asm р) + - —-cos р
т2 \
С-А2MRI
С-А2MRI
(Ш.И)
(Ш.И)
В формуле (П1.11)
А = j j j (р + Л) р dV, B = j j j (x2 + z2) P dV, A = B,
— осевые моменты инерции притягивающего тела М. Поверхность, описываемая уравнением (П1.11), носит название эллипсоида Клеро или нормального сфероида.
Модельный пример. Покажем, что с точностью до малых первого порядка нормальный сфероид (П1.11) совпадает с эллипсоидом вращения.
В уравнении (П1.11) величины (С — А)/МП* и q — первого порядка малости; R*/г ~ 1. Поэтому, оставляя в этом уравнении лишь величины первого порядка малости, придем к записи
г = ЯД1 - a sin2 Д а = - ■+ 4(П1.12)
2 М2
Параллельно с уравнением (П1.12) рассмотрим уравнение эллипсоида вращения
%2 + У2 Z2
R2'
заданное в декартовой системе координат Oxyz; точка О расположена в центре масс эллипсоида, ось Oz направлена по оси вращения, оси Ох и Оу расположены в экваториальной плоскости. Здесь R*, R** — экваториальный и полярный радиусы эллипсоида.
Воспользуемся формулами перехода к сферическим координатам:
х = R cos р cos А,у = R cos р sin A,z = R sin р^
где R — расстояние от точки О до точки на поверхности эллипсоида, р — широта, А — долгота этой точки. Тогда получим
R2 cos2 р R2 sin р
откуда найдемоткуда найдемR = R*R = R*cos2 р +cos2 р +sin2 рsin2 р(шла)(шла)
откуда найдем
откуда найдем
R = R*
R = R*
cos2 р +
cos2 р +
sin2 р
sin2 р
(шла)
(шла)
где о = (R* — R^/R* — сжатие эллипсоида. Наконец, разлагая правую часть в соотношении (П1.13) в ряд и сохраняя при этом лишь члены первого порядка относительно о, придем в точности к уравнению (П1.12).
Далее затронем кратко вопрос об ускорении силы тяжести д^ д = grad U^ которое действует на тело, находящееся на поверхности Земли. Пусть геоид моделируется нормальным сфероидом. Тогда
. п 9UT 0
grad иТ = —— п ,on
где п° — орт внешней нормали к уровенной поверхности. Можем
положитьположитьаиТ д = -^7аиТ д = -^7r=Rr=R
положить
положить
аиТ д = -^7
аиТ д = -^7
r=R
r=R
UrUrммгде г — радиус-вектор произвольной точки поверхности сфероида. В рассматриваемом случае
Ur
Ur
м
м
1 । С — А (\. 2 х\2
^мпрАт) (1 ~3“'“ f)+2k;с™ 4
значит
М9 = ^№М9 = ^№ЗС-А+ 2 ' МЕ2ЗС-А+ 2 ' МЕ2р \ 2/ р \ 3-
М
9 = ^№
М
9 = ^№
ЗС-А
+ 2 ' МЕ2
ЗС-А
+ 2 ' МЕ2
—(1 — 3sm р) — д \ —— cos р .
Подставим в это выражение соотношение (П1.12) при г = R. Тогда, сохраняя члены не выше первого порядка малости, получим
М9"^М9"^sin2 рsin2 р(П1.14)(П1.14)
М
9"^
М
9"^
sin2 р
sin2 р
(П1.14)
(П1.14)
В формуле (П1.14) обозначим
М д* = ^М д* = ^Зд2Зд25g25g2
М д* = ^
М д* = ^
Зд2
Зд2
5g2
5g2
что дает нам соотношение Клеро [164] для вычисления с точностью до малых первого порядка ускорения силы тяжести на поверхности неоднородного сфероида:
д = д« (1 +/3sin2 у?),
где д* — ускорение силы тяжести на экваторе.
П1.2. Задача двух тел
Одной из основных задач небесной механики, имеющей большое практическое значение, является так называемая задача двух тел (задача двух материальных точек). Задача эта ставится так: для двух притягивающихся в пространстве по закону Ньютона материальных точек, начальные положения и скорости которых заданы, требуется определить положения этих точек как функций времени.
Многие задачи по определению движения планет и искусственных спутников можно рассматривать как задачи двух тел, поскольку, пренебрегая более малыми силами взаимного притяжения планет, притяжения спутника другими планетами, силами сопротивления космической среды и т.д., можно оставаться в ситуации, когда доминируют лишь силы гравитационного притяжения Солнца и планеты или спутника и планеты. Отметим также, что интегрирование уравнений движения в задаче двух тел допускает интегрирование в квадратурах.
П1.2.1. Уравнения движения. Введем некоторую инерциальную систему координат OXYZ. Положения материальных точек М и т задаются их радиусами-векторами Rw р соответственно. С точкой М свяжем поступательно движущуюся систему координат Mxyz, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат OXYZ. Положение точки т относительно точки М определяется радиусом-вектором г = р — R.
Пусть Мит — массы точек Мит соответственно. Со стороны точки М на точку m действует сила, определяемая формулой (П1.1):
тМ
Со стороны точки т на точку М действует сила — F. Запишем на основании второго закона Ньютона уравнения абсолютного движения материальных точек с массами m и М :
d? р тМd? р тМл r d?R тМл r d?R тМ
d? р тМ
d? р тМ
л r d?R тМ
л r d?R тМ
илиилиd? р Мd? р Мd?R т1ё = усг'd?R т1ё = усг'
или
или
d? р М
d? р М
d?R т
1ё = усг'
d?R т
1ё = усг'
Напоминаем, что векторные величины не выделяются; понять, где в этих уравнениях векторные, а где скалярные величины просто, исходя из алгебраического смысла записи.
Так как г = p—R, то вычитая одно уравнение из другого, получим
d2r М т,
либо, вводя обозначение ае = 7 (m + М),
^2rг
dt2г3
Уравнение (П1.15) является основным в задаче двух тел; оно описывает движение точки т относительно притягивающей точки М.
При найденной вектор-функции г = r(t) можно определить движение относительно системы координат OXYZ. Для этого обозначим через С центр масс двух точек т и М. По теореме о движении центра масс точка С движется равномерно и прямолинейно в замкнутой системе точек { т^ М } и ее скорость определяется начальными скоростями точек т и М. Пусть Rc — радиус-вектор точки С; тогда
Р — Rc +Р — Rc +Мт + ММт + МR = RcR = Rcтт + Мтт + М
Р — Rc +
Р — Rc +
Мт + М
Мт + М
R = Rc
R = Rc
т
т + М
т
т + М
В этом разделе выпишем также уравнение движения непритягивающего спутника т. Поскольку в этом случае т <У М, то можно пренебречь ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру М. В результате получим ограниченную задачу двух тел — задачу о непритягивающем спутнике. В этой задаче можно поместить начало инерциальной системы координат (точку О) в притягивающий центр М. Имеем тогда р = г, R = 0 и уравнение относительного движения спутника
d2 гтМ
(П1.16)(П1.16)Это уравнение часто записывают в виде d?рт
(П1.16)
(П1.16)
dt2г3 '
где р = уМ — гравитационный параметр.
Сравнение уравнений (П1.15) и (П1.16) показывает, что движение притягивающего спутника массой т относительно притягивающего центра массой М равносильно движению непритягивающего спутника относительно притягивающего центра массой т + М, где при т <^ М имеем ае аз р.
П1.2.2. Интегралы уравнений движения. Уравнение (П1.15) определяет движение точки т (спутника) в подвижной системе координат Mxyz. Это уравнение удобно рассматривать как уравнение движения точки т относительно неподвижного притягивающего центра М под действием центральной силы —тжт(т3.
По теореме об изменении кинетического момента следует, что момент количества движения точки m относительно точки М есть величина постоянная, т. е.
где с = г — скорость точки т относительно точки А к с — векторная постоянная. Соотношение (П1.17) называют интегралом площадей.
Остановимся на некоторых следствиях, вытекающих из соотношения (П1.17). Проектируя вектор с на оси системы координат Mxyz, получим
сх = yz — yz^ Су = zx — zx^ cz = ху — ху.
При cx = Су = cz = 0 точка т движется по прямой, проходящей через точку М. Если это условие нарушено, то вектор г расположен V t в одной плоскости, перпендикулярной вектору с. Запишем уравнение этой плоскости, называемой неизменяемой плоскостью Лапласа: (с, г) = 0, т. е.
сх х + Су у + cz z = 0.
Вывод: траектория (орбита) точки т является плоской кривой, причем плоскость орбиты определяется вектором с, либо начальными данными (го, Го) точки т в движении относительно точки М.
Введем систему координат MxiyiZi, в которой плоскость Mxiyi совпадает с плоскостью орбиты. Имеем
с$1 = кл = °, см = жЙк ~ ^1#Ь
где с = Jc^. V с2 V с2 = | cZ1 |. Обозначим угол (г, Мх^ = #, т. е.
ту = г cos #,ту = г cos 9 — г sin 9 • 9,ту = г cos #,ту = г cos 9 — г sin 9 • 9,У1 = г sin#,yi = г sin 9 + г cos 9 • 9.У1 = г sin#,yi = г sin 9 + г cos 9 • 9.
ту = г cos #,
ту = г cos 9 — г sin 9 • 9,
ту = г cos #,
ту = г cos 9 — г sin 9 • 9,
У1 = г sin#,
yi = г sin 9 + г cos 9 • 9.
У1 = г sin#,
yi = г sin 9 + г cos 9 • 9.
Подставляя эти значения в выражение для cZx найдем соотношение для интеграла площадей в полярных координатах (г, 9) :
(П1.18)
Площадь криволинейного сектора AS, который точка т ’’заметает” на промежутке времени [t, t + At], очевидно, равна
А12 А П
^S=-r2^9,— =—,
2’ At 2 At’
где 9 — полярный угол, соответствующий моменту времени t, а 9 + + A# — угол, соответствующий моменту времени t + At. При At 0 получим величину секторной скорости
dH _ r^ d9_dt 2 dt
С помощью формул (П1.18), (П1.19) устанавливаем, что
dS _ 1
"di"2Czi'
Таким образом, приходим к следующей геометрической интерпретации интеграла площадей: секторная скорость точки т постоянна. Это заключение, в свою очередь, приводит ко второму закону Кеплера.
Теорема П1.1. Площадь, заметаемая радиусом-вектором, идущим от Солнуа к планете, пр опоруионалъна времени, в течение которого она заметена, или за равные промежутки времени указанный радиус-вектор заметает равные площади.
Замечание. В современной космодинамической терминологии речь в теореме П1.1 может идти и о площади, заметаемой радиусом- вектором спутника.
Интеграл энергии в задаче двух тел устанавливается достаточно просто. Запишем выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий точки т при движении относительно притягивающей точки М :
т 1217126
T=-mv ,11 =.
2г
Величина П не зависит от времени. Поскольку потенциальные силы здесь единственные, то полная механическая энергия Е = Т + П = = const. Значит, интеграл энергии в задаче двух тел существует и его можно записать в виде
d (г2)d / 2ае\
dtdt у г у
откуда
У2 - — = h,(П1.20)
г
где константа энергии h определяется начальными данными (tq, го) : h = Vq — 2ae/ro.
При неограниченном удалении точки т от притягивающего центра, когда г сю, имеем и и^ — скорость точки т на бесконечности. Тогда из интеграла энергии (П1.20) в пределе получим, что v^ = h, т. е. константа h в этом случае должна удовлетворять условию h > 0. При h < 0 из соотношения (П1.20) вытекает, что расстояние г между точками т и М не превосходит значения 2ае/|/г| и движение точки т происходит в ограниченной пространственной области.
Интеграл энергии наглядно демонстрирует проявление гравитационного действия притягивающего центра. В самом деле, из соотношения (П1.20) следует, что при удалении точки т от притягивающего центра М скорость точки т уменьшается, а в случае приближения — наоборот, скорость точки т увеличивается.
Важное место при интегрировании уравнений движения в задаче двух тел занимает интеграл Лапласа. Кратко остановимся на этом вопросе и выясним его особенности. Из соотношений (П1.15) и (П1.17) получим
с х г = — -^ (г х г) х г. (П1.21)
Левая часть равенства (П1.21) может быть преобразована к виду
с х г = — (с х и\dt v h
а в правой части имеем
рр^1 ррр р^рр^1 ррр р^ТТ — ттТТ — ттг2г2.3.3dtdt
рр^1 ррр р^
рр^1 ррр р^
ТТ — тт
ТТ — тт
г2
г2
.3
.3
dt
dt
Следовательно, равенство (П1.21) принимает вид
откуда получимоткуда получим(П1.22)(П1.22)
откуда получим
откуда получим
(П1.22)
(П1.22)
ае.
сх и А-г = — j.т
Выражение (П1.22) носит название интеграла Лапласа, вектор / (для удобства применения в (П1.22) взято —/) называется вектором Лапласа.
Интеграл (П1.22) дает скалярное равенство
(П1.23)(П1.23)(с, /) = о,
(П1.23)
(П1.23)
означающее, что / ± с, где с — векторная постоянная интеграла площадей, т. е. вектор Лапласа лежит в плоскости орбиты.
Далее, т.к. с ± г, то из соотношения (П1.22) вытекает, что
/2 = ае2 Д - г2 + с2г2 + — • (с х г, г).(П1.24)
pZiгр
По свойствам смешанного произведения векторов с учетом интеграла площадей (П1.17) имеем
Это значит, что с помощью равенства (П1.20) выражение (П1.24) может быть представлено в виде
p = a? + hc.(П1.25)
Итак, условия (П1.23) и (П1.25) — это два соотношения связи между интегралами.
П1.2.3. Уравнение орбиты. Орбитальное движение. Найдем уравнение орбитальной траектории точки т, пользуясь интегралами Лапласа и площадей. В интеграле Лапласа (П1.22) при с = 0 имеем г = — (г/ае) /, т. е. траектория точки будет в этом случае прямолинейной. При с т^ 0 домножим соотношение (П1.22) скалярно на вектор г :
(т, сх кА А(г, г) = — (/,т
либо, принимая во внимание, что ^г, сх и^ = — с^, запишем
— с2 зет = — fr cosa,(П1.26)
где угол а = (г, /) называется истинной аномалией.
Вводя обозначения
Р=~,(П1.27)
аеае
из соотношения (П1.26) найдем уравнение орбиты точки m относительно точки М в следующем компактном виде:
Замечание. Применительно к движению спутника т относительно притягивающего центра М первый закон Кеплера звучит так: указанное движение всегда совершается по коническому сечению (по эллипсу, окружности, параболе, гиперболе или прямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.
Зададим для орбитального движения, когда с Ф 0, точки т относительно точки М начальные данные (rg, гд), определяющие орбиту. Найдем зависимость эксцентриситета от гд. Имеем из соотношений (П1.25) и (П1.27):
е = а/1 + h — .
где h = Гд — 2ae/rg — постоянная энергии. Отсюда получаем, что если h < 0, то е < 1 и орбита будет эллиптической. То есть в этом случае должно выполняться неравенство Гд < y/2ae/rg. Выполнение указанного ограничения дает эллиптическую скорость гд на орбите.
Если h = 0, то е = 1, гд = у^ае/гд. Имеем параболическую орбиту и параболическую скорость гд, которая является минимальной для удаления точки т от точки М на сколь угодно большое расстояние. При этом заметим, когда h = 0, скорость на бесконечности ^ос — 0. Если же h > 0, то е > 1, гд > ^/236/^. Имеем в этом случае гиперболическую орбиту и гиперболическую скорость гд.
Для удобства обозначим через гПар — у/2зе/г параболическую скорость точки т, а через гГИп — ее гиперболическую скорость на расстоянии г от точки М. С помощью интеграла энергии (П1.20), когда = h. имеем для такой орбиты равенство
92369
Дип ~
или
Дип = Дар + 7Д •(П1.29)
Таким образом, можем заключить, что квадрат гиперболической скорости на расстоянии г равен сумме квадратов параболической скорости на расстоянии г и скорости на бесконечности. Величину г^ в равенстве (П1.29) называют гиперболическим избытком скорости.
Обозначим также через щ круговую скорость спутника т у поверхности Земли, которую назовем первой космической скоростью. Можем написать уравнение движения
тг?тМ
= тд0 = 7 —
где pg — ускорение силы тяжести у поверхности Земли. Поскольку т <7 М, то зе = у (т + М) аз уМ. Значит, получим приближенное
значение
, Лае"
= V^o^o = а —*
V го
При го = 6371 км, до = 9,82 м/с2 имеем щ ~ 7,91 км/с.
Пусть гд — параболическая скорость у поверхности Земли, которую назовем по традиции второй космической скоростью:
^2 = а/— = у2щ,
V го
т. е. гд ~ 11,2 км/с.
Фокальная, или главная, ось орбиты, имеющая одинаковое направление с вектором Лапласа, называется линией апсид. Точки пересечения этой линии с орбитой называются апсидами; апсиды — это вершины конического сечения. Ближайшую к притягивающему центру апсиду называют перицентром, а наиболее удаленную — апоцентром.
Если орбита точки т — эллипс с полуосями а и 6, то имеем
а =b = , Р .(П1.30)
1-е2’V 7
Пусть Т — период обращения точки т по орбите. Тогда
тгаг>=|т,(П1.31)
где яаЪ — площадь эллипса, заметаемая радиусом-вектором г точки т за период обращения, с/2 — секторная скорость. Из формул (П1.27), (П1.30) найдем, что с = д/раё, р = Ь2/а. Следовательно, из равенства (П1.31) получим величину периода обращения
где величина угловой скорости вращения радиуса-вектора г точки т называется средним движением.
Пусть по эллиптической орбите двигаются две точки mi и m2 с соответствующими массами, взаимным притяжением которых можно пренебречь. Запишем их периоды обращения:
/ л3V у (mi + М)/ л3V у (mi + М)Т2 = 2тг J —Д—, у 7 (Ш2 + М)Т2 = 2тг J —Д—, у 7 (Ш2 + М)
/ л3
V у (mi + М)
/ л3
V у (mi + М)
Т2 = 2тг J —Д—, у 7 (Ш2 + М)
Т2 = 2тг J —Д—, у 7 (Ш2 + М)
откуда вытекает соотношение
(ТА2 _т2+М (аЛ3
\^2/ ПЦ^М \^2/
Если принять во внимание, что mi <С М, m2 <V М^ то приходим к заключению
/ гр \ 2/ \3
/ Ti \\
\Т2 )\а2/
в виде третьего закона Кеплера.
Теорема П1.3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнуа относятся как кубы их больших полуосей.
В зависимости от особенностей орбиты и местоположения точки т на ней скорость точки может меняться. Выясним характер этой зависимости. Для этого разложим скорость г точки на две составляющие:
г = r(rTl vn) = vr r° + rn n°, где щ — радиальная составляющая, которая направлена по радиусу-вектору г; гп — трансверсальная составляющая, которая направлена по нормали к радиусу-вектору в сторону движения; г°, п° — орты векторов г и п.
Пусть рщуа — параметр, эксцентриситет и истинная аномалия орбиты соответственно. Имеем для щ :
dr dr davr = — =.
dt da dt
Продифференцируем уравнение орбиты (П1.28) по а :
drре sin ar2e sin а
da (1 + ecoso)2 р
Воспользуемся уравнением (П1.18) и выражением (П1.27) для определения величины о, где а = 9 :
(П1.33)(П1.33)(П1.34)(П1.34)daсV^P
(П1.33)
(П1.33)
(П1.34)
(П1.34)
dtг2г2
Отсюда получим
W — а /— е sin о.
V Р
Из формулы (П1.34) следует, в частности, что в перицентре и апоцентре орбиты щ = 0.
Трансверсальная составляющая скорости равна
=(П1.35)
При подстановке в формулу (П1.35) соотношения (П1.33) получим
ип =+ е cos о) а — .
V р
Учитывая эти зависимости, найдем в итоге полную скорость г точки т на орбите:
г~ Vl + 2е cos о + е2(П1.36)
Анализ формулы (П1.36) показывает, что г 6 [ rmin, ^max ], причем rmin достигается в апоцентре орбиты, если он существует при о = тг :
Vmin = Va = (1 - е)(П1.37)
а ^тах достигается в перицентре орбиты при а = 0 :
«шах = «п = (1 + е) ^.(П1.38)
Найдем теперь расстояния от точки М до точки т, т. е. от притягивающего центра до спутника, соответственно в перицентре и апоцентре, пользуясь уравнением орбиты (П1.28):
Лшп “ ^П “.1 Плах — а —•(П1.39)
1 + е1 — е
Из соотношений (П1.37) - (П1.39) вытекает зависимость между скоростями и радиусами точек апсид:
Мп =(П1Л°)
Равенство (П1.40) в действительности означает равенство секторной скорости в перицентре и апоцентре.
Если кратко суммировать содержание предыдущей части, посвященной геометрическим особенностям орбиты точки т, то можно сказать следующее: 1) орбитальная траектория как коническое сечение находится в плоскости, ортогональной векторной постоянной
площадей с; 2) положение орбиты однозначно определяется вектором Лапласа /, проходящим через притягивающий центр (фокус) М в направлении перицентра.
Далее в задаче двух тел найдем закон движения точки т на орбите. Для эллиптической орбиты интеграл площадей дает т^а = с. Используя также соотношения (П1.27), (П1.28), (П1.30), (П1.32), запишем дифференциальное уравнение
daс с /\ 2
— =(1 + е cos си =
dt\/
X 2 n (1 + ecoso)2
VP31V(l-e2)3
откуда, разделяя переменные, получим
dandt
(1 + e cos q)2\/(l — e2)3
После интегрирования находим функциональную зависимость а = = a^Vp определяющую закон движения точки m на орбите:
^= ^^-м/П141) (1 +ecosa)2’
где t* — время, когда точка m находится в перицентре.
Движение точки m относительно притягивающей точки М описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка (П1.15). Общий интеграл этой системы представляет совокупность шести независимых между собой первых интегралов. Итак, найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, причем в качестве таковых можно взять постоянную I* и остальные пять из семи постоянных cx,cy,cz, fx, fy, fz, h^ которые связаны двумя уравнениями связи между интегралами (П1.23) и (П1.25).
Определение зависимости от времени а = а^ в уравнении (П1.41) является достаточно сложной задачей. Для упрощения вместо переменной а введем в рассмотрение новую переменную ср связанную с а по правилу
(IIL42)
Основной смысл такой замены сводится к тому, что зависимость а = = a^V) задается уравнением более простым, чем уравнение (П1.41) для зависимости а = a(t).
Введенная величина а называется эксцентрической аномалией. Из выражения (П1.42) получим
V1 — е2 da1 — е2
da = ,1 + е cos а = .
1 — е cos а1 — е cos а
С помощью этих соотношений в левой части равенства (П1.41) получим
Г1
I о = —.= I 1 — е cos а\ da =
Vo (1 + ecoso) V(1 — e2)3 Vo
a — e sin a-1 —e2)3’
Обозначим в равенстве (П1.41) величину n (t — t*) = N, называемую средней аномалией. Из соотношений (П1.41) и (П1.43) придем к уравнению Кеплера
а — е sin а = N.
Конечно, в решении задачи двух тел шесть произвольных постоянных, определяемых начальными данными, о которых говорилось выше, можно ввести другим способом, а не описанным только что. Рассмотрим в связи с этим набор произвольных постоянных, называемых кеплеровскими элементами орбиты.
В качестве кеплеровских элементов берут шесть величин Q,z,p, e,u,t*^ однозначно определяемых начальными условиями движения.
Здесь р, е, t* — уже знакомые нам параметр и эксцентриситет орбиты, а также время прохождения через перицентр соответственно. Угол Q называется долготой восходящего узла: Q = (Mx,MLy где ML — линия пересечения плоскости орбиты Р с плоскостью Мху. Далее, элемент г, называемый наклонением орбиты, представляет собой угол: г = (Р,МхуУ Наконец, параметр ш — угол, называемый угловым расстоянием перицентра от узла. Этот угол определяет положение орбиты в ее плоскости: ио = (ML,/У где / — вектор Лапласа, указывающий направление от точки М на перицентр.
В этом параграфе осталось сказать несколько слов о задаче трех и более тел. В общей задаче п тел считается, что п материальных точек взаимно притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения Ньютона. Для заданных начальных положений и скоростей этих точек требуется найти их местоположение как функций времени. Решение этой задачи не найдено до сих пор. Известно, что интегралы движения точек не выражаются в алгебраических или трансцендентных функциях их координат и скоростей.
На самом деле практическое значение в космодинамических задачах имеет ограниченная задача трех тел. Суть этой задачи сводится к следующему: необходимо определить движение точки малой массы под действием сил притяжения двух точек с конечными массами. При этом действием со стороны точки малой массы на движение двух других точек пренебрегают.
В указанной задаче движение точек с конечными массами определяется с помощью задачи двух тел и считается известным. Поэтому в ограниченной задаче трех тел следует найти движение лишь одной точки малой массы. Известно, что эта задача, даже несмотря на упрощенную постановку, не проинтегрирована в квадратурах.
П1.3. Движение твердого тела в центральном поле тяготения
Параграф посвящен исследованию движения твердого тела в центральном ньютоновом гравитационном поле [216]. Задачи, связанные с анализом такого движения, приобрели важное актуальное значение на нынешнем этапе, в эпоху становления и развития практической космонавтики, осуществления орбитальных космических запусков.
Прежде всего укажем на принципиальное отличие движения твердого тела от движения материальной точки в поле тяготения притягивающего центра, вызванное наличием гравитационного момента. Поясним сказанное. На земной поверхности силы притяжения, приложенные к различным точкам тела, считаются равными (точнее, различие между ними исчезающе мало). Как следствие, имеем отсюда совпадение центра масс и центра тяжести у тела на поверхности или вблизи поверхности Земли. Это приводит к тому, что гравитационный момент в виде главного момента сил тяготения относительно центра масс тела равен нулю.
Иначе обстоит дело с гравитационным моментом тела при орбитальном движении относительно притягивающего центра. Гравитационный момент здесь вызван различием сил притяжения (их не- коллинеарностью) для разных точек тела, которые к тому же могут находиться на неодинаковых расстояниях от центра притяжения.
Пусть твердое тело с массой т (твердое тело т) осуществляет движение в центральном гравитационном поле. Чтобы составить уравнения движения, надо знать главный вектор сил тяготения и их гравитационный момент относительно центра масс тела, который для удобства обозначим также т.
Зададим далее так называемую орбитальную систему координат mXYZ, у которой начало находится в центре масс тела; ось mZ
направлена вдоль отрезка тМ^ где М — притягивающий центр с массой М; ось т¥ направлена по бинормали к траектории центра масс, причем наблюдатель, расположенный вдоль оси тУ, видит движение точки т против часовой стрелки; ось тХ составляет с осями mY^ mZ правую декартовую систему координат.
Введем радиус-вектор R центра масс тела т относительно точки М и радиус-вектор г элементарного объема тела с массой dm. Тогда для силы притяжения элемента dm можно написать в соответствии с законом тяготения Ньютона
dF = — 7dF = — 7М dmМ dm(П1.44)(П1.44)
dF = — 7
dF = — 7
М dm
М dm
(П1.44)
(П1.44)
Чтобы отсюда найти главный вектор сил притяжения F тела, надо проинтегрировать уравнение (П1.44) по объему тела т в предположении, что размеры тела намного меньше расстояния между точками т и М.
В орбитальной системе координат выделим р^Х^ Y, Z) — радиус- вектор элемента dm. Имеем г = R + р и для модулей г, R. р выражение
гг2Z р2н ' п-2Z р2н ' п-1/21/2
г
г
2Z р2
н ' п-
2Z р2
н ' п-
1/2
1/2
(П1.45)(П1.45)откуда, оставляя лишь величины первого порядка малости pfR^ получим при разложении 1/г3 в степенной ряд
(П1.45)
(П1.45)
Д ” ДЗ \ ” "R )
Подставим г = R + р и 1/г3 (П1.45) в правую часть уравнения (П1.44) и проинтегрируем результат по объему тела т. Тогда, учитывая, что центр масс тела расположен в начале координат, запишем J X dm = f Y dm = J Z dm = 0 и. следовательно, интегрируя с указанной точностью, получим следующее выражение для главного вектора сил тяготения:
тМ
Таким образом, приходим к выводу, что с точностью до малых р/R первого порядка: 1) главный вектор сил тяготения не зависит от размеров тела т; 2) траектория точки т центра масс тела проходит по коническому сечению.
Для нахождения гравитационного момента введем в рассмотрение систему координат mxyz, жестко связанную с телом и с осями,
направленными по главным центральным осям инерции тела. С помощью углов Эйлера ф^р, где ф — угол прецессии, 0 — угол нутации, р — угол собственного вращения, зададим ориентацию тела т относительно орбитальной системы координат mXYZ. Матрица Г =о о перехода от системы координат mxyz к системе
тХУ Z имеет следующие элементы:
тц = cos ф cos р — sin ф sin р cos 9,
Ti2 = — cos ф sin р —sin ф cos р cos 9^
Tig = sin ф sin 9,Т21 = sin ф cos p + cos ф sinp cos 9,
T22 = — sin ф sin p +cos ф cos p cos 9,T23 =— cos ф sin 9,
тщ = sini/? sin 6*,T32 = cos^sin^,733= cos 9.
Обозначим через Mm главный вектор момента сил тяготения относительно центра масс тела. С помощью формулы (П1.44) получим путем интегрирования по объему тела т :
р х dF = Мт = — уМ ^ ^ 3 dm.(П1.46)
В системе координат mxyz имеем следующие составляющие векторов:
р = p(x,y,zY R = R (Rt3i, Rt32, Rt33\
r = R + p = r (Rt3i + x, Rt32 + y, Rt33 + г),
p X r = s = s ^ут33 - zt32Y R^T^ - XT33Y R(xt32 - ут31)\
1 _ 1г3 R31 _ 1г3 R3Тогда разложение (П1.45) можно записать в виде
1 _ 1
г3 R3
1 _ 1
г3 R3
. 3 /
1 - Ъ Мт31 + ут32 + zt33 ) , к
а с учетом этого выражения найдем, что
р х грЗр х грЗS 1г3R?S 1г3R?1 - о (ЖТ31 + Ут32 + гтзз)1 - о (ЖТ31 + Ут32 + гтзз)
р х грЗ
р х грЗ
S 1
г3R?
S 1
г3R?
1 - о (ЖТ31 + Ут32 + гтзз)
1 - о (ЖТ31 + Ут32 + гтзз)
X ((утзз - ZT32), (ZT31 - ЖТ33), (жт32 - ут31)).(П1.47)
Подставим соотношение (П1.47) в интеграл (П1.46) и учтем, что оси mx^ ту^ mz — главные центральные оси инерции тела, т. е.
Выполняя интегрирование, получим
Mm = ^jbdm,(П1.48)
где вектор L = L ((у2 - z2) т32т33, (z2 - ж2) t33t3i, (ж2 - у2) t3it32).
Для известных выражений моментов инерции А^В^С тела m относительно осей mx^ ттр mz имеем (см. составляющие вектора L) :
Поэтому из формулы (П1.48) найдем следующие проекции гравитационного момента Мт = Мт^МХ1Му1М^ на оси системы координат mxyz :
Мх = ^_^С-ВНз2Т^ МУ = ^(А-С)т33т31,
Mz = ^ (в - л) (П1.49) которые, напоминаем, получены в приближении до малых p/R первого порядка.
Чтобы составить замкнутую систему уравнений движения тела m относительно центра масс, выпишем динамические уравнения Эйлера вращательного движения:
Ар + (С — В) qr = Мж, В q + (Л — С) гр = Му,
Ст (В - A)pq = MZlСт (В - A)pq = MZl(П1.50)(П1.50)
Ст (В - A)pq = MZl
Ст (В - A)pq = MZl
(П1.50)
(П1.50)
где из = ш^р^ q,r) — вектор угловой скорости тела в системе mxyz\ проекции Мх^ Му^ Mz вычисляются по формулам (П1.49), где модуль R определяется уравнением орбиты
(П1.51)(П1.51)R =—
(П1.51)
(П1.51)
1 + е cos а
Здесь pi, е — параметр и эксцентриситет орбиты, угол а = (Я, /) — истинная аномалия, / — вектор Лапласа, направленный от притягивающего центра М к перицентру орбиты. Угол о удовлетворяет
дифференциальному уравнению (см. выкладки, относящиеся к выражению (П1.41))
(П1.52)(П1.52)
(П1.52)
(П1.52)
где в предположении, что т <У М, имеем приближенное равенство ае ~ уМ.
Важно отметить, что твердое тело т совершает сложное (комбинированное) вращательное движение: первое вращение происходит относительно орбитальной системы координат mXYZ. а второе вращение происходит за счет вращения системы mXYZ вокруг оси тУ в связи с движением центра масс по орбите. Первое вращение описывается кинематическими уравнениями Эйлера, а во втором вращении угловая скорость движения центра масс по орбите направлена по оси тУ и равна о (П1.52). Следовательно, для проекций угловой скорости р, q, г можно написать
р = ф sin 9 sin р + 9 cos р + а т^,
q = ф sm9 cosp — 9 siivp-V ат22,(П1.53)
г = ф cos 9 + р + а Т2з.
Таким образом, в итоге приходим к замкнутой системе уравнений (П1.50), (П1,52), (П1.53), которая вместе с равенствами (П1.49), (П1.51) описывает движение твердого тела относительно центра масс. Эту систему можно преобразовать, если с помощью уравнения (П1.52) вместо времени t ввести новую независимую переменную — угол о. Замена t на о в уравнениях (П1.50), (П1.53) приведет к системе шести уравнений первого порядка. Дальнейшая подстановка выражений р, q, г (П1.53) в соотношения (П1.50) в результате даст систему трех уравнений второго порядка относительно углов Эйлера ф, 9, р.
da dtda dt—.= (1 + еcos а7(1 " е2)3 V—.= (1 + еcos а7(1 " е2)3 V(П1.54)(П1.54)Допустим, что орбита движения центра масс тела т есть эллипс с большой полуосью а. Тогда в соответствии с предыдущим для среднего движения центра масс п = у/тфо3 = ^/^М/а3 можем написать
da dt
da dt
—.= (1 + еcos а
7(1 " е2)3 V
—.= (1 + еcos а
7(1 " е2)3 V
(П1.54)
(П1.54)
уМ 2 /1 + е cos сА 3
V 1-е2 7 '
Очевидно, что при движении по круговой орбите, когда е = 0, угловая скорость вращения радиус а-вектор a R будет равна тг.
Круговым орбитальным движениям соответствуют положения относительного равновесия, т. е. такие положения, при которых тело покоится в орбитальной системе координат. Для таких движений ф = const, 0 = const, р = const. В частности, одно из положений относительного равновесия отвечает равенствам ф = 0, 0 = 0, р = 0. В этом случае оси связанной с телом системы координат совпадают с соответствующими осями орбитальной системы координат: mxyz = mXY Z.
Укажем также, что для движений, при которых достигаются положения относительного равновесия, вектор угловой скорости тела ортогонален плоскости орбиты, причем модуль этого вектора равен величине п угловой скорости кругового движения центра масс. В этом случае период вращения тела совпадает с периодом движения центра масс. Имеем эффект, когда тело т обращено к притягивающему центру М одной своей стороной все время движения. Примером такого эффекта в природе служит орбитальное движение Луны вокруг Земли.
В заключение рассмотрим некоторые особенности плоских движений твердого тела в центральном гравитационном ньютоновском поле. Очевидно, что плоским движениям отвечает ситуация, когда одна из главных центральных осей инерции тела ортогональна плоскости орбиты центра масс в течение всего времени движения.
Предположим, что главная ось инерции mz тела т ортогональна плоскости орбиты и Vt выполнены равенства
(П1.55)(П1.55)7Г
(П1.55)
(П1.55)
Ф = тг, е = -.
В этом случае матрица перехода Т координат mxyz -^ mXYZ имеет элементы
Тц =
— cos (/у
П2
= sin (/у
Из
= о,
Т21 =
0,
Т22
= 0,
^23
= 1,
Т31 =
sin р,
Т32
= cos р,
^33
= 0.
При выполнении условий (П1.55) оси инерции тела тж, ту находятся в плоскости орбиты, а из выражений (П1.49), (П1.53), (П1.54) будут вытекать соотношения
р = 0, q = 0, г = р + о, Мх = 0, Му = 0,
Mz = Зп2Mz = Зп21 + е cos о \1 — е2 у1 + е cos о \1 — е2 уз• (В — A) sin</; cos р.з• (В — A) sin</; cos р.(П1.56)(П1.56)
Mz = Зп2
Mz = Зп2
1 + е cos о \
1 — е2 у
1 + е cos о \
1 — е2 у
з
• (В — A) sin</; cos р.
з
• (В — A) sin</; cos р.
(П1.56)
(П1.56)
Если подставить эти соотношения (П1.56) в систему уравнений Эйлера (П1.50), то первое и второе из них будут выполняться тожде-
ственно, а третье примет вид
Л1(Рр + а о 2 /1 + ecosoA ,.
(П1.57)(П1.57)С ——- = Зп2 ——• (В - Л) sm^cos^.
(П1.57)
(П1.57)
dt2у 1 — е2 у
Добавим к этому уравнению первое уравнение системы (П1.54):
da dtda dtпVC-е2)3пVC-е2)3• (1 + е cos q)2.• (1 + е cos q)2.(П1.58)(П1.58)В результате приходим к системе двух уравнений (П1.57), (П1.58), описывающих плоские орбитальные движения твердого тела.Модельный пример. Покажем, что систему плоских движений (П1.57), (П1.58) можно свести к одному дифференциальному уравнению с одной независимой переменной и одной неизвестной функцией этой переменной.Для этого с помощью уравнения (П1.58) перейдем от времени t к новой переменной а. ИмеемВ результате приходим к системе двух уравнений (П1.57), (П1.58), описывающих плоские орбитальные движения твердого тела.Модельный пример. Покажем, что систему плоских движений (П1.57), (П1.58) можно свести к одному дифференциальному уравнению с одной независимой переменной и одной неизвестной функцией этой переменной.Для этого с помощью уравнения (П1.58) перейдем от времени t к новой переменной а. Имеемdipdtdipdtаdip(1 + е cos а) — , х7 daаdip(1 + е cos а) — , х7 dad2ipп"dt2 ~d2ipп"dt2 ~х . dip /д d2ip .—2esma • (1 + ecosa a -Ml + ecosa) a x7 da x7 da2х . dip /д d2ip .—2esma • (1 + ecosa a -Ml + ecosa) a x7 da x7 da21 + e cos a1 — e21 + e cos a1 — e2d2a da .2 •—= — a = — 2ne sin a dt2 dad2a da .2 •—= — a = — 2ne sin a dt2 dax d2ipdipA — 2esma • —- , 7 da2dax d2ipdipA — 2esma • —- , 7 da2da1 + e cos a1 — e21 + e cos a1 — e2При подстановке этих выраженй в уравнение (П1.57) получим соотношениеПри подстановке этих выраженй в уравнение (П1.57) получим соотношение\ 39 / 1 + е cos а \ Стгу 1 — е2 у\ 39 / 1 + е cos а \ Стгу 1 — е2 у(1 + ecosa)(1 + ecosa)—— 2esina da2—— 2esina da2= Зп2= Зп21 + е cos а1 — е21 + е cos а1 — е2з(В — Л) sini/7cosi/yз(В — Л) sini/7cosi/y
da dt
da dt
п
VC-е2)3
п
VC-е2)3
• (1 + е cos q)2.
• (1 + е cos q)2.
(П1.58)
(П1.58)
В результате приходим к системе двух уравнений (П1.57), (П1.58), описывающих плоские орбитальные движения твердого тела.
Модельный пример. Покажем, что систему плоских движений (П1.57), (П1.58) можно свести к одному дифференциальному уравнению с одной независимой переменной и одной неизвестной функцией этой переменной.
Для этого с помощью уравнения (П1.58) перейдем от времени t к новой переменной а. Имеем
В результате приходим к системе двух уравнений (П1.57), (П1.58), описывающих плоские орбитальные движения твердого тела.
Модельный пример. Покажем, что систему плоских движений (П1.57), (П1.58) можно свести к одному дифференциальному уравнению с одной независимой переменной и одной неизвестной функцией этой переменной.
Для этого с помощью уравнения (П1.58) перейдем от времени t к новой переменной а. Имеем
dipdt
dipdt
аdip
(1 + е cos а) — , х7 da
аdip
(1 + е cos а) — , х7 da
d2ipп
"dt2 ~
d2ipп
"dt2 ~
х . dip /д d2ip .
—2esma • (1 + ecosa a -Ml + ecosa) a x7 da x7 da2
х . dip /д d2ip .
—2esma • (1 + ecosa a -Ml + ecosa) a x7 da x7 da2
1 + e cos a
1 — e2
1 + e cos a
1 — e2
d2a da .2 •
—= — a = — 2ne sin a dt2 da
d2a da .2 •
—= — a = — 2ne sin a dt2 da
x d2ipdip
A — 2esma • —- , 7 da2da
x d2ipdip
A — 2esma • —- , 7 da2da
1 + e cos a
1 — e2
1 + e cos a
1 — e2
При подстановке этих выраженй в уравнение (П1.57) получим соотношение
При подстановке этих выраженй в уравнение (П1.57) получим соотношение
\ 3
9 / 1 + е cos а \ Стг
у 1 — е2 у
\ 3
9 / 1 + е cos а \ Стг
у 1 — е2 у
(1 + ecosa)
(1 + ecosa)
—— 2esina da2
—— 2esina da2
= Зп2
= Зп2
1 + е cos а
1 — е2
1 + е cos а
1 — е2
з
(В — Л) sini/7cosi/y
з
(В — Л) sini/7cosi/y
или в окончательном виде
а\• dip А —.
