Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПРИБЛИЖЕНИЯ,ПРИ КОТОРЫХ СТРОИТСЯ РЕШЕНИЕ
В настоящей части описание эволюции рассматриваемых систем проводится на основе уравнений газодинамики, записанных в переменных t (время) и т (массовая координата). Движение происходит от мгновенного или от распределенного по времени энерговложения. Математическая постановка задачи следующая:
(1.1)(1.1)du ди _ dt dm
(1.1)
(1.1)
dt dmд(Е + и2/2)8 (Ри) _
dtdm
или при постоянном Q = Qo:
Э (Е — Qot + Ц2/2) а (Ри) = 0-dtd т
Р = (7 — PjE/v — уравнение состояния. Здесь г = -, и, Е, Р, Q — Р
удельный объем, скорость, внутренняя энергия, давление и мощность внешнего энерговложения соответственно.
Уравнение энергии при постоянном Q = Qo можно переписать в виде
Если Qo = 0, то величина энтропии в системе постоянна. В такой постановке рассматривается случай мгновенного энерговложения (Eq) в начальный момент времени (to).
Дальнейшие предположения и следующие из них упрощения используют специфику слоистых систем, предназначенных для кумуляции энергии. Особенностью таких систем как правило являются малая толщина и большая плотность слоев с нечетными номерами (см. рис. 1.3, а. б) по отношению к слоям с четными номерами. Это позволяет считать первые слои несжимаемыми (р = - = const), \ г/
а скорости в каждом из них — постоянными по пространству (и = = и (г) = const), что предопределяет малую долю внутренней энергии по сравнению с кинетической на значительном временном интервале
движения. В слоях с четными номерами, в которые может осуществляться энерговложение, необходимо учитывать пространственные градиенты скорости.
Предположим, что распределение скорости в слоях 2 (см. рис. 1.1) и 4 (см. рис. 1.3, 5) представимо в виде
u (m, t) = ^2 Wj (i) gj (т).(1.2)
Такое приближение используется для разделения переменных и как правило применяется при построении точных решений в задачах гидродинамики, близких к рассматриваемой [4, 5]. Во многих случаях на начальном этапе движения зависимость от т можно принять линейной, т. е. (1.2) конкретизировать следующим образом:
и (т. t) = — [ui (t) (m2 — m) + ng (t) т\.(1.3)
Ш2
Последующий учет цилиндрической или сферической симметрии осуществляется через изменение распределения скорости по массовой координате на втором и третьем этапах. При этом полагается, что распределение скорости во внутреннем сходящемся слое т^ аппроксимируется выражением
ик (т, t) = ик (f) + (—) (и* - ик (t)),(1.4)
\тк;
где а — параметр, зависящий от вида геометрии: а = 1 — для плоской геометрии; а = 2/3 — для цилиндрической геометрии; а = 0,5 — для сферической геометрии; и* — скорость движения наружной границы этого слоя. Величина а (для сферического и цилиндрического случаев) выбрана из вычислительных экспериментов.
Глава 2
ОДНОКАСКАДНАЯ СИСТЕМА
Первый этап построения решений —движение слоев в плоском приближении
Рассмотрим однокаскадную систему (см. рис. 1.1), находящуюся в покое. Предположим, что в начальный момент времени во внутренний слой производится мгновенное энерговложение ^(0) либо энерговыделение распределено по времени с постоянной мощностью Qq. Возможно также комбинированное энерговложение: мгновенное и распределенное по времени. Проинтегрируем систему уравнений (1.1) по замкнутому контуру Pi (рис. 2.1), нижнее основание которого
отвечает начальному моменту времени, верхнее — текущему моменту времени. Левая и правая границы контура проходят по левой границе слоя 1 и правой границе слоя 3 соответственно. В дальнейших построениях используем специфику слоистых систем, предназначенных для кумуляции: малую толщину и большую плотность наружных слоев (первого и третьего) по отношению к среднему слою, в котором осуществляется энерговложение. (Последнее предопределяет малую, по сравнению с кинетической, внутреннюю энергию наружных слоев на
значительном временном интервале движения, а также практическую несжимаемость этих слоев.)
С учетом сделанных упрощений, а также равенства нулю давления на свободных (левой и правой) границах, систему (1.1) после интегрирования по контуру Гх (в предположении несжимаемости слоев 1 и 3) можно записать в виде
t
Ш2Ш2j (u3 - Ui) dt;о
Ш2
Ш2
(2-1)(2-1)[М mi + [u3] m3 + j [n2] dm = 0;
(2-1)
(2-1)
m2
«12«12mi +mi +^32^32ml+jm2ml+jm2uj2uj2dm = О,dm = О,
«1
2
«1
2
mi +
mi +
^3
2
^3
2
ml+j
m2
ml+j
m2
uj
2
uj
2
dm = О,
dm = О,
где
[/] = Ж-/(о).
Первое уравнение в (2.1) можно переписать в виде
t
[Г2] = I (из - Ui) dt.
о
Здесь V^)—текущий объем слоя 2; E2(t)—внутренняя энергия слоя 2; ui(t), U3(t) —скорости в момент t в слоях 1 и 3 соответственно.
Значения используемых в уравнении (2.1) величин при t = О являются начальными данными.
Если промежуточный слой 2 прогрет равномерно, а расширение его происходит адиабатически по уравнению состояния идеального газа, то
сто /
Ш2Ш21 /
Ш2
Ш2
m2
Энтропия в этом случае равна
Сто = S2 (? - 1) Г27-1.
Тогда уравнение энергии в системе (2.1) можно записать как
22mi +mi +Цз2Цз2,2 ",2 "'"-+Jm2'"-+Jm2т2 1 -т2 1 -МО) ь(<)МО) ь(<)
2
2
mi +
mi +
Цз
2
Цз
2
,2 "
,2 "
'"-+J
m2
'"-+J
m2
т2 1 -
т2 1 -
МО) ь(<)
МО) ь(<)
Предположив, что распределение скорости по времени в слое 2
можно выра-можно выра-представимо в виде (1.3), интегралы j
можно выра-
можно выра-
Ш2Ш2m2
Ш2
Ш2
зить через искомые функции Ui (t), из (t); тогда система (2.1) примет
вид
t
[Ч] = J (из - Ui) dt;
О
Ы
/ТП2 \ . г л /. ТП2 \п
J + [из]Н—— J — 0;(2-2)
Г 21 7721 + т2/3 . г 21 772 3 + 7722/3 . г п г -,772 2
Ы ——— + Ы —г- + ^ ы — =
Если заданы начальные данные: Ui (0) = из (0) = О, Е> (0) — мгновенное энерговложение, Qo — мощность внешнего энерговложения на интервале [0, fob то можно записать решение системы (2.2) на каждом из двух временных интервалов: 0 ^ t ^ to и to ^ t (в первом случае происходит энерговложение, распределенное по времени, во втором оно отсутствует).При 0 t toЕсли заданы начальные данные: Ui (0) = из (0) = О, Е> (0) — мгновенное энерговложение, Qo — мощность внешнего энерговложения на интервале [0, fob то можно записать решение системы (2.2) на каждом из двух временных интервалов: 0 ^ t ^ to и to ^ t (в первом случае происходит энерговложение, распределенное по времени, во втором оно отсутствует).При 0 t to«1 w =«1 w =,. Гт? тз , x(mi + 772 2 + Т72з) — + — (Т721 + 7723) + 7721772.3,. Гт? тз , x(mi + 772 2 + Т72з) — + — (Т721 + 7723) + 7721772.3»1»1u! W =u! W =(2.3a)2CMO)+Qoy2)m^7^(2.3a)2CMO)+Qoy2)m^7^,. Г 772 2772 2 zх(7721 + 772 2 + Ш3) — + — (7721 + 7723) + 7721772 3,. Г 772 2772 2 zх(7721 + 772 2 + Ш3) — + — (7721 + 7723) + 7721772 3При to С tПри to С t(0 = 2(^2 (0) + Qo^o/2)m2(m3 + m2/2)2 х{1 - 1 [(Г (0)/v2 (t))^-1 + (v2 (to)/b (г)Г"Ч }(0 = 2(^2 (0) + Qo^o/2)m2(m3 + m2/2)2 х{1 - 1 [(Г (0)/v2 (t))^-1 + (v2 (to)/b (г)Г"Ч },x Г 772 2772 2 ,x(7721 + 772 2 + T723) — + — (Т721 + 7722) + 7721772 3,x Г 772 2772 2 ,x(7721 + 772 2 + T723) — + — (Т721 + 7722) + 7721772 3(2.36) u| (0 = 2(S2 (0) + Qo^o/2)m2(mi + m2/2)2 x(2.36) u| (0 = 2(S2 (0) + Qo^o/2)m2(mi + m2/2)2 xxx{l-l^toj/^wr1{l-l^toj/^wr1+ №(<o)/ri(t)r-1]+ №(<o)/ri(t)r-1](7721 + 772 2 + U23)(7721 + 772 2 + U23)772 2772 2 /x1(7721 + Ш2) + 7721772 3L 123.772 2772 2 /x1(7721 + Ш2) + 7721772 3L 123.
Если заданы начальные данные: Ui (0) = из (0) = О, Е> (0) — мгновенное энерговложение, Qo — мощность внешнего энерговложения на интервале [0, fob то можно записать решение системы (2.2) на каждом из двух временных интервалов: 0 ^ t ^ to и to ^ t (в первом случае происходит энерговложение, распределенное по времени, во втором оно отсутствует).
При 0 t to
Если заданы начальные данные: Ui (0) = из (0) = О, Е> (0) — мгновенное энерговложение, Qo — мощность внешнего энерговложения на интервале [0, fob то можно записать решение системы (2.2) на каждом из двух временных интервалов: 0 ^ t ^ to и to ^ t (в первом случае происходит энерговложение, распределенное по времени, во втором оно отсутствует).
При 0 t to
«1 w =
«1 w =
,. Гт? тз , x
(mi + 772 2 + Т72з) — + — (Т721 + 7723) + 7721772.3
,. Гт? тз , x
(mi + 772 2 + Т72з) — + — (Т721 + 7723) + 7721772.3
»1
»1
u! W =
u! W =
(2.3a)
2CMO)+Qoy2)m^7^
(2.3a)
2CMO)+Qoy2)m^7^
,. Г 772 2772 2 zх
(7721 + 772 2 + Ш3) — + — (7721 + 7723) + 7721772 3
,. Г 772 2772 2 zх
(7721 + 772 2 + Ш3) — + — (7721 + 7723) + 7721772 3
При to С t
При to С t
(0 = 2(^2 (0) + Qo^o/2)m2(m3 + m2/2)2 х
{1 - 1 [(Г (0)/v2 (t))^-1 + (v2 (to)/b (г)Г"Ч }
(0 = 2(^2 (0) + Qo^o/2)m2(m3 + m2/2)2 х
{1 - 1 [(Г (0)/v2 (t))^-1 + (v2 (to)/b (г)Г"Ч }
,x Г 772 2772 2 ,x
(7721 + 772 2 + T723) — + — (Т721 + 7722) + 7721772 3
,x Г 772 2772 2 ,x
(7721 + 772 2 + T723) — + — (Т721 + 7722) + 7721772 3
(2.36) u| (0 = 2(S2 (0) + Qo^o/2)m2(mi + m2/2)2 x
(2.36) u| (0 = 2(S2 (0) + Qo^o/2)m2(mi + m2/2)2 x
x
x
{l-l^toj/^wr1
{l-l^toj/^wr1
+ №(<o)/ri(t)r-1]
+ №(<o)/ri(t)r-1]
(7721 + 772 2 + U23)
(7721 + 772 2 + U23)
772 2772 2 /x
1(7721 + Ш2) + 7721772 3
L 123.
772 2772 2 /x
1(7721 + Ш2) + 7721772 3
L 123.
Связь между объемом V2 (^) и временем t следует из первого уравнения системы (2.2) и полученных решений (2.3а), (2.36).
где К (ш) = При to ^ tdV2где К (ш) = При to ^ tdV2dV2Mo)dV2Mo)Для 7 = 5/3 и 7 = 3 можно получить конечные выражения зависимостей V^ (t) и времени t.При 0 ^ t ^ toДля 7 = 5/3 и 7 = 3 можно получить конечные выражения зависимостей V^ (t) и времени t.При 0 ^ t ^ to^Цй + 2Ууз(0)) ДД(МД(0)+^Цй + 2Ууз(0)) ДД(МД(0)+++ЖQoЖQoдля 7 = 5/3;для 7 = 5/3;t =t =Qo \1Qo \13QqW> ГАмЛ4V2KE|/2(0) IaW)/3QqW> ГАмЛ4V2KE|/2(0) IaW)/для 7 = 3.для 7 = 3.
где К (ш) = При to ^ t
dV2
где К (ш) = При to ^ t
dV2
dV2
Mo)
dV2
Mo)
Для 7 = 5/3 и 7 = 3 можно получить конечные выражения зависимостей V^ (t) и времени t.
При 0 ^ t ^ to
Для 7 = 5/3 и 7 = 3 можно получить конечные выражения зависимостей V^ (t) и времени t.
При 0 ^ t ^ to
^Цй + 2Ууз(0)) ДД(МД(0)+
^Цй + 2Ууз(0)) ДД(МД(0)+
+
+
ЖQo
ЖQo
для 7 = 5/3;
для 7 = 5/3;
t =
t =
Qo \1
Qo \1
3QqW> ГАмЛ
4V2KE|/2(0) IaW)/
3QqW> ГАмЛ
4V2KE|/2(0) IaW)/
для 7 = 3.
для 7 = 3.
При to С t
t=to+к /о,\^ {х
KVQoto + 2БД0) I Vv7
х [г22/3Д + r22/3(io) + Г22/3(0)] -
-/r22/3(t0)-V22/3(0) [7/3(0) + 2V22/3(t0)] } для 7 = 5/3;
t = ^ { ^М { Vy22W-O,5(V22(to) + V22(O)) - Qo I v2a (m) ( v
- ^0,5 (У22(^о)-Г22(О)) + ^m) (£2(0) +
vQo 4
= 3.
Мгновенное и распределенное вложения энергии приводят к различной динамике движения слоев 1 и 3 по времени. Рассмотрим подробнее оба случая энерговложения. При одинаковом энерговложении
Ео = Qoto в первом варианте вся энергия ^(0) = Ео выделяется мгновенно, во втором — с постоянной интенсивностью Qo по времени на интервале 0 ^ £ ^ £q. Финальная скорость (или величина кинетической энергии) слоев 1 и 3 в обоих случаях будет одинаковой, однако, как следует из приведенных выше формул, зависимости скорости разлета от времени качественно различаются.
При мгновенном энерговложении движение начинается с конечной скоростью. При распределенном энерговложении — с нулевыми ускорением и скоростью. Величина to может служить параметром, варьируя который можно осуществить разные режимы разгона.
Из второго уравнения системы (2.2) (для импульса) при сделанных предположениях (ui(0) = ^з(О) = 0) и с учетом возможности представления скорости U2(m) в виде (1.3) можно определить линию нулевой скорости в слое 2, т. е. частицу, которая движется с нулевой скоростью. Она разделяет слой 2 на две части, левую с массой т^ и правую с массой т^*.
тл = т2 (тз +т2/2)
mi + т2 + т3 ’/2 д\
пл т2(тНт2/2)'
т2 = m2 — Ш2 = •
mi + т2 + т3
Следует отметить, что ее лагранжева координата, во-первых, неизменна по времени, а во-вторых, не зависит от начальной энергии ^(0) и интенсивности энерговложения Qo-
Второй этап построения решений с учетомсимметрии геометрии системы
Рассмотрим для цилиндрического или сферического случаев сходящуюся к центру подсистему, состоящую из слоя 1 и части слоя 2 с массой m2 (усеченная подсистема).
mim2
Рис. 2.2
Проинтегрируем систему уравнений (1.1) по замкнутому контуру Г2 (см. рис. 2.1), нижнее основание которого отвечает некоторому моменту времени Н, верхнее — текущему моменту. Левая граница контура проходит по левой границе слоя 1 (свободная граница Рл.г = 0), правая — по линии нулевой скорости (ип.г = 0). Учет цилиндрической или сферической симметрии осуществляется через задание распределения скорости по массовой координате. Положим, что распределение скорости в рассматриваемой части слоя 2 с массой т^ аппроксимируется зависимостью (1.4), где т^ = т^. Из построения, аналогичного приведенному выше, находим решение.
