МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

(Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»)

.М., 1981 г., 256 стр. с илл.

Редактор С. Е. Кузнецов

Техн, редактор Н. В. Кошелева. Корректоры О. А. Сигал, Л. Н. Ворована 'ИБ № 1 1226■

Сдано в набор 16.06.8 0. Подписано к печати 2 9.12.80.Т-22733

Бумага 84X1ОВ1/^ тип. № 1. Высокая печать. Литературная гарнитура. Условн. печ. л. 13,44. Уч.-изд. л. 13,53. Тираж 5000 экз. Заказ № 1815.

Цена книги 1 р. 90к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Набрано в Ордена Октябрьской Революциии ордена Трудового Красного ЗнамениПервой Образцовой типографии имени А. А. ЖдановаСоюзполиграфпрома при Государственном комитете СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

Москва, М-54, Валовая, 2 8.

Отпечатано в тип. № 2 изд-ва «Наука». Москва, Шубинский, 10. Зак. 103.

20203—008Р 053 (02)-81 73-80 J 70206000020203—008Р 053 (02)-81 73-80 J 702060000@ Издательство «Наука».

20203—008

Р 053 (02)-81 73-80 J 702060000

20203—008

Р 053 (02)-81 73-80 J 702060000

Главная редакция физико-математической дитературы, 1981

НАУЧАЙ Я^ТГШ

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора

Глава 1. Некоторые общие сведения о распределениях вероятностей 7

Вероятностные пространства ...........7

1°. Измеримые пространства (7). 2°. Распределения и меры (11). 3°. Вероятностные пространства (19).

Условные распределения . . . 25

•1°. Условные математические ожидания (25).

2°. Условные распределения вероятностей (2)).

Законы «О или 1». Регулярность 36

1°. Закон «О или 1» (36). 2°. Разложение на регулярные компоненты (38).

Согласованные условные распределения ......40

1°. Согласованные условные распределения для заданной вероятностной меры (40). 2°. Вероятностные меры с заданными условными распределениями (41).

3°. Построение согласованных условных распределе

ний (47).

Гауссовские распределения вероятностей58

1°. Основные определения. Примеры (58). 29. Некоторые вспомогательные предложения (64). 3°. Гауссовские линейные функционалы на счетно-гильбертовых пространствах (68). 4°. Полиномы от гауссовских величин и их условные математические ожидания (73). 5°. Полиномы Эрмита и кратные стохастические интегралы (78).

Глава 2. Марковские случайные поля 83

Некоторые вспомогательные предложения и основные определения 83

1°. Расщепляющие о-алгебры (83). 2°. Марксвские случайные процессы (87). 3°. Случайные псля; свойство марковости (92). 4°. Преобразования распределений, сохраняющие свойство марковости. Аддитивные функционалы (101).

Выборочные о-алгебры. Случайные множества и строго марковское свойство . . . ..107

- 1°. Выборочные о-алгсбры (107). 2°. Случайные множества (113). 3°. Согласованные случайные множества (118). 49. Строго марковское свойство (122).

Гауссовские поля. Марковость в широком смысле 131 1°. Гауссовские случайные поля (131). 2°. Расщепляющие пространства (133). 3°., Свойство марковости (135). 4°. Случайные поля с ортогональными значениями (138). 5°. Сопряженные поля. Критерий марковости (139). 6°. Условие регулярности. Разложение марковского псля на регулярную и сингулярную компоненты (141).

Глава 3. Марковское свойство обобщенных случайных функций ;144

Бисртсгональные обобщенные функции и свойство сопряженнссти 144

1°. Понятие биортогональности для обобщенных функций в гильбертовом пространстве (144). 2°. Условия сопряженнссти биортсгснальных функций (147). 3°. Свойство марковости обобщенных функций (154).

Стационарные обобщенные функции'157

1°. Спектральное представление стационарно связанных обобщенных функций (15У). 2°. Бисртсгональные стационарные функции (161). 3°. Условие сопряженнссти и критерий марковости (163),

Бисртсгональные обобщенные функции, заданные дифференциальной формой 1б6

1°. Основные определения (166). 2°. Условия мар- ксвссти (170).

Марксвские случайные функции, порождаемые эллиптическими дифференциальными формами . . . .175

1°. Броуновское движение Леви (175). 2°. Структура пространств с эллиптическсй формой (180).

3°. Граничные свойства (188). 4°. Свойства регулярности и задача Дирихле (195). .

Стохастические дифференциальные уравнения . . .202

1°. Марковские преобразования белого шума (202).

2°. Задачи экстраполяции и интерполяции (208).

3°. Броуновский лист (211).

Глава 4. Векторные стационарные функции 216

Условия существования сопряженного поля . . . .216

1 °, Некоторые спектральные свойства (216). 2°. Условия сопряженности (220).

Марковские свойства стационарных функций . . .227

1°. Свойства марковости при наличии сопряженного поля (227). 2°. Некоторые аналитические условия марковости (231).

Марковские расширения случайных процессов ...236

1°. Минимальнее неупреждающее расширение (236).

2°. Марковские стационарные процессы (239). 3°. Стационарные процессы с симметричным спектром (244).

Примечания. .248

Литература 252

Предметный указатель . . . 255

ОТ АВТОРА

В книге рассматриваются марковские случайные функции многих переменных.

Традиционно понимаемое свойство марковости случайного процесса (случайной функции одного переменного—времени) связано с понятием фазового состояния процесса и означает независимость поведения процесса в будущем от его поведения в прошлом при известном фазовом состоянии в текущий момент. Уже обращение к обобщенному случайному процессу делает нетривиальным вопрос об определении надлежащего «фазового состояния», при задании которого поведение в будущем не зависит от поведения в прошлом, Попытки перенести марковское свойство на случайные функции многомерного «времени», когда в качестве «прошлого» и «будущего» берутся произвольные взаимно дополнительные области соответствующего многомерного пространства, еще сравнительно недавно делались лишь в рамках отдельных примеров. Марковское свойство, как оно должно пониматься для. (обобщенных) случайных функций многих переменных, и есть основной предмет исследования в настоящей книге, в которой, как нам кажется, достаточно полно нашли свое отражение достигнутые в последнее время результаты, устанавливающие марковское свойство у целого ряда различных классов случайных функций, представляющих несомненный интерес как для теории, так и для приложений. В нашем исследовании оказалось удобным ввести общую теоретико-вероятностную модель, которую мы назвали случайным полем.

В книге рассматриваются непрерывные случайные

поля.

ГЛАВА 1

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯО РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятностные пространства

1°. Измеримые пространства. Пусть X — произвольное множество; рассматривая элементы х^Х и множества A s X будем называть X пространством.

Для операций над множествами будем использовать стандартные обозначения:

' U —объединение,

П — пересечение (иначе: произведение, обозначаемое иногда просто точкой),

Лс — дополнение к А,

А1\Аа = А1-А^—разность Аг и Д2,■

Аг о Л2 = (At \ Д2) и (Л2 \ АД—-симметрическая разность, 0 -пустое множество.

Системы множеств. Рассматривая различные системы множеств, мы будем придерживаться следующей терминологии.

