ПОЛНОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ В ОДНОМЕРНОМ БОЗЕ-ГАЗЕ

Рассмотрим одномерный бозе-газ. Гамильтониан модели имеет вид:

Чг

Н = J Цу^нУТП), (1)

"Чг■

Здесь L - длина ящика, С - константа связи ( С>0 ). В тер- модиюмическсм пределе L —- °° и К —> «> ( Л* - число частиц), плотность газа D постоянна, D = X/L = const.

В случав отталкивания ( с > 0 ) основное состояние |Q> есть собственная функция Гамильтониана соответствующая минимуму свободной энергии (море Дирака). В серии работ [l,2] был исследован коррелятор токов:

<L^iliiWH“2il^^<Q|a><L^iliiWH“2il^^<Q|a>j Wfr W;>-j Wfr W;>-(2)(2)

<L^iliiWH“2il^^

<Q|a>

<L^iliiWH“2il^^

<Q|a>

j Wfr W;>-

j Wfr W;>-

(2)

(2)

Усреднение подразумевается по основному состоянию, j(kX)=M/+(x)W(x), а : j(x) j (о): = Y+(x) Ч/+(о) Ч'(х) V (о) . Коррелятор (2) был представлен в виде абсолютно сходящегося ряда. Вычисления проводились в духе работ [3,4]. Сначала строилось основное состояние в конечном объеме L с фиксированным числом частиц К , затем осуществлялся переход к термодинамическому пределу. В работе [б] была исследована асимптотика коррелятора на больших расстояниях. Профессор Б.Сазерлецц обратил наше внимание на то, что физический интерес представляет интеграл от коррелятора в связи с гипотезой полного экранирования. Считаем, что голый заряд частицы в = 1 . Согласно гипотезе полного экранирования (название заимствовано из теории кулоновского газа) эффективный заряд частиц облака окружающих данную равен -I. Из правила сумм [б,?] следует:

T^^iwiw»,^(3)

A <№>

Здесь

< t w i (°)> - < •• j w j (°) ■•> - < i (°).^ •

Нам удалось доказать эту гипотезу.-

Для доказательства рассмотрим систему с фиксированным числом частиц Я в конечном объеме L . Основное состояние | .О,>^ является собственным вектором оператора числа частиц QL :

- Ql - j ito <1®,<4)

0-L I-(5)

Так как <_j to>^j не зависит от x (следствие трансляционной инвЕриантности), то его легко вычислить

Чг.

И ^w^-^-t-d-^wv (6)

Рассмотрим коррелятор

<iWiW>K-<iw>J

и проинтегрируем его по х :-

Чг

гИх1<|И|И>л-<1Ы>л]-0(?)

"Чг 1

Это равенство есть следствие (5) и (6). Переходя в (7) к нормальному упорядочению:-

i to j (°)=■• i to i (°); +<5 to jto получим

b/а ...

t Jx ^^toi^li^LZ^H°^f

л(8)

В термодинамическом пределе L —•- °” , Jf —*-00 , Jf/L =D = const из (8) следует (3). Существовжие предела

доказано в работе [2].

Обратимся теперь к другому вопросу, а именно, рассмотрим

жем, чтожем, чтосреднее значение квадрата оператора числа частиц (4) по заданному объему V и исследуем его поведение для больших V . Пока

жем, что

жем, что

(9)(9)1 / Qa > = Т)^ д- 4 ^V I л ( ^ у2 Х^у^ -ь* +Л ^-2 + ^\уа/

(9)

(9)

Усреднение проводится по основному состоянию в термбдинамическом пределе |> Л - безразмерная постоянная. Согласно [2] имеем:

<&‘v>-VljSwMrK(v). но;

-^к >2

Здесь J (X) - плотность распределения частиц в основном состоянии, (| - граница зоны Ферми, Коэффициенты Гк с точностью до четвертого порядка по обратной константе связи вычислены

НоАоСлавновым. В случае с = 00 : ^ (^) = V^; Гк>г= О,

I 1 -lV(XA)

v 23,14 4 ivm1 ■

При V —*• °o :

^м--М^+^2г2-г'«>о(4-з)

Анализируя последующие члены разложения (10) получим форжду (9).■"

Для отличных от нуля температур, согласно флуктуационной теореме имеем:

Т®-Ц «iWiW»^

Здесь ^ - давление, . Т - температура, lv - химический потенциал. Известно [4], что при Т—О W/tikA-^O. Следовательно, полное экранирование, как и следовало ожидать, есть следствие того факта, что при абсолютном нуле температуры в одномерном бозе газе отсутствует дальний порядок.

Авторы благодарны А.Г.Изергину за обсуждения.

Литература

I z е г g i n A.G., К о r e p i n V,E.-Commun.Math*Phys., 1984, v.94, p.67-92.

К о r e p i n V.E.-Commun.Math.Phys. , 1984, v.94, p.93-113*

Lieb E.H., L i n i g e г V/.-Phys.Rev., 1963, v. 130, N 4, p.1605-1616.

Y a n g C.N., Yang C.P.- J.Math.Phys., 1969, v.10, N 7, p.1115-1122.

Bogoliubov N.M., A.G.I z e r g i n and К о г e- p i n V.E. in Exactly solvable problems in condensed matter and relativistic field theory. - Lecture notes in physics. Springer-Verlag, 1986, v.242, p.220-316.

Frohlich J., Spencer T. - J.Stat.Phys., 1981, v.24, N 4, p.617-701.

Stillinger F.H., Lovett R. - J.Chem.Phys., 1968, v.49, N 5, p.1991-1994.

N.M.Bogoliubov, V.E.Korepin. On complete screening in the onedimensional Bose gas.

The hypothesis of the complete screening is proved for the one dimensional quantum Bose gas at zero temperature. The asymptotics of the squared particle number operator for the finite interval is obtained.

.В.И.Возяков, В.Н.Попов

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ КВАНТОВЫХ ФЕРМИ-КРИСТАЛЛОВ

введение

Здесь развивается функциональный подход к исследованию ферми-систем в мрестности перехода нормальной жидкости в пространственно-периодическое состояние в случае, коща в обратной решетке нет троек векторов "ближайших соседей" с условием "к01+ Коа + Ко3 = 0 . Рассмотрим функционал эффективного действия ( 'tv-l, кв=1), полученный в работе [l]

Seji = 4^Мр)кр)к-Р) + т^МрМрМр)+ (I) + ак^^М^с)/^0,0)};

ГДв A4/&-

MhPa=(^-»W-Hpv) MPrPaApi-pa)+

+ (^и-(р1-р2)с(р1-Рг), Р-^/^хР”^.

X - химический потенциал, Л = (2м,+1)ЧгТ -ферми-частота, Ь; С - переменные вспомогательных бозонных полей, а (ср - Фурье-образ эффективного потенциала,определяемый как

W”W”«^(ф >0 при с^ е [о,ф )- и_(ф<6 при ^ e^j^a), 0 при (^ > €^2 .

W”

W”

Условие устойчивости однородного состояния ферли-системы,описываемой функционалом (I), имеет вид [2]

(2)(2)

(2)

(2)

еде„

а 2 к2

61 - &®, еа = е(^), 6^) = JL1J-}

Kj - импульс Ферми, О) - бозе-частота. Это соответствует неположительной определенности формы второй вариации в окрестности точки стационарности функционала (I)

Цр) = Цр)--Ц^^^о; С(р) = О, хде

в° = у" ^ (5ХРР(^ “^ + ^+W^°) + 0 )

Впервые условие (2) нарушается в точке (| — Ко минимума потенциала U/(<^) . В этом случае конденсатные значения полей следует выбирать в вше [2]

& (р) =- V L (fO^o, с(р) = с0 (pv/%)0 Е ^о, О) 'Ко

где ^ следует понимать как сумцупо ближайшим к началу координат узлам обратной решетки.

Подставив (3) в (I) и варьируя по L и с0", получаем

6» -^^{PhPaK^ “^ "^«^(О^рг+Со ^о^Д^^гЧа^J ^ 4^

с« (^ 0 -.

.(5)

^^^[Sti^^S^J^^“^ -^o^i-(.0))^ptpa+

Ко

В работе [2] получен результат о неустойчивости кристалла с объемно/центрированной кубической решеткой (ОЦК). У таких кристаллов в обратной решетке имеются тройки векторов ближайших соседей с условием Кд, ч-к^/Коз” О . В кристаллах с простой кубической (ПК) и гранецентрированной кубической(ГЦК) решетками таких троек векторов нет. Настоящая работа является продолжением

работ [l,2] и посвящена исследованию нормальной ферми-системы вблизи порога неустойчивости однородного состояния и перехода системы в состояние с ПК и ГЦК-решетками. Здесь показано, что переход системы в слабонеоднородное состояние невозможно при

Ко > 2К| вследствие отсутствия решений уравнений стационарности для параметров Ьо и с0 . Если же кристаллизация происходит в малой мфестности Ко — 2К$ , то решения уравнений для сои Ьо существуют»-

Основное состояние слабонеоднородной ферми-системы ■ с ПК и ГЦК-решетками

В случае ПК и ГЦК-решеток в разложении правой части уравнения (5) по малому параметру Со по формуле

111 n 1■1 Q 1 Q 1

А*В ~ А А^А^А^А^А

С А — Qu) ^ ^+(0)^о^Р1Ра) ^^'о^,-^о)^Ф11*)а5'^^4-^2)Ко

к6

отсутствуют члены ^ Со , поскольку они тождественно равны нулю. Ограничившись членам» ~ с0 и С^ , приходим к уравнению

^.= ^^’^(W-^yy^-sj' +(6)

Г'

+ 2Ср ul(k0) ^ Г52 (^-Е^^-^Т Q^ (iiW^

u=41

Здесь g.-u=E (cpv^ , 1 = 1,2,3,4 , причем, импульсы ^ удовлетворяют условиям7x

V%= ^,> W% ^-,=MrtS’ S к°Г0’

И/ - число ближайших соседей в обратной решетке.

Первое слагаемое в правой части (6) вычислялось в работе L21 и равно при Т = О

z.z.2Тьг *02Тьг *02. к^ 4* к0 2^к-2. к^ 4* к0 2^к-■н >.■н >.

z.

z.

2Тьг *0

2Тьг *0

2. к^ 4* к0 2^к-

2. к^ 4* к0 2^к-

■н >.

■н >.

Решение уравнения (6) можно записать в виде

Числитель в правой части (7) отрицателен в области, где однородное состояние неустойчиво. Для положительности Со необходимо, чтобы и знаменатель был отницательным. Так кек U_(KO) < 0 » то должно быть положительным выражение

Рассмотрим слагаемые в (8), удовлетворяющие условиям

% к<” . % %—к°7 Ъ %~^°’ ^ Ят к° ' (9) Число таких слагаемых равно И/-числу ближайших соседей узла обратной решетки [^ . Вклад указанных слагаемых в (8) равен

(Ю)(Ю)где8. = Ц^.),^-^=Кгде8. = Ц^.),^-^=КПосле суммирования по од падучимПосле суммирования по од падучим

(Ю)

(Ю)

где8. = Ц^.),^-^=К

где8. = Ц^.),^-^=К

После суммирования по од падучим

После суммирования по од падучим

Заменив в (II) сумму по "q интегралом, получим

(12)(12)3 ИИ1/3 ИИ1/г JГ^ТНКй^н.-ШJ^ \ Иг- Я.иг/ 0г JГ^ТНКй^н.-ШJ^ \ Иг- Я.иг/ 0ds, коккт/ 1ds, коккт/ 1-к 9 \ Й.ГП//-к 9 \ Й.ГП//11КК^Ч + ^о ^к^ — ко^Ч + ^о ^к^ — ко

(12)

(12)

3 ИИ1/

3 ИИ1/

г JГ^

ТНКй^н.-ШJ

^ \ Иг- Я.иг/ 0

г JГ^

ТНКй^н.-ШJ

^ \ Иг- Я.иг/ 0

ds, кокк

т/ 1

ds, кокк

т/ 1

-к 9 \ Й.ГП//

-к 9 \ Й.ГП//

1

1

К

К

^Ч + ^о ^к^ — ко

^Ч + ^о ^к^ — ко

В оставшихся неучтенными слагаемых в (8) импульсы 7^ ,7^ , Т^5,7^ удовлетворяют одному из соотношений

% Чх^^0? ^г %~^0 % ^~ ^0? ^ ^1^о’ ^13^'

А^-А^АгАр- АЛтк° %“^ ^^’ (14) AcAP^v^^ АчА^» - (15) App%Ar4'ArAPos ’ V^ = S ’ (16) ^£1^=0.'.'

В формулах (I3MI5) ко 7^ ik^-Ко] , а в (16) все векторы {ко<,1 различны и не содержат одновременно к и-”к0 • Для ПК и ГЦК-решеток импульсов, удовлетворяющих (1б5 с указанными дополнительными условиями не существует в силу свойств симметрии обратной решетки L •'

Процессам с выполнением условий (13)—(15) сопоставим ана

литические выражения

^~ ^v ^ &(^с]) G\^^~ko) Q^(17)

£Lu3

^>^'Ф-ч)^’Г^еН-^-!18>

V Д ^ £(Aq)G(44-^e)£(44A“K)^

где Q ^цО ^ ) - функция Грина(Ltd-£(к )) ’ Л принимает одно из значений импульса в соответствии с формулами (17)-(19).

Штрих над знакам суммы^в (18), (^^соответствует дополнительному суммированию по "ko =Z Г "ко -1<о•

Прежде всего рассмотрим выражения для ^ и 71 ^ , содержавшие квадрат функции Грина. Они объединяются формулой вида

Выполнив здесь суммирование по ффми-частотам, получим

л-1~2

77^2 с^-^ (1и)-ея) 5^-&3') = (21)

ЧХ^ЖЖг^ (ЕГ.^Ж-^) (^ЖЖ-^

^Z

*4

_ 1

А-ф^\ (^жж)! v^/w^)

Здесь учтено,что после замены 2—»1 четвертое слагаемое под знаком суммы в правой части (21) сокращается с первым. Аналогично после замены (2—*3) сокращается пятое с третьим слагаемым. Перейдя в (21) от суммы к интегралу, падучим

^^ _ I ^' ^o.

2 m, 2m

(22)

3 m, w p ?^l -U

2k^+k,

2, К^.~ ^ о Используя формулу (21) для 3^ , получим

иг n,k

(23)

Далее рассмотрим выражение ^ (19). После суммирования по ферли-частотам подучим

V П (^-Е^= ^ rps-t bf-LY? ! k (24)

5 J^Vqo> 1=ГA Lvi ^i)n 4/v^ ^)

(г2~£1)^гЧХ&Г^ (^з"^)^;-^)^?-^) (^“^fe"^^)

v “Н)-од-^И1-£(1Ч-к:)]^)-еи-^

Отрицательность выражений (12), (22)-(24) приводит к выводу о невозможности перехода системы в состояние слабонеоднородного

кристалла в силу отсутствия вещественного решения для параметра

СоСов области ko>2k^ . Действительно, суммы вида

Со

Со

l к ч.l к ч.(25)(25)

l к ч.

l к ч.

(25)

(25)

входящие в определение плотности распределения частиц в координатном пространстве, вещественны приС^ ~С_-£ • Отсюда, на основании формулы (9) и отрицательности суммы (8) в области

ко > 2 к^ приходим к заключению о правомерности приведенного выше утверждения.

Случай, когда 2 к^—• к0- О , т.е. стороны низких давлений требует дополнительного исследования. Произведем переход 2 к^.—* х—► ко. При этом (12) растет по степенному закону, в то

время как интегралы (17)-(19) имеют не более чем логарифмическую особенность как функции |4- k0/2k, I » поскольку в ПК и ГЦК-ре- merKaxl^+^l >"ко .

Уравнения для параметров порядка Со и40(Як^. — ко)

Наличие степенной зависимости (12) в области ко — 2к^ делает необходим™ суммирование всего ряда, получаемого при разложении в ряд правой части (5). В силу сказанного,.нас интересуют процессы для которых справедливы соотношения (9). В данном случае необходимо просуммировать весь ряд теории возмущений, кото-

уравнения (5), получим„_с _ Zn.cou(ko) у.(уравнения (5), получим„_с _ Zn.cou(ko) у.(J^^F^W' <27)J^^F^W' <27)

уравнения (5), получим

„_с _ Zn.cou(ko) у.(

уравнения (5), получим

„_с _ Zn.cou(ko) у.(

J^^F^W' <27)

J^^F^W' <27)

Про суммировав диаграммы (27) и подставив в правую часть

_ 2 n,cou_ С ко) у , /

у 4л^'-^^-^^“--н

Просуммировав по ферми-частоте <л)1 в (27), получим

и. ~(к0) у H^i) -ц<(£г)и. ~(к0) у H^i) -ц<(£г)v(Zf ^2,)v(Zf ^2,)(28)(28)

и. ~(к0) у H^i) -ц<(£г)

и. ~(к0) у H^i) -ц<(£г)

v(Zf ^2,)

v(Zf ^2,)

(28)

(28)

|Ц2;) - функция распределения Ферми-Дирака.

Предельный переход со—>0 в (28) дает соотношение, определяющее линию неустойчивости однородного состояния (см.,например, (2)). В уравнение (28) не входит число соседей узла решетки в £ -фостранстве. Это означает, что фи отвердевании в области 2 к^. — Ко оно главным образом связано не с геометрической упаковкой, а с потенциальной энергией. Из физических соображений ясно,что это может реализовываться фи низких давлениях. При высоких давлениях и температурах учет геометрии в конечном итоге играет решающую роль, при этом сам фурье-образ эффективного потенциала, вообще говоря, также деформируется. Следует ожидать, что в рассматриваемом фиближении свободные энергии системы с различными кристаллическими структурами одинаковы. Однако, они могут различаться при учете высших фиближений.

Рассмотрим уравнение (28). Очевидно, что при фисталлиза- ции сфера Ферми деформирована. Однако, для слабонеоднородной системы этим можно фенебречь. фи 7 = 0 равенство (28) принимает вид

/ 2 22 / X

где Д =^С0 U/ (Ко) т/ к0 , в уравнении (29) все подкоренные выражения следует брать, со знаком плюс. При Д —► О (29) переходит в соотношение, определяющее линию неустойчивости однородного состояния [2].

Как было доказано виде (см. выводы, сделанные после формулы (24)), если потннциал ^(^^ такой, что неустойчивость однородного состояния достигается при к0 > 2. к^ .то переход системы в слабонеоднородное кристаллическое состояние невозможно. Воли же неустойчивость однородного состояния системы проявляется в малой окрестности к0=2 к। (реализация такого случая возможна при соответствующем, потенциале), то из (29) следует возможность непрерывного фазового перехода.

Воспользуемся соотношением (4) для определения параметра 60 в случае 2. к^.— ко • Аналогично талу, как было получено уравнение (27), имеем.

V Д^(30)

V ^ ~ ^ ^-^^^"^Ч и+(°)) (^~ ^Но^)-В (30) выполним суммирование по ферми-частоте сОV ^ ~ ^ ^-^^^"^Ч и+(°)) (^~ ^Но^)-В (30) выполним суммирование по ферми-частоте сОгде ^ = V^ + ^оиЛ°) ’где ^ = V^ + ^оиЛ°) ’^2,5 = Л1^^^^2,5 = Л1^^^'* ~У 4'* ~У 4ооИ- (3-^ - функция Ферли-Дирака.Рассмотрим последнее слагаемое преобразуем к ввду.■V чХ^Ж:^И- (3-^ - функция Ферли-Дирака.Рассмотрим последнее слагаемое преобразуем к ввду.■V чХ^Ж:^соотношение (31), котороесоотношение (31), которое(32)(32)

V ^ ~ ^ ^-^^^"^Ч и+(°)) (^~ ^Но^)-

В (30) выполним суммирование по ферми-частоте сО

V ^ ~ ^ ^-^^^"^Ч и+(°)) (^~ ^Но^)-

В (30) выполним суммирование по ферми-частоте сО

где ^ = V^ + ^оиЛ°) ’

где ^ = V^ + ^оиЛ°) ’

^2,5 = Л1^^^

^2,5 = Л1^^^

'* ~У 4

'* ~У 4

о

о

И- (3-^ - функция Ферли-Дирака.

Рассмотрим последнее слагаемое преобразуем к ввду.

■V чХ^Ж:^

И- (3-^ - функция Ферли-Дирака.

Рассмотрим последнее слагаемое преобразуем к ввду.

■V чХ^Ж:^

соотношение (31), которое

соотношение (31), которое

(32)

(32)

„ЗагС^и^к^у- ^(^х)'

v ч P^oFTf^p^

[}(?ЛЙ^|Хр^5ЖП1^^

™е шн^м го) А ■

Выражение (32) при малых Со равно ^ 5 w (Z< ) , и мы возвращаемся к условию самосогласования, ко^са ^о определяется из уравнения [2]

4. Заклняение

Как было показано выше, микроскопический подход к теории ферми-систем в окрестности порога неустойчивости однородного состояния позволяет доказать отсутствие непрерывных фазовых переходов, если пространственно-периодическое распределение частиц реализуется при плотностях, когда к0> 2 к^ . Это связано с отсутствием решений уравнений стационарности для параметров ^о , Со , определяемых (3). Если же кристаллизация происходит в малой окрестности К0=Як^, , решения уравнений для Со и-8о существуют, Отметим,что сказанное справедливо и для ОЦК-кристалла,рассмотренного в работе [2] . Однако, во гр ос об устойчивости таких состояний по отношению к флуктуациям ^ и С -полей требует дополнительного исследования.

Литература■

В о з я к о в В.И. .Попов В.Н. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 4. Зап.науч.семги.

ЛОМИ, 1983, т.131, с.28-33.'.

Возяков В.И. .Попов В.Н. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 5. Зап.науч.семин. ЛОМИ, 1985, т.145, с.46-61.

А.Ю.Волков

ГАМИЛЬТОНОВА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРА

Введение

Моделью Вольтерра в честь ее первого автора LIj мы называем систему, описываемую уравнениями

Эта дифференциально-разностная система вполне интегрируема. Юна была подробно изучена методом обратной задачи рассеяния еще на заре развития теории "солитонов [2] .

Новый толчок к исследованию модели дала обнаруженная в [з] связь ее с уравнением Лиувилля. Выявившаяся при этом недостаточность известных сведений о модели обусловлена тем, что в [з] она ассоциирована с новой по.сравнению с [4] гамильтоновой структурой. Уравнения (V) представляют собой уравнения Гамильтона ^=^4, S'^ для системы с гамильтонианом Н—^Zk/S^ и скобкой Пуассона®

{$л) $ т^ = ^7 ^ $nv Е (^ “ ^ “ ^и? ( ^к+1,пг ^tt, m+<)

-S 5 +S £ jr+d п+2,иг иг-t-d гциг+2, '

Эта скобка замечательна тем, что она дает решеточное обобщение алгебры Вирасоро [sw,s^=nsrt+S(^x-^ + ^

Таким образом, модель Вольтерра представляет собой дискретный вариант конформно инвариантных систем теории поля.

Конечной целью начинаемой нами в настоящей работе программы должно быть построение соответствующей квантовой теории. С этой точки зрения наиболее заманчивым представляется погружение системы Вольтерра в схему квантового метода обратной задачи. В данной работе мы строим модель, которая, с одной стороны, эквивалентна модели Вольтерра, а с другой стороны является "всего лишь” вырожденным вариантом известной решеточной модели Sh-Gordon (LShG) 5 . Мы надеемся на то, что эта трактовка модели Вольтерра позволит в будущем как сдвинуть с мертвой точки квантование уравнения Лиувилля, так и пролить свет на неоднократно отмечавшуюся

2. Заказ 35917

связь модели Sh-Gordon с конформно-инвариантными моделями

теории поля.

Необходимо отметить, что часть результатов появлялась уже в работе [б] . Там, однако, не была понята их истинная природа, что сильно обеднило результаты и перспективы дальнейшего прогресса.'

План работы следующий. В первом разделе представлен вывод модели из системы Вольтерра. Во втором разделе обсуждается ее место в классификации вполне интегрируемых моделей, основанной на методе К - матрицы. Показано, что она представляет собой безмассовый предел модели L Sk £ . Исходя из этого в заключении указано возможное направление построения квантовой теории. Кроме этого, мы даем объяснение с наших позиций соответствующих результатов работы [б] .-

Автор выражает благодарность Л.Д.Фаддееву за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения и В.0.Тара

сову за ценные дискуссии.

Модель Вольтерра и метод R- матрицы.

Как указано р [2J , уравнения (V) можно записать в форме Лакса ‘

где ^ и Д - матрицы с элементами, зависящими от переменных &^ • Явный вид матрицы fl нам не понадобится, а Х^ имеет вид.

По сравнению с традиционной ^ 7 мы добавили слагаемое, пропорциональное единичной матрице. Смысл этой добавки станет ясен позже.

Граничные условия здесь и повсюду в дальнейшем мы предполагаем периодическими:

$ N+n =

В этом случае матрица Х^ имеет размер N х N .

В основе метода обратной задачи рассеяния лежит изучение спектральной задачи для матрицы Х^ :

Идею преобразований, которым она будет подвергнута, легко пояснить на примере уравнения Шредингера, дискретным аналогом которого она является:

+ S(x)-f = k^ •

В том случае, когда потенциал S (х) имеет вид S = р^+ р^ , оператор X факторизуется:

А , аЛJ

Х=Х Xip.

Уравнение Шредингера распадается в систему двух уравнений с дифференциальными операторам первого порядка ^ и хЛ :

Г ^ = ку

I ;£Лр=к^ •■

Эту систему можно представить в виде одного векторного уравнения

ФХ = ЬФ. гдеф=^"), L = p63-tk6'1

(6^ и ^ - стандартные матрицы Паули)

Отметим, что преобразование S-*—*р в рамках теории солитонов принято называть преобразованием Миура. В теории уравнения Лиувилля на решетке [ з] переменные 3 и, получены после замены переменных, соответствующей в непрерывном пределе упомянутой выше замене S=p2+p/:.

{~Pn> Pm}~"2* ^“РфК^—Р^С^ц+^щг ^гциъ-н }'

Поэтому нашим первым шагом будет возвращение к переменным р^ . В полной аналогии с непрерывным случаем оператор ^V^ факторизуется._

X = X X ■

и спектральная задача приобретает вид

£ ^ = к у

Отсюда для

имеемимеемИгИг(V)(V)к-1-ри.к-1-ри.-к<^-к<^IVIV^^ Рп+Х^Рп.) \k'^t-p^l'^^ Рп+Х^Рп.) \k'^t-p^l'W+1

имеем

имеем

Иг

Иг

(V)

(V)

к-1-ри.

к-1-ри.

-к<^

-к<^

IV

IV

^^ Рп+Х^Рп.) \k'^t-p^l'

^^ Рп+Х^Рп.) \k'^t-p^l'

Зависимость L^ от ’’чужой" переменной ри,^ , его сильную "несимметричность”, а также "неправильную" асимптотику при Д —*0 можно убрать калибровочным преобразованием:

W

^(v)-4(у)\

Получающийся таким образом оператор L^ будет иметь наи-

более простой вид, если сделать еще одну замену переменных р =

=^:/ ч ч?Л *

7М

\-a(k)& ^ е 6rv

■1 1

1Спа иг] £ V Па^т И, наконец, следуя [б] мы перейдем менным Ть и J> :IV J IV1Спа иг] £ V Па^т И, наконец, следуя [б] мы перейдем менным Ть и J> :IV J IV■ n,,W*-f/ ■от ^ к каноническим пере-■ n,,W*-f/ ■от ^ к каноническим пере-

1Спа иг] £ V Па^т И, наконец, следуя [б] мы перейдем менным Ть и J> :

IV J IV

1Спа иг] £ V Па^т И, наконец, следуя [б] мы перейдем менным Ть и J> :

IV J IV

■ n,,W*-f/ ■

от ^ к каноническим пере-

■ n,,W*-f/ ■

от ^ к каноническим пере-

{^ги^тЗ T^itm/’

Для того, чтобы уравнять число начальных и конечных переменных мы определим второй "экземпляр"переменных 1^ (и соответствен

но р и S ):

{^^Иф}^"(^И^М™ ^ИуИФ-н) '

(h"1 =0

1^ tv7 ^1п)

(Здесь и далее ранее введенные переменные ^э р и S мы снабжаем индексом +- ).I (v)-

“оператор L^ получается из

на к м , Подробное обсуждение это- до конца раздела, а сейчас еще одним калибровочным преобразованием [б] добьемся ультралокальности С ?] L - операторов:

о

00Цель достигнута.Цель достигнута.w .

0

0

Цель достигнута.

Цель достигнута.

,,,„ L - операторыпредставляют со

бой два различных безмассовых предела L * оператора модели L Sb Q . Подробному обсуждению этого вопроса посвящен второй

раздел нашей работы. В заключение же первого раздела мы уточним,

в каком смысле построенные модели эквивалентны паре моделей

Вольтерра. Дело в том, что последнее калибровочное преобразова

ние, казалось бы, перемешивает модели, соответствующие перемен™ s; я S-: (L^ S’ I О .

п'. IV I IV > Иф ) '

Тем не менее, следы матриц монодромии 1T~=tf^^IL ^ . -. IL^ ~ 1 (и, значит, интегралы движения) инвариантны"относительно калибровочных преобразований и, следовательно, от "чужих" перемен

ных не зависят:

1 5 + 1 = О

Так что хотя наш подход и требует одновременного существования двух моделей Вольтерра, они так до конца и остаются независимыми.

С другой сторны, как хорошо известно, в конформно инвариантных моделях действует тензорное произведение двух алгебр Вира- соро. С этой точки зрения возникшее у нас раздвоение представляется естественным и удачным.

И, наконец, наше последнее замечание касается граничных условий. Данная работа носит предварительный характер, и поэтому

для простоты мы,считаем граничные условия периодическими для всех переменных.

Безмассовые пределы модели L Sk Ст •

Локальная матрица перехода модели L Sh/Q имеет вид [б] :

Легко убедиться в том, что

если установить следующее соответствие между спектральными параметрами:

си С к) - д г .

L - оператор модели L $к Gt удовлетворяет фундаментальным перестановочным соотношениям с тригонометрической Г - матрицей:

( , (Sh,£),(5к&)( , (Sh,£),(5к&)i = Гг^), Им ® CUi = Гг^), Им ® CUruV)-T\ %цк-^ruV)-T\ %цк-^

( , (Sh,£),(5к&)

( , (Sh,£),(5к&)

i = Гг^), Им ® CU

i = Гг^), Им ® CU

ruV)-T\ %цк-^

ruV)-T\ %цк-^

Отсюда для Ц/ '~ будем иметь:

[ИМПИНК, С(Х)» Пл)] \»

Второе из этих соотношений требует комментария. С учетом того, что

))

)

)

оно может быть переписано в виде

1О^(С(лПН[^И^

На основании последнего соотношения в [б] была сделана попытка развить метод, аналогичный методу R - матрицы. Причины неудачи такой попытки теперь отчетливо прояснились * этим соотношением по существу описываются скобки Пуассона между матричными ' элементами L - операторов "почти” независимых моделей.

В заключение мы убедимся в том, что двухузельный гамильтони- ,, совпа-

^vv . Напомним, что^vv . Напомним, чтодает с исходным гамильтонианом

^vv . Напомним, что

^vv . Напомним, что

двухузельный гамильтониан есть просто логарифм следа матрицы моно дромии в точке вырождения L - оператора:

H=wu det L^x,,) = о Vh,

Мы намеренно упростили ситуацию, допустив, что существует единственная точка вырождения. В нашем случае это не так, ноТ (Ло^ для всех точек вырождения одинаков.

Явное вычисление дает '

И = Eln,ck£(^+^J

Периодические граничные условия позволяют перегруппировать слагаемые в гамильтониане и выразить его в исходных переменных S^ :

Таким образом, Ц = ^^^^S^=--fo Н^ s чем устанавливается окончательное соответствие между моделями.

Подведем итоги. Цепочкой замен переменных

5±* Ри, * ^и, ^rVl^ tv

пара независимых моделей Вольтерра, соответствующих разным направлениям времени:

s±=± ±(s± И

свелась к интегрируемым моделям, представляющим собой безмассо- вые пределы модели Lj Sir* & • Эти пределы соответствуют двум выборам спиральности для безмассовой релятивистской частицы.

Тем самым модель Вольтерра попадает в общий класс моделей, интегрируемых методом R - матрицы. Существующий богатый опыт квантования таких моделей [?] подсказывает пути- для перехода к квантовой формулировке нашей модели. Упомянем в связи с этим следующие достижения: общий формализм построения локальных гамильтонианов [а ] , схема размножения для построения R - матриц старшего спина £9] и ее обобщение на тригонометрический случай [ю] , а также формулировка аналитического анзатца Бете [ll] , £12] . Работа в этом направлении ведется в настоящее время.

Литература

Ie Volterra V. Lemons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie. - Paris; Gauthier-Villars, 1931.

Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980.

Faddeev L.D., Taktajan L.A..Preprint LPTHE 85/26, 1985, p.1-14.

Захаров В.Е., И ушер С.Л., Рубенчик А.М. Письма в ЯЭТФ, 1974, т.19, .с.249.

I s е г g i n A.G., К о г е р i п Ч.Д. Nucl.Phys., 1982, В2О5 FS5 , р.4OI-4I3-

Gervais J.-L. Phys.Lett., 1985, V.160B, p.279-282.

7e Faddeev L.D. Les Houches Lectures 1982, Elsevier Sci Publ., 1984, p.563-608.

. Тахтаджян Л.А., Тарасов B.O., Фаддеев Л.Д. Т», 1983, т.57, » 2, с.163-181.

, К u 1 i в h P.P., Reshetikhin N.Yu., S k 1 у a - n i n E.K. Lett.Math.Phys., 1981, N5, v.5, p.393-403.

.J imho M. Lett.Math.Phys., 1985, v.IO, p.63-69.

H.R e shetikhf'n N.Yu., Lett.Math.Phys., 1983, v.7, p.205-211.,.

.S k 1 у a n i n E.K. Leet.Notes Phys., 1985, v.226, p.I96- -233.

A.Yu.Volkov. A Hamiltonian interpretation of the Volterra model

A new Hamiltonian formulation of the Volterra model originally suggested by L.D.Faddeev and L.A.Takhtajan is presented. Connections with the quantum inverse problem method and conformally invariant field theory are discussed.

А.Г.Изергин, В.Е.Корепин, Н.Ю.Решетихин

КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЙ В ОДНОМЕРНОМ БОЗЕ-ГАЗЕ

Введение

В настоящее время уже не вызывает сомнений, что квантовый метод обратной задачи (КМО£) Щ является наиболее естественной основой для вычисления корреляционных функций в интегрируемых моделях квантовой теории поля и статистической физики в двумерном пространстве-времени [2-б] . Простейшая из них - модель одномерного бозе-газа с точечным парным взаимодействием частиц И. Она эквивалентна квантовополевой теории канонического бозонного поля Ф(х) [8] • Уравнением движения этого поля является нелинейное уравнение Шредингера (НШ). Гамильтониан модели имеет следующий вид^

Н = ( dx(CФх+ сф+ф+фф - ИФ+Ф), Kc>0(I.D

О .

Здесь И - химический потенциал; знак константы взаимодействия соответствует отталкиванию между частицами»

В работах [2-5] была вычислена простейшая с точки зрения №03 корреляционная функция двух токов в этой модели. Настоящая работа посвящена обобщению методов этих работ в двух направлениях: во-первых, в схему.метода включены корреляторы полей ф(л) и ф\х) , во-вторых рассмотрены многополевые корреляторы. Под многополевыми корреляторами мы будем здесь понимать средние от следующего произведения локальных и нелокальных операторов:

ф^О^О,^) ^...^ (Хд.<, ХА),(1'2)

где а=±1,0, 0< х<<... < %N 6 L

<₽eW=1, ф^сх^фсх), 4^*) = ф\х)(1.3)

¥ + '

Ле(Х’^) = ^ж 63СР^ ] Ф<%)Ф<»)^) •d-4)

Регуляризация, использованная в (1.4) приводит к следугацим коммутационным соотношениям

Щ30)^ Wy) =/д(х-,'у) Ф(я)о6 ,(1-5)

^^№^ = №>У V(^ •(1,6)

Там, где это возможно, мы будем использовать обозначения работ [2,3] .

Дальнейшее содержание работы следующее. В разделе 2 описана многоузельная модель необходимая для вычисления средних от операторов вида (1.2). В разделе 3 изучаются форм-факторы этих операторов. Раздел 4 посвящен вычислению средних от операторов (1.2), В следующем разделе дано выражение для многополевых корреляторов (1.2) в термодинамическом пределе, отдельно приведено выражение для коррелятора двух полей.

Авторы благодарны Л.Д.Фаддееву и Н.М. Боголюбову за интересные обсуждения.

Многоузельная обобщенная модель

Многоузельная модель является непосредственным обобщением двухузельной модели, введенной в работе [2] • Ниже дано описание модели и приведены основные формулы, необходимые для построения в дальнейшем представления для корреляционных функций.

Основным объектом в КМОЗ является квантовая матрица монод- ромии (КМЛ). Модели НШ соответствует КММ размера 2x2:

(м

\ СсА) М) / *

Ее матричные элементы А;В,С;^ - операторнозначные функции комплексного спектрального параметра X -удовлетворяют перестановочным соотношениям:

BcX-j^TcX)®!^) = T(jua®T(X)R(X-/),(2»2)

где К -матрица К(Х) = Р+ tc /X - матрица в €^0 Сг ; Р - оператор перестановки: Р£® ^= ^®f; тензорное произведение

в (2.2) относится только к матричной структуре.

В каждой конкретной модели, включая модель НШ, элементы КММ являются операторами, структура которых определяется вспомогательной линейной задачей рассматриваемой модели ■ [l] . Эти one- ' раторы действуют в соответствующем пространстве состояний.

Мы будем по другому интерпретировать КММ. Элементы А, В , С, 2 в (2.1) мы будем рассматривать как образующие некоторой ассоциативной алгебры Л , а (2.2) как соотношения между ними. При такой интерпретации каждая конкретная реализация перестановочных соотношений (2.2) является представлением алгебры X .

Определим сначала одноузельную обобщенную модель. Одноузель- ной обобщенной моделью, следуя [2] мы называем пару, состоящую из

представления алгебры ^ в линейном пространстве X с циклическим вектором |о> и двойственного представления в линейном пространстве X* с циклическим вектора» <0|, при условии,

что <0| 0>=1

А<А)|о>=а<А)10>, ^)(А)|о>=4-(А)1о>, С(А)|о>=о, *з)

^={Б(А1)...В(Ам)1о>} ,/

<о|АсХ)=<о|а-(А), <o|^(A)=<o|d(A), <о|В(А)=О ,.

(2.4)

Х*={<о| ссХр .. C(An)} .*

Существенно, что описанная выше конструкция может быть реализована при произвольных С - числовых функциях Д(А) и d( А) [9] . -

Так как в соотношениях (2.2) Т(Х) определена с точностью до числового множителя параметром представления является ЙА) = =(uX)/(kA) • Мы будем называть {(А) параметром обобщенной модели.

Матрица монодромии модели НШ на интервале ЦО,Ь) описывается обобщенной моделью с t (А) = «хр (- i A L) -

Многоузельная обобщенная модель, (с (А + 1) узлами) по определению, является представлением алгебры ft , реализованным как тензорное произведение (А+О представлений, описанных выше. Матрица монодромии Т(Х) в обобщенной модели есть матричное произведение 2x2 - матриц

(2.5)(2.5)Т<Х) == ТАМ (А) •.. Т01 (А) ,

(2.5)

(2.5)

где T^^+i <Х) - это квантовые матрицы монодромии в представлении, отвечающем одноудельной.модели с параметрами 6^+1 (X) = = (Чй^/А^сХ) • Матричные элементы Т^и (X) обозначим через

A^lX), В^Л^Ъ Сц^сХ), ^i,M <А),. Матричные элемен

ческих векторов | О^ Ц^<0|) • Вектор 10>(<0 |) является циклическим для X (дан X*):ческих векторов | О^ Ц^<0|) • Вектор 10>(<0 |) является циклическим для X (дан X*):ты Т<Х> действуют в %=.<S X: . и в X* ® Xf. . ... Вакуумным вектором |0>(<0|) называется тензорное произведение цикли

ческих векторов | О^ Ц^<0|) • Вектор 10>(<0 |) является циклическим для X (дан X*):

ческих векторов | О^ Ц^<0|) • Вектор 10>(<0 |) является циклическим для X (дан X*):

А<А)|о)=а(А>1о>, S(A)|o>=d(X)lo>, D<X)|o>=o, Х= {B(Xj... B(An)|o>} ■

A*14+1A+1

|o> ® I ox. . diA)= П^сА), жА) = П л-. (A) .

UfниUiU< +l

Как уже отмечалось выше, модели НШ соответствует а(Х)М<А)= = exp(-VXL) . Разбиение КММ на(Д+1) сомножитель выбираем в этой случае в соответствии с разбиением аргументами ха в (1.2) интервала [О,L)на (Аи J отрезков [хй,л4+(), х.= 0,1,

, А. Можно показать, что операторы ф(ха), ф+(х«);

jHg(®a,Xd*i имеют следующие перестановочные соотношения cT^tX)

[Ф(хЛ),Таа+1(Х)] = -vVF[Ф(хЛ),Таа+1(Х)] = -vVFАаа-и tX) ^ла+1^ X)Ааа-и tX) ^ла+1^ X)Dm^M^)]—W?Dm^M^)]—W?ЬоиьЛХ)<^ла+< (А)ЬоиьЛХ)<^ла+< (А)(2.6)(2.7)(2.6)(2.7)

[Ф(хЛ),Таа+1(Х)] = -vVF

[Ф(хЛ),Таа+1(Х)] = -vVF

Ааа-и tX) ^ла+1^ X)

Ааа-и tX) ^ла+1^ X)

Dm^M^)]—W?

Dm^M^)]—W?

ЬоиьЛХ)

<^ла+< (А)

ЬоиьЛХ)

<^ла+< (А)

(2.6)

(2.7)

(2.6)

(2.7)

^^ос ^м) Lc«+ Л X)—^^ос ^м) Lc«+ Л X)—^ом^ ^w+j (Х)е® ^ ^Са^сХ) ^а®+< <А)^ом^ ^w+j (Х)е® ^ ^Са^сХ) ^а®+< <А)AVmAVm(2.8)(2.8)

^^ос ^м) Lc«+ Л X)—

^^ос ^м) Lc«+ Л X)—

^ом^ ^w+j (Х)е® ^ ^Са^сХ) ^а®+< <А)

^ом^ ^w+j (Х)е® ^ ^Са^сХ) ^а®+< <А)

AVm

AVm

(2.8)

(2.8)

Перестановочные соотношения между операторами ф(ха), ф+(х^) /1е(ха, хя+1 )и операторами Т^/ образуют

замкнутую алгебру (подчеркнем, что предполагаются выполненными строгие неравенства хе< хЛ+1 ). Это позволяет определить операторы Ф<хЛ), Ф+(х»), ^(х*^a+f) непосредственно в обобщенной модели, считая что теперь эти операторы действуют в про- етранстве состояний обобщенной модели и удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.5),(1.6),(2.6)-(2.8).

Таким образом, мы определили действие операторов Ф,Ф* ^ в обобщенной модели и можно перейти к вычислению средних значений операторов типа (1.2).

Форм-факторы полей

Далее мы сосредоточимся на вычислении матричных элементов между собственными векторами гамильтониана (I.I).

Хорошо известно [l] , что собственные векторы (и ковекторы) гамильтониана модели НШ имеют следующий вид:

N

| A,... An> = П B(Xi)| 0> ,(зл)

< A,... AN J = < о] Ц c(Av).(3.2)

t=i

Здесь предполагается, что числа Aj, удовлетворяют системе уравнений'

их,) — II М^(3.3)

В обобщенной модели векторы (3.1),(3.2) также имеют смысл (они являются собственными векторами трансфер-матрицы ч^А)= ' = А<Х) + ^<Х)) И мы будем их называть бетевскими векторами.

При этом будет подразумеваться, что выполнена система (3.3), где ЙА) есть теперь‘свободный функциональный параметр обобщенной модели.

Все дальнейшие вычисления будут производиться в рамках обобщенной модели и лишь в конце мы специализируем параметры моделью НШ. При этом подробные выкладки (аналогичные приведенным в [4,5] для двухузельной модели) будут опущены и приводятся только окончательные ответы.-*

Сначала приведем представление векторов (3.1),(3.2) в мно- гоузельной модели, которое играет важнейшую роль в дальнейших вычислениях.-

■ ЛЕММА 3.1. В многоузельной модели векторы (3.1) и (3.2) имеют следующий вид: NАА

П В<Х*)|о>= S П П «„Х1ПЯЙАП П В,Х>1<», <3.4) «=о

н |ACHHXJ > АЙ «=» А„ (К—О

Здесь B<X) = b(X)/d(A), UX)=UX)I4aX), C^i (А) =

~ ^«нФ^ой-А^- Хм^—Х^Х)!^^^, ^^Х,^)=^~~ • Суммирование в (3.4),(3.5) ведется по всевозможным разбиениям множеств [XB^N и[Х°[м на(А+1) непересекакщихся подмножеств.

Следующие важные формулы описывают структуру скалярных произведений векторов (3.4) и (3.5) в рамках одноузельной обобщенной модели:

<о|Пи)фпЦ»- Е п КА^ПИХ").

(3.6)

«Л П mW П КХ®.А”) ?»([А’\,!А“1»)«

ДАС АЯСА« ААВ*

гае {х'ЫХ^-Я , U“i-(AAfMnU\ „Ч.

фикция Z ведена и подробно описана в [ю] , она однозначно определяется тем, что t) убывает по любому аргументу как 1/А , И) симметрична по аргументам; АВ и Ас в отдельности Ыь) при ХВ—^ Х^ имеет следующую структуру сингулярности

4lUBUA\)--^nHXj,x;)<A‘)Z,^^

ТЕОРЕМА 3.1. Однополевые форм-факторы имеют следующий вид:

<ХЛЫ^4>==~^ ПЦ)П d(Acj L

J[HXe Л^^п ЛАЙ®Х°)П ПНХ^ХАС)П П H\^A№v

1№’ А»в А*с АА‘Аав ААВ

KX^^JnJ^MZ^dX^J^plA^J^., ) .

Рассмотрим теперь следующий матричный элемент произведейия (2„2): "'

^Я1^.'!,1^!,-<01^

Используя лемму 3.1 и формулы для скалярных произведений (3.6) и (3.7), можно доказать, что сингулярности J|[ при А?-* Ав( име^рт следующий вид:

х П^^дА*) П^ ^и (^ )П 5 (Ар А ।) f (А®, А®)х

(3.9)(3.9)х-^-|ИБ-1^А }N ([A )н-Р^аМ^»»+3) 1 W(ly(A®) •

(3.9)

(3.9)

Здесь функция Д в правой части не содержит аргументов А® и А, , а модификация HKrdj.cAp сводится к изменению параметров ^tlA): ^(Л^Хр^^^Л^ ПРИ **Т и V^^’IwhLiX,)” ^rrtf^’/^A® )/t(A® р). ■

Введем функции 5^*'®’® \{АС[ | А®$) по следующим формулам:

^e'Mi(lx‘UA,j„)- s ПП мУ)ПII1ЯX”^,,).

IfywVWV * ^

(3.10)

^Ш лА )=_^ 5£ ^п ^ х

н " i^^^iX^’Ul^ 1

х«хр(0МАВ* бЧ^Л '^|/Ц-* 1 П^,ЙПЛ«Л (3.12)

^ S« 5,А“ *“’3.9- f»“ -уихх).

Далее, используя формулу (3.9), теорему 3.1 и рассуждения аналогичные содержащимся в [2,4] можно доказать, что справедлива'

ТЕОРЕМА 3.2.гФорм-факторы оператора (1.2) выражаются через функции F1®’®’ ' по следующей формуле:.

.п^-WM^^^(3.I3)

*П IT^«-Хд,)П €л(.X®) П<t(X)IT d/tAB) d^c>N ^ a^ ,-

где ^y(X) = Д^Д).,

. Заметим, что функции ^^^ > при специальных значениях

0А имеют ясный физический смысл. Именно, J"^*0,0} равны формфакторам полей Ц>±1(0), а "^~ ^^^’^^-q есть форм-фактор

тока; функция дзМ.6'> была впервые введена в 2,4 и обозначалась там через ^6-® .

Корреляторы полей

В отличие от предыдущего раздела, где предполагалось что X® =^ Х^ , в этом разделе мы будем изучать средние значения от операторов вида (1.2) по состояниям (3.1) и (3.2), т.е. полагаем А| = Х* = XjN) . Сначала введем следующие

функции 6. :'

WHHWU^ })=? П M(q> (tX^)) к

Ш-ulxj^

х=0

(4.1)(4.1)«П П П П 4тНл Р ТГ^гГ 6'6,"г -

(4.1)

(4.1)

i ^ ^(^(А)) .i ^ ^(^(А)) .где ^^“(Ч^А’* I

i ^ ^(^(А)) .

i ^ ^(^(А)) .

