ПРЕДИСЛОВИЕ

С проблемами анализа подобия физических процессов я познакомился в начале 30-х годов на семинарах М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана, проходивших в небольшом особняке около Инженерного замка. Там складывалась ленинградская школа специалистов в области теплопередачи и гидроаэродинамики энергетических аппаратов и машин.

В эти же годы начались публикации результатов первых систематических экспериментальных исследований по термогидродинамике гетерогенных систем. Особенно увлекательными и новыми были работы по изучению процессов кипения жидкостей и конденсации паров. Помимо их все возрастающего прикладного значения, эти объекты были исключительно интересными и трудными с чисто познавательной точки зрения. Здесь в еще большей степени, чем в тогда же начавшей интенсивно изучаться турбулентности однородных сред, проявились многозначность и нестационарность структур, незамкнутость математического описания осредненных переносов импульса, массы и энергии, неопределенность краевых условий для актуального движения, вероятность возникновения метастабильных состояний и т. п. Все это открывало новые, чрезвычайно обширные и важные области эффективного приложения методов теории размерностей и подобия. Причем такие приложения представлялись и действительно оказались отнюдь не тривиальными. Именно этими проблемами мне довелось заняться в то время, что и обусловило мои начальные интересы, связанные с анализом физического подобия. В дальнейшем они по-

степенно расширялись, но понадобилось много лет для того, чтобы я решился написать по этому поводу отдельную монографию достаточно общего содержания. Многое в ней основано на результатах, полученных совместно с моими товарищами по Институту теплофизики Сибирского отделения Академии наук СССР и Центральному котлотурбинному институту им. И. И. Ползунова.

Главы 5 и 10 обсуждены и частично написаны вместе с М. А. Гольдштиком, глава 13 написана совместно с В. А. Груздевым, глава 14 — при участии Л. М. Зыси- ной-Моложен и В. О. Головщикова, глава 15 — совместно с Е. М. Хабахпашевой. Отдельные проблемы подробно обсуждались с Э. П. Волчковым, М. Ф. Жуковым, Б. П. Мироновым, В. Е. Накоряковым, А. К. Ребровым, Н. А. Рубцовым.

Л. М. Берзина внесла весьма значительный вклад в редактирование книги, Н. К. Чупиной я признателен за помощь в организации подготовки рукописи.

ВВЕДЕНИЕ

Выделение явлений одной природы и их описание специальным формализмом есть основа методологии естествознания. В этом смысле соображения о сходственных, подобных друг другу в определенном отношении, явлениях и процессах общеизвестны. На таких полуинтуитивных представлениях основаны и обычные понятия о моделировании. Например, в авиа- или судомодельном видах спорта соревнуются конструкции определенных моделей, внешне сходственные с прототипами (оригиналами) самолетов и кораблей. Однако в физико-математическом смысле такие устройства не являются моделями каких-либо реальных образцов. Нельзя, например, судить о гидроаэродинамике корабля, самолета, автомобиля по результатам испытаний их спортивных микромоделей. В то же время строгие понятия геометрического подобия известны человечеству, по крайней мере, со времен Евклида, т. е. более двадцати веков.

Представления о существовании физического подобия, более глубокого, чем качественное выделение определенного, достаточно обширного, класса явлений (например, течений несжимаемой жидкости, взаимодействий твердых тел в полях тяготения и т. п.), интуитивно возникали у многих исследователей с начала становления экспериментальных наук.

Но только в двадцатом веке анализ физического подобия сложился в четко осознанный метод планирования эксперимента, обобщения результатов опытов, выбора универсальных координат при решении конкретных задач аналитически или с помощью численного эксперимента. Возникла теория физического моделирования, значение которой для многоплановых экспериментальных исследований и инженерного искусства переоценить невозможно.

В основе представлений о физическом подобии, в конце концов, лежит простая и ясная идея о принципиальной независимости законов природы от конкретной системы мер, используемой исследователем. Следствия же из этой идеи отнюдь не тривиальны. Во-первых, она сама предъявляет определенные требования к системе мер, которая должна содержать минимум специфических переходных коэффициентов. Например, использование в технике таких, исторически возникших независимо, мер энергии, как килограмм-метр, калория и джоуль, приводит к введению соответствующих коэффициентов, в частности так называемого эквивалента теплоты и работы. Сыграв в свое время позитивную познавательную роль, в дальней-

шем эта величина потеряла и реальный смысл, и практическую ценность. Все же создание идеальной системы мер,— видимо, недостижимая цель [0.21]. Во-вторых, и это главное в данном случае, в рамках любой предпочтительной для исследователя или инженера конкретной системы мер вопрос о независимой от нее физикоматематической постановке рассматриваемой ими проблемы всегда остается существенным, а часто и решающим в методологическом плане.

Первыми работами, в которых введение безразмерной комбинации физических, кинематических и геометрических параметров привело к сильному познавательному результату, являются выполненные Рейнольдсом экспериментальные и теоретические исследования условий существования двух фундаментальных режимов движения текучих сред — ламинарного и турбулентного [0.88, 0.39]. В эти же 80-е годы XIX в. Рэлей и некоторые другие исследователи уже отчетливо осознавали эвристическую ценность анализа размерностей. Тем не менее еще в 1915 г. Рэлей писал, что его «удивляет то, с каким невниманием относятся даже оригинальные физики к великому принципу подобия» [0.37]. Почти 20 лет спустя ту же мысль выразил и С. И. Вавилов в предисловии к русскому изданию книги Бриджмена [0.4]: «Анализ размерностей, как эвристический метод физики, в лучшем случае упоминается в связи с каким-нибудь одним примером без пояснений, оставляющим впечатление малоубедительного фокуса».

А несколько ранее Т. А. Афанасьева-Эренфест сочла необходимым противопоставить теорию подобия, под которой подразумевался анализ безразмерных определяющих уравнений рассматриваемого явления, анализу размерностей [0.31]. Думается, это было вызвано тем, что в то время еще не сложилось понимание глубокой связи анализа размерностей с конструированием физико-математических моделей, несмотря на существование давно известной теоремы Ньютона о динамическом подобии [0.10]. Да и в весьма интересной, хотя и несколько наивной, книге Н. А. Морозова [0.20] такая связь явно подразумевалась.

Основы современного анализа размерностей были заложены в первую очередь работами Рэлея, Бэкингема [0.27], Бриджмена [0.4]. Здесь существенное значение для дальнейшего развития представлений о физическом подобии имело установление связи между максимально возможным числом безразмерных комплексов и числом размерных величин, из которых они составлены. Исторический обзор становления соответствующей теоремы содержится в статье Гертлера [0.32]. Анализ подобия развитых физико-математических моделей впервые отчетливо был поставлен и рассмотрен в работах Нуссельта [0.34—0.36], А. Федермана, указавшего также на его связь с теорией групп [0.23], Т. А. Афанасьевой-Эренфест [0.1,0.30].

Гребер [0.33] предложил ввести названия фундаментальных безразмерных комплексов в теории физического подобия по именам их авторов или выдающихся ученых, занимавшихся данной конкретной областью физики. Такие числа (критерии) подобия обычно

обозначаются одной или двумя первыми буквами выбранного имени. Тем самым анализ подобия приобрел собственную оригинальную и компактную символику, имеющую к тому же некоторый оттенок историчности. В настоящее время такая символика анализа подобия хорошо коррелирует с международной символикой размерностей физических величин [0.9]. ~

Анализ подобия физических свойств веществ менее отчетлив и продуктивен, чем анализ физических процессов, в которых эти свойства проявляются существенным образом. Связано это обстоятельство со сложностью строения вещества и высокой степенью индивидуализации его конкретных структур. Однако и здесь во многих случаях соображения подобия оказываются весьма полезными. В основе таких соображений обычно лежат представления о соответственных термодинамических состояниях, восходящие к работе Ван-дер-Ваальса [0.40]. Одним из ранних примеров применения анализа размерностей к изучению физических свойств среды является статья Эйнштейна [0.26].

В работах М. В. Кирпичева, А. А. Гухмана и др. [0.5—0.7, 0.11, 0.12] идеи Нуссельта и Т. А. Афанасьевой-Эренфест были систематизированы, развиты и на их основе созданы правила физического моделирования термогидродинамических процессов в однородных средах. Эти результаты нашли широкое применение в инженерной практике [0.11, 0.17, 0.25].

Анализ эффектов неизотермичности и сжимаемости текучих сред привел в работах Крокко [0.28], А. А. Гухмана и др. в 30-е годы к появлению особых чисел подобия: отношения характерной скорости течения к скорости звука и относительных изменений свойств рабочих тел с температурой и давлением. Таким образом, в основном было завершено рассмотрение фундаментальных чисел подобия однородных сред при отсутствии физико-химических превращений.

В те же 30-е годы появились первые, не объединенные общей идеей, исследования условий подобия некоторых явлений термогидродинамики многофазных сред. Введение автором этой книги критерия подобия теплового взаимодействия при фазовых переходах первого рода и метода совместного рассмотрения условий физических переносов в каждой из фаз и на границах их взаимодействия [0.14] позволило распространить анализ подобия на все процессы с изменением агрегатного состояния вещества и при физико-химических превращениях, сопровождающихся тепловыми эффектами [0.8, 0.15]. В таком анализе нашли отражение существенно новые обстоятельства: возникновение внутренних границ раздела фаз, многозначность макроструктур, физико-химические превращения, условия зарождения новой фазы, возможности существования ярко выраженных метастабильных состояний.

В это же время Дамкелер [0.29] рассмотрел условия подобия для процессов в реакционных аппаратах и ввел число подобия теплоты реакции и соотношения потоков реагирующих сред.

Соображения, связанные с анализом размерностей и подобия, находят все большее распространение и в таких областях современной физики, как строение микромира и космология (см., например, [0.18, 0.19]).

Несомненно, анализ подобия и физико-математическое моделирование являются одним из фундаментальных методологических достижений науки двадцатого века. Значение этой методологии уже сейчас далеко выходит за рамки собственно физики. В то же время при всей внешней простоте основ анализа размерностей и подобия их эффективные приложения являются в некотором смысле искусством (впрочем, как и всякое научное творчество). Становление анализа подобия как одного из мощных методов исследования в физике во времени совпало с выделением комплекса особых физических наук, тесно связывающих фундаментальные и прикладные исследования в обширных областях человеческой деятельности под углом зрения того или иного раздела физических знаний. Сюда относятся радиофизика, электрофизика, физическая механика, лазерная физика и др.

Исторически среди этих «физических физик» первой появилась теплофизика — наука о макропереносах энергии и вещества, сопровождающихся тепловыми эффектами. В силу второго начала термодинамики все энергетические процессы в изолированных системах приводят к возрастанию энтропии, т. е. число научных и технологических объектов изучения в теплофизике поистине необъятно. Поэтому, имея статус «частной» науки, теплофизика в то же время является некоторой ипостасью и физики в целом. Изучаемые ею явления связаны со сложными взаимодействиями термодинамических, гидрогазодинамических и электродинамических процессов во всех агрегатных состояниях вещества — твердых телах, жидкостях, газах, плазме. Законченные физико-математические постановки конкретных проблем здесь часто отсутствуют или в своей общей форме бывают весьма абстрагированными и плохо обозримыми для получения конкретных результатов/ Особенно это относится к эффектам турбулентности и к динамике многофазных систем.

Именно в рамках физической механики и теплофизики возник анализ размерностей и подобия. При решении проблем этих разделов физики он приносил и приносит до сих пор многие глубоко содержательные результаты. Естественно, что и в этой книге полем приложений являются главным образом проблемы термогидрогазодинамики. Поскольку же набор конкретных объектов для примеров содержательных приложений всегда ограничен, то они выбраны или из уже устоявшихся классических задач, или из области интересов автора.

Монографии и статьи [0.2—0.8, 0.11—0.19, 0.22, 0.24, 0.25], а также содержащиеся в них литературные ссылки позволяют расширить знакомство с приложениями анализа подобия практически во всех областях, в которых он сейчас эффективно применяется.

О т Афанасьева-Эрепфест Т. А. Принцип размерностей — Журн. Русск. физ.» ' ' хим. о-ва. Физ. отдел, 1912, т. 44, № 7, с. 245—246.

С.2. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика,— л.: Гидрометеоиздат, 1978.— 207 с.

0.3. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие.— М.: Изд-во иностр, лит., 1963.— 244 с.

0.4. Бриджмен П. В. Анализ размерностей. (Р. W. Bridgman. Dimensional analysis. Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass., 1921).—Л.—M.: ОНТИ ГТТИ, 1934 — 119 c.

0.5. Гухман А. А. Физические основы теплопередачи.— Л.— М.: ОНТИ — Гос- энергопздат, 1934.— 315 с.

0.6. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. 2-е изд.— М.: Высш, шк., 1973.— 295 с.

0.7. Гухман А. А., Кирпичев М. В. Теория моделей.— Изв. Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Калинина, 1927, т. 30, с. 1—50.

0.8. Дьяконов Г. К. Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов.— М.: Изд-во АН СССР, 1956.— 206 с.

0.9. Единицы физических величин. ГОСТ 8.417-81 (СТ СЭВ 1052-78).—М.: Изд- во стандартов, 1981.— 40 с.

0.10. Кирпичев В. Л. Беседы о механике.— Спб.: Изд-во К. Л. Реккера, 1907.

0.11. Кирпичев М. В., Михеев М. А. Моделирование тепловых устройств.— М.: Изд-во АН СССР, 1936.— 320 с.

0.12. Кирпичев М. В., Михеев М. А., Эйгенсон Л. С. Теплопередача.— М.— Л.: Госэпергоиздат, 1940.— 292 с.

0.13. Клайн С. Дж. Подобие и приближенные методы.— М.: Мир, 1968.— 302 с.

0.14. Кутателадзе С. С. Опыт применения теории подобия к процессу теплопередачи от конденсирующего насыщенного пара.— ЖТФ, 1937, т. 7, № 3, с. 282-293.

0.15. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении.— М.— Л.: Машгиз, 1952.—231 с.; US AEG, Tr-3770, Washington, 1959.—207 р.

0.16. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике.— Новосибирск.: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.— 280 с.

0.17. Кутателадзе С. С., Ляховский Д. Н., Пермяков В. А. Моделирование теплоэнергетического оборудования.— М.— Л.: Энергия, 1966.— 350 с.

0.18. Марков М. А. Предельная плотность материи как универсальный закон природы.— Письма в ЖЭТФ, 1982, т. 36, № 6, с. 214—216.

0.19. Матвеев В. А., Мурадян Р. М., Тавхелидзе А. Н. На пути к раскрытию структуры элементарных частиц.— В кн.: Наука и человечество. М.: Знание, 198Q, с. 179—191.

0.20. Морозов Н. Основы качественного физико-математического анализа.— М.: Т-во И. Д. Сытина, 1908.

0.21. Обозначения, единицы измерения и терминология в физике (Документ U. I. Р. 20, 1978). От редакции.—УФН, 1979, т. 129, вып. 2, с. 289—335.

0.22. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 9-е изд.— М.: Наука, 1981.—448 с.

0.23. Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка.— Изв. Спб. политехи, ин-та. Отд. техники, естествознания, математики, 1911, т. XVI, в. 1.

0.24. Филиппов Л. П. Подобие свойств веществ.— М.: Изд-во МГУ, 1978.— 255 с.

0.25. Эйгенсон Л. С. Моделирование. 2-е изд.— М.: Наука, 1952.— 372 с.

0.26. Эйнштейн А. К квантовой теории идеального газа.— В кн.: Собрание научных трудов. М.: Наука, 1966, т. 3, с. 503—510.

0.27. Buckingham Е. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations— Phys. Rev., 1914, v. 4, N 4, p. 345—376.

0.28. Crocco L. Sulla transmissione del calore ola una laminara piana ann fuido scorrente ad alta velocita.— L’Aerotecnica, 1932, p. 181—197.

0.29. Damkohler G. Einfliisse der Stromung, Diffusion und des Warmeuberganges auf die Leistung von Reaktionsofen.— Zeitschr. Elektrochem., 1936, Rd 42, N 12, S. 846—862. (пер. в журн. Успехи химии, 1938, т. 7, вып. 5, с. 732— 755).

0.30. Ehrenfest-Afanassjewa T. Der Dimensionsbegriff und der analytische Bau physikalischer Gleichungen.— Math. Ann., 1916, Bd 77, N 2, S. 259—276.

0.31. Ehrenfest-Afanassjewa T. Dimensional analysis viewed from the standpoint of the theory of similitudes.— Phil. Mag., 1926, v. 1, N 1, p. 257—272.

0.32. Gortler H. Zur Geschichte des П-theorems.— ZAMM, 1975, Bd 55, S. 3—8.

0.33. Grober H. Die Grundgesetze der Warmeleitung und des Warmeuberganges.— Berlin, 1921.— 426 S.

0.34. Nusselt W. Das Grundgesetz des Warmeuberganges.— Gesundheits — Inge- nieur, 1915, N 42, S. 477—482, 490—496.

0.35. Nusselt W. Der Warmeiibergang in Rohrleitungen.— Z. VDI, 1909, Bd 53, N 43, S. 1750—1755; N 44, S. 1808—1812.

0.36. Nusselt W. Die Oberflachenkondensation des Wasserdampfes. Teil I, II.— Z. VDI, 1916, N 27, S. 541; N 28, S. 569.

0.37. Reyleigh L. The principle of similitude.— Nature, 1915, v. 95, p. 66.

0.38. Reynolds O. An experimental investigation of the circumstances wich determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels.— Phil. Trans. Roy. Soc. L., 1883, v. 174, p. 935—982.

0.39. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion.— Phil. Trans. Roy. Soc. L., 1895, v. 186 A, p. 123—164.

0.40. Van der Waals J. D. Die Continitat des gasformigen und fliissigen Zustan- des.— Leipzig, 1881.— 168 S.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

а _ коэффициент диффузии тепла (коэффициент температуропроводности)

а*— скорость звука

а-к— коэффициент поглощенияизлучения

А— коэффициент асимметрии

В— магнитная индукция

Ъ— параметр проницаемостистенкив теории пограничного

слоя

С— концентрация

с— скорость света

с — удельная теплоемкость; ср — при постоянном давлении; cv — при постоянном объеме

су — коэффициент гидродинамического трения

D — электрическая индукция

D — коэффициент диффузии массы

D — диаметр

dK — коэффициент пропускания излучения

Е — напряженность электрического поля

Е — плотность излучения

Е — коэффициент эксцесса

Е^к) — спектральная плотность турбулентной энергии в пространстве волновых чисел

Е(т)— то же, в пространстве частот

е— электрический заряд

F— сила

G— массовый расход

g— ускорение (в частности, ускорение свободного падения)

Н — напряженность магнитного поля

к— постоянная Планка

—интенсивность излучения

—сила тока

I — единица силы тока в формуле размерности

i— энтальпия единицы массы

г*— энтальпия торможения

7—плотность электрическоготока

7—массовая скорость

к— постоянная Больцмана

к— волновое число•

L— характерный линейный размер

L — единица длины в формуле размерности

I — длина свободного пробега, пути смешения и т. п.

т — масса молекулы

М — молярная масса; МТ — относительная молекулярная масса М — единица массы в формуле размерности

Мк — момент /с-го порядка

Мк — центральный момент к-то порядка

р — давление

Q — тепловой поток

q — плотность теплового потока

R — универсальная газовая постоянная; Ro — удельная газовая постоянная

R — радиус

Ra — коэффициент корреляции

г — скрытая теплота фазового перехода первого рода; теплота реакции

г— коэффициент восстановления температуры

Гх— коэффициент отражения излучения

Т— температура

Т*— температура торможения

Т— единица времени в формулеразмерности

t— время

U— характерная скорость течения

и— скорость течения

и, v, w — компоненты вектора скорости течения

V — объем

V — разность потенциалов, напряжение v — удельный объем

у* —динамическая скорость (скорость касательного напряжения) xs у, z — координаты

а — коэффициент теплоотдачи

Р — коэффициент объемного расширения

Р — объемное расходное газосодержание смеси

7 = с-р! Су — показатель адиабаты

6— толщина пленки, пограничного слоя и т. п.

6*— толщина вытеснения

6** — толщина потери импульса

6т — толщина потери энергии

8— плотность диссипации турбулентной энергии

8К — плотность кинетической энергии турбулентного движения

8О— диэлектрическая проницаемость среды (абсолютная)

5— коэффициент гидродинамического сопротивления

Ц = —безразмерное расстояние от стенки

X — длина волны

X, Л — коэффициент теплопроводности

— динамическая вязкость

— магнитная проницаемость среды (абсолютная)

va —частота

v — кинематическая вязкость

v коэффициент магнитной диффузии (магнитная вязкость) П — безразмерный комплекс, критерий подобия

^— приведенное давление в формулах термодинамического по

добия

р— плотность среды

ре— плотность электрического заряда

о— коэффициент поверхностного натяжения

о— нормальное напряжение

оэ— электрическая проводимость среды

г— касательное напряжение

т — приведенная температура в формулах термодинамического подобия

ф — истинное объемное газосодержание смеси

ф— приведенный объемвформулах термодинамического по

добия

й— площадь поперечного сечения

со— угловая скорость

<о— круговая частота

Индексы: 0 — масштабная величина; от — относительный; см — смесь; ст — стенка; гр — граница; кр — критический; п — внешняя нормаль; л — лучистый (радиационный); м — магнитный; т — тепловой, турбулентный; э — электрический; D — диффузионный; '— тяжелая фаза; " — легкая фаза; ' —- пульсационная компонента скорости, плотности, давления и т. п.; ” над символом — знак без- размерности (dim х = 1); [ ], dim — символы размерности; < > — знак осреднения.

Основные единицы физических величин в системе СИ, основные мировые постоянные и перечень фундаментальных критериев подобия даны в таблицах приложений.

Глава 1

АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙИ ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Универсальными формами существования материи являются движение и пространство — время. Их фундаментальные физические меры — масса, энергия, расстояние, время. В силу того факта, что масса и энергия связаны друг с другом через мировую константу — скорость света в вакууме, т. е. могут измеряться одними и теми же единицами, существуют три основные величины, через единицы которых могут быть выражены количественно результаты множества наблюдательных, экспериментальных и вычислительных определений конкретных физических явлений. Это — масса (или энергия), расстояние, время.

При этом возникают глубокие проблемы философского плана, например, обсуждаемые в [1.1, 1.2]. Однако при рассмотрении конкретных объектов обычно достаточно изложенной выше констатации и предположения о том, что для каждой из этих трех величин можно подобрать некоторые устойчивые значения, которые могут служить в качестве их масштабов, воспроизводимых природными или искусственными эталонами. Такие масштабы массы М, длины L и времени Т называются основными единицами физических величин.

Если N означает численное значение величины Z, выраженное в ее единицах Л, то это записывается следующим образом:

dimZ = [Z] = ^; Z = NA.(1.1)

Здесь dim и [ ] — символы размерности. Так, при единице длины «метр» размерность произвольного отрезка х запишется dim х = м, а длина конкретного отрезка составит, например, 10 м.

Из основных единиц могут конструироваться производные единицы по формуле размерностей

[ZJ = Л{ = L^M^T4.(1.2)

Смысл введения производных единиц заключается в том, что, будучи более тесно связанными с конкретным физическим явлением, они наглядно и компактно характеризуют те или иные достаточно общие физические ситуации. При этом отношение двух численных значений величины не зависит от выбора масштабов.

При введении производных единиц могут возникать и глубокие принципиальные вопросы. Происходит это тогда, когда формально

вводимая производная единица отражает некоторое особое качественное свойство материи. Например, температура как мера хаотического движения множества структурных частиц вещества или электрический заряд как форма энергии. В таких случаях оказывается полезным введение особых дополнительных единиц.

Существуют также такие физические характеристики, которые не описываются (по крайней мере, в настоящее время) в единицах, производных от мер энергии, пространства и времени. К таким величинам относятся, например, барионный и лептонный заряды элементарных частиц, квантовые числа «цвет» и «очарование» в кварковой модели адронов.

Можно сказать, что размерностью таких величин является их собственное наименование, причем с ними можно производить математические действия, адекватные соответствующим законам сохранения. Например,

2 В = const; В+ + В~ = 0.(1.3)

1

Здесь В—барионный заряд, равный +1 у барионов и —1 у антибарионов; первая формула (1.3) выражает закон сохранения барионных зарядов, вторая — исчезновение барионного заряда при реакции аннигиляции бариона В* с антибарионом В*. Качественно особые, не выражаемые рационально в системе «масса — длина — время», размерности используются и для описания хорошо известных связей при энергетических и пространственных взаимодействиях. Примером может служить валентность, несомненно особая размерность в формулах химических реакций, являющаяся одной из характеристик энергетических взаимодействий электронных оболочек атомов.

Показатели 1^ т^ t; в формуле (1.2) могут иметь положительные и отрицательные значения, быть целыми и дробными числами. Однако в силу самого определения размерности эти показатели все одновременно обращаться в нуль не могут. Тем не менее для сохранения единообразия записи безразмерные величины можно представить как

[Z] = UMQr = 1.(1.4)

Если имеется система размерностей вида

Ло = Ll°Mm°Tto-, '

Аг =

A2 = Ll2Mm2Tt2;'(15)

Ап = В1пМтпт\

У которой

{

ПnП 1

?0 == 2 ^г» ^0 = 2 ^г> *0 == 2 ^г| »(1«6)

111 )

то размерность Ло можно считать алгебраическим произведением размерностей Аг и записать это в форме

Л0 = Л1.Л2....*Лп. (1.7)

Таким образом, множеству физических явлений может быть сопоставлено множество их характерных размерностей, в том числе такие, которые в данной конкретной ситуации могут рассматриваться как первичные, образующие все остальные размерности.

Формула (1.7) показывает, что размерности А имеют более глубокий смысл, чем простые символы измерений. С ними можно производить операции алгебраического умножения, образуя не только новые размерности с определенным физическим содержанием, но и безразмерные комбинации, характеризующие конкретные физические взаимодействия в форме, отвлеченной от конкретных единиц.

Естественным научным путем выбора масштаба измерений следует считать принятие в качестве эталона какого-либо устойчивого природного явления. На заре цивилизации такой подход проявился интуитивно в определении мер времени по наблюдениям за периодичностью двух главных светил — Солнца и Луны. При желании можно усмотреть нечто символическое в том, что современными эталонами времени и длины является определенная частота спектра электромагнитных волн.

Совокупность стандартов основных и важнейших производных единиц физических величин образует официальную систему мер [0.9, 1.3].

В Приложении 1 приведены единицы СИ и системы СГС (табл. 1—4), соотношения между различными единицами давления (табл. 5), работы и энергии (табл. 6), мощности (табл. 7), а также значения некоторых мировых констант (табл. 8).

Системы единиц физических величин никогда не бывают абсолютно приемлемыми для всех реальных ситуаций, и имеются параллельные общие и частные системы [0.21].

РАЗМЕРНЫЕ И БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Отношение измеренного значения величины к выбранной единице есть, конечно, число отвлеченное. Но физическая природа этой величины отражается ее размерностью. Такие величины называются размерными, или именованными, и записываются в форме (1.1).

Таким образом, следует различать:

величины размерные, численное значение которых зависит от принятой системы единиц,

величины безразмерные, или отвлеченные, численное значение которых не зависит от принятой системы единиц, а размерность [Z] = 1.

Безразмерные величины могут образовываться в виде отношения двух величин Zt одинаковой размерности А (симплексы)

S - ZJZ^ dim S = А!А = 1 (1.8)

> риче особой комбинации величин разной размерности в соответ* ” С формулами (1.4) и (1.7)

п = II zh dim П = П 4 = 1.(1.9)

2=112=1

Здесь П — традиционный символ произвольного безразмерного ком- пчекса, а Ц— стандартный символ произведения. Таким образом, комплекс П представляет собой произведение множества величин 7г, имеющих размерности Лй возведенные в такие степени Ь^ что результирующая размерность оказывается равной 1. Очевидно, что для выполнения этого условия выбор числа размерных величин /г не является произвольным, а обусловлен множеством размерностей л!1...ЛЛ. Содержательность комплекса П определяется тем, что входящие в него величины отражают конкретные физические взаимодействия.

Симплексы являются частным случаем комплексов, и их выделение имеет смысл только в связи с наглядностью тех или иных приложений анализа размерностей.

Хорошо известным примером безразмерного комплекса является число Рейнольдса, однозначно определяющее режим течения жидкости с постоянными свойствами в пространстве заданной конфигурации,

Re = pUL/vi = UL/v.(1.10)

Здесь U — характерная скорость течения, например средняя расходная скорость в канале, м/с; L — характерный линейный размер, например радиус круглой трубы, м; р — плотность жидкости, кг/м3; ц — динамическая вязкость жидкости, Па • с.

Следует обратить внимание на то важное обстоятельство, что в это выражение входит особая комбинация существенных для процесса физических свойств, а именно кинематическая вязкость, м2/с:

v = ц/р,(1-11)

которую можно интерпретировать как коэффициент диффузии импульса.

Соответствующая (1.10) комбинация размерностей имеет вид

Перепишем число Рейнольдса (1.10) в форме

Re“#-<*.12)

Числитель этого выражения можно рассматривать как масштаб Динамического напора или сил инерции потока, а знаменатель — как масштаб сил вязкого (молекулярного) трения.

При малых значениях Re вязкое трение относительно велико и быстро гасит возникающие динамические возмущения без сущест-

22С. С. КутателадзеС. С. Кутателадзе1717

2

2

С. С. Кутателадзе

С. С. Кутателадзе

17

17

венного удлинения линий тока элементарных объемов жидкости. Этим поддерживается устойчивое ламинарное течение. При больших значениях Не динамические возмущения не могут уравновешиваться молекулярным трением в параллельно струйчатом течении, необходимо усиление обмена импульсом, что приводит к возникновению вихрей и турбулентности.

Собственные масштабы течения рС/2 и yvU/L имеют одинаковую размерность ^ML^T-2^, т. е. характеризуют силы, воздействующие на единицу площади поверхности. В такой интерпретации безразмерный комплекс имеет смысл некоего симплекса.

Симплексы могут быть двух типов: первый представляет собой отношение двух величин одной природы и одинаковой размерности; второй — отношение двух величин одинаковой размерности, но разной природы.

Примером симплексов первого рода являются параметры геометрического подобия — относительный радиус, относительная длина, угол, а также отношение скорости течения жидкости на данном относительном радиусе трубы к средней расходной скорости и т. п. Примером симплексов второго рода может служить число Маха — Маиевского

^ = U!a^ (1.13)

где U—характерная скорость течения среды, м/с; а^— скорость распространения упругих возмущений в этой среде, м/с.

Существует также группа симплексов, образуемых по некоторому, характерному для тех или иных условий, значению данной величины, например коэффициент перегрузки — понятие, широко известное в связи с космическими полетами:

n = g/g0. (1.14)

Здесь g— характерное ускорение данной системы, м/с2; g0— ускорение свободного падения в условиях Земли, м/с2.

Различие между (1.13) и (1.14) заключается в том, что величина а^ является физическим свойством определенной среды (вещества), a go есть среднее значение данного физического свойства на конкретной планете.

При М = 1 в потоке могут возникать скачки уплотнения, т. е. это значение комплекса в определенном физическом смысле критическое.

Таким образом, из рассмотренных свойств чисел Re и М следует, что безразмерные комплексы: а) позволяют уменьшить число переменных, характеризующих изучаемое явление, в том смысле, что заранее устанавливается определенная взаимосвязь между размерными величинами в виде их безразмерных комбинаций, и делают это изучение независимым от системы мер; б) могут служить мерой, определяющей возникновение критических ситуаций, которые приводят к коренным перестройкам протекания изучаемого явления.

ПЕРВИЧНЫЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИИ АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Математической моделью физического процесса является его описание в математических терминах, адекватное исходным представлениям и данным. Простейшая физико-математическая мо- ель ___ перечень свойств среды и ее динамических параметров, взаимосвязь которых описывает изучаемый процесс в данном приближении к действительности.

Все эти величины могут быть разделены на зависимые переменные а и независимые переменные р так, что для любой а< существует зависимость от совокупности всех Р/

«i = /i(Pi> Рг, • Pn, Pn+i, . . ..М-(1.15)

Параметры [^ могут быть, в частности, размерными константами.

Разделение величин на зависимые и независимые имеет часто условный характер и связано как с постановкой физической или инженерной проблемы, так и с реализацией экспериментального исследования.

Математические модели законов природы, являясь отражением объективной реальности, в наиболее общих формулировках не должны зависеть от выбора системы мер. Это значит, что зависимости (1.15) между размерными величинами может быть сопоставлена однозначно соответствующая ей зависимость между величинами безразмерными, составленными из совокупности {а^ Pi, р2, .. ., Рт\

...,ПР).(1.16)

Здесь Па. безразмерный комплекс, включающий величину аг и являющийся зависимым параметром процесса; Пъ . . ., Пр — безразмерные независимые параметры, составленные только из величин р,.

Следует заметить, что формальная запись, законов природы все же зависит от выбора системы единиц, поскольку последние влияют на число и размерность некоторых физических постоянных. Так, например, если введены килограмм-метр и калория как меры работы и теплоты, то появляется тепловой эквивалент механической работы. В системе мер с общей единицей энергии необходимость введения такого коэффициента отпадает.

Среди независимых переменных р можно выделить п величин, размерности которых в данной совокупности всех величин являются также независимыми. Независимость размерности в этом случае означает, что она не может быть представлена как производная от размерностей других величин, входящих в перечень (1.15).

Так, например, размерности длины L, скорости LT-1 и энергии ML2T~2 независимы; размерности длины L, скорости LT~l и ускорения LT~2 зависимы [0.22].

Если независимым переменным {ръ .. ., рп} приписать единичное значение: Pi = 1АЬ . . ., pn = 1ЛП, где А^ — соответствующая независимая размерность величины Р;, то получим новый набор независимых переменных

{^, Л2, ..., AJ.(1.17)

Тогда производные от них размерности зависимой переменной ai и независимых переменных от pn+i до Р™, определенные в соответствии со структурой формулы (1.2), запишутся в форме

(1.18)(1.18)[ai] = Л?1^2 ... А>, [IW - ^^ • • • Z"; I

(1.18)

(1.18)

[ PmJ — A^ Аз .. . Au .

Из величин, имеющих такие размерности, можно составить безразмерные комплексы

Здесь уместно повторить то, что комплексы типа Па., содержащие зависимую размерную переменную а<, являются безразмерными зависимыми переменными данного процесса, а комплексы Пр;, составленные только из независимых размерных переменных, представляют собой безразмерные независимые переменные того же процесса.

Из (1.19) следует, что число безразмерных комплексов, составленных из назначенного набора размерных величин, определяется формулой Бэкипгема [0.4, 0.27]

р-к-п, (1.20)

где к — полное число переменных; п — число первичных (независимых) размерностей.

Более глубокие знания о реальных взаимодействиях явлений, характеризуемых набором величин {осг, pn+i, • . ., Pm), т. е. расширение физико-математической модели, могут позволить сократить число независимых безразмерных переменных Пр.. Поэтому формула (1.20) определяет только наибольшее число безразмерных комплексов, которые могут быть составлены из заданного числа независимых и зависимых переменных рассматриваемого процесса. Это утверждение принято называть П-теоремой анализа размерностей.

В качестве элементарного примера анализа размерностей па основе формулы (1.20) рассмотрим уже знакомую нам задачу о течении жидкости с постоянными физическими свойствами в длинной гладкой круглой трубе. Искомой величиной является продольный градиент давления, Па/м, который в данном случае постоянен по длине трубы:

dp/dx = const.

Определяющими параметрами (независимыми переменными) явля-

Рис. 1.1. Зависимость коэффициента гидродинамического сопротивления £ от числа Рейнольдса и относительной однородной шероховатости.

Данные Никурадзе для песочной шероховатости: 1—6 — 1/6^=507; 252; 126; 60; 30,6; 15.

Данные Галавича для технической шероховатости 1/6=1300 (7). I— закон сопротивления при ламинарном течении; II — закон сопротивления при турбулентном течении в гладкой трубе.

ются внутренний диаметр трубы D, м, расходная скорость течения U, м/с, плотность жидкости р, кг/м3, и динамическая вязкость жидкости ц, Па • с. Таким образом, число переменных к = 5. Выражение размерности давления, Па, в первичных единицах имеет вид кг/(м-с2).

Размерности всех этих величин состоят из трех независимых размерностей: кг, м, с, т. е. п = 3. Таким образом, по формуле (1.20) число безразмерных комплексов данной задачи р = 5—3 = 2. Эти комплексы можно записать в следующей форме:

~ dp 2D '

to ри2’ .(1,21)

Re = UDlv.

Первый из этих комплексов называется коэффициентом гидродинамического сопротивления канала и связан в данном случае с традиционной формой числа Эйлера соотношением

Eu = \p/pU2 = ^ШП, (1.22)

где Др — полное изменение статического давления на длине L. Число Эйлера является здесь однозначной функцией числа Рейнольдса Eu = /(Re).

На рис. 1.1 приведены зависимости, построенные в этой системе переменных, для гладких труб и труб с однородной зернистой

шероховатостью, характеризуемой относительной высотой зерен 6 = 26/ZZ

Следует обратить внимание на некоторую свободу комбинирования размерных величин в безразмерные комплексы. Фиксируется число комплексов, но не их структуры. И в данной задаче определяемый комплекс можно сконструировать не только в виде отношения градиента давления к масштабу динамического напора, ни и как отношение градиента давления к масштабу силы вязкого трения (число Лагранжа)

La = —~л = Eu Re.(1.23)

При общей постановке задачи такая запись выглядит менее удачной, поскольку она содержит в себе и независимый комплекс Не. Однако, если мы сузим объект исследования и будем интересоваться только ламинарным режимом течения жидкости, ситуация изменится. При установившемся ламинарном течении несжимаемой жидкости в длинной прямой трубе все ее частицы (не молекулы, а объемы, небольшие по сравнению с масштабом течения) движутся прямолинейно по параллельным траекториям, т. е. силы инерции в таком потоке не проявляются. Все определяется вязким трением, и поэтому из перечня существенных для процесса физических свойств среды можно исключить ее плотность. Тогда к = 4, п = 3, и по формуле (1.20) в этом случае р = 4—3 = 1. Следовательно, данный конкретный физический процесс характеризуется только одним безразмерным комплексом, который однозначно принимает форму (1.23). Поскольку других переменных не возникло, этот комплекс должен иметь некоторое постоянное численное значение:

La = const; Eu =(1.24)

Этому закону гидродинамического сопротивления на рис. 1.1 соответствует левая логарифмическая прямая с const = 64.

Таким образом, существует особая ситуация

р = 1; П = const,(1.25)

при которой анализ размерностей приводит к весьма сильному результату — конкретному физическому закону, определенному с точностью до постоянной. Последняя может быть или найдена экспериментально, или вычислена при расширении математической модели от перечня параметров до уравнений, описывающих их связи.

Обобщая рассмотренный пример, можно сказать, что формула (1.25) описывает предельные, в определенном смысле вырожденные, ситуации данного физического явления — ситуации, при которых число параметров, существенно влияющих на процесс, становится минимальным.

ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Наиболее полное представление о физическом процессе дают поля характеризующих его величин. В стационарных процессах — ЭТо распределение параметра в пространстве, ограниченном внешними контурами рассматриваемой системы. В нестационарном процессе — это распределение в пространстве и во времени

ср = /(#!; х2\ х3\ t). (1.26)

В безразмерной форме поле описывается зависимостью

Ф = /(^; хг\ хг\ ty (1.27)

В качестве безразмерной зависимой переменной ф может выступать или симплекс, построенный по характерному значению ф0, или безразмерный комплекс, содержащий в себе величину ф. Безразмерные координаты и времена также могут выступать в форме симплексов или комплексов. Очевидно, что в общем случае поля комплексов более содержательны, чем поля симплексов.

Рассмотрим несколько примеров. Стационарное распределение скоростей несжимаемой жидкости, ламинарно текущей в длинной гладкой трубе, имеет вид

(—— = 1 —(-4-У; = (1.28) 1 wmax \ ^о / wmax ^ J

где Wmax — скорость течения на оси трубы; и — скорость течения на радиусе R; Ro — радиус трубы. Здесь симплексы й = и/итах и R = R/Rq однозначно описывают поле скоростей, но соответствующий этому полю закон сопротивления (1.24) выражается только через более сложный комплекс, включающий в себя физическое свойство среды — ее вязкость.

Стационарное турбулентное течение несжимаемой жидкости в длинной гладкой круглой трубе имеет логарифмическое распределение скоростей в основной части течения

50 < ц < Цо, ф = 5,5 + 2,5 In ц. (1.29)

Здесь безразмерная скорость ф = ujv* имеет вид симплекса, построенного по особому масштабу скорости, называемому динамической скоростью, или скоростью касательного напряжения (у* = V^Tct/P, тст — касательные напряжения на стенке трубы). Величина ц = у*(7?0— R)/v имеет вид комплекса и может интерпретироваться или как безразмерное расстояние от стенки трубы, или как локальное число Рейнольдса потока. Величина ц0 в определении области действия закона (1.29) представляет значение ц на оси трубы (R = 0y Формула (1.29) широко применяется с достаточной точностью в практических расчетах, но не удовлетворяет условию осевой симметрии профиля скорости (R = 0, dufdR = 0). Этот недостаток легко устраняется в любой относительно корректной модели турбулентного пограничного слоя.

При значениях ц < 50 осредненпое турбулентное течение существенно зависит от молекулярного трения, и в непосредственной окрестности стенки трубы (А->7?0) возникает квазиламинарная область течения. Она называется вязким подслоем и при малых градиентах давления в несжимаемой жидкости характеризуется условиями

( 0 < 1] < т]!: ф « Щ Нех = Ц1. (1.30) Здесь Rei = u^yjv — собственное число Рейнольдса вязкого подслоя, у^ = Ro — Ri — условная толщина вязкого подслоя, которой соответствует безразмерное расстояние от стенки щ; uY — скорость осредпенного турбулентного течения на радиусе Нх.

Логарифмическое распределение продольной компоненты вектора осредненного течения в турбулентном ядре потока непосредственно следует из анализа размерностей. В соответствии с экспериментальными фактами молекулярная вязкость при ц > 50 не влияет на турбулентное трение. Мало влияет и общая толщина потока 6 вдали от его оси или внешней границы. Поэтому в области yv < у < 6 имеется только три характерных величины: трение на стенке тсг; плотность среды р; расстояние, отсчитываемое от у = 0 или у = у^ (что при у > ух практически одно и то же). Из этих величин можно сконструировать только соотношение, имеющее размерность градиента скорости течения, т. е. для рассмотренных условий с точностью до постоянной

д < и) ~ У *

Интегрируя, получаем формулу (1.29), в которой постоянные определены эскпериментально.

Как видно, изменение режима течения жидкости привело к необходимости изменения и безразмерных координат поля скоростей. Таким образом, и физические переменные, и координаты безразмерных полей могут в зависимости от конкретной ситуации конструироваться в виде или симплексов, или комплексов.

Вопрос о выборе сходственных временных точек (гомохронно- сти) более сложен и будет обсужден в дальнейшем. Отметим только, что масштаб времени можно конструировать в разных ситуациях по-разному; например, им может служить отношение квадрата характерного линейного размера к коэффициенту кинематической вязкости.

Подобными будут два процесса одной физической природы, имеющие разные значения независимых переменных, но одинаковые значения их безразмерных комбинаций. Соответственно будут иметь одинаковые численные значения и зависимые безразмерные переменные. Записывается это в форме

Пг=1йеш, (1-31)

что означает попарное равенство одноименных безразмерных комплексов и симплексов в двух подобных ситуациях.

Можно определить понятие физического подобия и аналогично хорошо известному понятию подобия геометрического. Подобными являются процессы одной физической природы, у которых одноименные поля безразмерных параметров геометрически тождественны. Например, если фг есть безразмерная зависимая переменная (скажем, относительная скорость течения u/U), а Хг есть безразмерная координата (скажем, относительный радиус R/R^, то поле функции фг (^г) у двух подобных процессов одинаково (см. формулу (1.28)).

Иначе говоря, группа подобных процессов сохраняет постоянные отношения одноименных физических величин в сходственных пространственно-временных точках. Это наиболее естественное и простое определение физического подобия. Однако возможны и более специальные определения, некоторые из них будут рассмотрены в последующих главах.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ФОРМЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫЭМПИРИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЧИСЛАМИ ПОДОБИЯ

При анализе размерностей всегда следует думать о физической полноте набора независимых параметров и переменных процесса. Иначе можно получить формально верный, но физически ошибочный результат. В качестве примера приведем эмпирическую формулу скорости свободного всплытия газового пузыря в жидкости для того интервала значений R, где эта скорость снижается с увеличением радиуса пузыря [1.5]:

(1.32)(1.32)U" = Y^o/^R.

(1.32)

(1.32)

Здесь U" — скорость всплытия пузыря, м/с; о — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м; р'— плотность жидкости, кг/м3; Я — радиус эквивалентной по объему сферы, м.

Как видно, в этой формуле размерности согласованы: м/с = = У[кг • м/(м • с2)](м3/кг) (1/м). Однако в пей отсутствует подъемная сила g(p'— р")—единственный источник движения пузыря U — ускорение свободного падения, м/с2; р"—плотность газа, кг/м3). Следовательно, независимо от действия гравитации, пузырь по этой формуле всегда будет всплывать с одной и той же скоростью, даже в невесомости. Ясно, что согласованность размерностей здесь ложная и является следствием недостаточно четкого физического мышления ее авторов.

Поскольку автомодельность относительно вязкости и обратное влияние радиуса пузыря па его скорость всплытия установлены экспериментально, то в рамках анализа размерностей можно предположить, что:

зависимым безразмерным комплексом является отношение масштаба динамического сопротивления подъему пузыря в жидкости к масштабу силы Архимеда

g (Р' - р") R ’g (Р' - р") R ’(1.33)(1.33)

g (Р' - р") R ’

g (Р' - р") R ’

(1.33)

(1.33)

коэффициент гидродинамического сопротивления является функцией деформации пузыря, характеризуемой отношением силы поверхностного натяжения и той же силы Архимеда. Безразмерное соотношение этих воздействий можно записать в форме

где g/R — мера давления, создаваемого поверхностным натяжением, Па.

При кусочной аппроксимации связи между критериями (1.33) и (1.34) в виде степенной зависимости имеем

Р^"2~ Г ^ __ V(1 35)

g^-^)R[ ^ (р'— Р'Э ^2 J

В области снижения скорости всплытия пузыря с ростом его объема показатель степени и > 1/2. Из физических соображений следует, что величина U" должна быть пропорциональна подъемной силе g(p' —р") в степени, большей нуля. Таким образом, обработка экспериментальных данных в форме (1.35) при dU"/8R < < 0 допустима только в интервале

l>n>V2.(1.36)

При п = 1 имеет место физически неразумная формула (1.32). При тг = 1/2 скорость всплытия перестает зависеть от объема пузыря. Эта ситуация возникает в области минимума функции U" (R) и соответствует формуле Франк-Каменецкого [1.4]

U" — const V ^ (р'— р")/Р/2-(1-37)

Из приведенного примера следует еще одно важное замечание. Представление экспериментальных данных в виде тех или иных эмпирических формул должно быть физически непротиворечивым. Так, широко распространенная обработка результатов опытов в форме

Па=АП;Х2--П^(1-38)

обычно весьма ограничена неопределенностью области применения вне положенного в ее основу массива фактических данных. Когда число независимых безразмерных переменных Пр больше одного- двух, эти ограничения становятся все более неопределенными и трудно устанавливаемыми из всегда неполного экспериментального материала. Тем важнее общие физические соображения о структуре эмпирических зависимостей и возможных пределах значений их численных коэффициентов.

Например, в расчетах конвективного теплообмена при турбулентном течении в гладких каналах широко распространена формула вида

Nu = С Pr’^Re”2,(1.39)

где Pr = v/a —число Прандтля; Nu=DaA —число Нуссельта; а— коэффициент теплоотдачи; л — коэффициент теплопроводности жидкости; D — характерный поперечный размер (для круглой трубы — ее радиус или диаметр). В зависимости от значений Re величина его показателя степени лежит в пределах 3/4 < и2 < 1, а показатель степени Рг имеет значения, близкие к величине п^ когда Рг -> О, и равен 1/4, когда Рг оо. В области же 0,5 < Рг < 10 значение гц ~ 0,4. Меняется и значение множителя пропорциональности С.

Еще одним примером может служить формула Нуссельта для коэффициента теплоотдачи при ламинарной пленочной конденсации чистого, практически неподвижного, насыщенного пара на вертикальной поверхности охлаждения:

<Nu> = (4/3) V (1/4) PrAr (К + 3/8).(1.40)

Здесь Nu = aL/K'; Ar = gApL3/v' —число Архимеда; К = г/с/А71— число теплового подобия фазового перехода; L — длина участка охлаждения; Ар = 1 — р^р'; р', р" — плотности конденсата и пара; V, v', с — коэффициенты теплопроводности, вязкости и теплоемкости конденсата; г—скрытая теплота конденсации; Д71— разность температур конденсации и поверхности охлаждения.

Степенной закон типа (1.38) в данном случае имеет погрешность менее 2% только при К> 5.

МАСШТАБНЫЕ СООТНОШЕНИЯФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДЫ

Анализ размерностей позволяет конструировать некоторые характерные соотношения физических свойств среды, которые можно рассматривать как особые имманентные масштабы протекающих в ней процессов. Например, упомянутое выше число Прандтля

Pr = v/a,(1.41)

являясь комбинацией только физических свойств среды, в то же время имеет смысл меры соотношения глубин диффузионного проникновения импульса и тепла, т. е. представляет собою некоторый критерий транспортных свойств среды по отношению к протекающим в ней термодинамическим процессам.

Величина

60g = Va/gAp,(1.42)

называемая постоянной Лапласа, характеризует порядок линейных размеров образований, спонтанно возникающих в газожидкостных системах (отрывной диаметр капли, образующейся на срезе капилляра; отрывной диаметр парового пузыря, растущего на поверхности нагрева в насыщенной жидкости, п т. п.). Здесь Др = р'— р"— разность плотностей жидкости и газа (пара).

Сочетания кинематических и динамических параметров с физическими свойствами среды порождают множество весьма эффек-

тивных собственных масштабов определенной группы физических процессов. Например, скорость перемещения в среде и кинематическая вязкость позволяют конструировать линейный масштаб и масштаб времени

6vu = v/н; tNU = 4/u\ (1-43)

Первую из этих величин можно трактовать как масштаб расстояния, па котором кинематическое возмущение гасится молекулярным трением, а вторую — как масштаб времени релаксации такого возмущения.

Соотношения наиболее универсальных констант физического мира могут трактоваться как его пороговые масштабы. Например, величина

Zmin = ^y/2«10~35M (1.44)

часто рассматривается как порог квантования пространства, а величина

(1.45)(1.45)Т . ( Gh V' “4Q-43 с

(1.45)

(1.45)

min — I 5 I ^ TU L

как порог квантования времени. Здесь G — гравитационная постоянная, Дж • м/кг2; К — квант действия, Дж с; с — скорость света в вакууме, м/с.

В гипотезе М. А. Маркова [0.18] о существовании максимальной плотности вещества порядок последней оценивается как

Ртах ^^ Ю98 кг/м3.(1.46)

В качестве другого примера из этой же области физических явлений можно привести известное соотношение неопределенности Гейзенберга, записанное в форме

Nx\um,K ^ 1,

где Nx — интервал точности измерения координаты; Ап — интервал точности измерения скорости; тп — масса частицы; И — постоянная Планка. Здесь величина Kim является собственным масштабом точности суммарного определения импульса макрочастицы.

ЛИТЕРАТУРА

Александров А. Д. Философское содержание и значение теории относительности.— В кн.: Философские проблемы современного естествознания. М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 93—136.

Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени.— М.: Прогресс, 1969.— 590 с.

Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности.— М.: Наука, 1977.— 336 с.

Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. Изд. 2-е.— М.: Наука, 1967.— 491 с.

Peebles F. N., Garber Н. J. Studies on the motion of gas bubbles in liquids.— Chom. Eng. Progress, 1953, v. 49, N 2, p. 88—97.

Глава 2

АНАЛИЗ ПОДОБИЯ В РАЗВИТЫХФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

БЕЗРАЗМЕРНАЯ ФОРМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙИ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Полная математическая модель данного физического явления представляет собою систему уравнений, связывающих набор присущих ему независимых и зависимых переменных. Такие уравнения построены па основе известных законов природы и отражают представления о физических взаимодействиях в некотором классе явлений (процессов).

Чем более абстрагирована исходная система уравнений от конкретных ситуаций, тем обширнее описываемый ею класс явлений. Рассмотрение балансов энергии и вещества малых объемов среды, когда можно отвлечься от ее состояния в целом, хорошо соответствует данному положению. Именно поэтому дифференциальные уравнения, описывающие такие балансы, являются главной частью большинства физико-математических моделей. К ним должны быть присоединены параметры, выделяющие конкретную ситуацию и называемые поэтому условиями однозначности. Физические свойства среды, отраженные в этих уравнениях, и условия однозначности задаются в виде или констант, или известных функций термодинамических параметров состояния и других факторов (например, напряжения сдвига в реологических средах).

Еще древние греки заметили, что сопоставлять можно только качественно одинаковые величины. В современной науке это обстоятельство впервые четко сформулировал Фурье, указавший, что все члены уравнения должны иметь одинаковую размерность. Вследствие этого вывод уравнений математической физики удобно осуществлять, рассматривая размерные величины и параметры, когда их физическое содержание проявляется наиболее наглядно. При конкретном же исследовании обычно эффективен переход к величинам безразмерным.

Пусть дан класс явлений, описываемый множеством уравнений

2^ = 0; / = 1, ...,и ,(2.1)

где Di — некоторые операторы.

Каждое из этих уравнений можно привести к безразмерной форме путем деления всех членов ряда на размерную часть одного из его членов.

Рассмотрим это действие на важной группе операторов вида

(2-2)(2-2)D = ayb^

(2-2)

(2-2)

где а — некоторый параметр, например физическое свойство; ж, у — переменные, характеризующие динамику процесса; Ъ^ с — натуральные числа. Именно такие операторы характерны для основных уравнений переносов энергии и вещества. Так, полная производная температуры по времени

^ = 4+(u,gradn(2.3)

а влияние вязкости в уравнении движения несжимаемой жидкости описывается членом

(2.4)(2.4)Оц= |LlV2u.

(2.4)

(2.4)

Операция приведения уравнения к безразмерной форме может быть выполнена двумя способами: введением собственных масштабов переменных данного оператора или введением масштабов той же размерности, но иной физической природы, т. е. масштабов, сконструированных из других величин данного уравнения.

Рассмотрим первый способ на примере уравнения вида

пп21=121=1(2.5)(2.5)

п

п

2

1=1

2

1=1

(2.5)

(2.5)

Введем симплексы

yt = yVyo*; xt = xjxot,(2.6)’

где индекс 0 означает, что данное характерное значение рассматриваемой величины выбрано в качестве масштаба всех ее остальных значений для данной задачи. Образовав такие симплексы в (2.5), получим уравнение

Выбрав размерный комплекс одного из членов этого уравнения в качестве масштаба и поделив на него все члены уравнения, получим

(2.8)(2.8)

(2.8)

(2.8)

Здесь индексом 1 отмечен масштабный член уравнения, который в безразмерной форме принимает вид оператора, состоящего из симплексов.

В остальных членах уравнения в качестве коэффициентов по* являются безразмерные комплексы

число которых на единицу меньше числа членов уравнения

р = п-1. (2.10)

В этих терминах подобными являются процессы, у которых все функции уД^г) попарно тождественны. Соответственно попарно тождественны в подобных процессах и комплексы Пг, поскольку уравнение (2.8) должно удовлетворяться в целом.

Верно и обратное утверждение. Действительно, операторы (2.2) независимы друг от друга, так как представляют разные воздействия (например, в уравнении движения несжимаемой жидкости — объемные силы, силы давления, вязкости и инерции). Следовательно, попарная тождественность комплексов П означает попарную тождественность безразмерных операторов уравнения. Поэтому комплексы П называются критериями или числами подобия. Те числа подобия, в которые входит какая-либо зависимая размерная переменная, называются зависимыми или определяемыми, а числа подобия, составленные только из независимых размерных переменных, называются независимыми или определяющими.

Однако вследствие указанной выше неопределенности выбора масштабного члена первичная операция получения чисел подобия не всегда может считаться окончательной. Требуется некоторый дополнительный анализ для вычленения всех определяющих критериев данного процесса.

Глубокие связи, существующие между анализом подобия и теорией уравнений математической физики, отчетливо изложены Биркгофом [0.3].

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ

Физический процесс полностью описывается в рамках исходных допущений некоторой системой основных уравнений и присоединенных к ним краевых условий, если эта система замкнута в математическом смысле. Тогда в принципе существует функция (1.15), которая в терминах предыдущего параграфа перепишется в форме

У< = А(^1, ^2, Хп^(2.11)

где уt — искомая неизвестная (зависимая) переменная; Xj— независимые переменные. Для выделения независимых переменных необходимо определить:

геометрические свойства системы, в которой протекает процесс (включая систему координат);

существенные для этого процесса физические характеристики тел, образующих систему, и их зависимость от термодинамических параметров состояния и динамических воздействий;

начальное или конечное состояние системы;

условия на границах системы в течение процесса.

Соответствующие этому перечню размерные величины и их значения, называемые условиями однозначности физического процесса, выделяют единичное явление данного класса. Величины, входящие в условия однозначности, задаются внешним образом по отношению к основным уравнениям и являются поэтому независимыми переменными, множество которых однозначно определяет протекание данного конкретного процесса. Все остальные переменные, входящие в основные уравнения, являются зависимыми переменными.

КОМБИНИРОВАНИЕ БЕЗРАЗМЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ.СОБСТВЕННО КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Как уже указывалось ранее, операция приведения уравнения к безразмерному виду не является однозначной. Поэтому форма критериев Пг, вообще говоря, случайна, и количество возможных комбинаций зависит от числа членов уравнений. Неизменным остается только число этих критериев, определяемое формулой (2.10). Таким образом, первичные критерии, содержащиеся в уравнениях типа (2.8), могут состоять из масштабов независимых и зависимых переменных.

Допустим, что некоторая система уравнений содержит пг критериев. Очевидно, что множество условий {Пг == idem), где 2=1, 2, ..., т^ эквивалентно множествам вида Ш^/П, = idem), где у фиксировано. Отсюда следует, что комбинация двух или нескольких первичных критериев также является критерием подобия. Однако общее число критериев подобия данного явления должно оставаться неизменным, т. е. не зависит от перестановки и рекомбинаций исходного их набора. Это обстоятельство позволяет сконструировать из системы первичных критериев такие критерии, которые состояли бы только из величин, входящих в условия однозначности.

Таким образом, каждой системе первичных критериев подобия

Ш1; П2; П3; ...; ПР} (2.12)’ эквивалентна система перегруппированных критериев подобия

[Па1. ..., Пап, П^, ..., Прт], (2.13) где п критериев Па составлено как из зависимых, так и независимых переменных, и т критериев Пр составлено только из условий однозначности. При этом n-Vm^p, т. е. общее число критериев остается неизменным.

Как уже было сказано, условия однозначности полностью определяют протекание данного процесса. Поэтому числа подобия, составленные только из величин, входящих в условия однозначно-

сти, представляют собой настоящие критерии подобия. Это соответствует формуле (1.16) анализа размерностей, т. е. каждый из критериев Па. является некоторой функцией совокупности критериев П^..

Функция Па(ПРр ... Прт) описывает класс подобных явлений, а каждая точка этой функции соответствует группе подобных явлений, т. е. множеству конкретных ситуаций, у которых численные значения одноименных критериев подобия одинаковы.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

КАК ОБОБЩЕННЫЕ БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

В безразмерное уравнение (2.8) критерии Пг- входят в качестве коэффициентов при операторах, составленных из симплексов yt и Хг. Возможна и другая форма представления безразмерных операторов, например,

Это означает, что переменные величины в уравнениях процесса могут быть выражены в безразмерной форме как симплексами, так и комплексами. Следовательно, в общем случае числа подобия являются безразмерными переменными процесса, могущими фигурировать под знаками любых операций, а определяющие критерии являются безразмерными условиями однозначности. Поэтому основным содержанием теории подобия являются конструирование безразмерных переменных изучаемого класса явлений и анализ их взаимосвязей математическими и экспериментальными методами.

В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности в движущейся среде с постоянными физическими свойствами

(2.16)

Здесь А — коэффициент теплопроводности; с — удельная теплоемкость; р — плотность; qv — плотность внутренних источников тепла; ^—температура; t — время; 1г —скорость течения; х — координата.

Введем масштабы скорости течения и01 длины Zo и разности температур Мо = 1\ — Т2, где Т\ и Т2 — температура в характерных точках системы. Соответствующие симплексы имеют вид

(2.17)

33С. С. КутателадзеС. С. Кутателадзе3333где М = Т-Т2,

3

3

С. С. Кутателадзе

С. С. Кутателадзе

33

33

Уравнение (2.16) приводится к безразмерной форме

9vzo , V ЭМ _ ЭМ V Vo ~ ЭМ+ £ - Щ Эх/

где a = Ucp — коэффициент диффузии тепла. В этом уравнении в качестве переменных фигурируют три симплекса (2.17); комплекс

Fo = ^,(2.19)

имеющий смысл безразмерного времени и называемый числом Фурье; комплекс

^ = ^,(2.20)

имеющий смысл безразмерной плотности внутренних источников тепла и могущий быть функцией координат и времени; комплекс

Ре = u^lja,(2.21)

имеющий смысл меры соотношения притока тепла за счет теплопроводности от поверхности нагрева к текучей среде и продольного конвективного переноса тепла в последней. Этот комплекс называется числом Пекле и в данном случае выступает как коэффициент при градиенте безразмерной температуры.

АНАЛОГИИ

Вследствие абстрактности математических операций разные физические процессы могут описываться уравнениями одного и того же типа. Так, уравнение

V2^ = 0 (2.22) описывает стационарное распределение любого безразмерного потенциала в среде с постоянными физическими свойствами. Например,

если на геометрически подобных контурах заданы постоянные температуры 1\ и 7\ или постоянные электрические потенциалы Ft и F2. При этих условиях поля температур и электрических потен- пиалов в соответствующих областях существования будут определяться одной безразмерной функцией координат

ср(^!; х^ ^з) = 0.(2.24)

Такое расширение понятия подобия называют аналогией. В данном случае была рассмотрена простейшая электротепловая аналогия.

Формально тождественны также уравнения связи между силой F, массой М^ ускорением dU/dt в механике и разностью потенциа-

лов AV, индуктивностью L, скоростью изменения электрического тока dl/dt в электродинамике:

F = М dU/dt- М7 = L dl/dt.(2.25)

Здесь модельными аналогами являются сила F и разность электри* ческих потенциалов АУ, материальная масса М и индукция L, ускорение материального тела dU/dt и ускорение перемещения электрических зарядов dl/dt.

В качестве третьего примера рассмотрим аналогию между теплообменом и трением в потоке жидкости с постоянными свойствами. Эти процессы описываются: уравнением теплопроводности (2.16), записанным в форме

<Zy + Xv^-cp^+(u,grad7,)];'d(2.26)

^ + (u, grad) и ;(2.27)^ + (u, grad) и ;(2.27)уравнением движения

^ + (u, grad) и ;(2.27)

^ + (u, grad) и ;(2.27)

gp — grad р + р V2u = р уравнением неразрывности течения

divu = 0.(2.28)

При отсутствии внутренних источников тепла и безнапорном течении (gp — grad р = 0) уравнения (2.26)и (2.27) становятся тождественными относительно симплексов A Г и и, если сц = Х. Следовательно, и интегралы этих уравнений будут тождественными при пцдобном задании граничных условий по температуре Т и скорости течения и. Такое подобие автоматически выполняется при обтекании гладкой смачиваемой поверхности, имеющей постоянную температуру. В этом простом, но важном случае скорость течения на стенке равна нулю вследствие эффекта прилипания, а температурный напор, отсчитываемый от температуры стенки, также равен нулю.

Физическое свойство

Рг = срА(2.29)

называется числом Прандтля и характеризует соотношение молекулярной диффузии импульса и тепла.

Из сказанного следует, что в безнапорном потоке при отсутствии внутренних источников тепла, числе Прандтля, равном единице, и подобно заданных граничных условиях по температуре и скорости течения имеет место подобие полей скоростей и температур

ГТ = й.(2.30)

Тепловой поток через поверхность тела определяется формулой

Чет = а (7СТ - ^ = - X (^)ст,(2.31)

гДе а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 • К); ^Т = Тст — То —

разность температур поверхности обтекаемого тела и потока на большом удалении, К; у — нормаль к поверхности обтекаемого тела, м.

Касательное напряжение (трение) на поверхности тела определяется формулой

С/.р^/2 = _и(^ст,(2.32>

тще ct — коэффициент гидродинамического трения; U — скорость потока на большом удалении от тела.

Из этих формул следует, что

(2.33) ст(2.33) ст2аv / дЛ7 / дис^и \ ду /ст/ \ ду

(2.33) ст

(2.33) ст

При qv = 0, gp — grad р = О, Pr = 1, нСт = 0, Тст = const имеет место подобие полей температур и скоростей, т. е. выполняется условие (2.30). В этом случае правая часть формулы (2.33) равна единице, и следовательно, коэффициенты теплоотдачи и трения пропорциональны друг другу и связаны формулой

Эта зависимость называется аналогией Рейнольдса и имеет важное* значение в теории конвективного теплообмена.

Коэффициент трения ct является для рассматриваемого течения однозначной функцией числа Рейнольдса, а отклонения от аналогии возникают при числах Рг¥=1. Таким образом, в общем случае для среды с постоянными свойствами закон теплообмена выражается безразмерной функцией

St = /(Re; Pr),(2.35)

где определяемый комплекс

St = a/cpC7(2.36)

называется числом Стентона.

Строго говоря, аналогия Рейнольдса справедлива только для ламинарного течения. В безнапорном осредненном турбулентном течении имеют место пульсации давления, поэтому требование равенства нулю градиента давления в актуальном движении не выполняется. Тем не менее в развитом турбулентном потоке отклонения от подобия переносов импульса и нейтральной примеси (например, тепла) обычно невелики и «турбулентное число Прандтля» несколько меньше единицы.

В качестве еще одного примера рассмотрим аналогию между волновым течением слоя невязкой несжимаемой жидкости и потоком сжимаемого газа. Скорость распространения длинных поверхностных волн в тяжелой невязкой жидкости (р' ^р") определяет-

ся по формуле

(2.37У(2.37У^ = Vg6,

(2.37У

(2.37У

где 6 — глубина слоя жидкости в данной точке. Воспользовавшись этим соотношением, можно привести уравнения двумерного течения такой среды к виду

5б д (би) д (б^)

"dt 4 di 1 FT —

du du du ug 56OQx

dtdxdyоdx1x '

dvdv.duug56

"77 4“ U -r—4" V —— — — -7———.

dtdxdy6dy

Для плоского течения невязкого газа имеем

5р 5 (ри) 5(ри)

^ +и^ +и^ = -4^.(2.39)

dtdxdyрdxх '

dv,dv,dvа*dp

—-7 4- ^ ~7— 4" v —— = — ——-—.dtdxdypdy

Скорость звука в адиабатическом потоке газа

а* = V YP^/VPo.(2.40)

где ро и р0 — начальные параметры состояния газа.

Системы уравнений (2.38) и (2.39) тождественны при у = 2. Тайим образом, можно моделировать в гидравлических лотках течение гипотетического невязкого газа с показателем адиабаты у = 2. Практически же такое моделирование с хорошим приближением воспроизводит основные эффекты обтекания тел (например, решеток профилей) реальными газами, у которых 7~ 1,4. При этом глубина 6 является аналогом плотности газа р, а скорость длинных волн ug — аналогом скорости звука а* с точностью до константы.

ТЕПЛОВОЙ КРИТЕРИЙ ПОДОБИЯФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

Физико-химические превращения разделяются на гомогенные и гетерогенные. В первом случае превращение вещества происходит во всем объеме рассматриваемой системы (или его части) и не связано с фазовыми переходами, например экзотермическая реакция растворения серной кислоты в воде. Во втором случае возникает новая фаза и превращение вещества происходит по границам раздела фаз, например изменение агрегатного состояния — кипение жидкости или конденсация пара, плавление или затвердевание.

При гомогенном физико-химическом превращении плотность возникающих внутренних источников тепла

/ 5р.\

?r = п v^ + div PiUM’ (2141)

где г—теплота реакции, Дж/кг; индекс г означает рассматриваемую компоненту. Введя это значение qv в критерий (2.20), получим

- гЛ\ / 5р.\

^ = TxH-5r + div№ •(2.42)

При гетерогенном процессе тепловое взаимодействие на границе раздела фаз может быть записано в виде уравнения

/ дТ \ ./дТ \

“ ?4= г7гр — ^2/ •(2.43)

Здесь /гр — массовый поток возникающей фазы; п— нормаль к границе раздела фаз в данной точке.

Из уравнений (2.41) и (2.43) можно вычленить один и тот же безразмерный комплекс, характеризующий выделение (поглощение) теплоты реакции или фазового перехода

Остальные безразмерные величины, получающиеся из этих уравнений, имеют чисто термогидродипамический смысл и могут появляться вне связи с процессом физико-химического превращения.

Тепловой критерий подобия физико-химических превращений (2.44) был получен автором [0.14], а символ введен М. В. Кирпиче- вым, М. А. Михеевым и Л. С. Эйгепсопом [0.12].

В более общем виде

К = г/Аг,(2.45)

где At — энтальпийный напор в рассматриваемой фазе.

В некоторых ситуациях число подобия К может приобретать и чисто гидродинамический смысл. Например, число Рейнольдса жидкой пленки, текущей по твердой стенке, может быть записано в форме

Не-ЗД.(2.46)

Здесь Gx = \ pudy— массовый расход жидкости через поперечное 6

сечение пленки толщиной 6. При пленочной конденсации пара и малых переохлаждениях жидкой фазы

G, = qxk.(2.47)

q — плотность теплового потока; х— длина рассматриваемого участка конденсации. Подставляя выражение расхода конденсата из

в (2.46), получаем

(2.48)(2.48)т, аАТж Nu Re = = ттт♦

(2.48)

(2.48)

гр РгК

где число Нуссельта

Nu = ах/Х(2.49)

представляет собой другую по сравнению с (2.36) безразмерную запись коэффициента теплоотдачи.

Здесь уместно обратить внимание на то, что при задании в условиях однозначности плотности теплового потока q гидродинамическое подобие однозначно определяется числом Рейнольдса, а при задании температурного напора — числами К и Рг. Число Рейнольдса в этом случае становится определяемым, поскольку связано с зависимой переменной — коэффициентом теплоотдачи а.-

ПОДОБИЕ ПОЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СРЕДЫ

(2.50)(2.50)Физические свойства вещественных сред зависят от температуры, давления и в так называемых реологических средах — от возникающих в результате движения внутренних напряжений. В тех случаях, когда переменность физических свойств ^г в рассматриваемом процессе существенна, должны быть заданы зависимости

(2.50)

(2.50)

Xi = x<(^; р; т),

где т — некоторая реологическая характеристика или набор таких характеристик.

Во многих важных проблемах термогидрогазодинамики существен учет температурных функций физических свойств. Подобное задание физических свойств среды в рассматриваемых здесь ситуациях означает, что функции (2.50) должны быть одинаковыми в сравниваемых процессах и из них должны быть сконструированы безразмерные симплексы или комплексы. Эти безразмерные величины, будучи составленными из условий однозначности, должны включаться в множество определяющих критериев.

Линейные и экспоненциальные зависимости

<x = a-VbT; х = Ьехрп(Т~Т0^(2.51)

могут быть представлены в следующих безразмерных формах:

(2.52)(2.52)

(2.52)

(2.52)

т- е. подобие физических свойств в данных случаях определяется набором симплексов

<хб Хг; • • •; Хп>.■

У газов плотность определяется в простейшем случае формулой Клапейрона, т. е. при слабом изменении абсолютного давления

р/р0 = Г0/Г.(2.53)'

Вязкость (а также теплопроводность) газов в некотором приближении описывается формулой Сазерленда

где С — постоянная для данного газа, имеющая размерность температуры. Если

ЬТ = (Тст - Т) /(Тст - Го),(2.55)'

то

- = ^ + (1-^) АГ.(2.56)

О \О /

Таким образом, подобие температурных функций физических свойств в термогазодинамических процессах можно характеризовать двумя симплексами,

хр = Гст/Го; 'фс==Го/С'.(2.57)

Первый из этих симплексов называется температурным фактором; второй можно назвать температурным фактором Сазерленда.

При изоэнтропическом торможении потока от скорости течения U до 0 происходит разогрев среды, так что ее энтальпия становится равной

/* = /0 + im.(2.58)'

Здесь г* — энтальпия торможения; г0 — энтальпия незаторможенной среды. При постоянной теплоемкости соответствующая температура торможения определится формулой

Г* = Г0+(772сР.(2.59)

В идеальном газе скорость звука

= /(7-1)СрГ,(2.60)

где 7 = Ср/еУ — показатель адиабаты Пуассона; сР, cv — удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме. Таким образом, в газе

Т* = То (1 + ^^ М2).(2.61)

При обтекании средой некоторой твердой адиабатической поверхности температура последней зависит от скорости диффузии импульса и тепла в пограничном слое, и в общем случае энтальпия

торможения

i* = io + rt/72,(2.62)

где г — коэффициент восстановления энтальпии (температуры). Этот коэффициент отражает неподобие распространения вязких и тепловых возмущений, обусловленных торможением потока, и поэтому в первую очередь зависит от числа Прандтля. При продольном ламинарном обтекании пластины

г~Рг1/2;(2.63)

при турбулентном обтекании.

