Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследования характеристик выбросов случайных процессов уже давно привлекают к себе особое внимание и математиков, и специалистов различных прикладных направлений. Связано это как со сложностью аналитического решения подобных задач, так и в значительной степени с их большой прикладной значимостью.
В свою очередь, разнообразие приложений приводит к существенному рассеянию результатов; в них становится трудно ориентироваться даже специалистам, непосредственно занимающимся проблематикой выбросов. В ранее изданной монографии В. И. Тихонова «Выбросы случайных процессов» (М.: Наука, 1970) были изложены основные научно-прикладные результаты, полученные к 1968 г. Эта книга быстро разошлась и получила положительную оценку специалистов. Однако за прошедшее 20-летие в исследованиях выбросов случайных процессов произошли заметные изменения: более четко определился круг задач, относящихся к проблеме выбросов; получен целый ряд новых результатов; расширилась область практического использования вероятностных характеристик выбросов.
Цель предлагаемой кнпги — изложение современного состояния исследований в области выбросов траекторий случайных процессов. Определения отдельных характеристик выбросов и примеры их практического использования даны во Введении. В гл. 1 приведены необходимые справочные сведения для наиболее распространенных моделей непрерывных случайных процессов. В последующих четырех главах дано систематизированное изложение теоретических и расчетно-экспериментальных результатов,; полученных к настоящему времени по характеристикам числа пересечений заданных уровней (гл. 2), по характеристикам экстремальных значений (гл. 3), по характеристикам длительности временных интервалов между пересечениями (гл. 4) и по совпадениям выбросов нескольких случайных процессов (гл. 5).
Следует отметить, что в данной книге рассматриваются только выбросы случайных процессов; из-за ограниченного объема в нее не включены важные результаты по выбросам случайных полей, полученные в последнее десятилетие Ю. К. Беляевым и др. В список литературы включены лишь работы, использованные при написании книги.
Нумерация формул в тексте ведется с указанием главы, параграфа и номера формулы. При ссылках на формулы в пределах одного параграфа указывается лишь номер самой формулы.
Авторы понимают, что в представленном виде книга может оказаться не свободной от недостатков, и внимательно рассмотрят замечания или любые другие предложения читателей.
В. И. Тихонов, В. И. Хименко
ВВЕДЕНИЕ
Книга посвящена одному из разделов теории случайных процессов, который условно можно назвать «Выбросы траекторий случайных процессов» или проблемой пересечений уровней. Поскольку не все из относящихся к этому разделу задач получили законченные аналитические решения, то здесь систематизированы и обобщены имеющиеся к настоящему времени теоретические и расчетноэкспериментальные результаты.
Дадим краткое определение характеристик выбросов и затем на частных примерах покажем их практическую значимость.
Все физически реальные случайные процессы 6 (£) представляют собой непрерывные функции времени. Пример отдельной реализации (траектории, выборочной функции) такого процесса приведен на рис. 1. Функция 6 (0> t ЕЕ Ю, Т] на конечном: йнтервале [О, ТА имеет конечное число максимумов тгтах и минимумов тгтш с различными высотами 6т» причем в момент времени t = tm реализация имеет наибольший (абсолютный ) максимум 6 mm-
Реализация 6 (О может несколько раз пересекать фиксированный уровень Н или заданную кривую /г (£) снизу вверх (с положительной производной), причем в момент времени т0 впервые происходит такое пересечение (т. е. в первый раз снизу достигается граница Н\ Поэтому величину т0 можно назвать временем первого достижения границы Н.
Когда траектория процесса 6 (О пересекает уровень Н снизу вверх, имеет место положительный выброс (положительное пересечение); если же уровень Н пересекается сверху вниз — отрицательный выброс (отрицательное пересечение). В соответствии с этим можно сказать, что реализация 6 (О длительностью Т имеет п (на рис. 1 их три) положительных (отрицательных) выбросов на уровне Н, а указанные на рисунке величины т и 9 можно назвать соответственно длительностями положительных и отрицательных выбросов (часто величину 0 называют также длительностью интервалов между выбросами).
При подобной интерпретации все перечисленные характеристики могут быть отнесены к характеристикам выбросов случайных процессов,, поскольку связаны с особенностями поведения положительных и отрицательных выбросов траектории ^ (ty tE [О, Т7] на некотором уровне Н. Величины т, 0 и ^т в пределах одной реализации могут принимать несколько значений и вместе с ве-
личинами То, п, Нщах, ^min И ^тпг ИЗМвНЯЮТСЯ СЛучаЙНЫМ обраЗОМ от одной реализации к другой (в зависимости от свойств процесса 5 (0» уровня Н и интервала ТУ
Помимо того, что вероятностные характеристики случайных величин п, п^х, n^i^ т0, т, 0, gm, ^тт представляют интерес сами по себе как детальные характеристики процесса 5 (О» знание их также необходимо для решения многих практических задач.
Приведем несколько конкретных примеров из области радиофизики, теории надежности и массового обслуживания, механики
и медицины, хотя, конечно, этими примерами и не исчерпывается
область применимости результатов.
В разнообразных радиотехнических устройствах часто применяются электронные реле и триггеры. Они используются в счетно-решающих устройствах, в радиосвязных, радионавигацион-
Рис. 1. Реализация (траектория) непре- ных и радиолокационных си- рывного случайного процессастемах, в различных устрой
ствах кодирования и декодирования информации, в дозиметрических приборах и приборах для измерения времени и частоты колебаний, в системах син
хронизации и др.
Обработка полезных (информационных) сигналов всегда осуществляется в присутствии помех (в частности, флюктуационных шумов, органически присущих самим элементам радиоустройств). Анализ совместного воздействия на реле полезных сигналов и помех зависит от отношения «порогового» напряжения срабатывания реле к интенсивности помех (например, к среднему квадратическому отклонению).
Если уровень помех мал по сравнению с пороговым напряжением, то можно пренебречь маловероятными ложными срабатываниями реле. Слабые помехи будут вызывать небольшое «дрожание» как момента срабатывания реле, так и момента окончания его работы [73].
В тех случаях, когда интенсивность помех сравнима или превышает пороговое напряжение, будут происходить ложные срабатывания реле, которые приводят к ошибкам функционирования соответствующих устройств. Если допустимо рассматривать реле как практически безынерционное устройство, то число ложных срабатываний реле за время Т будет определяться числом п положительных выбросов помех, превышающих порог срабатывания реле. При учете инерционных свойств реле для определения числа ложных срабатываний нужно, кроме тг, знать также плотности вероятности случайных величин т и 0 [74].
По своей постановке задача анализа работы инерционного реле при воздействии на него регулярных импульсов и помех близ-
ка к классу распространенных задач теории очередей или теории массового обслуживания; иначе говоря, работа инерционного реле в таких условиях может служить моделью одноканальной системы массового обслуживания [18, 31]. При этом время формирования выходного импульса реле интерпретируется как время обслуживания одной заявки, регулярный поток импульсов — как регулярный поток требований, положительные выбросы помех — как случайный поток непредусмотренных заявок и т. д. Описание подобных систем осуществляется на основе анализа вероятностных характеристик случайных величин и, т и 0. .
При построении информационно-измерительных систем одним из распространенных методов сжатия информации является «жесткое» (или идеальное) симметричное амплитудное ограничение [38, 84]. Обработка непрерывного процесса 5 (£) заменяется при этом обработкой его знаковой функции, в которой сохраняется информация лишь о пересечениях траекторией (t), t G [О, Т\ нулевого уровня. Распределение числа «нулей» и длительности интервалов между нулевыми пересечениями относится в подобных системах к основным информационным параметрам.
Укажем также, что физически наглядную картину таких «тонких» явлений, встречающихся в теории оптимального приема, как неоднозначность оценки параметров [14, 37], пороговые эффекты (в частности, при приеме фазо- и частотно-модулированных радиосигналов) [40, 65], вероятности ошибок первого и второго родов [11] и др., можно дать только с привлечением теории выбросов. •
Величины п, 0 и %т при определенных условиях являются основными характеристиками замираний радиосигналов, возникающих из-за многолучевого или диффузного характера распространения радиоволн в турбулентной среде или же за счет отражений от неровных поверхностей. При этом излученный полезный сигнал может трансформироваться каналом так, что в месте приема будет наблюдаться узкополосный случайный процесс. Применительно к огибающей такого узкополосного случайного сигнала величина п характеризует «частоту» замираний (федингов), величина 0 — длительность замираний ниже определенного порогового уровня и ^т — глубину замираний [47, 100].
В общей проблеме оптимизации передачи информации с течением времени все большее значение приобретают методы синтеза различных измерителей на основе теории фильтрации; При этом Для решения конкретных задач необходимы следящие измерители или многоканальные устройства. Хотя в радиотехнических системах следящие измерители (автодальномер, фазовая и частотная автоподстройки, автоматическая регулировка усиления-и др.) широко применялись и ранее, однако число их увеличивается, а область использования постоянно расширяется. Основное назначение таких измерителей — в осуществлении автоматического слежения за интересующим нас параметром полезного сигнала с приемлемой ошибкой. ■
При наличии случайных помех ошибка слежения будет случайной и временами может достигать настолько больших значений, что дальнейшее слежение практически прекратится, т. е. произойдет срыв слежения. Одной из важных характеристик, дающих представление о нормальном функционировании подобных систем, является случайное время т0 первого достижения ошибкой заданных границ.
При исследовании сложных стохастических систем [13, 27, 45] особое значение приобретают вероятностные характеристики случайной величины т0 (времени первого достижения траекторией процесса g (t) заданной границы). Для подтверждения этого достаточно заметить, что в терминах времени первого достижения формулируются разнообразные задачи оценки надежности и устойчивости технических систем, задачи определения периодов занятости, времени ожидания и моментов потери требований в системах массового обслуживания, задачи оценки моментов опустошения и переполнения в теории управления запасами и теории водохранилищ, задачи нахождения периодов регенерации для регенерирующих случайных процессов и др.
Достаточно широкий класс задач по своей постановке непосредственно сводится к исследованию экстремальных значений траекторий случайных процессов. Примерами здесь могут служить задачи анализа разнообразных систем, нормальное функционирование которых связано с использованием предельных режимов. Основной интерес при этом представляют максимальные (или минимальные) значения Ет и ^тт отдельных параметров (скоростей, ускорений, температур, давлений, электрических токов, напряжений и т. д.).
Распределения числа максимумов Hmax и высоты максимальных значений £т и £mm используются в расчетах показателей безопасности и риска при создании машин и конструкций [9, 22], при статистических исследованиях наводнений и засух [21, 28], расчете максимальных нагрузок в электросетях промышленных предприятий [49, 88, 85] и т. д.
В технике (в частности, в механике) можно выделить широкий класс колебательных процессов, называемых вибрациями. Непредвиденные случайные вибрации вызывают погрешности в работе машин и механизмов, увеличивают износ и существенно снижают их надежность, приводят к разрушениям и авариям. В свою очередь, целенаправленное использование вибраций привело к появлению ряда новых областей современной техники: например, вибрационная технология, вибротранспорт, вибродиагпо- стика, виброметрия.
Оценка воздействий случайных вибраций на живые организмы, а также обеспечение нормального функционирования технических систем в условиях вибраций приводят к необходимости расчета систем на виброустойчивость, вибропрочность или, в более общем случае, расчета систем на вибронадежность [7, 12]. Вычисления основных характеристик вибрационной надежности, как правило,
сводятся при этом к нахождению вероятностных характеристик числа выбросов п случайного процесса £ (0 за границу допустимой области, нахождению распределений высоты максимумов ^т и высоты наибольшего максимума ^тт или определению величины первого времени достижения границ т0.
В настоящее время совокупность вероятностных характеристик выбросов успешно используется в задачах количественной оценки неровностей шероховатых поверхностей. Такие задачи решаются, в частности, при изучении микрошероховатостей обработанных (например, шлифованных) поверхностей, где отдельные параметры шероховатости оказывают существенное влияние на трение, износ, герметичность соединений, коррозийную стойкость и износостойкость деталей [46, 87,96]. Другими примерами подобных задач являются статистические измерения качества дорожных покрытий [116,123], анализ зернистой структуры голограмм и ее влияния на качество восстанавливаемой информации [83], оценка взаимодействия разряженных газов с обтекаемыми шероховатыми поверхностями при аэродинамических расчетах [43].
Многие приборы, применяемые в сейсмологии, метеорологии и медицине, основаны на измерениях «частоты», высоты и длительности выбросов наблюдаемых процессов случайного характера. При этом появляется возможность заменить трудоемкий и субъективный анализ осциллограмм сравнительно простой автоматической регистрацией показаний специализированных вычислителей.
Безусловно, приведенными примерами не исчерпывается область применения теории выбросов случайных процессов, однако они позволяют составить представление о том широком научноприкладном значении, которое имеют исследования по проблеме выбросов.
Важность исследования характеристик выбросов была осознана сравнительно давно. Первые работы в этом направлении преследовали цель теоретического исследования поведения физических систем (в частности, колебательных), описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями. Здесь прежде всего следует указать фундаментальные результаты по времени первого достижения границ марковскими случайными процессами [53], полученные Л. С. Понтрягиным. Развитая им теория позволяет решать многие содержательные физические задачи и находит широкое применение в различных областях. Несколько позже были предприняты попытки экспериментального изучения таких характеристик [41].
Прогрессивную роль в развитии разносторонних исследований выбросов как важных характеристик случайных процессов сыграла основная теоретическая работа С. О. Райса (1945 г.) [140], в которой для некоторых видов случайных процессов получены формулы для среднего числа выбросов и распределения максимумов, а также указан приближенный путь решения задачи о плотности вероятности длительности выбросов.
В последующие годы выбросы случайных процессов рассмат” ривались в ряде теоретических и экспериментальных работ. К настоящему времени сложилось такое положение, что в принципе можно указать математически строгие методы вычисления основных статистических характеристик выбросов для многих распространенных моделей случайных процессов. Однако иногда эти методы приводят к весьма сложным расчетам, иногда — к результатам, неудобным для практического использования. В подобных случаях заслуживают внимания экспериметальные данные.
Отметим, что в последние 15 лет наряду с изучением случайных процессов большое внимание стало уделяться исследованиям выбросов случайных полей. Связано это с развитием таких направлений, как статистическая оптика, голография, лазерная локация и лазерная связь. Характерной чертой всех подобных направлений является то, что в каждом из них необходимо решать статистические задачи обработки оптических или световых полей. Наиболее существенные результаты по исследованиям выбросов случайных полей принадлежат Ю. К. Беляеву [6, 15, 26, 63].
Основная цель данной книги состоит в том, чтобы в систематизированном виде дать последовательное изложение основных теоретических и расчетно-экспериментальных результатов по выбросам траекторий случайных процессов и на частных примерах проиллюстрировать их использование.
1
СТАЦИОНАРНЫЕСЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
По своему содержанию данная глава носит вводный характер. В ней даются необходимые определения и приводятся общие свойства некоторых наиболее распространенных моделей случайных процессов. Кратко рассматриваются спектрально-корреляционные характеристики, подчеркивается их существенное влияние на свойства непрерывности и дифференцируемости выборочных функций, перечисляются отдельные особенности поведения производных стационарного случайного процесса. Применительно к модели «сигнал плюс шум» рассматриваются характерные свойства совместных распределений для значений огибающей, случайной фазы и их производных.
Следует подчеркнуть, что основное внимание в данной главе уделяется лишь тем результатам, которые наиболее важны при исследованиях характеристик выбросов и непосредственно используются при изложении материала последующих глав.
Предварительные определения
Изучение самых разнообразных физических явлений связано с необходимостью исследования случайных процессов. Случайный процесс математически может быть определен как семейство случайных переменных {£ (£), t ЕЕ Т^ которые зависят от параметра ^, изменяющегося на некотором произвольном множестве Т. Параметр t наиболее часто интерпретируется как время, а в качестве множества значений этого параметра рассматривается Т = {£, 0 ^ £ < оо} или Т = {£, а ^ t ^ 6}, т. е. предполагается, что Т или совпадает с положительной полуосью t ЕЕ [0, оо), или совпадает с конечным интервалом t ЕЕ [а, 6] временной оси. Кроме того, будем обычно предполагать, что случайные переменные £ (£) принимают значения лишь на вещественной оси ^ (^ ЕЕ ЕЕ (—оо, оо). В соответствии с таким определением каждая функция £ (£) на некотором фиксированном интервале t ЕЕ [а, Ъ\ = = Uo, ^о + ТА является функцией времени и называется или реализацией, или выборочной функцией, или траекторией случайного процесса Ч По установившейся традиции (там, где это не мо-
1 Как правило, подобная интерпретация параметра t не ограничивает общности, так как при необходимости всегда можно сделать замену < = s и вместо случайного процесса {£ (/), / е Г) рассматривать случайную функцию {§ (s), s е 5} некоторого произвольного параметра S.
жет вызвать недоразумений) для случайного процесса {£ (t), tG ЕЕ 7} и отдельной траектории ^fytE [а, Ъ\ этого процесса часто будет использоваться краткая форма записи £ (^).
Задание математической модели случайного процесса {£ (£), tET} в зависимости от класса решаемых задач может осуществляться различными способами. В прикладных задачах наиболее часто случайные процессы задаются семейством конечномерных распределений. В основе такого подхода — два взаимосвязанных вопроса: о способе описания случайной величины и о способе описания конечной последовательности случайных величин.
Значение случайного процесса {Е (^), ^Е 7} в некоторый фиксированный момент времени t = 1г представляет собой случайную величину £ (^), областью определения которой в общем случае является £ ЕЕ (—оо, сю). Как известно, любая случайная величина £ (^) полностью характеризуется своей функцией распределения
^:fi) = Р{ПУ^^},6 г (-00 , 00),
Jim F & t^ = 0, lim F (|; ZJ = 1,(1.1.1)
ОО|— ОО
где Р {...} — вероятность события £ (^) ^ £, или, при условии дифференцируемости F (£; У по всей области изменения аргумента £ ЕЕ (—^о, сю), своей плотностью вероятности
(-00 , 00);
(1.1.2) p^t^O; $ p^d^l.
Наряду, с функцией распределения F (£; ^) и плотностью вероятности р (£; ^) для описания случайной величины Н (^) можно воспользоваться также и характеристической функцией
(1.1.3)(1.1.3)0 (/^; ^) = М {^} = ^ е^р (£; Zi) d^
(1.1.3)
(1.1.3)
I 0 (j^ Zj | < 0 (0; ^) = 1, v E (—00, 00),
где M (...) — символ операции математического ожидания.
Функций F ^\ У, р (£; ^) и 0 (jv; t^ однозначно связаны между собой, й, следовательно, все три способа описания (1) — (3) случайной величины £ (^) формально являются равноценными.
Переходя к более общему случаю, можно считать случайный процесс {£ (О, £ ЕЕ 71} заданным, если при произвольно выбранной послёдов^ФёЛьности моментов времени t^ г = 1, 2, . . ., п, для се- мействё случайных величин £ (У, 5 (£2)> • • ч £ М Определена совместная функция распределения
■ ВД^Х ;'. ., L; fl, <2, • • tn) = Р {6 (fl) < ^1, ? (f2) <
' < L’• • V, ИМ< М(1.1.4)
или совместная плотность вероятности рп (^ g2, . . ., ^п; ^,
' Важной осооенностью конечномерных распределений является то, что при выполнении необходимых условий симметрии и согласованности любое семейство функций Fn (. . .) или рп (. . .) при п = 1, 2, . . . всегда может быть связано с некоторым случайным процессом {Н (t), t GE Т^. Выбор размерности п зависит здесь от требуемой полноты описания рассматриваемого процесса {£ (^), t ее 71} и от сложности явных выражений для семейства функций Fn (• • •) и р„ (. . .).
Для описания отдельных свойств конечномерных распределений обычно используются моментные функции. К наиболее распространенным из них, в частности, относятся одномерные и двумерные начальные моментные функции
mv(z) = M{^(0) = $(1-1.5)
а также одномерные и двумерные центральные моментные функции mv°(Z) = M{[^(Z) — mi(Z)]v} = ^ [£ — mi^Vpfe 0^, (l-l-7) m®^ (Zi, Ц = M {[£ (Zi) — mi (Zi)]v> [g (Z2) — mx (h)Jv0 =
= $ $ [b — mi(Zi)]v- [£2 — mi (Z2)]v-^2 (gi, ^>;Z1,Z2)^1, ^2,
(1.1.8) при условии, что записанные математические ожидания М {. . .} существуют. Величина v пли соответственно v = vx + v2 называется здесь порядком моментной функции. Особое значение среди функций вида (5)—(8) имеют mx (^) = М {£ (£)} = пи (^) и т^ (t^ tj) = М {[^ (У — т^ (У1 [£ (^2) — ^ (^)О = ^ (^ t^ которые соответственно называются математическим ожиданием и корреляционной функцией. По аналогии с выражениями (5)—(8) могут определяться и многомерные (при п > 2) моментные функции.
Наиболее полно вероятностные свойства случайного процесса £ ^t) определяются свойствами его конечномерных'распределений. Если два случайных процесса £ (t) и ц (t) с одной и той же областью определения t GE Т обладают одинаковыми конечномерными распределениями, то такие процессы называются эквивалентными и для них Р {£ (.t) ^= 1] (^)} = 0.
Накладывая определенные ограничения на характер конечномерных распределений, можно выделить некоторые важные классы случайных процессов [32, 34, 77].
Одна группа подобных ограничений позволяет выделить широкий класс стационарных процессов. Вероятностные характеристики таких процессов инвариантны к временным сдвигам, и, следовательно, выборочные функции 5 (£)» t ЕН Т обладают свойством некоторой стационарности. Характер инвариантности может быть при этом различным, и поэтому для случайных процессов 5 (£) в принципе существуют различные понятия стационарности. Так, например, стационарным в узком смысле называется процесс 5 (£), для которого при произвольном п и произвольно выбранных моментах времени ^, i = 1, 2, . . ., совместное распределение случайных величин 5 (^ + т), 5 (^2 + т), . . ., 5 (£п + т) не зависит от временного сдвига т, т. е.
F. (Ei,^...=
= ^i(^i,b, •.. ,^n; ti + T,t2 4- т,..., <„ + т),(1.1.9)
откуда, в частности при п = 1, 2 следует, что
F (Е; ^ = F (g; t. — t^ = F ^,
F^ (5i> 5г» ^i» У = F% (5n 52» ^1 ^n ^2^1) = F^ (5i, 5г» T)»
т = ^2^i*
Стационарным в широком смысле называется случайный процесс 5 (£), для которого математическое ожидание тп^ (£) = М {5 (^)} не зависит от времени, а корреляционная функция R^ (ti, tj) зависит не от выбранных значений ^ и tj, а от их разности, т. е.
М = пи = const, v 76(1 1 10)
^1] = | ^i tj |.
Второе определение стационарности (10) является более широким, так как в общем случае оно накладывает ограничения лишь на отдельные свойства функций Fu (...) и рп (. . .) при п ^ 2. Процессы, удовлетворяющие условиям (10), будут рассматриваться в последующих главах достаточно часто, поэтому для краткости будем их обычно называть просто стационарными.
Спектрально-корреляционные характеристики процессов
Существенное влияние на решение многих практических задач оказывают спектрально-корреляционные свойства процессов; при рассмотрении класса стационарных случайных процессов такие свойства часто играют определяющую роль [56, 77, 99].
Корреляционная функция R^ (т) вещественного стационарного процесса 5 (£) в соответствии с выражениями (1.1.8) и (1.1.10)
определяется как
R^ (т) = М {[£ (Ч) - mt] [g (*2) - m^]} =
= J J ^з^ъ^^^^-т^(1.2.1)
и при произвольных т = | ^ — ^2 | обладает свойствами
Нг (т) = Нг (-Т), I R^ (т) I < R^ (0) = а^(1.2.2)
где g^ = D^ — дисперсия рассматриваемого процесса 5 (£).
Формулы Винера — Хинчина
R:- (т) = (2л)-1 ^ 8 (оз) ^or da^
оо(1.2.3)
S (со) = ^ R^ (т) е"^оп dT
однозначно связывают корреляционную функцию R^ (т) со спектральной плотностью S (со) центрированного процесса 5 (£) — т^. Для спектральной плотности S (со) при любых частотах со Е (—do, со) характерно свойство положительной определенности 5 (со) > > 0, lim S (со) = 0 и, кроме того, в соответствии с (3) выполняется равенство
(2л)-1 5(со)йсо = ^(0) = сгв2.(1.2.4)
Поведение функций R^ (т) и 8 (со) определяется особенностями рассматриваемых процессов £ (£). Часто, например, в радиофизических задачах нормированные корреляционные функции г (т) = = R^ (t)/R^ (0) стационарных случайных процессов £ (£) представляют собой или некоторую монотонно убывающую функцию. г (т) = р (т) аргумента т, или быстро осциллирующую затухающую функцию типа г (т) = р (т) cos со0т.
Для ориентировочной оценки эффективной протяженности таких функций обычно вводится понятие интервала корреляции
тк=4 ^ |p(t)|cZt = ^1p(t)|cZt(1.2.5)
— ооо
п связанное с тк понятие эффективной ширины спектра
Дсоа = 2лД/э = 5-1(со0) $ 5(co)dco,(1.2.6)
где S (соо) — значение спектральной плотности при некоторой характерной частоте со = соо. Как правило, за 5 (соо) принимают максимум функции S (со) или значение, соответствующее точке симметрии.•
Наряду с использованием параметров тк и Дсоэ в задачах исследования характеристик выбросов случайных процессов достаточно часто возникает необходимость более полного описания отдельных особенностей поведения функций R^ (т) или 8 (со). Для этих целей оказывается удобным применение нормированных спектральных моментов.
Для введения спектральных моментов рассмотрим стационарный случайный процесс £ (£) с математическим ожиданием т-- = = М {£ (^)) = 0. Спектральная плотность 8 (со) и корреляционная функция R^a (т) такого процесса, являясь парой преобразования Фурье (3), за исключением условия нормировки 2, обладают всеми основными свойствами, характерными для функций плотности вероятности (1.1.2) и характеристической функции (1.1.3). Следовательно, пользуясь разложением exp (/on) в ряд Маклорена, на основе (3) можно записать
оо . j (о 5 (а)) doo
^ СО = ^ £ ^- ^ (I-2-7)
i=i ’5 (со) dm
и в качестве числовых характеристик для спектральной плотности 8 (со) ввести нормированные спектральные моменты [34, 91]
/ч=^ (^S^dtoJ^ S^d® (i = l,2,...,?;).(1.2.8)
Очевидно, при таком определении справедливо
= (- ;У 0% 41 ^ М(1.2.9)
ат
В свою очередь, для вещественного стационарного и дифференцируемого п раз случайного процесса 5 (0 при пи = 0 выполняются соотношения
^(2i+i)•
-^йГ^ О = (- м <^+1) О £(i) С О
а21■
^ (т) = (- I)1 м {^) ^ ^<i) (t + т)},(1.2.10)
ат
в которых
М {£№«)(#) g<9) (t + т)} = —М{£(Р)(^^+ т)}, (i + 1)</г.
для произвольного £ (4) значениедля произвольного £ (4) значениеЗдесь учитывается, что (2л)"1 ^ S(to)d<o = G$2^l.
для произвольного £ (4) значение
для произвольного £ (4) значение
Учитывая* здесь свойство R^ (т) = R^ (—т), а следовательно, и
С 8 (со) sin сот ска = 0, для процессов £ (£) с корреляционной функ
цией вида R^ (т) = Д^ (0) г (т) = о^г (т) на основе соотношений (8) — (10) получим
Л ^(2г+1)Л ^(2г+1)= 0.= 0.г=ог=о(1.2.11)(1.2.11)
Л ^(2г+1)
Л ^(2г+1)
= 0.
= 0.
г=о
г=о
(1.2.11)
(1.2.11)
Формулы (И) показывают простую связь нормированных спектральных моментов Хг с производными R^ (0) корреляционной функции Д^ (т) в точке т = 0. а также с дисперсиями о^ = = М {[^(i) (012} производных |(;) (/) стационарного случайного процесса £ (^). Из этих формул ясно также, что корреляционная функция R^ (т) стационарного процесса | (£) при малых т может быть представлена тремя различными разложениями:
п
R. (т) = ^ (0) + У -^(0) + 0 (т*") =
г=1
=+<^ У (-1/ -^г +° (^2п) =а-2-12}
г=1
п.
= «ег + £(-1)*^г«т + 0<т”). г—1
Являясь формально равноценными, разложения (12) основаны на использовании различной информации о процессе £ (^), и поэтому при решении практических задач одно из представлений Д^ (т) может оказаться предпочтительнее другого. Разумеется, запись (12) справедлива лишь при существовании ^(n) (f), т. е. при Х2П< <Е оо.
Во всех приведенных выше формулах использовалось общее определение (3) спектральной плотности 5 (со), со ЕЕ (— оо, оо). Однако, если рассматриваемые стационарные процессы £ (£) являются вещественными, то, как уже подчеркивалось, корреляционная функция Д^ (т) будет четной функцией Д^ (т) = Д^ (—т), а следовательно, и спектральная плотность 8 (со), о Е (— оо, оо) будет симметрична 8 (со) = S (— о) относительно оси со = 0. Для таких процессов 5 (£) без потери общности можно ограничиться рассмотрением лишь положительных частот со = 2л/> 0 и вместо спектральной плотности 5 (со), со ЕЕ (— оо, оо) рассматривать одностороннюю «физическую» спектральную плотность 8+ (со) = ^ 28 (со), со ЕЕ [0, оо).
В соответствии с определениями (6), (8) и формулой (И) значения эффективной ширины спектра А(оэ и нормированных спектральных моментов X2i при этом не изменятся.'
В зависимости от вида функций R^ (т) и S (со) и соотношений между параметрами А(оэ и соо исследуемые процессы § (£) иногда удобно разделять на узкополосные и широкополосные. При этом, как правило, считается, что процесс £ (£) с математическим ожиданием т^ = М {£(£)} = 0 является узкополосным, если его односторонняя спектральная плотность S (со), со ЕЕ [0, оо) в основном сконцентрирована в достаточно узкой полосе Асо ~ ~ Асоэ в окрестности некоторой центральной частоты соо J> Дсоэ. Значение соо во многих задачах определяется как
соо = 2л/о = ^ S(o)) dco) (oS (со) cZco.(1.2.13)
оо
Корреляционная функция R^ (т) узкополосного процесса £ (0 в общем случае может быть представлена в виде
R^^ = о^г (т) = dt2 [рс (т) cos соот + р6 (т) sin <х>отJ =
= Ot2p (т) cos [соот + у(т)]э(1.2,14)
где
Р (г) = ГРс2 W + р/ (т)р2, tg у (т) = — ps (т)/рс (т),
О£2рс(т)= ^ S (соо + о)) cos сот dto,(1.2,15)
—too
о^р5 (т) = S (соо + со) sin сот с/со.
—СО»
Функции р (т) и у (т), так же как рс (т) и ps (т), являются медленно изменяющимися по сравнению с cos (оот, причем
р (0) = 1, р (т) = р (—т), у (0) = 0, у (т) = —у (—т).
(1.2.16)
Для широкополосных процессов £ (t) условие А(оэ <С (оо не выполняется, а корреляционная функция IL (т) обычно представляет собой функцию вида
Нг. W = од" (т) = а?Р W-(1.2.17)
При исследовании узкополосных процессов £ (0 наряду с начальными спектральными моментами X, по аналогии с (1.1.7) в качестве параметров спектральной плотности S (со), (о ЕЕ 10, оо) можно ввести нормированные центральные спектральные моменты
^i°—((о — соо)г S (о) dto у S(^)dto.(1,2.18)
о/о
В соответствии с формулами (3), (7) и (14) для таких спектральных моментов будет выполняться
J (со — (Do)2ZS (со) dto= ^= (-!)’■j 8 (to) dto оJ (со — (Do)2ZS (со) dto= ^= (-!)’■j 8 (to) dto оd^dxtid^dxtiPcWPcW(1.2.19)(1.2.19)^‘ (о) — а>0)2г+1^ (cd) dco с о .оЛ2г+1 ^У S (со) dto о^‘ (о) — а>0)2г+1^ (cd) dco с о .оЛ2г+1 ^У S (со) dto о• d2i+1• d2i+1т=0т=0
J (со — (Do)2ZS (со) dto
= ^= (-!)’■
j 8 (to) dto о
J (со — (Do)2ZS (со) dto
= ^= (-!)’■
j 8 (to) dto о
d^dxti
d^dxti
PcW
PcW
(1.2.19)
(1.2.19)
^‘ (о) — а>0)2г+1^ (cd) dco с о .о
Л2г+1 ^
У S (со) dto о
^‘ (о) — а>0)2г+1^ (cd) dco с о .о
Л2г+1 ^
У S (со) dto о
• d2i+1
• d2i+1
т=0
т=0
По аналогии с моментными функциями вида (1.1.5) и (1.1.7) нормированные спектральные моменты (8) и (18) являются простыми числовыми характеристиками спектральной плотности S (со), В то же время, как и следовало ожидать из формул Винера— Хинчина (3), на основе выражений (И) и (19) спектральные моменты однозначно связаны с производными корреляционной функции R-^ (т) в точке т = 0. Если при этом учесть, что поведение R^ (т) при т = 0 существенно влияет на поведение отдельных траекторий 6 to> t Ez Т случайного процесса {£(£), £Е 7), то становится понятным, почему именно спектральные моменты удобно использовать при описании особенностей функций S (со) и R^ (т) в задачах исследования характеристик выбросов.
Условия непрерывности и дифференцируемости
Исследования особенностей поведения выборочных функций (траекторий) случайных процессов £ (f) связаны с некоторыми общими свойствами рассматриваемых процессов. Как и при анализе любых функций, наиболее важными оказываются здесь свойства непрерывности и дифференцируемости. Строгое математическое рассмотрение подобных свойств — задача далеко не простая; достаточно, например, заметить, что свойства подобного типа не определяются однозначно конечномерными распределениями. Для изучения условий непрерывности и дифференцируемости выборочных функций обычно требуется введение ряда ограничений на способ задания случайного процесса и, кроме того, предполагается наложение некоторых дополнительных условий регулярности [34, 62, 99].
Вместе с тем в подавляющем большинстве практических задач необходимость условий непрерывности и дифференцируемости не влечет за собой жестких ограничений, поэтому приведем здесь кратко лишь те результаты, которые будут непосредственно использоваться при дальнейшем изложении.
Рассмотрение свойств непрерывности и дифференцируемости, как известно, связано с рассмотрением предельных операций.
Процесс £ (i) является непрерывным в среднеквадратическом смысле на некотором интервале [£0, t0 + Т], если для всех t £ G Щ, «о + Т\
ИтМ{[|(/ -ДО — е(0]2} = 0.(1.3.1)
Ai—о
При исследовании стационарных процессов £ (0 для выполнения условия (1) необходимо и достаточно, чтобы свойством непрерывности обладала корреляционная функции R^ (т), т. е. чтобы при всех т lim R-- (т + Ат) = R-. (т). Это, в свою очередь, выпол-
Дт->О "”
няется, если R^ (т) непрерывна в точке т = 0: lim R^ (т) =
= Д$ (0) < ОО.
Таким образом, необходимое п достаточное условие непрерывности окончательно может быть записано в виде
r^ = o^ = ^Y^ f 8И^<^-(^З-2)
и, по существу, требует, чтобы исследуемый процесс £ (^) обладал конечной дисперсией.
Свойство дифференцируемости процесса ^ (£) в среднеквадратическом смысле в произвольной точке t ЕЕ По, £0 + Т\ определяется по аналогии со свойством (1) предельным равенством
ИтМ{[^Ц^1Ж_^^(1.3.3)
в котором функция £' (£) = d^ (t)!dt называется производной в среднеквадратическом. Для выполнения условия (3) необходимо п достаточно, чтобы корреляционная функция R^ (т) стационарного процесса £ (£) обладала свойством
которое с учетом формул (1.2.3) п равенства R^, (т) = М {£' (0 ^ (t + + т)} = —R^' (т) может быть переписано в виде
-./?f (0) = 7?^(0) = (2лр $° со25 (<о) do < сю.(1.3.4)
Условие (4) эквивалентно требованию конечности дисперсии R^ (0) = о^2 производной V (£) рассматриваемого процесса £ (^ и связано с поведением функции R^ (т) в окрестности точки т = 0.
В более общем случае, используя определение спектральных моментов (1.2.8) и учитывая равенство (1.2.11), можно точно так же записать, что п-я производная ^w (^) = d11^ (^!dtH (тг = = 1, 2, 3, . . .) процесса £ (^) в среднеквадратическом смысле существует, если
(- 1)" R^ (0) = оХ^п = ow <(1.3.5)
Приведенные критерии (2), (4) и (5) записаны в простой и удобной для практического использования форме. Из них, в частности, следует, что если на поведение корреляционной функции Нл (т) в окрестности точки т = 0, или, что то же самое, на поведение спектральной плотности S ^ при | со | оо, наложены определенные ограничения, то можно считать, что исследуемый случайный процесс £ (£) удовлетворяет соответствующпм условиям непрерывности и дифференцируемости.
Результаты (4) и (5) позволяют легко проверить, будет ли исследуемый процесс £ (£) дифференцируемым или нет. Так, например, процесс £ (£) с хорошо известной корреляционной функцией вида R^ (т) = ехр (—а | т | ) не является дифференцируемым, а процесс с корреляционной функцией R^ (т) = ехр (—ат2) дифференцируем сколько угодно раз. В качестве примера корреляционной функции R^ (т) процесса £ (^), дифференцируемого ровно п раз, можно привести достаточно общее выражение
о2л+1??
^бМ = Г (2га + 1) .) ^^^ (^ + Iх 1)”^(1.3.6)
О
из которого, в частности, при п = 0, 1, 2 получим
п = О, R^ (т) = е-1т1,
п = 1, R. (т) = (1 + | т | ) е-М,(1.3.7)
п-2, Д. (Т) = (1 + | т | + т2/3) ^-lrL
Записанные здесь функции 7?^ (т) дифференцируемы 2?г раз; производная Л(?и+1) (т) порядка (2/г + 1) для них разрывна при т = 0.
По аналогии с этим условия дифференцируемости можно проверить и по спектральной плотности 5 (со). Так, в частности, из выражения (4) видно, что необходимое и достаточное условие дифференцируемости стационарного процесса £ (£) один раз состоит в том, чтобы его спектральная плотность S (со) убывала с ростом частоты | со | быстрее, чем со-3. Для дважды дифференцируемого процесса в соответствии с (5) должно выполняться условие
н^2Х4 = (2л)-1 co4S (со) dm < do ,(1.3.8)
т. е. спектральная плотность 5 (со) с ростом | со | должна убывать быстрее, чем со-5.
Некоторые примеры простейших однопараметрических нормированных корреляционных функций г (т) = o^R-, (т) и соответствующих им спектральных плотностей дифференцируемых процессов приведены в табл. 1.1 (нужно отметить, что подобная таблица может быть расширена). С одной стороны, с учетом условий (4), (5), (8) для этого достаточно, например, задаться спектральной
Таблица 1.1
Нормированные однопараметрические корреляционные функции и спектральные плотности
№
г (т) = (2л)"1 j S (ti^e^dto
S(to) = У г (т) е~^ютг/т
т
II,
<1 11^—^ X II
1
(1 4- а | т | ) е“а 11 *
4а3
л
2
(а2 + (D2)2
а2
— а
л
2
е-ат«
1 / Л/(О2 \
1 — ехр _ —
та\4а /
2л/До) при | о) | < До)/2
0 при | о) | >> До)/2
2а
2}^ ла
1
3
sin (Дсот/2) Доп/2
12Д<°2
До)
1
/12
4
^1 + а|т| +
16а5
1
3
8
4- у (ат)3 j е~а । т •
3 (а3 + to3)3
-g- ла
З/Зл
5
[ 1 + а | т | + -|- (ат)3 + + ^ (а 1 т | )3] е”“ 1 т 1
32а7
1
5
16
5 (а3 + to3)4
5 а
16 ла
5/5л
6
[1 + (ат)2]-'-
&2
—
~
Л/| 0) | \
2а2
2а
1
7
[1 + (ат)3]-1
/2
8
sech (ат)
Л/ Л0)\
—sech№
а2
2а
1
2
9
COS 0)0Т
"2^" [^ (° — мо) + 4- 6 (<о + too)]
0)2 0
—
плотностью процесса 5 (0 в виде
S (со) = constS (со) = const(а2 + «2)т(а2 + «2)т
S (со) = const
S (со) = const
(а2 + «2)т
(а2 + «2)т
и выбрать соответствующие значения целых чисел к и т. С другой стороны, можно задаться корреляционной функцией (6) при соответствующем выборе п.
Из приведенных в табл. 1.1 аналитических выражений целесообразно особо выделить первые три корреляционные функции г (т) и соответствующие им спектральные плотности S (со). Такие функции, с одной стороны, являются наиболее простыми и удобными для исследований, с другой — при определенном выборе па-
корре- реальных, выражени-корре- реальных, выражени-раметров позволяют достаточно хорошо аппроксимировать ляционные функции и спектральные плотности многих
корре- реальных, выражени-
корре- реальных, выражени-
Рис. 1.1. Первые три слектраль ные плотности табл. 1.1 приД(оэ = const, хх > х2 > х3Рис. 1.1. Первые три слектраль ные плотности табл. 1.1 приД(оэ = const, хх > х2 > х3встречающихся на практике случайных процессов. По ям, приведенным в табл. 1.1, на
Рис. 1.1. Первые три слектраль ные плотности табл. 1.1 при
Д(оэ = const, хх > х2 > х3
Рис. 1.1. Первые три слектраль ные плотности табл. 1.1 при
Д(оэ = const, хх > х2 > х3
рис. 1.1 в той же последовательности изображены спектральные плотности 5! (со), 52 (со) и S3 (со) при условии, что эффективная ширина спектров одинакова (Асоэ = const).
Помимо аналитических выражений, для функций г (т) и 8 (со) в табл. 1.1 приведены значения эффективной ширины спектра Дсоэ, нормированного спектрального момента Х2 = —г"(0), который для первых восьми функций равен ^2 = V? а также коэффициента формы спектральной плотности
н= ($ (со — too)2 8 (со)cZco К 8 (со) dm) к А®;1 = ^^ Асо^1. (1.3.9) О' о
Использование такого коэффициента часто оказывается удобным при вычислении отдельных характеристик выбросов. Величина % зависит от степени «затянутости хвостов» функции 8 (со), и, в частности, для изображенных на рис. 1.1 спектральных плотностей х1>х2^>х3. Характер спада ветвей 8 (о), как уже отмечалось, связан с поведением функции г (т) в окрестности т = 0 и существенно влияет как на свойства дифференцируемости, так и на поведение отдельных траекторий случайного процесса.
Общие свойства производных случайного процесса
Помимо условий непрерывности и дифференцируемости, при исследованиях характеристик выбросов в большинстве задач необходимо также знать и основные свойства производных ^n) (f), /2 = 1,2,..., рассматриваемого случайного процесса £ (f). Перечислим кратко некоторые из этих свойств, предполагая, что соответствующие условия (1.3.2) и (1.3.5) выполнены, и не накладывая пока особых ограничений на конкретный вид конечномерных распределений процесса.
Операция дифференцирования относится к классу линейных операций. При существовании непрерывной производной ^ ^ выполняется свойство перестановочности операций математического ожидания и дифференцирования:
M{H0) = m{4^)}=^-»W (1.4.1)
и, следовательно, если рассматриваемый процесс § (£) является стационарным, то его математическое ожидание М {5 (^)) = пи = = const не зависит от параметра /, а для математического ожидания производной (£) выполняется равенство
пи. = М {^— -^-пг^ = 0.пи. = М {^— -^-пг^ = 0.(1.4.2)(1.4.2)
пи. = М {^— -^-пг^ = 0.
пи. = М {^— -^-пг^ = 0.
(1.4.2)
(1.4.2)
Корреляционная функция процесса 5' (0 в общем случае определяется формулой
Rv (fi> ^) = М {[^ (^) — mv (^i)J [^ (^2) — т^ (^)]} =
которая при стационарности £ (/) с учетом свойства R^ (^, £2) = = 7?^ (т), т = ^2 — ^ позволяет записать
R^ = -^R^ = -Rm(1.4.4)
В свою очередь, равенство (4) дает возможность с помощью соотношений (1.2.3) выразить спектральную плотность 8^ (ю) производной V (0 через спектральную плотность 8^ (со) исходного центрированного процесса 5 (/) — тп^:
Sv (w) = <^ (со).(1.4.5)
Таким образом, в результате дифференцирования стационарного случайного процесса £ (^) всегда получается стационарный случайный процесс 5' (0 с нулевым математическим ожиданием t корреляционной функцией (4) и спектральной плотностью (5).
Рассматривая линейную зависимость между случайными процессами 5 (£) и 5' (£) можно воспользоваться взаимной корреляционной функцией
R^- (<i, ^) = М {[g (ij - пЧ (fj] [Г &) - ту (t2)]},(1.4.6)
для которой характерно свойство
Rw (^ 1^ = -а^ R^u ^\ Rv; ^и ^) = — Rv^ ^и ^-
(1.4.7)
Для случая стационарного процесса 5 (/) и (для простоты последующих записей) при условии пи = М {£ (£)} = 0 на основе формул (6), (7) получим
М {£ (Z) г (t + т)) = ^-М {^ (0 g (i + т)} = 4-R^ W’ (L4-8>
e. чтобы найти взаимную корреляционную функцию R^ (т), достаточно продифференцировать по переменной т корреляционную функцию R^ (т) исходного процесса 5 (^):
R^' ^ =ЧГК^ <т) = ^ М-(L4-9>
Взаимная корреляционная функция R^ (т) обладает свойствами
R~ (т) = -R^ (-Т), Ru- (Т) = -R^ (т),(1.4.10)
л из нее, в частности, видно, что значения случайных процессов g (t) и ^ (t) в совпадающие моменты времени (при т = 0) всегда являются некоррелированными, так как функция R^ (т) стационарного процесса § (I) является четной R^ (т) = R^ (—т) и, следовательно,
R^' (0) = 4rR^ (т) |t=o = R^ (0) = 0.(1.4.11)
Если рассматриваемый стационарный случайный процесс 5 (0 удовлетворяет условиям дифференцируемости (1.3.5) при п 4> 1, то по аналогии со свойствами (2), (4) и (5) для производной £<п> (£) = dn£ (ty dtn /2-го порядка можно записать
Г dn)dndu
м W ш = ^ м {^ ^^ т^=°’(1 -4Л2)
ъ( di)atdi
R-^ (т) = М {^(") (0 а<") (Z + т)} = (- 1)” 4^ R^ (т),(1.4.13)
S^ (0)) = ^ (со).(1.4.14)
Взаимные корреляционные функции для процессов £(р) (2) и ^q>) (Z) при р, q ^ п определяются выражением
RW) (т)=м (а») (/) ^(t + т» = (-if^r дб W. (1-4.15) из которого следует, что в совпадающие моменты времени (т = 0) значение
м {^) (f) ^±» (0) = (- I)1R^ (Т) |т=0 = 0,(1.4.16)
т. е. производная Z-ro порядка обладает свойством некоррелированности с производными порядка (i + 1) и (Z — 1) при (i + + 1) < 72.
В качестве примера на рис. 1.2 показан характер изменения нормированных корреляционных функций стационарных случайных процессов £ (£), ^ (t) и ^" (ty а на рис. 1.3.— характер изменения нормированных взаимных корреляционных функций для этих же процессов; функция г (т) исходного процесса ^ (0 в данном случае выбрана вида г (т) = о^“2/?^ (т) = ехр (—ат2).
Остановимся кратко на рассмотрении двух возможных способов нахождения совместной плотности вероятности р (£ (ty £' (0) = Р (^> 6'*> 0 Для значений процесса ^ (0 и значений его производной ^ (£) в совпадающие момент]^ времени.
А. Прямой способ. Предположим, что для исследуемого случайного процесса § (^) известна двумерная плотность вероятности ^2 (^n S2; ^ У, гДе ^i = ^ (ЧУ ^2 = ^ <ЧУ Выберем моменты вре-
Рис. 1.3. Характер изменения нормированных взаимно корреляционных функцииРис. 1.3. Характер изменения нормированных взаимно корреляционных функцииРис. 1.2. Характер изменения нормированных корреляционных функций
Рис. 1.3. Характер изменения нормированных взаимно корреляционных функции
Рис. 1.3. Характер изменения нормированных взаимно корреляционных функции
меня tY и 12 так, чтобы интересующий нас момент времени t находился посредине между ними, т. е. £ = ^ + (А/2) = f2 — (А/2), где достаточно малая величина А = t2 — tx > 0. Тогда для дифференцируемого процесса при малом А можно записать
= Ш - (А/2) £' (0, £а = И0 + (А/2) 6' (О-
Если теперь в плотности вероятности р2 (^, £2; ^, £2) перейти от переменных £х, £2 к новым переменным £ = £ (t\= V (£)
и затем положить А —> 0, то окончательно получим
(1.4.17)
Б. Косвенный способ. Большинство случайных процессов £ (£), исследуемых в радиофизических и технических задачах, представляют собой результат различных (линейных и нелинейных) преобразований некоторого исходного случайного процесса ц 0). Если при этом известны все необходимые вероятностные характеристики процесса ц 0) и характеристики преобразования ц 0) -> [р (£)] = ^(t^ то иногда на основе общих методов преобразования переменных удается сравнительно просто получить нужную совместную плотность вероятности р (£, £'; £) для значений £ 0) и
Конечно, можно сразу заметить, что наиболее эффективно такой подход используется в задачах двух типов: 1) при линейных (инерционных и безынерционных) преобразованиях гауссовских процессов ц 0) и 2) при функциональных (безынерционных) преобразованиях произвольного случайного процесса ц 0), для которого известна совместная плотность вероятности р (г) 0), т/ 0)) = = р 01, ц; ty В первом случае задача нахождения плотности вероятности р (£, g'; ty по существу, сводится к задаче нахождения математических ожиданий М {g ^Y М {£' 0)} и корреляционных функций R^ (т), R^ (т) процессов £ 0) и ^ (£), так как этих данных оказывается достаточно для полного определения функции
р (?> V*, t\ При непрерывных и взаимно однозначных функциональных преобразованиях ц (^) -^- / [ц (^)] = ^>^У в Ряде случаев удается по известным плотности вероятности р (ц, ц'; ^) и обратной функции Ц (0 = ф I? (01 = Ф (?) на основе достаточно простых правил замены переменных непосредственно найти совместную плотность вероятности р (£, ^; t) для значений процесса § (0 и его производной ^ (0 в виде
р (^, а; 0 = р (ф @, £' -^; *) S2 ©,(1.4.18)
где D (£) — якобиан преобразования.
В тех случаях, когда линейному преобразованию подвергается негауссовский процесс или когда при функциональных преобразованиях обратная функция ф [£ it)A = ц (0 не является однозначной, задача определения совместной плотности вероятности р (?? ^\ ^) может значительно усложниться.
Следует подчеркнуть, что ввиду большей простоты и физической наглядности подобный косвенный подход в прикладных задачах используется чаще, чем прямой способ нахождения совместной плотности вероятности (17). Конечно, описанные два способа не являются единственно возможными; при решении конкретных задач, по-видимому, могут быть предложены и другие, иногда более рациональные способы нахождения функции р (^ it), £' it)).
Рассматривая общие свойства совместной плотности вероятности р (£ ^ty ^ it)), целесообразно отметить, что независимо от конкретного вида конечномерных распределений процесса £ (£) совместная плотность вероятности для значений £ (£) и 5' (£) является четной функцией относительно переменной ^ it), т. е.
р a w, % (t)) = р (5, ^ = р а, -п(1.4.19)
Очевидно, свойство (19) может быть переписано и в несколько иной форме:
р (Е, ё') = р ®р a' IB) = р ® р (-£' I g),(1.4.20)
откуда видно, что условная плотность вероятности производной Р (^ | £) также является четной функцией относительно ^ it).
Выполнение условия (19) непосредственно следует из определения (17), если при этом учесть, что двумерная плотность вероятности р^ (£1? g2; tT, t^) всегда удовлетворяет условию симметрии, т. е. не изменяется при одновременной перестановке ^ и ^.
Для стационарных процессов £ it) в соответствии с равенством (И) функция р (£, £') всегда обладает некоррелированными переменными £ it) и J' it). Более того, среди стационарных случайных процессов можно выделить определенный класс процессов, для которых значения £ it) и £' it) в совпадающие моменты времени не только не коррелированы, но и статистически независимы, т. е.
Р^Л'^Р^рИП(1.4.21)
Одномерная плотность вероятности р^ (£') производной V (7) будет в этом случае симметричной функцией р^ (£') = р^ (—^} относительно оси т^ = М {£'} = 0. Процессы, удовлетворяющие условию (21), можно назвать стационарными процессами с независимой производной в совпадающие моменты времени.
Гауссовский процесс и его производные
Гауссовские процессы относятся к наиболее распространенному классу случайных процессов; они обладают многими важными свойствами и играют особую роль как в теоретических, так и в прикладных исследованиях (в большинстве задач, как правило, заслуживают отдельного рассмотрения).
По определению случайный процесс £ (0 называется гауссовским, если все совместные распределения для любой конечной совокупности случайных величин ^ (4), g (t^p . . ., £ fe) при произвольных тг и произвольно выбранной в области изменения аргумента tET последовательности ^, г = 1, 2, . . ., тг, являются нормальными.
Совместная нормальная плотность вероятности для случайных величин gx = g (tj, ^2 = § (t2), ...,!,,= £ (1п) имеет вид
Pn (£1: • • • > 5n> ^1» • • • 1 ^n) ==
= (2n)-"/2|R|-^exp[-(2|R|)-i § Ам^ - m^ ^j - m^ . (1.5.1)
Здесь ттгг = m^ (^) = M {E (^)} — математические ожидания случайных величин | ^t^ R — корреляционная матрица, определяемая в данном случае выражением
R-
-7?и Т?12 . . . Rln -
772i 7?22 . . . R^n ;(1.5.2)
-^П1^П2 • • • ^пп -
R» = Rjt = R^ (th tj) = M {[£ (f,) — m6 (^)l [g (tj) — rat (tj)]} = = QiOjT^ (th tj) — корреляционные функции, i, j = 1, тг; (5^ = = n^2 (^) D^ (^) = M {[g (tt) — /72^ (^)l2} — дисперсии; ] R | = = det R — определитель корреляционной матрицы; Ац — алгебраическое дополнение элемента Н13 в определителе | R |.
Приведем явные выражения для одномерной и двумерной плотностей вероятностей гауссовского процесса £ (0, которые легко получаются из общей формулы (1) при п = 1 и п = 2:
р (£; t) - (2лЛ^ (t))-^ exp {-[£ - тп^ ^120^ (t)^ (1.5.3)
2ЛСЦС)2 |/1 — г^2 pi, /2)
(2 [1-^(7!,^]5х2
2/> (^1, /2) (^1 — ^1) ($2 — m2)^ _ m )2 1)
4-г •(1 .ь.4)
Определение гауссовского процесса £ (О и общая формула (1) показывают, что для полного задания ?г-мерного нормального распределения, а следовательно, и полного задания гауссовского случайного процесса £ (£) достаточно задать лишь математические ожидания т^ (t^ = М {Е (^)) п корреляционные функции Ru = = Л^ (tb tj), i, 7 = 1, п. Иначе говоря, одним из основных свойств гауссовских случайных процессов £ (0 является то, что для их полного описания достаточно корреляционной теории.
Для гауссовских случайных процессов понятия стационарности в широком смысле и стационарности в узком смысле совпадают между собой. Так, если предположить, что математические ожидания пг^ (^) не зависят от t. а корреляционные функции R- (tii tj) зависят не от выбранных моментов времени Ц, tj, а лишь от их разностей: пи (t^ = пи- = const, R^ = R^ (tt, tj) = = ^s (Tu) = D^ (ти), %ij = I ^ — tj I, i, у = 1, n, то в соответствии с определением (1), выполнение этих условий будет одновременно приводить и к справедливости общего условия (1.1.9).
Для гауссовских стационарных процессов £ (t) общая формула (1) несколько упрощается и ее можно записать в виде
Рп (£1, • • • , in) = ^D^-^ I г |-V= х п
X ехрГ — 2^1 г| У, «гДёг — m^^j — m6)l ,(1.5.5)
L 6 i, 7=1j
где | r ] — определитель матрицы, составленной из нормированных корреляционных функций:
1^(ти) ...^^WV
(1.5.6)(1.5.6)>\ (Т21)1• • • ft (T2n)
(1.5.6)
(1.5.6)
L^(Tnl) '-.(тп2)... i _
'1 ^и) = Ч (ъ-i), '1 (т«) = гЖ^) =1, ij = i,n, an — алгебрам- ческое дополнение элемента u (Tij) в определителе | г |.
При рассмотрении вероятностных характеристик производных ^ (£), v = 1, 2, . . ., гауссовского процесса 5 (t) наиболее важную роль играет свойство устойчивости нормальных распределений при линейных преобразованиях процесса. В результате дифференцирования (являющегося линейной операцией) гауссовского процесса £ (t) всегда получается также гауссовский случайный процесс, и, следовательно, для полного описания производной gw (t) = cZv£ (t)/dtv, т. e. для нахождения многомерных распределений процесса ^^ (t), в данном случае достаточно по известным правилам (см. разд. 1.4) найти математические ожидания ^М (tt) = М {^v) (^)} и корреляционные функции R^) (t^ tj), а после этого воспользоваться общим выражением (1) для нормальной плотности вероятности. Конечно, при этом должна быть. Уверенность в том, что необходимые условия дифференцируемости (1.3.5) при выбранном порядке v выполняются.
Использование этого свойства позволяет достаточно просто наводить и совместные распределения для значений исследуемого гауссовского процесса § (£) и значений его производных ^ (£). Так, например, если предположить, что дифференцируемый гауссовский случайный процесс £ (t) имеет математическое ожидание vzzt и корреляционную функцию R^ (^, *2) = о^ М г^ (^, у, то на основе формулы (4) с учетом выражений (1.4.1), (1.4.3) и (1.4.7) можно записать совместную плотность вероятности р (£ (£), ^ №) = = р (£, £'; t) для значений процесса £ (£) и значений его первой производной £' (£) в совпадающие моменты времени:
р (£, £; 0 = (2ло^ (0 ел (О)"1 [1 - П2 (0?,/2 X у f 1г(^ —^(0)а
Хехр| 2[l-rt2W][ а-ЧП
(1.5.7)(1.5.8)(1.5.7)(1.5.8)_9,,(^_mi(z))2
(1.5.7)
(1.5.8)
(1.5.7)
(1.5.8)
1 ^ 6g (t) Si (t)"Т"б!2
где
mi (О = dm. (t)/dt, gi (0 = {—к=^ ^W = oi Wd W—^L,.
При исследовании совместных вероятностных характеристик процесса £ (£) и его производных £W (£) наиболее простые результаты, как и следовало ожидать, получаются в том случае, когда рассматриваемый гауссовский процесс £ (£) стационарный. Помимо уже отмеченного свойства устойчивости нормальных распределений при линейных преобразованиях, упрощения здесь достигаются совместным выполнением трех общих характерных свойств: 1) дифференцирование стационарного процесса всегда приводит к стационарному процессу; 2) при стационарном процессе £ (£) значения £ (£) и £' (£), а также значения производных £(1) (£) и ^(^d (£) в совпадающие моменты времени являются некоррелированными; 3) условие некоррелированности для гауссовских случайных величин эквивалентно условию их статистической независимости.
Предположим, что рассматриваемый гауссовский стационарный дифференцируемый процесс £ (£) имеет математическое ожидание т^ = т^ ^ = const и корреляционную функцию R^ (£1, £2) = = R^ (т) = D^ (т). Тогда одновременно с условием (1.4.11) для значений ^ (^) и ^' (^) = d £ ^!dt будет выполняться свойство статистической независимости
р^ ^;^=р^, ^-р^^Р^-а').р^ ^;^=р^, ^-р^^Р^-а').(1.5.9)(1.5.9)
р^ ^;^=р^, ^-р^^Р^-а').
р^ ^;^=р^, ^-р^^Р^-а').
(1.5.9)
(1.5.9)
Учитывая, что процесс ^ (t) является в данном случае гауссовским стационарным процессом с т^ = М {£' (^)) = 0, можно записать одномерную плотность вероятности производной
Ру (£') = (2ла|-)-7=ехр (— Е'2/2о|-), а\, = пг. = -к^^
и совместную плотность вероятности (9) в виде
Р ("’ ^ 2лДе /^Tf#"6ХР (~ 2^" [^ ~- YW ^ ]} ’
'(1.5.11)
где
- Ч (°) = - ^ Ч (т) к=» = ^2 = ^Dv > О-(1.5.12)
Очевидно, если рассматривать совместную плотность вероятности р^ (£, ^т, ^\ W) для значений гауссовского стационарного процесса £ = £ (^), £r = £ (t + т) и его производных = ^ (^), £/ = £'(t + т) в два момента времени tx = t и /2 = t + т, то можно также заметить, что все четыре случайные величины £, £г, ^\ £/ являются гауссовскими и совместная плотность вероятности для них может быть записана на основе общей формулы (1).
Для простоты записей положим т^ = 0 и учтем, что корреляционная матрица (2) будет являться в данном случае симметричной:
рЛо
R.
0
Rt
Ro
— RV
0
R =
0
-Rv
-Ro"
-Rv
,(1.5.13)
_RV
0
~RV
— Ro"_
где Яо = R^ (0), Rt = Нт (т), RV = d,R^ (т)/^т, "Я/ = d?R^ (T)/dT% Яо" = d?R^ СО^т2 |г=0.
Алгебраические дополнения А^ удовлетворяют здесь условиям Аи = Ап и, кроме того, Ли = Л22, Л33 = Л44, Л13 = —Л24т Л14 = Л23.
С учетом этих соотношений на основании формулы (1) для совместной плотности вероятности р2 (£, £г, £', £/) получим окончательное выражение
Р2 (L ^Г, ^, £4) = (2л)"21 R Г^ ехр {- (21R |)-i [Ли (?2 + И +
+ Л33 (^' + ^/ ) 4* 2Л12^ + 2 Лз4^^/ ~Ь 2 Л is (££ — ^t) 4~
+ 2Ли(^/-Ш]}-(1.5.14)
Входящие в это выражение алгебраические дополнения находятся из корреляционной матрицы (13) и равны
Лц = До (Яо"2 — Я/'2) + R^RV^ Л и =
= - 7?Г (Ло"3 - 7?г"3) - TZr'TZr'2,л 13 = RV (Ro'Rt - RoRt"),
Ли = RV (RoRt" - RtRV + RV1^
A^-RVl.R^-RW RoRV\ Л34 = RVW — R^ -VRtRV\
IRI = (Лзз2 - Лз42)/(Яо2 - RV'Y(i-5-15)
Приведем выражение совместной плотности вероятности р (£ ^tY s kt\ £" (t)) для значений гауссовского стационарного процесса
1 (О, его первой ^ (г) и второй ^ (£) производных в совпадающие моменты времени. Для получения этой формулы вновь воспользуемся общим свойством некоррелированности (1.4.11) и (1.4.16)
М {[£ (£) - пг^ ^ (£)} = М {V (^ Г (£)} = О,
которое применительно к рассматриваемым гауссовским случайным величинам £ = £(£), g' = ^ (t), £" = 2" (£) и приводит к выполнению соответствующего условия статистической независимости
р ^ (о, ?' (о, г ю) = р a, w, г) = р%- (н р а, и. (1.5.16) Если учесть здесь, что совместная плотность вероятности р (£ (^), S" (0) = Р (^ ^) является нормальной, а производная £" (t) хар актеризуется пар аметрами
=м а- (о>=о, о^=^=^ -^L |t=o=а^ (о,
(1.5.17) то после нахождения нормированной взаимной корреляционной функции
(1.5.18)(1.5.19)(1.5.20)(1.5.18)(1.5.19)(1.5.20)(т) = O^-R^ (т) = Ч" (т) [,f (0)]-V2
(1.5.18)
(1.5.19)
(1.5.20)
(1.5.18)
(1.5.19)
(1.5.20)
можно записать
Р 8, И = —^ ехр {- (2T)-i [а? (£ - т^ +
+ 2^^-,^)^ + ^^]}. где
О12 = (т6,2=-сг62г6"(0),
V = "sW [1 — гХу (0)] = а^<7.32 — <Т14.
Теперь, воспользовавшись формулами (10), (20) и (16), окончательно получим
Р (£, ?', ^ =Л^1 exp 1^- [сг22 (^ — т=)2 +
+ 2<ji2 (^ - т^ Г + а62Г2] - -^г} •(1-5.21)
Учитывая, что для нормированной корреляционной функции -г^" (т) всегда справедливо свойство | г^ (т) | ^ 1, из формулы (20) легко заметить, что введенный здесь параметр у является неотрицательной величиной у > 0.
Некоторые негауссовские моделислучайных процессов
Как это отмечалось выше, гауссовские процессы — наиболее распространенная модель случайных процессов. Вместе с тем такая модель не является единственно возможной и, естественно, не все реальные процессы могут быть удовлетворительно описаны
подобными моделями. Чтобы подчеркнуть необходимость рассмотрения негауссовских моделей, достаточно, например, за/ме- тить, что значительная часть исследуемых в прикладных задачах случайных процессов представляет собой результат разнообразных инерционных и безынерционных нелинейных преобразований гауссовского процесса. Свойство гауссовости при нелинейных преобразованиях нарушается; распределения преобразованных процессов становятся негауссовскими, а их характер обычно зависит как от параметров исходного случайного процесса, так и от конкретного вида преобразования.
Из существующего многообразия негауссовских моделей остановимся здесь лишь на кратком рассмотрении стационарных случайных процессов с х- и х2"Распределением. Модели таких процессов имеют достаточно общую структуру и эффективно используются при решении многих практических задач.
Предположим, что имеется п независимых гауссовских стационарных дифференцируемых случайных процессов ^ (£), £3 (t^ . . ., 6п (О с одинаковыми математическими ожиданиями М ^ (0} = 0 и одинаковыми корреляционными функциями
Н^ = М&Ш1 + т)} = о^Гг (т) = а2г (т), г = 1, п. (1.6.1)
Тогда стационарный случайный процесс вида
^^(^[^ Е.2(/)]У Z = I^ п^еСО.оо) (1.6.2)
будет характеризоваться одномерной плотностью вероятности
Мп) = Рх(>1;'г)=-^|^^^Tje[0, 50),(1.6.3)
которая соответствует Х~РаспРеДелению [33, 55, 77]. Негауссовский случайный процесс Л (0 = X (О часто также называется /-процессом с п степенями свободы.
Пользуясь определением (1.1.5) и выражением плотности вероятности (3), можно применительно к рассматриваемому процессу ц (/) получить общую формулу для одномерных моментов:
тк = М {if (Z)} =(п/2)]’1 $ ly^-i^-v/oo2^ =
,о"
= 2WT((/z + /с)/2)/Г (п/2).(1.6.4)
Случайный процесс ц (0 “ X (О в соответствии с определением (2) во многих задачах удобно интерпретировать как модуль /г-мер- ного (?г > 0) вектора с независимыми гауссовскими компонентами ^ (О- В простейшем случае при п = 1 здесь получается модуль Гауссовского процесса (пли случайный процесс ц (£) с односторон- нпм гауссовским распределением):
п (0 = VV^ = I Ш I,(1-6.5)
Z^n (ц) = Ру (П; 1) = (2/ло2)^ц (О Е= [0. оо). (1.6.6)
В другом распространенном частном случае при п = 2 из формул (2) и (3) получаются соответствующие результаты для негауссовского процесса ц (0 с распределением Релея (распределение модуля двумерного вектора с независимыми гауссовскими компонентами):
п (0 =я (0е [0, оо),(1.6.7)
Рл (л) = Рх (л; 2) = цсТ2 ехр (—ц2/2о2),(1.6.8)
а при /г = 3 — для случайного процесса ц (?) с распределением Максвелла (распределение модуля трехмерного вектора с независимыми гауссовскими компонентами):
11 (0 = l^i2 (0 + V (0 + ^з2 (0, 11(0еЮ, оо), (1.6.9)
Ра 01) = Рх (Л5 3) = (2/л)1/2ц2о~3 ехр (—ц2/2о2).(1.6.10)
На рис. 1.4 приведены плотности вероятностей негауссовских случайных процессов (5), (7) и (9). Эти кривые соответствуют Х-распределению со степенями свободы п = 1, 2, 3. В соответствии с центральной предельной теоремой при увеличении числа степеней свободы п, т. е. при увеличении числа слагаемых в определении случайного процесса (2), плотность вероятности ру (ц; ??) по своей форме будет приближаться к нормальной.
Зададим структуру негауссовского стационарного случайного процесса ц (?) выражением
л W = т? W - £12 (0 + ^2 W +. • . + V (0, л (0 е [0, оо),
(1.6.И)
где независимые гауссовские компоненты ^ (2), г = 1, п, обладают теми же свойствами, что и в определении (2). Одномерная плотность вероятности такого процесса описывается формулой [29, 33, 55]
Ра (п) = Рх» 01; и) = ■ 2П/2с„р 2) т^е--^ л G [0, оо) "(1.6.12)
п называется ^-распределением. В соответствии с этим случайный процесс ц (?) = %2 (?) обычно также называется х2-процессом с п степенями свободы.
Общая формула для начальных моментов распределения (12) имеет вид
mk = M{if (0} = п (п + 2) . . . ^п + 2к - 2) (Л (1.6.13)
На основе выражений (11) и (12) как частный случай при п = 1 можно записать одномерную плотность вероятности для квадрата гауссовского процесса
Л = £2
Ра (л) = Ру? (л» 1) = (2ло2ц)~1?2^"'п/2а2,(1.6.14)
fx^>^fx^>^^xz^ п)^xz^ п)Рис. 1.4. Плотность вероятности Рис. 1.5. Плотность вероятности /-процесса при <5 = 1 и п = //-процесса при 5 = 1 и п = 1,2 = 1, 2, 3Рис. 1.4. Плотность вероятности Рис. 1.5. Плотность вероятности /-процесса при <5 = 1 и п = //-процесса при 5 = 1 и п = 1,2 = 1, 2, 3
fx^>^
fx^>^
^xz^ п)
^xz^ п)
Рис. 1.4. Плотность вероятности Рис. 1.5. Плотность вероятности /-процесса при <5 = 1 и п = //-процесса при 5 = 1 и п = 1,2 = 1, 2, 3
Рис. 1.4. Плотность вероятности Рис. 1.5. Плотность вероятности /-процесса при <5 = 1 и п = //-процесса при 5 = 1 и п = 1,2 = 1, 2, 3
а при 72 = 2 — соответствующие результаты для случайного процесса т] (0 с экспоненциальным распределением (квадрат процесса с распределением Релея):
л (О = L3 W + ^3 ^
Рал (л) = Рх2 Ob 2) = X ехр (—Хц), X = 1/2о2 > 0. (1.6.15)
Плотности вероятностей (14) и (15) показаны на рис. 1.5. При увеличении числа степеней свободы п ^-распределение (12), так же как и /-распределение (3), приближается к нормальному. Однако следует отметить, что скорость приближения /2-процесса к гауссовскому значительно меньше, чем соответствующая скорость приближения для /-процесса.
Из общих определений (2) и (11) легко заметить, что рассмотренные модели негауссовских процессов ц (0 относятся к классу моделей, порожденных стационарными гауссовскими процессами L* Wi i = 1, 72. Использование известной функциональной связи между 1-i (t) и ц (/), а также известных свойств гауссовских процессов £ (£) позволяет во многих задачах заметно упростить изучение вероятностных характеристик подобных негауссовских моделей.
Особенности модели «сигнал плюс шум»
В подавляющем большинстве практических задач статистической радиофизики и радиотехники приходится исследовать случайные процессы, которые представляют собой смесь некоторого полезного (или информационного) сигнала и комплекса различных помех. Структура, отдельные параметры, а в более общем случае и физическая природа как сигналов, так и помех могут быть при этом различными и зависят от конкретной решаемой задачи. Вместе с тем если из всей совокупности задач, связанных с обработкой сигналов, выделять одну из наиболее характерных «типовых» задач, то, по-видимому, к ней должна быть отнесена
задача анализа полезного сигнала в присутствии аддитивного флюктуационного гауссовского шума. Учитывая сделанные замечания, рассмотрим некоторые особенности описания сигналов и помех.
При исследовании основных характеристик выбросов в последующих главах наиболее часто для описания сигнала будут использоваться две простейшие модели:
идеализированная модель сигнала в виде простого гармонического колебания
(1.7.1)(1.7.1)$ (О — Ат cos (oV + Фо)? ^ Е По? ^о + ^К
(1.7.1)
(1.7.1)
где Ат1 со0, ф0 — постоянные величины;
Рис. 1.6. Узкополосный случайный процесс £ ^ п сто огибающая А (I)Рис. 1.6. Узкополосный случайный процесс £ ^ п сто огибающая А (I)модель сигнала в виде гауссовского узкополосного случайного процесса
Рис. 1.6. Узкополосный случайный процесс £ ^ п сто огибающая А (I)
Рис. 1.6. Узкополосный случайный процесс £ ^ п сто огибающая А (I)
s = А (0 cos [соо^ + Ф (ОК t^ [/о, Ц + 7],(1.7.2)
где А ^ и ф (0 — некоторые медленно изменяющиеся по сравнению с cos соо^ случайные функции.
Модель (2) является достаточно общей. При определенных
условиях подобной моделью описываются, например, информа
ционные сигналы на входе многих реальных приемных устройств, флюктуационные явления в автогенераторах, амплитудные и фа
зовые искажения при распространении электромагнитных и акустических волн в случайно-неоднородных средах, эффекты рассеяния радиоволн на шероховатых поверхностях. Следует также подчеркнуть, что при соответствующем выборе параметров такая
модель успешно используется не только для представления сигнала, но и для описания узкополосных флюктуационных шумов.
А (0 ЕЕ Ю, сю),А (0 ЕЕ Ю, сю),(1.7.3)(1.7.3)Отдельные реализации узкополосного случайного процесса Н (0 по своей форме подобны гармоническому колебанию, модулированному случайным образом по амплитуде и фазе (рис. 1.6). Поэтому, используя представление узкополосного процесса £ (0 в форме (2)
А (0 ЕЕ Ю, сю),
А (0 ЕЕ Ю, сю),
(1.7.3)
(1.7.3)
£ (0 = A (t) cos [соо^ + ф (ОК ф (0 G [—Л, л],
случайные функции A (t) и ф (0 обычно называют огибающей и фазой процесса £ (0-
Наряду с таким представлением случайный процесс £ (0 может быть выражен через квадратурные компоненты
5 (0 = Ас (0 cos со0£ — As (0 sin g)q^,(1.7.4)
где
Ас (/) = А (0 cos ф (0, As (0 = А (0 sin ф (0-(1.7.5)
Компоненты Ас (f) и А8 (^) связаны с функциями A (t) и ф (^) простыми соотношениями•
А ^ = We2 w + As2 (£)]v\ А (0 > 0,(1.7.6)
Ф (£) = arctg [Л5 (^) / Лс (£)], ср (^) < | л |.(1-7.7)
Скорость изменения огибающей A (t) и фазы ф (£) в основном определяется эффективной шириной спектра А/э = Асоэ/2л процесса £ (^). Поэтому при выполнении условия узкополосности о0 ^> Асоэ представления (3) и (4) дают возможность разделить быстро изменяющиеся функции cos соо£ и sin соо^ и медленно изменяющиеся случайные функции А (^), ф (t), Ао (^), As (г). В отдельных задачах это позволяет упростить исследования процесса £ (^) и сделать более наглядной физическую интерпретацию результатов.
Применительно к гауссовскому случайному процессу £ (^) квадратурные компоненты Лс (£) и As (t) характеризуются совместно нормальным распределением. Если в дополнение к этому процесс £ (£) является стационарным, имеет математическое ожидание т^ = М {£ (£)} = 0 и корреляционную функцию R^ (т) вида (1.2.14), то функции Ас (t) и As (^) относятся к классу стационарных и стационарно связанных случайных процессов. Их математические ожидания равны нулю:
М{Лс(^)} = М{Лз(0} = 0,(1.7.8)
а корреляционные и взаимные корреляционные функции определяются формулами
Re W = М {Лс (0 А с (Z + т)} = Rs (т) = М {A s (0 As (t + т)} =
= СГ?2Рс CO,
Res (т) = м Mc (0 As (< + t)} = — Rsc (t) =
= — M Ms (0 Ac (t + 0} = or^Ps (t).(1.7.9)
С учетом выражений (1.2.15) из формул (9) видно, что значения квадратурных компонент Лс (^) и As (t) в совпадающие моменты времени всегда не коррелированы, а, следовательно, для гауссовского стационарного процесса ^ (0 статистически независимы. Дисперсии компонент Лс (i) и As (t) одинаковы и равны дисперсии рассматриваемого процесса
а.» = Дс (0) = М {ЛсЧ0} = »62,
о» = Rs (0) = М (Лз2 (0} = а62.
Среди узкополосных случайных процессов несколько особое место занимают процессы | (^), имеющие симметричную относительно частоты соо спектральную плотность S (со), со е [0, оо). Такие процессы часто называются квазигармоническими. Корреляционная функция (1.2.14) для них принимает вид
^^ (т) = а^2 г (т) = ^2Р (т) cos соот,(1.7.11)
так как в подобных случаях выполняются равенства ps (т) = 0 и у (т) = 0. Для гауссовского квазигармонического процесса § (Z) совместно гауссовские случайные процессы Лс (Z) и As (Z) в соответствии с формулами (9) и (И) обладают свойством некоррелированности
Rcs (т) = —Rsc (т) = a^ps (т) = 0(1.7.12)
и, следовательно, являются статистически независимыми не только в совпадающие, но и в разные (т =0= 0) моменты времени.
Для значений Ас = Ас (t) и As = As (t) с учетом равенства = М {£ (Z)} = 0 и формул (8), (10), (12) легко может быть записана совместная плотность вероятности
р (4С, 4 J = рс Ш рх (4J = (2™^"* exp (- (4С2 + А^Г^У
(1.7.13)
Если в этой формуле перейти к новым переменным А = A (t) и Ф — Ф (Z) согласно равенствам (5) Ас = A cos ф, As = A sin ф и учесть якобиан преобразования д (Лс, As^ld (Л, ф) = Л, то получим простое выражение для совместной плотности вероятности огибающей Л (Z) и фазы ф (Z) гауссовского квазигармонического процесса £ (Z):
р(4(<), ф (<)) = ? (4, ф) = -^- ^-ехр(—42/2о62).(1.7.14)
Плотность вероятности р (Л, ф) распадается в данном случае на два сомножителя
р (4, ф) = рА (А) рч (ф),(1.7.15)
где
рф(ф) = ^р(4, ф)а’4 = ^, |ф|<л,(1.7.16)
О
Pa^A)= р (4, ф) Др = Ао^2 ехр (—А2/2а-^)(1.7.17)
. —л
и показывает, что, подобно квадратурным компонентам Лс (Z) и Л з (Z), случайные функции Л (Z) и ф (Z) гауссовского стационарного квазигармонического процесса £ (Z) обладают свойством статистической независимости. Фаза ф (Z) имеет при этом равномерное распределение (16) в интервале ф (Z) ЕЕ [—л, л], а огибающая A (Z) характеризуется плотностью вероятности Релея.
Если перейти к рассмотрению суммы сигнала и шума и выбрать в качестве сигнала s (Z) гармоническое колебание (1), а в качестве шума £ (Z) узкополосный гауссовский процесс (3) с математическим ожиданием т^ = 0 и корреляционной функцией R^ (т) вида (И), то по аналогии с моделями (3) и (4) случайный процесс ц (/) = $(Z) + £ (Z) может быть представлен в следующем
виде [77J:
Л (*) = 5 W + £ W = Ат cos [cd0Z + ф0] + Ас (t) cos со0^ —
— As (£) sin соо£ = V (^) cos [cooZ + гр (£)],(1.7.18)
где
V (^) cos гр (^) = Ат + Ас {ty V <t^ sin гр (£) = As (?) (1.7.19) и? следовательно,
’ 7 (?) = (Um + Ас ^Р + As^ (t^^ V ^ > 0,(1.7.20)
гр ^ - arctg IAS (?) / (Ат + А. (?))], | гр (?) |< л. (1.7.21)
Графически выражение (18) представлено на рис. 1.7.
В отсутствие гармонического колебания (Лт = 0) определения огибающей (20) и фазы (21) переходят в соответствующие определения (6), (7) для узкополосного процесса £ ^Y
Огибающая 7 ^ и случайная фаза гр (?) суммы гармонического колебания и узкополосного гауссовского шума (18) характеризуются одномерными плотностями вероятности вида
pv (р) = 12 exp (—(а2 + i;2)/2) /0 (аиу и = а|-17, и ЕЕ [0, оо),
(1.7.22)
р^ (Ф) = (2л)-1^“а2/2 {1 + "р^Зл a cos (гр — ф0) Ф \а cos (гр —
—Фо)1 exp Р/2 a? cos2 (гр — ф0)]}, ф G [—л, л].(1.7.23)
Здесь а = Ат!о^ — отношение сигнал-шум; 10 (ж) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента; интеграл вероятности
Ф (ж) = (2n)-V2 J е-^йх.(1.7.24)
Плотность вероятности огибающей (22) соответствует обобщенному закону Релея или распределению Райса. Функции ру (и) для нескольких значений а = AmG^-1 приведены на рис. 1.8. Для этих значений параметра а на рис. 1.9 представлены плотности вероятности фазы (23). При отсутствии гармонического колебания (Ат = 0, а = 0) функции pv (и) и р^ (гр) переходят в соответствующие функции (16), (17) для плотностей вероятности рА (Л), И р(р (ф).
Использование моделей (3) и (18), а также результатов (9), (12) и (13) позволяет сравнительно просто находить различные совместные распределения для значений огибающей, фазы и их производных. Применительно к сумме (18) гармонического сигнала 5 (?) и узкополосного гауссовского процесса £ (?) с корреляционной функцией (11) получим общее выражение совместной плотности вероятности р (7, 7', 7", гр, гр', гр") для значений огибающей 7 = 7 (ty фазы гр = гр (?) и их первых двух производных 7' = V' (ty 7" = V" (ty гр' = гр' (ty гр" = гр" (^) в совпадающие моменты времени. Для простоты записей будем считать началь-
Рис. 1.7. Геометрическое представление суммы гармонического сигнала и узкополосного шума
Рис. 1.8. Плотность вероятности огибающей
Рис. 1.9. Плотность вероятности случайной фазыРис. 1.9. Плотность вероятности случайной фазыную фазу ф0 сигнала s (/) равной нулю (ф0 = 0). Это предположение не ограничивает общности, так как при известной начальной фазе Фо¥= 0 можно считать, что случайная фаза ф (^) отсчитывается от значения ф0 == 0.
Рис. 1.9. Плотность вероятности случайной фазы
Рис. 1.9. Плотность вероятности случайной фазы
Воспользуемся для решения поставленной задачи свойством гауссовости случайных процессов Лс (^) и Л8 (£), определенных формулами (5), и запишем предварительно совместную плотность вероятности для шести гауссовских случайных величин:
■ ^i ~ Ас (^), х^ = Ас (/), х3 = Ас (£),
• х4 = As (t), x5 = As'(t), x9 = As"(t).
(1.7.25)(1.7.25)Учитывая, что для процесса £ (^) корреляционная функция Н^ (т) задана выражением (И), в соответствии с формулами (10) и (1.4.13) дисперсии этих величин соответственно равны
(1.7.25)
(1.7.25)
10г0000
010000
, го 0 1 0 0 0,
00010Го =(!—го2;2 =
000010
000г001
" Ро4) — Р""1'
’,(1.7.26)
L fo_
012^ = а^ оъ = О52 = — сг^ро^
о32 = а62 = о^2р0(4),
а определитель матрицы, составленной из нормированных корреляционных функций, имеет в данном случае вид
и ^2Р (т) )G) ^4р (т) 1 И 7
Воспользовавшись общим выражением многомерной нормальной плотности вероятности (1.5.2), применительно к рассматриваемой задаче получим
р (zi, ^2, • • •, z6) = (2ло52)'3 [(— Ро") (Ро° — Ро"3)]'1 X
X exp {(2as2poT1 (Ро° - ро"2)'1 [- ро"р^4) (z? +М +
+ (Ро4) — Ро"2) (z22 + Хз3) — ро" (z32 + Ze2) + 2po"3(ziZ3 + z4a;6)]}.
(1.7.28) Перейдем теперь в этой формуле от переменных ж17 . . ., я6 к новым переменным У, У', У", ф, ф', ф" с помощью соотношений, следующих из выражений (19):
^ = У cos ф — Лт, ^2 = V' sin ф + ф'У cos ф, х3 = У" cos ф — 2ф'У' sin ф — ф" У sin ф — ф'2 У cos ф, х^ = У sin ф, хъ = У' cos ф — ф'У sin ф, х6 = У" sin ф + 2ф'У' cos ф + ф"У cos ф — ф'2У sin ф.