При 0 ^ t ^ toПри 0 ^ t ^ to«1 W =«1 W =2 (s2 (0) + ^^) m§ 1 - mi + Зт^2 (s2 (0) + ^^) m§ 1 - mi + Зт^УТ (0)УТ (0)(2-5)(2-5)гдегде2а22а2(a + 1) (2а + 1)(a + 1) (2а + 1)
При 0 ^ t ^ to
При 0 ^ t ^ to
«1 W =
«1 W =
2 (s2 (0) + ^^) m§ 1 - mi + Зт^
2 (s2 (0) + ^^) m§ 1 - mi + Зт^
УТ (0)
УТ (0)
(2-5)
(2-5)
где
где
2а2
2а2
(a + 1) (2а + 1)
(a + 1) (2а + 1)
При to ^ t
«1 У) =«1 У) =2 У (0) + ^Д mU 1 - i\2 /122 У (0) + ^Д mU 1 - i\2 /12mi + Зт^mi + Зт^
«1 У) =
«1 У) =
2 У (0) + ^Д mU 1 - i\2 /12
2 У (0) + ^Д mU 1 - i\2 /12
mi + Зт^
mi + Зт^
Максимальный отбор энергии сходящейся массой ту на момент tf прихода слоя 1 в центр (г = 0) выражается следующим образом.
При 0 ^ tf < t0
ътахътах22f р I Qotf АI ±/2 (0) Н— I т2f р I Qotf АI ±/2 (0) Н— I т2/ ИДО) У"1 \К2л(0) + Уо(0)У/ ИДО) У"1 \К2л(0) + Уо(0)Уmi + т^Зmi + т^З(2.7)(2.7)
ътах
ътах
2
2
f р I Qotf А
I ±/2 (0) Н— I т2
f р I Qotf А
I ±/2 (0) Н— I т2
/ ИДО) У"1 \К2л(0) + Уо(0)У
/ ИДО) У"1 \К2л(0) + Уо(0)У
mi + т^З
mi + т^З
(2.7)
(2.7)
При to С tf
Emax = 2 (s2(0) + ^-^ х
( 4(0) V"1 IV1
VWHW)) \Vf(O) + Vo(O)J
my + m^3
Здесь Vq(0) —первоначальный объем полости.
Привязка объема слоя с массой т^ ко времени осуществляется с помощью уравнения
\Vf(t)\Vf(t)7-11 -V2dV^ =7-11 -V2dV^ =2т^2т^Е^ (0) + QoЕ^ (0) + Qo(mi + т^(mi + т^t2t2dt.dt.
\Vf(t)
\Vf(t)
7-11 -V2
dV^ =
7-11 -V2
dV^ =
2т^
2т^
Е^ (0) + Qo
Е^ (0) + Qo
(mi + т^
(mi + т^
t
2
t
2
dt.
dt.
Для 7 = 5/3 можно получить конечное выражение зависимости объема V2 от времени.
При 0 tf ^ to
_ 2^2 (0) Qo_ 2^2 (0) Qo1 -1 -9(УТ (О))2/3<2о [(УТ (0) + УЬ)2/3 - (Ч1 (0))2/3]Дм6)7Д^7ч^+^)^9(УТ (О))2/3<2о [(УТ (0) + УЬ)2/3 - (Ч1 (0))2/3]Дм6)7Д^7ч^+^)^1/2 -| 2/31/2 -| 2/3
_ 2^2 (0) Qo
_ 2^2 (0) Qo
1 -
1 -
9(УТ (О))2/3<2о [(УТ (0) + УЬ)2/3 - (Ч1 (0))2/3]
Дм6)7Д^7ч^+^)^
9(УТ (О))2/3<2о [(УТ (0) + УЬ)2/3 - (Ч1 (0))2/3]
Дм6)7Д^7ч^+^)^
1/2 -| 2/3
1/2 -| 2/3
Третий этап — этап схожденияв цилиндрическом и сферическом случаях
Вариант чистополой мишени. В рассмотренном приближении приобретенная оболочкой кинетическая энергия Si (г) (где г — ее текущий внутренний радиус) определяется из предположения, что толщина оболочки много меньше радиуса (аспектное отношение мало). Однако к моменту схождения, когда отбор энергии уже осуществился, подобное предположение перестает быть справедливым. Более того, в малой окрестности внутренней границы происходит кумуляция энергии в слое mi, примыкающем к этой границе. Учет данного обстоятельства может быть осуществлен, если уточнить распределение скорости по радиусу. Для этого надо воспользоваться какой-либо гипотезой схлопывания, например приближением несжимаемой жидкости [6] или автомодельной асимптотикой сходящейся газовой оболочки [11]. Ниже приводятся формулы для первого из названных приближений.
В случае несжимаемой жидкости (в сфере) можно принять следующее распределение скорости по радиусу сходящейся оболочки: иг2 = uit^, где индексом 1 отмечены величины на наружной поверхности оболочки. Перепишем последнее равенство в виде г2 — = uir2. Проинтегрировав его в пределах от Н до t, получим соотношение для радиуса и скорости:
г3 — г? = 3uiTi (t — Н).
Радиус и скорость равны соответственно
г = ^Г^ + SitiT^t -
_ dr _uirl
dt [rf + 3uir^(t - H)]2/3
При r = 0 t = tf, следовательно, tf = H ——.
3^1
Аналогичные зависимости можно получить и для цилиндра. В этом случае величина иг = и^гу постоянна вдоль свободной границы. Перепишем последнее равенство в виде r(dr/dt) = ui?i. Проинтегрировав его в пределах от Н до t, находим соотношения для радиуса и скорости:
г = ^г( + SuiT^t - ii),
/.х drmn
ult) = — =.=.
dt ^r^ + 2uin(t — S)
При r = 0 t = tf, следовательно, tf = H — ri/(2ui\
Вариант с заполнением полости веществом малой плотности. Пусть центральная полость начального объема Voo (область 0; см. рис. 1.3, а) заполнена газом с малой исходной
плотностью р^. Начальная стадия движения слоя 1 практически не будет отличаться от рассмотренного выше случая схождения чистополой оболочки. Найдем величину энтропии сг0, набираемой за первой волной газом, заполняющим центральную область, при движении ее границы со скоростью -щ:
° г^ + хД1^)^1’
где к — показатель адиабаты в области с массой то. Средние значения давления Ро и внутренней энергии Ео газа с энтропией сг0 зависят от объема Vo следующим образом:
о к ( о\к ( Vo(0) \
Л = ОоРо = <70 ро) утД ’
\W)/
Е = Ро = «торЕу-1 / А к"Х° (fc-l)po к-1 \Vo(t))"
Запишем закон сохранения энергии для усеченной системы с учетом внутренней энергии газа, заполняющего центральную область, пренебрегая его кинетической энергией:
dm + Jdm + J^2 Л । / — dm +2 Jт^^2 Л । / — dm +2 Jт^Е2 dm = Е2^т^.Е2 dm = Е2^т^.
dm + J
dm + J
^2 Л । / — dm +
2 J
т^
^2 Л । / — dm +
2 J
т^
Е2 dm = Е2^т^.
Е2 dm = Е2^т^.
С учетом выражения (2.5) при Qo = 0 и соотношения (2.8) получим
°"о(ро)к ^о /V^O)^ 1 + Mimi ^ и^т^Рк-1kWl /22
= Е2(0И= Е2(0И
= Е2(0И
= Е2(0И
где у — показатель адиабаты в области с массой т2.
Отсюда энергия сходящейся оболочки (слоя 1) равна
EiEiulmi2ulmi2Е2(0)ш^Е2(0)ш^W)Vv24tpW)Vv24tp
Ei
Ei
ulmi
2
ulmi
2
Е2(0)ш^
Е2(0)ш^
W)V
v24tp
W)V
v24tp
(2-9)(2-9) I кПо >13
(2-9)
(2-9)
к — 1 \Vo(t) /j \ mi /
Суммарная энергия газа и оболочки выражается из (2.8) и (2.9) как
Ео + EiЕо + Eimimi + т^Рmimi + т^РЕ2 (0) т^Е2 (0) т^
Ео + Ei
Ео + Ei
mi
mi + т^Р
mi
mi + т^Р
Е2 (0) т^
Е2 (0) т^
+т^3Е2(0).
mi + т^Р
Следовательно, она равна сумме энергии, отбираемой оболочкой в варианте без газа (первое слагаемое), и части энергии Sq(0), приобретенной газом, т. е. больше, чем в чистополой мишени. Из (2.9) следует, что на момент остановки газа Qui = 0)
Е2(0)ш^Е2(0)ш^у2л(о)У2л(0) + Ур(0)- Vo(t)у2л(о)У2л(0) + Ур(0)- Vo(t)/ о\& —1\ к — 1
Е2(0)ш^
Е2(0)ш^
у2л(о)
У2л(0) + Ур(0)- Vo(t)
у2л(о)
У2л(0) + Ур(0)- Vo(t)
сгр^о) то / Уо(0) \
к-1\Vo(t))
Отсюда
И) min > <И) min > <E^m^k- 1)E^m^k- 1)и2л(о)УДО) + Vb(O) — Vp(£)и2л(о)УДО) + Vb(O) — Vp(£)О(к-1)>W).О(к-1)>W).
И) min > <
И) min > <
E^m^k- 1)
E^m^k- 1)
и2л(о)
УДО) + Vb(O) — Vp(£)
и2л(о)
УДО) + Vb(O) — Vp(£)
О(к-1)
>W).
О(к-1)
>W).
Отыщем с помощью (2.9) значение те, при котором энергия оболочки Еу (те) достигает в ходе движения максимума. Для этого, вычислив производную , приравняв ее нулю и полагая для простоты к = у,
dVo
найдем величину объема, отвечающего значению те:
к =к =1 + т^1 + т^У2л(0) + Уо(0)1)52(0)(/>о)1-''(70Дах]У2л(0) + Уо(0)1)52(0)(/>о)1-''(70Дах](2.Ю)(2.Ю)
к =
к =
1 + т^
1 + т^
У2л(0) + Уо(0)
1)52(0)(/>о)1-''(70Дах]
У2л(0) + Уо(0)
1)52(0)(/>о)1-''(70Дах]
(2.Ю)
(2.Ю)
Максимальное значение сг0 достигается при и^ге^ и, согласно (2.9), связано зависимостью
^Е1 =/£2 ^т” 1 - (^^) 7-
2 mi + ту [ v / 2 ^\\'3(0 + W) -VJ
а^оУ^т, / У0(р\ 7 11
\ Ve )5
Следовательно,
=(7 — l)7Ui(re) =
: 2(7 wW”1
=Щ0) [1 - (Y
(рО)7’1 (т1 + т^З)VmOHCoW-Cj
х 11 (7~1Y Vi^mV 1 m°yy + l/ у Ve / mi + т^З
Совместно с (2.10) это выражение дает два соотношения для нахождения Ve (или те) и сготах- Подставляя (2.10) в (2.11), можно
записать уравнение для определения сг0 тах
mi + т^З _m0F
^Л7-1^Л7-1
^Л7-1
^Л7-1
л =
Vo(0) ’
F = —F = —т2 / Ь\(/>°)т2 / Ь\(/>°)1/т"1/т"
F = —
F = —
т2 / Ь
\(/>°)
т2 / Ь
\(/>°)
1/т"
1/т"
Найдя сготах (возможно, численно), мы восстановим из приведенных выше формул величины отбора энергии газом (Eq) и оболочкой (Bi), а при необходимости и другие параметры, характеризующие поведение мишени.
Глава 3
ДВУХКАСКАДНАЯ СИСТЕМА
Первый этап — построение решенияпри совместном движении слоев двух каскадов
Следующий этап нашего рассмотрения — построение решения задачи динамики движения двухкаскадной системы (см. рис. 1.3,5). Обратим внимание на принятую в ней нумерацию областей. Предполагается, что при ударе наружного каскада (слои 3, 4, 5) о внутренний (слои 1, 2) в момент t = Н (т. е. после закрытия зазора) в слое 2 мгновенно выделяется внутренняя энергия с удельным энерговложением ^2 (й), а далее на определенном временном интервале осуществляется распределенное энерговложение с мощностью Qo (один из этих источников может отсутствовать).
После соударения (t ^ Н) осуществляется совместное движение всех слоев. Запишем законы сохранения импульса, массы и энергии применительно к слоям 1-5, начиная с момента удара (t = Н). В качестве контура интегрирования Г выберем в плоскости t, т четырехугольник, охватывающий эти слои. Его нижнее основание t = Н; верхнее — текущий момент t.
С учетом сделанных выше предложений, зная распределение величин в слоях 3-5 на момент удара (t = Н), а также полагая ui(H) = = U2(H) = 0 в слоях 1 и 2, из законов сохранения импульса и энергии получаем систему уравнений:
и^т^ + j и dm + [из — из(Н)]шз + j [и — и(П)] dm +
7722
+ [и5 - и5(п)]т5 = 0;
— ^(Н) +— ^(Н) +u2(ti)2u2(ti)2dm + ^5^О ms = Qdm + ^5^О ms = Q
— ^(Н) +
— ^(Н) +
u2(ti)
2
u2(ti)
2
dm + ^5^О ms = Q
dm + ^5^О ms = Q
Эта система конкретизируется с учетом выражений, связывающих начальные и конечные соотношения на этапе 1:
из^тз + у ЦП) dm + 1/5(^)7715 = 0;
+ [ (е^) - Щ0) +dm + и^й)ш5 = 0.
2 J \22/2
Будем по-прежнему полагать, что зависимость скорости 1/2 от т в слое 2 представима в виде (1.4).
Рис. 3.1
На втором этапе движения распределение скорости по массе в слое 4 уже нельзя считать линейным. После удара в момент Н слоя 3 о слой 2 и энерговложения в последнем скорость из^ определенная на первом этапе, мгновенно изменится. Из-за несжимаемости этого слоя мгновенно претерпит изменение и скорость левой границы слоя 4. Однако справедливо предположить, что благодаря конечности скорости распространения влияния в слое 4 еще значительное время по-прежнему будет оставаться неподвижной найденная на первом этапе лагранжева частица т^ делящая область на две с массами mJ и mJ. Следовательно, будет оставаться невозмущенным движение части системы, находящейся справа от этой частицы. Обратное воздействие на движение слоев 1 и 2 после фактического набора скорости
ранее неподвижной лагранжевой частицей наступит столь поздно, что практически не успеет повлиять на отбор энергии слоем 1.
Отсюда справедлив вывод о возможности кусочно-линейного представления по массе скорости в слое 4 на втором этапе движения, что и используется в дальнейшем. С учетом этих допущений имеем
Гт U1 - изи dm =m2;
Ш2
Л / 2 ,।2\ т2
dm =+ U1U3 + и3) —;
Г , изт4 + и5т4и dm =m2;
Г ^-dm= Мзт4 + Usm”
/ 26
Таким образом, при описании движения на втором этапе двухкаскадной конструкции получаем следующую систему уравнений для определения iii(t) и из(1):
( х тЛ х, т2 + ш4\/ х т^\ т
^14) + ^з 4) — — ^5 1^5 4) — — Щ
222(3.1)
m2m2+ E4(t4)m4 < 1 -+ E4(t4)m4 < 1 -
m2
m2
+ E4(t4)m4 < 1 -
+ E4(t4)m4 < 1 -
Величина J формально зависит от времени, но на рассматриваемом этапе движения меняется мало. Поэтому ее можно считать постоянной и равной значению на момент ti, что значительно упрощает дальнейшее рассмотрение. Привлекая уравнения сохранения импульса и энергии начального этапа, получаем
2т4 [Е4 (0) + Qoti/2] [1 - (V4 (0)/У4 (ti)/7"11]шз + ш^/З ms + т4/3(m3 + mJ/2)2 (ть + тД^)2
В системе (3.1) запись закона сохранения энергии предполагает, что распределенное энерговложение в область 2 осуществляется до конца движения. В противном случае надо рассчитывать два временные интервала по аналогии с первым этапом.