K(X’^)=7x^W ’ W^’

ТЕОРЕМА 4.1. Имеет место следующее представление для средних от операторов (1.2)-

Ан

<1АЦ n^tx^toc^illA^-^^^ a(X|)d(Ap *

> Е П nt.tX^rit;'^;)^ (ix'm-iws)»(4.2)

IXiH-lX^ulX'!,., Х-.

{FJs4uUtl«W»J

x6ax,lU"iU“!t»..„!).

3333Заказ 359

33

33

Чтобы определить функции ^к , введем сначала неприводимую часть среднего значения (4.2) следующим образом

Х^им^) = ^W «А^А^ПЛф СМХ

^6/^м )| А-= Ар £>1^,^^'

(эта формула вполне аналогична формуле (5.6) работы [2] ). "Коэффициенты Фурье" Лк неприводимой части теперь мотут быть определены как структурные коэффициенты в разложении неприводимой части IN по.параметрам обобщенной модели:

IN(WN,1U)= Е Л^ЧОЛ) <

Шн-аВДи^МА’}

а(4.3)

х П ^Х*) ^ <АЛ) . а=01

Это представление, определяющее величины Лк однозначно, аналогично формуле (6.8) в [2] .

Доказательство теоремы 4.1 довольно длинное и громоздкое и поэтому мы его не приводим. Оно совершенно аналогично вычислению средних от токов из работ [3»5j и основано на использовании формул предыдущего раздела.

Перейдем теперь к описанию корреляторов в термодинамическом пределе. Этот предел соответствует L—w, N -—м при фиксированием j>= N/L . Числа Aj в этом пределе заполняют интервал (-^, <^.) с плотностью j>(A) . Уравнения для /(А) и подробное описание термодинамического предела можно найти в работах [1-7] . При доказательстве теоремы 4.1 термодинамический предел в (4.2) осуществляется практически так же, как и в случае коррелятора двух токов. После некоторых вычислений не очень

сложно получить доказательство следующей теоремы.

опера-опера-хх(4.4)(4.4)ТЕОРЕМА 4.2. В термодинамическом пределе среднее от тора (1.2) по основному состоянию имеет следующий вид:

опера-

опера-

х

х

(4.4)

(4.4)

■Чтг!-) п^г1 2. Аюти

4=0

«Ек«ед1»м.<)ЛХ*НУ),

где ^к- коэффициенты Фурье неприводимых частей (3.14), со<А)= ^^(-^{^(Х,^)^), а функция Ек определяется через решение нелинейных интегральных уравнений^_

ЕММ^!ШП-Похр( j х^р^ДАЖ^<4-»

^р^)=п ^?*’^! ^(ufKtM'Mti-i<4-б>

a?y JtA^^^hA*) 1 ^

Формулы (4.4)-(4.6) написаны для обобщенной модели в термодинамическом пределе [3,5j . В модели НШ «/ам=ха- я>(<,+1 ? •(„((А)—мсрЩ^А) .•'

Коррелятор двух полей ,

Остановимся более подробно на корреляторе двух полей:Остановимся более подробно на корреляторе двух полей:с»„<Д| 9’101 »<»1|Д>с»„<Д| 9’101 »<»1|Д>ицХ£)ЛА£ицХ£)ЛА£Н *t<Н *t<X(5.1)X(5.1)

Остановимся более подробно на корреляторе двух полей:

Остановимся более подробно на корреляторе двух полей:

с»„<Д| 9’101 »<»1|Д>

с»„<Д| 9’101 »<»1|Д>

ицХ£)ЛА£

ицХ£)ЛА£

Н *t<

Н *t<

X

(5.1)

X

(5.1)

Здесь Ри^> - решение нелинейного интегрального уравнения

Мера акХ) определена выше.

Функции ^к определяются' по неприводимым частям коррелятора двух полей. Приведем выражения для нескольких первых неприводимых частей:

I^A^ — gI,,(5.3)

1АЛ>—,(5.4)

^(ЛоЛ^Аз) сг^^ узг^44w(5.5)

$3,1 fat А№АО А^ А^+о^ . Af-j, А<81

+ ^цикл. перестановки (А^А^Дз)] .

Э1есь )„-}<Х.А,1-Д- , fK{-«A„Ae>, <к-

■{(К^.Можно доказать, что при &—-оо выражение (5.1) приводит к

хорошо известной формуле Ленарда £llj для коррелятора в модели непроницаемого бозе-газа*

.Литература

Фаддеев Л.Д, В кн.: Проблемы квантовой теории поля (Труды У Международного совещания по нелокальным теориям поля). Дубна, 1979, с.249-299..

И з е р г и н А.Г., К о р е п и н В.Е. Зап.науч.семин. ЛОМИ, 1984, т.133, с.92-112.

Корепин В.Е. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1984, т.133, с.133145.

I z ergin A.G., К or е р in V.E. Commun. Math. Phys •, 1984, v.94, p.67-92.,

Korepin V.E. Commun.Math.Phys., 1984^ v.94, p.93-113.

Creamer D.B., Thacker H.B., Wilkins on D. Preprint PERMILAB-Pub-85/51-Т, PNAL, 1985.

L i e b E.H., L i n i g e r W. Phys.Rev., 1963, v.130, p.1605-1624.'

Березин Ф.А., П о x и л Г.П., Финкельберг В.М. Вести.МГУ.Сер.I,Математика,механика,1964,^1, с.21-28.

Корепин В.Е. Докл.АН СССР, 1982, т.265, с.1361-1364.

К о г е р i n V.E. Commun.Math.Phys., 1982, v.86, р.391-418.

Lenard А. Journ.Math.Phys., 1966, v.7, р.1268-1272.

A.G.Izergin, V.E.Korepin, N.Yu.Reshetikhin. Field carrelation

functions for the one-dimensional Bose gas.

Many-point correlation functions for the one-dimensional Bose gas are calculated. As well as the current correlation functions calculated earlier, they are expressed through the irreducible parts of the formfactors and the solutions to certain nonlinear integral equations.

В.С.Капитонов

ЛОКАЛИЗОВАННАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И ТАММОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ

Рассматривается зависимость температур! перехода в состояние локализованной сверхпроводимости (ЛС) от наличия таммов- ских состояний для двух систем: I) бесконечный металл с плоским дефектом; 2) поверхность металла, занимающего полупространство.

" Показано, что наличие таммовских состояний приводит к по

явлению локализованной вблизи плоскости дефекта сверхпроводимости с температурой перехода То > Тсо ( Тсо - критическая температура для однородного металла). Относительное изменение темпера

туры мало и равно для системы I:

'со'со^1^ р., W^1^ р., W(I.I)^(I.I)^

'со

'со

^1^ р., W

^1^ р., W

(I.I)^

(I.I)^

где &0 ,6Р - соответственно энергия связанного состояния и энергия Ферми, ^^^/iclco - длина когерентности, ^ - число порядка единицы. Для системы 2 в формуле (I.I) следует заменить

. Отметим, что в дан-. Отметим, что в дан-поверхностный потенциал имеетповерхностный потенциал имеет«^■f^ —- Т + ^^^Kl/6 ном случае даже в пределе 6,—^ О

. Отметим, что в дан-

. Отметим, что в дан-

поверхностный потенциал имеет

поверхностный потенциал имеет

притягивающую часть (в сиду специфики модели, обсуждаемой в разделе 2). Если притягивающий потенциал для системы 2 отсутствует, то в согласии с результатами Андрианова и Попова [l] установлено, что при Т>ТЮ Ж отсутствует.

Экспериментально явление ЛС - повышение температуры сверхпроводящего перехода вблизи плоскости двойникования было обнаружено и изучено в серии работ Хайкина и Хлюстикова [2] . Уже в их первой работе было высказано предположение о возможном влиянии таммовских уровней на данное явление.

Теоретически вопрос о сверхпроводимости при наличии поверхностных уровней впервые рассматривался в работе Гинзбурга и Кирж- ница [з] , где качественно обсуждались различные стороны проблемы. В уже упоминавшейся работе [l] было показано, что для модели металла, где поверхность моделируется бесконечным потенциаль-

*)Используется система единиц с "k= k=?m=1 , где к - постоянная Планка, к - постоянная Больцмана, ж - масса ферми-частицы.

ным барьером без притяжения, повышения Тс йе происходит, а для поверхностного потенциала, имеющего притягивающую часть с энергией связи Е^-Е-р Тс повышается. Кроле того в работе [l] было высказано предположение, что увеличение Тс происходит всегда, когда поверхностный потенциал имеет хотя бы один дискретный уровень. В настоящей работе это предположение доказано для модельной системы.■

После экспериментов Хайкина и Хлюстикова были предложены теоретические объяснения ЛС в работах Набутовского и Шапиро [4]; Аверина, Бу едина, Булаевского [б] ; Бурмистрова и Дубовского [б]. Влияние таммовских уровней учитывалось лишь в работе [4] , но в этой работе не конкретизировался потенциал дефекта и не учитывалось искажение волновых функций объемных электронов, что проделано в настоящей работе. В работах [4-6] в соответствии с экспериментальными результатами [2] предполагается, что характерный масштаб ЛС много больше длины когерентности |0 . Это позволяет для определения Тс перейти от уравнений Горькова к уравнению Гинзбурга - Ландау. В нашей работе также используется это предположение. Влияние поверхности металла на Тс в работах [4-6] не обсуждалось.

В п.2 конкретизируются модели для плоского дефекта и поверхности металла, вычисляются гриновские функции для каждой из этих систем. В п.З соответствующие уравнения Горькова сводятся к дифференциальным уравнениям Гинзбурга - Ландау, из решений которых определяются температуры перехода. В п.4 анализируются полученные результаты.

*2. Рассмотрим вначале модель для плоского дефекта в беско

нечном металле. Одноэлектронные волновые функции находятся из уравнения Шредингера

(v4 E-u-(x) + bp^tx,^ г) = 0 ,(2.1)

где и(х) - потенциал дефекта, расположенного в плоскости х=0 , дается формулой

U(X)=) и ’ I - ^о,U(X)=) и ’ I - ^о,| х j > а/2- ; |х|< мг •| х j > а/2- ; |х|< мг •(2.2)(2.2)Решение ищем в видеф(х,^,%) = ^(xje^"’-? .Решение ищем в видеф(х,^,%) = ^(xje^"’-? .Тогда для <р(Х)Ах1'Тогда для <р(Х)Ах1'получим уравнение+(s-u(x))9(x) = Ополучим уравнение+(s-u(x))9(x) = О(2.3)(2.4)(2.3)(2.4)

U(X)=) и ’ I - ^о,

U(X)=) и ’ I - ^о,

| х j > а/2- ; |х|< мг •

| х j > а/2- ; |х|< мг •

(2.2)

(2.2)

Решение ищем в виде

ф(х,^,%) = ^(xje^"’-? .

Решение ищем в виде

ф(х,^,%) = ^(xje^"’-? .

Тогда для <р(Х)

Ах1'

Тогда для <р(Х)

Ах1'

получим уравнение

+(s-u(x))9(x) = О

получим уравнение

+(s-u(x))9(x) = О

(2.3)

(2.4)

(2.3)

(2.4)

где 6= Е-"К|*+ 6р

■ Для энергий b^J-Ug, оЕ возможны связанные состояния двух типов - четные и нечетные по х . Полагая &=-рг , обозначим к*=и0- р* . Тогда для волновых функций четных состояний ip+W и нечетных <Р"(х) получим решения

„+( А»*кх, |х|<а/2/;

V (х)={ .'

( A^opt-pixl), |x|>o/fr;

(2.5)

I

Aiwkx, 1х|< «//Я; . л

^wxA^xpt-pixi), 1х|>л/Л.

Дисперсионные уравнения получаются из условий совместности в точках x = t&l^ . Обозначая § = кд/1-, получим для четных со

стояний

—,<2.6)

а для нечетных *

£^=ИчаН-$<(2.7)

Эти уравнения удобно, следуя Тамму [?] , решать графически: рис.1 - четные состояния (уравнение (2.6)), рис.2 - нечетные состояния (уравнение (2.7)).

Ясно, что для значений "4U, 0^/4 < %/Z, существует един

ственное - четное состояние с отрицательной энергией. Мы рассмотрим такое решение в пределе ue—*-+°° , Л—*-+ 0, при условии,

что энергия рг остается конечной

P4=-^-(We #1** - ^) —^ G4 .(2.8)

Для этого достаточно положить

w,-= Uk + оЧ 0(4) ,(2.9)

и после предельного перехода а-*+0 для энергии связи а, нахо

дим бе = -р =-с .

С учетом нормировки для волновой функции связанного состояния получим

<Pt(x)= VTec|xl .(2.10)

Для волновых функций непрерывного спектра получаются выражения

•^<*)= з[Г>к(р1х1-а^а4-),'

р7(2.II)

^(Х)= VT ьшрх .

Волновые функции (2,10) и (2.II) удовлетворяют условиям ортогональности, нормировки и полноты

too-КХ)'

■j^(X)dx=1, j Cpe(X)^(X)^=O,

-СО-00

j Vp(x)^(x)dx== Ir^fcp-q)',, ■

Ч<Х)^НЕ j ^AX)^) = d(X-^ .(2.12)

Спектр исходного уравнения Шредингера (2.1) определяется формулами .

.Е(рЛ)= pMJ-р‘ .(2.13)

Функцию Грина электрона из энергетического слоя порядка со^ вблизи энергии Ферни еР удобно взять в смешанна» координатно-импульсном представлении

^р ч>;»|ф₽ч>-м^«>чру> (2Л4)

Ibp^Ku»^.

Рассмотрим теперь две модели для поверхности металла. Если поверхность моделируется бесконечным барьерах

то связанных состояний нет и решения уравнения Шредингера (2.1) имеют вид

ф(х,н,»)= (P-txie**"^ , ■ ' р(2.16)

. Фр(х)=Ын.рх ..

Соответственно, условия нормировки и полноты можно написать так +«

'j 4>р(х)^(х)<1х~ W(p-^b

о

I 1!г%ш v<p “ ^"V •(2.17)

Спектр дается формулой

Etp.^i-p^^-p;.(где)

функция Грина имеет вид

•,2Л9>

lEtp^k^

Если поверхность моделируется бесконечным барьером с притяжением

!

+оо , х<0 ,

-ud , 0<х< а,,(2.20)

О , х>л,

то возможны связанные состояния. Из условия существования единственного связанного состояния получим неравенство■

'^<<иП£< -|-Т .(2.21)

Переходя к пределу о,—*-+0, «у—*-*00 , при условии бе= - сЛ,

0/^Щ “'f"+ ^/^t >(2.22)

получим набор одноэлектронных функций

^0(Х)=-Яо-& СХ , (Pp(x)=2sw(pX-(Vl-C^|-) .(2.23)

Функции (2.23) удовлетворяют условиям нормировки и полноты +w-к»'

jv^(x)*x = 1,J 4)0(х)9р(х)1х=О,

Оо

+ 00.

^^•«Fj ^VX) W”*^"^ •(2.24)

о

Спектр уравнения Шредингера (2.1) дается формулами (2.13). функция Грина электрона в слое имеет вид

(2.25)(2.25)=3WW+ ( jttJ^w^M ко-Едкц) *^ ш-Ес^)

(2.25)

(2.25)

IBp^kw»

Отметим здесь, что в результате предельного перехода G—*- + 0 функция Грина (2.25) не переходит в функцию (2.19). Это обусловлено тем, что условие (2.21) выполняется при любом значении энергии связи se . Этим ситуация для поверхности металла в нашей модели существенно отличается от плоского дефекта в неограниченно» металле, поскольку при о—^+0 функция Грина (2.14) переходит в функцию Грина однородного металла.

Как уже отмечалось во введении, для ЛС характерная длина много больше длины когерентности £в , поэтому от уравнения Горькова можно перейти к уравнению Гинзбурга - Ландау. Такой прием использовался при изучении ЛС в работах Г4,бД . Для плоского дефекта в неограниченном металле он заключается в следующем. В уравнении Горькова для температуры сверхпроводящего перехода .

д<х) = ^ М(Т; х,у)Д(^) ^ ,(з.г)

где ^ - константа взаимодействия, а ядро равно

CV(T; Х,^)= Т Е j-^ G-«^^|)6 ш«х^гки) •(3.2)

Ядро Х(Т; х,^) мало отличается от однородного сверхпроводящего ядра К(Т; X-U) для|х|»^0или|у|»£0 . Поэтому, ес

ли вычесть из омих частей уравнения (3.1) выражение

| j К(Т;х-^)д<у.)<1^,(3ф3)

то в получившемся уравнении

-ЮО+ 00

Д(х)-^ К(Т;х-^)Дф(1^^{ [X(T;x,^)-K(T;X-^(^)d^(3.4)

-и-м

в правой части можно д<у) заменить на Д(0) , а в левой части д(1р разложить в ряд Тейлора

Му ^ Д(х) + (у.-х)ДЛ(Х) + -^^ д^х) .(3.5)

Используя определение температуры сверхпроводящего перехода для однородного металла Тсо + оо■

4= у j К(ТС0; х-у) dy ,(3.6)

получим при | Х|>?^0 дифференциальное уравнение для Д(х) вида

где *У=1^(3)/12, , ^(3) - дзета-функция Римана,

i(x)= j [Х(Т; х,у-К(Т;х-у)] 4-^.(3.8)

-о»-

В левой части уравнения (3.7) мы воспользовались свойствами однородного сверхпроводящего ядра

-СО-<Дд1

j № х-у ^~ ^ = "^ ^5о •(3.9)

— 00

Переходя в уравнении (3.7) к фурье-образам, получим

<ЗЛ0)

где fc(T) = ^.•(^/т)1Л .'

Поскольку функция 1(х) быстро убывает при |х|»£0 , а нас интересуют значения^ Д(х) щэи |х|»|е, то в формуле

можно заменить ^(р) на ^,(0) . В результате для Д(х) получим формулу

Д(«)-4л<о>-^1<о|-5$-е-|,|/бт .<3-Ш

рр 1^

Полагая в (3.II) х— 0 , найдем уравнение для температуры перехода в состояние ЛО

=T^r M№* ’ '=T^r M№* ’ '(3.12)(3.12)

=T^r M№* ’ '

=T^r M№* ’ '

(3.12)

(3.12)

(3.13)(3.13)Формула (3.12) дает условие существования ЛС, а именно, правая часть должна быть положительна, т.е.

(3.13)

(3.13)

6(0) О .

Последнее неравенство имеет простой физический смысл: наличие дефекта приводит к увеличению плотности состояний электронов с энергиями в узком слое вблизи энергии Ферми. Действительно,

1Е.<киЯ<и^ '

+ т £ (_^д_ f ^Р ^р (xi+^p (х)

W ^ано* J и (А Е*(р,"ки)'(3.14)

1Е(р,км)1<а)<

Здесь мы воспользовались ортогональностью волновых функций (2.12). Суммирование по фермиевским частотам выполняется с помощью формулы

Т 5'(ЗЛ5)

Ограничения на энергию в (3.14) можно снять с помощью дельта функции.

i 4Ь!<-йЬШ ^Е,^|Мй- (3-16’ |Е(рХи)к«я". -1Йа

В результате (3.14) можно записать в виде

) 7С(Трх^)^ = J dt —^ N(M) ,(3.17)

-«-К),

где'через Ы(6,Х) обозначена плотность состояний с энергией б в точке х :

Н<Ь,Х1— S-^^-E.fl?»*.») +

Поскольку толщина энергетического слоя W^ много меньше 6^ , то N(6.,X) ^ Н(О,х) , здесь N(0,x) - плотность состояний на поверхности Ферми в точке х . В свою очередь интеграл по

-у. от однородного ядра, согласно формуле (3.9) равен

((3.19)

U

где N0==Pp/'^r*' - плотность состояний на поверхности Ферми для однородного металла. Тогда условие (3.13) равносильно следукще-

j [N(0,x)-Ne3dx>0 .(3.20)

- ОО

Неравенство (3.20) и означает, что необходимым.и достаточным условием существования ЛС является увеличение плотности состояний электронов на поверхности Ферми.

Приведем результаты для конкретный моделей. Однородный металл с плоским дефектом (выкладки приведены в приложении)

i(0) = ^.(3.21)

Отсюда следует формула (I.I) для Тс . При G—> + 0, ^(0) —^0, к ‘со ’

Для модели с поверхностным потенциалом (2.15) уравнение Горькова отличается от (3.1) тем, что интегрирование по пространственной переменной выполняется по полуоси, поэтому, чтобы воспользоваться общим методом, следует вначале преобразовать уравнение Горькова. Конкретно от уравнения ±о»

Д(Х) = j ^(Т-,Х,у)Дф^(3.22)

О

перейдем к следующему

±00

Д(Х)=А j Xf(T; |Х|,|^|)А(^)^.(3.231

м

Далее дословно повторяя все рассуждения получим tw ±00

1,(0)= j Як jty[^(T;|x|,|y|H^

— оо -00

„--г/г ["’Шт). _

—) й~ ^<0 •(3.24)

-w4

Последнее неравенство означает, что явление ЛС отсутствует.

Для модели с потенциалом (2.20) и системой собственных функций (2.23) получим 1+ 00 +ео

£(0)=j Ах j Ау[1^1хМ»1)-К(Т;х-у)]==

-00 -со ,

г ir я t М 1 f8 ^^T ) j .

— LT+^fy P|iJ j и ^£>0.(3<25)

Следовательно, ЛС существует при сколь угодно далой энергии связи, а соответствующая температура перехода дается формулой (Т -Т )/Т = 2L(5/Hl?!^4^^(3.26)

U° 'со)/ 'со ч^\^. pF™ Т7со ) •

Полученные результаты позволяют утверждать, что решающим условием существования ЛС является увеличение плотности состояний электронов на поверхности Ферми. Более точно, интеграл от разности N(O,x)~No по х должен быть положителен, где

N (0, к) - плотность состояний на поверхности Ферми для рассматриваемой системы, a No - плотность состояний на поверхности Ферми для однородного металла. Для рассмотренных выше моделей это условие выполняется, если потенциал плоского дефекта или поверхности металла допускает существование связанного состояния. Качественно наши результаты согласуются с полученными в работах ^4,5,6] ..Сравнение с экспериментом выполнить трудно, т.к. в работах [2J не изучался потенциал дефекта и не проверялось наличие связанных состояний.

Автор благодарен В.Н.Попову и В.А.Андрианову за обсуящения постановки задачи..

Приложение

Вычисление 4(0) . ^4-00+00

^(о)= j dx j dy {JUT; х,^)-К(Т; х-у)] =

(П.1)(П.1)—00-00^00

(П.1)

(П.1)

-й)я-W-U)a

+ 00Рр,

• 1 Ч« <(M*j^ ! Ар< V^cx,, ^х»-^] .

— ООо *1

Используя формулу ДЛЯ Ч^(Х)+^ДХ)'

^W* ^W= &-U(pHW&p|x| + Gco5Zp|x|)/(pVc*) = coi>p(!l,|x|-t) ,(П.2)

выполним интегрирование по р во втором слагаемом в квадратных скобках

?F+06,

j (tp(Ax) + <^\xO^pp-U ( #e^ ^„^'t - •(П.З)

Постоянные слагаемые в квадратных скобках сокращаются и в результате получаем для i(0)

— w tiF J ^ (j й ^)^—

=M^(G/pp).(пл)

Для ^(0) и йг(0) следует обратить внимание только на одну деталь - волновые функции (2.16) и (2.23) удовлетворяют соотношениям нормировки на полуоси, поэтому

-|S ^pOxDtp^axixtx = j ^(хКр^юй —^^р-^),<п-5>

т.е. интегрирование по. у в выражениях для ^(0) и ^(0) легко выполняется, а дальнейшие выкладки аналогичны вышеприведенным.

Литература

А н д р и а н о в В.А., Попов В.Н. - Вестник ЛГУ, 1981 №10, с.6-11.

X айк и н ' М.С., Хлястиков И.Н. - Письма в ЖЭТФ, 1981, т.33, с.167; 1981, т.34, с.207-211; 1982, т.36, с.132-135, 1983, т.38, с.191-194.

Гинзбург В.Л., К и р ж н и ц Д.А. - ЖЭТФ, 1964, т.46, с.397.

Набутовский В.М., Шапиро Б.Я. - ЖЭТФ, 1983, т.84, с.422-431.

А верин В.В., Бу здин А.И., Булаевский Л.Н. - ЖЭТФ, 1983, т.84, с.737-748.

Бурмистров С.Н., Дубовский Л.Б. - ФТТ, 1984, т.26, с.1719-1724.'.

Т а м м И.Е. Собрание научных трудов, т.1. - М. ^ Наука, 1975, с.216.

А.АеКотсиолис, А.П.Осколков

О РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ОЛДРОЙТА НА (О,о») И ПОВЕДЕНИИ ЕЕ

РЕШЕНИЙ ПН! t-*+oo

Жидкостью Олдройта (точнее говоря, жидкостью Олдройта порядка 1=1 ) называется линейная вязкоупругая жидкость, определяющее уравнение которой, связывающее девиатор напряжений 6* и тензор скоростей деформаций 9 , имеет вид [l] - [2] :

Г+А-^—М+Цх-^- , A,V,*>0, О-жА^уО .(I)

В. работах А.П.Осколкова [з] - [?] показано, что движение жидкости Олдройта может быть описано системой дифференциальных уравнений.

Ц!г)=^- + 1ГК^—jHAir-Au+ ymdp=i, r=a^-+fw, dwir-0,

ja=»A~*, a=A(V-ju,)-"*, ^(v-^)"1.

Основная начально-краевая задача для системы (2) заключается в решении (2) в QT= Л*(0,Т), Д«ЕИ', it=4,3, 0<Т«оо , начально-краевых условиях

^w uLo=^ ^“Ча^0-(3)

В работах А.П.Осколкова [з] - [?] доказана однозначная классическая разрешимость начально-краевой задачи (2)-(3) в целом при VT<w , если ЙЬ -двумерная ограниченная область, и в малом, если ЛеЕ3 . В настоящей работе мы доказываем однозначную классическую разрешимость начально-краевой задачи (2),(3) приЛбЕг в целом на (0, со) и показываем, что при определенных условиях на данные.задачи решение задачи (2),(3) стремится при t—+- + « к решению V* начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса: bV^^+ir^-j^-vM^+a-iodp*=5, 4-wir=0; /I = ireix) v*L = O. (4) du dxK •*u-o 'wy -

ТЕОРЕМА I. Пусть выполнены условия: Д- двумерная ограниченная область; Зл«С^; д/х^&^ЛжНшнК^йекооСО/Г; Са(Л))л

Lt(QT);^е^сйу); 0«1<1; 0<Т<оэ.Тогда начально-краевая задача (2),(3) имеет единственное решение (ir,u,p) такое, что:

v(x,t)eWi(OJ;С ЩМЛЛ))ПL^Oj;C^UiMHOL)), ^-e^QT ); uix,t)GWro(O,T;G^nJtSJjnW^OJ;C^^nHow), ^-eL^);

px(X,t)eL6O<0,T; Сл(Л)) , и Для него имеет место оценка:

+ М<(0,Т;С^№))+ II ^ L„<oj;cW+l T^L,qt+

^l^L^to.T^C^JL))^^^ll13*^ ; ^l^oj^W Mua/ ^*^’ (5) причем постоянная С, не зависит явно от Т , 0<Т«со.

Как и при доказательстве разрешимости начально-краевой задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса [8] , для доказательства теоремы I достаточно получить для решений задачи (2),(3) равномерные псгО<Т^оо оценки:

х ГО,Т]4 ^А 11 X"W* rmMt л ^,QT

^М^аЧК^Ч^гд.атЭМ^.дт^<6>

^Мл^к-СЧЧ^^^Мзд^ (7>

Я^1*л+Ми1х1Ч«к,хЧх1[к'«.М^^^ "kl^^g^”?^^l)+2A^ Ек^’^Ч^кЧст! ^f^A^1^- ^

С помощью оценок (6)-(8) методом Галеркина доказывается (ср. [8] , [з]-[б]), что задача (2),(3) имеет единственное обобщенное решение (v,u) в смысле О.А.Ладыженской ( [8] , [з]-[б]), а после этого с помощью теорем вложения С .Л .Соболева и теорем о классической разрешимости соответствующей линеаризованной задачи [з]-[б] теорема I доказывается в полном объеме.

Оценки (6)-(8) получаются из равенств

f ^^C^^KiU^^b'iw^^Cr^' °’vr’‘9)

49494 Заказ 359

49

49

которые, в свою очередь, получаются соответственно из равенств

j к^’^х^^гЛх, j L^dD-iZj.dx = j f^dx, O^t^T . (II)

В самом деле, из равенства (9) имеем прежде всего неравенство:

Т1т! ^^^^xJ^^lH(J (Лаф^х/* tsO, (12)

из которого следует нервенство:

t7;^]U^/«l»^.),,^■<13)

Далее, из равенства (9) следует неравенство

« тНКv *l*‘ I1A> **liA*liA*U,( I"'“W*(14)

из которого, используя (13), мы и получим оценку (6).

в ра-в ра-далее, используя' для оценки интеграла J= j vtK ^^ dx венстве (10) теорему вложения ( [8] , гл.1)к

в ра-

в ра-

iw^ma^x.,.,.(15)

получим неравенство (ср. [б] , гл.У1):

•ИЦЫ^/!^^ (MsT ;(16)

после этого из равенства (10) для^\1)=| (v|+ W^lcLx получим неравенство:At

^^WWy^T^V^xl^^ O^t^T ,(17)

из которого с помощью леммы Гронуолла ( [8], гл.У1) и оценки (6) получаем оценку (7).-

Наконец, из равенства (10) с помощью неравенства (16) полу

чим неравенство;ч

лЫ^М^Ха/^^'Сл !р;ХА^

(18)(18)i*-11 hf • Ikt L л ^ >" {^*4 ° т ^А

(18)

(18)

из которого с помощью оценок (6) и (7) подучаем оценку (8).

Подчеркнем еще раз, что постоянные в оценках (6)-(8), а потому и постоянная С( в вытекающей из (6)-(8) оценке (5), не зависят явно от Ts о» .

ТЕОРЖА 2. Цусть в начально-краевой задаче (2),(3) для уравнений движения жидкости Олдройта и начально-краевой задаче (4) для уравнений Навье-Стокса область Л , ее граница 0JL , начальное условие V, (х) и свободный член f(x,t) удовлетворяют условиям теоремы I приТ= со и пусть, кроме того, выполнены следующие дополнительные условия:

г-'С> <4 [(ХЧ^^Ы^*». ««Г"* - W) причем Сд - постоянная из неравенства Фридрихса [8]•

М^^М^ , VveW^W.(20)

Тогда приt—^+оо разность ш(х,й = v- V* решений начально-краевых задач (2),(3) и (4) стремится к нулю в следующем смысле:

64«i ,(2D

причем постоянная С^ определяется только описанными выше данными задач (2),(3) и (4).

В самом деле, легко видеть, что цдх.й удовлетворяет уравнению

L^^^-vaw+i/^x + ij^wK-^divw=0, (22)

из которого для ш получается неравенство (ср.Ы, гл.УТ):

Из равенств j LWvdx—j^fir^x, j^L^v^x—j^fZdx , при условиях (19) аналогично оценке (13) получим оценки (ср.также [8], гл.У1):-

ий^ьС»11 г^»)«рнФ). (25>

Далее, из равенств ^^^Лх^^^Лх, ^^(/^“^Нх при условиях (19) аналогично оценке (7) получаются^ оценки (ср. также [8] ):„

(и Q *.Q <i №° иИ'М^ a<w^%>

в которое функции A<t) и A (t) определяются описанными выше данными задач (2),(3) и (4) ив силу наложенных на эти данные условий (19) заведомо удовлетворяют условиям ^хр[(^С^-(Г)1]А(|^ j A*<t)езерQvC^- fit] (Й <м .*

Наконец, из равенства j L(V)trdx=j /irdx следует неравенство:^Ч

ЬСч^’^Сн^+ ЫмЛ ^^^ • (28)

■ После этого оценка (21) следует из неравенств (23),(28) и оценок (24)-(27).

Литература

О 1 d г о у d J.G. Proc.Roy.Soc.(London),1950, A200,p.523-541.

Олдройт Дж.Г. - В сб.: Реология. Теория и приложения. М., 1962, р.757-793.

Осколков А.П. Препринт Л№ Р-2-80, Л., 1980, 39 с.

О с к о лк о в А.П. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1983, т.159, с.101-131.

Осколков А.П. Препринт ЛОМИ Р-2-83, Л., 1983, 65 с.

Осколков А.П. Автореф.докт.дисс., Л., 1983, 32 с.

Осколков А.П. В кн.: Вопр. динам, теории распростр. сейсм.волн. ХХУП, Л., 1986, с.124-142.

Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М., 1970 г.*

ПеПеКулиш, Ф.А»Смирнов

УРАВНЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ ВОЛН

Введение

Квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) позволил точно решить многие квантовые динамические системы [l-4] , которые интегрируются методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) в классической теории [5] .

Простейшей классической системой с линейным фазовым пространством и нетривиальной динамикой солитонов (наличие слияния и распада) является система трех волн [б]-

ЦЧ + ^аМ <|а=е^<}3,(I)

4VU) <^а - ес^д<^а.

Вспомогательная линейная задача для уравнений (I) - матричная система 3x3 первого порядка

-1ЭхТ^хД) —(ХВ+О,)Т(»Д) - 1(хД)Т(хД)

(2)

D = Жд^а^о^аз), 0/1>aa>a3 , Imvx^O ,

где (вц)а| =^<,0/ ^t ” б8-3110™6 матрицы 3x3 и использованы обозначения <}и -^ , ^14 = ^3, ^га = ^а > Pq = ^ij ; ^ij = = CL;-O/j .В терминах параметров линейной задачи (2) и участвующих во втором операторе пары Лакса параметров 6А ? 6г 2 Ьа 5

и заряд 6и заряд 6которым мы пользоваться не будем, скорости ^:

и заряд 6

и заряд 6

выражаются формулами

= О* ^а)/11г > ^а * 0а ~ ^з)/а23, ^з=01" ^з)/а13 , е-Oikai+^M + ^ia.)/(ato аи а^)1/8 '

Гамильтонова структура системы (I) была проанализирована в [б] , где вычислены также переменные типа “действие-угол”. Ненулевые скобки Пуассона и гамильтониан имеют вид

{vW’^WH^^-^’(4)

Н Цр Ш"1 У V е №ъ+<= W)) ■

При квантовании системы (I), когда поля ^? ^ становятся операторно-значными функциями, определенными в тензорном произведении трех пространств Фока

для бозе-полей ^, нужно учитывать специфику взаимодей

ствия (2). Именно, появление в уравнение Шредингера, содержащего первые производные по ОС/ , потенциала ? (х) требует доопределения взаимодействия, что, вообще говоря, можно сделать различными способами. Один из вопросов, которые при этом возникают, связан например, с приданием смысла интегралу ^ (х) ^ (х) (lx; если функция | (х) имеет в точке X = О разрыв первого рода.

Таких вопросов не возникает в формализме КМОЗ, который основывается на вспомогательной линейной задаче (2). Возможность применения КМОЗ для квантовой системы N - волн отмечалась в [?] . Была установлена также евязь системы (I), (2) с st (S) - инвариантным магнетиком и дано решение для задачи на собственные функции на ограниченном интервале с периодическими условиями [б] . Связь с системой (I) в КМОЗ возникает через квантовые формулы следов,'на чем в этой работе мы останавливаться не будем. Отметим, однако, что предложенная в [б] регуляризация формально эрмитова гамильтониана (5) через st (5) магнетик на конечном интервале ведет к несамосопряженному оператору. Все эти интересные вопросы выходят за рамки настоящей статьи, основная цель которой - вывод уравнений обратной задачи для вспомогательной системы (2) в квантовом случае.

Основу вывода, кроме центральных формул КМОЗ, составляют подходы работ [9, 10] .

Полученные уравнения по виду совпадают с классическими (отличие в солитонной части естественно). Поэтому создается впечатление, что для всех квантовых L - операторов, не имеющих

квантовых поправок, уравнения обратной задачи в секторе с конечным числом частиц те же и этот факт имеет чисто алгебраическое происхождение.

Заканчивая это введение, упомянем работы [12] , где с помощью координатного анзаца Бете были построены собственные функции гамильтониана (5). Отметим, также возможное приложение квантовой системы (I) в качестве модели сверхизлучения для многоуровневых систем [13] . Вырождение системы (I), точнее L - оператора (2), с примесями использовалось для этих целей в [14] . Кроме того, рассмотрение супералгебр типа st(2./i) приводит к интегрируемости системы (I) и в случаях, когда имеется только одно бозе-поле, а два другие ферми-поля.

Статья состоит из двух разделов. В первом приведены основные формулы прямой задачи для квантового L - оператора (2) на всей оси. Второй раздел содержит вывод уравнений обратной задачи. Приложение содержит некоторые перестановочные соотношения.

Авторы признательны Л.Д.Фадцееву, В.С.Буслаеву, Н.Ю.Решети- хину и Е.К.Склянину за полезные обсуждения.

Прямая задача рассеяния для вспомогательной линейной системы

При переходе к квантовой теории, когда поля ^ ; ^ становятся операторно-значными функциями, удовлетворяющими коммутационным соотношениям

основное требование к L - оператору, позволяющее применить КМОЗ, состоит в том, что L - оператор должен удовлетворять сплетающему соотношению (обобщенное уравнение Янга-Бакстера)

<i.2)

Т6(Х)-1 + 1^ Цх-Д)<1х, Д=[х,х+Дх] (1 3)

с некоторой R - матрицей. Для интересующей нас вспомогательной линейной системы (2) в квантовой теории достаточно поставить в правой части знак нормального упорядочения. Квантовая матрица монодромии Т (х, <|, X):

T(x,t|;X) = :Рехр^ L(z,X)<lz)-.(1.4)

имеет смысл как матрица 3x3 из операторов в пространстве Фока $Р для трех бозе-полей а^ ^|. Она удовлетворяет соотношению (1.2) с R - матрицей [7, 8].

ЦЪ)-!^?,(1.6)

А

где tP - оператор перестановки в С$ 0 (^ •

Следует отметить, что так просто обстоит дело при переходе к квантовой теории лишь для выбранного нами векторного представления st (5) * Квантовые L * операторы в других представлениях, выбор которых в классической теории не существенен, не совпадают с классическими и приобретают квантовые поправки [2, 15] .

На конечном интервале с периодическими условиями диагонализация гамильтониана системы (5) с помощью алгебраического анза- ца Бете была выполнена в [в] . В данной работе нас интересует случай всей прямой и конечного числа частиц, т.е. пространство состояний есть *&р .

Следуя классической теории рассеяния мы введем решения Йоста, фиксируя их асимптотику при £—^- » или + ®*> . Например,

Т_(®Д) - tw’vj(<|,®Д)ехр(11Ж<|)-(XbX2,X3)(х,Х). (L6)

Столбцы Х^ (хД) ; </ = 1,2,3 и матрица Т. (хД) удовлетворяют интегральному уравнению

Т.(хД)»е + t: J е 3 Q^T^jA)^: (1.7)

Аналогично определяются решения Йоста с заданной асимптотикой при & —► о©

Wi-h e'^T^^.^-^.YtYbW) (I.e)

Точнее, строки Y^ (ос,^)^ I = 1,Я,3 и Т+(®Д) это решения сопряженного уравнения ^Y-^C^KхД):

Интегральные уравнения (1.7) в классической теории [б] используются для определения свойств аналитичности решений Йоста и по

строения полных наборов решений аналитических в верхней и нижней полуплоскостях соответственно. Эти наборы и служат основой для

формулировки задачи Римана и вывода уравнений обратной задачи [б] . Хотя мы можем доказать аналитичность столбцов Х± и Хй исходя из (1.7) и в квантовой теории, однако полностью классическая схема не воспроизводится и в следующем разделе будет использован другой подход для определения свойств аналитичности..

Перейдем к описанию квантовых данных рассеяния - новых переменных, к которым мы переходим от полей (^^^ . Ими являются элементы матрицы перехода

/ A.W 6,00 В,(Х)\

TW-T^XjT.^X)-( С,(Х) А,(Х) в2(х) L9)

.\С3(Х) С2(Х) А3(Ху

Перестановочные соотношения квантовых данных рассеяния А<,(Х).

В t (X) ? СV ( X) ;{/ » 1 2., 5 следуют из обобщенного'

уравнения Янга-Бакстера (1.2) для матрицы монодромии (1Л) после предельного перехода Xс учетом ренормировоч-

ных матричных множителей, которые меняют левую и правую R - матрицы [l] ,'

RKX./OTWeT^-^eT^XTWelW^

В матрице 9x9 Ra (^Х) кроме ненулевой диагонали

„е. иг • хС1-12)

отличны от нуля еще шесть элементов:.

гЛМА))1г- 3,(R»W)15-k(R2(x^

'ti.I3)

- -,№ W)al - - 2S(Ra (Х))м - 4^ (A).

Среди данных рассеяния (1.9) и перестановочных соотношений

(I.10) естественно выделить три набора

П МЛ^ОО.СДХ), БДХУ/

ХДХ), A^UX), В2(Ю,(1.14)

з> Mb), A5mc3w, В3(Х),

каждый из которых по отдельности удовлетворяет перестановочным соотношениям скалярного нелинейного уравнения Шредингера (N 8) [ll] . Редуцируя данные рассеяния на подпространство ^ или Нг получим динамическую систему N 5, связанную с полями

^1? ^i или ^а? ^2 • В редуцированной матрице перехода выделится соответствующий блок. Однако для третьего набора и подпространства ЭД3 это уже не так.

Для примера, приведем одно из перестановочных соотношений (1.10), отличных от случая NS ,

Вг(Х)Са(^)-(1 +77^) Са^)Ва(Х) - \/(1Л5)

Факт, что в системе имеется три набора операторов типа квантовых данных рассеяния для N 8 , позволяет сделать вывод о наличии для каждого набора соответствующей последовательности связанных состояний. В классическом пределе им отвечают солитоны.

В уравнениях обратной задачи встречаются специальные комбинации данных рассеяния. Эти комбинации мы получим исследуя аналитические свойства решений Йоста, действуя ими на полный набор состояний. В этом разделе мы приведем упомянутые комбинации, но вначале напомним основные этапы вывода уравнений обратной задачи в классической теории [5^ •

Решения с нужными аналитическими свойствами получаются после факторизации матрицы перехода на треугольные матрицы (в этих формулах А^Х),В^Х), CV(X) - классические функции)

/1XC,)A\/дсадохХ

sW оЖД , SW-l-A(B,),A5,0 , \о, о , А,у\Д (В3),-С5,1/

<I.I6><I.I6>5+W-T(X)S"W,

<I.I6>

<I.I6>

Ь (Ад) = А2А3-Ма >. & (Д) -Сл А3 -СА,(1Л7>

A (Ci) =BjА3-С2 В3 , А (В3) = С^С2—АаСа.(I.I8)

Другая возможная факторизация

RW-RW-А,, 0 , 0 \с„д(в2),1уА,, 0 , 0 \с„д(в2),1уД(С,)

RW-

RW-

А,, 0 , 0 \

с„д(в2),1у

А,, 0 , 0 \

с„д(в2),1у

R+W-l О, А,,-Д(С2) \о , о , Д(АД

r"W-t(X)r*(X)«.в)

А ^з) — Aj Ag, - B^Cjl ? А (Ca) = A4Ba- С± Вз,(1.20)

А (^а) = А£Сг -С3 ВА) Д (С3) = Bi Ва ~ АгЕ>з.(I.2I)

Диагонали матриц 5^ (X) дотаскают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость, a R” (X)- в нижнюю, Д(Тц) -

минор элемента Тц (^Х) матрицы перехода Т (X) . Решения

x.(%X)-T.(.x)X)s4X)-Tt^A)st(.x)(1.22)

аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость по Л , а решения

^\t,\)-T-^.VW -Tt (кA) R-W(1.23)

- в нижнюю. Связь аналитических решений приводит к матричной задаче Римана

^Xx^-^^^dO),(1.24)

G(X)-(R+(W‘s-(.U,I25,

В соотношении (1.24) содержится связь столбцов-решений,,например,

или, иначе

(1.26)(1.26)Хз-^х^хлЧХг-хЛА

(1.26)

(1.26)

гдегде44В3 Р _ А(Са)А? г" А (Аз)В3 Р _ А(Са)А? г" А (Аз)D В1(Х)1 ” А1(Х)D В1(Х)1 ” А1(Х)(1.27)(1.27)

где

где

4

4

В3 Р _ А(Са)А? г" А (Аз)

В3 Р _ А(Са)А? г" А (Аз)

D В1(Х)

1 ” А1(Х)

D В1(Х)

1 ” А1(Х)

(1.27)

(1.27)

Из соотношений (1.24) следуют сингулярные интегральные уравнения обратной задачи.

Переходя снова к квантовой системе, введем новые операторы

В&” Вг-С|А^ В^ 2 А2 = А2 — С^ Аа В.| ;

^(1.28)

С^ = С± - С3 А3 Вг, Азв А а - С2 А3 В2 .

Очевидна их связь с минорами (1,17) и (I.2I) . Перестановочные соотношения операторов (1.28) между собой и с исходными данными, рассеяния следуют из (1.10). Приведем для примера одно из них'

Ci (X) C2(jU/) =• С2 (jU/) С i(X) + 2 У ^ (X -^ Са (X) Аа (X).(iе29)

Введем теперь операторы R-v (X) и R (Х)71 » 1?2?3

^-^'в,, rz-a;‘bs, ка-А;‘в,,и-31»

R^ = 0^2 2 ^а = С2Аз2 ^зяСзА^2(I.3I)

которые будут фигурировать в уравнениях обратной задачи. Отметим прежде всего, что операторы R^ (X) не сопряжены с R-V(X) . Как и наборы (I.I4), три пары операторов R*t(X)7

ЯДХ), ^ Ж!,М удовлетворяют перестановочным соотношениям алгебры Замолодчикова-Фадцеева для N S'

RtW <W> - S (X -^R^^R^X),(1.32)

^dX)Rd^) - 5(X-ju.) Rj,^) R^X),(i.33)

^■i(X) R^(^,) ™ S(ji-X)R;(jj.)Ri,(X) - ^^(X-ju^ (i,34)

_X±i2L.■

X-l^ ‘(1.35)

При редукции на ^£ или ЭДа оператор НА (X) становится сопряженным Rt (X) , a Ra(X) * оператору Ra(X) соответственно.

Уравнения обратной задачи

Вывод уравнений обратной задачи, которые позволяют восстановить локальные поля (потенциалы линейной системы) о квантовым данным рассеяния, использует аналитические свойства решений вспомогательной линейной системы. Их можно получить из интеграль ных уравнений (1.7), что и делается в классической теории [5J . В квантовой теории проблема упорядочения осложняет дело и мы воспользуемся методом определения аналитических свойств операторов, зависящих от параметра, посредством их действия на полный набор состояний [9, Ю] . В качестве таковых выберем векторы и ковекторы

K^iMJ-^jOi^iW- <2-2>

Конечно, кроме этих векторов необходимо рассматривать еще векторы, отвечающие связанным состояниям. О них речь пойдет в конце этого пункта.

Чтобы получить перестановочные соотношения квантовых решений Поста с элементами матрицы монодромии, рассмотрим предел

и —►- ос в формуле (1.2) с Т (^хД) и умножим ее слева на | + (х?Х)®1 . В результате получим-

Т^Х^вТД^-рвТД»,;^

где-

ТрьЛ/*0-(ТДх,Х)®1)ЦХ ju,)(T_^(2.4)

Как матрица 3x3 в пространстве V^ выражение (2.4) можно считать квантовой матрицей монодромии исходной системы, взаимодействующей с примесью sl (S) * спина в точке х . Ее элементы имеют вид

Та1(х,Х,/1)-Та1(.Х)б^Х1(.х,Х)Уа,(х,Х),(2.5>

например,

(2.6)(2.6)в V. , элементы ко-в V. , элементы ко-с^ К^ - с, (X)+^ К (к ,Х)Чг (х,Х).

(2.6)

(2.6)

в V. , элементы ко-

в V. , элементы ко-

Распишем (2.3) как матричное соотношение торого матрицы-операторы в Уа ® X :

At^XjjA,) B1(x)X,ju-) В3(х,;Х,^,)\

(2.7)

-T.(x,ju.) C,(X)Aa(X)Ba(X)\С3(Х)Са(Х)А3(Х)-T.(x,ju.) C,(X)Aa(X)Ba(X)\С3(Х)Са(Х)А3(Х)/ *u ^Чг ^й )

-T.(x,ju.) C,(X)Aa(X)Ba(X)

\С3(Х)Са(Х)А3(Х)

-T.(x,ju.) C,(X)Aa(X)Ba(X)

\С3(Х)Са(Х)А3(Х)

( %i %а ^23 (^-J^); \%i %а %з.

где 1ц (^X-jd) блоки Ra(X-jUz) как матрицы в Vx , т.е.