(1 + ccosq)г — 2esma -—|— sinc^cosc; = 2esma. (111.59)
х7 da2da С
Уравнение (П1.59) — это уравнение, описывающее плоские движения твердого тела в центральном поле тяготения.
Замечание. Если орбита центра масс круговая, то при с = 0 из уравнения (П1.59) найдем уравнение для плоских круговых движений твердого тела в виде
ббМ + EEl^I sin (2^) = о, а = nt. (П1.60) da2, С
При А > В уравнение (П1.60) является уравнением физического маятника. При А < В приходим к уравнению физического маятника, если вместо 2<р перейти к функции 2<р + тг. При А = В имеем ф = 0 и, как следствие, равномерное вращение тела вокруг нормали к плоскости орбиты; угловая скорость такого вращения может быть произвольной.
Приложение 2
Элементы специальной и общей теории относительности
Теория относительности в ее наиболее глубоком и полном виде представлена в трудах самого А. Эйнштейна [409-411]. Поэтому при изложении основ теории мы старались придерживаться общепринятых релятивистских концепций, делая постоянную сверку с рассуждениями и выводами автора специальной и общей теории относительности (СТО и ОТО). При подготовке этого материала использовались также и другие известные издания по СТО и ОТО [35, 45, 50, 66, 69, 90, 94, 96, 105, ИЗ, 124, 133, 140, 157, 210, 219, 224, 234, 275, 277, 297, 309, 325, 338-340, 342, 343, 360, 366, 369, 373, 374, 400]. Ввиду ограниченности объема, отводимого на справочную часть, здесь изложены только наиболее принципиальные, фактически постулируемые релятивистские положения.
Автор не пытается вести какую-либо полемику с разработчиками других релятивистских концепций тяготения (см., например, получившие широкую известность работы по релятивистской теории гравитации А.А. Логунова и его школы [202-205]), полагая, что научная истина не является прерогативой одного или нескольких исследователей. Она устанавливается в процессе независимого коллективного творчества в течение определенного исторического промежутка времени, проходя, порой болезненную, ’’обкатку” на логическую непротиворечивость и совместимость, если можно так выразиться, с точными опытными данными.
Общая теория относительности исходит из постулата о равносильности поля тяготения и поля ускорения (принцип эквивалентности). Всесторонний анализ физической сути принципа эквивалентности, свойств пространственно-временного континуума проведен В. А. Фоком в книге [360]. Тезисно этот анализ сводится к нескольким положениям. Укажем на них.
Во-первых, принцип эквивалентности, известный в упрощенном виде еще Галилею, носит локальный характер, поэтому в качестве фундаментальной основы релятивистской теории тяготения может
Прил. 2. Элементы спец, и общей теории относительности 425 выступать закон равенства инертной и весомой (гравитационной) массы, носящий всеобщий характер. Этот закон не требует локального рассмотрения и не вызывает необходимость введения ускоренно движущихся систем отсчета.
Во-вторых, следует считать пространство однородным или псе- вдоевклидовым (в смысле преобразования Лоренца) на сю. Тогда неоднородности, обусловленные тяготеющими массами, будут носить локальный характер. Иначе говоря [360], ’’массы с их полями тяготения будут как бы погружены в неограниченное галилеево пространство”. Однородность пространства согласно ОТО в бесконечно малом все же имеется, что делает возможным замену в окрестности данной точки поля тяготения полем ускорения.
В § П2.1 речь идет о кинематике в специальной теории относительности, в основании которой лежат преобразования Лоренца. Рассматриваются различные следствия из этих преобразований: относительность длин тел, моментов и промежутков времени. Рассматривается также сложное движение в релятивистской кинематике.
§ П2.2 посвящен релятивистской динамике. Обосновывается основной закон движения, а затем с релятивистских позиций в псевдо- евклидовой метрике пространства-времени Минковского проводится обобщение закона Ньютона. Даются релятивистские трактовки теоремы об изменении кинетической энергии, уравнений Лагранжа и Гамильтона.
Следующий § П2.3 касается некоторых важных следствий, прямо вытекающих из СТО. Это взаимосвязь массы и энергии, уравнения Максвелла для электромагнитного поля, эффект Доплера.
В заключительном § П2.4 говорится об основах общей теории относительности. Достаточно подробно обсуждаются уравнения тяготения Эйнштейна, в связи с чем даются некоторые тензорные соотношения и определяется скорость распространения гравитационной волны в свободном пространстве. Заканчивается параграф рядом соображений об обосновании выбора той или иной модели пространства-времени в релятивистской теории тяготения.
П2.1. Кинематические соотношения
в специальной теории относительности
Опыт Майкельсона-Морли в конце XIX века показал отсутствие эфирного ветра и постоянство скорости света в двигающихся относительно друг друга системах отсчета. Кроме того, классическая теория не могла объяснить электромагнитную природу света, основанную на уравнениях Максвелла. Таким образом, полученные опытные данные свидетельствовали о противоречивости выводов класси-
ческой механики (движение быстрых заряженных частиц, волновое распространение света, правило сложения скоростей и т.д.).
Специальная теория относительности позволила заложить основы новой релятивистской механики больших скоростей, где ньютонова механика рассматривается как предельный случай при описании движения для малых скоростей. СТО базируется на двух постулатах, выдвинутых в 1905 г. Эйнштейном.
Принцип относительности. Любые опыты, проведенные внутри некоторой инерциальной системы отсчета, не позволяют обнаружить покой или равномерное и прямолинейное движение этой системы.
Принцип постоянства скорости света. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника света.
Согласно принципу относительности все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. физические процессы (законы природы) протекают инвариантно и одинаково по форме во всех инерциальных системах отсчета. Принцип постоянства скорости света постулирует инвариантность скорости света как экспериментально установленный факт.
П2.1.1. Преобразования Лоренца. В инерциальных системах отсчета классические преобразования Галилея ”не работают”. Роль таких простанственно-временных преобразований, удовлетворяющих принципам теории относительности, выполняют преобразования Лоренца.
Вначале рассмотрим четырехмерную квадратичную инвариантную форму Пуанкаре, где время t в качестве четвертой координаты входит в преобразования кинематики равноправно вместе с пространственными координатами:
(ds)2 = ((йц)2 + (dx2)2 + (^жз)2 + (сйд)2 =
= (dx^)2 + (dx'^)2 + (сйф)2 + (с/ж^)2, dx4 = icdt^ г2 = — 1,
где с — множитель, имеющий размерность скорости. В соотношении (П2.1) при переходе от системы координат ОТ1Т2Т3 к системе О'х^х^х^ движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, инвариантом преобразования является длина пространственно-временного элемента (П2.1).
Введение Пуанкаре мнимой единицы г в соотношении (П2.1) было обусловлено [286] приведением волнового уравнения
^ 4. Нс 4- Нс _ 4 ^ = о
дх2 дх^ Эх2 с2 dt2
к уравнению, в которое переменные Ж1,Ж2,^з,Ж4 входят равноправно:
д2рЭ2р Э2р Э2р
Эх2дх^дх2Эх2
Форма (П2.1) может быть записана также в виде
(ds)2 = (icdt)2 fl2
где и2 = х2 + ±2 + х2. Следовательно,
ds = icdt \ 1 = icdr, dr =— Р2 dt, Р = —.
N с2с
Отметим, что величина dx является инвариантом, т. к. величина ds — инвариант преобразования четырехмерных координат.
Позднее Минковский предложил взять в качестве инварианта форму
dS2 = с2 (dt)2 — (dxi)2 — (dx^)2 — (dx^)2.
Инвариантность формы (П2.1) означает, что рассматриваемое четырехмерное пространство является евклидовым. Это, в частности, означает постоянство расстояния
22 ।2 ।2 ।2z/x2|//x2i//\2|Z/\2
р = Х±+Х2+Х3+Х4 = (Х^ +(Т2) +(Т3) +(Т4)
при ортогональных преобразованиях пространства.
Такие преобразования были в 1904 г. предложены Лоренцем. Преобразования Лоренца, первоначально предназначенные для обоснования инвариантности уравнений Максвелла, как показал в дальнейшем Эйнштейн, удовлетворяют постулатам теории относительности. Эти преобразования имеют вид
X ^U *tJJ
/% 9 ~~ ^ 21X о —— X з,
(П2.2)(П2.2)221331
(П2.2)
(П2.2)
_ t - v^Xi/c2_
где через г* обозначена (переносная) скорость поступательного движения новой системы координат О'х^х^х^ относительно старой системы координат ОТ1Т2Т3 вдоль оси х^.
При разрешении уравнений (П2.2) для старых переменных получим
х\ +,
Ж1 = Л—= ,х2 = х2, х3 = х3,
, 2<П2 3)
Симметричность преобразований Лоренца (П2.2) и (П2.3) очевидна.
Постоянный множитель с в преобразованиях Лоренца имеет смысл скорости света в вакууме. К этому заключению не трудно прийти из инвариантности вида волнового уравнения, где с — скорость света в вакууме. Согласно опытным данным скорость с не зависит от скорости г* движения системы отсчета и одинакова для всех систем. Такое может быть лишь в случае, если в новых переменных x^x^x^t^ связанных со старыми переменными т^адДзУ преобразованиями Лоренца (П2.2), волновое уравнение сохраняет свой вид, а именно
д2(рд2(рд2(р1 д2(р
Эх'2 Эх2Эх'2 с2 dt'2 ’
Из преобразований Лоренца (П2.2), (П2.3), в частности, вытекает, что при г* > с значения х^ V, ад, t становятся мнимыми, чего быть не может; вывод: скорость движения инерциальных систем не может превосходить скорость света в вакууме, т. е. г* < с. Отметим также, что при г* <^ с преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея: х'^ = x-v — v*t, х2 = ^2,^3 = ад, Г = t, соответствующие классической механике Ньютона, основанной на предположении о мгновенном распространении взаимодействий.
П2Л.2. Следствия из преобразований Лоренца. Укажем на некоторые, наиболее важные следствия, прямо вытекающие из преобразований Лоренца.
Относительность длин тел. Пусть Zq — длина покоящегося в системе отсчета К' ^О' х^х^х^ тела и расположенного вдоль оси О'х^. Длина I того же тела в системе отсчета К ^Ох^х2х3\ относительно которой оно движется вдоль оси Oxi со скоростью г*, равна согласно преобразованиям Лоренца: I = Zq у/1 — ^.
Отсюда следует, что линейный размер тела при движении относительно инерциальной системы отсчета уменьшается в направлении движения (лоренцево сокращение). При этом поперечные размеры тела остаются неизменными. Итак, линейные размеры тела имеют наибольшие значения в инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
Относительность моментов времени. Понятие момента времени в теории относительности имеет место лишь в полне конкретной инерциальной системе отсчета. Одному моменту времени t в системе отсчета К соответствует множество моментов времени tf в системе отсчета К' в зависимости от значений координаты ад :
, _ t - ЩХ1/С2
Аналогично, одному моменту времени tf в системе К' соответствует множество моментов времени t в системе отсчета К в зависимости от значений координаты х'у :
+ u^x^jc2
Относительность промежутков времени. Пусть т = t2 — 0 — промежуток времени между двумя событиями в неподвижной инерциальной системе отсчета К. Обозначим через то = t2 — t[ промежуток времени между этими событиями в движущейся относительно системы К со скоростью г* инерциальной системе отсчета К'. Из преобразований Лоренца вытекает, что
Т = t^ - Н =Т = t^ - Н =^2^1^2^1ТоТо(П2.4)(П2.4)
Т = t^ - Н =
Т = t^ - Н =
^2^1
^2^1
То
То
(П2.4)
(П2.4)
Отсюда заключаем, что промежуток времени между двумя событиями зависит от выбора инерциальной системы отсчета и минимален в той из них, относительно которой два события происходят в одной точке пространства. Собственным временем некоторого объекта называется время, измеряемое по часам, которые движутся вместе с этим объектом.
Из соотношения (П2.4) следует релятивистский эффект замедления хода времени в движущейся инерциальной системе отсчета в сравнении с неподвижной системой. А именно часы в системе отсчета К'. движущейся со скоростью г* относительно инерциальной системы отсчета К. идут медленнее в ^1 — 0^ раз, чем часы в неподвижной системе отсчета К.
П2.1.3. Сложное движение в релятивистской кинематике. Пусть материальная точка совершает движение в системе К'. которая движется относительно неподвижной системы отсчета К со скоростью г*. Обозначим проекции скорости точки в системах К' и К
соответственно (г^г^Гз) и (^ь^Дз), т.ч.
, dpdxi .
гdfdt;
Тогда согласно преобразованиям Лоренца можем записать
dxi =dxi =dx^ + v* dt'dx^ + v* dt'dx2 = dx^dx2 = dx^dxs = dx^dxs = dx^
dxi =
dxi =
dx^ + v* dt'
dx^ + v* dt'
dx2 = dx^
dx2 = dx^
dxs = dx^
dxs = dx^
^ dt' + r* dx^ /c2
V^pC
откуда приходим к релятивистскому закону сложения скоростей в системах К' и К :
щ - г*
г^ + г*
1 - ад/c2’
Г1 —
1 + г*г^/с2
«2 Щ - Pl
Р V1 - А2
1 - щщ/с2’
Г2 =
1 + г*г^/с2
«з yi - Pl
У V1 - А2
г3 —
1 - щщ/с2’
^3 =
1 + г*г^/с2
В пределе при с ^ сю эти соотношения дают закон сложения скоростей в классической механике:
1^ = V1 - V*,«2 =«2, «з = ^з-
Отметим, что релятивистский закон сложения скоростей удовлетворяет второму постулату специальной теории относительности. Допустим, к примеру, что материальная точка движется параллельно оси у и у = с. Тогда по закону сложения скоростей получим
с +
^1 =ГТ = с’
1
и наоборот, если щ = с, то г^ = с.
Таким образом, приходим к выводу, что если скорость материальной точки относительно некоторой инерциальной системы отсчета равна с, то она останется неизменной и равной с и по отношению к любой другой инерциальной системе отсчета вне зависимости от скорости движения этих систем относительно друг друга. Итак, при релятивистском суммировании двух скоростей, из которых одна равна с, результирующая скорость будет равна также с.
Добавим к сказанному, что для рассмотренного выше четырехмерного континуума с инвариантной квадратичной формой (П2.1), т. ч.
7 4\ 1/2
ds = ( V (dxkY )= icdt у/1 — З2, 3 =
/с
хк=17
где 7'2 = .iy + ту лА ~ З2 dt = dr — инвариантный интервал времени, можно ввести [286] соответствующий четырехмерный вектор скорости V = УА к = 1,2, 3,4, с компонентами
Н = Т =(П2.5)
dr Щ - 02 dtЩ - 02
Очевидно, что временная составляющая
1 dx4гс
4 ” У' dt
представляет собой чисто мнимую величину.
Вектор V (П2.5) можно записать в стандартном виде: V = dR/dr, где R — четырехмерный радиус-вектор в единичном четырехмерном базисе 5к = (5^ = ЩбЩ^б^ где 63к — символ Кронекера, по формуле
4
R = У^ хУк = + idy.(П2.6)
k=i
Имеем: г = (#1, #2, #з, 0) — вектор, соответствующий радиусу- вектору ТОЧКИ (Ж1,Ж2,Жз). При этом
т „dR 1 d , х г + гсб4
V = — = у — (г + гсМ4) = ,•(П2.7)
Здесь г = (±1,±2Дз,0) — вектор, соответствующий вектору скорости евклидового трехмерного пространства.
П2.2. Динамические соотношения в специальной теории относительности
Масса т материальной точки в релятивистской механике зависит от скорости г ее движения, следовательно, не постоянна и принимает различные значения в разных инерциальных системах отсчета. Эта зависимость массы от скорости задается формулой
т=(П2.8)
где то — масса точки, измеренная в инерциальной системе отсчета, относительно которой она находится в покое (масса покоя материальной точки), с — скорость света в вакууме, т — релятивистская масса точки, т. е. масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью г.
Из соотношения (П2.8), в частности, вытекает, что материальные частицы с то 7^ 0 не могут двигаться со скоростями г > с. Частицы с то = 0 (фотоны, нейтрино) могут двигаться только со скоростью, равной с.
П2.2.1. Основной закон релятивистской динамики. Подобно закону динамики Ньютона в классической механике основной закон релятивистской динамики для приложенной силы / имеет вид
Ф = d(mv) = d_ / т^ \ =
dt dt dt \ ^1 — ^2 у ’
где вектор р = тг = тог)^1 — /З2 — релятивистский импульс материальной точки. При г У с имеем р = тг ~ той = Ро — классический (в классической механике) импульс. Уравнение (П2.9) инвариантно к преобразованиям Лоренца и, тем самым, удовлетворяет принципам теории относительности.
Выражения (П2.8), (П2.9) позволяют сделать некоторые важные заключения. Во-первых, элементарная работа 5А силы / на малом перемещении dr точки ее приложения равна
5А = f dr = fr dt =
/ drdm\72 7
= \ m ——V r —— ] r dt = mr dr + r dm.
\ dtdt J
Так как в силу формулы (П2.8)
dm mr dr
dt c2 — r2 dt1
то получим в результате: 6A = c2 dm.
Во-вторых, в релятивистской механике, в отличие от классической механики, вектор ускорения материальной точки в общем случае не совпадает по направлению с силой /. В самом деле,
drfг dm1 / „ г „ \
^7 =ТГ = — ( / -,
dtт т dtту)
где г — вектор скорости, /г — скалярное произведение векторов / и г. Лишь в двух случаях векторы dr/dt и / коллинеарны:
/ ± v <^> /г = 0 и для поперечной силы / имеем
Ди = р = ЛДНрУр.dt т то 1
/ || v <^> vfv = г2/ и для продольной силы / имеем
dv = /(1 — Р2) = /(1 - /З2)3/2 dt тто
П2.2.2. Обобщенный закон Ньютона. Второй закон Ньютона (П2.9), записанный для трехмерных векторов скорости и и силы /, можно обобщить на введенный ранее четырехмерный континуум. Естественно считать при этом, что 1) сила, как и в трехмерном пространстве, должна быть равна нулю, если вектор скорости постоянен, и 2) сила пропорциональна массе точки. Домножим уравнение (П2.9) на множитель 1/^/1 —/F :
—.— (те) = —/,
или в терминах массы покоя то
1 d б той А /
Vi-/^2 dt w1-/?2/ ”’
Обобщая последнее уравнение для четырехмерных векторов скорости V и силы F, получим
— (moV) = F dr = у/1 — /З2 dt.
откуда ’’пространственно-временной” закон релятивистской динамики можно выразить в виде
^(moV) = (то^А = F.(П2.10)
dndr \ dr J
Здесь четырехмерный вектор F с учетом выражений для R (П2.6) и V (П2.7) имеет представление F = (Fi, F2, Fg, F4), где
причем Fj = fj/V^ - Л. j = 1,2,3; / = (Л,/2,/з,0) — вектор, характеризующий силу в обычном трехмерном пространстве. Имеем
dPk =1 dPkДт ^1 - /J2 atdPk =1 dPkДт ^1 - /J2 at
dPk =1 dPk
Дт ^1 - /J2 at
dPk =1 dPk
Дт ^1 - /J2 at
где P^ = rngV^ — четырехмерный импульс, к = 1, 2, 3, 4.
В уравнении (П2.11) получим
dR то dR d
moV = то —— = —,—— = т — (г + ictoA) =
Uи dT yi _ ^2 dt dt v }
= т^иРгсбд^(П2.12)
где m = moj ^X — [P — переменная масса, зависящая от скорости г движения точки.
Таким образом, сравнивая уравнения (П2.11) и (П2.12), запишем
1Xdt ' b1Xdt ' bj = 1,2,3,j = 1,2,3,
1X
dt ' b
1X
dt ' b
j = 1,2,3,
j = 1,2,3,
P4 =P4 =г d
P4 =
P4 =
,— (me).
Vi^dt
При наличии потенциальных сил с потенциалом [7, т. ч.
имеем
V1-/?2 дж/
Дифференциал dT является инвариантом преобразований Лоренца, т. е. интервалом времени, не зависящим от ситуации — подвижной или неподвижной является исходная система отсчета. Это значит, что обобщенный закон движения (П2.10), где фигурирует дифференциал dT, можно рассматривать в контексте глобальной идеи Ньютона о существовании некоего универсального, абсолютного времени.
Запишем далее обобщенный закон Ньютона (П2.10) с помощью выражения (П2.7) в следующей форме
1 d тоdt [ V1 - /З21 d тоdt [ V1 - /З2(г + гс§4)(г + гс§4)
1 d то
dt [ V1 - /З2
1 d то
dt [ V1 - /З2
(г + гс§4)
(г + гс§4)
то dто dи + гс§4 \1 -/З2 )и + гс§4 \1 -/З2 )= F.= F.После раскрытия производной d/dt получимПосле раскрытия производной d/dt получимто wто w+ (v + гс54) —+ (v + гс54) —ИЛИmow то (и + гс^) 1 - /З2 + (1 - /З2)2ИЛИmow то (и + гс^) 1 - /З2 + (1 - /З2)2с2 dt yi - ргс2 dt yi - рг(П2.13)(П2.13)где w = (т1,т2,жз,0).Если теперь выделить в уравнении (П2.13) вещественную и мнимую части, то получимгде w = (т1,т2,жз,0).Если теперь выделить в уравнении (П2.13) вещественную и мнимую части, то получимл^ , тоР2 0 dv m0W=Vl-P4-T^«где г° = г/1 г | — единичный вектор скорости и тоРг dv(1 - /З2)2 di = 4'л^ , тоР2 0 dv m0W=Vl-P4-T^«где г° = г/1 г | — единичный вектор скорости и тоРг dv(1 - /З2)2 di = 4'(П2.14)(П2.14)(П2.15)(П2.15)Уравнение движения точки в трехмерном пространстве (П2.14) равносильно системе двух скалярных уравнений в проекциях на касательную s и нормаль п к траектории движения:Уравнение движения точки в трехмерном пространстве (П2.14) равносильно системе двух скалярных уравнений в проекциях на касательную s и нормаль п к траектории движения:dv Л57 f mo/?2 d-0w — = V1 - /З2 /прdv Л57 f mo/?2 d-0w — = V1 - /З2 /пр(П2.16)(П2.16)Здесь введены обозначения: /s = /г°, /п = /п, р — радиус кривизны траектории.Первое уравнение системы (П2.16) можно преобразовать к видуЗдесь введены обозначения: /s = /г°, /п = /п, р — радиус кривизны траектории.Первое уравнение системы (П2.16) можно преобразовать к видуоткудаоткудато^1-/32)3/2^то^1-/32)3/2^(П2.17)(П2.17)
то d
то d
и + гс§4 \
1 -/З2 )
и + гс§4 \
1 -/З2 )
= F.
= F.
После раскрытия производной d/dt получим
После раскрытия производной d/dt получим
то w
то w
+ (v + гс54) —
+ (v + гс54) —
ИЛИ
mow то (и + гс^) 1 - /З2 + (1 - /З2)2
ИЛИ
mow то (и + гс^) 1 - /З2 + (1 - /З2)2
с2 dt yi - рг
с2 dt yi - рг
(П2.13)
(П2.13)
где w = (т1,т2,жз,0).
Если теперь выделить в уравнении (П2.13) вещественную и мнимую части, то получим
где w = (т1,т2,жз,0).
Если теперь выделить в уравнении (П2.13) вещественную и мнимую части, то получим
л^ , тоР2 0 dv m0W=Vl-P4-T^«
где г° = г/1 г | — единичный вектор скорости и тоРг dv
(1 - /З2)2 di = 4'
л^ , тоР2 0 dv m0W=Vl-P4-T^«
где г° = г/1 г | — единичный вектор скорости и тоРг dv
(1 - /З2)2 di = 4'
(П2.14)
(П2.14)
(П2.15)
(П2.15)
Уравнение движения точки в трехмерном пространстве (П2.14) равносильно системе двух скалярных уравнений в проекциях на касательную s и нормаль п к траектории движения:
Уравнение движения точки в трехмерном пространстве (П2.14) равносильно системе двух скалярных уравнений в проекциях на касательную s и нормаль п к траектории движения:
dv Л57 f mo/?2 d-0
w — = V1 - /З2 /п
р
dv Л57 f mo/?2 d-0
w — = V1 - /З2 /п
р
(П2.16)
(П2.16)
Здесь введены обозначения: /s = /г°, /п = /п, р — радиус кривизны траектории.
Первое уравнение системы (П2.16) можно преобразовать к виду
Здесь введены обозначения: /s = /г°, /п = /п, р — радиус кривизны траектории.
Первое уравнение системы (П2.16) можно преобразовать к виду
откуда
откуда
то^1-/32)3/2^
то^1-/32)3/2^
(П2.17)
(П2.17)
и далее получим систему уравнений
moTt = ^-2p +У - --5^’ то7 = ^“У2“У4"
Из системы уравнений (П2.18) вытекает, что кроме стандартной силы / — (Л, /п) к материальной точке приложена еще и добавочная сила (сопротивления) f = (/', fn\ где
fs = (“ 2 ^2 + | ^4 -~ (g ^ + g ^ + ’ ”)
Для более компактной записи составляющей силы F4 (П2.15) воспользуемся уравнением (П2.17). Тогда получим
Р4 =• Л = —,г•
77 ’
где /г — скалярное произведение векторов /иг.
П2.2.3. Теорема об изменении кинетической энергии. Продолжим изучение релятивистских уравнений движения. Обратимся вновь к уравнению (П2.17). После домножения на г получим
m^dx = (1 — /32)3^2 fsvdt,
откуда, пользуясь выражением той du = d (тог2/2), запишем теорему об изменении кинетической энергии в следующей дифференциальной форме:
d (^) =fsV dt.(П2.19)
В поле сил с потенциалом [7, т. ч. fj = — dU(вх^ 3 = 1, 2, 3, имеем
0 _ 1 Д ди dXj _ 1 dU
s V и 8xd dt и dt '
Поэтому уравнение (П2.19) примет вид
4^) =_(1_/32)3/2 dU.\ 2 /
Интегрируя это выражение, найдем
m0c2 f9 Дф2-)_m0c2 f9 Дф2-)_(П2.20)(П2.20)
m0c2 f9 Дф2-)_
m0c2 f9 Дф2-)_
(П2.20)
(П2.20)
Пусть ради простоты го = 0, 4о — 0. Тогда из соотношения (П2.20) получим
9 / 1\
т^с —.— 1 = Uq — U.
0 \У1^ )
ОбозначимОбозначимтоп22топ22лх Vv^ )лх Vv^ )
Обозначим
Обозначим
топ2
2
топ2
2
л
х Vv^ )
л
х Vv^ )
В этих обозначениях, очевидно, интеграл энергии для релятивистского движения принимает вид
XT^Uo-U,(П2.22)
где АТ — релятивистская кинетическая энергия, в которой при Р О множитель А имеет предельное значение:
lim А = Нт (1 + X + - /З4 + ... - 1) = 1.
Следовательно, релятивистский интеграл энергии (П2.22) при 4^0. А —> 1 преобразуется в обычный интеграл энергии. Для релятивистского случая закон (П2.22) сохранения энергии Е\ = АТ + U записывается как Е\ = Uq = const.
Отсюда для выражения (П2.21) получим
где величина тос2 носит название собственной энергии (энергии покоя) точки, а величина тос2/^/1 — Р2 — полной энергии точки.
П2.2.4. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Для получения уравнений Лагранжа в криволинейных координатах q используется стандартная операция проектирования уравнений Ньютона, записанных в прямоугольных координатах ж, на оси криволинейных координат с помощью следующих уравнений связи х = x(q) : х,= = Xi (q1,q2,q3'), г = 1,2,3.
Пусть в трехмерном пространстве движение материальной точки задается уравнением (П2.14). Тогда это уравнение с учетом зависимости (П2.17) можно записать как
mow = VI - X f,
или в виде
mow = f-P Vl-X(П2.23)
С2
атdt defатdt defСпроектируем уравнение (П2.23) на оси криволинейной системы координат. Когда Р = 0 (с = сю), приходим к обычным уравнениям Лагранжа 2-го рода. Если Р ф 0, то при умножении векторного уравнения Ньютона (П2.23) на базисные векторы ео = dr/dq® получим уравнения Лагранжа вида
ат
dt def
ат
dt def
(П2.24)
где обобщенные силы QCT и QCT имеют значения
Q(J /6(7 1
Qc = Qa - 1) - ^ Vv^gXaqx.
Здесь v = qxex, f = QvCu, evea = 5^, gxa = exeai X,a,v = 1,2,3; 5£ — символ Кронекера: d^ = 1, a = v^ d^ = 0, a ф v-
В поле потенциальных сил / с потенциалом Г. когда Qa = = —dU/dq^^ имеем уравнения Лагранжа вида
L = T—U.(П2.25)
dt oq^ oqCT
Таким образом, анализируя уравнения (П2.24), (П2.25), приходим к выводу о том, что релятивистские уравнения Лагранжа в качестве дополнительных обобщенных сил QCT имеют силы, не являющиеся потенциальными.
Отметим также, что релятивистское действие по Гамильтону не носит экстремальный характер в силу уравнений (П2.25):
d ( Ldt = — f Q^ dqCT dt Ф 0,ЛоЛо
а канонические релятивистские уравнения Гамильтона могут быть представлены в виде
ЭЯ
dt dq°dqa _ ЭНdt Эрст’
соответствующем неконсервативной системе. Здесь р^ q — канонические переменные, Н — функция Гамильтона (полная энергия системы).
П2.3. СТО и некоторые ее следствия
Среди разнообразных приложений и следствий, непосредственно вытекающих из принципов специальной теории относительности, приведем лишь некоторые, наиболее известные и часто используемые. Эти следствия наглядно демонстрируют эффективность и в то же время выпукло проявляют физическую реальность и действенность постулатов теории относительности.
П2.3.1. Взаимосвязь массы и энергии. В предыдущем параграфе был получен ряд соотношений, свидетельствующих о существовании тесной связи между массой и энергией точки. Расширим и уточним эти понятия. Пусть Т\ = АТ — релятивистская кинетическая энергия материальной точки. Тогда приращение dT\ равно работе 5А^ которую совершает сила /, приложенная к этой точке, т. е.
dT\ = 5А = с2 dm.
Здесь dm — приращение релятивистской массы точки. Имеем, следовательно,
Т\ = (т — то) с2 = то с2Т\ = (т — то) с2 = то с211
Т\ = (т — то) с2 = то с2
Т\ = (т — то) с2 = то с2
1
1
откуда, как это было показано ранее, при г<с приходим к стандартному выражению для кинетической энергии в классической механике: Т\ = Т = тои2/2.
Аналогично соотношению dm = dT\/c2 имеет место и зависимость для изменения dE полной релятивистской энергии Е тела, которую можно записать в виде
dE = с2 dm.
Закон взаимосвязи массы и энергии звучит так: полная энергия тела (точки, системы) равна произведению релятивистской массы этого тела (точки, системы) на квадрат скорости света в вакууме, т. е.
2 тос2
Е = тс = —..
В релятивистской механике, также как и в классической механике, выполняются закон сохранения массы (в замкнутой системе ее полная релятивистская масса не изменяется) и закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия замкнутой системы не
изменяется со временем и есть величина постоянная. Однако в силу закона взаимосвязи массы и энергии эти законы сохранения релятивистской массы и полной энергии не являются независимыми друг от друга. Добавим к этому, что покоящаяся точка (или система частиц) обладает полной энергией покоя Eq = thqc2 где значения то, До не зависят от выбора инерциальной системы отсчета.
Релятивистское выражение 3-вектора (пространственного) импульса р имеет вид
p = mv=_^.(П2.26)
Если ввести в рассмотрение четырехмерный импульс (4-импульс) Р, то его четвертая компонента может быть представлена как
гт^с
Таким образом, имеем для 4-вектора Р = (Pi, Р2, Р3, Р4) = (р, Р4) •
гт^с 1[ гЕ 1
Запишем теперь выражение для полной энергии материальной точки
Е = ри - L = т°С ,(П2.27)
где L — функция Лагранжа. Очевидно, что здесь при с = 0 получим Е = Eq = тос2 — энергия покоя. Для малых (при г 0), но не равных нулю скоростей из формулы (П2.27) получим
Е = ,„ое= + Д = Е„ + Т.
Из формулы (П2.27) также следует, что при г с энергия Е сю. Вывод: для разгона материальной частицы конечной массы до скорости света потребуется затратить сколь угодно большое количество энергии. Из соотношений (П2.26) и (П2.27) вытекает еще одна важная векторная зависимость:
(П2.28)
С2
где Е j с? — то/ д/1 — /З2 = т — полная масса точки, зависящая от скорости ее движения v. В частности, в силу формулы (П2.28) следует,
что у частиц, двигающихся со скоростью света, р = Е/с и их масса покоя то = 0.
Пользуясь формулой (П2.26), найдем далее, что
откуда получимоткуда получимр2р2P2V2 2 2 — = mot;P2V2 2 2 — = mot;г2р2с2 с2т^ + р2г2р2с2 с2т^ + р2
откуда получим
откуда получим
р2
р2
P2V2 2 2 — = mot;
P2V2 2 2 — = mot;
г2р2
с2 с2т^ + р2
г2р2
с2 с2т^ + р2
Значит, энергия, выраженная через импульс
то сто с(П2.29)(П2.29)
то с
то с
(П2.29)
(П2.29)
представляет собой функцию Гамильтона. Для ’’стандартных” импульсов р, т.е. таких, что \р\ <С тос, имеем отсюда: Н = т^с2 + + р2/(2то) — сумма энергии покоя и обычной нерелятивистской функции Гамильтона. В ’’ультрарелятивистском” случае, когда \р | ^> т^с, пренебрегая в соотношении (П2.29) величиной т^с2, получим Н ~ с|р|. Имеем тем самым формулу (П2.28) для безмассовых частиц.
Отметим, что значения импульса р частицы, ее релятивистской массы т и полной энергии Е относительны, а именно они различны в двух инерциальных системах отсчета К (р^ т^ Е) и К' (р7, т\ Е'\ При этом разность Е2)с2 — р2 есть величина постоянная, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета:
Е2Е'2
2/22 2
-д- - Р = -щ- - Р = тос . с2с2
Пусть инерциальная система отсчета К' движется относительно другой инерциальной системы К со скоростью г* = const вдоль оси Oxi. Тогда при переходе от одной системы отсчета к другой К К' с помощью преобразований Лоренца получим правило преобразования трехмерного импульса и полной энергии:
pi = Е - v^pxF = Е' + v*Pi
где Р„ = v*/с.
Для прочно связанных систем (ядер, атомов, молекул и т. и.) вводится понятие энергии связи системы Дев? которая равна наименьшей работе, совершаемой для разложения данной системы на более элементарные составные части. По определению
ЕСв = У^ тогс2 - тЛ,г=1
где moi — масса покоя г-ой частицы в свободном состоянии, то — масса покоя системы, состоящей из п частиц. Отсюда величина
пg
= У moi ~т0 = —i=lс
образует так называемый дефект массы системы.
Несколько слов о проявлении релятивистских свойств частиц, которые обнаруживаются при больших скоростях и высоких энергиях. Релятивистские поправки надо учитывать, когда величины г/с, Е/(тос2) малы (но не пренебрежимо) по сравнению с единицей. К примеру, для электронов тес2 = 0,511 МэВ и, следовательно, при кинетических энергиях порядка 0,5 МэВ надо пользоваться соотношениями релятивистской механики. Для протонов трс2 = 938, 3 МэВ, и их релятивистские свойства обнаруживаются при соответствующих, значительно больших, чем для электронов, энергиях.
Удобно также для разграничения нерелятивистского и релятивистского (ультрарелятивистского) случаев пользоваться соотношениями между энергией и импульсом. В выражении (П2.29) имеем в нерелятивистском пределе \р\ <С m^c, откуда при разложении корня в степенной ряд получим для нерелятивистского случая
F 2 Р2 , ,2 Р2
Е = тос \ к + 1 - тос—.
у т^с22то
Наоборот, при \р\ ^> т^с для релятивистского случая имеем Е аз ~ с|р|-
Скорость г релятивистской частицы может быть определена из соотношения г = pc2/Е. Отсюда получаем еще один критерий разграничения: в нерелятивистском случае должно выполняться сильное неравенство | г |/с <У 1, а в релятивистском 1 — | г |/ <С 1.
П2.3.2. Преобразование уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Вначале запишем полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме.
В СИ:
9В rot Е = ——-, at1div D = р.9В rot Е = ——-, at1div D = р.го1Я = 7 + —, div В = 0.го1Я = 7 + —, div В = 0.
9В rot Е = ——-, at1
div D = р.
9В rot Е = ——-, at1
div D = р.
го1Я = 7 + —, div В = 0.
го1Я = 7 + —, div В = 0.
В гауссовой системе:
rot Е =rot Е =1 ЭВс at'1 ЭВс at'rot Н =rot Н =4я .4я .1 апс at11 апс at1
rot Е =
rot Е =
1 ЭВ
с at'
1 ЭВ
с at'
rot Н =
rot Н =
4я .
4я .
1 ап
с at1
1 ап
с at1
div В = 4тгдdiv В = 4тгдdiv В = 0,
div В = 4тгд
div В = 4тгд
где Е^Н — напряженность электрического и магнитного полей соответственно, D — электрическое смещение, В — магнитная индукция, 3 — плотность тока проводимости, р — объемная плотность свободных зарядов.
Написанные уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Можно доказать, что единое электромагнитное поле в разных инерциальных системах отсчета реализуется по-разному. К примеру, одно из полей, электрическое или магнитное, в одной системе отсчета может отсутствовать и, наоборот, присутствовать в другой.
Полагая, что инерциальная система К' (Е', Н', D', В') движется относительно инерциальной системы К (Е,Н,П,В) равномерно и прямолинейно вдоль оси O$i со скоростью г*, с помощью преобразований Лоренца получим выражения (в СИ):
Ei = Е^
e2 =
B2 + щВ^
E3 =
Vi - /з2 ’
Vi - SI ’
H2 — v^D^
H3 -h и^П^
Hi = н^
H2 =
Нз =
Di = D^
n'
d2 = ^
Do
D3 = —
- У/С2) я'
Vi - Л2 ’
Vi - Л2
Вл — В'
„ si
R„ —
„ Si
R„ — i
+ (v*/c2) E^
2 —
Vi-A2 ’
—
V1 - /32 '
для составляющих по осям векторов В, 11. D, В электрического и магнитного полей при переходе от одной системы отсчета к другой.
П2.3.3. Эффект Доплера. Под эффектом Доплера понимается явление, связанное с изменением частоты волн, зарегистрированных приемником Р, и вызванное движением источника I волн и самого приемника. Особенности эффекта Доплера для электромагнитных волн (радиоволны, оптическое, рентгеновское и гамма-излучение) можно установить, исходя из принципов специальной теории относительности.
Будем считать, что приемник Р неподвижен в инерциальной системе отсчета К, источник I движется относительно системы отсчета К вдоль оси Oxi со скоростью г*. Предполагается также, что источник I неподвижен в системе отсчета К' и расположен в ее начале координат О'. Пусть Oxi = О'х^ и в начальный момент времени / = // = () источник I находится в точке О системы отсчета К.
По принципу относительности уравнения сферической монохроматической волны (с частотой 1/) во всех инерциальных системах отсчета одинаковы по форме, т. е. уравнения этой волны, создаваемой источником I и посылаемой в направлении приемника Р в этот момент времени, имеют в системах отсчета К и К' соответствующий вид
s _ ар ^ ^t-Vkx-v cos 0+/сж2 sin 0+5) /Ц2 3Q)
(П2.31)(П2.31)gf Q0 ^тДи? t!-\-к! х\ cos 0z+fcz$9 sin 0Z+5Z)
(П2.31)
(П2.31)
где +. +7 = +p — циклические частоты колебаний приемника Р и источника I; к = ио/с, к' = ио’ (с — волновые числа для распространения волны в вакууме; #, 9' — углы между направлением наблюдения и скоростью г* (осью Oxi\ измеренные в системах К и К'^ т^т' — радиусы-векторы, проведенные из центра волны в рассматриваемую точку в системах К и К'^ а^/г, а^т1 — амплитуда волны.
Согласно преобразованиям Лоренца и в соответствии с принципом относительности при замене переменных ад,Ж2Д на x^x^t' из уравнения (П2.30) мы должны получить уравнение (П2.31):
+/С + k'x^ cos О' + k'x^ sin O' + 5' =
(t' 4 t^/c2 co /—(t' 4 t^/c2 co /—^ + V^X^ + V^Xcos 9 + kx'^ sin 9 + 6.cos 9 + kx'^ sin 9 + 6.
(t' 4 t^/c2 co /—
(t' 4 t^/c2 co /—
^ + V^X
^ + V^X
cos 9 + kx'^ sin 9 + 6.
cos 9 + kx'^ sin 9 + 6.
CJ (1 + Д cos#)CJ (1 + Д cos#)W sin#7 = k sin#,W sin#7 = k sin#,
CJ (1 + Д cos#)
CJ (1 + Д cos#)
W sin#7 = k sin#,
W sin#7 = k sin#,
Имеем отсюда
,, fc(cos6* + +)
k cosy =,—
5' = d. 0* = v^/c.