Если предварительно выразить отдельные слагаемые, входящие в выражение (28), через новые переменные
^12 + ^42 = Ат2 + У2 — 2AmV cos ф,
z23 + z63 = V'2 + ф'2У3,
ж32 + Жб2 = 7’2 _ 2Tp'W" + N,3y'2 + ф'4Г3 + 4ф'ф W' + + <3^2,
xTx3 4- ж4ж6 = УУ" — У2ф'2 — Ат (У" cos ф — 2ф'У' sin ф '— — ф"У sin ф — ф'2 У cos ф),
то с учетом якобиана преобразования
5 ^Хх1 Х^ч ЗС^^ а?4, .^5, Ж(>^ prg
д (У, У', У", ф, ф'ТфТ
после выполнения по известным правилам [77] перехода к новым переменным получим окончательное выражение для совместной плотности вероятности
р (у, и’, и", ф, ф', ф") = У3 (2л)'3 [— ро" (Ро° — ро"2]'1 X
X ехр {(2р0")-1 (ро4) — ро"2)'1 [— Ро"Ро4) («2 + у2 — ^аи соэф) +
+ (Ро4-Ро"2) (у'2+ ^ф'2)— ро" (у"2- 2рУ\1>'2+ 4г/2ф'2+4У1/ф'ф"+
+ У2Ф"2 + у3ф'4) — 2аро"2 (у" cos ф — 2у'ф' sin ф — пф" sin ф —
+ г;ф'2 cos ф) + 2ро"2 (уу" — ^2ф'")]},(1.7.29)
где а = у^сг^'1, и = УсгХ1.
Входящие в формулу (29) величины (—р0") и (р0<4) — р0") являются положительными, что непосредственно следует, например, из соотношений (25):
- р0" = с^2М М/ (0) = of М {Л / (0) > 0,
р<4) = (Jf М {Лс"2 W = а<М U^ (t)} > о.
Выражение (29) при а = 0 позволяет записать соответствующую плотность вероятности для модели (3) одного гауссовского квазигармонического процесса:
Р (Z, Z, Z, ф, ф', ф") = г3 (2л)-з [(_ ро") (рЮ _ p/jp! х
X ехр {(2р0"Г (р^0- Ро'Т1 [- po'^^z2-F(р<4)—ро"2) (г'Ч^Р'2) - — ро" (z"2 — 2zfcp/2 -J- 4з/ф'2 4- 4зг'ф'ф" + г2ф"2 + з2ф'4) + + 2p0"2(zz" -z2cp'2)]},(1.7.30)
где z = af1^ (^).
Из общих формул (29) и (30) на основании свойства согласованности плотностей вероятностей интегрированием по «лишним» переменным могут быть получены более простые частные результаты. Так, например, воспользовавшись выражением (29) и выполнив интегрирование по переменным ф" и у", получим
р (V. V, ф, ф') = ^ ^ р (и, и\ и", ф, ф', ф") du" d^f =
= 4^(^Т ехр ( ~ 2(=^) [- Р°"- 2m C0S ^ +
+ i/2 + 1?2ф'2]^ .(1.7.31)
В другом практически важном частном случае из формулы (31) может быть найдена совместная плотность вероятности р (и (£), i/ W) = Р (У ^) Для значений огибающей v (^) = о^_1У (^) и значений ее производной и' (£) = du (t)/dt в совпадающие моменты времени:
p^uiV^= j ^Ф j Р(^> Ф> Ф')^'=
— у(— 2лро")-’/= ехр (з/^оЧ") -^0(аР)>(1-7.32)
V ^ [0, сю), V ^ (— сю, do).
Формула (32) показывает, что для огибающей У (^) суммы гармонического сигнала и квазигармонического гауссовского шума (18) выполняется условие (1.4.21) и, следовательно, огибающая V (£) относится к классу случайных процессов со статистически независимой производной в совпадающие моменты времени. Важно также подчеркнуть, что, хотя сама огибающая V (t) характе-
ризуется пегауссовским распределением (22), ее производная V'^ = ^Е ^fdt имеет нормальную одномерную плотность вероятности с параметрами mV' = MfY'^)} = 0 и сц-2 = М {V'2 (0} = = — ^Ро"-
При исследовании гауссовского квазигармонического случайного процесса £ (£) на основании свойства (12) и формулы (1.5.14) сравнительно легко можно получить совместную плотность вероятности огибающей, фазы и их первых двух производных в два различных момента времени.
Применительно к гауссовскому стационарному процессу As (Z)r имеющему в соответствии с определениями (5), (9) и (11) корреляционную функцию
Rs (т) = Rc (т) = пХр (т),(1.7.33)
совместная плотность вероятности (1.5.14) для случайных величин As = As (t), А ,т = As (/ + т), As' = As (0, А^ = Л / (#4- т) принимает вид’
р2 (Л„ Л8Т, А/, Азг) = (Злсгот)”21 г j-1^ ехр {— (2 | г |)-1 х
X [^- (Л? + Л8Т2) -ь -^ (Л/2 4- А^) + ^ Л5Л. + ^^А’Азх' 4- ^ASA'- Л,5ТЛ8Т') 4-^ (Л$ЛЯ- Л/Л8Т)"П.
(1.7.34) В этой формуле
«И = 1 — Pl2 — РЛ «12 = Р?Р2 — р (1 — р22),
«13 = Р1 (?2 — Р1),
«14 = Pl (РР2 + Pl" — 1),«33 = 1 — р2 — рД
«34 = РР12 — Р2 (1 — Р2),
I г | = (а3з2 — «342) / (1 — Р2). Р = Р W, ^i2 = <^а2Ро",
Р1 = Pl W = (-ро")"'А№ W^V р2 = р2 (т) =
= (ро'Г1 № W^2)-(1.7.35)
Для случайного гауссовского процесса Ас (t) будет справедлива аналогичная формула; она получается из (34) заменой индекса s па с.
В соответствии с условием (12) совместно гауссовские процессы As (^) и Ас (t2) обладают свойством статистической независимости и, следовательно, для них можно записать
Р2 (Л6., jIst, As , Ast > Ас, У1ст, Ас , Аст ) =
= р-2 (AS) AsTi As , Asr ) pc (^CJ ^IcT) Ac , Лег )•(1.7.36)
Если теперь в этом выражении выполнить переход от переменных "4s (О, Л/ (^), Ас (0, Acf (t), согласно равенствам (5), к новым переменным А (^), Ar {t), ср (^), ср' (/), то с учетом якобиана пре-
образования
8 (Л AA' A' А , А А ' А’)
t ST 6 ST с’ СТ’ с ’ СТ 7 J 2 л 2
6 (Л, Ат^ А', 4/,Ф, <рт,<р',<р/)— ллг
после несложных алгебраических вычислений получим окончательный результат:
р2 (Л, Лт, Л', Л/, ср, срх, ср', срт') =
= Л2ЛТ2 (2лсге<Т1)"41 г I"1 ехр ^— (2 | г I)'1 -^- (Л2 + Л t2) +
+ -5- (Л'2 + Л/+ AV + Лт2срг'2) + ^- (АЛ' - A.AV) +
+ ЛЛтсоз 6+(Л'Л/ cos 6 + ЛЛтф'ф/ cos 0 4-
(Л Л/ — Л'ЛТ) cos в —(Л Л/ — Л'ЛТ) cos в —(1.7.37)(1.7.37)51-
(Л Л/ — Л'ЛТ) cos в —
(Л Л/ — Л'ЛТ) cos в —
(1.7.37)
(1.7.37)
ЛЛ/ср' sin 0 — Л'Лтсрт' sin 0) + —— — ^^- ЛЛт (ср' + срт') sin ©JI,
где 0 = 0 (£) = ср (£ + т) — ср (£) = фт — ср.
Воспользовавшись известным свойством согласованности плотностей вероятностей, из общей формулы (37) интегрированием по «лишним» переменным могут быть получены необходимые при решении отдельных задач частные результаты.
2
ХАРАК ТЕРИСТИКИПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЕЙ
Особенности поведения траекторий VWi t Ez [^0» ^о + Т\ непрерывных дифференцируемых случайных процессов g Д во многих практических задачах удобно описывать числовыми характеристиками. Одной пз наиболее простых характеристик такого типа является величина п^ (Н, Т), равная числу моментов времени ttl в которые траектория процесса g W на интервале Ио, t0 -И Т\ пересекает некоторый заданный уровень Н или заданную функцию Н W- Число пересечений m Д, Т) является случайной величиной, которая в общем случае зависит от выбранного уровня Я, длительности рассматриваемого временного интервала Т и определяется вероятностными свойствами процесса g Д.
При исследовании числа пересечений п^ Д, Т) обычно возникают три основные задачи: нахождение среднего числа пересечений М V1^ Д, Т)^ определение дисперсии D Vn^ Д, Т7)! числа пересечений и нахождение закона распределения случайной величины п^ Д, Т). В данной главе для различных моделей случайных процессов g W рассматриваются особенности и результаты решения подобных задач.
Среднее число пересечений
Траектория (выборочная функция или реализация) вещественного случайного процесса g Д обладающего свойствами непрерывности (1.3.2) и дифференцируемости (1.3.4), пересекает фиксированный уровень Я в некоторой произвольной точке t = t^ если в окрестности этой точки [^ —- А^/2, tt + А^/2] при А^ > О выполняется условие
lg W - At/2) - Я][g W + А^/2) — Я] < 0.(2.1.1)
Очевидно, что пересечение уровня Я (рис. 2.1) может происходить снизу вверх, т. е. с положительной производной
Ш =Г(Ы>0,(2.1.2)
пли сверху вниз, т. е. с отрицательной производной
g Д = Я, g' (^)<0.(2.1.3)
При значениях g' Д > 0 условие (1) эквивалентно условиям £ (0 ^ Я в интервале (^ — ^t!2, ti) и g (2) > Я в интервале
Ui* tt + Az/2). Пересечение называется в этом случае выходом траектории £ (Z) за уровень Н или положительным выбросом (положительным пересечением). В противоположном случае, при ^ (^) <С 0, условие (1) эквивалентно выполнению условий £ (Z) > II в интервале t G (h — Az/2, t^ и £ (t) < II при Z е (Z,, Zf + Az/2). Пересечение в таких случаях принято называть входом траектории £ (Z) под уровень II или отрицательным выбросом (пересечением).
Формулировка условий пересечения траекторией £ (Z) уровня Н в различных задачах может осуществляться по-разному [34, 75]. Однако при выполнении указанных свойств (1.3.2) и (1.3.4), различные определения, по существу, приводят к одинаковым конечным результатам.
Рис. 2.1. Пересечение траекторией процесса £ (О фиксированного уровня Н с положительной и отрицательной производнымиРис. 2.1. Пересечение траекторией процесса £ (О фиксированного уровня Н с положительной и отрицательной производными
Рис. 2.1. Пересечение траекторией процесса £ (О фиксированного уровня Н с положительной и отрицательной производными
Рис. 2.1. Пересечение траекторией процесса £ (О фиксированного уровня Н с положительной и отрицательной производными
Получим общую формулу для среднего числа пересечений вещественным случайным процессом £ (Z) фиксированного уровня Н в интервале [Zo, 10 + 71 = [0, 7]. Будем при этом считать, что, помимо выполнения условий непрерывности (1.3.2) и дифференцируемости (1.3.4), известна совместная плотность вероятности р (£ (Z), £' (Z)) = р (£, £'; f) для значений рассматриваемого процесса £ (Z) и значений его производной V (Z) в совпадающие моменты времени t, принадлежащие интервалу [0, 7].
Обозначим какую-либо конкретную реализацию £ (Z), tE [О, 7] процесса £ (Z) через £(г) (t). Разобьем полный интервал времени [0, 7] на v равных примыкающих, но непересекающихся малых подынтервалов AZ; = AZ = const, причем vAz = 7. Возьмем длину элементарного подынтервала AZ настолько малой, чтобы можно было пренебречь вероятностью более чем одного пересечения на этом подынтервале. Для «непрерывной» функции £ (Z) это условие можно выполнить, так как для любых Z и Z', находящихся на одном малом подынтервале, функция близка к прямой
т~ Е(0 + Е'№(2.1.4)
Поэтому на малом AZ практически может быть не более одного пересечения, т. е. имеется лишь две возможности: на интервале AZ не будет выброса (с вероятностью р0) или же будет один выброс (с вероятностью А = 1 — р0)-
Поставим каждой реализации £(l) (Z) в соответствие v случайных величин 61(г), б2(г), . . ,,6/г), . . ., 6Vl), определенных следую-
щцм образом. Случайная величина 6/1) может принимать лишь два -качения 0 и 1, причем 6/г) = 1, если в ;-м подынтервале реализация ^ М пересекает уровень Н снизу вверх, и 6/1) = О — в про- грквном случае.
Очевидно, что число положительных выбросов реализации £(О (г) на интервале [О, ТА определяется суммой
nW(H,n= 2 ^-(2.1.5)
Случайную величину /г(,) (Н, Т) можно назвать счетчиком числа выбросов. Математическое ожидание (среднее значение) числа
Рис. 2.2. Условия наличия положительного выброса на интервале Д/, при Е' = = const > 0 'Рис. 2.2. Условия наличия положительного выброса на интервале Д/, при Е' = = const > 0 'положительных выбросов равно
Рис. 2.2. Условия наличия положительного выброса на интервале Д/, при Е' = = const > 0 '
Рис. 2.2. Условия наличия положительного выброса на интервале Д/, при Е' = = const > 0 '
N+(H, Т) = М{п^(Н, 7)} =
= 2М{6<0},(2.1.6)
j=l
где операция математического оксидация относится к ансамблю выборочных функций ^г) (£), IE [О, ТА с разными номерами I.
В соответствии с определением случайной величины 6/° ее математическое ожидание на фиксированном подынтервале ktj
М <>} = 0. Р {6^ = 0} + 1 • Р {6^ = 1} = Р (6f > = 1} = Р1
(2.1.7)
и, следовательно, полностью определяется вероятностью рх наличия положительного выброса на этом подынтервале А^. В свою очередь, положительный выброс может происходить лишь при выполнении условий (1) и (2). Эти условия могут выполняться при различных значениях производной Е' (^), т. е. функция ? (^) может пересекать заданный уровень Н с различной скоростью ^ (£)> 0 (или под различным углом наклона).
Если предположить, что точка t = tj соответствует началу элементарного подынтервала А^- и производная ^ (tj) в этой точке фиксирована, то, воспользовавшись линейной аппроксимацией (4), посредством геометрического построения (рис. 2.2) нетрудно убедиться, что в этом случае на подынтервале А^- будут иметь положительный выброс только те реализации процесса £ (£), которые удовлетворяют условию
Н - А^ < £ ^ < Н, ^j = г ^^.
Поэтому для рх можем написать.
(2.1.8)(2.1.8)Pi = р {я - Д^ < £ ^ < Я, £' ^ > 0}.
(2.1.8)
(2.1.8)
Имея в виду последующий предельный переход и полагая Mj и АЕ7 малыми величинами, вероятность события, указанного в фигурных скобках, достаточно просто выражается через совместную плотность вероятности р (£ (^), V (£)) для значений процесса £ (/) и его производной ^ (^) в один и тот же момент времени. Согласно определению плотности вероятности имеем
р {Я - а^. < ^ (^) < я, g' < g' ^) < g' + a^ =
= р(Я, ^;^)A^^'.
Для нахождения вероятности рг нужно в правую часть этого равенства подставить значение А£7- = Е' Mj и в соответствии с выражением (8) выполнить интегрирование по всем возможным значениям производной £' (£)> 0 до оо:
р^мД^рДЛ';!^^'.(2.1.9)
О
Подставив теперь это выражение в формулу (6) и выполнив затем предельный переход при А^ -> аг, v -^ оо, получим окончательную формулу для среднего числа положительных выбросов
Т оо
я+(я,т) = ^ at ^хнл'^^^.(2.1.10)
о о
Для среднего числа отрицательных выбросов таким же путем получим формулу
т о
я~(я, Т) = —$ аг $ MU’M-(2.1.11)
Очевидно, что среднее число всех пересечений случайным процессом £ (^) уровня Я на интервале времени [0, Т7]
Т оо
N Д, Т) = 7V+ (Я, Т) + N" Д, Т) — ^ dt ^ | Г | р Д, £'; t) d£.
° -О°(2.1.12)
Формулы (10)—(12) первоначально были получены Райсом [140] и рассматривались во многих последующих работах.
Во избежание ошибок целесообразно еще раз подчеркнуть, что в качестве подынтегрального выражения в формулы (10)—(12) входит совместная плотность вероятности р (Е,^'; г) = р (£ (г), £' (0) для значений процесса £ (^) и значений его производной £' (/) = d^ (г) I аг ъ один и тот же момент времени г, принадлежащий интервалу [0, Т7], причем в этой совместной плотности вероятности нужно положить £ (^) = Н.
Результаты (10)—(12) могут быть записаны и несколько в иной форме. Так, например, если учесть, что совместную плотность вероятности всегда можно представить в виде
pa, Г; ^ = Р.а; t)Pa’; t),(2.1.13)
то формулы (10) и (12) примут соответственно вид тОО
N+(H,T) = ^ Pi(H;t)dt^ ^p^';t\H;t)dl',(2.1.14),
оо
ТОО
N(H, 7) = ^ p^H^dt $ Ц'|р(£'и|Я;гЖ.(2.1.15)
о—ОО
J*J*В отдельных задачах такое представление может оказаться более удобным, чем аналогичные выражения (10) и (12).
J*
J*
Рис. 2.3. Пересечения траектории дифференцируемого случайного процесса ^ (/) с заданной непрерывной функцией а (0
Приведенные результаты (10)—(12) относятся к случаю, когда уровень Н является фиксированным. Предположим (рис. 2.3), что требуется вычислить среднее число пересечений траектории случайного процесса £ (^) с заданной непрерывной однозначной функцией а (^) на некотором интервале времени [Zo, t0 + ТА.
Для решения подобной задачи введем случайную функцию
n(o = ?ww.(2.1.16)
Очевидно, что пересечения рассматриваемого процесса £ (/) с заданной кривой а (^) совпадают с нулями функции ц (/), причем в моменты положительных пересечений случайной функцией Л (0 нулевого уровня выполняются условия ц (/) = 0, ц' (£)> 0.
Обозначим математическое ожидание числа таких «положительных» нулей на интервале Ио, t0 + ТА через N^ Uo> Т^ а «отрицательных» — через Na" (£0> Т). На рис. 2.3 они обозначены соответственно светлыми и темными кружочками.
Если теперь перейти в плотности вероятности р (£ (/), ^ (£)) по известным правилам к новым переменным
nW = £ W-a W, n' (0 = Г (0 -а (О,
то можно найти совместную плотность вероятности для значений 1) (О и 1]' (0:
Р (п, л'; 0 = Р (Л (0 + а W, Т)' (/) + а' (Q).
Применив после этого формулы (10)—(12) к случайной функции Л (0, получим окончательные результаты:
^о+Т ОО
AVW, Г) = ^ dt § -q' (0 Р (« (0, а' W + *1' (0) ^',(2.1.17)
t» о
t.+T о
^""(/0,7) = — ^ dt ^ ^l'(t) p(a(t),a'(t) + f\'{t))df\',(2.1.18)
td — oo
Na (^o, Г) = N^ (I*, T) + N" (Zo, T) =
= S dt $ bl^OlP^^): «'(0 + Ч'ЮЫп'-(2.1.19)
Формулы (17) и (18) позволяют, в частности, решить следующую задачу. Пусть на интервале времени Ио, tQ + Т\ заданы две непрерывные однозначные функции a (t) и b (t), удовлетворяющие неравенству a (t) < b (t). Требуется определить среднее число выходов траектории случайного процесса £ (2) на интервале Ио, ^о + ^1 из границ a (t) < £ (^) < b (t). Воспользовавшись здесь результатами (17) и (18), для интересующей нас величины можем записать
t0-VT ОО
Nab^T) = Nb4tOlT) + Na-(t^T)= $ dt^mpMt^b'm
+ Л' W) + Р (а (0, «' (0 — л' (0)1 ЙЛ'-(2.1.20)
Остановимся кратко на рассмотрении класса строго стационарных случайных процессов £ (^) и конкретизируем общие формулы (10)—(12) для этого случая.
Применительно к строго стационарным процессам £ (^) внутренний интеграл в выражениях (10) — (12) не зависит от времени, так как
pO^ = p(W = P^P(m(2.1.21)
С учетом этого, разделив правые и левые части равенств (10) — (12) на Т, получим простые формулы для среднего числа соответствующих пересечений фиксированного уровня Н траекторией стационарного процесса 5 (£) в единицу времени:
N? (Я) = N+ (Н, Т)/Т = [ ^'р (Я, ^) d^ = р, (Я) $ g> ^ | Я) dc\ оо
-(2.1.22)
ЯГ(Я) = Я-(Я,71)/Г = - $ ^(Я,^)^ = о
= -р^Щ J ^'р^\Щ^',(2.1.23)
(Я) = Я (Я, ЩТ = $ | | р (Я, ^ d^' =
= р£(Я) $ |^|р(^'|Я)^'..(2.1.24)
Если рассматриваемый случайный процесс ^ (Р) относится к классу строго стационарных процессов со статистически независимой производной (в совпадающие моменты времени), то, соглас-
но условию (1.4.21),
Р ^ Г) = Р$ © Р I ^ = РХ ® РУ (%) (2.1.25) й формулы (22)—(24) приобретают наиболее простой вид. В частности,
N? (Я) = р^ (Н) $ ^pv (Г) dr, (2.1.26)
О
N^H^p^H) ^ \^\p^W- (2.1.27)
Из выражений (26), (27) видно, что для всего класса таких процессов среднее число положительных выбросов N^ (Я) и среднее число пересечений NT (Я) уровня Я с точностью до некоторого постоянного множителя пропорциональны значению одномерной плотности вероятности р^ (Я) рассматриваемого процесса £ (Z) на этом уровне. При исследованиях стационарных процессов £ (7) со статистически независимой производной этот результат можно, например, использовать для экспериментального определения одномерных плотностей вероятностей р^ (£) путем регистрации числа выбросов N^ (Я) или числа пересечений N\ (Я) на разных уровнях Я.
Если, кроме того, учесть, что производная ^ ^ стационарного процесса £ (Z) имеет математическое ожидание М {^' (£)} = 0, а функция pv (£') обладает свойством четности р^ (£') = р^ (—£'), то легко заметить, что входящий в формулы (26), (27), постоянный множитель равен
f |Г|р£-(Г)^' = 2$ГРб'(^)^, = М{|Г|}, (2.1.28) —ОО о
т. е. является простой числовой характеристикой (абсолютным центральным моментом первого порядка) плотности вероятности PV (£') производной ^ (^).
При выводе основных формул для среднего числа пересечений во всех случаях предполагалось, что рассматриваемые процессы £ (Z) обладают свойствами непрерывности (1.3.1) и дифференцируемости (1.3.3). Невыполнение условий (1.3.2) и (1.3.4) и (в частности, равенство —Н^ (0) = oV^2 — 00) приводит к нерегулярному поведению траекторий J (/), t ЕЕ [0, Z], Т << оо, и соответственно к среднему числу пересечений N- (Н, Т) = оо,
Кроме этой особенности, важно отметить еще одно характерное свойство выборочных функций — отсутствие касаний уровня. При достаточно общих предположениях [10,34] относительно структуры рассматриваемых процессов £ (Z) с — Я^" (0) = 0^2 <
оо вероятность Р {g (Z) = Я, S' (Q = 0} одновременного выполнения условий ^ (^) = Я и £' (0 = 0 для произвольного момента времени t из интервала [0, 1] равна нулю. Это свидетель-
ствует о том, что траектория Е (^), t ЕЕ [0, 71] может иметь на заданном интервале [0, 71] лишь пересечения уровня Н и имеет нулевую вероятность касания уровня.
Число пересечений уровня гауссовскими процессами
Пользуясь общими формулами разд. 2.1, рассмотрим некоторые особенности нахождения среднего числа пересечений заданного горизонтального и криволинейного уровней применительно к дифференцируемым гауссовским стационарным и нестационарным процессам.
Вычислим среднее число пересечений фиксированного уровня Н гауссовским нестационарным случайным процессом £ (Q на интервале времени [О, ТА. Согласно формуле (2.1.12), полное среднее число пересечений равно сумме чисел пересечений с положительным и отрицательным наклонами. Для нахождения последних нужно в формулы (2.1.10) и (2.1.11) подставить совместную нормальную плотность вероятности (1.5.7) и выполнить интегрирование.
Вычислив внутренние интегралы, можем написать
(Н, Т) = $ J*ф, t)dt,N~(H,T) = ^ J~(H,t)dl, (2.2.1)
оо
где
X {exp [ - А М2 ^] + ^ М (() Ф (М (г))} ■=
x{i^(-4;4; - 4Л/М ^z^(2-2-2)
r № о- ri= ™ “0 {- XT [} X
X {exp [ - 4" M2 (о] - f 2л M (Z) Ф (— M (Z))} =
(A(1 VH — ttuU\ -i2x
~ 2no5(/)L1 ri WJ eXpX 2[s6(Z) Jjx
x [л (- 4-; 4; - 4- «■ (О) - ]/4 м (l)} .(2.2.3)
Здесь
M W = [1 - r? (Z)]-‘/2 Г^1 + H- m^l ri (<)] ;(2.2.4)
Ф (ж) — табулированный интеграл вероятности (П-1); уР^ол Р; ± ^) — вырожденная гипергеометрическая функция (П-5).
Подстановка выражений (2) и (3) в формулу (1) дает ответ на поставленную задачу. Возможность последующего интегрирования по переменной t будет при этом определяться конкретным видом зависимостей отдельных параметров от времени.
В более общем случае может рассматриваться задача вычисления среднего числа пересечений дифференцируемого гауссовского процесса £ (2) с заданной непрерывной однозначной функцией а (£) на интервале времени Ио, /0 + 7]. Для решения такой задачи нужно в соотношениях (2)—(4) положить Н = 0 и перейти от гауссовского процесса £ (2) к другому гауссовскому процессу — ц (/) = ^ ^ — a ^t\ В соответствии с формулами (1.5.8) такой переход эквивалентен замене в выражениях (2)—(4) тг ^ на mt (£) — а (^) и т^ (^) на тх (^) — а (^).
Если конкретизировать результаты решения, например, для гауссовского стационарного процесса £ (^), то в соответствии с формулами (1.5.8) получим
тщ (г) = 0, п (О = О, О!2 (О = а? = - о^ (0), (2.2.5)
а, следовательно, для функции (4) справедливо равенство
М^ = -а'Ж-^'№1к
п окончательный результат запишется в виде
^dt, Na-(t0,T)= $ J^dt, (2.2.6)
где
1
2л
I а W
Л ГХР 2s AV' (
(1 г а (0 — пч I2)
!ХР|—— [^—-J ] X
1/^231 аа (£)
1 Г1 Г а W Т22-1/-Г6-(0)ехр[-4[-Ц—
Т ’ 2oe*Y (0) ) — “ V
л
(2.2.7)
J“ ^="йг ^-^" (°) ехр {—4" [
4 Р(4 г а — т
2^" У —‘rf (°) еХР (2“ I S
Х^Ц "2" ; "Г ’ 2б^' (0) У ' а W
(2.2.8)
Последующее интегрирование выражений (6) по переменной t будет определяться здесь конкретным видом функции a (t).
Вычисления среднего числа пересечений, как правило, существенно упрощается, если рассматриваемый гауссовский процесс | (/) является стационарным. Так, в частности, полученные выражения (2) и (3) в подобном случае с учетом условий (5) и равенства М (t) = О, приводит к результату
Г (Н) = Г (Я) = (2л)"1 /-гГ(°) exp {- (Я - т^12о^.
Подставив это выражение в формулы (1), находим средние значения числа положительных и числа отрицательных пересечений уровня Н гауссовским стационарным процессом £ (/) в единицу времени:
яг (Я) = ЯГ (Я)=]/^7Г(0) ехр { - 4 (.
V\ S>
(2.2.9)
Очевидно, что среднее значение полного числа пересечений заданного уровня Н гауссовским стационарным процессом £ (/) в единицу времени
я! (я)=а^' (°) ехр f- 4 (-^г^УI •(2-2-10)
Конечно, для гауссовского стационарного процесса 5 (0 результаты (9), (10) могут быть получены и более прямым путем- Для этого необходимо совместную плотность вероятности (1.5.11) подставить в формулы (2.1.22) — (2.1.24) и выполнить интегрирование.
Воспользуемся теперь формулой (9) и получим явные выражения для среднего числа положительных пересечений фиксированного уровня Я гауссовскими стационарными случайными процессами 6 (0 с некоторыми характерными корреляционными функциями R^ (т) = а^2 г (т). Математическое ожидание процесса £ (0 будем при этом считать равным нулю.
Формула (9) с учетом соотношений (1.2.11) и равенства mi = = М {£(£)} = 0 может быть представлена в нескольких различных, но формально равноценных вариантах:
Ni (Я) _ 2^ R^ (0) J ехр 2Д, ((J) J
= expj-^^^cp^exp^-^J. (2.2.11)
Если исследуемый гауссовский процесс 5 (0 является широкополосным и его корреляционная функция R^ (т) в соответствии с (1.2.17) имеет вид Ri (т) = о^г (т) = о^2 р (т), то спектральная плотность 5 (со) такого процесса 5 (£) сосредоточена вблизи частоты соо = 0, а спектральный момент Х2 = -opRs” (0) = —Р" (0) и, согласно определению (1.2.18), совпадает в данном случае со
вторым центральным спектральным моментом Л2 = Z2°. Используя здесь определения (1.2.6) и (1.3.9), формулу (11) для широкополосных гауссовских процессов можно переписать в виде
W = 4г V - г" (°) ехР (-1^) =
= 4г ^ ехР (- 4^) = хА/з ехР (- Н^ (2-2Л2)
Для конкретизации результатов в эту формулу достаточно подставить лишь значение коэффициента х. Так в частности, применительно к гауссовским процессам с нормированными корреляционными функциями г (т), указанными в первых трех строках табл. 1.1, формула (12) принимает соответственно вид
Я/ (Я) = (2/л)А/э exp (—Я2/2сг^2) = 0,63662А/э X
X ехр (—Я2/2о^2),(2.2.12а)
Л\+ (Я) = (1/|Л2л) Д/э ехр (-Я2/2о^2) = 0,39894 Д/э X
X ехр (—Я2/2сгГ),(2.2.126)
N* (Я) = (1/|Л12) ДА ехр (-Я2/2^2) = 0,28867 А/э X
X ехр (—Я^/2 а52).!(2.2.12в)
Нормированные спектральные плотности S (to)/S (0) таких процессов £ (2) показаны на рис. 1.1.
Для гауссовских узкополосных случайных процессов § (Q в соответствии с (1.2.14) корреляционная функция R^ (т) имеет вид
Я^ W = ^2 г 00 = ^2 Р СО cos [(О0т + у (т)], р (0) = 1,
7 (0) = 0,(2.2.13)
а, следовательно, Х2 = —о%-2^" (0) = ®о2 (1 + ?' (О)/®о)2 — Р" (0) и, согласно формуле (11), среднее число положительных пересечений в единицу времени
Д^/ (Я) = (®0/2л)[(1 +/ (0)/со0)2 - р" (0)/®02]'Д ехр (-Я2/2^2),
(2.2.14) где
р"(0)=-^М|у(0) = А!1|.
Г Х 7 ЙТ2 |г=0 Г \ / ^т |т=0
В том частном случае, когда процесс 5 (0 является квазигар- моническим, т. е. имеет спектральную плотность 5 (со), со ЕЕ [0, оо), симметричную относительно частоты со = (оо, и соответственно Нормированную корреляционную функцию вида
г (т) = о^"2 R^ (т) = р (т) cos со0т,(2.2.15)
формула (14) упрощается:
Я/ (Я) - (со0/2л)(1 - р" (0)/(Oo2)V2 ехр (-HW^).(2.2.16)
Учитывая, что здесь — р" (0) = Х2° = х2Асоэ2 и при ю0 ^>
^> Дсоэ для квазигармонических процессов £ (£) выполняется неравенство
^о2>- Р"(О),(2.2.17)
можно точную формулу (16) заменить приближенным выражением
N^ (Я) ~ /0 [1 - р" (0)/2о021 ехр [-Я2/2о^2) = /0 [1 +
+ (х2/2) (А/э//о)2! ехр (-Я2/2^2).(2.2.18)
Если в качестве конкретных аналитических моделей для функций р (т) использовать, например, нормированные корреляционные функции, приведенные в первых трех строках табл. 1.1, то формулы (16) и (18) примут соответственно следующий вид:
N^ (Я) = /0 /ГТТ^ХДШГ ехр (- №2^ /о И +
+ №№№ ехр (—Я2/2ск2),(2.2.16а)
Я? (Я) = /0 V1 + (1/2л)(А/3//0)2 ехр (- Я2/2<^2) ~
~ /о И + (1/4л)(А/э//0)21 ехр (-Я2/2а62),(2.2.166)
я/ (Я) = /0 V 1 + Via (А/о//0)2 ехр (-Я2/2аЛ ~
~ /о [1 + V24 (А/э//0)2] ехр (-Я2/2<^2).(2.2.16в)
Графики нормированных спектральных плотностей S (co)/S (0), со ЕЕ [0, оо) таких квазигармонических процессов получаются смещением кривых (см. рис. 1.1) вдоль оси частот вправо на величину соо.
Полученные результаты (9)—(12) и (14) позволяют, по существу, полностью решить задачу о нахождении среднего числа пересечений фиксированного уровня Я гауссовским стационарным случайным процессом. На основании анализа этих результатов можно сделать следующие общие выводы.
Среднее число пересечений (выбросов) гауссовского стационарного процесса с нулевым математическим ожиданием максимально на нулевом уровне (Я = ^ = 0) и всегда уменьшается с увеличением уровня | Я |. Уменьшение числа пересечений в соответствии с формулами (2.1.26), (2.1.27) происходит пропорционально изменениям значений одномерной плотности вероятности р^ (Я) исследуемого процесса.
Среднее число пересечений при одинаковых других параметрах (H/g^ &f9 и /0) больше для того процесса, спектральная плотность которого характеризуется большим значением коэффициента х, т. е. имеет более затянутые «хвосты». Объясняется это тем, что случайный процесс, содержащий более интенсивные высокочастотные составляющие спектра, обладает «большей колебательностью» и, следовательно, имеет большее среднее число пересечений.
Для гауссовских квазигармонических процессов J (t) среднее число положительных пересечений (выбросов) в единицу времени на нулевом уровне (Я = тп^ = 0) всегда превышает значе-
кие центральной (средней) частоты /0 спектра этого процесса. Согласно формуле (18), такое приращение
А^+ (0) - Np (0) - /о ^ х2А/Л2/0 (2.2.19) и, следовательно, определяется параметрами /0, А/э и х спектральной плотности. Ну?кно, конечно, отметить, что этот результат относится только к квазигармоническим процессам и не распространяется на все гауссовские узкополосные процессы, имеющие в большинстве практических случаев несимметричные спектральные плотности.
Число пересеченийпосле линейных преобразований процесса
Исследование различных инерционных и безынерционных линейных преобразований случайных процессов относится к одному из наиболее распространенных классов прикладных задач. В связи с этим целесообразно выделить отдельные типовые линейные
Рис. 2.4. Преобразование случайного процесса линейной СИСТСМОЙРис. 2.4. Преобразование случайного процесса линейной СИСТСМОЙаго.7к/нг£нал система a/w7 (Уаго.7к/нг£нал система a/w7 (У
Рис. 2.4. Преобразование случайного процесса линейной СИСТСМОЙ
Рис. 2.4. Преобразование случайного процесса линейной СИСТСМОЙ
аго
.7к/нг£нал система a/w
7 (У
аго
.7к/нг£нал система a/w
7 (У
преобразования (операции) и рассмотреть общие закономерности, связывающие вероятностные характеристики пересечений уровней исходных и преобразованных процессов.
Основную задачу анализа упрощенно сформулируем следующим образом: предполагая, что на вход некоторой системы (рис. 2.4), описываемой линейным оператором Ж [...], воздействует случайный процесс £ (tY и считая заданными вероятностные характеристики входного воздействия £ (£) и характеристики системы Ж [^ (0L требуется найти среднее число пересечений Л^ (Н^, Т) некоторого фиксированного уровня Л^А траекторией преобразованного процесса ц (^) = X [£ (01 на интервале времени Ио, £0 + + Т].
В общем случае, согласно формуле (2.1.12), для вычисления Л^ (Л^ Т) необходимо знать совместную плотность вероятности Р (Ч (01 ч' (0) Для значений процесса ч (£) и значений его производной т]' (0 в совпадающие моменты времени. В свою очередь, Функция р ()] (0, ч' (0) может быть найдена по двумерной плотности вероятностир2 (Чи 42*1 ^ М процесса 4 (0, и, следовательно, Для решения основной задачи, вообще говоря, нужно предварительно по вероятностным характеристикам исходного случайного процесса £ (^) и характеристикам системы Ж [£ (01 определить плотность вероятности р2 (Чп Ч2; ^n ^^Y
При наложении определенных ограничений такая задача всегда может быть решена с той или иной степенью точности. Однако фактическое ее решение существенно зависит от вида распределения исходного процесса Е (£) и при негауссовских воздействиях
5 (О, как правило, связано с выполнением весьма трудоемких вычислений.
ченная при этом функция R^ (^,ченная при этом функция R^ (^,удовлетворяет усло-удовлетворяет усло-Если линейному преобразованию Ж [2 (^)] подвергается гауссовский процесс £ (£), то решение значительно упрощается. Свойство устойчивости гауссовских распределений при линейных преобразованиях, по существу, сводит задачу нахождения вероятностных характеристик преобразованного процесса ц (£) к более простой задаче определения математического ожидания пц (^) = = М {1] (£)} и корреляционной функции R^ (^, Л2)- Если полу-
ченная при этом функция R^ (^,
ченная при этом функция R^ (^,
удовлетворяет усло-
удовлетворяет усло-
оо, то по одной из формул (2.2.1), (2.2.6)оо, то по одной из формул (2.2.1), (2.2.6)дЧЦ (Ц, /,)
оо, то по одной из формул (2.2.1), (2.2.6)
оо, то по одной из формул (2.2.1), (2.2.6)
вшо д1хд(г„
или (2.2.10) для преобразованного случайного процесса ц (£)
линей- обычнолиней- обычноможно вычислить среднее число пересечений TV^ (Я^, Т).
линей- обычно
линей- обычно
Несмотря на широкое разнообразие существующих ных преобразований, их анализ в прикладных задачах
удается свести к анализу нескольких типовых операций. Наиболее простой является при этом линейная операция
(2.3.1)(2.3.1)п (?) = ж 15 (01 = к£ (о,
(2.3.1)
(2.3.1)
описывающая элементарное безынерционное усилительное звено с некоторым постоянным коэффициентом передачи к < оо. Очевидно, что если входной случайный процесс 2 (£) является стационарным, имеет математическое ожидание т^ = М {£ (£)} = 0, корреляционную функцию R^ (т) = о^2/^ (т), —R^ (0) < оо и спектральную плотность 8^ (со), то для преобразованного процесса ц (£) справедливо
mn = М (ц (^)) = 0, R^ (т) = к2о^2/^(т), 5л(со) — к25^ (о). (2.3.2)
Преобразование (1) не изменяет вида распределения исходного процесса £ (£), и, следовательно, при рассмотрении среднего числа пересечений N^ (h^, Т\ и ^ (/г^, Т^ па одинаковых относительных уровнях fet = h^ где К^ = сгГ1//^, h^ = сгп"1Я11 = (кп^)-1^, для процессов £ (£) и т] (£) будет выполняться равенство
А^ (/г, 7) = N^ (fo, 7), h-^ = /гл = /г. (2.3.3)
Кроме того, легко заметить, что независимо от вида распределения исходного процесса £ (£) и от величины к < оо среднее число пересечений N^ (0, Т) на нулевом уровне (Я^ = тп^ = 0) остается неизменным: N^ (0, Т) = N^ (0, Т^ т. е. значение Я^ (0, Т^ в данном случае инвариантно к величине к.
Рассмотрим теперь линейное преобразование £ (£) —>- —> Ж[£ (£)] = Л (^), при котором исходный и преобразованный процессы связаны между собой дифференциальным уравнением
^1 (^n W*3-^ + Ч (0 = k^ W- (2.3.4)
Как правило, таким уравнением описывается типовое апериодическое звено с постоянной времени Тг и коэффициентом передачи к.
Для конкретизации результатов ограничимся здесь рассмотрением частного случая [74, 75]: будем предполагать, что исходный процесс £ (£) является стационарным гауссовским процессом с математическим ожиданием пг^ = 0 и корреляционной функцией
R^ (т) = а^ (т) = (j^-^.(2.3.5)
Преобразованный процесс ц (/) будет при этом также гауссовским, и, следовательно, при анализе стационарных (установившихся) режимов для вычисления среднего числа пересечений Л4 (Н^ и N^ (Н^) некоторых фиксированных уровней Н^ и Н^ процессами £ Д) и ц (£) на интервале времени [0, 71] = [0, 1] можно воспользоваться формулой (2.2.10). В частности, для исходного процесса (/) получим
^(^) = (1/л) /^ехр(-7г^/2), h^G^(2.3.6)
а для преобразованного процесса ц (£) при условии — R^ff (0) < оо на основании (2.2.10) и (2.2.11) запишем
_ЛГт1(Л11)==(1/л)а171(7П'ехр(— /?ц2/2), ?i4 = a^ffw(2.3.7)
Комплексная частотная характеристика преобразования (4) имеет вид
СЮ VM = к/(1 + /соЛ),(2.3.8)
и поэтому спектральная плотность 5Л (со) процесса ц (/) может быть найдена по формуле
Sn (со) =| ^ (/(о) |2^ (со) - к25. (<о)/(1 +7О)2Л2), где
5^ (о) = 2 R^ (т) cos сот с/т = п^2 (л/а)1- ехр (— <о2/4сх).(2.3.9)
о
Отсюда следует, что
о^2 = -1- ^ ^ (со) с/со = к2о^2 (ла)-1^ ^ (1 4- со2?^!2)-1 ехр ^ — ^^ с/со,, оо
°ч2 = — ) ®2Sn (со) Ato = к2а62 (ла)-"» ^ , ^"г ехР ( — ^~) ^ 0и
Переходя в этих выражениях к новой переменной х = (<о7\)2 11 введя обозначение
|3 = (4а712)"1,(2.3.10)
получим
<ц/2 = -^г- к2о^ (лар ^ е-^~72 (1 + ^У'1 <Р о
р2 = -^5 к2о^2 (ла)~72 ^ е-^ххЧг (1 р1 dx. о
Теперь, после несложных преобразований, для дисперсий ср и ср соответственно процесса ц (£) и его производной г)' (0 можем написать
р - K2ppv^/2^^
(р = 2ак2о^р^ир4,хЛ (P)?
где И7^ (z) — функция Уиттекера (П-6).
Подставив эти значения в формулу (7) при Ил = h^ = h, получим
^W = ^)К (₽),
кх (Р) = р7^_зЛ,рр)/Ир,рр^(2.3.11)
Коэффициент кг (Р) для рассматриваемых случайных процессов £ (2) и г) (^) — Ж [^ (£)] характеризует отношение среднего числа пересечений N^ (/г^) к среднему числу пересечений N^ (h^) на одинаковых относительных уровнях h^ = h^ = h. Величина этого коэффициента в данном случае зависит от параметра р, который может быть представлен в виде
Р = (4аЖ12)"1 = т^/л^2,
где тн = -^- ^ е-^ dx — -^- |/ -^интервал корреляции исходного гауссовского процесса £ (f).
Если воспользоваться асимптотическим представлением функций Уиттекера для больших р в виде
W^ (Р) ^ Р^ exp (-р/2), р > 1,(2.3.12)
то при малых постоянных времени Гх^т,- получим кт (Р) ^ 1.
С другой стороны, на основании известного соотношения (П-7) между функциями Уиттекера и вырожденными гипергеометрическими функциями коэффициент кг (Р) можно представить в виде
кг (Р) = /^(^(1; Р; Р) - л^р р (л7^3 _ гр'М^!; 3/2;
P))]V2.(2.3.13)
Учитывая, что Иш ^(а; P;z) = 1 при р -> 0 (т. е. при Тт ^> тк), z—О
найдем кх (р) ~ 0. Можно убедиться, что такой результат соответствует операции идеального интегрирования случайного процесса Н(^).
По аналогии с анализом преобразования (4) рассмотрим линейную операцию Ж [£ (^)l = ц (ty при которой процессы £ (^) и ц (0 связаны между собой дифференциальным уравнением
Ту ^Ч VW + 1] (i) - к ^ (tydt^(2.3.14)
где Л, к — некоторые постоянные коэффициенты.
Как правило, подобным уравнением описывается типовое дифференцирующее звено с замедлением; условно такое звено может рассматриваться и в виде двух последовательно соединенных элементарных звеньев — идеального дифференцирующего и типового апериодического.
Ограничиваясь рассмотрением частного случая стационарного гауссовского исходного процесса В(0 с математическим ожиданием пи = 0 п корреляционной функцией (5), для нахождения в установившемся режиме среднего числа пересечений N^ (Л£ и Л^ (Л^ можно воспользоваться формулами (6) и (7).
Учитывая, что комплексная частотная характеристика преобразования (14)
-7Г (/со) = к/о)/(1 + /со 7\),(2.3.15)
для дисперсий сг^2 и сг^2 получим
<" = 4") ^(®)^=^7" ^e^W^ ,/.(р), О
1 с*Зсск^з
^ = 4г) ®25п ^ d®=-V- ^^W-^. ч. (₽)• о
На основании формул (6) и (7) при йп = /и = & найдем
^ ^ = Nt W ^ (₽),*2 (Р) = ]/3pv* VW-^,,. (Р)/
/^-=Л, 1/. (Р)Г/2.(2.3.16).
Этот результат показывает, что изменения среднего числа пересечений при линейном преобразовании (14), как и при преобразовании (4), в основном определяются параметром р = тк2/л7\2,
характеризующим квадрат отношения интервала корреляции тк исходного гауссовского процесса £ (£) к постоянной времени Ту рассматриваемого преобразования.
Если коэффициент к^ (Р) выразить через вырожденные гипергеометрические функции
(2.3.17)(2.3.17)Г 1^1 (1; - ^s Р) + 2л УМ ~р
(2.3.17)
(2.3.17)
L Л№₽)-я¥’ер J ’
то с учетом равенства Иш yFy (а; Р; z) = 1 для малых р (т. е. при z-*0
постоянной времени Ту ^> тк) из (17) получим к^ (Р) ~ 1.
Используя асимптотическое представление функций Уиттеке
ра (12) при больших Р (т. е. при малой постоянной времени
Гг^Тк), найдем, что &2 (Р) ~ ]^3. Несложно убедиться, что такой результат справедлив для случая идеального дифференцирования гауссовского процесса В (0 с корреляционной функцией (5), когда уравнение (14) переходит в уравнение ц (t) = кй^ (t^dt.
Среди типовых линейных преобразований несколько особое положение занимает преобразование Ж [£ (^)] = ц (£), описываемое дифференциальным уравнением второго порядка
параметры.параметры.^1^2Xto0^l- + ^4^ = to^^, (2.3.18)
параметры.
параметры.
Рис. 2.5. «Выходы» нестационарного процесса ц (t) из интервала VH, —Я]
Подобным уравнением обычно описывается типовое колебательное звено, которое часто используется в качестве математической модели различных по своей физической природе устройств: радиотехнических цепей, упругих механических систем, некоторых маятниковых, измерительных и гироскопических устройств. Параметр X интерпретируется при этом как коэффициент затухания, со0 — собственная частота звена.
Будем для определенности считать, что начальные условия для уравнения (18) заданы в виде
л (0) = -По, а^ (о / at |t=0= noz,(2.3.19)
а значение 0 < X < 1. Предположим также, что исходный процесс £ (£) является стационарным гауссовским белым шумом с математическим ожиданием т^ = 0 и корреляционной функцией Я. (^i, ^2) = (AV2) б (^2 — ^i), где No — интенсивность односторонней спектральной плотности S^ (оз), со ЕЕ [0, оо).
При сформулированных условиях вычислим среднее число выходов траектории процесса ц (0 из интервала [—Я, Я] (рис. 2.5) в единицу времени. Иначе говоря, если воспользоваться общей формулой (2.1.20), положив в ней a (t) = —Я = const, b (£) = Н = const, то нас будет интересовать величина
Ni (- Я, Я; Т | цо, Цо') = T^N-hh (Г1 Ло, Ло') =
h т оо
= т- ^at ^ п' (^) [р (#, л' (01 Ло, л»') +р (— н, — л' (01 ло, ло')] х о о
X dv\ ,(2.3.20)
где р (ц (^), ц' (^) | ц0, ц0') — совместная условная плотность вероятности для преобразованного процесса ц (^) и его производ-
ной ц' (Z) в совпадающие моменты времени при заданных начальных условиях (19).
Учитывая, что случайный процесс ц (Z) является в данном случае нестационарным гауссовским процессом, функция р (ц (Z), ц' (О I Ло, Ло) будет задаваться формулой (1.5.7), отдельные параметры в которой определяются решением уравнения (18). В частности, при а = Хсоо, соо > а на основе результатов [77, с. 575] можно записать
(0 = ^^тЫЛо' (0 =
= [Цо (cos toit 4- (a/cof sin (OiZ) -}- (цо'Дщ) sin ^i^] ^-aS
mi (Z) = тл1По,л/ (Z) =
= [—• (Ло^о2/®!) sin ^i^ H" Ло' (cos o^Z — аю^1 sin (OiZ)] c-at,
on2 (Z) = Я11Т2 (Z), of (Z) - coo^Yi2 (Z), D4 = K27V0a)02/8a, Y2 (Z) = 1 — (1 + acof1 sin 2о)г1 + 2а2ю1-2 sin2 со^)е~а(, Yf (Z) = 1 — (1 — acof1 sin 2со^ + 2a2(o1~2sin 2 cof) e-^, riW = "^^ЛЙ" ^ si 112 toV’®1 = ®° /1- a2/a>02-
(2.3.21)
В стационарном состоянии (при Z -*• оо) из (21) следует■
ш^ —— m>i —— 0, o')]2 = О^, of —— cof-D^, г^ —— О, т” (0) = -g)02.(2.3.22).
Из выражений (21) видно, что математические ожидания рассматриваемого нестационарного процесса ц (Z) и его производной ц' (Z) зависят от заданных начальных условий (19). Физически очевидно, что от начальных условий будет зависеть и интересующее нас текущее среднее число выходов траектории процесса ц (Z). из интервала [—Н^Щ. Достаточно представить себе, например, два противоположных случая: начальная координата ц0 находится внутри интервала [—Н, Н] и вне этого интервала (см. рис. 2.5).
С использованием результатов (2.2.1)—(2.2.3) формулу (20) можно записать в следующем виде:
Я1(-Я,Я;71|ц0, ло')=.
т
= Т"1 $ [7+ (Я, Z | цо, Ло') + 7^ (- Я, Z | цо, Цо')] dt, (2.3.23), о
где 7+(-)..и J- (•) находятся по выражениям (2.2.2) и (2.2.3) с подстановкой в них отдельных величин из (2.3.21).
Введем безразмерные переменные и параметры
^о = Ло/ФнZ/o = Ло'/сооСГц,т = aZ,(2.3.24).
0 = аТ,X = а/соо,К = Hls^.
безразмерные математические ожидания, дисперсии и нормиро-
ванная взаимная корреляционная функция, согласно (21), будут равны
Ц (т) = т^ (т)/^ = [^ (^cosQt + -^-sinQT^ + -^cinQrJ е-т, Hl (Т) = /721 (Т)/С00СГЛ =
—77Т s*n ^т^° М3 "т —о"sin "А ^А
у2 (т) = 1 — (1 + Q-1 sin 2Qr + 2Q-2 sin2 Qt) e-«, у? (t) = 1 — (1 — Q-i sin 2Qt + 2Q"2 sin2 Qt) e-«, ri (t) = (2/XQ2y (t) Yi (t)) е~2т sjn2 oTj Q^/lMV/k(2.3.25)
Перейдя в формуле (23) к безразмерному времени т = at, получим
7Vi(— h, 7i;9|z0, Уо) = e
=9-! $ [7+ (/г, т | х», у0) + Г (- h,X | ^о, Уо)] <2т.(2.3.26)
о
■Здесь
w мр |- 4. i 24415 j=4
X {ехр [ - 4"№ ^ ] Ф Г 2^ W (т)ф кМ (т))} , 7~(— h, т|жо,уо) =
X {exp [ - А л/2 (Т)] + Гг2л 7171 (т) Ф (- 7171 (т))} , 717 (т) = [1 п2 (т)]-*/= Г АМ + ^MW I
Lк /JL ?1 (т)V (т) J
7171 (т) = [1 -ri2 (т)]-^ Г АМ-11 ^У1^ 1.(2.3.27)
Lх АL 71 (Т)Y (т) J
Нетрудноубедиться,что в стационарномсостоянии (т ->оо^
имеет место равенство
I^t (± А) = Iim I- (+ h, т | х», уо) = -^д" ехР (— ^2/2)-
В частности, для среднего числа выходов стационарного процесса т] (<) из интервала [— h, /г] в единицу безразмерного времени из формулы (26) получим
h, h) = -Аехр(— h2^(2.3.28)
Nvavk-H,H; 7^~) = А-еХр f-A (ALV-l.(2.3.29)
Рис. 2.6. Вид подынтегральной функции (а) и зависимость среднего числа выходов процесса из различных границ от времени (^)
личных значениях начальной координаты (а) и различных границах (б)
На основании (26) и (28) можно теперь определить относительное среднее число выходов рассматриваемого нестационарного процесса из интервала [—Й, М в единицу времени:
vi (— h, h, 0 | хо. уо) = Ni (— hi h, 01 xOl y^)Nlt st (— h, h) =
0
= лХе^/20-i J [/+ ^ T | ^0, yo) + г (_ h, т | xOl y0)] dx. (2.3.30) о
Результаты расчетов по этой формуле на ЦВМ для нескольких значений отдельных параметров приведены на рис. 2.6—2.8.
На рис. 2.6, а в качестве примера показан характер подынтегральной функции
ф (^, т | ж0, у0) = иХе^А {/+ (h, т | ж0, у0) + Л (— ^ т | ж0, у0)} Для нескольких значений порога А. Поскольку рассматриваемый пРоцесс ц (i) является узкополосным, то возрастание подынтегральной функции с течением времени имеет также колебательный
Рис. 2.8. Зависимость среднего числа выходов процесса от времени при различных значениях начальной координаты (а) и скорости (б)
характер, причем интенсивность колебаний возрастает по мере приближения порога h к значению начальной координаты я0.
Поведению кривых, характеризующих зависимость среднего числа выходов процесса из различных границ от времени, можно дать наглядное пояснение на основании характера самого процесса т] (^). Так, с уменьшением затухания контура, с приближением начальной координаты х0 к границе h или с увеличением начальной скорости у0 при малых временах увеличивается колебательность выходов процесса. Эта колебательность практически исчезает по мере приближения процесса к стационарному состоянию. При этом, естественно, величина vx (— k, h, 9 | х01 у0) во всех случаях асимптотически стремится к единице.
При рассмотрении типовых линейных преобразований целесообразно выделить некоторые особенности широко распространенной операции суммирования.
Для простоты предположим, что имеется сумма (разность) двух гауссовских стационарных случайных процессов:
Л (О = к^ (О ± к2^2 №х(2.3.31)
где к1? к2 — постоянные весовые коэффициенты.
Если процессы ^ (£) и £2 (£) имеют математические ожидания М {£i (£)} — М {^2 (£)} = 0, корреляционные функции Ry (т) = = Оу^Гу (т), R2 (т) = 02^2 (т), —Ry" (0) < оо, — R^" (0) < ОО II взаимную корреляционную функцию Т?12 (т) = R21 (т), то очевидно, что для результирующего процесса ц (£) справедливо
(т) = ОхГ^ (т) = ал~2 [Ki2 Ry (т) 4- к227?2 (т) ±
± 2к1к2Д12(т)],
< = к^ (0) + к227?2 (0) ± 2К1к27?12 (0).(2.3.32)
Так как в результате суммирования двух гауссовских случайных процессов получается также гауссовский процесс, то в соответствии с формулой (2.2.10) для среднего числа пересечений некоторого фиксированного уровня Н получим
Ni (/i) = -i- V—'V(O) ехр ( — 4" 4 • h = ^Я.(2.3.33)
Конкретизируем теперь записанные формулы для практически интересного частного случая, когда процесс ц (£) представляет собой сумму случайного сигнала s (£) и шума £ (£):
ц W = 5 (*) + £ W.(2.3.34)
Сигнал 5 (£) будем считать гауссовским квазигармоническим процессом вида (1.7.2) с математическим ожиданием ms =М {$(£)} = = 0 и корреляционной функцией
Rs (т) = o*s2P W cos cost,(2.3.35)
где cos — средняя частота спектра сигнала; шум £ (£) является гауссовским стационарным случайным процессом с пи = = М {^(0} = 0 и R^ (т) = о^2^ (т).
Если предположить, что процессы s (£) и £ (£) статистически независимы, то получим
R^ (т) = °^Ч (т) + ^Р W cos сод, оп2 = оо2 4- сг^2,
W) = (^0)^
и, следовательно, окончательная общая формула (33) будет иметь вид
л Г5 2 ГШ 2_р» (0)1 _ З^Л (0) -]Vi / I X
=5 = = + = =exp -4-/г2 . (2.3.36)
При рассмотрении суммы сигнала и шума (34) обычно для сигнала s (£) выполняется условие узкополосности cos ^> Acos, при котором справедливо неравенство
G)s2>-p"(0).(2.3.37)
Использование такого условия позволяет несколько упростить результирующую формулу (36):
со Г а2 —(0) I1/2
^W = ^r[^+1 J ^ a^K. (2.3.38)
и формула (38) примет вид
о) Г а2 + %2)2 17г
L а=+1 J(2-3-40)
где Асоэ — эффективная ширина спектра шума; х — коэффициент формы спектральной плотности 5^ (со) шума £ (^).
В том случае, когда шум £ (£) является квазигармоническим процессом с корреляционной функцией вида
П- (т) = аГ2^ М = Рб М cos ®от, где соо — средняя частота спектра шума, согласно равенству ~г^ (т) = %2 = соо2 - р^" (0) = соо2 + х2Асоэ2(2.3.41)
для среднего числа пересечений (38) получим
=^wе_№1й(2Л42)
Если в качестве аналитических моделей для функций р^ (т) выбрать, например, нормированные корреляционные функции, приведенные в табл. 1.1, то для конкретизации результатов в формулы (40) и (42) для Ny (h) достаточно подставить значения коэффициента х. В частности, для корреляционных функций, записанных в первых трех строках табл. 1.1, величина этого коэффициента соответственно равна хх = 2/л, х2 = 1/^2^, х3 = 1/]/12.
При выполнении численных расчетов иногда удобно формулы (40) и (42) переписать в виде
Nx (h) = (со5/л) F (а, х, ^_, й) •,(2.3.43)
Ni (А) = (со5/л) F* (а, х, , Дй)э/а>0, /г) .(2.3.44)
Функции F (•) и F* (•), по существу, характеризуют здесь влияние низкочастотного (43) и узкополосного квазигармонического (44) шума £ (£) на среднее число пересечений уровня h процессом ц (i) = 5 (i) + ^ ^Y Определяются эти функции из формул (40) и (42) отношением NT (h)/Nls (0), в котором 7V1S (0) = Ns (0, 1) = = (со5/л) — среднее число пересечений нулевого уровня сигналом s (i) на интервале времени [0, 1] при выполнении условия (37). Численные значения функций F (•) и F* (•) в виде таблиц при Xi — х3 и различных, параметрах a, coo/cos, Асоэ/соо Для относительных уровней h = 0, h = 1, h = 3 приведены в работе [75, с. 86—89].
Из формул (40) и (42) виднод что для суммы (34) сигнала 5 (£) и шума £ (£) при одинаковых значениях величин а = qJg^ coo/cos, Асоэ/соо, К = Н/с^ среднее число пересечений NT (&) существенно зависит от формы спектральной плотности S^ (со) шума ^ (^). Для функций S^ (со) с более затянутыми «хвостами» (см. рис. 1.1) коэффициент х болыпег а следовательно, больше и среднее число пересечений (/г).
Можно, кроме того, отметить, что при квазигармоническом шуме i ^ для которого выполняется условие, аналогичное (37), формула (38) приводит к простому приближенному частному результату:
со Г а2 4- (о)п/о) )217а
^=-4 L ^+1 J е"Л2/2*(2-3-45)
Число пересеченийпосле нелинейных преобразований процесса
Существующие нелинейные преобразования условно можно разделить на два основных класса — нелинейные безынерционные (функциональные) и нелинейные инерционные. Целесообразность такого деления во многом связана с различием сложности и методов исследования безынерционных и инерционных систем; при этом различными оказываются и подходы к нахождению вероятностных характеристик выбросов.
Рассмотрим некоторые особенности вычисления среднего числа пересечений применительно к нелинейно преобразованным случайным процессам.
Функциональные преобразования. Этот вид преобразований относится к наиболее простому классу нелинейных операций; аналитические методы анализа разработаны для них сравнительно полно.
Предположим, что функциональное преобразование у = / (ж) является невырожденным, непрерывным, взаимно однозначным и х = ф (у) — обратная функция. Пусть
=(2.4.1)
и для случайного процесса £ (f), обладающего свойством дифференцируемости, известна совместная плотность вероятности р № (О, Г (0).
На основании формулы (2.1.10) среднее число положительных выбросов процесса £ (f) на уровне Н^
Т оо
N^ (Н^ 'ПЦа^ ^р фъ I'; 0 d£.(2.4.2)
о о
Если перейти в этой формуле к новой переменной т]' согласно равенству
? =я„=/№),
то можем написать
Т оо
n^^, т)= V^ ^’р ^ ^’ № *) ф'2 W drf’ яе=ф №• о о
(2.4.3)
G другой стороны, по известным правилам пересчета плотностей вероятностей при функциональных преобразованиях случайных процессов можно найти совместную плотность вероятности для значений ц (£) и ц'(^):
р (ц, if; о = ₽ (л (0, л' (0) = р (ф (n), nV (п); 0 ф'2 (п)-(2-4-4)
Следовательно, для преобразованного случайного процесса ц (£) среднее число положительных выбросов на уровне Ял = / (Я^)
Г ОО
AV (Н^ T) = ^dt^ ц'р (Ял, ц'; t) d^' = и о
Т ОО
= ^^ П'Р (ф (Яц), Г|'ф' (Яп); ?) ф'2 (Я^) Ят1'«(2.4.5)
о о.
Сравнивая теперь выражения (5) и (3)А получаем
Ял+ (Я„ Г) = Я^ (ф (Я.), Г) = N^ (Нь Т).(2.4-6)
Последняя формула, по существу, выражает очевидный физический результат: при взаимно однозначном функциональном преобразовании (1) всегда существует однозначное соответствие между каждым пересечением уровня Я^ траекторией процесса £ (£) и каждым пересечением уровня Н^ траекторией процесса ц (t). Если функциональное преобразование у = / (х) является монотонно возрастающей функцией, то каждый положительный выброс процесса £ (£) преобразуется также в положительный выброс процесса ц (£). Наоборот, при монотонно убывающей функции / (ж) каждый положительный выброс £ (£) преобразуется в отрицательный выброс ц (£). Поэтому знак производной д/ (Ял) не сказывается на окончательном результате.
В тех случаях, когда функциональное преобразование многозначно, задача вычисления среднего числа выбросов может существенно усложниться.
Отметим одно из характерных свойств нелинейных функциональных преобразований. Предположим, что исходный процесс £ (£) и его производная ^ (t) независимы в совпадающие моменты времени, т. е. для них выполняется условие (2.1.25). Тогда для преобразованного процесса ц (£) и его производной ц' (£) свойство статистической независимости, как правило, не сохраняется. Пояснить это можно следующим образом.
В результате функционального преобразования (1), по существу, получается некоторая сложная функция Ц (£) = / [£ (0Ь Из правила дифференцирования сложных функций ясно, что если 5 (£) в точке £ = ^ имеет производную ^ (^) и / (£) в точке ^ = = t (^) — производную f (^), то сложная функция Г) (£) = = /[£ (£)] будет иметь в точке t = tt поизводную т]' (^), равную произведению ц' (^) = f (^) ^ (^). Следовательно, значение производной т]' (^) преобразованного процесса ц (£) в общем случае зависит не только от производной £' (^), но одновременно и от
значения ^t = ^ (ti) исходного процесса £ (£) в рассматриваемый момент времени t = t;.
В соответствии с этим при преобразовании переменных в правую часть соотношения (4) вместо |' входит произведение ^ = = iV (л)? зависящее как от г), так и от ц'. Пусть, например, исходный процесс £ (£) строго стационарен и для него выполняется условие р ^ (О,(£)) = р (£, I'; f) = рх ^ Р^ (Г). Тогда про
цесс т) (i) также будет строго стационарным и для него, согласно преобразованию (1), получим
р (n, <; О = Рп 01) Р (n' I л),(2.4.7)
где
Ри (л) = рц (ф Oi)) I ф' 00 I,
Р 01' I л) = Pv 01V 00) I Ф' 01) I-(2.4.8
Соотношения (8) указывают на явную зависимость ц' (£) от г] (£) и подтверждают, что в общем случае
р (ц, ц'; <) = р^ (ц) р (ц' I ц) ^ р^ (ц) pw (ц').
Формула для среднего числа положительных выбросов на уровне Н^ функционально преобразованного стационарного процесса ц (£) теперь примет вид
AV ^ Т) = Трл <Н^ $ г)> (ri' | ц =Н^ dn' =
О
= Трх ^М Ф'2 № 5 ^'Pv (IV та d^.(2.4.9)
О
Некоторые конкретные примеры использования этой формулы даны в разд. 2.5.
Нелинейные инерционные преобразования. В общем случае такие преобразования описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и относятся к наиболее сложному виду нелинейных операций. За исключением отдельных частных случаев, при анализе таких операций не удается непосредственно находить плотности вероятностей преобразованных случайных процессов. Обычно в подобных задачах нахождение распределений сводится к вычислению моментных, корреляционных или кумулянтных функций и последующему приближенному определению характеристических функций и соответствующих им плотностей вероятностей.
Если рассматривается некоторая нелинейная операция £ (£) -> ^ g [£ (£)] = т] (£) и решается задача вычисления среднего числа пересечений N^ (Н^, Т) уровня Н^ преобразованным случайным процессом т] (^), то, как известно, необходимо предварительно определить совместную плотность вероятности р (ц (^), г]' (^)), которая может быть найдена по двумерной плотности вероятности h (^i). Т11(^)) процесса г] (Z).
При анализе нелинейных инерционных операций и приближенном аналитическом описании плотностей вероятностей широко используются представления, основанные на разложениях функций в ряд по ортогональным полиномам. Если исследумый процесс 1] (£) не очень сильно отличается от гауссовского (например, за счет известного явления нормализации в инерционных системах), то его плотности вероятности р^ (ц; ^) и р (ц (^), ц (£2)) могут быть аппроксимированы с помощью одномерных и двумерных полиномов Чебышева—Эрмита. Пользуясь подобной аппроксимацией, получим общую формулу для среднего числа пересечений N^ (Я^, Т) фиксированного уровня Н^ траекторией стационарного случайного процесса ц (£) на интервале времени [О, Г].
Предположим, что исследуемый стационарный случайный процесс р (£) имеет математическое ожидание m^.= М {ц (i)} = О, дисперсию cr^2 = 1 и корреляционную функцию
Дп (т) = а^г (т) = г (т), - г” (0) < ОО.(2.4.10)
Одномерную р.л (р; £) = рп (ц) и двумерную р (ц (У, р (£2)) = = Р (Лп Лг) плотности вероятностей этого процесса представим в виде следующих разложений:
Рч (11) = Pi (11) У 4г Ь^ (л),Pi (л) = (2л)-’А exp (— T]2/2),
п=0
(2.4.11)
Р (Ль Лг) = 4к ^ ехр [ ~ "Г ф (Чь112)] Х
X У -^г&тНЛьЛ2)Стг(Л1,Л2),(2.4.12)
п=0(m-Vl =п)
где Ни (т]) — одномерные ортогональные полиномы Чебышева — Эрмита:
Нп (ж) = (- 1)п ^ JL е-^,H^i (Ж) = хНп (х) - пНп-т (х);
ах
(2.4.13) Ъп — квазимоменты, определяемые формулой
Ь» = $ Рв(л)Я„(л)^л = М{Яп(л)};(2-4.14)
Gmi (t]ii Л2) — двумерные полиномы Чебышева — Эрмита:
Gmi (ЛьЛа)=т+г
=(— 1)т+г ехр[4~ф ^ъ ii2)] т^т ехр [—4" ф^1- ^J - 41 42(2.4.15)
ф (Лп Лг) = Д 1 (Л12 — 2гЛ1Лг + Лг2), г = г (т),
Д = Д(т) = 1 — г2(т),Стг(1]1,112) = 6!гт(Л2,Л1).
Входящие в разложение (12) двумерные квазимоментные функции Ьт1 определяются как
Ът1= 5 Р (Л1. Лз) #mZ Oil, Лз)^*,(2.4.16)
где сопряженные полиномы Чебышева — Эрмита Hml (гц, ц2) находятся по формуле
Hmi (111^2)=
= (— i)™^ exp Ф &> У] ^т^ех^ [-£з)],
^(^W? + 2г^2 + £з2,51(2.4.17)
в которой после выполнения дифференцирования нужно положить
U = А"1 (Л1 — П2),£2 = A"1 (ц2 — гщ).
В зависимости от решаемых задач аппроксимация плотностей вероятностей должна выполняться с той или иной точностью. На практике при использовании разложений (И) и (12) обычно ограничиваются учетом только характеристик асимметрии и эксцесса, т. е. полагают п = 4. Формулы (И), (12) в этом случае примут вид
Рв (л) ~ (2л)-'/, ехр (- ^ [1 + 4- № (л) + 4- № (л) ],
(2.4.18)
Р (Ль 1I2) ^ ^ ^ ~ rV?2 ехр [j- ф (Л1, Лз)] X
X [1 + -gj- [630G30 (Ль Лз) + бозбоз (Ль ^г) + З621621 (Л1> Лз) 4+ 3612^12 (Л1> Лз)] + "^р [640640 (Л1, Лз) + 604604 (Л1, Лз) + + 4&31Сз1 (ЛьЛз) + 461361з (Л1, Лз) + 6622622 (Л1> Лз)]} ,
(2.4.19) где, согласно определениям (13) и (15),
Я3 (л) = Л3 — Зл, Я4 (л) = л4 — 6л2 + 3,
Gmt (Лъ Лз) = Gtm (Л2, Л1).630 (Л1> Лз) = £13 — ЗД“^1,
621 (Л1, Лз) = £12$3 + 2гД"^ - Д'^,
640 (Лп Лз) = ^4 - 6Д-Ч? + ЗД-2,|
6з1 (Л1, Лз) = ^£2 + ЗгД-Ч? - ЗД-Ч1?2 ~ ЗгД-2,.
622 (Л1, Лз) = ^е? - Д'Ч? + 4гД-Ч1^2 - Д-1^2 + 2г2Д-2 + + Д~2.(2.4.20)
При стационарности исследуемого процесса л (0 значения Л (£) и л' (f) = d-q (t) / dt в совпадающие моменты времени являются некоррелированными и совместную плотность вероятности
р (ц (^), ц' (^)) = р (ц, ц) можно представить в виде, аналогичном выражению (19), при rw (т = 0) = 0. Учитывая, что процессы ц (£) и ц' (£) имеют математические ожидания М {ц (£)} = = М {ц' (£)} = 0 и дисперсии ол2 = 1, Oi2 = о^2 = М {ц 2 (£)} = = —г" (0), запишем предварительно совместную плотность вероятности для нормированных случайных величин ц = Ц (^) и v = v (Р) = o^V W:
р (^р)=i ехР [ —г W + a] t1 + зг ^зо ^3 — Зт|) +
+ d63 (у3 — Зу) + Зй21У (л2 — 1) + 3^12т] (у2 — 1)] 4-
+ 4 рю (Л4 — 6q2 + 3) + d04 (у4 — 6у2 + 3) +
+ 4d3iv (л3 — Зл) 4- 4tZ1;!q (у3 — Зу)+ 6d22 (л2 — l)(v2 — !)]}•
(2.4.21)
Входящие в эту формулу квазимоменты dmt при наложенных ограничениях стационарности процесса ц (£) и нормированное™ величин ц и и будут совпадать с соответствующими моментами
dml = М {qm ^ и1 (<)} = о^М {< (0 л'' (/)}
и по известным правилам [36] могут быть выражены через функции Ът1 исследуемого процесса ц ^. Кроме того, следует здесь заметить, что совместная плотность вероятности р (ц, у), согласно (1.4.20), обладает свойством р (ц, у) = р (ц) р (и | ц) = — Р М Р (—у I Л) и поэтому в выражении (21) нужно положить с^оз —* 0, ^21 — о, ^31 — 0, ^1з — 9»
Если теперь в выражении (21) выполнить переход от переменной и к переменной ц' = ап< и = сг^, то можно написать
Р (n> V) = (2ЛО1)-1 ехр [1- (q2 + а^т]'2) j X
X |1 + “зр ^зо ("Л3 — Зт]) 4- 3<712Л (<Т13л' — 1)]
Н 4[" [^40 (Л4 — 6q2 + 3) + (/q4 (сУх 4л' — бах'л' + 3) 4*
6d22 (л2 - 1) (оГ2л'2 - 1)]}.(2.4.22)
Подставив плотность вероятности (22) в общую формулу вида (2.1.12) и выполнив интегрирование при условии ц = ^, окончательно найдем [81, 89]
^ (Л, Т) = Т ^ ехр ( - 4- А2) [1 + Hl (А) + Н2 WJ. (2.4.23) Hi (Л) = А №о& (Л2 - 3) 4- 3</12/г],
Нз W = 4" №° ^ ~ 6,12 + 3) - d»4 + 6Й22 (Д2 ~ 1)Ь
Полученный результат (23) позволяет вычислять среднее число пересечений TV^ (.h, Т) относительного уровня h = а^Н^ стационарным случайным процессом ц (^), плотности вероятности которого аппроксимируются выражениями (18) и (19). Величина jV^ (й, Т\ по существу, состоит из трех слагаемых. Первое из них, как и следовало ожидать, совпадает с аналогичным выражением для гауссовского процесса; второе и третье слагаемые характеризуют соответственно влияние параметров асимметрии и эксцесса распределения на среднее число пересечений заданного уровня.
Число пересечений уровнядля некоторых частных моделей процессов
Воспользуемся отдельными результатами разд. 2.1—2.4 и найдем среднее число пересечений фиксированного уровня для некоторых распространенных моделей дифференцируемых случайных процессов.
/-Процесс. По определению (1.6.2) /-процесс с п степенями свободы задается соотношением
л(0 = х(0=[3 Ш<\ т)(ое[0,оо),(2.5.1)
г=1
в котором независимые гауссовские стационарные случайные процессы ^ (£), 1 = 1,п имеют одинаковые математические ожидания ттг^ = М {^ (£)} = 0 и одинаковые корреляционные функции
Rt (т) = R^ (т) = о2г (т),—7^" (0) < оо.(2.5.2)
Согласно формуле (2.1.22), для вычисления среднего числа положительных пересечений N^* (Н) заданного уровня Н стационарным процессом ц (£) на интервале времени [0, ТА = [0, 1] необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности р (ц, ц') = р (ц (^), ц' (£)) для значений процесса т] (£) и его производной ц' (£) в совпадающие моменты времени. Используя определение (1), функцию р (ц, ц') можно получить следующим путем [75]. Сначала записывается совместная плотность вероятности 2п взаимно независимых нормально распределенных случайных переменных ^ (£) и ^/ (t). Затем в этой плотности вероятности выполняется переход к интересующим нас переменным Л (£) и ц' (£) при помощи надлежащей замены переменных (перехода к сферическим координатам). Окончательное выражение для Р (Ц, Л') — Р (%> %') имеет при этом вид
Р 01, 11') = Рх 01; п) /_^=- ехр[- ^](2.5.3)
V — 2лбМ (0)(2б2 [— г" (0)] J ’ v 7
гДе Рг С1!', 72) — одномерная плотность вероятности (1.6.3) /-процесса.
Из этой формулы следует, что рассматриваемый %-процесс относится к классу стационарных процессов со статистически независимой производной. Более того, хотя производная ц' (£) и не является здесь гауссовским процессом 3, ее одномерная плотность вероятности, как видно из выражения (3), является нормальной с математическим ожиданием М {ц' (£)} = 0 и дисперсией а^2 = -eV (0).
Во избежание противоречий целесообразно подчеркнуть, что при дифференцировании негауссовских процессов ц (i) результирующий процесс т/ (£) не может быть гауссовским. Операция дифференцирования rf (Z) — йц (t)ldt относится к безынерционным линейным операциям, и процесс ц' (^) будет гауссовским лишь в тех случаях, когда гауссовским является исходный случайный процесс ц (£). Действительно, в противном случае обратная операция (линейная операция интегрирования) должна была бы приводить полученный гауссовский процесс ц' (£) к исходному негауссовскому процессу г) (£), что, естественно, противоречит общим свойствам линейных преобразований.
Подставив найденную плотность вероятности (3) в основную формулу (2.1.22), получим
AV (Я) = ( -г^-)7'Рл№ п) =
= ( JZ^LV^ — ^/ Н_рH^Q (2.5.4)
\ 2п У\ 5 /х ’
Это в принципе позволяет вычислять среднее число положительных пересечений уровня Н рассматриваемым %-процессом. Однако пользоваться подобной формулой не всегда удобно, так как в нее входит параметр —г" (0) = %2, относящийся к гауссовским составляющим ^t (t); в практических задачах, когда наблюдению непосредственно доступен %-процесс, сведения о порождающих его компонентах ^ (£) могут отсутствовать и предпочтительнее оказываются при этом результаты, полностью выраженные через характеристики исследуемого %-процесса.
В общем случае для нахождения связи параметра г" (0) с корреляционной функцией Я^ (т) %-процесса прежде всего нужно на основе определения (1) и известной функции (2) получить аналитическое выражение для R4 (т). Сделать это, вообще говоря, затруднительно. Вместе с тем если учесть, что случайный процесс ц (£) обладает свойством (3), то связь между г" (0) и R^ (т) может быть установлена значительно проще.
Действительно, согласно выражению (3), производная т]' (£) %-процесса характеризуется параметрами
^ = М « (0} = 0,(V2 = М {tj'2 №} = -aV (0). (2.5.5)
8 Многомерные плотности вероятности процесса ц' (/) не будут нормальными.
С другой стороны, известно, что для любого стационарного случайного процесса ц (£) с корреляционной функцией вида
R^ (т) t= М {[т| (i) — mJ [т] (( + т) — mJ} — а^ (т)(2.5.6)
дисперсия Стп'2 = <Ti2 производной rf (i)
о? =^^ = -^"(0)(2.5.7)
и, следовательно, на основе выражений (5) и (6) для ар получим равенство
Qi2 = _ ov (0) = - очХ (0).(2.5.8)
Если воспользоваться общей формулой (1.6.4) для моментов Х-распределения
mfc м {^ (()) = 2^ [ г (-^±1)/г (п/2) ]
и найти" дисперсию исследуемого процесса
(2.5.9)(2.5.9)о^^тз — mi2 =о2|?г — 2 £г( П^ 1 ^Г(гс/2)у},
(2.5.9)
(2.5.9)
то из равенства (8) получим соотношение, связывающее параметр г" (0) гауссовских компонент ^ (^) с соответствующим параметром г^" (0) исследуемого процесса:
г" (0) = {^ — 2 [Г ((п + 1)/2)/Г W2)p} г^ (0). (2.5.10)
Общая формула для среднего числа положительных выбросов %-процесса с п степенями свободы примет теперь окончательный
вид:
rrOnJ-iy^pVAL Г (n/2) J JrrOnJ-iy^pVAL Г (n/2) J J2 . (2L\п 1 fc-Ha/w ?№ (п/2) \ 5 /*2 . (2L\п 1 fc-Ha/w ?№ (п/2) \ 5 /*(2.5.11)(2.5.11)
rrOnJ-iy^pVA
L Г (n/2) J J
rrOnJ-iy^pVA
L Г (n/2) J J
2 . (2L\п 1 fc-Ha/w ?№ (п/2) \ 5 /*
2 . (2L\п 1 fc-Ha/w ?№ (п/2) \ 5 /*
(2.5.11)
(2.5.11)
Для наиболее распространенных частных случаев с учетом выражений (1.6.5)—(1.6.10) из формулы (2.5.11) получим следующие результаты:
при п=1 для процесса ц (£) с односторонним гауссовским распределением
= 4-[-(I-4)'V(°)]'''(-5), н>°.
г'(0) = (1-2/п)г,'(0);(2
при п = 2 для процесса г] (i) с распределением Рэлея
м*/1тх VW rz7o uVUH (Н»\
гЧ0) = (2-л/2)гл"(0);(2*'
при п = 3 для процесса ц (i) с распределением Максвелла т=4 [ - (3 - 4)(°)]'''(4)”"р( - . н>°-
г-(0) = (3-4/л)г„'(0).<2'5Л4)
х2-Ироцесс. Вычислим среднее число положительных пересечений ТУ/ (Я) фиксированного уровня Н стационарным дифференцируемым х2-процессом с п степенями свободы. Согласно определению (1.6.11), такой процесс задается соотношением
=^>0.(2.5.15)
Если (во избежание путаницы в обозначениях) в формуле (3) изменить обозначения ц = у, ц' = у' и затем выполнить переход к новым переменным у = V ^ У' = 31V2 j/r], то получим следующее выражение совместной плотности вероятности р (ц, ц') = = Р (%2> (%2)') Для значений г] (t) = %2 (0 и т]' (t) = (%2 (0)':
рТГ) = —т==- р72 (и; yi\ expl —i > (2.5.16)
2 V— 2лз21]г" (0)I Sip2 [— rn (0)]J v 1
где рХ2 (ц; ?г) —- одномерная плотность вероятности (1.6.12) х2-про- цесса. В данном случае процесс х2 (0 и его производная (х2 (£))'> взятые в один и тот же момент времени, зависимы.
Среднее число положительных выбросов рассматриваемого процесса х2 (0 находим по общей формуле (2.1.22):
AV (Я) = 5 п> Ф> Y) dn' = о (^£1<2куА р%2 (Я; и), я > о,
(2.5.17) где Рт? №; п) = рХ2 (ц; ?г) при ц = Н.
Параметр г” (0) = o'^R^ (0) связан здесь с поведением корреляционной функции R^ (т) порождающих гауссовских процессов ^ (£). В тех случаях, когда наблюдению непосредственно доступен х2 (£)-процесс и сведения о функции R^ (т) отсутствуют, значение г” (0) целесообразно выразить через корреляционную функцию R^\ (т) рассматриваемого х2 (£)-процесса. С этой целью для R^ (т) на основе определения (15) запишем
R^ (т) = М (г] (i) 11 (i 4- т)} — [Mg(Ti (i)}]2 =
= М {з ^2 (0 s gi2 kt + т)} - [м {3 g? (0}]2. г=1г=1г=1
Учитывая взаимную независимость гауссовских процессов ^ (/) с разными индексами, получим
R^ (т) = no4 [1 + 2г2 (т)] + п (п — 1) а4 — /г2^4 =
= 'InQM (т) = а^2^ (т),
где
Гц (т) = гХ2 (т) = г2 (т), ст,,2 = аХ22 = 2по\(2.5.18)
Отсюда находим
г" (°) = 4 ^(т) L = 4- V (0).(2.5.19)
Теперь результирующая формула (17) с учетом выражений (1.6.12) и (19) примет окончательный вид:
Г— Нг-^хуи
№ (Я) = ст () рХ2 (Я; п) =
т/ - V(°)Н>0.• (2.5.20)
" Л ^Ч^Ч (п/2)V '
В наиболее простом частном случае при п = 1 из формулы (20) получим выражение для среднего числа положительных пересечений уровня Н процессом (1.6.14), представляющим собой квадрат гауссовского случайного процесса:
N< (Я) = (1/л) У-Ч^" (0) ехр (—Я/2ст2), Я > 0.(2.5.21)
Если задать п = 2, то в соответствии с определением (15) и (1.6.15) из формулы (20) найдем среднее число выбросов для случайного процесса с экспоненциальным распределением (квадрат процесса с распределением Релея):
я/ (Я) = V—^Hry (0)/2л ехр (—ХЯ), X = (1/2<т2) > 0,
Я > 0,(2.5.22)
Кроме того, отметим, что при выборе п = 2ц, где ц — целое положительное число, плотность вероятности (1.6.12) переходит в частный случай гамма-распределения [77]:
Рп (ц; И) = (^Tj^-VP (ц)) ехр (—Хц), X = (1/2о2) >0, ц > 0.