г « Рг1/3.(2.64)

Введя в (2.61) коэффициент г, можем сконструировать кинетический температурный фактор

-ф* = 1 + r^l М2.'(2.65)

Таким образом, в газах подобие полей физических свойств с большой точностью задается набором трех температурных факторов

{ф; гр*; грс).(2.66)

Обычно достаточно ограничиться первыми двумя.

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И ВНУТРЕННИЕ МАСШТАБЫ '

Когда анализ подобия приводит к единственному безразмерному комплексу, состоящему из одной зависимой и нескольких независимых переменных, рассматриваемую систему можно назвать автомодельной — условия подобия выполняются автоматически, независимо от значений тех или иных размерных переменных процесса.

Говорят также об автомодельности относительно того или иного из определяющих критериев подобия. Это означает относительное или полное вырождение влияния какой-либо из независимых размерных переменных на определяемое число подобия, т. е. на входящую в него зависимую переменную. Так, например, при турбулентном течении несжимаемой жидкости в трубах со значительной шероховатостью коэффициент гидродинамического сопротивления перестает зависеть от числа Рейнольдса и определяется только геометрическим симплексом шероховатости (см. рис. 1.1). Наступ пает автомодельность гидродинамического сопротивления относительно числа Рейнольдса.

Можно также сказать, что в данном случае имеет место автомодельность осредненного течения относительно молекулярной вязкости. Эта автомодельность абсолютная, связанная с самой сущностью рассматриваемого явления.

Закон ламинарного течения в (1.24) записывается или в форме La = const, автомодельной относительно числа Рейнольдса, или в форме Ен ~ Не-1, неавтомодельной. Здесь искомая переменная — гидродинамическое сопротивление — существенно зависит от молекулярной вязкости, а автомодельная форма безразмерной записи закона сопротивления связана с подбором специальной структуры определяемого числа подобия. Эта автомодельность структурная.

В любом автомодельном представлении того или иного явления распределения характеризующих его величин по некоторой координате Xt подобны, т. е. имеют постоянный множитель преобразования. При этом существенную роль играют специально сконструированные внутренние масштабы рассматриваемого явления, как, например, динамическая скорость у* в формуле (1.29) теории турбулентного пограничного слоя.

Стационарное поле температур в изотропном теле без внутренних источников тепла и с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией температуры, описывается уравнением

div (X grad Z) = 0.(2.67)

Если ввести функцию т

(2.68) zо

то уравнение (2.67) примет вид

v^ = 0.(2.69)

При X = const из (2.67) следует

V2Z = 0.(2.70)'

Таким образом, функция Ф в данной задаче является внутренним масштабом температурного поля, создающим для подобных конфигураций автомодельность решения относительно Ф при Х(Т\ и относительно Т при X = const.

Уравнения стационарного движения несжимаемой жидкости в приближении пограничного слоя имеют вид др , д^и / ди , ди \

^ + ^L = о.(2.71)

дх ду

Здесь координата х направлена по контуру тела вдоль течения, и ей соответствует компонента скорости и; координата у направлена по нормали к поверхности тела, и ей соответствует компонента скорости У.

Интегрируя уравнения (2.71) и решая совместно при граничных условиях: у = 0, и = у = 0; у °°, и -> U. получаем уравнение импульсов теории пограничного слоя

+ +?■<2-72>

гдегде(2.73)(2.73)

где

где

(2.73)

(2.73)

Эти величины имеют размерность длины и называются соответственно толщиной вытеснения и толщиной потери импульса. Замечательной особенностью интегралов типа (2.73) является то, что они практически вычисляются с большой точностью уже на конечном отрезке 6, который можно отождествить с действительной характерной толщиной гидродинамического пограничного слоя. Однако рационального экспериментального способа определения величины 6 не существует, а величины 6* и 6** сравнительно просто и достоверно вычисляются по измеренным распределениям скорости течения в пограничном слое.

При v = const уравнение (2.72) может быть переписано в форме

^^ + ReL (1 + НН = Неь4>(2-74)

dx

где Re** = C76**/v— число Рейнольдса, построенное по скорости невозмущенного течения и толщине потери импульса; Reb = — ULN— чйсло Рейнольдса, построенное по скорости невозмущенного течения и характерной длине тела L; формпараметр Н = = §*/§** — внутренний геометрический симплекс, характеризующий вытеснение гидродинамических линий тока в пограничном слое; формпараметр / = (6**/Z7) dU/dx — критерий гидродинамической кривизны пограничного слоя.

Для ламинарного пограничного слоя решения уравнения (2.74) имеют вид

(2-75>

Здесь замечательно то, что выбор в качестве линейной характеристики процесса внутреннего масштаба 6** приводит к характерному для ламинарного течения в трубе линейному закону трения с/ Re = const.

Таким образом, выбор конструкции критерия подобия, наиболее адекватной физико-геометрическим особенностям рассматриваемого процесса, позволяет более компактно и общо выразить ту или иную физическую закономерность.

Тривиальный, но практически существенный в инженерном расчете выбор чисто геометрического линейного масштаба делает связь между коэффициентом гидродинамического трения и числом Рейнольдса неодинаковой для разных конфигураций, однако в конечном счете определяющим здесь является критерий ReL, так как

именно масштаб L входит в условия однозначности, а внутренний масштаб 6** в данном случае есть функция процесса.

Уравнение (2.74) является также примером аффинного подобия, когда для разных координат выбираются свои собственные масштабы: в данном случае по координате у — масштаб 6** и по координате х — масштаб L.

В некоторых случаях целесообразно рассматривать производные какой-то величины как особые переменные, образуя с их помощью различного рода внутренние масштабы и числа подобия. Так, отношение производных

может рассматриваться как масштаб величины у, а безразмерный комплекс

,,2 / - х

Re1=2i(^),(2.77)

v \ ду /1х 7

где yi — линейный масштаб вязкого подслоя пристенного турбулентного потока, является в некоторых отношениях более универсальным, чем число Рейнольдса (1.30), построенное только по условной толщине подслоя у^ и скорости и1е

Очевидно, в качестве внутренних масштабов процесса выступают и величины типа (1.42), (1.43), т. е. комбинации физических и динамических характеристик, имеющие размерности длины, времени и т. п. Такие внутренние масштабы определяют порядок размеров спонтанно возникающих образований (например, вихрей, капель, характерных областей взаимодействий), характерных времен (например, времени релаксации, полураспада, выхода на регулярный режим).

Понятие автомодельности тесно связано с проблемой существования асимптотических решений конкретных физико-математических моделей. Простейшей и в то же время чрезвычайно важной является ситуация, описываемая условием (1.25). Гидродинамические примеры этой ситуации приведены в § 1.3 в виде условия La = const для стационарного ламинарного течения в длинном канале и условия Eu = const для турбулентного течения в канале с заданной значительной шероховатостью стенок. В обоих случаях специальная формулировка физико-математической модели в терминах критериев подобия дает асимптотическое решение, автомодельное относительно числа Рейнольдса.

В качестве другого примера приведем задачу об отклонении луча света на угол а в поле тяготения некоторой массы М, подробно рассмотренную в терминах анализа размерностей Куртом [2.5]. В общем случае имеем

а = Л(С, М, с, Я),(2.78)

где G— гравитационная постоянная, м3/(кг-с2); с — скорость света в вакууме, м/с; R — расстояние от центра массы М. м.

Так как угол, хотя и измеряется в радианах или градусах, с точки зрения анализа подобия есть величина безразмерная, то зависимости (2.78) соответствует безразмерная форма

а = /2(6ШЯс2).(2.79),

Если допустить существование асимптоты: Д-^оо, 8а/8R -> const, то в качестве зависимой переменной следует принять скорость изменения угла отклонения луча света по радиусу. При этом расстояние до данной точки по ходу луча от центра массы М из рассмотрения выпадает, поскольку становится неопределенным, и вместо (2.78) имеем

dcc/dfi = f3(G, М, с),(2.80)

что соответствует условию вырождения (1.25). В результате имеем асимптоту

а = const GM/ (c2R).

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

В теории термодинамических циклов безразмерные соотношения являются естественным следствием анализа и, как правило, удивительно компактны и прозрачны. Так, коэффициент полезного действия любого энергетического цикла не может быть больше, чем в идеальном цикле Карно (адиабата — изотерма — адиабата — изотерма)

LJL, 1 - №..(2.82)

Здесь L^ — введенная в цикл энергия (например, теплота сжигания органического или ядерного топлива); Л2 — полученная полезная энергия другого вида (например, механическая работа); Т^ — температура горячего источника; Тг — температура холодного источника.

Связь между термодинамическими параметрами состояния в адиабатическом процессе с идеальным газом имеет вид

р/р0=(р/р,)т,(2.83)'

где у = ср/cv — показатель адиабаты — комплексное физическое свойство среды. Так как скорость звука в общем случае определяется формулой

a*=V9p[ap,(2.84)

то при адиабатических осцилляциях из (2.83) и (2.84) следует формула (2.60), которой можно придать форму связи между безразмерными комбинациями акустических и термических свойств идеального газа

аЦс^Т = у-1.(2.85)

Уравнение состояния жидкого и газообразного вещества, т. е, связь между плотностью, давлением и температурой, можно представить в виде функции

Ф (л; ф; т; с*; ...;е*) = 0.(2.86)

Здесь л = р/ркр — приведенное давление; ф = у/гкр — приведенный удельный объем (и = 1/р); т = Т/ТКр — приведенная температура. Приведение к форме симплекса осуществляется путем деления на значение данной величины в термодинамической критической точке. Безразмерные величины с^ характеризуют некоторые свойства, связанные с молекулярной структурой вещества.

Простейшим модельным уравнением состояния, учитывающим взаимодействие молекул, является формула Ван-дер-Ваальса

(р + а/p2) (у - 6) = R0T.(2.87)

Здесь Ro — удельная газовая постоянная, равная отношению универсальной газовой постоянной R к молярной массе данного газа М; а — коэффициент «молекулярного давления»; Ъ — минимальный свободный объем. Связь между критическими значениями параметров состояния {ркр; ркР; ^kd^ и внутренними параметрами среды {а; &} устанавливается из условий в критической термодинамической точке [2.4]

/ аркр __ 1 ^0РкрЛф _ 8 |

оркр —(2.88)

I ^крd ^кр d J

Вводя приведенные термодинамические параметры в (2.87) и принимая во внимание (2.88), получаем безразмерную форму уравнения состояния в приближении Ван-дер-Ваальса

л + Л ЙЗф — 1) = 8т.(2.89)

.<₽ /

Величина

(2.90)(2.90)* ^Ркр^кр

(2.90)

(2.90)

С1- ^кр

называется критическим коэффициентом. Для реальных веществ критический коэффициент больше трех, что отражает приближенность уравнения (2.87).

Любой из приведенных параметров состояния {л, ф, т) полностью определен, если известны функция (2.86) и два других приведенных параметра. В этом смысле принято говорить, что вещества, подчиняющиеся одному и тому же приведенному уравнению состояния и имеющие численно одинаковые одноименные приведенные параметры, находятся в соответственных состояниях или термодинамически подобны.

Нетривиальность этого, казалось бы, весьма ограниченного подобия в том, что помимо плотности многие другие физические свойства веществ оказываются приблизительно подобными в термодинамически сходственных точках [2.2—2.4, 2.8, 2.11].

УСЛОВИЯ НА СВОБОДНЫХ ГРАНИЦАХ

При наличии свободных, т. е. подвижных, границ раздела фаз или компонентов возникают силовые, энерго- и массообменные процессы, часто не поддающиеся строгой фиксации. Иначе говоря, взаимодействия на этих границах могут быть локально описаны в пространстве и времени, но однозначное независимое управление ими невозможно.

Одно из таких граничных условий — тепловое взаимодействие — было уже рассмотрено в виде уравнения (2.43). Другим примером может служить возникновение градиента поверхностного натяжения вследствие неизотермичности. Внутренний линейный масштаб такого взаимодействия может быть сконструирован в виде

(2.91)

а соответствующее число подобия, например, в виде симплекса

бот = ML. (2.92)

Здесь, как и в (2.77), в число подобия вошли производные, в данном случае — некоторого физического свойства о по одному из параметров состояния — Т; L — характерная длина системы, например толщина слоя жидкости, на поверхности которого возник градиент свободной энергии. Такого рода взаимодействия можно назвать неуправляемыми (спонтанными) краевыми условиями.

Невозможность фиксации таких условий можно проиллюстрировать огромным числом примеров совместного движения газа и жидкости или двух несмешивающихся жидкостей. Ограничимся одним. При барботаже слоя ртути водой от поверхности динамического слоя ртуть — вода могут отрываться и витать в восходящем токе воды ртутные пузыри, т. е. сферические тонкие ртутные оболочки, внутри и снаружи которых находится вода [2.6]. Эти пузыри могут деформироваться, вибрировать, и в конце концов их оболочка взрывается, рассыпаясь на спектр мелких капель ртути.

Для каждой элементарной площадки поверхностей раздела воды и ртути можно составить балансы силовых и энергетических взаимодействий. Но как однозначно описать интегральные результаты? Это возможно только при сильной идеализации расчетных моделей или, как правило, с помощью экспериментальных данных, обобщенных методами теории подобия.

ПОДОБИЕ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Химические процессы, будучи обусловлены электронной структурой атомов и молекул, вследствие своего многообразия сильно индивидуализируют протекание физико-химических превращений. Соответственно ограничивается и анализ подобия, вернее, эффективность его применения для широких обобщений конкретных экспериментальных результатов. Тем не менее и здесь могут быть

получены относительно сильные результаты, если рассматривать предельные ситуации и их окрестности. В первую очередь это относится к процессам, скорость диффузии в которых существенно меньше скоростей собственно реакций.

Уравнение сплошности сохраняет канонический вид как для смеси, так и для каждого реагирующего и нейтрального компонента.

Уравнение диффузии t-ro компонента нагляднее всего записать в приближении пограничного слоя

(2.93)(2.93)дцдСгдСг

(2.93)

(2.93)

-г— = pzz —н

Оу г Эх г Оу

Здесь С^ — концентрация рассматриваемого компонента в смеси; р — плотность смеси; и, у — компоненты скорости течения смеси.

В смеси газов молекулярный диффузионный поток рассматриваемого компонента ]< описывается формулой

Здесь Di5 — многокомпонентные коэффициенты диффузии (£^ = 0), описываемые определителями тг-го порядка через п^п — 1)/2 бинарных коэффициентов диффузии всех возможных пар компонентов смеси; frit = mjm — относительная молекулярная масса f-ro компо- (п\ -1

2 С^т^ I — молекулярная масса смеси; DT, г — тер- 1=1/

модиффузионное отношение [2.1].

В обычном приближении пограничного слоя (др/8у = 0) член, учитывающий в (2.94) бародиффузию, равен нулю. Мала обыкновенно и термодиффузия. С хорошим приближением в ряде случаев можно вводить некоторый эффективный коэффициент диффузии [2.10].

Плотность потока теплоты в приближении пограничного слоя, когда термодиффузия мала, запишется:

+(2.95)

1=1

Здесь X— коэффициент «замороженной» теплопроводности смеси; h и /г — энтальпия и диффузионный поток г-ro компонента.

Кинетика реакций феноменологически описывается законом действующих масс

^-=к^С*г1-№сГ\(2.96)

1=11=1

Здесь С* — молярная концентрация i-ro компонента; к*, к* — скорости прямой и обратной реакций; at—стехиометрические коэффициенты. Скорость реакций связана с температурой законом Аррениуса

к* ~ exp(-E/R0T^(2.97).

где Е — энергия активации; R^ — газовая постоянная.

ВеличинаВеличинаРис. 2.1. Схема задачи об абсорбции газа пленкой жидкости, стекающей по вертикальной поверхности.

Величина

Величина

В = E/R.T (2.98) есть число подобия, определяющее температурную функцию скорости реакции.

Другим числом подобия будет критерий реакционной гомохронности, записанный в форме комплекса

HD)V = k*t/C*г (2.99)

или симплекса tp = tp/t,(2.100)

где tp — характерное время химической реакции.

Диффузионное число Прандтля

Ptd = ^/D(2.101)

характеризует соотношение диффузионных и гидродинамических переносов, обусловленных молекулярными механизмами. Подробно эти вопросы обсуждаются в монографии Д. А. Франк-Каменецкого [1.4] и в ряде более частных исследований, например [2.7, 2.9, 2.10].

Для примера рассмотрим относительно простую задачу об абсорбции газа жидкостью, сопровождающейся существенным тепловым эффектом (рис. 2.1). По вертикальной, охлаждаемой с другой стороны пластине ламинарно стекает пленка жидкости, поглощая своей свободной поверхностью некоторый газ. Реакция поглощения неадиабатна. На стенке формируется тепловой пограничный слой толщино!! 6Т> ст, а со стороны свободной границы в жидкости развиваются тепловой пограничный слой толщиной 6т,гр и диффузионный пограничный слой толщиной 6р.

На некоторой длине Lo внутренний и внешние пограничные слои не взаимодействуют, и процесс тепломассообмена можно описать элементарной системой структурно одинаковых уравнений теплопроводности и диффузии:

аг _ , о^Г

(2.102)

Граничные условия имеют вид

(2.103)(2.103)(6—6т,ст)/* у 2> 6т,гр» Т = То; у 2> 6d, С = Со;

(2.103)

(2.103)

у = О, Сгр = А + SZrp; X (^ — jrp = гр D ^-Jrp.

44С. С. КутателадзеС. С. Кутателадзе4949

4

4

С. С. Кутателадзе

С. С. Кутателадзе

49

49

Здесь ыгр — скорость движения свободной поверхности жидкой пленки, м/с; С" — относительная массовая концентрация газа, растворенного в жидкости, кг/кг; Со— начальная концентрация газа в жидкости; К' — коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/(м • К); р' — плотность жидкости, кг/м3; а — коэффициент диффузии тепла в жидкости, м2/с; D— коэффициент диффузии растворяемого газа в жидкости, м2/с; Т'— температура жидкости, К; То— начальная температура жидкости, сохраняющаяся между несомкнувшимися пограничными слоями, К; г — тепловой эффект абсорбции, Дж/кг; А и В — константы, определяемые по диаграммам равновесия газ — жидкость; индекс «гр» означает параметры на свободной границе пленки жидкости.

имеют вид(2.104)имеют вид(2.104)Как видно, в этой постановке пренебрегается изменением скорости течения во внешних пограничных слоях жидкости. Такое приближение обычно вполне приемлемо, когда бт>гр и 6d существенно меньше полной толщины пленки жидкости 6.

имеют вид

(2.104)

имеют вид

(2.104)

Решения для полей концентраций и температурАС" = -erf fl/^;]2 у Dx

АГ = -erff V

2 у ах)

Здесьс" Г" — т'\С" = -^7,; А г = -^;гр °гр 0(2.105)ГРУа'с'р - rB VD‘Здесьс" Г" — т'\С" = -^7,; А г = -^;гр °гр 0(2.105)ГРУа'с'р - rB VD‘Плотности потоков массы и тепла через свободную границу в жидкость определяются формуламиПлотности потоков массы и тепла через свободную границу в жидкость определяются формуламиX' <^> р' .срх ’X' <^> р' .срх ’7 гр —7 гр —3 ^о ^оо j^ 2л уьё — К3 ^о ^оо j^ 2л уьё — КXX(2.106)(2.106)

Здесь

с" Г" — т'

\С" = -^7,; А г = -^;

гр °гр 0(2.105)

ГРУа'с'р - rB VD‘

Здесь

с" Г" — т'

\С" = -^7,; А г = -^;

гр °гр 0(2.105)

ГРУа'с'р - rB VD‘

Плотности потоков массы и тепла через свободную границу в жидкость определяются формулами

Плотности потоков массы и тепла через свободную границу в жидкость определяются формулами

X' <^> р' .

срх ’

X' <^> р' .

срх ’

7 гр —

7 гр —

3 ^о ^оо j^ 2л уьё — К

3 ^о ^оо j^ 2л уьё — К

X

X

(2.106)

(2.106)

Здесь ср — теплоемкость жидкости при постоянном давлении, Дж/(кг • К); <и'> = (2/3) ыгр — средняя скорость течения жидкости в пленке; Т’оо = (Cq — А)/В — равновесная температура, соответствующая концентрации на входе; Соо = А + ВТ0 — равновесная концентрация при температуре жидкости вне теплового пограничного слоя (у 6т, гр); Le = a7D— число Льюиса; К = гВ/Ср— модификация теплового критерия физико-химических превращений.

Коэффициенты тепло- и массоотдачи в данном случае можно определить формулами

Соответствующие зависимости между числами подобия, полученные В. Е. Накоряковым и Н. И. Григорьевой, имеют вид

<^>=-^1/-Реб;

T/Le-K ' лт (2-108)

<Nud>^ v Le ■ /4 Ре 6.у Le — К г л

Здесь (Nu = ^; Nup = ^; Ре = ^-; 6 = |1.(2.109)

Комбинации чисел подобия Le и К в данных формулах отражают взаимодействие диффузионных и тепловых эффектов. Хорошо видно, что чистб эмпирический поиск зависимости

Nu ]_

NuJ = /(Pe6; Le; К)(2.110)

вряд ли мог бы привести к столь отчетливому результату.

Это еще раз показывает необходимость сочетания анализа экспериментальных данных в виде эмпирического подбора зависимостей между критериями подобия с привлечением определенных модельных представлений и, если возможно, соответствующих асимптотических решений определяющих процесс уравнений.

АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ

В зависимости от объема предварительных знаний об изучаемом процессе соотношение экспериментального исследования и теоретического анализа различно. Могут иметь место следующие ситуации.

Исследуется новое или известное только с некоторых качественных сторон явление. В данном случае первичные опыты ставятся с целью выяснения основных качественных особенностей изучаемого явления и выделения тех величин, которые наиболее существенно влияют на его протекание. При этом обычно появляются переменные и параметры, имеющие определенные размерности (давление, плотность, энтальпия, скорость перемещения и др.).

Определены основные расчетные коэффициенты (например, гидравлического сопротивления, теплоотдачи, предела устойчивости) и может быть составлен перечень размерных величин, совокупность которых с достаточной для данных целей точностью однозначно определяет величину искомой характеристики явления. На основе анализа размерностей из выявленной совокупности переменных и параметров составляются критерии подобия. На этом этапе цель экспериментов — установление эмпирических связей между известными величинами и накопление сведений для формулировки более общих закономерностей.

Сформулирована замкнутая модель изучаемого явления, т. е. составлены описывающие его уравнения и назначены необходимые краевые условия. При этом более глубокий теоретический анализ позволяет детальнее исследовать и необходимые условия однозначности.

В том случае, когда возможно достаточно общее аналитическое или численное исследование математической модели, цель опытов — апробация ее основных предпосылок, а также уточнение расчетных коэффициентов. При планировании экспериментального исследования, обобщении его результатов анализ подобия и следующие из него критерии и асимптотические решения должны применяться б полном объеме.

Прямое физическое моделирование заключается в том, что воспроизводится процесс той же физической природы, что в образце, но одноименные характеристики процесса изменены (уменьшены или увеличены) на некоторые постоянные множители. Иначе говоря, любые два физически подобные явления могут образовать пару образец — модель. Отсюда следует фундаментальное правило моделирования, отчетливо сформулированное М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом [0.7]: подобны системы одной физической природы, условия однозначности которых подобны, а одноименные критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы.

Таким образом, для полного подобия модели образцу должны быть выполнены следующие требования:

процесс, воспроизводимый в модели, относится к тому же классу физических явлений, что и процесс в образце; оба процесса подчиняются одним и тем же уравнениям и характеризуются одинаковыми физическими величинами;

геометрически модель подобна образцу;

безразмерные краевые условия в образце и модели одинаковы качественно и численно;

безразмерные независимые переменные (определяющие критерии подобия) в образце и модели попарно имеют одинаковое численное значение.

При выполнении этих условий моделирование является прямым и полным. .

Возможно также приближенное моделирование и моделирование по аналогии. При приближенном моделировании в модели воспроизводится тот же физический процесс, что и в образце (или наиболее существенная часть этого процесса), при частичном нарушении тех или иных из перечисленных выше условий подобия.

Как ясно следует из сказанного выше, физическое моделирование с достаточно четко очерченными границами достоверности получаемых с его помощью результатов возможно только на базе некоторой заранее выбранной математической модели. Следовательно, необходимо отчетливо понимать место физического моделирования в научном исследовании и инженерной практике, его соотношение с математическим моделированием и его эвристическую значимость.

В качестве забавного, и в то же время достаточно серьезного, примера печальных последствий «интуитивного геометрического» моделирования приведем отрывок из книги известных спортсменов- мореплавателей супругов Папазовых: «Строили яхту любители — сотрудники болгарского телевидения... В результате из рук энтузиастов вышло нечто непостижимое. Обычный крен из-за ветра у «Эолы» достигал 75°, т. е. был почти как у бескилевой спасательной шлюпки... Вообще на яхте все было не по мерке ... И я не удивляюсь, ибо мастера-любители приняли за основу чертежи яхты длиной 5,5 м, но ради удобства и роскоши произвольно удлинили корпус до 8,5 м. Сделали просто: увеличили пропорционально размеры буквально всех частей яхты, даже киля. И получилась яхта, конструкция которой пришла в противоречие со всеми нормами и принципами судостроения».

Но даже люди, формально знакомые с основами физического подобия, недопустимо часто создают дефектные модели и еще чаще некорректные псевдообобщения ограниченного числа экспериментальных данных.

Дело в том, что практически прямое моделирование может неограниченно применяться лишь для процессов, определяемые числа подобия которых являются функциями только геометрических симплексов системы и одного определяющего критерия. Наличие двух определяющих критериев (например, чисел Не и Рг при теплообмене) заметно осложняет моделирование. При трех определяющих критериях прямое моделирование обычно неосуществимо. В таких случаях необходима постановка систематических многовариантных экспериментов [0.17].

Назначением таких моделирующих экспериментов является реальное выявление эффектов, разрешенных весьма общей математической моделью, но не воспроизводимых на современном уровне математических технологий ни аналитически, ни в численных исследованиях (вариантных расчетах). Например, выяснение сложных вихревых структур в потоках вязкой жидкости, корреляционные функции конкретных турбулентных течений, протекание процессов деформации и разрушения различных твердых и пластических сред, прохождение оптического излучения в мутных средах.

ЛИТЕРАТУРА

Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса.— М.: Химия, 1974,— 687 с.

Бадылькес И. С. Свойства холодильных агентов.— М.: Пищ. пром-сть, 1974.— 174 с.

Боришанский В. М., Кутателадзе С. С., Новиков И. И., Федынский О. С. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 3-е.— М.: Атомиздат, 1967.— 300 с.

Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика. Изд. 3-е.— М.: Наука, 1979.— 512 с.

Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике.— М.: Мир, 1975.— 229 с. -2.6. Кутателадзе С. С., Стырикович М. А. Гидродинамика газожидкостных систем.— М.: Энергия, 1976.— 296 с.

Пакоряков В. Е., Григорьева И. И. Точное решение задачи о совместном тепломассопереносе при пленочной абсорбции.— ИФЖ, 1977, т. 33, № 5. с. 893.

Новиков И. И., Боришанский В. М. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче.— М.: Атомиздат, 1979.— 184 с.

Петухов Б. С., Шиков В. К. Теплообмен и сопротивление при течении диссоциирующего газа в трубах.— В кн.: Вопросы конвективного и радиа- ционно-кондуктивного теплообмена. М.: Наука, 1980, с. 77—143.

Тирский Г. А. Определение эффективных коэффициентов диффузии в ламинарном многокомпонентном пограничном слое.— Докл. АН СССР, 1964, т. 155, № 6, с. 1278—1281.

Шпильрайн Э. Э., Кассельман П. М. Основы теории теплофизических свойств веществ.— М.: Энергия, 1977.— 248 с.

Глава 3

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

■В ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Уравнение теплопроводности параболического типа основано на гипотезе Био — Фурье [3.5] о пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры

q = — X grad 7\(3.1)

так что

d2Q = qdFdt. ,(3.2)

Здесь Х(Г)—коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); Т— температура, К; F — площадь поверхности, м2; t — время, с.

Отсюда следует уравнение теплопроводности Фурье для изотропного тела

-з

, V 5 , 5757,а

С3-3)

1=1 г г

где qv — плотность внутренних источников тепла, Вт/м3. Это уравнение параболического типа, т. е. описывает процессы с бесконечной скоростью распространения возмущения. Скорость распространения температурного возмущения определяется средней скоростью теплового движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов), т. е. для столкновительного и фононного механизмов теплопроводности это величина порядка скорости звука в данной среде.

В подавляющем большинстве практических приложений эта скорость велика по сравнению со скоростью распространения реально фиксируемого теплового возмущения. Поэтому уравнение (3.3) хорошо описывает множество реальных проблем теплопроводности.

Учет конечной скорости распространения теплового возмущения требует перехода к уравнению гиперболического типа, содержащего эту скорость как заданное свойство среды [3.4, 3.6].

Из соображений размерности скорость распространения тепла можно связать с соответствующим ей временем релаксации £р формулой

Up = Уа/^р.(3.4)

По некоторым данным для газообразного азота tp « 10-9 с, для твердого алюминия tp 10“и с.

Выражение для вектора теплового потока в этом случае можно записать в форйе

— q = X grad Т + tp(3.5)

Традиционно различают четыре способа задания краевых условий к уравнению теплопроводности: '

— задание распределений температур как функции координат в фиксированный момент времени t = 0 и температур на поверхности тела как функции координат поверхности и времени

VTq^X, У) Z, 0) J ^грС^гр? Угр) ^гр» ^)}>(3.6)

— задание температурного поля в момент времени £ = 0 и плотности теплового потока через поверхность тела

{Г0(я, у, 2, 0); дгр(ягр» Угрч 2гр, tw,№

— задание температурного поля в момент времени t = 0 и интенсивности отвода тепла с поверхности тела

Та(х, у, z,0);= <ЦТгр-тА (3.8)

\/ грJ

где п — нормаль к поверхности тела в данной точке, м; а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); Ггр, Г—температуры * границы тела и невозмущенной области внешней среды, К;

— задание температурного поля при t = 0 и плотностей теплового потока с обеих сторон границы по соответствующим градиентам температур

ГI 9ТЛ ! 9ТЛ)

^(W,0);+(3.9)

где индексом 1 обозначена внутренняя область тела; индексом 2 — внешняя среда; Д^2 — тепловой поток, не связанный с теплопроводностью (например, за счет излучения или фазового перехода).

Условие (3.9) является наиболее общим и позволяет исследовать сопряженные задачи, в которых теплопроводность в твердом теле определяется термогидродинамикой внешней среды и в свою очередь влияет на последнюю.

В ряде случаев, например при излучении, граничные условия становятся существенно нелинейными.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Уравнение (3.3) имеет три члена, т. е. приводит к двум критериям подобия:

(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)qv = qvLNXM;

(3.10)

(3.10)

(3.11)

(3.11)

Fo = at/L2.

Числитель первого критерия (qvL3) является мерой тепловыделения в теле, а знаменатель [(VL)AZL2] — мерой теплопроводности.

Второй критерий — число Фурье — является безразмерным масштабом времени, если время t фиксировано, и безразмерным текущим временем, если t не фиксировано. При одних и тех же значениях этого критерия две подобные системы находятся в одинаковом состоянии. Поэтому число Фурье называется также критерием тепловой гомохронности. Величину L2/a можно трактовать как масштаб времени релаксации тепловых возмущений, а критерий гомохронности — как соотношение характерного времени протекания процесса к времени релаксации.

Соответственно можно построить и релаксационный симплекс подобия, характеризующий конечность скорости распространения тепловых возмущений

Fp = tp/t.(3.12)

Уравнение теплопроводности (3.3), строго говоря, соответствует условию tp 0.

Безразмерная форма граничных условий имеет вид

{71 о (#, у, 2, 0); Ггр (^гр? Угр^ zrp, Fo));(3.13)

{Т^xs у, zf О); 7гр (^гр? Угр1 zrp, Fo));(3.14)

З-^^.^^О);^^ =_^Ld;(3.15)IV 9п / гр Лгр )З-^^.^^О);^^ =_^Ld;(3.15)IV 9п / гр Лгр )

З-^^.^^О);^^ =_^Ld;(3.15)

IV 9п / гр Лгр )

З-^^.^^О);^^ =_^Ld;(3.15)

IV 9п / гр Лгр )

Безразмерные координаты можно образовывать по характерному размеру тела L*.

Xi = xJL,(3.17)

а безразмерные температурные напоры — как отношения к характерной разности температур, например,

—Т — Т

= то (0, 0,0, 0)-7V(3‘18)

Появившееся в (3.15) число Био

Bi = aL/kTp(3.19)

отличается от числа Нуссельта тем, что в него входит теплопроводность твердого тела, а не теплопроводность внешней среды, характеризуемой коэффициентом теплоотдачи ос. Критерий Био можно

рассматривать как меру соотношения внешнего и внутреннего термических сопротивлении в неподвижной среде с заданной интенсивностью теплоотдачи на ее контуре.

В граничных условиях четвертого рода возникает симплекс

А — Ai/2^2А — Ai/2^2(3.20)

А — Ai/2^2

А — Ai/2^2

как мера соотношения теплопроводности сред, контактирующих по границе раздела.

Безразмерная запись уравнения теплопроводности (3.3) при постоянных значениях коэффициента теплопроводности А и объемной теплоемкости ср имеет вид

(3.21)(3.21)- . V а^Т дМ?qv — 9Й ~ 9 Fo •г=1 г

(3.21)

(3.21)

Здесь АТ7 = (Т — T^/^Ti — Т^ — безразмерная разность температур, построенная по характерным температурам процесса Т^ и Т2; Fo — число Фурье, построенное по текущему времени t, т. е. являющееся здесь независимой переменной.

Влияние краевых условий на решение выражается через его коэффициенты. Так, при задании условий третьего рода эти коэффициенты будут теми или иными функциями критерия Bi.

Изменение температуры в неограниченной пластине толщиной 26, имевшей в начальный момент времени £ = 0 температуру Т\ (х, у, z, 0) = const, при постоянном коэффициенте теплоотдачи a и температуре внешней среды Т2, постоянной на большом удалении от поверхности пластины, описывается решением уравнения теплопроводности:

sin В. cos (В.о \

Д71 = 2 Уexp (- р Fo).(3.22)

В.4- sin 6. cos В. х 1 17х 7

j=l 1 1 1гг

(3.23)(3.23)Коэффициенты р, связаны с числом Био уравнением pt- sin Pi = Bi cos Pi.

(3.23)

(3.23)

sin2pjР? + Pi COS Pi sin Pisin2pjР? + Pi COS Pi sin Pi[1 —exp (-P-Fo)].[1 —exp (-P-Fo)].(3.24)(3.24)

sin2pj

Р? + Pi COS Pi sin Pi

sin2pj

Р? + Pi COS Pi sin Pi

[1 —exp (-P-Fo)].

[1 —exp (-P-Fo)].

(3.24)

(3.24)

О характере этой связи можно судить по следующим значениям коэффициентов первых пяти членов ряда:

Bi

Bi

В;

Вз

Bs

oo

л/2 = 1,57

(3/2)л = 4,71

(5/2)л = 7,85

(7/2)л=11,00

(9/2)л=14,15

20

1,50

4,49

7,49

10,51

13,55

1

0,86

3,42

6,43

9,52

1.2,65

0,1

0,31

3,17

6,30

9,43

12,57

0

0

л

2л

Зл

4л

Тепло,

отданное

или приобретенное объемом пластины

Г, = 26 • Р

26^(7^^)

за время I, определяется формулой

Как видно, ряд быстро сходится, и при достаточно больших значениях числа Фурье наступает квазирегулярный режим охлаждения, практически описываемый первым членом ряда (3.22):

(3.25)(3.25)Fo > Fo*, In AT1 ^ С^ — С2 Fo,

(3.25)

(3.25)

где Ct и С2 — функции числа Био, определяемые значениями коэффициента р1е На этом эффекте создан ряд методов определения теплофизических свойств веществ [3.3].

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫПРИМЕНЕНИЯ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

Аналитические и численные методы широко развиты в теории теплопроводности, и анализ размерностей здесь не имеет существенного значения. Тем не менее полезно рассмотреть несколько примеров его применения и в этих простейших ситуациях.

Пример первый — прогрев однородного полуограниченного массива. В момент времени £ = 0 на поверхности массива имеет место скачок температуры от 1\ до Т^ характерный линейный размер отсутствует. Требуется определить плотность потока q через поверхность массива.

Существенные для процесса переменные Vq, X, ср, t, М3; п = 5. Первичные размерности {Дж, м, с, К}; иг = 4. Число безразмерных комплексов р = 5—4 = 1. Имеем

gViV^cpAigViV^cpAi= const.= const.(3.26)(3.26)

gVi

V^cpAi

gVi

V^cpAi

= const.

= const.

(3.26)

(3.26)

Этот комплекс можно трактовать как произведение обобщенного критерия Био

Bi-qL/XM(3.27)

и квадратного корпя из числа Фурье

Fo1/2 = t^t/L.(3.28)

При этом линейный масштаб L сокращается, что и соответствует рассматриваемой задаче. Температурное поле зависит уже не только от физических свойств, времени и начального скачка температуры, но и от координаты, направленной в глубь массива по нормали к его поверхности. Имеем

(АТ1 (ос, t); X, ср, ос, t, АТоЦ\п = 6; m = 4; р = 2. J

Отсюда следует, что

Точное решение уравнения (3.3) при qv = 0 п постоянных физических свойствах дает значение const = 2/Ул и табулированные значения / (Fo) [3.2].

Пример второй — мгновенный точечный источник энергии Q, Дж, создает температурное поле в неограниченном однородном массиве, имеющем начальную температуру Т\. Существенные для процесса переменные кТ^Н, t^—T^ Q, к, ср, R, tY, п = 6. Первичные размерности {К, Дж, м, с}; m = 4; р = 6 — 4 = 2. Безразмерную комбинацию этих величин можно представить в виде

Т О Т3/2. f at \

Q СР

В данном случае отсутствует характерная (масштабная) разность температур, и вместо нее появляется комбинация энергии, выделенной источником, физических свойств среды и времени Q/cp(at)3/2, имеющая размерность температуры. Решение уравнения (3.3) для этих условий дает

Д7 = —!-=ехр(-^Л(3.30)

Тут следует обратить внимание на то, что аналогом линейного масштаба в определяемом числе подобия выступает величина "Vat. Однако можно было бы записать этот комплекс и в форме

^-c^T-TY^/Q.(3.31)

С точки зрения анализа размерностей эта запись более предпочтительна по своей компактности

cpMR^Q = /2 (^.cpMR^Q = /2 (^.(3.32)(3.32)

cpMR^Q = /2 (^.

cpMR^Q = /2 (^.

(3.32)

(3.32)

Однако аналитическое решение показывает, что первая форма определяемого числа подобия в некотором смысле более содержательна.

Пример третий — квазистационарная теплопроводность в неограниченном однородном массиве от источника с одним характерным размером (сфера или бесконечно протяженный цилиндр радиусом Rt). На поверхности источника задана постоянная температура Ti, на бесконечном удалении — температура Т2.

Существенные для процесса величины при определении плотности теплового потока на поверхности источника {7*! — T2lqA,R^; п = 4. Первичные размерности {К, Вт, м}; ш = 3; р = 4 — 3 = 1. Отсюда критерий

—^— = const.(3.33)

72/

При рассмотрении поля температур зависимой переменной является величина \T = T^R)—T2l а независимой переменной — текущий радиус R. Соответственно число безразмерных величин возрастает до двух без изменения числа первичных размерностей. Это приводит к зависимости

Т № — Т2тг~тг

(3.34)

Решения уравнения теплопроводности для сферического и цилиндрического слоев с внешним радиусом R2 при постоянном коэффициенте теплопроводности и постоянных температурах на контурах имеют вид

f = д2 . = 1 ] /о 35>

U - 7,) Я2 - R^ X (7, - 7,) In ’

При /?2 ^ 00 получаем для шара const = 1 и для цилиндра const = 0.

Этот пример показывает, что чем элементарнее физическая ситуация, тем менее информативен анализ размерностей, даже при сведении его результатов к одному критерию.

Кроме того, здесь отчетливо обнаруживается сильное влияние формы тела на конечный результат — сферический источник, погруженный в неограниченный массив, создает тепловой поток в ква- зистационарном режиме, а бесконечно протяженный цилиндрический источник создать квазистационарный тепловой поток в массиве не может.

Аналогичный эффект, например, наблюдается при ламинарном течении несжимаемой жидкости, которое под действием малых возмущений в плоском канале турбулизуется при конечном значении числа Рейнольдса, а в круглой трубе абсолютно устойчиво к такому воздействию.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИВ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Гипотеза Био — Фурье, выражаемая формулой (3.1), обобщается на анизотропные тела допущением о линейности связи компонент вектора теплового потока с компонентами вектора температурного градиента [3.2]:

•аат , а ат , а ат ’

Чх — Ml + ^2 ^ + Мз dz ;

(3.36)(3.36)_ аат аат аат

(3.36)

(3.36)

Чу -+ Л22 ду + Мз az;

аат, аат. аат

Чг 31 qx +32 Qy +33 qz *

При отсутствии внутренних источников уравнение теплопроводности приводится к виду

А а^т . А а^т , А а^т _ ато7х

^1"ТТ ++ ^з"ГТ — с^-аГе(3.37)

daq ду*dz^

Здесь М, Х2? Х3 — главные коэффициенты теплопроводности, а х^ у^ z4 — главные оси теплопроводности. Последние связаны с осями координат (ж, у, z) уравнением

M^l + M^i + ^3Z1 = ^Ц^2 + МгУ2 + Мз^ +

+ (^23 + ^32) У2 + (Ml + Мз) 2Х + (^12 + Ml) ЖУ* (3.38)

В кристаллах главные оси теплопроводности совпадают с осями симметрии.

Введением новых координат

(3.39)(3.39)

(3.39)

(3.39)

уравнение (3.37) сводится к форме уравнения теплопроводности в однородной среде

(3.40)(3.40)х0 у а^т _ ат_

(3.40)

(3.40)

ср ■at *

м г=1 ох2г

Величина Хо назначается произвольно, например, так, чтобы одно из отношений X0/Xi равнялось единице. Тогда при %0 = Xi

(3.41)(3.41)

(3.41)

(3.41)

и приведенное уравнение теплопроводности в рассматриваемой среде, без внутренних источников и при постоянных физических свойствах, примет вид [3.1]

(3.42)(3.42)^ у а^т _ ат.

(3.42)

(3.42)

СР ” Эх2. — at*

1=1 *г

Этому уравнению соответствует критерий тепловой гомохронности

Fo = Мср1Л(3.43)

ЛИТЕРАТУРА

Ваничев Л. П. О расширении содержания физического подобия.—ЖТФ, 1938, т. 8, № 2, с. 198—201.

Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.— М.: Наука, 1964.— 487 с.

Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим.— М.: ГИТТЛ, 1954.— 408 с.

Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. Изд. 5-е.— М.: Атомиздат^ 1979.—415 с.

Fourier G. В. Theorie analitique dela chaleur.— Paris, 1822.— 15 p.

Vernotte P. La nouvelle equation de la chaleur; pent — il у avoir propagation? — In: Journees Internationales de la Transmission de la Chaleur. Paris, 1961, p. 17—20.

Глава 4

КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

При числах М < 1 сжимаемостью движущейся среды, как правило, можно пренебречь. Такую ситуацию принято называть гидродинамической. Движение несжимаемой однородной среды с физическими свойствами, зависящими только от температуры, описывается уравнением Стокса [4.20]

Fy — grad р + div (р grad u) = р -^L + (u, grad) u 1(4.1)

L dtJ

и уравнением сплошности

div u = 0.(4.2)

Здесь Fv — объемные силы, Н/м3; ц — динамическая вязкость среды, Па • с.

Поток тепла описывается уравнением Фурье — Кирхгофа

qv + div (X grad Т) = ср -^ + (u, grad Z)j.(4.3)

При этом должны быть заданы температурные зависимости

W); ЦП; с^; р^)}./(4.4)

Краевые условия к уравнению движения задаются распределением давлений и скоростей в момент времени t = 0

tu(x, у, z, 0); р^х, у, z, 0)}(45)

и распределением давлений и скоростей как функции времени и точки контура потока

{^(^гр> Угр? ^гр? ^) ? Р (я?гр? Угр? 2Гр? £))•(4.6)

На смачиваемых поверхностях имеет место прилипание жидкости к стенке, и ее относительная скорость в месте контакта со смачиваемым телом равна нулю

кх = хг^ у = УгР; z = zrp; м = 0}.(4.7)

На свободной границе жидкости могут возникать поверхностные эффекты, связанные с градиентом поверхностного натяжения, обусловленным полем температур, и термомеханическими взаимодействиями с внешней подвижной средой (газ, другая жидкость). Последние будут рассмотрены в главе 8.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

При отсутствии объемных сил и вязкости уравнение стационарного движения жидкости имеет простейшую форму

gradp + p(u, grad)u = 0.(4.8)

В то же время в реальной жидкости возможно безнапорное течение с переменной скоростью. Поэтому естественно взять в качестве масштабного пятый член уравнения (4.1). При этом будем придерживаться традиционных форм отношения параметров этого члена к параметрам других членов уравнения. Имеем:

критерий взаимодействия динамического напора с объемными силами

Fv = pU2/FvL.(4.9)

который в случае Fv = gp принимает форму числа Фруда

Fr = U2/gL.(4.10а)

а в случае переменной плотности — форму

Fr = U2/gL^(4.106)

где Ар = 1 — р"/р';

критерий взаимодействия поля давления и динамического напора (число Эйлера)

Еи = _^ы/1411

pU2v '

которому при безотрывном обтекании по физическому смыслу соответствует коэффициент гидродинамического трения

d - 2xJpU\(4.12)

а при любом обтекании тела — коэффициент полного гидродинамического сопротивления

5 = 2FJpU\(4.13)

где F^ — полная сила гидродинамического сопротивления, действующая на единицу площади характерной поверхности тела;

критерий взаимодействия динамического напора и молекулярного трения (число Рейнольдса)

Re = UL/^;(4.14)

критерий гидродинамической гомохронности

Но = ^t/L2,(4.15)

аналогичный по структуре числу Фурье.

Отношение параметров конвективного члена и члена теплопроводности в уравнении (4.3) дает число Пекле

Ре = UL/a,(4.16)

которое так же, как и число Рейнольдса, является мерой соотноше-

ния конвективного и диффузионного переносов некоторого количества (в первом случае импульса, во втором — теплоты).

Легко заметить, что паре критериев {Re, Ре} соответствуют пары {Re, Рг} и {Ре, Рг}, а паре {Но, Fo} соответствуют {Но, Рг} или {Fo, Рг}. Паре критериев {Но, Re} соответствует пара {Ut/L, Re}, где комплекс Ut/L также является одной из форм критерия гомо- хронности.

Из краевых условий на границе с инородной средой возникает число Нуссельта

Nu = ШК(4.17)

или число Стентона

St = a/cptf,(4.18)

между которыми существует очевидная связь

(4.19)'(4.19)'Nu = St Ре.

(4.19)'

(4.19)'

На свободной неизотермической поверхности жидкости имеет место градиент поверхностного натяжения додо ат_

дхдТ дх ’

где о — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, Н/м. Эта сила взаимодействует с силой вязкости в поверхностном слое и обусловлена температурным полем, т. е. характерным температурным напором АТ1, коэффициентом теплопроводности X и объемной теплоемкостью ср. Из этих величин можно составить безразмерный комплекс, называемый числом Марангони [4.19]

Ма = ^^-^.(4.20)

ца дТх *

Некоторые сведения об этих критериях уже были приведены в первых двух главах. -

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Наиболее распространенной в природе и в технологических процессах формой течения квазисплошных сред является турбулентность. Как и всякое хаотическое движение с большим количеством степеней свободы, турбулентное течение обладает значительной устойчивостью в среднем и вероятностной нестационарностью в малом.

Первое, ставшее общепринятым, описание турбулентного течения дал О. Рейнольдс [4.13]. Предполагается, что актуальное движение элементарных объемов сплошной среды описывается уравнением (4.1) при любом режиме течения. В турбулентном режиме актуальные параметры разлагаются на осредненные во времени и пульсационные компоненты. Осреднение производится за время, достаточно большое по сравнению с характерным временем пульса-

ционного движения и малое по сравнению с характерным временем осредненного движения.

Соответствующие правила осреднения записываются так:

Фг = <Фг> + ф{?

<Ф^> = 0;(4.21)

«фг+пМфг» = <фг±п> <фг>-

При этом проекция уравнения движения на ось х принимает вид 5<Р> . ., / д2<“> Л- ^^ л. 92 <“>

у Эх- дуdz • j

-p(^<“'“’>+^w> +<4-22>

_р/£<1>+ <„>^>+(l,>»^+<„> v \ dt 1\1i \/^2 у 7

аналогично на оси у и z. Здесь, как обычно, и, и и w — проекции вектора скорости и на оси ж, у, z. Члены, стоящие в фигурных скобках, характеризуют «турбулентное трение», или «турбулентные напряжения», возникающие в осредненном движении вследствие молярных переносов импульса пульсационным движением. Эти переносы ответственны за повышение общего гидродинамического сопротивления при турбулентном режиме течения по сравнению с ламинарным.

Таким образом, компоненты турбулентных, или рейнольдсовых, напряжений TTi имеют вид (знак минус везде опущен)

p<i/wz>; p<uzpz>; p<u'u/>;

p{v'u>; p<z/t/>; р<л/и/>;(4.23)

pWu>; p<wV>; ^w'w'X

Уравнения сплошности осредненного и пульсационного движений вследствие линейности независимы:

5 <и>а <и>а <ю>

дх ду dz ’ди' до' ди/ z.дх ~* ду * dz *

Аналогичные результаты дает и операция осреднения актуальной теплопроводности, описываемой уравнением (4.3). Соответствующие компоненты «турбулентной теплопроводности» имеют вид

^тг = — ср <uVr>. (4.25)

Следует обратить внимание на то важное обстоятельство, что в актуальном турбулентном движении среды с любым значением физического числа Прандтля, в том числе и с Рг = 1, градиент пульсационной компоненты давления не равен нулю. Поэтому в турбулентном потоке, осредненное течение которого удовлетворяет уело-

c. С. Кутателадзе

Рис. 4.1. Связь между безразмерными полями избыточных температур и скоростей течения в свободных затопленных струях. По Л. А. Вулису, 3. Б. Са- кипову и др.

1 — Ргт = 1 (схема Прандтля); II,— Ргт= = 0,75; опыты: 1 — масло, 2 — ртуть; III — — Ргт =0,5 (схема Тейлора), ит, Тт — скорость и температура на оси струи.

Рис. 4.2. Зависимость турбулентного числа Прандтля от безразмерного расстояния.

Точки — экспериментальные данные Е. М. Хабахпашевой и Б. В. Перепелицы; 1 — расчет П. И. Гешева; 2 — расчет П. Л. Максина, Б. С. Петухова в А. Ф. Полякова.

виям аналогии (2.34): <р> = const, Рг=1, а граничные условия по скоростям и температурам подобны,— точное подобие полей скоростей и температур отсутствует. Тем не менее во многих важных случаях «турбулентное» число Прандтля

Ргт = сцт/Лт (4.26)

близко к единице (рис. 4.1 и 4.2). Здесь коэффициент турбулентной вязкости

Нтг = — Р <UiUj>Нтг = — Р <UiUj>дх^дх^(4.27)(4.27)

Нтг = — Р <UiUj>

Нтг = — Р <UiUj>

дх^

дх^

(4.27)

(4.27)

коэффициент турбулентной теплопроводности

(4.28}(4.28}а/Гд<7>1-1

(4.28}

(4.28}

^тг^Р ^гТ > —^ L i J

Собственно турбулентное движение можно характеризовать критерием Кармана

(4.29)(4.29)Ka = /«M'2>+<i/?> + O'?»/3t/2.

(4.29)

(4.29)

Более детальные характеристики — спектр энергии турбулентных пульсаций и корреляционные масштабы (см. гл. 15).

Уравнения Рейнольдса являются незамкнутыми из-за появления в них пульсационных членов. Вследствие этого возникли различного рода полуэмпирические теории, широко использующие соображения о подобии и анализ размерностей. Так, например, каскадный механизм диссипации турбулентной энергии по Ричардсону — Колмогорову предполагает последовательную передачу энер-

Рис. 4.3. Схема пристенного пограничного слоя.

1 — ламинарный слой; 2 — турбулентный слой; 3 — вязкий подслой.

гии от крупномасштабных вихрей к менее крупным и, наконец, к вихрям, размеры которых ограничены действием вязкости и имеют порядок

Zv ~ v/V^, (4.30);

где

6к = <u'2>/2 + <v,2>/2 + <w'2>/2(4.31)

8 j« 8^7Z,8 j« 8^7Z,— турбулентная энергия единицы массы среды. Плотность диссипации энергии, генерируемой большими вихрями, имеет порядок

8 j« 8^7Z,

8 j« 8^7Z,

(4.32)

где I — линейный масштаб больших вихрей.

Одной из первых классических моделей осредненного турбулентного течения является модель Тейлора — Прандтля [4.13] для безнапорного плоского пограничного слоя (рис. 4.3), в котором д<и>/ду > д<и>/дх. Предполагается, что в турбулентном ядре, где молекулярная вязкость не влияет на осредненное течение, а поперечный градиент скорости еще достаточно велик, существует корреляция

W> - V^rY (4133)

Так как никаких других параметров не возникает, то множитель пропорциональности в (4.33) должен иметь размерность L2. Соответственно формула Тейлора — Прандтля для турбулентного касательного напряжения имеет вид

т,-р^|^|. (4.34)

Введение модуля градиента скорости связано с необходимостью сохранения знака направления возникающей силы. Величина I называется длиной пути смешения.

В области у < 6, где влиянием внешних областей течения можно пренебречь, остается только один характерный линейный размер — расстояние от условной внешней границы вязкого подслоя, и из соображений размерности следует, что

У1<1/^6, Z~x(y —у^. (4.35)

Здесь х — экспериментально определяемая «константа турбулентности».

В области у 6 > у 3> у± с точностью до знака

ТуТурра<и> V ду )а<и> V ду )(4.36)(4.36)

Ту

Ту

р

р

а<и> V ду )

а<и> V ду )

(4.36)

(4.36)

чему соответствует логарифмический профиль скоростей (1.29). Вдали от стенки градиент скорости мал, и турбулентная вязкость пропорциональна степени турбулентности, осредненной скорости течения и характерному линейному размеру

vT«x*6<w>. (4.37)

Коэффициент х* зависит от выработанной потоком степени его турбулентности.

Такая модель хорошо работает во многих задачах о струевых и вихревых течениях [4.7]. Поэтому крупномасштабные течения, как правило, автомодельны относительно числа Рейнольдса, за исключением пристенных слоев.

Из физической интерпретации числа Прандтля и аналогии Рейнольдса следует, что при Рг < 1 зона теплового возмущения должна быть больше зоны динамического возмущения, а при Рг > 1 — меньше. Более детальный анализ показывает, что существуют следующие соотношения:

Рг<1, 6<6Т, St * ct\

(4.38)(4.38)Рг«1, 6«6Т, St«c//2;

(4.38)

(4.38)

Pr»l, 6>6Т, St- /с7

Эта запись означает, что в средах с Рг <С 1 (к которым относятся металлические жидкости) интенсивность теплообмена очень слабо зависит от коэффициента гидродинамического трения ct и отнюдь не прямо пропорциональна какой-либо его степени; в средах с Рг « 1 (газы и некоторые неметаллические жидкости в определенных интервалах температур) действует аналогия Рейнольдса, а в средах с Рг > 1 (весьма вязкие неметаллические жидкости) интенсивность теплообмена пропорциональна Ус/.

При Рг > 1 турбулентный тепловой пограничный слой утоплен в вязком подслое турбулентного динамического пограничного слоя. В этом случае приобретает особое значение взаимодействие турбулентных пульсаций с молекулярным трением [4.4, 4.7].

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИМПУЛЬСОВИ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Локализация основных возмущений потока в близкой окрестности обтекаемой поверхности позволяет во многих случаях упростить уравнения движения, теплопроводности и массопереноса

(близкого аналога уравнения теплопроводности). Для течения жидкости с постоянными свойствами при отсутствии объемных сил и внутренних источников уравнения стационарного ламинарного пограничного слоя в приближении Прандтля имеют вид

1 др , д'иди , диР дх ду2дх ду 4диди дхду 1д^ТдТ , дТа —— = U h .ду2дх аУ1 др , д'иди , диР дх ду2дх ду 4диди дхду 1д^ТдТ , дТа —— = U h .ду2дх аУI(4.39)I(4.39)JJ1

1 др , д'иди , ди

Р дх ду2дх ду 4

диди

дхду 1

д^ТдТ , дТ

а —— = U h .

ду2дх аУ

1 др , д'иди , ди

Р дх ду2дх ду 4

диди

дхду 1

д^ТдТ , дТ

а —— = U h .

ду2дх аУ

I(4.39)

I(4.39)

J

J

Интегрирование этих уравнений по толщине пограничного слоя (от у = О до у = 6) дает интегральное соотношение импульсов (уравнение Кармана), которое может быть представлено в безразмерном виде -

ReZi^l + (i + ^/ = ^(i_b ),(4.40)

dx

и интегральное соотношение энергии

(4.41)(4.41)Re?1 ^L_ + /т = St (1 - 6Т1).

(4.41)

(4.41)

Здесь представлен ряд безразмерных величин, уже встречавшихся в предыдущих рассмотрениях, а именно HeL = UL/v — число Рейнольдса, построенное по скорости невозмущенного потока U и характерному линейному масштабу тела L (например, хорде крыла); Re** = Z76**/v — число Рейнольдса, построенное по толщине потери импульса 6**; Re** = Z76**/v— число Рейнольдса, построенное по толщине потери энергии 6Т ; Н = б*/6** — формпараметр, представляющий отношение толщин вытеснения и потери импульса; St = oc/cpU — число Стентона. Кроме того, появились безразмерные комплексы

§** dU_,__ б** d^T

(4.42)(4.42)U ' dx1' dx

(4.42)

(4.42)

b^ = ^ ^j ct\ Ь^ = 7ст/^^е

Симплекс /ст = 7ст/р^ (где 7СТ — массовая скорость вещества, проходящего через проницаемую стенку, кг/(м2-с)) характеризует воздействие вдува вещества в пограничный слой или отсоса из него внутрь обтекаемого тела.

Характерные внутренние линейные масштабы пограничного слоя (некоторые из них были использованы в примерах гл. 2) определяются для несжимаемой жидкости формулами

(4.43)(4.43)

(4.43)

(4.43)

Тепловым аналогом симплекса u/U в данном случае является симплекс (Tt — T^/^Tt — Г2), так как оба симплекса равны нулю при у = 0 и единице при у = (°°, 6).

Двойной верхний предел интегрирования здесь означает то обстоятельство, что характерные толщины (4.43) вычисляются с большой точностью при интегрировании на конечном отрезке (0, 6). Поэтому они являются существенно более эффективными масштабами, чем понятие собственно толщины пограничного слоя 6, которая не может быть определена в эксперименте строгим алгоритмом.

Формпараметр / называется гидро (аэро) динамической кривизной потока и представляет собой некоторую модификацию числа Эйлера. Действительно, при отсутствии объемных сил вне пограничного слоя имеет место равновесие между полями давлений и динамических напоров

-др/8х = pUdU/dx. (4.44J

Подставляя это значение grad/? в (4.11) и полагая L = б**, получаем выражение для / в (4.42).

Гидродинамический bY и тепловой ЬТ1 безразмерные параметры проницаемости стенки не являются, строго говоря, определяющими. Связано это с тем, что в них входят величины ct и St, сами зависящие от потока вещества через стенку. Поэтому в качестве определяющих критериев, характеризующих эффект проницаемости по< верхности обтекаемого тела, принимают комплексы

[6 = ^^jc^; bT = 7ст/5% } (4.45)

где с/о и St0 — значения коэффициента трения и числа Стентона на непроницаемой поверхности при прочих равных условиях (в частности, при Re** = idem и Re** = idem).

Критерии / и b могут быть составлены и вне связи с интегральными соотношениями пограничного слоя, а непосредственно из физических соображений и анализа размерности.

При наличии объемных сил в левой части уравнения (4.44) появляется величина Fyo1 т. е. значение проекции этой силы на ось х вне пограничного слоя, а в первом из уравнений (4.39)—величина Fy, которая может быть функцией координаты у. Соответственно

в интегральном соотношении импульсов появится член (обобщенное число Эйлера) вида

(4.46) где

^=\^-Fv[Fv^dy^АЧ')

О

— внутренний линейный масштаб пограничного слоя, имеющий смысл толщины вытеснения линий тока, характерных для силы Fv.

Наличие внутренних источников тепла приводит к появлению в интегральном соотношении энергии члена вида д

J ЧуаУ

»v = ^-(4.48)

ОТРЫВ И ОТТЕСНЕНИЕ ПОТОКА

При обтекании твердого тела газом или жидкостью давление передается через пограничный слой без изменения (при отсутствии радиальных воздействий, например центробежных), а динамический напор уменьшается до нуля на поверхности тела (стенке). Поэтому равновесие между полями давлений и динамических напоров, существующее на внешней границе слоя, нарушается в его толще. При некоторых соотношениях этих параметров происходят отрыв потока от обтекаемого тела и возникновение вихревых зон (рис. 4.4). Такой отрыв сопровождается перестройкой течения и изменениями в законах гидродинамического сопротивления. На рис. 4.5 приведены соответствующие данные для обтекания сферы. Отчетливо видны зоны кризисов, характеризуемые некоторыми значениями числа Рейнольдса.

В качестве меры здесь можно выбрать критическое отношение продольного градиента давления к динамическому напору вне пограничного слоя, т. е. некую форму числа Эйлера, например формпараметр /. Можно также ввести отношение градиента давления к касательным напряжениям на стенке, взяв в качестве масштаба значение коэффициента трения при др/дх = 0:

Г = 2//с/о.(4.49)

Этот критерий называется формпараметром Бури — Лойцянского. При ламинарном пограничном слое критическое значение параметра Г приблизительно постоянно, а величина с/0 обратно пропорциональна Re**. Таким образом, для ламинарного пограничного слоя

/крНе** const.(4.50)

Для отрыва турбулентного пограничного слоя более характерна

Рис. 4.4. Схема отрыва пограничного слоя при диффузорном обтекании непроницаемой поверхности.

Рис. 4.5. Зависимость £ (Re) при обтекании сферы. Кризисы связаны с возникновением и перемещением зон отрыва пограничного слоя.

а — ламинарное течение; б — турбулентное течение; измерения: 2—Шиллера — Шми- деля, 2 — Либстера, 3 — Аллена, 4, 5 — Визельсбергера.

аэродинамическая кривизна, так что

/кр ^ const,(4.51)

а формпараметр Гкр изменяется, возрастая с увеличением числа Рейнольдса.

При обтекании проницаемой поверхности как при наличии, так и при отсутствии продольного градиента давления возможен эффект оттеснения пограничного слоя от стенки. В случае положительного градиента давления возникают обратные токи, характерные для отрыва, но эти вихри располагаются («всплывают») над зоной оттеснения. Схематически этот эффект изображен на рис. 4.6, а на рис. 4.7 показана интерферограмма пограничного слоя с зоной оттеснения. При совместном действии вдува и градиента давления надо знать зависимость /кр от Ъ [4.3, 4.5, 4.18].

Перестройка потока в предотрывной области значений аэродинамической кривизны отражается и на внутренней структуре тур-

dp/dx=Odp/dx=Odp/dooOdp/dooOWWrrtIllWWrrtIllРис. 4.7. Интерферограмма пограничного слоя на проницаемой поверхности. Течение справа налево, видно возникновение и развитие оттеснения. Опыты В. М. Ерошенко, В. П. Мотулевича и др.Рис. 4.7. Интерферограмма пограничного слоя на проницаемой поверхности. Течение справа налево, видно возникновение и развитие оттеснения. Опыты В. М. Ерошенко, В. П. Мотулевича и др.

dp/dx=O

dp/dx=O

dp/dooO

dp/dooO

WWrrt

Ill

WWrrt

Ill

Рис. 4.7. Интерферограмма пограничного слоя на проницаемой поверхности. Течение справа налево, видно возникновение и развитие оттеснения. Опыты В. М. Ерошенко, В. П. Мотулевича и др.

Рис. 4.7. Интерферограмма пограничного слоя на проницаемой поверхности. Течение справа налево, видно возникновение и развитие оттеснения. Опыты В. М. Ерошенко, В. П. Мотулевича и др.

Рис. 4.6. Схема оттеснения пограничного слоя при вдуве через проницаемую поверхность. 1 — внешняя граница пограничного слоя; 2 — граница зоны оттеснения; 3 — проницаемая поверхность.

булентного пограничного слоя, что, в частности, проявляется через увеличение коэффициента х в формуле (4.35). Имеют место также существенные отклонения от классического распределения касательных напряжений по аппроксимационному полиному с коэффициентами, определяемыми только по граничным условиям.

В пространственных течениях действуют те же критерии подобия, но их влияние коррелируется условиями геометрического подобия.

Гидродинамические кризисы, связанные с перестройкой режима течения, не могут быть строго охарактеризованы определенными критическими значениями соответствующих параметров. В действи-

тельности всегда существует та или иная область, в которой течение неустойчиво, а ее характеристики флуктуируют во времени.

Так, обычный переход от ламинарного течения в круглой трубе к развитому турбулентному охватывает области чисел Рейнольдса примерно от 2000 до 10 000, а при соблюдении особых мер успокоения потока кризис может возникнуть и при Re « 50 000. При этом нет однозначной связи между трением, мгновенными полями осред- ненного течения и числом Рейнольдса. То же относится и к зонам отрыва и оттеснения пограничного слоя от поверхности обтекания.

ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ

Термогравитационная конвекция возникает вследствие неоднородности поля плотностей среды, связанной с полем температур. Если нет внешнего воздействия на поток, то такая конвекция называется свободной. Наложение термогравитационной конвекции на

движение вынужденное, обусловленное внешним источником энергии (насос, вентилятЪр, гидродинамический напор), вызывает смешанную конвекцию.

При свободной конвекции жидкости в неограниченном (практически большом) пространстве возникающий градиент давления можно разложить в приближении Буссинеска на гидростатическую и динамическую составляющие. Тогда объемную силу в уравнении движения можно записать в форме

Fr = —gAp = -gp0 (Г - Г.),(4.52)'

где ^ — коэффициент объемного расширения, К-1; Тй — температура невозмущенного потока, К.

Полагая теплоемкость, теплопроводность и вязкость постоянными, а величину ^АГ < 1, можем записать систему уравнений

aV1T = ^-+ (u, grad Г);

— gP(r —Ту) —j grad рд+ vV?u =-^ + (и, grad) и;

div и = 0;(4.53)

Здесь рд — динамическая компонента поля давлений. Условия однозначности в данном случае включают в себя геометрические параметры и форму возмущающего среду тела, распределение температур на его поверхности и их абсолютный уровень ZCt(^, У, z, £), температуру невозмущенной среды То, физические свойства среды с, X, щ р (в общем случае являющиеся функциями температуры) и ускорение g.

При свободной конвекции скорость течения и является функцией процесса и в условия однозначности не входит. Следовательно, первичные критерии подобия, получающиеся из уравнений (4.53), должны быть так скомбинированы, чтобы выделилось максимальное число критериев, составленных только из условий однозначности. Эти критерии и являются определяющими в данном процессе. Такая операция приводит к появлению числа Прандтля и числа Архимеда

Ar = gL3A77v2,(4.54)

которое при термоконвекции принимает форму числа Грасгофа

Gr = gLW ст- Zo)/v2.(4.55)

В последнем масштабом объемной силы является максимальное значение гидростатического напора (4.52).

Таким образом, в случае свободной термогравитационной конвекции при заданной форме пространства и тел интенсивность теплоотдачи определяется безразмерной функцией

Nu = A(Pr; Gr).(4.56)

Tg Nu

eLg(GrPr).

Puc. 4.8. Критерий Нуссельта Nu = cRan для газов и неметаллических жидкостей (сплошные линии — для шаров, вертикальных проволок и труб; штриховые— для горизонтальных проволок и труб).

При смешанной конвекции возникает еще число Рейнольдса, определенное по характерной скорости вынужденного течения:

Nu = /2(Pr; Gr; Re).(4.57)’

При больших числах Рг тепловые возмущения локализованы в непосредственной окрестности поверхности нагретого тела (стенки), и приближенно в уравнении движения можно пренебречь инерционным членом, что приводит к появлению безразмерного комплекса ^(Гст — T^L4^U = Re/Py.(4.58)

Уравнение теплопроводности в (4.53), как и ранее, дает только один критерий: Ре = UL/a. Комбинируя эти безразмерные комплексы так, чтобы исключить скорость течения, получаем число Рэлея [0.37]

Ra = ^- Р (Уст - Т^ = Gr Рг.(4.59)

Никаких других определяющих критериев в этой постановке не возникает и, следовательно, при значительных числах Рг ^ 1

Nu«/3(GrPr).(4.60)

Практически число Рэлея однозначно описывает свободную тепловую конвекцию и в газах, и в неметаллических жидкостях (рис. 4.8).

В металлических жидкостях Pr < 1, и тепловой пограничный слой распространяется далеко от стенки в область, где турбулентность автомодельна относительно молекулярной вязкости. Отбрасывая на этом основании третий член уравнения движения в (4.53), получаем только критерий Fv. Комбинируя его с числом Пекле, получаем

Ре7Гг = gL^ (^ - Z0)/a2 = GrPr2. (4.61) Таким образом, в средах с Pr < 1 приближенно существует однозначная зависимость вида

Nu = /4(GrPr2). (4.62)

При наличии свободной поверхности жидкости и вязком режиме конвекции проявляется взаимодействие сил поверхностного натяжения, молекулярного трения и теплопроводности, характеризуемое критерием Марангони (4.20). Соотношение термокапиллярных сил и подъемной (архимедовой) силы может быть оценено внутренним линейным масштабом

<4-63)

При 6ag ^ L возникновение конвекции обусловливается главным образом термокапиллярным воздействием. При L > 6ag основное значение имеют силы термогравитационные.

Свободноконвективные течения характеризуются рядом неустойчивостей и форм. В горизонтальном слое жидкости возникают валиковые и полигональные структуры, зависящие от чисел Рэлея и Марангони и симплекса 6Gg [3.4]. Смешанные течения подробно изучены Б. С. Петуховым и его сотрудниками [4.11, 4.12].

’ 4.7. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ФАКТОР

В дозвуковых потоках газов практически достаточно введения первого температурного фактора

гр = Тст/Т0. (4.64)

В ламинарных потоках влияние неизотермичности слабее, чем в турбулентных. Связано это с тем, что толщина ламинарного пограничного слоя пропорциональна коэффициенту вязкости, а термическое сопротивление обратно пропорционально коэффициенту теплопроводности. Обе эти величины в газах меняются с температурой примерно одинаково, компенсируя взаимное влияние. При этом некоторая корреляция вносится температурной зависимостью плотности. В результате для дозвукового ламинарного пограничного слоя на пластине [3.4] с^lc^Q гр""0,1.

В турбулентном пограничном слое газа воздействие температурного фактора более существенно, так как в него основной вклад

Жидкость

Р1/Р2

С1/С2

мд2

И1/И2

Вода

Трансформаторное

1,04

1,0

0,84

4,6

масло

1,09

0,88

1,10

15,3

Масло МК

1,08

0,80

1,17

175

Бензол

1,12

0,90

1,12

2,9

Глицерин

1,11

1,30

0,96

300

Дифенил

1,07

0,83

1,11

4,9

Таблица 4.1. Изменение свойств жид костей при повышении температуры от Тх = 283 К до Т2 = 373 КТаблица 4.1. Изменение свойств жид костей при повышении температуры от Тх = 283 К до Т2 = 373 Квносит температурная функция плотности, прямо влияющая на турбулентную теплопроводность. Для дозвукового турбулентного пограничного слоя газа [4.5]

Таблица 4.1. Изменение свойств жид костей при повышении температуры от Тх = 283 К до Т2 = 373 К

Таблица 4.1. Изменение свойств жид костей при повышении температуры от Тх = 283 К до Т2 = 373 К

с/

=4[ 1 +j/^ + 8c/o(l-ip)J-2 (4.65)

Из этой формулы следует, что влияние температурного фактора на турбулентное трение в областях 0 < ф < 1 и ф > 1 неодинаково.

Существенно сложнее действие неизотермичности в жидкостях. Здесь физические свойства меняются с температурой по-разному, и поэтому учет всех таких влияний крайне сложен. Однако у многих неметаллических жидкостей в области, далекой от критической термодинамической точки, наиболее существенно зависит от температуры только вязкость (табл. 4.1). Поэтому в первом приближении для таких жидкостей достаточно вводить температурный фактор в виде отношения вязкостей в характерных точках системы фц = ро/Цст-(4.66)

Такая запись коррелирует с температурным фактором для газов (4.64), так как у жидкостей вязкость с ростом температуры уменьшается, а у газов возрастает .