Заменой переменных:
~ J (й)— J (й)/о
=Мз = Мз”ЧГ’(3-2)
где М = mi + ^2 + тз + ^-, уравнение сохранения импульса системы
(3.1) приводится к виду
~.7712 А . ~.7712+7714 \ п
111у™1 +— j + ИЗ^3 Нj= О,
откудаоткуда7713 +7713 +П1 = -изП1 = -из7712 + 771427712 + 771427711 + 7712/27711 + 7712/2= —ки3.= —ки3.(3.3)(3.3)
откуда
откуда
7713 +
7713 +
П1 = -из
П1 = -из
7712 + 7714
2
7712 + 7714
2
7711 + 7712/2
7711 + 7712/2
= —ки3.
= —ки3.
(3.3)
(3.3)
Из последнего уравнения следует, что в слое 2 существует лал7713 + (7712 + 7714)/2
гранжева частица с массой = 7712, которая
7711 + 7712 + 7713 + 771^/2 движется со скоростью и* = — J (ti)/M.
Уравнение сохранения энергии после замены переменных и подстановки в него (3.3) примет вид
71g71gММ(mi+m2/2)2 L V 3 7! m3 + (т2 + т^/26 (Т711 + 7712/2)4(mi+m2/2)2 L V 3 7! m3 + (т2 + т^/26 (Т711 + 7712/2)47712 + 771437712 + 77143J т^ из -М 3J т^ из -М 3
71g
71g
М
М
(mi+m2/2)2 L V 3 7
! m3 + (т2 + т^/2
6 (Т711 + 7712/2)4
(mi+m2/2)2 L V 3 7
! m3 + (т2 + т^/2
6 (Т711 + 7712/2)4
7712 + 7714
3
7712 + 7714
3
J т^ из -
М 3
J т^ из -
М 3
J2 (Т711 + 7712)М2 (тз + 7714/2)2J2 (Т711 + 7712)М2 (тз + 7714/2)2, 7714 W। Ш4 \,\ /, л\7713 + — I I ТПз + — 1 + (Till + m2) (т3 + ТТ14), 7714 W। Ш4 \,\ /, л\7713 + — I I ТПз + — 1 + (Till + m2) (т3 + ТТ14)
J2 (Т711 + 7712)М2 (тз + 7714/2)2
J2 (Т711 + 7712)М2 (тз + 7714/2)2
, 7714 W। Ш4 \,\ /, л\
7713 + — I I ТПз + — 1 + (Till + m2) (т3 + ТТ14)
, 7714 W। Ш4 \,\ /, л\
7713 + — I I ТПз + — 1 + (Till + m2) (т3 + ТТ14)
— 2 [ Е2 (й) +— 2 [ Е2 (й) +Qo (t — ti)Qo (t — ti)227712 1 -7712 1 -ЫН)y2(t)ЫН)y2(t)= 0,(3.4)= 0,(3.4)
— 2 [ Е2 (й) +
— 2 [ Е2 (й) +
Qo (t — ti)
Qo (t — ti)
2
2
7712 1 -
7712 1 -
ЫН)y2(t)
ЫН)y2(t)
= 0,(3.4)
= 0,(3.4)
или в сокращенной форме
Аи^ + Виз — \ С + 2тт12 Е^ (Н) +Аи^ + Виз — \ С + 2тт12 Е^ (Н) +Qo (^ — й)2Qo (^ — й)2ыму V2 № )ыму V2 № )
Аи^ + Виз — \ С + 2тт12 Е^ (Н) +
Аи^ + Виз — \ С + 2тт12 Е^ (Н) +
Qo (^ — й)
2
Qo (^ — й)
2
ыму V2 № )
ыму V2 № )
При этом можно проверить, что А > О, В > О, С > 0, т. е. уравнение имеет решение. Отсюда
- ~в
“= = ТГ +
2л у2^2 Е^ (ti) +2л у2^2 Е^ (ti) +Qo (t — ti)2Qo (t — ti)2/b(ti)AV ь (<))/b(ti)AV ь (<))(3-5)(3-5)
2л у2^2 Е^ (ti) +
2л у2^2 Е^ (ti) +
Qo (t — ti)
2
Qo (t — ti)
2
/b(ti)AV ь (<))
/b(ti)AV ь (<))
(3-5)
(3-5)
Далее с помощью (3.3) находим величину Si, а с помощью (3.2) — из и и±. Зависимость объема IS от времени t получается из соотношения, вытекающего из закона сохранения массы и выражения (3.1):
dV2 ~~ М ~
= из — Uy = — U3.
dtmi + Ш2/2
С учетом (3.5)
-в +-в +Qo (t — ti)2Qo (t — ti)2т^хт^х
-в +
-в +
Qo (t — ti)
2
Qo (t — ti)
2
т^х
т^х
Для случая 7 = 3 интеграл вычисляется в элементарных функциях и равен
t_ ~ v2(o)
(k + 1) 8B2(ti)m2C
в (Vcd - в) f Д5ГГйс) + в)+ —= In v 7 v ,
^/CD + в) До (В2 + 4ЛС) - в)
где
С = ^ Д + г D = В2 + ЗАЩ^т, [ЩШ) ДД))2 - 11 .
2E2\ti)m2L
Зная связь между t и IS, можно определить текущую эйлерову координату г2 (V2) лагранжевой частицы т^, движущейся со скоростью и* = -J^fM.
Траектория этой частицы в слое 2 определяет подобласть постановки автономной задачи на третьем этапе — с момента t^ который для цилиндрического и сферического случаев условно принимается за начало заключительной стадии движения. На этом этапе цилин- дричность или сферичность геометрии учитывается так же, как было принято выше. Здесь следует сделать важное замечание о том, что скорость и* частицы и ее лагранжева координата (граничное условие задачи на схождение) не зависят ни от величины энерговклада, ни от его интенсивности в слое 2. Последнее обстоятельство упрощает анализ оптимальных параметров при построении двухкаскадной системы.
Этап схождения
Третий этап состоит (как и в случае однокаскадной системы) в нахождении решения автономной задачи, сформулированной выше, и в определении величины кумулирующейся энергии.
Вариант чистополой системы. При решении этой задачи в качестве замкнутого контура Гз в плоскости Г т выбирается четырехугольник с нижним основанием t = t2 (начало заключительного этапа) и верхним основанием t (текущий момент) (см. рис. 3.1). Левая его сторона совпадает с левой границей слоя 1; правая — с лагранжевой частицей т^ слоя 2, движущейся со скоростью и*.
Выразим из второго уравнения системы (1.1) интеграл J pdt и
Гз
подставим его в третье уравнение. С учетом выбора контура Г и граничных условий (на левой границе Рл.г = 0, на правой — ип.г = = и*) получаем
mi + у [Д| dm + у dm — и* | [ui] ту + у [u2] dm
= m2Qo И ,(3.6)
где [/] = К^ ~ Ж)-
Полагая, что распределение скорости u^t^ т) в рассматриваемой части слоя 2 с массой т^ аппроксимируется зависимостью (1.4), окончательно преобразуем уравнение (3.6) к виду
Ы2 - 2«* hi] =^ л [ЩО) + Qo^l
гдегдету + рт^ L2 J
где
где
2a2
(a + l)(a + 2)’
Отсюда для Ui (t) следует соотношение
(til - u*)2 = (иД2) - u*)2 +
2m§mi + /Зшд2m§mi + /Зшд^2(^2) + Qo^2(^2) + Qo(3.7)(3.7)
2m§mi + /Зшд
2m§mi + /Зшд
^2(^2) + Qo
^2(^2) + Qo
(3.7)
(3.7)
Соотношение, связывающее объем П2Л с временем Г вытекает из первого уравнения системы (1.1), выражения (3.7) и преобразования (3.2), выполненного в § 3.1:
t -t -dV?dV?ЧЛМЧЛМК + аК + а(3.8)(3.8)
t -
t -
dV?
dV?
ЧЛМ
ЧЛМ
К + а
К + а
(3.8)
(3.8)
гдегдеа =а =2т^mi + Рт^2т^mi + Рт^^2(^2) + Qo^2(^2) + Qo
где
где
а =
а =
2т^
mi + Рт^
2т^
mi + Рт^
^2(^2) + Qo
^2(^2) + Qo
&2 = ыд - «12.
В случае мгновенного энерговложения (^2(^2) ф 0, Qo = 0) для 7 = 5/3 и 7 = 3 интегральное соотношение (3.8) приводится к виду (3.9) и (3.10) соответственно:
для 7 = 3;(3.9)для 7 = 3;(3.9)t — ^2 +t — ^2 +b2 + аb2 + адля 7 = 5/3.для 7 = 5/3.3(Ь2 + а)3(Ь2 + а)t =+t =+(3.10)(3.10)
для 7 = 3;(3.9)
для 7 = 3;(3.9)
t — ^2 +
t — ^2 +
b2 + а
b2 + а
для 7 = 5/3.
для 7 = 5/3.
3(Ь2 + а)
3(Ь2 + а)
t =+
t =+
(3.10)
(3.10)
Финальное значение скорости tti слоя 1, а следовательно, и величина отобранной им энергии на момент фокусировки tу для цилиндрических и сферических систем (при отсутствии заполнения внутренней полости) находится из (3.7), (3.8) и дополнительного соотношения, связывающего Q и величину V^(tj):
W = 7T7[r*(t2) - и* (tf - ^Д1 - И, (3.11)
где т*(^)—радиус лагранжевой частицы т^ в момент £2 (начало этапа схождения); 5— показатель симметрии геометрии: 5 = 1 для цилиндра; 5 = 2 для сферы.
Вариант с заполнением полости веществом малой плотности. Ниже приводятся дополнения к проведенным ранее построениям, позволяющие учесть особенности динамики слоистых систем в случае заполнения внутренней полости веществом очень малой начальной плотности. Последнее является характерной чертой конструкций термоядерных мишеней. При заполнении полости веществом малой плотности (ро ^С 1г^ = 1, 2, 3, 4) первые два этапа построения решения можно оставить без изменений. На заключительном третьем этапе факт заполнения необходимо учитывать. Качественно влияние заполнения проявляется следующим образом. При движении слоя 1 его внутренняя граница по отношению к веществу, заполняющему внутреннюю полость, играет роль поршня. Ее ускоренное движение (см. (3.7)) порождает последовательное прохождение ударных волн в веществе, заполняющем полость. Они и определяют ту энтропию первоначально малоплотного вещества, которая задает конечное сжатие на заключительном этапе схождения слоя 1.
Система уравнений, описывающая на этапе схождения динамику подобной конструкции, строится так же, как и в ранее рассмотренном случае однокаскадной мишени, но со следующими дополнениями. Теперь замкнутый контур Гз в плоскости m, t ограничивает заполненную массой то полость, слой 1 и часть слоя 2 с массой ш2; нижнее основание— t = t^ (начало заключительного этапа), верхнее— t (текущий момент).
Если связать по времени начальную стадию этапа схождения с заключительной, то аналогично (3.6) можно записать соотношение
л । г 1 । ^т (^) Т ^1(^2)
Eovt) dm + щх] I ———- — и х
\2у
т0
На начальной стадии этапа схождения в области с массой то можно пренебречь кинетической энергией. Это справедливо для конструкций термоядерных мишеней (низкая начальная плотность вещества и малая его масса). Величину внутренней энергии Eo(t) можно выразить через объем Vo(t) и энтропию газа. Справедливо предположить, что характерная величина энтропии сг0, определяющая максимальное сжатие газа, зависит от величины максимальной скорости поршня при ускоренном его движении [12]. Действительно, согласно известному соотношению энтропия определяется скоростью ударной волны, т. е. максимальной величиной скорости поршня uimax.
Отсюда следует, что
2_ 2сто[(7±1)£оГ_2*
Mlmax(7-1)7
252(<г)т2 mi + Зт^252(<г)т2 mi + Зт^(3.12)(3.12)Тогда, считая известной ctq , аналогично (3.7) можно записать выражение для ид
252(<г)т2 mi + Зт^
252(<г)т2 mi + Зт^
(3.12)
(3.12)
(«1 - u*)2 = (иД2) - «У +
а также соотношение, связывающее объемы V^f) и Vo(t):
гдегдеVo(t) + Ул = E(t2) + Ул - ДУ,(3.13)
где
где
ДУ = -М[гД2)]г+1 - [r*(t2) - и* . (t - ДД1} .d + 1 I)
Обозначения E^t^ и 5 здесь те же, что и в (3.11).
Из (3.12) вытекает оценка величины максимального сжатия — (ро/Ро)тах — вещества, заполняющего полость, в зависимости от
состояния системы на начало этапа схождения:
Ро \Ро / maxРо \Ро / maxm2E2(t) — (mi + Рт2) |V — щ(£)/2] ui(t2) ) 1//(л+1)
Ро \
Ро / max
Ро \
Ро / max
тосД
Как и в чистополом варианте (см. вывод (3.8)), из первого уравнения системы (3.1) при выборе в плоскости т, t контура Г по границам рассматриваемой части области 2 получим привязку по времени:
t - t2 =
Система уравнений (3.11)—(3.14) дает решение задачи в случае заполнения полости веществом малой плотности. Однако, в отличие от варианта без заполнения, в уравнениях (3.13), (3.14) переменные не разделяются и решение не сводится к нахождению интеграла.
Глава 4Глава 4АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ОТБОРАЭНЕРГИИ ОТ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВСИСТЕМЫАНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ОТБОРАЭНЕРГИИ ОТ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВСИСТЕМЫВернемся к уравнениям (3.1). Кратко проанализируем зависимость отбора энергии слоем 1 от исходных параметров системы.Исходя из уравнения сохранения импульса, входящего в систему (3.1), можно записатьВернемся к уравнениям (3.1). Кратко проанализируем зависимость отбора энергии слоем 1 от исходных параметров системы.Исходя из уравнения сохранения импульса, входящего в систему (3.1), можно записатьиз [тз + (т2 + т4)/2] + Jmi + Ш2/2из [тз + (т2 + т4)/2] + Jmi + Ш2/2(4-1)(4-1)ИЛИИЛИUl (mi + Ш2/2) + Jтз + (т2 + т^)/2Ul (mi + Ш2/2) + Jтз + (т2 + т^)/2Второе слагаемое уравнения сохранения энергии запишем в видеВторое слагаемое уравнения сохранения энергии запишем в виде— U1U3 = — [Мци3 + (1 - N) uiu3\ = —666— U1U3 = — [Мци3 + (1 - N) uiu3\ = —666_щ(т1+т2/2) +J _ . тз + (m2 + m^)/2_щ(т1+т2/2) +J _ . тз + (m2 + m^)/2из (m3 + (m2 + m4)/2) + Jmi + m3/2из (m3 + (m2 + m4)/2) + Jmi + m3/2(4-2)(4-2)С учетом (4.1) и (4.2) уравнение сохранения энергии системы (3.1) можно переписать следующим образом:С учетом (4.1) и (4.2) уравнение сохранения энергии системы (3.1) можно переписать следующим образом:2 (, m2 m2N mi -V тз/2Щ 7711 Н\33 тз + (т2 + т2)/3т2(1 — N) тз + (m2 + т4)/зА2 (, m2 m2N mi -V тз/2Щ 7711 Н\33 тз + (т2 + т2)/3т2(1 — N) тз + (m2 + т4)/зА'. т2 + т4т3 +uim^N J'. т2 + т4т3 +uim^N J33mi + т3/2mi + т3/231 тз + (тз + т£31 тз + (тз + т£изтз(1 — N)J J2 (тз + т4/3)изтз(1 — N)J J2 (тз + т4/3)3 (mi + тз/2)3 (mi + тз/2)(m3 + mJ/2)2(m3 + mJ/2)2= 2Е4(0)т4 1-= 2Е4(0)т4 1-+ 2Е2 (ti)m2 1 —+ 2Е2 (ti)m2 1 —• (4.3)• (4.3)
Глава 4
Глава 4
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ОТБОРАЭНЕРГИИ ОТ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВСИСТЕМЫ
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ОТБОРАЭНЕРГИИ ОТ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВСИСТЕМЫ
Вернемся к уравнениям (3.1). Кратко проанализируем зависимость отбора энергии слоем 1 от исходных параметров системы.
