ОТ РЕДАКЦИИ

В настоящую книгу избранных трудов академика М. В. Келдыша вошли его исследования по аэрогидродинамике, по автоколебаниям самолетных конструкций и по некоторым вопросам газодинамики сильного взрыва, составляющие три самостоятельных раздела книги (исследования по механике космического полета включены в следующий том вместе с работами по ракетной технике и космической навигации). Работы первых двух направлений связаны с деятельностью М. В. Келдыша в ЦАРИ, сначала в общетеоретическом отделе, куда он поступил инженером в конце 1931 г., а затем в экспериментально-аэродинамическом отделе и вновь созданном в 1941 г. отделе динамической прочности самолета, начальником которого он был назначен. В 1944 г. в Математическом институте АН СССР по инициативе академика И. М. Виноградова был образован отдел механики, который возглавил М. В. Келдыш. Газодинамика взрыва была одной из тем этого отдела.

В томе собраны все публиковавшиеся исследования М. В. Келдыша по указанным вопросам, а также наиболее интересные написанные им обзоры. Ввиду ограниченного объема книги почти все краткие предварительные публикации в настоящем издании опущены; впрочем, сам М. В. Келдыш в списках своих научных работ многие из этих публикаций не приводил. По той же причине в ряде работ были опущены некоторые громоздкие сводки расчетных формул и табличный материал, не представляющие в настоящее время особого интереса. Наконец, из руководства для авиаконструкторов «Расчет самолета на флаттер» приведены только два наиболее важных раздела, показывающих приоритет советских разработок методик. Работы во всех трех разделах сгруппированы по тематическому принципу; тем не менее порядок их близок к хронологическому.

Том открывается известным мемуаром 1934 года, в котором впервые с учетом сжимаемого воздуха строго установлена формула Н. Е. Жуковского для подъемной силы крыла, движущегося с дозвуковой скоростью, и обоснована поправка Прандтля—Глауэрта на сжимаемость. Выдающийся математик, М. В. Келдыш неизменно тяготел к строгим постановкам исследуемых проблем. Когда же для эффективного решения задачи необходимы упрощающие предположения, он считал, что число их должно быть сведено к минимуму; если дан алгоритм приближенного решения задачи, то должна быть установлена его сходимость, и т. д. В следующем мемуаре 1935 года, выполненном, как и первый, совместно с Ф. И. Франклем, построена строгая теория гребного винта Жуковского, в которой формулы Н. Е. Жуковского получаются в качестве первого приближения. Обе эти работы опираются на теорию нелинейных интегральных уравнений (см. подробнее обзор научных трудов М. В. Келдыша, приведенный в первом томе «Математика»). Так как сокращенные версии обеих работ, выполненных и доложенных в 1933 г., появились в изданиях ЦАГИ уже после выхода журнальных статей, в настоящей книге они опущены.

Следующий цикл работ первого раздела связан с проблемой исследования неустановившихся движений крыла. Эта проблема стояла тогда очень остро, не столько в связи с попытками создать машущее крыло, сколько с необхо-

димостью построить теорию автоколебаний крыла и оперения, вызванных взаимодействием с внешним потоком, и выяснить пути предотвращения разрушающих вибраций (типа флаттера). Впрочем, именно М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев первые строго показали (работа доложена в 1933 г., вышла в 1935 г.), что при определенных режимах колебания пластинки возникает тянущая сила. Этот цикл открывается первой публикациейМ. В. Келдыша— обзорной работой 1933 г., в которой приведены все определения и обозначения, необходимые для чтения дальнейших работ. Большое значение для последующих исследований по флаттеру имела заметка «Гидродинамический вывод формул Раушера», в которой простые формулы для сил и моментов, действующих на колеблющееся крыло, выводились из одной только гипотезы квазистационарности обтекания без привлечения дополнительных предположений о поведении самого крыла. Во всех работах цикла широко применяются методы теории функций комплексного переменного. Здесь же приведена изящная работа 1936 года, в которой обобщается на полипланы известная теорема Чаплыгина—Мизеса о параболе метацентров крыла моноплана.

Следующий большой цикл работ молодого М. В. Келдыша связан с исследованием движений тяжелой жидкости методами теории функций комплексного переменного. В своем «Замечании» о некоторых таких движениях (1935 г.) он указывает, как можно упростить условие на свободной поверхности, взяв вместо искомой не характеристическую функцию потока, а линейную комбинацию ее и ее производной. Такой подход немедленно получил общее признание и широкое применение. В цикл входят его статьи об ударе о воду, о движении под поверхностью жидкости и в канале конечной глубины — явлениях, которые он исследовал вместе с М. А. Лаврентьевым и Л. И. Седовым. Следует отметить, что в этих работах не только решены конкретные задачи гидродинамики, но и даны эффективные решения ряда краевых задач теории аналитических и гармонических функций, которые впоследствии широко использовались в многочисленных исследованиях по механике сплошной среды. Завершает первый раздел книги обзорный доклад о работах московской школы по применению теории функций комплексного переменного к гидродинамике и аэродинамике (Тбилиси, 1963 г., совместно с Л. И. Седовым).

С ростом скоростей полета авиаконструкторы вплотную столкнулись с явлением флаттера. За некоторой критической скоростью в системе «набегающий поток воздуха—крыло» возникают нарастающие изгибно-крутиль- ные колебания крыла, приводящие к его поломке. Такие же вибрации, получившие название «флаттер», возникают и у хвостового оперения, у элерона, шарнирно скрепленного с крылом, и т. д.

В результате работы, проводившейся в ЦАГИ с 1931 г., была разработана простая, но эффективная и хорошо схватывающая суть явлений схема расчета на флаттер сперва крыла, затем крыла с элероном, с подкосами, с упруго прикрепленными моторами и т. п., которая, в случае необходимости, допускала уточняющие поправки. Как теоретик, М. В. Келдыш несколько лет думал над строгой теорией колеблющегося крыла. В то же самое время он разработал, говоря современным языком, четкий алгоритм расчета самолета на флаттер, с последующим уточнением расчетов по результатам продувок моделей в аэродинамических трубах, и указал методы балансировки, предотвращающие флаттер. Этот алгоритмический подход, намного опередивший зарубежные разработки, был отмечен Государственной пре-

мией II степени, которая была присуждена Е. П. Гроссману и М. В. Келдышу за научные работы по предупреждению разрушения самолетов. Кроме оригинальных работ по флаттеру, во втором разделе настоящей книги приводятся первый и последний параграфы: «Объем расчетов самолета на флаттер» и «Проектирование, изготовление и испытание на флаттер динамически подобных моделей крыльев» — из написанного под редакцией М. В. Келдыша и при его непосредственном участии и выпущенного отдельной тетрадью в 1939 г. раздела «Расчет самолета на флаттер» многотомной серии «Руководство для конструкторов». Приведен также обзор Е. П. Гроссмана и М. В. Келдыша «Опыт борьбы с флаттером на серийных самолетах» и рассчитанный на широкие круги работников смежных специальностей обзор «Вибрации на самолете», написанный совместно с Н. И. Мариным и Я. М. Пар- хомовским. В последнем подробно рассказано о различных видах разрушающих вибраций на самолете, включая бафтинг. Отдельная глава посвящена вопросам усталости и выносливости материалов при периодических нагрузках и конструктивным приемам, позволяющим понижать напряжения в местах их опасной концентрации.

Одним из простейших способов устранения флаттера органов управления (рулей, элеронов) является их весовая балансировка. Однако она ухудшает управляемость самолетом и утяжеляет конструкцию. Более удобным и эффективным оказывается применение гидравлических демпферов, гасящих колебания. Две работы М. В. Келдыша, опубликованные в изданиях ЦАГИ в 1944 г., посвящены теории демпферов. Вторая из них — «О демпферах с нелинейной характеристикой» была переиздана в 1958 г. в «Сборнике работ по колебаниям и динамической прочности авиационных конструкций». Приведен также обзор «Работы по уменьшению веса противофлаттерных приспособлений органов управления».

Раздел «Автоколебания самолетных конструкций» завершается известным мемуаром «Шимми переднего колеса трехколесного шасси», в котором рассмотрены автоколебания в системе «земля—катящийся упругий пневма- тик» и предложены меры для устранения шиммирования. Эти научные исследования в области теории и методов расчета автоколебаний самолетных конструкций были отмечены Государственной премией за 1945 г.

Одним из направлений работ М. В. Келдыша в конце 40-х — начале 50-х годов были вычислительные методы сверхзвуковой газовой динамики в связи с приложениями к задачам внешнего обтекания, течений в соплах и к нестационарным задачам движения сплошной среды (газообразной, жидкой или твердой) под воздействием взрыва. В задаче расчета действия взрыва в атмосфере он был научным руководителем работы и автором разностных методов. Итоговый отчет по этой теме был выпущен в 1955 г. и вскоре был издан отдельным томом «Трудов МИАН». В настоящем издании табличная часть этой монографии сокращена.

Сама разностная схема была предложена М. В. Келдышем в 1952 г. (отчет не сохранился). Позднее, в 1953—1954 гг., разрабатывались двумерные обобщения схемы Келдыша (см. том «Математика», статью «Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной»). В раздел включен также сохранившийся отчет М. В. Келдыша и Л. И. Седова «Об оценке действия взрыва на больших высотах», выполненный в 1950 г. Отдельные материалы по гиперзвуковой аэродинамике и теории реактивных двигателей вошли в том «Ракетная техника и космонавтика». К сожалению, идеи и разработки М. В. Келдыша 50—60-х годов, как правило, не мате-

риализовывались' в виде отчетов и статей. Даже будучи автором постановки задачи и соавтором метода ее решения, он ограничивался тем, что писал на отчете: «Утверждаю.— М. Келдыш». Поэтому собранные в этой книге материалы не в полной мере отражают все, что было сделано в области газовой динамики и связано с именем М. В. Келдыша.

В работе по подготовке настоящего тома «Избранных трудов» к печати участвовала группа сотрудников Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР и Центрального аэрогидродинамического института им. Н. Е. Жуковского. В процессе редактирования были устранены замеченные опечатки и очевидные описки, уточнены и стандартизованы библиографические ссылки. В тех случаях, когда в тексте упоминались чьи-либо работы без соответствующей ссылки, дается предположительная ссылка; все такие ссылки отмечены звездочкой. Звездочками же отмечены все редакционные примечания.

К. И. Бабенко,

Г. П. Сеигцев,

Н. Н. Ченцов

1

АЭРОГИДРОДИНАМИКА

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙС ПРИЛОЖЕНИЕМ К ТЕОРИИ КРЫЛА В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕСТРОГОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ВИНТА ЖУКОВСКОГО

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ КРЫЛА АЭРОПЛАНАВ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

К ТЕОРИИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ КРЫЛА

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД ФОРМУЛ РАУШЕРАНЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛИПЛАНОВЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ

ОБЩАЯ ЗАДАЧА О ЖЕСТКОМ УДАРЕ О ВОДУ

УДАР ПЛАСТИНКИ О ВОДУ, ИМЕЮЩУЮ КОНЕЧНУЮ ГЛУБИНУО ДВИЖЕНИИ КРЫЛА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИТЕОРИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

В КАНАЛЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

В ГИДРОДИНАМИКЕ И АЭРОДИНАМИКЕ

1

ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙС ПРИЛОЖЕНИЕМ К ТЕОРИИ КРЫЛА

В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ*

Совместно с Ф. И. Франклем

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При скоростях, приближающихся к скорости звука, начинает значительно сказываться влияние сжимаемости воздуха на подъемную силу крыла. При рассмотрении потоков сжимаемого газа существенно различаются два случая: когда скорости потока остаются всюду меньше скорости звука и когда встречаются сверхзвуковые скорости. Настоящая работа посвящена рассмотрению первого случая. Эта задача была впервые решена приближенным способом Прандтлем и Глауэртом Ч Они пришли к тому результату, что коэффициент силы пропорционален (1 — р)-1/2, где р = wla — отношение скорости потока к скорости звука вдали от крыла. Эта формула пригодна для тонких крыльев при малых углах атаки и дает хорошее согласие с опытом, однако вывод ее отличается недостаточной математической строгостью, и поэтому границы применимости неизвестны. В своей еще не опубликованной работе П. А. Вальтер 2 ставит себе задачу найти более точное приближение. Но и здесь оценка ошибки отсутствовала.

Ограничиваясь рассмотрением плоскопараллельного потока, мы даем строгую теорию явления для достаточно малых чисел р. В качестве приложения полученных результатов дается строгий вывод формулы Жуковского для подъемной силы в случае сжимаемого газа.

Эта формула выведена Глауэртом [2] и акад. С. А. Чаплыгиным в предположении, что составляющие скоростей потока в окрестности бесконечно удаленной точки разлагаются в ряд Лорана по расстоянию от начала координат. Однако возможность такого разложения до сих пор не установлена.

Уравнение для потенциала скоростей сжимаемого газа имеет вид

Г.и2k — 1г2 152Ф4uv52Ф

|_а*2к -f- 1a*2 Jда2(к-|- 1) а*2 дх ду

,Г,г2к — 1и2I52Ф п

+L 1а*2к 4- 1а*2Jду2—

где Ф — потенциал скорости, и = дФ/дж, у = дФ/ду — составляющие скорости соответственно по осям хну, а* — критическая скорость звука, к = cjc^ — отношение теплоемкостей (& = 1,4 для двухатомных газов).

* Изв. АН СССР, 1934, № 4, с. 561—601.

Задача нахождения потока, обтекающего крыло, сводится к решению этого уравнения при следующих условиях:

на контуре крыла дФ!Эп = 0;

lim u=w,lim п = 0;

Х1+У->ООХ2+1/2->ОО'

и и у всюду конечны.

Приведенное уравнение при скоростях, меньших скорости звука, имеет эллиптический тип.

Мы разберем несколько более общую задачу. Именно, задачу “Неймана для уравнения вида

Ам =(ж, у, и, р, q, г, s, Гр

где функция F удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, которые мы сформулируем ниже, ар — параметр. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые вспомогательные предложения из теории потенциала, которые мы докажем в первых параграфах.

Надо подчеркнуть, что доказательство сходимости решения проведено лишь для достаточно малых значений числа р, причем остается неизвестным, до каких пределов для р можно продолжить это решение.

Укажем здесь на работу Тейлора [4], который примененный здесь метод последовательных приближений для получения решения уравнения сжимаемого газа реализовал при помощи электрического аппарата. На основании его результатов можно предполагать, что последовательные приближения сходятся, если скорость нигде не превышает скорости звука. С другой стороны, одна экспериментальная работа Буземана [5] показывает, что при слишком больших скоростях, но еще не превышающих в бесконечности скорости звука не может существовать непрерывного потенциального потока. Скорость около тела переходит в сверхзвуковую, а затем позади тела скачкообразно возвращается в дозвуковую область. Наконец, в одной приближенной математической работе, основанной на вариационных методах, Браун [6] приходит к предположению, что существуют еще такие режимы, когда в некоторых точках около тела встречаются сверхзвуковые скорости, но поток сохраняет непрерывный и потенциальный характер. Есть основание предполагать, что при этом процесс последовательных приближений сходится. Для решения этого вопроса надо исследовать аналитическое продолжение нашего решения для растущих р.

В настоящей работе мы развиваем методы, примененные Л. Лихтенштейном [7] для решения внутренней задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений.

(2-1)(2-1)тогда

(2-1)

(2-1)

G (ж, у; £, if = In Ир) + £ (ж, У, L п),

где г = V (ж — £)2 + (у — ц)2, р = ]/П2 + if, a g (ж, у; £, if — регулярная в области (D) гармоническая функция от переменных £, ц, обращающаяся в нуль при р = оо и на контуре (С) удовлетворяющая условию 4

dg din г

dvОТ

и вытекающему из него условию

(2-2)(2-2)dG _й In р

(2-2)

(2-2)

dvdv "

Заметим, что последнее выражение не зависит от точки Р (ж, у). Нам потребуются следующие свойства функции Грина.

Псевдосимметрия функции Грина. Применим формулу Грина к функциям

Go (Л, Р') = G (Р,, Р') + In р, Go (Р2, Р1 = G (Р2, Р') + In р

по области, ограниченной кривой (С), окружностью Г с центром в начале и радиусом R и окружностями ух и у2 с центрами в точках Pv и Р2. Удаляя Г в бесконечность и стягивая Yi и у2 к их центрам, получаем Go (Р^ Р^) = = Go (Р2, Р^.

Полагая Рх = Р, Р2 = Р’, последнее равенство запишем в виде

G (Р, Р') + In р = G (Р', р) + In R, R = /ж2 + у\(2.3)

Интерпретация функции Грина. Из (2.3) следует, что при фиксированном Р' функция G (Р, Р') является гармонической функцией точки Р, причем

dGH'P’l _ dG^P^Py. й1пй , dn dn ' dn ( • /

на границе области. Значит, функция Грина, рассматриваемая как функция точки Р (ж, у), есть потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, с источником в точке Р (£, if мощности 2л, и обтекающей контур (67).

Поведение функции Грина в бесконечности. По определению, g (Р, Р') при фиксированном Р есть регулярная в бесконечности функция Р'. Из (2.3) следует симметрия этой функции

g (Р, Р'} = g (Р’, Р„ [ (2.5)

Следовательно, при фиксированном Р' g (Р, Р') — регулярная функция Р, откуда g (Р, Р’) есть действительная часть функции двух комплексных переменных Р, Р', регулярной в бесконечности по обеим переменным. Это при-

* Производную по нормали по переменным ^, р мы обозначаем dldv, а по переменным х, у через djdn.

водит к следующим неравенствам:

I J¥_ I I = ' I / А

| 8х [ ’ I ду I R^p 1

1^_1 |. эг?_I/261

I 5x2 | , | дж9у 9у1 | \ R3p »

Поведение функции Грина, вблизи границы области. Докажем, что

G (Р, Р'} = In (гг*/р2) + у (Р, И'),(2.7)

где г = РР', г* = Р*Р', Р* — инверсия точки Р относительно аналитической кривой (С), а у (Р, Р') — регулярная функция точек Р, Р', если точка Р находится в некоторой достаточно малой окрестности кривой5 (С), а Р' не выходит из области ЦУ).

Для того чтобы это усмотреть, заметим, что определенная нами функция Грина для случая внешности круга имеет вид

G (Р, Р') = In (fr*/p2),

где р = ОР', г' = РР', f* = Р*Р', а Р* — инверсия Р относительно окружности.

Отобразим конформно внешность круга на область (D) так, чтобы бесконечно удаленные точки соответствовали друг другу. Тогда G перейдет в G', причем

G' (Р, Р') = G (Р, Р') + ¥ (Р'),(2.8)

где ¥ (Р') — регулярная гармоническая функция в области ЦУ), обращающаяся в бесконечности в нуль. В самом деле, разность

G' (Р, Р') - G (Р, Р'),

рассматриваемая как функция Р', имеет на контуре нормальную производную, значения которой не зависят от положения Р. Кроме того, эта разность регулярна во всей области D и обращается в нуль при Р' = оо.

Со своей стороны,

In rr* = In Цт*Нг*) + In rr*.

Первое слагаемое есть регулярная функция Р и Р', если Р находится в достаточно малой окрестности контура (С).

Неоднозначная функция Грина. Пусть теперь область (Р) ограничена аналитической кривой с одной угловой точкой Ио. Нам придется пользоваться неоднозначной функцией Грина, которая определяется следующим образом: функция Грина Г (ж, у, £, т]), рассматриваемая как функция переменных ж, у, есть потенциал скоростей течения несжимаемой жидкости, имеющей источник в точке £, Г], с мощностью, равной 2л, обтекающей контур (С) со сходом струй в угловой точке А 0 и имеющей в бесконечности скорость, равную нулю.-

Кроме того, мы потребуем, чтобы Г (ж, у; £, т|) была бы гармонической функцией точки |, ц, обращающейся в нуль в бесконечности. Эта функция Г (ж, у; £, 1]) будет, вообще говоря, неоднозначной, ввиду того что поток будет иметь некоторую циркуляцию.

В случае когда кривая (С) есть окружность радиусом единица, мы построим такой поток со сходом струй в заданной точке Л0. Пусть Р — точка с координатами X, у, а Р* — ее инверсия. Помещая источник в точке Р' (^, ц) и используя обозначения рисунка, имеем

(2-9)(2-9)Г (ж, у; g, ц) = 1п-^-=—arctg —

(2-9)

(2-9)

Р2 Piх

Совершим теперь конформное отображение внешности круга на область

ф^ так, чтобы бесконечно удаленные точки соответствовали друг другу,

а угловая точка Ло соответствовала бы точке Ло. При этом преобразовании функция Г (X, у; 2, Г) перейдет в неоднозначную функцию Грина. Заметим, что всякая другая неоднозначная функция Грина, удовлетворяющая поставленным выше условиям, может отличаться от найденной только на гармоническую функцию переменных g, ц, регулярную во всей области ф) и обращающуюся в нуль в бесконечности. Если мы рассечем область ф^ купюрой, идущей от какой-нибудь точки контура (С) в бесконечность, то в полученной области функция Г (ж, у; £, ц) распадается на однозначные ветви, и одну из них мы выберем за главное значение.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯИЗ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

(3-1)(3-1)(3.2)(3.2)Рассмотрим в области ф) уравнение Пуассона Аф = 1г (ж, у),

(3-1)

(3-1)

(3.2)

(3.2)

правая часть которого удовлетворяет следующим условиям: | h (х, у) | < АОР"2,

1 1г (х21 у^ - И (ж1т у^ | < KR^ (d/R)\

где R = Цж2 + у-, d = Ц(жг — х9У + (уг — угУ,R9> Rx = R,

d<_ R, 0 <( A < 1, 0 < v < 1, a К — постоянная величина.

Мы будем сначала предполагать, что аналитическая кривая не имеет особых точек.

Теорема I. Всякое решение уравнения (3.1), удовлетворяющее на контуре области условию

д^!дп = 0(3-3)

и внутри области ф) неравенствам

(3.4)(3.4)Mx1y'A<LR\ 2^1 I^I^LHv-i,

(3.4)

(3.4)

2 Заказ № ЮГО

дается формулой

ф (ж, у)= -^- ^ G (ж, у, ^, р) h (5, ц) d^ dq + const.(3.5)

Константа, входящая в формулу (3.5), несущественна, так как имеющиеся уравнения определяют решение только с точностью до произвольной постоянной.

Для доказательства, как обычно, применим формулу Грина в области (S'), ограниченной кривой (С), окружностью Г, радиусом R с центром в начале координат и окружностью у вокруг точки Р. Тогда_

$ $ (фас — GN) ^ ^ч = $ (g — ф 4^) ^ + $ + $ •

DСГ "V

Если окружность Г уходит в бесконечность, то, так как ф удовлетворяет условиям (3.4) и

\G\<MR"1,

I I[ on I’

| | < 2M J R^2 ds = ^MLR''"10.

г г

Кроме того, если у стягивается к Р, то

5■ 2лф (ж, у)

и

СdG \ ,dG , С Ипр ,.

\ Сг-Чф-т—\ds =— \ ф——ds— \ ф——х_ ds = const,

J ovт ov /J т dvJ T dv

(C)'(C)(U)

55 (САф — фАС) d^ dq = ^G^x, уД, хфгф q)d^dq.

Следовательно, в пределе получаем формулу (3.5). Заметим, что полученный двойной интеграл сходится, так как подынтегральное выражение в окрестности бесконечно удаленной точки удовлетворяет условию

| Gh | < MKR-^ (0 < v < 1).'

Теорема II. Функция ф (ж, у), определяемая равенством (3.5), непрерывная вместе со своими производными до второго порядка включительно, удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.1), краевому условию (3.3) и системе следующих неравенств".

IW -,...<AKK-4»X,d<R,(3-6)

где А — константа, зависящая только от формы области ф), и в последних неравенствах R — наименьшее из чисел Rx, R2, a d ~ Рф\ <Д 7?.

Во-первых, укажем, что интеграл (3.5) сходится и законно дифференцирование под знаком интеграла. Как обычно,

= С С

дх 2л JJ дх ””

(У)

(3.7)

дх* ~ 2л j J дх^ ^ ^ ^ + 2^-

Отсюда непосредственно следует, что ф удовлетворяет уравнению (3.1).

Начнем с доказательства последних неравенств (3.6) Нам придется рассмотреть три случая. Пусть, во-первых, точки PY, Рг находятся в достаточно малой окрестности кривой (С), в которой выполняется формула (2.7).

Рассмотрим производную д2ф/дж2. Так как h (ж, у) удовлетворяет неравенству (3.2), нам надо доказать, что интеграл

W(D)(У)(Д)

удовлетворяет последнему из неравенств (3.6).

Прежде всего покажем, что первый интеграл удовлетворяет этому условию. Когда Р находится вблизи контура и Р' пробегает всю область (D), у ф, Р') регулярна, а когда точка Р удаляется в бесконечности,— обращается в нуль; поэтому

I д^ IАI дх- ду |рI д^ IАI дх- ду |р

I д^ IА

I дх- ду |р

I д^ IА

I дх- ду |р

Следовательно, если точки PY и Р2 находятся в окрестности кривой (С), в которой выполняется (2.7), то7

ijjvLs^Jiь 1 jj p o-v

(О)(P)

< 4nAKd J -^ = T^x Kd < AKd4

Перейдем к оценке второго члена. Пусть (5J — внешность круга достаточно большого радиуса R» и Вг — дополнение к фУ) Д° области фУ Разобьем второй интеграл на два слагаемых:

Первый интеграл оценивается так же, как и выше, так как в области ф^

d2 In г 12АД

дхг 1р3

Х Для того чтобы не писать множества индексов, мы все константы, зависящие только от формы области и чисел X и v, будем обозначать просто буквой А.

Что же касается второго слагаемого, то к нему мы можем применить теорему Корна8 [10], из которой непосредственно следует, что он меньше AKdK

Рассмотрим теперь третье слагаемое. Имеем

5Чп т*да25Чп т*да22 In г* / да* \2 , Q d2 In г* да* ду* д In г* / ду* \2 . да*1 \ да )2 да* ду* да ду ду*2 \ да ) "г"

5Чп т*да2

5Чп т*да2

д In г* д2а* д In г* д2у*

da да2 "^ ду да2 "

Следовательно, для оценки интеграла надо рассмотреть каждый из членов этой суммы. Рассмотрим, например, первый член суммы'

(О)(О)да* V d1In т* да /О а*1да* V d1In т* да /О а*1(D)(D)дУ2дУ2.*— hd^ dr]..*— hd^ dr].(Щ(Щ52 In г* 12—: h dt an +да1 А ~1 152 In г* 12—: h dt an +да1 А ~1 1

(О)

(О)

да* V d1In т* да /О а*1

да* V d1In т* да /О а*1

(D)

(D)

дУ2

дУ2

.*

— hd^ dr].

.*

— hd^ dr].

(Щ

(Щ

52 In г* 12

—: h dt an +

да1 А ~1 1

52 In г* 12

—: h dt an +

да1 А ~1 1

Первое слагаемое оценивается так же, как предыдущий интеграл, что же касается второго, то

и, как будет показано ниже,

(О)

Следовательно, второй член не превосходит AKS-.

Если теперч точки Рх, Р^ лежат вне упомянутой выше окрестности контура (С), но внутри круга конечного радиуса Ro все рассуждения повторяются с тем упрощением, что член In г* будет входить в регулярную часть.

Теперь оценим интеграл в случае, когда точки РХ1 Р2 расположены вне круга радиуса ROl настолько большого, что вся кривая (С) расположена внутри круга радиуса R^/2. Пусть Рх и Р2 — две такие точки и пусть R — расстояние до ближайшей из них от начала координат. Имеем

(Jp(D)

=4? S S ["S ]i W4+4- <.

(D)

Третье слагаемое, очевидно, удовлетворяет неравенству т/2 | h2 - hr | < AKR^ (d/R)\

8 Теорема формулируется следующим образом: если в некоторой конечной области распределена масса с повераностной плотностью р (ж, у), удовлетворяющей неравенству

Оценим второй интеграл. Используя последнее из неравенств (2.6) и (3.2), находим, что второй интеграл не превосходит

Г С* Ad К _ л . , „ a

2Л И Д1Р pZV ^^\^ Д4 -

(D)'

и, так как d О R, правая часть неравенства меньше AKR^ (d,1 RA- Чтобы рассмотреть интеграл

1 СП J(4nr 2л J J L ож"

(D)

разобьем область ф) на четыре части. Для этого проведем из начала координат круг радиуса R/2 и обозначим пересечение нашей области с этим кругом через ф), круг с центром в середине отрезка РгРги радиуса d обозначим через (5), внутренность круга с центром в той же точке и радиуса 2/?, за вычетом (()) и (5), обозначим через (71), а внешность этого круга — через (ф. Тогда

(О)(О)d2 In г дх2d2 In г дх2Мы будем отдельно оценивать каждое слагаемое:Мы будем отдельно оценивать каждое слагаемое:(S)(Г)(О)

(О)

(О)

d2 In г дх2

d2 In г дх2

Мы будем отдельно оценивать каждое слагаемое:

Мы будем отдельно оценивать каждое слагаемое:

14-^^ <й]' < ^ 4Y. 44 ^ ^Ц = АК Ц- < AKR^ (4У.

I 2л ^2 Ji "' ,),) P3 o2V^3-v\ R

(v)(U)'

Более сложно оценивается интеграл по области (ТУ

I 1 С С Г 52 111 г Л- Л 1/17 11 С С Г 92111 г I2 ле л I ,

I 2л j j L 9x1 J1I I J J L 9ж2 1 I

(Т)(Г)

-t-IY[h^r;('‘-A«)'iw'iL

(Т)

Поскольку интеграл от [d2 In г/дж211, распространенный по всякому кругу с центром в середине отрезка Рфг, обращается в нуль, то

2Л R/2

|/г°|1$П^1]1^(/т11=|/го|1$ [-т-]1^^|<

(T)0 о

2Л Н/2

R^ J J Р ^Р ^Ф АК ^з v <2 АКК y-g-j .

о о

Остается оценить интеграл

Перейдем, наконец, к оценке интеграла по области (5):

55- 5 5 НП и- ^ « ^+М 5»1+

(8)(8)(8)

(S)

Нетрудно убедиться, что второе и четвертое слагаемые обращаются в нуль, что же касается двух других интегралов, то они оцениваются следующим образом:

15 5 [^ Vй - й^И < 5 5 т. ~<

(8)(8)

/ С С ^ Г1 r dr dm <2 ^^ С/ Л К Пх~~ < ^ V

1О

Сопоставляя все полученные неравенства, находим

<AKR^^\ .<AKR^^\ .

<AKR^^\ .

<AKR^^\ .

Совершенно аналогично доказываются неравенства для разности двух других вторых производных.

Переходя к оценке самих вторых производных, заметим, что требующиеся неравенства достаточно доказать только при R Д> Ro, так как, имея неравенства только при R Д> Ro и пользуясь полученной оценкой для разности вторых производных, очевидно получаем неравенства для всей области фу.

Доказательство этих неравенств аналогично проведенному:

—г = -я— \ \ —т-7— аь йч -г -о— \ \ h d^ d4 + -к— h (х, у).

ох- 2л ) ) Эх12л 1J 5ж2” 2л '

(О)(О)

Каждое слагаемое снова оцениваем отдельно. Поскольку по (3.2) I 14^ I ^ 1liKR'!~i, пользуясь неравенством (2.6) для вторых производных, получаем

bd^d4\<y -тс- \ \ -нот-x Р dy dm AKRX'"^.

I 2л ,),) dx2 5 I 2л J J 7?3p 02-v\

(D)(D)p

Для оценки первого интеграла и в этом случае разобьем область интегрирования на части, а именно

(D)(Q)(T4-S)(Щ

Интегралы, стоящие в правой части, оцениваются следующим образом:

I тг S 5 -4^. '= * Дч | < 4г ^ 4т р * + < akr" (Q)(Q) Р

1 1 С С 521п Г 7 ДИ л I / 1 С С А К Л Л /

55 УУhd^Л|=ha 55 УУ 5$ 'УУ

(T+S)(TAS)(T+S)

где 7i0 = К (P). Интеграл от д21пг/дж2 по кругу с центром в точке Р обращается в нуль, следовательно,

2Л R/2

, , , I С С d2 hi т-I 7 i I С С ^2 In г л л \ /

I I | ) ) —"45" “S «Л | = I «о | |• -д^- р dp dф|<

(f+S)О О

2Л В/2

<№"2^ \A_^d^<AKR^\ о о

Остается еще рассмотреть интеграл

I С С дАтхт И , . _ , I С С 1 „ / R \v-2 / 2r V л

I"4^К\2") \в~1 rdrde<AKR .

(f+S)(f+S)'

Точно так же доказываются неравенства для д2ф/дж2 и 82^>1дтЭу.

Рассмотрим, наконец, первые производные. В этом случае снова доста точно доказать неравенства для R > Ro. Имеем

-^=4г ^^-^dii=4r ^■^У_и^11+'^г^^г hd^d^-(D)(O)(D)

По (2.6) [ dgldx | <C Л/?’^”1, следовательно,

I 2л J,) дх B

(D)

Первый же интеграл, как и в случае вторых производных, для оценки разбиваем на три:

ф) (Q) ф) (T+S)

15 "^-"^^^^^^TT^^rP^^^AKR''

d (Q)(Q) Р

I 5 5 5 У й ^ drl I < 5 5 У Р dp d<p < AKR'1"1,

|_^Lhd^d4\< 55 J-K^prdrd^AKR^,

(f+S)(f+S)

откуда следует требуемая оценка. Аналогично получим оценку для d^ldy.

Неравенство для ф получаем непосредственно из формулы

(х, у')

3\ дхду ау)-

у,)_

Таким образом, мы доказали, что ф (ж, у) удовлетворяет уравнению (3.1) и неравенствам (3.6). Остается доказать, что она удовлетворяет условию (3.3). Для этого разобьем область (Z)) на три части; из начала координат опишем окружность такого радиуса Ro, чтобы она охватывала контур (С), а из точки М контура (С) опишем окружность радиуса d. Пересечение ограниченного ею круга с областью (Д) назовем (0, внешность первой окружности радиуса Ro — (Т), остальную часть — (U). Пусть точка Р приближается к М. Имеем

(D)(0)(T)(И)

| ^ 21А ^1] к ^ А К^р dp ^ф < АКНГ, mст')

^ -^к^11^ ^к7’^1! + ^-^J hd^di\ + ^ уй^Др.

(Q)№(Q)W)

Полученные интегралы оцениваются следующим образом:

|$ ^h d^, dv\ | < AKd1,

(Q)

I "ЧУ"h ^^ I K 4"r dr i4лм

(Q)b b

” ss^'-^

(Q)

оценивается аналогично и не превосходит AKd. В области (£7) производная dGtdn равномерно стремится к нулю, когда точка Р приближается к М. Следовательно,

Так как R6 может быть взято сколь угодно большим, a d — сколь угодно малым, условие (3.3) выполняется.

Теорема III. Пусть h (ж, у) непрерывна, вместе со своими производными до второго порядка включительно,

1| дх | I ду |’

I d4i I ( д-1г I I d^h I , Т, | ох1 | I дх ду | I дуД |

(^<Я)

и Ф (ж, у} — функция, заданная формулой (3.5). Тогда ср (ж, у) удовлетворяет неравенствам

] Ф [ < ЛЛ57?\] Ф [ < ЛЛ57?\< AKR^\< AKR^\

] Ф [ < ЛЛ57?\

] Ф [ < ЛЛ57?\

< AKR^\

< AKR^\

1-4^1, ...<AKR'j'" | дх^ II дх4 | ’ 1 ' • <-1-4^1, ...<AKR'j'" | дх^ II дх4 | ’ 1 ' • <-(3.9)(3.9)I / AKh^\

1-4^1, ...<AKR'j'" | дх^ I

I дх4 | ’ 1 ' • <-

1-4^1, ...<AKR'j'" | дх^ I

I дх4 | ’ 1 ' • <-

(3.9)

(3.9)

| dx5 |’

| Ox4 J i I\ i )

при d ^ R.

Совершенно аналогично можно сформулировать теорему в случае, когда h имеет п производных. Мы остановились на случае п = 2, так как он нам будет нужен для приложений.•

Для доказательства придется несколько видоизменить ход рассуждений, использованный в доказательстве теоремы II и отвечающей случаю и = 0. Мы укажем на эти изменения. Пусть надо доказать неравенства (3.9) для разностей четвертых производных, где

Эх4 2л дх1 J J1

(П)

Докажем сначала неравенство для случая, когда Ръ Р2 находятся вне круга радиуса Ro. Подставим в интеграл выражение G в виде суммы (2.1) и разобьем его на сумму трех интегралов. Слагаемое g (х, у; £, р) оценивается аналогично предыдущему. Поэтому мы рассмотрим только слагаемое, производимое In г, так как третье слагаемое аннулируется. Пользуясь тем же разбиением, как и в доказательстве теоремы II, имеем

(Q)(О)

Два первых интеграла оцениваются так же, как и раньше, что же касается третьего интеграла, то, обозначая через (L) границу области (Т + 5), имеем после интегрирования по частям

б^ SS 1пгЫ^р=+ ^ 6-^-hd4- ^ ^SS-Rr^r (S+D(L)(L)

, С С $ 52 In г 82h _ , , о 82h

-Г \ \ о ис, ап + по —г .

J J Ox1 8V ' дх2

(148)

Интеграл по области (8 + Т) оценивается, как и раньше, разбиением его по областям (5) и (Т). Для линейных интеграловИнтеграл по области (8 + Т) оценивается, как и раньше, разбиением его по областям (5) и (Т). Для линейных интегралов

Интеграл по области (8 + Т) оценивается, как и раньше, разбиением его по областям (5) и (Т). Для линейных интегралов

Интеграл по области (8 + Т) оценивается, как и раньше, разбиением его по областям (5) и (Т). Для линейных интегралов

С помощью такого же преобразования доказываются остальные неравенства (3.9), когда точка Р находится вне некоторого круга радиуса Ro.

Сделаем теперь оценки для случая, когда точки Рг и Р» находятся в некоторой достаточно малой окрестности контура, в которой функция Грина -G представима формулой (2.7). Тогда

G = hi (гг*/р2) + у = In г + In г* — 2 In р + у.

Подставим последнее выражение в интеграл вместо G. Как и раньше, нетривиальна лишь оценка слагаемого, содержащего In г. Совершив конформное отображение нашей области, мы всегда можем свести задачу к случаю, когда точки Рг и Р2 находятся вблизи прямолинейного участка контура (С). Пред- лоложим, что этот прямолинейный участок контура (С) принят за ось х. Рассмотрим интеграл

-^- ^ Inrd^d-q.

Для его оценки разобьем область на три части. Именно, из точки, лежащей на середине отрезка Рф\, проведем две окружности радиуса d <4 1 и радиуса Ro, где Ro — некоторое фиксированное число. Пересечение первого круга с областью (Z>) назовем (5), пересечения кольца между двумя построенными концентрическими окружностями с областью ф) обозначим через (7) и остальную часть ф^ — через (77). Тогда

Hpr \ V'u-hd^Y\=^^^ lnrhd^di\.

Ф(17)(S+T)

Оценка первого члена получается так:

| ^ 6 ^” г /г c?g <7т| | < ^ A-Kp^pdpd^ <AKd,

и так как в разбираемом случае аф 1. dx Д- d, рассматриваемый интеграл не превосходит АКР-.

Второе слагаемое преобразуем двойным интегрированием по частям. Обозначая через (L) границу (S + Т), имеем

о д4 (' с 1 i дС я З3 In г , ,С о З2 In г dh ,

о \ \ 1П ™ ас ап = — \ о ——^— h ап — \ о —-=-f- ат] -Д

(S+T)(L)(Ы

, ft* , ЗЧпг д-Н„ д-Н

+ П 6^-^2^^ + я6^г-

(T+S)

Так как части линейных интегралов, распространенные на ось х, исчезают, непосредственно выводим, что линейные интегралы не превосходят AKd-ф <АКАР

Оценим поверхностный интеграл:

,) ,) Зж2 372 “ 1 L Зж2 J1 J,) Зж2 1

(T+S)(T4-S)

С о З2 In г Г д-Н д-h q , — \\ о—— TFT- а§ат].

Зж28хйд^- 1

(T+S)L 1J

Первый интеграл снова частным интегрированием преобразуем в линейный и также убедимся, что его величина не превосходит Ad. Часть второго

интеграла, приходящаяся на область (71), оценивается так же, как и выше.

Следовательно, остается еще рассмотреть интеграл по области (5):

Оценка первых двух членов производится так же, как и выше. Для оценки третьего члена мы преобразуем поверхностный интеграл в линейный:

^ йц =^ йц =5% дх25% дх2д 1п г9X2^Л1д 1п г9X2^Л1

^ йц =

^ йц =

5% дх2

5% дх2

д 1п г

9X2^Л1

д 1п г

9X2^Л1

Первый множитель не превосходит KdK Что же касается второго, то, так как часть линейного интеграла, распространенная по оси ж, исчезает,

2Л

9 In т 7 I / I 9 In г I 7 7 / о

—2i\7 ^Л.

vl^2j ] с) I v^-2 I

О

Теорема IV. Предположим, что функция h (за, у), определенная в области ф\ вне некоторой окрестности одной из точек Ло контура' удовлетворяет неравенствам (3.2) и внутри этой окрестности — неравенствам

(3.10)(3.10)I h । < kre, I Ai - а2 I < к№ (amy,

(3.10)

(3.10)

где R — расстояние от Ло до ближайшей из точек Ръ Р2, а расстояние d<^R, и пусть Г (х, у; £, ц) — такая функция Грина, что соответствующий ей поток имеет сход струй в точке Л 0. Жри этих условиях

(?=4г^Т^’ у; -’ ^ h ^’ '^^ ^^^•11^

У)

удовлетворяет вне окрестности точки Ло условиям (3.6), а внутри окрестности точки Л 0

и при d ф Rи при d ф R

и при d ф R

и при d ф R

(3.13)(3.13)причем в самой точке Ло дд> _ дф __ g

(3.13)

(3.13)

Эх ду

Неравенства (3.6) доказываются так же, как и в случае теоремы I. Остается только доказать, что выполняются неравенства (3.12). При доказательстве мы можем предположить подобно тому, как это делалось выше, что участок линии (С), содержащий точку Ло, прямолинеен.

Мы докажем неравенства относительно разностей вторых производных. В окрестности точки Ло функцию Грина можно представить в виде

Т (х, у; Ё, ц) = In (rr*/p2) + Т (х, у; £, ц).

Оценим слагаемое интеграла (31.1), происходящее от члена In г. Для этого разобьем область (Z)) на пять частей: (()) — пересечение круга радиуса Д/2 с центром в точке Ло и области (D); (5) — пересечение с областью (Z>) круга радиуса d с центром Ро в середине отрезка Р1/)2; (71) —пересечение кольца, заключенного между окружностями радиуса d и /?/2 с центром Ро, и области (D) (мы будем предполагать d < Д/2); (£7) — часть области фУ лежащая вне окружности, описанной из точки Ло некоторым фиксированным радиусом 7?0, и, наконец, (V) — оставшаяся часть области ф\ При этом разбиении получим

S^b,wl1^{ss+ss+ss+ss+ss}-

(И)(Щ (У)(Q)(Т)(8)

(6 показывает, что взята разность соответствующих выражений в точках Pv и Рф Переходим к оценке полученных пяти интегралов:

^^ J J I J J 6ж1 J J Р° p2"v

(ЮОТ)от м

5^2 J J J J 8жl A \I \J r2-e

(V)(V)(V)

< A dKR-^ < А К фН^,

ОТ (Q)(Q)

Последние два интеграла мы преобразуем и затем один из полученных интегралов проинтегрируем по частям. Обозначая через (Л) границу области (Т + 5), получим

я 52 СМ о, , С я 521иJ о -уч- \ \= лоп + \ \ и , hd^dx) =

(T+S)(2’-rS)

= л6/г-(-— Ai 6 5r dn.

1 J J дя1 х। х \ дх ।

(2+8).(L)

Оценим линейный интеграл:

Ц.1 ( 6^а-(1<к^т\^?-М»<4К-^Г<Ак1ху.

Ото

Оценка двойного интеграла проводится так же, как и подобная оценка в теореме 11.

Член, обусловленный слагаемым In г*, сводится к выражению, разобранному приемом, употребленным в_теореме II.

Рассмотрим теперь функцию Т {х, у; g, ij). Эта функция по (2.9) может быть приведена к виду

т (ж, у; L п) + Ф (ж> у) 7. (£• я),

где гр (ж, у) — регулярная функция ж, у в окрестности контура (С^). Следовательно, член, обусловленный Т (ж, у; £, т|), имеет вид

6-^ [^ ^kd^a^ + ^(ччД\ Х^^^1] •

Что касается второго слагаемого, то оно оценивается непосредственно, а оценка первого дана при доказательстве теоремы I. Принимая это во внимание, мы получаем неравенства для разностей вторых производных. Остальные неравенства (3.12) получаются аналогичными выкладками.

Равенства (3.13) следуют из того, что производные функции Т (ж, у; с, г]) по ж и у при фиксированных 5 и ц стремятся к нулю, когда точка ж, у приближается к точке М контура, причем это стремление равномерно, если точка £, ц находится внутри круга фиксированного радиуса и вне окрестности точки Ло.

Комбинируя метод доказательства теорем III и IV, нетрудно доказать еще следующую теорему.

Теорема V. Пусть h удовлетворяет в окрестности, точки Ло неравенствам

Oh I дх | ’I 52/1Oh I дх | ’I 52/1KR^1KR^1KRe"\KRe"\с кгг-с кгг-(3.14)(3.14)

Oh I дх | ’

I 52/1

Oh I дх | ’

I 52/1

KR^1

KR^1

KRe"\

KRe"\

с кгг-

с кгг-

(3.14)

(3.14)

где d <^ R, а вне окрестности точки Ло — неравенствам (3.8); тогда функция ф (ж, у), определенная равенством (3.11), удовлетворяет в окрестности точки Ао системе неравенств

(ЗЛ5)(ЗЛ5)

(ЗЛ5)

(ЗЛ5)

- < AKR ох1 Оу \

где d <R, и вне окрестности точки Ло — неравенствам (3.9).

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССАНЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Изложенные в предыдущих разделах результаты мы приложим к доказательству существования решения внешней задачи Неймана для уравнений вида

Ам = р,Е (ж, у, и, р, q, г, s, 1), (4.1) где у — параметр, a F — функция, удовлетворяющая при всяком V, 0 <ф v О <ф 1, следующим условиям ограниченности и гельдеровости. Существует

константа К (у, С) = К, такая, что".

1°. I F (ж, у, и, р, q, г, s, t) | С КЮ--, (4.2) когда (ж, у) ЕЕ D, ж2 + у2 = R2, а остальные аргументы функции F лежат в пределах

| и | < CR^, | р |, | q | < CR^, | г I, I s I, | i | < CR^2;(4.3)

2°. | F (жх, уг, ult pt, qi, тд, sx, R) — F (x2, y2, u2, p2, q2, r2, s2, t2) | <

/ i7 Г dV-2 / 4 V | u2 — Ui || p2 — pi | + | q2 — 91 |

m ++R +

+ рд — Гх [ 4-1S2 — Sx ] p2 — H|l,(4.4)

где Ri = жх + у,, R^ = x2 + y\, R = min {Rb R^, d2 = (ж2 — Жх)2 + (у2—y^ < JF, тогда для каждой пары (жг, у^ ЕЕ D остальные аргументы иг, . . ,,tt удовлетворяют неравенствам (4.3) с R = Rp,

3°. |[F (ж2, у2, и2, р2, q2, i\, s2, t2) — F (ж2, у2, и2, р,, q2, r2, s2, ^2)] —

— [F (жх, ух, щ, р^ q'i, /д, Sx, И) — F (жд, уъ Ui, pi, qx, /д, Si, k) |] <

/ Т7 Г Cl nV-й / d I I O)2 — to 1 j , [ Я-2 — л I I + | Z2 — Xl I .

R + R1 4-R+

+ | P2 —Pi I + |o2 — Cl I + |T2 — Tx IJ ,(4.5)

где R и d определены в условии 2°, когда (ж1; у^, (ж2, z/2) ЕЕ D и аргументы и, р, q, г, s, t каждой из четырех точек

(жх, yi, и[, Pi, qi, i"i, $i, ti), (жх, yi, Ui, plt qL, rt, sx, tt),

(x2, y2, u2, p',, q'i, r'i, s2, R),(x2, y2, u2, p',, q'i, r'i, s2, R),(x2, y2, u2, pi, q2, r2, s2, t2)(x2, y2, u2, pi, q2, r2, s2, t2)

(x2, y2, u2, p',, q'i, r'i, s2, R),

(x2, y2, u2, p',, q'i, r'i, s2, R),

(x2, y2, u2, pi, q2, r2, s2, t2)

(x2, y2, u2, pi, q2, r2, s2, t2)

удовлетворяют неравенствам (4.3) условия 1° c R = Ri, а разности этих аргументов со = и' — и, л = р' — р, х = q — q, р = г' — г, о = s' — —s, т = t' — t и для первой и второй пары удовлетворяют неравенствам с R = Ri

] CD I < Q7?V; | л I, |z|<Q^-i; Ip], I 7 I, | т | < QR^2 (4.6)

При этих условиях докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть (С) — замкнутая аналитическая кривая без особых точек и ф) — внешняя часть плоскости, ограниченная этой кривой. Для всех достаточно малых значений параметра ц уравнение (4.1) имеет единственное решение ф, определенное в области D, удовлетворяющее на контуре области условию

д<р!дп = 0, (4.7)

а внутри ее неравенствам

|<р|<ся'

(4.8)(4.8)|^|.ш<сди

(4.8)

(4.8)

| дж3 I’ | ду1 | дхду |’

ir^Ll2! I Г д2ф PI I I -^Ll2| /Гrv-2(— V I L 5ж3 Др j L Эх dy J г] ’ | L 9j- х|\ R )

где v и X — два числа, удовлетворяющие неравенствам

О < v < 1, О < X < 1.

Для доказательства существования решения применим метод последовательных приближений

Фо (ж, У) = О,

Фп (ж, у) = -^ ^ G (ж, y; £, т]) F^ (£, р) d^ dp,

где через Fn-T (£, р) обозначена функция, получающаяся после подстановки фп-i в F.

Докажем прежде всего, что при достаточно малых значениях параметра р и при любом п приближения ф„ (ж, у) удовлетворяют неравенствам (4.8) и краевому условию (4.7). Пусть ф^ (ж, у') удовлетворяет условиям (4.8). На основании условий 1° и 2° получаем

| F^ (ж, у) | < KR^,

и при d <_ R

| F^ (ж„ уУ - Р^г (ж2, у^ | < KR^ (d/R^ (QC 4- 1).

Из теоремы II предыдущего раздела непосредственно следует, что- Фп(ж, У) удовлетворяет условиям (4.8) с новой константой] ц| АК (6С + 1)^ где А зависит от формы области ф^ и показателей v иХ Если

I1 дк (6Ср- 1) ’'

то приходим к неравенствам (4.8) с той же константой С.

Докажем теперь, что последовательность функций ф„ (ж, у) равномерно- сходится. Предположим, что разность

^?г-1 ~ фп-1Ф?г—2

удовлетворяет условиям (4.6) с константой Qn-i- Положим Ф„ = Fn — Fn_VT тогда из условия 2° следует

I (Т) I / К Г । Ш?гН । I ।1 । И'1"11 I о 1 I I 4 111

Комбинируя это с неравенствами для con-i и ее производных, получаем

| Ф„_! | < 6 К^-ф^.

Обозначим Фп-1, i = Фп-i Си, УФ Тогда но неравенству (4.5), которое- согласно сделанному выше предположению выполняется при d < R для функции (On-! и ее производных с константой Qn-i, находим

I Фп-1,1 — Фп-1,21 < tiKQ^R-^ (d[R^.

Из полученных для Фп-1 неравенств, опять-таки при помощи теоремы II предыдущего раздела, следует, что

удовлетворяет условиям (4.6) с новой константой

Q„ = 13 АК | ц | Й^р

Если теперь

| р | < а/13Л^..

где а — произвольное число, меньшее единицы, то

й?г 01йп.-р

Отсюда непосредственно следует, что последовательные приближения фп (ж, У) равномерно сходятся, так же как и их производные двух первых порядков. Пусть

ф(ж,у)=1пн фп(ж, г,).

Производные функции ф„ (ж, у) вследствие их равномерной сходимости сходятся к производным от функции ф (ж, у), и, следовательно, последние удовлетворяют неравенствам (4.8) и краевому условию (4.7). Из равномерной •сходимости также непосредственно следует, что ф (ж, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.1).

Докажем деперь, что ни при каких X и v, при достаточно малых | ц ] не ■существует второго решения, удовлетворяющего условиям (4.8). Не теряя общности, мы можем предположить, что показатели X и v для обоих решений ф и ф совпадают.

Пусть Ф = Еф — F^, тогда имеет место соотношение

Ф — ф = -^- ^‘ СФ <7ё <71]. ‘ (3)

Если функция удовлетворяла неравенствам (4.8) с некоторой константой -С', то, воспользовавшись условиями 2° и 3° и применив к последнему соотношению теорему II предыдущего раздела, получим для ф — ф неравенства (4.8) с новой константой 13ЛХ< | ц |. Если

I ц | < а/13 АКС',

где а < 1, то новая константа не превосходит аС. Продолжая повторять ото рассуждение, получим

| ф — ф | < аГС',

откуда следует ф = ф. Таким образом, единственность решения доказана.

Если F есть аналитическая функция и, р, q, г, s, t, то решение будет аналитической функцией ц. Во-первых, очевидно, что всякое приближение есть в этом случае аналитическая функция ц, кроме того, последовательность фп (ж, у, ц) сходится равномерно, при | ц | < Цо, отсюда немедленно вытекает правильность нашего утверждения.

На основании этого решение задачи может быть получено подстановкой в уравнение ряда

Ф = Фо + ИФ(1) + • • • + ^Ф^0 + • ■ •(4.9)

Сравнив коэффициенты в обеих частях уравнения при одинаковых степенях ц, мы получим рекуррентные уравнения для определения коэффициентов ряда (4.9)

Дф(п) = №Х

Здесь Н№ — выражение, зависящее от и — 1 первых коэффициентов фМ ряда (4.9). Функция ф(п) определится формулой

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РЕШЕНИЯ

Предположим теперь, что F (х, у, и, р, q, г, s, t) есть аналитическая функция всех своих аргументов, когда значения х и у пробегают область (D), а остальные аргументы удовлетворяют неравенствам (4.6). При некоторых добавочных ограничениях, наложенных на правую часть уравнения (4.1), можно доказать, что при достаточно малых значениях параметра ц решение внешней задачи Неймана будет аналитической функцией х и у. Для доказательства воспользуемся следующей теоремой Леви (см. [11]):

Пусть дано уравнение эллиптического типа

Т (ж, у, и, р, q, г, s, t) = 0,(5-1)

левая часть которого — аналитическая функция всех своих аргументов. Всякое решение уравнения (5.1), имеющее в окрестности точки (ж0, z/0) непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, есть аналитическая функция переменных (ж, г/) в окрестности точки (ж0, у o').

Для удобства введем в этом разделе единообразные обозначения производных от и: будем обозначать их буквой р с индексами, причем число единиц будет указывать порядок дифференцирования по х, а число двоек — порядок дифференцирования по у, например р12 = д^и!дхду. Аналогично условимся обозначать полные производные функции F по х и по у, например

дР , 8F , 8F , 8F , 8F . 8F , 8F + "ЛИ Р1 +Р11 + Pli + Рт + Рт + 5^7 Р1221

Очевидно, с ростом порядка полной производной растет и количество ее формальных аргументов.

Мы наложим здесь на функцию F (х, у, и, pv рг, р1г, р12, рг^) в правой части уравнения (4.1) следующие ограничения: существует константа К = = К (v, С), такая, что;

F. \F\<KR',"\ I F^ I, I F*p I < KRV"8,

l 1 I I 2 I \(5.2)

з Заказ № 1090

когда (ж, у) ЕЕ D. ж2 + у2 = R2, а остальные аргументы функций F®,..., F® лежат в пределах

| и | < CR'1, I рг |, | р2 | < CR^1,| ри |, | рИ |, | рм | < СРЕ 2,

I Pin L I Рш I,- • • < CR'5 3,| р1Ш |, | Рта ],...< CR'1 4;(5.3)

2°. | F^ (ж№, yto, uto, р^, ..р^ - F^ (ж®, у®, uto, Й\ ..р^ | <

/ Г Rv-4; 4 Y' I м&) — “(2) I i' 4 n(l) л/21 11

1 №222P2222IJ

'(5.4)

для каждой полной второй производной и любых двух групп аргументов Ж®, yW, U®, Р1\ . . Р2222 И Ж®, у®, и®, р®, . . Р2222’ ГДе (Ж<<)’ У^ Е D, (ж(^)2 + ^yto^ — R2^, i= 1, 2, 7? = min{7?i, /?2}, d<E^R, и остальные аргументы и®, pYY ■.., Р2222 удовлетворяют наравенствам (5.3) с R = RV

3°. | [^ (ж®, у®, и®, р?,..., р^ - F^ (ж®, у®, ,7®, р®, ..., р^ -

- VW^ У®. и®, р^, ..., р^ - F^ (ж®, yto, uto, pto,. .., р®2] I <

Г / , , ,,, I „(2) _(1) I-1

\ II "д' ) 4дН1да4 ■ • • T | Л2222 Л2222 I \D-D)

для каждой полной второй производной и для любых таких четырех наборов аргументов,.

(ж®, yto, uto, pto, . . ., pto^,(ж(1), yto, uto, pto, . . ., pto^,

(ж®, yto, uto, pto, . . ., pto^,(ж(2), у®, uto, pto, . . pto^

c ^to, 1/(4) £= D, (жО))2 jirilyto^= R2, i = 1, 2, таких, что остальные аргументы этих точек удовлетворяют неравенствам (5.3) с R = Rt, а разности этих аргументов ®/’>^= й® — u(i), л)г) = р^ — р^, . . ., Л2222 = Pim — Pim Удовлетворяют неравенствам

| со | < QRV, | лг | < Q7?v-i, . . .,| л22а2 | < QT?"^4. /^ у

При этих ограниченйй$^можнб доказать, что при достаточно йЙЙЙХ^зна- чениях параметра ц рёшенйй внегЙней Ййдачи Неййана есть аналй^й^Ккая функция ж и у. Для доказательства надо возвратиться к последовательным приближениям’<рге (ж, у), рассмотренным в предыдущем разделе. Комбинируя теорему II (см. разд. 3) с ограничениями, наложенными на правую часть нашего уравнения, мы докажем последовательно, что каждое из приближений удовлетворяет неравенствам (3.15) с одной и той же константой; С. Кроме того, на основании ограничения, 3° доказывается, что приближения, так же как их производные ди четвертого порядка включительно, образуют равномерно сходящиеся последовательности функций, сходящиеся к решению уравнения (4.1) и к его производным.

_На основании этого заключаем, что решение ср (ж, z/) нашей задачи будет функцией, непрерывной вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно. Принимая во внимание, что F есть анали-

тическая функция всех своих аргументов, и применяя теорему Леви, сформулированную в начале этого раздела, заключаем, что ф (ж, у) —аналитическая, функция своих аргументов.

ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ТЕЛАПОТОКОМ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

В разд. 1 уже упоминалось, что задача определения потенциала скоростей потока сжимаемого газа, обтекающего заданный контур и имеющего вдали эт крыла скорость мц направленную по оси ж, сводится к интегрированию дифференциального уравнения

11ик— 1V2 "1 д2Ф 4uv 52Ф

1

1

к — 1 и'2 "1 д2Ф к 4- L a*2 J ду2к — 1 и'2 "1 д2Ф к 4- L a*2 J ду2а*2к 1a*2 J дх2(/сЦ-1)а*2дх ду

к — 1 и'2 "1 д2Ф к 4- L a*2 J ду2

к — 1 и'2 "1 д2Ф к 4- L a*2 J ду2

(6.1)

(в указанных в разд. 1 обозначениях) при следующих граничных условиях:

на контуре крыла дФ!дп = 0;

lim u = w, lim у = 0; ^2_Ly2—>ооХ2-|-у2^=О

и и у всюду конечны и непрерывны.

Мы перейдем к отвлеченным скоростям

и = и№, и' = и/й)

и будем в дальнейшем для простоты вместо и , V писать и, v. При этих обозначениях дифференциальное уравнение (6.1) приводится к виду

.Г Г у г & — 1 91 52Ф . , 4uv 52Ф, Г 2 । к — 1 21 82Ф I „

причем и = (гж/а*). Соответственно изменится второе из граничных условий, где .будет lim и = 1.,

Величина ц, входящая в уравнение (6.2), служит мерой ся^имаемрста газа и связана с. обычно употребляющимся для этой цели числом Берстоу

Р = го! а,'■‘1■

(а — скорость звука в бесконечности) по формуле‘

на контуре тела

dqldn = О,

вдали от тела

lim р = lim q = 0.

l-?,2_»ccх2-| г/2—>оо

Легко проверить, что правая часть (6.4) удовлетворяет условиям, наложенным на F в разд. 4.

Применяя результат разд. 4, находим решение нашей задачи, подставляя в (6.4) ряд

<р = Ф — ф0 = цфФ +'...+ цпф<п) + . . .,(6.5)

причем все коэффициенты этого ряда ф„ (ж, у) находятся путем последовательного решения уравнения Пуассона.

Результат легко распространяется на случай задачи о построении потока с заданной циркуляцией. Решение находится так же, как и в уже рассмотренном случае;’ только за ф0 (ж, у) берется поток несжимаемой жидкости с заданной циркуляцией. Неоднозначность функции ф0 (ж, у) при этом не представляет никаких затруднений, так как в уравнение входят только производные функции ф0, которые будут уже однозначными функциями ж и у.

Таким образом, задача об обтекании гладкого контура потоком сжимаемого газа решается при достаточно малых значениях числа Берстоу.

Легко также проверить, что правая часть уравнения (6.4) удовлетворяет условиям, наложенным на функцию F в разд. 5. Отсюда следует, что потенциал скорости потока сжимаемого газа есть аналитическая функция х и у при достаточно малых значениях числа Берстоу.

СЛУЧАЙ КРЫЛА,ИМЕЮЩЕГО ОДНУ ОСТРУЮ КРОМКУ

Рассмотрим задачу об обтекании сжимаемым газом крыла, имеющего одну острую кромку в точке Ао. Мы предположим, что крыло ограничено плавной аналитической кривой, имеющей только одну угловую точку А61 в которой величина угла, составленного касательными к крылу, равна ел, 0^е<1. Пусть область (D) как область плоскости комплексного переменного z = ж + iy конформно отображена на внешность круга | z — 1 | > 1 плоскости переменного z = х ^ 1у, причем точка Ао (с координатой z0) перешла в точку Ао: z = z0 = 0. Мы предположим еще, что в окрестности ze. возникшее соответствие координат имеет вид

z — z0 = ар'е (1 + bz + . . .).(7.1)

Положим снова

Ф = Фо + ф,

где фо — потенциал скоростей потока несжимаемого газа, удовлетворяющего всем граничным условиям задачи и обтекающего крыло со сходом струй в точке Ад.

Для определения функции ф мы снова получаем уравнение вида (6.4). Нам надо определить ф так, чтобы в точке Ао ее производные были конечны. Такая функция будет, вообще говоря, неоднозначна. Для определения ф

воспользуемся опять методом последовательных приближений. Для этого мы вводим неоднозначную функцию Грина Г (ж, у; |, т|) и полагаем

ф^=4г S $гn4 [ (Pn-i + го)2 +

(D)

+ ТЦГТ (9'1-1 + N2 j ('’о + Гп-i) 4 • • •} ^ ^.(7.2)

Докажем, что фп (ж, у) сходятся к решению рассматриваемой задачи. Для этого отобразим конформно область (D) на внешность круга | z — 1 |> 1. При этом соотношение (7.2) перейдет в следующее:

Фп = уГ $ $ Г ^ У’ i’ 4) {[(Г"-1 + Го)2 +

+ "^ ТрУ (?о + ?п-1)2"| (i"n-l 4- Го) + . . .+ "^ ТрУ (?о + ?п-1)2"| (i"n-l 4- Го) + . . .^^П’(7.3)

+ "^ ТрУ (?о + ?п-1)2"| (i"n-l 4- Го) + . . .

+ "^ ТрУ (?о + ?п-1)2"| (i"n-l 4- Го) + . . .

где С = ^ + Й. £ = I + ^П-

Положим

^=={[(Г + РоУ +4уг(9 + 9о)2](г + го) -Г...}[~|\(7.4)

где мы подразумеваем, что р, q,r, . . . выражены через производные по аргументам ж, у.

Функция F, рассматриваемая как функция аргументов ж, у, p,q, г, s, t, вне окрестности точки Ло удовлетворяет условиям вида (4.2), (4.4) и (4.5). В окрестности точки Ло эти неравенства заменяются более слабыми.

Фиксируем некоторую окрестность точки Ло (z0 = 0) й обозначим через U ее пересечение с внешностью единичного круга | z — 1 | )> 1. Введем теперь класс К (U, С, К) функций ф (ж, у), определенных во внешности указанного круга и удовлетворяющих в окрестности U неравенствам

и аналогично

\H^-H^\<KQRM,

I Я2 (ф) - Я2 (ф) - И, (ф) + Н. (ф) I < KQR№ (d/Ry,'

если функции ф (к, у), ф (г, у) — К (U, С, X) таковы, что в любой точке (ж, у) G Я

| Ф (A if) — Ф (г, у) |,..| Ф^ (Г, у) — Фу5 (г, у)\<9-С7-9)

Докажем неравенства (7.7). В окрестности точки Ло

Р дх ^ дх ' ^ дх' У ' дх 1 ' ' У ' дх ‘

Из разложения (7.1) получаем

I дт I I _ дх I I _ ду I I _ ду I , , , -.., |' дх I I " дх I ’ | дх | 1 |У дх |•

откуда следует, что в окрестности точки /40

! р I, I q I < АС | z |Е.

Рассмотрим теперь выражение

. I dz |2Г_/ дх \2 , дх- ду

Г= г ж 2s —- —

1 I oz |L \ дх 1дх дх

Пользуясь разложением (7.1), легко показать, что

I _ дгхI дх1I _ дгхI дх1дх dz \ 1 ду dz дх dz ’ I дх dzдх dz \ 1 ду dz дх dz ’ I дх dz

I _ дгх

I дх1

I _ дгх

I дх1

дх dz \ 1 ду dz дх dz ’ I дх dz

дх dz \ 1 ду dz дх dz ’ I дх dz

откуда

I - дгх I | ^ дх1 |I - дгх I | ^ дх1 |АС,АС,

I - дгх I | ^ дх1 |

I - дгх I | ^ дх1 |

АС,

АС,

и потому

| г | | dzldz |2 <_ АС.

Аналогично устанавливается, что

j г о | | dzldz |2 < А.

Легко также показать, что в окрестности точки Ао 1р01<А | z |Е.

_ На основании изложенного типичный член выражения А вблизи точки Ао оценивается так:

I ip + Ро) I2 (Го + г) | dzldz \^<А (1 + C)s \z |2Е.

Таким образом, первое из неравенств (7.7) доказано. Рассмотрим второе неравенство (7.7). Пусть Рг, Р2 — две точки, находящиеся в окрестности Ао, п Р^Рч = d. Тогда

[(Р "г Ро)2 (г + г0) | dzldz j2^ — [(р + р0)2(г + г0) | dzldz |2]2 =

= [(г + г0) | dzldz !2]т 6 (р + р0)2 + [(р0 + /з)2]26 (г + r0) | dzldz |2.

Рассмотрим первую часть выражения. Множитель, стоящий перед знаком разности, как показано выше, ограничен и не превосходит А (С + 1), а разность 6 (р0 + рУ может быть представлена в виде

[(Яо + РУ + (Ро + Р^б (Ро + рУ

Выражение, стоящее в квадратных скобках, не превосходит А (С + 1) R% где R — расстояние до одной из точек Pv Рг. Так как

Ро+ р) + 4г^о + ЧУ

мы ограничимся рассмотрением разности

с _ Гс З.т

О —— Р = —— I Ор + р2О .

дх 1 dx 1 11 г Эх

Из (7.1) вытекает, что

|р2 | <ACR.

Следовательно, второе слагаемое не больше

А (С + 1) R: (d/Ry.

Оценим первое слагаемое. Имеем

| дх/дх | < МД6'1.

Ко второму множителю применим теорему о среднем, тогда

6р = р2 ~ Р1 = $ W (^2, ^/г) — ХуГ (^!, ^1) 4-

+ У28 U^ йу^ — у 18 ({1.Г1, Hyi)}.

Отсюда и из (7.5) следует

| 6р | < А [С + 1] R^ (d/Ry.

Принимая это во внимание, получаем

|тб?|<л<с+1)ле(тУ-

и, следовательно,

8 (Ро + РУ < А (С + 1) R^ (d/Ry.

Оценивая таким же образом оставшуюся часть выражения, без труда находим второе из неравенств (7.7) с константой К = А (С + I)3, где А зависит только от формы области и от показателей Гельдера.

Аналогичным образом докажем неравенства (7.8). На основании этих неравенств легко доказать, что последовательные приближения (7.3) сходятся к решению задачи. Доказательство сводится к повторению рассуждений, приведенных при доказательстве сходимости приближений в разд. 4. Только в этом случае надо отдельно провести доказательство для точек, лежащих вне окрестности точки Ао, и отдельно для окрестности точки. В первом случае рассуждения разд. 4 всецело воспроизводятся, во втором — надо вместо неравенств (4.8) использовать неравенства (7.5), а условия 1°—3° заменить неравенствами (7.7) — (7.9).

Таким образом, и в случае, когда обтекаемое тело имеет острую кромку, мы приходим к прежнему правилу для отыскания потенциала скоростей.

В уравнение (6.2) подставляем ряд

Ф = Фо + ИФ(1) + • • • + цпф(п) + • • .,

где ф0 — потенциал потока несжимаемой жидкости, обтекающей крыло. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц, получаем для ф„ уравнение Пуассона

Аф(») = Н^,

где Н зависит от п первых коэффициентов ф0, . . ., ф'""11 ряда. Решение этого уравнения дается формулой

ф(») = -А-. \' \ Г (ж, у; ^ т]) Н^ d^ d^.

(О)

Полученный ряд будет равномерно сходиться к решению при всех достаточно малых значениях ц. Найденный таким образом поток удовлетворяет всем условиям задачи, и в частности точка схода струй совпадает с острием крыла.

Для достаточно малых ц функция ф (ж, у) будет аналитической функцией ж, у. Это доказывается снова на основании теоремы Леви и теоремы IV разд. 3. Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущих теорем. В этом случае вблизи точки Ао надо лишь установить соответствующие неравенства для F, и дальше доказательство получается непосредственно. Подробности этого доказательства мы опустим.

ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО

ДЛЯ СЖИМАЕМЫХ ГАЗОВ

В настоящем разделе мы даем строгий вывод теоремы Жуковского для сжимаемых газов: подъемная сила крыла дается формулой

Ry = — р^Г,(8.1)

где р и w — плотность и полная скорость потока вдали от крыла, а соответственно

Г = § и dx -V и dy

■— "циркуляция по контуру, окружающему крыло.

Применяя теорему импульсов, имеем

А,, = ^ pdx^ ^ pv(vdx—udy},

(С)(С)'

Rx = —■р dx pu(vdx— udy),

(С)(С)

где (С) — некоторый контур, окружающий наше крыло.

Воспользуемся следующими формулами для плотности и давления в сжимаемом газе, где w4 = и2 + и4:

р = Ро 1р = Ро 1Р = РоР = Ро11к—1 w2 \l/(t-l)к 4- 1 а*1 /'к — 1 w2 VUQ.-V> " /с + 1 а*1 /к—1 w2 \l/(t-l)к 4- 1 а*1 /'к — 1 w2 VUQ.-V> " /с + 1 а*1 /(8.2)(8.3).(8.2)(8.3).

р = Ро 1

р = Ро 1

Р = Ро

Р = Ро

1

1

к—1 w2 \l/(t-l)

к 4- 1 а*1 /'

к — 1 w2 VUQ.-V> " /с + 1 а*1 /

к—1 w2 \l/(t-l)

к 4- 1 а*1 /'

к — 1 w2 VUQ.-V> " /с + 1 а*1 /

(8.2)

(8.3).

(8.2)

(8.3).

Рассмотрим вторые слагаемые выражений для Rx и Rg. Положим

и = w + и', и = и', Р = Р + р',

тогда из сделанных выше оценок для потенциала (4.8) непосредственно следует:

и' = О (R^), и' = О (R^, р' = О (Rv~i),(8.4)

где R — расстояние от начала координат. Если контур (С) есть окружность радиуса R, то

^ pv(vdx—itdy) =— pw ^vdx — ^ [p'w + pu'+ и'р'] v dy =

(C)(C)(C)

= - pw $ V dy + О (R^-1).(8.5)

(C)

Аналогично

) pu (v dx —■ и dy) = ) pu' (v dx — и dy) + w ) p (v dx — и dy).

(С)(C)(C)

Так как течение установившееся, второй интеграл обращается в нуль, а первый может быть записан в виде

pu'(vdx — udy) =— pw и dy + О (R2^1).(8.6)

(С)(С)

Рассмотрим теперь интегралы давления

Р 7С /. к—1 52 к—1 2wu' 4- и'2 4- г/2 \к/Ь--1

(С)(С)= Ро )(С)= Ро )(С)(С)к— 1(С)к— 1к + 1 а*2 к + 1к + 1 а*2 к + 1a*2 ia*2 iккк — 1к — 1а*2а*2t“Т”I /Qк — 1 w3 \1к + 1 а*2t“Т”I /Qк — 1 w3 \1к + 1 а*2Xdx = -Xdx = -2кш(к + 1) W2кш(к + 1) WРо^1—ТТГ-^г) ^udx+O^R ).(С)Ро^1—ТТГ-^г) ^udx+O^R ).(С)Из (8.2), принимая во внимание^^2 к ро ’Из (8.2), принимая во внимание^^2 к ро ’находимр dx = — pw ^ и dx + О {Riv^) = — pw ^ и, dx - О (R2' 1).(С)(С)(с)находимр dx = — pw ^ и dx + О {Riv^) = — pw ^ и, dx - О (R2' 1).(С)(С)(с)(8.7)(8.7)

(С)

(С)

= Ро )

(С)

= Ро )

(С)

(С)

к— 1

(С)

к— 1

к + 1 а*2 к + 1

к + 1 а*2 к + 1

a*2 i

a*2 i

к

к

к — 1

к — 1

а*2

а*2

t“Т”I /Q

к — 1 w3 \1

к + 1 а*2

t“Т”I /Q

к — 1 w3 \1

к + 1 а*2

Xdx = -

Xdx = -

2кш

(к + 1) W

2кш

(к + 1) W

Ро^1—ТТГ-^г) ^udx+O^R ).

(С)

Ро^1—ТТГ-^г) ^udx+O^R ).

(С)

Из (8.2), принимая во внимание

^^2 к ро ’

Из (8.2), принимая во внимание

^^2 к ро ’

находим

р dx = — pw ^ и dx + О {Riv^) = — pw ^ и, dx - О (R2' 1).

(С)(С)(с)

находим

р dx = — pw ^ и dx + О {Riv^) = — pw ^ и, dx - О (R2' 1).

(С)(С)(с)

(8.7)

(8.7)

Подставляя в исходную (С) формулу для Ry выражения (8.5) и (8.7) и переходя к пределу при R оо, получаем формулу Жуковского (8.1). Аналогично находим

pdy =— pic ^ и dy + О (R2^1).(8.8)

(С)(С)

Подставляя (8.6) и (8.8) в формулу для Rx и переходя к пределу при R ->• оо, получим

RK = 0.(8.9)

ЛИТЕРАТУРА

Busemann A. Gasdynamik.— Ih: Handbuch der Experimentalphysik. Leipzig: Akad. Verb, 1931, Bd. 4, T. 1, S. 341-460.

Glauert H. The effect of compressibility on the lift of airfoils.— Brit. Aeronaut. Res. Commit., Repts and Memoranda, N 1135, 1927/1928. 8 p.

Вальтер П. А. Учет сжимаемости воздуха во время полета.— Изв. АН СССР. ОМЕН, 1934, № 1, с. 75—128.

Taylor G. I. Recent work on the flow of compressible fluids.— J. London Math. Soc., 1930, 5, pt 3, N 19, p. 224—240; Verb. III. Intern. Kongr. techn. Meeh. (Stockholm, 23—29 Aug. 19?0). Stockholm, 1932, T. 1, S. 263.

Busemann A. Widerstand bei Geschwindigkeiten have der Schallgeschuridigkeit.— In: Verb. III. Intern. Kongr. techn. Meeh. (Stockholm, 23—29 Aug. 1930). Stockholm, 1932, T. 1, S. 282—286.

Braun G. Die ebene kompressible Potentialstromung als Variations- und Eigenwert- problem.— Ann. Phys., 1932, lo, H. 6, S. 645—676.

Lichtenstein L. Vorlesungen iiber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differential-Gleichungen. Nebst Anwendungen. B.: Springer, 1931. 164 S.

Lichtenstein L. Uber einen Einwand gegen das Newtonsche Attraktionsgesetz: Ein Problem der Dynamik vollkommen in koharenter, gravitierender Medien.— Math. Ztschr., 1928, 27, H. 4, S. 607—622.

Lichtenstein L. Grundlagen der Hydromechanik: B.: Springer, 1929. 508 S. (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen; Bd. 30).

Korn A. Sur les equations de 1’elasticite.— Ann. sci. Ecole norm, super. Ser. 3, 1907, 24, N 1, p. 9—75.

Lewy H. Neuer Bewies des analytischen Characters der Losungen elliptischer Differen- tialgleichungen.— Math. Ann., 1929, 101, H. 5, S. 609—619; Berichtigung, 1933, 107, H. 5, S. 804.

Handbuch der Physik. B.: Springer, 1927. Ackeret J. Gasdynamik. Bd. 7, Кар. 5, S. 287—342..

Prandtl L. Uber Stromungen, deren Geschwindigkeiten mit der Schallgeschwindigkeit vergleich Bar Sind.— J. Aeronaut. Res. Inst. Tokyo Imp. Univ., 1930, N 65, p. 14.

Glauert H. The effect of compressibility on the lift of airfoils.— Proc. Roy. Soc. London A, 1927/1928, 118, N 2, p. 113.

2

СТРОГОЕ ОБОСНОВАНИЕТЕОРИИ ВИНТА ЖУКОВСКОГО*

Совместно с Ф. И. Франклем

Вихревая теория винта была впервые построена Н. Е. Жуковским в 1912 г. [1]. В дальнейшем она развивалась как самим Жуковским, так и рядом других авторов Г в итоге результаты этой теории получили форму, непосредственно пригодную для практических применений. Между тем строгого математического обоснования вихревой теории до сих пор еще не дано.

Как известно, Жуковский схематизирует задачу о винте следующим образом: вращающийся винт заменяется круглым диском, по которому равномерно распределены радиальные вихри. Интенсивность задается некоторой функцией расстояния от центра диска. Эта система вихрей обтекается потоком, имеющим на бесконечности перед винтом скорость, перпендикулярную к нему и по величине совпадающую со скоростью полета. Так как вихри не могут оканчиваться внутри жидкости, присоединенные вихри диска продолжаются в потоке в виде свободных вихрей, образуя винтовую струю. Из теорем Гельмгольца следует, что свободные вихри абсолютного потока имеют направление, совпадающее с линиями тока относительного потока (по отношению к вращающемуся винту). Из этого условия и должны быть определены вихри струи. Жуковский дает приближенное решение поставленной задачи, предполагая, что свободные вихри располагаются на цилиндрических поверхностях за диском. Мы ставим себе задачей точное решение проблемы винта по схеме Жуковского, не предполагая заранее заданной формы вихревых поверхностей.

Задача о винте приводит к системе интегродифференциальных уравнений, которую мы решаем методом последовательных приближений, доказывая пх сходимость к точному решению задачи. Это показывает, что действительно существует положение равновесия вихрей, удовлетворяющее схеме Н. Е. Жуковского. Приближенное решение задачи, данное Н. Е. Жуковским, совпадает с одним из первых членов применяемой нами цепочки последовательных приближений.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Переходя к выводу основных уравнений, мы остановимся прежде всего на условии, которому удовлетворяют абсолютные вихревые линии потока, стационарного относительно винта.

Пусть мы имеем стационарный поток, в котором на единицу массы действует консервативная сила grad Ф и неконсервативная сила F. Пусть, далее, скорость потока обозначена через V и вихрь о> = /2 rot V. Тогда уравнениям Эйлера, как известно, можно придать вид

grad Я - F = 2 [V, ю], (1.1)

* Мат. об., 1935, 42, № 2, с. 241—271.

где

Я^Д-Ф-^

— полная энергия потока, р — давление, р — плотность жидкости.

Совершенно аналогичное соотношение имеет место в случае поверхностных вихрей. Поверхностные вихри соответствуют поверхности разрыва скоростей. Пусть V, и V2 — векторы скорости в одной и той же точке на различных сторонах поверхности разрыва, п12 —единичный вектор нормали, направленный от стороны 1 к стороне 2. Тогда поверхностный вихрь определяется по формуле-

бЪ^Мпиь V2 —УД.(1.3)

Положим 2V* = Vx + V2, VH = (Я2 — H^ n12.

При этих обозначениях формуле (1.1) в случае поверхностных вихрей соответствует равенство

УЯ = 2 [V*, <oj,(1.4)

которое легко доказать, приняв во внимание, что при переходе через поверхность разрыва давление и массовые силы непрерывны.

Применим полученные равенства к относительному потоку около винта. Обозначим через й угловую скорость вращения винта. В системе координат, связанной с винтом, мы будем иметь массовую силу, слагающуюся из центробежной силы с потенциалом

Ф = —х/2 Й2г2

(г — расстояние от точки до оси винта) и силы Кориолиса

F = 2 [V, Й].

Применяя уравнение (1.1) к относительному потоку, получим

grad Я = [V, ®а],(1.5)

где ®а = to + й — значение вихря в абсолютном потоке, и

н — 2.4- _L Q2r2 р + 22

Далеко перед винтом

У2 iv2 ■ агг\

где W — скорость полета. Следовательно, далеко перед винтом Я имеет в пределе постоянное значение:

Я = 1У2/2 + pjp.

Вдоль каждой линии тока Я имеет постоянное значение, так как из (1.5) следует:

V grad Я = 2V [V, ®] = 0.

Поэтому во всем пространстве

[V, toal = 0.(1.6)

Это равенство показывает, что линии тока относительного потока совпадают с линиями вихря в абсолютном потоке.

Таким же путем в случае поверхностных вихрей получим

(1-7)(1-7)[V*T wj = 0;

(1-7)

(1-7)

иными словами, направление вихря совпадает с направлением средней скорости на поверхности разрыва.

Как мы уже упоминали, в теории Н. Е. Жуковского винт заменяется вращающимся диском (радиуса 1) с распределенными по нему радиальными вихрями. Введем цилиндрические координаты (г, 6, z), помещая их начало в центре диска, а ось z — по оси винта в направлении потока. Обозначим через XI (г0) сумму циркуляций всех присоединенных радиальных вихрей в сечении, отстоящем на расстоянии г0 от центра диска. Мы будем предполагать, что функция I (г^ аналитическая и что

^27 (r0), (1 - г0Г/г I (Го)(1.8)

ограничены 2.

Пусть и, и, w — радиальная, трансверсальная и осевая составляющие скорости абсолютного потока около винта, а £, д, £— соответствующие слагающие вихря. Свободные вихри потока лежат на поверхностях вращения, уравнение меридиана которых напишем в виде

г = г (r0, z), [г (г0, 0) = г0].

При этих обозначениях имеем следующую систему уравнений:

1^"2лг "о5 и’ £ И7 us "1^"2лг "о5 и’ £ И7 us "2 8r (r0, z) и

1^

"2лг "

о5 и

’ £ И7 us "

1^

"2лг "

о5 и

’ £ И7 us "

6.6.dx.dx.д'(г'— г cos 6') ,,118—1—dx = + —т-R31 2л г 8гд'(г'— г cos 6') ,,118—1—dx = + —т-R31 2л г 8гд' cos 6' Rд' cos 6' R(1-9) dx^.(1-9) dx^."8zW р w'

6.

6.

dx.

dx.

д'(г'— г cos 6') ,,118

—1—dx = + —т-

R31 2л г 8г

д'(г'— г cos 6') ,,118

—1—dx = + —т-

R31 2л г 8г

д' cos 6' R

д' cos 6' R

(1-9) dx^.

(1-9) dx^.

8.8.1 ССР U (г — г' cos 6') — Е,' (z — z ) cos 6'

8.

8.

2л jjjR3

+ &?^~^7^сш0 dc- W о

В уравнении 2 производная dldz, конечно, взята при постоянном г0, а в уравнении 6 — при постоянном г. В уравнениях 6—8 (D) означает область, заполненную свободными вихрями, (К) — вихревой диск, штрихом отмечены переменные интегрирования, R и В — расстояние между текущей

2 Первое условие соответствует падению шага винта при приближении к втулке, а второе — эллиптическому характеру распределения циркуляции на конце лопасти. Впрочем, аналитичность I (г^) не существенна. Достаточно требовать, чтобы

точкой и точкой приложения, йт — элемент объема (D), da — элемент площади К.