Следовательно, приходим к следующим соотношениям, описывающим эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:
V1Р* ^0 V1 - Р*ш = -, V = -,
+ Д cos 91 + Д cos 9
где yjy — частоты электромагнитных волн, излучаемых источником и получаемых приемником соответственно Д = 2тгД.
При малых скоростях движения источника волн относительно приемника, т. е. когда г* <У с, имеем совпадение релятивистской формулы для эффекта Доплера с классической
1/1/0 (1 - Д cos9\
Из выражения (П2.32), когда 9 = {0, тг}, что соответствует движению источника вдоль прямой, соединяющей его с приемником, следуют соотношения, определяющие продольный эффект Доплера:
при удалении источника и приемника, когда 9 = 0, имеем
при сближении источника и приемника, когда 9 = тг, имеем
V = ^0 к > VQ.(П2.34)
V Д
По формуле (П2.33) наблюдается сдвиг в более длинноволновую область, когда v < vq, А > Aq (красное смещение), А, Aq —длины волн, а по формуле (П2.34), напротив, наблюдается сдвиг в более коротковолновую область, когда v > vq, А < Aq (фиолетовое смещение).
Если 9 = {тг/2, Зтг/2 }, выражение (П2.32) дает нам
v = v0 V1 - А2.(П2.35)
Формула (П2.35) определяет так называемый поперечный эффект Доплера, наблюдаемый в тех случаях, когда источник движется перпендикулярно к линии наблюдения. Поперечный эффект Доплера в силу формулы (П2.35) зависит от 0* (т. е. является эффектом второго порядка малости) в сравнении с продольным эффектом, зависящим от Д. Поэтому поперечный эффект значительно слабее продольного с учетом малости величины Д. Поперечный эффект является релятивистским эффектом и вызван различием течения времени в системах отсчета, связанных с источником и приемником волн.
П2.4. Об общей теории относительности
Общая теория относительности (ОТО) была разработана А. Эйнштейном как релятивистская теория тяготения применительно к четырехмерному пространственно-временному континууму в метрике Римана. Согласно ОТО геометрические свойства пространства-времени зависят от параметров распределения в пространстве тяготеющих масс, искривляющих реальное трехмерное пространство.
Движение в таком гравитационном поле на основе принципа эквивалентности (поле тяготения отождествляется с полем инерции) рассматривается в ОТО как движение по инерции в искривленном неевклидовом (римановом) пространстве-времени. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции утверждает, что все физические явления в поле тяготения происходят таким же образом, как и в поле сил инерции, если напряженности этих полей одинаковы при прочих равных условиях.
Оговоримся при этом, что принцип эквивалентности справедлив лишь в малой ограниченной области пространства. В самом деле, нельзя каким-либо выбором неинерциальной системы отсчета компенсировать гравитационное поле (реально существующее как в неинерциальных, так и в инерциальных системах) инерционным полем (с соответствующей неинерциальной системой отсчета) во всем пространстве.
Итак, теория тяготения Эйнштейна утверждает, что геометрические свойства физического пространства и времени определяются геометрией Римана и проявляются в природе как поле тяготения. Введение риманова пространства, по Эйнштейну, обусловлено тензорным характером гравитации, поскольку именно метрический тензор этого пространства д^(х) описывает в полной мере гравитацию.
Для произвольной ускоренной системы отсчета с интервалом ds2 имеем
ds2 = д^(х) dx^ dxv.
Напомним, что в псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского ds2 = с2 dt — (dx2 +(/^2 -Vdx2). Риманово пространство позволяет использовать кривизну R (точнее, скалярный инвариант R тензора кривизны R^) в качестве функции Лагранжа с последующим применением принципа наименьшего действия для получения уравнений тяготения Эйнштейна (или Эйнштейна-Гильберта). Равенство или отличие от нуля тензора кривизны Римана трактуется в ОТО как отсутствие или наличие в пространстве гравитационного поля (по сути в этом как раз и состоит основной принцип ОТО — в единстве римановой метрики и гравитации).
П2.4.1. Уравнения тяготения Эйнштейна. Ньютоновский потенциал тяготения U(ад, ад Дз), задающий поле тяготения и порождаемый отдельной массой Л/. в точках пространства равен
Г
где г — расстояние от центра массы, у — постоянная тяготения. Считается, что во всех известных случаях потенциал С <С с2 и удовлетворяет уравнению Пуассона
АД = - 4тпр (П2.36)
с оператором Лапласа А и плотностью массы р.
Ковариантное относительно произвольных преобразований координат обобщение теории тяготения Ньютона должно содержать, прежде всего, обобщение уравнения Пуассона (П2.36). Это достигается путем введения в рассмотрение фундаментального метрического тензора д^ призванного служить обобщением ньютонова потенциала тяготения. Следовательно, тензор д^у должен удовлетворять общековариантной системе уравнений, одно из которых в ньютоновом пределе должно давать уравнение Пуассона (П2.36) для потенциала U.
Общековариантным обобщением левой части уравнения (П2.36) может служить тензор, в который линейно входят вторые производные от д^у. Таким тензором является тензор кривизны 2-го ранга R^. Тензорным обобщением плотности масс р является тензор массы Т^. Таким образом, логика обобщения уравнения Пуассона приводит к выводу о наличии некоторого соотношения между тензором кривизны 2-го ранга R^ и тензором массы Т^.
В отсутствие тяготения расходимость тензора T^v равна нулю:
V^^O. (П2.37)
Отметим еще раз, принимая во внимание соотношение (П2.37), что риманово пространство-время связано с распределением масс (вещества) и тензор энергии (массы) распределения этих масс может рассматриваться как средоточие физических характеристик этого распределения; векторная дивергенция этого тензора равна нулю.
Далее укажем на то, что возможная взаимосвязь между распределением масс и свойствами риманова пространства-времени (с характеризующим его метрическим тензором) может быть получена приравниванием тензора энергии Т^17 к некоторому тензору, зависящему от метрического, причем этот тензор также имеет нулевую
векторную дивергенцию. Этим свойством обладает рассмотренный чуть ниже тензор Эйнштейна. Таким образом, фактически постулируется способ появления или ’’схема генерации” уравнений тяготения.
Установлено, что тензор Эйнштейна, называемый также консервативным тензором, вида
= №v^R
2Ы
имеет расходимость, тождественно равную нулю:
X7V G^v = 0.(П2.38)
Уравнению (П2.38) удовлетворяет фундаментальный тензор д^17. Следовательно, если положить
_ 1 g^R = _ жТи^(П2.39)
где ае — постоянная Эйнштейна, то тогда уравнение (П2.37) для тензора массы будет являться следствием уравнения (П2.39).
Умножая десять уравнений тяготения Эйнштейна (П2.39) на д^у и затем суммируя, получим соотношение
R = жТ
между инвариантами тензора кривизны и тензора массы. Это соотношение позволяет написать уравнения тяготения в виде
=-^д^Т).
Замене тензора Т^17 линейным относительно него выражением ехТЦ17 + Рд^17, где о, 3 — некоторые постоянные, отвечает замена уравнений тяготения (П2.39) соответствующими уравнениями
R^ - | g^R = - «Т^ - Хд^,(П2.40)
где постоянная А носит название космологической постоянной.
В связи с ’’генерацией” уравнений (П2.40), имеющих поистине вселенский характер, отметим, что выбор значения А приобретает какой-либо физический смысл только после того, как поставлены нелокальные (на сю) условия, однозначно определяющие тензор Т^17. Отсюда мы приходим к понятию пространственной бесконечности,
где (т. е. на сю) пространство-время должно быть псевдоевклидовым (галилеевым), поле равно нулю и тензор массы также равен нулю. Вывод: придание А в уравнениях (П2.40) того или иного значения должно быть обусловлено определенной нормировкой тензора Т^.
Заканчивая раздел, посвященный обоснованию уравнений тяготения Эйнштейна, отметим, что для ньютонова приближения, связанного с уравнением Пуассона (П2.36), в инерциальной системе отсчета ньютонов потенциал тяготения U входит в коэффициент при dt2 в выражении для ds2 т. е. в коэффициент роо общего выражения ds2 = g^v dxp, dx„ :
goo = c2 - 2U,g00 = — + A’ 9oo 9°° « 1-
c2 c4
Из уравнения Пуассона следует
00 .87Г7
с4 '
После приравнивания этого значения к Дд00 = — (ае/с2) р, получим формулу ае = Зтгу/с2, связывающую между собой эйнштейнову постоянную тяготения ае и ньютонову постоянную у.
П2.4.2. Некоторые соотношения тензорного анализа. Аппарат тензорного исчисления составляет основной математический инструментарий [295], посредством которого производят различные аналитические операции в релятивистских теориях тяготения. Остановимся кратко на некоторых тензорных соотношениях, имеющих хождение в ОТО.
Выражения
р 1 / ^Qva^9vpддад
v.aP 2 \^ QXpQx^0X^
гг - 1Эдцр 8gap\ ,,
\9хз+Эха 9xJ-^a0’^'
где { aP^ v } = рмг/ ^aP^ ц], именуются соответственно скобками Кристоффеля 1-го и 2-го рода. Имеем
Здесь дад — фундаментальный метрический тензор. К примеру, для четырех произвольных функций Д, к = 0,1, 2, 3, имеем
е dfk 8fk ек dxa Эхд 'е dfk 8fk ек dxa Эхд 'з
е dfk 8fk ек dxa Эхд '
е dfk 8fk ек dxa Эхд '
9а6 —
к=0
Далее можем записать
г17 =4v av У 2г17 =4v av У 21 nv Эд^у2 9 dxa'1 nv Эд^у2 9 dxa'(Эд^у । Эду^Эдро.
г17 =4
v av У 2
г17 =4
v av У 2
1 nv Эд^у
2 9 dxa'
1 nv Эд^у
2 9 dxa'
\ Эха дхуЭх^
Пусть g = det g^ тогда g g^v — минор элемента g^y в этом определителе. По правилу дифференцирования определителей имеем
dg = д д^ dg^
откуда следует
1 Эд = цу Эд^д дха дха ’
и далее получаем
1 Эд _ _ Эд^д охаоха
Таким образом, приходим к записи
= г Д = Д1п^-
2р cjXq ОХ(у
Введем в рассмотрение некоторую скалярную функцию <р. Тогда
а
Эх„
^~дд^^ ах^
с оператором Даламбера
а^ф а^ф а^ф а2^
D Эх^ ах2 ах^ ах2 ’
С другой стороны, имеем
□ ф — 9^ 9^иу□ ф — 9^ 9^иут = д4 Г“ 9V
□ ф — 9^ 9^иу
□ ф — 9^ 9^иу
^ Эхц dxv ^у Эха
Отсюда непосредственно следует
а2(рдх^ дхра2(рдх^ дхрpQ Эу 9ха 1pQ Эу 9ха 1
а2(рдх^ дхр
а2(рдх^ дхр
pQ Эу 9ха 1
pQ Эу 9ха 1
где введено обозначение
Га = д^ Га .
После приравнивания коэффициентов при первых производных приходим к следующему тождеству:
V-g охр v ;
Отметим попутно, что для релятивистских координат х^ = ct, ад = ж, ад = у, хз = г, представляющих собой четыре решения уравнения □ (/; = 0, имеем Га = 0. Такие координаты с дополнительными условиями на сю называются гармоническими.
Ковариантная производная от ковариантного вектора вводится следующим образом:
„ А ЭАа А
Vр Аа = —— Гар Av,
охрр
а ковариантная производная от контравариантного вектора так:
VpA"+Г^ЛТ
охрр
Пусть T^v — тензор 2-го ранга. Тогда
8Tpv
Vv Т^ = —+ Tpv +Т^.(П2.41)
Перейдем к рассмотрению тензора кривизны. Имеем для смешанного тензора кривизны
аг^ аг^
I р<7 рР 1(7 рр
—"т" 1 pv 1 аа kpakov
Для ковариантного тензора кривизны получим
Rpv,a{3 — 9vo Rp^ap —
/ Э^д^а Э^д^р _ д^дур _ Э^д^
уЭхцЭхр dxvdxa ЭхцЭха дхудхр
9ро ^ра ^vp + 9per Г^ Г^.
Отсюда приходим к тождествам Бианки
RG^pa = - R^^p. RG^p + RG^ + RGp^a = о,
^A Rpi7,aP + ^p RpA,aP T Vv R\p,aP — 0.
Тензор кривизны 2-го ранга вида
р ,аЗ р р/3
-Цен/ У
называется также тензором Римана со следующими свойствами симметрии:
R^ = Rv^, R^ = gw RPv, R^ = gw gva RP.-
Найдем расходимость тензора Римана. Имеем
R^ = д^ VA R^ = | V, R = | |У^^ (J JU у
где R — инвариант тензора кривизны R^.
Отсюда следует, что расходимость тензора
тождественно равна нулю, т. е. приходим к уравнению (П2.38). Тензор Эйнштейна G^p называется поэтому консервативным тензором.
Уравнения (П2.37) для тензора инерции Т^17 можно после объединения первого и третьего слагаемого в уравнении (П2.41) записать так
J- (V^g т1") + ту т^ = о.
Стоит обратить внимание и на то, что эти уравнения применительно к замкнутой консервативной системе должны выражать законы сохранения энергии, количества и момента количества движения, а также закон движения центра инерции.
Исследование уравнений Эйнштейна (П2.39) показывает (подробности см. в фундаментальной работе [360]), что эти уравнения являются единственными при наличии следующих условий: 1) соответствие уравнению Пуассона, 2) общая ковариантность (имеется в виду сохранение вида уравнений при преобразованиях координат, содержащих произвольные функции), 3) линейность от вторых производных метрического тензора д^17 4) выполнение соотношения (П2.38) для левой части уравнения (П2.39), 5) (псевдо)евклидовость в отсутствие масс.
П2.4.3. Скорость распространения гравитационной волны. Рассмотрим задачу об определении скорости распространения гравитационной волны. Для этого найдем уравнение распространения фронта (уравнение характеристик) гравитационной волны, основываясь на уравнениях тяготения (П2.39).
Будем пользоваться выражением для контравариантного тензора кривизны R^ :
А2л^
R^ = д^ —CL+ Гм,«/з Г^(П2.42)
Эха охрр
где Гм,а/3 = дар д^ст Г^. Видно, что в соотношении (П2.42) последнее слагаемое не содержит вторых производных; вторые производные содержат только первое и второе слагаемые.
Ранее мы давали (см. раздел П2.4.2) запись □(/; для некоторой функции <рц где Vv = да^Г^. С учетом того, что
1 Э ( ,— з dip \□ у =д— V^gg 9 д— ,
ОХР \OX a /
получим следующие соотношения:
Г° = --= — Щ^ддар,Г“ = -Пжа.
охр х7
Имеем далее
рМ^ _ ^ц pz/ уг/ р^^_
/dVvЭГ^ dqpv \
уЭхаЭхаЭха/
Поскольку уравнения тяготения Эйнштейна являются общековариантными, то они допускают преобразования координат, содержащие четыре произвольные функции. При переходе к другим координатам возьмем в качестве независимых переменных четыре решения уравнения □(/; = 0 (разумеется, с учетом ограничений, накладываемых на др1У).
Пусть Пяд = О, о = 0,1, 2, 3. Тогда
ра = 0? p^z/ = 0(П2.43)
Координатная система, для которой имеют место соотношения (П2.43), называется гармонической. Важно подчеркнуть, что уравнения (П2.43) совместны с уравнениями Эйнштейна (П2.39), не накладывают какие-либо дополнительные условия на их решения, а лишь суживают множество допустимых координатных систем.
При выполнении условий (П2.43) получим выражение для R^ :
= _«3 д + Гц,«з г,
2 оха охрр
(П2.44)(П2.44)куда высшие (вторые) производные, образующие оператор Даламбера □, входят в качестве первого слагаемого. Отсюда приходим к заключению, что для системы уравнений тяготения и для уравнения Даламбера □(/; = 0 характеристики будут совпадать. Они имеют вид
(П2.44)
(П2.44)
я— я- = °’uxv
где с^(тоД1Д2,жз) = const есть уравнение фронта волны. Следовательно, уравнение распространения фронта гравитационной волны (П2.44) совпадает с уравнением распространения фронта световой волны в свободном пространстве. Это означает буквально следующее: гравитация распространяется со скоростью света, что находится в полном соответствии с одним из основных принципов теории относительности о наличии предельной скорости распространения любого действия в природе.
П2.4.4. Замечания на гравитационную тему. Имеется много различных и глубоких соображений относительно выбора какой- либо метрики пространства-времени в релятивистской теории тяготения, космологической постоянной, принципа эквивалентности и т.д. (см. упоминавшуюся выше литературу).
Выделим некоторые, достаточно веские, как нам кажется, аргументы в пользу той или иной точки зрения. В работе [360] говорится о том, что пространство-время в среднем является псевдоевклидовым (галилеевым) или пространством-временем Минковского. Отклонения от псевдоевклидовости или переход к пространству-времени Римана происходят при наличии поля тяготения. При островном (локальном, точечном) распределении масс поле тяготения на сю, т. е. вдали от масс, стремится к нулю, а геометрия пространства-времени становится псевдоевклидовой.
Пространство-время Минковского в согласии с работой [210] является частным случаем четырехмерного риманова пространства. Поскольку все метрические коэффициенты псевдоевклидова пространства постоянны, то это означает, что все соответствующие скобки Кристоффеля тождественно равны нулю. Отсюда тензор кривизны Римана (Римана-Кристоффеля) равен нулю и пространство- время Минковского в этом смысле становится плоским, если воспользоваться аналогией с евклидовой плоскостью.
Таким образом, отмечаем, что тензор Римана является показателем искривленности (показателем наличия масс и поля тяготения) риманова пространства. Более того, нулевой характер тензора кривизны в плоском пространстве-времени Минковского не может быть изменен никаким преобразованием координат. Следова-
Прил. 2. Элементы спец, и общей теории относительности 455 тельно, искривленность — это свойство, внутренне присущее риманову пространству; это свойство не зависит от выбора системы координат. Риманово пространство может лишь локально совпадать с пространством-временем Минковского.
Уравнения Эйнштейна связывают тензор энергии (массы), удовлетворяющий уравнению ЭТ^ f dxv = 0, с метрическим тензором искривленного пространства-времени. Отказ от ’’объемного” искривления пространства, т. е. переход к плоскому пространству-времени Минковского приводит к тому, что всеобщая история распределения вещества в соответствии с ОТО не дает осмысленных результатов. К примеру, положив в космологических уравнениях (П2.40) величины = О, R = 0, получим —геТ^ = Хд^ и далее р = — А/ае. При А = 0 имеем для плотности массы р = 0. Понять физический смысл этого эффекта или дать физическую интерпретацию постоянной тяготения Эйнштейна при этом довольно затруднительно. Из этого рассмотрения вытекает, в частности, вывод о том, что уравнения Эйнштейна ”не дружат” с метрикой Минковского. Напротив, релятивистские теории гравитации (РТГ), базирующиеся на гипотезе о развитии гравитационного поля в пространстве-времени Минковского (см., например, работы [202-205]) и на отказе от метрики Римана, пытаются приобщить поле тяготения к плоским физическим полям в смысле Фарадея-Максвелла. Различные вариации РТГ предстают, таким образом, как своеобразные обобщения классической теории гравитации Ньютона (постньютоновские обобщения) применительно к релятивистскому случаю, т. е. формируют уравнения и их решения в галилеевых координатах в инерциальной системе отсчета. Отсюда калибровка, спиновые и другие эффекты плоского гравитационного поля в РТГ при попытках создания теории единого всеобъемлющего полевого взаимодействия.
В соответствии с идеями работ [373, 424] гравитация обладает свойствами, существенно отличающимися от других полевых теорий, прежде всего потому, что гравитация сама ’’формирует арену”, на которой действует, в противоположность другим полям, которые действуют в заданном пространстве-времени и являются лишь продуктами генерации.
Согласно теореме Хокинга-Пенроуза [424] (теорема о сингулярностях) пространство-время обладает сингулярностями — у него существуют ’’ловушечные” замкнутые поверхности (черные дыры). Пространственно-временная сингулярность может быть представлена как область, в которой кривизна становится неограниченно большой.
Пространство-время в ОТО может быть определено как максимальное многообразие, на котором метрика является достаточно
гладкой. Отсюда следует, что классическая общая теория относительности по Эйнштейну не является полной теорией.
Наличие сингулярных точек означает проявление таких свойств сингулярностей как неполнота геодезических кривых при остающейся ограниченной кривизне пространства, существование частиц, история которых имеет начало и конец в конечные моменты времени (начало времени и Вселенной в момент Большого взрыва), коллапс звезд и всеобщее сжатие Вселенной и т. д.
В настоящее время большую популярность приобрела теория квантовой гравитации — синтезируемое применение квантовой теории к ОТО. Важным результатом этой теории, если он вообще когда-либо состоится, должно стать проверяемое, в принципе, предсказание того, что черные дыры испускают в свободное пространство равновесное тепловое излучение.
Приложение 3
Начала квантовой механики
Среди обилия всевозможного материала по основам квантовой механики для целей предварительного, но необходимого знакомства с ней была отобрана лишь небольшая, чисто понятийная часть. Это знакомство, конечно же, можно продолжить на более обстоятельном уровне, погрузившись в изучение известных курсов. Можно порекомендовать, например, такие книги: [17, 21, 38-44, 47, 55, 63, 72, 79, 85, 104, 116, 118, 128, 146, 163, 191, 197, 200, 213, 217, 217, 218, 223, 227, 228, 231, 241, 272, 283, 304, 313, 323, 347, 350, 353, 356, 361, 375, 398, 399, 418]. Мы же при своем изложении будем опираться, главным образом, на схемы и конструкции ряда известных работ [40, 191, 304, 361].
Тем не менее хотелось бы, предваряя именно Приложение 3, затронуть такой важный аспект квантовой теории, как ее принципиальное отличие от классической механики, которая зиждется на абсолютизации процесса полного и исчерпывающего описания состояния движения механической (физической) системы.
Квантовомеханический способ описания явлений при решении задачи об определении поведения квантовой системы основывается на вероятностной (статистической) возможности этой системы потенциально реализоваться в данном поведении. Такая возможность, как показывают квантовая теория и практика наблюдений различных эффектов в микромире, существует у системы при данных условиях и объективно отражается в соответствующем вероятностном (статистическом) распределении. Соотношения неопределенностей (В. Гейзенберг, 1927 г.) показывают, что в квантовой механике неопределенность положения частицы и ее импульса такова, что ’’частица по своей природе не допускает одновременной локализации в координатном и в импульсном пространстве” [361]. Тем самым привычные для классической механики представления о траектории частицы в квантовой механике утрачиваются.
В § П3.1 обсуждаются важнейшие квантовомеханические понятия, для чего вначале даются гносеологические сведения о волнах де Бройля. Поясняется принцип неопределенностей, отмечается особая роль волновой функции в описании квантовых явлений. Большое
внимание уделяется математическому аппарату квантовой механики — линейным операторам и их свойствам.
Это описание продолжается в § П3.2, посвященном различным вопросам физической интерпретации операторов. Дается понятие оператора полной энергии системы (гамильтониана), вводятся квантовые скобки Пуассона и поясняется оператор дифференцирования по времени. Говорится также и о матричном представлении физических величин. Среди операторов физических величин рассматриваются базовые операторы: радиуса-вектора, потенциальной и кинетической энергии, импульса, углового момента, инверсии.
В § ПЗ.З речь идет об основном уравнении квантовой механики — уравнении Шредингера. Рассматриваются уравнения Шредингера для стационарных состояний, для свободной частицы и определяются их решения. Выясняются особенности такого важного понятия, как плотность потока вероятности, и определяются условия, которым вектор плотности потока вероятности должен удовлетворять.
Последний § П3.4 Приложения 3 вводит в область изучения различных типов квантовомеханического движения. Это наиболее простые и распространенные типы движений: в однородном силовом поле, в потенциальной яме, сквозь потенциальный барьер и колебания под действием квазиупругой силы (квантовый гармонический осциллятор). Во всех случаях даются решения уравнений Шредингера, акцентируется внимание на энергетическом аспекте квантовомеханического описания, отмечаются важнейшие свойства исследуемых движений.
П3.1. Основные понятия квантовой механики
Уточним для начала упомянутый выше принцип неопределенностей, один из важнейших принципов квантовой механики, означающий, что в какой-либо момент времени нет одновременного существования вполне определенных координат и скорости частицы. Т. е. описание состояния квантовой системы является более неопределенным и менее предсказуемым, чем в классической механике.
Результатом этих рассуждений служат неравенства Гейзенберга:
АтАрж>-, Ат/Ар^-, А^Арг>-,
где Ат, Ар, А^ — размеры области неопределенности (локализации) положения частицы в пространстве координат т, у, z\ ^рЖ1 ^pyi ^pz — размеры области неопределенности ее импульсов в пространстве импульсов PxHyHz^ — постоянная Планка. Аналогичное со-
отношение имеется для неопределенностей времени At и энергии ^E : ^t^E> й^.
ПЗ.1.1. Предварительные сведения: волны де Бройля. В основе квантовой механики, изучающей частицы микромира с линейными размерами порядка 10-6 -У 10“13 см, лежат идеи о корпускулярно-волновой природе свойств частиц (Л. де Бройль, 1923 г.), дискретном характере изменения энергии атомов и т.д.
Согласно де Бройлю, с любой частицей связаны ее корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс р, а также волновые характеристики — частота v и длина волны А, аналогично тому, как это имеет место для фотонов: Е = hv, р = h/X. Формула де Бройля с постоянной Планка h записывается в виде
h _ р mv1
где т — масса частицы, г — ее скорость, р — импульс частицы.
Формулу де Бройля можно записать и так:
Z7T
где kr = (2тг/А) н — волновой вектор, н — единичный вектор в направлении распространения волны, к = | Ау | = 2к/Х — волновое число, равное числу длин волн, кратных 2я единиц длины, h = hf^K^ = = 1, 05 • IO”34 Дж • с.
Если частица имеет массу т, кинетическую энергию Е^, то тогда длина волны де Бройля равна
Отметим здесь же, что макроскопические объекты волновые свойства не проявляют, вернее, их длины волн де Бройля так малы, что соответствующие волновые свойства просто невозможно обнаружить.
Фазовая скорость волн де Бройля
шкшЕтс2с2с2тХ
кhkрттv h '
где Е = кш, р = кк, к — волновое число, т — масса частицы, г — ее скорость, А — длина волны де Бройля. Поскольку с > г, то Гф волн де Бройля больше скорости света в вакууме.
Групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы и :
muc2muc2me2me2dw d (Кш) dEdk d (fik) dp
muc2
muc2
me2
me2
4 ( / 2 4 , ГД Pc2
= I A urtTxC^ Чр2с2 I = —.
dp v*/ m^c^ + p2c2
Между полной энергией частицы Е и частотой v волны де Бройля имеется зависимость:
Е = hv = Кш^
где ш = 2тп/ — циклическая (круговая) частота.
ПЗ.1.2. Волновая функция. Вопрос о способе описания состояния объекта в квантовой механике приобретает особую значимость. Положение частицы в конфигурационном пространстве в момент времени t определяется с помощью волновой Ф-функции, т. ч. ^(x^y^t) = ^(q,ty Вероятность того, что частица находится в элементе объема dV = dq, равна dP = | Ф |2 dV, где | Ф |2 — квадрат модуля волновой функции, | Ф |2 = ФФ*; здесь * сверху означает комплексное сопряжение.
Таким образом, величина
|ф|2|ф|2dP"dVdP"dV
|ф|2
|ф|2
dP
"dV
dP
"dV
есть плотность вероятности, которая определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами ж, у. %. Следовательно, величина | Ф |2 (интенсивность волн де Бройля) имеет вполне определенный физический смысл.
Вероятность Р нахождения частицы в момент времени t в конечном объеме V равна
Р = / dP= / |Ф|2йУ,Jv JV
откуда, исходя из достоверного события пребывания частицы во всем бесконечном конфигурационном пространстве, получим условие нормировки:
I Ф I2 rfV = 1.
Вероятностный смысл волновой функции накладывает на нее ряд ограничений: Ф-функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной. Кроме того, волновая функция удовлетворяет принципу
суперпозиции, суть которого сводится к следующему: предположим, что система может находиться в различных состояниях с волновыми функциями Ф1,Ф2,...,Ф&,---; тогда она может находиться в состоянии с волновой функцией Ф = ^к С^^, где С^ — произвольные комплекснозначные числа. Отсюда вытекает, в частности, что все уравнения для волновых функций должны быть линейными по Ф.
Интеграл по всему пространству вида
8 = <S> = j S^dV
определяет среднее значение некоторой физической величины s для объекта, находящегося в состоянии с волновой функцией Ф.
П3.1.3. Операторы и некоторые их свойства. Пусть физическая величина / характеризует некоторое состояние квантовой системы. Принимаемые / значения (непрерывные или дискретные) называются собственными значениями, которые образуют спектр собственных значений.
Для дискретного случая обозначим через /п, п = 0,1,..., собственные значения величины /, а соответствующие волновые функции системы — через Фп (собственные функции величины /).
Полагая выполненным V Фп условие нормировки (J | Фп |2 dq = 1), в соответствии с принципом суперпозиции можем волновую функцию Ф для некоторого произвольного состояния системы записать в виде
ф = 52 °»ф»’
где ап — числовые коэффициенты с условием нормировки, т. е. сумма вероятностей всех возможных значений /п должна быть равна единице: ^п | an |2 = 1. Нетрудно показать, что имеют место соотношения
Еф Д dq,
откуда
ап = [ ФФ* dq = ^am [ ФтФ* dq,(П3.1)
т *
где
4>mKdq = 5nm = т ’
, пут.
Следовательно, набор собственных функций Фп образует полную систему ортонормированных функций.
Далее определим среднее значение / = < / > величины /, по обыкновению, в виде суммы произведений ее собственных значений /п и вероятностей принятия соответствующих значений:
/ = Е/»ы2- (пз-2)
Введем в обращение линейный оператор /, где /Ф — результат действия оператора / на функцию Ф, так, чтобы
/ = / ^T^dq, (ПЗ.З)
где линейность оператора / подразумевает выполнение равенств / (Ф1 + Ф2) = /Ф1 + /Ф2, f (аФ) = а/Ф для произвольных функций Ф1, Ф2, Ф и числа а.
Из предыдущего следует, что / представляет собой линейный интегральный оператор. В самом деле, из формулы (П3.1) вытекает представление / (П3.2) в виде
Отсюда, после сравнения с выражением (ПЗ.З) и с учетом соотношения (П3.1), приходим к заключению, что
/Ф = Е ап^п = / W q’) Ф(д') dq'(П3.4)
с ядром оператора K(cpqf\ т. ч.
Если Ф принимает значение Фп, то из соотношения (П3.4) вытекает
/Фп = ЛФп,
а это значит, что собственные функции /п постоянной физической величины / представляют собой решения операторного уравнения
/Ф = / Ф.
Если / — вещественная физическая величина, то все /п и / — также вещественны. Тогда из выражения (ПЗ.З), где / = /*, получим
Ф*/Ф^ = / Ф/*Ф*^,
где /* — оператор, комплексно сопряженный с оператором /.
Введем в рассмотрение оператор /^ — транспонированный по отношению к оператору / — по правилу
j Ф1/Ф2с?(/ = j Ф2^ФМ9,(П3.6)
где Ф1,Ф2 — произвольные функции. Пусть Ф1 = Ф^- Тогда, сравнивая соотношения (П3.5) и (П3.6), получим
Г = Г-(П3.7)
Последнее означает условие эрмитовости оператора, соответствующего вещественной квантовомеханической величине.
Придадим / комплекснозначный смысл, т. е. предположим, что /п — комплексная величина. Пусть /* — комплексно сопряженная с / величина. Оператор, соответствующий этой величине /*, называется сопряженным оператору / и обозначается /+. Имеем /+(/*)Т, и тогда условие эрмитовости (условие самосопряженности) (П3.7) можно записать в виде
В терминах линейного интегрального оператора (П3.4) условие эрмитовости оператора означает условие на ядро оператора: К^ср д') = = K4q\q\~
У эрмитова оператора / собственные функции Фп и Тш, соответствующие различным собственным значениям /п и /т, взаимно ортогональны:
j Ф„Ф„^ = 0,
Где /п fm. /Тп = /ПФП, №т — fm^m-
Пусть величины / и д имеют некоторые определенные одновременно значения. Тогда их операторы коммутативны др^г с другом: /р = р/. Для обратного к оператору / оператора /-1 имеем //-1 = /-1/ = 1- Кроме того, справедливы равенства
йд)Т=дТГ, йдр = д^й-
Введем также обозначение коммутатора операторов /1 и /2 :
{ А, А } = ЛА - АА-
Тогда
{ АА, А } = { А, А } А + А { А, А }•
В случае непрерывного спектра значений для физической величины / с волновой функцией Ф возможно следующее разложение Ф-функции через интеграл по всей области значений величины /:
Ф(9) = у(П3.8)
где Фf — собственные функции, соответствующие собственным значениям /, а весовой множитель af = а(Л удовлетворяет условию нормировки: f | af |2 df = 1.
Действуя по аналогии с выводом соотношения (П3.1) для ап в дискретном случае, можем сопоставить выражения
J №dq = I\af\2df
И
j ФФ* dq = j japVpVdf dq,
откуда получим
aj = j*dq.(П3.9)
При подстановке выражения (П3.8) в соотношение (П3.9), найдем и=I и* (/ фа ф/Л df*’ и далее
ГГ 0,
/ Фд Ф) dq = 5^ - /), 5^= \ V(ПЗЛ°)
где £(•) — дельта-функция Дирака. Соотношение (П3.10) дает условие нормировки собственных функций непрерывного спектра: при f* ^ f имеем ортогональность функций Фд и Фу; при /* = / имеем расходимость интеграла /|Фу |2c/q (ср. с условием нормировки для собственных функций дискретного спектра).
Если, наоборот, подставить выражение (П3.9) в соотношение (П3.8), то получим
ф(9) = j Ф^уу ф)ом фудд/)
откуда будет следовать условие нормировки
/ Ф}(</*) Ф/(9) df = S^q - q»Y(П3.11)
Таким образом, заключаем из сравнения формул (П3.8), (П3.10) с формулами (П3.9), (П3.11), что функция Ф(д) в (П3.8) разлагается по собственным функциям ^t f^ с весовым множителем (коэффициентом разложения) а/ = a(f\ Аналогично функция а/ = а(/) в (П3.9) разлагается по собственным функциям Фу(#) с весовым множителем T(q). Говорят при этом, что функция af = а(/) — волновая функция системы в /-представлении, a Ф(д) — волновая функция системы в ^-представлении.
П3.2. Физическое толкование операторов
о — = ЯФ, at 1о — = ЯФ, at 1Прежде всего отметим, что поскольку состояние квантовомеханической системы описывается волновой функцией ^(a^y^f) = = Ф(дД), то это означает, что поведение системы во времени должно выражаться уравнением, связывающим (линейно в силу принципа суперпозиции) ЭЧ? f dt и Ф :
о — = ЯФ, at 1
о — = ЯФ, at 1
(П3.12)
где а — некоторый числовой множитель, Н — линейный оператор. Уравнение (П3.12) называется волновым. Можно показать, что а = = гК^ а оператор Н — эрмитов.
Оператор Н = Т A-U — оператор полной энергии системы, называется гамильтонианом системы:
Н =V2 + C(П3.13)
2m
где U = U^x^z) — оператор потенциальной энергии системы, Т = = — (7г2/(2m)) V2 — оператор кинетической энергии системы, V — оператор Гамильтона, m — масса системы. Оператору Т соответствует в классической механике кинетическая энергия системы с импульсом р, равная Т = р2/(2m). Оператору Н (П3.13) отсюда соответствует функция Гамильтона Н = Т + U.
ПЗ.2.1. Скобки Пуассона. Дифференцирование операторов по времени. Для нахождения оператора данной физической величины надо учитывать, прежде всего, два момента. Первый: чтобы спектр собственных значений оператора совпадал с наблюдаемыми значениями физической величины, и второй: правильное сопоставление операторов с физическими величинами должно соответствовать аналогии с классической механикой.
Пусть механическая система описывается в канонических переменных обобщенных координат q^ и импульсов р^ классическими уравнениями Гамильтона
ЭНЭН
ЭргЭрг
Для полной производной по времени от некоторой величины / = = /(91,92,-, Pi,P2,-, t) имеем
1 dt1 dt
1 dt
1 dt
получимполучимПодставляя сюда вместо qi^Pi их значения из уравнений Гамильтона,
получим
получим
< = дdt dt
где выражение
( 9f ЭН 9f 9Н\ \9qi 9pt 9pt 9qi /
называется скобкой Пуассона для величин Н и /.
Как известно, скобки Пуассона инвариантны относительно преобразования канонических переменных ср и р^ которое оставляет неизменным вид уравнений Гамильтона. Для скобок Пуассона имеем следующие свойства:
[/, д\ = Чд,/], [/, с] = 0, с = const,
[Л + Л, g] = [А, д] + [Л, д],
[Л/г, д] = fi [Л, д] + [Л, д]Л,[Л [д, ^1] + [д, U, /]] + V’ [Л д]] = о.Скобки Пуассона для обобщенных координат и импульсов дают зна-чения
[9г, 9,] = °,[P«,Pj]=0, [Рг,
где 5tj — символ Кронекера.
Производная по времени от величины / в квантовой механике определяется так, чтобы / = /. Найдем отсюда выражение квантовомеханического оператора / для величины /. Имеем
f = f=4 [=
dt J
= f ^H^dq+ f ^/Ф^+ E*f^dq, (П3.14) J at j at j at
Подставим в соотношение (П3.14) выражения для д^* fdt^ д^/dt^ пользуясь волновым уравнением (П3.12):
/ = j V*^Vdq+^j(H*4>*)f4>dq-^j' ^*f(H^)dq.
Имеем здесь для эрмитова оператора Н равенство
j(H*4>*)f4>dq = ^*Hf^dq.
Поэтому далее получим
j \ at д/
А т. к. / = J Ф* / Ф dq, то сравнивая с предыдущим выражением, имеем соответствующую зависимость
/=^ + -(Я/-/Я) = ^ + [Я,/],(П3.15)
at hat L J
где [Я,/] = ДЯ/-/Я)— квантовые (операторные) скобки Пуассона для операторов Н и /. С помощью квантовых скобок Пуассона можно, используя аналогию с классической механикой, устанавливать вид квантовых операторов.
Очевидно, что если оператор / не зависит явно от времени и коммутативен с Я, то в соотношении (П3.15) имеем / = 0 и далее / = / = 0, / = const. Отсюда мы приходим к выводу, что у замкнутых систем, находящихся во внешнем постоянном поле, гамильтониан Н не зависит явно от времени, т. е. соответствующая функция Гамильтона (энергия системы) постоянна.
Фиксированные, вполне определенные значения энергии определяют стационарные состояния системы, которые описываются волновыми функциями Фп, где Фп — собственные функции оператора Н : H4tn = En^n. Здесь Еп — собственные значения энергии. Следовательно, волновое уравнение (П3.12) для функции Фп, т. ч.
= ЯФП = ЯПФП,
после интегрирования по t приводит к нахождению волновой функции стационарных состояний
Ф„ = е"^/^^)(П3.16)
с волновой функцией стационарных состояний фп^Ч^ зависящей от координат q и удовлетворяющей уравнению: Нф = Еф.
Определим стационарное состояние системы, отвечающее наименьшему возможному значению энергии как нормальное, или основное состояние системы. Какая-либо волновая функция Ф может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний:
= Ea"e"lEnt,nMqY
где |ап|2 — вероятности тех или иных значений энергии системы. Кроме того, координатное распределение вероятностей в стационарном состоянии определяется величиной | Фп 2 = Фп |2 и не зависит от времени. Отсюда, в частности, следует, что сохраняющаяся физическая величина /, для которой
/ = о, f = j Ф* f^ndq = j E'ndq = const,
с коммутативным по отношению к гамильтониану оператором / может быть измерена одновременно с энергией.
В случае непрерывного спектра имеем для волновой функции Ф :
Ф = j aEe"iEt^MqW,
гдег г
I Ф I2 = J ]аЕа*Е e^-^^^^q^E^dEdE,,
ое = а(Е) и интегралы берутся по всей области изменения энергии.
ПЗ.2.2. Матричное представление физических величин. Физические величины можно интерпретировать матричным представлением (В. Гейзенберг, 1925 г.). Ограничимся для определенности дискретным энергетическим спектром. Подставим разложение ф = Е„ «ПФП волновой функции Ф по волновым функциям Фп стационарных состояний в выражение (ПЗ.З) для / :
где fnm^ — элемент матрицы физической величины /, т. ч.
fnmX) =(П3.17)
Матричный элемент fnm(t) соответствует переходу из состояния т в состояние н.
Подставим зависимость (П3.16) в соотношение (П3.17). Тогда получим
fnm^ = fnme^.(П3.18)
где
Шпт = Е" ^Ет ' Кт = j ФиНт dq.
Здесь шпт — частота перехода между состояниями п и т, a fnm — не зависящая от времени матрица величины /.
Из соотношения (П3.18) имеем
fnm(f) — ^nm fnm(tf
Кроме того, (f*)nm = (ФтпУ- Отсюда для вещественных физических величин получим fnm = fmw такая матрица называется эрмитовой. Диагональный элемент /пп не зависит от времени, вещественней и представляет собой среднее значение величины / в состоянии фп.