Исходя из уравнения сохранения импульса, входящего в систему (3.1), можно записать
Вернемся к уравнениям (3.1). Кратко проанализируем зависимость отбора энергии слоем 1 от исходных параметров системы.
Исходя из уравнения сохранения импульса, входящего в систему (3.1), можно записать
из [тз + (т2 + т4)/2] + Jmi + Ш2/2
из [тз + (т2 + т4)/2] + Jmi + Ш2/2
(4-1)
(4-1)
ИЛИ
ИЛИ
Ul (mi + Ш2/2) + Jтз + (т2 + т^)/2
Ul (mi + Ш2/2) + Jтз + (т2 + т^)/2
Второе слагаемое уравнения сохранения энергии запишем в виде
Второе слагаемое уравнения сохранения энергии запишем в виде
— U1U3 = — [Мци3 + (1 - N) uiu3\ = —666
— U1U3 = — [Мци3 + (1 - N) uiu3\ = —666
_щ(т1+т2/2) +J _ . тз + (m2 + m^)/2
_щ(т1+т2/2) +J _ . тз + (m2 + m^)/2
из (m3 + (m2 + m4)/2) + Jmi + m3/2
из (m3 + (m2 + m4)/2) + Jmi + m3/2
(4-2)
(4-2)
С учетом (4.1) и (4.2) уравнение сохранения энергии системы (3.1) можно переписать следующим образом:
С учетом (4.1) и (4.2) уравнение сохранения энергии системы (3.1) можно переписать следующим образом:
2 (, m2 m2N mi -V тз/2
Щ 7711 Н
\33 тз + (т2 + т2)/3
т2(1 — N) тз + (m2 + т4)/зА
2 (, m2 m2N mi -V тз/2
Щ 7711 Н
\33 тз + (т2 + т2)/3
т2(1 — N) тз + (m2 + т4)/зА
'. т2 + т4
т3 +
uim^N J
'. т2 + т4
т3 +
uim^N J
3
3
mi + т3/2
mi + т3/2
31 тз + (тз + т£
31 тз + (тз + т£
изтз(1 — N)J J2 (тз + т4/3)
изтз(1 — N)J J2 (тз + т4/3)
3 (mi + тз/2)
3 (mi + тз/2)
(m3 + mJ/2)2
(m3 + mJ/2)2
= 2Е4(0)т4 1-
= 2Е4(0)т4 1-
+ 2Е2 (ti)m2 1 —
+ 2Е2 (ti)m2 1 —
• (4.3)
• (4.3)
Если положить
_ 3 (тз + (т2 + т4)/2) (mi + т2/3)т3 (mi + т2/2)
то коэффициент при и^ окажется равным нулю.
С учетом обозначения М = m3 + Ш2 ~^ Ш4 уравнение (4.3) можно записать в виде
^1 = ^з ) ТПз +^1 = ^з ) ТПз +т2 + т4 m2 [1 — 7V] [т3 + (m2 + ш^/З] 1 ЗМт2 + т4 m2 [1 — 7V] [т3 + (m2 + ш^/З] 1 ЗМ333 (mi + тз/2)3 (mi + тз/2)JNm^JNm^
^1 = ^з ) ТПз +
^1 = ^з ) ТПз +
т2 + т4 m2 [1 — 7V] [т3 + (m2 + ш^/З] 1 ЗМ
т2 + т4 m2 [1 — 7V] [т3 + (m2 + ш^/З] 1 ЗМ
3
3
3 (mi + тз/2)
3 (mi + тз/2)
JNm^
JNm^
ЛзШ2(1 — N)M N (mi + тз/2)ЛзШ2(1 — N)M N (mi + тз/2)ЗМ I 2 /, ш4< ^5 Ш5 НJNm2 |\3ЗМ I 2 /, ш4< ^5 Ш5 НJNm2 |\3
ЛзШ2(1 — N)M N (mi + тз/2)
ЛзШ2(1 — N)M N (mi + тз/2)
ЗМ I 2 /, ш4
< ^5 Ш5 Н
JNm2 |\3
ЗМ I 2 /, ш4
< ^5 Ш5 Н
JNm2 |\3
- 2E2(ti)m2- 2E2(ti)m211-2E4(0)m4V (4.4)-2E4(0)m4V (4.4)
- 2E2(ti)m2
- 2E2(ti)m2
1
1
-2E4(0)m4V (4.4)
-2E4(0)m4V (4.4)
Рис. 4.1Рис. 4.1
Рис. 4.1
Рис. 4.1
В переменных ui, из оно является уравнением параболы, тогда как уравнение сохранения импульса системы (3.1)—прямая.
Пересечением на плоскости и4, из этих линий определяются искомые значения скорости (рис. 4.1). Приведенный график наглядно демонстрирует ограничительные интервалы для величин и4, из в зависимости от исходных параметров, задающих конструкцию системы.
Показанная на рис. 4.1 зависимость ui (из) при заданных начальных параметрах получена: 1 —из формулы (4.1), 3 из (4.4). Характерные точки и^ из*. * — решение (4.1), (4.4); □ — и3 = 0, Hi = ui(u3) из (4.1); △—и4 = 0, из = пз(?/1) из (4.4); V — из = пз(?/1 = 0) из (4.4), и4 = и4 из (4.1); о — из = 0, и4 = = Ui(u3) из (4.1).
Глава 5
ПРОВЕРКА АНАЛИТИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙЧИСЛЕННЫМИ РАСЧЕТАМИ
Сопоставление аналитических построений с численными расчетами так же, как и аналитическое построение решения, проводится поэтапно на примере двухкаскадной слоистой системы (см. рис. 1.3, 5).
Начальный (первый) этап — движение наружного каскада до его удара о внутренний. На этом этапе движение рассматривается в плоском приближении. Мы можем рассчитать и сопоставить с аналитическими выкладками следующие величины:
массу движущейся с нулевой скоростью лагранжевой частицы: л _ 7724 (Ш5 + Ш4/2)
7714 — ;
Шз + 7714 + 772 5
объем ViW на любой момент времени t— из уравнения (для 7 = 5/3)
УЩДрПТЩоУ [г22/3Д + 2V22/3(0)] = ТЦтД
W1/2
—27714^4(0) (т723 + 7724 + т5).
[772 4/12 + 7714 (777 3 + ть) /3 + т^ть J ’
— скорость слоя 3:
м2 ^ _ _JE4_(0/m4_(m5jHn4/2)^^^
3(Т72з + 772 4 + Т72б) [77Z4/I2 + 772 4 (т723 + 772 5) /3 + 772 3 772 5] ’
скорость слоя 5:
м| ^ _ Ж (0) т4 (шз + т4/2)2 [1 - (У4 (0)/Ч (О)7"1].
(т3 + т4 + тв) [т4/12 + т4 (т3 + т5) /3 + т3т5] ’
отбор энергии слоем 3:
Расчеты проводились для модельной двухкаскадной системы, геометрия которой приведена на рис. 5.1.
I1»« I1»Ш—
7721772 2772 3772 4772 5
R: 7,9; 8,23; 10,45; 11,11; 11,33; 13,25; 13,4р:18,5; 1,85; 18,5; 1,85; 18,5
Рис. 5.1
Начальные объемы: Ух(0) = 0,33; У2(0) = 2,22; У3(0) = 0,22; У4(0) = = 1,92; Уб(0) = 0,15. Массы слоев: mi = 6,105; m2 = 4,107; m3 = 4,07; т4 = 3,552; т^ = 2,775. В начальный момент времени энергия В4(0) внутреннего слоя 4 наружного каскада с массой ш4 равнялась 0,28153 и 2,8153. Полная энергия в системе Е^ = В4(0) mi = 1. Уравнение состояния — идеальный газ с 7 = 5/3.
Напомним, что до t ^ Н на левой границе области 3 и правой границе области 5 граничное условие — свободная поверхность. Первоначально сопоставлялись траектории лагранжевой частицы, движущейся с нулевой скоростью в области 4, найденные с помощью расчетов и формулы (2.4).
На рис. 5.2 показана траектория движения границ оболочек наружного каскада при разном энерговложении: В4(0) = 0,28153 (а) и Е4(0) = 2,8153 (б).
2 Г.В. Долголева и А.В. Забродин
Как следует из рис. 5.2, а, в интервале времени, определяющем поведение системы до момента подлета слоя 3 к внутреннему каскаду (й = 4,3763), значения радиусов Г4 = 12,17 (mJ = 1,55397), полученные с помощью формулы (2.4), совпадают с расчетными. Последнее обусловливает совпадение расчетов движения границ внутренней оболочки в полной и усеченной мишенях. В расчетах для разных энерговложений конкретной (по геометрии) мишени эта величина одинакова, что согласуется с (2.4) и с рис. 5.2, б.
Следующие расчеты проводились для усеченной мишени: область 4 ограничивалась справа радиусом rj = 12,17 и эта граница объявлялась «жесткой стенкой».
В табл. 5.1 содержатся результаты сравнения на момент времени t = 1 (см. рис. 5.2, б).
Таблица 5.1
4(f)
EOT(t)
Расчет
2,12
0,1015
0,1015
0,025
Формулы
2,08
0,102
0,13
0,0211
На рис. 5.3 приведено отношение скоростей П4(т)/^4(0) для шести различных моментов времени (сопоставляемые величины на рисунке не различимы). Эти соотношения хорошо согласуются с (1.4) при а = 1.
Полученные результаты используются при дальнейшем сопоставлении численных расчетов с аналитическими выкладками для второго этапа.
На втором этапе рассматривается движение всей системы (внутренний каскад и часть наружного, ограниченного справа линией нулевой скорости) до появления в слое с массой m2 частицы, движу-
щейся с постоянной скоростью и*. Наша задача — численно проверить существование лагранжевой частицы в слое 2 с массой
лm3 + (m2 + m4)/2
Ш2 = 7712"~,
Ш1 + Ш2 + Шз + 7722/2
движущейся с постоянной скоростью и* = — J/M^ где
22£Ч0)т4 ^ЛЬОС/УЛ^Щ"11]
(тз + mJ/3)/(m3 + 771J/2)2 + (m3 + Ш4/3)/(т3 + т;/2)2
С момента t = 12,5 частица с массой 777 2 = 1,882, вычисленной по приведенной выше формуле, начинает двигаться к центру в течение длительного времени со скоростью от и « —0,07 до и « —0,085. Аналитическое значение и* = —J/M = —0,079. Скорость границы между слоями 1 и 2 Ui = —0,33. Аналитическое значение скорости 77Х = -0,369
На третьем этапе рассматривается движение к центру части внутреннего каскада, ограниченного справа частицей, движущейся с постоянной скоростью и* (в нашем примере и* = —0,079), начиная с момента £2 = 12,5. Энерговыделение в момент t^ равно E^t^ = 1/77^2 • Движение рассматривается с учетом сферической симметрии. В варианте чистополой системы скорость первой области в расчете равна Ui = —0,35. Вычисленная по формулам (3.7), (3.11), скорость первой области 771 = —0,331. В рассмотренных примерах наблюдается хорошее согласие между первыми и вторыми значениями величин.
Часть II
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНЦЕПЦИИБЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ
Безударное сжатие — это некий закон движения, который обеспечивает в определенный момент приход всех характеристик в одну точку и, в идеале, бесконечную плотность.
Чтобы воспроизвести безударное неограниченное по плотности сжатие, необходимо реализовать на внешней границе сжимаемого газа согласованные зависимости скорости и давления (дД^), РЛ(Д). Параметрами в этой задаче являются следующие величины: размер рассматриваемой системы L, граничные зависимости пл(Д, РЛД), показатель адиабаты 7 в уравнении состояния, начальная скорость звука cq. Последняя задает временной диапазон; начальную энтропию:
2
сг0 _ £о£о ^—начальная плотность газа); начальную температуру: 7
с2
То = ^ (где cv —теплоемкость). Задание со определяет «жест-
7(7 -
кость» процесса сжатия, т. е. температурный фактор. От этого зависит последующий процесс загорания и горения сжимаемого газа.
Вопрос о технической реализации неограниченного безударного сжатия достаточно актуален. Ниже будет расчетно-теоретически обосновано, что в рамках оболочечной системы (см. рис. 1.3, а) можно подобрать закон энерговложения Q^ в область с массой m2 такой, что на левой границе области с массой ту получатся значения ил(Д, Рл^ [1-3], необходимые для осуществления безударного сжатия газа с массой mg. Формулы для Q^ (в квадратурах) будут записаны как функции заданных зависимостей ц;1 (t), Рл (t); последнее позволяет подобрать параметры системы и энерговложение Q^ таким образом, чтобы реализовать безударное сжатие в газе с массой mg.
Для воспроизведения безударного неограниченного сжатия требуется затратить бесконечную энергию, что практически неосуществимо. Однако в работах Я.М. Каждана [2-3], в которых исследуется безударное сжатие, получен следующий результат: асимптотика неограниченного по времени роста плотности на внутренней характеристике сходящегося пучка остается справедливой и в случае торможения или остановки границы, на которой задано граничное условие ип^\ Это тем более справедливо в случае осуществления
сжатия через вложение энергии Q(t\ Прекращение энерговложения в некоторый близкий к конечному момент не нарушит асимптотики безударного сжатия. Оболочечная конструкция, имея накопленную энергию в областях с массами mi и m2, обладает значительным запасом по импульсу для продолжения процесса обжатия после прекращения энерговложения. Последнее обстоятельство позволяет, не затрачивая бесконечной энергии, получить сколь угодно большие сжатия для зажигания в области тц.
Исследуем вопрос о прекращении энерговложения: какую минимальную энергию нужно вложить, чтобы получить зажигание области Шо?
Глава 6
ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Зависимость скорости и давления от временипри осуществлении безударного сжатия
Рассмотрим решение уравнений газодинамики, отвечающее неограниченному по плотности безударному сжатию. Построим зависимости скорости и давления, un(t) и Pn(t), для двучленного уравнения состояния.
Двучленное уравнение состояния имеет вид
Р = Ь - РЕ + (р - ро) 4,
записать и в видезаписать и в видегде р, р, Е, ^ ро, со —давление, плотность, удельная энергия вещества, показатель адиабаты, начальная плотность и скорость распространения звука в холодном веществе соответственно; его также можно
записать и в виде
записать и в виде
2
— п/рОСО
р = av— -—-
7
где v = 1/р; а а — энтропия. Отсюда
'2 \
I PoCq \Р + ~ С ,
a2 = — ^ I = ^аг) Уdt) lcr=const
где a — массовая скорость звука.
Исходная система уравнений (в лагранжевых переменных) имеет вид
du ди _ q dt dm*
(6.1)(6.1)du । др
(6.1)
(6.1)
dtdm'
^=0.dt
Поскольку рассматривается течение с сохранением энтропии, эту систему дифференциальных уравнений можно переписать как
du du _ q
dt dm *
dudu _
^au 1 = 0,dtdm
a = const.
Пусть решается задача о безударном сжатии плоского слоя поршнем. Область покоя отделяется от возмущенного газа характеристикой, проходящей через две точки: (то, 0) и (0, to), где to = -^L.
Рис. 6.1Рис. 6.1рОСо роСо = по — массовая скорость звука в невозмущенном веществе (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Рис. 6.1
Уравнение характеристики имеет вид т = -pocot + т0.
Область возмущения: —poCot +
+ то + т + то*, 0 + t < .