эти блоки суть матрицы в Уа (I.I2), (I.I3). Используя введен

ное ранее обозначение для столбцов матрицы T_(®)Jbl) = (X1(x?jll);

ХгС^)/^), ^з С'®';/^)) и выделяя в (2.7) различные матричные элементы относительно V^ и столбцы относительно

V2 , получаем требуемые соотношения. Например, для вывода равенства

Х^К^С^Х) ~ С1 (^Л)^ +^) *i ^)^)(2.8)

следует рассмотреть элемент 21 в (2.7) и третий столбец bV2

^1 (^ )^ ^) X з ^ )$ = ^ (^ i^) (Ci (X) ^ц (X ~^) + А г (X) *1/^ (X -JH)+ / о \

+ ^(^^(X-ju,)^ ( ® *

Согласно (I.I3) правая часть равна

М^) СЛ^Ч? ^70ХЛхЖг (®,Х) Ха(хД), где использовано представление оператора Ва(Х)=Уг(х?Х)Хз(х;Х) Воспользовавшись выражением (2.5) для C^X}X?jU/) и перенося слагаемое с ^ - функцией в левую часть, получаем, (2.8). Аналогично выводятся соотношения

ха(х,^)С|(Х)-С|(кД,^^ Г=г^ (2-9)

Следовательно, столбец Ха (x,JU/) допускает аналитическое продолжение по ^ в верхнюю полуплоскость.,

Для второго решения Поста получаем

Ха(х^)С|М = С,(®Л/^^^ j =1,^(2Л0)

^a^if*) ^^)” х\^» ^2 ^^^^г.^)^(2.II)

Поскольку действие Ха на вакуум ^0,6^°^^ допускает аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость, то из (2.10) заключаем, что столбец X^^x^jU) в целом не имеет аналитического продолжения по JU/ .

Возможность аналитического продолжения ХА(х?^) в нижнюю полуплоскость проще всего доказать рассматривая действие X^Xjjll) на состояния ^(2.2) и используя перестановоч

ные соотношения

^j(^)X|(x?^)=X£(x;jU/)Ь^(х7Х^ -i/О) , | «1,2,3. (2.12)

которые следуют из равенства

тЬх.щвТ'гХ^-МХ^вТ^ШтЬх^

Т^Ц!»^))^)^ (гн)

а В^хД,^) - элемент под диагональю Т как матрицы в пространстве Va . Состояния.

допускают аналитическое продолжение по X в верхнюю полуплоскость. Определим аналитическую в С- столбец-функцию ^(хД) ее действием на состояния (2.1) формулой, аналогичной (2.15)_

ш/О \

ч^хД) jUi^^P'^ =е П^^^/^^^216j

Исследуя скачок функций Х^ (х Д) , ^(хД) при вещественных X , получаем

Q^)-Xs(xA))|^X/xMW*XA*>a(W

где введено обозначение

x_(.x,X)-(x2(x,X)-xj(;x,x)r1(x))<2.i7>

и использованы оператора Rj(X) (1*31).

Таким образом, имеем две функции аналитические в С+ и

О - с известным скачком на вещественной оси

Xs^X)_44(s,XHx^^^M<W))'^

Вводя нормированные при X—► -<»«» функции Х^Х^-е^^^Х^х^ где Ха=Х- и предполагая отсутствие особенностей уТ^^Х) в С- » получаем сингулярное интегральное уравнение '

О -X-vo)О -X-vo)(2.19)(2.19)

О -X-vo)

О -X-vo)

(2.19)

(2.19)

Исследуя аналитические свойства %^ (X Д) , %-(хД) и вводя

' Х^-Х^х^-к^Х^х.Ь)

М^М-е^Ы^)<2-2°>

получаем интегральное уравнение для ХДхД)

^W=\oj-^ai vXHo,^W=\oj-^ai vXHo,(2.21)(2.21)

^W=\oj-^ai vXHo,

^W=\oj-^ai vXHo,

(2.21)

(2.21)

где введена функция

ХЦхД) -^^^(хД) - Кг(Х)Х3(хД)) .(2.22)

Функции Х+(хД) * определяемые формулами (2.17), (2.20), допускают аналитическое продолжение в верхнюю и нижнюю полуплоскости, а их скачок на вещественной оси равен

Х+(к'х)-ХДх,Х)+(Х1(тЛ)К1(Х)Л(Х)Х3(х,Х)). (2.23)

Завершают полный набор уравнений обратной задачи уравнения для

v (xX'i-fi'L 1 t W^^iMe 1 -RgQ)X3(x,i)e га

^^A>Hf й4- ^^(2-24)

Наличие у гамильтониана (5) при рассмотрении его на всей оси связанных состояний ведет с одной стороны к расширению набора квантовых данных рассеяния (1.30), (L3I) за счет соответствующих операторов рождения, а с другой стороны к существованию дополнительных ососбенностей в соответствующих полуплоскостях

на прямых 1шХ = -1с(и+1)/2 , Я = 1,2. ... описываются операторами Q,^ ^ (X) [9] ,на прямых 1шХ = -1с(и+1)/2 , Я = 1,2. ... описываются операторами Q,^ ^ (X) [9] ,у аналитических операторных функций У3(хД) , Х±(хД) , и аналога Ч^ , построенного по Х^хД) • Например, у Ч^

на прямых 1шХ = -1с(и+1)/2 , Я = 1,2. ... описываются операторами Q,^ ^ (X) [9] ,

на прямых 1шХ = -1с(и+1)/2 , Я = 1,2. ... описываются операторами Q,^ ^ (X) [9] ,

6565кото-кото-имеются скачки Эти скачки

65

65

кото-

кото-

5 Заказ 359

рые выражаются через операторы уничтожения и рождения связных

состояний w квантов поля ^ (®) j = 1,2,3 Rj,«/(.X); ^j»V (X) , j = 1,г,й j И/ = 1,2, . . .

(2.25)

&j,w(X) = RjW4 (X +1 w/a) R,, wPO,

(2.26)

^{^(X)e Rjw/ (X)RjW_1 (X -1 w/g),

(2.27)

где *М/= 1 отвечает обычным частицам, a Rj0 = 1

Дополнительные особенности ведут к дополнительным слагаемым в уравнениях обратной задачи, которые окончательно выглядят так

(2.29)(2.29)(2.30)(2.30)

(2.29)

(2.29)

(2.30)

(2.30)

ЧХ - («)- si £ (I (х-,» - f (" -Ч - «Л

л^)№,р^^^^ г (wl)W)

М^-^+^сД (X -jti ^wi^io/x

*ГТ

Локальные поля (|^ (х) , как и в МОЗР [5 J , восстанавливаются из решений Йоста при X-*<*>. Например,

^э(к)=х^^№ (Х1(»Л))3.(2.31)

Поскольку с гамильтонианом (5) коммутируют два заряда N| = в И| + IV^ И М^ =; 4^ 4- ^^

(2.32)(2.32)

(2.32)

(2.32)

(2.33)(2.33)пространство состояний раскладывается в прямую сумму инвариантных подпространств

(2.33)

(2.33)

Для восстановления локальных полей в каждом из подпространств достаточно конечного числа итераций.

Выражения полей fy (х) через квантовые данные рассеяния полезны для вычисления функций Грина. При этом используются перестановочные соотношения операторов R^^X), Rj*v(^);

I, j = 1,2,3^ W, vt = 1,2,3,... , которые приведены в Приложении.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В перестановочных соотношениях операторов рождения и уничтожения элементарных возбуждений и их связанных состояний фигурируют следующие обозначения

Х+^(м+п) х^||м-и| ^'^-ух^Кти-ак)^

Х-^(м*и) Х-<,|-|м-и| к-1 \X-i^(*n-w-2k)/’

Vil^)"^ X-it^-ak) Х + 1^-|<п-и| к-1X + I ^ (w+tt,-2k) )

X+iJ-^X)w^H x^^.it-ak)

X-i^-|w-tt| к-1X-iy(w + H/-2k)

^* ^им/(^)^1и(/^);~ &WW(X-jU^R},^^v—1,2,3,

^* Rfc^W ^iwC^) ~ ^ин(^ ~J^ ~^0)^( w(|^RawW"£^^^

^’ ^зм^)^1н(/0 ~Ции(^~^ + ^9)^ш0^зм^) >

^ ^2м(^)^Зн/^^^п(^~^^о)К^(^j

51 RiM (^)^i h^) ^ S^w^-^Ri^^R^^X), I =*1,2,3, 6- ^ам W^in^) ~^H^”^~to)R1H(^)R2w(X)~2^i^^ ?• ^^^^^^ivt^^^^^^^^^^i^^^SvnW , 8- R^WV1

9* ^mW^w^) = ^m^”^)^^^)^i^W”^%^wH^^”/^) ?

t0* ^a^W^i^^ “^w^C^ “^^nt^)^^^) i

11. R3w(X)RaJji) «Pm(X/H0)R2^)R3w(X)^^ ^- ^амС^^ш^)”Pmh^^^ih^^wW ,

^- ^am/W^sH^^^wH^J^^aH^^a^W ?

^* ^m (^)^2«,(j^)=UMH(X-f-io)R8A(/i)Rim w, is. RiW(X)M/*)=PWH(X-^^o)Raw(^)Rlw(X)-

-&^(X-^wntvR2n(X).

Литература

L Фа дл еев Л Л» В об»: Проблемы квантовой теории поля (Труда У Международного совещания по нелокальным теориям- поля, Алушта, 1979). Дубна: ОИЯИ, 1979, с.249-299.

К u 1 i s h Р.Р., Sk-ly anin Е.К. Leet.Notes Phys., 1982, v.151, p.61-119.

Faddeev L.D. In: Recent advances in field theory and statistical mechanics. Les Honches Summer School Proc., v.39, North-Holland, 1984, p.561-608.

И з e p г и нА.Г/, К о p e' п и н B.E. Физика ЭЧАЯ,

1982, т.13, № 3, с.501-541.'

Захаров В.Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи. М., I960.

Манаков С.В. ТМФ, 1976, т.28, & 2, с.172-179.

К у л и ш П.П., 0 к л я н и н Е.К. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1980, т.95, с.129-160.

К u 1 i в h Р.Р., Reshetikhin N.Yu. J.Phys.A: Math.Gen., 1983, v.16, p.L591-L596.

Смирнов Ф.А. Докл.АН СССР, 1982, т.262, £ I, с.78-82.

Реше т и х и н Н.Ю., Смирнов Ф.А. Зап.науч. семин.ЛОМИ, 1983, т.131, с.128-141.

С к л я н и н Е.К. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1980, т.95, с.55128.

О h k u m а К., W a d a t i М. J.Phya.Soc.Jpn., 1984, v;53, 1229-1237; v.53, 2899-2907.

Bogolubov N.N.‘(jr.) et al. JINR Rapid Commun., 1984, v.3, p.26-32.

Chernyak V., R u p a s о v V. Phys.Lett., 1986, V.114A, N 2, p.77-80.

К u 1 i s h P.P. Physica D, 1985, v.17, N 1, c.102-111.

P.P.Kulish, F.A.Smirnov. Inverse problem equations for the quantum three wave system..

Analytic properties of the operator-valued Jost solutions to the auxiliary linear problem of the quantum three wave system are studied. Creation and annihilation operators of elementary excitations and their bound states are constructed. The local fields may be reconstructed from these operators using singular integral equations of the inverse problem.

В.Д.Липовский, В.Б.Матвеев, А.0.Смирнов

О СВЯЗИ МЕВДУ УРАВНЕНИЯМИ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИИ ДЖОНСОНА

Данная работа посвящена описанию изоморфзма уравнений Джонсона (УД)

(V 6wg + v^ + WU)^= - U4^hг(П

и Кадомцева-Петвиашвили (КП)

х о ъ<2)

(^+ fcwux + uxxx)x =- 3 X w^

в классе убывающих данных Коши, а также некоторым его следствиям, важнейшим из которых является возможность получить решение начальной задачи для УД посредством простой ссылки на решение этой задачи для уравнения КП £l^3j .

Перейдем к явному описанию этого изоморфизма.Пусть U(x;^t) является решением (2), тогда функция•

^чл^^^-^^^^ ^,17)(3)

удовлетворяет (I). Отображение w(X,^,t)—> 1г(^,^,Т) обратимо, а именно, решение УД индуцирует решение уравнения КП по формуле:

u-cx,y,t)= vtxi-^/l^a^t, 0Л) -

Соотношения (3), (4) проверяются прямым вычислением.

Впервые УД (другое название - цилиндрическое уравнение КП) было получено при описании поверхностных волн в мелкой несжимаемой. жидкости [4] . Недавно это уравнение выведено для внутренних волн в стратифицированной среде [5] .- Очевидно, что степень унисальности физической модели, соответствующей УД, такая же, как и для уравнения КП. Из вывода (I) следует [4, 5J /что корректная постановка задачи Коши для него возможна лишь при Т=% > 0 . Пусть П^Л^ — ^Д^ . Полагая §=х+-уг/^а^е , 7=^/t0, % = t, , мы имеем x — ^-^PVU1, ^.= 4% , t,= % .

Решив задачу Коши для уравнения КП с начальным условием Мх,уД)= = У«^х + //Н<хН0, ^/^»), № получим решение начальной

задачи для УД по формуле (3). Отметим, что при этом задаче Коши

для уравнения КП с быстроубывающими при х\ 1^—► оо начальными данными соответствует начальная задача для УД, данные которой также быстро убывают при §г+ ^—>- оо .

Ранее рядом авторов были обнаружены замены переменных, переводящие решения уравнения Кортевега-де Фриза в решения УД, но не позволяющие решить начальную задачу для УД [4, 6, ?J . Мы выполнили сравнение техники решения задачи Коши в классе убывающих «начальных данных для уравнения КП El-З] и УД [8] в свете замены (3), (4). Оказалось, что все этапы схемы метода обратной задачи для этих уравнений допускают взаимный пересчет. Простым примером указанного изоморфизма является построение многосолитонных локализованных решений УД посредством ссылки на соответствующие формулы для уравнения КП, полученные в работе [9] . Не составляет труда проделать аналогичные манипуляции с более широкими классами решений уравнения КП, индуцируемыми методом преобразования Дарбу E^Oj • Однако при этом изоморфизм, вообще говоря, не всегда имеет место.

Представляется весьма поучительным предъявить гамильтонову структуру УД, пользуясь заменой (3),. (4). Для определенности ограничимся случаем УД-11: GU — -A в (I) и (2). Гамильтонова интерпретация метода обратной задачи для уравнения КП-Il дана в ЕП] . Наша задача сводится к тривиальному пересчету с учетом указанной замены формул работы Е^] » к которой мы отсылаем заинтересованного читателя.

Сформулируем соответствующие определения и результаты, Вспомогательная спектральная задача для (I) имеет вид:

%=‘F%t+ ^(vk-^/a)<pti- irvq> .(5)

■Аs

Под решением Йоста уравнения (5) мы будем понимать комплекснозначную функцию 9 If А, к),—Ограниченную при всех значениях

(kw,kj )eV Ck—k^fV^, к=к%—tkz ) И имеющую единичную асимптотику при |7| —► ад (f= (^,^)• Асимптотика решения

Йоста при l^l—>о»позволяет ввести спектральные данные для

(5):_ '

9фкД)= If i^w(k+k) —^|у—у—l(1f0(D) (6)

(КкД)=^ j^/!T(f)tp(f,k,k)(7)

t(к, к )=-^ | ^ уф Чфк, к) е *‘^’к’к ’

4(/ЛД)=-йк+к)(^-7Ч/Н)+(кг-кг)П .

Предполагается, что входящая в (5)-(8) ^(/5 при Т=ТО является вещественнозначной функцией типа Шварца: 1г(ре ф(Кг). Притмг

Ф(к,к) = М-к,-к), -fe(k,k)=6(-k,-k)

Аналогичные формулы с заменой 5—>-- 6 и знака перед квадратной скобкой в (6) справедливы и для ф - решения формально сопряженного к (5) уравнения. Величины ф и ^ связаны дисперсионным соотношением:

(io)

Имеют место следующие равенства-

^<кД)= ^(k,k), а(к,к)=Я(к,к)(п^

Функции ф иф допускают при |к|—> оо асимптотические разложения:

ф(/,к,к)=М %фк-н, Ц>(/Л,к)=1^ W’1^}

где 1Л^ ^ + V—0, "^^ь§ + 1Г=0» а остальные ко

эффициенты вычисляются по рекуррентным формулам, следующим из (5) и формально сопряженного к нему уравнения. Формулы (7) и (12) позволяют получить асимптотические разложения при | к|—со для си и 3/ :

Мк,к)=£ ^к'* , $<к,к)=§ ^k"w .(13)

" и=он=0'

Из (13) и второго из соотношений (II) вытекают равенства:

Сравнение (13) и (10) при |к| —*- со дает тождества следов для уравнения (5). Приведем первые три из них:

2 ^= - 4^^= у j d f ^г= ^ | dk^ | ^кт | U к, к) |^(к+ к)П5)

О — ОО

АН ^ I (4} (w* ^/Mi, j d^j^ | {(к, к)|г(Г- V)(16)

О -СО

*'0000■-

_о -СО

Здесь нами использовано второе из равенств (9). В (16), (17) и

ниже w(M)==p4£'iryl§'^) •■

Связи (14) и условие ire У (Ца) определяют фазовое пространство УД-П. Для первых ограничения, следующих из (14), таковы:

Jd|v=o, {4^= о.

Заметим, что гамильтонов формализм со связями в методе обратной задачи рассмотрен на примере уравнения Кортевега-де Фриза в р2}.

Гамильтонова форма записи УД-11 имеет весьма экзотический вид

a flli__Lkr=±_L JlL^u ат u ag ^ Hr ^ n ^ * ’

\^ф, vkT^ =^-^- 5<rf) •-

Выпишем скобки Пуассона для спектральных данных 0/ и ^ :

{a<k,k), а,(р,р)^= 0(18)

1ю)

iGlk^Glp/p)^^^) (^ kR) (Rpj- kz ) -(20)

Остальные скобки получаются при помощи (9). Из (1д)-(20) следует, что величина О/ является производящим функционалом интегралов движения ^, а величина ^ эволюционирует по закону:

№,k,T)=<j(k,k,'re)eap[^4i(k3+ к^С^-^)] -^21^

При выводе (21) мы использовали (17), (19) и уравнение движения 6Т=16,Н}• Величины (15)—(17) являются, соответственно,

импульсами и гамильтонианом УД-П.

Введем переменные действие-угол: 3(к,к)=-41 $(к, к) |^ , ф(к,к) = Я^^6(к, к) • Временная динамика в этих переменных - тривиальна:

^(.к,к,1г)=7с.к,к,'1^)), Ф(кД,т)=ф(к,к,г^ + —Ynr (т- То) • о <7( к, к)

Как и в [ll] , оказывается, что U(k,k)e7(KS (R^tk^kjl). Следовательно, отображение V—>(э с условиями (14) сохраняет класс Шварца, причем в силу (21) сохранение класса имеет место и в динамике.v

Концентрированным выражением наших наблюдений является

ТЕОРЕМА:' УД-П в классе данных Коши ve^(К^) со связями &н=^н является вполне интегрируемой обобщенной гамильтоновой системой, причем отображение 1Г—^является каноническим

преобразованием к переменным действие-угол 3, Ф . При этом

_£$tk,k), Ф(рД)) = ^<k,k), Лр,р)] = О

{Ф(к,1с), Л(р,р4 = .^^-p^J^kj-pj)

мОО,

Н=-^ <kkR j dkj J(k,k’)(k3+ k-3) . o-00

При формулировке теоремы использованы соотношения (9): спектральные данные параметризованы правой полуплоскостью переменной к ••

Мы благодарны М.А.Саллю за полезные дискуссии.

Литература

М а п а к о v ЗЛ. Physica В, 1981, v.3, N 1, 2, р.420-427»

Р о к a s A.S., Ablowitz М.J.•Phys.Lett,А, 1983, v.94, N 2, р.67-70.

Ablowitz M.J., Bar Yaakov В., Р о к a s А.5. Stud.Appl.Math., 1983, v.62, р.135-143.

Johnson R.E. J.Pluid Meeh., 1980, v.97, pt.4» p.701- 719.

Липовский В.Д. Изв. АН СССР, сер.физ.атм.и океана, 1985, т.21, № 8, с.864-871.

С а л л ь М.А. Метод преобразований Дарбу в теории солитонов. - Автореферат канд.диссертации, ЛГУ, Л., 1983.

Д р ю м а В.С. Докл.АН СССР, 1983, т.268, № I, с.15-17.

Липовский В.Д. Докл.АН СССР, 1986, т.286, № 2, с. 334-338.

В о г d a g L.A., Its A.R., .М a n а к о v S.V., Matveev V.B., Zakharov V.E. Phys.Lett A, 1977, v.63, N 3, p.205-206.

M a t v e e v V.B. Lett.Math.Phys., 1979, v.3, p.213-216.

Липовский В.Д. Вести.ЛГУ, сер.’’Физика и химия”, 1986, № 2, с.73-77.

Р a d d е е v L.D., Т a k h t a j an L.A. Lett.Math. Phys., 1985, v.10, N 4, p.183-188.

V.D.Lipovski, V.B.Matveev, A.O.Smirnov. On the connection of Kadomtsev-Petviadhvili equation and Johnson equation.

The equivalence between the Kadomtsev-Petviashvili equation and Johnson equation for rapidly decreasing initial data is established. The Hamiltonian structure of Johnson-II equation as an example of above mentioned isomorphism is investigated.

.-А. П. Осколков-, М.Ахматов

КОРРЕКТНЫЕ ПОСТАНОВКИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Фильтрацией вязкой жидкости с запаздыванием называется такое движение вязкой жидкости в пористой среде, при котором скорость Vf^t) и давление р(х,1) подчиняются реологическому закону Дарси с запаздыванием [I]:

. ₽о’(1)

при этом, как в линейной вязкоупругости [2]-[4] и теории линейных вязкоупругих жидкостей [5]-[10], числа L и М связаны одним из трех условий:

либо М —L-1,L —1,2,...— это фильтрация типа Максвелла порядка L ; либо М -L-1,2,... - это фильтрация типа Олдройта поредка L ; либо И -L+1.L—0,1Дг- это фильтрация типа Кельвина-Фойгта порядка L. "

Коэффициенты Х^ , Х^>0 , t-0,4,—,L-l,XL>0,называются временами релаксации скорости, а коэффициенты ж^ , xw>0 ,w-0,l,.,M-l , %м>0 - приведенными временами ретардации (запаздывания) давления.

Реологический закон Дарси (I) при естественном условии т), р — 0 при t < 0 может быть разрешен относительно V . В результате подучим:'

для фильтрации типа Максвелла - интегральное уравнение

»(лЛ) - - $ KAt-T)vp Ат, к^о) = ®ьч х;1 > о)(2)

0-Г-гЧ

например, при L = 1 Kt (t) - ХеХ1 е 1 ;

для фильтрации типа Олдройта - интегральное уравнение

^(хД)—К^р-^К^И^рАт,^-^Х'^0) {3)

0'1 х

например, при L—1 КаW—Х^ (Xg-X^!)е 1 ',

для фильтрации типа Кельвина-Фойгта порядка L -1,2,... - интегродифферевдиальное уравнение

»Д) —А^ -^Ч-$ K3(t-T)vp Ат,(4)

о

причем ^-«^Х'^О, ^-^ь^ь'АЧ-!)» нащ)имер, три L—1

K5 (t) - Х'А\$0-«! X]+«аX?) еX11

В уравнениях (2)-(4) ядра Kjt), t>0, i-1,2,5, удовлетворяют дифференциальному уравнению

t>0> L-1’2-’ <5)

и начальным условиям Коши

v~0ико/

Я —о, 1,- ..,L-l j V = 1,2,3,

причем Хч -.6”, ^^ - символ Кронекера, а коэффициенты Д и JU/0, 1-2,3 * определены выше.

Для получения уравнения (5) и начальных условий (6) для ядер-К ,,(1) и формул для К Jo), ju,1 и JHO надо подставить уравнения (2)-(4) в уравнение (I) при M = L-1,Lh L+1 соответственно

и в подучившихся тождествах приравнять нулю коэффициенты при каждой из произвольных ^а^§ • S —О,!,...^) М —Ь-1,М-Ь,М-1Чсоответ- ственно. ■

Будем рассматривать далее нестационарную фильтрацию с запаздыванием вязкой слабосжимаемой жидкости в упругодеформируе- мой однородной пористой среде [l], [п]-[13]. Подставляя законы фильтрации (2)-(4) в уравнение неразрывности.

^-(w?)+^(^)=o(7)

(по поводу обозначений в (7) см. [12], [13]) и производя обычные в теории упругого режима упрощения [12], [13], получим соответственно:

интетродифференциальное уравнение упругого режима типи Максвеллаi ■

^"* Jk^-W^-O)(8)

интегродифференциальное уравнение упругого режима типа Олдройта•

$--»{К%>+^К2(1-Т)ДрАт}=-0)(9)

■°.'

интегродифференциальное уравнение удоугого режима типа Кельвина-Фойгта передка L — 1,2,...

It "Ць^+^рЧК^^ (io) о

уравнение упругого режима типа Кельвина-Фойгта порядка L — О есть, очевидно, дифференциальное уравнение

^-abfaboAp + ae!-^! -о.(п)

ОТ ЬОТ J

Уравнение (II) описывает также нестационарную фильтрацию однородной вязкой жидкости в трещиновато-пористых средах [12]; в [12] с поющью анализа решений уравнения (II) показано, что фильтрация в трещиновато-пористых средах также Характеризуется запаздыванием давления.

По поведу ввда коэффициента & в уравнениях (8)-(П) см. [l],[ll]-[l3].

Интегродифференциальные уравнения (8)-(10) при помощи введения новых неизвестных функций можно преобразовать к другим, в некотором смысле более простым, интегрсдифф^ренциальным уравнениям. При L-1 , т.е. в наиболее важном для практики случае, зти новые интегродифференциальные уравнения являются дифференциальными уравнениями.t

Положим в (8) fy(x,t)—S К^(1-Т)рс1т . Тодда в силу (I), M-L-1 , и (2) получим уравнение

"^ \ Э^о, Ь*1 8тр

Й "а? — £,6*1 ' т)

Разрешая это уравнение относительно р при естественном условии р-0 при 1<0 , получим вместо (8) систему интегрсдифференци- альных уравнений

I^-bA^-o, р-^^Ач^ jsAt-т^Лт. (13)

Положим в (9) Та(х,1) = /^8)р> jK^t^p^.j^^ Тогда в силу (I), М — Ц, и (3) получим уравнение

L \ 8^Т,8WP

2-J ^l aiV2—1-ATM ,(14)

1=0 «tж-о dt

а из этого уравнения получим урашение для р и с^а :

g®1”^ — СЧ^, ^’-ч-чЧ^, t-o,i,.,w. (га

Разрешая это уравнение относительно р при условии р - 0 при

I < 0 . получим вместо (9) систему интегродифференциальных уравнений

|f-®|^р+^=о, p-fc^+^vb^'W^- (16)

Положим в (10) T^x^-^^t/oV jK^

^3(X,t). Тогда в силу (I), М - L+1, и (4) получим уравнение

(17)(17)>>(18)(18)ё*^

(17)

(17)

>

>

(18)

(18)

а из этого уравнения получим уравнения для р и (|3 :

_ Л \> о

> С Ч оП =- 2- At , ъ>0,1=0 Ot 1=0 0Ъ

^^ “ ^j, "J^O ^1 “Д1^1Ч ) I =0,l,...,L-l j Х_£=0.

Разрешая уравнение (18) относительно р при условии р™0 три

1 < 0 , получим вместо (10) систему интегродафферевдиальных уравнений 't

|f "®{А^ +/0^Р+^1з}=°) р =?S^ t^3^3+ J S3(t -Т)(|зАт. (ig)

В уравнениях (13), (16) и (19)

Pi ■ K^L-l) 1 ^v "(*L-1) (^L-l~Pi®L-a) >(20)

'а ядра S^i), i =1,2,3, удовлетворяют дифференциальному уравнению

и начальным условиям Коши

(22)(22)w-0,l,...,L-2.w-0,l,...,L-2., г =o,l, г =o,l

(22)

(22)

w-0,l,...,L-2.

w-0,l,...,L-2.

, г =o,l

, г =o,l

у— ^l-h-i+I ail W ^п-н-г r^xL-H-a ^i^L-u-a t-o °*'

фи L=1 ядра Si(t)-0 , i-1,2,3.

Уравнения (21) и -начальные условия Коши (22) для ядер 5 <,(.!) легко получаются из уравнений (5) и начальных условий Коши (6) для ядер K^t) , входящих в уравнения (8)-(10) (см.также [Ю]).

Интегродифференциальные уравнения упругого режима (8)(10) могут быть также сведены к системам дифференциальных уравнений со связями. Для этого введем в уравнениях (8)-(10) новые неизвестные функции (i\(X,t), I-1,2,3 , при помощи уравнений

_L (iT)DJT1

■ ^S "aTs\ ^Л^ vpaT, *о ■*) 2—4 4g A.s P- (23) 5-0 Ot •s=o oi

Дифференцируя первое из уравнений (23) t раз по t , t — O,1,...,L, умножая результирующее уражение на Xj , суммируя по t—0,1,..-, L, используя уравнение (5) для ядер K^t) и второе из уравнений (23), получим тождество:

L . ^ 3?Ki(o) L ^Ьw»64^^

LLfyZ-iЙ4Р^®S n.S+l-p-l "4-^ Л12—I «^sapH 1(24)

1=1p-0otS-o 31 rl=os=0°*.

а из этого тождества, приравнивая нулю коэффициенты при производных ^1 г =0,l, ..,2L-l, получим алгебраическую систему для

5 —O,1,...,L5 —O,1,...,Lotгv

5 —O,1,...,L

5 —O,1,...,L

нахождения коэффициентов | А 5 V , 5=1

. t^ ., \ К,(о) у (i) ——, vI . nil ,

^o _1>2—4 Xp aXj 4S — EL ХрЛ‘ , v —0,1,- -,2L-1. (25)

, P+j+s-i=l ”* p+j4 1

При L-l коэффициенты {? g^} ,5-0,1 , легко выписываются явно:

YU) -1 yW x -1 . ^o = ^0 ; ^ 1 — X!», ,

VW /\-l\-1 -\ f \-i\-1

80 = (1®<1-ав1Х1) , 8t = Xt^«„-«j^Xj^) j(27)

.Тем самым уравнения упругого режима типа Максвелла, Одд- ройта и Кельвина-Фойгта порядка Ь=1Д,... могут быть представлены соответственно следующими системами дифференциальных уравнений со связями:

«F^-^ r-s^ «9)

34-!^ ^ ^<^Н- г s v> - 1311

в которых коэффициенты {и‘°} , 4=1,...,L-1 , и {у‘п] ,5=0,1 ,...,L; i=1,l,3 находятся из алгебраической'системы (25).

Как отмечалось выше, при L=1 системы интегродифферен- циальшх уравнений (13), (16) и (19) сводятся к системам диффе- ревдиальных уравнений, совпадающим соответственно с системами дифферещиальшх уравнений (29), (30) и (31) при L=1 . Выпишем эти системы.,

Уравнения упругого режима типа Максвелла порядка L=1 :

-|Г-хд^о, р-^^ .(32)

Исключая р , приходим к уравнению колебаний в среде с сопротивлением для <£< :"

A j^ + ^ 1^ ~ *&<h= ° •■ (зз)

Уравнения упругого режима типа Оддройта порядка L=1 :

-^--х(ХУдр + А%)=0, Р=А^+ ^^ •(34)

Исключая р , приходим к эволюционному уравнению с сильной дис- 6 Заказ 35981

сипацией [14] для ^ :

h-y + ^‘A^-^W-O.h-y + ^‘A^-^W-O.(35)(35)

h-y + ^‘A^-^W-O.

h-y + ^‘A^-^W-O.

(35)

(35)

Уравнения упругого режима типа Кельвина-Фойгта порядка L=1 :

^■^■^""•■А лр+^з)^, Р=А-^а- + ^$ •(36)

Как и в случае упругого режима фильтрации без запаздывания [Ш-Пз], осношая задача теории упругого режима фильтрации с запаздыванием заключается в решении уравнений упругого режима с запаздыванием (уравнений (8)-(П), или уравнений (13), (16), (19), или уравнений (29)-(31)) в 0т=Л«(0,Т) , ЛеТ41, , и—1,3, 0<Т < со , при заданном начальном распределении давления pl. =

1 ч=о

= ро(Х) , хел , и тех или иных граничных условиях на 3QT — = Зл*(0,Т), вытекакщих из условия задания на границе Зл нормальной компоненты vH вектора скорости V(x,t) или давления pcx.t) ([И]-[13]); для определенности будем рассматривать граничные условия, отвечающие заданию на Зл нормальной компоненты vH вектора скорости v(X,t) ..

Уравнение (8) решается в QT при начально-краевых условиях

I = pm, хел ;K/t-T)^^ = £(хЛ) •(37)

't-0 ГоI 1 Зи ^4

Уравнение (9) решаетсяУравнение (9) решается= ц(Х), хеЛ; v=0= ц(Х), хеЛ; v=0в QT при начально-краевых условиях ^N *Р +1 M-^P<H3 - ^cx,t). (38)

Уравнение (9) решается

Уравнение (9) решается

= ц(Х), хеЛ; v=0

= ц(Х), хеЛ; v=0

Уравнение (10) решается в Др при начально-краевых условиях

•’Lr^1'хеЛ; ^а^+Х’Нкл^р^

П. Система (13) решается в QT три начально-краевых условиях

(40)(40)pL~|,-m- ’'Lr0-

(40)

(40)

Система (16) решается в QT при начально-краевых условиях f’lt-O-IW ♦*|,.Г0- ,еД; ^Н^д-^- (41’

Система (19) решается в QT при начально-краевых условиях

р^-0—(,-'х)’ %L-°> ,,Л; ^V^A'M^g-fiixJi.lti)

Ш» Система (29) решается в Q,p при начально-краевых условиях ।пФ Iл L-1 о€ ।4

pltJT^ W0, M-’L4’X€JL; н So^a^L^^^4^

Система (30) решается в QT при начально-краевых условиях

р|м-р-1”- жЬ,’0-1н ,ед' ^^^l*^44’

Система (31) решается в QT при начально-краевых условиях

В начально-краевых условиях (37)-(45) на непроницаемой части дд* границы ЗД функции j^(x,t) равны нулю:

^(X,t) —о, хеЗд*, 0^=$Т, >=U,3.(46)

Для корректной рзврешимости поставленных выше начальнопаевых задач необходимы условия согласования начальных и граничных условий. Выпишем эти условия согласования.

Для начально-краевых задач (8), (37); (13), (40); (29), (43) имеем:

^(Х,0)—0, ХеЗД.(47)

Для начально-краевых задач (9),(38); (16),(41);(30),(44) имеем:

■^L- ,eto' 1481

Для начально-краевых задач (10),(39); (19),(42); (31),(45)имеем:

^<Х’°Ь хедл .(49)

Теория разрешимости начально-краевых задач (8), (37), (47); (13),(40),(47) и (29),(43),(47) аналогична теории разрешимости второй начально-краевой задачи для линейных гиперболических уравнений 2-го порадка ^15], [16]; теория разрешимости начально-краевых задач (9), (38), (48); (16),(41),(48) и (30),(44), (48) аналогична теории разрешимости второй начально-краевой задачи для линейных параболических уравнений 2-го порядка [16], [17]; теория разрешимости немал ьно-краевых задач (10),(39),(49); (19), (42),(49) и (31),(45),(49) аналогична теории разрешимости второй краевой задачи для линейных псевдо параболических уравнений 2-го порядка [18]-[22]. Мы сформулируем основные результаты работы, рассматривая для определенности начально-краевые задачи (13), (40),(47); (16),(41),(48) и (19),(42),(49).

ТЕОРЕМА I. Цусть выполнены условия: Зл.еСг; p^XleW®1^; M^eW^Q-r) , <^ ( и условие (47). Тогда начальнокраевая задача (13),(40),(47) имеет единственное решение (р, ^) : р( х,t) е V^\ QT), ^( X,t) € W^ (Qт).

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия: ЗЛеС1** ; ре(Х)€ С^ХЛ); fyx/toe С^'^ <8Qrp)i 0«х<1 и условие (48). Тогда начальнокраевая задача (16),(41),(48) имеет единственное решение (p,^t) : p(x,t)64^). ^^ ^^-1 (От).

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнены условия: ЗЛеС1^; pgCXieG^JL) ; Jj(X,t)e(/+a'T(3QT) j 0<а<1 и условие (49). тогда начальнокраевая задача (19),(42),(49) имеет единственное решение (р,^}) : p(x,tx с^^т (qt) , ^(x,t)6 й^1^ (Щ.).

Аналогичные результаты об однозначной классической разрешимости в целом при достаточно гладкой границе Зл и достаточно гладких функциях рй(Х) , хеЛ и fj(x,t) , (X,t)e3QT , справедливы и для других поставленных в данной работе начально-краевых задач.'•■

Литература

Огибалов П.М., Мирзадханзаде А.Х. Механика физических процессов. М., Изд-во МГУ, 1976.

Б л е н д Д. Теория линейной вязкоупругости. М.; 1965.

Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М., 1974.

Д ю в о Г., Л и о н с Х.-Л. Неравенства в механике и физике. М., 1980.•

Руткевич И.М. Прикл.матем.и мех., 1970, т.34, № I с.41-56.(

ОсколковА.П. Препринт ЛОМИ Р-2-80, Л., 1980,39 с

ОсколковА.П. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1983, т.159,

с.101-131.

8.9.10.8.9.10.Осколков Осколков Осколков сейсм.волн. ХХУП,Осколков Осколков Осколков сейсм.волн. ХХУП,А.П. Препринт ЛОМИ Р-2-83, Л., 1983,65с.

8.

9.

10.

8.

9.

10.

Осколков Осколков Осколков сейсм.волн. ХХУП,

Осколков Осколков Осколков сейсм.волн. ХХУП,

А.П. Автореф.докт.дисс., Л., 1983,*32 с. А.П. В кн.: Вопр.динам.теории распростр. Л., 1986, с.124-142.

Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1952.

Баренблатт Г.И., Ен то в В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., 1972.'

Баренблатт Г.И., Ен т о в В.М., Рыжик

В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., 1984.'

К о ж а н о в А.И. Метем.сб., 1982, т.П8, № 4, с.504-522.'

Ладыженская О.А. Сметанная задача для гипёрбо- ' лического уравнения. М., 1953.■

Ладыженская О.А. Краевые задачи математической

физики. М., 1973..

Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н.,. Линейные и квазилшейные уравнения параболического типа. М., 1967.

Showalter R.E. Paoif.J.Math., 1969, v.31, p.787-794.*

T, 1 n g T.W. I.Math.Soc.Japan, 1969, v.21, p.440-453.

Showalter R.E., Ting T.W. SIAM J.Math.Anal. 1970, v.1, p.45-67.

Осколков А.П. Краевые задачи математической физики и смежные вофосы теории функций. 9. Зап. науч, семин. ЛОМИ, 1976, т.59, с.133-177..

Гаевский X., Грегер К. ,3ахариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., 1978.

Примечание при корректуре. Наряду с задачами о фильтрации с запаздыванием ньютоновской вязкой жидкости в литературе [l], [l3],[23] обсуждается вопрос о фильтрации неньютоновских вязко- УФузлах жидкостей, при движении которых имеют место релаксация напряжений и запаздывание скорости деформации. В настоящее время показано (подробную библиографию см. в [24]), что введенный эмпирически закон Дарси о фильтрации вязкой ньютоновской жидкости может быть получен теоретически из уравнений Навье-Стокса. В следующей работе мы покажем, что близкими методами из полученных в [б - 10] уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей можно получить аналог классического закона Дарси для фильтрации вязкоупругой жидкости, и на его основе получим уравнения фильтрации вязкоупругих жидкостей.

С е й в и н с Дж. Механика, сб.перев., 1974, № 2, с.59- -II5.

Larson R.G. Ind.Eng.СНещ.Pundam., 1981, v.20, N 2, p.132-137.*

A. P. Oskolkov, M.Akhmatov. On correctness of the initial-boundary value problems for the equations of fluid filtration with delay.

Equations of the non-stationary filtration with delay of linear viscoelastic weakly compressible fluids in elastic porous media are derived. Solvability theorems for the natural initialboundary value problems for these equations are proved.

В.Н.Попов

ВОЗМОЖНОСТЬ НАРУШЕНИЯ ЗАКОНА ПОДОБИЯ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕБОЗЕ-СИСТЕМЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЕ СОСТОЯНИЕ

Введение.

Наиболее естественным предположением о поведении систем статистической физики при фазовых переходах является гипотеза подобия. Несмотря на громадное число работ, посвященных развитию этой гипотезы, она и в настоящее время не является удовлетворительно доказанной в полном объеме, хотя выполняется для ряда точно решаемых моделей.

Гипотеза подобия не доказана и для неидеального бозе-газа - модели жидкого гелия. Используемый далее вариационный принцип был развит с надеждой получить качественное описание модели бозе- газа в окрестности фазового перехода и приближенно вычислить критические индексы системы. Оказалось, однако, что развитый подход приводит к одночастичной функции Грина бозе-газа, не удовлетворяющей на самой линии фазового перехода гипотезе подобия, а именно убывающей при R = |^^"У Iпропорционально

СОф^- (R/%)^ ) ♦ где dl - размерность пространства. Такие функции при (Я =.2, и с{ =3 убывают быстрее любой степени R , но медленнее, чем экспоненциально. Этот результат явно расходится с вычислением по методу Вильсона, хотя и подтверждает выделенную1 роль размерности с1 = 4 . Заметим, что сам метод Вильсона использует гипотезу подобия, но не может считаться ее строгим оправданием. Подробное обсуждение результатов настоящей работы содержится в Заключении. Здесь подчеркнем лишь ее основную направленность - обратить внимание на возможность нарушения закона подобия в важной системе статистической физики - модели бозе-газа.

Вариационный принцип

Рассмотрим записанное в виде функционального интеграла среднее

v(7^z)> =(2Л)

где £cP /

S ^dx"vp (Т,Т) dT У (УД Н (^)dT (2.2)

есть действие,

H'lT ЦМ^Ч^Т? V^-^ Y^.T) Y?-^)+

+ i j^ywp^^T)?(уЛ) У(уЛ)^О обобщенный гамильтониан. Здесь X - химический потенциал системы, U/^-’y)* парный потенциал взаимодействия между бозе-частицами.

Используя идею интегрирования по быстрым и медленным переменным [l] , разобьем поле кр ^^Т) на медленную Хр0 и быструю ц^ . компоненты

у^Д^^+^ХЛ У(2.4)

Здесь <ро (X) - сумма слагаемых с ]~К [ < к0 , од = О в разло- 1 жении

)=(ev)2_^ея(Ки))> (2.5)

к,СО7

iy — ц; — Ц)о . Очевидно, что 1ро не зависит от Т . Обозначим'

es D ^ D у, = ^f Sqj[Yo, yJ ,<2.6>

где ^ff ~ эффективное (’’гидродинамические”) действие ’’медленных” полей kpQ ? у , получающееся после интегрирования по быстрым полям <р^ , ф5 . Для модели бозе-газа имеем приближенно

5ЧП^(^^(’^Ч^^^о^Г+^Ч©! ), !2-7>

где g =t/o - амплитуда рассеяния двух бозе-частиц, 1^* можно считать равной массе бозе-частицы W (в дальнейшем используем систему единиц с lv=kR = 2.Ш/ = 1) А в (2.7)

есть ренормированный химический потенциал. Для модели бозе-газа имеем-З/о /

A = A-2t„(4m) Ч^Т(2.а>

причем уравнение Л = О дает линию фазового перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние (см., например, [l] ). При Д < 0 система находится в нормальном состоянии, а при Д > О -в сверхтекучем.

Сформулируем вариационный принцип. Будем считать приближенным выражением Q (R) для среднего (2.1) выражение &W=<i^)W)^pCS^f[^^[^^о]) (2-9)

Здесь Ц) ^ кр определяются из условия

ScS^+Z^rji?^ о, (2.10)

а <ро (ро задаются условием:

07 ° S.S =0.•(2.II)

Условие (2.10) конкретизируется в виде системы

VY($)-A^z)^v(z)2Wz)=^

-v'^zJ-Atpiz'+c^l^)1

а (2.II) имеет вид

-7\(а)-Лу(Е)+а^(2)гу(з) = 0 ,

0(2.13)

-v ip (z) - Л у (z)+ ^ у (z) V(z) =° ■

Последняя система - это уравнение Гинзбурга-Ландау в стационарной (не зависящей от времени) форме. Уравнения же (2.12) можно назвать стационарными уравнениями Гинзбурга-Ландау с источниками. Заметим, что в (2.12) необходимо считать Ц? и ц> независимыми функциями, не являющимися, вообще говоря, комплексно сопряженными друг к другу.

Уравнения (2.12), (2.13) нетрудно исследовать, а в частных случаях их можно решить в явном виде.

Для системы (2.13) естественно искать решения, не зависящие от g • Если W > не зависят от 2» уравнения

-Лкр+^у=О?-Лу + ^^ ^ = О(2.14)

всегда имеют тривиальное решение <р = (^ = О » а при Л > О (в сверхтекучем состоянии) имеют нетривиальное решениевсегда имеют тривиальное решение <р = (^ = О » а при Л > О (в сверхтекучем состоянии) имеют нетривиальное решение

всегда имеют тривиальное решение <р = (^ = О » а при Л > О (в сверхтекучем состоянии) имеют нетривиальное решение

всегда имеют тривиальное решение <р = (^ = О » а при Л > О (в сверхтекучем состоянии) имеют нетривиальное решение

Рассмотрим сначала простейший случай свободного поля ^ ~ 0) . В этом случае должно быть Л^ 0 (условие устойчи- - вости). Если Л< 0 > <^ = 0 , система (2.13) имеет только нулевое решение ^~ ц)^ = 0 , а решение системы (2.12) есть

Go (^-у), '(2Л6)

где

&0(хЦ^^ ^кгК\Л|Л|)-1. (2.17)

^(Z)(V24<(2) + A yfzj^dz =^(Z)(V24<(2) + A yfzj^dz =Выражение S^^, [ ^ ^ Ц) J равно

^(Z)(V24<(2) + A yfzj^dz =

^(Z)(V24<(2) + A yfzj^dz =

а ^^H^o^oJ_

Первое из равенств (2.16) при подстановке Z = 5Г дает ^ (*) V С^~^о(х У ) • Подставив^в (2.9) и учтя, что ^е^^Еч^^Ч*Д^С^ ’ $ен [Ч^^ро] — ^ > получим вариационную функцию Грина £ С^ вида

2 (^-^Мх-у),12л9>

которая отличается от правильного ответа Q^^-y ) постоянным множителем е"^ •

Одномерный случай.

В одномерном случае уравнения (2.12) решаются в явном виде и для системы с взаимодействием ^^0) . Положив ip= ^е^ ф = £ ^"^, перепишем систему в виде

-(Бб^гк^У+^^^^^-ЛБ+зБ =^ ^-у), (зл)

-(ББ"- 2 S«y+ ? Y-5V) _ АБ + 3S = f1 $М ’

- 2 (КбМ1/) - 2 AS^a^S^^YM^M)-,,

Второе уравнение (3.2) имеет решение

^'=(2,^ ze(x,y)(3i3)

0 ze(x,y).

Подставив в первое уравнение (3.2), получим уравнения

Y!r + A?~"Si = 0(3.4)

s"+ AS - 3S3 = оz ё (х,у) ■

с граничными условиями

-(8 (у^)-5'у-о)) = /(3.5)

- 2S(x')(?'Cx+o)-V(x-o))= 3> 1

Дальнейшее исследование уравнений зависит от знака А . Начнемте о случая А < 0 . Интегрируя уравнения (3.4) и заменяя $ =^ , приходим к уравнениям первого порядка

s' = 2Э? * ^л1?г+ с? +^ 2£(х,у) (3.6)

S^W^Ns2-1-Y ze(x,y)'

При Л < 0 решение р (2) должно исчезать при Е —* ± оо . "Решение уравнений (3.6) на полуоси Z >^(К ^У^) даются формулами

сс2 > у ,

с

с

(3.7)

%

- z-x= "^^^W^c^^v^> а решение на всей оси получается из (З.у четньал продолжением с полуоси Z7 4;(Х+У) на полуось 2<тЦХ+у) • Здесь 9^

есть значение 91^) в точках х и (3.5) в виде ^'у-о)-^^* О) = J1-1

С через до :

. Используя условие, можно выразить. Используя условие, можно выразитьс = -2.^А >/2^7Тл|с = -2.^А >/2^7Тл|(3.8)(3.8)Само ^0 можно определить из равенства

. Используя условие, можно выразить

. Используя условие, можно выразить

с = -2.^А >/2^7Тл|

с = -2.^А >/2^7Тл|

(3.8)

(3.8)

К = |х-у|=£ \ -========(3.9)

где ^ - корень полинома 2^3 + 4 |Л| ^ + С^+р~г -

Используя полученные результаты, запишем выражение для функции Грина, даваемое нашим вариационным принципом, в виде

G (R^=e ^(х)^(yWxp^ j>^ ^^dz) , (зло)

или У'

& ^о^ (- S'f l2)^2 + ^9 ^^Ю =

Это выражение экспоненциально убывает при R=[x—у( —» о© - Для доказательства заметим, что в пределе К—►оо величины и §о должны быть такими, чтобы $^ было двукратным корнем полинома ^^+ 4 |Л| ^4-С^ -|- йГ2, . Это значит, что должны вы-

подняться равенства

+4|Л|= о,

(И,3 + 81л1?, +с = о

Исключив С » получим уравнение для ^ :

■ 4^ + АI Л| ^ - / = 0.<з-13>

Можно показать, что при R^o© функция §(Z) на интервале

X и у,(3.14)X и у,(3.14)(х?у) близка к ^ везде, кроме окрестностей точек Поэтому имеем * у. .