Укажем, как выводится система (1.9). Уравнение 1 следует из того, что циркуляция по всякому контуру, охватывающему вихревую трубку, имеет одно и то же значение. Уравнения 2—4 непосредственно вытекают из доказанного в начале этого раздела свойства вихревых линий. Уравнение 5 получаем, применяя теорему Стокса к кольцу, ограниченному окружностями радиуса г и г + dr, и вычисляя циркуляцию по контуру этой поверхности исходя из уравнения 1. Наконец, 6—8 есть закон Био—Савара для вихрей, написанный применительно к нашему случаю .

Для определения семи величин и, и, ио, £, ц, £, г = г (r0, z) нам достаточно использовать первые семь уравнений, что же касается уравнения 8, то его мы откинем. Ввиду того что ^ входит только в уравнение 3, мы можем сначала решить остальные шесть уравнений, а затем определить £ подстановкой. Таким образом, задача сводится к решению системы интегродифференциаль- ных уравнений 1, 2, 4—7. При этом отметим, что всякое решение системы действительно удовлетворяет уравнениям гидродинамики и что полученные значения для 5, Г], £ будут действительно описывать вихри поля скоростей и. и, W.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Систему интегродифференциальных уравнений мы решаем методом последовательных приближений, которые определяются следующим образом. В нулевом приближении полагаем

П = Т]о = 0, г = г0.(2.1)

Далее процесс последовательных приближений протекает по следующей схеме:

Числа над стрелками показывают номера уравнений системы (1.9), с помощью которых получаются новые величины. В этом процессе, ввиду существенных затруднений, уравнение 2 для определения rn+i нам пришлось заменить уравнением

9'1г/ 8и8г 8ш )

2 . —— = (1Е - - w) 1К-—(2.3}

dz дт0'\ отоdz Эг0 /

с краевыми условиями г (г0, 0) = г0 и г (0, z) = 0. Есть основания предполагать, что, определяя приближения из уравнения 2, мы получим расходящийся процесс.

Докажем, что модифицированная система 1, 2', 3, . . ., 7 эквивалентна исходной системе 1,2,3, ..., 7. Очевидно, что всякое решение системы П 2, 3,. . ., 7 удовлетворяет системе 1, 2', 3,. . ., 7. Докажем обратное. В самом деле, рассматривая 2' как линейное дифференциальное уравнение относительно dr/dz, получим

Эт и . л ,Г Г dw Этд 1

= мгч— ж (z) ехр — \ -гр- .

dzW + o’ 'I J 8г0 И № J

Полагая в этом равенстве г0 = 0, имеем

dr/dz = и = 0.

Следовательно, С (z) = 0, и получаем уравнение 2.

Введем несколько определений, которые нам потребуются в дальнейшем. Рассмотрим пространство с полярными координатами (г0, 0, ). Уравнения

г = rn(r0, z)i 0 = 0, z = z

дают отображение этого пространства на пространство с полярными координатами (г, 0, z). Рассмотрим в пространстве (г0, 0, z) некоторую область фд). Соответствующую ей область в пространстве (г, 0, z) обозначим ф^. В пространстве (г0, 0, z) областью, занятой свободными вихрями, будет цилиндр (Dо), определяемый неравенствами

г0 -'" 1, z > 0.

В координатах (г, 0, z) ей соответствует область ф^.

Нам придется в дальнейшем рассматривать производные по z при постоянных г0 и г. Первую из них будем обозначать d/dz, а вторую — 6/6z. Эти производные, очевидно, связаны равенством ,

bQ_—9QД0.Л1

dz dz dz dz 1

Положим

P = K(1 — ФР1 + z2.

Через ДгФ и А,.оФ обозначим разности значений функции Ф в двух точках Р, и Р4, в первом случае имеющих одинаковую координату г0, а во втором — одинаковую координату z. Через d обозначим длину отрезка Рф^ в пространстве (г0, 0, z). Вместо величины т]та нам часто будет удобно вводить в рассмотрение функцию

г drг» di ог drг» di о(2-5)(2-5)

г dr

г» di о

г dr

г» di о

(2-5)

(2-5)

При рассмотрении построенных последовательных приближений основной является следующая

Лемм а. Предположим, что для п-го приближения удовлетворяется система неравенств

Azд2гdr0 dzУ /-0"(1+P"v)^ yi - r0 (1 + zYпри d<2p,А,-.or0 dz</ Aq(14- P'V) d^ C+Zy i/4-rpпри d </ 1 — r0,Azд2гdr0 dzУ /-0"(1+P"v)^ yi - r0 (1 + zYпри d<2p,А,-.or0 dz</ Aq(14- P'V) d^ C+Zy i/4-rpпри d </ 1 — r0,dzdz(2.G)(2.G)Сгп1/1 -г0Сгп1/1 -г0С(1 - ГоУС(1 - ГоУCr, (1 -ypY]/1 — Го (1 + zYCr, (1 -ypY]/1 — Го (1 + zY(2.7)(2.7)

Az

д2г

dr0 dz

У /-0"

(1+P"v)^ yi - r0 (1 + zY

при d<2p,

А,-.

or0 dz

</ Aq

(14- P'V) d^ C+Zy i/4-rp

при d </ 1 — r0,

Az

д2г

dr0 dz

У /-0"

(1+P"v)^ yi - r0 (1 + zY

при d<2p,

А,-.

or0 dz

</ Aq

(14- P'V) d^ C+Zy i/4-rp

при d </ 1 — r0,

dz

dz

(2.G)

(2.G)

Сгп

1/1 -г0

Сгп

1/1 -г0

С

(1 - ГоУ

С

(1 - ГоУ

Cr, (1 -ypY]/1 — Го (1 + zY

Cr, (1 -ypY]/1 — Го (1 + zY

(2.7)

(2.7)

где Ло — достаточно малое число им — любое число, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < v < 1, причем в неравенствах для разностей надо брать 1 — +, Р, 2 для той из точек, в которой они имеют меньшее значение.

Существует константа Со, не зависящая от номера приближения и такая, что когда С ^ Со, то (п + 1)е приближения удовлетворяют следующей системе неравенств-.

дип+1дг0дип+1дг0и гп+1дг0 dzдЧ,и гп+1дг0 dzдЧ,А.А.П+1П+12 дг0 dz2 дг0 dzNrr“ dr0 dzNrr“ dr0 dzАС^^zyVt^t; ’АС^^zyVt^t; ’’ dr0AC C + p'*+’ dr0AC C + p'*+ас(Д + р21^ас(Д + р21^(1 +2)3/1 -Г0ЛС^ + р-У)(1 +2)3/1 -Г0ЛС^ + р-У)(2.8)(2.8)ACAC^п+1dz^п+1dzЛС(1+р-*А)ЛС(1+р-*А)(2-9)(2-9)при d<^p,при d<^p,(2.10)(2.10)сСсС(1+/3/1-Го(1+/3/1-Гопри d < 1 — Го,при d < 1 — Го,I vn+11 < Ы /1 — r0,I vn+11 < Ы /1 — r0,ХА у 1 — гоU+2)3ХА у 1 — гоU+2)3I W II W IXAr0/1 -ro ’XAr0/1 -ro ’dzdzМ (1 + р~‘+ г0 (l+z)3/l— Го ’М (1 + р~‘+ г0 (l+z)3/l— Го ’где А — константа, зависящая только от м, Со, Аогде А — константа, зависящая только от м, Со, Ао+ ч / ХА dr0’(2.11)Чт / ХА 8г» ^1(1-^ ’(2.12)+ ч / ХА dr0’(2.11)Чт / ХА 8г» ^1(1-^ ’(2.12)

дип+1дг0

дип+1дг0

и гп+1

дг0 dz

дЧ,

и гп+1

дг0 dz

дЧ,

А.

А.

П+1

П+1

2 дг0 dz

2 дг0 dz

Nr

r“ dr0 dz

Nr

r“ dr0 dz

АС

^^zyVt^t; ’

АС

^^zyVt^t; ’

’ dr0

AC C + p'*+

’ dr0

AC C + p'*+

ас(Д + р21^

ас(Д + р21^

(1 +2)3/1 -Г0

ЛС^ + р-У)

(1 +2)3/1 -Г0

ЛС^ + р-У)

(2.8)

(2.8)

AC

AC

^п+1dz

^п+1dz

ЛС(1+р-*А)

ЛС(1+р-*А)

(2-9)

(2-9)

при d<^p,

при d<^p,

(2.10)

(2.10)

сС

сС

(1+/3/1-Го

(1+/3/1-Го

при d < 1 — Го,

при d < 1 — Го,

I vn+11 < Ы /1 — r0,

I vn+11 < Ы /1 — r0,

ХА у 1 — гоU+2)3

ХА у 1 — гоU+2)3

I W I

I W I

XAr0

/1 -ro ’

XAr0

/1 -ro ’

dz

dz

М (1 + р~‘+ г0 (l+z)3/l— Го ’

М (1 + р~‘+ г0 (l+z)3/l— Го ’

где А — константа, зависящая только от м, Со, Ао

где А — константа, зависящая только от м, Со, Ао

+ ч / ХА dr0’

(2.11)

Чт / ХА 8г» ^1(1-^ ’

(2.12)

+ ч / ХА dr0’

(2.11)

Чт / ХА 8г» ^1(1-^ ’

(2.12)

Доказательство этой леммы мы дадим в следующем разделе, а сейчас применим ее к вопросу о сходимости приближений к решению задачи и к вопросу о единственности решения.

Предположим, что параметр X по абсолютной величине не превосходит Хо, где /0 — наименьшее из двух чисел Л0М2, Со/А. Тогда из основной леммы следует, что для любого номера п будут удовлетворяться неравенства (2.8)—(2.12), причем в (2.8) — (2.10) константа АС = А2Х может быть заменена на Ао.

Сформулированное следствие устанавливает, что построенные последовательные приближения равномерно ограничены определенными функциями. Отсюда существование решения системы можно вывести непосредственно, применяя топологический принцип «неподвижной точки» непрерывного отображения выпуклого тела гильбертова пространства на самого себя. Однако можно показать сходимость построенного процесса к решению задачи, а также что при достаточно малых значениях параметра X существует единственное решение, удовлетворяющее неравенствам леммы.

Доказательство получается комбинированием доказанной леммы с приемом Лихтенштейна [3] для оценки потенциалов в случае переменных областей. При этом для достаточно малых X получается следующий результат.

Предположим, что wn+1 —■ w^u rn+1 — г^ удовлетворяют неравенствам, аналогичным (2.6) и (2.10), но с коэффициентом Qn:

|w+i—|-^70w —^ <^-^/3->• •

тогда vu^ — и„ и цга+1 — цп удовлетворяют неравенствам, аналогичным (2.7), (2.11) и (2.12):

■ у 1 - ГоПрименяя выше метод для величин мп+2 — мп+1,I 5 ,■ у 1 - ГоПрименяя выше метод для величин мп+2 — мп+1,I 5 ,~~ . хва^го

■ у 1 - Го

Применяя выше метод для величин мп+2 — мп+1,

I 5 ,

■ у 1 - Го

Применяя выше метод для величин мп+2 — мп+1,

I 5 ,

Лихтенштейна к этому результату, мы получаем ы7„+2 —w^!, гп+2 — гп11 следующие неравенства:

I 1^71+21^71-1 I < XBQn, . . . ,

I д»Д ,^„О+РГ1/г

I -^- (Г„+2Г„-! ) | <(1 + 2)3, . . .

Таким образом, имеем

^77+1 ХВС1и

и отсюда

Q„ = (WfQ0.

Если предполагать, что X < 1/В, тогда ряды

м = Ml + 2 (“п+1 ” “п). • • • > Л = m + 3 (Птг+1 — Пп)

11

сходятся со скоростью геометрической прогрессии к решениям уравнений (1.9), причем аналогично нетрудно показать, что это единственное решение, удовлетворяющее неравенствам леммы . Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема. Существует число Хо (v, W, fi, I (г0)), такое, что:

при X <^ Хо последовательные приближения, построенные по схеме (2.2), сходятся к решению системы (1.9):

4 При подстановке в их правую часть функций г (г0, 6, z), ц (г0, 6, z) соответственно вместо ти и цп.

при, X < Хо, С + Со существует единственное решение, удовлетворяющее условиям, стоящим в предположении леммы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ЛЕММЫ5

L Заметим прежде всего что из соотношений

_ 1

5г„(го,О) Л №"п |1+р "2

дг<1' dr^dz j 0 (1+г)3’

выбирая достаточно малое Ло, можно получить

(ЗЛ)(ЗЛ)I drjdro — 1 | < е, | drn/dz | <е ,

(ЗЛ)

(ЗЛ)

где е — сколь угодно малое положительное число. Это следует из того, чтогде е — сколь угодно малое положительное число. Это следует из того, что

где е — сколь угодно малое положительное число. Это следует из того, что

где е — сколь угодно малое положительное число. Это следует из того, что

Отсюда легко доказать, что для сколь угодно малого положительного & при достаточно малом Ао | RJRO — 1 | < 6.

Действительно

Rn = (z — z')2 + (r„ — rn cos 0')2 + r^ sin2 6' =

= (z — z')2 + (r„ — гД2 + 2rnr„ (1 — cos 0'),(ЗЛД

Д2 = (z — z')2 + (r0 — r0)2 + 2гого (1 — cos 0').

Отсюда

S2=(z-z')2 + [^J(z_2')J +

+ 2roro(l —COS0)

\/ у drQ /

И

Учитывая (3.1), мы отсюда непосредственно получаем (3.1').

6 В ходе его используются некоторые вспомогательные неравенства, получаемые в разд. 4.

Неравенство для дип+1[дгд. Имеем дип+1 1 Э С? С - z — г'

=^„-^cos0^.(3.2)

Разобьем область Do на две части плоскостью z' = V2 (z — 1). Ту часть Do, в которой z </ V2 (z — 1), назовем Dg, а остальную часть — Dg. Область Dg исчезает, если z < 1. Пересечение плоскости z' = !/2 (z — 1) с областью Dg назовем F. Соответственно, образы областей Од в координатах (гга, 0, z) обозначим Dln.

В области Dg выполняются неравенства6

Ы<Ы<с1/1 — гос1/1 — гоЛ3Л3

Ы<

Ы<

с

1/1 — го

с

1/1 — го

Л3

Л3

нера-нера-Jд_2 л дг0Jд_2 л дг02 У — '-^-pnCOS2 У — '-^-pnCOS^То^ТоDoDo. АСH+z)3 ’. АСH+z)3 ’(3.27(3.27

нера-

нера-

Jд_2 л дг0

Jд_2 л дг0

2 У — '

-^-pnCOS

2 У — '

-^-pnCOS

^То

^То

Do

Do

. АС

H+z)3 ’

. АС

H+z)3 ’

(3.27

(3.27

следовательно, для части интеграла (3.2) по области Z/ выполняется венство

12л12лддгоддгоТГ "^Г Пп cos 9ТГ "^Г Пп cos 9(3.3)(3.3)

1

2л

1

2л

д

дго

д

дго

ТГ "^Г Пп cos 9

ТГ "^Г Пп cos 9

(3.3)

(3.3)

где мы перешли от координат (гп

dig = TgdrgdQ'dz'.

Рассмотрим теперь часть интеграла по области DV

1 эссе М2~г?

— \ \ \—cos 0 ат, 2л Эг6 J J J рз

Du

Первое слагаемое, стоящее под знаком интеграла, преобразуем к координатам (гд, 9', z') и проинтегрируем по частям по переменному z'. Тогда получим

15 С С С 5 ( 1 \ —

'Пи соз9ат0 =

2л дг6 J J ,) да \ j

1 д С С P>os6'dCe 13 (f( 1\

— 2л П Я„ + 2л дг„ П 3 Я М C0S 9 dT°- (3‘4> °Dg

ч.Эгч.ЭгС(1+р~*А) (1 + z)3 1/1 — г»С(1+р~*А) (1 + z)3 1/1 — г»При z > 1 Fg есть пересечение плоскости z' = /2 (z — 1) с D„ а в противном случае — поверхность вихревого диска. В области Dg имеем

ч.

Эг

ч.

Эг

С(1+р~*А) (1 + z)3 1/1 — г»

С(1+р~*А) (1 + z)3 1/1 — г»

I а / 1 \ I / А

IУг» Л < rV

1 В дальнейшем, для того чтобы не писать большого числа индексов, мы будем обозначать все абсолютные константы одной и той же буквой А.

Поэтому

1 8^

-бcos 9 «т0

К 8a

Мы покажем ниже (см. далее (4.13)), что стоящий в правой части неравенства интеграл не превосходит

А In (2 + 1/р) < А (1 - г0)-*А

(3.5)(3.5)и, следовательно, полученное выражение меньше, чем AC Ml + z)3f 1^).

(3.5)

(3.5)

Рассмотрим теперь поверхностный интеграл правой части равенства формулы (3.4). Если z> 1, то непосредственно видно, что этот интеграл будет меньше АС (1 + z)~3, поскольку в этом случае

д / 1 \ I / А(!+г)3 ’д / 1 \ I / А(!+г)3 ’1Л1 — Го1Л1 — Го

д / 1 \ I / А

(!+г)3 ’

д / 1 \ I / А

(!+г)3 ’

1Л1 — Го

1Л1 — Го

Если z <( 1, рассмотрим два случая: г0 ^ ^г и r0 > V2. Когда г0 О гМ мы разделим диск Fo на две части: Fo — круг радиуса г0 = 3/4 и кольцо Fo = F6 — Fo. Мы имеем

do»do»AC.AC.Jд? С ^cos6' 2л дга ' J Rn

do»

do»

AC.

AC.

Fo

Это следует из того, что производная от потенциала распределения массы ограниченной плотности цп cos 0' по плоскости Fo, взятая в направлении параллельном плоскости FQ, представляет собой ограниченную функцию

в области 0 z ^ 1, r0 М Vz- Мы имеем также

Jд_ Р Р 2л дт0 J JFoJд_ Р Р 2л дт0 J JFof]n cos 6'RLf]n cos 6'RLdo0do0AC,AC,

Jд_ Р Р 2л дт0 J J

Fo

Jд_ Р Р 2л дт0 J J

Fo

f]n cos 6'RL

f]n cos 6'RL

do0

do0

AC,

AC,

J8 е (• J^costP 2л 8r0 ) J RnJ8 е (• J^costP 2л 8r0 ) J Rn

J8 е (• J^costP 2л 8r0 ) J Rn

J8 е (• J^costP 2л 8r0 ) J Rn

так как здесь Ro меньше некоторой константы.

В случае r0 > V2, z ^ 1 мы докажем, что рассматриваемый интеграл меньше АС (1 + р-1А), и, следовательно, при всяком z

АС

<-(ТН^(1+р--/2).(3.6)

При z М 1 круг Fo совпадает с поверхностью вихревого диска. Интеграл в (3.6) можно преобразовать так:

Обратимся сначала к первому слагаемому правой частиОбратимся сначала к первому слагаемому правой части(3-7)(3-7)1 С С 1^008 0'г J J R прп1 С С 1^008 0'г J J R прпdoodooMSMSch0в» vri ’ch0в» vri ’

Обратимся сначала к первому слагаемому правой части

Обратимся сначала к первому слагаемому правой части

(3-7)

(3-7)

1 С С 1^008 0'

г J J R прп

1 С С 1^008 0'

г J J R прп

doo

doo

MS

MS

ch0

в» vri ’

ch0

в» vri ’

Последний же интеграл ограничен (см. (4.11)).

Оценим теперь второе слагаемое. Определим подобласть Но неравенством | г0 — ro I М U — г0)/2, a Fo — Но обозначим Ну. Имеем

(см. (4.9)).

Из области Я» выделим часть /1J, для которой7 | 6' | < (1 — г0)/2г0» Но — Пу = Нд. Тогда получим

(см. вывод неравенства (4.1))._‘

Интеграл по области Но интегрируем по частям по переменному г0:

где Lt и L^ — дуги окружностей, ограничивающие область Н^ a ds — элемент длины этих дуг. Так как 1/Я0<^ 2/р на Lx и Ь2т каждый из линейных интегралов не больше АС/р. С другой стороны, -

гогодгодго+ 1111+ 1111вег;вег;

го

го

дго

дго

+ 1111

+ 1111

вег;

вег;

и потому поверхностный интеграл правой части по абсолютной величине меньше, чем

АСС С Й50 АСС ейв

(1 — г0)7= ГО Ro(1_Го)3/2 J p^ + z2

Но

=(/(1 - ^) +.

(l-rofz V Х'2+Р /р

Собирая оценки для Но, Но и Но, имеем

2л дгй2л дгйЛС(1 + рГО).ЛС(1 + рГО).

2л дгй

2л дгй

ЛС(1 + рГО).

ЛС(1 + рГО).

Складывая это с неравенством, полученным выше для первого слагаемого правой части формулы (3.7), получаем искомое неравенство (3.6) при z<l, г0 > 1/2.

Чтобы установить основную оценку для величины (3.2), нам остается еще рассмотреть интеграл от второго слагаемого подынтегральной функции в правой части (3.3)

^Л-Ш^созб'^.(3.8)

2л дг0 J J а/п ( Ru ,/ 52nv '

®п

Пусть Т о — область, определяемая системой неравенств

I Го — r0 I < (1 — r0)/2,| z' — z | < (1 — г0)/2,

a *$о— дополнение к Го до области D^; части цилиндров

ГО — г0 = ±(1 — г0)/2

назовем Sj и Sq. Часть интеграла (3.8), распространенная на область Sn, можно записать в виде

Г 1 С 52( v \ дг'и -

=) ^АС, ГО — ’inooseл,.

интеграл не больше, чеминтеграл не больше, чемВ области So

интеграл не больше, чем

интеграл не больше, чем

поэтому рассматриваемый

АС СГО Ар

(1 4- z)3 J ' J ДЗт/ I '

8„ Л0 1 Г0

и поэтомуи поэтомуНиже (см. (4.10)) показано, что последний интеграл меньше А!\Г 1 — г0,

и поэтому

и поэтому

(3.9)(3.9)\1аД<АС^ Д^^-ГоГ^.

(3.9)

(3.9)

Часть выражения (3.8), относящуюся к области Тп, перепишем в видеЧасть выражения (3.8), относящуюся к области Тп, перепишем в виде

Часть выражения (3.8), относящуюся к области Тп, перепишем в виде

Часть выражения (3.8), относящуюся к области Тп, перепишем в виде

Значок над первым интегралом правой части указывает, что при дифференцировании по г0 надо считать область Тп фиксированной.

Оценим прежде всего второй интеграл правой части

Из неравенств (2.6) легко вывести, что в области ТоИз неравенств (2.6) легко вывести, что в области Тоdz' dz8т'пдт'одг0dz' dz8т'пдт'одг0

Из неравенств (2.6) легко вывести, что в области То

Из неравенств (2.6) легко вывести, что в области То

dz' dz

8т'п

дт'одг0

dz' dz

8т'п

дт'одг0

где v — любое число, удовлетворяющее неравенству 1/а <v <У 1. Принимая во внимание (2.1) и установленное выше неравенство | drjdz К <( Л/(1 + z)3, приходим к следующему заключению:

/ л ( д° у<[(1+2)3 ( 1-го ) •/ л ( д° у<[(1+2)3 ( 1-го ) •дг'п / 9гп \ 1 __ 9>и /' ^ту V1 dz \ 8r0 / дг \ дг0 /

/ л ( д° у

<[(1+2)3 ( 1-го ) •

/ л ( д° у

<[(1+2)3 ( 1-го ) •

Это неравенство вместе сЭто неравенство вместе с

Это неравенство вместе с

Это неравенство вместе с

показывает, что второе слагаемое, входящее в состав 1т,^ по абсолютной величине не превышает выражения

асere <zt0 -ас1 е ° e^e

(l + z)3(l-r0)V=+v ji J R3-V (1 + 2)3(1_ro)V2rv J 62-v

(1+г)з/Г^

(см. далее (4.1)).

Рассмотрим теперь первое слагаемое, входящее в состав 1т,. Интегрируя

по частям по переменному г0, получаем

■sr Ш ^Нх) № Ют°=S S -^ Ш *cos e'r",ie'-

T]n cos 6'rotZ0' tZz' —

21 dr6

На поверхностях Sj и Eg

7?o>(l—z0)/2 и I ^ I < —= ° ■™ ,

V (1 — r0)/2

поэтому каждый из поверхностных интегралов не больше A СГ^" 1 — г0» С другой стороны, в области Т й

। а / t \ / лI ог" ( д« / "rT ’। а / t \ / лI ог" ( д« / "rT ’ё1иfJsё1иfJs(1-гД(1-гД

। а / t \ / л

I ог" ( д« / "rT ’

। а / t \ / л

I ог" ( д« / "rT ’

ё1и

fJs

ё1и

fJs

(1-гД

(1-гД

следовательно, объемный интеграл правой части меньше, чем

АСАС

АС

АС

Полученные оценки приводят к неравенствуПолученные оценки приводят к неравенству1 аЧ2л Ог1 аЧ2л Ог( дгп\~У 8 М‘ Г д / 1 \ ~' а, ,/ АС—-\ \ \ —- —б— cos О атр <,■,\ dr0 ; or0 J ^ J Sr Д Дп /(1 + 2)3/1 - г0 ’( дгп\~У 8 М‘ Г д / 1 \ ~' а, ,/ АС—-\ \ \ —- —б— cos О атр <,■,\ dr0 ; or0 J ^ J Sr Д Дп /(1 + 2)3/1 - г0 ’которое вместе с оценкой второго слагаемого, входящего в 1т„, даеткоторое вместе с оценкой второго слагаемого, входящего в 1т„, дает| 7т„ I < АС (1 + гГ(1 - г0)-Ч| 7т„ I < АС (1 + гГ(1 - г0)-Ч(3.10)(3.10)Сопоставляя (3.2), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.10), приходим к окончательному неравенству (2.8).3. Неравенство для и?п.ц. Из выраженияСопоставляя (3.2), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.10), приходим к окончательному неравенству (2.8).3. Неравенство для и?п.ц. Из выраженияsr S S Д (4-) ч*sr S S Д (4-) ч*с учетомс учетом

Полученные оценки приводят к неравенству

Полученные оценки приводят к неравенству

1 аЧ

2л Ог

1 аЧ

2л Ог

( дгп\~У 8 М‘ Г д / 1 \ ~' а, ,/ АС

—-\ \ \ —- —б— cos О атр <,■,

\ dr0 ; or0 J ^ J Sr Д Дп /(1 + 2)3/1 - г0 ’

( дгп\~У 8 М‘ Г д / 1 \ ~' а, ,/ АС

—-\ \ \ —- —б— cos О атр <,■,

\ dr0 ; or0 J ^ J Sr Д Дп /(1 + 2)3/1 - г0 ’

которое вместе с оценкой второго слагаемого, входящего в 1т„, дает

которое вместе с оценкой второго слагаемого, входящего в 1т„, дает

| 7т„ I < АС (1 + гГ(1 - г0)-Ч

| 7т„ I < АС (1 + гГ(1 - г0)-Ч

(3.10)

(3.10)

Сопоставляя (3.2), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.10), приходим к окончательному неравенству (2.8).

3. Неравенство для и?п.ц. Из выражения

Сопоставляя (3.2), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.10), приходим к окончательному неравенству (2.8).

3. Неравенство для и?п.ц. Из выражения

sr S S Д (4-) ч*

sr S S Д (4-) ч*

с учетом

с учетом

вытекает

I ^г+i |< АС ^I ^г+i |< АС ^йт0йт0< АС< АС

I ^г+i |< АС ^

I ^г+i |< АС ^

йт0

йт0

< АС

< АС

(см. далее (4.5)).

Неравенство для dwn+ildr0 выводится аналогично тому, как производилась оценка для интеграла (3.8), лишь с тем отличием что всюду будет отсутствовать множитель 1/(1 -j- z)3, происходивший от drnldz .

Неравенство для dwnvjdr.

8и,^115с С С ^/ 1,.х

Эг~ 2лотН ) 8т( R) Т1"^-(ЗЛ1)

Разобьем область Do на три части: Dg, Dg, Dg, определяемые следующими неравенствами:

^0: | го — Го I < Р/2. I 2 Z к р/2,

^: 1 > г0 > Го + Р/2, I z' — z К р/2,

^о = Dg — Dg — Dg.

Область Dg может, конечно, исчезать.

Рассмотрим сначала случай р </ 2. Имеем

j д С С С a / 1 \_ 165

[

р р р Щcos 6'1 9гп 9 Р р 9 f ^ \ 7С д-

Г” i S S В” ^ |^ S И дг'п V ^ / 1,1 °

D,n1J.

1 С С С 6 / 1 \,18 с С С 6 Г 1 \

="ч ^кР1"" ""т^ Ь? х х

~,I 8т у г* р р д ! 1 \

X p,t COS 9'dTg п— — \ \ \ -ТЧ- -д— рп(/т0 =

С С С 6 / 1 Р1 9 С С С 9 / 1 \

X чХозв'йт» - Л- f ( ( kk iSr k'/15"сю6'1 чЛт.- (3.12>

Первый из трех членов равен и,1+1/гга. Интегрируя неравенство (2.8) по г0, мы убеждаемся, что он меньше, чем

(3.13).(3.13).АС (1 + г)”3.

(3.13).

(3.13).

Второе слагаемое отличается от интеграла (3.4) только множителем (дгга/дг0)-1. Следовательно, оно меньше

АС (1 + р"^)(1 + z)-3.

Третий интеграл рассмотрим отдельно по областям Dg, Dg, Dg. Имеем

8z8z8rn(r0, z')8z'8rn(r0, z')8z'(Г0’ z') n, _ / 94 ^’ z> _ _^nPoi^2 8z’(. 8гdz'

8z

8z

8rn(r0, z')

8z'

8rn(r0, z')

8z'

(1 — COS 6').(1 — COS 6').^jl^2J\ A_2jnV»^2Ldz' j ‘ oz'

(1 — COS 6').

(1 — COS 6').

В области Dg

8',n(,r0, z^ dr^,^dzdz'8',n(,r0, z^ dr^,^dzdz'5JM dt dz5JM dt dzdt dz'dt dz'dt<"dt<"Л(1+р Z7 nV(1+73 ^0Л(1+р Z7 nV(1+73 ^0

8',n(,r0, z^ dr^,^dzdz'

8',n(,r0, z^ dr^,^dzdz'

5JM dt dz

5JM dt dz

dt dz'

dt dz'

dt<"

dt<"

Л(1+р Z7 nV

(1+73 ^0

Л(1+р Z7 nV

(1+73 ^0

для 1/2 ^v^l. Последнее неравенство следует из второго неравенства (2.6) с учетом того, что

_р271_ _ / ! —го РД^1_Р~'г^

VT^ \ Р1 В -(1 - гоу '

Далее,

9гпУо'^dz'9гпУо'^dz'_%ДД^1 _ _Ы^1 = I ' j Т^дТТД! ^(l+p^2) dz'dz'0 *dr,-, dz'(1 -[- z)3

9гпУо'^dz'

9гпУо'^dz'

I 1 - COS 6' I < ^y |Sin~V| < JT^jT^O,

вследствие8 r0 | sin (672) | <7 R». Поэтому

drdzdrdzdr^-COS 6' dzdr^-COS 6' dz_a^-v£^L7+73_a^-v£^L7+73(Ro + R^,(Ro + R^,

dr

dz

dr

dz

dr

^-COS 6' dz

dr

^-COS 6' dz

_a^-v£^L7+73

_a^-v£^L7+73

(Ro + R^,

(Ro + R^,

и, следовательно, часть интеграла, распространенная по области/^, будет меньше, чем

АС (1+Р'1/а) /С С С ^0, С С С ^о

(1+2)3 V 1 Яд fl - Г0 ' V RV V1 - г'о"оDo

Так как последние два интеграла ограничены (см. далее (4.4), (4.5)), то неравенство для этой части интеграла доказано.

Обратимся к интегралу по D^. Он по абсолютной величине меньше, чем

1Z+p/2

ЛС Щ^=-< AC dr0 ( —?==

2 R0 fl r0MP/2 Z-p/2 ^' ’ 1 r0

(cm. (4.1), 62 = (r0—-ГоУ + (z — 2'YY

Так как в области 6 7> р/2, имеем

Шд^ М V 6гп8ЧЬт‘п \ ДпЛ 9г доШд^ М V 6гп8ЧЬт‘п \ ДпЛ 9г до-^7-costi I Г]Дт0-^7-costi I Г]Дт0АСГ1 йтй/ АС .рj 1FTT7 /рr0+p/2 1 1 Г0АСГ1 йтй/ АС .рj 1FTT7 /рr0+p/2 1 1 Г0

Шд^ М V 6гп

8ЧЬт‘п \ ДпЛ 9г до

Шд^ М V 6гп

8ЧЬт‘п \ ДпЛ 9г до

-^7-costi I Г]Дт0

-^7-costi I Г]Дт0

АСГ1 йтй/ АС .

рj 1FTT7 /р

r0+p/2 1 1 Г0

АСГ1 йтй/ АС .

рj 1FTT7 /р

r0+p/2 1 1 Г0

5 Это можно установить, рассматривая треугольник со сторонами г0, г0 и углом 0' между НИМИ.

Наконец, часть интеграла, распространенная на Dg, меньше

где До— пересечение области Д,, с плоскостью 6' = 0. Если положить 8 = /(1 — Г0)2 + (Z — z')2,

то в области Ад имеем 6 >гГ<Ь.

Следовательно, рассматриваемый интеграл мень: е, чем

T=arctg__.T=arctg__.л/2оо

T=arctg__.

T=arctg__.

г4— \гДе

Увшф J в'2 г/р .

О У Чр/21 1

Таким образом, при р ^ 2 оценка для dwn^!dz доказана. Обратимся теперь к случаю р > 2. Здесь Dq исчезает, так что

^ш 19 С С С 9 М \~" д 199

8» — й ) П 9г'и ( Яп ) ^^ 2л i П dr; ( Rn ) Т]^То-

(3.14)

Первое слагаемое представим в виде суммы трех членов аналогично -формуле (3.12). Легко убедиться в том, что все оценки, найденные для аналогичных членов в (3.12), остаются в силе и здесь. Второе слагаемое по абсолютной величине меньше

Так как в области Do

_ 1 \2 + 1 /з

z + 1 /2 j/'з ’

то

, АС

Тем самым полностью доказано неравенство

9узмdz

ЛС(1 +р~А)(1+z)3

Оценка для d2r„+1/dzdr0:

dz dr0dz dr0(3.16>(3.16>

dz dr0

dz dr0

(3.16>

(3.16>

Пусть Ах — значение константы А в уже доказанном первом неравенстве- (2.9). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что константа, С удовлетворяет неравенству

(3.17>(3.17>2Л1С / ш.

(3.17>

(3.17>

Если условие (3.17) выполнено, то из первого неравенства (2..9) и из (3.16) следует

дЧ , ' 7141dz дг0дЧ , ' 7141dz дг0< А< А8ип+18Ч ди,п+1дг0dz dip8ип+18Ч ди,п+1дг0dz dip(3.18),(3.18),

дЧ , ' 7141

dz дг0

дЧ , ' 7141

dz дг0

< А

< А

8ип+18Ч ди,п+1

дг0dz dip

8ип+18Ч ди,п+1

дг0dz dip

(3.18),

(3.18),

Подставляя вместо иа+1 и wn+1 их значения, получим

(3.19>(3.19>, 1 8гп 8 М* С 8 ( 1 \ — ,

(3.19>

(3.19>

+ "2л" dz ~д^ J J J дг’ Rn } ^ Т0,В, "

В случае р <^ 2 мы преобразуем Кпо следующим образом:

к^ = 4? 4k S $ $ 4" (пг) ^cosO'dro +

8гп Л-^7- COS 6 I Т]геЙТо.8гп Л-^7- COS 6 I Т]геЙТо.В. \

8гп Л

-^7- COS 6 I Т]геЙТо.

8гп Л

-^7- COS 6 I Т]геЙТо.

, 1 f С С _М\ / 8Ч

2л ' J dr a dr \ Rn / I dz D,0

Это выражение отличается от последних двух членов (3.12) только множителем — drjdr^, так что

(3.21).(3.21).I Кп,\ < АС (1 + p-VO(l + z)"3.

(3.21).

(3.21).

При р 2> 2 неравенство (3.21) получается почти дословным перенесением доказательства неравенства для dn;n+1/5z. Из неравенств (3.18) и (3.21), следует

I 8zdra (14*z)3

Неравенство для Az(d2rnJ_1/drodz). Заметим прежде всего, чти искомое второе из неравенств (2.10) при d> 1 непосредственно следует из- уже доказанного первого. Поэтому мы будем вести доказательство, предполагая, что d<^l. Из (2.3) вытекает

dr08z —VW + Wn-vl)дГо az 8r0 J

S: г Э^г . 1(2) Д w ,

I/3-23)

L 8r0 da X W + шб^' Z

где индексы 1 и 2 указывают, что значения выражений, при которых они стоят, надо брать соответственно в точках Рг и Рг, по которым берется разность Az.

Из (3.15), (3.17), (3.22) следует, что при d <^ 1 второе слагаемое формулы (2.23) не больше

АС (1 + р~^)АС (1 + р~^)(1 + ^(1 + ^P“W1*I ,ЛС(1+р-1) АL dz J |(1 + z)«(1 + z)6P“W1*I ,ЛС(1+р-1) АL dz J |(1 + z)«(1 + z)6И'+Ш’]- (3-м>И'+Ш’]- (3-м>

АС (1 + р~^)

АС (1 + р~^)

(1 + ^

(1 + ^

P“W1*I ,ЛС(1+р-1) А

L dz J |(1 + z)«(1 + z)6

P“W1*I ,ЛС(1+р-1) А

L dz J |(1 + z)«(1 + z)6

И'+Ш’]- (3-м>

И'+Ш’]- (3-м>

Для того чтобы оценить первое слагаемое формулы (3.23), достаточно рас- ■смотреть выражение

д Г /ГП+1дГП9UW 12 |_ дг0dz дг0Jд Г /ГП+1дГП9UW 12 |_ дг0dz дг0J1 Л Г С С С 2 Z'7 1 ,

д Г /ГП+1дГП9UW 1

2 |_ дг0dz дг0J

д Г /ГП+1дГП9UW 1

2 |_ дг0dz дг0J

Ы И -53- ^cos е +

, Г ^^^ И' 2л 2 L 9zдг0 ' ' ', Г ^^^ И' 2л 2 L 9zдг0 ' ' 'Разобьем область Z>0 на четыре части:Разобьем область Z>0 на четыре части:5 / 1 А —1

, Г ^^^ И

' 2л 2 L 9zдг0 ' ' '

, Г ^^^ И

' 2л 2 L 9zдг0 ' ' '

Разобьем область Z>0 на четыре части:

Разобьем область Z>0 на четыре части:

V \ R / Л^о =

(3.25)(3.25)'гп ' п / J

(3.25)

(3.25)

Но — Р/2 < го < го + р/2,

(zi — d!/2 < z'< z2 + d/2 (d = z2— zi),

£jzHo — P/2 <C ro C fo + p/2,

Ui— p/2^z'<^zi — d[2 или z2 + dj2 < z' <( z2 + p/2,

^зHo + P/2 < Го

° bi — p/2 < z' < z2 + p/2,

D^D^D^-D^-D^.

Объединение Z>g + Z>g + -^o обозначим Eo.

Рассмотрим прежде всего первое слагаемое правой части (3.25). Интегрируя по частям, получим

2л Аг [^Г Н S dz-H« cos 0 ^т° J - 2л Д2 [^ дгДни) Х

ПоГо

X р; со39Шо] - -^ Дг Щ J Л- (А-^ ^- cos 0'dTo] ,(3.26)

где Fo — вихревой диск (z = 0, г0 <^ 1}.^

Оценим сперва пространственный интеграл, причем рассмотрим отдельно его части, соответствующие Ео и Dg. В Ей имеем

[

я / 1 \ 1 г a / 15r / dr \ (2) a / 1 \

о I 1\V| w A n r n A u j 1\

8^ IIЭт» ) 6rn (^

причем можно брать Ro = 7?0д или Ro = R0)2 или для точки Рг или Р2.

Отсюда следует'

Из последних двух интегралов первый не больше Л(1 Др^/]/ 1 — г0), а второй ограничен (см. далее (4.14), (4.15)). Поэтому левая часть (3.27) не превышает

АС (1 + P"v)

Обратимся теперь к рассмотрению части объемного интеграла (3.26) по области ВХ".Обратимся теперь к рассмотрению части объемного интеграла (3.26) по области ВХ".

Обратимся теперь к рассмотрению части объемного интеграла (3.26) по области ВХ".

Обратимся теперь к рассмотрению части объемного интеграла (3.26) по области ВХ".

где Дд — пересечение области Dp с полуплоскостью 6' = 0. Достаточно рассмотреть интеграл

Р Р4г Q 4г'

1- 'о

Выделим из области Дд область Т№ в которой выполнено неравенство I г0 — r0 | < (1 — г0)/2.

Имеем

й/0 4.1'й/0 4.1'АА3^10.4/23^10.4/2Ь1]Л-г0 yi-r0- АйAdln^jd^Ь1]Л-г0 yi-r0- АйAdln^jd^ооre4-(l-r0)/2 dr’1/ 1 — Го Л' о 1У и Ч--Й/2 Г. ^/2re4-(l-r0)/2 dr’1/ 1 — Го Л' о 1У и Ч--Й/2 Г. ^/2

й/0 4.1'

й/0 4.1'

А

А

3^10.4/2

3^10.4/2

Ь1]Л-г0 yi-r0

- АйAdln^jd^

Ь1]Л-г0 yi-r0

- АйAdln^jd^

о

о

re4-(l-r0)/2 dr’

1/ 1 — Го Л' о 1

У и Ч--Й/2 Г. ^/2

re4-(l-r0)/2 dr’

1/ 1 — Го Л' о 1

У и Ч--Й/2 Г. ^/2

У"1 — Го У1 — Г0У1 — Г0

Далее,

drQ dCdrQ dC1 ^-годо ^01 ^-годо ^0< Ad< Ad1,Тд-^-Т^^,2 С 4Ч + С rfro— Го J' И _Го+(1-Го)/2 К 1 — г00^01,Тд-^-Т^^,2 С 4Ч + С rfro— Го J' И _Го+(1-Го)/2 К 1 — г00^0Ай(3.31)Ай(3.31)Из (3.30), (3.31) следуетИз (3.30), (3.31) следуетАС (1 + p~v) d4 (1 +2)3^1^ "АС (1 + p~v) d4 (1 +2)3^1^ "(3.32)(3.32)

drQ dC

drQ dC

1 ^-го

до ^0

1 ^-го

до ^0

< Ad

< Ad

1,Тд-^-Т^^,

2 С 4Ч + С rfro

— Го J' И _

Го+(1-Го)/2 К 1 — г00^0

1,Тд-^-Т^^,

2 С 4Ч + С rfro

— Го J' И _

Го+(1-Го)/2 К 1 — г00^0

Ай

(3.31)

Ай

(3.31)

Из (3.30), (3.31) следует

Из (3.30), (3.31) следует

АС (1 + p~v) d4 (1 +2)3^1^ "

АС (1 + p~v) d4 (1 +2)3^1^ "

(3.32)

(3.32)

Таким образом, неравенство для пространственного интеграла (3.26) доказано. Рассмотрим теперь поверхностный интеграл (3.26). При zx^> 1

Ad (1+43 ’Ad (1+43 ’

Ad (1+43 ’

Ad (1+43 ’

откуда

f|n cos 6' do»f|n cos 6' do»(3.33)(3.33)

f|n cos 6' do»

f|n cos 6' do»

(3.33)

(3.33)

Рассмотрим случай Zj <^ 1:

fin cos 0' do0 4-fin cos 0' do0 4-rjn cos 0' do0 = Azrjn cos 0' do0 = Az(3.34)(3.34)

fin cos 0' do0 4-

fin cos 0' do0 4-

rjn cos 0' do0 = Az

rjn cos 0' do0 = Az

(3.34)

(3.34)

Отсюда видно, что для r0 < 1/2 имеет место неравенство

1^-F.1^-F.Г э[ дгвГ э[ дгвйп cos 0' doo <^ ACd,йп cos 0' doo <^ ACd,(3.35)(3.35)

1^-

F.

1^-

F.

Г э

[ дгв

Г э

[ дгв

йп cos 0' doo <^ ACd,

йп cos 0' doo <^ ACd,

(3.35)

(3.35)

так как все интегралы в правой части (3.34) ограничены. Остается рассмотреть случай г0 )> 1/2.

По предположению (2.6) имеем

и согласно (3.6)

Icos 6' I <АС f1 +

1 tJ^ L П \ П / JI

(3.36)(3.36)Следовательно, первый член правой части (3.34) меньше лса (1 + р-1).

(3.36)

(3.36)

Обратимся к выражениюОбратимся к выражениюi)n cos 0' do0.i)n cos 0' do0.ИмеемИмеем

Обратимся к выражению

Обратимся к выражению

i)n cos 0' do0.

i)n cos 0' do0.

Имеем

Имеем

Рассмотрим сперва часть интеграла по области Нд, определенной неравенствами

ro < го — (1 ~ г0)/2, Го > г0 + (1 — г0)/2.

<ЦГ dSaP .)? ЛУГАНО<ЦГ dSaP .)? ЛУГАНОТогда

<ЦГ dSa

P .)? ЛУГА

НО

<ЦГ dSa

P .)? ЛУГА

НО

\ \ АН 7— -5- pin cos 6 da0 < AC \ \ — —=

"оHo

Так как Я0)>р/2, последний интеграл меньше, чем Л^р (см. далее (4.9')). Отсюда

\ \ Az -в- P„cos0 м <"7=^ —.(3.37)

но

При оценке интеграла по области Fo — Яд рассмотрим сначала подслучай z>l — г0. Тогда Д0узУр/2 и, следовательно,

2Лr„+(j-r„)/2

\ Аг — -д- Н)п cos 0'го^о <

6та-(Х-т )/2 С П га

(3.38)

Наконец, в подслучае z ^ 1 — г0 мы преобразуем наш интеграл следующим образом:

Ь'«-НоЬ'«-Ном —Tin COS 6' Л—раОо —Ип, 1м —Tin COS 6' Л—раОо —Ип, 1

Ь'«-Но

Ь'«-Но

м —

Tin COS 6' Л

—раОо —

Ип, 1

м —

Tin COS 6' Л

—раОо —

Ип, 1

т)п cos 0'ro d9' 4-т)п cos 0'ro d9' 4-f-h^f-h^Az f^M -Tr^e^dr'adQ', \ J 8r0Az f^M -Tr^e^dr'adQ', \ J 8r0(3.39)(3.39)

т)п cos 0'ro d9' 4-

т)п cos 0'ro d9' 4-

f-h^

f-h^

Az f^M -Tr^e^dr'adQ', \ J 8r0

Az f^M -Tr^e^dr'adQ', \ J 8r0

(3.39)

(3.39)

где 5n S2 — окружности Fp = f0 + Ча (1 — r0).

Первое слагаемое по абсолютной величине меньше

ACdlVp,(3.40)

поскольку

С с i]n cos 6'F-H.С с i]n cos 6'F-H.AC/1 —r0AC/1 —r0r«r«1П | Fg1П | FgF01 dr6 <F01 dr6 <ACV1 — r6ACV1 — r6ACVp-ACVp-

С с i]n cos 6'

F-H.

С с i]n cos 6'

F-H.

AC

/1 —r0

AC

/1 —r0

r«

r«

1П | Fg

1П | Fg

F01 dr6 <

F01 dr6 <

AC

V1 — r6

AC

V1 — r6

AC

Vp-

AC

Vp-

так как 1 — r0> p/2. Сумму оставшихся поверхностных интегралов рассмотрим отдельно в областях

I г0 — f0 | < d иI г0 — f0 | < d и1 Го — Fo I > d.1 Го — Fo I > d.

I г0 — f0 | < d и

I г0 — f0 | < d и

1 Го — Fo I > d.

1 Го — Fo I > d.

В области | f0 — г0 | ^ d эта сумма по абсолютной величине меньше, чем

АС РАС Р(3.41)(3.41)АС

АС Р

АС Р

(3.41)

(3.41)

(1 - г„У

для 1/2 <4 v <4 1.

В области | f0 — г0 | > d наша сумма интегралов по абсолютной величине меньше, чем

ACd ее Дб0 асд f'V ^о

(1 - т^^ , J J/?2(1 - г^1' [ ) | Гц - Го |

, Сdro 1 / ACd'' . AC / d \v

ra±d \r0~r°\>/р P /'

Формулы (3.33), (3.35) —(3.38), (3.40), (3.41) дают

^ * H (t) ]| < AC ЧТТ? (Я-^

Чтобы покончить с оценкой величины Az(d2Fn+1/dF0dz), нам остается еще рассмотреть

1 ) (дг’п 8гЛ л

__ l_cos9 - _ Ь1пм.

5 Заказ № 1090

В области Ео выполняются неравенства

д / 1 \А

дгЙд/п t дп JR®

1±P^1(1~М31±P^1(1~М3Э^ (X / < L ло ло (1+z)3.

1±P^1(1~М3

1±P^1(1~М3

I dr

Az—21 /Ad | z dz

а в области Dg

dz dzdz dzЛ(1+Р"1А)(1 + z)3Л(1+Р"1А)(1 + z)3(Ro + r^.(Ro + r^.

dz dz

dz dz

Л(1+Р"1А)(1 + z)3

Л(1+Р"1А)(1 + z)3

(Ro + r^.

(Ro + r^.

Рассмотрим сперва часть интеграла (3.44) по ВЙ:Рассмотрим сперва часть интеграла (3.44) по ВЙ:(3.45)(3.45)

Рассмотрим сперва часть интеграла (3.44) по ВЙ:

Рассмотрим сперва часть интеграла (3.44) по ВЙ:

(3.45)

(3.45)

Первый интеграл оценки меньше Ald^V^.—г0 (см. далее (4.6), (4.7)), а второй ограничен (см. далее (4.4), (4.5)), так что первый интеграл правой части (3.45) меньше АС (1 + p-v) d^l + z)3^ 1 — г0. Второй интеграл правой части (3.45) оценивается, как выражение (3.8), и не превышает A?V 1 — г0, и, следовательно, все вйражение (3.45) меньше

АС (1 + p~v) дР

Обратимся к части интеграла (3.44) по Z)^:

(3.47)

АСА (1 + р~‘Л) (1 + z)3АСА (1 + р~‘Л) (1 + z)3(3.53)(3.53)

АСА (1 + р~‘Л) (1 + z)3

АСА (1 + р~‘Л) (1 + z)3

(3.53)

(3.53)

Второй интеграл оценивается, как раньше, а первый меньше, чем

(3.48)

(3.49)

(3.50)

Из (3.48)—(3.50) следует, что часть интеграла (3.44) по Dg также оценивается выражением (3.46).

Наконец, возьмем часть интеграла (3.44) по Dg. И здесь имеем оценку, аналогичную (3.47). Второй интеграл оценивается, как раньше, а первый меньше, чем ,

(3.51)(3.51)лг>^ССС dT0 . , ^4С<Щ+р1/2) ССС ^0

(3.51)

(3.51)

J J J д4 1/1 _ т' 0 + z) J J J дз 1/'

40„40 ,0

Тогда

ТС Л, . С С Л0Л' с йф С Де Л UIr^Vi-t; 3 36з-|А__Го 3 !/8шф Св^е pVp D0 до

Из (3.51)—(3.53) следует оценка выражением (3.46) для части интеграла (3.44) по Dg.

Остается оценить часть интеграла (3.44) по D^. Очевидно,

Каждый из этих интегралов меньше

АС (1 + р"1^) г (Ц ЛоАС (1 + p'l/=) <А АС (1 -l p"v) dN

(1+73 W(1+z)3(1+73

ni о ’ о

(см. далее (4.6)). Таким образом, доказательство неравенства для А2 (д2гп+1/ /dzdr0) закончено.

Неравенство для AZj(d2r,tn/dzdr0) доказывается так же, как и предыдущее. Для того чтобы завершить доказательство основной леммы, надо еще вывести неравенства (2.11) и (2.12). Эти неравенства получаем не- лосредственно, применяя уже доказанное к величинам

У п+1У п+1 X I (Гр) Гр2л Гр гп+1 X I (Гр) Гр2л Гр гп+1

У п+1

У п+1

X I (Гр) Гр

2л Гр гп+1

X I (Гр) Гр

2л Гр гп+1

Лп-ПЛп-ПX v (. х ^гп+1 уп+1

Лп-П

Лп-П

JF + u,n+1

и их производным.

4. ОЦЕНКА НЕКОТОРЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1°. Рассмотрим интеграл

—Л 0

Имеем

7?о = (z — z')2 + (r0 — г')2 + 4roFoSin2 (972). Полагая

б2 = (z — z')2 + (г — Гр)2, получаем.

27?о> 62 + (г0 — го)2 + 4rorosin2 (972) > б2 + (г0 + Гд)2 (9'7л2),

R^ > (1/2л2) [б2 +/r0 + r'0V 9'2],

и поэтому

оо6/(г<.+''о)

\<L 4л2 <\

JА ( J S^

0 [62 + (ro + ^)2e'2]20

0^1 ^4Г40^1 ^4Г4(4-1)(4-1)1

0^1 ^4Г4

0^1 ^4Г4

(4-1)

(4-1)

6/(^о+^д)

2°. Далее, возьмем интеграл

—л

Имеем

dW

О V ‘А + (г0 + Г,)’- 6'2 и отсюда

4л2 , 7 1П '-о + 'о

Го + г0д

1 о д

/2

А

In

(4.2)

вспомогательный интегралdr'oвспомогательный интегралdr'o(Ц >0, Ц^ 1),(Ц >0, Ц^ 1),

вспомогательный интегралdr'o

вспомогательный интегралdr'o

(Ц >0, Ц^ 1),

(Ц >0, Ц^ 1),

'о

3°. Оценим

1

3 J (|z-z'| + |ro-ro|)fi/l-< Имеем

Ге-(1-Г0)/2

Z^<4\

5 (I Z - Z' г„-+(1-г,)/2

А г

dr0

й'"'о

^ Г° г0-(1-г„)/2

,А

(I Z — Z' I + | Го — r0 I)11

4

1

Гdt

(1Л| Z -

V W-r«)

| 3 - Z' р 1 Г1 — Го

Так как

1

t4(l-r„)

1

drO

- / | + 1 - г0)ц-1 V1 - т»

1

(VI Z - Z' I + V"! - Го )2(i 1

' [(l^-z'l + l-^-Vl-r,,

(4-3)(4.3а)(4.36)(4.4)(4.5)(4-3)(4.3а)(4.36)(4.4)(4.5)dT0dT0(^<1, i/2(^<1, i/2

(4-3)

(4.3а)

(4.36)

(4.4)

(4.5)

(4-3)

(4.3а)

(4.36)

(4.4)

(4.5)

dT0

dT0

(^<1, i/2

(^<1, i/2

TO

31 (| z — z' |1 — r0) ^1/1 — r0 | z — z' p-1 ]/l — r0

В частности, при | z — z' | </ 1, p /> 1

3| z — z' |^-11/1 — r0 '

а в случае | z — z' | — 0, p </ 1/2

4°. Рассмотрим интеграл

при V2<V< 1. По (4.1), (4.36)

r< с drn azС dr. рл л

J / д к I о / д I 0 I

4 у s2-vу 1 -г0 з /i _ r; / (H-^i + ko-r;i)2-v

5е. Из (4.4) следует

до

Имеем

•<Н)Ао 1•<Н)Ао 1drQ dz'drQ dz'63-v ]/1 _ г'63-v ]/1 _ г'1 л '1 л 'dz'dz'

•<Н)

Ао 1

•<Н)

Ао 1

drQ dz'

drQ dz'

63-v ]/1 _ г'

63-v ]/1 _ г'

1 л '

1 л '

dz'

dz'

ri' (^ + I го - г' |)2 v /1 - г'

Ао —)пересечение области Do с полуплоскостью 6' = 0.

Вследствие (4.3) отсюда

7°. Из предыдущих оценок следует при d< 1

8°. Пусть Do есть часть D01 для которой \ z — z' | < d. Оценим интеграл

А = Шт==-

*У R® v у 1 — rQ

Do

По (4.1), (4.3а) получаем

IsIsdr

Is

Is

(| z - z' | + | г» — Гц |)2~v /1 — г'

AdvAdv(4-8)(4-8)

Adv

Adv

(4-8)

(4-8)

9°. Пусть Нц — часть плоскости z' = const, определяемая неравенством

Го < 1, I ?-0 — г0 I > Va (1 — г0).

Рассмотрим.

=(р>3/2),

Имеем

r.-d-^/a

о

6

dtITrp-|+i)2^-i)dtITrp-|+i)2^-i)

dt

ITrp-|+i)2^-i)

dt

ITrp-|+i)2^-i)

(4-9)(4-9)— ГоА

(4-9)

(4-9)

(I 3 — Z' 1 + 1 — Го)^-1 (I z — г' I + 1 — Го)11-3^

В частности, при z' = О

/^(0)/^(0)Ари-3/2Ари-3/2(4.9')(4.9')

/^(0)

/^(0)

Ари-3/2

Ари-3/2

(4.9')

(4.9')

а в случае z' = z

1^ (7) <1^ (7) <A(1 _ ro)H-3/2A(1 _ ro)H-3/2(4.9")(4.9")

1^ (7) <

1^ (7) <

A

(1 _ ro)H-3/2

A

(1 _ ro)H-3/2

(4.9")

(4.9")

da’(1 г _гЧ + до)^+1 /1_г;da’(1 г _гЧ + до)^+1 /1_г;(1 - то^(1 - то^

da’

(1 г _гЧ + до)^+1 /1_г;

da’

(1 г _гЧ + до)^+1 /1_г;

(1 - то^

(1 - то^

10°. Пусть To — часть области Do, определяемая неравенствами I г о — Го | < V2 (1 — г0),| z — z' | < х/2 (1 — r0),

a So = Do — To. Рассмотрим

' s? До К1 - ro

Пусть Fo — часть £0, определяемая неравенством

I г0 — г' |< V2 (1 — г0),

a U0 = SQ —■ Ио-

Имеем

ооr.-Hi-rp/a,

Саг.

! ^Z 1 /—° ‘

с+р—гр/Зг0-(1—г,)/2 6^ У 1 г0

(1-г0)/2,

С £о.

где R» = (г0 — Го)2 + 4г0г0 sin2 (072). Отсюда

11°. Пусть Fo — поверхность z' = const, Гд <7 1. Рассмотрим

По (4.2)По (4.2)

По (4.2)

По (4.2)

А.<^(1 + $|1=к,-г;ц-?т^=)<л(1+

Оу 1 Л(Г 7о к 0

r„+(l—r0)/2,1,,

+1С dro пГ Йго \

VIГ1_(1)го)/2|гз-г0|^1ко-г;гго+До)/2/г^/-

где 0 < р < 1/2. Отсюда

Л1Л1(4.11)(4.11)12°. Пусть Go (2р) — часть Do, определяемая неравенствами 1 — 2р ^ ^ rd ^ 1, а Го (2р) — соответствующая часть плоскости z' = z. Рассмотрим12°. Пусть Go (2р) — часть Do, определяемая неравенствами 1 — 2р ^ ^ rd ^ 1, а Го (2р) — соответствующая часть плоскости z' = z. Рассмотрим<Zr0<Zr0G„(2p)G„(2p)Для p < 1/2Для p < 1/2Z12(2p)< И H -^Г„(2Р) R° V 1 '/грZ12(2p)< И H -^Г„(2Р) R° V 1 '/гр00A \ G + |b|r0 — r0||)—= l-2pV 1 -A \ G + |b|r0 — r0||)—= l-2pV 1 -\ In t dt —— J 1Л - r0 '2(1-Г„)1\ In t dt —— J 1Л - r0 '2(1-Г„)1I In I r0 —I In I r0 —^‘oH (1ro)/2^‘oH (1ro)/2Z12 (2p)< H/pln (1/p), p < 1/2,Z12 (2p)< H/pln (1/p), p < 1/2,Z12(2p)<n, p>l/2.Z12(2p)<n, p>l/2.13°. Рассмотрим13°. Рассмотрим(УЧДс?Го(УЧДс?Го13 = \ \ \ rвГ Ro^1-r»13 = \ \ \ rвГ Ro^1-r»^0^0(4.12)(4.12)

Л1

Л1

(4.11)

(4.11)

12°. Пусть Go (2р) — часть Do, определяемая неравенствами 1 — 2р ^ ^ rd ^ 1, а Го (2р) — соответствующая часть плоскости z' = z. Рассмотрим

12°. Пусть Go (2р) — часть Do, определяемая неравенствами 1 — 2р ^ ^ rd ^ 1, а Го (2р) — соответствующая часть плоскости z' = z. Рассмотрим

<Zr0

<Zr0

G„(2p)

G„(2p)

Для p < 1/2

Для p < 1/2

Z12(2p)< И H -^

Г„(2Р) R° V 1 '

/гр

Z12(2p)< И H -^

Г„(2Р) R° V 1 '

/гр

0

0

A \ G + |b|r0 — r0||)—= l-2pV 1 -

A \ G + |b|r0 — r0||)—= l-2pV 1 -

\ In t dt —— J 1Л - r0 '2(1-Г„)

1

\ In t dt —— J 1Л - r0 '2(1-Г„)

1

I In I r0 —

I In I r0 —

^‘oH (1ro)/2

^‘oH (1ro)/2

Z12 (2p)< H/pln (1/p), p < 1/2,

Z12 (2p)< H/pln (1/p), p < 1/2,

Z12(2p)<n, p>l/2.

Z12(2p)<n, p>l/2.

13°. Рассмотрим

13°. Рассмотрим

(УЧДс?Го

(УЧДс?Го

13 = \ \ \ r

вГ Ro^1-r»

13 = \ \ \ r

вГ Ro^1-r»

^0

^0

(4.12)

(4.12)

Выделим из Do часть Ko, для которой р' </ р/2, а из Z)o — Ко — часть L01 для которой Гд > 1 — 2р.Вслучаер > 1/z имеем Do= Ко + Lo. Тогда

г е е (1 + р'--Д р!тоАГdtpг (1 + р'--Д Р'Ф' <д,

р<?«Г ^р'’

г с и+ р-ч^о< Аt +Г1Д) /12 (2р) < А1П /2 + 1,

РГС _(1±Р±^?<ЛО+Р'""1''2) riT0

d^k.-l„ Ro f1 - гоp'2 /1 - r0

(4.13)(4.13)

(4.13)

(4.13)

Отсюда

Z13 < A In (2 + 1/p).

114114(1 +р' ‘^Дтр(1 +р' ‘^Дтр(^2(^2В случае р <^ 1В случае р <^ 1л/23,, C d^ C (1 +P' A)P'^P'-* 14 ^5\ /—; \.. .«у r . "/ i/sinv a |p-p'I VP'а в случае p > 1л/23,, C d^ C (1 +P' A)P'^P'-* 14 ^5\ /—; \.. .«у r . "/ i/sinv a |p-p'I VP'а в случае p > 1dz'_ |i+vdz'_ |i+v1414D,D,(1 + р' *А) Ао(1 + р' *А) АоAoВГAoВГИтакИтак(4.14)(4.14)15°. Рассмотрим15°. РассмотримZ15Z15(1 +р' '=)Ао(1 +р' '=)АоВ? С"/1^В? С"/1^v<l).v<l).Выделим из Dq определенные — Pg — Ко. ТогдаВыделим из Dq определенные — Pg — Ко. Тогдавыше части Ко и То и положим No = Do —выше части Ко и То и положим No = Do —(1 + р' '^ dtp(1 + р' '^ dtpООооЛ/2A £ d4p1+v J iCsin фЛ/2A (‘ d^p1+v J l/sinvЛ/2A £ d4p1+v J iCsin фЛ/2A (‘ d^p1+v J l/sinvР/2„С (1 + Р'~ /з) Р' dp'Р/2„С (1 + Р'~ /з) Р' dp'Ор/2Ор/21/р'1/р'А/ 4— при р< 1РА/ 4— при р< 1Роо(1 + P' Va) P' dP’V7(1 + P' Va) P' dP’V7*/2) А(*/2) А(г? вГ^-г»г? вГ^-г»г,г,ЛрRTЛрRT1 +P'(1 + r0)1 +P'(1 + r0)pv-y2при p > 1P-'-opv-y2при p > 1P-'-oJ J n2+V I/ J _ 'J J JJ J n2+V I/ J _ 'J J JdTodTo(1 + Гор 1/2 "1/1 -г0(1 + Гор 1/2 "1/1 -г0так как согласно (4.10)так как согласно (4.10)е е е ЛоЬо О ге е е ЛоЬо О г"q(1 r0)V '"q(1 r0)V '

114

114

(1 +р' ‘^Дтр

(1 +р' ‘^Дтр

(^2

(^2

В случае р <^ 1

В случае р <^ 1

л/23

,, C d^ C (1 +P' A)P'^P'

-* 14 ^5\ /—; \.. .«у r . "

/ i/sinv a |p-p'I VP'

а в случае p > 1

л/23

,, C d^ C (1 +P' A)P'^P'

-* 14 ^5\ /—; \.. .«у r . "

/ i/sinv a |p-p'I VP'

а в случае p > 1

dz'

_ |i+v

dz'

_ |i+v

14

14

D,

D,

(1 + р' *А) Ао

(1 + р' *А) Ао

Ao

ВГ

Ao

ВГ

Итак

Итак

(4.14)

(4.14)

15°. Рассмотрим

15°. Рассмотрим

Z15

Z15

(1 +р' '=)Ао

(1 +р' '=)Ао

В? С"/1^

В? С"/1^

v<l).

v<l).

Выделим из Dq определенные — Pg — Ко. Тогда

Выделим из Dq определенные — Pg — Ко. Тогда

выше части Ко и То и положим No = Do —

выше части Ко и То и положим No = Do —

(1 + р' '^ dtp

(1 + р' '^ dtp

О

О

о

о

Л/2

A £ d4p1+v J iCsin ф

Л/2

A (‘ d^p1+v J l/sinv

Л/2

A £ d4p1+v J iCsin ф

Л/2

A (‘ d^p1+v J l/sinv

Р/2„

С (1 + Р'~ /з) Р' dp'

Р/2„

С (1 + Р'~ /з) Р' dp'

О

р/2

О

р/2

1/р'

1/р'

А/ 4

— при р< 1

Р

А/ 4

— при р< 1

Р

о

о

(1 + P' Va) P' dP’

V7

(1 + P' Va) P' dP’

V7

*/2) А(

*/2) А(

г? вГ^-г»

г? вГ^-г»

г,

г,

Лр

RT

Лр

RT

1 +P'

(1 + r0)

1 +P'

(1 + r0)

pv-y2

при p > 1

P-'-o

pv-y2

при p > 1

P-'-o

J J n2+V I/ J _ 'J J J

J J n2+V I/ J _ 'J J J

dTo

dTo

(1 + Гор 1/2 "1/1 -г0

(1 + Гор 1/2 "1/1 -г0

так как согласно (4.10)

так как согласно (4.10)

е е е Ло

Ьо О г

е е е Ло

Ьо О г

"q(1 r0)V '

"q(1 r0)V '

14°. Рассмотрим

получимполучим(4.15)(4.15)

получим

получим

(4.15)

(4.15)

Собирая предыдущие неравенства

1 । n-v

V 1 — го

ЛИТЕРАТУРА

Joukowski N. Theorie tourbillonaire de 1’helice propulsive. P.: Gauthier-Villars, 1929. 204 p.; Жуковский H. E. Вихревая теория гребного винта. Ст. 1.— Тр. Отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания, 1912, 16, вып. 1,с. 1—31; Ст. 2, 1914,17, вып. 1, с. 1—33; Ст. 3, 1915, 17, вып. 2, с. 1—23; Ст. 4.— Тр. Авиац. расчет.-испытател. бюро, 1918, вып. 3, с. 1—97. См. также: Собр. соч. М.: Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 4, с. 395— 612.

Appel Р. Traite de Mecanique rationelle. 3е ed. P.: Gauthier-Villars, 1921, T. 3 /Рус. пер. второго издания: Аппель П. Руководство теоретической (рациональной) механики. М.: Тип. Т-ва Кушнеров и К°. 1911. Т. 3. Равновесие и движение сплошных средин. 682 с.

Lichtenstein L. Vorlesungen uber einige Klassen von nichtlinearen Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen. B.: Springer, 1931. 164 S.

3

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСАО НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИКРЫЛА АЭРОПЛАНА

В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ *

Вопрос об установившемся движении крыла аэроплана в плоско- шараллельном потоке идеальной жидкости в настоящее время в достаточной -степени изучен (подробнее см. [1]). Если мы рассмотрим относительное течение жидкости по отношению к крылу, то течение характеризуется функцией комплексного переменного z = ж + iy-

/ (z) = ф (ж, р) + ф (ж, р),

где ср — потенциал скоростей, а ф — функция тока.

Как известно, нахождение / (z) сводится к конформному преобразованию внешности круга радиуса 1, расположенного в плоскости переменного £, на внешнюю область крыла и такому, что бесконечно удаленные точки z-плоскости и ^-плоскости друг другу соответствуют, а производная dtjdz в бесконечности равна действительному количеству, которое обозначим а.

Возьмем характеристическую функцию течения с заданным направлением -скорости в бесконечности, обтекающего круг радиуса 1:

где Voo = V^Ja. V^— скорость потока, обтекающего крыло, в бесконечности. Заменив в этом выражении £ по формулам конформного преобразования, получим w — f (z). Если известно течение, подъемную силу крыла и момент

Об. статей по аэро- и гидромеханике. М.: Госмашиздат, 1933, с. 210—217.

сил давления можно найти по формулам Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина:

Р =п- \ dz = plехр ибф -л- ,

М = Re -5- z dz.

2 J \ az J

С

Нашей целью является изложение основных результатов, полученных в различных работах, русских и иностранных, по неустановившемуся движению крыла аэроплана в вертикальной плоскости. Исследование движения в данном случае много труднее, и законченных результатов в этом направлении еще не имеется, хотя этому вопросу посвящено немало работ.

Элементарный расчет. Мы остановимся прежде всего на самом простом непосредственном расчете неустановившегося движения. Пусть крыло имеет какую угодно поступательную скорость и, кроме того, некоторое вращательное движение.

Будем считать, что в каждый момент времени t0 поток установился такой, какой был бы при установившемся обтекании крыла в его данном положении. Тогда, применив для каждого момента t обычные формулы момента и подъемной силы, мы получим их как некоторые функции времени. В дальнейшем будут даны графики неустановившегося движения, подсчитанные указанным способом. Этот расчет, конечно, не отвечает действительному положению вещей и является лишь первым приближением. Перейдем к изложению теорий неустановившегося движения, в которых учитывается влияние присоединенных масс.

ТЕОРИЯ С. А. ЧАПЛЫГИНА

В 1926 г. С. А. Чаплыгин в статье «О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло» дал теорию неустановившегося движения. В его работе рассматривается случай идеальной жидкости и предполагается, что поток правильный всюду вне крыла. Посмотрим, к чему ведет это предположение. Пусть хОу — неподвижная система координат, ф (ж, г/, i) — потенциал скоростей, V — скорость течения, р — давление и р — плотность. Тогда уравнение Лагранжа—Бернулли напишется в таком виде:

р 8t 2 К

Члены р/р и у2/2 являются однозначными функциями х и у, следовательно d^>!8t должна быть однозначной функцией координат. Изменение функции Ф по контуру крыла, т. е. j t/ф, есть циркуляция скорости по этому контуру. Так как функция о<\Р 01 однозначна, это изменение не будет меняться со временем. По этой причине в теории С. А. Чаплыгина циркуляция скорости по контуру, охватывающему крыло, должна считаться постоянной.

Кинематические элементы движения. Обратимся к изложению теории С. А. Чаплыгина. Пусть хОу — система координат, неизменно связанная с крылом, а ось Ох имеет постоянное направление. Обозначим через и0 и

z0 проекции скорости точки О на оси координат z, у, а через со — угловую скорость вращения крыла, считая ее положительной при вращении против часовой стрелки. Если U и V — проекции скорости поступательного движения крыла на оси X и у, то скорость точки О будет слагаться из скорости этого поступательного движения и скорости вращения около точки С:

и0 = U соз а + F sin а + соц, у0 = —U sin а + F cos а — со^. (1)

Проекции ускорения точки О выражаются известными формулами:

h = и0 — сог^о, к = и0 + сомо.(2)

Обозначим через и и и проекции относительной скорости воздуха по отношению к системе хОу на оси хну. Абсолютные скорости воздуха, как известно, имеют потенциал ф (z, у, t), и их проекции на оси хну будут

дер

= и0 + U — toy,= Vo + V + toX.

Если положить ср = ср — иЙх — иоу, то ф — гармоническая функция и

и =юж-(3)

Эх 3ду' '

Потенциал скоростей. Пусть ф — гармоническая функция, сопряженная С ф, и

ш = ф + сф.

Определим значение ф на контуре крыла. Из условий Коши—Римана и (3) получаем

дфдф...

и = —4 сои, и =5 coz.(4)

dy 3'

Так как относительная скорость должна быть касательна к контуру крыла, то

udy — udx = О,(5)

и, подставив сюда выражения скоростей по формулам (4), получим

-^- dy + -^- dx 4- toydy 4- coz dx = 0.

Интегрируя это выражение, находим, что на контуре крыла

ф = — СОg= — со — ,(6)

где z = х + iy, а 2 — сопряженное количество.

Для того чтобы найти w, рассматривают эту функцию как сложную, состоящую из wT и ш2, соответствующих поступательным и вращательным движениям крыла соответственно. Для определения w1 надо найти функцию течения, обтекающего крыло, причем скорость потока в бесконечности должна быть —и0—iv0. Эта задача решается, как известно, отображением внешней области крыла на внешность круга радиуса 1 или отображением на верхнюю полуплоскость. Отобразим внешность крыла на верхнюю полуплоскость так, чтобы точка z = оо перешла в точку ^ = г. Функция, реализующая кон-

формное отображение, имеет вид

2 = ^+$©,(7)

где Ф (^) — функция, голомофная во всей верхней полуплоскости. Отображение может быть всегда произведено так, что константа а будет лишь действительным значением. Функцию мф, выраженную через переменное надо взять в виде

мд “о — ^опр Ч~ ^оГ j £ — i,g,

а,£ — с ^ + ^ 2л1а £ + ‘'

где Г — циркуляция скорости по контуру крыла. Укажем, как найти функцию ш2. Если Wy = ’ф1 + (фх, м?2 = ф2 + 1ф2, то, так как ф! = 0 на контуре крыла, по формуле (6) имеем

ZZ

ф2 = — со —

на контуре крыла. Кроме того, функция ш2 правильна всюду вне крыла,, включая бесконечно удаленную точку.

Обозначим через F (£) величину zz = | z |2 как сложную (см. (7)) функцию t,. Тогда, как показал С. А. Чаплыгин, функция w» выражается череа £ как

-j-oo-4-ос

= _ f(9).

2л J E, 1— 4л ,)x=/ \ ^ — i £ + c /

Совершив конформное преобразование от £ к z, получим w2 (z). Наметим, каким образом получается эта формула. Внешняя область крыла отображается конформно на круг, тогда функцию ф2 можно определить, пользуясь интегралом Пуассона

2Л

ф2 = — “ С ф

т 4л ,) Д + z2 — cos (О — О )' '

о

где Ф (О') — значение | z р на контуре крыла, выраженное через угол О'. Функция ф2 есть функция, сопряженная с ф2, и по ф2 легко найти ф2. Составив же

w^ = ср2 + 1ф2, найдем

2Л

—^$ ф(0)4±1сж о

где t = exp (iO'). Совершив конформное преобразование круга I £ I <^ 1 на верхнюю полуплоскость, получим (9).

Формула Бернулли для относительного движения. Составим уравнения Эйлера для рассматриваемого движения. Для этого в уравнения

d"2x 1 др d2y 1 др.,„

df2р дх ’ dt2Р дух 7

подставим значения ускорений. Ускорения частицы жидкости складываются из переносного ускорения, которое, как это следует из разд. 4, имеет проекции

h, — toy — «гх, k + и'ж — ary,

из поворотного ускорения с проекциями —2 оу, 2 du и относительного- ускорения, проекции которого равны

du ЭиЭи|диdu ди диди

dtdtдх1ду1 dtdtU dxду *

Подставляя это в уравнения (10), получаем

дидидидидидиди . ди . ди „,,„—н и —И у -7Ь 2»м + к 4- со ж — со2»dt дх ду"ди . ди . ди „,,„—н и —И у -7Ь 2»м + к 4- со ж — со2»dt дх ду"1 dp р дх ' 1 др Р ду -1 dp р дх ' 1 др Р ду -(И)(И)

ди

ди

ди

ди

ди

ди

ди . ди . ди „,,„

—н и —И у -7Ь 2»м + к 4- со ж — со2»

dt дх ду"

ди . ди . ди „,,„

—н и —И у -7Ь 2»м + к 4- со ж — со2»

dt дх ду"

1 dp р дх ' 1 др Р ду -

1 dp р дх ' 1 др Р ду -

(И)

(И)

Если продифференцировать (3) по t,Если продифференцировать (3) по t,тото

Если продифференцировать (3) по t,

Если продифференцировать (3) по t,

то

то

диддер,dt"dtдх +®У"^д дф f= —з37 (О^;оуatиз формул же (3) следует:диддер,dt"dtдх +®У"^д дф f= —з37 (О^;оуatиз формул же (3) следует:ддф ,,дх dt17ддф ,,дх dt17до dtдо dtд Зф—ГСО Ж = dt дуд Зф—ГСО Ж = dt дуди ддфду ' дудхЭи ЭЭфдхдхдуди ддфду ' дудхЭи ЭЭфдхдхду+ ® — "^ (у 4- to^ + м —д /— (0= -5— (и — cow) — со =ду v7 7+ ® — "^ (у 4- to^ + м —д /— (0= -5— (и — cow) — со =ду v7 7ди дхди "дуди дхди "ду2 о.2 о.

диддер,

dt"dtдх +®У"^

д дф f

= —з37 (О^;

оуat

из формул же (3) следует:

диддер,

dt"dtдх +®У"^

д дф f

= —з37 (О^;

оуat

из формул же (3) следует:

ддф ,,

дх dt17

ддф ,,

дх dt17

до dt

до dt

д Зф

—ГСО Ж = dt ду

д Зф

—ГСО Ж = dt ду

ди ддф

ду ' дудх

Эи ЭЭф

дхдхду

ди ддф

ду ' дудх

Эи ЭЭф

дхдхду

+ ® — "^ (у 4- to^ + м —

д /

— (0= -5— (и — cow) — со =

ду v7 7

+ ® — "^ (у 4- to^ + м —

д /

— (0= -5— (и — cow) — со =

ду v7 7

ди дх

ди "ду

ди дх

ди "ду

2 о.

2 о.

Заменяя по этим формулам третий член первого из уравнений (11) и второй член второго из уравнений (И), получим

а /дх \а /дх \1 др \ д / дф , и2 + и2 р дх )дх \ dt "Т"21 др \ д / дф , и2 + и2 р дх )дх \ dt "Т"2hx^ky — со8hx^ky — со81 др \ 9 f дф . Р ду ) Ту \ dt '1 др \ 9 f дф . Р ду ) Ту \ dt 'hx -}- ку — со2hx -}- ку — со2тх2 4- у2 \2/ ’тх2 4- у2 \2/ ’

а /дх \

а /дх \

1 др \ д / дф , и2 + и2 р дх )дх \ dt "Т"2

1 др \ д / дф , и2 + и2 р дх )дх \ dt "Т"2

hx^ky — со8

hx^ky — со8

1 др \ 9 f дф . Р ду ) Ту \ dt '

1 др \ 9 f дф . Р ду ) Ту \ dt '

hx -}- ку — со2

hx -}- ку — со2

тх2 4- у2 \

2/ ’

тх2 4- у2 \

2/ ’

Интегрируя полученные уравнения, найдем формулу Бернулли: 4= “4г -Их-ку^^Ц^А-Р^.(12)

Подъемная сила и вращающий момент. Укажем, каким образом С. А. Чаплыгин определяет подъемную силу и вращающий момент. Если а и (1 — углы внутренней нормали к крылу с осями координат, то

cos а = —dylds, cos |3 = dxSds.

Обозначая через У и У проекции равнодействующей сил давления на оси х и у, получим, интегрируя по контуру крыла:

У 4- IX = ^ р cos Р ds у i ^ р cos a ds = ^ р (dx — i dy), ггг

ИЛИ

Y Y iX = \ р dz,(13)

г

хде z = х + iy, az — сопряженная величина.

Подставляя под знак интеграла давление из формулы (12), получим

У У IX = р ^ -^- dz — р ^ “ +■-’■- dz — р ^ (hx + ky) dz + ггг

+ _Р_^(Ж2 -Vy^dz + p^F^dz.(14)

гг

Преобразуем это выражение. Последний интеграл, как легко видеть, обращается в нуль. В самом деле,

F (() dz — F (i) \dx — IF (i) ^ dy, ггг

интегралы же правой части, распространенные по замкнутому контуру, обращаются в нуль.

Рассмотрим первый интеграл. На основании формулы ((5) можем написать dtp dm . Рф _ дю , . to' _^ "дГ = У/ ( УТ" " "дГ l^Fzz>

я поэтому

0 dtp _? ( dw , . to' _ \

гг

Обратимся к рассмотрению второго интеграла

(и2 + у2) dt = (и — iv)(u + tv) dz.

По (3) . dm . дф ,. дф , . дф ,.. , , дю . _

и — iv =г -у- + ту — vax = -чk i -5со (ix + у) = -ч— 4- гм,

да-, dy '3дж 1 дж ' х 1 3' dz

(и + tv) dz = (и + iv)(dx — idy) = (udx + vdy) -г i (vdx — udy)^

но, принимая во внимание (5), мы можем у второго члена изменить знак, следовательно,

(и 4- tv) dz = (и dx Y v dy) — (vdx — и dy) = (u — iv) dz = ^-^IFz^ dz, (u? + V-) dz =гдЛ dz.

c 1\ dz 1/

Вычисляя третий интеграл, находим

^ (hx + ку) (dx — i dy) = \ hx dx Y ^\ ky dx — i \hxdy У i') ky dy. гг ггг

Под знаком первого и последнего интегралов стоят полные дифференциалы 1!ihd (ж2) и YJid (у2), и потому эти интегралы равны нулю. Что касает-

ся второго и третьего, то, применяя формулу Грина, получим ^ydx =—^dxdy = — q,^xdy = ^dxdy — q,

гг

где q — площадь сечения крыла. Это дает

^ (hx + ky) dz — — q (к 4- th). г

Наконец,

^ со2 (ж2 + у2) dz — ^ co2zz dz. гг

Подставляя полученные результаты в (14), имеем

XT ,С дю Л- Р С / 9w : • -\2 Л гю'Р С -,

У + iA = — р \ -д— dztaz dz —• —\ zz dz + ггг

+ (^ + th) qp + -^- ^ zz dz.

Раскрывая скобки в этом выражении и имея в виду, что интегрированием по частям получаем

z2 dz = ^ d (z^z) — 2 ^ zz dz = — 2 ^ zz dz, г ггг

мы можем переписать формулу в виде

У л- гЛ = — р \ dz4- \ — dw — роя \ z dw — ГГГ

^ (co2 + ^') ^ zz dz + (k + th) qp.

Вычисляем последний интеграл:

2 dx — i ) ж2 dy — i j у2 dy.гг2 dx — i ) ж2 dy — i j у2 dy.гг) zz dz = j (ж2 4- у2) (dx — i dy) = x- dx +

2 dx — i ) ж2 dy — i j у2 dy.гг

2 dx — i ) ж2 dy — i j у2 dy.гг

г гг г

Первый и последний интегралы обращаются в нуль как интегралы по замкнутому контуру от полных дифференциалов, а остальные преобразуем с помощью формулы Грина:

^ х2 dy ='2 ^ xdxdy = 2qx; г^ х2 dy ='2 ^ xdxdy = 2qx; г^ у2 dx = ■—• 2 ^ y.dx dy — — 2gy, г-

^ х2 dy ='2 ^ xdxdy = 2qx; г

^ х2 dy ='2 ^ xdxdy = 2qx; г

где У и у обозначают координаты центра тяжести. Учитывая эти равенства, получаем формулу С. А. Чаплыгина для равнодействующей сил давления в виде

Y 4- iX = —■ р \ dzdw — pcoi \ z dw 4,) dt2 з dzr J

ГГГ

(15)(15)4- p (in" 4- У) 9 (У + i$) + P9 (^ + th)-

(15)

(15)

6 Заказ № 1090

Лобовое сопротивление и подъемная сила равны слагающим равнодействующей сил давления по осям х и у. Для нахождения их надо воспользоваться формулой

Y + IX = (У + iX) е"™.

С. А. Чаплыгин дает также формулу для определения вращающего момента сил давления на крыло. Мы приведем здесь окончательную формулу, вывод же ее можно найти в первоисточнике.

Проекции на оси координат силы давления на элемент дуги крыла, как это уже указывалось, будут — pdy и pdx, а потому вращающий момент определится по формуле

М = \ рх dx -|- ру dy.

Но xdx + ydy есть действительная часть от (х + iy^dr. — idy) = zdz^ следовательно,

М = Re ^ pz dr.

Если подставить сюда р из (12), то после ряда преобразований получим

М = Re [ — р -^L z dz|- ^ 2 -^- dw — pin С zz dw —

(16)(16)— 2рсо'А + № (^ + ^) (ж + гу

(16)

(16)

где А обозначает момент инерции площади поперечного сечения крыла относительно начала координат.

