ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Субмартингал 18

Супермартингал 19

Сходимость в Zp 12

— по вероятности 13

— по распределению 126

— почти всюду 13

— слабая 126

Теорема Дуба об остановке 21

— о сходимости мартингала 20

— предельная 72

— центральная предельная 123

Уравнение Шрёдингера 98

Фильтрация 12

— стандартная 12

Формула Ито 74

многомерная 86

одномерная 74

— Танаки 111

Функционал Фейнмана — Каца 98

Функция выпуклая 137

— гармоническая 24

— Г-простая 9

—Дирака 104

— измеримая 137

— обобщенная 104

— опциональная 29

— предсказуемая 28

— с локально ограниченным изменением 10

— с ограниченным изменением 10

Характеризация броуновского движения 88

— процесса взаимной вариации 80

Предлагаемая книга К. Л. Чжуна и Р. Дж. Уильямс содержит современное и доступное введение в теорию стохастического интегрирования и некоторые приложения этой теории. Авторы систематически изучают стохастические интегралы по непрерывному локальному мартингалу. Принятая общность изложения достаточна для большинства приложений. Более общую теорию стохастического интегрирования и ее историю развития читатель найдет в монографиях [20, Ш, 4П, 5П].

Книга имеет небольшой объем, написана ясно и поэтому представляется очень подходящей для первоначального знакомства с предметом. Ее могут читать студенты старших курсов математических отделений университетов и вузов с повышенной программой по математике. Она полезна начинающим математикам, специализирующимся по теории вероятностей, физикам и инженерам, заинтересованным в приложениях стохастических интегралов.

В книге встречается довольно много ссылок на источники, опубликованные на английском языке. В большинстве случаев мы параллельно делаем ссылки на соответствующие книги, опубликованные на русском языке. Кроме того, приведен дополнительный список литературы, содержащий, в частности, изложение теории стохастического интегрирования. В этих книгах читатель найдет примеры применения излагаемой теории к задачам механики, автоматического управления, теории запасов, радиотехники, теоретической физики и многих других научных и технических направлений.

М. Круглов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержание этой монографии в основном соответствует материалу лекций, которые я читал для студентов старших курсов в Станфордском университете в первом семестре 1981 г. Однако этот материал был перестроен и тщательно отредактирован.

Нашей целью было изложение современного варианта теории стохастического интегрирования, включающего классическую теорию и несколько дополняющего ее. При этом, чтобы не отвлекать внимание читателей, мы лишь слегка касаемся полученных в последнее время результатов, связанных с потерей непрерывности. Откровенно говоря, интегрирование по локальному мартингалу с непрерывными траекториями является важнейшим изучаемым в книге объектом. Однако, чтобы проиллюстрировать общую методологию, мы решили включить некоторые результаты, требующие только непрерывности справа траекторий. Читатель без особого ущерба может пропустить эти обобщения. Основы вероятностной теории, включая мартингалы, конспективно изложены в гл. 1. Подготовленный читатель может начинать с гл. 2 и обращаться к гл. 1 только в случае необходимости. Иногда теоремы формулируются без доказательств, но пояснения, как правило, даются внутри разделов с неизбежным при этом вводным экскурсом. С большим сожалением я решил опустить обсуждение стохастических дифференциальных уравнений. Вместо этого указаны некоторые другие применения стохастического анализа; в частности, подробно обсуждается броуновское локальное время с тем, чтобы заполнить ощутимый пробел в литературе. Обсуждаемые в разд. 8.4 применения к теории запасов основаны на лекциях, прочитанных для моих слушателей Дж.Майклом Харрисоном. Материал разд. 8.5 представляет собой работу Рут Уильямс, получившую завершение в ее диссертации [32].

Приступая к чтению своих лекций, я воспользовался лекционными записками Метивье [21], благо они стали доступными. Позже я также пользовался неопубликованными записками Майкла Дж.Шарпа о непрерывных

стохастических интегралах и Джона В.Уолша о локальном времени. Этим авторам я хочу выразить свою признательность. Некоторые упущения в ссылках здесь были тщательно исправлены. Я надеюсь, что любой промах, допущенный в этой книге, будет замечен читателями.

Методика построения материала в этой книге является главным образом заслугой Рут Уильямс. Равновесие между точностью и удобочитаемостью не всегда легко достигается, и окончательный текст отражает известного рода компромисс между этими крайностями. Как однажды признался мне один хороший автор, достигнуть идеальной согласованности между ними при написании математической книги—даже такой маленькой, как эта—практически нельзя.

Набор книги был осуществлен в Станфордском университете с использованием форматирующей ТЕХ-системы. Катлин Флинн ввела рукопись в компьютер и провела форматирование текста, математических формул и рисунков. Мисс Флинн также отвечала за чтение корректуры, редактирование и фотомонтаж книги и согласование по организации производства с издателем. Художники Станфордского университета, особенно Уильям Терлюин, придали завершенный вид некоторым из рисунков. Особо благодарим Дональда Э.Кнута за использование его ТЕХ-системы и Дэвида Фукса за его щедрые консультации и помощь по многим техническим деталям. Наконец, благодарим всех сотрудников, которые участвовали в обслуживании вычислительного оборудования.

К. Л. Чжун Декабрь 1982

1

Предварительные сведения

Обозначения и соглашения

Для любого интервала / из R = (—оо, оо) символ ^(/) обозначает о-поле борелевских подмножеств из /. Будем писать St вместо ^([0, /]) для каждого ZsR+ = [0, оо) и S вместо S(R+) = V ^/ — наименьшего о-поля, порожденного

St для всех / из R+. Пусть R+ = [0, оо] и ^ — борелевское о-поле в R+, порожденное S и одноточечным множеством {оо}. Меру Лебега на R обозначим X.

Всякий раз, когда / появляется без пояснений, оно понимается как общий элемент из R+. Совокупность {xt, (eR+} часто записывается в виде {хД. Параметр t иногда рассматривается как время.

Обозначим N множество натуральных чисел и будем писать соответственно No и Noo вместо N U {0} и NU {°о}. Всякий раз, когда п, k или т появляются без пояснений, они понимаются как общие элементы из N. Последовательность Vx^, reN} часто записывается в виде {хп}. Говорят, что последовательность вещественных чисел {хД возрастает (убывает), если хп ^ хп+1 (xn^Xn+i) для всех п. Под записью хп\ х(хп | х) подразумевается, что \хп\ возрастает (убывает) к пределу х.

Для каждого d е N обозначим хь l^i^d, компоненты / d X 1/2

вектора хеИ и |х| = 1 У хИ —евклидову норму х.

\i = l /

Индикаторную функцию множества А запишем в виде ]л, т. е. 1 л (х) = 1, если хе А, = 0, если х ^ А. Символ 0 обозначает пустое множество.

Для каждого п обозначим Cn(R) (или просто С") множество всех вещественнозначных непрерывных функций, определенных на R, у которых существуют первые п непрерывные производные. Обозначим C(R) множество вещественнозначных непрерывных функций на R и C°°(R) (или просто С°°) множество П С11 бесконечно дифференцируемых веществен- neN

позначных функций на R.

Слова «положительный», «отрицательный», «возрастающий» и «убывающий» мы используем в широком смысле. Например, «х положительно», означает, что «х 22? 0»; наречие

«строго» добавляется, когда имеется в виду «х > 0». Нижняя грань пустого множества вещественных чисел по определению считается равной оо. Сумма по пустому множеству индексов по определению равна нулю.

Измеримость и ^-пространства

Предположим, что (S, 2) является измеримым пространством, состоящим из непустого множества S и о-поля 2 подмножеств из S. Функция X: S-> Rd называется 2-измеримой, если Х~*(А)е2 для всех борелевских множеств Л из Rd, где X-1 обозначает обратное отображение. Аналогичное определение сохраняет свою силу и для функции X: S->R = = [—оо, оо]. Мы пользуемся записью «Xе2», когда имеем в виду, что «X является 2-измеримой», и «X е 62», когда имеем в виду, что «X ограничена и 2-измерима».

Если Г есть подсемейство 2, то функцию X: S—>■ RJ называют Г-простой, если Х=£с61л для некоторых щ из Rd, множеств Л* еГи пеМ Такие функции являются 2-из- меримыми. Обратно, каждая 2-измеримая функция является поточечным пределом некоторой последовательности 2-про- стых функций. Например, 2-измеримая функция X: S->R является поточечным пределом последовательности 2-про- стых функций {ХД, определенных следующим образом:

6-0

—П2Л

, у (fe + 1) 1

2'1\62“"ПСХ< (й+1) 2“п}

6=-1

и | X" 111X |. Выше мы опустили аргумент у X, как это мы будем часто делать в тексте.

Предположим, что v является (положительной) мерой на (S, 2). Множество из 2, имеющее нулевую v-меру, называется v-нулевым множеством. Для ре[1, сю) символ LP(S, 2, v) обозначает векторное пространство 2-измеримых функций X: S->R, для которых величина

ЦХ||Р = 0|X(s) |pv (ds)^

конечна. Мы используем сокращение «v-п. в.» для обозначения выражения «v-почти всюду». Если идентифицировать v-n. в. равные функции, то Lp(S, 2, v) является банаховым

пространством с нормой || • ||Р. В случае р = 2 оно является также гильбертовым пространством со скалярным произведением (•, •), определяемым следующим образом: (X, Л = = j X(s) Y(s) v (ds) для X и Y из L(S, S, v). Таким обра- s

зом, всякий раз, когда имеются в виду эти пространства, будет подразумеваться, что мы идентифицируем v-n. в. равные функции.

Функции с ограниченным изменениеми интегралы Стилтьеса

По вещественнозначной функции g на R+ полное изменение g на [0, /] определяется следующим образом:

/п— 1

| g к = sup I £ I g (tk + i) — g (tk) I

где верхняя точная грань берется по всем разбиениям 0= = t0 < ti < ... < t« = t отрезка [0, 1]. Полное изменение |g|f возрастает по t. Если |g|t< оо, то говорят, что g является функцией с ограниченным изменением на [0, t). Если это верно для всех t из R+, то говорят, что g является функцией с локально ограниченным изменением на R+, и если sup | g If < оо, то g является функцией с ограниченным из-

менением на R+- (Непрерывная) функция является функцией с локально ограниченным изменением тогда и только тогда, когда она представляет собой разность двух (непрерывных) возрастающих функций (см.1’ Ройден [25, с. 100]).

Функция g, являющаяся функцией с ограниченным изменением на R+, порождает знакопеременную меру ц на <т-поле ^, причем ц((щ b)) = g(b)— g(a) для а < b из R+ и ц({0}) = 0. Мера ц однозначно определяется указанным выше образом, так как интервалы вида (а, 6] вместе с {0} порождают ^. Она является положительной мерой, если g возрастает, и не имеет атомов, если g непрерывна. Полная вариация2’ |ц| меры ц представляет собой меру, связанную с полным изменением |g|. Если /<=Л’([0, /], ^f, |ц|), то интеграл Лебега — Стилтьеса f по g на [0, t\ определяется сле-

!> См. также [2П, с. 335].—Прим, перев.

дующим образом:

5 f(s)dg(s) = fdp =

(О, 010, i]

00 Ч=о00 Ч=о({se[0, ^^^/(sX({se[0, ^^^/(sXг Г

00 Ч=о

00 Ч=о

({se[0, ^^^/(sX

({se[0, ^^^/(sX

hm I > отг^

ии[0, t][0, t]10, f]10, f]^ f^dg^s) ^ ^ |Л^|ц]- Если последний интеграл ко

и

и

[0, t]

[0, t]

10, f]

10, f]

нечен для всех / е [0, Г] и g непрерывна, то ^ f^dg^s)

[о, «1

является непрерывной функцией /е[0, 7] и мы этот интеграл t

обозначаем ^ f (s) dg (s). Если f— непрерывная функция на

[0, /], тогда интеграл Римана — Стилтьеса f по g на [0, /] корректно определен и совпадает с интегралом Лебега — Стилтьеса, т. е.

\ f(s)dg(s) = lim £ f (sk) (g (tk) — g(^-i))(1.1)

[oJnn^°°6=1

для любой последовательности разбиений 0 = /"<<" < • • ■ ... < Гмп = t отрезка [0, /], где sk^Vk-x, /*] и max I/*— ^*—11 —>0 при n-*oo. Если g непрерывна, то

l<fe<Wn t

\f(s)dg(s) также определяется по формуле (1.1), когда /

Непрерывна справа на [0, t) и имеет конечные пределы слева на (0, /] или непрерывна слева на (0, f] и имеет конечные пределы справа на [0, /).

Вероятностное пространство,случайные величины, фильтрация

На протяжении этой книги (й, ^ Р) будет обозначать заданное полное вероятностное пространство. Это означает, что (Q, 1F) представляет собой измеримое пространство, а Р

является такой вероятностной мерой на (Q, ^), что каждое подмножество P-нулевого множества принадлежит ^. Под сокращением «п. в.» для выражения «почти всюду» имеется в виду «Р-п. в.». Символ о) обозначает общий элемент из Q. Прообраз У-1(Д)={со: У(ю)еД} множества Л из Rd (или R) относительно функции У: Q->Rd записывается также в виде {УеЛ}. Символ со в аналогичных выражениях опускается.

Мы пишем Lp вместо Ер ^, 9", РУ Математическое ожи дание для ХеР обозначается Е^^ ^ XdP. В общем слу-

О

чае при Л е ^" символ Е (X; Л) обозначает ^XdP, и, ког- д

да Л имеет вид {У е Д), будем писать Е^Х; У еД).

Случайной величиной или случайным вектором называют ^"-измеримую функцию X; Q’->Rd, если d = 1 или соответственно d ^ 2. Для термина «случайная величина» используется сокращение «сл. в.». Для произвольного множества индексов Г и любых функций Ха из Q в Rd или R символ ст (Уа, «еГ} обозначает наименьшее о-поле таких подмножеств из й, что Ха измерима относительно этого о-поля для каждого ос е Г. Оно называется о-полем, порожденным совокупностью {Ха, аеГ}. Если 8 есть о-подполе ° ^", то его расширение 8~ представляет собой наименьшее о-поле, содержащее 8 и все P-нулевые множества из 9".

Фильтрацией называется семейство ^9"t, ^G R+} таких о-подполей что 9" s cl 9"t для всех s < t из R+. Семейство \9~t, / е R+) называется стандартной фильтрацией, если, кроме того, выполнены следующие два условия:

9"t = 9"t+ = A 9"s для всех t;

s> t

9"0 содержит все P-нулевые множества из 9".

Условия (i) и (ii), выражающие собой соответственно непрерывность справа и полноту, не являются необходимыми, но значительно упрощают рассуждения в техническом отношении. Мы часто опускаем «t <= R+», когда говорим о фильтрации, и используем обозначение ^9"^.

1.5 Сходимость, условность

Ниже мы рассмотрим некоторые из основных понятий вероятностной теории. Предполагается, что читатели знакомы с элементарными свойствами сходимости в Lp, по вероят-

*> о-подполем называется о-поле, содержащееся в основном о-поле 8". — Прим, перев.

ности (по вер.) и почти всюду (п. в.), а также со свойствами равномерной интегрируемости (р. инт.) и слабой сходимости (сл. сх.). См., например1), Чжун [2, гл. 4]. Ради удобства дальнейших ссылок мы сформулируем следующее предложение.

Предложение 1.1. Пусть ре[1, оо) и ^ХпА—последовательность случайных величин из Lp, которая сходится по вер. или п. в. к случайной величине X. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

VXn\ сходится в Lp к X.

(и) {| Хп |р} равномерно интегрируема.

(ш) lim£(|A„|p) = £(|X|p).

fl->O0

Более того, если любое из следующих двух условий выполнено, то справедливы импликации (i)->(iii).

sup£(] Хп I’) < оо для некоторого q, p<q. п

Существует сл. в. YeL3, такая, что |Х„|^У для всех п.

Предполагаются известными основные свойства условного математического ожидания (условной вероятности). См., например21, Чжун [2, гл. 9]. Условное математическое ожидание X е £1 относительно о-подполя 9 основного су-поля 9" обозначается £(A'|S). Оно является представителем класса эквивалентности ^’-измеримых сл. в., удовлетворяющих условию

£(£(A’|S); А) = £(Х; Л)

для всех Л е S’. Следующее предложение приводится для последующих ссылок.

Предложение 1.2. Предположим, что {Х„} сходится в Lp к XgL" при некотором ре[1, оо). Тогда для любого а-под- поля 9 основного о-поля 9* последовательность {£(A„|S)} сходится в Lp к E^X\^Y

Доказательство. Предложение вытекает из неравенства Йенсена для условных математических ожиданий (Чжун [2, теор. 9.1.4]), которое влечет за собой

£(|Е(Хп |^) -£(A|S)|P) <£(£(| Xn-X\p\^h =

= Е(\Хп-Х\р}. |

*’ См. также [6П, гл. 4 и 5]. — Прим, перев.

2) См. также [6П, гл. 7].—Прим, перев.

Стохастические процессы

Функция X: где / — интервал из R+ и X является ^-измеримой для каждого t е I, называется d-мерным ^стохастическим) процессом. Если размерность не имеет значения или предполагается известной, то определение «rf-мерный» опускается. Процесс X называется измеримым, если X является ^(/)Х ^"-измеримой функцией. Мы говорим, что X имеет начальное значение xeRd, если 0е1 и Х(0, -) = х п. в. Процесс X также обозначают {^о tel) или просто {ЛД, когда / —R+. Случайная величина (вектор) XU, •) также обозначается X^t} или Xt. Если дано возрастающее семейство о-полей \9"t, tel} на Q, то процесс X называют согласованным1) с этим семейством, если XteSFt для каждого tel. Говорят, что процесс }Xt, tel} непрерывен (спра- ва/слева), если отображение t-^-X)t, со) непрерывно (спра- ва/слева на / для каждого со е Q. Разумеется, непрерывность (справа/слева) в правой (левой) конечной точке из I не определяется.

Два набора случайных величин (или векторов) Х = = \Ха, а е Г} и У = {Уа, а е Г} с общим множеством индексов называются модификациями один другого, если Р (Ха = — Уа)=1 для всех а е Г. Мы скажем, что X и У неразличимы, если Р)Ха = уа для всех осеГ)=1. Два набора, являющиеся модификациями один другого, не обязательно являются неразличимыми. Однако если X и У представляют собой модификации друг друга и Г счетно или X и У являются непрерывными справа (слева) процессами, то они неразличимы. Для всех практических целей неразличимые процессы можно рассматривать как один процесс. Например, если в нашем определении непрерывных процессов мы потребуем только, чтобы почти все траектории были непрерывны, то такой процесс будет неотличим от процесса, у которого все траектории непрерывны. На самом деле мы иногда будем доказывать, что на дополнении P-нулевого множества существует непрерывная модификация данного процесса. Тривиальным образом модификация доопределяется так, чтобы она стала непрерывной на всем Q. Такая модификация определяется однозначно с точностью до свойства неразличимости. Сказанное выше будет верно, если мы заменим непрерывность непрерывностью справа.

С этого момента и далее термин процесс обозначает одномерный процесс с 1 = R+, если не оговорено противное.

Марковские моменты

Марковским моментом) относительно _фильтрации {^"t} называется ^-измеримая функция т: Q->R+ тогда и только тогда, когда {x^Tje^f для каждого 1eR+. Если {^<} представляет собой стандартную фильтрацию, так что 9^ = = ^t+, то условие на т эквивалентно условию {т</)е£Гг для каждого t.

С марковским моментом т связывают о-поле 9" х. Оно состоит из всех множеств Л из 9" ^ = V 9" t, удовлетворяющих условию

ЛП{т^/}е^"; для всех /eR_.

Мы оставляем в качестве упражнения проверку того, что 9"х представляет собой о-поле, а ел. в. т является .^-измеримой и более того, что если ц есть такой марковский момент, что т| ^ т, то 9"^ <= 9"-с.

Два канонических процесса

Пуассоновский процесс. Процесс N = {Nt, <eR+) называется пуассоновским процессом, если он обладает следующими свойствами:

Мо = О;

(И) для 0 ^ s < / < оо разность Nt— Ns является пуассоновской сл. в. со средним а(1 — s), т. е. Nt — Ns принимает значения в No так, что

Р (Nt -Ns = n)= (а (/~ s^ е"“ u~s)

для каждого n е No;

(Hi) для 0 ^ /0 < ^ < ...</;< оо множество сл. в.

6=1.21} независимо.

Любой пуассоновский процесс имеет модификацию с непрерывными справа траекториями* (это легко вытекает из теоремы 3, Чжун [2, с. 29]). Мы всегда будем использовать именно эту модификацию. Траектории пуассоновского процесса почти всюду постоянны, за исключением точек единичной величины скачков вверх, которых в каждом конечном временном отрезке имеется конечное число, но бесконечно

NtMANtMA1 - ♦1 - ♦о ।—©- Тоо ।—©- То. I .. -То+П. I .. -То+ПIТо + И + Т?IТо + И + Т?

NtMA

NtMA

1 - ♦

1 - ♦

о ।—©- То

о ।—©- То

. I .. -

То+П

. I .. -

То+П

I

То + И + Т?

I

То + И + Т?

Рис. 1.1.

много содержится в [0, оо). Временные промежутки между последовательными скачками независимы и экспоненциально распределены с параметром а. Таким образом, если Тп есть время между л-м и (п+1)-м скачками, то Р^ТП">^ = — ехр(—at) для каждого t. Типичный пример траектории мог бы выглядеть, как указано на рис. 1.1. Стандартная фильтрация V^4> связанная с пуассоновским процессом, определяется следующим образом: 9" t = <r{Ms, 0 ^ s ^ t}~ для t е R+, где включение P-нулевых множеств из 9" в 9" t гарантирует, что '9"t=9't+. Мы всюду будем использовать эту фильтрацию, когда будем иметь дело с пуассоновским процессом.

Броуновское движение. Процесс В = {В/, t г R+} называется броуновским движением в R, если он обладает следующими свойствами:

для 0 ^ s < / < оо сл. в. Bt — В$ нормально распределена с нулевым средним и дисперсией t— s;

для 0 ^ t0 < t\ < ... < ti < оо множество сл. в. {^ вч-вч_х,

независимо.

Броуновским движением в Rd называется d-набор

В = {В; = (вк Вь .... В1), leR<.\

где каждое В1 = ^Вь <eR+}, z = 1, 2, d, является броуновским движением в R и В‘ независимы в совокупности. Мы опускаем указание «bR^», когда размерность броуновского движения не существенна или предполагается известной. Мы используем Рх и Ех для обозначения вероятности и математического ожидания, связанных с броуновским Движением В, ДЛЯ которого Во = X п. в.

Из свойства (i) для каждой из независимых компонент броуновского движения В следует, что распределение В< — В$ зависит только от разности /— s. Это свойство называют однородностью по времени. Далее, если В0 = х п. в., тогда переходная вероятность записывается в виде

Pt (х, Л) = Рх (В, е Л) = рЫрй- J exp (- | х - у f/20 dy

A

для любых t > 0, xe Rd и борелевского множества Л из Rd. Следовательно,

Pt (^о + х, х0 + Л) = Pt (х, Л) для любого х0 е Rd.

Это свойство называют пространственной однородностью. Отмеченное выше свойство (и), которое, конечно, выполняется и в том случае, когда В заменяют на В при d> 1, выражает свойство независимости приращений броуновского движения.

Хорошо известно» (см., например, Чжун [3, с. 145]), что каждое броуновское движение имеет модификацию с непрерывными траекториями. Мы всегда будем использовать именно такую модификацию. Как и в случае пуассоновского процесса, существует связанная с броуновским движением стандартная фильтрация. Она определяется следующим образом: STt = o{Bs, 0 ^ s ^ tp для каждого t. Мы будем использовать эту фильтрацию, когда будем иметь дело с броуновским движением, и относительно нее определять марковские моменты.

Одним из основных свойств броуновского движения является строго марковское свойство. Неточно говоря, оно утверждает, что при известной истории броуновского движения В вплоть до некоторого конечного марковского момента т поведение В после этого момента зависит только от т и состояния Bt броуновского движения В в момент т. Более точно, если f: R'M-R является ограниченной измеримой по Борелю функцией и т — некоторый марковский момент, то

е (1 Mt (вт+а 1 ^т)=1 ^е^ у №

Если Л — произвольное борелевское множество из Rd, то

Тд = inf (z > 0: В( ^ Л]

представляет собой марковский момент»; Чжун [3, с. 92].

1.9 Мартингалы

В этом и следующем разделах {^"<, te R+} обозначает фильтрацию, и марковские моменты определяются относительно {^}.

Процесс М = {М/, 9" t, /eR+} называется мартингалом-. тогда и только тогда, когда

Mt е Л1 для каждого /,

Ms = E^Mt^s) для всех s < t.

Равенство (ii) означает, что Ms является представителем класса эквивалентности ^-измеримых сл. в., каждая из которых выступает в роли условного математического ожидания Mt относительно 9" s. Мы назовем М субмартингалом тогда и только тогда, когда знак равенства в (ii) заменяется знаком «^», и супермартингалом тогда и только тогда,, когда знак равенства заменяется знаком «^». Это условие будет упоминаться как (суб/супер) мартингальное свойство,, когда М является (суб/супер) мартингалом. Мы часто будем опускать фильтрацию (и/или ;eRJ в обозначении, когда она предполагается известной; например, запись «М = {MJ есть мартингал» означает, что М = (М,, 9t, ZeR+} является мартингалом.

При ре[1, оо) процесс М называется Lp-мартингалом тогда и только тогда, когда он является мартингалом и Mt е Lp для каждого t. Мы скажем, что М является Ер-огра- ниченным, если sup Е(| Mt |р) < оо.

Мартингальное свойство сохраняется для /.р-пределов, когда 9"о является полным. Более точно мы имеем следующее

Предложение 1.3. Пусть ре[1, оо). Предположим, что {М?, 9" t, t е R+} является Lp-мартингалом для каждого пеМ и Mt сходится в Ер к Mt при п-> оо для каждого t. Если 9"о является полным, то {Mt, 9"t, t е R+) представляет собой Ер-мартингал.

Доказательство. Достаточно проверить условие (ii) в определении мартингала. Фиксируем s < t из R+. Для каждого п выполняется равенство

М" = Е (.Ml \ 9"s\ (1.2)

По предположению левая часть этого равенства сходится в Ер к М5, а по предложению 1.2 правая часть сходится в Ер к £(MJ^"S). Следовательно,

Ms = Д (Мг | ^) П. в.

Отсюда заключаем, что Ms е 9'$, и если ^0 является полным, то условие п. в. может быть снято. ■

Данное выше определение является определением мартингала с непрерывным параметром IeR^ Иногда мы будем упоминать мартингалы с параметром / из некоторого подмножества R+ (например, подынтервала или дискретного множества точек). Они определяются путем ограничений, условий (i) и (ii), входящих в определение, на это подмножество. Теория мартингалов с непрерывным параметром обсуждается •> в работе Чжун [3, разд. 1.4]; она основана на теории мартингалов с дискретным параметром, которая излагается в работе Чжун [2, гл. 9].

Если М = {М/, 9~ t, / е R+} — мартингал, то легко проверить, что Мг = {2И<дг, 9" t, ZeR+} является мартингалом! для каждого постоянного Т е R+, и отсюда следует, что Мг оказывается равномерно интегрируемым, так как Mt^т = = E(MT\9"tY Если Т заменить ограниченным марковским моментом т. то верен аналогичный результат (следствие 1.7(H)) при условии, что М имеет непрерывные справа траектории и фильтрация является стандартной. Фактически многие полезные теоремы о мартингалах с непрерывным параметром" включают в себя эти предположения.

Мартингал М = ^Mt, 9" t, / е R+} называется непрерывным (справа) тогда и только тогда, когда

{/Г,, ZeR+) является стандартной фильтрацией и

все траектории мартингала (Mt, / е R+) непрерывны (справа).

Пример 1. Пусть М = {Мд (еЩ)— пуассоновский процесс с параметром а>0 и (9"t)—соответствующая стандартная фильтрация. Тогда {М<— at, 9"t, t е R+) является непрерывным справа D’-мартингалом для каждого />е[1,оо).

Пример 2. Пусть B—^Bt, ZeR+)— броуновское движение в R с Во е Lp для некоторого р е [1, оо) и пусть (9"/} — стандартная фильтрация, связанная с В. Тогда {5д 9"t, t е R+} является непрерывным D’-мартингалом. Более того, если. р ?$: 2, то Vt-t, 9" t, tе R+} представляет собой непрерывный //“-мартингал.

Если М является мартингалом и упомянутое выше условие (i) выполнено, то существует непрерывная справа модификация М (см. Чжун [3, с. 29, теор. 3|. Однако нет необходимости иметь именно непрерывную его модификацию.

*> См. также [4П, гл. 2—6].—Прим, перед.

Некоторые основные результаты из теории мартингалов приводятся ниже.

Теорема 1.4. Пусть рЕ[|, оо) и М — непрерывный справа Lp-мартингал. Тогда для любых t и с ^ 0

срР( sup |AIs|>^<£f|A'li|p; sup |ЛД|>с\(1.3)

Если p > 1, to sup | Ms | e Lp и 0<s< t

sup |ЛД||| <?||A1J|P(1.4)

Для каждого t, где — 4- — = 1. p q

Доказательство V). Неравенство (1.3) следует из теоремы 9.4.1 работы Чжун [2], если ее применить к субмартингалу |Л4(Р, рассмотренному на конечном числе временных точек, и затем перейти к пределу так, чтобы множество этих точек становилось плотным в [0, (]. Аналогичным образом (1.4) следует из теоремы 9.5.4, Чжун [2], примененной к положительному субмартингалу |Л1|. 1

Неравенство (1.4) будем называть неравенством Дуба. "В случае дискретного параметра при р = 1 оно заменяется более сложным результатом (Чжун [2, с. 355]).

Теорема 1.5 (теорема о сходимости мартингала). Пусть ре е[1, оо) и М — непрерывный справа Lp-ограниченный мартингал. Тогда существует сл. в. МхеЬр, такая, что НтЛД = £->оо

= М^ п. в. Более того, если выполняется одно из следующих условий:

1) р=1 и мартингал (Мъ leR.J равномерно интегрируем,

(п) р > 1,

то VMt, Tt, t е [0, оо]} представляет собой L -мартингал, где 9^ = М =Ft и EWMmEW).

t е R_|_i ^оо

Доказательство. Существование сл. в. MxeD, такой, что limM< = МЮ п.в. вытекает из следствия' 2 (Чжун [3,с.27]). / ->оо

По лемме Фату имеем

SdAf» |р)< liminf£(|44n|pX sup £( | Mt |р) < оо. (1.5) 71—^ ооt Е Р ।

О По поводу доказательства этой и следующей теорем см. также [4П, § 3, гл. 2]. — Прим, перев.

Если одно из условий (1) или (И) выполнено, то из предложения 1.1 следует, что Мп сходится в £* к М*, когда п-*оо. Далее, для п > t имеем

и, устремляя п-^-оо и воспользовавшись предложением 1.2, получим

M^Ed^]^).(1.6)

Так как Мм = lim Mt п. в. и о-поле ^^ является полным, t А оо

то мы имеем Д-ДеДД. Таким образом, {Д'Д 9"t, / е [О, оо]} является Ер-мартингалом. Следовательно, {I АД |р, 5Д* / е [0, оо]} представляет собой субмартингал и поэтому

lim f £(1.4^) = sup Ed^n^Ed^D. t A COIe. R_|_

Комбинируя это с (1.5), мы видим, чго последнее неравенство на самом деле оказывается равенством. 8

Теорема 1.6 (теорема Дуба об остановке). Пусть ре[1, оо) и М — непрерывный справа Lp-ограниченный мартингал. Предположим также, что М является равномерно интегрируемым, если р = 1. Пусть Мае — сл. в. из теоремы 1.5. Предположим, что Г е R+w {it Д е Г}—возрастающее семейство марковских моментов. Тогда {ЛЦ, 9Др / е Г] представляет собой Ер-мартингал и процесс {| МТ/ |р, t е Г} равномерно интегрируем.

Доказательство. По теореме 1.5 процесс {ЛД STt, /^[0, оо]} является Ер-мартингалом и выполняется (1.6) для всех t. Из теоремы 4, Чжун [3, с. 30], следует, что для любых двух марковских моментов1* ц ^ о сл. в. ЛД и Мо принадлежат D и ТИц = Е (Л10'| ДД). Положив т] = т$ и о = xt при s < / из Г, убедимся, что {Л1Т/, ^\, ^G Г} обладает мартингальным свойством. С другой стороны, если положить ц =т< для 1еГ и о — оо, то по неравенству Йенсена для условных математических ожиданий получим

| М,, Г = IЕ (М„ I ST,,) Г < Е (I М„ |- | ^.,).

Отсюда следует, что АД е Lp для каждого / Е Г и множество сл. в. { |АД1 р, /еГ] является равномерно интегрируемым. |

См. также [4П, с. 36]. — Прим, перев.

Следствие 1.7. Пусть ре[1,оо) и М— непрерывный справа Le-мартингал.

Если Г с R+ и {tz, <еГ} — возрастающее семейство марковских моментов, такое, что sup т< 7 для некоторого t е Г

ТеР., то ^Mlt, 9"X[teY^ представляет собой Ьр-мартингал и процесс 11 Мг/ |р, /е Г} равномерно интегрируем.

Если г — марковский момент, то V^t м, 9"t, /eR+) является Lp-мартингалом. Более того, если марковский момент т ограничен, то процесс {|М/дг|р, <eRTj равномерно интегрируем.

Доказательство. Утверждение (i). Так как Mt /хт = Е (MM9"t) и MteLp, то {М/дт, 9" t, / е R+} удовлетворяет предположениям теоремы 1.6. Поэтому заключение в (i) выполняется, так как т( Л 7 = xt.

Утверждение (ii). Воспользуемся утверждением (i) с т< = = / Л т для /еГ = [0, 7] и фиксированным 7 е R+. Так как 7 — произвольное число, то мы заключаем, что {М<дт, 9" t дт, leR+} является //-мартингалом. Мы оставляем в качестве упражнения проверку того, что 9"t\x может быть заменено на 9" t. Если марковский момент т ограничен числом Т, то утверждаемая равномерная интегрируемость вытекает из того, что она имеет место на [0, 7]. б

1.10 Локальные мартингалы

Процесс М = {Мг, 9"t, ^ R+} называется локальным Lp-мартингалом при ре[1,оо) тогда и только тогда, когда

Мо является ^-измеримой сл. в.,

существует последовательность {т*, & е N} марковских моментов, такая, что тй f оо п. в. и для каждого 1г

Mk = ^Mt д ч - Мо, 9*t, teR+y(1.7)

представляет собой ТАмартингал.