(2.5.23)
Среднее число положительных пересечений уровня Н в единицу времени для случайного процесса ц (£) с распределением (23)
л , _ Нг" (0) \V2
= ] ~ X|0) ^гУ"я>°-<2-5-24)
Полезно подчеркнуть, что одним из наиболее важных свойств рассмотренного %2-процесса является свойство воспроизводимо- сти. Так, если случайные процессы г]/ (£), i = 1, т, независимы и каждый из них описывается %2-распределением (1.6.12) с пг степенями свободы, то из определения (15) следует, что процесс ц (^) = ^ Лх (0 + Чг (£) + ••«+ Лт (^) также будет иметь %2-распределе- Ние pxs (т]; ^щ).
Таким образом, формулы (17) и (20) останутся справедливыми и при нахождении среднего числа выбросов случайных процес- т
сов вида Л (0 — 2 Лг (0* Очевидно, что таким же свойством об- г=1
ладают и процессы с гамма-распределением (23).
Процесс с бэта-распределением. Предположим, что независимые стационарные дифференцируемые случайные процессы 51 (О и §2 (0 характеризуются гамма-распределениями вида (23) с параметрами рх и р2 соответственно. Тогда случайный процесс
Я (О = 5х № W + 5з W)(2.5.25)
будет иметь бэта-распределение
Ри (я; Рь Ра) = (Г (щ + П2УГ (nJ Г (п2)) П14-1 (1 ~ il)^"1-
И е (0,. 1).(2.5.26)
Вычислим среднее число положительных пересечений уровня Н процессом ц (t), предполагая, что независимые гамма-процессы 51 (£) и ^2 (0 могут отличаться только значениями целочисленных параметров рх и р2 [23].
Совместная плотность вероятности р (ц, т/) для значений ц (£) и т]' (£) может быть найдена здесь следующим образом. На основе формул (16) и (23) достаточно просто записывается совместная плотность вероятности р (5, 5"; р,) для гамма-процесса 5 (£) и его производной 5' (£):
р(^^;п) = —Х==ехр(~^+^Ж^(2.5.27)
FV2Г (р) V- ^r\W F (4^r (°) J
Совместная плотность вероятности для рассматриваемых независимых гамма-процессов ^ (£), 52 (0 и их производных^/ (i), 52' (t) определится при этом соотношением
р^ (51) 5г» 51 > 5г) = р (51? 5i) pi) р (52) 5г; р^)*(2.5.28)
Если теперь в соотношении (28) выполнить переход к новым переменным ц = 5/(51 + 5г)) и = 5г с учетом якобиана преобразования переменных д (51, 62)/^ Ob ^) = ^2/(1 ~ л)4) то поел интегрирования по и и и получим нужную нам совместную плотность вероятности бэта-процесса ц (^) и его производной ц' (^) в совпадающие моменты времени:
21<-лг"(0) Г^ГЫ
xl^j^r-^-r-m))■ KIM). (2.5.29)
случайных гамма-прО'случайных гамма-прО'Рис. 2.9. Среднее число положительных пересечений уровня Н случайным процессом с Р-р аспределениемРис. 2.9. Среднее число положительных пересечений уровня Н случайным процессом с Р-р аспределением
случайных гамма-прО'
случайных гамма-прО'
Рис. 2.9. Среднее число положительных пересечений уровня Н случайным процессом с Р-р аспределением
Рис. 2.9. Среднее число положительных пересечений уровня Н случайным процессом с Р-р аспределением
Среднее число выбросов находим по общей формуле
N? (Я) = ч'Р (Н, if) Ят/ =
О
(2.5.30)(2.5.30)-^———-^—^^7У^1-1^2 И j^x^r-Vt
(2.5.30)
(2.5.30)
1/Тг (Цх) Г (ц2)'
Входящий в результирующее выражение (30) параметр г" (0) связан с корреляционной функцией исходных гауссовских про
цессов, являющихся порождающими для цессов ^ (£) и £2 W в определении (25). Можно показать [23], что нормированная корреляционная функция гл (т) рассматриваемого бэта-процесса г) (£) выражается через соответствующую функцию г (т) исходных гауссовских компонент формулой
ч (т)= (^г +г2 <т)) 2^1 (1; 1; Рх +
+ из +1; г2 (т)) - -^ -
(Hl + Ий) Г2 (т) р /4.9... I ., I~+И2 +
+ 2;^(т)),(2.5.31)
где 2^1 (а; Р; ?; ^) — гипергеометрическая функция.
Значение г/' (0) = -^- гп (т) | ^ определяется при этом выражением
< (0) = 2 (цх 4- р2) г" (О)/(рх + р2 — 1), р-х + р2 > 1,
и, следовательно,
(2.5.32)(2.5.32)г" (0) - (И1 + Н2 - 1) г^ (0)/2 (^ + ц2).
(2.5.32)
(2.5.32)
После подстановки (32) в (30) получим окончательную формулу для среднего числа положительных пересечений уровня Н стационарным случайным процессом с бэта-распределением:
N + ш, V- (^1 + fe - 1) у(0) Г (Их + р2 — 1/2) |/"2л (цг -|- ц2) Г (p-i) Г (р,2)
(2.5.33)(2.5.33)х н^1'2 (1 - н^42, я е (0,1).
(2.5.33)
(2.5.33)
Результаты расчетов по формуле (33) представлены на рис. 2.9' кривыми: 1 — (pi = р2 = 1), 2 — (pi = 1, р2 = 2), 3 — (рх = lt р2 = 3), 4 - (рх = 2, р2 = 2) и 5 - (рх = 3, р3 = 1).
Процесс с логарифмически нормальным распределением. Рассмотрим стационарный дифференцируемый случайный про- Цесс ц (f^ одномерная плотность вероятности которого р^ (т]) со-
ответствует логарифмически нормальному распределению:
Рп(п) = —Л=-ехр(S4’ ^t0’00)'(2.5.34)
Если предположить, что 5 (£) — стационарный гауссовский процесс с математическим ожиданием М {g (£)} = 0 и корреляционной функцией R^ (т) = о2г (т), —R^" (0) < оо, то анализ процесса т] (£) можно проводить на основе известной функциональной связи
I (0 ->- ехр ^^ = к\ (г), g (i) = In Г) (i).(2.5.35)
Преобразование (35) является взаимно однозначным, и, следовательно, при нахождении среднего числа положительных пересечений уровня Н для процесса р (£) можно воспользоваться формулой (2.4.6) и соответствующим выражением (2.2.9) для N^ (Я) = = N^* (И, 1) гауссовского процесса. Так, при Т = 1 получим
Я/ (Я) = N^ (Н, 1) = (2л)"1 У-г” (0) exp (-In2 HI^Y
Н > 0.(2.5.36)
Для того чтобы выразить параметр г" (0) через корреляционную функцию Яг| (т) исследуемого процесса ц (£), предварительно заметим, что функциональная связь (35) приводит в данном случае и к однозначной связи между дисперсиями производных о^2 = = (М (р2 (£)})^а^'2. Следовательно, если функция R^ (т) имеет вид Яг| (т) = о^2^ (т), то будет выполняться равенство
-А’(О)—(2-5.37)
Используя теперь общую формулу для моментов логарифмически нормального распределения (34)
тп^ = М {ц^ (£)} = ехр (^о2^),(2.5.38)
находим ш2 = М {р2 (£)} = ехр (2о2),о^2 = т2 — тп^* =
= ехр (о2) [ехр (о2)— 1] и в соответствии с (37) получаем
->■•(0)=^г'№'<2-5-39)
Окончательное выражение для среднего числа выбросов процесса т] (0 с логарифмически нормальным распределением примет вид.
N^ (Я) = (гло)"1 [(е^2 — 1) < (0)]1^ ехр (-In2 Я/2о2),
Я > 0.(2.5.40)
В заключение отметим, что логарифмически нормальное распределение играет в теории перемножения независимых случайных величин такую же важную роль, как нормальное в теории суммирования. Для него выполняется аналог центральной предельной теоремы: распределение произведения п независимых положительных случайных величин при некоторых общих условиях стремится
к логарифмически нормальному распределению при п —> оо.. В простейшем случае, если два независимых случайных процесса ^ (£) и ц2 (0 характеризуются логарифмически нормальными распределениями вида (34), их произведение ц (£) = гц (^) ц2 (О также будет иметь логарифмически нормальное распределение. Отсюда, в частности, следует, что формулы (36) и (40) могут быть попользованы и при нахождении среднего числа выбросов N^ (Н,. 1) случайных процессов вида
т] № = Л1 (0 Лг (0 = ехр [^ (#)] exp [f2 (()].
Сумма гармонического колебания и гауссовского процесса.. Вычислим среднее число положительных пересечений уровня Н процессом
т] (0 = * (i) + g ^,(2.5.41)
где s (/) — гармоническое колебание вида
s (i) = Ат cos (cosi + ср0),(2.5.42)
£ (£) — гауссовский стационарный случайный процесс с математическим ожиданием т^ = 0 и корреляционной функцией
R (т) = а^г (Т),—Н" (0) < оо.(2.5.43),
Амплитуду Ат и частоту cos колебания s (£) будем считать здесь постоянными величинами, а начальная фаза ф0 может быть постоянной или случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [—л, л].
Предположим сначала, что начальная фаза ф0 фиксирована. Тогда процесс г) (£) будет гауссовским периодически нестационарным с периодом Т8 = 2л/со5. Математическое ожидание и корреляционная функция процесса ц (£)
т^ (<) = М (т) (<)} = Ат cos (го, t + фо), RA (т) = R (т) = = о2г (т).
Для решения задачи в данном случае можно воспользоваться формулами (2.2.1) — (2.2.3), в которых нужно положить
= — GV (0), гпа. (0 = А- т^ (0 = — a>sAm sin (о^ + ф0),
гг (г) = 0, М (/) = т^ (^)/О1.
Если подставить эти выражения в формулу (2.2.2) и учесть, что для интеграла вероятности (П-1) справедливо соотношение ф (—ж) = 1 — Ф ^х\ то на основании формулы (2.2.1) для среднего числа положительных пересечений уровня Н процессом т] (^)
получим
_ .( Н — cos (to t 4-'
AVш,т^— \ Ф' — » У । х
X (ф' (+ ^ ^ sin (0)5t + Фо) X
ф-1(2.5.44)
где Ф' ^ — производная от интеграла вероятности (П-1)^ т. е. Ф' ^ = (2n)~V2 exp (—#2/2).
Заметим, что из-за нестационарности процесса ц (^) среднее число выбросов при фиксированном значении Т зависит от выбора «начального» момента времени t0, а при заданном t0 — от значения начальной фазы ф0. Однако если взять Т кратным периоду Т8 гармонического колебания s (£), то зависимость от t0 или ф0 устраняется.
Действительно, пусть Т = Т8 = 2nl^s. Введем вместо t новую переменную интегрирования ф = tost + ф0 и учтем, что подынтегральное выражение периодично по ф с периодом 2л, а значение
С~ ^СОЗф \
X Ф (| sin ф Дф = О
JIу т т
—Л7
вследствие нечетности подынтегральной функции. Тогда, согласно формуле (44), окончательный результат можно записать в следующем виде:
.1/ Я — Л cos ф \
NJ(H,TS) = ±-N^H,Ts) =\ Ф' fI X
5 -л {/ co А\ со А / со А \)
Ф' (■ 5 m sinib Н£-_т_ф ( —L22. sin 11) sinil)>di|) =
Л 2 С = — \ Ф' (h — a cos ф) {Ф' (а^ sin тр) + о
+ а^зшф[Ф (aqsin ф) —- V2]} ^Ф,(2.5.45)
где
а = Aja, q = JN^ (0) = ®s/|<-r" (0), h, = H/a,
ДГ/ (0) = N^ (0, 1) = (2л)-1 /(2.5.46)
Если процесс ц (i) в соответствии с определением (41) интерпрети- ровать как сумму гармонического сигнала $ (^) и гауссовского шума ^ (t), то в формулах (45), (46) величина а характеризует отношение сигнал-шум, q — отношение частоты сигнала s (t) к среднему числу «положительных нулей» шума £ (^) в единицу времени/ h — относительный уровень.
Рассмотрим случай, когда начальная фаза фо является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [—л, л]. Процесс ц (£) будет при этом стационарным, и, следовательно, при любом значении временного интервала Ио, ^о + Л среднее число положительных пересечений N^ (Н, Т) не должно зависеть от выбора ^0 и ф0. Для вычисления Яп+ (Я, Т) необходимо осреднить правую часть выражения (44) по переменной ф0 с плотностью вероятности р (ф0) = 1/2л, где ф0 Е [—л, л]. Если выполнить такое осреднение (интегрирование) по ф0, а затем сделать замену переменной ф0 на ф = tost + ф0 и с учетом периодичности подынтегрального выражения положить Т = Ts, то в результате вновь придем к формуле (45),
Следовательно, основная формула (45), определяющая среднее число положительных пересечений уровня Н суммой гармонического колебания и гауссовского стационарного процесса на интервале времени, равном одному периоду колебания Т8, применима как при постоянной, так и при случайной начальной фазе ф0.
Отметим, что из общей формулы (45) получаются известные частные результаты. Так, например, если сигнал отсутствует (Ат = 0), то, полагая в формуле (45) а = 0, Ф' (0) = 1/2л, получим выражение для среднего числа положительных пересечений уровня Н стационарным гауссовским процессом £ (£) на интервале времени [£0, ^о + ^J = Ю, Tsi:
AV (Я, Г8) = N^+ (Я, Ts) = TSN^ (°, 1) exp (- A2/2) =
= Ts (f— r" (0)/2n) exp [- Я2/2о2].
Очевидно, что среднее число положительных выбросов гармонического колебания за период на любом уровне | Я | < Ат всегда равно единице. Чтобы получить этот результат, нужно положить интенсивность шума стремящейся к нулю (o' ->• 0). При этом а -> оо, К —►- оо и если учесть, что Ф' (оо) = 0, Ф (оо) — 1, Ф (— оо) = 0, то из формулы (45) следует
Л
AV (Я, Г.,) = N* (Н, Ts) = а § Ф' (А — a cos ip) sin ip Яф = о
ТГ1при|Я1<Лт(
^= \ Ф'(^)^ = Ф(Л + а)-Ф(й-а)= п о- \/ [0при|Я|>Лт.
Выражение (45) для среднего числа положительных выбросов является не единственным; оно может быть представлено и в нескольких других видах [75, 141].
Результаты расчетов по формуле (45) на ЭВМ частично представлены на рис. 2.10 и 2.11, из которых видно, что все кривые ^V (^, ^s) при увеличении отношения сигнал-шум а = Ат!о асимптотически приближаются к значению ИтЯ^Я, Т^ = 1, т. е. к среднему числу положительных пересечений уровня Я < Ат Одним гармоническим сигналом. Характер такого приближения
^Га, У
Рис. 2.10. Влияние отношения сигнал-шум а = Ат/б на среднее число положительных пересечений уЛ^^ (Д, Т^ уровня К = Н/б процессом ц (г) = = s ^ + ^ ^ при различных значениях параметра q
Рис. 2.11. Влияние отношения сигнал-шум а = Ат1б на среднее число положительных пересечении N^ (ft, Т^ при разных значениях параметра q и относительных уровнях Н = = Нк
Z7 /2 J4 а =4^/6
может быть разным в зависимости от соотношения между параметрами a, h и q. При некоторых соотношениях зависимости стремятся к предельному значению, равному единице, монотонно убывая или монотонно возрастая, а при других имеет место «колебательный» характер приближения к асимптотическому значению (т. е. сначала кривая плавно возрастает до своего максимального значения, а затем монотонно спадает, приближаясь сверху к единице)..
]\1ожно также заметить (см. рис. 2.11), что при увеличении отношения сигнал-шум среднее число пересечений N^ (h, Ts) становится менее чувствительным к изменениям относительного уровня h - Я/п.
Огибающая, фаза и частота узкополосного процесса. При рассмотрении суммы гармонического колебания и стационарного ивазигармонического случайного процесса с корреляционной функцией вида
R (т) = а2г (т) = о2р (т) cos (оотЛ —R" (0) < ооЛ (2.5.47)
в разд. 1.7 были введены понятия огибающей У (£) и фазы ф (£). Пользуясь определениями (1.7.20) и (1.7.21), вычислим среднее число положительных пересечений заданного уровня для огибающей У (£), фазы ф (£) и частоты (производной от фазы) ф' (£).
Выбросы огибающей. Совместная плотность вероятности р (У, У') = р (У (£), V (£))для значений огибающей У (£) и ее производной У' (^) в совпадающие моменты времени, согласно (1.7.32), может быть записана в виде
X ехР (252 Ь 2с>2ро" / ^° ( о2 ) ’
ро" = р"(О),У е[0, оо),У'е (-оо,оо).(2.5.48)
Учитывая статистическую независимость значений У (£) и У' (^), при нахождении среднего числа положительных пересечений уровня Н случайным процессом У (£) воспользуемся формулой (2.1.26),; которая после подстановки плотности вероятности (48) и простого интегрирования приводит к результату
/V? (Я) = Ny* кН, 1) = ( - -g-p (4) X
Хехр'^-т)Уа У) 1 ^а = о-1Ат, Н>0.
(2.5.49)
Полагая здесь а = 0, находим среднее число положительных выбросов в единицу времени огибающей A (t) квазигармоническо- го гауссовского процесса:
N^ (Я) = Na+ (Н, 1) = (-p072n)V2 (Я/а)>хр (-Я2/2о2),
Я > 0.(2.5.50)
Из определения (1.7.6) огибающей А (£) и свойств (1.7.9)х (1.7.12), (1.7.13) следует, что функцию А (£) можно рассматривать как %-процесс (1.6.2) с двумя степенями свободы. Поэтому естественно, что формула (50) является частным случаем формулы (4) при п = 2, т. е. совпадает с результатом (13).
Учитывая равенство —р" (0) = Х2° = х2Асоэ2, выражение (50) может быть представлено и в иной форме:
Кд* (Я, 1) = (1//2S) хА(оэ (Я/a) ехр (-Я2/2(Т2).(2.5.51)
Если с целью конкретизации результатов предположить, что функция р (т) в выражении (47) имеет вид одной из нормированных корреляционных функций, записанных в табл. 1.1, то для нахождения NA+ (Н, 1) в формулу (51) достаточно подставить из табл. 1.1 лишь значение соответствующего коэффициента х.
Так, в частности, при гауссовой форме спектральной плотности квазигармонического процесса £ (^) имеем
р (т) = ехр (~лА/э2т2),_р0" = х2 (2лА/ )2 - 2лА//
и для среднего числа выбросов огибающей А (£) получим
ЯА+ (Я, 1) = А/э (Я/а) ехр (—Я2/2о2).(2.5.52)
Если спектральная плотность процесса £ (0 постоянна в некотором интервале частот | со — соо | ^ Асоэ/2 и равна нулю вне этого интервала, то
и, следовательно,
N/ (Я, Т) - (л/б)1/^^ (Я/о) ехр (-Я2/2о2).(2.5.53)
Из сравнения формул (49) и (50) ясно, что
Яу+ (Я, 1) = N^ (Я, 1) е-^Ц (аН/о), Я > 0,(2.5.54)
а поэтому при рассмотрении среднего числа выбросов Яу+ (Я, 1) огибающей V (^) суммы гармонического колебания и случайного квазигармонического процесса достаточно просто могут быть записаны результаты, аналогичные результатам (51) — (53).
Выбросы фазы. Вычислим среднее число положительных пересечений некоторого фиксированного уровня ф0 случайной фазой ф (^) на интервале времени [0, ТА = [0, 1]. Предварительно будем считать, что возможные значения как ф (^), так и ф0 заключены в интервале [—л, л], т. е. начнем рассмотрение с задачи нахождения числа выбросов приведенной фазы ф (£) ЕЕ [—л, л].
Если воспользоваться выражением (1.7.31) для совместной плотности вероятности р (у, г/, ф, ф') и определить функцию
р (ф, ф') — р (ф (^), ф' (^)) — ^ dvr ^ р (у, и', ф, ф') du,
—со 0
т0 на основе общей формулы (2.1.22) может быть получено выражение для среднего числа выбросов фазы:
/W (фо) = ^+ (ф0, 1) = Ф> (Фо, Ф') d^' = о
= -^ К — Ро" ехр [|- a? sin2 ф0) Ф (a cos ф0),
фо ЕЕ [— л, л],(2.5.55)
где ф (я) — интеграл вероятности (П-1).
В частном случае при уровне ф0 = ±л из формулы (55) следует
N^ (±л) - (1/2л) f ^7[1 — Ф (а)].(2.5.56)
Если сигнал отсутствует (а = 0), то ф (£) = ф (^), ф0 = Фо и с учетом равенства —р0" = х2Дсоэ2 формула (55) приводит к простому результату
^+ (Фо) = ^V (Фо, 1) = ^1/4л) /^Г = V2xA/„
Фо е [—Л, л].(2.5.57)
Таким образом, среднее число выбросов приведенной фазы Ф (£) ЕЕ [—л, л] квазигармонического процесса £ (£) полностью определяется шириной и формой спектральной плотности этого процесса £ (£). Независимость величины N^ (ф0) от выбранного уровня ф0 объясняется здесь тем, что для рассматриваемого квазигармонического процесса £ (£) приведенная случайная фаза ф (£) имеет равномерное распределение на интервале [—л, л].
По мере увеличения отношения сигнал-шум а = Ат(а плотность вероятности р^ (ф) приведенной фазы ф (£) сужается (см. рис. 1.9) и в пределе при очень больших значениях а переходит в дельта-функцию. Поэтому при достаточно больших отношениях сигнал-шум в формуле (55) можно положить sin ф0 ~ ф0, cos ф0 ~ ^ 1, Ф (а) ~ 1 и, следовательно,
Ni* (тро) = (1/2л) /^W exp (-Vaa^o2), а > 1.(2.5.58)
По существу, эта формула определяет среднее число выбросов гауссовского стационарного процесса; ее можно было написать сразу, если учесть, что при больших а случайную фазу ф (£) можно считать нормально распределенной величиной.
На рис. 2.12 приведены зависимости числа положительных выбросов случайной фазы ф (£) от уровня ф0 при трех значениях отношения сигнал-шум: а = 0; 1 и 3.
В некоторых случаях, например, когда используется обычный фазовый детектор с предварительным ограничителем, представляют интерес выбросы не самой фазы ф (£), a cos ф (£) или sin ф(^). Для среднего числа положительных выбросов косинуса фазы cos ф (£) = £ (^) после несложных преобразований получается
следующая формула:
N? (So) = (1/л) f^/exp [-V2a2 (1 - So2)] Ф («So),
I So I < 1.(2.5.59)
В отсутствие сигнала отсюда имеем
^1+ (So) = САл) К^р^ = хА/э, | So I < 1.(2.5.60)
Таким образом, среднее число выбросов косинуса фазы квази- гармонического процесса не зависит от уровня и в 2 раза больше среднего числа выбросов самой фазы (57).
Перейдем к рассмотрению задачи о выбросах случайной фазы в более общей постановке и снимем наложенное ранее ограничение на возможные изменения фазы лишь в интервале [—л, л]. Подобная задача представляет самостоятельный интерес, например, при анализе помехоустойчивости приема частотно-модулированных сигналов на фоне флюктуационного шума [124, 125, 143].
Будем считать, что имеется сумма сигнала s (£) = Ат"cos [соо^ + + х (^)1 и квазигармонического шума ^ ^ = А W cos [соо^ + + Ф (01» причем х № — некоторый сравнительно медленно изменяющийся дифференцируемый случайный процесс. Для удобства анализа представим такую сумму сигнала и шума в следующем виде:
(0 + ^ (0 = ^m cos [соо^ + X (01 + Л (0 cos [соо^ + X (0 — — х (01 — As (0 sin [соо^ + X (0 — X (01 = VAm +
+ X (01 cos [coo^ + X (01 — Л (0 sin t^o ^ + X (01 =
= V (0 cos [coo^ + X (0 + © (01,(2.5.61)
где
X (0 = Ac (t) cos x (0 + As (t) sin x (0»(2.5.62)
T) W = As W cos x (0 — Ac (t) sin x (0»
tg0(O =т](0/Ит + Х(0), V(t) = ^Am + X№ +
+ Л2 (OP2-(2.5.63)
Учитывая, что основной интерес представляет в данном случае характер поведения случайной фазы 0 (0, геометрическое представление суммы сигнала и шума (61) может быть дано в виде векторной диаграммы (рис. 2.13), отражающей поведение вектора- шума относительно вектора-сигнала.
При изменении случайных переменных Ас (£) и As W вектор V Wt т- е- точка Pi будет случайным образом «блуждать» по плоскости ху около точки Q, обозначающей конец вектора-сигнала. При таком случайном блуждании фаза 0 W временами будет выходить из интервала [—л, л]. Всякий раз, когда фаза О W выходит из интервала [л, л], будем говорить, что имеет место перескок фазы О (t). Очевидно, что среднее число перескоков фазы N (Т) на интервале времени [0, Т\ равно сумме N* (Т) + N- (Т), где № (Т) — среднее число «положительных» пересечений фазой 0 W уровня л,
Рис. 2.12. Зависимость среднего числа выбросов случайной фазы узкополосного процесса от уровня ф0 при различных отношениях сигнал-шум: а = О, 1 и 3
Рис. 2.13. Геометрическое представление суммы гармонического Сигнала и узкополосного случайного процесса
a N" (7) — среднее число «отрицательных» пересечений фазой 0 (Z) уровня —л на интервале времени [О, Т\. Вычислим среднее число перескоков фазы 0 (Z) на некотором интервале времени [О, ТА. Рассматривая характер случайного блуждания точки Р (см. рис. 2.13), можно заметить, что «положительные» пересечения уровня л происходят в том случае, когда в результате вращения вектора V (Z) против часовой стрелки точка Р попадает в третью четверть прямоугольной системы координат ху. В свою очередь, это связано с одновременным выполнением двух условий: 1) случайная переменная р (Z), уменьшаясь, проходит через значение Л (Z) = 0; 2) случайная переменная X (Z) принимает значения
Если известна совместная плотность вероятности р^ (X (Z), т] (Z), Л' (Z)), то вероятность того, что интересующее нас событие произойдет в интервале времени (Z, t + dt), очевидно, равна
^т —ОО
(2.5.64)(2.5.64)q^^dt^dt ^ dX ^ л' (Z) р^ (X (t), 0, л' (Z)) dif\'e
(2.5.64)
(2.5.64)
Для непрерывного дифференцируемого процесса 0 (Z) можно считать, что на достаточно малом элементарном временном интервале dt возможно появление не более одного пересечения, причем вероятность такого пересечения равна g+ (Z) dt.
Обозначим вероятность отсутствия пересечения на интервале ^t через q^t\ Тогда по известным правилам находим интенсивность пересечений на элементарном интервале (Z, t + dt)
N* (Z) dt = l-q+ (t) dt + O*qo (Z) — q^ (Z) dt
и соответственно среднее число положительных пересечений уровня л на рассматриваемом временном интервале [О, ТА
т
N+(T) = ^q+(t)dt.(2.5.65)
о
Отрицательные пересечения уровня —л происходят тогда, когда при вращении вектора V (t) по часовой стрелке точка Р попадает во вторую четверть. При этом переменная ц (£), возрастая, проходит через значение ц (£) = 0, и одновременно должно выполняться неравенство X (£) < —Ат. Поэтому можем написать
т
N-^^q’^cit.(2.5.66)
о где
q~ (г) dt= dt ^ dK ^ ц' (£) р2 (^ ^у 0, ц' (^)) с/ц'.(2.5.67)
При нахождении плотности вероятности р2 (^ (0, Ц (£)> 'И' (£)) будем пока считать функцию % (£) в выражениях (62) неслучайной. Тогда случайные переменные X (^), ц (£) и
т)' (0 = As' ^ cos X (О — Ас (О sin X (0 — х' (О ^ (О (2.5.68)
будут совместно гауссовскими. Из выражений (62) и (68) с учетом характеристик Лс (£) и As (t) находим первые и вторые моменты случайных функций К (£), ц (t) и ц' (t):
М (X (^)) = М {ц ^ = М (ц' (^)) = О,
м (X2 (г)} = М(ц2 (0) = И2, м {ц'2 №) = - п2Ро" + О2/ (0,
ПоэтомуР2 (К, Т], Т]') = р^ (Т)) р (X, Т]') =ХехоГ- X2 + t)2 х е р I 2б22ПоэтомуР2 (К, Т], Т]') = р^ (Т)) р (X, Т]') =ХехоГ- X2 + t)2 х е р I 2б2211(2л)’/г а3]/-— р0'(2л)’/г а3]/-— р0'(2.5.70)(2.5.70)
Поэтому
Р2 (К, Т], Т]') = р^ (Т)) р (X, Т]') =
ХехоГ- X2 + t)2 х е р I 2б22
Поэтому
Р2 (К, Т], Т]') = р^ (Т)) р (X, Т]') =
ХехоГ- X2 + t)2 х е р I 2б22
1
1
(2л)’/г а3]/-— р0'
(2л)’/г а3]/-— р0'
(2.5.70)
(2.5.70)
Подставив плотность вероятности (70) в выражение (64), имеем
а* (л -1 Tax f и' ехп Г - —W + W1
9 ( } “ (2л)’/.оз Д j| П Р *•262 202 (“ Р0"’ ^
Если здесь перейти к новым переменным и = —Х/а, и = = — ц'/и У— ро", то можем написать
q4t)q4t)— ^ ■ ^— е*иг^ du ^ и ехр ^^- (у + ум)2] du, (2.5.71)
q4t)
q4t)
^л^ а. о
где
а = Aja, Т (0 = %' (t)//- р0".(2.5.72)
Выполнив еще одну замену переменных z = — (р + ум), находим внутренний интеграл:
S
°°г 11 р
и ехр^ (^ + Vм)2 ^ — \ (^ + Vм) ^"z2/2 ^ —
о—уи
— ехр [— (ум)2/2] — У2л умф (— ум),
где Ф (я) — интеграл вероятности (П-1).
Следовательно,
7+(0 = ^fe^Ibp [--r^d + v2)] -
—]/*2л ум5*и2/2Ф (— ум)} du.
Здесь как первый интеграл, так и второй сводятся к функции Ф (я); при вычислении второго интеграла нужно предварительно воспользоваться интегрированием по частям.
В результате окончательно получим
q+ ^ = 'ST V— ро" [К1 + У2 Ф (— а /1 + У2) — уе-°2/2Ф (_ а?)]_
(2.5.73)
Подставив плотность вероятности (70) в равенство (67), нетрудно убедиться, что выражение для q* (£) получается"из q1- (£) изменением знака у, т. е.
9~ ^ = ^ V — Р°" С/1 + У2 Ф (— а 1^1 + У2) + уе-“У2ф (а?)].
(2.5.74)
Из формул (73) и (74) с учетом равенства Ф (я) + Ф (—ж) = 1 находим
7+ (0 + q" (0 = ^^ {/Л7? Ф (- a f ТТ7) +
+ Te-a2/2^(a7)__Ljj)(2.5.75)
Ч* W - q- (t) = - -^ K^7 ?e-“72= - -^ e-V2.(2.5.7 )
Используя эти соотношения, по формулам (65) и (66) можно вычислить среднее число перескоков фазы 0 (^) на интервале времени [0, Г], а также разность среднего числа положительных и отрицательных перескоков. В частности, для разности числа перескоков фазы получается простая формула
ДГ+ (Г) _ N- (Т) ^ ^ [% (0) - х (Г)] ехр (.- «W (2.5.77)
Рассмотрим несколько частных примеров.
Пусть сигнал отсутствует (Ат = 0). Тогда, полагая в предыдущих выражениях а = 0, % (^) = 0, у (£) = 0, получим q* (t) = = f W = (4л)”1 ]Л —р0". Этот результат согласуется с формулой •(57). В данном случае
N^ (Г) + N- (Г) == 7хАД„
ЛГ+(7’)-ДГ-(Г) = 0.(2.5.78)
Предположим, что сигнал s (£) является гармоническим, но частота сигнала не совпадает с центральной частотой квази- гармонического процесса £ (£), т. е. положим % (£) = Qo^, у = = Qo/ ]/ —р0" = const. Для этого примера получим
N" (Г) - № (Т) = (Йо№) ^2/2, №" (Т) = TN^ (2.5.79) где N^ — среднее число положительных пересечений уровня л -фазой 0 (£) в единицу времени:
= q* = (]/=^72л) [/1Т?Ф к™» /ГТ?) -
- 7e-“W (-а7)], у = Qo/y_Po".(2.5.80)
Из формулы (79) видно, что при Qo > 0 среднее число отрицательных перескоков N~ (Т) фазы 0 (£) больше числа положитель- щых перескоков N+ (Т) и наоборот.
Если в формулах (79), (80) положить Qo = 0 (т. е. у = 0), то они будут определять среднее число перескоков фазы суммы гармонического сигнала и квазигармонического процесса, когда частота сигнала s (£) совпадает с центральной частотой спектра процесса £ (£). Для такого случая получим
N* (7) = N" (7) = (7/2л)]/=р7 Ф (-а) = 7хА/э [1 -
- Ф (а)].(2.5.81)
Эта формула совпадает с результатом (56) и дает ему наглядное физическое пояснение.
На рис. 2.14 представлены результаты расчетов по формуле {80) для трех значений отношения сигнал-шум: а = 1; 2 и 3. Горизонтальная прямая соответствует а = 0.
Пусть % (£) — гауссовский стационарный дифференцируемый процесс. Тогда производная %' (£) также будет гауссовским стационарным процессом. Одномерная плотность вероятности производной %' (£)
Р (х') = (2ла12)-/2 exp (—х'2^2),М {%'} = 0, М (х'2} =
= аД(2.5.82)
а плотность вероятности процесса у (i) = х' (0/1^—Ро" будет иметь вид
р {у) = (2ла72)~*/= exp (—72/2ov2),о72 = Gil—р0". (2.5.83)
Рис. 2.14. Среднее число положительных перескоков фазы в единицу времепп для суммы гармонического сигнала и узкополосного шумаРис. 2.14. Среднее число положительных перескоков фазы в единицу времепп для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума— уф (— tzy) ^-а2/2] ехр— уф (— tzy) ^-а2/2] ехр
Рис. 2.14. Среднее число положительных перескоков фазы в единицу времепп для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума
Рис. 2.14. Среднее число положительных перескоков фазы в единицу времепп для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума
— уф (— tzy) ^-а2/2] ехр
— уф (— tzy) ^-а2/2] ехр
Рассматриваемый пример имеет ту особенность, что выражения для q^ (О зависят от значения случайной функции %' (£) в момент времени t. Поскольку плотность вероятности этих значений известна (82), то при вычислении величин N^ (71) нужно выполнить дополнительную операцию — вероятностное осреднение по %' (t) или у (£). В принципе это осреднение можно производить на любом этапе вычисления № (Г). Так,fio( y/z
например, осредняя выражение ZZ7°X1,,р1 (73), имеем
м (д+ (<)} = $ q* р (у)
(2.5.84)
Среднее число положительных перескоков фазы N+ (Т) теперь нужно вычислять по формуле
т
ДГ+^^М <q+ (t)}dt.
о
(2.5.85) Аналогичный вид будет иметь формула и для среднего числа отрицательных перескоков фазы.
Подставив выражения (73) и (83) в (84) и применяя несколько
раз интегрирование по частям, получим
м^}^.^ ^ < [/1 + т2Ф(-й/1 + т2)- CJ (2л)7 2 J
(2.5.86)(2.5.86)— -^ V— Ро7^ ^ е *2(1 + -c^x^^dx.а/VI
(2.5.86)
(2.5.86)
При больших а эта формула может быть упрощена. Для этого следует воспользоваться асимптотическим представлением интеграла вероятности (П-8) и соответственно положить
ф (_ а /1 + Т2) ^ —„J еХр Г — 4- «= (1 + у2) 1. а 2л (1 + у2) LJ
Тогда получим
М<7+}^7^ ^^^ a = Aml^i. (2.5.87,
Так как после вероятностного осреднения ^+ не зависит от времени, то
ГГ (7) = TN^ N^ = М Vq^.(2.5.88)
Укажем, что в рассмотренном примере среднее число перескоков фазы уменьшается при увеличении отношения сигнал-шум а и увеличивается с ростом дисперсии о\2.
Выбросы частоты. Рассмотрим задачу о вычислении среднего числа пересечений заданного уровня случайной частотой, т. е. процессом ф' (£), представляющим собой производную от фазы ф (£). Для решения подобной задачи применительно к сумме гармонического колебания 5 (£) и квазигармонического процесса 5 (^) с корреляционной функцией вида (47) необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности р (ф' (£), ф" (£)) = р (ф', ф") для значений первой ф' = ф' (£) и второй ф" = ф" (£) производных от фазы ф (£) в один и тот же момент времени. С этой целью, воспользовавшись интегралом (П-9), проинтегрируем плотность вероятности (1.7.29) по if в пределах от — оо до оо:
р (i;, V, ф, ф', ф") = ^ р (р, и', Vм, ф, ф', ф") du" =
оГ"I
~(Р^-Ро"2) еХРJ Х
X ехр {(2р0")-1 (р<4) - ро"3)"1 [- ро" (р^4) - ро"2) v" +
+ 2р0" (ро4) — ро"2) av cos ар + (р^4) — ро"3) у2л|)'2 +
+ (Ро4) — Ро"2) у'2 — Ро" (4г/ар'2 + 4ууЛ-фЛ1р" + п2ар"2) -|_
+ 2аро"а (2у'гр' + nap") sin ар + а2ро"3 cos2 ар]}*(2.5.89)
Теперь, проинтегрировав найденную плотность вероятности (89) по переменной и в пределах от — оо до оо, получим
р (n, ip, ар', ар") = Т^Г ]/- ехр ( - 4-а2) х Г 1
X ехр2“ w (Ф') у2 + аи cos Ф —
(2.5.90) следующие(2.5.91)(2.5.90) следующие(2.5.91)у Д (ар') (пар" — ар0" sin ар)2 J.
(2.5.90) следующие
(2.5.91)
(2.5.90) следующие
(2.5.91)
Здесь и в последующих выражениях использованы обозначения:
w ОЮ = (— Ро")”1 (^'’ — Ро") > °>ю0 = tn <^o'),
Д (ар') = (р<4) - ро"2 - 4р0"ар'2)-1 > О, До = Д (ар0').
Переходя к решению основной задачи, рассмотрим предварительно два простых частных случая.
Пусть сигнал отсутствует, т. е. а = 0. При этом У (^) = = Л (^), ф (£)= Ф (0 и из выражения (90) применительно к одному
квазигармоническому процессу § (£) получаем совместную плотность вероятности огибающей z = A!g4 фазы ф и ее первых двух производных ф И ф I
р^.ф-ф-ф)-^]/ ^-Х
X exp [^LaAz2 La(ф') ^] .(2.5.92)
Отсюда
Л
/)(^,ф',ф")=Р (2, ф, ф', ф") (/ф =
=4У"Ж”' [4^'->w'].
‘(2.5.93)
Согласно основной формуле (2.1.22), среднее число положительных пересечений фиксированного уровня ф0' = const процессом ф' (0 на интервале времени [О, Г] = [О, 1]
ОООО ОО
^+ (фо') = 5 ФР (ф° ’ ф") ^ф" = $ ^ ф^ (2’ Ф°'’ ф") ^ф” az-
О0 0
Подставив сюда выражение (93) и выполнив интегрирование сначала по ф", а затем по z, получим окончательную формулу для среднего числа положительных выбросов случайной частоты ф' (0 квазпгармонического процесса:
2niz; (ф/) V— Ро"Д (Фо')
- ATw^,') f ро" (4ро"Фо'2 + ро"2 - рП.(2.5.94)
Найденная функция Nx (ф0') имеет максимум при ф0' = фш' = = /(ро«) - Зро"2)/2ро".
Следует, конечно, подчеркнуть, что выбросы случайной частоты ф' (t) можно вычислять лишь для дважды дифференцируемых случайных процессов, т. е. для процессов £ (£), корреляционная функция которых удовлетворяет условию (1.3.5) при п = 2:
Я(>) = А_7?(т)|т=0<оо.
Применительно к квазигармоническому процессу £ (i) с гауссовым и прямоугольным спектрами основная формула (94) принимает соответственно вид
(ф0')=^-д/э (4’
р (т) = ехр (— лА/э2т2),(2.5.95)
^ (Фо') _ д/ (А. + 2, vW’/tl + V), р (Т) = -Al^LL , \ XUUI,4\#UXl L
(2.5.96)
тде
^0 = ^ (фо') = ]/Зфо' /лА/э.
Характер поведения кривых (95) и (96) в зависимости от уровня ф'о различен (см. рис. 2.15). Функция (95) имеет максимум при Фо = Фт' = 0 и монотонно уменьшается с ростом ф0\ а функция (96) с увеличением фо' сначала растет, достигает максимума при фо' = фт' — л А//]/5 и затем плавно уменьшается.
Предположим, что отношение сигнал-шум велико (^ ^> 1). Тогда ф' (£) ~ Д' ^1 Ат и, следовательно, можно приближенно считать, что случайная частота ф' (£) имеет нормальную плотность вероятности. Учитывая, что корреляционная функция процесса ф' (£) R^ (т) = о^'2 р" (т), о^'2 = —а“2р0" на основании известной формулы (2.2.9), определяющей среднее число положительных выбросов в единицу времени гауссовского стационарного процесса, для выбросов случайной частоты ф' (£) получим
МН ехр М^о )’ «>1.(2.5.97)
\ — Ро /\ ^Ро /
В общем случае формула для среднего числа положительных выбросов случайной частоты ф' (£) выражается через табулированные функции [75, 141]. Один из таких результатов имеет следующий вид:
^+ w»')=—Ч^'1 ■ 6-02/2 [ ехр (- 4- а2р°"2А°)х
X /о(4-a2Po'%) + 2 l+Po^L eaV2u-0 х
\ 4/2 + Po"2^o
X ■ Р°"2 ^°^° д2 (2 4~ Pq"2^oAq) \ 1(2 5 98)
'2 + ро^^оДо ’ 4и?о / J *( ' • ( /
Здесь /0 (.г) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента,
X
1е (А, я) = § е-и10 (ku) du = Ie (— к, я), о
Можно убедиться [75, 141], что из общей формулы (98) получаются как частные случаи (при а = 0 и а ^> 1 соответственно формулы (94) и (97).
Результаты вычислений по формуле (98) для двух нормированных корреляционных функций р (т) = ехр (—лА/э2т2) и р (т) = = sin (лА/т)/лА/т при нескольких значениях отношения сигнал- шум приведены на рис. 2.15.
В обоих случаях с увеличением отношения сигнал-шум а среднее число выбросов частоты ф' (i) увеличивается на малых уровнях и уменьшается на умеренных и больших уровнях. Помимо отмеченного ранее разного характера поведения кривых при а = 0, различие между кривыми рис. 2.15, состоит в том.
Рис. 2.15. Среднее число положительных пересечений уровня фо' случайной частотой ф' (i) для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума с двумя различными нормированными корреляционными функциями Р (т) COS (00ТРис. 2.15. Среднее число положительных пересечений уровня фо' случайной частотой ф' (i) для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума с двумя различными нормированными корреляционными функциями Р (т) COS (00Т
Рис. 2.15. Среднее число положительных пересечений уровня фо' случайной частотой ф' (i) для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума с двумя различными нормированными корреляционными функциями Р (т) COS (00Т
Рис. 2.15. Среднее число положительных пересечений уровня фо' случайной частотой ф' (i) для суммы гармонического сигнала и узкополосного шума с двумя различными нормированными корреляционными функциями Р (т) COS (00Т
а = Am/Gt р (т) = ехр (—лА/э2т2), р (т) = ~^д^Ч
что при одном и том же отношении сигнал-шум среднее число выбросов частоты на одном и том же уровне всегда больше для квазигармонического шума с гауссовым спектром, чем для шума с прямоугольным спектром.
Дисперсия числа пересечений
Число пересечений п (Н, Т) заданного уровня Н траекторией случайного процесса £ (£) t е [О, Г], Г < оо является случайной величиной. Для дифференцируемого процесса £ (£) с известной плотностью вероятности р (£ (£) £' (£)) = р^, t) формула (2.1.12) позволяет аналитически найти математическое ожидание (среднее значение) числа пересечений М {?г (Я, 71)} = N (Н, Г). Предполагая теперь известной совместную плотность вероятности р2 (£ (Ч), ^ (У> £ (У, ^(У) = Рг (^i, gi\ £2, ?2j th £2) для значений процесса 5 (£) и значений его производной £' (£) в два момента времени, получим общую формулу для Дисперсии D [?г (Н, 71)] случайной величины п (Н, Ту
Рассмотрение такой задачи начнем с вывода формулы для Дисперсии D [?г+ (Я, 7)1 числа положительных пересечений п+ (Н, Т) уровня Н траекторией £ (£), t ЕЕ [О, Л.
По определению дисперсия D [м+ (Я, 7)1 случайной величины ^(Н, Т)
DVn^H, 7)] = М {[тг+ (Я, Т) - М {тг+ (Я, Т7)}]2},
и на основе простых соотношений между центральными и начальными моментами для нее можно записать
D W Д, Г)] = М {[п+ (Я, 7)]2} - М2 ^ Д. Ту =
= М{[тг+(Я, Г)]2} - № (Я, Т)]2.(2.6.1)
Среднее число положительных выбросов N+ Д, Т) определяется здесь по формуле (2.1.10), и поэтому для нахождения дисперсии D Yn* Д, 71)] нужно вычислить математическое ожидание квадрата случайной величины п^ Д, Ту
Сохраняя введенные в разд. 2.1 обозначения, согласно формуле (2.1.5), для отдельной реализации № (Д £е[0, 71] процесса £ (£) имеем
п* ф, Т) = nW (н, Т) = 5 6^(2.6.2)
3=1
и соответственно
м {[«w (я, г)]2} = м {[ 3 б'-0]2}=
= 2 М {[б^]2} + 3 ЛЦб^}.(2.6.3)
j=l3^=1
кз^
Возможное число выбросов дифференцируемого процесса £ (i) на любом элементарном подынтервале Д^-, равно 0 или 1. Поэтому
М {[б^]2} = (0 - 0) Р {бр = 0} + (1 • 1) Р (6<{) = 1 > = Р1,(2.6.4)
где вероятность рг определяется формулой (2.1.9).
Математические ожидания слагаемых б/^б^ с различными индексами (/ =# к) находим по известному правилу
м {б^б^} = (0 • 0) Р {6^ = 0, б^ = 0} +
+ (0.1)Р (6^ = 0, б^= 1J +(1-0) Р {б^^1, 6^=0} -
+ (Ы)Р (6^ = 1, 6^=1} = Р (6^=1, 5^=1). (2.6.5) Вероятность Р {б/!) = 1, б^^ = 1} определяет относительную долю тех реализаций из общего ансамбля, которые пересекают уровень Я с положительной производной и в подынтервале Mj и в подынтервале Д^. По аналогии с получением результатов (2.1.8) и (2.1.9) для рассматриваемой вероятности найдем
Р {б}1’ = 1, 6^ = I} = р щ - д^ < g щ < н, н-^<ш<н,^4tj)>0,№)>0} =
= MjMk $ J Wp^ (Н, у, Н, ^'-, th h) dy d^k\ (2.6.6) о о
где /^2 (•) — совместная плотность вероятности для значений процесса (^) и значений его производной ^ (^) в два момента времени:
Рг (Н, V, Н, ^2'; <i, t^ = р2 (^1, Ь', ^2, fl, <2) |?,=&=Н.
(2.6.7)
Подставив выражения (4) и (6) в формулу (3), получим
м {[^> ф, ПГ) = S S'/ кФ Щ А?,- + 3 g^ кФ ф Щ ЫДфj=lМ=1
где(2.G.8)
g^ (ti, <2, #) = $ $ Wp»Ф, ЕЛ Н, £/; <1, Ф d^' dW. о о
При переходе в выражении (8) к пределу (Mj —> О, А^ —> 0) нужно учесть, что во второй сумме справа не допускаются совпадающие значения аргументов tj и ^.. Это означает, что из прямоугольной области интегрирования (рис. 2.16) нужно исключить площади элементарных квадратов (они заштрихованы), расположенных вдоль диагонали.
Заметим, что функция g^ (^i, t^ Н) симметрична, т. е. не изменяется при перестановке временных аргументов: g^ (^, ^2, Н) = g* (%, Н, Н\ Этот факт следует из известного свойства симметрии совместной плотности вероятности р2 (•). Поэтому интегралы (суммы) по двум подобластям, расположенным над и под диагональю, одинаковы, и, следовательно, можно взять удвоенный интеграл (сумму) по одной из этих подобластей (например, под диагональю). Условие t3 ^ tk при переходе к пределу сводится к тому, что из взятой подобласти интегрирования нужно исключить точки, непосредственно примыкающие к диагонали. С учетом сделанных пояснений можем написать
lim У g^ (^1Ь Н) М^ = д<—о . г\
AV~° 0^)
Т-
=2^^ $ £2+(МьЯ)< 8>0.(2.6.10)
о о
Переходя в выражении (8) к пределу и учитывая соотношения (2.1.10) и (10), получаем
Т 2,-0
М^ЧНДУЧ = НЦНДН2^ ^+(ti,t2,H)dt2. (2.6.11) о о
Подставив этот результат в исходное выражение (1), приходим к окончательной формуле для дисперсии числа положительных выбросов на уровне Н в интервале [0, Т7]:
D [тг+ (Я, Т7)] = Ж (Я, Т) - [Я+ (Я, Г)]2 +
Т /i-О
+ 2 J^i J ^2+(^,^2,Я)Л2,(2.6.12)
о о
Рис. 2.16. Область интегрирования (суммирования)Рис. 2.16. Область интегрирования (суммирования)Рис. 2.17. Область интегрирования
Рис. 2.16. Область интегрирования (суммирования)
Рис. 2.16. Область интегрирования (суммирования)
gi" (^1, ^2) Я) определена вторымgi" (^1, ^2) Я) определена вторымгде подынтегральная выражением (9).
gi" (^1, ^2) Я) определена вторым
gi" (^1, ^2) Я) определена вторым
Аналогично можно показать, что дисперсия полного числа пересечений (положительных и отрицательных) уровня Н траекторией | (£), t ЕЕ [О, ТА определяется формулой
D \.п (Я, Г)] = N (Я, Т) - А2 (Я, Т) +
Т t^Q
+ 2^ dti § #2 (^ь £2, Я) Д2,(2.6.13)
о о
где
^2(^^Я)= $ J \^\№ЛНЛЛНЛ^(2.6.14)
Для стационарных в узком смысле случайных процессов (£) общие формулы (12) и (13) несколько упрощаются. Функции ga*( •) и g2( •) зависят в этом случае не от выбранных моментов времени tXl t^ а только от их разности, т. е.
g^ ^ t^ Щ - g^ (т, Я) - g^ (—т, Я), т =t2 -^(2.6.15)
где
g* (т, Н) = ^ J Wp. Щ, 11, н, £/; т) d^ ^.(2.6.16)
О о
Стоящие в правых частях формул (12) и (13) двойные интегралы приводятся при этом к однократным. Так, например, осуществляя в выражении (12) переход от переменной интегрирования £2 к новой переменной т = ^2 — tx и учитывая получающуюся здесь область интегрирования (на рис. 2.17 она заштрихована), полу-
ЧйМ
тЦ-Е,—8Т
^dti $ £2+(Н+2,НИ2 = $ g^H^d-t ^dh = о о—Т—Т
—8Т
= ^ (Т7 + т) g+ (т, H)dx — (Т — т) g+ (т, Я) dr, 8 > О. -Тг
Следовательно, для стационарных в узком смысле случайных процессов формула (12) принимает вид
D [тг+ (Я, 71)] = Я+ (Я, Т) - [Я+ (Я, Т7)]2 + т
+ 2 $ (Т7 — т) g+ (т, Я) dT,(2.6.17)
о+
где функция g^ (т, Я) определена выражением (16), а № (Н, Т) дается формулой (2.1.22). После замены g^ (t^ t^ Н) на g (т, Я) аналогичный вид примет и формула (13). Однако нет необходимости порознь вычислять величины D [?г+ (Я, Т7)] и D [и (Я, Т7)], а достаточно найти одну из них, поскольку между ними существует сравнительно простое соотношение.
Для получения такого соотношения рассмотрим разность
Дб) = 2п+^ (Я, Т7) — п^ (Я, Т7),(2.6.18)
где тг+б) (Я, Т7) — число положительных пересечений уровня Я какой-либо реализацией £б) (£), t ЕЕ [О, Т7] процесса 5 (^), а п^ (Н, Т) — полное число (положительных и отрицательных) пересечений уровня Я этой реализацией ^ (^), t ЕЕ [О, Т7]. Нетрудно убедиться, что случайная величина Дб) может принимать лишь три значения: Дб) = 0, если ^б) (0) ^ Я, V^ (Т7) ^ ^ Я, а также в случае, когда £б) (0) ^ Я, £б) (Т7) > Я; Дб) = 1? если ^б) (0) < Я, ^ (Т7) > Я; Дб) = —1, если ^б) (0) >Я, ^б)(у) < я. Вероятность этих значений Д согласно записанным неравенствам равны
ННоо ОО
ро = Р{А = О}= § ^ р(^оЛт)^ойёт +^5 р(5о, 1т)^о^т, -00 - 00НН
НОО
р1 = р^=1}= 5 dl0^p($0,^d^
— ООн
ОО н
Р-1 = Р {А = — 1} = 5 ^^0 5 Р (^0’ St) d£,T, Н -оо
где р (£0, gy) — двумерная плотность вероятности для значений So = 6 (ij и §т = | (i2) процесса g (() при tY = 0, t2 = Т.
Находим математическое ожидание пг^ и дисперсию Од2 случайной величины A(i):
тд =pi — р-1, ад2 = тд2р0 + (1 — тд)2 Pi + (^ + ^д)2 Р-г (2.6.19)
Запишем равенство (18) в виде
n*W ^н, Т) = ^- nW (н, Г) + -^-AW
и, считая случайные величины /г'^ (Я, Г) и ^ независимыми, по известным правилам теории вероятностей окончательно найдем
N+(H, T) = -^N(H, Т) + 4-«д>(2.6.20)
D [п+ (Н, Г)] = 4" У [” № Л] + 4" G^‘(2.6.21)
Очевидно, что при достаточно больших Т (т. е. при Т ^> т^) значения £0 = £ (0) и ^т = ^ (7) становятся независимыми, вероятности рх и р^ определяются при этом как
Ноо
Р1 = Р{Д=1} = $ p^d^ ^W
—ООн
ООН
p-г = Р {А = — 1} = § р6 (Е) d^ ^ р£ g) d^,
Н-ОО
и, следовательно, pi = p_i = F^ (Я) [1 — F^ (Я)], где F^ (Я) — одномерная функция распределения ^(^рассматриваемого стационарного процесса £ (0 при | = Я. Поскольку в данном случае •^а = 71 ~ Р_1 = 0, вероятность рх = р_г ^ 1/4 и дисперсия D Vn (Н, 7)1 растет с увеличением Т, то, согласно (21) и (19), Т ^> т^ для стационарного процесса £ (0 можно записать приближенное равенство
D [тг+ (Я, 7)1 ~ 44D Vn (Н, 7)1,7 > т,.(2.6.22)
Если применить полученное общее соотношение (21) к частному случаю гауссовского стационарного процесса £ (0 с математическим ожиданием 7^ = 0 и корреляционной функцией Нг (т) = о2г (т), то при Я = 0 получим
7i = 7-i = ^i™ (1/2л) arcsin г (7),—л/2 <^ arcsin г (7) <4
^/2
и, следовательно,
D [п+(Н, Г^ЦСМН, 7)] +Vg - (1/4л) arcsin г (7). (2.6.23)
В заключение следует отметить, что при взаимно однозначных функциональных преобразованиях случайного процесса ^ (/) -> —> / [^ (01 — Ц (0 для дисперсии DVn (Н, 7)1 числа пересечений п (Н, Т) остается в силе результат, аналогичный результату (2.4.6):
D [пп Г)] = D [тг6 (ср (Яп), 7)] = D [^ (Я., Г)].(2.6.24)
Это позволяет в отдельных задачах упростить исследования характеристик пересечений уровней негауссовскими процессами.
В целом задача вычисления дисперсии числа пересечений (выбросов) гораздо сложнее задачи вычисления среднего числа пересечений (выбросов). По существу, нахождение среднего числа пересечений N (Н, Г) или 7V± (Н, 7J для стационарных случайных процессов осуществляется сравнительно просто по формулам (2.1.22) — (2.1.24) или (2.1.26), (2.1.27). Однако дисперсию числа пересечений (17) даже для стационарных в узком смысле случайных процессов вычислить аналитически до конца, как правило, не удается; подобные вычисления обычно выполняются методами численного интегрирования на ЭВМ [19, 68, 69, 75].
Дисперсия числа пересечений уровнягауссовскими процессами
Перейдем к более подробному рассмотрению гауссовских стационарных случайных процессов и конкретизируем общие результаты по нахождению дисперсии D [п(Н, 71)] числа пересечений п (Н, Т) применительно в этому практически важному частному случаю. Одновременно отметим возможные упрощения основной задачи и приведем некоторые конкретные количественные рузультаты.
Рассмотрим гауссовский стационарный дифференцируемый случайный процесс £ (£) с математическим ожиданием тп^ = О и корреляционной функцией:
RT = R (Т) = а2г (т),- Яо" = - R" (0) < оо. (2.7.1)
Согласно (2.2.9), для такого процесса
Я+ (Я, 7) = Я/ (Я) Т,
N^ (Я)= (2л)"1 l/^Vexp (- IPI2R^(2.7.2)
и, чтобы при вычислении дисперсии D \п* (Н, Г)] числа положительных выбросов п+ (Н, Т) воспользоваться общей формулой (2.6.17), необходимо предварительно найти функцию g^ (т, Я).
Если для этого подставить в формулу (2.6.16) выражение (1.5.14) совместной нормальной плотности вероятности р2 (£, £г, Г, £/), то получим
(Т] щ = "P^W> $ $ ^ «Р {- ^ [л„ (^ + ^ + 0 0
+ 2А^ху + 2ЯЛ2 (ж — i/)]| dx dy,(2.7.3)
где
|К| = (Л332 -Л342)/(Яо2-Ят2),
Hj = (Яо" - Ят") [(Яо - Ят) (Яо" + Я/) + (Я/)2],
Л2 = - Я/ [(Яо - Ят) (Яо" + Ят") + (Я/)2],
Л33 = - Яо" (Яо2 - Ят2) - Яо (Я/)2,(2.7.4)
Л 34 = Я/(Яо2 - Ят2) + Ят (Я/)2-
Из соотношений (4) следует, что Л 33/1 R | = (Яо2— Ят2)/Л33(1—р2), где.
Р = Л34/Л33.(2.7.5)
Переходя в выражении (3) к новым переменным
/ R^-Rт2 V/2/ R.?- RT2\72
W —A^7 U = \ Л V,
\^33/\^33/
найдем
g+ (т, H)= M (t, Я) ^ ^ Liv exp [— ^u — v\\p2 (u, v) du dv, (2.7.6) о 0
где
(“’ P) = ^7^ exp [ ~ 2(T^(“2 + ^2 + 2p^)] , M (г, Я) = Л33 (7?o2 - RxTk exp (- АЯ2/| R |)/2л, ^HA^j^W-R^-.*
Несложно показать, что | р | = | р (т) [ ^ 1. Поэтому двумерную нормальную плотность вероятности р^ (и, v) можно представить в виде ряда по полиномам Эрмита или же по производным от интеграла вероятности [77]. С использованием последнего представления выражение (6) примет вид
g* (т, Я) = М (т, Я) £ А. Ьп (у) bn (- у) (- РГ,(2.7.8)
п—О
где■
Ьп (?) = ^ и exp (— yiz) ф(п+1) (^) du.(2.7.9)
о
Можно показать [19], что этот ряд для | р | <^ 1 сходится, причем остаточный член
Rn = M (т, Н^№ 6о Wo (-Y) | In (1 - | р) | |рр[1 +
(2.7.10)(2.7.10)+ O(l/\An)L
(2.7.10)
(2.7.10)
Вместе с тем вблизи точки | р | ~ 1 ряд (8) сходится медленнее любой геометрической прогрессии, и поскольку при т 0
р = р (т) = 1 — О (т2),
то этот ряд становится неудобным для вычислений g^ (т, Н) при небольших значениях т.
Более целесообразным для малых т оказывается разложение в ряд по степеням параметра
г - (1 - р)/(1 + р)(2J7.11)
при положительных значениях р ~ 1 (или г = (1 + р)/(1 — р) при отрицательных значениях р ~ — 1). Получить такой ряд можно следующим образом.
Перейдем в интеграле (6) к новым переменным:
- ^//ЖТр), л = (u + vW2(1 - р).
Тогда_
ОО П Vt
8Чт,Щ = М^,Щ^^ ^ (гЧ2-^)Х
0 -цУ7
X ехр 4112^2 — £? 1^2 (1 + р)) d^ ^П-
Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложением
ехр (- 4 + Ц = £4 ^^ tn’(2ЛЛ2)
п=0
где Нп (х) — полиномы Эрмита. Если при выполнении интегрирования учесть, что интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю и полиномы Эрмита с четными индексами являются четными функциями аргумента, то в результате получим интересующее нас разложение
(т, Я) = М (т, Н) Vх
0X7 х ’7 л Z ) Цпу. (2n + 1) (2тг + о)
72=0,
X гп^3^ ^ ехр ^^ y|2ti+3 д^ = м (т, Я) 2 ^— ~ X
о
Х 1 Zj 12,+ 1)>(2« + 3) Г'('
71=0
Этот ряд при [ г [ <1 сходится; его остаточный член имеет вид_
Я2п = V2M (т, Я)(1 - р) /г ехрВД (1 + р)1 ]1п(1 —
- | г I I I г г [1 + О(1/Кп)]. .(2.7.14)
В некоторых практических задачах при вычислении дисперсии D W (Н, 71)] числа выбросов т^ (Н, Т^ для гауссовских процессов (^) полезными могут оказаться асимптотические формулы. Сформулируем два таких результата в виде теорем, опустив их Доказательство [19, 20].
Теорема 1. Если гауссовский случайный процесс ^ ^ имеет корреляционную функцию (1), для которой выполняются условия
ОООООО
RTdx <^ос,^ 2?т2йт<;оо,^ ^НтУ йт <^ оо, (2.7.15)
ООО
то
D \Д Д, Г)] = ^7 + О (71),(2.7.16)
где
v2 = МД (Я) + 2 $ {g+ (т, И) - [Я/ (Я)]2} dr.(2.7.17)
О
Условиям этой теоремы удовлетворяет, например, корреляционная функция RT = R (т) = sin т/т.
Теорема 2. Если D \nv (Н, Т7)] существует и для некоторого 6 > 1 выполнены условия
Ду — О (Т-1-6), RT' = 0(7^), RT" = 0(7^), (2.7.18) то при Т —> ОО
D W (Н, 7)] = ^Т + с + О (Г1"6),(2.7.19)
где т
v2 = IV (Я) + 2 $ {g+ (т, Я) - [Я/ (Я)]2} Дт, о
С = - 2 5 т {g+ (т, И) — [Я/ (Я)]2} йт.(2.7.20)
о
Условиям теоремы 2 удовлетворяют, например, корреляционные функции Rt = exp (—т2/2) и Rx = (1 + | т | ) ехр (— | т |).
При использовании результатов (16), (19) и вычислении интегралов (17) и (20) в бесконечных пределах важно иметь асимптотику подынтегральной функции при больших т. Она может быть получена из ряда (8) путем разложения отдельных членов в ряды и пренебрежения в них членами высшего порядка малости по сравнению с | Ят/Я0|2, |Яг7Я0 |2 и | Я/7Я0 |2. Асимптотическое выражение имеет при этом следующий вид:
( RrH*RTR”H» R»Х ( 2дЯ024RWr -Г 4л2?о2( RrH*RTR”H» R»Х ( 2дЯ024RWr -Г 4л2?о2(2.7.21)(2.7.21)
( RrH*RTR”H» R»
Х ( 2дЯ024RWr -Г 4л2?о2
( RrH*RTR”H» R»
Х ( 2дЯ024RWr -Г 4л2?о2
(2.7.21)
(2.7.21)
Общая формула (2.6.17) с учетом выражений (2), (8) и (13), а также асимптотические результаты (16) и (19) позволяют вычислять на ЭВМ дисперсию числа положительных пересечений уровня гауссовскими стационарными процессами ^ (^) с некоторыми распространенными типами корреляционных функций.
Таблица 2.1
Сравнение точных и асимптотических значений дисперсии числа положительных пересечений уровня h для гауссовских стационарных «низкочастотных» процессов с тремя различными корреляционными функциями
h
R (т) = sin т/т, D [п+(/г, T)]=v2T
V2
T (10%)
T (3%)
т (1%)
T (0,3%)
0,0
0,919-10-1
0,222.10-1
37
110
280
800
0,5
0,811.10-1
0,272-10-1
23
64
150
330
1,0
0,537-10-1
0,310.10-1
8,8
20
38
63
2,0
0,124-10-1
0,166.10-1
0
3,3
58
320
з,о
0,102.10-2
0,102.10-2
0
0
0
66
h
H (t) = exp t—t2/2), D [n+ (h, T)] — v2T 4- c
N* (Л)
V2
c
T(10%)
T (3%)
T (1%)
T (0,3%)
0,0 0,5 1,0 2,0 3,0
0,159 0,140 0,965-10-1 0,215-10-1 0,177-10-2
0,455.10-1 0,524-10-1 0,556-10-1 0,197-10-1 0,176-10-2
0,140 0,108 0,494-10-1 0,213-10-2 0,975-10-5
1,6 1,5
1,4 0,6 0
2,2 2,1 1,9 1,1
0
2,6
2,5
2,3
1,6 0,4
3,0
2,9
2,8
2,3
0,7
h.
R (t) = (1 + | т | ) exp (— | T | ), D [n+ (7г, T)] = v2T + c
V2
c
T (10%)
T (3%)
T(l%)
T (0,3%)
0,0
0,159
0,969-10-1
0,494-10-1
1,8
2,8
3,4
4,8
1,0
0,965-10-1
0,901-10-1
0,729-10-2
0,4
1,0
1,6
2,4
2,0
0,215-10-1
0,261-10-1
—0,67.10-2
1,2
2,0
2,6
3,4
3,0
0,177-10-2
0,205-10-2
—0,294.10-3
0,8
1,4
2,0
2,6
Для ориентировочной оценки области применимости асимптотических формул (16) и (19) в табл. 2.1 приведены данные, позволяющие для фиксированного уровня К определить длительность реализаций Т (е%), при которых относительная погрешность между точными результатами (2.6.17) и асимптотическими не превосходит 8%. Например, для процесса £ (£) с корреляционной функцией Rx = R (т) = sin т/т дисперсия числа положительных пересечений аппроксимируется выражением v2T с относительной погрешностью 0,01 при h = 0 начиная с Т = 280, при h = 2 начиная с Т = 58, а при h ^ 3 практически для всех Т. Для процесса с корреляционной функцией Rx = R (т) =
ехр (—т2/2) дисперсия числа пересечений D \тЛ (h, 71)] аппро-
ксимируется выражением v2Z + с с той же погрешностью при Д = О начиная с Т = 2,6, при h = 2 начиная с Т = 1,6, а при h = 3 начиная с Т = 0,4.
Из результатов вычислений (см. табл. 2.1) видно, что с ростом уровня h дисперсия D [тг+ (h, 7)1 числа положительных пересечений все более точно аппроксимируется своим асимптотическим выражением начиная с меньших Т.
Применительно к гауссовским узкополосным процессам £ (0 с быстроосциллирующими корреляционными функциями выполнение расчетов дисперсии D In* (ft, 7)] на ЭВМ с использованием выражений (8) и (13) затруднено. Объясняется это тем, что для таких процессов подынтегральная функция g+ (т, Щ на интервале интегрирования сильно и часто колеблется, что, в свою очередь, значительно осложняет выполнение численного интегрирования.
. Рассмотрим один из возможных приближенных подходов [75, 103] к определению дисперсии числа пересечений нулевого уровня (Н = к = 0) гауссовским квазигармоническим процессом.
Предположим, что процесс £ (£) имеет математическое ожидание т^ = 0, корреляционную функцию
R (т) = а2р (Т) cos ^ _Д" (0) < оо, соо2 > -о0" (2.7.22) и может быть представлен как
£ (£) = Л (£) cos [соо^ + ф (^)] = Ас (£) cos соо£ — Л8 ^ sin toot.
(2.7.23)
В соответствии с условиями (1.7.8)—(1.7.12) косинусная Лс (Z) и синусная As (t) составляющие огибающей А (£) являются здесь независимыми гауссовскими стационарными процессами, имеют математические ожидания М{ЛС (£)} = М{Л8 (£)} = 0 и корреляционные функции Rc (т) = Rs (т) = о2р (т). Случайная фаза ср (^) определена выражением (1.7.7):
Ф (^) = arctg [Л8 ^/Ас (^)L (2.7.24)
Основная идея приближенного метода, предложенного Блек мэном [103, 105], состоит в том, чтобы выразить число нулей высокочастотного случайного процесса £ (£) через нули низкочастотного процесса Ас (£).
Предположим, что средняя частота соо = 2л/0 спектра квазп- гармонического процесса настолько велика, что на интересующем нас интервале времени [0, 7] с большой вероятностью выполняется неравенство
ф' (^) > —соо. (2.7.25)
При этом аргумент у косинуса в выражении (23) на интервале [0, ТА будет всюду возрастающей функцией времени, хотя сама случайная фаза ф (^) может как возрастать, так и уменьшаться.
Так как огибающая А (£) принимает нулевые значения с нулевой вероятностью, то число нулей процесса £ (£) совпадает
с числом нулей процесса cos [со0£ + ср (^)L Расстояние между двумя соседними нулями косинуса равно л. Поэтому при выполнении условия (25) с точностью до единицы (определяемой возМожным различным расположением интервала [£0, £0 + ТА = [О, ТА вдоль реализации процесса) число нулей какой-либо i-й реализации процесса £ (£) равно приращению полной фазы за время Т, поделенному на л:
nw (о, у) =+ фС7’) —ф(°) 2/0гф(г)~ ф(°)„ ,
зтзтзт
(2.7.26)
Для упрощения вычислений предположим пока, что 2/07^ есть целое число, т. е.
2/0Г = тп (го =0, 1, 2, . • .).(2.7.27)
Тогда 72^) (0, 7) равно 2f0T плюс число уровней, равных нечетному числу л/2 и лежащих между ф (0) и ф (Г). Число послед-
Рис. 2.18.К определению числа нулей гауссовского низкочастотного процесса А с (/) = А (/) cos ср (/)Рис. 2.18.К определению числа нулей гауссовского низкочастотного процесса А с (/) = А (/) cos ср (/)
Рис. 2.18.
К определению числа нулей гауссовского низкочастотного процесса А с (/) = А (/) cos ср (/)
Рис. 2.18.
К определению числа нулей гауссовского низкочастотного процесса А с (/) = А (/) cos ср (/)
(2.7.28)(2.7.28)(2.7.29)(2.7.29)
(2.7.28)
(2.7.28)
(2.7.29)
(2.7.29)
них на интервале [0, Г] равно числу нулей процесса Ас (£) = = А (£) cos ф (£), полученных при возрастании ф (£), минус число нулей Ас (t), полученных при уменьшении ф (£).
В этом можно убедиться из рассмотрения рис. 2.18, на котором нули первого вида обозначены сплошными точками,
а нули второго вида — кружочками.
Следовательно, при определении числа нулей ?/г) (0, Т) реализации высокочастотного процесса £ (£) по нулям низкочастотного процесса Ас (I) необходимо учитывать знак производной ф' (£) при Ас (t) = 0. Для этого введем разрывную функцию
1 при х > 0,
Sgn X =Sgn X =О при х = 0, — 1 при <т<^0,
Sgn X =
Sgn X =
Воспользовавшись определением (24), имеем
./ А А'— А'А \
sgn ф' |а0=з = sgn (^Ц =
/ л хл \с
= sgn (^^-J = — sgn (ЛС'Л5).
Заметим, что функция sgn Ло (£) увеличивается на 2 каждый раз, когда Лс (£) проходит через нуль с положительным наклоном (Л/ (£) > 0), и уменьшается на 2, когда наклон отрицателен И/ (t) < 0).
С учетом сказанного и соотношения (29) формулу (26) можно записать в виде следующего интеграла Стильтьеса:
т
nW (0, Т) = w - Sgn Л5 (?) d [sgn Ас (0].(2.7.30)
о
Вероятностно осредняя обе части этого равенства и учитывая, что процессы Ас (t) и As (t) независимы, а их математические ожидания равны М {Лс (£)} = М{Л5 (£)} = 0, находим среднее число нулей квазигармонического процесса £ (£):
N (0, 7) = М {^) (0л Т7)}2/0Г.(2.7.31)
Если теперь из формулы (30) вычесть (31) и произвести вероятностное осреднение квадрата этой разности, то получим соотношение для дисперсии числа нулей:
т т
D [п (0, Г)] = М |-^ ^ ^ sgn As (Tj) sgn Л5 (т2) X О о
х ^sgn Ас (Ti) "fcsgn Лс ^ЙТ1 dT2}
т т
= 4" $ $ М {Sgn ^ ^ Sgn Л= t^ Х о о
X -g^- М {sgn А с (т^ sgn Л с (т2)} drx dr2 = т т ICCд2
= — — \ С?т2 \ arcsin р (т2 — тх) -^ arcsin р (г2 — тх) dxv о о
Здесь последнее равенство написано на том основании, что корреляционная функция процесса на выходе нелинейного преобразования (28) при воздействии на вход гауссовского стационарного процесса дается формулой [77]
М {sgn As (4) sgn Л, (т2)} = М {sgn Лс (tJ sgn Лс (т2)} =
= (2/л) arcsin р (т2 — тх),
где —л/2 ^ arcsin р (т) ^ л/2.
Воспользовавшись тривиальным соотношением, получающимся интегрированием по частям,
$ / (^) Г (я) dx = f (ж) f (я) — ^ /'2 (ж) dx,
последнее выражение можно упростить: т
D [и (О, Г)] = — ^ ^ dr2 [^arcsin р (т2 — rj -^ X
О т
IT С / d\2"1
X arcsin р (т2 — тт) Ir^ — \"dF] arcs^n Р (т2 — Ti)y ^Ti J =
о т
— "^2 ^ ^Т2 [arcsin р (т2 — Г) -^- arcsin р (т2 — Т) — о
- arcsin р (т2) -A arcsin р (т2) + ^ ^ T^S^ db о о.
Первый интеграл легко вычисляется по известной формуле
$ / U)f (x)dx = /2 (т)/2;
второй интеграл сводится к однократному при помощи замены переменных т = т2 — т1е В результате получим окончательную формулу для дисперсии:
O[»(0,7)]= — -—arcsin-p(7-) +
+ т$<г~')-пЭй“т-<2-7-32>
О
Если эту формулу применить к частному случаю гармонического колебания со случайной начальной фазой, то нужно положить здесь р (т) = 1. При этом получим D \п (0, Т)] = 0. Такой результат при соблюдении условия (27) является верным и очевидным.
В формуле (32) последний, третий член справа играет определяющую роль при больших Т, а первые два — при малых Т. Действительно, при Т -^ оо можем написать
A = lim 4-S[t2(0, Г)] = Ит2 (Г - г) ч ^^ dr =
Г—ОО 1Т-*ОО J1 Р
0
(2.7.33)(2.7.33)- 2 с р,2м dT Л2 J l-p2(T) о
(2.7.33)
(2.7.33)
Если Т мало (точнее, Т У—р0" <С 11, то ввиду четности корреляционной функции р (т) можем приближенно написать
р' (т) ~ 0, р (т) ~ 1 + 1/2р0,'т2, т е [0, TV
11 соответственно
Р (?) ~ 1 - V2 (-р0") Р = 1 - ^ (л^Т)2,
где пг = л-1]/ —р0" — среднее число нулей низкочастотного процесса Ас (£) в единицу времени.
Раскладывая затем функцию arcsin2 (1 — ж2) в ряд Тейлора и окрестности точки х = 0 и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, придем к формуле
D [га (О, Г)] ~ nJ jV^o < !)•(2.7.34)
Основная формула (32) была получена при выполнении условий (25) и (27). Можно показать [75], что при нарушении условия (27) ошибка в дисперсии числа нулей не превышает значения V4.
Оценим погрешность из-за невыполнения неравенства (25). Производная по времени полной фазы квазигармонического процесса (23), равная соо + ф' (£), может изменяться в пределах (—оо, оо). Разобьем этот интервал на два подынтервала:
ф' (£) > —соо,ф' (£) <С —соо.(2.7.35)
Воспользовавшись известной для ф' (£) плотностью вероятности р (ф') = —р072 (ф'2 — р0")Ч находим вероятности выполнения неравенств (35):'
^{ф'> — Юо}= J ^ф')^' — ^! + (1—-fy-/2J ,
—too
Р {ф' < — too} = 1 — Р {ф' > — too}-
Так как для квазигармонического процесса £ (£) выполняется условие соо2 ^> —ро", то эти соотношения можно упростить:
Р{ф' > —to0}1 + ро74соо2,
Р{ф' < — соо}^ —Po^too2.(2.7.36)
Отсюда видно, что с вероятностью, близкой к единице, выполняется первое из неравенств (35),' т. е. производная полной фазы квазигармонического процесса (23) почти всюду положительна, и, следовательно, полная фаза соо£ + Ф (О почти всегда растет во времени. При этом среднее число нулей процесса cos [coo£ + Ф (01, если 2f0T — целое число, определяется формулой (31), а дисперсия — формулой (32).
Однако на основании формулы (2.2.16) для среднего числа нулей рассматриваемого квазигармонического процесса можно написать точное выражение
N (О, Т) = 2 W (0) - (1/л)сооГ (1 - Po7(oo2)V2 ^ ^j (1 -
-- ро72соо2).(2,7.37)
Расхождение результатов (31) и (37) объясняется здесь тем, что в формуле (31) не учитываются возможные дополнительные нули, возникающие, когда «мгновенная частота» квазигармонического процесса £ (£) отрицательна, т. е. выполняется второе из неравенств (35). Отметим, кстати, что именно этим объясня-
ется тот факт, что среднее число нулей узкополосного процесса вСегда превышает значение 2/07\ где /0 — центральная (средняя) частота спектра процесса.
Найдем среднее число отрицательных выбросов случайной функции ф' (£) за время Т на уровне ф0' = —о0. Для этого следует воспользоваться формулой (2.5.94), на основе которой подучим
N" (- ®о, Г) = N* (- ®о, ?’) = TNt* (- юо) = т fГ а"2о^ "П1/2
= г^-^ Н(- р"")т+^^1 ■ (2-7"38)
Учитывая, что для квазигармонических процессов обычно выполняется неравенство соо2 ^> (р0"2 — Ро(4))/ро'» формулу (38) мож
но упростить:
N" (—(оо, Т) = XT, X = — рфУлсоо. (2.7.39)
т = (1А)Р{ф' < —соо} ^т = (1А)Р{ф' < —соо} ^~ 1/8/0 = Го/8.(2.7.40)~ 1/8/0 = Го/8.(2.7.40)Средняя длительность интересующих нас выбросов сравнительно мала:
т = (1А)Р{ф' < —соо} ^
т = (1А)Р{ф' < —соо} ^
~ 1/8/0 = Го/8.(2.7.40)
~ 1/8/0 = Го/8.(2.7.40)
При наличии таких кратковременных выбросов полная фаза toot + ф (£) быстро уменьшается во времени, что иногда
приводит к появлению двух Рис 2Л9. характер изменения во дополнительных нулей процес- времени полной фазы + ср (0 и са, не учтенных в формулах (30) функции cos [ом + ф (01 и (31). Это положение иллюстри
руется рис. 2.19, на котором пунктиром изображены функции соо£ и cos toot, а сплошными линиями — соо^ + ф(^) и cos [ соо£ + ф (01.
Но не каждый из рассматриваемых отрицательных выбросов может привести к появлению дополнительных нулей процесса cos [соо£ + ф (^)]. Так, если кратковременный выброс появился в окрестности точки со^ = 2р,л, где р — целое число, то он обусловит появление сразу двух дополнительных нулей, если при этом полная фаза уменьшится на величину не менее л/2; в противном случае не будет дополнительных нулей. Можнп привести и другие ситуации, когда отрицательные выбросы функции ф' (^) не приводят к появлению нулей процесса £ (^).
Разность результатов (37) и (31), обусловленная наличием сравнительно больших отрицательных выбросов производной случайной фазы ф' (£), приближенно равна
(о)о/л)Т(1 - ро72соо2) - (о0/л)Т = ^-(-соо, Г) = V^T.
(2.7.41)
Поскольку для квазигармонического процесса выполняется неравенство соо2 ^> — р0", то из равенств (39) видно, что Х^1, т. е. интересующие нас кратковременные выбросы появляются во времени сравнительно редко, и моменты их появления можно •считать распределенными по закону Пуассона с параметром X.
Случайная функция cos [соо£ + ср (£)] имеет наибольшее относительное время пребывания в окрестности точек озо^ + ср (У = = 2цл. Каждый кратковременный отрицательный выброс, появляющийся в окрестности точки t^ и превышающий л/2, приводит к появлению сразу двух близко расположенных дополнительных нулей (назовем их парами). Эти пары появляются во времени по закону Пуассона с параметром X.
Известно, что математическое ожидание числа событий, распределенных по закону Пуассона на интервале времени [О, Т], равно XT. Поэтому математическое ожидание рассматриваемых пар нулей равно XT. а общее среднее число дополнительных нулей — 2ХТ. Сравнивая эту величину со значением (41), замечаем, что из общего числа отрицательных выбросов N** (—to0, Т) в среднем лишь N" (ю0, Т)/4 выбросов благоприятствуют появлению дополнительных пар нулей.
Для закона Пуассона дисперсия числа пар нулей равна математическому ожиданию, т. е. XT. а дисперсия полного числа дополнительных нулей, очевидно, равна N" ( —соо, Т).
Итак, при отказе от ограничительного условия (25) полученные ранее формулы (31) и (32) должны быть уточнены следующим образом:
N (О, Т) = 2/оГ + Т, (2.7.42)
D [П (О, Г)] = 4 - ^ arcsin2 р (7) + +
+ (2-«3)
О
Приведем некоторые количественные результаты. Основная трудность при расчетах дисперсии по формулам (32) и (43) связана с вычислением входящего в них интеграла. Так как дополнительный член —р^Т12т1^0 в уточненной формуле (43) всегда можно легко учесть аналитически, расчеты в данном случае выполнялись по формуле (32). По результатам расчетов, выполненных на ЭВМ для гауссовского процессса £ (О с тремя типовыми нормированными корреляционными функциями,
р (т) = sin (лА/т)/лА/т, р (т) = ехр (—ат2),
р (т) = (1 + а | г I ) ехр (—а I т ] ) (2.7.44)
построены графики рис. 2.20, характеризующие зависимость среднего квадратического отклонения о^ (0, 0) = VD Vn (0, 0)] числа нулевых пересечений п (0, 0) от безразмерного параметра вре-
мени 6 = TXf^ где А/э — эффективная ширина спектра квази- гармонического процесса £ (2).
Из представленных результатов видно, что при фиксированном значении 0 дисперсия числа нулей D Уп (0, 0)], как и среднее значение N (0, 0), меньше для квазигармонического процесса g (i) с более резко спадающими ветвями спектральной плотности. С увеличением 0 дисперсия числа нулей при малых 0 растет сравнительно быстро, а начиная примерно со значений 0 > 10 возрастает с ростом 0 приближенно по линейному закону:
D [п (0, 0)1 XT = v20, 0 > 10,(2.7.45)
где величина Л определена выражением (33).
Рис. 2.20. Зависимость среднего квадратического отклонения числа нулей квазигармонического процесса с различными функциями корреляции от безразмерного параметра времени 0 = Tkf3
3. Изложенный выше приближенный метод вычисления дисперсии числа пересечений можно распространить на случай ненулевого уровня (Н ^= 0), а также обобщить на сумму гармонического колебания и квазигармонического случайного процесса. Окончательные формулы оказываются при этом, естественно, более сложными. Например, применительно к сумме гармонического колебания s(t) = Ат cos (соо£ + ф0) и квазигармонического процесса ^ (^ — А ^ cos [со0^ + ф (^)1 с корреляционной функцией вида (22) формула для дисперсии числа нулей D Уп (0, Т)!, аналогичная по смыслу формуле (43), имеет вид [75]
т
с [»(0, 7] = А 5 (Z- - г)ехр „ ™р (т)1 ] dx +
О
+544 ехр (- 4Н+4- $L (Фsin v»’ т (р)) хРФ)
X ^^^Г008^’Лр))^р.(2-7.46)
Здесь
L (х, у) = 1^- ^ ехр (^- я2 sec2 ф) йф,
1°(2.7.47)
у = у (р) = — arccos р (т), у (р) е [0, л/2].