Применение теории к случаю пластинки. С. А. Чаплыгин применил свою теорию к случаю крыльев, имеющих форму эллипса и дуги окружности. Остановимся на частотном случае крыльев этого вида, имеющих форму пластинки. "

Конформное отображение внешности пластинки на верхнюю полуплоскость реализуется функцией

(18)(18)где 2а — ширина пластинки. Принимая это во внимание, получим на контуре крыла равенство

(18)

(18)

£-Н S —i

После подстановки этого выражения в (9) и вычисления интегралов по вычетам получим

(19)

Сложив wa с wv определяемой по формуле (8), найдем

w =

а (ио — Шр)a (ztp 4- Шр) , L.toa1

2 + ‘

^ + О8

(20)

Для определения подъемной силы и вращающего момента надо в формулах (15) и (16) заменить w по формуле (20), az — по (17). Если z пробегает контур крыла, £ будет пробегать действительную ось в отрицательном направлении. Поэтому после замены переменного интегралы будут распространены на действительную ось и вычисляться по вычетам. В результате вычислений, сделав потом еще некоторые преобразования, получим следующие формулы:

У IX = Гр [77 — iV у со (т[ 4“ С) е-г“] — лра2А: + проза'2 [(77 + iV) e~2ia Д-

+ ю(Д-^)е^],(21)

М = — npa2tWo—яр—со',(22)

где ц и £ — координаты центра вращения в системе $Оу. Предположим, что крыло, двигаясь в направлении оси х, имеет добавочные колебательные движения. Тогда со и V — функции периодические, a U разобьется на постоянный член U0 и периодический Uv В этом случае можно получить, что средняя подъемная сила за период

т

Y^^^Ydt о

определяется по формуле Н. Е. Жуковского

У = Гр770,

а среднее лобовое сопротивление равно нулю.

Эта теорема доказана С. А. Чаплыгиным для профиля произвольной формы и любого периодического движения. Рассмотрим подробнее случай движения пластинки, когда

U — Uo ~ const, V = 0,

a = a0 sin xt, £ = a/2, ц = 0.

Если предполагать, что в начальный момент Г = 0, для этого движения получим формулы

У = лр 2L со' + лряа2770 cos 2a, X = — яраа2 {Т7О sin 2а + -^-} ,

М ~( 77о sin а -]j-cos а— со .

Графики подъемной силы и лобового сопротивления для данного движения показаны на рис. 1, а вращающего момента — на рис. 3. Для сравнения приведены графики, построенные на основе соображений разд. 3 (рис 2, 3) по формулам

У = 2лар77о sin а, X = 0, М = ЧгларТТ^зш 2а.

В приведенных графиках 77О = 30 м/с, а = 1, a = aosin xt, a0 = 5°, v = 2.

Для графиков подъемной силы и лобового сопротивления по С. А. Чаплыгину масштаб взят в 50 раз крупнее. Графики^ даны для полупериода

Рис. 1

Рис. 2_

Подъемная сила по упрощенной теории

Рис. 3

Подъемная сила и лобовое сопротив- ! ление по С. А. Чаплыгину .

Вращающий момент по' упрощенной теории (7) и теории С. А. Чаплыгина (2)

колебания. На графиках, вычисленных по упрощенной теории, не учитывается влияние присоединенных масс. В первых же не учитывается изменение циркуляции, которая при изменяющемся режиме должна меняться, так как при предположении о постоянстве циркуляции в теории С. А. Чаплыгина точка схода струй будет двигаться по контуру крыла, а в силу этого на задней острой кромке крыла будут образовываться бесконечные скорости.

Надо отметить, что возможны движения крыла, такие, при которых точка схода струй остается на месте, и, следовательно, теория С. А. Чаплыгина будет полностью применима.

ТЕОРИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ

Идеи Прандтля. Мы переходим к изложению теорий неустановивше- гося движения, отличающихся в самой постановке задачи от теории С. А. Чаплыгина.

Как указано в разд. 4, при неустановившемся движении с переменной циркуляцией получить поток, правильный всюду вне крыла, нельзя, потому что в формуле Бернулли член оц-tit неоднозначен. Прандтль [4] предложил положить в основу изучения неустановившегося движения следующую гипотезу: при колебаниях крыла за счет изменения циркуляции скорости с задней острой кромки крыла непрерывно стекают бесконечно малые вихри.

Следовательно, за крылом образуется линия непрерывно распределенных бесконечно малых вихрей. Эта линия с течением времени меняет свою форму. Как можно показать, такая линия вихрей эквивалентна разрыву тангенциальной составляющей скорости течения вдоль С,.

Для того чтобы решить задачу о нахождении движения при этой гипотезе, т. е. найти потенциал скоростей, надо построить гармоническую функцию ф (ж, у, t), производные которой по координатам однозначны и равномерно непрерывны в области, получающейся выкидыванием из плоскости крыла и линии Ct. На контуре крыла будет задана нормальная производная бф/dn, которая равна нормальной составляющей скорости движения крыла. Вдоль Ct нормальная производная д^!дп должна быть непрерывна, а функция ф будет иметь разрыв, причем, для того чтобы было непрерывно давление, необходима непрерывность величины

^ +-L|gradv|=.

Кроме того, grad ф в бесконечности должен равняться заданной скорости.

Задача, очевидно, состоит как в нахождении самой функции ф (ж, у, i), так и в нахождении закона изменения линии Ct.

Строгое математическое решение этой задачи Прандтль охарактеризовал как представляющее безнадежные трудности.

Приближенная теория. В настоящее время имеется приближенное решение. Это решение проведено Бирнбаумом [5]. Мы переходим к изложению теории Бирнбаума. В ней рассматривается крыло, представляющее собой пластинку, которая в некоторый момент расположена на отрезке действительной оси — г/3 <1 ж < 34 и совершает гармонические колебания вдоль оси у, а кроме того, вращательные колебания по гармоническому же закону около начала координат О. Крыло обтекается потоком с постоянной скоростью в бесконечности V, имеющей направление, совпадающее с направлением действительной оси.

Основное предположение, упрощающее теорию, состоит в том, что линия вихрей во все время движения совпадает с осью х. Другими словами, если у = / (х, i) — искомое уравнение линии разрыва скоростей, то Бирнбаум считает ее известной и полагает / (ж, f) = 0. Такое предположение не соответствует действительному положению вещей. Если даже в некоторый момент линия разрыва совпадает с осью х, то за конечный промежуток времени эта линия подвергнется значительным деформациям. Ввиду сказанного теория Бирнбаума может давать хорошие результаты только при малых колебаниях крыла.

Пусть е (ж, i) — плотность вихрей, расположенных за крылом. Вдоль самого крыла будет происходить некоторый разрыв скорости. Можно показать, что поток не изменится, если мы заменим крыло линией вихрей с плотностью п+ — п_, где иЛ — тангенциальная скорость под крылом, а п_ — над крылом. Разобьем эти вихри на две части с плотностями у (ж, <) и е (ж, О так, чтобы сила давления dQ на элемент крыла dx определялась по формуле

dQ = pV^dx.(23)

Для у (ж, £) и е (ж, i) должно выполняться следующее соотношение:

+=(24)

dt otохx

Вихри у (ж, i) рассматриваются как неподвижно связанные с крылом, а вихри е (ж, i) подчиняются обычным законам движения вихрей. Мы коротко остановимся на выводе уравнения (24). Напишем уравнение Эйлера под и над осью:

ди_,\ Эи_, ди_ ,1др_ п

+ (В + и\ ^= О,

dt1х ' дх ду 1рдх

где у — составляющая скорости по оси у, а и — разность составляющей по оси ж в данной точке и в бесконечности. Составляющие и и и будут иметь очень малые значения. Отбрасывая малые второго порядка, получим

ди^дНд..1др^,, q

dt‘дх‘рдх’

ди_.ди_,1др_

• dt‘дхрдх*

Вычитая из первого уравнения второе и принимая во внимание равенства м+ — и_ = у + е, (Р^ — Р_) dx = —p^Vdx,

получим (24). Вна»^)ыла в этом уравнении надо считать у = 0. Решение уравнения (24) получим в виде

е(ж,0 = ——y^f+~—Jfe(25)

где произвольная функция определена из условия, что при х < —1/2 имеем е (ж, 2) = 0. Проекция на ось у скорости, нормальной к крылу, определится по формуле

и (х, t) = -^-(26)

так как каждый вихрь дает составляющую’ &ё-

Для нормальной же скорости мы имеем следующее кинематическое условие:

»M = %- + V^L,(27)

которое соответствует тому, что струи не сходят с поверхности крыла и не проникают через нее.

Решение задачи. Перейдем к изложению решения. Если закон колебаний крыла известен, то тем самым известна функция у (х, t\ Бирнбаум берет ее в виде

у = Im (Л + Вх) exp (ivi),(28)

где А и В — какие-то комплексные числа, a Im обозначает мнимую часть этого выражения.

Введем следующие обозначения: со = v/F, со' = ico.

Крыло совершает колебания по гармоническому закону. Для упрощения вычислений предполагается, что у (ж, i) также меняется по гармоническому закону. Бирнбаум полагает

у (ж, 2) = Im у0 (ж) exp (co'Ff),

где у0 (ж) — комплексная функция действительного переменного. Для того чтобы определить у0 (ж), разлагаем ее в ряд, в котором сохраняются три первых члена:

у0 (ж) = пуОа + 6уоь + суОс,

где а, Ь, с — комплексные константы, подлежащие определению, и Yto = /(1 — ^)/(1 + Ж), Yob = V1 — Ж2, Уос = X /1 — Ж2, где $ = х — Va-

Вычислив по (25) е (ж, 2) и затем у (ж, i) по формуле (26), Бирнбаум получает

у (ж, 2) = Im у0 exp (co'FO,

где у0 = avto + 6уоЬ + суос, у01 = а0 + о^со' + а2со' In со' + а3®'2 + + а4ю'а In со' + а5со'3 + «в®'31П ®\ и такие же выражения для иоЪ и уос, в которых вместо коэффициентов ag стоят рг и Уь a,, Pi, уг суть полиномы по ж. Подставляя же в (27) выражение (28), имеем

у (ж, 2) = Im (Лео' + Bto'x + В) F exp (co'Fi).

Полученные два выражения для у (ж, i) должны быть равны тождественно по х и t. Сравнивая их, получим

а = а0 -V axto' + a2co' In со' + а3со'2 + а4со'2 In со' + а5со'2 In2 со' + ав®/3 + + а7со'31п со' + a8®'sln2®z + «о со'31п3со'.

и такие же выражения для 6 и с. Коэффициенты а^ Ь^ с( определяются по формулам:

а0 = 2BV, ах = 2F [Л + V2B (1 - 2Z)], a2 = 2SF„

a3 = 2F V-AZ - В (Z - Z2)], a4 = 2F [Л + В (1 - 2Z)1, a5 = 2SF, a8 = 2F MZ2 - В (V4 + \^Z - V2Z2 - Z3)], ai = 2F 1-2AZ + В (V2 - Z + 3Z2)j, «s = 2PT [Л + В {Ч2 - Z)], a9 = 2BF, b0 = 0,c0=0,

bx = 4BF,cx=0

b2 = 0,c2=0,

ba = 2F(Л + V2B),c3 =BY.

bt = ct = 0, i > 4.

В этих формулах Z = In 2 — C = 0,11593, где C — эйлерова постоянная.

Переходим к определению подъемной силы и вращающего момента сил давлений. На основании формулы (23) имеем

К = pF ^ у dx, М = pF ^ уж dx.

—V2

После вычисления интегралов получаются формулы

К = лpF2co (Aka + Ck^ exp (wi), M = лpF3(o (Ama + Cm^ exp (inf)» где C = (1/co) 5,

ka — ka ф- ika, k^ — k^ ф~ ik^t

Wla = 771а ф- т<м ^== ^v + m^^

ka = —(1 — 2Z) co — 2 co In co — 2лZco3 + 2лco2 In co + . .

k„ = 2 - лсо + (я2/2 - 2Z2) co2 + 4Zco2ln co - 2®2 In2 ® ф- . . .,

^=2 - л® + (л2/2 + 2Z-2Z2 — V2) ®2 - 2 (1 - 2Z) co2 In co -

—2®2 In 2ю — (л3/4 —л/2 ф- nZ — ЗлZ2) co3 + я (1 — 6Z) ®2 In® ф-

+ Злю31п3со;

k^=(3 — 2Z) ® + 2® In го—я (1 — 2Z) co2 — Зясо2 In co + (n'2/4 ф-

'+ r/2 + 2 - 3/2n2Z -Z2+ 2Z3) co3 + (3/2e2 - 1 + 2Z - 6Z2)x

X co3ln co — (1 — 6Z) co3 In 2co — 2co3 In 3co + . . . ,

П1а ’ Vs®» nza = 0,

m'^ = —3/8®2,mv = 0.

Для лобового сопротивления Бирнбаум получил

W = р С (и——^dx — рла2/2,

-*/г

где последний член дает подсасывающую силу воздуха на переднем конце крыла. Принимая во внимание (27), получим

+3/, з

W = pF ^ у ^ dx — ря -^- .

Дальнейшие вычисления приводят к формуле

W = PF2e [Л2 + 2AB'w^v + 2H5Va^ + (S'2 + S"2) гурД,

где А = А' + 1А" и В = В' — iS", причем положение А' = 0, как это можно сделать, не нарушая общности:

Шал. = — (О2 + Я ®В — (3/4 Я2 — Z2) О)4 — 2Z ®4 1п ® + . . .,

way = — 1/4 (3—2Z) со2 — 1/2 со2 In со F л/4 (3—2Z) а3 ф- л/2®31п со ф- .

Рис. 4 Подъемная сила и лобовое сопротивление по Бирнбауму (и? = 2,21)Рис. 4 Подъемная сила и лобовое сопротивление по Бирнбауму (и? = 2,21)Рис. 5Рис. 5Момент сил давленияпо Бирнбауму

Рис. 4 Подъемная сила и лобовое сопротивление по Бирнбауму (и? = 2,21)

Рис. 4 Подъемная сила и лобовое сопротивление по Бирнбауму (и? = 2,21)

Рис. 5

Рис. 5

W^" = — Ч2 0) 4- ®/4 ЛО)2 — (5/8 Л2 — ^Z21 + Ч2 Z) (О2 Т

+ г/2 (1—2Z) со3 hi о) — 1/2 со3 In го + • • ч

п^р = л/2 со — Ч2 (л2 + 1) го2 — л/8 (Зл2 + 2—4Z2 — 4Z) со3 +

+ л/2 (1 + 2Z) со3 In со — л/2 о)3 In со + . . .

Графики, вычисленные по формулам Бирнбаума, приведены на рис. 4 и 5, причем движение крыла взято то же, что для графиков в теории С. А. Чаплыгина.

В заключение отметим, что имеется ряд работ [6—9], в которых рассматриваются различные частные случаи с теми же предпосылками, как и у Бирнбаума (отметим здесь работы Кюсснера [7] и Глауэрта [9]).

ЛИТЕРАТУРА

Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке.— Тр. ЦАРИ, 1927, вып. 29, 207 с.

Чаплыгин С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло.— Тр. ЦАРИ, 1926, вып. 19. 67 с.

Glauert Н. The accelerated motion of cylindrical body through a fluid,— Brit. Aeronaut. Res. Commit., Repts and Memoranda, N 1215, 1928.,

Prandtl L. Uber die Entstehung von Wirbeln in einer idealen FJussigkeit, mit Anwen- dungen auf die Tragfliigeltheorie und andere Aufgaben.— In: Vortrage aus dem Gebiete zur Hydro-und Aerodynamik (Innsbruck, 1922). B., 1924, S. 25.

Birnbaum W. Das ebene Problem des schlagenden Flugels.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1924, 4, H. 4, S. 277—292.

Wagner H. Dynamischer Auftrieb von Tragfliigeln.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1925, 4, H. 1, S. 17—35.

Kiissner H. G. Schwingungen von Flugzeugfliigeln.— Jb. Dt. Versuchsanstalt Luftfahrt, 1929, S. 313—334; Luftfahrt-Forschungsber., 1929, 4, H. 2, S. 44—62.

Glauert H. Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamik. В., 1929/Pyc. пер. англ. изд. 1926 г.: Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта, М.; Л.: Гостехиздат, 1931. 163 с.

Glauert Н. The force and moment on oscilating aerofoil.— Brit. Aeronaut. Res. Commit., Repts and Memoranda, N 1242, 1929.

4

К ТЕОРИИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ КРЫЛА

Совместно с М. А. Лаврентьевым

В области изучения неустановившихся движений крыла имеется еще сравнительно малый материал. Из имеющихся работ отметим прежде всего работу С. А. Чаплыгина, в которой исследовались движения крыла с постоянной циркуляцией.

Если мы имеем какое-нибудь движение крыла, то, вообще говоря, при этом на его острой кромке будут появляться бесконечные скорости. Чтобы этого избежать, надо предположить, что циркуляция меняется со временем. Можно легко убедиться, что при переменной циркуляции не может существовать потока, правильного всюду вне крыла. Вопрос о движении с переменной циркуляцией был впервые поставлен Л. Прандтлем [1]. Прандтль предполагает, что при изменениях циркуляции с острой кромки крыла сходят вихри, образуя за крылом движущуюся вихревую линию, или, другими словами, линию разрыва скоростей. Движение должно быть определено так, чтобы давление оставалось непрерывным вдоль этой линии и скорости потока были бы конечны на задней кромке крыла.

Первое приближенное решение, основанное на идеях Прандтля, дано Бирнбаумом [2]. В этой работе рассматривалось колебательное движение крыла. При решении задачи предполагалось, что линия разрыва остается все время прямой, выходящей из задней кромки, параллельной скорости основного потока, набегающего на крыло, и пренебрегалось квадратами скоростей. Задача была сведена к интегральным уравнениям, которые решались приближенно рядами. В дальнейшем к этой задаче подходили иными методами Вагнер [3], Глауэрт [4] и др.

Мы проводим решение этой задачи, пользуясь систематически методом конформных отображений. Решение получается близким к решению Глау- эрта, но результаты для сил ведут себя отлично. Это получается, по-видимо- му, потому, что у Глауэрта не учтена нестационарность потока при вычислении подсасывающей силы на передней острой кромке пластинки, которой заменяется крыло.

Пусть мы имеем пластинку шириной 2а, движущуюся с поступательной скоростью U и совершающую колебания по некоторому периодическому закону. Величина

а = ао + 2 ап cos п^ + bn sin n^t

есть угол, составляемый пластинкой с направлением скорости.

Воспользуемся формулой Бернулли для подвижной системы координат. Пусть система ж, у движется относительно Жц у^ Обозначим через р, q координаты центра вращения в системе ж, у; U, V — поступательные скорости системы ж, у относительно жг, ур, а — угол, составляемый осями ж и жр, и, v — проекции абсолютных скоростей частиц воздуха на оси ж, у, а ф — их

потенциал; р — давление; р — плотность. Тогда

ф cos а + sin Фи — (— U sin а +

+ 7 cos а) у — а' [(ж — р) у — (у — д) и] + р/р = / ф.

Применим это к рассматриваемому случаю. Поместим ось ж по пластинке, а ось у направим из ее середины перпендикулярно к ней. Линию разрыва скоростей системы считаем совпадающей с отрицательной частью оси ж. Вдоль этой линии р непрерывно. Применяя формулу Бернулли и пренебрегая вдоль ее квадратами и, у, а также степенями а выше первой, приходим к следующим условиям для определения ф.

ф (ж, у, t) есть правильная гармоническая функция, однозначная вне луча — оо<<ж^ + а,г/ = 0и имеющая конечные производные.

Вдоль — а </ х < + а, у = О

дф/ду = — аф + 5 {[— Uau + (^ — Р) ravM cos nvt —

■— фЪ^ + (ж — р) yvan] sin Tivi}.

Вдольотрезка — оо^ х ф. — а,у= О

/ ^ф \_/д^Х _ п Г/Уф X / 5ф\ 1

k dt kk dt иЭх Д к Эх’

/ Уф \ _ / дф \

к бу /+ к ду L ’

где знак плюс в индексе означает значения сверху оси ж, а минус — снизу.

lim grad ф = 0.

Для нахождения ф полагаем

ф (ж, у, f) = а» (х, у) + S [°п Ф У)Cos п^ + тп (ж, у") sin ravi].

Тогда для определения оп и тп получаем следующие условия: оп, хп суть однозначные гармонические функции, правильные и с конечными производными вне отрезка —оо ^ х ф, + а, причем:

1) при у = 0, —а х а

—=_ Uan-\-{x — p) п^Ъп1—=_ Uan-\-{x — p) п^Ъп1-^- = — Ubn Д (ж — р) nvan;2) при у = 0, —оо ^ х ^ — a-^- = — Ubn Д (ж — р) nvan;2) при у = 0, —оо ^ х ^ — a

—=_ Uan-\-{x — p) п^Ъп1

—=_ Uan-\-{x — p) п^Ъп1

-^- = — Ubn Д (ж — р) nvan;

2) при у = 0, —оо ^ х ^ — a

-^- = — Ubn Д (ж — р) nvan;

2) при у = 0, —оо ^ х ^ — a

lim grad о0 = 0; lim grad тп = 0X-*ooX-*oolim grad о0 = 0; lim grad тп = 0X-*ooX-*oo— (<Tn)_];

lim grad о0 = 0; lim grad тп = 0

X-*ooX-*oo

lim grad о0 = 0; lim grad тп = 0

X-*ooX-*oo

=

k 9y ’

lim grad on = 0.

Условие 2) может быть заменено условием 2'): (пп)+ — (°n)_ = Ж Cos (nvx/U) + Bn sin l^mxlUY (rn)+ — (Tn)_ = — An sin (raw/£7) + Bn cos (raw/£7),

где An и Bu суть константы, которые определяются из условия конечности скоростей в точке z = —а.

Мы приведем здесь только результат решения полученных краевых задач.

Пусть n>(z, t) = ф + £ф> тогда

id (z, i) = w0 (z) + 3 wn (z)cos ravi + мп (z) s™ nxt'

= ia и az= ia и azdie7 dzdie7 dzi Va„U — nvbn (z — p)] 1 —i Va„U — nvbn (z — p)] 1 —invb a2invb a212«i '[/'z2 — a212«i '[/'z2 — a2\f Z2 Й2 / ma. ma mn cos у B^ sin у у— x\f Z2 Й2 / ma. ma mn cos у B^ sin у у— x

= ia и az

= ia и az

die

7 dz

die

7 dz

i Va„U — nvbn (z — p)] 1 —

i Va„U — nvbn (z — p)] 1 —

invb a2

invb a2

1

2«i '[/'z2 — a2

1

2«i '[/'z2 — a2

\f Z2 Й2 / ma. ma m

n cos у B^ sin у у— x

\f Z2 Й2 / ma. ma m

n cos у B^ sin у у— x

2 - a2— a2 - a2— aA =i n В co=^^ Dill —^J^ U^ ^'-"с2A =i n В co=^^ Dill —^J^ U^ ^'-"с2

2 - a2

— a

2 - a2

— a

A =i n В co=^^ Dill —^J^ U^ ^'-"с2

A =i n В co=^^ Dill —^J^ U^ ^'-"с2

tZco?dztZco?dzi [bnU + пхап (z — p)] 1i [bnU + пхап (z — p)] 1zzima a2ima a211]/ z2 — a2 ' 2ni ]/z2 — a2]/ z2 — a2 ' 2ni ]/z2 — a2]/z2 — a2 ) 1,. ma . n ma mn sin у —|- B^ cos у , у]/z2 — a2 ) 1,. ma . n ma mn sin у —|- B^ cos у , у

tZco?

dz

tZco?

dz

i [bnU + пхап (z — p)] 1

i [bnU + пхап (z — p)] 1

z

z

ima a2

ima a2

1

1

]/ z2 — a2 ' 2ni ]/z2 — a2

]/ z2 — a2 ' 2ni ]/z2 — a2

]/z2 — a2 ) 1

,. ma . n ma m

n sin у —|- B^ cos у , у

]/z2 — a2 ) 1

,. ma . n ma m

n sin у —|- B^ cos у , у

- °31 W AR Sin ^

—1 И ^n cos "7yг Dn —у—

причем постоянные An и Bu определяются из уравнений (70 — Ж) Ап — (7V0 + Ji) Вп = (4й/р„) UnU + пмЬ {а!2 + р)], (7V0 + J^An + (/0 — N^ Ви = (4а/pn) Vb^U — п^а^ (а/2 + р")].

Здесь р„ = nxaJu, a J0, J^ No, Nt — функции Бесселя и Неймана с аргументом ц„.

Для вычисления сил и момента, действующего на пластинку для нашей задачи, получим

Y + IX = — р -^- ^ (а+ — иЗ (ж + a) dx + pt/Г — р 1 irp лё (z1— a) [^—'j ,

аа

(х 4- а)(а+— иЗ dx,(х 4- а)(а+— иЗ dx,"3" М = — -^~ -^- ^ (и+ — иЗ (ж + a)2 dx — U

(х 4- а)(а+— иЗ dx,

(х 4- а)(а+— иЗ dx,

—а—а

где Г — циркуляция по контуру крыла. Момент М берется относительно начала координат. Подстановка значений для скоростей приводит к таким

формулам для X и У:

А-У = 2ла [а^2 + mU (а + р)2 + -^- р -^-1 —

2па^\и -^(Ц^У nvbnl^ + р))] 4

- Рп [4 (и—nx'aj^—|- pj)] cosrevZ 4*

+ [<?n ^bnU — nxan ^ + p)) —

Pn (anU 4- nxbnL^- + ^))1 sinravt| ,

= 2ал фа 4- p®^ — ла= 2ал фа 4- p®^ — ла

= 2ал фа 4- p®^ — ла

= 2ал фа 4- p®^ — ла

Из этих формул можно сделать следующие выводы.Из этих формул можно сделать следующие выводы.

Из этих формул можно сделать следующие выводы.

Из этих формул можно сделать следующие выводы.

4- Pty (bnU —4- p )) coswvi +

+ [(>„ {bnU nxan 2 *P ^))

— Pn ^«nU + nxbn^*~ 4- ^))j sinnvtj- .

Здесь

Dад — EEp No + zo + J1N° J°Ni

U.-Np-V^.-Ey ’(/о-МР4(М)-Л)г

при u = p„. Аналогичную формулу можно вывести для М. Мы ее здесь не приводим. Дадим формулы для средних величин за период колебания:

У* = 2лара0£72,

А* = лар^р^ 4- р^у\п^(йа 4- Й)(1 — Qn)— pU ^zzv(a^ 4- Ь^)Рп +

А 4- 4 У, (а" + 6") <иг + ,W ("Г + ^П ^" + ^)} ■

Среднее значение подъемной силы за период колебания совпадает с подъемной силой, определяемой по формуле Н.'Е. Жуковского для среднего угла ■атаки.

Если изменять угол атаки крыла, оставляя у него те же колебания, то •средние значения лобового сопротивления не меняются.

Существуют режимы колебаний, при которых горизонтальная сила тянет вперед (X* ^> 0).

Остановимся подробнее на случае, когда угол атаки изменяется по формуле a + р sin vt.

В этом случае

У* = 2npaaU\

X* = нраЕ^Ч (Л).

где / (ц) — функция от положения центра колебаний, ;Т] = pia. График / (ц) приведен на рис. 1. При этом было взято V = 5-Ю3 см/с, 2а = 200 см и пять режимов колебаний (га = 2,5; 5; 7,5; 10; 15 колебаний в секунду). Соответствующие значения р = 0,3142; 0,6283; 0,9425; 1,2566; 1,8879.

Из графиков видно, что существует лишь весьма малый промежуток положений центра колебаний, при которых X может получиться отрицательным (см. рисунок).

ЛИТЕРАТУРА

Prandtl L. Ober die Entstehung von Wirbeln in einer idealen Fliissigkeit, mit Anwen- dungen auf die Tragfliigeltheorie und andere Aufgaben.— In: Vortrage aus dem Gebiete zur Hydro- und Aerodynamik (Inssbruck, 1922). B., 1924, S. 25.

Birnbaum, W. Das ebene Problem des schlagenden Flugels.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1924, 4, H. 4, S. 277-292.

Wagner H. Ober die Entstehung des dynamischen Auftriebs von Tragfliigeln.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1925, 5, H. 1, S. 17—35.

Glauert H. The accelerated motion of a cylindrical body through a fluid.— Brit. Aeronaut. Res. Commit., Repts and Memoranda, N 1215, 1928.

Glauert H. The force and moment on oscilating aerofoil.— Brit. Aeronaut. Res. Commit., Repts and Memoranda, N 1242, 1929.

Об. статей по аэро- и гидромеханике/Под ред. В. Александрова. М.: Госмашиздат, 1933.

5

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОДФОРМУЛ РАУШЕРА*

В работах Бленка и Либерса [1J и Раушера [2] по вибрациям крыльев аэроплана предложены формулы для изменения по времени аэродинамических сил и моментов, действующих на крыло, вибрирующее в потоке воздуха. Вывод этих формул основывался на понятии динамической кривизны профиля крыла.

Рассмотрим в плоскопараллельном потоке бесконечно тонкий профиль крыла 8, имеющий поступательную скорость V и угловую скорость вращения to около некоторой точки, лежащей на этом профиле. Скорости V и со вообще переменны по времени. Деформируем профиль 8 так, чтобы элемент ds его контура не изменился по длине и составлял со скоростью V тот же угол, какой он составлял с полной скоростью своего движения до деформации. Полученный таким образом профиль назовем 5^ Упомянутые выше авторы считают, что аэродинамические характеристики профиля 8 в каждый момент времени совпадают с аэродинамическими характеристиками 81т движущегося с постоянной поступательной скоростью V (профиль 8 и скорость V различны для различных моментов времени). Указанный метод основывается на двух гипотезах.

Гипотеза стационарности. Аэродинамические характеристики профиля 8, движущегося с переменными скоростями V и со, заменяются в каждый

момент времени характеристиками того же профиля, движущегося с постоянной угловой скоростью гои скоростью V, постоянной по величине и имеющей: постоянный наклон к профилю S. При этом значения го, V и наклона V к профилю берутся равными в рассматриваемый момент времени.

Гипотеза динамической кривизны. Характеристики профиля, находящегося в описанном выше движении, совпадают с характеристиками деформированного крыла Sv двигающегося поступательно со скоростью V.

Пользуясь методами, развитыми С. А. Чаплыгиным [3] для изучения не- установившихся движений с постоянной циркуляцией, можно легко вывести формулы Раушера, отбросив гипотезу динамической кривизны. Приведем коротко этот вывод, ограничившись для простоты случаем пластинки.

Пусть Ъ — хорда, х0 — расстояние до центра вращения от переднего края,, со — угловая скорость, а — угол атаки, V — скорость, соответствующая моменту t = t0. Мы рассматриваем движение, считая его в каждый момент установившимся. Пусть х, у — координаты, связанные с крылом, £ = = х + iy (см. рисунок). Обозначая через ф потенциал абсолютных скоростей движения воздуха, на контуре пластинки имеем

д® Г , / 1 т \ 1 — = — г sin а +■ -н- о — хп (о — сот.

ду LJ , N

Полагая z = (6/4) (£ + V^), отобразим (внешность пластинки на внутренность круга, тогда на плоскости круга £ = р exp (i9) при р = 1

, дФ I dz ] Ь ГТ7 ., / 1 т \ 1 • а , ®b4 .

== —^S1na + [—6-^tojsin0+^g-sin29.

Откуда для аналитической «функции течения» ш = ф + гф

w = iC In £ + — V sin а + Ъ — ж0) юJ ^ ф- -—г- Ф2.

Из обычного условия конечности скорости, при z = Ч^Ь, находим

С = — (6/2) [F sin а + (3/46 — ж») 1.

Пусть и0, у0 — скорости точек пластинки, dt^ldt—производная ф повремени в неподвижном пространстве, тогда вдоль пластинки

u0 + iy0 — ~ Ve" — in (ЧаЬ — х0 ф- х),

где и, v — скорости частиц воздуха, р — давление, р — плотность.

Пусть X, Y — проекции аэродинамической силы на оси х, у; X,Y — проекции на направление скорости и перпендикулярное направление, М —

момент аэродинамических сил относительно точки z = 0, положительное направление которого противоположно ходу стрелки часов.

Имеем, обозначая через L контур крыла и z = х — ip:

(iA Y) = — ^ р dz = —■ ^ (uu0 + ууо) dzg- ^ (и2 + у2) dz =

LLL

=i- ^ [(и — и0)2 + (у — Уо)2] dz 4- ^ (и„ + Уд) dz.

LL

Учитывая, что вдоль крыла

[(и — и0)2 + (у — Уо)2] dz = ^^ие -4 iv^ dz

п что интегралы, в которые входят только и0 и у0, в случае пластинки исчезают, а также

С / du: \2 _„

\ —т— dz = О, д \/

С

где С — контур, охватывающий крыло, получим

Y + IX = р ^ (и0 — iyo) dw.

L

Аналогичные рассуждения показывают, что

М = р Re § (и0 — f Уо) z dw.

L

Вычислив полученные интегралы и воспользовавшись равенством

X + iY = (X + /У) exp (— ia), придем к следующим формулам:

У = лр&У2 {[sin a + (®/F) (3/46 — ж0)1 + (я/F) (V4& — ^о) sin2 a +

+ (®/F)2 ^Ub — ж0)2 sin a},

X = KpbV2 {— ^"1гЬ — ж0) (»/F) sin a — (r/26 — r0)2 (co/F)2} cos a,

[M = — (л/4) p&2F2 [sin a + (co/F) (1/2b — ж0)[.

Формула для У отличается от формулы Раушера двумя последними членами, которые при колебаниях крыла весьма малы по сравнению с первым членом, и поэтому ими можно пренебречь. Формула для М совпадает с формулой Раушера.

ЛИТЕРАТУРА

Blenk Н., Liebers F. Gekoppelte Torsions- und Biegungs-Schwingungen von Tragilii- geln.— Ztschr. Flugtechn. und Motorluftschiffahrt, 1925, 16, H. 23, S. 479—487.

Rauscher M. Ober die Schwingungen freitragender Fliigel.— Luftfahrt-Forschungsber., 1929, 4, H. 3, S. 94—106.

Чаплыгин С. A. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло.— Тр. ЦАГИ, 1926, вып. 19. 67 с.

Чаплыгин С. А. О давлении плоско-параллельного потока на преграждающие тела,— Матем. сб., 1911, 28, вып. 1, с. 120—166.

6

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВАПОЛИПЛАНОВ*

В настоящем труде обобщаются некоторые результаты, касающиеся общих свойств крыла моноплана, на любой полиплан.

С. А. Чаплыгин показал, что для любого крыла моноплана кривая метацентров — огибающая линий приложения подъемной силы при различных направлениях потока, обтекающего крыло,—есть парабола [1J, и указал ряд интересных свойств этой кривой. Из этих результатов отметим следующую важную теорему: если у двух крыльев совпадают параболы метацентров, то их подъемные силы и моменты пропорциональны и множитель пропорциональности не зависит от скорости потока. Поэтому крылья с одинаковой параболой метацентров называются изображающими крыльями. Отсюда можно вывести, что для всякого моноплана существуют изображающие дуги круга. С. А. Чаплыгин показал также, что обоими указанными свойствами обладают разрезные крылья специального вида [3]. В последнее время В. П. Пилатовским было показано, что результаты остаются верными для бипланов . При помощи весьма простых соображений можно показать, что эти общие результаты остаются верными для всякого полиплана.

Рассмотрим в плоскопараллельном потоке произвольную систему крыльев (см. рисунок). Пусть каждое из этих крыльев имеет заднюю острую кромку. Мы будем рассматривать только те движения воздуха, для ко

торых эти острые кромки являются точками схода струй и, следовательно, скорость этих движений остается всюду конечной.

Пусть иц — характеристическая функция течения, обтекающего нашу систему крыльев со скоростью на бесконечности, равной единице и параллельной оси х, и пусть точки схода струй этого течения совпадают с острыми кромками крыльев. Обозначим через ьщ характеристическую функцию течения, отличающегося от первого тем, что оно имеет на бесконечности скорость, равную единице и параллельную оси у.

Пусть теперь w — характеристическая функция течения, имеющего произвольную скорость на бесконечности и обтекающего нашу систему со сходом струй в острых кромках. Обозначая через дир проекции на оси х и у скорости этого течения на бесконечности, для характеристической функции течения имеем следующее выражение:

(1)(1)w = aw1 + |3ш2.

(1)

(1)

В самом деле, проекции скорости на бесконечности этого течения суть действительно а и |3. Течение будет обтекать наши крылья, так как его функ-

* Тр. ЦАГИ, 1936, вып. 261. 5 с.

ция тока — мнимая часть w — постоянна на их контурах. Очевидно также,, что скорость течения на острых кромках будет конечна.

Из известных свойств характеристической функции течения (см., например, [4]) вытекают следующие разложения для функций и^ и w в окрестности бесконечно удаленной точки:

dwjdz = 1 + tCJz + (^i + tb^fz1 + . . .,

dwjdz = — i + tC^z + (a2 + i62)/z2 + . . .(2)

Обозначим через X и Y составляющие силы воздействия потока на систему крыльев, а через М — момент этой силы относительно начала координат. На основании формул Чаплыгина—Блазиуса, имеем

1С /dw \2 ,,,1 nt‘ / dw \2,

Y 4- iX =&-М =л-Re\ —' zdz,(3).

2J (dz /2J \ dz /' 7

сс

где С — произвольный контур, окружающий все крылья нашей системы 3. Интегралы легко вычисляются, так как они равны вычету разложений подынтегральных функций около бесконечно удаленной точки. Из формул (1). и (2) получаем

_ (аф^ । ' (Ci™ "Г СгР) , (Qi + ИХ а + (а2 + ‘62) Р^

Подставляя это разложение в (3), после элементарных преобразований получим

Y = IX = 2лра (аСт д- рС2) — i.2npP (аС^ + рС2),

М = 2лр [&ia2 (У — аД ®Р — а2р2].(5)-

Если за ось х выберем направление скорости потока с нулевой подъемной силой, то Сх = 0, и для величины подъемной сизы

Р = /X2 + У2(6}

получаем выражение

Р = 2еРС2 (а2 + р2) (р/у"а2 + р2),(7).

показывающее, что подъемная сила равна постоянному коэффициенту, умноженному на квадрат скорости потока на бесконечности и на синус ее угла с критическим направлением потока, соответствующим нулевой подъемной силе.

Докажем теперь следующую теорему: кривая метацентров всякого полиплана есть парабола.

В самом деле, уравнение линии приложения подъемной силы можно записать в виде

М = Yx - Ху.(8)

Подставляя сюда значения X, У, М, сокращая уравнение на 2лрр2 и полагая 7. = a/р, получим

Ьр? + (&2 — ai) ^ — аа = (^А + С2) ^кх + уУ(9)

Доказательство этих формул для системы крыльев можно найти, например, в книге В. В. Голубева [4].

Линия метацентров есть огибающая этого семейства прямых, зависящего от параметра X. Ее уравнение имеет вид

(С2ж -у- Сгу + «1 — Ь^1 — 4 (С,ж — Ъ^ (С2у + а2) = 0.(10)

Полученная кривая второго порядка есть парабола, так как старшие члены уравнения образуют полный квадрат (С^у — С2ж)2. Положив Сх = 0, легко убедиться, что ось параболы метацентров перпендикулярна к критическому направлению потока .

Совершенно так же, как и в случае крыла моноплана, можно теперь показать, что момент относительно фокуса найденной параболы не зависит от направления потока. В самом деле, если ось х параллельна критическому направлению потока, а начало координат лежит в фокусе параболы, то Сл = 0, 62 = а15 Ъх = —а2 и, следовательно,

Мо = 2лр&! (а2 -р р2).(И)

Можно также доказать, что полипланы с одинаковой параболой метацентров будут изображающими: их моменты и подъемные силы пропорциональны и множитель пропорциональности не зависит от скорости потока на бесконечности. В частности, для всякого полиплана существуют изображающие дуги круга. Доказательство этих результатов не отличается от доказательства соответствующих теорем для крыла моноплана.

ЛИТЕРАТУРА

Чаплыгин С. А. К общей теории крыла моноплана. М., 1922. 53 с. См. также: Поли, собр. соч. Л.: Изд-во АН СССР, 1933, Т. 2, с. 205—245.

Mises R. von. Zur Theorie des Tragflachenauftriebs. Erste Mitteilung.— Ztschr. Fliig- techn. und Motorluftschiffahrt, 1917, 8, S. 57—163; Zweite Mitteilung.— Ztschr. Fliig- techn. und Motorluftschiffahrt, 1920, 11, S. 68—73, 87—89.

Чаплыгин C.A. Схематическая теория разрезного крыла аэроплана.— Научно-технический вестник НТО ВСХН. М., 1921, № 4/5, с. 21 — 34. См. также: Поли. собр. соч. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. Т. 2, с. 246—276.

Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоско-параллельном потоке.— Тр. ЦАГИ, 1927, вып. 29. 207 с.

7

ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ ДВИЖЕНИЯХТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ*

Г. Ламбом было дано приближенное решение задачи о движении цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости. Пусть ф — потенциал искомого течения. Тогда Ламб полагает

<р = Ф1 ф2,

где фг — потенциал скоростей безграничного потока, обтекающего цилиндр, ф2 подбирается так, чтобы удовлетворить граничному условию на свободной поверхности. Подбор ф2 осуществляется при помощи интеграла Фурье (см. [1, с. 461]).

При решении той же задачи Л. Н. Сретенский получил (в качестве первого приближения) решение задачи об обтекании вихря потоком со свободной поверхностью *.

Мы хотим указать на весьма простой прием решения задачи о потоке тяжелой жидкости со свободной поверхностью, если внутри потока характеристическая функция течения имеет заданную особенность. Беря полюс и логарифмическую особенность, получаем решения Ламба и Сретенского.

Направим ось ж по свободной поверхности, ось г/ — вверх. Пусть с — скорость набегающего потока (направленного по оси ж), w (z) — характеристическая функция течения. Положим

w (z) = cz 4- / (z),/ (z) = Ф (ж, у) + ар (ж, yY

При установившемся движении имеем следующее граничное условие на свободной поверхности:

+ gy= 1/^2.

Полагая F2 = (с -4- и)2 - у2 (с + и, и — компоненты скорости течения) и пренебрегая малыми второго порядка, получаем

С

У =U.

g

Кроме того, yf = Di^c 4- и) ~ и!с. Исключая из этих соотношений у, после интегрирования второго из них. получим при у = 0

или

Im Uf (z) — (g/c2) / (z)] = 0.(1)

* Технические заметки ЦАРИ.— В кн.: Сб. общетеоретической группы ЦАРИ. М.: ЦАРИ, 1935, вып. 2, с. 5—9.

Пусть функция / (z) имеет особенность в точке z = — th;

ГU—1Л

/('^ = ПИП1п + А0 + Лн ^ = G ^ + Н ^-

Здесь Н (z) — функция, голоморфная при у ^ 0, которую надо определить.

F (z) = if (z) - (g!^ / (z) = UG' (z) - fglcf G (z)] + H^zf

H1 (z) голоморфна при у гД 0. Условие (1) дает возможность написать полное выражение для F (z), пользуясь принципом Шварца:

F (z) = i [G' (z) — Gx (z)] — (g/c2) [G (z) + Gt (z)],

АгАггде GA (z) — функция, коэффициенты которой сопряжены с коэффициентами G (z):

Аг

Аг

Г

2л(

Функцию / (z) найдем, решая обыкновенное дифференциальное уравнение

dz с1 ' ' 77

Определяя постоянную интегрирования из условия lim /' (z) = 0, получаем

= — iexp^ — ALz^ ^ exp(-^-^ F^df(2)

Рассмотрим несколько частных случаев.

Для задачи Л. Н. Сретенского надо положить

/ (z) = (G/2ni) In (z + Ai) + H ^z\

Формула (2) после очевидных преобразований дает

Для определения волновой поверхности имеем формулу

У = -— Re [/'

К L дх J у==о&'

Подставляя найденное значение, получим

Принимая во внимание f^fi—dt, = 2zi охр ghic-), получаем вдали

за вихрем асимптотическую формулу

2Г2Гgh \ . gx—т- sin -— .gh \ . gx—т- sin -— .

2Г

2Г

gh \ . gx

—т- sin -— .

gh \ . gx

—т- sin -— .

Силы, действующие на закрепленный вихрь, получатся по формуле С. А. Чаплыгина

у+«=-4

где С — контур, окружающий вихрь. Подставляя значение w, получим

гY + IX = — рГ 1I 2шгY + IX = — рГ 1I 2ш

г

Y + IX = — рГ 1I 2ш

г

Y + IX = — рГ 1I 2ш

Рассмотрим контур К, составленный прямой, идущей из — оо в точку — hi параллельно оси х, отрезками (— А, + А) и (+ А, — оо ) оси г/, бесконечно малой полуокружностью, выключающей точку Ai, и четвертью бес-

^2А ^ теорему Коши,^2А ^ теорему Коши,конечно большой окружности с центром в точке —Ai.

^2А ^ теорему Коши,

^2А ^ теорему Коши,

Применяя к этому контуру и к функции—;щехр после небольших преобразований получим

2е,1г \.

ехр Ei —у- Ч- ni ехр

\ с- у \ с-

где Ei (ж) обозначает интегральный логарифм (см. [4]).Пользуясь найденным значением интеграла, легко найдемгде Ei (ж) обозначает интегральный логарифм (см. [4]).Пользуясь найденным значением интеграла, легко найдем

где Ei (ж) обозначает интегральный логарифм (см. [4]).

Пользуясь найденным значением интеграла, легко найдем

где Ei (ж) обозначает интегральный логарифм (см. [4]).

Пользуясь найденным значением интеграла, легко найдем

Рассмотрим теперь источник с интенсивностью Q под поверхностью жидкости

/ (z) = -^ In (z + Ai) 4 И (z).

По формуле (2)По формуле (2)

По формуле (2)

По формуле (2)

Форма волны дается уравнением

Далеко за источником асимптотически

У = —ехр I —У = —ехр I —gh \С2 )gh \С2 )gVCOS-4- с2gVCOS-4- с2

У = —ехр I —

У = —ехр I —

gh \

С2 )

gh \

С2 )

gV

COS-4- с2

gV

COS-4- с2

Можно также вычислить силу, которая действует на источник:Можно также вычислить силу, которая действует на источник:

Можно также вычислить силу, которая действует на источник:

Можно также вычислить силу, которая действует на источник:

Обратимся теперь к случаю, когда рассматриваемая особенность есть мультиполь:

(z + /и)

Из формулы (2)

а — ibа — ib(z + ih?(z + ih?а — ib(z — ih)nа — ib(z — ih)nz+ 2(a — ib^exp^ — -g-z)z+ 2(a — ib^exp^ — -g-z)exp (i?£/c2) dt.exp (i?£/c2) dt.

а — ib

а — ib

(z + ih?

(z + ih?

а — ib

(z — ih)n

а — ib

(z — ih)n

z

+ 2(a — ib^exp^ — -g-z)

z

+ 2(a — ib^exp^ — -g-z)

exp (i?£/c2) dt.

exp (i?£/c2) dt.

В частности, в случае Г. Ламба Ъ = 0, п = 1, и, следовательно

Цг) = аВычислимЦг) = аВычислимЖ . 2gi /gi \ Р ехР ("Jr^)^

Цг) = а

Вычислим

Цг) = а

Вычислим

_z'2 + № + с» еХР (с2 Z/ j t — hi _ ■

уравнение поверхности волны:

и — — Im exp z \ — expс «& .

a\ с2 !

Далеко за мультиполем

1 4л / g \п / gh \ г( g^XA

У= -ДTTi— ехР ~ Re i" (а — ib) exp —,

(п — 1)! с \ с2 / г \ с2 / L ''\ с2 / ]

так как

Приведем значение сил в случае, рассмотренном Г. Ламба. Для того чтобы получить приводимые значения, надо снова применить формулу С. А. Чаплыгина и воспользоваться указанным выше преобразованием интеграла. Проделав вычисления, получим

X = 4л2а2р exp ( — ^гЛ\ С2 /\ С2 /X = 4л2а2р exp ( — ^гЛ\ С2 /\ С2 /Аналогичные формулы легко получить и в общем случае.Аналогичные формулы легко получить и в общем случае.

X = 4л2а2р exp ( — ^гЛ

\ С2 /\ С2 /

X = 4л2а2р exp ( — ^гЛ

\ С2 /\ С2 /

Аналогичные формулы легко получить и в общем случае.

Аналогичные формулы легко получить и в общем случае.

ЛИТЕРАТУРА

Lamb Н. Lehrbuch der Hydrodynamik. 2. Aufl. Leipzig, 1931/Пер. с англ. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

Сретенский Л. Н. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости.— Тр. ЦАРИ, 1938, вып. 346. 27 с.

Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 303 с.

Jahnke Е., Emde F. Funktionentafeln mit Formein und Kurven. 2. Aufl - Leipzig; Berlin: Teubner, 1933. 330 S.

8

ОБЩАЯ ЗАДАЧАО ЖЕСТКОМ УДАРЕ О ВОДУ

Совместно с М. А. Лаврентьевым

При посадке самолета в момент касания днища поплавка о поверхность воды имеет место явление удара твердого тела о воду. В соответствии с этим при расчете поплавка представляется возможным выяснить, какие при этом развиваются силы и импульсы сил, а также установить закон распределения этих сил. Указанными вопросами в последние годы начали заниматься за границей и в СССР как экспериментально, так и теоретически. По этому вопросу уже имеется некоторый экспериментальный материал (главным образом американских испытаний); в отношении же теории сделано очень мало. В настоящей работе рассматривается вопрос об ударе пластинок о воду, причем рассматривается момент, непосредственно следующий за ударом.

Постановка задачи. Рассмотрим тяжелую несжимаемую жидкость, ограниченную сверху свободной поверхностью и либо простирающуюся в бесконечность, либо ограниченную твердыми стенками. Жидкость может быть спокойная или волнующаяся. Мы будем предполагать, что движение жидкости плоскопараллельно.

На поверхность жидкости одновременно падают несколько бесконечно длинных тяжелых пластинок, имеющих массу, распределение которой задано по их поверхности. Обозначим через u^\ v® — горизонтальную и вертикальную составляющие поступательной скорости i-й пластинки, через со® — ее угловую скорость и через ф0 (ж, у) — потенциал скоростей течения жидкости в момент, предшествующий удару. Считая эти величины известными, требуется определить: 1) потенциал скоростей течения жидкости, 2) скорости Ui, yt и сог в момент, непосредственно следующий за ударом, и 3) распределение импульсивных сил давления J по поверхности пластинок.

При решении задачи мы будем считать, что пластинки неупруги и что после удара образуется невихревое течение несжимаемой жидкости; кроме того, предположим, что в момент удара между пластинками и жидкостью не образуется пустоты, т. е. скорости частиц жидкости вдоль пластинок равны нормальным составляющим скоростей точек пластинки.

_ Найдем уравнения для определения иг, уг, ор, потенциала скоростей в момент, непосредственно следующий за ударом, и импульса сил давления J за время удара.

Как известно, потенциал скоростей есть функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа:

^ + # = 0,(1)

для определения которой мы имеем следующие данные.

Вдоль пластинок соблюдается условие

ду/дп = (иг — щу) cos а 4- ^i + ®tx) cor р,(2),

где п — нормаль, направленная в область, занятую жидкостью, а а, [3 — ее углы с осями координат.

Вдоль твердых стенок, очевидно, выполняется условие

д^/дп = 0.(3)

Найдем условия вдоль свободной поверхности, для чего обратимся к уравнению Лагранжа

— = С“'" — ей.(4).

рot 2'

Для случая удара умножением на dt, интегрированием от 0 до Д и переходом к пределу при Ai-> 0 получаем

(1/р) 4 = — (ф — ф0).(5>

Вдоль свободной поверхности J = 0, откуда следует

Ф = ф0.(6)

Решая уравнение Лапласа, найдем искомый потенциал в зависимости от at, vt и ар. Найдем теперь соотношение для определения u,, сц, со, и J. Вдоль пластинок имеем по формуле (5)

J = _ р (ф — фо).(7),

Применим теорему о количестве движений и о моменте количества движений к каждой пластинке, тогда

mt (w® — и0 '— ^ (^i^ '— мг) = ^ J COS а ^-S,

иц (v^ — Уг) т- Ду1 (ос*^ — $1) = ^ J cos [5 ds,(8).

ДуJ — Ut) — S^x — Ui) - 8 Д (в® — <щ) = J (x cos P — у cos a) ds.

Здесь mt — масса, S^ и Sx'1 — статические моменты и It — момент инерции i-й пластинки относительно начала координат; интегрирование ведется по сечению i-й пластинки.

Подставив в уравнения (8) из (7) выражение для J, мы получим систему уравнений для определения ut, и^ и и;. Решение уравнения (1) сводится к построению гармонической функции, если на частях контура известна ее нормальная производная, а на других частях — значения самой функции.

Укажем общий метод решения подобного рода задач.

Краевая задача. Рассмотрим решение следующей задачи. Дана односвязная область D, ограниченная кривой L с непрерывно вращающейся касательной, за исключением, может быть, конечного числа точек, и имеющая не более двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Требуется построить гармоническую в области D функцию, для которой известны, значения на отрезках ЛХЛ2, Л3 Л4,. . . контура L, а на отрезках Л2Л3, Л4Л5, . . . даны, значения нормальной производной.'

Относительно значений функции мы предположим, что они непрерывны, имеют непрерывную производную по дуге; относительно же значений нормальной производной предположим, что они непрерывны.

Эту задачу мы сводим к конформному преобразованию и доказываем, что она имеет ограниченное в области D решение, причем это решение единственное. Произведем конформное преобразование области D на верхнюю полуплоскость. При этом преобразовании функция ф (ж, у) перейдет в гармоническую функцию ф4 (g, т]); точки Аъ Аг, . . . контура L перейдут в точки действительной оси аг, а2, . . . плоскости £ = £ ф- ip.

Отобразим теперь верхнюю полуплоскость t, = £ + ip на многоугольный контур в плоскости w = и ф- 1и. Для этого положим

w = — i ^ («1 —- i)-1/= (а2 — ! У ' (п3 — i)1/s (н4 — ty41 (а 5 — i)1^...

■(... (а^ — ty1^ (а2п — /) ' = dt.

Рис. 1Рис. 1Тогда верхняя полуплоскость перейдет в многоугольный контур параллельны оси и, а стороны Ь263, ^4^57 • ■ • параллельны оси v. При этом вершины многоугольника 61, Ь2, Ь3, . . . соответствуют точкам а15 а2, а3, . . . Гармоническая функция ф4 (£, р) преобразуется в функцию ф2 (и, у). Для этой функции заданы ее значения на сторонах многоугольника, параллельных оси и, и значения нормальной производной, а следовательно, и значения д^1ди на сторонах параллельных оси и.

Рис. 1

Рис. 1

Продифференцировав заданные значения ф2 по п, мы будем знать значения дф2/дн вдоль всего контура. В углах многоугольника эти значения могут быть бесконечными, порядка иг'Ф Решим задачу Дирихле по этим граничным значениям (для чего можно воспользоваться уже известным отображением на верхнюю полуплоскость); тогда мы найдем функцию ф (ы, у), значения которой на контуре совпадают со значениями дф2/ди. Проинтегрировав по и функцию ф2 (и, у), мы найдем гармоническую функцию ф2 (ы, и), которая имеет нормальную производную на сторонах, параллельных оси у, равную нормальной производной ф2 (и, у), и отличается на различные константы от ф2 (и, у) на сторонах, параллельных оси и. Кроме того, ф2 (и, у) будет ограниченной гармонической функцией. При переходе от и, v к х. у ф* (и, у) преобразуется в функцию ф* (ж, уУ Положим

X У) = Ф С^ У) — Ф* «V

тогда % (ж, у) — ограниченная в области D гармоническая функция, принимающая на отрезках L (Л^г, Л3Л4, . . .) постоянные значения Cv С2, . . . и имеющая нормальную производную, равную нулю, на отрезках Л2Л3, Л4ЛБ, . . . Найдем функцию х- Пусть % (ж, у) = Xi (^ Л) и/1 (?)— аналитическая функция, имеющая действительную часть /, (£, ц). Функция /4 (Ф)

имеет на отрезках а1я2, а3а4 . ■ . постоянную действительную часть, а на отрезках а2я3, я4Щг • ■ • — постоянную мнимую часть; следовательно, она может быть продолжена через эти отрезки методом симметрии, а потому является многозначной функцией, имеющей особенности в точках а4, «2, а3, . . .

Рассмотрим функцию [Д (£)Р, которая принимает действительные значения на отрезках aLak+1 и голоморфна во всей верхней полуплоскости. Продолжая ее по методу симметрии, найдем, что [Д (^)Р есть однозначная во всей ^-плоскости функция, имеющая особенности в точках av «2, а3, . . .

Найдем эти особенности. Возьмем точку а2к. На а2ка2к^к (Д (D12 имеет постоянную мнимую часть 1Сщ а на а^-уа^у— постоянную действительную часть Ск. Если рассмотрим функцию Д (?) — Ск — 1Ск, то она будет около -точки а2к однозначной функцией /| ? — а2к, как легко убедиться, при

меняя метод симметрии, причем в точке агк она обращается в нуль. Отсюда

А (?) ■= Q + i-Ck Д- [а / ? — а2к Д [5 УУ — a2kf ч- у /(? — а2Д3 Д ...].

Дифференцируя, возводя в квадрат и приняв, кроме того, во внимание, что [Д (^)Р — функция однозначная, получим

[АО2= a^-A-hti:y2k-LY(9)

где К2к — голоморфная функция около а2к. Такое же разложение, очевидно, имеет место в окрестности а2^+1.

Так как [Д (оо)]2 = 0 и [Д (?)]2 принимает на действительной оси действительные значения, то на основании уравнения (9) имеет место разложение

где Ак —действительные константы. Приводя полученное выражение к общему знаменателю и замечая, что разложение Д (?) около бесконечно удаленной точки должно начинаться с члена, содержащего I/?2 как разложение производной от правильной в бесконечности функции, получим

р < 2)1-4 t р.<>2н-5 ,1 р y । R

1/1Йч-ЕЖ-С) . . . Д2?г-Д •

Многочлен, стоящий в числителе, должен быть полным квадратом. В самом деле, если он имеет корень нечетной кратности в точке, отличной от а^, то Д (?) имела бы точк>г ветвления, не совпадающую с ак, что невозможно. Если бы многочлен имел корень нечетной кратности в одной из точек ак, то точка ак перестала бы быть точкой ветвления для fi^. Но тогда легко убедиться, пользуясь, принципом симметрии, что fx (?) постоянна на одном из отрезков ак^ак, акак^к1 следовательно, постоянна во всей плоскости. В этом случае многочлен будет полным квадратом, так как все Вк = 0. На основании сказанного

1— £) (“2 — £) • • • (a2n — □’

где Dk — действительные числа, так как на а4каг А (£) действительна. Отсюда

Для определения Dk имеем

ReA (О = С.

на отрезке а,Иа2к. Чтобы доказать, что решение существует и оно единственное, надо показать, что полученные линейные уравнения совместны и независимы. Покажем это.

Пусть все Ск ~ 0, тогда должны выполняться п условий

Т Dn-^ + Dn^S -г Г оу; т

\= о,

, J У («1 - О («2 - с)... («,п - о

потому что на отрезках a^-ya^ и а41п1агИ действительная часть А (£} обращается в нуль. Это возможно, если на «ak^t+i многочлен имеет корень, но тогда он имеет п корней и потому Dt D^ ^ . . . ^= Dn^ — 0. Очевидно, в этом случае Dn — 0. Итак, система линейных уравнений при Ск — О имеет только одно решение Dk к= 0; следовательно, она и совместна и независима.

Задача Гильберта . В 1905 г. Д. Гильбертом была решена [1] следующая задача.

Построить аналитическую функцию / (z) в области D, если на ее границе дано соотношение

аф + РФ — Т,

где ф, ф — действительная и мнимая части функции / (z), а а, Р, у — какие- то функции дуги, не обращающиеся одновременно в нуль. Эту задачу Гильберт свел к двукратному решению задачи Дирихле. Рассмотренная нами задача может быть сведена к задаче Гильберта следующим образом. Проинтегрировав нормальную производную функции на тех участках, на которых она задана, мы получим значения на этих участках в точности до произвольных постоянных Сг, Сг, . . ., Сп. Решая задачу Гильберта для полученных краевых значений, мы найдем гармоническую в области D функцию Ф, зависящую от произвольных постоянных С^ С^ . . ., Си. Полученная гармоническая функция удовлетворяет краевым условиям задачи, но, вообще говоря, не будет ограничена в области D около точек 4Ь Л2, . . . Чтобы найти ограниченное решение, надо подчинить константы Сц С2, . . . определенным условиям. Таким образом, мы получим систему уравнений для определения Ск, относительно которых надо знать, что они совместны и допускают только одно решение, для того чтобы утверждать существование решения и его единственность для поставленной задачи.

Укажем здесь, каким образом примененный нами метод может привести к решению задачи Гильберта. Для этого отобразим конформно область D

на верхнюю полуплоскость переменной Е, Im Е О 0- Тогда мы придем к задаче определения в верхней полуплоскости двух сопряженных гармонических функций ф* (Е, ц) и ф* (Е, ц), удовлетворяющих на границе, т. е. при ц 0, условию

а (Е) Ф* (Е, 0) Д ₽ (Е) ф* (Е, 0) у (Е), (Ю)

Мы, очевидно, всегда можем считать, что в этом соотношении

а2 (6) ~ Р2 (?) - 1, а (В) < 0.(И)

Введем теперь третью гармоническую функцию Ф (Е, ч), такую, что

Ф* (В’ Ч) = -^- , Ф* (В, ч) = — -^- ■(12)

Такая функция Ф (Е, ч) существует, так как функции ф* иф* сопряжены. Теперь условия на границе принимают вид

а(Е)-^-Р(Е)^=у(Е).

Но в силу условий (11)

а (Е) cos 9 (Е),0 (Е) ~ — sin 9 (Е),

и тогда соотношение на границе примет вид

где Л — направление, составляющее переменный угол 9 (Е) с осью Е. Выберем новое комплексное переменное w ^= и + iv так, чтобы верхняя полуплоскость переменного Е пришла бы в некоторую область (А) переменного w, причем направление Л при этом отображении перешло бы в направление, параллельное оси и. Такое -преобразование можно задать, пользуясь формулой Чизотти. Полагаем

Р f Г 1 Т 1 д- w = o\ exp — \ ■

0

Выбрав подходящую константу С, можно достигнуть того, что направления Л перейдут в направления, параллельные оси и. При этом верхняя полуплоскость переменного Е перейдет в некоторую область А переменного и;. Так как мы знаем в плоскости Е производную дФ/дЛ, то в плоскости w мы будем знать, что

<9Ф дФ I cZE I

ди д v I dw | °

Но ЭФ^ди есть, в свою очередь, некоторая гармоническая функция, для которой заданы значения на контуре области А. Решая эту задачу Дирихле, мы можем определить эту функцию, причем для решения задачи можно воспользоваться уже известным отображением области на верхнюю полуплоскость.

Определив функцию ЗФ/дп, мы определим квадратурами функцию Ф и, переходя обратно на верхнюю полуплоскость переменного Е, найдем ф* и ф*.

Метод решения задачи для одного частного случая. Указанные выше методы решения краевой задачи теоретически разрешают задачу до конца, но применение этих методов к решению конкретных задач приводит часто, к слишком затруднительным выкладкам, поэтому мы даем еще один способ для решения смешанной задачи, который позволяет для некоторых частных случаев свести ее решение к квадратурам, и в простейших случаях приводит весьма быстро к решению задачи. Предположим, что действительная ось разбита на 2га отрезков (рис. 2). На га из этих отрезков опять заданы значения функции ф и на остальных га отрезках — значения дф/ду. Относительно заданных значений мы предположим, что они выражаются полиномами.

а,' а, а2 агп а'2п

Нетрудно также исследовать вид функции/(z) в окрестности точек ajr <i№. Пусть, например, на отрезке (— оо, al) задана функция, причем слева от ау

Ф = ос и справа

4> = ^зх1- о

Тогда рассмотрим

/ ^ + ~2лГ ^n ^z — ^ [ 5d ^^ —' “] ‘ о

Легко видеть, применяя принцип симметрии, что это выражение есть однозначная функция в окрестности точки al, а поэтому в окрестности al

^z) = — i ln <z — а^ (^ ^ ~ а) + ^ ^ (z ~ <кУ. оо

Зная разложения функции / (z) около ее особых точек, мы легко получим вид разложений g (z) около этих точек.

Именно в точках а; функция g (z) имеет полюсы (2ш + 1)-го порядка и в точках al полюсы (2m + 2)-го порядка. Так как g (z) правильна в бесконечности, она будет рациональной функцией. Исследуем порядок этой рациональной функции. Функция / (z) правильна в бесконечности; в этом легко убеждаемся, применяя опять принцип симметрии. Именно, f(z) правильна в верхней полуплоскости около бесконечной точки и имеет на действительной оси либо мнимую, либо действительную часть постоянной; следовательно, она в бесконечности однозначна, продолжаема в нижнюю полуплоскость и правильна в бесконечности. Но если так, то разложение /<т+1> (z) по степеням 1/z начинается с члена l/zm+2, а тогда g^ имеет такой же порядок, как l/z2m+4. Таким образом, g^ есть рациональная функция, для которой известны полюса и порядок в бесконечности. Из этого мы можем заключить, что эта функция имеет вид

(z _ а;у^ (z _ д (г _

1

В числителе стоит многочлен степени 2тга + 2т ф 2к с неопределенными коэффициентами. Прежде всего легко показать, так же как в разд. 2, что этот многочлен — полный квадрат, и поэтому

(z) = VI^=^™^

(2 -- а^)"1 П (Z " ayVn ]А ™ «к

к=1

Мы предположим для определенности, что на отрезке а^п а[ заданы значения функции. Тогда легко убедиться, что все коэффициенты многочлена,

стоящего в числителе, будут действительны. Это следует из того, что действительная часть /<тН) (г) на данном отрезке обращается в нуль. Интегрируя выражение для производной и принимая во внимание, что / (z) правильна в бесконечности, получим

/ (z) =( (2 -

(? - «э г - мт+1 Н г - «а 2

Остается показать, что коэффициенты многочлена, стоящего в числителе, можно действительно подобрать так, чтобы удовлетворялись условия на границе области.'

Из выражения для / (z) видно, что ф (ж, у) будет константой С на отрезках (—оо, а^. (а^п, +°°) и на отрезках (а2, а3), (а4, а^ . . . будет многочленом степени т; что касается (к^Му, то она будет многочленом на отрезках (а^г)’ •(а3а4), . . . Нужно только, чтобы коэффициенты этих многочленов совпадали с коэффициентами наперед заданных многочленов. Легко подсчитать, что из этих условий мы получим (2тп + m + и + 1) уравнений для определения того же числа неизвестных, именно — константы С' и (2тп + пг — и) коэффициентов многочлена, стоящего в числителе. Эти уравнения будут линейны. Надо только показать, что они совместны. Это можно было бы доказать непосредственно, но мы не будем приводить этого доказательства и сошлемся на то, что совместность и единственность решения следуют из общего доказательства существования решения смешанной задачи (см. хотя ■бы разд. 2).

ЛИТЕРАТУРА

Hilbert D. Grundziige einer allgemeinen Thcorie dcr linear Intcgralglcichungen. 3. Mitt.— Nachr. Kgl. ges. Wiss. Gottingen. Math.-phys. KI., 1905, H. 4, S. 307—338.

Соболев С. Л. Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и ее применение к отражению плоских упругих волн.— Тр. Сейсмолог, ин-та, 1930, вып. 2. с. 1 —18.

9

УДАР ПЛАСТИНКИ О ВОДУ,ИМЕЮЩУЮ КОНЕЧНУЮ ГЛУБИНУ

Мы даем здесь решение следующей задачи. На гладкую поверхность воды, имеющей конечную глубину А, падает бесконечно длинная пластинка, имеющая ширину 2Z и масса единицы длины которой равна т. Считая, что перед ударом частицы жидкости не имели движения и что в момент удара скорость пластинки равна Vo, требуется определить распределение скоростей течения жидкости, скорость V движения пластинки в момент, непосредственно следующий за ударом, и распределение импульсов сил давления по пластинке.

При решении задачи предполагается, что пластинка не упруга, а жидкость несжимаема и имеет плотность р.

(1)(1)Рассмотрим сечение, перпендикулярное оси пластинки. Направим ось г вдоль пластинки, а ось у проведем перпендикулярно оси пластинки (рис. 1).

(1)

(1)

Обозначим через ср (ж, р) потенциал скоростей течения жидкости, образующегося в момент, непосредственно следующий за ударом.

Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа

52Ф, д3ф _ 0

дхг ду3 ’

и, кроме того, на границе области течения должны выполняться условия:

ду!ду = 0 при у = —А,

8^!Эу = — У при у = 0, —I ж <^. + Z, Ф = 0 при у = 0, | X | > Z.

Первые два условия — обычные условия вдоль твердых стенок, а последнее получается применением уравнения Лагранжа для случая удара.

Обозначим через J импульс сил давления вдоль пластинки. Тогда из уравнения Лагранжа для случая удара получаем

(2)(2)(3)(3)7 = —РФ (ж, 0),

(2)

(2)

(3)

(3)

а из теоремы о количестве движения

J (х) dx = m (V — Vo)*

Решив уравнение (1) при заданных граничных условиях, получим выражение ф (ж, у) через V. Подставляя затем найденное из (2) значение у в уравнение (3), получим уравнение, из которого определим V.

Покажем, каким образом найти решение уравнения (1) при заданных условиях на границе.

Обозначим через ф (ж, у) функцию тока и введем характеристическую функцию течения

/ 00 = ф (Ж, у) н- 1ф (ж, у) (z = ж + iy).

Характеристическая функция / (z) есть ограниченная в области течения функция, принимающая на отрезке | ж | > Z, у = 0 чисто мнимые значения, а на прямой у = —1г имеющая постоянную мнимую часть, как это видно из краевых условий для потенциала. Из сказанного следует, что через отрезки | ж | > Z, у = 0 и прямую у = —1г мы можем функцию f (z) аналитически продолжить, пользуясь принципом симметрии Шварца. Легко также с помощью принципа симметрии / (z) аналитически продолжить через отрезок у = 0, —I <_ ж + Z, потому что на этом отрезке / (z) — iVz принимает действительные значения.

Применяя принцип симметрии к соответствующим отрезкам прямых у = nh, легко убедимся, что / (z) продолжается аналитически на всю плоскость комплексного переменного z, причем особыми точками функции / (z)

Заказ № 1090

будут точки вида

z = ± Z + йпМ, п = 0, ±1, ±2, . . .

Рассмотрим вспомогательную функцию

g (z) = \f «.

Функция g (z) однозначна во всей плоскости z. Действительно, из условий на границе для функции / (z) следует, что g ^ па прямых у = 0 и у = —h принимает действительные значения, а поэтому она однозначно продолжается через эти прямые..

Исследуем особые точки этой однозначной функции, которые будут иметь аффиксы + Z + 2nhi. Функция / (z) — iVz есть ограниченная функция, принимающая на отрезке — Z <_ х <_ + I действительные значения, а на отрезке \х | > Z — мнимые значения. Заметим, что вследствие сказанного в точке z = Z эта функция обращается в нуль, а функция [f (z) — iVzl2 принимает действительные значения на всей прямой у = 0 и потому однозначна в соседстве точки z = Z. Разложим ее в ряд Тейлора

[/ (z) — IVzP = a (Z — z) + р (Z — z)2 + . . .

Извлекая из обеих частей квадратный корень, найдем

/ (z) — iFz = j^Z — z [а' + |3' (Z — z) + у' (Z — z)2 + . . . 1.

Продифференцируем это равенство два раза и возведем в квадрат, тогда

еИ-рт^ + р^ + рг^ + ^ + ^-гИ-...-

причем все коэффициенты этого разложения — числа действительные, потому что при действительных значениях z функция g (z) принимает действительные значения.

На отрезках у = nh g^ принимает действительные значения, поэтому в окрестности точек z = Z + ЧпЫ она принимает одинаковые значения, как следует из принципа симметрии. Аналогично из того, что g (z) действительна при х = 0, следует, что в точках Z = 2ra/zz + Az и —Z + 2пЫ — Az g (z) принимает одинаковые значения. Из этого легко вывести, что главная часть разложения функции g (z) в окрестности точек z = ± Z + 2пЫ всегда будет иметь вид

(J+z.— '2,nhi)3 ~ (Z+z— ‘Znhty Z+z— 2ahL "

Зная главные части разложения однозначной функции g (z) око то <-е полюсов, мы можем написать

где Н (z) — целая функция.

Полученные ряды легко просуммировать. Для этого воспользуемся известным равенством

1)1 У z A- Zulu)11)1 У z A- Zulu)11(Z — з + 2nhi)51(Z — з + 2nhi)5ch [л (Z -(- z)(2u । sh3 [л (Z -}- z)(2lt\ch [л (Z -(- z)(2u । sh3 [л (Z -}- z)(2lt\

1

)1 У z A- Zulu)1

1

)1 У z A- Zulu)1

1

(Z — з + 2nhi)5

1

(Z — з + 2nhi)5

ch [л (Z -(- z)(2u । sh3 [л (Z -}- z)(2lt\

ch [л (Z -(- z)(2u । sh3 [л (Z -}- z)(2lt\

Полагая

X —

i(z — Z)/2/z,

получим

1,

22—00

1

1

]л

cth-

л (Z — z)

1 — Z 1

/2=1

l — z -т- 2п/и

t — з —- 2п(г1

J — 2!г

21г

1 ,

П--=1

1

1

]л

cth

л (Z -J- z)

Z + z 1

1 —[— 5 -у ^n/lt

1 -г z — 2пШ

] — 21г

2h.

Дифференцируем эти равенства

"1_ /л у1

У । (Z— z -|- 'Zulu)1 \ 21г / 8112[л(/ — z)/2/z]

л у 1

2h ) ah2 [л )l + z)/2/zj ’

и продифференцируем еще раз

л у ch [л (Z — z)/2/z]21г / sh3 [л (Z— г)Г21г\

Воспользовавшись этими равенствами, найдем

8^ = Н^а.А'^^^ + с1Ъ^^ +

1[ sh2 [л (Z—z))2h\ ' sh2 [л (Z р-z)/2/ij J

, /у J ch [л (Z — z)j21i\ [ sh3 [л (Z — ^)/2/zJ, /у J ch [л (Z — z)j21i\ [ sh3 [л (Z — ^)/2/zJ, ch [л (Z + z)/2/i] 1+ sh3 [л (Z + z))2h\ J ’, ch [л (Z + z)/2/i] 1+ sh3 [л (Z + z))2h\ J ’

, /у J ch [л (Z — z)j21i\ [ sh3 [л (Z — ^)/2/zJ

, /у J ch [л (Z — z)j21i\ [ sh3 [л (Z — ^)/2/zJ

, ch [л (Z + z)/2/i] 1

+ sh3 [л (Z + z))2h\ J ’

, ch [л (Z + z)/2/i] 1

+ sh3 [л (Z + z))2h\ J ’

где А', В', C — новые действительные константы.

Функция g (z) остается ограниченной на прямых z = (2п + 1)/г, и, кроме того, limg(z) = 0, откуда следует Н (z) = 0.

После небольших преобразований полученное для g^ выражение может быть приведено к виду

рУд =[а«Му^ ;ДИВ~ -rV^ [sh2рУд =[а«Му^ ;ДИВ~ -rV^ [sh2л/21гл/21гsh3sh3лз2/7лз2/7-з-з

рУд =[а«Му^ ;ДИВ~ -rV^ [sh2

рУд =[а«Му^ ;ДИВ~ -rV^ [sh2

л/

21г

л/

21г

sh3

sh3

лз

2/7

лз

2/7

-з

-з

где ос, [3, у — новые действительные константы.

Покажем теперь, что многочлен аж2 + 13ж + у

представляет собой полный квадрат. В самом деле, если бы это было не так, то он имел бы простой корень g, не совпадающий с sh2 (nZ/2/г). Пусть zx — один из корней уравнения sh2 (ez/2/») = £, попадающий в область течения. Очевидно, что тогда Z! ^ ± Z + 2п,М будет критической точкой f (z), а следовательно, и / (z), что невозможно.

Из сказанного следует

г И

Остается определить постоянные а и Ь. Из очевидных равенств lim /' (z) = 0, /' (—Иг) = 0 следует

. /"(z) dz = О

и из равенств /'(—Иг) = О, /'(0) = IV

о

^‘ j"(z')dz=iV.

Подставляя в полученные уравнения значение /" (z), после небольших преобразований получим

6

\ & — a sin- sh2 u sin2 dx = — У.(5)

Характеристическая функция течения определится так:

f (z) = iVz С К fash2sh2 f~dz\dz.

—i о

Сделаем еще небольшие преобразования полученных формул, для чего воспользуемся эллиптическими интегралами в форме Лежандра:

А (т.\ г , , Ь (х, к) = \ v г=- dx,

' а С(1 — т1 (1 —к2хПа |Л 1 — Ж2

Е(1,к) =Е(к),К (1, к) = К (к).

Кроме того, вместо констант а и Ъ введем новые константы А и В, которые со старыми связаны соотношениями

2/l г kL п 1 &ЛТ

л ch (л//2/г)' L sh3(nZ/2/i) J

2/i6 = BV

я ch (nZ/2/г) sh2 (я//2/г)'

Сделаем теперь в интегралах, стоящих в равенствах (4) и (5), замену переменного в равенстве (4) — по формуле th (лж/2/t) = г/, а в равенстве (5) — по формуле cos (лж/2/z) = у. После этих преобразований получим эллиптические интегралы. Приведя их к нереальному виду, найдем систему уравнений для определения А и В:

VE ch (nZ/2/г) / — t ch (nZ/27tl /'J А V ch (л//2/г)'/5 =

.4 - /Hth-^S = 0.

\ 2А у \ у

Если при решении этого уравнения воспользоваться известным в теории эллиптических интегралов равенством

Е^кЦкГ^^ + Е^Т^у К (k) - K^K^V 1 - к4) = л/2, то получим

А = — КВ= — ^(th-^L

л \21г Ул \2» /

Представление (6) характеристической функции течения мы тоже несколько преобразуем. Прежде всего покажем, что производная функция течения выражается через эллиптические интегралы. Для этого введем новое переменное £ по формуле

sh2 (лУ/2/г) — sh2 (лж/2/z) = t2 sh2 (nZ/2/i),

и подставим вместо а и Ъ их значения, тогда

f (z) = Г А 4— — [^ (У — ЕК ■

[Л Ch (nil 2h) ^2 (nZ/2/г) — sh2 (nz/2/i)" L}

(7)

Для самой характеристической функции течения легко получить, проинтегрировав выражение для /' (z), такое выражение:

m-v{«.„с";21| |/5^gTZ^_ А[ЕЕ©-ЕК«)]&}.

1(8)

Из полученного результата можно, в частности, перейдя к пределу при А—>- 00, получить формулу для функции течения в случае удара пластинки о поверхность воды, имеющей бесконечную глубину. Для этого отметим очевидные равенства:

Jim th(nZ/2/г) = О,

lim К k) = lim Е (Е, к) = С,

к-о ~1-о~4 у 1 — ^3

Пт К (.1) = lim Е (к) = л/2. о/ —о

1 В дальнейшем во всех встречающихся эллиптических интегралах к = th (nl/2/г), но мы будем его опускать п писать вместо Е (ж, к-) просто Е ^, а вместо Е (к1) = = Е (1, к) — просто Е и т. п.

Подставляя их в (8). получаем для случая /г = со

/ (z) = У (zz — У Р — z2).(9)

Сделаем несколько замечаний относительно примененного метода решения задачи. Этот метод, очевидно, можно применить также к случаю удара пластинки о поверхность воды, заключенной в прямоугольном канале; только в этом случае вместо гиперболических функций в окончательное решение задачи войдут эллиптические функции.

Этот способ также применим к задаче об одновременном ударе пластинок о поверхность воды, находящейся в бассейне, имеющем конечную глубину или стенкп прямоугольного очертания. В случае удара пластинок с'неравномерно распределенной массой задача решается подобным же образом, только вместо функции^/" (z)l2 надо будет исследовать функцию \f" (z)]2.

Определив функцию течения, мы можем определить скорость пластинки после момента удара и распределение импульсных давлений вдоль пластинки.

Остановимся прежде всего на случае К = со. Из (2) и (9) находим

j (ж) = pvyF^P.

Подставляя это выражение в (2), получим

F =(10)

Если обозначим через Р полную импульсивную силу на единицу длины пластинки, то

-I-Z

Р = ^ J у^Дх

или, вычисляя стоящий в правой части интеграл и подставляя полученное значение для V,

р nwpZ2FoИ 1 \

~ 2m + npZ2/2 ''

Распределение импульсов по подстановке V в написанный выше интеграл примет вид

=(12) ' '771 + Лр/2/2 Г''

В случае конечной глубины для распределения импульсов имеем более сложную формулу:

2 И = рГ {,.|/ sh* ^ - S 4- 4 5 ИЕ©-£К(Э]4 (43)

—Z

Для полной импульсивной силы получаем после интегрирования выражения (13)

Р =VKE^-EKO^y (14)

--Z -г

Из этих формул следует, что влияние глубины на элементы движения J ^, V, Р чрезвычайно быстро убывает с возрастанием глубины. Мы приводим здесь подсчет для значений НН = 1; 5: сю.

Если

.1 (ж) = pVl-i^, Р = pVLQ.

то имеем следующую зависимость Q от НИ'.

HI 15 оо

Q1,8276 1,6154 1,5708

Из приведенных данных видно, что при НИ = 1, т. е. когда глубина равна половине ширины пластинки, присоединенная масса Q отличается от присоединенной массы для случая бесконечной глубины на 18%, а при nil = 5, т. е. когда глубина в 2,5 раза больше ширины пластинки, присоединенная масса отличается только на 2,2%.

Значения распределения импульса, отнесенного к plV по длине пластинки, приводятся в следующей таблице.

hjl

X

0

±0,2

±0,4

±0,6

±0,8

±1

1

0,172

1,146

1,076

0,926

0,688

0,000

5

1,008

0,993

0,924

0,806

0,604

0,000

ОС'

1,000

0,980

0,917

0,800

0,600

0,000

Для наглядности на рис. 2 приводим график распределения

i (ж) = J ^IplV.

Еще быстрее стирается разница между конечной и бесконечной глубиной, если отнести все величины к Fo. В качестве примера приведем случай, когда плотность масс вдоль пластинки тп121 = 2,5, и дадим численные значения всех величин для тех же значений отношения НИ.

Для скорости после удара получаем

hjl 135

F/Fo 0,732330,75580 0,76094

Для полной импульсивной силы

11(1135

P/pZP 1,338351,221001,19512

Мы видим, что при НИ = 1 и 5 полная импульсивная сила отличается от полной импульсивной силы для случая бесконечной глубины на 12 и 2,2%.

Графики на рис. 3 для J ^!plV0 весьма наглядно показывают, насколько мало влияние глубины.

10

О ДВИЖЕНИИ КРЫЛАПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ*

Совместно с М. А. Лаврентьевым

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена задаче вычисления гидродинамических характеристик крыла, двия^ущегося под поверхностью тяжелой жидкости. Вопрос о движении крыла вблизи поверхности тяжелой жидкости приобрел актуальное значение в самое последнее время в связи с тем, что появился ряд конструкций глиссеров с подводными крыльями, служащими для увеличения качества глиссера. В данной работе мы дадим теорию изолированного подводного крыла.

Первая теоретическая попытка изучения волнового сопротивления тела, движущегося под поверхностью тяжелой жидкости, принадлежит Ламбу [1]. Он рассмотрел задачи о движении круглого цилиндра, а также шара под поверхностью тяжелой жидкости. Как известно, поток, создаваемый цилиндром, движущимся в бесконечной жидкости, совпадает с потоком, создаваемым движущимся’ диполем, ось которого направлена по скорости движения, а интенсивность равна а2с, где а — радиус цилиндра и с — скорость движения. Ламб получил приближенное решение задачи о движении цилиндра под поверхностью воды, заменяя его диполем той же интенсивности а2с, движущимся под поверхностью воды. В предположениях теории малых волн последнюю задачу удается решить точно.

Решение Ламба задачи о шаре построено на совершенно аналогичных рассуждениях. В дальнейшем более точные решения указанных задач даны Хавелоком [2]. Им же были решены некоторые новые задачи. В качестве примера укажем на решение задачи о движении эллипсоида под поверхностью воды.

В последнее время Л. Н. Сретенский сделал попытку более точного решения задачи о движении цилиндра под поверхностью воды. При этом он допускал наличие циркуляции около цилиндра. Приближенное решение, данное Л. Н. Сретенским, совпадает с решением задачи о движении вихря под поверхностью тяжелой жидкости В

* Тр. конф, по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937, с. 31 — 62.

Известно, что поток, создаваемый телом, движущимся в беспредельной жидкости, совпадает всегда с потоком, создаваемым соответствующим образом подобранной движущейся системой особенностей — вихрей, источников, диполей и т. д. Аналогично, в случае движения тела под поверхностью воды это тело гидродинамически эквивалентно системе особенностей, в частности вихрей и источников, которую нужно определять из условия обтекания тела. Если оставаться в предположениях теории малых волн, то поток, создаваемый системой особенностей, получается просто суммированием потоков, создаваемых отдельными особенностями. В связи с этим приобретает особый интерес задача об обтекании потоком произвольной изолированной особенности, движущейся под поверхностью тяжелой жидкости. Можно указать чрезвычайно простой прием для решения этой задачи .

Изложенные здесь соображения мы приложим к решению задачи о движении крыла под поверхностью воды и проведем вычисления до конца для так называемого «тонкого крыла». Эта теория дает возможность вычислить гидродинамические характеристики крыла в точности до членов первого или второго порядка малости. С точки зрения механики результаты, получаемые из теории идеальной жидкости, представляют интерес для достаточно тонких крыльев на малых углах атаки, так как при больших углах атаки нарушается режим плавного обтекания. С этой точки зрения теория «тонкого крыла» является вполне достаточной. Прием, положенный в основу вывода основных уравнений теории тонкого крыла, как мы покажем, применим к телам произвольной формы, движущимся под поверхностью воды.