Последовательность {т*} называется локализующей последовательностью для М. При р = 1 мы опускаем определение «Ер». Если Mt = Мо е 9"о для всех t, то М является локальным мартингалом в соответствии с приведенным выше определением. Менее тривиальный пример представляет броуновское движение в R с произвольной начальной сл. в. и обычной фильтрацией 9" t = o{Bs,0 ^ s ^ Д . Данное выше определение мотивировано примерами, когда начальная сл.в. Мо не удовлетворяет каким-либо условиям интегрируемости.

Мы обычно будем опускать фильтрацию \9" t\ в определении локального мартингала.

В своем определении локального мартингала Делашери и Меер [8, с. 94] требуют, чтобы мартингал Мк был равномерно интегрируемым для каждого к. Это не является более •сильным ограничением по сравнению с условием (ii), ибо если {ЛДлтй — Мо, t е R+} — мартингал, то {М<^ч- Мо, /eR+} представляет собой равномерно интегрируемый мартингал.

Локальный //-мартингал /И = (АД, 9" t, te R+} называется непрерывным (справа) тогда и только тогда, когда

(0 {^, I е R+} — стандартная фильтрация и

все траектории мартингала М непрерывны (справа).

Ясно, что //-мартингал (р г [1, оо)) является локальным //-мартингалом. Ниже приводятся условия, гарантирующие •обращение этого утверждения.

Предложение 1.8. Пусть ре|1, оо) и М— локальный Ьр-мар- тингал с локализующей последовательностью (тД. Если для -каждого /0 последовательность сл. в.

{|М/дт^|р, к е N) равномерно интегрируема, (1.8) то М представляет собой Ер-мартингал. Обращение справедливо при условии, что процесс М непрерывен справа.

Доказательство. Предположим, что условие (1.8) выполнено. Тогда при / = 0 мы имеем, что |ЛД|е// и, следовательно, {Л40, 9" t, t е R+} является //-мартингалом. Отсюда вместе с (1.7) следует, что{ЛДдт6, 9"п / е R+} представляет собой Д₽-мартингал. Далее, из того факта, что lim Mt = ^t &->оо

л. в., условия равномерной интегрируемости (1.8) и предложения 1.1 следует, что эта сходимость также имеет место' и в Lp. Так как М, е 9" t для каждого t, то отсюда следует, аналогично тому как это доказывалось в предложении 1.3, что {Л4д 9"I, t г R+} есть //-мартингал.

Если М является непрерывным //-мартингалом, то из -следствия 1.7(i) вытекает, что для каждого t последовательность {|Л/Р|<дт&, к е N} равномерно интегрируема. |

Если М — непрерывный локальный мартингал, то существует естественный выбор локализующей последовательности для М, который показывает, что М представляет собой локальный //-мартингал для любого рЕ[1, оо). Эта последовательность определяется ниже.

Предложение 1.9. Предположим, что М— непрерывный локальный мартингал, и положим т^ = inf {Z > 0: |ЛД— ЛД|> > &} для каждого k е N. Тогда М является локальным.

Ьр-мартингалом для каждого ре[1, оо) и {т*} представляет собой локализующую последовательность для него.

Доказательство. Пусть {<тп} — локализующая последовательность для М, такая, что {ЛДдап — Мо, / е R+J представляет собой непрерывный мартингал. Тогда по следствию 1.7(ii) процесс {^Лт&лап — А?о, / е R+j является мартингалом для любых к и п. По определению т* вышеупомянутый процесс ограничен числом к. Следовательно, по предположению 1.8 (с заменой тк на оД М* = {М/дтА — Al0, еНт| является мартингалом. Таким образом, {т/J представляет собой локализующую последовательность для А1, так что мартингал АН' ограничен для каждого к и, следовательно, принадлежит L" для каждого ре[1, оо). I

Мы завершим обсуждение локальных мартингалов разбором примера ^-ограниченного локального мартингала, который не является мартингалом.

Пример. Пусть В = {В;, ZeR+} обозначает броуновское движение в R3. Определим /г: R3\{0}->R, положив к (х) = = | х Г1 для х е R3 \ {0}. Обозначим тк = inf {f > 0: | В< | ^ \[к^ для каждого к е N. Тогда {тД является возрастающей последовательностью марковских моментов относительно фильтрации {5^}, соответствующей В, и тк f оо п. в., так как

Р {В( = 0 для некоторого / > 0} = 0.

Функция к является гармонической в R3\{0}, и ее область, определения содержит

Dk = {х : \ х\> 1/^} для каждого к.

Определим функцию gk на замыкании Dk множества Dk по правилу gk (х) = Ех (/г (BTfc)) для каждого хеОк, где Е^ обозначает математическое ожидание при условии, что В0 = х п. в. На основании сильно марковского свойства и сферической симметрии В функция gk обладает свойством среднего значения, согласно которому ее среднее значение по поверхности любого достаточно малого шара с центром в хеО^ равно ее значению в точке х. Отсюда следует, что gk гармонична в Dk, и можно показать, что она непрерывна в Dk с граничными значениями, равными значениям к. По принципу максимума для гармонических функций gk = к в Dk для всех к. Для 6 е N и х е Dk и каждого фиксированного t имеем

£’ (» (В,,) ЦТ,) - 1(В, Л ,,) + 1 (,,„)£- (4 (В,,) | ST,).

По строго марковскому свойству на {т* > /} имеем E\h IM^tW^t (к (ВЧ)) = ^(В/).

Так как gk = h в Dk, то, комбинируя выписанные выше соотношения, получим

£Щ(В.е)|ЗГ,)-»(В,л,,).

Предположим, что Во = л'о У- 0. Для всех достаточно больших к, л'оeD; и в силу сказанного выше заключаем, что {^(В/дт^), е R+j является ограниченным мартингалом. Отсюда следует, что {/z(B<), /е R+} представляет собой локальный мартингал. Но он не является мартингалом, так как

ЕхЛШ^ЕхЧк (Во)) = ^о

для всех достаточно больших t в силу следующих вычислений. Для / > 0 и R > 21 х01 имеем

Ех” (h (В а) = (2л/)-3 -| у г V y-Vo рdy <

<(2л/Г3Ч \yfxdy + l^r'e'^'^dJc liyi<«iyi>z?J

- CxR2C2

(2л/)3'2R "

Здесь у e R3, а С; и C2 — постоянные, независящие от t и R. Отсюда следует, что lim EX1 (Л(Ва) = 0, если устремить /~>оо,

а затем R -> <х>.

Аналогичные вычисления показывают, что h (Ва е Л2 для- каждого /, и более точные оценки дают, что

sup£x"{(A(Ba)2} < 00•

Соглашение. В оставшейся части этой книги {^"д / е R+) будет обозначать стандартную фильтрацию и, если не оговорено противное, марковские моменты и согласованные процессы будут определяться относительно {^”J.

2

Определение стохастического интеграла

Введение

В этой главе мы определим стохастические интегралы вида XdM, где М— непрерывный справа локальный [о, Л

£2-мартингал и X — процесс, удовлетворяющий некоторым предположениям измеримости и интегрируемости, так что семейство стохастических интегралов f ^ XdM, / е R+1 ока-

жется непрерывным справа локальным £2-мартингалом. Для некоторых М и X интеграл может быть определен потраек- торно. Например, если М есть непрерывный справа локальный £2-мартингал, траектории которого суть функции с локально ограниченным изменением, и X — непрерывный согласованный процесс, то ^ Xs (со) dMs (со) корректно определен

(О, я

как интеграл Римана — Стильтьеса для любых / и оз, именно как предел при п-*оо сумм

2 Хк2"П (“) №+1) 2"" (“) - Мк2- (®))' к = 0

■Стандартный пример потраекторного интеграла получается, если положить Mt = Nt — а/, где N— пуассоновский процесс с параметром а > 0. В этом случае для любого непрерывного согласованного процесса X имеем

$ Xs (со) dMs (со) = У 1 {т& < ^Хч (со) — а Xs (со) ds, [0, t]6 = 1о

где та — момент fe-го скачка процесса N и для каждого фик- ■сированного t сумма справа п. в. имеет конечное число отличных от нуля слагаемых, так как п. в. существует только конечное число скачков у N в [0, t\.

Стохастический интеграл, определяемый ниже, имеет .смысл даже тогда, когда М не имеет траекторий, являющихся -функциями локально ограниченной вариации. Произвольный не являющийся постоянным непрерывный локальный мартингал является именно таким, как М; каноническим примером служит броуновское движение В в R. Даже простой интеграл

в смысле Стилтьеса не может быть определен потраекторно, так как почти каждая траектория броуновского движения является функцией неограниченной вариации на каждом временном интервале1) (см. Фридман [12, с. 49]). На самом деле развиваемый здесь стохастический интеграл известен как интеграл Ито, когда М— броуновское движение, и не может быть определен потраекторно, а определяется посредством изометрии между пространством процессов X. интегрируемых по мере, порождаемой М, и пространством квадратично интегрируемых стохастических интегралов XdM.

В качестве путеводителя для читателя мы предлагаем следующую схему отдельных этапов в определении стохастического интеграла.

Прежде всего будут уточнены условия измеримости X. При этом мы примем современную точку зрения на X как на функцию, определенную на R+XQ, и потребуем, чтобы она ■была измерима относительно о-поля 5я, порожденного простым классом 91 «предсказуемых прямоугольников». Хотя это определение измеримости интегрируемых функций не является особенно наглядным, оно удобно при расширении развитого интеграла. Более того, мы докажем в теореме 3.1, что класс ^-измеримых функций включает все непрерывные слева согласованные процессы.

После обсуждения о-поля 9 мы рассмотрим случай, когда 44 является непрерывным справа /Амартингалом. На 9 будет определена мера ц.ч, связанная с 44, и затем мы определим интеграл XdM в три этапа.

[о, И

X dM будет определен для любого ^-простого процесса X таким образом, что выполняется следующее свойство изометрии:

е{(^^)2{ = (АТФИ.

Затем эта изометрия будет использована для рас !пространения ^Xd44 на случай любого X е $- = E2(R+X^, 9, им).

Для любого процесса X, удовлетворяющего условию 1[0 f]X е S’2 для каждого ZeR + , будет показано, что су-

О См. также [7П, с. 94], где, в частности, содержится критерий того, чтобы сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями имел траектории ограниченной вариации на данном интервале. — Прим, перев.

ществует модификация процесса {^п t\XdM, ZeR+|, обозначаемая j ^ X dM, /ек+1, которая представляет colic, иJ

бой непрерывный справа Е2-мартпнгал.

Наконец, будет получено расширение интеграла с использованием некоторой последовательности марковских моментов, возрастающей до бесконечности, на случай, когда М является непрерывным справа локальным /Хмартингалом, а А' «локально» принадлежит S’2. Упомянутое определение стохастического интеграла будет применено к процессам, получаемым путем остановки М — Мо и X в какой-либо один из этих марковских моментов, и затем интеграл для М и А' будет определен как предел в смысле сходимости почти всюду, когда марковские моменты стремятся к бесконечности.

Теперь мы начнем осуществлять намеченную выше программу с определения о-поля ^

Предсказуемые множества и процессы

Семейство подмножеств из XXQ, содержащее все множества вида {0} Xfo и (s, /]Х F, где Fo е 9" й и F ^Э7 s при s С t из R+, называется классом предсказуемых прямоугольников и обозначается 9. (Булево) кольцо ^, порожденное ^, является наименьшим семейством подмножеств из R+X.^. которое содержит 9 и обладает свойством, что если Ax^s^ и Л2 е ^, то их объединение Л10Л2 и разность Л1\Д2 принадлежат -X. Можно проверить, что ^ состоит из пустого множества 0 и всех конечных объединений непересекаю- щихся прямоугольников из 9. Назовем сг-поле 9 подмножеств из R+X^, порожденное 9, предсказуемым, cr-полем и множества из 9 предсказуемыми (множествами). Функция X; R+XQ->R называется предсказуемой, если она является ^-измеримой. Это будем указывать следующим образом: X е 9. Если множество Л принадлежит 9, то функция 1^(6 •) является ^-измеримой для каждого t и, следовательно, 1 Л представляет собой согласованный процесс и таким же является процесс l.-ic> где Ас обозначает дополнение А. С помощью образования линейных комбинаций убедимся, что то же самое верно для любого А из поля, порожденного 9, и затем с помощью рассуждений, связанных с понятием монотонного класса1) (см. Чжун [2, с. 18]), убедимся, что это верно для любого А из 9. Так как любая ^-измеримая функция является поточечным пределом конеч-

11 См. также [14, гл. 1, § 6]. — Прим, перев.

ных линейных комбинаций индикаторных функций множеств из S9, то отсюда следует, что она является согласованным процессом. Такая функция будет называться предсказуемым процессом.

Замечание. При систематическом изучении теории процессов, по-видимому, более естественно рассмотреть cr-поле и предсказуемые процессы, определенные на (О, оо)ХЙ. Однако мы находим удобным иметь дело с процессами, определенными в нулевой момент. Следствие, которое большой самостоятельной роли не играет, состоит в том, что нулевой момент времени и множества типа {0} X fo иногда требуют несколько отличный подход при их изучении.

Ниже показано, что для любого марковского момента т множество

[0, т] = {(/, co)eR+X^: О^/^т(со)}

является предсказуемым множеством. Такне «интервалы» играют важную роль на конечной стадии при определении стохастического интеграла.

Стохастические интервалы

Для марковских моментов ц и т множество

h, T1 = W, феР + Х": п(®Х^<т(ю)} называется стохастическим интервалом. Три других стохастических интервала (ц, т], (ц, т) и [ц, т) с левой конечной точкой г, и правой конечной точкой т определяются аналогично. Термин стохастический интервал будет относиться к любому из этих четырех видов интервалов, где г] и т — произвольные марковские моменты. Заметим, что стохастические интервалы являются подмножествами R+X^, но не R+X^; следовательно, (оо, е») никогда не является представителем таких множеств, даже если т(и)=оо. Можно также специально не предполагать, что т| ^ т, но по определению пересечение [ц, т] с R+X {to: л > т} представляет собой пустое множество.

Назовем о-поле подмножеств из R+X^, порожденное классом стохастических интервалов, опциональным сг-полем и обозначим его О. Функция X: R+XQ->R называется опциональной тогда и только тогда, когда она является O'-измеримой. Если А — стохастический интервал, то функция 1Л (1, •) является ^-измеримой для каждого f, так как концевые точки А суть марковские моменты. Отсюда следует, как и для предсказуемых функций, что любая опциональная функция является согласованным процессом, и каждую такую функцию будем называть опциональным процессом.

Теперь мы исследуем связь между 9s и О. Каждый предсказуемый прямоугольник вида (s, f\XF. где Fe9s и s<t из R+, является стохастическим интервалом вида (гр т] с T]^s, t = s на Q\F и т-л на F. Аналогично, для Fo е 9"й имеем {О}Х^о= П t°> TJ- где

0 на Q\F0

является марковским моментом для каждого п. Отсюда вытекает, что ЙсО у, следовательно ^ссО, так как 91 порождает 9. В следующей лемме мы покажем, что некоторые типы стохастических интервалов оказываются предсказуемыми множествами.

Лемма 2.1. Стохастические интервалы вида [0, т] и (тр т] являются предсказуемыми множествами.

Доказательство. Так как (тр т] = [0, т]\[0, ц], то достаточно доказать, что стохастический интервал вида (О, т] предсказуем. Для этого мы используем стандартную аппроксимацию т возрастающей последовательностью {тд} счетнозначных марковских моментов, определяемых следующим образом: тп = 2~п [2пт + 1]. Так как т„ j т, то [0, т] = Q [0, тп]. Для) п каждого п имеем

[о, тп] = ({0}ХЙ)и ( U (*2"", (^+1)2-ДХ{т>й2-Д).

Здесь {т ^ &2-п} = й\{т < /г2-"} е 9"к2_п, так как т является марковским моментом. Отсюда следует, что [0, т] е 9. 1

Стохастические интервалы, отличные от упомянутых в предыдущей лемме, в общем случае не являются предсказуемыми множествами без дополнительных ограничений на концевые точки. Назовем ^-измеримую функцию т: Q-*R+ предсказуемым моментом (или просто предсказуемой), если существует некоторая последовательность марковских моментов {тД, возрастающая к т, и такая, что тп строго меньше т на {т=#0}. Такую последовательность {тД называют предсказывающей последовательностью для т. Легко проверить, что предсказуемый момент является марковским моментом, и в качестве частичного обращения имеем, что если т — марковский момент, то т + t является предсказуемым моментом для каждого постоянного t > 0. Интуитивный смысл состоит в том, что если т > 0 представляет собой первый момент наступления некоторого случайного события, то т предсказуем.

ибо это событие не может осуществиться неожиданно для нас, так как мы предупреждены некоторой последовательностью предшествующих событий, осуществляющихся в моменты тп. Примером непредсказуемого марковского момента является момент, когда происходит первый скачок пуассоновского процесса, что является следствием нашего предположения о непрерывности справа его траекторий.

Утверждения (iii) и (iv) следующей леммы проливаюг свет на причины относительно названий предсказуемого и опционального а-полей.

Лемма 2.2.

Если т — предсказуемый момент, то [т, оо) является предсказуемым множеством.

Все стохастические интервалы, у которых обе концевые точки предсказуемы, являются предсказуемыми множествами.

Предсказуемое о-поле порождается классом стохастических интервалов вида [т, оо), где т — предсказуемый момент.

Опциональное о-поле порождается классом стохастических интервалов вида [т, оо), где т— марковский момент.

Доказательство. Чтобы доказать утверждение (i), предположим, что т есть предсказуемый момент и {тп} является предсказывающей последовательностью для т. Мы имеем

[т, оо) = ({3}Х{т = 0}) U ^ П (тп, °°)у

так как тп f т и тп < т на {т 0}. Здесь {т = 0} е 9" й, и по. лемме 2.1 множество (тп, оо) = (К+ХЙ)\[0, гД является предсказуемым для каждого п. Следовательно, множество [т, оо) предсказуемо, что доказывает (i).

Для предсказуемого момента т интервал [0, т] является предсказуемым множеством по лемме 2.1, и [0, т], будучи дополнением [т, оо), является предсказуемым интервалом в силу утверждения (i). Так как каждый из четырех сортов стохастических интервалов с предсказуемыми концевыми точками тит] может быть записан в виде разности двух из следующих интервалов: [0, т], [0, ц], [0, т) и [0, т]), то отсюда следует утверждение (ii).

Для доказательства утверждения (iii) введем о-поле Q, порожденное классом стохастических интервалов вида [т, оо), где т — предсказуемый момент. В силу (i) имеем С? с.У1, и чтобы доказать, что 9 cz Q, достаточно установить включение 91 cz Q. Для любого марковского момента т имеем, что [0, т] = Q ро, т + -^)« Здесь т + ~предсказуемый мо- п

мент и, следовательно, ^0, т + -^-j е Q, так как дополнение этого стохастического интервала принадлежит Q. Поэтому [0, т] е Q. Предсказуемый прямоугольник (5, ^] X F, где F е S's и s < t, является стохастическим интервалом вида (т), т] = [0, т]\[0, г)] и потому содержится в Q. Таким образом, 31 cz Q, и, следовательно, утверждение (iii) доказано.

Так как О порождается стохастическими интервалами, то, чтобы доказать (iv), достаточно показать, что все стохастические интервалы содержатся в cr-поле д, порожденном классом стохастических интервалов вида [т, оо). Если т — мар- ковскии момент, то т + — является марковским моментом для любого п и, следовательно, (т, оо)== JJ Jr + -^-, оо^ со- п

держится в 9”. Так как класс, содержащий стохастические интервалы вида [т, сю) и (т, оо), порождает все стохастические интервалы путем комбинации операций дополнения и вычитания, то отсюда следует, что все стохастические интервалы содержатся в У, что и требовалось доказать. 1

Для т: Q-> R+ по предыдущей лемме имеем:

если т — предсказуемый момент, то [т, оо) является предсказуемым множеством,

если т — марковский момент, то [т, оо) является опциональным множеством.

Обращения этих утверждений также верны. Обращение утверждения (ii) вытекает из ранее доказанного результата, согласно которому 1|Т10с) является согласованным процессом, если [т, оо)—опциональное множество. По поводу более трудного доказательства обращения утверждения (i) мы от- ,сылаем читателя к Делашери и Мейеру [9; 130 — IV, 76]. (Делашери и Мейер использовали утверждение (i) в качестве определения предсказуемого момента и вывели из него существование предсказывающей последовательности.) Альтернативные характеризации предсказуемого и опционального (Т-полей по отношению к тем, которые приведены в лемме 2.2, будут даны в гл. 3.

Далее мы определим меру на предсказуемых множествах, которая представляет собой ключ к основной изометрии, используемой в определении стохастического интеграла.

Мера на предсказуемых множествах

Предположим, что вещественнозначный процесс Z = = {Zt, t е R+} согласован со (стандартной) фильтрацией ^9"t, ZeR+} и Zt Е L1 для каждого tE R+.

Определим функцию множества Xz на 91 следующим образом:

^z((s. dxn=^(b(^-Zs))

для F^9~s и s<t из R+,(2.1)

М{О}ХЕо) = О для Foe9-o.

Мы продолжим Yz до конечно аддитивной функции на кольцо si, порожденное 97. определив ее по правилу

/=1

для любого Я= U Rp где (Rj, 1 ^/^л}— конечный набор /=1

непересекающихся множеств из 97. Значение Хх(Л) не зависит от представления Л в виде объединения конечного числа непересекающихся множеств из 97. Мы назовем Kz объемом, если Xz 0 на 97 и, следовательно, на si.

Ясно, что Л/ = 0, если 7, является мартингалом, и Л2^0, если Z — субмартингал. В частности, предположим, что М = (Mt, ^gRJ является £2-мартингалом, тогда (А4)2 = = ^MtY, /eR+) представляет собой субмартингал и, следовательно, Р^лщ^О. Более точно, для F e9"s и s < t имеем

XW«s, AXF) = E^F(Mt-MsYY(2.2)

Это доказывается с помощью подстановки V=^f в следующее важное тождество. Для s < t из R+ и любой вещественнозначной функции Y е b9~s имеем

Е {У (Mt - Ms)2} = Е {Y ((АД)2 - 2ММ + (АД)2)} =

= Е {У ((ма2 + (ма2)} - 2Е (YMSE (Mt |9"s)) = = Е {У ((MtY + (АД)2)} - ЧЕ {У (АД)2} = =Е{у((ма2-(ма2)}.(2.з)

Мартингальное свойство М было использовано, чтобы получить третье равенство из приведенных выше.

Нас интересуют /Хмартингалы АД для которых Льщг можно продолжить до меры на 9. Если ?цму счетно аддитивен, то по теореме Каратеодори о продолжении [14, с. 54] найдется единственное продолжение А(М)2 до меры на 9. Достаточным условием для счетной аддитивности ^(ло2 является непрерывность справа траекторий /Хмартингала М. Доказательство можно найти у Метивье и Пеллаумейла [22, с. 14]. Мы будем предполагать выполненным это достаточное условие. В гл. 4 мы дадим независимое доказательство для случая, когда М имеет непрерывные траектории. Мы предпола-

гаем, что М = {Mt, / е R+} является непрерывным справа /Амартингалом, если не утверждается противное. Обозначим цм меру на 5я, являющуюся продолжением А(лщ’. Эта мера называется мерой Долеан процесса М в честь Долеан-Дад, которая первая использовала ее в более общей ситуации [10]. Мы будем писать З2 вместо L2(R+X Q, 5я, рм) или З'Дрм), если есть необходимость подчеркнуть связь с М.

Пример. Рассмотрим броуновское движение Sb R с Во е ZA Тогда В есть непрерывный /Амартингал с соответствующей ему стандартной фильтрацией {^"/}. Следующие вычисления показывают, что рв представляет собой произведение мер А X В на ^, где X — мера Лебега на R+. Для s < t и Fe9"; имеем

Х(вИ ((s, /] XF) = Е (1 F(Bt - В^ =

= Е {1 fE {{Bt - В$У | ^s)} = E {(B, - Bs)2} E {1 f} =

= (/-s)E(E) = (AXB)((s, /]ХП-

Третье равенство среди приведенных выше выполняется в силу независимости Bt— Bs и 3" s, что, в свою очередь, является следствием независимости приращений В. Четвертое равенство выполняется в силу того, что Bt — Bs имеет нулевое среднее и дисперсию / — s. Для Fo^3q имеем

^ву ({0}ХЕ0) = 0 = (АХВ) ({0}ХЕ0).

Таким образом Хуву совпадает с АХР на ^ и, следовательно, на ^. Так как XX? есть мера на .^Х9" Т2> 9, то мы имеем цв = ХХР на 9 по теореме о единственности продолжения Ащу с до меры ц5 на 9.

Определение стохастического интеграла

Прежде всего мы определим стохастический интеграл ^ X dM, когда X есть ^-простой процесс, и покажем, что отображение X—^XdM является изометрией некоторого подпространства S'2 в L2. Эта изометрия является ключом к распространению определения на все X из З2.

Если X— индикаторная функция предсказуемого прямоугольника, то интеграл j X dM определяется следующим образом. Для s < t из А и fe^s положим

(2.4)(2.4)(s, цхк dM s 1 р {Mt — Ms)

(2.4)

(2.4)

” Имеется в виду прямое произведение мер. — Прим, перед.

и ДЛЯ Fq ^*о

$ lWxfJ.M^0.(2.5)

Пусть 8 обозначает класс всех функций X: R+XH->Ry представимых в виде линейных комбинаций индикаторных функций предсказуемых прямоугольников. Каждую такую функцию будем называть 5?-простым процессом. Таким образом, запись X е 8 может быть выражена в следующей форме:

X = ^ С/1($/. t^XFj + Со^дох^о,(2-6)

где Cj е R, Fje9~s., Sj<tj из R+, l^j^n, п е N, coeR и Foe STt,. Это представление, хотя и не является единственным, всегда может быть выбрано таким, что предсказуемые прямоугольники (s/, tj\XFi, 1 ^ / ^ п, не пересекаются.

Интеграл ^ X dM для X е 8 определяется с помощью свойства линейности. Таким образом, для процесса X вида (2.6) имеем

J XdM^^Cjh^Mt.-Msj).(2.7)

/=1

Легко проверить, что значение интеграла не зависит от выбора представления X.

Так как IreS2 для любого предсказуемого прямоугольника R, отсюда следует, что 8 является подпространством S2; и так как Mt е L2 для каждого /, то ^ X dM принадлежит L2 для каждого Хе 8. Следующая теорема показывает, что отображение X->^XdM является изометрией между подпространством 8 с S’2 и его образом в I?.

Теорема 2.3. Для Хе8 справедлива изометрия

f{(J Х;Ш)2}= J (Х)2^,.,.(2.8)

R + XU

Доказательство. Пусть процесс X е 8 представлен в виде (2.6), где предсказуемые прямоугольники R/ = (S/, 1ДХР]У 1 ^ j ^ п, не пересекаются. Тогда в силу (2.7) имеем

( J X dM)2 = £ с^ - XIS/)2 +

/=i

+ 2^ f c^F^Mt.-Ms^Mt^-M^. (2.9) /=i k=j+\

Так как Rj(\Rk= 0 при 1^/</г^л, то или

(О Fj Л Fk = 0, или

($/> ^/] П (sA, 4] = 0.

Если выполнено (i), то член с индексами j и k в двойной сумме обращается в нуль. Если выполнено (ii), то мы можем предположить без потери общности, что tj < sk. По мартингальному свойству имеем Е (Mtk — AfsJ | ^s^ = 0. Это обеспечивает основное «свойство ортогональности» в гильбертовом пространстве L-, согласно которому приращение Mtk— М$к процесса М ортогонально подпространству £2 (й, 9"S)t, Р}, т. е. для любого У е/,2(й, 90^ Р) имеем

Е {У (М,, - М,„)} = ЕУЕ(МЧ- ,И,Л) | ^,)} - 0.

Так как 1^. п rft (Л4^— ЛЦ.)еА2(й, 9"s^ Р^, отсюда следует, что математическое ожидание члена с индексами / и к в двойной сумме (2.9) также равно нулю, если выполнено (ii). Таким образом, применив операцию математического ожидания к обеим частям в (2.9) и используя (2.1) и (2.2), получим п

Е {() М<П=£ 4е {Ч («., - м.,)!} = 1=1

п

= ^ С/Нлг(^(5/. tjtXF^ + СоЦ.м(1ихго) = /=1

= J (X)WM. 1

R+xn

Распространение определения ^ X dM с множества интегрируемых процессов X из 8 на множество интегрируемых процессов из S2 основано на изометрии (2.8) и на том факте, что 8 плотно в гильбертовом пространстве S2. Доказательство последнего утверждения приводится ниже.

Лемма 2.4. Множество ^-простых процессов 8 плотно в гильбертовом пространстве S'2.

Доказательство. Так как S порождается кольцом ^, то для любых е>0 и Де.У, удовлетворяющего условию рм(Д)< < со, найдется Д1 г лФ, такое, что рм(Д А Д;) <е, где Д А Д]— симметрическая разность Д и Д1 (Халмош [14, с. 42, 49]). Отсюда следует, что каждая ^-простая функция из S2 может быть аппроксимирована с произвольной точностью по S2-

норме функциями из 8. Доказательство завершается ссылкой на стандартный результат, согласно которому множество .^-простых функций плотно в S'2. 1

Если мы будем рассматривать S'2 и L2 как гильбертовы пространства, то отображение -¥ —» ^ X dM представляет собой линейную изометрию подпространства 8, плотного в 32г в L2 и, следовательно, она может быть распространена до линейной изометрии А2 в L2 (см.1) Тейлор [28, с. 99]). Для А ее З2 мы определим интеграл ^ X dM как образ X при- этой изометрии. Тогда равенство (2.8) будет выполнено для всех X из З2, которое мы будем упоминать просто как «изометрию», так как только оно и будет использоваться.

Обозначение. Пусть Л2(^, Л'1) обозначает пространство всех X е 3, таких, что 1(0, цХ е З2 для каждого /eR+,

Пусть ТеЛ2(^, /И). Для каждого / интеграл Ifo. nXdM корректно определен и выполняется свойство- изометрии

£^ 1[0, 1РГАИ)2]= $ (Х)2^-(2.10)

[0, <JXQ

По определению меры выполняется равенство цл!({0}ХЙ)=0^ и, следовательно, в силу (2.10) имеем

р{о}ХЛИ = О п. в.(2.11)

Если X g 8 и процесс X представим в виде (2.6), то 1[0, цХ принадлежит 8 для каждого I и

$ ^о.^АИ-^ЬДЛ^л,-^^(2.12)

/=1

Правая часть в (2.12) является непрерывным справа ^-мартингалом с параметром 1. Используя изометрию, мы обобщим это утверждение и докажем, что для X еАМЗ, М) процесс ю, t\X dM, t G -"т j- представляет собой /Амартингал, который имеет непрерывную справа модификацию; тем самым покажем, что подобного сорта свойства процесса М сохраняются при интегрировании.

О По поводу линейной изометрии и ее расширения см. также [2П, § 4, гл. 3]. — Прим, перев.

Теорема 2.5. Пусть ХеКЧ?, ЛГ) и Yt = 1 [0, цХ dM для каждого t. Тогда У={У(Де₽+} является ^-мартингалом с нулевым средним и существует модификация процесса У с непрерывными справа траекториями.

Доказательство. Пусть neN. Тогда 1 ю.п\Х^$г и по лемме 2.4 найдется последовательность {2V*, & е N} из А, которая сходится в S’2 к 1[о,П]Х. Отсюда следует, что для каждого / е [О, п\ последовательность 1[о, <]Л"6 при к-*оо сходится в S’2 к 1[о, рХ и, следовательно, в силу изометрии У<=^ 1 [о. t]XkdM сходится в L2 к Yt=^ 1[0, t\XdM. По замечанию, следующему за равенством (2.12), процесс Yk = ^Yt, 1 е R+} является непрерывным справа /Амартингалом для каждого к. Так как мартингальное свойство- сохраняется для /Апределов (см. предложение 1.3), отсюда следует, что {У/, t е [0, /г]} является /Амартингалом. Ввиду того что п произвольно, заключаем, что (К, /е R+} есть /Амартингал. В силу (2.11) имеем, что Уо = 0 п. в. и, следовательно, E(Yt) = E(Y0) = 0 для всех t.

Покажем теперь, что существует непрерывная справа модификация Zn процесса {К, t е [0, н]}. Для / < к разность Yk— Y> является непрерывным справа /Амартингалом, и, следовательно, по основному неравенству (1.3) из теоремы 1.4 имеем

р( sup | г^ — гЛ ^I Г^ — уА Р) (2.13)

для каждого шеМ. Так как У„ при к-* ос сходится в L2 к Yn, то найдется подпоследовательность {Y„m, m е N), такая, что

fCly^’-y^R^^n-. (2-14)

Комбинируя (2.13) и (2.14), получим

Применение леммы Бореля — Кантелли дает

р( sup |У/т+1 -У^|^ * б. чЛ = 0,Vo < t < п/

где «б. ч.» является сокращением термина «бесконечно часто». Отсюда следует, что существует множество Q„ единичной ве оятности, такое, что для каждого <о е Оп после-

довательность ^YkmU, со), m е N) сходится равномерно по / Е [О, п] к некоторому пределу Zn у, со). Так как функция У*т(-, и) непрерывна справа на [0, /г), то в силу равномерной сходимости этим же свойством обладает и Zn (■, (о). Более того, Ytm при т->оо сходится п. в. к Znt для каждого / е [О, л) и одновременно сходится в Z.2 к Yt; следовательно, Z*i — Yt п. в. Таким образом, Za = ^Zt, /[0, п)} является непрерывной справа модификацией процесса \Yt, t Е [0, /г)} на Qn. Для пх < н2 °ба процесса {Z?1, I е [0, и^} и {Z?, / е [0, п2)} являются непрерывными справа модификациями {У;, / е [0, nJ) на множестве й„, П ^п. и, следовательно, неразличимы на этом множестве. Отсюда следует, что найдется множество Qa с П --« единичной вероятности, такое, что существует конечный предел limZn(f, <о) для любых ZeR + и со е Qo и для каждого heN этот предел равен Zn(t, со) для всех / е [0, и). Если этот предел обозначить Z (t, со), то Z представляет собой непрерывную справа модификацию У на Qo. Ее легко продолжить до непрерывной справа модификации на Q. 1

Следствие 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.5. Если М имеет непрерывные траектории, то существует модификация У с непрерывными траекториями.