Совокупность множеств @ пространства X называется полукольцом, если вместе с любыми входящими в нее множествами А и At она содержит их пересечение, причем, если Л^А, то множество Л может быть представлено в виде объединения конечного числа непересекаю- Щихся множеств Ап Л2, .Ап, также входящих в S:

я•

само же пространство X может быть представлено в виде рбъединения счетного числа непересекзющи^ся множеств

Лх, Л8, ... из @:

Х= U4к

Полукольцо множеств @ называется кольцом, если оно вместе с любыми входящими в него множествами Дх и Л2 содержит их сумму А^иАа-

Пусть ^—произвольное полукольцо. Тогда совокупность всех множеств A s X, представимых в виде объединения конечного числа непересекающихся множеств из @, является кольцом. Если кольцо © содержит само пространство X, то оно называется алгеброй.

Алгебра инвариантна относительно операций объединения, пересечения и перехода к дополнению, взятых в конечном числе. Систему множеств называют G-алгеброй, если это свойство инвариантности имеет место для счетного числа указанных операций.

Пересечение произвольного числа cr-алгебр снова является о-алгеброй. Для любой системы множеств @ существует ст-алгебра 91, содержащая эту систему <5. Минимальная G-алгебра 91, содержащая систему множеств @, называется G-алгеброй, порожденной этой системой.

Пример. Объединение G-алгебр. Пусть

9( = 9(1V5l2

означает минимальную о-алгебру, содержащую а-алгебры З^ и 312. Она порождается полукольцом S = 311*ЗС2 множеств вида

А = А1-А2; А1^311, Л2£9(2.

Назовем o'-алгебру 91 сепарабельной, если она порождается некоторой счетной системой множеств S. Отметим, что в случае счетной системы @ счетной является и порождаемая ею алгебра, состоящая из всех множеств, которые получаются из ^ применением операций объединения, пересечения и перехода к дополнению, взятых в конечном числе.

Говоря об измеримом пространстве X, будем иметь в виду, что в нем указана некоторая сг-алгебра 31 множеств А е X; обозначать измеримое пространство будем соответствующей парой (X, 91). В случае топологического пространства X, как правило, п-алгебра 91 порождается некоторой полной системой окрестностей (базой)

пространства X. Как правило, мы будем иметь дело с борелевской о-алгеброй, порождаемой всеми открытыми (замкнутыми) множествами, или боровской о-алгеброй, порождаемой прообразами открытых (замкнутых) множеств на прямой R1 при непрерывных отображениях <р: X R1.

Пример. Система всех полуинтервалов (х', х"] на действительной прямой X = RT образует полукольцо, а порождаемая ими о-алгебра есть совокупность всех боре- левских множеств. Этим же свойством обладает и счетная система всех полуинтервалов с рациональными концами х', х".

В метрическом пространстве X с расстоянием

Р (-^ii -^г)»^1» ^2 € ^ >

для любого замкнутого множества F г X функция

Ф(х) = inf р(х, х'), х£Х,x'GF

является непрерывной, и F есть прообраз точки 0 при отображении ф:

F — {х : ф(х) = 0}, так что всякое борелевское множество является бэровским. То же справедливо и для компакта X со счетной базой (как известно, такое пространство метризуемо).

Пример. Полукольцо, порождаемое открытыми множествами. Совокупность ^ всех множеств вида

. Л-б\\б2■

где Gtl Ga—открытые множества, есть полукольцо. В самом деле,.

л-ал^б^х^и^е®

для любых Д', А"^^, и при А"сА\ считая G^gG^G'^G;,

мы имеем л'хл^ л^л^ где л1=с;\с; и л2=g;\g; не пересекаются.

Полукольцо боровских множеств. Пусть F — замкнутое бэ,ровское множество в X, являющееся прообразом некоторого замкнутого множества В на действительной прямой У: F = (ф £ 5). Если взять какую-нибудь непрерывную’ функцию ф (у), обращающуюся в нуль на замкнутом мно-

жестве В и строго положительную вне В (например, ф (у) можно определить как расстояние от точки у € У до множества В^У), то сложная функция ф[ф(х)] будет непрерывной на X, причем рассматриваемое замкнутое бэровское множество F совпадает с прообразом {ф[ф] = 0}.

Система <2 всех замкнутых бэровских множеств F, совпадающих с прообразами нуля при непрерывных отображениях ф = ср (х) на действительную прямую, вместе с любыми входящими в нее множествами Рг и F^ содержит их пересечение Fr П F2 и объединение Рг\бР2. Например, если F^^-O} и F2 = ^2 = 0}, то Рг и F2 = {фх -ф2 = 0} и Ft Г) Р2 = (| Ф11 +1 ф21 = 0^. Система всех множеств А, представимых в виде разности Ft\F2 множеств Рг и Fa из S, Р2 S Fv является полукольцом, порождающим всю о-алгебру бэровских множеств пространства X.

Стандартные борелевские а-алгебры. Пусть (X, 91)— измеримое пространство; о-алгебру 91 называют стандартной борелевской о-алгеброй, если она изоморфна боре- .левской о-алгебре в некотором борелевском подмножестве полного сепарабельного метрического пространства. Имеет место следующее утверждение: несчетные борелеескае подмножества в полных сепарабельных метрических пространствах изоморфны между собой. Отсюда, в частности, следует, что стандартная борелевская cr-алгебра изоморфна борелевской о-алгебре в некотором метрическом компакте.

Произведения пространств. Произведением измеримых пространств (Xn 9IJ, (Ха, 912) называют пространство Х^ XvxX2 всех пар

(^1, -^г)»-^1 € Хп ^2 ^^2»

с о-алгеброй Ж, порождаемой полукольцом @ = 9Х1х9Г2 множеств А г X вида

Л = Л1хЛ2; Лг £ 9Хц Ла £ 912;

уточним, что А есть множество всех пар

(Xj, -^г)»^1 ^ -^1» ^2 ^ Л2.

Аналогично определяется произведение Х = П Xt ter ^конечного множества измеримых пространств (X,, 9lf)

где индекс / пробегает конечное множество Т; это есть пространство элементов x = \xt, t£T}, каждый из которых задается указанным набором «координат» xt£Xt с а.алгеброй 91, порождаемой полукольцом @ = J] 91/ мно-

жеств

Л = Ц А<

из элементов х £ X с соответствующими координатами xt£Atl где Л/£9[/.

Пусть Т— произвольное множество и ^Хъ 91/)—произвольное семейство измеримых пространств, зависящих от параметра t^T. Произведение Х= JJ Xt определим как пространство элементов х = {х/, t£T\, заданных набором «координат» xt £ Xt, с о-алгеброй 91, которая порождается полукольцом @ — Д 91/ цилиндрических множеств Л sX т вида

Л = {х : х5^Л5},5 s Т,(1.1)

где S означает конечное подмножество в Т, символом xs обозначена точка в пространстве Х5= ДХ/ / ё s

с теми же координатами xt, t^.S, что и у элемента х С X, а Л5 с Xs означает множество из полукольца Д 91/. Назовем (X, 91) координатным пространством.

Если Xt—топологические пространства, то цилиндрические множества (1Л) с Л5 = Д Л/, где Л/— открытые teS

множества в Xt, образуют базу в топологическом пространстве Х = Д Xt, известном как тихоновское произ- ведение. Для приложений наиболее употребительным является координатное пространство Х = ЕТ, отвечающее идентичным Xt = Е с о-алгеброй 9(/ = 93; элементы х = = х(^), t^T, этого пространства суть всевозможные функции на множестве Т со значениями в «фазовом пространстве» Е.