роСо
Решение системы (6.2) будем искать в виде [5]
и (t, m) = vt (t) I’m (m), и (t, m) = ut Д um (m) •
В наших обозначениях ее можно представить как
Vrn//(^-3)
^t ^^^т Ри g
Рит
Символ «штрих» означает соответствующую производную. Левые и правые части системы (6.3) зависят только от t и от т соответственно, а это возможно, если каждое из отношений постоянно. Отсюда
имеем систему равенств:
— = Л,
Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений: dut В иГ^ 2 2В г”7+1 =— -+ щ =,
М A utА (-7 + 1)(64)
dum А ит ^2 2А Dm^"^"
Vm^dVm В ^ayY Um т В (-7 + 1) (7а)"1
Отсюда с учетом выражений и (т, t) = ит (т) ut (t) и г (т, t) = = пт (т) nt (t) имеем
2cr1/271/2^(“7+1)/22cr1/271/2^(“7+1)/2(6-5)получим(6-5)получим2 4ДСГ —
2cr1/271/2^(“7+1)/2
2cr1/271/2^(“7+1)/2
(6-5)
получим
(6-5)
получим
и = 2 Г , ИЛИ
Найдем зависимость функций и^т, t), r(m, t) от т и t.
/25—7+1
С помощью равенств У = Aut и щ = А /rt 2
V Л (-7 + 1)
м = д / 2В
at а^ + о *"
Тогда du ^(-7 + 1)/2
2АВ2
at,
-7 + 1(7 + 1)
7+12
т =
77+(*-*»>
2
" 7+1
Ut =
2В
+-7 + 1) '
2
-7+1
АВ (7 + I)2
kt - 7)
-7+17+1
Аналогично из выражений и'та = Avm и м. находим
Отсюда
2^сг
11/2
.АВ (-7 + 1).
После интегрирования получим
2
Тогда
2^а
11/2
.AS (-7 + 1).
- (7 + 1)
^т —
2^а
"ав
Из соотношения и
2А ^а
Окончательно имеем
у (m, t) = vmvt =
2А
2А
"в
«7+1 Г/2 (7 -1) 7(7.
-7-3
^т 2 dum = dm.
_ 7+1
^т
2
= (т- т0).
1
-7 + 11 7+1(т + 17.
2А -^(у
_ 2 (т — то) 7+1 .
1 1/2-7+1
ит 2 находим
1 1/2 г
_(7~1)1
2q/(j — q/ + 1(7+1) 2
АВ (7+I)2.
\т — т0]^+! .
1
1
2
АВ (7 + 1)
217+1[27<7 -7 + 117+1 Г t-to 1 Т'+1
и (m, t) = umut =
1V2 г
^(У
АВ (7 + I)2
.АВ (7 + I)2.
-7+I7+1
(7-1) 1
2^/(7 — Q/ + 1(7+1) 2
АВ (7 + I)2.
т — то _
t -t0
т — то _
(6.6)
7+1
Упростим эти выражения с учетом того, что to = -^- рОСо
2 1/ J, J, \ 7+1
и (т, 0 = (7<т) 7+1 I2- )= р"1
\ т — то 7
-7+1
О1/\ 7+1
и (т, t) =(761)7+1 ( 2_ ]=
7 — 1\т — то /
2
=7 е’
7-1
2
1 - ppcpt/mp\ 7+1
1 — m/mo
-7+1
7+1 — 1
т
Зная зависимости v(m, t) и и{т, t), можно записать выражения для p(m, t) и Р(т, t):
Р (т, t) = р0
2
1 - ppcpt/mp\ 7+1
Р (jn, t) = av
\ 1 — т/тр
22 /
рОСр _ ррс0 /
= Ро
27+1
1
-27
1 — ppcpt/mp А 7+1
7 у 1 — m/mo
_ РоСр
7
-27
1 - ppcpt/mp\ 7+1 _
1 — т/тр 7
_ РоСр
т 7
_ Цо ср _
т
-27
7+1 _ 1
При т = то они задают условия на поршне. При этом решение (6.6) можно записать в виде
и(т0, t) =У с0
7-1
Р(т0, 0 = ^
-7+1
m0 - pocpt\ 7+1 _
m0 /
2
—7 С0
-27 m0 - ppcpt\ 7+1 _
т0
-7+1
1 _ cot А 7+1 _ 1Lo /
роСр
~1
-27
Lo/
(6.7)
- 1
Вычислим величину отбора энергии на мости от времени:
t
A (mo, t) = J Р (mg, t) и {то, t) dt =
о
границе области в
(6.8) зависи-
о
-27
1 _ £2^V+1 _ 1Lo)
2ср
7-1
-7+1
1 _ со£\ 7+1 _ 1Lol
dt.
А (т0, t) = ТДосДт+Д7(7-1)
-7+1 —I
1 2(7-1)
-27+2
. 7+1
2
1 Л _ £21V+1+
2 V Lo)
1 Л _ cot А 7+1
7 - 1 \ ^о /
2poCpt 1 poLpCp (7 + 1) (—7 + 2)
7(7-1)7(7 -l)2
(6.96)
2 7-12 7-17 + 1 Ьр2 co7 + 1 Ьр2 co2L0 I cot 7 + I7 - 1 I To 22L0 I cot 7 + I7 - 1 I To 2
2 7-1
2 7-1
7 + 1 Ьр
2 co
7 + 1 Ьр
2 co
2L0 I cot 7 + I
7 - 1 I To 2
2L0 I cot 7 + I
7 - 1 I To 2
На любой момент времени можно определить расстояние X^t\ пройденное правой границей, размер области г^ = L^ — Х^ и среднюю плотность рСред(^)-
Так,
t
X(t) = — J u(t)dt о
(при T = Lq/cq расстояние X(T) = Lo). Размер области
Средняя плотность
Максимальная плотность достигается на момент времени Т = = Lq/cq и равна бесконечности.
Сопоставление аналитических результатовс численными расчетами
Сопоставим полученные формулы с численными расчетами. Рассмотрим плоскую систему (рис. 6.2).
ОО0,1 ро = 1
О
О
Расчеты были проведены по уравнениям газовой динамики с уравнением состояния — двучленом вида р = (7 — 1) рЕ + (р — ро) Cq, ро = = 1, со = 0,01. Граничные условия: слева — центр, справа — скорость как функция времени (задается по формуле (6.7)) либо давление как функция времени (задается по формуле (6.7а)).
На рисунках 6.3 и 6.4 приведена относительная погрешность функции энтропии на момент времени t = 9,5 с заданием на границе скорости (рис. 6.3) и давления (рис. 6.4). Характерное время для этой задачи: Т = c^/L = 10.
Рис. 6.3
00,005 0,01 0,015 0,020,025 R
Рис. 6.4
На рисунках 6.5 и 6.6 приведена расчетная величина отбора энергии как функция времени для следующих граничных условий справа: скорость как функция времени (задается по формуле (6.7)) (рис. 6.5) и давление как функция времени (задается по формуле (6.7а)) (рис. 6.6). Наблюдается хорошее совпадение приведенных результатов.
На рисунках 6.7 и 6.8 приведена зависимость относительной погрешности функции энтропии от радиуса для сферической геометрии, показанной на рис. 6.2, на два момента времени: t = 7 (рис. 6.7) и t = = 8 (рис. 6.8); справа на границе задана скорость. В сферической геометрии схождение к центру быстрее, чем в плоском расчете (здесь максимальное время равно 10). Видно, что относительная погрешность функции энтропии на момент t = 7 (ударная волна еще не
подошла к центру) меньше 1 %. На момент t = 8 (ударная волна подошла к центру) она приблизительно равна 4,5 %.
Расчет системы, представленной на рис. 6.2, был проведен с двумя разными уравнениями состояния: двучленом р = (у — 1) рЕ + + (р — ро) Cq и уравнением р = (у — 1) рЕ (идеальный газ). Цель расчета— выяснить величину энергии, которую необходимо затратить, чтобы сжать вещество до определенной плотности. В первом случае (двучлен) для сжатия вещества в 500 раз необходимо затратить 0,00167 единиц энергии Ц = 9,99722). В расчете с идеальным газом для сжатия вещества в 500 раз требуется 0,00183 единиц энергии Ц = 9,99761). В последнем случае необходимо задать начальное давление P(t = 0) = р^!^.
Глава 7
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫИ ВОЗМОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИБЕЗУДАРНЫХ РЕЖИМОВ СЖАТИЯ
В настоящей главе рассматриваются задачи кумуляции энергии в оболочечных системах в особом режиме — режиме безударного сжатия. Безударное сжатие как способ получения высоких плотностей привлекало и продолжает привлекать внимание многих исследователей, которые ищут практически приемлемые пути его реализации [2, 3, 7, 11, 19, 20, 21, 26, 27, 28, 29, 30]. Использование концепции безударного сжатия открывает перспективный способ построения микромишеней для осуществления термоядерного синтеза. Базовой основой таких построений, как будет показано ниже, могут служить цилиндрические слоистые системы при вложении энергии пучками тяжелых ионов, направленными вдоль оси системы и сфокусированными в одном или нескольких наружных слоях [35]. Пример подобной конструкции приведен на рис. 7.7.
Расчетно-теоретически доказывается возможность осуществления безударного сжатия DT-топлива, заполняющего центральный слой такой конструкции, посредством интенсивного внешнего энерговложения, специально спрофилированного по времени.
Как видно из рис. 7.7, продольные размеры подобных конструкций существенно превышают поперечные; есть основание полагать, что область разгрузки от торцов будет занимать только малую часть пространства вдоль оси цилиндрической конструкции (это предположение уже проверено). Поэтому мы будем рассматривать пространственно-одномерную задачу в плоскости, ортогональной оси симметрии.
Реализация безударных режимов сжатия
Ограничимся случаем однокаскадной системы и рассмотрим следующую задачу. Пусть для системы, изображенной на рис. 1.1, на левой границе области mi заданы скорость ил(£) и давление Рл(1\ На правой границе области шз задано давление Pn.r(t) = 0. Нужно найти такую зависимость энерговложения Q^ в область m2, чтобы реализовать движение системы с заданными скоростью ил^ и давлением P^t). Решение этой задачи дает возможность достроить внутренние и наружные слои оболочечной конструкции, в центральном слое которой будет реализовано безударное сжатие с граничным условием на поршне лл (t), Рл (t). В общем случае такая постановка задачи не является корректной, однако в нашем случае ^(f), Рл(1) не произвольны, а связаны соотношением на поршне при безударном сжатии.
Интенсивность внешнего энерговложения Q^ подлежит определению. Напомним, что при безударном сжатии строится аналитическое решение, поэтому оказывается возможным поставить и решить сформулированную выше задачу.
Проинтегрируем систему уравнений (1.1) по контуру Г. В качестве последнего выбираем четырехугольник, стороны которого совпадают с отрезками t = const, т = const. Его нижнее основание отвечает начальному моменту времени, верхнее — текущему. Левая и правая стороны контура проходят по левой границе слоя 1 и правой границе слоя 3 соответственно (контур Гх; см. рис. 2.1).
Тогда с учетом сформулированных выше предположений получим tt
J [и] dm = J (и3 - ил) dt Щ] = J (из - ил) dt;
m2ОО
7711 +7711 +
7711 +
7711 +
[^ГД1] = J v^QitW
О
Здесь [/] = f(t) - /(0).
Из уравнения сохранения импульса, входящего в эту систему, с учетом (1.4) можно выразить пз(^):
t
/.хmi+m2/2/,х , /, 772 2 \f D 7,
W) =—ил (t) + 7713 + — P^dt. (7.2)
тз + 7722/2X2 / J
Из уравнения непрерывности с учетом (1.4) определим величину V^^t):
V2(t)=V2(0)-V2(t)=V2(0)-м f , / ил dt + 772 3 + 772 2/2 JОм f , / ил dt + 772 3 + 772 2/2 JО1772 3 + 772 2/21772 3 + 772 2/2dt,dt,(7-3)(7-3)
V2(t)=V2(0)-
V2(t)=V2(0)-
м f , / ил dt + 772 3 + 772 2/2 J
О
м f , / ил dt + 772 3 + 772 2/2 J
О
1
772 3 + 772 2/2
1
772 3 + 772 2/2
dt,
dt,
(7-3)
(7-3)
где
М = 7711 + 7712 + 7713.
Из уравнения сохранения энергии системы (7.1) получаем зависимость
v И + V {MJ + Ы Ы + М]} + М] - / .а +
+ m2 \(EKt) - F(t)) - Ц2(0) - F(O))] = 0,(7.4)
Wt
F^ = J Q^at.О
Из уравнения для внутренней энергии следует, что
jF^dVr1
№(t) - F(t^ - (S2(0) - F(0)) = - 0+
+ (Е2(0)-Д0)) <^M-1Y
XV7 /
Подставив это выражение в уравнение (7.4), получаем
ttОО-1 = УГ7772-1 = УГ7772ttлПлПоо[mi + ~+И 3[mi + ~+И 3
t
t
О
О
-1 = УГ
7772
-1 = УГ
7772
t
t
лП
лП
о
о
[mi + ~+
И 3
[mi + ~+
И 3
7771 4- 777 2/2/Ш1Ш2 ,, 777 2 777 3
—Г?h Т7117713 Ч (тпз + т2/2)2 X 36
Перепишем (7.5) в виде
t
-1 _ vr1
О
7772
12t
JPjlundt F ^Ыт) + MmH jP„(t)dt+ оо
2"
+ \В2 (0) - ДО)] ^Г1 (0) - ГТ1 (*)] - (7.6)
X 0
Здесь
ki (m) = 7771 + —h
7771 4- 777 2/ 2 ( 7771777 2 ,, 777 2 777 3
ТТЧ IV 7771777 3 4
(m3 + m2/2)2 x 36
-2\\ i
m3 +
m3 +
7773 + m2/32(m3 + m2/2)2
Продифференцируем уравнение (7.6) по t:
F^
dV^1 _ 1 dV^"
dt m2 dt
,2
О
о
оо
о
о
2
-[^2(0)-F(0)]^-
iat
m2
(к2Н-1)Рлил + ^ at
t
о
t
о
или
F(t)
1
m2
J Рлил dt+^- о
О
t
2-1
I -[Е2(0)-Д0)] +
о
dVP m2—— dt
(к2(т) - 1) Рлил + ^ at
о
+2Рл^з
а величинуа величинуУ7”1(/Уз7”1dtУ7”1(/Уз7”1dt
а величину
а величину
У7”1
(/Уз7”1dt
У7”1
(/Уз7”1dt
Исходя из уравнения (7.3), можно записать
- Мил + fP^dt dV2 _ о dt тз + Ш2/2
представить в виде
Из7-1^з7"1
У^^ (т3 + т2/^
dt
h-
—Мил +
JPлdt о ,
С учетом этого соотношения величина F(f) равна
2
:) -[Е2(0) - Г(0)]+Vi^ma^m^l
оо-Im2(y - 1) (-Мил + / Pn(t)dt
о
о
\о,
(к2(т)-1)РлилР^ at
-\-2Рлкз
Pn(t)dt
(7.8)
Приведенные выше формулы позволяют по заданным нл (t) и Рл (t) построить закон энерговложения Q^ = —, который реализует дви- dt
жение в системе, изображенной на рис. 1.3, а (без области то), с этими значениями давления и скорости на левой границе области с массой mi.
Построение оболочечных конструкций,реализующих движения безударного сжатия
Проведенные выше построения доказывают возможность осуществления безударных режимов сжатия вещества в центральной области слоистой системы при надлежащем подборе энерговложения в один из ее внешних слоев (см. рис. 1.3, а). Конкретизируем сделанное в §7.1 построение применительно к режиму безударного сжатия плоского слоя [1]. Точнее, напомним это известное решение.