X и у,

(3.14)

X и у,

(3.14)

'u/rzUz = 4— ^4?— = —+ 0(i),

4м V^ м^и R + Od), что дает для функции Q ( R) асимптотику

G(R)=Ae“xR (R-~),

где

А=е g^f-^ ( (f - й)^^ф^7р +

+ “^ jV^^Ai?' ^ j v^^Xf^c^^" 5

Используя (ЗДЗ), преобразуем коэффициент (X так, чтобы была

видна его неотрицательность и ограниченность снизу

~~,3-Ь

= sjs;+^|л1 > 0'

Рассмотрим теперь случай Л > 0 • Здесь аналоги формул (3.6),

3.7) имеют вид

г е (х,у),г >у ,(3.20), 4Гх+у)<г<у,г е (х,у),г >у ,(3.20), 4Гх+у)<г<у,SA=^-^Кч+^Г z е (х,у)(ЗЛ9)

г е (х,у),

г >у ,

(3.20)

, 4Гх+у)<г<у,

г е (х,у),

г >у ,

(3.20)

, 4Гх+у)<г<у,

^= Ч?3- ^л^+гА?

So ,7

г-у- t

W4,W^ ’

So ^

у1 Jz^MAftC^27

причем эти формулы следует продолжить четным образом с полуоси ^ > -^ Г х + у) на полуось Z < 4 (X +у) . Аналог (3.8) есть

С = 2 Л - 2. б"Vp - —\(3-21)

L 9^ ^» 9 / V ?о >

верно и при Д У0 • Вместо (3.10) будем иметь

(R)=e ^^(У)^^^^? Ф-тртН2), ^*т

11= е^«р,-= е^«р,-?.?.XX(з.гз)(з.гз)ИЛИ

1

1

= е^«р,-

= е^«р,-

?.

?.

X

X

(з.гз)

(з.гз)

В пределе К—>оо величина ^^ (как и в случае А < 0 ) должна быть двукратным корнем полинома 2,Qp3—^-А^+С^ + ^Г^ и поэтому удовлетворяет уравнению d

4^13-4л?12-/я = °-4^13-4л?12-/я = °-(3.24)(3.24)

4^13-4л?12-/я = °-

4^13-4л?12-/я = °-

(3.24)

(3.24)

Как и при Л < 0 , функция G (R ) имеет экспоненциальную асимптотику ( 3.15), где

Используя несколько раз уравнение (3.24), преобразуем коэффициент (3.25) так, чтобы стала видна его положительность:

=W(ift + W^ >

Итак, применение вариационного принципа к одномерной бозе- системе приводит к вариационной функции Грина Q ( R^ с экспоненциальной асимптотикой (3.15) при любом знаке параметра Л . Определяющие асимптотику параметры ^ и А даются различными формулами ((3.16) - (3.18) для Л < 0 и (3.25) - (3.27) для Д > 0 ).

Двумерный и трехмерный случаи.

В многомерном случае ^ > 1) система (3.2) превращается в

-1 (s/s+^tv ^-ад? +2^"'p(z-x)/S(Z-y)),t4.i)

а вариационная функция Грина дается формулами

у (^)=е"у (^) Ф (7)^р (^ J^9 J^^z) Л^о, (4.2)

G (К) = С ^ффОф(у )ехр ^-^ j^-A^ У^) Л > О ■

Несмотря на отсутствие явных формул для решения системы (4.1), ее исследование не встречает принципиальных затруднений.

Рассмотрим отдельно случаи Д — 0 , Л < О » Л > О • а. Л = 0 . Здесь имеем два характерных масштаба длины

^(^f ^^ и К = | Х-у| »^о .

Рассмотрим первое уравнение (4.1) вне источников:

S 4 v2 +(V ^У — ^г = о(4.з)

Вдали от источников ( |z — x| >> Z0) |z-y| >> Zo ) членW4 оказывается малым по сравнению с двумя другими, так что8^^7^. Подставив во второе из уравнений (4.1), получим

div ((?Ч*) W) =div ((?Ч*) W) =^_(S(z-x)-^(Z - у)^_(S(z-x)-^(Z - у)(4.4)(4.4)Сделав заменуСделав замену- (4.5)- (4.5)

div ((?Ч*) W) =

div ((?Ч*) W) =

^_(S(z-x)-^(Z - у)

^_(S(z-x)-^(Z - у)

(4.4)

(4.4)

Сделав замену

Сделав замену

- (4.5)

- (4.5)

приходим к безразмерному уравнению•

^(^vX^vX^^Cz + -^)-S(T- ^,(4.6)

где 7v=(y-^/(’у-’хР единичный вектор.

Из (4.5) следует, что в области ,вдали от источников - (U=^W|z-T|, | Z-y | ) >> 7O ) имеем r v ^)г ~ —Qx,/*t^^"’^\£?a' , S'1 V2^ VL2, , так 4To(y<f)>^S V & Поэтому, как и предполагалось выше, в области вдали от источников, слагаемое S*"1 V *0 действительно оказывается существенно меньше остальных членов уравнения (4.2).

Асимптотика произведения ш^)ф ^) npnR~| У-"у| —* 00 дается формулой

° °.

Кроме того, имеем

(4.8)

^XiXi^X2 + 0(,)' -„

Интеграл j(Vx)^^ равен разности ^ (-^ — yC ^- ^1

^vX)4^2 = ^7<fv/^X)^ =

Г h ,f_(4.9)

= -^Х^<<У/) vx)^ = - ^)(^+t)*■

Из (4.2), (4.7), (4.8) следует асимптотика (x (R) приК—*oo *

^=^ “P H^^-x-l#^) M-iw причем постоянная А и разностьX ^У"?^^?) зависят, разумеется, от cL - размерности пространства.

Л > 0 . Здесь первое уравнение в (4.1) вне источников

имеет вид

(4.П)(4.П)*В v^S- +fv q^+A- з$ =0

(4.П)

(4.П)

Вдали от источников U/=mA.rLy|z~ х| JZ—Yly»^ плотность. ^ == — ^^ близка к постоянной Л ср ^ . Физический смысл этой постоянной есть плотность сверхтекучей компоненты системы (^ $ • Заменив во втором уравнении ^.^ S —^ “Sg ’ получим уравнение для (я ) :'

Его решение есть

(4.13)(4.13)7 4s§sJ3 к-у

(4.13)

(4.13)

d=S. „d=S. „

d=S. „

d=S. „

Подставив (4.13) в (4.II), нетрудно убедиться, что в области вдали от источников члены % Vo, (v ^ действительно малы по сравнению с Л и ^0^ .

- Теперь, действуя по схеме, намеченной для случая Л = 0 , получим асимптотики при К—*.

(4.14)(4.14)4W(7> = y^M'd^y ^=г

(4.14)

(4.14)

— а exp — dL\ ' ol—3£%V4^s? ^ /

еЦтН^~Л^7 °a^^^ (4,I5)

3 г\о^р K/).

а затем и асимптотику для функции Грина

£(М рт”"1 eXf ( 4Я;5У У ’ ^-i> (4.16)

В трехмерном случае & ( R ^ при R-—► оо стремится к постоянной A/j-^"2,, имеющей смысл плотности конденсата $о , и

вторую из формул (4.16) можно переписать в виде

C(KU™("L_Ve +.(4.17)

Именно такая асимптотика имеет место для функции Грина трехмерной сверхтекучей бозе-системы (см., например, [ij , [2] ).

Для сравнения с"известными результатами в (4.17) мы отошли от используемой в этой работе системы единиц с 2 m = 1 .

Для двумерных систем первая из формул (4.16) дает степенную

характерную для двумернойхарактерную для двумернойасимптотику

характерную для двумерной

характерную для двумерной

игигР-=А ot- W (4.18) сверхтекучести, причем с правильным

иг

иг

показателем степени d =.

Л < 0 • Этот случай наиболее сложен для исследования

так как здесь функции §(z)/V^p (z) перестают быть сферически симметричными вблизи источников даже в теории свободного поля (9=о) •

Рассмотрим сначала трехмерную систему (с1=3) . При ^=0 имеем

CZ)~^V|a7 (т^ -72) +.

Здесь ^ =.| Х~ЗГ|^=.|Z-*y J . Первая из формул (4.19) пока^- зывает, что плотность ^("5) экспоненциально мала везде, кроме окрестности отрезка прямой, соединяющего источник Т и "у . В качестве такой окрестности естественно возникает вытянутый эллипс с фокусами в источниках ^ и "у , большую ось кото-

рого ограничивают вершины, отстоящие от фокусов на расстояние порядка | Л •

где ^(z) дается (4 щем точки "X игде ^(z) дается (4 щем точки "X иРассмотрим теперь случай ^ ^ 0 » ограничившись малыми , константами связи Q . Подставим в (4.11)$ (И ) = ^ (^)))

где ^(z) дается (4 щем точки "X и

где ^(z) дается (4 щем точки "X и

. Получим на отрезке прямой, соединяю- у в области вдали от источников (min]"?—"х[,

(V^^ (Vp4 ^ ^ (^ ^Ч7г(V^^ (Vp4 ^ ^ (^ ^Ч7г9^9^'.(4.20)•У'.(4.20)•У

(V^^ (Vp4 ^ ^ (^ ^Ч7г

(V^^ (Vp4 ^ ^ (^ ^Ч7г

9^

9^

'.(4.20)

•У

'.(4.20)

•У

Так как з^есь <р зависит только от координаты Z , меняющейся вдоль отрезка, а производные по "поперечным" координатам рав

ны нулю, будем иметь:\

^ = TH + ^ О + "^) ’ (4-21)

—.(4.22)

.^^^ VpM

Формула (4.21) отличается от соответствующего результата свободной теории заменой 4—> 4 +oZ . Это приводит к асимптотике

(4.23)(4.23)У (7) ¥ (7) =&4та “Р (-4n R) ■

(4.23)

(4.23)

Нетрудно получить асимптотику .

^V^S^ ^42Mr-V^0(')=m

—тр£п-!^- + 0(iу

• (4.25)• (4.25)и далее окончательную асимптотическую формулу для вариационной функции Грина .

• (4.25)

• (4.25)

’ 4$ip>R\ R /1 v 7

Нетрудно исследовать и двумерный случай ^=2.) • Здесь аналог формулы (4.19) для ^ = 0 имеет вид

(4.26)

^ ^ ^7 •

В области вдали от источников ^, ^г^^о) аналог (4.21) (7^) =(№+ | (I,+у?+ ^А ,4-27>

ведет к формуле-

=VM + яу^ (^-^J +1 (z; + ^-V). <4-г8>

гдегде(4.29)(4.29)

где

где

(4.29)

(4.29)

и к асимптотике

vfwi^w®^№^ ■ ,4•зo,

Вычислив еще'^

^»Ь^г=^А (тИУ + М М-31>

получим вариационную функцию Грина в двумерном случае

. Заключение. .

Проведенное исследование показывает, что предложенный вариационный принцип дает функцию Грина бозе-систем с качественно правильной длинноволновой асимптотикой в тех случаях, для которых ответ известен. Так, для свободной теории вариационная функция Грина отличается от точного ответа лишь постоянным множителем в~^ . Заметим, что можно было бы включить дополнительный множите ль £ в определение вариационной функции Грина, с тем, чтобы для свободной теории получался бы точный ответ. Правильный качественный вид имеет вариационная функция Грина одномерной бозе-системы (см.формулу (3.15)), экспоненциально убывающая при ^—* оо при любом знаке параметра Л . Наконец, для двумерных и трехмерных бозе-систем получаются функции Грина с правильной асимптотикой при Л > 0 , т.е. в случае, когда бозе-система находится в сверхтекучем состоянии.

Наиболее интересна асимптотика вида ехр ^-^-К-^~^*^(см.(4.10)) функций Грина двумерных и трехмерных бозе-систем на линии фазового перехода, противоречащая гипотезе подобия. Напомним, что по закону подобия функция Грина в к - пространстве в пределе к—* 0 пропорциональна ' к/ ^ » ГДе ^ - соответствующий критический индекс. Метод £ - разложения Вильсона дает (см.

к =2,) г % .(5.D

<2(и+3)2 +?.

где в = 4 — d, И. - число компонент поля системы. В случае бозе-газа мы имеем дело с двухкомпонентным полем (ц= я), £=1 в трехмерном, & = Я в двумерном случаях, так что согласно (5.1)

k = J- , к.(5.2)

£350 ’6 2.25

В координатном пространстве функция Грина, удовлетворяющая зако

нунуподобия, имеет вид R 50подобия, имеет вид R 50G(R)G(R)Г "Г "d = 3с1 = гd = 3с1 = г(5.3)(5.3)

ну

ну

подобия, имеет вид R 50

подобия, имеет вид R 50

G(R)

G(R)

Г "

Г "

d = 3

с1 = г

d = 3

с1 = г

(5.3)

(5.3)

Итак, полученные выше формулы (4.10) радикально отличаются от даваемых законом подобия (5.3). Не исключено, что асимптотика вида 0Хр^-^КДо^с 0< У< 1 сохранится и в точной теории. Во всяком случае, формулы вида (4.10) должны быть справедливы в качестве "промежуточной асимптотики" при ^о < < Я < < ^ где ^ - корреляционная длина системы.

Вывод формулы (4.10) показывает важную роль фазовой переменной ^ , которая существует для двухкомпонентного комплексного поля Ц) и отсутствует для однокомпонентного вещественного поля. Именно наличие фазовой переменной ведет к асимптотикам (4.10), убывающим быстрее любой степени R . Применение подхода, аналогичного развитому в этой работе, к коррелятору однокомпонентного поля должно дать качественно другую асимптотику. Предварительные результаты в этом направлении достигнуты П.Л.Рубиным (ФИАН), пришедшим к асимптотике ( RZn-^^ Для Функции Грина однокомпонентного бозе-поля в трехмерном пространстве на линии фазового перехода. Метод Вильсона дает в этом случае асимптотику * 54, практически не отличающуюся от асимптотики

(5.ЗУ в модели двухкомпонентного поля. Таким образом, метод Вильсона не чувствует возможности уменьшения коррелятора за счёт флуктуаций фазовой переменной.

Остановимся, наконец, еще на одном результате настоящей работы, а именно на формулах (4.25), (4.32) для трехмерной и двумерной функций Грина выше фазового перехода (Д < 0) в пределе {^>оо . Эти формулы указывают на то, что у соответствующих

функций Грина Q( к) в к -пространстве ближайшая к началу координат особенность не есть простой полюс, а имеет более сложную структуру. Если бы ближайшей особенностью G ( к) был простой полюс в точке к = ^^, то асимптотика коррелятора в коор

динатном пространстве была бы пропорциональна R ехр а ( d - размерность пространства). Заметим, что хотя вычисления

по теории возмущений дают, как правило, особенность типа простого полюса для (ж ( к) , строгие утверждения о наличии именно простого полюса у Q ( к) в литературе отсутствуют.

Автор благодарен за обсуждения П.Л.Рубину, пришедшему к выводу о возможности нарушения закона подобия при фазовом переходе

в модели однокомпонентного скалярного поля.

Литература

П о п о в- В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.:Атомиздат,197Б,

Боголюбов Н.Н. К вопросу о гидродинамике сверхтекучей жидкости. Препринт ОИЯИ Р-1395, 1963.

Wilson К., К ogu t Ge Phys.Reports 0,. 1974* v.12, N 2, p.75-200.

V.N.Popov. On the possible violation of the scaling law for,phase transitions of Bose systems.

A variational principle is suggested for the approximate calcu^lation.of Green’s functions for Bose systems. At the phase transition line the Green’s functions obtained decrease faster than any negative power thus suggesting the scaling law is violated.

А.Г.Рейман, М.А.Семенов-Тян-Шанский

АЛГЕБРЫ ЛИ И ЛАКСОВЫ УРАВНЕНИЯ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

’ Лаксовы уравнения с эллиптическим спектральным параметром впервые появились в работе Е.К.Склянина [l] . Пуассонова структура таких уравнений первоначально исследовалась с помощью метода классической Ч/ - матрицы (который также был предложен в [I] ). Позже выяснилось ( [2] ), что Ч/ - матричный формализм тесно, связан с так называемой схемой Костанта-Адлера [3, 4, 5] . Один пример применения этой схемы к лаксовым уравнениям с эллиптическим спектральным параметром рассмотрен П.И. Голодом [б] , изучившим введенную ранее А.В.Михайловым ’’эллиптическую” алгебру Ли. Представляется полезным дать общее изложение этой теории. За основу мы выбираем класс алгебр Ли, введенных И.В.Чередником [?] в связи с теорией ^ - функций и пользуемся 1/ - матричным формализмом работы [2] . Это позволяет с единой точки зрения рассматривать все известные и ряд новых примеров - волчки Клебша и Стеклова, системы взаимодействующих волчков и др. (ср. [в] , [9] ).

Наша задача в предлагаемой статье отчасти методическая; по нашим наблюдениям, даже специалисты плохо понимают связи между различными существующими подходами. В статье дается эффективное описание гамильтоновой структуры лаксовых уравнений и связанных с ней пуассоновых подпространств и орбит. (Полезное методическое замечание состоит в том, что орбиты совершенно не зависят от эллиптической кривой.) Мы также приводим сравнение различных постановок задачи факторизации, связанной с решением лаксовых уравнений * задачи Римана и пока менее популярной задачи Кузена. По недостатку места мы не касаемся алгебро-геометрических аспектов теории (ср. [ю] ). Мы не рассматриваем также квадратичные скобки Склянина (ср. [ll] ). По поводу общей теоретико-групповой схемы, связанной с квадратичными скобками, ' см. [2] ч [12] .

§ I. Основная конструкция.

- Все дальнейшее изложение основано на следующей теоретикогрупповой конструкции интегрируемых систем (см. [2,3,4,5]).

Пусть ^- алгебра Ли, ^- двойственное пространст

во. Скобка Ли-Пуассона в Я* определяется тем, что для ли-

нейных функций на 64, т.е. для элементов алгебры ^ ,

она совпадает со скобкой Ли в CJ . Центр I (Ор скобки Ли- Пуассона (кольцо функций Казимира) обстоит из функций, инвариантных относительно коприсоединенного действия в ^•

Классической Т - матрицей называется линейный оператор R , в пространстве 64 такой, что скобка

wir-KM^^ и.»

удовлетворяет тождеству Якоби и, следовательно, задает вторую структуру алгебры Ли в ^• Эта структура порождает в прост

ранстве 0|< вторую скобку Ли-Пуассона, которую мы будем наг- зывать R - скобкой*

Основной пример t - матрицы следующий.. Предположим, что алгебра ^ представлена в виде линейной сумма двух своих подалгебр, ^в^++^-» и пусть Р± - проекторы на ф па^- раллельно ^^• Положим

R-P+-P_(1.2)

В этом случае R - скобка - ’’прямая разность” скобок Ли-Пуассона в иг + и И .

ТЕОРЕМА I. I ) Функции из I (^) находятся в инволюции относительно R - скобки в ^. tl ) Уравнения движения в

0| , задаваемые гамильтонианом Н G I (^) относительно R - скобки, имеют вид

4г— d/ol*R(M)-L<1-3)

где И — d/H (L) , а act обозначает коприсоединенное действие в CJ относительно исходной скобки Ли. Для *V - матрицы (1.2) уравнения движения принимают вид

at~

где М± = fc Р± М.

Если в алгебре ^ имеется невырожденная инвариантная билинейная форма, позволяющая отождествить ^* с ^ и ad* с aa , то уравнения движения принимают коммутаторный лаксов вид ^/Л L - [L, RM]-[L, М±] .

Геометрический сшсл Теоремы I проясняется при переходе к соответствующим группам Ли (4, 5] . Мы сформулируем результат

для 1/ - матриц вида (1.2). Пусть G - группа Ли с алгеброй

Ли 6^ , Qj. - подгруппы, отвечающие подалгебрам б^ .

ТЕОРЕМА 2. Факторизация однопараметрической подгруппы eiptM,

М - Ан (L),

e^tM-^W1^^),(Е5)

где (^(t)дают решениегде (^(t)дают решение- гладкие кривые в подгруппах G + , Q±(o) = 1, уравнений движения (1.4):°

где (^(t)

дают решение

где (^(t)

дают решение

L(t) - Ad^tW'L .

Итак, для построения интегрируемых уравнений в (^ нужно указать:

1/ - матрицу, или разложение ^ — ^+ 4- ^- ;

пуассоново подпространство (или орбиту) для R - скобки - фазовое пространство системы;

гамильтониан - инвариант коприсоединенного действия.

Ряд интересных приложений изложенной конструкции связан с так называемыми аффинными алгебрами Ли [2-5] . Ниже мы опишем более общий класс алгебр Ли, впервые введенный (в несколько других терминах) И.В.Передником [7] , которые приводят к многополюсным лаксовым операторам. Поскольку конструкция нетривиальна и в рациональном случае, мы начнем с него.

§ 2. Гамильтонова структура рациональных L - матриц.

Пусть ^ = 5v(M/;C) (без труда можно рассмотреть и более общие полупростые алгебры Ли). Зафиксируем конечное подмножество Ж С СР1 = С U { «]; мы считаем, что С S).

Пусть Х^=Х-'))'^€®,<)^<», И X ^ = - (Д -

локальный параметр в точке <^ . Положим

^-^ectMl.v.l-- ^«ciUJl,^-®^.

(по определению, алгебра ^^ состоит из формальных рядов без свободного члена). Пусть ^ (2)) - алгебра Ли рациональных функций на С Р1 со значениями в ^, регулярных вне

© . Разлагая функции из 6j< (®) в ряды Лорана в точках

^ g SD • получаем естественное вложение ^(®)—**^до •

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.Li)Имеет место прямое разложение ^$-^+^(Я). н) Скалярное произведение на 0^, задаваемое

формулой

(Х,У) = g Ressk(Xsys)U(2.1)

невырождено. При этом подалгебры 0|^ и ^(©) изотропны, что позволяет отождествить (^)* с пространством ^(50) •

Оба утверждения - переформулировки теоремы о разложении рациональной функции на простые дроби (обратим внимание на условие нормировки в оо ),

Другая модель пространства f 01^ связана с разложением ^й “ ^® * ^® ’ где ^»=^®wty®x^[X->]® ^®в[х2].

В этом случае (6^$)* отождествляется с ^^; элементы

алгебры 6^^ можно интерпретировать как наборы главных частей рациональных функций в точках ^ е ® . Связь двух реализаций - отображение ^^—*^(®)» сопоставляющее такому набору рациональную функцию. Ясно, что орбиты алгебры ^^- прямые

произведения орбит слагаемых. Орбиты алгебры 6^^ нетрудно описать. Мы ограничимся следующим грубым результатом (более подробно см. [14] ).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Подпространство полиномов от Х^ фиксированной степени инвариантно относительно коприсоединенного представления алгебры 6^.

Таким образом, задавая предельные порядки полюсов в точках ^ G Я) , мы получаем пуассоново подпространство в С| (®) . Орбиты в таком подпространстве - это орбиты корректно определенной конечномерной группы Ли (ее алгебра Ли - фактор ^^ по идеалу конечной коразмерности). Например, если все полюсы простые, то эта группа совпадает с У SL (М/,С); полюс по

рядка 2 добавляет сомножитель 5L(W/}C)x ^ (полупрямое произведение группы 5L(^>C) и абелева нормального делителя ^ = S^(W;C ). Описание орбит, связанных с точкой <* (выделенной условием нормировки), столь же несложно.

Обозначим Ро проектор на 0^(3)) в разложении ^*^4- ^(^), Легко видеть, что он задается формулой

Р.Х W - П Res, г(Х,Ях< ^, *,2'2)

где 1 (X,jH) = t/X-jU,; t- - единичный оператор в 6^ . Таким образом, с разложением О^ —6^+0|($)) связана стандартная

рациональная 1/ - матрица,.

Мы не останавливаемся на описании инвариантов алгебры 0^$ и связанных с ними лаксовых уравнений, т,к. ниже это будет сделано для эллиптического случая.

ЗАМЕЧАНИЕ. Множество 8), входящее в определение алгебры

^^ , можно считать и бесконечным, если при этом заменить прямую сумму © на ограниченное прямое произведение U (по определению, его элементы - бесконечные наборы рядов, причем все они, кроме конечного числа, не содержат отрицательных степеней локального параметра). Удобно считать просто, что Ж » С Р^. Это приводит нас к адельному языку И.В.Чередника.

5 3. Эллиптические алгебры.

Мы опишем другое разложение алгебры ^^ в сумму дополнительных подалгебр, связанное с эллиптическими функциями. Как известно, в эллиптическом случае имеется препятствие к построению рациональной функции с заданными главными частями (теорема Миттаг-Леффлера для кривых). Для того, чтобы его обойти, используется редукция в смысле А.В.Михайлова [13] , т.е. накладываются условия автоморфности (такая редукция возможна, конечно, и в рациональном случае, где она приводит к тригонометрическим 1 - матрицам и 1/ - матрицам, инвариантным относительно бинарных групп многогранников). Прежде чем построить само разложение, мы приведем необходимые алгебраические факты.

Гейзенбергово представление. Определим проективное представление группы Z^ = Z/tiZ к Ъ/чСЪ в С*1 • Пусть

Vz . (зл)

L ен L i. .. о Jа а

Для 01 - ^оь1? ла) е Z^ по определению полагаем Та — Tf 1Т 2 * Легко проверить, что

(3’2)

где <0/,6> = 0/21>1-а168. Представление Т неприводимо. Соответствующее представление группы *1^ автоморфизмами алгебры ^t (и,}С) , &«Х=ТаХТ' , эквивалентно регулярному, то есть содержит все характеры группы Z^ по одному разу. Действительно, матрицы Та , 01 G Z^,, образуют базис в бП(и,С), и из (3.2) следует, что 0/о Т& = екр-^ <а,Ь> Тд .Очевидно,

подалгебра Sv (^ С) инвариантна относительно этого представления*

Эллиптическое разложение. Пусть Е - эллиптическая кривая, Е = С/( 2 &i +2 йа)» Отождествим группу с подгруппой Е^ точек порядка И/ , сопоставляя (OUi)Oba)i—► -^; (^(й^^йД Группа Еч действует на Е сдвигами. Зафиксируем Е^ - инвариантное конечное множество S в Е » и пусть множество Sb содержит по одному элементу из каждой Е^ ” орбиты в 5 » так что S — Е^ • 5Ь . Положим, как и в § 2,

^-Ф^еМ^ХЛ], ^- ® ^®С[[Х,]],С|-б1(н,С). •1 Ом

Пусть &$ - алгебра Ли мероморфных функций на Е со значениями в sl(^,C) • регулярных вне S и удовлетворяющих условию автоморфности

ЦХи.)-!.*^)^ .(3.3)

(3.4)(3.4)ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. v ) Имеет место разложение' Ч» = Ч® + 6s •

(3.4)

(3.4)

Н ) Подалгебры О^ , б g изотропны относительно билинейной формы.

(Х,У) = Z2 Re&iHQW<h.

Спаривание (3.5) позволяет отождествить (^^) с Eg •

необходимо и достаточно, чтобы 222 ResaX^dXнеобходимо и достаточно, чтобы 222 ResaX^dXДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование разложения (3.4) эквивалентно существованию автоморфной эллиптической функции с заданными главными частями . Х^ .По теореме Миттаг-Леффлера для этого = 0 • Так как

необходимо и достаточно, чтобы 222 ResaX^dX

необходимо и достаточно, чтобы 222 ResaX^dX

ДЛЯ О/ е Е Х>| 4.а — Т^ Xs Т~А , сумма вычетов равна нулю в силу (3.2). Единственность следует из неприводимости гейзен- бергова представления и условия t^ X — О (это условие заменяет в эллиптическом случае условие нормировки). Утверждение (н) очевидно...

Из приведенного доказательства видно, что для.каждого С/ Е Е^ существует единственная автоморфная функция ^ с простыми полюсами в точках Е^ , удовлетворяющая соотношению

(3.6)(3.6)W п о, ^а)W п о, ^а). Очевидно, главная часть функции. Очевидно, главная часть функции-к-1-к-1

(3.6)

(3.6)

W п о, ^а)

W п о, ^а)

. Очевидно, главная часть функции

. Очевидно, главная часть функции

-к-1

-к-1

и нормированная условием Res. ^ dX =1 . Положим ^ Фм_(1^ (Г ф

'Р^ в X = о равна X К 1 . Функции Ч£}(X--))ТЛ , S е Sb, К > О, d ^=0j образуют базис пространства 6 g . -

Нетрудно проверить, что проектор Ро: ^—- б§ параллельно CJ^ задается формулой (2.2) в которой

г(Х,^) =(3.7)

uа^о'

- эллиптическая Ф - матрица, указанная в [is] (оператор Т-а®Та действует в st (Л, С) по формулеХ*->к(ХТа)Т_а).

В базисе Ц> ^ Та проектор Ро записывается следующим образом: если {, - Е Е с„ Х?- Та , то

р. L - Е Е ь„ ч1” (х«.в)

1К>0 ои

Лаксовы уравнения. Применим теперь общую схему из § 1 ' к разложению (3.4). Так как 65 =(^а) » то пуассонова структура и орбиты в б5 нам,по*существу, уже известны: отображение Ро | ^ '* ^^ —► б s,сопоставляющее набору главных частей автоморфную функцию, отождествляет скобки Ли-Пуассона в 6 $ и ^^ . Отметим, в частности, что пуассоновы структуры в разных полюсах независимы.

Инварианты алгебры 0^ имеют вид

■^,q>(L) = C ResJ^^UdX,(3.9)

где Ф^ G I (ф , |i £ С [ XV, XJ] , . Градиент функционала (3.9) равен М - © ^ |Wti Ф^ (LJ • Лаксово уравнение с гамильтонианом (3.9) имеет ввд

4^ =[L,M0], М0--Р0М, (ЗЛО)

где проектор Ро задается формулой (3.8).

На алгебре 6g определены также инвариантные функционалы вида XU'PWlx, где Л €. Е х S • Легко видеть, что они

НО

выражаются через функционалы вида (3.9), Например,Res^^(L)dX= = ^ Кез^-^ф (d)clX , Где ^ w любая Е^ ~ инвариантная мероморфная функция регулярна вне SU (E^+dl) и такая, что 47 — |Л регулярна в d .

Отметим, что при сужении на подалгебру £s некоторые из функционалов (3.9) обращаются в ноль. Именно £□Res^q/9(L)dX =0 для L Е Е з , если У - Е н - инвариантная мероморфная функция на Е ♦ регулярная вне S •

Задача Кузена. Мы сформулируем-глобальную теорему о решениях уравнений (3.10). С этой целью заметим, что для L Е 65 формальный ряд М^ * ^^tadcp^(L) можно считать сходящимся,, так что Ms (L) - мероморфная функция в окрестности X . Действительно, в формуле (3.9) можно заменить ряд js на его конечный отрезок, не изменив значений ^ на любом наперед заданном пуассоновом подпространстве в 65 > состоящем из функций с полюсами ограниченных порядков. Далее, при достаточно малых t G С существует единственная матричная функция ^о(Х}1) на Е , голоморфная вне S • удовлетворяющая условию автоморфности (3.3) и такая, что функции (ехр1М^)(|о регулярны в окрестности точек S Е 8) .Из теоремы 2 (§ I) вытекает "

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Интегральная кривая уравнений (3.10) с гамильтонианом (3.9), выходящая из точки LC Е$ , имеет вид

Задача факторизации, описанная выше - это матричная задача Кузена.

А Г 1

Иерархия скобок Пуассона. Пусть ^^I^sjsg^ ~

набор положительных целых чисел. По определению, пуассоново подпространство £ (vt) в - 6 $ состоит из функций, имеющих в точках ^ Е 5Ь . полюса порядков не выше 4Ц . Оказывается, на

Е(и) имеются и другие скобки Пуассона, относительно которых гамильтонианы (3.9) коммутируют и приводят к лаксовым уравнениям типа (3.10). Как было замечено в [51 (см.также [141 )> существование таких скобок Пуассона связано с наличием в алгебре 0^ инвариантных скалярных произведений, отличных от (3.5). В применении к эллиптическим алгебрам это наблюдение использовалось в [б] , а в случае уравнений Клебша и Стеклова связь двух скобок Пуассойа обсуждалась в [91 .

Пусть |- Е ^-инвариантная мероморфная функция на Е ,

нули и полюса которой содержатся в множестве S • Очевидно, умножение на | отображает алгебру 6^ на себя. ДляХ,У^^

положимположим(Х,У)^ =С ^^(XiY^dX.(Х,У)^ =С ^^(XiY^dX." (З.П)" (З.П)

положим

положим

(Х,У)^ =С ^^(XiY^dX.

(Х,У)^ =С ^^(XiY^dX.

" (З.П)

" (З.П)

Скалярное произведение (З.П) инвариантно и отождествляет^^)/ с {* о$ * 65; при этом возникающая на 8S скобка Ли-Пу

ассона отличается от рассмотренной ранее и переводится в нее умножением на |. Подпространство б (Л) является пуассо

новым для новой скобки в том и только том случае, когда порядок полюса функции в точке ^ не превосходит 4Ц для всех ^} i =1Г..)М . В этом случае спаривание (З.П) задает на 6 (iv)

другую скобку Пуассона с тем же запасом лаксовых уравнений; число таких скобок равно числу функций | с указанными свойства^- ми.

Ещё одно эллиптическое разложение. Существует еще один вариант построения многополюсных уравнений, не использующий алгебры формальных рядов. Зафиксируем, помимо 5» еще одно

Ея - инвариантное множество 5 на Е , не пересекающееся с S . Тогда имеет место разложение на подалгебры 65^5^ — 65г +6§ , и подалгебры б5) б5' изотропны относительно скалярного произведения (Х,У) = 23 Res^H (X,Y)dK. К алгебре

^SUSr можно применить общую схему из § I. При этом удобно рассматривать гамильтонианы вида

H(L)-C Res. 4>(X)T(L(X))dX,(3.12)

где Ф GI (ф » Ф * E я - инвариантная мероморфная функция на Е , регулярная вне SUS* . Градиент М-(pul Н (L) легко вычисляется: М « ф (|wL Ф(Ь) . Заметим, что на любом пуассоновом подпространстве в б g > состоящем из функций с ограниченными порядками полюсов, произвольный гамильтониан вида (3.9) совпадает с некоторым гамильтонианом вида (3.12). Частным случаем алгебр £ &и^ являются алгебры, рассмотренные в [б] , где они определялись с помощью конкретной системы образующих.

Легко показать, однако, что эта конструкция сводится к предыдущей. Действительно, имеется каноническое вложение 65^3»—► ^ ^90 ♦ сопоставляющее функции из б $и&г набор ее рядов Лорана в точках i G 5b • Это вложение согласовано с разложением на подалгебры. Очевидно, 6 $' отображается на плотную подалгебру в 0| $. Определенное выше скалярное произведение

112.

на ^SUS* согласовано с билинейной формой (3.5> в CJ^ . Отсюда вытекает, что пуассонова структура пространства s как двойственного к 6 $# совпадает с уже рассмотренной пуассоновой структурой на £ § как двойственного пространства к алгебре рядов ^^. (Строго говоря, в связи С различием

топологии в Б зг и OJ^ пространство ^^ есть лишь инвариантная часть полного двойственного пространства к алгебре

б ^г•) Теперь ясно, что лаксовы уравнения движения на & s порождаемые разложением алгебры £$и5, » от выбора множества

5 фактически не зависят и совпадают с (3.10).

С разложением 6 $и5» * 6S» + €s связана матричная задача Римана, состоящая в построении SL(M/,C) - значных функций ^(ХЛ), ^„(Xjt) * регулярных вне ь (вне 5 ), удовлетворяющих условию автоморфности ^ ^X+a,t) = Та(|+(Х?1) Т^ и таких, что expt И = ^ (|. (М = ytad H(L)) . Легко видеть, что эта задача Римана согласована с задачей Кузена из предыдущего пункта, именно, функции ^0 и ($_ совпадают. Таким образом, обе формулировки оказываются эквивалентными.

■ § 4. Примеры.

Взаимодействующие эйлеровы волчки. В обозначениях предыдущего параграфа рассмотрим алгебру £ 5 > S = Е ч • & ,'

— {^1г-ч^н} • Факсов оператор с простыми полюсами в S имеет вид L(X) sZ2С^^^ХjTa. Функции са^ - линейные функции ^а пространстве © st W* . Функция H^-ltL^X)2, задает на © st (w) семейство квадратичных гамильтонианов в инволюции. Прскольку Н ToL^-as ёа1аг , ОЬ ■* (d4, d2) и

Н Т^ Tg = 0 при О/ /= - 6 , получаем

Н(Х)-Ч2 Е ё^С^С- ^(Х-^Ч^Х "U (4.1)а^о *4’*

Легко выписать соответствующие лаксовы уравнения; для этого представим (4.1) в виде (3.12) при р = E-n ^: H(v)= - х^л^Х ■ ^ Res^ Ч (X -S) Ч& (X -Sk) ttL(X) dX. Вычисляя 8gi - ком^ поненту градиента, получаем уравнение i_L=[L,M^] , где

М,<Х) = -2^ЕVa(x-»)Ta м-г’

rI CLА/ I CLCL

При N =1 формула (4.1) дает два независимых гамильтониана. Действительно,-легко показать, что ^(Х^.а^Х) — ^(X) + 3a, где tf(X) не зависит от 0/ , a Ja = COHst . Поэтому из (4.1) получаем ''

k L (X)2 - * С €аЛ са с.^^ к) + Ja).a^O

Первое слагаемой есть функция Казимира на st (tv) , второе заг- дает нетривиальное уравнение движения. В частности, при н «2 получаем (комплексифицированныйГ волчок Эйлера. При N =2 аналогично получается комплексифицированный волчок Манакова на So (4, С) * б1(2)С)ф st (2, С) . В наиболее интересном случае W=2 гамильтониан (4.1) описывает систему взаимодействующих st(2,С) - волчков. Мы увидим ниже, что эта система допускает редукцию к системе ЗЦ/(2)~ волчков. Можно показать, что квадратичных интегралов движения в этом случае достаточно для полной интегрируемости. В квантовом случае гамильтониан (4.1) при W «2 рассматривал М.Годен [1б] .

Взаимодействующие волчки Лагранжа. Рассмотрим L - матрицу с полюсами второго порядка:

ЦК) -СК ( «.. Ф/Х -t^R.l ^aV A))L-«-И

а^о t

Пусть Щ/ - полупрямая, сумма st (л) и абелева идеала V = - dt (и) , на котором алгебра stW действует присоединенным представлением. Фазовое пространство, связанное с лаксовым оператором (4.3) - прямая сумма ®£ Ш # . Функции W/a^ } pai - линейные координаты на sl(n) и V , соответственно; и имеют стандартные скобки Ли-Пуассона. Имеем

кЦХ)-^ЕСёа1аа{*%Л.^ а^ом ь ’1

1(4.4)

В наиболее интересном случае И/ =2 » QOtt/ *=е (3>) — комплексифици- рованная евклидова алгебра движений. В этом случае также имеется редукция к вещественной алгебре в(Э) .

Устройство орбит алгебры е(3) хорошо известно. Для того,

чтобы дать механическую интерпретацию гамильтониана (4.4), не нужно их детального описания. Заметим вместо этого, что переменные Ш 3 р на е (Ь) можно выразить через канонические переменные на кокасатрльном расслоении к группе 5L(2,}€) (или, после перехода к вещественной форме, на группе 50 (3) ) • А именно, пусть т so (a) - 30(a) х. so (5)*- кокаоательное расслое

ние, тривиализованное с помощью левых сдвигов. Зафиксируем вектор Е V*^ R* и зададим отображение JLM.T 50(5) —*е(&); (k^^i-^Wz+l^ |. Это отображение пуассоново. Пространство Т 50(5) - это фазовое пространство твердого тела с закрепленной точкой (волчка Лагранжа). Мы видим, что вектор peV линейно выражается через координаты волчка. Таким образом, гамильтониан (4.4) интерпретируется как гамильтониан системы N взаимодействующих волчков; последнее слагаемое интерпретируется как взаимодействие моментов импульса волчков с вмороженными в них магнитными

моментами.

Случай Клебша. При N =1, я = 2» гамильтонианы (4.4) имеют другую механическую интерпретацию, связанную с движением твердого тела в жидкости. Удобно изменить обозначения и перейти от матриц Тх к матрицам. 5а = i/1^ Та • так что L(X) = »C(wVWiW*Pa^^ При этом новые переменные ш^^р^ имеют смысл кинетического момента тела и полного импульса жидкости. Из соотношений фа(Х)=^(Х)+За,следует, что среди гамильтонианов (4.4) четыре независимых. Первые два К р^ и Z2 ^рд - функции Казимира алгебры е(3) . Остальные два имеют вид ([9])

(4'я

В лаксовом представлении им отвечают 'матрицы М £ а нипя

M1(X)-gp1V.(X)6e

«ДХ) - -g((|M.)ftWX)+^

а^о

Гамильтониан (4.5) соответствует интегрируемому случаю Клебша движения твердого тела в жидкости.

Вещественные формы. Для простоты ограничимся случаем прямоугольной решетки_периодов , так что на Е определено сопряжение 6 : X н-> X , которое на точках периода К/ дейст-

вует как б:(^,аа) (0^, - CLа) . Предположим,_что_точки ^,...^ N вещественны. Тогда антиинволюция L (X) i► L ( X) в алгебре

^g)' сохраняет подалгебру £5 . Переходя к неподвижным точкам, мы получаем эллиптическое разложение алгебры

^®8^®к[х;>Д: <}^

При *_—2. имеется более интересная антиинвелюция L (X) •—►

-L^ (X), приводящая к эллиптическому разложению алгебры

^©^ SU (Й) ®R[Xq}X^31 . Соответствующая"унитарная” эллиптическая подалгебра состоит из матриц вида

L(X)-ECoaii <’(Х-^)6аа*о i,j *’

где коэффициенты С^и вещественны, а ^ - матрицы Паули, 6 04 =^01) 6 ю -Л\о, 6u-iTu .При *v >й получить редукцию к вещественной форме su^w) не удается.

Дополнительные редукции. Волчок Стеклова. Имеется еще одна нетривиальная редукция, связанная с инволюцией L(X) i—► ' ~Ц-Х) ( [9, 17] ). Пусть 2) -{0)S1,-')1,...,')N, -SN J , так что эта инволюция^сохраняет ^ и &g . Рассмотрим в 6^ подалгебру 01 lve* , неподвижную при этой инволюции. Очевидно, имеем разложение CJ^ — а-^+ б^• Двой

ственное пространство к gieve* естественно отождествляется с хм odd,iax^even+x*

^g); в частности^, моделью сопряженного \фь )

служит пространство 6 8 нечетных автоморфных эллиптических функций с полюсами в S-=EW-Sb. Имеем, очевидно,^ -^®С[[ХБ © © ^^^. Таким образом, на пространстве, б^ индуци

руется уже знакомая нам пуассонова структура двойственного пространства к алгебре формальных рядов. (Заметим, что этот пример нестандартен с точки зрения обычного ф - матричного формализма т.к. связанная^ ним 1/ - матрица неунитарна.) Гамильтониан вида И L(Xy на алгебре 6g описывает системы взаимодействующих волчков, отличные от (4.1). и (4.4).'

Рассмотрим, например, фазовое пространство L - матриц с простыми полюсами в точках t^, ±^8 ,.

LW-n{%(,4'.(X.iJ)»VX-l,)>«a(.'<l1(Xt%)Wa(X-<a))}6a.

Это фазовое пространство есть (sw(2)® SU/(2)) со стандартной скобкой Ли-Пуассона. Вычисляя вычеты функции Н L (Х)а в точках X —^£ и X -^а получаем гамильтонианы

н, - еЛиХ^^ЛЛО.А) + ШЛ)))

На - С Й WaH М» (Ш И2) - Фа (^ -^))). а

Добавлением функций Казимира C^ZLu^ и Сг = 22^д гамильтонианы Н* и Н2 можно привести к виду

н, - С(А2а<-аА-иЛ)

ИтОа

Н,.«Е^<-г^М.),а^оп

где А-П Аа и параметры Ад независимы» Гамильтонианы (4.6) отвечают интегрируемому случаю Стеклова на SO (4) [в] .

Аналогично, рассмотрим фазовое пространство матриц с полюсом 3-го порядка в точке So = о , то есть L (X) = С (♦%, Фд (X) + + Рои ^а \^))^о- ’ nPmeM скобки Пуассона переменных Ма, ра совпадают со скобками Ли-Пуассона алгебры е (3) • Инвариант UL (X)2 приводит к следующим гамильтонианам ( [9] У:

н, -Е^ЗЛРаЦ^ Ч V Vl)

Нг- Е (,3aw^+(3-3a)3a№apa4-^-(3-fla) Э.р2), а^о

где обозначения те же, что и в п.4.3, Гамильтониан (4.7) соответствует интегрируемому случаю Стеклова движения твердого тела в жидкости.

Лаксова матрица с простыми полюсами в точках 0, ±^ также приводит к волчку Стеклова на 50 (А) . Отметим, что предел S —► о соответствует контракции 50 (А) —► е (5) •

Литература

Sklyanin Е.К. On complete integrability of the Landau - Lifschitz equation. Preprint LOMI Е-3-7Э» Leningrad 1979.

Семенов-Тян-Шанский M.A. - Функц. анализ и его прил., 1983, 17, * 4, 17-33.

ReymanA.G., 3 emenov-Tian-Shansky

M.A. - Invent math., 1979, 54, 81-100.

ReymanA.G., 3 emenov-Tian-Shansky

M.A. - Invent math., 1981, 63, 423-432.

P e й м а н А.Г. - В об.: "Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика Ш". Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.95, Л. I960, с.3-54.

Г о л о д П.И. - Докл. АН УССР. Сер.А, 1984, № 5, 5-8.

Чередник И.В. - Функц.анализ и его прил., 1983, 17, . № 3, 93-95.

В е о е л о вА.П. - Докл.АН СССР, 1984, 276, № 3, 590-593.

БобенкоА.И. - Функц. анализ и его прил., 1986 , 20,

№ I, 64-66..

Чередник И.В. - Изв. АН .СССР, Сер.мат., 1983, 47, * 2 , 384-406..

Чередник И.В. Докл.АН СССР, 1983, т.271, X I, 51-55.

3 emenov-Tian-Shansky M.A. - Publications RIMS Kyoto University, 1986, v.21.

Mikhailov A.V. - Physica D, 1981, 3D, 73-117.

К у л и ш П.П., Рейман А.Г. В кн.: "Вопросы теории поля и статистической физики. Ш" (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.123) Л.» 1983, с.67-76.

Белавин АД. - Функц.анализ и его прил. 1980, 14, в.4, 18-26.

Gaudin М. — Journal de Physique, 1976, 37, К 10, 1087-1098.'

Г о л о д П.И. Конечнозонное расширение гамильтоновых уравнений задачи Кирхгофа. Препринт ИТФ-84-87Р. Киев, 1984, 21 с.’

A. G.Reyman, M.A.Semenov-Tian-Shansky. Lie algebras and lex equations with spectral parameter on an elliptic curve.

Lax equations with elliptic spectral parameter are treated using a general Lie-algebraic scheme based on the notion of classical *t -matrix. Several concrete examples of interacting tops are discussed.