С помощью формулы разложения
/ Фи —fmn Фт
можно получить известное правило умножения матриц. В самом деле, действуя на функцию фп произведением двух операторов /р, получим
Кд'Фп = / Т 9kn^k = 52 9knfih =кк
— 9кп fmk Фт —(/Фтп Фтч
к,тт
откуда следует
{fd^mn — ^ ^ fmk 9кп-к
При переходе от одной полной ортонормированной системы функций фпфф) к другой полной ортонормированной системе функций ДО?), т.е.
~~ 5 у ^тп
оператор S должен удовлетворять условию 5+ = S-1. Оператор, у которого сопряженный оператор совпадает с обратным, называется унитарным.
В новом представлении (относительно функций ф^) матрица оператора / совпадает с матрицей оператора /' = S-1 f S в старом представлении (относительно функций фп). Кроме того, унитарный оператор S представим в виде S = егК, где R — эрмитов оператор. Действительно, имеем: S^ = е-гд+ = е-гК = S-1.
П3.2.3. Операторы физических величин. Среднее значение т радиус а-вектор а г частицы с помощью вероятности ее нахождения определяется выражением
г = j rdP = г \^\2dq = j Ф* гФ dq,
откуда, сравнивая с операторным представлением г = f Ф* г Ф dq, получим г = г.
Сопоставление оператора кинетической энергии
с классическим выражением для кинетической энергии через импульс, т. е. Т = р2/(2m), позволяет предположить, что оператор импульса р должен быть пропорциональным /г V. На самом деле коэффициент пропорциональности между операторами р и V можно определить с помощью предельного перехода к классической механике; он равен — id, т. е.
_( д д д \, х
р^-гТО,—, —, — ,(П3.19)
\ох оу OZ у
откуда найдем вид операторов компонент импульса:
Эдд
Рх = -гН^, py = -ih—, pz = -ih—.(П3.20)
oxayaz
Легко показать, что оператор р (П3.19) эрмитов, а операторы трех компонент импульса (П3.20) коммутативны.
Для нахождения собственных функций и собственных значений оператора импульса надо воспользоваться векторным уравнением
— г7г\7ф = рф-
Тогда после соответствующей 5-нормировки (на пространственную трехмерную 5-функцию) получим собственные функции оператора р :
V-р = (2тгП)-3/2 е^^.
Можно показать, что оператор координат т в импульсном представлении определяется выражением
т = ih,Vp,т = ih,Vp,Vp —Vp —д д ддРх" дру' dpzд д ддРх" дру' dpz(П3.21)(П3.21)
т = ih,Vp,
т = ih,Vp,
Vp —
Vp —
д д д
дРх" дру' dpz
д д д
дРх" дру' dpz
(П3.21)
(П3.21)
Сравнение выражений (П3.19) и (П3.21) указывает на своеобразное присутствие ’’парности” операторов р и г, их непосредственную связь друг с другом. Классическая механика такой парности не обнаруживает. Важное исключение составляет гиперреактивная механика, где принцип полноты демонстрирует учет классического импульса и импульса, куда входит гиперреактивная составляющая, зависящая от разности координат точки и частицы: R(t) = r(f) — p(t) (см. часть II книги).
Зная вид операторов г и р. можно написать выражение для оператора момента импульса М. Другие названия этого оператора — оператор момента количества движения, оператор углового момента. В классической механике М = г х р. Имеем отсюда
М = г х р = — гК^т х V),
и как следствие получим выражения для операторов компонент углового момента:
Л $д\Г aд\
Мх = - гП [ у -г — , Му = - гК г ^ — , \ azay у\ axaz у
Mz = - гК ж у —- .
\ оу ох)
Отметим, что аналогия с классической механикой для получения операторов может быть использована не для всех физических величин. К примеру, спин такого классического аналога не имеет. Также как и четность, представляющая собой исключительно квантовомеханическую величину.
Известно, что гамильтониан замкнутой системы инвариантен по отношению к преобразованиям системы координат типа параллельного переноса, поворота и инверсии, которые означают соответственно однородность, изотропность пространства и симметрию пространства относительно зеркального отражения.
Рассмотрим подробнее преобразование инверсии, которое заключается в одновременном изменении направления (знака) всех осей координат на обратное; правая система координат дает левую и наоборот. При инверсии волновая функция ф(г) переходит в функцию ф^—гУ Этот переход является результатом действия на ф-функцию оператора инверсии Р :
Р<г) = <-гУ(П3.22)
Если подействовать на соотношение (П3.22) еще раз оператором Р, получим
Р2 ф(г) = ^(ry
откуда будет следовать, что Р2 = 1.
Для нахождения собственных значений Р оператора Р надо решить уравнение
Рф^г) = РффгУ(П3.23)
Из уравнения (П3.23) вытекает, что
Р2ф(г) = Р РффгУ
С учетом того, что Р2 = 1, Рффг) = РффгУ получим ф(г) = Р2 ф^гУ откуда Р2 = I и /} = = I.
Приходим, стало быть, к двум ситуациям: 1) Рффф = ф(г) и 2) Рффф = — ффф. В первой волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во второй — нечетной.
Инвариантность функции Гамильтона относительно инверсии в классической механике не приводит к новым законам сохранения. Инвариантность гамильтониана в нерелятивистской квантовой механике по отношению к инверсии, означающая коммутативность операторов Н и Р, приводит к закону сохранения четности. Имеется в виду, что четность состояния замкнутой системы не изменяется со временем. Обратим внимание на то, что с оператором инверсии Р коммутативен также оператор углового момента М = — Нг (г х V), т.к. при инверсии знаки у г и V изменяются одновременно, т. е. система имеет определенную четность вместе с вполне определенным значением М.
ПЗ.З. Уравнение Шредингера
Для нерелятивистской квантовой частицы, находящейся во внешнем силовом поле с потенциалом U = Щх, у, г, ty ее волновая функция Ф = Ф(ж, у, г, t) удовлетворяет уравнению (Э. Шредингер, 1926 г.)
вида
И2
1Н— =АФ + [7Ф,(П3.24)
at 2т
где А = V2 = Э2/Эж2 + Э2/Эт/2 + Э2/Э^2 — оператор Лапласа, т — масса частицы. Уравнение (П3.24) называют общим уравнением Шредингера или уравнением Шредингера, зависящим от времени.
В случае, когда потенциальная функция (потенциал) U не содержит явно времени и U = Ufay, z), тогда U имеет смысл потенциальной энергии. При этом условии решение уравнения (П3.24) с гамильтонианом Н (П3.13) может быть представлено в виде двух сомножителей
Ф(ж, у, z, t) = У,2) • ЛХ),(П3.25)
где функция ф(ж, у, z) зависит только от ж, у, z, а функция ЛХ зависит только от времени.
При подстановке выражения (П3.25) в уравнение (П3.24) придем к выводу, что <p(t) = ехр[ — (г/7ф Et], где Е — полная энергия частицы, постоянная в потенциальном силовом поле. Таким образом, выражение (П3.25) перепишется в виде
Ф(ж, у, z, t) = ф(т, у, z) • е-б/^)Et.(П3.26)
Имеем из соотношения (П3.26), что плотность вероятности обнаружения частицы в разных точках пространства равна | Ф |2 = | ф |2 и не зависит от времени. Состояния, которые описываются волновыми функциями (П3.26), поэтому называются стационарными.
Остается в соотношении (П3.26) определить функцию ф(ж,?/,г) стационарного состояния. С учетом выражений (П3.25), (П3.26) придем к так называемому уравнению Шредингера для стационарных состояний:
М + Г Е - Шх, у, z) 1 ф = 0.(П3.27) 2т
Если в уравнении (П3.27) положить U = 0, то получим уравнение Шредингера для свободной частицы:
— Аф + Еф = 0.(П3.28)
2т
Уравнению (П3.28) удовлетворяет функция
-ф = etikr,(П3.29)
Здесь к — волновой вектор, р — классический импульс частицы.
После подстановки формулы (П3.29) в выражение (П3.26) получим волновую функцию свободной частицы:
(ПЗ.ЗО)(ПЗ.ЗО)= e-№№).
(ПЗ.ЗО)
(ПЗ.ЗО)
Функция (ПЗ.ЗО) описывает плоскую волну с частотой ш = Е/К, Е — энергия частицы; соответствующую длину волны А = 2Ек/р называют де-бройлевской длиной волны частицы. В соотношении (ПЗ.ЗО), следовательно, заложена двойственная, корпускулярноволновая природа микрочастиц. Различие знаков (±) в выражении (П3.29) означает движение волны вдоль (+) направления вектора к и навстречу (—) вектору к.
Уравнение Шредингера для свободной частицы обладает общим решением
ф = о eikT + С2 е"гкг.
При Ci = С^ получим ф = A cos кг, а при Ci = — С^ получим ф — = В sin кг, т. е. имеем в двух случаях функции, описывающие стоячую волну.
Дадим понятие волнового пакета. Для этого при одномерном движении свободной частицы локализуем ее положение внутри промежутка Ат. По принципу неопределенности импульс частицы будет неопреде лен с точностью порядка к) Ат. По принципу суперпозиции из соотношения (ПЗ.ЗО) для р Е [ро — Ар, ро + Ар], где ро — некоторое определенное значение импульса, можно найти представление
Фо+Др
а(р) e-W^^-P^ dp =
(П3.31)(П3.31)РО-^Р гко+Ак
(П3.31)
(П3.31)
/ Ь(р) С ^-^ dk,
где w = Е (к, к = p/к. Написанная Ф-функция (П3.31) описывает группу волн (волновой пакет).
Важным представляется рассмотрение вопроса о предельном переходе в уравнении Шредингера к классической механике. Пусть имеется волновое уравнение (П3.24) для частицы в потенциальном силовом поле, где U = Д(т, р,г). Известно [191], что волновая функция имеет предельное выражение Ф = ae%s!Kгде пи S — вещественные величины, имеющие смысл амплитуды и механического действия соответственно.
При подстановке этого значения Ф в уравнение (П3.24) получим
Э8даагк А
а — гк ——I(VSVa Z\S —
dtdt2т2т
- — VSW^a^Ua = O,т2т
откуда после приравнивания к нулю вещественной и мнимой частей запишем систему уравнений
К2 ^a2таК2 ^a2та
К2 ^a2та
К2 ^a2та
§ + ^AS + -VSVa = 0.at 2т т
цы:цы:Первое уравнение этой системы в пренебрежении члена, содержащего К2, дает уравнение Гамильтона-Якоби для действия S части-
цы:
цы:
5 + Л (vs)2 + ^ = °,
at 2т
а второе уравнение приводит после домножения на 2а к уравнению непрерывности (неразрывности) относительно плотности вероятности а2 = | Ф |2 нахождения частицы в некоторой точке пространства:
da2/ 2 п
— + div (a2 ) = О,at х т
где величина а2 имеет ’’скорость перемещения”, равную г = VS/m = = р/т.
Рассмотрим далее наряду с понятием плотности вероятности нахождения частицы в различных точках пространства и такое понятие, как плотность потока вероятности. Для этого возьмем интеграл J | Ф |2с/У по некоторому конечному объему V. Этот интеграл представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме.
Найдем производную по времени от этого интеграла:
4 / ^|2dV=4 [ Ф*Ф</Г =
dt Jvdt.
у/ а»-<пз:,2>
= /- / (Ф Я* Ф* -Ф*ЯФ)Ж
Jv\dt ) A JvV
В соотношении (П3.32) воспользуемся выражением для гамильтониана (П3.13):
-- Ti2
Н = н^ =
2т
Тогда с помощью тождества
Ф АФ* - Ф* АФ = div (Ф VФ* - Ф* VФ)
получим следующую запись соотношения (П3.32):
4 / |Ф|2<7У = - / div з dV,(ПЗ.ЗЗ)
JvJv
где через вектор j обозначен вектор
(ФУФ* - Ф* УФ).
По теореме Гаусса-Остроградского объемный интеграл справа равенства (ПЗ.ЗЗ) можно заменить интегралом по поверхности С, ограничивающей объем V. Имеем, следовательно,
[ |ф|2^ = - / jdC.(П3.34)
tit JvJс
Из соотношения (П3.34) вытекает, что поверхностный интеграл определяет скорость убывания вероятности нахождения частицы в объеме V (вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет поверхность С) и поэтому представляет собой поток вероятности через поверхность С; вектор j отсюда может быть назван плотностью потока вероятности.
Ввиду произвольности выбора объема V из уравнения (ПЗ.ЗЗ) получим, что в каждой точке пространства должно выполняться условие, аналогичное стандартному уравнению непрерывности:
д I Ф I2
-^+div7 = 0.(П3.35)
Подобного рода уравнение, например, в электродинамике записывается в виде: ^p/^+divJ = 0, где р — плотность заряда, j — плотность электрического тока.
При подстановке в уравнение (П3.35) выражения для j найдем условие, накладываемое на Ф-функцию:
4L4L + 21 div (ф VФ* - ф* VФ) = о. (пз.зб)
О LZiTlL
Из соотношения (П3.36) следует, что волновая функция должна иметь непрерывную и конечную первую производную.
Из уравнения Шредингера непосредственно вытекает ортогональность волновых функций состояний с различной энергией. Обозначим через су и фт две такие волновые функции, которые удовлетворяют соответствующим уравнениям:
- — АД + и< = Е„С,
Дфт + 1}'фгп — Етлфт12т
где Еп ^ Ет. В этой системе умножим первое уравнение на ф^, а второе — на ф*. После вычитания одного уравнения из другого получим
Дп - Ет) ^m< = — « Мт - фт М*Л
ИЛИ
(Еп - Ет) фт< = — div « Уфт - Kb WnY
2т
Проинтегрируем это уравнение по всему пространству. Правая часть при переходе к поверхностному интегралу по теореме Гаусса- Остроградского будет равна нулю, откуда вытекает
(En-Em) j M>*ndV = O,
и далее, т.к. Еп ^ Ет^ получим стандартное условие ортогональности: / Ym^n ^И = 0.
П3.4. Простейшие типы движения в квантовой механике
Большой интерес представляет рассмотрение различных видов движения квантовых частиц и выяснение характерных особенностей, которые сопровождают эти движения. Ввиду ограниченности объема Приложения в § П3.4 вошли лишь наиболее ’’стандартизированные” виды движений. За разъяснениями по вопросам теории возмущений, теории излучения, теории рассеяния и многим другим специальным вопросам квантовомеханического движения отсылаем к обширной физической литературе, ориентировочный список которой был указан ранее.
ПЗ.4.1. Движение в однородном силовом поле. Пусть движение частицы происходит под действием силы F вдоль оси х. Потенциальная энергия частицы в однородном поле равна U = —Fx, U(0) = 0.
Уравнение Шредингера тогда принимает вид
+ ^ (Е + Fx) = 0.(П3.37)
Имеем: U ± сю при х ^сю, откуда следует, что уровни энергии непрерывным образом заполняют весь интервал значений (—сю, +оо).
В известном курсе [191] предлагается сделать переход к безразмерной переменной
Е\ /2тГ\1/3
(П3.38)(П3.38)и записать уравнение (П3.37) в виде
(П3.38)
(П3.38)
^(е = лФН),^(е = лФН),Уравнение (П3.38) разрешимо при всех конечных ж в классе функций Эйри
^(е = лФН),
^(е = лФН),
(П3.39)
где Л — нормирующий множитель, Ф(£) — функция Эйри вида
ФЮ =ФЮ =и3у + И?) du.и3у + И?) du.
ФЮ =
ФЮ =
и3
у + И?) du.
и3
у + И?) du.
Задача определения волновых функций ф(р) в импульсном представлении для движения частицы в однородном внешнем силовом поле также может быть благополучно решена, если гамильтониан записать в импульсном виде:
H=E~ihF^-
Тогда уравнение Шредингера для волновой функции ф(р) запишется какТогда уравнение Шредингера для волновой функции ф(р) запишется как2т ар
Тогда уравнение Шредингера для волновой функции ф(р) запишется как
Тогда уравнение Шредингера для волновой функции ф(р) запишется как
dtb/ р2\
-гПЕ^Чф = 0.
ар\ 2т/
Волновое решение этого уравнения
= VSF ехр
" гр (р2
hl \от
нормировано (на 5-функцию от энергии) условием
Z
+oc
согласно общему правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра.
ПЗ.4.2. Движение в потенциальной яме. Рассмотрим одномерное движение в прямоугольной потенциальной яме, т. е. в потенциальном поле с функцией U^ : U(x) = 0 при х Е (0, a); U(x) = Uq при х ^ (0, а). Имеем дискретный спектр при Е < Uq и непрерывный спектр двукратно вырожденных уровней при Е > Uq. Выпишем соответствующие уравнения Шредингера.
Когда х Е (0, а) :
Е. = О(ПЗ 40)
dx2 К
Когда х (0, а) :
(П3.41)(П3.41)сР'ф 2т , _ х
(П3.41)
(П3.41)
В точках х = 0, х = а решения уравнений (П3.40) и (П3.41) должны переходить друг в друга гладко. Кроме того, решение уравнения (П3.41) должно удовлетворять условиям |ф(±сю) | < ос и в случае дискретного (при Е < Uq) спектра ф(±оо) = 0.
Пусть Е < Uq. Имеем решение уравнения (П3.41) при х ^ (0, а) :
Д О- = V2mXo Е),
где ц — постоянная, а знаки ” — ” и ” + ” отвечают промежуткам х > а и х < 0 соответственно. При этом вероятность |ф |2 нахождения частицы в области экспоненциально убывает в глубь этой области. В случае требования непрерывности (гладкости) ф и dliYi[)/dx на границе потенциальной ямы имеем краевое условие
(П3.42)(П3.42)1 б/ф ф dx
(П3.42)
(П3.42)
Изучим далее случай, когда Uq = сю при х ^ (0, а) и Uq = 0 при х Е (0, а), т. е. случай движения частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. По условию задачи частица не проникает за пределы потенциальной ямы (с бесконечно высокими ’’стенками”), и поэтому вероятность ее обнаружения (а также и волновая функция) вне ”ямы” равна нулю. Следовательно, граничные условия на ф-функцию имеют вид
(П3.43)(П3.43)ф(0) = ф(бф = 0.
(П3.43)
(П3.43)
Условие (П3.43) вытекает также из общего условия (П3.42):
Uq СЮ (7 СЮUq СЮ (7 СЮ1 б/ф ф dx1 б/ф ф dxсю =^> ф 0сю =^> ф 0
Uq СЮ (7 СЮ
Uq СЮ (7 СЮ
1 б/ф ф dx
1 б/ф ф dx
сю =^> ф 0
сю =^> ф 0
ввиду ограниченности величины d^/dx.
Уравнение Шредингера (П3.40) можно записать в виде
d2!) т ~79 2тЕ
где к — волновое число. Тогда его общее решение
^(х) = A cos кх + В sin кх
с постоянными А и В дает с учетом граничных условий (П3.43), что А = 0, В + 0,
ф(т) = В sin кх.
Принимая во внимание условие (П3.43) ^(а) = 0, получим отсюда, что sin/ca = 0, т.е. ка = тт, где п — целые числа. Имеем
2я7гп2а
Т ~ ч V/ — ч Апап
а это значит, что на ширине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.
Таким образом, получим следующие уровни энергии частицы (собственные значения энергии Еп) в потенциальной яме бесконечной глубины:
Еп--^ч п=1,2, ...П3.44
Квантованные (дискретные) значения Еп называются уровнями энергии. Числа п, определяющие энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называются квантовыми числами, конкретное число п — главным квантовым числом.
При подстановке в выражение ^(х) = Bsiivkx значения к = тт/а, найдем собственные функции
ТХТ1Хгрп^Х) = В sin,а
где постоянная интегрирования В может быть найдена из условия нормировки
В2 / sindx = 1. Jo Cl
В результате найдем В = ^/2/а. Нормированные волновые функции стационарных состояний тогда определяются формулой
■фпОО = \А sin^^.(П3.45)
V а а
Пользуясь полученными соотношениями (П3.44), (П3.45), можно найти уровни энергии и собственные функции для частицы, осуществляющей трехмерное движение в потенциальном параллелепипеде с U = 0 при х Е (0, а), у Е (О, Ер % Е (0, с) и U = сю вне этой области. Имеем
7Г2Й2 /П2/2S2\,, „
Enis Q I 9 + L9 +2 ) ’^’ ’
2т \ а2 о2 с2 /
а соответствующие нормированные волновые функции задаются выражением
■0пь(ХуД =■0пь(ХуД =/ 8™тт1уksz
■0пь(ХуД =
■0пь(ХуД =
\ —— sin• sin —— • sin.
V аос а о с
Отметим, что из формулы (П3.44) вытекает следующее соотношение для энергетического интервала между соседними уровнями:
^Еп — Еп^ — Еп^Еп — Еп^ — Епtt2Tl2 (2n + 1)тг2Тг2п
^Еп — Еп^ — Еп
^Еп — Еп^ — Еп
2та2та2
Хорошо видно, что при больших квантовых числах, когда n ^> 1, энергетические уровни располагаются настолько близко друг к другу, что энергетический спектр можно считать практически непрерывным (говорят — квазинепрерывным). В самом деле, при n ^> 1 получим
^Еп _ 2 хEn п '
Отсюда следует, что АЕП <^ ЕП1 и квантование энергии при больших квантовых числах сглаживается. Законы квантовой механики в этом случае переходят в законы классической физики (принцип соответствия Бора).
Надо обратить внимание также и на то, что при движении в потенциальной яме бесконечной глубины частица обладает согласно формуле (П3.44) минимальной энергией: Bmin = Е^ = к2К2)^2та2у То, что Ei ^ 0, вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Ат частицы в яме шириной а равна Ат = а. Неопределенность импульса Ар ~ К)а. Такому значению Ар отвечает кинетическая энергия Е аз (Ар)2/(2т) = й2 / (2та2).
П3.4.3. Движение сквозь потенциальный барьер. Пусть падающая частица двигается слева направо вдоль оси х в поле сил, которые можно представить в виде потенциального барьера прямоугольной формы с высотой Uq и шириной а : U(x) = Uch х Е
Е (0, a); U^ = О, ж ^ (О, а\ Классическая частица с энергией Е либо пройдет над барьером (при Е > Ко), либо отразится от него (при E<U0\
Квантовая частица в обоих случаях может с отличной от нуля вероятностью отразиться от барьера (при Е > Ко) или проникнуть сквозь барьер (при Е < U^. Эти на первый взгляд неожиданные выводы следуют из соответствующих решений уравнения Шредингера:
-ЛА + к^-фг = О, г = 1,2,3,
с общими решениями
х < О,О < х < а,х > а,х < О,О < х < а,х > а,= eiklX + В1е-гк1Х, М0 = Аг Л2Ж+ В2е"гк2Ж, М=Мз eik»x+ Взе"№зЖ,
х < О,
О < х < а,
х > а,
х < О,
О < х < а,
х > а,
где к^ = kj = 2тЕ/Н2, к^ = 2т (Е — Ко)/7г2.
При х < 0 полная волновая функция Ф(гК) = ф(г) exp (—iEt/E) имеет вид
ФД, 0 = ^Д) e"iEt^ = Аг e-^^W-px^ + By
где р2 = kyh2 = 2тЕ. Здесь первое слагаемое представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси ж; она соответствует частице, которая двигается в сторону барьера. Второе слагаемое представляет волну, распространяющуюся в обратном направлении; она соответствует частице, которая отразилась от барьера.
При х > а имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся в положительном направлении оси х. Поэтому коэффициент Вз = 0.
При х Е (0, а), когда Е < Uq, законы классической физики не разрешают частице пройти сквозь барьер. В рассматриваемом случае к^ = га — мнимое число, где а = л^2т (Ко — Е^)Е Таким образом, можем записать решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:
-фу (ж) = Л, eikx + By e"ikx,х < 0,
М0 = А^-^В^е016,0 < ж < а,
^(ж) = Аз егкх,х > а, к = ку = кз.
Здесь коэффициенты Ai, Bi, А2, В2, Аз определяются из условий непрерывности функций фг(^) и с^М^)/dx в точках х = 0, х = а :
V-i(o) = <Ы0),
Ni dx
_ #2
Ж=0
ж=0
^2(0) = ^з(а),
#2 dx
= #3
Функция ^2 (ж), х Е (0, а), не описывает плоские волны, бегущие в разные стороны, ведь показатели степеней у экспонент уже действительные величины. Кроме того, в важном частном случае, когда аа ^> 1 (высокий и широкий барьер), коэффициент В2 ~ 0. Функция фз(т), х > а, дает волну де Бройля той же частоты, что и ^(x), но меньшей амплитуды.
Качественный анализ волновых функций фг(ж) позволяет утвер
ждать, что микрочастица имеет отличную от нуля вероятность прохождения (’’просачивания”) сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Итак, квантовомеханическое описание движения частиц через потенциальный барьер приводит к принципиально новому, квантовому явлению, так называемому туннельному эффекту, связанному с наличием у частиц волновых свойств.
Для характеристики туннельного эффекта применяют понятие коэффициента прозрачности (коэффициента прохождения) D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Результатом будет выражение D = | А3/А1 |2.
Коэффициент прозрачности для прямоугольного потенциального барьера с высотой Uq и шириной а задается формулой
D < 1,D < 1,(П3.46)(П3.46)/ 2а У2т((/О -5)\
D < 1,
D < 1,
(П3.46)
(П3.46)
D = Dq exp- ,
\/
где т — масса частицы, Е — энергия частицы, Do — постоянный множитель, близкий единице. Из формулы (П3.46) вытекает, что чем больше ширина а барьера, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.
Если потенциальный барьер имеет сложную форму, то тогда с учетом квазиклассического приближения о допущении приемлемой гладкости барьерной кривой имеем
— Е ] dx I,— Е ] dx I,D = Dq exp
— Е ] dx I,
— Е ] dx I,
где ад и ад — координаты границ потенциального барьера U(x\
Заметим, что когда линейные размеры потенциального барьера имеют сопоставимый порядок с атомными размерами, то тогда прозрачность барьера становится столь значительной, что можно говорить о влиянии туннельного эффекта. Очевидно также, что прозрачность барьера уменьшается с увеличением значений т и Uq — Е.
И последнее. Парадоксальность туннельного эффекта в свете классических представлений находит свое квантовомеханическое объяснение. Просачивание частицы сквозь потенциальный барьер по канонам классической механики при Е <Uq невозможно, но возможно согласно соотношениям неопределенностей. Неопределенность импульса Ар на отрезке Ат = а составляет Ар > И) а. Этот разброс значений импульса соответствует кинетической энергии (Ар)2/(2m), которой может быть достаточно, чтобы полная энергия частицы превысила потенциальную.
ПЗ.4.4. Линейный гармонический осциллятор. Линейный гармонический осциллятор — это частица, совершающая одномерные малые колебания под действием квазиупругой силы F = —кх вдоль оси х с собственной циклической частотой ш; к = mV\ т — масса частицы. Потенциальная энергия частицы равна
ДЖ) =ДЖ) =тш2х22тш2х22
ДЖ) =
ДЖ) =
тш2х2
2
тш2х2
2
т. е. создает потенциальную яму параболического типа. Соответствующий гамильтониан осциллятора равен
р2 тш2х2
Поскольку [7(±оо) = +сю, то движения осциллятора ограничены и он имеет дискретный энергетический спектр.
У классического осциллятора амплитуда малых колебаний задается его полной энергией Е. В точках ±ттах = Еа полная энергия Е равна ее потенциальной энергии: Е = [7(a) = [7(—а), где а — амплитуда колебаний. С классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (—а, +а). В противном случае потенциальная энергия была бы больше полной, что не допустимо. Итак, классический осциллятор находится внутри потенциальной ямы с границами (-а, +а).
Квантовый осциллятор описывается с помощью стационарного уравнения Шредингера. С учетом выражения для U(х) получим
с/2ф 2m dx2 + П2с/2ф 2m dx2 + П2тш2х22тш2х22ф = 0.ф = 0.(П3.47)(П3.47)
с/2ф 2m dx2 + П2
с/2ф 2m dx2 + П2
тш2х2
2
тш2х2
2
ф = 0.
ф = 0.
(П3.47)
(П3.47)
Решения уравнения (П3.47) дают семейство собственных волновых функций:
й \х
■фп(х) = —— ехр - — Н^Ф С = —,V^o\ 2 уто
где
Ж° V ты’ пЛк АЛ ’
Яп(^) — полином Чебышева-Эрмита п-го порядка. Нулевое значение волновой функции называется ее узлом. Число узлов функции су равно квантовому числу п. Волновая функция нормального состояния выглядит так:
, z х / тш \\
=ехрт ,
уак jу zn, у
т. е. не имеет узлов при конечных значениях х.
Уравнение (П3.47) имеет решение при собственных значениях энергии Еп :
En = (п + 1/2)Псщ п = 0,1,2,...(П3.48)
Согласно формуле (П3.48) энергия квантового осциллятора принимает дискретные, квантованные значения. Семейство величин Еп (П3.48) представляет собой совокупность равноотстоящих друг от друга энергетических уровней. При n ^> 1, т. е. когда п + 1/2 аз п, энергетические уровни (П3.48) совпадают с уровнями квантованной энергии Еп = нКш в теории излучения абсолютного твердого тела Планка.
Минимальное значение энергии при п = 0 называется нулевой энергией или энергией нулевых колебаний Eq = йш/2. Согласно классической физике и теории Планка Eq = 0, т. е. осциллятор в этом случае (при температуре абсолютного нуля) не колеблется. В квантовой механике наличие Еп ф 0 означает, что частица не может находиться на дне потенциальной ямы (даже при температуре абсолютного нуля). В противном случае импульс частицы вместе с его неопределенностью обращались бы в нуль, а это противоречит выполнению соотношений неопределенностей.
Не равная нулю вероятность обнаружения квантового осциллятора на промежутке [ж, х + dx^ равна |фп(^) |2^ж. Отсюда следует возможность просачивания квантового гармонического осциллятора, обладающего волновыми свойствами, за пределы классически дозволенной области | х | < ттах, ограничивающей потенциальный барьер.
Приложение 4
Введение в ядерную физику
Это справочное приложение представляет собой совокупность некоторых основных сведений по ядерной физике в достаточно простом изложении. При жестком отборе материала среди множества учебной, специальной и справочной литературы (см., например, книги [2, 46, 48, 138, 159, 236, 237, 243, 291, 292, 294, 303, 315, 341, 352, 355, 379, 397, 402, 412, 416, 417]) упор прежде всего делался на регистрацию фундаментальных принципов и приоритетных свойств объектов, изучением которых занимается данная физическая наука.
Ядерная физика в самом широком ее понимании исследует строение атомных ядер, особенности ядерных сил, законы превращения ядер при ядерных реакциях и распаде, а также их взаимодействия с другими ядрами и частицами. Узловые моменты ядерной теории, конечно же, необходимы для более полного понимания обсуждаемых в третьей части книги вопросов, связанных с механической реализацией гиперреактивного движения с помощью разработанного ’’инструмента” его осуществления в виде цепных ядерных реакций деления во внешних направленных электромагнитных полях. Электромагнитные тороидальные вакуумные ядерные генераторы, в недрах которых как раз и происходят эти управляемые ядерные реакции на быстрых нейтронах, могут рассматриваться как своеобразный слепок с лазерных квантовых генераторов в области производства и поддержания сверхвысоких значений ядерной и электромагнитной энергий.
В § П4.1 помещены сведения о стабильных атомных ядрах и ядерных силах. Рассматриваются вопросы энергетического расщепления ядра, описываются некоторые ядерные модели, спин ядра и его магнитный момент. Приводится статистика коллектива частиц и понятие четности волновой функции. Обсуждаются основные особенности ядерных сил и мезонной теории этих сил.
В § П4.2 собраны сведения о радиоактивном распаде. Данный материал сконцентрирован вокруг закона радиоактивного распада и свойствах о-, /3-распада и у-излучения.
Следующий § П4.3 знакомит с важными закономерностями ядер- ных реакций, в частности здесь дается классификация ядерных реакций и обсуждаются законы сохранения в них. Рассматриваются механизмы ядерных реакций.
§ П4.4 посвящен элементам нейтронной физики как важнейшей составной части ядерной физики. Описываются свойства нейтрона и вызванные ими ядерные реакции. Завершает параграф обзор параметров процессов замедления и диффузии нейтронов, играющих значительную роль в конструктивных расчетах ядерных энергетических установок.
Наконец, § П4.5 отведен описанию процесса деления атомных ядер. Сюда вошли данные по нейтронам деления и другим продуктам распада, их энергетическому обеспечению. Рассмотрены также механизм деления на основе капельной модели ядра, особенности деления тяжелых ядер и выделены некоторые свойства зарядового распределения продуктов ядерного распада. В заключение приводится раздел о цепной ядерной реакции деления и соответствующих кинетических характеристиках.
П4.1. Ядра и ядерные силы
Любой атом состоит из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной электронной оболочки (Э. Резерфорд, 1906 - 1912 гг.).
П4.1.1. Предварительные сведения о ядре. В атомном ядре заключена практически вся (порядка 95,95 %) масса атома. Ядра представляют собой чрезвычайно малые и весьма прочные материальные образования. Они имеют размеры примерно 10“12 - 10“13 см, причем размеры самого атома характеризуются величиной порядка 10-8 см. В ядерной физике масса ядра (атома) измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.): 1 а.е.м. = 1,66 • 10—24 г = 1/Na, где Na = 6, 022045 • 1023 моль-1 — число Авогадро.
Атомное ядро состоит из элементарных частиц — протонов и нейтронов (Е.Н.Гапон, Д.Д. Иваненко, В. Гейзенберг, 1932 г.). Протон (р) имеет положительный электрический заряд, равный заряду электрона. Заряд q электрона равен qe = —е, где
е = 1,6 • 10-19 Кл = 4,8 • 10-10 СГС,
здесь Кл = кулон, СГС = СГС единиц заряда, т. е. заряд протона qp = + е. Масса протона тр = 1,6725 • 10-24 г = 1836,15 те =
= 938,28 МэВ = 1,0073 а.е.м., где те = 9,1095 • Ю"28 г = 0,511003 МэВ — масса электрона, МэВ = мегаэлектронвольт.
Нейтральная частица нейтрон (п) с зарядом qn = 0 имеет массу покоя тп = 1, 6749 • 10-24 г = 1838, 6 те = 939, 6 МэВ = 1, 00898 а.е.м.
Протоны и нейтроны называются нуклонами. Общее число нуклонов в атомном ядре (протонов и нейтронов) обозначается через А и называется массовым числом. Протоны и нейтроны удерживаются в ядре за счет действия особых, очень интенсивных так называемых ядерных сил, являющихся частным случаем сильных взаимодействий. Поскольку атом электрически нейтрален, то это означает, что число протонов в ядре атома равно числу электронов в атомной оболочке, т. е. атомному номеру Z (порядковому номеру химического элемента в периодической таблице Менделеева). Число Z называется также зарядовым числом ядра, т. е. атомное ядро имеет заряд, равный Ze. Если обозначить через N число нейтронов в ядре, то имеем равенство: А = Z + N.
Ядро обозначается символом ^Х, где X — символ химического элемента (отметим, что в литературе часто используется обозначение типа zXA\ Протон и нейтрон могут быть в этих обозначениях записаны соответственно ^р и ^п. В частности, протон в качестве ядра атома водорода имеет обозначение ^Н, а альфа-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов (ядро атома гелия), может быть обозначена в виде ^Не. Ядра с одним и тем же Z, но разными А (т. е. с разным количеством нейтронов N) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z — изобарами.
Несколько слов о законе сохранения барионного заряда, который имеет место наряду с законом сохранения электрического заряда. Согласно этому закону каждой частице можно приписать некоторое целочисленное значение барионного заряда таким образом, что алгебраическая сумма барионных зарядов всех частиц будет постоянной вне зависимости от происходящих процессов. К примеру, барионные заряды электрона и у-кванта равны нулю; барионные заряды протона и нейтрона равны единице. Следовательно, массовое число А определяет барионный заряд ядра. Этот закон обеспечивает стабильность атомного ядра и запрещает энергетически выгодные превращения частиц.
П4.1.2. Дефект массы и энергия связи ядра. Энергия, которую необходимо затратить для расщепления ядра на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра Есв- Согласно формуле Эйнштейна полная энергия ядра равна Е = Мс2. Точные масс- спектрометрические измерения показывают, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов.
Масса ядра М = Мя определяется соотношением
Мя = Zmp + (Л — Z) mn — АМ,(П4.1)
где тр,тп — массы протона и нейтрона соответственно. В формуле (П4.1) величина АМ называется дефектом массы ядра и представляет собой разность между суммой масс нуклонов и массой ядра. Величина АМ характеризует энергию связи этих нуклонов в ядре (энергию, необходимую для разделения данного ядра на образующие его нуклоны).
Поскольку обычно измеряют не массу ядра Мя, а массу атома Ма (отличие их состоит в массе электронов), то имеем
Ма = ZMH + (Л - Z)mn- АМ,(П4.2)
где Мн = тпр + те — масса атома водорода, те — масса электрона. В этом выражении (П4.2) учтено равенство числа электронов в атоме и числа протонов в ядре, а также чрезмерная малость энергии связи электронов в атоме по сравнению с энергией связи ядра.
Энергия связи нуклонов в ядре определяется формулой
Есв = [ Zmp + (Л — Z) mn — Мя ] с2(П4.3)
и может быть получена из общей формулы для энергии связи системы из к частиц в виде затрачиваемой работы для разложения этой системы на г составляющих ее частиц:
к
Есв = Z moi ^ос2,
г=1
где mot — масса покоя г-ой частицы в свободном состоянии, Mq — масса покоя системы, состоящей из к частиц. Из соотношений (П4.1), (П4.3) хорошо видно, что ЕСв = АМ • с2 = АЕ, т. е. энергия связи представляет собой разность суммарной энергии составляющих ядро частиц и энергии самого ядра. Кроме того, пользуясь выражением (П4.2), можем написать также
Есв = VZMh + (А - Z)mn- М&] с2.
Чтобы выяснить характер устойчивости (прочности) ядер, используют понятие удельной энергии связи 5 Есв, дающей представление о средней энергии связи одного нуклона в ядре: чем больше 6 EqB, тем устойчивее ядро. Эта величина записывается в виде отношения
х Есв АМ • с2
6БСВ = — = —
где А — массовое число. Для легких ядер (Л < 12) 5 ЕСв резко возрастает до 6 Д 7 МэВ, например, б ЕСв = 1,1 МэВ для ^Н, б ЕСв = = 7.1 МэВ для ^Не. Затем происходит замедленный рост до максимальной величины 8,7 МэВ у элементов с Л = 50 4- 60. Далее следует уменьшение у тяжелых элементов, например, для ^^U величина б Есв = 7,6 МэВ.
Итак, можно сделать вывод о том, что тяжелые и легкие ядра менее устойчивы, т. е. энергетически выгодны процессы деления тяжелых ядер на более легкие и слияние легких ядер в более тяжелые. В частности, уменьшение б ЕСв У тяжелых элементов связано с тем, что с ростом числа протонов в ядре растет энергия их кулоновского электростатического отталкивания.
П4.1.3. Полуэмпирическая формула Вайцзеккера. Первой моделью ядра была так называемая капельная модель (Н. Бор, Я.И. Френкель, 1936 г.), основанная на аналогии поведения нуклонов в ядре и молекул в капле жидкости. Ядрам присущи постоянная плотность, не зависящая от числа нуклонов в ядре, и почти постоянная удельная энергия связи. Эти же свойства характерны и для жидкости: жидкость практически несжимаема, ее плотность постоянна и энергия отделения для жидкости соответствует теплоте испарения, которая также почти постоянна.
Согласно капельной модели ядро представляет собой электрически заряженную каплю несжимаемой ядерной жидкости, подчиняющуюся законам квантовой механики. С помощью этой модели смогли объяснить механизм ядерных реакций, реакции деления ядер, функциональные закономерности энергии связи нуклонов в ядре. Энергия связи ядра определяется с помощью полуэмпирической формулы Вайцзеккера, которая может быть получена из аппроксимации ядра двухкомпонентным раствором протонов и нейтронов.
Обозначим через о среднюю энергию связи одной частицы внутри ядра. Тогда в соответствии с выражением (П4.4) можем записать, что
Есв аз аА. (П4.5)
Но это приближение верно лишь тогда, когда считается, что поверхностные нуклоны равноценны внутренним, чего на самом деле нет: поверхностные нуклоны легче удалить из ядра, т.к. они притягиваются остальными только с внутренней стороны ядра. Поэтому Есв будет меньше значения аА на величину, пропорциональную поверхности шаровидной капли, точнее на величину поверхностной энергии Ест = 4тгЯ2(т, где а = 1020 эрг/см2 — поверхностная энергия, отнесенная к 1 см2 и численно равная поверхностному натяжению ядерной жидкости (для сравнения у воды ст = 102 эрг/см2).
Радиус ядра задается эмпирической формулой R = Яо^1^3? До = = (1, 3-F1, 7)-10-13 см. Здесь неоднозначность величины R можно объяснить размытостью границы ядра. Из этой формулы следует, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре и что плотность ядерного вещества практически одинакова для всех ядер (примерно равна 1014 г/см3). Таким образом, учитывая энергию поверхностного натяжения, можно уточнить величину энергии связи (П4.5):
Scb = аА- РА2/3,
где /3 = 4тг ст Дд.
Далее следует уменьшить Дев на величину электростатической энергии за счет кулоновского отталкивания протонов в ядре. Эта энергия, обусловленная кулоновским взаимодействием Z протонов, пропорциональна Z (Z — 1) ^ Z2 и обратно пропорциональна радиусу ядра R = До^1^3- Поэтому
Есв = аА — 0А2/3 - 7ZM"1/3
для некоторого коэффициента пропорциональности у.