Р р / ^аспРеделения и меры. Неотрицательная функция г = р (л) на полукольце множеств А £ © в пространстве X

называется распределением, если

Р(Д) = ^Р№(1.2)

при А = и ЛА, где Аь Л2, ...—счетное число непересе- к

кающихся множеств из <£; в случае, когда равенство (1.2) справедливо лишь для конечного числа множеств, функцию Р обычно называют слабым распределением. Всякое слабое распределение Р может быть однозначно продолжено с полукольца S на кольцо всех множеств А г X, представимых в виде конечного объединения непере- секающихся множеств Аг, Л2, . .. £Д— это продолжение дается формулой (1.2), выражающей свойство конечной аддитивности. (Слабое) распределение Р на кольце S назовем ограниченным, если функция Р (Л) ограничена. Мы будем иметь в виду ограниченные распределения. Слабое распределение Р на кольце 3 является распределением тогда и только тогда, когда оно непрерывно в том смысле, что

Нт Р(Л„) = 0 П 00

для любой монотонной последовательности Л1эЛ2э... с пустым пересечением ПА„ = 0.

Всякое распределение однозначно продолжается в меру Р = Р(Л), Ле 91,

— счетно-аддитивную функцию на а-алгебре §(, порождаемой исходным полукольцом е; при этом

Р(Д) = 1П12Р(ЛЛ),(1.3)

где inf берется по всем множествам Av Л2,... С^, объединение которых содержит множество А.

Мера Р в топологическом пространстве X называется борелевской (бэровской), если она определена на о-алгебре §1 борелевских (бэровских) множеств.

Для любого множества А г X определим Р (Л) равенством (1.3); для Ап АЙ^Х «расстояние»

Р(А, Л2) = Р(Лго Л2)

в известной степени говорит о том, насколько отличаются

друг от друга множества Дх, ^2 ^^ *^- Пусть Р мера на а-алгебре ЗЕ Множество Л^Х называется измеримым, если имеется такое множество Д'^91, что

Р(Л o/ipo.

Если ©—кольцо, порождающее а-алгебру 9Х, то множество А измеримо тогда и только тогда, когда оно допускает аппроксимацию множествами Д6 £ S в том смысле, что

РИоЛ^е (1.4)

для любого в > 0. Совокупность всех измеримых множеств является cr-алгеброй, а формула (1.3) задает на ней ме р у Р.

Все сказанное выше с тривиальными оговорками справедливо для неограниченных распределений и мер; говоря о неограниченных мерах, нужно подчеркнуть то обстоятельство, что пространство X представимо в виде счетного объединения множеств конечной меры:

Х = U Ак (Р (Д*) < со; 6=1, 2,...).

Пусть 9Хх, 912— некоторые совокупности множеств, обладающие тем свойством, что для любых Дх£ 9llt Да£ 9(а найдутся Д1С9Х2, Д-^ЗХх, отличающиеся от Дп А, на множества меры 0:

Р(Л1О Л0 = Р(Л2о Л0 = 0;

такое свойство будем выражать равенством

9lx = 3(2 (mod 0).

Плотные меры. Борелевская мера Р в топологическом пространстве X называется плотной, если для любого измеримого множества А

Р(Д) = sup Р^),(1.5)

Г 5 А

где sup берется по всем компактам F е А. Пусть мера Р обладает тем свойством, что

Р (X) = sup Р (Л,

т. е. равенство (1.5) выполнено для Д = Х; например,

так будет для любого полного сепарабельного метрического пространства. Тогда в условии (1.5) для произвольного А компакты F можно заменить на замкнутые ЕгА. Условие (1.5), где в правой части берется sup по всем замкнутым множествам Fг А, эквивалентно тому, что

Р (Л) = inf P(G),G D AР (Л) = inf P(G),G D A(1.6)(1.6)

Р (Л) = inf P(G),G D A

Р (Л) = inf P(G),G D A

(1.6)

(1.6)

где inf берется по всем открытым G^A.

Пример. Пусть X—действительная прямая. Мера Р(А) всякого измеримого множества А определяется формулой (1.3), где inf берется по всем непересекаю- щимся полуинтервалам Aft=(x*, х'^, в сумме содержащим множество А. В то же время каждый полуинтервал (х/, х"] является пересечением счетного числа открытых интервалов, и ясно, что справедливо равенство (1.6), где inf берется по всем открытым множествам G, содержащим А.

Указанное равенство справедливо и для любого топологического пространства X, в котором борелевские и бэровские множества совпадают. Всякое множество F £ 91, являющееся прообразом нуля при некотором непрерывном отображении ф = ф(х) на действительную прямую Y; /7 = {ф = 0}, совпадает с пересечением счетного числа открытых множеств вида Ge = {] ф | < 6}: F= П G6. В силу непрерывности меры Р

P(n = infP(Ge).

Для разностей А = Л\^а таких множеств Fx и Р2 (F2 г Р^ имеем

P(A) = P(FJ-P(F2) = infP(G),

где inf берется по всем открытым множествам G вида G^Fa (Gx э FtY Мера же произвольного измеримого (по отношению к Р) множества А есть

PM) = inf5PM,к

где inf берется по всем взятым в счетном числе непере- секающимся множествам Ак вида Ак — Р1Н\р2к, образующим полукольцо в 81. Ясно, что Р(А) совпадает с ниж-

ней гранью infP(^), взятой по всем объединениям G соответствующих открытых множеств.

Слабое распределение Р на полукольце <£ назовем плотным, если всякое множество Л £ 6 сколь угодно точно аппроксимируется в смысле расстояния (1.4) компактами Г8 с= Л:

PH\Fe)<e

для любого 8 > 0. Такое слабое распределение является распределением и продолжается в плотную меру на сг-ал- гебре, порожденной полукольцом @.

Поясним, почему это так. Будем считать, что <2 есть кольцо, образованное конечными объединениями множеств исходного полукольца. Достаточно установить непрерывность Р. Если lim Р (Л„) > 0 для Л1эЛ2э... то найдется последовательность аппроксимирующих компактов р <— A F —' F —j

P(f„)>PM„)-PM„\F„)>0,

имеющих непустое пересечение

П ДсП Л„Д0. пп

Таким образом, для любой последовательности Л^ Л2э... с пустым пересечением П Л„ = 0 мы имеем

Um Р (Д„) = 0.

Произведение мер. Пусть Plf Р2 — меры в измеримых пространствах (Xlf SIj), (Х2, 912). Формула

Р(Л) = Р1(Л1).Р2(Л2) определяет распределение на полукольце @—911х9(2 всех Множеств вида

Л = Л1ХЛ2; Л^^, Л2€?Х2, в произведении X — ХххХг\ соответствующая мера Р= =РIX Ра на о-алгебре 91, порожденной полукольцом 91 х х 912, называется произведением мер Pt, Р2.

Аналогично определяется для произвольного семейства измеримых пространств (Xt, 91^), t^T, произведение мер

/е Г/е Гр=Пр»

/е Г

/е Г

в координатном пространстве Х = ЦХ# на а-алгебре 91, te 7

порожденной полукольцом © = Ц 91# цилиндрических teT

множеств вида (1.1). При этом необходимо предположить, что произведение Ц P# (X#) сходится.