М.А.Семенов-Тян-Шанский

ПУАССОНОВЫ ГРУППЫ И ОДЕВАЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

*Введение

Одевающие преобразования введены в [I] , [2] как средство размножения решений нелинейных уравнений. Теоретико-групповые свойства одевающих преобразований (т.е. закон композиции) были замечены не сразу. Впервые они привлекли внимание после того как группа японских математиков (М.Сато, Т.Мива, М.Джимбо, М.Касива- ра, Э.Дате) определили одевающие преобразования совершенно другим способом в серии работ [3] , [4] , [5] , (см.также [6] ). Связь двух определений не является очевидной. Впервые она была отмечена, по-ввдимому, в [7] . После этих работ закрепилось отношение к группам одевающих преобразований как к динамическим группам или группам скрытой симметрии интегрируемых систем. В самом деле, эти группы транзитивно действуют на широком классе решений нелинейных уравнений. Потоки, порожденные коммутирующими интегралами движения, естественно включаются в эти группы в качестве максимальных коммутативных подгрупп,. Имеется, однако, существенное обстоятельство, отличающее группы одевающих преобразований от обычных в классической и квантовой механике примеров: эти преобразования йе сохраняют скобки Пуассона. Это обстоятельство выглядит тем более озадачивающе, что скобки Пуассона для Интегрируемой системы строятся по той же самой задаче Римана, которая входит и в определение одевающих преобразований [8] . Таким образом, между двумя объектами, несомненно, должна существовать связь, но эта связь оказывается нетривиальной. Ключ к объяснению этого явления дает теория пуассоновых групп Ли, развитая В.Г.Дринфель- домДЭ] вслед за пионерской работой Е.К.Склянина [10] , в которой были определены классические Т-матрицы.'Пуассоновы группы Ли - это группы Ли, снабженные скобкой Пуассона такой, что умножение G х G G- - пуассоново отображение. Летом 1984 г. В.Г.Дринфельд обратил внимание автора на то, что групповые действия в категории пуассоновых многообразий не сохраняют скобок Пуассона. Вместо этого естественная аксиома состоит в том, что действие G х ^^ - пуассоново отображение. Тогда же

автор предположил, что одевающие преобразования задают пуассоново действие группы в смысле этого определения. Полгода спустя это утверждение было доказано [ill . Предлагаемая статья представляет собой несколько более подробное изложение части результатов,

описанных в [ll] . Интерес предлагаемого, результата связан не только с тем, что он дает точный ответ на естественный вопрос: он указывает на нетривиальное поведение группы одевающих преобразований при квантовании. В самом деле, поскольку при квантовании скобки Пуассона заменяются на коммутатор, сама группа должна превратиться в квантовомеханический объект. В настоящее время мы располагаем достаточно, общим определением и описанием "квантовых групп" [12] , [131 , [14] . Построение квантового аналога одевающих преобразований - открытая и увлекательная задача.v

План статьи следующий. В § I мы напоминаем некоторые факты о классических Т-матрицах. В § 2 описаны пуассоновы структуры на группах Ли, необходимые для формулировки основного результата. Эта формулировка приведена в начале § 3 (теорема 3.1). Основная часть § 3 посвящена ее доказательству. В заключительных пунктах мы обсуждаем (на примере иерархии НШ) связь одевающих преобразований с динамикой (п.3.6), а также приводим дополнительные применения метода пуассоновой редукции (п.3.7).

Автор пользуется "случаем поблагодарить В.Г.Дринфельда за стимулирующие обсуждения и возможность познакомиться с некоторыми результатами до их публикации.

§ I. Классические Т-матрица и алгебры Ли-Бакстера

В приложениях группы одевающих преобразовании - это группы Каца-^ди и их подгруппы. Однако доказательство основной теоремы можно произвести в абстрактной ситуации, пользуясь лишь (модифицированным) классическим уравнением Янга-Бакстера. Оправдание такой общности состоит в том, что переход к частному случаю не приводит к каким -либо упращениям результатов и их доказательств.

В этом параграфе мы напоминаем основные алгебраические факты об т-матрицах. Доказательства опущены. Читатель без труда м может их восстановить, пользуясь [8] .

I.I. Мг?<?щ Ля ,- Бакова- Пусть ^ - алгебра Ли. Предположим, что на ^ зафиксировано невырожденное инвариантное скалярное произведение. Пусть R - кососимметричный линейный оператор на ^ , удовлетворяющий тождеству (модифицированному тождеству Янга - Бакстера)

[RX, RY) - R([RX, YHX,RY])--[X,Yl,X,Yb^. UD Определим на $ новую скобку Ли формулой

[X,Y]r =|[RX,Ybt[X,RYL[X,Y]r =|[RX,Ybt[X,RYL(1.2)(1.2)

[X,Y]r =|[RX,Ybt[X,RYL

[X,Y]r =|[RX,Ybt[X,RYL

(1.2)

(1.2)

Тождество Якоби для (1.2) немедленно следует из (I.I). Алгебру ^ , наделенную скобкой (1.2), обозначим ^ . Пару (^ ^) где (^, R) удовлетворяют сформулированным выше условиям, будем называть алгеброй Ли - Бакстера.

ПРЕДЛОКЕНИЕ I.I. Алгебры Ли - Бакстера одновременно являются биалгебрами Ли в смысле [э] и двойными алгебрами Ли в смысле [8].

Напомним, что понятие биалгебры Ли возникло в связи с изучением пуассоновых структур на группах Ли (мы рассмотрим эту связь подробнее в § 2). Двойные алгебры Ли характерны своей . связью с интегрируемыми системами [8] . Пересечение обоих классов содержит наиболее интересные с точки зрения приложений к интегрируемым системам примеры.

Пусть R± =5 ( R ± I); мы будем рассматривать R ± как

отображения из ^R в ^ . Обозначим J = ^®^ (прямая сумма алгебр Ли). Из (I.I) немедленно получаем■

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2'. Отображение ^R ct: X4R+X,R_X)- мономорфизм алгебр Ли.•

М$ часто будем отождествлять ^ с подалгеброй Ли в d . Пусть У={(Х,Х)е ^® ^} с d - диагональная подалгебра в d . Введем на cl скалярное произведение, положив

<(х„хг), (Х,Х)> -<Х1.У,>-<Хг,Х> . (1.3)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3 ^Алгебра Ли d. как линейное пространство разлагается в прямую сумму ~

d = ^ ^ ^R 't1*4)

ILL) Подпространства ^ ' ^R с ^ изотропны относительно формы (1.3).о

Пусть Г8^ , г^- проекторы на у , ^R в разложении (1.4). Положим'

Ra - R? - рл '

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Оператор (1.5) кососимметричен относительно формы (1.3) и удовлетворяет тождеству (I.I).

Таким образом, оператор R^ задает на d структуру алгебры Ли - Бакстера. По предложению В.Г.Дринфельда, будем называть

(cl, Rd) дублем алгебры (^;R ) й\'

ЗАМЕЧАНИЕ. Более общим образом, можно определить дубль для произвольной биалгебры Ли [91 \ Для алгебр Ли - Бакстера описание дубля оказывается особенно простым (мы приведем это определение в конце п.2.5).

Задачи Факторизации. Пусть G, GR - локальные группы Ли с алгебрами Ли ^, ^ . Положим 0 =G XG . Будем обозначать гомоморфизм групп Ли теми же буквами, что и соответствующие гомоморфизмы алгебр Ли.

ПРЕДКОЖЕШЕ 1.6.(^Отображение GR -*- 0 : k (R+ 1г, R_ к) - мономорфизм групп Ли. (LL) . Зададим отображение пъ- %-* G формулой пъ(х,^) = ху.-1. Сквозное отображение GR-*-0-^ G

задает локальный гомеоморфизм <О : GR ”*~ G .

СЛЕДСТВИЕ. Для любого ос в окрестности единицы группы G однозначно разрешима задача факторизации

х = х+ х2( , (х+, х_)е GR с Я).(1.6)

Задача (1.6) представляет собой абстрактную версию задачи Римана (ср.[б]).

Ниже нам будет удобно отождествлять GR с подгруппой в %; ее элементы мы будем записывать в виде к = (к+, kJ. Для осе G х^ обозначает решение задачи факторизации (1.6). Отображение S' позволяет перенести умножение из GR в G . Положим X* ^ =<э(б"1 (эс) (э-1 (^)). Имеем, очевидно, fr'kxWx^x/Je

е Gr с G х G, откуда х * ^ = ос* ^ х J .

Пусть G с G х G - диагональная подгруппа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7о Любой элемент (х,^)е Я) однозначно представим в виде

(х, ^)“ G^X?^ ?-), $ 6 О, (^, ^)е 0R •(I.?)

В самом деле, имеем, очевидно

^^сх-1^;1 , $ = ^V^ = ^"L^_.(1#8)

Таким образом, задача факторизации, связанная с дублем группы G , просто сводится к задаче (1.6).■

Коприсоединенное представление группы GR .

В качестве приложения докажем формулу для коприсоединенного

$)Этому соответствует введенный в [II] английский термин

" square of ^”.

представления группы GR (она нам потребуется в § 2). Отождествим пространство ^ с ^ с помощью скалярного произведения.

ПРЕЩ10ШНИЕ 1.8. Имеет место формула

^dg k-X = Md6 k_-X) ~(Ad&k+-X)_ .(I-9)

Rs

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разложение d = ^ + ^R позволяет отождествить ^R с ^ . Так как на d скалярное произведение инвариантно, to/U*6h,- (X, X) = PS (/Id. h,+- X, Д d.s d_ ■ X) .Так как

R„(X,Y)-(Yt-X_, Y, - t), отсюда немедленно следует

§ 2. Классические ^ -матрицы и скобки Пуассона нагруппах Ли

Классические ^ -матрицы, свойства которых описаны в предыдущем параграфе, служат для определения скобок Пуассона на группах Ли. В этом параграфе мы приведем их описание. Однако прежде всего следует напомнить общие свойства пуассоновы;; групп Ли. Принадлежащая В.Г.Дринфельду аксиоматика пуассоновых групп Ли формализует хорошо известные свойства матрицы монодромии для разностных лаксовых уравнений. Ключевой момент при описании гамильтонианов разностных лаксовых уравнений - вычисление скобок Пуассона элементов матрицы монодромии вспомогательного разностного уравнения

, rt 6 Z ;(2.1)

матричные элементы операторов L^считаются при этом независимыми динамическими переменными, коммутирующими друг с другом при гъ ^пъ . Фундаментальные скобки Пуассона в одном узле задаются с помощью формулы Склянина

\L^ , ® L^ | ^mn l^> ^rv ® ^пъ ] •(2.2)

Замечательное свойство скобок Склянина состоит в том, что скобки элементов матрицы монодромии Т (А) ^ П ^воспроизводят скобки матричных элементов в отдельных узлах. Именно это свойство и положено в основу определения В.Г.Дринфельда [9 ] . В этом параграфе мы напомним основные определения и часть результатов из [9] (п.2.1-2.3). Далее, мы описываем двойственные пуассоновы структуры на группах G, GR. Пуассонова структура на группе GR играет основную роль в теореме об одевающих преобразованиях. Приложения упомянутой двойственности в теории, лаксовых уравнений ос-

таются за пределами статьи (см. [II] , где рассмотрены также более общие структуры).

2Л. Пуассоновы группы Ли.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пуассоново многообразие - это гладкое многообразие Л , снабженное скобкой Пуассона, т.е. структурой алгебры Ли в пространстве С (^6) , для которой выполнено правило Лейбница

{ ^ ^2 Лз ) 41 ^2 + К ’ ^3 j ■<2-3>

Пуассоновы многообразия образуют категорию, морфизмы в которой - пуассоновы отображения, т.е. гладкие отображения, согласованные со скобками Пуассона. Более точно, отображение -f :

Л^ Jf пуассоново, если для любых ^ , ^а 6. С (JT)

Ivb vfj^ = (^’^4 • "<2-4>

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Произведение пуассоновых многообразий ^, ^2 - это многообразие Лк х Ла со скобкой Пуассона

- tV'-aXThaJj и* |t(:M, №,■)}(»).(г.5)

Иначе говоря, (2.5) - единственная пуассонова структура на ^ х^г такая, что ИЛ естественные проекции р<; Mt“^2ЛР р :^/<^Дпуассоновы. (U) |pi ‘fi , рг W, I = О для любых

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пуассонова группа Ли - эта группа Ли, снабженная скобкой Пуассона такой, что (I) умножение Gr XG — Gr - пуассоново (II) обращение G G • х** х обращает знак скобки Пуассона.

Связь введенного определения со свойствами матриц монодро- мии для (2.1) очевидна.

ЗАМЕЧАНИЕ. В работе [э] используется термин ’’группы Гамильтона - Ли”, который представляется неудачным. В самом деле, как мы увидим, действия пуассоновых групп Ли не гамильтоновы! (см. формулу (2.19)).

Для хе G обозначим Хх, $х операторы левого и правого сдвига на х в пространстве С” (GY- Ах ^(у)^^^^), ^х ^(и^ = = if(^x) . Пуассоновость умножения в группе G выражаемся равенством■

[М^НМ^уНуНМ’^У^, y,feC”(G). (2.6)

Хорошо известно, что скобка Пуассона - билинейная форма от дифференциалов функций. Удобно записывать ее в правоинвариантном или левоинвариантном базисе. Обозначим Юу, Ю'у левый и правый дифференциалы функции ye С (G) . По определению, ЮуВД, Ю Ху(х) € ^ и для любого X 6 ^

< Юуед^Ч^^е^ <Ю у(х),Х>4%Ц.^^^ Определим гамильтоновы операторы |р, р': G ^Н от^ ^ , положив |у,у](х)-<у(Х)Юу, Юу)^<У(Х)Юу, Ю^(2.8)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Функции t^, ^ удовлетворяют функциональным уравнениям

^(x^-Actx-^^.AdV1 + ^(х),

*?'(ху) = ?'(у) + Ady'1» ^'(х)» Ad*y .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем, очевидно,

^ Хх уу - ДсГх-1. Юу(х^), Ю^ у(у)-Юу (х^),

Ю% у(х)-Юу(х^), Ю^уу-Аа-^.Ю^ху), 2,10

Из (2 10) ,(2-.6) немедленно-следует (2.9).

Bysfis^ffifflHJOBJfflaJI^^В силу (2.9) име

ем, в частности, ^(е) = ^'(е)=-0 , таким образом, пуассонова структура на группе всегда вырождена в единице. Линеаризация скобки в единице приводит к понятию касательной биалгебры Ли. Для 51,5г е $ * выберем функции У< , У. 6 С (&)такие, что Юу^е)-^, и положим

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Формула (2.II) задает на ^* структуру алгебры Ли.,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из (2.8),(2.II) немедленно получаем [51, 5г] -<^|?(е)5о5г> >

откуда следует корректность определения. Справедливость тождества Якоби очевидна.#

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Пусть 0^ - алгебра Ли, ^ - двойственное

пространство. Предположим, что на ^ задана структура алгебры Ли, т.е. отображение ^ д ^ -^ ^ , удовлетворяющее тождеству Якоби. Скобки Ли на ^^ называются, согласованными, если двойственное отображение у. ^^^^-Нош^,^- 1-коцикл на алгебре Ли

^ , т.е.

V([X,V])=cicLXoy(Y)-^^^ -clcLY°^(X) +(f(X)oacL*Y ,(2.12)

Пара(^, ^*) с согласованными скобками называется биалгеброй Ли. Биалгебры Ли образуют категорию, морфизмы в которой такие отображения р: ^ ~—^, что р и р* I*—* ^^~ гомоморфизмы

алгебр Ли.

ТВОРИЛА 2.3. [9] (I) . Скобка (2.II) задает на (^^*J структуру биалгебры Ли (мы будем называть ее касательной биалгеброй Ли). (It) Обратно, пусть (^; ^*2 - биалгебра Ли, G - группа Ли с алгеброй Ли ^ . Существует единственная структура пуассоновой группы Ли на G такая, что ее касательная биалгебра Ли совпадает с ($>9А ?• (^0 Соответствие между пуассоновыми группами Ли и биалгебрами Ли функториально.

Набросок доказательства (t) . Пусть ^ - гамильтонов оператор, связанный со скобкой на G . Имеем в силу (2.II) фМ’^ьо 4^V• Отовда и из (2.9) немедленно следует,

что ^- коцикл на ^ . Чтобы доказать обратное утверждение,

нужно "проинтегрировать" 1-коцикл на алгебре Ли до 1-коцикла на группе. Заметим сразу же, что если коцикл у тривиален, т.е. имеет вид у(Х)=ш1ХеТ -x-cloL X , где гбНот(^,^- фиксированный элемент, то соответствующий 1-коцикл на группе восстанавливается очевидной формулой ^(х)»Дс1х« z°Ad ос" -г. Элемент Т называется классической Т-матрицей. Мы приведем набросок построения в общем случае в конце п.2.5.'’

Джт^каеШШВ И .^бж, Дадедова

Ниже мы рассмотрим несколько более узкий класс пуассоновых групп Ли, для которых на алгебре Ли ^ существует невырожденное инвариантное скалярное произведение и касательная биалгебра Ли при изоморфизме ^ - ^ , индуцированном этим скалярным произведением, отождествляется с алгеброй Ли - Бакстера. Именно с такими пуассоновыми структурами связаны приложения к интегрируемым системам. Опишем соответствующие скобки Пуассона более подробно.

Пусть ^ - алгебра Ли группы Ли G ; мы предполагаем,

что на ^ зафиксировано инвариантное скалярное произведение

<) ^ ис его помощью отождествлены ^ и ^ . Соответственно, мы пишем Vy, Vy вместо /9у, %'у (градиенты вместо дифференциалов). Пусть R, R е ЕпЯ ^ - кососимметричные операторы, удовлетворяющие товдеству (I.I).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Скобка функций на G , заданная формулой

lf.H,R' -)<R(Vv),V,>4<R'(V,).v;>,(2.13)

удовлетворяет тождеству Якоби.

Набросок доказательства. Препятствие к- справедливости тождества Якоби - трилинейная форма от дифференциалов функций. Рассмотрим сначала правоинвариантную и левоинвариантную скобки р

Связанные с ними невязки в тождестве Якоби равны *

Q4^,^,M-<VURW^R(VTJ]> + =-p ,(2н)

o' (v;, vv,, vv> - <^., «ш r'<m >-=p- '

Разница в знаке вызвана тем, что алгебры Ли правоинвариантных и левоинвариантных векторных полей на группе антиизоморфны. В силу тождества Янга - Бакстера (I.I) правые части в (2.14) упрощаются и принимают вид

Ql(V^, V^, Vy3)=~ <V^ JV^ ?;

■Q (vVt, v^, v%) = <C %j, t^z > ^J /> •

В силу инвариантности скалярного произведения эти невязки взаимно сокращаются.

В частности, скобки

-i<RW,V,>±i<R(V^,V,>(2.15)

удовлетворяют тождеству Якоби. Скобка { , }R _R называется скобкой Склянина.’

Гамильтоновы оператор! ^ R/ , ^R R/ , задающие скобку (2.13) в правоинвариантном (лево’инвариантном) базисе, равны

*?r r' М'”^ + 2^ X°R°^ ^^ ^^/(^-iAcLx'^R-Ad-X+^R'. (2.16)

В частности, ^R _R есть, очевидно, тривиальный 1-коцикл на G со значениями в’ Lud^- . Отсюда немедленно получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Скобка Склянина задает на G структуру пуассоновой.группы Ли. Группу G , наделенную скобкой (2.13), будем обозначать G(R>R<). -

Пуассоновы действия групп. Изучим поведение скобок Пуассона на G(R r/) при правых и левых сдвигах. Преэде всего вве-

дем следующее важное общее определение.

ОПРЕДОШМЕ 2.5. Пусть G - пуассонова группа Ли, Д - гладкое пуассоново многообразие. Действие G на Д называется пуассоновым, если естественное отображение G*^ "**^ :

($, пх) к—- д- пг пуассоново..

Как и в определении 2.3, пуассонова структура на йхД - произведение пуассоновых структур на G и Д (в смысле (2.5)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Действие группы G на себя левыми (правыми) сдвигами задает левое пуассоново действие G(R _Rj х G(r r'j —* G(r,r9(соответственно, правое пуассоново действие

G(R,R') х G(R'?-R') — G(r,r')).

Докажем, например, первое утверждение. Пусть Хх , ^х - операторы левого и правого сдвига на элемент осе G в пространстве C°°(G) . Пуассоновость отображения G(r,-r)xG(r,r')*G(R)R') выражается равенствомv

(2Л7)

для любых ф,уе С (G), x,^ 6 G . Гамильтонов оператор ^ R/ (2.16) удовлетворяет функциональному уравнению’

^.R' (х^ = ^М'W + ^ f1 ° Й,-« (Х) ° ^d Г <2.18)

Из свойств правых дифференциалов функций (2.10) немедленно получаем, что (2.18) и (2.17) эквивалентны.

ЗАМЕЧАНИЕ. Мы можем превратить правое действие группы G на себя в левое, обратив одновременно знак скобки Пуассона на

ПРЕЦЩОЖЕНИЕ 2.5 дает первые примеры пуассоновых действий.

Ниже мы рассмотрим ряд более сложных примеров. Полезно иметь инфинитезимальную характеристику пуассоновых действий. Пусть

G - связная пуассонова группа Ли, ( ^, ^ ' - ее касательная биалгебра, Л - пуассоново многообразие. Предположим, что задано пуассоново действие Gx^ "*" Л, . Для ^ с 0 (Л) • обоз- .начим 5у (х) = ct^ ^(^- x)|g=e * О^озиа4™ X векторное поле на Л , пррожденное элементом Xе ^ .о. >

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Для любых гладких функций ip,^ е С (Л)

и любого Хе ^.

ШчЧ -{X^vla — if,Ху} — <Х,E$v, 5Y]*>.(2.19)

Доказательство немедленно следует из определений 2.4, 2.5. Заметим., что если правая часть (2.19) не есть тожественный ноль, векторное поле X на Л заведомо не гамильтоново.

Двойственные пуассоновы структуры на группах G, Gr .

ПРЕОДОЛЕНИЕ 2.7. Пусть (^> ^*) - биалгебра Ли. Тогда (^*^- тоже, биалгебра Ли.-

Это утверждение следует из общей теоремы В.Г.Дринфельда[9] о дублях биалгебр Ли (см.ниже). Мы воспользуемся им в частном случае, когда ^, ^ ) - алгебра Ли - Бакстера. Из теоремы 2.3 вытекает, что двойственная биалгебра Ли (^} ^) связана со структурой пуассоновой группы Ли на группе Q* о алгеброй Ли .^ .В интересующем нас случае речь идет о пуассоновой структуре на группе Gr .$

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.8. Отовдествим пространство ^R с ^ с d . Пуассонова структура на группе GR задается формулой {^(1)~<?№,У> , Х-ЯуМ У-ЯуМ (2.20) где оператор ^(Ме Нот. ( ^, ^р) определен формулой ^(ЮХ - (Ч^Ч*1^ -X, Ч^’Ч, ^Х -X )•(2.21)

Напомним, что оператор Л1* к определен формулой (1.9).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сформулируем прежде всего важное следствие теоремы 2.3.'

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть Н - пуассонова группа Ли, К С Н -ее подгшппа, ^ с ^ - соответствующие алгебры Ли. Предположим, что к с ^*- идеал. Тогда К - пуассоново подмногообразие

в Н и ограничение пуассоновой структуры на К задает на К структуру пуассоновой группы Ли; ее касательная биалгебра Ли есть (4, j-W) ■■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, при сформулированных условиях вложение £ с* £ индуцирует морфизм биалгебр Ли (^, V)^** (р р). Следовательно, на К есть единственная структура пуассоновой группы Ли, касательная биалгебра Ли которой есть (£, р / ^ ^ ). В силу функториальности соответствия между биалгебрами Ли и пуассоновыми группами Ли, вложение К ^ Н - пуассоново отображение.. -1

Пусть 0 = G х & - дубль группы G . Снабдим его скобкой Склянина, построенной по оператору R^ (1.5).

ЛЕММА. (D Касательная биалгебра Ли группы ^fR^-R^) есть (d, cLRd) (Li) ( ^ )- идеалы в clRa

В самом деле, (^ J1 =8^ , ^х = ^; в силу определения алгебра Ли d.^ - прямая сумма двух идеалов ^, ^,

где $R антиизоморфна ^R .

Отметим, что отсвда немедленно следует предложение 2.7 в применении к биалгебрам Ли (^, ^r )Д ^R, ^}. ,

Воспользовавшись теоремой 2.9, мы получаем

- цуас- структу- Индуциро-- цуас- структу- Индуциро-основы ра наосновы ра наПРВД11ОЖЕНИЕ 2.10.(ОПодгруппы U, GR С ®(Rdl,-Ra.) подмногообразия, (Н) Индуцированная пуассонова

- цуас- структу- Индуциро-

- цуас- структу- Индуциро-

основы ра на

основы ра на

VO совпадает со скобкой Склянина. iiii)

ванная пуассонова структура на. GR совпадает (с точностью до

знака) со скобкой (2.20)-(2.21).

Детали вычислений мы предоставляем читателю. Полезное уп

ражнение состоит в прямой проверке корректности формул (2.20),

<2.21). Отметим, в частности, простую формулу

^ (^^) = ^gr » к ° ^(g) 0 Ad*R 1г”1 + 1?^) >(2.22)

из которой следует пуассоновость умножения в GR .

В действительности имеет место несколько более точный результат.*

ПРВДОЖЕНИЕ 2.II. Каноническое отображение

GR х G ^) : (к, ^)(^+? ^- )($ ? 9)

- изоморфизм пуассоновых многообразий.

Мы приведем доказательство в конце § 3, когда будет изложена техника пуассоновой редукции.

ЗАМЕЧАНИЕ. Основная идея построения скобки на GR состоит, как мы видели, в переходе к дублю, на котором коцикл, задающий скобку, заведомо тривиален. Несколько обобщив конструкцию, можно воспользоваться ею и для общих групп Пуассона - Ли. А именно, имеет место легко проверяемая

ТЕОРЕМА [ 9 ] . (L) Пусть f^, ^^ - биалгебра Ли. В пространстве ^- " ^ ^ ^ существует единственная структура алгебры Ли такая, что (а) ^? ^ с cL - подалгебры Ли. (в) Скалярное произведение на d , заданное формулой ^(XiGiMK^fa)^ 3=3 ^^(^^^(XJ , инвариантно. (LL) Пусть R^ ~Р^ - (^* - I/ -матрица, связанная с разложением d = ^ + ^. Вложения

^? ^* С d индуцируют морфизмы биалгебр Ли ^, ^ J^»(d;dRd

Чтобы восстановить скобку на (г по скобке Склянина на А) ,

мы можем теперь провести рассувдение, аналогичное предыдущему (при этом, конечно, ссылку на теорему 2.3 следует заменить прямым анализом сужения скобки Склянина на подгруппу G с 0 ).

Одевающие преобразования и их свойства

Основные определения и формулировка результата,. Пусть

^ ^ ^ ) " алгебра Ли - Бакстера. Положим ^ = 07 (R? $)

vp С7 (R^rY Алгебры ^7 ^ наделяются поточечным коммутатором. Скалярное произведение на ^'

<X,Y) = Jdoc <Х(х), Y(x)>•(3.1)

невыровдено и инвариантно. Таким образом, (^^ ^R) - снова алгебра Ли - Бакстера. Пусть ^ - двойственное пространство, снабженное скобкой Ли - Пуассона алгебры ^ , т.е. скобкой

Ьул}И) = {dx^^W.^iflL), d^(L)]R> .(3.2)

Мы будем рассматривать только гладкие функционалы на ^R и отождествим ^R* ° пространством С ° “(R?^) I элемент \е CTXR,^) задает на % линейный функционал по формуле (3.1).

С каждой функцией L 6 ^ свяжем дифференциальное уравнение

^ ^ == L аг.(3<3)

Пусть ^- его фундаментальное решение, т.е. функция со зна

чениями в группе Ли G с алгеброй Ли ^ , такая, что

^хК " ^Ч = L • Мы нормируем tfL условием V£CO) = 1 .

Мы можем теперь сформулировать наш первый основной результат. Определим одевающие преобразования на ^R формулой

^ ^(v^Ch.) Vl4)+ (-dx Ч^Ш!^ , к 6 QR . . (3.4) (Напомним, что б: GR G - каноническое отображение).

ТЕОРЕМА 3.1. Форлула (3.4) задает правое пуассоново действие группы Gr на ^^ -

В типичных приложениях алгебра ^ простая; поэтому, хотя G часто как группа Ли распадается в прямое произведение, пуассоновых подгрупп Ли она не содержит. Поэтому в формулировке теоремы нельзя заменить GR на меньшую группу.

Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, сделаем ряд замечаний. Отметим, прежде всего, что для волновых функций у- имеет место формула-

L у-*1 = fu-^MlT"1^ ^+(3-5+)

или, эквивалентно,

У^ = (уб’(Ь)У'1)_ Укд -(3.5J

Очевидно, У(о) = { =» У11 (0) = 1. Таким образом, формула

(3.5) задает корректное действие на фазовом пространстве. Обычно, начиная с работ [I] , [2] (ср.также [31 - [6] ) рассматривают несколько другое действие на волновые функции.

У9 = (Tf^'1 V 4 )+ у .(3.6)

В отличие от (3.5) формула (3.6) задает действие группы не на фазовом пространстве ^ , а на главном расслоении над ним - на .пространстве V ненормированных волновых функций. Отметим, что несущественный на первый взгляд нормировочный множитель,- отличающий (3.5) от (3.6) изменяет закон композиции одевающих преобразований. Прежде, чем обсуждать пуассоновы свойства одевающих преобразований (3.6) и более общих, следует определить пуассонову структуру в пространстве V . Это будет сделано ниже (см. формулу (3.7)). План нашего изложения таков: мы докажем сначала теорецу 3.1; развитый при этом аппарат позволит без труда перейти к обобщениям (теорема 3.8).

Пуассонова структура в пространстве волновых Функций. Основные шаги доказательства теоремы 3.1 состоят в следующем. Заметим, прежде всего, что формула для одевания волновых функций , (3.5) проще, чем формула (3.4). Поэтому удобно перейти от пространства ^ к пространству \£ нормированных волновых функций; полезно ввести также и пространство всех волновых функций. Формула (3.5) все еще слишком сложна, чтобы было, разумно проверять пуасооновость одевания прямым вычислением. Мы воспользуемся вместо этого техникой пуассоновой редукции, отождествив V как пуассоново многообразие с факторпространотвом более широкого пространства W (как указывает обозначение, его элементы - функции со значениями в дубле группы G ). Действие одевающих преобразований на W сводится к правым сдвигам, что позволяет легко доказать его пуасооновость. Переходим к формальному изложению. .

Пусть V = С~ (R i G), Vo = {Уб V; у(0) — ij . Дифференциальное уравнение (3.3) задает отображение у; ^R — \10 : |_, н— irL . Мы можем определить в пространстве Vo пуассонову структуру, потребовав, чтобы отображение У было пуассоновым. Удобно задавать эту структуру, вычисляя скобку Пуассона между цилиндрическими функционалами на Vo , зависящими от значения 1Г 6 V, в одной точке. Пусть ф е С” (G) . Положим фх [у] = ' -ф(у(сс)), ye Vo . Обозначим 7ф(у); 7ф (У) левый и правый

градиенты функции ф в точке ire G .

ПРВДИОЖЕНИЕ 3.2. Пусть фх , ф^ - цилиндрические функционалы, |х|^*|у.| . Тогда при sgixx « ^^^ имеем

2|фх°^, V^^ ”< R(v4>' №* V$ (»L(y))> -

-<R(V<p(irL№))), Ad. irL(x)V$(iruiy))> .(3.7)

При sg-гь x 4= sgn, ^ скобка Пуассона равна нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пересчет скобки Пуассона для волновых функций - одно из стандартных вычислений в методе обратной задачи. Приведем один из вариантов этого вычисления.

ЛЕША 3.3. Градиент функционала фх° ir[L] дается формулой

^cL0x(irL)<z) = Да vl(z)- \7ф (irL(x))- 0(x-z),(3.8)

где 6(се) «О, х<0, 9(х)=1, х^О.

Доказательство стандартно (метод вариации произвольной постоянной в уравнении (3.3))..

ЛЕША 3.4. Градиент (3.8) удовлетворяет дифференциальному уравнению

a,x-[L.x]«.si

и краевым условиям

Х(о)-V^oux)), X^-V^tx)).(зло)

Пользуясь формулами (3.8),(3.10) вычислим скобку Пуассона

функционалов фх ° 1Г,ф^° 1Г,. Имеем-

^Ф^Л^дь)- $az<L(s)M-

оX,

-Sdz«[L.x1],Rx,>-<[L,xj,RX,»-jdZ%1<x,,RXz>- о~

=<S^W\ №irL(x)-V$ fey))>-<?Ф^М^(к^)> .

Мы обозначили Xt(2) =дъаЛ.фх<>1г[Ь]12), Xz(z)=^iad ф^а HL1 (2) и считали ас ^ ^ , ух = s^n, ^ . Если знаки ос, ^ различны, то скобка Цуассона фх , фу равна 0 в силу (3.8) и ультралокальности скобки Пуассона на ^R* .

Наделим пространство V пуассоновой структурой, задав скобку Пуассона для цилиндрических функционалов на V формулой (3.7).

ЛЕММА 3.5. Vo с V - пуассоново подмногообразие.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что скобка Пуассона функционалов фо 7 фе С (G) с любыми цилиндрическими функционалами исчезает на Vo . Имеем

2 {Фо, ФЛ = < R 7ф (vto)), 7$ (v(x))> -

— <R ^ (vw), 4d v(o)- 7$ (V(x))> =0, если i/(o) - I.

Пуассонова редукция. Конструкции и определения этого пункта имеют общий характер. Пусть Л - пуассоново многообразие, Н . - группа преобразований Л , Сн(Л)с С (Л) - подкольцо Н -инвариантных функций. Если Н сохраняет скобки Пуассона на ^ ,' то С - подалгебра Ли в С°°(Л) . Это утверждение лежит в основе обычного метода гамильтоновой редукции. Обращение его неверно: если С С С°°(Л) - подалгебра Ли, то действие Н на Л вовсе не обязательно сохраняет скобки ' Пуассона. Это позволяет определить редукцию в более широкой ситуации. Имеет место следующее очевидное утверждение.

ПРБЖОЗЕНИЕ 3.6. Предположим, что СНс С°°( Л) -подалгебра Ли. Если факторпространство Нх<>^ - гладкое многообразие, на нем существует единственная пуассонова структура такая,, что каноническая проекция Л V\x Л - пуассоново отображение.

Переход от Л к Н 4 Л мы будем называть пуассоновой редукцией. В качестве примера приведем достаточное условие для существования редукции.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.7. Пусть Q х Л — Л - пуассоново действие, Н С G * связная подгруппа Ли. Предположим, что аннулятор ее подалгебры Ли ^1 с ^ * - подалгебра Ли в ^ * . Тогда кольцо снс_ н -инвариантных функций на JLL - подал

гебра Ли в С (Л).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся предложением 2.6. Пусть ср, ^ е СН . ТогдаХ^“Х^ = О для Хе ^ , а ковекторы

лежат в ^ .Из (.2.19) немедленно получаем

откуда {у, у j 6 С .

ЗАМЕЧАНИЕ. Напомним, что Н С G - пуассонова подгруппа Ли , если ^ С ^ *- идеал. Таким образом, условия на

подгруппу Н , обеспечивающие возможность редукции, менее ограничительны.

Как обычно, трудная часть редукции - описание симплектхйес- ких листов приведенного многообразия Н х J^ (ср. [15] ). Мы коснемся этого вопроса в п.3.8, а пока продолжим доказательство теоремы 3.1.

KBSttTjaHQiaa..Wи его свойства. Пусть ^«g^G • Обозначим V = C°°6lR; 0) . Введем в пространстве W пуассонову структуру, положив для цилиндрических функционалов на W , т.е. функционалов вида w .— ф(м(х)), фе С"(0), хе К, Я {Фх Д j(«r)4&%(mx)),Ai№)-^'(^, (З.П)

если |х|^ |у| , sgn х = $дн у . При sgnx =# sg/г у скобка полагается равной нулю.

Наша ближайшая цель - реализовать пространство V как приведенное пространство, полученное редукцией из W . Зададим действие группы GR = C°°(|R; GR ) на W левыми сдвигами кш(х) = k(x)ur(x), k(x) е GR с 0.

JEEMvlA 3.4. Лево - G -инвариантные функционалы на W образуют подалгебру Ли относительно скобки Пуассона (З.П).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить, что скобка Пуассона левоинвариантных цилиндрических функционалов левоинвариантна. Заметим, что если функционал фх левоинвариантен, то функция Фе С (©) лево- G-r -инвариантна и, следовательно, 6 7ф^ ^R ^ ^R . Йоэтоцу формула (З.П) для левоийвари- антных функционалов упрощается:

|ФХ> Ф, 1 W = -CRZ(V^r(x))X V$(nr(^)))> ,(3.12)

Так как правые градиенты левоинвариантны, наше утверждение теперь очевидно.'

Мы можем отождествить V с подпространством в W с помощью диагонального вложения V н— (ir, V) е W . Так как W - — GR V , пространство V служит моделью для факторпро- странства GR ^ W .

ЛЕММА 3.5. Приведенная пуассонова структура на V — GRXW совпадает с (3.7).■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Фх , Ф^ - цилиндрические функционалы на V . Мы будем считать, что |х|^ |у| } sgn,x = здц, у л Продолжим их до лево - GR -инвариантных функционалов фх, ф^ на W .' Нетрудно проверить, что для лге VcW3

V^ [tr] = (Х+, X-)е d, Х=7ф(1г(х)).

Отскда для правого градиента в точке v в V получаем

Подставляя (3.13) в (3.12) получаем, после приведения подобных членов, фородлу (3.7). Воспроизведем соответствупцую выкладку. Имеем в силу (3.12),(3.13)Подставляя (3.13) в (3.12) получаем, после приведения подобных членов, фородлу (3.7). Воспроизведем соответствупцую выкладку. Имеем в силу (3.12),(3.13)V$ М = (Ad 1Г(х) 1 • Х + , Ad ir(x)'1 • Х'_ ) .

Подставляя (3.13) в (3.12) получаем, после приведения подобных членов, фородлу (3.7). Воспроизведем соответствупцую выкладку. Имеем в силу (3.12),(3.13)

Подставляя (3.13) в (3.12) получаем, после приведения подобных членов, фородлу (3.7). Воспроизведем соответствупцую выкладку. Имеем в силу (3.12),(3.13)

|ФХ . $3 | № = < R» ^t> ^^> W (1Г^П> ”

= — <С ((Ad 1Hx)"fX- )+ ~ (Ad V(x) *Х+ )_ , (Ad irfsc/X-)+ — (Ad vtx) X)_),

(Ad Vty)'1 Y+ , Ad Vty)"1 Y_ )^ =

= -<(Ad v-ix^X-A , Adv^)"' Y+>+ <(Adш^ХД,Adwy)'lY+>+ d^CAd^x) 4XJ+ , Ad my^Y-^ — ^(Ad vtx)'iX+)_, Ad тмуДу.Х-

= - <(( Ad мхДхД, Ad my)'1 Y> + ^fAd xxVX^-, Ad id^)-< YX =

= < Ad vex)’1 X-, Y/ > - < Ad wx)"*X+, Y* X =

= -<X/,Y+/>-<AdWx)-1X_>Y/> =

-<X1, Y'>-<X., Ad wx) Yz>- '

Зададим "диагональное" правое действие группы % на W формулойЗададим "диагональное" правое действие группы % на W формулойg: ur *— ur^ ,9 € ^ 'g: ur *— ur^ ,9 € ^ '(3.14)(3.14)Мы обозначили X = Vp (V(x)), Х=^>(^(х)) ^ Y=^$^y>), Y=V$ (Wy)).

Зададим "диагональное" правое действие группы % на W формулой

Зададим "диагональное" правое действие группы % на W формулой

g: ur *— ur^ ,9 € ^ '

g: ur *— ur^ ,9 € ^ '

(3.14)

(3.14)

ЛВДЙА 3.6. Наделим группу (?) стандартной пуассоновой структурой. Тогда действие (3.14) пуассоново.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перепишем скобку (3.II) в виде

2 | Фх , Фя} (шг) =<?х (?ф (шх)), V^ (w^)) > , где 7x(ur) = Ad ur(x)’1» Ra» Ad ur(x) - Ra • I>1MeeM ^(nr^-Ad^'-Rd0 Ad^ + Ad g"1» R^-Ad^ - Ra. •

Так как \7ф(Жх^)= Ad^*1 V^ (ДХх)) , то наше утверждена немедленно следует из определения пуассоновых действий.

Завершение доказательства основной теоремы. Из леж 3.5, 3.6 непосредственно вытекает следующий важный результат.

1Г(х,у) = (vx^1 if"1)./ vx = (Vx^lv4L 1 V^(3.15)

задает правое пуассоново действие группы $ в пространстве V .

Действительно, действие (3.14) группы 2) перестановочно с проекцией W GR х W - V.

Отметим следующие частные случаи:

(L) Действие подгруппы GR С 2) на V пуассоново; это действие сохраняет Vo и его ограничение на Vo С V совпадает о (3.5).s

(it) Действие подгруппы G с 2) пуассоново; очевидно, оно задается формулой г^х, х) == irx . Приведенное пространство изоморфно ^R* ; каноническая проекция V -* V/^Q ~ ^R задается формулой 5l : 1Г Эх 1МГ”1 .-

(Lit) Действие подгруппы (е, G)c 0 на V задается формулой (3.6). В отличие от предыдущих примеров это действие не пуассоново. В самом деле, пространство (^,о)= (°, ^J"1" не есть даже подалгебра Ли в d r^ •

Формула (2.17) и ее инфинитезимальная версия (2.19) позволяют, конечно, контролировать несохранение скобок Пуассона и для преобразований (3.6). Однако ’’невязка” в этом случае определена ’’внешним образом” - в терминах объемлющей группы ^Z) э (е., G) (соответственно, ее касательной биалгебры Ли).

2ae££№£dai£o£^В этом пункте ж

предположим для конкретности, что ^ = sf(2,C[A,A ] ) . Стандартное разложение

£-^ + ?- ; ^-stu.cw). ^. -r‘s((W-‘i),(3.I6) порождает на ^ Т-матрицу ( „<х-матрицу Янга) '

R = Р+ ~ Р. 7(3.17)

кососимметричную относительно скалярного произведения <Х.У>-К«А.0Ь1 XWYW-

Пусть G , G+7G_ - соответствующие группы Ли (состоящие из абсолютно сходящихся рядов). Задача факторизации, связанная с t-матрицей (3.17) - обычная задача Римана; она разрешима в окрестности единицы группы G . Пусть ^С$8(2)- стандартная подалгеб

ра Картава, Н с G -ее централизатор в G, H± = H^G± .

Пусть V; (ос) - ехр в'х. , где (э = cLlo^." (1,-i). Полоним

П = 1

v(ti = v0 (x) etX = ir0(etx2 e^ ) , Пусть v e Vo - волновая функция, полученная из vo одеванием. Подгруппа G+ С GR централизует *1ГО , поэтому без ограничения общности можно считать v=vo(l,g.-)?^€G-; при этом элемент £_ оп

ределен однозначно с точностью до правого множителя из Н_. Одевание с помощью $_ переводит "затравочную” траекторию v0 (t) в "одетую" --

v(t) = ir0(t)(l,^-) = 1Г[о)(1, e 9).(3.18)

Элемент ^d g.".1 X определен однозначно. Спроектируем траекторию (3.18) на пространство Ч = V/4

V(t) = Ш0)(1, (^^-^J .(3.19)

Формула (3.19) задает, действие группы Н+ на GR - орбите вектора v0 .

ПРКЦЛОЖЕНИЕ 3.9. Векторные поля на Vo , порожденные действием (3.19), гамильтоновы..

В отличие от спроектированного на V> действия более простое действие (3.18) не гамильтоново. В этом нетрудно убедиться, вычисляя невязку в формуле (2.19) для одевающих преобразований. Это не противоречит предложению 3.9, т.к. вложение группы Н+ в Gr , заданное формулой

expbX *-^ ( есср t'/Ug"1 X )- ;(3.20)

не есть гомоморфизм групп. .

Некоторый дополнительные замечания. Техника пуассоновой редукции, которой мы воспользовались выше, имеет еще ряд интересных приложений. Мы рассмотрим простейшие из них - доказательство предложения 2.II и характеристику симплектических листов в группах G', Gr . Приложения к разностным лаксовым уравнениям см. в [II] .^

ПРВДЛОлЕЕНИЕ 3.10. (L) JIeBO-GR -инвариантные и право G-инвариантные 'функции на ^(Ra^Rd) образуют подалгебры Ли в С°° ( 0) • GD Скобки Пуассона лево GR -инвариантной и право G -инвариантной функции равна нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, it) немедленно следует? из предложения 3.7.Ес- ли у лево GR -инвариантна, у право G инвариантна,, то

Vy 6 ^R , V; в 8^. Имеем

^^MRaV^^-CR^V^ =-<7^7^

СЛЕДСТВИЕ. Наделим ^/^G x G^\% произведением :ix приведенных пуассоновых структур. Каноническое отображение Ч) -*• -^^/^G. х Gr ^ ^ пуассоново. Так кате 0 = GR • SG , отсюда сразу следует предложение.2? 11.'

Следующая лемма принадлежит В.Г.Дринфельду.

ЛЕММА З.П. (I) Пуассонова структура на группе 2)(ра, Ra) невырождена. (II) Левое и правое умножения задают пуассоновы действия'

^(&,-Ra)x ^(Ra. Ra) "* ^(Ra.Ra)’

^W-Rd.) x ^(Ra,-Ra) "* ^(Ra-Ra) •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (L) По теореме о неявной функции достаточно проверить это утверждение в единице группы; оно немедленно следует из обратимости оператора R^ (it) » Это утверждение - специализация предложения 2.5.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.12. Лево - и право - $G -инвариантные функции на % образуют подалгебры Ли в С°°( ^Ra, ка)) • Эти подалгебр! централизуют друг друга вС°° .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (И) Пусть ^ лево ^G -инвариантна, право 5G инвариантна. Тогда 7^, 7^6 8^ . Имеем ’ 2МЬ<£^?Д^

Следующее важное определение и связанное с ним предложение имеют общий характер (по существу, они восходят к С.Ли, см. [15]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ([15]). Пусть Л - пуассоново многообразие с невырожденной скобкой Пуассона, TL: Л -* Xi , L = £, 2 - пуассонова отображения. Положим 3^. = 5l*C°° ( Xi). Отображения

&1> ^л называются взаимно полярными, если подалгебры Ли 5^1? ?% централизуют друг друга в О* (Л), т.е.

^ = [ уеС"^)-, 1^У| =0 Vye %J .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.13. В предположениях определения 2.6 связные компоненты множества Л^ (я^Чх^с Xt , ^(^^(у^с Х2 - оимплектические листы в Xi , Хя , соответственно;

1 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.12 означает, что канонические проекции Я: Э - SG \ ® , Я': % — 9/SG взаимно полярны. В силу разложения Я)-G • GR моделью для приведенного пространства

$G\ Я) служит группа GR .

ПРВД10ШНИЕ 3.14. Приведенная пуассонова структура на GR совпадает с (2.20)-(2.21).-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ^,f 6 С”(©) лево $G -инвариантны. Тогда ^, f определяются своим сужением на GRC ® и

Vy , Vy 6 8^. Имеем для h,£ GR с Я)

mW4<Rd/U^-X/^ X-fy, Y-Vy (3.21)) Пользуясь явной формулой для R^

^(ц,^ =^ft ~^+’ -^- +Y+ +?-)

легко получаем, что (3.21) эквивалентно (2.20)-(2.21). $

Другой моделью приведенных пространств G^%, %/ G служит группа G .g Канонические проекции st: % G х% » St': % -— %) / G • задаются при такой реализации формулами

5Е: (Х,^)1^Х , Ж': (х,^)Х^"1 .(3.22)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.15. Наделим группу G приведенной пуассоновой структурой. Ее симплектические листы совпадают с классами сопряженных элементов в G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу предложения 3.13, симплектические листы в Ст получаются раздуванием точек в двойном расслоении G*~%) *^ G • Из (3.22) немедленно получаем

Sl^^1 (^)) = {k4^ к ; к 6 G } .

СЛЕДСТВИЕ. Симплектические листы в группе GR переходят в классы сопряженных элементов при канонической отображении S': Gr ~— G *

УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что приведенная структура на G задается формулой

2^4'}-<RX;Y>+<RX,Y'>-<RX,Y>-<RX',Y'> +

+ <X',Y>-<X,Y/>, X-V^XM^.Y^.Y’V;. (з.2з)

Двойственность между скобкой Склянина и структурой (3.23) на группе G играет важную роль в теории лаксовых уравнений на группе G [II] .

' Двойственным образом имеет место

ШВДИОКЕНИЕ 3.16. (В.Г.Дринфельд) (L) Действие группы GR най .правыми и левыми сдвигами пуассоново. (Lt) Отождествим ■

приведенное пространство GR\ ® с G . Приведенная структура на G совпадает со скобкой Склянина. illi) Канонические проекции Gr\ 00% /Gr взаимно полярны.

Левые сдвиги из группы 0 перестановочны с правыми; поэтому на приведенном пространстве 0/GR возникает естественное действие группы 50 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.17 (L) Естественное действие 50 к ©/GR

50 /Gr пуассоново (II) . Отождествим приведенное пространство с группой G . Тогда это действие задается формулой

1^^)^ -^(^‘^-^ОТ1^)- . (3.24)

В частности, подгруппа GR С 70 действует по формуле k-^.(3.25)

это действие пуассоново.

По аналогии с (3.5) преобразования (3.25) называются одевающими.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение <1) следует из очевидных общих свойств пуассоновых действий. Каноническая проекция х: $ — —- $/GR — G задается формулой x\u,r)-wtu^v^-vOr'ir). Ясно, что (х,у)^ = Xх (х^, ^), откуда следует (LL)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.18. Симплектические листы скобки Склянина в

G совпадают с орбитами одевающих преобразований (3.25).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим двойное расслоение G -^Я)^ G Проекция X; % — Gr X % ^ G задается формулой X (u,v) - (uv'1)”^ и — (uv-i )2* V. • Отображения X, х' взаимно полярны. Имеем li'1^) = {(к+ ^ , К- ц ) , h,eGR} , откуда наше утверждение очевидно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предложение 3.18 уточняет (для рассматриваемого случая) общий результат В.Г.Дринфельда. ■-

Литература

Захаров В.Е., Ш а б а т А.Б. функц.анализ и его при- лож., 1974, т.8, №3, с.43-56.