Продолжая уточнение выражения для Дев? следует учесть наличие максимальной устойчивости легких ядер, когда N = Z (число нейтронов и протонов совпадает). Этому наилучшим образом соответствует так называемый изотопический член, пропорциональный (Д — Д)2Л-1, т. е. можем написать на этом шаге оценивания:
Есв = а А - /ЗЛ2/3 - 7Е2Л"1/3 - ЦА^ - Z)2 Л"1,
где С, — коэффициент пропорциональности. Отметим, что для тяжелых ядер максимальная устойчивость достигается при N > Z и связана с кулоновским отталкиванием протонов, причем минимум суммы двух последних слагаемых уД2Л-1/3 + £ (Д — Z)2 Л-1 достигается как раз при Д > Z. Таким образом, написанная выше формула верна как для легких ядер, так и для тяжелых.
Однако полученная зависимость для ДСв не является полной. К величине ДСв надо добавить еще одно слагаемое — спиновый член, характеризующий тот факт, что ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов: одинаковые нуклоны в ядре ’’спариваются”. Эта дополнительная энергия (/Дев называется энергией спаривания и за счет нее энергия связи возрастает в среднем на 2-3 МэВ. Эта поправка имеет вид
{
А, для четно-четных ядер (четные Z, четные Д, нуль неспаренных нуклонов), — А, для нечетно-нечетных ядер (нечетные нечетные Д, два неспаренных нуклона),
где эмпирически установлено, что А = 12 А МэВ.
Итогом всех этих приближений служит формула Вайцзеккера
ЕСв = <М - /ЗЛ2/3 - 7^2Л"1/з -(^N - Zf Л"1 + dECB, (П4.6) где опытным путем были найдены следующие значения коэффициентов: о = 15, 75 МэВ, fl = 17, 8 МэВ, у = 0, 71 МэВ, С = 23, 7 МэВ.
С помощью формулы (П4.6) можно вычислять довольно точно массы ядер и их полную энергию (см. также формулу (П4.3)):
Е = Me2 = [ Zmp + (А — Z) тп ] с2 —
-аА + РА2/3 + 7Я2Л"1/3 + С (N - Z)2 Л"1 - dECB.
Отметим, что два последних члена формулы (П4.6) никак не следуют из капельной модели ядра. Вместе с тем формула Вайцзеккера позволяет понять зависимость 5ЕСВ от Л в формуле (П4.4) и роль шаровых поверхностных эффектов. Эта роль возрастает при уменьшении ядра (легкие ядра, чьи нуклоны находятся на поверхности, менее устойчивы). При увеличении ядра с ростом А (и ростом Z) электростатическая энергия отталкивания протонов растет, а энергия связи уменьшается (т. е. после определенной стабилизации ядер будет происходить потеря устойчивости у тяжелых ядер).
Помимо капельной модели широкую известность получила и оболочечная модель ядра (М. Гепперт-Майер, X. Йенсен, 1949 - 1950 гг.), основанная на принципе распределения нуклонов в ядре по дискретным энергетическим уровням, своего рода оболочкам. Такое описание связывает устойчивость ядер с заполнением этих уровней. Оболочечная модель позволяет объяснить спины, магнитные моменты ядер, их устойчивость, изменение многих свойств. Кроме упомянутых двух моделей известны обобщенная, оптическая и многие другие ядерные модели.
П4.1.4. Спин ядра и его магнитный момент. Явление сверхтонкой структуры атомных спектров, когда происходит расщепление спектральных линий, можно объяснить наличием у атомных ядер собственного момента количества движения (спина) и магнитного момента (В. Паули, 1924 г.). Такое расщепление происходит в результате взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным полем электронной атомной оболочки; при разных ориентациях спина ядра оно будет различно.
В свою очередь спин ядра векторно складывается из спинов нуклонов и из орбитальных моментов импульса нуклонов внутри ядра. За единицу спина принимают постоянную Планка К = /г/(2тг). Поскольку К имеет размерность момента количества движения, то момент частицы выражают в единицах К.
Спин ядра /я (полный момент ядра) квантуется по закону
| /я I = й vWTl),
где | • | — абсолютная величина спина, I = 0, 1/2, 1, 3/2, ... — спиновое ядерное квантовое число. Ядра с четными А имеют целые 7, с нечетными — полуцелые I. Спины протона и нейтрона, подобно электрону, равны 1/2 (1/2 7г).
Имеем согласно правилу сложения моментов в квантовой механике, что
I =SU-1, ... , \S-LV
где S — суммарное спиновое квантовое число нуклонов, L — суммарное орбитальное квантовое число нуклонов.
Атомное ядро обладает также магнитным моментом ця? характеризующим взаимодействие ядра с однородным внешним магнитным полем
Мл — д^
где д — ядерное гиромагнитное отношение. Единицей магнитных моментов ядер служит ядерный магнетон
до = аз 5,05 • 10-24 эрг/Гс,2трс
где тр — масса протона. Ядерный магнетон в тр/те аз 1836 раз меньше магнетона Бора для электрона и поэтому магнитные свойства атома определяются в основном магнитными свойствами его электронов.
Магнетон Бора (магнитный момент электрона) де = edj^meC^ аз аз 0,927 • 10-20 эрг/Гс. Магнитный момент нейтрона равен дп = = — 1,91цо ~ — 0,95 • 10-23 эрг/Гс, собственный магнитный момент протона больше ядерного магнетона: др аз 2,79цо- Все это свидель- ствует о том, что эти частицы обладают сложной неоднородной структурой.
Если атом находится во внешнем магнитном поле, то магнитный момент ядра Ця будет взаимодействовать с магнитным полем Не электронной оболочки и с внешним магнитным полем Н. Энергия этого взаимодействия будет равна
Е = - Дя (Не + Я) = - д!я (Не + Я).
Отсюда следует, что при наличии сильного внешнего поля Я, т. е. когда выполняется ограничение ряНе <С деН, где де — магнитный
момент электронной оболочки атома, можно пренебречь магнитным взаимодействием ядра и электронной оболочки.
Еще одно замечание. Кроме магнитных моментов многие ядра обладают также и квадрупольными электрическими моментами, зависящими от распределения заряда в ядре. Квадрупольный момент возникает вследствие нарушения сферической симметрии распределения зарядов.
П4.1.5. Статистика частиц и четность волновой функции. Коллектив частиц данного типа обладает статистическими свойствами, связанными со спином частиц. Эти свойства в совокупности называются статистикой. Наличие статистики обусловлено принципом неразличимости (одинаковости всех свойств) частиц данного типа и вероятностным характером квантовомеханического описания состояния этих частиц.
Состояние системы из п частиц согласно квантовой теории описывается имеющей смысл амплитуды вероятности волновой функцией ФШ1т2...Шта (щ, ...,гп), где щ, ...,rn — координаты, mi, ...,тп — проекции спинов частиц. При перестановке любых двух одинаковых частиц волновая функция остается либо неизменной (симметричной), либо меняет знак (антисимметричной). Это свойство частиц в отношении перестановок как раз и называется статистикой.
В первом случае говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна:
Фm-vm-^.-.m-n U1,T2, ...,Гп) = Фm,2mi ...тп Ь^П., -,Гп),
а сами частицы называются бозе-частицами или бозонами. Во втором случае, когда
^ mim2...mn (ч ? ^2 ? • • • ? ^n) “ ^m2mi ...тп ^2Hli'"4n)i
речь идет о ферми-частицах или фермионах, т. е. о частицах, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака.
Спин частицы определяет ее статистику. Частицы с целым спином, включая и нулевой, являются бозонами (у-кванты и др.); частицы с полуцелым спином являются фермионами (нейтроны, электроны, протоны, ядра с нечетным числом нуклонов и др.).
Для коллектива связанных фермионов справедлив принцип Паули: в одном и том же состоянии может находиться не более одной частицы. Для бозонов принцип Паули места не имеет: в одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых бозе- частиц.
Четность волновой функции Ф(ч,..., rn\ описывающей состояние п частиц, является фундаментальной квантовой характеристикой системы. Если волновая функция не меняет свой знак при инверсии
всех координат г — г, т. е. при их зеркальном отражении относительно нуля, то состояние системы называют в этом случае четным и обозначают Р = +1; нечетность обозначают Р = — 1.
Важность понятия четности объясняется законом сохранения четности: система, обладающая зеркальной симметрией в начальный момент времени, сохраняет ее и в дальнейшем. Этот закон справедлив лишь при действии электромагнитных или ядерных сил; при слабых взаимодействиях закон сохранения четности места не имеет.
Помимо этой четности i-я частица обладает еще и внутренней четностью Pi, Pi = +1, либо = — 1. Четность позволяет получить правила отбора в различных ядерных реакциях. Система из п частиц имеет четное состояние, если
Ц Рг Ф(-п,-тЗ) = Ф(Г1, г = 1
и нечетное, если
П = -ф(п,...,гп), г=1
где Pi — внутренняя четность г-ой частицы.
У частицы с орбитальным моментом I и внутренней четностью Р четность равна Р(—1)1. Если система из двух частиц с внутренними четностями Pi и Р^ имеет относительный орбитальный момент I, то ее четность равна PiP2(—1)2 Из этих правил следует, в частности, что внутренняя четность нейтрона, электрона и протона равна +1, а четность системы п нуклонов (или электронов) с орбитальными моментами li,...,ln равна (—1)52 \ % = 1,п. Эти правила нахождения четности неприменимы для частиц с нулевой массой покоя и ненулевым спином (фотонов и др.).
П4.1.6. Ящерные силы. Источником информации о ядерных силах могут служить опыты по рассеянию в процессе столкновений падающих частиц. Для этого вводят понятие эффективного (поперечного) сечения процесса а = — /XI/(InAx), где I = Nu — плотность потока частиц, падающих на мишень, N — число падающих частиц в единице объема, г — скорость падающих частиц, п — число рассеивающих частиц в единице объема мишени, Ат — толщина мишени, А/ — ослабление плотности потока в слое Ат. Величина ст равна числу актов рассеяния (поглощения), отнесенному к единичному потоку частиц (числу актов, деленному на число падающих частиц, проходящих за 1 с через нормально поперечную площадку
в 1 см2). Тем самым эффективное сечение представляет собой вероятность возникновения реакции (рассеяния) в единичном потоке при прохождении слоя мишени в 1 см, содержащего одну рассеивающую частицу. Эффективное сечение имеет размерность площади и измеряется в барнах: 1 б = = 10-24 см2.
Ядерные силы обеспечивают притяжение ядер. Эти силы велики по абсолютной величине (порядок 1). К примеру, средняя энергия связи нуклона в ядре равна 8 МэВ, а энергия связи электрона в атоме водорода (электромагнитное взаимодействие, порядок 10-2) имеет величину намного меньшую — 13,57 эВ.
Слабые взаимодействия (порядок 10“14) отвечают за тонкие эффекты по взаимному превращению п ^ р путем /3-распада, за распады элементарных частиц, за процессы взаимодействия нейтрино с веществом. Устойчивость космических систем связана с гравитационным взаимодействием (порядок 10-36).
Ядерные силы короткодействующие. Опыты Резерфорда по рассеянию о-частиц легкими ядрами показали, что на расстояниях свыше 10“12 см результаты взаимодействия описываются чисто кулоновскими силами. Однако на меньших расстояниях электростатический закон Кулона нарушается и в действие вступают ядерные силы: величина их радиуса действия 2 • 10“13 см.
Ядерные силы не зависят от электрических зарядов взаимодействующих частиц, т. е. силы взаимодействия между (р^р^ (п,п) или (п,р) одинаковы. Это свойство ядерных сил носит название зарядовой независимости (симметрии). Согласно этому свойству протон и нейтрон можно рассматривать как два состояния одной и той же частицы — нуклона.
Далее, ядерные силы зависят от спина, поскольку одно и то же ядро в состояниях с различными спинами имеет различные энергии связи. Об этом же свидетельствует рассеяние нейтронов на протонах — оно чувствительно к ориентации спинов.
Ядерные силы также 1) нецентральны из-за наличия квадрупольного момента; 2) обладают свойством насыщения и поэтому энергия связи ядра пропорциональна А, а не Л2, где А — число нуклонов в ядре; 3) имеют обменный характер: при столкновениях нуклоны обмениваются зарядами, проекциями спинов и другими характеристиками.
Для объяснения перечисленных выше свойств была создана мезонная теория ядерных сил. В соответствии с этой теорией (X. Юкава, 1935 г.) ядерные силы возникают из-за обмена тг-мезона- ми, частицами с массой порядка 300 те. Впервые гипотезу о том, что обменные силы между нуклонами вызваны передачей заряженных частиц, выдвинул И.Е. Тамм. Развивая идеи Тамма, Юкава предло-
жил, что нуклоны являются носителями так называемых мезонных зарядов р, генерирующих мезонное поле — поле действия ядерных сил.
Потенциал UQr^To) поля нуклонов, ввиду того, что радиус действия ядерных сил г о очень мал, должен уменьшаться с расстоянием т быстрее, чем потенциал электромагнитного поля. По Юкава потенциал мезонного поля имеет вид
а2
U(r,г0) =—е~г/го.(П4.7)
Т
По аналогии с волновым уравнением для электромагнитного поля уравнение мезонного поля ф с решением вида (П4.7) надо представить как
1 д2гЬ 1
А^ + ^^-^^ = 0.(П4.8)
с2 at2 2тгго
Отсюда следует, что волна ф — Фо ехр [2тгг (ж/А — nt) ] является решением уравнения (П4.8), если длина А, частота волны v и го удовлетворяют следующему ограничению:
Учитывая, что Е = hv^ р = h/X, из соотношения (П4.9) найдем
С другой стороны, энергия Е и импульс р частицы связаны с массой покоя то частицы зависимостью
/ 2
/\2 I 2 2
—= р + т^с .
\ с у
Следовательно, согласно Юкава должны существовать частицы, масса покоя которых выражается через радиус действия ядерных сил То по закону
h Нт0 = о= —Zttcto сто
или (в цифрах)
10”27
т° = 10-23. З-ЮЮ ~ 3 • 10“25 Г ~ 300 те-
Эти частицы с массой, промежуточной (’’мезо” по-гречески) между массами электрона и протона, были названы мезонами.
Взаимодействие, вызванное мезонным полем ядерных сил, осуществляется с помощью виртуальных частиц. Согласно принципу неопределенности процесс взаимодействия характеризуется неточностью полной энергии AS и временем At изменения системы, которые удовлетворяют неравенству
АЕ • At > 7г,
где AS > тс2, Е = (М -\-т) с2 — полная энергия покоящегося нуклона с массой М, который испускает мезон с массой т. Итак, At < 7г/(тс2). Отсюда величина tq = 7г/(тс) At • с определяет радиус действия ядерных сил. Этот радиус равен комптоновской длине волны частиц, переносящих ядерные силы.
Мезоны, находящиеся от нуклона в пределах расстояния К)(тс), называются виртуальными. Для создания тг-мезона с массой т^ = = 270 те требуется энергия AS = т^с2 = 135 МэВ. Следовательно, время существования виртуального тг-мезона равно At = KjAE = = 10-23 с.
П4.2. Радиоактивный распад
Под радиоактивностью понимают способность некоторых атомных ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра, испуская при этом элементарные частицы или ядра (например, ядра ^Не). Различают два вида радиоактивности: естественную, которая наблюдается у неустойчивых изотопов, существующих в природе, и искусственную, которая образуется у изотопов, полученных в результате ядерных реакций.
Радиоактивное излучение было обнаружено чисто случайно при изучении люминесценции солей урана (А. Беккерель, 1896 г.). В дальнейшем удалось выяснить, что оно свойственно не только урану, но и другим тяжелым элементам (П. и М. Кюри, 1898 г.). Радиоактивное излучение делится на три типа: а-, 0— и у-излучение.
П4.2.1. Закон радиоактивного распада. Радиоактивный распад означает естественное самопроизвольное (спонтанное) радиоактивное превращение ядер. Этот процесс распада подчиняется статистическим законам. Изменение AS числа ядер N в результате распада за время At пропорционально числу N радиоактивных, не- распавшихся ядер к моменту времени t и промежутку времени At :
(П4.10)(П4.10)AN XNAt,
(П4.10)
(П4.10)
где А — постоянная радиоактивного распада, характеризующая его скорость. Интегрируя соотношение (П4.10), найдем закон радиоактивного распада
N(f) = Noe~xt, (П4.11)
где No = W(0) — начальное число нераспавшихся ядер. Экспоненциальный закон (П4.11) носит статистический характер, справедлив при большом числе частиц и определяет вероятность распада одного атома в одну секунду.
Для характеристики интенсивности радиоактивного распада в рассмотрение вводят две величины: период полураспада Т (время распада половины исходного числа атомов) и среднее время жизни т радиоактивного ядра. При подстановке выражения N(T) = No/2 в соотношение (П4.11) получим
No = 2N0 е"хт,
откуда определим, что
In 2 _ О, 692
Найдем среднее время жизни т радиоактивного изотопа (ядра). Поскольку суммарная продолжительность жизни dN ядер равна t1 dN | = XNtdt^ то интегрируя это равенство по всем возможным t от 0 до сю и разделив результат на исходное число ядер N^ получим
XNtdt=~— / XNote~xt dt = А / te~xt dt = —.
No JoJoA
Величина
называется активностью нуклида (атомные ядра с различным числом протонов Z и нейтронов N) в радиоактивном источнике. Активность определяет число распадов ядер данного образца за секунду.
Ход радиоактивного распада диктуется правилами смещения, которые устанавливают продукты распада исходного материнского ядра:
z-2^ + ^е (о —распад),
zX z+iY + -1е (/3-распад),
где X — материнское ядро, У — дочернее ядро, ^Не — ядро гелия (о-частица), ^е — электрон с зарядом — 1 и нулевым массовым числом. Нетрудно видеть, что правила смещения представляют собой
определенные варианты законов сохранения электрического заряда и массового числа при радиоактивном распаде.
Отметим также, что ядра радиоактивного распада, в свою очередь, могут быть радиоактивными. Результатом подобной цепочки радиоактивных превращений будет стабильный элемент, а элементы, образующие такую цепочку, называются радиоактивным семейством.
П4.2.2. Особенности о—распада. Явление «-распада подчиняется правилу смещения. Например, при распаде изотопа урана ^К имеем
В терминах масс «-распад можно записать в виде
zM z-2M + 2Не,
где gM — масса исходного ядра, ^-2-^ — масса образующегося ядра (ядра отдачи). При отрицательной энергии связи ^Е ядро может самопроизвольно разделиться. Отсюда получаем условие для реализации самопроизвольного «-распада:
zM > z-2M + 2™-
Кинетическая энергия Та вылетающих «-частиц колеблется в пределах 4 МэВ < Та < 8,8 МэВ (со средним значением порядка 6 МэВ), что соответствует скоростям от 1,4 • 107 до 2 • 107 м/с.
Образование «-частиц происходит в момент радиоактивного распада при контакте движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов. Для «-радиоактивных элементов существует зависимость (X. Гейгер, Д. Нэттол, 1912 г.) между постоянной распада ядра А и пробегом «-частиц R^ которая записывается в виде
In А = А + В In Ra
где Л и В — постоянные, А = In 2/Т, Т — период полураспада.
Согласно представленному здесь эмпирическому закону Гейгера-Нэттола меньшая величина Т дает большее значение пробега и энергии испускаемых «-частиц. При этом с ростом кинетической энергии вылетающих частиц увеличивается соответственно и вероятность распада.
Считается, что «-частицы существуют внутри ядра и двигаются в создаваемом нуклонами потенциальном поле ядра. Отметим также,
что «-частицы до энергии 8,8 МэВ испытывают на ядрах резерфор- довское рассеяние. Это означает, что со стороны ядер «-частицы испытывают кулоновское взаимодействие и не вступают в область действия короткодействующих ядерных сил. Таким образом, приходим к выводу, что потенциальный барьер, окружающий ядро, имеет высоту не меньше 8,8 МэВ. Однако «-частицы, испускаемые ураном, обладают энергией лишь 4,2 МэВ.
Квантовая механика объяснила «-распад с помощью туннельного эффекта: частицы с положительной энергией, обладающие волновыми свойствами при любой конечной высоте потенциального барьера, имеют некоторую конечную вероятность прохождения через барьер. Отсюда следует, что «-частицы из «-радиоактивного ядра могут вылетать с энергией, меньшей чем высота потенциального барьера.
Вероятность просачивания «-частицы сквозь барьер определяется отношением вероятности нахождения частицы за барьером на расстоянии г = R + d к вероятности нахождения частицы внутри барьера на расстоянии R от центра ядра:
'^f = ®Ф { “ f V^m^U-E) Л = Р, (П4.12)
где величина D носит название коэффициента проницаемости (прозрачности). В соотношении (П4.12) обозначено: Е — энергия вылетевшей «-частицы, U — потенциальная энергия прямоугольного барьера, ф(-) — волновая функция «-частицы.
Формулу (П4.12) можно обобщить на барьер с произвольной образующей кривой. Для этого его разбивают на п прямоугольных барьеров толщиной Аг и высотой U^ г = 1,п. Имеем
п г 2 п )
D = П D^ = exp К 52 (Pi - в) Ar к
г=1 г = 1
Переходя к пределу при Аг 0, получим
(П4.13)(П4.13)D = ехр
(П4.13)
(П4.13)
где промежуток интегрирования [ Д, г* ] задается границами барьера (либо границами, при которых кинетическая энергия имеет отрицательное значение), R — радиус ядра, г* = 2 (Z — 2)е2/[7(г*). Здесь 2е - заряд «-частицы, (Z — 2) е — заряд ядра в величине кулоновской энергии для высоты потенциального барьера U(r^ на границе Та = Е.
Постоянная распада А = 1/т, т. е. вероятность распада в единицу времени равна А = D-uf^RY где коэффициент проницаемости барьера D определяется формулой (П4.13), u/(2R) — такое среднее количество раз в секунду о-частица в ядре с радиусом R подходит к границе ядра, г — скорость о-частицы. Видно, что эта зависимость А от энергии о-частицы хорошо согласуется с законом Гейгера-Нэттола.
П4.2.3. Особенности (3—распада. Процесс превращения нестабильного ядра в ядро-изобару с тем же массовым числом Л, но с атомным номером Z, отличным от исходного на единицу, сопровождаемый испусканием электрона (позитрона) или электронным захватом ядром одного из электронов атомной оболочки (А-захват), носит название /3-распада. При этом если о-распад характерен для тяжелых ядер, то /3-распад наблюдается у ядер с малыми и большими значениями А.
К /3-распаду относятся следующие три его вида.
Электронный или /3--распад. В этом случае ядро испускает электрон е- и легчайшую электрически нейтральную частицу антинейтрино v. Образуется ядро с тем же числом Л, но атомный номер имеет значение Z + 1 :
z^Ч е Ч v.
При /3--распаде один из нейтронов ядра превращается в протон:
п ^ р + е~ + v.
Позитронный или /3+-распад, в котором ядро испускает позитрон е+ и другую легчайшую электрически нейтральную частицу нейтрино v. Атомный номер нового ядра имеет значение Z — 1 :
^Х z-v^ Ч Ч v.
Примером /3+-распада служит процесс распада протона внутри ядра, происходящий за счет энергии самого ядра:
р n + е+ + v.
Электронный захват (A-захват), при котором ядро захватывает электроны с атомной оболочки и испускает нейтрино:
е + ^Х Z-^ +
Как и при позитронном распаде, один из протонов в случае электронного захвата превращается в нейтрон:
р + е~ п + v.
Особенностью /3-распада является то, что этот процесс не внутриядерный, а внутринуклонный, и вызван он не ядерными и не электромагнитными силами; он обусловлен слабыми взаимодействиями. Отсюда следует, что периоды полураспадов /3-активных ядер исчисляются минутами и часами. Согласно современным представлениям, при /3-распаде результирующие частицы (электроны, нейтрино и др.) рождаются в ядре непосредственно во время распада.
Объяснение /3-распада вызвало ряд серьезных трудностей. Во- первых, следовало обосновать происхождение результирующих /3-электронов, поскольку в ядре их нет, а электроны из электронной оболочки вызывали бы оптическое или рентгеновское излучение, не наблюдающееся на практике. Во-вторых, необходимо было объяснить непрерывный характер энергетического спектра электронов с энергиями от нуля до некоторого Smax. В-третьих, надо было согласовать /3-распад с законом сохранения момента количества движения.
Для соответствия с законами сохранения энергии и спина была выдвинута гипотеза (В. Паули, 1931 г.) о том, что при /3--распаде вместе с электроном вылетает еще одна нейтральная частица с нулевой массой (скореее 10-4 те) покоя и спином 1/2. Гипотеза о существовании нейтрино (антинейтрино) помогла создать корректную теорию /3-распада (Э. Ферми, 1934 г.). Экспериментально наличие нейтрино было доказано лишь в 1956 году.
Введение нейтрино (антинейтрино) объяснило не только сохранение спина при /З--распаде, но и непрерывность энергетического спектра испускаемых электронов. Непрерывность спектра является прямым следствием непрерывного распределения энергии между электронами и антинейтрино в актах распада: их сумма энергий равна Етах. Кроме того, был дан ответ и на вопрос о внутринуклонном происхождении электронов при /3--распаде, когда происходит превращение одного из нейтронов /З--активного ядра по закону:
on + -Iе +
В этом распаде выполняются законы сохранения зарядов, импульса и массовых чисел. Разности в массах Jn и ^др соответствует энергия, равная 0, 782 МэВ. Распад по этой схеме можно обнаружить также в потоках нейтронов большой интенсивности, возникающих в ядерных реакторах: здесь наблюдается радиоактивный распад
свободных нейтронов (находящихся вне ядра), причем граница Втах электронов совпадает с рассчитанной, т. е. 0,782 МэВ.
Рассмотрим кратко энергетические соотношения при /3-распаде. Освобождаемая при /З^-распаде энергия АД# соответствует разности масс исходного ядра и результирующего вместе с массой электрона, т. е.
= ^М - Z^M-
С учетом того, что масса нейтрино (антинейтрино) равна или близка к нулю, баланс энергий выглядит следующим образом.
Электронный или /3--распад энергетически возможен при выполнении условия
> z+i^ + те.
где ^М — масса начального, ^^ЗИ — масса конечного ядра (без электронных оболочек).
Позитронный или /3+-распад разрешен энергетически, если для масс ядер выполнено неравенство
^М > z-i^ + те-
Электронный захват. Поскольку из ядра вылетает только нейтрино, этот случай энергетически возможен, если для масс ядер справедливо ограничение
^М + те > z-i^.
Отметим, что в приведенных выше трех неравенствах для масс ядер ^ЗИ можно записать аналогичные выражения для масс атомов /Мо. которые связаны между собой соотношениями
ZM = zMa- Z те, z^M = z^Ma- (Z + 1) me
в пренебрежении энергии связи электронной оболочки с ядром.
П4.2.4. Гамма-излучение ядер и его свойства. Явление у-из- лучения ядер представляет электромагнитное излучение у-кванта ядром с сохранением значений Л и Z, поэтому у-излучение не описывается правилами смещения. Оно возникает, когда ядро переходит из возбужденного состояния в основное. Дискретность спектра у-излучения объясняется дискретностью энергетических состояний ядра (ядерных уровней).
Для энергии Е^ и вектора импульса р^ у-кванта (фотона) с частотой v имеем
П = hv = StHv = Kuj. р^ = Tik^
где к — волновой вектор с длиной | к | :
Следовательно, |р7| = hv/с. При Е^ = 1 МэВ длина волны А ~ 10-10 см (квант видимого света обладает энергией Е ~ 1 эВ). Коротковолновость 7-излучения означает преобладание у него корпускулярных свойств над волновыми.
Гамма-излучение испускается дочерним возбужденным ядром. Возбужденные вторичные ядра в свою очередь могут быть получены различными способами: бомбардировкой их частицами, из-за поглощения фотона ядром, в результате о- и /3-распадов с образованием возбужденного ядра и т. д.
Поскольку энергии возбужденного ядра, как правило, не хватает для испускания нуклона, возбужденное состояние снимается за счет испускания у-квантов: о-распад сопровождается у-излучением с энергией порядка 0, 5 МэВ, /3-распад приводит к возбужденным ядрам, испускающих у-кванты с энергией 2 4- 2, 5 МэВ.
Однако возбужденное (тяжелое) ядро может перейти в основное состояние не только путем испускания у-кванта, но и при передаче избыточной энергии орбитальному электрону.
В итоге происходит испускание электрона конверсии (явление внутренней конверсии электронов). Энергия электронов конверсии зависит от работы выхода электрона из соответствующей оболочки и от энергии, передаваемой возбужденным ядром.
Результатом будет моноэнергетичность электронов конверсии, позволяющая их отличить от /3-электронов с их непрерывным энергетическим спектром.
Освободившееся после вылета электрона конверсии место заполнится электроном из вышележащих оболочек. Это означает появление характерного рентгеновского излучения в качестве продукта внутренней конверсии.
П4.3. Некоторые закономерности ядерных реакций
Под ядерной реакцией понимается превращение атомных ядер в результате взаимодействия с элементарными частицами, включая у-кванты, или друг с другом при сближении их до расстояний (порядка 10“13 см) проявления действия ядерных сил.
При столкновении ядер мишени с бомбардирующими частицами образуются новые ядра и частицы с одновременным перераспределением энергий и импульсов частиц.
П4.3.1. Основные понятия. Запись ХЧ а ¥ + b или X (a, 5) ¥ означает символьную запись ядерной реакции, в которой X и ¥ — исходное и конечное ядра, а и b — падающая и испускаемая частицы. Полная запись содержит символы элементов, зарядовые и массовые числа. Первая ядерная реакция (Э. Резерфорд, 1919 г.) может быть записана в виде
74^ + ^Не \Н + g7O, либо Y4X ^,рУ7О.
Запись же (а, 5), (а, 5с) реакции означает лишь тип налетающей (а) и образовавшейся (5) или образовавшихся (5с) частиц.
При столкновении падающей частицы с ядром мишени различают упругое-неупругое рассеяние и ядерную реакцию. Упругое рассеяние характеризуется лишь перераспределением кинетической энергии частицы и ядра. При неупругом рассеянии вид частицы также не меняется, но результирующее ядро преобретает возбужденное состояние. При изменении состава и свойств ядра мишени, вида частиц происходит собственно ядерная реакция.
Исследование ядерных реакций сопровождается определением эффективного сечения а ядерной реакции (см. раздел П4.1.6), которое характеризует эффективность взаимодействия: а = dN/(nNdx), где N — число частиц, падающих за единицу времени на единицу площади поперечного сечения вещества, имеющего в единице объема п ядер, dN — число этих частиц, вступающих в ядерную реакцию в слое толщиной dx. Величина ст тем самым определяет вероятность осуществления реакции при падении частиц на вещество.
Ядерные реакции классифицируют в зависимости от характера частиц, вызывающих эти реакции, на ядерные реакции под действием нейтронов, заряженных частиц (протонов, о-частиц, дейтонов) и под электромагнитным действием у-квантов. Кроме того, делают отличия по типу участвующих в ядерных реакциях ядер: ядерные реакции идут на легких ядрах (Л < 50), средних (50 < Л < 100) и тяжелых (Л > 100); при малых (меньше 1 кэВ), средних (от 1 кэВ до 1 МэВ), больших (от 1 до 100 МэВ) и высоких (свыше 100 МэВ) энергиях вызывающих их частиц.
П4.3.2. Законы сохранения в ядерных реакциях. В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения: электрических зарядов, массовых чисел, энергии, импульса и момента импульса.
Считая систему из двух соударяющихся ядерных частиц замкнутой в предположении, что действием других частиц и ядер можно пренебречь, воспользуемся для этой изолированной системы законами сохранения полной энергии и импульса.
Пусть мы имеем реакцию типа X + а Y + b с законом сохранения полной энергии
тхс2 + тас2 + ТХ +Та = mYc2 + mbc2 + Ту + Ть, (П4.14)
где т^с2 — энергия покоя ядра или частицы k = X, У, а, 5; Т^ — их соответствующая кинетическая энергия.
В ходе реакции происходит изменение внутренней энергии ядер, а тем самым и массы покоя ядер. Величина Q, равная разности энергий покоя, называется энергией реакции:
Q = (тх + т^ с2 - (ту + т^) с2.
При Q > 0 энергия покоя уменьшается и в процессе реакции, которая называется экзоэнергетической, выделяется кинетическая энергия. Эта реакция может идти при кинетической энергии падающей частицы, достаточной, чтобы преодолеть потенциальный барьер.
При Q < 0 энергия покоя, наоборот, возрастает и реакция, которая носит название эндоэнергетической, идет с уменьшением кинетической энергии. Эта реакция может идти лишь при больших энергиях Та падающей частицы, превышающих определенное пороговое значение, определяемое формулой
Та min — I Q I • (П4.15) mx
Величину Та min (П4.15) можно найти из решения системы уравнений для сохранения энергии и импульса. В частности, для эндоэнерге- тических реакций с участием у-квантов имеем Та min = | Q |.
Наконец, когда Q = 0, имеем упругое рассеяние. В этом случае сохраняется полная, а также кинетическая энергия, т. е. сохраняется энергия покоя, следовательно, и масса частиц.
П4.3.3. Механизмы ящерных реакций. В процессе ядерной реакции происходит перестройка атомного ядра, и подобно тому, как для описания структуры ядра применяются различные приближенные модели, так и для описания ядерной реакции используются различные аппроксимирующие механизмы ее поведения. Остановимся кратко на некоторых из них.
Механизм составного (компаунд) ядра Бора (Н. Бор, 1936 г.). Основан на предположении о том, что реакция протекает в две стадии по схеме: X + а С Y + b с образованием промежуточного С возбужденного ядра. В этом случае время протекания реакции (~ 10“13 -У 10“14 с) значительно превышает время пролета частицы
через ядро (характерное ядерное время 10-22 -У 10-23 с). Первая стадия — захват ядром X частицы а, приблизившейся к ядру на расстояние действия ядерных сил (~ 2 • 10“13 см), и образование промежуточного ядра С. Энергия частицы а перераспределяется между нуклонами составного ядра, которое оказывается в возбужденном состоянии. Вторая стадия реакции характеризуется распадом составного ядра на ядро У и частицу Ь.
Механизм прямого ядерного взаимодействия. Частица, налетающая на ядро-мишень, передает свою энергию и импульс одному или нескольким ядерным нуклонам, либо в процессе взаимодействия происходит обмен какой-либо частицей без образования составного ядра.
Механизм кулоновского возбуждения. Налетающая заряженная частица взаимодействует с ядром своим электрическим полем, возбуждает его и вызывает соответствующую реакцию.
Механизм одиночного или множественного рождения частиц при сверхвысоких (свыше 109 эВ) энергиях падающих частиц, сопровождающийся появлением мезонов или барион-антибарионных пар.
Помимо указанных здесь механизмов различных ядерных реакций можно отметить также процессы синтеза и в особенности деления ядер. Разговор о механизме деления ядер ввиду его важности для рассматриваемой темы технического использования в ядерной энергетике будет продолжен ниже.
П4.4. Элементы нейтронной физики
Роль нейтронов для судеб развития ядерной физики и ядерной энергетики трудно переоценить. Особый статус нейтронов объясняется их незаряженностью и возможностью беспрепятственно преодолевать кулоновский барьер ядер, что делает уникальным использование этих частиц в различных ядерных превращениях.
Эксперименты с нейтронами, проведенные при облучении ядер бериллия о-частицами (В. Боте, Г. Беккер, 1930 г.; И. и Ф.Жолио- Кюри, 1931 г.), привели к фактическому открытию нейтронов (Д. Чэдвик, 1932 г.).
П4.4.1. Свойства нейтрона. Масса нейтрона больше суммы масс протона и электрона: тп > тр + те. В свободном состоянии при среднем времени жизни порядка 17 минут нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино: п р + е~ + v. Внутри ядра образование нейтрона возможно за счет дополнительной энергии, сообщаемой протону другими нуклонами ядра: р п + е+ + v.
Магнитный момент нейтрона (см. раздел П4.1.4) отличен от нуля: дп = — 1, 91 до? где До — ядерный магнетон. Для такой незаряженной частицы это свидетельствует о том, что нейтрон не является точечной частицей (также как и протон), а обладает сложной внутренней структурой: в центре его сосредоточен положительный заряд, а по объему и на поверхности — равный по величине отрицательный заряд. Однако при нейтральности нейтрона соответствующие магнитные моменты не равны между собой, поскольку они определяются не только значением тока, но и охватываемой им площадью.
Другие характеристики нейтрона: спин Sn = 1/2 7г, положительная четность Рп = +1, значение массы тп = 1,0089 МэВ, тпс2 = = 939,5 МэВ. Нейтрон и протон, обладая одинаковыми спинами, близкими массами, могут превращаться, благодаря ядерным силам и за счет обмена мезонами, друг в друга; говорят, что нуклон находится в двух различных (относительно электромагнитного поля) состояниях.
П4.4.2. Ящерные реакции под действием нейтронов. Под действием нейтронов происходят различные ядерные реакции, сечения которых сильно зависят от энергии нейтронов. Эти сечения обратно пропорциональны скорости движения г нейтронов (”по закону 1/г”).
В зависимости от энергии нейтроны условно делят на две большие группы: медленные и быстрые с границей между ними порядка 1 МэВ. Понятно, что медленные нейтроны сильнее взаимодействуют с ядрами, чем быстрые, поскольку дольше находятся вблизи атомного ядра.
Медленные нейтроны делятся также на холодные (с энергией меньше 0,025 эВ), тепловые и резонансные. Холодные нейтроны, характеризуясь большим сечением захвата ядрами, в значительной степени проявляют свои волновые свойства: их длина волны де Бройля оказывается больше межатомных расстояний. Тепловые нейтроны (с энергией от 0,025 до 0,5 эВ) находятся в тепловом равновесии со средой в согласии с формулой
= 0,025 эВ,= 0,025 эВ,
= 0,025 эВ,
= 0,025 эВ,
^тепл — кТ —
1,38 • 10" • 300
что соответствует средней температуре 20° С (300 К) и скорости г = 2 км/с. Резонансные нейтроны обладают энергией от 0,5 до 1000 эВ. На этом энергетическом участке ядра имеют резонансные пики эффективных сечений.
Быстрые нейтроны — это нейтроны с энергиями от 105 эВ до 15 МэВ, образуются в большом количестве при делении ядер и в
таком качестве (либо после замедления) находят дальнейшее применение. Замедлить быстрые нейтроны можно, пропуская их через водородсодержащие вещества. После рассеяния на ядрах и замедления их энергия становится равной тепловой энергии замедлителя, т. е. ~ кТ.
Энергия медленных нейтронов недостаточна для неупругого рассеяния. Для них характерны упругое рассеяние на ядрах с реакцией типа (п, п) и радиационный захват с реакцией типа (п, у).
Реакции типа (п, р) и (п, о), в которых образуются заряженные частицы р и о, происходят под действием быстрых нейтронов, т. к. для медленных нейтронов энергии атомного ядра явно недостаточно для вылета протонов и о-частиц и преодоления ими потенциального барьера. Эти реакции (так же, как и реакции радиационного захвата (п, у) для медленных нейтронов) часто ведут к образованию (3~-активных ядер.
Отметим еще некоторые отличия быстрых нейтронов. Для быстрых нейтронов наблюдается их неупругое рассеяние
^Х + Jn ^Х* + qh',
где обозначены: Jnz — вылетающий из ядра нейтрон с меньшей энергией, чем у Jn, ^Х* — находящееся в возбужденном состоянии ядро (после вылета дП7). Переход этого ядра в нормальное состояние сопровождается испусканием у-кванта.
При энергии нейтронов > 10 МэВ возникают реакции типа (п, 2п). Например, по следующей схеме
238 Г/ I237 ТJ I 9237U ^ > 237+ ° с
92й ' 0гг 92 и +92й937Vr । -Iе?
где образуется С активный изотоп ^П, претерпевающий дальнейший распад.
П4.4.3. Замедление и диффузия нейтронов. Схематично обрисуем параметры процессов замедления и диффузии нейтронов, играющих большую роль в технических расчетах реакторов. При замедлении нейтроны двигаются по сложной зигзагообразной траектории между ядрами замедлителя. Средняя длина пробега As нейтрона при этом равна As = (l/n)as, где п — концентрация ядер в среде, as — эффективное сечение рассеяния.
Средний квадрат расстояния, на которое нейтрон уходит от источника, определяется выражением
2гто
^ = —7\ A(T)dT(П4.16)
с ( 1 - -2_ рт
М 1 ЗА
при замедлении от энергии То до Т; для тяжелых ядер ( = 2/Л, А — массовое число замедлителя. Формула (П4.16) может быть упрощена для А|(Т) = А| :
-2-22иА| о_х х х А$ _ А , То
-2
-2
-7- = 2nAsA+, At = , n = — In —
1-2/(ЗЛ)81 1-cos# 2 Г
где ft — среднее число соударений (при рассеянии на ядрах), требующихся для замедления нейтрона от энергии То до Т; At — транспортная длина (среднее расстояние, проходимое нейтроном в первоначальном направлении до поворота); cos# = 2/(3Л) — среднее значение косинуса рассеяния.
Длина замедления равна
ls = Vt = х/ел,
где величину т называют ’’возрастом” нейтронов.
После замедления и превращения нейтронов в тепловые их движение в замедлителе происходит со средней тепловой скоростью, причем число соударений до захвата
может быть очень большим при as > aai гДе ^s — сечение рассеяния, аа — сечение захвата.