Излагаемые здесь результаты получены еще в 1935 г. и в октябре того же года доложены в ЦАГИ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Мы будем рассматривать плоскопараллельные потоки тяжелой жидкости,, обтекающие тела или заданные особенности (вихри, источники), находящиеся под поверхностью тяжелой жидкости. Движения жидкости вне заданных тел или особенностей считаем установившимися и потенциальными. Пусть поток тяжелой жидкости далеко впереди от тел имеет горизонтальную свободную поверхность и постоянную скорость с, параллельную горизонту. Поместим ось ж на уровне невозмущенной свободной поверхности в направлении скорости движения, а ось у направим вертикально вверх. Обозначим через с + и и и слагающие скорости движения жидкости по осям жир. Величины и и с назовем проекциями возмущенной скорости потока. В дальнейшем, следуя теории малых волн, считаем, что отклонения свободной поверхности от линии у = 0 малы, а также малы значения возмущенных скоростей вблизи свободной поверхности.

Так как давление на свободной поверхности равно атмосферному, на этой поверхности интеграл Лагранжа дает

к» [(с + иУ + v4 + gy = Ч^сЧ(1)

' Ввиду того что значения и и и вблизи свободной поверхности малы и свободная поверхность мало отличается от линии у = 0, мы пренебрегаем квадратами величин и иг и берем в (1) значения и и и не в точках свободной поверхности, а в проекциях этих точек на линию у = 0. Тогда при у = О

получаем условие

(2)(3)(2)(3)си = gY = О,

(2)

(3)

(2)

(3)

где Y — ордината точки свободной поверхности.

С той же степенью точности можем написать

dY v v

dx с Л- и с '

так как свободная поверхность в рассматриваемом случае установившегося движения есть линия тока. Исключая из двух последних соотношений Y, получаем условие, применяющееся обычно в теории малых волн:

(4)(4)+ 4^=0.

(4)

(4)

ох с2

Этим условием в дальнейшем мы и будем пользоваться. Отметим, что равенство (2) может служить для определения уравнения волновой поверхности

(2')(2')Y = —culg.

(2')

(2')

Введем в плоскости течения комплексное переменное, полагая z = ж + + 1у. Пусть W (z) — характеристическая функция рассматриваемого течения. Положим

W (z) = CZ 4" W (z), w (z) = ф (ж, у) + пр (ж, у).

Функции w (z), ф (ж, р), ф (ж, у) назовем характеристической функцией, потенциалом скоростей и функцией тока возмущенных скоростей рассматриваемого течения соответственно.

В дальнейшем мы будем предполагать, что вне окрестности тел или особенностей скорости рассматриваемых нами движений ограничены. Следовательно, производная dw/dz остается ограниченной далеко от тел. Мы будем рассматривать всегда движения жидкости, не имеющие волн далеко впереди тела. Это условие сводится к тому, что возмущенные скорости впереди тела стремятся к нулю, т. е.

(5)(5)Иш 4^=0.

(5)

(5)

Преобразуем условие (4). Подставляя в (4) выражения и = дф/dy, и = = —дф/дж и интегрируя по ж полученное уравнение, найдем

офg ,.

г Ф = const.

дус2 т

Функция ф зависит от произвольной постоянной, которую подберем так, чтобы в правой части последнего равенства получить нуль. Пользуясь характеристической функцией возмущенных скоростей, последнее условие приводим к виду

Т / . dw g \ п.

Im I-т—— w =0,(о)

\ dz с2' '

где знак Im показывает, что надо взять мнимую часть от стоящего в скобках выражения. Дальше мы будем пользоваться граничным условием в форме (6).

Для того чтобы установить единственность решения ряда задач, мы докажем следующее вспомогательное

Предложение. Если функция w (z) регулярна при Im (z) < О, производная dw/dz в области Im (z) <С 0 остается ограниченной и удовлетворяются условия (5) и (6), то функция w (z) обращается в действительную константу.

Заметим прежде всего, что из условия (5) при фиксированном у, пользуясь интегралом Коши, получаем непосредственно

Им =(5')

Из ограниченности dwldz следует, что существуют две константы Со и Cv такие, что при Im (z) <Д 0 имеем | w | < Со | z | + Cv Следовательно, можно найти константы С2, С3, такие, что

V-^<сАч

Из условия (6) следует, что функция w (z) может быть однозначно продолжена во всю плоскость z по принципу симметрии Шварца и, следовательно, есть целая функция, удовлетворяющая неравенству (7) при всех значениях z. Пользуясь известными оценками Коши (см., например, [6]) для коэффициентов ряда Тейлора, из условия (7) выводим, что W — gwlc1 есть линейная функция

iw — w = az ф- В. С2। I

Из (5) и (5') следует, что а = 0, а из (6),— что |3 действительно.-Решая линейное дифференциальное уравнение

гю— го = р, получаем

w = — c^lg + С4 exp ( tgc"4Y

Но из условия (5) следует С4 = 0, и, таким образом, высказанное предложение доказано.

ОБТЕКАНИЕ ВИХРЯ И ИСТОЧНИКА

Мы приведем здесь решение задач об обтекании вихря и источника, так как в дальнейшем эти решения будут играть основную роль . Изложим подробно решение задачи для вихря (рис. 1).

Пусть в потоке тяжелой жидкости имеется вихрь, закрепленный в точке с комплексной координатой £. Интенсивность этого вихря обозначим Г. Тогда характеристическая функция возмущенных скоростей должна иметь вид

(8)(8)г

(8)

(8)

w = ^ ln(z — ^ + Н (z)’

где Н (z) — голоморфная в области течения функция. Легко убедиться, что решение рассматриваемой задачи единственно. В самом деле, если бы существовало два течения вида (8) с ограниченными вдали от вихря скоростями, то разность характеристичских функций удовлетворяла бы всем условиям вспомогательного предложения предыдущего раздела и, следовательно, была бы просто действительной константой.

Из (8) следует:Из (8) следует:Г2л iГ2л i^-ln(Z-^)] -VH^zy^-ln(Z-^)] -VH^zy

Из (8) следует:

Из (8) следует:

Г

2л i

Г

2л i

^-ln(Z-^)] -VH^zy

^-ln(Z-^)] -VH^zy

где Нх (z) снова голоморфная в области течения функция. Чтобы определить Н1 (z) так, чтобы удовлетворялось условие (6), достаточно применить принцип симметрии Шварца. Тогда

. dw. dwЯ „ . Г Г ii

. dw

. dw

—7- U- — -q—г —- Н

с- 2Л1£ z —

где t, обозначает величину, сопряженную с £. Последнее равенство представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно w (z). Интегрируя это уравнение и определяя произвольную постоянную из условия (5), получим

Г_2niГ_2niIn -—— + 2 expZ — '1In -—— + 2 expZ — '1(9)(9)Определим форму возмущенной свободной поверхности жидкости. Уравнение (2') даетОпределим форму возмущенной свободной поверхности жидкости. Уравнение (2') дает

Г_2ni

Г_2ni

In -—— + 2 exp

Z — '1

In -—— + 2 exp

Z — '1

(9)

(9)

Определим форму возмущенной свободной поверхности жидкости. Уравнение (2') дает

Определим форму возмущенной свободной поверхности жидкости. Уравнение (2') дает

В частности, вычислим форму волновой поверхности далеко за вихрем, позади.

Если £ = d — iA, то вычисление по вычетам дает

(A)(A)/\ da о ./ gh gd Д „ ./ gi

(A)

(A)

exp-а — = 2лг. exp;1- t = 2niexp —гс,

\' CL —c" J\

Пользуясь этим, получаем при больших значениях ж следующую асимптотическую формулу:

2Г / gh \ — ехр -2Г / gh \ — ехр -g Д — d\g Д — d\(Ю)(Ю)

2Г / gh \ — ехр -

2Г / gh \ — ехр -

g Д — d\

g Д — d\

(Ю)

(Ю)

Зная форму волновой поверхности при больших значениях ж, можно написать непосредственно выражение для волнового сопротивления. Мы вычислим сразу и волновое сопротивление Q и подъемную силу Р, пользуясь известной формулой Чаплыгина—Блазиуса:

(И)(И)Р ж =— р \ с—;— dz,

(И)

(И)

С

( gi ) , exp —у а аа( gi ) , exp —у а ааг Г2ni L 2/гг Г2ni L 2/г(12)(12)где С — контур, окружающий точку С, а р — плотность жидкости. Подставляя в (11) выражение (9) и вычисляя интеграл, пользуясь теоремой о вычетах, находим

( gi ) , exp —у а аа

( gi ) , exp —у а аа

г Г

2ni L 2/г

г Г

2ni L 2/г

(12)

(12)

рассмотрим контур К,рассмотрим контур К,Преобразуем полученную формулу. Для этого

рассмотрим контур К,

рассмотрим контур К,

составленный прямой, идущей из —со в точку £ параллельно оси ж, отрезками (£, £) и (£, + too), параллельными оси у, бесконечно малой полуокружностью с центром в точке ^, расположенной слева от прямой у = d, и четвертью бесконечно большого круга с центром в точке £ (рис. 2). Применяя к контуру К и функции [exp (giz/c2)]/(z — t) теорему Коши, получаем

/ т] — /г \ с2 /(А')/ т] — /г \ с2 /(А')

/ т] — /г \ с2 /

(А')

/ т] — /г \ с2 /

(А')

Интеграл, стоящий в правой части, заменой переменного ж = ехр [—gk'X X (р — А)] приводится к виду

, К1г \т . Г / 2?/г/ Rh 2Цг \

- ехр ) Li ^ехр (— j j- exp ) Ei .

Поэтому

dadaЛ1 ехрЛ1 ехр(А")(А")

da

da

Л1 ехр

Л1 ехр

(А")

(А")

Подставляя полученное значение в (12) и разделяя действительную и мнимую части, получаем следующие формулы для подъемной силы и волнового сопротивления:

кТ ле2

Рассмотрим^ как ведет себя полученное решение при больших и малых, значениях отношения g/c2.

Пусть git1 —>■ оо, тогда в пределе граничное условие (6) дает Im [и?] = О или при у = 0, ф = 0. Следовательно, при g/c2 оо в пределе граничное условие (6) дает, что линия у = 0 есть линия тока, и, таким образом, влияние свободной поверхности таково же, как влияние твердой стенки. Пользуясь формулой (9), легко установить, что при gk1 -*- оо характеристическая функция возмущенных скоростей стремится к выражению

Это предельное значение, очевидно, удовлетворяет граничному условию, соответствующему твердой стенке, и совпадает с характеристическрй функцией вихря с циркуляцией Г, помещенной в точке £, и вихря с противоположной циркуляцией —Г, помещенной в отраженной точке £.

Если g/c2 0, то в пределе граничное условие (6) дает Im [iw'l = 0 или dtp/дж = 0, ф = const. Переход к пределу при g/c2 ->- 0 в формуле (9) дает

w (z) = (F/2ni) In [(z — £)(z — С)].

Это решение удовлетворяет условию ф = const и совпадает с характеристической функцией двух вихрей с одинаковыми циркуляциями Г, помещенными в точках £ и £. Заметим, что условие ф = const получается, если пренебрегать не только квадратом возмущенной скорости, но и силой тяжести.

Совершенно таким же путем решается задача об обтекании источника. Мы приведем здесь только окончательные выражения. Пусть мы имеем источник с интенсивностью Q в точке £. Характеристическая функция течения имеет вид

w ^ = (9/2л) In (z — £) + Я (z).

. dw g Q f ti gI -3Г W = -£— j—:dz с22л 1 z — g zr '-. dw g Q f ti gI -3Г W = -£— j—:dz с22л 1 z — g zr '-где Н (z) голоморфна при Im (z) < 0. Пользуясь тем же приемом, как и в предыдущей задаче, находим

. dw g Q f ti g

I -3Г W = -£— j—:

dz с22л 1 z — g zr '-

. dw g Q f ti g

I -3Г W = -£— j—:

dz с22л 1 z — g zr '-

In L(z — :) (z —У]}.

Интегрируя это уравнение, получаем характеристическую функцию возмущенных скоростей для источника:

НУ = ~|г(1п[(г--У(2-01 —2expf—-^-z] exp(13)

Iх747 t J

Отметим еще выражение для формы волновой поверхности при больших значениях ж

„ 2Q / gh \ g к" <0 с \)с2

и выражения для слагающих силы воздействия потока на источник4и выражения для слагающих силы воздействия потока на источник4Q = ?Q i <7 — ехр (^ — с | .Q = ?Q i <7 — ехр (^ — с | .

и выражения для слагающих силы воздействия потока на источник4

и выражения для слагающих силы воздействия потока на источник4

Q = ?Q i <7 — ехр (^ — с | .

Q = ?Q i <7 — ехр (^ — с | .

Заметим, что при g/c2 оо характеристическая функция (13) стремится к функции

^1н[(2-д(2-у].

удовлетворяющей условию ф = const, а при g!c2 О — к функции

удовлетворяющей при у = 0 условию ф = const.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТОКАОКОЛО ПОДВОДНОГО КРЫЛА

Переходя к определению потока тяжелой жидкости, обтекающего крылот мы рассмотрим прежде всего следующую задачу.

Найти характеристическую функцию течения, имеющего заданную скорость с впереди и заданный разрыв касательных и нормальных скоростей- вдоль некоторой линии С.

Пусть С — заданная линия разрыва скоростей, s — длина ее дуги, отсчитываемая в некотором определенном направлении. Обозначим касательную и нормальную составляющие возмущенных скоростей при подходе слева к линии С (относительно выбранного направления отсчета дуг) соответственна у) и v'n и через ^ и у,) — значения этих скоростей при подходе справа. Направление нормали п считаем полученным из направления отсчета дуг поворотом на угол л/2 в положительном направлении.

Введем следующие обозначения:

Ч (s) = у» — ип, у (s) = у' — у".

Разрыв нормальных скоростей вдоль линии С мы можем получить, если на этой линии поместим источники с интенсивностью q (s) ds.

Точно так же, помешан на линии С вихри с интенсивностью y(s)&T пользуясь теоремой Стокса, убедимся, что получим вдоль линии С требуемый разрыв касательных скоростей. Остается еще удовлетворить условию на свободной поверхности. Имея в виду линейность этого условия, легко убедиться, что мы ему удовлетворим, если просуммируем характеристические функции источников с интенсивностью q ^ds и вихрей с интенсивностью ^^ds, удовлетворяющие этому граничному условию и найденные в разд. III.

Обозначим через tos (2) характеристическую функцию течения единичного вихря, находящегося в точке s контура С, и через бф (z) —- характеристическую функцию источника с интенсивностью, равной единице, находящегося в точке s контура. Тогда для характеристической функции скоростей, возмущенных заданной линией разрыва скоростей, полагаем

w(z) = 5fffls(z)y(s) + SS (z) q (s)] ds.(14)

c

Легко показать совершенно строго, что найденное выражение удовлетворяет всем условиям рассматриваемой задачи и есть единственное выражение, удовлетворяющее этим условиям. В самом деле, функция w (z) регулярна всюду при Im (z) < 0, кроме линии С, и удовлетворяет граничному ус-

ловию (5). Скорости течения, определяемые (5), имеют заданный разрыв вдоль линии С, так как функции cos (z) и и, (z) отличаются от характеристических функций единичных вихря и источника в беспредельном потоке лишь членом, являющимся регулярной функцией z при Im (z) < 0.

Легко показать, что полученное нами решение задачи единственно возможно. В самом деле, если бы существовало второе решение wT (z) с ограниченной вдали от С производной, удовлетворяющее условиям (5) и (6), то функция р (z) = w (z) — w1 (z) была бы непрерывна, а следовательно, регулярна при Im (z) < 0. Но тогда она удовлетворяет всем условиям вспомогательного предложения разд. II и, следовательно, есть действительная константа.

Приложим теперь изложенные выше соображения к задаче определения потока тяжелой жидкости около тонкого крыла.

Предположим, что мы имеем цилиндрическое крыло бесконечного размаха с образующими, параллельными свободной поверхности жидкости.

Скорость с потока, набегающего на крыло, параллельна свободной поверхности жидкости и перпендикулярна образующей крыла. При этих условиях движение жидкости будет плоскопараллельным. Предположим, что сечение крыла плоскостью течения мало отличается ст прямолинейного отрезка L, параллельного свободной поверхности жидкости (рис.З).

Пусть, как и выше, ось х направлена по свободной поверхности в ту

же сторону, что и скорость движения невозмущенного потока с, а ось у направлена вверх и проходит через середину отрезка L. Обозначим через 2а ширину крыла — длину отрезка L, и через h— глубину его погружения. Положим у = у + И, и пусть

У = /1 И, У = /а (ж)

— соответственно уравнения нижней и верхней поверхностей крыла [/2 (ж) ^ Аг? tA (ж)]. Согласно сказанному выше, мы будем предполагать, что функции f3 (х), f2 (ж), а также их производные двух первых порядков малы. Эти величины считаем за малые первого порядка. Так же как при составлении граничного условия на свободной поверхности, при составлении граничных условий на поверхности крыла мы пренебрегаем малыми второго порядка и, вместо того чтобы писать эти условия на верхней и нижней поверхностях крыла, напишем их на верхней и нижней поверхностях отрезка L. Скорости потока, обтекающего крыло, должны быть касательными к его верхней и нижней поверхностям, и, следовательно, мы можем написать, обозначая через и", у" значения возмущенных скоростей на верхней поверхности, а через и', у' — их значения на нижней поверхности:

= <16)

При такой постановке задачи характеристическая функция возмущенных крылом скоростей w (z) будет правильной всюду при Im (z) < 0 и вне отрезка L. Линий L является линией разрыва скоростей рассматриваемого течения. .Разрыв нормальных скоростей вдоль линии L мы можем вычислить, пользуясь

непосредственно условием (16):

9 (ж) = у" — у' = с [/а (ж) — /1 (ж)],(17)

а неизвестный разрыв касательных скоростей обозначим у (s). Для характеристической функции возмущенных скоростей воспользуемся формулой (14), тогда

w(z) = ^ [®s (z) у (s) + ®s (z) q (s)J ds.(18)

—a

Для определения неизвестной функции у (s) воспользуемся снова граничным условием (16). Вычислим значения производной и/ ^ при подходе точки z к точке ж отрезка L. Замечая, что характеристические функции cos (z) и 6)s (z) отличаются только регулярными функциями (на отрезке В) от характеристических функций вихря и источника в бесконечно глубокой 1

жидкости —— ln(z — s) и -к—ln(z—• s), и пользуясь известными свойствами скоростей вблизи линии обычных вихрей или источников, можем непосредственно написать 5

м/ (ж) = 5 1®« (ж Н^О 7 (s) + ®S (^ — ^) 9 00] As iW ^ + ic(/g (ж) — /Дж))].,

(19)

при этом берется знак плюс, если точка z приближается к точке ж с нижней стороны отрезка L, и в противном случае — знак минус. Введем следующие обозначения:

exp (?i^/c2) dE E — 2Aiexp (?i^/c2) dE E — 2AiЛ’(ж) + ^ (ж) = 2л+

exp (?i^/c2) dE E — 2Ai

exp (?i^/c2) dE E — 2Ai

(20)

Я(ж) + ^(ж) = 2л1^М

2?^exp2?^expgi \ (‘ exp (?iE,/c3) dE ci Xj J E — Жgi \ (‘ exp (?iE,/c3) dE ci Xj J E — Ж(21)(21)

2?

^exp

2?

^exp

gi \ (‘ exp (?iE,/c3) dE ci Xj J E — Ж

gi \ (‘ exp (?iE,/c3) dE ci Xj J E — Ж

(21)

(21)

Правые части этих выражений, очевидно, совпадают с помноженными на 2л£ значениями производных в точке отрезка L от характеристических функций течения единичного вихря и источника, помещенных в точке £ = —Кг. Легко убедиться, что

2nio)s (ж — hi) = К (ж — Д + И (ж — s),

2niSs (ж — hi) = Н (ж — s) + IJ (ж — s).

При таких обозначениях значения у на отрезке L даются формулой

S)y(s) + #(;r—s)g^s)]cfc4--^(/2^

Пользуясь этим выражением, непосредственно заключаем, что для удовлетворения граничному условию (16) достаточно положить

§ [Я (ж — s) у (s) + Н(ж — s) q(s)l ds = яс [^ (ж) + /2 (ж)].(22)

Полученное соотношение представляет собой интегральное уравнение первого рода для определения функции у (s). Определив у (s) из этого уравнения, находим характеристическую функцию возмущенных скоростей по формуле (19).

Если предположить, что решение задачи о тонком крыле под поверхностью тяжелой жидкости существует при любой циркуляции около этого крыла, то решение интегрального уравнения (22) будет неединственно и будет зависеть от значения циркуляции. В дальнейшем мы будем всегда искать решения с конечной скоростью на заднем конце крыла (при х = а). В разд. V мы остановимся подробнее на способе нахождения этого решения.

Отметим, что указанный выше прием составления уравнений для «тонкого крыла» может быть также приложен к составлению уравнений для определения потока около произвольного тела. При этом характер уравнений различен в зависимости от того, представляет ли движущееся тело дугу или контур его ограничивает некоторую площадь.

Предположим, что под поверхностью тяжелой жидкости движется крыло, представляющее собой аналитическую дугу С. Тогда линия С есть линия разрыва касательных скоростей. Потенциал скоростей, возмущенных этой линией, при обозначениях, принятых в начале этого раздела, можем записать в виде

w (z) = ^ tos (z) у (s) ds.(23)

с

Пусть 9 (о) — угол, составляемый касательной к линии С в точке о. Для определения касательной и нормальной составляющих скорости потока, определяемого формулой (23), воспользуемся следующей теоремой из теории аналитических функций [6, 7].

Предельные значения интеграла типа Коши

1 С У (s) ds

Zju J z — £ (s) c"

в точке а линии С даются формулой

1 у (s) ds ,1, .м

2НГ i ± V м ехР I10 № с

где под интегралом понимается его главное значение в смысле Коши, знак плюс соответствует подходу к линии С справа и минус — слева.

Пользуясь этим положением и тем, что dtos (z) [dz отличается от функции 11

-т.7 регулярным вдоль линии С членом, легко составить выражение

нормальной составляющей возмущенной скорости вдоль линии С;

vn = ^G (о, s) у (s) ds, с

где

G (ст, s) = Re |—I exp [i9 (ст)] j.

Чтобы получить интегральное уравнение для определения у (s), надо потребовать обращения в нуль нормальной составляющей полного потока ■—с sin 9 (ст) + у„ в точке ст контура С. Тогда получаем следующее интегральное уравнение типа Фредгольма первого рода :

G (ст, s) у (s) ds = с sin 0 (ст).(24)

с

Приведем еще уравнения, получающиеся для тела, контур которого ограничивает некоторую область. Пусть С — контур рассматриваемого тела, D — заполняемая этим телом область. Рассмотрим вспомогательное движение жидкости, поле скоростей которого вне контура С совпадает с полем скоростей движения, обтекающего контур С, и скорости которого равны нулю внутри D. Это течение, имеющее линию разрыва касательных скоростей вдоль контура С, очевидно, совместно с кинематическими уравнениями гидродинамики, и поэтому поле возмущенных скоростей этого течения определяется формулой (18):

w (z) = ^ ®s (z) Y (s) ds.(25)

c

Вне С скорости, определяемые формулой (25), буДут совпадать с возмущенными телом D скоростями. Отметим, что разрыв скоростей вдоль линии С, очевидно, равен полной касательной скорости потока, обтекающегоD, у (s)—

Определим значения нормальных и касательных составляющих скорости -потока, определяемого формулой (25), вдоль линии С. Для этого снова пользуемся указанным выше свойством интеграла типа Коши и функции и8 (z). При положительном обходе контура (в направлении, обратном ходу стрелки часов) нормаль га согласно условию; принятому в начале этого раздела, будет направлена внутрь контура С. Значения касательной и нормальной возмущенных скоростей в,точке ст контура С получим в. следующем виде;

щ = Vay ($) + $ Е (pr, s) у (я) ds, vn = ^G (о, s) у (s) ds, c .c

где:

[

й® (z) 1 exp [i9 (ст)] —— J ,

G(o, Д = Re |J exp [iO (ст)]^J.

Чтобы получить интегральное уравнение для определения функции у ($), можно воспользоваться либо условием обращения в нуль нормальной составляющей полной скорости на крыле у„ — с sin 6 (ст) — 0, либо тем, что у (s) есть проекция полной скорости течения на касательную, у (s) = у5 +

4- с cos 6 (ст). Таким образом, получаем из условия обращения в нуль нормальной составляющей уравнение Фредгольма первого рода с несобственным ядром:

^G(o, s) У (s) ds = с sin 9 (о).(26)

Из условия для касательных скоростей получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

1/зу (о) — ^Е (ст, s) у (s) ds —с cos 0 (ст).(27)

с

Каждое из уравнений (26) и (27) может служить для определения функции у (s). Первое из этих уравнений имеет такой же характер, как и (24), полученное для тонкого профиля. Это есть уравнение Фредгольма первого рода, причем слева стоит значение интеграла в смысле Коши, так как легко убедиться, что ядро этого уравнения имеет вид

[2л (s — ст)]-1 + / (er, s),

где / (ст, s) —■ ограниченная функция.

Ядро уравнения (27) не обращается в бесконечность. В самом деле, если кривая С аналитическая, то легко убедиться простым подсчетом, что

г d Г- / ci 1149 (^1

1 пн Не г ехр Ф (ст) —т-д— —__

L L ' z(a) —z(s) J da р(з) ’

где р (ст) — радиус кривизны линии С в точке ст. С другой стороны, Е (ст, s) отличается от рассмотренного выражения только членом, регулярным на линии С.

Вопрос о существовании решения уравнения (27) в настоящее время не выяснен. Отметим только следующее свойство этого уравнения. Уравнение (27) имеет обязательно одну собственную функцию у0 (s). В этом легко убедиться, рассмотрев сопряженное (27) интегральное уравнение, для которого константа будет собственной функцией 7. То, что уравнение (27) имеет всегда неоднозначное решение, соответствует тому, что около крыла возможны движения с различной циркуляцией. ■

В дальнейшем мы будем рассматривать задачу о движении крыла. Так как с точки зрения механики задача о движении крыла в идеальной жидкости представляет интерес для достаточно тонких крыльев и малых углов атаки, для этой задачи достаточно получить решение с точностью до членов первого порядка. Такого рода решение мы получим, пользуясь интегральным уравнением (22). Решение задачи, полученное на основании теории «тонкого крыла» [уравнение (22)], приведет к линейной зависимости подъемной силы крыла от угла атаки. Как известно, для крыла в беспредельном потоке жидкости подъемная сила пропорциональна синусу угла атаки, и, следовательно, отклонение от линейного закона подъемной силы будет третьего порядка ма

лости по сравнению с углом атаки. В случае движения крыла в жидкости со свободной поверхностью это отклонение будет уже второго порядка малости. Для того чтобы получить оценку отклонения от линейного закона, мы приведем решение задачи для случая дуги круга с точностью до членов второго порядка малости . Чтобы получить уравнение, определяющее у (s) с точностью до членов второго порядка малости, для крыла, представляющего собой дугу кривой, мы воспользуемся уравнением (24).

, Пусть L — отрезок прямой, параллельной оси ж, проходящей через какую-нибудь точку дуги С, в которой проектируется дуга С. Пусть снова у ■ у + h, у = f ^ — уравнение линии С, 2а — длина отрезка L . Как и выше, считаем, что ось у проходит через середину отрезка L. Пусть to (z, С) — характеристическая функция течения единичного вихря, находящегося в точке £. Положим

2л4<вг (z, С) — Кй (ж, у; Е, i]) + И0 (ж, у; 1, ц).

Тогда ядро уравнения (24) может быть записано в виде

G ^' s^= "ST ^° Iх’ у ^’ -’ У ® 1 cos 6 ^ —1(1 t^’ У ^’ -’ У © 1 sin 6 (а)ь

Так как в первой части уравнения (24) стоит малая величина первого порядка, для получения у (s) в точности до членов второго порядка малости включительно надо взять ядро уравнения (24), учитывая члены первого порядка малости по у. Разлагая ядро по у ^ и у (Е) и удерживая лишь члены первого порядка, можем написать

\ cos 9 (о) Г/ ОК-п \,

G (а,я) =- |) + ^/ (а) +

1 J/y=-q=-ih хv ’

где К (ж) и I (а) даются формулой (20). Из выражения (9) непосредственным вычислением получаем

dKJdy дК0!дх\ ^= Кг{х — Е),

где

Кл Ы —Re Г 1—

—еJ (a —2Ai)2

Замечая, что в точности до малых второго порядка ds — db, получаем следующее интегральное уравнение:

{К (х — s) + [/ (а)/ (s)] Кх (x — s) — f (х) I (x—s)} y(s)ds=2ncf (а). (28)

Ядра всех приведенных здесь интегральных уравнений выражаются через характеристические функции возмущенных скоростей единичного вихря или единичного источника. Учитывая сказанное в разд. IV относительно

этих функций, заключаем, что ядра этих уравнёний при c2/g ->• 0 стремятся к ядрам уравнений, соответствующих течению крыла вблизи твердой стенки, а при cHg ^ оо — к ядру уравнения, соответствующего течению с граничным условием на свободной поверхности ср ^= const. Это Позволяет доказать совершенно строго, что решение уравнения крыла у (s) асимптотически стремится к решениям соответствующих предельных интегральных уравнений.

Ввиду сказанного заключаем, что поле скоростей течения тяжелой жидкости около крыла при с2^ ->• 0 асимптотическй стремится к полю скоростей течения около крыла, находящегося вблизи твердой стенки, а при с2^ ->- оо асимптотически стремится к течению, получаемому при условии ср const на свободной поверхности. Это то условие, которое получается, если мы пренебрегаем силой тяжести и квадратом возмущенной скорости течения.

V. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ «ТОНКОГО КРЫЛА»

В дальнейшем мы предполагаем, что решение уравнений (22) и (28) существует и представляет собой голоморфную функцию от глубины погружения крыла /г. Мы будем искать разложение решения в ряд по степеням 2alh. Для того чтобы выявить параметры, от которых зависят решения, приведем наши уравнения к безразмерному виду. Обратимся сначала к уравнению (22). Безразмерные величины обозначим черточкой сверху. Положим

ж ~ ах, s as, f (ж)х/2 Мт (ж) + /2 (ж)] af (ж),

К (х— s^ — ^-K ($— s), Н (х—s) = -^-H (х — з),

Y (s) = сД (s), q (s) - cq (s).

Кроме того, положим

т == 2alh, ,Х.^= 2ghlc4

Тогда интегральное уравнение (22) приводится к виду

^К(х-— s) у (s) ds = 2л /' (ж) — ^ Н (х — s)q (s) ds.(29)

После замены переменного а ^ —27га' + ж и перехода к безразмерным величинам функции К (ж) и Н (ж) приведем к виду

2лтг ^о2лтг ^оН (ж) = Re [Н (ж) = Re [(30)(30)ехр (— Хол) da.тк — 4 (а -|- г)

2лтг ^о

2лтг ^о

Н (ж) = Re [

Н (ж) = Re [

(30)

(30)

it 2^т С ехР (— Аои) ^а 1

Тх — 4iа тг — 4 (а -[- О J "

о

Для решения уравнения (29) нам понадобятся разложения этих функций по степеням параметра т. Для того чтобы вычислить коэффициенты этих размножений, отметим следующее равенство:

ооехр (— IXa) daa -j- zехр (— IXa) daa -j- zе [Ei (А) 4- Ы],е [Ei (А) 4- Ы],

о

о

ехр (— IXa) daa -j- z

ехр (— IXa) daa -j- z

е [Ei (А) 4- Ы],

е [Ei (А) 4- Ы],

которое получается так же, как формула (а") разд. III. Интегрируя по частям и пользуясь только что отмеченным равенством, находим значения следующих интегралов:

Г ехр (— Хаг) Да _ ._n [ 1X , X2,

J (а + г)п+1I » ++ га (га-1) (га-2)’

,п-11

+[Ei W+ ^ •'

п (п — 1)2-1?г! L 4 '

Пользуясь этими равенствами и разлагая по степеням т правые части формулы (30), находим

- -г/ х 1V U , 2Х ,2Х2,

К (ж) — il (ж) — — \ , 1 + -^- + ,•

п=0

• • . — 2 —[Ei (X) + in] !• ж” ()>

п=0

О1П+1 -К)/ _ \п+1

.е_ . [Ei (X) + in] ж" -У .

Переходим к решению интегрального уравнения (29). Напишем разложения функций К (ж) и Я (ж) в виде

К (х) = ™ + У £пжт"+1, Я (г) = ^ Япяпт”+1.(3 2)

Коэффициенты этих разложений определяются формулами (31); функцию у ($) мы будем искать в виде ряда, расположенного по положительным степеням т:

(33)(33)У (s) = Уо (s) + Tyi (s) + ... 4- т"уп ($) + •.

(33)

(33)

Подставляя разложения (32) и (33) в интегральное уравнение (29) и приравнивая коэффициенты при равных степенях т в обеих частях уравнения, получаем следующую систему рекуррентных уравнений:

+i

^JS^ = M4^(34)

и при п ^> 0Р1 У„ (s) ds _J $ — s—1и при п ^> 0Р1 У„ (s) ds _J $ — s—1-1

и при п ^> 0

Р1 У„ (s) ds _

J $ — s

—1

и при п ^> 0

Р1 У„ (s) ds _

J $ — s

—1

-4-1ш=п—1

Г^7г-1? (?) (Ж — S)""1 + У Km(x~ s)myn-m-l(s)]^S.

—1m=o

(35)

Первое из полученных уравнений служит для определения у0 (ж), остальные позволят определить у„ (ж), если известны функции у0 (ж), уг (ж), . . . . . yn-i (ж).

Задача определения каждой из функций у„ (.г) сводится, таким образом, к решению интегрального уравнения первого рода вида

$ 4т^=^И’(36)

где <р (ж) — неизвестная функция, а правая часть ф (ж) задана. Выведем общую формулу для решения уравнения (36). Для этого рассмотрим функцию комплексного переменного

F(z) = ( А^ ds .,

Из теоремы о предельных значениях интеграла типа Коши (формулировка которой приведена в разд. IV) предельными значениями функции F (z) на отрезке | х | < 1, у 0 будут

ф (ж) ± глф (ж),

причем знак плюс соответствует подходу к отрезку сверху, а минус — сни* зу. Отметим еще, что

+1

limzF(z) = ^ ф(я)й« = Ф.

Рассмотрим функцию 9

Ft (z) fl -z2F <zY

При этом мы берем в области, внешней к отрезку (—1, +1), то значение радикала, которое положительно на верхней стороне отрезка (—1, +1). Функция Fx (z) регулярна вне отрезка (—1, +1), причем

lim Ег (z) = —• гФ.

На отрезке (— 1, +1) предельные значения этой функции даются формулой [±ф (ж) — 1Лф (ж)] f 1 — х2.(37)

Пусть С — произвольный контур, окружающий отрезок (—1, +1). Вне контура С, применяя к Рг (z) интеграл Коши, получаем

г1 С Fan At,

с

Стягивая контур С к отрезку (—1, +1) и замечая, что при этом члены$ содержащие ф (ж), сокращаются, находим

F1 (z) = - ;ф + -A- t jLWIEAA .

хЯ1 J (s — z) •

Применяя к правой части теорему о предельных значениях интеграла типа Коши, получаем для предельных значений Fx (z) формулу

1 С ф (s) уИ — s2 dsЯ1(s — ж)1 С ф (s) уИ — s2 dsЯ1(s — ж)1ф + /1 —• ж2 ф (ж).1ф + /1 —• ж2 ф (ж).

1 С ф (s) уИ — s2 ds

Я1(s — ж)

1 С ф (s) уИ — s2 ds

Я1(s — ж)

1ф + /1 —• ж2 ф (ж).

1ф + /1 —• ж2 ф (ж).

Сравнивая выражения (37) и (38), находим

' я2—л /1 —

Таким образом, мы получаем решение уравнения (36), зависящее от произвольной постоянной Ф. Можно показать, что при любом значении Ф выражение (39) удовлетворяет уравнению (36). Отметим, в частности, что для решения, удовлетворяющего условию

§ Ф (s) d,s = О,

-1

надо положить Ф — 0. Если мы хотим найти решение уравнения (36), конечное при ж ^= +1, то необходимо, чтобы

—4" $ (s) V тй" ^+ф=о.

Подставляя найденное значение Ф в уравнение (39), получим

ф(ж)=VС +(40)

Относительно вычисления выражения (40) существенно сделать следующее замечание: если функция ф (ж) есть полином, то выражение для ф (ж) получается также в виде полинома. В самом деле, полагая

Л f"]/H-r-ss(Zs

j у г^Г'77~Г »

-1

путем простых вычислений убеждаемся, что

О о ■ - ^ тО ^3:7^ п-x т И п-1,

где

Это же замечание применимо к интегралу (38), так как подынтегральное количество в нем отличается только множителем 1 — s.

Перейдем теперь к уравнениям (35) и (36). В дальнейшем мы будем рассматривать такие течения, для которых циркуляция либо отсутствует, либо- определена из условия конечности скорости на задней кромке крыла. В пер-

.вом случае функция у (ж) должна удовлетворять условию

^ у (s) ds = 0.

—i

так как стоящий слева интеграл есть не что иное, как значение циркуляции около крыла с точностью до множителя ас. Но тогда мы потребуем, чтобы обращался в нуль интеграл от каждого члена в выражении (30), и, следовательно, функции ута (к) в этом случае надо определять, пользуясь формулой (39). Во втором случае функция у (ж) должна быть конечна при ж +1, и мы определим каждый член разложения (30), пользуясь формулой (40).

В правой части формулы (35) стоит выражение, являющееся полиномом от ж, поэтому вычисление всех функций у„ (ж) проводится чрезвычайно просто, и они выражаются в виде полиномов. Что касается уравнения для определения функции у0 (ж), то в правой части стоит функция /' (ж), являющаяся правой частью уравнения средней линии крыла. Для практически интересных случаев здесь также можно ограничиться рассмотрением тех задач, в которых /' (ж) — полином.

Мы приведем здесь значение интеграла, который встречается постоянно при вычислении правых частей уравнения (35):

+1 _

Имеем

Все сказанное выше непосредственно применимо также и к уравнению (28), так как ядро этого уравнения имеет такой же характер,как и ядро уравнения (22). Напишем уравнение (28) в безразмерной форме и приведем разложение для ядра. Пользуясь принятыми выше обозначениями, перепишем уравнение (28) в виде

-и

^ G (£, s) у (s) ds = 2л/' (ж),(40')

„1

тде

G (х, s) = K (ж — s) + [/ (Ж) + / (s)] Кг (х-s')-— /' (ж) I (ж — s).

Разложение по степеням т ядер К (х — s) и I (ж — s) дается формулой ДИ). Для ядра Кх (ж — з) имеем

Кх fa) = ^г ^ fa) = ReКх fa) = ^г ^ fa) = ReIT2(4i — тж)аIT2(4i — тж)аexp (— XPi) <zp "exp (— XPi) <zp "

Кх fa) = ^г ^ fa) = Re

Кх fa) = ^г ^ fa) = Re

IT2

(4i — тж)а

IT2

(4i — тж)а

exp (— XPi) <zp "

exp (— XPi) <zp "

2Х.3и (и — 1)2Х.3и (и — 1)= У К®х^Ч^ = Re [ — z ^ |1 + ~ + 71=171=1

2Х.3и (и — 1)

2Х.3и (и — 1)

О1Пт1 -!.I, _ хЯ+1 "1

2л_е Е. ^.л] ^ т .

и! I \ / ।\ 4i / J

При таких обозначениях разложение ядра G перепишем в виде

^) = ^—у + ^ 5» (Я, s) т"+1,

п=0 где

Gn (ж, s) = \Кп — /' (ж) /„] (ж — sp + К® [/ (ж) + / (?)] (ж — s)"-1.

Чтобы получить уравнения для определения у„ (s), надо в (35) положить q (s) — 0 и Кт (х — s)m заменить через Gm (ж, s).

Заметим, что при вычислении у„ (ж) достаточно удерживать только члены второго порядка малости.

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА «ТОНКОЕ КРЫЛО».ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Приведем формулы для вычисления гидродинамических сил — подъемной силы и волнового сопротивления, а также момента гидродинамических сил, действующих на крыло.

Для этого воспользуемся интегралом Лагранжа

Р — Ро — —реи — т/гР Щ2 + у2) — pgy,(41)

где р0 — давление на свободной поверхности жидкости, ар — плотность. Пренебрегая квадратом возмущенной скорости, можем написать

Р — Ро ^= —реи — gpy.

Вследствие того что углы наклона касательной к контуру крыла мы считаем малыми и крыло мало отличается от отрезка L, для силы воздействия потока на элементы крыла, проектирующиеся на участок оси ж длиной dx, можем написать, пренебрегая величинами второго порядка малости:

ЙР — (Pi — Р^ йх — — ре Ы1 — ^) dx — Р£ (lA — У^ йх —

- — рсу (ж) dx — pg- (У1 — у2) dx.

Здесь индекс 1 указывает величины, относящиеся к нижней, а индекс 2 — ж верхней поверхностям крыла. Интегрируя это выражение вдоль крыла, получаем

Р = А — рс ^ у (ж) dx,(42)

тде А — гидростатическая сила, связанная с площадью крыла о формулой А - pgn.

Совершенно аналогично получаем выражение для гидродинамического момента, действующего на крыло:

+а

М = N — рсу (ж) х dx,(43)

где TV — гидростатический момент, определяемый формулой

N = pg $ (у2 — ух) х dx.

Выведем теперь общую формулу для вычисления волнового сопротивления крыла. Для этой цели нам понадобится асимптотическое выражение возмущенных скоростей течения, обтекающего крыло, при больших значениях ж.

Найдем сначала подобные выражения для течений, вызываемых одним вихрем или одним источником. Пользуясь формулой (9) и принимая во внимание, что при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х

где М — константа; при этих значениях х получаем следующее неравенством

| dm (z)/dz | <( М'/1 z 11

где М’ — снова подходящим образом выбранная постоянная величина,

С другой стороны, полагая

I*/\ йа/ gi\ da(‘/ gi\ da

\ ехр —г-а- = \ ехр —— а — \ expi-^-a=

J\ сУ а — Гt) \еi а —СJ\ сУ а — с

■—00”— ОО~Z°

и пользуясь найденным выше значением первого интеграла правой части,, получаем асимптотическую формулу при больших значениях х;

»У1 = --21гХехр[-4(2-у]

причем произведение zp (z) остается ограниченным при больших х. Подобные же соображения приводят к асимптотической формуле для возмущенных скоростей в случае источника. При х отрицательных произведение б' (z) z остается ограниченным, а при ж положительных

=ехр — ^(2 — ^ + М4,

причем zpx (z) ограниченно при х + оо.

Эти формулы позволяют сразу написать асимптотическое выражение для возмущенных скоростей произвольной линии разрыва скоростей. Пользуясь (14) и суммируя асимптотические выражения для скоростей, возмущенных отдельными вихрями и источниками, получаем:

1°. Произведение zw' ^ остается ограниченным при ж-»оо.

2°.

=х ехР - —z \ k (s) + 1У (S)J ехр — ез ds + р2 (z),(44)

с

причем произведение зр2 (2) остается ограниченным при <г-^ оо.

Пользуясь этим выражением и формулой (2'), получаем асимптотическое выражение при больших х для формы волновой поверхности:

Y ==AReexp( — ^^ [Ч^ Д iy (s)] exp(-§-£s) ds.

Из полученного выражения видим, что далеко за крылом волновая поИз полученного выражения видим, что далеко за крылом волновая поверхность имеет всегда синусоидальную форму.

Из полученного выражения видим, что далеко за крылом волновая по

Из полученного выражения видим, что далеко за крылом волновая по

Для вычисления волнового сопротивления крыла мы применим теорему о количестве движения . Рассмотрим ■область Д, ограниченную отрезками 5г: х--Н. -Н Су (-Я); S2: xt-R, -H<S<Y(K); S: у^-Я,

| х | С R — и участком свободной поверхности жидкости (рис. 4). Так как количество жидкости, находящейся в области Д, остается неизменным, мо

жем написать

) (с + и) dy — ) (с 4- и^ dy j v dx = 0.

StSgs

(45)(45)(46)(46)С другой стороны, теорема о проекции количества движения на ось х, примененная к субстанциональному объему жидкости, занимающему в некоторый момент времени область Д, позволяет написать, пользуясь тем, что движение установившееся:

(45)

(45)

(46)

(46)

— Q + $ (Р — Ро) dy — § (р — ро) dy = — р ^ (с + и)2 dy +

sts2s,

+ P (c + иУ dy p ^ v (c + и) dx.(47)

s3s

Подставляя сюда значение для р — р0 из интеграла Лагранжа и принимая во внимание равенство (46), можем последнее выражение привести к ВИДУ

(? = ~р Vм'-у2) ^ —г р— у2^dy + Pg J У dy “

StS3Sj,

Переходя к пределу при Я -> оо и вычисляя третий и четвертый интегралы, получаем

<? 4 Р $ ^ “ ^dy— "С Р ^ (“2 ~ у2) dd + 4pgY2 ^Y pgY2 (— R^

S2

Пользуясь оценками для скоростей, возмущенных вихревой линией при больших значениях | ж |, после перехода к пределу при 2? -> оо имеем

Q =(и2—у2) dyQ =(и2—у2) dy(48)(48)

Q =(и2—у2) dy

Q =(и2—у2) dy

(48)

(48)

Заметим, что при вычислении величин, стоящих в фигурной скобке, можно воспользоваться] их асимптотическими значениями. Вычислим выражение (48) для течения, возмущенного вихревой линией. Имея в виду, что и2 — — у2 ^= Re (dw/dz)2, и интегрируя по у, находим

^ (и2 — у2) dy = Re [-^- exp (^ s2^ (и2 — у2) dy = Re [-^- exp (^ s2^R^\Y»^ + Ms)]exp(-5-5sW] • c

^ (и2 — у2) dy = Re [-^- exp (^ s2

^ (и2 — у2) dy = Re [-^- exp (^ s2

Используя полученное выражение и (45), после небольших преобразований получаем

(49)(49)Q =[7 00 + ($)] exp ds P .

(49)

(49)

I c I J\ 6/ I

c

Это и есть окончательная формула для вычисления волнового сопротивления. Заметим, что она совпадает с той, которая получается из обычной формулы для вычисления волнового сопротивления' по форме плоской волны (см., например, [11, с. 466]). Это показывает, что все сопротивление подводного крыла сводится к волновому. Отметим два частных случая формулы (49). Для крыла, контур которого ограничивает некоторую область, формула (14) сводится к (25), и поэтому формула (49) сводится к следующей:

<? = -^г| § тООехр ^-^ds^. ' (50) с

В случае теории «тонкого крыла» формула (14) принимает вид (18), в соответствии с этим формула для волнового сопротивления будет

*? = “§-ехр(*? = “§-ехр(-Jr) | 5 [9 00 + Zv 001 ехР (“§- s) ds | . у-Jr) | 5 [9 00 + Zv 001 ехР (“§- s) ds | . у(51)(51)

*? = “§-ехр(

*? = “§-ехр(

-Jr) | 5 [9 00 + Zv 001 ехР (“§- s) ds | . у

-Jr) | 5 [9 00 + Zv 001 ехР (“§- s) ds | . у

(51)

(51)

Таким образом, для вычисления гидродинамических характеристик «тонкого крыла» имеем формулы (42), (43) и (51). Мы напишем еще эти формулы, пользуясь безразмерными обозначениями:

Р = — рас2 ^ у (s) ds + А,

—1

М — — ра2е2 ^ 7 (?) ? ds +(52)

Q = pga2e~l | [g (s) + iy (s)] exp ^i -^- s) ds |2.

—i

Полученные формулы позволяют вычислить подъемную силу и момент в точности до членов первого порядка малости и член второго порядка для

волнового сопротивления. Если при вычислениях на основании интегрального уравнения (28) мы хотим получить для подъемной силы и момента также члены второго порядка малости, то при выводе формул для гидродинамических характеристик надо учитывать также и члены второго порядка. Не останавливаясь на подробном выводе этих формул, приведем их окончательный вид:

+1

Р = — рас2 ^ (1 + ^*) V (ж) dx,

М = — ра2с2 ^‘ s(l + а*) у (s) ds,(53)

+i.

V = pga2e \ y(s) + —/(s) J expl —^s )ds , —i'

где a* — безразмерная средняя возмущенная скорость на крыле, определяемая формулой

и*=^7 ) Цх — s^^ds.(53')

Сделаем несколько общих замечаний по поводу формул (52). Как указывалось в разд. V, при c"!g-^- 0 функция у (ж) стремится к вихревой функции, соответствующей граничному условию ф = 0 при у = 0, и при с2+ -^- оо — к вихревой функции, соответствующей условию ф = const. Отсюда непосредственно следует, что при малых скоростях с главный член для подъемной силы и момента суть гидростатическая сила и гидростатический момент. Безразмерный коэффициент гидродинамических составляющих подъемной силы и момента при малых скоростях с стремится к тем, которые соответствуют движению крыла вблизи твердой стенки (условие ф = 0). При больших значениях скорости значения подъемной силы и момента становятся асимптотически равными тем, которые соответствуют условию ф = const на свободной поверхности.

Обратимся к рассмотрению формулы для волнового сопротивления. При c^ig ->• 0 волновое сопротивление весьма быстро (по показательному закону) стремится к нулю. Исследуем поведение Q при с->- оо. Пользуясь последней из формул (52) и замечая, что по определению функции q (s) (формула (17))

+1

q (s) ds = 0,

—i

получаем

Пт() = р£а2Го,(54)

где Го — безразмерное значение циркуляции, соответствующей обтеканию крыла с граничным условием на свободной поверхности ф = const.

Пользуясь формулой (51), непосредственно видим, что полученный результат сохраняет свою силу для произвольного крыла.

Полученный результат показывает, что существует принципиальное различие в поведении волнового сопротивления крыла в случае движения без циркуляции и при циркуляционных движениях. Для движения без циркуляции при больших скоростях волновое сопротивление стремится к нулю, тогда как во втором случае имеет предельное значение, отличное от нуля. Заметим, что это предельное значение остается конечным даже тогда, когда погружение крыла неограниченно возрастает и.

ПЛАСТИНКА. ДУГА КРЫЛА.ЭЛЛИПС

Используем теперь общие соображения, развитые в предыдущих разделах, к вычислению гидродинамических характеристик подводных тел в частных случаях.]

Рассмотрим дугу окружности с хордой 2а и центральным углом 2р, имеющую угол атаки, равный а (рис. 5). Считая аир малыми и пренебрегая вели

чинами третьего порядка малости по сравнению с | а| + |Р |, имеем следующее уравнение:

В дальнейшем нам удобно будет пользоваться обозначением 6 = а + р/2.

Величина 0 имеет простое механическое толкование. Это есть угол, составляемый хордой дуги окружности с тем положением этой хорды, для которого подъемная сила обращается в нуль. Пользуясь уравнением (29) и, следовательно, вытекающими из него рекуррентными формулами (34) и (35) и формулой (40), путем элементарных вычислений получаем

То (ж) = —2 /(1 — ж)/(1 + ж) (1 + ж) [(а + Р) + рж],

Ti (ж) = 2 У (1 — ж)/(1 4- ж) Д 4- ж) Ао (а 4- V2p),

У» (ж) = —2 /(1 — ж)/(1 ф ж)(1 4- ж) [(Ад — АД (а + Х/2Р) — VgAi а — — Кх (а 4* Х/2Р) ж],

Тз (ж) = -2 /'(1-ж)/(1+ ж)(14-ж){[-А® (а 4- V2P) + К0Кг (^ + Р) - - А2 (2а 4- 3/8р)1 4- [АоА, (а 4- V2p) - А2 (2а 4- ^р)] ж - - А2 (а 4- V2p) ж2}.

Мы ограничимся четырьмя полученными членами разложения у (ж). Подставляя в формулу для подъемной силы и момента найденное разложение

11 Заметим, что при больших с волновое сопротивление становится и в этом случае весьма малым по сравнению с другими составляющими сопротивления, которые вместе со скоростью неограниченно возрастают.

для у (г) и пользуясь значениями интегралов ВП1 найдем

Р = 2лрас2 {6 - К „Вт + [(^ - ^) 9 + i/4^p] т2 + [(-^ +

+ 2ВД - ^Щ 9 - Д4 (£0#i - 3/2^2) Р1 т3},

М=- лра2с2 {(9 - р/2) - #09т + № - Ч^ 9 + 1/4^ipl т2 +

+ [(-Я3 + Ч.К.К. - 4JQ 0 - Д4 kK»Kx - ЧйК^ р] т3}.

Для момента относительно точки, отстоящей на расстоянии х/2а от передней кромки, имеем

Mz - М + ^аР.

Подставляя в найденные выражения значения коэффициентов Кт, получим следующие окончательные формулы:

Р = 2лрдс2 [9 + ри9т + (р210 + р22Р) т2 + (р310 + р32Р) т3],(55)

М, = лра2с2 [х/2р + т219т2 + (m319 + т32р) т3], где

ри = —1/2лле^'-;

р21 = i/8 [2л2Х2е^ - Д2 - X + XV*Ei (X)],

р22 = 2~6 [1 + 2Х - 2Х2е~>- Ei (X)],

р31 = 2-4 лХе-ь [1 + 2Х + 3/8Х2 - 2X2Ei (X) «г* - 2л2Х2е'2Ч,(56)

р32 = — 2-7 лХе-х [1 + 2Х 3/4 X2 — 2Х2е~х Ei (X)], m21 = -2~5 [1 + 2Х - 2X2e^Ei (%)],

т31 = 2-6лХе-^ [1 + 2Х + 3/4V - 2Х2е^ Ei (X)],(57)

тм = —2-8лХ3е-?*.

Напомним, что X = 2gh/c2, т = 2a/h.

Переходя к вычислению волнового сопротивления, заметим прежде всего, что интегралы BHflaj +1'

с«+ V тдЕт exP ^itx^йж

могут быть выражены через функции Бесселя. В самом деле, пользуясь известным интегральным представлением функций Бесселя, имеем

J^^ = ^v ^ ехР [^ (^sin 9 — re9)] d9 = —л

= -^р [exp (— inQ) -|- (—1)’! exp (in9)] exp(i£ sin 9) d9.

—Л/2

С другой стороны,

C« = ^ п^п+1,

(О Заказ М 1090

где

П, = I ж" ехр ^-^ - = ( sin" 6 exp(^sin0) d6.

Имея в виду, что

sin" 9 = (—i/2)" {[exp (inO) + (—1)" exp (— in0)l —(") {exp [ — i (n - - 2) 0] + (-!)’« exp [-i (n - 2) 0]} -|- . . .},

получаем Do = nJ0 (i); а при n4 0

A. = 2л (-^У [/„ Д) - (4 /n_2 (t) 7 ^ /n„4 (t) - . . . ] .

Принимая во внимание отмеченные равенства на основании формулы (52), получаем, ограничиваясь в разложении функции 7 (4) тремя первыми членами:

Q = + Wpga2^ | Jo (v) {0 - 7Го0т + [(Я2 - ^) 0 + П^р] т2 +

+ [(-^ + 2^ - 3/2^2) 0 - i/4 (^^ - з/^) р] тз} _

iJx (v) {а - ^о0т + [(^„2 - ЧйК^ 0 + П^р] т2 + [(—A*g + (58) + 3кк0кх - з/4х2) о - k4 {к,к4 - ч^ р] т3} + п2 j2 м {р -

^От2 + Ж0К4 - ^2) 0 + ^р] т3} - (i/4) J3 (v) 7Г29тЗ j2,

где v .1 4/.т. Если полученное выражение разложить по степеням параметра т, то получим

Q = 8n2«2pge-^ [02 Н- д402т 4- (д2102 + ?220р + feP2) т2 + (д3102 +

+ ?326рМ,(59).

причем

д1 = —n^e^7",

дИ = -4/8 [1 + 2Х + V/8 - 2Ve-?-Ei (X) - 6л2Х2е-2Н,

дм = 2"5 [1 + 2Х - V/4 - 2XV>- Ei (X)],

дм = 2-8 Xй,(60)

9з1 = 2-4л^ [-8л2Х2е-гь + 3 + 6Х + V - 6W M/i (X)],

9з2 = -2-5л^ [1 + 2Х + ^/4 - 2Ve-?‘Ei (К)].

Формулы (55), (58) и (59) позволяют вычислить гидродинамические характеристики дуги окружности, движущейся под поверхностью воды.

Для того чтобы из этих формул получить формулы, соответствующие пластинке, движущейся под углом атаки а, надо положить р = 0 и 0 = а. Для случая пластинки мы приведем еще формулы, вычисленные с точностью до. величины второго порядка малости относительно а. Для получения этих формул следует воспользоваться интегральным уравнением (49') и формулами (53). Не останавливаясь на вычислениях, приведем для этого случая только окончательные формулы, удерживая в разложениях по степеням т

три первых члена:

Р = 2лряс2а [1 + (Pi -г Р1«) т 4- (р2 4- р2а) т2],

Mt = лр«2с2 [ттг2 -|- /и2а] г'2,(61)

Q = 8n2a2pga2 [1 — ^qx + ?i«) т + (д2 -г ^2а) т2]

Приведем значения коэффициентов, входящих в (61):

pi = — 1 /2лХе""х,Pi = — Дг 4- Хе-х Ei (X),

pa = П8 [2л2Х2б~2Х — Пз —■ X + Х2е-Х Ei (X)],

р., = 1/2пХе-х [14 ДЛ — 2Хе”х Ei (X)],

m2 =—2-5[1 + 2Х — 2Х2е",‘Ei (X)], m^ = — 3/i.3nX2e-x,(62)

<7i = — лХе-х,^i = — До + Х/4 -4 Хе-х Ei (X),

^2 = — г/8 [1 + 2Х 4- Х2/8 — 2Х2е";- Ei (X) — 6л2Х2е'2х],

q^ = ^nXe-'- [1 — 2ле~х Ei (X)].

Для того чтобы дать представление о характере изменения гидродинамических характеристик пластинки, мы приводим ряд графиков.

Первый из этих графиков дает кривые изменения коэффициентов подъемной силы. Для построения графиков подъемная сила выражена в виде

Р = 2лрас2а (Рх — аР2).

Полагаем в первой из формул (61) т = 1/ц, X = цх-1. Величина т] = И (2«)-1 есть относительное погружение крыла, а х = c^Hga — величина, безразмерная и пропорциональная квадрату скорости.

Верхние кривые на рис. 6 дают значения Pv в функции числах для относительных погружений 1] = 0,5; 1; 2 и 3. Семейство нижних кривых дает Р2 в функции параметра х для ц = 1; 2 и 3.

Верхнее семейство кривых показывает, что при малых числах х коэффициент подъемной силы больше единицы. Как уже указывалось выше, значение Рх при х О совпадает с коэффициентом подъемной силы крыла, находящегося вблизи твердой стенки. При возрастании х коэффициент Рх растет, причем тем больше, чем ближе крыло к свободной поверхности. Достигнув максимума, коэффициент подъемной силы начинает быстро падать, причем для всех приведенных значений ц становится меньше единицы при х <4 1. Далее коэффициент Р^ достигает своего минимума (для приведенных значений 1] при х < 3) и затем монотонно возрастает. Прямые, проведенные па верхнем графике штрихом, суть асимптоты к кривым Pv

Из приведенных графиков видно, что приближение Рх к их асимптотическим значениям весьма медленное. Асимптотические значения коэффициента Рх равны тому значению, которое соответствует потоку около пластинки с граничным условием на свободной поверхности ф = const.

Для практики наиболее интересны большие значения коэффициента х. Например, если мы имеем крыло с хордой 2а = 0,5 и движущееся со скоростью с = 10 м/с, то х ^ 10. При увеличении скорости или уменьшении хорды подводного крыла значение х становится еще большим. Мы привели графики для сравнительно малых значений х, так как при этих значениях

кривые ведут себя наиболее характерно. При больших значениях х коэффициент Ру приближается к своему асимптотическому значению, оставаясь все время меньше его.

Нижнее семейство кривых (см. рис. 6) дает закон изменения коэффициента Рг в зависимости от х. Кривые показывают, что при малых значениях х коэффициент Р2 отрицателен, затем (для рассмотренных значений ц при 3 < < х -< 5) переходит в положительную область и при больших значениях х стремится к своему асимптотическому значению, соответствующему граничному условию на свободной поверхности <р = const. Асимптоты к кривым Р2 также показаны штриховыми линиями.

Если обратиться к графику подъемной силы по а, то из поведения коэффициента Р2 видно, что при малых значениях числа х кривая подъемной силы отклоняется от сзоей касательной в начале координат вверх, а при больших значениях х — вниз.

Однако эти отклонения от прямолинейности для тех углов атаки, для которых сохраняется плавное обтекание крыла, весьма малы, и тем меньше, чем больше погружение крыла. На рис. 7 и 8 нанесены графики коэффициента подъемной силы

Су = ла (Ру — аР2)

для случая р = 1, х = 1 и 10, иллюстрирующие указанное отклонение от прямолинейного закона.

Графики коэффициентов, входящих в выражение волнового сопротивления, приведены на рис. 9 и 10. Аналогично тому, как в случае подъемной силы, полагаем

Q = 8л2«2а2р§- (<?1 - «&).

На рис. 9 и 10 изображен коэффициент Qv волнового сопротивления. На рис. 9 Qt изображен для ц = 1 и 2. Кривая для ц = 3 изображена отдельно на рис. 10, так как она весьма мало отличается от кривой, соответствующей ц = 2. Горизонтальные штриховые линии снова суть асимптоты к кривым Q^ (х, ц). Из приведенных графиков видно, что при х = 0 все кривые касаются оси х. Как следует из формулы для волнового сопротивления, это касание бесконечного порядка. При увеличении х при всех рассмотренных значениях ц кривые Qx монотонно возрастают и приближаются монотонно к некоторому асимптотическому значению, отличному от нуля. Это совпадает с тем, что было доказано в разд. IV. Заметим, что предельное значение для <21 возрастает вместе с ц и может быть определено по формуле 1 — т2/8.

Приведем еще асимптотические формулы для гидродинамических характеристик пластинки при больших значениях числа х, полученных на основании (61) и (62):

Р = 2лрас2а [(1 — т2/16) — та/2], М, = —лря2с2ат2/32,

Q = 8n2a2a2pg [(1- т2/8) - та/2].(63^

Из этих формул следуют некоторые качественные выводы для движения крыла с большой скоростью.

Значение дСу/да при а = 0 тем больше, чем больше погружение крыла. Если погружение тела неограниченно увеличивается, то (дСу/да)а=о стремит-

Рис. 10Рис. 10Рис. 11Рис. 11

Рис. 10

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 11

ся к значению дС^да. в бесконечном потоке. При увеличении угла атаки кривая См несколько отходит вниз от прямой с наклоном ^дСу1да^а=о.

Положение точки, относительно которой гидродинамический момент равен нулю, может быть определено с точностью до членов второго порядка. Если обозначить через d расстояние от точки G до точки F, отстоящей на расстоянии 2~-а от передней кромки пластинки, и считать d положительным тогда, когда G находится дальше от передней кромки, чем F, то

d = —ат2/32.

Отметим, что при больших скоростях центр давления несколько смещается вперед, а из формулы для Q следует, что волновое сопротивление при положительном угле атаки а меньше, чем при равном по абсолютной величине отрицательном угле —а.

В заключение применим интегральное уравнение (29) и формулу (52) к вычислению волнового сопротивления эллипса, большая ось которого велика по сравнению с малой и имеет направление, совпадающее с осью z (рис. 11). Уравнение такого эллипса запишется в виде

У = +6 /1У = +6 /1а?! а-.а?! а-.

У = +6 /1

У = +6 /1

а?! а-.

а?! а-.

Следуя формуле (17),

1И =1И =

1И =

1И =

или в безразмерных обозначениях

2b $а |/1 — Г2 ‘2b $а |/1 — Г2 ‘

2b $

а |/1 — Г2 ‘

2b $

а |/1 — Г2 ‘

Мы будем искать течение, обтекающее эллипс с циркуляцией, равной нулю, и соответственно с этим определять функции уп (с), пользуясь формулой (39) для решения интегрального уравнения (36), полагая Ф = 0.

Для четырех первых членов разложения функции у (г) в ряд по степеням т имеем следующие выражения:

То СД = о,Т1(Д = 0,То СД = о,Т1(Д = 0,Hi

То СД = о,

Т1(Д = 0,

То СД = о,

Т1(Д = 0,

?з(Д?з(ДН2 1 - 2т22/1 — Г2 'Н2 1 - 2т22/1 — Г2 '2 у"! —

?з(Д

?з(Д

Н2 1 - 2т2

2/1 — Г2 '

Н2 1 - 2т2

2/1 — Г2 '

Подставляя полученные значения в формулу (52) для волнового сопротивления и пользуясь вычисленными выше интегралами Dn, для волнового сопротивления эллипса получаем

Q = 462р^л2 [(/0 (v) - гкН^Чг (v))2 + (Н»тчЛ (v)],

где снова v = '4лт и

Я, = (—л/8) XV\Н2 = —2-в [1 + X + V - Х3е~х Ei (X)].

Разложение полученного выражения по степеням т дает при сохранении членов до третьего порядка по т включительно

Q = 4&2pgn2e^ [1 — 2-5Х2г2].

ЛИТЕРАТУРА

Lamb Н. On some cases of wave-motion on deep water.— Ann. mat. pura cd appl., 1913, 21, p. 237-250.

Havelock T. The vertical force on a cylinder submerged in a uniform stream.— Proc. Roy. Soc. London A, 1929, 122, p. 387—393.

Сретенский Л. H. Теория волновых движений жидкости. М.; Л.: ОНТИ, 1936, с. 303.

Сретенский Л. Н. Теоретическое исследование о волновом сопротивлении,— Тр. ЦАРИ, 1937, вып. 319, с. 55.,

Келдыш М. В. Замечание о некоторых движениях тяжелой жидкости.— Наст, кн., ст. 7.

Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.; Л.: ГТТИ, 1933, с. 312.„

Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной: Пер. с нем. М.; Л.: ГТТИ, 1934, с. 378.

Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы.— Тр. ЦАГИ, 1932, вып. 118, с. 53.

Седов Л. И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями.— Тр. ЦАГИ, 1936, вып. 252, с. 40.'

Келдыш М. В., Седов Л. И. Теория волнового сопротивления в канале конечной глубины.— Наст, кн., ст. И.

Lamb Н. Lehrbuch dor Hydrodynamik. 2. Aufl. Leipzig, 1931. Пер. с англ, яз.: Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

11

ТЕОРИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯВ КАНАЛЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ *

Совместно с Л. И. Седовым

В настоящей работе устанавливаются формулы, позволяющие вычислять волновое сопротивление при заданном, движущемся с постоянной скоростью, распределении давления на свободной поверхности жидкости, заключенной в цилиндрическом канале с прямоугольным сечением. Кроме того, мы указываем применение этих формул к вычислению волнового сопротивления корабля, движущегося в канале с постоянной скоростью.

Формула для вычисления волнового сопротивления корабля, плывущего по свободной поверхности неограниченной жидкости, была установлена Ми- челлем еще в 1898 г. [1]. В этой же работе содержатся некоторые соображения о решении задачи для случая беспредельной жидкости конечной глубины. Задача о волновом сопротивлении при заданном движущемся распределении давления по поверхности неограниченной жидкости была решена Хогне- ром |2].

В последнее время проф. Л. Н. Сретенский вычислил волновое сопротивление судна, движущегося в канале бесконечной глубины х.

Обозначим через К глубину канала и 26 — его ширину. Пусть xyz — система координат, движущаяся вместе с распределением давления р с постоянной скоростью с вдоль оси канала. Поместим начало координат на свободной поверхности жидкости, ось х — по средней линии невозмущенной поверхности в направлении движения и ось z — вертикально вверх. Потенциал абсолютных скоростей возмущенного движения жидкости есть гармоническая функция Ф (ж, у, z\ удовлетворяющая следующим граничным условиям.

1°. На стенках канала, т. е. при z = —6 и у = ±6,

дФ.'дп = О,

где п — нормаль к стенкам.

2". На свободной поверхности, при х = 0, пользуясь интегралом Лагранжа и пренебрегая квадратами величин абсолютных скоростей возмущенного течения, имеем

52р ; » 5Ф1 др

ох- ~ с2 дгср дх ’

где g — ускорение силы тяжести, р — плотность воды.

Применение метода Фурье разделения переменных приводит к полной системе частных решений, удовлетворяющих граничному условию 1°:

Ф = ch X (z + 6) cos (пл/26) (у + 6) (Ct cos цж + С2 sin ца;),(1)

* Тр. конф, по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937, с. 143—151.

Имеется в виду доклад Л. Н. Сретенского на упомянутой конференции.— Примеч. авт. (В Тр. конф, на с. 138 было помещено только краткое содержание доклада Л. Н. Сретенского «Волновое сопротивление судна при движений в канале». Более полно см. работы [3, 4].— Примеч. ред.)

где

л2 — р2 = (ил/26)2, и = О, 1, 2, . . .,(2}

Сг, С2 — произвольные постоянные. Для определения системы свободных волн в канале имеем еще граничное условие 2° при р = const. Это условие дает

X th Mi = c2p2/g.(3)

Исследуя систему уравнений (2) и (3), легко усмотреть, что каждому значению п /> 0 соответствуют четыре системы решений (±ХП, ±рп). Поэтому для каждого п^> О получаем следующее семейство свободных волн:

Фп = ch Хи (z + /г) cos (шг/26) (у + 6) (C^ cos рпх + С\ sin рге ж).(4).

В случае п = 0 система (2), (3) имеет действительные решения, отличные от нуля только при условии F = c^igK С 1, и, следовательно, получающиеся плоские волны возможны только при F < 1 и даются формулой

Фо = ch Хо (z + ^) (Ci cos Хох + С2 sin Хож),(5).

где Хо — корень уравнения th Mi = FMi.

Предположим, что др/дх удовлетворяет условиям разложимости в ряд. Фурье по переменному у и в интеграл Фурье — по переменному х.

Положим

Ф1 = /ДГ ^ ^ ^^ ЕГ1 ^’ cos п=оо

(6).(6).,х , ch X to + dll

(6).

(6).

1 мг j (gX/c2) sh Mi — p2 ca Mi ’

где X и p связаны соотношением (2) и под знаком интеграла подразумевается его главное значение в смысле Коши. На основании формул для коэффициентов ряда Фурье и интегрального тождества Фурье убеждаемся, что для удовлетворения условия 2° достаточно положить

Г1(и, р) 1Г2(п, р) JГ1(и, р) 1Г2(п, р) Jgq W С СЗрс4 ' 'gq W С СЗрс4 ' 'a^a^a^a^(7)(7)

Г1(и, р) 1

Г2(п, р) J

Г1(и, р) 1

Г2(п, р) J

gq W С С

Зрс4 ' '

gq W С С

Зрс4 ' '

a^a^

a^a^

(7)

(7)

q (0) = 1/2, q (п) = 1 при п > 0.

Общее решение рассматриваемой задачи получается сложением найденного решения с произвольной системой свободных волн. Мы будем искать то частное решение, которое соответствует движению с отсутствием волн далеко впереди. Для этого найдем асимптотическое значение потенциала Фх (ж, у, z) при -больших значениях | ж |.

Рассмотрим п-й член суммы (6). Интервал интегрирования (0, оо) разбиваем на две части, соответствующие | р — р„ | < 6 и | р — Pn I > 6, где. 6 — достаточно малая постоянная.

В первом из этих интервалов полагаем

ch X (z 4" /l) Г; (и, U.)ch X (z 4" /l) Г; (и, U.)ch К к Т 11) Г,- ^п, pn) 1ch К к Т 11) Г,- ^п, pn) 1-—2 ■ th ХК — ЦХ сh Х1г-—2 ■ th ХК — ЦХ сh Х1гTn ch ТЛ [1,г ~Tn ch ТЛ [1,г ~-|- Г, (га, ц, z),-|- Г, (га, ц, z),

ch X (z 4" /l) Г; (и, U.)

ch X (z 4" /l) Г; (и, U.)

ch К к Т 11) Г,- ^п, pn) 1

ch К к Т 11) Г,- ^п, pn) 1

-—2 ■ th ХК — ЦХ сh Х1г

-—2 ■ th ХК — ЦХ сh Х1г

Tn ch ТЛ [1,г ~

Tn ch ТЛ [1,г ~

-|- Г, (га, ц, z),

-|- Г, (га, ц, z),

где

- Нг - < We=> = h. 1=1,2-

Чтобы вычислить часть интеграла, относящегося к слагаемому, содержащему множитель 1/(р — р„), заметим, что

an-U6

\ —^— = —л,1 sign же1ЦпЖ = е ^),

ц„-6

Через е (ж) здесь и дальше обозначена величина, стремящаяся к нулю при | ж | —>оо. Функция Гг (га, р, z) конечна при | р — рп | < 6. Наличие множителя е,|1х под знаком интеграла влечет за собой стремление интеграла с Г к нулю при х —>оо. Тот же вывод легко сделать относительно части интеграла при | р — р„ I ^> 6. Накладывая некоторые общие ограничения на функцию р, достаточно, например, предположить, что на свободной границе

а О,а О,4Р _

а О,

а О,

■3^(1 4. | х |)4+“ г/1+₽

и что р — р^ исчезает при] ж | ->-оо. Можно показать, что ряд У у^Г^(п, рп) сходится и что асимптотическое значение суммы (6) равно сумме асимптотических значений ее членов .

Таким образом, при больших значениях | ж |

Ч-ь 4«i

Ф1 (X, у, z) = — sign х {^6/г (^ _ 1}^ (p — p^d^k

-4-00„

cos -^- (у 4- 6) ><cos -^- (у 4- 6) ><2сз y^ ch + Л)

cos -^- (у 4- 6) ><

cos -^- (у 4- 6) ><

1b~ Y„ ch Х^г

п=п.

(8)(8)X [Г^;?, pn)sinpna: — Г2(«, pn)cospna:][ + е(ж),

(8)

(8)

где га0 = 0 при F < 1 и п0 = 1 при F > 1, так как корень р0 действителен только при F < 1.

При указанных ограничениях асимптотические выражения для производных функции Ф3 получаются дифференцированием главного члена правой части выражения (8). Из формулы (8) непосредственно следует, что асимптотическое значение при х —i оо для потенциала скоростей движения с от-

■сутствием волн на бесконечности при ж ^- + оо дается следующей формулой:

-рЬ -1-оо'■ -1~оо.

сСОСИ к (2 4-

Ф(^, y,z) =— -К—7-Г-7-,Ж" \ \ (р Ро)<^^Лж > г-р-; х

v a 1 2pSto(1—F) Л Ji gb 2—IY„chVl

— b—ooП—По

X cos^y- (У + b) [Г1 (n, pn) sin рпж — Г9 (n, pn) cos ynx] + e (ж).(9)

Главный член полученного выражения представляет собой почти периодическую функцию х.

Применяя теорему о количестве движения, можно указать общую формулу, удобную для вычисления волнового сопротивления при установившемся движении. Обозначим через R горизонтальную составляющую всех внешних сил, приложенных к массе жидкости между поперечными сечениями канала So и S1 (см. рисунок). Эти силы могут быть вызваны как воздействием тел, плавающих в жидкости, так и внешними давлениями, распределенными по свободной поверхности воды. Применяя теорему о количестве движения к субстанциональному объему жидкости, заключенному в момент t между сечениями 80 и 5Г, и пользуясь установившимся характером движения, можно написать

R -|- ^ (р — ри) do — ^ (р —- рЙ) do = p ^и(с — и) do — р ^(с — и) do. (10) StS,Sts,

На основании интеграла Лагранжа и соотношения d^’dt = —си

(И)(И)р — Ро = Рси — к? № + 1,2 + ш2) — SPZ-

(И)

(И)

Мы рассматриваем такие течения, для которых скорости возмущенного движения воды затухают на больших расстояниях впереди (при ж —>- + °°). При удалении сечения 50 в бесконечность, пользуясь (И), из (10) получаем

(12)(12)R = ^р ^ (и2 4- v1 + ua) do + ^pg1 ^ й dy — р ^ ua do, St-bSt

(12)

(12)

где £ (ж, у) — уравнение взволнованной поверхности жидкости.

Первый член полученного выражения означает плотность кинетической энергии в сечении 5Ь второй — плотность потенциальной энергии в этом же

сечении. Наличие третьего члена обусловлено переносом энергии при волновом движении. В обычной теории плоских волн малой амплитуды этот перенос учитывается с помощью понятия групповой скорости.

Преобразуем формулу (12) так, чтобы каждый член полученного выражения не зависел от положения сечения Sj. С этой целью составим среднее зна-

р Р ]; ™ 1К — “2“ 1 im ~ур Р ]; ™ 1К — “2“ 1 im ~учение от обеих частей выражения (12) по всем сечениям, заключенным между Sx и S2 (см. рисунок), тогда получим, применяя к первому члену формулу Грина и перейдя к пределу при а, Т —>-оо:

р Р ]; ™ 1

К — “2“ 1 im ~у

р Р ]; ™ 1

К — “2“ 1 im ~у

\ Ф-т— do + -т-p^hm-тг- \ с cos (nzydo— р lim — \ —— ат.

Jd ri2 i o Г'1 J\ ох /

XX

(13)

Применим формулу (13) для вычисления волнового сопротивления в нашей задаче. Пользуясь обычным приближением теории линейных волн, мы можем в формуле (13) заменить поверхность 2 и объем Q соответствующими невозмущенными поверхностью и объемом, а также положить

cos(raz) = 1,cos(raz) = 1,с I 5Ф "Ig L te L=o‘с I 5Ф "Ig L te L=o‘

cos(raz) = 1,

cos(raz) = 1,

с I 5Ф "I

g L te L=o‘

с I 5Ф "I

g L te L=o‘

Имея в виду, что а —>-оо, при вычислении каждого из членов выражения (13) мы можем пользоваться асимптотическим выражением (9) для потенциала Ф (ж, у, z). После простых вычислений, получим

Я = р4г УЯ = р4г Уq И лпq И лп(1-4)(1-4)

Я = р4г У

Я = р4г У

q И лп

q И лп

(1-4)

(1-4)

*де га0 = О при F < 1 и ге0 = 1 при F > 1, и

д о ah- Г th 'SF ,11

а Гх (га, р) и Г2 (га, р) определяются формулой (7).

Перейдем к определению волнового сопротивления корабля. Предположим, что килевое сечение S корабля, движущегося в направлении оси канала с постоянной скоростью с, лежит в плоскости у = 0. Пусть уравнение бортов симметричного относительно плоскости у = 0 корабля у = ±/ (ж, z). Предполагая, что частные производные dfldx и dfldz малы, следуя Мичеллю, мы можем граничные условия для потенциала скоростей возмущенного движения на бортах корабля заменить приближенно следующим:

поо ', ОП 9t

о . на о при у = ——-— = + с -т— .

v эоу ‘ дх

Кроме того, Ф*, как и выше, удовлетворяет граничному условию 1° и условию 2° при р = const.

Пусть Фо — гармоническая функция, удовлетворяющая условиям 1°, 3°, и Фо = 0 при z = 0. Тогда можно положить

ф* = ф0 4- ф,(15)

где Ф — потенциал волнового движения, определенного в разд. 2, при

-^- = — -£-2£1(16)

охс diх

(так как вследствие симметрии дФ0/дг относительно плоскости у = 0 имеем дФ!ду = 0 при у = 0). В этом случае волновое сопротивление дается также формулой (14), так как Фо — е (ж).

Найдем выражение Г^(ге, цп) через форму корабля. Из (7) и (16) имеем вследствие симметрии дФ^дг относительно плоскости у = О

Г; (2п + 1, Ц2п+1) = О

И

Г42«,р2п) = (-1)-1^ £ £ №1 cos.^

Применяя формулу Грина к функциям Фо (с, ц, £) и

(COSU2,,£)

Ф = ch Х2„ (£ A) COS Р .,

получим

S S ^ ^ ^ ^ = — 2 ^ -~ ф dl ar.

—ОО -b (S)

Пользуясь этим преобразованием, условием 3° и положив

Гт (2п, ц2п) = (-1)"^ ^ Uu,Г2 (2п, р2п) = (- 1)-1 ^- ¥п,

получим следующие окончательные формулы для волнового сопротивления корабля в канале 3:

= Усьх h S 5 ^Гch(^ + й)cos^

(17)

Vn = ~1Л ch XГ ^ "IT Ch Х211 (= + ^ ®™ ^ ^ ^’

2”(8)

Л=*ру2ЦД.(48)

6Л2п? (и)'

77=П0

В этом разделе мы проведем исследование быстроты сходимости ряда (18) и рассмотрим некоторые предельные случаи. Для этого прежде всего изучим поведение корней системы уравнений (2), (3). Полагая X* = А/г, для определения ?v* легко получаем

thX* = F |.

Корни этого уравнения можно получить, найдя точку пересечения кривой у = th ж и гиперболы у — F \х — (галХ/26)2 (1/ж)]. Замечая, что кривая

у = th х имеет асимптоту у = 1, получим асимптотическое выражение для корня нашего уравнения в виде

, * 1, -| / 1/ пк!г у _

Лп = "2р -у "урт +J — еп>

и из уравнения (2)

р* = uuh = У X*/F + т]„,

где еп )> 0, Нт еп = 0,- Нт ц„ = 0. Кроме того, легко убедиться, что Хи у>

> плЫ(2Ь). Из уравнения (3) ц* = (1 — 9) V7F, причем 9< 2ехр(—2Xnh,y Проведем оценки каждого члена формулы (18). Из (17) имеем

Un + iVn = /3 с^— ^ ^ -^ ch Х2и ^ + h) ехр У^2^ d^ d;'

Обозначим

= max С H 11 I E,

где |L (£) и |2 (p — уравнения контура, ограничивающегося 5, тогда, замечая, что | 1 — е1^ | < цр можем написать

I Un + IV и | < жмД , Ш Д- I ch X2jl (X + Л) 11 — exp (iu2„P | ^ ^ < L/UII

Ми,

< Г, м , \ chX2nС У h\d^ <.

L ch W 'L Чг

Предположим, что у = / (ж, z) при каждом z состоит из конечного числа дуг с ограниченной кривизной. Пусть Д2 — сумма абсолютных величин скачков df/dx при некотором z и NJh? = max Д2 и пусть

Eq

= max \ -т-7- dl .

Si

Тогда можем произвести следующую оценку:

о

I ипА-1’

I 1\ Lich^nh _Д р2п 1

На основании двух полученных оценок можем написать

\[т л. iv I / ^м " Д14- М

Пользуясь полученными выше оценками для р2и, имеем

I ип tvn |2.. ■(19)

Отсюда из оценки для Х*п непосредственно следует, что члены рядаД18) убывают как 1/ге3.,

Исследуем поведение волнового сопротивления корабля при больших числах Фруда (большая скорость движения). Пользуясь неравенством (19)- и неравенством "Кги п-ЛЫБ, найдем

71—00оо

^ / с VI1с Г1, b Г йх "I

где 60 — наименьшее из чисел 1 — 0П. Вычисляя полученный интеграл, придем к следующему окончательному неравенству:

R<ylnF,

где с' — константа, зависящая только от размеров корабля и канала. Отсюда непосредственно следует, что при больших значениях скорости волновое сопротивление R стремится к нулю, причем порядок стремления такой, как С-2 111 с.

Для корабля конечной осадки полученный результат остается справедливым также в случае бесконечной глубины канала. Для цилиндрического корабля бесконечной осадки (движущийся столб) этот результат перестает быть верным, тогда

lim R = pgo2/b,

где о — площадь горизонтального сечения корабля. Конечность предельной величины R обусловлена всецело наличием плоских волн при сколь угодно большом числе Фруда.

Предельным переходом из формул (14) и (18) можно получить формулы для волнового сопротивления в рассмотренных задачах в случае беспредельной жидкости конечной глубины. Обозначив v„ = пл/26, имеем

„2 th 2vn^, u7t "|/* thAnft.

Формулу (14) можно переписать в виде

ОО-1-00

л = дТ" И cos V2n'1 ехр ^2n^ ^ “111

6 П=8„ I ' 2,1-о» -Ь

-i-co +Ь

+ -Т \ \ -^sinv2nTipexp(^2n+1g)dgdr]

Л2п+1 I _УЬ 'I J

где Av = л/6. После перехода к пределу при b —>-+ оо и замены переменного v на переменное интегрирования X, получим

jR = (I \ cos V^27- th Mi n exp (i l/"-^- th Х/гЦI +

Ц-ОО -f-OO ,

+ 11 h M p exp f fl/^AA t h Zh?^d? dp I —V2j^.

I .1 J ^ V c2 । F ( V с2 ЪУ ъ H/^-(^рьМ

где 7.0 — наибольший действительный корень уравнения

X = th Xh.

С2

Формулу для бесконечной глубины получим, положив th Xh = 1. Совершенно аналогично получим формулу для волнового сопротивления корабля в беспредельной жидкости конечной глубины

_С ICC 8f ch ХС- + М—Я J J 0^ ch Xh?,8_С ICC 8f ch ХС- + М—Я J J 0^ ch Xh?,8(i 1/™ th Xh^)\ r c25 /(i 1/™ th Xh^)\ r c25 /& d^& d^I2 VXdkI |ЛХ — (»7c2) th kAI2 VXdkI |ЛХ — (»7c2) th kA

_С ICC 8f ch ХС- + М

—Я J J 0^ ch Xh

?,8

_С ICC 8f ch ХС- + М

—Я J J 0^ ch Xh

?,8

(i 1/™ th Xh^)

\ r c25 /

(i 1/™ th Xh^)

\ r c25 /

& d^

& d^

I2 VXdk

I |ЛХ — (»7c2) th kA

I2 VXdk

I |ЛХ — (»7c2) th kA

Положив th Xh = 1 (что соответствует h = oo), получим обычную формулу Мичелля.