Из формулы (46) видно, что дисперсия числа нулей в данном случае зависит от начальной фазы ф0 гармонического колебания: она имеет наибольшее значение при ф0 = +я/2 и наименьшее значение при ф0 = 0 или ф0 = л. Этому факту можно дать простое физическое пояснение. Допустим, что выполняется условие (27) и ф0 = ±л/2. Поскольку при условии (27) на интервале наблюдения [0, 71] укладывается целое число полупериодов гармонического колебания, то сигнал s (£) = Ат cos (соо£ ± л/2) = = н= Ат sin to^t при t = 0 и t = Т будет иметь нули. Поэтому даже небольшой шум £ (£) может изменить число нулей процесса $ (0 + £ (О в начале и в конце интервала наблюдения на ±1. Дисперсия числа нулей суммы $(£) + £ (£) будет при этом наибольшей (т. е. больше, чем при других значениях ф0).
Анализ отдельных экспериментальных и аналитических результатов позволяет сделать следующие выводы [75].
При фиксированных других параметрах среднее квадратическое отклонение числа положительных выбросов У В Уп* (Н, Т7)] суммы гармонического сигнала и квазигармонического процесса растет с увеличением длительности временного интервала [О, TV а отношение У В [?г+ (Я, ТУ1№ (Н, Т) при этом уменьшается.
При увеличении ширины спектра А/э квазигармонического процесса £ (£) величина дисперсии В [?г+ (0, 71)] и отношение У В [тг+ (О, ТУ№ (0, 7) на уровне Я = О возрастают.
С увеличением отношения сигнал-шум (Am/cr) происходит уменьшение величин В [тг+ (0, 71)] и ]/ В [тг+ (О, Tyi№ (О, Т) при Я = 0, однако это уменьшение становится существенным при Am!o > 1. .
Зависимость дисперсии В Уп* (Н, 71)] от уровня Я имеет максимум. Величина и положение этого максимума зависят от эффективной ширины спектра А/э- квазигармонического процесса £ (0 и отношения сигнал-шум (Ат/оУ С увеличением отношения Ат1а максимум В Уп^ (Я, 71)] смещается в сторону больших значений Н/о.
При фиксированной длительности интервала [О, ТА отношение У В Уп+ (Н, T)]/N+ (Н, Т) растет с увеличением уровня Я и минимально при Я = 0.
Расстройка частоты гармонического сигнала fs относительно средней частоты спектра /0 квазигармонического процесса £ (£) в пределах полосы А/э увеличивает значения В УпУ (0, Т)А и VD Уп* (0, ту,№ (0, Т\
Распределение числа пересечений уровня
Несмотря на то что параметры N (Н, Т) и В Уп (Н, 71)] относятся к наиболее интересным характеристикам пересечений, в ряде случаев требуется более полное описание случайной величины п (Н, ТУ Задача нахождения распределения числа пересечений п (Н, ТУ вообще говоря, является достаточно сложной
л до настоящего времени не имеет законченного общего аналитического решения. Вместе с тем для некоторых частных случаев удается определить асимптотические свойства распределений. Задачи подобного типа обычно делятся на две основные группы: в первой анализ числа пересечений п (Д Т) проводится при условии Н = const и Т -^- оо, во второй изучаются асимптотические свойства пересечений «высоких» уровней Ноо.
При исследованиях гауссовского стационарного процесса g (£) и введении определенных ограничений на характер корреляционной функции R^ (т) распределение случайной величины
х - Yn (Я, Т) — N (Я, T^D Yn (Я, T)]-v2 (2.8.1) при Т -> оо приближается к гауссовскому р (х) = (2л)-1/г ехр(— я2/2) с параметрами тпх = М{^} = 0, ох = М{#2} = 1, т. е. ' при Т -> оо для числа пересечений п (Я, Т) выполняется центральная предельная теорема. Условия асимптотической нормальности величины (1) исследовались во многих работах (например, [24, 50, ИЗ]). В частности, для случая Н = т^ = 0 центральная предельная теорема выполняется при условиях [ИЗ]
R^ (0) = о^2 < оо, -R^ (0) < оо, D Yn (Я, Т)] < оо и дополнительном предположении о существовании v > 0, такого^ что
D Yn (Я, Т)] ~ ^Т. Тоо.
Таким образом, при Я = const и Т -> оо для записи асимптотического распределения случайной величины п (Я, Т) достаточно определить среднее значение N (Я, Т) и дисперсию D Yn (Я,Т)] числа пересечений.
Простые асимптотические результаты для распределения числа пересечений п (Я, Т) получаются также и в том случае, когда рассматриваются пересечения высоких и низких уровней.
Пусть, например, гауссовский стационарный случайный процесс £ (£) с математическим ожиданием m = М {£ (£)} = 0 имеет корреляционную функцию R^ (т) = оД (т),— R^ (0) С оо,
а также Х4 = R^ (0)<оо и § г2 (т) йт < ос. Зададим некоторые о
фиксированные уровни Я4 > 0 и Я2 < 0 и будем рассматривать число положительных выбросов м+(Я1, Т) над уровнем Hi и число отрицательных выбросов п" (Я2, Т) за уровень Я2 траектории процесса £ (0 на интервале времени YtOl tQ + Т\ = [0, ТА.
В этом случае [101] совместная вероятность событий п+ (Ях, Т) = к и п (Я2, Т) = тп при возрастании уровней Я4 оо, Д->- —оо будет определяться выражением
lim Р {п+ (Я1, Т) = к, тГ Д^ Т) = тп^ =
Нх-*оо
= -т^г^ ех₽ ^г - ^7)’(2;8-2)
где цх = N^ (Н^, ц2 = NT (Н2), а к и т — положительные целые числа.
Формула (2) показывает, что случайные величины п* Uh, Г) и п (H2l Т) при уровнях Н1->- оо, Н2-^ —оо становятся статистически независимыми, а их предельные распределения
(2.8.3)(2.8.3)Р VP (Hi, Т) = к} = Ml е-^т, Р {п (Нг, T) = m> = Ml е-^т
(2.8.3)
(2.8.3)
являются распределениями Пуассона с параметрами ^Г и ц27.
Асимптотическая пуассоновость случайных величин п* (Hls Т) и тГ Д21 Т) связана с тем, что при «высоких» уровнях | Н | ^> os средняя частота появления выбросов мала, расстояние между выбросами сравнительно велико и, следовательно, выбросы представляют собой редкие независимые события, для которых выполняется пуассоновская предельная теорема [4, 34, 52]. Необходимым условием выполнения этой теоремы являются равенства
№ (Ят, Т) = DWHV ПК N^H^ T)=D In- (H2lT)] (2.8.4)
. Важно отметить [146], что, помимо гауссовского процесса £ (£), свойством асимптотической пуассоновости числа положительных выбросов ri' (Д, Т) при Н -^ оо обладают процессы с %2-распределением (разд. 1.6). Так, если обозначить через ц (£) случайный процесс вида
л (О = § &2 (О, i = 1, », л (О е (0, оо), г=1
а на характер корреляционных функций R^ (т) = оДг СО = = с^т (т) независимых гауссовских компонент ^ (£) наложить те же ограничения, что и перечисленные выше для гауссовского процесса £ (О, то вероятность появления на интервале времени [О, ТА точно к положительных выбросов траектории ц (£), t ЕЕ [0, 71] над уровнем Н -> оо определится формулой
lim Р^^Н, Т) = к} = Д1-, . (2.8.5)
Н-оо
Параметр v определяется здесь как v = Т -N^ (Д) и для частных случаев %2-процесса (1.6.11) может быть найден на основе одной из формул (2.5.17), (2.5.20)—(2.5.22), (2.5.24).
Из общих свойств распределения Пуассона известно, что оно полностью характеризуется единственным параметром — интенсивностью процесса Пуассона, а следовательно, при высоких уровнях | Н | J> O's, согласно выражениям (3) и (5), для записи закона распределения случайной величины /г^ (Я, Z) достаточно определить лишь среднее число выбросов N^ (Д) или Яг~ (Я). На практике необходимое условие (4) для гауссовских процессов 5 (О приближенно начинает выполняться при | Я | ^> 2о^
Следует подчеркнуть, что свойства асимптотической пуассо- новости (2) и (5) числа выбросов п^ (Н, Т) начинают играть особую роль, когда задачи типа «пересечений уровней» формулируются в терминах теории случайных точечных процессов. Моменты времени tt, £ = 1, 2, 3, . . ., в которые траектория £ (£), tE 1^о» ^о + ТА пересекает заданный уровень И, обычно интерпретируются при таком подходе (рис. 2.21) как случайная последовательность событий или поток случайных событий. Если исследуемый процесс £ (/) является стационарным, то распределение случайной величины п^ (Н, Т) не зависит от выбора t0
Рис. 2.21. Представление последовательности моментов tt, / = 1, 2, . . ., пересечения уровня Н в виде случайного точечного процесса
и, следовательно, поток пересечений (выбросов) представляет собой стационарный поток случайных событий. Условие дифференцируемости (1.3.4) процесса £ (£) позволяет считать У± (Я, 7)< < сю для любого интервала [£0, £0 + Т\п Т < сю, что, в свою очередь, приводит к выполнению условий регулярности (или ординарности) потока событий, так как при —R^" (0) = 0^X2 < сю расстояние между последовательными пересечениями положительно (^+i — ti) > 0 и два пересечения не могут происходить одновременно.
Любой поток случайных событий количественно может характеризоваться своей интенсивностью ц. В данном случае интенсивность потока пересечений совпадает со средним числом событий в единичном интервале времени:
ц = ± м {тг± (Я, Г)} = 4~ Я± (Я’ ^ N^ (Я)
— и может определяться по одной из общих формул (2.1.22), (2.1.23).
Поток пересечений в общем случае не обладает отсутствием последействия. Однако при высоких уровнях | Н | ^> о^ выполняются свойства (2), (3), (5); числа событий (выбросов), происходящих на непересекающихся интервалах времени, становятся независимыми случайными величинами, а поток случайных событий переходит при этом в простейший пуассоновский поток.
Задача нахождения плотности вероятности р (п; Н, Т) числа пересечений п (Н, Т) принципиально может решаться в неасимптотической постановке на основе использования различных приближенных методов. Хорошо известно, например, что многие функции р (х) можно представить в виде разложения в ряд по ортогональным полиномам. Следовательно, зная асимптотические свойства распределения случайной величины п (Н, Т) и выбрав
весовую функцию рт (ж) и систему ортогональных полиномов Qt Ду для плотности вероятности р (ж) = р Д Н, Т) формально можно записать разложение
H-r^PiCxlX-^^^')’(218,6)
1=0
в котором коэффициенты at определяются моментами тк = — М{тгк Д, ТД к — 1, 2, 3, . . ., случайной величины п Д, Т). Прй удачном выборе полиномов Qt (х) и использовании лишь нескольких первых членов ряда (6) в данном подходе необходимо вычислить несколько моментов тп^.
При исследовании характеристик пересечений уровней обычно удобнее рассматривать факториальные моменты
т^МДН, Т^пД. D-И... 1пД. Т)-к + 1]}, (2.8.7) для которых конечные результаты записываются в более компактной форме, а моменты тпк выражаются через линейные комбинации факториальных моментов ?П[К]. В частности, для среднего значения N Д, Т) = ш1 = М{?г (Н, 71)} справедливо равенство N Д, Т) = 7П[ц, а дисперсия D \п Д, Г)], согласно соотношению D \п (Н, 7)] = т2 — тД представляется в виде
D [п (Я, 71)] = М{тг (Я, Т^п (Я, 7) - 1]} - М{тг (Я, 71)} [М {тг (Я, 7)} - 1].(2.8.8)
■ Характерной особенностью вычисления моментов пгк или тп^] Л-го порядка является то, что конечные формулы содержат в этих случаях интегралы кратности 2к. Так, для факториальных моментов тп^д (к = 1, 2, 3, ... ) справедливо общее выражение [34]
ТТОООО
$ . ■ . $ 111' ■ . ■ ?/ I х 00—оо—оо
X Рк (£1 • • • ^, L'. • • ^ ^1' ■ ■ ■ ^/,(2.8.9)
в котором рк (. . . ) — совместная плотность вероятности для значений^ (^), . . ., ^Д^ £' ДУ • • -Л' ДУ На примере вычисления дисперсии D \п Д, 71)] для гауссовского стационарного процесса (разд. 2.7) легко убедиться, что задача нахождения моментов (9) при к 2 достаточно сложная. Естественно поэтому, что и разложением (6) при нахождении плотности вероятности р Д Д Т) удается воспользоваться нечасто.
Эргодичность и оценивание среднего числа
‘пересечений
На практике использование характеристик типа «пересечений уровней» обычно связано с аппаратурными измерениями (оценкой) среднего числа пересечений N (Я, Т) или № (Я, ТУ В результате измерений параметра N (Я, Ту как известно^ получа-
ется оценка TV (Я, Т7) среднего числа пересечений N (Я, Т) =
М {п (Я, Г)), а не само значение TV (Я, Т\ На основе таких оценок делаются заключения об истинных параметрах исследуемого случайного процесса. При этом одним из основных является вопрос о способе получения оценки TV (Я, Т) по заданной выборочной функции процесса и свойствах или качестве оценивания величины TV (Я, Т7).
Предположим, что имеется достаточно большое число тп реализаций (выборочных функций) непрерывного дифференцируемого случайного процесса £ (Т). Каждая реализация £ (Т), f Е ^ [То, £0 + Т7], получена при одинаковых условиях и имеет фиксированную длительность Т. Обозначим эти реализации через gw (^), ^ (£), . . ., £(т) (^), а число пересечений некоторого фиксированного горизонтального уровня Я — реализацией ^ (£) — через п^ (Я, Т).
Тогда в качестве наиболее простой и естественной оценки TV (Я, Т7) среднего числа пересечений TV (Я, Т7) = М{?г (Я, Т7)} может быть принято выборочное среднее значение
m .
N (Н, Т) = 4" У.nW ^ ТУ (2'9Л) г=1
Считая п^ (Я, Т), г = 1, тп, независимыми случайными величинами, для математического ожидания и дисперсии такой оценки можно соответственно записать
М kN кН, Т^ = ^^ М {п^ кН, Т)} = N кН, Т), (2.9.2) г=1
m
D [TVкН, T^^^D [п« кН, Г)] - _2M1Z)L. (2.9.3) г=1
При условии D Уп (Я. Т7)] <оо независимо от вида распределения случайной величины п^ (Я, Т^ выборочное среднее значение (1) с увеличением объема выборки тп —►- оо сходится по вероятности к среднему значению TV (Я, Т7) = М{?г (Я, Т7)}. Иначе говоря, оценка TV (Я, Т7) является в данном случае состоятельной и несмещенной оценкой среднего числа пересечений TV (Я, Т7). При соответствующих ограничениях, налагаемых центральной предельной теоремой, оценка (1) характеризуется асимптотически (тп —>- оо) нормальным распределением.
Рассмотрим задачу оценивания среднего числа пересечений в несколько иной постановке. Предположим, что наблюдению доступна лишь одна,реализация £ (Т), t ЕЕ Ио> ^о + ТА исследуемого случайного процесса £ (I). Число пересечений заданного уровня Я для этой реализации равно п (Я, Т\ Предположим также, что процесс ^ (Т) является стационарным в узком
смысле, а его корреляционная функция R^ (т), помимо условия дифференцируемости —RV' (0) < оо, обладает свойствами
тт
ИтГ-Ц 7?.(т)йт = 0, ИтГ’Ц Я^2(т)^т = 0,(2.9.4)
Т—оо 0Т—оо 0
т. е. рассматриваемый процесс 1 (£) удовлетворяет соответствующим условиям эргодичности.
Очевидно, что в подобном случае, согласно эргодическим теоремам [34, с. 245], при Т -> оо с вероятностью «единица»
Ит= М{п(Н, ^ = N(H, 1).(1.9.5)
Т—оо1
Следовательно, при достаточно больших длительностях Т в качестве оценки Л^ (Я) среднего числа пересечений М\ (Я) = N (И, 1) уровня Я процессом Е (У) в единицу времени может быть принята величина
(2.9.6)
Ясно, что такая оценка обладает свойством несмещенности
М {Nt (Н^ = М {и (Д, Т» = N1 Д),(2.9.7)
а ее дисперсия определяется формулой
D [Ni Д)] = ^D[n ^Н' Г)Ь(2>9‘8)
Задача нахождения дисперсии оценок (1) и (6) достаточно просто решается на основе формул (3) и (8) лишь в тех случаях, когда предварительно найдена дисперсия D [п (Н, 71)] случайной величины п (Н, 71). Однако, хотя для дисперсии D [п (Н, 71)] числа пересечений п (Н, 71) известны общие формулы (разд. 2.6), к настоящему времени получено сравнительно мало конкретных количественных результатов. Отдельные частные результаты (например, [19, 68, 69]), полученные для гауссовских процессов методами численного интегрирования на ЭВМ, не позволяют установить общий вид функциональной зависимости дисперсий D [п (Н, 71)] и D [Л\ (Я)] от длительности реализации 71, уровня Я и отдельных параметров процесса Е (£). На основе общих формул (разд. 2.6, 2.7) аналитически найти дисперсию D Yn (И, 71)], а следовательно, и D [Л^ (Я)], как правило, не удается даже для частных случаев гауссовского стационарного процесса.
Учитывая эти особенности, воспользуемся при исследовании дисперсии D [Л^ (Я)] оценки NT (Я) приближенным асимптотическим подходом [93, 95]. В данном случае, как это часто бывает в теории случайных процессов, из приближенных асимптотических результатов удается получить больше практически интересных, поддающихся анализу зависимостей, чем точных результатов из точных теорем.
Предположим, что £ (£) — непрерывный стационарный гауссовский процесс с математическим ожиданием М {£ (£)} = тп^ и корреляционной функцией вида
R (т) = о^2 г(т) = б£2р (т), R (0) = а?2 < оо, —Я" (0) < оо5.
(2.9.9)
где р (т) — некоторая монотонно убывающая функция т.
Как известно, значением т^ и функцией R (т) гауссовский процесс £ (£) задается полностью. Из этого, в частности, следует^ что любые характеристики (в том числе и характеристики выбросов) процесса Е (2) принципиально могут быть выражены в терминах т^ и R (т), т. е. представлены в виде некоторых функций от т^ и R (т).
Применительно к среднему числу пересечений Ny (Н) такое представление имеет вид ^1 (И) = / [Я, т^ R (т)] и в явной аналитической форме дается выражением (2.2.9):
NT (Я) = (1/л)[-г" (0)]V2 exp {-(Я - 7П|)2/2о^2}.(2.9.10)
Очевидно, что при фиксированном уровне Я = const и известных т^ и Я (т) среднее число пересечений Nx (Я) для случайного процесса £ (£) является постоянной (неслучайной) величиной.
Будем теперь считать, что наблюдению доступна лишь выборочная функция £ (^), t [^ to + ТА = [0, ТА рассматриваемого процесса £ (£). В выборочной функции конечной длительности Т < оо, как известно, содержится конечное, вполне определенное количество информации о параметрах т^ и R (т) процесса Е (0, а следовательно, и о любой функции от этих параметров. Количеством этой информации будут, в частности, определяться нижние границы дисперсий при оценивании т^ о^2 и —гп (0), а также минимальная дисперсия при оценивании среднего числа пересечений Ях (Я).
Иначе говоря, если по траектории 5 (^), t ЕЕ [0, ТА фиксированной длительности Z < оо оценивается некоторая функция ср (а) от параметра а и если 1Т (а) — количество информации о параметре а, содержащейся в выборке £ (£), то в соответствии с неравенством Рао — Крамера (например, [30, 77]) при 5ф (а)/ /5а #= 0 независимо от выбранного способа оценивания для дисперсии D [ф (а)] оценки ф (а) справедливо
D [ф (а)] > [Уср (а)/5а]27т^ (а) = D [ф (а)т1,(2.9.11)
где D [ф (а)^] — нижняя граница дисперсий. Равенство D [ф (а)] = = D [ф (а)т] будет здесь достигаться, если выбранная оценка. Ф (а) является эффективной.
В более общем случае, при оценивании функции ф (а) = = ф (ап а2, . . ., ак) от нескольких параметров а;, г = 1, к, аналогом выражения (11) с точностью до членов ^Т-1 является.
приближенная формула
к к
D [Ф («)] > £ £ -^^ (“) = D [V («И,(2-9.12)
1=1 j=lг3
в которой It у*1 (а) — элементы матрицы, обратной к информационной матрице Фишера {7^ (а)} [30].
Результаты (11) и (12) позволяют в данном случае связать минимальную дисперсию при оценивании среднего числа пересечений Nx (Н) с нижними границами дисперсий при оценивании параметров т^ of и —р" (0).
Чтобы воспользоваться такой особенностью, будем считать, что условия эргодичности (4) для рассматриваемого гауссовского процесса £ (£) выполнены. Тогда по выборочной функции £ (£), t ЕЕ ЕЕ [0, ТА путем усреднения по времени принципиально могут быть получены оценки т и о2 параметров т^ и of = R (0), которые обладают свойствами несмещенности, состоятельности и асимптотической (при Т —> оо) эффективности. Для дисперсий таких оценок справедливы выражения
т'
D [ш] = 2Т^ $ (Т - т) R (т) dr, о
т
D [о2] = 4Т"^ $ (Т - т) Д2 (т) dr.(2.9.13)
о
Рассматривая значения Т ^> т^ и учитывая, что интервалы корреляции ^ | р (т) | йт и § Р2 (т) ^т являются величинами одного оо
порядка, можно без особой погрешности положить § р2(т)йт~тк о
и на основе (13) записать простые приближенные формулы т
D [тп] = 2o^T-i $ р (т) йт — 2о^Т"ЧК = D [mT],(2.9.14)
о
т
D [о2] = 4сг^47"-1 $ р2 (т) йт ~ 4of Т"1^ = D [от2].(2.9.15)
о
-Значения D [пгтА и D [о^2] характеризуют здесь нижние границы дисперсий при оценивании тп^ и о^* по выборочной функции ^ (^), t ЕЕ [0, Т\ фиксированной длительности Т.
По аналогии с результатами (13) и (15) несложно найти и нижнюю границу дисперсий D [—р" (0)у] при оценивании параметра — р"(0). Для этого достаточно заметить, что функция
- р" (Т) = _d2p (т)/йт2 = of2 М {Г (0 ^ (t + Т )} = TV (т)
является нормированной по о^2 корреляционной функцией стационарного гауссовского процесса 5' (£) = d^ (t)/dt, и, следовательно, для дисперсии D [ —р" (0)1 асимптотически эффективной оценки — р" (0) параметра —р" (0) получим
т
D [- р" (0)] = 4Т"2 [- р" (О)]2 $ (Г - т) г^ (т) dT. о
Полагая здесь ^ г^2(т)с?т—-тн,для значений Т ^> тк можно за- о
писать приближенное выражение
D [- Р" (0)] = ^-Р^2 J (т) ~ о
~ ^Г^ = Щ_р"(0)г].(2.9.16).
Теперь в соответствии с формулой (10) представим среднее число пересечений ^1 (Я) в виде функции
Nx (Н)т - 4- [“ Р" ^Р* ехР I- ^S^)(2'9‘ 17>
от случайных величин mTl От2 и—р"(0)т, математические ожидания которых равны М {ттгг} = пг^ М {оу2} — о^2 и М{—р" (0)т} = = —р" (0), а дисперсии D bnTl, D [от2] и D [— р" (0)у] определяются формулами (14) — (16), т. е. совпадают с нижними границами дисперсий. Учитывая, что функция (17) непрерывна и дифференцируема по аргументам тпт1 От2 и — р" (0)т в окрестности точки пгт = тп^ от2 = о^2, —р" (0)т = —р" (0), можно при достаточно, больших Т J> тк на основе общих свойств (И), (12) выразить дисперсию D [7VX (Я)т1 случайной величины N1 (Я)т через статистические характеристики случайных величин пгт, От\ —р" (0)г- Используя при этом свойство статистической независимости процессов £ (£) и £' (£) = d^ (t)ldt и замечая, что при рассмотрении гауссовского процесса £ (£) случайные величины тт и от2 также- статистически независимы, после сравнительно простого вывода. [93] для дисперсии D [^ (Я)г] с точностью до членов порядка. Т"1 получим окончательный результат:
D [Nx Ц)г] = D [Nx Ш = JP^ (1 + №у е-^,(2.9.18),
где К = о^-1 (Я — пг^) — относительный уровень.
С учетом определений (1.2.5) и (1.2.6) в этой формуле можно* перейти к безразмерному параметру времени 6 = T^fQ = 71/2тКг а значение Х2° = —р" (0) в соответствии с (1.3.9) представить как
-р" (0) - х2Ао)э2 - х2 (2лА/э)2.(2.9.19>
Формула (18) характеризует нижнюю границу дисперсий В [^ (Я)т1 при оценивании среднего числа пересечений Nx (h?) по выборочной функции £(£),£ ЕЕ [О, ТА фиксированной длительности Т ^> тк. В частности, если оценка Nx (/г,) параметра Nx (/z,) гауссовского процесса £ (£) с корреляционной функцией (9) получена на основе выражения (6), то для дисперсии В [Л\ (Я)] такой оценки, согласно (8), (18) и (19), справедливо
14х2Д/
(2.9.20)(2.9.20)В [Я1 №)] = 4т в (п (h. Г)] > —^ (1 + 7г2)2 e-h\
(2.9.20)
(2.9.20)
Если в качестве функции р (т) выбрать одну из типовых нормированных корреляционных функций, приведенных в табл. 1.1,
Рис. 2.22.Характер изменения относительной погрешности оценивания среднего числа пересечений NT (h) в зависимости от параметра 6 при различных уровнях h для процесса с корреляционной функцией вида Я(т)= = 5^2 р (т) (пунктир — при априорно известном т»)Рис. 2.22.Характер изменения относительной погрешности оценивания среднего числа пересечений NT (h) в зависимости от параметра 6 при различных уровнях h для процесса с корреляционной функцией вида Я(т)= = 5^2 р (т) (пунктир — при априорно известном т»)
Рис. 2.22.
Характер изменения относительной погрешности оценивания среднего числа пересечений NT (h) в зависимости от параметра 6 при различных уровнях h для процесса с корреляционной функцией вида Я(т)= = 5^2 р (т) (пунктир — при априорно известном т»)
Рис. 2.22.
Характер изменения относительной погрешности оценивания среднего числа пересечений NT (h) в зависимости от параметра 6 при различных уровнях h для процесса с корреляционной функцией вида Я(т)= = 5^2 р (т) (пунктир — при априорно известном т»)
то для конкретизации результатов достаточно лишь в формулу (20) подставить соответствующее значение коэффициента х.
Полученные выражения (18) и (20) показывают, что при фиксированном объеме выборки 6 = T&f3 = Т!2тк = const нижняя граница дисперсий В [^ (Я)т ] зависит от относительного уровня Л, коэффициента формы х и эффективной ширины А/э спектральной плотности 8^ (со) исследуемого процесса £ (£)• Как и среднее число пересечений Я]. (h), дисперсия В [Ях Ql)tA возрастает с увеличением А/э и коэффициента х.
Если интересоваться наименьшей относительной погрешностью при оценивании среднего числа пересечений Ях (/г), то на ■основе формул (18) и (10) для нее получим
8jv (6, Л) =8jv (6, Л) =VD [^i WTA^1 wVD [^i WTA^1 w1 + ^21 + ^2(2.9.21)(2.9.21)
8jv (6, Л) =
8jv (6, Л) =
VD [^i WTA^1 w
VD [^i WTA^1 w
1 + ^2
1 + ^2
(2.9.21)
(2.9.21)
Зависимость величины 8у (0, к) от безразмерного параметра 0 = = Т^ъ при различных значениях уровня h показана на рис. 2.22.
Характер зависимости дисперсии В [^ V^tA от уровня 1г описывается функцией
g № = 5 [Я, ^K>rMB [Nr (0)т1 = (1 + W^(2.9.22)
и, что важно подчеркнуть, при выполнении сделанных в процессе вывода основной формулы (18) допущений не изменяется при изменениях формы спектральной плотности 5^ (со) или корреляционной функции р (т) процесса £ Ц). Из равенства dg (h)/dh = О для дисперсии D [^ (1г)тА легко находится условие максимума:
max D [^ (Л)т] = D [TVi ^т^^.(2.9.23)
h
Целесообразно отдельно рассмотреть характер изменения нижней границы дисперсий D [^ (Н\гА при оценивании среднего числа пересечений NT (Н) в условиях, когда априорно известно математическое ожидание тп-- исследуемого процесса 5 (7) и обработке подвергается «центрированная» выборочная функция Но (О = 5 W е [0, 71, Т > тк.
Принципиальной особенностью этой достаточно распространенной ситуации является то, что при оценивании параметра А\ (Я) здесь используется не только информация, непосредственно содержащаяся в рассматриваемой выборке, но и дополнительная априорная информация о параметре т-- процесса £ Ц).
Выражение (17) имеет при этом вид
^ ^Щт - (1/л) [-р" (ОЦР2 ехр <-1Р/2от^
и является функцией двух случайных величин ог2 п — р" (ОЦ. Повторив при нахождении дисперсии D [^ (Я)г1 выводы, аналогичные выводам формулы (18), для рассматриваемого случая получим
D VNx (Н)т] = D [N, (h)T] =е"№(2'9-24)
и, следовательно,
go W = D [Л\ WtW [Ях (0)г] = (1 + 7г4) ^2.(2.9.25)
Анализ результатов (18), (22), (24) и (25) показывает, что при оценивании среднего числа пересечений Nx (7г) путем усреднения 1
повремени /Yi (h) = — п (7г, Т) необходимо различать два характерных случая:
наблюдению доступна лишь отдельная реализация § Ц), t ЕЕ [0, 7] достаточно большой длительности 7 ^> тк и при измерении числа пересечений тг (7г, 7) относительный уровень 7г может быть задан лишь как h = (Я — пгтУвт, где ттгу и gt — параметры рассматриваемой выборочной функции;
априорно известно математическое ожидание тп^ исследуемого процесса £ (£) и обработке подвергается центрированная выборочная функция £0 Ц) = 5 Ц) — m^ t ЕЕ [0, 71, 7 ^> тк.
Функциональная зависимость дисперсии D [^ (7г) г] от уровня 7г для этих случаев оказывается различной. Описывается она соответственно выражениями (22) и (25).
Для величины е^ (0, 7г) при известном параметре тпл на основе (24) и (10) получим
&N (0, ft) = Yd [^ Q^t\!N1 (h) = (1 + н4^1№х,\(2.9.26)
Рис. 2.23. Общин характер зависимости дисперсии D [^ WTA от уровня 1г при обработке выборочной функции с априорно известным пи. (функция g0 (Zt)) п неизвестным (функция g (h))
Кривые 1—3 — экспериментальные результаты; 4,5 — результаты численного интегрирования на ЭВМ
Зависимость этой величины от безразмерного параметра 6 = ГД/э при различных уровнях h показана на рис. 2.22 пунктиром.
На рис. 2.23 показан характер поведения функций g (А) и g0 QiY а также приведены некоторые эк
спериментальные результаты (7—5) п результаты, полученные численным интегрированием на ЭВМ (4, 5). Общий качественный характер поведения кривых 1—5 согласуется с поведением функций g (h) и gQ (/t). Вместе с тем нужно отметить, что кривые 1—5 построены по данным [19, 68, 75], полученным при исследовании гауссовских процессов £ (£) с различными корреляционными функциями р (т) при различных параметрах —р" (0), Д/э и разном объеме выборки 6 = = ГД/э. Так, в частности, кривые 7—3 построены с учетом формулы (8) по результатам экспериментального исследования [75, с. 212] низкочастотного гауссовского процесса £ (£) с экспоненциально спадающей функцией S^ (/) в диапазоне / [0,30 кГц], а кривые 4 и 5,— соответственно по результатам расчетов [19, 68] на основе формул (8), (2.6.17) и (2.7.16) для процессов £ (£) с пря
моугольным спектром.
Перейдем к рассмотрению нижней границы дисперсий D [^ Ql)tA при оценивании среднего числа пересечений Мг (h) уровня к гауссовским квазигармоническим процессом £ (^) с корреляционной функцией вида
R (т) = gA (т) = ot2 р (т) cos соот, (—р" (0)/<о02) <С 1-
(2.9.27)
Различие характера функций (9) и (27) приводит в данном случае к изменению параметра
(2.9.28)(2.9.28)- г" (0) = - о^ |т=о = ®^ - р" (0)
(2.9.28)
(2.9.28)
и соответственно к изменениям свойств случайной величины (17). Считая, однако, среднюю частоту щ0 процесса g (t) постоянной и априорно известной^ можно дисперсию D []/ —г" (0)^] случайной
величины У—г" (0)г выразить через нижнюю границу дисперсий D [—Р" (0)т1 параметра — р" (0)т.
Так, из равенства (28) находим
a v-rr (O)jv= = -v2 [ю02 - p" (0)]-w' (0), откуда следует, что
D [У-г'10)т] = D [-p" (0)r]/4 (to02 - p" (0)),
и с учетом формулы (16) при to02 ^> —p" (0) получим приближенное выражение для дисперсии
D VV-гЧОМ = _р7)Тк ^?4 •(2-9-29)
Выполнив преобразования, аналогичные выводу формулы (18), с учетом (28) и (29) применительно к гауссовскому процессу £ (0 с корреляционной функцией (27) для нижней границы дисперсий D [Л\ Wt] при Т тк с точностью до членов ^Т-1 получим окончательное общее выражение
Dtoo2 )e +
+<2№ + ^e-№-(2.9.3°)
В формуле (30) первое слагаемое играет определяющую роль при К = 0, а второе вносит основной вклад на уровнях К ^ 0. Эти слагаемые существенно различаются по своей величине, и поэтому в случае узкополосного процесса £ (£) дисперсию D [Wjl (h)у] целесообразно рассматривать раздельно для уровней 7г = 0 и h ^ 0.
Если по выборочной функции £ (£), t ЕЕ [0, Т], Т ^> тк процесса 5 (£) на основе алгоритма
Кх^=4гпф = тТ1 Т^^гп^, Т)
оценивается среднее число пересечений ^ (0) нулевого уровня, то в соответствии с формулой (30) для дисперсии D [^ (0)1 оценки (0) будет справедливо
D [#i (0)] = -^ D [" (°’ Л] > D ^ (°)Л.
где
nrV^l -р"(0) f -Р”(0) \ 4и2Д/э / -р"(0) \/9 9 ЗЙ
в [дм^м _ л2(ГД/з)' ( -Юо2—; ——• (2-y-dl)
Выражение (31) отличается от аналогичной формулы (20) при h = 0 лишь множителем (—о" (O)/too2, характеризующим относительную ширину спектра исследуемого узкополосного процесса 5 ^. Как и следовало ожидать, дисперсия D [^ (0)т1 уменьшается при увеличении длительности Т анализируемой выборочной функции | (^), t ^ [0, Т\ и возрастает при увеличении эффективной ширины спектра А/э. При одинаковых параметрах А/э, А/э/
W$/W$/Рис. 2.24. Зависимость нормированной нпжней границы дисперсий при оценивании ^1 (0) от длительности реализации Т при различных функциях р (т)Рис. 2.24. Зависимость нормированной нпжней границы дисперсий при оценивании ^1 (0) от длительности реализации Т при различных функциях р (т)</4/W</4/W
W$/
W$/
Рис. 2.24. Зависимость нормированной нпжней границы дисперсий при оценивании ^1 (0) от длительности реализации Т при различных функциях р (т)
Рис. 2.24. Зависимость нормированной нпжней границы дисперсий при оценивании ^1 (0) от длительности реализации Т при различных функциях р (т)
</4/W
</4/W
Р (т) = (1 + а | т |) 5-а|т| _ сплошная линия; р (т) = е“ат2 — пунктир, р (т) = = sin (Д ыт/2)(Д wt/2) — штрихпунктир
Рис. 2.25. Характер изменения нижней границы дисперсий (кривая 7) и относительной дисперсии (кривая 2) при оценивании Л^ (Д) в зависимости от уровня К
//о и Т дисперсия!) [Лц (0)т1 больше для того процесса S (^), спектральная плотность S5 (со) которого характеризуется более затянутыми хвостами, т. е. величина D [^ (0)г] возрастает при увеличении коэффициента х.
На рис. 2.24 показан характер изменения нормированной (относительно величины —р" (0)/со02) дисперсии
Ун [^ (0)т1 = т-ч^м.
в зависимости от длительности реализации Т при различных типовых функциях р (т).
На основе общей формулы (30) для нижней границы дисперсий D [^ ^Ь?)тА при оценивании среднего числа пересечений Мг ^ произвольного уровня | h | > 0 с учетом соо2 ^> —р" (0) можно записать приближенное выражение
D [^ (%] = "™п ^ + ^ е"№’ ।h । > 01<2'9-32)
Характер зависимости дисперсии (32) от уровня 1г описывается здесь функцией g (ft) = (2fe2 + h4) exp (—fe2), которая приводит к условию максимума:
max D [Л\ (7г)г] = D [^ (Д)г \h^.
1г
Вид функции g (1г) показан на рис. 2.25 (кривая 7).
Учитывая, что для рассматриваемого квазигармонического процесса £ (^), согласно (2.2.16),
Nx (Л) = 2AV (А) = 4- [®о2 - р" (0)]'/= ехр (- /г2/2),
D [ЛЧ Wr]N? (/»)D [ЛЧ Wr]N? (/»)= -^(2^ + /^).= -^(2^ + /^).(2.9.33)(2.9.33)для относительной дисперсии получим
D [ЛЧ Wr]N? (/»)
D [ЛЧ Wr]N? (/»)
= -^(2^ + /^).
= -^(2^ + /^).
(2.9.33)
(2.9.33)
На рис. 2.25 показана зависимость (2) величины (55) от уровня к при фиксированном значении ZA/3 = 1, а на рис. 2.26 — характер изменения наименьшей относительной погрешности оценивания /D VNt (h^/N, (Ь) в зависимости от безразмерного параметра времени 6 = ГД/э.
Рис. 2.26. Характер изменения относительной погрешности оценивания среднего числа пересечений Л^ ^i) в зависимости от параметра 0 при различных уровнях h для процесса с корреляционной функцией! вида R (т) = s^p (т) cos соот
В заключение отметим, что все приведенные в данном разделе результаты с учетом соотношения (2.6.22) могут быть легко переформулированы применительно к оцениванию среднего числа положительных или отрицательных пересечений TV/ (/i) уровня к.
Условные распределения.
Поведение производной в моменты пересеченийпроцессом заданного уровня
Исследование характеристик пересечений уровней в отдельных задачах приводит к необходимости рассмотрения условных распределений. При этом обычно интересуются вероятностью Р {Л | £ (^0) = к^ некоторого события А при условии, что в момент времени t = tQ траектория процесса £ (£) пересекает некоторый уровень к. Определение условной вероятности Р (А | | (£о) = = к) существенно зависит от интерпретации условия £ (£0) = к; различие в определениях приводит, в свою очередь, к принципиальному различию получающихся конечных результатов.
Приведем здесь два наиболее распространенных определения условной вероятности и на примере решения конкретной задачи о поведении производной ^ (Zo) в моменты пересечений случайным процессом | (£) уровня к покажем характерные особенности их использования.
Основной причиной неоднозначности в определении условных вероятностей вида Р {Л | £ (£0) = М является то, что вероятность пересечения непрерывным случайным процессом £ (0 фиксированного уровня к при t = tQ в общем случае равна нулю п7
следовательно, условная вероятность события А определяется здесь относительно события, имеющего нулевую вероятность Р {£ (io) = 4=0.
Подобные затруднения, вообще говоря, можно устранить несколькими способами; в задачах исследования характеристик выбросов это удобно сделать на основе введения определений условных вероятностей «вертикального окна» Р {Л | £ (£0) = К^.^ и условных вероятностей «горизонтального окна» Р {Л | £ (£0) =
В первом случае (рис. 2.27) условие £ (£0) = 1г интерпретируется как £ (£0) ЕЕ \1г, 1г + ATzJ, т. е. считается, что в момент времени
Рис. 2.27. Различная интерпретация события £ (i0) = К
а) £ (<0) е Vh, h 4- ДЫ,
б) £ (0 = h, te Uo, t0 + At]
t = tQ траектория £ (t) проходит через элементарное «вертикальное окно» Vh, h + Мг\. Во втором случае предполагается выполненным равенство £ (£) = h для некоторого t ЕЕ [£0> ^о + Ad, т- е- считается, что пересечение уровня 1г происходит на интервале Ио, ^о + Ad или, другими словами, что траектория £ (£) проходит через элементарное «горизонтальное окно» [^ £0 + Ad.
В обоих определениях [34, 117]
Р и | g (io) == lim Р {Л I g (io) E [A, h + M]},(2.10.1)
A/2—0
P {Л | ^ (io) = 4ft.w = lim P {Л 11 (i) = h, i e [io, io + Ai]}
AZ—0
(2.10.2)
условия g (^0) E? Vh, h + A7d и g (£) = h, t E Ho, t0 + Ad в пределе при А/г —> 0 и А£ —> 0 сходятся к условию £ (£0) = h. Вместе с тем использование вероятностных характеристик (1) или (2) определяется особенностями решаемой задачи. Для пояснения этого рассмотрим конкретную задачу [94], связанную с нахождением условной плотности вероятности производной.
Предположим, что исследуемый случайный процесс 5 (d является стационарным и дифференцируемым, имеет математическое ожидание т^ = М {£ (d) = 0 и корреляционную функцию ^г (т) = о^г (т), —RV (0) < оо. Будем, кроме того, считать, что известна одномерная плотность вероятности р^ (^) процесса 5 (d и совместная плотность вероятности р (^ (d,(d) = Р (^» ^)
для значений g (^) и ^ (^) = d^ (i)!dt в совпадающие моменты времени. Требуется рассмотреть поведение производной ^ (^) в моменты времени t = tQ, соответствующие пересечениям заданного уровня К процессом ^ (d. Иначе говоря, необходимо найти условную плот-
ность вероятности производной р [Н' (£0) | £ (t0) = /г]. Возникает такая задача при анализе измерительных систем, при адаптивном сжатии информации, при статистическом описании шероховатости поверхностей и некоторых других случаях, когда важно знать не только факт превышения исследуемым процессом £ (£) заданного уровня А, но и скорость нарастания выброса или угол наклона касательной в моменты пересечений.
Из определения (1) легко заметить, что условие £ (£0) Е Е [^, + Д^1 всегда в конечном счете приводит к усреднению (или интегрированию) по уровню К. Если при исследованиях производной ^ (^0) воспользоваться условием вертикального окна, ТО ДЛЯ УСЛОВНОЙ ПЛОТНОСТИ вероятности р [£' (£0) I £ (£0) = Md.w получим привычное выражение
Р £ 16 = ^ - Р К' W I I (М = Akw = -^^- |^д. (2.10.3)
При известных функциях р^ (Е) и р (£, £') соотношение (3) позволяет достаточно просто находить условную плотность вероятности р (£' | £ = Ку при помощи которой, однако, не решить поставленной задачи. Представление события £ (£0) = К в виде £ (£0) Е \К, К + АТг,] не дает возможности характеризовать поведение производной £' (^0) в моменты пересечений t = ^процессом £ (£) заданного (фиксированного) уровня К.
Иначе обстоит дело при использовании условных вероятностей типа «горизонтальное окно» (2). В предположении £ (£) = К, £ Е Е [^о? ^о + Д£] удается рассмотреть фиксированные значения уровня К1 но в отличие от формулы (3) условные плотности вероятности в подобных случаях могут быть найдены лишь через вероятности, связанные с потоками событий, образованных пересечениями, т. е. через отношения интенсивностей соответствующих потоков событий.
Очевидно, что случайный процесс £ (£) может пересекать заданный уровень К при различных значениях производной | £' (£) |, т. е. с различной скоростью | £' (0 | ^ 0 (или под различным углом наклона). Если предположить, что в момент пересечения значение производной зафиксировано £' (0 Е [£', £' + Д^'], то вероятность такого пересечения в общем случае будет определяться вероятностью совместного выполнения условий
£ (;) е [fc - Д£/2, h + А£/2], V (Z) Е [£', Г + Д£'1
и может быть записана как
Р {h - Д£/2 < Н^Х h + ДЕ/2, £' < g' (t) < g' + А?'} = = р (h, V) A? Д^'.
В свою очередь, из свойства дифференцируемости процесса £ (t следует, что Д£ = | £ (t + Д^) — £ (t) | = | ^' | Д^ а поэтому вероятность ДР^ пересечения уровня К на элементарном интервале Д£ с некоторой фиксированной производной ^ (t) Е [Е\
V + ДГ1 будет равна
^PV = р (А, Г)^^ АГ = р (Л, Г) I Г I М АГ, (2.10.4)
где р (А, Г) = Р (£ (<), £' (0) при £ (i) = Н.
Из выражения (4) после учета возможных изменений производной Г (0 €= (—00 , 00) п осреднения находится вероятность kP пересечения уровня А процессом Е (t) на отрезке Ai с произвольным значением производной:
(2.10.5)(2.10.5)ЬР = Ы $ |Г|р(А, ГЖ-
(2.10.5)
(2.10.5)
Выражения (4) и (5) позволяют записать общую формулу для условной плотности вероятности
Ро (£о' | £ — h) = р [Г (io) | g (io) = h\h.w =
= „ 16-1-'IS. 6'1,(2Л0.Г,)
5 i S' i p is, s'> ss
—oo'^h, V=V
которая характеризует поведение производной ^ (£0) = £о' в мо~ менты пересечений £ = £0 случайным процессом £ (Z) заданного уровня к.
При исследовании стационарных случайных процессов £ (2) с —Rv (0) < сю события, заключающиеся в пересечении процессом £ (£) уровня к, могут рассматриваться как стационарный и регулярный поток случайных событий [34]. Количественно такие потоки характеризуются своей интенсивностью, которая в данном случае совпадает со средним числом пересечений (событий) в единицу времени. Формула (6) при подобной интерпретации, по существу, определяется отношением интенсивностей двух потоков событий. Один из этих потоков порожден пересечениями, которые происходят с некоторым фиксированным значением производной ^ (£), а другой поток — пересечениями, происходящими с производной ^ (£) ЕЕ (— оо, оо).
Воспользуемся полученной общей формулой (6) и рассмотрим характер условной плотности вероятности р0 (£0' | £ = h) для класса стационарных случайных процессов § (£), обладающих свойством (1.4.21):
р (г г) = р. ® р ^ । ?) = р^ а) р^ ^^-^
т. е. процессов £ (2) со статистически независимой производной (в совпадающие моменты времени).
При выполнении условия (7) формула (6) преобразуется к виду
р0 & 1^ = А) - ^5= -м7|ГПГ к=-;«'(2Л018)
II■
и, что особенно важно отметить, условная плотность вероятности ро = 1г) перестает при этом зависеть от выбранного уровня: Ро (£о'/£ = /о = Ро' аа.
Из общих свойств стационарных случайных процессов g (Z) следует, что входящая в формулу (8) одномерная плотность вероятности р^ (£') производной J' (t) характеризуется параметрами т^ = М {^ (Z)} = dm^/dt = 0, о^ = М {[^ (Z)]2} = - R^ (0) л обладает свойством четности р-^ (£') = р^ ^—VY В том случае, когда функция р-^ (V) является нормальной:
(2.10.9)(2.10.9)Ру (!') = (2лС^2)-’'= ехР (— №<5^
(2.10.9)
(2.10.9)
формула (8) после простого интегрирования приводится к явному виду:
ро(£о'Н = А) = 41ЕехР (--^7) ’ ^'G(-oo,oc,). (2.10.10}
Условная плотность вероятности (10) описывает поведение производной £0' = g' (z0) в моменты пересечений процессом £ (А
Рис. 2.28. Плотность вероятности производной £' (;0) в моменты пересечения случайным процессом £ (Z) заданного уровняРис. 2.28. Плотность вероятности производной £' (;0) в моменты пересечения случайным процессом £ (Z) заданного уровнянекоторого заданного уровня К Формула (10) справедлива для класса стационарных процессов £ (Z), обладающих свойствами (7) и (9). К этому классу относятся, в частности, стационарные гауссовские процессы ^ (Z), процессы с распределением Релея, Райса, Максвелла, а также про
Рис. 2.28. Плотность вероятности производной £' (;0) в моменты пересечения случайным процессом £ (Z) заданного уровня
Рис. 2.28. Плотность вероятности производной £' (;0) в моменты пересечения случайным процессом £ (Z) заданного уровня
цессы с %-распределением.
Плотность вероятности
) характеризует поведение производной 5' (Zo) в мо) характеризует поведение производной 5' (Zo) в моРо(^о7^ = h) = Ро(1о) состоит из двух симметричных ветвей (рис. 2.28). Правая ветвьр0 (£0')> £()'(0, ОО
) характеризует поведение производной 5' (Zo) в мо
) характеризует поведение производной 5' (Zo) в мо
менты положительных выбросов, а левая ветвь р0 (£0')> £о' ЕЕ ЕЕ (—оо, 0) — в моменты отрицательных выбросов. Если интере
соваться, в частности, лишь положительными выбросами процесса £ (Z), то в моменты начала выбросов t — t0 распределение производной J' (Zo) описывается законом Релея:
Po(V/£ = /t)-№-2exp(-^5о'^ (0, оо), (2.10.11)
а ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны
М <Ео' | ^ = Л} = $ № (£о' | £ - Л) d^ =№\
(2.10.12)(2.10.12)о
(2.10.12)
(2.10.12)
ДКо']£ = /,]=^о'_^
= h)d^ = Q^ (2 —л/2).
Для того чтобы еще раз подчеркнуть различие в определениях (1) п (2), отметим, что при выполнении свойства (7) использование при решении данной задачи условия вертикального окна, согласно формуле (3), приводит для рассматриваемого класса процессов £ (7 к результату
р ^ = h) = P a, ш^ & - р^
т. е. в данном случае — к нормальной плотности вероятности (9). Физически понятно, что такая функция не может описывать поведение производной £0' = ^ (^0) в моменты пересечений процессом 2 (7 фиксированного уровня к. Согласно (9), наиболее вероятными значениями для £о'7о) являются значения £0' = О, однако, как известно, пересечения уровня не могут происходить при V W — 0, а касания заданного уровня к для процессов £ (7 с —R^ (0) < оо, согласно теореме Булинской [10], в общем случае имеют вероятность Р {£ (7 = к, X' W = 0} = 0.
Воспользуемся теперь формулой (6) и рассмотрим особенности функции pQ (£о7£ = к) применительно к стационарным дифференцируемым процессам £ (7, не обладающим свойствами (7) и (9). Очевидно, что при условии
Р (£, У) = р^ р ^'^ N= Р. ® Ру (П(2.10.13)
общая формула (6) примет вид
po(^R = A) = ^^^—•(2.10.14)
J |V|p(5'R)^'
—00ъ=^> g'=V
Нарушение свойства статистической независимости (7) является, как правило, следствием различных нелинейных преобразований случайных процессов. Учитывая это, в целях конкретизации результатов рассмотрим класс функционально преобразованных процессов. Будем при этом считать, что некоторый процесс т] (7 с совместной плотностью вероятности
Р (л W, т]' Ш = р (т], т)') = Рч (л) Pw h')
подвергается функциональному преобразованию Ц (7 ^ / 1л (01 — = £ (7- Если существует однозначная обратная функция ц (7 = — ф [£ (71 = ф (£), то, согласно разд. 2.4, выполнив в выражении р (Л» Л') замену переменных р = Ф (£), т)' = ф' (£) £', для преобразованного процесса £ (7 получим
Р (L ^ = Р a W, £' (0) = р (Ф ^, ^'ф' О ф'2 ^- (2.Ю.15)
Характерной особенностью подобных преобразований является то, что если исходный процесс ц (7 обладает свойством (7) и одномерная плотность вероятности производной т/ (7 Рту (л') = = (2псгГ|'2)~1/2 ехр (—1]'2/2ол^2), то для преобразованного процесса (7 = / 1л (01 совместная плотность вероятности (15) в общем
случае имеет вид
р (|, ^ = Рг® p(TO = p.® -^Я- exp (- W^ ) .
(2.10.16)
Такое представление плотности вероятности р (£, £') позволяет в формуле (14) выполнить интегрирование и для рассматриваемого класса функционально преобразованных процессов £ (^) в явном виде записать условную плотность вероятности производной:
Рй (^'11 = /г) = 1 ^' exp (-\ .(2.10.17)
По своему характеру распределение (17) отличается от распределения (10). Как и следовало ожидать, статистическая зависимость между значениями £ (^) и ^ (^) приводит в данном случае к зависимости поведения производной £0' = ^ (£0) от выбранного уровня h.
Дополнительные результаты
В заключение данной главы приведем некоторые дополнительные результаты, которые по своему содержанию непосредственно примыкают к изложенному в главе материалу.
Предположим, что £ (^) — гауссовский стационарный процесс и заданный уровень Н (7) также является гауссовским стационарным случайным процессом. Среднее число положительных выбросов N£ (Hf, Т) процесса £ (^) над уровнем Ht — Н (?) в подобном случае будет совпадать со средним числом положительных выбросов процесса т) (^ = ^ (2) — Н (^) над нулевым уровнем. Следовательно, если М {£ (^)} = Tn-, М {Я (^)} = тИ1 R- (т) = = ^(т), -^"№<^ Нн (т) = OHhH (т), -RH"^<oo и R^H (т) = RH^ (т) = 0, то процесс г] (Z) будет характеризоваться нормальным распределением с параметрами
т^ = М {ц (^)) = т^ — mHl r^ (т) =
= (V [7?^ (т) + RH (т)], оп2 = о^2 + Он2
и по аналогии с формулой (2.3.36) для Яс+ (Ди Т) получим
М^(Дн T) = N^^, Т) =
~ 2л VeXPl 2V+23h'J’
Будем считать, что для гауссовского стационарного процесса g (^) с тп^ = 0, R. (т) = о^г (т), -R< (0) = -<з^т; < оо требуется на интервале [£0, ^0 + Т\ вычислить среднее число положительных выбросов № (Ht1 Т) над линейным «движущимся барьером» Ht = Н (^) = а + bt, b ^ 0, где а и b — постоянные коэффициенты. Если при решении такой задачи предварительно
записать совместную плотность вероятности р (ц (^), ц' (£)) для гауссовского нестационарного процесса Ц (£) = £ (£) — я — bt и его производной ц' (0 = £' (^) — Ь, то, согласно [34, 75], на основе общей формулы (2.1.10) или формул (2.2.1) и (2.2.2) найдем
П = !У техР +
+ _L Гф (—-1 — 111 Гф ( a + blt°+I} 1 _
5$ Lro" / JJL к °§/
ф / а + ktp \ 1
\ /г
где Ф ^ — интеграл вероятности (П-1).
Если А — некоторая случайная величина с функцией распределения F (Л), а ^ ^ — независимый от А гауссовский стационарный случайный процесс с т^ = М {£ (^)} = 0 и R^ (т) = = о^г (т), то процесс ц (^) = А^ (2) называется сферически инвариантным случайным процессом [115, 148]. Свойства непрерывности и дифференцируемости для такого процесса ц (^) при условии Р {Л = 0} = 0 полностью определяются аналогичными свойствами гауссовского процесса £ (£), а среднее число пересечений [148] нулевого уровня (Н = 0) траекторией ц (Ту t ЕЕ [0, ТА
n^ (о, п=41- ^" tw (°)г/г=4 <- г°"),/2
и, следовательно, также совпадает с формулой (2.2.10) при Н = 0.
Записанный результат N^ (0, Т7) = 1У^ (0, Т7) физически объясняется тем, что случайная величина А приводит, по существу, к изменениям дисперсии о^2 гауссовского процесса £ (^), а это, как известно из общей формулы (2.3.3), не влияет на среднее число пересечений Ж (0, Т) уровня Н = 0.
Рассмотрим сумму двух гармонических колебаний s (/) = = Ат cos (2nF0/+ ф0) + ат cos (2л/0£ + ф0) с постоянными амплитудами Ат и ат1 частотами Fo и /0 и независимыми, равномерно распределенными на интервале (—л, л) случайными начальными фазами ф0 и ф0. При Ат ^ ат и AmFQ >> amf0 среднее число пересечений JVS (0, 1) уровня Н = 0 процессом s (^) на интервале времени [0, Т7] = [0,1] будет равно Ns (0, 1) = 2F0. Если ат > > Ат и amfQ у> AmFOl то Ns (0, 1) = 2/0. Анализ промежуточных случаев также приводит к достаточно простым результатам [92, 104]. В частности, при значениях Fo^> f0 и Ат<ат< AmF0//0 для среднего числа нулевых пересечений справедливо выражение
zГ / а ^ — ^4 ^ \ Vo 1
№.(0,1) = 4^.гссО5™+
, 4 , + — /о arcsin, 4 , + — /о arcsinл 2 Д 2ат^02 - /о2л 2 Д 2ат^02 - /о2
, 4 , + — /о arcsin
, 4 , + — /о arcsin
л 2 Д 2
ат
^02 - /о2
л 2 Д 2
ат
^02 - /о2
в котором arccos х и arcsin х изменяются на интервале [0, л/21.
Рис. 2.29. Характер изменения среднего числа нулевых пересечений для суммы двух гармонических колебаний
Общий характер изменения величин Ns (0, 1) при различных соотношениях параметров Ат, ami Fo, /0 показан на рис. 2.29.
Рассмотрим периодически нестационарный случайный процесс ц (^) = g (Z) cos (о0^ Tq = 2л/(о0, где £ (^) — гауссовский стационарный процесс с т^ = 0 и R^ (т) = а^г (т). Среднее число пересечений 7V (0, тТ0) нулевого уровня для процесса ц (^) на интервале (0, тпТоу где тп — целое положительное число, будет определяться формулой [75]
N (0, тпТ ^ = (тп^о/л) [<о0 + У—г0".
В более общем случае можно отметить, что для произведения ц (О — £i №£2 (О ДВУХ независимых дифференцируемых случайных процессов ^ (^) и £2 (^) с М {^ (£)} = М {£2 (£)} = 0 вероятность совпадения нулевых пересечений равна нулю: Р {^ (^) = О, ^2 М = 0} = 0. Поэтому среднее число нулевых пересечений Л’^ (0, Т) на некотором интервале [0, Т] определяется суммой
(0, Т) = М^ (0, Т) + ^2 (0, Т).
где Му (0, Т) и М^ (0, Т) — соответственно среднее число пересечений уровня Н = 0 для процессов ^ (^) и g2 (ty
Помимо общего среднего числа выбросов N^ (/г, Ту в отдельных задачах важно знать среднее число таких выбросов М+ (h,, Т |Л), которые удовлетворяют некоторым заданным условиям А. Если, например, подобные условия связаны с ограничениями на скорость нарастания выброса и требуется на интервале времени [0, Г] для исследуемого процесса £ (£) вычислить среднее число выбросов М+ (К, 7 | £0' ЕЕ Ui', ^'Ь Для которых производная ^ (f) в момент начала выброса t = tQ заключена в заданном интервале ^0' ЕЕ [£/, ^2'К то в соответствии с результатами разд. 2.10 получим
(h, Г I ^о' G [^1', ^21) = N+ (h, Т) $ Ро &' | £ = h) dl'.
Применительно к классу процессов £ (it), обладающих свойствами (2.10.7) и (2.10.9), с учетом выражения (2.10.11) эта формула записывается в явном виде:
№ (Л, г|И/, О =
= № (А, Г) (exp YV№ (0)] - exp \.^№{ (0)]}.
Пусть процесс ц (Z) является %2-процессом с п степенями свободы, и, согласно определению (1.6.11), характеризуется плотностью вероятности (1.6.12). Тогда, воспользовавшись формулой (2.10.6), можно показать [94], что в моменты пересечений t = t0 процессом ц (Z) заданного уровня h производная ц0' = ц' (£0) характеризуется плотностью вероятности
р0 (По' | л = Л) =exp,
„ ач (т) I , х
где — го =L ) г (т) — нормированная корреляционная функция рассматриваемого процесса ц (^).
3
ХАРАКТЕРИСТИКИЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ
К характеристикам экстремальных значений непрерывного случайного процесса £ (£) обычно относятся вероятностные характеристики, связанные с описанием случайных величин типа числа экстремумов (максимумов, минимумов), а также с описанием величины наибольшего максимума или наименьшего минимума траектории рассматриваемого процесса £ (^) на некотором заданном интервале времени [£0, £0 + ТА. Знание характеристик экстремальных значений оказывается необходимым при анализе предельных отклонений и анализе устойчивости сложных технических систем, при решении отдельных задач теории надежности [45, 13]. Часто к исследованиям характеристик экстремальных значений сводятся задачи описания шероховатости поверхностей при механической обработке деталей [96], задачи описания взволнованной поверхности моря [57], сейсмических [9, 22] и ветровых [57] воздействий, задачи анализа вибраций [12] и др.
Основная цель данной главы — рассмотрение особенностей и результатов исследований вероятностных характеристик экстремальных значений непрерывных и дважды дифференцируемых в среднеквадратическом смысле случайных процессов.
Среднее число экстремумов и их распределение
Рассмотрим какую-либо реализацию 5(0, ^ Е [О, ТА непрерывного случайного процесса § (О (рис. 3.1). В некоторые моменты времени t^ эта реализация имеет локальные максимумы, а в моменты ^' — локальные минимумы. Число таких максимумов ^max (Т), минимумов 7imin (Г) и общее число экстремумов Hext СП = nmax (^) + ^min (^) ЯВЛЯЮТСЯ Случайными ВвЛИЧИ- нами. Предполагая, что рассматриваемый процесс § (I) на интервале [О, ТА дважды дифференцируем в среднеквадратическом, т. е. удовлетворяет условию (1.3.5) при п = 2, найдем математические ожидания названных случайных величин, т. е. среднее число максимумов, минимумов и экстремумов.
В прикладном плане такая задача, по-видимому, впервые была сформулирована [139] и решена [140] Райсом. Она близка по своему содержанию к задаче нахождения среднего числа пересечений, и при ее решении можно воспользоваться отдельными результатами разд. 2.1.
Действительно, в моменты времени ^ = ^ и ^ = // для функции £ (£), t ЕЕ [О, ТА выполняются соответственно условия
t = tb ^ ^ = О, V &) < 0, Z = 1, 2, 3, . . ., (3.1.1)
t = V, V (ta = О, V (t^ > 0, Z = 1, 2, 3, . . . (3.1.2)
Или, иначе говоря, функция £ (Z) имеет локальный максимум при t = tt, если производная |' (Z) в момент времени t = tt пересекает нулевой уровень сверху вниз, т. е. имеет отрицательный выброс. Аналогично при t = ti функция £ (Z) имеет локальный минимум, если производная £' (Z) в момент t = Z/ пересекает уровень Я = О снизу вверх (положительный выброс).
Рис. 3.1. Максимумы и минимумы реализации случайного процессаРис. 3.1. Максимумы и минимумы реализации случайного процесса
Рис. 3.1. Максимумы и минимумы реализации случайного процесса
Рис. 3.1. Максимумы и минимумы реализации случайного процесса
Предположим теперь, что известна совместная плотность вероятности р (£ ktY ^ (Z), V (t)) = р (£, £', V; t) для значений исследуемого процесса £ (Z) и значений его производных £' (t) и V (t) в один и тот же момент времени t. Тогда, рассматривая в качестве исходного процесса производную £' (Z) = dt (t^dt, на основе формул (2.1.11) и (2.1.10) с учетом уровня Н = 0 и плотности вероятности
Р(^Г;О= $ р(и',ё";0^(3.1.3)
получим соответствующие формулы для среднего числа максимумов и минимумов процесса £ (Z) на интервале [0, ТА*.
т О
(З.М)(З.М)(3.1.5)(3.1.5)^тах (7) = * 55 ^'Р (°>0 ^^
(З.М)
(З.М)
(3.1.5)
(3.1.5)
Т ОО
ivmin(n = S ^S тол"; 0^"- о о
Суммируя выражения (4) и (5), находим общее среднее число экстремальных точек процесса | (Z) на интервале [0, 7], в кото-
рЫХ V W = 0:
Т ОО
Яех1 m = Ятах (7) + wmin (Г) = S ^ $ [ g" I p (0, Г; 0 d^.
0—OO
(3.1.6)
Так как все соотношения для максимумов и минимумов получаются путем аналогичных выкладок и схожи по виду, то без потери общности ограничимся в дальнейшем преимущественно рассмотрением лишь максимумов случайного процесса.
Накладывая определенные ограничения на диапазон изменений функции £ (t), помимо рассмотрения среднего числа максимумов TVmax (71) и минимумов ЯШ1П (71), появляется возможность исследования распределений локальных экстремумов по высоте. Обозначим высоты максимумов, т. е. значения случайной функции £ (t) в точках ^, через Ет (^). Тогда если интересоваться максимумами, величина которых <Ет превышает некоторый заданный уровень Н, то для среднего числа таких максимумов Nmax ^m ^ > Н, Т) на интервале [0, ТА можно записать общее выражение
Т ОО о
^х&п>н, Т) = Ц dt^ di 5 |>&ОД";0<.(3.1.7)
0 H —ОО
Если случайный процесс £ (t) в момент времени t = tt имеет локальный максимум, то вероятность Р {^m ^ Н} того, что высота Ет этого максимума удовлетворяет условию ^т Н можно определить отношением
Р {U < Я} = Ятах ^т ^ Я, Г)/Ятах (Г)
или с учетом формул (4) и (7)
т н о
$ dt j* d^ j ^(^, 0,
P &m < Я} = 0 7° „-”.(3.1.8)
J at j Vp (0, 5"; <) a^" 0—oo
По существу, это выражение — функция распределения высоты локального максимума Р ^т ^ Я} = Fmax (Я) и характеризует долю локальных максимумов процесса £ (t) на интервале [0, 74, высота которых ^т не превышает уровня Я.
Очевидно, повторив применительно к максимумам выкладки аналогичные выводу формулы (2.1.9), можно убедиться, что вероятность того, что локальный максимум будет находиться на элементарном интервале (t, t + At) и его высота будет при этом заключена в малом интервале ^т — ^mi ^m)i
о
PdU t) = -M^ $ WU °, Г; <)^".(3-1.9)
Эту формулу можно считать основной, так как из нее интегрированием по t и %т в соответствующих пределах автоматически получаются предыдущие формулы (4) и (7). В частности, среднее число максимумов, попавших на отрезке времени [О, Т\ в интервал (Вт А^т» ^тп)>
Т о
Л^тах (U Т) = - д^ $ at J ^р ^ о, Г; 0 аг.(3.1.Ю)
О —оо
Плотность вероятности р (£т) высоты локального максимума случайного процесса £ (£) естественно определить так: вероятность р (£т) ДЕт равна отношению среднего числа максимумов Wmax (Im, Л в интервале ^m — A£m, £т) за время [О, Z] к среднему числу всех максимумов ДГтах (Т) на этом отрезке времени [О, Г], т. е.
т о
J Л J 5Wm’ О, V; №
Рбт^5^^•(злл1)
J dt ^ Ир (0, £"; /) dE," О—оо
Несложно заметить, что записанная плотность вероятности (11) однозначно связана с функцией распределения высоты локального максимума (8) привычным соотношением
-Lp&^h^p^).
Если рассматриваемый случайный процесс £ (£) относится к классу стационарных в узком смысле процессов, то предыдущие формулы упрощаются. Совместная плотность вероятности р (£, £',
^) в этом случае не зависит от времени t, и поэтому целесообразно оперировать со средними числами соответствующих максимумов в единицу времени (что отметим индексом 1).
Применительно к стационарным процессам £ (£) формулы (4), •(7) и (И) принимают соответственно вид
о
^imax = - $ Гр(О,Г№(3.1.12)
где р (0, £") — совместная плотность вероятности р (£', £") для значений первой ^ (£) и второй ^ (£) производных в один и тот же момент времени при ^ (£) = О,
оо о
Яхтах Gm > Я) = - ^ <^ $ . ^р & О, Г)(3.1.13)
Н -со
Рб^=- \ ^'Р 6m, 0, £") Oimax =.
(3.1.14)
В двух следующих разделах полученные формулы будут конкретизированы для некоторых частных моделей случайных процессов.
Экстремумы гауссовского случайного процесса
Основываясь на общих результатах разд. 3.1, перейдем к более подробному рассмотрению вероятностных характеристик экстремумов гауссовского стационарного случайного процесса £ (t). Многие выводы для такого процесса удается получить в достаточно простой явной форме.
Будем считать, что гауссовский стационарный процесс £ (О имеет математическое ожидание т^ = М {£ (£)} = 0 и корреляционную функцию
R (т) = а^г (т),—R" (0) < оо, R^ (0) < оо. (3.2.1)
Для такого процесса совместная плотность вероятности р (£, £', ^ дается формулой (1.5.21):
р (Ь v-п=Жл “р {- 4 №+w‘e+°s‘rt -
- ^/2ai2} ,(3.2.2)
где di2 и o22 — дисперсии соответственно первой ^ (£) и второй £" (i) производных, а параметр у определен выражением (1.5.20):
у = G^W [1 - rtr (°)] = ^w - а? > 0.(3.2.3).
Подставив в формулу (3.1.12) плотность вероятности
при ^ = 0 и выполнив интегрирование, находим среднее число максимумов процесса £ (£) в единицу времени:
Wimax = <т3/2ла1 = (1/2л) У —r0<4Vr0".(3.2.5)
Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае 7Vimax = = VVimin и, следовательно, среднее число экстремумов гауссовского стационарного процесса 5 (£) в единицу времени равно
A\Ext = 22Vimax = сг2/ла1 = (1/л) У" —г0<47г0".(3.2.6)
Для конкретизации результатов в формулы (5) и (6) достаточно подставить значения производных —г^ = —г" (0) и г^ = г^ (0) нормированной корреляционной функции г (т) = o^R (т). В частности, для процессов £ (^) с некоторыми распространенными видами функций г (т), приведенными в табл. 1.1 и удовлетворяющими условию г0<4) < оо, эти значения даны в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Значения производных для некоторых нормированных корреляционных функций
№
Функция г(т)
— г" (0)
т№ (0)
1
ехр (—ат2)
2а
12а2
2
sin (Доут/2)
1 /Дй)\2
1 /Дай4
Доут/2
3
[* + “ 1 т 1 + 4“ (“Т)2 ] «"“ 1 т 1
1 а2
а4
4
[1 + (ат)2]-1
2а2
24а4
5
sech (ат)
а2
5а4
Если сравнить полученную формулу (6) с известным выражением для среднего числа нулей процесса £ (^)
^ (0) = aj^ = (1/л)/^7,; (3.2.7) то можно заметить общую закономерность, согласно которой легко записать формулу для среднего числа точек перегиба в единицу времени гауссовского стационарного трижды дифференцируемого процесса:
Winep = о3/л<т2 = (1/л) V" —ro№frow, (3.2.8)
В более общем случае среднее число особых точек ?г-го порядка (в которых п-я производная процесса £ (^) равна нулю, а (?г + + 1)-я отлична от нуля) на единичном интервале времени для гауссовского стационарного процесса запишется в виде
^юсоб = ап+1/лап = (1/л) V- Г^/Г^.(3.2.9)
Предположим, что в некоторый момент времени t = tt случайный процесс £ (£) имеет локальный максимум. Высота этого максимума £ (^) = tm (^) является случайной величиной, распределение которой определяется общими формулами (3.1.8) или (3.1.11). Рассмотрим характер такого распределения применительно к гауссовскому стационарному процессу £ (^).
Положив в выражении (2) £' = 0, ^ = ^ и подставив полученную плотность вероятности в формулу (3.1.14), после выполнения интегрирования найдем
р (У =_$7 ехр (~"%" М +
+(3.2.10)
где Ф (ж) — интеграл вероятности.
Перейдем в этой плотности вероятности от ^т к безразмерной величине К и введем безразмерный параметр v согласно равенствам
V2 = т/а&2<т22 = 1 — (oi4/a^2a22), Н = af^m.(3.2.11)
Выполнив необходимые преобразования, получим окончательную формулу для плотности вероятности высоты локального максимума гауссовского стационарного процесса:
Р № = ^7= [v exp (— A2/2v2) +
+ /2л(1 — v^e-'^O (^ yi _ v2/v)].(3.2.12)
Соответствующая функция распределения высоты локального максимума ^ (^) = Р {^т (^г)/^ ^ М может быть при этом получена интегрированием плотности вероятности (12) и имеет вид
F (h) = Ф (Тг/v) — /1 — v2e-/i2^ Ф (7г /F^/v).(3.2.13)
Полученные выражения (12) и (13) показывают, что распределение высоты максимумов для гауссовского стационарного процесса £ (£) однозначно определяется одним параметром v. Выясним физический смысл и пределы изменения этого параметра.
На основании формул (3) и (11) представим v2 в виде
V2 = v/aS(T2 = 1 - r|r (0).(3.2.14)
С учетом известного свойства нормированной взаимной корреляционной функции | г^" (т) 1^1 из этого выражения ясно, что величина v2 принципиально может изменяться лишь в интервале v2 с [0, 1]. Прит = 0, согласно (1.5.18) и (1.2.11), значение функции
(0) = R^- (0)/a6(T2 = r^rVT^ = -XJV^L (3.2.15)
В свою очередь, если гауссовский процесс £ (/) является узкополосным и его спектральная плотность S (со), со ЕЕ [0, оо) сосредоточена вблизи некоторой средней частоты соо, то на основе простых соотношений между начальными Xt и центральными Х^ спектральными моментами для Х2 и Х4 можно записать
Х2 = соо2 + V,
Х4 = соо4 + 6coo2V + 4cooV + V-(3.2.16)
Более того, если процесс £ (£) квазигармонический и его корреляционная функция (1) имеет вид
R (т) = о^г (т) = о^2р (т), cos соот, соо ^> Дсоэ, (3.2.17) то в соотношениях (16) Х3° = —р(3) (0) = 0 и, учитывая, что соо2 ^> ^> Х2° = — р" (0), 6соо2Х2° ^> ^4°, получим
г6Г (0) = -==Ь =г “^+ Х2°~(3.2.18)
ТЛ^41Лwo4 4™ 6соо2Л2° 4~ Л4°
С002
_ /сор^ 4- 6соо2Х2° *
Теперь на основании формул (14) и (18) с учетом равенства %2° = = —р" (0) — х2Дсоэ2 окончательно запишем
V2 = 1 _(0) = 1 _1 \.(3.2.19)
v 'Х41 + 6х2 (Дсоэ/о)о)2’
Полученное выражение (19) позволяет сделать некоторые общие выводы. Из него, в частности, следует, что величина v2 полностью определяется корреляционной зависимостью между значениями £ (0 п V (t) в совпадающие моменты времени и может изменяться лишь на интервале v2 ^ [0, 1]. В свою очередь, значение г^ (0) зависит от коэффициента формы х и относительной ширины Асоэ/о)0 спектральной плотности 8 (со) процесса £ (0- При со0 = = const сужение спектра (Дсоэ -> 0) приводит к увеличению корреляционной связи между значениями £ (0 и £" (t) и параметр v2 приближается к нулю. Увеличение эффективной ширины спектра Дсоэ приводит к снижению корреляционной зависимости между £ (t) и £" (0 и соответственно к увеличению параметра v2 —> 1.
При конкретном задании функции р (т) в выражении (17) количественная оценка параметра v может производиться на основе точных формул (14) — (16) или приближенных выражений в (18), (19). Так, например, при
R (т) = о^~ах2 cos юот(3.2.20)
имеем 2v2° = —р" (0) = 2а, Х4° = р<4) (0) = 12а2 и, согласно точным формулам (14) и (18), найдем
v2 = 1 - (соо2 + 2а)2/(соо4 + 12со02а + 12а2).(3.2.21)
Возвратимся к основной формуле (12) и рассмотрим характер изменения плотности вероятности р (1г) при различных значениях v Е: [0, 1]. Если v = 0, то интеграл вероятности Ф (оо) = 1 и из формулы (12) получаем релеевскую плотность вероятности
(3.2.22)(3.2.22)Г h exp (— №]2) при 1г ^ 0, Р W | qПрИ р < Q,
(3.2.22)
(3.2.22)
Формально при отрицательных значениях 1г формула (12) приводит к отрицательным значениям функции р (h). Однако из условия положительной определенности р (1г) ^ 0 ясно, что плотность вероятности (22) не может принимать отрицательные значения.
Таким образом, распределение высоты максимумов для узкополосного (квазигармонпческого) гауссовского процесса £ (t) с уменьшением относительной ширины спектра Дсоэ/соо приближается к релеевскому. Такому результату можно дать простое пояснение, если воспользоваться представлением квазигармоническо- го процесса £ (t) в виде (1.7.3). Огибающая A (t) и случайная фаза Ф (t) процесса £ (t) являются в основном медленно меняющимися функциями времени по сравнению с cos toot. Поэтому для производной можно записать
Г (t) = A' (t) cos [соо^ + ф (01 “ (^о + ф') A (t) sin [co0£ + + ф (01— ю0^ (0 sin t°V + ф (01-
Случайная функция £ (£) имеет максимумы вблизи точек t = = t^ для которых со^ + ср (^) = 2лС г = 0, 1, 2, . . . В этих точках £ ^t^ = A (ti), £' (^-) = A' (ti), т. е. в точках ti максимумов огибающая А (£) и случайная функция § (^) имеют общие касательные .
Огибающая А (£) квазигармонического процесса £ (i) имеет релеевскую плотность вероятности. Поэтому естественно, что максимумы случайной функции £ (i), которые являются выборочными значениями огибающей, распределены также по релеевскому закону.
В другом предельном случае, при v = 1, из основной формулы (12) получаем гауссовскую плотность вероятности
(3.2.23)(3.2.23)р W = (2л)-1/2 ехр (_/г,2/2) е
(3.2.23)
(3.2.23)
Таким образом, максимумы гауссовского широкополосного процесса, которые являются отсчетными значениями гауссовской слу
Рис. 3.2. Плотность вероятности высоты локальных максимумов гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра vРис. 3.2. Плотность вероятности высоты локальных максимумов гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра vчайной функции ^ (^), распределены также по нормальному закону.
Рис. 3.2. Плотность вероятности высоты локальных максимумов гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра v
Рис. 3.2. Плотность вероятности высоты локальных максимумов гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра v
На рис. 3.2 показаны плотности вероятности р (/г), подсчитанные по формуле (12) для нескольких значений параметра v. Из анализа рисунка виден переход от нормального распределения (npnv = 1)
к релеевскому распределению (м =0).
В заключение отметим, что если в формуле (2) положить £' = 0, подставить
полученное выражение в
(3.1.13) и выполнить интегрирование, то можно найти среднее число максимумов в единицу времени, высота которых ^т (t^/o^ превышает относительный уровень 1г:
Nimax fimax Г Ф (у ) 4*
(3.2.24)(3.2.24)+ yi —v2 е-у/2ф (A yjTT^) 1 ,
(3.2.24)
(3.2.24)
где Nx max — среднее число всех максимумов процесса 5 (£) в единицу времени (5). Очевидно, что формула (24) может быть получена и на основе выражений (5) и (13) как
Л^тах (^т/^^ ^h) = Nimax Р {Em ^i)/o^ *> h>A = Nlmax F (— 1г).
(3.2.25)
Для предельных значений параметра v из формулы (24) получим
^imax ^т/°£> > ^) — ^lmax е-*^^^ V = О,
^1тах(и^>/0 = МтахФ(-/0, V=l.(3-2’26)
Полезно также отметить, что при достаточно высоких уровнях К в формуле (24) можно положить Ф (я > 3) ~ 1, Ф (х ^ —3) ^ ^ 0. При этом выражение (24) переходит в формулу для среднего числа положительных выбросов гауссовского процесса £ (£) над уровнем h в единицу времени:
^Vimax ^7 > ^ = ™^7' V1 — V2 ехр (— /г2/2) =
= ^«ч1-1Г-т.(3.2.27)
Следовательно, при достаточно больших уровнях в окрестности выброса может находиться только один максимум. Условие «больших уровней», как следует из формулы (24), через параметр v зависит в данном случае от широкополосности процесса.
Возвратимся вновь к рассмотрению случайной величины ^шах (Т)х равной общему числу максимумов гауссовского стационарного процесса £ (£) на интервале времени [0, ТА. Формула (5) позволяет записать простое выражение для математического ожидания этой величины:
м {итах (7)} = TNlmax = (Г/2л) V"^V.(3.2.28)
Вместе с тем ясно, что такие данные не всегда могут считаться достаточными и при решении некоторых задач необходимо более полное вероятностное описание случайной величины nmax (Т).
Согласно определению (3.1.1), исследование числа максимумов ^max (Т) процесса £ (£), по существу, сводится к изучению числа отрицательных пересечений п^- (0, 7) уровня Н = 0 производной ^ (t) = с?^ (^)М. Производная ^ (t) является в данном случае гауссовским стационарным случайным процессом с параметрами
т^ = М {^ (0} = о, R^ (т) = -dRO ^W = -R" (т).
~(3.2.29)
Следовательно, пользуясь результатами разд. 2.8 и рассматривая предельный случай Т -> оо, можно записать выражение плотности вероятности р (nmax» Т) для числа максимумов nmax (Т) процесса £ (£) на интервале [0, ТА.
Будем для этого считать, что 7Vimax < 00 (или г0(4) = г^ (0) < < оо), а дисперсия D [тгтах (!)] случайной величины тгтах (!) конечна D [тгтах (!)1 < оо на фиксированном интервале [0, ТА и возрастает с ростом Т -> оо по линейному закону!) [тгтах (!)1 ~ ~ о^Т, где ап — некоторая положительная величина оп > 0.
Если при выполнении таких условий рассмотреть нормированную случайную величину
Птах = (Птах (Л - М {7?max TOj^D [»max (Г)], (3.2.30) то в соответствии с центральной предельной теоремой ее распределение при Т —>- оо будет приближаться к нормальному с плотностью вероятности
Р (Птах) = (1//2л) ехр (—Птах/2). (3.2.31)
Помимо среднего числа максимумов (28), для записи закона распределения здесь нужно дополнительно определить дисперсию D [7гтах (Т7)]. Для этого необходимо в качестве исходного процесса рассмотреть производную £' (£) и воспользоваться результатами разд. 2.7 с учетом параметров (29) и простых равенств
Ятах (П = П.г (0, ТУ D [/гтах (Т7)] - D [п.' (0, Т7)].
С другой стороны, при рассмотрении числа максимумов ^тах (£т > Н, ТУ высота которых превышает некоторый уровень Н, распределение случайной величины 7zmax (Hm> Я, Т) при согласованном увеличении Т и Н приближается к пуассоновскому [118].
Как уже отмечалось, при достаточно больших уровнях Н в окрестности выброса может находиться лишь один максимум и, -следовательно, тгтах ^т ^ Н, Т) п^ (Н, Т). Учитывая, что интенсивность потока положительных выбросов ц+ (Я) = Я/ (Я) процесса £ (£) при Я -^ оо уменьшается, введем согласованный масштаб времени Т = т/ц+ (Я). Тогда по аналогии с формулой (2.8.3) для случайной величины тгтах ^т ^ Я, Т7) при Я ^> п^ п любом т > 0 можно записать
Р {тгтах №т> Н. П - Ц - Тк^!, к = 0, 1, 2, . . .,
(3.2.32) где
Т - Т Ц+ (Я) = Т N* (Н) - Т Я1тах №пг > ну
Для записи закона распределения (32), по существу, необходимо лишь по формуле (24) определить среднее число максимумов Я1тах(^>Я).
Моменты времени tb г = 1, 2, 3, . . ., в которые траектория Е (ty t ЕЕ [0, Т7] имеет локальные максимумы со значениями ^т ^ > Н, образуют поток случайных событий. При стационарности процесса £ (£) и условии Nx max < 00 свойство асимптотической пуассоновости (32) позволяет рассматривать этот поток событий как простейший пуассоновский поток.
Отмеченная выше связь задач исследования экстремумов случайного процесса ^ (^) и исследования характеристик пересечений уровня Я = 0 производной ^' (^) позволяет записать еще несколько простых, но полезных результатов.
Так, например, по аналогии с соотношениями (2.4.6) и (2.6.24) при взаимно однозначных функциональных преобразованиях случайного процесса £ (^) -> / [| (^)] = р (£) для среднего числа экстремумов ^Ext (Т) и дисперсии D [n^ Ext (7)] числа экстремумов ^nExt VH преобразованного процесса ц (£) на интервале времени [О, 7] будут справедливы равенства
VV^xt (Т) = N^^xt (7),(3.2.33)
D К Ext (7)1 -D In. Ext (7)].
Если интересоваться средним числом максимумов N^ax (Я1Ъ 7), высота которых цт (^) превышает некоторый уровень Н^ то для преобразованного процесса ц (£) аналогично формуле (2.4.6) можно записать [59]:
при монотонно возрастающей функции у = / (х)
^щах(йц, T) = N.max W, T^N^ax (H^ 7),(3.2.34)
при монотонно убывающей функции у = / (х)
N^ max (Н^ 7) = N^ min (ф (Н^ 7) = N^ min (^, 7),(3.2.35)
где Н^ = / (Я^), а х = ф (у) — обратная функция.