При малости As, когда скорость движения тепловых нейтронов практически постоянна, уравнение диффузии, описывающее динамику изменения их плотности p(r, t) в точке г в момент времени t, имеет вид
J^Dbp-^q,(П4.17)
где А — оператор Лапласа, тп — среднее время жизни тепловых нейтронов до захвата, q — плотность источников тепловых нейтронов, D — коэффициент диффузии. В уравнении (П4.17) в правой части стоит суммарное изменение плотности: D Ар означает приток нейтронов извне, —р!тп — уменьшение потока нейтронов в результате их поглощения, q — изменение плотности (увеличение) за счет образования нейтронов.
Имеем D = (1/3) А^г, а т.к. для тепловых нейтронов рассеяние изотропно, то cos# = 0 и At = As, т. е. D = (1/3) Xsv.
Уравнение (П4.17) при стационарной диффузии (dp/dt = 0) для плотности распределения тепловых нейтронов в замедлителе с точечным источником в центре на расстоянии г, где процесс замедления закончился и тепловые нейтроны уже не образуются (q = 0), дает
D^p- — =0,(П4.18)
или
1^3 ^Р ~ Р =~ Отп.
Величина Ld называется диффузионной длиной тепловых нейтронов. Поскольку
n _ 1 х_Ха _NXS
то имеем отсюда
Решение уравнения (П4.18) дает
откуда может быть найдена величина Ld •
In [гр^ ]
Здесь г2 — среднеквадратическое расстояние прохождения теплового нейтрона от рождения до поглощения.
П4.5. Деление атомных ядер
Интенсивность реакции деления ядра сильно зависит от энергии воздействующих на него нейтронов и от сорта самого ядра. Под действием нейтронов высокой энергии (> 100 МэВ) делятся практически все ядра (легкие, средние и тяжелые). Нейтроны с энергией в несколько МэВ способны разделить только достаточно тяжелые ядра, начиная с А = 210. Некоторые тяжелые ядра делятся нейтронами всех энергий, начиная с нулевых. К ним можно отнести изотопы урана 292^, 292^ плутония 2q4 Ри, ^дРи и ряд других трансурановых изотопов.
Если тяжелое ядро не делится медленными нейтронами, то для него существует порог деления, а именно энергия, начиная с которой деление идет с заметной вероятностью. Например, ядра Ч^' и 292^ имеют пороги деления на уровне 1 МэВ.
В акте деления участвует примерно 200 нуклонов. Отсюда полная энергия, выделяющаяся при делении, имеет порядок 200 МэВ. В самом деле, энергия, освобождающаяся при делении, соответствует разности масс взаимодействующих частиц и конечных продуктов.
Для урана энергия связи нуклона ~ 7. 6 МэВ, а энергия связи одного нуклона в осколках ~ 8. 5 МэВ. Поэтому при делении 292^ будет выделяться энергия
Есв = Л (8,5 - 7,6) = 0,9 ■ 236 « 210 МэВ, причем основная ее часть приходится на кинетическую энергию осколков деления. Заметим также, что деление нейтронами изотопов 292 Д (0,7 % в естественной смеси) и 2д§ Д (99,3 % в естественной смеси) таково, что 2g2 U делится тепловыми нейтронами, а изотоп Ч^и делится только быстрыми нейтронами с энергией не ниже 1,1 МэВ. Ядро 2д4 Ри делится тепловыми нейтронами.
П4.5.1. Нейтроны деления. Реакция деления ядра при облучении тяжелого ядра нейтронами приводит к появлению нескольких более легких осколков, чаще всего двух заряженных ядер. При делении тяжелого ядра происходит испускание двух-трех вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления. Для средних ядер N/Z аз 1, т. е. число нейтронов примерно равно числу протонов; для тяжелых — N/Z аз 1,6, что означает перегруженность нейтронами. Следовательно, в образовавшихся осколках деления также будет наблюдаться превышение числа нейтронов, которые и выделяются. Вместе с тем осколки деления, испустившие часть нейтронов, будут по- прежнему перегружены нейтронами. Это приводит к тому, что осколки становятся радиоактивными и претерпевают /3--распад, сопровождаемый испусканием у-квантов.
Получающиеся после деления перегруженные нейтронами осколки стремятся избавиться от избыточных нейтронов. Это происходит двумя путями. Во-первых, в осколках совершается /3-распад, при котором нейтрон превращается в протон. Действительно, практика показывает, что осколки деления являются интенсивнейшими /3-излучателями. При этом /3-распады сопровождаются и у-пере- ходами (во время акта деления испускается около 10 у-квантов). Поэтому ядерные реакторы являются мощными источниками /3- и у-из- лучений.
Во-вторых, перегруженность нейтронами может быть столь сильной, что нейтроны, называемые мгновенными, испускаются во время деления или сразу же после него (в пределах 5-10“14 с). К примеру, при делении ^П вылетает в среднем 2,5 нейтронов с энергиями от нуля до нескольких МэВ. Этот процесс приводит к размножению нейтронов, что в свою очередь делает возможным осуществление цепной реакции деления. Отметим здесь же, что /3-излучение при /3-распаде отклоняется электрическим и магнитным полями; при этом его ионизирующая способность значительно меньше (на два порядка), а проникающая способность гораздо больше, чем у о-частиц.
В процессе реализации цепной ядерной реакции деления небольшое количество нейтронов вылетает не в момент акта деления, а чуть позже (спустя 0,05 с и выше). Такие нейтроны, появляющиеся за счет /3-распадов, называются запаздывающими. Хотя количество этих нейтронов весьма незначительно (0,7 %), их наличие очень важно для стабильной работы ядерных реакторов, о чем будет сказано ниже.
Ядро чаще всего делится на два примерно равных осколка. При делении же тепловыми нейтронами массы осколков разные (один в 1,5 раза тяжелее другого). При делении осколки представляют собой сильно (~ 20-кратно) ионизированные положительные ионы.
Энергия, высвобождаемая при делении, имеет следующее распределение. Из ядра непосредственно вылетают осколки, нейтроны и у-кванты. Осколки уносят кинетическую энергию и энергию, высвобождаемую в дальнейших процессах (3- и у-распадов. В среднем для ^П имеем для этих энергий (в МэВ):
кинетическая энергия осколков — 160;
энергия у-излучения деления — 8;
кинетическая энергия нейтронов деления — 6;
энергия радиоактивного распада осколков — 21;
что дает значение полной энергии, освобождаемой при делении, равное 195 МэВ.
Из-за своей электрической нейтральности нейтрон практически не взаимодействует с электронами атомных оболочек. Это чисто ядерный процесс. При столкновении с ядром нейтрон может: 1) поглотиться, 2) рассеяться и 3) размножиться (нейтрон может также распасться на протон, электрон и антинейтрино). Размножение нейтронов может происходить только в веществах, содержащих делящиеся изотопы, такие, как ^П. Размножение нейтронов в макроскопических масштабах происходит в ядерных реакторах. Добавим к сказанному, что из всех известных нейтральных частиц для осуществления цепной ядерной реакции пригодны только нейтроны.
Нейтроны способны отражаться от различных веществ. Это отражение не когерентное, а диффузное. Нейтрон, попадая в среду, после ряда столкновений может вылететь обратно. Вероятность такого вылета называется альбедо нейтронов для данной среды. Хорошие отражатели имеют альбедо до 0,9. Отражатели нейтронов широко применяются в ядерных реакторах.
Нейтрон обладает магнитным моментом. Если магнитные моменты в веществе как-то упорядочены, то появляется когерентная магнитная амплитуда, создающая на нейтронограммах соответствующие максимумы. Таким образом, в магнитном поле могут воз-
никнуть нейтронные ловушки или нейтронные накопительные кольца. Для полного отражения нейтрона необходимо, чтобы магнитная энергия нейтрона ЕрпВ была больше кинетической энергии нейтрона Д; здесь цп — магнитный момент нейтрона, В — магнитная индукция, знаки ± связаны с двумя возможными ориентациями спина нейтрона по отношению к вектору магнитной индукции.
Далее, при /Д-распаде произойдет реакция по схеме (см. раздел П4.2.3):
оП р + _°1е+ 0^,
и после ряда 0--превращений будет достигнута соответствующая стабильность в осколках между нейтронами и протонами. Например, при делении ядра 2g2 U по схеме
235(7+ ln 139Хе+ 95Sr+ 21п(п41д)
осколок деления ^Хе превращается в стабильный изотоп лантана ^La за три последовательных /Д-распада:
Осколки деления могут быть разнообразными, и реакция (П4.19) не единственная, приводящая к делению 2g2 U. Например, также вполне возможна и такая реакция
292^ + ^ - № + ^Е З^П.
Управляемая цепная реакция деления практически осуществима на трех изотопах: урана ^У, 2д2^ и плутония Ч^Ри. Первый изотоп имеется в природе, а два других изготовляются искусственно в промышленных масштабах.
П4.5.2. Аппроксимационный механизм деления. При помощи капельной модели ядра (в частности, полуэмпирической формулы Вайцзеккера) можно довольно точно описать механизм деления ядра. При соединении нейтрона с внешним ядром образуется составное ядро с энергией возбуждения, равной сумме кинетической энергии и высвобождающейся энергии связи нейтронов. Составное ядро за счет получаемой избыточной энергии начинает испытывать значительные колебания, результатом которых может стать гантелеобразная форма составного ядра.
Из формулы (П4.6) для полной энергии ядра Ея имеем
Z2
Ея — (Z тр + N с2 — а А + рА?^ + у ^1/3 +
где изменение формы ядра влечет изменение 1) энергии поверхностного натяжения Еа = {ЗА?!^ = 4тгЯ2а, которая определяется силой поверхностного натяжения, стремящейся вернуть ядро к сферической форме, и 2) энергии кулоновского отталкивания протонов Ер = ^Z^ jAV^ = | (Ze)2/^ с соответствующей силой, стремящейся увеличить разрыв между протонами. Отсюда энергия Ео + Ер служит мерой энергии ядра в общем процессе деления.
При достаточно большой энергии возбуждения в результате колебаний центры образующихся осколков деления расходятся на расстояния, где силы поверхностного натяжения не могут противодействовать кулоновским силам отталкивания. Ядро переходит в гантелеобразное состояние с двумя центрами, когда силы поверхностного натяжения уже стремятся к отделению обоих половинок гантели друг от друга и принятию ими сферической формы.
Отношение EpfEy энергии разрыва ядерной капли к энергии удержания в устойчивом состоянии, т. е.
Ер _ 3 (Ze)2 1 _ Зе2 Z2
Ест 5 R 4я В?а ТЧтшг^ А '
служит мерой способности ядра к делению. Здесь величина Z2/А называется параметром деления. Чем больше этот параметр, тем легче делится ядро.
П4.5.3. Деление тяжелых ядер. Аналогичные соображения можно привести и для процесса деления тяжелых атомных ядер, полагая, что полная энергия ядра в основном состоянии равна Т + ПяЕ VUk- Здесь Т — кинетическая энергия нуклонов; Пя, Uk — потенциальная энергия ядерного и кулоновского взаимодействия, причем, основываясь на капельной модели ядра, естественно предположить, что Ия распадается на два слагаемых, одно из которых пропорционально объему ядра, а другое — его поверхности, т. е.
Ua = -lW
где Uq — энергия связи нуклонов внутри ядра в единице объема, V — объем ядра, S — его поверхность; у — коэффициент пропорциональности, показывающий степень того, насколько средняя энергия связи поверхностного нуклона меньше средней энергии связи внутреннего нуклона.
Имеем также для соответствующих значений кинетической энергии выражение, составленное из двух членов:
T = T0(V-eSy
Таким образом, полная энергия ядра может быть записана в следующем виде:
E = V(T0 + U0) + S^U0-£T0) + ^ / / ^^dVidVj, (П4.20) где последнее слагаемое выражает кулоновскую энергию взаимодействия в предположении, что плотность заряда одинакова по всему объему ядра.
Изменение энергии при деформации (делении) описывается главным образом, как уже было сказано выше, кулоновской энергией Ер и поверхностной энергией Ест в соотношении (П4.20). При малых деформациях доминирует увеличение ЕСТ1 а затем, после прохождения так называемой седловой точки, преобладает кулоновское расталкивание Ер ядер-осколков. Основные свойства деления тяжелых ядер можно свести к следующему перечислению.
Деление тяжелого ядра сопровождается выделением большого количества энергии Е. Для ядра ^П имеем
Е аз А (Ет - Ес) аз о, 8 • 238 аз 200 МэВ,(П4.21)
где А — массовое число, (Ет — Eq) — разность энергии связи нуклона в тяжелых и средних ядрах.
Подавляющая часть энергии деления приходится на кинетическую энергию осколков деления Т, т.к. ядра-осколки разлетаются под действием кулоновского отталкивания. Кулоновская энергия двух осколков, находящихся на расстоянии г, равна
Ер =Ер =Z^ Z2 е2гZ^ Z2 е2г(П4.22)(П4.22)
Ер =
Ер =
Z^ Z2 е2г
Z^ Z2 е2г
(П4.22)
(П4.22)
где Zi, Z2 — заряды осколков деления, е — заряд электрона. Полагая т = Ri + R21 где Й4, R2 — радиусы ядер-осколков (Й4 = R2 = R = = 1,2 • Ю"1^1/3 cm, Zi = Z2 = ^о/2 ~ 46), получим по формуле (П4.22) следующее выражение:
200 МэВ,200 МэВ,462 (4,8 • 10"10)22-1,2-10-13У119-1,6-10-6
200 МэВ,
200 МэВ,
что сопоставимо со значением (П4.21).
Результирующие осколки деления обнаруживают ^“-радиоактивность и избыток нейтронов.
Приведем также важные данные по энергетическому, массовому и зарядовому распределениям продуктов ядерного распада, т. к.
точные данные являются основой для правильной оценки физического баланса в ядерном реакторе и для понимания самого процесса деления (подробная информация по кинетике ядерных реакторов содержится, например, в работах [65, 73, 83, 107, 161, 358, 370]).
Полная энергия, освобождающаяся при делении основных делящихся изотопов, приходится на кинетическую энергию движения осколков, обусловленную кулоновским отталкиванием между ними в момент деления. Остаток относится к энергии возбуждения деформированных осколков, выделяемой при испускании мгновенных нейтронов и у-квантов. Кроме этого, пока не будет достигнута стабильность ядра-осколка, может происходить /3--распад, сопровождаемый испусканием запаздывающих нейтронов и у-квантов. На представленной ниже таблице приведены данные (в МэВ) по полной энергии, выделяемой при делении ^^U^ ^^U-. ^^Ри.
Продукты деления
233гг
92 й
235гг
92 и
239 р
Легкие осколки
99,9 ± 1
99,8 ± 1
101,8 ± 1
Тяжелые осколки
67,9 ± 0,7
68,4 ± 0,7
73,2 ± 0,7
Нейтроны деления
5,0
4,8
5,8
Мгновенные у-кванты /3-частицы, испускаемые
7,0
7,5
7,0
продуктами деления у-кванты, излучаемые
8,0
7,8
8,0
продуктами деления
4,2
6,8
6,2
Полная энергия, выделя
ющаяся в одном акте деления
192
195
202
Экспериментально установлено, что кинетическая энергия осколков деления изменяется с изменением отношения их масс. Считая грубо, что заряд осколка пропорционален его массе и что кинетическая энергия преимущественно определяется кулоновским отталкиванием двух заряженных осколков, можно показать, что полная кинетическая энергия монотонно уменьшается с увеличением отношения масс. В самом общем случае образующиеся в одном акте деления два осколка имеют неравные массы. Наиболее вероятные массы: тяжелого осколка 139 а.е.м. и легкого 95 а.е.м.
В процессе деления от каждого осколка отщепляется от 10 до 20 орбитальных электронов. Образующиеся два положительно заряженных осколка теряют свою кинетическую энергию, возбуждая
и ионизируя атомы, находящиеся в пределах траектории их движения. Начальная скорость тяжелого осколка составляет ю9 см/с, легкого 1,4 . ю9 см/с. Через некоторое время осколки замедляются и приходят в состояние теплового равновесия с окружающей средой. При этом они снова захватывают электроны и в результате становятся нейтральными.
Отметим, что задача нахождения распределения ядерного заряда между осколками деления значительно более сложная и менее исследованная, чем задача распределения масс. Как уже было сказано, нестабильные по отношению к /3-распаду осколки становятся устойчивыми, испуская каскадные электроны, у-кванты и запаздывающие нейтроны. Они сохраняют большую часть своих орбитальных электронов и быстро притягивают недостающие электроны в процессе своего замедления в среде.
Обозначим через Zp наиболее вероятный заряд осколка деления с массовым числом Л; Z\ — наиболее стабильный заряд для данного массового числа Л. Тогда, пользуясь эмпирическим предположением о равном смещении зарядов легкого и тяжелого осколков:
(^ - ZP) = (Ял - Zp)
\ / J1U1 \ / 1л/1\ можно получить соотношение
2р _ ^А — лег тяж ~
где Яд лег и Яд тяж — наиболее стабильные заряды двух дополняющих друг друга осколков ЛЛег и ЛТЯж; Zp — заряд делящегося ядра.
Делению с низкими энергиями соответствует и более низкое значение Яр, т. е. при увеличении энергии возбуждения кривая зарядового распределения уходит к большим значениям Zp. В последнем случае происходит увеличение выхода стабильных изобаров с недостатком нейтронов. Этот эффект можно объяснить увеличением числа испускаемых мгновенных нейтронов при делении с большими энергиями возбуждения: уменьшается число продуктов деления с избытком нейтронов, что, очевидно, приводит к росту Zp.
П4.5.4. Некоторые свойства зарядового распределения. Обсудим некоторые вопросы зарядового распределения продуктов ядерного распада, поскольку от принципиальной возможности зарядового расщепления (в результате многочисленных ядерных реакций) в осколках деления, обладающих наибольшей кинетической энергией, зависит в конечном итоге и решение задачи генерации лавинообразно возрастающей электрической энергии во внешней обмотке ядерного реактора нового типа — ядерного генератора.
Вначале рассмотрим обменное взаимодействие между нуклонами. За счет виртуальных процессов вида
р^п + тг+, n^p + тг-, р^р + тг°, п ^ п + 7Г°
нуклон находится в облаке виртуальных тг-мезонов, образующих поле ядерных сил. При поглощении этих мезонов другим нуклоном создается сильное взаимодействие между нуклонами. В этом случае, обратим на это внимание, каждый из взаимодействующих нуклонов часть времени проводит в заряженном состоянии, а часть — в нейтральном. Например, при рассеянии нейтронов на протонах появляются протоны, имеющие ту же энергию и направление движения, что и падающие нейтроны (захват нейтроном виртуального тг+-мезона и образование протона).
Подобного сорта ’’анизотропия вперед” происходит также при высоких энергиях в случае индивидуального прямого взаимодействия падающей частицы с нуклонами ядра мишени. В результате прямой реакции за время взаимодействия частицы с ядром (порядка ядерного ~ 10-22 с) имеет место резкая анизотропия вперед вторичных частиц, получивших импульс бомбардирующей частицы.
С ростом энергии нейтронов сечение радиационного захвата падает, а число возбужденных состояний увеличивается. При 1 МэВ и выше сечение неупругого рассеяния (n, nf) быстро растет. Реакции с образованием заряженных частиц типа (п, р\ (п, о) идут для нейтронов с энергией выше 0,5 МэВ, т.к. заряженной частице необходимо преодолеть кулоновский барьер.
Итак, можно считать установленным, что при столкновениях внутри ядра происходит интенсивный обмен энергией между нуклонами и падающими частицами. В результате столкновений идет также частичное и прямое расщепление ядер и множественное рождение нестабильных заряженных осколков и элементарных частиц.
П4.5.5. Цепная реакция деления. Вторичные нейтроны, образующиеся при делении ядер, могут вызывать последующие деления. Возникающая при этом цепная реакция деления представляет собой ядерную реакцию, в которой частицы, вызывающие реакцию, сами образуются как результат этой реакции.
Среда, в которой происходит процесс размножения нейтронов, называется активной зоной. Чтобы характеризовать интенсивность размножения нейтронов, вводят физическую величину к^ — коэффициент размножения нейтронов в среде. Этот коэффициент представляет собой отношение количества нейтронов в одном поколении к их количеству в предыдущем поколении. Под сменой поколения понимается ядерное деление, в котором поглощаются нейтроны ста-
рого поколения и рождаются новые нейтроны. Индекс сю указывает на идеальную среду бесконечных размеров.
Аналогично определяется коэффициент размножения нейтронов в физической системе к, который является характеристикой конкретной ядерной установки. Пусть в первом поколении будет N нейтронов, тогда в n-м поколении их число будет равно Nkn. При к = 1 цепная реакция идет стационарно, при к < 1 реакция затухает, при к > 1 реакция нарастает.
Время жизни т одного поколения зависит от свойств среды и имеет порядок 10-8 -У 10-4 с. Для размножения нейтронов необходимо, чтобы при делении они появлялись в достаточном количестве. Обозначим через ц среднее число нейтронов, испускаемых в одном акте деления. Это число зависит от вида ядерного горючего и от энергии падающего нейтрона. Динамика значений ц для основных изотопов ядерной энергетики приведена ниже.
Ядро
233г7
92 й
235Г7
92 и
239 р
Тепловые нейтроны Е = 0,025 эВ
2,52
2,47
2,91
Быстрые нейтроны
Е = 1 МэВ
2,7
2,65
3,0
В делящейся среде конечных размеров часть нейтронов может уходить из активной зоны во внешнюю среду. Обозначим через Р вероятность для нейтрона остаться в активной зоне. Отсюда имеем к = Рк^. С возможностью ухода нейтронов из активной зоны связаны понятия критической массы и критических размеров реактора. Критическим размером называется размер активной зоны, при котором к = 1. Критической массой называется масса активной зоны критических размеров. При массе ниже критической реакция не идет, если даже кое > 1. Превышение критической массы ведет к неуправляемой реакции (взрыву). Для критической массы Р = Ркрит = 1/^оо-
Критическая масса изменяется в широком диапазоне и зависит от разных причин. К примеру, по американским данным, для среды из чистого урана ^К критическая масса равна 47 кг, но для той же среды с полиэтиленовыми прокладками и бериллиевым отражателем этот показатель снижается до 242 г.
При захвате нейтронов ядрами, которые не участвуют в цепной реакции, интенсивность самой реакции снижается; при этом могут образовываться новые ценные изотопы. Схема такого образования
для изотопов урана 2д3П и тория ^Th приводит к появлению ядер- ного горючего в виде изотопов ^Ри и ^П через два последовательных -распада:
238т-г ।92 и +238т-г ।92 и +inin239 тт92 и239 тт92 и/3-/3-^Np^Np/3-/3-(т = 2,3 дня)(т = 2,3 дня)239 Ри94^^239 Ри94^^290^ +290^ +^п^п233^7 7790 1 а233^7 7790 1 а/з-/з-(т = 23,5 мин)(т = 23,5 мин)233 Рп233 Рп/3-/3-(т = 27,4 дня)(т = 27,4 дня)233 7 792 й*233 7 792 й*
238т-г ।
92 и +
238т-г ।
92 и +
in
in
239 тт
92 и
239 тт
92 и
/3-
/3-
^Np
^Np
/3-
/3-
(т = 2,3 дня)
(т = 2,3 дня)
239 Ри
94^^
239 Ри
94^^
290^ +
290^ +
^п
^п
233^7 77
90 1 а
233^7 77
90 1 а
/з-
/з-
(т = 23,5 мин)
(т = 23,5 мин)
233 Рп
233 Рп
/3-
/3-
(т = 27,4 дня)
(т = 27,4 дня)
233 7 7
92 й*
233 7 7
92 й*
В этих двух реакциях заложена возможность воспроизводства ядер- ного горючего в общем процессе течения цепной реакции (в реакторах-размножителях на быстрых нейтронах).
Кинетика цепной реакции очень сложна из-за значительных изменений скорости нейтронов в течение жизни одного поколения. Возникшие при делении нейтроны замедляются, диффундируют и поглощаются с делением, либо без него. Нейтроны, имеющие энергии 1-3 МэВ, успевают замедлиться до различных энергий, а именно при отсутствии замедлителя — до энергий порядка 0,1 - 0,4 МэВ. Соответствующие цепные реакции называются быстрыми.
В природе имеется три изотопа, которые могут служить ядер- ным горючим или материалом для его производства. Это изотопы 2до^? 2д$П и 292^* Первые два цепной реакции не дают, но служат,
как уже отмечалось, сырьем для получения изотопов, на которых идет реакция. Изотоп ^П сам дает цепную реакцию. Отметим также, что 2д3П служит для воспроизводства ядерного топлива и, кроме того, подвергается делению нейтронами с энергией выше 1 МэВ (небольшое дополнительное размножение нейтронов).
Осуществимость цепной реакции в естественной смеси изотопов урана (на ядро ^o^U приходится 140 ядер з^Л возможна только на медленных нейтронах. Реакцию на быстрых нейтронах можно поддерживать лишь в обогащенной смеси, в которой не менее 15 % изотопа 2gf^-
Чтобы произвести цепную реакцию на медленных нейтронах, в активную зону реактора вводят специальные вещества (замедлители), превращающие нейтроны деления в тепловые. В активной зоне реакторов на быстрых нейтронах — так называемых бридерных реакторов — замедлителя нет. Атомная бомба по сути своей также представляет собой неуправляемый реактор на быстрых нейтронах.
Обратим внимание и на то обстоятельство, что для осуществления медленной реакции самого замедлителя (дейтерий, бериллий, углерод и т. д.) должно быть в десятки-сотни раз больше, чем урана. Отсюда можно сделать важный практический вывод о невозможности использования цепной реакции на медленных нейтронах для целей гиперреактивной (гиперонной) космонавтики.
Для реального осуществления ядерной цепной реакции надо уметь этой реакцией управлять. Установлено, что на процесс регулирования самым непосредственным и значительным образом оказывают влияние запаздывающие, вторичные нейтроны. Роль их в управляемой реакции деления очень сильная, т.к. процесс срабатывания регулирующих устройств по времени меньше времени задержки запаздывающих нейтронов.
Доля запаздывающих нейтронов в ядерном топливе составляет от 0,2 до 0,7 %. Среднее время их жизни — 10 с.
Развитие во времени цепной реакции без запаздывающих нейтронов описывается уравнением
, N = No е , (П4.23)
где N — число нейтронов, Nq — начальное число нейтронов при значении t = 0, к — коэффициент размножения, Т — среднее время жизни одного поколения нейтронов, tq = Т/(к — 1) — период реактора. Величина Т Е [10-5 - 10-4 с] характерна для медленных реакций, Т Е [10-8 - НГ7 с] — для быстрых реакций. При Т = 10-4 с, к — 1 = = 10-4 число N возрастает в 100 раз за 4,6 с, при к — 1 = 10-3 — за 0,46 с.
Обозначим через 3 долю запаздывающих нейтронов, Т* — среднее время жизни нейтронно-активного осколка. Имеем /смгн + к*, где ^мгн = (1 — 3) к — коэффициент размножения на мгновенных нейтронах, к* = Зк — коэффициент размножения на запаздывающих нейтронах. Уравнение (П4.23) заменится системой двух (для числа мгновенно испускаемых нейтронов N и числа осколков С, способных к испусканию запаздывающих нейтронов):
dN ^МГН 1 dt ~ т’
dt Т
К’
откуда
N = No et/T,
C = Coet/T
и далее
т к-1
= £Г£
- т *
(П4.24)
Из соотношения (П4.24) следует, что скорость нарастания интенсивности цепной реакции определяется запаздывающими нейтронами. Величина Т*3 имеет порядок 5 • 10-2 с, отсюда следует, что скорость нарастания интенсивности снижается на два порядка за счет запаздывающих нейтронов. К примеру, при к — 1 = 10-3 за время 0,5 с число нейтронов увеличится не в сто раз, а лишь на 10 %.
О роли запаздывающих нейтронов при управлении процессом деления можно сказать несколько иначе. Действительно, запаздывающие нейтроны составляют 0,75 % от всех освобожденных нейтронов. Очевидно, что 1 — 0 — доля мгновенных нейтронов. Если ц — среднее число нейтронов, полученных в одном акте деления, то р (1 — 0) — число мгновенных нейтронов, р0 — число запаздывающих нейтронов. Хорошо видно, что существует возможность так подобрать условия, чтобы выполнялось равенство
Ц1 -0) = 1.
Имеем отсюда к0 = 0, 0075, а значит к = 1, 0075. В этих условиях, когда плотность нейтронного потока растет медленно, становится вполне реальным механическое управление ядерным реактором.
Задачи и упражнения
Настоящая часть книги, содержащая задачи по различным вопросам небесной механики и механики космического полета, по своему объему очень небольшая. Специфика этой части заключается в том, что все предложенные задачи снабжены достаточно подробными пояснениями и указаниями к их решению, возможно, даже слишком детальными. Такая насыщенность комментариями, видимо, оставляет мало места для самостоятельного творческого процесса. Однако этому обстоятельству есть простое объяснение: представленный здесь материал при его проработке может рассматриваться как естественное и полезное дополнение к соответствующим разделам теории, что, как нам кажется, не умаляет достоинств этих задач, а как раз наоборот, делает их более привлекательными для исследования и поиска решений.
Предельный вариант задачи двух неподвижных центров. Рассматривается один случай классической задачи двух неподвижных центров в небесной баллистике в приложении к проблеме движения искусственных спутников в нецентральном гравитационом поле Земли (подробности см. в работах [108, 109]).
В прямоугольной планетоцентрической системе координат, ось абсцисс которой направлена в сторону возмущающего тела, потенциал притяжения двух неподвижных центров т (0,0, 0) и М (с, 0,0) запишется в виде
(1)(1)ушуМ
(1)
(1)
г V т2 — 2сх + с2 ’
где у — постоянная тяготения, т и М — массы притягивающих тел, с — расстояние между центрами, г = у/т2 + ?/2 + г2.
Необходимо найти решение задачи, вернее, полный интеграл для предельного (усеченного) разложения потенциала (1). Наметим пути решения.
уш уМуш уМС этой целью воспользуемся предположением, что планетоцентрическое расстояние т исследуемой точки мало в сравнении с величиной с, и разложим потенциал (1) в ряд по многочленам Лежандра:
уш уМ
уш уМ
(2)
Следуя методу Хилла, примененному в круговой задаче трех тел, ограничимся первыми членами разложения, а именно рассмотрим задачу двух неподвижных центров без учета ’’параллакса” возмущающего тела, т. е. исследуем движение материальной точки в силовом поле
уш уМ
Заключаем отсюда, что моделируемое силовое поле (3) состоит из двух наложенных полей: ньютоновского поля тяготения точечной массы и однородного поля.
Интегрирование этой задачи удобно провести в параболических координатах 91,92,93, которые связаны с прямоугольными x^z зависимостями
г + хг — ху
qi = -^—,92 =’ 9з = arctg-.
Имеем выражения для кинетической энергии
[ (ft + ft)(ftQi + ftй + 4q^ql ]^9192
и для силовой функции
и =и =ymyM ,.
и =
и =
“ I у- (91 - 92)-
91 + 92с2
Для импульсов
= 91 (91 + 92)191= 91 (91 + 92)19192(91+92)..
= 91 (91 + 92)
191
= 91 (91 + 92)
191
Р2 = , Рз = 4^1^293
92
функция Гамильтона Н исследуемой задачи записывается в виде
_ 91Р1 + q2P2 , Рз 3™ 3м ( а
— угг.у + .у- (91 — 92Д
2 (91 + 92)§919291 + 92 с2
Тогда общее решение задачи можно найти с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби
dW 1 Г (SwV1 1диТ
8t + 2 (ft + q^ У1 \8qi ) + 92 ( dft / J + 8ftft(dft/
ym91 + 92ym91 + 92yM ,.
ym
91 + 92
ym
91 + 92
— (91 - 92) = 0.
cz
Полный интеграл следует искать в форме
W = - exit + д29з + V(qi,q2),
где функция V определяется из уравнения Гамильтона Якоби следующего вида
(8V\2(8V\2 apqi+q2)
- 2ац (91 + 92) -- 2ац (91 + 92) -91 Ж +92(^ + 4ftft
- 2ац (91 + 92) -
- 2ац (91 + 92) -
2уМ 2 2а 92“ (91 - 92) = ^Зт,
решаемого методом разделения переменных. Здесь сху^ а2 — канонические постоянные.
Задача Селерье—Сен-Жермена. Считается, что материальная точка двигается в поле тяготения ньютоновского притягивающего центра О, причем
на эту точку дополнительно действует ’’возмущающее” ускорение (например, создаваемое реактивной силой), постоянное по величине и направлению.
Данную задачу Селерье Сен-Жермена [30] требуется довести до уровня интегрируемости в квадратурах. Чтобы найти ее решение, введем декартову систему координат Oxyz с началом в центре притяжения О и безразмерные переменные
trUr . JrtR
т = —, v =, у = —, t =,
ro9oу/то/до
где go = p/uq — ускорение силы тяготения на фиксированном расстоянии г о от притягивающего центра, р = 7 (m + М); т^М — массы точки и притягивающего центра, 7 — гравитационная постоянная; r,u,f,t — безразмерные координаты, компоненты скорости, реактивного ускорения и время; xr,vr, /r3r — соответствующие размерные величины.
Направим ось Ох неподвижной системы координат Oxyz вдоль постоянного вектора / реактивного ускорения. Уравнения движения тогда запишутся в виде
=5 =(4)
где г = у/т2 + ?/2 + г2. При / = 0 имеем уравнения кеплеровского движения.
Выпишем первые интегралы уравнений (4):
интеграл энергии
| (ж2 + у2 + z2) - i - /ж = h,(5)
интеграл площадей
zy-yz = к,(6)
интеграл Лапласа
тгг - - - | /ж2 - | /г2 - 2hx = с(7)
с постоянными h,k,c. Наличие трех первых интегралов (5)(7) приводит к ин
тегрируемости в квадратурах этих уравнений.
Подобно задаче для двух неподвижных центров, решение можно найти путем интегрирования уравнения Гамильтона Якоби в некоторой системе криволинейных координат. Однако рассматриваемая задача допускает непосредственное решение, т. е. система первых интегралов (5)(7) может быть проинтегрирова
на, если подходящим образом осуществить преобразование этих интегралов.
Для этого надо ввести новые переменные
и = г — х, ио = г + X,
откуда г = (и + w)/2, х = (и — w)/2, а также третью переменную р, удовлетворяющую соотношениям
У •2
COS р= —, Sin р= —, Щ = V.
ЧГ1
Вместо времени t надо ввести параметр т так, чтобы г dr = dt.
Тогда, переходя в первых интегралах (5)(7) от х^у^З к м,д,^,т, можно
их разрешить относительно производных ^, ^, ^.
Можно показать также, что движение подчиняется квадратурам
dwVWWdwVWW(8)(8)
dw
VWW
dw
VWW
(8)
(8)
с произвольными постоянными 6*1,6*2, где обозначено
U(и) = - fu3 + Shu2 + 2 (1 - с) и - к2,
W(w) = /w3 + 2hw2 + 2 (1 + с) w - к2.
Отметим еще, что интегралы (8) могут быть обращены с помощью эллиптических функций Якоби.
Об оптимальном выборе реактивного ускорения. Для эффективного управления полетом ракеты необходимо обеспечить оптимальный режим движения, т. е. с наименьшим расходом топлива [30]. Другими словами, надо найти номинальный закон изменения с течением времени реактивного ускорения f(3\
Чтобы в дальнейшем точно сформулировать задачу, запишем вначале выражение для /, пользуясь определением реактивной силы:
V dm
т dt ’
где m(t) — переменная масса ракеты, | dm/dt | — расход массы в единицу времени, V — относительная скорость движения частиц в реактивной струе.
Находясь в рамках действия гипотезы Циолковского, можем положить V = = const. Тогда из уравнения (9) найдем
— = ехрt f(t) dt\,
т0 \ Г ./о/
где t* — время активного участка движения, т* = m(t*) — конечная масса (полезный груз), то = т(0) — начальная масса ракеты.
Величина отношения т*/то тем больше, чем меньше величина интеграла
(10)
Таким образом, приходим к следующей формулировке (в предположении, что V = const) : надо выбрать реактивное ускорение (управление) / так, чтобы обеспечить выполнение заданного (программного) режима движения с наименьшим значением интеграла (10).
В действительности для многих типов реактивных двигателей условие V = = const не имеет места. Однако выполняется условие N = const, где N — мощность двигателя в струе, т. е. мощность двигателя, которая переходит в кинетическую энергию реактивной струи. По определению имеем
V2 dm
2 dt
Из соотношений (9) и (11) получим уравнение
1 dm/2
т2 dt2N’
интегрируя которое, имеем
т*1
Из написанного равенства следует, что отношение масс т*/т$ тем больше, чем меньше величина интеграла
J= Г* fWt(12)
Vo
Итак, задача об оптимальном выборе реактивного ускорения ракеты может быть поставлена следующим образом: при осуществлении заданного движения с помощью двигателя, для которого величина мощности N (11) постоянна, необходимо выбрать оптимальное реактивное ускорение f(t) (оптимальное управление) так, чтобы обеспечить выполнение условия для значения интеграла (12): J miny^)e^, где F — множество допустимых управлений, определяемых граничным неравенством |/(t) | < Су, Су — заданная постоянная. Отметим, что накладываемое на выбор управлений ограничение не дает возможности решать задачу вариационными методами. В работе [30] данную задачу предлагается решать с помощью принципа максимума Понтрягина.
Решение уравнения Кеплера. Для определения положения спутника в заданный момент времени требуется разрешение трансцендентного уравнения Кеплера (см. работу [269] и Приложение 1, § П1.2).
Ставится задача: необходимо приближенно решить уравнение Кеплера с любой наперед заданной степенью точности. В качестве одного из возможных итерационных алгоритмов решения можно указать на метод неподвижной точки [22]. Предваряя схематическое изучение этого метода, покажем, что Ve Е (0, 1) уравнение Кеплера имеет единственное решение. В самом деле, введем вспомогательную функцию у)^а\ т. ч.
ip(a) = а — esintr — N,
с производной
^(сг) = 1 — е cos ст,
где ipf(cr) > 0 при е < 1. Отсюда следует, что функция <р(сг) монотонно возрастает и имеет единственный корень а*, т. е. ip(a*) = 0.
Для применения метода неподвижной точки запишем уравнение Кеплера в виде
а = е sin а + N,
где за нулевое приближение сто искомого корня а* можно взять любое число. Алгоритм приближения ап к корню а* задается уравнением
crn+i = е sin ап + N.(13)
Покажем, что последовательность { ап }п>о сходится при любом начальном приближении. Рассмотрим с этой целью ряд ctq + 52^о (^n+i — ^п)- Частичные
суммы этого ряда совпадают с членами последовательности { ап }n>o- С учетом уравнения (13) имеем оценку
I сгп+1 - СГП I = е I sin СГП - sin an_i | =
= 2е sin -cos - < е | ап - ап_! |,(14)
поскольку справедливы неравенства
Из неравенства (14) имеем цепочку ограничений
I сг2 - (71 | < е | (71 - (70 I, I (73 - (72 I < е | (72 - (71 | < е2 | (71 - (70 |, ...,
kn+1 - сгп I < еп |(71 - (70 I, т. е. заключаем отсюда, что члены исходного ряда мажорируются соответствующими членами для суммы сходящейся (убывающей) геометрической прогрессии 52^0 е?г I ^i — ^о h гДе знаменатель прогрессии е Е (0, 1). Это, очевидно, обеспечивает сходимость исходного ряда (7q + 52^о (^n+i — сг-п) и последовательности {}п>0-
Обозначим через ст* предел этой последовательности:
(7* = lim ап.
Тогда при переходе к пределу при п ос в соотношении (13) получим
ст* = е sin ст* + N,
а это значит, что а* — решение уравнения Кеплера, т. е. а* = f(a*) — неподвижная точка преобразования у = f(a), где f(a) = е sincr + N.
Несложно оценить п ое приближение. Имеем
| °"* — °"п | =^^°"тг+к — ^п+к — 1) < ^| °"тг+к — ^п+к — 1 | <
। к=1।к=1
< ^ еп+к | (71 - (70 II (71 - (70 I,
1 — е к=0
ИЛИ
| СТ* — СГ-п | ^ i " | ^n — ^n —1 |-1 — е
Отсюда заключаем, что корень уравнения Кеплера можно найти за конечное число шагов итерационной процедуры с необходимой степенью точности.
Задача Кеплера в классическом рассмотрении. Надо показать, что метод интегрирования Гамильтона Якоби приводит к решению астрономической задачи Кеплера о движении планет [139].
При решении этой задачи будем исходить из функции Лагранжа для задачи двух тел (в предположении, что Солнце М неподвижно), которая в полярных координатах имеет вид
(15)(15)Т/-2 ,2 - 2\ , тМ
(15)
(15)
L = — (г + гуз)+у,
2 х/ т
где т^М — массы планеты и Солнца соответственно, (г, 92) — полярные переменные в плоской системе координат с началом в точке М, 7 — гравитационная постоянная.
Выразим отсюда обобщенные импульсы
рт = mr, рф = тт^ф
и введем их в формулу (15). Изменяя знак перед потенциальной энергией, можем написать функцию Гамильтона
Затем напишем уравнение Гамильтона
H(q,p) = W,
где q,p — канонические переменные, S — функционал действия, W — полная энергия, в видегде q,p — канонические переменные, S — функционал действия, W — полная энергия, в виде
где q,p — канонические переменные, S — функционал действия, W — полная энергия, в виде
где q,p — канонические переменные, S — функционал действия, W — полная энергия, в виде
Решение уравнения (16) предлагается найти методом разделения переменных и представить в виде
S = R(r)-\-Ф(узф(17)
где функции R^r), Ф(^) зависят только от г и уз соответственно.