Пусть X = Цх#- координатное пространство и Р— г е т

распределение на полукольце ^ = Ц 91 z цилиндрических

множеств (1.1). Равенство

Р5(Л5) = Р(Л),ле ©г(1.7)

определяет проекции распределения Р на соответствующем полукольце Ц ^# в произведении Х5 = ЦХ#; при этом t^SteS

выполняется следующее условие согласованности: для Sj s S2 распределение Ps, является проекцией распределения Ps2.

Пусть Ps, S е Т,—семейство распределений, зависящих от конечного S^T как параметра таким образом, что эти распределения являются согласованными в указанном выше смысле. Тогда формула (1.7) определяет в пространстве X = JJX# слабое распределение Р = РГ / е т

на полукольце Ц9(#.

t е 7

Обозначим Ps его проекцию для произвольного S^T— это слабое распределение в пространстве Xs = JJ X# на полукольце Ц9Х#. Очевидно, Рг является распределением ieS

тогда и только тогда, когда для любого счетного S гТ распределением является Ps, поскольку в общее равенство (1.2) всякий раз вовлекается лишь счетное число цилиндрических множеств из Ц91#.

7

В случае топологических пространств, как мы знаем, слабое распределение Ps 'является распределением, если оно плотно.

Предположим, что плотными являются распределения P# в пространствах X#, отвечающие одноточечным S={/}, t^T. Тогда плотными будут и P = PS, отвечающие счет-

НЬ1М S^T, поскольку всякое множество

А = Ц A, (A,^t)tes

сколь угодно точно аппроксимируется компактами вида^ = П^1= n{xt€F4

tes tes

при надлежащем выборе аппроксимирующих компактов FtsXt:

A\F = и {х, € At \ F,}.Р (Л \ f) < 5 Р, (А, \ FtY

testes

В частности, если X = ETt где Е— полное сепарабельное метрическое пространство, то для всякого согласованного семейства распределений Ps, отвечающих конечным SeT, формула (1.7) задает на цилиндрических множествах распределение Р, которое продолжается в меру на о-алгебре, порожденной полукольцом = П 9Xf.

t е Т

Пусть X = П Xt— произвольное координатное про- странство с мерой Р нао-алгебре 91 — 91(7’), порожденной полукольцом Д 9(х. Тогда для любого измеримого множе- ства ЛеХ найдутся такие счетное S г Т и множество А’ из о-алгебры 91(B), порожденной полукольцом Д 9lf, что t е s

А — A' (modO),

т. е. А и А' отличаются на множество меры -0: Р(АоА') = 0.

Отображения и меры. Пусть (X, 91)— измеримое пространство с мерой Р на о-алгебре 9Х, и ф = ф(х), х£Х,— функция со значениями в пространстве Y. Равенство

P^BJ^P^^B}(1.8)

определяет меру Рф на о-алгебре 93 всех множеств В s У, прообразы А = (ср £ В} которых содержатся в о-алгебре 91.

Пусть X —произвольное пространство, а (У, S3) —измеримое пространство с мерой Q на о-алгебре 93. Обозначим ф (А) образ множества А^Х при отображении ф:

^60662^60662У. В случае, когда множество ф (X) является изме-

^60662

^60662

|iSw*^лиотш

5> J^ -'В". JУ -*?•<' ^, Л* я

римым, равенство

Р (Д) = Q (В п Ф (X)), Д = {ф6В}(1.9)

определяет меру Р на а-алгебре 91 = 91ф всех прообразовД = {ф€^},В^,

при отображении ф; будем говорить, что о-алгебра 91ф порождается функцией ф.

Отображение ф = ф(х) измеримого пространства (X, 91) с мерой Р на о-алгебре 91 в измеримое пространство (У, 93) обычно называют измеримым, если для любого В £ 95 прообраз Д = {ф£В} является измеримым множеством. Говоря о действительной измеримой функции ф, имеют в виду отображение в действительную прямую Y = R1 с борелевской о-алгеброй 95.

Пусть (X, 91) — топологическое пространство с плотной борелевской мерой. Тогда для любой действительной измеримой функции ср образ В = ф (X) является измеримым множеством на прямой (относительно соответствующего распределения Рф).

Покажем это. Измеримая функция ф„ есть равномерный предел кусочно постоянных функций фп:

ФпМ=У^ x^Akni

где А1ГР А2п, ... — непересекающиеся измеримые множества в X, и можно взять аппроксимирующие их компакты РкпгАкп и надлежащие конечные объединения Fn = U Fkn так, что пересечение Хе = П Fn аппроксимирует пространство X с точностью до любого наперед заданного в > 0:

Р(Х\Х8)<е.

Каждая функция ф„ на компакте Хе принимает лишь конечное число различных значений укп, причем их прообразы

1Ф« УьД Вкп Л ХЕ являются компактами. Видно, что все функции ф„ (х), х £ Х8, так же как и их равномерный предел ф (х), х £ Х8, являются непрерывными. Пусть В = ф(Х); образ В8 = =Ф (Х6) при непрерывном отображении есть компакт, и для него

Р» (5 \ В,) - Р ({ф G В} \ (ф € В^ < Р (X \ X,) < е,

где е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым; согласно (1.4) множество В является измеримым.

Меру Р в измеримом пространстве (X, 91) будем называть совершенной, если для всякой измеримой действительной функции ср(х), х^Х, образ В = ср(Х) является измеримым (по отношению к борелевской мере Рф).

Пусть X —топологическое пространство и ^ (X) — совокупность всех нормированных борелевских мер Р, Р(Х) = 1 на пространстве X. Слабой топологией в (X) называют топологию, определяемую в каждой точке Ро ^ ^ (X) системой окрестностей вида

5^Р - У fdP0 XX5^Р - У fdP0 XX

5^Р - У fdP0 XX

5^Р - У fdP0 XX

где е > 0 и / — произвольная ограниченная непрерывная функция на пространстве X. Говорят, что последовательность мер Р„ слабо сходится к мере Р, если имеет место сходимость в слабой топологии; другими словами, Р„ слабо сходится к Р, если для любой ограниченной непрерывной функции /

$fto?„(^)^^toP№).

X X

В случае, когда X— метрический компакт, пространство ^(Х) также является, компактом по отношению к слабой топологии.

3°. Вероятностные пространства. Произвольное множество Q с некоторой о-алгеброй 91 его подмножеств Л^й и определенной на 91 положительной нормированной мерой Р: Р (Q)= 1 .будем называть вероятностным пространством. Говоря о вероятностном пространстве (й, 91, Р), элементы ® ^ й обычно называют элементарными событиями, множества А £91 — событиями, а меру Р(Л) — вероятностью соответствующего события А.

Центральным для нас будет понятие независимости: события Д, .А„ называются независимыми, если

РИ^.. л^-рш ...р(лд (1.10) ^-алгебры событий 9Д ..., 91„£91 называются независимыми, если равенство (1.10) выполняется для любых событий Л3е9Г А

пим Л^ЧаиИОи 6еличин°й £ = £(®), о £Й, называется измеримая функция на вероятностном пространстве (Й, 91, Р)

со значениями в измеримом пространстве (X, 93); вероятностная мера Р£, определяемая в пространстве X равенством

РЧВ) = Р{^€В}, В £91,

называется распределением вероятностей случайной величины ^.