Захаров В.Е., Шабат А.Б. функц.анализ и его приложи, 1979, т.13, с.13-22.

Date Е., Jimbo M.,Kaehiwara М., М i w а Т.

Proc.Japan Acad.Sei. 1981, 57A, p.3806-3818.'

.0 a t e E., J i m Ъ о M., M i w a E. Physica 40 (1982),

p.343-365..

D a t e E., J 1 m b о M., M i w a T. Publications RIMS, Kyoto Univ. 18(1982), p.1O77-W9.

S e g a 1 G., W i 1 s о n G., Publ.Math. I.H.E.S., 1985, N 61,5-65.—

Ueno K., Nakamura G., Phys. Lett •, 1982, 119B, 187.

Семенов-Тян-Шанский M.A. Функц.анализ и его прилож., 1983, т.17, № 4, с.17-33.

Дринфельд В.Г. ДАН СССР, 1983, т.268, с.285-287.

Sklyanin Е.К. On complete Integrability of the Landau - Lifschitz equation. Preprint LOMI E-3-79. Leningrad, 1979.

Semenov-Tian-Shan sky M.A. Publications - RIMS Kyoto University, (1985), 21, 116.

Дринфельд В.Г. ДАН СССР, 1985, т.283, ^ 5,с.1060-64.

Jimb о Ме Lett.Math.Phys, (1985), 10, 63.

J i m b о M. A ({.-analog of U^^rt))7 Hecke al

gebra and the Tang - Baxter equation, RIMS preprint $17.

Kyoto Univ., 1985.

Weinstein A. J.Diff.geom., 1983, 18, N 3, p.523-558.

M. A. Semenov-Tian-S hansky „ Poisson groups and Dressing transformations..

The non-conventional properties of Poisson brackets under the dressing transformations of Zakharov-Shabat are studied using the geometry of Poisson Lie groups originally developed by V.Drinfel’d.

Ю.Н.СиДоренко

О ГАМИЛЬТОНОВОСТИ НЕКОТОРЫХ ДВУКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ

Настоящая заметка с одной стороны стимулирована недавними работами [l, 2] по классификации двукомпонентных систем нелинейных эволюционных уравнений, с другой стороны обусловлена следующим обстоятельством:

в то время как для уравнений с известными представлениями типа Лакса развиты довольно общие методы построения широких классов точных решений [з] и вскрыт замечательный механизм интегрируемости таких систем с точки зрения гамильтонова формализма [4] , создание эффективного метода нахождения таких представлений далеко от завершения. Отметим, что нашей целью не является сравнение известных подходов в этом направлении, часто явно или неявно дублирующих друг друга, но в то же время имеющих свои преимущества.

Изложение работы построено следующим образом. Во вводном разделе мы приводим основные определения и достаточно известные соотношения, используемые в дальнейшем, иногда отдавая предпочтение краткости перед строгостью. В основной части, следуя работам [5-8 J , строятся для нескольких систем из [2] такие базовые объекты, как гамильтоновы операторы [9] , задающие иерархии согласованных скобок Пуассона, порождающие (рекурсионные) [lO, II] и Лаксовы операторы. Выбор нами этих систем из довольно обширного списка уравнений работы [2] , "подозрительных” на интегрируемость, продиктован, во-первых, тем, что имея достаточно элегантный вид, они в то же время являются обобщениями известных ранее физически важных моделей; во-вторых, локальностью простейших скобок Пуассона, в отличие от большинства остальных, рассмотренных нами ситуаций. В процессе классификации интегрируемых МОЗР систем естественно вводится понятие эквивалентности по отношению к различным преобразованиям (Миуры, Бэклунда и др., - см. например [12] ), но необходимо отметить, что из-за сложного вида этих связей "пересчет" основных объектов и связанной в ними теории далек от тривиальности. Для иллюстрации мы приводим вид калибровочных преобразований, связывающих уравнения (I.I2), (I.I6) с канонической системой Захарова - Шабата (Каупа - Ньюэла). В окончании приведены некоторые системы, для которых найденные гамильтоновы операторы являются нелокальными, а значит, в определенном смысле не "физичны", в связи с чем мы не исследовали их в полном объеме.

О.* Рассмотрим многообразие М =С^ ^R , R ) гладких (•-периодических по пространственной переменной X G R функций со значениями в R и эволюционную систему на нем

^«КВД,'(o.i)

где К - гладкий по Фреше локальный нелинейный оператор со значениями в "касательном” пространстве ТМ. Пусть ф (И) - пространство гладких, по Фреше функционалов на М . Операция взятия градиента определяется следующим образом <|Км1:20 ^М) — Т*М,

ушЬ F = б/б w Г , где 5/5 <г - оператор вариационной производной.

Локальный функционал <£ : М —► ТМ назовем локальной симметрией системы (0.1), если выполняется операторное равенство:

(0.2)(0.2)К’-Х -dl'-K =0,

(0.2)

(0.2)

где штрихом обозначено взятие производной Фреше.

Гамильтонов [9] оператор X: Т М —►ТМ , является нетте- ровым для потока (0.1), если

Xt = ХК'*+К’Х,(О.з)

здесь К - оператор, сопряженный к К относительно билинейной формы^ ^

5(0.4)

X. G R - произвольная фиксированная точка; GL 7 Ь G ТМ ^

^Т М^М^» С^ ^R ? R ); ^е /^- скалярное про

изведение в R .

Если наряду с X для системы (0.1) существует еще один неттеров оператор ЛЬ , а X ^вляется косимплектическим (т.е. существует ему обратный X , называемый симплектичес- ким), то из (0.3) следует:-

At-[A,K'*],(0.5)

.А^-ЕА^к'],(0.6)

где А = X ^ Л1 - так называемый порождающий £l0, II] или градиентно-рекурсионный, а А = ЛЬ Х - симметриино рекурсионный операторы.

Если оператор Л является наследственным [is] , то все операторы вида Х-К** } KcZ^ согласованы, т.е. произвольная линейная комбинация их есть гамильтонов неттеров оператор для системы (0.1).

В дальнейшем нам потребуется следующая

ТЕОРЕМА (Лакс |Х4]). Законы сохранения Н ^ ^ (^М ) системы (0.1) удовлетворяют следующему уравнению:

(^Н^ + К^^И = 0.(0.7)

Используются также формулы пересчета основных объектов при гладких отображениях многообразия М в N .А именно: при отображении В : м xN — CL ( а - некоторое линейное бесконечномерное многообразие), В (ТГ^^О для произвольных решений Tl^M^V в N систем типа (0.1):

w ~ и Vt = к [ V ],~

оператор 3L переходит вX=RZH* , оператор Л - в Л = -fl*4 Л ЯГ , где R. = (B^P(B^),Bp,V) =0: (Отобра-

жения ВI4 ' TM*N~*01 и 6- : М xTN-*0.предполагаются обратимыми .)

Рассмотрим систему вида

U^ = Ц,хх-+Я^ и,у0^ + dU, Vx +$\ЬЧ*^оЦ^-<£) U.V ( v^—vxx +2^uvvx +otvltux-5'viu,+-^^-p)v3^ ■

Как показано в работе [2j , она имеет несколько локальных интегралов движения, для вычисления которых приведены явные формулы. Известно, чТо отличительной чертой систем вида (0.1), интегрируемых посредством МОЗР является наличие, нетривиальной в некотором смысле лаксовой пары операторов и, как следствие, бесконечной серии локальных сохраняющихся величин, которые могут быть получены отправляясь от любого оператора пары. Удобство использования равенств (0.5)-(0.6) состоит именно в том, что они явля-

ются нестандартными представлениями типа Лакса дДя исходной системы, в которых один из операторов ( |\ или К * ) изначально известен. В частности, (0.5)- это условие совместности уравнения Лакса (ср.(0.7))

(1.2)(1.2)^ = 0 -

(1.2)

(1.2)

и линейной задачи

(1.3)(1.3)Л ^ = Л"^

(1.3)

(1.3)

Используем уравнение (1.2) для нахождения интегралов движения. В нашем случае оператор ^^ для системы (I.I) имеет вид:

2)4£UW^2(<^uyx+2Suv+|^^

-rfifd-i^^ui^^^-^^uv^t 2(<z-^

Будем искать решение уравнения Лакса (1;2) в виде:

Ч =№t;t)p^^(1Л)

Ле(Г; - параметр. (Обоснование такого анзатца см., например, [з, 8^ ). Легко показать, что Т ^XjX,t^ - производящая

функция сохраняющихся плотностей. Разлагая в ряд по степеням

Л при [Х| —ОО :

В (X; 00 —1EL X* . Т^Х; X,t^=5LQ X и подставляя в (1.2) 0v 70

получаем рекуррентные соотношения для нахождения В^^ J :

^ (А;х,Й=Хх- ХЧ ; S' =о ,

в последующих формулах производится суммирование по повторяющимся индексам - ..

°2\

+[Zx-^vv +^(р-^Wa+W ] В^- ^(^"^р)^-^^-^)uv +й>Liv] t^j

-^^=-6^-6L5a.LtBv,,ti6llt1x + 2?i6„.t)x+?L/Blt.+

+2 ^г^+м*?^ J ^-c/2 ? w :rkZ W »i M *M^ " ti+

+ [z(^-«)vnx+ Z^-.ynV+ZSu.vJ 0^+ o+ [Z^-js'luu.^+^fi-jsJu’v-Su1] S^ ;

L^ j^-O^ e^ 8)^ - символ Кронекера."

Несколько первых плотностей ^^ имеют вид:

5o= ^V> ?1 = (2М UVx - V^-^V ’^ ’

$ = (2^-od UA^ + ^- ^ </) uV^-^) U- VVx+^v 1^ 4^(2.^ -«^ ^V +f^u v•

Эти плотности, естественно, совпадают с приведенными в работе [2] .. Заметим, что изложенная выше рекуррентная процедура корректна только для интегрируемых систем. В противном случае на некотором шаге мы придем к противоречию: ^K.t^^k.x (ситуация когда все ^ являются полными производными, начиная с некоторого k— yyv » моделирует линейную систему . Для доказательства

корректности в нашем случае мы приводим явный вид порождающего оператора Д: Д-Х"1 JH/ , где

1+cLvT^-ctv^v ,1+cLvT^-ctv^v ,-avT v*> ]-avd nJH-auS’v^-aiurV ,-avT v*> ]-avd nJH-auS’v^-aiurV ,

1+cLvT^-ctv^v ,

1+cLvT^-ctv^v ,

-avT v*> ]-avd nJ

H-auS’v^-aiurV ,

-avT v*> ]-avd nJ

H-auS’v^-aiurV ,

(d--p)[u3 1u^+u^~V]-^"m/;^x+(d--p)[u3 1u^+u^~V]-^"m/;^x+Vrty^y^vtV ,Vrty^y^vtV ,(1.5)(1.5)-1a,? =Оператор A-1a,? =Оператор A4- I e dx. - I det, .LXo X"осуществляет связь градиентов законов сохранения4- I e dx. - I det, .LXo X"осуществляет связь градиентов законов сохраненияс соседними номерами:_0Л ^.гас1 ^к<1х =^гоД ^ ^da>, k е N ,(1.6)^О3^0и удовлетворяет соотношению(0.5).ФакторизующиеоператорыX,JM/ образуют согласованнуюгамильтоновупаруизадаютбигамиль-тоново представление системы (I.I):с соседними номерами:_0Л ^.гас1 ^к<1х =^гоД ^ ^da>, k е N ,(1.6)^О3^0и удовлетворяет соотношению(0.5).ФакторизующиеоператорыX,JM/ образуют согласованнуюгамильтоновупаруизадаютбигамиль-тоново представление системы (I.I):гдегде( U/,v)| = 2. <^га.1 Нг = И ^-mxcL Н^ ,-1 ГХо^-1Н1=(2-М З^г^^ Н^С^"61)( U/,v)| = 2. <^га.1 Нг = И ^-mxcL Н^ ,-1 ГХо^-1Н1=(2-М З^г^^ Н^С^"61)(1.7)(1.7)На практике операторы X^JHz, Л находятся исходя из их свойств учитывая их действие на иерархии законов сохранения и используяНа практике операторы X^JHz, Л находятся исходя из их свойств учитывая их действие на иерархии законов сохранения и используя

(d--p)[u3 1u^+u^~V]-^"m/;^x+

(d--p)[u3 1u^+u^~V]-^"m/;^x+

Vrty^y^vtV ,

Vrty^y^vtV ,

(1.5)

(1.5)

-1

a,? =

Оператор A

-1

a,? =

Оператор A

4- I e dx. - I det, .

LXo X"

осуществляет связь градиентов законов сохранения

4- I e dx. - I det, .

LXo X"

осуществляет связь градиентов законов сохранения

с соседними номерами:_0

Л ^.гас1 ^к<1х =^гоД ^ ^da>, k е N ,(1.6)

^О3^0

и удовлетворяет соотношению(0.5).ФакторизующиеоператорыX,

JM/ образуют согласованнуюгамильтоновупаруизадаютбигамиль-

тоново представление системы (I.I):

с соседними номерами:_0

Л ^.гас1 ^к<1х =^гоД ^ ^da>, k е N ,(1.6)

^О3^0

и удовлетворяет соотношению(0.5).ФакторизующиеоператорыX,

JM/ образуют согласованнуюгамильтоновупаруизадаютбигамиль-

тоново представление системы (I.I):

где

где

( U/,v)| = 2. <^га.1 Нг = И ^-mxcL Н^ ,

-1 ГХо^-1

Н1=(2-М З^г^^ Н^С^"61)

( U/,v)| = 2. <^га.1 Нг = И ^-mxcL Н^ ,

-1 ГХо^-1

Н1=(2-М З^г^^ Н^С^"61)

(1.7)

(1.7)

На практике операторы X^JHz, Л находятся исходя из их свойств учитывая их действие на иерархии законов сохранения и используя

На практике операторы X^JHz, Л находятся исходя из их свойств учитывая их действие на иерархии законов сохранения и используя

определяющие уравнения (0.3)-(0.5)-(0.6). Для некоторых типов операторов К. (правых частей исходной системы (0.D) удобно использовать асимптотические методы малого параметра [15^ .

Опишем кратко метод перехода от нестандартного представления (0.5) для общей системы (0.1) к каноническому представлению типа Лакса в виде

Lt=[P,L],_(1.8)

где L=L[U; X] = Dx-^ [АД] H^t^.A] -матричнозначный (к * к) локальный оператор на многообразии М , зависящий от спектрального параметра Аб С1 , нормированный условием t^/ А [Тц А]=0. Исходными являются следующие замечания. Во-первых, след оператора монодромии Д (A)=k^^ S (Х0) А)

периодического оператора L [Ес, А] , являющийся порождающим функционалом интегралов движения (см, [з] ), обязан удовлетворять уравнению Лакса (0.7). Как следствие представления (0.5) должны выполняться соотношения:

(A-A)giadA(X}=0^(J4-AZ)^(i.9)

Во-вторых, по виду рекурсионного оператора А (2-Л - пары) мы можем определить матричную размерность к оператора L[lL)X^ . А именно, трактуя уравнение Новикова для оператора монодромии .'

Зх(хЛ)=[^ 1л,Х], S^X)]

(точка нормировки Хо для удобства переобозначена через X ), как присоединенное представление соотношения (1.9), мы требуем чтобы его ранг (равный к-4 при нормировке^ Л [^А]=0) совпадал с рангом минимальной системы дифференциальных уравнений, эквивалентной (1.9). Выражая в последней ^гас1Д(А) по известной формуле ..

^•га.Л Д (Х)=к~^ 1г(Д * S). (1.10)

и собирая коэффициенты при ^ij^ X) получаем .систему функциональных уравнений для матричных элементов оператора Л[й,А] . Мы сознательноне приводим общий вид этой системы, ввиду ее громоздкости. Заметим, только что она несложно разрешается, допуская некоторую неоднозначность, связанную с калибровочной, свободой. ' Для систем типа (0.1) естественно ограничиться операторами ад , не зависящими от производных функции Тс , что

означает фиксацию дифференциальной калибровки. В этом случае вычисления существенно упрощаются, т.к. формула (1Л0) приобретает вид

^га-d д (Х)= к 4 t’t (^S ^i* ) .

Для системы (I.I) лаксов оператор, полученный описанным выше ме

тодом, имеет вид:

L=\-L=\-AZ+ 4^ (ci-^) U/V * (A x/^-d' - Vs’)(X^^-AV^Vl:, -A^^-ei)lLV

L=\-

L=\-

Следующая рассматриваемая система -

vi=-vxx + 4VH-^ ^/’x+otvvx

о эх^x оо эх^x о11(I.II)(I.II)(I.I2)(I.I2)имеет порождающий оператор л=г я , где

о эх^x о

о эх^x о

1

1

(I.II)

(I.II)

(I.I2)

(I.I2)

-<-<(I.13)(I.13)2 8 vT v-d(Y с)" -3 у) ♦ - 2,+2^vA u+d(v^ -i^

-<

-<

(I.13)

(I.13)

„и —4 — 4 v1\

2,+2eu.^ V-ct^-D v); 2&U.B U,+ct(U^+Э OJ |,

а оператор I t равен:

(I.I4)(I.I4)I А2+тг^(и.+у)' хAvL =о +

(I.I4)

(I.I4)

х I^Xc^ + su/) *7 -Аг-у°1(и.+у)

При калибровочном преобразовании

L=& LG,

G =G =||Х^(^+Е^1)||Х^(^+Е^1)(I.I5)(I.I5)

G =

G =

||Х^(^+Е^1)

||Х^(^+Е^1)

(I.I5)

(I.I5)

ососа^=еэср ^ ^ (3olV + oiU+X £ МА/) (L^ , оператор L Обо

ос

ос

переходит в канонический оператор Захарова— Шабата:

l = \+a4+ ° р

P=2vf ^ cp=-^kx+eVv+<*&k+3^^fX

Используя формулы пересчета, приведенные в конце предыдущего раздела, можно показать, что рекурсионный оператор Д при этом переходит в порождающий оператор для НУШ в терминах функций р4 ф ; гамильтонову оператору JV^ соответствует вторая скобка Пуассона, а каноническая симплектическая структура согласована с оператором X 1 •

В заключение этого раздела рассмотрим систему

(I.16)(I.16)Локальный гамильтонов операторЛокальный гамильтонов оператордля нее тот же., что и для (I.I2):для нее тот же., что и для (I.I2):я =я =ооЛо ,Ло ,и^= Ихх + Е (iA) х + 2 u, ux vt=-v«+t»4+2(vv)1<-

(I.16)

(I.16)

Локальный гамильтонов оператор

Локальный гамильтонов оператор

для нее тот же., что и для (I.I2):

для нее тот же., что и для (I.I2):

я =

я =

о

о

Ло ,

Ло ,

а симплектическая форма задается оператором

'-1 Ev^V+v^-hTA; -<+£уУ и+У^и

1~ НиУ^+гиУ^ ) EU?*{U,

Лаксов операторЛаксов операторкак и в предыдущем случае, калибровочным преобразованиемкак и в предыдущем случае, калибровочным преобразованием

Лаксов оператор

Лаксов оператор

как и в предыдущем случае, калибровочным преобразованием

как и в предыдущем случае, калибровочным преобразованием

переводится в канонический

Согласованность гамильтоновых структур точно та же, что и выше.

В этом разделе мы приводим некоторые из систем ^2] , нс исследованных нами до конца.

.г

Гамильтонов оператор ^ имеет вид:

- d Э~У — 4 +

а соответствующий ему симплектический X равен:

= -24^;•

Оба оператора являются нелокальными.^

1^=1^-2(1+ 4^ U,* V-2 t^(1+UV) Llx Vx

V+=-V, +2H+LLV) V, H-ZlO^ + UV) V Lix • T АЛ/ A

Симплектическая форма задается локальным оператором

Нам не удалось обратить оператор, но очевидно, что

соответствующие скобки Пуассона существенно нелокальны.

Аналогичная ситуация имеет место и в последнем, приводимом

(2.3)(2.3)здесь случае:*

(2.3)

(2.3)

V ^^' +j>y4Vsv<-l) U^x" £(^) V, ,

где ot^ J> 1 ^ ^ £- произвольные действительные константы,

У =У(и+у)~ произвольное решение дифференциального уравнения:

У =^У(^У^У + у).

у-у-J о; -2еЭх ^у^у^^фогуу+р^и* + р у' [-2 Е(аУ +^У+у)Эх-28(2^УУ +^V)^-^у'; О

у-

у-

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую при

знательность П.П.Кулишу за постоянное внимание к работе.

Литература

М и х а й л о в А.В., Шабат А.Б. ТМФ, т.62, № 2, с.163185.

Михайлов А.В. .Шабат А .Б. Условия интегрируемости систем двух уравнений.-Препринт ИТФ им.Л.Д.Лацдау. Черноголовка, 1985.•

Теория солитонов. Метод обратной задали. Под ред.С.П.Новикова. -М., 1980.'

Тахтаджян Л.А., Ф а д д е е в Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. - М., 1986.

Скрипник А.И., Прикарпатский А., Самойленко В.Г. ДАН УССР, сер.А., 1986, № 2, с.21-24.

Си Доренко Ю.Н. ДАН УССР, сер. А., 1985, № 12, с.IC- 21.-

Сидоренко Ю.Н. ДАН УССР, сер.А., 1986,3, с.11-17.

Боголюбов Н.Н. (мл.) Прикарпатский А.К., К у р б а т о в А.М., С а м о й л е н к о В.Г. ТМФ, 1985, т.65, № 2, с.271-234.'

Г е л ь ф а н д И.М., Дорфман ИЛ; Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры. - Препринт ИМП им.М.В.Келдыша, № 86, М., 1979.

К у л и ш П.П. - В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 12. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1980, т.96, с.105-113.

П. Gerdjikov V.S., К u 1 1 s h P.P. Physica 3D, 1981, v.3, p.549-562.-

Дринфельд В.Г. .Свинолупов С.И., С о к о- л о в В.В. ДАН УССР, сер.А., 1985, № 10, с. 14-17.

Fucssteiner В., F о k a s А.5. Physica D, 1981, v.4, N 1, р.47-66.

Lax P.D. Comm.Pure and Appl.Math., 1968, v.21, p.467491.

Митропольский Ю.А., Прикарпат с к и й А.К., Самойленко В.Г. ДАН СССР, 1986(в печати).

Yu.К»Sidorenko. On the Hamiltonian structure of certain two- component systems.

Hamiltonian structures for a number of non-linear evolution equations along with their conservation laws are presented. The integrability of these equations by means of the inverse scattering transform is proved.

Е.К.Склянин

О ПУАССОНОВОЙ СТРУКТУРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ХУ2-ЦЕПОЧКИ

§ 0. Введение. Постановка задачи

В работах автора [1,2] был предложен новый метод диагонализации интегралов движения для моделей, точно решаемых в рамках квантового метода обратной задачи (КМОЗ). В настоящей статье делается попытка расширить область применимости нового метода и включить в нее анизотропный ХУ2 -магнетик, вырожденными случаями которого являются практически все известные точно решаемые квантовые модели с одной полевой степенью свободы.'

Метод, развитый в [l,2] , основан на алгебраическом подкоде к КМОЗ, который в последние годы становится все более популярным [З-б] . Нам будет удобен следующий вариант алгебраической формулировки КМОЗ [2] . Рассмотрим (бесконечномерную) ассоциативную алгебру, порождаемую генераторами Т^ (и).(л,р =1,...,D; UG.CJ, образующими квадратную матрицу Т (и) , и квадратичными соотношениями

122 i

R ^ -ua) Т (и^Т (u,a) = Т (wa) Т (U/J R (^ -иа),(од)

2 -

где Т =7©!^, 7 =ID®T . Теория алгебры (0.1) становится более содержательной, если на "тензор структурных констант" R(u) е Aut (С 0 С ) наложить, как это принято, условие

Ria^i) Ria^i*^) R 22X^2) ^Ras^a)Ria(У,1+^'г)^12(^1) (0.2)

- уравнение Янга - Бакстера. По поводу обозначений см.обзоры [7,8] .

Наибольший интерес для КМОЗ представляют следующие три задачи, связанные о алгеброй (0.1);

■ I) Перечисление решений R (а) уравнения Янга - Бакстера (0.2).'-

Эта задача пока далека от исчерпывающего решения, хотя накоплен довольно большой запас конкретных решений [7,8] .

Построение представлений (в т.ч. неприводимых) алгебры (0.1) для заданного R(w).

Значение этой задачи состоит в том, что каждое новое представление 7 (и) соответствует новой квантовой вполне интегрируемой системе. Пространство представления при этом интерпретируется как пространство квантовых состояний системы.

Нахождение спектра коммутативных подалгебр алгебры (0.1).

Поскольку указанные коммутативные подалгебры обычно интерпретируются, как алгебры интегралов движения квантовых систем, речь, тем самым, идет о нахождении спектра гамильтониана и коммутирующих с ним операторов - одной из важнейших задач квантовой механики.

Наиболее распространенный подход к проблеме представлений алгебры (0.1) состоит в поиске "элементарных" представленийТ(и) =

L (w)( L - операторов) с наиболее простой аналитической зависимостью от спектрального параметра Ц/ [4,9] < Используя следующие два хорошо известных факта [7,8] :

Если Т(и) есть представление (0.1), то и Т (а-?) также есть представление (0.1) VS е С.

Если Tt (и) и Ta(U)- представления (0.1) в пространствах соотв. V^ и Va , то ТДм) Та (и) — представление (0.1) в пространстве V1®Va (операция ксумножения [б] ).

можно получить богатый запас представлений алгебры (0.1) вида'

T(u) = L1(.a-61)La(U/-5a)...LN(U/-SN).(о.з)

В физических приложениях квантовая система, соответствующая представлению вида (0.3), обычно интерпретируется, как замкнутая цепочка (кольцо) из N узлов.

Остановимся подробнее на задаче № 3 - исследовании спектра интегралов движения. При этом мы ограничимся рассмотрением простейшего случая D =2 , когда Т(и) - матрица 2x2

Т W = ( ^) ^ G Ма^ ^^ ’ (0.4)

a R (о) - R-матрица ХУ2 -модели (решение Бакстера) или ее вырожденных случаев: XXZ-и XXX - магнетиков [9] . R-мат- '

рица имеет видR(w) =рица имеет видR(w) =(u) е Awl (С2® С2)(u) е Awl (С2® С2)(0.5)(0.5)

рица имеет вид

R(w) =

рица имеет вид

R(w) =

(u) е Awl (С2® С2)

(u) е Awl (С2® С2)

(0.5)

(0.5)

и параметризуется эллиптическими (X!JZ) , тригонометрическими (XX Z) или рациональными (XXX) функциями спектрального параметра а [9] .

Задание матрицы R(a) фиксирует алгебру Т (u,) (0.1). Для выбранной нами R -матрицы (0.5) известно [7] , что т.н. квантовый детерминант, т.е'. полином

Д (и) - А (а + -|-)Б(а-|) -В(и+|)С(и -^ (0.6)

где ^ - константа, характеризукщая R-матрицу (0.5), является центральным элементом алгебры (0.1) для Vu/ , т.е. коммутирует с любым из генераторов (0.4)

Богатый запас элементарных представлений ( L -операторов) алгебры (0.1) для рассматриваемого случая был построен в [9,10].

В качестве коммутативной подалгебры (производящей функции интегралов движения ) выберем"

t (и) = И Т (и) = А (а) +D (и).(°-?)

Коммутативность i(n) непосредственно вытекает из соотношений (0.1) [7,8] .

Наиболее популярным способом решения задачи о спектре t(U), которому КМОЗ обязан большинством своих успехов, является т.н. алгебраический анзац Бете (ААБ) [7,8] , применимый для представлений Т (U) , обладающих в том или ином смысле младшим (старшим) вектором о) (модулей Верма). В простейшем случае XXZ - или XXX -моделей ( dI(u)=0 в (0.5)) вектор о) определяется условием•

С(и)о) =0 VU. '

Ряд интересных результатов по теории модулей Верма для XXZ и XXX -алгебр содержится в работах [з,п] . Идея ААБ состоит в построении собственных векторов i(W) в виде В^.-.В^^О) . При этом параметры Wj определяются из т.н. системы уравнений Бете [в] . В невырожденном X9Z -случае также удается построить аналог описанной процедуры [12] , правда, ценой заметного усложнения конструкций.

В работах [1,2] автором был предложен альтернативный к ААБ метод исследования спектра t (и) . Проводя аналогию с представлениями алгебры Ли st (2) . можно сказать, что если ААБ соответствует построению собственных векторов подалгебры Картана 53 о помощью повышающего оператора 5+ из младшего вектора о);5-0) =0, то новый метод аналогичен подходу, использующему известную реализацию элементов si (2) дифференциальными операторами [13] . Как и в теории алгебр Ли, такой "функциональный" подход оказывается эффективен не только для модулей Верма, но и для бесконечномер>- ных представлений, не обладающих младшим (старшим) векторе»*. Это было показано в [l,2] на примере волчка Горячева - Чаплыгина и цепочки Тоды, не поддававшимся решению посредством ААБ.

Идея подхода, предложенного в [1,2] , состоит в м, чтобы найти реализацию представления алгебры Т(и) вида (0.3) в терминах операторов умножения u- (i =1,..., N)

1ЛИк]”0(0.8)

и сдвига Y| (| — 1,-)N) '

[^,Ч]-0,(0.9a)

iH^M*.(о-эд

действующих в пространстве стметрических функций 1(4^...,^).

При этом требуется, чтобы "полином" t(U] в точках Ц/=и:имел следующий специальный вид .-

к^)-м<||)У|"+м^)Ч, (оло>

где Д^С»- некоторая факторизация квантового детерминанта (0.6)'

Д + (и/+ -^)Д_[и/-•!•) =Д (и).(о.п)

При подстановке U/ = Uj в t(U) подразумевается упорядочение операторных множителей: <||* налево, Y|" - направо [1,2].

Как показано в [1,2] , специфическая структура t(u) в ^-представлении позволяет осуществить разделение переменных и свести задачу для собственных значений Т (U) операторов t (и) к одномерной спектральной задаче вида

Т (w) V (и) - Д+(u) V (и-^) + Д - (и) V (а +^).(0.12)

В тех случаях, когда исходная задача решается также посредством ААБ, система уравнений для нулей аналитической функции V(u), которая получается из (0.12), совпадает со стандартной системой уравнений Бете. Это обстоятельство объясняет происхождение условия (0.10).

Чтобы построить реализацию представления (0.3), отвечающую перечисленным требованиям, в работах [1,2] было, предложено ваять в качестве переменных Uj нули внедиагонального матричного элемента В(ц)(или С (а)) матрицы Т(ц) (0.4).

k^p-0-(0.13)

Этот рецепт работает для R-матрицы XXZ-и XXX -моделей (d^sQ^ но отказывает для общего случая ХУ2 -модели, так+как доказательство коммутационных соотношений (0.8-9) для ^j Yj" существенно опирается на коммутативность матричных элементов В(и) (или С W)

[В^), В^а)] = 0, которая имеет место только в указанных случаях.

Попытка обобщить рецепт (0.13), заменив его на

НСТ(1|.)=0;(0.14)

где С - некоторая треугольная матрица (в спектральном смысле, т.е. И С = det 6 = 0, С /> 0 ), приводит к успеху только для случая элементарного представления, т.е. N — 1 .

Более того, даже в случаях XXZ или XXX R-матриц для конечномерных представлений Т(и) , отвечающих вещественной форме типа su(2) '.'

А* (а)—D(-U), B*W = C(-U)(0.15)

алгебры (0.1), в отличие от sl(2i,P-)'

(Т^ (ti))*- T^(U),(0.16) •

как в [l,2] , рецепт (0.13) приводит к целому ряду затруднений в построении, инвариантного функционального пространства и метрики в нем, хотя формально - алгебраическая часть не зависит от выбора вещественной формы. К этому надо добавить, что в случае

XXX -магнетика рецепт (0.13) нарушает естествГенную ЗИ (2)- инвариантность модели.

Перечисленные соображения заставляют искать какую-то замену рецепту (0.13). Возможный вариант приводится в настоящей статье. Поскольку исследование квантового случая еще не закончено, мы ограничимся изложением результатов, относящихся к классическому случаю.

При переходе к классическому пределу [?,б] роль постоянной Планка играет параметр v^ , входящий в R -матрицу таким образом, что.

^4M+VWW)>Ъ~*°)(°-17)

где 1/(и) - классическая ^-матрица, удовлетворяющая классическому уравнению Янга-Бакстера [7,8]

После замены коммутаторов по общему правилу

= -^{,},—о

на скобки Пуассона, ассоциативная алгебра (0.1) переходит в т.н.

группу Ли-Пуассона [б,б]

(7^), t (u^ ^[t^uJ,7(^)7^)] .(0.19)

Для пуассоновой структуры (0.19) представляют интерес те же три задачи, что в квантовом случае.

Классификация решений классического уравнения Янга-Бакстера (0.18).

В отличие от квантового случая, эта задача решена практически исчерпывающим образом [14] .

Классификация орбит скобки Пуассона (0.19).

Эта задача также решена, по крайней мере в принципе, В.Г. Дринфельдом (неопубликовано, см. также [15]).

Разделение переменных.

Хотя в этом направлении имеется целый ряд важных результатов [l6,I?] , они относятся в основном к проблеме переменных действие-угол в конечнозонном интегрировании, и их интерпретация с точки зрения последующего квантования часто затруднительна.

Хочется выделить ряд специфических моментов, которые отличают постановку задачи в рамках Т-матричного и конечно зонного ' подходов.

В отличие от конечнозонного подхода, основной интерес для квантования представляют не переменные действие-угол, а тесно связанные с ними переменные <|| Y[ > удовлетворяющие классическому аналогу соотношений (0.8-9)

(0.21а)(0.216)(0*22)(0.21а)(0.216)(0*22)'натуральными пе-'натуральными пе-(0.20)

(0.21а)

(0.216)

(0*22)

(0.21а)

(0.216)

(0*22)

'натуральными пе-

'натуральными пе-

теории конечнозонного интегрирования - они обычно появляются как полюса функции Бейкера-Ахиезера (ФБА, собственного вектора матрицы Т (а) ) в подходящей нормировке.

Если в конечнозонном интегрировании обычно интересуются выражением ФБА в переменных 4|j Ур , то нас будет интересов вать восстановление матрицы Т (и) - задача существенно более про-. стая, но хуже изученная. Впрочем, возможно, что квантовый аналог ФБА представляет интерес с точки зрения квантового уравнения Гельфанда-Левитана [20] .

^3.4) В случае вещественной редукции (0.15) переменные ^|У|" будут, в отличие от случая (0.16) комплексными. Это приво- ' дит к сложной проблеме вещественности [l6,I?].

Ниже приводится решение задач 3.1), 3.2), 3.3) для классической ХУ2 -модели. Краткое обсуждение проблемы вещественности 3.4) содержится в Заключении.

Автор благодарен А.И.Бобенко, С.П.Новикову, А.Г.Рейману и Л.Д.Фаддееву за интерес к работе и полезные обсуждения.

§ I. Описание модели

Чтобы сохранить преемственность обозначений со статьями [9,10] , мы будем работать с 0 -функциями Якоби модуля k G (0,1) в обозначениях книги [21] . Прямоугольную решету о периодами 2 К и 21К , где К и К' - полные эллиптические интегралы, соответствующие модулю к , будем обозначать Г = £zgC | | Z = 2 Kw .+ 2vK iv j w , tv e Z J. Иногда мы, будем использовать удвоенную решетку 2 Г с периодами А К и 41К . Для справок, выпишем соотношения квазипериодичности

^|и+2К’кН",)5‘е9.Ч.^(1Л)

.©^(u+ZL^kM-l)98^"1^"^ Х9а^Л) и соотношения нормировки

е00ю.к)>о, g^.-W^ ;

voo

б^о(0,к) —лП7 Spf(0>к) _,П7'"

6о0(0,к)1 0ОО-

однозначно определявшие 4 стандартные 0 -функции 1-го порядка с характеристиками ^, g2C {0,1} .В дальнейшем нам будет удобно использовать сокращенное обозначение для характеристик

9,-W’ ^-(Ю), g2-№0), g3-(O4>, отличающееся от стандартного [221 .

Перейдем к описанию классического XVZ - магнетика, введенного впервые в [9] . Придерживаясь логики Введения, зададим

сначала 1-матрицу, характеризующую алгебру вида (0.19):

". 31 2.

- i(u)^-2L( w^ (и) б^ б^ ,(1<2а)

(1.26)

гдегде6^ - матрицы Паули6^ - матрицы Паули

где

где

6^ - матрицы Паули

6^ - матрицы Паули

индексы I и 2 в (1.2а) означают то же, что в (0.1). Наша 't-матрица (1.2) отличается от приведенной в [э] заменой U —ill, к —— к и нормировочным множителем у = 1/2. Как показано в [23,24] , Т-матрица (1.2) однозначно характеризуется следующими свойствами

Простота з1 2

е sha)® shz) <^ i(ii)=*2Z Д^в^)^6^ •(l.3a)

*2 Х ^й ~ инвариантность

12121212

^ б^ 1(11) 6^ 6V - 63 63 t(U) 63 63 = t(ll) •(1.36)

^> t(n) -23 W^ .

Квазипериодичность .1122

1(и+2К) - ^Ш)^ - ^1(11)^d.38)

Л(и+21К')- 631(11)63 = 631(11)6-3 .

Мероморфность.

функция 1(11) мероморфна в С и имеет в фундаментальной

области С / Г один простой полюс при U-0(nux£ Г) , причем

■•. з । 2

ш i(u) = t0 - - у 2L ^ е;(т.зг)

U-0°1а1

Можно показать [23,24] , что 1(11) удовлетворяет классическому уравнению Янга-Бакстера (0.18).

Простейшие орбиты ( L - операторы) для скобки Пуассона(0.19) с Х-матрицей (1.2) были описаны в [э] . Для наших целей

удобно охарактеризовать их соотношениями квазипериодичности

L(u + 2K) = -<o.L(a)6-_.

(1.4)(1.4)Л,.-^(u+iK')

(1.4)

(1.4)

L(u+2lK )--^3L(a)63e к

Из общих свойств 0 -функций следует, что размерность линейного пространства голоморфных в С функций, обладающих свой- ттвом (1.4), равна 4, и L(U.) имеет видИз общих свойств 0 -функций следует, что размерность линейного пространства голоморфных в С функций, обладающих свой- ттвом (1.4), равна 4, и L(U.) имеет видL(u) = 2L(u) = 26q0^’^6q0^’^3s0 + Е3s0 + Е^W^) C (£ёТДк) * *^W^) C (£ёТДк) * *(1.5)(1.5)

Из общих свойств 0 -функций следует, что размерность линейного пространства голоморфных в С функций, обладающих свой- ттвом (1.4), равна 4, и L(U.) имеет вид

Из общих свойств 0 -функций следует, что размерность линейного пространства голоморфных в С функций, обладающих свой- ттвом (1.4), равна 4, и L(U.) имеет вид

L(u) = 2

L(u) = 2

6q0^’^

6q0^’^

3

s0 + Е

3

s0 + Е

^W^) C (£

ёТДк) * *

^W^) C (£

ёТДк) * *

(1.5)

(1.5)

где <V - динамические переменные, скобки Пуассона между которыми можно вычислить, опираясь на (0.19), см.[э]. Параметризация (1.5) L -оператора отличается от приведенной в [э] заменой U-^i{i, к**- к и умножением L (Uj на скалярный множитель, не зависящий от S^. Как и в [э1 , мы будем считать выполненными условия вещественности (0.15).

Орбита вида (1.5) будет полностью задана, если фиксировать

значения операторов Казимира, которые, как и в квантовом случае (0.6), содержатся в детерминанте L -оператора [9]

eld: L(uJ = б^а-СЛ)^ (ц, + £, к),(1,6)

где £е(0,2К)- параметр, характеризующий орбиту ("спин"). Как показано в [9] , соотношение (1.6) задает двумерное симплекти- ческое многообразие.

Перемножая L -операторы (1.5) по формуле (0.3), мы получим орбиту Т(и) более общего вида (матрицу монодромии), характеризуемую свойствами квазипериодичности

■ - n ./^ г м* т(1'7)

LT(u+2lK )Ч~1) (ojai^e *,

и детерминантом (операторами Казимира)

Д (а) = det Т(и) = П бц^’^п-^ ’ ^бДи-^ч-^ , к)^ (1.8)

где к - параметр орбиты а -го L -оператора.

В заключение этого параграфа введем ряд вспомогательных объектов, которые будут играть важную роль в дальнейшем.

Рассмотрим матричнозначную функцию U (а)

им ^ е01 №Л)б-а +1900 (и, х) ^им ^ е01 №Л)б-а +1900 (и, х) ^_V0£ и00v* 0QO " ®ol / Параметр! V, А связаны с дена [21,22]u = ir(l+V), к=^у_V0£ и00v* 0QO " ®ol / Параметр! V, А связаны с дена [21,22]u = ir(l+V), к=^у(1.9)(1.9)(1Г, X).а, к преобразованием Гаусса-Лан-(1Г, X).а, к преобразованием Гаусса-Лан-1+к ’1+к ’2,2,

им ^ е01 №Л)б-а +1900 (и, х) ^

им ^ е01 №Л)б-а +1900 (и, х) ^

_V0£ и00

v* 0QO " ®ol / Параметр! V, А связаны с дена [21,22]

u = ir(l+V), к=^у

_V0£ и00

v* 0QO " ®ol / Параметр! V, А связаны с дена [21,22]

u = ir(l+V), к=^у

(1.9)

(1.9)

(1Г, X).

а, к преобразованием Гаусса-Лан-

(1Г, X).

а, к преобразованием Гаусса-Лан-

1+к ’

1+к ’

2,

2,

аа1 + к1 + ку=±±, к'=а'(Ьа').к 1+У ’1 + ку=±±, к'=а'(Ьа').к 1+У ’1 + к

а

а

1 + к

1 + к

у=±±, к'=а'(Ьа').

к 1+У ’1 + к

у=±±, к'=а'(Ьа').

к 1+У ’1 + к

Перечислим важнейшие свойства U(tL) . а) Функция U(U) голоморфна в С .

Квазипериодичность

(1.10)(1.10)Ши+аЮ-иса)^ =-6;U(u)

(1.10)

(1.10)

U(u,+2lK ^-^Iki)^ е

Спектральные инварианты к U(II) = О, (kt U(U) - ге10 (O,k)0to (а,к).(1Л1)

Нули det U(u) : и = К(«их£Г).(1.12)

Точки вырождения.

В точках и=К(шхх£Г) матрица U(it) становится треугольной (в спектральном смысле)

U(K) = z,

=С1 '1 ) ’ bt 2 =dfct Z -0 ,(I.I3B)

2Ф?-2ЫФ?), V<Pe МиШ.И). ц.и»)

Обратная матрица

и-1 (а) = - U (U) det-1U(U,)?(I.I4a)

•^UlLlVlM -^ZW -^(ФЭ,(M46)

где ф - произвольная матрица 2x2,

Свойства а)-д) матрицы U(lt) проверяются прямым вычислением*

В дальнейшем U(tL-tL) , где <1 - какой-то параметр, будет использоваться, как матрица перехода к новому базису в С1, В связи с этим удобно йыбрать стандартные матрицы 2x2

A-(^),-B-(g^, e-(?g), D-(g?) a.xs.

и ввести их преобразования с помощью U(U)'

A(U)-U(U)^U‘(U) = (^ ~c^)(u),(1Л6а)

В(u)*U(u) В U "(и) - (?L -Сз)(а) ,(I.I66)

(1.16в)(1.16г)(1.16в)(1.16г)С(а) - V(u.) С U Ли) = ( _ ^ "^ ) (и), D (а) - U(u) D U -1(и) = (_^г £* ) (tL) >

(1.16в)

(1.16г)

(1.16в)

(1.16г)

где с (и,) = — — Law 2 k cn(u,k) ’

С±(а)-1[[ТС±(а)-1[[Тdata,к)" сп,(а,к)] •data,к)" сп,(а,к)] •

С±(а)-1[[Т

С±(а)-1[[Т

data,к)" сп,(а,к)] •

data,к)" сп,(а,к)] •

Формулы (I.I6) проверяются пряглым вычислением с использованием основных свойств эллиптических и 0 -функций.

Установим теперь важное равенство, связывающее матрицу [1(a)

и Ч,-матрицу (1.2).*

ЛЕММА. Преобразование подобия Т-матрицы (1.2) с помощью

U(lL-a) , 4 _ 2\2

р^ ,aa)sU(u1-u)U(uil-u,)^({L1-u,a)U(a1 -й;и(аг-й) (i.i?)

имеет вид.

(I.18)(I.18)y(a1,u.2)«'t(u1-u2) + |W(u,i-K-it)63 -

(I.18)

(I.18)

-14 Wa"K '^) +^ДК ’

гдеt«t)гдеt«t)+01|(и,к)о3в3] ,= ®н^к) + ^01о(и,к)™ 6и(и,к) 3е10(0,к> 9и(и,к) = ’a Wo - некая константа, точное значение которой для венно.Доказательство леммы приведено в Приложении А.§ 2. Натуральные переменные+01|(и,к)о3в3] ,= ®н^к) + ^01о(и,к)™ 6и(и,к) 3е10(0,к> 9и(и,к) = ’a Wo - некая константа, точное значение которой для венно.Доказательство леммы приведено в Приложении А.§ 2. Натуральные переменные(I.19)(I.19)(1.20)(1.20)нас несущест-нас несущест-[nz (п и. 0ю (it>k)/X Д , X Д \ ,‘ _Z9u(u,k)[0u (0’k) 01О(О,к)^1^ ^г^г) +

где

t«t)

где

t«t)

+01|(и,к)о3в3] ,

= ®н^к) + ^01о(и,к)

™ 6и(и,к) 3е10(0,к> 9и(и,к) = ’

a Wo - некая константа, точное значение которой для венно.

Доказательство леммы приведено в Приложении А.

§ 2. Натуральные переменные

+01|(и,к)о3в3] ,

= ®н^к) + ^01о(и,к)

™ 6и(и,к) 3е10(0,к> 9и(и,к) = ’

a Wo - некая константа, точное значение которой для венно.

Доказательство леммы приведено в Приложении А.

§ 2. Натуральные переменные

(I.19)

(I.19)

(1.20)

(1.20)

нас несущест-

нас несущест-

Теперь ^се готово для того, чтобы ввести натуральные переменные у, Yj. . Как уже говорилось во Введении, по целому ряду причин рецепт (0.14) непригоден для ХУZ -модели. Основное отличие приводимой ниже конструкции от использовавшейся ранее [I, 2] состоит в той, что прежде, чем приравнивать нулю матричный элемент Т(н) • выполняется специальное калибровочное преобразование, или, на другом языке, выбирается нестандартная нормировка функции Бейкера-Ахиезера.

Итак, подвергнем матрицу монодромии Т(Н) (0.3) преобразованию подобия с матрицей и(ц,-й) , где й, пока некий вспомогательный параметр

Т(а,а) = 1Г (н-й)Т(а)17(и-й).~(2Л)

Воспользовавшись равенством (1.14а), выделим из T(U,U) множитель, отвечающий за полюса ^

Т (н,й) = - cUt "l U(a-й) -Ти/.й) -(2.2а)

” - 2 ^(0’к^ 6^ (it -й, к) Т(и,й),

гДе

Т(н,й) =U(a-a)T(<t)l7(u,-u)(2.2б)

- голоморфная функция Ний.

^ Из (1.7) и (1.10) определяются свойства квазипериодичности

Т (н,й) по н

. Т(и,+2К,&)=(-!) Т(н,й) .~(2.з)

^ы ”-■^((4/+l)u,-a-b+(A/+l)tK7 ''

.Т(н+2<К'й)-(-1) бзТснД)^ е

и по IL~

Т(иД+4К) = Т(аД).

т - I 1/ т ~ -Дг^^-и.+ 2tKz) Тди+АьК^ТДдЭе ^

В далы^йшем мы часто будем использовать матричные элементы Т(иД) иТ(иД)

/ A(w,w) В(иД) \« ~( £(иД) В(ы,Д)\

\С(иД) О(иД)/)(^Д) \С(аД) ВоьД)/

которые, используя матрицы /HD (I.E5) hA«l)-^D(u) (I.I6), можно определить^ как

A(a,<L) = U АТ(иД) = U M-<L)T(«J,(2.5а)

В(иД) = {)1СТ(иД) = t& СД-й.)ТД),(2.56)

СДД)55^ BT(u,£)-toB(u-a.)T(w),(2.5в)

ВсаД)^^ ПТдД)- U D(u-u)Tiw)(2.5г)

и, аналогично Д («ДЭ-^ОдД).^,

Для матричных элементов Т(U-,tL) соотношения квазипериодичности (2.3) переписываются в виде

Ад^КДДИ/^ДД), А(и,+21К'Д)=Н) АДД)^, (2.6а)

В(<ь+2КД)=(~1) ВкД), В(а+2ьКД) =(-{)' В(аД)8, (2.66)

^/г+1 ^'//К+10?^

Сд+2КД)=Н) С(аД), C(w+2lK Д)Ч-1) С(о>й)£, (2.6в)

£ = есср(-^((#+1 )Д-и-&+(#+DiK')).Зафиксируем теперь то^у фазового пространства р£ = есср(-^((#+1 )Д-и-&+(#+DiK')).Зафиксируем теперь то^у фазового пространства ри рас-и рас-В(<ь+2КД)=(-1) ВДД), 0д+2<КД)“(-1) ВдД)£, (2.6Г)

£ = есср(-^((#+1 )Д-и-&+(#+DiK')).