Подставляя выражение (17) в уравнение (16), получим
где обозначено
Из уравнения (18) вытекает, что т. к. / не зависит от уз (это означает, что уз является циклической координатой и явно в дифференциальное уравнение не входит), то достаточно положить
— = С = const, ауз
и тогда для определения R получим уравнение
Отметим, что уравнение (19) может быть разрешено в квадратурах.Согласно общей схеме решения надо положить С = сх2 = const. В этом случае уравнение (16) распадается на два уравнения:Отметим, что уравнение (19) может быть разрешено в квадратурах.Согласно общей схеме решения надо положить С = сх2 = const. В этом случае уравнение (16) распадается на два уравнения:asas(20)(20)= «2, dip= «2, dip(21)(21)В этой системе уравнение (20) дает нам интеграл площадей (второй закон Кеплера), где СХ2 представляет собой постоянный момент импульса; уравнение (21)В этой системе уравнение (20) дает нам интеграл площадей (второй закон Кеплера), где СХ2 представляет собой постоянный момент импульса; уравнение (21)дает уравнение изменения радиального импульса.При замене W на дх с помощью уравнений (20), (21) найдем функционал действиядает уравнение изменения радиального импульса.При замене W на дх с помощью уравнений (20), (21) найдем функционал действия8 =8 =тМ\У dr + а2^ + ^Сг / г2тМ\У dr + а2^ + ^Сг / г2(22)(22)где К — произвольная постоянная (это означает, что нижний предел интегрирования Го может быть выбран произвольно); ац,^ — канонические постоянные.Найдем далее уравнение траектории (орбиты), или, иначе, займемся обоснованием первого закона Кеплера. Для этого вычислимгде К — произвольная постоянная (это означает, что нижний предел интегрирования Го может быть выбран произвольно); ац,^ — канонические постоянные.Найдем далее уравнение траектории (орбиты), или, иначе, займемся обоснованием первого закона Кеплера. Для этого вычислимasда2asда2drdr(23)(23)
Отметим, что уравнение (19) может быть разрешено в квадратурах.
Согласно общей схеме решения надо положить С = сх2 = const. В этом случае уравнение (16) распадается на два уравнения:
Отметим, что уравнение (19) может быть разрешено в квадратурах.
Согласно общей схеме решения надо положить С = сх2 = const. В этом случае уравнение (16) распадается на два уравнения:
as
as
(20)
(20)
= «2, dip
= «2, dip
(21)
(21)
В этой системе уравнение (20) дает нам интеграл площадей (второй закон Кеплера), где СХ2 представляет собой постоянный момент импульса; уравнение (21)
В этой системе уравнение (20) дает нам интеграл площадей (второй закон Кеплера), где СХ2 представляет собой постоянный момент импульса; уравнение (21)
дает уравнение изменения радиального импульса.
При замене W на дх с помощью уравнений (20), (21) найдем функционал действия
дает уравнение изменения радиального импульса.
При замене W на дх с помощью уравнений (20), (21) найдем функционал действия
8 =
8 =
тМ\
У dr + а2^ + ^С
г / г2
тМ\
У dr + а2^ + ^С
г / г2
(22)
(22)
где К — произвольная постоянная (это означает, что нижний предел интегрирования Го может быть выбран произвольно); ац,^ — канонические постоянные.
Найдем далее уравнение траектории (орбиты), или, иначе, займемся обоснованием первого закона Кеплера. Для этого вычислим
где К — произвольная постоянная (это означает, что нижний предел интегрирования Го может быть выбран произвольно); ац,^ — канонические постоянные.
Найдем далее уравнение траектории (орбиты), или, иначе, займемся обоснованием первого закона Кеплера. Для этого вычислим
asда2
asда2
dr
dr
(23)
(23)
где согласно теореме Якоби величина, стоящая слева (dS/do^ = 02 = const), может рассматриваться как постоянная интегрирования. Перейдем в уравнении (23) к новой переменной интегрирования з = 1/г. Тогда получим
02 — I [2m (оц + ^mMs) — д^2 ] ds =
J SoSmin) (smax sj
где обратные величины расстояний от афелия и перигелия smin, smax удовлетворяют соотношениям
2тдх2ут2М
Smin Smax —о ? Smjn Т Smax —~
«2«2
Можно показать, что интеграл (24) с помощью подстановки
Smin Т Smax (Smax Smjn) Н
S “22
приводит к результату
Р — 02 = arccos и, и = cos (92 — Д).
Так как
. _ 1_ 1
Smin — Д : 7 ? Smax — —--,
а (1 + е)а (1 - е)
где а — большая полуось, е — эксцентриситет эллипса, то имеем
1ей
а (1 — е2) а (1 — е2)
Отсюда и из соотношения (25) следует известное уравнение эллипса (орбиты):
_ 1 _ 1 + ecos (р - Д)
г а (1 — е2)’
где в старых обозначениях р — Д = а — истинная аномалия, а(1 — е2) = р — параметр орбиты.
Дальнейшее исследование процесса движения по орбите во времени (вывод уравнения Кеплера) на основе метода Гамильтона Якоби предоставляем самому читателю.
Вариационная задача оптимизации движения в центральном поле. Рассматривается вариационная задача [101] о построении оптимального закона реактивного ускорения f(t) с функционалом (12):
J = [ /2(t) dt min,JoКЗ
r = v, r(O) = ro, r(t*) = r*,(26)
v(0) = vq, u(t*) = v*,0 < f(t) < oc, | e(t) | = 1,
где в прямоугольной инерциальной системе координат Mxyz с началом в притягивающем центре М уравнение движения космического аппарата с массой m = 1 имеет вид
f = v = / + g. г =.
Здесь / = f(t) — вектор реактивного ускорения, д = у(гД) — вектор ускорения от гравитационных сил, образующих нестационарное потенциальное поле:
g(r, t) = — gradr U(r, t), lim U(r, t) = 0,
где U(r,t) = ^M/r — гравитационный потенциал, у — гравитационная постоянная.
Требуется определить оптимальный закон изменения f(t) и направления e(t) вектора реактивного ускорения. Вариационная задача (26) сформулирована как динамическая вариационная задача Лагранжа с дифференциальными связями и краевыми условиями на местоположение и скорость. При отсутствии граничных управлений можно для решения задачи (26) применить аппарат вариационного исчисления.
Часто оказывается удобно задачу (26) записывать в форме, не требующей учета дифференциальных связей. Для этого, очевидно, надо представить ускорение / в функциональном выражении для J с помощью уравнений движения: г = f(t) + g^r, t\ Принимая во внимание, что движение КА происходит в поле одного гравитационного центра, получим: д(гЗ) = — кт!т\ к = уМ. В этом случае
2
J = Jo ^~9^Г,3(27)
r(0) = го, f(0) = vq, r(t*) = r*,r(t*) = v*.
Решение вариационной задачи (27), таким образом, сводится к нахождению экстремалей функционала J. проходящих через заданные начальную (rg, мд) и конечную (г*, и*) точки пространства координат скоростей при фиксированных начальном t = 0 и конечном t = t* моментах времени.
Задачу об оптимизации движения можно также записать в формулировке Майера (задача Майера):
j = /2 = (/е)2,J(0) = 0,J(t*) = min,
r = v,Ж>0,|e(t)| = l,
г(0) = Tg, r(t*) = T*,v(0) = Mg, u(t*) = 1J*.
Найдем далее уравнения экстремалей и их первые интегралы. Запишем функционал (27) в покомпонентной форме в прямоугольной инерциальной системе координат Mxyz :
J= r*^x-Xf + (y-Yf + (z-Zf"\dt ЕЕ
= [ F(t,x,y,z,x,y,z) dt,(28)
7g
д(0) = Tg, y^ = y0, г(0) = Zq, X^t^ = X*, y(t*) = y*, Z^t^ = Z*,
±(0) = Mg, ^(0) = Mg, i(0) = Wg, x(t*) = H*, y(t*) = M* , z(t*) = W*,
где X = X(t,x,y, z), Y = Y(t, x, y, z), Z = Z(t,x,y,z) — компоненты вектора гравитационного ускорения g(r, t).
Для первой вариации 5J функционала J (28) найдем
5J =5J =ЭРЭРЭР. d ЭР. d ЭР. d ЭР\ , |‘-
5J =
5J =
ОхоуOz dt Ox dt Оуdt oz)|0
()F№Л d 9Fd dF r d dF\r
оуoz у |0 у dt oxdt оу dt oz у |0
(29)(29)fM / d2 ЭРЭР\ r/ d2 ЭРЭР\,(<Р ЭРЭР\ , ] ,
(29)
(29)
о \ dF Охих уу dF Оуоу у у dF ozoz у J
В соотношении (29) при заданных начальной (tg, Tg, Уо, гд, Мд, Мд, Wg) и конечной (t*, х*, у*, z*, и*, и*, W*) точках вариации концов траектории равны нулю и в последующем анализе не участвуют.
Поэтому после приравнивания нулю скобок при вариациях 5х, бу, 6z в подинтегральном выражении (29) получим уравнения Эйлера для исследуемой вариационной задачи в векторной форме
j = ^-U*9~), J = r-g,ОТ
где / = f (fx, fy, fz), или в координатной форме
f _9_2Lf Y-X A
Jx — Jx I Jy I Jz^ OXOXOX
fy = y-Y,fy = y-Y,(31)(31).. ЭХ 8Y 9Z
fy = y-Y,
fy = y-Y,
(31)
(31)
и - дуН + 9у /у + 9у и,
f _ЭХЭХ3Z
Jz —J X \ гхJZ^
OZOZOZ
Для случая g = — кт/т3 уравнения экстремалей (30) или (31) имеют четыре первых интеграла: один скалярный и один векторный (см. работу [31]) в виде
(32)(32)(33)(33)I f - d у) -= const,
(32)
(32)
(33)
(33)
f х v — f х г = const,
причем в плоском случае имеем два скалярных интеграла
- (Ри + Ле - к ^(^ = const,(fxV ~ fyU) ~ йхУ ~ fy^ = Const.
Отметим в качестве замечания, что скалярный интеграл в системе (32) или (33), соответствующий первому равенству, имеет место для любого стационарного потенциального поля g(T,t) = 9(^)1 когда в интеграле (28) функция F не зависит явно от времени, т. е. dF/dt = 0.
Движение в оскулирующих элементах. Требуется для возмущенного движения спутника найти так называемое движение в оскулирующих элементах [268, 269]. Кроме силы притяжения центрального тела на КА могут также действовать другие возмущающие силы, вызванные нецентральностью поля тяготения, действием сил притяжения каких-либо небесных тел, сопротивлением фрагментов атмосферы, давлением света, магнитным полем планеты и т.д.
Запишем возмущенное движение спутника (по фактической орбите) в виде векторного уравнения
d2TfirQ
dt2г2
где т — радиус-вектор КА относительно притягивающего центра М, р = уМ — гравитационный параметр, т° = т/т — единичный вектор, а — вектор ускорения, порождаемого возмущающими силами.
Невозмущенная орбита, когда в уравнении (34) a(F) = 0, называется оскули- рующей орбитой, соответствующей моменту времени Д. Изменению Д отвечает семейство оскулирующих орбит с огибающей в виде фактической возмущенной орбиты.
Оскулирующая орбита определяется своими шестью оскулирующими элементами р, е, i, Q, д, t* (см. П1.2.3). Таким образом, каждой точке фактической орбиты соответствует конкретный векторный набор q оскулирующих элементов: q = g (р, е, z, Q, д, t*). По текущим значениям q/t) можно найти векторы т/t) и r(Fp которые полностью определяют движение КА по фактической возмущенной орбите. Следовательно, составление системы шести дифференциальных уравнений первого порядка для оскулирующих элементов равносильно определению возмущенной орбиты:
ф = f(s,q,a),(35)
as
где s — некоторая независимая переменная (время, истинная аномалия и пр.).
Система (35) в сравнении с системой (34) обладает преимуществами: 1) при малых возмущающих ускорениях, когда | а | F р/г2, вектор q(-) меняется медленно при движении по орбите и этим можно воспользоваться для применения асимптотических методов расчета; 2) решение q(-) системы (35) позволяет качественно определить характер изменения орбиты под действием возмущающих сил.
Обозначим: г(х, у, г), г = и (гж, Пу, uz) — координаты и скорость спутника в возмущенном движении; r^x^y^Y г = г (гж, гф, г2) — координаты и скорость спутника в оскулирующем движении. В любой точке касания возмущенной и невозмущенной орбит имеет место равенство
F(x,y,z,ux,Uy,uz) = FlFdFFFyF^
где F(-) — некоторая функция координат и компонент вектора скорости.
Учтем уравнения возмущенного движения и найдем dF/dt при движении по возмущенной орбите:
dF dF dF dF
dF ,, 9F ,, 9F ,,
az)’
где g = — pr°/т2 = g (gx, g^^ gz), a = a (axFyFz\ Аналогично, принимая во внимание уравнения невозмущенного движения, можем написать dF/dt при движении по оскулирующей орбите:
dF dF_ dF _ dF _ dF dF dF "dF&F + F^ + Fz + FF + F9^F9z'
В момент касания возмущенной и невозмущенной орбит должно выполняться равенство
dF"dFdFdFdFdFdF
dtdtdtdtdvxdvydvz
^=0, dt^=0, dtПринимая в качестве функции F любой элемент а оскулирующей орбиты, получим равенство
^=0, dt
^=0, dt
а (ж, у, г, гж, уу, uz) = const,
для оскулирующей орбиты и
da dadadada
FT = FT=о^ +о^у +яG;
dt dtdvxduydvz
для возмущенной орбиты.
Задача трех тел. Требуется найти движение трех притягивающих то
чечных тел Ш1,Ш2,тз с массами Ш1,т2,тз? вернее, их интегралы, которым это движение в полной мере подчиняется [269]. Введем для этого некоторую инерциальную систему координат Oxyz с началом в некоторой точке О и с произвольным направлением осей. Пусть т%1 г = 1,2,3, — радиусы-векторы этих тел.
Тогда движение тела mi происходит под действием силы Fi = F21 + F31, где
mim2B21 = 7 —3— Д2mim2B21 = 7 —3— Д2(^ - Г1),(^ - Г1),mim3 ,.
mim2
B21 = 7 —3— Д2
mim2
B21 = 7 —3— Д2
(^ - Г1),
(^ - Г1),
И2 = k2 - и hЗдесь 7 — гравитационная постоянная,И2 = k2 - и hЗдесь 7 — гравитационная постоянная,Из = |r3 - ri |.^21, K31 — силы притяжения тела mi кИз = |r3 - ri |.^21, K31 — силы притяжения тела mi ктелам т2,тз соответственно; Г12, Г13 — расстояния между телом mi и телами т2,тз соответственно. Движение тела mi описывается по закону всемирного тяготения Ньютона векторным уравнениемтелам т2,тз соответственно; Г12, Г13 — расстояния между телом mi и телами т2,тз соответственно. Движение тела mi описывается по закону всемирного тяготения Ньютона векторным уравнениемd2Ti mim2 ,. , mim3mi д = i —3— ь - n) + 7 —3— (r3 - n).112'13d2Ti mim2 ,. , mim3mi д = i —3— ь - n) + 7 —3— (r3 - n).112'13(36)(36)Аналогично выглядят векторные уравнения движения тел m2 и m3 :Аналогично выглядят векторные уравнения движения тел m2 и m3 :d2r2 m2^d2r2 m2^тхт2 ,. , m2m3--3- (ri - r2) + 7 —3- ^ - r2\r21r23тхт2 ,. , m2m3--3- (ri - r2) + 7 —3- ^ - r2\r21r23(37)(37)<?гзdt2<?гзdt2тхт3m2m3—(A - r3) + 7 —3- ^ ~ гз),r31r32тхт3m2m3—(A - r3) + 7 —3- ^ ~ гз),r31r32(38)(38)где Г21 = Г12, Г31 = Г13, Г23 = Г32 = I г2 - Гз |.Кратко обрисуем способы нахождения интегралов задачи трех тел. После сложения уравнений (36)(38) получим соотношениегде Г21 = Г12, Г31 = Г13, Г23 = Г32 = I г2 - Гз |.Кратко обрисуем способы нахождения интегралов задачи трех тел. После сложения уравнений (36)(38) получим соотношениеd2ri d2r2 Адmll^+m2l^+m3l^=0’d2ri d2r2 Адmll^+m2l^+m3l^=0’интегрируя которое дважды, запишеминтегрируя которое дважды, запишемAdr2dra .mi — + m2 — + m3 — = A,dtdtdtAdr2dra .mi — + m2 — + m3 — = A,dtdtdt(39)(39)и далееи далееmiri + m2r2 + m3r3 = At + B. где A, В — произвольные векторные постоянные.miri + m2r2 + m3r3 = At + B. где A, В — произвольные векторные постоянные.(40)(40)Пусть Сь — центр масс системы трех ть в координатной системе Oxyz (О ^ Сь\Пусть Сь — центр масс системы трех ть в координатной системе Oxyz (О ^ Сь\тел (барицентр) с радиусом-векторомтел (барицентр) с радиусом-векторомmiTi + m2r2 + m3r3 ть = miTi + m2r2 + m3r3 ть = mmm = mi + m2 + m3.m = mi + m2 + m3.b3i = 7 —3— a - a,Дз
И2 = k2 - и h
Здесь 7 — гравитационная постоянная,
И2 = k2 - и h
Здесь 7 — гравитационная постоянная,
Из = |r3 - ri |.
^21, K31 — силы притяжения тела mi к
Из = |r3 - ri |.
^21, K31 — силы притяжения тела mi к
телам т2,тз соответственно; Г12, Г13 — расстояния между телом mi и телами т2,тз соответственно. Движение тела mi описывается по закону всемирного тяготения Ньютона векторным уравнением
телам т2,тз соответственно; Г12, Г13 — расстояния между телом mi и телами т2,тз соответственно. Движение тела mi описывается по закону всемирного тяготения Ньютона векторным уравнением
d2Ti mim2 ,. , mim3
mi д = i —3— ь - n) + 7 —3— (r3 - n).
112'13
d2Ti mim2 ,. , mim3
mi д = i —3— ь - n) + 7 —3— (r3 - n).
112'13
(36)
(36)
Аналогично выглядят векторные уравнения движения тел m2 и m3 :
Аналогично выглядят векторные уравнения движения тел m2 и m3 :
d2r2 m2^
d2r2 m2^
тхт2 ,. , m2m3
--3- (ri - r2) + 7 —3- ^ - r2\
r21r23
тхт2 ,. , m2m3
--3- (ri - r2) + 7 —3- ^ - r2\
r21r23
(37)
(37)
<?гз
dt2
<?гз
dt2
тхт3m2m3
—(A - r3) + 7 —3- ^ ~ гз),
r31r32
тхт3m2m3
—(A - r3) + 7 —3- ^ ~ гз),
r31r32
(38)
(38)
где Г21 = Г12, Г31 = Г13, Г23 = Г32 = I г2 - Гз |.
Кратко обрисуем способы нахождения интегралов задачи трех тел. После сложения уравнений (36)(38) получим соотношение
где Г21 = Г12, Г31 = Г13, Г23 = Г32 = I г2 - Гз |.
Кратко обрисуем способы нахождения интегралов задачи трех тел. После сложения уравнений (36)(38) получим соотношение
d2ri d2r2 Ад
mll^+m2l^+m3l^=0’
d2ri d2r2 Ад
mll^+m2l^+m3l^=0’
интегрируя которое дважды, запишем
интегрируя которое дважды, запишем
Adr2dra .
mi — + m2 — + m3 — = A,dtdtdt
Adr2dra .
mi — + m2 — + m3 — = A,dtdtdt
(39)
(39)
и далее
и далее
miri + m2r2 + m3r3 = At + B. где A, В — произвольные векторные постоянные.
miri + m2r2 + m3r3 = At + B. где A, В — произвольные векторные постоянные.
(40)
(40)
Пусть Сь — центр масс системы трех ть в координатной системе Oxyz (О ^ Сь\
Пусть Сь — центр масс системы трех ть в координатной системе Oxyz (О ^ Сь\
тел (барицентр) с радиусом-вектором
тел (барицентр) с радиусом-вектором
miTi + m2r2 + m3r3 ть =
miTi + m2r2 + m3r3 ть =
m
m
m = mi + m2 + m3.
m = mi + m2 + m3.
(41)(41)Отсюда интегралы (39), (40) можно записать в виде
(41)
(41)
fb = — A, Tb = — (At + B).mm
Из равенств (41) следует, что в инерциальной системе координат барицентр системы трех тел совершает равномерное и прямолинейное движение.
Далее умножим векторно уравнения (36)(38) слева соответственно на
П Д2 Дз и сложим их:
/ d2ri ттг. f n x —/ d2ri ттг. f n x —' d2r2T2X1F' d2r2T2X1F= 0.= 0.
/ d2ri ттг. f n x —
/ d2ri ттг. f n x —
' d2r2
T2X1F
' d2r2
T2X1F
= 0.
= 0.
Легко проверить, что это равенство можно представить в виде
[mi (n х 9+m2 J x 5)+тз (гз x $) ]=°’
т.к. тг (гг х ту) = О, г = 1,2,3. Отсюда вытекает, что
к=(ri х 9+m2 (гг х $)+тз J х 5)=(42)
где С — постоянный вектор. Таким образом, интеграл (42), геометрически соответствующий интегралу площадей, означает постоянство (сохранение) кинетического момента К системы трех тел.
Чтобы определить интеграл энергии в данной задаче, рассмотрим потенциальную функцию
/mim2 , Ш1Ш3 т2т3\ U[r1,r2,r3) = 711.
\ 02 Оз Оз /
Тогда уравнения (36)(38) можно компактно записать в виде
тг = gradn U, г = 1,2,3.(43)
Домножим соответствующие уравнения (43) скалярно на dri/dt и сложим их почленно:
d JU / dr% 5 2 dU
dt ^ m\dtJ dt
После интегрирования этого равенства получим в итоге
| Т т=у? = ^ + ^^ ’ (44) г=1
где h — произвольная постоянная. Здесь (1/2) 52^ тги^ — кинетическая энергия системы, — U — потенциальная энергия системы. Следовательно, интеграл (44) свидетельствует о постоянстве полной энергии системы трех тел.
Заметим, что три векторных первых интеграла (39), (40), (42) и один скалярный первый интеграл (44) дают десять первых скалярных интегралов системы и в целом могут быть легко обобщены на произвольное число притягивающих тел. Исследование движения системы трех тел относительно их барицентра, а также относительно одного из притягивающих тел предлагается провести самостоятельно либо с помощью работы [269].
Таблица физических констант
Скорость света в вакууме с
Постоянная Больцмана к
Число Авогадро Na
Атомная единица массы (1 а.е.м. =
= 10-3 КГ • MOЛЬ_1/^л)
Ускорение свободного падения д
Гравитационная постоянная у
1 электронвольт (эВ)
мегаэлектронвольт (МэВ)
Масса покоя электрона те
Масса покоя протона тр
Масса покоя нейтрона тп
Заряд электрона е
Постоянная Планка К
h = h/2-к
Комптоновская длина волны электрона
Хв = h/<тес^
Комптоновская длина волны протона Хр = hf (трс)
Комптоновская длина волны нейтрона Хп = h/(mnc)
Магнетон Бора цъ = еКЦ2те^
Ядерный магнетон дп = екЦ2тр^
Боровский радиус ао = Я2/(тее2)
Классический радиус электрона
ге = дое2/(47гте) = е2/(тес2)
Постоянная тонкой структуры
а = Досе2 / (2^) = e2/(/ic)
Магнитная постоянная До
Электрическая постоянная £о = 1/(д0с2)
299792458 м/с1,380662 • 10"23 Дж/К 6,0220943 • 1023 моль"1 1,6605655 • 10"27 кг = = 931,5016 МэВ9,80665 м/с26,6720- 10"11 Н • м2/кг2 1,6021892 • 10"19 Дж 1,6021892 • 10"13 Дж 0,9109534- 1O“30 кг 1,6726485 • 10"27 кг 1,6749543 • 10“27 кг 1,6021892 • 10"19 Кл 6,626176 • 10~34 Дж/Гц 1,0545887- 10"34 Дж/Гц2,4263089- 10“12 м1,3214099- 10“15 м1,3195909- 10“15 м9,274078 • 10"24 Дж/Тл 5,050824- 10"27 Дж/Тл 0,52917706- 10-10 м2,8179380-10“15 м0,0072973506 12,5663706144- 10“7 Гн/м8,85418782 • 10"12 Ф/м 10-15 м299792458 м/с1,380662 • 10"23 Дж/К 6,0220943 • 1023 моль"1 1,6605655 • 10"27 кг = = 931,5016 МэВ9,80665 м/с26,6720- 10"11 Н • м2/кг2 1,6021892 • 10"19 Дж 1,6021892 • 10"13 Дж 0,9109534- 1O“30 кг 1,6726485 • 10"27 кг 1,6749543 • 10“27 кг 1,6021892 • 10"19 Кл 6,626176 • 10~34 Дж/Гц 1,0545887- 10"34 Дж/Гц2,4263089- 10“12 м1,3214099- 10“15 м1,3195909- 10“15 м9,274078 • 10"24 Дж/Тл 5,050824- 10"27 Дж/Тл 0,52917706- 10-10 м2,8179380-10“15 м0,0072973506 12,5663706144- 10“7 Гн/м8,85418782 • 10"12 Ф/м 10-15 м1 фермы
299792458 м/с
1,380662 • 10"23 Дж/К 6,0220943 • 1023 моль"1 1,6605655 • 10"27 кг = = 931,5016 МэВ
9,80665 м/с2
6,6720- 10"11 Н • м2/кг2 1,6021892 • 10"19 Дж 1,6021892 • 10"13 Дж 0,9109534- 1O“30 кг 1,6726485 • 10"27 кг 1,6749543 • 10“27 кг 1,6021892 • 10"19 Кл 6,626176 • 10~34 Дж/Гц 1,0545887- 10"34 Дж/Гц
2,4263089- 10“12 м
1,3214099- 10“15 м
1,3195909- 10“15 м
9,274078 • 10"24 Дж/Тл 5,050824- 10"27 Дж/Тл 0,52917706- 10-10 м
2,8179380-10“15 м
0,0072973506 12,5663706144- 10“7 Гн/м
8,85418782 • 10"12 Ф/м 10-15 м
299792458 м/с
1,380662 • 10"23 Дж/К 6,0220943 • 1023 моль"1 1,6605655 • 10"27 кг = = 931,5016 МэВ
9,80665 м/с2
6,6720- 10"11 Н • м2/кг2 1,6021892 • 10"19 Дж 1,6021892 • 10"13 Дж 0,9109534- 1O“30 кг 1,6726485 • 10"27 кг 1,6749543 • 10“27 кг 1,6021892 • 10"19 Кл 6,626176 • 10~34 Дж/Гц 1,0545887- 10"34 Дж/Гц
2,4263089- 10“12 м
1,3214099- 10“15 м
1,3195909- 10“15 м
9,274078 • 10"24 Дж/Тл 5,050824- 10"27 Дж/Тл 0,52917706- 10-10 м
2,8179380-10“15 м
0,0072973506 12,5663706144- 10“7 Гн/м
8,85418782 • 10"12 Ф/м 10-15 м
Список литературы
Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. — М.: Мир, 1984. Т. 1.300 с., Т. 2.360 с.
Абрамов А.И. Основы ядерной физики. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 256 с.
Абцуг М., Стеффан К., Вольгенау Э. и др. Управление космическими летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1967. — 324 с.
Агафонов С.А., Барабанов А.Е., Фомин В.Н. Адаптивная фильтрация случайных процессов // Вопросы кибернетики. Актуальные задачи адаптивного управления. — М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1982. — С. 4 30.
Айзенберг И., Грайнер В. Микроскопическая теория ядра. — М.: Атомиздат, 1976.487 с.
Айзерман М.А. Классическая механика. — М.: Наука, 1974. — 368 с.
Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. — М.: Наука, 1966. 452 с.
Александров Ю.А. Фундаментальные свойства нейтрона. — М.: Атомиздат, 1976.176 с.
Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1974. — 343 с.
Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Tutu,ин А.П. Теория ракетных двигателей. — М.: Машиностроение, 1969. — 547 с.
Анназов Г. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ракет дальнего действия. — М.: Наука, 1966. — 307 с.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. —М.: Наука, 1979.432 с.
Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 304 с.
Артюхин Ю.П., Каргу Л.И., Симаев В.Л. Системы управления космических аппаратов, стабилизированных вращением. — М.: Наука, 1979. — 295 с.
Арцимович Л.А. Избранные труды. Атомная физика и физика плазмы. — М.: Наука, 1978. — 304 с.
Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. — М.: Наука, 1979. — 224 с.
Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1981.432 с.
Ахиезер А.И., Рекало М.П. Элементарные частицы. — М.: Наука, 1986. — 256 с.
Бабкин А.И., Белов С.В., Рутовский Н.Б., Соловьев Е.В. Основы теории автоматического управления ракетными двигательными установками. — М.: Машиностроение, 1978. — 328 с.
Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. — Новосибирск: Наука, 1982. — 143 с.
Балашов В.В., Долинов В.К. Курс квантовой механики. — М.: Изд-во Мо- сковск. ун-та, 1982. — 280 с.
Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — 339 с.
Барашенков В.С., Танеев В.Д. Взаимодействия высокоэнергетических частиц и атомных ядер с ядрами. — М.: Атомиздат, 1972. — 648 с.
Басиладзе С.Г. Быстродействующая ядерная электроника. — М.: Энергоиз- дат, 1982. — 160 с.
Бассард Р., Делауэр Р. Ядерные двигатели для самолетов и ракет. — М.: Воениздат, 1967. — 400 с.
Бахшиян Б.П., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. Гарантирующий подход. — М.: Наука, 1980. — 360 с.
Белецкий В.В. О траекториях космических полетов с постоянным вектором реактивного ускорения // Космические исследования. — 1964. Т. 2, Вып. 3.
С. 408 413.
Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965. — 416 с.
Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1975. — 308 с.
Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. — М.: Наука, 1977. — 432 с.
Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателями постоянной мощности // Космические исследования. — 1964. — Т. 2, Вып. 3. — С. 360 372.
Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. — М.: Наука, 1990. — 329 с.
Белецкий В.В., Хентов А. А. Вращательное движение намагниченного спутника. — М.: Наука, 1985. — 287 с.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 368 с.
Бергман П. Введение в теорию относительности. — М.: Изд-во иностр, лит., 1947.380 с.
Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1968. — 480 с.
Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1980. — 704 с.
Блохинцев Д.И. Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам. — М.: Атомиздат, 1981. — 96 с.
Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. — М.: Наука, 1982. — 349 с.
Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1983. — 664 с.
Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики. —М.: Наука, 1987.151 с.
Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 597 с.
Бом Д. Квантовая теория. — М.: Наука, 1965. — 727 с.
Бом Д. Специальная теория относительности. — М.: Мир, 1967. — 285 с.
Бор О., Моттельсон Б. Теория атомного ядра. — М.: Мир, 1971. — Т. 1. — 456 с., Т. 2.664 с.
Борисоглебский Л.А. Квантовая механика. — Минск: Изд-во Беларусск. унта, 1981.543 с.
Борн М. Атомная физика. — М.: Мир, 1970. — 484 с.
Борн М. Эйнштейновская теория относительности. —М.: Мир, 1972. —368 с.
Боулер М. Гравитация и относительность. — М.: Мир, 1979. — 215 с.
Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. — 216 с.
Браун Д., Джексон А. Нуклон-нуклонные взаимодействия. —М.: Атомиздат, 1979.247 с.
Браун М.А., Гурчумелия АД., Сафронова У.И. Релятивистская теория атома. — М.: Наука, 1984. — 268 с.
Брауэр Д., Клеменс Д. Методы небесной механики. —М.: Мир, 1964. — 514 с.
Бройль де Л. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. — М.: Мир, 1986. — 344 с.
Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. — М.: Наука, 1972. — 382 с.
Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. — М.: Изд-во Московск. унта, 1976.401 с.
Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантовыми объектами. I, II // Автоматика и телемеханика. — 1979. — №4. — С. 5 25; №5. — С. 5 23.
Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управляемость квантовых объектов // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 65 69.
Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантовомеханическими процессами. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
Бэрк Ф. Потенциальное рассеяние в атомной физике. — М.: Атомиздат, 1980. 101 с.
Валантэн Л. Субатомная физика: ядра и частицы. — М.: Мир, 1986. — Т. 1.272 с., Т. 2.330 с.
Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. — 294 с.
Васильев А.П., Кудрявцев В.М., Кузнецов В.А. и др. Основы теории и расчета жидкостных ракетных двигателей. — М.: Высшая школа, 1975. — 656 с.
Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. — М.: Изд-во иностр, лит., 1961. — 732 с.
Вейнберг С. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности. — М.: Мир, 1975. — 696 с.
Вентцель АД., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. — М.: Наука, 1979. — 424 с.
Ветчинкин В.П. Вертикальное движение ракет. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1956.Т.1. С. 351 366.
Визгин В.П. Релятивистская теория тяготения. — М.: Наука, 1981. — 352 с.
Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. — М.: Мир, 1980. — 502 с.
Виницкий А.М. Ракетные двигатели на твердом топливе. — М.: Машиностроение, 1973. — 348 с.
Вихман Э. Квантовая физика. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
Владимиров В.И. Практические задачи по эксплуатации ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1972. — 181 с.
Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. — М.: Энергоиз- дат, 1982. — 256 с.
Власов Н.А. Нейтроны. — М.: Гостехиздат, 1955. — 426 с.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. 320 с.
Волков Е.Б., Головков Л.Г., Сырицын Т.А. Жидкостные ракетные двигатели. — М.: Воениздат, 1970. — 540 с.
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1982. — 304 с.
Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Об уравнениях движения ракеты // Прикладная математика и механика. — 1947. — Т. 11, Вып. 3. — С. 301 312.
Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет. — М.: Физматгиз, 1959. — 360 с.
Галанин А.Д. Теория атомных реакторов на тепловых нейтронах. — М.: Атомиздат, 1959. — 383 с.
Галицкий В.М., Никитин Е.Е., Смирнов Б.М. Теория столкновений атомных частиц. — М.: Наука, 1981. — 254 с.
Бачок В.П. Квантовые процессы. — Киев: Наукова думка, 1975. — 192 с.
Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.228 с.
Герловин И.Л. Основы единой теории всех взаимодействий в веществе. — Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 432 с.
Гильберг Л.А. Электрические ракетные двигатели. — М.: Воениздат, 1968. 78 с.
Гильзин К.А. Электрические межпланетные корабли. — М.: Наука, 1970. — 432 с.
Гинзбург В.Л. О теории относительности. — М.: Наука, 1979. — 238 с.
Гинзбург И.П. Об уравнениях движения твердого тела переменной массы // Ученые записки Ленингр. ун-та. — 1949. — Вып. 114. — С. 205 - 216.
Глушко В.П. Развитие ракетостроения и космонавтики в СССР. — М.: Машиностроение, 1987. — 303 с.
Гольданский В.И., Лейкин Е.М. Превращения атомных ядер. — М.: Изд-во АН СССР, 1958.426 с.
Гольденблат И.И., Ульянов С.В. Введение в теорию относительности и ее приложение к новой технике. — М.: Наука, 1979. — 272 с.
Готтфрид К., Вайскопф В. Концепции физики элементарных частиц. — М.: Мир, 1988.239 с.
Гравитация и относительность / Под ред. X. Цзю и В. Гоффмана. — М.: Мир, 1965. — 544 с.
Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. — М.: Наука, 1971. — 442 с.
Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в силовых полях. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — 287 с.
Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974. 480 с.
Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. — М.: Наука, 1966. — 679 с.
Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. — М.: Наука, 1975. — 702 с.
Гроот, де С., Сатторп Л. Электродинамика. — М.: Наука, 1982. — 560 с.
Гэтланд К. Космическая техника. Иллюстрированная энциклопедия. — М.: Мир, 1986. — 296 с.
Давыдов А.С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 703 с.
Девис П. Пространство и время в современной картине Вселенной. — М.: Мир, 1979.288 с.
Девис П. Случайная Вселенная. — М.: Мир, 1985. — 160 с.
Дементьев Б.А. Кинетика и регулирование ядерных реакторов. — М.: Атом- издат, 1973. — 291 с.
Демин В.Г. Об одном способе исследования движения космического аппарата в сфере действия планеты // Труды Московск. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. — 1966. — Т. 17, Вып. 4. — С. 13 17.
Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. — М.: Наука, 1968. — 352 с.
ПО. Демин В.Г. Судьба солнечной системы. — М.: Наука, 1975. — 364 с.
Демин В.Г., Гребеников Е.А. Межпланетные полеты. — М.: Наука, 1965. — 200 с.
Денисов Ф.П., Мехедов В.Н. Ядерные реакции при высоких энергиях. — М.: Атомиздат, 1972. — 232 с.
Дикке Р. Гравитация и Вселенная. — М.: Мир, 1972. — 103 с.
Динамика и управление ядерным ракетным двигателем / Под ред. В.Н. Петрова. — М.: Атомиздат, 1974. — 253 с.
Динамика ракет / Под ред. В.П. Мишина. — М.: Машиностроение, 1990. — 464 с.
Дирак П. Лекции по квантовой механике. — М.: Наука, 1968. — 83 с.
Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1978. — 126 с.
Дирак П. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 480 с.
Дмитриевский А.А. Внешняя баллистика. — М.: Машиностроение, 1972. — 583 с.
Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели. — М.: Машиностроение, 1968. — 396 с.
Дубошин Г.Н. О форме траекторий в задаче о двух телах с переменными массами // Астрономический журнал. — 1930. — Т. 7, № 3-4. — С. 153 172.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, 1975.799 с.
Дубровский В.А. Упругая модель физического вакуума // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282, № 1. — С. 83 - 88.
Дьюрелл К. Азбука теории относительности. — М.: Мир, 1964. — 164 с.
Дэвонс С. Энергетические уровни ядер. — М.: Изд-во иностр, лит., 1950. — 180 с.
Егоров В.А. Пространственная задача достижения Луны. — М.: Наука, 1965. 224 с.
Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. — М.: Наука, 1980. — 543 с.
Елютин П. В., Кривченко в В. Д. Квантовая механика с задачами. —М.: Наука, 1976.334 с.
Емельянов И.Я., Ефанов А.И., Константинов Л.В. Научно-технические основы управления ядерными реакторами. — М.: Энергоатомиздат, 1981. —360 с.
Емельянов И.Я., Подлазов Л.Н., Алексаков А.Н. Синтез системы локальных автоматических регуляторов для энергетических реакторов // Атомная энергия. 1982. Т. 53, № 5. С. 301 305.
Ефимов Г.Б. Оптимальный разгон в центральном поле до гиперболических скоростей // Космические исследования. — 1970. — Т. 8, № 1. — С. 26 47.
Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике. — М.: Наука, 1982. — 270 с.
Жуков А.И. Введение в теорию относительности. — М.: Физматгиз, 1961. — 172 с.
Задачи стабилизации составных спутников / Под ред. В.В. Белецкого. — М.: Мир, 1975.206 с.
Зельдович Я.Б. Космология — современное состояние и задачи // Успехи матем. наук. — 1968. — Т. 23, Вып. 3. — С. 171 - 173.
Зенгер Е. К механике фотонных ракет. — М.: Изд-во иностр, лит., 1958. — 144 с.
Зигель К. Лекции по небесной механике. — М.: Изд-во иностр, лит., 1959. — 300 с.
Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. — М.: Наука, 1972. — Т. 3. — 496 с.
Зоммерфельд А. Механика. — М.: Изд-во иностр, лит., 1947. — 392 с.
Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985. — 141 с.
Иванов Н.М., Поляков В.С. Наведение автоматических межпланетных станций. — М.: Машиностроение, 1987. — 312 с.
Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. — М.: Наука, 1975. — 392 с.
Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. — М.: Наука, 1976. — 744 с.
Исаев П.С. Квантовая электродинамика в области высоких энергий. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 263 с.
Исследование оптимальных режимов движения ракет / Под ред. И.Н. Садовского. — М.: Оборонгиз, 1959. — 293 с.
Иуиксон К., Зюбер Ж. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с., Т. 2.400 с.
Ишлинский А.Ю. Два замечания к теории движения ракет // Докл. АН СССР. 1946. Т. 53, № 7. С. 599 600.
Ишлинский А.Ю. Механика относительного движения и силы инерции. —М.: Наука, 1981. — 191 с.
Калаш,ников Н.П., Ремизов В.С., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах. — М.: Атомиздат, 1980. — 272 с.
Канторович Л.В., Акилов Р.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. 744 с.
Карагодин В.М. Теоретические основы механики тела переменного состава. — М.: Оборонгиз, 1963. — 178 с.
Каргу Л.И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1980. — 172 с.
Карт,ан Э. Теория спиноров. — М.: Изд-во иностр, лит., 1947. — 224 с.
Катковник В.Я., Хейсин В.Е. Итеративные алгоритмы оптимизации для отслеживания дрейфа экстремума // Автоматика и вычислительная техника. — 1976.№ 6. С. 34 40.
Катковник В.Я., Хейсин В.Е. Динамическая стохастическая аппроксимация полиномиальных дрейфов // Автоматика и телемеханика. — 1979. — №5. — С. 89 98.
Кауфман У. Космические рубежи теории относительности. — М.: Мир, 1981. 350 с.