ЛИТЕРАТУРА

Michell I. Н. The wave resistance of a ship.— Philos. Mag. Ser. 5, 1898 , 45, p. 106—123.

Hogner E. On the theory of ship wave resistance.— Ark. mat., astron, cch fys., 1928, 21, N 7, S. 1 — 11.

Сретенский Л. И. О вычислении волнового сопротивления корабля, движущегося по поверхности воды конечной глубины.— ДАН СС2Р, 1936, 2, № 7, с. 259—261.

Сретенский Л. Н. Теоретическое исследование о волновом сопротивлении.— Тр. ЦАГИ, 1937, вып. 319, с. 55.

12

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГОВ ГИДРОДИНАМИКЕ И АЭРОДИНАМИКЕ(Обзор некоторых работ Московской школы)

Совместно с Л. И. Седовым

В предлагаемом обзоре нет систематического изложения каких-либо вопросов гидроаэромеханики и нет достаточных исторических данных о развитии всех приложений теории аналитических функций в гидроаэромеханике, сделанных московскими учеными. Наша цель заключается в выявлении цепи рациональных идей, основных качественных или количест-

венных результатов и эффективных методов, добытых при решении различных задач теории движения идеальной жидкости с непосредственным использованием теории функций комплексного переменного Г Однако и эту цель мы ставим себе только в ограниченном смысле. Ниже мы коснемся лишь главных классических трудов Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина и последующих исследований, близких или непосредственно примыкающих к работам авторов этого обзора.

Теоретические исследования в физике и механике связаны с введением различного рода понятий и с конструированием моделей, которые могут служить для математического описания объектов и явлений в окружающем нас мире.

Математические методы описания и исследования физических явлений основаны на постановке математических задач, которые формулируются с помощью различного рода функциональных уравнений и соответствующих дополнительных условий. Разрешение таких математических задач, состоящее в получении искомой конечной или бесконечной системы чисел, может рассматриваться как основная цель теоретического исследования.

Практика показывает, что введение разумных характерных понятий, правильная постановка задач и установление адекватных качественных закономерностей или выводов, справедливых для более широких или более узких классов явлений, имеют особенно важное значение для пониманий, объяснения и наилучшего использования в технике исследуемых явлений. Иначе говоря, формулировка и решение задач применительно к конкретным случаям нужны и полезны не только для получения численных результатов в каждом таком случае, но и являются также источником для объяснения различных закономерностей и физических механизмов, характеризующих определенные множества явлений, что само по себе весьма важно для познания природы и крайне необходимо для практических приложений.

Развитие гидродинамики и аэродинамики тесно связано и переплетается с развитием теории функций комплексного переменного. Аппарат и методы теории аналитических функций позволяли найти в эффективной форме решение многих конкретных задач гидродинамики и аэродинамики и установить физическую сущность ряда основных гидроаэродинамических законов и эффектов.

Первые приложения теории функций комплексного переменного к гидродинамике и решение важных трудных задач были сделаны уже в 1868— 1869 гг. в работах Г. Гельмгольца [1] и Г. Кирхгофа [2], которые поставили и строго решили некоторые задачи об установившихся плоскопараллельных движениях несжимаемой жидкости с заранее неизвестными свободными поверхностями.

Решение задач о плоскопараллельном истечении жидкости из сосуда с плоскими стенками и о плоскопараллельном обтекании жидкостью плоской пластинки со срывом струй было получено с помощью конформных отображений после выяснения вида областей, соответствующих потоку

1 Эти результаты и идеи были широко использованы для объяснения наблюдений в опытах и для моделирования, а также при создании различных приближенных и инженерных расчетов во многих практических случаях.

жидкости в плоскостях комплексных переменных

w = <р + ^>

где w — характеристическая функция (ф — потенциал, ф — функция тока) и

=== й exp(iO),

где dw/dz — функция скоростей (z = я + iy — комплексная координата в плоскости потока, и, и — проекции скорости на оси координат, о — величина скорости, 6 — ее наклон к оси ж)._

Методы и теория Г. Кирхгофа получили развитие в России в работах Д. К. Бобылева [3] (1881 г.) и А. П. Котельникова [4] (1889 г.), которые разрешили методом Кирхгофа задачи об обтекании клина потоком несжимаемой жидкости бесконечной и конечной ширины.

Следующий крупный шаг был сделан в 1890 г. Н. Е. Жуковским [5], который видоизменил метод Кирхгофа и впервые ввел в теорию параметрическое комплексное переменное t, изменяющееся в заданной области простого вида. Все комплексные величины — функции точек потока — рассматриваются при этом как функции вспомогательного комплексного переменного t.

Этот прием оказался весьма плодотворным и в дальнейшем широко применялся в различных теориях многими авторами.

Н. Е. Жуковский рассматривал односвязные области течения жидкости и ввел в качестве вспомогательной области, соответствующей потоку, верхнюю полуплоскость плоскости комплексного переменного t. Впоследствии в качестве параметрической области выбирались внутренность прямого угла (С. А. Чаплыгин), внутренность круга, внутренность полукруга, кольцо между двумя кругами для двусвязных областей и т. п.

Решение задач о струйных течениях, полученное Н. Е. Жуковским, было связано с определением двух функций:

. / 1 dw \, о

и co(h = ln— I —In—'—id,

■ УV У \ Do dz ) Vo

где o0 — постоянная.

Так как границы потока являются линиями тока, то в плоскости w = = Ф + 1ф потоку соответствует полигональная область, ограниченная отрезками (полупрямыми или прямыми), параллельными вещественной оси. Очевидно, что вид функции ш (t) легко определяется по схеме односвязной области течения жидкости. При этом функция to (t) зависит от постоянных параметров, задающих форму и размеры области в плоскости w, и эти параметры определяются в процессе решения задачи.

Если неподвижные обтекаемые тела (стенки) образованы в плоскости движения отрезками прямых линий, то на этих границах мнимая часть функции со (Z) принимает различные постоянные значения, тогда как на поверхностях струй постоянна ее действительная часть. Для функции, обладающей этими свойствами, Н. Е. Жуковский предложил формулу вида

daldt = тФ (0/К(^ — cj (t —- с2) (£ — с3) . . .,(1.1)

где Ф (Z) — рациональная функция с действительными коэффициентами. Все полюсы Ф (Z) являются простыми и лежат на действительной оси в точ-

ках, соответствующих точкам излома обтекаемых контуров. При z = оо здесь положено t = оо, и поэтому при t = оо из условия о конечности скорости обтекания следует, что o' /dt = 0; постоянные с15 с2, с3 , . . . действительны, ат — действительная или чисто мнимая постоянная.

С помощью формулы (1.1) Н. Е. Жуковский решил много новых задач о теории струй.

Дальнейший процесс был связан с созданием аэродинамики крыла бесконечного размаха при зарождении авиации в начале нашего столетия. Основы теоретической аэродинамики были заложены Жуковским и Чаплыгиным [6—9]. До этих работ отсутствовало понимание природы аэродинамических сил. Парадокс Д’Аламбера подрывал основания для практического использования в то время уже хорошо развитой в Англии (В. Томсон и П. Г. Тэт) и в России (Н. Е. Жуковский) теории движения твердых тел в идеальной несжимаемой жидкости.

Жуковский и Чаплыгин первые поняли истинный смысл парадокса Д’Аламбера и объяснили действительную динамическую природу подъемной силы в рамках теории идеальной несжимаемой жидкости. При исследовании плоской задачи аэродинамики они нашли и изучили не единственные решения об обтекании профилей с циркуляцией, а также установили, что наличие циркуляции обусловливает появление подъемной силы, причем в рамках идеальной жидкости было установлено правило для определения величины циркуляции. Однозначное фиксирование циркуляции оказалось возможным только для профилей крыльев с одной острой задней кромкой. Существенным для построения всей аэродинамики было усмотреть важность и характерную особенность присутствия у крыловых профилей острой задней кромки, с последним оказались связаны наличие и определенность величины подъемной силы.

Именно этим объясняется, что форма самолетных и других несущих крыльев всегда характеризуется заостренной задней кромкой. Необходимость и значение этой особенности были открыты Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным, которые в своих исследованиях существенным образом опирались на эффективные методы теории функций комплексного переменного.

В связи с теорией крыла необходимо отметить знаменитую теорему Н. Е. Жуковского [6] (1907 г.) о подъемной силе.

Важное значение для аэродинамики имели замечательные формулы С. А. Чаплыгина [8] (1911 г.) с контурными интегралами от функций комплексного переменного для вычисления суммарных аэрогидродинамических сил и моментов при установившемся обтекании неподвижных тел потенциальным вблизи контура тела потоком. Эти формулы позволяют производить во многих случаях вычисление аэрогидродинамических сил и их моментов с помощью теории вычетов.

В частности, С. А. Чаплыгиным [9, 10] было показано, что линии действия подъемной силы каждого профиля крыла биплана и триплана огибают параболу, которая называется параболой метацентров. С помощью простых рассуждений, основанных на использовании только свойства линейности задачи Неймана с учетом конечности скорости у задних кромок профилей отдельных планов, М. В. Келдыш [11] показал (1936 г.), что геометрическое место метацентров для суммарной аэродинамической силы образует параболу для любой системы полипланов. Впоследствии формулы различного типа для вычисления суммарных сил, содержащие контурные интегралы, были

предложены и использованы для неустановившихся движений и подвижных систем координат, скрепленных с телом, движущимся произвольно внутри жидкости (С. А. Чаплыгин [12], Л. И. Седов [13, 14]). М. В. Келдыш указал, что формулы Л. И. Седова пригодны для произвольных движений деформируемых жидких профилей.

Были выяснены свойства неустановившихся движений, при которых циркуляция вокруг профиля крыла может сохранять постоянное значение. В этом случае изучены аэродинамические силы, найдена особая точка крыла, для скорости которой верно обобщение теоремы Жуковского при неустановившемся движении с постоянной циркуляцией [13, 14], и установлены более тесные связи аэродинамики с развитой ранее теорией неустановившихся движений тел в несжимаемой жидкости.

Дано эффективное построение характеристической функции w (z) возмущенного движения жидкости через функцию z = / (/), реализующую конформное отображение внешности профиля крыла на внутренность круга {или на другую какую-либо параметрическую область). Для поступательного движения соответствующие простые формулы были установлены в работах Жуковского и Чаплыгина [7—9] , для вращательного движения характеристическая функция и? (Z) может быть легко вычислена непосредственно в конечной форме, когда / (i) — рациональная функция [14, 15].

Получила дальнейшее развитие теория присоединенных масс и методов их вычислений через коэффициенты разложения функции / (Д вблизи центра круга, являющегося образом бесконечно удаленной точки в плоскости потока [13, 14].

Вопрос о неустановившемся движении крыла с линией разрыва скорости, остающейся за крылом за счет изменения циркуляции по контуру крыла, был поставлен в работах В. Бирнбаума [16] (1924 г.) и Г. Вагнера [17] (1925 г.). Такие движения исследованы подробно в 1935 г. М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым [18] и Л. И. Седовым [19]. На основе качественного и количественного анализа в этих работах показано, что динамические эффекты в обтекании при неустановившемся движении также могут быть получены в рамках теории идеальной жидкости при условии конечности скорости у задней кромки.

М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [18] обнаружили появление тянущей силы за счет подсасывания у передней кромки пластинки (профиля крыла), и ими впервые было дано эффективное вычисление с помощью бесселевых функций аэродинамических сил при установившихся гармонических колебаниях крыла относительно поступательного движения с большой скоростью [14, 18].

Детальный анализ природы аэродинамических сил и приложение теории

крыла со сбегающими вихрями на задней кромке к теории нестационарного глиссирования даны в работах Л. И. Седова в 1935 г. [14, 19J.

Задача о неустановившихся движениях тонкого крыла со сбегающими вихрями с учетом сжимаемости была разрешена для дозвуковых скоростей в работах М. Д. Хаскинда [20] (1947 г.), для сверхзвуковых скоростей — в работах С. Борбели [21] (1942 г.) и Е. А. Красильщиковой [22] (1947 г.); последняя разрешила также пространственную задачу с учетом концевых эффектов о движении тонкого крыла со сверхзвуковой скоростью при установившемся движении и колебаниях.

Эффективные методы в теории несущей площади, движущейся в несжимаемой жидкости, были разработаны Н. Е. Кочиным [23], который усовершенствовал и приложил методы, развитые в теории дифракции электромагнитных волн, к решению основных задач о движении в несжимаемой жидкости крыла круговой формы в плане.

Аэродинамика тонкого крыла, теория удара о воду и теория волн малой амплитуды на поверхности тяжелой жидкости развивались в Москве после 1931 г. в тесной взаимосвязи, в то время как до этого аэродинамика и теория линейных волн развивались раздельно и независимо. Основное значение результатов, полученных в этих областях, состоит не только в решении многих конкретных задач, но и в выработке общих эффективных методов и формул для решения важных задач теории гармонических функций. Эти формулы впоследствии были широко использованы в многочисленных приложениях к гидромеханике, к теории упругости и в различных математических исследованиях.

Основной и типичной явилась задача об определении регулярного, исчезающего в бесконечности поля скоростей, возмущенного движения несжимаемой жидкости вне конечного отрезка прямой по заданным касательным или нормальным скоростям на этом отрезке.

Наиболее существенным оказался случай, когда касательные скорости на разных сторонах отрезка в одной и той же точке отличаются только знаком, а составляющие скорости, перпендикулярные к отрезку, одинаковым. В этом случае поле скоростей симметрично относительно прямой, содержащей граничный отрезок (этим свойством обладает решение задачи об ударе пластинки, падающей на горизонтальную поверхность несжимаемой жидкости).

Давно известно, что в обоих случаях задача об определении поля скоростей легко сводится к соответствующим хорошо исследованным задачам Дирихле или Неймана для внутренности или внешности крута при помощи элементарно осуществляемого конформного отображения внешности отрезка на внутренность или внешность круга. Соответствующие-решения легко получаются из формул Шварца или с помощью тригонометрических рядов.

Однако практически более удобными оказались решения, которые в плоскости потока z представляются в виде интегральных формул непосредственно по краевым данным на отрезке.

Пусть граничный отрезок длиной 2а расположен вдоль оси ж в интервале — а О х О -]- а. Обозначим через у (ж) = м2 — щ = 2н2 разрыв касательной скорости на отрезке, a иТ1 (а;) = ут = у2 — нормальную скорость на отрезке (индекс 2 относится к верхней стороне отрезка при у = -i- 0, а 1 — к нижней стороне при у = — 0).

Для простоты примем, что у (ж) и /у (ж) — кусочно-гладкие интегрируемые функции на отрезке | ж | О а, у = 0.

Решение первой задачи легко написать с помощью интеграла Коши, соответствующая формула совпадает с формулой Био—Савара для определения поля скоростей по заданным вихрям. Эта формула имеет вид

(3.1)(3.1)dw.1 С Т (ж1) d^i

(3.1)

(3.1)

-— = и — ги = -77-г \—- .

dzJ хг — z

Формула (3.1) была известна давно и часто встречалась в приложениях.

Для получения решения задачи Неймана необходимо иметь в виду, что решение этой задачи для внешности отрезка неоднозначно и что на концах отрезка при х = ±а в общем случае имеются особенности.

Единственность решения обеспечивается условием о конечности скорости при х = —а. В этом случае скорость при х = + « получается, вообще говоря, неограниченной. Легко видеть, что функция

г г \ dw 1 /2 Я

^^ = ^г V Т+Т

регулярна везде вне отрезка, удовлетворяет условиям исчезания в бесконечности, интегрируема при z = —а и по дополнительному условию должна быть интегрируемой при z = ^а. При заданных иг = у2 задача определения функции / (z) совпадает с уже рассмотренной задачей, разрешаемой формулой Био—Савара. Поэтому общее решение задачи Неймана при отсутствии условия о конечности dw-dz при z = ±а представляется формулой

=.(3.2)

dz 2я1 К z — а ^ Xi — z у1 2гп [Дз2a’-7

Последний член с постоянней Г* определяет здесь чисто циркуляционное обтекание, что связано с неоднозначностью решения внешней задачи Неймана.

Условие конечности dwldz при z = —а приводит к равенству Г* = 0.

(3.3)(3.3)(3-4)(3-4)Из (3.1) и (3.2) при подходе к точкам отрезка сверху следуют интегральные равенства

(3.3)

(3.3)

(3-4)

(3-4)

и

2и2(ж) = у(ж) = -|-'|/ ^2и2(ж) = у(ж) = -|-'|/ ^1/ а$г _г* .

2и2(ж) = у(ж) = -|-'|/ ^

2и2(ж) = у(ж) = -|-'|/ ^

Ж1 х V а + ядл {Да2 — ж2

Соотношение (3.3) было известно давно, и его можно рассматривать при заданном к2 W как сингулярное интегральное уравнение для определения распределения плотностей вихрей у (ж). Соотношение (3.4), являющееся частным случаем более общей формулы [19], можно рассматривать как формулу, дающую обращение сингулярного интегрального уравнения (3.3).

Наоборот, при заданном

7* (ж) = 7 (ж) + Г*/(л (у"а2 — ж2),

где Г* — произвольная постоянная, обращение интегрального уравнения (3.4) представится формулой (3.3). Формулы (3.3) и (3.4) были использованы, в частности, также при получении решений уравнений Прандтля в теории крыла конечного размаха. Для распределения циркуляции по крылу конечного размаха на основании условия Жуковского—Чаплыгина о конечности скорости у задней кромки Л. Прандтлем было получено уравнение

гг (ж) т

Г (ж) = 2лк¥оо а (ж)^ ,(3.5)

где ¥„ — скорость обтекания, к — некоторая постоянная, а (ж) — угол атаки элемента крыла, х — координата по размаху, Г (ж) — циркуляция по размаху, причем dF/da; = 7 (ж) = 2ы2 (ж).

Величины ы2 (ж) и к„ (ж) можно рассматривать как касательную и нормальную скорости на отрезке в соответствующем симметричном плоском потенциальном движении несжимаемой жидкости в поперечной плоскости Треффтца за крылом в бесконечности.

Уравнение (3.5) на основании формулы (3.3) приводится к сингулярному интегральному уравнению с особым ядром для функции 7 (ж). С помощью соотношения (3.4), в котором Г* определено из условия равенства нулю циркуляции по контуру, охватывающему отрезок | х | О а, у = 0, из (3.5) получится уравнение для скорости сноса уп (ж), которое приводится к уравнению Фредгольма с ядром, имеющим только логарифмическую бесконечность. Эти преобразования использовались авторами настоящего обзора еще в 1935 г. сразу после установления эффективной формулы обращения (3.4).

Эти широко использованные в приложениях к теории тонкого крыла и в других вопросах формулы были развиты не только для простейшего рассмотренного выше примера, но и во многих других случаях с усложненной областью интегрирования и другими типами ядра К (xi, ж) с особенностью вида 1/(хх — ж) в исходном уравнении

Va(x)(xi) К (xi, х) dxi.(3.6)

В работе [24] дано обобщение формулы (3.4) для обращения интеграла (3.3) на случай любого конечного числа отрезков, расположенных вдоль одной прямой. В работе [25] содержится обобщение формул (3.3) и (3.4) на случай периодических решеток профилей, образованных отрезками одной прямой или системой отрезков одной прямой с периодом, перпендикулярным к этой прямой . Эти формулы были также обобщены на случай двоякопериодических решеток с использованием эллиптических функций [14]. Инте-

гралы в (3.3) или (3.4) и в формулах, дающих их обобщение, можно в некоторых случаях [14] вычислить в конечном виде с помощью вычетов, например если у2 (ж) в формуле (3.4) является рациональной функцией.

Соответствующие ядра К (х17 ж) имеют вид:

К = ctg (хх — ж),

К = 1 + cth (^ — ж),

К = £ (^ — ж) — £ fo) 4- £ (ж),

где t, (^ — функция Вейерштрасса.

Во всех этих случаях имеется подробное исследование взаимно обратных формул вида (3.3) и (3.4) с учетом соответствующих усложнений, когда условия симметрии м2 = —их и у2 = ^ не выполнены.

Более общие формулы для функции dw/dz с учетом эффектов неоднозначности решения даны в 1935 г. для случая, когда на одних отрезках прямой задана касательная скорость у (ж) = и2 — и^ = 2м2, а на других — нормальная и2 (ж) = иг (ж) = vn (ж) (см. [19]). Формула (3.4) является частным случаем соответствующей формулы для этого более общего случая.

Наряду со многими другими приложениями развитые таким образом эффективные формулы применялись (1937 г.) при разрешении задачи о движении тонкого крыла под поверхностью тяжелой жидкости. В тесной связи с этой теорией получено решение смешанной задачи для полуплоскости, когда на граничной прямой на отрезках а^ задана действительная часть, а на дополнительных отрезках b[tak+1 — мнимая часть искомой функции. Соответствующая задача и эффективные формулы для ее решения рассмотрены впервые в работе А. Синьорини [27] для случая, когда существует непрерывное решение. Однако в общем случае и в случаях, важных для приложений, непрерывного решения нет и решение с особенностями в точках ак и bk не определено однозначно. Последнее обусловлено наличием чисто циркуляционного движения с равной нулю мнимой частью на отрезках akbk и равной нулю действительной частью на дополнительных отрезках.

Эффективное решение смешанной задачи для полуплоскости в общем случае дано в статье М. В. Келдыша и Л. И. Седова [28]. Решение аналогичной смешанной задачи для любой односвязной области сводится к соответствующей задаче в верхней полуплоскости с помощью конформного отображения. Эффективные формулы для непосредственного решения смешанной задачи даны также в случаях полосы, полуполосы и в двусвязной области для кольца [14].

Эффективные формулы для решения смешанной задачи с помощью определенных интегралов были приложены в теории струй для определения функции со (/) = In I ——-5—L введенной Жуковским [14, 29]. Этими формулами можно пользоваться вместо формулы (1.1) Н. Е. Жуковского, содержащей неопределенный интеграл.

Таким путем получается эффективное решение задачи о струйных течениях в односвязной области, когда стенки в плоскости движения составлены из отрезков прямых. Это решение легко обобщается на случай струй-

ных обтеканий решеток профилей [14]. Легко также получить интегродиф- ференциальное уравнение в случае обтекания нескольких криволинейных дуг [14]. В общем случае, при обтекании со срывом струй нескольких препятствий, оказывается, что струи от отдельных тел пересекаются между собой и с крайними свободными поверхностями. Отсутствие пересечения возможно только для частных расположений обтекаемых тел.

Задача обтекания криволинейных профилей со срывом струй рассматривалась многими авторами. А. И. Некрасову принадлежит первая работа (1922 г.), содержащая решение трудной задачи об обтекании со срывом струй дуги круга [30]. А. И. Некрасов получил нелинейное интегральное уравнение для регулярной составляющей мнимой части функции со (i) (1 — параметрическое переменное в верхнем полукруге, полуокружность соответствует контуру обтекаемой дуги) и решил это уравнение методом последовательных приближений. Под влиянием А. И, Некрасова в Москве была выполнена серия работ о струйном обтекании криволинейных профилей [31 — 33].

Более полный перечень работ по теории струй можно найти в монографии М. И. Гуревича [34].

Ряд теорем существования и единственности решения и некоторые предложения качественного характера для струйных течений были установлены М. А. Лаврентьевым, который приложил к теории струй разработанный им вариационный метод, основанный на использовании свойств конформных отображений при деформации границ [35—37].

Среди решенных задач об обтекании со срывом струй отметим задачи об обтекании крыла и пластинки при больших углах атаки и при срыве струи с задней стороны пластинки после плавного обтекания острия [38].

Теория струйных движений послужила основой для разъяснения действия кумулятивных зарядов; соответствующая теория была разработана М. А. Лаврентьевым [39].

Еще в 1899 г. С. А. Чаплыгиным [40] и затем Р. Тири [116] во Франции было показано, что при струйном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью твердых тел критические точки можно заменить конечными или бесконечными застойными областями, ограниченными струями, на которых давление р0 постоянно, причем имеет место неравенство р0^> р^, где Рос — давление в бесконечности. Поверхности струй, ограничивающих конечные застойные области, образованы разветвляющимися линиями тока с точкой возврата в передней или в задней части. Нетрудно построить соответствующие решения для ноской пластинки и для пластинки с изломом (полный расчет такого движения был сделан в одной неопубликованной работе Л. И. Седова и А. В. Чуланова в 1938 г.). Ввиду неравенства р0 > > рос такие течения не могут моделировать явления развитой кавитации. Кроме того, такие течения неосуществимы из-за неустойчивости и вязкости.

Однако моделирование течений с развитой кавитацией с помощью обтекания со срывом с поверхности тел струй хорошо соответствует наблюдениям. При числе кавитации, равном нулю, обтекание тел со срывом типа Кирхгофа хорошо соответствует качественно и количественно действительности.

Если число кавитации больше нуля, то за телом получается каверна конечных размеров. В этом случае теоретические и экспериментальные данные показывают, что обтекание имеет неустановившийся характер, однако эффекты неустановившегося движения проявляются сильно только в задней

части каверны, где клокочущие массы жидкости прорываются назад и образуют вихревой след. При достаточно малых значениях числа кавитации эти эффекты имеют слабое влияние на движение жидкости около передней смоченной части обтекаемого тела, и в ряде случаев вблизи тела обтекание можно рассматривать как установившееся. С другой стороны, условие о минимальности давления внутри каверны приводит к выводу, что при установившемся движении траектории частиц на границе каверны и, следовательно, сами поверхности струй должны быть выпуклыми со стороны внутренней части каверны.

В связи с этим в 1946 г. в работе Д. А. Эфроса была предложена очень интересная идеальная схема (нереальная только на первый взгляд) установившегося обтекания с образованием у замыкания каверны струи, уходящей на второй лист римановой поверхности [41].

Эта схема хорошо улавливает наблюдаемые в опытах тенденции образования направленных вперед струй кумулятивного типа при смыкании потока у задней части каверны. Когда число кавитации близко к нулю, массы жидкости в такой струе теряют свою кинетическую энергию из-за необратимых потерь в реальном течении и уносятся назад неустановившимся потоком. При увеличении числа кавитации наличие такой струи приводит к развитию за телом возвратных течений и к исчезновению каверны. Абстрактная схема обтекания с образованием обратной струи, установленная с помощью качественного анализа методами теории функций комплексного переменного, представляет собой хороший пример синтеза механического и математического подхода к явлению.

На основе схемы со струей в каверне решены, в частности, задачи об обтекании с наличием подъемной силы [14, 41, 42] и одна задача об обтекании решеток [43] (исследование общего случая дано А. Вейцманом в дипломной работе, выполненной в МГУ в 1948 г.). При решении этих задач было принято, что обратная струя параллельна скорости набегающего потока.

М. А. Лаврентьевым [44] были даны постановки задач об обтекании тел потоком несжимаемой жидкости с образованием двух замкнутых каверн за телом и струйного движения части массы тела при образовании воронки под действием взрыва на его поверхности. Решение соответствующих конкретных задач рассматривалось в работах [45—47].

Рассматривая данный объем грунта как несжимаемую жидкость, М. А. Лаврентьев, В. М. Кузнецов и Е. Н. Шер предложили способ его метания как твердого тела путем создания некоторого распределения импульсивных давлений (значений потенциала) на его границе при помощи взрыва [48].

Теория удара плавающих тел о воду и задача о неустановившемся движении тела при быстром погружении в воду рассматривались в Москве Н. Е. Жуковским еще в 1883 г. [49], а затем и в ряде других работ [50—54] начиная с 1932 г. В этих работах развиты общие методы определения возмущенного движения несжимаемой жидкости при ударе плавающих тел. Решение плоских задач получается с помощью конформных отображений и эффективной формулы, дающей решение смешанной задачи при отсутствии циркуляции по контурам смоченных дуг. Соответствующая теория близка к теории тонкого крыла.

В разрешенных задачах изучено влияние конечности глубины [52] и ограниченности сосуда с жидкостью [54], влияние распределения масс в упругих телах, ударяющихся о несжимаемую жидкость [52], развита общая теория присоединенных масс [53], показано, что узкие щели в смо-

ченных поверхностях приводят к резкому уменьшению присоединенной .массы 114]. В результате общего теоретического анализа показано, что при некоторых ударах возникает отрыв жидкости на некоторой части первоначально смоченной поверхности тела, дано точное решение конкретной задачи ■о движении тела и жидкости после удара с таким отрывным движением [53, 14].

Изучена задача о коэффициентах присоединенных масс решеток [14] (коэффициенты присоединенных масс решеток используются в некоторых расчетах по акустике).

Данные о влиянии формы свободной поверхности на коэффициенты присоединенных масс получены М. И. Гуревичем [55]. Изучена также задача -об обтекании со срывом струй колеблющейся пластинки [56].

Широко была разработана в Москве теория потенциального плоскопараллельного движения несжимаемой жидкости в двусвязных областях, и в частности применительно к основной задаче об обтекании жидкостью двух шрофилей — задаче о бипланах. Как известно, к задаче о бипланах сводятся также задачи обтекания одного профиля с учетом влияния плоской стенки (Земли), задачи о влиянии свободной поверхности и т. п.

Развитый прием решения таких задач основан на использовании конформных отображений области, занятой потоком, на внутренность кольца, ограниченного концентрическими окружностями. На практике в некоторых случаях оказывается удобным вести исследования на параметрической плоскости комплексного переменного t, в которой кольцо изображается прямоугольником с отождествляемыми точками на одной паре противоположных его сторон, соответствующих разрезу на кольце [10, 14].

К краевым задачам построения функции комплексного переменного внутри прямоугольника (которые в общем случае допускают период в направлении одной из сторон прямоугольника) сводятся также задачи об ■обтекании со срывом струй двух контуров.

Вопрос о построении конформных отображений двусвязных областей на внутренность прямоугольника разрешается эффективно в ряде частных случаев, например, если границы образованны полигональными контурами -с звеньями из прямых линий или из дуг круга. В этих случаях функции, реализующие конформное отображение или некоторые простые дифферен- диальные операторы от этих функций, продолжаются двоякопериодически ■однозначным способом на всю плоскость параметрического комплексного переменного t.

После указанного аналитического продолжения проблема построения ■соответствующих эллиптических функций через функции Вейерштасса по их особенностям сводится к установлению типов и положения особых точек для искомых функций.

Этим путем были разрешены задачи о конформном отображении на прямоугольник внешности любых двух прямолинейных отрезков и внешности двух дуг круга. Задача об обтекании изолированных дуг гиперболы, параболы и эллипса разрешается также в эллиптических функциях. Если рассматривать совместно два экземпляра таких обтеканий на римановой поверхности, то путем использования соответствующего преобразования Жуковского течение на двулистной римановой поверхности отображается на обтекание двух специального вида отрезков прямой или концентрических дуг круга во вспомогательной однолистной плоскости. В этой плоскости соответствующая задача об обтекании легко разрешается с помощью конформ-

кого отображения полученной двусвязной области на прямоугольник [14].

Для разрешения типичных краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной задачи в плоскости прямоугольника предложены эффективные формулы аналогично тому, как это сделано для односвязной области (например, длж верхней полуплоскости) [14].

Построение соответствующих функций комплексного переменного в задачах о непрерывном или струйном обтекании легко осуществляется на основании общих формул или непосредственно через эллиптические функции Вейерштрасса. _

В разрешении этих задач очень большого искусства достиг С. А. Чаплыгин, который после формулировки задачи легко демонстрировал свое умение- немедленно выписывать формулу решения в тех случаях, когда решение- выражалось в конечном виде через эллиптические функции. По примеру С. А. Чаплыгина этим искусством овладел и ряд тогда еще молодых ученых следующего поколения. Однако этот опыт недостаточно перенимается и не внедрен в широкой практике.

Выше были указаны эффективные методы разрешения основных краевых задач для многосвязных областей, образованных отрезками, принадлежащими одной и той же прямой.

А. Чаплыгиным было показано [10], что с использованием характеристической функции, определяющей бесциркуляционное обтекание трех заданных контуров, можно отобразить конформно любую данную трехсвязную область на внешность трех отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, такое отображение легко написать в эффективном виде для случая внешности любых трех параллельных прямолинейных отрезков. Четырехсвязные области с более высокой связностью в общем случае невозможно отобразить конформно на внешность отрезков одной прямой.

Методы теории функций комплексного переменного широко использованы в теории волн на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости. Построение решения о распространении стационарной волны конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины осуществлено А. И. Некрасовым с помощью разрешения нелинейного интегродифферен- циального уравнения [57]. Волны конечной амплитуды на поверхности раздела двух тяжелых жидкостей, ограниченных горизонтальными прямыми сверху и снизу, описаны и изучены Н. Е. Кочиным [58].

М. А. Лаврентьевым были разработаны методы приближенного решения задачи о конформных отображениях на полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми ф - 0 Hip - 1 в плоскости w <р + гф, узких областей в плоскости z х + iy, ограниченных кривыми у = /х (ж) и у / (ж) (— оо <^ ж <( + оо), когда производные от функций /х (ж) и / (ж) удовлетворяют некоторым условиям малости.

Например, если

/1-0, /(ж) ^0(1), /'(ж)-0(e), Пх^0(А

где е мало, то при соответствии ф.- — оо, ж — —оо, ф + оо, ж ^ + °о, ф 0, ф 0, ж = 0 и у 0 в точках границы у f (ж) имеет место следующая асимптотическая формула:

(6-1)(6-1)] dw^dz I2 (1//2)(1 + 2/3/Г - ^'з/'2) + О (еА^).

(6-1)

(6-1)

Значение сг)>0 определяется добавочными допущениями о f"kxY Эта формула может быть использована в граничных условиях для получения нелинейного дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция j (х\ Таким образом, получается известная теория волн Рейли (Д. Корте- вег—Д. де-Врис) па поверхности тяжелой несжимаемой жидкости в канале конечной глубины. В книге [44] даны оценки точности приближенной формулы (6.1) и ряд других приложений.

Другие формулы, аналогичные формуле (6.1), можно получить при иных допущениях относительно порядков малости /х (ж), f (г) и /" (ж) [59—63]. Аналогичные методы применимы при приближенных асимптотических решениях краевых задач для узких полос, когда внутри полосы вместо уравнения Лапласа необходимо удовлетворять другим уравнениям в частных производных (для вихревых движений несжимаемой жидкости, осесимметрических потенциальных движений несжимаемой жидкости, для вязкой жидкости и т. п.). [60—64, 66]. В рамках такой приближенной нелинейной теории рассматривалась задача о движении подводного крыла в канале конечной глубины и разобран вопрос о неединственности решения этой задачи 162, 67].

В точной теории нелинейных волн М. А. Лаврентьевым были применены новые методы, основанные на использовании вариационных принципов. С помощью этих методов он доказал существование решения задачи о распространении периодических волн конечной амплитуды и впервые доказал ■существование уединенной волны в канале конечной глубины [44, 68] (1946 г.). Эти методы и общие методы функционального анализа применялись для доказательств существования решения задач, и в частности задачи о движении вихря в канале конечной глубины [69—75].

Исследование нелинейных волн на поверхности тяжелой жидкости с учетом сил поверхностного натяжения проведено Я. И. Секерж-Зеньковичем [115], который получил строгое решение задачи в случае тяжелой жидкости бесконечной глубины. Им же была рассмотрена аналогичная задача для жидкости постоянной конечной глубины и для течения по волнистому дну (см. его доклад в этом сборнике).

Долгое время в теории волн с бесконечно малой амплитудой как в пространственной, так и в плоской задаче основным методом теории был метод Фурье. В середине 30-х годов в Москве проводилась интенсивная разработка теории линейных волн применительно к основным классическим задачам, ■задачам о движении тел под поверхностью и на поверхности тяжелой жидкости и применительно к изучению явления глиссирования. В 1937 г. в Москве состоялась специальная конференция по теории волнового сопротивления. На этой конференции были доложены работы, значительно продвинувшие теорию движения тел в воде с учетом эффектов весомости воды [76].

Особенностью части этих работ было широкое внедрение в эту уже сильноразвитую область гидродинамики методов теории функций комплексного переменного.

Эффективным шагом в теории плоскопараллельных стационарных воли было введение М. В. Келдышем [77] в качестве искомой функции следующей дифференциальной комбинации, содержащей характеристическую функцию w (z):

F^=^A-iw, (6.2)

где v — giv\ g — ускорение силы тяжести, v — горизонтальная скорость- установившегося движения тела, взаимодействующего с жидкостью. В силу условия постоянства давления на свободной поверхности жидкости функция: (z) имеет действительную часть, равную нулю.

Оказалось, что основные краевые задачи удобно решать путем отыскания функции F (z) с последующим определением характеристической функции w (z) интегрированием дифференциального уравнения (6.2). В частности, функцию F ^ легко определить, если особенности функции F (z) известны или заданы в нижней полуплоскости. Таким способом, была решена задача об установившемся обтекании источника, вихря и других простейших особенностей под свободной поверхностью тяжелой жидкости. -

Решение задачи о движении тонкого крыла выписывается непосредственно, если задано распределение источников и вихрей по профилю. Решение- задачи о тонком крыле по заданному распределению нормальных скоростей было приведено к интегральному уравнению, которое решалось приближенно- с использованием эффективных формул обращения для аналогичного, поболее простого уравнения, изученного в теории тонкого крыла в бесконечной массе жидкости [76].

Учет весомости жидкости в задаче о глиссировании по поверхности несжимаемой жидкости до 1937 г. рассматривался в работах Г. Вагнера [78] и: Л. Н. Сретенского [79], но в обоих случаях соответствующие рассуждения строились без учета брызговых струй у переднего края смоченной поверхности тела, и поэтому эти рассуждения были неправильны. Для невесомой- жидкости существенность эффекта брызговых струй и его связь с подсасывающей силой при обтекании соответствующего профиля в бесконечной массе жидкости были проанализированы Г. Вагнером [78].

Постановка задачи о глиссировании по поверхности тяжелой несжимаемой жидкости и ее решение с учетом эффекта образующихся у переднего- края смоченной поверхности тел брызговых струй были даны Л. И. Седовым. 114, 76] (1937 г.). Решение этой задачи произведено с помощью методов теории функций комплексного переменного и сведено к разрешению системы бесконечного числа линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. В результате этого в плоской задаче было установлено влияние числа Фруда на подъемную силу и сопротивление тела при глиссировании. Асимптотические формулы для больших значений числа Фруда были даны Л. И. Седовым. Подробные расчеты для любых чисел Фруда были произведены Ю. С. Чаплыгиным [84] (1940 г.).

В общем случае для любых углов атаки теория глиссирования по поверхности невесомой жидкости сводится к определенным задачам классической теории струй. Этой теории в Москве были посвящены работы М. И. Гуревича и А. Р. Янпольского [85] (1933 г.), Н. К. Калинина [86], Ю. С. Чаплыгина. [87] и М. И. Гуревича [88].

Учет тяжести при глиссировании в различных частных случаях (конечность глубины, глиссирование нескольких пластинок и влияние предварительного волнения воды) рассматривался М. Д. Хаскиндом [89].

В теории установившихся движений сжимаемого газа при дозвуковых скоростях идея об использовании методов гидродинамики несжимаемой жидкости и, следовательно, теории функций комплексного переменного была руководящим началом с самого зарождения теории плоских движений газа.

Еще в 1902 г. С. А. Чаплыгин в своей фундаментальной работе «О газовых струях» [90] построил алгоритм, с помощью которого эффективно строится переход от решения некоторых задач о струйном движении несжимаемой жидкости к соответствующим задачам о движении газа . В этой работе С. А. Чаплыгин предложил и развил приближенную методу о решении задач газовой динамики путем замены адиабаты в плоскости р, 1/р прямой линией (касательной или секущей этой адиабаты).

Уравнения установившихся потенциальных плоскопараллельных движений газа при наличии баротропии можно написать в следующей форме [14, 91]:

dq)/50 — У К (дф/ds), dy/ds — У К (дф/Уб),(7-1)'

(7.2)(7.2)dz — dx + idy [dtp ф- (ip0/p) йф] (е{6/о),

(7.2)

(7.2)

где

. Г-р Ро о_ Ро 0' (s)d / Ро \

* 'р V' (s) р Вds \ р / ’

D3 I dtp_

р*

Если уравнение баротропии р " / (р) задано, то соотношения (7.3) определяют функции s (р/ро), К (р/ро), о (р/ро)-

В случае адиабатических движений совершенного газа при малых значениях числа Маха М величина К близка к единице, так как верно следующее разложение в ряд:

К = 1 — м • . . . . .

где у —1 коэффициент Пуассона. Приближенный метод Чаплыгина соответствует допущению К = 1 благодаря чему уравнения (7.1) переходят в уравнения Коши—Римана.

Полагая ico 0 У is = i In V exp (—t9), получим ср + гф — / (оз), где / (со) — некоторая функция комплексного переменного.

Далее из точного равенства К = 1, из (7.3) и условия

Иш(—^l,V = es,

р _ 1-^/4Ро 1 -у F2/4a2р _ 1-^/4Ро 1 -у F2/4a2получаются [14] следующие формулы:

р _ 1-^/4

Ро 1 -у F2/4a2

р _ 1-^/4

Ро 1 -у F2/4a2

,2/11

р — Ро «о — — — '^\ Ро Р

где р0, а0 и р0 — соответствующие постоянные.

Линейная связь между р и 1/р определяет особый газ, для которого вторая и третья формулы в (7.4) дают уравнение Бернулли и связь между вспомогательными переменными es ^ V и скоростью о. Рассмотрение движения такого особого газа при малых скоростях и дает хорошее приближение для адиабатических движений идеального газа.

Наряду с комплексной величиной z — х 4- iy в плоскости движения газа можно ввести комплексное переменное £ ^ Ц- ip в вспомогательной плоскости так, чтобы выполнялись равенства

ф= P*v;(^),— = Рехр (—/9),

где постоянная V* соответствует некоторой характерной скорости о*.

Связь между z, £ и w согласно формуле (7.2) приобретает вид

,/ dw V du? di . dm ,

ск = а_ — А, —ттг I de = —5di,

где

v* —м*2

_ 4«2 — (1 + р'ГТТм^ ’

М* о*/а* — характерное число Маха.

Таким образом, решение задач о движении особого газа сводится к отысканию функции комплексного переменного w (£) или функции w ($).

Вместо независимого переменного £, изменяющегося в некоторых случаях в неизвестной наперед и, вообще говоря, многолистной области, можно вводить параметрическое комплексное переменное t, изменяющееся в наперед заданной области соответствующего типа. При таком приеме решение задач сводится к отысканию функций ^(i) и ш (/). Последняя из функций обычно легко определяется и имеет тот же вид, что и в аналогичной задаче о движении несжимаемой жидкости в плоскости z, преобразованной конформно на плоскость t.

Определение функции £ (/) связано с использованием краевых условий в плоскости z и данных об особенностях этой функции в характерных точках потока. В случае несжимаемой жидкости z ^= £ и /. - - 0.

Если в плоскости j вид области, соответствующей потоку, известен, то меожно получить решение либо с помощью функции w ($), либо в параметрическом виде с помощью двух функций j (i) и w (t). Таким путем получаются решения о газовых струях, когда твердые стенки образованы отрезками прямых линий; соответствующее решение получается аналогичным способом, как для струйных течений несжимаемой жидкости.

Фиктивные течения несжимаемой жидкости в плоскости £, в которых величина скорости V превышает Ро или некоторое Рх <4 Ро, обращающее давление в газе в нуль, нельзя брать в качестве исходных для построения соответствующих газовых течений в плоскости z.

Точное решение задачи Чаплыгина о непрерывном обтекании профиля газом связано с преодолением трудностей удовлетворения условию обтекания на данном профиле и условию в бесконечности при отличной от нуля циркуляции вокруг профиля.

Если циркуляция равна нулю, то для удовлетворения указанных условий достаточно в плоскости комплексного переменного £ взять также бесциркуляционное обтекание некоторого соответственно деформированного профиля, который при малых значених числа Маха в набегающем потоке в первом приближении можно принять совпадающим с заданным профилем в газе [92]. Однако с возрастанием числа Маха деформации профиля в плоскости £ и вопросы о существовании физически допустимого решения становятся существенными [14].

Если циркуляция вокруг профиля в газе отлична от нуля, то течение несжимаемой жидкости в плоскости £ нельзя рассматривать аналогичным образом как некоторое циркуляционное обтекание подходящего профиля, потому что при таком приеме движение газа в плоскости z не получается однолистным в бесконечности. Таким образом, нельзя производить пересчет циркуляционных обтеканий несжимаемых течений в плоскости £ на циркуляционные обтекания газом профилей в плоскости z. Для преодоления этой трудности в 1946 г. одновременно и независимо в Москве одним из авторов этого обзора [14], в С ПА К. Лином [94] и во Франции П. Жерменом [95] был предложен следующий прием.

Поставим в соответствие области течения в плоскости z внутренность единичного круга в плоскости параметрического переменного t так, чтобы обтекаемый профиль соответствовал контуру круга | t | — 1, а бесконечно удаленная точка соответствовала центру круга t ^ 0. Кроме того, примем, что направления действительных осей в плоскостях z и t соответствуют друг другу при t ^ 0 и z = оо, причем ось х в плоскости z ^ х + iy имеет направление скорости обтекания в бесконечности.

Решение задачи об обтекании сводится к определению двух функций: w (t) и £ (1). Для этих функций имеем

dw = [^ - exp (too)] И + ехр (- ю0)] _ _d_ Г _ Г , 1 dt t2 dt V \ ' t ) 2niV* J ’

(7-6)

где A* — действительная постоянная, ст0 и л — п0 — аргументы точек разветвления линий тока на круге [ ^ | — 1, Г — циркуляция по обтекаемому профилю в плоскости z. Из (7.6) следует, что

Полагая -^-1 . =1,Полагая -^-1 . =1,Г — 4nA*E*sin ст0.

Полагая -^-1 . =1,

Полагая -^-1 . =1,

получим, что для dydt верна формула вида

^=/|*ф(0 4* (1 + г'А + Vat3 + • • •)

dtt2t2

где Ф (f) — регулярная и отличная от нуля функция при | t | 7 1.

Формула (7.5) приобретает вид

ds Ф ^ dt . ft —ехр(й0)РР+ехр(—й0)]2 Д4.п о,

—<аФ (t)‘ '

Следовательно, А* играет роль масштабной постоянной. Условие однолистности в плоскости z при | £ | == 0 и z == оо дает соотношение

7=^ ^-sin сто.(7-9)

Для распределения скоростей получается формула

Vdieft — exp (Йо)] [t + exp (— й0)]

Ф W

Здесь принято 7*^7,.,

X Fl/2n0 Ml (1 + fl - Ml)-2.

Пусть

£ = /(£) = ——|- ho Ц- k^t -]- k^t? + . ..

есть функция, реализующая конформное отображение внешности заданного профиля на внутренность единичного круга | £ | ^= 1.

Очевидно, что при К ^= 0 верны формулы

Ф(£) =^^-- А* = — к.

При малых к 1> 0 можно построить обтекание газом профилей, близких к заданному, если положить

Ф (0 = 1 + 4t + ?2#2 + . ..— —^ — ,

причем величина у определена формулой (7.9), a yfc зависит от X.

Приближенный выбор Ф (£) можно производить различными способами, которые продемонстрированы на соответствующих примерах [14].

Условия обтекания для заданного профиля приводят к нелинейному ин- тегродифференциальному уравнению для действительной или мнимой части функции Ф (£) [14].

Основные идеи построения приближенных решений задач газовой динамики с помощью замены соответствующей адиабаты в плоскости р, 1/р прямой линией можно углубить и развить. С физической точки зрения это равносильно видоизменению уравнений движений (7.1) за счет выбора функции X (р), что сводится к подходящему выбору функции р (р). Вид уравнения адиабаты или некоторого закона баротропии определяется опытными законами, которые всегда должны рассматриваться как приближенные. Решения физически правильно поставленных задач должны обладать устойчивостью по отношению к задаваемым опытным законам, которые по своему существу могут быть только приближенными. Отсюда следует, что варьирование опытных законов в пределах точности экспериментов всегда допустимо, а это может дать существенные математические выгоды для построения аналитических решений. Естественно, что эффективные теоретические методы реше-

ния физических задач должны развиваться с использованием этих возможностей. На практике такие упрощения путем приближенного задания опытных функций по существу всегда используются, однако эти упрощения важны нетолько с точки зрения вида задаваемых формул или уравнений, но и с точки зрения возможности получения в эффективном виде решения уравнений и граничных задач в требуемом диапазоне.

В этом направлении наибольшее развитие эффективных методов для построения решений задач газовой динамики дано в работах Г. А. Домбровского, который рассматривал задачи о дозвуковых и сверхзвуковых газовых течениях для соответствующих законов р = f(p).

Упрощенные уравнения движения и соответствующие виды функций р = / (р) для потоков с переходом через скорость звука по существу рассматривались уже Ф. Трикоми [96], а затем М. А. Лаврентьевым [97, 98]. Наиболее близкая аппроксимация предложена Л. И. Седовым в 1949 г. [14, 99], аналогичные уравнения использовались в 1950 г. С. Томотика и К. Тамада [100].

Для дозвуковых течений эффективный метод Г. А. Домбровского [101 — 105] сводит задачи газовой динамики к отысканию функций комплексного переменного, причем достигается точность большая, чем в методе С. А. Чаплыгина и в значительно более широком диапазоне чисел Маха. Метод Г. А. Домбровского позволяет решить все рассмотренные выше задачи, которые разрешаются приближенным методом Чаплыгина; он основан на эффективном решении уравнений газовой динамики (7.1), когда функция К (s) определена формулой

К (s) = ra4th4m (s — s0),(7.10)

где n, m, s0 — произвольные действительные постоянные. Подбором значений п, т, з0 и постоянных интегрирования при определении соответствующей функции р (.р') можно получить весьма точную аппроксимацию адиабаты в значительном диапазоне изменения плотности в дозвуковых течениях совершенного газа.

Широкое применение нашла теория функций комплексного переменного в подземной гидродинамике. Еще Н. Е. Жуковский [106] указал, что- установившееся движение грунтовых вод в условиях закона Дарси описывается уравнением Лапласа. Большое число исследований по теории движения грунтовых вод последовало после опубликования известной монографии Н. Н. Павловского [108], изложившего в ней методы решения плоских задач напорного движения грунтовых вод при помощи простых методов теории конформных отображений. Обычно задачи фильтрации под гидротехническими сооружениями схематизируют в виде течений в многоугольных областях, поэтому решение их может быть, вообще говоря, получено прямым применением формулы Шварца—Кристоффеля для отображения области движения z = х + iy и области комплексного потенциала w = ср + гф на. вспомогательную полуплоскость.

Специфическое условие на свободной поверхности потока грунтовых вод (ф + ky ^= const) повлекло разработку специализированных методов расчета плоских безнапорных течений грунтовых вод в вертикальной плоскости. Н. Е. Жуковский [107] ввел функцию G w — ikz, названную впоследствии его именем, использование которой позволяет получать решение ряда задач о движении грунтовых вод со свободными поверхностями, поскольку 12*

ла последних выполняется в силу постоянства давления условие Re G = = const.

Существенным для дальнейшего развития теории безнапорного движения грунтовых вод было установление Б. Б. Девисоном [109] того факта, что свободная поверхность изображается на плоскости годографа скорости фильтрации дугой окружности

(А — коэффициент фильтрации), а также установление им существования так называемых промежутков высачивания, т. е. таких заданных' участков границы области движения, на которых давление постоянно.

Значительный вклад в разработку задач безнапорного движения грунтовых вод при помощи конформных отображений внес В. В. Ведерников, основные результаты которого собраны в его монографии [110].

Прямой метод конформных отображений позволяет решить сравнительно широкий круг задач теории движения грунтовых вод, когда область движения оказывается заданной на двух из плоскостей z = х + iy, ш = ф + *Ф, G = w — Utz и dw/dz = и — tv, при этом все участки границы области движения пересекаются на плоскости годографа по скорости по крайней мере в одной общей точке .

Однако имеются задачи, решение которых не может быть сведено лишь к взаимным отображениям заданных областей. Один из общих методов исследования таких задач был предложен в 1938—1939 гг. П. Я. Полубариновой-Кочиной (см., например, [112]). Он основан на сведении краевых задач теории движения грунтовых вод к исследованию обыкновенных линейных дифференциальных уравнений класса Фукса.

Сущность метода Полубариновой-Кочиной заключается в следующем. Комплексную скорость потока dw/dz можно найти при помощи конформного отображения кругового zz-угольника на вспомогательную каноническую область (например, на полуплоскость). Если вершины многоугольника А, В, ... с углами ла, лр, . . . переходят в точки а, Ь, . . . вещественной оси вспомогательной плоскости t, то комплексная скорость может быть представлена в виде

dw MU 4-NV

1Г PU + QV ’

где М, N, Р, Q — постоянные, a U и К — линейно независимые решения уравнения

У" _i_ ( 1 г 1 ~ Р 4. ) у' ж У — 0, а t — Ь т У — a) (t — 6) . . . ’

где л (6 — 6') — угол при вершине, переходящей в бесконечно удаленную точку плоскости t, причем a + P + ... + 6 + 6'^ra — 2, а %, ц, . . . — так называемые акцессорные параметры, для определения которых можно составить трансцендентные уравнения, вообще говоря достаточно сложные.

Величины dw/dt и dzldt могут быть далее представлены в таком виде:

^=ФУ)(ми + w> j^o^hpu + qv), СИ,

причем

ф (t) ч= (t - dy' у - ВУ' . . .,

а показатели а', р', . . . определяются из рассмотрения граничных условий на прилегающих к соответствующим вершинам участках контура и схемы течения вблизи этих вершин.

Метод оказался весьма эффективным в случае трех неустранимых особых точек, позволив решить, например, классические задачи о фильтрации в прямоугольной перемычке и в трапециедальной перемычке с вертикальным верховым откосом (1939 — 1940 гг.). Простая формула (формула Дюпюи—Парного) для фильтрационного расхода в первой из этих задач была получена И. А. Парным [113].

Метод П. Я. Полубариновой-Кочиной использовался также в ряде задач о фильтрации в неоднородной среде (см. [111, 112]).

Методы теории функций комплексного переменного нашли применение и в задачах неустановившейся фильтрации. Отображая область движения на вспомогательную каноническую область (круг, полуплоскость), можно всегда свести задачу к отысканию некоторых аналитических функций по заданным условиям на контуре. Так Л. А. Галиным, П. Я. Полубариновой- Кочиной и др. был исследован ряд задач о стягивании контура нефтеносности, о водопонижении при притоке грунтовых вод к дренам. При этом было, в частности, установлено, что решения с особенностями (стоками) внутри области движения имеют смысл лишь до образования на контуре точки возврата, после чего решения теряют однолистность.

Обзор некоторых результатов в этой области и библиографию можно найти, например, в статье П. Я. Полубариновой-Кочиной и С. В. Фальковича [ill] и в монографии П. Я. Полубариновой-Кочиной [112].

ЛИТЕРАТУРА

Helmholtz Н. Cber discontinuirliche Fliissigkeitsbewegungen.—Monatsber. Kgl. Akad« Wiss. Berlin, 1868, Apr., S. 215—227 (Wiss. Abb., 1882, 1, S. 146—157)/Pyc. nep: О прерывном движении жидкости.— В кн.: Два исследования по гидродинамике. М., 1902, с. 52—57.

Kirchhoff С. Zur TheoriefreierFliissigkeitsstrahlen.— J. reine und angew. Math., 1869, 70, N 4, S. 289—298 (Ges. Abb., 1882, S. 416—427). См. так же: Kirchhoff C. Vorlesun- gen uber mathematische Physik: Mechanik. Leipzig, 1874—1876 (Vorl. 22)/ Pyc. nep.: Кирхгоф Г. Механика. M.: Изд-во АН СССР, 1962 (Лекция 22).

Бобылев Д. К. Заметка о давлении, производимом потоком неограниченной ширины на две плоские стенки, сходящиеся под каким бы то ни было углом.— Журн. Русек, физ.-хим. об-ва, 1881, 13, № 2, физ. часть, отд. 1, с. 63—70.

Котельников А. П. О давлении жидкой струи на клин.— Собр. протоколов заседаний Секции физ.-мат. наук Об-ва естествоисп. Казанск. ун-та, 1889, Т. 8, № 1, с. 4—51.

Жуковский И. Е. Видоизменение метода Кирхгоффа для определения движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной линии тока,— Мат. сб., 1890, 15, № 1, с. 121—276. См. так же: Поли. собр. соч., 1936. Т. 3, с. 195—341; Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 2, с. 489—626.

Жуковский Н. Е. О присоединенных вихрях,— Тр. Отд-ния физ. наук Об-ва люби- телей естествознания, 1907, 13, № 2, с. 12—25. См. так же: Поли. собр. соч., 1937. 'Г. 5. с. 48 — 71; Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 4, с. 69—91.

Жуковский Н. Е. О поддерживающих планах типа Антуанетт.— Тр. Отд-ния физ. наук. О-ва любителей естествознания. 1912, 15, Л» 2, с. 7—20. См. так же: Поли. собр. соч., 1937. Т. 5, с. 281—310; Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 4, с. 179—206)/ /Перевод: Ober die Tragflachen des Typus Antoinette.— Bull. Soc. Imp. Natur, Moscou, 1913, (1914), 27, N 1/3, S. 223—252. См. так же: Поли. собр. соч., 1937. Т. 5, с. 311 — 339. Теоретические основы воздухоплавания. М., 1911—1912, 1. См. так же: Полн. собр. соч., 1938. Лекции. Т. 1; Собр. соч., 1950. Т. 6. с. 5—456/Перевод: Joukowski N. Bases theoriques de l’aeronautique: Aerodynamique. 2е ed. P.: Gauthier-Villars, 1931.

Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана).— Мат. сб., 1911, 28, № 1, с. 120—166. См. так же: Полн. собр. соч. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. Т. 2, с. 144—178; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 184—229.

Чаплыгин С. А. К общей теории крыла моноплана. М., 1922. См. также: Полн. собр. соч. Л.: Изд-во АН СССР, 1933, Т. 2, с. 205—245; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 246—299)/Перевод: TcHapltqutne S. A. On the general theory of a monoplane wing. P.: Gauthier-Villars, 1929. См. так же: Полн. собр. соч., 1935. Т. 3, с. 165—203.

Чаплыгин С. А. К теории триплана.— Тр. ЦАГИ, 1936, вып. 296. См. так же: Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 508—536.

Келдыш М. В. Некоторые общие свойства полипланов.— Тр. ЦАГИ, 1936, вып. 261. 12. Чаплыгин С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло.— Тр. ЦАГИ, 1926, вып. 19. См. так же: Полн. собр. соч., 1935. Т. 3, с. 3—64; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 300—382.

Седов Л. И. К теории неустановившихся движений крыла в жидкости.— Тр. ЦАГИ, 1935. вып. 229.

Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.; Л.: Гостехиздат, 1950; Теория плоских движений в идеальной жидкости. М.; Л.: Оборонгиз, 1939. 142 с.; Приложение теории функций комплексного переменного к некоторым задачам плоской гидродинамики.— УМН, 1939, вып. 6, с. 120—182.

Седов Л. И. К задачам о вращении внутри жидкости и о кручении.— Техн, заметки ЦАГИ, 1935, № 52, с. 18.

Birnbaum W. Das ebene Problem des schlagenden Flugels.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1924, 4, N 4, S. 277-292.

Wagner H. Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebsvon Tragflugeln.—Ztschr. angew. Math. und. Meeh., 1925, 5, N 1, S. 17—35.

Келдыш M. В., Лаврентьев M. А. К теории колеблющегося крыла.— Техн, заметки ЦАГИ, 1935, № 45, с. 48—52.

Седов Л. И. Теория нестационарного глиссирования.— Техн. зам. ЦАГИ, 1935, ноябрь, № 15; Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями,— Тр. ЦАГИ, 1936, вып. 252.

Хаскинд М. Д. Колебания крыла в дозвуковом потоке газа.— ПММ, 1947, И, с. 129 — 146.

Borbely S. von. Uber die Luftkrafte, die auf einen harmonischen schwingenden zweidi- mensionalen Fliigel bei iiberschallgeschwindigkeit wirken.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1942, 22, N 4, S. 190—205.

Красилыц.икова E. А. Возмущенное движение воздуха при вибрациях крыла, движущегося со сверхзвуковой скоростью.— ПММ, 1947, И, № 1, с. 147—164.

Кочин Н. Е. Теория крыла конечного размаха круговой формы в плане,— ПММ, 1940, 4, № 1, с. 3—32. См. так же: Собр. соч., 1949. Т. 2, с. 351—382; Теория круглого крыла.— ПММ, 1945, 9, № 1, с. 13—66. См. так же: Собр. соч., 1949. Т. 2, с. 422— ' 478-Перевод: Theory of wings of circular planform.— NACA TM, 1953, N 1324.

Седов Л. И. К задачам о тонких полипланах тандем и о глиссировании на нескольких реданах,— Тр. ЦАГИ, 1937, вып. 325.

Седов Л. И. К гидродинамической теории решеток и некоторых краевых задач, приводящихся к определению периодических функций комплексного переменного.— ДАН СССР, 1938, 18, № 1, с. 17-20.

Чаплыгин С. А. Теория решетчатого крыла.— Мат. сб., 1914, 29, № 2, с. 220—233. См. так же: Полн. собр. соч., 1933. Т. 2, с. 191—204; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 414—430.

Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria della funzioni di variablecom- pressa.— Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3, 1916, 25, p. 253—273.

Келдыш M. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций,— ДАН СССР, 1937, 16, № 1, с. 7—10.

Седов Л. И. Развитие метода Жуковского для определения струйных течений, стесненных несколькими криволинейными препятствиями,— Тр. ЦАГИ, 1938, вып. 342, с. 42—47.

Некрасов А. И. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга.— Изв. Иваново-Вознесенск, политехи, ин-та, 1922, № 5, с. 3— 19. См. так же: Собр. соч., 1961. Т. 1, с. 52—68.

Секерж-Зенжович Я. И. К задаче об обтекании дуги круга с отрывом струй.— ДАН СССР, 1934, 4, № 5—6, с. 264—266.

Аржаников Н. С. Об обтекании плоским прерывным потоком препятствия в форме дуги параболы.— Мат. сб., 1928, 35, № 1, с. 5—17.

Мясников П. В. О существовании решения проблемы струйного течения жидкости вокруг тел с криволинейными стенками,— Учен. зап. Моск, ун-та, 1937, № 7, с. 123—143.

Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Физматгиз, 1961.

Лаврентьев М. А. К теории струй,— ДАН СССР, 1938, 18, № 4—5, с. 225—226.

Лаврентьев М.А. О некоторых свойствах струйных течений.— ДАН СССР, 1938, 20, № 4, с. 235—237.

Лаврентьев М.А. К теории струйных течений.— ДАН СССР, 1938, 20, № 4, с. 239 — 240."

Чаплыгин С. А., Лаврентьев А. Л. О подъемной силе и сопротивлении длинного плоского крыла в предположении срыва с его верхней поверхности.— Тр. ЦАРИ, 1933, вып. 123, с. 3—12. См. так же: Поли. собр. соч., 1935. Т. 3. с. 309—322; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 396—413.

Лаврентьев М.А. Кумулятивный заряд и принципы его работы.— УМН, 1957, 12, № 4 (76), с. 41—56.

Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости.— Тр. Отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания, 1899, т. 10, вып. 1, с. 35—40. См. также: Поли, собр. соч., 1933. Т. 1, с. 254—263; Собр. соч., 1948. Т. 2, с. 5—18.

Эфрос Д. А. Гидродинамическая теория плоско-параллельного кавитационного течения.—ДАН СССР, 1946, 51, № 4, с. 263—266.

Гуревич М. И. Об одной схеме струйного обтекания плоской пластинки.— Тр. ЦАГИ, 1947. вып. 612.

Гуревич М. И. Симметричное кавитационное обтекание плоской пластинки, помещенной между параллельными стенками.— Изв. АН СССР. Отд-ние, техн, наук, 1946, № 4, с. 487—498.

Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР. 1962.

. Пыхтеев Г. Н. Общая и основная краевые задачи плоских струйных установившихся течений и соответствующие им нелинейные уравнения.— ЖПМТФ, 1966, № 1, с. 32—44.

Хоперстков А. Е. О течениях жидкости с образованием замкнутых кавитационных полостей.— ЖПМТФ, 1963, № 5, с. 54—61.

Кузнецов В. М. О форме воронки выброса при взрыве на поверхности грунта.— Журн. прикл. мех. техн, физ., 1960, № 3, с. 152—156.

Кузнецов В. М., Лаврентьев М. А., Шер Е. Н. О направленном метании грунта при помощи взрывчатого вещества,— ЖПМТФ, 1960, № 4, с. 49—50.

Жуковский Н. Е. Об Ударе двух шаров, из которых один плавает в жидкости.— Зап. Мат. отд-ние Новороссийск, о-ва естествоиспыт., 1884, 5, с. 43—48. См. также: Поли, собр. соч., 1936. Т. 3, с. 15—20; Собр. соч., 1949. Т. 2, с. 148—151.

Седов Л. И. Очерк теории удара при посадке гидросамолетов.— Техн. возд. флота, 1933. № 10, с. 120—124.

Седов Л. И. Падение клина на поверхность воды.— Техн, заметки ЦАГИ, 1935, № 52, с. 14—17.

Лаврентьев М.А., Келдыш М.В., Маркушевич А. И., Седов Л. И., Лотов А. В. Сб. статей по вопросам удара о поверхность воды.— Тр. ЦАГИ, 1935, вып. 152.

Седов Л. И. Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности несжимаемой жидкости.— Техн, заметки ЦАГИ, 1935, № 45, с. 3—12; Тр. ЦАГИ, 1934, вып. 187.

Гуревич М. И. Удар плоской пластинки о жидкость, наполняющую канал в форме цилиндра.— ПММ, 1939, 3, № 2, с. 3—12.

Гуревич М. И. Удар пластинки при обтекании с отрывом струй.— ПММ, 1952, 16, № 1, с. 116—118.

Гуревич М. И., Хаскинд М. Д. Струйное обтекание контура, совершающего малые колебания,— ПММ, 1953, 17, № 5, с. 599—603.

Некрасов А. И. О волнах установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости.— Научн. изв. Акад, центра Наркомпроса РСФСР, 1922, № 3: Тр. Моск. физ. о-ва им. П. Н. Лебедева, с. 128—138. См. также: Собр. соч., 1961. Т. 1, с. 69—78.

Kotchine N. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie a la surface de separation de deux liquides de profondeur finie.— Math. Ann., 1927, 98, N 3/4, S. 582—615/Pyc. nep.: Кочин H. E. Точное определение установившихся волн конечной массы амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. См. так же: Собр. соч., 1949. Т. 2, с. 43—75. Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины.— Тр. Все- рос. съезда математиков (1927) М.; Л.: ОГИЗ, 1928, с. 266—269. См. так же: Собр. соч., 1949, Т. 2, с. 76-79.

Иванилов Ю. П., Моисеев И- И., Тер-Крикоров А. М. Об асимптотическом характере формул М. А. Лаврентьева.— ДАН СССР, 1958, 121, № 2, с. 231 — 234.

Моисеев И. Н. Асимптотические методы типа узких полос.— В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1961, с. 180—200.

Якимов Ю. Л. О приближенной формуле для растяжения при конформном отображении области, имеющей узкий участок.— Сиб. мат. журн., 1962, 3, № 6, с. 956—960.

Моисеев Н. Н., Тер-Крикоров А. М. Исследование движения тяжелой жидкости при скоростях, близких к критической.— Тр. Моск. физ.-техн, ин-та, 1959, № 3, с. 25— 59.

Якимов Ю. Л. О неустановившихся движениях несжимаемой жидкости в узких областях,— ДАН СССР, 1957, 116, № 6, с. 1080—1083.

Моисеев Н. И. К теории волн в завихренной жидкости.— ЖПМТФ, 1960, № 3, с. 81-89.

Иванилов Ю. П. Катящиеся волны в наклонном канале.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1961, 1, № 6, с. 1061—1076.

Иорданский С. В. Об асимптотике осесимметричной расходящейся волны в тяжелой жидкости,- ДАН СССР, 1959, 125, № 6, с. 1211—1214.

Моисеев И. И., Тер-Крикоров А.М. О неединственности решения задачи о подводном крыле.— ДАН СССР, 1958, 119, № 5, с. 899—902.

Лаврентьев М. О. До Teopii довгих хвиль.— 36. праць Ih-tv мат. Акад, наук УРСР, 1946 (1947), № 8, с. 13—69."*

Моисеев Н. И. О течении тяжелой жидкости над волнистым дном.— ПММ, 1957, 21 № 1, с. 15-20.

Тер-Крикоров А.М. Уединенная волна на поверхности завихренной жидкости.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1961, 1, № 6, с. 1077—1088.

Красовский Ю. П. О существовании апериодических течений со свободной границей.— ДАН СССР, 1960, 133, № 4, с. 768—770.

Красовский Ю. П. К теории установившихся волн немалой амплитуды,— ДАН СССР, 1960, 130, № 6, с. 1237—1240.

Тер-Крикоров А.М. Нелинейная задача теории подводного крыла.— ДАН СССР, 1958, 119, № 6, с. 1115—1117.

Тер-Крикоров А.М. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную.— ПММ, 1960, 24, № 4, с. 622—636.

Филиппов И. Г. О движении вихря под поверхностью жидкости.— ПММ, 1961, 25, № 2, с. 242—247.

Седов Л. И., Келдыш. М. В., Лаврентьев М- А., Кочин И. Е., Павленко Г. Е., Гинзбург И. И., Сретенский Л. И. Труды конференции по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937.

Келдыш М. В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости.— Техн, заметки ЦАГИ, 1935, № 52, с. 5—9.

Wagner И. I her Stoss- und Gleitvorgange an der Oberflache von Fliissigkeiten.— Ztschr. angew. Math, und Meeh., 1932, 1 , N 4, S. 193—215.

Sretenskij L. On the motion of a glider on deep water.— Изв. АН СССР. Отд-ние мат. и ест. наук, 1933, № 6, с. 817—835.

Сретенский Л. И. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости.— Тр. ЦАГИ, 1938, вып. 346. 27 с.‘„

Келдыш М. В., Седов Л. И. Теория волнового сопротивления в канале конечной глубины.— Тр. конф, по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937, с. 143— 152.

Сретенский Л. И. О вычислении волнового сопротивления корабля, движущегося по поверхности воды конечной глубины.— ДАН СССР, 1936, 2 (И), № 7, с. 259—261.

Кочин И. Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел.— Тр. конф, по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937, с. 65—134. См. так же: Собр. соч., 1949. Т. 2, с. 105—182.

Чаплыгин Ю. С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости,— Тр. ЦАГИ, 1940, вып. 508. с. 3—45.

Гуревич М. И., Янполъский А. Р. О движении глиссирующей пластины.— Техника возд. флота, 1933, № 10, с. 52—70.

Калинин Н. К. О моменте давления, действующего на глиссирующую пластинку.— Учен. зап. Саратов, ун-та, 1938, 1 (14), с. 73—79. (Сер. Физ.-мат. ин-та; № 1).

Чаплыгин Ю. С. Глиссирование по жидкости конечной глубины (сравнение нелинейной и линейной теорий).— ПММ, 1941, т. 5, № 2, с. 223—252.

Гуревич М. И. К вопросу о глиссирующих пластинах «тандем».— Техн, заметки ЦАРИ, 1935, № 48, с. 11—25.

Хаскинд М- Д. Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины.— Изв. АН СССР, 1943, № 1—2, с. 67—90 (Отд-ние техн. наук).

Чаплыгин С. А. О газовых струях. М.: Изд-во МГУ, 1902. См. так же: Поли. собр. соч., 1933, Т. 2. с. 3—90; Собр. соч., 1948, Т. 2, с. 19—137.

Лейбензон Л. С. О теории движения газов.— ДАН СССР, 1935, 3 (8), № 9, с. 397— 398. См. так же: Собр. трудов, 1955. Т. 4, с. 129 — 130.

Слезкин Н. И. К вопросу о плоском движении газа.— Учен. зап. Моск, ун-та, 1937, № 7, с. 43—69.

Некрасов А. И. О плоскопараллельном движении газа при дозвуковых скоростях.— ПММ, 1944, 8, № 4, с. 249—266. См. так же: Собр. соч., 1961. Т. 1. с. 134—155.

Lin С. С. On an extension of the von Karman-Tsien method to two-dimensional subsonic flows with circulation around closed problems.— Quart. Appl. Math., 1946, 4, N 3, p. 291—297.

Germain P. Fluides compressibles: Etude directe du cas simplifie de Chaplygin.— C. r. Acad, sci., 1946, 223, N 5, p. 532—534.

Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali 2° ordine di tipo misto.— Mem. Roy. Accad. Lincei. Ser. 5, 1923, 14, N 7, p. 133—247/Pyc. пер. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа.— ДАН СССР, 1950, 70, № 3, с. 373—376.

Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.— Итоги науки. Сер. физ.-мат. науки, № 2. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

Седов Л, И. К общей теории плоско-параллельных движений газа.— Вести. МГУ, 1949, № 9. (Сер. физ.-мат. и ест. наук; вып. 6, с. 3 —14).

Tomotika S., Tamada К. Studies on two-dimensional transonic flows of compressible fluid. 1—3.— Quart. Appl. Math., 1950, 7, N 4, p. 381—397; 1950, 8, N 2, p. 127— 236; 1951, 9, N 2, p. 129 — 147.

Домбровский Г. А. К исследованию движения газа с дозвуковыми скоростями.— В кн.: Теоретическая гидромеханика, 1952, № 2, с. 5—42.

Домбровский Г. А. К вопросу об интегрировании уравнений плоско-параллельного установившегося потенциального движения сжимаемой жидкости.— ДАН СССР, 1955, ЮЗ, № 1, с. 31-34.

Домбровский Г. А. Приближенное решение задачи о дозвуковом обтекании профиля без циркуляции,— ДАН СССР, 1955, ЮЗ, № 5, с. 777—779.

Домбровский Г. А. Приближенное решение задачи о дозвуковом обтекании профиля с циркуляцией,— ДАН СССР, 1955, 103, № 6, с. 985—987.

Домбровский Г. А. О струйном обтекании с дозвуковыми скоростями решетки плоских пластинок.— ДАН СССР, 1956, 111, № 2, с. 312—315.

Жуковский Н. Е. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод.— Журн. Русск. физ.-хим. Об-ва, 1889, 21, № 1. физ. часть, отд. 1, с. 1—20. См. так же: Поли. собр. соч., 1937, Т. 7, с. 9—33; Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 3, с. 184—206.

Жуковский Н.Е. Просачивание воды через плотины.— Опытно-мелиорат. часть НКЗ СССР, 1923, № 30, с. 30—52. См. также: Поли. собр. соч., 1937, т. 7, с. 325—363; Собр. соч., 1950. Т. 7, с. 297—332.

Павловский Н. Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения. Пг., 1922. См. так же: Собр. соч., 1956, 2, с. с. 3—352.

Девисон Б. Б. Об установившемся движении грунтовых вод через земляные плотины (гидромеханический метод решения задачи). 4.1. Движение грунтовых вод через земляную перемычку с вертикальными стенками.— Зап. Гос. гидрол. ин-та, 1932,

6, с. 11 — 19.

НО. Ведерников В. В. Теория фильтрации и ее применение в области ирригации п дренажа. М.; Л.: Госстройиздат, 1939.

Полубаринова-Кочина П. Я., Фалькович С. В. Теория фильтрации жидкостей в пористых средах (обзор).— ПММ, 1947, И, 6, с. 629—674/Перевод: Theory of filtration of liquids in porous media.— Adv. Appl. Meeh., 1951, 2, 153—225.

Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехпздат, 1952.

Чарный И. А. Строгое доказательство формул Дюпюи для безнапорной фильтрации с промежутком высачивания.— ДАН СССР, 1951, 79, № 6, с. 937—940.

Михайлов Г. К. К классификации задач теории установившегося движения грунтовых вод в вертикальной плоскости.— Bui. Inst, politehn. Ia,i, 1959, 5, (9), N 1/2, p. 125-134.

Секерж-Зенъкович Я. И. К теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды.— ДАН СССР, 1956, 109, № 5, с. 913—915.

Thiry R. Sur les solutions multiples des problems d’hydrodynamique. P.t Gauthier- Villars, 1921.

Demtchenko B. Sur la relation entre la dynamique des fluides compressibles et celle des fluides incompressibles.— Pubis math. Univ. Belgrade, 1933, 2, p. 85—105.

Jacob C. Sur quelques problemes concernant I’ecoulement des fluides parfaits compressibles.- C. r. Acad. sci.. 1933, 197, N 2, p. 125-126.

Molenbroek P. fiber einige Bewegungen eines Gases niit Annahrne eines Geschwindig- keitspotentials.— Arch. Math, und Phys. Ser. 2, 1890, 9, N 2, S. 157—195.

II

АВТОКОЛЕБАНИЯСАМОЛЕТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ ВИБРАЦИИ КРЫЛАВИБРАЦИИ КРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

ВИБРАЦИИ В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ КРЫЛА С ПОДКОСАМИКОЛЕБАНИЯ КРЫЛА С УПРУГО ПРИКРЕПЛЕННЫМ МОТОРОМСОВРЕМЕННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВИБРАЦИЙ КРЫЛЬЕВ

В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ РАСЧЕТА КРЫЛЬЕВ НА ФЛАТТЕРКОЛЕБАНИЯ КРЫЛА С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ГРУЗАМИРАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ КРЫЛА

С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ГРУЗАМИРАСЧЕТ САМОЛЕТА НА ФЛАТТЕРВИБРАЦИИ НА САМОЛЕТЕ

ОПЫТ БОРЬБЫ С ФЛАТТЕРОМ НА СЕРИЙНЫХ САМОЛЕТАХ

РАБОТЫ ПО УМЕНЬШЕНИЮ ВЕСАПРОТИВОФЛАТТЕРНЫХ ПРИСПОСОБЛЕНИЙ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ

О ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ДЕМПФЕРАХО ДЕМПФЕРАХ С НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙШИММИ ПЕРЕДНЕГО КОЛЕСА ТРЕХКОЛЕСНОГО ШАССИ

13

НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ЗАДАЧИ

В ТЕОРИИ ВИБРАЦИЙ КРЫЛА

Совместно с Е. П. Гроссманом, Л. С. Поповым, Я. М. Пархомовским

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая статья представляет собой краткое изложение работ экспериментально-аэродинамического отдела ЦАРИ по вибрациям, доложенных на конференции, проходившей в ЦАГИ 26 декабря 1936 г. Эти работы являются дальнейшим продолжением и развитием методов расчета на флаттер, ранее разработанных в отделе [1—3].На конференции были сделаны следующие доклады:

Вибрации крыла с элероном — М. В. Келдыш, Е. П. Гроссман, Я. М. Пархомовский.

О вибрациях крыла с подкосом — М. В. Келдыш.

К вопросу о влиянии фюзеляжа на вибрации крыла — Л. С. Попов.

Схематические опыты по влиянию формы оси жесткости на критическую скорость — Е. П. Гроссман.

В первой работе дается расширение метода расчета крыла на флаттер на случай системы крыла с элероном. Для изгибно-элеронного флаттера проведена серия опытов, подтвердивших теорию, а также выяснено влияние некоторых конструктивных параметров элерона на величину критической скорости. Во второй работе излагается метод расчета критической скорости для подкосного крыла с жесткими подкосами. В ней даны расчетные схемы для различного рода подкосов и примеры, иллюстрирующие влияние положения подкоса на критическую скорость.

Третья работа была поставлена с целью выяснения вопроса о законности рассмотрения вибрирующего крыла в смысле упругой схемы как жестко заделанной консольной балки, т. е. упругой схемы, принимавшейся во всех лоявившихся ранее работах по вибрациям. Первые полученные результаты вполне подтвердили законность такой схемы. Наконец, в последнем докладе было сообщено о ряде опытов с простейшими моделями, имеющими различные формы оси жесткости. Первые результаты показали, что наивысшую критическую скорость имеет модель с прямолинейной осью жесткости.

Обозначения

<Ир — жесткость крыла на кручение EI — жесткость крыла на изгиб

R — коэффициент жесткости крепления элерона

6 — угол закручивания крыла

Р — угол отклонения элерона

Z — прогиб оси жесткости крыла

t — хорда крыла (вместе с элероном) fi — расстояние от оси вращения элерона до его задней кромки

ай — расстояние от передней кромки крыла до оси жесткости

о — расстояние центра тяжести крыла от оси жесткости

жщ — расстояние от передней кромки до оси вращения элерона

I — расстояние от заделки крыла в фюзеляже до конца крыла

<тэ — расстояние центра тяжести элерона от оси вращения его

рш — расстояние оси вращения элерона от оси жесткости

т — погонная масса крыла (вместе с элероном)

7т — погонный полярный массовый момент инерции крыла (вместе с элероном) относительно оси жесткости

тэ — погонная масса элерона

7тш — погонный полярный массовый момент инерции элерона относительно оси вращения

Г — скорость полета р — плотность воздуха р — угловая частота колебаний

I. ВИБРАЦИИ КРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что для возникновения флаттера система должна двигаться не менее чем с двумя степенями свободы. Поэтому крыло с элероном может в общем случае иметь четыре формы флаттера соответственно трем возможным типам деформации: а) изгиб крыла — кручение крыла — отклонение- элерона; б) изгиб крыла — отклонение элерона, в) кручение крыла — отклонение элерона; г) изгиб крыла — кручение крыла. В настоящее время достаточно подробно изучена только четвертая форма колебаний [1, 2]. В настоящей статье проблема рассматривается полностью: разрабатывается метод расчета крыла на флаттер с тремя степенями свободы (форма А). Как частный случай из излагаемой теории следуют способы расчета и остальных трех форм флаттера (каждая форма флаттера имеет свою критическую скорость).

Наибольшую трудность в данной задаче представляет получение формул для подъемной силы, продольного и шарнирного моментов при выбрациях крыла с элероном.

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯНА ВИБРИРУЮЩЕЕ КРЫЛО С ЭЛЕРОНОМ

Рассмотрим, как изменяются подъемная сила, продольный момент и шарнирный момент при колебательных движениях крыла. При этом в основу исследования кладется то же предположение, как и в более ранних работах отдела [1—3], именно гипотеза стационарности.

Гипотеза стационарности. Аэродинамические характеристики крыла в неустановившемся движении с переменными линейной и и угловой и скоростями заменяются в каждый момент времени характеристиками того же крыла, движущегося с постоянными линейной и угловой скоростями, которые в каждый данный момент времени равны скоростям действительного движения в тот же момент времени, причем наклон к профилю также считается постоянным и равным действительному наклону в рассматриваемый момент времени.

Благодаря принятию такого допущения, что сводится к замене неуста- новившегося потока около крыла в каждый момент времени соответствующим установившимся потоком, выражения для аэродинамических сил значительно упрощаются. Строго говоря, С„ в неустановившемся движении зависит от величины деформаций (6, Ц), скоростей (9, р, Z), ускорений и^т. д.:

су=/(е, р, е, р, z, ё, 3, z...).

Согласно гипотезе стационарности эта зависимость упрощается: Су зависит только от деформаций и их первых производных по времени (скоростей):

Су = / (0, Р, 9, р, ZY

Полагая деформации малыми, разлагаем Су в ряд Тейлора. Ограничиваясь величинами первого порядка малости, мы убедимся, что Су является линейной функцией от 6, р, б, р, Z. То же будет справедливо относительно Ста и Сш. Поэтому мы можем по отдельности исследовать влияние каждой

из величин 6, |3, 6, р, Z и затем общее изменение Су, Ст и Сш найти сложением полученных результатов.

Рассмотрим, например, влияние на аэродинамические характеристики крыла угловой скорости колебаний кручения (6). Пусть в потоке, обладающем скоростью V в бесконечности, находится профиль крыла, который мы схематизируем тонкой линией АВ, совпадающей со средней линией профиля, и пусть этот профиль вращается около некоторого находящегося на нем центра Е с угловой скоростью 6 (рис. 1). Кривизна профиля и угол атаки хорды его считаются малыми. Элемент dx при вращении профиля движется с линейной скоростью (ж — ж0) 6, где х — абсцисса элемента dx и х0 — абсцисса центра вращения Е (оси координат выбираем, как показано на рис. 1). Складывая эту скорость со скоростью V набегающего потока, убеждаемся, что угол атаки элемента dx изменился на величину Дсс5 = 0 (х — х0)/7.

(Всюду точки над буквами означают дифференцирование по времени т).

Это изменение угла атаки различно у разных элементов профиля. Ввиду малости Даг мы можем результирующую скорость считать по абсолютной величине равной V. Можно доказать, что если базироваться на гипотезе стационарности, то аэродинамические воздействия на вращающийся профиль не изменятся, если мы каждый элемент его dx заменим элементом неподвижным, на который со скоростью V под углом атаки а0 + Даг набегает поток [2, 3] (а0 — угол в рассматриваемый момент времени между элементом dx и скоростью У). Таким образом, при вычислении аэродинамических воздействий вращающийся профиль заменяем неподвижным, который получается из рассматриваемого профиля, если каждый его элемент повернуть на соответствующий данному элементу угол Даг. Так как угол Даг различен для разных элементов и непрерывно изменяется вдоль профиля, то, осуществив такую замену, мы вместо истинного профиля АВ получим некоторый искривленный фиктивный профиль АфЗ, (рис. 2), обладающий тем свойством, что в рассматриваемый момент времени (при заданном значении 0) он, будучи неподвижен, имеет те же аэродинамические характеристики, как истинный профиль АВ, вращающийся с угловой скоростью 0 около точки Е. Профиль АуВг имеет иную, чем АВ, кривизну и иной угол атаки хорды относительно основной скорости У. Следовательно, эффект скорости крутильных колебаний 0 сводится, во-первых, к изменению угла атаки хорды и, во-вторых, к изменению кривизны средней линии

профиля. Такое фиктивное изменение кривизны средней линии называется динамической кривизной [1].