Объясняются подобные результаты тем, что при взаимно однозначном и дифференцируемом функциональном преобразовании всегда существует однозначное соответствие между каждым экстремальным значением исходного случайного процесса 5 (£) и экстремальным значением преобразованного процесса т] (£).
Максимумы некоторых частных моделейслучайных процессов
Воспользуемся теперь общими формулами разд. 3.1 и рассмотрим вероятностные характеристики максимумов для нескольких практически важных моделей случайных процессов.
. Максимумы огибающей квазигармонического процесса. Найдем среднее число максимумов и распределение высоты локального максимума для огибающей А (^) квазигармонического процесса (1.7.3)
(^) = А ^ cos [соо£ + Ф (0L А $0,(3.3.1)
имеющего корреляционную функцию вида
R (т) = О^Г (т) = ofp (т) COS G)0T,Ро(4) = р(4) (0) < ОО.
(3.3.2)
Для решения такой задачи [75, 140] нужно воспользоваться формулами (3.1.12) и (3.1.14), найдя предварительно совместную плотность вероятности р (Л, А', А") при А* = 0.
Рассматривая вместо самой огибающей А (£) нормированную случайную функцию
z (0 = of гА (t) > 0,(3.3.3)
можно заметить, что для модели квазигармонического процесса (1) известно общее выражение (1.7.30) совместной плотности вероятности р (z, z , z", ф, ф', ф") для значений функции z (£), случайной фазы ф (^) и их первых двух производных в один и тот же момент времени. Если в этом выражении (1.7.30) положить z = 0, выполнить интегрирование по переменным ф и ф" соответственно в пределах ф ЕЕ [—л, л] и ф" ее (— оо, оо), то получим
р (z, 0, z", ф') =2ехр (— ' Г po4)z2 —
'(2л)/2 (-p0")S ГL
п(4) Dn //2П л
—z2(p'2 - 2p0"zz" +(z" “ z(p,2)3л ’(3-3-4)
где
£ = Kp<«-p0"2.(3.3.5)
Теперь, согласноформуле(3.1.14),можем написать
ООО
Р^ = --тр- ^^^^P(zm,0,Z",<p')d<p' =
z 2 -z 2 -imaxv*J
z 2 -
z 2 -
—^~57~ \ ^Z" \ Z" eXP I — "9Д2
Po4) — 3Po"22 ,2„ „„, „,2 2
po"™ Tx vт
Переходя здесь от переменных ф' и z' к новым переменным
11„
х = ——г^ф , у ——— z
V2 В mV у 1/2 S
и вводя для удобства записи обозначения u^-Vq'zJV^В, а^ = ^!^'\(3.3.6)
после несложных преобразований придем к следующему результату:
р ^ = 'ТГ^£2~ и’и ^ ~ 1)3/2 ^ ^ ^-V2Z/ ехр {- а2“2 - (2л) /2^1тахг J
— (^ + у)2 + 2^ (у + bx^ dx dy.(3.3.7)
Если разложить ехр [2iz (у + Ьх)] в степенной ряд и воспользоваться известным интегралом (П-11), то можно показать, что справедливо равенство
^ ^ х-гку ехр {— а^и? — (я + у)2 + 2^ (у + bx^ dx dy = о о
= л2-6/= ехр (- «V) У т^р^ -(3-3-8)
П=о
где
Ло= 1,^ ^ (3/г) ■ m;(т - (га — гаг + 1)^, га> О,
т=о
Ап ~ (п + 1) (1 - &)-v2 - i/2 b (1 - &)-3/%(3.3.9)
п велико.
В этом выражении член, соответствующий т = 0, равен (?г + 1).
На основе формулы (7), следовательно, можно записать окончательное выражение для плотности вероятности высоты локального максимума огибающей х kt);
р Ы = уА— V —Г1 <а2 - ^^ х jvlmax Т
00л п
(3.3.10)(3.3.10)(3.3.11)(3.3.11)X ехр (— а^и2) £ г (п/2 + »/4) ’
(3.3.10)
(3.3.10)
(3.3.11)
(3.3.11)
п=о
где, согласно формулам (6) и (5),
л "Z /л "\
и = --\>0
V^B т ^2 ^/р(4)_ро^ ^
При больших значениях хт с учетом особенностей поведения интеграла (8) формула (10) приводит к сравнительно простому приближенному выражению для плотности вероятности
Р ^ ~-^— V —^- exp (— zm2/2) (zm2 — 1), zm> 2,5. imax r
(З.ЗЛ2)
Вычислим общее среднее число максимумов ^щах огибающей х (t) = A ^/о^ в единицу времени. Очевидно, что число максимумов процесса х kt) равно числу максимумов процесса и kt) = = (—р0") z ШГ^В. Плотности вероятности высоты локальных максимумов этих двух процессов, согласно (11), связаны соотношением
~ х ( 1/"2" В \В
Р (^m)Р I 0 // ^т I0 // •
\ — Ро /— Ро
На основании условия нормировки плотности вероятности р (ит) имеем
ооооп+3 /
дг У^ В 1 / — Ро" / оj\3/o С е~а2ит Vdu —
Wimax — _ 4ро„ у п Щ И ' у 2 , Г (п/2 + 7/4)—
071=0
= V ^^ ~ ^^ Г (п/2 + ^ V*™ /Zexp ("~<^u^dum. п=оо
Воспользовавшись здесь интегралом
хп+*1*е-а2х* dx = Г (гс/2 4- bl^l2anV>^ о
окончательно получим
(3.3.13).(3.3.13).м _ 1/^^ (а2 — 1)2 V Г("/2 + 5/-) ^
(3.3.13).
(3.3.13).
v 1тах ~ И Я (2а)5/2 Zj Г (п/2 + ’/4) а« •
' ’п=0
По существу, формула (13) позволяет полностью решить задачу о нахождении среднего числа максимумов 7Vimax огибающей 2 (/) квазигармонического процесса. Однако вычисления по ней обычно оказываются достаточно трудоемкими. В связи с этим отметим, что при значениях 1 < а2 < 9 может быть предложено простое аппроксимирующее выражение [97] для величины
^Vimax — 1 ро^Vimax — 1 ро^я Юл (— p0")V2^я Юл (— p0")V2(3.3.14).(3.3.14).
^Vimax — 1 ро
^Vimax — 1 ро
^я Юл (— p0")V2
^я Юл (— p0")V2
(3.3.14).
(3.3.14).
Согласно данным [97], сравнение результатов расчета 7Vimax посредством методов численного интегрирования на ЭВМ по точным формулам с результатами расчета по формуле (14) показывает, что погрешность вычислений величины 7Vimax по аппроксимирующей формуле (14) при 1 < а2 < 9 не превышает 5%.
В заключение конкретизируем результаты (10) и (13) для двух частных случаев.
Пусть
р (т) = ехр (—ат2), а = лА/э2.
Отдельные величины, входящие в формулы (10) и (13), будут при этом равны
ро" = —2а,р0(4) = 12а2, и = z/2, а2 = 3, 6 = 0, Ап =
= п + 1.
Согласно выражению (13), для среднего числа максимумов получим
(3.3.15)(3.3.15)^imax — 1,0674 А/э,
(3.3.15)
(3.3.15)
а плотность вероятности (10) будет характеризоваться следующим приближенным выражением:
Р Ы = №3Ь ехр [- 3 ^2^ £ ■ (^^ - .(3.3.16)
Результаты расчетов по этой формуле с учетом членов ряда до ft = 20 представлены графически на рис. 3.3. Пунктиром изображена плотность вероятности, подсчитанная для рассматриваемого случая по приближенной формуле (12). Видно, что при хт ^ 2,5- формула (12) хорошо согласуется с результатами (16).
Предположим теперь, что р (т) = sin (лА/т)/лА/т и, следовательно,
Ро" = -Чз (яА/)2. Ро(4) = v5 (лА/)4, а2 = 9/5,= Ч^\
Вычисления [1401, выполненные для этого случая по формуле *(13), показывают, что
vVimax = 0,6411 Д/,;(3.3.17)
а плотность вероятности (10) принимает вид
°°А
X =хр (- 4 Z„^ ^у»(3.3.18)
ti=0
График этой функции р (z^, заимствованный из работы [14О]3 приведен на рис. 3.3.
Сравнение плотностей вероятностей (рис. 3.3) показывает, что обе функции р (zm) по форме близки друг к другу. Однако в слу-
Рис. 3.3. Плотности вероятностей .высоты локальных максимумов огибающей квазигармонического процесса с прямоугольной и гауссовской -формой спектральной плотностиРис. 3.3. Плотности вероятностей .высоты локальных максимумов огибающей квазигармонического процесса с прямоугольной и гауссовской -формой спектральной плотностичае гауссова спектра плотность вероятности несколько более сконцентрирована в области меньших значений zm и более быстро спадает правее вершины. Это можно объяснить тем, что при более затянутых (по сравнению с прямоугольным спектром) «хвостах» гауссовой спектральной плотности увеличивается вероятность появления максимумов, значения которых Zm<M_{z(f)} = М VW = = V л/2.
Рис. 3.3. Плотности вероятностей .высоты локальных максимумов огибающей квазигармонического процесса с прямоугольной и гауссовской -формой спектральной плотности
Рис. 3.3. Плотности вероятностей .высоты локальных максимумов огибающей квазигармонического процесса с прямоугольной и гауссовской -формой спектральной плотности
Ясно также и то, что более медленное спадание ветвей спектральной плотности приводит к большей колебательности про
цесса и соответственно к большему среднему числу максимумов (15) по сравнению с результатом (17).
Максимумы случайной фазы квазигармонического процесса. Рассмотрим вероятностные характеристики максимумов случайной фазы ф (£) квазигармонического процесса (3.3.1). Будем при этом считать, что ф (£) имеет равномерное распределение (1.7.15) в интервале ф (£) ЕЕ [—л, л] и, следовательно, перескоки фазы, о которых говорилось в разд. 2.5, учитываться здесь не бу
дут.
Проинтегрировав выражение (2.5.92) по переменной z в пределах от 0 до оо, находим совместную плотность вероятности для
яначеннй фазы ф (£) и ее первых двух производных в один и тот же- момент времени:
Р (Ф, ф', ф") =V ^ [а (ф') ф"2 +1-4" Ф'Т’
■(3.3.19)
где
А (ф') = (р0<4> - Ро"2 - 4р0"ф'ф\(3.3.20)
Положив в этих выражениях ср' = 0, имеем
Р (V, о, Т-) =]/[ 1 + д (0) ф-у.,
AR^’-po"2.(3.3.21),
Отсюда получаем
л
Р (0, ф") = С р (т, о, ср") *р = 4 ]/ ^ t1 + Л (°) (Р"2Г2-
~Л(3.3.22)
Подставив плотность вероятности (22) в формулу (3.1.12) и выполнив интегрирование, находим среднее число максимумов, в единицу времени случайной фазы ф (£) квазигармонического процесса:•
(3.3.23).
Сравнивая эту формулу с выражением (2.5.94), замечаем, что- онп совпадают, если в (2.5.94) положить ф0' = 0. Этот результат можно было предвидеть, так как число максимумов (минимумов)- случайной фазы ф (£) совпадает с числом нулей случайной частоты ф' (I) с отрицательной (положительной) второй производной ф" (t).
Выполнив вычисления, согласно формуле (3.1.14), получим
р (фт) = 1/2л, —л < фт < л.(3.3.24)
Следовательно, плотность вероятности величины локального максимума фпг случайной фазы ф (£) квазигармонического процесса является равномерной на интервале (—л, л), т. е. совпадает с плотностью вероятности самой фазы ф (^).
Максимумы суммы гармонического колебания и гауссовского случайного процесса. Перейдем к рассмотрению характеристик максимумов для процесса
4^-8 (t) + £ №,(3.3.25).
гДе 5 (^) — гармоническое колебание вида s (t) = Ат sin (tost + + Фо); £ (^) — гауссовский стационарный процесс с математическим ожиданием т^ = 0 и корреляционной функцией
К (т) = о^г (т),г0<4) = г<4) (0) < оо.(3.3.26),
Амплитуда Ат и частота cos колебания s (£) будут считаться здесь постоянными величинами, а начальная фаза ф0 может быть постоянной или случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0, 2л].
Очевидно, что при фиксированной начальной фазе ф0 = const рассматриваемый процесс ц (£) является гауссовским периодически нестационарным с периодом Ts = 2n/cos. На основе равенства I (0 = Л (О — 5 (О и хорошо известных свойств (см. разд. 1.5) гауссовского стационарного процесса £ (^) в данном случае легко может быть найдена совместная плотность вероятности р (ц (£), Л7 (О, Л* (0) ~ Р Оъ Л » Л^ 0 Для значений процесса ц (£) и его первых двух производных ц' (t), ц" (t) в совпадающие моменты времени.
Действительно, при ф0 = const параметры процесса ц (£) равны:
тч (t) = Ат sin (®sl + ф0), R^ (т) = R (т) = о^г (т). (3.3.27) и поэтому для математических ожиданий и дисперсий первых двух производных ц' (£) и ц" (£) соответственно получим
™1 ^ = "4г ™^ ^ ^ ^^m COS (<^ + фо),
m2 (0 = -дГтт1(0 = — ®sMmsin (cosl + фо),
о? = - a^r” (0) = — a^',o,2 = a^rW (0) = a^4>. (3.3.28)
Теперь, учитывая свойства
R^ (0) = 0, R^-- (0) = 0,4y (0) = R^ №^й = г<пУ ,
по аналогии с выводом формулы (1.5.21) несложно найти совместную плотность вероятности
Р (л, л', л"; 0 = exp |^- [сг22 (Т| — mi (<))2 +
61 у v l ZY
+ o^ (л" — m2 (О)2 + 2<T12 (л —(t» (1]" — m2 (0)1 —
ai2 (л' — mi (0)2} ,(3.3.29)
где
Т = а62а22[1-го7^4)].
Если заметить здесь, что для рассматриваемого процесса ц (^) справедливо равенство Атах (У) = ^Vmin (Т) = ^vVfixt (Т), то при нахождении среднего числа максимумов на интервале времени [0, 71 можно воспользоваться одной из формул (3.1.4) — (3.1.6).
Так, определив из выражения (29) плотность вероятности
Р (л', л"; 0 = (Зло-!^)"1 ехр |i- [ni2 (ц' — mi (t^ +
+ о»2 (л" — m2 G))2]} ,(3.3.30)
подставив ее в формулу (3.1.4) при ф = Ои выполнив интегрирование [54], получим
,р г
^тах (7) = ^min (7)aq2 у 4(1 - ^ X
о
X sin(cV + Фо)] ехр |2“ [л<? cos (cos£ + фо)]2]^,(3.3.31)
где Q (я) = ехр (—я2) + х Ул (1 + erf (ж)) — монотонно возрастающая функция х\ erf (ж) — табулированная функция ошибок (П-2);
а = Л^/о^, q = tos/2nN^ (0, 1) = со/У —г/,
v2 = yAr^oV = 1 — го"2/го^.
Как и следовало ожидать, среднее число максимумов (31) нестационарного процесса ц /) на фиксированном интервале [О, 7] зависит от значения начальной фазы ф0. Если длительность 7 выбрать кратной периоду 7S гармонического колебания s (£), то зависимость TVmax (7S) от ф0 устраняется.
При 7 = Ts = 2л/со8, выполнив в формуле (31) замену переменной интегрирования t на ф = tost + ф0, и учитывая периодичность подынтегрального выражения по ф с периодом 2л, найдем окончательный результат для среднего числа максимумов процесса г) (£) на интервале [О, 7S]:
Nmax (Ts) —Nmax (Ts) —aq2aq2
Nmax (Ts) —
Nmax (Ts) —
aq2
aq2
(3.3.32)(3.3.32)X exp Г7 (aq созф)2] йф.
(3.3.32)
(3.3.32)
Если в эту формулу подставить выражение Q (х), то она может быть также представлена и в форме [54]
Wmax (Т^ = Ге-Ч0 (р) +1е (4, а) 1 ,
' (3.3.33) где
С^^^Ц! +?2(1_V2)]> p = _La2Q2 [1 _g2(i _ v2)],
^о W — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумен
та, 1е (+ к, х) = ^j е~иЦ (ku) du.е
о
Перейдем теперь к задаче нахождения плотности вероятности р (цт) высоты локального максимума цш для процесса ц (^). Решение такой задачи [54] должно здесь проводиться на основе
(3.3.34)(3.3.33)(3.3.34)(3.3.33)формулы (3.1.11): т
(3.3.34)
(3.3.33)
(3.3.34)
(3.3.33)
Р (П/?1) мJ ОЪп» О ^ 1
max
О
О
J (Пт, 0 = — ^ Ч"/3 ^т, °’ 71"; О ^Л"-
Если в совместной плотности вероятности (29) положить ц' = = 0, 1] = цт и подставить полученное выражение в формулу (35), то после интегрирования для J (г)^, £) получим
/.(4)/
+ a (g2 — 1) sin (со/ + Фо)]J ехр {^ [(^г^ — а sin (°V +
+ фо))2 + (aq cos (wst + Фо))2]} .
Рассматривая интервал [0, 71] = [О, ЛК заменяя переменную интегрирования t на ф = tost + Фо и вводя нормированное значение h = r)m/cr^ согласно (34) и (33), найдем окончательное выражение для плотности вероятности высоты локального максимума:
Гл^л^*Z R \ “1
р <">=г^ М"(|i)+ЧИ1 - v) I» (-L “) ] х
2 Л
х ^ Q (4" У -У (1 — V2) [А 4- a (q1 — 1) sin ip] j X О
X exp I[(/г — a sin ф)2 + ^aq cos ф)2]) йф.(3.3.36)
Важно отметить, что полученные формулы (32), (33), (36) остаются справедливыми и для процесса ц (i) при случайной равномерно распределенной на интервале [0, 2л] начальной фазе ф0 гармонического колебания s (£). Доказывается это точно так же, как и доказательство аналогичного утверждения, сделанного после вывода формулы (2.5.45).
Максимумы процесса с логарифмически нормальным распределением. Случайный процесс ц (£) с логарифмически нормальным распределением (2.5.34) можно рассматривать как один из примеров функционально преобразованного гауссовского процесса
Н (£) -> exp [g (01 = ц (^), In 1] (£) = ^ (^).(3.3.37)
Преобразование (37) является взаимно однозначным п дифференцируемым, а следовательно, для среднего числа максимумов Nn max (Л процесса ц (^) на интервале [О, Т\ при тп^ = О, R^ (т) = = о2г (т), —R^' (0) < оо, R^ (0) < оо в соответствии с фор-
пулами, (3.2.33) и (3.2.5) можно сразу же записать
^шах т = ^тах (7) = (Г/2л) /=7^77(3.3.38)
Таким образом, задача нахождения ^тах СП, по существу, сводится здесь к определению связи параметров — г^ и г0(4) гауссовского процесса В (£) с соответствующими параметрами процесса ц CY
Учитывая, что ковариационная функция процесса ц (£)
&п (т) = М {ехр [£ (£)] ехр [£ С + т)]} = exp [ст2 (1 + г (т))],
(3.3.39) для входящих в формулу (38) значений получим
-г; = о"2 [-V (0)/&п (0)1,(3.3.40)
row = о-2 [W4) (о)/^ (0)) - 3 С^' (0)/^ (О))2].(3.3.41)
Если к^ (т) записать в виде
^ (т) = on2ri] (т) + /тгп2,
то с учетом значений ?тгл = е°^2, с^2 = е°2 С°2 — 1) легко проверить, что соотношение (40) совпадает с найденным ранее соотношением (2.5.39).
Однозначная функциональная связь (37) позволяет достаточно просто найти и распределение высоты локального максимума для процесса ц (^). Согласно свойствам (3.2.33) и (3.2.34), для этого нужно в выражении (3.2.12) или (3.2.13) лишь заменить уровень к = сг"1^ на ст-1 In цт и при определении параметра v учесть соотношения (40) п (41).
Для плотности вероятности р (цт) окончательный результат будет при этом иметь вид [58]
+ /2л(1-^)-^ехр^+ /2л(1-^)-^ехр^ln2nm2з2ln2nm2з2SVSV
+ /2л(1-^)-^ехр^
+ /2л(1-^)-^ехр^
ln2nm
2з2
ln2nm
2з2
SV
SV
Эргодичность и оценивание среднего числаэкстремумов
Практическое использование вероятностных характеристик экстремальных значений достаточно часто приводит к необходимости оценивания среднего числа экстремумов (максимумов или минимумов) исследуемого процесса £ (2) по выборке ограниченного объема. В свою очередь, решение подобных задач требует рассмотре-
ния методов оценивания параметра TVExt (71) и свойств получаемых при этом оценок TVexi СП.
Предположим, что наблюдению (обработке) доступно сравнительно большое число т реализаций Н(1) СУ (£),..., ^т) С) непрерывного и дважды дифференцируемого случайного процесса £ СУ Все реализации ^ С) получены при одинаковых условиях и имеют одинаковую фиксированную длительность Т < оо.
Если для каждой такой реализации ^ СУ г = 1, т, определить число экстремальных значений /гExt С^У то очевидно, что в качестве оценки TVExt СП Для среднего числа экстремумов ^Ext (Л = М {tzexi (Л} процесса £ (£) на интервале длительностью Т можно принять выборочное среднее значение
т
NBxt (Т) = (1/ttz) 5 <t (Т).(ЗА. 1)
г=1
Считая TZExt СП независимыми случайными величинами, для математического ожидания М (TVexi (Л) и дисперсии!) L/Vexi (Л^ оценки (1) получим
м (XExt (Ту = (1/771) 2 М <ng> t (ТУ = TVExt (ТУ(3.4.2)
г=1
D VN^xt (Г)] = m-^D [zz^t (Г)] = (1/тп) D [nExt (Г)].(3.4.3)
г=1
Если дисперсия D [?ZExt (Л1 числа экстремумов tzexi СП Удовлетворяет условию D [tzexi (Л5 < 00, то рассматриваемая оценка VVexi СП является состоятельной, несмещенной и в соответствии с центральной предельной теоремой имеет асимптотически (т -> ~> оо) нормальное распределение с параметрами (2) и (3).
Учитывая, что число экстремумов ?ZExt (Л совпадает с числом пересечений п^ (О, Т) нулевого уровня производной £' СУ вычисление дисперсии D [zzsxt (Л5 в выражении (3) эквивалентно вычислению дисперсии числа пересечений D \п^ (О, ЛЬ Особенности решения таких задач были рассмотрены в разд. 2.6.
Предположим теперь, что £ (£) — стационарный в узком смысле случайный процесс и наблюдению доступна лишь одна из его реализаций £ СУ t ЕЕ Ио, ^о + Л, Т <. оо. Через nKXt СП и 7zmax СП обозначим соответственно общее число экстремумов и общее число максимумов этой реализации, а через птах ^т ^ ^ Н, Т) — число максимумов, высота которых Ът не превышает некоторого уровня Н.
Тогда при наложении на процесс § (^) дополнительных условий эргодичности [34] при Т7 -^- оо с вероятностью «единица»
lim -1- TZExt (И = М (?ZExt (1)} = TViExt,
lim -у- 7Zmax (^ш ^ Н, т7) = М {/Zmax (^m^ Нч 1)} ~ Nimax (^тп^ ИУ
(3.4.4)(3.4.4)lim —у Tl^ax (T)*— M {/2max (1)} ₽= 7Vimax,
(3.4.4)
(3.4.4)
lnmax(?)^imax
Следовательно, при достаточно больших длительностях реализации £ (/), tE [^о? to + ТА в качестве оценок среднего числа экстремумов TV1Ext, среднего числа максимумов Я1тах (^ ^ Я) и функции распределения высоты локального максимума 7шах кЩ — = Р^т ^ Н^ можно принять соответственно величины
MExt = -у ты^хх. (Т),(3.4.5)
^imax (L < Я) = 4" П^ (^ < Н' Г),(3-4-6)
max (Я) Р {Ет < Я} - ^^^^ ^Д—<ЗА7)
1 "max ’
Очевидно, что
м {TV1Ext} = (1/7) М {тгЕхt (7)} = N^
М {Я1тах (^ < Я)} = (1/7) М {nmax (U< Я, 7)} = = Я]тах (^т ^ Я),
МПтах ^т^ ^imax ^
М К max (Я)} — М туг У —
< "max /)Jvimax
т. е. записанные оценки (5)—(7) обладают свойством несмещенности при любом значении Т.
Конкретизируем результаты по оцениванию среднего числа экстремумов Я1Ехч применительно к стационарному гауссовскому процессу ^ (^). Для определенности будем считать, что нормированная корреляционная функция г (т) = о-^R (т.) процесса ^ (^) является некоторой монотонно убывающей функцией т и, помимо условий дифференцируемости —г0" = —г" (0)< оо, г0^ = = ?'(4) (0) < оо, обладает свойствами
тт
1 ifn 4т- г (т) йт = 0, lim г2 (т) с/т = 0<(3.4.8)
Т—оо 1 JТ—оо 1 J
00
Выполнение предельных равенств (8) является необходимым и достаточным условием [99] выполнения общей эргодической теоремы для стационарных гауссовских процессов.
Если для дисперсии D [TV1ExtJ оценки Я1ЕХ1 записать общую формулу
D [Я1Ехг] = T^D [пЕх1 (7)],(3.4.9)
то можно заметить, что, так же как и оценка (1), при D [zzExt (7)]< *< оо оценка (5) является состоятельной.
В соответствии с центральной предельной теоремой оценка -^lExt будет характеризоваться асимптотически (Т -^- оо) нормальным распределением с математическим ожиданием M{TV1Ext} = = WiExt и дисперсией (9).
Поскольку
^lExt = T-^t (7) - Т^п^ (О, Т). (3.4.10)
и D [ftExt (71)] = D [тг^ (0, 7)], то, рассматривая в качестве исходного процесса производную ^ (/) = dt (^'dt, с учетом гаус- совости ^ (i) и параметров
М{^ (^} - 0, Rv (т) - —R" (т) - -^г” (т)
на основе результатов разд. 2.7 можно вычислить дисперсию D \пъ' (0, 7)] числа нулевых пересечений п^, (0, 7), а следовательно, и найти по формуле (9) дисперсию D [^Extl оценки jViExt. Учитывая, однако, что результаты при таком подходе, как правило, удается получить лишь методами численного интегрирования, воспользуемся здесь приближенным асимптотическим подходом, изложенным в разд. 2.9, и найдем нижнюю границу дисперсий при оценивании параметра vV1Ext.
Сделать это достаточно просто, так как на основе формулы (2.9.18) при 1г = 0 для нижней границы дисперсий D [Л^ (0)г1 сразу же можно записать
D [N^ (0)т] =[- ДТ- №^ (0)],(3.4.11)
и, следовательно, при оценивании среднего числа экстремумов У1ЕхЬ по выборочной функции £ (£), tE [tQ, t0 + ТА для дисперсии D [A\Exd оценки (10) получим
12т
D [WExt] = A D [«Ext (Г)] ><r^l- г^.(3.4.12)
Следует подчеркнуть, что такой результат с точностью до членов порядка 7-1 справедлив при длительностях выборки
Т ^> ^к = ^ I г (т) I' °'т и допущениях [95] о
ОООО
[г" (Т)Р dT ~ Тк, $ [К*) (т)]2 dx ~ Т,,.. о ^о
При рассмотрении стационарных гауссовских процессов | (i) условия
] im [г" (т)]2 dT = 0, lim [г(4) (т)]2 ат = 0,
т— ОО 1Т—ОО 1 J
О0
по существу являются условиями состоятельности оценки (10).
Распределение высоты абсолютного максимума
Наряду с задачами исследования вероятностных характеристик общего числа локальных максимумов, минимумов и экстремумов значительный интерес представляют задачи, связанные с нахождением распределения высоты наибольшего (абсолютного) максимума Ятах = sup £ (£) траектории процесса 5 (£)
/е[о, Т]
на некотором фиксированном интервале t ЕЕ [0, 7]. Примеры практического использования подобных характеристик встречаются в самых разнообразных областях физики, техники, экономики, медицины [8, 9, 16, 21, 22].
Рис. 3.4.
Абсолютный максимум 47 и абсолютный минимум реализации случайного процесса
При формальной постановке задачи обычно предполагается, что задан некоторый непрерывный и дифференцируемый случайный процесс g (£). Высота наибольшего максимума (супремума) Нтах (рис. 3.4) для различных реализаций 5 (£), t ЕЕ [О, ТА одного и того же процесса £ (£) будет различной. Считая известными вероятностные характеристики процесса £ (£), требуется найти одномерную плотность вероятности для случайный величины Нтах.
В более общих случаях, помимо абсолютного максимума sup ^ (£) = Ящах» интерес может представлять величина абсо- /е[о, т]
лютного минимума inf £ (£) = Ят1п, величина размаха W (£) = <е[о, Т]
= sup £ (£) — inf £ (£) или вероятностные характеристики Hereto, Т]*е[о, Т]' ’
которых функций от случайных величин Нтах, Ят)П,
Изучение вероятностных характеристик абсолютного максимума Ятах = sup £ (£) для непрерывных случайных процес- [о, Т]
сов £ (£) во многом опирается на результаты классической теории экстремальных значений, разработанной для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин. Одним из центральных результатов является при этом известная теорема Гнеденко о существовании трех типов предельных распределений для экстремальных значений. Первоначально доказательство этой теоремы [114] было выполнено для независимых случайных величин, позже удалось показать [118, 119], что при выполнении достаточно общих условий предельные распределения для экстремальных значений коррелированных последовательностей и предельные распределения для абсолютного максимума Ятах непрерывных стационарных случайных процессов £ (t)
оказываются теми же самыми, что и для независимых случайных величин.
Вообще говоря, при рассмотрении непрерывных стационарных процессов $ (£) с произвольным распределением для случайной величины Нтах может не существовать никакого асимптотического распределения. Если же величина Нтах после соответствующей нормировки и центрирования ат (Ятах — 6Г) при некоторых постоянных ат > 0 и Ьт имеет невырожденное предельное распределение, т. е. если при Т оо
Р {ат (Ятах - М ^ *} F ^п(3.5.1)
то, согласно [114, 118], предельная функция распределения F (т) должна относиться к одному из трех типов:
1. F (т) = ехр (— е х^ — оо < х <^ оо.
[ехр (—x-aY ^">0, а>0, 2^Но.
(ехр Г—(—^(“l, ^^О»> ^,
х '(1, ж>0.
(3.5.2)
(3.5.3)
(3.5.4)
Очевидно, ЧТО вероятности Р{аТ (Ятах — Ьт} ^ ж} можно здесь рассматривать и в виде Р{Ятах<^Ят} = Р (sup ^(^)^ЯТ}, где [о, Т]
уровень Нт связан с х соотношением Нт = х!ат + Ьт.
Плотности вероятностей р (т), соответствующие функциям распределения (2)—(4), имеют вид
(3.5.5)(3.5.6)(3.5.7)(3.5.5)(3.5.6)(3.5.7)р (х) = е-х ехр (—e^Y —оо < я < оо, р (т) = ах~а-1 ехр (—т"а), х > 0, а > О, р (х) = а^-1 ехр [— (—т)а], х < 0, а > 0.
(3.5.5)
(3.5.6)
(3.5.7)
(3.5.5)
(3.5.6)
(3.5.7)
Условия сходимости Р {ат (Ятах — Ьт) ^ х} -^- F (х) к тому или иному типу предельного распределения (2)—(4) зависят от вероятностных свойств рассматриваемого процесса 5 (i) и определяются «областью притяжения» каждого из предельных распределений. Для записи критериев для таких областей притяжения наложим на рассматриваемый случайный процесс £ (£) следующие ограничения: 1) будем считать, что интенсивность рЛ (Я) потока положительных выбросов процесса £ (£) над произвольным уровнем Н конечна, т. е. ц+ (Я) = Я/ (Я) < оо; 2) будем также считать, что дисперсия D [гс+ (Я, 1)] числа выбросов п* (Н, 1) рассматриваемого процесса § (£) над уровнем Я на интервале [0, 71] = [0, 1] удовлетворяет условию Я Yn* (Н, 1)]<оо.
При сделанных допущениях критерии для областей притяжения [118] могут быть записаны в следующей форме.
Для того чтобы распределение Р {ат (Ятах — Ьт) ^ ж} случайной величины Hmax = sup £ (£) при Т -^ оо приближалось [0, Т].
к предельному распределению F (ж) вида (2), достаточными усло- виями являются:
а) функция распределения F^ (Е) процесса Е (t) не ограничена справа;
б)
(3.5.8)(3.5.8),. а г ц* (Я)1 п
(3.5.8)
(3.5.8)
и™ ан L dp+ W/ан J - 01
Распределение Р {ат (Ятах — 6Г) ^ ж} при Т ->• оо приближается к предельному распределению F (х) вида (3) тогда и только тогда, когда
НтИ—ООНтИ—ООР* (Я)И+ (^Я)Р* (Я)И+ (^Я)= №, а>0,= №, а>0,(3.5.9)(3.5.9)
Нт
И—ОО
Нт
И—ОО
Р* (Я)И+ (^Я)
Р* (Я)И+ (^Я)
= №, а>0,
= №, а>0,
(3.5.9)
(3.5.9)
для произвольного /с > 0.
Распределение Р ^ат (Ятах — Ьт) ^ х} случайной величины Ятах — sup £ (£) при Т -> оо приближается к предельному рас- [о, п
пределению F (х) вида (4) тогда и только тогда, когда:
для функции распределения F^ (£) процесса £ (t) существует £0, такое, что F^ (£0) = 1, F^ (£0 — е) < 1 для любого е > 0;
lim -^н +^ = к% а>0,(3.5.10)
но :н (я-t-^o)v 7
для произвольного к > 0.
Записанные условия (8)—(10) по своему виду аналогичны классическим критериям для областей притяжения [114]. Однако при рассмотрении последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин zb г = 1, т,. условия сходимости связаны со скоростью убывания функции 1 — F (^z) при возрастании z, т. е. с характером поведения одномерной функции распределения F (z) в области больших значений z. Применительно к непрерывным случайным процессам Е (£) хотя общий вид критериев сходимости остается прежним, но роль функции 1 — F (z) играет здесь интенсивность потока положительных выбросов ц+ (Я) = NV (Я) над уровнем Я. Иначе говоря, условия сходимости (1) в данном случае связаны с характером изменения интенсивности потока выбросов ц+ (Я) над высокими уровнями Я —>- оо.
Полезно отметить, что для различных случайных процессов £ (i) характер сходимости точного распределения Р^т (Ятах — — Ът) ^ х) к его асимптотической форме F (х) будет различным. Очевидно, что скорость сходимости, а также центрирующие и нормирующие константы Ьт и ат зависят при этом от Вида и параметров распределения исходного процесса £ (£).
Из трех типов предельных распределений (2)—-(4) наиболее распространенным в теории экстремальных значений является
двойное экспоненциальное распределение (2); к нему приближается распределение случайной величины ат (sup £ (£) — 6Г] при [О, Т]
достаточно общих предположениях о вероятностных свойствах исходного процесса $ (£).
На рис. 3.5 показана плотность вероятности р (х) = = ехр {—х— е-х^ соответствующая функции распределения (2). Математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса для этого распределения соответственно равны
тх = М{а?} = 0,5772 . . . (постоянная Эйлера),
<V = М{(^ - шх)2} = л2/6 = 1,6449 . . .,
71 = M{(j: - mj3}/^3 = 1,1396 . . .,(3.5.11)
у2 = М{(^ -- з = 2,4.
В заключение следует экстремальных значенийВ заключение следует экстремальных значенийРис. 3.5. Плотность вероятности высоты абсолютного максимумаРис. 3.5. Плотность вероятности высоты абсолютного максимумаподчеркнуть, что при общем изучении рассмотрение абсолютных минимумов //min = inf £ (i) случайного процесса
В заключение следует экстремальных значений
В заключение следует экстремальных значений
Рис. 3.5. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума
Рис. 3.5. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума
/е[0,Т]
£ (t) во многом эквивалентно исследованию абсолютных максимумов Нтах = = sup £ (0- Большинство результатов /е[о,Т]
здесь удается получить на основе принципа симметрии простым переходом от рассмотрения значений £ (£) к рассмотрению значений —£ (^). Так, по аналогии с (2)—(4) три типа предельных распределений для нормированной и центрированной случайной величины Ст (^min — ^т) при некоторых постоянных сТ > 0 и dT будут иметь вид
(3.5.12)(3.5.12)2. F* (х) =2. F* (х) =р — ехр — (— ^ра], U, ^>о.р — ехр — (— ^ра], U, ^>о.г<0,г<0,0,0,(3.5.13)(3.5.13)3. F~(x^3. F~(x^х >х >0, а > 0,0, а > 0,(3.5.14)(3.5.14)1. F* (х) = 1 — ехр (— ех), — сю < х < оо,
(3.5.12)
(3.5.12)
2. F* (х) =
2. F* (х) =
р — ехр — (— ^ра], U, ^>о.
р — ехр — (— ^ра], U, ^>о.
г<0,
г<0,
0,
0,
(3.5.13)
(3.5.13)
3. F~(x^
3. F~(x^
х >
х >
0, а > 0,
0, а > 0,
(3.5.14)
(3.5.14)
Использование принципа симметрии позволяет многие задачи изучения экстремальных значений свести к исследованию вероятностных характеристик абсолютных максимумов.
Перейдем к рассмотрению распределений высоты абсолютного максимума Лтах = sup 6 (0 применительно к некоторым /е[о,Т]
конкретным моделям случайных процессов. Начнем с гауссовского стационарного процесса 5 (^).
Поведение вероятностей P{sup £ (£) ^ Н^ при Н -> оо или [о,Т]
Ц __^ оо, Т -^- оо для таких процессов рассматривалось во многих работах: исследовались грубые (логарифмические) асимптотики при сравнительно общих ограничениях па свойства процесса £ (0; находились точные асимптотики при жестких ограничениях на процесс; методами сравнения изучались асимптотические разложения функции P{sup £ (£) ^ Я}. Достаточно пол- [0,Т]'
ный анализ полученных в этом направлении теоретических результатов дан в обзорных статьях [52, 62].
Опуская математические тонкости и строгие доказательства, получим посредством простых физических рассуждений основные предельные соотношения.-
Будем считать, что гауссовский стационарный процесс £ (£) непрерывный и дифференцируемый, имеет математическое ожидание ш^ = М{£ (£)} = 0 и корреляционную функцию R (т) = = o^V (т).
Интенсивность потока положительных выбросов ц+ (Я) над произвольным уровнем Я для такого процесса £ (£) определяется формулой (2.2.9) и равна
И+ (И) = АГ/ (Я) = 4г V^ exp (- Я2/2^)_(3.5.15)
Легко проверить, что в данном случае
ц+ (Я) йц+ (нуат-1 - ~ i/яог2.
и, следовательно, р+ (Я) удовлетворяет условию (8).
Таким образом, предельное распределение для • sup £ (£) мо- Ю,Т] жет быть сразу же записано в общем виде
1 itn Р {ат [ sup £ (^) — 6Т] ^ ^} = ехр (— е-х)(3.5.16)
т-*оо[0,Т]
и нахождение окончательного результата, по существу, сводится здесь к определению нормирующей ат > 0 и центрирующей Ьт констант.
Вероятность P{sup 5 (i) ^ Я} события sup ^ (i) < Я, Я = [0,Т][0,Т]'
= Нт = х!ат + Ът связана с вероятностью Р^тг+ (Я, Т) = 0} того, что на всем рассматриваемом интервале времени [£0, t0 + + ТА = [0, ТА не произойдет ни одного положительного выброса траектории £ (£) над уровнем Я. Объясняется это тем, что
Р ^ (Я, Г) - 0} = Р {£ (0) < Я, п^ (Н, Т)^0} + Р& (0) > > Я, п* (Я, Т) = 0} = Р {sup £ (0 < Я} + Р { inf g (t) > Я}, [о, Г][0, Т]
а так как при увеличении уровня Я вероятность события inf ^(^^ Н не превышает значения вероятности Р{£ (0) ^ Я), [0,Т]
которая стремится к нулю при Я -^- оо, то, следовательно,
lim Р { sup ^ (^) < Я} = 1 iгп Р {п+ (Я, Г) = 0}.(3.5.17)
Н-*оо [о, 7 ]II—ос
Пользуясь свойством асимптотической (при Я ^> о.) пуас- соновости числа положительных выбросов тг+ (Я, Г), на основании формулы (2.8.3) для вероятности отсутствия выбросов на интервале [О, Т7] можно записать
(3.5.18)(3.5.18)lim Р{/г+(Я, Z) = 0} = exp{— ц+(Я) 71}.
(3.5.18)
(3.5.18)
Л—ОО
Поскольку для гауссовского процесса £ (£) интенсивность потока положительных выбросов ц+ (Я), согласно формуле (15), при увеличении уровня Я оо уменьшается, а расстояние между отдельными выбросами неограниченно возрастает, целесообразно ввести согласованный масштаб времени. Рассматривать будем при этом случай, когда уровень Я и длительность интервала Т увеличиваются одновременно и согласованно так, что
Т^ (Я) ->- е-^ при 7 оо, Я ОО(3.5.19)
для произвольного вещественного фиксированного значения ж.
Теперь с учетом формулы (15) и (19) из простого равенства
т V— rj 2л
найдем Я2 = 2(Ь2 [In (^ТУ—г072л) + х\ и для достаточно больших Т получим
Н = о^ 12 In аТ (1 + z/ln аГ)]^ ~ а, (/2 In аТ +
(3.5.20)(3.5.20)+ xlY2 In а.Ту
(3.5.20)
(3.5.20)
где а = (1/2л) ^—г0", —г0" = —г" (0).
Этот результат позволяет записать окончательное выражение [34] для асимптотического распределения высоты абсолютного максимума
1 im Р ( sup Г^Л < .уу-"^ + (2 In аТ/Ч = exp (—'е х). Т—ос 1[о, Т]\ ^ /(21псЯ)/2J
(3.5.21)
Очевидно, что если воспользоваться здесь общей формой записи (16), то распределение (21) примет вид
lim Р (ат Г sup (— Ьт"\ = ехр (— е х\ I [ДО, Т]\ *4 / J J
ат = Ът = (2 In сс71),/2, а (1/2л) У"^’.
В свою очередь, если асимптотическая функция распределения F {х) высоты абсолютного максимума ^max = sup (g ^io^) [0, Т] имеет вид
F (х) = Р^ат {h^ — Ьт) < х} == exp (—e"xy(3.5.23)
то для плотности вероятности р (^тах) случайной величины fomax, согласно выражениям (2) и (5), получим
р Q1^ = ате-и ехр к—е-У^ У = ат (^тах — М (3.5.24)
следовательно, для рассматриваемого гауссовского процесса g (£) на основе результатов (21) или (22) окончательно найдем
р (^тах) = (2 In аТУ'2 ехр {2 In аТ — /гтах (2 In аТУ^ —
— ехр [2 In аТ — &тах (2 In аТ7)’^]}, Т оо.(3.5.25)
Характер изменения функции (25) при аТ — 50, 100 и 200 показан на рис. 3.6. При увеличении аТ (что при фиксирован
Рис. 3.6. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра аТРис. 3.6. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра аТных других параметрах эквивалентно увеличению Т) плотности вероятностей р (^шах) сужаются и смещаются в сторону больших значений Лтах. Такое поведение плотностей вероятностей согласуется с экспериментальными результатами [75] и физически объясняется тем, что с увеличением длительности интервала [0, ТА абсолютный максимум ^тах = — sup (£ ^1°^ в каждой конкрет-
Рис. 3.6. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра аТ
Рис. 3.6. Плотность вероятности высоты абсолютного максимума гауссовского стационарного процесса при различных значениях параметра аТ
[0, Т] ‘ о г
ной реализации £ (i), t Gz [0, У7] может только возрастать, причем разброс значений ^тах в различных реализациях будет умень-
шаться.
Очевидно, что на основе принципа симметрии подобные результаты могут быть получены и для распределений абсолютного минимума рассматриваемого гауссовского процесса £ (i). Формула для асимптотического распределения высоты абсолютного минимума kmin = inf (£ (t^/o^y аналогичная (21), имеет вид [о, Т]
lim inf (>_——. — (2 InaT7)1^]^ ехр (— е~ху
т-оо Uo, г] \/(21па7)^2 х 7v 7
(3.5.26)
Применяя описанный метод нахождения предельных распределений высоты абсолютного максимума, по существу, можно выделить два основных этапа: 1) вычисление интенсивности потока положительных выбросов рЛ (Я) процесса £ (i) над произвольным уровнем Н и проверка условий (8)—(10) для областей притяжения к одному из предельных законов (2)—(4); 2) нахождение асимптотического значения вероятности lim Р^ (Н, Т) =
Н-*ОО
= 0} и на основе равенства lim Р { sup £ (i) ^ Нт^ = ~ lim Р ^ (Нт. Т) = 0} определение общего выражения для Уровня Нт.
Подобный метод в принципе применим не только для гауссовских процессов, но и для других классов стационарных процессов. Воспользуемся этой особенностью и рассмотрим практически интересный случай негауссовского процесса ц (^) с ^-распределением [122, 146].
Согласно определению (1.6.11), будем считать, что такой процесс задан соотношением
=п(0>0,(3.5.27)
в котором независимые гауссовские компоненты ^ (£), г = 1, тц имеют одинаковые математические ожидания М{^ (£)} = 0 и корреляционные функции
R^ (т) = R. (т) = G2r (т),_R^ (0) = _^-г^ < оо. (3.5.28)
Интенсивность потока положительных выбросов ц+ (ЬЛ; процесса ц (£) над произвольным уровнем h > 0 определяется формулами (2.5.17) и (2.5.20):
ц+ (7г) = N^ (h) = (-г/'/л)1 (Zz/2)(^D ^-^/Г(тг/2),
—r0" = -V2^ (0), 1г = Н!^ > 0.(3.5.29)
При увеличении уровня /г -^ оо функция и+ (Zz) удовлетворяет условию (8), и, следовательно, величина йтах — sup т] (0 при
[О,
71 оо будет характеризоваться двойным экспоненциальным распределением (2).
Если воспользоваться свойством асимптотической пуассоно- вости (2.8.5), то при больших уровнях И для вероятности того, что на интервале [0, Т\ не произойдет ни одного положительного выброса, получим
lim Р {п+ (Л, Т) = 0} = ехр [- ц+ (Zz) Г].(3.5.30)
Вводя согласованный масштаб времени Т = e^ly^ Q^y при любом фиксированном вещественном значении х на основе (30) и равенства вероятностей (17) для предельного распределения высоты абсолютного максимума можно записать
lim Р { sup ц (^) < кт^ = ;lim Р {п+ QiTl Т) = 0} = ехр (— е~ху Т—оо [о, Т]Т—*оо
(3.5.31)
Значение hT определяем здесь из условия ТрЛ (^т) = в"х1 которое, согласно (29), после логарифмирования приводит к выражению
hT — (и — 1) In QiTl^ - 2(х + In Т + In сиу
Сп = (-г07л)1/2/Г(^/2).
Теперь, учитывая, что (hT12 In 7) -> 1 при Т оо, получим In (^т/2) = In In Т + о (1) и для hT в результирующем выраже-
huh (31) найдем [122, 146]
hT - 2x + 2 In T + ^г - 1) In In T + 2 In cn + о (1). (3.5.32)
В заключение заметим, что аналогичные результаты могут быть получены и для некоторых других стационарных негауссовских процессов. Так, например, если воспользоваться формулами (2.5.22)—(2.5.24), то выражения (31) и (32) несложно переписать применительно к процессам с экспоненциальным распределением и гамма-распределением.
Дополнительные результаты
Приведем некоторые дополнительные результаты, которые могут оказаться полезными при решении отдельных конкретных задач, связанных с использованием характеристик экстремальных значений.
Среднее число локальных максимумов N®max в единицу времени для гауссовского стационарного процесса £ (i) определяется общей формулой (3.2.5):
VVimax = (№<-rW')X
В свою очередь, если процесс £ (i) квазигармонический и его корреляционная функция имеет вид
R (т) = о^г (т) = о^р (т) cos соот, со 0 ^> А(0э
то. согласно (3.2.16), справедливы равенства
—Го" — ^2 — toQ2 “Ь ^2°)
Го^ = ^4 = 0)0 + 6(00V + V,
где в соответствии с (1.2.19) и (1.3.9) К2° = ^4° = Ро(4)- Условие узкополосности соо ^> Асоэ пр ном случае к выполнению неравенств соо2 ^> Х2°, и общая формула для У1тах приобретает вид
(3.6.1)(3.6.1)
(3.6.1)
(3.6.1)
Для сравнения заметим, что из (2.2.18) аналогичный результат для среднего числа положительных выбросов квазигармони- ческого процесса £ (£) над нулевым уровнем записывается как
Величина этого параметра находится из соотношения (3.2.14):
V2 - 1 - г^ (0), где
гб6" (0) = o^R^ (0) = rf (0)/V^40).
Вместе с тем для гауссовского процесса Е (t), согласно выражениям (2.2.9) и (3.2.5), можно записать
AV (0) = (1/2л) V-г6"(0),^ max = (l/2n)f 7^0)7^77(0)’
и, следовательно, значение нормированной взаимной корреляционной функции для £ (£) и ^ (t) характеризуется в данном случае отношением
(0) = - ^+ (0)Wlmax. (3.6.2)
Результирующее выражение
(3.6.3)(3.6.3)v2 = t _ ^ (0)/^ тпах)3, v2 е [0, 11
(3.6.3)
(3.6.3)
позволяет при этом дать простую физическую интерпретацию параметра v.
Рис. 3.7.
«Отрицательные максимумы» и «положительные минимумы» реализации случайного процесса
Отдельные реализации £ (£), t ЕЕ Ю, 71 квазигармоническо- го процесса (в отличие от простого гармонического колебания) могут иметь локальные максимумы (рис. 3.7) в моменты времени t = t^ когда значения самого процесса £ (£) < т^ и локальные минимумы в моменты t = t^ когда Е (7) > т^. Если т^ = = М {^ (^} = 0, то подобные экстремальные значения соответствуют «отрицательным максимумам» и «положительным минимумам» процесса.
Согласно (3.2.13), (3.6.3), для гауссовского процесса Е (0 вероятности появления «отрицательных максимумов» и «положительных минимумов»
P-max = Лт1» = 4 t1 ~ К1^] = 4 [1 ~ ^/ (0)Жтах],
’ (3.6.4)
а их среднее число в единицу времени определится как N-щах (1) = Nimax^-max = ^ [^Vimax — Ni+ (0)], ^min(l) = ^max(l).(3-6.5)
Для гауссовского квазигармонического процесса ^ (^) с уче-
том выражения (3.2.19) эти результаты можно записать в виде [901■
р р . [l "\Г 1 V ~ I1 ( Д \
Г-шах — ^+min 2 LЛ J — 2 ^1 + Зх2Дсоэ2/<о02 ) ’
iV-max (1) = ^imaxP-max 4" [^^ ~'(3-6.6)
Уменьшение относительной ширины спектра До)э/соо при фиксированных других параметрах процесса приводит к v2 -> 0 и соответственно к уменьшению вероятностей Р-щах ^ 0, P+min “^ 0. С увеличением отношения Асоэ/о)о параметр v2->l, а вероятности Р-max и P+min приближаются к значению 0,5. В связи с этим можно заметить (см. рис. 3.2), что для широкополосных процессов (при v = 1) среднее число локальных максимумов, высота которых (^т/о^) > А = 0, совпадает со средним числом локальных максимумов, высота которых ^mlo^ < h = 0, т. е. при v = 1
Ооо
^ р (A) dh = ^ р (h) dh — -^-, — оо0
Ny max f0 ) — Nу тах (•
Рассмотрим процесс г] (£) = s (£) + £ (г), представляющий собой сумму случайного сигнала s (£) и гауссовского [стационарного шума ^(ty Сигнал $(£) будем считать гауссовским квази- гармоническим процессом с математическим ожиданием М {s (£)} = О и корреляционной функцией вида
Rs (т) = Оз1? (Т) cos ®л, - R" (0) < ОО, R^ (0) < ОО.
Для шума соответственно М {£ (£)} = 0, R^ (т) = о^2?’ (т) и также выполняется свойство дифференцируемости —R^" (0) < оо, R^ (0) < оо.
Если сигнал и шум статистически независимы, то, как известно, процесс т] (£) будет характеризоваться гауссовским распределением с параметрами
m^ = M{s(0}+ МО)} = 0, ол2 = os2 + о^2, 7?п(т) =
= 7?s(r) + 7?U^
Воспользовавшись формулой (3.2.5), с учетом равенств
- гп" (0) = о"2 [(V (G)s2 - ро") - о^гоД,
Г^ (0) = о^ [а? ((О/ - 6®Лро" + Р^) + 0^1,
при условии узкополосности сигнала 5 (^), т. е. при со82 ^> —p0"i —бсоз^о" ^> Ро(4)> Для среднего числа максимумов yV1Ylmax процесса ц (^) в единицу времени получим
max = (1/2Л) [Г*0 (0)/- ГТ" (0)]7= ~
- (cos/2n) VW (1 - 6ро"со72) + Р2)/(1 + aV)]’7’.(3.6.7)
где а = <ts/<t:, q = о)8/2л++ (0, 1) = <os/|/ —r0", Р = 2лЛгр max/<os = = (r0(4V—zVy/Vtos.■
Поскольку рассматриваемый процесс ц (/) является гауссовским стационарным процессом, то распределение высоты локального максимума r|m будет в данном случае описываться формулами (3.2.12) п (3.2.13), в которых нужно положить
п = и^ц^, V2 = 1 — r^- (0), гтГ (0) = т^" (0)/ Кг^ (0) =
:= VW|4 (0, 1)/А\т| щах»
где, в свою очередь, согласно (2.3.38),
ы + /о й— 0)5 Г 63,2 + V92 1 2
Предположим, что р (/) — стационарный случайный процесс (1.6.11) с ^-распределением (1.6.12). Моменты времени ^-, г = 1, 2, 3, . . ., соответствующие локальным максимумам траектории ц (^), ZE [^о? ^о + ^L представляют собой поток случайных событий. Если корреляционная функция R^ (т) процесса ц (/) удовлетворяет условиям—R^' (0) < 00, Д^-О (0) < оо, то такой поток является стационарным и регулярным (пли ординарным). Если, кроме того, рассматривать лишь локальные максимумы, в которых р (t) ^ Н, то при согласованном возрастании Н —» оо и Т —►- оо случайная величина ?гтах (Лт > Н, Т) будет характеризоваться пуассоновским распределением [121, 122]
P{«max (Пт > Н, Т) = к} = у^ет^к'.,
и = TWtmax (Пт > Я), к = 0, 1, 2, . . .,(3.6.8)
а поток локальных максимумов переходит при этом в простейший пуассоновский точечный процесс.
Исследование асимптотического поведения вероятностей 2J{sup (5 (^)/^) ^ ^}, связанное с изучением абсолютного мак- to, т]
симума ^max = sup (£ (^)/^) траектории 5 (^), t Е [0, 71] случай- to, ТА
ного процесса, вообще говоря, может проводиться при условии высоких уровней К -^- оо или (как это делалось в разд. 3.5) при согласованном возрастании Т-^оо, h-^oo.
Пусть £ (/) — гауссовский стационарный процесс, имеющий математическое ожидание т* = 0 и корреляционную функцию R (т), для которой —R" (0) < оо, R^ (0) < 00. Если зафиксировать длительность интервала [0, Г], Т > 0 и рассмотреть асимптотическое разложение функции Р^тах^^} при h ->оо, то для плотности вероятности р (7zmax; Z) случайной величины ^пах можно записать [51]
^-^/2(1 +0(1)),•(3.6.9)^-^/2(1 +0(1)),•(3.6.9)Р (Атах; Т) = 4г Р f sup (^-) <Л1
^-^/2(1 +0(1)),
•(3.6.9)
^-^/2(1 +0(1)),
•(3.6.9)
h —» 00.'
Допустим, что Ег (Z) и Н2 (Z) — непрерывные и дифференцируемые гауссовские процессы с математическими ожиданиями М{£1 (Z)} — М{^9 (0} = 0 и корреляционными функциями
М^)^ (t + т)} - o^r, (т), M{g2 ^ (t + т)} = o22r2 (т).
(3.6.10).(3.6.10).Тогда если гт (т) > г2 (т), те [0, ТА, то, согласно теореме сравнения [62, 147],
(3.6.10).
(3.6.10).
М {sup (^ (ОМ)} < М { sup (^2 (ОМ)} [О, Т][0,7]
(3.6.11)(3.6.11)п соответственно при произвольном действительном fo > 0
(3.6.11)
(3.6.11)
Р {sup (g2 (ОМ) > М > р { Sup (Ei (ОМ) > М- [о, Т][0,7]
Физически пояснить такие неравенства можно тем, что при ri (т) > г2 С0> т ЕЕ Ю, ТА процесс ^2(0 будет иметь более широкий спектр, а отдельные его реализации Е2 (0, t ЕЕ [0, ТА — обладать большей «колебательностью».
По аналогии с корреляционной функцией R (т) = М{£ (05(М + т)} в качестве характеристики линейной взаимосвязи между значениями 5 W и U^ + т) достаточно часто используется структурная функция D (т) = М{[Е (Z) — £ (t + т]2}. Очевидно, что R (т) нВ (т) связаны между собой простым соотношениемD (т) = = 2о2[1 — г (т)] и, следовательно, в терминах нормированной структурной функции d (т) = о-2В (т) условие т\ (т) > г2 (т)г т G [0, ТА эквивалентно условию dx (т) ^ d2 (т), т Е [0, Л.
4
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИТЕЛЬНОСТИВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ
В общем случае к характеристикам длительности временных интервалов можно отнести весь комплекс вероятностных характеристик, связанных с описанием интервалов между отдельными пересечениями траекторией случайного процесса £ (£) произвольно заданного уровня Н или некоторой функции Н (Д. К этому же классу относятся характеристики типа времени первого достижения траекторией £ (£) заданных границ, а также вероятностные характеристики, описывающие относительную длительность пребывания траектории £ (/), t ЕЕ Uo» ^о + Т\ над уровнем и в интервале заданных уровней.
Строгое аналитическое исследование подобных характеристик часто приводит к трудноразрешимым задачам; несмотря на значительный интерес, многие из таких задач до настоящего времени не имеют общих удобных для практического использования решений. Это относится, например, к задачам нахождения распределений длительностей выбросов и длительностей интервалов между последовательными пересечениями уровня. Задачи о времени первого достижения границ также, по существу, решаются лишь для класса марковских случайных процессов.
В данной главе рассматриваются основные подходы к исследованию вероятностных характеристик длительности временных интервалов, указываются вычислительные трудности, приводятся некоторые частные (но более простые) аналитические результаты и дается их сравнение с известными к настоящему времени результатами экспериментальных исследований.
Первое время достижения границ
Формулировка задачи. Рассмотрим характеристики первого времени (величины т0 на рис. 4.1) достижения границ случайным процессом, конкретизировав и несколько обобщив формулировку проблемы.
Пусть случайный процесс £ (^) с известными вероятностными характеристиками в начальный момент времени £ = О имеет фиксированное значение £ (0) = Ео, находящееся внутри заданного интервала (с, d), т. е. начальная плотность вероятности процесса 5 (0 является дельта-функцией
р (Е, t = 0) = р0 ® = 6 а - ^0), g0 е (С, ф. (4.1.1)
Проведем через точки ^ = с и g = d горизонтальные прямые (границы). В общем случае вместо прямых можно рассматривать заданные функции с (£) < d (^). Разные реализации случайного процесса £ (0, исходящие из точки £0, в первый раз достигнут границу с или d за разное время Т = Т (с, £0, d) (рис. 4.1).
Для наглядности представим, что первоначально (при t = 0) Б точке £ = £о было сконцентрировано множество одинаковых частиц. Затем эти частицы совершают во времени случайное перемещение вдоль оси g.
Из-за случайного характера перемещений разные частицы будут .впервые достигать границ с, d за разное время Т, причем с увеличением времени t все большее число частиц достигнет границ.
Первое время достижения границ Т = Т (с, £0, d) является непрерывной случайной величиной, полное описание которой
Рис. 4.1. Достижение границ (c, d) из начальной точки £0 через промежуточное состояние £ в момент тРис. 4.1. Достижение границ (c, d) из начальной точки £0 через промежуточное состояние £ в момент тдается соответствующей плотностью вероятности wC1a (Т, £0). В качестве более простых, количественных характеристик можно также использовать моменты Тп = Тп (с, g0, d) = М{71“ (с, g0, d^ (в частности, математическое ожидание и дисперсию). Наша задача заключается в получении этих характеристик для заданного процесса £ (0-
Рис. 4.1. Достижение границ (c, d) из начальной точки £0 через промежуточное состояние £ в момент т
Рис. 4.1. Достижение границ (c, d) из начальной точки £0 через промежуточное состояние £ в момент т
Прежде всего необходимо указать, что сформулированная задача, как и другие задачи подобного характера (при наличии границ различного типа), имеет математически строгое решение только для марковских процессов. Такое решение было впервые дано в работе советских ученых Л. С. Пон-
трягина, А. А. Андронова и А. А. Витта [53]. Подробное изложение этого решения с разбором большого числа содержательных радиотехнических примеров приведено в ряде работ [48, 76, 80]. Поэтому ограничимся здесь указанием рецептурного пути получения окончательных результатов.
Рассмотрим простейший одномерный марковский процесс £ (t). Пусть этот процесс является однородным во времени и задан нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка
(4.1.2)(4.1.2)aw = f^ + n ^, g (0) = g0,
(4.1.2)
(4.1.2)
где / (?) — заданная непрерывно дифференцируемая функция аргумента; п ^ — белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дельтообразной корреляционной функцией М{гс (0} = 0, Мрг № О = (AV2)S(Z2 — £0.(4.1.3)
В дальнейшем потребуются коэффициенты сноса а ^ и диффузии b (5), которые при заданных начальном и граничных условиях полностью определяют поведение марковского процесса.
Эти коэффициенты вычисляются по известным формулам [80]
а & I) = lim J-М {[^ (/ + AZ) - g (0] | £ («)},
А<-0 т
b (Е, 0 = 1 im ^- М {[i (/ + ДО - 6 (О]21 Е (0)(4-1 • 0
At—О
и применительно к уравнению (2) равны
а ® = / (Е), b = №.(4.1.5)
Плотность вероятности первого времени достижения границ. Найдем вероятность рс/1 (^ Ео) того, что случайный процесс £ (^), имеющий начальное значение Но, в течение времени t > 0 достигнет границ интервала [с, d], т. е. достигнет либо границы с, либо границы d. Вместо этой вероятности можно интересоваться вероятностью
qc,d (#, £0) = 1 — Pc.d (t, £о)(4.1.6)
недостижения границы с или d:
q.,a (0 Ео) = Р{с < g (t) < d, 0 < t < Т},£0 е (с, d^
(4.1.7) где Т = Т (с, £0, d) — случайный момент времени первого достижения границы с или d.
Обозначим через р Q, t | £0) плотность вероятности перехода за время t из первоначальной точки g0 в интервал Q, g + dE) для реализаций процесса, ни разу не коснувшихся границы с или d. Вероятность того, что частица, выйдя из точки £0, ни разу не достигнув границ с и d, будет ко времени Т > 0 находиться в какой-либо внутренней точке интервала (с, d), с одной стороны, a
равна 1 — рсд (t, £0), а с другой — ^ р (Е, £ | £о) dg Поэтому ас
М^МрМ^=1.(4.1.8)
Вероятность pc>d (^ + т, £0) того, что достижение границ с, d произойдет за время t + т, равна сумме двух вероятностей: вероятности рсд (т, £0) достижения границ за время т и вероятности того, что за время т границы не будут достигнуты, а это достижение осуществляется за оставшийся промежуток времени t (см. рис. 4.1). Эта вторая вероятность равна
a
^р(Е, т | go) Р^а^Л) dl.
Следовательно, можно написать a
Pc,a(t -\- тД0) = рс1а^Л0') + 5р(^т1^)^,^^Л)^-(4.1.9)
Чтобы из этого соотношения получить дифференциальное уравнение для вероятности рс,а (^ g0), нужно разложить стоящую под интегралом вероятность pC)d (^ £) в ряд Тейлора в окрестности точки £0. Тогда в результате предельного перехода к О при весьма слабых дополнительных условиях придем к следующему основному (первому) уравнению Понтрягина:
■дР Pc, d (^ £о) = а (£о) -^- Pc, d (^ Ео) н27 b (So) -^2 Pc, d (^> ^о)-
°(4.1.10)
Укажем начальные и граничные условия для этого дифференциального уравнения в частных производных. Для всех значений ^0, находящихся внутри интервала (с, d), вероятность достижения границ при t = 0, очевидно, равна нулю:
Pcd^A^^ C<^<d.(4.1.11)
На границах интервала, т. е. при £0 = с и g0 = d, вероятность достижения границ для любого t равна единице, т. е.
Pc.d (t, с) = pc,d (#, d) = 1.(4.1.12)
Это означает, что при £0 = с и £0 = d граница достоверно достигнута уже при t = 0. Кроме этих условий, обычно должно выполняться соотношение
limpCjd(Mo) = l, c<g0<d,(4.1.13)
означающее, что вероятность пересечения границы за достаточно большое время равна единице.
Обязательное выполнение условий (И) и (12) физически следует из того, что одномерный марковский процесс недифференцируем, т. е. производная марковского процесса имеет бесконечную дисперсию (мгновенная скорость процесса бесконечно велика). Однако частица с вероятностью «единица» смещается за конечное время на конечное расстояние. Поэтому скорость частицы все время хаотически меняет знак и движение происходит в противоположных направлениях. Если частица находится на некотором конечном удалении от границ, то она не может их достигнуть мгновенно (условие (И)). Наоборот, если частица находится вблизи границ, то она обязательно пересечет их (условие (12)).
Отметим, что аналогично решаются задачи о вероятности выхода либо только через границу с, либо только через границу d, либо о вероятностi невыхода из допустимой области (с, d). При этом уравнение (10) остается в силе, а изменяются лишь краевые условия. В частности, для вероятности qCi d (t, £0) того, что траектория рассматриваемого марковского процесса в течение времени t будет находиться внутри интервала (с, d), дифференциальное Уравнение и соответствующие начальное и граничные условия
имеют вид
4г 9с, d (t, |о) *= а (So) 4; qe, d (t, So) + 4"b ^ ^ 9c, d G, So), "(4.1.14)
7c,d(0, Io) = 1,c<^0<d,(4.1.15)
qc,d u, c) = qc, d (t, d) = 0.(4.1.16)
Для решения уравнения (14) можно воспользоваться методом разделения переменных [70].
Полные вероятности рс (£0) и pd (£0) первого достижения границы с или d соответственно определяются стационарным решением уравнения (10) при надлежащих граничных условиях. Например, вероятность pd (£0) того, что за сколь угодно большое время частица из первоначального положения £0 попадает в состояние d (а не с), есть решение уравнения
-2" b ("о) ^ Pd &) + а it Pd = °(4ЛЛ7)
при условиях
Pd (С) = О, pd (d) - 1.(4.1.18)
Решение уравнения (17) с граничными условиями (18) может быть получено в виде
(°С 2а (ж)
Pd &) = ехр [— ср (ж)] dx[\^ exp [— ср (ж)] dx. ср (ж) = dx.
°°(4.1.19)
Заметим, что pd (£0) С 1 ПРИ £ < £о <
Наконец, можно интересоваться вероятностью достижения границы марковским процессом £ (£), начальное значение которого 50-случайно. В этом случае сначала решается задача для фиксированного начального значения £0, а затем производится осреднение по всем возможным значениям £0. При этом если начальное значение распределено на интервале (с1? d^ ZD (с, d) с плотностью вероятности р0 (£0), то по теореме сложения вероятностей полная вероятность достижения границ end определяется выражением
Pc, d (0 = 5 Ре, d (?, So) Ро (So) Й|о + [Р {Ci <So<C,i( = O} +
+ PVd<b»<d1,t = OW '(4Л-20)
Можно указать другой метод получения вероятности рс, а (t, ^0) или qC)a (t, Ео). Из соотношений (6) и (8) следует, что
d•
gc.d(z,^) = $P(^d^)^.(4-1-21)
Нспомнпм, что р (£, t | 5о) есть плотность вероятности перехода из первоначальной точки £0 е (с, с?) в какую-либо внутреннюю точку интервала (с, d) для тех траекторий процесса £ (£), которые до момента времени t ни разу не достигли границ и, следовательно, находятся внутри интервала в любой предыдущий момент времени. Для этих траекторий справедливы уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова и обратное уравнение Колмогорова. Применительно к рассматриваемому однородному во времени одномерному марковскому процессу они соответственно имеют вид [80]
4г р & 11 io) - - 4г г« ® р&*\ mj+4^^ь ® р & 11 ад,
”(4.1.22)
4Ж^о) = аЙо)^р(М?о)+4&(ёо)^Р^^^^
""(4.1.23)
Начальное условие для этих уравнений является одинаковым и очевидным:
Р (£, о | Ы = 6 (^ - ^о),(4.1.24)
а граничные условия для уравнения (22) соответствуют расположению в точках g = с и | = d поглощающих границ:
РМ £о) = Р (й, N £о) = 0.(4.1.25)
Такой характер граничных условий следует из того, что необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения те треактории процесса £ (^), которые хотя бы один раз вышли за границы интервала [с, d] к моменту времени I. Для этого необходимо запретить этим траекториям возвращаться внутрь этого интервала после того, как они впервые вышли за его пределы. Поэтому в граничных точках (£ = с и £ = d) при решении задач о достижении границ одномерным марковским процессом нужно поместить поглощающие гр аницы.
После получения решения уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова (22) с начальным условием (24) и граничными условиями (25) вероятность qc,^ £о) вычисляется интегрированием по формуле (21), а вероятность рсд (^, £0) того, что границы будут достигнуты за время от 0 до t, определяется согласно формуле (8).
Отметим, что решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова с граничными условиями (25) позволяет с помощью (8) найти вероятность достижения заданных границ неоднородным марковским процессом £ (£), у которого коэффициенты сноса и Диффузии зависят от времени.
Если одна из границ, например с, является отражающей, то вероятность pd (t, Но) достижения границы d может быть также
получена из решения уравнения (22) с начальным условием (24) ц граничными условиями
Ш q &0 = 0, ^ р (S, q So) l^e=0.(4.1.2G)
Поясним происхождение второго условия (26). Пусть в некоторый момент времени tQ — Д£о, принимаемый за начальный, частица оказалась на границе с. Тогда за последующий небольшой промежуток времени Д£о частица, отразившись от границы с. с некоторой вероятностью а может переместиться вверх на малую величину Д£о ~ (Д£о)1/г и с вероятностью (1 — а) может остаться на границе.
Можно убедиться, что
Р (S, «| С, t0 — Aq) = ар (S, t I с — ASo, М + (1 — а) X
Хр (£, t | с, #0)
ИЛИ
Р & q с, q) -Aq = а [р-А^° +
+ ^("д^")^^^2] +(1-а)Р-
Отсюда имеем
др I_ эр д/01 / а^р \ дс.
^0ди Д^о2 уад
Переходя в этом выражении к пределу при Д£о -> 0 и учитывая, что Д£о ~ (Д^)1/*, придем ко второму условию (26).
Таким образом, из решения уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова может быть найдена вероятность выхода траектории марковского процесса из области, одна из границ которой является отражающей.
Возвратимся к обратному уравнению Колмогорова (23). Поскольку нас интересуют вероятности рсд (£, Но) и qc,fi (t, £0) как функции начального состояния £0, то представляется естественным для нахождения этих вероятностей воспользоваться уравнением (23). Действительно, из соотношения (8) после интегрирования (23) получим уравнение Понтрягина (10). Можно поступить иначе: сначала найти решение уравнения (23) при начальном условии (24) и поглощающих граничных условиях
p(L t I с) =р(^, t \d) =0,(4.1.27)
а затем воспользоваться (8).
Получить аналитическое решение уравнения Понтрягина (10) или уравнений Колмогорова (22), (23) удается в ограниченном числе простых случаев. Часто их решают методами численного интегрирования на ЭВМ.
Допустим, однако, что вероятности рс,а (^ £о) или Qc.a (^ 6о) тем или иным способом получены. Тогда плотность вероятности времени первого достижения границ (с, d^ если она существует,
Do определению равна
Wc, d (Г, So) = рс, d (Г, Ь) = - ^ Че. d (7, go) =
d
= --^pa,T\W(4.1.28)
Если продифференцировать обе части уравнения (10) по t = Т, то получим, что wC1a (Т, g0) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
4г wc, d IT, So) - a (Eo) ^ WC, d (T, ^o) + 4 6 (^o) Д d <Г’ ^
°(4.1.29)
с начальным и граничными условиями
Wc.d (0, g0) = 0, с < g0 < d,(4.1.30)
wc>d (T, c) = W.,d (7, d) = 6 (7).(4.1.31)
Задача получения решения уравнения (29) при условиях (30) и (31) является математически весьма сложной даже для простейших видов коэффициентов сноса и диффузии a (g0) и b (g0). Поэтому на практике часто ограничиваются вычислением одномерных моментов времени первого достижения границ.
Моменты времени первого достижения границ. Если существует плотность вероятности wCi d (Т, g0), то п0 известной формуле можно определить одномерные моменты времени первого достижения границ:
Тп = М {У} = Тп (с, go, d) = $ ТпгоС1 й(ТЛ(№ n = 1, 2,. ..
°(4.1.32)
Получим для этих моментов дифференциальное уравнение.
Умножим обе части уравнения (29) на ехр (/$) и проинтегрируем затем по Т от 0 до оо. В результате для характеристической функции
Фс, d (j^, Ь) = $ e№Wci d (у, ^o) йТ(4.1.33)
о
получим следующее дифференциальное уравнение:
-^фс>(г = «(ёо)4-фс,й + 4^(^) ^^c.d-(4.1.34)
Воспользуемся известным представлением характеристической функции в виде ряда по моментам
Фс, d = 1 + ^ М>1 Тп (с, ^о, dy(4.1.35)
Подставив выражение (35) и его производные в (34) и приравняв члены при одинаковых степенях ]й, получим цепочку линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
1^т11 ат
Т ь ^ "а^ + а ^°)= - пТ^ ^То = ^(4Л-36)
Уравнения (36) позволяют последовательно при п = 1, 2, . . . найти моменты распределения времени первого достижения границ. Эти уравнения должны решаться при соответствующих граничных условиях, причем по физическому смыслу все моменты Тп должны быть неотрицательными величинами:
ТДс, g0, d)>0.(4.1.37)
Если границы cud поглощающие, то
Тп (с, с, d) = Ти (с, d, d) = 0.(4.1.38)
В том случае, когда одна из границ, например с, является отражающей,
(4.1.39)(4.1.39)ат (с,I
(4.1.39)
(4.1.39)
T^c.d.d^O, —=0.
“4,0|Н0=С
Начав решение уравнений (36) с п = 1, последующие моменты Тп выразятся через предыдущие Тт (т < и). В частности, из (36) при п = 1; 2 имеем
4fc^)S'+a^)5-+1=°-(4Л-40)
46^)^+а^)^г+27’1:=0-(4Л-41)
После получения решений этих уравнений можно найти дисперсию времени первого достижения границ
(4.1.42)(4.1.42)D (с, go2, d) = Г2 (с, go, d) - Т^ (с, go, d\
(4.1.42)
(4.1.42)
Если отсюда выразить Т\ (с, g0, d) и подставить в уравнение (41), то с учетом (40) получим дифференциальное уравнение непосредственно для дисперсии времени первого достижения границ
i к \ aD , _ / атг \2 .
"Т + a (~°) ~а^ + ^ ^°) \а^) "2 (4.1.43)
Решение этого уравнения нужно искать при соответствующих граничных условиях, которые следуют из (38), (39).
Уравнение (40), выведенное пз основного уравнения (10), было впервые получено Л. С. Понтрягиным [53]. В отличие от (10) будем называть уравнение (40) вторым уравнением Понтрягина.
Система линейных дифференциальных уравнений (36) решается сравнительно просто, так как с помощью замены z = dTJd^^ каждое уравнение сводится к линейному уравнению первого
рорядка
-Lb^^-^a^z^-nT^,(4.1.44)
решение которого можно записать в квадратурах dTГ- (с, So, d)1
- ^=^ = e^ VA “ JМу)^(Ц s (4.1.45)
где функция <р (ж) определена выражением (19), А — постоянная, определяемая из граничных условий.
В случае, когда обе границы (с, d) являются поглощающими, из (45) и граничных условий (38) получим
T^W)-
= Вп dx-2n\^ е-^ечАи) dy dz, (4.1.46)
р р Т „ 1 (с. d)
2п ^ e-f(x) ^ ^-^е^^ dy dx
Ви=^-—й,1,2,...,7’о = 1.
C(4.1.47)
Если одна из границ, например с, является отражающей, то из (45) и (39) имеем
р р Т (с, у dA
Тп (с, go, d) = 2« J еч№ ^ ь^ е^^ dy йж-(4.1.48)
Максимальное значение Т^с, ^0, d) в этом случае достигается при £о = с .
Формулы (46) и (48) позволяют последовательно, начиная с п = 1, определить все моменты времени первого достижения границ из произвольной начальной точки £0. Так как аналитические выражения этих моментов оказываются обычно громоздкими и интегралы, как правило, не выражаются через известные функции, вычисления целесообразно проводить на ЭВМ.
Когда плотность вероятности начальной координаты £0 является не дельтообразной (1), а некоторой функцией р0 (£0), где £о ЕЕ ki, dx ] Z) [с, dV то, согласно (20), можно вычислить осред- ненные по начальному значению So моменты времени первого достижения границ:
Ти (с, d) = \ Tn {с, go, <?) р» (^о) Йо.. (4.1.49)
До сих пор рассматривалась задача о достижении границ одномерным марковским процессом. В принципе известен метод реше-
лия такой задачи и для многомерных марковских процессов. Пусть некоторая замкнутая область «слежения» Q многомерного пространства имеет границу Г и 7— часть этой границы. Интерпретируя многомерный марковский процесс X = {Х17 Х2, . . ., Хт) как координаты точки в рассматриваемом многомерном пространстве, обозначим через pN (^ X) вероятность того, что случайно движущаяся точка, находящаяся в начальный момент времени £ = О в положении X внутри области Q, в течение времени t впервые выйдет из Q через часть границы у. Предполагается, что •область Q выделена таким образом, что любой выход за ее пределы приводит к нарушению нормальной работы системы, поведение которой описывается рассматриваемым многомерным марковским процессом.
Обобщая предыдущие рассуждения на случай т > 1, получим, что вероятность рх (t, X) определяется решением уравнения в частных производных [53]:
ттм
0.1.50) 1=1г, j=lJ
где at (X) и. bt3- (X) — «коэффициенты» сноса и диффузии, определяемые по исходной системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерный марковский процесс [80]. Уравнение (50) следует решать при начальном условии
Рч (0, X)=0,X е Q \ Г(4.1.51)
и граничных условиях
Рч (^ М=1»X ЕЕ 7,(4.1.52)
Рч (^ X)=0,X е Г \ у-(4.1.53)
Начальное условие (51) следует из того, что частица при t = 0 находится внутри области Q. Граничное условие (52) означает, что выделенная часть границы 7 достигнута уже при t = 0, а условие (53) для точек, принадлежащих остальной части границы, означает, что достижение границы произошло уже при ^ = 0 (частица вышла из области), но заведомо не на 7. При этом предполагается, что траектории многомерного марковского процесса X (£) могут выходить из области Q через любую точку границы Г. Последнее предположение может быть конкретизировано [48, 80].
Основываясь на первом уравнении Понтрягина (50), можно получить рекуррентную систему дифференциальных уравнений в частных производных для определения моментов первого времени достижения части 7 границы Г [53, 80].
В заключение отметим, что получить аналитическое решение уравнения (50), а также системы уравнений для моментов времени первого достижения границ в большинстве практически интересных задач, как правило, не удается даже в двумерном случае и • обычно их решают численными методами на ЭВМ. При т ^ 3
затруднительным становится и получение решения с помощью ЭВМ
Пример. Рассмотрим конкретный пример определения характеристик времени первого достижения симметричных границ [—Я, НА случайным процессом т| (Z), заданным линейным стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка вида (2.3.18):
“°2|1 = ®°2/г^’
(4.1.54)
где отдельные параметры имеют прежний смысл, п (^) — белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и односторонней спектральной плотностью N.
Уравнение (54) определяет двухкомпонентный марковский процесс {т] (£), £ №}:
ch\ldt = £ (О, 1] (0) = т|0, £ (0) = ^(4*1.55)
d^ldt = — 2а£ — соо2г| + to^n (t).
Можно показать [78, 111, 112, 137, 144, 145], что для такого марковского процесса первое уравнение Понтрягина (50) для вероятности q~hth (т, ^о, Уо) — Ро (т> ^о» Уо) недостижения безразмерных границ ± h = + H/g^ за безразмерное время т = at, если начальная точка (г)0, £0) находится внутри границ, принимает следующий вид:
-^- = 2- ^ + 2уЛ + 4,(4.1.56).
5т 5у02\ Л ) дуа Хмх 7
где X = а/соо, £0 = ть/о^, У о = U^ Q^ GC — дисперсии процессов 1] (Q и £ (£) в стационарном состоянии. Это уравнение следует решать при начальном условии (51) п граничных условиях
Ро (т, зс0, у0 = ± оо) = 0,(4.1.57)
Ро(т, ^о = ^^о > 0) = /?0(т, ^о = —^, Уо < 0) = 0.
Решение уравнения (56) с указанными начальным и граничными условиями можно получить с помощью ЭВМ. На рис. 4.2 изображена зависимость вероятности р0 (т, 0, 0) от времени при = 0,1 и 1г = 1.
Значение среднего безразмерного времени 0х (—h, xQ, yQ, h) = = аТг = аГ1(— К, х^, у0, 1г) первого достижения постоянных симметричных границ + 1г процессом i] (t) из первоначальной точки (х01 у0) можно получить из решения второго уравнения Понтрягина
(4.1.58)(4.1.58)9 5201/ .ГО , 9\ 50! I/O 501л
(4.1.58)
(4.1.58)
Рис. 4.2. Вероятность недостижения симметричных границ (—h. h)
ю граничными условиями
0i(— И, х0. у0, h) = О при £0 = h, 0 < у0 < оо,
х0 = —к. —оо < уо < 0.(4.1.59)
Результаты решения уравнения ультрапараболического типа ‘(58) с граничными условиями (59) методами численного интегрирования на ЭВМ приведены на рис. 4.3 и показаны на рис. 4.4 кривые 7).
Напомним, что процесс ц (£), заданный уравнением (54), является дифференцируемым. Для него ранее было вычислено среднее число N (—к. к. т/ж0, у^ пересечений постоянных симметричных границ Уг за время т при фиксированном значении начальных координат процесса ^х0. у^). Соответствующая формула непосредственно следует из (2.3.26) и имеет вид [78]
т
N (— h, h, т | z0) z/o) = ,\ Ц+ ^г' т । ‘^ У») + 7" (— А, т | ж0, z/o) ] di. о
(4.1.60)
Если в этой формуле среднее число пересечений приравнять единице, то из решения полученного интегрального уравнения можно приближенно оценить среднее время 0Х достижения заданных границ дифференцируемым случайным процессом (54). Применительно к рассматриваемому примеру для оценки среднего времени 0Х достижения постоянных симметричных границ получим уравнение
01
[7+ (А, т | а», уо) + 7” (— Л, т | ж0, у0)] dT = 1.(4.1.61)
о
(4.1.62)(4.1.62)(4.1.64)(4.1.64)(4.1.63) следует соот-(4.1.63) следует соот-
(4.1.62)
(4.1.62)
(4.1.64)
(4.1.64)
(4.1.63) следует соот-
(4.1.63) следует соот-
результаты численного решения этого уравнения на ЭВМ для ; = 0,1 ил = 0,01 в зависимости от 1г показаны на рис. 4.4 (кри- вые 2) [78].
Данные рис. 4.4 позволяют сравнить точные (7) и приближенные (2) результаты расчетов среднего времени первого достижения границ рассматриваемым случайным процессом. Такое сравнение характеризует точность оценки среднего времени первого достижения границ при помощи решения интегрального уравнения (61). В рассматриваемом примере этот метод дает наибольшие ошибки при малых (/г < 0,5) и больших Ql > 2,5) значениях границ. Это объясняется принципиально разным характером допустимого поведения процесса т] (£) вблизи границ в задачах первого достижения границ (процесс, достигнув границ, прекращается) и в задачах пересечений (допускается любое число пересечений с положительной и отрицательной производной, процесс может длиться сколь угодно долго).
Рассмотрим это несколько подробнее. Обозначим через Рк^ I ^опУо) к = 0, 1, 2, . . . вероятность ровно к пересечений уровней + h с заданными знаками производной за время т. Очевидно, что введенные вероятности удовлетворяют условию нормировки
2 ^А-СЧ^о, Уо) = 1-
Л=0
Кроме того, среднее число пересечений за время т
N(— h, h, т|ж0, y0) = S &pfc (t I Жо, y0).