Рис. 4.9. Изменение коэффициента теплоотдачи при течении воды в трубе в области околокритических термодинамических параметров состояния. По данным А. А. Арманда. Пик теплоотдачи находится в области температур максимальной теплоемкости воды.

1 — Q[pU = 512 Дж/кг; 2 — qfpU = 302 Дж/кг.

У жидких металлов температурные зависимости физических свойств довольно слабые, коэффициенты теплопроводности весьма значительны, неизотермичность в большинстве ситуаций невелика. Поэтому влиянием температурного фактора в этих средах, как правило, можно пренебречь.

Решающее влияние на гидродинамику и теплообмен оказывает неизотермичность при температурах, близких к критической термо-

динамической точке, особенно тогда, когда температурное поло включает изотермы фазовых переходов второго рода. Этот эффект отчетливо виден на рис. 4.9. Здесь часто надо учитывать температурные функции всех физических свойств, влияющих на процесс. Предложить для таких ситуаций какой-либо единый, относительно простой подход практически невозможно. Обстоятельное изложение этой проблемы дано в публикациях Б. С. Петухова и др. [2.9, 4.9-4.12].

НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ

Конвективная нестационарность еще более индивидуализирована, чем кондуктивная. Здесь мы отметим только некоторые обстоятельства. Ряд задач такого рода и методы их решения изложены в [4.8]. Канонические критерии гомохронности Но и Fo однозначно отражают нестационарность только при скачкообразных возмущениях и их монотонных сглаживаниях.

Например, эксперименты Б. Д. Кацнельсона и Ф. А. Тимофеевой по нестационарному массообмену сферических частиц в области 50 < Re < 3200 удовлетворительно аппроксимируются формулой

а/а0 = 1 + 5,6 Рг1/2 Но"1,(4.67)

где Но = Ut/D. При необходимости введения безразмерных амплитуд и периодов они могут строиться по образцу канонических критериев подобия, например

Hon = ^tJU(4.68)

(где £п — время периода возмущения, с) или в виде числа Струхала

8т = ЫШп,(4.69)

которое коррелирует с (4.68) через число Рейнольдса

Sr-1 = Re Hon.(4.70)

Темпы могут задаваться набором размерных параметров

Il аи w i? а^и е в l ахт. I? а^т.1

\и at ; и э^*1****1 \т at ; xt др

или безразмерных

р -5-; и-'..]. (4.72)

(9 Но’ а Но2dFod Fo2 J

При нестационарном тепловом режиме потока возникают также тепловые возмущения в обтекаемых им телах (например, в стенке канала, крыла самолета, лопатки турбины и т. п.). Эти возмущения в свою очередь могут оказывать обратное влияние на условия распространения тепла в пристенных слоях текучей среды и на ее энергетический режим в целом.

В турбулентном потоке осредненная стационарность не обеспечивает стационарности актуального движения массы и энергии в

потоке. Последние флуктуируют, и в пристенной области имеет место тепловая нестационарность, масштабом которой являются среднеквадратичные значения пульсаций температуры. Эти пульсации в свою очередь вызывают пульсацию температуры и теплового потока в поверхностных слоях обтекаемого тела. Такое взаимодействие в определенных условиях может влиять и на коэффициент теплоотдачи, и на турбулентное число Прандтля в пристенных слоях, и на другие характеристики потока.

В общем случае нестационарное тепловое взаимодействие потока и стенки можно охарактеризовать критериями

Первый симплекс следует из условия сопряжения тепловых потоков по обе стороны границы текучая среда — твердое тело; число Фурье характеризует нестационарность в потоке (здесь ^ и ^ — соответствующие характерные время и линейный масштаб потока); третий комплекс является отношением чисел Фурье потока и твердого тела. Характерным линейным размером при этом обычно выступает толщина стенки 6СТ.

В турбулентном потоке характерное время пульсаций температуры

(4.74) а характерный гидродинамический масштаб длины

L^^v/^.(4.75)

Тогда Fo = Рг“2, т. е. не является самостоятельным критерием подобия.

Подставляя значение L^ из (4.75) в третий комплекс (4.73), находим, что он с точностью до числа Прандтля пропорционален квадрату своеобразного числа Пекле

Простейшей моделью нестационарного теплового взаимодействия пограничного слоя и твердой стенки является тепловой удар на поверхности полуограниченного массива (см. формулу (3.26)). Полагая, что флуктуации теплового потока по обе стороны границы раздела жидкость — твердое тело взаимодействуют по закону

Т VXC^/t Тст "V^СтСстРст/^ » (4.//)

получим симплекс

Хер =Хер =XCTfCTpCTXCTfCTpCT(4.78)(4.78)

Хер =

Хер =

XCTfCTpCT

XCTfCTpCT

(4.78)

(4.78)

ответственный за такое взаимодействие.

Если толщина стенки больше зоны активного колебания температуры, то процесс от этого размера не зависит. В тонких стенках необходимо вводить еще один критерий, например типа (4.76).

РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СРЕДЫ

Все газы, металлические жидкости, вода и некоторые другие неметаллические жидкости хорошо описываются законом вязкости Ньютона, положенным в основу уравнения движения Стокса (4.1). Тем не менее большое число природных и искусственных текучих сред проявляет одновременно с вязкостью свойства пластичности, прочности, сдвиговой упругости, эластичности. Такие ситуации при значительном взаимодействии этих свойств оказываются индивидуализированными.

Однако фундаментальные термогидродинамические критерии подобия, рассмотренные выше, сохраняют силу и для сложных текучих сред. При этом должны конструироваться безразмерные величины, построенные из характерных коэффициентов зависимостей физических свойств от термодинамических параметров состояния и параметров движения среды (скорости, напряжения).

Для собственно физических свойств должны выбираться масштабные значения аналогично тому, как при неизотермичности физические свойства относятся к некоторой температуре (например Тст или Го), а их переменность учитывается введением одного или нескольких температурных факторов.

Следующим за классом реальных ньютоновских жидкостей можно считать класс неньютоновских изотропных сред, у которых тензор напряжения является однозначной непрерывной функцией тензора скоростей деформации. Оба эти класса текучих сред описываются формулой Стокса

Tij = —рбц + ^ёц + ^ёгкём. (4.79)

Здесь Тц — тензор напряжений; бу — символ Кронекера (тензорная единица); р = — (1/3) % и — изотропное гидродинамическое давление; ёц — тензор скоростей деформации; р, у — скалярные функции главных инвариантов тензора скоростей деформации. При ^ = 2ц. и у = 0 имеет место обобщенная модель вязкости Ньютона.

Из многочисленной литературы по этой проблеме сошлемся на работы [4.1, 4.2, 4.6, 4.14—4.17].

В качестве примера рассмотрим модель жидкости со структурной вязкостью, характеризующейся однозначной нелинейной связью между напряжением и скоростью сдвига в данной точке. В такой среде

ц = /(т). (4.80)

Емкой формой аппроксимации реальных функций такого вида (рис. 4.10) является зависимость

dtp = —^dT, (481)

— текучесть при— текучесть прибезразмерное ка-безразмерное ка-

— текучесть при

— текучесть при

безразмерное ка-

безразмерное ка-

Фоо - Ф

где ф =——’Ф = И — текучесть среды; ф«,

Фоо Фо

- т — т

т оо; <р0 — начальная текучесть; т = 0 ——77^

сательное напряжение; т0 — предел условной упругости жидкости (О < т < То, ф = 0); Ti — предел устойчивости макроструктуры жидкости (т0 < т < ть ф = ф0 ~ const); 9 — величина, отражающая структурную стабильность жидкости.

Таким образом имеем:

(4.82)(4.82)т0<т<т1, ф = 1; т>т1? п = 1, ф = е т; 1

(4.82)

(4.82)

—— 1—п

T>Tlt п^1, ф = [1—(1 — «) Т]

Как видно, даже при п = 1 текучесть такой реологической среды характеризуется набором пяти величин

(4.83)(4.83)(То, Тн Фо, ф„, 0}.

(4.83)

(4.83)

При этом возникают характерные для данной среды критерии подобия, например,

(4.84)(4.84)Т = 0Тс1/фо.

(4.84)

(4.84)

81816 С. С. Кутателадзе

81

81

Другим примером может служить число релаксационной гидродинамической гомохронности для сред, имеющих характерное время запаздывания £р:

Нор = Ut^/L.

Так, для вязкоупругих жидкостей £р представляет собой время релаксации упругих напряжений.

На рис. 4.11 приведены распределения скоростей при ламинарном течении жидкости с линейным законом текучести (ti < т <^ <») в круглом канале [3.4]. Интересным эффектом здесь является существование радиуса равных относительных скоростей для жидкостей с разными значениями реологического параметра (4.84).

ЛИТЕРАТУРА

Астарита Дж., Маруччи Т. А. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей.— М.: Мир, 1978.— 303 с.

Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров.— М.: Химия. 1977 — 438 с.

Ерошенко В. М., Ермаков А. Л., Мотулевич В. П. и др. Критические параметры оттеснения турбулентного пограничного слоя.— ИФЖ, 1972 т. 23, № 1, с. 94—103.

Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1973.— 227 с.

Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое.— М.: Энергоатомиздат, 1985.— 319 с.

Лодж А. Эластичные жидкости.— М.: Наука, 1969.— 463 с.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 3-е.— М.: Наука, 1970.— 903 с.

Нестационарный теплообмен/В. Н. Кошкин, Э. К. Калинин, Р. А. Дрей- цер, С. А. Ярко.— М.: Машиностроение, 1973.— 327 с.

Петухов Б. С. Опытное изучение процессов теплопередачи.— М.— Л.: ГЭИ, 1952.—344 с.

Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А. Теплообмен в ядерных энергетических установках.— М.: Атомиздат, 1974.— 407 с.

Петухов Б. С., Поляков А. Ф., Шехтер Ю. Л. Турбулентное течение и теплообмен в поле силы тяжести.— ТВТ, 1978, т. 16, № 3, с. 624—640.

Петухов Б. С., Курганов В. А., Анкундинов В. Б., Григорьев В. С. Экспериментальное исследование сопротивления и теплоотдачи при турбулентном течении жидкости сверхкритического давления.— ТВТ, 1980, т. 18, № tc. 100—111.

Проблемы турбулентности. Сб. перев. статей О. Рейнольдса, Л. Прандтля п др. М.— Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 332 с.

Рейнер М. Реология.— М.: Наука, 1965.— 223 с.

Геодинамика и тепломассообмен.— Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1979 — 151 с.

Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости.— М.: Мир, 1964.— 216 с.

Шульман 3. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.— М.: Энергия, 1975.— 351 с.

Экспериментальные исследования пристенных турбулентных течений/ С. С. Кутателадзе, Б. П. Миронов, В. Е. Накоряков, Е. М. Хабахпашева.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975.—166 с.

Marangoni С. G. М. Ann. Phys. (Poggendorff), 1871, v. 143, p. 337.

Stokes G. G. On the theories of the internal friction of fluids in motion and of the equilibrium and motion of elastic solids.— Trans. Cambridge Phil. Soc., 1845, N 8, p. 287—305.

Глава 5

МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КОНСТАНТПРИСТЕННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Эта глава является некоторой иллюстрацией эффективности и в то же время ограниченности конкретных физико-математических моделей, опирающихся на соображения о приближенном подобии рассматриваемого класса явлений. Такие ситуации характерны для многих сложных и малоизученных процессов, математическое описание которых недостаточно полно как в форме основных уравнений, так и в постановке краевых условий.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОНСТАНТЛОГАРИФМИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим классическую задачу о распределении продольной компоненты скорости осредненного турбулентного течения несжимаемой жидкости в окрестности гладкой, непроницаемой пластины (др/дх = 0, /ст = 0).

Исходной моделью турбулентного переноса будет формула (4.34), а характерным масштабом скорости течения — величина и из (1.29). Если жидкость ньютоновская, т. е. характеризуется только двумя физическими свойствами — плотностью р и динамической вязкостью ц, такая постановка проблемы является достаточно корректным первым приближением к более точным закономерностям.

Модели длины пути смешения (4.35) соответствует распределение скоростей

0 < т] < т]1, ф = т); ц > щ, Ф = т)1 + [1~ VI + 4х2(т) — щ)2 ]Х

X [2х2(ц — тр) J"1 + х"1 In [2х (ц — тр) + VI + 4х2(ц — щ)2];(5.1)

ц > тр, ф « С + х"1 In тр С = тр + х"1 (In 4х — 1).

Последняя из этих формул при значениях констант тр = 6,8 и х = 0,40 совпадает с экспериментальным выражением (1.29).

ОЦЕНКА КОНСТАНТЫ тр ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМУКРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ

Вязкий подслой турбулентного пограничного слоя может рассматриваться в некотором смысле как ламинарное течение, подвергающееся весьма интенсивным внешним воздействиям пульсационного характера [3.4]. Этой постановке проблемы может соответствовать наиболее низкая по критическому значению числа Рейнольдса оценка устойчивости ламинарного потока с наложенным

на него полем возмущений. Такая оценка дается энергетическим критерием Лоренца—Кармана [5.4].

В плоском ламинарном потоке с наложенным на него произвольным распределением скоростей возмущающего движения (и', р') энергия, переходящая в единицу времени пз основного поля в поле возмущений,

Ег = — р J J ^duldy^ u'v'dxdy.(5.2)

Энергия, переходящая в теплоту вследствие молекулярного трения, Ег = (.1 J J (ди jdy — dv'jdxY- dxdy.(5.3)

Проблема сводится к отысканию распределения скоростей (и', г/), при котором число Рейнольдса

u^y t/v = EJE^(5.4)

имеет минимальное значение, соответствующее наиболее опасному возмущению.

Распределение основного поля скорости линейно. Решение, полученное Карманом, дает значение Rei = 44, чему в теории вязкого подслоя соответствует константа т)! = VRei = 6,63. Это значение удивительно хорошо коррелирует с экспериментальным, вычисленным по опытным данным и формуле (5.1) при % = 0,40. Расчеты Кармана относятся к двумерному течению. В действительности развиваются трехмерные пульсации. В этом случае критическое число Рейнольдса оказывается меньшим, а именно ReKp « 30 [5.3], чему соответствует в нашей модели значение т]1«5,5. Эта величина ближе к непосредственным экспериментальным данным о квазила- минарном пристенном течении.

ПОСТОЯННЫЕ С И х ЛОГАРИФМИЧЕСКОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

Постоянная Кармана — Прандтля % характеризует структуру турбулентного ядра пристенного течения, и ее значение не связано жестко с параметрами вязкого подслоя. Последнее подтверждается, в частности, малой чувствительностью этой «константы турбулентности» к неизотермичности и сжимаемости потока. По определению, величина х должна иметь порядок единицы. Если представить, что в области yi<.y ^ b турбулентность генерирует иерархию вихрей диаметром порядка у, и отождествить длину пути смешения с расстоянием от центра наибольшего вихря до стенки, то х ~ 0,5.

Постоянная С в логарифмическом законе распределения скоростей связывает области вязкого подслоя и чисто турбулентного трения. Поэтому данная величина зависит и от т)±, и от х, что отражается последней формулой (5.1). Из нее следует, что существует некоторое значение величины С = Ст, которому соответствует значение х = х™, определяемое уравнением

Хт 1П (4Хт) = 1 + Хт-(5.5)

Отсюда следует, что х™ ~ 1,39 и Ст = 8,0 или 6,7, если величина rji определяется по энергетическому критерию устойчивости вязкого подслоя для двумерной или трехмерной модели пульсаций.

Как видно, эти величины по порядку сопоставимы с экспериментальными данными. При х = 0,5, согласно (5.1), С = 6,1, т. е. самая элементарная модель длины пути смешения приводит к достаточно правильным оценкам не только порядка, но абсолютного значения вводимых ею «констант турбулентности».

Отметим также далеко идущую аналогию модели длины пути смешения с моделью средней длины пробега молекул газа в кинетической теории коэффициентов переноса.

Как известно, если средняя длина свободного пробега молекул есть <Z>, то вязкость газа

ц = C1<Z>p<u>, (5.6)

где множитель пропорциональности в зависимости от принятого закона распределения скоростей теплового движения и лежит в пределах 1/з<С1<1/2. В рассмотренной модели турбулентного переноса импульса по Прандтлю

Нт = xz/pp*. (5.7)

Здесь у — аналог <Z>, и* — аналог средней скорости теплового движения <и>, а величины х и ^ лежат в одном относительно узком интервале численных значений.

Еще одним аналогом рассматриваемой модели является трение в концентрированном дисперсном потоке. Интересно отметить, что множитель пропорциональности в соответствующей формуле для эффективного коэффициента вязкости равен приблизительно 0,42 [5.2].

ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС В ВЯЗКОМ ПОДСЛОЕ

При квазилинейном распределении продольной компоненты скорости осредненного турбулентного течения в вязком подслое корреляция между компонентами скорости пульсационного движения не может быть оценена в форме (4.33) из-за сильного влияния молекулярной вязкости на осредненное турбулентное течение. Экспериментальные данные, приведенные на рис. 5.1, показывают, что в вязком подслое существует корреляция вида и' ~ <и>.

Принимая во внимание квазилинейность распределения величины <и> и используя уравнение сплошности потока, можем написать

у

ди'jdx ~ и' ~ <и> ~ у, v* = —^ ^-dy ~у\ (5.8) о

Таким образом, в вязком подслое по мере удаления от непроницаемой стенки поперечная компонента скорости пульсационного движения меняется существенно сильнее, чем продольная компонента.

yv*/')yv*/')Рис. 5.1. Зависимость среднеквадратичных продольных пульсаций от безразмерного расстояния ц.J — Re = 34500; 2 — по Ван Тину.Рис. 5.1. Зависимость среднеквадратичных продольных пульсаций от безразмерного расстояния ц.J — Re = 34500; 2 — по Ван Тину.

yv*/')

yv*/')

Рис. 5.1. Зависимость среднеквадратичных продольных пульсаций от безразмерного расстояния ц.

J — Re = 34500; 2 — по Ван Тину.

Рис. 5.1. Зависимость среднеквадратичных продольных пульсаций от безразмерного расстояния ц.

J — Re = 34500; 2 — по Ван Тину.

Соответственно для турбулентного трения в вязком подслое запишем

у О, тт = - р<и'г/> ~ у3; цт = ?П3,(5.9)

где цт = цт/ц— относительное значение турбулентной вязкости.

В непосредственной окрестности стенки имеем-

тт = p(Z^<u>/5y)2 = цРцп^<1г>/5у,1

откуда найдем длину пути смешения

т) ->Т) d<u>/dy « v2/v; I ->- Трт]^.(5.10)'

Осуществить плавный переход к линейному закону изменения длины пути смешения в турбулентном ядре пограничного слоя можно по экспоненциальной экстраполяции вида

I = хц [1 — ехр (— Р^1)];(5.11)

Pi = Vp/х; п, = (п — 2) /2.

Турбулентный перенос тепла при т) -> 0 может быть оценен соотношениями

дт = — срр<Т'и'>; Т' ~ t/; V ~ у2; Хт = рт Рг ц4; Ргт ~ т)”1. (5.12)

Здесь Т' — пульсация температуры; Хт = ХТА — относительное значение коэффициента турбулентной теплопроводности; Ргт=срцт/Хт— «турбулентное» число Прандтля.

В общем случае цт и Хт являются функциями расстояния t], а при теплообмене также физического числа Рг = v/a и соотношения теплофизических свойств потока и стенки [5.1, 5.6]. Как видно из (5.12), при больших значениях числа Рг даже малые турбулентные пульсации в вязком подслое, практически не влияющие на трение, могут существенно увеличивать перенос нейтральной примеси (в данном случае тепла).

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КВАЗИИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ

Для рассматриваемого простейшего двумерного пограничного слоя (непроницаемая гладкая пластина, др/дх = 0, ди/ду ди/дх, дТ/ду > дТ/дх, физические свойства постоянны) тепловой поток

можно определить в общем виде соотношениями

q = - (X + Хт)ЭТ/Эу; qCT = a(TCT - То);

Х-р РГ^Т*Х-р РГ^Т*(5.13)(5.13)г^д

Х-р РГ^Т*

Х-р РГ^Т*

(5.13)

(5.13)

St = Рг ^//2 j #йц/(1 + Хт)

_о

Здесь St = a/ePp£7— число Стентона; Рг = Рг/Ргт — локальное эффективное число Прандтля для турбулентного потока; q^q/q^ — распределение теплового потока по поперечному сечению пограничного слоя; цб = ^*6/v = Re**x/(1 — Vсti^Y

В данном (случае краевые условия для q и т подобны, и их аппроксимационные профили также подобны

д = тд = т1 - У\ У = у/б = ц/цб.1 - У\ У = у/б = ц/цб.(5.14)(5.14)

д = т

д = т

1 - У\ У = у/б = ц/цб.

1 - У\ У = у/б = ц/цб.

(5.14)

(5.14)

Распределение скоростей находится из соотношений

т = — (ц + ^du/dy* Тст = (с//2)р£72; йф/с/ц « 1 — ц/цб. (5.15) Турбулентная вязкость хорошо аппроксимируется тремя кусочными функциями [3.4]:

вязкий подслой — 0 < ц < 6, |ат < 1, т ~ 1;

промежуточный слой — 6 < ц < 30, цт = 0,2ц — 1, т « 1;

__(5.16)

турбулентное ядро — 30 < ц < Цб, Цт = 0,4цт.

Подставляя эти зависимости в последнюю из формул (5.15) и интегрируя в пределах от 0 до ц, получаем профиль скоростей для области ц > 30:

Ф = 5,55 + 2,5 In ц; lWf = 5,55 + 2,5 In ц6;(5.17)

Re** = 6**ЦбУ2/су; 6** = (1/х) Vcy/2 — cz/x, что хорошо согласуется с экспериментальными зависимостями Нику рад зе.

Закон трения (5.17) в широком диапазоне чисел Re** удовлетворительно аппроксимируется известной формулой Кармана

ТЖ ~ 3,8 + 2,5 In Re**.(5.18)

Отличие тепловой задачи от гидродинамической заключается в том, что при ц < 6 следует учитывать турбулентный перенос тепла при больших числах Прандтля, т. е. полагать

в вязком подслое Хт = 1 + ^т Ргц4;

в промежуточном слое Хт = Рг (0,2ц — 1);(5.19)

в турбулентном ядре Хт = 0,4Рг цт.

Величина Ргт меняется в основной области интегрирования слабо и для практических расчетов можно принять PrT = 1. Тогда, пола-

гая Рг = const, получаем из соотношений (5.13) и (5.19) следующее выражение для интенсивности теплоотдачи:

St = Рг2 У^/2 [Л (Рг) + 2,5 In Яо]"1,(5.20)

где

А(Рг) =6/2(Pr) +5[ln (l + 5Pr) - In (1 + 0,2Рг)] — 8,50;(5.21)

/2 (Рг) = (Рг3/4/25/2Й/4) [In (1 + 6 /2 (рт Рг)1/4 + 36 (рт Pr)1/2j -

- In [1 - 6 /2 (pTPr)1/4 + 36 (Рт Рг)1/2] +

+ 2arctg{6 /2(ртРг)1/4/[1-36(ртРг)1/2])].(5.22)

По экспериментальным данным ^т ^ 1,4 • 10“4.

При Рг -> 1 St -> С//2, т. е. выполняется аналогия Рейнольдса, Для того чтобы эта аналогия имела место при определении ct не по (5.17), а по (5.18), в формуле (5.21) следует заменить константу 8,50 на 10,24.

При больших числах Прандтля тепловой турбулентный пограничный слой тонет в вязком подслое, и интенсивность теплоотдачи определяется формулой

Рг—>оо, 81-^(1/Зл)рУ4РГ-3/4/^.(5.23)

Таким образом, аналогия между теплообменом и гидродинамическим трением на гладкой непроницаемой пластине при подобно заданных краевых условиях по температурам и скоростям, постоянных физических свойствах жидкости, отсутствии градиента давления и внутренних источников тепла имеет вид

Рг = 1, St = С//2; Рг ~*■ °°, St = const Рг“3/4УсЛ (5.24)

При Рг < 1, в области, характерной для расплавленных металлов, турбулентный гидродинамический слой тонет в тепловом пограничном слое, и если внешний поток имеет нулевую турбулентность, то по расчетам автора и Е. Д. Федоровича

Рг^ 1, <Nu> « 0,46 Ре0’65.(5.25)

Здесь Nu = aL/^ Ре = UL/a] течение турбулентно начиная с входной кромки пластины, но начальная толщина пограничного слоя практически может считаться равной нулю.

Для круглой трубы аналогичные формулы даны в [3.4].

МОНОГАРМОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬПРИСТЕННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Расширение рассмотренной выше модели турбулентного пограничного слоя в направлении оценок структуры пульсационного движения вблизи стенки и значений констант модели было выполнено в работах М. А. Гольдштика, В. Н. Штерна и В. В. Заметалина [5.3, 5.8].

Запишем уравнения движения Навье — Стокса для актуального течения и уравнения Рейнольдса для осредненного турбулентного течения в тензорных обозначениях

Апди.ди.

(5.26)(5.26)7--^ + v V4 = ^ + Uj -^-,р джг1 St ' Эх^ ’

(5.26)

(5.26)

£ э<р>р дх.£ э<р>р дх.+ W2 <u;> -+ W2 <u;> -дх-дх-dtdt+ <ы,>+ <ы,>£<X>£<X>

£ э<р>р дх.

£ э<р>р дх.

+ W2 <u;> -

+ W2 <u;> -

дх-

дх-

dt

dt

+ <ы,>

+ <ы,>

£<X>

£<X>

Здесь г, / = 1, 2, 3, что соответствует обозначению осей ж, у, z; по дважды повторяющимся осям подразумевается суммирование от 1 до 3; и<, <Нг> — компоненты векторов актуальной и осредненной скорости, так что и^ = ^и^ + иг ^и^ — пульсационная компонента скорости течения).

Основное течение направлено параллельно стенке вдоль оси я, ось у — ортогональна стенке, ось z имеет трансверсальное направление. В приближении обычной модели пограничного слоя несжимаемой жидкости на гладкой непроницаемой пластине д<р>/дх = 0, д(и>1ду > д<и>!9х. а в непосредственной окрестности стенки <и> ~ ~ у. Условие д<р>/дх = О отнюдь не означает равенства нулю градиента давления в актуальном течении, т. е. др'!дх ¥= 0, как об этом уже говорилось в § 2.5.

Для пульсационного движения характерна трехмерность даже в двумерном осредненном потоке. Об этом, в частности, свидетельствуют так называемые вихри Клайна и взрывообразные выбросы вещества в вязком подслое. Подтверждает это и высокий уровень турбулентности актуального движения в пристенной области, впервые детально исследованного в вязком подслое Е. М. Хабахпашевой.

Для одномерного движения из (5.26) получаются следующие уравнения, определяющие пульсационное и среднее течение:

ди„ тт' dU 1 др'' д (/ ' ' \

—х ■ + U —7— 4~ Uy -7— Н——VV Ux = “7 у \ UxUj/UxU

dtдх U OydX **£ х \ л

диу , ТГ ^и-у j Ар'2 ' д г / //\'

= —

<Аг , тт 9и'г . 1 А г-72 '8 // > -\,

”. + U"а? + 7 "зГ ~ vV Нг - "аГААх^/ игир,

dU 2 . / ' f \А г г\ / * '\ л

= У* + \UxUyzi\UXUZ/ = \UyUz/ — 0.

Здесь для краткости обозначено <их> = U.

Уравнение неразрывности для пульсаций имеет обычный вид

+ -^ = 0.(5.28)

дх ду dzv 7

Точное решение нелинейной системы (5.27) — (5.28) в настоящее время невозможно. Приближенное решение для непосредственной

окрестности стенки можно получить, линеаризовав (5.27) и введя волновые функции:

U = v^lv, u',y,z = Re[(u(y),y(z/),w(y))^^g^

p' = Re [p (y) £*]; t* = /2 exp [Цаж + Pz) — iactL

где г — мнимая единица; а, ^ — продольное и трансверсальное волновые числа, с — фазовая скорость волны, с которой она перемещается вдоль оси х. В направлении z волна предполагается стоячей. В этом случае два последних уравнения (5.27) удовлетворяются автоматически.

Для замыкания этой задачи необходимо сформулировать условия сопряжения с внешней областью турбулентного течения, где цт > ц. Для рассматриваемой строго одномерной ситуации характерно постоянство касательных напряжений по всему поперечному сечению потока, и на достаточном удалении от вязкого подслоя длина пути смешения определяется формулой Прандтля I = ху» Тогда среднее течение асимптотически не зависит от вязкости. Поэтому, используя соображения размерностей, можно записать

.(5.30)) = ^S(y)..(5.30)) = ^S(y).Тт = — р<иХ> = pv* (1 — -^2lE<I=\Ux / + \uy / + \MZ ) = v^Eqo (14——-X ✓//у

.(5.30)

) = ^S(y).

.(5.30)

) = ^S(y).

В соотношениях (5.30) представлены не только предельные значения, но и члены асимптотических разложений порядка тр1, что учитывает исчезающее влияние вязкости. Первое из соотношений (5.30) в сочетании с четвертым уравнением (5.27) определяет асимптотическое поведение средней скорости, приводящее к логарифмическому распределению (1.29). Параметры х и Xi должны быть определены в ходе решения задачи.

Подставляя функции из (5.29) в уравнения (5.27) и исключая давление, получаем безразмерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд пульсаций скоростей:

е- — [А;2 + ^(Т] — С)]0 = 0;

иГ — [Л2 + гос (ц — С)] w = —^ {0е — ia, [(ц — С) 12е — у]};(5.31)

6 = 12" — k2v, к2 = а2 + р2.

Здесь за масштаб скоростей принята величина 12*, а за масштаб длины V/12*.

Для замкнутой линейной системы (5.31) на стенке ставятся условия прилипания

y(0) = y(0) = w(0) = 0,(5.32)

а на большом удалении от стенки — условия исчезающего влияния

вязкости, которые следуют из (5.31), если отбросить вязкие члены:

6 = 0;w^-^-^^^--у‘) при Ч->ОО. (5.33)

Система (5.31) имеет шестой порядок, тогда как поставленных условий пять. Это значит, что решение находится с точностью до амплитудного, множителя. Для определения последнего, а также параметров ос, ^ и С используем условия гладкого сопряжения решения с асимптотическими зависимостями (5.30), которые выполняются не на бесконечности, как в теории пограничного слоя, а на некотором неизвестном, но конечном расстоянии т]б. В экспериментах величина Цб соответствует внешней условной границе промежуточного слоя в (5.16). Эти условия получаются путем исключения неизвестных параметров за счет дифференцирования соотношений (5.30) и записываются так:

(цГ-)-=0; (ц£т)" = 0; (цГ-^-О; (цЁГ-)- = О, (5.34)

Причем U • определяется уравнением Рейнольдса, которое в данной задаче имеет вид

U* = 1 + Re (uv*y, и = ia (v* + Р^р).

Здесь Re означает реальную часть, а звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина.

Если учесть, что к числу неизвестных параметров добавилась величина Цб, то всего получается пять неизвестных параметров, тогда как условий сопряжения четыре. Расчеты показали, что усилить гладкость сопряжения (5.34) нельзя.

Задачу замыкает требование максимальной устойчивости течения в пристенной зоне, выражающееся в условии максимума кривизны профиля С7(ц) в точке сопряжения ц = Цб.

Численное решение позволило получить распределение скоростей в вязкой зоне со следующими характерными параметрами: толщина вязкой зоны цб = 32; «константы турбулентности»

х = 0,405; щ = 6,87; Xi = 0,23; Е»» = 88.(5.35)

Первые три величины удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. При этом можно обратить внимание на то, что константа xt в этой модели удивительно близка к константе во второй формуле (5.19), аппроксимирующей логарифмический профиль скорости в промежуточной области между вязким подслоем и турбулентным ядром. Величина Е,» существенно больше экспериментальных данных. Не совпадают количественно и поля пульсационных скоростей (рис. 5.2). При этом следует отметить, что положения максимумов генерации турбулентной энергии в данной модели и в экспериментах близки друг к другу.

Найденные волновые параметры: а = 0,00212; £ = 0,000136; С = 35,8; со = аС = 0,076 — также вполне согласуются с измерениями трехмерной волновой структуры в пристенной зоне.

оо257 50257 50

о

о

257 50

257 50

Рис. 5.2. Распределение пульсаций скорости в вязкой зоне.

Сплошная линия — теория; штриховая — расчет по Лауферу; точки — опыты Е. М. Хабахпашевой и др.

Способ определения параметров в рассматриваемой модели нельзя считать вполне обоснованным. Однако качественное согласие полученной картины течения с опытом позволяет использовать данную модель для анализа более сложных течений, в первую очередь неньютоновских сред. Соответствующие расчеты [5.8], выполненные для моделей вязкоупругих жидкостей Максвелла и Олд- ройда, показали, что увеличение характерного времени релаксации £р, характеризующего упругие свойства среды, приводит к тем же эффектам, что и раство

рение в жидкости высокополимерной добавки [5.7, 5.9], а именно: увеличивается протяженность «буфер-

ной» зоны при сохранении толщины вязкого подслоя и существенно уменьшается поперечная скорость пульсаций. Это вызывает снижение величины турбулентного трения. Теория предсказывает су

ществование порогового значения £р, начиная с которого проявляются указанные эффекты, и предельного tpi когда наступает насыщение. Эти свойства также присущи течениям разбавленных высокополимеров. Полученные результаты дают основание считать, что добавка высокополимеров к жидкости в основном сводится к наделению ее упругими свойствами.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТРЕНИЕСЛАБЫХ РАСТВОРОВ ВЫСОКОПОЛИМЕРОВ

Как было указано выше, введение небольших добавок некоторых высокополимеров в поток жидкости приводит к весьма существенному снижению гидродинамического сопротивления при турбулентном режиме течения.

Вследствие индивидуальности высокополпмерных веществ, вводимых в объем основного рабочего тела (воды, нефти и др.), отыскание эффективных собственных динамических масштабов таких растворов имеет большое практическое и методологическое значение. Следующие экспериментально установленные факты являются здесь наиболее существенными: 1 — слабый раствор некоторых высокополимеров существенно снижает гидродинамическое сопротивление турбулентного потока растворителя, но практически не влияет на гидродинамику ламинарного течения; 2 — эффект начинает-

Рис. 5.3. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Re при течении в трубе диаметром 4,2 мм растворов полимера полпэтиленоксида (ПЭО) (относительная молекулярная масса Мт = 7-106) разной концентрации С:

2 — 5.10—6; 2 — 10~5; з- 1,5-10 —5; 4-2,5.10~б.

ся с некоторого порогового значения касательного напряжения на стенке, что характерно для вязкоупругих реологических сред; это пороговое значение тст сравнительно слабо зависит от концентрации полимера и других гидродинамических и геометрических факторов; 3 — существует предельно достижимое значение снижения сопротивления, а на кривой £(С), где С — концентрация полимера, имеет место минимум [5.10]; 4— в турбулентном пограничном слое основной деформации подвергается промежуточная область между вязким подслоем и турбулентным ядром течения, что обусловлено неодинаковым воздействием полимерных добавок на характер турбулентных пульсаций скорости в этой части пограничного слоя [5.7]. Здесь мы приведем только удачный выбор характерных собственных масштабов для зависимости £ (Re; С) при течении слабо концентрированных полимерных растворов в круглых трубах, предложенный Б. П. Мироновым и В. И. Шишовым [5.5]. Общий характер зависимости коэффициента гидродинамического сопротивления от числа Рейнольдса потока (рассчитанного или по вязкости растворителя, или по вязкости раствора, что находится в естественном взаимном соответствии) и концентрации полимера в растворителе показан на рис. 5.3.

Существенное значение имеет область чисел Re от порогового значения до минимума l£(Re)lmin на кривой ^(Re) при заданном значении концентрации полимера С.

Все данные располагаются между естественным верхним пределом, соответствующим зависимости g (Re) при С = 0, и нижней предельной эмпирической зависимостью Вирка [5.10]:

U « (4 In Ref? - 19) "2. (5.36)

д:д:А £щахА £щах(5.37)(5.37)

д:

д:

А £щах

А £щах

(5.37)

(5.37)

Рис. 5.4. Зависимость относительной ве-личины уменьшения -Сопротивлениятрения Л£ от параметра и* при течениираствора ПЭО в трубе d = 8 мм.

2-С=Ю-5, 2 - С= 1,5.10'5, 3 —С=5»

• 10~5, 4 - С = 7-10-5, 5 — d = 35 мм, С = = 1,5.10'5.

Экспериментальные данные хорошо обобщаются в координатах

Здесь £ — коэффициент гидродинамического сопротивления при данных значениях числа Не и концентрации полимера в растворителе С; £о — коэффициент гидродинамического сопротивления при С = О, т. е. для чистого растворителя; А^тах = £о — ^тш — максимально возможное снижение коэффициента сопротивления при заданной концентрации полимера в растворе и числе Не, при котором достигается l£(Re)lmin; тст — касательное напряжение на стенке трубы при данных условиях; тСТ1 — пороговое касательное напряжение на стенке трубы, с достижения которого начинает проявляться действие полимера; U — средняя расходная скорость потока; у* — динамическая скорость на стенке при данных условиях.

Обобщение работает в области от тст = тСТ1 до минимума на зависимости £ (Не). На рис. 5.4 показана зависимость ДЦр*), построенная по многим экспериментальным данным. Эффективность введенных собственных масштабов динамики полимерного раствора видна совершенно отчетливо.

Физический смысл симплекса Д£ очевиден — это относительный дефект гидродинамического сопротивления для данной системы полимер — растворитель. Более сложен физический смысл числа подобия у*, которое может быть представлено также в виде (для трубы)

у* = 7^ /5/8.(5.38)

*1

Отношение данного значения динамической скорости на стенке к ее пороговому значению может рассматриваться как некоторый эквивалент отношения времени релаксации упругих напряжений в растворе tp ^ Llv^ к характерному времени заданного течения t^ Llv^ где L — характерный размер макромолекул полимера. Множитель же ^/8 характеризует степень турбулентности потока и ее воздействие на поведение макромолекул полимера в движущем- ся растворителе. Более общим является число подобия у*=^^ у т^-

ЛИТЕРАТУРА

Гешев П. И. Характеристики коэффициентов турбулентного обмена в вязком подслое.— ПМТФ, 1974, № 2, с. 61—66.

Гольдштик М. А. Теория концентрированных дисперсных систем.— В кн.: Материалы междунар, шк. по процессам переноса в неподвижных и псевдоожиженных зернистых слоях. Минск: ИТМО АН БССР, 1977, с. 49—84.

Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977.— 366 с.

Карман Т. Об устойчивости ламинарного потока и теория турбулентного движения.—В кн.: Проблемы турбулентности. М.—Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936, с. 252—270.

Миронов Б. П., Шишов В. И. Обобщенная зависимость для сопротивления трения при турбулентном течении в трубе растворов полимеров.— В кн.: Гидродинамические течения и волновые процессы. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1983, с. 97—116.

Петухов Б. С., Поляков А. Ф., Шехтер Ю. Л., Цыпулев Ю. В. Статистические характеристики пульсаций температуры и турбулентный перенос тепла в вязком подслое.— В кн.: Пристенное турбулентное течение. Ч. II. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1975, с. 162—177.

Хабахпашева Е. М., Перепелица Б. В. Поля скоростей и турбулентных пульсаций при малых добавках к воде высокомолекулярных веществ.— ИФЖ, 1968, т. 14, № 4, с. 598-601., ,

Goldshtik М. A., Zametalin V. V., Shtern V. N. Simplified theory of the near-wall turbulent layer of Newtonian and drag-reducing fluids.— J. Fluid Meeh., 1982, v. 119, p. 423—441..

Toms B. A. Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds number.— 1st. Intern. Congr. RheeL Amsterdam, 1949, v. 2,x p. 135—144.

Virk P. S., Mickley H. S., Smith R. A. The ultimate asymptote and mean flow structure in Toms’phenomenon.— Trans, of the ASME, ser. E, 1970, N 2.

Глава 6

КРИТЕРИИ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПЛОТНОГО ГАЗА

Уравнение движения сжимаемой жидкости было получено в работах Навье, Пуассона, Сен-Венана и Стокса [4.7]. В общей форме уравнение Навье—Стокса и уравнение сплошности имеют вид (без объемных сил не гидродинамической природы)

*i 2'gp + 2 div (pS) — grad I p + у p div u*i 2'gp + 2 div (pS) — grad I p + у p div u' duP' duP+ (u, grad) u+ (u, grad) u(6.1)(6.1)

*i 2'

gp + 2 div (pS) — grad I p + у p div u

*i 2'

gp + 2 div (pS) — grad I p + у p div u

' du

P

' du

P

+ (u, grad) u

+ (u, grad) u

(6.1)

(6.1)

■^ + div (pu) = 0.

Удельная мощность потока

L, = ^ -^-4- (u, grad u2)] + 2p52 — p div u — ^ p (div u)2. (6.2)

(6.3)(6.3)Функция рассеяния механической энергии diss F (и) = 25? - у (div и)2.

(6.3)

(6.3)

Здесь

(6.4)(6.4)

(6.4)

(6.4)

Уравнение теплопроводности имеет вид

qv + div (% grad 7) + |i diss F (u) =

= pl-ff + (u, grad i) —= pl-ff + (u, grad i) —^- —(u,gradp),^- —(u,gradp),(6.5)(6.5)

= pl-ff + (u, grad i) —

= pl-ff + (u, grad i) —

^- —(u,gradp),

^- —(u,gradp),

(6.5)

(6.5)

где i — энтальпия (df = сйТ^ Дж/кг.

Локальная нестационарность {^u/^, di/dt} дает уже известный критерий гомохронности. Поэтому основные особенности динамики больших скоростей плотного газа (т. е. газа при таких давлениях, когда его можно считать, как и жидкость, квазисплошной средой) лучше рассмотреть в приближении стационарного пограничного слоя.

Имеем

др , д ди\/ ди , ди\

их + ду V ду /Р \ дх V ду)1

^L + ^. = 0;(6.6)

дх дух '

д Л дТ\,(ди V (di. di\др

ду \ ду )г \ ду /г \дх ду )дх

При этом должны быть заданы температурные функции физических свойств в форме

(р^’ *); Р^Р' ^’ ^Р’ ^’ ^Р’ т^(6-7)

Подставляя в уравнение теплопроводности значение градиента давления из уравнения движения, имеем

д /. дТ,d(u2/2)\/di*. di* \/с Q\

т~ X -5—Ь И ~4—- = Р w -тЬ v -т- ,(6.8)

ду \ дуг ду )v \дх ду <х '

где г* = г + и2/2 — энтальпия торможения.

В газах число Прандтля равно или близко к единице, а ср « « const в широких интервалах температур. При этих условиях из (6.8) следует

(6.9)(6.9)д ( ЭТ*\/ дТ* , дТ*

(6.9)

(6.9)

Н — = Р ^ Н и —ду V ду )г \дх ду .

где Т* = Т + и2/2ср — температура торможения.

Таким образом, в газодинамических течениях энергообмен связан не с термодинамическими температурами, а с энтальпией торможения. Введение обобщенного коэффициета теплоотдачи

а = д/Ост — 1*т),(6.10)

имеющего размерность кг/(м2-с), позволяет строить зависимости, близкие к тем, которые имеют место при малых скоростях течения. При Ср = const обобщенный коэффициент теплоотдачи можно написать в форме, сохраняющей его традиционную размерность — Вт/(м2 - К):

а = д/(Тст-Т*т).(6.11)

Обобщеная аналогия Рейнольдса (др/дх = 0, Рг = 1, граничные условия по и и i* подобны) сохраняет свой вид при подстановке в нее обобщенного коэффициента теплоотдачи

St = су/2.(6.12)

Таким образом, в быстродвижущемся плотном газе появляется только один новый по сравнению с гидродинамической постановкой критерий подобия — кинетический температурный фактор гр* [см. (2.65)].

ВЛИЯНИЕ ПУЛЬСАЦИЙ ПЛОТНОСТИНА ТУРБУЛЕНТНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Принимая во внимание уравнение сплошности, можно переписать инерционный член уравнения движения в форме

р i?=5+ (u’grad)r (блз)

где з = ри — импульс, а в уравнении теплопроводности —

р^ = ^ + ^аа^- •<6-14)

В сжимаемом газе турбулентность приводит к пульсациям плотности, что обусловливает пульсации потока импульса и конвективного потока тепла:

1тМ"п = (jmWn) + UmU^ »)

1 /•((6.15)

1ml = <Jml> +J

Произведя операцию осреднения, получим

<jmUn> = <Р> \UmUn/ + <Um> ^p'un) + \P'umUu/. (6.16)

В приближении пограничного слоя турбулентное трение выразится формулой

— тт = <^XVu> + <vXp'u'> + (р'р'^'),(6.17)

а турбулентный поток тепла

— 5т = <pXv'i'> + <vXp'i/> + <p'v'i'>.(6.18)

^ С. С. Кутателадзе

Относительное влияние пульсаций плотности па рейнольдсовы напряжения определится формулой

<и> <pV> + <{>'v'u'>

Здесь в знаменатель вынесена главная часть этих напряжений.

В плотном газе, как правило, р' <рл Т' ~ kT и может быть велико. Поэтому можно в первом приближении положить

р' = <р>рГ,(6.20)

где р — коэффициент объемного расширения, 1/К.

Оценка величины ер может быть сделана на основе гипотезы длины пути смешения

V ~ и ~~ у ; Т ~• I(о.

у дуU J'

Поскольку у* ~ Vс^ то с ростом числа Рейнольдса влияние пульсаций плотности на турбулентное трение вырождается. Обычно оно невелико даже при сравнительно небольших числах Не, и им пренебрегают в полуэмпирических теориях.

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

При сверхзвуковых скоростях движения вещества, если не принимаются особые меры, может сформироваться область резкого изменения параметров состояния, называемая ударной волной. Это явление теоретически было обнаружено Риманом, Рэнкином и Гю- гонио.

Связи между состояниями вещества до и после прохождения фронта волны выводятся из законов сохранения массы, количества движения и энергии. Первые два закона дают выражения, симметричные как для переходов из области низкого давления в область высокого давления (волна сжатия), так и для переходов из области высокого давления в область низкого давления (волна разрежения). Однако уравнение энергии несимметрично относительно энтропии, что следует из формулы Жуге

*п - Sz = (pzz - рх)3 (awp2) $№,(6.22)

где v — удельный объем, м3/кг. При этом термодинамические и механические условия прохождения вещества через фронт ударной волны связаны соотношениями

Pii^Ph Sn>Sb ^1<^ь ^п>^п;

(6.23) № < Рь 5ц < sj; tt*i>ui;

Здесь а^Щ— скорости звука и волны при соответствующем состоянии среды (до или после фронта волны).

Как видно, при (d2v/dp2)s > 0 ударная волна разрежения (pz > Рп) невозможна, так как приращение энтропии становится от-

рицательным. Это условие выполняется в идеальных газах и в известных реальных средах для широкого диапазона параметров состояния. Отсюда возникли представления о невозможности существования в природе ударных волн разрежения.

Для ударной волны идеального газа действует уравнение Гю- гонио

Рп _(? + !) Ры —(т —l)Pi

Pl "(V+I) Pi-(T-l)Pn’V '

называемое ударной адиабатой. В координатах р (р) ударная адиабата лежит выше адиабаты изоэнтропической (Пуассона) и имеет асимптоту. \|

- = _Рп_^^(6.25)

р Pi Y -1 ’ Руv 1

Как и ранее, в этих формулах у = с^Су — показатель изоэнтропической адиабаты.

Ударная волна характеризуется скачком энтропии

^Р- = Ы(^),(6.26)

О

где 7?0 — удельная газовая постоянная.

Для одномерного изоэнтропического течения газа в канале имеет место формула [2.4]

(М2 -i)du/dQ = u/Q,(6.27)

где Q — площадь поперечного сечения канала, м .

При дозвуковом течении М < 1, и скорость течения возрастает с уменьшением площади сечения канала. При сверхзвуковом течении М > 1, и скорость течения возрастает с увеличением сечения канала. При М = 1 cZQ = О, и соответствующее сечение оказывает

ся минимальным (критическим).

Таким образом, возникновение ударных волн не приводит к появлению принципиально новых критериев газодинамического подобия. Однако выяснение критичности течения должно входить в предварительный анализ условий однозначности.

Для примера на рис. 6.1 показана область существования

Рис. 6.1. Области существования ударных волн разрежения вблизи критической точки (рКр, Укр):

Рис. 6.2. Эволюция ударной волны разрежения в хладоне-13 вблизи критической точки.

Расстояние датчика от диафрагмы, м. 1 — 0,45; 2 — 2,35.

ударных волн разрежения для среды Ван-дер-Ваальса, рассчитанная Я. Б. Зельдовичем [6.2]. Как видно, в этой модели необходимое условие существования ударной волны разрежения имеется при достаточно больших значениях объемной теплоемкости cv в окрестности правой ветви пограничной кривой жидкость — пар вблизи критической точки. Возникновение ударных волн разрежения в реальных средах экспериментально обнаружено автором совместно с В. Е. Накоряковым, Ал. А. и А. А. Борисовыми [6.4]. На рис. 6.2 приведена структура одной из исследованных волн.

При гиперзвуковых потоках (М > 3 -^ 5) характер влияния формы тела и вязких эффектов меняется по сравнению с умеренными сверхзвуковыми течениями, что делает целесообразным введение специфических для гиперзвукового потока критериев подобия, являющихся, однако, комбинацией классических чисел Маха, Рейнольдса и геометрических симплексов.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ И УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ' В ПОТОКАХ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

Мерой разреженности газа является число Кнудсена, представляющее собой отношение средней длины свободного пробега молекул к характерному линейному размеру течения:

Kn = <1>/L. (6.28)

При Kn < 1 имеет место сплошное (в обычном понимании этого термина) течение, а при Kn > 1 — свободномолекулярное течение, когда явления переноса в газе практически независимы от межмолекулярных столкновений. Принято считать, что течение газа разреженное, если Кп>0,01. Числа Маха, Рейнольдса и Кнудсена газа связаны соотношением

М = Не КпУ2/л^(6.29)

В ламинарном пограничном слое

б - Re-1/2; Kn - М Re~1/2,(6.30)

при М Re“1/2 < 1 поток сплошной, при М Re“1/2 > 1 — свободномолекулярный.

Важный класс промежуточных течений характеризуется тем, что основной поток может рассматриваться как сплошной, а эффекты разреженности учитываются только в окрестности поверхности обтекаемого тела. Для этого вводятся понятия скорости скольжения [6.1]

Au«<Z>(5) +</>/^(^1)(6.31)

и температурного скачка

5) •(6-32)

/ ст

В данном случае предполагается полная тепловая и динамическая аккомодация молекул на стенке.

Схема обтекания тела разреженным газом (рис. 6.3) показывает, что в разных зонах потока возможно проявление как эффектов разреженности, так и эффектов сплошного течения.

Если время установления равновесия физико-химических процессов (релаксации) в газе больше характерного динамического времени

tp > Ни.(6.33)

течение становится неравновесным. Такие эффекты особенно существенны в потоках низкой плотности при больших градиентах параметров. Если число столкновений, необходимое для установления равновесия в каком-нибудь физическом процессе (а), есть иа, то число Кнудсена, характеризующее роль релаксационного процесса, можно представить в форме

Кпа = 2а <Z>/L.

Обычно в переходных режимах разреженного газа химические процессы и процессы колебательного обмена протекают медленно или вообще «замораживаются», а энергообмен осуществляется через поступательные и вращательные степени свобды. При взаимодействии структурных частиц газа (молекул, атомов, ионов) с твердым телом может иметь место неполный обмен энергией. Этот

пограничного слоя

■ грании."

Поверхность пластины

Сращенный слой

Сильное взаимодействие

Слабоевз аимодействие

Рис. 6.4. Структура начального участка свободной сильно недорасши- ренной струи разреженного газа.

»1»1М^Ус1М^Ус1

»1

»1

М^Ус1

М^Ус1

Континуумное течение, без скольжения

Рис. 6.3. Схема обтекания тела сверх-звуковым потоком разреженного га-за. с = yiTolyioT.

эффект характеризуется коэффициентом аккомодации энергии

(6.34)

Здесь ЕИ — средняя энергия падающих частиц; Ео — средняя энергия частиц после соударения; Ес — средняя равновесная энергия частиц, соответствующая температуре поверхности тела.

Коэффициент аккомодации в общем случае зависит от природы газа и материала поверхности, от температуры поверхности, а также от скорости частиц газа относительно этой поверхности (стенки) и может быть не одинаковым для разных компонент полной энергии частиц.

С учетом сказанного подобие обтекания геометрически подобных тел разреженным газом будет соблюдаться при сохранении значений чисел Кнудсена, Маха, коэффициентов аккомодации и молекулярных характеристик газа. При этом возможны предельные формы обобщения определенными комбинациями основных чисел подобия. Например, при гиперзвуковом обтекании тонких тел влияние числа Маха и формы тела можно практически характеризовать одним критерием подобия Мооб, где Моо — число Маха набегающего потока, а 6 — относительная толщина тела. Произведение Мооб называется гиперзвуковым критерием подобия.

Особый класс течений представляют собой так называемые не- дорасширенные струи, возникающие при истечении газа из сопла с Mt > 1 и давлением р^ > р2, где индекс 1 означает параметры на срезе сопла, а индекс 2 — параметры в невозмущенной среде, куда истекает газ.

На рис. 6.4 показана структура начального участка свободной сильно недорасширенной струи невязкого газа. Ядро струи 1, где газ расширяется как в вакуум, ограничено висячей ударной волной 2 и диском Маха 3. Между висячей волной 2 и внешней границей струи 5 находится слой сжатого газа, прошедшего через волну 2. Линия тока 6 показывает движение газа из ядра струи через

Рис. 6.5. Схема сверхзвукового течения вязкого газа.Рис. 6.5. Схема сверхзвукового течения вязкого газа.Рис. 6.6. Схема струи разреженного газа в спутном потоке.

Рис. 6.5. Схема сверхзвукового течения вязкого газа.

Рис. 6.5. Схема сверхзвукового течения вязкого газа.

сжатый слой и отраженную волну 4. При увеличении числа Mi радиус диска Маха уменьшается («тройная» точка 7 движется к оси струи), и конфигурация ударных волн 2, 3 и 4 вырождается в X- образную.

Такое течение определяется числом Mi, показателем адиабаты Ч, отношением давлений п = pjp^ называемым степенью нерасчет- ности, и геометрией сопла. При п > 1 и Mi> 1 структура начального участка струи становится автомодельной в координатах R = = R/R^n^ х = #/М17?сУуп, где R — текущий радиус струи; х — продольная координата; Rc — радиус среза сопла [6.3, 6.5].

При уменьшении плотности газа вместо поверхностей разрыва возникают характерные вязкие зоны течения. На рис. 6.5 схематически показана такая перестройка течения. Здесь 3, 4, 7 — зоны диска Маха, висячей и отраженной ударных волн; 6 и 9 — зоны смешения, возникающие вдоль границы струи и тангенциального разрыва за «тройной» точкой. Во внешней части ядра струи перед висячей ударной волной также может сформироваться зона 2, в которой проявляется вязкость газа. При весьма значительных разрежениях влияние вязкости возрастает и невязкие зоны течения 1, 5, 8, 10 полностью вырождаются.

Вязкие эффекты в струе (за исключением ее ядра), истекающей из сопла, например, с Mi = 1, можно характеризовать числом ReL = Rei/V^, которое обратно пропорционально числу Кнудсена, определенному по характерному размеру струи и длине свободного пробега молекул в окружающей среде.

На рис. 6.6 показана схема истечения сверхзвуковой недорас- пхиренной струи газа в сверхзвуковой спутный поток. В этом случае, как правило, возникает Х-образная конфигурация из висячей волны 2 и отраженной волны 4. Течение в спутном потоке формируется около ядра струи 1 так же, как при обтекании тонкого тела, при этом роль поверхности тела выполняет граница струи 5; 3 — головная ударная волна. Линии тока 6 и 7 в струе и в спутном потоке претерпевают характерные изломы при прохождении ударных волн. К критериям подобия, характеризующим струю в покоящемся газе, здесь добавляются еще два — показатель адиабаты и число Маха спутного потока Mw. При М^>^> 1,так же как при гиперзвуковом обтекании тонких тел, для подобия течения важную

роль начинает играть гиперзвуковой критерий_подобия М«> 6 — в данном случае относительная толщина струи 6 является функцией показателя адиабаты газа струи, угла раствора сопла и числа Маха на срезе сопла [6.6].

ЛИТЕРАТУРА

Девиен М. Течение и теплообмен разреженных газов.— М.: Изд-во иностр, лит., 1962.— 186 с.

Зельдович Я. Б. О возможности ударных волн разрежения.—ЖЭТФ, 1946, т. 16, выл. 4, с. 363—364.

Кисляков Н. И., Ребров А. К., Шарафутдинов Р. Г. Диффузионные процессы в зоне смешения сверхзвуковой струи низкой плотности.— ПМТФ, 1973, № 2, с. 121—127.

Кутателадзе С. С., Борисов Ал. А., Борисов А. А., Накоряков В. Е. Экспериментальное обнаружение ударной волны разрежения вблизи критической точки жидкость — пар.— Докл. АН СССР, 1980, т. 252, № 3, с. 595— 598.м

Ребров А. К. О газодинамической структуре высоконапорных струй низкой плотности.— В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1974, с. 262—276.

Храмов Г. А., Чекмарев С. Ф. Подобие истечения сильно недорасширен- ной струи газа в спутный гиперзвуковой поток.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, № 4, с. 113—120.

Глава 7

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ жидкостиС ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТЬЮ

Относительно простые физико-математические модели жидкости с исчезающей вязкостью и теплового пограничного слоя на адиабатической поверхности позволяют проследить, как в анализе сложных термогазодинамических процессов последовательно применяются введение понятия о модельной среде, первичные соображения о размерностях основных взаимодействующих величин, исследование асимптотического вырождения некоторых взаимодействий и возникающие при этом связи между безразмерными комплексами, согласование и корректировка полученных результатов по экспериментальным данным.

Рассмотрим модель жидкости с исчезающей вязкостью, т. е. среду, у которой вязкость сколь угодно мала, но не обращается в нуль. Символически это запишем в форме

И « 0. (7.1)

С точки зрения нестандартного анализа [7.2] это означает, что вязкость жидкости — положительная бесконечно малая величина. Наличие малой, но конечной вязкости обеспечивает прилипание среды к твердой поверхности (стенке) и возникновение турбулентности. При этом для любых стандартных скоростей течения (дозвуковых и сверхзвуковых) и размеров тел выполняются условия

{Re « оо; б/Л « 0.}(7.2)

Здесь ^ означает бесконечное приближение.

Таким образом, пограничный слой в жидкости с исчезающей вязкостью для любого тела конечных размеров достаточно тонок (его можно рассматривать как двумерный) и обладает развитой турбулентностью.

(7.3)тол- при- тур-(7.3)тол- при- тур-Эта модель в некотором смысле является промежуточной между идеальной жидкостью Эйлера, у которой вязкость равна нулю, и жидкостью Ньютона, обладающей конечной, достаточно существенной вязкостью. В таком пограничном слое абсолютное значение коэффициента трения стремится к нулю, то же происходит с относительным влиянием пульсаций плотности на турбулентное трение (ер), поскольку оно также пропорционально некоторой степени сь Относительная толщина вязкого подслоя

(7.3)

тол- при- тур-

(7.3)

тол- при- тур-

^г б Re61

где Re6 = C76/v — число Рейнольдса, построенное по расчетной щине, пограничного слоя 6; тр — расчетная толщина вязкого стенного слоя (в несжимаемой жидкости тр < 12). Так как в

булентном потоке величина cf убывает с ростом числа Re в степени, меньшей единицы, то в пограничном слое жидкости с исчезающей вязкостью происходит вырождение относительного влияния вязкой области в непосредственной окрестности обтекаемой поверхности.

Имеем [4.4, 4.5, 7.2]:

(ц «0, Re « ©о, cf «0, ер « 0, yi ^ 0).(7.4)

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ

Введем относительный коэффициент трения

(7.5)(7.5)Ч-с,/^

(7.5)

(7.5)

где индекс 0 означает эталонные условия. Естественным эталоном в рассматриваемом процессе является закон трения при обтекании гладкой непроницаемой пластины изотермическим потоком несжимаемой жидкости.

Отношение двух одноименных безразмерных величин, как например относительный коэффициент трения V, представляет особую и важную форму симплексов. Дело в том, что такого рода

отношения часто бывают значительно более слабыми функциями некоторых из определяющих критериев, чем абсолютные значения определяемой 'безразмерной величины (в данном случае с^. Это создает ряд преимуществ как в анализе экспериментальных данных, так и при теоретических построениях.

Текущее и эталонное значения определяемой величины должны сопоставляться при сходственных условиях, т. е. при определенных значениях одного или нескольких определяющих критериев. В рассматриваемом случае такое сопоставление следует проводить при условии Re = idem. Но при этом возникает неопределенность, связанная с выбором характерного размера (L, 6, 6*, 6**) и характерных значений физических свойств (v0, vCT)«

Однако вследствие того, что dc/dRe < 0, при больших числах Рейнольдса этот выбор не имеет существенного значения. Поэтому при Re “> оо условия сопоставления в (7.5) будут опускаться. Во всех остальных случаях эти условия надо оговаривать, например в форме

МсМе**' (7-6)

подразумевая под этой записью сопоставление коэффициентов трения при одинаковых значениях чисел Рейнольдса, построенных по толщине потери импульса и одинаково определенной характерной вязкости.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ

Исходной в данной задаче является формула Тейлора — Прандтля, связывающая корреляцию между компонентами пульсационной скорости и градиентом осредненной скорости:

<и v > = Z — .(7.7)

Здесь Z — длина пути смешения, возникающая как множитель пропорциональности из сопоставления размерностей скорости и ее градиента.

В рамках этой гипотезы локальное турбулентное трение при

Тт = р(г^>)2.(7.8)

Введем безразмерные величины: у = у/6 — расстояние по нормали от стенки; 1=1/§— длина пути смешения; р = р/р0 — плотность в точке у; т = т/тст — касательное напряжение в точке у; т0 = = то/тСто — касательное напряжение в стандартных условиях; й = = <и>Ш — значение продольной компоненты скорости осредненно- го течения в точке у; yi, ut — расстояние от стенки и скорость течения на условной границе заметного влияния молекулярного трения на осредненное течение в окрестности стенки. Здесь р0, U — плотность и скорость течения среды вне пограничного слоя.

№№принимая во внимание, что

№

№

Тот = ро U^Cjl^,

приведем формулу (7.8) к виду, на первый взгляд излишне искус

ственному:ственному:(7Л0)(7Л0)

ственному:

ственному:

(7Л0)

(7Л0)

Из рассмотренных выше условий вырождения ряда безразмерных параметров турбулентного пограничного слоя с ростом числа Рейнольдса следует, что

р /от \1/2 _V/2 _

limdu = lim I I —^) du;(7.11)

Re^o© J \Тт /- J Ыv 7

ui1 “i

lim И (т+т) t= limH (^j-T' (7Л2)

Re->oo V ‘ 8р/ l2' I

2/112/1

В эталонном пограничном слое

т$ кч'2^-(7лз>

510°

Из условий вырождения следует

Re« оо, z/io^O, ^ю~0;’

— f (ст V/2~ 1'(7Л^

2 Jт - 1-

У10«0

При консервативности функции I (у), т. е. ее независимости от определяющих критериев Re, М, Ъ и др., возникает интегральное соотношение, впервые полученное автором и А. И. Леонтьевым:

(^-) duwl.(7.15)

_J Х^т/

^«0

Можно показать, что это условие выполняется и в более общем случае [4.5]. При аэродинамической кривизне 1/1 < |/кр| заполненность профиля скоростей растет с увеличением числа Рейнольдса и имеют место соотношения .

{Re« оо, у* «0, т0« 1}.{Re« оо, у* «0, т0« 1}.(7.16)(7.16)

{Re« оо, у* «0, т0« 1}.

{Re« оо, у* «0, т0« 1}.

(7.16)

(7.16)

Здесь у^ — расстояние от стенки, на котором скорость и отличается от единицы на сколь угодно малую величину.

1/2 _du> 1/«0,Re«oo1/2 _du> 1/«0,Re«oo(7.17)(7.17)Соответственно из (7.15) следует, что

1/2 _

du> 1

/«0,Re«oo

1/2 _

du> 1

/«0,Re«oo

(7.17)

(7.17)

( Р

J I Тт-

0 \у^1

Интегральное соотношение (7.17) описывает предельный относительный закон трения в турбулентном пограничном слое и выражает одно из фундаментальных свойств турбулентности, связанное с консервативностью пристенного течения.

Введя в (7.10) переменные нижние пределы интегрирования, можно получить предельный профиль скоростей вне вязкого подслоя

у>Ур /=о, Re «ооу>Ур /=о, Re «оо> 1 — Ио> 1 — Ио(7.18)(7.18)

у>Ур /=о, Re «оо

у>Ур /=о, Re «оо

> 1 — Ио

> 1 — Ио

(7.18)

(7.18)

где Ио (г/) — распределение скоростей в турбулентной области эталонного пограничного слоя.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНАПРИ ОБТЕКАНИИ ГАЗОМ НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ

В этом случае 8р/дх = 0, и если на поверхности пластины задана постоянная температура, то граничные условия по скорости и энтальпии подобны.

В многоатомных газах Pr = 1, в двухатомных Рг ~ 0,75, турбулентное число Прандтля в ядре пограничного слоя 0,8—0,9. Таким образом, при продольном обтекании пластины неограниченным потоком газа имеет место приближенное подобие полей скоростей и энтальпии. В этом случае плотность газа, подчиняющегося уравнению состояния Клапейрона, связана с энтальпией и скоростью выражением

р = — = [ф — (ф — ф*) и — (ф* — 1) и2]-1,(7.19)

где ф = /ст/ ^о — энтальпийный (температурный при сР = const) фактор;ф* = /*т/i0 —кинетический энтальпийный (температурный при Ср = const) фактор.

Величина-

Дф = ф — ф*(7.20)

характеризует неадиабатичность обтекаемой поверхности и может быть названа фактором теплообмена. Тепловой поток при Аф < 0 направлен из газа к пластине, при Аф = 0 — от пластины в газ, при Аф = 0 тепловой поток через поверхность пластины отсутствует.

Уравнение движения имеет вид

-^ + ^- = р<и>-^- + р<и>-Ц^-,(7.21)

Эх ду v х 7 дх k х 7 дух '

рис. 7.1. Зависимость относительного коэффици-ента трения Т от числа М и Аф.

т. е. в рассматриваемом случае

(7.22)

ЗдесьЗдесьТ. = St/St0Т. = St/St0(7.24)(7.24)Подставляя значения р и т в (7.17), на- ходдм, что

Здесь

Здесь

Т. = St/St0

Т. = St/St0

(7.24)

(7.24)

— относительный закон теплоотдачи. Равенство величин Т и Ts в данном случае является следствием принятого подобия полей скоростей и энтальпий (обобщенная аналогия Рейнольдса).

Для существенно дозвукового потока из (7.23) следует

VVг!?*-*!, Не»оог!?*-*!, Не»оо2 V1 + Vw ’2 V1 + Vw ’(7.25)(7.25)

V

V

г!?*-*!, Не»оо

г!?*-*!, Не»оо

2 V

1 + Vw ’

2 V

1 + Vw ’

(7.25)

(7.25)

при обтекании адиабатической поверхности

ш.Ф* ~ 1V /7 от

д-ф=о, Re~oc ^* — 1 уV Ф / **

На рис. 7.1 показаны результаты расчетов W (М) по формуле (7.23) для двухатомных газов. Как видно, сжимаемость (правильнее сказать, газодинамический разогрев) приводит к уменьшению относительного трения с ростом величины критерия Маха — Маиев- ского. При Аф > 0 трение уменьшается, при Аф- < 0 — возрастает по сравнению с обтеканием адиабатической поверхности. Таким образом, замечательной особенностью термогазодинамики пограничного слоя является то обстоятельство, что с ростом числа Рейнольдса абсолютные значения коэффициентов трения и теплоотдачи стремятся к нулю, а их относительные величины — к некоторым конечным пределам. Это обстоятельство не только интересно в теоретическом плане, но и чрезвычайно важно при обработке экспериментальных данных.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНАПРИ ОБТЕКАНИИ ПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ

При обтекании неограниченным потоком газа гладкой равномерно проницаемой пластины имеем

др А - А. дх . д <и> )

•~- = 0; п -> 0, ри -> /ст, -7—> 7ст —7—В

дх ’ у vдуду Р

(7.27)(7.27)Здесь 7сТ — массовая скорость вещества, пересекающего поверх-Здесь 7сТ — массовая скорость вещества, пересекающего поверх-ность обтекания (стенки);^ность обтекания (стенки);^2/ ст2/ стci^uci^uфактор проницаемости, по-фактор проницаемости, по-строенный по истинному значению коэффициента трения. Подставляя значение т в (7.17), получаем общую формулировку предельного закона трения при обтекании проницаемой поверхностистроенный по истинному значению коэффициента трения. Подставляя значение т в (7.17), получаем общую формулировку предельного закона трения при обтекании проницаемой поверхностит 1 + Ъ^и.

(7.27)

(7.27)

Здесь 7сТ — массовая скорость вещества, пересекающего поверх-

Здесь 7сТ — массовая скорость вещества, пересекающего поверх-

ность обтекания (стенки);^

ность обтекания (стенки);^

2/ ст

2/ ст

ci^u

ci^u

фактор проницаемости, по-

фактор проницаемости, по-

строенный по истинному значению коэффициента трения. Подставляя значение т в (7.17), получаем общую формулировку предельного закона трения при обтекании проницаемой поверхности

строенный по истинному значению коэффициента трения. Подставляя значение т в (7.17), получаем общую формулировку предельного закона трения при обтекании проницаемой поверхности

Здесь b — фактор проницаемости, построенный по эталонному значению коэффициента трения с/0.

В зоне оттеснения пограничного слоя вследствие достаточно интенсивного вдува через поверхность в пограничный слой возникает знакопеременное течение, и в среднем Ф = 0. Этой ситуации соответствует критическое значение фактора проницаемости

\ 1/2 _\ 1/2 _р = "Т~ — Rh (Ф11) ^1 1р = "Т~ — Rh (Ф11) ^1 1(7.31)(7.31)

\ 1/2 _

\ 1/2 _

р = "Т~ — Rh (Ф11) ^1 1

р = "Т~ — Rh (Ф11) ^1 1

(7.31)

(7.31)

Поле скоростей определится из выражения

(7.30)

ДОЗВУКОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ слойНА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Во многих случаях при дозвуковых течениях смесей газов можно считать с хорошим приближением, что

где ф1 = ро/рст — фактор плотности. Для идеального газа a|?i = Ф-

Подставляя значение р из (7.31) в (7.28) и (7.29), получаем предельные относительные законы трения:

(7.32)(7.33)(7.34)(7.35)(7.32)(7.33)(7.34)(7.35)(7?1) ;ДЛя однородного неизотермического(7?1) ;ДЛя однородного неизотермическогостиЧт —Ч ^ + 1 _ДстиЧт —Ч ^ + 1 _ДV->4V->41-6 V1+ У^/ ’1-6 V1+ У^/ ’(7.36)(7.36)

(7.32)

(7.33)

(7.34)

(7.35)

(7.32)

(7.33)

(7.34)

(7.35)

(7?1) ;ДЛя однородного неизотермического

(7?1) ;ДЛя однородного неизотермического

стиЧт —Ч ^ + 1 _Д

стиЧт —Ч ^ + 1 _Д

V->4

V->4

1-6 V

1+ У^/ ’

1-6 V

1+ У^/ ’

(7.36)

(7.36)

a) 4‘i < 1

^>i

■ M^FT) I "c,g V №-*>(<+»,)arctg V 44=7

b1°кр->^_1b1°кр->^_1З-^У

b1

°кр->^_1

b1

°кр->^_1

arccos;—-

41/

Если R = RJR0 — отношение удельных газовых постоянных вдува-

емого газа и газа основного потока, то для неоднородного изотермического пограничного слоя ^1 = 1 +• (^ — 1); для неоднород-

ного неизотермического пограничного слоя газов одинаковой атомно- Г ь

пограничного слоя 4*1 = Ч-

Зависимости (7.32) и (7.34) хорошо аппроксимируются одной приближенной формулой

где b = Ь/Ькр — относительная величина фактора проницаемости.

Для однородного изотермического пограничного слоя получаются простые и красивые формулы — Re

—(лЬ \ — , Ь —2 “~2мУ4-у w0 + — и0; и ь=ь—-*" ио-—(лЬ \ — , Ь —2 “~2мУ4-у w0 + — и0; и ь=ь—-*" ио-(7.37)(7.37)

—(лЬ \ — , Ь —2 “~2

мУ4-у w0 + — и0; и ь=ь—-*" ио-

—(лЬ \ — , Ь —2 “~2

мУ4-у w0 + — и0; и ь=ь—-*" ио-

(7.37)

(7.37)

(7.38)(7.39)(7.38)(7.39)

(7.38)

(7.39)

(7.38)

(7.39)

СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙНА ПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ

При подобии полей скоростей и энтальпий имеем

du

1^(1 + ьги) [4 — А4^ — (4* —-1) «']

du

Vи [4— A4u — (4* — 1) и2]

1Г1

Решения в общей форме имеют вид

/Ф -2[F (ф1; Р) - F (ф ; Р)]; (7.40)

К(1^1+1^ |)

/6^•(7.41)

/(^-Dd^l+jcoJ)

Здесь F — неполный эллиптический интеграл первого рода; <»1, о)2 — корни уравнения р (ip, if*, и) = 0;

• л / 6llto2l• 1 Л 6l|W2l—6l

Ф1 = arcsin уф2 = arcsin J/ ^j^^1;

Р = I/_ М^К1 . в - arcsin 1 /ZEEEL.