Будем говорить, что о-алгебра 91 порождается некоторым семейством величин £, если она порождается всевозможными событиями {^£В}, В £93. Случайные величины ^, с2 (со значениями в X) будем называть эквивалентными, если

Р^Ц-0,

иначе говоря, если ^, £2 равны с вероятностью 1. Все случайные величины, эквивалентные величине £, имеют одно и то же распределение вероятностей Р^.

Пусть Е,к, ^^1, 2, . .., п,— случайные величины со значениями в соответствующих пространствах (Хк, ^Вк\ Их совместное распределение вероятностей РВ1- - --6» определяется как распределение

к«• (5, х ... X ВО = Р {6, 6 В,, ■ • ■ ,|„ € 8.1 на полукольце всех множеств вида

' . Вгх...хВ№; В^^, ....В„£93„;

в произведении Хх X .. .X Хп.

- Случайные величины ^, .. . , ^п называются незави- симыми, если независимыми являются порождаемые ими о-алгебры 914 ..., 914 это равносильно тому, что

Р^-—• ^(В^ ... X В„) = Р^ (В^ ... Р^ (BJ

для всех BL£9\, ..., Вп^п.

Случайные функции. Пусть (В, 93) — измеримое пространство, Т — произвольное множество. Семейство случайных величин |(/), Z£7, со значениями в (В, 93) называют случайной функцией на множестве Т в фазовом пространстве (В, 93); распределения

рдв1х...хв„)=в^(/1)бв1, ...ЛЧО^ВО,■ 5=^...-MO,

в произведении, Bs называют конечномерными распределениями случайной функции £ = £(/), /£ Т. Напомним, что

каждая величина

определена на вероятностном пространстве (й, 51, Р); при каждом фиксированном со £ й функция | (со, •) = В (св, /), / £ Т, называется траекторией. ■

Пусть Е—полное сепарабельное метрическое пространство. Для заданного семейства (согласованных) вероятностных распределений Ps, S ^Т, можно определить вероятностное пространство и семейство случайных величин £ (/). t ^ 7, с конечномерными распределениями Р5, S ^Т, взяв в качестве й координатное пространство Х=--Ет и при каждом t € Т определив | (/) = £ (со, /) как функцию от ю = X' С X равенством ■ ■

* В (со, t^x^tY x = {x(Z), t£TV

соответствующая вероятностная мера Р определяется на порождаемой всеми цилиндрическими множествами о-алгеб- ре - 51 = 51(7) по заданным распределениям Ps, S = Т, с помощью формулы (1.7). . ■ / .

' Случайная функция £ (7), t £ Т, в фазовом пространстве (Е, 53) задает измеримое отображение

го—^х = ^(о), /), КТ, (1.11)

исходного вероятностного пространства (й, 51, Р) в функциональное пространство X = Ет с распределением вероятностей Р» на о-алгебре 51(7). Отображение (1.11) позволяет при рассмотрении случайной функции £(/), t£T, перейти к тому или иному функциональному вероятностному пространству (X, 51(7), Р^), содержащему все траектории х = Е(со,/), t^T, в котором 51(7) означает а-алгебру, порожденную семейством величин

^(х, 1)=х^, х^Х (t^T^

а индуцированная отображением (1.11) вероятностная мера Ps на о-алгебре 51(7) однозначно определяется конечномерными распределениями..

Случайные функции в пространстве Е называются эквивалентными, если при всех t£T эквивалентны их значения,. Конечномерные распределения эквивалентных функций совпадают. В классе всех эквивалентных между собой случайных функций обычно выбирают

подходящую модификацию с теми или иными свойствами траекторий (скажем, с траекториями в том или ином функциональном пространстве X).

Пусть Т — топологическое пространство; случайная функция £ ^, t £Т, в метрическом фазовом пространстве Е с расстоянием р(-, •) называется стохастически непрерывной, если для любого е > О

limP{p^(s), Н0)>4=0- S ->- /

Говоря о случайных величинах или случайных функциях, как правило, мы будем иметь в виду действительные (или комплексные) величины |. В частности, нами будут использоваться пространства

^(9X) = ^(Q, 91, Р); р = 1,2,

всех случайных величин S, Е11 р < сю, с соответствующей нормой

которая для р = 2 задается скалярным произведением

&Л) = ЕаЛ2;

здесь Е£ означает математическое ожидание случайной величины £:

Е| = $|((о)Р(МQ

Говоря о величинах ^^(9(), мы не делаем различия между эквивалентными величинами. В соответствии с этим мы не будем делать различия между ст-алгебрами, отличающимися событиями вероятности 0.

О сходимости в пространствах ^^(91) будем говорить как о сходимости в среднем (д—1) и в среднем квадратичном (р = 2У

Пусть Г —область евклидова пространства Rd и £ (/), t^T,— случайная функция с конечным вторым моментом Е|^(0|2<°°- Говоря о ее непрерывности, дифференцируемости или интегрируемости мы будем иметь в виду наличие этих свойств у ^(0, t^T, как функции со значениями в гильбертовом пространстве ^ (Q, 9Х, Р).

Случайные меры. Пусть Т — измеримое пространство с некоторым кольцом измеримых множеств @, и вся-

кому множеству А€5 отвечает действительная или комплексная случайная величина т] (А) с нулевым средним Ен (А) —О и конечным вторым моментом Е.] т) (А) |3 < оо, которая как функция от А £ £ со значениями в пространстве ^(^, ^’ Р) является аддитивной: для непересекаю- щихся An А2 С ^

тДА^ А^— т^А^ + тДАз).

Пусть в дополнение к этому

Е*П (д1) П (Л2) = 0

для непересекающихся Ах и А2, и аддитивная функцияц(Д)=ЕЫ(Л)|2

непрерывна на кольце S. Обладающая указанными свойствами случайная функция r|(A), А £ S, обычно называется. случайной (или стохастической') ортогональной мерой; для ее характеризации будем использовать символическое равенство

E|r](d/)|2 = p(d0-

Для измеримых функций ф (/), / £ Т, интегрируемых в квадрате по мере p(d/), стандартным способом определяется стохастический интеграл

$ф(/)т](^И^2(аЛ,Р), т

Ф (О л (dOФ (О л (dO|V(Z)|2|i(d/)|V(Z)|2|i(d/)‘бладающий тем свойством, что

Ф (О л (dO

Ф (О л (dO

|V(Z)|2|i(d/)

|V(Z)|2|i(d/)

И ДЛЯ ф = фп фа

фЛОпОТфЛОпОТ$ ф2 (О п №$ ф2 (О п №= $ ЧА (0 ф2 (О н №•т= $ ЧА (0 ф2 (О н №•т

фЛОпОТ

фЛОпОТ

$ ф2 (О п №

$ ф2 (О п №

= $ ЧА (0 ф2 (О н №•

т

= $ ЧА (0 ф2 (О н №•

т

Обобщенные случайные функции. Пусть Т есть открытая область в d-мерном евклидовом пространстве Rd и O”jT) — пространство бесконечно дифференцируемых функций u = u^t), / £ Т, с компактным носителем suppu.