Из выражений (62) и (63) ношение
N (—h, /г, т | ж0, у0) = = 1 — ^о (т | ж0, у0) + + е (т | ж0, у0),
Рис. 4.3.
Зависимость среднего времени достижения симметричных границ (—/1, Н^ от начальных условии
Ь = 0,1; h = 1
Рис. 4.4. Среднее время достижения симметричных границ (—Д, /г), вычисленное разными методами
X = 0,1; х0 = ?/0 = 0
где величина
е (т ] ж0, у0) = И (^ — 1) Рк Ст | ^о, Уо) > О
А"=2
учитывает наличие двух и более пересечений за время т.
В задачах первого достижения границ вместо (64) имеем равенство
Pi (t I ^о, у о) = 1 — р0 (т I ж0. у0),(4.1.65)
где вероятность р0 (т | хй1 у0) совпадает с введенной ранее вероятностью д_п,п (т, ^о? Уо) недостижения границ за время т, которая удовлетворяет первому уравнению Понтрягина (50). По известной вероятности р0 (т | х01 у0) среднее время первого достижения границ определяется формулой
0i (— h, ^ У^ А) = $ Уо (т | xQl у0) Дт.(4.1.66)
о
Из сопоставления формул (64) и (66) следует, что за оценку среднего времени, получаемую из решения интегрального уравнения (61), берется величина ®i*(—^, хй1 у01 К^ при которой выполняется равенство
е (®i* I хй1 У о) = Ро (@i* I ^о. Уо)-(4.1.67)
Точное значение среднего времени первого достижения границ 0г связано с оценочным значением ©j* соотношением
0, = 0/ - А, + Д2, Дп Д2 > 0,(4.1.68)
где Дл и Д2 — площади над и под кривой зависимости р0 (т | х0, у0) = Т^о (т> ^о, z/0), которые на рис. 4.2 заштрихованы.
Для больших значений 1г, когда величина (67) мала (вероятности двух и более пересечений малы), Д2 в (68) мало и, следовательно, оценка ©л* всегда больше истинного значения ©л. Наоборот, при малых К вероятности двух и более пересечений конечны, величина Дт мала и 6Х* всегда меньше ©л. Ясно, что оценка ©л* тем точнее, чем точнее выполняется равенство Дл = Д2, что зависит не только от величины И, но и от других характеристик процесса, а также от начальных значений ^xQ, у0).
Укажем, что алгоритмы решения уравнений Понтрягина (56) и (58) сравнительно просты [80]. По ним можно составить стандартные программы, которые позволяют определить вероятностные характеристики времени первого достижения границ для широкого класса одномерных и двумерных марковских процессов при вполне допустимых затратах машинного времени. Оценка среднего времени с помощью решения интегрального уравнения типа (61) с автоматическим выбором шага интегрирования в рассмотренном примере требует больших затрат машинного времени (с учетом изменения начальных условий). Однако уравнение (61) позволяет получить оценку времени первого достижения переменных во времени границ для произвольного дифференцируемого гауссовского процесса [60].
Характеристики типа длительности пребывания
Характеристики типа длительности пребывания процесса над уровнем, в интервале заданных уровней или в некоторой заданной области можно отнести к сравнительно простым и широко распространенным характеристикам случайных процессов. В той или иной степени они рассматриваются во многих работах (например, [34, 62, 77]), и поэтому здесь основное внимание будет уделено лишь вопросам, представляющим наибольший интерес при изучении выбросов случайных процессов.
Предположим, что £ (0 — непрерывный стационарный случайный процесс. Если задать некоторый фиксированный уровень Н и ввести вспомогательную индикаторную функцию
fl, Ш>Н,
то для траектории ^ (0, £ Е= [£о, £0 + ТА = [0, ТА рассматриваемого процесса £ (£) можно определить случайную величину
т
t^H^T”1^ х^щаг,(4.2.1)
о
которая характеризует относительную длительность пребывания траектории ^ (^), ^ ^ [О, ТА над уровнем II. В соответствии с рис. 4.5 для F (Н) справедливо также определение
(4.2.2)(4.2.2)т-1 ^xTi=t^Hy i=l
(4.2.2)
(4.2.2)
Математическое ожидание Т^ (Н) = М {^+ (Я)} случайной величины Р ^Щ равно
т
Т* (Я) = Г"1 $ М {ж (<; Я)} ^ = М {ж 0; Я)}
Рис. 4.5.
Длительность пребывания траектории £ (г), t е [/0, t0 + Г] над уровнем Н определяется суммой интервалов Тг, г = 1, п
и с учетом равенства
м (ж ( f. Я)} = vp^ ^ > Я} + о-p {| (г) < Я}
может быть выражено через функцию распределения F^ (£) процесса g (£) как
Г (Я) = Р {^ (t) > Я} - 1 - F^ (Я).(4.2.3)
Для нахождения дисперсии D |7+ (Я)] относительной длительности пребывания F (Я) воспользуемся соотношением
D [^ (Я)] = М ^ (Я))2} - М2 {^ (Я)}.(4.2.4)
Поскольку для к-то начального момента m^ = М ^F (Я))^} случайной величины (1) справедлива общая формула
m^ = М |-^- ^ х (^; Я) dtT. .. ^ х (t^ Я) dtA = ооJ
т т
=^V"V^ ^^ >н'---^ ^ > H>i dti • • • dtb о о
то для значения тп^ входящего в выражение (4), получим
= М {(Я (Я))2} = Т-^ $ $ dtx ^2 f $ р2 ^2; т) d^ d^ (4.2.5)0 0НН
где р^ (6i> 62» т) — двумерная плотность вероятности рассматриваемого процесса (^).
Если дисперсия оч2 процесса £ (£) удовлетворяет условию а.2 </ оо, а значения ^ = £ (^) и £2 — £ (^2) ПРИ увеличении т = I ^2 — ^i I становятся статистически независимыми и
$ $ р. &, ^; т) d^ ^2 [1 - f^ (Я)]2, я я
то при произвольном, но фиксированном уровне Я = const, согласно центральной предельной теореме, распределение случайной величины t+ (Я) с увеличением длительности реализации Т -> оо будет приближаться к гауссовскому [109]. Плотность вероятности р^ (цу) нормированной величины
Пт = U+ (Я) - М {Я (Я)}] / /WW
запишется при этом в виде
р^ 01т) = (1/2л)^ ехр (-Цт2/2), Т оо.(4.2.6)
Используя определение (2), можно пояснить такое свойство следующим образом: при увеличении длительности интервала [0, Т\ число слагаемых п возрастает, вклад каждого слагаемого тг в общую сумму (2) уменьшается и распределение величины £+ (Я) нормализуется.
Конкретизируем приведенные результаты применительно к гауссовскому стационарному случайному процессу £ (£). Будем при этом считать, что m^ = М {^(0} = 0, а корреляционная функция процесса £ (^) имеет вид Я^ (т) = о^г (т) и удовлетворяет условиям
т
R^ (0) = о^2 < оо, lim?"1^ г(т)б/т = 0.
Т —оо0
Согласно формуле (3), для среднего значения относительной длительности пребывания Т+ (Я) в данном случае можно сразу же записать
Т^ (Я) = (20X0?)’^ f exp (- £2/2o?j2) ^ = 1 - ф (Н/о^(4.2.7)
я
где Ф ^ — интеграл вероятности (П-1).
Вычисление дисперсии D К+ (Я)] по формулам (4), (5) предполагает предварительное нахождение вероятности
Р {£ И > Я, g (t2) > Я} = f f рг &, ^2; т) d^ d^.(4.2.8)
Я я
Пользуясь известным разложением [33, 77] плотности вероятности Рг (£i> £2; т) рассматриваемого гауссовского процесса ^ (^) в ряд
^ - 2г (т) Е^ - У ) _2^(1 —г2(т)] J^ - 2г (т) Е^ - У ) _2^(1 —г2(т)] Jпо степеням г (т)
^ - 2г (т) Е^ - У ) _2^(1 —г2(т)] J
^ - 2г (т) Е^ - У ) _2^(1 —г2(т)] J
р2 №1, S2; т) =—= exp J
2 *2^1/1-г (т) Ч
V -3-ф<к+1> СЗкЛ Ф<Аг> С31_\ гк (Т)(4.2.9)
й =о5\/
где Ф<п) (я;) — п-я производная от интеграла вероятности, для значения вероятности (8) получим
1 — ф1 — ф^р^ &, 12; т) ^ ^2 = н н^р^ &, 12; т) ^ ^2 = н н^W-^W-(4.2.10)(4.2.10)
1 — ф
1 — ф
^р^ &, 12; т) ^ ^2 = н н
^р^ &, 12; т) ^ ^2 = н н
^W-
^W-
(4.2.10)
(4.2.10)
^[-•(яи-^^Г/=1 L^[-•(яи-^^Г/=1 LТеперь по формулам (5) и (4) для дисперсии D [^ (Я)] относительной длительности пребывания t* (Я) траектории £ (^), t Е= [0, ТА гауссовского процесса над уровнем Н окончательно найдем [34] т т
^[-•(яи-^^Г
/=1 L
^[-•(яи-^^Г
/=1 L
ф^0 <4412 г-2 с с г» (<2 _ ,^ ati ^ х ъоо
(4.2.11)
‘ Как и следовало ожидать, дисперсия D [£+ (Я)] полностью определяется здесь видом корреляционной функции г (т) = = of2 Я| (т) процесса 5 (^) и значением уровня Я. Наличие факториального множителя в выражении (11) приводит к быстрой сходимости ряда, а использование табулированных функций Ф(к) W упрощает количественные расчеты.
Если в качестве примера выбрать г (т) = ехр (—ат2), то для входящего в формулу (И) двойного интеграла получим т т.
ехр [— oik (t2 — ^)2] dt^ dt2 = о о
= (^г),/2{т[2ф Vt /О)-1] +
При исследовании гауссовского процесса 5 (^) условия нормализации и скорость сходимости в центральной предельной теореме для случайной величины t+ (Я) определяются [82, 102] характером убывания корреляционной функции г (т) с ростом т. Уменьшение интервала корреляции т^ процесса ^ (t) и усиление неравенства Т ^>тк- приводят к увеличению числа независимых слагаемых tz в сумме (2), и соответственно эффект нормализации при этом возрастает.
Помимо рассмотренных характеристик длительности пребывания над уровнем, нередко встречаются задачи, основной интерес в которых представляет изучение вероятностных характеристик относительной длительности пребывания процесса £ (t) в интервале заданных уровней.
Выберем некоторые произвольные, по фиксированные уровни Н и Н + X, X ^> 0. Введем по аналогии с определением (1) вспомогательную индикаторную функцию
fl, при Ш^[Я,Я + Х], ^Х) = /(Я<^)<Я + Х}-:П
в остальных случаях
и для отдельной траектории £ (£), t ^ [£0, t0 + Т\ = [0, ТА стационарного процесса 5 (£) рассмотрим случайную величину
т
t (Я, X) = Т"^х (t; X) dt.(4.2.12)
о
Величина t (Н, X) характеризует относительную длительность пребывания траектории £ (t), t Er [0, Т7] в интервале [Я, Я + X]. Ее математическое ожидание Т (Н, X) = М {^ (Я, X)} можно выразить как через функцию распределения F^ (£), так и через плотность вероятности р^ (£) процесса £ (£):
тт
Тф, X^^L^W’ X)}^ = ^/>{Я<£(0<Я + X}dt = оо
= ^(Я + Х)-^(Я) = ^ Р^й.(4.2.13)
н
Общее выражение для дисперсии случайной величины t (Н, X) имеет вид т т
D [< (Я, X)] = JJ Яж (^ - ^) dt, dt2 = о о
т
=4- $(i - Е)R” <т)dT'^-2Л^
о
где Rx (т) — корреляционная функция процесса х (^; X).
При соответствующих ограничениях, налагаемых центральной предельной теоремой, распределение случайной величины t (Н, X) при увеличении длительности интервала Т -> оо будет приближаться к гауссовскому.
Если конкретизировать результаты (13) и (14) применительно к стационарному гауссовскому процессу ^ (^), то по аналогии с (3)
и (7) для математического ожидания случайной величины t (Н, Л) получим
Т (H,l) = (2^^ ^ ехр(-^2/2^2)^ =н
(4.2.15)
а для входящей в формулу (14) корреляционной функции Rx (т) на основе разложения (9) и определения процесса х (^; X) найдем
о°,
R» (т)=S [фС ’ (^А ) - ф(/ ’ ("А Гт •(4-2-16)
Окончательный результат для дисперсии примет вид
А=1 \/
- ^^ (А) Т-Г $ ^ - А ^ W dT- (4‘2'17)
Степень нормализации случайной величины t (И, X) при увеличении Т будет зависеть от вида корреляционной функции г (т) и соотношения между длительностью реализации Т и интервалом корреляции т^ исходного гауссовского процесса £ (^).
Средняя длительность выбросов и интерваловмежду последовательными пересечениями уровня
4/У
Рис. 4.6. Пересечения горизонтального уровня Н траекторией случайного процесса £ (/)
а в более общем случае — и длительность интервала между положительным пересечением и следующим за ним Л-м положительным (или отрицательным) пересечением уровня Н.
Все перечисленные интервалы времени связаны с поведением выборочной функции £ (£), tE [О, ТА процесса £ (£) и имею? случайную длительность. Если исследуемый процесс £ (£) удовлетворяет соответствующим условиям эргодичности, то для средних длительностей, т. е. для математических ожиданий названных случайных величин, могут быть получены сравнительно простые формулы [34, 75]. Рассмотрим общий вид таких формул и затем конкретизируем результаты для некоторых распространенных моделей случайных процессов.
Будем считать, что стационарный в узком смысле случайный процесс £ (£) удовлетворяет условиям дифференцируемости (1.3.4), а для среднего числа пересечений^ (Я) уровня Н в единицу времени справедливы неравенства Nx (Я) < оо и ^ (Я) ^ 0.
При увеличении длительности Т рассматриваемой реализации £ (£), t ^ [0, Z] число положительных выбросов пЛ (Н, Т) над уровнем Я = const возрастает. Для достаточно больших Т можно считать, что общая длительность пребывания реализации £ (£) над уровнем Я определяется суммой временных интервалов т; (Я), г = 0, 1, 2, . . . , п+ (Н, ТУ В соответствии с этим среднюю длительность выбросов "г (Я) и среднюю длительность интервалов между выбросами 0 (Я) определим предельными равенствами
п+(Н, Т)
т<я>=‘™ ^Ь> Е т-№>-
1=0
?t+(H, Т)
5 е,№>'(4'3'3)
г=0
Если процесс § (0 обладает свойством эргодичности, то с учетом формул (4.2.3) и (4.2.13) для него можно записать
1^4- X тИ^) = -Р^(0>Я} = 1-^(Я), п+(н, т)(4.3.4)
и™ 4" X ад = ^{?(0<Я} = ^(Я),
где F^ (£) — функция распределения процесса. Кроме того, согласно (2.9.5),
(4.3.5)(4.3.5)lim -1- yF (Д, Т) = М {тг+ (Я, 1)} = Я/ (Я).
(4.3.5)
(4.3.5)
Т—оо 1
При выполнении равенств (4) и (5) выражения (3) позволяют записать окончательные формулы для средней длительности выбросов и средней длительности интервалов между выбросами:
1 — FaH\ 1 я
Т ^ = Я^ (Я)~ Як* (Я) J Р^ ® ^
(4.3.6)(4.3.6)н
(4.3.6)
(4.3.6)
® W = ^ (Я) = ^1+ (Я) 5 Р^®^’
где р^ (£) — плотность вероятности рассматриваемого процесса Mt).
По аналогии с этими формулами простым обобщением получим общие выражения
^'+ (Я) = к ,
т,_(Я) = ^^ |> - 0 + $ рИЮ ^].(4-3-7)
н
в которых тк+ (Я), тк._ (Я) — средняя длительность интервала между положительным пересечением и следующим за ним к-м положительным или к-м отрицательным пересечением уровня Я. В обозначениях рис. 4.6 эти интервалы соответственно равны
тЛ+ (Я) = tUk — ti, т1;Д1Г) = а-1 — 111 = 0,п.(4.3.8)
Отсюда, например, средняя длительность временного интер" вала между двумя последовательными положительными пересече" ниями уровня Я равна
т1+ (Я) = т (Я) + О (Я) = 1/Я/ (Я).
Если стационарный эргодический процесс 5 (^) является дважды дифференцируемым и если производная ^ (t) = d^ (^idt также
обладает свойством эргодичности, то наряду с результатами (6), (7) для процесса £ (^) можно найти среднюю длительность интервала ^м-т между локальным максимумом и следующим за ним локальным минимумом, а также среднюю длительность интервала fm-м между соседними локальными минимумом и максимумом.
Так как в точках максимума процесса £ (£) его первая производная 5' (£) пересекает уровень Н = 0 сверху вниз, а в точках минимума — соответственно снизу вверх, то по аналогии с формулами (6) имеем
ООО
TM-m—V—\p£W, Тт-м^^—Хр^)^', (4.3.9) 2 imax JJ imin J
— ооО
где Wlmax и 7Vimin — среднее число максимумов и минимумов процесса £ (£) в единицу времени, а р (5') — плотность вероятности производной 5' (^).
Для частного класса стационарных процессов £ (£) со статистически независимой производной ^ (^), согласно (1.4.19), функция р (£') обладает свойством симметрии р (£') = р ( — £'), и поскольку 7Vimax = A^min, то для таких процессов тм_т = fm_M= 1/2 7Vimax-
Подобным образом могут находиться средние длительности временных интервалов и между другими особыми точками стационарного процесса £ (^), если он дифференцируем нужное число раз.
Воспользуемся общими формулами (6) и для нескольких распространенных моделей стационарных эргодических и дифференцируемых случайных процессов запишем конкретные результирующие выражения.
Гауссовский процесс. Если математическое ожидание процесса равно т^ = М {£ (£)} = 0, а корреляционная функция ^^ (т) — ^^ г (т)> т0 среднее число выбросов N^ (Н) определяется формулой (2.2.9) и с учетом (4.2.7) выражения (6) принимает вид
т (Л) = 7==- [1 - ф (А)1 ехр (^/2),
_ У г(4.3.10)
где Ф ^ — интеграл вероятности (П-1). При увеличении уровня Н ^> о^ значение 1 — Ф (/?,) ~ (/г]/2л)-1 ехр (—fe2/2) и, следовательно, для т ^Щ будет выполняться приближенное равенство
, H>av(4.3.11)
Плотность вероятности р (£') производной 5' (£) является в данном случае нормальной (1.5.10), для средних значений Л^тах~ = А^тш справедливо выражение (3.2.5), а поэтому формулы (9)
также приводят к простому результату:
Тм-т = Тт_м = л V—r" (0)/г<0 (О)]1^.(4.3.12)
Значения производных —г" (0) и Н4> (0) для отдельных типовых функций г (т) даны в табл. 3.1. Если исследуемый процесс (£) является квазигармоническим, то с учетом равенства Тм-т = = l/-^i max при количественных расчетах можно также воспользоваться результатом (3.6.1).
Огибающая А (0 и фаза ф (0 квазигармонического процесса. На основании (1.7.17) для вероятности события A (t) ^> Н, Н > 0 получим Р {Л (0 )> Я} = ехр (—Я3/2о2) и с учетом равенства (2.5.50) по формулам (6) находим
h = o"1H>0.(4.3.13)
Если при вычислении средней длительности выбросов фазы <р (0 над уровнем ф0 и средней длительности интервалов между такими выбросами воспользоваться результатами (1.7.16) и (2.5.57), то, согласно выражению (6),
(4.3.14)
Процесс т) (0 с экспоненциальным распределением. В соответствии с выражением (1.6.15) плотность вероятности р (ц) такого процесса ц (0 дается формулой
р (ц) = X ехр (—Хц), X > 0.
При этом Р {р (0 > Я} — ехр (—ХЯ), Я > 0 и, следовательноа пользуясь выражением (2.5.22), по формулам (6) находим
т (Я) = ^-хнг/ (0))v% е (Я) -
= (2л/— ХН< (0))V2 (^н _ !), н> о,(4.3.15)
где г^ (т) — нормированная корреляционная функция процесса Т) (t).
Функционально преобразованный процесс. Предположим, что некоторый случайный процесс £ (0 с известными вероятностными характеристиками подвергается функциональному преобразованию £ (0 —> / [£ (0] — 1] (0 и для преобразованного процесса ц (0 требуется найти среднюю длительность выбросов тл (Я) над заданным уровнем Я. Функцию у = t ^ будем считать однозначной и дифференцируемой, а следовательно, и обратная функция х = ф (?/) также однозначна.
Поскольку значения £ (0 и ц (0 связаны детерминированной зависимостью, то при монотонно возрастающей функции у = f (х^ т. е. при dyldx > 0, будет выполняться равенство вероятностей
р {Л (о > я} = р a w > ф № = р^ ^ > яа,
Таблица 4.1
Средние значения длительностей выбросов и длительностей интервалов между выбросами на уровне к для огибающей F (0
П
tWMa
а = 0
1,5
3
5
0,5
1,88814
5,51639
116,756
1,0
0,94407
2,43462
28,3889
—
1,5
0,62937
1,40953
9,56923
1960,47
2,0
0,47201
0,93259
4,14084
331,870
2,5
0,39484
0,67391
2,17506
74,9841
3,0
0,31473
0,51824
1,32299
21,9796
3,5
0,27003
0,41691
0,89653
8,17434
4,0
0,23944
0,34676
0,65678
3,75801
5,0
•—
0,25581
0,41197
1,27160
h
А/э
0,5
0,25140
0,23602
0,20233
1,0
0,61244
0,47683
0,31371
—
1,5
1,30925
0,78013
0,40700
0,31371
2,0
3,01583
1,26858
0,52899
0,32226
2,5
8,21710
2,22926
0,71001
0,35117
3,0
28,0139
4,47302
1,00853
0,39973
3,5
123,034
10,7276
1,55516
0,47393
4,0
703,986
31,8801
2,68546
0,57623
5,0
—
581,140
13,0162
1,08278
а при монотонно убывающей функции у = / (я), когда dyldx < О, справедливо равенство
р {л (0 > я} = р {£ (0 < ф (Я)} = р {^ (0 < н^.
Помимо этого, известно, что аналогичное соотношение (2.4.6) выполняется и для среднего числа выбросов:
яг (я, п = яг (Ф (я), л = яг (я^ ту (4.злв)
Отсюда непосредственно следует, что
тя(Я)-т5(ф(Я)) = ^(Яг, №№>0,3
мя^еиФ^^ш дц^№<^-
При нахождении средней длительности интервала между выбросами 0^ (Я) процесса г] (£) можно воспользоваться соотношением тп(Я) + 0П (Я) = 1/Ял+ (Я, 1) и результатами (16), (17).
Огибающая У (#) суммы гармонического колебания и квази- гармонического процесса. Используя выражение плотности вероятностей (1.7.22) и выражение для среднего числа выбросов (2.5.49) по формулам (6) для процесса V (£), получим
— Н ]/^гехр(—)т^-,//олп.
(4.3.18)
/7 \7 -1 1 Z 2л / а2 + Д2 \ I
где к
J =^х ехр () ^о (й^) dx, h = о-1Н > 0.
Результаты расчетов по формулам (18) для четырех отношений сигнал-шум а = Ато-1 = 0; 1,5; 3 и 5 при различных значениях относительного уровня h приведены в табл. 4.1. Вычисления проводились для случая, когда спектральная плотность квазигармо- нического процесса имеет гауссову форму и р (т) = ехр (—лт2Д/э2).
Распределение длительности выбросови длительности интервалов между пересечениями
При рассмотрении вероятностных характеристик выбросов одной из наиболее сложных задач является задача нахождения функций распределения или плотностей вероятностей для длительности выбросов и длительности интервалов между последовательными пересечениями траекторией случайного процесса § (/) заданного уровня Н. Постановка такой задачи была дана в основной работе Райса в 1945 г. [140]; там же намечены и пути ее решения для случая гауссовского процесса £ (£) и уровня Н = 0. В последующие годы подобным задачам было посвящено значительное количество теоретических и экспериментальных исследований (см., например, библиографию к работам [75, 92, 106]), однако многие вопросы, связанные с изучением распределений длительности выбросов и длительности интервалов между отдельными пересечениями уровня, до настоящего времени остаются открытыми.
Не накладывая пока жестких ограничений на вид распределений исследуемого случайного процесса £ (£), рассмотрим здесь особенности постановки и общие методы решения таких задач.
Предположим, что £ (£) — непрерывный дифференцируемый случайный процесс, траектория которого £ (£), t ЕЕ [0, Г] на интервале времени [0, Z] может несколько раз пересекать заданный уровень Н (см. рис. 4.6). Будем также считать, что среднее число пересечений N (Н, Т) на интервале [0, Г], Z < оо удовлетворяет условиям N (Н, Т) < оо и N (Н, Т) =^ 0.
Согласно равенству (4.3.1), длительность произвольного Z-ro выброса определим как длительность интервала времени
(Я) = < (Я) = V -t^ i = 0, 1,2,.. ., п, (4.4.1)
между выходом траектории процесса 5 (£) за уровень Н и следующим за ним входом g (£) под уровень Н. При увеличении длительности Т выборочной функции 5 (£) число п случайных величин т,- (Я) возрастает и, помимо определения средней длительности выбросов (4.3.6), решение многих практических задач приводит к необходимости нахождения плотности вероятности р (т; Я) или функции распределения F (т; Я) случайной величины т^ (Я).
В определении (1) случайной длительности выброса т^ (Я) предполагается, что в момент времени t = tt траектория £ (£) пересекает заданный уровень Я снизу вверх и, следовательно, функции р (т; Я) и F (т; Я), по существу, должны рассматриваться как условная плотность вероятности р (т; Я) = р (т | £ ^ = Я) и условная функция распределения F (т; Н) = F (т | £ (^-) = Я) длительности выброса тг- (Я). Условием является здесь наличие положительного пересечения в момент tb т. е. при t = tt £ (^) = Я и ^ > 0.
В разд. 2.10 отмечалось, что определения вероятностей Р {Л | ^ (^) = Я} некоторого события А относительно события Е (^) = Я не являются однозначными. Связано это с тем, что при произвольном выборе момента t = tt вероятность Р {£ (^) = Я} события £ (^) = Я равна нулю и при различных интерпретациях условия £ (^) = Я возникает неоднозначность в определении вероятности Р {Л | ^ (^) = Я}.
Для того чтобы избежать подобных ситуаций в задачах нахождения функций р (т; Я) и Р (т; Я), будем интерпретировать условие £ (^) = Я как £ (^) = Я для некоторого t ^ [^, tt + АН. Такая трактовка согласуется с определением условных вероятностей типа «горизонтального окна» и является наиболее интересной при изучении распределений длительности выбросов tz (Я) над заданным уровнем Я.
Используя определения (4.3.8)
Ч-+(Я) = ^+А-— <i, т»_(Я) = #i+A-i — tb i^0,n, . (4.4.2) по аналогии с функциями F (т; Н) и р (т, Я) простым обобщением могут быть введены [34] условные функции распределения F (тк.+; Я), F (тд.-; Я) и соответствующие им условные плотности вероятности р (тк+; Я) и р (т^-; Я). При этом р (тк.+; Я) можно рассматривать как плотность вероятности длительности временного интервала тк.+ (Я) между положительным пересечением и следующим за ним Л-м положительным пересечением уровня Я, а р (т^; Я) — соответственно как плотность вероятности длительности интервала тк_ (Н) между положительным пересечением и следующим за ним к-м отрицательным пересечением уровня Я траекторией случайного процесса £ (t\
Поскольку задачи исследования распределений длительности выбросов Tf (Я) и длительности временных интервалов тк+ (Я), тк_ (Я) близки как по своему содержанию, так и по методам решения, то ниже будут преимущественно рассматриваться лишь методы нахождения распределений длительности выбросов.
В общем случае совокупность точек t^ г = 0, п. и совокупность точек tt i = 0, /г, в которых траектория ^ (t^ te [0, 7] пересекает заданный уровень Н соответственно снизу вверх и сверху вниз (см. рис. 4.6), образуют две различные системы случайных точек.
Вероятностные свойства произвольной системы случайных точек исчерпывающим образом могут быть описаны последовательностью функций плотности di (^), d2 (^1? ^2)1 • • •> ^s (^1? ^> • • •> U- При этом однократная функция плотности dT (^) характеризует величину вероятности
^i = ^ (О И + о (А)] А(4.4.3)
выпадения хотя бы одной точки на интервале (£, t + А), А > 0.
Двукратная функция плотности d^ (^, f2) характеризует вероятность
йр^ = d^ (^17 ^2) [1 + о (А)] А1А2,(4.4.4)
А = max (А1? А2), ^ ^ Ц,
того, что хотя бы одна точка попадает на отрезок (Н, Н + А^ и в то же время хотя бы одна точка попадает на отрезок (£2, £2 + А2). Функция d2 (^, £2) отражает статистическую связь в распределении случайных точек на прямой [0, 71] и позволяет определить, как выпадение одной точки влияет на выпадение точек в соседнем интервале.
По аналогии с (3) и (4) s-кратная функция плотности ^s (tii h, • • •) ^s) характеризует вероятность
dps = ds (t^ t^ . . ts) [1 + 0 (A)] AiA2 . . . As, (4.4.5)
A = max (A1? A2, . . ., As),
одновременного выпадения хотя бы по одной случайной точке на каждый из интервалов (^, ^ + А^, . . ., (tsi ts + As). Значения ^, ^2, . . ., ts выбираются из области существования системы случайных точек и предполагаются несовпадающими, а А является достаточно малой величиной. Функции плотности ds (^, ^2, . . ., ^) обладают свойством симметрии относительно своих аргументов и отражают статистическую зависимость в выпадении точек на различных элементарных интервалах времени.
Если предположить, что в момент t = tQ на прямой [0, 71] выпала случайная точка, то s-кратная условная функция плотности
У =(4.4.0)
В общем случае выражение (6) отличается от безусловной функции плотности ds (t^ t2, . . ., ts). Однако при отсутствии статистической связи в выпадении случайных точек старшие функции плотности распадаются на произведение младших и условные функции плотности ds (^, ^2) • • ., ts) будут совпадать с ds (t^ ^2, . . ., ts).
При описании системы неодинаковых точек, например совокупности случайных точек Мг первого типа и точек Nt второго тппа, подобным же образом [35, 67] в качестве исчерпывающих вероятностных характеристик может использоваться последовательность совместных функций плотности
d^M, (s)A7 (^1? ^2? • • ^г» ^1 » ^2 » • • ts )i
определяющих с точностью до величин высшего порядка малости вероятность одновременного выпадения хотя бы одной точки первого типа на каждый из интервалов (^, tx + Ax), . . ., (t^ tT + Ar) л хотя бы одной точки второго типа на каждый из интервалов (^\ tx + Ai')» • • • , (tsz, ts' + As').
Рассматривая совокупность точек пересечения горизонтального уровня Н траекторией случайного процесса £ (£)> £ ЕЕ Ю, ТА,
Рис. 4.7. Пересечение функцией £ W уровня Н в интервале (^Ь ^г + ^г)Рис. 4.7. Пересечение функцией £ W уровня Н в интервале (^Ь ^г + ^г)к первому типу точек можно отнести точки, в которых £ (£) пересекает уровень Н снизу вверх: £ {7ИД = Н, ^ {Mt} > 0; ко второму типу — точки, в которых £ (£) пересекает заданный уровень сверху вниз: g {Ni} = H, ^ {.Vz}<0.
Рис. 4.7. Пересечение функцией £ W уровня Н в интервале (^Ь ^г + ^г)
Рис. 4.7. Пересечение функцией £ W уровня Н в интервале (^Ь ^г + ^г)
Если в момент t = tQ начался выброс и закончился в момент t = tQ + т, то это означает, что точка М первого типа выпала при t = tQ; далее вплоть до момента ^о + т не выпадало ни одной точ-
ки второго типа, первая из которых выпала при t = tQ + т.
Для нахождения плотности вероятности длительности выброса т нужно знать функции ^(цм,^ (t0, tx, . . ., t^, s = 0, 1, 2, . . ., которые сокращенно будем обозначать как d^ s (£0; ^ь . . ., ts\
Предположим, что известна совместная плотность вероятности рк (£п . . ., ^к; £/, . . ., £/) для значений исследуемого процесса £i = £ (^), . . ., ^ = £ (^.) и значений его производных £/ = Г (У, . .^' = ^ (^-). Тогда величина
^Р = Ps+i {Н, • • -? Н; Ео , ^ , . . ., £s ) А^А^ . . .
. . . A^oW • • • А?/(4.4.7)
равна вероятности того, что кривая £ (£) пересекает каждый из отрезков AiBi, соединяющих точки (£ = tt, £ = Я) и (£ = ti, £ = = Н + А^-) (рис. 4.7), под углом наклона, тангенс которого удовлетворяет условию ^ ^ tg at < ^t' + А^'. Но при гладкой (дифференцируемой) функции £ (^) и достаточно малом А^ пересечение функцией ^ (^) указанного отрезка происходит одновременно с пересечением линией ^ (^) ~ ^ + ^' (^ — ^г) горизонтальной прямой Н на участке
ti —ti —^г^гt<t<1г при ^/>01г при ^/>0
ti —
ti —
^г
^г
t<
t<
1г при ^/>0
1г при ^/>0
или на участке
ti^t ^^г + Ц к , ’ , ^г' <С ^-
Таким образом, длительности Дг интервалов времени, входящие в формулы (3)—(5), связаны с Д^ соотношением
Ai = Д^/ | g/ |, Z = 0, 1, 2, . .5.
Из формулы (7) получаем, что вероятность выпадения хотя бы одной точки на каждый из интервалов (^-, tt + А/) или (^ — А г, t^ под определенным углом наклона равна с точностью до высших порядков малости величине
dp =/?s+1 (Я, Я, . . ., Я; g0', ^f, . . ., g/) X
X | £0'. I и I АоД1 . . . ДЛ^'Д^' . . .
. . . д^'.(4.4.8)
Отсюда для вероятности выпадения на первом интервале точки, соответствующей началу выброса (g0 = Я, g0' > 0), а на. следующих интервалах точек, соответствующих концу выброса (g; = Я, •g/ < 0, i = 1, 2, . . ., s), имеем
p = Ao...AjgoW $ J |^'|...|V|X
X ps+1 (Я, Я,..Я; go', £/,..., V) d^... ^'.
Приняв во внимание определение функций плотности 'd^MA^N V • •), получим
ОО—ОО—ОО
^1, s (^0, ^, • • ч ^) —" ^ ^0 ^go ^ • • • ^ ^1 • • • ^s X
X Ps+1 (Я, Я,..., Я; go',..., L') ^/ . • • ^'.(4.4.9)
Если априорно известно, что выброс начался в момент времени t = ^0, то условные функции плотности ds (. . .) точек конца .выброса будут определяться формулой, аналогичной (6):
^л (^1» * • м ^) ==: ^1, s (^0, ^i, • • t^l^l М^ =:
Ц$ ^W^W]"^ £о'^о' $ ... $ ^'.-Л/Х
X ps+1 (Я, Я,.. ., Я; ^о', ^', . • -Л^ d^ ... ^'.(4.4.10)
Отметим, что для стационарных процессов g (^) функция плотности dx ^ не зависит от времени и совпадает со средним числом положительных выбросов в единицу времени на уровне Я:
^ = d1 = Я/ (Я).(4.4.11)
Плотность вероятности р (т; Н) и функция распределения р (т; Я) длительности выбросов т, (Я) над уровнем Я однозначно сВязаны с вероятностью Q (т; Я) того, что на интервале (£0, t0 + т) яе выпадает ни одной случайной точки второго типа при условии,, что начало выброса совпадает с точкой tQ: "
J р (т; Я) ^т^ 1 - F (т; Я) = Q ^ Я), т
Отсюда получаем
р^Н^^Г^Н^-^СЖН).р^Н^^Г^Н^-^СЖН).(4.4.12)(4.4.12)
р^Н^^Г^Н^-^СЖН).
р^Н^^Г^Н^-^СЖН).
(4.4.12)
(4.4.12)
При нахождении распределений длительности выбросов т^ (Я) условную вероятность Q (т; Я) = Р {тг- (Я) > т; Я} иногда удобнее использовать, чем функцию распределения F (т; Я) = = Р {т, (Н) <-t; Н}. •
Перейдем непосредственно к вычислению вероятности Q (т; Я) и нахождению плотности вероятности р (т; Я). Для этого будем считать, что система одинаковых случайных точек N описывается условными функциями плотности ds (^, . . ., £s), Z = 1, 2, . . . . Требуется найти вероятность Q (т; Я) того, что на отрезке t0 < <2 t <2 £0 + т (принадлежащем области определения системы случайных точек) не выпадает ни одной точки.
Произведем Д-разбиение интервала (£0, t0 + т) точками t0 <2 <2 ^i <2 t2 <2 . . . <2 t^ = ^о + т. Длина Z-ro интервала ti — t^ = — А/ ^ Д (Z = 1, 2, . . ., N) является малой величиной. Выпадение хотя бы одной точки на Z-м интервале отождествим с событием 6; = 1, а невыпадение точек — с событием б/ = 0.
По определению функций плотности имеем с точностью до высших порядков малости
Р {641 — i,...,8is = i} = ds (t^, ..., ц) Д^ ... Ais. (4.4.13)
Так как искомая вероятность
Q (т; Я) = lira Р (6Х = 0, б2 = 0, .. ., 6N = 0},(4.4.14)
А—0
то найдем сначала Р {6Т = 0, 62 = 0, . . ., б^ = 0}.
События (б/ = 1} и {б/ = 0} являются противоположными^ дающими в сумме достоверное событие, выражаемое тем, что не указывается, какое именно значение принимает случайная величина б/. Поэтому
Р {6^0, . . ., 6^^ 0, 6^1, 6i+1= 1, . .., 6iV = 1} +
+ Р (б. = 0,.. ., б^ = 0, 6i = 0, 6i+1 = 1,..., 6N = 1} =
= Р {б, = 0,..., б^ = 0, 6i+1 = 1, ..., 6N = 1},(4.4.15)
Отсюда получаем рекуррентную формулу, позволяющую уменьшать на единицу число величин 6,, приравниваемых нулю;
P{61 = 0,...,6i_1 = 0, 6^0, 6i+1 = l,...,6N = l} =
= Р{61 = 0, . . б{_1 = 0, «)+1=1,..Л = 1)
— P{61 = 0,...,6i_1=0,6i==l,6i+1=l,...,6№ = l}. (4.4.16)
Применяя последовательно эту формулу, получим
Р{^ = 0} = 1-Р{6{ = 1},'
P{6i. = 0, 6iz = 0} = l- 3 Р 0iv = 1} + Р {6i,= 1, 6^= 1},
V=1
Р{\ = 0, 6;=0Д=0) = 1-|;Р{^ = 1) +'
+ 3 P{6iv = l,\=l}-P{6il=l,6i2 = l,6i3=l},
Здесь TV-кратное применение формулы (16) к вероятности Р (бх = = 0, б2 = 0, . . ., 6^=0} дает выражение, в которое будут входить лишь вероятности положительных событий типа (13). Это выражение представляет собой сумму 2N членов, в которых каждое 6г, i = 1, 2, 3, . . ., TV, или вообще не фигурирует, или приравнивается единице. Член Р {б^ = 1, . . ., 6^ = 1} с заданным выбором чисел 0 < t\ < . . . < i's ^ TV встречается только один раз, знак его определяется числом s. Указанную сумму запишем в виде.
/2(6^0, 62 = 0,.. .,d1V = 0} = l—^PlSt.^ l} +'
+ .5 Р{бг, = i, 6i2= 1} —
- 2 р (6it= 1, б^=i, 6^,= ij +... = гг<г2<гч
= 2(-i)’ S Р{б< = 1А=1,---А=1ь s=0ij<t2<...<i ^N
(4.4.17)
Подставив сюда выражение (13), получим
Р {6i = 0, б2 = 0,..., б^ = 0} =
= Б(-1)33^(^.....удд^-А, 5о=1.
8=04<г2<...<г ^N
(4.4.18)
Выполняя предельный переход Д —» 0, согласно формуле (14), можем написать
Q (т; #)=£(- l)s $ dts $ dt^ ...^ds ^tv t2, ..Zs) dtv (4.4.19) s=o 000
Поскольку по определению функции плотности ds (. . .) яв- 1Яются симметричными относительно своих аргументов, то формулу (19) можем переписать в следующем окончательном виде:
Q (т; Н) = 1 — ^ di (£) dt + -^- ^ ^ d2 (/г, Z2) dti dt2 — 00 0
t t T
—зГ J 5 5 ^3 ^’ 111 ^ dtl ^+• • •= 0 0 0
cog t T
=У -лг1 W* k4’Q йч---dt- (4A20)
s=000
Интересующая нас плотность вероятности р (т; Я) находится отсюда по формуле (12):
г
р(х;Н)*= 51 (т) — 52 (^, т) dt + ....(4.4.21)
о
Следует заметить, что если вместо фиксированного уровня Я в рассмотренной задаче интересоваться выбросами траектории случайного процесса £ (£) над некоторой непрерывной детерминированной функцией а (£), то условные функции плотности ds (. . .), входящие в выражения (20) и (21), должны вычисляться по формулам
ds (Н, ^2, • • ^s) = [ ^ (^0Z — Яо') Р (#0, go') ^0^ X
оо а/ as
х S ^°' S $ ^°'— а° ) (а1' ~ ^') ^ai — ^') • • • («$' — V) х
X/?s+i(ao, «1, а2, • • ч^^о'Л/, • • -,^')^1' d^2 .. .dV> (4.4.22) где at = a (tt). При a (t) — Я = const формула (22) переходит в (10).
Принципиально полученные формулы (20) и (21) решают задачу о нахождении плотности вероятности р (т; Я) длительности выбросов Ti (Я) случайного процесса £ (£) над заданным уровнем Я. Однако они имеют вид бесконечного ряда, членами которого являются интегралы возрастающей кратности. Вычисление членов этого ряда, начиная cd2 (^, t2) оказывается весьма трудной задачей.
В отдельных случаях [4, 43] результаты (20) и (21) можно записать в виде знакочередующихся рядов по факториальным моментам (2.8.7) случайной величины п (Я, Т) — числа пересечений уровня Я траекторией ^ (t), tE [0, Т7]. Такое представление оказывается полезным, в частности, при изучении условий сходимости [43]. Вместе с тем практическое вычисление факториальных
моментов (2.8.9) эквивалентно вычислению членов ряда (20) и це приводит к каким-либо упрощениям в нахождении плотности ве~ роятности р (т; Я).
Из общих свойств ряда (20) полезно здесь отметить его «свощ ство обвертывания» [43]. Состоит оно в том, что частные суммы ря_ да (20) попеременно (в зависимости от четности числа оставляемых членов ряда) являются верхней или нижней границей для функции Q (т; Я). Иначе говоря, если
А* £ т г
Qk (т; Я) = У ЦЦ Ц • Ц ^ Gi,10 dh... йЦ (4.4.23).
i^O00
— частная сумма ряда (20), i = 0, 1, 2, . . ., к, то для вероятности Q (т; Я) справедливо неравенство
шах 22;+i (т; Я) < Q (т; Я) < min Q^ (т; Я).(4.4.24).
Сложность общего аналитического решения задачи и практически непреодолимые вычислительные трудности в оценке членов ds (^ t^ . . ., ^s), s > 2 ряда (20) приводят к целесообразности изучения асимптотического поведения функций р (т; Я) или F (т, Я). При этом можно выделить три группы задач: рассмотрение характера изменения р (т; Я) в области малых значений т (т^тк, где тк — интервал корреляции процесса 6 (0)> исследование поведения р (т; Я) в области больших значений т (т. е. при ^^^к), изучение поведения плотности вероятности р (т; Я) при увеличении уровня Я.
Область малых значений т. При достаточно малых т, точнее, при т <^ тк в правой части формулы (20) можно ограничиться учетом лишь первых двух членов ряда и пренебречь членами (s^ 2), учитывающими в данном случае малые вероятности двукратных, трехкратных и т. д. пересечений плавно изменяющейся случайной функцией £ Ц) горизонтального уровня Я сверху вниз на малом отрезке длительностью т. Тогда с учетом выражений (10) и (11) для стационарного процесса 5 (0 из (21) получим следующую приближенную формулу:
Р(т; Я) р0 (т; Я) = ■ N^ ^о' $ №р^НЛЛо'Л1Ж, о о .
т<тк.(4.4.25)
Согласно свойству обвертывания (24), при произвольных т и Я точная плотность вероятности р (т; Я) не превышает своего приближенного значения р0 (т; Я), т. е.
Ро (т; Я) > р (т; Я).(4.4.26)
Действительно, рассмотрим некоторый ансамбль реализаций стационарного процесса £ (0 и предположим, что каждая реализация этого ансамбля в момент времени t = tQ пересекает заданный уровень Я снизу вверх (рис. 4.8). Тогда при некотором фиксиро-
ранном значении т выражение р0 (т; Н) Дт можно интерпретировать как относительную долю реализаций ансамбля, имеющих в интервале (£0 + т, £0 + т + ^т) пересечение уровня Н сверху рниз. В эту долю войдет и часть тех реализаций, которые внутри интервала (£0, £0 + т) имеют четное число пересечений уровня Н ^v. пунктир). Однако если интересоваться точным значением р (т; Н) ^т, то эта часть реализаций должна быть исключена, поскольку р (т; Я) Дт представляет собой вероятность первого после t0 пересечения уровня Н сверху вниз в интервале Дт. €W
Функция ро (т; Н) достаточно хорошо описывает поведение плотности вероятности р (т; Я) в области малых т. и поэтому формула (25) часто используется в практических расчетах [75, 140, 142]. Вместе с тем при значе
ниях т ~ тк и в области „, о ,„
-Рис. 4.8. Ансамбль реализации случаи-
т>тк вклад членов более ного прОцесса высокого порядка (s > 2) в разложении (20) возрастает п формула (25) становится неприменимой. Так, например, можно заметить, что при увеличении т ^> тк статистическая связь между значениями случайного процесса ?0 ^ ^ (£0), L = £ (^i) и значениями производных £0' = ^ (£0), Е/ = ^ (у,= ^0 + т
уменьшается, а следовательно, при р2 (Я, Н, £0', £/) = = р (И, £(/) р (Н, £/)из формулы (25) получим
о
р0(т;Я) = - $ ^(ЯЛ^^^^^Я), т>т,.(4.4.27)
Такое равенство показывает, что функция р0 (т; Я) при т —> оо асимптотически приближается не к оси от, а проходит параллельно ей на уровне NT" (Я). Это, в свою очередь, приводит к нарушению необходимого условия нормировки и свидетельствует о том, что функция ро (т; Я) не отражает характера поведения плотности вероятности р (т; Я) в области больших значений т.
Область больших значений т. Физически ясно, что при больших т, т. е. при т ^> тк, выпадения случайных точек на интервале Ю, ТА можно считать независимыми и, следовательно,
^8 Т=^ (^1) ^25 • • •> ^s) = Д (^1) Д (^2) * * * Д (^s)-"
Правая часть формулы (20) в этом случае представляет собой разложение экспоненты в ряд Тейлора и дает известное выражение, следующее из закона Пуассона:
Q (т; Я) = ехр {— ^‘ Д (^) At^ .(4.4.28)
о
Очевидно, что применительно к стационарным процессам d (t) = ц = const и
Q (т; Я) = е~^т, т тк.(4.4.29)
Соответственно [35]
р(т;Я) =^- Q (т; Н) = це*^, т>>т».(4.4.30)
Таким образом, в области больших значений т (т J> тк) плотность вероятности р (т; Я) длительностей выбросов т/ (Я) для любого дифференцируемого случайного процесса £ (0 должна экспоненциально спадать с увеличением т. Параметр ц = d (t) экспоненты (30) зависит от вероятностных характеристик исследуемого процесса £ (£).
Область высоких уровней Н > 0. Переходя к рассмотрению асимптотического поведения плотности вероятности р (т; Я) в области высоких уровней Я > 0, прежде всего отметим, что для плавно изменяющихся (дифференцируемых) случайных процессов £ (£) увеличение уровня Я, как правило, сопровождается уменьшением средней длительности выбросов (4.3.6). При высоких уровнях Я (т. е. при Я ^> сг^, где о^2 — дисперсия процесса) подавляющая часть положительных выбросов имеет малую длительность Ti (Н) и, следовательно, в разложении (20) основную роль будут играть первые члены ряда. Это приводит к тому, что формула (25) при Я > crt должна удовлетворительно описывать характер изменения плотности вероятности р (т; Я) в широком диапазоне значений т.
С другой стороны, при уровнях Я ^> о^ среднее число положительных выбросов Л\+ (Я) приближается к среднему числу максимумов Nx max (£m > Я), высота которых %т > Я (см., например, формулу (3.2.27)). Иначе говоря, в окрестности положительного выброса в среднем находится один максимум. Это позволяет аппроксимировать поведение дифференцируемого процесса | (/) над высоким уровнем Я 0 параболой второго порядка [67, 75, 142].
Воспользуемся такой аппроксимацией и найдем плотность вероятности р (т; Я) длительности выбросов тг (Я) при значениях Н>^.
Пусть момент времени £ = £0 соответствует началу положительного выброса, т. е. £ (^0) = Я, £' (^0) > 0. Разложим функцию £ (Z) в ряд Тейлора в окрестности точки £ = £0 и ограничимся учетом первых трех членов:
МО = £ (*о) + £' (^) kt -1^ + V2 Г ^ kt - t0Y. (4.4.31)
Если обозначить через т длительность положительного выброса, то £ (^0) = £ (^0 + т) = Я и из (31) найдем
(*о) т + V2 v kto) Т2 = 0, т = -2g' кШ" М- (4.4.32)
Поскольку началу положительного выброса всегда соответствует положительная производная Н' (^0) > 0, то равенство (32) справедливо лишь при отрицательных значениях второй производной g" (<о) < 0.
Случайная величина т, согласно (32), определяется поведением производных £' (^0) и g" (^0), а следовательно, для нахождения плотности вероятности р (т; Н) необходимо знать совместную плотность вероятности /?0 (£' (£0), V (£0)) = р0 (£0', Но") для значений £0' = £' (^0) и g0" = V (^0) в момент начала положительного выброса на уровне Н.•
Пользуясь результатами разд. 2.10 и повторив применительно к функции р0 (£0', £0") точно такие же выкладки, как и при выводе формулы (2.10.6), получим
ро (go', go") = ро (go', go" | g = Я) —, ^, > Oj
j иР (Я, ^ а^
о
р.^Л^ = ^, £о'<О,(4.4.33)
где р (Н, £о'> ?оЭ — совместная плотность вероятности р (£, £', £") для значений процесса ^ = ^ ^ и значений его производных У = ^ (£), V = V (0 в один и тот же момент времени при £ = Я, V = Но', Г = £<Л
Переходя в плотности вероятности р0 (Ео', £0") от £0" к новой переменной т, согласно равенству (32), имеем
Pt (^о', ^о") ^о'^о" = Ро (^о', -2^'т-1) 2£0V2^0'dT. (4.4.34)
Теперь в результате интегрирования выражения (34) по £0' 2> 0 получим окончательную формулу для плотности вероятности длительности положительных выбросов
Р (t; Я) = 2т"2 J ро (go', - 2E0't~l) go' dgo' =
о
= 2 У хро (тж, — 2ж) dx, т 2> 0.(4.4.35)
о
Эта формула справедлива при таких значениях уровня Я, когда аппроксимация (31) удовлетворительно описывает поведение случайного процесса £ (^) в окрестности положительных выбросов.
Остановимся кратко еще на нескольких методах приближенного нахождения плотности вероятности р (т; Я) длительности выбросов Tf (Я) случайного процесса £ (^) над заданным уровнем Я. Каждый из этих методов основан на различных упрощающих допущениях, а поэтому выбор и практическое использование того или иного подхода должны определяться условиями конкретно решаемой задачи.
Метод временной дискретизации случайного процесса. Рассмотрим предварительно приближенную формулу (25) для плот-
ности вероятности р0 (т; Н) и заметим, что в ней, по существу учитываются лишь вероятности двух событий: 1) выхода траектории случайного процесса £ (^) за уровень Н при £ = £0 и 2) входа траектории £ (^) под уровень Н при t = t0 + т.
Для повышения точности такой формулы можно выбрать в интервале (^0, £0 + т) какую-либо промежуточную точку £0 < ^г ^ < ^о + т и потребовать дополнительно, чтобы траектория процесса £ (^) в выбранной точке tt превышала заданный уровень Я, т. е. ^t = £ (^) > Н. Тогда вместо (25) получим видоизмененную формулу
ОО—ОООО
Ро (т; Я) = ^(Я) J ^о' 5 ^/ $ £0'^3 (Я, Я, gif go', £/) ^. оон
(4.4.36) В качестве точки tt можно взять здесь, например, ^ = ^0 + ^2. По аналогии вместо одной промежуточной точки ^ можно задать две, три и т. д. С увеличением числа промежуточных точек и соответственно с усложнением выражения (36) будет повышаться точность определения плотности вероятности р (т; Я).
Это предложение условно можно назвать методом временной дискретизации случайного процесса. Оно принадлежит Лонге —- Хиггинсу [126, 127] и впоследствии использовалось во многих работах.
В более общем случае [39, 86] задачу исследования характеристик выбросов непрерывного случайного процесса £ (^) принципиально можно заменить задачей исследования последовательности прямоугольных импульсов (отсчетов), которые получаются в результате временной дискретизации процесса £ (t).
Действительно, предположим, что траектория стационарного случайного процесса £ (t) в момент времени t = t0 пересекает заданный уровень Я снизу вверх. Интервал времени [^0, tQ + т], т > 0 разобьем на п равных отрезков Ат = xin так, что tQ < tx < С ^2 < • • • < ^ = ^о + т- Через Qn (т; Я) обозначим вероятность того, что совокупность п случайных переменных ^ = ^ (^), £2 = £ (£2), . . ., ^ = ^ ^t^ превышает уровень Я при условии, что в момент t = t^ происходит выход траектории £ (^) за этот уровень Я.
. Тогда можно записать
—Р^<НЛ1>Щ—Р^<НЛ1>Щ(4.4.37)(4.4.37)
—Р^<НЛ1>Щ
—Р^<НЛ1>Щ
(4.4.37)
(4.4.37)
(4.4.38)(4.4.38)и при увеличении п —> оо (Ат —> 0) будет выполняться предельное равенство [147]
(4.4.38)
(4.4.38)
2(т;Я) = Ит2п(т;Я). ?г—оо
Функция Q (т; Я) характеризует здесь условную вероятность того, что длительность т^ (Я) произвольно выбранного положительного
сброса над уровнем Н будет превышать величину т, т. е. ® (т; н^Р {тг (Я) > т}.
Используя простые соотношения
<2 (т; Я) = 1 — (т; Я),- ^ Q (т; Я) = р(т; Я),(4.4.39)
з1о/кно заметить, что для нахождения функции распределения р (т; Я) или плотности вероятности р (т; Я) длительности выбросов т^ (Я) требуется предварительно вычислить Qn (т; Я) при п —> оо. В свою очередь, согласно (37),
Qn (т; Я) = j d^> J... J pn+1 &>, gP ..:, EJ d^ ... -OO H H
H OO
-dU аЦр^Жи(4.4.40)
-OO н
где p2 (. . .) и pn+1 (...)— двумерная и (и + 1)-мерная плотности вероятностей рассматриваемого процесса £ (£).
Необходимость вычисления интегральных выражений вида (40) является характерной особенностью метода временной дискретизации. Некоторые упрощения обычно достигаются здесь за счет допущений о статистической независимости значений ^ и ^z±k процесса £ (^) и использовании так называемых Л-связных (к ~ 1, 2) приближений [39, 86].
К сожалению, вычислительные возможности резко ограничивают использование подобных результатов. Даже для частных случаев стационарного гауссовского процесса £ (^) при Я = 0 и п > 2 интеграл (40) трудно вычислить. Обзор некоторых способов приближенной оценки функций многомерного нормального распределения дан в работе [42].
Метод нахождения плотности вероятности р (т; Н) по корреляционной функции ограниченного процесса. В основе этого метода лежит взаимосвязь между плотностью вероятности р (т; Я) длительности выбросов т^ (Я) непрерывного процесса £ (^) и корреляционной функцией дискретного процесса z (^), получаемого в результате нелинейного преобразования
f 1, Ш>Я;
г (О(1)1=^(4.4.41)
или преобразования вида
* (0 = / [В (0] = { _ g ^ Нн(4.4.42)
Операция (41) часто называется смещенным односторонним идеальным ограничением, а (42) — смещенным симметричным идеальным ограничением, или амплитудным квантованием на Два уровня, или клиппированием. Преобразованный процесс z (^)
в обоих случаях представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов, число и длительность которые совпадают соответственно с числом и длительностью выбросов цс_ ходного процесса £ (Z). Это позволяет вместо распределения дд1ь тельностей выбросов процесса £ (Z) рассматривать распределение длительностей прямоугольных импульсов z (Z).
Выразить плотность вероятности р (т; Н) длительности тг- (Я) выбросов через функцию корреляции Rz (т) дискретного процесса z (Z) можно различными способами и с различной степенью точности (а соответственно и сложности) [1, 75, 79, 128].
Так, применительно к операции (41), при возрастании уровня Н длительность т^ (77) прямоугольных импульсов z (Z) уменьшается, а моменты их появления становятся независимыми (см. разд. 2.8). Функцию корреляции Rz (т) последовательности прямоугольных импульсов (41) при случайных и независимых длительностях и интервалах между ними можно записать в виде [1]
Rz (т) = AV W j (^ — т) р (т; Д) йх — М2 {z (/)}. (4.4.43) т
где N^" (h) — среднее число положительных выбросов в единицу времени на относительном уровне h = Шз^ сг^2 — дисперсия процесса £ (Z).
Дифференцируя равенство (43) дважды по т, получим окончательную формулу [79]
Р (т; ^ = R" (т)‘ (4.4.44)
Так же как и формула (25), формула (44) справедлива для плотности вероятности р (т; 1г) в области малых значений т. При высоких уровнях Н ^> б|, когда подавляющая часть выбросов имеет малые длительности т^ (Я), выражение (44) достаточно хорошо описывает поведение плотности вероятности р (т; 1г) в широком диапазоне значений т.
Рассмотрим несколько иной подход к установлению взаимосвязи между распределением длительности выбросов процесса Е (Z) и корреляционной функцией дискретного процесса z (t). При этом воспользуемся результатами работы Макфаддена [128] и будем предполагать, что исследуемый процесс g (Z) подвергается идеальному симметричному ограничению (42).
Обозначим через Р (тг, т) вероятность появления точно п пересечений уровня Н процессом £ (Z) в интервале (Z, t + т), а через рп (т; Н) йт — условную вероятность того, что (тг + 1)-е пересечение уровня Н появится в интервале (Z + т, t + т + йт) при наличии пересечения в момент времени t.
Рассмотрим для процесса z (Z) произведение z (Z) z (Z + т). Согласно (42), оно равно +1, если взятые значения z (Z) и z (Z + т) одного знака, и равно —1, если они противоположных знаков. В первом случае на интервале (Z, t + т) будет четное число пере-
JieH знака (пересечений нулевого уровня процессом г (£)), а во втором — нечетное число. Следовательно, для корреляционной функции Я2 (т) дискретного процесса z (/) можем записать
Я2 (т) = М {z (0 г (* + т)} = [Р (0, т) + Р (2, т) + Р (4, т) + ...] -
- [Р (1, 'с) + Р (3, т) + ...] - М2 (z (0) =
= § (— 1)" Р (га, т) - М2 {z (Z)}.(4.4.45)
71=0
Предполагая существование вторых производных по т, продифференцируем дважды выражение (45) по переменной т:
Rz (т) = fl (-1)"Р"(га, т).(4.4.46)
п=0
Вторые производные Р” (тг, т), входящие в правую часть этого равенства, согласно [128], могут быть выражены через условные плотности вероятности рп (т; Щ по формулам
Р" (0, т) = N. (Я) р0 (т; Я),
Р" (1, т) = Ях (Я) [рх (т; Я) - 2р0 (т; Я)],(4.4.47)
Р" (п, т) = Я, (Я) [р„ (т; Я) - 2рп_х (т; Я) + р„_2 (т; Я)], п ^ 2,
где Nx (Я) — среднее число пересечений уровня Я процессом 2 (£) в единицу времени.
Если рассматривать выражения (47) как дифференциальные уравнения для функций рп (т; Я), то решение будет иметь вид [120]
п
Рп (т; Я) = ^_ ^n-k-V^ Р" (к, т).(4.4.48)
А'=0
С другой стороны, подставив соотношения (47) в равенство (46)t окончательный! результат получим в виде общей формулы
Я/ (т) = 4ЯХ (Я) f (- 1)"рп (т; Я).(4.4.49)
71=0
В зависимости от условий конкретно решаемой задачи при нахождении распределения длительности выбросов использоваться могут формулы (46), (48) или (49).
В области малых значений т, т. е. при т <^ тк, где тк — интервал корреляции процесса ^ (^), для плавно изменяющегося (дифференцируемого) исходного процесса ^ (^) маловероятно, что на малом временном интервале т произойдет более одного пересечения уровня Я. При этом в формуле (49) можно пренебречь слагаемыми рп (т; Я) с индексами тг > 1. В результате придем к при- ближенной формуле
Р. (т; Я) = Я/' (т)/4Ях (Я), т < тк,(4.4.50)
которая, как и следовало ожидать, аналогична выражению (44),
Метод квазинезависимых интервалов. Предварительно сделаем допущение, что последовательные интервалы между пересечениями заданного уровня Н случайным процессом £ (^) могут считаться взаимно независимыми случайными величинами. Такое д0^ лущение позволяет воспользоваться хорошо известным свойством: характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Характеристическую функцию можно определить как преобразование Фурье или Лапласа от соответствующей плотности вероятности. Учитывая, это, применим к формуле (49) преобразование Лапласа:
j^ = £VF^^F^e-«dT.(4.4.51)
О
Тогда, используя обозначения ((т) )
^ХТУ^Н) J^^^)» Ж VPn^i Щ^ = Рп^ Щ»
можем написать
g(S)-§ (-l)"pn(s; Я).
71—0
При статистически независимых интервалах согласно отмеченному выше свойству имеем рп (s; Н) = p^+1 (s; Я). Поэтому
6 И = 5 (-1)" р” <«; Я)=-гйЙЙ?Г п=0•
ИЛИ
р0 (s; Н) = g (s) + g (s) p0 (s; Я).(4.4.52)
Выполняя обратное преобразование Лапласа и учитывая, что р0 (т — х; Н) = 0 при х > т, для р0 (т; Я) получим интегральное уравнение т
ро (т; Я) = -Щяг [д/ (Я + ^' ^ Р* ^ -^)^ ] • (4-4-53)
о
В результате решения этого уравнения (например, численными методами) может быть найдена интересущая нас плотность вероятности р0 (т; Я) интервалов между последовательными пересечениями уровня Я случайным процессом £ (^).
По аналогии с выводом формулы (53) при рассмотрении случая независимых интервалов для плотности вероятности р0 (т; Я) можно получить еще одно уравнение. Пусть Q (т; Я) dx — условная вероятность того, что случайный процесс £ (Z) имеет в интервале (^ + т, t + т + ^т) пересечение уровня Я (с положительной шли отрицательной производной) при условии, что в момент вре-
меНи t имеет место пересечение уровня Н снизу вверх. Ясно, что- ^ересечение в интервале (t + т, t + т + йт) может быть или первым> или вторым, или третьим и т. д. Поэтому
О^ну-^р^ну(4.4.54),
72=0
Повторив предыдущие преобразования, получим
р0 (т; Н) = Q (т; Я) — \ С (ж; Я) р0 (т — ж; Я) ^.(4.4.55),
о
При малых значениях т функция Q (т; Я) вычисляется по- формуле, аналогичной (25):
Q^H^lvvW^0'^ $ М^Я.ЯЛо'ЛМ/- (4.4.56>
Помимо этого, следует отметить, что результаты (54) и (49) могут быть объединены. Действительно, сложением и вычитанием этих выражений получим
^[^(^ я) + ^г] = JX^я)-(4А57>
"t [g (т; Я) - ^^ J = 22 Р2т+1 (т; Я).(4.4.58),
В области малых значений т, когда в правых частях можна пренебречь слагаемыми с индексами т > 0, формулы (57) и (58) позволяют вычислять плотности вероятности pQ (т; Я) и рг (т; Я), причем сложность этих вычислений оказывается одинаковой.
Переходя к рассмотрению более общего случая, заметим, что- принятое при выводе формул (53) и (55) допущение о взаимной независимости интервалов является достаточно жестким ограничением и выполняется не всегда. Чтобы снять такое ограничение, последовательные интервалы между пересечениями уровня Я процессом £ (7) будем считать квазинезависимыми. Иначе говоря, предположим, что произвольно выбранный интервал не зависит от суммы 2т + 2 интервалов, непосредственно ему предшествующих, где т = 0, 1, 2, . . .
Применяя преобразование Лапласа к равенствам (57) и (58),. имеем
4-[9(5;Я) + ^(5)] = ^Р2го(»;Я),(4.4.59)
4 [д (»; Я) - g (S)] = У Pjm+i (»; Я),(4.4.60^
гДе9(5;Я) = Ж{<? (т; Я)}?-0
Для преобразования Лапласа р2т+2 (s; И) от плотности вероятности р2т+2 (т? Н) суммы 2т + 2 последовательных интервалов в рассматриваемом случае справедливо равенство
Рати (s; Я) = р0 (s; Я) p2m+1 (s; Я).(4.4.61)
Если умножить обе части выражения (60) на р0 ($; Н^ воспользоваться соотношением (61) и затем исключить 2 Р2тЛ§\ ЕГ) при помощи (59), то в результате получим
Pt (.; Я) = V2 lq (s; Я) + g (.)] - V2 lq (s; Я) - g (.)] X
ХРо^Н).(4.4.62)
Применяя обратное преобразование Лапласа, придем к окончательному интегральному уравнению
— ~ J [СО^) — *4^яу J РО (Т — ^H^dr. .(4.4.63)
о
Решается такое уравнение обычно численными методами. Примеры решения [128] для случая гауссовского процесса £ (^) с несколькими различными корреляционными функциями при уровнях Я = т^ = 0 показывают хорошее согласование с результатами экспериментальных исследований для области т ^ тк.
В целом область применимости формулы (63) зависит от вероятностных характеристик исследуемого процесса и выбранного уровня Я.
Метод аппроксимации плотности вероятности В-рядом Грама—Шарлье. Для пояснения идейной основы приводимого ниже метода аппроксимации возвратимся предварительно к соотношениям (47). Рассматривая их как дифференциальные уравнения для функций рп (т; Я) и принимая для простоты значение уровня Я = 0, согласно (48), можно записать решение
Рп (т) рп (т; 0) = У, ^ - к + 1) Р" (к, т).(4.4.64)
Имеется один частный случай, когда соотношение между функциями рп (т) и Р (п, т) оказывается наиболее простым. Пусть число нулей, т. е. число пересечений уровня Я = пи = 0 случайным процессом £ (^), на интервале длительностью т описывается законом Пуассона с некоторым параметром ц:
Р (п, т) = ((цт)п/?г!) е-^.(4.4.65)
Тогда плотность вероятности интервала между ^-м и (I + п + 1)-м нулями имеет вид гамма-распределения:
Рп (т) = ц ((|1т)г7?г!)^в(4,4.66)
Полагая в формулах (65) и (66) п = 0, имеем
Р (0, т) = ехр ( — цт), р0 (т) = ц ехр (—рт). (4.4.67)
Второе из этих соотношений совпадает с формулой (30). Следовательно, при больших т предположение о пуассоновском характере следования нулей процесса во времени правильно описывает плотность вероятности длительности интервалов между соседними нулями. Однако это предположение приводит к неверному результату при малых т.
С учетом этих особенностей можно попытаться исправить пуассоновское распределение (65) таким образом, чтобы в улучшенном варианте оно правильно отражало поведение плотности вероятности и в области малых значений т.
Одно из предложений, принадлежащих Левенбаху [1201,; состоит в представлении вероятности Р (п, т) при помощи В-ряда Грама—Шарлье:
Р (и, т) = 5 ^г М q W Gt (п^(4.4.68)
г=о
где q (тг) — распределение Пуассона:
q W — q ^i п) = (тп1п\) е~™\ т^>0 (п = 0,1, 2, ...), (4.4.69)
Gt (п) — полиномы Шарлье.
Полиномы Шарлье определяются соотношением
Gx (п) q (тг) = q^ (п) =-^—г- q(m, п^ (i = 0, 1, 2,...).(4.4.70)
dm
Нетрудно убедиться, что
9i W = 91 (^, тг) =-^q(m, n) = — q(m, п) + q (пг, п — 1),
92(га) = 92(т, п) = "^г9(^> n^ — q^m, п) + ^ (тп, п — 1),
9г (и) = 9г (та, и) — —т- q ^т, п) =• — q^-x (m, n) + qx-x (m, n — 1). am.
(4.4.71)
Выражения (70) и (71) позволяют записать рекуррентное соотношение
Gdn^-G^nH-^Gi-xH(4.4.72)
из которого находим
Gq^ = 1, Gx^ = ^-1,
G2(n)=-^=^--2— + 1,
(4.4.73)
Здееь $ = Ckw- число сочетаний из к элементов по п.
Ч!тг\ г = ]\Ч!тг\ г = ]\Полиномы Gt (п) ортогональны:
Ч!тг\ г = ]\
Ч!тг\ г = ]\
У Gi ^ Gj (га) q (п) = У Qi (га) q^ -^ = 71=071=0
(4.4.74)
Приведем еще одно соотношение, которое потребуется в дальнейшем:-
У «^ (и) Сг (га) = У ra^Qi (га) = У п4-^- Ч (п) =У «^ (и) Сг (га) = У ra^Qi (га) = У п4-^- Ч (п) =71=071=0= -^ У п\^ = dm71=0где ц^. — &-й начальный14 = 5 п^п\71=0= -^ У п\^ = dm71=0где ц^. — &-й начальный14 = 5 п^п\71=0о,о,а1 утк dmа1 утк dmк < Z; к = I;к^>1,к < Z; к = I;к^>1,(4.4.75)(4.4.75)момент пуассоновского распределения:(4.4.76)момент пуассоновского распределения:(4.4.76)
У «^ (и) Сг (га) = У ra^Qi (га) = У п4-^- Ч (п) =
У «^ (и) Сг (га) = У ra^Qi (га) = У п4-^- Ч (п) =
71=0
71=0
= -^ У п\^ = dm
71=0
где ц^. — &-й начальный
14 = 5 п^п\
71=0
= -^ У п\^ = dm
71=0
где ц^. — &-й начальный
14 = 5 п^п\
71=0
о,
о,
а1 утк dm
а1 утк dm
к < Z; к = I;
к^>1,
к < Z; к = I;
к^>1,
(4.4.75)
(4.4.75)
момент пуассоновского распределения:
(4.4.76)
момент пуассоновского распределения:
(4.4.76)
Для нахождения коэффициентов аг (т) умножим обе части равенства (68) на Gj (п) и возьмем сумму по п. На основании условия ортогональности полиномов (74) получим
1 w
ai(T) = -^-^P(n,T)Gi(«) (f = 0, 1,2,...).(4.4.77)
71=0
Отсюда видно, что коэффициенты а1 (т) легко вычисляются,; если известны вероятности Р (тг, т). Однако применительно к решаемой задаче о длительностях временных интервалов эти вероятности неизвестны. Учитывая это, выразим коэффициенты разложения at (т) через разности начальных моментов (Mj — ц;) для Р (п, т) и q (тг) соответственно, причем у ^ Z [1201.
Согласно равенству (77),
71=0 "к 00
= -^г У Gn (га) [Р (га, т) — q (n) + q (га)] = 71=0 кк
^-irXj^M [р(га, т) —9(га)] +-^j-^G^ra)»^).
71=071=0'
Здесь последний член справа при к = 0 равен единице, а при д. 0 равен нулю, согласно соотношению (75). Поэтому с учетом выражений (73) можем написать
к 00k _1
п=01=0
ft—1^ оо
=£ <- *) т £ [р <"• ’> -ч <")i G" 0 = 1=072=0
К—гiоо/f—1
1=071=01=1
так как
1=1
где S (к — г, /) — числа Стирлинга первого рода [66]. Следовательно,
, г=0,*=1
= ^ № - |*<1 ^ (-1)‘ „(”!,„ S(k -l.iy (4.4.78)
Первые пять коэффициентов равны
6z0 = l, а-^^Му — Y4 = MX — т, ^2 = 1/2 (^2 — Из)»
а3 = Ve (М3 — Из) — х/2 (! + ^) (^2 — Р-2)>
^4 = V24 (3^4 — 1^1) — V12 (3 + 2m) ^Мз р>з) +
+ 1/24 (И + 12m + 6m2) (М2 - р2).(4.4.79)
Заметим, что параметр m пуассоновского распределения (69) до сих пор определен не был. Естественно положить m = Mv При этом аг = 0.
(4.4.80)(4.4.80)Из представления (68) с учетом соотношений (69) и (73) получаем формулу
(4.4.80)
(4.4.80)
Р (0, т) = е-т 5 ах (т) Gx (0) = е-™ 5 (-1/ аг (т). 1=01=0
По физическому смыслу параметра m пуассоновского закона применительно к задаче о нулях случайного процесса его нужно положить равным
(4.4.81)(4.4.81)тп = Nx (0) т = N-^x.
(4.4.81)
(4.4.81)
P»to=4;p"^ т) =г=0P»to=4;p"^ т) =г=0На основании (64) и (80) находим плотность вероятности интервалов между соседними нулями случайного процесса:
P»to=4;p"^ т) =
г=0
P»to=4;p"^ т) =
г=0
(4.4.82)
^- аг' (т) + а{ (т)}, т > 0.
В этой формуле первый член, соответствующий a0 = 1, дает экспоненциальное распределение, совпадающее по виду с (67). Последующие члены должны вносить такое исправление, чтобы функция (82) правильно описывала плотность вероятности интервалов между соседними нулями при малых т.
Имея в виду, что ^ = 0, с учетом лишь первых трех членов из основной формулы (82) получим
Ро(т)+ -А-а2"(г) — -^-«г'М + Мт)} ,(4.4.83)
где-
«2 (т) = V2 (М, - И2) = V2M2 - V2 №)2 + ^т].(4.4.84)
Входящий в формулу (84) второй начальный момент М^ представляет собой средний квадрат числа нулей случайного процесса на интервале т. В общем случае момент М^ определяется из формулы (2.6.11), а для гауссовских стационарных процессов может быть найден из формул (2.6.17) и (2.7.13).
Подстановка выражения (84) в формулу (83) дает
ро (Т) = N^t {1 + А ^т L ^N^ +
+ 4 [4^" (т) - 4"м"(т)+ м]} •(4-4-85)
Учет в формуле (82) последующего члена с а3 (т) требует знания третьего начального момента М3 (т), вычисление которого существенно усложняет общий конечный результат. Однако применительно к частному случаю гауссовского процесса 5 (£) член с а3 (т) приближенно может быть также учтен (см., например, [75]).
В заключение целесообразно еще раз подчеркнуть, что области применимости рассмотренных в данном разделе приближенных методов нахождения распределений длительности выбросов и длительности интервалов между нулевыми пересечениями зависят как от вероятностных характеристик исследуемого процесса 5 (^), так и от величины заданного уровня Н. В основе этих методов лежат различные допущения, а поэтому каждый из них имеет различную степень сложности и точности.
Конкретизация отдельных результатов применительно к нескольким распространенным частным моделям случайных процессов будет дана в двух следующих разделах.
Распределение длительности выбросовгауссовского процесса
Поскольку гауссовские процессы занимают особое положение как в теоретических, так и в прикладных исследованиях, то естественно, что и в задачах изучения распределений длительности выбросов моделям гауссовских процессов обычно уделяется наибольшее внимание. На моделях гауссовского процесса £ (^), как правило, проверяется практическое использование большинства разрабатываемых приближенных методов вычисления функций р (т; Я) или F (т; Н). Основная часть выполненных к настоящему времени экспериментальных исследований, по существу, также относится к классу гауссовских процессов.
Пользуясь здесь общими результатами разд. 4.4, рассмотрим аналитическое решение задачи по нахождению распределения длительности выбросов гауссовского процесса и затем приведем наиболее характерные экспериментально полученные данные,
Найдем плотность вероятности р (т; Н) длительности выбросов Т; (Я) над уровнем Н дифференцируемого гауссовского стационарного процесса £ (£), имеющего математическое ожидание т^ = М {£ (£)} = 0 и корреляционную функцию вида
Я (Т) =; о2г (т), -R" (0) = -о2г0" < ОО» (4.5.1)
Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой (4.4.25), т. е. рассмотрим поведение плотности вероятности р (т; Я) в области малых значений аргумента т.
Если в выражении (1.5.14) положить £ = £0 = Я, ^ = ^ = = Я, £' = £0\ IV = £/ и полученный результат подставить в формулу (4.4.25), то можем написать [71, 142]
р (т, Я) ро (т, Я) (2л)2 N-^ (//) ехр [|R| (^и + ^12)]
х J ^^exptH2!1^)"1^^
+ 2 (Ли - Ли) Н (^о' - ^i')]} ^о' ^i'.(4.5.2)
Согласно (2.2.9), среднее число положительных выбросов в единицу времени для исследуемого процесса £ (^)
N* (Я) = (1/2л) У^7ехр (- Я2/2а).(4.5.3)
В целях упрощения записи последующих соотношений введем Нормированные величины
h = H/o, xo^'k-R^V's x^^k-R^V2-(4-5.4)
Тогда после перехода к новым переменным и подстановки выражения (3) в формулу (2) получим
ро (т; Д) = ^77 ехР Г4№ — Т7Г (“u + ai2)№ 1 х
X ^ ^ 2-oXiexp {—(2 |r D^tagg^o2 + Х12) + 2а34а:оХ1 +
О о
+ ^h (<213 — ^ы) (^о — ^i)]} ^о dxv(4.5.5)
Алгебраические дополнения а^ определяются здесь равенствами (1.5.15) при условии, что корреляционная матрица (1.5.13) составлена из нормированных корреляционных функций:
чгтгх10<-'х'0г =0—гх'1 - V/V0— Гт1^Т ZZZZг(т),Гг' = г'(т) = -1dr (т)V—г» dTГх =--VW1 d^r (т) — tq ^т2*чгтгх10<-'х'0г =0—гх'1 - V/V0— Гт1^Т ZZZZг(т),Гг' = г'(т) = -1dr (т)V—г» dTГх =--VW1 d^r (т) — tq ^т2*(4.5.6)(4.5.6)
ч
гт
гх
1
0<
-'х'0
г =
0—
гх
'1 - V
/V
0
— Гт1
^Т ZZZZ
г(т),
Гг' = г'(т) = -
1dr (т)
V—г» dT
Гх =
--VW
1 d^r (т) — tq ^т2*
ч
гт
гх
1
0<
-'х'0
г =
0—
гх
'1 - V
/V
0
— Гт1
^Т ZZZZ
г(т),
Гг' = г'(т) = -
1dr (т)
V—г» dT
Гх =
--VW
1 d^r (т) — tq ^т2*
(4.5.6)
(4.5.6)
«331 — гт2 — Гг'2«331 — гт2 — Гг'2и сделаем в (8) замену переменныхи сделаем в (8) замену переменных
«331 — гт2 — Гг'2
«331 — гт2 — Гг'2
и сделаем в (8) замену переменных
и сделаем в (8) замену переменных
От ж0 и ж1 выполним переход к новым переменным я0 = = и — со, хг = v — Р, причем выберем аир так, чтобы в продын- тегральном выражении в показателе экспоненты отсутствовали линейные относительно и и v члены.
С учетом соотношений (1.5.15) и матрицы (6) нетрудно показать, что
а = - р("13-«1») h ^V к(4 5 7)
*«33 — «341 + ГтV '
В результате несложных преобразований придем к выражению
р"(т: 4="77 ир [ 7 - 77 л° ]х
X ^ ^ (и — а)(^ + а)ехр{—(21г[)-1 [а33(и2 + и^ + 2а34иу]}^1^.
—а а
(4.5.8)
Введем обозначение
(4.5.9)
Выражение (8) примет при этом вид
ро (т; А) = «зз Го" (1 — гт2)-’/2 ехр [ [ -4tV ^] ^ (р, с), L \1 т rT / j
(4.5.10) где
J ^’ с) "2НГ ^ ^^ (^ — с) (р — е) е2 йр,(4.5.11)
V -у
/ 1 — Г 2 U/2Нт J/ 1 — Г 2 .V2
с = а |। =(— |
\ fl33 j1 + гт \а33 у ’
а33=.1-г?-г/, s = (l-p2),/2,(4.5.12)
ж2 — 2р^у + у2 ж2 2р#у + у2
2(1—рт2) —2S2
Для удобства вычислений интеграл J (р, с) можно здесь выразить через табулированный интеграл F (с, с, р) [64] или интеграл К (р, с) [135]. В частности, в последнем случае имеет место соотношение
j (р, с) = (р + С2) К(р, с) + 2^- ехр( — т^) —
— (2/л)*/«Се-сг/2[1 — ф (а)],(4.5.13)
где Ф ^а) — интеграл вероятности,
(4.5.14)(4.5.14)К<Р’ c^ = -2^Vda:dy’ V Y
(4.5.14)
(4.5.14)
/ 1 — р A V2с2 а2 + с2
а==с(1ТТр) ’Т+?~2“
Формула (10) с учетом соотношения (13) принимает следующий окончательный вид:
ро (т; А) = а33 V— го (1 — гт2)-’Аехр ["2 (^ + 1) №
X {(р -Н2) К (р, с) + ^ ехр ( - у^ ) -
(4.5.15)(4.5.15)-/-Г^^-Ф («)]}•
(4.5.15)
(4.5.15)
Учитывая, что для отрицательных значений у справедливо равенство)
(4.5.16)(4.5.16)К(р, —с) = К(р, с) + 2Ф(с) —1,
(4.5.16)
(4.5.16)
нетрудно показать, что
ро (т; — /1) = ро (т; 70 + а33 V^r? (1 — r^fa/1 х
2^ + 1) № I {(р + с2) [2Ф (с) - 1] + у ^ се-=^ ,
(4.5.17)
где с связано с относительным уровнем К соотношением (12).
Характер поведения плотности вероятности р0 (т; К) при изменении т зависит от вида нормированной корреляционной функции гт = г (т) (или формы спектральной плотности) процесса £ (Z) и заданного относительного уровня h = б"1//. На рис. 4.9 приве-
Рис. 4.9.
Плотности вероятностей длительности выбросов для гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией г (т) = ехр (—ост2)
дены результаты расчетов [75] по формуле (15) для гауссовского стационарного процесса g (£) при г (т) = ехр (—ат2). Для двух значений относительного уровня К = 0 и h = 1 там же показаны экспериментальные данные.
В целях удобства сравнения различных результатов при построении графиков использована нормированная переменная х = 2лД/э-т, где, согласно табл. 1.1, Д/э = ]/а/л. Соответственно вместо функций р0 (т; 1г) даны плотности вероятностей
ро У; h) — (2лД/э)-1 ро (у, h) jT=x.
Из рисунка видно, что при х ^ 3,5, по крайней мере для уровней h = 0 и h = 1, формула (15) правильно отражает поведение плотности вероятности. При больших значениях х, как и следовало ожидать из свойства (4.4.26), результаты расчетов превышают экспериментальные данные.
На основе полученной общей формулы (15) могут быть исследованы различные частные случаи (например, [75, 126, 127, 142, 147]). Выделим здесь лишь некоторые из них.
Будем интересоваться распределением длительности временных интервалов т^ (0) между соседними «нулями» (пересечениями нулевого уровня) гауссовским стационарным процессом £ (t). Для этого нужно положить в формуле (15) 1г = а-1Н = 0. Как следует из выражений (12) и (14), при этом с = 0, а = 0 и К (р, 0)
дается выражением (П-12)
к (р. °)=4" + 4гarcsin р—4— 4г arcc°s р-
Формула (15) в данном случае упрощается:
Ро (т; 0) = (2л)-1 а-зз ]/"— г о" (1 — гт2)-3/з [р (л — ar ;cos р) + s], 0^ arcoss р ^ л.(4.5.18)
Используя известные соотношения
arccos р = arcctg —_^,
arcctg= л — arcctg ,■ ,
\/1-р2У/1-Р2
результат (18) можно записать и в иной форме:
ро (т; 0) = -^ У— г0" (а332 — ам2) (1 — гт2У/”- X
X [1 + В arcctg (— В)],(4.5.19)
где
13=-^=^ 0<arcctg(-S)<n. (4.5.20)
п/ 1 — р2 V азз2 - аз?
Так как рассматриваемый гауссовский стационарный процесс £ (/) имеет математическое ожидание т^ = М {£ (/)} = 0, то его распределение симметрично относительно нулевого уровня. Поэтому формула (19) останется справедливой и для длительности интервала между пересечением процессом £ (/) уровня к — 0 сверху вниз и последующим пересечением снизу вверх. Следовательно, плотность вероятности (19) характеризует распределение длительности временных интервалов между любыми двумя соседними нулями исследуемого процесса £ (Z).