V мы+ыг^ У i^K^+iora)’

v 1%1+ы'

Аппроксимирующие формулы имеют вид

(7.42)(7.42){W-> ^Л^ь; &кр-&кр^м}.

(7.42)

(7.42)

Здесь

Vt = 4(/tCt/Tc*t + I)"2;

Уь = (1-6/М2-Уь = (1-6/М2-/ arctgfM Vr(y —1)/2] у

Уь = (1-6/М2-

Уь = (1-6/М2-

м \ М Vr(v—1)/2)

Величина &кр м> определяется по формулам (7.33) или (7.35) при ф1 = 4V1I;* [4.5].

Следует обратить внимание на то, что в пограничном слое влияние сжимаемости однозначно определяется кинетическим температурным фактором или комплексом

Mi = MV7(v^1)72. (7.43)

Независимое (вернее сказать, более сложное) воздействие числа Маха и показателя адиабаты Пуассона проявляется при возникновении волн сжатия.

ПАРАМЕТРЫ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯВ НАЧАЛЕ ЗОНЫ ОТРЫВА

Оценка величины предотрывных параметров пограничного слоя может быть сделана на основе следующих условий:

у = 0, т = 0; у = 6, т == 0;

..*.(7.44)

л дтдр , . дидр. .х 1

Этих условий достаточно для вычисления коэффициентов кубиче-

ской параболы

^ ~ [ (- *у + ^-“р] (1 - ^-(7-45>

Принимая для длины пути смешения в формуле (7.8) простейшую линейную зависимость (строго говоря, относящуюся только к области z/i < у < 6), находим распределение скоростей в сечении отрыва на непроницаемой поверхности

^Й.(7.46)х V у^Й.(7.46)х V у§** х 1/2 __ г

^Й.(7.46)

х V у

^Й.(7.46)

х V у

——и = zzKpl +

/ /кр

При Не -^ оо нКр 1 -^ 0/ yY -> 0 и профиль скоростей в сечении отрыва

при у = 1 и = 1 и

Г —«4*2-(7.48)

\ О /Кр

Подставляя это значение критического формпараметра в (7.47), получаем

UKp^-^^fl-f).(7.49)

Этому профилю скоростей соответствуют следующие значения безразмерных характерных величин:

{6*р ^ 0,25; 6^ ~ 0,11; Якр = 2,2}.(7.50)

При х = 0,4 /Кр ~ —0,01.

Замечательной особенностью распределения скоростей в пред- отрывном сечении турбулентного пограничного слоя является его автомодельность относительно вязкости. Эта автомодельность, за исключением, естественно, вязкого подслоя, практически имеет место и при конечных числах Рейнольдса (рис. 7.2). При Re -> «>

Рис. 7.2. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое на непроницаемой поверхности в предотрыв- ной области течения.

8 С. С. Кутателадзе8 С. С. Кутателадзе1131131 — расчет по формуле (7.49); 2— распределение скоростей по закону и ~у^ (безградиентное течение при умеренных числах Не); з — опыты Никурадзе; 4 — опыты А. И. Леонтьева, А. Н. Обливи- на и П. Н. Романенко.

8 С. С. Кутателадзе

8 С. С. Кутателадзе

113

113

Рис. 7.3. Распределение касательных напряжений вблизи стенки в предотрыв- ной области турбулентного пограничного слоя. По опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.1 — турбулентные касательные напряжения; 2 — полное касательное напряжение.Рис. 7.3. Распределение касательных напряжений вблизи стенки в предотрыв- ной области турбулентного пограничного слоя. По опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.1 — турбулентные касательные напряжения; 2 — полное касательное напряжение.Рис. 7.4. Зависимость длины пути смешения Z+ = U^Cfl2lv от расстояния т] при различных значениях формпараметра Н по опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.Штриховая линия — Z^Vr) = 0,4.Рис. 7.4. Зависимость длины пути смешения Z+ = U^Cfl2lv от расстояния т] при различных значениях формпараметра Н по опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.Штриховая линия — Z^Vr) = 0,4.

Рис. 7.3. Распределение касательных напряжений вблизи стенки в предотрыв- ной области турбулентного пограничного слоя. По опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.

1 — турбулентные касательные напряжения; 2 — полное касательное напряжение.

Рис. 7.3. Распределение касательных напряжений вблизи стенки в предотрыв- ной области турбулентного пограничного слоя. По опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.

1 — турбулентные касательные напряжения; 2 — полное касательное напряжение.

Рис. 7.4. Зависимость длины пути смешения Z+ = U^Cfl2lv от расстояния т] при различных значениях формпараметра Н по опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.

Штриховая линия — Z^Vr) = 0,4.

Рис. 7.4. Зависимость длины пути смешения Z+ = U^Cfl2lv от расстояния т] при различных значениях формпараметра Н по опытам Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко.

Штриховая линия — Z^Vr) = 0,4.

б** _> о и

/ dU \ U ,"dx" —00 ’

\ /кр 0

т. е. с ростом числа Рейнольдса устойчивость турбулентного пограничного слоя по отношению к диффузорности течения возрастает.

Однако сильная диффузорность течения в предотрывной зоне приводит к существенным качественным изменениям в структуре турбулентного пограничного слоя, вследствие чего изменяется профиль касательных напряжений и нарушается консервативность длины пути смешения. Некоторые экспериментальные данные такого рода показаны на рис. 7.3 и 7.4.

ПЕРЕХОД К КОНЕЧНЫМ ЧИСЛАМ РЕЙНОЛЬДСА

Вопрос о применении асимптотических закономерностей в области конечных значений параметров процесса всегда важен. Если такой перенос возможен с достаточно хорошим приближением к действительности, то обычно возникают компактные и удобные расчетные методы, а также эффективные координаты для обработки экспериментальных данных. Для примера рассмотрим степень действенности предельных относительных законов трения и теплообмена при конечных числах Рейнольдса.

Необходимо выяснить, во-первых, и это главное, насколько правильна асимптотическая оценка влияния факторов ф, ф*, 6, R в реальных турбулентных течениях; во-вторых, каково количественное соответствие теоретических экспериментальных данных и можно ли

использовать предельные относительные законы трения и теплообмена в интегральных соотношениях импульсов и энергии [3.4, 4.5],

Возникает вопрос об определении структуры критерия Рейнольдса, по которому сопоставляется реальное течение с эталонным. Исходя из общих физических соображений о большей представительности внутренних масштабов процесса, в качестве характерного числа Рейнольдса следует выбрать

Re** = U6**N.(7.51)

Конечно, можно взять и толщину вытеснения 6*, однако следует принять во внимание то обстоятельство, что в интегральном уравнении импульсов этот масштаб появляется только при наличии аэродинамической кривизны (в форме симплекса Я). Кроме того, величина 6** прямо связана с переносом количества движения в пограничном слое, а следовательно, и с трением на стенке.

Отнесение физических свойств к одной или нескольким характерным температурам, казалось бы, несущественно, если вводятся явно температурные факторы. Однако это не совсем так, поскольку вид функции су (гр, гр*) при конечных значениях Не может отличаться от ее вида при Не -> <». Кроме того, при разных направлениях теплового потока подбором характерной температуры можно получить менее сильное влияние температурного фактора.

Наиболее распространенным является отнесение физических свойств к температуре невозмущенного потока:

Re** = C/6**/vo,(7.52)

или к температуре стенки:

(7.53)(7.53)Re** = [76**/vCT.

(7.53)

(7.53)

Если Тст необходимо рассчитать, удобнее использовать (7.52), поскольку величина Т^ как правило, всегда входит в условия однозначности.

Обычная формулировка теории пограничного слоя с исчезающей вязкостью позволяет ввести отчетливо поставленное первое приближение, заключающееся в том, что интегрирование в уравнении (7.10) проводится при конечных значениях нижних пределов, а эти значения берутся по стандартным условиям

{^1 = йю; ^ = ^ю}. (7.54)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример первый. Оценка влияния конечности числа Рейнольдса на воздействие фактора неизотермичности с учетом приближения (7.54). Относительный закон трения для пограничного слоя газа на непроницаемой пластине (Pr = 1, / = 0, Ъ = 0 V Re) при

arcsinarcsini|)+ ip* — 2VW-h ^*)2 — 41рi|)+ ip* — 2VW-h ^*)2 — 41рмет вид

arcsin

arcsin

i|)+ ip* — 2

VW-h ^*)2 — 41р

i|)+ ip* — 2

VW-h ^*)2 — 41р

(7.55)(7.55)Y= (ф* —l)-^!-^)-

(7.55)

(7.55)

dRex Пр**— v + -4 J 2dRex Пр**— v + -4 J 2

dRex Пр**

— v + -4 J 2

dRex Пр**

— v + -4 J 2

В двухслойной схеме изотермического пограничного слоя на непроницаемой пластине

“1 = «10 = 11,6 Vс/о/2.(7.56)

Для дозвукового течения (Pr = 1, / = О, 6 = 0, if* -^ 1 V Re) имеем Т = 4 [1 + /ip-^-l)^ ~2.(7.57)

Расчеты по этой формуле показывают, что в данном случае конечность чисел Re влияет на функцию Ч7 (if) существенно, особенно в области if < 1. Из (7.57) следует, что

+4(1 + /^)’2.(7.58)

При этом Цст < Цо и основное изменение скорости локализуется в пристенной области, т. е. м10-> 1 и соответственно T^q—^{.Практически удовлетворительные результаты получаются, если положить

mi = мюТЧС,(7.59)

где Ч^ — значение Ч1* при Re -^ °°.

Влияние числа Рейнольдса на функцию Ч7 (if*) при обтекании адиабатической пластины (if = if*) видно из рис. 7.5, где приведены данные расчета по формуле (7.55) и осредненные данные более 500 измерений. Имеет место полное качественное и неплохое количественное согласие этой относительно простой теоретической модели и эксперимента.

Пример второй. Соотношение между коэффициентами трения на проницаемой пластине, определенными по числу Re** и числу Rex, построенному по текущему расстоянию от передней кромки пластины х. Далее используем две формы записи относительного коэффициента трения:

-М ;чг = (_2_.(7.60)

^0/Re**=idem\ ^о / Rex=idem

Таким образом, значения действительного и эталонного коэффициентов трения в каждом из этих выражений определяются соответственно при одинаковых значениях Re** и Re*.

Интегральное соотношение импульсов при / = 0 можно привести к виду

^^ = (Чг + Ь)С/0/2.(7.61)

Подставляя сюда значение V при р = 1 и Re -► °°, имеем dRe** (. . Ъ V ci

Рис. 7.5. Влияние числа Re** на относительный закон трения при обтекании непроницаемой пластины газом.

Re**: 1 — 103; 2 — 4-Ю3; 3 — 1,4-Ю4; 4 — 106; 5 — оо.

Принимая для cf известную логарифмическую зависимость

]/2/с^ = 2,5 In Re** + 3,8(7.63)

и интегрируя уравнение (7.62) при Ъ = const, получаем (7 \2

1 + ^ J (Rex - Re$Kp) = Re** (1,56 ln2Re** + 1,88 InRe** + 1,72) - — Re** (1,56 ln2Re** + 1,88 InRe** + 1,72).(7.64)

Здесь ReXKp и Re*p— значения соответствующих чисел Рейнольдса в сечении начала турбулентного пограничного слоя. При Ъ = —4, независимо от величины Rex, толщина потери импульса становится равной критическому значению при возникновении турбулентности, т. е. начинается ламинаризация пограничного слоя под влиянием отсоса через проницаемую стенку. Таким образом, рассматриваемое течение существует в области 4 > Ъ > —4. В действительности эти прямолинейные суждения недостаточно точны.

Более наглядно для физического анализа и удобно с вычислительной точки зрения применение степенного закона трения

е/о/2 = 5/Re**m,(7.65)

кусочно аппроксимирующего (7.61).

Для однородного турбулентного пограничного слоя, начинающегося с передней кромки пластины (я = О, 6 = 0), при Ъ = const получим

Re**1+m = 5 (1 + m) (V + &) Rex.(7.66)

Рис. 7.7. Сопоставление предельного закона трения на проницаемой пластине с экспериментальными данными для неоднородного изотермического пограничного слоя.

1 — опыты Хаккера; 2 — опыты Лидона и Бартла, Миклея и Дэвиса; 3 — опыты Паппаса и Окуно; 4 — опыты П. Н. Романенко и В. Н. Харченко.

Отсюда следует, что

(7.67)(7.67)

(7.67)

(7.67)

Здесь с/0 — значение коэффициента трения на непроницаемой пластине при заданном значении Rex;5T = S1^14-™) (1 + т^ х;

= тп/(1 + ту

При сопоставлении коэффициентов трения по Rex на проницаемой и непроницаемой пластине приходим к параметрам

$ = 6(^ + 6) ^ Ф = ЧП)/ЬУ(7.68)

Подставляя сюда значение V при Re °°, получаем следующие зависимости, строго говоря, справедливые при больших числах Рейнольдса:

Из этих формул следует, что функция W (&) имеет асимптоту в области отсоса, а именно

{6 -4, ^ -<» ip -> -6}. (7.70)

На рис. 7.6 показана такая зависимость, построенная по предельному закону трения при т^ = 0,2, что соответствует области умеренных чисел Рейнольдса турбулентного пограничного слоя.

На рис. 7.7 дано прямое сопоставление теории с экспериментом по относительному закону трения при вдуве и отсосе в изотермическом пограничном слое.

ВЫРОЖДЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯНА АДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Примером другого типа асимптотического вырождения некоторых параметров пограничного слоя при больших числах Рейнольдса является деформация поля температур в тепловом пограничном слое, набегающем на адиабатическую поверхность. Схема такого течения показана на рис. 7.8.

В области формирования теплового пограничного слоя имеем условия

У = о, g = gCT, 8Tj8y = дстДП

у = бт, q = 0, 8Т[ду = 0. j(Л71)

В области адиабатической стенки (ж > х^ соответствующие условия имеют вид

(7.72)(7.72)у = 0, 7 = 0, дТ/ду = 0; |У = 6Т, q = 0, дТ/ду = 0. J

(7.72)

(7.72)

Таким образом, возникает деформация профиля температур, обусловленная изменением условий на поверхности тела. Поскольку

Рис. 7.8. Схема тепловой завесы за участком теплообмена.

разом:разом:xt<x-^oo; Т Тст -> То.xt<x-^oo; Т Тст -> То.(7.73)(7.73)£** От£** От(7.75)(7.75)ОТаким образом, приОТаким образом, придвижедвиже

разом:

разом:

xt<x-^oo; Т Тст -> То.

xt<x-^oo; Т Тст -> То.

(7.73)

(7.73)

£** От

£** От

(7.75)

(7.75)

О

Таким образом, при

О

Таким образом, при

движе

движе

Таблица 7.1. Значения д** на непро- теплообмен на стенке от- ницаемой адиабатической пластинеcyTCTByeT, В ПОГраНИЧНОМ

Условия

Ciiuc и а чип о. и лим ПЛРА.ТТТРТАЯ ППТТТАКТ ПОТТРТТ-

1/7

1/10

1/12

0(не->оо) ствие турбулентной тепло-

f = 0 <xi

1Ж-)- ОО

0,097

0,875

0,076

0,910

0,066

0,925

проводности и подсоса 0массы из внешнего потока.

ТАКОМ УСЛОВИИ ПАЗВИ-

/ = / х Х1

3X оо

зических сво]

0,058 0,666

йств

0,041 0,666

средь

0,035 0,666

t (р,

0тие динамического погра-

0.666ничного слоя не изменя

ется при постоянстве фи- 11) . Поэтому дальнейшее развитие

теплового пограничного слоя локализуется в границах динамического слоя (при х > х^ 6Т ~ 6). Наибольшие тепловые потоки и наиболее высокие коэффициенты турбулентной теплопроводности локализованы в окрестности вязкого подслоя, т. е. в зоне наибольшей деформации теплового режима, вызванной набеганием сформировавшегося теплового пограничного слоя на адиабатическую стенку, вследствие чего область с дТ/ду ~ 0 интенсивно размывается от стенки в глубь потока (расширяется зона с Т » Т^т)- Одно

временно присоединение массы из внешнего потока к развивающемуся динамическому пограничному слою приводит к постепенному выравниванию температуры этого слоя, так что при х -> оо ^ -> То. Механизм выравнивания температуры в окрестности адиабатической поверхности можно записать символически следующим об

Толщина потери энергии при постоянных физических свойствах пограничного слоя определяется формулой

1 с** От

—_0 4

где 6Т** — 6т*/6т; Ут = У/6т.

Механизму выравнивания

толщи-толщи-предельное значение ны потери энергии

толщи-

толщи-

нии теплового пограничного

Рис. 7.9. Деформация профиля температур в пограничном слое за пористым участком. Опыты Нишиваки, Хирата, Цупшда.

xi=52 мм; 17=6,5 м/с; UCT =0,61 м/с;

слоя по адиабатической поверхности происходит размывание толщины потери энергии по толщине динамического пограничного слоя. О масштабе такого эффекта можно судить по следующему примеру при условиях Рг = 1, бт = б, р = 1:

/ = 0, и = у71, М = уи,

ж<х =”• ^<^->00,L; (7.76)

/ = /кр, й = yv\ \Т = у”,

•6Т = 9 + 6^; ^<^">00, 6т ->-у.(7-77)

В табл. 7.1 приведены значения 6** для различных значений /г.

Как видно, относительная толщина потери энергии на адиабатической поверхности, расположенной за зоной теплообмена, при х -> оо становится близкой к единице. На рис. 7.9 представлены результаты измерений деформации профиля температур при обтекании адиабатической пластины набегающим турбулентным тепловым пограничным слоем. Качественно картина вполне отвечает условиям (7.73). Максимальная деформация профиля температур в этих опытах соответствовала увеличению 6Т в 6 раз при теоретическом пределе, равном примерно 9.

АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКИПРИ ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЕ

Т^^СТ qТст-7*0Т^^СТ qТст-7*0(7.78)(7.78)Рассмотрим дозвуковое обтекание адиабатической непроницаемой пластины набегающим на нее тепловым пограничным слоем среды с постоянными физическими свойствами. В таком простейшем случае интегральное соотношение энергии (4.41) примет вид

Т^^СТ q

Тст-7*0

Т^^СТ q

Тст-7*0

(7.78)

(7.78)

ИГ" +

и соответственно при х > х^

дГ (Т’ет - го) = const.(7.79)

Константа определяется по параметрам пограничного слоя в сечении XV гргрс * *

2 СТ1 О°Н

Т т = 1 СТ11 оОт

(Индексом 1 обозначены параметры в сечении х = х^ т. е. в начале адиабатического участка.)

Температуру Тст, определяемую этой формулой, будем называть адиабатической температурой стенки при тепловой завесе и в дальнейшем обозначать Уст- В теории тепловых завес эта величина выполняет функцию, аналогичную температуре торможения в теории сверхзвукового пограничного слоя газа [4.5].

Рис. 7.10. Эффективность тепловой завесы на адиабатической пластине за участком теплообмена.

1—расчет по формуле (7.84). Опыты Э. П. Волчкова и др.: 2 — 1,2 < ф < 1,4, 14 < U < 40 м/с; 3 —

4 < ф < 6,2, U = 76 м/с.

Используя результаты предыдущего параграфа, можем написать, что в рассматриваемых условиях

ГСТ1 - Т0 ^^^^^ 1 + 2п‘ 6** ’

S

(7.81)(7.81)**с**

(7.81)

(7.81)

.. х и оХ1 — толщина динамического пограничного слоя в сечениях X > ^! И Xv

stk* - к»'stk* - к»'х->оо gх->оо g(7.82)(7.83)(7.82)(7.83)Для тепловой завесы, создаваемой путем охлаждения (или нагрева) участка от х = 0 до х = ж4 непроницаемой пластины, при условии, что турбулентный динамический пограничный слой формируется с кромки обогреваемого участка и далее развивается монотонно на всех участках пластины, при п = 1/7 справедливы соотношения

stk* - к»'

stk* - к»'

х->оо g

х->оо g

(7.82)

(7.83)

(7.82)

(7.83)

где 6 — отношение температур в (7.80). Эту величину обычно называют эффективностью тепловой завесы.

В турбулентном пограничном слое интенсивность теплообмена очень велика, и предельное соотношение (7.81) реализуется на сравнительно малом расстоянии от сечения xv Поэтому для многих практических целей можно пользоваться простой интерполяционной формулой

001 + 15,51 + 15,5X — х^X — х^-0,8-0,8(7.84)(7.84)

0

0

1 + 15,5

1 + 15,5

X — х^

X — х^

-0,8

-0,8

(7.84)

(7.84)

которая при х > xt переходит в (7.83). Такого типа интерполяция оказывается эффективной и для более сложных течений.

На рис. 7.10 показано сопоставление расчета по формуле (7.84) с опытными данными.

7.12. ТЕПЛОВАЯ ЗАВЕСА НА НЕАДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Если предварительно сформированный тепловой пограничный слой набегает на поверхность с заданным тепловым потоком, так что ^ст|х<х1=#^ст|х>х1,то говорят о тепловой завесе на неадиабатической поверхности.

Вычтем из уравнения теплопереноса для случая qCT ¥= 0 это же уравнение, записанное для адиабатической поверхности. Имеем

(7 - 7*) + „^ (7 - 7*),(7-85)

где индексом * обозначены параметры для случая qCT = 0. Это уравнение приводится к обычному виду интегрального соотношения энергии, если толщину потери энергии определить как

бт

Т* — Т п-т-_т- й, 1 ст 2 стТ* — Т п-т-_т- й, 1 ст 2 ст(7.86)(7.86)~** Г рц дт

Т* — Т п

-т-_т- й, 1 ст 2 ст

Т* — Т п

-т-_т- й, 1 ст 2 ст

(7.86)

(7.86)

7ст7сто и а коэффициент теплоотдачи как

7ст

7ст

(7.87)

т. е. здесь имеют место формально те же преобразования, что и при анализе сверхзвуковых течений.

На основе принципов, изложенных выше, разработаны инженерные методы расчета всех основных типов тепловых завес [3.4, 4.4, 4.5, 7.1].

ЛИТЕРАТУРА

Волчков Э. П. Пристенные газовые завесы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.— 239 с.

Девис М. Прикладной нестандартный анализ.— М.: Мир, 1980.— 236 с.

Глава 8

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ СОСТОЯНИЙ И СТРУКТУР

Динамика газожидкостных систем и перенос в них энергии и вещества, особенно при фазовых переходах, являются, пожалуй, наиболее сложными проблемами механики и термокинетики текучих сред. Следующие обстоятельства здесь наиболее существенны:

556677пОО О 000° о£пОО О 000° о£8899

5

5

6

6

7

7

пОО О 00

0° о£

пОО О 00

0° о£

8

8

9

9

Рис. 8.1. Структуры газожидкостного потока в вертикальной испарительной трубе со смачиваемой стенкой.

1 — пар; 2 — капли; 3 — дисперсно-кольцевая; 4 — кольцевая; 5 — снарядно-кольцевая; 6 — снарядная; 7 — пузырьково-снарядная; 8 — пузырьковая; 9 — жидкость.

многообразие динамических структур и переменность спонтанно возникающих образований (пузырей,, капель, пленок, струй) в пространстве и времени;

волновые эффекты на границах раздела фаз и собственно в смеси, связанные с проявлением поверхностного натяжения и существенной зависимостью скорости прохождения сигнала и его деформаций от концентрации компонентов и структуры их элементов;

термогидродинамика первичных актов зарождения новой фазы и распределение центров ее образования на границе и внутри потока;

возможность возникновения состояний, существенно метастабильных в термодинамическом смысле;

усложнение турбулентных переносов, связанных с особенностями течения в элементах каждой из фаз и так называемой межфазной турбулентностью;

возможность квазитурбулентных состояний ламинарного несущего потока вследствие осцилляций дисперсных элементов другой фазы.

На рис. 8.1 показаны схемы некоторых основных структур газожидкостной смеси, текущей в вертикальной трубе. На рис. 8.2 приведены распределения касательных напряжений по окружности и длине горизонтальной трубы при различных соотношениях силы тяжести и динамического напора. Если к этому добавить, что ламинарное и турбулентное течения могут существовать попарно и раздельно в каждой из фаз, то структурная сложность таких систем становится совершенно очевидной.

Для примера квазитурбулентности несущей фазы при заведомо докритических числах Рейнольдса рассмотрим течение жидкости с небольшим количеством газа, диспергированного в ней в виде мелких пузырьков (эту ситуацию иногда называют задачей о шампанском). На рис. 8.3 проиллюстрирован закон трения для гомогенной среды и для среды с мелкими пузырями. Отчетливо видно, что в области турбулентного течения жидкости влияние газа при небольших его концентрациях практически не сказывается на общем гидродинамическом сопротивлении. В области же ламинарного течения это влияние проявляется весьма сильно.

При структурных переходах в газожидкостных системах возможны гистерезисные явления. Так, например, критический тепловой поток дкр 1, при котором пузырьковый режим кипения сменяется пленочным, в условиях свободной конвекции больше критического теплового потока обратного перехода qKP 2. Вследствие этого в области #кр 2 < q < ^кР 1 могут сосуществовать на соседних участках поверхности нагрева* оба режима кипения (рис. 8.4).

Рис. 8.2. Распределение сил трения на внутренней стенке горизонтальной трубы D = 19 мм при течении газожидкостных потоков с разным расходным га- зоеодержанием <£>. Приведенная скорость UQ = 0,1 м/с. Деформация распределения сил локального трения коррелирует с расслоением потока под действием силы тяжести.

На рис. 8.5 показана осцилляция пузыря при его отрыве от отверстия, из которого происходит истечение газа в жидкость. Эти осцилляции связаны с взаимодействием сил поверхностного натяжения и сил инерции.

Смачиваемость поверхности, обтекаемой газожидкостной смесью, может существенно влиять на структуру течения. Так, при

Рис. 8.3. Зависимость £ (Re) для потока жидкости с мелкими газовыми пузырями в вертикальной трубе.

I. II — закон сопротивления однофазного потока в ламинарном и турбулентном режимах; 1 — ф = 0; 2 — ф = 0,005; 3 — ф = 0,025; 4 — ф = 0,045; 5 — ф = 0,07.

Рис. 8.4. Сосуществование пузырькового и пленочного режимов на поверхности нагрева в области тепловых потоков дКр 2 < ^ < ^кр i (справа — пленочное кипение, слева — пузырьковое).

Рис. 8.5. Деформация (осцилляция) газового пузыря при отрыве от отверстия, из которого в жидкость вдувался газ.

кипении ртути в стеклянной трубе ртутный пар движется вдоль стенки, а жидкая ртуть образует приосевую струю. Аналогичная картина наблюдается при пленочном кипении и других жидкостей.

Наоборот, когда стенка хорошо смачивается, вдоль нее всегда движется жидкий слой, в который газовые пузыри из ядра течения не проникают.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ГРАНИЦЕ

РАЗДЕЛА ФАЗ

Для уравнений движения и теп

лопроводности, написанных попарно

для каждой из фазовых областей, необходимо задать условия, связывающие поля давлений, скоростей и температур по обеим сторонам границы раздела. Это то, что в главе 2 было названо неуправляемыми краевыми условиями.

Поскольку нормальные напряжения о направлены перпендикулярно касательным напряжениям т, на границе раздела фаз имеют место два силовых взаимодействия

{^гр 4" ^гр — 0» тгр 4" тгр — 0}.

Из уравнений Навье — Стокса следует, что

Оу = — Р —4 и div« + 2н-£;

(ди , ди \

Тх» = К'ду + "to/;

/dw , dv\

т^ = ^Ьг+ W

(8.1)(8.1)(8.2)(8.2)Здесь у — нормаль к плоскости х^ касательной к поверхности раздела фаз в данной ее точке.

(8.1)

(8.1)

(8.2)

(8.2)

Условию отсутствия скольжения на границе раздела соответствует равенство компонент скоростей

^ххгр ^ххт^*

(8.3)(8.3)Нормальная компонента определяется массовой скоростью фазового

(8.3)

(8.3)

перехода

{р'М-г/гр = ±/гр? Р^угр = + /гр] •(8.4)

При этом меняется количество движения потока вещества /гр и возникает сила, нормальная к поверхности раздела:

Р* = /гр (^угр Му Гр) = р,р^ (р р )•(8-5)

Обычно этим эффектом можно пренебречь.

Тепловое взаимодействие определяется сохранением теплового потока, пересекающего границу раздела, и непрерывностью поля температур

р ГР — 1 гр, Л ) — г7грI Яг/ Г

(\ /гр\ /гр)

где г — скрытая теплота фазового перехода первого рода.

При фазовом переходе величина ^гр является температурой насыщения, соответствующей термодинамическим условиям в данной точке границы раздела.

Криволинейность поверхности раздела и температурный градиент вызывают проявление поверхностного натяжения, приводящего к скачку давления

Ргр — Prp = CF^-^^ ^~ ^(8-7)

изменению давления насыщения

Г-idem,(8.8)

и к касательному напряжению

Здесь Rv и Rz — главные радиусы кривизны в данной точке границы раздела фаз.

В сферическом паровом пузыре (7?! = Rz = R) равновесная температура насыщения

+(«л»)

тде

tr^-tn(8Л1)

dp гр Рх

Отсюда минимальный радиус возникающего пузыря (радиус зародыша)

^п = -^.(8.12)

В этих формулах: Т" — температура насыщения над плоской гра-

Рис. 8.6. Функции химического потенциала жидкой и паровой фаз, а — р = const; б — Г = = const; аа'— след поверхности химического потенциала жидкости цх; ЬЪ* — след поверхности химического потенциала пара цхРис. 8.6. Функции химического потенциала жидкой и паровой фаз, а — р = const; б — Г = = const; аа'— след поверхности химического потенциала жидкости цх; ЬЪ* — след поверхности химического потенциала пара цх

Рис. 8.6. Функции химического потенциала жидкой и паровой фаз, а — р = const; б — Г = = const; аа'— след поверхности химического потен

циала жидкости цх; ЬЪ* — след поверхности химического потенциала пара цх

Рис. 8.6. Функции химического потенциала жидкой и паровой фаз, а — р = const; б — Г = = const; аа'— след поверхности химического потен

циала жидкости цх; ЬЪ* — след поверхности химического потенциала пара цх

ницей раздела фаз; о — коэффициент поверхностного натяжения; ^Т — перегрев (степень метастабильности) первичной фазы.

Верхний температурный предел стабильного существования жидкости при данном давлении графически представлен на рис. 8.6, а. Точка пересечения зависимостей химического потенциала для жидкости ^(7) и пара ^(Т1) является следом линии насыщения в устойчивом состоянии парожидкостной системы (бинодаль).

Параметры на участке за характеризуют стабильное, а на участке за' — метастабильное состояние жидкости, устойчивое при данном давлении до некоторого максимального перегрева. Граница устойчивых и неустойчивых состояний называется спинодалью.

Возникновение колебаний в газожидкостной системе приводит к необходимости учитывать скачок давлений (8.7) так, чтобы можно было выделить наиболее отчетливо условия однозначности. Например, когда при высоких частотах процесс в сферическом осциллирующем пузырьке адиабатичен, а длина волны много меньше радиуса пузырька, скорость звука определится из формулы

(8.13)(8.13)"* др” "• 2о

(8.13)

(8.13)

a*R 1^" — °* + ~^R‘

При Х^ R возникает акустическо-капиллярное взаимодействие, и скорость звука в газе пузырька запишется так:

(8.14)(8.14)/// 1 p"R\ —1/2

(8.14)

(8.14)

“»R = ( — + —

Здесь а* — скорость звука в неограниченном объеме газа (изотермическая или адиабатическая — в зависимости от условий прохождения сигнала). Следует обратить внимание на то обстоятельство, что большая теплоемкость жидкости создает квазиизотермические условия для осцилляций пузырьков газа.

В определенных условиях образование новой фазы возможно в объеме предшествующей фазы, перешедшей в метастабильное состояние. Примером может служить вскипание жидкости при сильном сбросе давления или возникновение жидких кластеров в струе разреженного газа. Вероятность образования устойчивой фазы в мета- стабильной фазе определяется формулой Больцмана

129129ш-ехр^-^У (8.15)

129

129

9 С. С. Кутателадзе

Здесь Лщщ — минимальная работа образования зародыша; к — постоянная Больцмана.

Для зародыша радиуса R

Лщщ =(4/3)лоД2.(8.16)

Более подробно эти вопросы рассмотрены в [8.3—8.5].

ВНУТРЕННИЕ МАСШТАБЫ И КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

В анализе систем, имеющих границы раздела фаз, появляются внутренние характерные масштабы, связанные с взаимодействием внешних полей и поверхностных эффектов. В газожидкостных потоках важнейшая характеристика этих эффектов — коэффициент поверхностного натяжения о, Н/м. Основные гидродинамические взаимодействия поверхностного натяжения возникают с гравитационными силами, обусловленными разностью плотностей фаз (сила Архимеда), с мерой g(p' —р"), Па/м, динамическим напором с мерой р?72, Па, и вязким трением, мерой которого является динамическая вязкость р, Па • с, или кинематическая вязкость v, м2/с.

При наличии свободных границ возникают также локальные взаимодействия подъемной (архимедовой) силы и вязкого трения. Из этих величин можно образовать несколько масштабов, существенных в анализе термогидродинамики газожидкостных систем.

Линейный масштаб вязкогравитационного взаимодействия в жидкой фазе можно представить в виде

/ ,2 \1/з

8^= i) •<8Л7>

\ ?Др /

Линейный масштаб капиллярно-гравитационного взаимодействия имеет вид постоянной Лапласа

/ п W2

^=Ш •<8л8>

Этой величине соответствует масштаб скорости распространения капиллярно-гравитационных волн

„ J(£WpYA _ ( ^ YM/R A Q1

°8-А-~/ х"?-) *^9ЛУ'

Линейный масштаб капиллярно-динамического взаимодействия можно записать в форме

6аи = -^г.(8.20)

Под термином «капиллярный» здесь подразумеваются любые проявления сил поверхностного натяжения жидкости.

Вводя в классические критерии подобия внутренние линейныв масштабы, можно образовать новые критерии, не зависимые от внешних геометрических характеристик потока. С такой операцией мы уже имели дело в теории пограничного слоя при образовании

t^uc. 8.7. Закон теплоотдачи при пленочной конденсации чистых насыщенных паров"воды (1, 2), хладона-21 (3, 4) и хладона-12 (5) при медленном движении паровой фазы. Экспериментальные данные С. С. Кутателадзе, Н. В. Зозули, И. И. Гогонина и др.

а — вертикальная труба; б — пакет горизонтальных труб.

чисел Рейнольдса типа Re**. Существенно, что и в данном случае результат получается нетривиальным и приводит к качественно новым безразмерным параметрам.

Так, для гравитационно-вязкого течения жидкой пленки число Нуссельта удобно писать в форме

Г '2 ,11/з

КиМЫМ ’<8-21>

т. е. строить его по внутреннему линейному масштабу 6^.

Число Рейнольдса жидкой пленки, построенное по средней скорости течения и толщине, также оказывается автомодельным относительно размеров стенки:

Rera= Aj^y-^.(8.22)

О

Здесь Gi — массовый расход жидкости через поперечное сечение пленки шириной в 1 м, кг/(м-с). На рис. 8.7 в этих координатах показаны экспериментальные данные о теплоотдаче при пленочной конденсации чистых насыщенных паров некоторых жидкостей. Как видно, обобщение имеет место во всем диапазоне возможных режимов стекания пленки конденсата: ламинарном с гладкой границей раздела (Кепл < 5), ламинарно-волновом (5 < Кепл < 500), развитом турбулентном (Кепл>500). При этом влияние геометрии поверхности охлаждения и других параметров невелико, т. е. зависимость Nu* (Кепл) действительно отражает основной закон пленочной конденсации неметаллических паров.

Вводя линейный масштаб 60g в число Архимеда, получим комплекс

Аг* =Аг* =р'1/2о3/2р'1/2о3/2(A [g(l — р'7р')]1/2(A [g(l — р'7р')]1/2(8.23)(8.23)

Аг* =

Аг* =

р'1/2о3/2

р'1/2о3/2

(A [g(l — р'7р')]1/2

(A [g(l — р'7р')]1/2

(8.23)

(8.23)

характеризующий взаимодействие капиллярных, вязких и гравита- ционных сил внутри структуры газожидкостной смеси, в частности их влияние на возникновение и развитие гравитационно-капилляр* ных волн в вязкой жидкости.

Этот критерий можно также трактовать как меру соотношения свободно возникающих в потоке образований порядка bog (каплиг пузыри, пленки) с масштабом локального вязкого влияния, оцененного по масштабу скорости распространения капиллярно-гравитационных возмущений uag

АгУ2 - uog6ogfV. (8.24}

Выражение (8.24) можно рассматривать и как локальное числа Рейнольдса для капиллярно-гравитационно-вязкого взаимодействия.

Введя в число Нуссельта линейный масштаб капиллярно-гравитационного взаимодействия, получим еще одну его форму:

Nu* = T"Nu* = T"О 1^2 g (Р' - Р") J ’О 1^2 g (Р' - Р") J ’(8.25)(8.25)

Nu* = T"

Nu* = T"

О 1^2 g (Р' - Р") J ’

О 1^2 g (Р' - Р") J ’

(8.25)

(8.25)

Это число подобия оказывается эффективным при рассмотрении процесса пузырькового барботажа и кипения в условиях свободной конвекции, когда локальные масштабы движения жидкости определяются размерами возникающих на стенке газовых или паровых пузырей, которые в свою очередь пропорциональны 6ag.

Симплекс

(8.26)(8.26)6Ou = 6ou/L'<"\

(8.26)

(8.26)

где L^"'1 — характерный размер жидкого или газового образования^ характеризует, в частности, устойчивость такого образования. Так, например, дробление капли невязкой жидкости радиуса Ro в потока газа происходит в интервале обратных значений этого критерия: 7>р"С7"Х/^>5.

Введя в (8.26) вместо L4"' внутренний линейный масштаб 60g> можно получить критерии

к — ]/" 6og,6(5u —к — ]/" 6og,6(5u —[ag(p'-p")l1/4’[ag(p'-p")l1/4’P'V%)[ag (р' — р")]1/4’P'V%)[ag (р' — р")]1/4’(8.27)(8.27)

к — ]/" 6og,6(5u —

к — ]/" 6og,6(5u —

[ag(p'-p")l1/4’

[ag(p'-p")l1/4’

P'V%)[ag (р' — р")]1/4’

P'V%)[ag (р' — р")]1/4’

(8.27)

(8.27)

В первом из критериев (8.27) масштаб динамического напора взят по параметрам легкой фазы; во втором — по параметрам тяжелой фазы. Возможны ситуации (например, барботаж жидкости г$зом)г когда в качестве масштаба динамического напора выступает величина р^"2 или р"1Г\

Оба эти числа подобия характеризуют локальную устойчивость газожидкостной системы при динамическом и капиллярно-гравитационном взаимодействии.

В частности, условие

k" = const (8.28)

является в первом приближении критерием эффекта перехода пу-

зырькового кипения невязкой жидкости в пленочное кипение или эффекта оттеснения невязкой жидкости от микропористой поверхности при барботаже.

В дальнейшем первый из критериев (8.27), как правило, будет записываться без индекса.

Из членов уравнения (8.13), введя вместо радиуса R линейный масштаб 6agl можно образовать критерий

Кр =Кр =ррVag (Р' — р")’Vag (Р' — р")’(8.29)(8.29)

Кр =

Кр =

р

р

Vag (Р' — р")’

Vag (Р' — р")’

(8.29)

(8.29)

являющийся локальной мерой влияния капиллярного давления.

Из членов уравнения (8.10) можно образовать критерий начальной метастабильности закипающей жидкости

(8.30)(8.30)(Гст0-Г')гр^

(8.30)

(8.30)

т„о -

Здесь Тст о — температура стенки до возникновения паровых пузырей (первоначальный максимум перегрева жидкости) на микровпадине радиуса 6г-.

Генерация на стенке новой фазы в дискретной форме (например, пузырьковый барботаж, пузырьковое кипение, капельная конденсация) создает поток импульса, пропорциональный массовой скорости /ст и характеризуемый линейным масштабом 6^. Соответственно можно сконструировать внутренние критерии подобия типа

Re* =; Ре* = /с^с'Д'.(8.31)

При кипении

/ст = д/г»(8.32)

где q — плотность теплового потока на стенке, Вт/м2, аг— скрытая теплота парообразования, Дж/кг.

КРИТЕРИЙ КАПИЛЛЯРНО-АКУСТИЧЕСКИХВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

В некоторых ситуациях наблюдаются эффекты, связанные с капиллярно-акустическими взаимодействиями в газожидкостных потоках с малыми скоростями осредненного движения. Проиллюстрируем это на примере экспериментального изучения теплообмена при развитом пузырьковом барботаже жидкости газом, проходящим через микропористую поверхность. В данном случае вариации пороз- ности поверхности уже не сказываются на качественной картине процесса и мало влияют на количественные результаты.

На рис. 8.8 показано типичное изменение коэффициента теплоотдачи микропористой поверхности нагрева в зависимости от скорости и давления газа. При этом плотность теплового потока и скорость истечения газа в жидкость отнесены к полной поверхности микропористой пластины.

Рис. 8.8. Зависимость аф,г^ при барботаже воды газом (Г« « 280 К).

I серия, вдув азота, р, кПа: 1 —100; 2 — 590; 3 — 1570; II серия, р=100 кПа; 4 — водород; 5 — гелий; 6 — аргон.

Д1 V2 +3 А4 v5 ^6 07 08 99 D1O ■ 11 л12 013 >14

Рис. 8.9. Барботаж воды разными газами через микропористуюпластину.

Пористость Ф1 = 0,2, давление р, МПа, при вдуве водорода: 1— 0,1, 2—0,4, 3— 0,6, 4— 2,0; гелия: 5— 0,1, 6 — 0,4; азота: 7— 0,1, 3 — 0,6, 9 —1,6; аргона: 10 — 0,1, 11 — 0,6, 12— 1,6; ф1 = 0,13, р = 0,1 МПа, вдув ар-гона — 13 и азота — 14.

Как видно, и увеличение скорости барботажа, и повышение давления газа приводят к существенному возрастанию интенсивности теплообмена. Следует обратить особое внимание на то, что в I серии опытов (с азотом) все физические свойства жидкости и газа оставались постоянными, за исключением плотности азота. Последняя менялась прямо пропорционально давлению, поскольку опыты велись при одной и той же температуре, близкой к точке замерзания воды, дабы исключить влияние испарения.

Во II серии опытов — с разными газами, но при постоянных давлении и температуре — плотность барботирующего газа менялась прямо пропорционально его молекулярной массе. Следовательно, переход от водорода с молекулярной массой Мт = 2 к аргону с Мт = 40 эквивалентен воздействию на плотность 20-кратного изме-

нения давления. Тем не менее эксперименты не обнаруживают сколько-нибудь заметного влияния молекулярной массы газа в опытах с одной и той же жидкостью. Это, несомненно, сильный результат, требующий специального рассмотрения.

На рис. 8.9 данные всех опытов с разными газами при переменных давлениях представлены в виде зависимости а(р£7") и образуют общую закономерность. Этот результат может быть истолкован как влияние волновых эффектов, возникающих в газожидкостном пристенном слое. Действительно, при изменении молекулярной массы газа существенно меняются плотность и скорость звука. Последняя пропорциональна корню квадратному из давления. Явное присутствие давления в этих экспериментах как обобщающего параметра и неравноправность влияния изменения плотности барботирующего газа за счет давления и молекулярной массы приводят к мысли о необходимости ввести в условия однозначности скорость звука в газовой фазе смеси.

Возникает вопрос, с каким другим масштабом скорости, имеющим место в рассматриваемом процессе, надо сопоставить скорость звука. Проявление обычных эффектов сжимаемости здесь исключено, так как скорости барботажа на два-три порядка меньше скорости звука. Остается внутренний масштаб uQg1 позволяющий образовать критерий подобия типа числа Маха

М* = Mag = (goAp)/4-^^j . (8.33)

Здесь п — показатель политропы изменения состояния осциллирующего газового образования в смеси. При низкочастотных колебаниях процесс вследствие большой теплоемкости жидкой фазы приближается к изотермическому и п-> 1; при высокочастотных колебаниях процесс приближается к адиабатическому и п-> у = Ср/су. Об этом обстоятельстве уже упоминалось при рассмотрении формул (8.13) и (8.14). Влияет на степень политропичности и теплопроводность газовых включений.

В вынужденном потоке, когда ролью ускорения можно пренебречь, капиллярно-акустическое взаимодействие можно характеризовать комплексом .

X Маи = Р^Ь/а - We/M?, (8.34) т. е. оно зависит от соотношения соответствующим образом запи-

*

10°г

6 -

ЗНО"1

2-Ю"1 4 7 10° 24

Ar.•/0~4

Рис. 8.11. Осредненная зависимость Nu* (Аг*) по данным рис. 8.10 для об- ? 1Qi 2-ю2 ласти> квазиавтомодельной относительно критерия К*.

санных чисел Вебера We = ^'U'^Llc и Маха М = W'la^ в данном процессе.

Поэтому величина Mag, как более индивидуализированная, обозначена в (8.33) также индексом *, принятым для наиболее характерных чисел подобия газожидкостных систем.

При характерном размере пористой поверхности L > bag интенсивность теплообмена при барботаже автомодельна относительно геометрических размеров поверхности нагрева и определяется только внутренними масштабами, что позволяет отыскивать соответствующую автомодельную закономерность в виде

Nu* = / (Рг; Аг*; Ре*; М*).(8.35)

Из экспериментально полученной однозначной зависимости (при прочих равных условиях) коэффициента теплоотдачи от произведения давления на скорость барботажа следует, что в данном случае реализуется воздействие комбинированного критерия подобия

V ^е* ^ ^'Р/о О£\

На рис. 8.10 приведено обобщение экспериментальных данных по теплообмену при развитом пузырьковом барботаже в условиях свободной конвекции над микропористой горизонтальной плитой. Отчетливо видны основная зависимость (левая логарифмическая прямая)

Nu*~K£7, (8.37) автомодельная относительно вязкости, область, квазиавтомодельная относительно динамических параметров, и замыкающая правая ветвь обобщения, снова практически автомодельная относительно вязкости. Смысл последней ветви требует специального рассмотрения, выходящего за рамки этой книги.

На рис. 8.11 приведена зависимость Nu* (8.21) от Аг* по ос- редненным данным для области, квазиавтомодельной относительно комплекса К*. Замечательно, что в первом приближении и здесь выполняется условие <Nu*> = const, как то имеет место и в квазиавтомодельной области закона пленочной конденсации на рис. 8.7.

ВЛИЯНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

Специфическим термогидродинамическим критерием подобия, отражающим фазовый переход первого рода, является критерий

(8.38)

где т — теплота фазового перехода; 1й — характерная энтальпия рассматриваемой фазы (например, значение i при Т = Тст или Т = Го); г" — энтальпия насыщения.

Как уже говорилось в главе 2, этот критерий может проявляться и как чисто гидродинамическая характеристика, и как характеристика чисто термическая. Так, например, теплоотдача при пленочной конденсации с невозмущенной поверхностью раздела фаз (малые числа Кепл) определяется формулой Нуссельта

sp' (р' — Р")sp' (р' — Р")с^Тс^Т4р/ Мх4р/ Мх(8.39)(8.39)

sp' (р' — Р")

sp' (р' — Р")

с^Т

с^Т

4р/ Мх

4р/ Мх

(8.39)

(8.39)

Здесь М? = Т" — Гст — температурный напор. При этом предполагается, что конденсация происходит на вертикальной стенке, температуры насыщения и стенки не меняются вдоль течения, пар насыщенный, без примесей, практически неподвижный. Множитель г + -g- с М) учитывает вклад теплоты парообразования и теплоты переохлаждения конденсата в пленке.

Формула (8.39) может быть приведена к безразмерному виду двумя способами:

Nu, = )/1 Рг Аг (К + 4) ;(8.40)

(8.41)(8.41)Nu: = (3Ren„)"1/3.

(8.41)

(8.41)

Здесь Nux = х —Здесь Nux = х —текущеетекущеезначение критерия Нуссельта;значение критерия Нуссельта;

Здесь Nux = х —

Здесь Nux = х —

текущее

текущее

значение критерия Нуссельта;

значение критерия Нуссельта;

текущеетекущеезначение критерия Архимеда; Nu* —

текущее

текущее

текущее значение критерия Нуссельта в форме (8.21); Кепл — критерий Рейнольдса в форме (8.22).

Первая форма связи между критериями подобия соответствует заданию в условиях однозначности температурного напора АГ, вто

рая — заданию плотности теплового потока q.

В (8.41) учтено, что количество конденсата должно вычисляться с учетом теплоты переохлаждения, т. е. в данном случае

X

С if чКепл = J qdx[\r + -^ ДГ

о

Фазовый переход может влиять и на области автомодельности, и на некоторые другие характеристики термогидродинамики сходственных (приближенно аналогичных) физических явлений. К их числу относится теплообмен при пузырьковом барботаже и пузырьковом кипении насыщенной жидкости. Тем не менее аналогия между этими процессами, во многом весьма глубокая, далеко не полная.

Экспериментальные данные о теплоотдаче при развитом пузырьковом кипении ряда жидкостей, весьма различных по физиче-

Рис. 8.12. Зависимость Nu^K* 0,7 от Аг* при пузырьковом кипении.

1 — вода; 2— этанол; 3 — калий; 4 —натрий; 5— цезий; 6 — хладон-21; 7— хладон-12;

8 — азот; 9 — гелий; 10 — бензол.

ским свойствам, приведены на рис. 8.12. Как видно, при испарении закон (8.37), характерный для первой автомодельной области теплообмена при барботаже, не изменился, но исчезло влияние вязкости в исследованном диапазоне критериев К* и Аг*.

Особенно заметно влияние критериев фазового перехода при изучении первичных актов генерации новой фазы. Рассмотрим это на примере роста одиночного парового пузырька на твердой стенке (рис. 8.13). Зарождение паровой фазы происходит в микрокаверне на поверхности стенки, и далее рост пузыря определяется теплопроводностью через пристенный микрослой жидкости и гидродинамическим сопротивлением его движению. Пренебрегая тепловой инерцией этого микрослоя, можем написать

dR qХ^Т

dt гр" 4 И ’

7?>7?min, Я = Р*]Л^-.(8.42)

Здесь t — время; AZ = Тст — Т" — действующий температурный напор; Р* — константа.

Подъемная сила, отрывающая пузырек от поверхности нагрева, уравновешивается поверхностным натяжением, гидродинамическим сопротивлением его движению (росту) и силой инерции. Условие равновесия в момент времени, предшествующий отрыву пу-

Рис. 8.13. Схема испарения жидкости в паровой пузырь, растущий на поверхности нагрева, по А. Д. Лабунцову и Торикаи.

1 — тонкий слой жидкости; 2 — контакт через слой жидкости;

3 — сухое пятно; 4 — поверхностьнагрева.

зыря и схлопыванию его кормовой части, можно записать в форме |лД035 (р' - рЭ = 2лЯ0Оф (9) + -J лЯ3р' (^ +

+ |яЯ»(р-- + 4р')^.(8.43)

Здесь ф(0)—функция краевого утла смачивания; dR/dt— скорость роста пузыря, вызывающая его обтекание окружающей жидкостью; Ro — эффективный радиус пузыря; у Р' — присоединенная масса жидкости в нестационарном движении сферы.

Из (8.42) следует, что

(8.44)(8.44)^R,1 / dR V

(8.44)

(8.44)

^2 -R \dt ) ^

т. е. при р'>р" инерционная сила, так же как и гидродинамическое сопротивление, пропорциональна квадрату скорости роста пузыря. Тогда из членов уравнения (8.43) можно сконструировать два критерия подобия

Исключив из второго критерия величину отрывного радиуса пузы* ря R0) введя в качестве линейного масштаба 6ag и используя соотношения (8.42), получим определяющий комплекс, который представляет собой комбинацию нескольких канонических критериев

5 (-у) nF) =(FKPr) Ar* • (8Л6)

Комплекс Ja = (Кр"/р')"1 называют критерием Якоба. На рис. 8.14

2R0V9^-pn)/©2R0V9^-pn)/©A(Ja/Pr)2Ar^f:iх1 02 аз 14 ^5 Об #7 08 *9 *-10 ^11 v/2 0/5 л 14 ^15 -016 *17 *A(Ja/Pr)2Ar^f:iх1 02 аз 14 ^5 Об #7 08 *9 *-10 ^11 v/2 0/5 л 14 ^15 -016 *17 *Рис. 8.14. Обобщение данных о росте парового пузыря на поверхности нагрева. Данные Н. Н. Мамонтовой: 1 — вода, 2 — этанол; В. С. Головина и др.: 3 — бензол, 4 — этанол; В. В. Ягова: 5 — этанол, 17 — вода; Коула: 6 — вода, 7 — метанол, 8 — пентан; Д. А. Лабунцова и др.: 9, 10 — вода; В. А. Григорьева и др.: 11 — спирт, 12 — вода, 13 — азот; Нишикава и др.: 14 — этанол, 15 — вода; Г. Н. Даниловой: 16 — хладон-12.Рис. 8.14. Обобщение данных о росте парового пузыря на поверхности нагрева. Данные Н. Н. Мамонтовой: 1 — вода, 2 — этанол; В. С. Головина и др.: 3 — бензол, 4 — этанол; В. В. Ягова: 5 — этанол, 17 — вода; Коула: 6 — вода, 7 — метанол, 8 — пентан; Д. А. Лабунцова и др.: 9, 10 — вода; В. А. Григорьева и др.: 11 — спирт, 12 — вода, 13 — азот; Нишикава и др.: 14 — этанол, 15 — вода; Г. Н. Даниловой: 16 — хладон-12.

2R0V9^-pn)/©

2R0V9^-pn)/©

A(Ja/Pr)2Ar^f:i

х1 02 аз 14 ^5 Об #7 08 *9 *-10 ^11 v/2 0/5 л 14 ^15 -016 *17 *

A(Ja/Pr)2Ar^f:i

х1 02 аз 14 ^5 Об #7 08 *9 *-10 ^11 v/2 0/5 л 14 ^15 -016 *17 *

Рис. 8.14. Обобщение данных о росте парового пузыря на поверхности нагрева. Данные Н. Н. Мамонтовой: 1 — вода, 2 — этанол; В. С. Головина и др.: 3 — бензол, 4 — этанол; В. В. Ягова: 5 — этанол, 17 — вода; Коула: 6 — вода, 7 — метанол, 8 — пентан; Д. А. Лабунцова и др.: 9, 10 — вода; В. А. Григорьева и др.: 11 — спирт, 12 — вода, 13 — азот; Нишикава и др.: 14 — этанол, 15 — вода; Г. Н. Даниловой: 16 — хладон-12.

Рис. 8.14. Обобщение данных о росте парового пузыря на поверхности нагрева. Данные Н. Н. Мамонтовой: 1 — вода, 2 — этанол; В. С. Головина и др.: 3 — бензол, 4 — этанол; В. В. Ягова: 5 — этанол, 17 — вода; Коула: 6 — вода, 7 — метанол, 8 — пентан; Д. А. Лабунцова и др.: 9, 10 — вода; В. А. Григорьева и др.: 11 — спирт, 12 — вода, 13 — азот; Нишикава и др.: 14 — этанол, 15 — вода; Г. Н. Даниловой: 16 — хладон-12.

обобщены данные многочисленных экспериментов с различными жидкостями в широком интервале давлений.

Уравнение (8.43) описывает также условия равновесия пузыря, формирующегося над отверстием, из которого происходит истечение газа при барботаже. Однако условия генерации легкой фазы здесь чисто гидродинамические. Поэтому критерий (8.46), характеризующий термогидродинамические взаимодействия, при анализе процесса барботажа не возникает.

УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИГАЗОЖИДКОСТНОГО ПОТОКА В КАНАЛАХ

Схема потока показана на рис. 8.15. Осредняя параметры потока по поперечному сечению канала, можно составить одномерные балансные уравнения с двумя неизвестными: функцией распределения фаз и законом трения на внутренней поверхности канала — в уравнении движения; функцией распределения и законом теплообмена — в уравнении энергии. Привлечение экспериментальных данных позволяет с той или иной точностью рассчитывать по таким уравнениям многие реальные течения.

Простейшей является двухскоростная модель, в которой независимо от истинного распределения фаз каждой из них приписываются мгновенные, осредненные по сечению потока, параметры. Более сложна модель течения в канале со смачиваемой стенкой, разделяющая поток на три зоны: пристенный жидкий слой, газожидкостная смесь и центральная газовая струя с диспергированной жидкостью.

Кипение исключает существование пристенного однофазного слоя. Приведем уравнения для двухскоростной двухэнтальпийной модели. Уравнение сплошности имеет вид

[р, _ (р, _ рЭ ф] + А [р' (1 _ ф) и* + pW1 = 0. (8.47)

Здесь ф — объемное газосодержание, т. е. доля поперечного сечения канала, занятая в данный момент времени второй фазой (под второй фазой мы всегда подразумеваем более легкий компонент, например газ в жидкости, вода в ртути); U — скорость течения данной фазы, осредненная по всей площади, занимаемой ею в данный момент времени в данном поперечном сечении канала.

Рис. 8.15. Схема одномерно-го описания движения га-зожидкостной смеси в ка-нале.

Массовая скорость фазового перехода связана с уравнением сплошности формулой

± 7Ф = 4 (р'ф) + -^ (p'W).(8-48)

Уравнение движения в канале радиуса 7?0 без учета объемных сил имеет вид др , 2тст/ эиг эиг \

—+ v = p (1“ф)Ьг+с; —)+

+ р"ф ^г + и" ^ + ф" - ^ ^<8-49)

Архимедова сила равна g[p' — (pz — р,z) ф]; работа изменения границы раздела фаз пропорциональна Оф. Последний член уравнения (8.49) представляет собой реактивную силу Мещерского, возникающую при изменении агрегатного состояния в парожидкостной смеси, когда фазы двигаются с неодинаковыми скоростями.

Как видно, смесь даже двух несжимаемых жидкостей ведет себя в целом как квазисжимаемая среда, плотность которой меняется в движении вместе с концентрацией ф, являющейся в этом уравнении функцией истинного распределения фаз.

Уравнение теплового баланса без внутренних источников запишется так:

2»СТ Л- (А т\ 9 V 9Т'- m 9 к” 9Т"

-^-[р'(1-т)0'-^) + р'ф(г'-^)] +

+ (v Т - r ^ 5 + ^ 1Р'е' <‘ - ч» ^' + Р"‘ W1. (8.50)

В инженерных расчетах широко пользуются так называемыми приведенными скоростями и их комбинациями:

(8.51)(8.51)^ = (1-Ф)^'; lA-^ С7см = ^ + ^;

(8.51)

(8.51)

utt = u»^^rUV, Р-т^^; иот = и'-и".

ри 0 + и 0

Величина UCM называется скоростью смеси; Uo — расходной скоростью; £ — расходным объемным газосодержанием.

При отсутствии скольжения фаз, т. е. когда относительная скорость иот = 0, Ф = Р. При таких условиях возможно квазигомо- генное приближение. В этом приближении гидродинамическое сопротивление

^М + ИЖ (8.52)

Рис. 8.16. Зависимость скоро-сти звука в газожидкостнойсмеси от газосодержания.

Эксперименты: 1 — Ин-т теплофизики СО АН СССР; 2— Карплус;

С. Т. Семенов и С. И. Костерив; 4— Кэмпбел и Питчер. Линия— расчет по формуле (8.54).

с/0— коэффициент трения для гомогенной среды. Обычно вводят величину Ч^/о» гДе Ф—функция действительных параметров потока, называемая коэффициентом потерь.

Скорость звука (вернее, масштаб распространения акустических возмущений) в квазигомогенной среде при постоянном массовом газосодержании (X = const) определяется следующими соотношениями:

а*см = Л ; рем = р' (1 — Р) + р"Р; «X = р"Р/рсм;

Рсм (8,

а»сМ=р-41—p(i—р)][р-^-+(1—р)р-!^]-

Здесь р = р"/р'— относительная плотность легкой фазы. Если последней является газ, распределенный в жидкости мелкими пузырьками, то с учетом (8.13),

а7с2м = (1-Р)[1-(1-р)₽].^ + 4[1-Д1^

(8.54)

где р7р"—квадрат изотермической скорости звука в газе при давлении в жидкой фазе; Ro— средний радиус пузырьков. Производные др/8р берутся в случае квазиадиабатического процесса (высокочастотные колебания) при постоянной энтропии (др/др)„ а при квазиизотермическом процессе (низкочастотные колебания) — при постоянной температуре (др/др)г.

Из сопоставления расчетов по этой модели с некоторыми экспериментальными данными (рис. 8.16) видно, что квазигомо- генная модель в ряде случаев дает правильные качественные и довольно хорошие количественные результаты.

ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННЕЙ НЕСТАЦИОНАРНОСТИНА ПАРАМЕТРЫ, ОСРЕДНЕННЫЕ ВО ВРЕМЕНИ

Интенсивность и спектральный состав крупномасштабных пульсаций термогидродинамических параметров газожидкостных потоков принципиально отличаются от пульсационных характеристик турбулентного движения внутри данной фазы [2.6, 8.2, 8.11]. Поэтому изучение внутренней нестационарности таких сред столь же важно, как и исследование параметров и полей, осредненных во времени.

В качестве примера рассмотрим в квазигомогенном приближении адиабатное, стабилизированное по внешним условиям, течение смеси двух несжимаемых компонентов при отсутствии объемных сил [8.2, 8.11]. Коэффициент потерь запишем в виде

= <G'2> + (1 + Р) <С"2> + (2 + Р) <G'G">,g 55)

<G'>2 + (l+p)<G">2 + (2 + p)<G'XG">’' 1

где р=(р'-р")/р" =(1-р)/(Х

Далее положим

ъ= V; & = <&>[! +п*-ьт(аЧ + П (8.56)

Вычислим параметры нестационарности, полагая, что в установившемся течении смеси реализуется минимум осредненных диссипативных потерь энергии, характеризуемых безразмерным параметром

ГТсЛм>

<тст> <^см^

где <тст> — трение на стенке, рассчитанное по стационарной гомогенной модели.

Значение коэффициента п1 = 0 в (8.56) соответствует стационарному течению, a n{ = 1 — наличию максимальных колебаний расхода с периодическими разрывами непрерывности /-го компонента при 0*^ = 0.

Минимизация параметра (8.57) приводит к следующим результатам.

Частоты колебаний расходов компонентов смеси одинаковы, т. е.

{ш' = ш" =о; е'-б'^л).(8.58)

Возникают три последовательных режима течения

I_о < В <<±±рШ^7р+Ж±з[-з] = „ .

р[1 + р + УЗ(р + 1)(р + 3)1 Рп

п» В [3 + Р (2 — В)1 .„ ./о гп\

- (1-В)[3 + р(з-р)]’ п - 11(8,5У)

II-рг<р< А (3 + 2р - УГЖ) = ₽2;

(8.60)

Ill —Ill —p2^p^l;p2^p^l;

Ill —

Ill —

p2^p^l;

p2^p^l;

(8.61)

Графическая интерпретация этих зависимостей показана в верхней части рис. 8.17, а в его нижней части изображены сопоставляемые этим зависимостям динамические структуры смеси двух текучих несжимаемых сред, а именно: пузырьковая (7), снарядная (77) и дисперсно-кольцевая структура (777).

Соответствующее выражение для коэффициента потерь имеет вид

ф = \п'п" (2 + р) Р [р — (р + 1) Pl — n'2 [р — (р + 1) И2 —

- п"2 (1 + р) Р2} {2 (1 + Р) [1 + Р(1 - Р)]}-1 - 1.(8.62)

Расчеты по этой формуле дают значения ф<1. В экспериментах с хорошей стабилизацией осредненного течения наблюдаются именно такие значения коэффициента потерь. При значительной не- адиабатности, малых длинах канала, плохих смесителях на входе и других возмущениях экспериментально полученные коэффициенты потерь могут быть больше единицы, достигая гр « 1,5.

Рис. 8.17. Графическая интерпретация решений (8.59)—(8.61).I — п'; 2 — ri'.Рис. 8.17. Графическая интерпретация решений (8.59)—(8.61).I — п'; 2 — ri'.

Рис. 8.17. Графическая интерпретация решений (8.59)—(8.61).

I — п'; 2 — ri'.

Рис. 8.17. Графическая интерпретация решений (8.59)—(8.61).

I — п'; 2 — ri'.

Связь между истинным газосодержанием ф и расходным $ в этой модели выражается формулой

<Ф> = 0<Ф> = 0(8.63)(8.63)п* + га" (1 — V1 — га*2)п* V 1 — га*2

<Ф> = 0

<Ф> = 0

(8.63)

(8.63)

где тг* = п'— £(п'+ п"). При этом ф < £, что соответствует экспериментальным данным. Таким образом, параметры пульсационного движения потока выступают как его внутренние масштабы, влияющие на осредненные характеристики течения.

ВОЛНЫ В ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ

Проблема распространения волновых возмущений является центральной в большинстве задач термогидродинамической устойчивости. В газожидкостных системах вследствие множественности структур потока это тем более существенно, причем возникают специфические взаимодействия, характеризуемые, в частности, критерием М*.

Важное значение для многих проблем такого рода имеет модельное волновое уравнение для жидкости с мелкими газовыми пузырьками [8.7], восходящее к работам Кортевега, Бюргерса и до Вриза:

< + ?4-Ве-> + ^< = 0. (8.64)

Здесь p’^p'IPq—отношение текущего возмущения давления к амплитуде начального возмущения; Но = игШ0 — критерий гомо- хронности; Re = w'Zo/v* — число Рейнольдса; о* = Zo fu'/P)1/2 — кри

терий дисперсии, определяющий влияние инерции массы жидкости, присоединенной к газовому пузырьку, на эволюцию формы

сигнала; Р — /?о^*/6фо (1 — Фо)— параметр дисперсии; ^ = (х —

—a^jlo — безразмерная координата; Ro — начальный радиус пу

4V ,4V ,в газожидкостной вязкость смеси; ч"в газожидкостной вязкость смеси; ч"эффективнаяэффективнаязырька; фо — начальное объемное газосодержание смеси; Zo — длина начального возмущения; ^* = [Ро^Р Фо (^ ““Фо)]1^— скорость звука

4V ,

4V ,

в газожидкостной вязкость смеси; ч"

в газожидкостной вязкость смеси; ч"

эффективная

эффективная

— показатель адиабаты газа; а* — скорость зву

ка в жидкости. Уравнение (8.64) учитывает дисперсию акустиче

ских волн, нелинейность и диссипацию, обусловленную вязкостью

жидкости, акустическими и тепловыми потерями.

В такой газожидкостной среде характер распространения сигнала зависит от elo интенсивности и начальной длины возмущения. Возможно существование уединенных волн (солитонов), волновых пакетов — цуга знакопеременных волн и ударных волн с монотонной или осциллирующей структурой. Характерные структуры показаны на рис. 8.18, по данным В. Е. Накорякова, в координатах {а*; а*/Ке}.

Рис. 8.18. Карта волновых режимов в жидкости с мелкими газовыми пузырьками.

Существенно влияние теплообмена газового пузырька с несущей жидкостью на тепловую релаксацию в ударных волнах. Так, волны в жидкостях с пузырьками СО2, N2 и Не имеют различную структуру на одном и том же расстоянии от точки приложения возмущения. При этом глубина осцилляций во фронте ударной волны в воде с пузырьками СО2 значительно больше, чем в воде с пузырьками N2 и Не.

Для изучения волн на поверхности жидких пленок важное значение имеет модельное уравнение, построенное в приближении пограничного слоя [8.1]. Такое приближение обладает наглядностью и прозрачностью физической интерпретации наблюдаемых

в эксперименте волн. В частности, обнаружено, что на поверхности тонкого слоя вязкой жидкости существуют волны двух типов: кинематические волны, распространяющиеся по поверхности пленки с низкочастотной скоростью ЗС70, описываемые уравнением

dH"o + 3^="+RenJI"^T + We ТГ = 0-(8-65>

ахахах*

и простые волны со скоростью l,7Z70, описываемые уравнением

JL+ 1,7 Д1 + 2,3d'^--We-1-^- —3,9^- = 0. (8.66)

Нелинейное двухволновое уравнение имеет вид

^ + з *1 + ^ № + 1,69^.W^L + 0,714-1 +

а НО Qx О 15 НО^х / 15 НоQx /

, ттгт —1 а б . гГс^ 562а (56л /q пг7\

+ We ^ + 66^-^Кепл7Ш(б ж>)=0. (8.67)

Здесь Кепл — число Рейнольдса, определяемое по (8.22); Но = = U0t/60; We = р#обо/а; х =х/60 — безразмерная координата, на* правленная вдоль течения; б' = (б — 60)/60 — относительное возмущение поверхности пленки; 6 (ж, i) —актуальное значение толщины пленки жидкости; 60 — средняя толщина пленки; Uo — средняя скорость течения в данном сечении пленки жидкости.

Важным следствием, подтвержденным экспериментально [8.1]^ являются волны типа солитонов, у которых с ростом расхода жидкости возрастает амплитуда, но остается практически постоянной относительно тонкая подложка. Именно этот тонкий пристенный слой жидкости (а не крутые волны) определяет термическое сопротивление при пленочной конденсации в области квазиавтомо- дельного закона теплообмена Nu* « const (см. рис. 8.7).

СКОРОСТЬ ВСПЛЫТИЯ

■ОДИНОЧНОГО ПУЗЫРЯ в жидкости

Частично эта задача уже была рассмотрена как один из примеров в главе 1. Но она представляет определенный методический интерес и в более общем виде.

Свободный газовый пузырь в жидкости или капля одной жидкости в другой жидкости при отсутствии эффекта их смешения (например, капля воды в ртути) имеют одну определенную геометрическую характеристику — объем V. Что касается формы пузыря (капли) и соответственно его линейных характеристик, то они могут меняться под воздействием динамических сил и силы поверхностного натяжения на границе раздела фаз (компонентов) . Таким образом, в качестве линейного масштаба можно вводить или величину У1/3, или эффективный радиус

Д=(ЗУ/4л)1/3.(8.68)

Свободное движение пузыря обусловлено подъемной силой порядка .g(p' —р")7?3 и силой гидродинамического сопротивления порядка ^p'U"2R2. Здесь g — коэффициент гидродинамического сопротивления пузыря; U" — скорость свободного всплытия пузыря. Соответственно определяемое число подобия, как уже говорилось в главе 4, можно представить в форме числа Фруда

где Др = 1 — р"/р'— относительная разность плотностей. В (8.69) н в других числах подобия надо брать модуль значения относительной плотности |Др1. Если Др>0, то пузырь (капля) всплывает, если Др < 0, капля тонет. Обычно связь между подъемной силой и гидродинамическим сопротивлением записывают в форме, соответствующей обтеканию правильной сферы:

у nR3g (р' - р") = nR^p'U"a/2.(8.70)

При такой записи

£ = 8/3Fr,(8.71)

т. е., по существу, это одно и то же число подобия.

Практически удобнее пользоваться величиной TFr, которую обозначим символом безразмерной скорости вплытия пузыря

U” = UnlVgR"K"p.(8.72)

Возникающее на границе раздела гидродинамическое взаимодействие вызывает образование поля давлений, которое может приводить к деформациям и осцилляциям поверхности пузыря. В качестве меры этой деформации поверхности раздела можно принять критерий-

R,g = RW-p"W\^

характеризующий взаимодействие подъемной силы и сил поверхностного натяжения.

Существенными физическими свойствами являются также молекулярные вязкости газа и жидкости, действие которых должно проявляться в условиях преобладания ламинарного характера течения, т. е. при относительно малых числах Рейнольдса Re = £7"Д/v, и отображаться числом Архимеда

Ar = gR^jV^*(8.74)

и симплексом_

Н =(8.75?

Строго говоря, если в пузыре будут существенно выражены динамические эффекты, то должен появиться в качестве самостоятельного параметра также симплекс

(8.76)(8.76)р = р"/р'.

(8.76)

(8.76)

Однако практически действие этих симплексов в реальных ситуациях не проявляется.

Для сферы с неподвижными границами в области вязкого обтекания (Re<l) £ = 24Re~\ в области вязкого обтекания с отрывом (1 < Re < 5 • 102)£ ~ 24 Re”0,55 и в области первой автомодельности (5 • 102 < Re < 105) t ~ 0,4. Этим условиям соответствуют законы всплытия

(8.77)(8.77)и" - f Аг1/2;

(8.77)

(8.77)

Г"«0,35Аг1/5;

U"« 2,6.