Доказательство. В предыдущем доказательстве заменить

определение «непрерывные справа» на определение «непрерывные». 1

Обозначение. Условимся использовать J XdM, / е R+1 и 1 [о, f]J

j XdM для обозначения непрерывной справа модификации

(Процесса {^ 1[0. t]XdM, / е R+| и разности ^ XdM ■—

[о, И

— ^ XdM при s<t. Если М — непрерывный процесс, то [0. s]

гобозначим И X dM, /eR+? и ^XdM соответственно непре- '0' s

рывную модификацию процесса ^ 110, t\XdM, /ER+j и раз- ts

ность X dM — X dM при s < /.

оо

В следующей теореме мы перечислим некоторые свойства стохастического интеграла ^ XdM. [о, /]

Теорема 2.7. Пусть Х-ХЧ?, М) и Y обозначает непрерывный справа процесс в виде стохастического интеграла f XdM, ZeRL Тогда справедливы следующие свойства. Iio,/1)

Для s < t из R+ и любой сл. в. Z е Ь9~, п. в. выполняется равенство

J ZXdM = Z J XdM.(2.15)

(s, f](s, fl

Мера цу, связанная с непрерывным справа Ь2-мартин- галом У, имеет плотность (X)3 по мере ри, т. е. для любого А^ТР

цу(Д)=$№Рм.(2.16)

А

Для любого ограниченного марковского момента т

Ут = ( XdM= 1[0, т]ХДИ п. в. (2.17) юЛ1

Замечание. Первое равенство в (2.17) выполняется по определению, где для каждого со величина Ут (со) является значением Ус (со) при / = т(со); примем во внимание, что интеграл справа в (2.17) представляет собой случайную величину, определенную посредством /Лизометрии. Поэтому их равенство1) п. в. требует доказательства.

Доказательство. Для доказательства утверждения (1) заметим, что (2.15) легко проверяется, если Z=\q, где СеТ",, и Х= 1(U, y]XF Для и<у из R+ и Fe9"u. Отсюда и в силу линейности следует, что (2.15) выполняется, когда Z есть ^-простая функция и X — функция из ^. Для произвольных Z и X найдутся ограниченная последовательность 9" s- простых функций {Zk), сходящаяся поточечно к Z на й, и последовательность {Д'*} функций из 8, такая, что lim l(Si t\Xk = l(s, цХ в смысле сходимости в S’2. Так как последовательность VZk} ограничена, отсюда следует, что

Имеется в виду равенство левой и правой частей в (2.17). — Прим, перев.

lim 1(S, pZ^X* = Ip, pZX также в смысле сходимости в S’2.

Теперь имеем

J ZXdM — Z ^ X dM = (ZX - ZhXk) dM +

(s, /](s, /](s, i]

+ f J ZkXkdM — Zk J Xftd/Vfj +l(s, Й(s, <1 J

+ Z” J vXk - X) dM + (Zk - Z) J X dM. (2.18) <S. П(s, t]

Мы утверждаем, что слагаемые, стоящие после знака равенства, при ^^-оо сходятся в Л1 к нулю. Второе слагаемое (разность в фигурных скобках) равно нулю в силу сказанного выше при обсуждении случая простых функций. Первое и третье слагаемые сходятся в L2 к нулю в силу изометрии. Последнее слагаемое сходится в ZJ к нулю в силу возможности применить неравенство Шварца и теорему об ограниченной сходимости. Так как выражение в (2.18), стоящее перед знаком равенства, не зависит от к, отсюда следует, что оно п. в. равно нулю, что доказывает утверждение (i).

Для доказательства утверждения (ii) достаточно проверить (2.16) для Аей, так как меры ру и ^Уй\км на S однозначно определяются своими значениями на 5?. Если А = = {0} X ^о и Foe9~o, то обе части в (2.16) равны нулю. С другой стороны, если А= l(s nxF для некоторых s<t и F е 9"s, то

Ру(Л) = Е{1ДУ(-У5)2) = £^Ь^Х^Иу|,

что в силу утверждения (i) дает

Е ^ J Ь х dM у } = $ 1 (S] х F (X)2 du м = 5 (X)2 duM •

Первое равенство здесь выполняется в силу изометрии. Таким' образом, (2.16) выполняется для всех А из 5? и, следовательно, для всех А из 9.

Для доказательства утверждения (iii) предположим, что- марковский момент т ограничен, скажем числом С. Аппроксимируем т стандартным образом последовательностью марковских моментов {тп, пеК}, такой, что для каждого п случайная величина тп принимает только конечное число значений и (2.17) выполняется с хп вместо т.

Так же, как при доказательстве леммы 2.1, положим т„ = = 2-rt[2nT+l] и ^/г = [Й^С] для каждого п. Тогда множество

[о, т„] = ({0} X О) (J U (^-”, (^+ 1)2-”]Х{г^^2^} (2.19) к =е

Хг иХг ипринадлежит Д и 1^ т jT' е З2 в силу ограниченности тп. Теперь для каждого п имеем

Хг и

Хг и

<т<(й+1) 2-пУ (А: + 1)9-п

> ^2-"} (^(^+1) 2~п> ^2-"} (^(^+1) 2~п->V4

> ^2-"} (^(^+1) 2~п

> ^2-"} (^(^+1) 2~п

Здесь второе равенство получается с помощью частичного суммирования с учетом того, что Уо = О и 0^т-<(Ж+ 1)2-". Таким образом, по определению Yt и в силу утверждения (1) выполняется п. в. равенство

к =0к =0№ + 1) 2-"] X {г > к!"^ dM‘

к =0

к =0

По свойству линейности интеграла, (2.11) и (2.19) получаем, что п. в.

Ггп=$ 1[о, xnAXdM.(2.20)

Так как т«|т и процесс У непрерывен справа, то левая часть в (2.20) при п-^оо сходится поточечно на й к Ут; и так как величины тп ограничены числом С + 1, то по теореме об ограниченной сходимости и изометрии правая часть сходится в L2 к j 1|0 T]XdM. Следовательно, (2.17) выполняется. 8

Следствие 2.8 понадобится в ближайшем разделе.

(2.21)(2.21)Следствие 2.8. Пусть s<,t из R+, Fg.9"5 и т — марковский момент. Тогда п. в. выполняется равенство

(2.21)

(2.21)

1 [0. т]1(з, ц х р^М 1/?(^<дт^$лт)‘

Доказательство. Пусть X=l(s nxF. Тогда

5 1 [0. и^ ^М = 1 f (XI t ^иMs д „)•

Правая часть этого равенства непрерывна справа по и и, следовательно, может быть использована в качестве непрерыв-

ной справа модификации \ X dM интеграла, стоящего

10. и\

слева. Заменив w на т А /, получим

$ ^m=if(m<At-ms/Xt).

т Л И

Из (2.17) стЛ/ вместо т следует, что левая часть последнего равенства п. в. равна левой части в (2.21). Таким образом, (2.21) выполняется п. в. I

В наших определениях меры ци и стохастического интеграла X dM используются только приращения ЛЕ Следо- 10, Я

вательно, значения этих величин не изменятся, если в их определениях мы заменим М на М— /Ио. Фактически последующие рассуждения основаны на этом замечании.

.6 Расширение на случайлокальных интеграторов и интегрируемых процессов

До сих пор мы рассматривали стохастические интегралы

X dM, где интегратор является непрерывным справа [о. fl

ЕАмартингалом, а интегрируемый процесс принадлежит A2 (5s, Л4). В качестве окончательного обобщения мы определим стохастический интеграл для интеграторов и интегрируемых процессов, которые обладают этими свойствами только в локальном смысле. Следовательно, мы больше не предполагаем, что М является непрерывным справа /Амартингалом. Вместо этого мы далее будем предполагать, что М— непрерывный справа локальный /Амартингал (по поводу определения см. разд. 10 гл. 1). Если {т*} —локализующая последовательность для М, то Мк для каждого к будет обозначать непрерывный справа /Амартингал {М(дТа — /Ио, / е R+j.

Далее мы определим класс интегрируемых процессов, связанный с М.

Определение. Пусть А^, Л1) обозначает класс всех процессов X, таких, что существует локализующая последовательность {тД для М, такая, что

1 [о, та]А е А2 (^*, .И*) для каждого к. (2.22)

Такая последовательность будет называться локализующей последовательностью для М и X.

Пример. Предположим, что М имеет непрерывные траекторий и X— непрерывный согласованный процесс. Мы утверждаем, что X е Л l^SP, М) и

тА = inf V > 0: | Mt — Мо | V I А\ | > /г}

является локализующей последовательностью для Л! и А'.

Для доказательства этого утверждения заметим, что в силу результатов из гл. 3 процесс X является предсказуемым. Далее, для всех к и t имеем

г+ х оR+ х о

По определению т* имеем, что (А)2 А А на множестве (0, / ЛтД. Более того, по изометрии и теореме 2.7(iii) имеем

Таким образом, комбинируя упомянутые выше соотношения,, получим

1 [0, t Л тА]к4,

R+ х о

что и доказывает утверждение. 1

Важный частный случай рассмотренного примера получится при подстановке Х = М.

Пусть X е Л (^, М) и {тД— локализующая последовательность для Л1 и X. Тогда У*=Г Ip ^XdMk, Z е R+1

Z])

для каждого к представляет собой непрерывный справа L2- мартингал в силу соглашения по поводу обозначений, помещенного за следствием 2.6. Мы определим У = J ^ X dM, /eR+| как предел в смысле сходимости п. в. последовательности ¥к, аналогично тому как был определен процесс Z по последовательности Zn при доказательстве теоремы 2.5. Различие здесь состоит в том, что мы используем случайное урезание в моменты т^, тогда как раньше использовались постоянные моменты п. Чтобы оправдать эту процедуру, нам нужно проверить выполнение следующего условия согласованности:

для каждого к и почти всех со

YT (со) = Yt (<о) Для всех / е [О, т&] и т^к (2.23) и показать, что

определение Y не зависит (с точностью до неразличимости) от выбора локализующей последовательности для М и X.

Эти утверждения формально очевидны, но их подробные доказательства утомительны. Они вытекают из приводимых ниже двух лемм, которые мы приводим для дотошного читателя.

Лемма 2.9. Пусть т и г) — марковские моменты, такие, что Mx = {Mtp^-M0, ^R+} и Мл = {МгЛ1)-М0, (eR+) являются непрерывными справа Ь--мартингалами. Обозначим рт и рп соответственно меры р иТ и рД1Ч на 9, связанные с ДГ и ЛЯ Тогда рт и рл порождают одну меру на стохастическом интервале [0, т Д р], т. е. для каждого

Рт (Д П [0, т Д г)]) = рл (Д П [0, т Д р]).(2.24)

Доказательство. Так как предсказуемые прямоугольники порождают X, то достаточно доказать (2.24), когда А— предсказуемый прямоугольник. Ясно, что обе меры в (2.24) обращаются в нуль, когда Л = {0} X То и Я Е ЗЯ С другой стороны, если А = (s, /] X Т, где s < t и F е 9"s, то по изометрии

Я (Л п [о, т Д Т]]) = Е j Q 1[0, т Д тц1(5, р X F ^Л1Т^ j •

По следствию 2.8 и в силу равенства Ми = Ми — /Ио для О^и^т имеем, что правая часть этого равенства равна ^ {(X дт дп ^s д т а л) }’

Так как последнее выражение симметрично относительно т и г), то (2.24) справедливо для 4=(sJ]Xf и, следовательно, для всех Л из 53. Я

Лемма 2.10. Пусть тир — марковские моменты, такие, что М^ = {Mt дт-Х, /eR+} и Мл^^дц-Мо, / ед RJ являются непрерывными справа L2- мартингалами,

КДеОЛА и 1[0 ^еА2(<Д ЛЯ.

Пусть Y1 и Ул соответственно обозначают непрерывные справа 1Х-мартингалы

|1[0> x}XdMx, le R+) и f ^ 1[0 ^Х dM^, t <= R+1.

Тогда

Р{У/ = У? для всех / е [Э, т Д г)]} = 1.(2.25)

Доказательство. Утверждение (2.25) эквивалентно утверждению того, что процессы {У}дх ЛпА е R+} и {У?д т дпА е R+} неразличимы. Так как они непрерывны справа, то достаточно доказать, что

У(ДтЛп= ^АтДп П. в.(2.26)

для каждого t. Легко проверить, используя (2.17) и (2.21), что (2.26) выполняется, если X является индикаторной функцией предсказуемого прямоугольника и, следовательно, в силу свойства линейности, если X принадлежит #. В общем случае, используя обозначения из леммы 2.9, будем иметь, что 1[0 (Л т Л П|У е ^(ц.1). Поэтому найдется последовательность {Лп} из А, которая сходится в ^(р,1) к 1[0 , А т А ^Х,. и, следовательно,

ho, Мглт^-^^0 ПРИ «^^ в ^2(цД.

Последний предельный переход имеет место также и в ^(ц11), так как по лемме 2.9 меры цт и р.ч индуцируют одну меру на [0, /АтЛг)]. Мы уже проверили, что (2.26) выполняется после замены X на Хп. Устремив п-^оо и воспользовавшись (2.17) и изометрией (для т и т]), убедимся, что- (2.26) выполняется для X. 1

Положив х = Тт и т] = ть в лемме 2.10, получим (2.23). Следовательно, найдется множество Йо единичной вероятности, такое, что для каждого ® е й0 и каждого t существует конечный предел lim Ym (t, со) и для любых к и t е [0, т*] т-> сс

этот предел равен У6(^, со). Обозначим этот предел У (С со). Далее, процесс У(-, со) непрерывен справа для каждого сое (= й0, и его легко определить так, чтобы он стал непрерывным справа и для со е й\й0. Поэтому Yt ^тk = Y t п. в. для каждого к и всех t. Следовательно, У является непрерывным справа локальным /Амартингалом с локализующей последовательностью {тД.

Обозначим У; через ^ X dM и разность Yt — Ys через [о. /]

XdM. Если процесс М непрерывен, то процесс У также (s. И непрерывен. В этом случае будем обозначать. У/ через /t

^ X dM и разность Yt— У$ через ^ХДАА

0s

Тот факт, что У не зависит (с точностью до неразличимости) от выбора локализующей последовательности для М и X, представляет собой простое следствие леммы 2.10. Формальное доказательство оставляется для читателя.

Следующая теорема представляет собой непосредственное следствие приведенных рассуждений и примера, помещенного после формулы (2.22). Напомним, что непрерывный локальный мартингал автоматически оказывается локальным L2- мартингалом.

Теорема 2.11. Пусть М— непрерывный локальный мартингал и X— непрерывный согласованный процесс. Тогда X е е А (5®, А1) и s \ A dM, /gFJ является непрерывным ло- кальным мартингалом

Если М— непрерывный справа /Амартингал и Хе еЛ2(^,М), то вышеприведенное определение интеграла

X dM согласуется с определением интеграла, данным в. [о, /] предыдущем разделе, так как интегралы не меняются при замене М на М— Мо. Эта замена также будет использоваться для упрощения последующих доказательств путем сведения их к случаю Л4о = О, так что будем иметь Mt = Mt/\tk. В свя-- зи с этим подчеркнем, что только интегратор М может быть заменен на М— Мо. В частности, если М— непрерывный локальный мартингал, то имеем

/t

J М dM = J (М — Mo) dM + Mo (Мt - М^ = оо

t

= $ (М - О d (М - Мо) + Mo (Mt - Мо). (2.27) о

Расширение классапредсказуемых интегрируемых процессов

Введение

В этой главе мы докажем, что определение стохастического интеграла может быть распространено на более широкий класс интегрируемых процессов по сравнению с классом предсказуемых процессов, когда мера Долеан щи удовлетворяет одному не очень ограничительному условию.

Сначала мы охарактеризуем предсказуемые и опциональные о-поля в терминах классов процессов, которые порождают их.

Связь между ^, О и согласованными процессами Обозначения. Мы будем использовать следующие сокращения: н. для «непрерывный», н. сп. для «непрерывный справа», н. сл. для «непрерывный слева», н. сп. п. сл. для «непрерывный справа с конечными пределами слева». В некоторых статьях, написанных на английском и французском языках, используется эквивалентное сокращение н. сп. п. сл., именно: cadlag— «continu a droite et limite a gauche». Сокращение н. сл. п. сп. определяется очевидным образом. Мы используем символы о(н.), о(н. сп.) и т. д. для обозначения о-полей подмножеств из R+XQ', порожденных н., н. сп. согласованными процессами и т. д. Например, о(н.) обозначает наименьшее о-поле подмножеств из R+XH, относительно которого каждый непрерывный согласованный процесс является о(н.)-измеримым.

Мы докажем, что каждый н. сл. согласованный процесс является предсказуемым и предсказуемое о-поле ^ порождается непрерывными согласованными процессами. С другой стороны, мы дадим набросок доказательства того, что каждый н. сп. предсказуемый процесс является опциональным, и докажем, что опциональное о-поле порождается н. сп. п. сл. согласованными процессами.

Теорема 3.1. Каждый непрерывный слева согласованный процесс является предсказуемым.

Доказательство. Предположим, что X является непрерывным слева согласованным процессом. Для каждого п пусть

п (Хй, если s = 0,

Xs==\XM_n, если 8е(И-", (^+1)2“"], ^ = N,.

Тогда для любого борелевского множества А из R имеем

и (До (62-", (6 + 1) 2-"] X х^_п (Д)).

Так как процесс X согласован, то это множество принадлежит ^ и, следовательно, процесс Хп является предсказуемым. В силу непрерывности слева X последовательность Хп сходится поточечно на R+X^ к X и поэтому X является предсказуемым процессом. Я

Предыдущая теорема показывает, что о(н. сл^с:^3. Обратно, так как индикаторная функция предсказуемого прямоугольника является н. сл. п. сп. согласованным процессом, то отсюда следует, что ^(^^(н. сл. п. сп.). Более того, справедлива

Теорема 3.2. о(н. сл. п. сп.) <= о (н.).

Доказательство. Достаточно доказать, что любой ограниченный н. сл. п. сп. согласованный процесс X является поточечным пределом на R+XH для некоторой последовательности непрерывных согласованных процессов. Распространим определение Xs на отрицательные значения s, положив XS = XO для s С 0. Для любых п е N, me N и г ^ 0 положим

<о)=1 (s)X ,(«) +>/—-

+ 2(*+1) 2-т] (S) ^Ы-'"(Ю)>(3-1)

где сумма распространяется на все целые 6, такие, что 62^т е — ф ф Тогда Ym является ^^ ^ —-^, фх^г измеримой функцией от (s, со) е рр t X И. В силу непрерывности слева X, последовательность Ym при т->оо сходится поточечно на р—)р ijX- к X и, следовательно, X наследует свойство измеримости Ym. Так как X (• , со) является н. сл. п. сп., то интеграл

Xnt (о>) = п ^ X (s, а>) ds

n

корректно определен для каждого со. Более того, в силу Д — ^]) X ^-измеримости X на ^—^-, /j X й и тео

ремы Фубини сл. в., А'? является ^-измеримой. Таким образом, интеграл, определяющий А?, является непрерывным по t. Следовательно, X представляет собой непрерывный согласованный процесс и, в силу непрерывности слева А, последовательность А" сходится поточечно к А на R+ X Н, что и требовалось доказать. I

Комбинируя упомянутые выше результаты, получим

^ = о (н.) = о (н. сл. п. сп.) = о (н. сл.).(3.2)

В гл. 2 мы доказали справедливость включения ^сб?. По лемме 2.2 о-поле О’ порождается стохастическими интервалами вида [т, оо). Индикаторные функции этих интервалов являются н. сп. п. сл. согласованными процессами (так как т—'Марковский момент) и, следовательно, О ст о(н. сп. п. сл.). Ниже мы докажем справедливость противоположного включения. Кроме того, модификация этого доказательства показывает, что о(н. сл.)стО. Следующая лемма является подготовительной.

Лемма 3.3. Пусть А — непрерывный справа согласованный процесс и т и ц— марковские моменты. Тогда (0

(ii) П[т ^ является опциональным процессом.

Замечание. Если т((о)=оо, то У (го) по определению принимает значение нуль, даже если Аоо не определено.

Доказательство. Утверждение (i) доказано в работе Чжун [3 теор. 10, с. 15, 19]. Так как У представляет собой поточечный предел ^"т-простых функций, то утверждение (ii) достаточно доказать для У = ]л, где Л е ST v Предположим, что У имеет такой вид, и определим тд, положив тд = т на Л и тд = оо на Й\Л. Аналогично определим цд. Тогда получим, что У1[т п)= 1^ Т1^). Далее, тд и т]д являются марковскими моментами. Поэтому [тд, цд) представляет собой стохастический интервал и, следовательно, опциональное множество. Отсюда вытекает утверждение (ii). 1

При доказательстве следующей теоремы мы аппроксимируем н. сп. и. сл. согласованный процесс X равномерно на R+X& опциональными процессами вида X A LT т ,, где

{т6} — возрастающая последовательность марковских моментов, подобранных так, что «X колеблется не слишком сильно в течение промежутка времени между ть и та+i». Поучительно сравнить это доказательство с более простым доказательством теоремы 3.1.

Теорема 3.4. о(н. сп. п. сл.) е О.

Доказательство. Мы покажем, что любой н. сп. п. сл. согласованный процесс X является поточечным пределом на R+XH некоторой последовательности опциональных процессов {Х"}. Для каждого п определение Xй включает в себя марковские моменты т", /г е No, конструируемые следующим образом

г" = 0,

4+1 = inf {s > тг | ” Х41 > т) для 6 е N<r

Нижняя грань пустого множества по определению полагается равной оо. Проверку того, что т^ является марковским моментом мы проведем индукцией по к. Случай & = О очевиден, так что будем предполагать, что т" есть марковский момент для некоторого к "^ 0. Тогда по непрерывности справа процесса X мы имеем для каждого t\

М+. < 0 = «г; <'}) П у (и <»} n {| X. - х^ л, | > Д).

где объединение производится по всем рациональным s из (0, 0- В силу индуктивного предположения, согласованности X и того, что X п е fTt, как доказано в лемме 3.3(1), за-

ключаем, что указанное выше множество содержится в S't.

Так как X имеет непрерывные справа траектории на подмножестве из й, на котором марковский момент т£ конечен то мы имеем

что в свою очередь влечет неравенство т"<т"+1- Из (3.3) также следует, что последовательность {т£, к е Noj не может иметь конечных предельных точек; в противном случае в произвольной близости слева от такой точки выборочные тоаек- тории колебались бы на величину больше — , что противоречит существованию конечных пределов слева у процесса X. Следовательно, ^ t 00 при t °°-

Для каждого п положим Хп = X X L .Слагаемое к =° Ч [Ч- 4+ и

с номером к в этой сумме имеет вид X nL п Лг п п , Ч XTA<°°J

и по лемме 3.3 (И) оно является опциональным процессом; следовательно, то же самое верно и для суммы Хп. По определению т" имеем ] X— Х"|^ — для всех п и поэтому X = = lim Хп поточечно на R+XQ, что и требовалось доказать. |

Замечание. Приведенное выше доказательство может быть модифицировано так, чтобы показать, что о(н. сп.)с:С. Так как этот результат нам не потребуется, его доказательство будет дано только в общих чертах. Главное отличие состоит в том, что у непрерывных справа процессов могут не существовать пределы слева и, следовательно, определенная выше последовательность марковских моментов {т^, к е Noj может иметь конечные предельные точки. Поэтому приходится использовать трансфинитную индукцию, чтобы для каждого п определить семейство марковских моментов р"}, занумерованных счетными порядковыми числами а, таких, что т"=еО,

Та+1 = inf > Та: I М

для каждого счетного порядкового числа а

T" = sup т",Р < а

где а — предельное порядковое число. Те из т", которые принимают конечное число значений, строго возрастают вместе с а, и существует не зависящее от со счетное порядковое число ai, такое, что т" =оо. С этими изменениями в доказательстве теоремы получим, что о(н. сп.)сб?.

Если X — непрерывный справа согласованный процесс, то X = lim Хп поточечно на XQ, где

П->оо

»)-Дх„+1,,_„(«) 11и_,

является ^ X ^-измеримым процессом для каждого п. Отсюда следует, что о(н. сп.)<=^Х^". Вообще справедливы еле-

дующие соотношения между различными а-полями:

5s = о (н.) = о (н. сл. п. сп.) = о (н. сл.) с

<= О = о (н. сп. п. сл.) = а (н. сп.) с 9 X 9".(3-4)

Расширение класса интегрируемых процессов

В этом'разделе мы распространим определение стохастического интеграла на более широкий класс предсказуемых процессов при следующем предположении, которое будет считаться выполненным в оставшейся части этой главы.

Предположение. М является непрерывным справа ^-мартингалом и цм абсолютно непрерывна относительно X X Р на 9, что будет записываться в следующем виде: цм «С X X Р-

Пример. Броуновское движение Вв Р сВ0е£ удовлетворяет этому предположению с ц.в = X X Р.

Так как цм "< X X Р на 9, то по теореме Радона — Никодима (см. ’) Ройден [25, с. 238]) найдется ^-измеримая функция f, такая, что 0 ^ f < оо и для любого A ge

щм(А)= ^(ХХР)-(3.5)

А'-

Правая часть в (3.5) на самом деле определяет меру на множествах А из ^Х^. Это расширение меры рм мы обозначим рм.

Определение. Обозначим АС класс всех рм-нулевых множеств из ^Х^. Расширение 9 относительно (^Х^~, Рм) представляет собой о-поле подмножеств из R+XH, порожденное 9 и АС. Мы обозначим его 9.

Множества из 9 и ^-измеримые функции описываются следующими стандартными утверждениями2), которые могут быть доказаны путем замены й, G и G* в работе Чжун [3, с. 59—60] соответственно на R+X^, 9 и 9.

Лемма 3.5.

9 = {А е 9 X 9~-. А А А] е АС для некоторого Av е 9).

Предположим, что Z-. R+XH^-R является 9X9"- измеримой функцией. Тогда Z будет 9-измеримой тогда и только тогда, когда найдется предсказуемый процесс X, такой, что ря (X ^ Z) = 0.

Теорема 3.6. Каждый ^ X 9~-измеримый согласованный процесс является ^-измеримым.

Доказательство. Сначала мы докажем, что С с Ф, откуда будет следовать, что каждый опциональный процесс является ^-измеримым. По лемме 2.2 cr-поле О порождается стохастическими интервалами вида [т, оо), а по лемме 2.1 стохастические интервалы вида (т, оо) принадлежат ^с^. Таким образом, чтобы доказать включение О с: &, достаточно показать, что [т]^^ для каждого марковского момента т. Так как X(f: т(со) = Д = 0 для каждого со, то по теореме Фубини t^X^dtD-o и поэтому рм([т])=0 в силу (3.5). Следовательно, [т] e^fc^, откуда вытекает включение О с: ЗР.

В общем случае нам потребуется следующий результат: если Z — ограниченный ^ X ^"-измеримый процесс, то существует опциональный процесс У, такой, что для каждого t

Yt = E(Zt\^t). (3.6)

Этот результат является частным случаем проекционной теоремы Делашери и Мейера [8, с. 113], доказательство которой мало отличается от следующих рассуждений. Пусть % обозначает класс всех ограниченных процессов Ze^X^1), для которых найдется соответствующий процесс У. Сначала мы покажем, что для .s е Д и F е .^" процесс Z = 1[0, S)Xf принадлежит классу 2. По утверждению [3, с. 26, 30] найдется н. сп. п. сл. модификация 1^ процесса {дОр!^)’ /е е R+}- Тогда У = 1[о, s) ^удовлетворяет (3.6) и является н. сп. п. сл. согласованным процессом. Отсюда и из теоремы 3.4 следует, что этот процесс является опциональным. Тем самым доказано, что Z е X. Ясно, что класс % замкнут относительно операции образования конечных линейных комбинаций. Более того, если ^Z^ ■—ограниченная монотонная последовательность из 2, Z= lim Zn — ее предел и {У"} — соответствующая последовательность опциональных процессов, то

У = lim inf У" 1 { | Hm inf У" | < оо}

представляет собой опциональный процесс, удовлетворяющий условию (3.6) в силу теоремы о монотонной сходимости условных математических ожиданий. Таким образом, класс 2 оказывается замкнутым относительно монотонных предель-

11 Напомним, что Ze^X^" представляет собой краткую запись утверждения: процесс Z является ^ X ^-измеримым. — Прим, перев.

ных переходов. Отсюда следует, что класс 25 содержит все ограниченные ^ X ^"-измеримые процессы. В этом можно убедиться, привлекая свойство замкнутости % относительно операции образования линейных комбинаций и технику рассуждений, связанную с понятием монотонного класса. Тем самым доказано необходимое утверждение.

Таким образом, чтобы доказать теорему 3.6, достаточно рассмотреть случай ограниченного ^ X ^"-измеримого согласованного процесса Z. По только что доказанному утверждению найдется опциональный процесс У, удовлетворяющий условию (3.6). Так как процесс Z согласован, то Zt является представителем класса эквивалентности E^Zt^tY Отсюда получим, что (X X Р) (У 9= Z) = 0 (привлекая (3.6) и теорему Фубини), и, следовательно, jiM (Z =й= У) = О в силу (3.5). Так как У является опциональным процессом, то по доказанному выше Уг^и поэтому найдется процесс X g ^, такой, что рм (Z =# У) = О в силу леммы 3.5 (ii). Следовательно, ри (X ^ Z) = 0 и, снова используя лемму 3.5(ii), получим, что 2е>. ■

Обозначение. Для любого о-подполя У основного о-поля ^ X 9" будем писать ЗВ^р вместо T2(R+X^> У, Цм) и обозначим Л (У, IF) множество Ж-измеримых процессов X, для которых существует последовательность марковских моментов {тд}, такая, что T^foo п. в. и 1 [0 t Л t^ X е ЗЕ^ для любых t и к. Такая последовательность {тД называется локализующей последовательностью для X.

Так как За?, то SEY <= ЗЕ^. Обратно, по лемме 3.5 (ii) для любого Z е ЗЕ^ найдется процесс X е ^^, такой, что X = Z, п. в. по мере рм. Отсюда следует, что гильбертовы пространства ЗЕ^ и S1^ совпадают. Для X g S1^ интеграл j X dM был определен с использованием изометрии между 9Y и L2. Следовательно, интеграл ^ Z dM определен с помощью той же самой изометрии для любого процесса Z е S’-. Далее, интеграл j Z dM может быть определен

[о, И

с помощью обычной процедуры расширения для любого процесса Z е Л (5s, М). Действительно, для Z е Л (^, М^ и X е 9, такого, что ря (Т ^ Z) = 0, мы имеем п. в. для всех t

ZdM= J XdM.

[О, И [О, Н

Следующая теорема дает удобное достаточное условие для проверки того, что данный процесс принадлежит Л(^, Л4), когда М является броуновским движением.

Теорема 3.7. Предположим, что Z является ^Д Д'-измеримым согласованным процессом, таким, что п. в. для всех /

\<Z^ds<о\<Z^ds<оОО.ОО.(3.7)(3.7)

\<Z^ds<

о

\<Z^ds<

о

ОО.

ОО.

(3.7)

(3.7)

Если В — броуновское движение в R с Во^ L2, то Zg еЛ(Я ^).

Доказательство. По теореме 3.6 и лемме 3.5 (ii) найдется процесс X е Д, такой, что X = Z п. в. по мере X X Р (напомним, что ps = XXE). Тогда по теореме Фубини для п.в. со выполняется равенство ХЕ, o)) = Z(-, ш) п. в. по мере X. Следовательно, п. в. для всех t выполняется (3.7) с X вместо Z. Если X является ^-простой функцией, то для любого / интеграл ^(Xs)2t/s представляет собой ^-измеримую случайную о

величину и как следствие аргументации, связанной с понятием монотонного класса, то же самое справедливо, когда под интегралом стоит любой процесс X е Д’. Более того, интеграл непрерывен по t. Отсюда заключаем, что последовательность {тк} случайных величин, определяемых по правилу

Tfe = infp>0: ^ ОС)2 ds ^ к ?•,I о

является последовательностью марковских моментов и г» f оо п. в. в силу (3.7). При этом для всех t и к мы имеем п. в.

I ДтАt Ктк

J <Zsfds = J EQ2 ds < к. оо

После применения операции математического ожидания отсюда следует, что

для любых / и к. Следовательно, Z еЛ (X, В). |

Замечание по поводу истории вопроса

При построении стохастического интегрирования по броуновскому движению Ито [16, с. 175] требовал, чтобы интегрируемые функции были ЕЙ X ^-измеримыми согласованными функциями, удовлетворяющими условию (3.7). Он использовал термин ■) «непредсказуемый» вместо термина «согласованный». Существенным результатом, позволяющим интегрировать такие функции, является теорема 1 (из упомянутого источника на с. 176). Там Ито доказал, что если процесс Z ограничен на [О, /]ХН, то 1[o,<jxq^ является пределом, в ^йх^г некоторой последовательности и. си. и. сл. согласованных процессов. Однако некоторые более поздние авторы (см., например [20, с. 23]) доказывают результат Ито без проверки того, что используемые аппроксимирующие процессы являются согласованными. Следующая лемма заполняет этот пробел.

Лемма 3.8. Предположим, что Z есть ЕЙ X И -измеримый согласованный процесс. Если (eR+ таково, что для всех о t/

^ | Z (s, со) | ds < оо, то ^ Z (s, -)ds является И t-измеримой оо

случайной величиной.

Доказательство. Так же, как при доказательстве теоремы 3.7, докажем существование процесса Хе ЕР, такого, что X = Z п. в. по мере XX Р- По теореме Фубини будем иметь п. в.

/t

X (s, to) ds = ^ Z (s, to) ds.(3.8)

о0

Отсюда следует, что левая часть этого равенства корректно определена п. в. Так как Хе ЕР, то, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 3.7, докажем, что интеграл, стоящий слева, равен п. в. некоторой ^/-измеримой сл. в.; то же самое верно по отношению к правой части. Отсюда следует утверждение, так как о-поле И t является полным. 1

Во избежание отмеченных выше трудностей вводились другие классы процессов. Функция Z: R+ X й -> R называется прогрессивно измеримым процессом тогда и только тогда,

’> В оригинале non-anticipating. Мы пользуемся терминологией, принятой в отечественной литературе, см., например, [4П, с. 30]. — Прим, пе- рев.