Квантовая гравитация и топология / Под ред. Д.Д. Иваненко. — М.: Мир, 1973.215 с.
Квасников А.В. Теория жидкостных ракетных двигателей. — Л.: Судпром- гиз, 1959.542 с.
Кертис Л. Введение в нейтронную физику. — М.: Атомиздат, 1965. — 350 с.
Келдыш М.В. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика. — М.: Наука, 1988. — 493 с.
КапинД. Физические основы кинетики ядерных реакторов. —М.: Атомиздат, 1967.428 с.
Кириллов-Угрюмов В.Г., Никитин Ю.П., Сергеев Ф.М. Атомы и мезоны. — М.: Атомиздат, 1980. — 216 с.
Киттелъ Ч. Квантовая теория твердых тел. — М.: Наука, 1967. — 491 с.
Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидродинамики. — М.: Изд-во АН СССР, 1947.359 с.
Клоуз Ф. Кварки и партоны. Введение в теорию. — М.: Мир, 1982. — 438 с.
Книж/ник В.Г. Многопетлевые амплитуды в теории квантовых струн и комплексная геометрия // Успехи физических наук. — 1989. — Т. 159, Вып. 3.
С. 401 453.
Коган В.И., Червидс В.И. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле. — М.: Ин-т атомной энергии им. И.В. Курчатова, 1976. — 44 с.
Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 1995. — 429 с.
Коккедэ Я. Теория кварков. — М.: Мир, 1971. — 341 с.
Кольчуэгскин А.М., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. — М.: Атомиздат, 1978. — 256 с.
Константинов К.И. О боевых ракетах. — СПб., 1856. — 39 с.
Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П. и др. Механика космического полета. — М.: Машиностроение, 1989. — 406 с.
Корлисс У. Ракетные двигатели для космических полетов. — М.: Изд-во иностр, лит., 1962. — 489 с.
Корсунский М.И. Оптика, строение атома, атомное ядро. — М.: Наука, 1967. 528 с.
Космодемьянский А.А. Экстремальные задачи для точки переменной массы // Докл. АН СССР. 1946. Т. 53, № 1. С. 17 19.
Космодемьянский А.А. Механика тел переменной массы (теория реактивного движения). — М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1947. — Ч. I. — С. 67 - 88.
Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. — М.: Просвещение, 1965. Т. 1.538 с., Т. 2.398 с.
Космонавтика. Энциклопедия / Под ред. В.П. Глушко. —М.: Сов. энциклопедия, 1985. — 527 с.
Кочина П.Я., Монин А.С., Хребетников В.И. Космология, гидродинамика, турбулентность: А.А. Фридман и развитие его научного наследия. — М.: Наука, 1989. — 326 с.
Красовский А. А. Проблемы физической теории управления // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 11. — С. 3 28.
Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.
Кузмак Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. — М.: Наука, 1970. — 347 с.
Кузмак Г.Е., Исаев В.К., Давидсон Б.Х. Оптимальные режимы движения точки переменной массы в однородном центральном поле // Докл. АН СССР.
1963. Т. 149, № 1. — С. 58 - 61.
Кузнецов Б.Г. Основы теории относительности и квантовой механики в их историческом развитии. — М.: Изд-во АН СССР, 1957. — 327 с.
Кук Ш. Структура атомных ядер. — М.: Атомиздат, 1967. — 155 с.
Кульчицкий О.Ю. Алгоритмы типа стохастической аппроксимации в контуре адаптации дискретной стохастической линейной динамической системы. I // Автоматика и телемеханика. — 1983. — №9. — С. 102 - 118.
Куницын А.Л. О движении ракеты в центральном силовом поле с постоянным вектором реактивного ускорения // Космические исследования. — 1966. — Т. 4, Вып. 2. С. 324 327.
Куницын А.Л. Качественное исследование движений в одном предельном варианте задачи двух неподвижных центров // Труды Московск. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. — 1966. — Т. 17, Вып. 4. — С. 32 52.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. —М.: Гостехиздат, 1951. Т. 1.476 с., Т. 2.544 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — 504 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1989. — 768 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — 584 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 620 с.
Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
Левантовский И.В. Ракетой к Луне. — М.: Физматгиз, 1960. — 379 с.
Левантовский В.И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, 1980. — 511 с.
Левин В.Г., Вдовин Ю.А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики. Т. 3. Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика. — М.: Наука, 1971. — 936 с.
Лейтман Д. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. — М.: Наука, 1965. — 538 с.
Липанов А.М., Алиев А.В. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1995. — 400 с.
Линкин Г. Квантовая механика. Новый подход к некоторым проблемам. — М.: Мир, 1977.592 с.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.
Логунов А.А. Лекции по теории относительности и гравитации. —М.: Наука, 1987.271 с.
Логунов А.А. Теория гравитационного поля. — М.: Наука, 2000. — 235 с.
Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Основы релятивистской теории гравитации. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1986. — 307 с.
Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Релятивистская теория гравитации. — М.: Наука, 1989. — 301 с.
Лоуден Д. Оптимальные траектории для космической навигации. —М.: Мир, 1966.152 с.
Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. — М.: Мир, 1980. — 438 с.
Лурье А.И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с.
Львов В. С. Нелинейные спиновые волны. — М.: Наука, 1987. — 269 с.
Мак-Витти Г. Общая теория относительности и космология. — М.: Изд-во иностр, лит., 1961. — 284 с.
Маляров В.В. Основы теории атомного ядра. — М.: Наука, 1967. — 511 с.
Мандельштам Л.И. Полное собрание научных трудов. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. — Т. 5. (Лекции по физическим основам теории относительности) — С. 90 305.
Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. — М.: Наука, 1972. — 438 с.
Мандрыка А.П. Генезис современной ракетодинамики. — Л.: Наука, 1971. — 216 с.
Мандрыка А.П. Взаимосвязь механики и техники. —Л.: Наука, 1975. —324 с.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с.
Марков М.А. О трех интерпретациях квантовой механики. — М.: Наука, 1991. 112 с.
Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 292 с.
Матвеев А.П. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1976.416 с.
Математическая энциклопедия. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 1183 с.
Мах Э. Механика. — СПб., 1909. — 448 с.
Махин В.А., Присняков В.Ф., Белик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. — М.: Машиностроение, 1969. — 334 с.
Медведев Б.В. Начала теоретической физики. — М.: Наука, 1977. — 496 с.
Меллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1975. — 400 с.
Мелькумов Т.М., Мелик-Пашаев Н.И., Чистяков П.Г. и др. Ракетные двигатели. — М.: Машиностроение, 1976. — 400 с.
Мельников А.П. Аэродинамика больших скоростей. Основы газодинамики летательных аппаратов. — М.: Воениздат, 1961. — 424 с.
Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. — М.: Наука, 1985. — 398 с.
Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с., Т. 2. 583 с.
Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. —М.: Гостехиз- дат, 1952. — 280 с.
Мигдал А.Б. Фермионы и бозоны в сильных полях. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
Мигдал А.Б., Крайнов В.П. Приближенные методы квантовой механики. — М.: Наука, 1966. — 152 с.
Миеле А. Механика полета. — М.: Наука, 1965. — 407 с.
Михайлов Г.К. Развитие основ динамики систем переменного состава и теории реактивного движения // Дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.-м.н. — М., 1979. 242 с.
Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. — М.: Наука, 1969. — 326 с.
Мошкин Е.К. Нестационарные режимы работы ЖРД. — М.: Машиностроение, 1970. — 336 с.
Мухин К.Н. Введение в ядерную физику. — М.: Атомиздат, 1965. — 720 с.
Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. — М.: Энергоатомиздат, 1983. Т. 1.616 с., Т. 2.376 с.
Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. — М.: Атомиздат, 1972.397 с.
Мякишев Г.Я. Элементарные частицы. — М.: Наука, 1979. — 172 с.
Наумов А.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц. — М.: Просвещение, 1984. — 384 с.
Нейман фон Дж. Математические основы квантовой механики. —М.: Наука, 1964.367 с.
Нелипа Н.Ф. Физика элементарных частиц. Калибровочные поля. — М.: Высшая школа, 1985. — 280 с.
Немец О.Ф., Гофман Ю.В. Справочник по ядерной физике. — Киев: Наукова думка, 1975. — 415 с.
Немец О.Ф., Ясногородский А.И. Поляризационные исследования в ядерной физике. — Киев: Наукова думка, 1980. — 350 с.
Немировский П.Э. Современные модели атомного ядра. — М.: Атомиздат, 1960.302 с.
Никитин Ю.П., Розенталь И.Л. Ядерная физика высоких энергий. — М.: Атомиздат, 1980. — 232 с.
Никольский Н.Н. Теория электромагнитного поля. — М.: Высшая школа, 1964.384 с.
Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. — М.: Наука, 1986. — 326 с.
Новожилов Ю.В. Элементарные частицы. — М.: Наука, 1974. — 287 с.
Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1969. — 240 с.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.: Наука, 1989.687 с.
Оберт Г. Пути осуществления космических полетов. — М.: Оборонгиз, 1948. 232 с.
Общие принципы квантовой теории поля / Под ред. Н.Н. Боголюбова. —М.: Наука, 1987. — 614 с.
Овсянников Б.В., Боровский Б.И. Теория и расчет агрегатов питания жидкостных ракетных двигателей. — М.: Машиностроение, 1971. — 540 с.
Окунев Б.Н. Основные задачи внешней баллистики. — М.: Воениздат, 1943. Т. 1.484 с., Т. 2.440 с.
Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. — М.: Наука, 1981. — 304 с.
Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. — М.: Наука, 1988. — 272 с.
Окунь Л.Б. Понятие массы (масса, энергия, относительность) // Успехи физических наук. — 1989. — Т. 158, Вып. 3. — С. 511 - 530.
Оптика и атомная физика / Под ред. Р.И. Солоухина. — Новосибирск: Наука, 1983. — 383 с.
Орлов Б.В., Мазинг Г.Ю. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе. — М.: Машиностроение, 1968. — 536 с.
Основы автоматического управления ядерными космическими установками / Под ред. Б.Н. Петрова. — М.: Машиностроение, 1974. — 379 с.
Основы проектирования ракетно-прямоточных двигателей / Под ред. Б.В. Орлова. — М.: Машиностроение, 1967. — 424 с.
Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. Г.С. Нариманова и М.К. Тихонравова. — М.: Машиностроение, 1972. — 607 с.
Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. — М.: Оборонгиз, 1963. — 430 с.
Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. — М.: Мир, 1973. 321 с.
Охоуимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10, Вып. 2. С. 251 272.
Охоуимский Д.Е. Исследование движения в центральном поле под действием постоянного касательного ускорения // Космические исследования. — 1964.
Т. 2, Вып. 6. С. 817 842.
Охоуимский Д.Е. Динамика космических полетов. Конспект лекций. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1968. — 157 с.
Охоуимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. — М.: Наука, 1990. — 448 с.
Охоуимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физических наук. — 1957.
Т. 63, № la. С. 5 32.
Оууки Е. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами. — М.: Мир, 1985.277 с.
Павленко Ю.Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой механике. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985. — 337 с.
Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М.: Наука, 1989.568 с.
Пановко Я.Г., Бутенин Н.В. Динамика тела переменной массы. — Л.: ЛКВ- ВИА, 1947.56 с.
Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
Пенроуз В., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. — М.: Мир, 1987. — 528 с.
Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. — М.: Наука, 1966.496 с.
Петров Б.Н., Гольденблат И.И., Уланов Г.М. и др. Проблемы управления релятивистскими и квантовыми динамическими системами. — М.: Наука, 1982.524 с.
Петров П.А. Ядерные энергетические установки. — М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958.256 с.
Петросъяну А.М. Ядерная энергетика. — М.: Наука, 1981. — 272 с.
Пилъкун X. Физика релятивистских частиц. — М.: Мир, 1983. — 542 с.
Плазменные и электростатические ракетные двигатели / Под ред. Д.В. Ра- зевига — М.: Изд-во иностр, лит., 1962. — 169 с.
Планк М. Избранные труды. — М.: Наука, 1975. — 788 с.
Планк М. Единство физической картины мира. Сборник статей. — М.: Наука, 1966. — 287 с.
Полтхов Н.Н. Что привнесли теория относительности и квантовая механика в классическую механику. — М.: Ин-т проблем механики АН СССР (препр.), 1988.№ 330.38 с.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Ют,ков М.П. Теоретическая механика. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 536 с.
Пономарев В.М. Теория управления движением космических аппаратов. — М.: Наука, 1965. — 455 с.
Престон М. Физика ядра. — М.: Мир, 1964. — 574 с.
Принцип относительности. Сборник работ классиков релятивизма / Под ред. В.К. Фредерикса и Д.Д. Иваненко. — Л.: ОНТИ, 1935. — 387 с.
Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. — М.: Наука, 1965. — 571 с.
Путилов К.А., Фабрикант В.А. Курс физики. Т. 3. Оптика, атомная физика, ядерная физика. — М.: Физматгиз, 1963. — 634 с.
Радуиг А.А., Смирнов В.М. Справочник по атомной и молекулярной физике. — М.: Атомиздат, 1980. — 240 с.
Райдер Л. Элементарные частицы и симметрии. — М.: Наука, 1983. — 317 с.
Ракобольская И.В. Ядерная физика. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1981. — 280 с.
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967. 664 с.
Ренкин Р.А. Математическая теория движения неуправляемых ракет. — М.: Изд-во иностр, лит., 1951. — 160 с.
Рис М., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология. — М.: Мир, 1977. — 376 с.
Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979.587 с.
Рой А. Движение по орбитам. — М.: Мир, 1981. — 544 с.
Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978. — 552 с.
Россер Д., Ньютон Р., Гросс Г. Математическая теория полета неуправляемых ракет. — М.: Изд-во иностр, лит., 1950. — 304 с.
Рынин Н.А. Межпланетные сообщения. Вып. 8. Теория космического полета. Л.: Изд-во АН СССР, 1932.358 с.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. — М.: Наука, 1978. — 304 с.
Савельев И.В. Основы теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. — М.: Наука. Физматлит, 1996. — 432 с.
Самойленко Ю.И. Электромагнитное управление заряженными частицами с учетом случайных и квантовых эффектов // Управляемые случайные процессы и системы. — Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1972. — С. 128 - 140.
Седов Л.И. Об обтекании идеальной жидкостью тела с встречной струей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, № 1. С. 41 42.
Седов Л.И. Очерки, связанные с основами механики и физики. — М.: Знание, 1983.64 с.
Сенченков А.П. Атомные ракеты и проблемы освоения космоса. — М.: Атомиздат, 1964. — 184 с.
Синг Дж. Общая теория относительности. — М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 432 с.
Смарт У. Небесная механика. — М.: Мир, 1965. — 502 с.
Современная теория элементарных частиц / Под ред. И.Ю. Кобзарева. — М.: Наука, 1984. — 144 с.
Соколов А.А., Иваненко Д.Д. Квантовая теория поля. — М.-Л.: Гостехиздат, 1952.780 с.
Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979. — 528 с.
Соловьев В.Г. Теория сложных ядер. — М.: Наука, 1971. — 559 с.
Соловьев В.Г. Теория атомного ядра. Ядерные модели. — М.: Энергоатом- издат, 1981. — 295 с.
Соловьев Ц.В., Тарасов Е.В. Прогнозирование межпланетных перелетов. — М.: Машиностроение, 1973. — 400 с.
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Т.Н. Дубошина. — М.: Наука, 1976. — 862 с.
Спроул Р. Современная физика. Квантовая физика атомов, твердого тела и ядер. — М.: Наука, 1974. — 592 с.
Срагович ВТ. Теория адаптивных систем. — М.: Наука, 1976. — 320 с.
Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. — М.: Наука, 1968. 800 с.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1989. — 504 с.
Тамм И.Е. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1975. — Т. 1. — 439 с., Т. 2.486 с.
Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1978. — 287 с.
Творческое наследие академика С.П. Королева. Избранные труды и документы / Под ред. М.В. Келдыша. — М.: Наука, 1980. — 591 с.
Тейлор Э., Уилер Дж. Физика пространства-времени. — М.: Мир, 1971. — 256 с.
Тернов И.М., Халилов ВТ., Родионов В.Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1982.304 с.
Тертычный В.Ю. Об эффекте нестационарной гиперреактивности в динамике точки переменной массы // Ден. в ВИНИТИ. — Л., 1991. — № 1943 - В 91.
15 с.
Тертычный В.Ю. Принцип полноты как основной закон динамики и нестационарная гиперреактивность в механике тел переменной массы // Ден. в ВИНИТИ. Л., 1991.№ 1944 В 91.15 с.
Тертычный В.Ю. Синтез управляемых механических систем. — СПб.: Политехника, 1993. — 336 с.
Тертычный-Дау ри В.Ю. Гиперреактивная космодинамика и физика компактных ускорителей. — СПб.: СПбИТМО, 1996. — 224 с.
Тертычный-Дау ри В.Ю. Адаптивная механика. — М.: Наука. Физматлит, 1998.480 с.
Тертычный-Даури В.Ю. Обобщенная статистическая оценка точности слежения корректируемой системы гиростабилизации // Проблемы механики и управления. — Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2000. — Вып. 32. — С. 157 169.
Тертычный-Даури В.Ю. Стохастическая механика. — М.: Факториал Пресс, 2001.464 с.
Тертычный-Даури В.Ю. Оптимальная стабилизация адаптивных динамических систем с распределенными параметрами. I, II // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 8. С. 1096 1107, Т. 37, № 11. С. 1542 1550.
Тертычный-Даури В.Ю. Параметрическая фильтрация: оптимальный синтез на нелинейном динамическом многообразии // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37, Вып. 4. С. 97 111.
Тертычный-Даури В.Ю. Адаптивная оптимальная нелинейная фильтрация и некоторые смежные вопросы. I, II // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 9. С. 125 137, 2002.№ 1. С. 86 101.
Тертычный-Даури В.Ю. Адаптивная стабилизация в некоторых задачах ядер- ной кинетики // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 1. С. 163 171.
Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. — М.: Наука, 1974.520 с.
Точные решения уравнений Эйнштейна / Под ред. Э. Шмутцера. — М.: Энергоиздат, 1982. — 416 с.
Тредер Г. Теория гравитации и принцип эквивалентности. — М.: Атомиздат, 1973.168 с.
Трофимова Т.И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1994. — 542 с.
Угаров В.А. Специальная теория относительности. — М.: Наука, 1977. — 384 с.
Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. — М.: Энергоатом- издат, 1985. — 294 с.
Уиндзор К. Рассеяние нейтронов от импульсных источников. — М.: Энерго- атомиздат, 1985. — 353 с.
Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. — М.: Наука, 1967. 523 с.
Утияма Р. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1979. — 204 с.
Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов- математиков. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 200 с.
Фано У., Фано Л. Физика атомов и молекул. — М.: Наука, 1980. — 656 с.
Федоров Г.Б., Смирнов Е.А. Диффузия в реакторных материалах. — М.: Атомиздат, 1978. — 160 с.
Федорченко А.М. Основы квантовой механики. — Киев: Вища школа, 1979. — 271 с.
Федосьев В.И., Синярев Г.В. Введение в ракетную технику. —М.: Оборонгиз, 1960.506 с.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1976. — Вып. 1, 2. — 439 с., Вып. 3, 4. — 496 с.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 8. Квантовая механика. — М.: Мир, 1966. — Ч. I. — 271 с., Ч. II. — 259 с.
Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
Ферми Э. Лекции по атомной физике. — М.: Изд-во иностр, лит., 1952. — 124 с.
Ферми Э. Лекции по квантовой механике. — Ижевск: НИЦ ’’Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. — 248 с.
Физика быстрых нейтронов / Под ред. В.И. Стрижака. — М.: Атомиздат, 1977.288 с.
Физика деления атомных ядер / Под ред. Н.А. Перфилова и В.И. Эйсмонта. — М.: Атомиздат, 1962. — 243 с.
Физика ион-ионных и электрон-ионных столкновений / Под ред. Ф. Бруйара и Дж. Мак Роуна. — М.: Мир, 1986. — 432 с.
Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: Гостехиздат, 1961.563 с.
Фок В.А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 376 с.
Фомин В.Н. Синтез адаптивных предельно-оптимальных управляющих систем в задаче управления линейными стохастическими объектами // Вопросы кибернетики. Задачи и методы адаптивного управления. — М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1981. — С. 52 - 65.
Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — М.: Наука, 1984. — 288 с.
Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
Фрауэнфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика. — М.: Мир, 1979. — 736 с.
Фридман А.А. Мир как пространство и время. — М.: Наука, 1965. — ПО с.
Фриш Д., Торндайк А. Элементарные частицы. — М.: Атомиздат, 1966. — 154 с.
Халперн И. Деление ядер. — М.: Физматгиз, 1962. — 154 с.
Халфман Р. Динамика. — М.: Наука, 1972. — 568 с.
Харрер Д. Техника регулирования ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1967.494 с.
Хасъминский Р.З. Устойчивость дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — М.: Наука, 1969. — 367 с.
Хейсин В.Е. Об адаптивной фильтрации нестационарных дрейфов // Автоматика и телемеханика. — 1991. — №8. — С. 125 - 132.
Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. — Ижевск: НИЦ ’’Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. — 160 с.
Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.431 с.
Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
Холмогоров В.Е., Захарова Э.Н. Классическая механика. — СПб.: Изд-во С.-Петербургск. ун-та, 1991. — 100 с.
Циолковский К.Э. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 535 с.
Циолковский К.Э. Исследование мировых пространств реактивными приборами. — М.: Машиностроение, 1967. — 375 с.
Ципенюк Ю.М. Принципы и методы ядерной физики. —М.: Энергоатомиздат, 1993.352 с.
Цыпкин Я.З. Алгоритмы динамической адаптации // Автоматика и телемеханика. 1972.№ 1. С. 68 77.
Цыпкин Я.З. Синтез оптимальной настраиваемой модели в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. — 1981. — № 12. — С. 62 77.
Цыпкин Я.З. Идентификация нестационарных динамических систем // Автоматика и телемеханика. — 1986. — №2. — С. 3 9.
Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. —М.: Наука. Физматлит, 1995. — 336 с.
Цыпкин Я.З., Каплинский А.И., Ларионов К.А. Алгоритмы адаптации в нестационарных условиях // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика. — 1970. —№ 5.
С. 9 21.
Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Идентификация нестационарных динамических систем // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. — М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 21. — С. 68 - 91.
Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. — М.: Мир, 1986. — Т.
— 276 с., Т. 2.355 с.
Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. — М.: Наука, 1965. — 367 с.
Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1978. — 352 с.
Черток Б.Е. Ракеты и люди. — М.: Машиностроение, 1994. — 414 с.
Четаев Н.Г. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1987. — 368 с.
Шарлье К. Небесная механика. — М.: Наука, 1966. — 627 с.
Швингер Ю. Частицы. Источники. Поля. — М.: Мир, 1973. — 502 с.
Шевяков А. А. Автоматика авиационных и ракетных силовых установок. — М.: Машиностроение, 1965. — 546 с.
Шелест В.П. Осколки. — М.: Энергоиздат, 1981. — 153 с.
Шелест В.П. Лекции о структуре и свойствах адронов при высоких энергиях. — М.: Атомиздат, 1976. — 248 с.
Шелест В.П., Зиновьев Г.М., Миранский В.А. Модели сильновзаимодейству- ющих элементарных частиц. — М.: Атомиздат, 1975. — Т. 1. — 232 с., Т. 2.
248 с.
Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1980. — 728 с.
Шифф Л. Квантовая механика. — М.: Изд-во иностр, лит., 1959. — 473 с.
Шмид Э., Цигельман X. Проблема трех тел в квантовой механике. — М.: Наука, 1979. — 272 с.
Шмутцер Э. Теория относительности: современное представление. — М.: Мир, 1981. — 230 с.
Шпольский Э.В. Атомная физика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949. — 523 с.
Шпольский Э.В. Атомная физика. — М.: Наука, 1984. — Т. 1. — 552 с., Т. 2.
438 с.
Штерн Т. Введение в небесную механику. — М.: Мир, 1964. — 242 с.
Штернфельд А. А. Введение в космонавтику (Глава: Теория относительности в приложении к космонавтике). — М.: Наука, 1974. — 240 с.
Штулингер Э. Ионные двигатели для космических полетов. — М.: Воениз- дат, 1966. — 343 с.
Шуваев Н.А. Очерк зарождения и развития механики реактивного движения в СССР // Ученые записки Горьковск. ун-та. — 1963. — Вып. 61. — С. 74 219.
Шуваев Н.А., Ковалев В.А. Основы механики тел переменного состава и движения в центральном поле сил. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1972. — 63 с.
Эддингтон А. Теория относительности. — М.-Л.: Гостехиздат, 1934. — 598 с.
Эйнштейн А. Сущность теории относительности. —М.: Изд-во иностр, лит., 1955.160 с.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. 1. — 700 с.
Эйнштейн А. Теория относительности. — Ижевск: НИЦ ’’Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. — 224 с.
Экспериментальная ядерная физика / Под ред. Э. Сегре. — М.: Изд-во иностр, лит., 1955. — Т. 1. — 662 с., Т. 2. — 493 с., Т. 3. — 682 с.
Элъсголъу Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
Элъясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. — М.: Наука, 1965. — 540 с.
Энергетические установки для космических аппаратов / Под ред. Д.Д. Не- вяровского. — М.: Мир, 1964. — 395 с.
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1967. — Т. 3.553 с.
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1981. — 512 с.
Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984.359 с.
Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. — М.: Машиностроение, 1978. — 167 с.
Chang R., Yang S., Wang M. A new approach for parameter identification of timevarying systems via generalized orthogonal polynomials // Int. J. of Control. — 1986.
V. 44, № 6. P. 1747 1755.
Chien Y., Fu K. Stochastic learning of time-varying parameters in random environment // IEEE Trans, on Systems Science and Cybernetics. — 1969. — V. SSC-5, № 3. P. 237 246.
Debney G., Kerr R., Schleid A. // J. Math. Phys. 1969. V. 10, №10. P. 1842 1854.
Fermi E. Experimental production of a divergent chain reaction. Appendix II // Amer. J. Phys. 1952. V. 20, № 9. P. 536 558.
Hawking S.W., Penrose R. The singularities of gravitational collapse and cosmology // Proc. Roy. Soc. London. — 1970. — A 314. — P. 529 - 548.
Hibbs A. Optimum burning programm for horizontal flight // J. of the ARS. — 1952. V. 22. P. 206 212.
Kalman R., Busy R. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engineering. — 1961. — V. 83, № 1. — P. 123 - 141.
Kalman R., Falb P., Arbib M. Topics in mathematical system theory. — N.Y.: McGraw-Hill, 1969. — 358 p.
Landau J. Unbiased recursive identification using model refrence adaptive techniques // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. V. AC-21, № 2. P. 194 202.
Lawden D. Optimal programming of rocket thrust direction // Astronautica Acta. — 1955. V. 1, № 1. P. 41 56.
Lawden D. Optimal transfer between circular orbits about two planets // Astronautica Acta.1955.V. 1, № 2.P. 89 99.
Leitmann G. A calculus of variations solution of Goddard’s problem // Astronautica Acta.1956.V. 2, № 2.P. 55 62.
Levi-Civita T. Sul moto di un corpo di massa variabile // Rendiconti della Reale Academiae Nationale dei Lincei. — 1928. — P. 329 - 333, 621 - 622.
Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE. Trans, on Automat. Control. 1977. V. AC-22, № 4. P. 551 575.
Newmen E., Penrose R. // J. Math. Phys. — 1962. — V. 3, № 3. — P. 566 - 587.
Pearson I. On the duality between estimation and control // SIAM J. Control. — 1966.№ 4. P. 594 600.
Peaslee D.C. Elements of atomic physics. — Englewood Cliffs. — N.J.: Prentice-Hall, 1956.394 p.
Ruppert D. A new dynamic stochastic approximation procedure // The Annals of Statistics. — 1979. — V.7, № 6. — P. 1179 - 1195.
Soderstrom T., Ljung L., Gustavsson I. A theoretical analysis of recursive identification methods // Automatica. — 1978. — V. 14, № 3. — P. 231 - 244.
Sugiyawa H., Uosaki K. On an application of the stochastic approximation process to the control processes with a time-varying parameters // J. of the Japan Association of Automat. Control Engineering. — 1969. — V. 13, № 8. — P. 529 - 536.
Tertychny-Dauri V.Yu. Adaptive Mechanics. —Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 536 c.
Theodorescu R., Wolff H. On dynamic stochastic approximation // Mathematische Operationsforschung und Statistik. Ser. Statistics. — 1983. — V. 14, № 3. — P. 529 536.
Tsien H., Evans R. Optimum thrust programming for a sounding rocket // J. of the ARS. 1951. V. 21. P. 99 107.
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY OF
INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS
Hyperreactive Mechanics
TERTYCHNY-DAURI V.Yu.
MOSCOW. FIZMATLIT PUBLISHING COMPANY. 2004. 560 p.
READERSHIP: The book is addressed to specialists in the Held of reactive mechanics, cosmodynamics, rocket production, nuclear electrodynamics and to students and post-graduate students. It is also intended for scientists and researchers specialized in celestial mechanics, theory of space flight, cybernetical mechanics and applied mathematics.
ABOUT THE BOOK: The bases of new scientific direction in mechanics of bodies with variable mass is connected by nonstationary reactive conception and is named the hyperreactive mechanics are stated in detail. The equations of hyperreactive motion by means of differential principle of the completeness are found. The main peculiarity of this equations consists in the presence of quantities which depend on acceleration for change of system mass. Basic attention is spared to analysis of considered phenomena properties and to exact mathematical description also. The part of book which is devoted to nuclear electrodynamics is closely bound up with hyperreactive part. In this part processes of controlled charged kinetics are investigated. The conception of new type power device, nuclear electrogenerator, is elaborated.
CONTENTS: Part I (The problems and methods of hyperreactive motion investigation for mechanical systems) contains 4 chapters: 1. Essay of development of reactive motion theory; 2. Mechanics of variable mass into traditional statement; 3. Mechanics of space flight and elements of rocket dynamics; 4. Applied ufology and physics of anomalous hypermotions.
Part II (The basic principles of hyperreactive mechanics) maintains 4 chapters: 5. Introduction into hyperreactive motion mechanics; 6. Power transformations and hypermotion at the central gravity field; 7. Hyperreactive mechanics of variable mass body; 8. Elements of relative hyperreactive mechanics.
Part III (Nuclear electrodynamics and elements of cybernetic physics) supports 4 chapters: 9. Nonrelative model of nuclear electrodynamics; 10. Some problems of neutron and charged kinetics; 11. Procedures of stabilization at adaptive nuclear kinetics problems; 12. Procedures of identideation at adaptive nuclear kinetics problems.
Part IV (Appendix: Elements of the theory and accompanying reference material) contains 4 chapters: Al. Some knowledges from celestial mechanics; A2. Elements of special and general theory of relativity; A3. Principles of quantum physics; A4. Introduction into nuclear physics.
AUTHOR: Vladimir Yurievich Tertychny-Dauri is D. Sci. (Math. & Phys.), Professor of Mathematics at the Saint-Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics, the author of numerous papers in the control theory, adaptive mechanics, stochastic systems and cosmodynamics including the monographs on mechanics of controlled systems (Synthesis of controlled mechanical systems, 1993), hyperreactive cosmonautics (Hyperreactive cosmodynamics and physics of compact accelerators, 1996), adaptive mechanical systems (Adaptive mechanics, 1998, 2002, 2003) and stochastic mechanical systems (Stochastic mechanics, 2001).
Physical and Mathematical Literature Publishing Company, Russian Academy of Sciences. Moscow, 2004. 560 p.
MOSCOW. FIZMATLIT PUBLISHING COMPANY: 90 Profsoyuznaya ul., Moscow, 117997, Russia
1 + е cos о ’
где величины р и е называются соответственно параметром и эксцентриситетом орбиты. Уравнение (П1.28) — это уравнение конического сечения с фокусом в точке М; при е < 1 имеем эллипс, при с = 0 орбита будет окружностью, при е = 1 имеем параболу, при е > 1 — гиперболу. Укажем также, что орбиты планет подчиняются первому закону Кеплера.
УДК 629.195, 517.958, 519.7
ББК 22.52
Т35
Тертычный-Даури В. Ю. Гиперреактивная механика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 560 с. - ISBN 5-9221-0525-6.
Изложены основы нового научного направления в механике тел переменной массы, связанного с понятием нестационарной реактивности и получившего в настоящее время название гиперреактивной механики. С помощью дифференциального принципа полноты найдены уравнения гиперреактивного движения, главной особенностью которых является присутствие величин, зависящих от ускорения изменения массы системы. Основное внимание уделено анализу свойств рассматриваемых явлений, их точному математическому описанию. С гипердинамической частью книги тесно связана часть, посвященная ядерной электродинамике, в которой исследованы процессы управляемой зарядовой кинетики. Разработана концепция энергетического устройства нового типа — ядерного электрогенератора.
Для специалистов в области реактивной механики, космодинамики, ракетостроения, ядерной электродинамики, инженерно-технических работников, аспирантов и студентов.
Библиогр. 442 назв.
Научное издание
ТЕРТЫЧНЫЙ-ДАУРИ Владимир Юрьевич
ГИПЕРРЕАКТИВНАЯ МЕХАНИКА
Редактор Е. Н. Глебова Оригинал-макет автора
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 12.07.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 35. Уч.-изд. л. 38,5. Заказ №
ISBN 5-9221-0525-6ISBN 5-9221-0525-6Издательская фирма «Физико-математическая литература»
ISBN 5-9221-0525-6
ISBN 5-9221-0525-6
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http: //www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0525-6ISBN 5-9221-0525-6© В. Ю. Тертычный-Даури, 2004
ISBN 5-9221-0525-6
ISBN 5-9221-0525-6
Оглавление
Предисловие 8
Введение 10
Список обозначений и сокращений 15
Часть I
Задачи и методы исследования реактивного движения механических систем
Глава 1. Очерк развития теории реактивного движения 17
Ранние представления о природе реактивного движения 18
Изучение реактивных гидродинамических движений 24
Динамика систем переменной массы в своем эволюционном развитии 29
Исследования реактивных движений в небесной механике и астрофизике 37
Глава 2. Механика точки переменной массы в традиционном изложении 46
Классическая теория движения точки переменной массы 47
Движение точки переменной массы в среде с сопротивлением 59
Теоремы динамики точки переменной массы 66
Глава 3. Механика космического полета и элементы ракетодинамики 76
Краткая историческая справка 77
Движение в центральном гравитационном поле. Свободный баллистический полет 85
Орбитальные и межпланетные полеты 90
Внешняя баллистика под действиемреактивной силы тяги 94
Глава 4. Некоторые вариационные задачи динамики точки переменной массы 105
Вариационные задачи о вертикальном подъеме ракеты. Приближенные методы решения 106
Вариационные задачи о вертикальном подъеме ракеты. Точные методы решения 114
Оптимальные программы реактивногоускорения 126
Часть II
Основные принципы гиперреактивной механики
Глава 5. Введение в механику гиперреактивного движения 140
Принцип полноты 142
Некоторые применения гиперреактивной модели 149
Задачи Циолковского в гиперреактивной постановке 153
Гиперреактивное движение в среде с сопротивлением (в атмосфере) 163
Несимметричная гиперреактивная модель движения 170
Глава 6. Энергетические преобразования и гипердвижение в центральном гравитационном поле 174
Энергия точки переменной массы. Вариационный принцип Гамильтона 175
Вариационный интеграл: конструкция и свойства 180
Гиперреактивное движение в центральном поле тяготения 186
Плоскость Лапласа и элементы орбитальной геометрии 193
Управляемое интегрируемое гипердвижение в центральном поле .... 197
Глава 7. Гиперреактивная механика тела переменной массы 206
Теорема об изменении количества движения 207
Теорема об изменении кинетического момента 211
Теорема об изменении кинетической энергии 218
Лагранжев и гамильтонов формализм в описании движения тела переменной массы 221
Некоторые дополнительные результаты 227
Глава 8. Элементы релятивистской гиперреактивной механики .... 235
Четырехмерная механика специальной теории относительности 236
Основные уравнения релятивистской гипердинамики 244
Аналитическая динамика релятивистской гиперреактивной точки ... 255
Часть III
Ядерная электродинамика и элементы кибернетической физики
Глава 9. Нерелятивистская модель ядерной электродинамики 266
Ядерный электромагнитный генератор. Элементарная теория на тороидальной вакуумной схеме 268
Поля и движение заряженных частиц деления 275
Поля и движение заряженных осколков деления 278
Энергетические соотношения для заряженных осколков деления .... 286
Статистическое описание законов нерелятивистской ядерной электродинамики 289
Квантовомеханическая модель микроскопических уравнений 292
Глава 10. Некоторые вопросы нейтронной и зарядовой кинетики . 296
Решение задачи нейтронной кинетики в общем виде 297
Зарядовая кинетика ядерного электрогенератора 308
Зарядовая кинетика под действием малых случайных возмущений . 313
Диффузия нейтронов в тороидальном ядерном электрогенераторе . 321
Глава 11. Стабилизационные процедуры в задачах адаптивной ядерной кинетики 327
Некоторые модели стабилизации процесса нейтронного размножения328
Устойчивые схемы адаптивного синтеза на основе метода интегральных преобразований 335
Оптимальная стабилизация систем ядерной кинетики с функционалами Ляпунова-Красовского 344
Приведение стохастической системы ядерной кинетики в заданное эллипсоидальное множество 351
Глава 12. Идентификационные процедуры в задачах адаптивной ядерной кинетики 359
Адаптивная фильтрация в условиях неизвестного параметрического дрейфа 360
Синтез адаптивного оптимальногофильтра 368
Адаптивная фильтрация в условиях неизвестной интенсивности внешних возмущений 375
Об особенностях процесса фильтрации во внешней адаптивной задаче 385
Часть IV
Приложение: элементы теории и сопутствующий справочный материал
Приложение 1. Некоторые сведения из небесной механики 393
П1.1. Введение в теорию притяжения394
П1.2. Задача двух тел 403
П 1.2.1. Уравнения движения 404
П1.2.2. Интегралы уравнений движения 405
П1.2.3. Уравнение орбиты. Орбитальное движение409
П1.3. Движение твердого тела в центральном поле тяготения 416
Приложение 2. Элементы специальной и общей теории относительности 424
П2.1. Кинематические соотношения в СТО 425
П2.1.1. Преобразования Лоренца 426
П2.1.2. Следствия из преобразований Лоренца 428
П2.1.3. Сложное движение в релятивистской кинематике 429
П2.2. Динамические соотношения в СТО 431
П2.2.1. Основной закон релятивистской динамики 432
П2.2.2. Обобщенный закон Ньютона 433
П2.2.3. Теорема об изменении кинетической энергии 436
П2.2.4. Уравнения Лагранжа и Гамильтона437
П2.3. СТО и некоторые ее следствия 439
П2.3.1. Взаимосвязь массы и энергии 439
П2.3.2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля 443
П2.3.3. Эффект Доплера444
П2.4. Об общей теории относительности 446
П2.4.1. Уравнения тяготения Эйнштейна 447
П2.4.2. Некоторые соотношения тензорного анализа 449
П2.4.3. Скорость распространения гравитационной волны 452
П2.4.4. Замечания на гравитационную тему 454
Приложение 3. Начала квантовой механики 457
П3.1. Основные понятия квантовой механики 458
ПЗ.1.1. Предварительные сведения: волны де Бройля 459
ПЗ.1.2. Волновая функция 460
П3.1.3. Операторы и некоторые их свойства 461
П3.2. Физическое толкование операторов 465
ПЗ.2.1. Скобки Пуассона. Дифференцирование по времени 465
ПЗ.2.2. Матричное представление физических величин 468
П3.2.3. Операторы физических величин 470
ПЗ.З. Уравнение Шредингера 472
П3.4. Простейшие типы движения в квантовой механике 477
П3.4Л. Движение в однородном силовом поле 477
ПЗ.4.2. Движение в потенциальной яме 479
ПЗЛ.З. Движение сквозь потенциальный барьер 481
ПЗ.4.4. Линейный гармонический осциллятор 484
Приложение 4. Введение в ядерную физику 486
П4Л. Ядра и ядерные силы 487
П4ЛЛ. Предварительные сведения о ядре 487
П4Л.2. Дефект массы и энергия связи ядра 488
П4Л.З. Полуэмпирическая формула Вайцзеккера 490
П4Л.4. Спин ядра и его магнитный момент 492
П4Л.5. Статистика частиц и четность волновой функции 494
П4Л.6. Ядерные силы 495
П4.2. Радиоактивный распад 498
П4.2Л. Закон радиоактивного распада 498
П4.2.2. Особенности о-распада 500
П4.2.3. Особенности /3-распада 502
П4.2.4. Гамма-излучение ядер иего свойства 504
П4.3. Некоторые закономерности ядерных реакций 505
П4.3Л. Основные понятия 506
П4.3.2. Законы сохранения в ядерных реакциях 506
П4.3.3. Механизмы ядерных реакций 507
П4.4. Элементы нейтронной физики 508
П4ЛЛ. Свойства нейтрона 508
П4Л.2. Ядерные реакции под действием нейтронов 509
П4Л.З. Замедление и диффузия нейтронов 510
П4.5. Деление атомных ядер 512
П4.5Л. Нейтроны деления 513
П4.5.2. Аппроксимационный механизм деления 515
П4.5.3. Деление тяжелых ядер 516
П4.5.4. Некоторые свойства зарядового распределения 519
П4.5.5. Пенная реакция деления 520
Задачи и упражнения 525
Таблица физических констант 539
Список литературы 540