Эффект угловой скорости колебаний элерона р также сводится к изменению угла атаки профиля и его кривизны.

Эффект скорости изгибных колебаний Z сводится только к изменению угла атаки хорды, без изменения кривизны, так как при изгибном движении углы атаки всех элементов профиля изменяются одинаково.

Для вычисления изменения подъемной силы и продольного момента вследствие вибраций воспользуемся известными формулами Глауэрта [5], дающими зависимость этих величин от угла атаки и кривизны профиля.

Выберем оси координат следующим образом: ось ж направим по хорде профиля назад, начало координат поместим в передней кромке профиля и ось z перпендикулярно оси х. Пусть z = z (ж) —уравнение средней линии профиля в этой системе координат (см. рис. 2). Тогда, согласно Глауэрту,

О

ЛЛ

=_СО82ф)^ + А\)_^(1_сО8ф)^+-^,(1)

ооу

где ф — новая переменная, связанная с х зависимостью

х = t (1 — cos ф)/2.(2)

Колеблющийся профиль мы, как указано выше, заменяем неподвижным, имеющим другую, чем исходный, кривизну (другое уравнение средней линии) и другой угол атаки (см. рис. 2, штрихи). Для этого нового профиля

!5l9а!5l9аcos гр) агр I ,cos гр) агр I ,ОстЕ=—4- $ S" ~cos 2^+4- 5 44(1—cos+ОстЕ=—4- $ S" ~cos 2^+4- 5 44(1—cos+оооодСтЕ р'6СУ ^дСтЕ р'6СУ ^Вычитая (1) из (3), найдем приращение коэффициентов подъемной и момента вследствие вибраций:Вычитая (1) из (3), найдем приращение коэффициентов подъемной и момента вследствие вибраций:(3)силы(3)силы9С„ хс с с К- AGy —Gy Gy —9С„ хс с с К- AGy —Gy Gy —а\ оа\ оcos ф) йф] ,cos ф) йф] ,^СтЕ — СтЕ — СтЕ— 4 ^(^йж/^'ол. 1dz \ /дt \ 7 । 1Ну \ (ip) йгр4 j \ dxY dx ) хч / т -^СтЕ — СтЕ — СтЕ— 4 ^(^йж/^'ол. 1dz \ /дt \ 7 । 1Ну \ (ip) йгр4 j \ dxY dx ) хч / т -cos 2ф) йф +cos 2ф) йф +"тЕ к ri"тЕ к ri(4)(4)ОО

!5l

9а

!5l

9а

cos гр) агр I ,

cos гр) агр I ,

О

стЕ=—4- $ S" ~cos 2^+4- 5 44(1—cos+

О

стЕ=—4- $ S" ~cos 2^+4- 5 44(1—cos+

о

о

о

о

дСтЕ р'

6СУ ^

дСтЕ р'

6СУ ^

Вычитая (1) из (3), найдем приращение коэффициентов подъемной и момента вследствие вибраций:

Вычитая (1) из (3), найдем приращение коэффициентов подъемной и момента вследствие вибраций:

(3)

силы

(3)

силы

9С„ хс с с К- AGy —Gy Gy —

9С„ хс с с К- AGy —Gy Gy —

а\ о

а\ о

cos ф) йф] ,

cos ф) йф] ,

^СтЕ — СтЕ — СтЕ— 4 ^(^йж/^'

о

л

. 1dz \ /дt \ 7 । 1

Ну \ (ip) йгр

4 j \ dxY dx ) хч / т -

^СтЕ — СтЕ — СтЕ— 4 ^(^йж/^'

о

л

. 1dz \ /дt \ 7 । 1

Ну \ (ip) йгр

4 j \ dxY dx ) хч / т -

cos 2ф) йф +

cos 2ф) йф +

"тЕ к ri

"тЕ к ri

(4)

(4)

О

О

Для того чтобы вычислить АСу и &.СтЕ по этим формулам, необходимо знать изменение угла атаки форды (с^ — а) и изменение кривизны сред- „chi ch

ней линии, которое характеризуется разностью —.

Q-X ।Q-X

Рассмотрим для примера, как изменяются эти величины вследствие угловой скорости колебаний элерона р.

Обозначим хорду всего крыла вместе с элероном через t, а расстояние от шарнира С до задней кромки элерона — через tv При вращении элерона вокруг точки С (рис. 3) с координатой жш элемент элерона с координатой ж (ж )> жш) обладает линейной скоростью (ж — жш) р. Складывая эту скорость со скоростью основного потока V, найдем, что в точке ж угол атаки изменяется на величину

Да'Да'^ - Жш)7^ - Жш)7

Да'

Да'

^ - Жш)

7

^ - Жш)

7

На крыле (на участке от передней кромки до шарнира элерона С) угол атаки элементов, очевидно, не меняется, так как эта часть не участвует в движении элерона. Поэтому на крыле Да' = 0.

Согласно предыдущему профиль с элероном, который вращается с угловой скоростью р, заменяется неподвижным профилем с иной кривизной, который получается из основного профиля поворотом всех элементов на соответствующие углы Да'. В результате получим профиль, изображенный на рис. 3 штрихом. Найдем величину 6. По построению,

бУ ^dx 2у РбУ ^dx 2у Рч .27 Р-ч .27 Р-

бУ ^dx 2у Р

бУ ^dx 2у Р

ч .

27 Р-

ч .

27 Р-

Изменение угла атаки хорды профиля Да (см. рис. 3), равно

Д« = 4-Д« = 4-27 t27 t

Д« = 4-

Д« = 4-

27 t

27 t

Изменение кривизны на крыле сразу находим из чертежа (см. рис. 3):

&<dz.1 #i А

ч- = Да = -™- —- Р

dxxdx27 t 1

Найдем значение той же разности на элероне. Проведем касательные MN" и MTNt к соответствующим элементам исходного и искривленного профиля (рис. 4) и через точку N\ проведем линию, параллельную оси ж. Тогда (см. рис. 4) ^ — у = Да', так как именно на угол Да' мы повернули эле-

13 Заказ № 1090

мент, чтобы получить искривленный профиль. Но , .dz

= — -5И Асе, у = — -ч- ;

dxi1 dx

dzi , ., dz . ,

следовательно,5Асе + -т- = Асе.

(Lx

Подставляя соответствующие величины, находим, что на элероне

-АА = Асе-Асе' = 4-4р-^р.

dxv dxAV t 1 V

Аналогично тому, как это сделано для скорости р, вычисляются эффекты угла закручивания крыла 0, угла отклонения элерона р, угловой скорости крутильных колебаний 0 и скорости изгибных колебаний Z. Опуская соответствующие вычисления, приведем лишь окончательные результаты.

ФактореР г6₽ФактореР г6₽АсеАсеdz,/dx1 — dz/dxdz,/dx1 — dz/dxТочка крылаТочка крылаТочка элеронаТочка элерона

Фактор

е

Р г

6

₽

Фактор

е

Р г

6

₽

Асе

Асе

dz,/dx1 — dz/dx

dz,/dx1 — dz/dx

Точка крыла

Точка крыла

Точка элерона

Точка элерона

После соответствующих вычислений получаются следующие изменения углов атаки хорды и кривизны (см. таблицу) за счет различных факторов.

Суммируя влияние различных факторов, получаем изменение угла атаки хорды профиля во время колебаний

av — а = Аа = 6 +++(а).

\’Z1V Vр

dzx dz изменение разности — для точек крыла

изменение аналогичной разности для точек элерона

dxY dx i P P AV \ 2 X)9 + 2У t ^7

Эти значения подставляем в формулу (4). Заменяя затем согласно (2) ж = (^/2) (1 — cos ф), жш = (^2) (1 — созфш)

и, произведя вычисление, найдем

+gp+^^p-4-^];

Здесь G, Н, I и J являются функциями отношения tjt, где t — хорда крыла, a it — расстояние от шарнира до задней кромки элерона,

G = (1/л)[л — фш + sin фш],

Н = (1/2л)[лС cos фш + sin фш — V4 sin 2фш + V2 (л — фш)1,(7)

I = —V4 sin фш (1 — cos фш),

j = Vie (cos фш sin 2фш — sin фш — Да sin 2фш — Дд sin Зфщ — л + фш),

где cos фш = 2Д/< — 1.

Поскольку G, Н, I и J зависят только от отношения tjt, можно построить графики этих функций. Для примера на рис. 5 приводим график Н. При конкретных расчетах вместо пользования формулами (7) можно непосредственно снимать значения коэффициентов G, Н, I и J с графиков.

Приступим к вычислению шарнирного момента. Рассмотрим (рис. 6) профиль крыла с элероном, находящийся в стационарном потоке. Пусть z = z (ж) — уравнение линии ОСВ в системе координат xOz. Тогда, согласно Глауэрту [5], профиль может быть заменен системой вихрей, расположенных по линии ОСВ, с циркуляцией на элементе dx, равной

у (ж) dx = 2F f Aq ctg -у- 4- V1 Ak sin /сф) dx,(8)

1 где

x = (//2)(1 — созф),(8a)

A» = a-——№C0S^W<9)

00

Пусть жш — абсцисса точки С — шарнира элерона. Тогда шарнирный момент определится по общей формуле

t

Мш = -— \ pFy (ж) (ж— x^dx.(10)

Заменяем ж и жш согласно (8а)

Жш (^2)(1 — COS фш)

и подставляем выражение (8) в (10). После соответствующих вычислений получим

Мш = --^рУЧ^АкВк,(И)

о где л

Во=\ ctg(cos фш— cos ф) sin ф йф, л

Bk = ^ (cos фш — cos ф) sin Аф sin ф йф.

Для вычисления шарнирного момента колеблющегося крыла, как и выше, заменим колеблющийся профиль неподвижным, но с измененным углом атаки и кривизной. Для этого нового профиля

Mm = -l-pVH^BkA'k. о

Коэффициенты Вк остаются без изменения, так как они не зависят ни от угла атаки, ни от кривизны, а лишь от отношения tjt (так как cos фш = = ^It — 1).

Изменение шарнирного момента вследствие вибраций

ДМШ = Мш - Мш = - А Р^8 У Bk (Ak - Ак\(13)

о

Согласно (9) л а' а к 1 С /\ 7 ,

— Л0 = Да\ — иЛ J \ dxY ах ) т

л

д' А2( / dZi dz \7 1 -7 !

л»-^=-д-cosAW

Подставляя сюда значения Да и с/г1/с/ж1 — dzldx из (5) и произведя соответствующие вычисления, найдем Ак — Ак. Вычисляем также Вк по формулам (12) и результаты подставляем в (13). После всех вычислений получим окончательное выражение шарнирного момента, действующего на отсек элерона ширины dy:

А^ш = - pW- ^9 + Q2 2- б + ОД + q4 Д- р + fi5 -L 2) dy.(14)

Таким образом, все йг суть функции только одного параметра tjt. Мы построили значения Йг для всех практически встречающихся значений tjt. При практических расчетах можно значение брать с графиков без каких-либо вычислений. Для примера на рис. 7 приведен график Q3.

Формула (14) выведена для крыла бесконечного размаха. Осуществим переход от коэффициентов Q, к коэффициентам для крыла конечного размаха, для чего воспользуемся экспериментальными результатами, как это сделано в теории выбраций крыла [1].

При продувках в аэродинамической трубе определяется коэффициент Сш, причем шарнирный момент относится к площади элерона Sa и его моментной хорде t3;

Мш = СшрУ25э^.

Мы относим шарнирный момент в каждом отсеке к общей площади отсека и к хорде крыла в данном отсеке

йМш = -A^pTWi/, (16) почему результирующий шарнирный момент, действующий на элерон, получается в виде

у»

(17)(17)Мш = — ^шрУ25 t2 йУ'

(17)

(17)

У1

где yv и у2 — расстояния вдоль размаха от корня крыла соответственно до начала и конца элерона. Из сравнения формул (15) и (17) находим зависимость между Кш и коэффициентом СШ1 который определяется из статических продувок:

Уй

Кщ= Сш8^э Д t^dy.

Рассмотрим случай статического закручивания крыла: 9 = P= j3=Z = O, 60.

Тогда формула (14) дает АМШ = -pWQ^dy.

(18)(18)(19)(19)Закручивание отсека крыла на угол 0 равносильно изменению угла атаки отсека на тот же угол. Согласно (16) при увеличении угла атаки на величину Аа = 6 получается приращение шарнирного момента:

(18)

(18)

(19)

(19)

(20)(20)амш = —^ руч^ау.

(20)

(20)

Сравнивая (19) и (20), находим практическое значение Qi (для крыла конечного размаха), которое в отличие от теоретического для крыла бесконечного размаха будем обозначать черточкой сверху:

(21)

1 Эа

Аналогично определяются практические значения Й3 и й5:

ОО ^ш/99\

Все эти значения могут быть определены по значениям Сш, определенным в аэродинамической трубе.

Коэффициенты й2 и ^4 зависят как от изменения угла атаки при вибрациях, так и от изменения кривизны. Для перехода к крылу конечного размаха мы воспользуемся! тем обстоятельством, что при Су = 0 нет циркуляции вокруг крыла, и потому в этом случае все характеристики крыла не зависят от его удлинения. Мы разбиваем шарнирный момент на две части:

^МШг = ДЛ/Ш| -Г АМШа,

где Мш„ — значение шарнирного момента при Су = 0. Эту часть оставляем без изменения, а часть АМШа1 зависящую от наличия циркуляции, заменяем ее экспериментальным значением. Проделав соответствующие вычисления, получим

<23>

Таким образом, практическое значение АМШ для отсека крыла конечного размаха получаем в виде

А7ИШ= ~PW(Uo -Йо — 6^^3 ^‘4^(24)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯИ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ

При составлении дифференциальных уравнений движения крыла с элероном воспользуемся приемом Е. П. Гроссмана при изучении вибраций кры-

ла без элерона [1, приложение]. Прием этот состоит в том, что заранее предполагается известной форма движения и дифференциальные уравнения составляются в форме Лагранжа. Для составления уравнений Лагранжа необходимо вычислить кинетическую и потенциальную энергии системы, чем мы и займемся в первую очередь.

Пусть NM (рис. 8) —профиль крыла с элероном СМ в статическом положении и NYCXM^ — тот же профиль в какой-либо момент времени во время колебаний.

Центр жесткости Е профиля NM выбираем за начало координат, ось z направляем по направлению изгибных колебаний и ось х — перпендикулярно к ней. Обозначим, как и выше: Z — прогиб оси жесткости, 6 — угол поворота всего крыла и Р— угол отклонения элерона. Произвольная точка Ai профиля NM в рассматриваемый момент времени займет положение А1г. В этот момент координаты ее будут:

для точек, расположенных на крыле (на участке NiC^:

zz = Z — Gi sin (уг 4- 0),$1 = оу COS Цу + 0),(25)

для точек, расположенных на элероне (на участке С1Ф72):

zt = Z — ct sin Цу + 0) + Р; sin (6 + 0) — рг sin (6 + 0 + P),(25')

Xi = Gi COS ^i + 0) — Pi COS (6 + 0) + Pi cos (6 + 0 + P)

i — расстояние точек профиля до оси жесткости Е, рг — расстояние точек элерона до шарнира С).

Кинетическая энергия рассматриваемого отсека определяется по общей формуле:

dT = ^mi(ti + ^,(26)

где суммирование распространяется по всем точкам рассматриваемого отсека крыла и элерона. Определяя tt и zt из (25), (25'), подставляем их значения в (26). Произведя затем суммирование по всем точкам отсека и пренебрегая малыми высших порядков, получим

dT = [VamZ2 4 1f2Im62 4 ЦЛтт^1 — mcZQ — m3or3^|3 + (1тп1 + тэрш) р9] dy.

(27) Обозначения входящих сюда величин приведены в начале статьи. Принимаем

z =f ^ q (т),0 = ср (у) г (т), р = ф (у) 8 (т),(28)

где функции / (у), ф (у) и ф (у) дают закон изменения прогибов углов закручивания и отклонения элерона по размаху крыла. В дальнейшем считаем •функции / (у), ф (у) и ф (у) известными (как они задаются при расчете, будет сказано ниже), а функции времени у, г, s, определяющие положение колеблющейся системы в каждый момент времени, принимаются за обобщенные координаты.

Подставляем выражения (28) в (27) и затем производим суммирование кинетической энергии по всем отсекам крыла и элерона. Получим полную кинетическую энергию колеблющейся системы

Т = ЦоСы^2 Ч~ ^liC^it2' + ЦгСззб2 -)- С12^г -]- Щзфх -)- СгЛ^(29)

где

iI

c11=^mf2dy,ci2 = C2i = —^maftp dy,

оо

I ,

См = 5 7тф2 dy, с18 = с31 = — ^ т3оэ/ф dy,(30)

0

У 2

^33 = ^ ^тш^2^)с23 = ^32 = ^ (-^тш ^эрш^э) ф^ ^е-

Потенциальная энергия колеблющейся системы создается упругими деформациями:

U = Ч3 auqa + V2 a32r2 + V2 aggs2,(31)

где zz

au = ^EJ^py, а^^сЦ^1 dy, a33 = R.(32)

оо

В формуле (31) первый член дает потенциальную энергию изгиба, второй— потенциальную энергию кручения и последний — потенциальную энергию отклонения элерона. Коэффициент R наиболее рационально определять по частоте собственных колебаний в пустоте.

Для составления дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа необходимо еще вычислить обобщенные силы. По известным формулам теоретической механики

( Эх.Эх. \х1 / Эх.Эх. \

гг

VI (^Х....^Х- \

г

где Рх., Pz — компоненты внешней силы, действующей на произвольную точку системы крыло—элерон, по осям ж и z, а жг, зг — координаты этой точки. Суммирование распространяется на все точки системы.

Подставляя в (33) значения ж; и z, по формулам (25), (25'), где Z, 0 и ^ выражаются согласно (29), и подставляя затем значения внешних сил, которые в рассматриваемом случае будут силами аэродинамическими (формулы (6) и (24)), после вычислений получим!

i

Qq — ^ ДСур^У2/ dy — — b12V4' — di^f — 613У4 — а^зУ s — duV q, о

z

QT = § ДСтЕр(2У2ф dy = — b^V^r — d^r — 623У25 — d^Vs — d2iVq,(34)

о

(4=^ EMш dy — — b32V2r — d32Vr — b33V2s — ds^Vs — d3i.Vq,-

где

612 — P -^ ^/ф dy,bM = — p ^-^- *V dy,

оо

d"—P % $ (4- - У) ‘'!ч iihP 5[t?(4- --T-) - t1 1V*.;

о6

SO %9Г SC"

bia = —p-§^-\ Gtf^dy,Ъгз— — p \-^-G 4- I P^dy,

^23= ™Р ^ ^-—^Я + J ^Зфф rfz/T^23= ™Р ^ ^-—^Я + J ^Зфф rfz/T(35)(35)дС Д

^23= ™Р ^ ^-—^Я + J ^Зфф rfz/T

^23= ™Р ^ ^-—^Я + J ^Зфф rfz/T

(35)

(35)

^13 = — Р -^- Ht^ Ду,

ас

^1 = р tf М о

У2

632 = р§ Ь^^ф-фйг/,

У1 Уг

^32 = Р^ Й^ф^Ду.

У1 Уг

6зз = Р$ ^Wdy,

У1 Уг

^зз = Р^ ti4t^2dy, Ух

Уг

^з1 = р$ ti5t2hHy.

Теперь вычислены все величины, необходимые для составления уравнений Лагранжа:

a (ат\дтaua!эт\этtаи‘

dx \dj/dqdqdx\dr/dr~*~dr ^т’

a iэт\ _ этdu o

dx ^ds/dsds

Подставляя сюда найденные значения Т, U и Q, получаем уравнения движения:

cnq + dnVq + a^q + c12f + Д^Ут + Ъ^УЧ + c13s + d13Vs + Ъ^УЧ = О, c2i? + dai^ + сггг + Дг^т + (а2г + УЧ^т + с2з$ + ДззУз + &2зТ/2« = 0, (36) c3iq Ч- 0-31^q “Ь С33г -Т da^Vf -Г &з2И27' 4- CaaS -f- dasVз 4~ (5ззИ2 -[- ^33)5 = 0.

Как обычно, ищется значение скорости, при котором возможны установившиеся колебания. В этом случае частные решения уравнений (36) будут иметь вид

q = Ао exp (ipr), г = Во ехр (1рУ), s = Со exp (ipr).

Подставляя эти выражения в (36), мы придем к системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных А6, Во, Со. Коэффициенты этих уравнений будут зависеть от частоты р и скорости К. Система однородных линейных уравнений имеет отличное от нуля решение тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю. Приравнивая нулю определитель полученной системы, мы придем к условию, определяющему р и V, при которых возможны установившиеся колебания. Члены определителя будут комплексными. Приравнивая нулю по отдельности дейст-

вительную и мнимую части определителя, получим два уравнения, решая которые относительно р г V, получим значение частоты флаттера (р) и критической скорости (Екр).

Соответствующих расчетных формул мы не приводим, так как в общем случае они довольно громоздки. Они будут опубликованы в подробной работе, которая в ближайшее время выйдет в трудах ЦАГИ 2.

ИЗГИБНО-ЭЛЕРОННЫЙ ФЛАТТЕР

По-видимому, одной из наиболее часто встречающихся форм флаттера является изгибно-элеронный флаттер. Если предположить, что кручение

отсутствует, то все приведенные выше формулы значительно упрощаются

Рис. 9Рис. 9и метод расчета получается не более сложным, чем известный способ расчета изгибно-крутильного флаттера крыла [1].

Рис. 9

Рис. 9

Для проверки теории была испытана в аэродинамической трубе специальная модель (рис. 9) при различной величине весовой балансировки элерона. За меру весовой балансировки принималось отношение расстояния центра

тяжести элерона от его оси вращения к расстоянию от оси вращения элерона до задней кромки (нэ/Д)- На рис. 10 приведены результаты опытов и расчета по предлагаемой теории. На рис. 11 приведены те же величины для модели с другой площадью элеронов. Таким образом, например, при эксперименте (рис. 10) для оэ/Д = 0,02 вибрации возникали при скорости 16,7 м/с. При дальнейшем увеличении скорости вибрации при V -= 23,4 м/с исчезали. Для этой модели при cj^ «< < 0,008 вибрации вообще не возникали.

Ввиду большой гибкости моделей; для них было невозможно установить точного значения коэффициента шарнирного момента Сш по опытам в трубе. На основе этих опытов были установлены только границы из-

а См. ст. 14 наст, книги.а См. ст. 14 наст, книги.

а См. ст. 14 наст, книги.

а См. ст. 14 наст, книги.

менепия величин дСш!да и дСш1д^. Расчет производился в двух вариантах: I — взяты наибольшие возможные ве- .личины дСш!да и дСщ/дР; II — наименьшие возможные величины дСт!да и ЭСШ}Э^>. Результаты расчетов в виде графиков приведены на рис. 10 и 11. В обоих вариантах не учитывалось трение в подшипниках элерона, а также ■силы внутреннего трения материала (гистерезис).

Из рассмотрения приведенных графиков видно, что сходимость теории ■с опытом удовлетворительная.Как опыт, так и теория показывают, что, для того чтобы значительно увеличить кри

тическую скорость, частичная балан

сировка недостаточна — необходимо добиваться полной балансировки та

ким образом, чтобы совершенно уничтожить возможность возникновения изгибно-элеронной формы флаттера.

Кроме влияния весовой балансировки, было исследовано влияние на

критическую скорость величины жесткости крепления элерона, которая характеризуется коэффициентом а33 = R г-см2. Результаты для модели, изображенной на рис. 9, приведены на рис. 12. Значение а33 = 0 соответствует свободно болтающимся элеронам. Получается на первый взгляд неожиданная картина: увеличение жесткости крепления элеронов ведет к значительному уменьшению критической скорости, которая при некотором определенном значении R достигает минимума и лишь после этого начинает повышаться. Однако это явление легко объяснимо: критическая скорость достигает минимума при таком значении Я, когда становятся равными частоты собственных колебаний изгиба крыла и собственных колебаний элерона. В этом случае наблюдается явление, которое можно назвать «внутренним резонансом», и критическая скорость падает. Поэтому в реальных самолетах следует всегда следить за тем, чтобы указанные частоты лежали

достаточно далеко друг от друга.

II. О ВИБРАЦИЯХ КРЫЛА С ПОДКОСОМ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем разделе излагается метод расчета критической скорости крыла, укрепленного подкосами. При рассмотрении этой задачи мы пользуемся обычным упрощением, принятым в теории вибраций крыла в потоке воздуха, рассматривая крыло как жестко заделанную консоль. Кроме того, в нашей задаче одно из сечений крыла укреплено подкосом. Мы будем считать, что подкосы являются абсолютно жесткими, точнее, что влияние подкоса сказывается в том, что точка Р сочленения подкоса с крылом (рис. 13) принуждена оставаться неподвижной. При составлении дифференциальных уравнений движения крыла считаем, как это уже установилось в теории вибраций, что деформации крыла складываются из деформации изгиба оси жесткости и закручивания сечений около этой оси, полагая, что сами

дадаptV2ptV21 / 3 ,\ 609т1 / 3 ,\ 609т848т2848т2В от JВ от Jду \ р 8у )ду \ р 8у )m 9т2m 9т2(1)(1)

да

да

ptV2

ptV2

1 / 3 ,\ 60

9т

1 / 3 ,\ 60

9т

84

8т2

84

8т2

В от J

В от J

ду \ р 8у )

ду \ р 8у )

m 9т2

m 9т2

(1)

(1)

сечения крыла остаются неизменными. Если точка Р, находящаяся в сечении у = h крыла, укреплена подкосом, то это сказывается в том, что деформации сечения у = h сводятся к вращению около точки Р.

В случае, когда в сечении К имеются два подкоса или F-образный подкос, это сечение, закрепленное в двух точках, принуждено оставаться неподвижным.

В соответствии с этим мы будем в дальнейшем различать два случая нашей за

дачи.

Случай А. Некоторое сечение h крыла укреплено одним подкосом в точке Р.

Случай В. Некоторое сечение 1г крыла жестко закреплено.

УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

После сделанных предварительных замечаний мы можем перейти к составлению уравнений задачи. Очевидно, что дифференциальные уравнения вибраций крыла с подкосом не отличаются от дифференциальных уравнений обычного крыла, так как эти уравнения дают закон движения элемента крыла. Влияние подкоса скажется в тех условиях сопряжения для решения, которые мы будем иметь при у = h.

Пользуясь схемой движения крыла как балки, работающей на изгиб и кручение, и гипотезой стационарности при вычислении аэродинамических сил, получаем следующие дифференциальные уравнения движения крыла [1]:

,84920

+ пг та -г-; —

19т29т2

+ ^lp^+ ^lp^nt \ 901 9Z I q

+ ^lp^

+ ^lp^

169СтЕ/9а у 9тУ от J

Кроме этих дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции Z (у, т) и 9 (у, т), мы имеем еще граничные условия в месте заделки крыла при у = 0 и на конце при у = I, а также условия сопряжения решения на подкосе при у = h.

У заделки и на конце крыла имеем обычные граничные условия при У = 0

z=o, = е=о,(2)

при у = I

EI

84 ду1

0,

р ду

Перейдем к составлению условий сопряжения в сечении, укрепленном подкосом. При этом мы рассмотрим отдельно два выделенных выше случая.

Случай А. Сечение 1г укреплено одним подкосом в точке Р, отстоящей на расстоянии 6 от центра жесткости сечения (расстояние 6 мы будем ■считать положительным в том случае, когда точка Р находится дальше от передней кромки сечения крыла, чем центр жесткости Е, в противном случае считаем 6 отрицательным).

Условимся всюду в дальнейшем обозначать через F_ значение, которое принимает некоторая величина F при подходе к сечению И, слева, а через F+ значение той же величины, получаемое при приближении справа. Тогда мы можем в сечении h написать следующие условия сопряжения:

Z_ - 66. = Z+ - 66+ = 0,

z-=z- (^)- = (^Уе-=е« <3>

L Р ду ду \ ду2 ,1 J- L р дУ 9У \ Эу2 j J +

Первые два условия выражают неподвижность точки Р, так как прогиб точки Р равен Z — 66. Условия, написанные во второй строке, выражают непрерывность упругой линии, непрерывность касательной к упругой линии и непрерывность изгибающего момента в сечении 1г. Условие, написанное в третьей строке, выражает непрерывность угловой деформации.

Наконец, последнее условие есть следствие того, что скачок крутящего момента

\ р ду \ р ду /+

вызывается действием реакции подкоса, равной скачку перерезывающей силы

L ду \[ ду \ ду2 +

Таким образом, последнее условие есть следствие уравнения

М = - 6N.

Отметим здесь еще, что одно из четырех условий Z_ — 66_ = 0, Z+ — 66+ = = 0, Z_ = Z+, 6_ = (С есть следствие трех других. Как мы увидим в дальнейшем, написанные условия сопряжения вполне определяют решение.

Случай Ао. Мы отметим специально тот частный случай, когда точка сочленения подкоса с крылом совпадает с центром жесткости сечения. В этом случае 6 = 0 и граничные условия значительно упрощаются. Функция 0 теперь остается непрерывной, так же как и ее первая производная, так как подкос не оказывает влияния на угол закручивания в сечении 1г. Для упругой линии имеем следующие условия сопряжения:

„ т1 dZ \ I dZ \( d2Z \( т? т d2Z \\

Z_ = Z+ = 0,-— = — ,#/_ = £/.(4)

\ ду \ ду\ ду2 V оу2'

Далее мы увидим, что в случае Ао все решение задачи значительно упрощается.

Случай В. Перейдем к рассмотрению случая, когда сечение 1г укреплено подкосами в двух точках. Тогда условия сопряжения выглядят

следующим образом:

0_ = 6. =0, Z = Z+ = 0, — = — , £/—- =\ , (5).

+~\8у )-\8у\ Эу2 /- у Эу2 Д ' '

Они выражают условие неподвижности сечения 1г, непрерывности касательной к упругой линии и непрерывность изгибающего момента.

Заметим, что в случаях Ао и В условия сопряжения на подкосе для прогиба Z и угла закручивания 6 разделяются, тогда как в общем случае А мы имеем совместные условия сопряжения. Мы увидим в дальнейшем, что это ведет к усложнению способа расчета критической скорости в общем случае А.*

ИЗГИБНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕКОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ В ПУСТОТЕ

Для расчета критической скорости крыла нам понадобится знать формы изгибных колебаний стержня в пустоте. Для колебаний чистого изгиба в пустоте мы имеем дифференциальное уравнение

Эу2 \ Эу2 .Эу2 \ Эу2 .8т28т2(6)(6)

Эу2 \ Эу2 .

Эу2 \ Эу2 .

8т2

8т2

(6)

(6)

и граничные условия при у = 0

при у = I

при у — hпри у — h

при у — h

при у — h

В случае стержня с постоянными (по размаху) характеристиками EI и m задача нахождения собственных колебаний решается элементарно в конечном виде. Мы приведем окончательные формулы.

Прогиб стержня дается выражением

Z = / (у) exp kipxY

где р — угловая частота колебаний, а / (у) — функция, дающая форму колебаний. Введем безразмерную величину h = h!l, и пусть к есть один из корней уравнения частоты

Д(А) = (— ch Aft sin кТг + sh kh cos Aft) [1 + cos A (ft — l)ch к (h— 1) Ц- + [— ch A (ft — l)sin к (ft — 1) + sh к (ft — 1) cos к (h, — 1)] x

X (1 — ch kh cos Aft) = 0.(8)

Каждому корню соответствует одна из форм собственных колебаний стержня. Частота этого тона равна

О)О)р = (А2//2) дГЕЦш,

О)

О)

а функция формы имеет вид

/ (у) = Сг(ch k-jcos k + cJshk sin k , у

Цу^Пг [ch^^1) + cosk ^1^ +

+ -D2^shA^-j1^ + sinA^-y'■*•)]’ У> h.(10)

Причем коэффициенты, входящие в эти формулы, имеют следующие значения:

л 4 n ch k (1 — ц + cos (1 — №

Cl = 1,и 2 =: = ,

sh к (1 — /г) + sin (1 — /г)

q 1 + cos к (1 — ^)chfc(l — A) sh kh—sin kh....

sh к (1 — ^) + sin к (1 —7г)1 — ch kh cos kh ’

ch kh — cos kh p sh kh ■— sin kh

График к для наинизшего тона колебаний, а также графики коэффициентов С и D в зависимости от положения подкоса приведены на рис. 14 и 15.

Приведем еще другое приближенное решение этой же задачи. Это решение удобно тем, что оно дает явную формулу для к. Кроме того, приводимые далее соображения можно применять в тех случаях, когда точное решение в конечном виде найдено быть не может. Для определения решения мы используем метод Ритца в первом приближении. Функцию / (у) мы должны задать так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям нашей задачи. Из уравнения (6) подстановкой Z = / (у) exp (ipr) получаем

ачДу*ачДу*k4f = Q.k4f = Q.(12)(12)

ач

Ду*

ач

Ду*

k4f = Q.

k4f = Q.

(12)

(12)

Приведенное выше точное решение задачи / (у) имеет различные знаки по разные стороны подкоса. Из (12) убеждаемся, что то же можно сказать

относительно d^ldi^. Поэтому приближенное решение задачи мы будем искать, пользуясь уравнениями

EI = const, 0 <Уу <"Н,

*(13)

Е1-^г= — const,НРу-РЬ,

dy1>

и граничными условиями нашей задачи. Это приводит к следующим формулам:

(У) = У4 + ау3 + ЬУ\0 <у <Н,

(У) = - (у ” I)4 + су + d, Н<у<1,(

причем

У = уИ,

11Д2_ 12/7 + 6№ — 12й2 + 13А— 8

а —=1— , с =,(15)

6 _ 3 3^2 — 47 + 2д 74 + 4й3 — 6й2 + 2

где К = НИ.

Пользуясь этими приближенными формулами, определяем значение частоты, как обычно в методе Ритца, из уравнения

I1

p^^Ell^dy^mfdy.(16)

оо

В случае крыла постоянного сечения это приводит к приближенному значению для частоты первого тона колебаний:

» EI

Р' Т[ ’

5 = 28,8 (1 — й)5 + 36й (1 — й)4 + 12й3 (1 — й)2 + 1,8й6,

ц= im/45 (1 - й)9 + 2% (Ц- й)8 й + 3 (1 - ну Р + 13/15 (1 - НУР +

+ (1 — НУ Р + 3/35 (1— НУ Р + 1/13 (1— НУ Р +У21 (1— НУ й7+19/2520й9.

(17)

Формула (16) может также служить для определения частоты первого тона колебаний в случае крыла переменного сечения. При этом в качестве первого приближения для / (t/) можно взять либо приведенное выше точное решение для крыла постоянного сечения, либо приближенное решение, определяемое формулами (14 ) и (15).

Если для стержня переменного сечения надо получить точное значение р и точное решение для / (уУ то обычно приходится применять метод последовательных приближений. Мы приведем формулу, позволяющую определить n-е приближение для / (у) по (п — 1)-му. При этом мы нормируем

каждое приближение и требуем, чтобы /п (Z) = 2. Положим

(У) = ^dy § ^ § dy ^ mf^ (у) dy, у J " у

Xi (у) = 5 -^г й«’%2 ^) = $ X1 ^ аУ’

Оо

тогда

=+0<y<h;

^/n(y) = -^(y) + ^y-[XiW(y-A) + %2W], h<y<L (19) где ап определяется из условия tn (Z) = 2.

После того как определены значения функции tn (у), п-е приближение для частоты колебаний снова определяется формулой (16).

Сделаем еще замечание относительно колебаний чистого кручения стержня в том случае, когда одно сечение его закреплено. В этом случае левая и правая части этого стержня колеблются совершенно независимо, и, для того чтобы найти всевозможные формы колебаний такого стержня, надо отдельно решить задачу о колебаниях кручения той части, которая находится между заделкой и подкосом, и отдельно для части стержня, находящейся за подкосом. В первом случае мы имеем колебания кручения стержня с неподвижными концами, а во втором — колебания кручения консольного укороченного стержня.-

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

О НАХОЖДЕНИИ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ

Как известно, критической скоростью флаттера крыла называется та скорость движения самолета, при которой колебания крыла, вызванные какой-нибудь внешней причиной, перестают затухать. Для определения этой скорости мы каждый раз задаемся некоторой формой собственных колебаний крыла (удовлетворяющей граничным условиям задачи), зависящей от двух параметров, и подбираем неизвестные параметры, входящие в эту форму, так, чтобы удовлетворялись уравнения Лагранжа по этим параметрам.

В общем случае А для формы колебаний мы выбираем функции вида

Z = FT (у) q (т) + Рй (у) т (т),6 Фх (у) q (т) + Ф2 (у) г (т),(20)

где q (т) и г (т) — параметры, подлежащие определению, зависящие только от времени, а Рг (у), Фг (у) и Р2 (у), Ф2 (у) — две пары функций формы, зависящих только от у и удовлетворяющих граничным условиям. Ниже мы остановимся подробнее на подборе этих функций.

В случаях Ао и В формулы (20) упростятся, так как для решения уравнений в этих случаях можно положить Фт = Р2 = 0.

' Задавшись формулой колебаний (20), мы составим уравнения Лагранжа по q (т) и г (т). Для этого [1, приложение] нам понадобятся выражения для

14 Заказ № 1090

кинетической энергии Г, упругой энергии U и внешних аэродинамических сил, действующих на хрыло.

Величины Т и U могут быть определены по следующим формулам:

„1 С I / 5Z \2 т / 96 \2 о 6Zi 66 6 ,/94\

о

I

тт^ С I /7 Г / ^^ \$ i Е’ Г / d^Z \2 "1 -/90V

и =A GIJ — + ы —-dy.(22)

2 J L p\dy )\ dy1 / J

о

Что же касается аэродинамических воздействий, то подъемная сила и аэродинамический момент относительно оси жесткости, действующие на элемент dy крыла, даются формулами

MEdy = ptW^^-MEdy = ptW^^-, / 3хо \ t#0^ \ 4t ) V отt / Ч-гл I / °^0v _____, / 3хо \ t#0^ \ 4t ) V отt / Ч-гл I / °^0v _____л \ 60л \ 601 6Z1 6Z9CmB dT V 9т оа9CmB dT V 9т оа(23)(23)(24)(24)

MEdy = ptW^^-

MEdy = ptW^^-

, / 3хо \ t#0

^ \ 4t ) V от

t / Ч-г

л I / °^0

v _____

, / 3хо \ t#0

^ \ 4t ) V от

t / Ч-г

л I / °^0

v _____

л \ 60

л \ 60

1 6Z

1 6Z

9CmB dT V 9т оа

9CmB dT V 9т оа

(23)

(23)

(24)

(24)

Пользуясь этими формулами, легко составить выражение для обобщенных сил по координатам q и г на основании равенств

(25)

ооо

о

о

Подставляя в выражения (21), (22) и (25) значения Z и 6 из (20) и составляя уравнения Лагранжа

AI AAA1J __ s о + и^а у э (у+ 1/) 1 эр^щ _ п

6т L 91 J Эдат |_ dr J dr ^r,

(26) получим уравнения для определения q и г. Мы не будем здесь их выписывать. В последующих разделах будут приведены лишь окончательные расчетные формулы критической скорости отдельно в каждом из случаев Ао, В и А. Отметим только, что уравнения (26) будут линейными уравнениями второго порядка относительно q и г, поэтому для определения скорости, соответствующей началу неустойчивых колебаний крыла, мы можем, как это делается обычно, воспользоваться известными критериями устойчивости Рута.

Перейдем теперь к применению развитых выше соображений для подсчета критической скорости крыла с различными подкосами.

КРЫЛО С ОДНИМ ПОДКОСОМ В ЦЕНТРЕ ЖЕСТКОСТИ.СЛУЧАЙ Ао

В случае Ао условия сопряжения для функций Z и 6 разделяются, поэтому мы можем удовлетворить им, полагая

(27)(27)Z = f (t/) q (т),6 - ср (t/) г (т),

(27)

(27)

где q (т) и г (т) — произвольные функции времени. Для получения первого приближения для критической скорости мы поступаем так же, как поступают при расчете обычного крыла. Функции / (у) и ф (у) возьмем равными соответствующим функциям для колебаний изгиба и кручения крыла постоянного сечения в пустоте. Таким образом, / (у) определяется формулами (Ю), а

ф (у) ~ sin (ny/2Z). (28)

Укажем еще, что возможен другой выбор функций / (у) и ф (у). Именно, можно для определения / (у) воспользоваться приближенными формулами (14), (15), а ф (у) определять по формуле

Ф (У) - У2 ~ ^У, (29) получающейся на основании совершенно аналогичных соображений.

Выбрав функции / (у) и ф (у), для определения критической скорости надо воспользоваться способом, описанным в разд. 4 наст, главы. В случае Ао окончательные расчетные формулы совпадают с теми, которые получаются для расчета обычного крыла. Мы приведем эти формулы; именно, для определения Укр надо вычислить значения коэффициентов

Пользуясь приведенными выражениями, вычисляем следующие величины:Пользуясь приведенными выражениями, вычисляем следующие величины:А СЦС22 С12С2ЫА СЦС22 С12С2ЫСх сХ1а22 Д- яХ1с22, D j ^11®22 Т ^11^22, Еу ЯцЯ22,Сх сХ1а22 Д- яХ1с22, D j ^11®22 Т ^11^22, Еу ЯцЯ22,В — ^цС22 Д- ^22С1Х ^21^12 С12^2П С2 Сц&22 '— ^12^21 + ^11^22 ' ^1'2^21, АД ^11^22 ^12^211

Пользуясь приведенными выражениями, вычисляем следующие величины:

Пользуясь приведенными выражениями, вычисляем следующие величины:

А СЦС22 С12С2Ы

А СЦС22 С12С2Ы

Сх сХ1а22 Д- яХ1с22, D j ^11®22 Т ^11^22, Еу ЯцЯ22,

Сх сХ1а22 Д- яХ1с22, D j ^11®22 Т ^11^22, Еу ЯцЯ22,

(31)(31)Ег ^11^22*

(31)

(31)

Вычислив эти величины,

А^р + W2P + У 0,

определяем Укр из уравнения

где

L BC2D2 - DU, М ~ BC2D1 + BCXD2 - В^ - 2ПгП2А,

№ = BC1D1 — B2ES — AD^.

Результаты расчета критической скорости Укр по приведенной схеме даны на рис. 16, 17. Рис. 16 показывает зависимость Укр от положения подкоса на крыле для случая одной прямоугольной модели. Если h == О, то мы имеем, очевидно, свободнонесущее крыло. При удалении точки крепления подкоса от места заделки крыла Ркр крыла начинает уменьшаться, достигает (в рассматриваемом примере) своего минимума около КЦ — 0,35 и после этого быстро поднимается вверх. Примерно при НИ — 0,47 Укр становится мнимой. Уменьшение Укр при возрастании 1г (до НИ ^ 0,35) соответствует некоторому «внутреннему резонансу» системы. Можно показать, что частота колебаний чистого изгиба рассматриваемого крыла становится равной частоте колебаний чистого кручения вблизи точки hlI — — 0,35, соответствующей минимуму Укр. Подобное явление уменьшения Укр с увеличением жесткости системы было также замечено в случае приближения частоты изгибных колебаний к частоте колебаний кручения обычного крыла [2], а также в задаче об изгибно-элеронном флаттере при увеличении жесткости крепления элерона.

На рис. 17 изображена кривая зависимости Укр от положения центра тяжести для трапециевидного крыла с подкосом, с которым проводились опыты в ЦАГИ. Крыло имело подкос в сечении, отстоящем на величину, равную ИИ т= 0,35, от места заделки крыла. Точками отмечены полученные опытные данные. Самая правая точка дала наибольшее отклонение от расчета. Однако и в этом случае расчет отклоняется от опыта не менее чем на 15% .

КРЫЛО С ДВУМЯ ПОДКОСАМИ.СЛУЧАЙ в

При двух подкосах, закрепляющих одно сечение крыла, граничные условия для функции изгиба не отличаются от тех, которые мы имели в случае Ао. Поэтому и здесь полагаем

г - / (у) q М,

где / (у) определяется либо по формулам (10), либо по (13).

Ввиду того, что, как было отмечено выше, в случае В части крыла, находящиеся по разные стороны от подкоса, независимы в смысле колебаний чистого кручения крыла, то при построении первого приближения для функции 6 ^ г (т) ф (у) приходится прибегать к соображениям, основанным на рассмотрении совместных колебаний крыла в пустоте. Мы не останавливаемся на изложении этих соображений и приведем лишь окончательные формулы определения ф (у). Если у ^ И есть сечение, укрепленное подкосом, то мы полагаем

Ф (У) = У* — hy, 0 < у < И,

Ф (У) - -(У - ^-2 (I - h^y - И),К<у<1.

Рис. 18Зависимость 7кр от hh для укороченного крыла (/) и крыла с подкосом (2)Рис. 18Зависимость 7кр от hh для укороченного крыла (/) и крыла с подкосом (2)

Рис. 18

Зависимость 7кр от hh для укороченного крыла (/) и крыла с подкосом (2)

Рис. 18

Зависимость 7кр от hh для укороченного крыла (/) и крыла с подкосом (2)

После выбора функций / (у) и ф (t/) в случае В, так же как и в Ао, расчет ведется по формулам (30)—(32). Для того чтобы оправдать выбор функций первого приближения для расчета, можно получить точное решение задачи методом последовательных приближений. Эти расчеты показы вают, что выбранное первое приближение дает вполне удовлетворительное совпадение с точным решением.

На рис. 18 изображена кривая, дающая зависимость Тьр от положения подкоса для той же модели, которая рассматривалась в разд. 5 наст, гл., но теперь с подкосом типа В. График показывает, что такой подкос всегда увеличивает критическую скорость крыла. Около hll ^= 0,8 Гьр крыла становится мнимой.

Существовали предположения о том, что крыло с подкосом типа В можно рассчитывать, полагая, что подкос является местом заделки крыла и работает во время вибраций лишь консольная часть крыла. Мы приводим на рис. 18 кривую, построенную для такого «укороченного крыла» в зависимости от положения подкоса. Сравнение двух приведенных кривых показывает, что способ расчета крыла с подкосом типа В, как укороченного крыла, может привести к большой ошибке.

Заметим, что при ЬЦ > 0,8 Укр для крыла с подкосом типа В становится мнимой, а Уьр укороченного крыла остается конечной. Это можно объяснить тем, что колебания части крыла, расположенной между подкосами и сечением заделки, при h)l^> 0,8 начинают оказывать демпфирующее действие.

С трапециевидным крылом, упомянутым в разд. 5, были также поставлены опыты с постановкой двух подкосов в сечении ИЛ = 0,35. При этом снова менялось положение центра тяжести крыла. Точки на рис. 19 дают результаты опытов для трех положений центра тяжести крыла. Сплошная кривая — результаты расчетов.

Надо отметить, что две первые точки дают совпадение теории С опытом до 15%, тогда как последняя теоретическая точка отклоняется от опытного значения критической скорости на 25%. Следует отметить, что для этой точки точность эксперимента должна быть подвергнута сомнению, так как все имевшиеся до сих пор данные, как экспериментальные, так и теоретические, указывали, что всегда при движении центра тяжести сечений крыла к задней кромке FKp крыла падает, в то время как рассматриваемая экспериментальная точка лежит выше второй точки, соответствующей положению центра тяжести, более удаленному от задней кромки.

Имея в виду это соображение, следует ожидать, что и в случае двух подкосов в одном сечении теория дает удовлетворительное совпадение с истинными значениями Екр.

СЛУЧАЙ ОДНОГО ПОДКОСА В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКЕ СЕЧЕНИЯ.СЛУЧАЙ А

пользовались для изгиба стержняпользовались для изгиба стержняВ случае А, когда крыло укреплено одним подкосом в сечении у ~ h и точка крепления этого подкоса отлична от центра жесткости сечения, нам надо искать функции Z и 6 в форме (20). Тогда условия сопряжения на подкосе (3) для функций Z и 6 не разделяются. По этой причине уже при выборе первого приближения приходится прибегать к рассмотрению совместных колебаний изгиба и кручения крыла в пустоте. Если подкос отстоит на малом расстоянии от центра жесткости сечения, то это оказывает малое влияние на изменение функции / (у) и для определения функции изгиба / (у) можно воспользоваться уравнением (4), которым мы определения приближенного решения при колебаниях постоянного сечения в пустоте, именно

пользовались для изгиба стержня

пользовались для изгиба стержня

(34)

где А — постоянная, подлежащая определению.

угловугловЧто касается функции ф (у), дающей распределение_

углов

углов

ния, то при малых 6 она будет одинакового знака по обе стороны от подкоса, и поэтому мы будем искать ее из уравнения

^2ф,'^2 В,(35)

где В — константа, подлежащая определению (в случае колебаний чистого кручения известно, что такой выбор функции ф (у) дает чрезвычайно близ-

множителями от А и В:множителями от А и В:B2(y) = z[a2(^)3 + b2(4-)2], ф2(у) = (^-)2 ^-«2(^-);(37)■^2 (у) — 7 ^с2 (~т~) ~Ь ^2 J 5Ф2(у) = (-у1) + 02.B2(y) = z[a2(^)3 + b2(4-)2], ф2(у) = (^-)2 ^-«2(^-);(37)■^2 (у) — 7 ^с2 (~т~) ~Ь ^2 J 5Ф2(у) = (-у1) + 02.е = 62е = 62EIEI

множителями от А и В:

множителями от А и В:

B2(y) = z[a2(^)3 + b2(4-)2], ф2(у) = (^-)2 ^-«2(^-);(37)

■^2 (у) — 7 ^с2 (~т~) ~Ь ^2 J 5

Ф2(у) = (-у1) + 02.

B2(y) = z[a2(^)3 + b2(4-)2], ф2(у) = (^-)2 ^-«2(^-);(37)

■^2 (у) — 7 ^с2 (~т~) ~Ь ^2 J 5

Ф2(у) = (-у1) + 02.

е = 62

е = 62

EI

EI

кое совпадение для частоты колебаний с точным решением). Для определения функций ср (у) и / (у) (в первом приближении) надо уравнения (34) и (35) проинтегрировать при граничных условиях (3). Это приводит к формулам

/ ^ = AFX (у) + BF2 (у), ф (у) ДФ1 (у) + ВФ2 (у),(36)

где Л и В отличаются лишь численными ° < У < h

ФНЙ-ЛШ'

Ь<У<1

V i (У) = — ("у 1 j -г ci "7—h ^i>

ФДу) = -^’

Коэффициенты, входящие в эти формулы, задаются следующим обра

зом:

К (117г2 — 12/1 + 6) — 24е (27г — 1)

°1 ~2^2 бе

37г2 (37г2 — 4/г + 2) + 36е (27г2 — 1)

272 + бе

7г2 (№ — -127г2 + 187г — 8) + 24s (2fe3 — 1)

2/С + бе

Причем в этих формулах

индекс у ^ h показывает, что отношение жесткостей надо взять в укрепленном подкосом сечении. Эти функции могут быть использованы для определения частот совместных колебаний изгиба и кручения в пустоте по методу Ритца. Мы не останавливаемся здесь на подробном описании необходимых вычислений, отсылая для этого к более подробной статье, которая появится в Трудах ЦАРИ 6. Отметим, что можно также указать метод последовательных приближений для решения задачи о совместных колебаниях с любой степенью точности.

ь См. ст. 15 наст, книги.

Приведем схему расчета критической скорости флаттера в рассматриваемом случае подкоса типа А. Мы дадим здесь схему расчета в первом приближении, не останавливаясь на способах, приводящих к более точному решению. Обычно д.'я практических расчетов бывает достаточен уже расчет в первом приближении. Указываемый ниже ход вычислений вытекает из соображений, высказанных в разд. 4.

Функции Fy (.у'), F^ (у), Ф, (у), Ф2 (г/) вычисляются по формулам (37).

Определяются коэффициенты

i

Си = 5 (т^1 + 4гФ1 — 2тО^гФ1) dy, О

с22 = ^ ^mFX + 7тФ2 ~ 2таЕ2Ф2) dy,

6

i

ci2 = £21 = ^ ImFiF2 + /тФ1Ф2 — то (^1Ф2 + ^Фх)] dy, о

С Г Z7 Г / ^Fx \^ 11 7

== \—') + ^1Р (“7т— ) d,y,

о

„) I . vwvw

О

&21 = — р С Г^2ФХ +du,

о

612 = - Р [^ 1РгФ2 + ^Г ^ФтФ2] dy, О

^ = - р \т ^ф" й«-

о

Пользуясь приведенными коэффициентами, вычисляются величины’ 4 ^= СцС22 42^211С2 " 6цС12 + сцб22

■— 621с12612с21 + dxxd12

^12^211

В Дх1сгг

Т Сц^22

^21С12

521^12,

^2. ^11^22 '

4" 6ц^22b12d21 Ь^г^и^

^1 ^ а11С22

4" а22С11

Й21С12

С21а121

Di^ axld22

4; а22^11

й21^12

®12^2Ы

£*2 ~ ^11^22

4" 6цЯ22 ' ^21612

^12621,

l’- а11а22^21^12^36ПО22612Р21.

Значение Ркр определяется из биквадратного уравнения АР^, + MV^ + N О

с коэффициентами

L ^= BC2Da — B^E^ — D^A,

М = BCJK + BCJE — В2Е„ — 2D,D,A,

N = BCJ)j - B^EV - DXA.

К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ФЮЗЕЛЯЖА

НА ВИБРАЦИИ КРЫЛА САМОЛЕТА

При расчете крыла самолета на вибрации бывает необходимо определить ряд его упругих свойств. Это может быть сделано после того, как выбрана какая-то расчетная схема. В обычном расчете по методу, ранее разработанному в ЦАРИ [1, 2] и принятому в проекте новых норм прочности, крыло рассматривается как консольная балка, т. е. балка, заделанная одним концом в абсолютно твердую неподвижную стенку. Иными словами, допускается, что масса самолета бесконечно велика в сравнении с массой крыла и что жесткость фюзеляжа как заделки бесконечно велика в сравнении с жесткостью крыла.

Неоднократно возникали законные сомнения в пригодности этой схемы, ибо масса самолета конечна, фюзеляж представляет собой для крыла заделку упругую и сам имеет какие-то периодические перемещения, когда крыло вибрирует. Благодаря наличию этих перемещений и хвостовое оперение может оказывать какое-то воздействие, передаваемое через фюзеляж на крыло. Короче говоря, возникает предположение о том, не следует ли рассматривать вибрации всей системы, т. е. самолета в целом. С целью проверки пригодности обычной расчетной схемы мы ставим задачу об исследовании влияния на вибрации свободнонесущего крыла (с закрепленным элероном) указанных выше факторов. Для этого нами предлагается следующая расчетная схема.

Крыло рассматривается как балка со свободными концами. Фюзеляж, с одной стороны, рассматривается просто как часть этой балки (скачок жесткостей), работающей на изгиб в направлении оси z и на кручение вокруг оси жесткости крыла у. С другой стороны, он интерпретируется как некая масса, помещенная в середине этой балки, равная массе всего самолета {без крыльев) и имеющая относительно оси жесткости крыла момент инерции, равный моменту инерции всего самолета (без крыльев) относительно той же оси. Наконец, аэродинамическое воздействие хвостового оперения заменяется силой Роп и моментом Л/о», приложенным в середине балки (рис. 20). На нашу систему действуют еще силы веса крыла, аэродинамические силы и моменты крыла, и в установившемся полете она находится в равновесии.

При вибрациях появляются еще силы инерции, а аэродинамические силы и моменты крыла получают приращение 2АРДИИ и 2АЛ/ДИН, которые и входят в дифференциальные уравнения движения вибрирующего крыла. Так как фюзеляж при вибрациях может, подобно крылу, смещаться вдоль оси z и закручиваться вокруг оси у (оси жесткости крыла) на переломный угол Оф (см. рис. 20), то характеристики Род и Мои аэродинамического воздействия оперения тоже будут величинами переменными. Если пренебречь влиянием упругости фюзеляжа и оперения на аэродинамические характеристики его и принять гипотезу стационарности [1, 2], то Роп и Моп будут зависеть от скорости Z^ смещения фюзеляжа вдоль оси z, угла поворота Оф, скорости закручивания Оф, угла атаки а и скорости полета V:

Поп = /1(2ф,Оф,Оф,сс, У),

^оп = Ы2ф,6Ф, 6Ф, а, У).

Система дифференциальных уравнений, описывающая движение нашей системы при вибрациях, остается обычной, но граничные условия меняются.

В то время как при обычной схеме эти условия имеют вид

на концах крыльев d-ZIdy2 = 0, d^ZIdy^ = 0, dQldy = О,

у заделкиZ = 0, dZ/dy = О, 0=0,

в нашем случае на концах крыльев d2Z!dy2 = 0, d^ZIdy^ = 0, dQ^dy = О, в среднем сечении (на оси фюзеляжа )

Г» ! пт 827j \! д27, \

>/■= ЕЦ—г ,

+-\8у-\ оу1 ’

Г 854 U— М — Р

> I\ Hi 11 on 5

L °у \ Gyj / + L Gy \ °yj / J -

Решение задачи о флаттере крыла в такой постановке дает возможность ■оценить законность упомянутых выше допущений обычной схемы расчета л с этой точки зрения служит критерием его точности.

Работа эта начата недавно, до конца еще не доведена, но и результаты, полученные к настоящему времени, позволяют сделать некоторые выводы относительно собственных частот колебаний крыла, а также относительно критической скорости.

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений может быть применен метод, обычно используемый в теории вибраций крыла; для этого нужно сперва определить так называемые собственные функции / (у) и ‘Ф (у), представляющие собой (с точностью до постоянного множителя) уравнение упругой линии и закон распределения по размаху углов закручивания крыла в некоторый фиксированный момент времени. Чтобы найти эти •функции, приходится рассматривать свободные колебания системы, т. е. колебания в пустоте. К настоящему времени нами до конца рассмотрены чисто крутильные колебания, которые при флаттере крыла (с закрепленным элероном) играют решающую роль и о которых будет идти речь ниже. По изменениям некоторых характеристик чисто крутильных колебаний (соб- •ственной функции ф (у) собственных частот р) уже можно до некоторой степени судить об изменениях величины критической скорости. Приемами изучения чисто-крутильных колебаний могут быть изучены и колебания чисто- изгибные и затем совместные — изгибно-крутильные.

Чисто-крутильные колебания. Дифференциальное уравнение свободных чисто-крутильных колебаний имеет вид

— (gi + Уф = о.

Как и при обычном расчете на вибрации, определение собственной функции ф (у) и собственных частот р крутильных колебаний, а также исследование влияния конструктивных параметров мы проведем на одном частном случае, используемом при определении Уир в первом приближении. Мы рассмотрим чисто-крутильные колебания такого самолета, у которого каждая

характеристика, упругая (жесткости) и инерционная (погонный массовый: момент инерции), задана в виде одной постоянной величины по всему размаху крыла и в вице другой постоянной по всей ширине фюзеляжа, т. е. имеет вид, указанный на рис. 21.

Рис. 21Рис. 21В таком случае мы имеем следующие граничные условия:

Рис. 21

Рис. 21

на концах крыльев

dqldy = 0,

в местах сочленения крыла с фюзеляжем

Фф = фкр>

\ р du )4\ р dy /кр

Всякая упругая система может колебаться лишь с определенными значениями частоты, определяемыми из «уравнения частоты». Самолет как система симметричная с точки зрения геометрических, упругих и инерционных свойств может иметь лишь два вида колебаний. Будем называть их соответственно колебаниями симметричными и антисимметричными. Симметричные колебания характеризуются равенством

ф (у) = Ф (— У\

антисимметричные — равенством

ф (у) = — ф (— У).

Каждому виду колебаний соответствует свое так называемое уравнение- частоты. Корни этих уравнений дают значения частот свободных колебаний,, и от них зависит вид собственной функции.

Для нашей системы первым корнем уравнения частоты симметричных колебаний будет р = 0, что соответствует свободному перемещению всей: системы твердого тела. Второй корень уравнения частоты симметричных колебаний и первый корень антисимметричных дают частоты первых тонов г при которых начинается флаттер крыла, обоих видов колебаний.

Путем соответствующих расчетов было исследовано влияние на частоты крутильных колебаний различных конструктивных параметров самолета. Из них интересно отметить влияние:

момента инерции самолета (без крыльев) относительно оси жесткости: крыла, т. е. величины С = 7ф/7кр (здесь 1^ — момент инерции самолета без крыльев, а /кр — момент инерции крыльев относительно оси жесткости);

жесткости фюзеляжа как части крыла, т. е. величины

Р = (С/р)ф/(С/р)кр-

ширины фюзеляжа (относительной) е = 21Д21 (рис. 22).

Кривая' зависимости частоты симметричных колебаний от параметра С имеет асимптотой прямую, параллельную оси абсцисс, ординаты которой соответствуют частоте колебаний крыла, заделанного в абсолютно твердую неподвижную стенку (рис. 23). Частота колебаний антисимметричных от параметра С не зависит и в точности равна частоте заделанного крыла. Для современных самолетов значения параметра С лежат в тех пределах, где значения всех трех частот, т. е. частот колебаний симметричных, антисим-

Рис. 22

Рис. 23

Влияние ширины фюзеляжа s на час-тоту симметричных (7) и антисиммет-ричных (2) колебаний

Зависимость частоты симметричных (7)и антисимметричных (2) колебанийкрыла от параметра С (С = 7ф/7ьр)

706/3706/3

706/3

706/3

Рис. 24

Зависимость частоты симметричных (7) и антисимметричных (2) колебаний крыла от параметра Р

метричных и колебаний заделанного крыла, практически равны между собой. Параметр же р, как видно из рис. 24, влияет на частоты незначительно во всем диапазоне его изменения. Вследствие этого и значения собственной ■функции ф (t/) практически не отличаются от значений этой функции для •обычной расчетной схемы (заделанное крылоУ Поэтому можно предполагать, что указанные выше допущения обычной расчетной схемы практически не -сказываются на величине, определяемой с этими допущениями Укр, и что расчет на флаттер крыла можно вести, считая фюзеляж абсолютно жесткой неподвижной заделкой [1].

Незначительное влияние на частоту колебаний ширины фюзеляжа (величины е), усматриваемое из графика (см. рис. 22), облегчает дальнейшее решение задачи о флаттере, так как, по-видимому, позволяет считать все воздействие фюзеляжа и оперения (скачок жесткостей, моментов инерции, Роп, Мои) приложенным в одной точке — посредине крыла. Задача о свободных чисто-крутильных колебаниях самолета с крылом переменного по размаху сечения ^решается обычным методом последовательных приближений Рэлея, применяемым в теории вибраций.

СХЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЫТЫПО ВЛИЯНИЮ ФОРМЫ ОСИ ЖЕСТКОСТИНА КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ КРЫЛА

Существующие в настоящее время теоретические работы по вибрациям крыла исходят из предположения, что ось вращения, к которой относят крутильные колебания, представляет собой прямую линию и совпадает

с осью жесткости крыла. На этом же предположении базируются и существующие методы- расчета.

На самом деле это предположение не вполне точно отображает действительность, и практически ось жесткости в крыле несколько отступает от прямой линии. Возникает необходимость исследовать, насколько это может отразиться на точности результатов, получаемых обычными методами расчета. Вопрос о влиянии формы оси жесткости имеет еще и тот'интерес,, что возникали попытки значительно увеличить

критическую скорость крыла путем изменения его формы (крыло В. Н. Беляева).

Теоретически вопрос о влиянии формы оси жесткости на критическую скорость пока не решен. Собственно говоря, само понятие «ось жесткости» для случая, когда центры жесткости отдельных сечений крыла располагаются по кривой линии, теряет свой смысл. В самом деле, ось жесткости определяется как линия, обладающая тем свойством, что приложенная на ней сила вызывает чистый изгиб крыла (без кручения). Если центры жесткости сечений крыла располагаются по кривой линии или же по прямым, различным на разных участках крыла, то сила, приложенная в центре жесткости, будет вызывать одновременно и изгиб и кручение. Ось кручения в этом случае не совпадает с геометрическим местом центров жесткости сечений даже- приближенно, и потому обычные методы теоретического анализа становятся неприменимыми.

Обойти это затруднение пока не удалось, так как не существует методов для определения оси кручения.

Ввиду отсутствия достаточно надежных теоретических решений нами были предприняты попытки выяснить влияние формы геометрического места центров жесткости сечений крыла на величину Укр чисто экспериментальным путем. Ниже приведены результаты первых опытов в этой области, В дальнейшем экспериментальные исследования будут продолжены .

Первые опыты проводились на деревянных линейках6 постоянного сечения, размеры и форма которых показаны на рис. 25. Одна линейка прямая, две с изломом оси жесткости (вперед и назад) и две, у которых геометрическое место центров жесткости является окружностью (вынос вперед и назад). Величина выноса (отношение М) у последних четырех линеек одинакова. Линейки испытывались при расстоянии Z от места защемления до конца крыла, равном 1 м. Получены следующие результаты (табл. 1).

Вторая серия опытов проводилась с этими же линейками, но с загруженной задней кромкой и при различной величине расстояния I от заделки до конца крыла. Результаты показаны в табл. 2, где величина Укр построена в зависимости от I.

Третья серия опытов проводилась с моделями переменного сечения (рис. 26). У этих моделей распределение жесткостей по размаху примерно соответствовало распределению жесткостей действительных крыльев. Серия состояла из четырех трапециевидных моделей: одна с прямой осью

Линейка

Ркр, м/с

Линейка

Z, м

0,6

0,8

1

Прямая

С изломом оси

39,5

Прямая

С изломом оси жесткости

>51

35

29

жесткости

вынос назад

45

31

24

вынос назад вынос вперед С искривленной

32,6

34,8

вынос вперед

С искривленной осью жесткости

——

34

25,5

осью жесткости

вынос назад

48

33

25

вынос назад

вынос вперед

32,6

36

вынос вперед

49,5

34

27

Таблица 1

Таблица 3

Модель

Укр’ м/с

Модель

Ккр, м/с

С прямой осью жесткости С выносом вперед

36,5

34,5

С выносом назад Формы В. Н. Беляева

32

27,5

Таблица 2Таблица 2жесткости, две с изломом оси жесткости (вперед и назад) и последняя (см. рис. 26) — специальной формы, соответствующей форме крыла В. Н. Беляева. Все характеристики по размаху, за исключением формы оси жесткости, у всех моделей одинаковые. Результаты опытов приведены в табл. 3.

Таблица 2

Таблица 2

Рис. 26

Профиль линейки в сечении АА (у корня) (а) и формы линеек с прямой осью жесткости, с выносом вперед, выносом назад и модель формы В. Н. Беляева (б)

Относительная толщина у корня — 6 %,у конца — 1,5%

Из приведенного экспериментального материала можно сделать следующие выводы.

Линейка с прямой осью жесткости имеет наибольшую критическую скорость. Изменение формы оси жесткости с выносом как вперед, так и назад уменьшает Икр.

Уменьшение FKP при выносе назад несколько больше, чем при выносе вперед.

В опытах величина выноса была несравненно больше, чем встречается на практике (см. рис. 25, 26), и тем не менее уменьшение критической скорости за счет изменения формы оси жесткости было невелико. Поэтому можно считать, что практически встречающаяся величина выноса настолько мало влияет на Укр, чтонеучетее при расчете является вполне допустимым.

Форма линейки, соответствующая форме крыла, предлагаемого В. Н. Беляевым, сама по себе не только не увеличивает критической скорости крыла, но, наоборот, ее снижает.

Полученный материал заставляет пессимистически расценивать возможность увеличения Укр путем изменения формы оси жесткости крыла,

ЛИТЕРАТУРА

Гроссман Е. П., Кричевский С. С., Борин А. А. К вопросу о потере устойчивости конструкцией крыла в полете,— Тр. ЦАРИ, 1935, вып. 202, с. 62.

Гроссман Е. П. Флаттер,— Тр. ЦАРИ, 1937, вып. 284, с. 246.'

Келдыш М. В. Гидродинамический вывод формул Раушера,— Техн, заметки ЦАРИ, 1935, вып. 45, с. 10—13.

Theodorsen Т. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flatter.— NACA Rep. W, 1935, N 496, p. 1—23.

Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. Л.; М.: ГТТИ, 1931. 163 с.

KussnerH.G. Schwingungen von Flugzeugfliigeln.— Jb.-Jahrbuch der Deutsche ver- suchsanstalt fiir Luftfahrt, 1929, S. 313—334; Luftfahrt-Forschungsber., 1929, 4, H. 2, S. 44-62.

14

ВИБРАЦИИ КРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

Совместно с Е. Н. Гроссманом и Я. М. Пархомовским

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В предлагаемой работе дается исследование задачи о вибрациях крыла с элероном. В основу решения задачи положена обычная упругая схема крыла, рассматривающая крыло как балку, работающую на изгиб и кручение. Аэродинамические характеристики, входящие в дифференциальные уравнения движения, подсчитываются на основании гипотезы стационарности.

В гл. I мы даем некоторые предварительные результаты, основанные на качественном рассмотрении явления.

Гл. II посвящена определению аэродинамических сил, действующих на колеблющуюся систему крыла с элероном. Это позволяет перейти в гл. III к составлению уравнений для определения критической скорости. На основе изложенного метода расчета в гл. IV проводится исследование так называемого изгибно-элеронного флаттера, при котором можно пренебрегать кручением крыла. Мы исследуем влияние ряда конструктивных параметров элерона на критическую скорость и проводим сравнение теоретических скоростей с опытными. В обследованных случаях теория дала удовлетворительное совпадение с опытом.

В гл. V мы снова возвращаемся к рассмотрению общей задачи вибрации крыла с .элероном и-щаем метод расчета критической скорости (в первом'при- ближении) для того случая, когда элерон представляет собой твердое тело.

Рис. 2Рис. 2

Рис. 2

Рис. 2

В гл. VI дается метод последовательных приближений для точного решения дифференциальных уравнений колебания нашей системы, составленных на основе указанных выше гипотез.

Далее мы даем еще исследование влияния аэродинамической компенсации на критическую скорость. Этому посвящена гл. VII.

Наконец, для удобства пользования выработанными в работе методами вычисления критической скорости, мы еще добавили гл. VIII, в которой даны сводки всех расчетных формул.

Обозначения

I — длина полукрыла, мI — хорда крыла, мi3 — хорда элерона, мti — расстояние от оси вращения элерона до задней кромки его, м< ш — моментная хорда элеронаж0 ■— расстояние центра жесткости в рассматриваемом сечении от передней кромки крыла, ма — расстояние центра тяжести системы крыло—элерон от оси жесткости в рассматриваемом сечении, м оэ — расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения, мр — расстояние от оси жесткости крыладо оси вращения элерона, м7/1 — погонная масса системы крыло- элерон, кг-с2/м27zig — погонная масса элерона, кг-с2/м2 1т — погонный момент инерции массы системы относительно оси жесткости, кг - с2ZM ш — погонный; момент инерции массы элерона относительно его оси вращения, кг-с2EI — жесткость крыла на изгиб, кг-м2 GIp — жесткость крыла на кручение,кг -м2R — жесткость крепления элерона, кг -м Су — коэффициент подъемной силы всей системыI — длина полукрыла, мI — хорда крыла, мi3 — хорда элерона, мti — расстояние от оси вращения элерона до задней кромки его, м< ш — моментная хорда элеронаж0 ■— расстояние центра жесткости в рассматриваемом сечении от передней кромки крыла, ма — расстояние центра тяжести системы крыло—элерон от оси жесткости в рассматриваемом сечении, м оэ — расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения, мр — расстояние от оси жесткости крыладо оси вращения элерона, м7/1 — погонная масса системы крыло- элерон, кг-с2/м27zig — погонная масса элерона, кг-с2/м2 1т — погонный момент инерции массы системы относительно оси жесткости, кг - с2ZM ш — погонный; момент инерции массы элерона относительно его оси вращения, кг-с2EI — жесткость крыла на изгиб, кг-м2 GIp — жесткость крыла на кручение,кг -м2R — жесткость крепления элерона, кг -м Су — коэффициент подъемной силы всей системыСтЕ — коэффициент момента подъемной силы относительно оси жесткости Сш — шарнирный момент элерона, отнесенный к площади элерона Sa и его моментной хорде tM шМш — шарнирный моментV — скорость полета, м/сFKp — критическая скорость, м/с р — плотность воздуха, кг-с/м4 а — угол атаки крыла с элероном 9 — угол закручивания системы Р — угол отклонения элерона Z — прогиб крыла, м т — время, сОу — ось, направленная по размаху крыла вдоль оси жесткостиОг — ось, перпендикулярная к плоскости хорд крыла, направленная вверх от летчикаОх — ось, перпендикулярная к двум предыдущим, направленная назад г/1 — расстояние от фюзеляжа до начала элерона, мт/2 — расстояние от фюзеляжа до конца элерона, мТ — период колебаний, с р — частота, с-17i — число колебаний в секунду, с”1СтЕ — коэффициент момента подъемной силы относительно оси жесткости Сш — шарнирный момент элерона, отнесенный к площади элерона Sa и его моментной хорде tM шМш — шарнирный моментV — скорость полета, м/сFKp — критическая скорость, м/с р — плотность воздуха, кг-с/м4 а — угол атаки крыла с элероном 9 — угол закручивания системы Р — угол отклонения элерона Z — прогиб крыла, м т — время, сОу — ось, направленная по размаху крыла вдоль оси жесткостиОг — ось, перпендикулярная к плоскости хорд крыла, направленная вверх от летчикаОх — ось, перпендикулярная к двум предыдущим, направленная назад г/1 — расстояние от фюзеляжа до начала элерона, мт/2 — расстояние от фюзеляжа до конца элерона, мТ — период колебаний, с р — частота, с-17i — число колебаний в секунду, с”1

I — длина полукрыла, м

I — хорда крыла, м

i3 — хорда элерона, м

ti — расстояние от оси вращения элерона до задней кромки его, м

< ш — моментная хорда элерона

ж0 ■— расстояние центра жесткости в рассматриваемом сечении от передней кромки крыла, м

а — расстояние центра тяжести системы крыло—элерон от оси жесткости в рассматриваемом сечении, м оэ — расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения, м

р — расстояние от оси жесткости крыладо оси вращения элерона, м

7/1 — погонная масса системы крыло- элерон, кг-с2/м2

7zig — погонная масса элерона, кг-с2/м2 1т — погонный момент инерции массы системы относительно оси жесткости, кг - с2

ZM ш — погонный; момент инерции массы элерона относительно его оси вращения, кг-с2

EI — жесткость крыла на изгиб, кг-м2 GIp — жесткость крыла на кручение,кг -м2

R — жесткость крепления элерона, кг -м Су — коэффициент подъемной силы всей системы

I — длина полукрыла, м

I — хорда крыла, м

i3 — хорда элерона, м

ti — расстояние от оси вращения элерона до задней кромки его, м

< ш — моментная хорда элерона

ж0 ■— расстояние центра жесткости в рассматриваемом сечении от передней кромки крыла, м

а — расстояние центра тяжести системы крыло—элерон от оси жесткости в рассматриваемом сечении, м оэ — расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения, м

р — расстояние от оси жесткости крыладо оси вращения элерона, м

7/1 — погонная масса системы крыло- элерон, кг-с2/м2

7zig — погонная масса элерона, кг-с2/м2 1т — погонный момент инерции массы системы относительно оси жесткости, кг - с2

ZM ш — погонный; момент инерции массы элерона относительно его оси вращения, кг-с2

EI — жесткость крыла на изгиб, кг-м2 GIp — жесткость крыла на кручение,кг -м2

R — жесткость крепления элерона, кг -м Су — коэффициент подъемной силы всей системы

СтЕ — коэффициент момента подъемной силы относительно оси жесткости Сш — шарнирный момент элерона, отнесенный к площади элерона Sa и его моментной хорде tM ш

Мш — шарнирный момент

V — скорость полета, м/с

FKp — критическая скорость, м/с р — плотность воздуха, кг-с/м4 а — угол атаки крыла с элероном 9 — угол закручивания системы Р — угол отклонения элерона Z — прогиб крыла, м т — время, с

Оу — ось, направленная по размаху крыла вдоль оси жесткости

Ог — ось, перпендикулярная к плоскости хорд крыла, направленная вверх от летчика

Ох — ось, перпендикулярная к двум предыдущим, направленная назад г/1 — расстояние от фюзеляжа до начала элерона, м

т/2 — расстояние от фюзеляжа до конца элерона, м

Т — период колебаний, с р — частота, с-1

7i — число колебаний в секунду, с”1

СтЕ — коэффициент момента подъемной силы относительно оси жесткости Сш — шарнирный момент элерона, отнесенный к площади элерона Sa и его моментной хорде tM ш

Мш — шарнирный момент

V — скорость полета, м/с

FKp — критическая скорость, м/с р — плотность воздуха, кг-с/м4 а — угол атаки крыла с элероном 9 — угол закручивания системы Р — угол отклонения элерона Z — прогиб крыла, м т — время, с

Оу — ось, направленная по размаху крыла вдоль оси жесткости

Ог — ось, перпендикулярная к плоскости хорд крыла, направленная вверх от летчика

Ох — ось, перпендикулярная к двум предыдущим, направленная назад г/1 — расстояние от фюзеляжа до начала элерона, м

т/2 — расстояние от фюзеляжа до конца элерона, м

Т — период колебаний, с р — частота, с-1

7i — число колебаний в секунду, с”1

15 Заказ № 1090

Основные геометрические характеристики приведены на рис. 1, направление осей - на рис. 2.

Начало координат находится в плоскости крепления крыла к фюзеляжу. Положительное направление всех углов и моментов выбрано в сторону вращения от оси Оъ к оси Ох (положительный момент кабрирующий), оно указано на рис. 2 стрелкой.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе разбирается задача определения критической скорости флаттера крыла с элероном. В основу решения этой задачи положена обычная упругая схема крыла, рассматривающая крыло как балку, работающую на кручение и изгиб. Определение аэродинамических воздействий на вибрирующее крыло и элерон ведется на основе гипотезы стационарности. Общий метод исследования задачи может быть применен и в том случае, когда аэродинамические воздействия определяются на основе более точных теорий, однако это ведет к большому усложнению расчетных формул. Имея в виду, что принятые гипотезы привели к методу расчета, дающемз^ достаточно удовлетворительное совпадение с опытом, мы считали возможным ограничиться этими гипотезами. В дальнейшем мы имеем в виду дать работу с изложением расчетов по более точным аэродинамическим теориям.

При колебаниях крыла, элерон которого не закреплен жестко, смещения точек системы вызываются следующими факторами: изгиб крыла, кручение крыла и отклонение элерона. Таким образом, положение системы характеризуется в каждый момент времени тремя функциями: Z, 6 и р, дающими изгиб крыла, угол закручивания крыла и угол отклонения элерона. Полное решение этой задачи дается нами в гл. II—VI. Это решение приводит к достаточно громоздким расчетным формулам. С другой стороны, в опытах часто возможно подметить, что один из указанных выше трех видов деформации крыла с элероном бывает либо весьма мал, либо совершенно отсутствует. Так, например, если жесткость крепления элерона весьма велика, то отклонениями элерона можно пренебречь, так как они становятся ничтожно малыми. В этом случае наша общая задача вырождается в более простую задачу колебаний изгиба и кручения крыла в потоке воздуха. По- видимому, на практике наиболее часто встречается тот случай, когда можно пренебрегать закручиванием сечений крыла.

Если возможно пренебречь одним из указанных трех видов деформаций, то задача определения критической скорости значительно упрощается. Поэтому наряду с общим случаем вибраций крыла с элероном следует выделить следующие три частных случая.

Пренебрегается отклонениями элерона — изгибно-крутильный флаттер крыла.

Пренебрегается кручением крыла — изгибно-элеронный флаттер.

Пренебрегается изгибом крыла — крутильно-элеронный флаттер.

В первом случае возможность пренебрежения отклонениями элерона может быть обусловлена либо большой жесткостью крепления элерона, либо его полной аэродинамической и весовой балансировкой. Получающийся при этом флаттер крыла без элерона достаточно подробно изучен [1].

При несбалансированном элероне на практике неоднократно наблюдался второй случай: изгибно-элеронный флаттер. Поэтому изучению этого случая мы уделяем в статье особое внимание.

Для случая крутильно-элеронного флаттера мы ограничились приведением схемы расчета. Во время опытов в аэродинамической трубе мы наблюдали эту форму флаттера один раз при следующих обстоятельствах: при увеличении скорости потока прежде всего возник явно выраженный изгиб- но-элеронный флаттер. При дальнейшем увеличении скорости сначала амплитуды колебаний возрастали, а потом абсолютно затухли. Дальнейшим повышением скорости удалось вызвать снова вибрации крыла уже иной формы: крутильно-элеронный флаттер. Однако нельзя сказать, что вообще общий вид вибраций крыла с элероном всегда вырождается в одну из перечисленных частных форм, а если вырождается, то нельзя сказать, какая из этих частных форм наступит при наименьшей скорости. Например, в опытах, опубликованных Фрезером и Дунканом [2], иногда прежде всего наступал крутильно-элеронный флаттер.

Глава I

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕФЛАТТЕРА КРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

В этой главе мы займемся качественным изучением флаттера крыла с элероном. Этот анализ не претендует на полное отображение явления. Он будет давать некую схему его, однако нам кажется, что подобное рассмотрение приносит известную пользу при уяснении физической сущности вопроса.

В рассматриваемом нами случае, как уже было выяснено выше, система крыла с элероном может колебаться в самом общем случае с тремя степенями свободы: изгиб — кручение крыла — отклонение элерона.

В предыдущих работах группы вибраций ЦАРИ [1] была подробно рассмотрена качественная сторона явления изгибно-крутильного флаттера крыла и показано, что как в потоке, так и в пустоте происходит непрерывный переход энергии изгиба крыла в энергию кручения и наоборот. Это распределение осуществляется благодаря существованию так называемых связей между обоими движениями. Одни из них—инерционные связи —только перераспределяют энергию, через другие — аэродинамические,— кроме этого, происходит непрерывный приток энергии из потока воздуха .

Там же было показано, что под действием любого одностороннего импульса (например, сообщающего крылу чисто-изгибные колебания) всегда будут происходить совместные изгибно-крутильные колебания.

Поэтому, рассматривая флаттер крыла с элероном, нам достаточно учитывать только те изменения, какие вносит элерон в характер колебаний системы. Достаточно, например, показать, что импульс, сообщенный элерону, вызовет изгибные колебания крыла, для того чтобы доказать, что крыло будет колебаться со всеми тремя степенями свободы (так как изгиб крыла уже сам вызовет кручение его).

Исходя из этих соображений, рассмотрим только так называемый из-

гибно-элеронный флаттер крыла. Все следующие ниже рассуждения распространяются без труда и на общий случай.

Чтобы не усложнять рассуждений, рассмотрим влияние инерционных и аэродинамических связей по отдельности. Для этого рассмотрим сперва изгибные колебания крыла и крутильные колебания элерона в пустоте.

КОЛЕБАНИЯ КРЫЛА В ПУСТОТЕ

Примем, как это обычно и бывает, что центр тяжести элерона находится позади его оси вращения. Покажем, что колебания системы будут обязательно совместными независимо от характера первоначального импульса.

Допустим, что крыло получило первоначальный изгибающий импульс, под действием которого оно начнет двигаться с ускорением Z. Рассмотрим характер возникающих при этом колебаний системы. При движении системы на элерон будет действовать реакция крыла, приложенная в оси вращения элерона, направленная в ту же сторону, что и ускорение Z. Эта сила Р сообщает центру тяжести элерона ускорение t, = Pim и создает угловое ускорение элерона около его оси, под действием которого элерон начнет совершать крутильные колебания (так как сила Р является периодической, меняя свой знак вместе со знаком ускорения Z).

Таким образом, за счет несовпадения центра тяжести элерона и его оси вращения при изгибных колебаниях крыла появляется момент, создающий крутильные колебания элерона.

Этот инерционный момент назовем поэтому инерционной связью изгиба на отклонение элерона и обозначим его для краткости Яи-0. Покажем, что и обратно крутильные колебания элерона вызовут изгибные колебания крыла.

Пусть первоначальный импульс сообщен элерону. Упругие силы закрепления будут стремиться вернуть его в первоначальное положение — элерон и его центр тяжести будут двигаться с угловым ускорением р.

Благодаря ускоренному движению элерона появляется реакция элерона на крыло, приложенная в шарнирах и вызывающая изгиб крыла.

Так как р является величиной периодической, то и указанная реакция периодична, и, следовательно, крыло будет совершать изгибные колебания.

Таким образом, мы можем говорить о наличии второй связи — инерционной связи отклонения элерона на изгиб крыла (обозначим ее ^0-и). Благодаря наличию этой связи крутильные колебания элерона вызывают изгибные колебания крыла.

Таким образом, благодаря тому что центр тяжести элерона не совмещен с его осью вращения в крыле вследствие действия какого-нибудь импульса, возникают совместные колебания. Один вид колебаний через соответствующую связь неизбежно порождает другой. Энергия изгиба через связь Иъ_0 трансформируется в энергию отклонения элерона. В свою очередь, благодаря наличию связи И0_Й энергия отклонения элерона переходит в энергию изгиба.