Для ограниченной открытой области G = G10C топология линейного пространства C^(GJOC) задается системой окрестностей нуля вида

Ju: ||i4<eb где

ЫН Sli^r, / —о, 1,

С(1.12)

||№[|2 = )\D4t\Mt,

т

и в обычных координатах t = ^tv ...,t^

DW^-H^r- £=№.••■.У. 16! = ^+...+^.

В общем случае пространство С” (G) есть объединение топологических пространств С^ (Gloc), отвечающих ограниченным областям Gloc ^ G — сходимость последовательностей ип—^и в пространстве Су (G) означает, что элементы и„ имеют носители suppuno:G10C в некоторой ограниченной области G1()Cc:G и и№ —* и в топологии пространства С^ (Gloc).

Пусть имеется линейное непрерывное отображение пространства Cq (Т) в ^2 (й, 91, Р), при котором «основным» функциям и^С^Т1) отвечают случайные величины

(и J) Е ^2 (^ Л, Р);

линейный непрерывный оператор

будем называть обобщенной случайной функцией. Для £ = (и, £) стандартным образом определяются операции дифференцирования и умножения на «мультипликаторы», хорошо известные для обобщенных функций; именно,

П^ = (—\НФкиЛУ’ и

а-^(аи, £)

для бесконечно дифференцируемой функций а = а (^), t Е Т.

I: Примером обобщенной случайной функции может Служить (.и.^Ци^ШсИ, и^С,(Т),

т

где функция £ (/) С ^ (^, St, Р), t € Т, (сильно) интегрируема в каждой ограниченной области S^T и, в частности,

Ш £)K$^m^)IW

именно в этом смысле будет пониматься в дальнейшем обобщенная функция ^ (О, t ^Т.'

Другим примером может служить так называемый «белый шум» р (t), t ^Т, представляющий собой обобщенную случайную функцию вида

(и, р) = $ u(t) T\(t)dt = J и (t) т] (di),и£С»(Т), .

■ тт

где' первое выражение справа есть лишь специальное обозначение для последующего стохастического интеграла, в котором -Y\(dt)—такая случайная ортогональная мера, что

E|p(d/)|2-dZ

есть мера Лебега.

Условные распределения

1°. Условные математические ожидания. Обратимся к гильбертову пространству

^2(?I) = ^2(Q, SI, Р), элементами которого являются случайные величины |, Е|^,|2 < оо, со скалярным произведением■

(^, U = E^J2;

уточним, что эквивалентные между собой величины представляют один и тот же элемент этого пространства.

Пусть 53 есть некоторая о-алгебра событий, 93^ St, и S'2 (93) —подпространство всех величин р С ^2 (91), измеримых относительно 93. Для любой величины ^С^2^!) положим..

Е _(|/9В) = Р (93)|,

(2.1)

где Р(23) есть оператор ортогонального проектирования в ^2(9Х) на подпространство ^2(®). Проекция Е(1/У) есть наилучшее приближение для 1 по величинам п £

Ji^E(^)j|= min Щ-ЧТ) G ^2 (S3)

и в этом смысле величину Е (1/23) можно интерпретировать, как наилучшую оценку для 1 при известных исходах всех событий В £ 23.

Введем индикаторные величины

' / 1, ю € А,Хл^)^ Oi ю^л

Величины Xbi В £ 23, образуют полную систему в подпространстве ^(S), и проекция Е (1/23) £ jg72 (У) однозначно определяется условием ортогональности

(1-Е(1/23), Xs)=0, В С 23,

которое запишем в виде

$l((o)P(do))= $E(l/23)P(d^В^\(2.2)

вв

при B = Q это дает равенство

Е (Е (1/23)) - Е1.(2.3)

Из условия (2.2) непосредственно видно, что

Е(1/®)>0 при 1>0(2.4)

почти всюду, так как для В = {Е (1/23) < 0} равенство (2.2) возможно лишь при Р (В) =0.

Во всем дальнейшем мы рассматриваем случайные величины как элементы пространства ^2(9Х), не делая различия между величинами, совпадающими почти .всюду.

Из условия (2.4) получаем, что

|Е($/®)|<Е(|£|/$).(2.5)

По тем же причинам, с учетом равенства

\Е(1/^) = 1,

для величины 1, Ct^i^Ca, получаем

сг^Е^)<сг(2,6)

Пусть т)^-^2^) и хотя бы одна из величин £, т) является ограниченной, так что £ • -q С ^ 2 (91); тогда

E(^.ti/SB) = t].E(^),(2.7)

поскольку выполняется условие ортогональности (П^-П'Е^Ж Хв) = а—Е (^/05), п Хв) = 0, В^. Пусть 6 есть о-алгебра, содержащая 93; тогда

Е(£/93)-Е(Е(£/е)М(2.8)

поскольку для соответствующих операторов проектирования мы имеем

Р(93) = Р(95)Р(($).

Обратимся к семейству о-алгебр 93(5), зависящих от частично упорядоченного параметра 5. Имея в виду дальнейшие приложения, в качестве такого параметра мы возьмем множества S гТ в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве Т.

'Пусть

' '93 (SJ э 93 (52) при S13S2.

Рассмотрим направленное по включению э семейство 93(5), где параметр 5 пробегает дополнения к компактам в пространстве Т. Для такого направленного семейства существует предел

lira Е (£/93 (5)) = Е (£/6),93 = П 93 (5).(2.9)

Действительно, существует такая последовательность S^Sgb,. что для любого множества 5, являющегося дополнением к компакту, найдется 5Я s 5; такую последовательность будем называть направляюьцей для нашего направленного семейства. Мы имеем 93~ Г1Д(5П), и Hs = Е (£/93 (5)) есть проекции величины £ на подпространства ^2(93(5)), для которых

П^Ч93(5))= П.У2(93(5Д) = ^^

Очевидно, существует предел

lim т]5п = Л»п -> ОО

где т] = Е(£/93) есть проекция на =2?3(93), а для любого

S s Sn мы имеем

2* (У (S)) = 2* № (SJ),|| % -ч II < II 4s„ - ч II-

Аналогичный результат справедлив и для семейства 53(5), направленного по включению ^. Именно, пусть имеется направляющая последовательность Sx ^ S2 s.. ., т. е. такая, что для любого 5 найдется 5П^5. Тогда о-алгебра 33, порождаемая рассматриваемым семейством 33(5), порождается последовательностью расширяющихся о-алгебр 33 (5П):.

33- V33(S) = V33(S„),п.

и последовательность T]„ — iqsN, где т]5 — Е (£/53 (5)), удовлетворяющая соотношениям..

ИчЛ<СТ. К-чЛМШМЫМо,

п ^ т —* оо,

имеет своим пределом величину т], для которой разность £-т| ортогональна всем 22 (33 (5J), так что т] = Е(£/ЭЗ). Очевидно, существует предел-

Н л Е (£/33 (5)) - Е (£/33),33 = V$ (5).(2.10)

Подчеркнем, что в обоих предельных соотношениях (2.9), (2.10) речь идет о сходимости в среднем квадратичном; однако если ограничиться любой направляющей последовательностью 5„, /11, 2, . .., то для 5 —5„, как известно, имеет место и сходимость почти всюду—факт далеко не тривиальный, в отличие от сходимости в сред- .нем квадратичном,■

Обратимся теперь к пространству.