Зафиксируем начальный размер области Lg (0 ^ х ^ Lg) и началь- /2\
ное давление Pg = —Сд (или энергию Ед = —— ) (отсюда
7\7(7-1)/
определяется со и характерное время Т = LgjcgY На левой границе слоя то (ж = 0) задается условие и^ = 0. Для воспроизведения безударного неограниченного сжатия на правой границе этого слоя
в случае идеального газа скорость и давление должны удовлетворять следующим соотношениям:
2 ^л —2 ^л —с0 1 -с0 1 -Со А 1- —t . и )Со А 1- —t . и )(7-9)(7-9)
2 ^л —
2 ^л —
с0 1 -
с0 1 -
Со А 1- —t . и )
Со А 1- —t . и )
(7-9)
(7-9)
л — Cq I I t— Pg II t
7\ Lp /\ Lq у
Введем в дальнейших выкладках безразмерную переменную £ == 1 — — £, где 0 ^ £ ^ 1. Ее минимальное значение соответствует Еоt = Т = —, а максимальное — t = 0. СоНа любой момент времени можно определить расстояние X^t\ пройденное правой границей, размер области т^ = Eq — X^t\ среднюю плотность Рсред(^) и работу на границе плоского слоя.Так,Введем в дальнейших выкладках безразмерную переменную £ == 1 — — £, где 0 ^ £ ^ 1. Ее минимальное значение соответствует Еоt = Т = —, а максимальное — t = 0. СоНа любой момент времени можно определить расстояние X^t\ пройденное правой границей, размер области т^ = Eq — X^t\ среднюю плотность Рсред(^) и работу на границе плоского слоя.Так,tX(t) = — / u(t) dt =—egJд-1оtX(t) = — / u(t) dt =—egJд-1о7 + 1 Eq2 co7 + 1 Eq2 coCotEo(при T = Lq/cq расстояние X(T) = Eq).Размер областиCotEo(при T = Lq/cq расстояние X(T) = Eq).Размер областиr(t) — Eq — X(t) — Eq +r(t) — Eq — X(t) — Eq +
Введем в дальнейших выкладках безразмерную переменную £ =
= 1 — — £, где 0 ^ £ ^ 1. Ее минимальное значение соответствует Ео
t = Т = —, а максимальное — t = 0. Со
На любой момент времени можно определить расстояние X^t\ пройденное правой границей, размер области т^ = Eq — X^t\ среднюю плотность Рсред(^) и работу на границе плоского слоя.
Так,
Введем в дальнейших выкладках безразмерную переменную £ =
= 1 — — £, где 0 ^ £ ^ 1. Ее минимальное значение соответствует Ео
t = Т = —, а максимальное — t = 0. Со
На любой момент времени можно определить расстояние X^t\ пройденное правой границей, размер области т^ = Eq — X^t\ среднюю плотность Рсред(^) и работу на границе плоского слоя.
Так,
t
X(t) = — / u(t) dt =—eg
Jд-1
о
t
X(t) = — / u(t) dt =—eg
Jд-1
о
7 + 1 Eq
2 co
7 + 1 Eq
2 co
Cot
Eo
(при T = Lq/cq расстояние X(T) = Eq).
Размер области
Cot
Eo
(при T = Lq/cq расстояние X(T) = Eq).
Размер области
r(t) — Eq — X(t) — Eq +
r(t) — Eq — X(t) — Eq +
= L0 + -+- Co [t + ^+1 — (^+1 - 1)7 - 1 L 2 Co \/
Средняя плотность
Рсред(^) —Рсред(^) —poLopoLo.2 co.2 co
Рсред(^) —
Рсред(^) —
poLo
poLo
.2 co
.2 co
Максимальная плотность достигается на момент времени Т = = Lq/cq и равна бесконечности.
Работа (отбор энергии) на границе плоского слоя равна
F^ = / Р^и^ dt =У(7-1)F^ = / Р^и^ dt =У(7-1)—7+1\2 1-^7+1—7+1\2 1-^7+1
F^ = / Р^и^ dt =
У(7-1)
F^ = / Р^и^ dt =
У(7-1)
—7+1\2 1-^7+1
—7+1\2 1-^7+1
Воспользуемся приведенными зависимостями (7.9) как условиями на левой границе слоя с массой mi и определим величину энерговложения Q^ в область с массой m2, предварительно вычислив входящие в выражение (7.8) интегралы и производные от заданных Рл(£) и ил(1\.
ооАил 2с0dt (7 + 1)Е0Аил 2с0dt (7 + 1)Е0PqEq(7 + 1) (7 - 1)соPqEq(7 + 1) (7 - 1)со(7.10а)(7.10а)
о
о
Аил 2с0
dt (7 + 1)Е0
Аил 2с0
dt (7 + 1)Е0
PqEq(7 + 1) (7 - 1)со
PqEq(7 + 1) (7 - 1)со
(7.10а)
(7.10а)
Рл^л dt —Рл^л dt —PqLq^ + 1)(7 "I)2PqLq^ + 1)(7 "I)2'7—1\2i -C7+1'7—1\2i -C7+1
Рл^л dt —
Рл^л dt —
PqLq^ + 1)(7 "I)2
PqLq^ + 1)(7 "I)2
'7—1\2
i -C7+1
'7—1\2
i -C7+1
(7.106)(7.106)f undt = c«t + ^kl±lL ^7+1 - 1) ,J7 — 12\/
(7.106)
(7.106)
0
[dt [рла1 = 1±1р0^\1±1 (i-^)
J J7 - 1 Cq [ 2\/ Lo
00"
Подставим в выражение (7.8) значения Pn(t) и ил(£) из (7.9), а также входящие от него интегралы и производные (7.10).
После соответствующих преобразований для F(t) получим
Щ) = Я2(0) + —Ш2Щ) = Я2(0) + —Ш2X(7.11)X(7.11)Л(1 - 2М + ^77" kl + ^Ц^+з.(7 + 1)LOeg .
Щ) = Я2(0) + —
Ш2
Щ) = Я2(0) + —
Ш2
X
(7.11)
X
(7.11)
1 _ г-ДтУ (7 + 1)^о + 2£ Т+1 V2(t)cg (m3 + т2/2)
?) (7 — I)2(7-1)[2MC2 + PoLo(7 + 1)]
где
V2(t) = У2(0) +V2(t) = У2(0) +(2Mcq + (7 + 1)P0Lq) Loeg (7 - 1) (тз + т2/2)(2Mcq + (7 + 1)P0Lq) Loeg (7 - 1) (тз + т2/2)7-127-12(7-12)(7-12)
V2(t) = У2(0) +
V2(t) = У2(0) +
(2Mcq + (7 + 1)P0Lq) Loeg (7 - 1) (тз + т2/2)
(2Mcq + (7 + 1)P0Lq) Loeg (7 - 1) (тз + т2/2)
7-1
2
7-1
2
(7-12)
(7-12)
Из (7.12) следует, что при t Lq/cq
(m3 + т2/2)
т. е. стремится к конечной величине. Следовательно, максимальное _ 27
энерговложение при t -+ Lq/со оценивается как £ 7+1.
Найдем выражение для Q^ = dF/dt. Введя обозначения
А= 7 + 1 Li(7 - 1) m2
F0(1-2Aj2) +
(7 + l)Lo
(7 + 1)FqL0
c2 co
2cp (m3 + ТП2/2) (7 - l)m2 [2Mc^ + PoLob + 1)]
ks , (7-13)
xxPo(l - 2M +2c° kr + (7 + l№ofcs
x
x
.(7+1)^0C2
получим
_Зт+1У^Ш 7+1_Зт+1У^Ш 7+1Q(t) = 2Co^ у ^ 7+i -e 7+1 ^0(7+) \
_Зт+1
У^Ш 7+1
_Зт+1
У^Ш 7+1
^£"7m ! 27CO
dt(7 + 1)LO
где
dV2 _ [2M + (7 + 1)FoLo/(^)] Lq dt(7 — 1) (m3 + m2/2)
Проведя соответствующие выкладки, формулы (7.11) и (7.14) можно записать в виде, в котором мы будем использовать их в дальнейших расчетах:
F(t)
= ° g lV °] (7 + 1))
(7 - 1) m2 (\У
^ + (7 -1) + 2^ - (7 +1)^71»L^J
Q^
9F _ 27cgG Д (<-+tV
at (7 — 1) т2 (уу
- ГЖ + (7-1) + 2£-(7+1КГн
L »^J
(7-15)
G = ^ (1 - 2fc2) ++ ^±1+1 к3а =
7 + 172
_ ттитНтт^Нттз^НФ^
(7 - 1) (m3 + т2/2)
7I т2 ,mi+m2/2/Ш1Ш2 .. т2т3
к± — 7711 4h 7—9 Ih 7771777 3 Н
3 (тз + т2/2)2К36
т2/3 (m3 + т2/4) + mi (m3 + т2/2)(т3 + т2/2)2
7т3 + т2/3
^3 9 5
2(т3 + т2/2)
^ = 1 -(01),
где а — показатель симметрии геометрии, 0 ^ t ^ Lq/cq.
На рис. 7.1 приведена зависимость Q^ для определенной геометрии и конкретного со (подробную постановку см. в § 7.4).
Полезно рассмотреть отношение отбора энергии областью ttiq t
J PjjUjjdt
(см. рис. 1.3, а) к общему энерговложению, т. е. 0 ^^—. По величине этого показателя можно оценивать «коэффициент полезного действия» конструкции.
Итак:
J РлилсИ о_F(t) АJ РлилсИ о_F(t) А(1-£ 7+!^ Ро^о(7+1)/(7 - I)2
J РлилсИ о_
F(t) А
J РлилсИ о_
F(t) А
./ Lo(7 + 1)[2Mc2+£oPo(7 + 1)]
(7-16)
С учетом выражений для A, Pq = — Cq, ki, k^ кз и V^) равенство
7
можно записать в виде
fP^dt^^7 + 1 -^7 + 1)
.2 = 7 \/ х
m2P«) a^ + ^(1_M + l±lfe3m2
7 + 1772
X /(7-!) Ч(0)(2т3 + т2) 7г _ гДт? +1(7 + 1)£/2М+7±1А У' ?)
При £ = 1 (t = 0) и при £ = 0 (t = Lq/cq) выражение (7.17) обращается в нуль. Это означает, что при завершении процесса энерговложения процент отбора энергии падает до нуля. Последнее обстоятельство
Рис. 7.1Рис. 7.1Q0,100,080,060,040,02
Рис. 7.1
Рис. 7.1
0 -0,02
свидетельствует о том, что процесс энерговложения по единой схеме проводить не следует. Найдем значение £о, ПРИ котором отбор энергии будет максимальным.
Введем обозначение
<) = (7 - 1) (7 - 1 + 2Щ СД1 - Д1) +^№1+^)
'(7 + 1)(2М+-то)
\7/
и рассмотрим выражение (7.17) как функцию от £. Найдем значение &, при котором
, / P^u^dt-т0 7 + 1 9'Ю
d _о _ д-1
d^ m^F^ Г 2/д то ,l\i7+1721Л.7-1 V
—" + (1-М +—— к3т201 + —- 0(Д
L7 + 177 J \7 + 1/
Несложно проверить, что £о удовлетворяет уравнению
/7-1 \
(7.18)(7.18)(7.19)(7.19)17(0) (2m3 + m2)_ ^° V _)
(7.18)
(7.18)
(7.19)
(7.19)
+/7 + 17
Lo (72 - 1)+ ri- то) _ 1 + 7^+х
Из (7.18) следует, что корень £о лежит внутри интервала
7+1
71"7 < Д < 1
(ближе к его левому концу).
Формулы (7.17) и (7.18) дают возможность оптимизировать конструкцию системы по величине отбора энергии центральным слоем.
Для упрощения этой процедуры можно принять m3 -+ сю, т. е. считать
наружную правую границу слоя 2 неподвижной.
Рис. 7.2Рис. 7.2На рис. 7.2 приведена зависимость коэффициента отбора энергии центральным слоем от Д Максимальный отбор происходит при Д = 0,14, что соответствует оценке (7.19). Из рисунков 7.1 и 7.2 следует, что зависимость энерговложения Q(t) от времени, отвечающая безударному сжатию центрального слоя (с учетом падения в нем отбора энергии), должна быть изменена, чтобы ликвидировать указанный недостаток.
Рис. 7.2
Рис. 7.2
Наши построения проводились при упрощающих предположениях, которые были сделаны для нахождения закономерностей дви
жения слоистых систем. Справедливость сделанных предположений подтверждена численными расчетами в точной постановке. При этом использовались найденные зависимости Q(t\ Проверялось сохранение энтропии и воспроизведение зависимостей ил(Д, Pn(t) на границе слоя с массой то оболочечной системы (см. рис. 1.3, а).
На рис. 7.3 приведена зависимость энтропии от радиуса на различные моменты времени. Отличие от постоянного значения составляет менее 2 %.
4,50
4,48
s 4,46 х
4,44
4,42
4,40 "111111
00,020,040,060,080,10 г
Рис. 7.3
На рисунках 7.4, а, б, в приведены зависимости Ц£), P(t) и V^) соответственно: сплошная кривая представляет собой аналитическое решение, пунктирная — расчет. Небольшое расхождение по времени расчетных и аналитических распределений связано с прохождением ударной волной области с массой mi. Приведенные графики подтверждают осуществление в слое с массой то безударного сжатия.
Подбор параметровв автономной задаче безударного сжатия,обеспечивающих загорание DT-смеси
При рассмотрении вопросов загорания и горения DT-смеси при ее безударном сжатии необходимо иметь в виду некоторую специфику проведения подобных расчетов.
Во-первых, в задачах безударного сжатия DT-смеси без учета горения в качестве граничного условия можно ставить как зависимость P(f), так и u(t). В расчетах с горением граничным условием должно быть P(t\ В противном случае (при постановке u(t)) энерговыделение, возникшее при термоядерном горении DT-смеси, никак не влияет на последующее движение правой границы. Это неизбежно приведет к полному выгоранию топлива, которое произойдет из-за неправильной постановки задачи. Во-вторых, в плоских системах при безударном сжатии горение неосуществимо. Следовательно, нужно рассматривать цилиндрические или сферические конструкции. Последнее несколько осложняет ситуацию, поскольку становится необходимым опираться на закономерности безударного сжатия в цилиндрических или сферических случаях. Конечно, можно воспользоваться соответствующими результатами работы [3], но это существенно затрудняет
9,9988 9,9990 9,9992 9,9994 9,9996 9,9998 1,0000 t
Рис. 7.4
проведение расчетов. Мы упростили расчеты, воспользовавшись следующим приемом для цилиндрического случая (последний был для нас основным). Для цилиндрического случая закономерность u(t) на внешней границе близка к таковой для плоского слоя, однако закономерности P(t) существенно различаются. Поэтому для их получения предварительно проводится расчет с граничным условием u(t) из плоского решения и по его результатам строится зависимость P(t\ Найденная зависимость служит граничным условием для последующего расчета в цилиндрической геометрии с учетом горения.
С помощью дополнительных расчетов было проверено, что использование для цилиндрической задачи граничного условия u(t) из плоской задачи фактически не приводит к разрушению закономерностей безударного сжатия. На рис. 7.5 приведена зависимость энтропии от радиуса для цилиндрической мишени с граничным условием u(t) из плоской задачи на моменты времени t = 3, 5, 7, 9. Энтропия сохраняется с точностью до 0,3 %.
4,5124,5124,5104,5104,5084,5084,5064,5064,5044,5044,5024,5024,5004,5004,4984,49800,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г00,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 гРис. 7.5Рис. 7.5
4,512
4,512
4,510
4,510
4,508
4,508
4,506
4,506
4,504
4,504
4,502
4,502
4,500
4,500
4,498
4,498
00,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г
00,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г
Рис. 7.5
Рис. 7.5
По изложенной выше методологии для цилиндрического случая были проведены расчеты по выбору параметров однообластной цилиндрической DT-мишени. Найдены ро и со, при которых происходит загорание DT-смеси при минимальных затратах вложенной энергии.
Рассмотрим цилиндрическую систему, представленную на рис. 7.6.
DT
00Рис. 7.6Рис. 7.6ро = 0,05ро = 0,05
0
0
Рис. 7.6
Рис. 7.6
ро = 0,05
ро = 0,05
Для нее находились уравнения газовой динамики и кинетики термоядерных реакций (В.7).