когда для каждого t ограничение Z на [О, Z]XQ является St X ^-измеримой функцией (по поводу других свойств см. Чжун [3, разд. 1.5]). Для таких процессов заключение леммы 3.8 является непосредственным следствием теоремы Фу- бини. Все опциональные процессы оказываются прогрессивно измеримыми, но существуют S X ^-измеримые согласованные процессы, которые не являются прогрессивно измеримыми. Пусть Л обозначает a-поле, порожденное прогрессивно измеримыми процессами. Имеют место следующие включения:

S с (7 с Л c.S a SX^"•

Хотя ряд общих утверждений относительно ^ и О обобщается на Л, мы не будем использовать их в этой монографии.

4

Процессы квадратической вариации

Введение

В оставшейся части этой книги мы будем рассматривать только такие интеграторы, которые представляют собой непрерывные локальные мартингалы. По предложению 1.9 они автоматически оказываются локальными /Амартингалами. Более обширное исследование, включающее изучение непрерывных справа интеграторов, потребовало бы более глубоких рассуждений, которые вряд ли подходят для включения в такую небольшую книгу.

В этой главе мы введем процесс квадратической вариации, связанный с непрерывным локальным мартингалом. Этот процесс играет важную роль при выводе формулы Ито в гл. 5.

Определение и характеризация квадратической вариации Определение. Для /е Р_ разбиение л? отрезка [0, ^] представляет собой конечное упорядоченное подмножество л/ = = (fo Л, • • •, Д} из [0, t\, такое, что 0 = t0 < t\ С ... ... < tk = t. Обозначим

6л, = шах{ U/+i — tj I, / = О, 1, ... , к— 1} размер лг. Если (л", п е N] — некоторая последовательность разбиений [0, /], то для каждого п обозначим tin, j = 0, 1, .. . , кп, точки разбиения л”.

Основным результатом этой главы является

Теорема 4.1. Пусть / е R+ и {л", п е N} — некоторая последовательность разбиений [0, /], такая, что Пш бл” = 0.

Предположим, что М является непрерывным локальным мартингалом и для каждого п положим

где сумма распространяется на все tjn, такие, что и 1!п, и tyWn принадлежат л". Тогда

если М ограничен, то {s", /zgN} сходится в L2 к t

[M]t= (Mt)2 — (MQ)2 — 2^ М dM,(4.1)

о

(И) {S?, « е N} сходится по вероятности к [М]^

Мы назовем случайную величину [М] #, определенную в (4.1), квадратической вариацией М в точке t и [М] = {[Л1] ^, t е R+} процессом квадратической вариации, связанным с М.

Замечание. Существенным здесь является то, что разбиения nt не зависят от со. Действительно, в противном случае верхняя грань сумм квадратов S? по всем разбиениям, зависящим от со, может быть равной +°°-

Прежде чем доказывать теорему 4.1, рассмотрим один важный пример.

Пример. Рассмотрим случай, когда М есть броуновское движение В в R. Процесс квадратической вариации [В] неотличим от процесса {^, /еР+}.

Доказательство. Так как [В] и {/, / е R+} являются непрерывными процессами, то для доказательства их неразличимости достаточно показать, что [В]< = ^ п. в. для каждого t. С этой целью мы построим разбиения [0, /], такие, что последовательность^?, п е N} сходится в В2 к П Для каждого- п положим

^п = ~ Для 1 = ^> 1> п и

^n^Bty^-Bt^2-^ для / = 0, 1, /г-1.

Тогда

Е {(в? - О2} = Е |(Д А/«У} = Д Е ВД =(4-2)

где мы воспользовались равенствами

EVM^tIn^ = 0 И ВДД^}--^-.

Последнее равенство справедливо в силу возможности вычислить четвертый момент

Е ив (/ц+иД- в (О4} = 5-.

Вычисление может быть осуществлено с помощью дифференцирования характеристической функции нормально распределенной сл. в. с дисперсией —. В силу (4.2) lim S^ — t в

L2. Из теоремы 4.1 (11) следует, что [В]< = / п. в. 1

Доказательство теоремы 4.1. Сначала мы докажем утверждение (1), а затем используем его для доказательства утверждения (ii).

Доказательство утверждения (1). Предположим, что процесс М ограничен. Тогда

Я = X {(«,„„„„)’ - (М,,„у - 2M,„, (М,^,, „ - М,,.)} = t

= (/И/)2 - (Afo)2 -2^Хп dM.(4.3)

о

Здесь Хп— ограниченный предсказуемый процесс, определяемый для (s, ы)е R+X И следующим образом:

X4s, to^Y. Mts» 1(</п, ti+u^s, со).

По непрерывности М имеем, что Hm 1 (0, рХп = 1 (о, и М пото

чечно на R+ ХН и также в S'2 в силу теоремы об ограниченной сходимости. Следовательно,

сt

Hm Хп dM = \ М dM в L2п~>°° оо

на основании изометрии (см. равенство (2.10)). Отсюда и из (4.3) вытекает желаемый результат.

Доказательство утверждения (И). Обратимся теперь к случаю, когда М является произвольным непрерывным локальным мартингалом. Сначала заметим, что в силу (2.27) выражение, стоящее в (4.1) справа, равно

t

{Mt)2 - W - 2М0 {Mt - Мо) - 2 $ (М - Мо) d (М - Мо) = о

t

= {Mt - М0)2 - 2 ^ (М - Мо) d (М - Мо). о

Так как значение этого выражения и суммы St не изменятся, если М заменить на М— Мо, то мы можем предположить, что Мо = 0. Положим

Т& = inf {s > 0: ]Ms | > /г} для каждого fceN.

Тогда {rj является локализующей последовательностью для М, так что Мй = {М5дт&, s е R+} представляет собой ограниченный непрерывный мартингал для каждого /г. Так как

при О

'< s

I

Тк, то

Применив утверждение (i) к Мк, получим, что стоящая справа сумма сходится в I? и, следовательно, она сходится по- вероятности к [ЛР] / при п->оо. На множестве {и: ^^тДсо)} tt

имеем Мк = М и ^ Mk dMk = ^ М dM п. в. по определению оо

интеграла (см. абзац, следующий за леммой 2.10). Таким образом, учитывая (4.1),

1в<ч}[МАЬ=1{<<ч}№ п. в.

Следовательно, для каждого к при п-*оо

^^Ч}5”^ ^^Ч}^^ по вер.

Отсюда следует, что S” —> [Л4]# по вер., так как

Р(У {^Tj) = l. |

Свойства квадратической вариации L2 мартингала

В следующей теореме мы перечислим некоторые результаты для случая, когда М является непрерывным Л2-мартин- галом, и дадим вывод основного представления меры Долеан цм в терминах [Л4].

Определение. Процесс U = ^Ut, te R+} назовем

возрастающим тогда и только тогда, когда U согласован и для почти каждого со функция t-vUi^a^ возрастает на R+;

интегрируемым тогда и только тогда, когда Ut^D для каждого t.

Теорема 4.2. Пусть М— непрерывный Т^-мартингал. Тогда справедливы следующие утверждения-.

[Л4] = {[АД, 1eR+) является непрерывным интегрируемым возрастающим процессом с [Л4]о = 0;

) \ Й4 dM, t eR+ г является непрерывным мартингалом

с нулевым средним;

для каждого t последовательность {S?, п е N}, определенная в теореме 4.1, сходится в L1 к [А4](;

объем Л[.и], определенный по [Л4] в гл. 2, может быть представлен в виде

/ад (Л) = Е/ад (Л) = Е(4.4)(4.4)

/ад (Л) = Е

/ад (Л) = Е

(4.4)

(4.4)

для каждого А^^ и, более того, Х[м] = Цм на s^\

для X ^ К- ^, М) и каждого t справедливо равенство

ЕЕ(АД2 d [М](АД2 d [М]$ k^A)2^-R+ X й$ k^A)2^-R+ X й(4.5)(4.5)

Е

Е

(АД2 d [М]

(АД2 d [М]

$ k^A)2^-

R+ X й

$ k^A)2^-

R+ X й

(4.5)

(4.5)

Доказательство. По поводу утверждения (i) заметим, что непрерывность и согласованность процесса [Л4] и равенство [Л1]о = 0 вытекают из (4.1). Для доказательства свойства интегрируемости для каждого / определим St> как указано в теореме 4.1. На основании ^-интегрируемости М, свойства ортогональности £{Mr(Ms— Мг)}=0 для г < s и первого равенства в (4.3), которое выполняется даже тогда, когда процесс М не является ограниченным, заключаем, что SjeL1 и

(4.6)(4.6)

(4.6)

(4.6)

При п-*<х> имеем, что £"->[^4]^ по вер. Отсюда по лемме

Фаг' получим

£фИ]г)<£Ж)2-(М0)2}.

Таким образом, [ЛДе/J, что доказывает интегрируемость [ЛД. Чтобы доказать, что функция /->-[Л4] Дю) возрастает для почти каждого со, достаточно показать, что [Л4] s гСДЛД г п. в. для фиксированных s и t, s <_ t, так как [Л4] имеет непрерывные траектории. Но это вытекает из теоремы 4.1 (ii). Действительно, если {лД, ие Д — последовательность разбиений [0, s] с дл"->0, то путем добавления точек из (s, Z] она может быть преобразована в последовательность {л" и е N) разбиений [0, t\ таким образом, что 6л" = 6л" и £" ^ ^£" для каждого п. Применение теоремы 4.1 (ii) и последующий предельный переход при rwoc по некоторой подпоследовательности ведут к желаемому результату: [Л1] $ ^

[М]t п. в.

Для доказательства утверждения (ii) мы воспользуемся

теоремой 2.11: т \ М dM, i-Ar является непрерывным ло- '•о'

кальным мартингалом. Пусть {тД—локализующая последо-

вательность для него. Чтобы доказать, что он является мартингалом, для этого достаточно по предложению 1.8 дока-

чинчинзать, что для каждого / последовательность случайных вели-

чин

чин

равномерно интегрируема. В силу

о

(4.1) имеем

J Л1ДИ = 1{(М/Лт^-(Л10)2НЛ1]^

J мам оJ мам оТак как процесс [Л4] п. в. возрастает, отсюда следует, что

J мам о

J мам о

< 4 {(^ л гJ2 + (Я)2 + [Л1Ц п. в. (4.7)

J Мам оJ Мам оВвиду того что последовательность марковских моментов {(Ат^, й е N} ограничена числом t, имеем по следствию 1.7 из теоремы Дуба об остановке, что последовательность случайных величин {(М<дТб)2, & е N} равномерно интегрируема. Величины (Л40)2 и [ЛД принадлежат Lx. Отсюда сле

J Мам о

J Мам о

дует, что последовательность случайных величин

ZzeNf равномерно интегрируема, что и требовалось доказать.

Следовательно, <\Л1(/Л1, /еД? представляет собой мар-

*-о'

тингал и его среднее значение совпадает с его начальным значением, равным нулю.

По только что доказанному свойству равенства нулю среднего значения упомянутого мартингала (4.1) и (4.6) мы имеем, что Е (S") = £([Л4]Г) для всех п и I. Так как St и [ЛД суть положительные случайные величины, то по предложению 1.1 последовательность {S", n е N} сходится в L1 к [АД для каждого t. Тем самым доказано утверждение (iii).

Для доказательства утверждения (iv) в силу свойства линейности интеграла достаточно доказать следующие равенства:

W = E

1^[Л1] 1 = цм(Д)

(4.8)

для всех предсказуемых прямоугольников R. Если R = = 1 (о) х к„, где Foe9"o, то Z|mi (/?) и рм (R) по определению

равны нулю и ^ 1R d [Af], = 0, так как функция s->[A4]s о

непрерывна в точке s = 0. Если /?=1(S, цхf, где s < t и

^(/?) = ^{1f(OT-W} =^(/?) = ^{1f(OT-W} =F е то

^(/?) = ^{1f(OT-W} =

^(/?) = ^{1f(OT-W} =

и

= Е И F НМ], - [Al]s + 2 J M dM j J .

Последнее равенство здесь выполняется в силу (4.1). Далее, по утверждению (ii) имеем

Отсюда следует, что Esl^l \ Af dM I г = 0. Комбинируя при- X \s / )

веденные выше соотношения, заключаем, что равенства (4.8) выполняются, откуда следует справедливость утверждения (iv).

Правая часть в (4.4) определяет меру на множествах А из ^, которую мы также обозначим Ари]. По утверждению (iv) мера Л[М] совпадает с ц^ на ^ и, следовательно, на 9 по теореме о единственности продолжения меры с л/ на 3я. Пусть ZeR+. Если X — индикаторная функция некоторого множества из З9, то 1[о, пРО2 также является функцией такого же вида и, в силу равенства Л[м] и цЛ1 на ^> отсюда следует, что в этом случае выполняется равенство (4.5). По свойству линейности интеграла равенство (4.5) выполняется для ^-простой функции X. В общем случае, когда ХеЛЕ?, М), найдется последовательность ^-простых функций {Хп}, такая, что 1 р, ц (2С")2 f 1 р, д (X)2 при /г->оо и, следовательно, (4.5) выполняется для X по теореме о монотонной сходимости. I

Прямое определение цм

При определении (4.1) процесса квадратической вариации [AI] и доказательстве теоремы 4.1 мы использовали стохастический интеграл и, следовательно, сформулированный без доказательства результат о возможности продолжить рм с ^ до меры на 9. В случае непрерывного и ограниченного мартингала М мы можем непосредственно доказать, что последовательность сумм квадратов {S?> meN} .сходится в L2 к пределу St и при этом оказывается, что S = {St, t е R+} представляет собой возрастающий процесс, a {(Alt)2 — — (Alo)2 — St, te R+} является мартингалом. Далее, правая часть в (4.4) с S вместо [А4] определяет меру на множествах А из 9, которая совпадает с цм на ^, так как S обладает всеми свойствами [А1], требуемыми при доказательстве теоремы 4.2 (iv). Следовательно, для таких М мера рм может быть определена на ^. Этот подход и следующая теорема, в которой доказывается сходимость {S">п е N), заимствованы из заметок М. Дж. Шарпа.

Теорема 4.3. Пусть М — непрерывный ограниченный мартингал. Для любых tun положим.

tjn = tW-n^ для /'eN0

S? = f(M,„+l,

Тогда для каждого t последовательность {St> п е N} сходится в L2. Если St обозначает Ь2-предел этой последовательности, то {(А1/)2 — (Alo)2 — St, te R+} является мартингалом и существует модификация процесса {St, t е R+}, являющаяся непрерывным возрастающим процессом.

Доказательство. Перепишем S? в следующем виде:

S?- Д {(М. „+1, ^ - (M.J - 2М ,,„ (Я, „+„ „ - «,„,)) -

- «М? - W - 2 Д М,,„ (М, „+ „ „ - М,,,).(4.9)

Для каждого фиксированного п и для t, принадлежащего некоторому ограниченному интервалу, последняя сумма в (4.9) содержит только конечное число ненулевых слагаемых, каждое из которых является непрерывным мартингалом. Отсюда следует, что сумма представляет собой непрерывный мартингал для каждого п.

Фиксируем 1. Чтобы доказать, что последовательность {S?, и е N} сходится в L2, докажем, что она является после-

довательностью Коши в L-. Для фиксированных т < п положим tj = tin и Z< =/Д (2—"‘[у^"1-"]), где / g No и [•] обозначает «целую часть». Тогда ^^// и ] ^ — /у|^2-т и по (4.9) имеем

Г']

S? - sr = -2 £ (Mtj - М/) (Mtj+1 - Мц).

Для каждого / положим Zj = Mb — М/ и заметим, что ! i

Zj е STtr Тогда для j < k имеем, что Z/^Mt/+1 — Mt^ Zk е 3"tk и ортогонально к MtkAA— Mtk в т°м смысле, что

Е {Zi {Mtj+} - Mt^ Zk (Mtf^ - №ft)} = 0.(4.10)

Следовательно,

£{(5?-5Г)2} = 4е{ X Z^Mt(4.11)

так как члены, полученные при перекрестном произведении, равны нулю в силу (4.10). Положим

W? = sup (Ms - М^,г, s

где верхняя грань берется по всем 0 ^ г ^ s ^ t, таким, что 0 ^ s — г ^ 2-”’. Тогда математическое ожидание в (4.11) мажорируется величиной

I /=0)

По неравенству Шварца эта величина меньше или равна

£{(ГГ);}е{(Х^ЛП/+1^^•(4.12)

В силу равномерной непрерывности функции ц->Л4м(а>) на [0, Z] имеем

lim ^(ю) = 0.т> оо

Отсюда следует, что эта сходимость имеет место также и в L2, так как процесс М ограничен. С целью показать, что второе математическое ожидание в (4.12) ограничено, введем величину aj = (Mtj+V — Mt^2 для каждого / и возьмем некоторую мажоранту С для М. Это математическое ожидание записи-

вается в следующем виде:

а/ + 2 Е А Е «Л =

/-о / ) I //»>/ J

= Е { Е а^ + 2Е { Е сцЕ QE ак | ^/+1) j . Здесь

Е а2 < (max az) ( Е «/) < 4С2 Е аь

и в силу (2.3) имеем

£ (У® I ^</+,) = У £ {(«<„, - M<ty I sr,,+l) _

-LEtM^y-VMV^-

-£{(адгщ,м,/+у|;г,,+1}<<Л

Комбинируя приведенные выше соотношения и используя ^4.6), получим

(/ГЧ ч2!

Е Е ) < (4С2 + 2С2) Е ( Е а^ =

= 6С2Е W-wy

Отсюда следует, что величина в (4.12) стремится к нулю при п->оо и пг-^-оо и, следовательно, St — ST—»0 в L2. Тем самым доказано, что последовательность {Sz, п е N} является последовательностью Коши и поэтому она сходится в L2.

Для каждого / пусть Sz обозначает /Апредел {<$?, /zeN}- Так как мартингальное свойство сохраняется для ^-пределов, то в силу (4.9) процесс У={(Л41-)2— (А10)2 — Sz, 1eR+} является /Амартингалом. По тем же самым соображениям, которые использовались при доказательстве теоремы 2.5, найдется непрерывная модификация У, которую мы снова обозначим У. Тогда {(АП)2— (zW0)2—Yt, / е R+} представляет ■собой непрерывную модификацию S, и так как величина St определена только как /Апредел, то можно считать, что Sz = = (Л1<)2 — (АМ2—Yt для всех t. Так как М и У являются согласованными процессами, то то же самое верно и в отношении S. Чтобы доказать, что S возрастает, достаточно показать, учитывая непрерывность траекторий, что Ss $5 Sz п. в. для s <Lt. Имеем

St - Ss = lim (S? - S2) в L2-

Используя прежнее обозначение t, и положив ^=inf{/: Zy>s}, получим

s"-S-^^м,,^ -«,,.)=) +

Как показано ранее,

I (Mtfc - М^)2 - (< - Л!^)21 < 2Г?-> 0 в L2

при п-*оо. Таким образом,

Sf-Ss= lim X QVIу

П->со tj>s x ' +

в L2, и поэтому эта разность положительна и. в. I

В том случае, когда М является непрерывным ^-мартингалом, мы можем осуществить продолжение цм с ^ на ^ следующим образом. Можно предположить, что ^0 = 0, так как Л1 и М— Мо индуцируют один и тот же объем рм на ^. Так как М представляет собой локальный мартингал, то найдется локализующая последовательность {т*}, такая, что процесс /И6 = {ЛДдТб, zeT + j ограничен для каждого к, и поэтому можно определить ри* на ^, как указано выше- Тогда равенство

tt

определяет непрерывный локальный мартингал без использования ц.и. Отсюда можно вывести уравнение (4.1) и теоремы 4.1 и 4.2. В частности, правая часть в (4.4) определяет меру на 5s, которая совпадает с рм на ^.

Разложение (Л1)2

Далее мы обсудим разложение, указанное в (4.1), непрерывного локального субмартингала (Л1/)2 в виде суммы не

прерывного локального мартингала (/И0)2 + 2 М dM и непре- о

рывного возрастающего процесса [М] t. Мы начнем с обсуждения канонического примера броуновского движения.

Пример. Если В есть броуновское движение в R с Во е L2, то в силу формулы (4.1) и примера, помещенного за этой фор-

мулой, имеем, что п. в.

t

№ = № + 2^ BdB + t.о

По теореме 4.2 процесс -j(B0)2 + 2^ BdB, <ePj является I о

непрерывным мартингалом. Ясно, что {/, t е R+} представляет собой непрерывный интегрируемый возрастающий процесс с нулевым начальным значением.

Для непрерывного /Лмартингала Л1 в силу (4.1) мы имеем следующее разложение непрерывного субмартингала (М)2:

t

(M,)2 = (M0)2 + 2 J MdM-HM],.(4.13)

о

По теореме 4.2 процесс s (Л40)2 + 2 М dM, iErJ представляет собой непрерывный мартингал и [VH] является непрерывным интегрируемым возрастающим процессом с нулевым начальным значением. Это разложение, на самом деле, единственное (с точностью до неразличимости) представляет собой частный случай теоремы Дуба-Мейера о разложении (см. Делашери и Мейер [8, VII-9]). Доказательство единственности, которое мы приведем, основано на следующей лемме.

Лемма 4.4. Пусть U и V — непрерывные интегрируемые возрастающие процессы с Uo = Vo = 0. Предположим, что U — V есть мартингал. Тогда U и V неразличимы.

Доказательство. В силу непрерывности траекторий достаточно доказать, что P(Ut— V/)= 1 для каждого t. Так как U и V согласованы, последнее будет следовать из того, что Е^ZUt^ = Е^ZVдля всех ZebSTt. Для каждого п пусть

1!п = ^- Для / = 0, 1, ..., п и

Win = Utin-U4i_^n для /=1, 2, ..., п.

Тогда для Z е ЬЗ" t получим

£(Z^a=lim £ E^WinY

П-»оо j=l

Так как процесс U согласован, имеем

Е (Z №in> = E^E(Z №in \rtjn^ = = E^inE(Z\^tin)y

У процесса ^E(Z\9"S), s e R+} имеется модификация, непрерывная справа с конечными пределами слева (см. Чжун [3, -с. 26, 30]). Обозначим эту модификацию {Zs, seR+}. Тогда по сказанному выше

Е (ZUt) = Пт Ye (Zt. (zXL^) = £ M Zs dUs).

Второе равенство здесь выполняется в силу непрерывности справа процесса {Zs, s е R+} и теоремы об ограниченной сходимости. Так как процесс U непрерывен, то dUs не выделяет точки скачков {Zs, s е /?+} и, следовательно,

tt

Zs dUs = Zs_0 dUs.оо

■Функция s-^-Zs- непрерывна слева и поэтому tп

J Zs_odUs = lim^ £ ZZ(/_1)n (Л<7)/га.

Комбинируя приведенные соотношения, получим

E(ZUt)= lim

Замена U на V приводит к аналогичному выражению для E^ZVtY Так как U—V является мартингалом, то

я, следовательно,

E(Ztu_Un№iny==E(Ztu_^n^V)in)

для / = 1, 2, ..., п и всех п. Отсюда вытекает, что E(ZUt) = = E^ZVtY что и требовалось доказать. |

Следствие 4.5 представляет собой локальный вариант .леммы 4.4.

Следствие 4.5. Предположим, что U и V являются непрерывными возрастающими процессами с Uo = Vq = 0, такими, что U—V есть локальный мартингал. Тогда U и V неразличимы.

Доказательство. Применить лемму 4.4 к локализациям Uk и Vk процессов U и V и затем устремить k-^-oo. |

Следующая теорема о разложении представляет собой непосредственное следствие (4.13) и леммы 4.4.

Теорема 4.6. Пусть М—непрерывный LP-мартингал. Тогда существует единственное разложение (М)2 в виде суммы непрерывного мартингала и непрерывного интегрируемого возрастающего процесса с нулевым начальным значением. Это разложение для каждого t имеет вид

(ЛЕ)2 = ( «)2 + 2 J М dM ) + [Л1],.(4.14)

о 2

Если М— непрерывный локальный мартингал, то равенство (4.14) по-прежнему остается верным, но в этом случае (Л4О)2 + 2 ^ М dM оказывается локальным мартингалом и про- о

цесс [Л4] не обязан быть интегрируемым. Единственность разложения вытекает из следствия 4.5. В результате приходим к следующей теореме.

Теорема 4.7. Пусть М— непрерывный локальный мартингал. Тогда существует единственное разложение (Л1)2 в виде суммы непрерывного локального мартингала и непрерывного возрастающего процесса с нулевым начальным значением. Это- разложение дается формулой (4.14).

Предельная теорема

Приводимая ниже теорема потребуется в следующей главе при доказательстве формулы Ито.

Теорема 4.8. Пусть М — непрерывный локальный мартингал и У — ограниченный, непрерывный согласованный процесс. Пусть t е R+ и {л?, п е N) — некоторая последовательность разбиений [0, /], такая, что lim дл? = 0. Для каждого п е N. пусть

где сумма распространяется на все j, такие, что tjn и t(j+i)K принадлежат я". Тогда последовательность (Zn, n е N} exo* t

оится по вероятности к ^Ksd[M]s. о

Доказательство. Последовательность {№„, п е N}, определяемая по правилу

сходится п. в., и, следовательно, она сходится по вер. к t

У, d [M]s.Чтобы доказать сходимость по вер. последователь-

о

ности {Z,,} к тому же пределу, достаточно доказать, что разность R4,

Rn^Zn-Wn =

- I- .И,,Д - ((Al],„+1„. - [«J,,.)}, (4.15)

сходится по вер. к нулю. По причинам, указанным в теореме 4.1(11), достаточно рассмотреть случай, когда процесс М ограничен. В этом случае для 0 г < s t имеем

«-Я)2-([Ж-[Л4]Г) =

= ((М.)2 - [M]J - («)2 - [Л1]г) - Жг (М$ - МЛ =

= 2 < ^VI dM — Mr (Ms — МЛ к (4.16)'

Второе равенство здесь выполняется в силу (4.1). Для каждого п определим процессы У" и М" следующим образом:

и

Тогда на основании (4.15 )и (4.16) имеем

= 2 ^ У" (М - М’Л dM. о

Второе равенство здесь выполняется по теореме 2.7(1). В силу непрерывности процессов У и М последовательность 1[0> z] У"(М — Мп) при /г-э-оо сходится поточечно к нулю на ₽+ХЙ, и, следовательно, она сходится в 2"2 по теореме об ограниченной сходимости. В качестве следствия изометрии имеем, что разность Rn сходится в L2 к нулю и поэтому она также сходится по вероятности. 1

5

Формула Ито

Введение

Одним из наиболее важных результатов в теории стохастических интегралов является правило замены переменных, известное как формула Ито, названная в честь Ито, который первый ее доказал в специальном случае интегрирования по броуновскому движению. Основные свойства формулы Ито выражаются следующим образом. Если М — непрерывный локальный мартингал и f — непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция на R, то формула Ито для f(M<) имеет вид tt

f (Mt) - f (M^ = J f' Ш dMs + 4- 5 Г W d [Д4]s.(5.1)

оо

Сравним се с фундаментальной теоремой из теории функций вещественных переменных. Здесь присутствует дополнительное слагаемое, включающее в себя процесс квадратической вариации.

Для функции f(x) = x2 формула (5.1) сводится к определению квадратической вариации.

Одномерная формула Ито

Определение. Процесс V называется процессом локально ограниченной вариации тогда и только тогда, когда он согласован и для почти каждого со функция 1-* РДсо) имеет ограниченную вариацию на каждом конечном интервале в R+. Замечание. Некоторые авторы называют процесс V процессом локально ограниченной вариации, если он согласован и существует последовательность марковских моментов {та}, возрастающая к бесконечности, такая, что для почти всех со функция /—> Vt д xk (го) имеет ограниченную вариацию на R+ для каждого к. Это определение эквивалентно нашему определению, когда процесс V непрерывен — случай, который здесь только и рассматривается.

Рассмотрим пару (At, V), где М — непрерывный локальный мартингал и V — непрерывный процесс, являющийся процессом локально ограниченной вариации. Ниже для этой пары доказывается формула Ито. Так как М и V— вещественнозначные процессы, то ее упоминают как одномерную

-формулу Ито. Многомерная формула Ито для векторнозначных процессов обсуждается в этой главе позже.

Теорема 5.1. Пусть М— непрерывный локальный мартингал и V — непрерывный процесс локально ограниченной вариации. Пусть f— непрерывная, вещественнозначная функция, ■определенная на R2, такая, что ее частные производные df ,. d2f ,, df , х

-~- (х, у),(х, у) и ~~ (х, у) существуют и непрерывны

ихихО у

иля всех (x, у) из R2. Тогда п. в. для каждого t имеем

t

.f <Mt, Vt) - / (М„ Vo) = J ^ «, Vs) dMs +0

tt

+ №«, VsWs + -^\-5hms, V$№]3. (5.2) 00

Ради ясности мы пишем временной параметр s в сто- t

хаотическом интеграле ^-^-(Ms, Vs)dMs. Читатель должен о

помнить, что этот интеграл определен в стохастическом смысле, а не потраекторно. Наводящее соображение для написания (5.2) состоит в правиле составления дифференциалов:

dHMt, vt) = -^(Mt, vt)dMt +

+ ^Wt, y^dVt + ^-^-^h, Vt)d[M]t. (5.3)

Точная интерпретация (5.3), конечно, заключается в интегральной форме (5.2).

Пример. Пусть В обозначает броуновское движение в R и пусть f(x) = x2. Для М = В и f (х, у) = [(х) формула (5.3) принимает вид

d(Biy2 = 2BidBi + d?.

Формально эта формула наводит на мысль, что (dBt)2 = dt. В случае произвольного процесса М подходящей формальной записью является (dMt)2 — d [А4] t. Эвристически это объясняет присутствие дополнительного члена в формуле Ито.

Доказательство теоремы 5.1. Так как обе части в равенстве (5.2) представляют собой непрерывные процессы, то достаточно доказать, что (5.2) выполняется п. в. для каждого t. Пусть {л?, я е N} — последовательность разбиений [0, /|, та-

кая, что Нт дл" = 0. Мы будем пользоваться обозначениями для точек деления из л" и сумм по ним, которые были введены в гл. 4. Таким образом, имеем

№. V^-^M», Vo) =

= X V U^tj+nn’ Vi(Hnn) — ЦМ1и+Оп, Vtln) +

+ UMW У^-ЦМ^ УчЛ (5.4)

По теореме Тейлора правая часть этою равенства может быть переписана следующим образом:

i

+ Т (^НЛ,Ы • Щ ) + =«) где

|',,„)-^-(м.„. к,м) И

4г = 4^-(ДД. - Vt., Vt. )

OX4 \in; oxz Via )

для некоторых случайных моментов т(п и щГ1 из (^п, /у-цД- Для каждого го функции

(г, sW^-«, 1/5.)Н и (г, s^->^L<Mr, VS1H равномерно непрерывны на [J, tY и, следовательно,, sup | e}„ (со) | и sup[e/n(©)| стремятся к нулю при га->ос. Из этого свойства функции е’п(©), непрерывности функции s —> -^- (AT, Ks)(co) и того, что функция s -> Из (со) имеет ограниченную вариацию на [0, z] для почти каждого го, следует, что

t

Z «- (-и-„. •- О,,) - $ ^№.. V.W.

!о

п. в. при п->оо.Из упомянутого свойства функции еу2„(го)г того факта, что

Е(МйУ+1)„-Мь.п)2^[М]г по вер.

при п-^-оо, и теоремы 4.1(ii) следует, что

X £^(Mtti+\)n — Mtjnf по вер. при п -> оо.

Доказательство будет проведено в два этапа. Сначала мы ал di d2f

.докажем, что если М — Af0, -^- и дх-2- являются ограниченными процессами, то члены в (5.5), включающие эти две производные, сходятся по вер. к соответствующим членам в (5.2). Затем мы распространим (5.2) на общий случай с помощью аппроксимации f функциями с ограниченными частными производными и использования локализующей последовательности для М и V.

df d2f

Предположим, что М — Л40, и - ограниченны. Тогда цм является конечной мерой на ST Для каждого п процесс Хп, определяемый следующим образом:

ХП = ^Г^М»’ Vo) ^ХЙ + 2 ЛГ^, 4J

является предсказуемым, и последовательность V^ сходится поточечно на R+XH к 1[0<1-^-(Д, У), и, следовательно, по теореме об ограниченной сходимости она сходится в S'2. Далее, в силу изометрии и того, что dM = d^M— Мо), имеем

‘t

vw

о

в Л2 при п^-оо. Аналогично, по теореме 4.8, для У = = -^- (ЛГ, 7) получим, что

/О

по вер. при п->оо. Отсюда следует, что выражение в (5.5)сходится по вер. к правой части в (5.2) и, значит, формула(5.2) выполняется п. в. Таким образом мы доказали теорему,,di d2i

в том случае, когда М — 7И0, -ууу и ■ ^-2 ■ ограниченны.

Чтобы распространить утверждение на общий случай, пусть gn для каждого п обозначает непрерывную вещественнозначную функцию на R2, такую, что gn = f на

^ = [-(^ + 1), («+1)]Х[-(«+ 1), («+1)1

дйп д2гп

и ее производные -дх ,—^—- существуют, непрерыв

ны и ограниченны в R2. Обозначим тп = inf {/ > 0; | Mt—Мо I V V I V; I > и} и Мп = {Л1/д Хп, /eR+}. Тогда процессы Мп — Мо, ^- и "Дг" оказываются ограниченными. Следовательно, (5.2) выполняется с М", gn и i Д т„ вместо соответственно М, f и t. Таким образом, п. в. для всех / имеем

'АД,

gn<MtMn, Vt^n)-gM, Vo)= ^ Sr^’ VydMs^

о

<Лтл;дтл

+ $ -^Г^’ Vs)dVs-V^- 5 "V^- WW, (5.6> оо

Для каждого фиксированного t выполняется неравенство гп > t для всех достаточно больших п, зависящих от со, и для таких п равенство (5.6) выполняется при / и / вместо f Л тл и gn. Отсюда после перехода к пределу п —>-<х> в (5.6) вытекает (5.2). I

Далее мы определим процесс взаимной вариации, связанный с двумя непрерывными локальными мартингалами. Это понятие потребуется при выводе многомерной формулы Ито.

5.3 Процесс взаимной вариации

Пусть М и N— непрерывные локальные мартингалы. Тогда М Д N и М — N также являются непрерывными локальными мартингалами. Поэтому по теореме 4.7 процессы (уИ + jV)2 — [М + Af] и (М— jV)2— [Л1— //] представляют собой локальные мартингалы и, следовательно, таковым же является процесс

MN - -1- ([М + ^] - [М - N^ =

= -L ((Л1 + МУ -[М + N]-(M- му + [М - Аф. (5.7)

Определение. Для непрерывных локальных мартингалов М и N определим

(М, N} = 4"^ + ^ - № - АФ-

Назовем <М, N) процессом взаимной вариации для Л1 и N.