^ (30 = ^4^ 91, Р), рассматривая 2г (31) как подпространство в 2х (31), замыкание которого по норме

ИЬЕ1^1

совпадает с ^(Sl). Из формул (2.3), (2.5) видно, что определенный на величинах £ £ 2^ (31) линейный оператор Е (£/53) является ограниченным в J^1 (31):

l|E(WKIM.

и по непрерывности он однозначно продолжается на все пространство 2х (31); видно также, что установленные ранее

для оператора Е(/$) свойства по непрерывности распространяются на величины ^^(St).

Линейный непрерывный оператор Е(-/53) будем называть условным математическим ожиданием (относительно ст-алгебры 35); Е (£/23) называют условным математическим ожиданием случайной величины ^С^Ч^О-

Для величин £ С У 4'0 в смысле сходимости в среднем справедливы предельные соотношения (2.9) и (2.10), поскольку, аппроксимируя £ в ,5Л ($) величинами т] £ бУЧ'Ч, мы имеем

Ц-Е (W (S)) - Е (VS) К || Е (Л/23 (S)) - Е W8) || + 216 - ч ||.

2°. Условные распределения вероятностей. Возьмем индикатор %л события А £ 9L Условное математическое ожидание

Р (А/§В) = Е (х V»)(2.11)

называют условной вероятностью события А относительно а-алгебры 25; ее можно интерпретировать как вероятность события А при условии, что известны исходы всех событий В £ Д; в частности

Р(ад = хд, В ей

Очевидно, P(Q/33) = 1,(2.12)

Р(Д/33) = О при Р(Л) = 0

и, согласно (2.6), для произвольного А £ ?(

0<Р(4/ЗЗХ1.

Для любых непересекающихся событий Лп Д2,... £91 и Д = 1|ДЙ в силу непрерывности оператора Е (-/93) мы

имеем

Р (А®) = 5 Р(Л^),кР (А®) = 5 Р(Л^),к(2.13)(2.13)

Р (А®) = 5 Р(Л^),к

Р (А®) = 5 Р(Л^),к

(2.13)

(2.13)

поскольку

п

Ха = ^ХАк = Пт 3

k к П =В к = 1 к

в пространстве ^х (33).

С помощью условных вероятностей определяют различного типа связи между событиями. Скажем, события Ai, ..., А„ называются условно независимыми относительно о-алгебры 85, если

P(A1...A^3) = P(A1/25)...P(A^3). (2.14)

— сравни с (1.10); аналогично определяется условная независимость (7-алгебр 9ХП ..., 91п, означающая справедливость равенства (2.14) для любых событий A^^i, ••• ..., А„ С 81„. Последовательность 9(п ...,$„ называется марковской, если относительно «прошлого» V 91/при любом r> 1 мы имеем

PM*/V «/WW»/), Л66»6;

\ 1 < / /

отметим, что это равенство распространяется с событий Ак на все события в «будущем»:

^ ( А/ V 91/5 ^Р (А/9(7), А С V 9Xft.

\ i< i /k> i

Рассмотрим условную вероятность как функцию от ®С^> положив

Р(А/6) = Р(А, со);

она измерима относительно о-алгебры $ и среди всех таких функций в J^1 (91) определяется однозначно для почти всех со уравнением

$ Р(А, ®)Р(Жо) = Р(АВ),ВС ^,

в

— см. (2.2). Если при почти каждом фиксированном се С ^ значения Р(А, со) определены таким образом, что

Р(А, со)=Р(А/83), А С 31,(2.15)

есть вероятностная мера, то семейство (2.15) называют условными распределениями вероятностей относительно о-алгебры 9<

Существование условных распределений. Вопрос заключается в возможности определить для каждого А С 91 такой вариант условной вероятности Р(А/93) среди всех ^-измеримых функций, совпадающих почти всюду, что при различных А соотношения (2.13) будут выполняться при одном и том же со для почти всех со £ Q.

Условные распределения на о-алгебре 91 существуют, если 91 сепарабельна, а вероятностная мера Р совершенна. Покажем это.

Пусть а-алгебра 91 порождается счетной системой множеств S; будем сразу считать, что ® является алгеброй. Занумеруем множества А ^2 в последовательность Дп Д2, ... и обратимся к действительной случайной величине

пп

п

п

порождающей о-алгебру 9(; отметим для ясности, чтоДл = {&€#„}» где Вп есть борелевское множество на пря-

мой вида Вп — U кмой вида Вп — U к* 2/г3"* 2/г3"2^+1 '3" .2^+1 '3" .. Положим. Положим

мой вида Вп — U к

мой вида Вп — U к

* 2/г

3"

* 2/г

3"

2^+1 '

3" .

2^+1 '

3" .

. Положим

. Положим

Xx, to) = P{X^}

для всех рациональных х ^R1. Согласно свойству (2.13) соотношения

lim F£(x, ю) = 0, Нт F^(xt «)=1, х-> — °°х -* оо

РЦх, юХ^ (у, <о), у>х,lim F^ (у, со) = Р» (х, to)у х + о

могут нарушаться лишь на «-множестве меры 0, т. е. существует такое множество N вероятности P(iV) = 0, что указанные соотношения выполняются для всех рациональных точек при каждом ®^М. Функция РЦх, «) переменного х при фиксированном to^jV по непрерывности справа может быть продолжена в функцию распределения на прямой. При этом, как предел по рациональным У * х -|- О,

F*(x, «) = lim Л(#, «X lim P {1 ^уОД = P{| ^x/93} y*x+0t/->x + 0

при почти всех to, и, таким образом, функции распределения F^., о)) задают условные распределения вероятностей РЦ., о), o^N, величины £.

Теперь используем то, что вероятностная мера Р является совершенной. Именно, при отображении £ = §(«)

множество £ (Q) является измеримым, и на прямой найдется такое борелевское множество Sos 1(62), что

РЧ5о)=$Р£(5о, о>)Р№ = 1.

Следовательно, Р^(В0, ю) = 1 для почти всех ю и множество £ (Q) является измеримым относительно условных распределений, причем

РЦ^(Й), со) = 1.

Как мы знаем (см. (1.9)), для всех таких со на о-алгебре 91 = 91g событий вида Л = {£€5}, В — борелевские множества на прямой, можно определить вероятностные меры

Р(Л, Ю) = Р^(5, со), Л €91, которые будут условными распределениями.

Все сказанное остается справедливым, если речь идет об условных распределениях

РЦЛ, со)=Р{^Л/39}, Л €91,

случайной величины ^ в пространстве (Л', ^1); в частности, условие сепарабельности о-алгебры 91 и совершенности вероятностной меры Р = Р= выполняется, если X — полное сепарабельное метрическое пространство с борелевской о-алгеброй 91.

Пусть, в дополнение к сказанному, о-алгебра событий 93 порождается случайной величиной т) в измеримом пространстве (У, 93) с о-алгеброй, также обозначенной 93; тогда можно выбрать условные распределения (2.15) в виде

Р (Л, со) = Р (Л/т) (со)), Л €91, (2.16) где справа стоит 93-измеримая функция Р (Л/z/) параметра у € К, определенная на измеримом множестве r| (Q) s Y.