Необходимо, конечно, отметить, что для распределения длительности интервалов между нулями гауссовского стационарного процесса может быть получена и более точная формула. Известный интеграл (П-17) позволяет вычислить в общем выражении (4.4.21) функцию плотности [127]
Учитывая симметрию функций плотности ds (£т, Z2, . . ., £s) относительно своих аргументов, из (4.4.21) с учетом второго члена получим
р (т; 0) ~ р1 (т; 0) = d1 (т) — ^ d2 (т, Z) dt = ро (т; 0) — о
о .
гДе р0 (т; 0) дается формулой (19).
На рис. 4.10 приведены результаты расчетов [75, 128] плотности вероятности р (т; 0) длительности временных интервалов между соседними нулями гауссовского стационарного процесса 5 (^) с прямоугольной спектральной плотностью в диапазоне частот (0, /в). Нормированная корреляционная функция может быть при этом записана как гт = г (т) ~ sin (2л/вт)/2л/вт или, в иной форме записи, г0 (х) = sin xlx, х = 2л/в т.
Расчеты выполнены по формулам (19), (21) и (4.4.63). На этом же рисунке приведена и экспериментально полученная функция плотности вероятности. Сравнение этих данных показывает, что
Рис. 4.10. Плотности вероятностей длительности временных интервалов между соседними нулями гауссовского процесса с прямоугольной спектральной плотностью
Расчеты по формулам: 1 — (4.5.19), 2 — (4.5.21), 3 — (4.4.63), пунктирная линия — эксперимент
при небольших значениях х (я ^ 6) результаты расчетов по формулам (19), (21) и (4.4.63) практически совпадают и хорошо согласуются с экспериментальными данными. При больших значениях х формула (19) дает неверные (завышенные) результаты, а более точная формула (21) до значений х ~ 14 хорошо согласуется с экспериментальными результатами.
Аналогичные результаты численных расчетов и экспериментальные данные для плотностей вероятностей р (т; 0) применительно к гауссовским стационарным процессам £ (£) с двумя видами «спектральных плотностей
5 (ю) = [1 + (®Г)2]-П, Т = ап ^f»Y\ ап = / 2V» -1,
(4.5.22)
5 (со) = [1 4- (оТ')^]-1, Т = (2л/в)-1 (4.5.23) при различных значениях п даны в работах [108, 1491. Общий характер поведения функций р (т; 0) для таких процессов £ (/) полностью согласуется с функциями, показанными на рис. 4.10.
Воспользуемся формулой (15) и рассмотрим общий характер поведения плотности вероятности р0 (т; h?) в области малых значений т.
С этой целью предположим, что нормированная корреляционная функция г (т) = a"2R (т) стационарного дифференцируемого процесса £ (/) при малых т может быть представлена конечным числом первых членов ряда Тейлора:
Г (т) = 1 + 4 г0"т2 + г^т4 + г^т6 + ...,(4.5.24)
где
Г(2П) = ^(Т),,г= 1,2,3,...
Т=0
Из разложения (24) находим
Г^т) = + ^''о^3 +
Г" (т) Го" + 4- '^т2 + 4 г^т4 + • • -
1 - г2 (т) ~ -г0"т2,1 + г (т) ~ 2 (1 + V4r0"T2).
Отдельные величины, входящие в формулу (15) и определенные соотношениями (6), (1.5.15) и (12), равны
гт = г (т),а33 = а34 ~ V4 (^^ — г0"2) т4,(4.5.25)
р ~ 1, s ^ 0, а ~ 1, е ~ г^'Ъ ^ — ra"Vk-
Подставив эти выражения в формулу (15), получим
Т (г^ — г0"2)/ г,/'А2т2 \
ро(т;/г)~—^ехр^—§—) ^ (1, с), т<тк. (4.5.26)
Так как
К (1, с) = 1 - Ф (с), Ф (0) = V2,
J (1, с) = (1 + с^ [1 - Ф (с)] - (2л)-'/2^-с2/2.(4.5.27)
Как уже подчеркивалось, формула (26) справедлива для области малых значений т. При этом, однако, нужно выделить два различных частных случая.
А. Предположим, что уровень h, является фиксированным, а т стремится к нулю. Если положить экспоненциальный сомножитель в формуле (26) приближенно равным единице, то выражение для р0 (т; К^ примет вид
р0 (т; /I) ~ т (г0О) - г0"2) J (1, с)/4 (~г0"), т < тк. (4.5.28)
Следовательно, при И = const плотность вероятности р0 (т; h?) Длительности выбросов tz (Ь) в окрестности нуля, т. е. начальный Участок функции р0 (т; к) линейно возрастает с увеличением т.
Б. Будем теперь считать, что относительный уровень Д > 0 и согласованно возрастает по мере уменьшения т так, что произведение Ит остается постоянным, например, порядка единицы.
Заметим, что г0" < 0, а величина (т0<4> — г0"2) всегда положительна. При этом из соотношений (25) для с следует, что при тоо величина с-> — оо. Нетрудно также убедиться, что
lim К (р, с) = 1, lira J (р, с) = р + с2, lim J (1, с) ~ с2.
С—* — СО с—*—ОО С—*—ОО
(4.5.29)
С учетом этих предельных соотношений формула (26) принимает вид
Ро (т; А) ~ — V^/TA exp (VeroWr2), fe^> 1. (4.5.30) Поведение этой плотности вероятности р0 (т; к) в зависимости от т описывается законом Релея (см. рис. 1.8 при а = 0).
Отметим, что приближенное выражение (30) получено как предельный случай формулы (4.4.25). В свою очередь, формула (4.4.25) является лишь первым членом ряда (4.4.21), представляющего общее выражение плотности вероятности р (т; к^ длительности выбросов. Несмотря на это, функция (30) удовлетворяет необходимым условиям нормировки и положительной определенности:
р0 (т; /?) с/т ^1, р0 (т; Ц ^ 0.
о
Следовательно, при высоких положительных уровнях к = = Н/з ^> 1, когда подавляющая часть выбросов имеет малую длительность т^ (/г), плотность вероятности р (т; к) длительности выбросов для рассматриваемого гауссовского процесса £ (^) приближенно описывается законом Релея (30).
Асимптотическое поведение плотности вероятности р (т; к) в области высоких уровней к = о^Н ^> 1, вообще говоря, можно изучать различными методами. Как показано в разд. 4.4, один из этих методов основан на аппроксимации траектории случайного процесса £ (^) в окрестности положительного выброса параболой второго порядка (4.4.31). Согласно равенству (4.4.32), случайная величина т = tz (Я), соответствующая длительности произвольно выбранного положительного выброса, при таком подходе выражается через значения производных ^ (£0) и £" (^0) в момент начала выброса:
т = -2Г (to), £' (to) > 0, V (t0) < 0. (4.5.31)
Применим соотношение (31) к гауссовскому стационарному процессу £ (^) с математическим ожиданием т^ = 0 и корреляционной функцией R (т) = п2г (т) и на основе результатов (4.4.31) — (4.4.35) определим плотность вероятности р (т; Я) длительности выбросов [67, 75, 142].
Для нахождения функции р (т; Я) необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности р0 (£' (£0), ^ (^0)) = — Ро ^о^ £о") Для значений производных |0' = ^ (£0) и £0" = = V (tQ) в момент выхода траектории £ (^) за уровень Я, т. е, в момент начала положительного выброса.
Из общих свойств гауссовского процесса (разд. 1.5) известно, что значения первой производной £' (Z) не коррелированы (а следовательно, в данном случае и статистически независимы) со значениями £ (Z) и V (^) в совпадающие моменты времени. Совместная плотность вероятности р (£ ф, V (^), V (£)) = р (£, £', g") распадается при этом на произведение
рО^=р£'ШШ(4.5.32)
Из этого, в частности, следует, что плотность вероятности р0 (£о', £о„) также можно представить в виде произведения
Ро №<Л £о") = Ро (£о') Р ^ 1 £ = Я),(4.5.33)
где Ро (£о') — плотность вероятности для первой производной в момент начала выброса; р (£0" ] £ = Я) — условная плотность вероятности второй производной при £ = Н.
Функция р0 (£0') для рассматриваемого гауссовского процесса определяется из выражения (2.10.10):
Р° ^° ) = "Нр" ехр (— Т^Т) = а2 (— Го") ®ХР [~ 2s2 (— г0") ] ’
go' > 0.(4.5.34)
Условную плотность вероятности р (£0" | £ = Я) = р (£0" | Я) в данном случае можно найти из совместной плотности вероятности Р (£, £") как
р ^ I я)=р а, шр ® и,,(4-5-35)
Эта формула с учетом выражения (1.5.19) принимает вид
р (go" I Я) = [2л^ (r<4) - r0"3)]-,/3expf- ^Л^Я?21 • (4-5-36) IVo —Го ) J
Если отсюда определить условное математическое ожидание и условную дисперсию второй производной
М {g0" | Я} = г0"Я, D [£0" | Я] = б2 (г0(4) - г0"2), (4.5.37)
то можно заметить, что при высоких уровнях (Я ^> б) математическое ожидание значительно превышает среднеквадратичное значение:
М {go" I Я} ф [g0" I Я)Г/2 - Я /б > 1.(4.5.38)
" Следовательно, в соотношении (31) вторую производную V (^0) можно приближенно заменить ее математическим ожиданием, т. е. положить
т ~ 2^07(-г0") Я, go' = ^' М > 0.(4.5.39)
Если теперь в формуле (34) перейти от ^0' к новой переменной т, согласно (39), то в результате получим плотность вероятности
длительности выбросов при высоких положительных уровнях:
р (т; К^ = V4 (—г/) КН ехр{—V8 (—r^ W2}, т > О,
К = 6"^> 1.(4.5.40)
Можно заметить, что эта формула совпадает с полученной ранее формулой (30), так как при их выводе использовано одно и то же допущение о высоком уровне К = б^Н ^> 1.
Рассмотрим вновь гауссовский стационарный процесс £ (0 с математическим ожиданием ттц = 0 и корреляционной функцией вида R (т) =п2г(т), но для нахождения плотности вероятности р (т; /г) воспользуемся результатом (4.4.44):
1, Ш>^о, ^(0^^-1, Ш>^о, ^(0^^-Р (т; Л> = A^W R1" (Т>’(4.5.41)
1, Ш>^
о, ^(0^^-
1, Ш>^
о, ^(0^^-
Rz (т) = М {z (£) z (^ + т)} — М2 (z (£)}, z (£) =
Значение N^ (ft) в данном случае будет определяться формулой (3), а корреляционная функция Rz (т) последовательности прямоугольных импульсов z (Z) — вторым слагаемым в правой части формулы (4.2.10):
rz м=5 4г [фт wr rk м-(4-5-42)
Продифференцировав функцию (42) по т, находим
Д/ (т) = г' (т) £ 4г V^W rk (т)(4.5.43)
А=Э ’
и соответственно
Д/ (т) = г" (т) У А [Ф(,С+>)Р ? (т) +
Л=0
+г'2 (т) 5 4 [ф(А"+2) ? м- <4-5-44) /г=0
Сравнивая последнее выражение с формулой (4.2.9), можно заметить, что
Кг (т) = gV (т) р^ (А, 7г; т) + ст2г'а (т) ^^ рй ^v h2; т) |Л1=Л2=Л.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
Д/ (т) = (2л)-1 [1 - г2 (т)]-1^^ (т) + V^r^ +
+ [1 - /2 (Т)Р Д2] ехр [1 + Г (т) ] •(4.5.45)
Теперь, согласно выражениям (41), (3) и (45), для рассматриваемого гауссовского процесса £ (£) плотность вероятности р (т; h) может быть записана в следующем окончательном виде:
+ тп^'ФМ-(4-5Лв)
Как отмечалось при выводе формулы (4.4.44), результат (41), а следовательно, и формула (46) справедливы при малых значениях т. Предполагая существование по крайней мере производных до четвертого порядка от функции корреляции г (т) процесса £ (0« для области малых т можем написать разложения
г (т)=1+4~ г°"т2+4г г^т4'
г' (т) = г0"т + 4* ^4)т3,(4.5.47)
г" (т) = го" + 4- Го°т2.
Если в формулу (46) подставить отдельные величины из соотношений (47) и учесть, что большая часть положительных выбросов имеет малую длительность при высоких положительных уровнях h, = о-1Н 1г то при выполнении неравенства
г0(4) <1/2^"^2(4.5.48)
плотность вероятности р (т; 1г) длительности выбросов будет описываться законом Релея
р0 (Т; ^) = -V4r0WT exp {VsroW}, h > 1.(4.5.49)
Как и следовало ожидать, полученный результат (49) совпадает с формулами (30) и (40). Способы получения этих формул были различны, однако предположение о выполнении условия высокого уровня К = о-1Н ^> 1 было при этом общим. Одинаковой, следовательно, является и область применимости этих результатов.
Возвратимся вновь к задаче нахождения плотности вероятности р (т; 0) длительности временных интервалов между нулями (т. е. пересечениями уровня Н = т^ = 0), но гауссовский процесс £ (^) будем считать квазигармоническим с корреляционной функцией вида R (т) = о2г (т) = о2р (т) cos <о0т.
Для таких процессов плотность вероятности р (т; 0) будет в основном сконцентрирована в области значений т, приближенно равных половине «квазипериода» т0 = TJ2 = л/со0. Величина т0 меньше интервала корреляции тк, а, следовательно, решение подобных задач на основе формул (19) и (21) при квазигармонических процессах £ (^) будет приводить к более точным результатам, чем при широкополосных процессах.
На рис. 4.11 приведены результаты расчетов плотности вероятности р (т; 0) по формуле (21) для квазигармонического процесса со спектральной плотностью, постоянной в диапазоне частот (<х>19 1), где cOi < 1, и равной нулю вне этого диапазона [127]. Нормированная корреляционная функция такого процесса имеет вид
г605;<4'5'50)
В данном случае «квазипериод» равен т0 = 2л/(1 + (о^.
При сужении спектра процесса (т. е. по мере приближения нижней граничной частоты оэ1 к единице) плотность вероятности р (т; 0) все более концентрируется в окрестности значений тт с^ т0, а максимум плотности вероятности увеличивается.
Характер изменения ординаты максимума рт, абсциссы максимума тш и ширины плотности вероятности Дт0;5 на уровне 0,5 рт в зависимости от значения нижней граничной частоты ^ рассматривается на рис. 4.12 (сплошные линии).
Сравнение этих линий с соответствующими экспериментальными результатами работы [107], нанесенными в виде точек, свидетельствует об удовлетворительном их совпадении. Следовательно, формулой (21) можно пользоваться для вычисления плотностей вероятностей длительностей выбросов квазигармонических процессов практически при всех значениях т.
Покажем теперь, что если ограничиться рассмотрением малых по сравнению с интервалом корреляции тк) значений т, то, по-
Рис. 4.11. Плотность вероятности длительности временных интервалов между последовательными пересечениями нулевого уровня квазигармопическим процессомРис. 4.11. Плотность вероятности длительности временных интервалов между последовательными пересечениями нулевого уровня квазигармопическим процессомРис. 4.12. Основные характеристики плотности вероятности р (т; 0) при гауссовском квазпгармонпческом процессеРис. 4.12. Основные характеристики плотности вероятности р (т; 0) при гауссовском квазпгармонпческом процессе
Рис. 4.11. Плотность вероятности длительности временных интервалов между последовательными пересечениями нулевого уровня квазигармопическим процессом
Рис. 4.11. Плотность вероятности длительности временных интервалов между последовательными пересечениями нулевого уровня квазигармопическим процессом
Рис. 4.12. Основные характеристики плотности вероятности р (т; 0) при гауссовском квазпгармонпческом процессе
Рис. 4.12. Основные характеристики плотности вероятности р (т; 0) при гауссовском квазпгармонпческом процессе
мимо формулы (21), решение задачи о нахождении плотности вероятности р (т; 0) может быть получено и на основе простой приближенной формулы (4.4.50):
(4.5.51)1, ^(<)>0;-1, iW<o.(4.5.51)1, ^(<)>0;-1, iW<o.р (т; 0) р0 (т; 0) = R/ (х)/^ (0),
(4.5.51)
1, ^(<)>0;
-1, iW<o.
(4.5.51)
1, ^(<)>0;
-1, iW<o.
Кг (т) = М (^ (0 2 (^ + Т)} — М2 {Z (<)},
Для гауссовского стационарного процесса £ (t) при т^ = О
^ (0) = (1/л) /-г0", Кг (т) = (2/л) arcsin г (т)(4.5.52)
и формула (51) принимает вид
р° <т; °)=17^77 д/ (т)=17^7 ^arcsin r W=
(4.5.53)(4.5.53)_ /Чт) [1—Г2 (т)] + г(т) г'2 (т)
(4.5.53)
(4.5.53)
2 (— ro'O^tl - г2 (т)]3/2’ К*
Если г (т) = р (т) COS (ООТ И (002 ^> —Ро", то
г0" = —(002 (1 — ро7(оо2), Nx (0) = ((Оо/л) (1 — ро7соо2 со0/л.
Из физических соображений ясно, что в данном случае длительности интервалов между нулями будут сконцентрированы в небольшой окрестности около значения
т0 = л/соо ~ 1/^ (0) <С тк.(4.5.54)
Так как для квазигармонических процессов £ (^) скорость изменения функции р (т) значительно меньше по сравнению с cos соот и значение т0 <^ тк, то в окрестности точки т0 можно приближенно положить
р (т) р (0) + V^V ^ 1 + ^РоЧо2.
Раскладывая cos <оот в ряд Тейлора в окрестности точки т = = т0 и учитывая лишь первые три члена разложения, получим
COS (ООТ ~ —1 + ^о2 (т — Т0)2.
Разность (т — т0) имеет порядок малости 6 = ]/—Ро"/0^- Учитывая члены до второго порядка малости, имеем
г (т) ~ — 1 + ^ [соо2 (т — т0)2 — Ро%1-(4.5.55)
Подставив это выражение в формулу (53), с учетом лишь членов второго порядка малости получим окончательный результат:
р. (т; 0) - (2Т0Й)-1 [1 + (т - т0)2/(т06)2]-3А,6 = (-po'Voo2)1^.
(4.5.56)
Плотность вероятности (56) симметрична относительно среднего значения М {т} = т0 и при т = т0 имеет максимум рт = =: 1/2т06. На уровне 0,5рт ширина кривой
Дт0>5 = 2 У22/з — 1-т06 = 1,533т06.
При больших значениях разности (т — т0) функция р0 (т; 0) изменяется пропорционально величине | т — т0 | “3 и поэтому моменты выше первого не существуют.
Применительно к квазигармоническому процессу £ (Z) с постоянной и отличной от нуля спектральной плотностью лишь в диапазоне частот (о^, 1), ^ < 1, т. е. когда нормированная корреляционная функция г (т) имеет вид (50), найдем
2ло 2л 1 — сот
1 + сох ’р^З (l + o)i)2
Р^"^'Дт0.5 = 1,533т06.
(4.5.57)(4.5.57)трех последних характеристик (57) нижней граничнойтрех последних характеристик (57) нижней граничнойЗависимость вероятности рй (т; 0) от значенияЗависимость вероятности рй (т; 0) от значенияплотности частоты ^ изображена на рис. 4.12 пунктирными линиями [127]. Из сравнения данных видно, что при (Oi > 0,5 результаты расчетов по формулам (21) и (57) почти совпадают.
(4.5.57)
(4.5.57)
трех последних характеристик (57) нижней граничной
трех последних характеристик (57) нижней граничной
Зависимость вероятности рй (т; 0) от значения
Зависимость вероятности рй (т; 0) от значения
Сложность строгого аналитического нахождения
Рис. 4.14. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского стационарного процесса при различных уровнях к н различных значениях параметра спектральной плотности кРис. 4.14. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского стационарного процесса при различных уровнях к н различных значениях параметра спектральной плотности кРис. 4.13. Форма спектральной плотности исследуемого процесса при различных значениях параметра к = /х//2
Рис. 4.14. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского стационарного процесса при различных уровнях к н различных значениях параметра спектральной плотности к
Рис. 4.14. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского стационарного процесса при различных уровнях к н различных значениях параметра спектральной плотности к
плотности вероятности длительности выбросов р (т; к), с одной стороны, привела к необходимости разработки приближенных методов вычисления функций р (т; к) и, с другой стороны, значительно повысила интерес к непосредственным экспериментальным исследованиям. Экспериментальные результаты позволяют в данном случае получить более полное представление о характере поведения функций р (т; к) в широком диапазоне значений тик Кроме того, они позволяют проверить справедливость отдельных допущений, свойственных приближенным аналитическим методам.
Рассмотрим наиболее характерные экспериментально полученные данные. Предположим, что стационарный гауссовский процесс £ (£) имеет математическое ожидание т^ = М{^ (<)} = 0 и спектральную плотность вида
5 (/) = TTTfcu [t+UJT^ 1 + (/М)и ] , (4.5.58) где /2 = 20 кГц, а параметр к = fj^ может изменяться от к = О до к = 0,8. В диапазоне частот А/ = f2 — /1 = /2 — kf2l f2 > ft форма спектра близка к прямоугольной (рис. 4.13), а процесс £ (^)приА: ~ 0 может рассматриваться как широкополосный, а при к — 0,8 как узкополосный. Значения частот fT и /2 определяются здесь из равенства S (f^ = S (/2) = 1/2.
Экспериментальные результаты (рис. 4.14), полученные при исследовании такого процесса [130], показывают характер поведения плотности вероятности р (т; к) длительности положительных выбросов Т; (к) при различных относительных уровнях к и изменениях параметра к. Из них, в частности, видно, что при фиксированном значении уровня к плотность вероятности р (х; к), х = = 2л/2т, с увеличением х (или т) сначала возрастает до некоторого максимального значения, зависящего от уровня к, а затем монотонно спадает, приближаясь асимптотически к нулю.
Для процессов £ (t) с широким спектром (к = 0,05 и к = 0,2) при возрастании уровня к > 0 преобладающую роль начинают играть более короткие выбросы, максимум функции р (х; к) при этом возрастает и смещается в сторону меньших значений х. По своей форме плотность вероятности р (х\ к), к^ 1, приближается к распределению Релея. С понижением уровня к ^ 0 длительности выбросов возрастают, правая ветвь функции р (т; к) затягивается, а ее максимум существенно уменьшается по величине и смещается в сторону больших значений х. При к ^ 0 для функций р (х; к) нарушается свойство унимодальности: справа от основного максимума (в области больших х) появляется еще один максимум.
Для узкополосного процесса (к = 0,8) при всех уровнях к плотность вероятности р (х; к) имеет явно выраженный максимум, однако характер изменения величины этого максимума, как видно из общего сравнения результатов (см. рис. 4.14), является более сложным. При изменении уровня к от высоких по-
ложительных значений к отрицательным значениям положение максимума функции р (х; к) смещается в сторону больших длительностей т, а величина этого максимума сначала уменьшается, затем (в окрестности нулевого уровня) возрастает и вновь начинает уменьшаться.
Такой результат физически можно пояснить следующим образом. Выборочные функции стационарного узкополосного процесса £ (^) по своему виду близки к амплитудно модулированному гармоническому колебанию со средней частотой /0 = = /2 — х/2 (/2 — &/2). Для огибающей A (Z) такого процесса £ (Z) справедливо Р {А (/) 0} = О, а поэтому расстояния между соседними пересечениями уровня к = т^ = 0 процессом £ (^) будут почти постоянными и равными т0 = 1/2/0, т. е. при к = 0,8 т0 — 1/2/2. Это приводит к появлению острого пика плотности вероятности р (х*, к = 0) в окрестности значений х = х0 = = 2л/2-т0 — 3,14. При рассмотрении небольших положительных уровней к, когда вероятность Р {А (^) ^ к} =^ 0, начинают возрастать флюктуации длительности выбросов т^ (к) и величина максимума функции р (х; к) уменьшается. При повышении уровня А > 1 преобладающую роль начинают играть более короткие выбросы и согласно свойству нормировки максимальное значение плотности вероятности р (х; к) вновь возрастает.
На рис. 4.15 показан характер изменения дисперсии D [т+ (к)А длительности положительных выбросов т+ (к) рассматриваемого гауссовского процесса ^ (t) в зависимости от уровня к при различных значениях параметра к. Эти результаты получены экспериментально в работе [130]. Из них также видно существенное различие в поведении величины D [т+ (Д)] для узкополосного процесса (к = 0,8) и процессов £ (£) с широкополосным спектром. При к = 0,8 в окрестности уровня к = 0 дисперсия D [т+ (к\\ длительности положительных выбросов заметно уменьшается. Это согласуется, в частности, и с поведением дисперсии числа выбросов (см., например, замечание после формулы (2.9.30)).
Достаточно распространенным допущением во многих приближенных аналитических методах исследования характеристик выбросов является предположение о статистической независимости длительностей соседних выбросов или длительностей временных интервалов между отдельными пересечениями заданного уровня. В связи с эти представляет интерес экспериментальная проверка правомерности подобных допущений.
Как известно, связь двух произвольных случайных величин § и ц в простейшем случае можно характеризовать нормированным корреляционным моментом или коэффициентом корреляции:
г = [М {^ц} - М (£}М {ti}](D [g] D [т)])-1^ (4.5.59) где M (...) — математические ожидания, a D [...] — дисперсии соответствующих величин.
Рис. 4.15. Характер изменения дисперсии длительности положительных выбросов гауссовского процесса при различных значениях параметра спектральной плотности к
Рис. 4.16. Характер изменения коэффициента корреляции между длительностями соседних положительного и отрицательного выбросов в зависимости от уровня 1г н параметра спектральной плотности к
Рис. 4.17. Характер изменения коэффициентов корреляции между длительностями временных интервалов для узкополосного гауссовского процесса
Рис. 4.18. Плотности вероятностей суммы длительностей (m + 1) временных интервалов между последовательными пересечениями гауссовским процессом нулевого уровня
Введем для рассматриваемого случая коэффициенты корреляции riv и rz_ (Z = 1, 2, ...) между длительностями нулевого и следующего за ним t-ro временного интервала, где знак «+» Или «—» показывает, что нулевой интервал является соответственно положительным или отрицательным выбросом. Тогда,;
согласно определению (59),
r1+ = [М {т0+ WTf (fc)} — М {т+ (70 }М {т" (fe)}] X
х (Z) [т+ (70] D [т" №)1)-V2,
г2+ - 1М {т0+ (Л) т2+ (Л)} - М2 {т+ (Л)}] ф [т+ (Л)])’1,
г2_ = [М {т0- (70} т2" (70} - М2 {г" (70}] ф [г" та-1 (4.5.60)
и, кроме того, при стационарности процесса £ ф г1+ = гх_.
Иначе говоря, при таком определении коэффициенты г2+ и г2_ характеризуют корреляционную связь между длительностями двух соседних положительных или соответственно двух соседних отрицательных выбросов процесса £ ф на уровне к. Значения г1+ = г^ характеризуют связь между длительностями положительного и соседнего с ним отрицательного выбросов.
Результаты экспериментальных исследований [129—1311 коэффициентов корреляции (60) для гауссовских процессов £ ф со спектральной плотностью (58) приведены на рис. 4.16 и 4.17. На рис. 4.16 виден характер изменения коэффициента г1+ в зависимости от выбранного уровня К и ширины спектра (параметра ф. Результаты, представленные на рис. 4.17 для узкополосного процесса (к = 0,8), позволяют сравнить поведение коэффициентов корреляции г1+, г2+ и г2_ при изменениях уровня к.
Необходимо отметить, что при широкополосных процессах (к = 0 -г- 0,2) величина г1+ в зависимости от уровня к изменяется достаточно медленно. В случае узкополосного процесса (к = 0,8) изменения коэффициента г1+ являются более быстрыми, причем сопровождаются они изменениями знака.
Допущение о некоррелированности длительностей соседних выбросов может быть принято лишь при широкополосных процессах с к — 0. При значениях к > 0,05 и относительных уровнях 0 ^ к ^ 1 такое предположение является уже достаточно грубым.
Помимо длительностей положительных т4' (ф и отрицательных т" (ф выбросов, в некоторых задачах необходимо знать вероятностные характеристики суммы длительностей нескольких временных интервалов между последовательными пересечениями заданного уровня к случайным процессом £ ф. На рис. 4.18 показаны экспериментально полученные [149] плотности вероятностей рт (т; 0) суммы длительностей ф + 1) временных интервалов между последовательными пересечениями уровня к — 0. Кривые построены по результатам исследования стационарных гауссовских процессов со спектральными плотностями вида
S (о) - [1 + (<о702Г4 и S (о) = [1 + (юТ)8]"1.(4.5.61)
Выражения (61) для S (со) соответствуют функциям (22) и (23) при п = 4.
В данном случае рассматриваемая случайная величина может быть записана в виде
(4.5.62)(4.5.62)Тт+1 (0) =: То (0) + 5
(4.5.62)
(4.5.62)
г=1
На основании свойства симметрии гауссовского распределения для длительностей положительных т+ (Д) и отрицательных <■ (Д) выбросов на уровне К = т^ = 0 справедливо равенство
М {т+ (0)} - М {г" (0)} = М {т (0)}.
Следовательно, при произвольном тп = 0, 1, 2, ... вероятностные характеристики случайной величины тт+1 (0) не зависят от того, какому (положительному или отрицательному) выбросу со
ответствует длительность начального временного интервала т0 (0).
При увеличении числа слагаемых т в сумме (62) математическое ожидание М (тш+1 (0)} случайной величины тт+1 (0) возрастает и функция рт (х\ 0) смещается в сторону больших значений х. Величина максимума плотности вероятности рт (ж; 0) при этом уменьшается за счет возрастания дисперсии.
Зная плотность вероятности Рт (т*> 0) и вычислив значение
А^Ш = ^Рт(т; 0) cZt, о
Рис. 4.19. Плотности вероятностей суммы длительностей положительного и следующего за ним отрицательного выбросов гаус- ского процесса £ (/) при различных уровнях hРис. 4.19. Плотности вероятностей суммы длительностей положительного и следующего за ним отрицательного выбросов гаус- ского процесса £ (/) при различных уровнях hможно определить вероятность ^Pm появления точно (т + 2) нулей на отрезке По, t0 + т] при условии, что первый нуль (пересечение нулевого уровня) находится в точке t = tQ.
Рис. 4.19. Плотности вероятностей суммы длительностей положительного и следующего за ним отрицательного выбросов гаус- ского процесса £ (/) при различных уровнях h
Рис. 4.19. Плотности вероятностей суммы длительностей положительного и следующего за ним отрицательного выбросов гаус- ского процесса £ (/) при различных уровнях h
Следует подчеркнуть, что поведение функций рт (т; h\ помимо вида спектральной плотности S (со) и величины т^ существенно зависит от выбранного уровня К. В качестве примера на рис. 4.19 показаны экспериментально полученные [130] плотности вероятности р+_ (т; Д) = рх (т; Д) суммы длительностей положительного и следующего за ним отрицательного выбросов гауссовского процесса £ (^) при нескольких значениях относительного уровня Д. Результаты относятся к стационарному процессу £ (^) со спектральной плотностью вида (58) при к = 0,2. Функции р+_ (т; hY как видно из рисунка, здесь уже не являются унимодальными.
Распределение длительности выбросовдля некоторых частных моделей случайных процессов
Рассмотрим несколько распространенных моделей случайных процессов и, основываясь на результатах разд. 4.4 и 4.5, получим для них конкретные выражения плотностей вероятностей длительности выбросов.
Сумма гармонического колебания и гауссовского процесса. Предположим, что случайный процесс ц (£) представляет собой сумму гармонического колебания s (£) и гауссовского стационарного случайного процесса £ (^):
П (О = s W + IW = Ат cos ^>st + Фо) + £ (О- (4.6.1) Будем считать, что амплитуда Ат и частота cos гармонического колебания являются постоянными величинами, начальная фаза ф0 является случайной и характеризуется равномерным распределением в интервале [—л, л], т. е.
^ф (фо) = 1/2л, | фо | < л, (4.6.2) а процесс £ (£) имеет математическое ожидание т^ — М ^ (£)}=() и корреляционную функцию
R (т) = ст2 г (т), — г0" = —г" (0) < оо. (4.6.3)
Пользуясь формулой (4.4.25), для процесса ц (£) можно вычислить плотность вероятности р0 (т; 0) длительности временных интервалов между соседними нулями (пересечениями нулевого уровня). Решение такой задачи было дано Куббом [НО]. Ввиду громоздкости записи промежуточных математических выражений и преобразований, которые носят чисто вычислительный характер, покажем здесь лишь путь получения основного результата и приведем простой метод нахождения приближенной формулы.
В данном случае формулой (4.4.25) можно пользоваться, если выполнены два условия: отношение Ат1о достаточно велико, т. е. а = Ат!(з^> 1, и интервал корреляции тк процесса £ (£) много больше периода гармонического колебания, т. е. тк ^> Т = 2n/(os.
Интерпретируя сумму гармонического колебания s (£) и случайного процесса £ (/) как сумму сигнала и шума, можно считать, что при большом отношении сигнал-шум (а ^> 1) нули процесса ц (£) в основном определяются нулями колебания s (^). Поэтому длительности временных интервалов между пересечениями нулевого уровня процессом ц (£) будут сконцентрированы в окрестности значений т0 = л/со5. Если, кроме того, тк ^> т0, то практически все длительности интервалов между нулями будут находиться в области значений т < тк, где формула (4.4.25) дает правильные результаты.
Запишем формулу (4.4.25) в следующем виде:
Ро(т;О)= ^^ /(+,-), (4.6.4)
где
/(+, —)= ^ d^o' j ИоЧ'Рг (О, О, rjo', r]/)dr)/.(4.6.5)
О о '
Среднее число положительных пересечений нулевого уровня процессом ц (^) в единицу времени ^+ (0,1) определяется формулой (2.5.45) при Н = 0 и Ts = 1. Поэтому для решения задачи остается вычислить двойной интеграл (5).
При нахождении совместной плотности вероятности р2 (0, 0, ц0', л/) воспользуемся выражением (1.5.14). Перейдем в нем от переменных £, £т, ^, ^ к новым переменным ц0, Лп Ло^ Л/ при помощи соотношений
5 = Ло — Ат cos у, gT = гц — Ат cos (сод + у), у = соЛ + фо,
^ = Ло' + ^sAm sin у, £/ = ц/ + (os.4т sin (сод + у).
В результате такой замены переменных получим плотность вероятности р2 (ло? Ли Ло\ Л1\ ?)• Далее полагаем в ней ц0 = = Л1 — 0 и для исключения случайной фазы у, равномерно распределенной на интервале [—л, л], производим усреднение по у с учетом выражения (2).
Таким образом, получим плотность вероятности
'л’
Р2(О, о, г)0', Т)1') = -^- $ Рг(°, °, По', П/, T)dv-(4.6.6)
‘ —л
Подставив выражение (6) в формулу (5), имеем
Лоо—оо
/( + ,— ) = ^ $ dyjdilo' J ЛоЧ'РгСО, 0, По', Hi', ?)dr]/ = —Лоо
= 2^ $ ЙТ $ $ По'п/Рг (°, °, По', — Hi', ?) dr)o' dr)/.(4.6.7)
—Л о о
При помощи замены переменных
(2M)“V2T]o' = р cos (ф + л/4),(2M)~V2 ц1' = р sin (ф + л/4)
выражение (7) приводится к виду [НО]
/(+,-) =(4.6.8)
а/ Лл/4оо
= -^g-^de ^ cos 2ф dr|) ^ ехр [—(^р2 + 2Д2р 4- Z)3)] dp.
—Л—л/4О
Здесь
М = c5ce, Dv = с2с6 cos21|) 4- c^g sin2 гр,
D2 = — “,-- (с5с? cos 0 cos i|) 4- с6с8 sin 0 sin гр),(4.6.9)
(CsCe) /2
Г Р /(D Т \
Ds = — ( с?2 + с6 cos2 —5— cos2 0 +
С5С6 I С2 \/
(to Т \1to Т
+ -^-^cg2 + Cssin2—|— ) sin20j , 0 = 7 Ч■
а = Ат,а, со = г' (г), сг = 1 — г (т), с2 = 1 + г (т),
с3 = — го" + г" (т), с4 = — го" — г" (т), с5 = схс4 — Со2, (ОТ(ОТ
с6 = с2с3 — со2, с? = со cos —^h (osc2 sin -~— ,(4.6.10)
. to Т(О Т
С8 = со Sin —2н (О^ COS —у- .
Выполнив в выражении (8) интегрирование по переменной р при Dy > 0, получим
з/ Лл/4
J(+,-) = -^^- jj d0 $ ^2cos2^{l + Z>42exp(-I>3)-
—Л—л/4
— 2 У л D4 (4 + ^2) [1 — Ф (/2 Р4)] exp (— A)} dip, (4.6.11) где Ф (я) — интеграл вероятности,
D4 = Dx^Dy D5 — D3 — Di2.(4.6.12)
Следующий этап решения задачи сводится теперь к вычислению интеграла (11).
Достаточно сложные и нетривиальные вычисления показывают [110], что этот интеграл при больших отношениях сигнал-шум (а = Ат!о ^> 1) приближенно равен
аГtoT(0Т12
7(+’-)=T7rrvv7 Т^ТТЕТ008-^®^11-!- X
4л/2 [г (т) — cos (озт] L 1 "г rzJ
{
^2(О Т 1
- Ч + г(т) cos2 “2“)'(4.6.13)
Если учесть также, что при больших отношениях сигнал- шум NV (0,1) cos/2n, то формула (4) для
а2 [г (т) — cos сод]/2 [1 — г2 (т)] ^> 1
примет вид
ро (т; 0) ~ро (т; 0) ~а2л1/2о)б [г (т) — cos о)5т]1/га2л1/2о)б [г (т) — cos о)5т]1/г(4.6.14)(4.6.14))0) Т(D.T^y-cos-y- + (08sin-~-)0) Т(D.T^y-cos-y- + (08sin-~-2ехр2ехра21 + г (т)а21 + г (т)toT ) cos? —^—j.toT ) cos? —^—j.
ро (т; 0) ~
ро (т; 0) ~
а
2л1/2о)б [г (т) — cos о)5т]1/г
а
2л1/2о)б [г (т) — cos о)5т]1/г
(4.6.14)
(4.6.14)
)0) Т(D.T
^y-cos-y- + (08sin-~-
)0) Т(D.T
^y-cos-y- + (08sin-~-
2
ехр
2
ехр
а2
1 + г (т)
а2
1 + г (т)
toT ) cos? —^—j.
toT ) cos? —^—j.
Ранее отмечалось, что длительности временных интервалов между нулями процесса ц (Z) в основном будут сконцентрированы в окрестности значения т0 = л/(о8, т. е. при (о3т0 = л. Поэтому в формуле (14) целесообразно перейти от переменной т к новой
переменной Т = соут/л, для которой максимум плотности вероятности будет расположен в окрестности Т ~ 1 независимо от конкретного значения частоты g>s гармонического колебания 5 (2). Выполнив такой переход в соответствии с равенством
ро (У; 0) = -2L ро (т; 0) |т=ят/<»8,
из выражения (14) получим
Pq ^Т 0) = ——-7——- cos —нh Sin —н—
72 (г — cos лТ)/2 [«» 1 + г 22
а2а22cos2—2"2cos2—2"гдеТгдеТа2 (г— cosh?) .2 (1 - г2)^>1’а2 (г— cosh?) .2 (1 - г2)^>1’(4.6.15)(4.6.15)а^тла^тл"$? г (т) 1^=лт/<»8-"$? г (т) 1^=лт/<»8-(4.6.16)(4.6.16)
а2
а2
2cos2—2"
2cos2—2"
где
Т
где
Т
а2 (г— cosh?) .
2 (1 - г2)^>1’
а2 (г— cosh?) .
2 (1 - г2)^>1’
(4.6.15)
(4.6.15)
а^тл
а^тл
"$? г (т) 1^=лт/<»8-
"$? г (т) 1^=лт/<»8-
(4.6.16)
(4.6.16)
Полагая далее в формуле (15)
cos лТ ~ cos л = — 1, cos-^ Т ~ cos -2- = 0, sin -^- Т ~ 1, cos2 4 Т = 4 (1 + cos л7) ~ 4 л2 (Т — I)2,
приходим к окончательному результату, который соответствует нормальной плотности вероятности:
ро(Г; 0)~ро(Г; 0)~"V л а2 [1 + г (л/<о$)]*/="V л а2 [1 + г (л/<о$)]*/={ехр{ехрЯ2д2 (7 — 1)24 [1 + г (л/(Оа) j J ’Я2д2 (7 — 1)24 [1 + г (л/(Оа) j J ’1.1.(4.6.17)(4.6.17)
ро(Г; 0)~
ро(Г; 0)~
"V л а
2 [1 + г (л/<о$)]*/=
"V л а
2 [1 + г (л/<о$)]*/=
{ехр
{ехр
Я2д2 (7 — 1)2
4 [1 + г (л/(Оа) j J ’
Я2д2 (7 — 1)2
4 [1 + г (л/(Оа) j J ’
1.
1.
(4.6.17)
(4.6.17)
Рис. 4.20. Пересечения нулевого уровня реализацией случайного процесса г] (0, представляющего собой сумму гармонического колебания s (0 и гауссовского шума ^ (i) малой интенсивностиРис. 4.20. Пересечения нулевого уровня реализацией случайного процесса г] (0, представляющего собой сумму гармонического колебания s (0 и гауссовского шума ^ (i) малой интенсивности
Рис. 4.20. Пересечения нулевого уровня реализацией случайного процесса г] (0, представляющего собой сумму гармонического колебания s (0 и гауссовского шума ^ (i) малой интенсивности
Рис. 4.20. Пересечения нулевого уровня реализацией случайного процесса г] (0, представляющего собой сумму гармонического колебания s (0 и гауссовского шума ^ (i) малой интенсивности
Покажем теперь, что принципиально эту формулу можно получить без предыдущих математически сложных вычислений путем следующих физически наглядных
рассуждений.
Рассмотрим отдельную реализацию случайного процесса ц (^), представляющего собой сумму гармонического колебания s (^) и стационарного гауссовского шума £ (^) (рис. 4.20). Пусть в отсутствие шума £ (0 два соседних нуля гармонического колебания s (^) находятся в точках ^о' и £/, т. е.
8 (£0') = Am cos (со^о' +ф0) = 0, 8^ = Amcos (®8i/ +фо) = о. (4.6.18) Интервал между соседними нулями при этом точно равен
то = ^i' — ^о' = Jt/g)s. (4.6.19)
Наличие шума | G) малой интенсивности (о^Л^) приводит к тому, что соответствующие точки пересечения реализации ц G) с осью абцисс смещаются на малые величины До и Дх, т. е. пересечения происходят в моменты времени t0 = t^ + Д0) =+ Д1:
Т1 Go' + До) = 5 Go' + До) + £ Go' + До) = 0»
л G/ + да = ^ иг + да + ^ иг + да - о. (
Ясно, что смещения До и Дт являются случайными величи* нами, они изменяются случайно от одной реализации к другой. Поскольку шум £ U) предполагается малым, то эти смещения будут также малыми величинами. Поэтому левые части равенств (20) можно разложить в степенные ряды в окрестности точек t0' и t^ и ограничиться линейными относительно Д членами (линейное приближение).
Таким образом, равенства (20) можно записать в виде
Uo + До) + £ Go' + До) — 5 (V) + £ (V) + [s' Go') +
+ г (V)] До = 0,
иг + Д1) + ^ иг + Д1) = s g/) + g/) +
+(V) + Г (V)! Д1 = 0.(4.6.21)
Из этих соотношений с учетом равенств (18) получаем в линейном приближении явные выражения для До и Др
А — —1
° s' (t0') +(Zo') s' (Zo') L s' (Zo')• J ’
Д1+L1 s'^')( -b- )
Первые производные s' Go') и s' G/) гармонического колебания s U)i очевидно, равны s' Go') = со5Лт, s' (</) = —tosAm* Обозначим дисперсию производной ^' U) процесса ^G) через ax2 = —<у2го". При выполнении неравенства
a V—r0" << <»sAm(4.6.23)
в квадратных скобках соотношений (22) можно пренебречь по сравнению с единицей всеми остальными членами, как малыми величинами. В результате получим
Дt г\
=4#=- ^
Длительность интервала между двумя рассматриваемыми соседними нулями реализации т] U)
Т = ^i — /о = U1 — ^0 ) + Д1 — До =То —д— [£ Go' + ^o) + ^Go')]«
■(4.6.25)
Учитывая вероятностные характеристики процесса £ (^), из- соотношения (25) находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины т:
М(т} = т0 = n/(os,
(Тг2 = -Г^ [1 + г (То)] = (2/<z2oV) [1 + г (”/®s)]-(4.6.26),
Так как процесс £ (^) является в данном случае гауссовским, то в линейном приближении, согласно равенствам (24) и (25),_
рис. 4.21. Плотности вероятностей длительности интервалов между последовательными пересечениями нулевого уровня суммой гармонического колебания и гауссовского стационарного процесса
a — tos= 0,375; б — 0,625;
в — 0,875; сплошная линия — расчет (4.6.17) при а = 3, точки — эксперимент
Т-ШГ/УГТ-ШГ/УГро (т; 0) =ро (т; 0) =Яй)82 Vл у"! + г ^(to^Яй)82 Vл у"! + г ^(to^expexp/сот\2nV -~--1\ Л/4 [1 + г (n/o)s)]/сот\2nV -~--1\ Л/4 [1 + г (n/o)s)](4.6.27).(4.6.27).длительность интервала т между соседними нулями процесса, ц (^) также будет распределена по нормальному закону
Т-ШГ/УГ
Т-ШГ/УГ
ро (т; 0) =
ро (т; 0) =
Яй)8
2 Vл у"! + г ^(to^
Яй)8
2 Vл у"! + г ^(to^
exp
exp
/сот\2
nV -~--1
\ Л/
4 [1 + г (n/o)s)]
/сот\2
nV -~--1
\ Л/
4 [1 + г (n/o)s)]
(4.6.27).
(4.6.27).
Переходя в этом выражении от переменной т к новой переменной. Т = сод/л, получим формулу (17).
Описанный метод, вообще говоря, применим и к вычислению’ плотности вероятности р0 (т; Щ длительности выбросов случайного процесса ц (^) на некотором уровне Н < Ami не равном нулю. Первые производные от сигнала 5 (£) в начале и концеположительного выброса будут при этом равны Ч-со.^ У^т2 — ^2- Соответственно для правомерности линейного приближения вместо условия (23) здесь должно выполняться более жесткое неравенство
<7 К—Го" *<®s^А^^Р (Н < Ат\
Из него, в частности, видно, что требование к малости шума* £ (^) в таких задачах возрастает с повышением уровня Н.
На рис. 4.21 показан пример сравнения результатов расчета плотности вероятности р0 (Т; 0) по приближенной формуле (17)» с экспериментальными данными (показаны точками) [110]. Результаты получены при отношении сигнал-шум а = 3^ частотах гармонического колебания tos = 0,375; 0,625; 0,875^ и шуме £ (^) с равномерной в диапазоне частот (021) спектраль-
ной плотностью. Из рисунка видно, что совпадение расчетных и экспериментальных данных можно признать хорошим.
Огибающая узкополосного процесса (процесс с распределением Релея). Рассмотрим задачу вычисления по формуле (4.4.25) плотностей вероятностей длительности выбросов р^ (т; Щ и длительности интервалов между выбросами р0- (т; Щ на уровне Н > 0 для огибающей Л (£) квазигармонического процесса (1.7.3). Ввиду чрезмерной громоздкости записи промежуточных математических выражений покажем здесь лишь путь получения основного результата с указанием литературы, в которой можно найти подробности, и приведем окончательные формулы.
Согласно определениям (4.3.1) и (4.3.2), длительность выброса т^+ (Я) некоторого произвольного случайного процесса £ (£) представляет собой длительность временного интервала между выходом траектории процесса £ (£) за уровень Н и последующим входом £ (£) под этот уровень. Длительность интервала между выбросами Ti~ (Я) = 0j (Я) соответствует длительности промежутка времени между входом траектории £ (£) под уровень Я и ближайшим выходом £ (£) за уровень Я. Поэтому приближенное выражение для плотности вероятности р^ (т; Я) можно получить непосредственно по формуле (4.4.25), а при вычислении Pq" (т; Я) необходимо в этой формуле поменять местами пределы интегрирования по £0' и £/•
Таким образом, применительно к огибающей А (£) квазигармонического процесса на основании формулы (4.4.25) можно записать
Ро+ (т; Я) = „ * .. ( dA' t Л'А'р2 (Я, Я, А', А^ dAV,
ОО
(4.6.28)
Ро" (т; Я) = дг^ту $ ^' $ ^'Лг>2 (Я, Я, A', AV) dAV,
А00
(4.6.29) где среднее число выбросов процесса А (£) в единицу времени определено формулой (2.5.50):
W № I) -(Я, I) = (^У'" (4) =хр (- 5-),Я > 0.
(4.6.30)
Входящая в выражения (28) и (29) совместная плотность вероятности р^ (Н, Н, А*, Л/) находится из общей формулы (1.7.37) интегрированием по «лишним» переменным:
ЛЛОО
Рг(Н,Н,А’, Ах)= § Яфт ^Ф $ d<p'р^ X.
. X ^ (Я,Я, Л', Л/, ф, фт, ф'.фт'^фт'.(4.6.31)
Интегрирование по ср' и ф/ выполняется здесь с использо- ранием известного интеграла (П-9). Если в полученном результате перейти от фг к новой переменной % = Ф? — ф, то достаточна просто находится и интеграл по ф. После этого приходим к выражению вида
J—^dx^dA' $ A'AVp^H.H.A'.AV.X^AV- —л о о
Двойной интеграл по Л' и AV можно упростить при помощи преобразований, подобных тем, которые применялись при получении формулы (4.5.10) из (4.5.5).
Реализация указанной программы вычислений приводит к следующим окончательным формулам, которые были получены Райсом [142]:
n—/-Ро" \1/2 ^ззехр(Д2/2)
Ро (Т,—2л ) ^„рг^р X
X ^ / (г, к) exp |— ^[1 ~ Рр2L?8 X11 ^х,(4.6.32).
ро (т,/г) р0 (т, И) + ( 2л j [1 —р2(т)]2 Х
X ( {(г+4-)[ф(4)-4-] + -Дг«-™}х
XexpT-^Ilf^pip;;.(4.6.33)
Здесь
J (г, к) = (2л)-1 (1 — r2)-*A J dx J (ж — к) (у — к) ег dy, (4.6.34). к к
к = Лр' (т) [р (т) — cos %] {— ро^зз [1 — р2 М]}”1/2»(4.6.35)
г = а^]а^z = — (я2 — 2rxy + у2)/2 (1 — г2),
h = HIg — относительный уровень, Ф ^ — интеграл вероятности, а значения а33 = а33 (т) и а34 = а34 (т) определены выражениями (1.7.35).
В общем случае вычисления по формулам (32) и (33) проводятся на основе методов численного интегрирования. Интеграл (34) по аналогии с выражениями (4.5.11), (4.5.13) и (4.5.14) может быть при этом выражен через табулированные функции.
Рассмотрим упрощенно один из предельных случаев формулы (33) — случай высоких уровней h. Поскольку средняя длительность положительных выбросов М {т+ (Л)} является функцией от Л, то для изучения асимптотического поведения плотности вероятности р^ - (т; Л) при возрастании h будем считать, что изменения Лит происходят согласованно, т. е. при увеличении Л значение т уменьшается так, что их произведение Лт остается Постоянным.
Из физических соображений ясно, что при одновременном увеличении уровня h и уменьшении т первый член в правой части •формулы (33) можно положить равным нулю, т. е. р0" (т; h) ^ 0. • Применяя для малых т разложение нормированной корреляционной функции в ряд Тейлора
р (т) ~ 1 + -l- ро"т2 + -^- Ро4)т4, р' (т) ;~ ро"т + 4г Ро4>т3’
■■■(4.6.36)
найдем
1 _ р2 (Т) _ _ р^,- р0"азз = _ р0" [ 1 - р2(Т) _ ^М]
^^т4(-ро")(р<4)-ро"2).(4.6.37)
Рассматривая параметр к, определенный соотношением (35), жак функцию от %, замечаем, что он имеет минимальное значение в окрестности точки % = 0, где можно воспользоваться приближенным равенством cos % ~ 1 — %2/2. Тогда из (35) с учетом приближенных соотношений (36) и (37) найдем
к~- ^"h (Р<4) - po"2)-V« _ /,%2Т-2 (pW _ ро»у/е.
В окрестности малых значений % ~ т!к второй член справа в этом соотношении значительно меньше первого. Первый член при больших h > 0 велик и положителен, так как (—р0") > 0. Поэтому при всех возможных значениях % параметр к принимает большие положительные значения.
При этом в подынтегральном выражении (33) можно положить Ф (к) ~ 1, ехр (—к2/2) ~ 0 и пренебречь слагаемым г по сравнению с к2. Таким образом, для рассматриваемого случая формула (33) принимает вид
Рй (т;2п. )[1 — р»(т)Р ехр Г \~21 — р2(т) л Х
. X /с2 ехр Г ; ™?-^ cos 71 d/ =^——х
J L1 —р2(т) J (— глрочШ — р2(т)]3
Л
X ехр^-^- — ! _-"2 (т) )} $ [р СО — cos %]2 X
—л
х, Г №pW 1
Фигурирующий здесь интеграл легко выражается через функции Бесселя от мнимого аргумента 70 W и Л (А рДе х ^ = Д2р (т)[1 — р2 (т)]"1 ~ Д2/(—р0"т2). Поскольку анализируется случай больших х (х ^> 1), то для функций Бесселя справедливо ►асимптотическое представление
Лих
Выполнив эти преобразования и воспользовавшись затем приближенными равенствами (36) и (37), в итоге получим следующую окончательную формулу:
р0+ (т; Ь) ~ V4 (-Р о")^ exp [-V^-po")^2], h > 1. (4.6.38)
Сравнивая найденное выражение (38) с формулой (4.5.30)я замечаем, что в области высоких положительных уровней Д и. малых значений т плотности вероятностей длительности выбросов для гауссовского стационарного процесса и огибающей А (£) квазигармонического процесса подобны друг другу и описываются законом Релея. Можно также заметить, что для средней длительности положительных выбросов на основании (38) имеем
М {т+ (Д)} = J тр0+ (т; Д) йт = У2л/ДУ — ро".(4.6.39)
о
При выполнении соответствующих условий эргодичности для процесса А (t) это выражение совпадает с формулой (4.3.13).
Вывод полученных формул (33) и (38), так же как и исходной формулы (4.4.25), основан на допущении о малых значениях т. Принципиально, как это следует из результатов разд. 4.4, нахождение плотности вероятности У (т; Д) в области малых т или в области высоких уровней Д возможно несколькими методами.
Так, например, при относительных уровнях Д = Шо^> 1 подавляющая часть положительных выбросов имеет малую длительность т^+ (Д). При малых т функция A (t) в окрестности выброса t = t0 может быть разложена в ряд Тейлора и на основе параболической аппроксимации (4.4.31) представлена как
A (t) = А (^о) + A' (t0)(t - t0) + V (t0)(t - f0)2.
Пользуясь соотношением (4.4.32) и представляя длительность выброса в виде
т - -^А' (to)iA” М, А* ^о) > О, A" (tQ) < О, можно показать [44], что после вычисления совместной плот* ности вероятности р0 (Ло', А о") для производных А о = A' (t0) и А о = A" (to) в момент начала выброса t = t0 формула (4.4.35) применительно к процессу A (t) также приводит к результату (38).
Огибающая суммы гармонического колебания и гауссовского процесса. При изучении суммы гармонического колебания $ (t) и гауссовского квазигармонического процесса £ (t) и использовании представления вида (1.7.18)
Ц (t) = s (t) + ^(t) = V (t) cos [ю0^ + Ф (^)]
распределение огибающей V (t) описывается законом Райса (1.7.22) (см. рис. 1.8). Для процесса V (t) известны выражения среднего числа выбросов в единицу времени и средней длительности вы-
бросов на относительном уровне h = о'1!! > 0; эти характера стики определены соответственно формулами (2.5.49) и (4.3.18).
Если интересоваться плотностями вероятностей для длительности положительных выбросов р^" (т; fc) и длительности отрицательных выбросов pQ"" (т; h) на уровне К у 0, то по аналогии с выражениями (28) и (29) в области малых т вычисления могут выполняться на основе общей формулы (4.4.25).
Решение такой задачи дано в работе Рейнола [136]. Формула для плотности вероятности р^" (т; И^ длительности отрицательных выбросов xf (h) = ©t (h) огибающей V (^) (или длительности замираний процесса) на уровне h = g-1H > 0 имеет в данном случае вид
—— х
*' ' ' 2л7о (^ V&) ]/— 2лр0" [1 — р2 (т)]2
(4.6.40)(4.6.40)х S S ^s^ j ^' °’ ^ ^ ^2’
(4.6.40)
(4.6.40)
где
7 (г, с, 7г)7 (г, с, 7г)112л i/"! — г2 JJускх2 — 2гху + ?/2 12л i/"! — г2 JJускх2 — 2гху + ?/2 1V 2л |<2лV 2л |<2л2 (1 — г2)1 — Ф /2 (1 — г2)1 — Ф /Г(к2—2гск-\-с2)ехР LЦГ-^)"Г(к2—2гск-\-с2)ехР LЦГ-^)"
7 (г, с, 7г)
7 (г, с, 7г)
1
1
2л i/"! — г2 JJ
уск
х2 — 2гху + ?/2 1
2л i/"! — г2 JJ
уск
х2 — 2гху + ?/2 1
V 2л |<2л
V 2л |<2л
2 (1 — г2)
1 — Ф /
2 (1 — г2)
1 — Ф /
Г(к2—2гск-\-с2)
ехР LЦГ-^)"
Г(к2—2гск-\-с2)
ехР LЦГ-^)"
К (г, с, к) — табулированный интеграл [641:
*с к
(4.6.42)
В выражениях (40)—(42) использованы следующие обозначения: а = Ат!а — отношение сигнал-шум, 70 (ж) — функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента, Ф (ж) — интеграл вероятности,
D — гЕ Г1_р2(т)у/3E — rD Г1-р2(т) ТА
Л(1-г2) L Маг J ’Л(1 —r=) L М22 J ’
г = аМ^Мгг, а — cos (ipi — ф2),Р = sin (ф1 — трз),
А = (М222 - М2з2а2)"1 [ММ22 (1 - р2 (т))],
D = (М2г2 - ^з2^)"1 {А (Мм - М23а) [Мр' (т) (а - р (т))] +
У а (Мц — Ми) [M2sp (M22sini|)2 + Af23asinipi) —
— cosipi (Мггй — М232а2)]},
Е = (М^ — М^а?^ 1{—к(Мн — АГ23а) [Мр' (т) (а — р (т))] + + V"& кМн — Mi3) [^2зР (М22 sin ipi 4* М2з<х sin ф2) + + COS ф2 (А/222 — Л^З2^2)]},
G = Л-1 (1 — г2)"1 \2rDE — № — Е^ + F,
F = (М222 — М2з2а2)-1 {2 [а — ]/ ah (cos ф1 + cos tp2)J (Afu + M14) X X (Af222 — Л72з2й2) — 2Л/13 J^ah^ (Мн — Л/13) (Af22 — Af23^) X X (sintpi — sin ip2) — M^a (Мн — Л/13)2 (sin2^ + sin2ip2) — — 2Af23^a (Мн — M^ sin фг sin ф2 +
+ 2№ (Мн - M23cc) [(M22 + М23а) (Mu + М14а) - AVP2]}-
В свою очередь,
Ми = (- ро")2 - р"2 (т) - (- р0") р'2 (т), — Мн = р' (т) р" (т) + (— ро") р (т) р' (т),■
АГ1з = р'3 (т) — (— р0") р' (т) — р (т) р' (т) р" (т), М14 = Р (Т) р"2 (т) — (— ро")2 р (т) — р'2 (т) р" (т), ^22 = ( —Ро")И — Р2 №1 — р'2 М, ^23 = р" (Т)[1 — р2 (т)] + р (Т)р'2 (Т), М = (М^ - М2з2)И - р2 (т)]"1.
Формула для плотности вероятности рй+ (т; h) длительности положительных выбросов огибающей V (t) на относительном уровне h = Hl о ^> 0 получается из выражения (40) заменой с и к на —с и —к.
Можно убедиться, что формула (40) при а = Ат1о = 0 переходит в выражение (32). В частном случае, когда отношение сигнал-шум велико (а^> 1), можно указать другой нестрогий, но более простой путь вычисления плотностей вероятностей длительности выбросов огибающей V (t).
Известно, что при больших отношениях сигнал-шум плотность вероятности огибающей V (t) близка к гауссовой, причем математическое ожидание и корреляционная функция огибающей (1.7.18) приближенно равны
mv = М {7 (0} ^ Ат1 Ну (т) ^ о2р (т), а > 1.(4.6.43)
Поэтому при вычислении плотности вероятности длительности выбросов огибающей 7 (^) для случая больших отношений сигнал-шум можно с учетом выражений (43) воспользоваться результатами разд. 4.5, относящимися к гауссовскому процессу.
Функционально преобразованный случайный процесс. Остановимся кратко на задаче вычисления плотности вероятности Pti (т; Я) длительности положительных выбросов т^ (Я) на заданном уровне Н для случайного процесса ц (^), который получается в результате некоторого функционального преобразования ^ (0 = / U (0Ь Будем при этом считать, что для исходного процесса ^ (^) известны все необходимые вероятностные характерис-
тики, а преобразование у — f ^) является однозначным диф^ ференцируемым и для него известна обратная функция х = ф (у).
Как уже отмечалось (разд. 2.4), при взаимно однозначном функциональном преобразовании ^ (^) -^/ [^ (£)] = ц (£) всегда существует однозначное соответствие между каждым пересече- нем заданного уровня Н^ процессом £ (£) и каждым пересечением уровня Н = / (Я^) процессом ц (О = / [g (^L Если характеристика преобразования у — f (х) является монотонно возрастающей функцией (dyldx > 0), то каждый положительный выброс £ (£) преобразуется в положительный выброс ц (0- В противоположном случае, при монотонно убывающей функции у = = / (ж), т. е. при dyldx < 0, каждый положительный выброс £ (£) преобразуется в отрицательный г] (£).
В соответствии с этим по аналогии с результатом (4.3.17) для плотности вероятности р^ (т; Я) длительности положительных выбросов процесса ц (£) на уровне Я можно записать [59]:
Ри (т; Я) = /V (т; ф (Я)) = р^ (т; Я0 при dj ^id £ > 0,
Рх\ (т; Я) =(т; ф (Я)) = р" (т; Яе) при df (^yd g < 0, (4.6.44)
где р^ (т; Я^) и pf (т; Я^) — плотности вероятностей длительности положительных и отрицательных выбросов исходного процесса £ (0 на уровне Нг = ф (Я).
Записанные соотношения (44) являются простым следствием известных правил пересчета плотностей вероятностей при функциональных преобразованиях случайных процессов.
Случайный процесс с логарифмически нормальным распределением. Рассмотрим стационарный и дифференцируемый процесс г) (£) с плотностью вероятности вида (2.5.34):
рл 01) = (Qrl К2л)-1 ехр {— 1п2т]/2о2}, г] > 0.
Как правило, анализ такого процесса в большинстве задач проводится на основе его известной функциональной связи с гауссовским процессом £ (£):
£ ур) ехр МО = П (О,5 (0 = In Л («)•(4.6.45)
Преобразование (45) является взаимно однозначным, и, следовательно, при нахождении плотности вероятности р (т; Я) длительности положительных выбросов процесса г] (£) на уровне Я ^> 0 можно воспользоваться соотношением (44) и соответствующими результатами разд. 4.5.
Так, например, если интересоваться длительностью выбросов в области высоких положительных уровней Я, то с учетом характеристик гауссовского процесса М{£ (£)} = 0 и Нг (т) = о2г (т) по формулам (4.5.30), (44) найдем
/ ттх (—Г0")т1п2Я[(-г0")т21п2Я1 In Я .,
Р^рЩ — '^ехр|—^1, — >1,
(4.6.46) где параметр г^ определяется через соответствующий параметр г^ (0) исследуемого негауссовского процесса ц (^) формулой (2.5.39)-
Эргодичность и оценивание характеристикдлительности временных интервалов
Практические измерения вероятностных характеристик случайного процесса g (t) всегда связаны с обработкой конечного числа т реализаций (t), t ЕЕ [£0, ^0 + ^L i = 1, т, процесса £ (£) или с обработкой одной реализации £ (£), t Е \tOl t0 + ТА достаточно большой (но опять же конечной) длительности Т. В результате измерений получается оценка, свойства которой зависят от вероятностных свойств исследуемого процесса, выбранного способа оценки и объема выборки т или Т.
Ограничиваясь анализом наиболее простых и легко реализуемых способов оценки, рассмотрим общие особенности задач статистического оценивания применительно к отдельным характеристикам длительности временных интервалов.
Оценка среднего значения относительной длительности пребывания. Будем считать, что наблюдению (обработке) доступна реализация £ (£), tE [£0, to + ТА = [О, У], Т < оо, непрерывного и дифференцируемого случайного процесса £ (£). Согласно определению (4.2.1), в качестве оценки Г+ (Я) среднего значения относительной длительности пребывания Г+ (Я) = М{£+ (Я)} траектории £ (£) над заданным уровнем Я можно принять величину
т
Т^Щ-Т^х^Н^!,(4.7.1)
О
где процесс ос (t; Н) представляет собой индикаторную функцию fl, Ш>Н;
x(t;H) = I{l(i)>H} = [^ ц^Н-(4'7'2)
Для оценки (1) в данном случае справедливо т
м {f+ (Я)} = ~ 5 М {ж (/; Я)} dt = М {х (I; Н)У= Т* ЦГь (4.7.3) О
а при выполнении соответствующих условий стационарности и эргодичности процесса g (t), кроме того, выполняется равенство
г
lim 4- ^ (^ Я) dt = М (ж (t; Я)} = Т* (Я).(4.7.4)
Соотношение (4.2.3) позволяет выразить параметр Т^ (Я) через функцию распределения F^ (£) или плотность вероятности р^ (£) исследуемого процесса £ (£):
т* (Я) = Р {£ (0 > Я} - 1 - F^ (Я) = J р. ® d^.(4.7.5)
н
Общее выражение для дисперсии оценки (1) имеет вид т
D [Г+ (Я)] = М {[Г- (Я) - Г (Я)]2} = 2- ^(1 - -2.) яж (т) ах, о
(4.7.6)
и, следовательно, по мере увеличения длительности Т рассматриваемой реализации £ (£), tG [0, 7] дисперсия D [7+ (Я)] будет уменьшаться, если
т
lim^^l-^R^^dx^O.(4.7.7)
О°о
Учитывая, что при заданном уровне Я корреляционная функция процесса х kt; Н)
Нх (т) = М {^ ^ Щх^А- т; Я)} — М2 {^ (^; Я)} =
= Р {g (0 > нл kt + т) > Я} - [ 1 - F^ № =
И^’^т)^^2Н1-^№,(4.7.8)
НН
где р^ (£х, £2; т) — двумерная плотность вероятности процесса 5 kt\ можно заметить, что условие (7) выполняется в случае выполнения равенства
lim f f р2 (^, Е2; т) dh ah = [1 - ^ (Я)]2.(4.7.9)
Т-оо ду
Это, в свою очередь, справедливо, если значения исследуемого процесса £х = £ kt) и £2 = £ (^ + т) при возрастании т становятся статистически независимыми.
Условие (7) является необходимым и достаточным условием эргодичности процесса £ kt) относительно параметра 7+ (Я), а также условием состоятельности рассматриваемой оценки (1).
При возрастании длительности реализации Т величина дисперсии (6) приближается к значению
D [Г (Я)] ~ A J R* W dx = "A" ) г» М dx‘ (4ЛЛ°) о •о
Если учесть здесь, что тОО
J гж (т) ах ~ J | г (т) | ах = тк, Оо
то при длительностях 7^>тк, где тк — интервал корреляции процесса ^ kt)^ Для D [7+ (Я)] получим простое приближенное
выражение
D [Г (Я)] ~ (2^2/7)гК) Т > тк.(4.7.11)
Используя определение (2), достаточно просто находится дисперсия ох2 процесса х (t; Н):
о^ - Лф2 (^; Я)} - М2{ж (£; Я)} = 1-P{g (О > Я} +
+ 0-Р^ (О < Я) - Р{^ (i) > W = F^ (Я)[1 - F^ (Я)],
(4.7.12) а формула (11) принимает после этого окончательный вид
D [Г (Я)] ^т^;^ (Я) [1-^ (Я)], 7>тк.(4.7.13)
Таким образом, при выполнении условия (7) рассматриваемая оценка Т* (Я) является несмещенной и состоятельной оценкой параметра Т^ (Я). Согласно (4.2.6), распределение оценки Т^ (Я) с увеличением длительности реализации Т —>• оо будет асимптотически приближаться к гауссовскому с математическим ожиданием М{7+ (Я)} = Тл (Я) и дисперсией D [Т* (Я)], определяемой формулой (6) или приближенным выражением (13).
Рассмотрим несколько подробнее особенности оценки параметра Т+ (Я) применительно к непрерывному и дифференцируемому процессу £ (£) с гауссовским распределением:
pi ^) = ^°1йУ1к ехР (— (^ — mi?iW^
(ос—m^)/a^
F^ (ж) =; (2л)-1/г^ехр(—у2/2) dy = Ф ^—-—^).(4.7.14)
Как и прежде, будем считать, что наблюдению доступна отдельная реализация £ (£), t ЕЕ [О, ТА процесса £ (^), а в результате ее обработки необходимо получить оценку Т^ (Я) среднего значения относительной длительности пребывания 5 (£) над заданным уровнем Я, т. е. оценку параметра Т* (Я).
Ясно, что если априорно известен вид распределения (14) процесса £ (£) и известны его параметры тги и о^2, то поставленная задача теряет свой смысл: параметрами пи и о^2 полностью определяются функции (14), а следовательно, и без проведения обработки при произвольно выбранном уровне Я можно записать требуемый результат
Г (Я) - 1 - ^ (Я) = 1 - Ф ( (Я - m^i^Y(4.7.15)
где Ф (ж) — табулированный интеграл вероятности (П-1).
С учетом этого будем предполагать, что по наблюдаемой траектории ^ (^), t ^ [О, ТА требуется оценить параметр 7+ (Я) при заданном уровне Я, известном виде функций (14), но неизвестных значениях тп^ и о^2.
Решение такой задачи, вообще говоря, может проводиться несколькими способами. Наиболее прямой из них — это непосредственное измерение относительной длительности пребывания по алгоритму (1). Результаты (1)—(4) и (13) показывают, что при выполнении условий (7) или (9) в данном случае будет получена оценка Т* (Я), дисперсия которой при длительностях Т ^> тк
Щ^^^у^Ф^Ш-Ф^)] h-o^H-m^. (4.7.16)
С другой стороны, хорошо известно, что по реализации £ (i), t ЕЕ [0, 7] эргодического процесса £ (0 можно оценить параметры т^ и О|2, а следовательно, в соответствии с выражением (15) за оценку 7+ (Я)т значения Т+ (Я) принять значение функции
Г (Н)т = 1 — Ф [(Я — mVV^(4.7.17)
где й и а2 — оценки для т^ и о^2. Рассмотрим подобный подход и при фиксированной длительности реализации Т сравним дисперсии оценок (17) и (1).
Предположим, что корреляционная функция Я^ (т) случайного процесса £ (£) обладает свойствами тт
lim -i- Я^(т)йт = 0,lim Я^2(т)йт = 0,(4.7.18)
Т—оо 1 JТ—оо 1 J
ио
е. исследуемый процесс £ (£) удовлетворяет соответствующим условиям эргодичности.
Тогда по выборочной функции £ (£), J Е [О, ТА усреднением по времени принципиально могут быть получены оценки m и 52 параметров пг^ = M{g (£)} и о^2 = Я^ (0), которые обладают свойствами несмещенности, состоятельности и асимптотической (при Т -»■ оо) эффективности. Применительно к гауссовскому процессу £ (0 Для дисперсий таких оценок справедливы выражения [77, 99]
т
D [т] = 27-1 ^1 — R^ (т) Дт, о т
Z) [ст2] = 47-1^1рр^ат,(4.7.19)
о
а при больших длительностях (7 ^> тк) — приближенные выражения
тт
D[m]^2T~1 ^ В^(т)ат, D [ст2] ^47-1 ^В^^ат. (4.7.20) оо
т
Учитывая, что величины t.i = R^1 (0) ^ R^ (т) йт, о
ТОО
Т2 = R^ (0) J R^ (т) й и тк = R^1 (0) J IR^ (т) I йт оо
при Т ^ тк являются величинами одного порядка малости, можно» в приближенных выражениях (20) без особой погрешности положить тх ~ тк, т2 ~ тк и записать простые конечные формулы
D [т] ~ (^ (7 / 2ткГ = D [mT], D [б2] ~ 2о^ (г / 2Тк)-1 =)
= D [от2]-(4.7.21>
Величины D \тп,т\ и D [от2] характеризуют здесь нижние границы дисперсий при оценивании параметров пи и о^2 гауссовского процесса g (£) по реализации g (^), t ЕЕ [0, 7] фиксированной длительности 7.
Рассмотрим оценку (17) как функцию
7+ (Я)г = 1 - ФЦЯ - tyitW^A(4.7,22)»
от случайных величин тпт и о^2, математические ожидания которых равны М{тпт} = т^ и М{от2} = о^2, а дисперсии D VuitA и D [от2] определяются формулами (21), т. е. совпадают с минимально возможными дисперсиями. Учитывая, что функция (22)' удовлетворяет условиям непрерывности и дифференцируемости по переменным тт и о^2 в окрестности точки пгт = т^ От2 = ^2, можно при достаточно больших длительностях 7 ^> тк выразить дисперсию D [7+ (Я)г] случайной величины 7+ (Я)г через статистические характеристики случайных величин mT и аг2. Так, на основе общих формул (2.9.11) (2.9.12) с учетом некоррелированности величин пгт и От2 после простого вывода для дисперсии D [7+ (Я) у] получим приближенное с точностью до членов порядка 7*"1 выражение [95]
D [Г (Я)г]|> ^ (1 + ЭД е-^ К = ai1 (Я - т^.(4.7.23).
Эта формула характеризует нижнюю границу дисперсий при оценивании параметра 7+(Я) по траектории g (£), t ЕЕ [0, 7] фиксированной длительности 7 ^> тк на основе алгоритма (17).. При ее выводе, по существу, использовались лишь свойства раздельных (а не совместных) оценок для т^ и о^2, что оправдывается известной [30, 33] для гауссовского процесса g (^) статистической независимостью случайных величин тт и Оу2.
На рис. 4.22 показан характер изменения вычисленных по формулам (16) и (23) значений (7/2тк) D [7+ (Я)] и (7/2тк) D [7+ (Я)т] в зависимости от относительного уровня h. Из них, в частности,, видно, что при фиксированной длительности 7 реализации g (^)t. £ ЕЕ [0, 7], 7 ^> тк, и априорно известном виде распределения. (14) процесса g (^) оценивание среднего значения относительной
Рис. 4.22. Характер изменения дисперсий при оценивании параметра Т* (Я) гауссовского процесса § (i) в зависимости от относительного уровня К = (Я — — 1™^^Рис. 4.22. Характер изменения дисперсий при оценивании параметра Т* (Я) гауссовского процесса § (i) в зависимости от относительного уровня К = (Я — — 1™^^(4.7.25)(4.7.25)
Рис. 4.22. Характер изменения дисперсий при оценивании параметра Т* (Я) гауссовского процесса § (i) в зависимости от относительного уровня К = (Я — — 1™^^
Рис. 4.22. Характер изменения дисперсий при оценивании параметра Т* (Я) гауссовского процесса § (i) в зависимости от относительного уровня К = (Я — — 1™^^
(4.7.25)
(4.7.25)
длительности пребывания Т+ (Я) по алгоритму (17) имеет более высокую точность (меньшую дисперсию) по сравнению с непосредственной оценкой (1).
Приведенные результаты по оцениванию параметра Т^ (Н) сравнительно просто могут быть обобщены на случай оценивания
среднего значения относительной длительности пребывания реализации £ (О, t ЕЕ [^oj ^о + ТА процесса £ (£) в интервале заданных уровней.
Оценивание средней длительности выбросов.
Длительность т^ (Д) = т^+ (И) произвольно выбранного t-ro положительного выброса траектории случайного процесса £ (£), t ЕЕ [^о? ^о + ТА над некоторым задан
ным уровнем Н является случайной величиной. Предполагая, что наблюдению доступна выборка т-^ (Я), т2 (Я)у ... . . ., тт (Я), а случайные величины Tj (Я), г = 1, ш, характеризуются плотностью вероятности р (т; Я), в качестве оценки тср (Я) математического ожидания тср (Я) = М {т; (Я)}, т. е. средней длительности выбросов, можно принять выборочное среднее значение
Тср (Я) = (1/т) 5 Ti (Я). (4.7.24) г=1
Если случайные величины тг (Я), г = 1, ш, являются здесь независимыми, то для математического ожидания и дисперсии оценки (24) получим
М {тср (Я)} = (1/m) 2 М {Ti (Я)} = тср (Я), 1=1
m
D [top (Я)] = (1/m2) X D [Ti (Я)] = (1/m) D [т{ (Я)]. i=l
Таким образом, при возрастании объема выборки m ->• оо и D [т; (Я)] < оо значение тср (Я) сходится к значению М {rf (Я)}, а оценка (24) независимо от вида функции р (т; Я) является несмещенной и состоятельной оценкой параметра тср (Я). Согласно центральной предельной теореме, распределение выборочного среднего значения тср (Я) будет асимптотически (ттг-^-оо) нормальным с параметрами (25).
Указанное условие взаимной независимости элементов выборки т^ (Я), f = 1, иг, относится к достаточно жестким ограничениям. Однако, как следует из результатов разд. 4.4 и 4.5, оно выполняется для случая широкополосных процессов ^ ^У а также при исследовании выбросов над высокими уровнями Я.
В качестве конкретного примера рассмотрим гауссовский стационарный случайный процесс £ (i) с математическим ожиданием
= М{£ (£)} = 0 и корреляционной функцией вида R (т) = = оЧ (т), О2 < ОО, -R" (0) = -оХ' < оо.
Если относительный уровень h = о-1Я ^> 1, то длительности тг- (Я), г = 1, т, положительных выбросов процесса £ (£) могут считаться независимыми случайными величинами, распределение которых описывается плотностью вероятности Релея (4.5.40):
р (т; Л) = V4 (—г^НЧ ехр {—V8 (—r^h42Y т > 0, h ^> 1.
(4.7.26) Согласно (26), среднее значение и дисперсия величины tz (/г) соответственно р авны
тСр (^) = м (Ti (fe)} — J тр (т; Л) Дт = (1/Д) У 2л/(— г0"), о
Я[тД7О]=М{[тД7г)-т^^ ^^^"^(^^^^^^^^^^^^"(^ "г)-(4.7.27)
о
Следовательно, при оценивании параметра тср (/г) на основе выборочного среднего значения (24) для дисперсии D [гср (Я)] оценки тср (Л) в данном случае получим простое выражение
D [тср (/г)] = ^!m^D kf (/г)] = 8(1 - nIQImh2 X^Y (4.7.28
Как известно, для средней длительности положительных выбросов тср (Я) процесса £ (i) над заданным уровнем Я справедлива общая формула
тср (Я) = М {Ti = J тр (г; Я) dr,(4.7.29)
о
в которой р (т; Я) — плотность вероятности длительности выбросов. Если же исследуемый процесс £ (i) является стационарным и эргодическим, то в соответствии с равенством (4.3.6) значение тср (Я) может быть определено и как
тср (Я) = т (Я) = Р {£ (0 > Я}/^/ (Я) = [1 - р^ (Я]/^+ (Я),
(4.7.30) где F^ (Я) — функция распределения процесса ^ (tY a N^ (Я) — среднее число положительных выбросов над уровнем Я в единицу времени. Пользуясь таким определением, можно к задаче оценивания параметра тср (Я) подойти с несколько иной точки зрения.
Действительно, для эргодического случайного процесса Р {£ (^) > ^> Я) = Т^ (Я) и, кроме того, при обработке реализации g (tY t ЕЕ [^о? tQ + ТА = [0, ТА достаточно большой длительности Т вы-
полняются предельные равенства (4) и (2.9.5): т
lim 4- ^ (i; Я) = М {ж (i; Я)} = Т* кН),
lim 4" «+ кН, Т) = М {тг+ (Я, 1)} = Я/ (Я),(4.7.31)
т—ОО 2
где х (t; Н) — индикаторная функция (2); п* (Н, Т) — число по* ложительных выбросов рассматриваемой реализации над уровнем Н.
Следовательно, если по наблюдаемой реализации g (i), t ЕЕ [О, Т] эргодического процесса £ (^) требуется оценить среднюю длительность положительных выбросов тср (Я), то на основе определения (30) и равенств (31) за оценку параметра тср (Я) можно принять величину
т
Тср (Я) = 4" $ т kt; H)dt 14- П* кН, Т) = Т* kH)IN^ кН). (4.7,32) о
Исследование такой оценки [17, 95] формально сводится к исследованию функции g ^ат, Рг) = ^т^т^ представляющей собой отношение двух случайных величин ат = Т* (Н) и Рт = = N^ (Н). Математические ожидания этих величин соответственно равны /тга = М {Г+ (Я)} = Г (Я), m^ = М ^ № = = N^ (Я), а дисперсии D [ау] и D [рг] определяются из выражений (6), (2.9.8) и общих результатов разд. 2.6 или 2.7.
Если разложить функцию g (ат, рт) в окрестности точки ар = = ^а» Рт = тп^ в ряд Тейлора и для случая больших длительностей Т реализации ^^t\ t ЕЕ [0, ТА ограничиться учетом линейных членов, то для математического ожидания М {тср* (Я)} оценки тср* (Я) на основе приближенной формулы
dg(aT,BT) I
м {g (ат, рт)} = g (ma, m^) Н— М {(ат — та)} +
иа,гр |ат==гпа
Р(Г=7Пр
+ -^1М М {(Рт - Bl,)}(4.7,33)
vpr а^=та
рт=тр
с точностью до членов ~ Т”1 получим
М {тс*р (Я)} = М {Г (Я)}/М № (Я)} = тср (Я).(4,7.34)
Следовательно, оценка (32) в рассматриваемом приближении является несмещенной оценкой параметра тср (Я).
Аналогично при вычислении дисперсии D [тср* (Я)] оценки (32) с точностью до величин первого порядка малости можно
воспользоваться общей формулой [29, 33]
/ ттг \ 2 г D [czT] D [Рт]
2М {(oty тпа) (Ру ^р)) 1(4 7 35)
(4.7.36)(4.7.36)которая при некоррелированности значений Т* (Я) и N^* (Я) приводит к окончательному результату
(4.7.36)
(4.7.36)
17[тср(Я)]— тср(пЦ [7+(Я)]2 [Ях+(Я)]2 J*
Поскольку при возрастании длительности Т реализации £ (£)яПоскольку при возрастании длительности Т реализации £ (£)я/ Ez [О, ТА эргодического процесса D [Т+ 0, то дисперсия D [тср* (Я)]0 и,следовательно, оценка (32) обладает свойством состоятельности.Рассмотрим в качестве примера гауссовский случайный процесс £ (0 и найдем нижнюю границу дисперсий для оценки (32). Будем для определенности считать, что пг^ = М {£ (£)} = 0, а нормированная корреляционная функция процесса г (т) = о^Я (т) является некоторой монотонно убывающей функцией т.Применительно к такому случаюГ (й) = 1 - Ф (к),/ Ez [О, ТА эргодического процесса D [Т+ 0, то дисперсия D [тср* (Я)]0 и,следовательно, оценка (32) обладает свойством состоятельности.Рассмотрим в качестве примера гауссовский случайный процесс £ (0 и найдем нижнюю границу дисперсий для оценки (32). Будем для определенности считать, что пг^ = М {£ (£)} = 0, а нормированная корреляционная функция процесса г (т) = о^Я (т) является некоторой монотонно убывающей функцией т.Применительно к такому случаюГ (й) = 1 - Ф (к),(Я)]0 и D VN^ (Я)](Я)]0 и D VN^ (Я)]ОО^/7^/770707,02,0 Л7,02,0 ЛРис. 4.23. Характер изменения средней длительности положительных выбросов тср (/г) гауссовского процесса и относительной величины среднего квадратического отклонения оценки тср* (/г) в зависимости от уровня И,Рис. 4.23. Характер изменения средней длительности положительных выбросов тср (/г) гауссовского процесса и относительной величины среднего квадратического отклонения оценки тср* (/г) в зависимости от уровня И,ТУ/ (Л) = (1/2л)(—г^Ь ехр (—Я2/2), (4.7.37) а формулы (23) и (2.9.18) позволяют определить нижние границы дисперсий при оценивании параметров Т* (А) и W/(/г) по реализации £(/), ^ G [О, ТА фиксированной длительности Т ^>тк:^[Г+(А)]>^(1+й2/2) е-н\ТУ/ (Л) = (1/2л)(—г^Ь ехр (—Я2/2), (4.7.37) а формулы (23) и (2.9.18) позволяют определить нижние границы дисперсий при оценивании параметров Т* (А) и W/(/г) по реализации £(/), ^ G [О, ТА фиксированной длительности Т ^>тк:^[Г+(А)]>^(1+й2/2) е-н\(4.7.38)(4.7.38)
Поскольку при возрастании длительности Т реализации £ (£)я
Поскольку при возрастании длительности Т реализации £ (£)я
/ Ez [О, ТА эргодического процесса D [Т+ 0, то дисперсия D [тср* (Я)]0 и,
следовательно, оценка (32) обладает свойством состоятельности.