Уравнения состояния — идеальный газ с у = 5/3, сг = 9,957.
Граничные условия: слева — центр, справа — давление как функция времени, полученное из газодинамического расчета с заданной на границе скоростью дД^). В табл. 7.1 собраны результаты вычислений.
Таблица 7.1
Со
0,1
0.05
0,04
0.03
0,025
0,02
[0, tmax)
[0,10)
[0, 20)
[0, 25)
[0, 33)
[0, 40)
[0, 50)
tk
9,9984
19,9968
24,996
33,328
39,9936
49,992
-Е/влож
0,0225
0,00564
0,0036
0,002
0,0014
0,0009
Ртах
2462
2462
2462
2463
2463
2462
Umax
-2,59
-1,3
-1,036
-0,78
-0,648
-0,473
Г min
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
Qrop
1Д
1,7
1,89
1,94
0,00067
0,00002
Др, %
12
19
22
22
0
0
Здесь Евлож — энергия, вложенная в систему; ртах — максимальная по времени средняя плотность системы; umax, rmin — максимальная по времени скорость и минимальный радиус системы соответственно; Qrop — энергия, выделившаяся в результате горения; tmax = Lq/cq\ tk — момент окончания расчета; Ad — процент выгорания дейтерия в результате горения.
Из таблицы видно, что более предпочтителен вариант, соответствующий со = 0,03.
При со = 0,025 и меньше система не «загорается», а при со > 0,03
2 необходимо задать большую начальную энергию Eq = —.
7(7-1)
Численные расчеты сжатияцилиндрических мишеней
Основываясь на выполненных выше теоретических построениях по конструированию оболочечных систем, предназначенных для кумуляции энергии в режиме безударного сжатия, перейдем к результатам расчетов с использованием более точных математических моделей. Для определенности будем рассматривать цилиндрическую конструкцию мишеней, используемую в исследованиях ИТЭФ [36] (рис. 7.7).
Математическая модель, используемая в расчетах, описывается системой уравнений (В.1)-(В.8)
Наш подход к расчетному построению мишеней основывается на следующих соображениях. Во-первых, при безударном сжатии можно
получить высокие параметры сжимаемого газа. Во-вторых, основной недостаток в непосредственной реализации безударного сжатия — необходимость неограниченного роста энерговложения — может быть устранен. Это достигается накоплением кинетической энергии в тяжелой оболочке с массой mi в ходе энерговложения. Прекращение энерговложения компенсируется последующей отдачей топливу запасенной кинетической энергии областей mi, m2 (см. рис. 1.3, а). В-третьих, классическая реализация (до конечной стадии) режима сверхплотного сжатия затрудняет получение эффективного горения. Режим должен быть несколько затянут по времени на стадии, близкой к заключительной, иначе «разгорание» не успевает осуществиться. Кроме того, при классическом безударном (холодном) сжатии для осуществления горения не хватает температурного разогрева топлива, хотя критерий «по зажиганию» —pAr « J pdr — выполняется с большим запасом за счет высоких плотностей. Поднять конечную температуру можно с помощью увеличения начального разогрева (увеличения параметра со) или нарушения режима безударного сжатия на заключительной его стадии.
К, СМ ро,г/см3 0,22 ™
■ DTAuBeAu■ DTAuBeAu| Ап 20 0,195 4"
■ DT
Au
Be
Au
■ DT
Au
Be
Au
| Be 2 0,105 4"
! Au 20
0,1
DT 0,05
Рис. 7.7
При разработке микромишеней необходимо также учитывать конструктивные характеристики установки, на которой планируется проводить эксперименты с данной мишенью. Опишем предлагаемый «сценарий» энерговложения в оболочечную конструкцию микромишени, вариант которой приведен на рис. 7.7. Напомним, что она представляет собой систему вложенных цилиндрических оболочек, выполненных из различных веществ.
В реальной (двумерной) постановке торцы остаются открытыми и через них пучок тяжелых ионов направляется вдоль оси в одну из внешних областей (стрелки 1 на рис. 7.7). Исследования построены на сочетании одномерных расчетов движения системы в плоскости, перпендикулярной оси, и двумерных расчетов движения в плоскости, проходящей через ось мишени. По результатам аналитических построений и одномерным расчетам подбирается оптимальная конструкция мишени при указанном выше внешнем энерговложении. По
результатам двумерных расчетов оценивается, в частности, влияние открытых торцов, через которые осуществляется энерговложение. Проведенные двумерные расчеты показали, что при безударном сжатии разгрузка с торцов захватывает только конечную часть мишени вдоль ее оси. Движение остальной (значительной) ее части остается невозмущенным и одномерным, т. е. его можно описывать одномерными расчетами. Таков сценарий расчетного конструирования мишеней.
Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. При схождении к оси тяжелой оболочки (область m2; см. рис. 1.3, а) последняя подвергается сильному сжатию на стадии обострения внешнего энерговложения Q(t\ Плотность ее интенсивно возрастает, материал становится теплоизоляционным экраном по отношению к области внешнего энерговложения. Поэтому сохраняются условия тепловой изоляции центрального слоя (DT-топлива), а значит, и условия безударного сжатия. Сложнее обстоит дело в трехтемпературной модели. Практически до заключительного момента схождения центральной области DT движение остается адиабатическим. Но на финальной стадии благодаря наличию релаксации среда DT-газа как бы мгновенно прогревается; безударность разрушается. Это приводит к необходимости увеличения внешнего энерговложения Q^ для зажигания DT-слоя по сравнению с однотемпературной моделью.
Учитывая, что обострение импульса (под ним понимается резкий рост энерговложения на коротком промежутке времени) на современных установках создавать очень сложно, энерговложение по формуле (7.15) осуществляется до момента времени t*, в который обострение достигает допустимой для установки величины Q (t*). Далее энерговложение происходит при постоянном Q (t*) до момента времени t**. Последний определяется достижением в области с массой mg заданной величины плотности, которая обеспечивает критерий по зажиганию. Если температура оказывается недостаточной, то в момент t*** = = t** + At, при достижении необходимого критерия по зажиганию, в область с массой mg делается дополнительное энерговложение в виде короткого импульса интенсивностью Q (t) («поджигающий» импульс; стрелка 2 на рис. 7.7). Благодаря этому можно осуществить активное горение центральной области.
Подобный подход, при котором зажигание осуществляется с помощью дополнительного энерговложения непосредственно в DT-топливо вторым мощным импульсом, привлекательный, на первый взгляд, из-за экономии внешнего энерговложения, содержит ряд серьезных недостатков. Во-первых, к моменту второго импульса DT-смесь уже должна иметь высокую плотность и «поджигающий» пучок может распространяться вдоль оси только на небольшую глубину от торца мишени. Поэтому разгорание DT-смеси (если оно произойдет) будет представлять собой сложный процесс детонации, распространяющейся вдоль оси. При этом неизбежно возникнут значительные возмущения, которые могут разрушить саму кумуляцию. Во-вторых, технически крайне сложно осуществить
энерговложение вторым импульсом в пятно DT-топлива очень малых размеров. Поэтому поджигающий импульс трудно реализовать.
В данной ситуации оказывается важным вопрос: возможно ли за один акт внешнего энерговложения обеспечить сжатие и горение цилиндрической мишени при облучении ее с торца? Использование режима безударного сжатия решает эту проблему.
Дополнительно нагреть сжатое вещество можно, например, пропуская по нему сильную ударную волну, т. е. нарушая в нужный момент режим безударного сжатия. Этого возможно добиться с помощью коррекции импульса Q^ в соответствующий момент времени. Такой сценарий внешнего энерговложения не только обеспечивает безударное сжатие DT-смеси до высоких плотностей, но и осуществляет дополнительный нагрев вещества на заключительной стадии сжатия. Далее проведено расчетное сопоставление двухимпульсного и одноим- пульсного сценариев сжатия и горения на примере цилиндрической мишени, представленной на рис. 7.7.
В данном примере используется следующая система единиц: длина — см, время — 107 с, масса — г, температура — кэВ. Рассчитываются движение системы и кинетика термоядерных реакций.
Введем следующие обозначения:
t* — момент времени, до которого осуществляется энерговложение по схеме безударного сжатия;
Q (t*)—максимальное обострение мощности энерговложения на момент Г;
F (Г) —полное энерговложение в область т^ по схеме безударного сжатия за время t* (0 ^ t ^ Г);
t** —момент окончания внешнего энерговложения в область m2;
F (t**) —полное энерговложение в область m2 за время t** (О < t < ГД;
Fq — величина дополнительного (мгновенного) энерговложения в DT-смесь;
FBJIO5K — энергия, суммарно вложенная в мишень за два импульса;
ЕОтоб —энергия, отобранная DT-газом за все время движения;
Огор — величина выделившейся термоядерной энергии;
Ар —доля выгорания дейтерия;
Ртах, ^тах — максимальная по времени средняя плотность и температура центральной области соответственно;
рАт— величина критерия по зажиганию (J pdr} в области DT- смеси.
В таблицах 7.2 и 7.3 приведены данные расчетов мишени при двухимпульсном и одноимпульсном энерговложениях соответственно. Второй столбец табл. 7.2— результат расчета с Q (Г) « 3 без дополнительного энерговложения в центральный DT-слой. В этом случае мишень не загорается. В третьем и четвертом столбцах табл. 7.2 приведены результаты расчетов при дополнительном энерговложении в область DT-газа (второй импульс) с уравнениями состояния идеального газа при 7 = 5/3 и реальными уравнениями состояния [37]
Таблица 7.2
Величины
1-й расчет
2-й расчет
3-й расчет
г
9,955
9,955
9,955
0,00182
0,00182
0,0182
ст
3,011
3,011
3,011
Т*
10,25
10,25
10,25
F (t**)
0,1657
0,1657
0,1657
Fo
0
0,098428
0,098428
-Свлож
0,1657
0,2657
0,2657
Еотоб
0,0025
0,00252
0,00252
Qrop
0,000196
5,6964
2,09
Ad, %
0
48
20
Ртах
2147
590,7
182,35
Tmax
0,3524
202,5
49,27
рАт
0,66
0,61
0,212
Таблица 7.3
Величины
1-й расчет
2-й расчет
3-й расчет
г
9,96476
9,96994
9,96994
FT)
0, 0246
0, 030877
0, 030877
0(Л
5,2634
7,5381
7,5381
Г*
10,25
10,157
10,25
F(t**)
0,2679
0,26798
0,38905
Еотоб
0,0026
0,000174
0,000174
Qrop
0,99629
3,4174
3,4364
^D, %
10
32
32
Ртах
3023,5
3086,3
3106,4
Tmax
25,9
105,9
106,6
p/\r
0,7544
0,73
0,7324
соответственно в слоях со второго по четвертый. Согласно этим расчетам мишень загорается. Второй столбец табл. 7.3 — результат расчета с Q (t*) to 5, в третьем и четвертом столбцах приведены результаты
расчетов с Q (t*) « 7,5. Кроме того, в расчете, приведенном в четвертом столбце, энерговложение продолжается до t** = 10,25, что не приводит к эффективности энерговыделения.
Сопоставление таблиц 7.2 и 7.3 обнаруживает, что роль второго поджигающего импульса выполняет обострение мощности основного энерговложения с Q (Р) « 3 до Q (Р) % 5^7.
Анализируя информацию таблиц 7.2 и 7.3, можно сделать следующие выводы.
Во-первых, «горение» DT-смеси можно получить с поджигающим импульсом.
Во-вторых, «горение» DT-смеси можно получить и без дополнительного импульса, увеличивая обострение первого пучка.
Оценка влияния двумерных эффектовразгрузки с торцов на динамику кумуляции
Выше говорилось, что в рамках трехтемпературной модели среды возможно проведение двумерных расчетов сжатия и горения термоядерных мишеней с уточненным учетом энерговложения при прохождении тяжелых ионов вдоль вещества мишени и их торможении.
Однако изучение всей совокупности процессов при такой комплексной постановке делает практически невозможным построение оптимальной конструкции мишени. Рассмотренное выше вычислительное конструирование мишени с заданными выходными параметрами, сочетающее использование полученных аналитических закономерностей и проведение уточняющих одномерных расчетов, необходимо завершить оценкой влияния двумерных эффектов. Последнее можно сделать на основе проверочных двумерных расчетов, по результатам которых выявить границы влияния торцов. Применительно к данным конкретной ускорительной установки при выборе начальной плотности вещества слоя можно определить длину торможения частиц, т. е. длину, на протяжении которой осуществляется поглощение внешней энергии (примем его продольный размер равным 1 см). Длина мишени определяет ее оптимальный радиальный размер, превышение которого сокращает (или вовсе ликвидирует) ее часть, оставшуюся неразгруженной со стороны торцов. При осуществлении безударного сжатия размер области разгрузки со стороны торца можно оценить как начальный радиус центральной части мишени.
Проведенные двумерные расчеты сжатия и горения цилиндрических мишеней, построенных на основе безударного сжатия, убедительно доказывают существование области, не подверженной разгрузке со стороны торцов. При этом снижение величины энерговыделения от горения DT составляет меньше половины от расчетов по одномерной модели. Это «приемлемая» плата за наличие двумерных эффектов. Осуществление режима безударного сжатия в рассмотренных конструкциях в значительной мере избавляет и от неустойчивости Релея- Тейлора на внешней границе топлива при его сжатии.
Заключение
Итогом проведенных исследований явилось поэтапное (последовательно, по областям влияния) построение приближенного решения задачи о движении слоистой системы оболочек и определение распределения энергии по слоям при начальном ее вложении во внешние слои. Выявлены зависимости поведения решения от начальных параметров, задающих конструкцию системы.
В случаях цилиндрической или сферической симметрии течения получены аналитические выражения для определения величины кумулирующейся энергии.
В результате проведенных исследований продемонстрировано, как можно применить идею безударного сжатия при конструировании микромишеней. Отмечены положительные факторы использования безударного сжатия (достижение высоких плотностей при малых затратах энергии) и показано, как можно преодолеть теоретическую неограниченность энерговложения, возникающую при классических теоретических подходах. Построенные для оценки работоспособности мишени теоретические модели играют важную роль на стадии предварительного проектирования, позволяют выявить диапазон допустимых параметров и провести последующие детальные расчеты для поиска оптимальных решений только в этом диапазоне.
3 Г.В. Долголева и А.В. Забродин
Список литературы
Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды.— М.: Наука, 1971.
Каснсдан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // ПМТФ. 1977, № 1. С. 23-30.
Каснсдан Я.М. Адиабатическое сжатие газа под действием цилиндрического поршня // Препринт ИПМ АН СССР, М., 1980, № 56.
Седов Л.И. Об интегрировании уравнений одномерного движения газа // ДАН СССР. 1953. Т. 90, № 5. С. 735.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Гостех- издат, 1954, изд. 3-е.
Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции // Механика в СССР за 50 лет. — М.: Наука, 1970. Т. 2. С. 313-342.
Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. — М.: Наука, 1978.
Забабахин И.Е.^ Симоненко В. А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 3. С. 573-576.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966.
Забродин А. В., Ченцов Н.Н. Приближенные решения в баллистической задаче Лагранжа и ее обобщениях // Препринт ИПМ АН СССР, М., 1988, № 58.
Змитренко Н.В., Курдюмов С.П.^ Михайлов А.П. Теория режимов с обострением в сжимаемых средах // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 28. С. 3-94.
Долголева Г. В., Забродин А.В. Построение последовательности приближенных решений для определения величины кумулирующейся энергии при схождении слоистой системы оболочек / / Известия АН СССР. МЖГ. 1993, № 2. С. 116-123.
Брушлинский К.В., Каснсдан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // Успехи математических наук. 1963. Т. 18, № 2. С. 3-23.
Долголева Г. В., Забродин А.В. Построение последовательности асимптотик для определения величины кумулирующейся энергии при схождении слоистой системы оболочек // Тезисы доклада Всесоюзного симпозиума «Газодинамика взрывных и ударных волн, детонационного и сверхзвукового горения», Алма-Ата, 1991. С. 72.