В отличие от неподвижной границы твердой сферы поверхность раздела газовый пузырь — несущая жидкость или жидкая капля — несущая среда (другая жидкость или газ) в общем случае может быть подвижной. Для малых пузырей (капель), сохраняющих строго сферическую форму, для области чисел Re < 1 имеется теоретическое решение Адамара — Рыбчннского, учитывающее подвижность границы раздела. Это решение может быть приведено к следующему виду:

Re = ^-Arl±-L,(8.78)

324-Зц''

При р, “> <х>, т. е. при неподвижной (отвердевшей) границе раздела,

Re = (2/9) Аг(8.79)

или

Г"=(2/9)Аг1/2.(8.80)

Это известная формула Стокса для движения твердой сферы в жидкости.

Многочисленные эксперименты показывают, что в реальных средах реализуется именно закон (8.79). Связано это с упрочнением границы раздела диффундирующими к ней примесями, имеющимися в жидкости и газе. Поэтому для практически чистых сред (для воды, даже для бидистиллята) скорость свободного вплытия пузыря (капли) определяется общей связью

U" = /(Аг; Rog^.‘(8.81)

При движении пузыря (капли) в канале, например в круглой трубе, необходимо учитывать взаимодействие со стенками. Последнее, при прочих равных условиях, учитывается введением отношения эффективного радиуса пузыря к внутреннему радиусу трубы. Общий характер зависимости U" (7?) при свободном всплытии пузыря показан на рис. 8.19. Левая восходящая ветвь соответствует практически мало деформированным сферам, т. е. автомодельна

Рис. 8.19. Зависимость скорости всплытия пузырьков от их радиуса.

Рис. 8.20. Скорость всплытия пузырьков воздуха в разных жидкостях в зависимости от их радиуса.

Опыты Пиблса и Гарбера: I —вода; 2 — 40%-ный раствор уксусной кислоты; 3 —ани-лин; 4 — толуол. Опыты Мияжи: 5 — вода. Опыты Кревелена и Хофтизера: 6 — раст-вор сапонина; 7— вода; 8— циклогексан. Опыты Б. К. Козлова и М. А. Мологина (9),Р. М. Ладыженского (10), И. Г. Маленкова (11) —вода.

Рис. 8.21. Зависимость скорости всплытия капель жидкости и пузырьков газа от числа Аг.

Опыты Н. И. Смирнова и В. Л. Рубана: 1 — движение в воде капель анилина, четыреххлористого углерода, бромистого этила, нитробензола, диметиланилина, бензола, изоамилового спирта, п-гексана; 2 — движение в сахарном растворе капель нитробензола, четыреххлористого углерода, бензола, толуола, диметаламина; 3 — движение капли воды в толуоле; 4— движение капли воды в диметиланилине и бензоле. Опыты Аллена (5)—движение пузырьков воздуха в воде и анилине. Линии А и В — зависимость скорости всплытия для твердых шариков; линия С — расчет по формуле Пиблса и Гарбера.

относительно критерия Rag. Правая ветвь, имеющая отчетливый минимум, соответствует движению деформирующихся больных пузырей и практически автомодельна относительно вязкости, т. е. критерия Аг.

По данным Пиблса и Гарбера [1.5], вязкая область может быть описана формулой (8.80) при Re < 1, что соответствует условию Аг < 4,5, и формулой

U" = (1/3)Аг1/4 (8.82)' б области 4,5 < Аг <100 Rog^. В области Аг >2000 Rog18 наступает область ^практически однозначной зависимости критерия U" от критерия ROg. На рис. 8.20 приведены экспериментальные данные, соответствующие этой области автомодельности. По этим данным при Rag <1,5 __ _

ZZ'^l^T?-0’86. (8.83)

При Rojl> 2 имеет место практически полная автомодельность критерия U", что соответствует квадратичному закону сопротивления при всплытии пузыря. Тогда для больших пузырей

U" «1, (8.84)'

т. е. коэффициент гидродинамического сопротивления в этом случае существенно меньше, чем у твердой сферы [см. третью форму- лу (8.77)].

На рис. 8.21 приведены данные Н. И. Смирнова и В. Л. Рубана

о свободном движении капель жидкости в другой жидкости, не смешивающейся с первой [8.9, 8.10], там же нанесены данные опы

тов Аллена о движении пузырьков воздуха в воде и анилине. Как видно, здесь экспериментальные результаты для систем жидкость — жидкость и газ — жидкость близки друг к другу. Но в опытах с каплями не обнаружена нисходящая ветвь зависимости U" ^R^ и автомодельное значение критерия близко к 2, т. е. больше, чем по данным рис. 8.20. Если эти результаты не связаны с различиями в условиях проведения опытов, то автомодельное движение капель в жидкости ближе к движению твердой сферы, чем движение пузырей газа.

Рис. 8.22. Зависимость скорости всплытия одиночного пузыря от соотношения радиусов пузыря R и сосуда гт.

Гт, мм: 1 — 155; 2 — 2,25; 3 — 3,0; 4 — 4,23; 5 — 5,95; 6 — 9,2; 7 — 10,45; 3 — 14; 9 — 18,2;

и” см/си” см/с< v 1 0 208 и 9< v 1 0 208 и 9хз +4 Д5 ее 47 ЛЮ L 11 г 12 Т13„хз +4 Д5 ее 47 ЛЮ L 11 г 12 Т13„10 — 24,6; 21 — 34,5; 12 — 47,5; 13 —76,25.

и” см/с

и” см/с

< v 1 0 2

08 и 9

< v 1 0 2

08 и 9

хз +4 Д5 ее 47 ЛЮ L 11 г 12 Т13„

хз +4 Д5 ее 47 ЛЮ L 11 г 12 Т13„

Ограничения областей движения пузырей, приведенные_Пибл~ сом и Гарбером, требуют уточнения. Строго говоря, при Rag -> О пузыри и капли должны двигаться как твердые сферы, т. е. по за* конам (8.77). На рис. 8.22 приведены экспериментальные данные о скорости всплытия одиночного пузыря значительного размера в вертикальной трубке. Как видно, стенки сосуда оказывают существенное и весьма сложное влияние при соизмеримости радиусов пузыря и канала.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

В ДВУХФАЗНОМ ПОТОКЕ С ЛАМИНАРНЫМ ЖИДКИМ СЛОЕМ

В настоящем параграфе будут обсуждены еще некоторые сто* роны анализа динамики газожидкостных систем в терминах подо* бия. Рассмотрим в качестве простейшей модели осесимметричное течение ламинарной жидкой пленки в круглой трубе. Центральная струя газа может течь и ламинарно, и турбулентна. В практике реализуется преимущественно последнее. Воздействие динамического напора будем считать существенно большим, чем воздействие силы тяжести.

При этих условиях в жидкой пленке справедлив обычный па* раболический закон распределения скорости

и'и'Rp — R^ йр4/* ^ ’Rp — R^ йр4/* ^ ’(8.85)(8.85)

и'

и'

Rp — R^ йр4/* ^ ’

Rp — R^ йр4/* ^ ’

(8.85)

(8.85)

где dp/dx — градиент давления, обусловленный трением; Rq— внутренний радиус трубы; R — текущий радиус. Соответственно

<^><^>2Я02(1-<Р)2Я02(1-<Р)«оJ u'RdR. к0^«оJ u'RdR. к0^(8.86)(8.86)

<^>

<^>

2

Я02(1-<Р)

2

Я02(1-<Р)

«о

J u'RdR. к0^

«о

J u'RdR. к0^

(8.86)

(8.86)

Уравнение (8.86) означает, что вся жидкость сосредоточена в пристенной пленке (в случае необходимости легко ввести частичное содержание диспергированной жидкости в газовой струе)» При таком допущении истинное газосодержание потока

Ф = (Дгр/Л0)2, (8.87)

Ягр — радиус пленки на свободной поверхности. Произведя вычисления, получим

(8.88)(8.88)dp 32р/С/'

(8.88)

(8.88)

"dx* — D^ (1 — ф)2’

где U' = (1 —ф)<и'>— расходная скорость течения жидкости, т. е» объемный расход, отнесенный к полному сечению трубы; D = 27?0 — внутренний диаметр трубы. -

При <р = 0 имеем известную формулу для потери давления на трение при ламинарном течении однородной жидкости в круглой

трубе. Обозначив эту величину Ар0, получим выражение для относительного перепада давления в трубе

Ар/Ар0 = (1~Ф)"2.Ар/Ар0 = (1~Ф)"2.(8.89)'(8.89)'

Ар/Ар0 = (1~Ф)"2.

Ар/Ар0 = (1~Ф)"2.

(8.89)'

(8.89)'

Давление по поперечному сечению потока смеси постоянно. Поэтому, рассматривая течение газовой струи внутри жидкого кольца как аналог течения,в трубе, можем написать

(8.90)(8.90)аР = ™ р" (<^> -“гр)2

(8.90)

(8.90)

^2D Уф

где V — коэффициент гидродинамического сопротивления течению газа в жидком кольце. Вычисляя относительную к поверхности жидкого слоя скорость течения газа, имеем

„/ D"U0T = (и уиТр = —„/ D"U0T = (и уиТр = —£2 (1 - ф)16р/£2 (1 - ф)16р/dp dx ’dp dx ’(8.91)(8.91)

„/ D"

U0T = (и уиТр = —

„/ D"

U0T = (и уиТр = —

£2 (1 - ф)16р/

£2 (1 - ф)16р/

dp dx ’

dp dx ’

(8.91)

(8.91)

(8.92)(8.93)(8.92)(8.93)„ , U D — р" Re =—т-; р = У-;v ’ г р ’„ , U D — р" Re =—т-; р = У-;v ’ г р ’(8.94)(8.94)

(8.92)

(8.93)

(8.92)

(8.93)

„ , U D — р" Re =—т-; р = У-;

v ’ г р ’

„ , U D — р" Re =—т-; р = У-;

v ’ г р ’

(8.94)

(8.94)

где U" —расходная скорость газа.

Используя полученные ранее соотношения, окончательно получаем

от “ Ф 1—ф’

А/> = Vp_ (U_ _ 2 УАЛ> ^Уф^ ^ф/'

Здесь

— коэффициент гидродинамического сопротивления при ламинарном течении в трубе однородной жидкости (ф = 0), число Рейнольдса жидкости, относительные плотность и расходная скорость газа. Критерий Рейнольдса жидкости и два симплекса в (8.94) составлены только из условий однозначности данного процесса, т. е. являются определяющими критериями подобия.

Совмещая формулы (8.89) и (8.93), получим уравнение

^()^^Ф + 2Кк^)=С7Ук^,(8.95)

При турбулентном течении газовой струи, что и имеет место в реальных условиях, значение V 1. Величина Уф близка к единице даже при сравнительно малых газосодержаниях. Наибольшее возможное значение Re' при ламинарном течении приблизительно 2000. Отсюда следует, что при р < 1 Уб4^"^>2 KRe'p, и можно считать, что ■

(8.96)(8.96)тт ^р ^,Re'Р

(8.96)

(8.96)

<Р5/4 Гт К" Re' pW2i^^^l м у .

Таким образом, для рассмотренных условий и относительный перепад давления А/?, и объемное газосодержание ф являются однозначной функцией комплекса

(8.97)(8.97)V Re'pZA

(8.97)

(8.97)

При турбулентном течении газа на поверхности жидкости возникает гидродинамическая шероховатость, и так как в этом режиме V — вообще слабая функция Re", то в первом приближении мож*

записать в виде(8.98)записать в виде(8.98)но считать V = const и определяющий комплекс z = u /1^.

записать в виде

(8.98)

записать в виде

(8.98)

потерях напоражидкости с воз-потерях напоражидкости с воз-Рассмотрим теперь экспериментальные данные о при течении в горизонтальной трубе смеси вязкой

потерях напоражидкости с воз-

потерях напоражидкости с воз-

духом, полученные Мартинелли, Болтером, Тейлором, Томсоном и Моррином. Диаметр стеклянной экспериментальной трубы 24 мм,, рабочими жидкостями служили вода, водный раствор некаля (по-

Рис. 8.23. Зависимость приведенного коэффициента сопротивления V от U по опытам при ламинарном течении жидкого слоя.1 — нефть В (Re'= 9,6)1 2— смесь Ml (Re'= 64); 3— смесь Ns 2 (Re'= 21); 4— вода (Re' = 1080, Fr = 0,01); 5 — керосин (Re' ^ 1210, Fr = 0,05).Рис. 8.23. Зависимость приведенного коэффициента сопротивления V от U по опытам при ламинарном течении жидкого слоя.1 — нефть В (Re'= 9,6)1 2— смесь Ml (Re'= 64); 3— смесь Ns 2 (Re'= 21); 4— вода (Re' = 1080, Fr = 0,01); 5 — керосин (Re' ^ 1210, Fr = 0,05).

Рис. 8.23. Зависимость приведенного коэффициента сопротивления V от U по опытам при ламинарном течении жидкого слоя.

1 — нефть В (Re'= 9,6)1 2— смесь Ml (Re'= 64); 3— смесь Ns 2 (Re'= 21); 4— вода (Re' = 1080, Fr = 0,01); 5 — керосин (Re' ^ 1210, Fr = 0,05).

Рис. 8.23. Зависимость приведенного коэффициента сопротивления V от U по опытам при ламинарном течении жидкого слоя.

1 — нефть В (Re'= 9,6)1 2— смесь Ml (Re'= 64); 3— смесь Ns 2 (Re'= 21); 4— вода (Re' = 1080, Fr = 0,01); 5 — керосин (Re' ^ 1210, Fr = 0,05).

Рис. 8.24. Зависимость комплекса £'Re' от Z.

Обозначения см. на рис. 8.23.

рис. 8.25. Влияние критерия Фруда на сопротивление при ламинарном течении жидкого слоя.

Значения числа Fr: J — 0,01; 2 — 0,04; 3 — 0,33; 4 — 1,4; 5 — 4; 6 — 9; 7 — 16.

низителя поверхностного натяжения) и пять разных производных нефти. Вязкость жидкостей менялась более чем в 240 раз, поверхностное натяжение — примерно в 3 раза. Плотность воздуха была практически постоянной, соответствующей давлению, несколько большему атмосферного. Числа

Рейнольдса жидкости увеличивались от 4,8 до 1880, числа Рей

нольдса газа — от 1700 до 95 000. На рис. 8.23 показано изменение коэффициента гидродинамического сопротивления газожидкостного

2D dp2D dpпотока, определенного по приведенному динамическому напору жидкой фазы:. ,.

2D dp

2D dp

(8.99

где D = 27?о — внутренний диаметр трубы. На рис. 8.24 те же данные перестроены в координатах £' Re', Z. Величина £' Re' с точностью до постоянного коэффициента пропорциональна при ламинарном течении жидкой фазы симплексу kp. Сопоставление проведено при приблизительно одинаковых значениях числа Фруда

(8.100)(8.100)77'2

(8.100)

(8.100)

Fr = —=.gD^

В соответствии с изложенной теорией опытные данные, разошедшиеся в координатах рис. 8.23, объединяются в координатах рис. 8.24. На рис. 8.25 в тех же координатах нанесены результаты всех серий опытов. При значениях комплекса Z<40 опытные точки отчетливо расслаиваются по числам Фруда жидкости. Очевидно, что при этих условиях начинают существенно проявляться асимметрия потока смеси в горизонтальной трубе, вызванная действием силы тяжести, и, возможно, волнообразование на поверхности раздела газ — жидкость.

МАССООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ.

ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ

В КАНАЛЕ СО СМАЧИВАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

В рассматриваемом случае на обтекаемой смесью поверхности канала (стенке) возникает пристенный слой жидкости, через который и осуществляется перенос тепла или вещества от стенки

Рис. 8.26. Массоотдача на стенке трубы при течении двухфазного потока.

1 — газожидкостный поток, р = 0,1— 1 МПа; 2 — адиабатный парожидкостный поток, р = 0,03 МПа; линия — расчет по формуле (5.24) при Рг > 200.

в поток или из потока к стен* ке. При этом естественно пред* положить, что законы тепло* массообмена в пристенном жидком слое сохраняются те*

ми же, что и при течении однородной среды. Необходимо только учесть истинную величину трения на стенке, обусловленную гетерогенностью потока смеси. На рис. 8.26 показаны данные опытов В. Ю. Чеховича и Н. И. Не*

черкина по массоотдаче от стенки круглой трубы при течении в ней, воздушно-водяной смеси [8.8]. Эксперименты проводились с использованием метода и приборного обеспечения, разработанных В. Е. Накоряковым с сотрудниками [8.6].

В качестве безразмерных переменных приняты числа подобия

Nud = $D0/D:, Ргр = v/Z); Re* = v*DQ!v. (8.101)

Здесь p — коэффициент массоотдачи, м/с; Do — внутренний диа* метр трубы, м; D — коэффициент диффузии, mVc; к* = У'гст/р—динамическая скорость, определенная по непосредственным измерениям касательного напряжения на стенке. Экспериментальные данные сопоставлены с расчетом по формуле для теплоотдачи (массоотдачи) при больших числах Прандтля. Эта формула имеет тот же вид, что и формула (5.24) для пограничного слоя на пластине» Отличие только в численном множителе обусловлено конфигурацией течения.

ЛИТЕРАТУРА

Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. Волнообразование при течении пленки жидкости на вертикальной стенке.—ПМТФ, 1979, № 6, с. 77—87.

Андреев П. А., Алферов Н. С., Фокин Б. С., Гольдберг Е. Н. Роль внутренних нестационарных процессов в задачах о движении двухфазных потоков.— ИФЖ, 1976, т. 30, № 2, с. 211—220.

Анисимов М. А. Исследование критических явлений в жидкостях.— УФЩ 1974, т. 114, вып. 2, с. 249—294.

Афган Н. Перегрев кипящих жидкостей.— М.: Энергия, 1979.— 79 с.

Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.— М.: Изд-во иностр, лит., 1961.— 930 с.

Исследование турбулентных течений двухфазных сред/В. Е. Накоряков, А. П. Бурдуков, Б. Г. Покусаев и др. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1973.— 315 с.

Накоряков В. Е., Соболев В. В., Шрейбер И. Р. Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 5, с. 71— 76.

Печеркин Н. И., Чехович В. Ю. Исследование массоотдачи и трения в: кольцевом двухфазном потоке.— В кн.: Теплообмен при фазовых превращениях. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1983, с. 58—69.

Смирнов Н. И., Рубан В. Л. Скорость движения капель в зависимости от скорости движения среды.—ЖПХ, 1949, т. 22, вып. 11, с. 1211—1213.

Смирнов Н. И., Рубан В. Л. Относительная скорость движения капель в переходной области.— ЖПХ, 1951, т. 24, вып. 1, с. 47—55.

Фокин Б. С., Гольдберг Е. Н., Солодовников А. С. Связь нелинейных нестационарных процессов со структурными и осредненными гидравлическими характеристиками стабилизированных двухфазных течений.— В кн.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1977, с. 290—300.

Глава 9

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИКРИЗИСОВ КИПЕНИЯ

ПУЗЫРЬКОВОЕ И ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ

В данной главе последовательное применение анализа размер* ностей к построению моделей большого класса сложных физических явлений рассматривается на примерах кризисов кипения в большом объеме жидкости.

Возникнув в 30-х годах нашего века как чисто лабораторное исследование, эта проблема в конце 40-х годов начала быстро приобретать большое практическое значение в связи с развитием атомной энергетики и многих других отраслей новой техники.

Схема зависимости плотности теплового потока от разности температур М^Т^-Т" при кипении жидкости на смачиваемой поверхности в условиях свободной конвекции показана на рис. 9.1. Область ЕВ соответствует перегревам стенки, меньшим необходимых для возникновения кипения на имеющихся виртуальных центрах парообразования

дг < 7%"-(9-‘)

где б< — характерный радиус микрокаверны. При этих условиях в метастабильном слое жидкости имеет место однофазная конвекция.

Область ВА соответствует пузырьковому кипению. Начальный участок, когда линейная скорость парообразования

и" = 7^(9.2)

невелика, определяется совместным воздействием однофазной конвекции и турбулизирующим действием неинтенсивного кипения.

-fuc. 9.1. Зависимость q^T^ при кипении жидкости на смачиваемой поверхности при свободной конвекции в большом объеме.-fuc. 9.1. Зависимость q^T^ при кипении жидкости на смачиваемой поверхности при свободной конвекции в большом объеме.Рис. 9.2. Цепной механизм перехода от однофазной конвекции метаста- бильной жидкости к пленочному кипению (темные места — облака мелких паровых пузырей, р = 10 кПа).

-fuc. 9.1. Зависимость q^T^ при кипении жидкости на смачиваемой поверхности при свободной конвекции в большом объеме.

-fuc. 9.1. Зависимость q^T^ при кипении жидкости на смачиваемой поверхности при свободной конвекции в большом объеме.

Далее наступает область чистых поверхностейa~qn;Далее наступает область чистых поверхностейa~qn;развитого кипения, в которой для

Далее наступает область чистых поверхностей

a~qn;

Далее наступает область чистых поверхностей

a~qn;

0,6<п<0,8;0,6<п<0,8;(9.3)’(9.3)’обычно принимают величину п равной 0,7 или 2/3.

0,6<п<0,8;

0,6<п<0,8;

(9.3)’

(9.3)’

В точке максимума А возникает первый кризис кипения — переход от пузырькового режима к пленочному. Точка минимума Б соответствует обратному переходу — второму кризису кипения. Область АБ, находящаяся между этими точками (вернее, зонами), является переходной, и в ней при определенной предыстории процесса может иметь место сосуществование обоих режимов кипения (см. рис. 8.4). Область БГ соответствует развитому пленочному кипению. При этом чем больше \Т, тем значительнее становится вклад тепла, излучаемого поверхностью нагрева через слой пара в жидкость. На очень гладких поверхностях и при низких давлениях, когда виртуальным центрам парообразования соответствуют большие перегревы жидкости до закипания, линия однофазной конвекции ЕВМ простирается в область значительных тепловых потоков, а жидкость находится в существенно метастабильном состоянии. При этом спонтанное возникновение одиночного пузыря вызывает цепное развитие процесса вскипания, снижается температура жидкости, кипение прекращается, и начинается снова перегрев жидкости в условиях однофазной конвекции. Такое кипение называют обычно неустойчивым.

В условиях неустойчивого кипения возможен непосредственный переход от однофазной конвекции жидкости к развитому пленочному кипению (рис. 9.2) — третий кризис кипения. При этом

^Kpl > ^«рЗ -^ ^Кр2«(9.4),

ПЕРВЫЙ КРИЗИС КИПЕНИЯ —ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

Начнем рассмотрение условий возникновения перехода от пузырькового режима к пленочному с составления перечня физических величин, которые могут влиять на это явление. К таким величинам, очевидно, относятся все физические свойства, входящие в уравнения движения и теплопроводности, т. е. теплоемкость, плотность, теплопроводность, вязкость. Кроме того, к ним следует отнести скрытую теплоту парообразования, входящую в тепловой баланс на границе раздела фаз, поверхностное натяжение — из условий механического взаимодействия, температуру насыщения и радиус микровпадин, служащих центрами генерации пара,— из условий зарождения парового пузырька. Определяемой величиной является критическое значение теплового потока.

В условиях свободной конвекции движение обусловлено подъемной силой, пропорциональной ускорению.

Вынужденное течение характеризуется некоторой скоростью принудительного течения. Недогрев ядра потока жидкости '0* = = Т" —TQ также влияет на кризис кипения. Если предположить влияние акустических возмущений, то надо в условия однозначности ввести еще абсолютное давление в жидкости.

Таким образом, имеем следующий общий набор параметрон процесса и основных размерностей:

?кр = /(р', с\ р/, V, о, г, Т\ р. р", с\ р.\ Г, g, U\ », 6f, L); (9.5) {кг, м, с, Дж, К},

где L — характерный линейный размер нагревателя.

Число параметров без геометрических характеристик поверхности нагрева равно 16, число первичных для данного процесса размерностей — 5. Следовательно, по П-теореме анализа размерностей наибольшее число безразмерных параметров в данном случае равно 11. Совершенно очевидно, что при отсутствии сколько-нибудь отчетливой физико-математической модели пытаться ставить и анализировать эксперименты при таком числе переменных бессмысленно.

Первое очевидное упрощение сводится к неучету вязкости^ теплоемкости и теплопроводности пара, так как тепловой поток фактически направлен от поверхности нагрева (стенки) в жидкость, которая затем испаряется в паровые пузыри. Однако и после этого число первичных параметров остается очень большим.

Ограничиваясь рассмотрением условий свободной конвекции, т. е. исключив из условий однозначности скорость течения жидкой фазы U\ все же имеем еще 12 величин и 5 размерностей, или 7 безразмерных параметров процесса.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРИЗИСА КИПЕНИЯПРИ НЕСЖИМАЕМЫХ ФАЗАХ

Гидродинамическим аналогом кризиса кипения является эффект оттеснения жидкости от проницаемой поверхности барботирующим газом. Наиболее простой моделью такого процесса служит невязкая жидкость, барботируемая газом через достаточно большую равномерно проницаемую горизонтальную поверхность, обращенную вверх. В таком случае возникновение перестройки гидродинамической структуры пристенного газожидкостного слоя равновероятно в любой небольшой части этой поверхности, т. е. автомо- дельно относительно внешних геометрических параметров.

Отбрасывая теперь в (9.5) все тепловые характеристики жидкости и вязкость, имеем функцию для критической скорости барботажа '

U^ = f1^',o,p,p",g'), (9.6)

которая сопоставляется с критической скоростью парообразования при первом кризисе кипения по формуле (9.2). Если пренебречь влиянием сжимаемости фаз, то остается пять величин, составленных из трех основных размерностей, чему соответствуют два критерия подобия, например,

Вид этой функции можно попытаться предсказать, приняв дополнительно предположение, что стабильность возникшего газового слоя однозначно определяется соотношением силы тяжести, стремящейся «провалить» жидкость к стенке, и противодействующего этому динамического напора газа

g(p'-p^6~p'TC(9.8)

где 6 ~ 8ag — характерный внутренний масштаб спонтанно возникшего газового слоя.

Здесь две величины и одна размерность, Па, т. е. существует только один критерий подобия. Подставляя в (9.8) значение 6ag из (8.18), приходим к первой формуле (8.27). Заменяя в ней критическую скорость барботажа скоростью парообразования, получаем гидродинамический критерий первого кризиса кипения

k .(9.9)

г "1/р"у а?(р'— р")

который в рассмотренной модели является константой.

Рис. 9.3. Зависимость первой критической плотности теплового потока от давления при кипении воды в условиях свободной конвекции. Линия — расчет по формуле (9.9) при к = 0,14; точки — опыты Е. А. Казаковой.Рис. 9.3. Зависимость первой критической плотности теплового потока от давления при кипении воды в условиях свободной конвекции. Линия — расчет по формуле (9.9) при к = 0,14; точки — опыты Е. А. Казаковой.

Рис. 9.3. Зависимость первой критической плотности теплового потока от давления при кипении воды в условиях свободной конвекции. Линия — расчет по формуле (9.9) при к = 0,14; точки — опыты Е. А. Казаковой.

Рис. 9.3. Зависимость первой критической плотности теплового потока от давления при кипении воды в условиях свободной конвекции. Линия — расчет по формуле (9.9) при к = 0,14; точки — опыты Е. А. Казаковой.

Так как эта модель применима и ко второму кризису кипения, то для нее существуют два критических значения критерия устойчивости к, причем kt > к2, поскольку свободная энергия границы раздела фаз при пузырьковом кипении больше, чем при пленочном. В кипящей жидкости имеют место условия: р-^ О, р" -> 0; р ркр, р" р\ о -> 0, г -> 0. Здесь ркр — термодинамическое критическое давление. Таким образом, на концах отрезка (0 —ркр) функция ^кр(р) равна нулю и, следовательно, должна иметь в промежутке, по крайней мере, один экстремум.

На рис. 9.3 показан вид этой зависимости для воды по экспериментальным и расчетным данным. Совпадение вполне хорошее, и эти результаты в свое время отчетливо подтвердили эффективность гидродинамического анализа кризисов кипения.

АДДИТИВНОЕ РАСШИРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

КРИЗИСА КИПЕНИЯ НАСЫЩЕННОЙ ЖИДКОСТИ

Соотношение (9.8) представляет собой простейшее условие равновесия силы, дестабилизирующей уже возникшую паровую пленку, и силы, препятствующей этой дестабилизации. Добавляя к данному соотношению масштабы других сил, действующих подобным же образом, можно получить элементарную аддитивную модель гидродинамического кризиса кипения насыщенной жидкости. Впервые это было сделано автором для учета влияния вынужденного движения при кипении в большом объеме жидкости [9.1]. Здесь мы учтем в рамках такой модели влияние вязкого трения в жидкости и капиллярно-акустического взаимодействия.

Влияние молекулярной вязкости можно оценить по масштабу касательных напряжений в жидких пленках и струйках, возникающих в пристенном газожидкостном слое перед наступлением эффекта оттеснения жидкости от твердой стенки:

F^ ~ ^U'i^g", Р'^гр - Р'^гр! F^ ~ W?U"V/8ag.(9.10)

Предполагается, что при проявлении молекулярной вязкости в жидких структурах пристенного двухфазного слоя взаимодействие

на границах раздела фаз определяется турбулентным механизмом, т. е. пропорционально соответствующим динамическим напорам. В качестве внутреннего линейного масштаба, как и ранее, принята капиллярная постоянная Лапласа.

Молекулярное трение в жидких пристенных образованиях (пленки различных форм и размеров, переменных в пространстве и времени) должно существенно проявляться только до некоторого критического значения их собственного числа Рейнольдса. В данном случае, когда имеет место свободная конвекция и скорость течения жидкой фазы не входит в условия однозначности, критическому значению числа Рейнольдса соответствует некоторое критическое значение числа Архимеда, определенное по (8.23). При значениях Аг < Аг*кр учет силы (9.10) необходим; при Аг* > > Аг*кр ее влияние пренебрежимо мало, и процесс оттеснения жидкости при барботаже (или возникновения устойчивой паровой пленки при кипении) автомоделей относительно молекулярной вязкости.

Возникающие при барботаже и кипении акустические эффекты, хорошо различимые даже на слух, учтем введением динамического напора, записанного в форме

Р* = p'U'a*,(9.11)

где а* — скорость распространения звука в газовой (паровой) фазе. Эта величина может быть оценена по известной формуле

а* =(9-12)

При квазиизотермическом процессе (низкочастотные колебания границы раздела фаз, когда жидкость успевает отводить тепло от газа) показатель политропы n^V при квазидиабатическом процессе (высокочастотные колебания) п = у, где 7, как и ранее,— показатель адиабаты.

Конечно, следует отчетливо понимать, что между введением масштаба влияния вязкости (9.10) и введением масштаба акустического давления (9.11) имеется существенное различие. Физическая интерпретация первого совершенно отчетлива, а второй введен интуитивно с учетом имеющихся экспериментальных фактов.

Аддитивная модель с этими масштабами взаимодействующих сил имеет вид

С^Арб^ = р"С"2 + C2p'U'/6ag + C3p'U'a*,(9.13)

где Сг — экспериментально определяемые константы.

Подставляя в (9.13) порядок масштабов соответствующих ве* личин из (9.10) и (9.12), получим квадратное уравнение относительно критерия устойчивости к

к2 + к (С2Аг~1/2 + С3М;1) - Ci = 0,(9.14)

где С3 — константа с точностью до множителя Тр7Др. Константы в (9.13) и (9.14) численно не совпадают, и в дальнейшем будут

Рис. 9.5. Обобщающая зависимость для области, автомодельной относительно вязкости.Рис. 9.5. Обобщающая зависимость для области, автомодельной относительно вязкости.

Рис. 9.5. Обобщающая зависимость для области, автомодельной относительно вязкости.

Рис. 9.5. Обобщающая зависимость для области, автомодельной относительно вязкости.

Рис. 9.4. Зависимость к (М*) по опытам с барботажем разных газов через воду и спирт.

— водород; 2 — гелий; з — азот;

— аргон; 5— ксенон. (Каждая точка — среднее из множества экспериментов в широком интервале скоростей барботажа U" и давлений р.).

Барботаж: а — воды: 1— элегазом (SF6), 2— ксеноном, 3— аргоном, 4— азотом,5 — гелием, 6 — воздухом; б — этанола: 7 — аргоном, 8 — азотом; в — ацетонаазотом; г — метанола азотом.

Рис. 9.6. Обобщающая зависимость в области влияния вязкости жидко-сти.

Барботаж водоглицериновых растворов гелием (1) и азотом (2).

Рис. 9.7. Зависимость критерия устойчивости от М*:Рис. 9.7. Зависимость критерия устойчивости от М*:

Рис. 9.7. Зависимость критерия устойчивости от М*:

Рис. 9.7. Зависимость критерия устойчивости от М*:

1 — при кипении различных жидкостей (темные кружки — данные, полученные при ускорениях', ббльших 9,81 м/с2); 2 — при барботаже воды и этанола различными газами; линия — расчет с учетом вязкости по формуле (9.16).

Рис. 9.8. Влияние вязкости жидкости на устойчивость пузырькового режима барботажа.

Барботаж раствора глицерина: 1 — азот, 2 — гелий. То же, воды: 3 — ксенон; 4 — аргон; 5 — азот. То же, этанола: 6 — аргон; 7 — азот.

X/ 02 v3 V4 □5 ^6

приводиться их значения, найденные в результате обработки опыт* ных данных по уравнению (9.14). Степень корректности этого мо* дельного уравнения определяется тем, насколько близки к линей* ности зависимости между величинами

{k2; k/M*}; км//А^}. (9.15)

Первая из этих зависимостей должна иметь место при значениях Аг* > Аг#кр; вторая —при значениях Аг*<Аг$>кр. В последнем случае предполагается, что существует величина км = к/ (М*) та* кая, что / (М*) не зависит от Аг* В первом приближении можно принять, что / (М*) ~ М^2/3 (рис. 9.4). На рис. 9.5 и 9.6 приведена обработка экспериментальных данных, полученных автором с И. Г. Маленковым [9.2] в системах координат (9.15). Как видно, предполагаемая в (9.14) линейность выполняется в определенной мере вполне удовлетворительно. На рис. 9.7 приведено сопоставле* ние расчетов по формуле

k = /Z2 + 0,106-Z; Z - 4,25Аг;1/2 + 1,3-Ю^М”1 (9.16)

с рядом экспериментальных данных по барботажу и кипению. Расчеты по этой же формуле сравниваются на рис. 9.8 с экспериментальными данными по барботажу в широком интервале значе* ний числа Аг*. По этим данным Аг^кр« 104. Модель легко расширяется и позволяет, в частности, оценить влияние ускорения Кориолиса на кризис кипения в поле центробежных сил [9.3].

КРИТЕРИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КИПЕНИЯПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Мерой взаимодействия динамического напора жидкой фазы с гравитационно-капиллярными силами может служить отношение

Fr* = U'lu^g.^Al^

Этот комплекс можно рассматривать как модификацию критерия Фруда, характеризующую влияние организованного течения жидкости на капиллярно-гравитационное взаимодействие в газожидкостной смеси.

При Fr* -> 0 имеет место свободная конвекция жидкости, обусловленная процессом генерации пара. При Fr* ^> 1 влияние капил* лярно-гравитационных сил мало по сравнению с динамическим воздействием вынужденного течения жидкости.

Кроме того, при больших скоростях течения отрывной радиус пузырей 7?0 приближенно обратно пропорционален квадрату скорости течения жидкости, а толщина гидродинамического пограничного слоя 6 пропорциональна скорости в степени, меньшей единицы, т. е,

(R А)

1 п <2\.(9.18)

Поэтому можно рассмотреть модель, в которой Fr* ^> 1 и Ro < б.

Кризис теплообмена в такой модели наступает при вытеснении жидкости, находящейся между возникающими на стенке паровыми пятнами, и образовании сплошного парового слоя.

При Re -^ оо критический вдув через равномерно проницаемую поверхность определяется третьей формулой (7.37). Если паросо- держание пристенного газожидкостного слоя есть ср*, то действительный поток жидкости, отталкиваемый от стенки в пограничный слой,I

7* = 2c/op't/' (1 — Ф*).(9.19)

Этот поток создается за счет кинетической энергии пара, генерируемого на стенке.

Полагая

(9-2°) р wp / г7

находим, что

?кр « 2с/оф* (1 — ф*) г l/pytz'.(9.21)

Отсюда с точностью до множителя 2с/оф* (1 — ф*), являющегося также функцией процесса, критерий устойчивости пузырькового кипения при больших скоростях течения насыщенной жидкости имеет вид

(9.22)

Очевидно, что этот чисто гидродинамический критерий относится и к эффекту оттеснения жидкости от стенки при барботаже в вынужденном потоке.

Здесь следует обратить внимание на использование двух пре-» дельных модельных представлений — гидродинамической модели кризиса кипения и модели пограничного слоя с исчезающей вязкостью.

НЕДОГРЕВ ЖИДКОСТИ ДО ТЕМПЕРАТУРЫ НАСЫЩЕНИЯ

Возникновение паровой пленки в жидкости, масса которой не- догрета до температуры кипения (например, при закалке металлических изделий), обусловлено уже не только гидродинамической устойчивостью пристенного слоя, но и условиями его теплообмена с остальной жидкостью.

В первом приближении естественно принять предположение о том, что

£кР ~ дКр0 + (ЦТ" - То).(9.23)'

Здесь дкр о — критический тепловой поток в насыщенной жидкости; а — коэффициент теплоотдачи из пристенной области в холодное ядро жидкости, имеющее температуру То.

Если на поверхности паровой пленки образуется квазистацио- нарный пограничный слой жидкости, то при свободной конвекции

Рис. 9.9. Зависимость gKpi от К при кипении в большом объеме жидкости. Опыты С. С. Кутателадзе и Л. Л. Шнейдермана.

Спирт: 1—р = 0,098; 2— р = 0,196; 3— р = 0,49; 4— р = 0,98 МПа. Вода: 5 — р = 0,098; 6 —р = 0,29 МПа. Пзооктан: 7 — р = 0,098 МПа.

Рис. 9.10. Зависимость дкр1 (Fr*) по опытам Л. С. Штоколова и Д. Р. Бартца.

1 — спирт, р = (0,5 4- 5,5) МПа; 2 — аммиак, р = 3,5 МПа.

Рис. 9.11. Зависимость критерия устойчивости кипения к от относительного размера нагревателя D = D^g(p'— р")/а.

К-1 (р"/р')~з№= 0; 2 — К-1 (р"/р')—3/4 > 18; 3 — пластина теплоизолированаснизу; 4— пластина теплоизолирована сверху; к^—по формуле (9.9).

возникают течения, похожие на ламинарное обтекание лобовой точки, когда

St ~ Prn Re-1/2.(9.24)

Полагая U' ~ U" и L ~ 6сб, получим

^кр = 1 + £р-3/4КЛ(9.25)

Здесь #кр = ^кр/^кр о — относительный критический тепловой поток, где дкро определено по гидродинамической модели (9.9); К — = г/с,Ф—тепловой критерий фазового перехода, построенный по недогреву жидкости; £ = consti PrnAr™1/4> — 1/2 > п > — 2/3.

При больших скоростях течения St ^ cfX и

?кр ~ 1 + const2 р-^КЛ'(9.26)

Здесь, как и ранее, р = р"/р'. На рис. 9.9 и 9.10 показаны экспериментальные данные, хорошо подтверждающие эффективность этих простых и отчетливых моделей.

При малых размерах нагревателя, например, когда радиус цилиндрического источника тепла R соизмерим или меньше внутреннего масштаба bcgl необходимо учитывать влияние симплекса

Rog =(9.27)

На рис. 9.11 дан график критических тепловых потоков в различных условиях кипения при свободной конвекции.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПЕРЕХОД

ОТ ОДНОФАЗНОЙ КОНВЕКЦИИ К ПЛЕНОЧНОМУ КИПЕНИЮ

Как уже говорилось, на поверхностях нагрева, обедненных центрами парообразования, возникает слой сильно перегретой, ме^ тастабильной жидкости. При этом пленочный режим кипения может возникнуть без предварительного существования стабильного режима пузырькового кипения. Показанный на рис. 9.2 такой переход может интерпретироваться как цепной механизм объемного вскипания пристенного метастабильного слоя жидкости, индуцированный спонтанным возникновением одиночного парового пузыря на одной из неоднородностей стенки. Очевидно, что в данном процессе необходимо учесть как гидродинамические, так и термодинамические параметры.

В качестве критерия кавитационного механизма инициирования объемного вскипания введем комплекс

F си F си ^'иХ^'иХ(9.28)(9.28)

F си

F си

^'иХ

^'иХ

(9.28)

(9.28)

Здесь и* — характерная скорость перемещения границы раздела фаз; V* — эффективный объем жидкости, присоединяющийся к движению границы раздела. Числитель этого критерия является

масштабом работы возникновения паровой фазы, а знаменатель — масштабом воздействия кавитационного импульса. При этом принято, что р^^р', поскольку такие явления обычно имеют место при низких давлениях.

Масштабом максимальной скорости перемещения границы раздела фаз может служить ее значение при радиусе пузыря 7? = /?кр, а масштабом присоединенного объема жидкости — его максимальное значение порядка 6^- Скорость перемещения поверхности пузыря в данной ситуации естественнее всего связать с тепловым потоком, возникающим при скачкообразном изменении температуры на поверхности источника.

При этих предположениях можно составить соотношения:

g Ф' ~ Р")

Подставив эти масштабы в (9.28), получим критерий третьего кризиса кипения, построенный по критическому значению перегрева стенки ДГнрз = ГСт,кр — ^о» гДе ^о— температура насыщения над плоскостью,

Осредненные результаты опытов с такими разнородными жидкостями, как щелочные металлы и спирты, показаны на рис. 9.12.

В металлических жидкостях при критических режимах кипения имеет место заметный отвод тепла через жидкость даже в условиях нормальной гидродинамической неустойчивости. В ослабленном виде этот эффект наблюдается и в неметаллических жидкостях при низком давлении.

Допустим, что и в данном случае теплопроводность осуществляется по модели теплового удара, т. е.

(9.31)(9.31)

(9.31)

(9.31)

где t — время, масштаб которого определяется волновыми эффектами капиллярно-гравитационного происхождения.

Полагая t ~ 6cg/uag и АТ1 ~ АГкрз, получим (р" < р')

(9.32)(9.32)^ ~ g9/i6ri/2 (Г^5/16^7/16

(9.32)

(9.32)

Суммарный поток в момент кризиса

(9.33)(9.33)9кр ~ 7кр О + Qx*

(9.33)

(9.33)

Рис. 9.12. Данные о критической разности температур при вскипании метастабильной жидкости — третий кризис кипения.Рис. 9.12. Данные о критической разности температур при вскипании метастабильной жидкости — третий кризис кипения.Рис. 9.13. Критические тепловые потоки при кипении цезия.1— данные В. И. Субботина, Д. Н. Сорокина и др.; 2— данные С. С. Кутателадзе. I— расчет по формуле (9.33), II— расчетная кривая при ДТКрз=- =3,8-102 для минимальных тепловых потоков, при которых возникает пленочное кипение.Рис. 9.13. Критические тепловые потоки при кипении цезия.1— данные В. И. Субботина, Д. Н. Сорокина и др.; 2— данные С. С. Кутателадзе. I— расчет по формуле (9.33), II— расчетная кривая при ДТКрз=- =3,8-102 для минимальных тепловых потоков, при которых возникает пленочное кипение.

Рис. 9.12. Данные о критической разности температур при вскипании метастабильной жидкости — третий кризис кипения.

Рис. 9.12. Данные о критической разности температур при вскипании метастабильной жидкости — третий кризис кипения.

Рис. 9.13. Критические тепловые потоки при кипении цезия.

1— данные В. И. Субботина, Д. Н. Сорокина и др.; 2— данные С. С. Кутателадзе. I— расчет по формуле (9.33), II— расчетная кривая при ДТКрз=- =3,8-102 для минимальных тепловых потоков, при которых возникает пленочное кипение.

Рис. 9.13. Критические тепловые потоки при кипении цезия.

1— данные В. И. Субботина, Д. Н. Сорокина и др.; 2— данные С. С. Кутателадзе. I— расчет по формуле (9.33), II— расчетная кривая при ДТКрз=- =3,8-102 для минимальных тепловых потоков, при которых возникает пленочное кипение.

(9.34У(9.34УНа рис. 9.13 приведены экспериментальные данные, подтверждающие, что при нестабильном кипении щелочных металлов первые критические тепловые потоки лежат в пределах

(9.34У

(9.34У

(?крЗ ^ ^кр ^ ^крО "1” ^А»

Таким образом, анализ размерностей при правильном выборе физических моделей приводит к весьма сильным результатам в тех случаях, для которых построение точных физико-математических моделей в данное время невозможно.

ЛИТЕРАТУРА

Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении.— М.— Л.: Машгиз, 1952.—231 с.

Кутателадзе С. С., Маленков И. Г. Гидродинамическая аналогия теплообмена и кризиса пузырькового режима при кипении и барботаже. Экспериментальные данные.— Новосибирск, 1983.— 51 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТФ; 100—83).

Кутателадзе С. С., Луцет М. О., Маленков И. Г. Аддитивное обобщение элементарной гидродинамической модели первого кризиса кипения жидкостей.—Докл. АН СССР, 1985, т. 285, № 3, с. 612—615.

Глава 10

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ

Под дисперсными системами понимаются преимущественно множества твердых элементов, взвешенных в несущем потоке газа или жидкости. Конечно, к дисперсным системам относятся и множества капель жидкости в несущем потоке газа (пара) или диспергированная жидкость, несомая другой жидкостью, с которой она не смешивается. Тем не менее между системами твердые частицы — несущая среда (газ, жидкость) и жидкие частицы — газ существует принципиальное различие. Во-первых,, жидкие частицы могут деформироваться под влиянием аэродинамических сил в процессе движения. Во-вторых, взаимодействие твердых и жидких частиц при столкновениях различно. Твердые частицы при соударении испытывают упругие или неупругие столкновения и коагулируют только при значительном размельчении, когда велика свободная энергия их поверхности. При сильных взаимодействиях друг с другом, со стенками канала и другими твердыми конструкционными элементами (например, с шарами или планетарными дисками в размольных устройствах) твердые частицы могут разрушаться (размалываться) .

Жидкие частицы при столкновении с твердой смачиваемой поверхностью могут прилипать непосредственно к ней или сливаться с находящимися на поверхности жидкими пленками, а при столкновении друг с другом или под влиянием аэродинамических сил — коагулировать или дробиться.

Рассматриваемые системы делятся на два основных класса — монодисперсные и пол и дисперсные. Простейшая физико-математическая модель описывает монодисперсную систему из сферических частиц. Здесь имеются следующие канонические ситуации.

Первая—фиксированный (например, решетками) слой сферических частиц одного радиуса R. При этом выделяются плотная, упорядоченная упаковка шаров, которой соответствует порозность Ф = 0,26, и свободнонасыпная упаковка шаров, которой соответствует порозность ф = 0,4. Здесь ф — объемная доля пространства, заполненного несущей пли протекающей средой.

Вторая — свободный слой сферических частиц одного радиуса. При достижении определенной скорости продувки слоя сплошной средой (так сказать, барботаж некоего газа через «жидкость твердых частиц») происходит коллективное взвешивание частиц слоя и их локальное движение, включая диффузию, т. е. возникает так называемый взвешенный, или псевдоожиженный, слой. При

больших скоростях продувки наступает разрушение слоя и интенсивный или даже полный унос частиц.

Третья — совместное движение несущей среды и дисперсных частиц (дисперсный поток) при отсутствии существенного взаимодействия частиц между собою и слабом влиянии их на динамику несущей среды. Иначе говоря, это поток с малой концентрацией частиц.

Четвертая — дисперсный поток со значительной концентрацией частиц, когда их взаимодействия существенно влияют на всю гидродинамическую обстановку.

НЕЗАВИСИМОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫВ НЕСУЩЕМ ПОТОКЕ

На частицу действуют поле давлений в несущей жидкости, включая силу Архимеда, гидродинамическое сопротивление ее относительному движению, сила Магнуса, обусловленная эффектом вращения частицы, сила инерции и другие возможные силы (например, электромагнитные).

Уравнение движения одиночной сферпческой частицы в потоке при воздействии только гидродинамических сил можно записать в форме

(Р- - р')5^+ § р" ЬЬ +

+ 2p'(<«xu0)-p'^ + sp'^.(10.1)

Здесь индекс * обозначает параметры частицы; индекс " — параметры несущей среды; и0 = и' — и" — относительная скорость частицы в направлении оси ж; о — угловая скорость частицы; £ — коэффициент гидродинамического сопротивления (например, в ква- зистационарном приближении); £ — коэффициент присоединенной массы (для сферы £ = 1/2; для поперечно обтекаемого протяженного цилиндра £ = 1; для поперечно обтекаемого диска § = 10); R — радиус частицы; (^/?/^)тр — градиент давления в жидкости, не свя- - занный с действием гравитации.

Для сферической частицы стационарные значения коэффициента гидродинамического сопротивления приведены на рис. 4.5. При этом £ зависит от собственного числа Рейнольдса частицы

Re' = u.R/v".(10.2)'

Два характерных случая здесь должны быть выделены — область вязкого обтекания, когда Re'^ 1 (g Re' = const), и область автомодельности (£~0,4).

Существенным с точки зрения анализа подобия в уравнении (10.1) является отношение третьего и первого членов

Fr» = ^^,(Ю.З)

представляющее собой некоторую модификацию числа Фруда. Это число при законе трения £ Re' = const представляет собой комбинацию внутренних критериев процесса

(10.4)(10.4)Re _^%

(10.4)

(10.4)

Ar (p-l)gjR2’

где р = р7р"—относительная плотность частиц. Другие члены уравнения (10.1) не приводят к каким-либо особым критериям подобия.

Величины, характеризующие кинематику частицы, в общем случае не входят в условия однозначности. В двухкомпонентном потоке твердые частицы — несущая среда величины и0 и о вырабатываются самим течением. Поэтому только в форме

(10.5)(10.5)Fr -

(10.5)

(10.5)

^(р-1)

число Фруда, строго говоря, является независимой переменной. В качестве независимой переменной может использоваться и число Рейнольдса

(10.6)(10.6)Re = u"fl/v"

(10.6)

(10.6)

или производное от этих двух число Архимеда

Ar = g/?3 (р — l)/v"2.(10.7)

Коэффициент гидродинамического сопротивления из (10.5) и (10.6) исключен, поскольку в общем случае он является функцией всей совокупности условий протекания данного процесса. Однако в конкретных расчетах и при моделировании часто целесообразно задаваться некоторым интервалом значений Re', в котором можно полагать

5 - Re-n.(10.8)

Тогда показатель степени п приобретает смысл самостоятельной определяющей характеристики процесса.

Тепловое взаимодействие частицы с потоком определяется ее внутренним термическим сопротивлением, которое может быть охарактеризовано собственным числом Био частицы. При Bi -> °° частица в тепловом отношении инертна (X' -> 0); при Bi -> 0 (X' ~> -> 00) можно пренебречь термическим сопротивлением частицы и считать, что ее температура полностью определяется теплообменом на поверхности контакта с несущей средой.

В общем случае необходимо вводить симплексы

Cc = cvc". =^ = р7р"}.(10.9)

В слабоконцентрпрованных дисперсных потоках с хорошо теплопроводными частицами их влияние на теплообмен в первом приближении может учитываться введением эффективной теплоемкости потока сэф = с" + с'р.

ФИКСИРОВАННЫЙ СЛОЙ ЧАСТИЦ

-55 ^ 2?Г =-55 ^ 2?Г =1 — ф1 — ф(10.10)(10.10)В однородном слое сферических частиц имеют место следующие геометрические соотношения:

-5

5 ^ 2?Г =

-5

5 ^ 2?Г =

1 — ф

1 — ф

(10.10)

(10.10)

I А /А । \— Ф \ 2/3

Ф = 1 - (1 - Фо) ( ! _ ^J•

Здесь s — расстояние между соседними сферами; R — радиус сферы; ф0 — порозность плотной упаковки при данном расположении частиц; гр — минимальное относительное проходное сечение между частицами; гр0 — то же, в плотной упаковке.

‘ В упорядоченных упаковках сфер одной из наиболее плотных является тетраэдрическая с ф0 = 0,26, а наименее плотной — кубическая с фо = 0,48.

В реальном, случайно упакованном слое (ф0 ~ 0,4) концентрация сфер определяется формулой

1-Ф^ 0,6(1+ s)"3, (ю.ну

я среднее расстояние между частицами

(10.12)’(10.12)’5 -0,84(1 -гр)"1/3-1.

(10.12)’

(10.12)’

Интерполяционная формула для минимального проходного сечения такой упаковки имеет вид [5.2]

(10ЛЗУ(10ЛЗУФ>0,4, тр 1 — 1,17(1 — ф)2/3.

(10ЛЗУ

(10ЛЗУ

Если выполняются все условия геометрического и динамического подобия, выбор характерной скорости в критериях безразличен. Однако для инженерных расчетов, упрощения анализа экспе

риментальных данных, наконец, для более отчетливых физических

интерпретаций выбор этой скорости является существенным.

Именно выбор максимальной скорости течения фильтрующейся

среды в засыпках шаров и пакетах поперечно обтекаемых цилинд

ров позволяет наиболее компактно обобщать экспериментальные данные по гидродинамическому сопротивлению и осредненной интенсивности тепло- и массообмена. Обычно различают три средние скорости: среднюю расходную <£/">, среднюю максимальную <U'^

Рис. 10.1. Средняя интенсивность теплоотдачи от элементов засыпки по данным разных авторов.

1 — Ранц; 2 — Пфеффер; 3 — Глидон; 4 — Кунии, Сузуки; 5 — Эйхорн; 6 — Мимура; 7 — Цыбульский и др.; 8 — Сузуки; 9 — Кунии, Смит.

Рис. 10.2. Распределение продольной скорости U", отнесенной к расходной

а — кубическая упаковка: 1— Re = 22; 2— Re = 63; 3— Re — 112; 4— Re = 260; 5—Re = 500; 6 — хаотическая упаковка в цилиндрическом канале (DTp/2R =7.5): 1 — Re —= 13; 2 — Re = 54; 3 — Re = 100.

и скорость в пустом сечении перед входом в слои или пакет и0) которые связаны друг с другом через геометрические параметры засыпки

i <с> = и;/^, <и"> = сш. (ю.14)

Неоднозначен и выбор характерного линейного размера — эффективного радиуса (диаметра) элементов засыпки, эффективного размера проходного сечения между ними и т. п. Конечно, указанные характеристики зависят от плотности упаковки и ее геометрии, включая распределение дисперсных элементов по их размерам. Все эти вопросы обсуждаются в специальной литературе [5.2, 10.1, 10.3, 10.4, 10.6], и их рассмотрение выходит за рамки общего анализа подобия.

Насколько эта проблема сложна и неоднозначна, видно из рис. 10.1, где представлено поле данных о средней интенсивности теплообмена между твердыми сферами в неподвижном слое и обтекающей их жидкой пли газообразной средой. Следует отчетливо представлять, что без знания детальной картины течения в слое дисперсных элементов построение модельных течений для столь сложной геометрии носит спекулятивный характер. Вследствие этого те или иные умозрительные модели удовлетворительно обобщают только ограниченный круг данных. Однако изучение внутренней термогидродинамики в дисперсных слоях крайне сложно, и только в последнее десятилетие начали создаваться соответствующие экспериментальные средства и методики [10.2, 10.7].

В качестве иллюстрации на рис. 10.2 показано распределение скоростей жидкости в ячейке слоя сфер, полученное с помощью лазерного измерителя скорости. Сферы и жидкость были прозрачными и имели одинаковые коэффициенты преломления света. '

ДИНАМИЧЕСКИЕ СЛОИ И ПОТОКИ ЧАСТИЦ

В незакрепленном дисперсном слое при достижении определенной скорости течения жидкости, проходящей через этот слой, возникает общее движение системы. Порог возникновения такого движения первоначально неподвижного слоя определяется воздействием динамического напора фильтрующейся среды и условиями механической прочности частиц [10.1, 10.3].

В гидродинамическом смысле существенны три ситуации.

Первая — взвешивание слоя частиц в проходящем потоке жидкости или газа, не сопровождающееся существенным уносом дисперсной фазы. При этом устанавливается динамическое равновесие между силой воздействия потока на частицы, которая выталкивает их из слоя, и противодействующей силой тяжести или центробежного ускорения. Как уже говорилось, такой слой взвешенных частиц, способных к внутреннему взаимодействию и диффузии, называется псевдоожиженным, или кипящим, слоем. В нем возможно

Рис. 10.3. Вращающийся слабокопцентрированпый слой сфер.

Видны неустойчивости внешней области течения.

возникновение различных неустойчивостей и неоднородностей, например образование в слое газовых пузырей и струй, сгустков с повышенной концентрацией частиц, волн на поверхности слоя, витание частиц над слоем, локальные эффекты около ограждающих слой боковых поверхностей. В качестве иллюстрации приведена фотография вихревой камеры с гиперболическими торцами (рис. 10.3), идея которой принадлежит В. И. Кислых (1966 г.). На поверхности вращающегося слоя частиц видны возмущения.

Вторая — поток несущей среды (жидкость или газ) с малой концентрацией дисперсной фазы. В этом случае воздействие частиц на гидродинамику несущей среды невелико, и в первом приближении им можно пренебречь. Однако это обычно верно при турбулентных течениях и не всегда при ламинарных. Соответственно слабо и взаимодействие между частицами. Для таких условий можно относительно просто строить математические модели [10.6].

Третья — поток с большой концентрацией дисперсной фазы, когда существенно как взаимодействие между частицами, так и их коллективное воздействие на гидродинамику несущей среды. Подробно классификация дисперсных потоков разбирается, например, в [10.3] (рис. 10.4).

Особую проблему представляет собой формулировка краевых условий, в частности определение характера взаимодействия не-

сущей среды и собственно частиц с ограждающими поток поверхностями (стенками).

Важным эффектом является возникновение вращательного движения частиц при соударениях со стенкой и друг с другом. При этом появляется сила Магнуса, направленная перпендикулярно к поступательному движению:

FM = (л/3)р"2)3По(о,

(10.15)

где D = 2R — диаметр частицы; и0 — относительная поступательная скорость частицы в несущей среде; со — угловая скорость частицы. Этот эффект приводит к поддержанию хаотического движения во взвешенном слое при достаточно больших концентрациях дисперсной фазы.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КИПЯЩЕГО СЛОЯ

В качестве иллюстрации некоторых проблем, возникающих при анализе дисперсных систем, рассмотрим результаты, полученные М. А. Гольдштпком [5.2] для идеализированной схемы однородного кипящего слоя сфер.

Для покоящегося в среднем слоя уравнение импульсов имеет вид

^ = (! - Ф) [5 ^т * ^ (Р' - Р")].(Ю.16)

Здесь р' — давление «газа частиц», т. е. удельный импульс, переносимый частицами; х — координата, направленная против вектора силы тяжести; £ — коэффициент гидродинамического сопротивления при обтекании сферы; ит—максимальная скорость течения жидкости, рассчитанная по минимальному проходному сечению гр.

Взвешивание слоя и хаотическое движение его частиц возникают при

«^^„/-^(p-l),(10.17)

где гр0 — минимальное относительное проходное сечение в слое исходной конфигурации.

Таким образом, кипящий слой существует в области скоростей ^ipi <С и" < ^кр2,(10.18)

где ыкр1— критическая скорость взвешивания частиц потоком фильтрующейся среды; wKp2—критическая скорость выноса всех частиц потоком несущей среды. Так как выражение (10.17) определяет и скорость свободного витания частиц (гр ^ 1, £ = £ВиТ), то условия (10.18) можно записать в безразмерной форме, например

<“■ < —у4=.(10.19)

/зесл /gn(p-i)ВИТ

Здесь £Сл, £вит — коэффициент гидравлического сопротивления соответственно при обтекании частицы в слое и в условиях свободного витания.

При переходе от неподвижного слоя к взвешенному меняется знак при градиенте давления с минуса на плюс.

В плотном слое взвешенных и, следовательно, подвижных сфер длина свободного пробега l^R. Поэтому в отличие от классической кинетической теории газов в плотном «газе частиц» имеет

место полная экранировка слоев, и в процессе соударений с поверхностью твердой стенки участвует (1 — ф)/л7?2 частиц на единицу ее площади.

Импульс, передаваемый одной частицей, равен 2^^', где т' = = (4/3) л7?3р'— масса частицы; и' — ее хаотическая скорость в направлении к стенке. Время прохождения частицей двойного пути свободного пробега равно 21/и и сила, с которой частица действует на стенку, равна m’u^lV. давление, создаваемое частицами пристенного слоя, равно

(10.20)(10.20)р' = 4 (1 — ф) p'zz'2/3Z.

(10.20)

(10.20)

Оценки показывают, что сила гидродинамического сопротивления хаотическому движению частиц существенно меньше силы, возникающей вследствие вращения и действующей поперек направления осредненного потока фильтрующейся среды. Угловую скорость вращения частиц можно определить из условия равенства поступательной и вращательной энергий. Принимая во внимание, что момент инерции сферы равен 0,4 m'R\ имеем:

(10.21)(10.21)(10.22)(10.22)у т'и'2 = 0,2m'2?2co'2;

(10.21)

(10.21)

(10.22)

(10.22)

FM = -|- V 1Олр"7?2^ои'.

Так как и С zz0, то можно считать, что

^M = 137?2p"zZ<u">.

Работа, совершаемая этой силой на пути свободного пробега, гасится в результате неупругих ударов частиц (поскольку влияние гидродинамики на их хаотическое движение не учитывается). Отсюда следует, что

Fwlx^m'u'2^ — к2),Fwlx^m'u'2^ — к2),(10.23)(10.23)

Fwlx^m'u'2^ — к2),

Fwlx^m'u'2^ — к2),

(10.23)

(10.23)

где к — коэффициент восстановления энергии соударения.

Подставляя скорость хаотического движения из (10.22) в (10.16), получим формулу М. А. Гольдштика

р’ ^(pV)^'"^,(10.24)

где

ф=(У(^ (Кр^ -1)-(10-25>

(1 — & ) Ф V 1 — ф 1

На рис. 10.5 представлена зависимость безразмерного давления р' от объемной концентрации частиц. При ф = 0,65 имеет место максимум давления «газа частиц». Эта концентрация является критической. Правая ветвь описывает поведение частиц в плотных устойчивых слоях — плотный «газ частиц». Левая ветвь описывает разреженный «газ частиц», который может существовать (витать)

Рис. 10.5. Зависимость безразмерного давления «газа частиц» от их объемной концентрации.

над плотным слоем. Штриховой линией показан переход на границе плотного слоя к зоне разреженных витающих частиц.

Если известна масса засыпки сфер G, то минимальная высота плотного кипящего слоя будет соответствовать высоте покоящегося слоя

Ьсл = С/р'(1- фо) 5, (10.26)' где S — площадь поперечного сечения слоя. В действительности при псевдоожижении слой несколько набухает, обеспечивая хаотическое движение «газа частиц».

Как видно, более детальное рассмотрение процесса даже в элементарной форме дает существенное продвижение в его понимании по сравнению с тривиальным анализом подобия.

В рассматриваемом случае выявляется существенная роль вращения частиц для поддержания хаотического движения, предсказывается форма конкретной связи между критериями подобия. Так, в (10.24) комплекс pl^V'” является конкретной формой числа Эйлера для давления «газа частиц», величина р характеризует 'влияние соотношения плотностей материала частиц и фильтрующейся среды, величина ф — порозность слоя, al — ф — концентрацию частиц в слое.

ПОТОК ДИСПЕРСНОЙ СМЕСИ -

Под потоком дисперсной смеси понимается совместное движение сплошной несущей среды (жидкость, газ) и распределенных в ней дисперсных частиц другой природы.

Если нет сильного взаимодействия между частицами, а также частиц с конструкционными элементами канала, то основные критерии подобия остаются те же, что и для одиночной частицы.

В концентрированном дисперсном потоке между частицами возникают как гидродинамические, так и столкновительные взаимодействия. При этом поток частиц начинает существенно влиять и на динамику несущей среды. С точки зрения подобия здесь следует ввести порозность ф, относительную плотность частиц р и условия взаимодействия при столкновениях (упругость, деформация, коагуляция). Параметр р влияет на истинное относительное движение фаз и на другие силовые взаимодействия. Если размеры частиц соизмеримы с характерным размером канала, необходимо ввести отношение этих величин, которое можно назвать симплексом стесненности движения частиц.

При рассмотрении теплообмена необходимо учитывать в первую очередь теплоемкость дисперсной фазы с' и, когда число Био частицы велико, ее теплопроводность. Влияние этих параметров может быть формально учтено введением соответствующих симплексов (например, с = с!с"^ или модификацией основных термогидродинамических критериев на основе модельных соображений, например, введением суммарной теплоемкости фаз в критерий Пекле потока несущей среды.

При сильных взаимодействиях частиц одним из чисел подобия становится коэффициент восстановления энергии соударения, а для мелкодисперсных систем следует вводить свободную энергию поверхности частиц и конфигурацию адгезии. Последние величины следует рассматривать как существенные для процесса физические свойства среды и вводить их в критерии подобия или на основе анализа размерностей, или соответственно определенным модельным представлениям.

Когда сильное взаимодействие приводит к разрушению твердых частиц (например, аэродинамический размол), в качестве существенных физических свойств среды появляются прочностные характеристики дробящегося материала. При этом могут возникать числа подобия вида

ос« = оск/рЕ72, (10.27}

где аск — напряжение скола; р£/2 — характерный динамический напор.

При разрушающем воздействии акустических возмущений на твердую фазу можно задавать мощность их источников или гидро- газодинамические и геометрические критерии, определяющие мощность и распределение этих источников.

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Как показывет одна из возможных классификаций дисперсных потоков (см. рис. 10.4), разнообразие ситуаций столь велико, что давать какие-либо общие рекомендации вряд ли целесообразно. Все же некоторые примеры могут быть полезными.

Пример первый — многозначность устойчивых состояний дисперсных систем. При обтекании сферы струей (рис. 10.6), вытекающей из решетки сфер, наблюдаются два устойчивых состояния, каждое из которых возникает при соответствующем задании начального положения свободной сферы.

Пример второй — уже приводившийся в главе 4 — нестационарный тепломассообмен одиночной сферы с несущей средой при мгновенном изменении температуры или концентрации на поверхности сферы. Экспериментальные данные обобщаются эмпирической связью между отношением коэффициента тепломассоотдачи а в данный момент времени t к его значению а0 при t оо, числом

Рис. 10.6. Свободная сфера в струе, вытекающей из неподвижного слоя сфер. а — эффект витания на струе; б — эффект прилипания к решетке сфер.Рис. 10.6. Свободная сфера в струе, вытекающей из неподвижного слоя сфер. а — эффект витания на струе; б — эффект прилипания к решетке сфер.

Рис. 10.6. Свободная сфера в струе, вытекающей из неподвижного слоя сфер. а — эффект витания на струе; б — эффект прилипания к решетке сфер.

Рис. 10.6. Свободная сфера в струе, вытекающей из неподвижного слоя сфер. а — эффект витания на струе; б — эффект прилипания к решетке сфер.

Прандтля и критерием гомохронности [3.4]:

(10.28)(10.28)Bi -> 0, сс/ссо = 1 + 5,6 Рг^Но-1.

(10.28)

(10.28)

Пример третий — влияние концентрации твердых частиц на теплообмен в дисперсном потоке. На рис. 10.7 приведены экспериментальные данные о теплоотдаче от потока газа с дисперсными твердыми частицами к стенке [10.3]. По оси ординат отложено отношение числа Нуссельта, характеризующего теплоотдачу к внутренней стенке трубы, к числу Нуссельта, характеризующему теплообмен между частицей и газом. По осп абсцисс отложено расходное объемное газосодержание. Измененпе скорости витания показано штриховой линией. Отчетливо наблюдается автомодельность относительно концентрации частиц при £ < 3 • 10-4. При больших кон-

Рис. 10.7. Теплоотдача от дисперсного потока к стенке канала по данным:

1 — Г. Н. Худякова; 2 — 3. Р. Горбиса; 3 — G. А. Круглова; 4 — И. А. Вахрушева.

центрациях начинают проявляться влияния других параметров потока, и в данных координатах однозначность связи между теплоотдачей и концентрацией нарушается.

Пример четвертый — теплообмен между стенкой канала и жидкостью, ламинарно фильтрующейся через неподвижный слой нетеплопроводных сфер. На рис. 10.8 приведены экспериментальные данные Яги, Кунпи, Эндо о зависимости коэффициента эффективной теплопроводности ХЭф плотной случайной неподвижной засыпки от скорости фильтрации. Как видно, эта зависимость носит линейный характер. Можно принять, что при Re' > 15

1,47 + 0,1 Ре',(10.29)

где X — коэффициент теплопроводности фильтрующейся среды; Ре' = Re'Pr = uD/a — число Пекле, построенное по диаметру частиц О, локальной скорости и и коэффициенту температуропроводности фильтрующейся среды а.

Как известно, пристенная вязкая область во многих случаях определяется условием постоянства собственного числа Рейнольдса [4.4]

ReKp = uY6Jx = const.(10.30)

Здесь индекс 1 означает условную границу между пристенным слоем,, где осуществляется молекулярный перенос теплоты, и ядром потока с эффективной теплопроводностью, определяемой по (10.29).

Полагая

{ReKp = uj)/v = 100; uv = б^ст/ц),(10.31)

получаем выражение для толщины пристенного вязкого слоя

s^i^-d/ioOv2,(10.32)

где Р*т=1/Лтст/р—динамическая скорость. Уравнение теплопроводности в цилиндрическом сосуде радиуса RTp можно записать в форме

ср I OR2 ^ ^R /^ *

Рис. 10.8. Эффективная теплопроводность фильтрующейся среды.1 — D = 2,2 мм; 2 — 3 мм; 3 — 6,4 мм; линия — ХЭф/Х = А’47 + 0,1 Ре'.Рис. 10.8. Эффективная теплопроводность фильтрующейся среды.1 — D = 2,2 мм; 2 — 3 мм; 3 — 6,4 мм; линия — ХЭф/Х = А’47 + 0,1 Ре'.Рис. 10.9. Теплоотдача от фильтрующейся жидкости к стенке канала, ограждающей слой неподвижных сфер.1 — расчет по формуле (10.36); 2 —D = 3,2 мм; 3 — D = 1,07 мм.Рис. 10.9. Теплоотдача от фильтрующейся жидкости к стенке канала, ограждающей слой неподвижных сфер.1 — расчет по формуле (10.36); 2 —D = 3,2 мм; 3 — D = 1,07 мм.R = 0y(10.34)(10.35)(10.36)формулеR = 0y(10.34)(10.35)(10.36)формулеЗдесь R — текущий радиус; с, р, Т — теплоемкость, плотность и температура фильтрующейся среды.

Рис. 10.8. Эффективная теплопроводность фильтрующейся среды.

1 — D = 2,2 мм; 2 — 3 мм; 3 — 6,4 мм; линия — ХЭф/Х = А’47 + 0,1 Ре'.

Рис. 10.8. Эффективная теплопроводность фильтрующейся среды.

1 — D = 2,2 мм; 2 — 3 мм; 3 — 6,4 мм; линия — ХЭф/Х = А’47 + 0,1 Ре'.

Рис. 10.9. Теплоотдача от фильтрующейся жидкости к стенке канала, ограждающей слой неподвижных сфер.

1 — расчет по формуле (10.36); 2 —D = 3,2 мм; 3 — D = 1,07 мм.

Рис. 10.9. Теплоотдача от фильтрующейся жидкости к стенке канала, ограждающей слой неподвижных сфер.

1 — расчет по формуле (10.36); 2 —D = 3,2 мм; 3 — D = 1,07 мм.

R = 0y

(10.34)

(10.35)

(10.36)

формуле

R = 0y

(10.34)

(10.35)

(10.36)

формуле

Граничные условия: R = 7?тр — 6b q = q^ = const; dT/dR = 0. Решение имеет вид

.9ст /. ^тр \

- 7CT-<n “ V + 4Лэф ) •

Полагая [10.5] при ф = 0,4

тст ~ 20 p<u>/D, окончательно имеем

NuTp = [5 Re"1 + (И,8 + 0,8 Ре')-1]-1.

Здесь NuTp = aCTDTpA; ReTp = <w>Z)Tp/v.

На рис. 10.9 дано сопоставление расчетов по этой с опытами В. А. Мухина и Н. Н. Смирновой.

Приведенные примеры отчетливо показывают, что структура фундаментальных критериев подобия дисперсных систем не зависит от их конфигурации, но связи между ними могут радикально меняться в зависимости от концентрации частиц в потоке несущей или фильтрующейся среды и их взаимодействия.

ЛИТЕРАТУРА

Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы аппаратов со стационарным и кипящим зернистым слоем.— Л.: Химия, 1968.— 510 с.

Волков В. И., Мухин В. А., Накоряков В. Е. Исследование структуры течения в пористой среде.— ЖПХ, 1981, т. 54, вып. 1, с. 838—842.

Горбис 3. Р. Теплообмен и гидромеханика дисперсных сквозных потоков.— М.: Энергия, 1970.— 423 с.

Забродекии С. С. Гидродинамика и теплообмен в псевдоожиженном (кипящем) слое.—М.—Л.: Госэнергоиздат, 1963.—488 с..

Мухин В. А., Смирнова Н. Н. Исследование процессов тепломассообмена при фильтрации в пористых средах.—Новосибирск, 1978.—27 с. (Пре- принт/АН СССР. Сиб. отд-ние, ИТФ; 26—78.)

Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред.— М.: Наука, 1978.— 336 с.

Vonka Т. Threa-dimensional velocity measurements in fuel rod bundle models by means of a laser Doppler technique.— Experimentiertechn. Gebiet Thermo- und Fluiddyn. Proc. Fachtag. Teil 1.— Berlin, 1976.

Глава 11

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА

ИЗЛУЧАЮЩИЕ И ПОГЛОЩАЮЩИЕ СРЕДЫ

Вещество генерирует электромагнитные волны, излучая таким путем энергию в окружающее пространство. В свою очередь электромагнитные волны, взаимодействуя с веществом, передают ему полностью или частично свою энергию. Разность этих энергий есть результирующий тепловой поток, передаваемый данным объемом вещества в окружающую среду.

Плотность потока полусферического излучения, Вт/м2:

щей; dK — коэффициент пропускания, т. е. отношение лучистой энергии, прошедшей через тело, к падающей на него энергии. Для непрозрачных тел

йх = ^ aK + rx = l.(11.4)

Предельными моделями являются: абсолютно черное тело, у которого

dA = n = 0, ах = 1;(11.5)'

абсолютно белое тело, у которого

ax = dx = 0, г,. = 1.(11.6)’

Степенью черноты тела е называют отношение энергии излучения реального тела к энергии излучения черного тела при той же температуре.

В модели серого тела

NX 1 > ах = const,(11.7)

т. е. спектр излучения серого тела подобен спектру излучения абсолютно черного тела.

В поглощающей и рассеивающей среде коэффициент ослабления луча, т. е. относительное изменение интенсивности на единице длины хода луча

Х^ = Хл,п + Хл, р.(11.8)

Здесь хл, п и Хх, р — коэффициенты ослабления излучения вследствие поглощения и рассеяния, м-1.

Ослабление интенсивности излучения пропорционально его плотности, т. е.

dlx = —XxLdx.(11.9)

Отсюда следует формула Бугера

\

— j хх& I.(11.10)

о /

При Хх = const

In Л, sc = ХхХ,(11.11)

где х — длина хода луча между рассматриваемыми точками пространства.

Эти и другие оптические свойства среды (например, коэффициент преломления ^v) зависят от термодинамического состояния

Рис. 11.1. Спектры отраже-ния металлов.

1 — платина; 2 — никель; 3 — медь; 4 — золото; 5 — серебро.

Рис. 11.2. Полусферическая спектральная степень черноты е^ = ExlE^x оконного стекла различной толщины х при температуре Т = 1273 К.

Рис. 11.3. Спектр поглощения ах = 1—ехр(—wc) слоя углекислого газа толщиною! х = 38,8 см при Т i= 830 К,

вещества, а также от частоты и направления излучения, падающего на рассматриваемую площадку (или объем).

Все реальные тела излучают и поглощают селективно, т. е. у них

Ex = var.(11.12)

Приближенно серыми телами можно считать твердые тела (диэлектрики и окислы металлов) с шероховатой поверхностью. Газы обладают отчетливой селективностью. Так как все нечерные тела отражают часть падающей на них лучистой энергии, то обычно вводится некоторое эффективное излучение

1х, эф ^Х, соб + Тх, отр ^хЕо + Е, отр»(11.13)

Здесь индекс 0 означает параметр черного тела.

На рис. 11.1 и 11.2 приведены характерные спектры металлов и твердого диэлектрика, а на рис. 11.3 — углекислого газа.

ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА

В условиях термодинамического равновесия интенсивность монохроматического излучения абсолютно черного тела связана с его температурой формулой Планка ’[11.7]

JX0 = 2^W ехр^-1JX0 = 2^W ехр^-1(11.14)(11.14)

JX0 = 2^W ехр^-1

JX0 = 2^W ехр^-1

(11.14)

(11.14)

Здесь к — квант действия (постоянная Планка); к — постоянная Больцмана (см. табл. 8 Приложения 1).

Соответственно плотность полусферического излучения черного тела

ЕхоЕхо(11.15)(11.15)

Ехо

Ехо

(11.15)

(11.15)

где

(11.16)(11.16)Сг = 2лЛс2 = 3,7418-10~16 Вт-м2;

(11.16)

(11.16)

С» = ^ = 1,4388- 10~2м- К.

Объемная плотность энергии черного излучения равна

ux. = 4EKJc.(11.17)

Длина волны, которой соответствует максимальная плотность излучения, определяется формулой

XJ ^ 2,8978 • 10-3 м • К.(11.18)

Соответственно

Ехт. ~ 1,2862 • 10-5Г Вт/м3.(11.19)

Полная (по всему спектру) интенсивность излучения и плотность потока энергии излучения черного тела

(11.20)(11.20)1й = ^т^

(11.20)

(11.20)

0о=^з = 5,67.1О-8Вт/(м2.К^).

Давление, создаваемое черным излучением, .рл = о0Г/Зе.(11.21)’

Закон пропорциональности черного излучения четвертой степени температуры был установлен еще до теории Планка: экспериментально — Стефаном, теоретически — независимо Больцманом и Б. Б. Голицыным. Величина о0 называется постоянной Стефана — Больцмана.

Результирующее излучение, Вт/м2, между двумя параллельными неограниченными черными поверхностями, имеющими температуры ^ и Г2,

(11.22)

Уравнение Планка в безразмерной форме может быть записано в симплексах

Ux = lx/Ixm; Х =(11.23)

РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНОЕИ РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В общем случае плотность потока излучения реального тела ^ = o(Z)F <о0П(11.24),

Здесь 0(7) —эффективный коэффициент теплового излучения данного тела.

Таким образом, в некотором интервале температур тепловой поток ^л, создаваемый излучением, может возрастать пропорционально температуре в степени большей, чем в законе интегрального излучения абсолютно черного тела, но никогда не может превысить последний при одинаковых температурах.

В задачах о теплопроводности в теле с излучающей границей возникает нелинейное краевое условие

-Ь(1Я ^(Ггр-ГсрНЦ^р-^р), (11.25)

/гр

где а — коэффициент конвективной теплоотдачи; Тср — температура окружающей среды.

Если тело частично прозрачно, то возникает внутренний источник тепла с объемной плотностью

ду,л = 4л J ХхПхТкойк — J xxdX У Тх (s) dQs.(11.26)

ООО5=4Л

Здесь Ix^s) —спектральное значение интенсивности излучения, падающего на элементарную площадку в точке {ж, у, и} в момент времени t по направлению s; Ко — интенсивность излучения черного тела,, определяемая формулой Планка для заданных значений Т и X; Qs — телесный угол, ось которого совпадает с направлением s; пк — коэффициент преломления; qv, л имеет смысл плотности потока объемного результирующего излучения, которая определяется как дивергенция вектора излучения, взятая с обратным знаком:

qv, л = —divE.

В частично прозрачных теплопроводных конденсированных средах тепловая энергия переносится кондукцией и тепловым излучением, которые взаимно влияют друг на друга (радиационно-кондуктивное взаимодействие).

При движении излучающей, поглощающей и рассеивающей среды тепловая энергия переносится непосредственно веществом, теплопроводностью и излучением. В зависимости от скорости движения меняется степень влияния излучения на температурное поле среды, а следовательно, по-разному проявляется радиационно-конвективное в заимодействие.

При конвекции турбулентные пульсации могут влиять на оптические свойства среды. Так, например, коэффициент преломления будет испытывать турбулентные флуктуации порядка

В жидких и газообразных средах обычно присутствуют аэрозоли и более крупные дисперсные примеси, локальная концентрация которых также изменяется в связи с пульсациями скорости течения. Именно флуктуации оптических свойств среды, связанные

с пульсациями концентрации примесей и температуры, наиболее существенны в большинстве реальных естественных и технологических процессов.

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Формула (11.14) в безразмерном виде представляет собой связь между двумя комплексами:

Ло = 2 (exp £ — I)-1; '

ИзИзу _ Ло^5Хо к?у _ Ло^5Хо к?heW*.heW*.(11.28)(11.28)(11.20) следует критерий(11.20) следует критерий

Из

Из

у _ Ло^5

Хо к?

у _ Ло^5

Хо к?

he

W*.

he

W*.

(11.28)

(11.28)

(11.20) следует критерий

(11.20) следует критерий

(11.29)

где Е — плотность потока излучения на поверхности реального тела. Для черного тела Е = 1. Безразмерный тепловой поток черного излучения

-= Зло_ 1^оС^-^)’-= Зло_ 1^оС^-^)’(11.30)(11.30)

-= Зло_ 1

^оС^-^)’

-= Зло_ 1

^оС^-^)’

(11.30)

(11.30)

Формула (11.11) является критерием подобия, называемым критерием Бугера

Bu = xL,(И.31)

где х — коэффициент ослабления интенсивности луча по отношению к излучению с данной частотой v (длиной волны X) или к интегральному потоку лучистой энергии, м-1; L — характерная длина хода лучей.

Величина х”1 может рассматриваться как длина свободного пробега луча, и соответственно величина Ви-1 представляет собою аналог критерия Кнудсена в газодинамике.

Масштабом потока излучения можно считать плотность объемного равновесного излучения, которая согласно (11.17) и (11.20) запишется в виде

4Е. = 4о0Г = и^с.(11.32)

Тогдарадиационно-кондуктивное взаимодействиевизлучающей

среде можно определять критерием [11.8]

N =(11.33)

гдеЛ —коэффициентмолекулярной теплопроводности.Используя

определение коэффициента лучистой теплопроводности

Лл=^-^,(11.34)

О 0,2 0^ 0,6г(е, о*)

Рис. 11.4. Индикатрисы отраженияметаллов г (0,0*) (окисленная ла-тунь) для различных углов паденияизлучения 0*.

0, град О

г (в, е*)

Рис. 11.5. Индикатрисы отражения бе-лой бумаги г(0, 0*) для различных уг-

лов падения излучения 0*.

критерию N можно придать форму критерия, выражающего соотношение коэффициентов молекулярной и лучистой теплопроводности

(11.36)(11.36)Мерой (масштабом) лучистого потока можно принять величину ^ло. Тогда радиационно-конвективное взаимодействие можно характеризовать критерием Больцмана [11.3]

(11.36)

(11.36)

^ЛП-т^

(11.37)(11.37)где i — энтальпия единицы массы; и — скорость движения газа. При сР = const и Tt > Тг

(11.37)

(11.37)

Подобие оптических характеристик среды, включая поверхности ограждения, задается их температурными функциями и относительными значениями в характерных геометрических местах системы. В частности, должны быть подобны индикатрисы отражения (рассеяния). На рис. 11.4—11.6 приведены характерные индикатрисы отражения и рассеяния излучения некоторых тел.

Рис. 11.6. Индикатриса рассеяния излучения.Рис. 11.6. Индикатриса рассеяния излучения.

Рис. 11.6. Индикатриса рассеяния излучения.

Рис. 11.6. Индикатриса рассеяния излучения.

а — размеры частиц малы по сравнению с длиной волны; б — размерычастиц сопоставимы с длиной волны.

Строго говоря, еще две характеристики излучения могут образовывать симплексы подобия с гидродинамическими величинами. Это отношение скорости течения к скорости света, т. е. степень релятивности движения

и-ик,(11.38)

и относительное световое давление

Рл=Рл/р.(11.39)

Однако в обычных термогазодинамических ситуациях оба эти симплекса существенно меньше единицы и могут не рассматриваться. Более подробно эти вопросы изложены, например, в [11.1, 11.3, 11.4, 11.6, 11.8, 11.9].

РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН "В ТОПКАХ ПАРОВЫХ КОТЛОВ

Многочисленность условий подобия радиационно-конвективного и радиационно-кондуктивного теплообмена практически исключает возможность широкого использования прямого физического моделирования. Однако при анализе экспериментальных данных о работе определенного типа энергооборудования применение обобщенных координат (критериев подобия) является эффективным и для сложных ситуаций. Для примера рассмотрим обобщение экспериментальных данных о теплообмене в топках крупных паровых котлов.

Элементарную теорию можно изложить следующим образом [3.4, 11.3]. Теплообмен в топочном устройстве (камере, топке) приближенно описывается незамкнутой системой уравнений, предполагающей учет процесса сгорания топлива через равновесное излучение топочной среды и ее температуру. Уравнения баланса энергии и теплопередачи, записанные в интегральной форме для текущего сечения потока смеси топлива, окислителя и продуктов сгорания, имеют вид

Ту}

Qn + QK = 6aoFa^To — Тст^ccFK^T6 — Тст).,

Здесь Q^ QK — тепловые потоки, создаваемые излучением и конвекцией; В — расход топлива; и — удельный объем продуктов сгорания (на 1 кг топлива при средней температуре топки); с — средняя расчетная объемная теплоемкость продуктов сгорания; Тг — теоретическая температура сгорания топлива в данных условиях; Т — средняя температура газов в рассматриваемом сечении; То — эффективная температура пламени; Тст — средняя температура тепловоспринимающих поверхностей; РЛ1 Рк — лучистая и конвективная поверхности нагрева вторичного теплоносителя (например, воды в кипятильных трубах парового котла); е — эффективная степень черноты топочной среды в рассматриваемой области топки; ос — коэффициент конвективной теплоотдачи топочной среды.

Совмещая эти уравнения и приводя к безразмерному виду, получим

ЗдесьЗдесьВо"1 (т*4 - т^ + St (То - ZCT) = 1 - т.Во"1 (т*4 - т^ + St (То - ZCT) = 1 - т.Во-1 =Во-1 =Вис ’Вис ’St =St =а^ Bvcа^ Bvc(11.41)(11.42)(11.41)(11.42)

Здесь

Здесь

Во"1 (т*4 - т^ + St (То - ZCT) = 1 - т.

Во"1 (т*4 - т^ + St (То - ZCT) = 1 - т.

Во-1 =

Во-1 =

Вис ’

Вис ’

St =

St =

а^ Bvc

а^ Bvc

(11.41)

(11.42)

(11.41)

(11.42)

— модификации критериев Больцмана и Стентона.

В больших топках Q^ > QK и приближенно

7^ _ Во (1 _ у) _ у4т = Q,(Ц.43)

Масштабом в температурных симплексах принята теоретическая

температура сгорания:

VT = T/Tr; T0 = T0/Tr; 7СТ = TJTY\(11.44)

Полагая Zo~^4n> гДе п— эмпирический коэффициент, и принимая во внимание, что Уст Т, имеем

Т^-А Во (1 — 7)= О,(11.45)

где А — эмпирический коэффициент. Экспериментальным данным (рис. 11.7) для типовых топочных камер мощных паровых котлов соответствует эмпирическая зависимость

ттВо0161 + Во0’6 'Во0161 + Во0’6 '(11.46)(11.46)

т

т

Во016

1 + Во0’6 '

Во016

1 + Во0’6 '

(11.46)

(11.46)

(11.47)(11.48)(11.47)(11.48)^+(1-еф)^’^+(1-еф)^’Рис. 11.7. Зависимость Т (Во) для топок больших размеров при сжигании газообразного и жидкого топлива.Рис. 11.7. Зависимость Т (Во) для топок больших размеров при сжигании газообразного и жидкого топлива.

(11.47)

(11.48)

(11.47)

(11.48)

^+(1-еф)^’

^+(1-еф)^’

Рис. 11.7. Зависимость Т (Во) для топок больших размеров при сжигании газообразного и жидкого топлива.

Рис. 11.7. Зависимость Т (Во) для топок больших размеров при сжигании газообразного и жидкого топлива.

При этом для слоевых топок

~°.8 [еф + (1 - еф) <рф] .

8^ 1-(1-^)(1-Ф^)(1-еф) ’

для камерных топок 0,8бф

Здесь 8Ф — степень черноты факела; ф — степень экранировки топочной камеры тепловоспринимающими поверхностями; ср — отношение площади горения на слоевой топке к поверхности экранов; § — условный коэффициент загрязнения поверхности экранов. Степень черноты факела определяется при помощи формулы Бугера по эффективной длине хода луча La ~ ^VJF и эмпирически подобранному значению х для данного вида топлива и условий его сжигания [11.3] (V — объем топочной камеры; F— площадь поверхности стен).

Думается, что этот пример ясно показывает сложности обобщения данных о теплообмене в излучающих, рассеивающих и поглощающих средах.

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА ЛОБОВОЙ ТОЧКИЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА

В качестве другого примера обобщения данных о сложном радиационно-конвективном теплообмене приведем результаты, полученные Л. М. Биберманом для гиперзвукового течения в окрестности лобовой точки затупленного тела. Схема задачи показана на рисл 11.8.

Численное исследование задачи сводилось к совместному рассмотрению газодинамических уравнений сохранения энергии и количества движения и уравнения переноса энергии излучения, записанного в интегральной форме для плоского ударного слоя. При этом учитывались вязкость, теплопроводность, а также реальные радиационные свойства газа. Параметры газа на фронте ударной волны меняются скачком, а в ударном слое газ находится в состоянии локального термодинамического равновесия. Абляция теплозащитного покрытия, а также собственное и отраженное излучение обтекаемой поверхности не учитываются [11.2, 11.5, 11.10].

Анализ результатов численного исследования позволяет установить приближенную связь между суммарным радиационно-конвективным потоком 5s и его значением 5s, определяемым аддитивно без учета влияния излучения на структуру ударного слоя (5s = = 5к + £)*• Эта связь формулируется в виде приближенного соотношения

(11.49)

где г — энтальпия единицы массы газа; М — энтальпийный перепад по толщине ударного слоя, вызванный тепловым излучением. По

гдегдеРис. 11.8. Схема задачи о радиационно-конвективном теплообмене за ударной волной в лобовой точке тела.

где

где

— критическая линия; 2 — ударная волна; з — зона релаксации;

— сжимаемый слой; 5 — пограничный слой; 6 — поверхность тела; 7 — критическая точка.

быть преобразована к следующему виду:

Ai ^9s9s diAi ^9s9s di(11.50)

Ai ^9s

9s di

Ai ^9s

9s di

(11.51)

параметр подобия. Основную роль в этом параметре играет Белила 2Я°

чина — ~представляющая собой отношение плотности

потока излучения, падающего на поверхность со стороны ударного слоя и определяемого аддитивно, к кинетической энергии невозмущенного потока, набегающего со скоростью Uw. Величина d In g^/cZ In i

является некоторым корректирующим множителем.

Результаты численных расчетов зависимости #2/92 от параметра х ДДЯ обтекания затупленного тела гиперзвуковым потоком воздуха показаны на рис. 11.9 точками. Линия соответствует расчетам по формуле

-v = (i + y%)-1’(1L52)

9s '6 1

представляющей собой закон подобия процессов радиационно-конвективного теплообмена в рассматриваемых условиях.

На рис. 11.10 представлены результаты численного расчета (точки) отношения радиационной составляющей теплового потока

Рис. 11.9. Зависимость 9sAs от параметра подобия %.

Рис. 11.10. Зависимость Е* от параметра подобия хь

Е* к его значению Е*, определенному аддитивно, и результаты

расчета (линия) по аппроксимационной формуле

(11.53)(11.53)(11.54)(11.54)1+|%1/6

(11.53)

(11.53)

(11.54)

(11.54)

Здесь

-g® + 2£® dlnq?

- 0 ’ Х1 — и3 " dbi*г оо оо

В пределах точности численного моделирования (±20 %) критерий Е* является однозначной функцией критерия %i.

Конечно, такого рода расчеты и аппроксимирующие их зависимости имеют не очень высокую точность в связи с тем, что характеристики излучения резко меняются при скачках давления и температуры. Учет же этого обстоятельства в рамках анализа подобия крайне сложен. Тем не менее соображения о такого рода приближенном подобии весьма полезны и для других проблем комбинированного теплообмена, поскольку позволяют сократить объем трудоемких и дорогих физических и численных экспериментов. Удобны они и для построения относительно простых инженерных методов расчета.

ЛИТЕРАТУРА

Адрианов В. Н. Основы радиационного и сложного теплообмена.— М.: Энергия, 1972.— 464 с.

. Биберман Л. М., Бронин С. Я., Лагарьков А. Н. Радиационно-конвективный теплообмен при гиперзвуковом обтекании затупленного тела.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1972, № 5, с. 112—123.

Гурвич А. М. Теплообмен в топках паровых котлов.— М.— Л.: Госэнер- гоиздат, 1950.— 176 с.

Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением.— М.: Мир, 1975.— 934 с.

Мирский В. Н., Стулов В. П. О законе подобия для коэффициента лучистого теплообмена при гиперзвуковом обтекании тел.— ИФЖ, 1979, т. 36, № 2, с. 214—248.

Оцисик М. Н. Сложный теплообмен.— М.: Мир, 1976.— 616 с.

Планк М. Теория теплового излучения.—М.: Гостехиздат, 1935.

Рубцов Н. А. Теплообмен излучением в сплошных средах.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.— 287 с.

Фаворский О. Н., Каданер Я. С. Вопросы теплообмена в космосе. М.: Высш., шк., 1972.— 280 с.

Biberman L. М. Radiant heat transfer at high temperatures.— In: Heat Transfer 1974: Proc. 5 Intern. Heat Transfer Conf. Tokyo, 1974, v. VI, p. 105—122.

Глава 12

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

ЕДИНИЦЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН

Электрический заряд и связанные с его движением электромагнитные явления представляют собой особое качество вещества и энергии. Поскольку и количество вещества, и количество энергии могут измеряться в единицах массы, число первичных размерностей всегда остается равным трем. Об этом уже говорилось в главе 1. Однако (и об этом также говорилось в предыдущих главах), целесообразно применять в разумных пределах качественно особые, вторичные основные размерности, например джоуль, ватт, кельвин. Традиция и практика подтверждают полезность введения таких единиц и для электромагнитных величин.

Размерность электрического заряда в трех первичных единицах измерения {М, Ls Т} может быть выведена из уравнения Кулона для силы взаимодействия двух зарядов

(,2Л>

Здесь вг — электрический заряд; е — диэлектрическая проницаемость среды; R — расстояние между центрами зарядов.

Если принять dim е = 1, то размерность заряда

dim е = МЧ2и/2Т^.(12.2)

Эта единица является основной в СГСЭ (сантиметр, грамм, секунда, электростатическая единица заряда).

В СИ основной единицей для образования размерностей электрических и магнитных величин является ампер. По определению, ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенных в вакууме на расстоянии друг от друга 1 м, вызывает между этими проводниками силу, равную 2 • 10"7 Н/м.

Производные единицы даны в табл. 4 Приложения 1.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Магнптогидродинамические явления возникают при взаимодействии потока проводящей среды с магнитным полем. Диэлектрики могут взаимодействовать с электрическим полем.

Плотность тока / (А/м2), напряженность магнитного поля Н (А/м), магнитная индукция В = \лаН [Тл = кг/(А • с2)], напряжен-

ность электрического поля Е [(В/м = кг • м/(А • с3)], электрическая индукция D = гаЕ (Кл /м2 = А • с/м2) связаны уравнениями Максвелла

(12.3)(12.3)r°tH = —- + ]', rot Е = — -^-;

(12.3)

(12.3)

divD = p(r; divB = 0.

Уравнение сохранения заряда аналогично уравнению неразрывности в гидродинамике

4^+divj = O.(12.4)

Здесь ре — объемная плотность заряда, [ре] = Кл/м3 = А • с/м3; Ца — магнитная проницаемость среды, [ра] = Гн/м = кг • м/ (А2 • с2); еа — диэлектрическая проницаемость среды, [еа] = Ф/м = А2 • с4/(кг • м3) . Магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума связаны через скорость света:

Но8о = <2-(12.5)

В проводящих жидкостях плотность тока и напряженность электрического поля связаны законом Ома

j = а»(Е +[u, В]),(12.6)

где а» — электрическая проводимость среды, [аэ] = См/м = А2 • с3/ / (кг • м8); и — скорость течения среды.

Связь между магнитным полем и движущимся проводником описывается уравнением индукции

^- = rot[u,B] +-1-V8B.(12.7)

C7t

Как видно, величина

VM^HaOa)"1(12.8)

имеет смысл коэффициента диффузии магнитной индукции, м2/с. Часто эту величину называют также магнитной вязкостью. Как видно из структуры уравнения (12.7), размерность [vM] = Ь2Т~^ не зависит от выбора других единиц, кроме единиц длины и времени.

В потоке проводящей среды возникают объемная сила

Fy, м — [j * В]

(12.9)

и внутренний источник тепла

qv, э = /7аэ

(12.10)

Величина

Рм = цаЯ2

(12.11)

имеет смысл магнитного давления. Величина

U.-E/B

(12.12)

имеет размерность скорости.

Величины vM, Fv, M, Qv, э, p^ и UM по своим размерностям и обобщенному физическому смыслу аналогичны кинетической вязкости, объемным силам и источникам тепла, давлению и скорости течения в уравнениях термогидродинамики. Таким образом, именно эти величины целесообразно использовать для построения безразмерных магнитогидродинамических критериев подобия [12.1, 12.2, 12.6, 12.7, 12.10, 12.11].

12.3. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Соблюдая принцип экономии символов и наименований критериев подобия, можно образовать:

магнитное число Прандтля

= vp,ao9;

(12.13)

Ргм

магнитное

число Рейнольдса

Нем -

(12.14)

магнитное

число Эйлера

Епм

pU4- ’

(12.15)

электромагнитный аналог числа Маха-Маиевского

Мэм = UB/E-(12.16)

критерий Ампера

Ат = 7^;(12.17)

критерий Ома

От = аэ£//.(12.18)

В определенных ситуациях можно пользоваться комбинациями этих критериев. Например, критерий Гартмана

На = 5Л(оэ/ц)1/2(12.19)

равен квадратному корню из произведения EuM, Нем и Не, а так называемое электрическое число Рейнольдса

К^ = о^ЕЕ/В(12.20)

является отношением чисел Нем и Мэм.

Критерий магнитодинамической гомохронности можно представить в виде

Ном = J/щщЛ2.(12.21)

Критерий электромагнитной гомохронности можно записать, например, в форме

Ноэм.= ££/££.(12.22)

Подставляя величину qV3 в комплекс (3.10), получим критерий электротеплового взаимодействия

qVa=fV/oMT.(12.23)

Комбинируя величину qVa с энтальпийным членом уравнения теплопроводности в движущейся среде, можно сконструировать комплекс, являющийся аналогом критерия теплового подобия при физико-химических превращениях, но построенный по мощности источника джоулева тепла:

Ка = Цгт,(12.24)

3 o3pl/Ai ’х 7

где величина

гэгэ(12.25)(12.25)

гэ

гэ

(12.25)

(12.25)

может рассматриваться как эффективная «теплота реакции», отнесенная к массовому расходу среды; Дг, как обычно,— характерный энтальпийный напор.

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯНА ТЕЧЕНИЕ ПРОВОДЯЩИХ СРЕД

Магнитные поля оказывают существенное воздействие как на профиль скоростей, так и на режим течения проводящей жидкости. Соответственно меняются и остальные термогидродинамические характеристики потока. На рис. 12.1 приведены профили скоростей при ламинарном течении проводящей жидкости в плоскопараллельном канале высотой 26 с постоянным полем индукции, перпендикулярным вектору скорости. Гартман нашел, что в этом случае

и ch На — ch (Нау) е

(12.26)(12.26)<и> На ch На — ShHa’

(12.26)

(12.26)

2 На2 th На

Cf “Re На — th На *

Выполаживание профиля скоростей в ядре течения при больших значениях числа На не означает турбулизации потока, а является следствием воздействия магнитного поля.

Магнитное поле существенно влияет и на процесс турбулизации потока проводящей жидкости. По данным Стюарта, при течении между плоскопараллельными пластинами подавление турбу-

Рис. 12.1. Профили скоростей при течении проводящей жидкости в поперечном магнитном поле между непроводящими пластинами.

Рис. 12.2. Классификация течений жидких металлов в поперечном магнитном поле.ЛТ — ламинарные течения; ТТ — турбулентные течения.Рис. 12.2. Классификация течений жидких металлов в поперечном магнитном поле.ЛТ — ламинарные течения; ТТ — турбулентные течения.Рис. 12.3. Влияние магнитного поля на коэффициент гидродинамического трения при различных числах Рейнольдса. Точки — опыты А. Б. Цинобера.Рис. 12.3. Влияние магнитного поля на коэффициент гидродинамического трения при различных числах Рейнольдса. Точки — опыты А. Б. Цинобера.лентности магнитным полем приводило в области 0<Еим<0,1 к увеличению критического числа Рейнольдса от 5000 до 31 000.

Рис. 12.2. Классификация течений жидких металлов в поперечном магнитном поле.

ЛТ — ламинарные течения; ТТ — турбулентные течения.

Рис. 12.2. Классификация течений жидких металлов в поперечном магнитном поле.

ЛТ — ламинарные течения; ТТ — турбулентные течения.

Рис. 12.3. Влияние магнитного поля на коэффициент гидродинамического трения при различных числах Рейнольдса. Точки — опыты А. Б. Цинобера.

Рис. 12.3. Влияние магнитного поля на коэффициент гидродинамического трения при различных числах Рейнольдса. Точки — опыты А. Б. Цинобера.

На рис. 12.2 показана классификация течений жидких металлов в поперечном магнитном поле по И. М. Кирко [12.7]. Кривая 1 на этом графике определяет границу ламинарного и турбулентного течений и описывается формулой

(12.27)(12.27)ReKP = 1 На2 th НаReKpo ~ 3 На — th На ’

(12.27)

(12.27)

где ReKp0 — критическое значение числа Рейнольдса в отсутствие магнитного поля. Кривая 2 описывает границу существенного влияния магнитного поля на турбулентное течение и соответствует условию

На2 ~ 0,02Re. (12.28}

По экспериментальным данным того же автора, при обтекании шаПо экспериментальным данным того же автора, при обтекании шара проводящей жидкостью влияние магнитного поля на относительное изменение гидродинамического сопротивления описывается формулой

По экспериментальным данным того же автора, при обтекании ша

По экспериментальным данным того же автора, при обтекании ша

^ = 1 + На Re~1/2. (12.29) Нетрудно заметить, что Ha2Re-1 = EuMReM = B^LcJpU.

(12.30)

Рис. 12.4. Распределение полного касательного напряжения в турбулентном потоке при различных числах Гартмана.

Отношение магнитного давления к плотности проводящей среды является квадратом скорости поперечных волн вдоль силовых магнитных линий [12.6]:

<м = Я2ра/р. (12.31)

При ламинарном течении проводящей среды в поперечном магнитном поле выполаживание профиля скорости приводит к росту ее градиента около стенок и повышению интенсивности теплоотдачи. В турбулентном потоке магнитное поле уменьшает интенсивность теплообмена, подавляя пульсации скорости (рис. 12.3 и 12.4).

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДУГОВОГО РАЗРЯДА

С ПОТОКОМ ГАЗА

Высокотемпературный газ (термическая плазма), полученный с помощью электродуговых генераторов (плазмотронов), используется в различных технологических процессах.

Трудность теоретических исследований взаимодействия электрической дуги с потоком газа обусловлена многочисленностью и сложностью процессов, протекающих в дуге и разрядной камере. В термической плазме присутствуют частицы с различными свойствами и законами взаимодействия — молекулы, радикалы, атомы, ионы, электроны; в ней происходят разнообразные процессы переноса — теплопроводность, электропроводность, излучение, турбулентность; кроме того, дуга взаимодействует со стенками канала, в котором она находится. В некоторых случаях существует еще и внешнее магнитное поле.

Таким образом, не всегда представляется возможным не только решить систему уравнений, описывающих даже упрощенные процессы, но и записать ее. При этом большое значение имеет применение, особенно для обобщения экспериментальных данных, критериев подобия основных электро- и теплофизических процессов, протекающих в плазмотроне [12.3, 12.5, 12.9, 12.13].

В результате анализа уравнений, описывающих физические явления в плазме, выделяются как известные в классической газодинамике критерии подобия (у = ср/су, числа Маха, Рейнольдса и Прандтля), так и связанные с механизмом электрического разряда в электродуговой камере.

Для напряженности электрического поля из закона Ома в простейшем случае / = бэЕ получаем критерий

Ош = оэМ7/, (12.32)

где аэ — проводимость плазмы; d — характерный линейный размер, при анализе плазмотрона — диаметр цилиндрической электрораз- рядной камеры; I — ток дуги. При обобщении вольт-амперных характеристик появляется эквивалентное ему число подобия

Omv = aaVd/L (12.33) где V — напряжение на дуге.

(12.34)(12.34)Из уравнения энергии получаем критерий Кэ =Г-

(12.34)

(12.34)

o^UMd?

Здесь р и Ai — характерные плотность и энтальпия; U — скорость потока. Критерий Кэ показывает соотношение между джоулевой энергией и энергией, которую несет поток. В систему определяющих критериев входит также число Кнудсена, которое в данном случае имеет форму

Kn = иеж = с/ра,(12.35);

где <1е> — длина свободного пробега электронов в данном газе; С — постоянная величина; р — характерное давление в разрядной камере, например давление в конце камеры линейного плазмотрона.

При использовании газов одного химического состава в геометрически подобных плазмотронах температурные уровни примерно одинаковы, но определены, как правило, недостаточно точно. Соответственно при обработке экспериментальных данных неточно определяются и физические свойства среды. В такой ситуации для инженерных расчетов допустимо заменять общую связь между числами подобия на связь между размерными комплексами, выделенными из этих критериев путем исключения физических параметров. Например, вместо безразмерной зависимости

Ошу = /(КЭ, Не, Кп)(12.36)

можно использовать при обработке опытных данных размерную зависимость

-^ = /' (P[Gd; Gid; pd),(12.37)

где G — полный массовый расход газа.

Эта зависимость находится на основе экспериментальных данных часто в виде произведения степеней определяющих комплексов ^-=A (PjGdfVlGldf1 (pdf3,(12.38)

где Л, nt — постоянные величины. Семейство вольт-амперных характеристик дуги, приведенных на рис. 12.5, а, расслаивается только по расходу газа (числу Рейнольдса), так как число Кнудсена постоянно. Если построить зависимость Vd/I = F{r/Ga} (рис. 12.5,6), то ясно видны расслоение по числу Re и постоянство показателя пь Соответствие расчета и эксперимента в широком диапазоне изменения определяющих параметров d, р, I наглядно показано на рис. 12.6.

Из приведенного примера видно, что в отсутствие внешнего магнитного поля для обобщения вольт-амперных характеристик дуги, горящей в линейном плазмотроне простейшей схемы, вполне Достаточно трех критериев: энергетического, Кнудсена и Рейнольдса. Кроме того, не внося существенных погрешностей, показатели

Рис. 12.5. Вольт-амперные характеристики дуги, горящей в линейном плазмотроне диаметром 30 мм, р = 0,1 МПа.Рис. 12.5. Вольт-амперные характеристики дуги, горящей в линейном плазмотроне диаметром 30 мм, р = 0,1 МПа.а — необобщенные, б — обобщенные (здесь G в г/с, d в мм); 1 — G = 30 г/с; 2— 20;3 — 15, 4 — 10 г/с.

Рис. 12.5. Вольт-амперные характеристики дуги, горящей в линейном плазмотроне диаметром 30 мм, р = 0,1 МПа.

Рис. 12.5. Вольт-амперные характеристики дуги, горящей в линейном плазмотроне диаметром 30 мм, р = 0,1 МПа.

nt в определенных интервалах значений критериев подобия можно принять постоянными.

При наличии внешнего магнитного поля из уравнения импульсов получаем критерий магнитного воздействия

Еим = ^-<12-39>

ри а

В качестве характерного примера рассмотрим плазмотрон с «радиально» размещенной дугой в зазоре длиной L между двумя коаксиально расположенными цилиндрами. На дугу действует аксиальное внешнее магнитное поле. Экспериментальные данные обработаны (рис. 12.7) в координатах [12.5]

(12.40)(12.40)' VL ( pU2L\^ GL )? “ I k IB ); I2 /

(12.40)

(12.40)

Здесь характерным линейным размером вместо d выбран L. Обоб-

щенное уравнение имеет вид

X -4-.(12.41)

Подробно проблема физики дугового разряда излагается в [12.5, 12.10, 12.12-12.14].

Рис. 12.6. Сравнение экспериментальных данных с обобщенной вольт-амперной характеристикой двухкамерного плазмотрона (d = 10 -?- 55 мм, р = 0,1—1 МПа).

Рис. 12.7. Обобщение экспериментальных данных для коаксиального плазмотрона. Рабочий газ — азот при 0,1 < р С 6 МПа.

Следует обратить внимание на сложность выбора масштабных значений физических характеристик потока в плазмотроне. Поступает в плазмотрон холодный газ, выходит — ионизованный при температуре в несколько тысяч, а то и десятков тысяч кельвин. Таким образом, в принципе введение температурных факторов становится обязательным. Однако практически во многих случаях это обстоятельство можно не учитывать. Действительно, электропроводность среды при ионизации газа определяется уровнем высоких температур, т. е. в первом приближении величиной выходной энтальпии /2. Конвективный теплообмен с охлаждаемыми элементами конструк-

циы происходит при ZCT ^ to, следовательно, температурный фактор гр<1, а интенсивная турбулентность в зоне горения электрической дуги локализует основные эффекты теплопередачи у стенок канала — в зоне относительно низких температур. Благодаря этим обстоятельствам физические свойства газа и плазмы в инженерных расчетах можно относить к фиксированным температурам процесса [12.5] или для заданной рабочей среды отбрасывать их в критериях подобия.

Рассмотрим возможность обобщения данных по тепловому КПД плазмотрона, равному отношению тепла, уносимого газом из плазмотрона, к мощности дуги:

4 = (12.42)

Закон теплообмена между газом и стенками электродов в камерах плазмотронов весьма сложен. Связано это как со сложностью процессов в камере, так и со значительной неравномерностью распределения тепловых потоков вдоль стенок электродов. Так, например, на начальном участке выходного цилиндрического электрода, в зоне гидродинамически не стабилизированного течения, тепловой поток в стенки камеры определяется главным образом излучением дуги, так как еще не произошло смыкания пограничного слоя с тепловым слоем столба дуги [12.5]. В области развитого турбулентного течения основные потери тепла (при небольших давлениях в плазмотроне) определяются конвективным теплообменом. В гсилу этого отыскание полуэмпирических уравнений в критериальном виде имеет большое значение.

Как показали исследования [12.3, 12.8], не только безразмерное напряжение, но и тепловой КПД ц в геометрически подобных плазмотронах можно достаточно удовлетворительно описать вышеприведенными критериями или размерными комплексами.

Зависимость ищется в виде

Tl— —~ W • (12.43)

Здесь l=l/d— относительная суммарная длина выходного и торцевого стаканообразного электродов. Функция ц выбирается так, чтобы она при экстремальных значениях определяющих комплексов соответствовала физически оправданным значениям КПД. Анализ и обработка экспериментальных данных для воздуха позволили установить следующую зависимость [12.5]:

При движении высокотемпературного газа в цилиндрической трубе 7] пропорционально числу Стентона. В формуле (12.44) ц ~ St ~ ~ Re-0’27. Из этого следует, что теплообмен происходит при сильно развитой начальной турбулентности потока. Данные рис. 12.8, обобщающие многочисленные исследования плазмотронов линейной

схемы постоянного и переменного тока [12.5], показывают, что формула (12.44) справедлива в широком диапазоне изменения тока (7 = 50 4-3600 А), расхода газа (6 = 1 • 10-3 4-2,2 кг/с), диаметра выходного электрода (d = 1 4- 7,6 см).

Таким образом, для выбранного рабочего газа тепловой КПД плазмотрона хорошо обобщается тремя размерными комплексами, ранее использованными при обобщении вольт-амперных характеристик, с дополнительным симплексом I.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В МГД-КАНАЛЕ

В качестве еще одного, относительно простого, но и достаточно синтетического, примера рассмотрим пограничный слой ионизованного газа (плазмы) на стенках канала магнитогазодинамического генератора электрического тока. Внешняя магнитная система создает магнитное поле с постоянной индукцией Во, перпендикулярное течению плазмы, направленному вдоль канала. Электрический ток плотностью 7 снимается с электродных стенок канала.

Так как относительная длина канала обычно невелика, а числа Рейнольдса плазмы значительны, на электродных и изоляторных стенках возникают независимые пограничные слои. При этом магнитоэлектрогазодинамические взаимодействия в этих пограничных слоях неодинаковы. В пограничном слое на изоляторной стенке плотность электрического тока меняется от /0 в ядре потока плазмы до / = 0 на стенке. При этом напряженность электрического поля в пограничном слое можно считать постоянной, равной Ео в ядре потока плазмы. Плотность джоулева тепла при малых магнитных числах Рейнольдса и параметре Холла запишется так:

qv^-jE,(12.45)

где Е — напряженность электрического поля в направлении нормали к стенке.

В пограничном слое на электродной стенке плотность электрического тока постоянна, а меняется напряженность электрического поля.

Продольный градиент скорости течения плазмы вне пограничных слоев определяется воздействием газодинамического давления и магнитного давления, создаваемого индукцией So и током с плотностью /о:

=+(12.46)

Объемная сила, создаваемая магнитным полем в пограничном слое,

Еум = ]В0.(12.47)

Отсюда аэродинамическая кривизна МГД-канала определится формулой

/ = Eu + EuMAm,(12.48)

где газодинамическое число Эйлера

Р0и2 dx ’

(12.49)

магнитное число

Эйлера.

Еим = 50Я0/р£72;

(12.50)

число Ампера

Ат = /об**/Яо.

(12.51)

Интегральное соотношение импульсов примет вид

+ ReL(l + Я) / + Re**^£^=Re£C//2. (12.52) dxpnU-

Здесь Н = б*/6**— обычный гидродинамический формпараметр вытеснения линий тока;

н5=^Ч^-лгУу (12,53)

— формпараметр вытеснения линий электрического тока; 6* — толщина вытеснения линий электрического тока. В пограничном слое на электродной стенке / = /0 и Н3 = 0. В этом случае интегральное соотношение импульсов имеет канонический вид, но формпараметр / должен определяться по формуле (12.48), т. е. с учетом магнитного давления.

Интегральное соотношение энергии можно записать в канонической форме

dRe**

—=^- + Re? А = ReL St,(12.54)

но все величины определять по полной энтальпии, а тепловой формпараметр

b =(12.55)

dxdxz

где Нт = 6*/6?*; для пограничного слоя на изоляторной стенке

б гр

язм = Я,- = -L С (1 _ J-} dy;(12.56)

для пограничного слоя на электродной стенке

Я8И = НЕ = -L f fl _ dy(12.57)

6» К X ьо/

Рис. 12.9. Зависимость электромагнитных формпараметров Hj (а) и НЕ (б) от неизотермичности и коэффициента нагрузки к = EqIBqUq.

2 — 0,1; 2 — 0,3; 3 — 0,5; 4 — 0,7; 5 — 0,9.

Для сверхзвуковых МГД-генераторов одним из важных вопросов является устойчивость турбулентного пограничного слоя на электродных стенках. Если при торможении ядра потока плазмы запас кинетической энергии в пограничном слое оказывается недостаточным для преодоления трения, давления и пондеромоторных сил, то возникает отрыв слоя от стенки и система скачков уплотнения. При этом, естественно, нарушается нормальная работа генератора. Расчет данного явления можно сделать, например, в рамках интегральных соотношений импульсов и теории пограничного слоя с исчезающей вязкостью. При этом появляются определенные затруднения с определением электромагнитных формпараметров Н [4.5]. Некоторые представления о порядке и поведении этих величин дает рис. 12.9.

ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИКОРОННОГО РАЗРЯДА

Примером ситуации с неточно определенными физическими свойствами среды может служить также коронный электрический разряд в естественной атмосфере. Спонтанный разряд, возникающий в существенно неоднородном электрическом поле и вызывающий при значительной интенсивности свечения ионизированного газа корону, является одним из источников потерь линий электропередач сверхвысокого напряжения.

Здесь мы рассмотрим на основе работ Н. Н. Тиходеева и его сотрудников [12.4] обобщение экспериментальных данных о коронном разряде по отношению только к одной зависимой переменной Ркор — потерям мощности на корону для данной фазы линии переменного тока, Вт/м.

Физические характеристики, определяющие возникновение и протекание коронного разряда, в данном случае следующие: на-

^кор.К — -^кор^кор.К — -^корРис. 12.10. Обобщенные характеристики потерь мощности на корону 0 = Ркор/fV Q при сухом (7) и мокром (2) снеге и изморози (5).

^кор.К — -^кор

^кор.К — -^кор

пряжение в линии электропередачи V, В; начальное напряжение коронного разряда То, В; диэлектрическая проницаемость воздуха 8а, Ф/м; радиус провода R, м, и другие геометрические . параметры (расстояние между проводами, расстояние до поверхности почвы и т. п.); подвижность ионов положительных К^ и отрицательных К_, м2/(В-с); заряд ионов реЪ Кл; коэффициент объемной рекомбинации ионов оср, м3/с; частота переменного тока /, Гц.

Определяемый критерий подобия можно записать в двух формах:

Ркор,/ = ^кор/С^а/Гд); (12.58)

^/(ea2T+Vg). (12.59

Первая запись свободна от свойств ионизованного газа, но содержит частоту /; вторая свободна от частоты, но содержит одну из характеристик ионизации (в данном случае подвижность положительно заряженных ионов).

Здесь отчетливо видно, что производные единицы (в данном случае электрические) далеко не всегда удобны для анализа размерностей. Действительно,

dimPKOp, у =(Вт/м)/(Ф/м) (1/с)52 = Вт • с/(Ф • В2) =

= VMTL2MT4N ^ГГГРМ^ = 1, (12.60)

т. е. только переход к первичным единицам массы М, длины L, времени Т и силы тока I позволяет непосредственно вычислить конечную размерность dimPKOp = l.

Определяющие критерии подобия естественно записать в форме

V = 7/70; Но = К^^ К = К^К.; 7 = ^+/8аар. (12.61)

Первая из этих величин характеризует напряженность электрического поля (разряд возникает при 7^1); вторая представляет собой критерий гомохронности данного процесса; две последних являются характеристиками ионизации газа.

При заданных физических условиях и практически слабом

влиянии критерия гомохронности

(12.62)(12.62)РкоЖ^НУ).

(12.62)

(12.62)

Для естественной атмосферы эта характеристика качественно меняется в зависимости от погодных условий (рис. 12.10).

ЛИТЕРАТУРА

Блум Э. Я., Михайлов Ю. А., Озолс Р. Я. Тепло- и массообмен в магнитном поле.— Рига: Зинатне, 1980.— 355 с.

Вулис Л. А., Генкин А. Л., Фоменко Б. А. Теория и расчет магнитогазодинамических течений.— М.: Атомиздат, 1971.— 384 с.

Даутов Г. Ю., Жуков М. Ф. Некоторые обобщения исследований электрических дуг.— ПМТФ, 1965, № 2, с. 97—105.

Егорова Л. В., Тиходеев Н. Н. Обобщение опытных данных о потерях на корону, полученных на линиях 380—400 кВ.—ЖТФ, 1958, т. 28, № 4, с. 886—895.

Жуков М. Ф., Коротеев А. С., Урюков Б. А. Прикладная динамика термической плазмы.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975.— 298 с.

Каулинг Т. Магнитная гидродинамика.— М.: Изд-во иностр, лит., 1959.— 132 с.

Кирко И. М. Жидкий металл в электромагнитном поле.— М.— Л.: Энергия, 1964.

Кутателадзе С. С., Ребров А. К., Ярыгин В. Н. Геометрический размер в обобщенных характеристиках плазмотронов.— ПМТФ, 1967, № 4, с. 126—127.

Кутателадзе С. С., Ясько О. И. Обобщение характеристик электродуговых подогревателей.— ИФЖ, 1964, т. 7, № 4, с. 23—27.

Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей.— М.: Наука, 1979.— 319 с.

Повх И. Л., Капуста А. Б., Чекин Б. В. Магнитная гидродинамика в металлургии.— М.: Металлургия, 1974.— 239 с.

Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики/Под ред. М. Ф. Жукова.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977.— 288 с.

Теория электрической дуги в условиях вынужденного теплообмена/Под ред. М. Ф. Жукова.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977.— 306 с.

Экспериментальные исследования плазмотронов/Под ред. М. Ф. Жукова.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977.— 385 с.

Глава 13

ПОДОБИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХИ ТРАНСПОРТНЫХ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ

КРИТЕРИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯИ СООТВЕТСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

В узком смысле понятие термодинамического подобия означает существование универсальной функции вида (2.86), связывающей относительные (приведенные) параметры состояния:

л =

ри

-L-; ф =

^крукр

(13.1)

Для газов II жидкостей масштабные параметры отнесены к критической термодинамической точке, являющейся единственным экстремумом на кривой равновесия такой системы и характеризующей особое состояние, в котором для всех веществ выполняются следующие соотношения важных физических величин:

р' = р"; о1 = 0;р' = р"; о1 = 0;= 0;= 0;(13.2)(13.2)

р' = р"; о1 = 0;

р' = р"; о1 = 0;

= 0;

= 0;

(13.2)

(13.2)

В общем случае возникает необходимость введения некоторых фиксированных (нонвариантных) безразмерных комплексов, составленных из размерных универсальных физических постоянных и индивидуальных постоянных данного вещества. Одним из таких комплексов является критерий Ван-дер-Ваальса

Wa = 7?pKp7Kp/^(13.3)

где 7? —газовая постоянная: М — молярная масса, кг/моль.

Для газа, подчиняющегося уравнению (2.86), этот критерий равен 8/3. Для реальных веществ, существующих в природе, критерий (13.3), называемый также критическим коэффициентом, вообще говоря, неодинаков. Именно поэтому он может рассматриваться как нонвариантный критерий, определенное численное значение которого служит характеристикой веществ в смысле их термодинамического подобия.

Другой важный критерий — коэффициент сжимаемости z является обобщенной характеристикой термических свойств газов и жидкостей:

T^^-puMlRT.(13.4)

В термодинамической критической точке

zKp = Wa-1.(13.5)

При давлениях ниже критических величину z можно рассматривать как некоторую характеристику молекулярного взаимодействия в веществе. Действительно, в идеально-газовом состоянии вещества z = 1, а отклонение коэффициента сжимаемости от единицы означает усиление межмолекулярного взаимодействия.

Как уже говорилось, в общем случае уравнение состояния в форме связей между симплексами (13.1) имеет вид

ф(л; ср; т; с*, ... ,с*) = 0.(13.6)

Соответственно уравнение состояния в форме

Фо(л,Ф, т) = 0(13.7)

одинаково для веществ, имеющих один и тот же набор нонвариант-

ных критериев подооия

{ с* = idem, ..., с* = idem].(13.8)

Такие вещества называются термодинамически подобными.

Принято говорить, что термодинамически подобные вещества с одинаковыми значениями одной из пар приведенных параметров состояния

{jt; ф}; {л; т); {ф; т){jt; ф}; {л; т); {ф; т)(13.9)(13.9)

{jt; ф}; {л; т); {ф; т)

{jt; ф}; {л; т); {ф; т)

(13.9)

(13.9)

находятся в соответственных состояниях.

Фундаментальное значение имеет то обстоятельство, что с некоторым, иногда и чисто оценочным приближением, понятие соответственных состояний можно распространить и на другие физические свойства веществ [0.24, 2.2, 2.3, 2.8], в первую очередь на термодинамические (ср, cVl г, i, s) и кинетические ^D, ц, X). Формально такое обобщение можно записать в виде зависимости

па = Фв(п1,п2,С1*, ...,с:),(13.10)

где Па — безразмерный комплекс, включающий искомое свойство вещества; П! и П2 — безразмерные комплексы, зависящие от термодинамических параметров состояния (например, в виде пар симплексов (13.9)); с^ — нонвариантные критерии, число которых может быть и больше, чем в наборе для уравнения состояния (13.6). Так, для удельной теплоемкости можно составить следующие определяемые критерии: '

I R. ^0^0 /I R. ^0^0 /(13.11)(13.11)

I R. ^0^0 /

I R. ^0^0 /

(13.11)

(13.11)

где сг-о — теплоемкость в идеально-газовом состоянии, а для скорости звука — критерий

(13.12)

Критические параметры состояния, молекулярная масса, тем

пература кипения и некоторые другие характеристики вещества являются в данном случае внутренними масштабами, по которым можно строить те или иные безразмерные числа подобия физических свойств.

Как уже было сказано, выбор параметров критической точки в качестве масштабных величин термодинамического подобия свя-

Рис. 13.1. Обобщение опытных данных о вязкости жидких металлов.

зан с ее особым положением' единственного экстремума на кривой сосуществования жидкости и газа. Особое положение занимает также тройная точка равновесия газ — жидкость — твердая фаза. Между параметрами состояния в этих точках у термодинамически подобных веществ сохраняется в меру подобия постоянство соотношений одноименных величин. Поэтому при относительно низких температурах в качестве термодинамических масштабов принимают параметры в тройной точке или температуру плавления [2.3]. На рис. 13.1 приведены данные о вязкости некоторых металлических жидкостей, обобщенные А. Н. Соловьевым. Как видно, эти металлы отчетливо разделены на две группы, для каждой из которых существует своя, практически однозначная, связь между симплексами

T.JTL(13.13)

Здесь Т^л и рпл — температура плавления и вязкость при этой температуре.

Верхняя кривая группирует данные для Na, К, Rb, Cs, а нижняя — для Sn, Hg, Sb, Bi, Ga, Li. В то же время это обобщение наглядно иллюстрирует трудность детального предсказания принадлежности конкретного вещества к определенной группе термодинамического подобия. Так, в этом перечне один из металлов первой группы периодической системы элементов — литий — оказался термодинамически подобным металлам II—VI групп.

В том случае, если имеются некоторые характерные точки на зависимостях свойства х от параметра у (например, максимум интенсивности и соответствующая длина волны спектра излучения черного тела, что было рассмотрено в главе 11), эти величины также могут служить внутренними масштабами.

В качестве иллюстрации приведем обобщение экспериментальных данных о теплопроводности относительно чистых металлов в области температур менее 0,1 температуры Дебая. Функция Х(Т) в этом случае имеет максимум, связанный с наличием дефектов кристаллической решетки и небольших примесей других веществ.

Теоретически показано, что

=+(13.14)

где аир — параметры, в настоящее время теоретически не рассчитываемые. Выбрав в качестве внутреннего масштаба соответственных состояний экстремальное значение коэффициента теплопроводности Хщ и соответствующее ему значение температуры, введем симплексы подобия

(х = шт1 T-T/TJ.(13.15)

В точке максимума функции (13.14)

Т = Тт, A = Xm, dX/dT = O, ^ = 2аТ3т. (13.16)

Подставив эти величины в (13.14), получим универсальную

177T

Рис. 13.2. Обобщенная зависимость теплопроводности металлов при темпера-турах ниже температуры Дебая (по экспериментальным данным [13.8]).

зависимость

(13.17)(13.17)~37

(13.17)

(13.17)

” 2 + Т3 '

На рис. 13.2 в координатах (13.15) представлены результаты измерений для 22 металлов с различным содержанием примесей [13.8]. Как видно, имеет место хорошее качественное и удовлетворительное для многих целей количественное обобщение.

При конструировании определяемого критерия Па в функциональную связь (13.10) необходимо ввести независимые физические характеристики вещества, дополнительные к выбранной паре критических параметров состояния. Для термокинетических величин иногда достаточно ввести набор

lpKP;T^R;M;NA\ (13.18)

где Na — число Авогадро. Из этих величин можно составить внутренние масштабы длины, времени и плотности

h. о =(13 19)

и критерии подобия

сМ рг тМРМ^^лР^. сМ рг тМРМ^^лР^.Па = а ( Na—\ ^^кр^крПа = а ( Na—\ ^^кр^кр■= Н^р)^3 .Ц МР^ ’■= Н^р)^3 .Ц МР^ ’Пх = ^Пх = ^v^V/6Д^кр ) Jv^V/6Д^кр ) J

сМ рг тМ

РМ^^лР^.

сМ рг тМ

РМ^^лР^.

Па = а ( Na—

\ ^^кр^кр

Па = а ( Na—

\ ^^кр^кр

■= Н^р)^3 .

Ц МР^ ’

■= Н^р)^3 .

Ц МР^ ’

Пх = ^

Пх = ^

v^V/6Д^кр ) J

v^V/6Д^кр ) J

(13.20)

Очевидно, что коэффициент сжимаемости z, определенный формулой (13.4), по своей структуре может рассматриваться как один из критериев П«.

Аналогичным образом могут быть использованы и параметры потенциала межмолекулярного взаимодействия [8.5, 13.6].

ФИЗИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ С*

Из изложенного выше следует, что для различных физических свойств и областей состояния веществ количество определяющих критериев подобия в уравнении (13.10) и их физический смысл могут быть различными. При этом количество критериев с* в какой-то мере выбирается эмпирически для тех или иных конкретных ситуаций. Ответ на вопрос о их физическом содержании можно получить только в результате рассмотрения молекулярных взаимодействий в конкретном веществе. Теория таких взаимодействий [8.5] еще далеко не завершена, и поэтому применяемые в практике определяющие критерии термодинамического подобия также конструируются часто на полуэмпирических, а подчас и интуитивноэмпирических основаниях.

Одним из естественных признаков термодинамического подобия веществ, находящихся в жидком и газообразном состояниях, можно считать их принадлежность к одному типу химических соединений и близость значений критических коэффициентов сжимаемости [2.8]. Этим правилом руководствуются обычно тогда, когда в функции Па используют только приведенные параметры состояния (13.9). Однако понятие однотипности химических соединений в данном смысле является весьма неопределенным. Известно, что химические соединения одного гомологического ряда могут принадлежать различным группам термодинамически подобных веществ [0.24].

Рис. 13.3. Структурные закономерности изменения критических температур хлор-, фторпроизвод- ных метана (в качестве структурного параметра используется М™1^, где Мт — относительная молекулярная масса).

Рис. 13.4. Структурные закономерности в изменении теплопроводности хладонов метанового ряда при атмосферном давлении. По данным

В. А. Груздева, А. И. Шестовой.

1 — Ф10; 2 —ФИ; з — Ф12- 4 — Ф13; 5 — Ф14; 6 — Ф20; 7 — Ф21;

8 — Ф22; 9— Ф23. Сплошные линии — изотерма 320 К; штриховые — 440 К.

Другим возможным признаком является структурное сходство химических соединений. В физической химии структурное подобие часто лежит в основе приближенных аддитивных методов расчета свойств веществ [0.24, 2.2, 13.3, 13.6]. На рис. 13.3 и 13.4 показаны структурные закономерности в изменении критических температур и теплопроводности хладонов метанового ряда [13.4]. Структурные закономерности теплопроводности в данном случае имеют поразительную точность, совпадающую с точностью экспериментальных данных (2%).

Однако изотермы теплопроводности распадаются на две группы, в одну из которых входят водородсодержащие хладоны, в другую — хладоны, молекулы которых не содержат водорода. Аналогичное расслоение хладонов метанового ряда наблюдается и при обобщении данных об их теплопроводности в критериях термодинамического подобия.

Другим примером структурного подобия могут быть кремний- органические жидкости, образующие ряды циклических [(CH3)2SiO]v и линейных соединений [(СНз^ЗЮ^^ПСНз^ЗЮ^-г. В пределах каждого из рядов при А > 5 выполняются структурные закономерности вида [13.9]

+ (13.21) причем обе температурные функции универсальны для каждой из этих групп соединений. Здесь г — скрытая теплота испарения, Дж/кг; Т8 — температура насыщения, К. Аналогичная зависимость имеет место и для логарифма давления насыщения р3.

Таким образом, признаки подобия химических структур часто указывают на наличие тех или иных признаков термодинамического подобия. Однако они не дают в этом смысле какого-либо количественного критерия.

Первый количественный критерий термодинамического подобия был предложен Ван-дер-Ваальсом в виде критического коэффициента (13.3). Примеры применения критерия Ван-дер-Ваальса (обычно в обратной форме, т. е. как критического значения коэффициента сжимаемости) можно найти в монографиях [0.24, 13.3, 13.6], которые содержат весьма полные обзоры методов расчета свойств жидкостей и газов на основе представлений о термодинамическом подобии.

Практическое использование критерия Ван-дер-Ваальса затруднено, однако, тем, что его значения у разных веществ близки друг к другу, а экспериментальная точность определения входящих в него величин (в основном v^) недостаточна.

Многие другие, практически применяемые критерии термодинамического подобия газов и жидкостей также связаны с кривой равновесия жидкости и пара. Объясняется это тем, что зависимость Ps^Tg") обусловлена химическими потенциалами двух фаз и поэтому содержит в себе значительную информацию о свойствах жидкости и пара. Зависимость ns(xs) неодинакова для различных веществ, т. е. элементарный закон соответственных состояний в форме (13.7) не выполняется для линии насыщения реальных веществ. Немаловажное значение имеет и то, что зависимость л5(т8) определяется экспериментально с гораздо большей точностью, чем zKp.

В литературе предложен ряд эмпирических критериев с целью свести совокупность нонвариантных параметров сг к одному, более эффективному, чем zKP или Wa. Одним из них является число Риделя

пн = М • (13-22) \ /кр

Питцер и Л. П. Филиппов предложили более простые, чем число Риделя, критерии термодинамического подобия. Эти критерии эффективны при обобщении данных о свойствах многих одноатомных инертных и двухатомных газов и жидкостей, предельных, циклических, непредельных и ароматических углеводородов, галоидопроизводных углеводородов и др. [0.24, 13.3, 13.6].

Очевидно, что термодинамическое подобие подразумевает и корреляцию таких критериев с критериями типа zKp. На рис. 13.5 показана зависимость величины zKp различных веществ от приведенного давления насыщения л8 при некотором фиксированном значении приведенной температуры насыщения т8*. Как видно, многие вещества оказываются в данном смысле термодинамически подобными.

Рис. 13.5. Корреляция критерия Л. П. Филиппова Л = 100 л8 при т* = 0,652 с параметром сжимаемости (по данным [0.24]).

Эксперимент показал, что из основной корреляционной последовательности выпадают вещества, на свойства которых заметное влияние оказывают квантовые эффекты, а именно Н2, В2, 3Не, 4Не и в меньшей мере Ne. Критерии, учитывающие влияние квантовых эффектов на макроскопические свойства веществ, могут быть выведены или из достаточно полной теории, или интуитивно-эмпирически путем назначения некоторого набора фундаментальных постоянных и параметров с последующим анализом экспериментальных данных.

Рассмотрим возможные критерии подобия, зависящие от таких универсальных физических величин, как постоянная Планка А, Дж • с; постоянная Больцмана к, Дж/К; масса молекулы т0 = MN^ кг; характерный масштаб потенциала взаимодействия а, м, и его интенсивность е, Дж. Последние две величины имеют характерные для данного вещества значения [8.5].

Из этих величин можно сконструировать безразмерные комплексы

которые являются некоторой мерой отношения длины волны деБройля молекулы к характерному межмолекулярному расстоянию. Влияние квантовых эффектов на макроскопические свойства веществ велико, когда это отношение порядка единицы, и в таких случаях в качестве определяющего критерия термодинамического подобия надо дополнительно вводить один из комплексов (13.23).

Такая ситуация возникает при пониженных температурах для веществ с небольшой молекулярной массой и низкой критической температурой. Однако в практическом анализе экспериментальных данных квантовые эффекты обычно можно не учитывать, что несколько сужает общность результатов.

Из сказанного вполне очевидно, что универсального для всех веществ закона соответственных состояний, как и единого критерия термодинамического подобия, не существует. Термодинамическое подобие имеет место только для более или менее обширных групп веществ и в ограниченной области параметров состояния.

Методы анализа такого подобия, как уже говорилось, основаны на теоретико-эмпирических или, как часто говорят, полуэмпириче- ских, а часто интуитивно-эмпирических соображениях и результатах. Тем не менее совокупность полуэмпирических и чисто эмпирических методов обобщения экспериментальных данных и разработанные на этой основе методы расчета свойств изученных веществ, а также прогнозирования свойств веществ, близких к ним по физико-химическим структурам, но еще подробно не исследованных, образуют все же некоторую систему, обладающую определенной логикой, последовательностью и практической ценностью.

ПРИМЕРЫ МЕТОДОВ ОБОБЩЕНИЯ ДАННЫХО СВОЙСТВАХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Подробное изложение методов обобщения и расчета свойств жидкостей и газов можно найти в [0.24, 13.3, 13.6]. Некоторые из них кратко излагаются ниже в качестве примеров практического применения метода соответственных состояний.

Уравнение состояния p — v — T в безразмерной форме представляется обычно в виде зависимости коэффициента сжимаемости z от приведенных давления и температуры. В большой области идеально-газового состояния z ~ 1, т. е. автомодельна. Отклонения от автомодельности начинаются при т < 1 и л > 0,02. Зависимость г(л;т) для некоторых реальных газов показана на рис. 13.6. Диаграммы такого типа были предложены Льюисом и Вебером, затем неоднократно уточнялись и до сих пор используются для определения свойств не только газов, но и жидкостей.

В области значений {т^1, л < 1} среднее отклонение экспериментальных данных от обобщенной зависимости составляет для нормальных веществ примерно 1 % и Для ассоциированных веществ (например, Н2О и NH3)— 3-^-4%. При значениях т>0,7 и л < 10 эти отклонения для большинства нормальных газов не превосходят 2,5% (исключая Н2, Не и некоторые другие), а для ассоциированных достигают 7—15%. Особенно велики отклонения в окрестности критической точки. Связано это с тем, что зависимость г(л;т) не содержит никаких характеристик конкретного вещества, кроме критических параметров состояния.

Рис. 13.6. Обобщение коэффициента сжимаемости для чистых веществ [13.7], 1 — этилен; 2 — п-гептан; 3 — пропан; 4 — вода; 5 — п-бутан; 6 — изопентан; 7 — этан;

8 — метан; 9 — азот.

Дополнительный нонвариантный параметр для р — и — Т зависимости обычно вводится в форме

z = 20(л; т)+ гДл; т; с*).(13.24)

Например, по Риделю,

Zt = (Пд — 6) dz/дЩ.

Функции z0 и Zi табулируются (см., например, [13.6]). Средняя ошибка обобщения типа (13.24) при определении плотности порядка 2%.

В тех случаях, когда вещество хорошо изучено и его физические свойства необходимо знать с большой точностью (например, вода и водяной пар), приходится строить некие индивидуальные функции с достаточно большим числом коэффициентов (это могут быть полиномы достаточно высокого порядка), определяемых по экспериментальным данным методами, обеспечивающими минимальную погрешность.

При температурах жидкости, близких к температуре плавления ТПЛ1 наблюдается вырождение сложных зависимостей в относительно простые — такого типа, как для идеально-газового состояния. Например, на основании экспериментов с рядом органических жидкостей установлена зависимость [0.24]

(3,95 - 1,95т),(13.25)

где р' = р'/ркр — относительная плотность жидкости. Экстраполяция (13.25) к т = 0 дает р0^4ркр, что с точностью до 2% выполняется для многих веществ и может быть использовано для оценки критических параметров по данным о плотности жидкости при низких температурах.

Калорические свойства — теплоемкость, энтальпия, энтропия — связаны с уравнением состояния известными термодинамическими соотношениями, которые могут быть представлены в безразмерной форме:

Дя =-■ х (л; т; с*, .. ., с*).(13.26)

Здесь

Хё =<т>.(13 27)

^° — значения свойства х вещества в идеально-газовом состоянии. Для теплоемкостей ср, cv и энтропии s показатель степени п = 0, для энтальпии и = 1. Результаты таких обобщений приведены, например, в [0.24, 13.6]. При этом существенно, что для обеспечения необходимой точности построения р — и — Т^-зависимости необходимо привлекать пе только данные измерений параметров состояния, но и хорошо определенные реперные значения самих калорических величин.

0 г-

0,4-0,6

0,5

V?p

Рис. 13.7. Обобщенные зависимости поверхностного натяжения от приведен-ной температуры.

а — хладоны: 1— Ф10, 2— ФИ, 3— Ф12, 4— Ф13, 5— Ф21, 6 — Ф22, 7— Ф142, по данным А. А. Кирьяненко, А. Н. Соловьева, А. Р. Дорохова; б — щелочные металлы: 1 — Li, 2 — Na, 3 — К, 4 — Rb, 5 — Cs, по данным А. Н. Соловьева, А. А. Кирьяненко, О. П. Макаровой и др. Разброс экспериментальных точек примерно равен погрешности эксперимента.

В некоторых случаях анализ экспериментальных данных с точки зрения метода соответственных состояний приводит к относительно точным и простым соотношениям. Так, для скорости звука в нормальных органических жидкостях имеет место условие

at = «J^--^ «2,6(13.28)

и соответственно

у « 1 + бДбйо/^.(13.29)

Поверхностное натяжение жидкости па границе с паром зависит только от температуры и хорошо аппроксимируется формулой

о (^Л/7?7кр^р)1/3 = С (1 - т)п,(13.30)

где С и п — константы.

На рис. 13.7, а приведены экспериментальные результаты для хладонов, у которых нонвариантные критерии почти одинаковы. Разброс данных составляет примерно 4%, показатель п ~ 1,28. Для щелочных металлов (рис. 13.7, б) обобщение заметно хуже, что, возможно, обусловлено экспериментальными погрешностями.

Кинетические свойства газов и жидкостей (S, ц, К и др.) с точки зрения термодинамического подобия исследованы сравнительно меньше, что объясняется в первую очередь трудностями теоретического характера. Кроме того, коэффициенты диффузии и термодиффузии изучены экспериментально недостаточно подробно, особенно в жидкостях и сжатых газах (в меньшей степени, но это относится и к теплопроводности).

Рис. 13.8. Зависимость приведенной теплопроводности газов при атмосферном давлении и критической температуре от безразмерной теплоемкости [13.4].

Рис. 13.9. Обобщение температурных зависимостей теплопроводности хладо-нов метанового ряда при атмосферном давлении. По данным В. А. Груздева,А. И. Шестовой.

<i — осредняющая кривая для водородсодержащих хладонов; б — то же, для хладонов, не содержащих водород. Видно, что экспериментальные данные обобщаются в пределах 15%. Для каждой из групп а и б отклонение экспериментальных данных от осредняющих кривых примерно в 2 раза меньше.

В отличие от равновесных кинетические свойства зависят от характеристик механизма установления термодинамического равновесия, например времен релаксации внутренних степеней свободы (или вероятностей вращательно- и колебательно-поступательных переходов), спектра внутренних состояний, их вырожденности и т. п. Влияние этих характеристик вещества может быть разным для D, X и ц и меняться с температурой, что связано с некоторым различием механизмов молекулярного переноса массы, импульса, энергии и температурных зависимостей интегралов столкновений. Так, отношение интегралов столкновений для потенциалов Леннард — Джонса и Штокмайера [8.5] отлично от 1 при низких температурах и равно 1 при высоких. Анализ опытных данных также показывает, что термодинамические критерии типа Пл, в той или иной мере определяющие подобие термических и калорических свойств, не являются достаточными для подобия свойств переноса.

Зависимость безразмерной теплопроводности от безразмерной теплоемкости (рис. 13.8) построена по экспериментальным данным для 48 газов, молекулы которых содержат от 1 до 38 атомов. Как видно, существует близкая к линейной корреляция между теплопроводностью и теплоемкостью газа. Однако отклонения от осред- ненной зависимости достигают 10—20%. Таким образом, учет только теплоемкости не приводит к удовлетворительному обобщению данных о теплопроводности газов.

Температурные зависимости теплопроводности галоидозамещен- пых метана (хладонов), многие из которых имеют почти равные значения критериев zKp и Пл, показаны на рис. 13.9. Видно разделение экспериментальных точек на две группы, соответствующие водородсодержащим и не содержащим водорода хладонам. Отклонения теплопроводности отдельных хладонов от осредняющих кривых внутри каждой из групп также весьма значительны. Корреляцию этих отклонений с каким-либо из рассмотренных ранее нон- вариантных критериев подобия проследить не удается. Таким образом, вопрос об удовлетворительном наборе определяющих критериев подобия кинетических свойств газов и жидкостей остается открытым.

Имеющиеся относительно приемлемые обобщенные корреляции для вязкости и теплопроводности относятся к более узким группам веществ, подобие которых определяется по молекулярным признакам: одноатомные и многоатомные, полярные и неполярные, сферические и несферические молекулы и т. д. При низких давлениях, где для газов коэффициенты динамической вязкости ц°, теплопроводности %0 и произведение (pS)° зависят только от температуры, простые и достаточно точные обобщенные зависимости получены на основе молекулярно-кинетической теории разреженных газов заменой параметров потенциала молекулярного взаимодействия, которые часто неизвестны, критическими параметрами.

Так, например, комплекс Щ (13.20) для газов является практически однозначной функцией приведенной температуры т. Однако вид этой функции различен для определенных групп газов (простых неполярных, со сферическими молекулами и др.). Эти функ- шш табулированы, представлены диаграммами или аппроксимированы аналитическими выражениями. Погрешность расчета динамической вязкости простых неполярных газов по обобщенной зависимости такого типа составляет 2—3%, вязкости полярных газов — до 20%.

Частным случаем является приведенное уравнение Сазерленда, часто применяемое при температурах Т > Ткр;

^°Т^в 3/2

где т« — приведенная нормальная температура кипения; А — постоянный размерный множитель, зависящий от выбора единиц ц° п ркр, Точность этого уравнения невысока — погрешности могут достигать 10—20%.