Зафиксируем теперь то^у фазового пространства р

£ = есср(-^((#+1 )Д-и-&+(#+DiK')).

Зафиксируем теперь то^у фазового пространства р

и рас-

и рас-

смотрим матричный элемент B(il;<l) • Из квазипериодичности (2.66) следует [2l] , что В(€ЬаCL) » как функция LL , в фундаментальной области С/Г имеет (Ж+1) нуль ^,. (|=0Д5... ^М)

(2.7)(2.7)В(^Д) = 0, i = 0,l,...,#;

(2.7)

(2.7)

причем сумма этих нулей фиксирована

ZL U; =&+?> (mod Г).(2.8)

По аналогии с рецептом (0.13) из работ [1,2] заманчиво взять нули У| в качестве искомых координат, однако мы замечаем, что их на единицу больше, чем степеней свободы (число узлов Л/ ). Чтобы "убить" лишнюю координату, используем стандартный прием [25] . Выберем зависимость параметра Я от точки фазового пространства р таким образом, чтобы один из нулей ^ , например ^о , был равен фиксированной константе ^ Vp . Для этого достаточно определить Си из уравнения

Bu=,u)=0,(2.9)

получающегося из (2.7) при | = О . Тогда ^O = g(modr) будет лежать в центре скобки Пуассона и, тем самым, перестанет быть динамической переменной. Оставшиеся нули^ (^{^--^^мы примем за искомые координаты.

ЗАМЕЧАНИЕ I. Для выбранной нами вещественной редукции (0.15) переменные О: будут комплексными. Уравнение (2.7) задает отображение фазового пространства вещественной размерности 2.N на многообразие {.у.} комплексной размерности N . Отображение это устроено, по-видимоцу, довольно сложно; в частности, оно неоднозначно. Действительно, уравнение (2.9) для в силу соотношений квазипериодичности (2.4) имеет в расширенной фундаментальной области С/2Г четыре корня. Оставляя вопрос о глобальной структуре отображения р -**{у} и многообразия {^} для дальнейшего изучения, мы ограничимся в этой статье локальным: рассмотрением.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Используя связь (2.8), можно выразить 4L(p) через ^ Q =!,••• ^)~-

(mod Г),(2.10а)

гдегдеIVIV(mod Г) .(mod Г) .(2.106)(2.106)

где

где

IV

IV

(mod Г) .

(mod Г) .

(2.106)

(2.106)

В дальнейшем мы, считая выполненным Х^.Ю), не будем указывать явно зависимость от Л в Т(и.) и Т(«-) .

Следуя [1,2] .^определим теперь сопряженные к координатам ^ переменные Yj~ (| =!)•••?^) равенствами

А»(уХ| "^i1’(2.Ila)

где Z1+ (U) - некоторая факторизация детерминанта M<L) (1.8),

cp.(O.II), например, для определенности,N

Д±(и) ^^ц ^'V Ln , к).(2.12)

Оправдание сделанного выбора переменных U. Yi содержит следующая теорема.+

ТЕОРЕМА. Для переменных Ч; Y. справедливы соотношения (0.20-22).11.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проще всего доказать соотношение lj Ij = 1 (0.22). Действительно, оно вытекает из определений (2.II), (2.12) и того факта, что в силу (2.7) матрица T(^t) треугольна, следовательно

Чтобы вычислить скобки Пуассона между 4t Yj~ ♦ выведем сначала общую формулу для скобки Пуассона <^ и произвольной динамической переменной X . Дня этого заметим, что в силу (2.7) и (2.56)■

Bidp-UC^.-^T^i-O, ^0,1,...,^.

Раскрывая скобку Цуассона {В(^|),Х} = 0 , получаем равенство

оцМ^г^т^КхМ^^^(2.13)

+ (^ ,Х }к[С(^ -а)Т (^)] + tfL [с (^ -4){T(u), Х}а=J.

Для упрощения записи введем следующие обозначения-

С5-С(^-й), Т-Т(и), Т|-Т(^),<ХУ>-МХУ],

Ч, Tj -^ibu)^ [x,y].-{x,y}u_

В этих обозначениях равенство (2.13) принимает вид

о^-1,х}<с;тр ЧИ<£/Р + <сдт,хр

или

Отметим, что равенство (2.14) имеет место и при j -О . В этом случае выпадает {^0,Х} = 0, так как ^0-^ по построению

константа.

о-

(2.15)

Предполагая, что ^CjTi^^O , т.е., что нули ^ простые, исключим теперь {а,Х} из (2.14) и (2.15) и подучим ис- комую формулу для [^ ,Х) ,

С Yt

(2.16)

Вычислим теперь скобку {^-,^к} • Применив дважды формулу (2.16), '- А 2 t 2

получим

А К .1 2

X $ , 1 2

'О 'oz

вида1 2вида1 2»»£12^2 = ^к£12^2 = ^кТаким образом, все сводится к оценке матричных элементов

вида

1 2

вида

1 2

»

»

£12

^2 = ^к

£12

^2 = ^к

которые вычислены в Приложении Б, формулы (Б.4в),(Б.9в), и оказываются равными нулю. Тем самым, доказано соотношение (0.20).

Перейдем к вычислению скобки [Yj, , ^k} . Для этого вычислим сначала скобку lA(^), ^к}• В силу (2.5а) имеем

Первые два слагаемых в правой части подученного равенства равны нулю в силу формул (2.10) для й и только что доказанного равенства {^•ук} = 0 • Раскрывая скобку {Т, ук}. по формуле

(2.16), получаем

{A^)^k} = <^lT^kV=.

S^^kV <С'Т><АУ4Т>Т4> . (2.1?)

Задача снова сводится к вычислению типичных матричных элементов. Подставляя в (2.17) равенства (Б.4а) и (Б.9а), получаем {А(^),^} = -Ь<А}тр^к =-1А(ур^к •

Воспользовавшись затем определением (2.11а) и тем фактом, что lA±^j.)> ^к} ”0 в силу (0.20), мы придем к требуемому равенству (0.21+б) для Y . Аналогично вычисляются скобки {Y-+,^k} и (УД Y”} . На этол доказательство Теоремы закончено. *

' Отметим в заключение, что в силу определений (2.II) имеет место равенство (0.10), так как

U Т(у) - k T(^J) - Ас^)+D(5j) - А^Д +•

Таким образом, построенные в этом параграфе натуральные переменные ^ Y^ удовлетворяют всем требованиям, перечисленным во Введении.

§ 3. Восстановление матрицы монодромии .

В этом параграфе мы решим задачу, обратную к построению переменных^ Yj" из Т(и) , т.е. задачу о выражении матрицы монодромии Т(а) через натуральные переменные у । Yj- •

Вместо Т(а) нам удобнее будет восстанавливать матрицу Т(и) (2.2). Зная J-(и) » легко найти матрицу Т(и-) из формул (2.2), (1.9).

Поскольку в этом параграфе мы будем употреблять только

0 -функциии Якоби модуля к , зависимость от к в аргументах 9 -функций будет опускаться. ,

Пространство матричных голоморфных_функций, удовлетворяющих условиям квазипериодичности (2.3) для Т (о,) , как нетрудно видеть [21^ имеет размерность 4(Л+1) . Следовательно, для определения Т(и) нужно задать 4(^+1) уравнений.

Условия (2.7), (2.II) означают, что в точках 41=^ (|=1?--Л) матрица Т (а) имеет треугольный вид

Tty --tiUl^-ulTt^)-

= -zej0(o) 6w(^-u)^+V^= -zej0(o) 6w(^-u)^+V^0„ л (U,)- А-функция порядка ре Zu., с0„ л (U,)- А-функция порядка ре Zu., с[б^2км-оч;>)I 7172««[б^2км-оч;>)I 7172««(3.4)(3.4)

= -zej0(o) 6w(^-u)^+V^

= -zej0(o) 6w(^-u)^+V^

0„ л (U,)- А-функция порядка ре Zu., с

0„ л (U,)- А-функция порядка ре Zu., с

[б^2км-оч;>)

I 7172««

[б^2км-оч;>)

I 7172««

(3.4)

(3.4)

Это дает ЗЛ/ уравнений.^

В силу (2.26) и (I.I36), значение Т(и) при и = К + й про

порционально матрице 2

№£)=№)T(Ki-a)U(K)~ (4 Д),(з.2)

отсюда еще 3 уравнения, всего 3(Л/+ 1) уравнений, линейных по Т .

Осталось^задать еще(/I/+ 1) уравнение. Для этого рассмотрим детерминант Т(а)

det T(a)- AtalD^-S^Cw^S^^^^(3-3)

который в силу (2.12) представляет собой 0 -функцию порядка £(V+ 1) , т.е. дает 2(/V+ 1) уравнений, квадратичных по Т . Однако, подставляя в (3.3) н=у- (j-1,..., N ) и u = K+(l, мн убеждаемся, что (/У+О уравнение выполняются тождественно в силу (3.1-2). Окончательно, остается 4^+1) уравнений, 3(Ж+1) линейных по Т и (/V+i) квадратичное, т.е. ровно столько, сколько нужно дай определнния Т •

Покажем, что из перечисленных уравнений матрицу Т можно определить явно. При этом нам будет полезна следующая лемма, дающая обобщение интерполяционной формулы Лагранжа на 0 -функции.

ЛИМА. Пусть,

характеристиками ^«^^{О,1 } и сдвигом х , то есть голоморфная в С функция, удовлетворяющая условиям квазипериодичноо-

Выберем р точек 11^ Ц = 1,..., р) , попарно различных mod Г . Тогда, если Zlu^ ¥“ х + K(^2 + p)+tK (^+р) mod Г , функция 0^ (w) однозначно восстанавливается по своим значениям 0j в точках Uj . Ответ дается формулой

^ (и)=£ в. е^о4^-*^-*^-»? ^ e<.<u-4L ш }=i»9<^^...+и^ ц e„(wruk)

гДе ^= £+ Р71 <iwrU), (£= %+р-1 <wnlЯ).

Если же £ и^= ^ + (^+ р) К+<^+pXK^wd Г) . значения 0; должны удовлетворять условию

I 6. nV=0 .

Если это условие выполнено, функция 0^ восстанавливается с точностью до слагаемого

£ П G1f(U-tt/), где коэффициент v произволен. Доказательство леммы, использую- нее стандартные свойства 9-функций [2lJ , не представляет труда.~w

Восстановление матрицы Т («-) начнем с элемента В (it) . Сравнение условий квазипериодичности (2.66) и (3.4) показывает, что В (и) есть 0-функция порядка р= N + 1~, с характеристиками ^= %“ N+1 (wd, Я) и сдвигом х=й+ Г . 3 силу (3.1) функция$ (и) обращается в нуль в точках у^ (j=1,„., М) и £ ,

. (3.6). (3.6)причем, согласно (2.8), ^+2^=и-ь?• Применяя лемму, получаем, что 5 (и) дается формулой-

. (3.6)

. (3.6)

гдегдеBeu) = ^ Q^(и-^) П Оя(и,-^) , пока неизвестный коэффициент.

где

где

Для А (и) известны условия квазипериодичности (2.6а), которые соответствуют p=N+1, ^= Н+КтсАЯ), 5.,= N(wvd Я), gc,= U+iT , а, также значения (3.1) в точках yj. (>=1,...,N)« Чтобы определить Д(и) по формуле (3.5), надо задать значение еще в одной точке, в качестве которой мы выберем и = К + w

?А ~~’

А(к+ й)= -а0м(^-^) Ц 610(^- й)»

где у , как и 6 , будет определено позднее. Применяя (3.5),

0«<u-^k)0«<u-^k)1 (3.7)1 (3.7)получаем после некоторых преобразований ■ Д(м) = «910(u-^) J] 9„(и-^) -

0«<u-^k)

0«<u-^k)

1 (3.7)

1 (3.7)

Д Л Л ~ V- 0Ju+?-^-¥i) ^(U-W) п

Аналогично, из (3.1),(3.5) поручаем выражение доя D(u)

5(a) - d0lo(tt-^)pi9u(a-^)-

-Ьд.Жкь-аМ (..^б^ф^А^ Л ба(^ н я 101 -^ * ен(г8) е^Шк-Ц^^^

, Подставляя в выражения (3.6-8) значение а*^К+аи принимая во внимание условие вырождения (3.2), мы получим соотношение между параметрами 8, a,d , позволяющее выразить их через один параметр эь

(3.9)(3.9)б-аеб^-^), cL=-cl = эеб10(£-£),

(3.9)

(3.9)

значение которого предстоит определить. Таким образом, нами использована egg информация, содержащаяся в линейных условиях (3.1-2) на Т .

Рассмотрим теперь квадратичное^усложив (3.3) и выразим матричный элемент ^(а) через A(a),B(a),D(a).

C(w) - В'^рмЙсаЭ-^б^а-а) Л (а)] .(3.10)

Так как ^(и,)^юлжен быть голоморфной функцией и , все нули знаменателя В (it) в (3.10) должны сокращаться с нулями числителя. При этом нули 0/=^. (^в1,—<>М) сокращаются автоматически в силу (3.1). Условие сокращения нуля 0, = ^ приводит к нетривиальному уравнению

.Л(^)О^) = 461O(O)G1O(^-5)Z1(^L~(З.П)

Подставляя в (З.П) выражения (3.7-9) для А(а)и D(<t), мы полу

чим квадратное уравнение дая де , решив которое, мы^в принципе полностью определим матричные элементы §\ц), ^(iL)/ D(Wb а из (3.10) и б(и)>й,тем самум, всю матрицу^ (^ . Подчеркнем, что получающееся выражение T(U)через ^Ij, будет, вообще говоря, содержать квадратичные иррациональности. Однако, воспользо

вавшись свободой в выборе параметра ^, можно получить для

T(U,) рациональное выражение по Y^ и 0 -функциям от ^ .

Действительно, пусть ^ совпадает с одним из 2N нулей ^ = Sn ± ln (ft = I?---) N) детерминанта А (и,) (1.8). Тогда квадратное по ае уравнение (З.П) распадается в произведение двух линейных А(^) D(^)-О , что,очевидно, приво^т к рациона льноцу выражению для ае. , а следовательно, и дая Т(<0.

Итак, мы писазали, что задача о восстановлении Т(и) из на-

туральных переменных ^Y", в принципе, допускает явное решение. Мы не будем здесь доводить выкладки до конца из-за их чрезмерной громоздкости, а ограничимся несколькими замечаниями.

ЗАМЕЧАНИЕ I. В случае^ М = 1 описанный метод приводит к выражению L (it) через у Y~ , совпадающему (в классическом пределе) с приведенным в [Ю] . Примечательно, что, кате и в случае цепочки Тоды [2J , квантовое выражение отличается от классического заменой Yj" на операторы сдвига и упорядочением: у^ налево, Yj~- направо. Это позволяет надеяться, что и при N> i квантовое выражение будет столь же незначительно отличаться от классического, хотя для XVZ -магнетика ситуация более сложна,+ чем в случае цепочки Тоды, из-за того, что операторы сдвига У" могут входить в Т(а) не только полиномиальным, но и, вообще говоря, рациональным образом. Единственное исключение, как нетрудно убедиться составляет случай №1и, иногда,N-2, •

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Ввиду того, что уравнение (З.П) на Э& квадратное, задача восстановления Т(а) решается неоднозначно. Вопрос о природе этой неоднозначности и ее связи с отмечавшейся в § 2 неоднозначностью при определении ^ нуждается в дальнейшем изучении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты еще раз показывают плодотворность применения в чисто классических задачах методов и понятий, заимствованных из квантовой теории. Такой подход, если и не приводит к появлению новых понятий, как это было в случае Ч-матрицы [7,8] , то, как правило, дает новое освещение проблемы и новую расстановку акцентов. Так, в нашем случае успех был достигнут благодаря применению нормировки функции Бейкера-Ахиезера, подсказанной работами [ю,12]и отличающейся как от стандартной [is], так и от использовавшейся в работах [25,2б]. Результат § 3 о выделенной роли точек ^ : 21^)= 0 также, по-видимому, является новым.

Остановимся на нерешенных задачах. Пристального внимания заслуживает вопрос о структуре многообразия {^^j~J и» в частности, проблема вещественности, возникающая в связи с комплексностью переменных у^ . Аналогии с квантовым случаем [ю] подсказывают постановку этой задачи,, отличную от обсуждавшейся в [16,1?]. Вместо поисков вещественных переменных действие-угол, возможно,

более естественным является изучение пуассоновой структуры в терминах переменных ^. ^ .В квантовал случае это соответствует т.н. голоморфному квантованию [l0,27] . Важнейшие возникающие

здесь задачи - это вычисление скобок Пуассона {^р^} и выражение матрицы Т(а) через переменные у. ^, а также возможная

связь скобки Пуассона с кэлеровой структурой на фазовом пространстве .

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Ниже приводится доказательство леммы из § I.

Сравним аналитические свойства левой и правой частей (I.I8) как функций и{ . Из (1.3в) и (1.10) вытекает, что ^и^И^) имеет следующие свойства квазипериодичности

* ^ (^^ ^К , U^) = 63 ^(^1» ^)б*з •

С другой стороны, явные определения 1(U) (I.I9) и W(ii) (1.20) дают

г(и+2К)-г[<1),«12

(А.2)(А.2)г(а+21К)- 0,№)03-^бД

(А.2)

(А.2)

(А.З)(А.З)|W(u + 2K)=W(a)

(А.З)

(А.З)

.W^+ZtK^^^Wftt)^-^^ .

Подставляя (А.2) и (А.З) в (I.I8), убевдаемся в совпадении свойств автоморфности (I.I7) и (I.I8);

Полюса ^(U.£,U2) по переменной и,£ находятся в точках u,£-u,2 mod Г (из1,-матрицы) и а£=К+й mod Г

(из точек вырождения (I.I2) матрицы U(W) ).

Пользуясь (1.3г), находим

Ш Q(u£,<La) =

U.-1L, 1 1 > А ,12

-и (ag-ulUlag-aHoU'tUa-ujUt^^ (А,4)

Здесь мы воспользовались легко проверяемым тождеством

[%,фф] =0V9eMat(2,2).(А.5)

Нахождение вычета $(il£,U,2) в полюсе {L1=K+-<t производится немного сложнее. Используя формулу (I.I46) для вычета UC^TUu), получаем

^к+к^р^)=^и"(^.

Заметим теперь, что

U?u2-u)t)t[T(K+u-a2)Z]lJ(^ - lker3 .

Последнее равенство можно установить как прямым вычислением, так и сравнив аналитические свойства и[ка-К)2] и -lkU(u)6^(77«,).

Итак,

< 1 2

Ш qlu^-^Zs^ .(А.7)

Uj=K+lL

Имея явные формулы (1.90-20) для ЧАиЛ nW(<l) , нетрудно убедиться в совпадении полюсов и вычетов (I.I7) и (I.I8).

Аналогичное рассуадение показывает совпадение свойств квазипериодичности, полюсов и вычетов (I.I7) и (I.I8) по переменной и,г.По теореме Лиувилля разность (I.I7) и (I.I8) является конАналогичное рассуадение показывает совпадение свойств квазипериодичности, полюсов и вычетов (I.I7) и (I.I8) по переменной и,г.По теореме Лиувилля разность (I.I7) и (I.I8) является константой. Заметим теперь, что, как вытекает из (1.36) и (1.9), ^(anUj) , кцк матриц в^® С,^гаемые вида 6t 6,, 6^ (э2, (э2 ©3 ,6^ 6г , 65 <э.стантой. Заметим теперь, что, как вытекает из (1.36) и (1.9), ^(anUj) , кцк матриц в^® С,^гаемые вида 6t 6,, 6^ (э2, (э2 ©3 ,6^ 6г , 65 <э.2 *2 *может содержать только сла-может содержать только сла-'3'3, из которых, из которых

Аналогичное рассуадение показывает совпадение свойств квазипериодичности, полюсов и вычетов (I.I7) и (I.I8) по переменной и,г.

По теореме Лиувилля разность (I.I7) и (I.I8) является кон

Аналогичное рассуадение показывает совпадение свойств квазипериодичности, полюсов и вычетов (I.I7) и (I.I8) по переменной и,г.

По теореме Лиувилля разность (I.I7) и (I.I8) является кон

стантой. Заметим теперь, что, как вытекает из (1.36) и (1.9), ^(anUj) , кцк матриц в^® С,^

гаемые вида 6t 6,, 6^ (э2, (э2 ©3 ,6^ 6г , 65 <э.

стантой. Заметим теперь, что, как вытекает из (1.36) и (1.9), ^(anUj) , кцк матриц в^® С,^

гаемые вида 6t 6,, 6^ (э2, (э2 ©3 ,6^ 6г , 65 <э.

2 *

2 *

может содержать только сла-

может содержать только сла-

'3

'3

, из которых

, из которых

с условиями квазипериодичности (A.I) и аналогичными условиями

'о^Лг + гК)» ?(ut,u2)

2

‘ 9 (^, S+2гЮ- ©з 9 (Ut ,а2) б;'i 2

по переменной Ц^ согласуется^о^ько слагаемое 63<5а . соответствующее постоянному члену W06363 в. (I.I8).

Доказательство леммы закончено.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

При! доказательстве теоремы из § 2 неоднократно возникала задача вычисления матричшх элементов вида (в обозначениях § 21)

<ФЛк<Т,Т^> -(ВД)

1 ari А1 < я А 2 .,1 г -|

kk Uty. -ЮФЩ^ -tt)-U(yk-tt)YlJ(yk^r{T(<i^=

=ktipYU (^Ull/k-jDlT^iJd^)!=ktipYU (^Ull/k-jDlT^iJd^)!i 2i 2где шесто ф, Угде шесто ф, Уk-9* V(^-u)U(yk-u)J, А ^">мотут стоять Д, В, С, В (I.I5). Необходимоk-9* V(^-u)U(yk-u)J, А ^">мотут стоять Д, В, С, В (I.I5). Необходимо

=ktipYU (^Ull/k-jDlT^iJd^)!

=ktipYU (^Ull/k-jDlT^iJd^)!

i 2

i 2

где шесто ф, У

где шесто ф, У

k-9* V(^-u)U(yk-u)J, А ^">

мотут стоять Д, В, С, В (I.I5). Необходимо

k-9* V(^-u)U(yk-u)J, А ^">

мотут стоять Д, В, С, В (I.I5). Необходимо

различать два случая: |=к и|^к .

Рассмотрим 1-ый, более простой случай | = к . Переходя в тождестве (0.19)-к пределу и{—U^sU , и принимая во внимание (1.3г), получим t 212

[T(u),t(u)} =[г0,Т(а)Т(и)]= -[г0,Т(а)ТЫ .(б.2)

Подставляя (Б.2) в (Б.1) и используя тождество (А.5) и определение (2.1) матрицы Т(и) . приходим к равенству

151212 /А Ах Г Az Az л \

(WW -Нп kjvy) -

^W^-toir^rnyp).(б.з)

Здесь Т^р следует понимать, кю^С^-К^Тш,)^ U(^-tt) . Чтобы получить нужнее тождества, остается взять вместо $ и Y конкретные матриц у A j;D (I.I5), вычислить явно коммутатор, выразить его через А -г 5 , пользуясь тем, что эти матрицы образуют базис в Mat (2,2) , и, подставив в СБ.З), воспользоваться определениями (2.5) матричных элементов А-гD • Выпишем некоторые из получающихся 16 соотношений, которые используются в § 2 <Цкпн>--1<иД4Д.)т;'т^ (^Д)'^^^<Б.4«)

<СА{Т,Т}Й> -О(Б,4в)

<^{T,T}H >-K(DjCi4iDi)Tj Т;>-1ОД ХП,Т(> (в.4г) 15 1215 АЛ '1/2 а , zs

<^сдт}и>--1<(ед -$£)т/т.>-«С4.Т^ ><рд> (Б.4Д)

Подчеркнем, что в формулах (Б. 4) использованы соотношения

<0^^* В(^) = 0 , вытекавшие из (2.56) и (2.7).

Перейдем к рассмотрению 2-го случая: } ^ к . Преобразуя (Б.1) с помощью (0.19),(1.17-18) и (2.1), мы приходим к равенст-

1 Л 1 12ДА L А, '

< ф; ¥к 1Т,Т} к >(ф Y [?у ,у ,тч >Т(9к>]) -

Г77Г77-ъЦ[ФГ,?(И>]Т(^Т(^(В.Я

Г77

Г77

12 Заказ 359

Чтобы привести равенства (Б.6) к окончательному виду, воспользуемся следующей леммой^ЛЕММА. Производные ^ф(и) ^^U(tt) Ф U”(iL) , где ф - любая матрица 2x2, представляются в видеЧтобы привести равенства (Б.6) к окончательному виду, воспользуемся следующей леммой^ЛЕММА. Производные ^ф(и) ^^U(tt) Ф U”(iL) , где ф - любая матрица 2x2, представляются в виде(Б.7)(Б.7)(Б.8а)(Б.86)(Б.8в)(Б.8г)(Б.8а)(Б.86)(Б.8в)(Б.8г)

Чтобы привести равенства (Б.6) к окончательному виду, воспользуемся следующей леммой^

ЛЕММА. Производные ^ф(и) ^^U(tt) Ф U”(iL) , где ф - любая матрица 2x2, представляются в виде

Чтобы привести равенства (Б.6) к окончательному виду, воспользуемся следующей леммой^

ЛЕММА. Производные ^ф(и) ^^U(tt) Ф U”(iL) , где ф - любая матрица 2x2, представляются в виде

(Б.7)

(Б.7)

(Б.8а)

(Б.86)

(Б.8в)

(Б.8г)

(Б.8а)

(Б.86)

(Б.8в)

(Б.8г)

Поскольку матрицы ч, и W , входящие в ^(и,,^) , заданы явными формулами (I.19-20), раскрытие ХБ.5), как и в случае (Б.З), сводится к непосредственному вычислению. Введя обозначения

приведем некоторые из возникающих равенств. При^ этом, для упрощения, мы будем считать выполненными равенства ^^^^“^^^/’“О Счастливым образок, оказывается, что слагаемые ч-0 и^б^з в (I.I8) не вносят никакого вклада в интересующие нас матричные . элементы

^А^Т}^ ^ЛЛ 2, k ^^k^k^^(Б.ба)

<^Ы^к>^ -Dj ><Vk>(Б.бб)

<^кАт};к>в°'<б.6в)

dAlf,T}jk>”hj <(Dr A^jX^ <Б-6г) <dA{lK>-<^ )Tk>. (Б,6д)

^ ^(и) = Г CU)U(U) [<5, , Ф ] U (V).

Доказательство леммы сводится к непосредственной проверке (Б.7) с помощью определения (1.9) матрицы U(u.) .^

Подставляя в (5.7) вместо ф матрицы A -^D (I.I5), получа-

^A(u)=^(u)[C(u,)-B(w)] ^ В(<0 = 2 У^ PW ' ^«t)J ^ б (и) = | У(а) [^(а) - D(w)] ^ D (и) -1 Ж [ В (it) - 0(a)]

Сравнение (Б.6 и (Б.8) позволяет переписать (Б.6) в следующем окончательном виде, который используется в § 2

<Mk [Т,Нк> = "1< Vi^kV(Б*9а)

<£Д{Т/Ь;к>- ^<^><4тк>(Б.96)

<CjCk{T,T}.k> = 0(Б.9в)

<сЗк{т,ть> = -1<с/тр<5ктк>(б.9г)

Я 1 2

<DjCklT,T}jk>-i<DiTj ><ек'Тк> . Литература

Склянин Е.К. - В кн.: Дифференциальная геометрия.груп- пы Ли и механика. П. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.133). Л., Наука, 1984, с.236-257.

Sklyanin Е.К. - In: Non-linear equations in classical and quantum field theory. Ed. by N.Sanchez (Leet.Notes in Physics, v.226). Springer, 1985, p.196-233.

Корепин B.E. ДОКЛ.АН СССР, 1982, т.256, № 6, с.1361- -1364.

Реш. етихин Н.Ю., Фаддеев Л.Д. Теор.мат.физ., 1983, т.56, № 3, с.323-343.

Семенов-Тян-Шанский М.А. функц.анал. и прил., 1983, т-,17, вып.4, с.17-33.

Дринфельд В.Г. Доклады АН СССР, 1985, т.283, Л 5, о.1060-1064.

К u 1 i s h P.P., Sklyanin Е.К. - In: Integrable quantum field theories. (Leet.Notes in Physics, v.151). Springer, 1982, p.61-119.

Paddeev L.B. - In: Les Houches Lectures 1982. Elsevier Sci.Publ., 1984.

Склянин Е.К. Функц.анал. и прил., 1982, т.16, вып.4, с.27-34.

I0.C к л я н и н Е.К. ^гнкц.анал. и прил., 1983, т.17, вып.4, с.34-48.

II.Т а р а с о в В.О. Теор.мат.физ., 1984, т.61, № 2, с.163-173.

T ахтаджян Л.А. .Фаддеев Л.Д. Успехи мат.наук, 1979, т.34, № 5,с.13-63.

Г е л ь ф а н д И.М. и др. Теория представлений и автоморфные функции. М..' Наука, 1966.

Б е л а в и н А.А. .Дринфельд В.Г. (^нкц.анал. и

прил., 1983, т.17, вып.З, с.69-70.

Семенов-Тян-Шанский М.А. - Вкн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 6. (Зап.

' науч.семин.ЛОМИ, т.150). Л.; Наука, 1986, с.

В е с е л о в А.П., Новиков С.П. Труды Мат.ин-та АН СССР, 1983, т.165, с.39-62.

Н о в и к о в С.П. - В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. У1. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.133). Л.; Наука, 1984, с.177-196.

Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.А. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.; Наука, 1980.

К у л и ш П.П., Ма н а к о в С.В., Фаддеев Л.Д. Теор.мат.физ., 1976, т.28, Jfc I, с.38-45.

Решетихин Н.Ю. .Смирнов Ф.А. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.4. (Зап. науч.семинЛОМИ, т.131). Л.; Наука, 1983, с.128-141.

Weber Hi Lehrbuoh der Algebra, В.III. Elliptische Punk- tionen und algebraische Zahlen. Braunschweig: P.Vieweg und Sohn, 1908.'

Б e й т м e н Г., 3 p д e й и А. Высшие транцендентные функции, т.З. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.

Белавин А.А. ^ункц.анал. и прил., 1980, т.14, вып.4, с.18-26.

Тахтаджян Л.А. - В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика.,У1. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.133). Л.; Наука, 1984, с.258-276..

Bikbaev R.P., В о b е n к о A.I. On finite-gap integration of the Landau-Lifshitz. XYZ case. LOMI preprint E-8-83, Leningrad, 1983.•

Б о б e н к о А.И. ^гнкц.анализ и прил., 1985, т.16, вып.1, с.6-19.

Березин Ф.А. Изв.АН СССР, 1974, т.38, № 5, с.Шб- -1175.

А.Ф.Устинов

ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ГРАНИЧНЫ»! УСЛОВИЯ»! ТИПА КОНЕЧНОЙ ПЛОТНОСТИ

Введение.

В настоящей работе изучается решение задачи Коши для одномерного нелинейного уравнения Шредингера (НШ)'

iu^+lA^^ltQu^-c^-O хе^ te[07oo)(i)

'(2)'(2)с начальными данными Uo(x)=U(x,0^ такими, что и0(х) —> <л>, и0 (х) —-со e~t9

'(2)

'(2)

х—

ДиракаДиракаУравнение (I) погружается в схему метода обратной задачи и линеаризуется (см. [l] ) ‘на многообразии данных рассеяния оператора

Дирака

Дирака

О - Lu(x)

3 Ях у 1й(х) о у ‘

• У ко• У коВ данной работе ограничимся изучением потенциалов 1А>№)

• У ко

• У ко

торых соответствующий оператор Дирака не имеет дискретного спек

тра. Набор данных рассеяния состоит из одного коэффициента отражения х(^) • Переход к общему случаю может быть осуществлен с помощью *процедуры одевания”, описанной в [9] . На потенциал U/0(x) также наложим следующие условия.,

и^еС*^), |ио(х)|-ю=0(|х| ^ V^Z* |х|-юо

Коэффициент отражения % (А) , отвечающий потенциалу ч(«). является естественным функциональным параметром задачи (1-3). Перепишем, следуя [7] , его свойства в терминах переменной Z , униформизуицей спектральную кривую к^А — (О2, оператора L

a) t (z) е С°°(К1)

в) t(Z)=-0(Z^^y Z—^оо^о V^e Z+

с) Ъс) Ъd) |ъ (Z)|< A Ц^к СлЗ

с) Ъ

с) Ъ

т (±co)=+ i - случай общего положения.

^ ^-t^)! < 1 специальный случай наличия виртуальных . уровней в точках Z = ± од

д) Предельная фаза 9 в граничных условиях (I) связана с .^ ровно,.» 0=-^р№Й^.

— QO'

Нас интересует асимптотическое поведение решения задачи Коши уравнения (1-3) при больших временах. Впервые аналогичная задача для интегрируемых нелинейных систем была решена в работе [2] , а затем исследовалась рядом авторов ( [3J - [6] ). Мы будем придерживаться схемы асимптотического анализа задачи Коши для интегрируемых систем, изложенной в статье [8] .

Связь меаду задачами Коши и Римана.

В рамках метода обратной задачи интегрирование нелинейных уравнений может быть сведено к решению определенной задачи Рима

на.

Задача Римана, эквивалентная задаче Коши (1-3), состоит (см. [?] ) в построении такой матричнозначной функции Y^,^) что выполнены следующие условия.

I. YC2^.^) аналитична по Z при TwZ >0 и IhtZ < О

где ^ , ^ S^ матрицы Паули:

/ 10 \~/ 0 -i \_/ 1 О \

V 01 /2у и 0 /3\ 0 ~1 у

Будем в дальнейшем задачу Римана, эквивалентную задаче Коши

Решение и(хД) задачи Коши (1-3) шению Ч[Г^хД) задачи Римана (1-5) сРешение и(хД) задачи Коши (1-3) шению Ч[Г^хД) задачи Римана (1-5) сСразу обратим внимание, что особенности в нуле и точкахСразу обратим внимание, что особенности в нуле и точках(1-3), называть задачей Римана (1-5).

Решение и(хД) задачи Коши (1-3) шению Ч[Г^хД) задачи Римана (1-5) с

Решение и(хД) задачи Коши (1-3) шению Ч[Г^хД) задачи Римана (1-5) с

Сразу обратим внимание, что особенности в нуле и точках

Сразу обратим внимание, что особенности в нуле и точках

ре-ре-восстанавливается по помощью равенства

ре-

ре-

О и

и о

делают задачу Римана (1-5) нерегулярной даже в бессолютон- ном секторе. Это обстоятельство не позволяет непосредственно применить метод разработанный в [8] к поставленной задаче Римана (1-5).

Основная цель настоящей работы - свести задачу Римана (1-5) к некоторой регулярной задаче Римана, к которой применима методика [8] , и получить главный член асимптотики в области монотонного поведения решения..

Связь между регулярной и сингулярной задачами Римана.

Рассмотрим следующую регулярную задачу Римана: построить матричнозначную функцию 1^ (^^Л ) • удовлетворяющую условиям 1°. Ч^ (z^t) аналитична при Iftv^ >0 и при 1^2 < 0 2°. пр* г— Уо^^ЛЖ^ + о^))'^^^)-^ з°. пр* г-> о Y0(z,^t) = £(<ro+o(z))-E0 (х^^ 4°. приКя-О Yo (^Л^УоЧ2'^) ' & (г) х Е 0 ^ q } & ^ те же матрицы, что в задаче Римана (1-5). Матричная функция7^ = 5Е) (х, t) не входит в число данных задачи Римана (I0- 4°) и вычисляется апосториори по известному решению

. Перечислим свойства решения данной задачи: I. Задача однозначно разрешима как регулярная задача Римана с матрицей сопряжения, удовлетворяющей условию Гохберга - Крейна [II] отсутствия частных индексов.

Решение задачи удовлетворяет инволюциям:

У„ [я, хД) ^ ^ ^ ч а1 уо «,x,t) ^ <«

z Ч^"1 yo (-^хД)^(5)

Для матрицы S^S^t) выполнены соотношения

2)=е2 3^гФ ^г^ 3(6)

Ф=е 2 3 ^ ^ fr,^ 3 •<7>

Прежде, чем доказывать свойства 2 и 3 сделаем два замечания.

ЗАМЕЧАНИЕ I. Для матрицы сопряжения G (z) выполняются

инволюции

(У^кЖ и & У>%^т«>

Эти соотношения являются следствием условия с) для коэффициента отражения.'

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица Eg (z,X,i/) удовлетворяет инволюциям: ,. Л10 _ ——8. 19

Проверка этих инволюций основана на двух свойствах функции

/2»9’

Ч^): 1.^Л^=_Ц>(2) 2. sf(-^=-yz)

&_<(г) ^&_<(г) ^Перепишем полученное равенствоПерепишем полученное равенствоПерейдем к доказательству (4). Будем во всех формулах опускать зависимость от x(t . При Im 2=0 в равенстве 4° сделаем замену 7—- ^- и воспользуемся формулой (8)

&_<(г) ^

&_<(г) ^

Перепишем полученное равенство

Перепишем полученное равенство

г.

Рассмотрим функции у ± (Т-)6"^ УДт-Рг аналитическая функция в верхней полуплоскости, а у* ^ ^^ ^ аналитическая

функция в нижней полуплоскости. Эти функции удовлетворяют условиям 1° и 4° задачи Римана (1° - 4°). Выясним асимптотическое

поведение этих функций при z—-оо, О .

^4^№- + 4We-e 4X™

Мы хотим получить асимптотику совпадающую с асимптотикой VOC^) для этого умножим равенство (9) слева на ^2 $Г^ и воспользуем

ся соотношениямися соотношениями-^6-^6»^е т\=ег а-^6-^6»^е т\=ег а

ся соотношениями

ся соотношениями

-^6-^6»

^е т\=ег а

-^6-^6»

^е т\=ег а

Тогда;_^ lQ^4

= ^(^o + ^fi))^ ^о6"57 Зе г ^е-=

при Z—>о° имеет одинаковую асимптотику с *1^(2) • Теперь по-при Z—>о° имеет одинаковую асимптотику с *1^(2) • Теперь по-u9 t9IT “"ТГ О зu9 t9IT “"ТГ О зТем самым, мы подучим, что *W (z)=e^ ^ 3* 6^56 Ч^Г ("^"/^

при Z—>о° имеет одинаковую асимптотику с *1^(2) • Теперь по-

при Z—>о° имеет одинаковую асимптотику с *1^(2) • Теперь по-

u9 t9

IT “"ТГ О з

u9 t9

IT “"ТГ О з

i^e”5^ RWtW ^ЛЧЛ^

= е^ Л5а s,»1 s;e^ (V’W) Ее.^ е^9.

Итак, функция в ^ 3 ^$) Yo ("Т / ^2. решает задачу Римана (1° - 4°). В силу отмечавшейся выше единственности решения задачи(1° - 4°)приходим к справедливости формул (4) и (6). Инволюция (5) и формула (7) подучаются аналогично.

Прежде, чем переходить к процедуре одевания регулярной задачи Римана (1° - 4°) до задачи Римана (1-5) докажем следующую лемму.

ЛЕММА I. J "Vj/^^oc^) решение задачи Римана (1-4) и для этого решения выполнена инволюция

VP)-^-V (-^) ^<10)

тогда

^ ( I О/ После1- |г(1л))|у^ ( I О/ После1- |г(1л))|у— Q, что равносильно— Q, что равносильно

^ ( I О/ После

1- |г(1л))|у

^ ( I О/ После

1- |г(1л))|у

— Q, что равносильно

— Q, что равносильно

Докажем формулу для ядра у в точке + (л) . Из условия 4 для решения задачи Римана (1-4)

1

г

Из условия инволюции подучаем "^Г'(cO^=Y’'’|

вычитания равенств -цу I

V-v-t(co)

, используя равенства, используя равенстваДля случая виртуального уровня |^(о->)| < 1.

, используя равенства

, используя равенства

^(сО^-т?^ и |-|г(со)|г = (-иъ^)) (Ч + *г.(и))) получаем

откудаоткудаВ случае общего положения Ч/(и^=-—‘ъ и равенство (х) пре

откуда

откуда

вращается ,/ л о*.

= 0.= 0.V N ( о о

= 0.

= 0.

Доказательство остальных формул проводится аналогично.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. В выбранной нормировке задачи Римана (1-5) гладким образом переходит от случая общего положения к случаю с виртуальным уровнем. Теперь перейдем к основному результату этого пункта.

ТЕОРЕМА Л^ (z^t) решение задачи Римана (1° - 4°), тогда

М^№+|)Ш2лАг^(п)

есть решение задачи Римана (1-5).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку мы умножаем слева решение задачи Римана (1° - 4°) на матричную рациональную функцию, то условия I и 4 задачи Римана (1-5) очевидно выполняются. Перейдем к про-

верке асимптотик при z—>», 0.

При V (z.t.tM6, + |)(‘\,1-0(гЛЕв99 =

=-b°(t))Ee 9e

При Z —*0. ,л

= ^^^^ + й + я +63 о «) + 0(z)) Eg^ =

= T^e^^r=(6o + 0(z))Eg<3;' ■

Для того, чтобы убедиться в выполнении свойства 5, проверим справедливость инволюции ({О) для функции l^z^t) . Используем инволюцию (4) для решения задачи Римана (I0- 4°).

=7 ^6'^S s^V^ ®+5r ^^S $ ^-y^.t) ^ .

Используя свойство (6) матрицы <£ окончательно получаем

f к) уо ^) ч = f у ( 4) Ч ■

Теперь, если воспользоваться леммой I, то получим выполнение пятого условия задачи Римана (1-5).

ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем исследовании асимптотического поведения решения задачи Римана (1-5) нам потребуется инволюция

Покажем, что Л^СЗ) построенная в теореме удовлетворяет формуле (12). Используем формулы (5) и (7)

10-^^K^+s-10-^^K^+s-

10

-^^K^+s-

10

-^^K^+s-

_ 19 _ l9 ^ _ .j

Заметим, что R=-gO S' e "^ ^ 3 ©, и окончательно полу

чим

Из доказанной теоремы вытекает следующая формула для решения Щх.’Ц задачи Коши (1-3). Пусть *иГ (2 ю t) решение задачи Римана (1°-4°) и при з —* оо°’

Vo(z.^,t)=(s;t^ + "(i)) Е99е,

тогда

С^Й=^ +С^Й=^ +(13)

С^Й=^ +

С^Й=^ +

Асимптотика радения регулярной задачи Римана и асимптотика решения гб(ооХ) в области сверхстепенного ■убывания.

Для асимптотического решения задачи Римана (1° -4°) удобно перейти к новой функции Х^^Х) , связанной с TjT^Xjt)соотношениемг /- - + 1 -V г 4- х г-

~ Vo С^ХХ) — XО •

Матричная функция X X ас t) решает следующую задачу Римана (1-3)’_■

т.ХХлХ)аналитична по 3 при 1m, 3 > 0 и 1игЕ < О

. при г—»оо X С^хЛ ) = (Л + 0 ("t")^-

./ (г,36,t) =Х+^,ж/ уе^при Iпг 2=0,где ^г%^E9Vd

выпишем матрицу Q (г) = ( vtpfekW ,..^

\-г(2)е4-k(z)l/

Задача Римана для^(Z^x^) (см. [8] ) равносильна сингулярному интегральному уравнению:

"<70

^Kz.O ^№=6- ^ ^-j_/ft)(c ®-6.)^ <»>

— <70

Решение задачи Римана для/£(2,30-, Т) восстанавливается по решению уравнения (14) следующим образом,

Перейдем к анализу матричного интегрального уравнения (14).

Это уравнение эквивалентно двум независимым друг от друга системам скалярных уравнений._-

е

(15)

2Tul J ?-Z-lO

it^^)+L9

.^ -% - ЮS-2-Ю.^ -% - ЮS-2-ЮAS*231lJ 5-z-i.o5AS*231lJ 5-z-i.o5

.^ -% - Ю

S-2-Ю

.^ -% - Ю

S-2-Ю

AS*231lJ 5-z-i.o5

AS*231lJ 5-z-i.o5

При дальнейшем анализе систем сингулярных интегральных уравнений приходится учитывать, что поведшие их решений существенно зависит от расположения точек стационарной фазы - нулей производной ^ (z) - относительно вещественной оси. Выделим две характеристические ситуации. '

II< ой нули ^ (2) лежат вне вещественной оси.

I

I

7 — ^^2 Xi7 — ^^2 Xi• co на вещественной оси расположены два нуля 2 ^ и Е^ производной ^(z) » определяемые соотношениями

7 — ^^

2 Xi

7 — ^^

2 Xi

52.

S — -^i^iv Zq Zp — —^

Множество точек на плоскости < ос, t) , удовлетворяющих условию | -^-1 < cd , будем называть областью сверхстепенного убывания, а при условии j^ | > ^ осцилляторная область. Нетрудно проверить, что sl^(~ ^^^V^t—^) в области сверхстепенного убывания, а для осцилляторной области

Styi/ (~ ^ (^))—Sl^H^Z ^ ^) С^2, ^)) '

Превде, чем переходить к изучению асимптотичеЪких решений сингулярных интегральных уравнений, введем в рассмотрение функцию и перечислим ее свойства

& (г) = еI (17)

- oo'

^(^аналитическая функция при1лг2 > 0 и ImZ < 0 .

Ffz)^-^^!^ Л+(г) при 1^3 = 0

при 3»оо (^

и rJ ^и rJ ^- а(z)Л+(»=е ^ exp £- ^ Р^[\^ j

и rJ ^

и rJ ^

Легко проверить, что Jr

В терминах функции Cl ( ^ ^ i — [ ^ (^ । =- -^ ^«

Проведем, следуя технике работы [ю] , исследование асимпто-

тик решений систем (15) в области сверхстепенного убывания. При t—4-оов этой области верна асимптотическая оценка.

J- Г1те^’^= ±f (z)eLt^RW±^^ -ОО

где / ^Z > 0функция Хевисайда, ^(2) произвольная

^^ / 0 ^ < Огладкая функция, выходящая на константу

при |j£|—> оо (см. [ю] ).+

дедеУчитывая это обстоятельство будем искать решение для ^^ в ви-

де

де

Аг= " ^-^^ ^« (z> е“МгМ Р(-г) ™>

161

чютэи иаМд W(9I) т9^иэ аинашас! х qdenej, wet^adan

с * ~ 17/

■ ^ _с „ эС^^^.а^)^) (2) у - / иавшйгон ^^ игУ вМаэ&о

ettaa

Matnouroevo а еинанавсК MemHuadau и (z) у иеиЬянЛф вэяаХечгопоод

О -— ( г) ^^ оо «— 2 ийп

(£2)(£2).^k ^ХХ^зХ5ш^)г\-у>(^

(£2)

(£2)

^-(z)^.-++ г1

внагоу anatfae иомйягеяэ goHtfodOHtfoaH я вэаиУоао aodoiox

01- z-^с 11^

01-(^^^’+СО

аинанегесМ aoHqiredjaxHH aoxdtoXj

-ниэ aetaoutoairo иэла^ьЛгои ^V игТо* оказан ^У яга *олох агооц

(%)• (г) S = | ^qI^FW "^l ^ "^ ^

уокХИйоф иэдавУ (^) BHBiuy Mhatfae уонсйплзио аинеша^

Ч=(2)ИХ°^"т (z) ^ ((2-)d г'(|[1^ + О^ХУ

•внвгау эьаУве ионсйлт

-таэ онднекваиаме еинэнавдХ eoH4iredjaj,HH аонсйлгХлниэ аоннанХгоц

00хавя

-HHHdu (gi) имаонвюУоц егооц (И) ниалэиэ аиненашК eoadey

Второе уравнение системы (16) после подстановки Хл в Уравнение примет следующий вид '

это уравнение сводится к скалярной задаче Римана

Решение подученной скалярной задачи Римана дает следующая форму

лалаООгг

ла

ла

О

О

г

г

и для /1^^ из первого уравнения системы, подучим

У (г) = Х_ (*W ) е '—оо ^

? (г)-? (г)--ОО-ОО-1-1Выпишем в окончательном виде матрицу X асимптотически решающую задачу Римана (1—3) в области сверхстепенного убывания х

? (г)-

? (г)-

-ОО

-ОО

-1

-1

(24)

Легко проверить непосредственно, что для построенной функции

выполнена оценка,

. v;g[v;]+ w

отсюда для истинного решения Л£ задачи Римана (1° - 4°) имеем равномерно по 3

1 о

а для матрицы <£)

б^о) оо" <7

Теперь из (II), (13), (24) имеем для решения задачи Коши в области сверхстепенного убывания асимптотику

U(x,t), При i— +~, U-(oc,;t):=C^exp/-^)<25)

ОJ ■

Эта асимптотика равномерна в любом интервале-сб+$ 4 Хо 4 сО-$.