Рассмотрим в качестве примера гауссовский случайный процесс £ (0 и найдем нижнюю границу дисперсий для оценки (32). Будем для определенности считать, что пг^ = М {£ (£)} = 0, а нормированная корреляционная функция процесса г (т) = о^Я (т) является некоторой монотонно убывающей функцией т.
Применительно к такому случаю
Г (й) = 1 - Ф (к),
/ Ez [О, ТА эргодического процесса D [Т+ 0, то дисперсия D [тср* (Я)]0 и,
следовательно, оценка (32) обладает свойством состоятельности.
Рассмотрим в качестве примера гауссовский случайный процесс £ (0 и найдем нижнюю границу дисперсий для оценки (32). Будем для определенности считать, что пг^ = М {£ (£)} = 0, а нормированная корреляционная функция процесса г (т) = о^Я (т) является некоторой монотонно убывающей функцией т.
Применительно к такому случаю
Г (й) = 1 - Ф (к),
(Я)]0 и D VN^ (Я)]
(Я)]0 и D VN^ (Я)]
О
О
^/7
^/7
70
70
7,02,0 Л
7,02,0 Л
Рис. 4.23. Характер изменения средней длительности положительных выбросов тср (/г) гауссовского процесса и относительной величины среднего квадратического отклонения оценки тср* (/г) в зависимости от уровня И,
Рис. 4.23. Характер изменения средней длительности положительных выбросов тср (/г) гауссовского процесса и относительной величины среднего квадратического отклонения оценки тср* (/г) в зависимости от уровня И,
ТУ/ (Л) = (1/2л)(—г^Ь ехр (—Я2/2), (4.7.37) а формулы (23) и (2.9.18) позволяют определить нижние границы дисперсий при оценивании параметров Т* (А) и W/(/г) по реализации £(/), ^ G [О, ТА фиксированной длительности Т ^>тк:
^[Г+(А)]>^(1+й2/2) е-н\
ТУ/ (Л) = (1/2л)(—г^Ь ехр (—Я2/2), (4.7.37) а формулы (23) и (2.9.18) позволяют определить нижние границы дисперсий при оценивании параметров Т* (А) и W/(/г) по реализации £(/), ^ G [О, ТА фиксированной длительности Т ^>тк:
^[Г+(А)]>^(1+й2/2) е-н\
(4.7.38)
(4.7.38)
где h = HI а — относительный уровень, r0" = d2r (т)/йт2 |г=0-
Подставляя значения (37) и (38) в формулу (36), находим выражение для нижней границы дисперсий при оценивании средней длительности положительных выбросов [95]:
к/47 зэ)
<р (/i) = (2л)-1 (1 + №/2) + [1 — Ф (А)]2 (1 + Л2)2 е№.^
Выражение (39) показывает, что минимальная дисперсия при оценивании параметра тср (/г) гауссовского эргодического процесса £ (0 полностью определяется объемом выборки 772тк^ параметром —г0" корреляционной функции R (т) и значением относительного уровня h. В качестве иллюстрации на_ рис. 4.23 приведены функции ф (Л) = [1 — Ф (Я)]/Ф' (А) и ]Лф(^)/ф(А), которые, как это следует из формулы (39) и равенства
тср (Л) = 2л(-г07-А [1 -Ф(Л)]^ = ^и!~г^ ф QtY ^ЛА^ описывают общий характер изменений средней длительности положительных выбросов тср (Л) и относительной величины среднего квадратического отклонения D^2 [тср* (Л)]/тср (Л) в зависимости от уровня h.
Дополнительные результаты
Приведем в заключение отдельные результаты, которые непосредственно связаны с изложенным в данной главе материалом и частично дополняют его.
Предположим, что ^ (£) и £2 (^) непрерывные и дифференцируемые гауссовские стационарные процессы с математическими ожиданиями тх = М^ (^)) = 0, ттг2 = М{£2 (0} = 0 и корреляционными функциями RT (т) = а^ (т), R^ (т) = о22 Г2 СО-
Тогда если r-у (т) > г2 (т) при т ЕЕ [0, Г0Ь то согласно теореме сравнения [147], при произвольно выбранном уровне Я > 0 будет выполняться неравенство
№ Wo. >Н. O^t^T.>> Р^ Wg2 > Н, 0<Z< Го}- (4.8.1)
По аналогии с соотношениями (3.6.10) и (3.6.11) физически пояснить такой результат можно следующим образом. Нормированные корреляционные функции г (т) характеризуют линейную связь между значениями ^ to и £ (t + т). Поэтому случайный процесс ^ (0, имеющий большие значения rt (т) на некотором интервале тЕ [0, Г0Ь с большей вероятностью сохраняет свою величину о1“1^1 (^) > Н в течение всего этого интервала t ее [0, г0].
Если ^ (£) и £2 (^) — гауссовские стационарные процессы с М{^ (^)) = М{^2 (^)) = 0 и некоторыми корреляционными функциями Ry (т) и R^ (т), то из условия 7?! (0) > R^ (0) непосредственно следует
М{^ (-Я, Я)} < М{£2 (-Я, Я)}, (4.8.2)
где £к (—Я, Я) — относительная длительность пребывания (4.2.12) траектории £к ^Y ^ ^ tot ^о + Г] процесса £к to 7 & = 1, 2, в интервале уровней [—Я, Я].
При некоррелированности ^ (£) и £2 (^) для случайного процесса ц (^) = ^ (0 + ^2 (^) будет, кроме того, справедливо
неравенство
МЯП (-Я, Я)} < min [М{^ (-Я, Я)}, М{£2 (-Я, Я)}].
(4.8.3)
Такие простые результаты совместно с соотношениями (1), (3.6.10) и (3.6.11) достаточно часто оказываются полезными при сравнительных оценках и качественных исследованиях поведения траекторий сложных стохастических систем [27, 98, 45].
По аналогии со случайной величиной (4.2.1), характеризующей относительную длительность пребывания траектории £ (£), t е [^07 ^о + ТА = [0, ТА процесса £ (0 над уровнем Я, можно рассматривать более общие Zn — характеристики превышения [34]:
Z^H,T) = -^xn(t;H)dt, хп^Н)Ц^~НТ’
(4.8.4)
где п = 0, 1, 2, . . . Из определений (4.2.1) и (4) видно, что при п = 0 значение Zo (Я, Т) = t+ (Я).
Если £ (£) — гауссовский стационарный процесс с М{£ (£)} = 0, дисперсией о^2 = 1 и корреляционной функцией Я (т) = о^2г (т) = = г (т), то математическое ожидание случайной величины (4)
М {Zn (Я, Т» J (£ - Hf Pl (Е) ^ = (2л)-*/2 J % - НТ e-^d^.нн
(4.8.5)
Дисперсия величины Z^ (Я, Т^ определяется на основе общей формулы
D [Zn (Я, 71)] = -у^ ^ Rx (^2 — ^i) ^2 ^^i =о о
о
которая после нахождения корреляционной функции Нх (т) процесса хп (^; Я) с использованием разложения (4.2.9) приводит к окончательному результату [34]
DVZ^H, Г)] = ^^ {^ir1^-^!?^^-HT^P^wV /С=1Н
ок=1о
Рис. 4.24. Определение площади S+ (Я) положительного выброса траектории случайного процесса £ (/) над заданным уровнем НРис. 4.24. Определение площади S+ (Я) положительного выброса траектории случайного процесса £ (/) над заданным уровнем НK'/7(S;N)Z7,5K'/7(S;N)Z7,5Рис. 4.25. Характер плотности вероятности площади положительных выбросов гауссовского стационарного процесса над высоким уровнем Я 5Рис. 4.25. Характер плотности вероятности площади положительных выбросов гауссовского стационарного процесса над высоким уровнем Я 5
Рис. 4.24. Определение площади S+ (Я) положительного выброса траектории случайного процесса £ (/) над заданным уровнем Н
Рис. 4.24. Определение площади S+ (Я) положительного выброса траектории случайного процесса £ (/) над заданным уровнем Н
K'/7(S;N)
Z7,5
K'/7(S;N)
Z7,5
Рис. 4.25. Характер плотности вероятности площади положительных выбросов гауссовского стационарного процесса над высоким уровнем Я 5
Рис. 4.25. Характер плотности вероятности площади положительных выбросов гауссовского стационарного процесса над высоким уровнем Я 5
При тг = 0 первая сумма в этом выражении отсутствует и резуль" таты (5) и (6) согласуются соответственно с формулами (4.2.3) и (4.2.11).
При изучении положительных выбросов над высокими уровнями Н ^> сг траектория случайного процесса £ (0 в окрестности выброса может аппроксимироваться параболой второго порядка (4.4.31). Использование такой аппроксимации дает возможность, помимо нахождения плотности вероятности р (т; Н), определить и распределение площади выбросов [67, 75].
Если длительность положительного выброса, начавшегося в момент времени t = t0 на уровне Н, обозначить через т, то площадь этого выброса (рис. 4.24) будет определяться выражением
8 = 84^= $ [^)-ЩД.
Пользуясь параболической аппроксимацией формы выброса (4.4.31) и учитывая соотношение (4.4.32), получим
т
=j (?о'х+4- ^"х2 Уж=4- ^°'т2+4" ^°"т3=4 ^3 ^°т2- о
(4.8.7)
Следовательно, для нахождения плотности вероятности р (5; Н) случайной величины S необходимо знать совместную плотность вероятности р0 (^^ £0") для значений производных £0' = £' (£0) и £о" = 6" (^о) в момент начала положительного выброса на уровне Н. После замены переменной £0' на S согласно равенству £о' = V^!^qYSA4\ следующему из (7), имеем
ро (^', ^)^о'^о" = ро([-|-(М2 Sp , & j X
х 4 [4 ет^2р дзаь".
Выполняя замену переменной £0" = z3 и интегрируя правую часть этого равенства по всем возможным значениям z, получаем общую формулу для плотности вероятности площади выбросов
р (5; Я) =’2$ Р° (z2 (3672)*А, z3) z4 dz» Н>о. (4.8.8)
О
Применительно к гауссовским стационарным процесса £ (О при высоких положительных уровнях Н, когда выполнено условие (4.5.37), в выражении (7) можно положить £0" ~ г^Н и, следовательно, £0' = [(3/2)(—Го^Я)^]1/3. При этом из формулы (4.5.34) получим
р (5; Я) = V3V/3 5-l/»exp {—V2 (Х5)2/з),
X = 3/2(Я2/о3)(—г0")1/2, Я > о.(4.8.9)
Характер такой зависимости показан на рис. 4.25.
Если интересоваться средним числом положительных выбросов в единицу времени N^ (Н | S > 5т) на уровне Н ^> ст, площадь которых 8 превышает некоторую величину 8т1 то определить это можно по формуле
я/ (Я I8 > 8^ = Ях+ (Я) $ р (8; Я) dS-N? (Я) [1 - ^ (8т; Я)].
(4.8.10)
Общее среднее число выбросов Я/ (Я) для гауссовского процесса £ (i) дается выражением (2.2.9) при т^ = 0, а функция распределения F (5; Я) площади выбросов 5 = S+ (Я), соответствующая плотности вероятности (9) и входящая в формулу (10)t имеет вид
^(5;Я)=1-ехр[-4-^-(4^Г^УА}' Н>°-
(4.8.11)
Если же выполняются соответствующие условия эргодичности для процесса £ (^), то справедливы равенства
Иш(Я),
Т-*оо 1
im ^^НД\^<^ =^Л(я|т+ <т)
Т—ОО7
и, следовательно, при достаточно больших длительностях Т в качестве оценки F (т; Я) функции распределения F (т; Я) длительности положительных выбросов т+ (Я) может быть принята величина
F (т; Я) = тг+ (Я, Т 1 т+ < х^п* (Д, Т).(4.8.12)
Предположим, что стационарный гауссовский процесс g (0 с m^ = М {£ (£)} = 0 имеет нормированную корреляционную функцию вида
г(т) = -|-е-|г|/У?/1__1_е-2|т|/У^(4.8.13)
и соответственно спектральную плотность
S ^ = («2 + 3^ V») ’(4.8.14)
Для длительности временных интервалов Tf (0) между последовательными пересечениями траекторией £ (£) уровня h = 0 в этом случае удается получить точные аналитические выражения функции распределения F (т; 0) и плотности вероятности р (т; 0) [150]:
^№0) = !-^^№0) = !-^(1 _ 2^;/«3-2Тт2(1 _ 2^;/«3-2Тт2(3 , Тт2 \ ,
^№0) = !-^
^№0) = !-^
(1 _ 2^;/«3-2Тт2
(1 _ 2^;/«3-2Тт2
Л1 ^4" Н > Тт ) +
2 т/1 — 2у 2)
+ 3-2J КЦ’
) 4л ( (1 _ Vt2) (1 + 2Vt2) Е(^)+ (3-2Vt2) X "K(Vt)-E(VT)18(1-27^
L Yr2 J+ (3-2Vt2)(1 + 27t2) X
X [л1 (-4- + -¥-»Тг)-К(Тт)]}.(4.8.15)
Здесь
i/л/2
ут=^-А_(1 — е“г/^] 2Е(^)_ ^ у^—/i:2sin2ср с?ф,
о
Л/2
К(А:)^=(!/]/"!—А281п2ф)^ф,
о Л/2
Л1 (v, к) = t ^=======-,
J (1 + v sin2 ср) ]Л1 — к2 sin2 ср
Рис. 4.26. Сравнение приближенного (пунктирная линия) и точного (сплошная) результатов для плотности вероятности р (т; 0)Рис. 4.26. Сравнение приближенного (пунктирная линия) и точного (сплошная) результатов для плотности вероятности р (т; 0)16 /з /з (со2 + з) (СО2 + 1/3)16 /з /з (со2 + з) (СО2 + 1/3)S (со) =
Рис. 4.26. Сравнение приближенного (пунктирная линия) и точного (сплошная) результатов для плотности вероятности р (т; 0)
Рис. 4.26. Сравнение приближенного (пунктирная линия) и точного (сплошная) результатов для плотности вероятности р (т; 0)
16 /з /з (со2 + з) (СО2 + 1/3)
16 /з /з (со2 + з) (СО2 + 1/3)
Рис. 4.27. Сравнение приближенного (пунктирная линия) и точного (сплошная) результатов для функции Q (т; 0)
S (о) =S (о) =16 Уз/з
S (о) =
S (о) =
(СО2 + з) (со2 4-1/3)
На основе таких результатов можно, в частности, оценить точность некоторых приближенных методов нахождения функций р (т; 0) и F (т; 0). В качестве примера на рис. 4.26 и 4.27 показаны точные результаты для р (т; 0) и Q (т; 0) = 1 — F (т; 0), вычисленные по формулам (15), и приближенные результаты (пунктирные линии), полученные на основе метода квазинезависимых интервалов (разд. 4.4) по формуле (4.4.63). Расчеты выполнены здесь численными методами [1381.
Сравнение приведенных результатов показывает их хорошую согласованность в достаточно широком диапазоне изменений т (или переменной х = 2лА/эт).
Для гауссовского стационарного процесса £ (^), согласно выражению (4.5.40), длительность положительных выбросов т+ (/г) при возрастании относительного уровня h характеризуется распределением Релея:
Р (т; /г) = V4 (—г0") А2т exp {—Vs (—г0") 7г2т2},
F (т; /г) = 1 — ехр {—гк (—г о") 7г2т2}, т > 0, 7г ^> 1.
В соответствии с этим наиболее вероятное значение длительности выбросов тш (/г), определяемое из условия шах р (т; Л) =
= Р (тт; /г),
тт = тт (7г) = 2/7г (-г0")Ч(4.8.17)
а для среднего значения и дисперсии получим
тср (Л) = М {т+ (Л)} = 4- У -^ , D [т+ (Л)] = ^^.
(4.8.18)
Если интересоваться средним числом положительных выбросов в единицу времени Ny (/г | т1? т2), длительность которых т+ (Л) при высоких уровнях h находится в интервале [т17 т2], т2 > т1У то с учетом формулы (2.2.9) найдем
КУ (h | тъ т2) = МУ (A) [F (т2; 7?) - F (т1; Л)] =
= (—2л ' е-/‘2/2 [ехр (4" Го"^2т12) — ехР У" го'^У ] •
(4.8.19)
Важно отметить, что на основе формул (4.6.38), (4.6.46) и (4.6.44) подобные результаты могут быть записаны для процессов с распределением Релея, с логарифмически нормальным распределением и для некоторых функционально преобразованных случайных процессов.
Если случайный процесс ц (£) характеризуется логарифмически нормальным распределением (2.5.34), то плотность вероятности р (т; 77) длительности положительных выбросов т+ (77) этого процесса ц (£) при высоких уровнях Н описывается формулой (4.6.46).
Согласно этой формуле, для средней длительности выбросов ^ср (Я) = М {т+ (Л)} получим
тср (H) = lxp(x;H)dx =(4.8.20)
0*
где параметр —гУ определяется соотношением (2.5.39).
С другой стороны, при выполнении соответствующих условий эргодичности для средней длительности положительных выбросов тср (77) процесса ц (£) над произвольным уровнем 77 > 0 по формулам (4.3.6), (2.5.34) и (2.5.36) найдем
тср(Я) = т(#)=^>^.=
= (_ у^ [1 — Ф (ст"1 In Я)] e№(4.8.21)
где Ф ^ — интеграл вероятности (П-1).
Учитывая, что при возрастании х значение 1 — Ф (я) ~ ~ (х ]/2n)-1 ехр (—х2/2У можно заметить, что с увеличением относительного уровня о"1 In Н ^> 1 формула (21) переходит в формулу (20).
При рассмотрении характеристик пересечений уровней отмечалось (разд. 2.8), что для стационарных случайных процессов с гауссовским и %2-распределением выходы за уровень Н У> 0
при возрастании этого уровня Н —» оо становятся независимыми и последовательность положительных пересечений может при этом рассматриваться как стационарный пуассоновский поток случайных событий. Используя такую особенность, можно записать простой результат для распределений длительности интервалов между отдельными пересечениями.
Действительно, обозначим через т^+ (Я) длительность временного интервала между положительным пересечением и следующим за ним /с-м (к = 1, 2, 3, . . .) положительным пересечением уровня Н траекторией случайного процесса ^ (/), а через ркл. (т; Щ — плотность вероятности случайной величины Та+ (Я). Тогда, предполагая в соответствии с формулами (2.8.3) и (2.8.5), что поток положительных пересечений характеризуется интенсивностью ц = = N* (Я), для плотности вероятности р^ (т; Щ получим [34]
рн (т; Щ = ц^т (цт)^1/^ — 1)1 т )> 0, к = 1, 2, . . .
(4.8.22) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины т?^ (Д') будут при этом равны
М {т^ (Я)} - к/^ D [т,+ (Я)] = к/Д.
В частном случае, при к = 1, для длительности временного интервала т1+ (Я) между двумя соседними положительными пересечениями уровня Я из выражения (22) найдем
А+(т; Я) = И^\ М (т1+ (Я)} = 1/ц, Я [т1+(Я)] = - 1/pi2.(4.8.23)
Плотность вероятности (22) соответствует гамма-распределению с параметрами к и ц = Я/ (Я). Временные интервалы т1+ (Я) являются здесь взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальной плотностью вероятности (23).
Рассмотрим случайный процесс £ (£), представляющий собой сумму £ (£) = ^ (£) + £2 (0 ДУХ стационарных гауссовских процессов (£) и £2 (£), для которых М {^ (0} = М {g2 (0} = 0,, а спектральные плотности S^ (/) и S2 (/) имеют вид частотных характеристик фильтра Баттерворса
Рис. 4.28. Плотности вероятностей длительности временного интервала между двумя последовательными положительными пересечениями уровня К суммой двух гауссовских процессовРис. 4.28. Плотности вероятностей длительности временного интервала между двумя последовательными положительными пересечениями уровня К суммой двух гауссовских процессов
Рис. 4.28. Плотности вероятностей длительности временного интервала между двумя последовательными положительными пересечениями уровня К суммой двух гауссовских процессов
Рис. 4.28. Плотности вероятностей длительности временного интервала между двумя последовательными положительными пересечениями уровня К суммой двух гауссовских процессов
= т+ (/г) + т“ (/г) длительностей положительного т+ (/г) и примыкающего к нему отрицательного т- (/г) выбросов процесса £ ((£) на уровне к. Данные эксперимента приведены для случая «высоких» уровней И = Н!о^ = 2 при /В1 = 20, /вз = 40 кГц и нескольких значениях коэффициентов кг и к^.
Плотности вероятностей рг (т; к) для рассматриваемого случая имеют в области малых т (или малых х = 2л/В1т) многопиковый характер. В целом же общий характер поведения функций рА (т; к) при к = 2 хорошо согласуется с предписываемой формулой (4.8.23) экспоненциальной зависимостью.
Предположим, что £ (£) — стационарный гауссовский процесс с математическим ожиданием М {£ (£)} = 0 и спектральной плотностью S (/), описываемой функцией (4.8.24) при п = 8. В разд. 4.5 при рассмотрении плотности вероятности р (т; к) длительности т+ (к) положительных выбросов отмечалось, что при отрицательных уровнях к происходит «затягивание» правой ветви функции р (т; /г) и нарушение свойства унимодальности.
На рис. 4.29 представлены данные экспериментального исследования [132] плотности вероятности р (т; /г) при к = —0,5; к = = —1,5; к = —2,5 и более широком диапазоне изменений переменной т. Результаты получены для гауссовского процесса £ (£) с параметрами /в = 20 кГц и к = /н//в = 0,2.
Плотности вероятностей р (т; /г) имеют здесь многопиковый характер, и число этих пиков с понижением уровня к возрастает. В области больших т функция р (т; к) убывает по экспоненциальному закону.
Решение многих задач, связанных с исследованием характеристик экстремальных значений (гл. 3), формально сводится к изучению пересечений нулевого уровня производной ^ (£) = = d^ (t)/dt рассматриваемого случайного процесса £ (^). Так, например, длительность временных интервалов TExt между последовательными экстремальными значениями процесса £ (0 равна длительности интервалов т^ (0) между последовательными пересечениями уровня Н = 0 процессом ^ (t); длительности интервалов тт_м = Tmin_max и т^-т = Tmax_mjn между последовательны-
Рис. 4.29. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского процесса £ (О над уровнями h < ОРис. 4.29. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского процесса £ (О над уровнями h < О
Рис. 4.29. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского процесса £ (О над уровнями h < О
Рис. 4.29. Плотности вероятностей длительности положительных выбросов гауссовского процесса £ (О над уровнями h < О
ми локальными минимумом и максимумом, максимумом и минимумом процесса £ (£) равны соответственно длительностям положительного Т£'+ (0) и отрицательного выброса т^- (0) производной ^ на уровне Н = 0.
Следовательно, задачи нахождения плотностей вероятностей PExt (О, рт-м (т), Рм-т М Случайных ВвЛИЧИН TExt, ^т-М, ТМ-т эквивалентны рассмотренным в разд. 4.4—4.6 задачам определения плотности вероятности р (т; 0) длительности интервалов между «нулями» случайного процесса.
Если £ (£) — гауссовский стационарный процесс с математическим ожиданием т^ = М {£ (£)} и корреляционной функцией R (т) = о2г (т), — R" (0) << оо, R^ (0) < оо, то, как известно, производная (£) также будет являться гауссовским стационарным процессом, для которого т^ = М {£' = 0, R^* (т) = = —dR^ (т)/йт2 = —R" (т). С учетом этой особенности отдельные результаты разд. 4.5 достаточно просто могут быть переформулированы для распределений длительности временных интервалов TExt И Тт—м = Тм-т.
Следовательно, если интересоваться длительностями временных интервалов ттах (Д) между таким локальными максимумами, то по аналогии с выражением (4.8.23) можно заметить, что они являются в данном случае взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальной плотностью вероятности
Ртах СС ^т ^ И) =Nimax 1$т^ Д ехР {— ^^imax 6т^ Д}i Н^>°>
(4.8.25)
М {^тах(/ty-Wmax (^т ^H),D[tmax (Я)] = 1/Мmax ^Н).
5
ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА ВЫБРОСОВСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Все рассмотренные в предыдущих главах характеристики выбросов относятся к классу одномерных случайных процессов (см. рис. 1), отдельные траектории которых £ (^), t ЕЕ [О, ТА представляют собой непрерывные функции времени I, со значениями £ (^), которые изменяются на вещественной оси £ (£) ЕЕ (—оо, оо). Ясно, однако, что разнообразие практических задач приводит к разнообразию вероятностных моделей реальных процессов, а следовательно, изучая более общие модели, могут быть получены различные обобщения задач типа «выбросов случайных процессов». В этой главе показаны особенности некоторых таких обобщений.
Характеристики совпадений выбросов
Предположим, что одновременно наблюдается к дифференцируемых случайных процессов ^ (^), е2 (^), . . ., ^к (£), траектории которых (0, t ЕЕ [*0, ^о А- ТА, I = 1, к, на рассматриваемом интервале времени [£0, t0 + ТА могут несколько раз пересекать заданную кривую a (ty Случаи, когда траектории всех процессов ^t СО» i = 1, к, одновременно находятся над функцией а (0, будем для краткости называть совпадениями положительных выбросов. На рис. 5.1 показаны совпадения выбросов траекторий двух случайных процессов ^ (£) и £2 (^).
Число совпадений выбросов п^ (а, Т) на интервале [^0, ^о + + ТА и длительность совпадений т^ (а) являются случайными величинами. В зависимости от конкретно решаемой задачи можно интересоваться средними значениями, дисперсиями, корреляционными моментами или распределениями этих случайных величин V (а, Г) и Tfr+ (а).
Рассмотрим наиболее распространенную задачу — определим среднее число совпадений положительных выбросов к случайных процессов. Различные варианты такой задачи исследованы в работах [2, 3, 25].
Будем предполагать, что известна совместная плотность вероятности р^ (^ (0, . . ., ^ (0» £/ ^У • • -, ^V (0) для значений рассматриваемых процессов ^ (0> г = 1, к, и значений их производных £/ (^), г = 1, к, в один и тот же момент времени. Функцию а (£) для простоты будем считать непрерывной и однозначной.
Нетрудно видеть, что определение числа совпадений выбросов п^ (а, Т) эквивалентно подсчету на интервале времени [^0, ^о + ^1 числа импульсов случайного процесса ц (i), получаемого из исходных процессов ^ (t), г = 1, к, путем следующего нелинейного преобразования:
к
П (t) = П и (^ (/) — а ^, 1=1(5.1.1)
где U (ж) — единичная ступенчатая функция: U (я) = 1 при ж > 0 и U (ж) = 0 при х 0.
Дифференцируя процесс
Рис. 5.1. Совпадения положительных выбросов траектории двух случайных процессовРис. 5.1. Совпадения положительных выбросов траектории двух случайных процессовл Wл Wкк
Рис. 5.1. Совпадения положительных выбросов траектории двух случайных процессов
Рис. 5.1. Совпадения положительных выбросов траектории двух случайных процессов
л W
л W
тГ(г) = ^№ = 2 Г(£/-<№—«)П С7(^-й)1, (5.1.2)
3=1 Li=lJ
г^3
О),о,О),о,11' (0 > о,П'(0<0-11' (0 > о,П'(0<0-(5.1.3)(5.1.3)можно заметить (см. рис. 5.1), что моменты появления совпадений фиксируются положительными значениями производной if (t). Следовательно, совпадения положительных выбросов можно характеризовать процессом £ (i), который учитывает только значения if (0 > 0:
О),о,
О),о,
11' (0 > о,
П'(0<0-
11' (0 > о,
П'(0<0-
(5.1.3)
(5.1.3)
Используя единичную ступенчатую функцию, выражение (3) можно записать в виде
кк
5(0 = 2 [(5/ -а') и ^-а’) 6 (Ь-а)П £7 (gt — а) 1 . (5.1.4)
J=1 Lг=1J
г АЗ
Число совпадений выбросов над заданной кривой а (£) на интервале [i0, t0 + ТА = [0, ТА будет при этом равно сумме положительных дельта-функций на этом интервале (см. рис. 5.1):-
т о
Для математического ожидания числа совпадений получим т
Nk+(a,T) = M{n^(a,T)} = ^M^^dt,(5.1.6)
о
тде
M {£ (0) = 2 M Г &' - а') и а/ - а') 6 ^ - а) П U (^ - j= 1 Li=l
г^з
Математическое ожидание процесса £ (£) находится осреднением выражения (5) с 2/г-мерной плотностью вероятности р2/с (. . .):
мо)} = 2 $$ IGy-^^y-^s&.-^x
3=1 —ОООО
к
X П и ^ - а) р^ &,... , ^ ^^ ^1... d^ cl^... d^'-
1=1 г^з
Пользуясь известными правилами интегрирования с дельта-функцией и выполнив интегрирование по переменным Е/, . . ., £,-../, ^74i\ • • ч W с учетом свойства согласованности плотностей вероятностей, получим
/l ТОООООООО
AV (а, Т) = 2 J dt $ d^x • • • $ d^_x J d^x • • • $ d^ X j=l о a(f)a(t)a(0a(t)
X ^ (£/ — & ) Pk+i (£b • • • i £j-b a (0> ^+1» • • • i ^ki £/) ^j •
(5.1.7)
Эта формула дает общее выражение для среднего числа совпадений положительных выбросов к случайных процессов ^ (£), §2 (£), • • ч ^к W наД заданной функцией a (t) на интервале времени длительностью Т..
Выполнение количественных расчетов на основе полученной формулы (7) оказывается весьма сложным. Поэтому целесообразно рассмотреть несколько более простых частных случаев.
Предположим, что требуется определить среднее число совпадений выбросов N^ (а, Т) для взаимно независимых случайных процессов ^ (0, ^2 Wi • ^к (0- Тогда
к
Р2к (Ь, Ь, • • •, 5k, Ь', ^2', ■ ■ • , ?/) — Пр (Si, li)
г=1
зи, следовательно,
м {? (0) = 2 м W -а')и №/ -а')6 ^ - a)>х
RК оо оо
X П M{t/Qi— a)} = 2 $ $ (W — «ЧЩ^ — ^б^ — a)X г=1j=l —00 —00
к оо
Хр2(^ЛУ)^^уП $ и^-а)р^Мх.(5.1,8)
г=»1 —оо г 7^3
• Выполнив интегрирование с дельта-функцией по ^, и подставив полученное выражение в (6), приходим к результирующей формуле для среднего числа выбросов к независимых процессов над заданной функцией a (t) на интервале [О, ТУ.
К ТООА* оо
= S J^ S ^i -Ф*ЖМ'П $ P^dU (5.1.9) 3=1 0a'^г=1 а^
г^з
Если в этой формуле положить а (Г) — Н = const, то получим выражение для среднего числа совпадений выбросов, превышающих фиксированный уровень Н:
к Тоок оо
Я/ (Я, Т) = 2 pi J VP2 (И, У) d^' пр &) d^.(5.1.10)
j=l ОО1=1 Н
г 5^3
Предположим теперь, что процессы |г- р), i — 1, к, взаимно независимы и стационарны в узком смысле. Тогда подынтегральное выражение в выражении (6) не зависит от времени и среднее число совпадений выбросов
А' ОО"к оо
W т^т^, jMM'II ^р&№-(5.1.Н)
3=1 Ог=1 н
г^з
Отсюда легко находится среднее число совпадений положительных выбросов над уровнем Н для стационарных независимых процессов в единицу времени:
"к ооА’ оо
N^ (Я) = -1- AV (Я, Т) = V J 15Ъ (Н, £/) d^ П J Р ^ d^.
(5.1.12)
Здесь первый интеграл справа
J ^Р» (Н, У) Ч/ = Nt j (Н) .(5.1.13)
о
совпадает с выражением (2.1.22) и определяет среднее число выбросов в единицу времени процесса ^j (t) над уровнем Н, а интеграл
^paod^=p^^>m’'(5.1.14)
if
характеризует вероятность превышения процессом ^ (/) заданного уровня Н.
Если подставить значения (13) и (14) в формулу (12), то получим кк
N^H)^ Nta(H)IV Р^^>Н>.(5.1.15)
j=l1=1
Для вероятностно идентичных случайных процессов ^ (t^ £2 W1 • • -i £к (0 формулы (9) и (15) соответственно упрощаются:
Т СОООk
Nk+ (а, П = Цй1 J (Г - а') р2 (а ^ Г) <Г $ Р ® ^1 ,
О а'(0^а(0
(5.1.16)
Nk+ (Н) = W (Я) Р,:^ {£ (/) > Я}.(5.1.17)
Заметим, что формулу (15) можно записать иначе. Действительно, согласно выражению (4.3.6), для стационарного эргодического процесса ^ (^) справедливо соотношение
^з (Я) Nt з (Я) = Р {^- (0 > Я},(5.1.18)
в котором т; (Я) — средняя длительность положительных выбросов процесса gj (£) над уровнем Н. Следовательно, если рассматриваемые стационарные процессы ^ (^), £2 (£), . . ., £к (£) обладают эргодическим свойством, то, подставив в формулу (15) выражение вероятности Р { ^, (£) > Я} из (18) получим
кк
^-+(Я) = 2 (тДЯ^ПтЛЯЭЯ^Я). .(5.1.19)
3=11=1
Эта формула совпадает с известным выражением, определяющим среднее число совпадений независимых импульсных потоков [61].
Конкретизируем результаты (15) и (17) для частных моделей процессов.
Предположим, что взаимно независимые стационарные случайные процессы ^ (£), £2 СО, • м ^ (О характеризуются гауссовским распределением, имеют математические ожидания М {^ (£)} = О, г = 1, к, и одинаковые корреляционные функции Я (т) = о2г (т), —R" (0)<оо.
Тогда в формуле (17) нужно положить
р {£ (О > Я) = 1 - Ф (Я),Я1+ (А) = ^ (- тй"^ ехр (-А2/2),
'(5.1.20)
где
h = Я/ст, —г0" = —(Рт ^/dx2, |т=0.
При этом для среднего числа совпадений выбросов над уровнем Я в единицу времени получим
Як+ (fe) ^= kNp (Л) [1 - Ф (Л)]А’"1 =
=&1^[1-ф^"1ехр(--т)-<5Л21)
Рис. 5.2. Влияние числа процессов к и уровня h на относительное среднее число совпадений выбросов гауссовских процессовРис. 5.2. Влияние числа процессов к и уровня h на относительное среднее число совпадений выбросов гауссовских процессов(2.5.50), для рассматриваемого(2.5.50), для рассматриваемого(5.1.23)(5.1.23)(5.1.26)(5.1.26)
Рис. 5.2. Влияние числа процессов к и уровня h на относительное среднее число совпадений выбросов гауссовских процессов
Рис. 5.2. Влияние числа процессов к и уровня h на относительное среднее число совпадений выбросов гауссовских процессов
(2.5.50), для рассматриваемого
(2.5.50), для рассматриваемого
(5.1.23)
(5.1.23)
(5.1.26)
(5.1.26)
Для анализа количественных зависимостей полезно рассмотреть отношение
(5.1.22)(5.1.22)AV (h^N^ (К) = к [1 - Ф (Т^Л
(5.1.22)
(5.1.22)
характеризующее влияние числа исследуемых процессов к и уровня h на среднее число совпадений положительных выбросов. Соответствующие результаты представлены на рис. 5.2. Из них видно, что увеличение числа процес
сов к и возрастание уровня h приводят к быстрому уменьшению относительного числа совпадений;
Предположим, что наблюдению доступны огибающие Ах (£) и А 2 (0 двух независимых квазигар- монических процессов ^ (£), £2 (^), имеющих корреляционные функции Rx (т) = о12р1 (т) cos со^, Д2 (т) = о22р2 (т) cos (о2т. Зададим два фиксированных уровня Нх > О и Я2 )> 0 и определим среднее число совпадений положительных выбросов процесса Лх (£) над уровнем Нх и выбросов процесса Л2 (О над уровнем Н^.
Согласно результатам (1.7.17), случая имеем
Р {Ai (0 > НО = ехр (- НОМ2),
— р/ (0) = — d2Pi (t)/cZt2 |т=0, i = 1, 2,
и, следовательно, по формуле (15) найдем
^№,я.; 1)= [^(^)V. +У"] х
<5Л-24)
Если pi (т) = р2 (т), Hx/gx = HJa^ = Н/о ^> 0, то —р/ (0) = = —р2" (0) = —р" (0) и результат (24) принимает простой вид
Я2+(Я) ^^(^^yMj^expt- я2/о2).(5.1.25)
Рассмотрим два независимых дифференцируемых случайных процесса £ (£) и ц (£), один из которых является гауссовским, а второй характеризуется экспоненциальным распределением. Плотности вероятностей таких процессов соответственно равны
р^ (£) = (2л<т2)-'/= ехр {—(| — zn)2/2cr2},
Ри Си) = ^ ехР (—М)« ^ > 0,
а нормированные корреляционные функции обозначим через г^ (т) и г2 (т). Будем интересоваться средним числом совпадений положительных выбросов процесса | (^) над уровнем Н^ и процесса ц (0 над уровнем Н^ > 0.
Поскольку для ц (^), согласно (26) и (2.5.22), справедливо
Р {т] (?) > Н^ = ехр (— ХН^,
Nt, п (Я.) = (ZL^L^L) 72 еХр (- ХН^(5.1.27
то с учетом выражений (20) на основе (15) находим
я2+ ^, Я„; 1) = А_ [_ r< (0)]’/2 ехр (- 4- - ^) +
+ (jL^W^)72 [1 — ф (А)] е-кн\(5.1.28)
где к = (Я^ — m^la. Н^ > 0.
При рассмотрении к случайных процессов ^ (£), g2 (£), . . . . . ., ^ (t)> помимо среднего числа совпадений положительных выбросов N^ (Я), в некоторых задачах необходимо знать среднюю длительность таких совпадений тс+ (Я).
По аналогии с результатами разд. 4.3 определить величину vc+ (Я) можно следующим образом. Предположим, что исследуемые процессы gf (£), 1 = 1, к, являются стационарными, взаимно независимыми и обладают свойством эргодичности. Зададим некоторый уровень Я и обозначим длительность произвольно выбранного v-ro совпадения положительных выбросов над этим уровнем через Tvc+ (Я), v = 1, 2, 3, . . . Тогда по аналогии с выражением (4.3.3) среднюю длительность совпадений определим предельным равенством
п^Н, Т)
V№=Hm-A^ у ^(Я),(5.1.29)
Т к ’у=1
где тгк+ (Я, Т) — число совпадений выбросов на интервале [£0, to + ТА.
" Учитывая теперь, что для рассматриваемой задачи выполняются условия
-п^н, Т)
НшА У, т^Щ=Р^)>Н,...ЛК.^>1П = т—оо^—<
/Г
=П ры^>т, i=l
Ji 4-п^ ^Н' г) = м {^+ ^ !)} = ^+
Рис. 5.3. Траектория двумерного векторного случайного процесса j (0 = {^1 W, £2 (0} на фазовой ПЛОСКОСТИ (^ §2)Рис. 5.3. Траектория двумерного векторного случайного процесса j (0 = {^1 W, £2 (0} на фазовой ПЛОСКОСТИ (^ §2)
Рис. 5.3. Траектория двумерного векторного случайного процесса j (0 = {^1 W, £2 (0} на фазовой ПЛОСКОСТИ (^ §2)
Рис. 5.3. Траектория двумерного векторного случайного процесса j (0 = {^1 W, £2 (0} на фазовой ПЛОСКОСТИ (^ §2)
получим
V (Я)=П Р fe (О > Я}/я/ (Я). i=l
Значение NV (Н) определяется здесь формулами (15) или (19)# а, следовательно, окончательное выражение для средней длительности совпадений положительных выбросов над уровнем Н будет иметь вид_
V(tf) = (S Мг(Я)/Р{М0>Я}) =(3 №(#)]) • 1=11=1
(5.1.30)
Выбросы двумерного векторного процесса
Многие задачи теории надежности и задачи исследования устойчивости систем по своему содержанию приводят к необходимости изучения вероятностных характеристик, связанных с выходами векторных случайных процессов за границу некоторой области допустимых значений. Моменты выходов в таких задачах обычно отождествляются с моментами отказов или потерей устойчивости рассматриваемой системы [7, 45]. Аналогичные задачи возникают при пространственно-временной обработке сигналов, анализе вибраций в технике, статистическом описании сложных динамических систем и в некоторых других случаях.
Рассмотрим двумерный векторный процесс £ (£) = {^ (£), $2 (0 7 ^ ^ TY компонентами которого являются непрерывные и дифференцируемые случайные функции времени ^ (£) и £2 (0 >
t ЕЕ [^о? ^о + ТА со значениями, изменяющимися на вещественной оси ^ (£) G (~оо, оо), i = 1, 2. Если компоненты ^ (£) и £2 ^ интерпретировать как координаты точки на плоскости (£1? £2)е то процесс £ (£) геометрически можно представить (рис. 5.3) в виде совокупности траекторий {^ (£), £2 (£)}. В свою очередь, отдельные траектории компонент ^ (£), £2 (£) могут иметь вид, аналогичный выборочной функции, показанной на рис. 1. Плоскость (^Л2) является в данном случае фазовым пространством (фазовой плоскостью) двумерного векторного процесса £ (£). Изменения значений £ (£) во времени описываются движением фазовой (или изображающей) точки (^ (£), £2 (£)) по некоторой . кривой — фазовой траектории на плоскости (£1? £2).
Зададим некоторую область допустимых значений Q, границы которой Г определяются (см. рис. 5.3) из условий (£) S ЕЕ [— Н^ Я2], £2 (£) ЕЕ \—Н^ Я21; и рассмотрим задачу нахождения характеристик выбросов траектории двумерного процесса £ (£) из заданной области й.
Выходы траектории (^ (^), £2 (£)) из области Q через границы АВ и А'В' (см. рис. 5.3) могут происходить только за счет выходов компоненты ^ (£) за уровни -Y-Hi при условии, что вторая компонента £2 № находится в интервале V—H^ Н^. Аналогично выходы траектории (^ (£), £2 (О из области Q через границы А А' и В В' являются следствием выходов компоненты £2 (i) за уровни +Н2 при условии ^ (£) ЕЕ V—Hv Н^. Учитывая эту особенность, для среднего числа выбросов N^ (Q, 71) двумерного процесса £ ^ из заданной области Q на интервале [£0, t0 + 71] можно записать общую формулу
N^ (Q, Г) - VN^ (Ях, Л + Nr (^Н^ 7)1 Р а2 (0 е
е Y—н, я2]} + YN* (я2, 7) + TV2- (-я2, Т)] Р {L (О е
El-H^ Н^,(5.2.1)
где N^ (+Hb Т) — среднее число положительных или отрицательных выбросов одномерного процесса ^ (0, г = 1, 2, на интервале [^0, £0 + ТА за соответствующий уровень А-Щ.
Пребывание траектории (^ (£), £2 (£)) процесса | (£) в области Q эквивалентно совместному выполнению условий ^ (£) ЕЕ [—НТ) Hj] и ^2 (0 е I—Я2, Я2]. Следовательно, для среднего значения Т^ (Q) относительной длительности пребывания процесса £ (£) в заданной области Q будет справедливо равенство
^ (й) = Р {£ (0 е Q) = Р {^ (0 е 1-Яи яа,
g2 (0 е [-Я2, я2]}.(5.2.2)
В свою очередь, если известны значения Т^О?) и N^ (Q, Т^ то по аналогии с формулой (4.3.6) может быть найдена и средняя длительность выброса двумерного процесса ^ (^) из области Q:
Поскольку компоненты ^ (^) и £2 (^) в общем случае могут быть взаимно зависимыми, то для вычисления характеристик (1)—(3) необходимо знать совместную плотность вероятности р (£1? g2, £/> ^2 ) Для значений компонент ^ (^), £2 (^) и их первых производных ^' (^), ^2' (^) в один и тот же момент времени.
Если ^ (^) и ^2 (^) обладают свойством стационарности и взаимной независимости, то для входящих в формулы (1)—(3) вероятностей можно записать
-Нг
P^i^eV-H4,H^= S Р&№ i = l,2,.
-и4 -(5.2,4)
Р {^ (0 ЕЕ [- Нь Я1] л2 ^ ее [- я2, Я2]} =
= $ Р W $ p^d^ -нх-н^
а для среднего числа выбросов, согласно (2.1.22) и (2.1.23),, будут справедливы выражения
^(Яй Т^Т^^ркН^^',
°0(5.2.5)
Nr{-Hi,T) = -T $ ^’Pk-H^av, i = l,2,
где р (^) — одномерная плотность вероятности процесса ^ (г), г = 1, 2, а р (+Я7-, £/) — совместная плотность вероятности р (£ь £/) Для значений компоненты ^ (£) и ее производной £/ (£) в один и тот же момент времени при ^ (t) = +Я;, г = 1, 2.
Воспользуемся формулами (1)—(5) и рассмотрим два конкретных частных случая.
Предположим, что процесс £ (£) = {^ №, е2 №} является двумерным гауссовским стационарным процессом с непрерывными дифференцируемыми и взаимно независимыми компонентами ^ (^ и g2 (^), для которых М {^ ^ = М {^2 №} = О, а корреляционные функции соответственно равны Нт (т) = Oi2^ (т), Я2 (т) = = а22г2 (т).
Формулы (4) и (5) с учетом результатов (4.2.15) и (2.2.9) имеют вид
т(0е[-яйяш=ф(4^ф^ Z = 1’2’
\ г /\/
(5.2.6)
т/ Н-2 \
N> {Hi, Т) = Нг {- Hi, T^^i- п" (0)JV» exp ( - ^-) ,
и, следовательно, для такого процесса £ (£) на основе (1) —(3) получим
н^ (£2) = ^ ^ (fi, Т) = ± [- ТГ (0)]-А х
X ехр (- НГ12ог^ ГФ (^1) - Ф (-=^) 1 +
+ 4" t- г2" (О)]1^ ехр (- НГМ^ [ф ^-Ф (^2-)] ,
fg(£2) = ( -T^IN^W(5-2‘7)
Будем теперь считать, что компоненты ^ (^) и ^2 (^) двумерного стационарного случайного процесса ^ (^) = {^ №, ^2W}
являются взаимно независимыми и характеризуются соответственно гауссовской и релеевской плотностями вероятности:
Р (£1) = (2л<Т12)-*/2 ехр {— ii2^2},^ (?) е (— оо, оо),
Р ^ = ^<т~2 ехр {- ^22/2а2},g2 ^ s (0, оо),(5.2.8)
Корреляционные функции компонент ^ (?) и £2 (?) обозначим через A СО = <гЛ СО и Нг ^ = а22р (т), где <т22 = Ra (0) = (2 — л/2) <т2, а область допустимых значений Q зададим неравенствами —II л ^ < ^ (?) < нх, о < £2 (?) < я2.
Тогда для гауссовской компоненты ^ (£) будут справедливы выражения (6), а для компоненты £2 (£) в соответствии с (8) и (2.5.13) в формулах (1)—(3) нужно положить
р & (0 ЕЕ [0, Я2]} = 1 - ехр (- нгт
№ ф^ Т)=т( — р"(0) )^ (2 - -j^2 ^- ехр (-Я2 W)-
Окончательный результат будет при этом иметь вид
М5 (£2) = ^Я$ (Q, Т) = 4 [- г" (0)р ехр (- Н?]^ X
X [1 - ехр (- Я22/2о2)] + ( ^21ГА (2 -^1 х
X ехр (- я22/2о2) [ф (^-) - Ф (^^J ,
ГЕ(£3) = [Ф(^)-Ф(4к)][1_ехр(-^)), ^(^-(l-T^Wig^)-(и‘ • }
Перейдем к рассмотрению иной задачи. Будем предполагать, что поведение некоторой системы характеризуется ее состоянием £ (£) и скоростью £' (£) = d^ (£)Ж. Плоскость (£, £') является при этом фазовой плоскостью исследуемой системы (или процесса) £ (£), и при изменении параметра t от t0 до £0 + ^ движение изображающей точки М с координатами (£ (^), £' (£)), по существу, отражает на плоскости (£, ^) особенности изменений во времени траектории £ (0, £ €Е Ио, ^о + ТА.
Для иллюстрации] на рис. 5.4 показаны отдельная траектория 5 (^), t ^ [^0, ^0 + Т\ случайного процесса ^ (^) и характер изменения соответствующей ей траектории X ^ ^, t^ t [£0, t0 + Т] на фазовой плоскости (^, ^'). Цифрами 1—9 помечены особые точки траекторий, соответствующие значениям ^ (^) в последовательные моменты времени ^ < ^2 < . . . < ^э на интервале [£0, £0 + Т\.
Рассмотрим особенности поведения фазовой траектории X ^, ^', ^) процесса ^ (^) на плоскости (^, ^') и найдем характеристики выбросов этой траектории из области допустимых значений Q. Границы области Q зададим при этом в виде эллипса
W^> 0,(5.2.11)
Рис. 5.4. Отдельная траектория § (О, ie [О, Г] случайного процесса g (0- и соответствующая ей траектория (£ (/), £' (/)), t s [О, Г] на фазовой плоскости ^ ^)
где о2 — дисперсия процесса £ (^), с^2 — дисперсия производной
Задачи подобного типа обычно возникают при исследовании динамики сложных стохастических систем. Отдельные частные варианты таких задач рассматривались в работах [5, 75, 134].
Решим сформулированную задачу для случая, когда £ (£) является гауссовским стационарным и дважды дифференцируемым процессом. Будем при этом считать, что М {£ (£)} = 0, а корреляционная функция процесса £ (0 имеет вид
R (т) = а2г (т),—г0" = —d2r (т)/Ут2 |t=0 < 00 >
r^ = d4r (тУ^т4 |T=0 < OO.
Из рис. 5'4 несложно заметить, что фазовая траектория X (L £', t) пересекает полуось 0^' в те моменты времени ^, когда функция £ (£) пересекает нулевой уровень снизу вверх. Поскольку процесс £ (£) гауссовский, то для среднего числа пересечений (0^, 7) траекторией Ж (£, £', £) полуоси 0^' на интервале времени [£0, to + 7], согласно результату (2.2.9), получим
N^^, T) = N^(0, 7) = V^W^^(5.2.12)
По аналогии с этим для среднего, числа пересечений N^ (—^'0, 7) траекторией X (£, £', t^ t е [£0> tQ + 7] полуоси —^0 можно записать N^ (—%, 0, 7) = N^r (0, 7), и, кроме того, в данном случае
Ns (-0g', Г) = N<e (0g', Т) = V2^ (0, Z) = (7/2л) /^?.
(5.2.13)
Поведение производной V (^) в моменты пересечений процессом ^ (^) нулевого уровня описывается плотностью вероятности
(2.10.10):
Ро &/1^= 0) -^-exp (- go'W), |o' e (- oo, co), (5.2.14) где
^ = -d?R ^№ |T=0 = -(T2^.
В соответствии с этим наиболее вероятными значениями g0', пРи которых траектория <55 ^ ^. f) пересекает на плоскости (g, g') ось —g'g', являются значения g0' = гЕ^У-^о" = i^i-
Моменты пересечений траекторией <55 (g, g', £) на фазовой плоскости (g, g') оси абсцисс совпадают с моментами появления локальных экстремумов выборочной функции g (£). Следовательно, пользуясь формулой (3.2.6), для среднего числа пересечений N<e (0g, Г) полуоси 0g и среднего числа пересечений N^ (—g0, Т) полуоси — g0 функцией <55 (g, g', f) на интервале |70, t0 + ТА получим
N^ (0g, 7) = N^ МО, Z) - (V2) WExt (П =
= (772л) f-row/ro".(5.2.15)
Для нахождения характеристик выбросов траектории <55 (g, g', f) из области допустимых значений Q введем вспомогательный случайный процесс
Л ^ = [(В (tM + (Г (0/^)2JVs Л ^ > 0.(5.2.16)
Этот процесс ц (£) характеризует поведение модуля двумерного вектора с компонентами cHg (£) и o^g' (^). При прохождении фазовой траектории <55 (g, g', t) через границу заданной области (И) значения ц (t) =К = const. Если в этот же момент времени ц' (£) = = d-x\ (t)!dt )> 0, то это означает, что изображающая точка М выходит из области Q. Поэтому среднее число выходов N^ (Q, Т) траектории <55 (g, g', f), t EE l£0> ^o + ТА из области Q совпадает co средним числом положительных выбросов N^- {h, Т) процесса •q (^) над уровнем h. В свою очередь,
М^^.Т^тЗч'Р^.ч')^'»(5.2.17)
о
и, следовательно, для нахождения N^ (й, Т) необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности р (ц, ц') для значений процесса ц (^) и его производной ц' (^) в один и тот же момент времени.
Продифференцировав равенство (16) по переменной ^, имеем
П' ^ = ^' (i) [(T^g (0 + а^" (t)]/^^ (t) + о^ (t).
.(5.2.18)
Теперь из выражений (16) и (18) находим
у_ , бщ' у “ТГГТТТу_ (2lYg — ^ifiWУо2^-^, 5 —— G^' V G1 5 + ° 6\ 6 J 6+02^2- ^-2•
-(5.2.19)
Воспользуемся формулой (1.5.21) и перейдем в ней от переменных g' и g" к новым переменным л и л' в соответствии с равенствами (19). Якобиан преобразования переменных независимо от знаков перед корнем
D = д ^, ^/8 (л, л') = о2^!2!!2 (Л]2 - g2)"1. (5.2.20)
Так как преобразование переменных (19) является двузначным, то согласно известным правилам при вычислении плотности вероятности р (g, ц, ц') нужно в формулу (1.5.21) подставлять новые переменные раздельно для двух разных подобластей и получающиеся при этом два выражения сложить.
Проделав соответствующие вычисления, получим
~2Df Т]21G4(5]2T)2T)/2 )
р (^ Л> Л ) =гт- ехр75, -9 9 1 V9X I =
1 v 1 7(2л)/з G1Y/г (2 2Т (5 п — £ ) J
(5.2.21)(5.2.21)G251Y)2г { Л2 1(З4^!2^2'^'2 I
(5.2.21)
(5.2.21)
— ТГУУУГууТЗТу®ХР [27 (eV — ?2) ] ’
где v = о4 (г0(4) — г0"2).
Интересующая нас плотность вероятности р (л, л ) в данном случае будет равна
ОТ)
Ph,1!')^ $ Р & П» Л') ^-
—от)
Подставив это выражение в формулу (17) и полагая л — ^, можем написать
NS(h,T)=T JtW $ p^^-q')^^ h °
= T § d,^ J л'р (£, й, Л') ^л'-
—ohо
После подстановки сюда плотности вероятности (21) и выполнения интегрирования получим окончательную формулу для среднего числа выбросов фазовой траектории Ж (|, g', ty t ^ [£0, t0 + + ТА гауссовского процесса g (^) из области допустимых значений Q:
N$ (Q, Т) = 2Vn+ (А, Т) = L§3L1 Не-№^ =
Л /2б(51
(5.2.22)(5.2.22)m ( п Г т*(4)П Л V2
(5.2.22)
(5.2.22)
= — — —^— - (- Г^ 1ге-^.
Л ( Л L — ro v J
Поскольку при гауссовском процессе £ (t) производная ^ (t) также является гауссовским процессом, то из определения (16) можно заметить, что введенный вспомогательный случайный процесс ц (£) характеризуется одномерной плотностью вероятности Релея: р^ (ц) = ц ехр (—ц2/2), ц > 0. Из этого, в частности, следует, что среднее значение относительной длительности пребывания Т^~ (й) фазовой траектории Ж (£, £', ^) вне заданной области й будет равно
IV (Й) = Р {ц (0 > /г} = ехр (—^/2).(5.2.23)
Если исследуемый процесс £ (t) обладает свойством эргодичности, то на основе результатов (23) и (22) несложно найти выражение для средней длительности т^ (й) выбросов фазовой траектории Ж (£, £', 0 процесса £ (0 из области допустимых значений й:
г 4 Г г^Ы*"1/2
т , (Q) =^1N^ (Q, 1) = 7^ К2л {— [-^ - (- г»")]]•
(5.2.24)
Полученные результаты позволяют описать особенности поведения траектории Ж (£, £', 0 случайного процесса £ (0 на фазовой плоскости (£, £') и показывают достаточно простую связь между характеристиками выбросов одномерного случайного процесса £ (£) и соответствующими характеристиками двумерного векторного процесса {£ (^), ^ (f)}.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приведем некоторые справочные формулы, которые использовались при изложении основного материала и могут оказаться полезными при вычислении характеристик выбросов в отдельных конкретных задачах:
X
1. ф(ж)—^ е у2/2 dy,
ф(—ж) = 1 — ф(^).
(П-1)
2. erf (ж) =e-lj2 dy,
Vn J у0
erf с (ж) = —Д- ^~у2 dy.
(П.2)
3. Ф (ж) — 14 еНс ( —
2К /2
j ,erf (ж) = 1 — erfc (ж).
(П.З)
4. Г (ж) = С у^е'У dy, х'
>0;
(П.4)
Г(1/2) = /л, Г(1) = 1, Ге/г)=/л/2;
Г (я + 1) = х Г (х), Г (/г + 1) = п\ при п целом положительном.
А (а; р; + 2) = IM- £(± .)",
71=0
- 4-; 4": - 4"ж2)=е-х2/2 + /^ф И — х V^- (п.5) yU+V- -Х/й ^
WK ц (ж) = —^р- \ е-хЧ^-‘^ (1 + t^-'^dt.(П.6)
Wx, ц М= , 4-ЭД , 1Л (4- +н - Ь; 1 + 2н; ^ e-w=+^ + г(^--^-4 х*
+4^г 1^1 (4 — И — ^;1 — 2Н; 4 е-^2^1/^. (П.7)
r^ + ii-x) х’
При больших положительных х
- ф W = Ф (- „) =+
-±|± + (-1)п±^;^^!1+(П.8) <Х>
^ ехр(—рх2 + qx) dx == у ^ ехР (^") ’ Р/*^*(П-9)
exp (— рас2 + qx) dx = j/^-j-Ф exp ^^-^. Р > 0.
°(П.10)
“^^-‘■•"’■^-^■^^(п.11)
0 0г 5
12.
(П.12)(П.12)У0 0
(П.12)
(П.12)
Частные значения интеграла
+ оо+°°±о°
Л±,±,= $$ ...$ 1Ит-..|£п'|х
00о
X Рп (О, О,..., О, Е/, ^',..., ^„') d^' d&... d^,
где ри (^, g2, . . ., g„, g/, £2', . . ., £n') — совместная плотность вероятности для значений £г = £ (i,) и временных производных £/ = £' (#г), i = 1, 2, . . ., п, гауссовского стационарного процесса £ (i) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Кц = R ^t — tj\ Обозначим
D =D =Rh. RlnЛп1 • • • RnnRh. RlnЛп1 • • • RnnVrsVrs^rs .(^ss)7 ’ '^rs .(^ss)7 ’ '
D =
D =
Rh. Rln
Лп1 • • • Rnn
Rh. Rln
Лп1 • • • Rnn
Vrs
Vrs
^rs .
(^ss)7 ’ '
^rs .
(^ss)7 ’ '
J (+’ H^-VV^rM1 - V12T + vi2 arccos (- v12)],(П.13)
/2
J (+, -)= ^Г к! - vi22)V2 - V12 arccos (v12)],(П.14)
7 2
J ( + > +) +)^g^^^ t I (Vi^ I"/2 + (aiS1 + a2S2 + “З53)]’
Л(11.15)
/(+,_,+) = -^«^1 [ 1 (Vi.) p/2 + ai (S1 _ я) +
+ a2s2 + a3 (s3 — л)],(П.16)
/(+,-,-) = ^J^ [ IЫ l1^ + aisi + a2 (S2 - л) +
+ «3(^3 — л)].(П.17)
Здесь | (v^-) I — детерминант, из элементов v^-;a2, a3, s2, s3
получаются циклической перестановкой индексов из ai = V31V12 +
+ V23,+ V23,^! = arccos^! = arccos^31^12 — *^23' .(1-V3i2)v41-V322),/2^31^12 — *^23' .(1-V3i2)v41-V322),/20^5(^л.0^5(^л.
+ V23,
+ V23,
^! = arccos
^! = arccos
^31^12 — *^23' .(1-V3i2)v41-V322),/2
^31^12 — *^23' .(1-V3i2)v41-V322),/2
0^5(^л.
0^5(^л.
ЛИТЕРАТУРА
Амиантов И. Н., Тихонов В. И. Функция корреляции случайной последовательности прямоугольных импульсов // Радиотехника. 1959 Т. 14, № 4. С. 9—19.
Бабушкин Е. Ф. О средней частоте совпадений выбросов случайных процессов // Сб. докл. на 22 Всесоюз. науч, сес., посвящ. Дню радио. Секция теории информации. М., 1966. С. 29—37.
Бабушкин Е. Ф. О среднем числе совпадений выбросов векторных случайных процессов // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 3. С. 629—632.
Беляев 10. К. О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом. I, II И Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. 11, № 1. С. 120—128; 1967. Т. 12, № 3. С. 444—457.
Беляев Ю. К. О числе выходов векторного случайного процесса за границу области // Там же. 1968. Т. 13, № 2. С. 333—337.
Беляев Ю. К. Исследование случайных потоков, порожденных случайными процессами: Дне. . . . докт. . физ.-мат. М.: МГУ, 1969.
Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука. 1979. 335 с.
Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. 351 с.
Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.
Булинская Е. В. О среднем числе пересечений некоторого уровня стационарным гауссовским процессом // Теория вероятностей и ее применения. 1961. Т. 6, вып. 4. С. 474—478.
И. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции / Пер. с англ.: Под ред. В. И. Тихонова. М.: Сов. радио, 1972. Т. 1. 744 с.
Вибрации в технике: Справочник. М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. 352 с.
Вопросы математической теории надежности / Под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. 376 с.
Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации / Пер. с англ.; Под ред. Г. С. Горелика. М.: Сов. радио, 1955. 128 с.
Выбросы случайных полей: Сборник статей / Под ред. Ю. К. Беляева. М.: Изд-во МГУ, 1972. 118 с.
Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Петрова. М.: Наука, 1984. 304 с.
Геранин В. А., Симонова Г. Д. К анализу точности измерения математического ожидания длительности выброса стационарного случайного процесса // Отбор и передача информ. 1972. Вып. 31. С. 28—31.
Гнеденко Б. В., Коваленко И. И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. 432 с.
Голубева В. А., Масарик В. А. О вычислении дисперсии числа пересечений некоторого уровня гауссовским процессом // Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16, № 6. С. 967—971.
Голубева В. А., Чистяков В. П. Об асимптотике моментов числа пересе-
чений стационарным гауссовским процессом некоторого уровня И Теория вероятностей и ее применения. 1968. Т. 13, вып. 3. С. 574—576.
Гумбель Э. Статистика экстремальных значений / Пер. с англ.; Под ред. Д. М. Чибисова. М.: Мир, 1965. 450 с.
Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.
Дунаев А. С., Мухомедяров Р. Д., Воронин В. И. Средняя частота следования выбросов стационарного случайного процесса, имеющего Р-рас- пределение // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, № 4. С. 838— 842.
Ершов М. П. Предельная теорема для числа пересечений уровня стационарным гауссовским процессом// ДАН СССР. 1967. Т. 177, № 6. С. 1259—1269.
Жуков В. П., Олейник Н. Г. Среднее значение и дисперсия числа импульсов на выходе многоканальной схемы совпадений// Тр. МЭИ. 1975. Вып. 231. С. 28—31.
Исследования по случайным полям: Сборник статей / Под ред. Ю. К. Беляева. М.: Изд-во МГУ, 1974. 112 с.
Калашников В. В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. М.: Наука, 1978. 248 с.
Картвелишвили Н. А. Теория вероятностных процессов в гидрологии и регулировании речного стока. Л.: Гпдрометеоиздат, 1985. 192 с.
Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений / Пер. с англ.; Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Наука, 1966. 588 с.
Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи / Пер. с англ.; Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Наука, 1973. 900 с.
Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Пер. с англ.; Под ред. В. И. Неймана. М.: Машиностроение, 1979. 432 с.
Коваленко И. НКузнецов Н. IO., ШуренковВ. М. Случайные процессы: Справочник. К.: Наук, думка, 1983. 367 с.
Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ.; Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1975. 648 с.
Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы / Пер. с англ.; Под ред. Ю. К. Беляева. М.: Мир, 1969. 400 с.
Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. О длительности выбросов случайной функции// ЖТФ. 1954. Т. 24, № 1. С. 103—112.
Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов И Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5, вып. 1. С. 84—102.
Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. 296 с.
Ланге Ф. Г. Статистические аспекты построения измерительных систем / Пер. с нем.; Под ред. Б. Р. Левина и Г. Я. Мирского. М.: Радио и связь, 1981. 168 с.
Левин В. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1974. Т. 1. 552 с.
Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении / Пер. с англ.; Под ред. 10. Н. Бакаева, М. В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978. 598 с.
Лошаков Л. Н., Хайкин С. Э. Экспериментальное исследование поведения динамической системы при случайных начальных условиях // ЖЭТФ. 1936. Т. 6, № 8. С. 856—869.
Мартынов Г. В. Вычисление функции нормального распределения // Итоги науки и техники. Теория вероятностей: Математическая статистика: Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 17. С. 57— 84.
Мирошин Р. И. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: ЛГУ, 1981. 212 с.
Моргунов Л. Н. Распределение длительностей выбросов огибающей ква- зигармонического сигнала И Радиотехника. 1970. Т. 25, №3. С. 26—29«
Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И. А. Ушакова. М.: Радио и связь, 1985. 608 с.
Найак П. Р. Применение модели случайного поля для исследования шероховатых поверхностей // Тр. амер, о-ва инженеров-механиков: Проблемы трения и смазки. 1971. Т. 93, № 3. С. 85—95.
Немировский А. С. Борьба с замираниями при передаче аналоговых сигналов. М.: Радио, и связь, 1984. 208 с.
Обрезков Г. В., Разевиг В. Д. Методы анализа срыва слежения. М.: Сов. радио, 1972. 239 с.
Островитянов Р. В., БасаловФ.А. Статистическая теория радиолокации протяженных целей. М.: Радио и связь, 1982. 232 с.
Питербарг В. И. Центральная предельная теорема для числа пересечений уровня гауссовским стационарным процессом // Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т. 23. вып. 1. С. 185—189.
Питербарг В. И. Сравнение функций распределения максимумов гауссовских процессов // Там же. 1981. Т. 26, вып. 4. С. 702—719.
Питербарг В. И. Гауссовские случайные процессы /7 Итоги науки и техники. Теория вероятностей: Математическая статистика: Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 155—199.
Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3, № 3. С. 165—180.
Провоторов Ю. И. Среднее число и распределение модуля экстремумов суммы гармонического колебания и нормального шума // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1975. Т. 18, № 7. С. 982—989.
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.
Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. 496 с.
Рожков В. А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. 280 с.
Рубцов В. Д. Выбросы огибающей атмосферного шума // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 1. С. 64 — 71.
. Рубцов В. Д. Выбросы случайного процесса после функционального преобразования И Там же. 1980. Т. 25, № 1. С. 207—208.
Свириденко В. А. К расчету среднего времени достижения заданных границ нормальным процессом пемарковского типа // Там же. 1972. Т. 17, № 11. С. 2447-2449.
Седякин II. М. Элементы теории случайных импульсных потоков. М.: Сов. радио, 1965. 262 с.
Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения: Сб. ст. / Под ред. Ю. К. Беляева. М.: Мир, 1978. 280 с.
Случайные процессы и поля: Сб. ст. / Под ред. Ю. К. Беляева. М.: Изд-во МГУ, 1979. 104 с.
Смирнов Н. В., Большее Л. Н. Таблицы для вычисления функции двумерного нормального распределения. М.: ВЦ АН СССР, 1962.
Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Маркова. М.: Связь, 1979. 592 с.
Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. 558 с.
Суворов Б. И. Дисперсия числа выбросов нормального шума // Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16, № 1. С. 76—79.
Суворов Б. И. Дисперсия числа выбросов нормального узкополосного шума // Там же. № 12. С. 2233—2238.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1984. 735 с.
Тихонов В. И. Распределение выбросов нормальных флюктуаций по длительности / Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1. № 1. С. 23—33.
Тихонов В. И. Воздействие больших флюктуаций на электронное реле // Там же. №2. С. 213—224.
Тихонов В. И. Воздействие малых флюктуаций на электронное реле// Вести. МГУ. 1956. № 5. С. 31-41.
Тихонов В. И. Влияние дифференцирования и интегрирования флюктуаций на среднее число выбросов И Радиотехника и электроника. 1957. Т. 2, № 1. С. 23—27.
Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392 с.
Тихонов В. И. Достижение границ марковским процессом И Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1972. Т. 17, № 11. с. 413—425.
Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.
624 с..
Тихонов В. И. Первое время достижения границ случайным процессом И Изв. вузов СССР. Радиофизика, 1985. Т. 28, № 4. С. 471—480.
Тихонов В. И., Амиантов И. Н. Плотности вероятностей для длительностей выбросов флюктуаций И Радиотехника, 1960. Т. 15, № 9. С. 9—20.
Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. Радио, 1977. 488 с.
Тихонов В. Им Толкачев А. А. Воздействие ненормальных флюктуаций на линейные системы И Изв. АН СССР. ОТН. 1956. № 12. С. 48—56.
Тотов Н. Об асимптотической нормальности ^-характеристик превышения стационарного гауссовского процесса // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1978, № 2, С. 27—31.
Троицкий И. Н^ Устинов Н. Д. Статистическая теория голографии. М.: Радио и связь, 1981. 328 с.
Фалькович С. Е.^ Хомяков Э. И. Статистическая теория измерительных радиосистем. М.: Радио и связь, 1981. 288 с.
Фокин IO. А. Вероятностно-статистические методы в расчетах систем электроснабжения. М.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.
Фомин Я. А. Теория выбросов случайных процессов. М.: Связь, 1980. 216 с.
Харач Г. М., Экслер Л. И. Об определении характеристик микрогеометрии поверхности со случайной шероховатостью при расчетах трения и износа И Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа. М.: Наука, 1971. С. 169—175.
Хелстром К. В. Статистическая теория обнаружения сигналов / Пер. с англ.; Под ред. Ю. Б. Кобзарева. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 432 с.
Хименко В. И. О влиянии параметров формы распределения на среднее число выбросов стационарного случайного процесса И Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1975. Т. 18, № 9. С. 10—13.
Хименко В. И. О локальных максимумах и минимумах стационарного гауссовского процесса И Там же. 1976. Т. 19, № 1. С. 93—96.
Хименко В. И. О нормированных спектральных моментах стационарных случайных процессов И Там же. Радиофизика. 1976. Т. 19, № 8. С. 1188-1192.
Хименко В. И. Характеристики выбросов траекторий стационарных случайных процессов И Зарубеж. радиоэлектрон. 1981. № 6. С. 3—34.
Хименко В. И. О дисперсии оценки среднего числа пересечений заданного уровня траекторий стационарного гауссовского процесса И Изв. вузов. СССР. Радиофизика. 1982. Т. 25, № 3, с. 313—321.
Хименко В. И. О поведении производной в моменты пересечений случайным процессом заданного уровня И Там же. № 7. С. 797—804.
Хименко В. И. Статистические характеристики выбросов гауссовского процесса // Там же. 1984. Т. 27, № 3. С. 306—313.
Хусу А. П., Витенберг Ю. Р., Палъмов В. А. Шероховатость поверхностей. М.: Наука, 1975. 344 с.
Цейтлин Е. Е. Среднее число максимумов огибающей квазигармони* ческого процесса // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 10. С. 2034—2037.
Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей / Пер. с нем.; Под ред. В. В. Калашникова. М.: Мир, 1979. 268 с.
Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 280 с.
Arnold, H. W., Bodtman W. F. Interfade interval statstucs if a Rayleigh— distributed wave//IEEE Trans. Commun. 1983. Vol. COM-31, N 9. P. 1114—1116.
Berman S. Asimptotic independence of the numbers of high and low- level crossings of stationary Gaussian processes // Ann. Math. Statist. 1971. Vol. 42, N 3. P. 927—945.
Berman S. M. High level sojourns for strongly dependent Gaussian processes // Zeitschr. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. 1979. Bd. 50, N 2. S. 223—236.
Blachman N. M. FM reception and the zeros of nerrow — band Gaussian noise // IEEE Trans. Inform. Theory. 1964. Vol. IT-10, N 3, P. 235— 241.
Blachman N. M. Zero-crossing rate for the sum of two sinusoids or a signal plus noise//Ibid. 1975. Vol. IT-21, N 6. P. 671—675.
Blachman N. M. Narrowband Gaussian noice: variance of the number of zero crossings // Electron. Lett. 1978. Vol. 14, N 3. P. 75—76.
Blake I. F.^ Lindsey W. Level-crossing problems for random processes H IEEE Trans. Inform. Theory. 1973. Vol. IT-9, N 3. P. 295—315.
Blotekjaer K. An experimental investigation of some properties of bandpass limited Gaussian noise /// IRER Trans. Inform. Theory. 1958. Vol. IT-4, N 3. P. 100—102.
Brehm H., Wolf D. The distribution of level-crossing time-intervals о Gaussian random signals//AEG. 1975. Bd. 29. N 10. S. 415—420.
Cheng Shi-hong. On high level occupation times for some stationary processes И Acta math. appl. sinica. 1983. Vol. 6, N 3. P. 332—342..
Cobb S. M. The distribution of intervals between zero-crossing of sinewave plus random noise and allied topics П IEEE Trans. Inform. Theory. 1965. Vol. IT-11, N 2. P. 220-233.
Crandall S.H. First-crossing probabilities of the linear oscillator U J. Sound and Vibr. 1970. Vol. 12, N 3. P. 285—299.
Crandall S. H., Chandiramani K. L., Cook R. G. Some first-passage problems in random vibration// J. Appl. Meeh. 1966. Vol. 33. P. 532—538.
Cuzick J. A central limit theorem for the number of zeros of a stationary Gaussian processes П Ann. Probab. 1976. Vol. 4, N 4. P. 547—556.
Gnedenko B. Sur la distribution limite du terme maximum d’une serie aleatoire // Ann. Math. 1943. Vol. 44, N 3. P. 423—453.,
Huang S. T., Cambanis S. Spherically invariant processes: their nonlinear structure, discrimination and estimation//!. Multivar. Anal. 1979. Vol. 9, N 1. P. 59—83.
Iwase K. Estimation for a stationary Gaussian process by the numbers of crossings of levels // Rep. Statist. Appl. Res. Union Jap. Sci. and Eng. 1975. Vol. 22, N 3. P. 24—36.
Кас M., Slepian D. Large excursions of Gaussian processes// Ann. Math. Statist. 1959. Vol. 30, N 4. P. 1215—1228.
Leadbetter M. R. Extreme value theory for continuous parameter stationary processes II Inst. Statist. Mimeo. Ser. 1980. N 1276. P. 39.
Leadbetter M. R., Lindgren G., Rootzen H. Extreme and Related Properties of Random Sequences and Processes. N. Y.: Springer, 1983.
Levenbach H. Approximate zero-crossing distributions using the type — В Gram — Charlier series П IEEE Trans. Inform. Theory, 1965. Vol. IT-11, N 4. P. 507—512.
Lindgren G. Point processes of exist by bivariate Gaussian processes and extremal theory for the %2-process and its concomitants//J. Multivar. Anal. 1980. Vol. 10, N 2. P. 181—206.
Lindgren G. Extreme values and crossing for the x2-process and other functions of multidimensional Gaussian processes, with reliability applications П Adv. Appl. Probab. 1980. Vol. 12, N 3. P. 746—774.
Lindreg G. Jumps and bumps on random roads//J. Sound and Vibr. 1981. Vol. 78, N 3. P. 383—395.
Lindgren G. On the shape and duration of FM — clicks П IEEE Trans. Inform. Theory. 1983. Vol. IT-29, N 4. P. 536—543.
Lindgren G. Shape and duration of clicks in modulated FM transmission // Ibid. 1984. Vol. IT-30, N 5. P. 728—735.
Longuet-Higgins M. S. On the intervals between successive zeros of a random function П Proc. Roy. Soc. London A. 1958. Vol. 246, N 1244.
Longuet-Higgins M. S. The distribution of intervals between zeros of a stationary random function H Philos. Trans. Roy. Soc. London A. 1962. Vol. 254, N 1047. P. 557—559.
Me Fadden J. A. The axis-crossing intervals of random functions // IRER Trans. Inform. Theory. 1956. Vol. IT-2, N 4. P. 146—150; 1958; Vol. IT-4, N 1. P. 14—24.
Mimaki T. Zero-crossing intervals of Gaussian processes// J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44, N 1. P. 477—485.
Mimaki T., Munakata T. Experimental results on the level crossings intervals of Gaussian processes H IEEE Trans. Inform. Theory. 1978. Vol. IT-24, N 4. P. 515—519.■
Mimaki T., Shimizu T. Correlation between zero-crossing intervals of Gaussian processes H J. Phys. Soc. Jap. 1974. Vol. 36, N 6. P. 1690—1692.
Mimaki T., Tanabe M., Wolf D. The multipeak property of the distribution densities of the level-crossing intervals of a Gaussian random process П IEEE Trans. Inform. Theory. 1981. Vol. IT-27, N 4. P. 525—527.
Munakata T., Wolf D. The probability distribution density of the sum of two adjacent level-crossing time intervals with Gaussian random processes II EUSIPCO-80.
I-st Europ. Signal Process. Conf., Swiss Feel. Inst. Technol (EPFL). Lausanne, 1980. P. 55—56.
Orsingher E. Planar Gaussian motions generated by crossing events И Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1980. Vol. 25, N 3. P. 61—86.
Pearson K. Tables for Statisticians and Biometricians. Cambridge: Univ, press, 1931. Pt-2, table VIII.
Rainal A. J. Axis-crossing intervals of Rayleigh processes//Bull. Syst. Techn. J. 1965. Vol. 44, N 6.
Rainal A. J. First and second passage times of sine wave plus noise// Ibid. 1968. Vol. 47, N 10. P. 2239—2258.
Rainal A. J. Approximate and exact results concerning zeros of Gaussian noise//Ibid. N 3. P. 461—463.
Rice S. O. The distribution of the maxima of a random curve П Amer. J. Math. 1939. Vol. 61, N 2.
Rice S. O. Mathematical analysis of random noise П Bell Syst. Techn. J. 1944. Vol. 23, N 3. P. 282—332; 1945. Vol. 24, N 1. P. 46—15 6.
Rice S. O. Statistical properties of a sine wave plus random noise// Ibid. 1948. Vol. 27, N 1. P. 109—157.
Rice S. O. Distribution of the duration of fades in radio transtission: Gaussian noise model П Ibid. 1958. Vol. 37, N 3. P. 581—635.
Rise S. O. Noise in FM Receivers. Ch. 25: Time Series Analysis. N. Y.: Wiley, 1963. P. 395—422.
Rice JBeer F. P. First — occurrence of high-level crossings in continuous random process 11 J. Acoust. Soc. Amer. 1966. Vol. 39, N 2. P. 323—335.
Roberts J. B. Probability of first passage failure for stationary random vibration//AIAA Journal. 1974. Vol. 12, N 12. P. 1636—1643.
Sharpe K. Some properties of the crossings process generated by a stationary x2 process// Adv. Appl. Probab. 1978. Vol. 10, N 2. P. 373—391.
Slepian D. The one — sided barrier problem for Gaussian noise//Bell Syst. Techn. J. 1962. Vol. 41, N 2. P. 463—501.
Wise G. L., Gallagher N. C. On spherically invariant random processes// IEEE Trans. Inform. Theory. 1978. Vol. IT-24, N 1. P. 118—120.
Wolf D., Brehm H. Die Verteilungsdichte der Zeitintervalle zwischen Nulldurchgangen bei Gaubschen stochastischen Signalen // AEU. 1973. Bd. 27, N 11. S. 47 7—489.
Wong E. Some results concerning the zero-crossings of Gaussian noise // SIAM J. Appl. Math. 1966. Vol. 14, N 6. P. 1246—1254.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ВВЕДЕНИЕ5
1
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Предварительные определения 11
Спектрально-корреляционные характеристики процессов . . . 14
Условия непрерывности и дифференцируемости . . .19
Общие свойства производных случайного процесса .23
Гауссовский процесс и его производные 28
Некоторые негауссовские модели случайных процессов 32
Особенности модели «сигнал плюс шум» 35
2
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЕЙ
Среднее число пересечений 45
Число пересечений уровня гауссовскими процессами 52
Число пересечений после линейных преобразований процесса*57
Число пересечений после нелинейных преобразований процесса 69
Число пересечений уровня для некоторых частных моделей процессов 75
Дисперсия числа пересечений 99
Дисперсия числа пересечений уровня гауссовскими процессами 105
Распределение числа пересечений уровня 118
Эргодичность и оценивание среднего числа пересечений 122
Условные распределения. Поведение производной в моменты пересечений процессом заданного уровня . .133
Дополнительные результаты 139;
3
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Среднее число экстремумов и их распределение . . .143
Экстремумы гауссовского случайного процесса . . .147
Максимумы некоторых частных моделей случайных процессов 154
Эргодичность и оценивание среднего числа экстремумов 165
Распределениевысоты абсолютного максимума . . .167
Дополнительныерезультаты 175*
4
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Первое время достижения границ 180
Характеристики типа длительности пребывания . .195
Средняя длительность выбросов и интервалов между
последовательными пёресечениями уровня . . . .200
Распределение длительности выбросов и длительности интервалов между пересечениями 206
Распределение длительности выбросов гауссовского процесса 229
Распределение длительности выбросов для некоторых частных моделей случайных процессов 248
Эргодичность и оценивание характеристик длительности временных интервалов 261
Дополнительные результаты 270
..5
ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Характеристики совпадений выбросов 281
Выбросы двумерного векторного процесса 287
ПРИЛОЖЕНИЕ 295
ЛИТЕРАТУРА 297
Василий Иванович Тихонов, Виталий Иванович Хименко
ВЫБРОСЫ ТРАЕКТОРИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Утверждено к печати Институтом радиотехники и электроники
Редактор В. К. Черкасов. Редактор издательства Н. А. ЕрмолаеваХудожник Б. М. Рябышев. Художественны! редактор Н. А. ФильчагинаТехнический редактор Л. И. Куприянова
Корректоры Р. 3. Землянская, Г. Н. Лащ
ИБ № 35599
Сдано в набор 19.08.86. Подписано к печати 19.01.87. Т-06013. Формат 60x90Vi6Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л. 19. Усл. кр. отт. 19,4. Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 1800 экз. Тип. зак. 2993Цена 3 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» . 1.17864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6
стационарного процесса ^ ^ описывается формулами ' (3.2.12),
S ^ = W/l,) (4.8.24)
’ 1 + (///„ )2П 1 + (///в)2п
соответственно порядка п = 4 и п = 8 (вид такой характеристики показан на рис. 4.13). Верхние и нижние частоты спектральных плотностей St (/) обозначим через /Bf и /нь i = 1, 2, и введем дополнительно коэффициенты кг = /Hi//Bi и к^ = /Нг//В1.
В. И. Тихонов, В.И. Хименко
ВЫБРОСЫТРАЕКТОРИЙСЛУЧАЙНЫХПРОЦЕССОВ
•Наука-
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Ордена Трудового Красного ЗнамениИнститут радиотехники и электроники
В.И. Тихонов, В.И. Хименко
ВЫБРОСЫТРАЕКТОРИЙСЛУЧАЙНЫХПРОЦЕССОВ
Ответственный редакторчлен-корреспондент АН СССР
В. II. СИФОРОВ
Москва
«НАУКА»
УДК 538.0 : 519.2
Тихонов В. IL, X и м е н к о В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987.
В монографии рассматриваются задачи исследования таких вероятностных характеристик, как число выбросов траектории над заданным уровнем, число экстремумов на фиксированном интервале времени, распределение наибольших и наименьших значений траектории и др. Нахождение подобных характеристик необходимо для решения практических задач из различных областей физики, техники и естествознания.
Для специалистов в области автоматического управления, статистической радиотехники, теории надежности и др.
Рецензенты:
А. А. КРАСОВСКИЙ, В. В. МИГУЛИН
1502000000—027 пТ 042(02)-87120-87-111502000000—027 пТ 042(02)-87120-87-11© Издательство «Наука», 198'© Издательство «Наука», 198'
1502000000—027 п
Т 042(02)-87120-87-11
1502000000—027 п
Т 042(02)-87120-87-11
© Издательство «Наука», 198'
© Издательство «Наука», 198'