Более точными являются корреляции, которые наряду с критическими параметрами вещества учитывают также и его критический коэффициент сжимаемости zKp. Например, обобщенные зависимости

и0г1/6

-^-3 ^ = А (7,55т - 0,55); (13.32)

..ОтЦг

(13.33)(13.33)-^,«^(№-0.29)*'-

(13.33)

(13.33)

"кр

описывают экспериментальные данные о вязкости полярных газов с водородными связями и без водородных связей с погрешностью 2-3%.

Безразмерные комплексы (13.20), включающие несколько параметров критической точки — ркр и Ткр или ркр и ZKp, оказываются неудобными для плохо изученных веществ. Поэтому при обобщении кинетических свойств часто используются симплексы

(13.34)(13.34)ц X рР )Икр ^кр (Р^)кр!

(13.34)

(13.34)

где |Лкр> ^кр, (Р^)кр — значения этих величин при критической температуре и низких давлениях (в состоянии разреженного газа). Поскольку комплекс

п о^крп о^кр^ №р)1/6^/3^ №р)1/6^/34/1/2^2734/1/2^273(13.35)(13.35)

п о

^кр

п о

^кр

^ №р)1/6^/3

^ №р)1/6^/3

4/1/2^273

4/1/2^273

(13.35)

(13.35)

остается практически постоянным для нормальных веществ, состояния различных резреженных газов с одинаковыми приведенными температурами являются соответственными и замена комплексов (13.20) симплексами (13.34) является достаточно обоснованной (по крайней мере, для вязкости). Обобщенные зависимости для симплекса Ц°/Цкр отличаются от зависимости П^о (т) лишь на постоянный множитель.

Корреляции такого типа имеют место при низких давлениях также и для других свойств переноса. Однако их точность, особенно для теплопроводности многоатомных газов, низкая, что объясняется сильным влиянием внутренних степеней свободы молекул и, следовательно, теплоемкости газа.

Наиболее точные обобщенные зависимости для теплопроводности газов при низких давлениях учитывают это обстоятельство и имеют вид

0 vrl/2ml/6

-^" = ^1(т) (13-36)

ИЛИ

Ь’А^Ш.т),

где Л и /2— универсальные функции для группы веществ; А — постоянный для всех веществ этой группы размерный множитель.

Еще Максвелл установил, что для одноатомных газов при низких давлениях в большом диапазоне температур справедливо соотношение между теплопроводностью, вязкостью и теплоемкостью

(13.37)(13.37)Л°/(рМ0 =2,5.

(13.37)

(13.37)

Для многоатомных газов этот комплекс значительно меньше (примерно 1,3-^ 1,9) и заметно меняется с температурой. Соотношение (13.37) для многоатомных газов было уточнено Эйкеном в виде формулы

9^-5 •<13-38)

Г %\ У /

Однако и она не дает удовлетворительного обобщения экспериментальных данных—отклонения могут достигать 30%.

При анализе подобия процессов тепло- и массообмена вместо комплекса (13.38) применяется число Прандтля. Очевидно, что для одноатомных газов

Рг = усг|ыА « 2/3;(13.39)

для многоатомных (с учетом поправки Эйкена)

Рг-у^Эу-б)]"1.(13.40)

Относительной стабильностью обладает также безразмерный комплекс, связывающий коэффициент самодиффузии с вязкостью (число Шмидта, или диффузионное число Прандтля):

8с = ц/рО.(13.41)

Эта величина для нормальных веществ при низких давлениях удовлетворительно обобщается следующим образом [0.24]:

(о,74т0'94 (1,391т — 0,381)—2/3, т < 1,5;

Sc = n ’s/s(13.42)

(0,368т 17 (4,58т—1,67)5/8, т>1,5.

Как видно, здесь зависимость от температуры весьма слабая. В интервале т = 0,6 -т- 3,0 отклонение от среднего значения Sc = 0,75 составляет не более 3%, а при 10 около 10%.

При обобщении данных о вязкости и теплопроводности сжатых газов и жидкостей используются безразмерные комплексы, включающие избыточные величины типа (13.26), например избыточная вязкость Ац = ц(р, 71)—ц0(Г). Для безразмерных избыточных величин имеются обобщенные диаграммы и таблицы [13.6]. Зависимость избыточной вязкости и теплопроводности от приведенных температуры и давления достаточно сложная, а точность обобщенных диаграмм и таблиц весьма низкая.

Более простой вид имеют зависимости избыточных величин от

Дц = и(р,П-^(П = /(Р,П.(13.43)

При постоянной плотности эта функция практически не зависит от температуры для газов и слабо меняется для жидкостей. Сильное расслоение изотерм наблюдается лишь в окрестности критической точки. В [0.24] рассмотрена следующая аппроксимация зави-

Рис. 13.10. Обобщение температурных зависимостей вязкости жидкостей по параметруРис. 13.10. Обобщение температурных зависимостей вязкости жидкостей по параметруПо данным М. И. Авалиани, А. Б. Каплуна. 1 — Na; 2 — К;3 —НЬ; 4 — Cs; 5 — Ar; 6 — Ne; 7 — H2; 8 — N2; 9 — C2H4O2; 10 — СзНю, 11—С(СН3)4. Вещества, расслаивающиеся по параметру т, удовлетворительно обобщаются по параметру т".По данным М. И. Авалиани, А. Б. Каплуна. 1 — Na; 2 — К;3 —НЬ; 4 — Cs; 5 — Ar; 6 — Ne; 7 — H2; 8 — N2; 9 — C2H4O2; 10 — СзНю, 11—С(СН3)4. Вещества, расслаивающиеся по параметру т, удовлетворительно обобщаются по параметру т".

Рис. 13.10. Обобщение температурных зависимостей вязкости жидкостей по параметру

Рис. 13.10. Обобщение температурных зависимостей вязкости жидкостей по параметру

По данным М. И. Авалиани, А. Б. Каплуна. 1 — Na; 2 — К;

3 —НЬ; 4 — Cs; 5 — Ar; 6 — Ne; 7 — H2; 8 — N2; 9 — C2H4O2; 10 — СзНю, 11—С(СН3)4. Вещества, расслаивающиеся по параметру т, удовлетворительно обобщаются по параметру т".

По данным М. И. Авалиани, А. Б. Каплуна. 1 — Na; 2 — К;

3 —НЬ; 4 — Cs; 5 — Ar; 6 — Ne; 7 — H2; 8 — N2; 9 — C2H4O2; 10 — СзНю, 11—С(СН3)4. Вещества, расслаивающиеся по параметру т, удовлетворительно обобщаются по параметру т".

симости избыточной вязкости от плотности:

(13.44)-(13.44)-о = а — ^со,

(13.44)-

(13.44)-

где a^p^.^M^^W); со-рГкр/^Ркр); а и р-коэф- фициенты, постоянные для группы подобных веществ.

Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство, связанное со свойствами жидкостей при температурах ниже нормальной температуры кипения Тк. Известно [2.3], что при обобщении данных о вязкости жидкостей по параметрам т или т =TJTnn вещества разделяются на группы не всегда с явно однородными признаками. Примером являются жидкие металлы, обобщение данных о вязкости которых приведено на рис. 13.1.

Однако введение температурного комплекса вида

(13.45)(13.45)„^ПЛ1

(13.45)

(13.45)

Т —11

^пл ^кр

дает гораздо лучшее обобщение (рис. 13.10). Таким образом, использование определенной комбинации двух характерных температур позволяет ввести для некоторых свойств жидкостей более универсальный температурный фактор. .

Приведенные примеры отнюдь не охватывают всех предлагавшихся методов обобщения свойств веществ и материалов на основе соображений о соответственных состояниях. Некоторые из этих обобщений поражают простотой, относительной точностью, отчетливостью физического содержания, а также изобретательностью их авторов. Тем не менее подобие свойств веществ в подавляющем большинстве случаев имеет приближенный характер.

В связи с этим вопрос о достаточном числе определяющих критериев термодинамического подобия, который иногда ставится и обсуждается в литературе, вряд ли закономерен. Однако прикладная сторона этого вопроса имеет вполне конкретное содержание, так как количество и вид рассматриваемых чисел подобия тесно связаны с точностью получаемых корреляций и их общностью.

ПОДОБИЕ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

Рассмотрение некоторых особенностей изменений свойств веществ в окрестности критической точки равновесия жидкости и пара в этой главе представляется необходимым, по крайней мере по двум обстоятельствам.

Во-первых, значения параметров состояния и некоторых свойств в критической точке входят в критерии термодинамического подобия жидкостей и газов. Такой выбор масштабов обусловлен в данном случае тем, что это единственная точка диаграммы фазового равновесия, принадлежащая одновременно и жидкому, и газовому состоянию, о чем уже говорилось ранее. Тем не менее строгого обоснования такого выбора внутренних масштабов подобия нет. Более того, при обобщении данных о свойствах некоторых веществ лучшие результаты дает применение так называемых псевдокрити- ческих параметров типа

^р = Гкр + ^, (13.46) где величина $, порядка нескольких градусов, выбирается, по существу, чисто эмпирически.

Во-вторых, несмотря на все вышеизложенное, несомненная относительная универсальность критических явлений и глубокая аналогия между разными фазовыми переходами второго рода, безусловно, наблюдаются экспериментально. Во многом это связано с флуктуационными эффектами в близкой окрестности термодинамической критической точки при

L (13.47)

I 1 кр гкр )

В этом интервале параметров состояния наблюдается сильное увеличение флуктуаций плотности и ряда других термодинамических величин и соответственно увеличение радиуса пространственной корреляции. Как известно, вдали от критической точки относительная среднеквадратичная флуктуация плотности в объеме V связана с изотермической сжимаемостью соотношением

( Р_) ) = кТ^т¥""\ (13.48)

л / 1 др \где .

г V Р ^/т

В непосредственной окрестности критической точки рт ->■ <», и зависимость (13.48) становится бессмысленной. Не выполняется также условие статистической независимости флуктуаций. Сильное возрастание амплитуды и масштаба флуктуаций плотности впервые было обнаружено Эндрюсом в середине девятнадцатого столетия в виде критической опалесценции — аномального рассеяния света в жидкости. Область существования развитых флуктуаций, размеры которых существенно превышают радиус действия межмолекуляр-

ных сил, наблюдается в значительной окрестности критического состояния вещества. Этот факт в теории критических явлений долгое время или совсем не учитывался, или вводились поправки, существенно не влияющие на окончательные результаты теории.

Только в 60—70-х годах XX в. сложилась флуктуационная теория критических явлений, в основном правильно отражающая накопленные экспериментальные факты [13.5, 13.7]. Мы остановимся только на некоторых положениях, относящихся к критической точке чистых жидкостей. Неограниченное возрастание характерного масштаба флуктуаций гс при приближении к критической точке приводит к появлению аномалий в макроскопических свойствах жидкости и газа. Зависимость этих свойств от параметров состояния представляется в виде суммы регулярной части, не учитывающей флуктуации, и аномальной части, обусловленной взаимодействием флуктуаций.

В свою очередь, аномальная составляющая записывается в виде

(13.49)

где ф — один из приведенных параметров состояния (13.47)—обыч- но приведенная температура т*; сц — константа; 2 = т*/1 Ар |1/р — характерный комплекс.

Так, например, свободная энергия

pF (р, Г) = <Ег (2) + pF0 (р, Ту,(13.50)

масштаб флуктуаций (радиус корреляции)

гс(р,Г) = г0т^/?(2).(13.51)

По существу, соотношение (13.49) является основным постулатом теории, известным как гипотеза масштабного подобия. Соответственно при приближении к критической точке вдоль характерных кривых (кривой сосуществования 2 = 20, критической изотермы 2 = 0, изохоры 2 = оо) аномальная часть макроскопических свойств описывается асимптотически степенными зависимостями (табл. 13.1).

Следует заметить, что для вязкости эксперимент тоже достоверно показывает ее увеличение относительно регулярной части на 20—25% в критической области чистых веществ и бинарных растворов, а теория предсказывает слабую расходимость в самой критической точке.

(13.52)(13.52)Показатели, степеней а, р, у, 6, ц, v называются критическими индексами этой теории и связаны друг с другом соотношениями а + 20 + у = 2; а + 0 (1 + 6) = 2; 3v = 2 — а; у = v (2 — ц).

(13.52)

(13.52)

Необходимо знание только двух независимых критических индексов, остальные определяются по ним. Однако в рамках флуктуационной теории ответ на вопрос о значениях критических индексов отсутствует, и слово остается за экспериментом.

СвойствоСвойствоТаблица 13.1. Асимптотика теории масштабного подобия

Свойство

Свойство

Связь с параметрами состояния

Кривая сосуществованияКритическая изотермаПоверхностное натяжениеИзохорная теплоемкость и изотермическая сжимаемость по критической изохоре (Г>Ткр)То же, в двухфазной областиТо же, по критической изотермеТеплопроводность на критической изохореТо же, по критической изотермеКривая сосуществованияКритическая изотермаПоверхностное натяжениеИзохорная теплоемкость и изотермическая сжимаемость по критической изохоре (Г>Ткр)То же, в двухфазной областиТо же, по критической изотермеТеплопроводность на критической изохореТо же, по критической изотермеР Ркр ~ Ркр Р" —/Т* \Р^кр ~ {Р ^’кр) укр = = ЛрГр | Др I6"1-^ = л+т^ + я+со₽Т = Лр Т*-^ = л-т;“ + в- (г)^- = лс I= ЛлТ* V^ ^ "Ь \ ^’ Ркр)х=л^|-^-^+Хо(Р|Гкр)Р Ркр ~ Ркр Р" —/Т* \Р^кр ~ {Р ^’кр) укр = = ЛрГр | Др I6"1-^ = л+т^ + я+со₽Т = Лр Т*-^ = л-т;“ + в- (г)^- = лс I= ЛлТ* V^ ^ "Ь \ ^’ Ркр)х=л^|-^-^+Хо(Р|Гкр)

Кривая сосуществования

Критическая изотерма

Поверхностное натяжение

Изохорная теплоемкость и изотермическая сжимаемость по критической изохоре (Г>Ткр)

То же, в двухфазной области

То же, по критической изотерме

Теплопроводность на критической изохоре

То же, по критической изотерме

Кривая сосуществования

Критическая изотерма

Поверхностное натяжение

Изохорная теплоемкость и изотермическая сжимаемость по критической изохоре (Г>Ткр)

То же, в двухфазной области

То же, по критической изотерме

Теплопроводность на критической изохоре

То же, по критической изотерме

Р Ркр ~ Ркр Р" —/Т* \Р

^кр ~ {Р ^’кр) укр = = ЛрГр | Др I6"1

-^ = л+т^ + я+со

₽Т = Лр Т*

-^ = л-т;“ + в- (г)

^- = лс I

= ЛлТ* V^ ^ "Ь \ ^’ Ркр)

х=л^|-^-^+Хо(Р|Гкр)

Р Ркр ~ Ркр Р" —/Т* \Р

^кр ~ {Р ^’кр) укр = = ЛрГр | Др I6"1

-^ = л+т^ + я+со

₽Т = Лр Т*

-^ = л-т;“ + в- (г)

^- = лс I

= ЛлТ* V^ ^ "Ь \ ^’ Ркр)

х=л^|-^-^+Хо(Р|Гкр)

Таким образом, отчетливо видно, что формулы табл. 13.1 являются соотношениями термодинамического подобия в том достаточно широком смысле, которое ему придано в этой главе. И в этом случае окончательное суждение об их применимости может дать только анализ фактических данных. Экспериментальное определение критических индексов весьма затруднительно, и точность здесь невелика. Тем не менее есть основания считать, что одноименные индексы для чистых веществ весьма близки друг к другу. Вероятные их значения, по имеющимся данным [8.3]:

а = 0,12 ± 0,02; £ = 0,34 ± 0,02; у = 1,23 ± 0,02;

6 = 4,6 ± 0,2; ц = 0,045 ± 0,01; v = 0,63 ± 0,02.

Коэффициенты Лг- зависят от индивидуальных свойств веществ и, по-видимому, коррелируют с нонвариантными критериями термодинамического подобия, а коэффициент Ах — с регулярной частью теплопроводности в критической точке.

Из сказанного следует, что включение критических величин в комплексы термодинамического подобия не является универсальным.

Необходимо также отметить существование довольно отчетливого изоморфизма фазовых переходов второго рода в чистых жидкостях и бинарных растворах. Это выражается в практическом равенстве критических индексов для изоморфных свойств этих веществ. Основное условие применимости рассмотренных выше выводов флуктуационной теории имеет вид

ГС>ГМ, (13.53) где гм — характерный масштаб сил межмолекулярного взаимодействия.

В жидких металлах и электролитах это условие не выполняется в необходимой мере, и рассмотренные выше закономерности нарушаются.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛОГИЙДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

Изложенные выше методы приближенного подобия физических свойств непосредственно применимы к чистым веществам. Не менее важен такой анализ и для неоднородных (гетерогенных) систем. Именно таковы почти все природные и большая часть технических материалов. Используемые в практических приложениях методы обобщения и вычисления свойств гетерогенных материалов основаны на введении понятия эффективных свойств и теории обобщенной проводимости.

Свойства неоднородного материала (плотность, теплоемкость, электропроводность и др.) являются функциями координат. Однако если размеры рассматриваемой системы много больше характерного масштаба неоднородностей, то макроскопические процессы переноса в ней можно описать теми же, что и для гомогенного материала, уравнениями, введя в них соответствующим образом осредненные физические характеристики. Так, например, в весьма распространенном случае, когда нет сильных физико-химических взаимодействий на границах фаз, а удельная поверхность раздела не очень велика, эффективные удельные объем и теплоемкость гетерогенного материала точно определяются простыми соотношениями аддитивности

' ^эф = 2 ^W Сэф = 5 ^гсгп (13.54) г г

где и?г — массовая доля Z-го компонента. Важно отметить, что в соотношения (13.54) не входят структурные характеристики материала (размеры и форма неоднородностей, их взаимное расположение и т. п.).

Теплопроводность и другие свойства переноса в отличие от теплоемкости и плотности существенно зависят от структуры. Поэтому даже при исключении из рассмотрения поверхностных эффектов на границах раздела соотношения типа (13.54) неприемлемы для свойств переноса.

Если х< есть данная транспортная характеристика Z-ro компонента неоднородного материала, a Z, — его геометрическая характеристика, то размерной зависимости

(13.55)(13.55)^Эф /(*^1? • • *, «^М ^Ъ ^2) • • •)

(13.55)

(13.55)

соответствует обобщенная зависимость

АЭф=Хэф/х1= А(хй/хь . . ., xjx^ ф2, фз, ..., С^.(13.56)

Здесь фг — объемная концентрация Z-ro компонента; Ci — характеристики геометрии гетерогенной системы. При этом, как и ранее, предполагается, что размеры рассматриваемой области переносов существенно больше масштабов неоднородностей структуры.

Как указывалось в 2.5, для стационарных условий имеет место аналогия тепловых, электрических и магнитных процессов, поскольку их математическая формулировка в числах подобия одинакова. Из этого следует, что функция Л в (13.56) должна быть, во всяком случае в первом приближении, универсальной для теплопроводности, электропроводности, электрической и магнитной проницаемости. Это утверждение является исходным пунктом теории обобщенной проводимости, начала которой были заложены еще в работах Рэлея и Максвелла.

Среди гетерогенных материалов можно выделить группы со сходными структурами. Например, матричные структуры с изолированными и близкими по форме включениями (суспензии, эмульсии), зернистые структуры (порошки, сыпучие материалы), волокнистые структуры и т. д. Очень важно, что для материалов внутри каждой группы структурные числа подобия Ci примерно одинаковы, и поэтому соотношения подобия (13.56) принимают вид, удобный для анализа экспериментальных данных:

Лэф = Л(ж2/^1, ..., хк/х^ ф2, ..., фл). (13.57)

Теоретический расчет конкретного вида функции Л представляет очень сложную, а для большинства реальных гетерогенных систем неразрешимую задачу. Приближенные решения, хотя и весьма многочисленные, получены лишь для некоторых простых упорядоченных модельных структур. Наиболее известными результатами являются, например, формула Максвелла для обобщенной проводимости среды со сферическими изолированными включениями

(13.58)(13.58)Лх (1-Ь 2Ф1) + 2 (1 — Ф1)э*- л.^-ф^ + г + ф.

(13.58)

(13.58)

и формула Эйнштейна для вязкости среды со сферическими твердыми включениями

(13.59)(13.59)-^ = 1 + 2,5Ф1.

(13.59)

(13.59)

Но

Здесь индекс 0 относится к среде, 1 — к дисперсной фазе, параметром приведения служит соответствующее свойство среды.

Рис, 13.11. Зависимость свойств холоднопрессованных порошков системы Ni— —Al от комплекса (Ло — 27)/Ло по данным [13.1].

а —давление прессования р, МПа; б — теплопроводность X, Вт/(м-К); I—Ni (ПНК-2); 2 — 3NHi + Al; 3 — Ni + Al; 4 — 2Ni + 3A1; 5 — Al (ПА-4).

Уравнения (13.58) и (13.59), как показывает их сопоставление с экспериментом, удовлетворительно описывают соответственно теплопроводность твердых материалов с включениями и вязкость суспензий и эмульсий до объемных концентраций дисперсной фазы порядка 10%. При более высоких концентрациях необходимо учитывать касания частиц друг с другом, которые существенно изменяют макроскопические свойства структуры. При некоторой концентрации (ф^О,15-4-О,17) возникают, например, непрерывные мостики из дисперсной фазы (явление протекания или перколяции), и свойства гетерогенной системы могут измениться резко, как при фазовом превращении.

В качестве еще одного примера рассмотрим несколько подробнее менее известный случай тепло-механической аналогии, наблюдаемой, по крайней мере, в холоднопрессованных металлических порошковых материалах. Ввиду того что теплопроводность материала порошка Хк много больше теплопроводности воздуха, заполняющего поры, можно пренебречь переносом тепла в порах. При значениях пористости П ^ 0,2 (П = 1 — рэф/рк, где рк — плотность материала частиц) тепловое сопротивление и деформации сконцентрированы в зоне контактов между частицами, т. е. механизмы переноса тепла и передачи давления прессования р носят контактный характер. Поэтому можно написать

р = окр (П, Ci); Хэф = Хка (П, Ci).(13.60)

а = (1-Я)2(1-Л/Я0)р.а = (1-Я)2(1-Л/Я0)р.(13.61)(13.61)

а = (1-Я)2(1-Л/Я0)р.

а = (1-Я)2(1-Л/Я0)р.

(13.61)

(13.61)

Рис. 13.12. Обобщенная зависимость теплопроводности холоднопрессованных порошков от пористости [13.1].

Линия — (1—Л)2; 6 — Zr (М—41); 7 — Zr++2А1; 5 — Zr+3A1; 9— Zr+5A1; пояснениядля остальных точек см. на рис. 13.11.

Здесь ок ~ предел текучести материала частиц; а — относительная контактная площадь, которая определяется как отношение площади проекции контактов, попадающих в сечение, перпендикулярное потоку, ко всей площади сечения.

Соотношения (13.60) показывают, что зависимости ХЭф/Хк и р/ок должны быть подобными. Следуя М. Ю. Балыпину [13.2], обобщившему большой . экспериментальный материал по кривым прес

сования порошковых материалов, примем

Из (13.60) и (13.61) следует, что пористость П, насыпная пористость По, характеризующая исходную (до прессования) структуру,, и число р являются критериями подобия для механических и тепловых свойств прессованных порошковых материалов. Эксперимент подтверждает хорошее качественное подобие зависимостей р^П, nOs р) и Хэф(Л, По, Р) (рис. 13.11). Но если экстраполяция кривой прессования к П = 0 в соответствии с (13.60) и (13.61) дает значения ок, близкие к пределу текучести материала частиц, например для А1 ок = 340 МПа, то значения Хк оказываются сильно' заниженными. Это объясняется наличием на поверхности частиц тонких окисных пленок, которые не влияют на механические свойства, но сильно увеличивают тепловое сопротивление контакта, не нарушая, однако, подобия.

Совпадение обобщенной зависимости, построенной с учетом полученных экстраполяций к П = 0 значений Хк, с экспериментальными данными (рис. 13.12) можно считать вполне удовлетворительным, если иметь в виду, что естественный статистический разброс •свойств порошковых материалов одного состава может достигать 40-15%.

Эти примеры показывают, что использование аналогий при обобщении теплофизических свойств гетерогенных материалов приводит к интересным и полезным для практических целей результатам. Необходимо иметь в виду, что в динамических режимах теплофизические свойства гетерогенных материалов могут оказаться иными, и полученные на основе аналогий простые соотношения (13.56) будут неприменимы. Необходимо также уточнение понятия эффек-

тивных свойств, так как последние в динамических режимах будут зависеть от времен релаксации неоднородностей температурного поля.

СООТВЕТСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

г ПРИ АНАЛИЗЕ ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Интегральные термогидродинамические величины — коэффициенты трения, тепло-, массоотдачи, критическая скорость оттеснения жидкости от пористой поверхности при барботаже, критический тепловой поток при кипении и другие — зависят в общем случае от физических свойств рабочего тела, геометрических и кинематических параметров. Например, теплообмен между жидкостью и стенкой круглой трубы в квазиизотермических условиях описывается некоторой зависимостью

а = Фа(ср; X; р; v; D\ L).(13.62)

Критический тепловой поток, при котором происходит переход от пузырькового кипения к пленочному в большом объеме свободно конвектирующей насыщенной жидкости, является функцией физических свойств вещества на линии насыщения, ускорения g и размера нагревателя. В области значений L> 60 имеет место автомодельность дкр относительно характерного размера нагревателя и в общем случае

9кр = фд (г; Ср, с^ р'; р"; р'; и"; V; V; Г; о; g).(13.63)

Если возможно разделить функции так, что

а = Фа1(сР; X; р; р; ...)Фа2(^; L; ^Т...^,(13.64)

то в этом случае вводятся обобщенные зависимости вида

а/а0 = а(л; ф; с*...).(13.65)

Здесь величина а0 определена при некоторых фиксированных приведенных параметрах состояния (л*; ф*}.

Для процессов конденсации и кипения порядок параметров состояния в основном определяется зависимостью р^Т) на линии насыщения, которая характеризует совокупность определенных соответственных состояний веществ. В этом случае можно считать, что

а~а(л).(13.66)

Такого рода обработками экспериментальных данных много занимался В. М. Боришанский. Некоторые его графики, построенные в координатах типа (13.66), показаны на рис. 13.13, 13.14 [2.8].

Как видно, такие обработки результатов опытов могут представлять некоторый интерес, но их информационное содержание крайне ограниченно. Невозможно выделить наиболее существенные для процесса физические свойства, оценить характер и степень их влияния, выпадают из рассмотрения величины, остающиеся в условиях эксперимента постоянными, например ускорение g.

Рис. 13.13. Данные о теплоотдаче при развитом пузырьковом кипении в координатах соответственных состояний.

* Л -♦

а^ = а/g0»7— при данном давлении; а^*—то же, при реперном приведенном давлении л* = 0,03; 1 — ртутно-магниевая амальгама; 2 — ртуть; 3 — натрий; 4 — вода.

Рис. 13.14. Данные о теплоотдаче при пленочной конденсации медленно двжущихся насыщенных паров воды, аммиака, бензола, толуола, хладона, кислорода, азота, аргона.

Здесь обработка опытных данных проведена при постоянных значениях показателей степеней в зависимости от вида а ~ дП1РП2. . ., т. е. всегда в ограниченной области режимов течения пленки конденсата.

Рис. 13.15. Зависимость первого критического теплового потока от приведенного давления при кипении в большом объеме неметаллических жидкостей: воды, бензола, гептана, этилового, метилового и пропилового спирта (9*р при Р* = 0,03ркр).

Рис. 13.16. Влияние относительной плотности р" на эффект оттеснения при изотермическом барботаже воды водородом (7), гелием (2), азотом (5, 6^ аргоном (4, 7) и ксеноном (5).Рис. 13.16. Влияние относительной плотности р" на эффект оттеснения при изотермическом барботаже воды водородом (7), гелием (2), азотом (5, 6^ аргоном (4, 7) и ксеноном (5).

Рис. 13.16. Влияние относительной плотности р" на эффект оттеснения при изотермическом барботаже воды водородом (7), гелием (2), азотом (5, 6^ аргоном (4, 7) и ксеноном (5).

Рис. 13.16. Влияние относительной плотности р" на эффект оттеснения при изотермическом барботаже воды водородом (7), гелием (2), азотом (5, 6^ аргоном (4, 7) и ксеноном (5).

В качестве иллюстрации можно сравнить информативность рис. 13.15 и формулы (9.9) для первого критического теплового потока при кипении свободно конвектирующей насыщенной жидкости. Очевидно, что график соответственных состояний в этом смысле несоизмеримо слабее даже приближенной, но отчетливой физико-математической модели.

Тем не менее в некоторых случаях использование параметров соответственных состояний полезно и при анализе термогидродинамических процессов. Так, например, в области низких давлений ана-

Рис. 13.17. Зависимость критерия устойчивости к от давления при кипении воды (7, 2) и барботаже азотом (5) и гелием (4).

2- м* 32- м* 3логия эффекта оттеснения жидкости от микропористой поверхности и возникновения пленочного кипения не имеет места. Это обстоятельство отчетливо видно на рис. 13.16 и 13.17. В случае эффекта оттеснения при изотермическом барботаже в области низких давлений (см. рис. 13.16) возникает особый комплекс

2- м* 3

2- м* 3

(13.67)

хорошо обобщающий результаты экспериментов. Сравнение данных о влиянии низкого давления на эффект оттеснения при барботаже и возникновение пленочного кипения (см. рис. 13.17) показывает, что имеется не только количественное, но и принципиальное качественное расхождение. Объясняется оно сильным перераспределением теплового потока, отводимого от поверхности нагрева конвекцией жидкости и парообразованием в области низких давлений насыще-

ния. Это явление не описывается компактным числом подобия, и представление данных опыта в координатах соответственных состояний оказывается вполне уместно.

ЛИТЕРАТУРА

Александров В. В., Груздев В. А., Коваленко Ю. А. Теплопроводность некоторых СВС-систем на основе алюминия.— Физика горения и взрыва, 1985, т. 21, № 1, с. 98—104.

Бальшин М. Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна.— М.: Металлургия, 1972.— 272 с.

Бретшнайдер С. Т. Свойства газов и жидкостей.— М.— Л.: Химия, 1971.— 704 с.

Груздев В. А., Шестова А. И. Некоторые закономерности в теплопроводности паров фреонов метанового ряда.— В кн.: Теплофизические свойства веществ и материалов. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1979, с. 55—65.

Наташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов.— М.: Наука, 1975.— 255 с.

Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей.—Л.: Химия, 1971.— 704 с.

Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления.— М.: Мир, 1973.— 419 с.

Цезарлян А., Толукян А. Обобщение и расчет теплопроводности металлов с помощью закона соответственных состояний.— ТВТ, 1965, т. 3, № 1, с. 75—85.

Wilcook D. Vapor Pressure — Viscosity Relations in Methylpolysiloxanes.— J. Amer. Chem. Soc., 1946, v. 68, N 4, p. 691—696.

Глава 14

ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Прямое физическое исследование, включая циклы экспериментов с разномасштабными установками,— единственный путь получения принципиально новых фактов и закономерностей, непредсказуемых существующей теорией или описываемых ею недостаточно полно и отчетливо. В последних случаях наиболее плодотворной является параллельная разработка математических и экспериментальных физических моделей. Это позволяет в физическом эксперименте выделить ограниченный круг наиболее существенных объектов исследования, которые в дальнейшем будут заложены в модель математическую. Например, в турбулентных потоках такими объектами являются коэффициенты переносов импульса, энергии, массы в осредненном течении, структура и внутренние масштабы в актуальном течении.

В прямом моделировании модель и образец должны быть связаны правилом Кирпичева — Гухмана: подобные системы имеют

подобно заданные условия однозначности и численно одинаковые одноименные критерии подобия, составленные только из величин^ входящих в эти условия. Иначе говоря, все определяющие процесс критерии подобия попарно численно одинаковы в образце и модели, а безразмерные записи условий однозначности тождественны.

Для таких величин, как скорость течения, температура, электрический потенциал, давление и другие, подобие краевых условий задается функциями типа

ф(#1, ..., хи*, Но), (14.1)i

где ф = ф/ф0 — относительное изменение рассматриваемой величины по заданным точкам пространства системы (ограждающие поверхности, входные или выходные сечения); x^xjx^— относительные координаты; индекс 0 означает характерное значение; Но — соответствующее значение критерия гомохронности, например, при t = 0 или t = оо? Или t = tQ.

Наиболее широко физическое моделирование применяется при решении проблем энергетики, гидротехнического строительства, судо- и авиастроения, энергохимических технологий, гражданского и промышленного строительства.

ОДИН ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ КРИТЕРИЙ

Если интересующий исследователя процесс, протекающий в образце, определяется только одним критерием подобия, прямое моделирование осуществляется относительно просто. Например, изучение гидродинамического сопротивления и распределения скоростей стационарного, изотермического течения газа или жидкости требует соблюдения только подобия условий однозначности и равенства критериев Рейнольдса для образца и модели (Re = idem). Определяемыми критериями в этом случае являются число Эйлера или коэффициент гидродинамического сопротивления изучаемого устройства и безразмерное поле скоростей й^хх, ..., xuY Варьируя скорости течения и размеры модели, можно расширить результаты моделирования, построив экспериментальную зависимость g(Re) в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса.

Выбор моделирующей среды при этом легко обосновывается удобствами сооружения модели. Например, моделируя течение газа в некотором технологическом аппарате с помощью другой среды, будем иметь соотношение масштабов скоростей и геометрических размеров, однозначно зависящее от соотношения коэффициентов кинематической вязкости

№/№ = V/V2. (14.2J

Здесь индекс 1 означает образец, индекс 2 — модель.

Если рабочий газ в образце — воздух при Т = 500 К, а в модели используется вода при Г « 290 К, то UiLJU2L2^ 35. При уменьшении геометрических размеров в 10 раз получим коэффициент пере-

Рис. 14.1. Коэффициенты сопротивления поворота прямоугольных газоходов.

1 — а = 2,07 см, «1 = 2,034 см: 2 —а = 2,011 см b = 4,022 см, «1 = 2,057 см;

3 — а = 2,05 см, «1 = 2,011 см; ох = 2,022 см.

счета скоростей UULU = 10/35. Удобства работы с такой моделью очевидны.

На рис. 14.1 показаны результаты изучения на моделях трех типов поворота газохода [0.11]. Следует обратить внимание на то, что после некоторого значения числа Рейнольдса (для газохода 1 при Re > 1,4 • 104) наступает область автомодельности, в которой гидродинамическое сопротивление практически полностью определяется конфигурацией канала. Это означает, что влияние трения о стенки канала мало по сравнению с потерями, определяемыми инерционными силами, возникающими в потоке при изменении траекторий течения и образовании вихрей. В такой автомодельной (правильнее сказать, квазиавтомодельной) области соблюдение одинаковости чисел Re в образце и модели становится необязательным. Важно только, чтобы выполнялось условие Re > Re*, где Re* — пороговое значение для начала автомодельности. Рис. 14.2 иллюстрирует это явление.

Именно на этом явлении основано лабораторное изучение течений в гидротехнических сооружениях. При моделировании, например, плотин, водостоков размеры модельных сооружений много меньше размеров образцов, подобие по числам Рейнольдса не соблюдается, но общая картина распределения потоков сохраняется. Объясняется это тем, что размеры моделей достаточно велики и поэтому в них так же, как и в образцах, влиянием вязкого трения в непосредственной окрестности твердых стенок на общую картину движения' основной массы воды можно пренебречь. По существу, это моделирование в области автомодельности по динамическим

Рис. 14.2. Движение воды в модели газохода парового котла при малых (а) и значительных (б) скоростях течения [0.11].

Застойная область в центре газохода выделена темной подкраской потока. Видна ее автомодельность относительно скорости течения.

критериям подобия. В этом случае подобие определяется только геометрическими параметрами системы.

Другим примером автомоделирования может служить статическая линейная неразветвленная электрическая цепь [14.2]. В этой задаче геометрическое подобие несущественно, и важно исследовать изменение параметров системы во времени. Процесс описывается уравнением

V-iR + L^,(14.3)

где V — напряжение; г — ток; R — сопротивление; L — индуктивность. Характеристикой цепи является постоянная времени (масштаб времени) t* = LlR. Здесь величины типа i = t/ioo (/«— ток при ^-^ оо) и i = t/t^ связаны автомодельно, т. е. нет никаких других параметров, влияющих на эту связь.

ДВА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КРИТЕРИЯ

При адиабатическом обтекании тела с большими скоростями в модели и образце должны быть выполнены условия Re = idem, М = = idem. Допустим, необходимо изучить аэродинамические характеристики крылового профиля или решетки лопаток турбины низкого

давления. При плотности воздуха порядка 1 кг/м3 и скорости звука 330 м/с применение в модели какой-либо жидкости становится практически невозможным. Действительно, плотность воды 103 кг/м3 и скорость звука в ней примерно 1400 м/с. Моделировать течение с М ^ 1 невозможно из-за огромных гидродинамических сопротивлений. Следовательно, надо моделировать с помощью того же или какого-то иного газа. Соотношение скоростей течения в образце и модели задается числом Маха — Маиевского

^1/^2 = #* 1/^*2»■(14,4)

а соотношение линейных масштабов — числом Рейнольдса по (14.2):

£1 Via*2L2 V*1 ‘

В данном случае применение в модели той же среды, что и в образце, невозможно. При дозвуковых течениях моделирование с изменением геометрических масштабов и сохранением рабочего тела принципиально возможно.

Еще одним примером может служить совместное действие вынужденного неизотермического течения газа и возникающей в нем термогравитационной конвекции. При небольших разностях температур, когда изменением физических свойств (кроме плотности) можно пренебречь, имеем два определяющих критерия:

(Re = UL/v, Ra = -^- рАТ1).(14.6)

В этом случае

i/3](14.7)i/3](14.7)f £ Г vA (РАТ)2 11/3 Пг \2/3 Г «2 ФАГ) ;

i/3]

(14.7)

i/3]

(14.7)

1^2 Lv2tfAr)lJ ^2 VJ Ml <1^)2

Сохранение одной и той же среды в образце и модели здесь возможно только при соответствующем варьировании разности температур, что не всегда осуществимо.

Невозможность строгого выполнения подобия модели и образца при физическом моделировании процессов с несколькими определяющими числами подобия и технологически неоднозначными краевыми условиями (такими, как распределение виртуальных центров парообразования или распределение слоя элементов дисперсной фазы) приводит к появлению проблем типа масштабных переходов (например, в химических технологиях [14.7]).

ПЕРЕМЕННОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

В газах переменность физических свойств при моделировании практически достаточно точно учитывается соблюдением равенств в модели и образце температурного фактора гр и кинетического температурного фактора гр*. Равенство величин гр* эквивалентно равенству величин (у — 1)М2, т. е. в газах с одинаковой атомностью оно

автоматически выполняется при соблюдении условия газодинамического подобия М = idem. Тогда дополнительным к (14.5) является условие Т^/Ть = idem.

В неметаллических жидкостях обычно достаточно учитывать только переменность вязкости, т. е. вводить условие ipy = idem.

В металлических жидкостях изменением физических свойств с температурой можно пренебречь главным образом потому, что большая теплопроводность обеспечивает малые разности температур. Обычно невелики разности температур и при фазовых переходах. Исключение — метастабильные состояния, но в этом случае переходы происходят столь быстро, что достаточно знать только начальное и конечное состояние системы.

ЛОКАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В каналах с теплообменными поверхностями из плохообтекаемых элементов (цилиндры, шары, призмы и т. п.), расположенными на расстояниях, заметно больших толщин вытеснения возникающих пограничных слоев, в условиях квазиизотёрмичности локальный теплообмен на поверхности каждого элемента практически не зависит от условий теплообмена на других элементах. Поэтому теплоотдачу можно измерять на одиночных представительных элементах конструкции, используя остальные в качестве воспроизводителей гидродинамического подобия исследуемого устройства в целом. Такое локальное моделирование было предложено М. В. Кирпичевым и М. А. Михеевым [0.11] и широко применяется во многих прикладных лабораториях.

Более сложным в физическом плане вариантом локального моделирования является использование квазиавтомодельности термогидродинамики относительно геометрии конструкции.

Примером такой геометрической квазиавтомодельности служит зависимость термогидродинамических характеристик жидких пленок от суммарного числа Рейнольдса в данном месте, а не от способа

Рис. 14.3. Зависимость подогрева жидкости в нижней трубке экспериментального конденсатора от числа рядов п в пучке и суммарного расхода.

1 — п = 11; 2— п = 5; 3— п = 2.

накопления жидкости, например, при пленочной конденсации на пакете горизонтальных труб [0.17].

На рис. 14.3 показаны результаты первой экспериментальной проверки этого приема моделирования, проведенной автором совместно с А. А. Коровиной в 1937 г. Данные рис. 8.7 являются его современным подтверждением.

Возникают подобные ситуации тогда, когда процесс определяется локальной термогидродинамикой, равновероятной во всех элементах рассматриваемой конфигурации, например развитое пузырьковое кипение или барботаж при характерном линейном размере конструкции, существенно большем линейного масштаба капиллярногравитационного взаимодействия L > 6ag.

МАСШТАБНЫЙ ЭФФЕКТ

При физическом моделировании особое внимание необходимо обращать, во-первых, на возможные искажения локальных эффектов при сохранении подобия процесса в целом, во-вторых, на возможность возникновения эффектов, обусловленных различиями в абсолютных размерах модели и образца по отношению к некоторым внутренним масштабам системы.

В качестве примера локального неподобия можно указать на изменение интенсивности топлообмена в местах фиксации тепловыделяющих стержней ядерных реакторов.

В качестве второго примера можно привести моделирование потоков в системах со слоями сыпучего материала. В этом случае при увеличении площади поперечного сечения слоя дисперсных частиц (например, зерен катализатора) возможно образование локальных неоднородностей плотности. Эти неоднородности приводят к перераспределению потоков рабочего газа или жидкости, возникновению промывов и разрушению слоя. Такого рода эффекты и связанные с ними нарушения канонического подобия подробно рассмотрены в монографии [14.7].

ДВА ПРИМЕРА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Исходные данные для расчета модели берутся из теплового и гидродинамического расчетов образца. Расчету модели должно предшествовать изучение конструктивных особенностей моделируемого агрегата для выяснения возможностей упрощения модели без заметного искажения результатов исследования. Модель аппарата не макет — в ней должны быть воспроизведены лишь те конструктивные элементы, которые оказывают существенное влияние на изучаемый процесс.

Так, в модели котлоагрегата, на которой предстоит изучение особенностей движения дымовых газов по отдельным газоходам, нет необходимости воспроизводить поверхности настенных экранов, коллекторов и других элементов. Это позволяет не только упростить

и удешевить модель, но и улучшает условия визуальных наблюдений и количественных измерений.

Обычно практически невозможно осуществить в модели движение с переменными по длине потока плотностью и вязкостью. Поэтому моделирование неизотермического движения в большинстве случаев осуществляется приближенно в изотермических условиях.

В качестве рабочей среды чаще всего пользуются воздухом или водой. Так как кинематическая вязкость воды примерно в 10 раз меньше вязкости воздуха, то одно и то же значение критерия Не может быть получено при работе на воде со скоростями, меньшими, чем при работе с воздухом.

При моделировании газового тракта котлов воздухоподогреватели обычно не воспроизводятся. Если необходимо изучить распределение скоростей в поворотном газоходе можду топочной камерой и шахтой, в модели устанавливают эквивалентное гидравлическое сопротивление, например в виде перфорированного листа.

Расчет модели начинается с определения значений критерия Re для моделируемых участков образца. За характерный геометрический размер газоходов, не заполненных поверхностями нагрева, принято брать гидравлический диаметр

Dt = 4F/P. (14.8)

где F и Р — площадь и «смоченный» периметр поперечного сечения газохода.

За характерный размер для газоходов, заполненных пучками труб, часто принимают наружный диаметр отдельной трубки. Это обстоятельство надо учитывать при сравнении значений чисел Рейнольдса на разных участках газового тракта котла.

Вместе с тем выбор наружного диаметра поперечно-обтекаемой трубки в качестве определяющего линейного размера безусловно правилен лишь в том случае, когда измеряется коэффициент теплоотдачи от газов к трубке. При исследовании аэродинамики в загроможденном поверхностями нагрева газоходе наружный диаметр трубки перестает быть размером, определяющим структуру потока в целом. Поэтому иногда характерный линейный размер для загроможденных газоходов рассчитывают также по формуле (14.8), рассматривая F как сумму площадок Ft с периметрами Рг (причем р = 2л).

Гидравлическое сопротивление модели либо рассчитывается по формулам гидравлики, либо определяется из соотношения Ен = idem.

Следует заметить, что гидравлическое сопротивление модели может быть определено в целом либо по отдельным участкам. Расчет по участкам точнее учитывает изменение параметров потока в образце и поэтому предпочтителен.

Кроме сопротивления собственно модели при подборе насоса приходится принимать во внимание сопротивления подводящих, отводящих и запорных устройств.

Обычно как для водяных, так и для воздушных моделей при стремлении обеспечить равенство чисел Re в сходственных сечени-

Re-10"4

Рис. 14.4. Схема газового тракта парового котла ТП-70 (а) и зависимость Ей = /(Re) для переходного газохода, полученная в опытах на воздушной модели (0.

1 — барабан котла: 2 — полуради- ационный ширмовый пароперегреватель; з — конвективный пароперегреватель; 4 — фестон; 5 — водяной экономайзер (II ступень);

6 — воздухоподогреватель (II ступень) ; 7 — водяной экономайзер (I ступень); 8— воздухоподогреватель (I ступень); 9 — горелки.

ях образца и модели возникает необходимость в мощных насосах или воздуходувках, установка и эксплуатация которых в лаборатории практически невозможны.

Следовательно, здесь необходимо использовать явление автомодельности течения основного потока относительно чисел Не > Re*.

На рис. 14.4 приведены схема газового тракта парового котла ТП-70 и зависимость Eu = /(Re), полученная для него на воздушной модели. Как видно, достаточно иметь в модели числа Не >50 000 для того, чтобы воспроизвести движение газов в образце, который работает в режиме гидродинамической автомо* дельности.

Рассмотрим еще один пример. При проектировании конденсаторов паровых турбин важно иметь правильное представление а равномерности распределения охлаждающей воды по отдельным зонам (трубкам) трубного пучка в зависимости от его компоновки. На рис. 14.5 представлены схемы трубных пучков конденсаторов 200 КЦС-2 и 300 КЦС-1, которые имеют два независимых по водяной стороне корпуса. При моделировании их гидравлической части можно ограничиться воспроизведением только одного из этих корпусов.

Диаметр трубок в модели сильно уменьшить нельзя. Соответственно будут велики и длины трубок. Воспроизведение таких трубок в моделях увеличивает их габариты, массу, стоимость и затрудняет проведение исследования. В подобных случаях целесообразна вводить «эквивалентные сопротивления».

Полное гидравлическое сопротивление конденсаторной трубки

Рис. 14.5. Схемы конденсаторов: а — 300 КЦС-1; б — 200 КЦС-2.

Для кондесатора 200 КЦС-2 условно показана левая половина. А — вход воды; Б — выход воды; В — направление движения потока в выходной камере II хода.

определяется потерей давления на вход, трением по длине трубки и потерей давления на выход:

Ар = ^-^ + + £2-^ (14.9)

где 5ь 5г — коэффициенты сопротивления соответственно внезапного сужения и расширения потока, отнесенные к скорости воды в трубке; pi и р2- плотности протекающей жидкости в начале и конце трубки; U — средняя скорость воды в трубке; 5 — коэффициент гидродинамического трения; L, DBH — длина и внутренний диаметр трубки; рср = (pi + р2)/2. Для трубок, заделанных в трубную доску заподлицо, можно принять ^ = 0,5 и 5г = 1,0. Коэффициент трения 5 в зависимости от шероховатости и числа Re определяется по формулам Блазиуса или Никурадзе.

Для обеспечения геометрического подобия между трубными пучками образца и модели (одинаковое число трубок, шаг между ними и способ заделки труб в трубной доске) в ней достаточно

точно воспроизводятся одинаковые с образцом значения коэффициентов местных сопротивлений ^ и £2. Влияние местного сопротивления на входе (трубка, завальцованная в трубной доске) на структуру потока гасится на расстоянии, равном 3—4 внутренним диаметрам трубки. То же относится и к влиянию местного выходного сопротивления на структуру потока в трубке.

Для сокращения длины моделирующих трубок в них вводятся эквивалентные сопротивления

^Э = ^/Овн.(14.10)

Простым и хорошо исследованным типом местного сопротивления является диафрагма с утолщенными краями в прямой трубке. Длина трубок модели при этом выбирается так, чтобы встроенная диафрагма практически не влияла на распределение скоростей на входе и выходе трубки. Для этого достаточно иметь ее длину порядка 15—20 внутренних диаметров.

Подробнее вопросы гидроаэродинамического моделирования см. в [0.17, 14.5, 14.9, 14.10].

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ

В качестве примера приложений анализа подобия к изучению; сложных физических процессов, протекающих в современных машинах, рассмотрим условия исследования термогазодинамики решеток профилей на модельных стендах. Для простоты ограничимся осевыми турбинами с большой высотой лопаток и большим диаметром колеса D (Z> 6, D> Z, где Z, b — высота и хорда лопатки). В этом случае применима гипотеза плоских сечений Н. Е. Жуковского [14.4], т. е. проблема сводится к задаче о плоской, прямой решетке профилей. Практически вместо потока в реальной решетке с изменяющимися по высоте профиля поперечным сечением и углом закрутки лопатки изучается течение в решетках с постоянными геометрическими параметрами, соответствующих некоторым характерным сечениям (обычно — прикорневому, среднему и периферийному) . Пространственная картина обтекания образца восстанавливается путем интерполяции результатов, полученных на плоских моделях, в предположении отсутствия сильного взаимодействия обтеканий характерных сечений. Таким образом, этот метод является одной из разновидностей приближенного локального моделирования.

Естественно, что такие исследования должны завершаться сопоставлением с результатами экспериментов, проведенных на модельных или натуральных машинах. Поскольку на последних детальное зондирование потока рабочего тела практически невозможно, такое сравнение проводится по суммарным характеристикам колеса (ступени) турбины и локальным измерениям параметров потока в местах, доступных для соответствующих датчиков давлений, температур и скоростей.

При течениях с большими дозвуковыми скоростями и, тем более, при трансзвуковых и сверхзвуковых течениях термогазодина-

мика определяется независимо двумя числами подобия — показателем адиабаты у и соотношением характерной скорости течения и скорости звука, т. е. числом подобия Маха. Иногда удобно пользоваться числами V* и М, что эквивалентно паре у, М. В связи с этим, например, моделирование решеток паровых турбин возможна на воздушных стендах, если М < 0,8 и фм/фо < 1,05 (здесь индекс м означает модель, индекс о — образец). При трансзвуковых и сверхзвуковых обтеканиях необходимо или использовать рабочее тело образца (например, водяной пар), или создавать методы пересчета для разных рабочих тел по данным испытаний с одним модельным веществом.

Это обстоятельство также является дополнительной иллюстрацией невозможности прямого моделирования при нескольких определяющих числах подобия (в данном случае Re, М, у). Еще одним параметром является степень турбулентности е, значение и распределение которой на входе в модельную решетку профилей должны соответствовать потоку в моделируемой проточной части турбомашины.

При проектировании модели и ее отладке необходимо выполнить ряд мероприятий по устранению «скоса потока», получению однородности или заданной периодичности по «шагу» полей скоростей и давлений перед решеткой, обеспечить легкую осуществимость изменения геометрии решетки, условий выхода потока иа решетки и т. п. Обсуждение соответствующей техники выходит за рамки этой книги [14.5, 14.8].

Первая экспериментальная установка для исследования профилей была создана в 1906 г. Н. Е. Жуковским. Одна из первых современных крупных установок была смонтирована в Ленинградском политехническом институте (1948 г.). Несколько позже аналогичная установка была разработана в США. Описание этих и некоторых других стендов для изучения решеток профилей дано, например, в [14.5, 14.8, 14.9]. На рис. 14.6 в качестве иллюстрации приведена схема одной из установок физико-технического отдела Центрального котлотурбинного института (ЦКТИ) в Ленинграде.

Воздух на решетку профилей подается через профилированный конфузор 3, присоединенный к горизонтальному цилиндрическому ресиверу 7, внутри которого расположен трубчатый успокоитель 2. Рабочий участок представляет собой дисковую коробку 5, укрепленную консольно на вращающейся оси. Для изменения угла натекания потока используются сменные стенки 6, 7, образующие вместе со щеками дисковой коробки подводящий канал сечением 150 X Х80 мм. На вертикальных стенках переходного патрубка 4 организован щелевой отсос. К концу нижней сменной стенки присоединена камера 14 для отсоса пограничного слоя. В верхней части дисковой коробки перемещается коробка 8, лобовая часть которой имеет форму выпуклой поверхности лопатки. К ней крепится поворотная стенка 9 в плоскости выходного среза решетки. Экспериментальный пакет лопаток может перемещаться относительно оси подводящега канала. Нижняя лопатка 13 пакета имеет независимое перемещение, к ее выходной кромке на шарнире крепится поворотная стен-

ка 12. На передней щеке дисковой коробки имеются пазы, где параллельно оси решетки перемещаются планки для крепления коор- динатников с измерительными приборами. Выходная часть дисковой коробки соединяется при помощи диффузора 10 с отводным колпаком (77), принимающим поток из решетки при всех возможных комбинациях углов входа и выхода.

К экспериментальным установкам для оптических исследований обтекания решеток профилей предъявляются еще более высокие требования относительно однородности потока. В частности, необходимо создать условия для обтекания лопаток плоским потоком практически по всей их высоте. Должна быть обеспечена возможность сборки пакета лопаток между специальными защитными оптическими стеклами без внесения в поток посторонних деталей.

Конструкция такой установки, разработанная в физико-техническом отделе ЦКТИ, отличается от описанной выше методом крепления лопаток (наклейка на стекла оптической обоймы по специально разработанной технологии), более тщательной подготовкой потока перед решеткой и организацией плавного выхода потока.

Усовершенствованная экспериментальная методика позволяет изучать:

характер обтекания решетки профилей измерением распределения давления вдоль контура внешней поверхности профиля с помощью дренажных отверстий, а также путем визуализации течения оптическими (теневым и интерферометрическим) методами;

аэродинамические качества и эффективность решетки с помощью измерения потерь полного напора в решетке, углов входа и выхода потока, определения сил, действующих на профиль;

тепловую эффективность профилей в решетке (что существенно для турбин, работающих на переменных режимах, и для охлаждаемых лопаток высокотемпературных газовых турбин при всех режимах работы) методом измерения распределения температур и тепловых потоков по контуру внешней поверхности профиля;

турбулентную структуру пограничного слоя и потока в межпрофильных каналах, а также перед и за решеткой путем измере-

Рис. 14.7. Картины обтекания решеток профилей. а — тенеграмма; б — интерферограмма.

Ция осредненных значений и пульсаций скорости, давления, плотности и температуры. В случае трансзвуковых и отрывных обтеканий измерения во избежание искажения процесса проводятся только с помощью оптических методов.

На рис. 14.7 приведены тенеграмма (а) и интерферограмма (б) обтекания двух решеток профилей турбинных лопаток. Видны образующиеся у поверхности профиля пограничные слои (7), области больших градиентов давления (2), области существования трансзвуковых зон со скачками уплотнения (5), области отрыва пограничного слоя (7). Оптическим методом получена картина изменения нормальной и касательной составляющих интенсивности пульсаций градиента плотности вдоль контура профиля (рис. 14.8). Опыты относятся к решетке профилей, тенеграмма обтекания которой при М = 0,845 представлена на рис. 14.7, а. Из сопоставления рис. 14.8 и 14.7, а видно, что области отрыва пограничного слоя у вогнутой стороны профиля (7) соответствует возрастание интенсивности пульсаций обеих составляющих, на выпуклой стороне профиля в зоне существования пульсирующих вдоль поверхности профиля скачков уплотнения (5) возрастает только касательная составляющая интенсивности пульсаций.

При исследовании обтекания решеток профилей обычно измеряются (рис. 14.9) скорости ((7), давления (р), углы на входе и выходе из решетки профилей (ръ р2). Путем траверсирования

О 0^0,40,60,8 S

Рис. 14.8. Распределение нормальной (а) и касательной (б) составляющих интенсивности пульсаций градиента плотности вдоль контура профиля.

1 — м = 0,603; 2 — М = 0,845 Гз — относительная длина контура.

вдоль оси решетки определяются локальные значения полных напоров, статических давлений, углов выхода. Потери полного напора в г-й точке по шагу

^Рг = Poi Po2h

точке по. шагу(14.11)точке по. шагу(14.11)A?i ^01 — ^2г’A?i ^01 — ^2г’коэффициент профильных потерь энергии в г-й

точке по. шагу

(14.11)

точке по. шагу

(14.11)

A?i ^01 — ^2г’

A?i ^01 — ^2г’

где /?oi — давление торможения на входе; р02г— переменный напор на выходе; p2i — статическое давление на выходе;

средний по шагу коэффициент профильных потерь энергии х+Ах

г = J(14.12)

X

средний по шагу угол выхода

х+Ах

02 = ^ J(14.13)

X

число М в любой точке по шагу определяется из соотношения

Vр /А. А \ У“1

■у = I1 + J4^"M2) *(14Л4)

где р, р0 — давление соответственно статическое и торможения; относительная (приведенная) скорость

=(14.15)

(где То — термодинамическая температура) связана с числом М соотношением

v (у+1)М-2 + (Т-1)М?'

Используя измерения распределений давления вдоль профиля дренированной лопатки, можно по формулам (14.14) и (14.16) найти распределение относительной скорости % вдоль внешней границы пограничного слоя. Вид кривой X(s) характеризует условия обтекания профиля и развития пограничного слоя на лопатке (рис. 14.10). При номинальном режиме течение в межпрофильном канале со стороны выпуклой границы профиля (левая часть рисунка) будет плавным, однако значительная диффузорность в области косого среза может вызвать отрыв пограничного слоя вблизи задней кромки профиля; с вогнутой стороны (правая часть рисунка) у передней кромки имеется пик скорости, за которым следует диффузорное течение, где может возникнуть отрыв пограничного слоя. При A Pt < 0 отрывные явления с вогнутой стороны будут усугубляться,

Рис. 14.10. Распределение относительной скорости Хх вдоль внешней границы пограничного слоя профиля при различных значениях угла натекания рь1 — ДР1=0; 2 — ДЗ^ — 30°;3 —ДР1 = +15°.Рис. 14.10. Распределение относительной скорости Хх вдоль внешней границы пограничного слоя профиля при различных значениях угла натекания рь1 — ДР1=0; 2 — ДЗ^ — 30°;3 —ДР1 = +15°.

Рис. 14.10. Распределение относительной скорости Хх вдоль внешней границы пограничного слоя профиля при различных значениях угла натекания рь

1 — ДР1=0; 2 — ДЗ^ — 30°;

3 —ДР1 = +15°.

Рис. 14.10. Распределение относительной скорости Хх вдоль внешней границы пограничного слоя профиля при различных значениях угла натекания рь

1 — ДР1=0; 2 — ДЗ^ — 30°;

3 —ДР1 = +15°.

обтекание выпуклой стороны везде плавное. При A^i>0 вогнутая сторона будет обтекаться плавно, но с выпуклой стороны у передней кромки возникает трансзвуковая область с последующим резким диффузорным течением, где должны возникнуть пульсирующие скачки уплотнения и отрыв пограничного слоя.

КПД решетки определяется как отношение действительной кинетической энергии за решеткой к кинетической энергии в i-й точке измерительного сечения:

х2

==(14.17)

A2si

где X2s — приведенная скорость на выходе из решетки, соответствующая изоэнтропическому процессу, при котором в рассматриваемом сечении сохранятся такие же, как в реальном процессе, значения р2г и р2г. При обработке опытных данных о плоском обтекании решеток профилей при больших скоростях осреднение потерь энергии по шагу следует проводить с учетом изменения расхода по формуле

х+Дх

J 5iP2it72iSin P2i&

в =.(14.18)

J p2i^2j sin P2id» X

Скорости на входе Ut и выходе U2 определяются как средние интегральные по шагу. Скорость на бесконечности Um — как среднее векторное между скоростями перед и за решеткой:

ит = у VW^TTww^hj^:(14.19)

Угол между скоростью на бесконечности и осью решетки

Pm = arctg.(14.20)

При отрыве пограничного слоя у задней кромки точность экспериментального определения скорости U2 значительно снижается, поэтому в ряде случаев ее определяют косвенно из соотношения

U.-Vfe^W-^,(14.21)

где Cyi — коэффициент подъемной силы, который может быть определен по измеренному экспериментально распределению давления вдоль обвода профиля; Дж = Дж/Ь — относительный шаг решетки.

Силы, действующие на профиль в решетке, могут быть определены либо с помощью непосредственного измерения на аэродинамических весах (при плоском обтекании), лйбо по теореме об изменении количества движения, либо по вычисленной циркуляции вокруг профиля. Представляют интерес составляющие силы по направлению скорости на бесконечности Fm и нормальные к ней Fa, а также по направлению оси решетки Fx и перпендикулярные к ней Fy.

При обтекании решетки идеальной жидкостью по теореме Н. Е. Жуковского

2^ = 0; Fa = pUmr,(14.22)

FС —хFС —уУ (1/2) рГ/^ЬFС —хFС —уУ (1/2) рГ/^Ьгде Г = (С72Х—С71х) Дж—циркуляция. Соответственно коэффициенты сил Fx и Fy запишутся

F

С —х

F

С —у

У (1/2) рГ/^Ь

F

С —х

F

С —у

У (1/2) рГ/^Ь

(14.23)(14.23)= 2Дж E^L—E-PL sin pm;и т

(14.23)

(14.23)

= 2^^” 7^” cospm.и т

При реальном обтекании, применяя теорему количества движения к объему bacdb (см. рис. 14.9) и предполагая, что отрезки ab и cd бесконечно удалены, можно получить соотношения

FX P^iy ^ЦIXU2х) ^Ж;

(14.24)(14.24)/ oU2 oU2 \

(14.24)

(14.24)

Fy = (Pi — Pi) ^ = (-21 — -^ + ^Р j Аж,

и соответственно коэффициенты сил будут определяться путем деления этих выражений на pU2mb/2.

Интегрируя полученные в эксперименте распределения давления вдоль контура профиля, можно аналогично найти коэффициент сопротивления давления.

Коэффициент профильного сопротивления Cw вычисляется с помощью методов теории пограничного слоя. Один из наиболее известных методов дает формулу

M^VM012 6**Um)"Г’M^VM012 6**Um)"Г’(14.25)(14.25)

M^VM012 6**

Um)"Г’

M^VM012 6**

Um)"Г’

(14.25)

(14.25)

где UK и бГ — скорость и толщина потери импульса у задней кромки профиля.

Для экспериментального определения локальных значений коэффициентов теплоотдачи вдоль контура профиля в решетке наибольшее распространение получил метод так называемого обращенного теплообмена, при котором нагретая лопатка (одна или две в решетке холодных профилей) обдувается холодным воздухом. При таком обращении задачи эксперимент более прост, обходится дешевле, возможно применение оптических методов и т. п. Однако имеющее место при этом нарушение подобия по температурному фактору допустимо только при значении последнего, не слишком отличающемся от единицы. При интенсивном охлаждении поверхности лопатки в высокотемпературном газе (ар < 1) происходят значительное увеличение толщины вязкого подслоя и ламинаризация пограничного слоя, что не наблюдается при ф>1. Опыт показывает, что моделирование холодным воздухом допустимо при 1,25 > ф > 0,8.

Нагрев экспериментальной лопатки осуществляется или электричеством, пропускаемым через наклеенную на профиль фольгу большого сопротивления, или горячим газом (жидкостью), пропускаемым через каналы в лопатке. Соответственно организуется и измерение баланса тепла. Температуры измеряются с помощью термопар, термометров сопротивления, термочувствительных красок. Следует иметь в виду, что объектами таких исследований являются не только распределения осредненных характеристик потока и термического состояния лопаток решетки, но и пульсационные хараю* теристики. Последние особенно важны при обтекании высокотемпературной средой и интенсивном охлаждении. Пульсации температуры, обусловленные турбулентностью потока, могут приводить к малоцикловой усталости материала лопаток. Это означает, что газодинамическое совершенство решетки профилей должно согласовываться с ее оптимизацией по термопрочности.

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Наряду с изучением на физических моделях отдельных технических элементов и агрегатов в некоторых случаях очень полезна создание гибких моделей целых технологических систем. Такие системы являются чрезвычайно сложными физико-математическими объектами. Это особенно справедливо для электроэнергетических систем (ЭЭС), которые представляют собой сложный комплекс элементов, занимающий громадное пространство и осуществляющий непрерывное производство, передачу и потребление электроэнергии.

Для модельного инженерного изучения сложных систем существуют две основные группы методов: математическое моделирование, реализуемое с помощью различных установок и устройств — расчетных столов, специализированных вычислительных устройств, аналоговых и цифровых вычислительных машин, гибридных аналого-цифровых систем; физическое моделирование, использующее физические, или, как принято называть, электродинамические модели (ЭДМ) ЭЭС.

Электродинамическая модель ЭЭС является некоторой исследовательской схемой или уменьшенным эквивалентом реальной на-*

турной энергосистемы. В ее состав входят все элементы ЭЭС — генераторы, нагрузки, модели линий электропередач (ЛЭП), а также различная регулирующая, измерительная и коммутирующая аппаратура. Основное достоинство применения ЭДМ в исследованиях ЭЭС заключается в том, что благодаря совпадению природы явлений в натурном объекте и модели дорогостоящие (а часто невозможные) эксперименты в реальных ЭЭС можно заменить на эксперименты, проводимые на ЭДМ.

Основные направления исследований, где целесообразно применение методов физического моделирования ЭЭС, следующие [14.1]: проверка различных допущений и приближений, принимаемых при расчетных исследованиях ЭЭС; исследование, испытания макетов и апробация законченных устройств управления, защиты и измерений для ЭЭС; исследования, уточняющие конструкцию или параметры элементов ЭЭС, например ЛЭП, генераторов и др.; исследования режимов конкретных натурных ЭЭС на эквивалентных схемах ЭДМ.

Применение ЭДМ перспективно также в качестве учебной установки для студентов и тренажера для персонала станций и диспетчеров энергоуправлений, особенно для случаев изучения аварийных ситуаций.

Электродинамические модели в настоящее время кроме точных физических моделей таких элементов, как синхронные генераторы, трансформаторы и различные нагрузки, включают в себя упрощенные физические модели ЛЭП (цепочечные, П- или Т-образные схемы замещения линий с распределенными параметрами), а также математические модели некоторых элементов ЭЭС, реализованные с помощью электронных устройств. Многолетний опыт показал, что модели турбин и регуляторов скорости . целесообразнее выполнять в виде специализированных аналоговых устройств, реализующих заданные закон или характеристику. Например, регуляторы скоро- рости реализуют следующие уравнения:

для паровой турбины

р = i- — е + р0,1 > р > — 1;

. р = ^-р,1,1>р>-0,15;(142б)

е = гн;

Мт = р,;

для гидравлической турбины

Р = £ — е + р0,1>р> —1;

1,2 ^ р ^ — О 15;

(14.27)

Рис. 14.11. Техническое обеспечение ЦАФК СЭИ СО АН СССР.

где s — скольжение; р — перемещение золотника; г — перемещение поршня катаракта; ц— перемещение поршня сервоцилиндра; Мт — момент турбины; Т8— постоянная времени сервоцилиндра; 1\— постоянная времени изодромного механизма; р, у — коэффициенты обратной связи; о — коэффициент остающейся неравномерности.

Кроме упрощенного моделирования турбины, когда Мт = р, возможно и более точное моделирование, например с учетом промежуточного перегрева пара или воспроизведения, гидравлического удара в зависимости от решаемой на ЭДМ задачи.

Электродинамические модели в настоящее время эксплуатируются во многих институтах электроэнергетического профиля.

Для примера приведем краткое описание ЭДМ Сибирского энергетического института (СЭИ), сооруженной в конце 60-х годов и включающей: 12 синхронных генераторов мощностью от 5 до 30 кВА, позволяющих моделировать отдельную станцию или энергообъединение; модель ЛЭП 500 и 750 кВ, которая соответствует 10 тыс. км реальных линий; разнообразные нагрузки (асинхронные

двигатели, ламповые реостаты и др.); коммутирующую аппаратуру, позволяющую не только моделировать выключатели, но и создавать в схеме аварийные возмущения заданного вида и длительности; автоматические регуляторы скорости турбин и автоматические регуляторы возбуждения генераторов; упрощенные модели турбин.

Следует особо подчеркнуть, что ЭДМ СЭИ (как и ряда других организаций) входит в состав так называемого цифроаналого-физи- ческого комплекса (ЦАФК), представляющего собой моделирующую установку, наиболее полно использующую достоинства методов и средств как физического, так и математического моделирования при исследовании ЭЭС. Эта установка, по существу, является автоматизированной системой научных исследований в области электроэнергетики, когда сам объект исследования (модель ЭЭС) входит в структуру ЦАФК. Такое построение ЦАФК значительно повышает эффективность физической модели за счет автоматизации проведения экспериментов на ней. На рис. 14.11 представлена структура технического обеспечения ЦАФК.

ЛИТЕРАТУРА

Веников В. А. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики).—М.: Высш, шк., 1976.—476 с.

Веников В. А., Иванов-Смоленский А. В. Физическое моделирование электрических систем.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1956.—359 с.

Гукасова Е. А., Жуковский М. И., Завадовский А. М. и др. Аэродинамическое совершенствование лопаточных аппаратов паровых и газовых турбин.— М.— Л.: Госэнергоиздат, 1960.— 340 с.

Жуковский Н. Е. Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на линии тока. Поли. собр. соч., т. 2.— М.: Гостехиздат, 1949.

Зысина-Моложен Л. М., Зысин Л. В., Поляк М. П. Теплообмен в турбомашинах.— Л.: Машиностроение, 1974.— 335 с.

Иодко Э. А., Шкляр В. С. Моделирование тепловых процессов в металлургии.— М.: Металлургия, 1967.— 167 с.

Масштабный переход в химической технологии: разработка промышленных аппаратов методом гидродинамического моделирования/А. М. Розен, Е. И. Мартюшин, В. М. Орлевский и др.— М.: Химия, 1980.— 320 с.

Повх И. Л. Аэродинамический эксперимент в машиностроении.— Л.: Машиностроение, 1974.— 479 с.

Сунцов Н. Н. Методы аналогий в аэрогидродинамике.— М.: Физматгиз, 1958.— 324 с.

Устименко Б. П., Алияров Б. К., Абубакиров Е. К. Огневое моделирование пылеугольных топок.— Алма-Ата: Наука, 1982.— 211 с.

Глава 15

ПОДОБИЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКТУРБУЛЕНТНОСТИ

СТРУКТУРА ОСРЕДНЕННОГО ТЕЧЕНИЯ

Турбулентность — одна из главных форм макродвижения вещества, проявляющаяся^ природе на космическом, звездном и планетарном уровнях, а также широко распространенная в многочисленных технологиях.

Фундаментальной особенностью турбулентного движения является его внутренняя нестационарность, обусловленная не индивидуальным движением структурных частиц вещества, а свойствами их квазиконтинуального множества. В модели движения сплошной среды, описываемой уравнением Навье — Стокса, это выражается, в частности, потерей устойчивости ламинарного течения. Статистическое описание турбулентности в теоретическом плане восходит к работам О. Рейнольдса [0.39], Л. В. Келлера и А. А. Фридмана [15.12], А. Н. Колмогорова [15.4].

Возникающее при турбулентном движении макроперемешивание среды приводит к резкому возрастанию интенсивности диссипативных процессов, что отражается появлением в осредненных уравнениях турбулентных переносов импульса и тепла членов вида

(15.1)

Здесь /г = piZj — компонента пульсации импульса; и^ — пульсационная компонента скорости течения; Т' — пульсация температуры.

При этом обнаруживаются некоторые внутренние структуры (вихри, слои с характерными для них механизмами переносов и т. п.), которые могут быть отнесены к классу так называемых диссипативных структур [15.7, 15.8].

Турбулентное течение в окрестности твердого тела обладает наиболее значительной анизотропией и поэтому представляется наилучшим примером для анализа подобия структурных характеристик турбулентности. Здесь отчетливо выделяются пять качественно различных слоев, хотя, конечно, между ними имеют место достаточные плавные изменения осредненных во времени характеристик.

Вязкий подслой (0<y<yi) с безусловным преобладанием влияния молекулярного трения на осредненное течение

т ~ vid^^/dy,(15.2)

высокой степенью турбулентности

и' = ]/(^) / <u> to 1/3,(15.3)

интенсивным затуханием турбулентной вязкости и теплопроводности по направлению к стенке

^ц->0, Рг~>оо, -^~<; ^^3; -у-^ц4; Ргт^г|""^.(15.4)

В квазиизотермическом потоке с малым градиентом давления толщина ЭТОГО СЛОЯ Т]! ~ 5 4- 6.

Промежуточный (переходный) слой, в котором молекулярное и турбулентное трение в осредненном течении соизмеримы:

Vy-^y^ Н^Нт; у-^у^ p^nJ.(15.5)

В квазиизотермическом потоке внешняя граница промежуточного слоя имеет порядок ц2 ~ 30 -^ 50. В первом приближении законы затухания турбулентных переносов (15.4) могут быть экстраполированы на этот слой с введением экспоненциального ослабления.