Заметим, что (М, М)= [М]. Таким образом, процесс взаимной вариации представляет собой не что иное, как обоб-

щение процесса квадратической вариации точно так же, как. ковариация обобщает понятие дисперсии. По этой причине- некоторые авторы называют [Л4] дисперсией процесса, а <М, N) ковариацией процессов.

Процесс (М, N) является разностью двух непрерывных возрастающих процессов и, следовательно, представляет собой непрерывный процесс локально ограниченной вариации. Таким образом, в (5.7) мы имеем разложение произведения MN, которое формально описывается следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть М и N — непрерывные локальные мартингалы. Тогда существует единственное разложение произведения MN в виде суммы непрерывного локального мартингала и непрерывного процесса локально ограниченной вариации: с нулевым начальным значением.

Доказательство. Существование разложения следует из (5.7),. так как правая часть этого равенства является локальным мартингалом, а процесс <М, /V) обладает упомянутыми выше- свойствами и его начальное значение равно нулю. Единственность вытекает из следствия 4.5. В связи с этим заметим, что непрерывный процесс является процессом локально ограниченной вариации тогда и только тогда, когда он представим в виде разности двух возрастающих непрерывных процессов. 1

Если М и N к тому же являются /Лмартингалами, то по. теореме 4.6 правая часть в (5.7) представляет собой мартингал, а [М + vV] и [уИ— ;V] являются интегрируемыми процессами. В этом случае мы имеем следующее уточнение тео^. ремы 5.2.

Теорема 5.3. Пусть М и N — непрерывные Ь2-мартингалы: Тогда существует единственное разложение произведения МН в виде суммы непрерывного мартингала и непрерывного интегрируемого процесса локально ограниченной вариации с нулевым начальным значением. Более того, для 0 ^ s <Zt имеем

Е UMt - Ms) (Nt - Ms) | ^J = E (MtNt - MSNS | ^J =

= E{(A4, N>t-(M, N)S\TS}. (5.8>

Доказательство. Существование разложения было установлено выше, а единственность вытекает из теоремы 5.2. Первое равенство в (5.8) следует из результата применения операции условного математического ожидания относительно 9" s к тождеству

(Mt-Ms^Nt-Ns) =

= MtNt - MSNS - (Mt - AQ Ns - (Nt - Ns^ Ms-

Второе равенство в (5.8) является следствием того факта, что разность MN— <М, N> представляет собой мартингал. 1

Следствие 5.4. Пусть М и N — непрерывные локальные мартингалы и т — марковский момент. Для каждого / обозначим Ml = М< д т и N’t = Nt дт- Тогда п. в. для каждого t имеем

(Мт, Nx)t = (M, ^(Лг-(5.9)

Другими словами, это следствие утверждает, что процесс взаимной вариации двух непрерывных локальных мартингалов, остановленных в один и тот же марковский момент, неотличим от процесса взаимной вариации этих процессов, остановленного в тот же самый момент.

Доказательство. В силу разложения MN величина {M'N^t представляет сумму значений локального мартингала, вычисленного в момент t Ат, и (vW, П^дх- Поэтому (5.9) является ‘следствием единственности представления МХМХ.. 1

Следующая характеризация процесса взаимной вариации играет определенную роль в доказательстве многомерной формулы Ито.

Теорема 5.5. Пусть М и N — непрерывные локальные мартингалы. Для каждого t пусть {л", п е N} — последовательность разбиений [0, /], такая, что Нт бл" = 0. Тогда при П->оо

П-> оо

Е (^,„+ „ „ - м,,„ ) (N,„tll „ - N,„) . (М, М), по мр.

(5.10)

Если М и N к тому же являются Т^-мартингалами, то сходимость в (5.10) имеет место также и в 1Д {Обозначения в (5.10) те же самые, которые использовались в теореме 4.1.)

Доказательство. По определению <М, М) и теореме 4.1 имеем (И, N), = 1 ([Я + ЛД - [Я - «],) =

='™ 7 X [{(** 'ни • + «-и» 4 " УЧ. +-

]•

где сходимость понимается как сходимость по вер. По теореме 4.2 (Hi) здесь также имеет место сходимость в D, если М и N являются /Лмартингалами. Преобразуя разность в

квадратных скобках, придем к сумме, фигурирующей в (5.10). ■

Предыдущий результат позволяет нам доказать неравенство типа неравенства Коши — Шварца.

Обозначение. Если М и N — непрерывные локальные мартингалы и s < t, то будем использовать обозначения (М, N^s для разности (М, N^ — ^M, N)s и соответственно [Л1]^ и [W]s для (ЛК М)* и (N, N)s.

Следствие 5.6. Пусть М и N — непрерывные локальные мартингалы и s < t из R+. Тогда почти всюду имеем

|<ш, ^|<M[A4T-|<ш, ^|<M[A4T-(5.11)(5.11)

|<ш, ^|<M[A4T-

|<ш, ^|<M[A4T-

(5.11)

(5.11)

Доказательство. Так как сходимость по вер. последовательности сл. в. влечет сходимость п. в. некоторой ее подпоследовательности, то по теоремам 5.5 и 4.1(11) найдется последовательность разбиений {л", n е N} отрезка [s, Z] (определяемых очевидным образом) с размером л", стремящимся к нулю при п-^-оо, такая, что п. в.

ии(М, ^ = nlim ^^-Mt^Nt^(5.12)

и

и

(5.13)(5.13)MMj:= lim ^(М^-М^у,JMs = lim ^(Nt^^-N^y,

(5.13)

(5.13)

где суммирование распространяется на 1;п и /ц+цп, входящие в л". Применение неравенства Коши к правой части в (5.12) с последующим учетом (5.13) дает (5.11). I

Далее мы выведем формулу для взаимной вариации двух стохастических интегралов.

Обозначение. Если М— непрерывный локальный мартингал и ХеЛ(^, Л4), то обозначим Х-М процесс, определяемый следующим образом:

tkx.M\=\xsdMs.о

Теорема 5.7. Пусть М и N— непрерывные локальные мартингалы, Х^АП?, М) и YeA^, N). Тогда п. в. для всех t

имеем

t

{X -М, У • N)t = J XsYsd<M, N)s.(5.14)

о

Доказательство. Заменив М и N соответственно на М — Мо и N— No и используя локализующую последовательность, мы можем предположить, что М и N являются непрерывными /Лмартингалами, XeN^Y, М') и УеА2К, N).

Наш первый шаг состоит в проверке того, что правая часть в (5.14) корректно определена. Так как X и Y являются ^ X ^"-измеримыми, то для каждого со и Л$((о), и У5(ю) представляют собой ^-измеримые функции от s. Более того, для почти каждого со функция s^-<M, N>$(to) имеет локально ограниченную вариацию на R+. Тогда для таких со правая часть в (5.14) может быть определена как интеграл Лебега — Стилтьеса для каждого Г, такого, что

t

$|ХЛсо)УИ®)И<Л1, ЛН(®)< °о, (5.15) о

где |<М, ^>|s обозначает вариацию <М, N) на [0, s]. Из следующей леммы вытекает, что для почти каждого со условия (5.15) выполняются для всех tE R+.

Лемма 5.8. Пусть М и N — непрерывные Ь2-мартингалы и предположим, что ХеЛ^.М) и Y^A2(^,N). Тогда для каждого t имеем

£Н|Х5(со)УЛ®ШКЛ1,

<Ш ’»■ <i W’^,) 0 >1». -iW^)}''2- (s-16>

Доказательство. Сначала мы докажем, что для любых измеримых процессов U и V п. в. выполняется неравенство

МЭДМЭДМ1/2 (WbV]J| •М1/2 (WbV]J| •(5.17)(5.17)t

МЭД

МЭД

М1/2 (WbV]J| •

М1/2 (WbV]J| •

(5.17)

(5.17)

^sKJcZ|<M, Ш<

о

В этом неравенстве некоторые или все интегралы могут оказаться бесконечными. Неравенство (5.17) приведено в форме, указанной Кунитой и Ватанабе.

Из определения вариации, (5.11) и неравенства Коши — Шварца следует, что п. в. для всех 0 ^ и < s ^ t

|(М, N^\stt = \(M, N^-KM, N^^WuVNVuY'2- (5.18)

Фиксируем со, для которого выполняется (5.18) и правая часть конечна для 0 ^ и < s ^ t. В силу измеримости U и V имеем, что Us^ и Vs (со) являются измеримыми по Борелю функциями s е R+. Рассмотрим сначала случай, когда

ци-21«,1[,/.,/+|)М,

(5.19)

где 0 ^ /й < tx < ... < tn ^ i и ир о,- eR для j = 1, 2п» Тогда в силу (5.18) имеем

tп

\\UsVs\d\ (М, N) |$ (со) < 2 1 uiui 11 <М’ N^ |'Г1 ^ <

о/=1

<Ej^([^;+1[^

По неравенству Коши последнее выражение мажорируется величиной

К

»♦\ / п # ■1/2

которая совпадает с правой частью в (5.17), вычисленной в точке со. Таким образом, (5.17) выполняется, когда U(а) и V(co) определены, как указано в (5.19). На основании стандартных рассуждений об аппроксимации в ^-пространствах заключаем, что (5.17) выполняется в точке со для всех U (со) и К(со), для которых правая часть конечна. Этот результат распространяется на все U(со) и У(со) по теореме о монотонной сходимости. Так как множество допустимых со имеет единичную вероятность, то отсюда следует, что (5.17) выполняется п. в.

Применив операцию математического ожидания в (5.17) с U = X, V = К и воспользовавшись неравенством Коши — Шварца, а затем теоремой 4.2 (v), чтобы переписать интегралы по [•] в виде интегралов по ц, мы получим (5.16). 1

Вернемся теперь к доказательству теоремы 5.7. Так как ХеЛ2(^, М) и YeA2(^, X), то из доказанной леммы следует, что для каждого / правая часть в (5.16) конечна и, следовательно, (5.15) выполняется для почти всех со. Более того, так как интеграл в (5.15) возрастает вместе с I, то почти всюду (5.15) выполняется для всех t и потому правая часть в (5.14) корректно определена и является непрерывной функцией t. Если рассматривать ее как процесс, то в силу (5.16)

она представляет собой интегрируемый процесс локально ограниченной вариации. Следовательно, чтобы доказать (5.14), достаточно по теореме о единственности разложения (Х-М) (Y-N), о котором говорится в теореме 5.3, показать, что

(X • М\ (У • < - J XsYsd ш, N)s, г е К+[(5.20)

•о'

является мартингалом.

Сначала мы проверим это для X и У из 8, т. е. когда они имеют вид (2.6). Так как процесс (5.20) линеен отдельно по X и У, то достаточно рассмотреть случаи, когда X и У являются индикаторными функциями непересекающихся или равных предсказуемых прямоугольников. Если X или У имеет вид 1{о) xf для некоторого F ^ 9"0, то легко проверить, что процесс (5.20) тождественно равен нулю. Исключив этот случай, в силу симметрии достаточно рассмотреть следующие два случая:

Х = l(r slxF и У = 1(ц v]x с для некоторых 0<r< s< О < у < оо, Fs ,ТГ и Се ^"ы;

Х = l(r slxf и У=1(г,5]х0 Для некоторых 0<г< < s < оо, F и G из 9~г.

t

Если имеет место случай (i), то ^X2Y2d(M, N)2 = 0 и

о

{

О для 0^/^и,

Более того, lfnG (Afs — Mr)e9~и и ^Nt/X v — Nu, t^u] является мартингалом. Тогда непосредственно проверяется, что 4.X-M)(Y • Ю есть мартингал и, следовательно, то же самое верно по отношению к (5.20).

Если имеет место случай (ii), то

t

(X-M)t(Y- N)t - J X2Y2d {M, N)2 =

о

r0 для 0r0 для 0tt

r0 для 0

r0 для 0

t

t

= * Iff) G {('^ A s ^rH^f Д s ^r)

— «AI, N)t л s — <AE N4)^ для t ^ r,

где выражение в фигурных скобках может быть записано в виде суммы трех мартингалов {М< д sNt д $ — (Al, N}t л s>

Z^r}, {— NrMt^s, Z^r} и {— MrNt^s, Z^r} и еще одного члена MrNr + (М, М\. Этим самым случай (ii) выяснен.

Таким образом, процесс (5.20) является мартингалом, каковы бы ни были X и У из 8.

В более общем случае, когда Х^Х?^, М) и УеЛ2^, NV для каждого фиксированного Г е R+ найдется последовательность {Хп} из S, такая, что

Ьо, гЛ"-* 1|0, тЛ в ^(Нм) при /г-^оо

и то же самое верно, если X и М соответственно заменить на У и N. На основании только что доказанного заключаем, что процесс

] (Хп • Л1), (Уп • N\ - J XnsYsd (М, N\, Z е [0, Г]

представляет собой мартингал для каждого п. Пользуясь упомянутой ^-сходимостью, изометрией (2.10) и (5.16) можно проверить, что для каждого Z Е [0, Г] последний процесс сходится в I? к процессу из (5.20). Так как мартингальное свойство сохраняется для В'-пределов, отсюда следует, что процесс (5.20) является мартингалом. 1

Следствие 5.9. Пусть М — непрерывный локальный мартингал и предположим, что X е A(^, М). Тогда п. в. для всех t имеем

t

[А . Af], = $ (W [М]5.(5.21)

о

В следующем примере мы определим процесс взаимной вариации для (/-мерного броуновского движения.

Пример. Пусть В = (В', ..., Bd)— броуновское движение в Rd. ААы уже видели при обсуждении квадратической вариации, что <В‘, В‘)< = t для /==1,2, ..., d. Мы покажем здесь, что <В‘, В'> = 0 для i #= /. Предположим, что i #= j и s <. t из R+. Тогда

e{b^-B‘B^^J =

= Е (в? (В^ - В^ | ^J + Е {б' (Bj - В^ | 9^.

Первое слагаемое с правой стороны в этом равенстве равно нулю, так как В{ — В( имеет нулевое среднее и не зависит от о-поля, порожденного 9Г s и В<; второе слагаемое равно нулю, так как Bt — В( имеет нулевое среднее и не зависит

от SFs. Отсюда следует, что при I =Н= / произведение В*В! является мартингалом, и, следовательно, по теореме 5.3 о разложении имеем, что (В1, В!) = 0. |

5.4 Многомерная формула Ито

Теорема 5.10. Пусть meN и n е N. Пусть М‘— непрерывный локальный мартингал, 1 ^ / ^ т, и Vk — непрерывный процесс локально ограниченной вариации, \^к^п. Предположим, что D есть область в Rm+'!, такая, что п. в. процесс

Zt = (Mt, .... МТ, Vt, .... V")

принимает, значения в D для всех I. Пусть f (х, у) — непрерывная вещественнозначная функция от (х, у) е D, такая, я df d2f . , .. _ df . .

что ее производные—, 1 ^г, ]^т, и —, 1

ох.ох•ox Iоу&

t^k^n, существуют и непрерывны в D. Тогда п. в. для всех t имеем

mtnt

f <Ztf - f (Zo) = У № (Zs) +(Zs) d^ +

i = 10^=10*

m m t

+ тШ\*5г^‘1<м'-<5-22>

f=l/=1011

Набросок доказательства. Метод доказательства аналогичен методу доказательства одномерной формулы. Основные отличия состоят в доказательстве аналога теоремы 4.8 о взаимной вариации с использованием соотношения (5.10) и в выборе функций gn с ограниченными частными производными, которые используются для аппроксимации f, и таких, что носитель gn содержится в Dn, где {£)„} — последовательность подобластей из D, такая, что D„ с Z)„+1 и Dn является компактным подмножеством D и U Dn—D. |

Замечание. В силу непрерывности функции t-+f(Zt) постоянный момент t в (5.22) может быть заменен случайным моментом т. Например,

тЕ = inf {s > 0: Zs^ Е}

— момент первого выхода из подобласти Е области D, такой, что Ec^D, представляет собой такой случайный момент. Он часто используется в приложениях.

В качестве следствия имеет смысл сформулировать формулу Ито для броуновского движения.

Следствие 5.11. Пусть В=(5*, ..., Bd)— броуновское движение в Rd. Предположим, что D — область в Rd, такая, что

Р (Bt е D для всех /) = 1.

D, суD, суПусть f — непрерывная вещественнозначная функция на такая, что ее производные и —, l^z, /^u,

D, су

D, су

О X О X О X j

ществуют и непрерывны в D. Тогда п. в. для всех t имеем

d tt

f (ва - f (Во) = £ $ ^ <в^ ^ + 4 Sм (Bs) ds’ (5123)i=l0‘О

где ^ обозначает лапласиан f, определяемый следующим образом; М-^Л^.

В частности, если следствие 5.11 применить к броуновскому движению в R3, выходящему из Хо=#О, с D = R3\{0} и f(х) = |х|~Ь где x=(xi, Хг, хз), то (5.23) примет вид

3 t

в?Г — ТвГГ= 5, $ W? ^ dBs’

i = l О

так как РХо(Вг = О для любого /) = 0 и Af = 0 в D. Каждый из стохастических интегралов, стоящих справа, является локальным мартингалом, и, следовательно, {|BJ-1, t е R+} представляет собой локальный мартингал — результат, который был получен в конце гл. 1 более прямыми методами.

6

Применение формулы Ито

Характеризация броуновского движения

Теорема 6.1. Процесс М является броуновским движением, тогда и только тогда, когда он является непрерывным локальным мартингалом с квадратической вариацией [Л4], такой, что

[Л1ф = / п. в. для всех I. (6.1)

Доказательство. Необходимость условия есть непосредственное следствие определения броуновского движения и примера, помещенного за теоремой 4.1.

Обратно, предположим, что М является непрерывным локальным мартингалом, таким, что выполнено (6.1). Пусть {т*} — локализующая последовательность для М, такая, что {ЛТ<дтй — Mo, ZeR+} представляет собой /Амартингал. для каждого к. Так как [М — Мо] —[М], то, применив (4.1) к Л1 — Af0, получим

(М,Лч-М0у- = 2 $ (Ms-Mo)d(Ms-Mo) + [MhAtfe. о

Применив операцию математического ожидания и воспользовавшись теоремой 4.2(ii) и предположением о [АГ], заключим, что

Е VM‘ Л ч - АГ0)2} - Е U Л ч) < /.

Следовательно, точная верхняя грань по к стоящих слева величин конечна, а отсюда, в силу предложения 1.1, последовательность сл. в. {AI/ATfe —А10, к е N} равномерно интегрируема. Из предложения 1.8 вытекает, что М— Л1о представляет собой мартингал, а по лемме Фату к тому же имеем, что Mt — M0^L2 для каждого t. Таким образом, М —М» есть /Амартингал.

Для каждого а е R определим комплекснозначную функцию фа(х) = е‘ах для всех хе R. Применив теорему 5.1 по отдельности к вещественной и мнимой частям фа, видим, что для <ра и М — Л40 выполняется формула Ито. Поэтому имеем

П. В.

t

Ф« (^ - Ч) - Фа (0) = 5 Фа (Ми - Mo) d (М„ - М.) + о

о

То есть п. в.

t

exp (Za (Л4< — Мо)) — 1 = Za exp (Za (Ми — Мо)) d {Ми — Мо) — о

t

2™ схр (га (Мы — Мо)) du. (6.2)- о

Это равенство будет использовано для того, чтобы показать, что для г ^ 0 и s ^ 0 разность zWs+r — Ah не зависит от FT s и является нормально распределенной сл. в. с нулевым средним и дисперсией г.

Начиная с этого места, комплекснозначная функция N,. определенная на К+Х^, будет называться мартингалом, если вещественная и мнимая части N являются мартингалами. Аналогичным образом (условное) математическое ожидание комплекснозначной функции на Q есть сумма (условных) математических ожиданий ее вещественной части и мнимой части, умноженной на i, при условии, что оба математических ожидания существуют.

Так как М— Мо является £2-мартингалом и функция exp(Za(Af— Af0)) ограниченна, то по теореме 2.5 стохастический интеграл в (6.2) определяет мартингал и потому имеет нулевое математическое ожидание. Таким образом, для любых r>0, s ^ 0 и Fg^s применение операции математического ожидания к (6.2) по множеству F сначала при t = = г + s, а затем при / = s и последующее почленное вычитание дают

Е {1 f (ехР (ia (Х,г - мо)) - exp (Za (Ms - AfQ)))} =

Г r+5

п2 I сI

=exp (Za (Af„ — Af0)) d« |.(6.3)

Обозначим if (и) — EV 1 f exp (Za(Afs+u— Af0))}. С помощью замены переменной интегрирования в правой части в (6.3) и

теоремы Фубини получим

ф (г) — ф (0) = — — ф (н) du.(6.4)

о

Функция ф непрерывна в силу того, что таковым является процесс М. С помощью элементарных преобразований (6.4) найдем, что

Ф И = Ф (0) exp (— у а2г) .

Так как множество FeFs произвольно, то из сказанного заключаем, что

Е (exp (га (Ms+r — Мо)) I 5^) = ехр (га (Ms — Л40) — у а2г)

и, следовательно,

Е (ехр (га (Л4$+г — Ms^ 19"s) = ехр (— у а2г).(6.5)

Пусть У = Ж+г— Ms, ZgFTs и PeR. В силу (6.5) имеем

Е (ехр (гаУ)) = ехр (—^ а2г j и

Е (ехр (г (аУ + PZ))) = ехр (— у сА") Е (ехр (/pz)) =

= (ехр (гаУ)) Е (ехр (/pZ)).

Отсюда вытекает (Чжун [2, с. 187]), что У и Z независимы и, следовательно, У не зависит от 9~s.

Таким образом, мы показали, что для любых г>0 и s>0 сл. в. Afs+r — Ms не зависит от 9" $ и ее характеристическая функция имеет вид а—* ехр (— уа2г) • Поэтому она является нормальной сл. в. с нулевым средним и дисперсией г. Отсюда следует, что М обладает свойствами (i) и (В) из определения броуновского движения на R (см. гл. 1 .разд. 8). I

Экспоненциальные процессы

Ниже формула Ито используется для того, чтобы доказать, что, каков бы ни был непрерывный локальный мартингал М с процессом квадратической вариации А, экспоненциальный процесс Z“ = ^ехр (аЛ4<—^-а2/!^, /еР+| является непрерывным локальным мартингалом для каждого aeR.

Обращение этого результата также доказано, хотя это доказательство не использует формулу Ито. Кроме того, мы укажем условия, при которых определение «локальный» может быть опущено.

Теорема 6.2. Пусть М и А— непрерывные согласованные процессы, причем А возрастает и Ло = 0. Для каждого а е R определим процесс Za по правилу

= exp I аЛК — уа АЛ.

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

М — локальный мартингал и [Л1]=Л;

для каждого иеР процесс Z“ является локальным мартингалом.

Более того, если М есть Ь2-мартингал с [Л1] = А и а такое, г 2 что Zo е L , и

El (z“)2 dAs I < оо для каждого I, (6.6)

то Za является Ь2-мартингалом. Обратно, если выполнены два условия;

случайная величина At ограничена для каждого t,

существует ао > 0, такое, что £(ехр (а0|Л1< |)) < оо для каждого t и Z^ является мартингалом для |а|^уа0, то М представляет собой Б2-мартингал с [Л4] — А.

Доказательство. Предположим, что выполнено (i). Для доказательства (ii) применим формулу Ито к f (х, у) = = ехр(ах—^-а2у^. В результате получим, что п. в.

t

f (Mt, At) - f (Mo, A) = J af (Ms, A) dMs +

о

tt

+ J {- 4+ | 5 ^^) dAs.

6о

Это равенство легко записать в виде

t

Z“ — Z“ = а^ Z" dMs.(6.7)

о

Так как Z“ является непрерывным согласованным процессом, то из теоремы 2.11 следует, что правая часть в (6.7)

представляет собой локальный мартингал и, значит, таковым является Z". Если М к тому же есть /Амартингал и выполнено условие (6.6), то из (4.5) следует, что Z“eA2(^, М) и, таким образом, стохастический интеграл в (6.7) представляет собой /Амартингал; поэтому то же самое верно по отношению к Z", когда ZqgL2. Следующее условие гарантирует справедливость (6.6):

/ 1\

El \ exp (2айД)dAs I < оо для каждого t. 'о'

Для доказательства того, что (ii) влечет за собой (i), мы воспользуемся леммой, которая дает достаточное условие,, чтобы М был /Амартингалом.

Лемма 6.3. Предположим, что выполнены условия (а) и (б). Тогда М является L2-мартингалом с [Л1] = А.

Доказательство. Существует постоянная К > 0, такая, что для ।1

I а а0

| х — ау | ехр (ах — а2у) А А ехр (а01 х |)

и(6.8)

(х — аг/)2 ехр (ах — ^- а2у^ А К ехр (а01 х |)

для всех xsR и у eR^. Так как Z“ при |а|Ау«о есть мартингал, то для О A s < t и f е ;Т5 имеем

ехр (aMs —^ a2As) dP = ^ ехр (аМ/ —^ а2Д^ dP. (6.9) FF

Ha основании неравенств (6.8), ограниченности As и At итого факта, что E(exp(a0|Afr|)) конечно при r = s и r = t, убеждаемся в возможности двукратного дифференцирования по а под знаком интеграла в (6.9). Однократное дифференцирование дает

(ЛД — аЛ5) ехр (aAfs — у cA4s) dP =

F

= j (M£ — аД,) ехр (aMf — у aMf) dP, F

л повторное дифференцирование дает

{(М, — аЛ5)2 — Л,} exp (^aMs — o2As^ dP =

F

= {(М/ — a4J2 — Л/} exp QiMt — -^ а2Л^ dP . F

Положив а — 0 в этих равенствах, получим

J Ms dP = J Mt dP,(6.10)

FF

{«)2 - лд dp = J {(mj2 - лj dp. (6.ii) FF

Из (6.10), (6.11) и условия (а) следует, что М является L2- мартингалом, а из (6.11) — что (М)2— Л есть мартингал. На основании единственности разложения (М)2, о котором говорится в теореме 4.6, заключаем, что [М] — А. 1

Мы возвращаемся к доказательству того, что (ii) влечет за собой (1). Предположим, что Z“ есть локальный мартингал для любого а е R. Для каждого йе К обозначим

тк = inf {Z > 0: | Mt | V I A J > /г},

M? = Mt л Tfe — Mo

и

Akt = AtMk.

Разность Z“ATfc —Z“ представляет собой ограниченный мартингал, и, следовательно, то же самое верно в отношении

Z“’ к = exp (aMt — у а2 Ак^ =

= (^ Рхк — ^о)ехР (~ ^0) l{Tfe>0} +

Так как Мк и Ак ограничены, то, применив лемму 6.3 к Za- \ мы можем утверждать, что Mfc является /Лмартингалом с [Mfe] = Л6. Отсюда следует, что М представляет собой локальный мартингал с \%ь\ в качестве локализующей последовательности. Более того, так как Mt = (М — Мо)/ д %к и [М — Мо] = [М], то из следствия 4.5 вытекает, что [М6]г = = [M];AXfe. Устремив к -> оо и воспользовавшись равенством [Мк] = Ак, получим, что А — [М]. |

Семейство мартингалов, порождаемое М

При доказательстве леммы 6.3 мы видели, что при сформулированных там условиях производные

dZ^ dadZ^ daИИd2Zada2d2Zada2= М2 — А о= М2 — А о

dZ^ da

dZ^ da

И

И

d2Zada2

d2Zada2

= М2 — А о

= М2 — А о

являются мартингалами. Ниже мы распространим эти результаты на случай производных более высоких порядков. С помощью производящих многочленов от Л1 и Л докажем, что эти производные являются мартингалами.

Обозначение. Для каждого «eNq обозначим Нп(х,у) многочлен от х и у.

дп /1x1

Н „ у) = exp ( ax — ж а2у )" '' da r \2 J J |a=o

Тогда

exp (ax —^y^^H» (*’ У)

0

для всех a из R.

Теорема 6.4. Пусть M и Л — непрерывные согласованные процессы, причем Л возрастает и Ло — 0. Предположим, что выполнены условия (а) и (б) из теоремы 6.2. Тогда для каждого ле No процесс Нп(М,А) является мартингалом.

Доказательство. При и = 0 процесс НДМ,А) = 1, очевидно, есть мартингал. Пусть neN. Тогда найдется постоянная Кп > 0, такая, что для | а | ^ у a0, х е R и у е R+

I х — ay Г exp (ax — у а2у^ Д Кп exp (ao I я|)

при m = 1, 2, ..., п. Отсюда выводим так же, как в лемме 6.3 с помощью дифференцирования под знаком интеграла в (6.9) и последующего вычисления производных при a = 0, что

d'zZadand'zZadan= НЛМ, Л) а=0= НЛМ, Л) а=0

d'zZadan

d'zZadan

= НЛМ, Л) а=0

= НЛМ, Л) а=0

— мартингал. 1

Нпкх,у^Нпкх,у^Многочлены йДх) формулойМногочлены йДх) формулойсвязаны с многочленами Эрмита

Нпкх,у^

Нпкх,у^

Многочлены йДх) формулой

Многочлены йДх) формулой

Нп (х, у) = (-^У’2hn^xf-x^yY(6.12)

Например, Н0(х, у)=1, ПДх, у) = х, Н^^х, !Д = х2 — у, На^х, У) = х2— Зху, Я4(х, у) = х4 — 6х2у + Зу2. Из известной

рекуррентной формулы (Коддингтон [6, с. 131])

-^-(г) = 2ггА„_! (г) для neN следует, что для каждого ne N

-57 Нп (х, у) = пН„_х (х, у),(6.13)

-^Н^ У^-^-Н^х, у>-^Нп_х(х, у).(6.14)

Воспользовавшись рекуррентной формулой (см. [6])

Ап(г) = 2г/гп_1(г) —2(/г—1)/гп_2(г), п = 2, 3, ..., или в терминах Нп, Нп(х, у} = хНп_х(х, у) — (п—\)уНп_2(х, у),п=2, 3,

мы приведем (6.14) к виду

^Н^х’ у) = -^^нп_2(х, у), п = 2, 3, .... (6.15) Таким образом, на основании (6.13) и (6.15) имеем

4^Н^х. У^^Нп(х, у) = 0, п = 2,3 (6.16)

При выполнении условий теоремы 6.4, когда Л10 = 0, по формуле Ито получим

Нп (Mt, At) - Нп (0, 0) = ^ Нп (Ms, Л) dMs + о

+ 4т Нп (Ms, Л) dAs + ( Нп GWS, А^ dAs. оо

С помощью (6.13), (6.16) и того, что Я,, (0,0) = 0 для п 5? 2, это равенство приводится к виду

Hn(Mt, А)= $ nHn_x(Ms, As)dMs о

для п = 2, 3, ... . Так как Нх (Mt, Л;) = Mt, с помощью полной индукции докажем, что

Hn(Mt, А^ = п\^ J ... ^dMsdMtx ... dMtn_x (^Al^ 0 0 о

для neN. Таким образом, мы получили дополнение к теореме 6.4.

Теорема 6.5. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4 и Мо = О. Тогда для каждого agN мартингал Нп^М.А) может быть представлен в виде повторного стохастического интеграла, т. е. НДМ^А^ представим в виде (6.17).

Теперь проиллюстрируем полученные результаты на при- t

мере Mt=\)XsdBs, где В — броуновское движение в R, а о

X— ограниченный $ X ^"-измеримый согласованный процесс. На основании результатов гл. 3 (теорема 3.6) процесс X совпадает р,й-п. в. с некоторым ограниченным предсказуемым процессом с тем же самым стохастическим интегралом. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда X является ограниченным предсказуемым процессом.

Пример. Пусть В — броуновское движение в R. Как обычно, обозначим {iFz, / е R+} связанную с В фильтрацию и ^ класс предсказуемых множеств. Так как dB = d^B — So), мы можем предположить, что So = 0. Пусть X— ограниченный предсказуемый процесс. Пусть С > 0 такое, что [Хр^С. Тогда ХеЛ2(^, В) и поэтому М = < \ XsdBs, ^еуЧ является не-

прерывным /Амартингалом. Из (5.21) и того факта, что [S]s = s, следует, что квадратическая вариация М представима в виде

t

М=$№

о

Так как процесс X ограничен, то [Л1]( ^С/ для всех /. По теореме 6.2 для каждого а е R процесс Z“=exp (аЛ4—^-«4^]) является локальным мартингалом. Если {rfe} — локализующая последовательность для Za, то в силу положительности Za из леммы Фату заключаем, что

Е <Z^ = Е ( Пт Z?A ТЧ < lim inf Е (z^ ТЛ

где E(z“a XJ = Е (Zq) = 1- Комбинируя это с [Л1р^С7, получим

Е [exp (aAQ] = Е [ехр ^ а2 [Л1]^ Z“] <

^ехр (у °2С^ Е (Zt) ^ехр (у a2Cfj . (6.18)

Далее, учтем, что

C

t\ z tч

। (Z“)2 d [M]s) = Д К (exp (2аЛТ5 - а2 [М]$)) (A)2 ds ) <

/\0/

exp (2аЛД) ds I.exp (2аЛД) ds I.

exp (2аЛД) ds I.

exp (2аЛД) ds I.

Применив здесь теорему Фату с целью оценить последнее слагаемое и воспользовавшись (6.18) с а, замененным на 2а, получим

ЕЕ22[^ls 1 ^ Ct exp (2а2С1).[^ls 1 ^ Ct exp (2а2С1).

Е

Е

2

2

[^ls 1 ^ Ct exp (2а2С1).

[^ls 1 ^ Ct exp (2а2С1).

Тем самым условие (6.6) из теоремы 6.2 выполнено, и, так о = 1, заключаем, что Z является L -мартингалом.

Для любого а0 > 0, в силу (6.18), имеем

Е (ехр (а01 Mt |)) < Е (exp (aQMt) + exp (— а0ЛД)) <

<2 exp (уаоС0 •<2 exp (уаоС0 •(6.19)(6.19)

<2 exp (уаоС0 •

<2 exp (уаоС0 •

(6.19)

(6.19)

Hn(Mt, №) = «!$ $ о оHn(Mt, №) = «!$ $ о оТаким образом, предположения теоремы 6.4 выполнены и, следовательно, Нп^М, [Л1]) есть мартингал для каждого пе No. По теореме 6.5 для каждого ц е N имеет место представление

Hn(Mt, №) = «!$ $ о о

Hn(Mt, №) = «!$ $ о о

\XsdBs \Xt.dBt Xtn dBt •

■o '

В действительности, как мы сейчас докажем, Нп(М, [Л1]) является /Амартингалом для каждого п е No. Для любого 6 е N имеем

Е (| Mt \к)<М Е (ехр (| Mt I)) < 2/г! exp (| Ct) ,

где второе неравенство выполняется в силу (6.19). Также имеем, что [MJt ^ Ct. Поэтому для всех к и т из No

Д(1 Mt №Atn<~.