Долголева Г. В., Забродин А.В. Построение последовательности асимптотик для определения величины кумулирующейся энергии при схождении слоистой системы оболочек // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. 1992. Вып. 1. С. 3-10.
Долголева Г. В., Забродин А.В. Поэтапное построение решения в задаче схождения слоистой системы оболочек. Определение величины кумулирующейся энергии // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. 1993. Вып. 4. С. 8-14.
Долголева Г. В.. Забродин А.В. Построение решения в задаче движения слоистых оболочек // Тезисы докладов конференции «Забаба- хинские чтения», Кыштым, 1995. С. 12-22.
Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение решения в задаче движения слоистых оболочек // В сб. «Проблемы механики сплошной среды», Владивосток, 1996. С. 160-169.
Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение решения в задаче движения слоистых оболочек // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов, 1996. Вып. 3. С. 27-34.
Гао Яоминг. Расчетная реализация безударного сжатия и термоядерного горения двумерных (цилиндрических и осесимметричных) конфигураций DT-газа // Препринт ИПМ РАН, М., 2000, № 21.
Гао Яоминг. Численное исследование реализации безударного сжатия и термоядерного горения несферической мишени тяжелоионного термоядерного синтеза // Препринт ИПМ РАН, М., 2001, № 66.
Крайко А.Н. О неограниченной кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 1000-1007.
Крайко А.Н. Вариационная задача об одномерном изэнтропическом сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 35-51.
Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие идеального газа плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем // Теплофизика высоких температур. 1998. Т. 36, № 1. С. 120-128.
Чернышев Ю.Ю. Двумерная центрированная волна в теплопроводном невязком газе // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 4. С. 107-115.
Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика и механика. — М.: Физматлит, 2001.
Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном безударном сжатии // ДАН СССР. 1991. Т. 318. С. 548-552.
Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 2. С. 283-287.
Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 5. С. 769-779.
Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. — Новосибирск: Наука, 1997.
Забродин А. В., Прокопов ГП. Методики численного моделирования двумерных нестационарных течений теплопроводного газа в трехтемпературном приближении // ВАНТ. Сер.: Математическое моделирование физических процессов, 1998. Вып. 3. С. 3-16.
Баско М.М. GITTAM-программа для численного моделирования одномерных мишеней ТИС. 1. Описание алгоритма и программы // Препринт ИТЭФ, 1989, № 88.
Nuckols J., Wood L.^ Thiessen A., Zimmerman G. Laser compression of matter to supper-high densities thermonuclear (CTR) applications // Nature. 1972. V. 239, № 368. P. 139.
Бельков C.A.^ Бессараб A.B.^ Долголева Г.В. и др. Исследование сжатия высокоаспектных мишеней при облучении лазерным импульсом второй гармоники иодного лазера «Искра-4» // ЖЭТФ. Т. 101. Вып. 1. 1992. С. 80-82.
Баско М.М., Имшенник В.С., Кошкарев Д.Г. и др. Управляемый тяжелоионный синтез и дейтериевые мишени // ВАНТ, Сер.: Математическое моделирование физических процессов, 1989. Вып. 3. С. 84-97.
Елисеев Г.М., Клинишов Г.Е. Уравнение состояния твердых веществ и его сплайн-аппроксимация // Препринт ИПМ АН СССР, М., 1982, № 173.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Часть I. Кумуляция энергиив слоистых системах
Глава 1. Постановка задачи. Приближения, при которых строится решение 9
Глава 2. Однокаскадная система 11
Первый этап построения решений — движение слоев в плоском приближении 11
Второй этап построения решений с учетом симметрии геометрии системы 15
Третий этап — этап схождения в цилиндрическом и сферическом случаях 17
Вариантчистополоймишени 17
Вариант с заполнением полости веществом малой плотности 17
Глава 3. Двухкаскаднаясистема 21
Первый этап — построение решения при совместном движении слоев двух каскадов 21
Этап схождения 26
Вариант чистополой системы 26
Вариант с заполнением полости веществом малой плотности 27
Глава 4. Анализ зависимости величины отбора энергии от исходных параметров системы 30
Глава 5. Проверка аналитических построений численными расчетами 32
Часть II. Реализация концепциибезударного сжатия
Глава 6. Двучленное уравнение состояния 39
Зависимость скорости и давления от времени при осуществлении безударного сжатия 39
Сопоставление аналитических результатов с численными расчетами 43
Глава 7. Оболочечные системы и возможности реализации безударных режимов сжатия 46
Реализация безударных режимов сжатия 46
Построение оболочечных конструкций, реализующих движения безударного сжатия 50
Подбор параметров в автономной задаче безударного сжатия, обеспечивающих загорание DT-смеси 56
Численные расчеты сжатия цилиндрических мишеней 59
Оценка влияния двумерных эффектов разгрузки с торцов на динамику кумуляции 64
Заключение 65
Список литературы 66
ДОЛГОЛЕВА Галина ВладимировнаЗАБРОДИН Алексей Валериевич
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИ В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХИ РЕАЛИЗАЦИЯ БЕЗУДАРНОГО СЖАТИЯ
Редактор О. А. ПенинаОригинал-макет: В. В. ЗатекинОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.02.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 5. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
УДК 533 ББК 22.25Д64УДК 533 ББК 22.25Д64
УДК 533 ББК 22.25
Д64
УДК 533 ББК 22.25
Д64
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 03-01-Ц059д
Долголева Г. В., Забродин А. В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 72 с. - ISBN 5-9221-0476-4.
Основное содержание настоящего издания — осуществление безударного сжатия через кумуляцию энергии в слоистых системах оболочек. Подробно рассмотрены закономерности движения слоистых систем, реализующихся на стадии кумуляции энергии. Такие системы (с учетом найденных приближенных решений) отчетливо выявляют итоговые зависимости от начальных параметров рассматриваемых конструкций. Реализация безударного сжатия при кумуляции позволяет получить высокие конечные концентрации плотности и энергии при минимальных затратах энергии.
Объединение этих двух факторов применительно к разработке термоядерных мишеней позволяет вести целенаправленный поиск их оптимальной конфигурации. Расчеты по точным моделям необходимы только на завершающей стадии.
Для научных работников, аспирантов и студентов вузов, интересующихся этими актуальными вопросами.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0476-4ISBN 5-9221-0476-4© Г. В. Долголева, А. В. Забродин, 2004
ISBN 5-9221-0476-4
ISBN 5-9221-0476-4
Введение
Осуществление безударного сжатия в слоистых системах оболочек основывается на двух факторах:
использовании безударного сжатия для получения высоких плотностей энергии;
конструктивном осуществлении безударного сжатия через кумуляцию энергии в слоистых системах.
Идея безударного сжатия весьма привлекательна для получения сколь угодно больших плотностей при минимальных затратах энергии благодаря отсутствию ударных волн, т. е. сохранению в процессе сжатия начальной энтропии. О ее привлекательности можно судить по огромному количеству публикаций на эту тему [1-30]. Среди них нужно отметить работы А.Ф. Сидорова, в которых теоретически строится движение неограниченной кумуляции не только в одномерном, но и в многомерном случаях [26].
Однако практическая реализация этого принципа наталкивается на существенные технические трудности.
На сегодня остается неясным, каким образом конструктивно осуществить на наружной границе сжимаемого вещества необходимые закономерности неограниченного наращивания давления (или скорости).
С другой стороны, давно существует идея конструктивного оформления неограниченной кумуляции энергии через схождение слоистой системы оболочек, которая получила успешную реализацию во многих практических работах. Среди них прежде всего следует назвать работы Е.И. Забабахина [7-9].
Основным содержанием настоящей работы является конструктивное объединение указанных идей применительно к разработке термоядерных мишеней.
Неограниченное безударное сжатие — это течение, при котором все вещество рассматриваемой области за характерное время коллапси- руется в одной точке. В таких течениях сохраняется энтропия, поэтому процесс, несмотря на формальную неограниченность требующейся энергии, является наиболее экономным.
Неограниченная кумуляция представляет собой такое построение процесса движения, которое приводит в финале к сосредоточению первоначально распределенной энергии в малой области пространства-времени (теоретически— меры нуль).
Для описания процессов, протекающих в термоядерной мишени, необходимо использовать адекватные физико-математические модели, например приведенную в работе [31] систему дифференциальных уравнений.
В рассматриваемой математической модели среда описывается как газ с единой плотностью частиц р и общим вектором их скорости и = (и, г). Удельные внутренние энергии ионов, электронов и фотонов предполагаются различными между собой в каждой точке пространства и времени (они будут отмечаться индексами г, е, / соответственно). Итак, имеем систему:
^ + div ри = 0;(ВЛ)
at
— (pu) + div(puu) + grad р = 0;(В.2)
dt
—(pet) + div(peju) + p;div и = div (A', grad 7)) + cei(Te - Т^ + Q^ dt
(В.З)
— (рее) + div (рее и) + ре div и = div(J7e gradTe) + dt
+ Cei(Ti — Te) + Cef(Tf — Te) + Qe",(В.4)
^Pef) + div(pe/ и) + Pf div и = div(JQ grad!» +
+ cef(Te-Tf) + Qf. (B.5)
Система (B.1)-(B.5) замыкается заданием уравнений состояния для компонент среды, например в виде
£к = ек(р, Тк), рк = рк(р, Тк), к = i, е.(В.6)
Для учета энерговыделения от термоядерных реакций можно использовать систему кинетики термоядерного горения [32], например
= -<(JV>DDnn2D - <(TV>DDpn2D - <(JV>DTnDnT - at
— <CFD>DHeTlDTlHe*')
MInD
= -<(TV>DTnDnT + <(TD>DDp —;
dnHenD
= <СГ1)>пПп_- _ <av>DHenDnHe.
Энерговыделение в электронную компоненту в единицу объема и за единицу времени равно
Qe = (<CTV>DDnGDDn^DDn + <аг)>DDpGDDp^DDp) T?D +
+ <av> dtTIdTItGDT ^DT + <СГг)>пНеТ1пТ1НеСпНе^ПНе- (В.8)
Здесь пр—количество частиц А>го типа в единице объема; <cr,u>j — сечение Дй реакции; Gj—энерговыделение от j-й реакции без учета энергии нейтронов; Aj—доля энергии, передаваемая электронам от Дй реакции. Энерговыделение в ионную компоненту отличается от электронной заменой в формуле (В.8) Aj на 1 — Aj.
Эта модель в дальнейшем используется в расчетах.
Отыскивать и исследовать основные закономерности решений на основании приведенной математической модели можно только с помощью прямых численных расчетов. Последнее делает практически невозможным целенаправленный поиск оптимальных решений. Поэтому необходимо сформулировать и использовать более простые модели. Их и применяют для построения приближенных аналитических решений.
С помощью этих моделей и с учетом особенностей конструкций термоядерных мишеней построены приближенные аналитические решения движения слоистых систем оболочек при разных способах энерговложения и получены основные закономерности.
Простейшее представление о термоядерной мишени прямого способа энерговложения дает сферическая или цилиндрическая слоистая система, показанная на рис. В.1.
I I
mo mi m2 тз
Рис. В.1
Область то на этом рисунке представляет собой термоядерное топливо. Области mi, mз—тонкие слои из тяжелых веществ; в область 7712 осуществляется энерговложение по закону Q(t).
Основная задача конструирования мишени безударного сжатия — такой подбор закона энерговложения Q (t), чтобы безударным образом сжимать область то.
Расчетно-теоретически доказано, что для практического осуществления безударного сжатия (в плоском, цилиндрическом или сферическом случаях) можно, например, построить слоистую систему (рис. В.1) и произвести определенное энерговложение в область m2 по закону Q^ так, чтобы создать на смежной границе областей то и 7711 необходимые значения скорости и давления для реализации безударного сжатия области то-
Для обоснования последнего утверждения предстоит воспользоваться спецификой конструкции оболочечных систем, предназначенных для кумуляции энергии, и построить приближенную теорию движения этих систем.
Часть I
КУМУЛЯЦИЯ ЭНЕРГИИВ СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ
В данной части рассматривается аналитический метод построения решений в задачах математического моделирования движения слоистых систем. Такие системы исследовались многими авторами [1-30] в связи с кумуляцией энергии и, в частности, с различными проектами осуществления управляемого термоядерного синтеза. Слоистые системы — конструкции из тонких (относительно своих линейных размеров) плоских, цилиндрических или сферических слоев, вложенных друг в друга, — представляют собой типичные примеры микромишеней. Движение их возникает при мгновенном или распределенном по времени вложении энергии в некоторые из слоев, как правило, наружные. Энерговложение в таких системах может осуществляться от внешних источников или от внутреннего энерговыделения. Назначение и подбор слоев состоит в организации кумуляции доли вложенной энергии в геометрический центр системы. Эффективность кумуляции оценивается по величине этой доли энергии.
Построение решения осуществляется поэтапно. На первом этапе рассматривается движение слоев в плоском приближении. Это справедливо, когда толщина слоев много меньше характерного пути их движения, что верно для мишеней. Простейшие варианты слоистых систем приведены на рис. 1.1.
Конструкция (система 1) состоит jW//////////A!
из трех слоев: внутреннего и двух Ш1Ш2Шз
соседних по отношению к немурис
(однокаскадная система).' '
В такой системе допускается отсутствие одного из наружных слоев. Примеры предельных случаев показаны на рис. 1.2. Это прямая мишень (шз = 0) и мишень с обращенной короной (mi = 0, МОК [33]).
Прямая мишеньМишень МОК
I1Ж»1»»11
Ш1Ш2Ш2Шз
Рис. 1.2
Дальнейшее наращивание конструкции слоистой системы может осуществляться двумя способами.
Во-первых, при рассмотрении задачи в сферическом или цилиндрическом случаях внутренняя полость может быть заполнена ве-
ществом малой плотности. Такие конструкции представляют собой типичные примеры термоядерных мишеней для лазерного [34-35] или тяжелоионного [36] синтеза (рис. 1.3, а). Во-вторых, более сложные системы (системы 2) могут строиться из систем 1, разделенных зазорами (двухкаскадная система; рис. 1.3,5).
ж%же=«
тоmim2тз
ЖЖ? ЖЖ 6
mim2тзШ4тз
Рис. 1.3
При вложении энергии в средний (как правило) слой начинается разлет окружающих его слоев. Они получают в основном кинетическую энергию. Из законов сохранения массы, импульса и энергии при определенных предположениях находятся средние скорости этих слоев как функции пройденного пути. В предположении некоторого распределения скорости внутри слоя, в который осуществляется энерговложение, отыскивается лагранжева частица с нулевой скоростью. Этим заканчивается первый этап построения решения.
На втором этапе задача переформулируется как автономное движение части слоев, ограниченных неподвижной границей, которая проходит по найденной на первом этапе лагранжевой частице. В цилиндрическом или сферическом случаях задачу уже нельзя рассматривать как плоскую. Поэтому по отношению к каждой автономной подсистеме заново рассматриваются законы сохранения массы и энергии. С их помощью уточняются скорость схождения внутреннего слоя и величина отобранной им энергии как функция пройденного пути и времени.
На третьем этапе посредством учета градиента скорости по радиусу в малой окрестности центра строится уточненная асимптотика схождения. В случае заполнения внутренней полости газом с малой начальной плотностью построение проводится с учетом сжатия последнего. При этом предполагается, что максимальная энтропия набирается на первой волне, отвечающей максимальной скорости при обжатии газа оболочкой. Затем происходит адиабатическое его дсжатие . В таком предположении можно оценить работу, затрачиваемую на сжатие газа, и включить ее в энергетический баланс движения всех слоев.
Конечной целью исследований является определение величины кумулирующейся энергии и выявление ее зависимости от параметров конкретной конструкции микромишени и способов энерговложения. Знание указанных закономерностей позволяет исследовать различные схемы микромишеней и предварительно отбирать наиболее подходящие по выходным параметрам кумуляции. Это существенно сужает множество вариантов для последующего детального рассмотрения и окончательного вывода.