Турбулентное ядро, в котором главная часть зависимости длины пути смешения (линейного масштаба турбулентности) от поперечной координаты линейна:

Vy2<y<y3; цт>и; z~xy},(15.6)

В пограничном слое несжимаемой жидкости

(х^0,4; у3~0,26).(15.7)

Внешняятурбулентная область, где главнаячастьдлины

путисмешенияпропорциональна характерномупоперечному раз

меру пограничного слоя:

{уз<у<6: Рт^р; Z^XiS).(15.8)

Коэффициенты х и Xi могут быть связаны друг с другом полиномом, коэффициенты которого вычисляются по краевым условиям.

Зона перемежаемости, переходящая в область практически невозмущенного течения. Эта зона существенна для диффузного обмена примесями между пограничным слоем и основным невозмущенным потоком. Она мало влияет на осредненное пристенное течение, если основной поток не имеет собственной турбулентности, но при наличии внешней турбулентности это влияние может быть весьма значительным.

В [15.5] дана качественная карта режимов течения двумерного пристенного пограничного слоя, хорошо иллюстрирующая всю сложность этой проблемы.

МОМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙИ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Осредненное турбулентное течение и его интегральные характеристики описанного выше типа являются реализацией во времени случайных мгновенных полей гидродинамических характеристик потока. Более детальный анализ осредненного течения требует введения локальных структурных характеристик, таких как спектры

пространственных и временных масштабов турбулентных вихрей, их энергетические характеристики, распределения плотности генерации и диссипации турбулентной энергии.

Развивая метод Рейнольдса, что впервые было сделано Келлером и Фридманом [15.12], можно получить цепочку уравнений, содержащих моменты гидродинамических полей более высокого порядка, чем турбулентные напряжения (15.1). Однако число неизвестных моментов растет быстрее числа уравнений, т. е. проблема замыкания, возникающая в уравнении Рейнольдса, не снимается. Тем не менее расширяются возможности замыкания уравнений старших моментов полуэмпирическими соотношениями, что приводит к более обширной информации, нежели полуэмпирические теории типа Тейлора — Прандтля. При выборе структур таких замыканий и обобщения соответствующего эмпирического материала методы подобия имеют фундаментальное значение.

В определенном смысле первичными здесь являются осреднен- ные характеристики пульсационного движения, т. е. осредненные характеристики локальной турбулентности. Систематическое начало этому направлению положила работа А. Н. Колмогорова [15.3], в которой впервые были введены замкнутые соотношения для локального описания турбулентной вязкости, энергии и линейного масштаба турбулентности в терминах их внутреннего подобия.

Общая проблема полного статистического описания полей характеристик турбулентного потока в конкретных исследованиях ограничивается рассмотрением нескольких наиболее простых и физически отчетливых величин. К ним прежде всего следует отнести моменты гидродинамических полей. Подробное изложение этих вопросов дано в [15.1, 15.6] и др.

Мы ограничимся некоторыми наиболее часто употребляемыми соотношениями. Моменты случайной величины и определяются формулой

„ , /

4-о° к к к

= J J ... J Uj1^2 ... и^р^и^ ... uN) durdu2 ... duN. (15.9)

Здесь кг — целые неотрицательные числа, сумма которых называется порядком момента; р^и^ ... uN) — A-мерная плотность вероятности. Моментом первого порядка является величина и^ = <и>.

Пульсационные компоненты параметров турбулентного потока '(скорости течения, энтальпии, давления и др.) представляют собой -отклонение актуального значения данной величины от ее среднего

и\ = иг — <Ui>. (15.10)

Моменты таких величин называются центральными и определяются формулой

* / /^1 /^2 /^N\

Mkv..kN = \М1 м2 • • • UN у* (15.11)

При N = 1 имеем

{^=<и,А); Mi = <и'> = 0;Мй = (и'2); М3 = 'и'3) ...}. (15.12)

Момент J/2 является дисперсией величины и' и в то же время одной из компонент тензора турбулентных напряжений в уравнении Рейнольдса. Обычно его обозначают символом о2 с соответствующими индексами. Если dim и ^ 1, то из размерных величин моментов можно образовать по крайней мере три типа безразмерных чисел:

[^>.<«'А>. <1^>1(П П\

Первый из этих критериев представляет собою отношение некоторого центрального момента к соответствующей степени локального значения величины и; второй — отношение одного центрального момента к другому в соответствующей степени; третий — отношение центрального момента к масштабному для всей системы значению величины и (например, к динамической скорости на стенке Уст) в соответствующей степени.

Очевидно, что существенно локальными характеристиками пульсационного движения являются величины типа

Мкп=Мк,мТ.(15.14)

Так, отношение

А = М3 / М3У(15.15)

называется коэффициентом асимметрии, а отношение

Е = М41 Ml '(15.16)

— коэффициентом эксцесса случайной величины.

В турбулентном потоке случайные величины и являются функциями точки А (х, у, z, £) четырехмерного пространства — времени. Соответственно моменты могут быть записаны в форме

М^ДА^ А2; ... Ак) = <и(А1)и(А2).. .ДА^.(15.17)

Таким образом, возникают моменты, связанные с числом точек, в которых определяется и,— одноточечные, двухточечные и т. п. Средние значения произведений случайных величин разных полей, статистически связанных друг с другом, называются смешанными моментами. Например,

^ = _<uV>; ^ = -<У'Г>.(15.18)

Пространственные моменты связывают значения случайной величины и в заданных точках пространства в одно и то ж.е время t =t^. Временные моменты связывают значения и в разные времена в фиксированной точке пространства Л (я*; у*; z*).

Наглядное представление о сфере взаимодействия в случайных полях дают корреляционные функции в виде двухточечных моментов второго порядка

МиДА^ Л2) = <п(41)п(Л2)>МиДА^ Л2) = <п(41)п(Л2)>(15.19)(15.19)

МиДА^ Л2) = <п(41)п(Л2)>

МиДА^ Л2) = <п(41)п(Л2)>

(15.19)

(15.19)

и взаимно корреляционные функции в виде смешанного двухточечного момента

МиЛА^ Л)=<м(Л)у(Л2)>.

Коэффициенты корреляции имеют вид

R <“(Л1)“(Л2)>

(15.20)

(15.21)

Гидродинамические поля имеют быстро убывающие корреляционные функции, так что условия ослабления

{Дж^оо; Д£->оо; М 0}{Дж^оо; Д£->оо; М 0}(15.22)(15.22)

{Дж^оо; Д£->оо; М 0}

{Дж^оо; Д£->оо; М 0}

(15.22)

(15.22)

выполняются на вполне конечных пространственных и временных отрезках (здесь Дж— расстояние между точками А^ и Л2).

При нормальном (гауссовом) распределении вероятности первые и вторые моменты определяют все статистические характеристики случайных величин, в том числе и все более высокие моменты. При этом все центральные моменты нечетного порядка тождественно равны нулю.

Локальные масштабы длины и времени осредненного турбулентного движения можно определить как

t = idem; L (Лх) =t = idem; L (Лх) =ээДж = 0; Т (Л.) =Дж = 0; Т (Л.) =<(лг°) *))д<(лг°) *))д(15.23)(15.23)

t = idem; L (Лх) =

t = idem; L (Лх) =

э

э

Дж = 0; Т (Л.) =

Дж = 0; Т (Л.) =

<(лг°) *))д

<(лг°) *))д

(15.23)

(15.23)

МАСШТАБЫ ЛОКАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Процесс диссипации турбулентной энергии по каскадной модели Ричардсона — Колмогорова осуществляется путем обмена энергией между вихрями близких масштабов от более крупных к менее крупным. Последние возникают в процессе дробления первых. Наибольший масштаб вихрей соизмерим с характерным масштабом потока L, например с радиусом трубы или расчетной толщиной пограничного слоя. Переносы в крупных энергосодержащих вихрях автомодельны относительно молекулярной вязкости среды. Минимальный же масштаб вихрей lm определяется именно молекулярной вязкостью, механизмом действия которой и обусловлен переход механической энергии течения в теплоту. В приближении пограничного слоя массовая плотность диссипации, зависящая от градиента

осредненной скорости, равна v(3<u>/3y)2, а диссипация турбулентной энергии описывается выражением

(15.24)

Размерность массовой плотности диссипации энергии [е] = Вт/кг. Плотность кинетической энергии турбулентного движения

ек = (и'2)/2 + <р'2)/2 + (^'2)/2; [ек] = Дж/кг. (15.25)

Плотность диссипации турбулентной энергии можно связать с энергией крупных вихрей масштабом

е = г^]1г.(15.26)

Здесь I,— линейный масштаб энергосодержащих вихрей, имеющий порядок корреляционного масштаба или длины пути смешения в данной точке пространства.

Для изотропной турбулентности справедлива формула Тейлора [15.11]

e = 15v<(15.27)

Соответственно характерные длина и скорость пульсационного движения в области равновесия имеют порядок

Vw*^y4* “m«W1,4\(15.28)

а число Рейнольдса Rem = lmUm/v^ 1. В пристенном течении

гк~^~С1и\(15.29)

где U — характерная скорость осредненного течения, и с точностью до постоянства с/

|-^ ~ Re"3/»; ^ ~ Re~1/4}.(15.30)

Таким образом, линейный и скоростной масштабы равновесной локально-изотропной турбулентности уменьшаются с ростом числа Рейнольдса осредненного течения Re = UL/v.

Частота движений турбулентных образований диссипативного масштаба имеет порядок

tom~U/lm~W\(15.31)

т. е. увеличивается с ростом числа Рейнольдса осредненного течения, и определяет верхний уровень частотного спектра турбулентного движения.

Движение вихрей масштаба lm < I < L квазиавтомодельно и относительно молекулярной вязкости (Z>Zm), и относительно осред- ненного течения в целом (Z<^L). Таким образом, поток турбулентной энергии как бы инерционно перетекает через эту область масштабов от крупных энергосодержащих вихрей к вихрям диссипативным. В инерционной области

(u' ~ (eZ)1/3; -^ ~ Re (-bf8)-(15.32)

Аналогичные соотношения можно конструировать и для других характеристик турбулентной структуры потока. Например, распре* деление спектральной плотности турбулентной энергии Е(ку Дж-м/кг, в пространстве волновых чисел к, м-1, или 5(со), Дж • с/кг, в пространстве частот о, с-1, позволяет судить о некоторых существенных особенностях каскадного процесса переноса энергии в иерархии турбулентных вихрей.

Так, для спектральной плотности энергии Е(к) имеем набор четырех величин

IE (к); е; v; к}.(15.33)

Их размерности {[£(&)]; [е]; [v]; [&]} = (м3/с2; м2/с3; м2/с; м-1} составлены из двух первичных: м; с. Для того чтобы выделить последние, необходимо соответствующим образом расписать содержательные в физическом смысле вторичные размерности, указанные в предшествующем тексте.

Число безразмерных комплексов в этой ситуации должно равняться двум, и связь между ними может быть представлена, например, как

ЕЦс) = №ку(15.34)

Здесь

L6/3р1/3 )

р№)--^№(*5-35>

То, что второй из этих критериев подобия имеет смысл числа Рейнольдса, также следует из соображений размерности. Действительно, масштабом скорости может быть величина и (г/ку/3, а масштабом линейного размера величина к”1.

В инерционной области процесс автомоделей относительно молекулярной вязкости, и в ней имеет место известный закон Колмогорова, который в принятых терминах подобия имеет вид

Е(к) = const.(15.36)

В общем случае величина Е^к) переменна, и ее следует рассматривать как особый критерий подобия — число Колмогорова.

Для спектральной плотности энергии в пространстве частот имеем набор величин

VE^y, e; v; со).(15.37)

Их размерности {^(со)]; [е]; [v]; [со]} = {м2/с, м2/с3, м2/с, с-1} и со-

ответственно безразмерные числа

Ь (го) = ^- Е (to); Rea = -^L(15.38)

I®VO J

В области автомодельности относительно молекулярной вязкости должно иметь место условие

Е (со) = const.(15.39)

Частотные спектры пульсаций могут быть непосредственно измерены различными спектроанализаторами [15.1, 15.9] или вычислены по автокорреляционным функциям

Ru^=<u^^u^ 0>(15.40)

с помощью преобразования Фурье

Ч-оо

Е (to) = ^ J Ru (t) e"wdt.(15.41)

Обратное преобразование Фурье + оо

Ru^=^ Е^еШ^(15.42)

при ^ = 0 приводит к соотношению

4-00

<u'2) = 7?и (0) = J Е (го) dro.(15.43)

Эксперименты показывают, что энергия пульсаций быстро убывает с ростом частоты.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ СТЕНКЕ

сПРИ ОТСУТСТВИИ ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ

В пограничном слое при Эр/8х = 0 и при течении в длинном канале турбулентное движение жидкости с постоянными физическими свойствами однозначно определяется молекулярной вязкостью, турбулентной энергией и характерными линейными масштабами потока:

{^т; v; у; 6; ж];

I[vct]; [v]; [у]; [6]; [ж]} = (м/с,; ма/с, м, м, м}.(15.44)

Здесь у*т — динамическая скорость на стенке, являющаяся мерой турбулентной энергии потока; у — расстояние по нормали от стенки в глубь потока; 6 — толщина пограничного слоя или характерный поперечный размер канала (в круглой трубке ее радиус); х— продольная координата, отсчитываемая, например, от передней кромки

о 7 □2 ез 74

Рис. 15.1. Продольные пульсации скорости по данным Перри и Абелла.

1 — Re = 78-Ю3; 2 — Re = 133-Ю3; 3 — Re = 173-Ю3; 4 — Re = 257-Ю3.

тела или от точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

При малых и нулевых градиентах давления изменение всех характеристик потока по нормальной координате много больше, чем по продольной, и решающее значение имеют числа подобия

(n = и^УК у = у/6).(15.45)

В пристенной области пограничного слоя существенно влияние локального числа Рейнольдса в форме критерия ц, а во внешней области пограничного слоя — влияние геометрического симплекса у.

Известно, что график ф(п), где Ф = <к>/г;ст— безразмерная скорость, разветвляется по параметру у при у -> 1. При этом во всей области у^ < у < б, где yt — толщина вязкого подслоя, существует однозначная зависимость

(U~<u»^ = f(y^(15.46)

называемая законом дефекта скорости.

Для второго и старших моментов скорости течения имеем мк = мк^ = / (ч; у^№&}

где "к — порядок момента.

На рис. 15.1—15.2 приведены экспериментальные данные о распределении моментов пульсаций

Мии = \“i // у*т(15.48)

по толщине пограничного слоя. Как видно, при у >0,1 эти распределения практически автомодельны относительно ч, т. е. не зависят от вязкости среды.

Рис. 15.2. Пульсации скорости у' (а) и и/ (б). Данные Конт-Белло (7), Лау- фера (2), М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина, Г. С. Таранова (5).

В вязком подслое (т) < 10) влияние стенки на поперечную пульсационную компоненту и' сильнее, чем на компоненты н' и го* (рис. 15.3).

Из данных рис. 15.4 видно, что имеют место соотношения

К^^1/2I <и>К^^1/2I <и>0,3;0,3;<^у/2<м><^у/2<м>(15.49)(15.49)

К^^1/2

I <и>

К^^1/2

I <и>

0,3;

0,3;

<^у/2

<м>

<^у/2

<м>

(15.49)

(15.49)

т. е. среднеквадратичные значения пульсационных компонент и и и/ прямо пропорциональны локальной скорости осредненного течения, а их отношение равно примерно двум.

Поскольку в вязком подслое

<и> « Тсту/щ(15.50)

из уравнения неразрывности и соотношений (15.49) следует

’У'

,,, С (ди' . dw'\ 12

(15.51)(15.51)и ~w ~у; V = -^—+—ру~у»

(15.51)

(15.51)

Соответственно с точностью до коэффициента корреляции RU1)

{у ->- 0, <u'i/> — у3}.{у ->- 0, <u'i/> — у3}.(15.52)"(15.52)"

{у ->- 0, <u'i/> — у3}.

{у ->- 0, <u'i/> — у3}.

(15.52)"

(15.52)"

Рис. 15.3. Интенсивностипульсаций в окрестностистенки по данным Е. М. Ха-бахпашевой и Е. С. Михай-ловой.Рис. 15.3. Интенсивностипульсаций в окрестностистенки по данным Е. М. Ха-бахпашевой и Е. С. Михай-ловой.1 Мии} 2 ^ww* ^М^-р.1 Мии} 2 ^ww* ^М^-р.

Рис. 15.3. Интенсивностипульсаций в окрестностистенки по данным Е. М. Ха-бахпашевой и Е. С. Михай-ловой.

Рис. 15.3. Интенсивностипульсаций в окрестностистенки по данным Е. М. Ха-бахпашевой и Е. С. Михай-ловой.

1 Мии} 2 ^ww* ^М^-р.

1 Мии} 2 ^ww* ^М^-р.

Рис. 15.4. Отношения среднеквадратичных пульсаций к локальной скорости.1 _ <u'2>l/2/<u>; г - <w'2>1/2/(u>; «-<^2>1/2/<u>.Рис. 15.4. Отношения среднеквадратичных пульсаций к локальной скорости.1 _ <u'2>l/2/<u>; г - <w'2>1/2/(u>; «-<^2>1/2/<u>.Рис. 15.5. Одноточечные коэффициенты корреляции по данным Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой.I -^ит» ^ ^vw» 8 ^uw*Рис. 15.5. Одноточечные коэффициенты корреляции по данным Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой.I -^ит» ^ ^vw» 8 ^uw*

Рис. 15.4. Отношения среднеквадратичных пульсаций к локальной скорости.

1 _ <u'2>l/2/<u>; г - <w'2>1/2/(u>; «-<^2>1/2/<u>.

Рис. 15.4. Отношения среднеквадратичных пульсаций к локальной скорости.

1 _ <u'2>l/2/<u>; г - <w'2>1/2/(u>; «-<^2>1/2/<u>.

Рис. 15.5. Одноточечные коэффициенты корреляции по данным Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой.

I -^ит» ^ ^vw» 8 ^uw*

Рис. 15.5. Одноточечные коэффициенты корреляции по данным Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой.

I -^ит» ^ ^vw» 8 ^uw*

Коэффициент корреляции

RudRud<и'и'>/<^н^><и'и'>/<^н^>(15.53)(15.53)

Rud

Rud

<и'и'>

/<^н^>

<и'и'>

/<^н^>

(15.53)

(15.53)

в значительной части пристенной области сохраняет практически постоянное значение (рис. 15.5) порядка 0,4, что совпадает с константой х в теории длины пути смешения.

Распределение плотности вероятности пульсаций скорости в вязком подслое заметно отличается от нормального закона распределения, что отражает сложный перемежающийся характер актуального течения в этой области, совершенно устойчивой в терминах течения осредненного. На рис. 15.6 приведены данные о коэффициентах асимметрии и эксцесса, иллюстрирующие это обстоятельство.

Данные о безразмерных энергетических спектрах при ц = 50 (рис. 15.7, а) однозначно обобщаются по параметрам турбулентно* вязкого взаимодействия.

Рис. 15.6. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для продольной компоненты скоростп вблизи стенки по данным:1 — Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой; 2 — 3. Зарича; 3 — M. Елены; 4 — Г. П. Креплина; 5 — Е. У. Репина и др.Рис. 15.6. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для продольной компоненты скоростп вблизи стенки по данным:1 — Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой; 2 — 3. Зарича; 3 — M. Елены; 4 — Г. П. Креплина; 5 — Е. У. Репина и др.

Рис. 15.6. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для продольной компоненты скоростп вблизи стенки по данным:

1 — Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой; 2 — 3. Зарича; 3 — M. Елены; 4 — Г. П. Креплина; 5 — Е. У. Репина и др.

Рис. 15.6. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для продольной компоненты скоростп вблизи стенки по данным:

1 — Е. М. Хабахпашевой и Е. С. Михайловой; 2 — 3. Зарича; 3 — M. Елены; 4 — Г. П. Креплина; 5 — Е. У. Репина и др.

Рис. 15.7. Энергетический спектр продольной пульсации по данным Перри и Абелла.а — ч = 50; б — Т) > 100; 1 — Re = 804О3; 2 — Re = 120-Ю3; 3 — Re = 180-Ю3; 4 —Re = =260-Ю3; 1 — Ш —у = 0,18; 0,6; 1,0 соответственно.Рис. 15.7. Энергетический спектр продольной пульсации по данным Перри и Абелла.а — ч = 50; б — Т) > 100; 1 — Re = 804О3; 2 — Re = 120-Ю3; 3 — Re = 180-Ю3; 4 —Re = =260-Ю3; 1 — Ш —у = 0,18; 0,6; 1,0 соответственно.

Рис. 15.7. Энергетический спектр продольной пульсации по данным Перри и Абелла.

а — ч = 50; б — Т) > 100; 1 — Re = 804О3; 2 — Re = 120-Ю3; 3 — Re = 180-Ю3; 4 —Re = =260-Ю3; 1 — Ш —у = 0,18; 0,6; 1,0 соответственно.

Рис. 15.7. Энергетический спектр продольной пульсации по данным Перри и Абелла.

а — ч = 50; б — Т) > 100; 1 — Re = 804О3; 2 — Re = 120-Ю3; 3 — Re = 180-Ю3; 4 —Re = =260-Ю3; 1 — Ш —у = 0,18; 0,6; 1,0 соответственно.

На рис. 15.7, б представлены аналогичные данные для области у >0,1, где определяющий критерий уже не содержит молекулярной вязкости и динамической скорости на стенке. Иначе говоря,1

♦2 / в пристенной области масштабом частоты является величина рСт/ v, а во внешней — величина <и>/у. Отчетливо обнаруживается автомодельная область

(15.54)(15.54)10<^£L<200; А- Е(о) «const(OV*2 х 7

(15.54)

(15.54)

.гст,

Нетрудно заметить, что критерии подобия (15.38) и (15.54) связаны соотношением еУ2 ~ и*т, и в общем случае

^7?(<о) = /А;п; Д(15.55)

^СТ'/

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙС ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯНА НЕПРОНИЦАЕМОЙ СТЕНКЕ

В окрестности непроницаемой стенки интеграл уравнения движения имеет вид

у->0, т->тст + -|5.у->0, т->тст + -|5.(15.56)(15.56)

у->0, т->тст + -|5.

у->0, т->тст + -|5.

(15.56)

(15.56)

Как видно, можно ввести две характерные скорости — уже известную динамическую скорость на стенке у*т = Vт^ст/р и динамиче-

Рис. 15.8. Распределение скоростей в окрестности стенки при dpldx > 0 и разных значениях формпараметра Н = 6*/6** по данным Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко [15.10].Рис. 15.8. Распределение скоростей в окрестности стенки при dpldx > 0 и разных значениях формпараметра Н = 6*/6** по данным Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко [15.10].Рис. 15.9. Распределение турбулентных касательных напряжений в окрестности стенки при Я = 2Д. Данные Е. М. Хабахпа- шевой и Г. И. Ефименко [15.10].Рис. 15.9. Распределение турбулентных касательных напряжений в окрестности стенки при Я = 2Д. Данные Е. М. Хабахпа- шевой и Г. И. Ефименко [15.10].

Рис. 15.8. Распределение скоростей в окрестности стенки при dpldx > 0 и разных значениях формпараметра Н = 6*/6** по данным Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко [15.10].

Рис. 15.8. Распределение скоростей в окрестности стенки при dpldx > 0 и разных значениях формпараметра Н = 6*/6** по данным Е. М. Хабахпашевой и Г. И. Ефименко [15.10].

Рис. 15.9. Распределение турбулентных касательных напряжений в окрестности стенки при Я = 2Д. Данные Е. М. Хабахпа- шевой и Г. И. Ефименко [15.10].

Рис. 15.9. Распределение турбулентных касательных напряжений в окрестности стенки при Я = 2Д. Данные Е. М. Хабахпа- шевой и Г. И. Ефименко [15.10].

I-<u>h*T =4 —^l^^dUld^ П2. 1—Н = 1,8; 2 — Н = 1,9; 3 — Н = 2,1; 4 — Н = 2,3*

скую скорость градиента давления

^ЖПЙ • <15-57>

Аналогично можно составить и линейный масштаб

б₽=^|^ Г- (15-58>

Эти масштабы позволяют интерпретировать в геометрических и кинематических терминах воздействие градиента давления на характеристики пограничного слоя. Например, формпараметр Бури — Лойцянского примет вид

Г = 6**/6р.(15.59/

В области 6 > у < бр пристенные процессы зависят только от турбулентно-вязкого взаимодействия, характеризуемого числом подобия т).

При такой трактовке к геометрическим числам подобия добавится симплекс

Ур = У/§р-(15.60)

В области v/p*T <С у <С 6 течение практически автомодельно относительно молекулярной вязкости и характерного размера осредненно- го течения. Для этих условий можно считать, что

(15.61)

где р* = У т/р — локальная динамическая скорость. При ^р^О,

Рис. 15.10. Распределение скоростей при dpldz > 0 и У1 ^ У <С 6. Обозначения см. рис. 15.8.Рис. 15.10. Распределение скоростей при dpldz > 0 и У1 ^ У <С 6. Обозначения см. рис. 15.8.Рис. 15.11. Сопоставление предельного профиля скоростей в точке отрыва с опытными данными. Линия — расчет по формуле <u>IU = = у1/2; 1 — опыты Никурадзе; 2 — опыты А. И. Леонтьева и др.Рис. 15.11. Сопоставление предельного профиля скоростей в точке отрыва с опытными данными. Линия — расчет по формуле <u>IU = = у1/2; 1 — опыты Никурадзе; 2 — опыты А. И. Леонтьева и др.

Рис. 15.10. Распределение скоростей при dpldz > 0 и У1 ^ У <С 6. Обозначения см. рис. 15.8.

Рис. 15.10. Распределение скоростей при dpldz > 0 и У1 ^ У <С 6. Обозначения см. рис. 15.8.

Рис. 15.11. Сопоставление предельного профиля скоростей в точке отрыва с опытными данными. Линия — расчет по формуле <u>IU = = у1/2; 1 — опыты Никурадзе; 2 — опыты А. И. Леонтьева и др.

Рис. 15.11. Сопоставление предельного профиля скоростей в точке отрыва с опытными данными. Линия — расчет по формуле <u>IU = = у1/2; 1 — опыты Никурадзе; 2 — опыты А. И. Леонтьева и др.

когда у*Уст* /1(^р) ^1, имеет место квазилогарифмический закон распределения скоростей осредненного течения несжимаемой среды.

На рис. 15.8 показаны экспериментальные профили скоростей с достаточно отчетливыми квазилогарифмическими участками в области значений 10 < т) < 100, а на рис. 15.9 — распределение касательных турбулентных напряжений, которые в той же области течения почти постоянны, т. е. коррелируют с логарифмическим профилем скоростей.

тического исчезнов-ения влияния вязкости на осредненное течение, получаем профиль скорости вида

<“> ^“^ « const (у1/2 — уУ2),(15.63)

ирб

♦Iу у

где урб = У J -^ ~ • При диффузорном течении в области отрыва пограничного слоя yv 0, ^и^ -> 0 и

<ы>/у*д ~ const z/1/2.(15.64)

Экспериментальные данные, приведенные на рис. 15.10 и 15.11, свидетельствуют о линейной зависимости безразмерной скорости от Й/2> что хорошо согласуется с этими формулами. Обработка большого количества экспериментальных данных для области применимости закона (15.63) выполнена в работах [15.2, 15.13]. На рис. 15.12 приведены некоторые данные о вторых моментах пульсационных компонент скорости течения в зоне вязкотурбулентных взаимодействий.

ЛИТЕРАТУРА

Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение.— М.: Мир, 1974.— 278 с.

Кадер Б. А., Яглом А. М. Турбулентность в области применимости «закона стенки 1/2» замедляющегося пограничного слоя.— Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 6, с. 1273—1276.

Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса.— Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 299.

Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности.— Докл. АН СССР, 1941, т. 32, № 1, с. 19—21.

Кутателадзе С. С. Три проблемы теории теплообмена и физической гидрогазодинамики.—ИФЖ, 1980, т. 38, № 6, с. 1115—1136.

Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика.— М.: Наука, 1965, Ч. I, 639 с.; Ч. II, 720 с.

Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.— М.: Мир, 1979.—512 с.

Пригожин И. Время, структура и флуктуация.—УФН, 1980, т. 131, вып. 2, с. 185—208.

Смольяков А. В., Ткаченко В. М. Измерение турбулентных пульсаций.— Л.: Энергия, 1980.— 264 с.

Хабахпашева Е. М., Ефименко Г. И. Структура турбулентного течения в плоском диффузоре.—В кн.: Структура вынужденных и термогравитационных течений. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1983, с. 5—31.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969.

Keller L. W., Friedmann A. A. Differentialgleihungen fiir die turbulente Bewegung einer inkompressible Fliissigkeit.— Proc. 1 Int. Congr. Appl. Meeh. Delft., 1924.

Yaglom A. M. Similarity laws for constant — pressure and pressure — gradient turbulent wall flows.—Ann. Rev. Fluid Meeh., 1979, v. 11, p. 505—540.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Таблица 1. Единицы геометрических и механических величин

Величина

Формула определения

Формула размерности СИ и СГС

Единица

СИ |

СГС

1

2

3

4 1

5

Длина

1

L

м

см

Масса

m = Fja

М

кг

г

Время

t

т

с

с

Площадь

S = I2

L2

м2

см2

Объем

V = Р

L3

м3

см3

Плоский угол

<р = Цг

1

рад

рад

Телесный угол

й = sir2

1

ср

ср

Кривизна

Р = 1/г

L”x

м-1

см-1

Гауссова кривизна

К = 1/г2

L'2

М"2

см-2

Момент сопротивления плоской фигуры

sz = J ras s

2?

м3

см3

Осевой и полярный моменты инерции площади плоской фи

s

Н

м4

см4

гуры Скорость

и = l(t

LT~X

м/с

см/с

Ускорение

a = (^2— VxMt

LT”2

м/с2

см/с2

Угловая скорость

to = <p/£

Т”х

рад/с

рад/с

Угловое ускорение

8 = (to2— 0)l)/<

J-2

рад/с2

рад/с2

Период

т = 2л/со

Т

с

с

Частота

v = 1/т

Т”Х

Гц

Гц

Градиент скорости

grad у = dv]dl

т-1

с-1

С”1

Объемный расход

Qv = dVjdt

L4”x

м3/с

см3/с

Плотность объемного

q = Qv/S

LT”X

м/с

см/с

расхода Массовый расход

Qm = dm]dt

МТ”Х

кг/с

г/с

Сила

F = ma

LMT”2

н

дин

Момент силы

M = Fh

L2MT”2

Н-м

дин-см

Импульс силы

Ft

LMT”X

Н-с

дин-с

Количество движения - (импульс)

mv

LMT"X

кг-м/с

г-см/с

Работа и энергия

A =Fl cos (F,?) "

L2MT”2

Дж

эрг

Объемная плотность энергии

w = W/V

L-ШТ-2

Дж/м3

эрг/см3

Окончание табл. 1

1

2

3

4

5

Мощность

Р = АЦ

L2MT~3

Вт

эрг/с

Импульс момента силы

Mt

pmt-1

H-m-c

дин-

Момент количества дви-

L = тит = 7(0

PMT"1

КГ-М2/с

•см-с

г-см2/с

женин (импульса) Давление

Р =FIS

L-'MT-1

Па

дин/см2

Градиент давления

grad р = dpldl

L^MT"1

Па/м

дин/см3

Момент инерции (ди-

J = j т^ dm

L2M

кг-м2

г-см2

намический) Плотность

V

p = mjV

L-^M

кг/м3

г/см3

Модуль продольной упругости (модуль Юнга)

E = FlKS-M^

L-'MT-1

Па = = Н/м2

дин/см2

Коэффициент всестороннего сжатия

v dp

LBMT2

Па"1 = = м2/Н

см2/дин

Динамическая вязкость

F t1- S-dvjdl

L-'MT-1

Па-с

п

Кинематическая вязкость

V = p./p

PT"1

м2/с

см2/с

Коэффициент поверхностного натяжения

o = FH

MT-2

Н/м-=| » Дж/м2

дин/ /см 1=1 = эрг/ /см2

см2/с

Коэффициент диффузии

km

D ~ M-Sdp/dl

PT-1

м2/с

Величина

Обозначение

Формула размерности

Единица

СИ и СГС

СИ

СГС

внесистемная

Термодинамическая температура

Т

6

Kl

К

°C

°C

Температура по шкале Цельсия

t

0

°C

°C

°C

°C

Количество теплоты

Q

l2mt-2

Дж

эрг

кал

ккал

Температурный градиент

grad Т =

К/м

К/см

°С/см

°С/м

Тепловой поток

= dTIdl Q

L2MT"3

Вт

эрг/с

кал/с

ккал/ч

Поверхностная плотность теплового

q

мт-3

Вт/м2

эрг/ (с -см2)

кал/(с-см2)

ккал/(ч-м2)

потока

Энтропия

s

L^MT-2®-1

Дж/К

эрг/К

дал/°С

ккал/°С

Теплоемкость удельная

СУД

L2T-2^-x

Дж/(кг-К)

эрг/(г-К)

кал/(г-°C)

ккал/(кг-

•°C) ккал/(м3-

Теплоемкость объемная

Соб

L-'MT-2®-1

Дж/(м3-К)

эрг/(см3-К)

кал/(см3-°C)

Теплота фазового превращения и

Qm

L2T~2

Дж/кг

эрг/г

кал/г

ккал/кг

теплота сгорания топлива (в расчете на единицу массы)

Теплота сгорания газообразного топ

Qv

Дж/м3

эрг/см3

кал/см3

ккал/м3

лива (в расчете на единицу объема)

Коэффициент теплопроводности

X

LMT-3e-v

Вт/(м-К)

эрг/(с-см-К)

к ал/(с-см-°C)

ккал/(ч-м-

•С°) ккал/(ч-м2 • •°C)

Коэффициент теплопередачи

a

mt-3®-1

Вт/(м2-К)

^рг/(с-см2-К)

кал/(с-см-°C)

Коэффициент температуропровод

a

I3T-1

м2/с

см2/с

см2/с

м2/ч

ности

Таблица 2.

Единицы 1*епловый величин

Примечание. В обозначениях единиц, отнесенных к температурному интервалу, вместо кельвина (К) может стоять градус Цельсия (°C).

Величина

Обозначение

Формула размерности

Единица

СИ и СГС

СИ

СГС

Период

Т

т

с

с

Частота

V, /

т-1

Гц

Гц

Длина волны

X

L

м

см

Звуковое давление

Ра

L-'MT-2

Па

дин/см2

Объемная скорость

V

L^"1

М3/с

см3/с

Звуковая энергия

W

L2MT~2

Дж

эрг

Плотностьзвуковой

энергии

W

L-ШТ-2

Дж/м3

эрг/см3

Поток звуковой энергии (звуковая мощность)

Ф

L2MT~S

Вт

эрг/с

Интенсивность звука (сила звука)

7

мт-»

Вт/м2

эрг/(с-см2)

Акустическое сопротивление

Ra

L^MT"1

Па-с/м3

дин-с/см5

Удельное акустическое сопротивление

П

L-2MT-i

Па-с/м

дин-с/см3

Механическое сопротивление

Rm

mt-1

Н-с/м

дин • с/см

Уровень звуковой мощности

Lp

1

Б

Б

Уровень громкости

Ln

1

фон

фон

Таблица 3.

Единицы акустических величин

м

5

Величина

Обозначение

Формула определения

Формула размерности

Единица

СИ

сгс

СИ

СГС

СИ

сгс

1

2

3

4

5

6

7

8

Электрический заряд (количество электричества)

Q

Q = IT

Q — t^F,£

TI

кулон (Кл)

—

Напряженность электрического поля

Е

Е = F-JQ

LMT-4-1

L-'hM'hT-x

вольт на метр (В/м)

—

Электрическое смещение (электрическая индукция)

D

D = еогЕ

D — гЕ

L-2TI

L-’hM’hT-1

кулон на квадратный метр (Кл/м2)

—

Поток электрического смещения

VD

^D =

DS

TI

L^/^M'hT-1

кулон (Кл)

—

Потенциал (разность потенциалов, напряжение, электродвижущая сила)

<р, и, S

U = W„IQ

L2MT-4-'

L'^M’^T-1

вольт (В)

Электрический момент диполя

Рэ

Рэ 1=

-QI

LTI

U-^M'hT-v

кулон-метр (Кл-м)

—

Поверхностная плотность заряда

а

o = QJS

L-2TI

L-’l-M'l-T-1

кулон на квадратный метр (Кл/м2)

—

Объемная плотность заряда

Р

Р = QIV

L-aTI

Ь-^ЧГ^Т"'

кулон на кубический метр (Кл/м3)

—

Емкость

С

C = Q[U

L-2M-iTq2

L

фарада (Ф)

сантиметр (см)

Таблица 4.

Единицы электрических и магнитных величин

11

2|

3

4

5

6

17

8

Поляризованность (интенсивность поляризации)

Р

Р = Рэ/Г

L~2TI

кулон на ратный

квад- метр

—

Абсолютная диэлектрическая проницаемость

еа

8а 1=' SqS

8

Е-^М-ЧЧ1

1

фарада на (Ф/м)

метр

—

Диэлектрическая восприимчивость

Хэ

Р

ХЭ-8оЕ

p

^Э~ E

1

1

—

—

Сила тока

1

I /2лгР

I=QT

I

Е^М’МГ-2

ампер (А)

—

Плотность тока

/

/,=i.

US

L"4

Е-ч-мЧЧ-2

ампер на ратный (А/М2)

квад- метр

—

Электрическое сопротивление

R

R^UH

l2mt-4~2

L-4

ом (Ом)

—

Электрическая проводимость

G

G = HR

Ь-^М-ЧЧ2

LT-1

сименс (См)

—

Удельное электрическое сопротивление

Р

p = RS JI

L2MT~4~2

T

ом-метр

(Ом-м)

—

Удельная проводимость (электропроводность)

а

0 = 1

Ip

Е-^М-ЧЧ2

T"1

сименс на (См/м)

метр

—

280

Продолжение табл. 4

1

2

3

4 1

1 5

6

17

8

Магнитная индукция

В

В^Р^^Щ

B^cFJIl

MT-4-x

L-'hM’hT-i

тесла (Тл)

гаусс

(плотность магнитного потока)

(Гс)

Магнитный поток

Ф

ф =

BS

1ЖТ-Ч-Х

L3l2M4‘T-x

вебер (Вб)

максвелл

Напряженность магнит-

Н

Я=.В/(роц)

11=6^

L"4

L-WhT-1

ампер на

метр

(Мкс) эрстед

ного поля

(А/м)

(Э)

Марнитный момент

Рм

рм = MJB 1=^ = 18

PM=MIB=^-IS

L4

L^^M'11!-1

ампер-квадрат- ный метр

—

(А.М2)

Магнитодвижущая сила (циркуляция напря

Р

F=§Hdl

F=-^-(^)Hdl

I

L'kM'l=T-x

ампер (А)

гильберт (Гб)

женности магнитного поля)

Индуктивность и вза

L

cY

L = j —

L2MT-4-2

L

генри (Гн)

санти

имная индуктив

метр

ность

(см)

— dlldt

~ — dTJdi

Намагниченность (ин

J

j=pJv

L-4

L-'hM'hT-x

ампер на

метр

—

тенсивность намаг

(А/м)

ничивания)

Абсолютная магнитная

ga

ga = gog

g

LMT-2!-2

1

генри на

метр

проницаемость

_ J

J

(Гн/м)

Магнитная восприимчи

Хм

^м — e Я

Хм— H

1

1

—

—

вость

о

19 С. С. Кутателадзе

Окончание табл. 4

Примечание. Все формулы определения приведены для наиболее простых случаев: однородные поля, неизменяющиесд токи (за исключением эдс индукции) и т- д»

Единица

па

дин/см2

кгс/м2

кгс/см2

пз

бар

атм

мм рт. ст.

1 Па

1

10

0,102

1,02-10-5

ю-3

10-5

9,87-10-6

7,50-10-3

1 дин/см2 (мкбар)

0,1

1

1,02-10-2

1,02-10"6

ю-4

10-6

9,87-10-7

7,50-10"4

1 кгс/м2 (мм вод. ст.)

9,81

98,1

1

ю-4

9,81-10"3

9,81-10-5

9,68-10-5

7,36-10-2

1 кгс/см2

9,81-104

9,81-105

104’

1

98,1

0,981

0,968

7,36-102

1 пз (пьеза)

103

104

1,02-102

1,02-Ю"2

1

IO-2

9,87-10-3

7„50

1 бар

Ю5

106

1,02-104

1,02

102

1

0,987

7,5-102

1 атм

1,01-105

1,01-106

1,03-104

1,03

1,01-102

1,01

1

7,6-Ю2

1 мм рт. ст.

1,33-102

1,33-103

13,6

1,36-ю-3

0,133

1,33-10"3

1,32-10-3

1

Таблица 5.

Связь между единицами давления

•е======

Единица

№

эрг

кгс-м

кал

ккал

кВт-ч

л.е.-ч

л-атм

1 Дж

1 эрг

1 кгс-м (килограмм-силаметр)

1 кал

1 ккал

1 кВт-ч (киловатт-час)

1 л. с.-ч (лошади-

>ная сила-час)

•1л- атм (литр-ат

мосфера)

Таблица 7.

1

10"7

9,81

4,19

4,19-10»

3,6 -10=

2,65 -10е

1,01-102

ю7 1 9,81-107

4,19-Ю7 4,19-Ю10

3,6-1013

2,65 • 10*»

1,01-10»

0,102 1,02-10"8

1

0,427 4,27-102 3,67-105

2,7-105

10,3

Связь м

0,239

2,39-10"8

2,34

1

103

8,6 -105

6,32-105

24,2

ежду единиц

2,39-10-*

2,39-10-11

2,34-10-»

10"»

1

8,6-102

6,32-102

2,42-10-2

ами мощное?

2,78 -10-7

2,78-10-**

2,72-10-=

1,.16-40-6

1,16-10-» 1

0,736

2,81-10-=

■и

3,78-10~7 3,78-10-14

3,70-10"=

1,58-10-=

1,58-10-» 1,36

1

3,83-10-=

9,87-IO"3 9,87 -10-10

9,68-10-2

4,13-10-2 41,3

3,55-104

2,61-Ю4

1

Единица

Вт

эрг/с

кВт

кгс-м/с

каЛ/С

ккал/ч

Л. с.

1 Вт

1 эрг/с

1 кВт

1 КГС-м/с

1 кал/с

1 ккал/ч

1 л. с.

1 io-7 103 9,81 4,19 1,16 7,36-102

ю7 1

1010 9,81-107 4,19-Ю7 1,16-107 7,36-109

ю-3

10-ю

1

9,81-10-3

4,19-Ю*3

1,16-10"3

0,736

0,102 1,02-10"8 1,02-102

1 0,427 0,119 75

0,239 2,39-10"8 2,39-102

2,34 1

0,278 1,75-102

0,860 8,60-10"8 8,60-102

8,43

3,60

1

6,32-102

1,36-10"3

1,36-Ю"10

1,36 1,33-10-2 5,69-10"3 1,58-10"3

1

Связь между единицами работы и энергии

Таблица 6.

Скорость света в вакууме Число Авогадро Газовая постоянная Постоянная Больцмана Элементарный заряд Постоянная Планка Число ФарадеяПостоянная Стефана — БольцманаПостоянная Вина Гравитационная постояннаяСкорость света в вакууме Число Авогадро Газовая постоянная Постоянная Больцмана Элементарный заряд Постоянная Планка Число ФарадеяПостоянная Стефана — БольцманаПостоянная Вина Гравитационная постояннаяс = 2,997925-108 м/с Аа = 6,022045-1023 1/мольR = 8,3144 Дж/(К-моль) к = 1,380662-10“23 Дж/К е = 1,60219-10“19 Кл h = 6,6262-10“34 Дж-с F = 96485 Кл/моль о = 5,670-10“8 Вт/(м2*К4)Ъ = 2,8978-10-3 м-КG = 6,672-Ю"11 Н-м2/кг2с = 2,997925-108 м/с Аа = 6,022045-1023 1/мольR = 8,3144 Дж/(К-моль) к = 1,380662-10“23 Дж/К е = 1,60219-10“19 Кл h = 6,6262-10“34 Дж-с F = 96485 Кл/моль о = 5,670-10“8 Вт/(м2*К4)Ъ = 2,8978-10-3 м-КG = 6,672-Ю"11 Н-м2/кг2

Скорость света в вакууме Число Авогадро Газовая постоянная Постоянная Больцмана Элементарный заряд Постоянная Планка Число Фарадея

Постоянная Стефана — Больцмана

Постоянная Вина Гравитационная постоянная

Скорость света в вакууме Число Авогадро Газовая постоянная Постоянная Больцмана Элементарный заряд Постоянная Планка Число Фарадея

Постоянная Стефана — Больцмана

Постоянная Вина Гравитационная постоянная

с = 2,997925-108 м/с Аа = 6,022045-1023 1/моль

R = 8,3144 Дж/(К-моль) к = 1,380662-10“23 Дж/К е = 1,60219-10“19 Кл h = 6,6262-10“34 Дж-с F = 96485 Кл/моль о = 5,670-10“8 Вт/(м2*К4)

Ъ = 2,8978-10-3 м-К

G = 6,672-Ю"11 Н-м2/кг2

с = 2,997925-108 м/с Аа = 6,022045-1023 1/моль

R = 8,3144 Дж/(К-моль) к = 1,380662-10“23 Дж/К е = 1,60219-10“19 Кл h = 6,6262-10“34 Дж-с F = 96485 Кл/моль о = 5,670-10“8 Вт/(м2*К4)

Ъ = 2,8978-10-3 м-К

G = 6,672-Ю"11 Н-м2/кг2

Таблица 8. Некоторые физические постоянные

ЗначениеЗначениеНаименование

Значение

Значение

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Теплопроводность

Критерий тепловой гомохронности (число Фурье) Fo = at]!? характеризует сходственные временные моменты, отсчитываемые собственным масштабом времени ta = Ь2(а.

Критерий конвективно—кондуктивного подобия (число Био) Bi = а£/%От характеризует соотношение кондуктивного и конвективного термических сопротивлений на границе твердое тело — жидкость.

- Чу^

Критерий внутренних источников тепла qv — 'j^f характеризует соотношение теплового потока, создаваемого внутренними источниками, и интенсивности теплопроводности.

Термогидродинамика

Критерий динамического подобия (число Рейнольдса) Re = UL]^ характеризует соотношение сил вязкого трения и инерции потока. Модификации по характерному линейному размеру:

ReJ = Z76/v; Re* = Z76*/v; Re** = U^*lv; ReT = U6**/v,

6

^®пл = 7 J w.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Критерий диффузионных взаимодействий (число Прандтля) характеризует ^взаимодействие двух диффузионных процессов, являясь некоторой особой физической характеристикой текучей среды. Термогидродинамическое число (собственно число Прандтля) Pr = v/a; диффузионно-гидродинамическое число PrD = y]D.

Критерий взаимодействия объемных и динамических сил в потоке Ру = = ^U2IFyL. Число гравитационно-гидродинамического взаимодействия (собственно число Фруда) Fr = U2[gL. Число взаимодействия архимедовой силы и динамического напора (обобщенное число Фруда) Fr = U2igLA^s где

Др = 1 — (р^/р')- Одной из градиентных форм обобщенного критерия гравитационно-гидродинамического взаимодействия является число Ричард- до g ( ди V2

сона Ri = -^ — у^") • Критерии такого типа существенны для гидродинамики стратифицированных сред.

Критерий подобия полей давления (число Эйлера) Ей = Ap/pU2. При подстановке разности давления в невозмущенном потоке жидкости и в возникающей парогазовой каверне характеризует кавитационные эффекты. Характерное число кавитации принято записывать как о = 2Еи. При подстановке масштаба капиллярного давления o(L принимает форму числа Вебера We-1 = ol^U^L, характеризующего устойчивость дискретных элементов жидкой фазы (капель, пленок) в потоке газа.

Критерий подобия полей свободного течения (число Галилея) Ga = = Re2/Fr = pFyL^p2. В форме число Архимеда Аг = gL^A^]^ характеризует взаимодействие архимедовой силы, обусловленной разностью плотностей среды, и сил вязкого трения; в форме числа Грасгофа Gr= gl?

=—— рАТ —термогравитационную конвекцию; в форме числа Рэлея Ra=

= GrPr — термогравитационную конвекцию! в средах с Pr > 1; в форме GrPr2 — термогравитационную конвекцию в средах с Рг <С 1.

Критерии (числа) гидродинамической гомохронности Но = UtjL, Hov = = \t!L2 = Ho/Re характеризуют сходственные гидродинамические ситуации в нестационарных режимах.

Критерий взаимодействия конвективного и молекулярного переносов тепла в потоке (число Пекле) Ре = UL/a = RePr характеризует тепловое подобие в текучих средах.

Критерий теплоотдачи (число Нуссельта) Nu = aL/X характеризует взаимодействие интегральной теплоотдачи с теплопроводностью в пристенном слое текучей среды.

Критерий теплоотдачи (число Стентона) St = aJc^U характеризует взаимодействие интегральной теплоотдачи с конвективным переносом тепла по течению среды.

Критерий (параметр) проницаемости стенки Ъ= 2jCTJc^p0U характеризует воздействие на течение импульса, вносимого в поток средой, проникающей через обтекаемую поверхность.

Симплексы подобия физических свойств (точно при экспоненциальной или линейной температурной функции)

р = Р1/Р2; р = pi/рг; х = Х11Х2 и др.,

где индексы 1 и 2 соответствуют характерным геометрическим местам системы (например, 1 — параметры на стенке, 2 — параметры в невозмущенном потоке).

Газодинамика

Критерий сжимаемости (число Маха — Маиевского) "M. = U/a*. Для идеального газа М = £7/У(у — 1)срГ.

Критерий адиабаты (или показатель степени адиабаты Пуассона) ч = = CpjCy.

Критерий континуальности течения (число Кнудсена) Кп = ЦУ/Ь характеризует влияние соизмеримости геометрического масштаба течения с внутренней структурой среды — длиной свободного пробега молекул.

Температурный фактор -ф = Т^Т^ характеризует подобие физических свойств газа при неизотермическом течении (в основном плотности).

Кинетический температурный фактор ^* = 1 + г ^2— М- характеризует вклад в неизотермичность потока эффекта сжимаемости газа.

IV. Газожидкостные системы

Тепловой критерий физико-химического перехода первого рода (введен автором, 1936 г.) К = r/Ai характеризует соотношение теплоты реакции (фазового перехода) и дефекта или избытка теплосодержания рассматриваемой фазы относительно характерной температуры реакции (фазового перехода). В форме числа Якоба Ja = (Кр^/рЭ"1 характеризует те же соотношения в объемных единицах. В форме ^ф = qlrpU = Nu/KPe является мерой отношения скорости фазового перехода Иф = qfrp к характерной скорости течения. В форме qL]r\x, = Nu/KPr является числом Рейнольдса пленочного течения, возникающего при фазовом переходе (например, при пленочной конденсации пара).

Критерий устойчивости газожидкостной структуры (введен автором, 1950 г.) к = 57"рУр7^ о? (р' — р") характеризует взаимодействие динамического напора генерируемой фазы (например, газ, барботируемый в жидкость через пористую поверхность, пузырьковое кипение) с капиллярным давлением и архимедовой силой. В форме k = q^rV9" V о 8 (Р' — Р") характеризует устойчивость режима кипения в большом объеме жидкости.

Критерий взаимодействия капиллярных сил и молекулярного трения FaVL =• = yx,Ulo. В форме числа Марангони характеризует термокапиллярные эффекты на свободной поверхности жидкости Ma = ^TLIpa^doldT.

Критерий теплового подобия при барботаже и кипении (модифицированное число Пекле) Ре* = p"^"6agc7X' характеризует импульс, вносимый в жидкость газом (паром), в линейном масштабе порядка капиллярной постоянной Лапласа 6ag = Va/g(p'— р").

Критерий гравитационно-капиллярно-вязкостного взаимодействия (модифицированное число Архимеда) Аг* = ^6^gAp/v2.

Критерий капиллярно-акустического взаимодействия (модифицированное

Р'Р'число Маха — Маиевского, введен автором,

Р'

Р'

Динамический критерий теплообмена при пузырьковом барботаже и ки-

Ре* пении (введен автором, 1939 г.) К* =2- = U'^c'lgW

27.27.28.28.v

27.

27.

28.

28.

Критерии теплоотдачи, построенные по внутренним масштабам гравитационно-вязкого и гравитационно-капиллярного взаимодействия: Nu* = a6Mg/V; Nu* = a6ag/X'.

Концентрационные симплексы — истинное объемное газосодержание ф, расходное объемное газосодержание £, относительная плотность фаз (ком-

понентов) р — и производные от них относительные осредненные скорости течения фаз (компонентов) и массовые концентрации.

29.29.Симплексы подобного соотношения физических свойств фаз (компонентов) потока р^ = р'7р'; ц = ц'7ц'; А = V7V и др.

29.

29.

Критерий зарождения новой фазы, например, для генерации пара на микровпадине радиуса д,, Кт = (Гсто — Т^гр^/Т^о, характеризующий начальную метастабильность (перегрев стенки против температуры насыщения)

жидкости перед закипанием.

V. Дисперсные системы

Критерий витания FrQ = ^"«g/g/? (р'— р") характеризует отношение гидродинамического сопротивления в относительном движении частицы к действию силы тяжести.

Концентрационные симплексы — объемная (массовая) концентрация, расходная и истинная.

Относительные значения физических свойств р = р'/р"; Г = V/X"; с = = сЧс"._

Прочностные характеристики типа g = clpU^ где а — напряжение разрушения.

VI. Лучистый теплообмен

Числа Планка КД^кс2; hclkTX, характеризующие интенсивность спектрального излучения и влияние на нее температуры излучающего тела.

Относительная интенсивность излучения и относительная длина волны Ч*К = ЛДх,т’ ^ = ^1^ где Хт — длина волны максимальной интенсивности._

Безразмерный лучистый поток энергии Е = Е1о0Т^.

Безразмерная длина хода луча (число Бугера) Ви = xL.

Критерий конвективно-радиационного теплообмена (число Больцмана) Во = ри^Ц — 12^00 (^ — Tg) характеризует отношение продольного конвективного переноса теплосодержания к потоку лучистой энергии.

VII. Магнитная гидродинамика

Магнитное число Прандтля Ргм = vpoO9 характеризует соотношение диффузий импульса и магнитного поля в магнитогидродинамических ситуациях.

Магнитное число Рейнольдса ReM = ULp,aGa = RePrM.

Магнитное число Эйлера EuM = p.aH2lpU2 является мерой взаимодействия магнитного давления и динамического напора в потоке.

Критерий взаимодействия тока и магнитного поля (число Ампера) Аш = = ЩН.

Критерий проводимости (число Ома) От = оэ^//.

Критерий магнитовязкого взаимодействия (число Гартмана) На = == ВЕ^рУ^2 характеризует взаимодействие магнитной индукции, проводимости и молекулярной вязкости в потоке проводящей среды.

Критерий магнитодинамической гомохронности Ном = tlo^aL2.

Критерий электротеплового взаимодействия дуэ = 12L2!c»X\T характеризует воздействие джоулева тепла, генерируемого в потоке проводящей среды.

Конвективный критерий электротеплового взаимодействия Кэ = pL/OgpUM.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автомодельность абсолютная 41, 42

— геометрическая 243

гидродинамическая 240

относительно чисел Рейнольдса 41, 68, 240, 246, 266, 268

структурная 42

электродинамическая 241

Адиабата изоэнтропическая (Пуассона) 45

— ударная (Гюгонио) 99

Аналогия 34, 231, 232

— кипения и барботажа 137

— Рейнольдса 36, 68, 88

— тепломеханическая 35, 233

— электромеханическая 35

— электротепловая 34

Барботаж

—, интенсивность теплообмена 136

—, модель кризиса кипения 160

— развитый пузырьковый 133

Величины безразмерные 15

, комплексы 17, 20, 31

, симплексы 16, 18, 30

Внутренние масштабы 42, 44

газожидкостных систем 130, 133

пограничного слоя 69, 71

полимерных растворов 94

свободной конвекции 76

термодинамического подобия 213—215

термокапиллярного взаимодействия 47

Вязкий подслой 24, 83, 84, 85, 260

Вязкость кинематическая 17

— газов 40, 85

— структурная 80

— турбулентная 85, 87

Гейзенберга соотношение неопреде* ленности 28

График соответственных состояний 235

Динамическая скорость 23

градиента давления 272

Диссипация турбулентной энергии

264

Длина пути смешения 67, 90

в вязком подслое 86

Единицы физических величин 14

основные 14

производные 14

Вакон дефекта скорости 268

— трения линейный 43

логарифмический 87

Зона перемежаемости 261

Интегральное соотношение импуль* сов 69, 116, 208

энергии 69, 121, 208

Комплексы определяющие безраз* мерные 31, 218

размерные 203

Конвекция термогравитационная 73 и далее

свободная 73, 74

смешанная 74

Константы турбулентности 68, 84» 85, 91

Коэффициент аккомодации энергии

102

— асимметрии случайной величины 263, 270

восстановления энтальпии (температуры) 41

— гидродинамического сопротивления 21, 63, 153, 155

— — трения 36, 63

относительный 105, 110, 111, 115, 116

— корреляции 264, 270

— критический 46

— потерь 142, 143, 144

— сжимаемости 212, 216, 220

— эксцесса случайной величины 263, 270

Краевые условия к уравнению теплопроводности 55

безразмерные 56

неуправляемые 47, 127

при радиационно-кондуктивном взаимодействии 189 .

Кризис кипения 158

—— первый 159

третий 168

Кризисы гидродинамические 71, 73

Критерии подобия 31, 33

внутренние 133

*— — определяемые 31, 39

определяющие 31

первичные 32

— — теплового нестационарного взаимодействия 79

термодинамического 215, 216

Критерий внутренних источников тепла 56, 284

— кавитационного механизма вскипания 167

— начальной метастабильности закипающей жидкости 133, 286 подобия гиперзвуковой 102, 104

— радиационно-кондуктивного взаимодействия 190

теплообмена динамический при кипении и барботаже 136, 286

устойчивости двухфазной системы 132, 160, 162, 286

*— электротеплового взаимодействия 199, 203, 287

Масштаб времени 24, 28, 264

— пороговый 28

— собственный 28, 30

Масштабы внутренние (см. внутренние масштабы)

Масштабы локально-изотропной турбулентности 264 и далее

— осредненного турбулентного движения 264

Моделирование газоходов 239, 245

—, выбор среды 239, 242

— линейной электрической цепи 241

— локальное 243

— лопаток турбины 241, 248

— приближенное 52

— прямое 52, 53

— трубных пучков конденсаторов 246

— электроэнергетических систем 256

Модель физико-математическая 19, 29, 104

газожидкостного потока двухскоростная 140

квазигомогенная 141

жидкости с исчезающей вязкостью 104 и далее

излучающего непрозрачного тела 186

кризиса кипения 160

нестационарного теплового взаимодействия 79

осредненного турбулентного течения 67

пристенной турбулентности 88 и далее

Моменты случайной величины 262, 263

Параметр проницаемости стенки 70, 110, 285

Параметры состояния приведенные 46, 211

Переменные безразмерные 33

— независимые 31

П-теорема 20

Подобие полей физических величин 39

— структурное 217

— термодинамическое 45, 46, 211

— физических процессов 25

Показатель адиабаты Пуассона 37,

40, 45, 99, 285

Поле физических величин 23, 39

Постоянная Лапласа 27, 286

Правило моделирования 52, 238

Предельные ситуации 22

Приведение уравнения к безразмерной форме 30

Псевдоожиженный слой 170, 175, 178

Пульсации 64, 65

— импульса 97, 260

— конвективного потока тепла 97

— скорости 65, 85, 89, 260

— температуры 79, 260

Размерность 14—16

— зависимая 19

— независимая 19

— первичная 16

Распределение скоростей в отрывном сечении 113

логарифмическое 23, 24, 83

параболическое 152

Свойства гетерогенных материалов 231 и далее

Сила Магнуса 177, 179

Симплекс 16, 18, 30, 39, 46, 57, 285—

287

— релаксационный 56

Скорость всплытия пузыря 25, 26, 147 и далее

— динамическая 23

градиента давления 272

— звука в газожидкостной среде 129, 142

— приведенная 141

— скольжения 101

Сопротивление эквивалентное гидравлическое 246, 248

Спектральная плотность турбулентной энергии 266

Степень черноты 186, 193

Структурное подобие веществ 217

Теория масштабного подобия 229

— обобщенной проводимости 232

Тепловой КПД плазмотрона 206

Теплоемкость эффективная 172

Толщина вытеснения 43, 69

— потери импульса 43, 69

энергии 69, 70, 120, 123

Турбулентное течение 64 и далее

, анизотропия в пограничном слое 260

— трение 65, 86, 90, 97, 106

— ядро 24, 84, 261

Уравнение волновое модельное 145

— двухволновое нелинейное 147

— состояния 46, 212

модельное 46

приведенное 46

— сплошности 65, 95

— Стокса 62, 80, 149

— теплопроводности 33, 54, 57

в анизотропной среде 60

в движущейся среде 62

сжимаемой жидкости 96

Условия однозначности 29, 31, 32

безразмерные 33

— полного подобия 52

Фактор плотности 110

— температурный 40, 76, 77, 227, 286

кинетический 41, 286

Сазерленда 40

— энтальпийный 108

Флуктуация свойств веществ 228, 229

Формпараметр Бури — Лойцянского 71, 272

— вытеснения линий тока 43

— гидродинамической кривизны 43» 70, 207

— тепловой 69, 208

Формула Бэкингема 20

- Жуге 98

— Кармана 87

— Максвелла 232

— Планка 187

— размерностей 14

— Сазерленда 40, 224

— Тейлора — Прандтля 67, 106

— Эйнштейна 232

Функция рассеяния механической энергии 96

Цифроаналого-физический комплекс 259

Число Ампера 199, 208, 287

— Архимеда 27, 74, 131, 137, 148, 172,

285, 286

— Био 56, 284

обобщенное 58

— Больцмана 191, 193, 287

— Бугера 190, 287

— Ван-дер-Ваальса 212

— Вебера 136, 285

— Галилея 285

— Гартмана 199, 287

— гомохронности гидродинамической 63, 285

релаксационной 82

коронного разряда 210

магнитодинамической 199, 287

реакционной 49

электромагнитной 199

— Грасгофа 74, 285

—- Кармана 66

— Кнудсена 100, 101, 203, 286

— Колмогорова 266

— Лагранжа 22

— Льюиса 50

— Марангони 64, 286

— Маха — Маиевского 18, 101, 135, 285, 286

электромагнитное 199

— Нуссельта 27, 39, 51, 64, 131, 132,

137, 285, 286

— Ома 199, 202, 287

— Пекле 34, 63, 79, 133, 285, 286

— Прандтля 27, 35, 226, 285

диффузионное 49

магнитное 199, 287

турбулентное 66, 86

локальное 87

— Рейнольдса 17, 43, 63, 69, 84, 115, 133, 284

локальное 23, 132

магнитное 199, 287

пленки 38, 286

электрическое 199

— Риделя 218

— Ричардсона 285

— Рэлея 75, 285

— Стентона 36, 64, 88, 97, 193, 285

— Струхала 78

— теплового подобия фазового перехода 27, 38, 50, 136, 286

— Фруда 63, 155, 172, 285, 287

— Фурье 34, 56, 61, 284

— Шмидта 226

— Эйлера 21, 63, 208, 285

обобщенное 71

магнитное 199, 208, 287

— Якоба 139, 286

Энтальпия торможения 40, 96

Эффективность тепловой завесы 122

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Введение .5

Основные обозначения 11

Глава 1

АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

Единицы физических величин«14

Размерные и безразмерные величины16

Первичные физико-математические модели и анализ размерностей ,19

Подобие физических процессов23

Физические ограничения на формы и коэффициенты эмпирИ'

ческих связей между числамиподобия2S

Масштабные соотношения физическиххарактеристик среды 27

Литература29

Глава 2

АНАЛИЗ ПОДОБИЯВ РАЗВИТЫХ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Безразмерная форма математических моделей и критерии подобия 29

Условия однозначности31

Комбинирование безразмерных комплексов. Собственно критерии подобия32

Критерии подобия как обобщенные безразмерные переменные 33

Аналогии34

Тепловой критерий подобия физико-химических превращений 37

Подобие полей физических свойств среды39

Автомодельность и внутренние масштабы41

Термодинамическое подобие45

Условия на свободных границах47

Подобие кинетики химических реакций—•

Анализ подобия и эксперимент51

Литература53

Глава 3

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Уравнениетеплопроводности визотропной среде .54

Критерииподобия.56

Некоторыепримеры применения анализа размерностей..58

Уравнениетеплопроводности ванизотропной среде ....60

Литература «t «« • , • • •61

Г л в в a 4

КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

Уравнения движения и теплопроводности ......62

Критерии подобия,.63

Турбулентность64

Интегральные соотношения импульсов и энергии стационарного пограничного слоя68

Отрыв и оттеснение потока71

Термогравитационная конвекция ........73

Температурный фактор76

Нестационарная конвекция ... .78

Реологические среды80

Литература82

Глава 5МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИКОНСТАНТ ПРИСТЕННОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Экспериментальные значения констант логарифмического распределения скоростей83

Оценка константы тр по энергетическому критерию устойчивости ламинарного течения—

Постоянные Сих логарифмического распределения скоростей84

Турбулентный перенос в вязком подслое ..,..»85

Теплоотдача при квазиизотермическом течении ....86

Моногармоническая модель пристенной турбулентности ..88

Гидродинамическое трение слабых растворов высокополимеров92

Литература95

Глава 6

КРИТЕРИИ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ

Уравнения движения и теплопроводности плотного газа 95

Влияние пульсаций плотности на турбулентное трение и теплопроводность ....97

Ударные волны98

Критерии подобия и условия однозначности в потоках разреженного газа100

Литература$»» » t х 104

Глава 7

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Пограничный слой жидкости с исчезающей вязкостью 104

7^2. Относительный закон трения 106

Предельный относительный закон трения106

Предельный закон трения и теплообмена при обтекании газам непроницаемой пластины108

Предельный закон трения и теплообмена при обтекании проницаемой пластиныНО

Дозвуковой пограничный слой на проницаемой поверхности—*

Сверхзвуковой пограничный слой на проницаемой пластине111

Параметры пограничного слоя в начале зоны отрыва112

Переход к конечным числам: Рейнольдсаг114

Вырождение теплового пограничного слоя на адиабатической

поверхности «•119^

Адиабатическая температура стенки при тепловой завесе 121

Тепловая завеса на неадиабатической поверхности ....123

Литература . ««~

Глава 8КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СИСТЕМ

Множественность состояний и структур/23

Гидродинамические и тепловые взаимодействия на границе раздела фаз127

Внутренние масштабы и критерии подобия130

Критерий капиллярно-акустических взаимодействий..133

Влияние фазового перехода136

Уравнения осредненного движения и энергии газожидкостного потока в каналах140

Влияние внутренней нестационарности на параметры, осред-* ненные во времен143

Волны в газожидкостной смеси 145

Скорость всплытия одиночного пузыря в жидкости ...147

Гидродинамическое сопротивление в двухфазном потоке с ламинарным жидким слоем152

Массоотдача к турбулентному потоку газожидкостной смеси в канале со смачиваемой поверхностью155

Литература15^

Глава 9

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

КРИЗИСОВ КИПЕНИЯ

Пузырьковое и пленочное кипение157

Первый кризис кипения — термогидродинамические параметры 159

Гидродинамическая модель кризиса кипения при несжимаемых фазах160

Аддитивное расширение элементарной гидродинамической модели кризиса кипения насыщенной жидкости .... •161

Критерий гидродинамической устойчивости кипения при больших скоростях течения жидкости 164

Нед огрев жидкости до температуры насыщения ...,165

Непосредственный переход от однофазной конвекции к пленочному кипению167

Литература «• > 169

Г л а в а 10

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

Некоторые модели 170

Независимое движение частицы в несущемпотоке.,»171

Фиксированный слой частиц 173

Динамические слои и потоки частиц.......175

Элементарная теория кипящего слоя.178

Поток дисперсной смесие180

Некоторые примеры экспериментальных данных . . . 181

Литература 184

Глава 11

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА

Излучающие и поглощающиесреды ......./85

Законы излучениячерноготела187

Радиационно-кондуктивное и радиационно-конвективное взаимодействия 188

Критерии подобия190

Радиационно-конвективный теплообмен в топках паровых котлов192

Теплообмен при обтекании гиперзвуковым потоком газа ло

бовой точки затупленного тела194

Литература ..196

Глава '12

КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Единицы электрических и магнитных величин197

Уравнения электродинамики _

Критерии подобия•••****199

Влияние магнитного поля на течение проводящих спел 200

Пограничный слой в М ГД-канале*‘207Обобщенные характеристики коронного разряда * ** * 209Литература *’ 211Пограничный слой в М ГД-канале*‘207Обобщенные характеристики коронного разряда * ** * 209Литература *’ 211Взаимодействие дугового разряда с потоком газа .. . 202

Пограничный слой в М ГД-канале*‘207

Обобщенные характеристики коронного разряда * ** * 209

Литература *’ 211

Пограничный слой в М ГД-канале*‘207

Обобщенные характеристики коронного разряда * ** * 209

Литература *’ 211

Г л а в а 13ПОДОБИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХИ ТРАНСПОРТНЫХ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ

Критерии термодинамического подобия и соответственные со

стояния 211

Физические интерпретации определяющих критериев подобия с*216

Примеры методов обобщения данных о свойствах жидкостей и газов220

Подобиесвойстввеществвблизикритическойточки228

Использованиеаналогийдляобобщения свойствматериалов231

Соответственные состояния при анализе термогидродинамических процессов235

Литература238

Глава 14

ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Основное правило моделирования238

Один определяющий критерий .• 239

Два определяющих критерия241

Переменность физических свойств242

Локальное моделирование243

Масштабный эффект244

Два примера гидродинамических моделей—

Исследование решеток профилей248

Динамические модели энергетических систем . . . , , 256

Литература259

Глава 15

ПОДОБИЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКТУРБУЛЕНТНОСТИ

Структура осредненного течения269

Моменты гидродинамических полей и спектральные функции 261

Масштабы локально-изотропной турбулентности . ' ...264

Пограничный слой на непроницаемой стенке при отсутствии градиента давления\267

Пограничный слой с продольным градиентом давления на непроницаемой стенке271

Литература274

Приложение 1. Единицы физическихвеличин275

Приложение 2. Фундаментальные критерииподобия ....284

Предметный указатель288

Самсон Семенович Кутателадзе]

АНАЛИЗ ПОДОБИЯИ ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Утверждено к печатиИнститутом теплофизики СО АН СССР

Редактор издательства Т. Д. СемченкоХудожественный редактор Т. Ф. КамининаХудожник А. И. СмирновТехнический редактор А. В. СургановаКорректоры Н. Н. К р о х о т и н а, А. А. Надточий

ИБ № 29867

Сдано в набор 13.06.85. Подписано к печати 24.03.86. МН-01015. Формат 60x90/16. Бумагакнижно-журнальная. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 18,5. Усл.кр.-отт. 18,5. Уч.-изд. л. 20. Тираж 2300 экз. Заказ № 773. Цена 2 р. 30 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»,Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.

4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25,

АКАДЕМИЯ НАУК СССРСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ

АНАЛИЗ ПОДОБИЯИ ФИЗИЧЕСКИЕМОДЕЛИ

НОВОСИБИРСКИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

УДК 536.7 :536.24

|Кутателадзе С. С.| Анализ подобия и физические модели.— Новосибирск: Наука, 1986.

Излагаются общие принципы анализа физического подобия и его связь с построением физико-математических моделей. Рассматриваются конструкции и физические интерпретации фундаментальных критериев подобия. Приводятся многочисленные примеры применения методов анализа подобия в термогидродинамике однородных сред, многокомпонентных и многофазных систем, при наличии фазовых переходов и химических реакций, при магнитогидродпнамических взаимодействиях, а также при обработке данных о транспортных и калорических свойствах веществ в терминах приближенного термодинамического подобия. Описываются автомодельные ситуации, для которых метод подобия непосредственно приводит к однозначным результатам.

Обсуждаются некоторые асимптотические модели, требующие более содержательного исследования, чем собственно анализ условий подобия. Приводятся в обобщенной форме примеры прямого физического моделирования и постановки принципиальных экспериментов для определения эффективных коэффициентов переносов в математических моделях сложных стохастических процессов.

Книга адресуется научным работникам, инженерам-исследователям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и политехнических институтов.

Рецензенты Э. П. Волчков, В. Е. Накоряков

Ответственный редактор Л. М. Берзина

1704060000—770К 042(02)—861704060000—770К 042(02)—86146-86-11146-86-11© Издательство «Наука», 1986 г.© Издательство «Наука», 1986 г.

1704060000—770

К 042(02)—86

1704060000—770

К 042(02)—86

146-86-11

146-86-11

© Издательство «Наука», 1986 г.

© Издательство «Наука», 1986 г.

ПОДОБИЕ... изображение чего; образ чего либо...

В. Даль. Толковый словарь живого великорусского языка