Так как Hn(Mt, [Л1 ] t)—многочлен от Mt и [Л1]<, то математическое ожидание E^\Hn^Mt, [ДТ]#) ]2) мажорируется линейной комбинацией указанных выше величин и, следовательно, конечно. Это завершает доказательство того, что Нп(М, [Л1]) является /Амартингалом для каждого п е No.

В целом мы доказали, что для любого ограниченного

предсказуемого процесса X процессы М = < \ Xs dBs, t е R+ >, '-о)

Za = expQiM—2 a2[^) и ^«(^> [M]) являются непрерывными /Амартингалами для всех a е R и /г е No- В качестве применения этих результатов приведем пример при ц=4 того, как можно оценить моменты М, используя тот факт, что Нп(М, [М]) есть мартингал. При п = 4 имеем

я4 м, m = W - 6 ад [mj + 3 амф)2

и, применив операцию математического ожидания, получим

о=е w} - ев w м j + Зе ([Л1]а2.

Таким образом,

е {(маа < 6е {w та < 6 (е «ма4} е {(ма2»1'2, где: второе неравенство получено путем применения неравенства Коши — Шварца. Возведя в квадрат обе крайние части и разделив на E^Mt)4^ (когда эта величина не равна нулю), получим

Е{(ад<збЕ{([л1]а2}.

Следовательно,

Е |Q Xs 6/E.s^ | < 36Е К J (Ха2 ^s^ | < 36C2t2. (6.20)

Это неравенство будет использовано в следующей главе.

Функционал Фейнмана — Каца и уравнение Шрёдингера

В этом разделе мы применим формулу Ито с целью получить вероятностное представление о решениях (приведенного) уравнения Шрёдингера.

Пусть D— ограниченная область в Rd, d ^ 1, с границей 6D и замыканием D = D (J dD. Пусть q — ограниченная функция, удовлетворяющая условию непрерывности Гельдера в D. Обозначим C2(D) класс дважды непрерывно дифференцируемых функций в D и C(D) класс непрерывных функций в D. Пусть А обозначает лапласиан в Rd. Будем говорить, что ф есть решение уравнения Шрёдингера в D, если феС2(й) и

уАф + ?ф = 0 в D.(6.21)

Пусть В — броуновское движение в Rd и {^"t, t г R+} — обычная фильтрация, связанная с В. Обозначим Ех математиче-

ское ожидание при условии Во = х. Для каждой области Е из Rd определим те —inf{/>0: В< ^ £}—момент первого выхода В из Е. Вероятностное представление уравнения Шрёдингера использует функционал Фейнмана — Каца, определяемый для 0 то таким образом:

е (/) = exp I \ q (Bs) ds I.

Следующая теорема доказывается с помощью применения многомерной формулы Ито к е(/)ф(В;)> где ф— некоторое решение уравнения Шрёдингера в D. Она дает предварительное представление о таких решениях.

Обозначение. Если Е cz D и EczD, то будем это обозначать Есзс^О.

Теорема 6.6. Пусть ф— некоторое решение уравнения Шрёдингера в D. Тогда для любой области Е czcz D и для любых хе D и teR+ имеем

ф (х) = Ех {е (/ Д т£) ф (В (/ Л т£))}.(6.22)

Доказательство. Пусть Е— область, такая, что EclcsD. Если Ba = xeD\E, то т£ = 0 и (6.22) очевидным образом выполняется. Предположим, что В0 = хе£. Для каждого /е{1, 2, ..., d^ компонента М1 = ^В11мЕл ^R+j представляет собой непрерывный /Лмартингал. Кроме того, К = — (е(/Дт£), ZeR+) является непрерывным процессом локально ограниченной вариации и

( q (Bt) e{t) dt для 0^/<т£, dVt = \ п (Одля t^xE.

Для каждого / имеем, что Zt = ^Mt, 1Д) е £ X R <= £ X R- Функция f: OXR^-R. определяемая формулой Цх,у) = — уф (х) для х е D и у е R, непрерывна вместе со своими производными

У) = У-^(Д

^- (х, у) = ф (х)

на DX R Для 1 'X I, j ^ d. Тем самым установлено, что предположения теоремы 5.10 выполнены, и мы можем применить

формулу Ито, в результате чего получим, что п.в. для всех t HMt, vt)~f(M„ i/0) =

= £ $^W dMls + $ ф (Ms)dVs +

<=ю1о

d d t

+ 4 EI S ТГТГW<Ml. M^. (6.23) <=l/=1011

По следствию 5.4 имеем (ЛТ, Mi)t = (.Bi, B’)t мЕ, где последняя величина равна t Д т£, когда i = j, и нулю, когда i /. Подстановка f, М и V в (6.23) дает

е (/ Д т£) ф (В (/ Д т£)) — ф (Во) =

4 •А'ЕtN^E

= £ $ e(s)-^-(Bs)M + 5 Ф(ВЛ7(ВЛе(5)</5 +

<=1 о1о

d < NtE

+ S e(s)^(Bs)ds. (6.24)

Так как ф удовлетворяет уравнению (6.21), то сумма двух последних выражений в (6.24) равна нулю. Более того, для каждого < производная -^- ограничена в Е и e(s)^ < exp (/1| q ||5) при 0<$</Дт£, где li^l^ = max | q (у) |, и иеЕ поэтому процесс

[о, t л т£] (s)е (s) "д77 (®$)

ограничен. Следовательно, по изометрии (равенство (2.10)) каждое слагаемое в первой сумме в (6.24) представляет собой /Амартингал. Таким образом, применив операцию математического ожидания в (6.24), получим

Ех {е (/ Д т£) ф (В (/ Л т£))} — ф (х) = 0. |

Хотелось бы устремить / -> оо в (6.22) и сделать вывод, что

ф(х) = Е"{е(т£)ф(ВТ£)}.(6.25)

Однако, чтобы оправдать перестановку предельного перехода и математического ожидания, нам нужно знать, что процесс ^t Л те)Ф(В(ГЛ те)), ^ R+} равномерно интегрируем. Достаточное условие для этого состоит в том, что Ех{е(тЕ)}< оо

для некоторого х s Е и Е является «регулярной» областью. Область Е cz R^ называется регулярной, если РДте = 0}= 1 для всех х е дЕ. Известно, что это понятие эквивалентно регулярности Е в смысле проблемы Дирихле. Более того, если решение ф уравнения Шрёдингера в D непрерывно в D, то естественно спросить, можно ли получить представление ф (х) = Ех {е (td) ф (Втд)}, устремив ^-^ оо и F^D в (6.22). Этот результат может быть доказан, если Ех{е(то)} < оо для некоторого xeD и область D регулярна. Мы докажем последнее утверждение и в качестве следствия выведем представление (6.25). Воспользуемся результатом Чжуна и Рао [5, теоремы 1.2, 1.3 и 2.1], который сформулируем без доказательства.

Теорема 6.7. Пусть мо (х) = Ех {е (то)} для всех х е D. Если uD(x)<. оо для некоторого x^D, то функция uD ограничена в D и является решением уравнения Шрёдингера в D. Кроме того, если D — регулярная область, то ud^ C(D), U[, > 0 на D и uD = 1 на дП.

Нам потребуется только следствие этой теоремы, состоящее в том, что если D является регулярной областью и Ud Ф оо в D, то функция ио конечна и непрерывна в D. Некоторые условия, которые влекут ив Ф оо в D, указаны в конце этого раздела.

Теорема 6.8. Пусть ф — решение уравнения Шрёдингера в D и предположим, что феС(О). Далее предположим, что D регулярна и «о(х) = £х{е(то)} < оо для некоторого x^D. Тогда для всех х из D

ф(х) = £х{е(то)ф(ВТо)}.(6.26)

Доказательство. Так как D регулярна, то td = 0 п. в., если Во — хедО и (6.26) выполняется очевидным образом. Предположим, что Во = х g D. Пусть ^Е„, п (= N} — последовательность областей, такая, что хеЕ.сЕ.^ cexeD для всех п и (J ^„ = Z>. Так как функция uD непрерывна на D, то по п

теореме 6.7

mD = mill uD (у) > 0.

иеО

По строго марковскому свойству В мы имеем, что п. в.

Ех {е (тп) 19" t N ^ = е (/ А тЕ^ Е* ^ Л ^ {е (та)} =

= е ^Меп^ и в (В (I Ат Еп)) >e(t А ^е^ mD.

Так как £^{е(то)}= Ud(x) < оо, отсюда следует, что левая часть в выписанном выше неравенстве равномерна по всем / и п интегрируема и, следовательно, то же самое верно в отношении е^Дтя^), так как inD > 0. Более того, функция ф -ограничена на В, будучи непрерывной на этом множестве. Поэтому множество сл. в. {е (/Ate„)^(B (/Д teJ); /eR+, и е N} равномерно интегрируемо. По теореме 6.6 для всех t и п имеем

ф (х) = Ех {е (/ Д те„) ф (В (/ Д те„))}.

Устремим здесь /->оо, а затем п->оо. Тогда (6.26) следует из упомянутой равномерной интегрируемости и непрерывности ф на В. 1

Следствие 6.9. Пусть ф — некоторое решение уравнения Шрёдингера в D и предположим, что ф е СДву Далее предположим, что область D регулярна и существует решение ф g С (Я) уравнения Шрёдингера в D, такое, что ф > 0 на В. Тогда для каждого хе В выполняется (6.26).

Доказательство. Для любой области Е е е D, х е D и t е R+ по теореме 6.6 имеем

Ф (х) = Ех {е <1Д т£) ф (В (/ Д т£))} ^ Ех {е (/ Д т£)} cD,

где cD = тТ_ф(у)>0. Устремив t->oo, а затем E^D, по y^D

лемме Фату получим, что

ив^ = ЕЦеЫ^^-<ео.

D

Нужный результат теперь непосредственно следует из теоремы 6.8. Ж

Если ф является решением уравнения Шрёдингера в D, но ф не обязательно принадлежит C(D), то мы можем доказать теорему о представлении ф на какой-нибудь регулярной области Е ее D, применяя теорему 6.8 или следствие 6.9 с Е вместо D. Таким образом, справедлива

Теорема 6.10. Пусть ф — решение уравнения Шрёдингера в D, и Е — регулярная область, такая, что Е ее D. Предположим, что выполнено по крайней мере одно из двух условий1.

иЕ (х) = Ех {е (т£)} < оо для некоторого хеЕ,

существует решение ф еС^ уравнения Шрёдингера в Е, такое, что ф > 0 на Ё.

Тогда для всех х из D

ф(х) = £х{е(т£)ф(ВТ£)}.(6.27)

В заключение обсуждения вероятностного представления решений уравнения Шрёдингера в D мы отметим ряд условий, при которых Ud(x) = Лх{е(тд)} < оо для некоторого xeD. Из теоремы 6.7 и доказательства следствия 6.9 следует, что в случае регулярной области D условие ио Ф оо в D эквивалентно существованию решения _<р е С(Л) уравнения Шрёдингера в D, такого, что ср > 0 на D. Уильямс [31] показала, что если граница D принадлежит С2 (по поводу определения см. [13, с. 88]) и математическое ожидание Ех {е (тд) 1л(ВТр)] конечно для некоторого хе О и некоторого непустого открытого множества А из 6D, то wo(x)< оо. Чжун и Ли [4] отметили связь между конечностью Ud и знаками собственных значений оператора Ь = -у\А"Ч- Вещественное число а называется собственным значением оператора L в D, если существует функция ф е С2 (£)) П С (15), такая, что ф ^ 0 и Лф = аф в D и ф = 0 на dD. В том случае, когда D имеет С2-границу, Чжун и Ли [4] доказали эквивалентность следующих трех утверждений:

Ud(х) < оо для некоторого хеD,

существует неотрицательное собственное значение оператора L на D,

существует решение ф уравнения Шрёдингера в D, такое, что ф е С (£5) и ф > 0 на D.

7

Локальное время и формула Танаки

Введение

В этой главе В обозначает броуновское движение в R. Для каждого х е R мы получим разложение, известное как формула Танаки, положительного субмартингала [5 — х[ в виде суммы другого броуновского движения В и непрерывного возрастающего процесса Т(-,х). Последний называют локальным временем В в х, представляющим собой фундаментальное понятие, введенное П. Леви [19]. Оно может быть выражено следующим образом:

L (t, х) = Нт \ 1(х-е, х+е) (BJ ds =

= Нт "кт-Л {s ее [0, /] : Bs ее (х — е, х -|- е)},(7-1)

е V 0

где Л— мера Лебега. Таким образом, L(t,x^ измеряет количество времени, которое броуновское движение находится в окрестности точки х. Известно, что {/eR+: В, = х} представляет собой совершенное замкнутое множество нулевой лебеговой меры. Следовательно, существование процесса L, определяемого в (7.1), далеко не очевидно. На самом деле мы увидим, что предел в (7.1) существует и в смысле сходимости в L2, и в смысле сходимости п.в. Более того, L(t, х) можно определить как совместно непрерывную по (/, х) функцию. Впервые это было сделано Троттером, но наш подход заимствован у Струка и Варадхана [27, с. 117]. Локальное время играет важную роль во многих утонченных усовершенствованиях теории броуновского движения. Некоторые применения локального времени и формулы Танаки будут обсуждаться в следующих двух главах.

Локальное время

Для каждого х е R определим функцию fx следующим образом: fx(y) = (z/— х)+. Эта функция недифференцируема, но ее первые две производные в смысле обобщенных функций (распределений Шварца) имеют вид Гх = 1[х, =») и fx = дх, где бх — знаменитая функция Дирака. Формальное примене-

ние формулы Ито дает

tt

{Bt - xY - (Bo - x)+ = J 1 [X, =) Ш dBs + j- J 6X (Ss) ds. (7.2) о0

Оказывается, что эта формула выполняется при условии, что последний интеграл интерпретируется как предел в (7.1). Мы начнем доказательство с аппроксимации fx функцией )хе(е > 0), определяемой следующим образом:

LE (у) = ■

0

(У — x + e)2/4e

для

ДЛЯ для ДЛЯ

У ^ X — 8,

X — 8 ^ у 5

У > X + 8,

У <Х — 8,

^ X + 8,

у —

' 0

X

ГХЕ (у) =

(у -

1

' 0

х + е)/2е

для у <

ДЛЯ для

X — 8

X — 8 < у 5

У '^ X + 8,

5 X + 8,

1/2е

0

для х — для у >

8 < у < X 4- 8, X + 8.

Отметим, что /х£ не определена в х ± е, но мы доопределим ее в этих точках нулем. Графики fXE и ее производных изображены на рис. 7.1—7.3.

По стандартным соображениям найдется последовательность ф„еСх функций с компактными носителями, стягивающимися к {0}, такая, что если положить ^п = фп»)хе, т. е.

gn (у) = $ ке (У — ^ ф„ (г) dz,R

то gn е С°° и gn^-fXE, gn~+fXe в обоих случаях равномерно- в R и g" —> f"s поточечно всюду, за исключением точек х zb 8. Действительно, фп можно определить следующим образом: Фге(у) = шр(гау), где ф(у) = сехр(— (1 — yV^ Для I z/1 < 1 и ф(//) = 0 для |z/|^l; постоянная с такова, что-

1

С \^(y)dy = 1.

Применив формулу Ито к gn, получим, что почти всюду

tt

gn (Bt) - gn (So) = J g^ (ss) dBs + 4- J g" ^ ds. (7.3) 00

Для каждого t при и—>oo имеем, что 1 [0, t]gn(B) сходится

Рис. 7.3.

к ho, ^fxe(B) равномерно на R+X^ и, следовательно, эта •сходимость имеет место в 2Х Кроме того, в силу изометрии tt

(равенство (2.10)) \ g' (В\ dB, сходится в Л2 к \ f'(B\dB

1 ГЪ \ о/ 31 * ЛЬ \3/3

оо

С другой стороны, lim g"(B ) = f" (В ) п. в. для каждого фиксированного s, так как Р (Bs = х ±е) = 0 для любого s. -Отсюда по теореме Фубини это предельное соотношение также выполняется почти всюду для Л-почти всех s из R+. Так как | ^ |^ (2е)-1, то из теоремы об ограниченной схо-

tt

димости следует, что ^"(^s)^s СХ°ДИТСЯ к ^ fxe (5S) ds оо

в L2 и п. в. Таким образом, устремив п -> ею в (7.3), мы получим, что для любых X и t почти всюду

tt

fxe (Bt) - fxs (So) = J fxs(Bs) dBs + 4 J i *+e> ^ ds- (?-4) о0

При e|0 разность fXE ^B^ — fxe (So) сходится в L2 к <Bt — x) + — (So — x)+, так как | fXB (Bt) — fXB (So) | < | Bt — So |. Мы также имеем

Е11 (^ (Bs) - 1 оо) (О2£ И L Е (В A ds J <

'-о''•о'

< j 2е ds^-0 о V2ns

t

при е->-0. Отсюда по изометрии (2.10) интеграл jfxE(Ss)dSs о t

сходится в L2 к ^ 1[х, оо) (Bs) dBs. Тем самым доказана о

Теорема 7.1. Для любых feR+ u хе R почти всюду t

<Bt-xy -кВа-хУ= \ i^.oo) (Ss)G?Ss+ ^-L{t, x),(7.5)

о

где L определяется в (7.1) как предел в L2.

Напомним, что в гл. 2 (см. обозначение, помещенное t

за следствием 2.6) мы условились обозначать ^ 1 ^, „о) (Bs) dBs о

модификацию стохастического интеграла, которая как функция t оказывается непрерывной при каждом фиксированном х. На самом деле, рассматриваемая как процесс с параметром t, она является непрерывным /Лмартингалом. С другой стороны, мы можем считать ее стохастическим процессом с параметром У,ху Если смотреть с этой точки зрения, то оказывается, что существует непрерывная по (/, х) модификация этого процесса. Мы сформулируем это предложение в виде леммы, но ее доказательство на некоторое время отложим (см. разд. 7.4).

Замечание. Строго говоря, процесс от двух параметров формально не определялся. Тем не менее он представляет собой непосредственное обобщение однопараметрического процесса. Например, (Х(^,х), (/,x)eR+X'R) есть стохастический процесс тогда и только тогда, когда ХУ, х) является случайной величиной для каждой точки У,хУ

Лемма 7.2. Существуют семейство случайных величин УУ,хУ У,х^^ R+X R} и множество Qo, P(Qo) = 1, такие, что функция (Z, х)-^-/(7, х) (со) непрерывна для всех со е Qo и для каждой фиксированной точки. У,х^

m 1 [Я, оо) (В$) dBs = J(l, х) J = 1. (7.6) '■о '

С помощью сужения выборочного пространства1) до Qo, если необходимо, мы можем предположить и предположим, что функция J непрерывна для всех и. Теперь заново определим L с помощью равенства (7.5), использовав / в качестве модификации фигурирующего там стохастического интеграла.

Определение. Для каждой точки (t, x)eP+XD определим

^ty x-WEt-xr-lBo-xy-Ut, х). (7.7)

Так как мы предполагаем, что функция t^>-Bt непрерывна (для всех со), то процесс L непрерывен по (/, х) в силу того, что такова функция I. Благодаря (7.6), равенство (7.5) остается справедливым для каждой фиксированной точки У, х) с этим вновь определенным L и то же самое верно па отношению к (7.1).

*> В соответствии с принятой в отечественной литературе терминологией следовало бы сказать «пространства элементарных событий» вместо «выборочного пространства». — Прим, перев.

Следующий результат воплощает замечательную идею о замене пространства и пределов интегрирования и характеризует локальное время в качестве истинной плотности времени пребывания.

Теорема 7.3. Для любых I и а^Ь имеем, что почти всюду

ьL (1, х) dx =ьL (1, х) dx =t

ь

L (1, х) dx =

ь

L (1, х) dx =

(7.8)(7.8)j h a, b№^ ds.

(7.8)

(7.8)

0

Доказательство. Так как

x+e

x-e

то почти всюду

tt x+e

\Ue,')dB,=±\ ( ^.„(bj^b,-

-00 x — e

x+e 1x+e

= ^- $ $ U)(Bs)dM = i 5 JV. y^y И

x-e 0x—e

при условии, что допустимо изменение порядка интегрирования. Это изменение не гарантируется обычной теоремой Фу- бини, так как речь идет о стохастических интегралах. С целью получить строгий результат мы аппроксимируем последний интеграл суммами Римана. Пусть

Фв (2) = Е 2^ ^к2”п-°°j (г)’к

где суммирование распространяется на все к, такие, что к2-п е (х — 8,x4-е). Так как функция J (/, •) непрерывна, то, воспользовавшись (7.6), получим, что п.в.

Я 4-8j 7 (Л У) dy =Я 4-8j 7 (Л У) dy =X — 8X — 8tlim \ <р„ (5J dBs.tlim \ <р„ (5J dBs.(7.10)(7.10)

Я 4-8

j 7 (Л У) dy =

Я 4-8

j 7 (Л У) dy =

X — 8

X — 8

t

lim \ <р„ (5J dBs.

t

lim \ <р„ (5J dBs.

(7.10)

(7.10)

Так как ф„ равномерно сходится к 2efxc при н—>оо, отсюда по изометрии (2.10) следует, что предел в (7.10) п.в. t

равен 2е ^ ГХ&^В^ dBs. Это доказывает, что имеет место ра- о

венство п.в. первого и последнего членов в (7.9), что и требовалось. Произведя замену этих интегралов в (7.4), полу-

чим, что п. в.

х+е

fхе (S/)t хе (So)77 ^ J (^, у) dy =

х—е

t

— ~2" ^”2^ ^(х-е, х+е) (Bs) ds. (7.11) 6

Мы хотели бы интегрировать здесь по х. Но так как (7.11) выполняется п. в. только для каждого х, нам следует снова аппроксимировать суммами Римана с тем, чтобы использовать только счетное множество х, для которых (7.11) выполняется п.в. одновременно. Обозначим F^ левую часть в. (7.11). Так как функция F непрерывна, то

ь

F^dx = lim У 2-"F(^2-"),

где суммирование распространяется на все к, такие, что' k2~" е (а, Ь). В силу (7.11) этот интеграл равен п.в. пределу при п-*оо следующих сумм:

t

Е ^ i S 1 U2-"-e, fe2-n+8) (Ss) ds = кО

t

l(Ss_e, 5s+6)(A2-")ps..

Сумма в фигурных скобках ограничена величиной 2е + 1 и сходится при ц —>-оо к ъ

l(Bs-e, Ss+e) k^dx. а

Отсюда следует, что п. в.

b /х+е"ъ

И Le №й — f хе (So) — ^ 5 ^ y^dy\dx = a vх-е'

t b

= ^\\\{x-s.x+^(Bs)dxdS.(7.12)

О а

Для г е R имеем ь

lim -КТ 1(х-е, х+е^2^Х= 1(о> ь) (г) + т 1{а) (z) + т l{i,} (z).

8 ^ О 2Ь J22

(7.13)

Устремив е)0 в (7.12) и воспользовавшись непрерывностью /(/,-) и (7.13), получим, что п. в.

bt

{(Sf — х)+ — (So — хУ — I (t, х)} dx = -^- ^ 1(о, ь) (SJ ds, ао

так как 1{С) (SJ = 0 п. в. для любых с и s. Ввиду (7.7) это- совпадает с (7.8). |

Общая форма теоремы 7.3 будет сформулирована в виде следствия. Оно легко выводится из теоремы с помощью обычной аппроксимации или техники, связанной с понятием монотонного класса.

Следствие 7.4. Пусть функция f измерима по Борелю и локально интегрируема на R. Тогда для каждого t имеем, что почти всюду

ООt

^Б(у х) f (x)dx = ^ f (Bs) ds.(7.14)

— ООО

Обратим внимание, что интегрирование слева в (7.14) на самом деле осуществляется по ограниченному множеству х, так как в силу (7.1) для фиксированных t и со множество х, для которых ЬЦ, х) (to)=# 0, ограничено из-за того, что область значений В у, м) при s е [0,/] является компактным множеством.

Теперь мы можем доказать, что (7.1) выполняется также и в том случае, когда пределы понимаются в смысле сходимости почти всюду. Это вытекает из (7.11), так как левая часть непрерывна по е > 0 и в то же время правая часть непрерывна слева. Поэтому для почти каждого со (7.11) выполняется одновременно для всех е > 0. При е ) 0 левая часть сходится к -yL^t, х) в силу непрерывности J(t, •) и (7.7), что и доказывает утверждение.

Формула Танаки

Теорема 7.5. Для каждой точки (/, х) п. в. имеем

t

\Bt — х| — |S0 — х|= ^ sgn(Ss — x)dBs + L(t, х). (7.15) о

Здесь sgn(y) равно 1, 0 или —1, когда у соответственно больше, равно или меньше, чем нуль.

Доказательство. Так как —В является броуновским движением, то оно имеет локальное время в —х, которое мы обозна-

чим L~(t,—xY Применив к нему формулу (7.1), сразу же увидим, что ДД1, — х) = L(t, х) п. в. Комбинируя это равенство с формулой (7.5), примененной к —В и —х вместо В и х, после некоторых очевидных изменений знаков получим

/

(В/ — хУ — (Во — х)- = — ^ 1(_оо, х] (Bs) dBs + ^-В (/, х).о

Складывая это равенство с равенством (7.5), получим (7.15), так как ^ 1 {х} (Bs) dBs = 0 п. в. | о

Уравнение (7.15) известно как формула Танаки. Для каждого х оно указывает разложение субмартингала |В— х| на компоненты, с помощью которых он может быть описан более точно, чем с помощью общей теоремы Дуба — Мейера о разложении.

Определение. Для любых t и х пусть

t

B^t, х) = | Во — х | + sgn (Bs — x) dBs. (7.16) о

Теорема 7.6. Для каждого x имеем, что п. в.

\В —x\ = BY, х) + LY, xY(7.17

.где В(-,х)— броуновское движение и LY,x)— непрерывный возрастающий процесс с нулевым начальным значением. Более того, LY,x) может возрастать п.в. только тогда, когда \В — х | находится в нуле, т. е.

{<: В Щч^х} dL Y, х) = 0 п. в. о

Доказательство. Так как обе стороны равенства (7.15) непрерывны по t, отсюда непосредственно следует (7.17). В силу (7.16) процесс В^х) является суммой своей начальной сл. в.

t

и непрерывного /Амартингала ^sgn(Bs— x)dBs. По след- о

ствию 5.9 квадратическая вариация последнего п.в. равна t

^ (sgn(Bs —- х))2d [B]s = t. Таким образом, В(-,х) оказывает- о

ся непрерывным локальным мартингалом с процессом квадратической вариации, неотличимой от {^ДеР+}, и, по теореме 6.1, является броуновским движением.

Непрерывность и равенство нулю начального значения процесса £(-,х) следуют из (7.7). Для каждого фиксированного t процесс £(£х) определяется п.в. с помощью предела в (7.1), где фигурирующий там интеграл возрастает по t при каждом фиксированном в. Отсюда заключаем, что £(£х) п.в. возрастает по t.

Чтобы доказать утверждение о точках роста £(-,х), мы заметим, что найдется множество Q15 такое, что P(Qi)=l и существует поточечный предел в (7.1) на Qi одновременно для всех рациональных t. Предположим, что со е Qi и t является точкой роста £(-,х)(со). Найдутся произвольно близкие к / рациональные числа г < г', такие, что [Дг, х) (со) < < £(г', х) (со), а отсюда на основании (7.1) заключаем, что

X (s е [г, г']: Bs (со) е (х — е, х + е)}>0 для всех в > 0.

В силу непрерывности В. (со) имеем, что Bs(co) = x для некоторого se[r,r'], и так как г, г' произвольно близки к £ то Д(со) = Х. ■

Частный случай равенства (7.17) при х = 0 мы обсудим более детально в следующей главе.

Доказательство леммы 7.2.t

Доказательство леммы 7.2. Пусть G (£ х) = ^ 1 [Х, «о (Д) dBs. о

Фиксируем Г > 0. Сначала докажем, что существует постоянная С, такая, что для всех х и у из R

ES sup |G(£x)-G(£ //ЖДх-,/)2.(7.18)

lo<t<Tj

Мы можем предположить, что х ^ у. В силу (6.20) имеем

36Д36Д

36Д

36Д

Следовательно, (G(£x)—G(£y), ZeR+} является ^-мартингалом. По неравенству Дуба (теорема 1.4) левая часть в (7.18) не превосходит величины

(4)4В{|С(Г, x)-G(£, ^^(A)436^ ^(^М*) j.

Последнее из выписанных здесь математических ожиданий можно оценить таким образом. В силу симметричности и не-

зависимости Вг— So и Bs— Вг оно равно

Г Г Тч

2Ej dr ds1|х, у) (ВЛу)(Вг)7=

'•о г'

Т т

= 2^dr ^ds (2л)-1 (г (s — r))-1/2 X О г

Хв| J dz J dw exp (—| С‘ Iх ~ ’

'-Х — Во х—Во'

где Ci > 0 — некоторая постоянная. Это доказывает (7.18).

Фиксируем R > 0 и обозначим Ф множество двоично рациональных чисел вида \2~п, где п и /— целые: ,-:>0и —R2n^.j^ZR2n. Положим q = 2-1/8. В силу (7.18) и неравенства Чебышёва имеем

Pi max ]G(/, (/+ l)2-n)-G(/, /2-n) | > qn\ < q-wC2-2n. koct^Tj

Сумма вероятностей по всем /, таким, что /2-п и (/+ 1)2-” принадлежит Ф, ограничена величиной (2n+'R) С2-йп!г = = 2RC2~nl2. Ряд из этих величин по всем п сходится. Отсюда по лемме Бореля — Кантелли существует множество По, Р(Н0) = 1, такое, что для каждого со е По найдется по(со)е N, такое, что для всех п ^ Ио(со)

sup |G(t (/+ l)2~n)-G(/, j2-nH<qn (7.19) 0< (<T

для всех указанных выше j. Начиная с этого места и далее, мы будем рассматривать только те со, которые принадлежат По- Пусть

й = 1к = \

где каждое из хА и yk равно 0 или 1. Мы утверждаем, что

sup |G(G x) — G(t, у) К 2 £ qk, (7.20) 0<<<ТА=п+1

если | х — у | < 2~п, где п ^ пй (го).

Докажем это индукцией по т. Если т ^ и, то х = у и сумма справа в (7.20) равна нулю согласно обычному соглашению1). Предположим, что (7.20) справедливо при т, заме-

11 Это соглашение состоит и том, что сумма по пустому множеству индексов равна нулю —Прим перев.

ненном на т— 1. Пусть

Тогда х — х' = 0 или 2“m и у— у' = 0 или 2~ш. В силу неравенства (7.19), в котором п — т, имеем

sup | G (/, х) — G (I, х') | ^ qm, sup | G (G у) — G U, у') | ^ qm* о«<гос/ст

По индуктивному предположению

т— 1

sup |G(/, V) — G (/, /)|<2 2 qk-

Q^.t^.Tk—n-\-1

Складывая эти три неравенства, получим (7.20), что завершает доказательство по индукции. Если m > п^-оо в (7,20),. то сумма сходится к нулю. Отсюда следует, что для каждой, точки (Z, х)е [0, Т]Х [—7?, 7?] предел

7(Z, x) = limG(/, х^(7-21}

существует для любой последовательности {xn)eD, такой,, что хп-*х. Значение этого предела не зависит от выбора хПу и сходимость равномерна по t. Так как функция G^t,x^ непрерывна по /е [0, Г] для каждого п, то из равномерной сходимости следует, что функция J (t, х) также непрерывна по t для каждого фиксированного х. Более того, в качестве следствия (7.20) имеем, что

sup |7(/, х) — 7(7, у) 1^2 X qk,0</<Гй = п+1

как только |х— у\<<2-п и n^«0(®). Таким образом, если (Ль х„)->(/, х) в [0, Т]Х[—R,RA, ТО J(s, xn)^-J(s, х) равномерно по s е [0, Т] и по непрерывности Ц-,х) имеем также Ц1п, х)—>-/(/, х); следовательно, /(/„, х„)->-/(7, х). Это доказывает, что функция J непрерывна на [0, Т]Х[—R,R\- Наконец, для любых хе[—R, 7?] и t е [О', Г] из (7.18) следует, что G(/, хл) сходится в L4 к G(7, х), если хп^>-х. На основании сказанного и из (7.21) заключаем, что P(G(t, х) = = /(/, х))= 1, тем самым доказав (7.6). Так как Т и R произвольны, мы можем распространить определение / на R+X ^ для каждого со из некоторого множества единичной вероятности. 1

8

Отраженные броуновские движения

Введение

В этой главе процессы L(•, 0) и 5 (•, 0), определенные соответственно в (7.7) и (7.16), будем обозначать £(■) и В(-). Положив х = 0 в (7.17), получим

\B\ = B-VL.(8.1)

Стохастический процесс |В| называют отражением броуновского движения В в нуле. В силу (8.1) пара (]B[,L) п. в. является решением некоторой проблемы отражения для В, обсуждаемой в разд. 8.2. Это приведет нас к альтернативному разложению L и, следовательно, |В| в терминах В. В разд. 8.2 будет использована формула Ито с целью установить связь этого альтернативного представления с аналитической теорией. В разд. 8.3 мы приведем два примера, чтобы проиллюстрировать, как это представление и некоторые его многомерные аналоги естественным образом возникают в качестве диффузионных аппроксимаций для моделей хранения. В разд. 8.4 мы обсудим некоторые из последних работ о характеризации двумерных отраженных броуновских движений в клине, которые оказываются справедливыми даже тогда, когда непригодна никакая простая потраекторная конструкция или естественная диффузионная аппроксимация.

Броуновское движение, отраженное в нуле

Из (8.1) и теоремы 7.6 следует, что для почти каждого со пара (|В|,Л)(со) является решением следующей проблемы отражения для В (со). Формулировка этой проблемы для вещественнозначных функций без ссылки на вероятностную интерпретацию принадлежит Ель Каруи и Шалья-Морель [11].

Проблема отражения. Обозначим ^ класс непрерывных функций, определенных на R+ со значениями в R. Если функция хе^ задана, то пара (z, у) называется решением проблемы отражения для х, обозначаемой PR(x'), если ?e^, уе^ и выполнены следующие три условия:

i) 2 = х + у,

i) z^O,

(Hi) у(0) = 0, у возрастает на R+ и ^ z(/) dy^ = 0.