' Нетрудно видеть, что инерционные связи И^_о и Ifo-и будут и при весовой перебалансировке элерона (т. е. если центр тяжести элерона будет лежать впереди,его оси вращения). И в этом случае колебания будут совместными. Связи. И^о и Ио-^ исчезнут (а вместе с ними прекратится и переход одного вида колебаний в другой) только при аэ = 0.

Рис. 3Рис. 3Это перераспределение энергии схематически показано на рис. 3. Мы имеем, следовательно, замкнутый цикл энергообмена: первоначальный изгибающий импульс дал системе некоторый запас энергии. Эта энергия изгиба через связь И^_о переходит (частично) в энергию колебаний элерона, а последняя через связь Ихх_0 частично обратно переходит в энергию изгиба, и .цикл повторяется. Как выше указывалось, цикл может начаться и с колебаний элерона. Описанный цикл энергообмена условимся называть инерционным. Притока энергии извне нет, так что

Рис. 3

Рис. 3

гармонические колебания 3.гармонические колебания 3.система крыло—элерон будет совершать

гармонические колебания 3.

гармонические колебания 3.

КОЛЕБАНИЯ КРЫЛА В ПОТОКЕ ВОЗДУХА

Рассмотрим теперь те дополнительные воздействия на колебания системы крыло—элерон, которые вносит присутствие потока. При этом, для того чтобы учесть только воздействие потока, положим оэ = 0. Этим мы уничтожим обе инерционные связи: ИИ_О и Ио-^.

Покажем, что и в этом случае колебания системы будут совместными. Предварительно заметим следующее: можно доказать, что при флаттере необходимо имеет место сдвиг фаз и только благодаря этому сдвигу фаз между изгибом и кручением флаттер вообще становится возможным. Ниже мы рассматриваем случай сдвига фаз л/2. (При максимальном изгибном отклонении крыла имеет место нулевое отклонение элерона.) Вообще говоря, сдвиг фаз может быть отличным от л/2, но принципиально анализ в этих случаях не отличается от рассматриваемого. Взаимодействия сил качественно будут те- же самые, и поэтому для простоты мы ограничиваемся лишь этим одним случаем. Пусть первоначальный импульс вывел крыло из положения равновесия (рис. 4) в положение I. Под действием упругих сил крыло будет двигаться к положению равновесия со скоростью Z. Наличие скорости изгибных колебаний изменит угол атаки крыла на величину 4

^=-4-^(!)

(F — скорость потока), а значит, и величину шарнирного момента на

% 9S^.mV^ — % At^VZ.(2)

Это приращение шарнирного момента стремится закрутить элерон относительно его оси вращения. Благодаря тому что скорость изгибных колебаний величина периодическая, и приращение шарнирного момента будет периодическим, т. е. под его действием элерон будет совершать крутильные колебания.

Рис. 4

Таким образом, благодаря наличию аэродинамически некомпенсированного элерона изгибные колебания крыла вызывают крутильные колебания элерона.

Тут появляется связь иного рода — так называемая аэродинамическая связь изгиба на отклонение элерона (обозначим эту связь Ли_0)-

Если первоначальный импульс закрутил элерон на угол, то появится дополнительная подъемная сила (см. далее гл. П), пропорциональная Р.

Так как Р меняется периодически, то приращение подъемной силы будет также величиной периодической, поэтому под его действием крыло будет совершать изгибные колебания.

Как видим, и в этом случае колебания системы совместны. Приращение подъемной силы, происходящее вследствие отклонения элерона и вызывающее изгибные колебания крыла, будет аэродинамической связью отклонения элерона на изгиб и обозначается Ло-И.

Подчеркнем еще раз, что аэродинамические связи не только трансформируют энергию, но и подводят ее извне (из потока воздуха).

Таким образом, мы нашли цикл энёргообмена с притоком энергии.

Энергия изгиба через Ли_0 переходит в энергию отклонения элерона, последняя через связь Л0_и переходит в энергию изгиба, причем общее количество энергии в системе все время изменяется .

Рис. 5Рис. 5Рис. 6

Рис. 5

Рис. 5

Назовем этот цикл трансформации энергии аэродинамическим. Схема его приведена на рис. 5.

Кроме чисто-инерционного и чисто-аэродинамического циклов энергообмена, можно представить себе и циклы смешанные, в которых наряду с инерционными связями имеются и аэродинамические, через которые происходит приток энергии.

Так, если в системе крыло—элерон, находящейся в потоке воздуха, элерон аэродинамически компенсирован, а оэ ^ 0, т. е. центр тяжести элерона находится позади его оси вращения, то энергообмен будет происходить так, как показано на рис. 6.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Обычно крыло сконструировано таким образом, что энергообмен совершается одновременно через все циклы, рассмотренные нами (рис. 7). Нетрудно видеть, что в общем случае одновременно существуют четыре цикла:

аэродинамический (контур CCtD}D) (см. рис. 7), инерционный (АА^В^В^ и смешанные (AA^iBDDi и АА1В1ВСС1'). Таким образом, поток воздуха является источником энергии, непрерывно подводимой через аэродинамические связи к колеблющейся системе крыло — элерон. Однако, как известно, флаттер наступает не всегда,

а только при определенной (такр^с ^

называемой критической) скорости полета. При скорости по

лета меньше критической возникающие колебания затухают. Это объясняется тем, что наряду с возбуждающими поток создает также и демпфирующие воздействия, рассеивающие энергию колеблющейся системы. Для возникно

вения флаттера необходимо, чтобы возбуждающие воздействия превышали демпфирующие (приток энергии был больше ее рассеяния).

Пример демпфирующего действия потока: мы выше указывали, что благодаря наличию скорости изгибных колебаний Z угол атаки крыла

изменяется на величину

Ас^ = —

и благодаря этому возникает шарнирный момент, раскачивающий элерон (возбуждающее воздействие). Но это же изменение угла атаки дает приращение подъемной силы на величину

При движении вниз угол атаки увеличивается, и при движении вверх — уменьшается, и потому эта дополнительная подъемная сила направлена всегда против направления движения, т. е. демпфирует его.

О МЕРАХ УНИЧТОЖЕНИЯ ФЛАТТЕРА

Воспользуемся тем же упрощенным методом анализа в поисках мер для уничтожения флаттера.

Можно мыслить два пути уничтожения вибраций. Первый — уничтожение связей. Если уничтожить какие-нибудь две связи, например ВВг и DDV (см. рис. 7), через которые один вид энергии трансформируется в другой, то этим самым мы добьемся колебаний системы крыло—элерон с одной степенью свободы. Как известно, такие колебания — затухающие.

Другой путь состоит в том, чтобы создать цикл энергообмена не с притоком энергии, а рассеиванием ее. Это значит, что нужно так изменить характеристики крыла, чтобы аэродинамические силы из возбуждающих превратились в демпфирующие.

Приведем примеры первого и второго методов решения задачи.

Уничтожение связей.

Если считать не только оэ = 0, но и элерон аэродинамически компенсированным, то этим самым мы уничтожим обе инерционные связи и связь Ли_0. Энергия из потока будет поступать только в движение изгиба (через связь Ло-и). Колебания элерона затухнут, а затем затухнут и изгибные колебания крыла, так как флаттер с одной степенью свободы невозможен.

Если еще принять во внимание возможность крутильных колебаний самого крыла, то в рассматриваемом случае окажется возможным изгибно-кру- тильный флаттер крыла.

Из общего же цикла (см. рис. 7) видно, что уничтожение только одной какой-нибудь связи Ио-^ или Ли-о (или, иными словами, либо только одна полная весовая балансировка, либо только аэродинамическая компенсация элерона) является недостаточным для уничтожения изгибно-элеронного флаттера крыла.

Цикл с рассеиванием энергии.

Если поместить центр тяжести элерона впереди его оси вращения, то, рассуждая, как и в предыдущих случаях, найдем, что при движении крыла вниз и элерон отклоняется вниз. Добавочная подъемная сила, возникшая вследствие отклонения элерона (связь Л0_и), будет направлена вверх — против движения.

При движении крыла вверх и элерон отклоняется вверх. И в этом случае подъемная сила направлена против движения (рис. 8).

Рис. 8

Как видим, аэродинамические связи в данном случае демпфируют движение. Совместные изгибно-элеронные колебания будут затухающими, ибо вместо получения энергии из потока происходит рассеивание ее. Однако практически может оказаться ненужным добиваться для уничтожения возможности возникновения флаттера полной весовой балансировки (или перебалансировки) элерона и его полной аэродинамической компенсации. Можно только приблизить центр тяжести элерона к его оси вращения и допустить небольшой приток энергии, лишь бы этот приток был не больше, чем рассеивание энергии, и уже флаттер становится невозможен. Количественные критерии для допустимого расстояния центра тяжести элерона от его оси вращения будут выведены ниже.

Точно так же можно не требовать полной аэродинамической компенсации элерона, а взамен этого усилить демпфирующие воздействия, перебалансировав его в весовом отношении.

Выше мы рассматривали случай изгибно-элеронного флаттера. Подобными же рассуждениями можно показать, что существуют как инерционные, так и аэродинамические связи кручения крыла на отклонения элерона (#к_0 и #0_к, Лк_0 и Л0_к), т. е. что крутильные колебания крыла вызывают крутильные отклонения элерона и обратно, крутильные колебания элерона вызывают крутильные колебания крыла.

Глава II

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯНА ВИБРИРУЮЩУЮ СИСТЕМУ КРЫЛО—ЭЛЕРОН

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Вычисление аэродинамических воздействий производится при тех же предпосылках, что и в предыдущих работах группы вибраций ЦАГИ [1, 3, 4].

В основу вычисления аэродинамических воздействий кладется так называемая гипотеза стационарности.

Гипотеза стационарности. Аэродинамические характеристики кры^ш в неустановившемся движении с переменными поступательной скоростью V и угловой скоростью со заменяются в каждый момент времени характеристиками того же крыла, движущегося с постоянными линейной и угловой скоростями, которые в каждый данный момент времени равны скорости действительного движения в тот же момент времени, причем наклон к профилю также считается постоянным и равным действительному наклону в рассматриваемый момент времени.

Таким образом, гипотеза стационарности сводится к тому, что в каждый момент времени истинный поток около крыла заменяется установившимся с постоянной циркуляцией, соответствующей рассматриваемому моменту времени (циркуляция в различные моменты времени будет различна, так как скорости движения различны).

Принятая гипотеза значительно упрощает вычисление аэродинамических воздействий, так как для их определения можно воспользоваться обычными •формулами установившегося движения.

В настоящее время существуют способы более точного определения аэродинамических воздействий на вибрирующее крыло с элероном [5], но эти способы приводят к столь сложным методам расчета, что пользоваться ими практически пока затруднительно.

Строго говоря, в неустановившемся движении все характеристики крыла с элероном (Су, Ст и Сш) зависят от величины деформации 6, р, их скоростей (Z, 0, Р), ускорений (Z, 6, Р) и т. д.

Так, например,

Су = Су^, р,е,з, 2,6, р,2, ...ц

Согласно гипотезе стационарности эта зависимость упрощается и Су принимается зависящим только от деформаций и их скоростей:

Су=Су(з,м^2).

Так как нас интересует только момент возникновения вибраций, когда деформации малы, то, разлагая Су в ряд Тейлора и ограничиваясь величинами первого порядка малости, имеем

, эс, эс эс эс эс .

е. NCy является линейной функцией от 6, р, 0, р и Z.

Поэтому мы можем исследовать влияние каждой из величин 6, р, . . . . . ., Z на величину АСУ по отдельности и затем найти общее приращение Су суммированием полученных результатов.

Все сказанное выше относительно Су справедливо и по отношению к Ст и Сщ.

Рассмотрим, например, влияние на аэродинамические характеристики крыла угловой скорости колебаний кручения 0.

Пусть в потоке, обладающем скоростью V в бесконечности, находится профиль крыла, который мы схематизируем тонкой линией АВ, совпадающей со средней линией профиля, и пусть этот профиль вращается около некоторого, находящегося на нем центра Е с угловой скоростью 6 (рис. 9). ■

Кривизна профиля и угол атаки хорды его считаются малыми . Элемент dx при вращении профиля движется с линейной скоростью (х— ж0) 0, где х — абсцисса элемента dx и х0 — абсцисса центра вращения Е. (Оси координат выбираем, как показано на рис. 9.) Складывая эту скорость со скоростью V набегающего потока, убеждаемся, что угол атаки элемента dx изменился на величину

. X — Хг. •

Ааж =—^—0.

■Это изменение угла атаки различно у разных элементов профиля. Ввиду малости Ассж мы можем результирующую скорость считать по абсолютной величине равной V.

Можно доказать, что если базироваться на гипотезе стационарности, то •аэродинамические воздействия на вращающийся профиль не изменятся, если мы каждый элемент его dx заменим элементом неподвижным, на который со скоростью V под углом атаки а0 + Ааж набегает поток (а0 — угол в рассматриваемый момент времени между элементом dx и скоростью К). Таким •образом, при вычислении аэродинамических воздействий мы вращающийся профиль можем заменить неподвижным, который получается из данного профиля, если каждый его элемент повернуть на соответствующий данному .элементу угол Ааж. Так как угол Ааж различен для разных элементов и непрерывно изменяется вдоль профиля, то, осуществив такую замену, мы вместо истинного профиля АВ получим некоторый искривленный фиктивный профиль А,В1 (рис. 10), обладающий тем свойством, что в рассматриваемый момент времени (при заданном значении 0) он, будучи неподвижен, имеет те же аэродинамические характеристики, как истинный профиль АВ, вращающийся с угловой скоростью 0 около точки Е.

Профиль ЭДД имеет иную, чем АВ, кривизну и иной угол атаки хорды профиля относительно скорости поступательного потока У. Следовательно, эффект скорости крутильных колебаний 0 сводится, во-первых, к изменению угла атаки хорды и, во-вторых, к изменению кривизны средней линии профиля. Такое фиктивное изменение кривизны средней линии профиля называется динамической кривизной.

Динамическая кривизна возникает в тех и только тех случаях, если истинный поток на различные элементы профиля набегает под разными углами атаки. Так, эффект скорости крутильных колебаний элерона (3 также сводится к изменению угла атаки хорды профиля и к изменению его кривизны.

Для вычисления изменения подъемной силы и продольного момента вследствие вибраций воспользуемся известными формулами Глауэрта [6] ®, дающими зависимость этих величин от угла атаки и кривизны профиля.

Выберем оси координат следующим образом: ось х направим по хорде профиля и ось z — перпендикулярно к оси х. Пусть z = z (ж) — уравнение средней линии профиля в этой системе координат (рис. 11).

Тогда, согласно Глауэрту :

„9С г1 С dz ,.

Vda Lл ,) dx хг/ т j i

о

я №(1)

CmB= < ^(1-C0s2W + -U.|L(1_C0^ ооу

где ф — новая переменная, связанная с ж зависимостью

(2)(2)х = (^/2) (1 — cos ф).

(2)

(2)

Колеблющийся профиль мы, как указано выше, заменяем неподвижным, имеющим другую, чем исходный, кривизну (другое уравнение средней линии) и другой угол атаки хорды (см. рис. 11, штриховая линия). Для этого нового профиля мы также можем написать

дСЛ

С'-» = Г «1— \ -4^- (1 — cos ф) с/ф"| ,

о

«л(3>

С'тВ = --^-^(1_Соз2ф)йф + --^^(1_^ ооу

тц,е zt = zx (ж,) — уравнение средней линии фиктивного профиля в системе координат х^А^ (см. рис. 11).

Вычитая (1) из (3), найдем приращение коэффициентов подъемной силы и момента вследствие вибраций:

9Сл

АС„ = С'— С =— а)Ц №^(1 — созф)^! ,

у у удаJ \dx рv т р

о

^СтЕ = СтЕ — СтЕ =т- С■—• -ч—) (1 —'cos 2ф) с/ф +

*Х yj \ Cv^v^V.W /

О

л

,1 Р / dzx ^\гл1\ 7 1 ! дСтЕ кГ/т\

+™ cos ^ ^ + "sc АС^(3)

ои

Для того чтобы вычислить АСУ и ^CmE по этим формулам, необходимо ■знать изменение угла атаки хорды ctj — и и изменение кривизны средней линии, которое характеризуется разностью dz1/dxl — dz!dx.

Перейдем к рассмотрению того, как каждая из величин 6, р, [3, 0, Z изменяет кривизну профиля и угол атаки хорды его.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И МОМЕНТА,ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ВСЮ СИСТЕМУ

Закручивание сечения на угол 0 вызывает изменение угла атаки хорды на ту же величину:

А«е = 0.(4)

Так как углы атаки всех элементов профиля в рассматриваемом сечении изменяются одинаково, то изменения кривизны не происходит.

Скорость изгибных колебаний Z изменяет угол атаки хорды профиля на величину 11 (рис. 12)

А^ = —^(5)

Так как угол атаки всех элементов изменяется одинаково (скорость Z одинакова у всех элементов), то кривизна профиля не меняется.

Угловая скорость крутильных колебаний крыла вместе с элероном в. Пусть профиль АЕВ вращается относительно некоторой точки, находящейся на расстоянии х0 от его передней кромки с угловой скоростью 0 (рис. 13).

Как указано выше, мы заменяем этот вращающийся профиль таким фиктивным неподвижным Л17?51, у которого угол атаки каждого элемента профиля повернут относительно первоначального своего положения на угол

Асс^^Ащ(6)

Вычислим, как вследствие такого поворота каждого элемента профиля изменится угол атаки хорды крыла и его кривизны.

Изменение угла атаки хорды профиля (по сравнению с первоначальны м). Вследствие поворота каждого эле-

1 Подробнее см. [3].

Рис. 13

мента на угол Ааж носик профиля сместится на величину 6Х (см. рис. 13)г а задняя кромка сместится на величину 62.

(7)(7)Изменение угла атаки хорды профиля можно записать в виде (см. рис. 13)»

(7)

(7)

A(Zg = (б2 — 6J/Z.

С точностью до бесконечно малых высших порядков бт и 62 могут быть вычислены следующим образом:

ttо2

62 = Ааж dx=^ _5Lz51 9 dx = q, Si =Д Ааж dx =0.

)) VUV)44 г

Отсюда

Actg -— xo j 0.(8)

Определение разности dzxldxx — dzldx. Пусть zAx — координатная система, связанная с профилем АВ следующим образом: начало А совпадает с передней кромкой профиля, ось х направлена вдоль хорды профиля, ось z перпендикулярна ей.

Введем вторую координатную систему zxAxv начало которой в передней кромке фиктивного неподвижного профиля АХВХ1 ось Ахх направлена вдоль, его хорды и Azx перпендикулярна ей.

В произвольной точке L контура АЕВ проведем касательную LN. В соответственной точке Lx контура АХЕВХ также проведем касательную LXNX. Тогда (см. рис. 13).

—dzldx + а = у, —dzx!dxx + с^ = уР(9)

Здесь а и ах — углы атаки хорд первоначального и фиктивного профилей, у и Yt — углы атаки рассматриваемого элемента профиля (т. е. углы между касательной к элементу и направлением скорости), dzldx и dzx!dxx — тангенсы углов наклона, составленные касательными к профилю и соответствующими координатными осями. Здесь, как и везде, мы заменили углы наклона их тангенсами ввиду их малости.

Из равенства (9) находим

dzx!dxx — dzldx = (ах — а) — (yL — у).(10)

Из рис. 13 непосредственно видно, что ах — а = Аа^, т. е. равно из- менению угла атаки хорды профиля АХЕВХ по сравнению с профилем АЕВ*

а 71 — у есть тот угол, на который мы повернули элемент профиля АЕВТ чтобы получить соответствующий элемент профиля АгЕВъ т. е. Ааж.

Подставляя значения До^ из (8) и Дссж из (6), получим

Отклонение элерона 0. Все дальнейшие выкладки производятся в предположении, что передняя кромка элерона совпадает с его осью вращения. Учет аэродинамической компенсации будет произведен ниже (см. гл. VII). Если обозначить хорду крыла вместе с элероном через i, а расстояние от оси вращения элерона его — через ^, то из рис. 14 непосредственно видно, что отклонение элерона на угол р изменяет угол атаки хорды крыла на

Уравнение профиля АЕВ в системе координат zAx и уравнение профиля AEBt (с отклоненным элероном) в системе координат z1Ax1 различны. Вследствие этого разность dzjdx1 —■ dzldx получает конечное значение.

Определим величину этой разности.

Условимся под точкой, лежащей «на крыле», понимать точку крыла, находящуюся между передней кромкой крыла и передней кромкой элерона в отличие от точек, лежащих «на элероне».

Разность dzjdxv — dzldx и в данном случае определяется равенством' (10). Однако значения ух — 7 различны в точках, лежащих на крыле и на элероне.

В самом деле, на крыле ух — 7 = 0, и, следовательно,

=(13).

ахг ахt х\/

на элероне ух — 7 = р, и поэтому

(14>

Нам осталось выяснить влияние угловой скорости вращения элерона 0. Пусть элерон вращается относительно точки хт (абсцисса оси вращения элерона), а остальная часть профиля остается неподвижной.

В то время, как элемент профиля, расположенный на элероне, обладает линейном скоростью (ж —жш) [5 и, следовательно, изменяет свой угол атаки на величину

, X —.

Ааж = —р—р,

■элемент профиля на неподвижной части крыла не получает никакого изменения угла атаки (т. е. на крыле Ааж = 0).

Прежде всего определим величину изменений угла атаки хорды профиля при замене его искривленным неподвижным. Последний получается из исходного профиля поворотом всех элементов элерона на соответствующие углы Ааж.

Из рис. 15 видно, что

Аа^ = б/i,(15)

где 6 — смещение задней кромки профиля, определяемое по построению фиктивного профиля:

tt .

,С- X —.(t — ж)2 .

= \ Ааж dx = \ ^р dx = ^— Р-

Если заменить t — хш = tt, то получим следующее выражение для 6:

8-w

и согласно (15)

(16)(16)1•

(16)

(16)

АсСр = 6/( = -^- —р.

Изменение кривизны получаем опять из равенства (10).Так как на крыле ут — у = Аа'ж = 0, то для точек крыла

tt(17)(17)dz, dzЛ1

t

t

(17)

(17)

— =а1 — а = Act, =

dxi dxР 21

На элероне yi—у = Ааж =——ш.р, и, следовательно, ^--^^-^“(Ух-У^^РF^-<18)

Мы рассмотрели влияние всех факторов на изменение угла атаки и кривизны профиля.

Полученные результаты приведены в табл. 1.

Суммируя влияние различных факторов (что проще всего сделать, суммируя соответствующие столбцы табл. 1), получим следующие окончательные результаты.

Изменение угла атаки хорды профиля во время колебаний

ЬГ \ ti/^1 V LV

Таблица 1Таблица 1Фактор,вызывающийизменениеФактор,вызывающийизменениеdzJdxA — dzldxdzJdxA — dzldxна крылена крылена элеронена элероне

Таблица 1

Таблица 1

Фактор,вызывающийизменение

Фактор,вызывающийизменение

dzJdxA — dzldx

dzJdxA — dzldx

на крыле

на крыле

на элероне

на элероне

г ё

р

р

Разность dz^dx^ — dzldx для точек крыла (0 + х ^жш)

= —-^О + ^—Р-(20)

Разность dzjdxy — dzldx на элероне (жш ' х + ()

+<21)

6. Мы располагаем всеми данными для вычисления подъемной силы и момента подъемной силы.

Подставляя значения для Асе и dz1ldxl — dzldx из формул (19) — (21) в (3') и заменяя затем согласно (2)

х = (£/2)(1 — cos ф) и хт = (Р2)(1 — со8фш),(22)

получим после вычислений 13

л * A I ТО. I Т # О | ^®Е Гд, t ( 3 х0 \,

АСтЕ0 ++г^9д-

A-GUH^"^^.(23)

Тут G, Н, I и J есть функции отношения tjt, выражающиеся следующими формулами:

G = Ря [л — фш + sin фш],

Н = Ра л [л cos фшС + sin фш + Ра (л — фш) — Р4 sin 2фш],

I = — Р4 sin фш (1 — cos фш),(24)

J = Pig [cos фш sin 2фш — sin фш — 1/2 sin 2фш — Р3 sin Зфш— (л — фш)1,

12 При интегрировании в промежутке 0 + ж + жш пользуемся для <Zz1/<Zx1 — dzldx формулой (20), а в промежутке хш + х + t — формулой (21).

16 Заказ № 1090

где 1рш выражается согласно (22):

cos фш = 2^/^ — 1.

Так как функции G, Н, IwJ зависят только от отношения t^t, то можно раз навсегда построить графики, дающие значения этих функций при различных tjt.

Эти графики приведены на рис. 16.'

При определении критической скорости расчетом отпадает необходимость каждый раз пользоваться формулами (24), так как величины G, Н, I и J можно брать непосредственно из графиков рис. 16.

Приращения подъемной силы и продольного момента запишутся в следующем виде:

ара = ьсуРуч dy=^- ptv» [е ь ^ [А - ^ 9 + G.3 +

+ Аяр-А;А

ША = ACmEpW dy = р w2L9 + zp + j А р +

+ ^-[6+(4-™-7L)-^d + Gl3 + A//i3-4-^}^

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРНИРНОГО МОМЕНТАДЛЯ КРЫЛА БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА

Переходим к определению момента сил, действующих на элерон, отно- •сительно оси его вращения. Рассмотрим (рис. 17) профиль крыла с элероном, находящийся в установившемся потоке. Пусть z = z (ж) — уравнение средней линии профиля ОСВ в системе координат хОк. Тогда, согласи» Глауэрту [6], профиль может быть заменен -системой вихрей, расположенных по линии z т ВО с циркуляцией на элементе dx, равной

у (ж)йж = 2У ^octg-^-+ ^24fcsin^^^,

(26)-

где

,,хfРис. 77

ж = 72(1 — созф).(27)

Для того чтобы поток обтекал профиль без срыва, необходимо, чтобы Ла и Лй имели следующие значения (см. [6], а также [1]):

А»=а—V^^Ak=4rS^"№8kt'd^(28)

66

Пусть, как и раньше, жш — абсцисса точки С — оси вращения элерона. Тогда шарнирный момент можно определить по общей формуле

t

(29)(29)^Тш = — ^ р7у(ж)(ж— ХШ^Х.

(29)

(29)

Заменяем х и хш согласно (27) и подставляем выражение (26) для эдемен- тарной циркуляции у (ж) в (29). Получаем

Л

1Гi'lb

JVIm =— pV2t" Ло \ ctg -у (cosфш —■ cos ф)sin ф с/Ф J-

ООЛ

+ ^ Ak (cos фш — cos ф) sin Аф sin фйф ] dy.

k=!Фш

Если обозначить

Л

Во = ^ ctg -у- (cos фш — cos ф) sin ф йф,

(30)(30)Фш

(30)

(30)

Л

Вк = ^' (cos ^ш — cos tp) sin k^ sin гр ch^

^1" ^1—-5 у^1" ^1—-5 у2 sin ф,л2 sin ф,лА?— Ак = А [cosip,, 2 sin ^ш R+ 6л P’А?— Ак = А [cosip,, 2 sin ^ш R+ 6л P’sin Tdp,кsin Tdp,кк >2.к >2.sin (6 — 1) ip,2 (к — 1)sin (6 — 1) ip,2 (к — 1)sin (6 4- 1) ф2(W)sin (6 4- 1) ф2(W)t. "Vt. "V(34)(34)

^1" ^1—-5 у

^1" ^1—-5 у

2 sin ф,л

2 sin ф,л

А?— Ак = А [cosip,, 2 sin ^ш R+ 6л P’

А?— Ак = А [cosip,, 2 sin ^ш R+ 6л P’

sin Tdp,к

sin Tdp,к

к >2.

к >2.

sin (6 — 1) ip,2 (к — 1)

sin (6 — 1) ip,2 (к — 1)

sin (6 4- 1) ф

2(W)

sin (6 4- 1) ф

2(W)

t

. "V

t

. "V

(34)

(34)

то выражение для шарнирного момента может быть записано в виде

Мш = -^рУЧ^ AkBk,(31)

6=0

где Ак заданы формулами (28).

Для вычисления шарнирного момента вибрирующего крыла, как и раньше, заменим колеблющийся профиль неподвижным с измененными углами атаки и кривизной.

Для этого нового профиля будем иметь

М'ш = -^р¥Ч^ V A'kBk.(32)

б=о

В выражении (32) коэффициенты Вк остаются без изменения, так как они не зависят ни от угла атаки, ни от кривизны профиля, а лишь от отношения tjt.

Приращением шарнирного момента вследствие колебательного движения крыла будет

АТИШ = - i/2pW § Вк (Л' - Аку(33)

6=0

Принимая во внимание, что Ак выражаются формулами (28), будем иметь

л

' л л 1 Г /dz \ т ,

A0-A0 = Aa-—\^--^)d^ о

и для к ^ 1

л

f а 2 С / dziaz \? . 7 .

Ai — A-и = — \т— cos cab.

л\ dxY dx ] т т

о

Если подставить вместо dzjdxk — dzldx и Act их значения из (19) — (21), то после соответствующих вычислений получим следующие выражения для разности Ак — Ак:

л;-п0 = е + -^(л-фш)и^(4--^-)е +

1t1

+ -yf [cos фш (л —- фш) + sin фш] — Р ^Z,

1 Г1

P + -y^ [(л — фш) + -у- Sin 2фш j у

В каждую разность Ак — Ак входят члены, зависящие от 6, р, 9, р и Z, поэтому удобнее записать эту разность в виде

(35)(35)Ак — И^ = Ск6 4- Dk — 6 + Ек^> -У Fk — р 4- Кк — Z>

(35)

(35)

Таблица 2

к

ск

D, к

Ек

Fk

Кк

0

1

1 _ ж0

2t

— (л — Фш)

A. [cos фщ (л. - фш) 4- sin Фш]

-1

1

0

1

2

2 • , —- sin Фш

^Г18ш2фш+(л-фш)

0

sin 2фш

1 ,, 81п2ф.sin3i]51

2

о

0

12 COS Фш — 81пФ —ш

0

Л

2л L ~ ш 231

>2

о

о

2 sin /сфш

1 Г 9 р . iin ^m Sbl (,C “ 1} Ф™ Sin ^ + lj ^ш "1

0

2л L ° ш к(к— 1)ИР) _

В табл. 2 приводим значения коэффициентов Ск, . . ., Кк.

Приведем также значения коэффициентов Вк, вычисленных по формулам (30):

В о = —Нг (л — фш) + cos фш (л — фш) + sin фш — П4 sin 2фш,

В, = Нг [cos фш (л — фш) 4- Н2 sin фш 4~ Н2 cos фш sin 2фш — П6 sin Зфш]$

В2 = Н2 [cos фш (Н3 sin Зфш — sin фш) — Hs sin 4 фш — П2 (л — фш)1,

cost|)m Г sin (к + 1) фш 8Ш(/С-1)ФШ1

LГрГР~ J +<36>

1 Г sin (к - 2) фш sin (fc + 2) фш ]

+ р|.—w—2—J’k>^

Подставляя общее значение Ak — Ak по формуле (35) в (33), получаем

ДМШ = -А- pW у Вк (ре + Dk 4- 9 н е^ + Fk 4- н- Кк 4 4 • (3?) 6=0

Нели обозначить

ВкКк = Q6,ВкКк = Q6,(38)(38)

ВкКк = Q6,

ВкКк = Q6,

(38)

(38)

то выражения для приращения шарнирного момента, действующего на отсек элерона ширины dy, может быть записано в виде

AMlu==-pw[Q1e + Q2-46 4-^ + ^44^ W^^dy.(39)

Выражения Q, могут быть получены в замкнутой форме, если в (38) подставить значение ВкСк, . . ., ВкКк по формулам (36) и из табл. 2.

Суммируя затем полученные ряды, получаем

Qx ^-- V2 [(л — фш)(со8 фш — V2) + sin фш — П4 sin 2фш], Q2 = ti2 + (^0^) ^2!

ti2 = Vs [(л — фш)(3 cos фш — 1) + 5/2 sin фш — V2 sin 2фш +

+ V2 COS фш sin 2фш — Ve sin Зфш1,

ti2 —■ —O4,

tig = 1/(2л)[(л — фш)2(со8 фш — V2) + (л — фш) sin фш + V2 sin2 фш1, ti| = 1/(4л) {[(л — фш) cos фш + sin фш12 + V^ sin фш sin 4фш}, "(40)

Все tij есть функции только аргумента tjt, который, в свою очередь, зависит только от отношения хорды элерона к хорде крыла tjt (24). Нами построены графики Q; в зависимости от tjt для всех практически встречающихся значений этого отношения. При конкретных расчетах можно брать значения Q, с этих графиков (рис. 18) без каких-либо вычислений.

ШАРНИРНЫЙ МОМЕНТДЛЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА

Приращение шарнирного момента нами определено для крыла бесконечного размаха. Для крыла конечного размаха величины будут иметь иные, отличные от вычисленных по формулам (38) и (39), значения.

Обозначим их через ti;.

Тогда приращение шарнирного момента для крыла конечного размаха следует вычислять.

не по формуле (39), а по формуле

АЛ/ш = рИ2^ ^£216 + £2г -у- 6 4- йзР ~Ь £2i -р- 3 4- £^s -р- Z) dy.(41)

Для перехода от коэффициентов ^ к йг, или, иначе говоря, от плоского потока к истинному, мы воспользуемся экспериментальными данными.

При продувках в аэродинамической трубе определяется коэффициент Сщ, причем шарнирный момент относят к площади элерона 5Э и его моментной хорде :

Мш = -Сшр53/М.ш72.(42)

Мы относим в формулах (39) и (41) шарнирный момент в каждом сечении dy к общей площади сечения tdy и хорде крыла в данном сечении t. В этом случае коэффициент момента будет отличаться от стандартного Сш, и мы обозначим его Кш- Элементарный шарнирный момент, отнесенный к площади элементарного отсека и хорде крыла, запишется в виде

dMm = —КшрУЧйу,(43)

где Кш — безразмерный коэффициент.

Шарнирный момент, действующий на весь элерон, получаем суммированием результатов по всем элементарным отсекам:

Mm = -KmpV^tHy,(44)

где yt и у2 — расстояния вдоль размаха от корня крыла соответственно до начала и конца элерона.

Зависимость между введенным нами коэффициентом Кш и Сш легко найти из сравнения (42) и (44):

Кщ"=. СШ5Э1МЛ11 j ^ /2 dy.(4о)

У1

где КШ1 как и Сш, есть функция угла атаки крыла а, угла отклонения элеронов р и формы средней линии профиля.

Приращение шарнирного момента вследствие колебательного движения можно записать в виде

«2

Д Л/ш = — АКшрУ2 ^t2 dy.(46)

yi

Наша цель — найти зависимость между АА"Ш, которое можно выразить через экспериментально известные значения Сш, и выражением

£219 -[- £2г-р^б + £2зР 4~ Й4-р- 3 4~ ^s-p-^

Эту зависимость можно найти непосредственно, так как истинный шарнирный момент (46) и теоретический (41) отнесены к одним и тем же характеристикам крыла.

Рассмотрим случай статического закручивания крыла, когда

O=.p = p = Z = O и 6^0.

Тогда выражение (41) сразу дает

ДЛ7Ш = -рУЧ^Му.(47)

Но закручивание крыла на угол 6 равносильно изменению угла атаки хорды на тот же угол.

Согласно (43) при увеличении угла атаки на величину Да = 6 получается приращение шарнирного момента

А^ш = -|-^Р^26^.(48)

Сравнивая (47) и (48), находим, что коэффициент Qx определяется следующим равенством:

^ = дКш!8а.(49)

Если 6=9=р=2=0 и р 0, т. е. мы рассматриваем статическое отклонение элерона, то, рассуждая подобно предыдущему, найдем, что

Qs = д^ш/5р.(50)

Рассмотрим теперь случай чисто-изгибных колебаний крыла, когда е = о = р = р = о, и z о.

Из предыдущего (см. гл. II, разд. 2) известно, что эффект чисто-изгибных колебаний крыла сводится к изменению угла атаки хорды на величину

Д«2 =(51)

Приращение шарнирного момента согласно эксперименту по формуле (43) в этом случае будет —9К

Д/Иш =Дащ W dy = —2L VZt2 dy.

С другой стороны, выражение (41) дает

ДМШ = —pVZ&bt4y.

Сравнивая оба эти выражения, находим

Й5= — dKJda.(52)

Переходим к отысканию коэффициента й2. Рассмотрим случай

о = Р = з = Z = 0, б ^ 6,

т. е. случай, когда крыло вращается с определенной угловой скоростью 0, а отклонение элерона и изгиб отсутствуют. Значением шарнирного момента для элемента крыла бесконечного размаха в этом случае согласно (39) будет

(53)(53)АМШ = —рУ^3й20йг/.

(53)

(53)

Выше мы осуществляли переход от крыла бесконечного к крылу конечного размаха, пользуясь тем, что эффект, даваемый 6, р и 2, можно было заменить эквивалентным изменением угла атаки или отклонением элерона. В случае наличия угловой скорости (0 или Р) этого уже сделать нельзя, так как эффект, даваемый угловыми скоростями, эквивалентен не только изменению угла атаки, но и изменению кривизны профиля.

Поэтому в данном случае для перехода к крылу конечного размаха мы будем пользоваться тем же предположением, которым ранее пользовались при изучении аэродинамики вибрирующего крыла без элерона [1, 3]. Так как при Су = 0 отсутствует циркуляция вокруг крыла, то мы будем предполагать, что при Су = 0 все аэродинамические характеристики крыла не зависят от его удлинения.

Таким образом, переход к конечному размаху осуществляется следующим образом: мы имеем вращающееся крыло бесконечного размаха с элероном, обладающее шарнирным моментом (53) и определенным значением Су. которое найдется по формуле (23), где вместо дСу!да следует подставить его значение для крыла бесконечного размаха, равное л:

Поворачиваем крыло на угол А0 таким образом, чтобы получить значение АСу = 0. Очевидно, для этого необходимо повернуть крыло на угол

£Т£Т$0 \ tt / V$0 \ tt / V(55)(55)

£Т

£Т

$0 \ tt / V

$0 \ tt / V

(55)

(55)

В новом положении значение шарнирного момента найдется по формуле (39):

алтШо = - Рр^ ^11е + Q2 A- oj ay.(56)

Мы считаем согласно высказанному предположению, что АЛ/Шо одинаково как для крыла конечного, так и для крыла бесконечного размаха. Чтобы получить полное значение шарнирного момента для крыла конечного размаха в рассматриваемый момент времени, мы должны повернуть крыло обратно на угол А0. Этот поворот для крыла конечного размаха согласно (49) изменит шарнирный момент на величину

АМШ = -рР2^ (-А0) dy.(57)

Полным значением шарнирного момента, следовательно, будет

АМШ = АЛТ ш + ДМШ = - рW ^(Й! - Qi) А0 + Й2-^9] Й-(58)

То же значение по формуле (41) равно

(59)(59)(60)(60)ал/ш = —рУСй^ау.

(59)

(59)

(60)

(60)

Сравнивая (58) и (59), после подстановки значения из (55) находим

Й2 = й2 — (3/4 — xolf)^ — Q,) = Й2 — (3/4 — ^g/Z)^! — дКш!да).

Аналогично определяется значение й4. Рассматривается случай O = O = P = Z = O, з =# 0.

Ло формуле (39) находим шарнирный момент для элемента крыла бесконечного размаха:

АМШ = -рО4Й(61)

Значение АСу для рассматриваемого режима находится по формуле (23), где опять подставляется л вместо дСу1да. Затем поворачиваем элерон на угол Ар таким образом, чтобы получить значение NCy = 0. Согласно (23) находим, что Ар будет определяться равенством

АСу = вАР + ^Яр=О,

•откуда

ар=--^4-8-<62)

По формуле (39) находим значение шарнирного момента для крыла бесконечного размаха после поворота (согласно сделанному предположению ■оно сохранится без изменения и для крыла конечного размаха)

дмШи = - Р w (Q3AP + н4 -1- р) ау.(63)

Поворачиваем элерон обратно на тот же угол. Тогда для крыла уже конечного размаха получим полное значение шарнирного момента

А®ш = АМШо — Q3p^P2 (-АР) ay.

Подставляя сюда значения АМШо по (63) и Ар из (62) и сравнивая с (41), найдем

(64)

Следует отметить, что переход от бесконечного к конечному размаху для коэффициентов Q2 и Q4 не является однозначным. Можно получить различные формулы для Q2 и Q4 в зависимости от того, какое предположение положено в основу перехода. Так, например, можно переход к Су = 0 в случае |3 ^ 0 осуществить не отклонением элерона (на угол АР), а поворотом всего крыла (изменением угла атаки). Тогда получится для й4 значение

Q4 = Q4 — Н (Qi — дК^дау

Сделанные нами расчеты моделей показали, что разница в критической скорости за счет различных выражений Й4 получается чрезвычайно малой (в пределах 2—3%).

Окончательное выяснение вопроса о том, какая формула наиболее близко подходит к действительности, может быть сделано только после ряда дополнительных экспериментов и расчетов. Нам кажется, что следует пользоваться формулами (60) и (64). Ими мы и пользовались во всех расчетах.

5. ПРОВЕРКА ПУТЕМ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ

Рассмотрим предельные случаи, когда элерона нет (фш = л) и когда элерон распространяется на все крыло (фш =0).

При фш = л, т. е. при отсутствии элерона, величины G, Н, I и J в выражениях для подъемной силы (23) и продольного момента обращаются

в нуль, и, следовательно, формулы (23) запишутся в видев нуль, и, следовательно, формулы (23) запишутся в виде(65)(65)

в нуль, и, следовательно, формулы (23) запишутся в виде

в нуль, и, следовательно, формулы (23) запишутся в виде

(65)

(65)

Легко видеть, что эти выражения для АСУ и КСтЕ совпадают с выражениями для тех же коэффициентов в случае изгибно-крутильного флаттера зкрыла, приведенными в [1, 3].

При втором предельном переходе фп1 = 0 имеем

G = 1, Я = 3/4,1 = 0, J = —л/16.

Принимая во внимание, что в этом случае х6Н = 0, так как вращение происходит относительно передней кромки элерона, и положив 6 = 6=0, получим

дС, / Ч t ■1\

аСу = Та" (р + ” Т" РvZY

ЭС г 4 1.1\

Если в (66) заменить р и 3 соответственно через 6 и 9, то получим выражения для АСУ и АСт, непосредственно получающиеся из (65), если положить в них х0И = 0.

Поступаем аналогичным образом с выражением для шарнирного момента (41).

При фш = л непосредственной подстановкой значений Q; из (38) и (40) •сразу убеждаемся, что АЛЯШ = 0.

Предельный переход фш = 0 должен дать выражение, совпадающее с определенным в (66) выражением для АСт, так как в этом случае шарнирный момент переходит в продольный момент подъемной силы.

Полагая 6 = 6 = 0, получим для (41) следующее значение: ——— t— I . “I

ААГш = -р^ ^зр++.

Так как в рассматриваемом случае

9Ст _,8Кш8Кш

дададр 5

а по формуле (64)

0—0н8К™ \ к3 ( л,дСт \лз дСт

—Gдр /~ 44 \ 4'да у —164 да ’

получим

АЯт = — pW ж___3 + _—_^р + __p FZ)j ’

т. е. выражение, совпадающее с выражением для ^M = ACmpi2E2, где АСт выражается (66).

Глава III

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

При составлении дифференциальных уравнений движения крыла с элероном применим метод Галеркина, пользуясь приемом, указанным Е. П. Гроссманом при изучении вибраций крыла без элерона 14. Прием этот состоит в том, что заранее предполагается известной форма движения с точностью до множителя, зависящего от времени, и дифференциальные уравнения составляются в форме Лагранжа. Для составления уравнений Лагранжа необходимо вычислить кинетическую и потенциальную энергии системы, чем мы и займемся в первую очередь.

Пусть NM (рис. 19) — профиль крыла с элероном СМ в статическом положении и NiCiMi — тот же профиль в какой-либо момент времени во время колебаний. Центр жесткости Е профиля NM выбираем за начало координат, ось z направляем по направлению изгибных колебаний и ось ж — перпендикулярно ей. Обозначим, как и выше: Z — прогиб оси жесткости, 0 — угол поворота всего крыла и р — угол отклонения элерона. Произвольная точка Аг профиля NM в рассматриваемый момент времени займет положение Ац. В этот момент координаты ее будут:

для точек, расположенных на крыле (на участке TViCi):

zt = Z — at sin (уг + 0), жг = ot cos (уг + 0);(1)

для точек, расположенных на элероне (на участке CiM^\

zt = Z — a, sin (уг + 0) + pt sin (6 + 0) — рг sin (6 + 0 + P),

Xi = Oi cos (уг + 0) — рг cos (6 + 0) + рг cos (6 + 6 + P).(!')

Обозначения входящих в формулы величин указаны на рис. 1: нг — расстояние точек профиля до оси Е, рг — расстояние точек элерона до шарнира С. Кинетическая энергия рассматриваемого отсека определяется по общей формуле

^=4-^т4(^ + ^)’(2>

где суммирование распространяется по всем точкам рассматриваемого отсека крыла и элерона. Определяя xt и zt из формул (1), (!'), подставляем их значения в (2).

Получим

dT = Кг Z2 2 пц -4- Кг 02 2 т^ + Кг 93 S mA + Кг (6 + Р)2 5j тА ~ ККээ

— 202 miOi cos (у4 К 0) 4- Z9 2 mi9i cos (б 4- 0) —■(3)

Кэ

— (9 -|- [I) Z 2 ^iPi cos (5 4- 0 -[- р) — 02 2 ntiOiPi cos (6 ■— у,) 4- ээ

(0 4- Р) 9 2 WiPiOi COS (б 4- 0 — yj — 9 (6 4- £) 2 miPi cos р. ээ

Индекс «к», стоящий под знаком суммы, означает, что данная сумма распространяется на все точки рассматриваемого сечения крыла вместе с элеро- 14 См. [3] и [7].

ном (т. е. на все точки контура NiCiM,, см. рис. 19), индекс «э» означает, что суммирование идет только по точкам элерона (контур CiMa, см. рис. 19).

Очевидно, что

'^т .;, = т dy, т— погонная масса всего крыла вместе с элероном в рассмат- К

риваемом сечении;

2 Biia‘i = Imdy—• погонный полярный массовый момент инерции всего к

крыла вместе с элероном в рассматриваемом сечении относительно оси жесткости;

^mip\ = ImB1dy — погонный полярный массовый момент элерона в рассмат- э

риваемом сечении относительно оси вращения элерона.

Так как о;соз(уг + 0) = жг — абсцисса точки крыла MiNi, то

2 cos (yt 4- 0) = 2 ^i^i = mx^.^dy = ma cos (y + 0) dy, к

где a — расстояние центра тяжести всего крыла вместе с элероном до оси жесткости и у — угол между прямой, соединяющей центр тяжести крыла с осью жесткости и осью ж.

Аналогичным рассуждением находим

2 «ЦО; cos (6 + 0) = тэаэ cos (б + 0) dy. э

Здесь т3 — погонная масса элерона, о3 — расстояние центра тяжести элерона от оси вращения,

2 m-iPi cos (б + 6 + Р) = т&аэ cos (6 4-9 + Р)- 9

Несколько более сложно определяется значение суммы

2m+iPi cos (б — Уг). 9

Пусть (см. рис. 20) N\ECiM„ — контур крыла с элероном в какой-то момент времени. Точка Е — ось жесткости крыла, Ci — ось вращения элерона.

Проведем ось Ех по направлению скорости набегающего потока.

Пусть CiMi ■— положение элерона в неотклоненном состояниии и Лг —- произвольная точка на элероне. Тогда

У т^ОгРг cos (б — У 4 — У mi®iPi cos б cos у; + У ^i^ipi sin 6 8ш'у{.(3'>

эЭэ

Непосредственно из чертежа рис. 20 видно, что

Oi cos у, = ELV plo.osb = C1Ki = FLi, ^siny; = АД,

p4 sin 6 = K^A^.

Подставляя в (3'), находим

У; ту^г cos (6 — Yi) = У тДЕ^’Е;, 4- У miAiLiKiAi = эээ

= 3 пцЕЕг (ЕЕ;. — рш cos уш) Н У тДЦ. АД — рш sin уш) =

9Э

= У m-t (ЕЕ* + АД) — рш [cos уш У miELi 4- sin уш У пцАД\ =

9ЭЭ

= У тД — рш (cos уштэ dyx^ + sin ушт3 йууД, э

где Хц.т и уц.т — координаты центра тяжести элерона в неотклоненном положении.

Легко видеть, что хц.т cos ym + уц т sin уш = ^эЕ, где |аЕ — расстояние- центра тяжести элерона от оси жесткости крыла, отсчитываемое вдоль прямой, соединяющей ось жесткости с осью вращения элерона Ci. Кроме того,.

У myo; = ImaE dy, э

где 1тзЕ — погонный момент инерции элерона относительно оси жесткости крыла.

В силу этого

У /Пг^гРг 60S (6 — у.;) = (I тэЕ — тэрш?эЕ) dy.

Таким же образом легко получить

У т-УЕ cos (6 — Yi н- Р) = (1тэЕ — т3рш£аЕ) dy,

где ГтЭЕ и ^эЕ — соответственно момент инерции элерона относительно оси жесткости и расстояние центра тяжести элерона от этой оси, взятые для элерона в отклоненном положении.

Собирая полученные результаты и подставляя в (3), находим

dT = р/г mZ2 Ц- Па 1т9- 4* Пг 4тш92 4~ 1/г ^тш (9 4" Р)2 — maZQ cos (у 4~ 9) 4*

m3a3Z9 cos (б 4- 0) — maoa (0 + Р) 2 cos (6 + 9 4- Р) —

(4щ3Е ’ ^зРшвэе)92 4" (-^тэЕ ^эРшзэе) (9 4" Р) 9

— 4тше (0 4- Р) cos Р] dy.(4)

Мы полагаем, что б, у, 0, р, Z, 9 и р малы (что вполне соответствует действительности в момент начала вибраций, т. е. при скорости, близкой к крити-

ческой). Тогда, ограничиваясь в (4) членами низшего порядка малости (полагая косинусы углов равными 1) и учитывая, что при малом р 15

I тэЕ6П эРш^эЕ ^ IтэЕ ^эРш^эЕ — ^тш Ч~ ^э^эРш^(5)

мы можем выражение (4), дающее значение кинетической энергии отсека крыла ширины dy, окончательно переписать в виде

dT = [V2 mZ1 4- V2/т92 + V2 Д^Д2 — moZd — m3o3Z^ 4

+ (I™ 4- тэ<т3рш) 03] dy-(6)

Интегрируя это выражение по размаху крыла, получим выражение полной кинетической энергии вибрирующей системы

Г* .1 Р .1 Г* .Р . .

Т = — \ mZ2 dy + — X 1^ dy 4- -у \ 1тш^2 dy — \ moZQ dy —

ООУ10

— m3o3Z^ dy + ^mm 4- тэоарш) 03 dy,(7)

где yi и y3 — расстояние по размаху соответственно до начала и конца элерона.

Потенциальную энергию вибрирующей системы легко написать сразу по известным формулам сопротивления материалов

?I7/2

U =\ EI du \ GIL —5— du L \ R^du.(81

2 J \ dy^ J y 2 p \ dy j y 2 v yx r

Первый член этого выражения дает значение потенциальной энергии изгиба крыла, второй — потенциальной энергии кручения крыла, третий член —■ потенциальную энергию при отклонении элерона. Величину R мы в дальнейшем будем называть жесткостью крепления элерона — это есть погонный момент, который необходимо приложить к элерону, чтобы отклонить его на один радиан (если бы при этом отклонении все время сохранялся закон Гука). В дальнейшем будет подробно указано, как этот коэффициент определить для конкретного самолета.

Деформации Z, 6 и р изменяются по размаху крыла, а в каждой точке крыла меняются во времени. Как обычно, будем искать их в виде произведения двух функций, первая из которых зависит только от у, а вторая — только от т:

Z = / (У)? (ТЬ 6 = ф (у) г (т),р=ф(у)з(т).(9)

Функции f (у), ф(у) и ф (у) характеризуют форму колебаний, a q (т), г (т) и s (т) определяют положение системы в каждый момент времени.

15 Эту формулу легко получить следующим образом:

^тэЕ таРщ^аЕ 1-^тш ' тэ°у + тэ (°э + РщГ! тэ Рш ^аэ "Г Рш)’

так как 1тш — тэсг| — погонный момент инерции элерона относительно центра тяжести его. Раскрывая скобки и приведя подобные члены, получим формулу (5).

Функции / (у) и ф (у) должны удовлетворять граничным условиям. При у = 0 (в месте крепления крыла к фюзеляжу) прогиб и угол кручения равны нулю, и кроме того, упругая линия не должна иметь излома. Это приводит к условиям

/ = О, dfldy = 0, ф = 0 при у = 0.(10)

На конце крыла должны в любой момент времени быть равны нулю перерезывающая сила, а также изгибающий и крутящий моменты. Это дает 18

=-—=0,—— =0 при у = 1.(И)

dy-du-dy6°' '

Будем временно полагать, что функции /, ф и ф нам известны (т. е. известна форма колебаний крыла). Тогда величины q, г и s будут полностью определять положение системы в каждый данный момент времени. Эти величины мы примем за обобщенные координаты.

Уравнениями движения в форме Лагранжа будут уравнения

d рт \ эт аи _о

dxX dqJdq'dq

dx \dr)drdr'/

ri' /g7\ _ ЭГpJ_o

dx \O's/6s'6s'-s’

где ф Qv и Qs — обобщенные силы, определяемые формулами

Qq = ^dQq, Qr = ^dQr, Qg^dQs,(13)

a dQq, dQ,., dQs — обобщенные силы на элементарном отсеке крыла и суммирование распространено по всем отсекам крыла.

По известным формулам теоретической механики /8х.дг. \

dQq = У Рж.-А +,

4 j \ г oq г од /

/ Эх.dz. \

«Х-^фтг + Рф.<14)

Здесь Ps., Pz — компоненты по осям жиг внешней силы, действующей на г-ю точку системы, ау и гг — координаты этой точки, определяемые формулами (1), (!'). Суммирование распространяется на все точки рассматриваемого элементарного отсека крыла.

Вычислим выражения обобщенных сил в явном виде через деформации и обобщенные координаты q, г, s.

Подставляя выражения (9) в формулы (1), (!'), найдем выражения декартовых координат произвольной точки вибрирующей системы в любой момент времени через обобщенные координаты.

На криле

хг = ot cos (уг + Гф), Z; = qf — Gt sin (^ + Гф).(15)

На элероне

Xi = Gt COS (уг + Гф) — Pi COS (6 + Гф) + рг COS (6 + Гф + sip),

+ = qf — Ot sin (уг 4- Гф) + Pi sin (6 + Гф) — рг sin (6 + гф + sip). (16)

Пользуясь этими выражениями, вычисляем значения производных dxjdq, dxtldr, . . . и подставляем в (13). Будем иметь

^=3^/ = /^(17)

где dPz — компонента по оси z, равнодействующей всех внешних сил, действующих на рассматриваемый элементарный отсек. Индекс «к», стоящий под знаком суммы, как и выше, означает, что суммирование распространяется на все точки крыла и элерона. Индекс «э», как и выше, означает, что суммирование идет только по точкам элерона:

^Qr = — ^10, [Рх sin (Yi + 9) + Pz. cos (Yi + 0)] ф +

к11(10)

+ S Pi \Р=ч sin (б + 9) + Рг= COS (6 4- 6)] ф — э

— 2 Pi [sin (6 + 0 + Р) Рх + Pz cos (6 + 0 + Р)] ф.

9

Пусть (рис. 21) NrECiM2 — крыло с элероном в какой-либо момент времени; NiECiMi —■ то же крыло, если бы элерон относительно крыла не отклонялся. Компоненты внешней силы, действующей на произвольную точку At крыла или элерона, по осям z и х мы обозначили Р^ и Рж (см. рис. 21). На чертеже через (и) обозначена нормаль к отрезку ЕА t = g^ соединяющему точку At с осью жесткости крыла Е.

Тогда, как непосредственно видно из рис. 21, имеем

Рх. sin (уг + 0) + PZi cos (у; + 0) = Pi'\

где Р[п) — проекция внешней силы, действующей на произвольную точку крыла или элерона At на нормаль (и) к отрезку Gt, соединяющему рассматриваемую точку крыла или элерона с осью жесткости Е. В силу этого

— S Oi Рх. sin (Yi + 9) + Pz cos (Yi + 0)] ф = — S о4Р?\р = dMExp, к 1к■

где dME — момент относительно оси жесткости всех внешних сил, действующих на рассматриваемом элементарном отсеке крыла.

Последние две суммы, входящие в выражение (18), обозначим Д. Их можно представить в следующем виде:

△ = Spi[^XiSin(6 + 0) 4- Рг. cos(6 + 9)]ф — э

— 3 Pi [^x.sin (6 + 9 + Р) + Рг. cos (6 + 9 + ₽)] ф =

3

= -23р48т(Р/2)[Рж.со8(6 + 0 +₽/2)-Рг.шп(6 + 0 + Р/2)]фо(19)

э

17 Заказ № 1090

ные. 21ные. 21Внешними силами являются силы аэродинамические. Как мы видели выше, они являются величинами первого порядка малости, так как выражаются однородными линейными функциями в зависимости от деформаций и их производных (см. гл. II, формулы (23) и ‘ (39)). Следовательно, Рх и Рт — величины первого порядка малости. В выражении (19) они умножаются на sin (Р/2) — также величину первого порядка малости, и потому А будет величиной второго порядка малости.

ные. 21

ные. 21

ного переписать формулу (17) в следующем виде:ного переписать формулу (17) в следующем виде:Ограничиваясь величинами первого порядка малости, можно в силу сказан

ного переписать формулу (17) в следующем виде:

ного переписать формулу (17) в следующем виде:

(20)(20)dQr = <7Мяф.

(20)

(20)

Наконец, подставляя в последнюю из формул (13) значения х, и zz из (44) и (15) и преобразуя результат аналогично предыдущим, найдем

d(?s = — 5 Pi [^ sin (6 + 0 + Р) 4- Pz cos (6 + 0-4 Р)] ф = йЛ/шф, (21)

3

где дМщ — момент всех действующих на элементарный отсек элерона внешних сил относительно шарнира.

Подставляя (16), (20) и (21) в (12), найдем выражения полных обобщенных сил системы:

zI

Q^^jdP^^fdP,, Qr=^q)dME = ^dME, оо

<?3=2'Ф^^ш= ^Мш.(22)

Как уже указывалось, внешними силами являются силы аэродинамические, выражения для которых были получены в гл. II. Поэтому

dPz = ^CyptV4y, dME==^CmEptaV4y,

dMm = ^£2i0 + £2г -р- 0 + £2зР + 64 -у- $ + £25 -jr Z^ pVaP dy.

Подставляя эти значения в (22) и воспользовавшись выражениями (23) (см. гл. II) для АСУ и \СтаЕ-> окончательно будем иметь

Qq = —- d-uVq — bi2Var — di2Vf — &i3F+ — d1376:,

Qr = — ^21^ q — b22Var — d22Vf — £>237+ _ d28Vs,(23)

Qs = — d3XV q — b82Var — d32Vf — &337+ — d33Vs,

где обозначено:

с эс du==p^ ~д^1Р dy,

bis— P ^ ( da G+^t^dy,

0

,ЭС

O12 = — ptftp dy,

6

^23 = — p ) (—55— H 4- J j <3фф dy,'

с ЭС / 3„ ,

0

) fcp^2 dy, d3X = p ^ Q5^2/^ dy,(24)

bis = — P -^ Gt^ dy,

С2 ЭС

^32 = P ^ Й2^3фФ dy,

У2

di3 = — pHf2f^ dy,

^33 = P ^ Q^3^2 dy,

C1 dC

^21 = P ga t2h dy, 0

632 = p ^ йх^ф-ф dy.

PH da U 0

— -^ J ^ф2 dy, b33 = P ^ Qs^V ^7’

У1

/ ЭС

Ь^ = — р \ — ”-- £3ф2 dy. ' г) да ту

Подставляя (7), (8) и (23) в (12), мы в силу (9) получим уравнения движения в следующем виде:

Сну + duVq 4- auq + c13r +- d^Vf 4- b13V2r + Ci3s + dX3Vs + bi3V»s = 0,

Cai^ "1" ^12^q 4~ c33r 4* Й22Иг 4" (Я22 4” ^гаИ3) r 4~ c33s 4* d^gVs 4" b33V2s = 0$

(25)

c3iq 4" <7з1^9 + C32C -)- d3iVf 4- Ьз2И2г -|- Озз $ + d33V s -|- (Ьзз!72 4* йзз)5 = 0?

гдеiСц = ( mf dy,6«11= \ ь1 dq, ,)\ Ay1 / s0гдеiСц = ( mf dy,6«11= \ ь1 dq, ,)\ Ay1 / s0iC29 — ^ -^тф dy,0iC29 — ^ -^тф dy,01C12 = — ^ maf(p dy,01C12 = — ^ maf(p dy,0/ Йф \2«22 = \ Wp dy,0№c23 = ^ (^7ПШ 4- т8о3рш) фФ dy,/ Йф \2«22 = \ Wp dy,0№c23 = ^ (^7ПШ 4- т8о3рш) фФ dy,(26)(26)

где

i

Сц = ( mf dy,6

«11= \ ь1 dq, ,)\ Ay1 / s

0

где

i

Сц = ( mf dy,6

«11= \ ь1 dq, ,)\ Ay1 / s

0

i

C29 — ^ -^тф dy,0

i

C29 — ^ -^тф dy,0

1

C12 = — ^ maf(p dy,0

1

C12 = — ^ maf(p dy,0

/ Йф \2

«22 = \ Wp dy,

0

№

c23 = ^ (^7ПШ 4- т8о3рш) фФ dy,

/ Йф \2

«22 = \ Wp dy,

0

№

c23 = ^ (^7ПШ 4- т8о3рш) фФ dy,

(26)

(26)

HiУз

1'13 = — ^ ^эЧа/Ф dy,С31 =^ ТП-э°э^ dy,

с-21 = — \ тч/ф dy,с33 = \ Лгешф2 dy.

Из рассмотрения формул (26) видим также, что

Cai = Cig, С32 = С23»(27у

Глава IV

ИЗГИБНО-ЭЛЕРОННЫЙ ФЛАТТЕР

Выше мы рассматривали общий случай флаттера крыла с элероном, полагая деформации 0, Р и 2 сравнимыми между собой. Однако часто встречаются случаи, когда какая-либо из жесткостей (изгиба, кручения либо крепления элерона) велика по сравнению с двумя остальными и соответствующая деформация мала. Тогда мы можем пренебречь влиянием этой деформации и считать, что движение происходит с двумя степенями свободы. Расчет в этом случае весьма упрощается.

По-видимому, наиболее часто малой оказывается деформация кручения. В настоящей главе мы будем рассматривать флаттер крыла с элероном, считая жесткость крыла на кручение настолько большой, что деформацией кручения можно пренебречь:

0 = 0=0.

1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Прежде всего отметим то обстоятельство, что, пренебрегая кручением крыла по сравнению с остальными деформациями, мы тем самым полагаем крыло бесконечно жестким на кручение и, следовательно, нас не интересует приращение момента подъемной силы АСтЕ, закручивающего крыло.

Выражение для ACy и АМШ (см. (23) и (43), гл. II), если положить в них 0=0=0, дают

дА/^-рКуДад + й.фр + аАгу(2;

где

G = 1/л (л — фш + sin фш),(3)

Я = 1/(2л) [л cos фшБ + sin фш + ]/2 (л — фш) — ^ sin 2фш].

Как и раньше, значения этих величин можно брать непосредственно из рис. 16.

Величины Q3, Q4 и Qs определяются равенствами

“8 ар ’g (Й8 ар у’д^Г •^

Значения Q3 и П4 тоже могут быть взяты из рис. 18, е, г.

[2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Значительно упрощаются также в случае изгибно-элеронного флаттера и дифференциальные уравнения движения.

Положив в уравнениях (25) (см. гл. III) 0 = 9 = 0 и исключив из рассмотрения уравнение крутильных колебаний системы крыло—элерон, придем к следующей системе дифференциальных уравнений:

сид + dnVд -Ц аид -Ц ci3s -Ц c7i3F8 -]- bi3V2s = 0,(5)

сз15 + dgiVg + c3as + d33Vs {b3aV2 + a33) s = 0.

Значения величин cn, du, ап, . . ., a33 приведены в гл. III (см. формулы (26)).

Будем искать решение этой системы в виде

q = Лое^т, s = Сое^.(6)

Тем самым мы задаемся определенным видом движения — гармоническим колебанием.

При скорости, меньшей критической, колебания затухающие, при большей — нарастающие. Гармонические колебания возможны только при скорости полета, равной критической. Таким образом, система (5) имеет решения в виде (6) только при скорости, равной критической, и мы можем искать последнюю как скорость, при которой выражения (6) удовлетворяют уравнениям (5).

Подставив (6) в (5), мы для определения постоянных А 0 и Со получим систему линейных однородных уравнений. Для того чтобы эта система имела решения, отличные от нуля (что, как указывалось, возможно только при V = = Fbp), необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Это и есть условие для определения критической скорости и частоты. Приравнивая этот определитель нулю, получаем

— Сир2 + ipVdn + ail, —С13р® + ipVdi3 + 613F3 I

— c3ip3 + ipVd31, ~c33p2 + ipVd33 + 633И2 + a33|°"^

Развернув этот определитель, получим

Ар4 — ip3B — Ср2 + ipD + Е = 0,(8)

где

А = М8, В = M6V, С = М3 + М5У2, D = (М.2 + M^V2) V,

Е = Mi + M4V2(9)

и где, в свою очередь, коэффициенты Mi, М2, . . ., М8 соответственно равны:

Mi = аца33,М\ т= and33 Д- cZna33, AT 3 ctnc33 -]— cna33,

М4 = anb33,М5 = dnd33 + cnb33 — dxadgi — Ь13с31,(10)

Mg = cnd38 + dnc33 — Cgi^is — d3ici3,

Mi = ^ii633 — 613^31» Ms = cnc33 — C13C31.

Приравнивая в выражении (8) нулю действительную и мнимую части по отдельности, получим два уравнения для определения критической скорости V и частоты р. Исключая из этих уравнений р, найдем для определения

К условие

BCD — ВтЕ — D“A = О,(И)

и р определится равенством

р- = DIB.(12)

Если подставить в (11) значения величин А, В, С, D и Е из (9) и обозначить через

L = М.0М6М, - *

М = М2М5М6 + М3М6М^ - .ПД/;; - 27И2>,-М8,(13)

N = М0М3Мв — МгМ2 - мХм8,

то уравнение для определения критической скорости можно записать в виде

Е^ + MV1 A-N = О, и, наконец,,

т/2 —М+умз — \LN_.,,

с Кр —2Z•' '

Этим и решается поставленная задача, так как коэффициенты L, Мх N, равно как и М17 М,, . . ., М8, могут быть вычислены для каждого конкретного случая по приведенным формулам, если известны функции /(у) и ф(у).

’ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ f^ И ^

Для определения критической скорости нам необходимо задаться видом функции изгибных колебаний крыла / (у) и функции изменения углов закручивания элерона по размахуф (у), которые входят в выражения коэффициентов (24) и (26) (см. гл. III).

Функцию изгибных колебаний крыла f (у) мы выбираем таким же образом, как и в случае изгибно-крутильного флаттера, а именно считаем, что форма изгибных колебаний крыла в потоке такая же, как и при колебаниях того же крыла в пустоте.

Дифференциальным уравнением изгибных колебаний в пустоте будет

0.0.

0.

0.

После подстановки Z = Af (у) е1рт получаем уравнение для определения функции f !уУ.

d3 dyd3 dy

d3 dy

d3 dy

из которого и определяем / (у) методом последовательных приближений. Способы определения функции / (у) подробно изложены в [1, гл. II], поэтому мы на них останавливаться не будем.

Более значительные трудности представляет задание функции ф (у), характеризующей изменение угла отклонения элерона по размаху.

Если считать элерон твердым телом, то в случае изгибно-элеронного флаттера углы отклонения элерона одинаковы по всему размаху, и, следователь-

но. в этом случае

ф (у) = const.

Так как функции / (_у) и ф (у) можно задавать с точностью до произвольной постоянной (см. [1]), то проще всего положить

ф (г/) = 1.

Если же элерон состоит из нескольких жестких, но не связанных между собой отсеков, то уже нельзя указать соображений, по которым можно было бы задать эту функцию заранее. Ответ на этот вопрос могут дать только специально поставленные исследования.

Ниже будут показаны некоторые предварительные способы задания функции со (г/).

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ,ПОЛУЧЕННЫХ РАСЧЕТОМ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Изложенная выше теория изгибно-элеронного флаттера была проведена на ряде опытов. Для этой цели был построен ряд однотипных моделей. Были просчитаны три модели. Модели 1 и 2 отличались друг от друга только площадью элерона. На модели 1 стоял элерон с большей, на модели 2 — с-меньшей площадью. В обеих моделях элерон состоит из шести не связанных между •собой отсеков. ■

Модель 5 имела неразрезной элерон и иные, чем модели 1 и 2, геометри

, показанной на рис. 22., показанной на рис. 22.Рис. 22Рис. 22аа работу крыла.то преимущество, что делает возаа работу крыла.то преимущество, что делает возческие и массовые характеристики.

, показанной на рис. 22.

, показанной на рис. 22.

Рис. 22

Рис. 22

аа работу крыла.

то преимущество, что делает воз

аа работу крыла.

то преимущество, что делает воз

Опишем вкратце конструкцию модели □

Модель состоит из металлического лонжерона, на который надеты отдельные жесткие отсеки, каждый из которых крепится к лонжерону в одной точке. К каждому отсеку крыла, за исключением корневого, прикреплен свой элерон. Таким образом, элерон также состоит из отдельных, не связанных между собой отсеков. Последнее сделано для устранения возможности заклинивания элерона, а также чтобы устранить влияние жесткости изгиба элерона

Подобная конструкция моделей имеет

можным простое и, точное определение расчетных данных.

Так, жесткости модели на изгиб и кручение создаются только лонжероном и их определение весьма просто. Погонный вес модели определяется также просто, так как его можно определить взвешиванием каждого отсека в от

дельности.

Момент инерции каждого отсека определялся методом физического маятника (см., например, справочник Хютте, т. 1).

Аэродинамические характеристики дСу1да, дСш!да и дСт!8^ определялись непосредственно из продувок в аэродинамической трубе. Следует отметить, что, в то время как дСу!да из продувок определялся довольно точно, коэффициенты шарнирного момента ЭСш1да и дСщ!8^ были определены более грубо. Это объясняется Тем, что вообще не существует способов достаточ-

но надежного определения шарнирного момента в аэродинамической трубе, а в данном случае неточность еще увеличивалась благодаря гибкости моделей.

Для выяснения диапазона разброса коэффициента был проведен ряд повторных продувок, в результате которых были установлены пределы, в которых находятся коэффициенты дСш!да и с/Сщ/сф. Для моделей 1 и 3 расхождение между крайними значениями дСш!да и дСш18^> было 25%, для модели 2 оно достигало 50%. Поэтому все расчеты на критическую скорость производились в двух вариантах. В дальнейшем мы условимся называть первым вариантом расчет, производимый при наибольших возможных значениях коэффициентов дКш1д^, и <9ХШ/ЗР (эти коэффициенты получаются простым пересчетом из известных дСщ^да. и дСш1д$ по формулам (45) (см. гл. II)), и вторым вариантом — расчет с наименьшими значениями этих коэффициентов.

Определение критической скорости в опытах производилось постепенным повышением скорости потока. Точность опытного определения критической скорости лежит в пределах +0,5 м/с.

Точность определения критической скорости проверялась также искусственным возбуждением. При скорости потока, меньшей на 0,5 — 0,6 м/с, модели сообщались толчки, во всех случаях колебания были затухающими.

Наиболее трудным было точное определение степени весовой балансировки элеронов. При о3/£3, близких к нулю, точное определение положения центра тяжести (величины оэ+) становилось весьма затруднительным, и в этих случаях погрешность могла достигать 1—1,5% хорды элерона (что в абсолютных цифрах соответствует перемещению центра тяжести на 0,5 — 0,8 мм).

Затруднительным также оказался способ задания функций ф (у). Для моделей 1 и 2. у которых элерон состоял из отдельных, не связанных между собой отсеков, уже нельзя было полагать ф (у) = const, как это можно сделать для цельного элерона (модель 3).

Так как вид функции ф (у) нам неизвестен, то был предпринят ряд расчетов с разными законами изменений углов отклонения элеронов по размаху.

Был проделан ряд расчетов сф (у) = y/Z, т. е. с линейным изменением углов отклонения элерона по размаху, затем те же модели были просчитаны с ф (у) = / (у), т. е. в предположении, что углы отклонения элерона по размаху пропорциональны амплитудам прогибов. Конечно, ни тот, ни другой способ задания функций не является достаточно строго обоснованным.

Уточнить вид функции ф (у) можно будет только на основе дальнейших экспериментов или пользуясь расчетом по методу последовательных приближений, который изложен в гл. VI. К счастью, в действительности у натуральных самолетов элероны можно рассматривать как твердое тело, и потому для них ф (у) = const и затруднения с выбором функции отпадают.

Так как нам неизвестно, какая из выбранных функций: ф ^ уН или ф = ^ / (z/) — ближе соответствует действительности, мы на рис. 23 приводим значения критической скорости в зависимости от местоположения центра тяжести, вычисленные как с одной, так и с другой функцией. Как видим, вычисленные значения критической скорости лежат ближе к опытным, если считать ф (у^ — у!1.

ВЛИЯНИЕ СТЕПЕНИ ВЕСОВОЙ БАЛАНСИРОВКИ ЭЛЕРОНАНА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ

Известно, что одним из существенных факторов, влияющих на величину критической скорости, является весовая балансировка элерона. Поэтому были проделаны расчеты для выяснения количественных соотношений между величинами Укр и а3Ц3.

Первая серия расчетов была проделана при свободных элеронах, т. е. при а33 ~ 0. В результате расчетов были получены кривые FKp в зависимости от o3jt3 для моделей 1—3, нанесенные на рис. 24.

Модель 3 имела неразрезной элерон, и поэтому для нее ф (z/) = const. Все расчеты были проведены в двух вариантах при различных значениях дКт!да и ЭК^д^. Этими расчетами подтверждается тот экспериментально известный факт, что с повышением степени весовой балансировки элерона (уменьшением o^t^ критическая скорость возрастает. Однако это возрастание не настолько велико, чтобы можно было при помощи частичной весовой балансировки добиться значительного увеличения критической скорости.

Из графиков рис. 23, б и 24, а, б, где нанесены также опытные значения Укр в зависимости от Gjtai видно, что наибольшее расхождение между значениями критической скорости, полученными по расчету, и из опыта достигает 20%. Вообще же совпадение теории и опыта должно быть признано достаточно удовлетворительным.

Также видно, что в то время как эксперимент показывает, что при полной весовой балансировке элерона крыло не вибрирует, расчеты дают для случая полной весовой балансировки конечную величину критической скорости. По расчетам, крыло будет устойчивым при любых скоростях только при некоторой весовой перебалансировке элерона. Эта степень весовой перебалансировки элеронов для модели 1 будет 0,2%, для моделей 2 и 3 — соответственно 0,3 и 0,22%.

Это несоответствие между данными опыта и расчета может быть отчасти объяснено недостаточно точным определением центра тяжести элерона, которое сильно сказывается при a3[t3, близких к нулю. В самом деле, изменение аэИэ на 0,5 % (в области малых оэ/£э) Уже приводит к почти полному совпадению опытных и расчетных значений Укр.

Вообще же полная весовая балансировка гарантирует крыло от флаттера при условии также полной аэродинамической компенсации. Подробнее об этом будет сказано ниже.

Отметим также следующий факт. Кривая Укр = V (o3fta') ограничивает область неустойчивого движения. Так, при o3it3 ^2% (см. рис. 24, а)

флаттер начинается на расстоянии 16,7 м; от 16,7 до 24 м — область сильного флаттера; начиная с 24 м флаттер прекращается и крыло опять устойчиво. Этот факт, впервые отмеченный Фрезером и Дунканом [2], неоднократно наблюдался и нами. Характерно, что если еще повысить скорость потока, то флаттер с преобладанием изгиба крыла и отклонения элерона может перейти в иную форму, при которой будет преобладать кручение крыла и отклонение элерона. Это, например, имело место в модели 2 при скорости потока, равной 47 м/с.

ОБ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ

Во время колебаний элерона относительно крыла всегда имеются силы и моменты трения в подшипниках элерона, в системе управления элероном. При выводе дифференциальных уравнений движения этими воздействиями сил трения мы пренебрегли, считая их малыми по сравнению с остальными воздействиями на вибрирующую систему крыло—элерон.

Однако в некоторых случаях неучет сил трения может дать значительную погрешность при определении Укр.

В наших опытах подобное явление имело место для модели 2. в которой благодаря малой площади элерона и большому количеству шарниров элерона, как и следовало предполагать, силы трения дали заметный эффект.

В качестве первого, достаточно грубого приближения мы предположили, что момент трения пропорционален угловой скорости отклонения элерона р.

В дальнейшем мы ограничимся тем, что будем рассматривать случай из- гибно-элеронного флаттера.

Учитывая момент трения, мы должны будем к обобщенным силам AQS (см. гл. III, (21), (23)) прибавить еще член, равный —k^dy^ где к — коэффициент пропорциональности. О способах его определения будет сказано ниже.

Введя, как и раньше, р (г/, т) ?= ф (z/)s (г) и обозначив

«зз = \^Й>(15)

У1

можем написать дифференциальные уравнения изгибно-элеронного флаттера (5) для данного случая в виде

Сц^ + dnVд Ц- ацд -(- Ci3s ф- d-^ s 4- 513У28 = О,

Сзгд + <7з1УЧ + £338 + (йззИ ф- «33) s ф- (633У2 Ц- «33) 8 = 0.

Из этой системы обычным путем находим уравнение для определения критической скорости Икр и частоты р флаттера:

— сцр2 + ipVdu 4- an, —Ci^^ipVdis + biaV2,

— c3iP2 + tpV d3i, — c^sP2 4- Ip ^d33V + йзз) 4~ (^зз^72 + йзз)

Раскрыв этот определитель, приравняв по отдельности нулю действительную и мнимую части и исключив из получившихся уравнений р, получим уравнение для определения величины критической скорости:

AiV6 + Л2У5 + A3V4 + АХ + X2 + A6V + А. = 0,(16)

где

At = M5M6Mi - MX,А2 = МХМ» +, M6MiM10,

А3 М3МвМ7 + М^МХо + ТИ3М5М„ - MX - 24/2.1/7.1/.ч,

А4 = 2И3М„2И1О + Л/а Л/71Л. + М.2М5М9 + М5МвМц - 2Л^М„М9 -

— 2М7М8Мц,

А5 = М3Я3М6 + М2М9М10 + Мг,МгоМуг + Л^М^ - Л/Ж -

— MX - ^М,(17)

А3 = М.2М3М9 4* М3М3Муу -4 Л/9Л^1О71/11 — 2Af17kf64^9 — 2М2М8Мп,

л 7 = м3мХг — мМ — мХп

и где, в свою очередь, коэффициенты Мг, М-2, . . ., М8 определяются формулами (10), а коэффициенты Л/9, М10, Мц равны:

М9 = сиа33, М10 = dnaS3l М41 = а^а.^.(18)

На основе изложенного нами были учтены силы трения при определении критической скорости модели 2.

Для этого прежде всего надо было определить коэффициент пропорциональности к, входящий в выражение а33 (см. (15)).

Определение этого коэффициента производилось экспериментальным путем. Для этой цели закрепляли неподвижно в вертикальном положении отсек крыла с элероном, сообщали затем элерону импульс и измеряли число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 100 раз.

Дифференциальное уравнение движения отсека элерона в этом случае имеет следующий вид:

1тХ кХ mga3^ = 0(19)

или

р 4- Ир 4- fo2P = о,

где и ~ к!1тш, К2 = iag(53lIтщ.

Декремент затухания определяется по формуле

ln> =

Рз]/4/гг/и2— 1

Из (20) по известному из опыта отношению Pi/p2 = ЮО и заданным: /тш и № = mgajlmyi определяли коэффициент пропорциональности к. Следует отметить, что эксперимент был проведен довольно грубо, так что результаты следует рассматривать главным образом с качественной стороны.

Для определения приращения величины критической скорости, получаемой при учете трения, был сделан пересчет кривой, дающей зависимость

Рис. 25Рис. 25моменты трения в подшипникахмоменты трения в подшипникахопределить, и трение в системеопределить, и трение в системеИкр от степени весовой балансировки: для свободных элеронов (а33 ^ 0).

Рис. 25

Рис. 25

моменты трения в подшипниках

моменты трения в подшипниках

определить, и трение в системе

определить, и трение в системе

На рис. 25 приведены опытная кривая, кривая, полученная без учета трения, и, наконец, кривая с учетом сил трения.

Как видим, даже грубый учет сил: повышает величину критической скорости в среднем на 13%. Это повышение величины критической скорости благодаря наличию трения играет особенно существенную роль в области, близкой: к полной весовой балансировке.

Определение моментов трения реаль-

ного крыла разделяется на две части: элерона, которые, вообще говоря, можно управления элероном. Последнее можно-

учесть, по-видимому, только по декременту затухания системы в каждом

конкретном случае.

О ЖЕСТКОСТИ КРЕПЛЕНИЯ ЭЛЕРОНОВ

Выше мы проводили расчеты для случая свободно болтающихся элеронов а33 — 0. Однако в действительности элерон скреплен с крылом упругой; связью — системой управления, присоединенной либо к штурвалу, либо к ручке пилота. Поэтому интересно выяснить влияние жесткости крепления' элерона к крылу.

В результате ряда расчетов, в которых менялась величина упругого закрепления при прочих постоянных характеристиках, были получены кривые FKp в зависимости от жесткости крепления элерона, характеризующие влияние упругого закрепления элеронов.

Прежде всего остановимся на вопросе о способе определения жесткости: крепления элерона (коэффициента 7?). Здесь возможны два пути.

Определение жесткости крепления элерона из статиспытаний. Мы полагали, что при отклонении элерона на угол р за счет жесткости крепления возникает восстанавливающий момент на единицу длины элерона, равным 7?Р, где 7? — коэффициент пропорциональности (жесткость крепления). Таким образом, прилагая к элерону равномерно распределенную нагрузку интенсивности q на расстоянии £ (у) от оси элерона (удобно брать £ (z/)/ta = — const) и замерив получающийся при этом угол отклонения элерона Р, можем определить 7? из уравнения

$ ^ (у) Й = 7?р (z/2 — z/i). (21) 3/1

Очевидно, этот способ применим только в том случае, если элерон сам по себе достаточно жесток и р не меняется по размаху. Если q = const и ^ (yyita= const, то интеграл, входящий в уравнение (20), можно вычислить, и мы будем иметь

7? = ^qSJt3 (у2 — у^ Р,(21')

тде Sa — площадь элерона.

Нам представляется более надежным второй путь определения жесткости крепления элерона — исходя из экспериментального определения -частоты собственных колебаний последнего. Этот путь можно применить л в том случае, если углы отклонения элерона не постоянны по размаху.

Напишем уравнение собственных колебаний элерона в пустоте. Для это- то достаточно в последнем уравнении системы (5) (см. гл. IV) положить равными нулю аэродинамические силы. Получим

c33s + a33s = 0.(22)

Полагая, как обычно, s = Се’Рт, получаем

—с33ра + а33 = 0.(23)

•Откуда

азз — СззР2,(24)

тде р есть частота собственных колебаний элерона. Таким образом, по формуле (24) мы сразу можем определить коэффициент а33, избегнув необходимости предварительно определять 7?.

Однако в уравнении свободных колебаний (22) необходимо предварительно определить коэффициент с33. Его выражение (формулы (26), гл. III) есть

Сзз= ^ Т^тшф2 dy.(2а)

Здесь 7тш — погонный момент инерции элерона — должен вычисляться с учетом того, что в вибрациях участвуют также тяги элерона, ручка управления и т. д. Это обстоятельство можно учесть, если коэффициент с33 не вычислять, а также определять экспериментальным путем. Для этого опыт ставится два раза: первый раз определяется частота собственных колебаний элерона рт, второй — на элерон навешивается дополнительный груз, момент инерции которого А7тш относительно оси вращения элерона известен, и снова определяется частота собственных колебаний элерона р3 (она будет, очевидно, меньше р^. В первом случае частота будет удовлетворять согласно (23) уравнению

с3зР1 + о-зз — 0.(26)

Частота р2 будет удовлетворять, очевидно, уравнению

—(сзз + Ас88) ргг + а33 = 0,(27)

где

Ui

Ас33 — ^ А7тшф2 dy

может быть легко вычислено, если задаться видом функции ф (у). Для достаточно жесткого элерона, который можно рассматривать как твердое тело, имеем ф (у) = 1.

Из уравнений (26) и (27) находим коэффициенты а38 и с33:

йзз — Лсзз —5v ’сзз — Ас3з —-— .(28)

р^-р?

По формуле (24) коэффициент а33 может быть выражен через частоту собственных колебаний элерона, если известна величина с33. Поэтому в графиках, характеризующих влияние жесткости крепления элерона на критическую скорость моделей, которые приводятся выше, даны два масштаба: коэффициент а33 и соответствующая величина пэ — числа собственных колебаний элерона в секунду (п;, = рэ/2л).