В конце работы обратим внимание на следующее обстоятельство: в осцилляторной области также существует асимптотическая оценка, аналогичная (18):

7 *<^27^ = ± е^^Р^Ы^126’

JUl 3 ^-Z + i0JVOL

— ОО'

где а=|2 -zj, Zo точка стационарной фазы. Проводя аналогичные вычисления для асимптотического решения задачи Римана (1°-4°) при условии |тр | >сО , подучим формулы с учетом изменения 6"(Z) совпадающие с (24) . Для осцилляторной области, если 2О=.-^- < О обе точки стационарной фазы положительны, 6" (z) имеет вид:

(27)(27)Появление точек стационарной фазы на вещественной осй приводитПоявление точек стационарной фазы на вещественной осй приводит

(27)

(27)

Появление точек стационарной фазы на вещественной осй приводит

Появление точек стационарной фазы на вещественной осй приводит

к значительному усложнению изучения асимптотического решения задачи Римана (1°-4°). Следуя идее работы£ 8] , представим матрицу

множители стоящие перед интегралами внесем под интеграл с учетом знака Ihi/Z • После перестройки обозначим новую матричнозначную функцию■

Inti > О

г& ["Кр^+Ц)

Непосредственной проверкой можно показать, что

(28)

(29)

удовлетворяет следующему равенству

И £ (?) [ v' И] = ^+ 0 (^г)

из которого видно, что построенного приближения Тр^ М к точному решению задачи Римана (1°-4°) не достаточно для вычисления асимптотики решения исследуемой задачи Коши в осцилляторной области. Однако, отталкиваясь от функции "^^ > исходную задачу Римана можно асимптотически свести к некоторой модельной задаче с постоянной матрицей сопряжения. Последняя допускает эффективный асимптотический анализ независимый от теории сингулярных интегральных уравнений. Эти вопросы будут подробно обсуждаться . в следующей публикации.

Автор приносит глубокую благодарность А.Р.Итсу за многочисленные полезные обсуждения.

•Литература.

Захаров В.Е., Шабат А.Б. ЖЭТО, 1973, т.64, № 5, с. 1627-1639.'

Захаров В.Е., Манаков С.В. ЖЭТФ, 1976, т.71, » I, с. 203-215.

Зе Ablowits H.J. , S e g u r H. Stud.Appl.Math., 1977, N 54, p.13-44.

Буслаев B.C., Суханов В.В. В сб. "Проблемы математической физики*, выл Л 0^ л.: изд. ЛГУ, 1982.

Новокшёнов В.Ю. ДАН СССР, I960, т.251, Ж 4, с.779-302.4

Ш а б а т А.Б. ДАН СССР, 1973, т.211, Ж 6, с.1310-1313.

Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солютонов. Москва, Наука, 1986.

И т с А.Р. Иэв.АН СССР (сер.матем.), 1985, т.43г Ж 3, с.31-63.

И т с А.Р. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1984, т.133, с.113-125.

Манаков С.В. Препринт И.Я.Ф. Ж 67, Новосибирск, 1973.

Г о х б е р г И.Ц., Крейн М.Г. У МН, 1958, т.13, Ж 2, с.3-72.

A. F. Ustinov. Asymptotics of solution of Cauchy problem for the nonlinear Schrodinger equation with boundary conditions of the finite density type.

We carry and the asymptotic analysis of the Riemann problem associated with the nonlinear Schrodinger equation to obtain the leading asymptotic term of the solution of Cauchy problem in the fast decay region.

Н.Ю.Решетихин

ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ БЕТЕЗСКИХ ВЕКТОРОВ В МОД ЕЛЯХ „ С SU(3) СИММЕТРИЕЙ

Введение

Вычисление нормы бетевских векторов является первым шагом к исследованию функций Грина в квантовых интегрируемых моделях. В моделях с SU (2) симметрией и в моделях XX Z типа с нарушенной S U (2) симметрией формула дал нормы бетевских векторов была предложена Годеном [l] и доказана Корелиным [2] .

В настоящей работе найдена простая комбинаторная формула для скалярных произведений бетевских векторов и вычислены их нормы в моделях с 5U (3) инвариантной R -матрицей. В разделе I дано понятие обобщенной модели для рассматриваемой R -матрицы. В разделе 2 описан базис из бетевских векторов и ковекто- ров, его свойства и приведено графическое изображение этого базиса. Третий раздел посвящен вычислению скалярных произведений бетевских векторов. Норны бетевских векторов вычислены в разделе 4.

Обобщенная модель

Понятие обобщенной модели тесно связано с одним из главных элементов квантового метода обратной задачи, с квантовой матрицей монодромии [3] . Это матрица Т (X) , элементы которой являются образующими некоторой ассоциативной алгебры Л . Соотношения между матричными элементами Т(Х) записываются в R -матричном виде

К(Х-/1)Т(Х)®Т(^)Ц1®Т(^(i.i)

Здесь все значки тензорного произведения относятся только к матричной структуре и если Т (X) - матрица рхр , то R(X) - числовая матрица размера рах р2 . Матрица R (X), играет роль структурных констант алгебры dl . Условие ассоциативности в Я выполнено тогда и только тогда, когда R(X) удовлетворяет соотношению Янга - Бакстера [з] .'

Мы будем рассматривать dt порожденную матрицей монодромии размера 3x3 с R -матрицей следующего вида:

где Р - оператор перестановки в С 0 С ° • Р | 0 Ч-где Р - оператор перестановки в С 0 С ° • Р | 0 Ч-(1.2)

где Р - оператор перестановки в С 0 С ° • Р | 0 Ч-

где Р - оператор перестановки в С 0 С ° • Р | 0 Ч-

"1®

Обобщенная модель по определению является представлением алгебра & со старшим вектором JQ. . Матрица монодромии треугольна на Q :

T^kia-aiWa, TVWQ-o,"-Я

Числовые функции OL^^X) являются аналогом старшего веса рассматриваемого представления и называются параметрами обобщенной модели. *

Алгебра ^ представляется линейными операторами, действующими в линейном пространстве ЭД , которое натянуто на векторы

^(Х1...-Хм) = Тц1(Х1)...1\м|н(Хк)^, *'к<|к- С1*4)

След матрицы монодромии образует коммутативное семейство операторов:

t(X)-UT(X)-gTuw, [tw,tw]-o. а.»

Можно показать [4,5] , что в рассматриваемом оду чае матриц 3x3 в представлении общего положения имеется еще одно независимое коммутативное семейство операторов:

t W - 4 ^{^^^^^((^ -ф -т^х^т^х-ф.б)

[цхм^-рмд^-о. (I„

С точки зрения интегрируемых квантовых систем интересны те представления алгебры Д , в которых ЭД имеет естественную структуру гильбертова пространства, a t(X) и t(X) являются нормальными операторами в ЭД :

[ЦХ/,1(Х)]-О,[Г(Х),ПХ)]-О.(1.8)

Здесь + обозначает эрмитово сопряжение.

Если t и t - нормальные операторы, то из их коэффициентов разложения по X можно строить бесконечные коммутативные серии самосопряженных операторов в ЭД , которые будут играть роль бесконечного набора квантовых интегралов движения. По любому из них можно отроить интегрируемую систему.

Изучение представлений алгебры $ и ее представлений со старшим вектора» является отдельной задачей [4-6] и здесь она не рассматривается. Нам будет достаточно того, что у алгебры dl име-

ется следующее представление [?] :

Т(Х) = ЦХ) = Х-tf+i/ct eKt pu .(i.9)

Здесь ^ - комплексный параметр, Си - базисные матрицы (е^)к£= ^к5^» Pvj -генераторы <|Цо,С) в представлении $м

со старшим вектором £2 и старшим весом (^1; w2)wa):

Ер1|)Рк1] —^ji<Pit $ирф

. p^Q-^Q, pqQ=o,СЬЮ)

Таким образом, в этом представлении пространство ЭД совпадает с пространством представления алгебры (^/(й^С) . Если М; - целые, неотрицательные числа с условием доминантности wL > > W/a > W/^ , то это унитарное представление 5U (2>) .

Достаточно большой запас представлений Jb можно получить выбирая Т (X) ввиде произведения конечного числа -опера

торов:

TW-C.LiW^.. CNoLn.W- «-id

Здесь сомножители перемножаются как матрицы 3*3, С^ - диагональные числовые невырожденные матрицы. Пространством представления в этом случае будет ЭД = ЭД^...® ЭДМо , где ЭД^ - про- ' странство представления в котором действует Lh(X). Параметрами обобщенной модели (I.II) будут d^(X) = П(СН)-(Х -^i-W/^

Еще больший запас представлений можно получить переходя разумным образом к пределу No—00. При этом нужно следить за тем, чтобы функции а^ (X) сходились к конечным выражениям.

Выделим теперь из представлений вида (I.10),(1.11) физически интересные, то есть такие, у которых t и t являются нормальными операторами. Здесь и далее будем пользоваться следующими обозначениями: если матрица А действует в Va0Vg нетривиально в обоих пространствах, то будем писать Аа& , если А = 10 В, то будем писать А = В^ , если А = С 0 1 , будем писать А = Са и т.д. Уравнение (I.I) в этих обозначениях запишется следующим образом:

Ra6~f)Ta WTtW = Т6 ^T<t W RaE (Х • (I.Ixb

Далее, для удобства будем считать, что мы имеем дело с конечномерными представлениями Л . Транспонируя соотношение (1.1й) в пространстве ЭД , а затем в пространстве Vj , получим равенство:.

(T^jX^T^-T*^^d.ia)

Из явного вида Т(Х) (1.10)/(1.11) легко убедиться, что (T^-S’lty)?,

где ^Р переставляет сомножители в (I.II) в обратном порядке, p-Lt

Далее, обратим Т^ (X) и т в (I.I3). Получим следующее соотношение:■

R^ -^ W(Ta\x))Xg>(^

Теперь легко сформулировать достаточное условие для того, чтобы t (X) был нормальным оператором.

ТЕОРЕМ I. Пусть Л^^Х) - числовая функция, а - параметр. Если выполнено соотношение

для каждого из сомножителей в (I.II) и Сн = Сн , то след является нормальным оператором. Из (I.I6) следует, что

(Т1 (Х)/^ - Т+(Х - а) П d^ (X).

Обратим R^^X-jU) в (I.I5) и возьмем след по Va и Vj . Получим соотношение

[t(^); t+(X-a)] =0.

Заметим, что (I.I6) выполняется автоматически для L -операторов связанных с 5U(2) инвариантной R -матрицей [9] .

Обратное утверждение, что (I.I6) должно выполняться всегда, когда t(X)- нереальный оператор не доказано, но есть все основания считать, что это так..

Условие (I.I6) является ограничением на допустимые L -оператора вида (1.9). Оно приводит к тому, что возможны только два случая:

I. ^ = 1, w,2=wd=o, О-^+^-Уа ; 1УеR,(i.i?)

w/jl = м2=^ w3=o, #=^44-^ -1, i^gR . (i.is)

Превде чем переходить к описанию спектра операторов t(X) и к построению его собственных векторов остановимся на ряде полезных свойств R -матрицы (1.2) и L -операторов (1.9).

) Если w^ = 1 , т2 = И13 = о t то ^ =С3 и матри-

ца (1.9) совпадает, с точностью до числового множителя с матрицей (1.2) (УЬ - Ж)

Rtf(X -«ДащМ-<1Л9>

(U) Если М4 =W,a = l, w3-0 , то №-Саи матрица (1.9) о точностью до множителя и подобия совпадает с транспонированной матрицей (1.2) (Vj =^).

(Xна-(о 1 о), и-2»

(Hi) Важным свойством матриц (1.2) и (1.9) является SU(3) инвариантность: ,•

T^T^MMT.^T^L^).(i.2i)

Здесь Та и Т - представления 5U (5) в С1 и ДО соответственно.

При вычислении нормы собственных векторов t(X) мы будем пользоваться следующей обобщенной моделью:

Из перечисленных свойств L -операторов следует, что эта модель эквивалентна (I.II) с Na L - операторами с SU (3) сигнатурой (1.0.0), и Ni - с сигнатурой (1.1.0).

В заключение отметим, что коммутативное семейство t (X) выделено по сравнению с другими (например квантовые миноры Т(Х) ( 4,5 ). Как мы убедились выше, в ряде физически наиболее интересных случаев t(X) является нормальным оператором.

На этом закончим описание обобщенной модели для 5U(3)-инвариантной R -матрицы и перейдем к исследованию базиса собственных векторов t (X) .

Базис собственных векторов следа квантовой матрицы ' монодромии

Базис собственных векторов t(X) построен в работе [8] . В этом разделе приведены результаты этой работы, построен базис собственных ковекторов t (X) и получены некоторые полезные свойства этого базиса.

Чтобы построить базис собственных векторов и ковекторов 1(Х) квантовую матрицу монодромии удобно представить в блочном виде:

(2.1)(2.1)... /А(Х)В(Х)Х

(2.1)

(2.1)

&™» А(Х)-т„(Х), в(Х)-(ти(Х)]т1а(Х))-(в1(Х),е>2(Х))

r(M f1’"^ (^Л/та(х)т„(Х)\ /а„(Х)®и(Х)Х

\МкУ W w \t«WT3N Wxwx)/

матрица R(X) , в соответствии с (2.1) также запишется в блоч-матрица R(X) , в соответствии с (2.1) также запишется в блоч-Здесь 1г - единичная матрица в С1, I (X ,М) — 1 + I Д-Здесь 1г - единичная матрица в С1, I (X ,М) — 1 + I Д-

матрица R(X) , в соответствии с (2.1) также запишется в блоч-

матрица R(X) , в соответствии с (2.1) также запишется в блоч-

Здесь 1г - единичная матрица в С1, I (X ,М) — 1 + I Д-

Здесь 1г - единичная матрица в С1, I (X ,М) — 1 + I Д-

'5^)-*^р'

где Р - перестановка в С 0 С .'

Обозначим через Жо подпространство в Ж , такое, что

A(X)F -аДХ)Г, C^X)F-о(2.3)

для всех F G "Я, ..3

. Аналогичным образом определим двойственное пространство МО С

G А (X) = сц (X) G, йВДХ) = о, (2.4)

для всех G € ЭД0..

ЛМ1А I. Подпространства ЧС0 и Itg - инвариантные подпространства для SO (X) •".

Доказывается эта лемма с помощью коммутационных соотношений

(I.I), выписанных в блоком виде.

Определим матрицы Т (X) и Т (X):

^(^It/^)) " ®а(Ю^аЛ^)^)' • • SaN(X;^N); (2.5)

^а^!{/*}) = ^^Х^ц).. . Зд^Х^^^д^Х) .(2.6)

Это матрицы 2x2:

Т(к, ШШМ\ ~ Ш»В(Ц\ TW-Viw®W’ tw~^w$w; ■ с матричными элементами - операторами в Ж 0 L ив ЭДС ® Со яЧИ=1 г

Обозначим через £^ и £2 следующие векторы в этих пространств'

-Q®^)®^)®...®^),(2.8)

^С» £2.°® (10)0 (10)® . . .0(10).(2-9)

Здесь £2 - старший вектор, определенный соотношениями (1,3), а Qc двойственный к £2 вектор:

Q^uW-n-tW^ аСТч(Х)-о, »<!■ (2.10)

ЛЕММА 2. Пространства Хо и ЭДд являются линейными ободочками векторов

^23 (j^l) • • • ^28 (/^n)

О* ^88 (j^l) • • • ^32 (J^n)

соответственно.

Лемма доказывается с помощью коммутационных соотношений между элементами Тц(Х).

Определим вектор! '

^ ..vn^^n^^^^^K^n)- • -^^Ч^^Х "^ (2.II) Ч-ДШнU V ~ (^ С ^1 IЧД • • СW ^Шн-ч (2.12) они лежат в Ж и Жд соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Бетевским вектором назовем вектор из ^

^({^}м^^м) “^it(\)--- ^’<>|^^Ч-*’нЧ^К{Л}1м) •(2.13)

Бетевским ковектором назовем вектор из двойственного пространства Жс :"

^ ({^к{/л^м) = ^н..-1ДХ}м{^}м)С1,м(Х^...С(Ч(Хн) . (2.14)

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. ректоры ХРМ и Ус являются собственными дая!(Х) если числа {Х^_!И {ju,3. ^ являются решениями следующей системы уравнений: .

^(Xj)^(Xj)^jKW? k=13^jKW? k=13

^(Xj)

^(Xj)

^jKW? k=13

^jKW? k=13

При этом Ip и <|) соответствуют одному и тому ^е собственному значению t (X) :

ШМШадмкададАнад

/({М И t г м = л ск I {м М> Аад) >«•“>

NМ М„ М

^ph»h(<kmw№mm

Доказательство этой теоремы для векторов <р дано в [Ь] . Доказательство теоремы для двойственных векторов 1рс совершенно аналогично.

Кратность собственного значения (2.17) зависит от симметрии обобщенной модели. Если в пространствах Х^ действует конечномерное представление SU(3) , то вектор 1р является старт™ вектором в неприводимой компоненте ^ со старшим весом (&An,&An-M, К^' + М) . ^t(M 4=1 '1 w=\ 41’ П=1 3 ZС

является норлальным операторам двойственный вектор 1^ эрмитово сопряжен к ц) .В других случаях это двойственные базисы. Обозначим через ^ ^П/^Нt^^ { ^^1 > скалярное произведение на Ш :

Если наборы чисел [X j, {Д) и { ^ > 1г ' явлчются решениями уравнений Бете, то в силу теоремы 2 векторы ^({ХСН ^1) и ^({^Н^| ) образуют двойственные базисы. 5 этом случае: ^Нл! ИхВ!i^> =N(lxWB^%вда${/вд (2,19)

Нашей дальнейшей задачей будет вычисление скалярных произведений (2.18) и квадратов норм бетевских векторов - функций N({X6} [yitB|) в (2.19). Эти величины будут найдены в частях 3 и 4 соответственно. А сейчас остановимся на некоторых полезных свойствах построенных базисов.

(i) Независимость от выбора вложений. При построении векторов V и У0 выбором блочной структуры фиксировалось вложение 5 U (2) С SU(3) • Понятно, что можно выбирать другое вложение, соответствующее такой блочной структуре, при которой А (X) будет матрицей 2x2 , а $()) = ТМ (X) • Можно доказать, что эти базисы совпадают. Доказывать этот факт удобно с помощью графической записи векторов V и ¥ приведенной ниже.

(U) Графическая запись векторов ¥ и V . Для доказательства многих утверждений о построенных базисах и при вычислении

их скалярных произведений удобно пользоваться графическим изображением векторов Чг и 'Fc .

Будем изображать R^^X^X^) и R^ (Х2,Х1) следующими кар

тинками:•.

(2.21). Соединение ребер(2.21). Соединение ребер^-jHAi = <Ч Rj^MJ Аф%+ ^^ф^ф > (2.20)

(2.21)

. Соединение ребер

(2.21)

. Соединение ребер

Каждой линии соответствует аргумент Х^

означает суммирование по соответствующему значку, например: h1,13S ^

ii—j—ji = Z2 hJ-к—I-h •

!к=1I

Для определенности будем считать, что мы имеем дело с обобщенной моделью (1.23). Оператор: Bj,(X) и Ci(X) запишутся в виде

(Ci(X)){i}{.j - t il*-1—4—-(Ci(X)){i}{.j - t il*-1—4—-(2.23)(2.23)

(Ci(X)){i}{.j - t il*

-1—4—-

(Ci(X)){i}{.j - t il*

-1—4—-

(2.23)

(2.23)

*4^И,

llty ifN,*! |iH,*Nt

I1 • • •" J *** X .

''НЧ *'H1+1 *'N1+NjS '

Легко найти графическое изображение векторов У и Vе:

(2.24)

^г Л, ■ t$A 4а ЧЧ ^н,ЧчЦм Ц^а

(2.25)

Матрица R(X) имеет следующие свойства, позволяющие преобразовывать картинки:.

i ЧЧ

^1 = Ч

1

VaAx

(2.26)

^2

1

(2.27)

1^-^^ , "ри

♦а-.

h Ч .

(2.28)

/—Ms _ MilMiх» ^it-•

Х3 ХаАг

Наметим доказательство независимости базисов относительно

(2.29)

выбора вложений. Для этого нужно записать графически базисы соответствующие обоим вложениям и с помощью правил (2.26)-(2.28) до-

казать, что они совпадают. Доказательство не сложное, но громоздкое. Поэтому оно здесь не приводится.

(iiv) Симметричность векторов ф и ф° относительно перестановок чисел внутри множеств {А} и {juJ . Проще всего это свойство доказывается графически. Действительно, это нетрудно сделать, если воспользоваться графическим изображением векторов ф и ф° , правилами (2.26)-(2.29) и еще одним соотношением:

\^ ~4“"4" h = НА^А^Н (Аг,Ар •(2.30)

На этом мы закончим описание бетевских векторов и перейдем к вычислению скалярных произведений векторов ф и фс .

Скалярные произведения бетевских векторов

Из явного построения векторов ф и фс следует, что искомое скалярное произведение линейно зависит от параметров модели. Уточним характер этой зависимости.

ТЕОРЕМА 3. Скалярное произведение бетевских векторов имеет следующую структуру:

(3.1)(3.1)>= Е п м^п ^<аа*)х {Ас( ul^lA^VU*^ хА* х^

(3.1)

(3.1)

. *1^4^% Ц, ^(X3) К( partition),

где суммирование ведется по разбиениям на непересекающиеся подмножества: { XAl}n { AA*}={j(iA^jn{/iA3l = 0. Функция К

зависит от разбиения множеств { Ас]N , {ABJN и {Х^ > I ^^n и не зависит от параметров обобщенной модели.-

Рассмотрим представление (2.13) и (2.14) для векторов Ц/ и ф° .Из коммутационных соотношений приведенных в Приложении следует, что а^А) в скалярном произведении зависит только от ^ или ja^ нужно воспользоваться представлением Ф и Ф° , использующим другое вложение SV(1) с SV<3) и коммутационными соотношениями между Тй (А) . Осталось доказать, что

— N . К/-Я-ц/>}|=п .Ля этого рассмотрим следующие преобразования над матрицей монодро- мии:

(3.2)(3.2)A В \= / «"'А В \

(3.2)

(3.2)

С 3 / X \ С хй /

где Я - матрица И*Л .

При таком преобразовании .

Ф^ШнШ^* ^(lAWi?’(З-З)

o^iX) •—*- х'Ч^Х), aM(X)'--xA/M(A).

Подставляя это преобразование в (3.1) получаем, что|{А'^ЗЦ^Л**}!^- Аналогично, используя другое вложение SU(!l) с SU(3) доказывается что |{jU-A*i|= |{^А’}| = М .

Найдем явный вад функции K(pavUUan) , . Для этого рассмотрим скалярное произведение (3.1) в обобщенной модели (1.23) с Ni=N , N,,= И . Параметры и,, ^ ,' »3 в этой модели определяются следующими выражениями:

аД)=П яА,ыр, <k(X)=4, а-3(Х) = П f(A,va .(3.4)

н 'Н '. в

Скалярное произведение будет иметь полюсы в точках 1^=ХК, Xt, и ^ = Х ’ Л< • Разобьем числа {Л^ЦА3}, ^И/^} на непере- секающиеся подмножества:

ID-UX^J. i/J-WM^i!,<3-5>

{fi-U^uUii, l/i-^rluj/tl .(3.6)

Из (3.1) следует, что сингулярная часть (3.1) при

H-lfyuUi!, l^-i^MA! .

пропорциональна К( partition)(3.5),(3.6)). Оказывается,

что при таксы значении параметров {w J и {v $ выражение для скалярного произведения ф и ^с сильно упрощается, если использовать графическое представление векторов ф и ^с , явный вид и свойства (2.26)-(2.30) R-матрицы (1.2). Не будем приводить подробное доказательство в виду его громоздкости. Чтобы сформулировать окончательный ответ определим функцию Z (1 Лс }N > iXBJNl l/^M , I^Im ). Эта функция, по определению,

равна следующей статистической сумме:

теоремы.теоремы.Я —oo о 2 —<н) о

теоремы.

теоремы.

Окончательный ответ сформулируем в виде

ТЕОРЕМ 4. Скалярное произведение бетевских векторов выражается через функции Z по следующей формуле:

VfWiWiiVWAW^

хПалсЛж)ПmAi>II «Ч^’П мХФ аА Ц WV ’л(3,8)

Ai ai

■ ФЦ^гЛ^в^И’^Ф’

-П .J^.^ZilAMW/rH/zVWlW'JI^^^ Ле>^1_.

Для доказательства нужно проделать выкладки описанные выше. А затем воспользоваться тем, что К (partition) не зависит от параметров обобщенной модели.

Итак, мы нашли скалярные произведения бетевских векторов ^ и Фь при Xj =# X® , ^ =# jii® . Дальнейшей задачей является вычисление нормы бетевских векторов. Для этого нужно изучить поведение скалярных произведений при At —- Х^ , ^—► ju® . Из формулы (3.8) видно, что прежде всего нужно найти функции Z в этом пределе.-

Из графического представления (3.7) для функции Z , легко доказать следующие ее свойства:

(I) Функция Z симметрична по каждой группе аргументов и1М/МХеМ)иЧ.

(U)При А®—»- А4 и Д—*"Х она имеет следующее поведение:

г^Цх^аЛ.ИХ!^/!,)-

х2м-.,м({А ^{^^.JI^Ih i^5^)* рег., X.—^X®,(3i9)

ZhVI^ShI^nHA^h^Im > —

-aVn »(Лх>яХ,л;>.п«А‘,**>«(3.10)

^N^-i^^U^Hy^l^^р-ег. •

В этих формулах справа у Z опущены аргументы X®, Х°( в (3.9) и Х’/< в (3.10)..

(Ш) Функция Z убывает как ОИ/Х) , когда любой из аргументов стремится к бесконечности.

Легко доказать следующую лемму, которая позволяет вычислять 3NM не пользуясь представлением (3.7).

ЛБММА 3. функция ZH м вычисляется рекуррентно по Zo o и

(з.п)(з.п)ZM- <•

(з.п)

(з.п)

Дня доказательства нужно выделить сингулярности из Z :

N,rt Д<х”-х‘)(^-Лк) '.

Полинок 51 вычисляется из (3.9),(3.10) как аппроксимационный полином Лагранжа.с

Скалярное произведение (3.8) при Х^—► Хк , ^—*- j^K имеет сингулярности типа полюса. Вычеты в этих полюсах вычисляются из (3.8)-(3.10) и имеют следующий вид:

<Х ^{/^ ^мИХ JNtyi }м> ** ^в_ ^с ( A#(.Xf) ^(А®)

<{ac$niAH^n1A>—^ <^w>-

- H<N ^l^)К^ A V^M-11 ^N {А-1 ^^1 .(3.13)

14 Заказ 359 '209

ф,^'*’- w>.ф,^'*’- w>.В правой части этих формул написано скалярное произведение (3.8), в котором пропущены числа А^, Af в (3.12) и числа JA^ ^ в (3.13), а параметры й^сА) модифицируются по формулам: wd^A).

ф,^'*’- w>.

ф,^'*’- w>.

afyi) = оц^ДА^),

Ч^^^” ЧЧ^У^ ^^/^‘^^(^нА,/!), (3.14) ^(= 4^,»5 (Х"^’ = 4^Hjn,Xk

На этом закончим описание скалярных произведений бетевских векторов и их свойств, и перейдем к вычислению нормы NUXH^J) •

Норма бетевского вектора

По -определению,квадратом нормы вектора ф будем называть скалярное произведение Ф(Ц]М |^1М ) на ^с({ AJN ^^ц )

^{AMA^Al^}^ #(Мн^}м ).(4.D

Это выражение действительно является квадратом нормы ф , если мы рассматриваем обобщенную модель с нормальным оператором t(A).

Дальше, для удобства, позволим себе небольшую вольность в терминологии и будем называть «/К нормой вектора ^ .

Будем вычислять ./K({X}HtyGM) переходя в скалярном произведении (3.8) к пределу А‘—* ^v > A-* j^\* 113 соотно

шений (3.12) ,(3.13) следует,^ что ^({AIn {/И м ^ будет зависеть от at<A) , от \=-v-^ ^(-5^x7)и от Я»<А),=

= - i- -Д- ^(-^5)• Переходя к пределу Aj —»■ A j

и ^—»- jU® из (3.12) и (3.13) получаем дифференциальные уравнения для функций JK(U$Nl/ilM )

ЦсАрЦсАр/(Шн^п^сФЛАрЧ^рАУОЦ^, 1/41^ l™^^1 (4.2)

ЦсАр

ЦсАр

.^^ШЦА-^МЛ’ WM/tl^r^W .<4.з>

Соотношения (4.2),(4.3) показывают, что Ж({ДНД) является линейной функцией х^Хр и ^(/tp .

ЛЕША 4. Если х^Хр = 1^»^) = О А™ всех j и к » то А= 0.

Доказательство этой леммы основано на использовании соображений непрерывности и наличия функциональных параметров п^Х) . Оно основано на рассуждениях, которые используются при доказательстве аналогичного факта дая функций #(Ц}{д}) в моделях с SV(H) R,-матрицей [2] .■

Введем новую функцию am,m({A1n Мм )

Л’ м

ЖЦДМ)= Дмп «Др^АД “W W^*

N ' МК М

хЧД^МД№)П^А^АрП #(/р^^ П f(A’AP •(4.8)

Из Леммы 4 и соотношений (4.2),(4.3), следует, что Дм м является функцией {X}N, l^3N , {xj и не зависит от параметров (пр . Кроте этого она удовлетворяет следующим соотношениям: PP^A„ MliX^iJ} ),(4.9)

-jP^WUWAIWI-a^W^^^ , (4.Ю)

, Д М,М^^Н^Л^мНх^ )|х=0 = ^,о^м,о •(4»И)

Оказывается, что эти уравнения имеют простое решение, которое записывается в виде детерминанта линеаризованной системы уравнений Бете.

ТЕОРЕМА 5. Решение системы (4.9)-(4.П) имеет следующий вид: ?АХ

(4.12)4=1кк.6= L..., М(4.12)4=1кк.6= L..., МЧ >к

(4.12)

4=1к

к.6= L..., М

(4.12)

4=1к

к.6= L..., М

где ’

(РА= aw= d". Г^(X.) + i S -XЦ Ка^У* ^ Ч ^ФЛ +

\ >^L1 *<=< 8Л^ У vt > ^ ЗА- j f(Ae b)J

• 3^^Дк)(4,13)

*‘ж^й>Ь^ ’

Для доказательства теоремы нужно подставить выражение (4*12) в систему (4.9)*(4.П). ^Единственность решения этой системы следует из свойств функции AN м , описанных выше.

Сформулируем окончательный ответ. Норма бетевского вектора

равна следующему выражению: км

XX/(Ши {ju}m )=см*м^п ^1 (Ар мАр п а^р ^р

X

X

n м/ tp.V q>V \

ПлАД)П^М:,д )П fcA^i^t \ v* .(4.16)

А*к 1 к^к Г1Гк^ п к ЦА ^ /

Различные интегрируемые модели с SV(3) инвариантной И члатри-

цей характеризуются различным выбором параметров а^сХ) . В случае, который соответствует ортогональному базису Бете удобно ис

Выражение для нормы 'Выражение для нормы 'пользовать переменные \. и V| =^ -р -^- примет вид:

Выражение для нормы '

Выражение для нормы '

и М ММ••

wiiiMi-t^ib,^^^ «,<VT>V',rT) -

NМN МхП 1(кХк)ПЛ^,1>к)1Т П ^--^.ХаМ >*К1}*к 1>1 кН1NМN МхП 1(кХк)ПЛ^,1>к)1Т П ^--^.ХаМ >*К1}*к 1>1 кН1’VK’VK^x^xC /C /(4.17)(4.17)

NМN М

хП 1(кХк)ПЛ^,1>к)1Т П ^--^.ХаМ >*К1}*к 1>1 кН1

NМN М

хП 1(кХк)ПЛ^,1>к)1Т П ^--^.ХаМ >*К1}*к 1>1 кН1

’VK

’VK

^x

^x

C /

C /

(4.17)

(4.17)

где'

^“^(Apt Е KpAj-Xp-S Ki/i^j.-^)]^- KpAj-Хц),

=%5,= ^(Aj-T’k) ,'

4fc= [^p+L Kii^-^-S K№(X^-T)6)] ^- K^j,--^).

Заключение

Развитая техника вычисления нош и скалярных произведений бетевских векторов позволяет как и в SIM) случае найти форм-факторы и корреляторы полей. Решение этой задачи будет дано в -отдельной публикации. -

Автор благодарен Л. Д. Фаддееву, А.Г.Изергину, В.Е.Корелину, А.Н.Кириллову, Ф.А.Смирнову и П.П.Кулищу за полезные обсуждения.

Литература

Gaudin М. La fonction d'onde de Bethe pour les modeles excacts de la mecanique statistique. Paris, Commisariat a I’energie atomique 1983.

К о r e p i n V.E. Calculation for norms of Bethe wave functions. Commun.Math.Phys., т.8б, 391-418 (1982).

P a d d e e v L.D. Integrable Models in 1+1 Dimensional Quantum Pield Theory. In: Les Houches Lectures 1982, Elsevier Sci.Publ. (1984)/

Кулиш П.П., Решет и хин H.IC. Зап.науч.Сегин. ЛОМИ, 1982, т.120, с.92-121.

Тарасов В.О. Теор.Мат.Физ., 1985, т.63, № 2, с.175-195.

Дринфельд В.Г. ДАН СССР, 1985, т.1283, Я* 5, с.10601064.-

К u 1 i s h Р.Р., Res he t ikhin N.Yu., Sklyanin E.K. Lett. Math. Phys., £, N 5, p.393-403.

К u 1 i a h P.P., Reshetikhin N.Yu. J.Phys.A,

N 16, p.L591-L596 (1983)..

И з e p г и нА.Г., К о p e п и н В.Е. Зал.науч.сети.

ЛОМИ, 1984, т.133, с.92-112.

Содержание

Стр.

Боголюбов Н.М., К оре пин В.Е. Полное экранирование в одномерном бозе-газе 3

В о з я к о в В.И., П о п о в В.Н. Функциональный подход к теории квантовых ферми-кристаллов 7

Волков А.Ю. Гамильтонова интерпретация модели Вольтерра-. . 17

И з е р г и н А.Г., К о р е п и н В.Е.,

Р е ш е т и х и н Н.Ю. Корреляционные функции полей в одномерном бозе-газе2G

Капитонов В. С. Локализованная сверхпроводимость и таммовские состояния37

Котсиолис А.А., Осколков А.П. О разрешимости основной начально-краевой задачи для уравнений движения жидкостей Олдройта на (О,00) и поведении ее решений при! -*+оо48

Кулиш П.П., Смирнов Ф.А. Уравнения обратной задачи квантовой системы трех волн53

Липовский В.Д. .Матвеев В.Б.,

Смирнов А.О. О связи между уравнениями Кадом- цева-Петвиашвили и Джонсона 70

Осколков А.П., Ахматов М. Корректные постановки начально-краевых задач для уравнений фильтрации жидкости с запаздыванием76

Попов В.Н. Возможность нарушения закона подобия при фазовом переходе бозе-системы в сверхтекучее состояние87

Рейман А.Г., Семенов-Тян -Шан-

с к и й М.А. Алгебры Ли и лаксовы уравнения со

спектральным параметром на эллиптической кривой . . . 104

Семенов-Тян -Шанский М.А. Пуассоновы группы и одевающие преобразования119

Сидоренко Ю.Н. О гамильтоновости некоторых двукомпонентных систем . . . . 143

С к л я н и н Е.К. О пуассоновой структуре периодической классической КЧ L -цепочки154

Устинов А.Ф. Об асимптотике решения задачи

Коши для нелинейного уравнения Шредингера с граничными условиями типа конечной плотности181

Решетихин Н.Ю. Вычисление нормы бетевских векторов в моделях с SU(3) симметрией196

Contents

page

Bogoliubov И.к., К о r e p i n V.E. On complete screening in the one-dimensional Bose gas. .3

Vozyakov V.I., Popov V.H. Functions!

approach to the theory of quantum Fermi crystals» . .7

Volkov A.Yu. a Hamiltonian interpretation of the Volterra model17

1 z e r g i n A.G., К о r e p i n V.h.,

Keshe. tikhin h.Yu. Field correlation functions for the one-dimensional Bose gas26

Kapitonov V.S. Localized superconductivity and Tamm states37

kotsiolis A.A., Oskolkov л.Р. On the solvability of the main initial-boundary value problem for the equations of motion of Oldroyd fluids on (O,00) and the behaviour of its solutions ast—►+c*. . . . . . . 48

К u 1 i s h P.P., Smirnov F.A. The inverse problem equations for the quantum three-wave system..'•53

Lipovski V.D., к a t v e e v V.B», Smirnov A.O. On the connection between Kadom- tsev-Petviashvili equation and the Johnson equation • 70

Oskolkov A.P., Akhmatov k. On correctness of the initial-boundary value problems for with delay. . . 76

Popov V.B. The possibility Of similarity law

breaking for the phase transition of a Bose-sys- tdto into a superfluid state ............. 87

Reyman A.G., Semenov-Tian-

s h a n s к у M.A. Lie algebras and Lax equations with spectral parameter on an elliptic curve . . . . 104

Semenov- Tian-S^ansky M.A. Poisson groups and dressing transformations . • . • 119

Sidorenko Yu.N. On the Hamiltonian structure of certain two-component systems143

Sklyanin B.K. On the Poisson structure of the periodic classical XYZ-chain154

Ustinov A.P. Asymptotes of solution of Cauchy problem for the nonlinear Schrodinger equation with boundary conditions of the finite density type

. 181. 196. 181. 196Reshetikhin N.Yu. Calculation of Bethe vectors norma for models with SU (3) -symmetry . . .

. 181

. 196

. 181

. 196

РЕФЕРАТЫ

УДК 536.7+536.145.

Полное экранирование в одномерном бозе-газе. Боголюбов Н.М., Корепин В.Е. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.150) Л.; "Наука", 1986, с.3-6.■

Доказана гипотеза полного экранирования для одномерного квантового бозе-газа при нулевой температуре. Получена асимптотика квадрата оператора числа частиц на конечном интервале.

Библ. - 7 назв.

УДК 536.7'

Функциональный подход к теории квантовых ферми-кристаллов.

Возяков В. И., Попов В.Н. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6 (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.150) Л.; "Наука", 1986, с.7-16.

Методом функционального интегрирования исследована ферми-систе- - ма в окрестности перехода нормальной жидкости в кристаллическое состояние в случае, когда в обратной решетке нет троек векторов, направленных из узла решетки к ближайшим соседям, с суммой, равной нулю. Показано, что система не может перейти в слабонеоднородное состояние, если расстояние между ближайшими узлами в обратной решетке больше удвоенного импульса Ферли. Библ.-2 назв.

УДК 517.957'

Гамильтонова интерпретация модели Вольтерра. Волков А.Ю. - В ‘ кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.150) Л.; "Наука", 1986, с.17-25.

Рассмотрена дифференциально-разностная система Вольтерра в новой гамильтоновой формулировке Л.А.Тахтаджяна и Л.Д.Фаддеева. Обсуждена связь с квантовым методом обратной задачи и конформно инвариантной двумерной теорией поля. Библ. - 12 назв.

УДК 517.957

Корреляционные функции полей в одномерном бозе-газе. Изергин

А.Г., Корепин В.Г., Решетихин Н.Ю. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.150) Л.', "Наука", 1986, с.26-36.

Вычислены многополевые корреляционные функции в модели Бозе-газа. Показано, что многополевые корреляционные функции, как и коррелятор токов, вычисленный ранее выражаются через неприводимые части форм-факторов и решения нелинейных интегральных уравнений. Библ. - II назв.

УДК 536.7

Локализованная сверхпроводимость и таммовские состояния. Капитонов В. С. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.150), Л.^ "Наука", 1986, с.37-47.

Рассмотрено явление локализованной сверхпроводимости (ЛС) - локальное повышение температуры сверхпроводящего перехода вблизи плоского дефекта и поверхности металла. Получено условие существования ЛС в зависимости от плотности состояний на поверхности Ферми. Показано, что наличие таммовских состояний является достаточным для возникновения ЛС. Библ. - 7 назв.

УДК 517.9

О разрешимости основной начально-краевой задачи для уравнений движения’жидкостей Олдройта на (0, =®) и поведении ее решений цри t —* + о= . Котсиолис А. А., Осколков А.П. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч, семин.ЛОМИ, т.150). Л.; "Наука", 1986, с.48-52.

Доказана разрешимость в целом на (о,=») первой начально-краевой задачи для уравнений движения жидкостей Олдройта с двумя пространственными переменными и исследована связь при "Ь -* °” решений этой задачи с решением аналогичной задачи для уравнений Навье-Стокса. Библ. - 8 назв.

УДК 530.145

Уравнения обратной задачи квантовой системы трех волн. Кулиш П.П., Смирнов Ф.А. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150)^ ЛЛ "Наука", 1986, с.53-69.

Исследованы аналитические свойства решений Йоста вспомогательной линейной задачи системы трех волн, потенциалы в которой являются операторнозначными функциями. Построены операторы рождения и уничтожения элементарных возбуждений'и их связанных состояний. Выведены сингулярные интегральные уравнения, позволяющие восстанавливать локальные поля по упомянутым операторам рождения и уничтожения. Библ. - 15 назв.

УДК 517.958

О связи между уравнениями Кадомцева-Петвиашвили и Джонсона.

Липовский В.Д., Матвеев В.Б., Смирнов А.О. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч, семин.ЛОМИ, т.150), Л.; "Наука", 1986, с.70-75.

Установлена эквивалентность уравнений Кадомцева-Петвиашвили и Джонсона в классе быстроубывающих данных Коши. В качестве иллюстрации указанного изоморфизма изучена гамильтонова структура уравнения Джонсона-Il. Библ. - 12 назв.

УДК 517.9

Корректные постановки начально-краевых задач для уравнений фильтрации жидкости с запаздыванием. Осколков А.П., Ахматов М. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150). Л.; "Наука", 1986, с.76-86.

Выведены уравнения нестационарной фильтрации с запаздыванием линейных вязкоупругих слабосжимаемнх жидкостей в упругодефор- мируемой пористой среде и для этих уравнений доказаны теоремы Ь разрешимости возникающих из практики начально-краевых задачу Библ. - 22 назв.

УДК 536.7

Возможность нарушения закона подобия при фазовом переходе бозе-системы в сверхтекучее состояние. Попов В.Н. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч. семин.ЛОШ, т.150), Л.: "Наука”, 1986, с.87-103.-

Предложен вариационный принцип для приближенного вычисления функций Грина бозе-систем. Развитый подход дает функции Грина с качественно правильным поведением на больших расстояниях вне окрестности фазового перехода в сверхтекучее состояние. На линии фазового перехода получаются функции Грина, пропорциональ- ^^(-("У 3)(- размерность пространства). Для двумерных и трехмерных систем такие функции убывают быстрее любой степёни, но медленнее, чем экспоненциально, и не удовлетворяют закону подобия. Выше температуры перехода вариационный принцип дает функции Грина двумерных и трехмерных бозе-систем G(R) • фурье-образ которых G (К) имеет ближайшую к началу координат К -пространства особенность, отличную от простого полюса. Библ. - 3 назв.

УДК 517.93'

Алгебры Ли и лаксовы уравнения со спектральным параметром на эллиптической кривой. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150), Л.; "Наука”, 1986, с.104-118.

Лаксовы уравнения с эллиптическим спектральным параметром рассматриваются в рамках общей схемы, использующей аффинные алгебры Ли и t -матричный формализм. Приводится ряд примеров эллиптических лаксовых представлений для систем взаимодействующих волчков. Библ. - 17 назв.

УДК 517.93

Пуассоновы группы и одевающие преобразования. Семенов-Тян-Шан- ский М.А. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150). Л.; " Наука", 1986, с.119-142.

Исследуются особенности поведения скобок Пуассона при одевающих преобразованиях Захарова-Шабата. Изложение основано на теории групп Цуассона-Ли, впервые определенных В.Г.Дринфельдом.

Библ. - 15 назв.

УДК 517.957

О гамильтоновости некоторых двукомпонентных систем. Сидоренко Ю.Н. - 13 кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.6. (Зап. науч, семин. ЛОМИ, т.150), Л.; "Наука”, 1986, с.143-153.

Найдены гамильтоновы структуры ряда нелинейных эволюционных двукомпонентных систем, имеющих высшие законы сохранения и показана их интегрируемость посредством МОЗГ. Библ. - 15 назв.

УДК 517.957

О пуассоновой структуре периодической классической XYZ -цепочки. Склянин Е.К. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150), Л.; "Наука’,’ 1986, с.154-180.

Построены канонические переменные ( X -переменные) для периодической классической XYZ -цепочки (дискретного уравнения Ландау- -Лифшица). Обсуждается связь с квантовым методом обратной задачи и теорией конечнозонного интегрирования. Библ. - 27 назв.

Ж 517.93

Об асимптотике решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с граничными условиями типа конечной плотности.

Устинов А.Ф. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 6. (Зап.науч.семин.ЛОМИ, т.150), Л.; "Наука", 1986, с.181-195.

С помощью "процедуры одевания" сингулярная задача Римана, соответствующая задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с граничными условиями типа конечной плотности, сведена к ретуляр-

ной задаче Римана. Из асимптотического анализа регулярной задачи Римана получен главный член асимптотики решения задачи Коши в области сверхстепенного убывания, который описан в терминах данных рассеяния, отвечающих начальному условию. Библ. - II назв.

УДК 517.957

Вычисление нормы бетевских векторов в моделях с 5 U (2>) симметрией. Решетихин Н.Ю. - В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 6. (Зап. науч, семин. ЛОМИ, т.150)/Л.; ’’Наука”, 1986, с.196-213.

Дано описание обобщенной модели в теориях с 5U (5) -инвариантной R -матрицей. Вычислены нормы бетевских векторов в этих моделях. Получено представление для скалярных произведений через статистические суммы со специальными граничными условиями. Библ. - 9 назв.

ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 6,

Записки научных семинаров Ленинградского отделения Математического института им. В.А. Стеклова. Том 150

Утверждено к печати

Ленинградским отделением Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР

ИБ & 21476

Подписано к печати 18.04.86.

Оригинал-макет подготовлен Ленинградским отделением Математического института им. В. А. Стеклова. М-25520.

Формат 60 х 90 1Д6. Бумага офсетная № ^. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14.00. Усл. кр.=отт. 14'. 12.

Уч.=изд. л. 14.13. Тиран 1150. Тип. зак. Л 359.

Цена I р. 90 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука". Ленинградское отделение.

199034, Ленинград, В-34, Менделеевская лин., I.

Ордена Трудового Красного Знамени

Первая типография издательства «Наука".

199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12.

*YiYf=L

Это связано о тем, что, как показывает опыт работ [l,2](см.также § 3 настоящей работы), квантование в переменных 1|| Y^ сво-

дится, как правило, к замене их на соответствующие квантовые операторы и упорядочению типа: <| налево, Y^ - направо; тогда как при квантовании в переменных действие-угол можно рассчитывать са-

мое большее на приближенный квазиклассический ответ [19] . Это замечательное свойство позволяет назвать ременными".

3.2) Необходимо отметить, что координаты ^j ( X - переменные в терминологии [16-18] ) являются фундаментальным объектом

АКАДЕМИЯ НАУК

СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИКОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВАЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ЗАПИСКИ НАУЧНЫХ СЕМИНАРОВ ЛОМИ, том 150

ВОПРОСЫКВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 6

Сборник работ под редакциейП.П. КУЛИША и В. Н. ПОПОВА

ЛЕНИНГРАДИЗДАТЕЛЬСТВО „НАУКА”ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ19 8 6

Сборник посвящен проблемам математической и статистической физики, а также теории точно интегрируемых систем.

Методом функционального интегрирования исследуются ферми-системы с периодической структурой (квантовые ферми-кристаллы), прослежено влияние поверхностных (таммбвских) состояний на эффект локализованной сверхпроводимости, развит вариационный принцип для вычисления функции Грина бозе-систем, применение которого показывают возможность нарушения закона подобия на линии фазового перехода в сверхтекучее состояние.

Продолжено исследование гидродинамических уравнений, описывающих жидкости Максвелла и Олдройта.

Ряд работ посвящен теории точно интегрируемых уравнений. Получены выражения для корреляторов полей в модели одномерного бозе-газа и доказано явление полной экранировки в этой системе. Показан изоморфизм уравнений Джонсона и Кадомцева-Петвиашвили, развит квантовый метод обратной задачи рассеяния для системы трех волн, дана гамильтонова интерпретация модели Вольтерра и некоторых двухкомпонентных систем. Изучены решения задачи Коши для одномерного нелинейного уравнения Шредингера с граничными условиями типа конечной плотности. Рассмотрены алгебры Ли и уравнения Лакса со спектральным параметром на эллиптической кривой, исследованы теоретико-групповые свойства одевающих преобразований, изучена пуассонова структура периодической классической XYZ -цепочки. Вычислены нормы векторов Бете в моделях с SU ^3) симметрией.

В 1704020000-598 Ц7^б_х(С)Издательство "Наука", 1986 г.

042(02) - 86

Н.М.Боголюбов, В.Е.Корепин