е

Следующая аналитическая лемма гарантирует существование и единственность решения проблемы отражения для любой функции хе®’, удовлетворяющей условию х(0)^ 0.

Лемма 8.1. Пусть хе.^ и х(0)^0. Тогда PR(x) имеет единственное решение (z, у), где

z = x + y, У (t)= max х~ (s) для каждого /gR+. (8.2)

O^s^i

Доказательство. Сначала мы проверим, что (г, у) является решением PR(x). Ясно, что функции у и z непрерывны и выполнено (i). Условие (П) легко проверяется следующим образом:

2 (/) = х (0 + у ^ > х (/) + х~ (/) = х+ (0 > 0.

Так как х(0)^0, то у(0) = 0. Функция у, очевидно, является возрастающей. Чтобы проверить, что ^ z (t) dy (/) = 0, мы о

должны показать, что /0 может быть точкой роста функции у, если только 2(/о) = О. Рассмотрим случай, когда у возрастает справа от ^, так как доказательство аналогично, если она возрастает слева. В этом случае у(^о) ■< у(^о + 6) для любого 6>0 и по определению у найдется /6 е (^0, ^о + 6], такое, что

О^у(/0)<х (t^s^y (Zo + д) и, следовательно, х(/6)<0. (8.3)

Отсюда вытекает, что

у(/0) = х~(/0) и х(4)<0,

если положить 6 | 0 в (8.3) и воспользоваться непрерывностью х-, у и х. Следовательно, г(<о) = х(/о) + у(^о) = 0. Это завершает доказательство того, что (г, у) есть решение PR(x).

Чтобы доказать единственность, предположим, что (5, ^) является другим решением PR(x). Тогда по условию (i) имеем

г(/)-2(0 = у(/)-у(0(8.4)

и, следовательно,

t

О < (У (/) — 9 W = 2 ^ (у (s) — у (s)) d (у (s) — у (s)) =

О

t

= 2 J (2 (s) — z(s))d(y(s) — y(s)) =

0

tt

= —2 ^ 2 (s) dQ (s) — 2 ^ 5 (s) dy (s) ^ 0,

оe

где третье равенство выполняется в силу условия (iii). Таким образом, у(t) = y(t) и поэтому z^ — z^ для всех t. 1

(8.5)(8.5)Так как (|S|,L) п. в. является решением PR(B) и 8(0) = = | So |^0, то из утверждения о единственности в лемме 8.1 следует, что п. в.

(8.5)

(8.5)

Lt = max Bs для всех / из R+. 0 s

Определение. Два процесса X и Y называются эквивалентными по распределению, если они имеют одинаковые конечномерные распределения, т. е. если

P(Xtl^xv, Xt^x2, . .., Xtn^xn^ =

= P(YtlCxx, Yt2^x2, .... Ytn<x„

для всех 0 ^ /i < ... < tn < оо; хь ..., хп из R; п е N-

Из доказательства теоремы 6.1 следует, что В — Во не зависит от ^0 = а(80)~. Более того, В — Во есть броуновское движение, начинающееся в нуле, и, следовательно, эквивалентно по распределению В — So, а, в силу симметрии, и — (В — Во), причем последние два процесса также не зависят от ^о. Эти свойства вместе с тем фактом, что |В0| = |В0|, влекут за собой, что процесс \В\ эквивалентен по распределению процессу ]В|.

Важно осознать, что эквивалентность по распределению двух процессов является более слабым свойством, чем равенство выборочных траекторий для каждого со. Например, |В| эквивалентен по распределению |В|, но |В|^|В|. Ибо если бы |В| был равен | S |, то (8.1) гласило бы, что |В| = В + £, где |В| и В одновременно обращаются в нуль для некоторой последовательности моментов времени, стремящейся к оо, и это влекло бы неверное заключение, что L = 0.

Определение. Для каждого t пусть

Zt = Bt-V max S7.(8.6)

0<s< t

На основании (8.1) и (8.5) имеем, что Z = |8| почти всюду и, следовательно, процесс Z эквивалентен по распределению |5|. Более того, в силу (8.5) и (7.1) почти всюду:

max Bs = Lt = lim -^— Z {0 ^ s ^ t; | Bs | ^e} =

C<s<f84-0 26

= lim -7г— Z {0 ^ s ^ t: Zs ^ e). 8*0 26

Поэтому L естественно рассматривать как локальное время процесса Z в нуле. В конце этой главы формула (8.7) будет выведена по-другому с помощью прямых вычислений.

Выше мы познакомились с двумя способами представления процесса, возникающего в результате отражения броуновского движения в нуле. Первый касается |S|, а второй — Z. Второй способ приводит к полезному представлению и в аналитическом отношении, и с точки зрения приложений. Ниже мы указываем, какую связь можно установить с аналитической теорией Z посредством формулы Ито. Эта связь будет обнаружена в результате обсуждения приложений в теории запасов, в которых Z и более общие отраженные процессы появляются в качестве диффузионных аппроксимаций.

3 Аналитическая теория Z в свете формулы Ито

Формулу Ито можно применить к процессу Z, так как он является суммой непрерывного локального мартингала В и непрерывного возрастающего процесса L. Например, имеет место

Теорема йДЛусть ф е C2(R) и а ^ 0. Тогда п. в. для всех t имеем

tt

е"а Ф (ZJ - ф (Zo) = $ e’V (Zs) dBs + J e^V (Zs) dL3 - 00

tt

— a ^ е“аф (Zs) ds + -^- е-а5ф (Zs) ds. (8.8) о0

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 5.10, примененной к Mt = Bt, Vt = Lt, Ht = e~a<, области D = R3 и функции f, определяемой следующим образом: f (х, ух, у^ = = У2Ф(а + У1) для всех (х, ух, у^ из R3. |

Следствие 8.3. Предположим, что феС2(г). йеС(^+) и а ^ 0, такие, что

аф^-ф" = й на R+ и ф'(0) = 0.(8.9)

(1)

Тогда М = se-a^ (Z() — ф (Zo) + ^ e~ash(Zs) ds, (ем явля- Iо'

ется непрерывным локальным мартингалом. Кроме того, если ^ и h ограничены на R+, а > 0 и Во = х ^ 0, то

ф(х)=Е*Н e~aWd ds(8.10)

Доказательство. Так как L может возрастать только в точках, в которых процесс Z равен нулю, и ф'(0) = 0, то интеграл па dLs в (8.8) равен нулю для всех t. Тогда из (8.8) и (8.9) и того, что Z 0, следует

tt

e-aS (Zt) - Ф (Zo) + J e^h (Zs) ds = J e'V (2S) dBs, (8.11> ои

где стохастический интеграл справа определяет непрерывный локальный мартингал. Это доказывает первое утверждение.

Пусть предположения, перечисленные перед (8.10), выполнены. Так как ф и h ограничены, то процесс Mt, определяемый левой частью в (8.11), ограничен равномерно по t в каждом конечном интервале. Из предложения 1.8 следует, что М является мартингалом. Отсюда имеем, что Ex(Mt) = ЕХ(МО) = = 0. Если устремить t^-oo, то (8.10) будет следовать из теоремы об ограниченной сходимости. 1

Замечание. Так как Zo =\Во\ = х, то математическое ожидание Ех в (8.10) может быть интерпретировано как математическое ожидание при данном Zo = х.

Привлекая (8.6), можно проверить, что для любого конечнозначного марковского момента т и < > 0 выполняется равенство

Zx^t = Zxy 5Т+/-ВТ+ max (Zx + Bx+S - ВХУ. (8.12) 0 s

Доказательство теоремы 6.1 может быть модифицировано для того, чтобы показать, что {ST+<— Вх, 1eR+) является броуновским движением, независимым от ST х. Тогда из (8.12) вытекает, что Z представляет собой строго марковский процесс, Обозначим Ь® класс всех ограниченных ^-измеримых функций g; R+->R. В теории марковских процессов оператор Ra- b$ -^-Ь^, определяемый для а > 0 по правилу

\e ^g^ds

•o

для всех х ^ 0 и g е Ь^, называется а-резольвентой Z. Из следствия 8.3 вытекает, что если существует ограниченная функция ф се C2(R), удовлетворяющая (8.9) для данной ограниченной функции h гС (!R+) и а 2з 0, то ф = RJi. Например, если h обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, то, согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, такая функция ф существует и единственна в силу представления (8.10). Таким образом, в некотором смысле

(который может быть уточнен) Rtt представляет собой обра-

1 d2 щение дифференциального оператора а—

Мы сделали особый упор на разложение Z = В + L и использование формулы Ито при установлении связи с аналитической теорией Z. Этот подход обобщается на более сложные отраженные броуновские движения, такие, как процессы с двумя отражающими барьерами (один в х = 0, а другой в х = Ь>0) или многомерные процессы (см. ниже пример 2). Для этих более общих процессов нет простого альтернативного представления, подобного представлению | В |.

4 Аппроксимации в теории запасов

Процесс Z возникает естественным образом в приложениях в качестве диффузионной аппроксимации в теории запасов. Это будет проиллюстрировано ниже в примере 1 на модели с одним хранилищем, где Z встречается в асимптотической теории для процессов, описывающих количество запасов.

Более общим образом броуновские движения с двумя отражающими барьерами и многомерные отраженные- броуновские движения также возникают при аппроксимации моделей хранения. Такие процессы ведут себя как броуновские движения внутри выпуклых полиэдрических областей в Rd, d ^ 1, будучи отраженными от границ этих областей. Причем направление отражения постоянно на каждой границе полиэдра. В примере 2 мы обсудим модель двух соединенных хранилищ, где двумерные процессы, описывающие количество запасов, могут быть аппроксимированы отраженным броуновским движением в квадранте R+- Для этого процесса направление отражения является нормальным на одной полупрямой и косым на другой полупрямой.

Пример 1. Модель одного хранилища.

Рассмотрим одно хранилище типа бункера или водохранилища с неограниченной вместимостью. Ради интуитивной наглядности мы будем представлять себе его в виде запруды, перегороженной дамбой. Предположим, что первоначально водохранилище было пустым, а приток воды в него является случайным и в моменты п е N поступают требования о выпуске воды из водохранилища. Требование выполняется, если только оно не превышает количество воды, имеющееся в водохранилище в данный момент; таким образом, фактическое количество выпускаемой воды в момент п меньше требуемого количества и количества воды, имеющегося в водохранилище в данный момент. Следующая вероятностная структура будет интерпретироваться как модель такого хранилища.

Пусть {Дп, neN} и \Rn, п е N}— две независимые последовательности независимых одинаково распределенных1) (н.о. р.) положительных случайных величин с конечными строго положительными средними значениями и дисперсиями, такие, что Е (Дп) = Е (Rn) для всех п. Для каждого я пусть Un=An~ Rn. Тогда E(U^ = 0 и о2 = Е (U2^ > 0. Пусть {Wn, п е No} — последовательность сл. в., определяемых индуктивно следующим образом:

№о = О, Wn — (t^n_i + UnV для каждого neN. (8.13)

Если Ап представляет собой количество воды, которое поступило в водохранилище за временной интервал (я—1, я], и Rn представляет собой количество воды, которое требуется выпустить в момент п, то Un можно интерпретировать как возможное изменение количества воды в- водохранилище в течение временного интервала (я— 1, я]. Мы говорим «возможное» потому, что это изменение может полностью не реализоваться, так как Wn, интерпретируемое как количество воды в водохранилище после выпуска ее в момент п, должно быть неотрицательным.

Пусть ^Хп, п е No}—последовательность сл. в., определяемых следующим образом:

п

Хо = О, Xn=^Ui для каждого neN.

i=i

Случайные величины Хп можно интерпретировать как кумулятивное возможное изменение количества воды в водохранилище до момента п. Следующее выражение для W» в терминах ^Xi, 0 ^ i ^ я} может быть получено индукцией по п с использованием (8.13):

Wn = Хп+ шах (—Х^ для каждого я е No. (8.14) 0 < i < 17.

Для каждого neN пусть 1E" = {1F", t е R+} — процесс, определяемый следующим образом:

Wt = (о -Vny^vnii для каждого />0.

Мы будем по-прежнему использовать символы В и Z, как это делалось в предыдущем разделе. Напомним, что В — броуновское движение в R и Z определено в (8.6). Более того, в течение разбора этого примера мы будем считать, что So = 0. Центральным моментом является

•> Здесь имеется в виду, что случайные величины одинаково распределены внутри каждой последовательности. Случайные величины из разных последовательностей могут иметь различные распределения. — Прим, перев.

Теорема 8.4. Для каждого t при п->«> процесс Wt сходится по распределению к Zt.

Набросок доказательства. Главное упущение в приводимых далее рассуждениях состоит в отсутствии деталей, касающихся слабой сходимости в функциональном пространстве О [О, т] всех функций, определенных на [0, т], meN, которые непрерывны справа на [0, яг) и имеют конечные пределы слева на (0, т]. По поводу опущенных деталей мы отсылаем1 читателя к Биллингсли [1]. На самом деле Биллингсли говорит только о D [0, 1], но простое расширение временной шкалы приводит к такой же теории для Z)[0, т]. Мы пользуемся- сокращением «по распр.», имея в виду «по распределению».

По центральной предельной теореме для каждого t > 0> при п-> оо

д/^п!^п(а VM)-1 X Ut-*Bt по распр.

Отсюда следует, что для каждого / 2s О

Х1 = (a УпУ'Х^ц -> Bt по распр.

Действительно, для каждого weN процесс УУ, 0^/^m} слабо сходится в D [0, т\ к дУ 0^/^m). Тогда из теоремы о непрерывном отображении [1, следствие 1, с. 31] следует, что

сходится в том же слабом смысле к

шахшах

шах

шах

Так как Во = 0, мы имеем

max (—Ss) = шах В5 .

О ^ s ^ /0 ^ s ^ f

Слабая сходимость в D [0, т] для каждого m е 2 влечет за собой сходимость по распределению для каждого t, поэтому

Wt -> Zt = Bt -V max ВТ по распр.

О ^ 5 ^ t

для каждого t. 1

Из этой теоремы и определения W" следует, что Z можно использовать для аппроксимации длины пробега, характеризующей поведение Wn.

Процесс Z также можно использовать в качестве аппроксимации последовательности времен ожидания в очереди в системе массового обслуживания с одним прибором ) при высокой нагрузке. Система массового обслуживания с одним прибором представляет собой обслуживающее устройство с приемником, куда по одиночке прибывают посетители и становятся в очередь на обслуживание, которое осуществляется по принципу: первым пришел — первым обслужен. Предположим, что для каждого нее N сл. в. Ап из предыдущего примера представляет собой время обслуживания n-го посетителя, который пришел в систему массового обслуживания с одним прибором, a Rn представляет собой время между моментами прибытия и-го и («+1)-го посетителей. Тогда Wn можно интерпретировать как время ожидания (за вычетом времени обслуживания) (п + 1)-м посетителем, предполагая, что первый посетитель не ждал начала обслуживания. В такой интерпретации эту модель упоминают как систему массового обслуживания GI/G/\ с интенсивностью нагрузки р = Е(А„) /Е^Rn^ = 1. Таким образом, по теореме 8.4 Z можно использовать для аппроксимации величины времени ожидания, характеризующей поведение последовательности времен ожидания в системе массового обслуживания с единичной интенсивностью нагрузки.

Пример 2. Модель двух соединенных хранилищ.

Рассмотрим два соединенных хранилища, каждый из которых имеет неограниченную емкость. Мы снова будем говорить об этих хранилищах как о водохранилищах. Предположим, что в начальный момент водохранилища были пустыми и в первое поступает случайный приток воды, в то время как в дискретные моменты времени ne N поступают требования на транспортировку определенного постоянного количества воды из первого водохранилища во второе водохранилище. В момент п вода транспортируется из первого водохранилища во второе водохранилище и затем выпускается из второго водохранилища, причем транспортировка и выпуск воды осуществляются до тех пор, пока это допускает содержимое водохранилищ. Схематически это представлено на рис. 8.1. Следующая вероятностная структура будет интерпретироваться как модель этой системы.

Пусть {А„, neN} и ^Rn, п ge N) — две независимые последовательности н. о. р. положительных случайных величин с конечными строго положительными средними значениями и дисперсиями, такие, что E^An^ = E(R„) = с для всех п и неко-

Притокводы

1-е водо-хранилище

Транспортировка 2-е водохранилище

Выпускводы

Рис. 8.1.

торой постоянной с > 0. Обозначим {Т„, n е N} детерминированный процесс, определяемый следующим образом: Тп = с для всех п. Пусть

Un = An — Tn> 1Л = Тп-Кп.

Тогда £((/*) = 0, Д«) = 0, о? = Е Ш)2} > 0 и <А = = £ {(t/«)2} > 0. Пусть {К, n&N0} и {Г2, п е No} - последовательности сл. в., определяемых индуктивно формулами

^ = 0, И = ('^-1 + О+ для п>\,(8.15)

( Г2 = 0,

I Wn = (^Li + min(тп, Г^1 + Ап) — Rn)+ для п> 1.

(8.16)

Если Ап представляет собой количество воды, которое втекает в первое водохранилище в течение временного интервала (п— 1, п], и Тп представляет собой определенное постоянное количество воды, требуемое для транспортировки в момент п, то Wn можно интерпретировать как количество воды в первом водохранилище после транспортировки в момент п, а min (Тп, Wn-i + Ап) представляет собой фактически транспортируемое количество воды в этот момент. Если, кроме того, Rn — количество воды, которое требуется выпустить из второго водохранилища в момент п, то U72 можно интерпретировать как количество воды во втором водохранилище после того, как выпустили воду в этот момент.

Для каждого /е{1, 2} пусть ^Хп, /г е No) — последовательность, определяемая формулой

Хо = 0, X^^U't для каждого mgeN. (8.17) i=l

Пусть \Уп, neN0} и {У„> n е No} определены следующим образом:

У'п= max (—Х;), Yn= max (—Л^ + У;)-(8.18)

0 < i < п0 < i < п

Другие полезные выражения для Wn и W« дает

Лемма 8.5. Для каждого п г No

W\ = X\A-Yvn и(8.19)

Wn = X; - У'п + У2.(8.20)

Доказательство. Так как ^определяется тем же самым рекуррентным соотношением, что и Wn в примере 1, то (8.19) •следует из (8.14). Мы воспользуемся (8.19) и индукцией, чтобы доказать (8.20).

Если п = 0, то обе части равенства (8.20) равны нулю. Предположим, что п > 0 и (8.20) выполнено с п— 1 вместо п. Тогда в силу (8.16)

^ = (FLi + min(T„, ^-i + Ап)-НпУ =

= (rLi + Tn - Rn + min (0, WV1 + An - ТЖ.

По индуктивному предположению, определениям Uxn и U"n и (8.19) последнее выражение в предыдущих равенствах преобразуется к виду

(xLi -yV\ + rLi + и-ч + min(o, xV\ + Уп-i + О+ =

-(Т^ + У^ + пипИ-ь О+= (в силу (8.17))

= (Хп + Уп-i — max (У^-ь -<))+ =

= № - У* + yLi)+ =(В силу (8.18))

= тах №-Yxn + yL„ 0) =

= Х1 - У* + max (yLv, - № - У^)) = Х^ - У' + У2.

Таким образом, (8.20) выполняется для п. Это завершает доказательство по индукции. 1

Чтобы сформулировать аналог теоремы 8.4, нам требуется понятие сходимости по распределению пар сл. в.

Определение. Последовательность {(/i, Vn^ пар сл. в. сходится по распределению (по распр.) к паре сл. в. (У1, У2), если

lim P(y^<xh У^<х2) = Р(У‘ <хи У2<х2)

для каждой точки (хьХг)^ R2, являющейся точкой непрерывности функции, стоящей справа в этом равенстве.

Для каждого п ge N пусть W"— двумерный процесс:

w?—^ (тг ^ ^7 ГМ v'>°-

Обозначим В броуновское движение в R2 с начальным значением Во = (0,0). Ниже мы определим двумерные процессы L и Z с помощью непрерывных отображений траекторий В. Эти отображения являются аналогами отображений (8.18)— (8.20) на случай непрерывного времени.

Определения. Пусть L = (L1,Z.2) и Z = (Z1,Z2)— двумерные процессы:

L\ = max «П Y = max (В^-ЬХУ, (8.21) 0 ^ s ^ t0 < s ^ /

Z\ = b\A-L\, Z^t = Bl - L\ + L] (8.22)

для каждого / ^ 0. Заметим, что

(В^" = -В\ и (Bl - L\Y = -B2S + Y,

так как Во = (0, 0).

Замечание. Так как процесс L = (£.', Z.2) фигурирует только в этом примере, нет опасности перепутать его с пространствами интегрируемых функций L1 и I?.

Теорема 8.6. Для каждого t при п-* со

Wt —> Ztпо распр.(8.23)

Набросок доказательства. Метод доказательства похож на метод доказательства теоремы 8.4. Так как последовательности {Л^, neN} и (xL neN} независимы, то, применив одномерную центральную предельную теорему по отдельности к каждой из компонент X?, получим, что для каждого t

X-VnA^Bt = VBXt, В^ по распр.

На самом деле можно показать, что {X?, O^t^m} слабо сходится к (Bt, 0 ш} на D [0, tn} X О [0, tn}, а отсюда по теореме о непрерывности отображения и (8.18) — (8.22) вытекает, что {W?, 0 пг} сходится в том же слабом смысле к {Z;, 0^/^ш} для каждого meN. Отсюда следует утверждение (8.23). 1

Если определение Во расширить и позволить начальное значение Во приравнивать xeR^, не обязательно равному нулю, то определения (8.21) — (8.22) процессов L и Z все еще сохраняют смысл и влекут за собой равенство Zo = Во. В приводимых ниже рассуждениях мы считаем В, L и Z определенными в этом расширенном смысле с В0 = х для некоторого XSR+- Тогда, сравнивая (8.21) — (8.22) с (8.2), мы видим.

^2

(0,0?

Рис. 8.2.

что для каждого ю пара (Z1, В1) (со) представляет собой решение проблемы отражения для В1 (со) и (Z2, В2) (го) являются решением проблемы отражения для (В2 — В1) (го). Из свойств, этих решений следует, что

(z\\ (в\\ ( 1 о\/^А

=+1 1 И ,2 Для каждого t,

Zt^O для каждого t и /=1, 2,

Bq = 0, B; возрастает, Zt dLt = 0 для /=1, 2. о

Действительно, так как уравнение Z1 = В1 + В1 включает только первые компоненты процессов Z, В и L, то можно воспользоваться единственностью решения проблемы отражения для В1 (го), а затем единственностью решения проблемы отражения для (В2 — В1) (го) с тем, чтобы показать, что при данном В пара (Z, L) является единственной парой непрерывных двумерных процессов, удовлетворяющих (i) — (iii). Матрица: / 1 о\ (_[ J называется матрицей отражения.

Свойства (i) — (iii) дают геометрическую интерпретацию поведения выборочных траекторий Z. В силу (ii) процесс Z принимает значения в положительном квадранте R+- Свойство (iii) влечет за собой, что В1 может возрастать только тогда, когда Z1 обращается в нуль, а В2 может возрастать только тогда, когда Z2 обращается в нуль. В силу (i), следовательно, Z ведет себя как броуновское движение, удаленное от граничных полупрямых в R+, и когда В1 возрастает, Z отражается (или, возможно, более правильнее, отклоняется) от границы г] = 0 в направлении, указанном первым столбцом матрицы отражения. Аналогично, когда В2 возрастает, Z

отражается от границы г2 = 0 в направлении, указанном вторым столбцом этой матрицы, которое оказывается нормальным направлением к г2 = 0. Таким образом, направления отражения Z на каждой граничной полупрямой имеют вид, указанный на рис. 8.2.

Точно так же, как в случае одномерного процесса Z (см. теорему 8.2), мы можем применить формулу Ито к Z с целью установить связь с его аналитической теорией. Например, мы имеем такие два результата.

Теорема 8.7. Пусть ф— дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная на R2, и а ^ 0. Тогда имеем,, что п. в. для всех t

2 t

е"аЧ (ZJ - ф (Zo) = £ $ Sr ^ dB’s +

/ = 1 0

+ $Md^+

J I022 J

0

ttt

+ J e-as ^ (Zs) dti - a J B’a4 (Zs) ds + -1- $ Аф (Zs) ds. (8.24> 000

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 5.10, примененной к Mi = В\, Mt = Bt, V\ — L\, V^ — L^t, l/? = e-a<, области D = R5 и функции /, где

f(xi, х2, ух, у2, у3) = УзНи + Ух, х2 — ух + у2)

для всех (хь х2, ух, у2, у^ из R5. 1

Следствие 8.8. Предположим, что ф — дважды непрерывно дифференцируемая функция на R2, h — непрерывная функция на Рф и а^0, причем

ииаф^- Аф = h на Рф(8.25):

и

и

(8.26)(8.26)f / Уф|2О(0 22) = 0 для 22^0, I \ дгх дг2 J2

(8.26)

(8.26)

।0) = 0 для z^O.

непрерывным локальным мартингалом. Кроме того, если фнепрерывным локальным мартингалом. Кроме того, если фТогда je-a4 (Z,) — ф (Zo) + ^ e~ash (Zs) ds, / е Р+г является о'

непрерывным локальным мартингалом. Кроме того, если ф

непрерывным локальным мартингалом. Кроме того, если ф

•и h ограничены Ha R2+, а>0 и Во = х^О, то

ф (х) = Ехф (х) = Ех\ e-ush (Zs) ds■о\ e-ush (Zs) ds■о

ф (х) = Ех

ф (х) = Ех

\ e-ush (Zs) ds

■о

\ e-ush (Zs) ds

■о

Доказательство. Так как U возрастает только тогда, когда Z' равно нулю, где / = 1, 2, то из (8.26) следует, что второй и третий интегралы в (8.24) равны нулю. Оставшаяся часть доказательства аналогична доказательству следствия 8.3. 1

Мы можем переписать (8.26) в векторной форме:

{(zh z2): 2, = 0, z2 ^ 0},

УФ • I । J = 0 на {(z,, z2): zx ^ 0, z2 = 0),

где уф = (^ ^J ■,Такая запись делает понятным, что

на каждой граничной полупрямой R+ требуемое граничное условие состоит в том, что производная по направлению функции ф, вычисленная по направлению отражения от каждой из этих полупрямых, равна нулю (см. рис. 8.2).

Дополнительная литература. Многомерные отраженные броуновские движения с ограничениями на направления отражения возникают как аппроксимации последовательностей времен ожидания и процессов, описывающих длину очереди в сетях систем массового обслуживания с высокой нагрузкой. По поводу деталей о методе аппроксимации см. Рейман [23]. Соответствующая аналитическая теория обсуждалась Харрисоном и Рейманом [15], у которых содержатся также ссылки на более ранние статьи о таких процессах.

В . отношении отраженных броуновских движений двух и ■более измерений главная трудность состоит в подходе к аналитической теории, которая уже использовалась в следствии 8.8 и [15]. Именно, имеется нетривиальная проблема из области дифференциальных уравнений с частными производными, состоящая в том, чтобы доказать, что уравнения типа (8.25) — (8.26) имеют достаточно богатое семейство решений с требуемыми свойствами регулярности, которые характеризуют соответствующий процесс. Трудность возникает из-за того, что граница пространства состояний не является гладкой. В недавнем исследовании Варадхана и Уильямс [29] дана альтернативная характеризация двумерных отраженных броуновских движений, у которых пространство состояний представляет

собой клин. Эта характеризация, описанная в следующем разделе, представляет собой комбинацию вероятностных и аналитических черт процессов. Она облегчает их изучение и, кроме того, справедлива даже тогда, когда непригодна никакая по- траекторная конструкция или естественная диффузионная аппроксимация.

8.5 Отраженные броуновские движения в клине

Рассмотрим проблему существования и единственности строго марковского процесса Z, который имеет непрерывные траектории и следующие дополнительные свойства.

Пространство состояний S является бесконечным двумерным клином, и Z ведет себя внутри клина как броуновское движение.

Процесс Z мгновенно отражается на границе клина, причем направление отражения постоянно на каждой из сторон.

Количество времени, которое Z проводит в вершине клина, равно нулю (в смысле меры Лебега).

Без потери общности мы можем предположить, что вершина клина находится в начале координат и одна сторона совпадает с положительной 21-осью, а величина угла клина g заключена в (0,2л). Две стороны клина обозначим <5Si и dS2, а направления отражения на этих сторонах обозначим постоянными векторами щ и и2, имеющими положительные компоненты и направленными по внутренним нормалям к соответствующим сторонам. Отвечающие этим направлениям отражения углы отражения 0] и 02 определяются как углы ме-

Рис. 8.3.

жду внутренними нормалями к сторонам и соответствующими направлениями отражения. Каждый из этих углов имеет величину, заключенную в (—^-, -у)- Соглашение о знаке каждого из углов состоит в том, что угол является положительным, если направление отражения указывает в сторону вершины клина. Типичный острый клин изображен на рис. 8.3. Оба указанных угла являются положительными.

Пример. Процесс Z, который обсуждался в примере 2 из предыдущего раздела, является непрерывным строго марковским процессом, удовлетворяющим условиям (1) — (3) с

yi=(i)’0i=°и °2^f-

Приведенные выше формулировки являются отчасти эвристическими в том смысле, что можно спросить, что означает для процесса Z быть похожим на броуновское движение внутри клина или мгновенно отражаться от границы в данном направлении. В [29] вопрос существования и единственности сформулирован более точно по сравнению с тем, как это сделано в следующей субмартингальной проблеме, и выдержан в духе подхода Струка и Варадхана [26], использованного ими при изучении диффузии на гладких областях с гладкими граничными условиями. Здесь С5 обозначает пространство непрерывных функций г: [0, оо)->-£ и для каждого / ^ 0 пусть ^z = o{z(s): 0 ^ s ^ ^}—наименьшее о-поле подмножеств. С$, такое, что каждое координатное отображение z->z(s) при 0 ^ s ^ / является ^/-измепимым. Пусть,^= V ^<*

t>o

Субмартингальная проблема. Семейство вероятностных мер {P2, ze S} на Cs называется решением субмартингальной проблемы, если для каждого z е S выполняются три свойства '):

Pz (z (0) = 2) = 1;

(ii) Ez(ii) Ez1(0} (2 (s)) ds1(0} (2 (s)) ds

(ii) Ez

(ii) Ez

1(0} (2 (s)) ds

1(0} (2 (s)) ds

(11

J f(z(0)—^ M (z ($)) ds, J(t, /^0 l является

VO)

Pz-субмартингалом для каждой функции /, такой, что она постоянна в некоторой окрестности начала координат и она

B(i) вместо z(0) следовало бы писать, скажем, х(0), чтобы не путать функцию z с точкой z.— Прим, перев.

сама и ее первая и вторая производные непрерывны и ограничены на R2, и, кроме того, она удовлетворяет условиям

Vf-Цу^О на dSj для /=1, 2.

При такой формулировке эвристические условия (1) — (3) становятся очевидными. Свойство (1) находит свое отражение в выборе вероятностного пространства С$, а присутствие у А в (Hi) указывает на инфинитезимальное происхождение броуновского движения. Свойство (2) воплощается в условии на производную по направлению функции f. Свойство (3) следует из условия (И). Более того, если субмартингальная проблема имеет единственное решение, то это влечет за собой наличие строго марковского свойства.

Пример. Рассмотрим процесс Z из примера 2 предыдущего раздела. Можно проверить, с привлечением формулы Ито, что семейство вероятностных мер {Pz, z е S}, определяемых на Cs равенством

Р?(г(-) е Л) = P2(Z (•) е Л)

для каждого Л е^, представляет собой решение субмартин- гальной проблемы.

В общем случае мы имеем следующий результат, доказанный в [29]. Определим

а 61 + 62

Теорема 8.9. Если а < 2, то существует единственное решение субмартингальной проблемы. Если а ^ 2, то решение не существует; однако существует единственное решение, если опустить условие (и), что соответствует процессу с поглощением в вершине клина.

Остановимся на случае а ^ 2, что отвечает острому клину, т. е. 0<£<-у. На самом деле, из наглядных соображений понятно, что если бы можно было взять 0[ — у- И02 = -у, то случай квадранта а = 2 соответствовал бы направлениям отражения, указывающим вдоль сторон на вершину клина, вынуждая процесс поглощаться там.

Другие свойства отраженных броуновских движений в клине изучались Варадханом и Уильямс [29] и Уильямс [32].

Там, в частности, получены результаты, представленные на рис. 8.4.

8.6 Другой способ вывода уравнения (8.7)

Теперь мы дадим обещанный вывод (8.7) с помощью прямых вычислений, указанных Маккином [20, с. 75—76].

Обозначение. В оставшейся части этой главы пусть В обозначает броуновское движение в \ с нулевым начальным значением. По мнемоническим причинам мы используем Mt для обозначения max Bs. Это не должно приводить к путанице 0 < s < t

с предыдущим использованием М в качестве обозначения мартингала. Для каждого t пусть Xt обозначает неотрицательную случайную величину Mt — Bf.

Используя известное совместное распределение Bt и Mt, с помощью прямых вычислений можно проверить, что X эквивалентно по распределению |В|. У Фридмана [12, с. 32—34] имеется изящное доказательство этого. Однако этот результат также представляет собой непосредственное следствие рас- суждений из абзаца, следующего за (8.6), — надо лишь заменить там В (когда Во = 0) и Z соответственно на —В и X. После того как такие же замены произведены в (8.7), результатом будет следующая теорема. Доказательство, данное ниже, является чисто вычислительным.

Теорема 8.10. Для каждого /

М( = lim X {0 ^ s ^ t: Xs^e],(8.27)

е о

где предел понимается в смысле сходимости в I?.

Доказательство. Для любых t и е > 0 положим L\ = (2е)-1 Л {0 ^ s < Z: Xs < е). Мы докажем, что lim £{(М^—/Л)2} = 0. Для этого нам понадобятся следующие е v О

три плотности. Плотность Ms и совместная плотность Bs и

Ms могут быть получены с помощью принципа отражения (см., например, Карлин и Тейлор [18, с. 346, 350]). Ими доказано, что

P{Msedy^ = -^exp(-^(8.28)

для у ^ 0 и

Р ^Bs е dx, Ms е dy} =

-^Jx^J- ехР (~ ^Sv*12)dx dy (8-29>

для x ^ у и у ^ 0. Так как процесс X эквивалентен по распределению процессу \В\, то для 0 ^ г < s, х ^ 0 и у ^ О Р {Хг е dx, Xs е dy} =

“ V^«₽(^ УуД-г) Х

xie-'Pl-^^l+exp)-)^);^. (8.30) Теперь

е {(/и. - ед=е <(ма2} - 2£ ед Aij+е ед2\ где в силу (8.28) имеем

Е {(ЛК)2}y^-uEt dy = Е {{В^} =

По определению £<

£{(£?Л = ^£^0 l10,el№)^J | =

= ^ Е | \ds ^dr 1 [о, Е) (Хг) 1 [0, el (Xs) I .

looJ

По теореме Фубини и (8.30) последнее выражение равно t s е 8

—— ds ( dr dx dy. 1— g (х, у, г, s),(8.31)>

2е2 JJJJ л Xr (s — г)

0000

где

g^X, у, Г, s)^^"^-^-^215-^ <?-(y+x№(s-r)}.