Коэффициент а33 вообще не есть величина, определяемая только свойствами конструкции. Дело в том, что ручка управления в конце концов удерживается рукой пилота, и потому жесткость крепления элерона (коэффициент R или а33) меняется в зависимости от того, насколько твердо держит ручку пилот. Частота собственных колебаний элерона при этих условиях вряд ли превышает 2—3 в секунду. Обычно изменение критической скорости в зависимости от частоты собственных колебаний элерона в интервале 0 < пэ -< 3 невелико, и потому большей частью можно делать расчет, полагая элерон свободно болтающимся:

®зз 0"

Во всяком случае, в процессе проектирования нам представляется наиболее рациональным выбирать в качестве расчетного именно этот случай.

Из рассмотрения кривых, приведенных на рис. 26, видно, что сначала с увеличением жесткости крепления элеронов критическая скорость понижается, затем, начиная с некоторой величины а33, быстро возрастает, и при дальнейшем увеличении жесткости крепления изгибно-элеронный флаттер вообще становится невозможным.

Кривая Пкр ^ / (а33) достигает своего минимума при совпадении частот чисто-изгибных колебаний крыла с чисто-крутильными колебаниями элерона.

Так, для случая oa/t3 = 2,5%, приведенного на рис. 26, а имеем: частота изгибных колебаний крыла p„3r = 1250 с-3, частота крутильных колебаний элерона для а33, соответствующего минимуму Укр, будет р'кР == 1300 с-2. Таким образом, можно говорить о наличии какого-то внутреннего резонанса, благодаря которому при совпадении частот изгибных колебаний крыла и крутильных колебаний элерона величина 1/кр достигает своего минимума.

Аналогичные явления обнаружены Е. П. Гроссманом при изгибно-кру- тильном флаттере крыла [1]. Если оставлять неизменной жесткость кручения крыла и увеличивать жесткость изгиба его, то критическая скорость сначала уменьшается, достигает минимума при совпадении частот изгибных и крутильных колебаний, и лишь при дальнейшем увеличении жесткости изгиба критическая скорость возрастает.

К таким же результатам пришел М. В. Келдыш при исследовании влияния положения точки крепления подкоса по размаху на величину Укр. Все это говорит о том, что мы имеем дело с разными формами одного и того же явления, подробное исследование которого намечено в ближайшем будущем.

Вообще говоря, возможны такие комбинации характеристик крыла с элероном, при которых для некоторой величины жесткости упругого закрепления может получиться Укр mln = 0 или даже неустойчивость крыла при любых скоростях.

По-видимому, эти последние явления происходят вследствие неучета нами сил внутреннего трения (гистерезисных), а также сил трения в механизмах элерона. Теория, излагаемая в настоящей работе, является, конечно, приближенной, но «нулевые скорости» были получены для некоторых случаев и при точном решении задачи.

Нами были также построены кривые зависимости Укр от степени весовой балансировки элеронов oaita при различной величине упругого закрепления элеронов а33.

Рассмотрение этих кривых, приведенных на рис. 27, показывает, что в случае малых частот крутильных колебаний элерона кривые эти эквидистантны кривой, полученной при свободных элеронах («33 0) (см. рис. 27, а). Если же для какой-нибудь степени весовой балансировки элерона частота крутильных колебаний его близка к частоте изгибных колебаний, то кривая по Укр при заданном а33 имеет вид, показанный на рис. 27, б.

Глава V

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИВ ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ

В настоящей главе выводятся расчетные формулы для определения критической скорости в случае движения с тремя степенями свободы (изгиб — кручение крыла и отклонение элерона). До сих пор положение каждого сечения

крыла мы определяли с помощью трех координат: Z и 6 — прогиб и угол

кручения крыла и р — угол отклонения элерона относительно крыла. В общем случае р = ф (y)s (т), причем функцию ф (z/) весьма трудно определить, между тем как для расчета ее'необходимо задать заранее. Гораздо удобнее задавать положение элерона не углом р, а углом Ф (рис. 28) — отклонения элерона от положения равновесия. Очевидно, Риф связаны соотношением

р=Ф —0. (1)

Будем считать элерон абсолютно твердым телом. Тогда угол Ф постоянен но размаху крыла. Благодаря этому обстоятельству вести расчет в переменных Z, 9 иФ значительно удобнее и проще, чем в переменных Z, 0 и р.

Составим уравнения движения в новых переменных. Подставляя выражение Р через Ф (формула (1)) в формулы (7) и (8), гл. III), получим выражение кинетической и потенциальной энергии в новых переменных:

Г = — \ mZ- dy + — ^ Im^ йуЦ- — ^ 7тшь2 dy + тэрш х00У1У1

X оэ0Ф dy — (—7тш + «эРшСТз) 62 dy — \ moZe dy — о

—- тдид2Ь dy + m^Z^dy,

ГТ С т? г / d^Z \2 ? . 1 С /г г / ^® Л ' ^ С D / Q, О\° л U=—Viw) аУ + ~Уе1рШ dyA- — \W-9Ydy.

О0У1

Полагая

(2)(2)= 1^9 ^У е = ф (z/) г М, Ф = Ф (т).

(2)

(2)

(мы уже указывали, что Ф от у не зависит, так как элерон предполагается абсолютно твердым) и введя обозначения

Iсп = J mf dy,О

У2

1У2

С22 ^ J ^тф2^У J (^тш+2швршОэ) ф3 dy,

ОУ,

IУ2

Г21~ С21та^ dy+J тэо+ф dy,

оу.

^33 == J -^тш dy, У1

7?ф dy.

Уг

С32 = С23 ^ У тэРшСГЭф dy

Уг

мы можем записать выражения кинетической и потенциальной энергии в следующем виде:

Т - ^гСи^2 + Ч^г1 + ^гСззй2 + Cy^qr + c^q^ + с^гй,

U = ^г+т?3 +//2а22г3 + ^А^ + а23г&.(4)

Вычислим теперь в новых координатах обобщенные силы. Подставляя Р ^= й — 0 в формулы (1) (см. гл. (Ш), найдем значения декартовых координат любой точки сечения крыла:

2г = Z — Gt sin (f, + 9) + Pi sin (6+9) — pz sin (6 + й),

Xt = Qt COS ^t + 9) — P; COS (6 + 9) + рг COS (6 + Й).

Подставляя сюда выражение Z, 9 и й (2) через обобщенные координаты q, г и й и результат в (14) (см. гл. III), получим значения обобщенных сил для элементарного отсека крыла :

dQq=^P^f = fdP^ К

dQT = — 5 + кр=ч 8111 (Yi 4- 9) + Рч cos (yt + 0)] Ф + К

+ 3 Pi [^Xi sin (6 + 0) + Рч cos (6 + 0) ф = dM^ — йЛ7шф, (5) э

dQ» = ^ Pi YpXi sin (6 + 0) + P4 cos (6 + 9)] = - dMm.

9

Здесь dPz — компонента равнодействующей всех внешних сил, действующих на элементарный отсек крыла с элероном по оси z; dMj; — момент этой равнодействующей относительно оси жесткости крыла: АМШ — момент внешних сил, действующих на элементарный отсек только элерона относительно оси вращения его.

Внешними силами являются силы аэродинамические. Чтобы получить их выражения в новых координатах, подставим р = $ — 9 в формулы (23) и (41) гл. II. Будем иметь

AC„ = -(2L + z)-Le-re + 7e + /-L#+4£^ hi_е)е +

ДУш — — рУ3/3 j^ (fii — й3) 0 -}- (й2 — £24) -р- 9

+ й3* + П^ » + Й6 42J ^

Значения входящих сюда величин указаны в гл. II (формулы (24), (49), (50), (52), (60) и (64)).

Подставляем эти значения в (5) и пользуясь (2), производим суммирование обобщенных сил по всем отсекам крыла. В результате получаем

Qq= —■ йуУ q — Ь^У^г — d12Br — b^V^ — й^Уй,

Qr = — d^V q — Ъ.2Угг — d^Vr — &МУ3 0 — ^7»,(6)

<2» = — d3iy q — &3272r — d32Vr — 633Уай — d3aV^, где

du = P -^- tf2 dy,d12 = — p —^- ^ H j £2/ф dy,

bо.

^13 = — P -^ FHfdy, d^ = p \4- Jj P<p dy —

b

-Р^^"^ - "T” HVV dy-pJ(Q2-£24)iV dy, 0'

^211 = p \P \ ^5^/ф dy$ d33 = — P Q^3 dy,

(7)(7)0УхУх

(7)

(7)

У 2Уг ^QУз

^23 = — Р ^3Ф dy — р --^- Ht4p dy—p^ Й^3ф dy, УхУ1У1

У2^31= Р 5 ^5t4 dy,УхУ2^31= Р 5 ^5t4 dy,УхУз

У2

^31= Р 5 ^5t4 dy,

Ух

У2

^31= Р 5 ^5t4 dy,

Ух

^32 = Р ^ №2 — ^4) ^Зф dy,

-?у де

^з = — Р -^ (1 — G) i/ф dy, ь13 = — р ^ —JL Gtf(p dy,

асу*

Ь23 = — pyt'^pdy — p^ ^- Gt^op dy — p^ йз^ф dy,

^22 = р It1^ dy — р —^_ (1 — (?) 13ф3 dy — р ^ (Й1 — Q3) <3Ф2 dy,

Уз

^32 = Р (^1 — ^з) 4ф dy,^зз = Р йз13 dy.

У,У,

Примечание. G = H = I = J = Q вне интервала Vy^, y2V

Имея выражение кинетической и потенциальной энергии (формулы (4)) и обобщенных сил (формулы (6)), можем составить, как это делалось и выше, уравнения движения в форме Лагранжа.

В результате имеем

cuq 4- d^V q -4 anq -4 c12r + d12Vr b12V2r + с13# + d^V^ + &1зР2й = 0, ^215 “4 ^21^5 + ^‘22^’ "4 <^22^^ —4 b^^^r 4" и22г 4~ ^23!) 4* ^23^$ ~4 ^з^2^1 ~4 ^23 6 ^-—-4 c319 + ^31^q 4" C32^ 4 ^32 ^4 4 ^32^“Г 4 ®327' 4“ C33^ “4 d33V6 4’ 4342Й 4 ®.Ч.чЙ=4 (8) Эту систему интегрируем, как обычно, подстановкой:

q = A exp (ipr), г = В ехр ^1рт\ й = С exp (ipr).(9)

После подстановки выражений (9) в уравнения (8) время исключится, и мы получим систему линейных однородных уравнений для определения амплитуд А, В и С. Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель ее равнялся нулю. Приравнивая нулю этот определитель, получим комплексное уравнение для определения критической скорости FKp и частоты р:

41 - Ч^2 + 41!>г>41 - Ч^2 + 41!>г>Д=.= 0.Д=.= 0.— c’,vp'- -у d'1AipV, - С31Р2 + ^P V'— c’,vp'- -у d'1AipV, - С31Р2 + ^P V'бр^2 — сыР2 + d'^pV, ат + bMV2 — c2„pi + d22lpV, а32 Ч" bg2 V2 С32Р" 4 ^32! Р^!бр^2 — сыР2 + d'^pV, ат + bMV2 — c2„pi + d22lpV, а32 Ч" bg2 V2 С32Р" 4 ^32! Р^!ЙЫ^2 - суУ' + ^PV а23 + 623F2 - С2^2 + d234F = азз + 6ззК2 - сз4! + <зг>У(Ю)ЙЫ^2 - суУ' + ^PV а23 + 623F2 - С2^2 + d234F = азз + 6ззК2 - сз4! + <зг>У(Ю)

41 - Ч^2 + 41!>г>

41 - Ч^2 + 41!>г>

Д=

.= 0.

Д=

.= 0.

— c’,vp'- -у d'1AipV, - С31Р2 + ^P V'

— c’,vp'- -у d'1AipV, - С31Р2 + ^P V'

бр^2 — сыР2 + d'^pV, ат + bMV2 — c2„pi + d22lpV, а32 Ч" bg2 V2 С32Р" 4 ^32! Р^!

бр^2 — сыР2 + d'^pV, ат + bMV2 — c2„pi + d22lpV, а32 Ч" bg2 V2 С32Р" 4 ^32! Р^!

ЙЫ^2 - суУ' + ^PV а23 + 623F2 - С2^2 + d234F = азз + 6ззК2 - сз4! + <зг>У

(Ю)

ЙЫ^2 - суУ' + ^PV а23 + 623F2 - С2^2 + d234F = азз + 6ззК2 - сз4! + <зг>У

(Ю)

Разбивая затем этот определитель на действительную и мнимую части и приравнивая нулю каждую из них в отдельности, получим два уравнения:

(И)(И)Ar (р, V) = 0, Д3 (р, 7) = 0,

(И)

(И)

из которых и определяем критическую скорость и частоту флаттера. В развернутом виде уравнения (11) будут приведены в гл. VIII, где помещена сводка расчетных формул.

Глава VI

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИКРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

В предыдущих главах был указан способ для определения критической скорости крыла с элероном, когда заранее известна форма крутильных и из- гибных колебаний крыла. Пользуясь приближенным заданием этих функций, мы получали приближенные значения для критической скорости. Здесь мы укажем, каким образом при принятой в этой работе схеме явления вибраций задача определения критической скорости может быть разрешена точно.

Рассмотрим упругое крыло, снабженное элероном (рис. 29), который мы предполагаем состоящим из нескольких абсолютно твердых отсеков Еу, . . ., Еи. Ось каждого из этих отсеков Б, скреплена с крылом несколькими шарнирами.

Выбирая оси координат так же, как и выше, мы будем характеризовать положение крыла в каждый момент времени функциями Z (у, т) и 0 (у, т), первая из которых дает отклонение точки оси жесткости от положения равновесия, а вторая — изменение углов атаки сечений крыла. Положение каждого из отсеков элерона Ej мы будем характеризовать углом р,-, составляемым хордой элерона в момент т, с направлением этой хорды в положении равновесия.

Каждый элемент dy крыла находится под действием упругих аэродинамических и инерционных сил, которые должны находиться в равновесии. Кроме того, в сечениях уц, в которых прикреплен к крылу i-й шарнир отсека Ej элерона, на крыло действует сосредоточенная сила, равная и обратная по направлению реакции шарнира. Вертикальная составляющая этой силы Рц и ее момент относительно оси жесткости должны уравновешиваться скачком перерезывающей силы и скачком крутящего момента в сечении у31.

Обозначим через т, о, 1т погонную массу, расстояние от центра жесткости до центра тяжести и погонный момент инерции относительно оси жесткости в сечении у31 крыла, вычисленные без учета элерона. Вычисляя обычным способом упругие и инерционные силы, действующие на элемент dy крыла (см. гл. III) и обозначая через AKdy и MKEdy аэродинамическую силу и ее момент относительно центра жесткости, действующие на тот же элемент, найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции Z (у, т) и 0 (у, т) в тэх сечэниях крыла, на которых нет шарниров элерона.

Эти дифференциальные уравнения имеют вид

52 Г„, 527 1 , _ 5=7 - 520 . .

(1)(1)5уа I Sy1 J 5Т2 5тл

(1)

(1)

И”— та ТТ + I т ТТ = АМкЕ- ду L р ди J 5т2 1 m Эт1й

Мы здесь подчеркиваем, что йк и МкЕ представляют собой подъемную силу и момент ее относительно центра жесткости, действующие на элемент dy самого крыла, а не на полный элемент крыла с элероном.

Пользуясь результатами гл. П, можем для этих величин написать следующие выражения:

АИК = Р^И2 Г«19 + «2 —у- 6 У ЙЗ1^ "Г ®4 -р- ^ Н" <Zg -у Z "I ,

(2)

АМкЕ = р^И2 [ОТ10 4- №2-^9 + т^ + т4-^г^ + >т?5-^ zl ,

где коэффициенты at и mt можно также получить на основе результатов гл. И.

Напишем теперь условия, которым должны удовлетворять функции Z и 9 в сечениях г/7-г с шарнирами элерона. Пусть Ej — один из отсеков элерона, Уз = У in Ул, • ■ -, Уц^ = Уз — координаты шарниров, Рд, Pj2, . . . . . ., Р jK. — вертикальные составляющие сосредоточенных сил, действую

щие на крыло в этих шарнирах.

Условимся обозначать через Ец и Еу, значения какой-нибудь величи

ны F соответственно при у — > yjb у Д> у у и у —> у у у <4 у у.

4ЦЕ1^Л бу \ дуЗ у4ЦЕ1^Л бу \ дуЗ уВ сечении уу действует сосредоточенная сила Pjb которая дает скачок

4ЦЕ1^Л бу \ дуЗ у

4ЦЕ1^Л бу \ дуЗ у

перерезывающей силы N =перерезывающей силы N =поэтому должно удовлетворяться

перерезывающей силы N =

перерезывающей силы N =

условие

(3)(3)

(3)

(3)

С другой стороны, функции Z, dZ/dy и EI (d-ZJdy^), очевидно, должны оставаться непрерывными в сечении у = yjb

Момент силы Pjt относительно центра жесткости, равный

(t х0 Д) Рц,

вызывает скачок крутящего момента К = —GIp (99/dz/), и, следовательно,

(4)(4)Д кЦе1р^\ _(GIp^Y = ~Р

(4)

(4)

J \ р ду Jji х р Оу /зг

Сама функция углов закручивания 9 (г/, т), очевидно, остается всюду непрерывной.

Так как мы предполагаем, что каждый отсек элерона абсолютно жесткий, мы должны, очевидно, потребовать, чтобы во время колебаний крыла все шарниры одного и того же отсека элерона оставались все время на одной прямой. Обозначим через ^д вертикальную координату г-го шарнира отсека элерона Ej. Очевидно, что

^=П = ^п '(^ Ж0 0) ^ji’

где Zji и 0д — вертикальная координата центра жесткости и угол закручивания сечения у л-

Для того чтобы все шарниры отсека Ej были бы расположены на одной прямой, очевидно, надо, чтобы выполнялось условие

-21—^1 = const(i = 2, ...,&.).(5)

Уд -Улз

Таким образом, для определения функций Z и 9 мы имеем уравнения (1), (4)—(6), содержащие пока неопределенные постоянные.

Для того чтобы получить полную систему уравнений для решения нашей задачи, нам надо еще написать уравнения движения отсеков элерона.

Рассмотрим какой-нибудь из отсеков элерона Е;. Для получения полной системы уравнений движения мы составим уравнения количеств движения относительно оси z и уравнения моментов количеств движения относительно оси элерона и оси ж.

Составим прежде всего уравнения количества движения относительно оси z. Внешними силами, действующими на элерон, будут: аэродинамическая сила, проекцию которой на ось z обозначим Л,, и реакции в шарнирах элерона, проекции которых на ось z, очевидно, равны Рц.

Подсчитаем проекцию силы инерции элерона на ось z. При этом мы будем считать, что угол Ф, составляемый осью элерона с осью у, мал, и будем пренебрегать членами высшего порядка ио Ф. Точно так же, как и всюду выше в этой работе, мы будем пренебрегать членами второго порядка относительно Z, й и 0.

Рассмотрим элемент площади элерона, который в положении равновесия отстоит от оси элерона на расстоянии £ в сечении у. Пусть £v — аппликата оси элерона в сечении у и ш^ — масса рассмотренного элемента элерона. Пренебрегая малыми высшего порядка, можем написать следующее выражение для отклонения рассматриваемого элемента элерона в момент т:

^у = %~ РЛ

и, следовательно, проекция силы инерции J на ось z может быть вычислена по формуле

Пусть тп; — масса отсека Е j, о, — расстояние от оси Е, до центра тяжести,, I, — длина отсека Ej, у; — координата центра тяжести Ej. Положим

у, ~ узуз " yj

Тогда, имея в виду, что вследствие прямолинейности оси элерона

Sy = [(z/j — У) 'Q Т {у — УЙ Ъ]1(у] — У^

можем выражение для силы инерции привести к виду

J = m.j (Xj^j Xj=)-фР;)'

Зная выражение для проекции силы инерции и проекции сил, приложенных к отсеку элерона Ej на ось z, мы можем непосредственно написать соответствующее уравнение движения. Оно имеет вид

m5 (Х>, + X^j — оД.) = Л, — у, Pjt,(6)

где к, — число шарниров элерона.

Составим теперь уравнение моментов относительно оси Ау, параллельной оси ж и проходящей через центр тяжести отсека Ej.

Это уравнение имеет вид

3 т^у к.У - УЙ 2-Й1 = кУа} — ^) Aj — 2 P5i (Уц — y^(7)

где через yaj обозначена ордината точки приложения аэродинамической силы.

Обозначим через /^ момент инерции отсека Ej относительно оси Ду, /у) = У т^у (у — у^2 и через I^y — центробежный момент отсека Е3 относительно системы осей, состоящей из Ду и оси элерона:

4^ = 2>еу£ {у — УЙ-

При этих обозначениях мы можем привести последнее уравнение к виду

^— I^j = ку аз — УЙ A j — У, РЦ кУзг " УЙ"

уз уз

Остается еще составить уравнения моментов относительно оси элерона. Имея в виду, что все силы Pjt проходят через ось элерона, заключаем, что момент сил, действующих на элерон, относительно его оси сводится к сумме аэродинамического момента Mj, так называемого шарнирного момента элерона и момента, создаваемого упругостью крепления элерона, который мы считаем пропорциональным углу отклонения элерона от его нормального положения. Последний момент мы будем писать в виде Д,Р,.

Имея в виду сказанное, мы можем записать уравнение моментов относительно оси отсека Е, элерона в виде

— S т^^ --=М,— R^}.

Подставляя в левую сумму выражение Zty = t,y — P;S, пользуясь написанным выше выражением для £>н через £у и £у, мы можем легко последнее уравнение привести к следующему виду:

.. у"у, ,

^^i + ^г iBjOj {kj'Qj 4- Xjtjk ~ ^з ' P$?(8)

уз уз

где 1^ — момент инерции элерона относительно его оси, все же остальные обозначения были уже указаны выше.

Остается еще указать выражения для аэродинамической силы, действующей на отсек Е3 элерона, и для шарнирного момента элерона М}.

Выражения для подъемной силы, действующей на элемент dy элерона, и для шарнирного момента на этом элементе даются формулами (см. гл. II)

Д4э = р^У2 (яЭ10 -у аЭ2 -у- 9 + Яэзй 4- ®э4 ~у" й 4~ ®э5 Z),

/tt •1(9>

АМш = рУУ2 ^pi0 4- и2 -у 9 + рзй + Щ — » + р5 — 2 j,

где аЭг и р; — суть безразмерные коэффициенты, зависящие только от отношения уУ, хорды элерона к хорде всего крыла. Интегрируя каждое из этих

выражений по у в пределах одного из отсеков элерона, получаем

Ла= рУ3 ^ гяэ10йг/4- рУ ^ t2a3»Qdy + рУ2^- ^ ta3&dy 4

(10)(10)рУ(3, ^ t2a3lil dy A pV f ta35Z dy,

(10)

(10)

Mj = рУ2 ^ Z3pi0 dy + рУ t3p30 dy + рУ2^- ^ t2p3 dy + E-E,E,

+ рУ[3; £ t8ptdy + pV € l2psZdy.

Выражение для момента силы Aj относительно оси А7- получим, пользуясь формулой

^«з — уй Аз = ^ <у — уй Аэ dy = р^2 ^ tasi ku — Уз)6 dy +

+ рУ V £2аэ3 (z/ — y^ 0 dy + рУ3Р7 \ ta^ (y — y,) dy +

+ рУр; ^ t2a34 (y — y}) dy рУ ^ ta35 (y — y^ Z dy.(11)

Добавляя к уравнениям (1), (3) — (5) полученные три уравнения (6) — (8) для каждого отсека элерона Е j, мы получим полную систему уравнений для решения задачи о вибрациях крыла с элероном. К этим уравнениям остается еще только добавить обычные граничные условия, которым удовлетворяют функции Z и 0 в месте крепления крыла к фюзеляжу и на конце крыла.

Мы приведем здесь сводку полученных уравнений... Дифференциальные уравнения колебаний крыла:

EI —-т- + m -—,ma —— = АК1

Эу2 \у У2 / дт3дт2

бу \ р ду /дт2 1 dT2

Граничные условия у корня крыла при у = 0:

Z = 0, dZAy = 0,0 = 0.

Граничные условия у конца крыла при у = к

ду2ду \ ду2 jр ду

Геометрическое условие в шарнирах отсека элерона:

-^—11L = const,^ = 2 — (t — ж0 — ti) 0.

Скачки производных 2 и 0 в сечениях шарниров элерона:

длШЕ1?1^=Р^ ^^р^Ъ-^"'500”?i)Pib

Дифференциальные уравнения колебаний элерона:

1 \ ат2 J dv

Уз') ^Н’Уз') ^Н’d^d^т(3) 4'^З rtf) ^3

Уз') ^Н’

Уз') ^Н’

d^

d^

T\j ) J I T\j) J JJ

7 5 S^- + ku y---^ — т-РДЧ-д^

Полученная система уравнений служит для определения двух неизвестных функций Z и 6 от у ит, а также величин [Д и Рц, зависящих только от времени т. Мы увидим дальше, что этих уравнений достаточно для определения всех указанных величин.

Укажем процесс последовательных приближений для определения критической скорости нашей системы и для определения соответствующих форм колебаний. Для этого отметим прежде всего, что мы можем ограничиться нахождением стоячих колебаний нашей системы, которые имеют вид

Z = / (z/) exp ^tpk, 0 = ф (z/) exp (ipr), P7- = b^ exp (ipr).

При этом, очевидно, будем иметь Pjt = p;i exp (zpr), где pjt — постоянные величины. Подставляя написанные выражения в предыдущие уравнения, мы получим систему уравнений для определения / (р), ф (р), bj, pjt. Эту систему уравнений мы запишем в следующем виде: выписываем два уравнения колебаний крыла и последнее уравнение колебаний элерона:

-^- [£77"(р)] (mp2 4- ipta^pV^j + (— map2 -V р/аД72 +

+ tpt2a^pV^ ф 4- (р1«3У2 4- ipt2a4pV) bj.

—= (~ moPa + ipt2^Pv)f + kmP2 - P^PlH2 =

4- ф^ргрУ) ф + (р^Рз!73 4- ip^p^T) bj.

I^Rj — kPp2— р12р3У3Др—i р^р^рУ dy^ Pj =

= I(S -4,3- Р2 - GjTrij Pj£j 4- X-8 •) Р2 4-

z/j — Uj

При у = I

£Z-^ = 0,01^ = 0.

dy2dy \ dy2 /n dy

При у — Ул следующие значения для скачков производных:

(eI^LAA =Pji, С1т,^Д = 0.

J L dy \ dy2 / J- dy

А^ [ GIV -^-J = — Pjl (t, — ж0 — tyV

Наконец, в последнюю очередь выписываем геометрические условия в шарнирах элерона и два первых уравнения колебания отсека элерона:

VIII.VIII.IX.IX.(^-1).(^-1).JVzJbL = 24^1

VIII.

VIII.

IX.

IX.

(^-1).

(^-1).

Uy — ^i у5 — z/j

РИ = пг, (EjKj V А^е,- — оД) р2 + р IVй («31ф + а^Ь^ dy + + ip ^ (<2аЭ2ф + Еаэ4Ь5 + ta^ Vpdy.

XXМ.М.

X

X

М.

М.

_X/

b P \ t (й31ф -b a,^ (y — y^ V2 dy V ip \ (£3аэ2ф 4

+ Еа^Ь, + ta^ (у — у,) Vpdy.

Перейдем теперь к описанию процесса последовательных приближений. Заметим, что наши уравнения однородны, поэтому все неизвестные, входящие в них, определяются с точностью до постоянного множителя. Мы определим этот множитель, требуя, чтобы выполнялось всегда равенство

/ (Z) = 1.

В качестве первого приближения мы используем приближенное решение задачи о колебаниях крыла с элероном, описанное в гл. III. Покажем теперь, каким образом, зная значения / (у), ф (z/), bj в (и — 1)-м приближении, определить величины Икр, р, f (у), ф ^у), bj в ге-м приближении.

После подстановки в правые части двух первых уравнений I и II выражений для / (z/), ф (р) и Ь^ полученных в (и — 1)-м приближении, мы представим эти правые части в виде

Кп (у) = К® ^ р^ + ^2) (z/) PV 4- Те ^ V\

Нп {у) = Н® (z/) Рч- + Н® (у) PV + Н^ (у) V\

Функции /п (z/) и ф„ (z/) в и-м приближении мы будем определять из уравнений, получающихся из I и II после подстановки в правую часть функций

4п — 1)-го приближения:

-7-7 EI — - \ = К t(yV — — GI п. — У hj\

dy- \ dy^ Уdy \ dy У

Эти функции должны удовлетворять условиям IV—VII, и, кроме того функция ф„ (у) должна быть непрерывна, а /„ (у) — непрерывна и иметь две первые производные непрерывными.

Из условий VI и VII, а также из условий EId?fn (.l^dy2 = 0 и •GIvdy (l)!dy = 0 вытекает:

d ( d'4Tl (у) У < rz г л

"di \111 а у ~ — уК" ^dy” д^Рн’

У Z

Gd "^d^ = \Нн (у) dy — У, Ра (t—Xo — ti),

У

причем стоящие справа суммы распространяются на те индексы, для которых имеет место неравенство у^ у> у. Продолжая интегрирование, найдем

уу . ii

/п ky) = ^ dy ^ ж Vy Кп ^ dy~^PjiF}i оо уу

у £

фп (у) = ^ -^- ^» (у) dy — У, Pji (t—Xo — Н) фд (у), о р у

Здесь стоящие справа суммы уже распространяются на все системы индексов j, i, а функции Fц (z/) и Ф7-г (у) определяются следующим образом:

У’/У

^dy^^dy^^r-d-V, ф^ = ^-;уп при у<у5„ ооо р

УцУНdd.

F3i^ = ky— yd ^ ' El dy + dy • Е1зг dy,(12)

о’оо

- С dy

Ф^= \ "ЕГ при У/Уи- о р

Полученные выражения для fn (у) и ф„ (z/) содержат пока еще неизвестные параметры р, V и р31, которые еще подлежат определению.

Подставляя в правую часть уравнения III выражения для / (у) и ф (z/) из (ге — 1)-го приближения, мы определим из этого уравнения величины Ь^ в функциях р и V.

Перейдем теперь к определению скачков, которые остались еще неопределенными. Для этого мы воспользуемся уравнениями VIII—X. Система X дает для каждого ] систему /<7- — 2 уравнений вида

6эг - £-э = ^4—У4- (е" — 8-), i = 2, ..., (kj — 1).

Уз - Уз

Подставляя в выражения для ь51 значения для / ^у;^ и ф (уц), вычисленные в ге-м приближении, мы получим к, — 2 уравнений для определения Pit, которые имеют вид

5 С^РА = № D^pV + D№.(13)

Выражения для коэффициентов этой системы мы дадим ниже, при сводке всех расчетных формул. Два недостающих уравнения для определения kj. величин pjv pj2, . . ., рц;., соответствующих отсеку Е, элерона, мы получим из уравнений IX и X, подставляя в правые части этих уравнений значения / (у), Ф (У) и к из (/г — 1)-го приближения. Это нам дает еще два уравнения вида (13), соответствующие h = kj — 1, kj для определения pj,.

Разрешив систему (13) относительно величин р311 р^, . . ., рд;., мы получим для этих величин выражения вида

Pit = ^аР2 V лщрУ +V2.

Зная значения скачков р^в функциях р и V, мы можем исключить эти величины из полученных выражений для / (z/) и ф (у) в n-м приближении. Это- дает для указанных функций выражения вида

l (у)=.^ (у) Рг+.е (у) pv - № р2,

ф» (у) = Ф^ ^ Р2 + Ф^ ^ pV -т /® (у) F3.

Кроме того, напомним, что мы имеем для угла отклонения элерона также выражение вида

b^ = № + P^pF + Й?П/<У + [1^'pF + р^УД.

Три написанные выражения дают форму колебаний нашей системы в функциях р и V. Коэффициенты, стоящие при этих выражениях, суть комплексные функции у в двух первых формулах и константы в — третьей.

Остается еще определить величины р и F в zz-м приближении. Для определения этих величин мы воспользуемся поставленным выше условием нормировки отыскиваемого нами решения / (Z) = 1. Согласно этому условию мы будем требовать, чтобы при каждом п мы имели бы

Подставляя сюда найденное значение для fn (Z), полагая

^ W = /ю (0 + if^ (О

и приравнивая действительную часть fn (Z) единице, а мнимую нулю, получим следующие два уравнения для определения р, F:

/й W р2 + /^ (О pv + Й W F2 = 1,

/^ (О р2 + ^ (I) pV + /® (Z) Р = 0.

Все расчетные формулы в развернутом виде будут приведены в гл. VIИ.

Глава VII

УЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ ЭЛЕРОНАПРИ ВИБРАЦИЯХ

ВЫВОД РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ

Выше мы всюду полагали, что ось вращения элерона совпадает с его передней кромкой. На практике почти всегда ось вращения элерона находится позади его передней кромки, т. е. существует осевая аэродинамическая компенсация элерона. В настоящей главе мы хотим вывести расчетные формулы для определения критической скорости в последнем случае.

Прежде всего найдем значение полной подъемной силы и момента относительно оси жесткости в случае крыла с компенсированным элероном. Пусть жш — расстояние оси вращения элерона от передней кромки крыла и ж* — расстояние передней кромки элерона от передней кромки крыла; Ц — расстояние от оси вращения до задней кромки элерона и i8 — полная хорда элерона.

Как и выше, введем новую переменную ф, связанную с координатой ж зависимостью

х = t (1 — cos ф)/2. (1)

Тогда

(2)(2)жш = t (1 — со8фш)/2, х* = t (1 — cos ф*)/2.

(2)

(2)

В гл. II мы нашли, что приращение подъемной силы и момента при вибрациях крыла с элероном можно выразить формулами

АС =I («1 — а)— f(1 — cos ф) ,

У да\ dxt dx р>

о

Д^тЕ =7-(1 — COS 2ф) Йф +(3)

4 J \ ах1 ах / хт/ т -\ ?

о

1 fdz \ .\ , ^тЕ д л

+ рт— — COS ф) Йф +ДС ,

4 ,) \ dxv dx р।и

Ои

где

а1_а=е+-1р + у(т-^9 + -^-2-р-у2.(4)

Для точек крыла 0 ^ х =р х*

dzAdzdxYdxdzAdzdxYdxДля точек элерона x* «С x ^ ^Для точек элерона x* «С x ^ ^dz, dxTdz, dxT(5)(6)(5)(6)

dzAdz

dxYdx

dzAdz

dxYdx

Для точек элерона x* «С x ^ ^

Для точек элерона x* «С x ^ ^

dz, dxT

dz, dxT

(5)

(6)

(5)

(6)

Подставляем значения (4) —(6) в формулы (3) и пользуясь (1) и (2), выполняем интегрирование. При этом для dz^dx^ — dz/dx в интервале О <_х <2 х*

пользуемся формулой (5), а в интервале ж* <( х <( t — формулой (6). После- вычислений получим

ДС^^-^А^.Рф ;-.Л^(7)

х^б+с^ + ^Ар-Аг], где

G* = (л — ф* + sin ф*)/л,

Н* [(л — ф* + sin ф*) cos фш Ц- sin ф* + Vg (л — ф*) —

—■ 1/4 sin 2ф*]/2л,

I* = —т/4 sin ф* (1 — cos ф*),(8)

J* = 1/16 [— (л — ф*) — 2 cos фш sin ф* + cos фш sin 2ф* + 1/3 sin 2ф* — — sin ф* — Kg sin Зф*].

Величины ф* и фш определяются по формулам (2).

Переходим к вычислению шарнирного момента элерона. Если, как и в гл. И, через у (ж) dx обозначим циркуляцию на элементе dx неподвижного профиля (формулы (26) и (28) гл. II), то

t

Мщ = — ^ рЕу (ж) (ж — жш) <И-Ж-(9)

X*

Подставляя сюда значение у (ж) (формулы (26) и (28) гл. II) и заменяя х через новое переменное ф (формулы (1) и (2)), после очевидных вычислений найдем

лА = -4-р№^ А<(Ю)

где’

5* =ctg A (cos фш — соз ф) sin ф с?ф,

(11)

В* = ^ (cos фш — cos ф) sin /сф sin ф йф.

Коэффициенты Лй имеют значения, указанные в формулах (28) (см. гл. II). Как и выше, мы вибрирующий профиль крыла с элероном в каждый, момент времени заменяем фиктивным неподвижным, причем кривизну и угол атаки последнего выбираем таким образом, чтобы фиктивный профиль был подвержен тем же аэродинамическим воздействиям, как и действительный в рассматриваемый момент времени. Тогда, написав, как и в гл. II, выражение шарнирного момента для фиктивного профиля и вычтя из него (10), най-

дем приращение шарнирного момента за счет вибраций:

^^C = -~ W"^ У Bt (А'к - Ак),(12).

h=0 где л V лС / dzTdz \ ,

Ао — Ао = «г — а.— \ —-т- йф,

л j \ dxL ах ] т

Лк ~ Лк = "^ (i^; ~ -^г)008^^’k>\.

о

Подставляя в (13) значения ,а1 — а и dz-Jdx1 — dzldx по формулам (4) — (6) и произведя вычисления, получим

Х-А. = ф + ^ -Le + s^ + ^-Lp j-y^-Lz,(14)

где С*, . . . даны в табл. 3.

Таблица 3

к

Dt

Ек1

- 0

1

1 — Хо

2t

(я — *ф*)

[COS Ч’ш (я - 4*) +

sin ф*]

—1

1

0

1

2

2 sin ф*

Я

А- ^ 2 cos фш sin ф* ф (л — ф*

)sin 2ф* ~|

а

к >2

0

0

2 sin Лф*

1

?, sin Аф* sin (А— ПФ*

/С0^ш кк-1

sin (к ф- i) ф*1

о

кп

2л

k-Vi J

Коэффициенты В* после вычисления по формулам (11) можно написать в развернутом виде:

В* = (л — ф*) (cos фш — Пг) — sin ф* (cos фш — 1) + 1/-i sin 2ф*,

В* = 1/3 [cos фш (л — ф*) 4-1/2 sin ф* ф- V 2 cos фш sin 2ф* — Hg sin Зф*],

В* = т/г [cos фш С/з sin Зф* — з1пф*) — 1/2 (л — ф*) — Hs sin 4ф*],(15)

D* С08фш Min (/с +1)ф* sm(/t—1)ф* ] ,1 Г sin (к - 2) ф*

" 2 L 1' к — 1 J 4 L к — 2

_ sin (Аф 2) ф* ],„

к + 2 J'

Подставляя (14) и (15) в (12) и пользуясь полученными результатами, мы после очевидных преобразований получим окончательное выражение

лС =~p^(Q*e + Q* Ae + Q^ + Q*.^^ Q*^z),(16)

где

й*=4- V, с*в*=4- [/л—ф*) (cos ^ш —г)Sin ^* (C0S ^ш—^

7с=о

+ 4“ sin 2ф* J ,

й* = оу;г ^ й"*,

В этом выражении

Й)* = т/8 [(л — ф*) (3 cos фш ~ 1) + 14 s™ 2ip* (cos фш + 1) 4

5/3 sin ф* — 1/e sin Зф* — 2 sin ф* cos фш],

й;* = _й*,

й* = [(л — ф*)2 (cos фш — 1/3) + (л — ф*) sin ф* + Сз sin2 ф*]/2л, (17)

Qi = {[(л — ф*) cos фш + sin ф*]3 ф- Vin sin ф* sin 4ф*}/4л,

— й*.

Переход к крылу конечного размаха в данном случае осуществляется так же, как и в случае, когда аэродинамическая компенсация отсутствовала (см. гл. II), и мы на этом выводе останавливаться не будем, приводим лишь окончательные результаты.

Для крыла конечного размаха выражение для шарнирного момента имеет вид

A.C = -pW [й10 + Й*9 + ЙзР + й!-4(3 + Йо*^2р;/,(18)

где

О*й*(— ь-3 — ®г2 — I "^О*й*(— ь-3 — ®г2 — I "^Хр \ / Q*^ш \

О*й*(— ь-3 — ®г2 — I "^

О*й*(— ь-3 — ®г2 — I "^

t 1 да У ’

IIIШ I^з == А “’ IIIШ I^з == А “’(19)(19)

IIIШ I

^з == А “’

IIIШ I

^з == А “’

(19)

(19)

Мы также не будем останавливаться на выводе дифференциальных уравнений движения и методе определения критической скорости, так как все формулы для рассматриваемого случая будут те же, как и выше, только вместо величин G, Н, I и 7, Йг следует подставить соответственно G*, Н*, I*, J* и й*. Сводка расчетных формул будет приведена ниже.

ИЗГИБНО-ЭЛЕРОННЫЙ ФЛАТТЕР

В СЛУЧАЕ ПОЛНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ

Мы рассмотрим теперь изгибно-элеронный флаттер в случае полной аэродинамической компенсации элерона. У большинства современных самолетов компенсация если и не полная, то, во всяком случае, близка к полной,

и рассматриваемый случай близко подходит ко многим реально существующим самолетам.

В случае полной аэродинамической компенсациии

(20)(20)(21)(21)д^ш/5|3 = О,

(20)

(20)

(21)

(21)

и, кроме того, мы будем полагать дКт!да = 0.

Величина дКш1да обычно настолько мала, что во многих случаях условие (21) выполняется весьма близко.

Аэродинамическая компенсация будет полной, если положение оси вращения элерона таково, что при отклонении элерона на угол [i не возникает никакого приращения шарнирного момента. Это будет иметь место, если положение оси вращения удовлетворяет условию

Й* = [(л — ф*)2 (cos фш — 1/3) + (л — ф*) sin ф* 4- 1/2 sin3 ф*]/2л = 0.

(22)

Расчетные формулы в рассматриваемом случае весьма сильно упрощаются. Именно, в силу (20) — (22) имеем

d3i = ^зз = о, d33 = р ^ й*<3 dy = р ^ Й*^ dy.(23)

В силу чего

7И1 = ЯцЯзз,

■^2 — ^11^33 i

^11®331

М3 = ЯцСзз А С11®33’

М4 = 0,

(24)

Tkf5 == d11d33b13c31,

-^6 = С11^33 Т

ЙцСэЗС31^13>

М7 = 0,

Mg = СЦС33

С13С31-

Критическая скорость изгибно-элеронного флаттера, как было указано в гл. IV, определяется из уравнения

LV4 + МУ2 + А = 0,(25)

где L, М и N выражаются формулами (13) (см. гл. IV).

В рассматриваемом случае согласно (23) и (24) эти формулы принимают ВИД

L = 0, М = М.2М5М6,

N = М3М3М6 - МХб - М1М8,

и из уравнения (25) получаем значение критической скорости

(26)(26)n мгм3м6 - мЛм^ - М3М8

(26)

(26)

лГм2м5м6

Пользуясь (24), выражение, стоящее в числителе, можно привести к виду N = М2М3М3 — МуМ6 — 7И37И8 = ^11^зз (^тКзз ^п^зз)” “Ь

+ (йц^Зз + ^Аз)3 ^13^31*(27>

1? Заказ № 1090

Непосредственно видно, что йц ^>0 и с13с81 )> 0. Определим знак d33. Знак этого коэффициента в силу (23) совпадает со знаком £2*:

Q^ = {[(л — ф*) cos фш + sin ф*]2 + 1/16 sin ф* 8ш4ф*)/4л.

Определяем cos фш из условия (22) и подставляем в написанное выражение. Результат легко привести к виду

^ = 16л (л - ф*р КЛ — ^ + Sin2 ^ <2 + C0S ^* sin2 ^* “

■— cos3 ф*) (л — ф*)2 4- 8ш4ф*].

Нетрудно видеть, что в этом выражении все члены положительны и потому Q4 2> 0, а, следовательно, d38 )> 0.

В результате мы доказали, что согласно (27)

N>0.

Таким образом, особые случаи, отмеченные выше, когда критическая скорость обращается в нуль, невозможны в случае полной аэродинамической компенсации элерона.

Рассмотрим теперь знак М. Заметим прежде всего, что Му^> 0, М8 )> О, Ма ^> 0 и М3 )> 0. Относительно T/j, М2 и М3 это видно непосредственно, доказательство же неравенства М8 4> 0 следует из неравенства Шварца (см. [1, гл. VIII1). Тогда из (27) следует

М, > 0.

Таким образом, знак М совпадает со знаком М5 и если М5 )> 0, то в силу (26) критическая скорость изгибно-элеронного флаттера перестает существовать. Мы приходим, следовательно, к условию отсутствия изгибно-элеронного флаттера при любых скоростях полета:

Tf5 = й^йзд — ^1зсз1 ^ 0

или

c3i _■ скзДззК ^1з)'(28)

Это есть условие, определяющее степень весовой балансировки элерона, необходимую для уничтожения возможности изгибно-элеронного флаттера.

В частности, если о3 = 0, то условие (28) выполняется. Следовательно, одновременная полная аэродинамическая и весовая компенсации элерона обеспечивают крыло от возможности появления изгибно-элеронного флаттера.

Глава VIII

СВОДКА РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ

В настоящей главе мы дадим сводку формул, необходимых для проведения расчета на определение Гкр, а также укажем порядок проведения самого расчета. Таким образом, определить Гкр можно даже и не ознакомившись с содержанием предыдущих глав.

Весь расчет на определение критической скорости можно разбить на две части: определение расчетных данных и непосредственное определение Укр. Первая часть наиболее трудоемка и занимает в несколько раз больше времени, чем сам расчет. Определение расчетных данных нужно стараться производить как можно точнее, так как от правильности их определения зависит величина критической скорости.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ФЛАТТЕРА КРЫЛАС ЭЛЕРОНОМ

Необходимые расчетные данные

Для расчета необходимы следующие данные в виде таблиц или графиков.

Геометрические характеристики

Полуразмах крыла I.

Длина элерона Z-.

Форма крыла в плане с указанием местоположения элерона.

Закон изменения хорды крыла по размаху t.

Закон изменения хорды элерона по размаху Z3.

Расстояние от оси вращения элерона до конца его ^.

Площадь элерона 50.

Упругие характеристики

Закон изменения жесткости изгиба крыла по размаху EI.

Жесткость кручения крыла по размаху GIP.

Жесткость крепления элерона к крылу по размаху R (см. гл. IV, разд. 7).

Расстояние оси жесткости крыла от передней кромки по размаху х0.

Массовые характеристики

Погонная масса крыла вместе с элероном по размаху т.

Погонная масса элерона тэ.

Погонный массовый полярный момент инерции крыла вместе с элероном относительно оси жесткости 1т.

Погонный массовый момент инерции элерона относительно его оси вращения 1тщ.

Расстояние между центром тяжести системы в каждом сечении и осью жесткости а.

Расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения о3.

Расстояние от центра тяжести системы до оси вращения элерона рш.

Аэродинамические характеристики

Для расчета необходимы следующие характеристики:

dCylda, дСш1да, dCmld^>„ дСт1дСу,

а также моментная хорда, к которой отнесен шарнирный момент —• <м,ш. Так как в расчет входит не дСт/дСу, а дСтЕ;дх, то необходимо сделать пересчет по формуле

ЭС тЕ _ 90 у / 9Ст ,

да да \ ЭСу 1 t

Расчет, критической скоростив первом приближении

Прежде всего необходимо определить форму изгибных и крутильных колебаний крыла, характеризуемую функциями / (у) и <р (у). Эти функции определяются методом последовательных приближений, причем в качестве исходных удобно задаться функциями изгиба и кручения крыла постоянного сечения в пустоте. Способ определения / (у) и ф (у) подробно изложен в работе Е. П. Гроссмана [1, гл. I — III]. Для расчета первого приближения достаточно / (у) и ф (у) определять соответственно из уравнения чисто-изгиб- ных и чисто-крутильных колебаний крыла в пустоте.

Вычисляются в каждом сечении крыла аэродинамические характеристики по формулам

созф* = 2-^—1, созфш = 2-~1(0<^ф*<л и 0<^фш<(л),

G* = [л — ф* + sin ф*]/л,

Н* = [(л — ф*) COS фш + 8Шф* cos фш sin ф* + 1/2 (л — ф*) —

— V4 sin 2ф*]/2л,

I* = —’Д sin ф* (1 — cos ф*),

J* = 1/ie [— (л — ф*) — 2 cos фшвтф* Д со8фш sin 2ф* 4- V2 sin 2ф* — — sin ф* — 1/3 sin Зф*],

Й* = —Й* = х/2 [(л — ф*) (cos фш — х/3) — sin ф* (cos фш — 1) +

+ х/4 sin 2ф*], й* = й;* -}.. (Жо4) йД, йГ = - Й*,

Й? = Cg [(л — ф*) (3 cos фш — 1) 4- 1/2 sin 2ф* (cos фш + 1) 4

4- 5/3 sin ф* — х/6 sin Зф* — 2 з!пф* cos фш],

Й3 = [(л — ф*)2 (cos фш — х/2) 4- (л — ф*) sin ф* 4" V3 sin3 ф*]/2л, й4 = {[(л — ф*) cos фш ф- sin ф*]2 + 1/18 sin ф* sin 4ф*}/4л,

9К™ 9СШда да9К™ 9СШда да^эСг.шУ1f- dyУ1^эСг.шУ1f- dyУ19С™ ^Ум.тп3(3 У-.

9К™ 9СШда да

9К™ 9СШда да

^эСг.ш

У1

f- dy

У1

^эСг.ш

У1

f- dy

У1

j t-dy

У1

Примечание. Знак Сш брать обычным, принятым при продувках (дСш/да Д> 0, дСш18^ Д> 0):

Й*

й* «3

9КШ

да

_ 9Кт

оа 1

сц — ^ тр dy, оУзс3) == \ ^тш dy,сц — ^ тр dy, оУзс3) == \ ^тш dy,Уз^ тэоэ/ dy.УхУз^ тэоэ/ dy.Ух^23 = — Р ^ J^t^^ dy — р^23 = — Р ^ J^t^^ dy — рН*£3/р dy — р ^ й^3^ ^^/’Н*£3/р dy — р ^ й^3^ ^^/’

сц — ^ тр dy, о

Уз

с3) == \ ^тш dy,

сц — ^ тр dy, о

Уз

с3) == \ ^тш dy,

Уз

^ тэоэ/ dy.

Ух

Уз

^ тэоэ/ dy.

Ух

^23 = — Р ^ J^t^^ dy — р

^23 = — Р ^ J^t^^ dy — р

Н*£3/р dy — р ^ й^3^ ^^/’

Н*£3/р dy — р ^ й^3^ ^^/’

Удобно после вычисления построить графики изменения этих величин по размаху.

Примечание. В случае отсутствия аэродинамической компенсации ф* = фш и величины G, Н, I, J и Йг можно брать с графиков рис. 16 и 18.

Определение коэффициентов а^, bik, Сц,, <1чи. Необходимые для расчета величины ato, bU;, cil£, dUt представляют собой определенные интегралы, выражения которых мы даем ниже. Вполне достаточная для практики точность будет, если эти интегралы вычислять способом трапеции, разделив интервал интегрирования на 10 частей :

См — $ Im^ йу (Д^л Г 2/пэршаэ) ф2 dy, ОУ1

^ ma/ср dy + ^ тэоэ/ф dy, оу.

Уз

с^ = с^ = ^m3pm<53<pdy,

Ух

а.^зЦсЦ^ dy 4- ^ IW-dy,0l/i

Г ^Сdn = р \ ^ tp dy,о

di3 = — р ^- t2H*j dy,1/1

— -у- — Н^ t^ р2 dy —-

Угd33 = p^ Q^dy,

Ух

№^31 = р 5 Q^fdy,У1№^31 = р 5 Q^fdy,У1Ь12 = —Р ^ -^-(1 — G^tjcpdy, 6Ь12 = —Р ^ -^-(1 — G^tjcpdy, 6

№

^31 = р 5 Q^fdy,У1

№

^31 = р 5 Q^fdy,У1

Ь12 = —Р ^ -^-(1 — G^tjcpdy, 6

Ь12 = —Р ^ -^-(1 — G^tjcpdy, 6

d32 = р ^ (й* й*) Лр Й'

bis = — р -5^- G*tf dy, О

^2дС^2

&22 = р ^ 7*^2ф3 (Zz/ — р ^ ^ (1 — G*) £2ф2 dy — р ^ (fi* — й*) £2ср2 dy,

^2з = — Р 1*^<Р dy — p^ ■G*£2q) dy — р t й*£2ф dy,

&32 = Р $ (й* — й*) t2(fdy,baa = р ^ Q*i3 dy.

Критическая скорость Укр и частота р определяются из системы уравнений

Дх (р, I ) - .1/, М^ + мзр2 + M4pW2 + М 5р4 + + МвУ4 + М^У1 + M8pW4 + м»р6 = о,

А2 (р, У) =+ N^- + N3pa + Ntv4 ++ М.р3У3 = 0

(соответствует системе (11) гл. V).

Прежде всего необходимо вычислить коэффициенты этой системы уравнений. Они определяются формулами

«и 00

мг =

0«22 «23

1

0«32 «33

«и о 613

«11 6]20

м. =

0«22623

+

0622 «23

0«32633

0632 «33

«и 0с13

«11 «120

«и 00

Л/3=-

0«22 «23

—

0«22«23

—

«21«22«23

0«32 «33

0«32«33

«31«32«33

«11«12613

«11 6]2 «13

«и 0 by

«116120

М4 = —

0«22 623

—

0622 «23

«21«22 6 23

—

«21622«23

—

0«32633

0632 «33

«31632 633

«31«32«33

«11^12^13

dn 0 dis

dn di2 0

—

0d2£ dis

—

^21«22^23

—

d3l d32 «23

1

0 dS2 dsa

dsi «32 d33

dgi d32 «33

«11«12«13

«110«13

«11«120

м5 =

0«22«23

+

«21«22«23

+

«21«22«23

0«32«33

«31«32«33

«31«32«33

«11 by

613

мв =

0 by

623

0 632

633

«11 Cy

613

«и 612«i3«Ц dy d,3

м7 =

«ai «22

623

4- «21 622 «234" Cal d22 d23 "Ь

«31«32

633

«31632 c33C31 dy d33

dll

di2 «13dy cy dy

4" d2l

^22 c

23 4" dsl C22 d23 I

dsl

^32c33^31c32^33

«и

612 6

13du dia 613t/ц 612 di3

м8 =

—«21

622

23 — d2i d^2 Ь2з — d2i 622 d23 ,

«31

632 6

33d3i d32 633d3i 623 d33

«11

Cy «

13

—«21

«22 C

23 ,

«31

«32 «

33

fill 0

dis

«11 di2 0du 00

Ni =

0Й22

d23

-|_0d22 «23 4" ^21 622 623 ’

0«32

d33

0d32 a33d3i «32 «33

«11 by

dis

«11 dia 613du 6120du 06i3

Na^

0 622

das

4.0 dj2 623 4- d2i 622 «23 4" ^2l ®22 ba )

0 632

d33

0d32 653d3i 632 «33d3i «32 633

«и

0 a

13«и dy 0du «120

Аз =

— «21

«22 a

23«21d22 «23—■d21 «22«23 —-

«31

«32 «

33«31d32 «33d3i «32«33

dll

0 «is«11 cy dyan dy cy

^21

«22 «23—■0«22 dgs —0d22 «23 >

d3l

«32 «зз0c32 d330 dgg c33

dll 612

613

n4 =

dal 622

623

d3i 632

633

dn «12

«13

«11 dia «13«11«12 di3

w5 =

dai «22

«23

4- «21 daa «аз 4" Cal C22 ^23 >

d3i C32

«33

«31 dg2 C33«31«32d33

du

di2

4зdu 612«13du «12613«11612 dis

N6 =

— d2i

d22

4з — d2i 622 «23 — dai «22 623 —■C21 622 d23

dsi

ds2

^ззd3i 632 «33d3i «за 633c3i 632 d33

«11

dia

613

— «21

d22

623 ,

«31

d32

633

Систему

Аг ^р, 7) = О, А2 (р, 7) = О

можно решать следующим способом.

Задается какое-либо значение У = Ут и из уравнения Д3 = О определяется соответствующее значение р = рг:

2- (/V3 + V

Знак в этой формуле нужно выбрать так, чтобы получить наименьшее значение для критической скорости. Обычно для этого приходится брать большее значение р.

После этого вычисляется значение Лх для полученных значений

V=Vv р= Р1.

Это вычисление проделывается несколько раз для различных значений V. Затем строится график Дг в зависимости от У. Значение У, при котором Дх обращается в нуль (пересекает ось абсцисс), и есть корень решаемой системы уравнений, т. е. есть искомая величина критической скорости флаттера.

ИЗГИБН0-ЭЛЕР0ННЫЙ ФЛАТТЕР

В случае изгибно-элеронного флаттера значительно уменьшается число необходимых расчетных данных и облегчается сам расчет.

В этом случае для расчета необходимы следующие характеристики системы.

Расчетные данные

Геометрические характеристики

Полуразмах крыла Z.

Длина элерона Z3.

Форма крыла с элероном в плане.

Закон изменения хорды крыла по размаху t.

Хорда элерона в каждом сечении Z3.

Расстояние от оси вращения элерона до конца его tv

Площадь элерона 5Э.

Упругие характеристики

Жесткость изгиба крыла в нескольких сечениях EI.

Жесткость крепления элерона к крылу R (см. гл. IV, разд. 7).

Массовые характеристики

Погонная масса системы крыло—элерон т.

Погонная масса элерона т3.

Погонный момент инерции массы элерона относительно его оси вращения Ттш*

Расстояние центра тяжести элерона от его оси вращения о3.

Аэродинамические характеристики

Коэффициент подъемной силы дСш/да.

Коэффициенты шарнирного момента дСш1да и дСш!д^.

Схема определения критической скорости

Форма изгибных колебаний крыла / (у). Функцию / (у) находят из рассмотрения чисто-изгибных колебаний заданного крыла в пустоте.

Определение ведется методом последовательных приближений, изложенным в работе Е. П. Гроссмана [1, гл. I, II].

Определяются для рассчитываемого крыла G*, Н*, Й* и Й* по формулам

G* = [л — ф* + sin ф*]/л,

Н* = [(л — ф*) cos фш + sin ф* cos фш + sin ф* +

+ х/а (л — ф*) — Ф4 sin 2ф*]/2л,(1)

й* = [(л — ф*)3 (cos фш — 1/2) + (л —- ф*) sin ф* +

+ т/2 sin2 ф*]/2л,

Й* = {[(л — ф*) cos фш + sin ф*] 3 + 1/1в sin ф* sin 4ф*}/4л,

гдеcos фш = 2tjt — 1, cos ф* = 2t3/t — 1.Величины G*, Н*, Й*, Й* есть функции lift и tjt, поэтому необходимо иметь таблицу или график изменения этих величин по размаху элерона.гдеcos фш = 2tjt — 1, cos ф* = 2t3/t — 1.Величины G*, Н*, Й*, Й* есть функции lift и tjt, поэтому необходимо иметь таблицу или график изменения этих величин по размаху элерона.3. По известным дСш/да8Кт9Ст SA, шдадаУз ’3. По известным дСш/да8Кт9Ст SA, шдадаУз ’и дСш/др находими дСш/др находимдКгдрдКгдрдр "-.др "-.

где

cos фш = 2tjt — 1, cos ф* = 2t3/t — 1.

Величины G*, Н*, Й*, Й* есть функции lift и tjt, поэтому необходимо иметь таблицу или график изменения этих величин по размаху элерона.

где

cos фш = 2tjt — 1, cos ф* = 2t3/t — 1.

Величины G*, Н*, Й*, Й* есть функции lift и tjt, поэтому необходимо иметь таблицу или график изменения этих величин по размаху элерона.

3. По известным дСш/да

8Кт9Ст SA, ш

дадаУз ’

3. По известным дСш/да

8Кт9Ст SA, ш

дадаУз ’

и дСш/др находим

и дСш/др находим

дКгдр

дКгдр

др "-.

др "-.

У,У,

Здесь ^мш — моментная хорда элерона, а ух и z/2 — соответственно расстояния от места заделки крыла до начала и конца элерона.

4. Находим

Q* Q* ^* ( О*--1 — Ь^4g*- I --з —Q* Q* ^* ( О*--1 — Ь^4g*- I --з —Ж,Ж,—*9КШgsэБГ—*9КШgsэБГЙ?Й?9К^др9К^др(Г)(Г)

Q* Q* ^* ( О*

--1 — Ь^4g*- I --з —

Q* Q* ^* ( О*

--1 — Ь^4g*- I --з —

Ж,

Ж,

—*9КШ

gsэБГ

—*9КШ

gsэБГ

Й?

Й?

9К^др

9К^др

(Г)

(Г)

i

Си ■= 5 mf dy, С33 о

i

«11 = \“V,

' X dyM а о

dy,

У2азз= ^ Rdy,

У1

Уз

С31 = Схз = ■^ maa3f dy,

У1

^11 = Р tf dy,

(2)

633 = р ^ Й*;3 dy.633 = р ^ Й*;3 dy.

633 = р ^ Й*;3 dy.

633 = р ^ Й*;3 dy.

di3 = — p\i—^H*t2fdy, dss = p\tt4tdy, У1У-i

Уг _У; gc

d3i = p^ Qtf2f dy, 613 = — р —Л- G*tf dy,

У1у.

Определение критической скорости. По известным а№, bi]£, cik, dik находим

Mi^п^зз’M2 —Und33 -}-^11^335

Af3ацс33 -j-a^c^,M ^ =ацЬ8а,

М5 = йцс/33 -]- СцЬ33 ■ d13dai b13c3i,(3)

Mg =СцДзз -]-c7uc33Caimis ■daicls,

M7 =dHb33 —b13dai,M8 =cuc33 —c13c3i,

затем

L = M5M6M7 — M7Ms,

M = M2M5M8 +MXX - MX — 2MX7MS,(4)

N = М.2М3Мб — MX — MXs

и, наконец,

2_ м + У Ml — 4LM

V ку2L'

Случай полной аэродинамической компенсации

Все расчетные формулы (2)—(4), приведенные выше, справедливы для любой степени аэродинамической компенсации элерона.

В случае отсутствия аэродинамической компенсации следует только в формулах (1) и (Г) положить ф* = фш.

Если же элерон полностью аэродинамически компенсирован, т. е. на летных углах атаки дСш1да = дСш/сф = 0 (и, следовательно, дКш!да = = дКш/д$ = 0), то приведенные расчетные формулы еще более упрощаются.

В этом случае

d3i = b3a 0, Й4 = Й4,

М1 = 714*7 = 0, Мз = diid3a • biaCaii М8 = Cnd3a ~Ь d12c33

С31^13-

Выражения для 71^!, М2, М3 и М8 остаются прежними.

Вследствие этого

L = 0, М = MXXs, N = ТЩМзТИв - МХ» — МХв-

Уравнение для определения критической скорости

Укр = -NIM.

Критическая скорость перестает существовать (изгибно-элеронный флаттер будет невозможен), если

С31 ^ ^11^3з/(^1з)’

КРУТИЛЬНО-ЭЛЕРОННЫЙ ФЛАТТЕР

Для крыльев со сравнительно небольшой жесткостью кручения представляет интерес случай крутильно-элеронного флаттера. Сохраняя прежние обозначения, приведем лишь сводку расчетных формул.

Определяется методом последовательных приближений функция Ф (z/) крутильных колебаний (см. [1]).

Вычисляются G*, Н*, I*, J* и затем й* по формулам, приведенным в разд. 1 наст, главы.

Далее вычисляются коэффициенты

Нгсзз ^тш ^£6HiНгсзз ^тш ^£6HiIУ-

Нг

сзз ^тш ^£6

Hi

Нг

сзз ^тш ^£6

Hi

с22 = $ /тф3 dy — $ (1тш + 2тэршо.,) ф3 dy, Ош

i23 =с32 = ^ /иэршаэф ^,Hii23 =с32 = ^ /иэршаэф ^,HiУг

i23 =с32 = ^ /иэршаэф ^,Hi

i23 =с32 = ^ /иэршаэф ^,Hi

&2.*2&2.*2= ^Gip^py+^R^dy, оу,

&2.*2

&2.*2

УгУг

а23 = aa2 — — Rydy, «зз = ^ Rdy, У1

dM = p^ + I^ t3^ dy-Д ^-^--Н^ t3^ dy оо

Р (й* й*) <3ф3 dу,

У1

d33 = —- Р ^ «^Зф dy —■ р ^ НЧ8ф dy — р ^ Й*/Зф dy, Уху,У1

d33 = p^' ^t3 dy, d32 = p^ (й* — й*)<3Фdy, у,у,

623 = р IW dy - Р (1 - G*) < V dy - р \ (й? - йз*) tv^ dy, у,ОУ,

у4% ЭСW —

623 = — р ^ Т^ф dy — р —^ С*(3ф dy — р й*(Зф dy, У,У,Ух

632 = Р \" (й* — й3) ^Зф dy, ba8 = р ^ ^3 dy.УхУх

Определяем коэффициенты

2V"i = а22а38®23®з2>

TV2 = ^22^33 ZZggCss Ч~ ®32^23 “Ь ^ЗЗ^ЗЗ’

Л^з = b22ass -)- а2ф38®32^23®23^32’

N4 = —d22d33 -ф- d28d32^22^33^33^22 + ^гз^зг + ^32^23,

Ns = с23с33с2зС32,

Ns = ^22^33 ЬгзЬ32,

N7^22^33 1 ^33^22^23^32 ^32^23,

^8 = C^d^g СддС^г + С23^32с32^23,

N% = ^22^33 Ч~ ^33^22^23^32^32^23"

Критическая скорость определяется из уравнения

LV4 + MV2 + N = 0,

где

L = 7V47V82V9 - WgWg - NX,

М = 7V2A'82V9 + Nt№ - NX - 22V5jV71V9,

N = ,V2TV72V8 - NX ™ W5TV7.

СХЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИКРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ

МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Данные, необходимые для расчета

I — размах крыла

I — хорда крыла

m — погонная масса крыла (без элерона)

Im — погонный момент инерции единицы длины крыла (без элерона) относительно центра жесткости крыла

EI — жесткость крыла на изгиб

GIp — жесткость крыла на кручение

х0 — расстояние от передней кромки до центра жесткости сечения крыла о — расстояние от центра жесткости до центра тяжести сечения крыла (без элерона)

ЭСу!да — производная коэффициента подъемной силы

ЭСтЕ!да. — производная коэффициента момента относительно центра жесткости

Данные отсека элерона Е,

yh Hj — расстояния от корня крыла до начала и конца отсека

у Л — расстояние от корня крыла до i-ro шарнира элерона

13 — хорда элерона

tt — расстояние от оси элерона до его задней кромки

°j — расстояние от оси отсека элерона Ej до его центра тяжести

У! — расстояние от корня крыла до центра тяжести отсека Ej элерона rrij — масса отсека

X — момент инерции отсека Ej относительно оси элерона

X — момент инерции отсека Е} относительно оси А,, проходящей через центр тяжести отсека Ej и параллельной хорде крыла

1^ — центробежный момент инерции отсека Ej относительно осей Д7 и оси элерона

Rj — жесткость крепления элерона

дСш1да и дСш/др — производные коэффициента шарнирного момента элерона

Вспомогательные функции при расчете

Вычисляем значения коэффициентов atl т^ «3^, ц, по формулам гл. II.

Вычисляем функции F ^ (у) и Ф^ (у), используя результаты гл. II и по формулам (12) гл. VI..

Определение функций /„ (у), фм (у) и Ъ^ в п-м приближении.

В качестве первого приближения для этих функций берем функции

/г (У) = At (уМ ф1 (у) = 5ф (у), Ь5 = Сй,

где f (у), ф (у), й и отношения AiB и AIC определяются расчетом, изложенным в гл. V. Остающуюся произвольной постоянную А определяем из условия Aj (I) = 1.

Допустим, что мы знаем функции (и ■— 1)-го приближения. Эти функции будут, вообще говоря, комплексны, и мы их запишем в следующем виде:

/п-1 (l/) = /п-1 (У) т Mu-х (у)» фп-i (у) = фп-i (У) + i^i (У),

b^^b^ + ib^\

Для того чтобы определить эти же функции в п-м приближении, а также значения частоты ри и критической скорости VH в ге-м приближении, надо проделать следующие вычисления.

Определяем функции

K®i (У) = Ш& (у) — то-фп-i (У),

К-п^ (у) = mj®2 (г/) — тоф^ (у),

К«л (У) = — ptoB5/®i (у) — р^йфи-х (.У) — Р^эхС 2V-

К®а (У) = ptoas/n-2 (.У) + р^йв2ф®1 (у) 4- pl3ao4^”41),

КпЛ (у) = р/ (®э1фп-1 (у) + аэзЬ^, 1 ^),

-^п?2 (у) = р/ (®э1фп-1 (у) + ®ЭЗ^, 2 ^)>

Н®1 (у) = — mafnli (у) + 7тф«-1 (у)>

HVi (У) = mCifn-i (у) + / тфп-1 (у)’

Ни\ (у) = — Р^3 (йб/п-1 (у-) т ^о-гфи-! (у) -д ty-^j, 2^)>

Н^2 (у) = pi3 (рМп-1 (у) + ^2ф»-1 (.У) + tp^Mi’Y

^щ1 (у) = Р^2 (Ц1фп-1 (у) + Рз^лг))’

Нп\ (у) = pt3 (Цхфп-i (у) + М-з&£ i1^)-

Интегрируя полученные выражения, определяем функции (g = 1, 2; й = 1, 2, 3)

ti^g (у) ^^dy^^dy^ K^g (у) dy, 00 У у

о р о

Вычисляем коэффициенты уравнения для определения величин Рц, . . ., Рj,^--, соответствующих отсеку Ej элерона: при h ^ kj —• 2, г = = 1, 2, . . ., кЕ' полагаем

Сц, I =: [^ Д (Уз, кл) ' ^ зг (Уз, 1)] ’ (t ^0 Н) [Фд (Уз, h+1) ’ Фд (Уз, 1)1 "

- "У^Т" (ур-fh(Уьi)i-

уз, М уз, 1J

— (t—X0 — к) [Фд (Уг, к) — Фд (Уз, 1)1).

При h = kj — 1

^\ = t

при К = к,

Сц^г + Уз, г — Уг-

Определяем величины A^-,i,g(l = 1, 2, 3; g = 1, 2) из следующей системы уравнений:

кз

у „(Ю п(”)

Zj h5 г г; I, g — A; I, g'

2=1

правые части которых определяются следующими формулами: при К = = 1, 2, . . ., kj - 2

^У; i,g — ~~ [^g (Уз, /и-i) — Уа (Уз, 1)1 — А — жо ™ Н) X

X [<g (Уз, /т) - <g (Уз, 1)1 +{[L(Og(z/. х _ L^M i}] _

(t ■ Хд к) [Л^1г^ (г/д yj) ^Vg (yj, i)]},

при h = к^ — 1

^У, 1, g ~ тз (ei i; g^g + ез, \; g^g' ~ азУЬ ’

DT)h-, a, g = P У («aiTn-i (у) + a^b^^dy,

t*T?h; 2,1 = " P \ А3йэ2фп-1 (У) + ^^эдбд 2 ) + ta-asfn-i (у)) dy,

Ез

D^jv, 2,2 = P $ (^йэ2фп-1 (у) + ^«aiCi4 + ta^fS-1 (у)) dy, при h = kj

DpV, 3,g = P У («э1фп-1 (у) + «эз^д gv (У — Уз) dy,

19 kj — число шарниров у отсека Ej элерона.

titi 2,1 = — Р 5 (^аЭ2ф®1 (z/) + ^а^У + ta3Stii (у) (у — Уз) dy,

D^h- 2,2 = Р $ (^«эгф»-! (у) + t2^^11 + ta3-otii (у) (У — У)) dy.

При этом надо положить

Sj?^ = fti (Ун) — (t — x0 — ti) ф^ (у,0,

Полагаем

tig У) = ti, g (У) 5 ti'.lg^ji (У)’

г

ф”?8 (Z/) = til, g (у) ' 3 ^J4 I, g^ji (V) (t ■ жй H)’

причем суммирование идет по всевозможным индексам.

Пользуясь найденными функциями, определяем рп и F„ из системы уравнений

til (0 Рп + til У РтУп + til У ^«^’

ti» У Рп + ti-2 У РтУп + /^2 У VI=о.

Определяем функции ju (у) и фга (г/) по формулам

In, g (у) ~ tig (у) Рп У tig (у) РпУп + tig (у) vn, фи, g (У) ~ stig (у) Рп + фп^ё У) РтУп + фта?g (у) Vn-

Для определения Ь^ полагаем

to^^Rj — tipn—V^ ^ pi3p3dz/,«ti = PPnVn $ tsp3dy.

EiЕз

,yn) T(P i^r1 bi;1 „2„/!'„(«) I ^''ДпА ^ 2 ,

(0j3 —Pn—Oj, It ABjej, /r ; 1 + E36i,V,l)Pn +

U3, Itjyj!33

+ pF^. 5 t2pi(pn,i(y)dy— pVnpn 5 Ур-г^плУ) + t'2p5fni2(y)dy, ЕзЕз

= 1Й —уPn — Ojmj Узев i; s + ^зез, i; 2) Pn +

+ pF^ ^ ^Р1фп,2 (у) dy + pF„p„ ^ (^Ц2фп,1 (у) + t2psfn,i (Z/)) dy.

Тогда имеем следующие формулы:

0331 Ю33®,2 ш5<r (n) _ Mj4 T '“зз

ЛИТЕРАТУРА

Гроссман Е. П. Флаттер,— Тр. ЦАРИ, 1937, вып. 284, с. 246.

Frazer R.A., Duncan W.J. The flutter of aeroplane wings.— Brit. Aeronaut. Res. Comm., R. and M., N 1155, 1928; N 1255, 1929.

Гроссман E. П., Кричевский С. С., Борин А. А. К вопросу о потере устойчивости конструкцией крыла в полете,— Тр. ЦАРИ, 1935, вып. 202, с. 63.

Келдыш. М. В. Гидродинамический вывод формул Раушера.— Техн, заметки ЦАРИ, 1934, № 45, с. 10—13.

Theodorsen Т. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter.— NACA Rep. W, 1935, N 496. 23 p.

Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. Л.; М.: Гостехтеориздат, 1931. 163 с.

Гроссман Е. П. Дифференциальные уравнения движения крыла.— Приложение к кн.: Гроссман Е. II., Кричевский С. С., Борин А. А. К вопросу о потере устойчивости конструкцией крыла в полете,— Тр. ЦАРИ, 1935, вып. 202, с. 58—63.

15

ВИБРАЦИИ В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ КРЫЛАС ПОДКОСАМИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задача о вибрациях крыла с подкосом есть задача о колебаниях обычного крыла с новыми добавочными условиями, налагаемыми на функции формы колебаний, поэтому рассматриваемая задача не представляет никаких принципиальных затруднений после того, как разобрана задача о колебаниях обычного крыла. Некоторые новые приемы пришлось ввести лишь при интегрировании уравнений задачи. Предлагаемая статья имеет своей целью дать сборник и вывод всех расчетных формул, нужных при расчете собственных частот крыльев с подкосами различного вида, а также изложение собственного расчета критической скорости флаттера такого рода крыльев в таком виде, чтобы их мог непосредственно использовать инженер в расчетном бюро.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ КРЫЛАС ПОДКОСОМ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

В предлагаемой работе излагаются методы определения критической скорости крыла с подкосом.

При определении критической скорости крыла с подкосом следует различать два основных случая.

Л. Крыло укреплено в некотором сечении одним подкосом и в одной точке сечения (рис. 1). В этом случае подкрепленная точка крыла Р должна оставаться неподвижной, но сечение крыла, подкрепленное подкосом, может совершать крутильные колебания около точки Р.

Б. Некоторое сечение крыла закреплено в двух точках: Рл и Р9. Такое закрепление может быть достигнуто либо постановкой двух подкосов, либо постановкой F-образного подкоса. В этом случае закрепленное сечение крыла закреплено жестко и во время колебаний крыла остается неподвижным.

Наряду с типом подкоса следует различать два случая заделки крыла у фюзеляжа.

Жесткая заделка крыла. В этом случае корневое сечение крыла при вибрациях остается неподвижным и касательная к упругой линии крыла в корневом сечении остается параллельной горизонту.

Шарнирная заделка крыла. В этом случае корневое сечение крыла опять-таки остается неподвижным, но касательная к упругой оси в корневом сечении может менять свое направление. Геометрическое условие на направление упругой оси в этом случае заменяется динамическим условием равенства нулю изгибающего момента в корневом сечении.

Рассмотрение этих двух случаев можно провести совершенно аналогичными способами. Во всем дальнейшем мы будем вести изложение для случая кры

ла, заделанного в фюзеляж. Этот случай встречается постоянно при подкосных стабилизаторах, а также иногда и для подкосных крыльев. Для случая крыла с шарнирной заделкой мы приведем в конце статьи лишь сводку расчетных формул, так как вывод этих формул не содержит никаких принци

пиально новых элементов.

Заметим здесь, что, как явствует из описания случаев А и Б, в настоящей работе мы совершенно пренебрегаем влиянием на вибрации крыла упругости подкоса и считаем подкос абсолютно жестким. Случай упругого подкоса также мог бы быть рассмотрен, однако это бы повело к дальнейшему усложнению уже и так не слишком простых расчетных формул, и поэтому для получения первых данных о влиянии подкоса на критическую скорость мы

сочли возможным ограничиться случаем жесткого подкоса.

При решении задачи определения критической скорости мы будем пользоваться дифференциальными уравнениями вибраций крыла, составленными на основании следующих гипотез.

Аэродинамические силы и момент, действующие на вибрирующее кры

ло, определяются на основании гипотезы стационарности.

Крыло рассматривается как балка (в смысле сопротивления материалов), работающая на кручение и на изгиб.

Очевидно, что дифференциальные уравнения вибраций подкошенного крыла не отличаются от дифференциальных уравнений вибраций обычного крыла, так как эти уравнения дают закон движения некоторого сечения крыла. Наличие подкоса у крыла скажется в том, что мы будем иметь добавочные граничные условия на подкосе. Мы возьмем дифференциальные уравнения вибраций крыла в той форме, как они приведены в книге [1].

Пусть ось х направлена в сторону, противоположную скорости полета крыла, ось р — вдоль размаха крыла, а ось z — вертикально вверх. Начало координат поместим в месте сочленения крыла с фюзеляжем.

Обозначения

EIGIPz0EIGIPz0

EIGIPz0

EIGIPz0

— жесткость крыла на изгиб

— жесткость крыла на кручение

— расстояние от передней кромки сечения крыла у = const до центра жесткости

а — расстояние от центра жесткости сечения до центра тяжести

t — хорда крыла

m — погонная масса крыла

1т — момент инерции единицы длины

крыла относительно центра жесткости сечения крыла

dCylda — производная коэффициента подъемной силы крыла по углу атаки

8Cm$J9a. — производная коэффициента момента крыла относительно центра жесткости по углу атаки

р ■— плотность воздуха

К — скорость движения самолета

z — приращение аппликаты центра жест-кости при вибрациях крыла

0 — приращение угла атаки при вибра

циях крыла

Заметим, что 6 мы считаем положительным в направлении вращения от

оси z к оси т; в этом же направлении считается положительным аэродинамический момент.

При указанных обозначениях имеем следующие дифференциальные уравнения вибраций крыла:

565т565тJ—1 = о.Г 5т JJ—1 = о.Г 5т J(1.1)(1.1)

56

5т

56

5т

J—1 = о.

Г 5т J

J—1 = о.

Г 5т J

(1.1)

(1.1)

9 Г г у6 \52z.526 9СтЕ т/3+9 Го I

ду \ р ду ) ' дт- т дт2 1 дос r‘

г 1 / 3дб1 п

+ V ?— 16дстЕ1да ) "dr'

Эти дифференциальные уравнения содержат неизвестные функции 0 (г/, т), z (г/, т) и неизвестный параметр V. Чтобы определить вполне возможные колебания крыла, надо еще написать добавочные условия, которым должны удовлетворять функции z (у, т) и 0 (у, т). При у = 0 крыло скреплено с фюзеляжем самолета, и поэтому должны выполняться условия

(1.2)(1.2)z = 0, dz/dy = 0,0 = 0.

(1.2)

(1.2)

При у = I мы имеем свободный конец крыла, и, следовательно, перерезывающая сила, изгибающий момент и крутящий момент равны нулю. Это дает следующие условия:

Е1~ = 0, -^Ul giJ^L—q. (1.3) ду2 ду \ ду2 / р ду \ /

Пусть сечение, отстоящее от места крепления крыла к фюзеляжу на расстоянии К, укреплено подкосом. Для того чтобы написать условия, которым должны удовлетворять функции z и 0, в этом сечении нам придется рассмотреть отдельно случаи А и Б, указанные в начале настоящего раздела.

Случай А. Сечение (Л.) укреплено подкосом в одной точке И, отстоящей на расстоянии 6 от центра жесткости сечения. (При этом мы будем считать, чти 6 Г> 0, если точка Р находится дальше от передней кромки сечения, чем точка Е, а в противном случае 6 < 0.)

Мы будем обозначать знаком минус в индексе значение, которое принимает некоторая величина F при подходе к сечению (h) слева (у < /i), и знаком плюс значение, которое принимает та же величина при подходе к сечению (Л) справа.

Перейдем теперь к составлению условий в сечении (/i). Точка Р сечения (Л) во время колебаний остается неподвижной. Это дает следующие условия:

z_ — 60_ = 0, z+ — б0+ = 0.

Ось жесткости не должна терпеть излом в сечении (7г), т. е.

Z_ = z+,(dz%)_ = (9z/9z/)+.

Изгибающий момент в сечении К остается непрерывным, так как изгибающий момент от силы реакции подкоса относительно сечения (7г) равен нулю т:

/ d2z \/ d2z \

\ ду2\ ду1

Определим в сечении (7г) величину реакции подкоса и приращение крутящего момента. Величина реакции подкоса, очевидно, должна быть равна приращению перерезывающей силы в сечении (7г). Как известно, перерезывающая сила в некотором сечении определяется формулой

ду \ ду2 / ’

приращение ее в сечении (7г), очевидно, будет

L ду \ ду2 yj- 1 L ду \ dy2 /J +

Для определения приращения крутящего момента в сечении (7г) напомним, что крутящий момент в произвольном сечении (z/) дается формулой

GIpdQldy,

и, следовательно, его приращение в сечении (7г) может быть определено следующей формулой 3:

р\ дур\ ду

Так как в сечении (7г) не имеется внешних сил, отличных от 7V, крутящий момент М, действующий в сечении (7г), есть момент силы 7V, и, следовательно,

М + 67V = 0

или

р \ дуV ду \ ду2 /дуL ду \ду2)] +

Таким образом, для случая А мы получили следующие условия, выполняющиеся в сечении (7г):

z_ — 50_ = 0, z+ — б0+ = О, z_ = z+,0_ = 0+,

/ dz \ 7 dz \■ d2z \ / d2z \

\ ду \ ду Y\ ду2 ( ду2 Д’

Р \ ду L ду \ оу- /J-‘ \ оуоу \ оу /J^-

Отметим, что одно из четырех первых условий есть следствие трех других.

Как увидим в дальнейшем, этих условий достаточно для определения решения.

Случай Ло. Отметим частный случай, когда точка крепления подкоса в сечении (/г) совпадает с его центром жесткости.

В этом случае 5 = 0, и из первых трех условий и из последнего находим

е_ = е+, (Жду), = (50/5у)+.

Поэтому функция 0 (у, т) остается непрерывной вместе со своей первой производной на всем крыле.

Условиями, налагаемыми на функцию z (у, т) в сечении (/г) крепления подкоса, будут:

z_ = 0,z+ = 0,

I Эг \ / dz \/ dsz \/ d2z \(1-^)

к ду У-( ду IVк ду2 У- к ду2 JV

Мы увидим дальше, что этих условий достаточно для определения функций z (у, т) и 0 (у, т).

Обратимся теперь к рассмотрению второго случая.

Случай Б. Сечение (1г) закреплено в двух точках. В этом случае сечение (h) принуждено ’ оставаться неподвижным, и, следовательно,

z_ = z+ = 0,0_ = 0+ = 0.

Кроме того, учитывая, что ось жесткости не может терпеть излома в сечении (1г) и момент реакции подкосов относительно сечения (1г) равен нулю, получаем еще два следующих условия:

. dz \ _ / dz \.' d2z \/ d2z \

ду /-\ ду )Vк ду2 )-к ду2 Л ‘

Таким образом, в случае Б имеем следующие добавочные условия на подкосе: z_ = 0, z+ = 0,0_ = 0,0+ = О,

/ dz \ _ / dz \! d4\ / d’-z \(1.6)

к ду У- \ ду Д’к ду2 /-\ dy-

2. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯС ПОДКОСОМ В ПУСТОТЕ

Мы приведем здесь решение задачи об изгибных колебаниях стержня с подкосом в пустоте. В дальнейшем мы используем полученные здесь результаты для задачи определения критической скорости крыла.

Как известно, дифференциальное уравнение колебаний .стержня имеет вид

d2 / г, r d2z \ду- к ду2 уd2 / г, r d2z \ду- к ду2 уd2z"дт2d2z"дт2= 0.= 0.Следуя методу Фурье, полагаем z = ехр (1рт) / (у).Следуя методу Фурье, полагаем z = ехр (1рт) / (у).(2-1)(2-2)(2-1)(2-2)

d2 / г, r d2z \ду- к ду2 у

d2 / г, r d2z \ду- к ду2 у

d2z"дт2

d2z"дт2

= 0.

= 0.

Следуя методу Фурье, полагаем z = ехр (1рт) / (у).

Следуя методу Фурье, полагаем z = ехр (1рт) / (у).

(2-1)

(2-2)

(2-1)

(2-2)

(2.3)(2.3)Тогда для определения функции / (у) имеем уравнение ду2 к ду2 )1

(2.3)

(2.3)

В случае консольного стержня длины I с подкосом в сечении (/г) в соответствии с предыдущим разделом будем иметь следующие граничные условия для определения собственных функций:

= 0,/' = 0 при у = 0,(2.4)