При е } 0 (8.31) сходится к t S 1 С , f dr , — \ ds \ —т==- = I. л 0J o’ Nr ($ - г)

По определению L® и теореме Фубини мы имеем

2В ^М?$ = 4" \dsE {! у, е1 (Xs) MtY (8.32) о

Так как

Mt^ max Br = Bs + max (Br — Bs), s<r < is <r< t

то правая часть (8.32) превосходит

t

4^5в[1[0.е]Ш(В5 + £{ max (Br - Bs) |^$})]. (8.33)

Так как В имеет стационарные независимые приращения, то отсюда следует, что

Е { max (Br - Bs) | .TJ = Е {Mt_s} = а/.

Здесь второе равенство следует из (8.28). По определению Xs{О < Xs ^ е} = VWS - е < Bs < М$).

■Следовательно, воспользовавшись (8.29) 6 мы видим, что выражение (8.33) равно

</ °°UУУ~*¥ //7г-х

S^V'S'S^8"1 \dx^y—x>»e 2s + V2 Vs )• О0у-г

Предел при е | 0 этого выражения равняется

Sds^^VAue”^u^^11^L^=

ОО

J (1 л V S J

о

Комбинируя указанные выше результаты вычислений, получим

Йтв{(Мг-В?)2}</-2/ + / = 0. |

8

9

Обобщенная формула Ито и замена времени

Введение

В этой главе мы сначала получим обобщенную формулу Ито для выпуклых функций от броуновского движения. Далее мы докажем один результат, который показывает, что броуновское движение фактически представляет собой канонический пример непрерывного локального мартингала. Именно, если М — непрерывный локальный мартингал с квадратической вариацией [Л1];, возрастающей до бесконечности при t-*oo, то найдется случайная замена времени Tt, такая, что {MTi, / е R+] является броуновским движением. Применение этого результата показывает, что существует замена времени т„ такая, что процесс {ВТ(, /sRJ эквивалентен по распределению процессу | В |.

Обобщенная формула Ито

Следующие определения и результаты, касающиеся выпуклых функций, хорошо известны.

Определение. Вещественнозначная функция f, определенная на R, называется выпуклой, если для любых х и у из R и 1 е [0, 1]

ЦХХ + (1 - Л) у)^ (х) + (1 - ХИ (У).(9.1)

Часто используется более слабая форма (9.1), именно:

/(^+г/))<4^х) + т^-<9-2)

Известно, что (9.2) вместе с измеримостью f влечет (9.1), см., например, Робертс и Варберг [24, гл. VII]. Мы говорим, что f имеет правостороннюю производную в х, если предел .. f (х + h) — f (х) lim —-—- существует и конечен; в этом случае

h-VO"

предел будем обозначать D+Дх). Аналогично если предел ../ (х) — f (х — А)

hm- существует и конечен, то его называют

левосторонней производной [ вх и обозначают D~f(x). Если D+f и D~f определены и равны в точке х, то f дифференцируема в х, а общее значение D+f(x) и Z)~f(x) обозначают, как обычно, f'UY

Лемма 9.1. Выпуклая функция f непрерывна. Более того, D+f и D~f определены всюду в R и представляют собой возрастающие функции, D+f непрерывна справа и D~f непрерывна слева. Кроме того, D+f и D-f равны всюду, за исключением счетного множества точек и для всех a s^ b из +

bbь

f(b)-f (а) = J D+f (х) dx = J D~f (х) dx = J f' (x) dx.(9.3)

aaa

Замечание. Последний интеграл в (9.3) корректно определен, так как f'(x) = D+f(x) Х-п. в.

По поводу доказательства этой леммы см., например, цитированную выше книгу1), с. 3—7.

Пусть f— выпуклая функция. Так как D+f возрастает, то она индуцирует регулярную борелевскую меру ц на R,

и Ца, 6]) = D+f (b) — D+f (а) для всех а<Ь из R. (9.4) Обозначение. Обозначим Сс пространство вещественнозначных непрерывных функций, определенных на R, каждая из которых имеет компактный носитель. Для каждого п ge N пусть Сс обозначает Сс f) С" — пространство и-кратно непрерывно дифференцируемых функций, каждая из которых имеет компактный носитель.

Для любой функции geCc интеграл ^ gdy конечен, и если geC;, то, применяя дважды интегрирование по частям и (9.3), получим

gdp.= ^ g" (х) f (х) dx.(9.5)

Обозначим В броуновское движение в R и ЬЦ, х)— локальное время В в х до момента t, определенное в (7.7). Следующая теорема принадлежит Янгу [30].

Теорема 9.2. Пусть f— выпуклая функция и ц — мера на R, связанная с D+f и определенная в (9.4). Тогда п. в. для каждого t имеем

tОО

f <Bt> - f (Во) = J D+f (Bs) dBs + ± \l V, X) dp (x).(9.6)

0— oo

Доказательство. Мы применим формулу Ито к гладкой аппроксимации f. Пусть {<рД—последовательность положительных функций из С°° с компактными носителями, стягивающи-

” См. также [ЗП, с. 13—16]. — Прим, перев.

мися к нулю, причем интеграл по R от каждой функции равен единице; словом, это последовательность функций, указанная в абзаце перед равенством (7.3). Тогда fn^cpn*^ принадлежит С°°, и по формуле Ито мы имеем, что п. в.

tt

L (S.) - f„ (Bo) = 5 f'„ (B.) dB, + b J f" (B,) ds. (9.7) и0

Так как f непрерывна, то fn сходится к f равномерно на каждом компактном подмножестве из R. Более того,. f'n — ^n*B+f сходится к' D+f в каждой точке непрерывности D+f, причем каждая точка, за исключением, возможно,, счетного числа, является таковой, так как D+f возрастает. Из теоремы Фубини следует, что f'(B(s, ©)) сходится к D"f (В (s, со)) для (Л X В)-почти каждой точки (s, о) е R+ X Q- Для каждого к е N пусть

Tfe = inf(s>0: |BJ>fe).

Тогда | Bs | ^ к для s е (ОД Л т^]. Так как D+f ограничена на компактных множествах, то {/'} равномерно ограничена на [—к, к]. Из теоремы об ограниченной сходимости следует, что

lim £ < I f' (В (s, ю)) — D+f (В (s, to)) I2 ds > = 0.

l о)

Поэтому в силу изометрии (равенство (2.10))/'(Bs)dB$

о

сходится в £2 к ^ D+f (Bs) dBs. Таким образом, о tt

^f'n^B^dBs сходится по вер. к D+f (В^ dBs. оо

Наконец, по следствию 7.4 мы имеем, что п. в. tОО

^f"(Bs^ds = $ L{i, x)f"(x)dx.(9.8)

0—оо

Для каждой функции g е С2 при м-^оо

5 g W t" <xt dx = g" (x) fn (x) dx

g" ^ Hx)dx= g (x) dv. (x),

т. е. f"dx сходится и-слабо ’) к dy. Так как функция x—>L^t, х)((о) непрерывна и имеет компактный носитель для почти каждого ©, то из отмеченной v-слабой сходимости следует, что правая часть в (9.8) сходится п. в. к

L (t, х) dy (х).

На основании установленных выше предельных соотношений заключаем, что (9.6) вытекает из (9.7), если положить п -*■ ОО. 1

Замечания.

(i) Если f— дифференцируемая функция (не обязательно выпуклая), такая, что )' абсолютно непрерывна, то f" существует Z-п.в. и интегрируема на каждом компактном множестве. Для такой функции / по причинам, аналогичным указанным выше, выполняется равенство (9.6), в котором D+f и dy заменяются соответственно на f' и f"dx. Переписывая там последний член и воспользовавшись следствием 7.4, мы получим обычную формулу Ито

tt

f (Bt) - f (30) = J r (Bs) dBs + j $ Г №) ds.о0

(u) Предположим, что f(.r) = |.r|, тогда D+fM =—1 для х < 0 и = +1 для х ^ 0 и dy = 2б0, где 60 — дельта-функция Дирака. Подставляя в (9.6), получим

tt

I Bt | = | Вй | sgn (Ss) dBs + 1 {o} (Bs) dBs + L ^t, 0).

о0

Это эквивалентно формуле (7.15) c х = 0, так как в приведенном здесь равенстве второй стохастический интеграл п.в. равен нулю.

9.3 Замена времени

В этом разделе мы докажем, что любой непрерывный локальный мартингал, квадратическая вариация которого стремится к бесконечности, заменой времени может быть преобразован в броуновское движение. Так как замена времени в мартингале согласована с заменой времени в фильтрации, мы вернемся к практике точного указания фильтрации, соответствующей локальному мартингалу.

о В подлиннике vaguely. Мы переводим термином, принятым в отечественной литературе, см., например, [5П, с. 37]. — Прим, перед.

Теорема 9.3. Пусть {Л!;, 9" t, t г R+} — непрерывный локальный .мартингал, такой, что lim [Л1](=оо. Для каждого t t —> ОО пусть

xt = inf (s > 0: [M]s > z}.

Тогда процесс MT = ^M%t, zeR+} неотличим от броуновского движения в R.

Доказательство. Так как М— Мо и М имеют общую квадратическую вариацию и упомянутые в теореме свойства М и № выполняются тогда и только тогда, когда эти свойства выполняются для М — Мо и Мт— Л10, мы можем предположить, что Мо — 0.

Функция т< переменного t является непрерывной справа и представляет собой обращение [Л!];. Для каждого t случайная величина т/ является марковским моментом. Условие lim [M]f = оо гарантирует, что тг конечна для каждого t. Так

как процесс М непрерывен и функциянепрерывна

справа, то по правилу композиции процесс Мт непрерывен справа. Более того, [Л1]т= / для каждого t.

Чтобы доказать сформулированную теорему, мы воспользуемся характеризацией броуновского движения, указанной в теореме 6.1. Сначала мы покажем, что {МТ;, 9"ч, t е R+} является /Амартингалом. Пусть {о*, Л е N}—локализующая последовательность для М, определяемая следующим образом:.

о6 = inf {Z > 0: | Mt | > kY

Тогда Mk = (M; д Ofe, 9Д, 1^А} является ограниченным мартингалом, а по теореме 1.6 процесс {Мг<,\Ок, 9"х^ t е R+} также является ограниченным мартингалом. Так как Мо = О,. то по (4.1) мы имеем

$ Л#,*и, + [.И)(9.9)

о

В силу ограниченности ЛТ л а из изометрии (2.10) следует,.

ДМк' )

что < ^ MsdMs, 9" t, /eRx г является ^-ограниченным i о'

мартингалом. Тогда по теореме 1.6 процесс s ^ MsdMs» 9"tt, f е= R+ 1 представляет собой /Амартингал. Следова-

дельно, стохастический интеграл в (9.9) имеет нулевое математическое ожидание. Таким образом, для всех к

Е {(^ A «J2} = £ {№, л о J < Е { [ЛДТ J = /. (9.10) По тем же самым соображениям, которые использовались при доказательстве теоремы 6.1, процесс {AfTt, 9*%t, /geR+} является /Амартингалом.

Далее мы докажем, что почти все траектории Мт непрерывны. Так как процесс Мт непрерывен справа, то множество тех <о, для которых траектории имеют разрыв, выражается в виде

{т(_ ^= т< и МТ(_ =/= Л/т для некоторого t > 0}. (9.11) Так как [М]Т/_ = [А1]т< = t, [Л1] возрастает и процесс М непрерывен, отсюда следует, что это множество содержится в {rf_ < г < s < Tt и [Л1]г = [Д]5 и Mr =^= Ms для некоторого />0и некоторых рациональных г и s}. Последнее множество содержится в и {[М]г = [ML, Мг ^ ЛД}, где объединение распространяется на все рациональные г, s, такие, что 0 < г < s. Достаточно доказать, что каждое множество, входящее в это объединение, имеет нулевую вероятность. Для фиксированных г и s обозначим о первую точку роста [Л4] после г. т. е. о —inf {и > г: [Л4]„ > [Л1]г}. Тогда

{ [Д4]л = [Л1К- Мг ^=МД = {о>5, Мг^Л1ад5}. (9.12)

По определению а имеем, что [Tl]aAsA — [М]гД =0. Таким образом, в силу (4.1)

а Д s Д ак

(ЛДд5Лай)2-(МгЛо;)2 = 2^ MudMu. (9.13)

Более того, так как < j MudMu, ^t, ie-д? является мартингалом, а о представляет собой марковский момент относительно {^~J, отсюда следует, что правая часть в (9.13) имеет нулевое математическое ожидание. Так как разность Л10 Л S Л о к — Мг Д ак ортогональна К любой 9" Г Как измеримой случайной величине, то математическое ожидание левой части в (9.13) равно математическому ожиданию (Л4ад здОк — Мг доку. Следовательно, применив операцию математического ожидания к (9.13), устремив к->-оо и восполь-

зовавшись леммой Фату, мы получим, что Е {(Ма д $ — ЛД)2} = 0. Отсюда вытекает, что множество, стоящее справа в (9.12), имеет нулевую вероятность, что и требовалось доказать. Поэтому почти все траектории Мх непрерывны. Переопределив процесс Мх на P-нулевом множестве так, чтобы он стал непрерывным всюду, мы можем предположить, что{МТ(, ^”Т/ + , / е Р+} является непрерывным £2-мартингалом. Используемая здесь фильтрация ^^ j в силу определения непрерывности мартингала должна быть непрерывной справа. На основании стандартного результата (см. Чжун [3, теорема 2, с. 28]) заключаем, что если {Мхг ^~Т/, /eR+} является мартингалом с непрерывными траекториями, то таковым же является и 9"-, , t е R ,

Осталось показать, что Мт имеет квадратическую вариацию, определяемую п. в. следующим образом: [А1Т] ^ = /. Для этого мы воспользуемся единственностью представления (Л4Т)2, о котором говорится в теореме 4.6. В силу (4.1)

Ч

^Мх^ = 2^ MudMu-\-1.(9.14)

о

Мы докажем, что < \ MudMu, 9V, геРД является ло- I о'

кальным мартингалом, указав локализующую последовательность для этого процесса. Для каждого k величина tk = inf {/ > 0: т< ^ о*} является марковским моментом относительно {#"Т/+>R+}- Так как Д<д<6)_^т< Д о& ^Т( д

Ts

и функция *^ MudMu непрерывна в силу (9.14), о

ЧМк^Д^

J MudMu= J MudMu.(9.15)

оо

По соображениям, аналогичным тем, которые приведены после (9.9), процесс

J MudM„, 9"4V t^ R+ о

является £2-мартингалом. Из (9.15) вытекает, что то же самое

верно в отношении s ^ MudMu, ^xtv ^ ^ R+?.Такимобра- ' о’

зом, { \ MudMu, 3~Xf+, / е R+ ? является локальным мартин- о'

галом с локализующей последовательностью Vk* ^eN}. Тогда в силу единственности разложения (9.14) имеем, что [ЛТ1^ =/ п. в.

Мы доказали, что {МТ/, ^Д^, ^Д] неотличим от некоторого непрерывного £2-мартингала, квадратическая вариация которого в момент / равна t. Нужный результат вытекает из теоремы 6.1. •

Теперь мы скомбинируем предыдущий результат относительно замены времени с разложением из (7.5), для того чтобы получить представление об отраженном броуновском движении путем удаления участков времени, на которых броуновское движение отрицательно. Это соответствует интуитивной идее указывать непрерывным образом последовательные отклонения броуновского движения, превосходящие нуль, как это показано на рис. 9.1—9.2.

Этот результат первоначально найден Ито и Маккином [17, с. 81], но приводимое ниже доказательство принадлежит Ель Каруи и Шалья-Морель [11, утверждение 1.41].

Обозначим В броуновское движение в R с Bj^O. Для t

каждого t пусть At = ^ 1(bs>o) ds. Обозначим {т,, /eR+] о

непрерывное справа обращение А, определяемое следующим образом: T/ = inf{s>0: As > /}.

Теорема 9.4. {ВТ;, /еД] является непрерывным процессом, эквивалентным по распределению процессу {[ВД, / е R+}.

Доказательство. Положим х = 0 в (7.5). Так как Во ^ О, t

fit = Вй + ^ 1{bs>o} dBs + yEj,(9.16)

о

t

где Lt = L(t, 0) определено в (7.7). Пусть У<=^ \Bg>^dBs. о

Тогда {У;, Тъ t е R+} является непрерывным ^-мартингалом, и на основании (5.21) мы имеем, что [У]< = t

= \ 1{bs>o]ds = At п. в. Так как ПтЛ(=оо п. в., то из

Рис. 9.1.Рис. 9.1.ttРис. 9.2.Рис. 9.2.

Рис. 9.1.

Рис. 9.1.

t

t

Рис. 9.2.

Рис. 9.2.

теоремы 9.3 следует, что процесс {Ут/, /еК+| неотличим от броуновского движения. Пусть Bt = B0 + YTf Заменив в (9.16 t на т<, получим

В^йЦц. (9.17)

Так как АЧ_ = АЧ, когда т(_ =/= т(, мы имеем, что В5^0 для всех seJ^^, tJ и, следовательно, Btt_ = Bxt = 0. Отсюда заключаем, что функция /->В^ непрерывна. Из ее определения вытекает, что т# является точкой роста А и, следовательно, Вт<^0. Таким образом, ВТ; = В^ для всех t. Поэтому функция t->B4 непрерывна и в (9.17) мы можем заменить В^ на BXt. Так как Во^О, то п. в. At > 0 для всех />0 и, следовательно, то = О и LTo = O. Кроме того, L может возрастать только тогда, когда В находится в нуле, a LXt может возрастать только тогда, когда BTf = 0. Таким образом, если B^t в (9.17) заменено на ВТ(, то результат представляет собой разложение, справедливое п. в. и имеющее вид разложения из леммы 8.1 с xt = Bt, zt = B^t и Ut = -^LTt. Теперь из единственности, утверждаемой там, следует, что Вт =Bt+ шах ВГ п. в. для всех t. Так как В неотличим от броуновского движения, то рассуждения из следующего за (8.6) абзаца показывают, что процесс {ВТ/, / еК+} эквивалентен по распределению | В I и, следовательно, | В |

ЛИТЕРАТУРА

Billingsley Р.: Convergence of probability measures. New York: John Wiley & Sons, 1968. [Русский перевод: Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.]

Chung К. L.: A course in probability theory, 2nd ed. New York: Academic Press, 1974.

Chung K. L: Lectures from Markov processes to brownian motion. New York: Springer-Verlag, 1982.

Chung K. L. and Li P.: Comparison of probability and eigenvalue methods for the Schrodinger equation, to appear in Advances in Applied Mathematics.

Chung K. L. and Rao К- M.: Feynman — Kac functional and the Schrodinger equation. Seminar on stochastic processes, Vol. 1, Birkhauser Boston, Inc., Cambridge, Mass., 1981.

Coddington E. A.: An introduction to ordinary differential equations. New Jersey: Prentice-Hall, 1961.

Dellacherie C. and Meyer P. A.: Probabilites et potentiel, Vol. I. Paris: Hermann, 1975.

Dellacherie C. and Meyer P. A.: Probabilites et potentiel, Vol. II, Theo- rie des martingales. Paris: Hermann, 1980.

Dellacherie C. and Meyer P. A.: Probabilities and potential, Vol. I. Amsterdam: North-Holland, 1978.

Doleans-Dade C.: Existence du processus croissant nature! associe a un potentiel de class (D). Z. Wahrsch. verw. Gebiete, Vol. 9 (1968), pp. 309—314.

[[II] El Karoui N. and Chaleyat-Maurel M.: Un probleme de reflexion et ses applications au temps local et aux equations differentielles sto- chastiques sur R — Cas continu. Asterisque, Societe Mathematique de France, Vol. 52—53 (1978), pp. 117—144.

Freedman D.: Brownian motion and diffusion. San Francisco: Holden- Day, 1971.

Gilbarg D. and Trudinger N. S.: Elliptic partial differential equations of second order. New York: Springer-Verlag, 1977.

J14] Halmos P. R.: Measure theory. New York: Springer-Verlag, 1974. .[Русский перевод с первого издания: Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953].

{15] Harrison J. М. and Reiman Mi. I.: On the distribution of multidimensional reflected brownian motion. SIAM J. Applied Math., Vol. 41 (1981), pp. 345—361.

£16] Ito K.: Lectures on stochastic processes. Bombay: Tata institute of fundamental research, 1961.

{17] Ito K. and McKean H. P. Jr.: Diffusion processes and their sample paths. New York: Springer-Verlag. 1974. [Русский перевод: Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир, 1968.]

Karlin S. and Taylor Н. М.: first course in stochastic processes, 2nd ed. New York: Academic Press, 1975.

Levy P.: Processus stochastiques et mouvement brownien. Paris: Gauthier-Villars, 1948 (2nd ed. 1965). [Русский перевод co второго издания: Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. — М.: Наука, 1972.]

McKean Н. Р. Jr.: Stochastic integrals. New York: Academic Press, 1969. [Русский перевод: Маккии Г. Стохастические интегралы.—М.: Мир, 1972.]

Metivier М.: Reelle und cektorwertige quasimartingale und die theorie der stochastischen integration. Berlin: Springer-Verlag, 1977.

] Metivier M. and Pellauniail J.: Stochastic integration. New York: Academic Press, 1980.

Reiman M.: Open queueing networks in heavy traffic. Mathematics of operations research, Vol. 9, № 3 (1984), pp. 441—458.

Roberts A. W. and Varberg D. E.: Convex functions. New York: Academic Press, 1973.

Royden H. L: Real analysis, 2nd ed. New York: Macmillan, 1968.

Stroock D. W. and Varadhan S. R. S.: Diffusion processes with boundary conditions. Comm. Pure Appl. Math., Vol. 24, (1971), pp. 147— 225.

Stroock D. W. and Varadhan S. R. S.: Multidimensional diffusion processes. New York: Springer-Verlag, 1979.

Taylor A. E.: Introduction to functional analysis. New York: John Wiley & Sons, 1958.

Varadhan S. R. S. and Williams R. J.: Brownian motion in a wedge with oblique reflection, to appear.

Wang A. T.: Generalized Ito’s formula and additive functionals of brownian motion. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, Vol. 41 (1977), pp. 153— 159.

Williams R. J.: A Feynman — Kac gauge for solvability of the Schrodinger equation. Advance in Applied Mathematics, Vol. 6, № 1 (1985), pp. 1-3.

Williams R. J.: Brownian motion in a wedge with oblique reflection at the boundary. Ph. D. Thesis, Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, California, 1983.

Литература, добавленная переводчиком

[Ш] Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982.

[2П] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, изд. 5. — М.: Наука, 1981.

[ЗП] Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.— М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1958.

[4П] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — М. — Наука, 1974.

[5П] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. — М.: Наука, 1986.

[6П] Лоэв М. Теория вероятностей. Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1956.

[7П] Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями.— М.: Наука, 1964.

[8П] Хейер X. Вероятностные меры на локально компактных группах. Пер. с англ. — М.: Л1ир, 1981.

[9П] Williams R. J. Reflected brownian motion in a wedge semimartingale property. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, Vol. 69, № 2, (1985), pp. 161— 176.

Сокращении и обозначения

16

О?2

57

112

16

53

104, 108

59

127

d.t,

59

11

118

127

Л

Л(.И)’

8

33

94

33

108

^.и

34

9

^м

53

22

0

пустое множество

12

Й

11

116

Л (^, Л1)

43

90

Л (^, Л!)

55

99

Л2 (^, М)

37

94

[М]

59, 60

(Я N)

78

8

9

X dM

34, 37

8

8

XdM

26, 39

28

[0, /1

8

116

^ XdM

39

114

35

Is, <1

11

t

58

53

X dM

39

29

0

28

31

t

28

^XdM

39

32

55

s

12

H.

48

12

H. СП.

48

34

H. СЛ.

48

34

H. СП. П. СЛ.

48

55

И. СЛ. П. СП.

48

55

6. 4.

бесконечно часто

конец доказательства

Предметный указатель

Аппроксимация диффузионная 121 — в теории запасов 121

Бореля — Кантелли, лемма 38

Броуновское движение 16

в клине 131

—■отраженное 116.

Бункер 121

Вариация квадратическая 60

— полная 10

Вектор случайный 12

Величина случайная 12

Время локальное 104

— ожидания 124

Замена времени 140

— пространства интегрирования 109

Значение начальное 14

— собственное 103

Изменение полное 10

Измеримость 9

Изометрия 35

Интегрируемость равномерная 13

Интенсивность нагрузки 124

Интервал стохастический 29

Лемма Бореля — Кантелли 38

Мартингал 18

— локальный 22

— непрерывный 19

слева 19

справа 19

— //-ограниченный 18

Математическое ожидание 13

условное 13

Мера Лебега 8, 104

Многочлен Эрмита 94

Множество опциональное 32

— предсказуемое 30

Момент марковский 15

— предсказуемый 30

Непрерывность мартингала 19

Неравенство Куниты — Ватанабе

82

Область регулярная 101 Объем 33

Однородность пространственная 17

Полная вариация меры 10

Полное изменение функции 10 Последовательность локализующая 22

— предсказывающая 30 Приращения независимые 17 Проблема отражения 116-

— субмартингальная 132 Пространство вероятностное 11 Процесс взаимной вариации 78 — возрастающий 62 — измеримый 14 — интегрируемый 62 — квадратической вариации 60 — локально ограниченной вариации 74

— непредсказуемый 57

— неразличимый 14

— одномерный 14

— опциональный 29

— от двух параметров 108

— предсказуемый 29

— прогрессивно измеримый 57

— пуассоновский 15

—■ согласованный 14 — стохастический 14 — экспоненциальный 90 Прямоугольник предсказуемый 28

Разбиение интервала 59 Разложение субмартингала 69 Размер разбиения 59 Распределение Шварца 104 Расширение о-поля 12

Свойство ортогональности 36 — среднего значения 24 — строгой марковости 17 Семейство мартингалов 94 Сеть систем массового обслуживания 130

Субмартингал 18 Супермартингал 19

Сходимость в Lp 12

— по вероятности 13

— по распределению 126

— почти всюду 13

— слабая 126

Теорема Дуба об остановке 21

— о сходимости мартингала 20

— предельная 72

— центральная предельная 123

Уравнение Шрёдингера 98

Фильтрация 12

— стандартная 12

Формула Ито 74

многомерная 86

одномерная 74

— Танаки 111

Функционал Фейнмана — Каца 98

Функция выпуклая 137

— гармоническая 24

— Г-простая 9

— Дирака 104

— измеримая 137

— обобщенная 104

— опциональная 29

— предсказуемая 28

— с локально ограниченным изменением 10

— с ограниченным изменением 10

Характеризация броуновского движения 88

— процесса взаимной вариации 80

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие переводчика 5

Предисловие 6

Предварительные сведения 8

Обозначения и соглашения8

Измеримость и £р-пространства9

Функции с ограниченным изменениемиинтегралыСтилтьеса10

Вероятное пространство, случайныевеличины,фильтрацияИ

Сходимость, условность12

Стохастические процессы14

Марковские моменты .. 15

Два канонических процесса15

Мартингалы 18

Локальные мартингалы 22

Определение стохастического интеграла26

Введение 26

Предсказуемые множества ипроцессы28

Стохастические интервалы29

Мера на предсказуемых множествах32

Определение стохастическогоинтеграла34

. 2.6 Расширение на случай локальных интеграторов и интегрируемых процессов43

Расширение класса предсказуемых интегрируемых процессов . . . 48

Введение 48

Связь между ?, С и согласованными процессами48

Расширение классаинтегрируемых процессов53

Замечание по поводу истории вопроса .. 57

Процессы квадратической вариации59

Введение 59

Определение и характеризацияквадратической вариации . ... 59

Свойства квадратической вариацииТАмартингала62

Прямое определение ии66

Разложение (Л4)269

Предельная теорема72

Формула Ито74

Введение 74

Одномерная формула Ито74

Процесс взаимной вариации78

Многомерная формула Ито86

Применение формулыИто88

Характеризация броуновскогодвижения88

Экспоненциальные процессы99

152152Оглавление

152

152

Семейство мартингалов, порождаемое М94

Функционал Фейнмана — Каца и уравнение Шрёдингера. . . 98

Локальное время и формула Танаки104

Введение 104

Локальное время 104

Формула Танаки 111

Доказательство леммы 7.2113

Отраженные броуновские движения116

Введение 116

Броуновское движение, отраженное в нуле116

Аналитическая теория Z в свете формулы Ито119

Аппроксимации в теории запасов121

Отраженные броуновские движения в клине131

Другой способ вывода уравнения (8.7)134

Обобщенная формула Ито и замена времени137

Введение 137

Обобщенная формула Ито137

Замена времени 140

Литература 146

Сокращения и обозначения148

Предметный указатель 149

!) См. также [14, § 31]. — Прим, перев.

ВВЕДЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕЧжун К., Уильямс Р.

Книга написана известными американскими математиками и посвящена одному из важных современных направлений теории вероятностей, недостаточно отраженному в литературе на русском языке. Авторы тяготеют к содержательным результатам, а не к максимальной общности, рассматривают ряд примеров и приложений. В книге удачно сочетаются высокий научный уровень изложения и одновременно доступность для студенческой аудитории.

Для специалистов по теории вероятностей, физиков, инженеров, аспирантов и студентов университетов. (М.: Мир, 1987.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие переводчика

3. Расширение класса

48

Предисловие

1. Предварительные сведения

8

предсказуемых

интегрируемых процессов

1.1 Обозначения и соглашения

8

3.1 Введение

48

1.2 Измеримость и LP-

9

3.2 Связь между Р, О и

48

пространства

1.3 Функции с ограниченным

10

согласованными процессами

3.3 Расширение класса

53

изменением и интегралы Стилтьеса

интегрируемых процессов 3.4 Замечание по поводу

57

1.4 Вероятное пространство,

11

истории вопроса

случайные величины,

4. Процессы квадратической

59

фильтрация

1.5 Сходимость, условность

12

вариации

4.1 Введение

59

1.6 Стохастические процессы

14

4.2 Определение и

59

1.7 Марковские моменты

15

характеризация

1.8 Два канонических

15

квадратической вариации

процесса

4.3 Свойства квадратической

62

1.9 Мартингалы

18

вариации Ь2-мартингала

1.10 Локальные мартингалы

22

4.4 Прямое определение цм

66

2. Определение

26

4.5 Разложение (М)2

69

стохастического интеграла

4.6 Предельная теорема

72

2.1 Введение

26

5. Формула Ито

74

2.2 Предсказуемые множества

28

5.1 Введение

74

и процессы.

5.2 Одномерная формула Ито

74

2.3 Стохастические интервалы

29

5.3 Процесс взаимной

78

2.4 Мера на предсказуемых

32

вариации

множествах

5.4 Многомерная формула Ито

86

2.5 Определение

34

6. Применение формулы Ито

88

стохастического интеграла

6.1 Характеризация

88

2.6 Расширение на случай

43

броуновского движения

локальных интеграторов и

6.2 Экспоненциальные

90

интегрируемых процессов

процессы

6.3 Семейство мартингалов, порождаемое М

94

6.4 Функционал Фейнмана — Каца и уравнение Шрёдингера

98

7. Локальное время и формула Танаки

104

7.1 Введение

104

7.2 Локальное время

104

7.3 Формула Танаки

111

7.4 Доказательство леммы 7.2

113

8. Отраженные броуновские движения

116

8.1 Введение

116

8.2 Броуновское движение,

116

отраженное в нуле

8.3 Аналитическая теория Zb 119 свете формулы Ито

8.4 Аппроксимации в теории 121

запасов

8.5 Отраженные броуновские

131

движения в клине

8.6 Другой способ вывода уравнения (8.7)

134

9. Обобщенная формула Ито и

137

замена времени

9.1 Введение

137

9.2 Обобщенная формула Ито

137

9.3 Замена времени

140

Литература

146

Сокращения и обозначения

148

Предметный указатель

149

Предметный указательПредметный указатель

Предметный указатель

Предметный указатель

Аппроксимация диффузионная 121

— в теории запасов 121

Бореля — Кантелли лемма 38

Броуновское движение 16

в клине 131

отраженное 116

Бункер 121

Вариация квадратическая 60

— полная 10

Вектор случайный 12

Величина случайная 12

Время локальное 104

— ожидания 124

Замена времени 140

— пространства интегрирования 109

Значение начальное 14

— собственное 103

Изменение полное 10

Измеримость 9

Изометрия 35

Интегрируемость равномерная 13

Интенсивность нагрузки 124

Интервал стохастический 29

Лемма Бореля — Кантелли 38

Мартингал 18

— локальный 22

— непрерывный 19

слева 19

справа 19

— LP-ограниченный 18

Математическое ожидание 13

условное 13

Мера Лебега 8, 104

Многочлен Эрмита 94

Множество опциональное 32

— предсказуемое 30

Момент марковский 15

— предсказуемый 30

Непрерывность мартингала 19

Неравенство Куниты — Ватанабе

82

Область регулярная 101

Объем 33

Однородность пространственная 17

Полная вариация меры 10

Полное изменение функции 10

Последовательность локализующая

22

— предсказывающая 30

Приращения независимые 17

Проблема отражения 116

— субмартингальная 132

Пространство вероятностное 11

Процесс взаимной вариации 78

— возрастающий 62

— измеримый 14

— интегрируемый 62

— квадратической вариации 60

— локально ограниченной вариации 74

— непредсказуемый 57

— неразличимый 14

— одномерный 14

— опциональный 29

— от двух параметров 108

— предсказуемый 29

— прогрессивно измеримый 57

— пуассоновский 15

— согласованный 14

— стохастический 14

— экспоненциальный 90

Прямоугольник предсказуемый 28

Разбиение интервала 59

Разложение субмартингала 69

Размер разбиения 59

Распределение Шварца 104

Расширение g-поля 12

Свойство ортогональности 36

— среднего значения 24

— строгой марковости 17

Семейство мартингалов 94

Сеть систем массового обслуживания

130