Пример. Условные плотности вероятностей. Пусть £п £2— такие случайные величины в пространствах (Хп 91ц QJ и №» 913, О2) с мерами Ог и Q2, что их совместное распределение вероятностей Р на о-алгебре 91, порожденной полукольцом 91] X 9Х2 в произведении X = —-Х1хХ2) абсолютно непрерывно относительно меры Q = Q1 х Q2 и имеет плотность

Тогда условные распределения (2.16) величины £ — £г относительно т] = |2 можно задать формулой

Р (^ € Ж} = $ Pi (xi* k) Qi №), Л € ^» (2Л7)

р (*)

Р (*) Qi №)

Пример. Марковская последовательность. Пусть в рассмотренном выше примере случайная величина В2 представима двумя компонентами, которые’обозначим (£2, £3); в соответствии с этим в формуле (2.17) заменим хй на пару (х3, х3). Пусть указанная в этой формуле условная плотность ру(х') распределения величины ^ при условии |2=-х2, £3 —хз не зависит от х3:

Pi (-П— Pi (^1» -^а)» X — (Xlt Х2> *з)-

Это равносильно следующему мультипликативному представлению (безусловной) плотности вероятности p^ = P(dx^Q^dxy.

Р (х) = рг (хп х2) * р2 (х2, -^з)»(2.18)

где

Ра (^2, ^з) = ^ ^ (^ ^1 (dXj).

Xi

В случае плотности р^ вида (2.18) последовательность (^п 12> ?3) является марковской, а именно,

> Н^Л/U M = P|U4U Л€ 911-

Выбор условных распределений. Для любой о-алгебры

sB' = S(modO)

условные распределения (2.15) можно выбрать так, что они будут измеримы относительно 23' и, в частности, определены на «-множестве Q' С 93' полной меры Р (Q') = 1.

. случае, когда о-алгебра 91 сепарабельна, для Л s 91 существует сепарабельная ст-алгебра 23' = 93 (mod 0). Скажем, в качестве 23' можно взять о-алгебру, порож- 2 Ю. А. Розанов

даемую некоторой счетной системой величин, являющейся полной в подпространстве „^(ЭЗ) сепарабельного пространства

^(^^(Q, ^, Р).

Если взять условные распределения (2.15) измеримыми относительно сепарабельной о-алгебры, то

f 1, со £ В

Р(5, ®)=Щ>R, В^®',(2.19)

для всех co^Q', где й' £$>' есть множество полной меры: P(Q')=1.

В самом деле, о-алгебра 93' порождается некоторой алгеброй из счетного числа множеств В, и для всех них функция Р(В, со) как условная вероятность почти всюду (при почти всех со £ Q) удовлетворяет равенству

Р(5, со) = хв(ю);

при фиксированном со обе части этого равенства представляют собой меры на о-алгебре 93, и оно может быть распространено с алгебры множеств, порождающих а-алгебру 93, на все множества В^^В'.

Очевидно, при условии (2.19) для элементов

co-l^ со2 £ £У

мы имеем ортогональные меры

Р(-, «ЬШЬ ю2),(2.20)

если ton со2 разделяются о-алгеброй 33', т. е. найдутся такие непересекающиеся Bv 52^93', что со^В^ со2£В2; в противном случае

Р(Л, со1) = Р(Л, со3),Л^,(2.21)

поскольку при каждом Л функция Р(Л, со) измерима относительно о-алгебры 93'.

Согласованность условных распределений. Пусть ®— произвольная сепарабельная о-алгебра, содержащая 33, и Р(Л/@) —условная вероятность, определенная для вероятностной меры Р. Оказывается, Р(Л/ё) есть условная

вероятность для почти всех условных распределений (2.15), что может показаться парадоксальным ввиду свойства ортогональности (2.20).

Покажем, что

Р(ЛС, ыЭ=$Р(Л/®)Р(^, Я; Л€9$, СЕ® (2.22) .с

при почти всех го'.

Условное математическое ожидание Е (£/93) как функцию от о' С ^ можно выразить интегралом

Е (£/93) = $ Ш Р (Жо,Q

и согласно общей формуле (2.8) мы имеем следующее равенство: ,

. . Р(Л,»>Е(хл/»)=1ИЕЬ)/®)/^

при почти всех <о'. Заменив здесь А на произведение

л с, се®,

с учетом

р(ЛСЯ = хс-рМЯ.

получаем равенство (2.22) для фиксированных Л и С. Оно распространяется на счетные системы событий А Е Е ® (91) и С С ® (®). Пусть Й' е 93 есть то множество полной меры Р(й') = 1, на котором равенство (2.22) справедливо для всех Ле® (91), С е ® (®)- Левая часть в (2.22) как функция от Л е 91 есть мера; а если в качестве Е(-/®) в (2.22) взято условное распределение, то и правая часть (2.22) обладает этим же свойством. Пусть S (9() есть алгебра, порождающая сг-алгебру 91; тогда равенство (2.22) при каждом фиксированном о/ £ й' продолжается на все события А £ 91. По тем же причинам равенство ^^) продолжается с алгебры <&(®) на все

Законы «О или 1»; регулярность

1°. Закон «О или 1». Говорят, что для последовательности а-алгебр событий

а1Э?х2^...

выполняется закон «О или 1», если пересечение я.= пя„ п

является тривиальным — содержит только события вероятности 0 или 1.

Классический пример действия закона «О или 1» связан с последовательностью независимых случайных величин ilt £2, ..., когда о-алгебры 9£„ порождаются соответствующими «хвостами» £„, ^п+и ... этой последовательности.

В дальнейшем мы рассмотрим более общую схему, скажем, когда имеется некоторое семейство случайных величин |(Z), t^T, зависящих от параметра t^T, и вместо последовательности 911 э 91а з... возникает определенного типа направленное по включению э семейство 9l(S), SeT, где 91 (S) есть о-алгебра событий, порожденных величинами £(/), t^S.

Свойство регулярности. Рассмотрим семейство 91(3), SeT, где каждая о-алгебра событий 91 (S) связывается с соответствующим множеством S в параметрическом пространстве Т. Будем считать, что Т есть сепарабельное локально компактное метрическое пространство, а о-алгебры 9t(S), SeT, удовлетворяют следующим требованиям: во-первых,

91 (SJ г 91 (S2) при S^S,(3.1)

и, во-вторых,

9l(S) = V 9(( ')(3.2)

8'58 порождается событиями из всевозможных компактных областей ) S' е S. Отметим, здесь, что условием (3.2) мы воспользуемся лишь для заключительных замечаний в самом конце п. 1°.

Положим

9Цоо)= л9ЦВ),(3.3)

где справа берется направленное по включению э семейство областей S^T, являющихся дополнениями к компактам в пространстве Т. Назовем соответствующее семейство 91 (S), S^T, регулярным, если а-алгебра 91 (оо) является тривиальной.

Обратимся к гильбертову пространству

^(0, Ш, Р),91 = 9ЦТ),

и рассмотрим в нем подпространства ^2 (91 (5)), каждое из которых образовано случайными величинами, измеримыми относительно соответствующей о-алгебры 91(5)^91. Очевидно,

^(Я(«))=П^а(Я(5„)),fп

где Sn; п = 1, 2, ..., есть направляющая последовательность для рассматриваемого семейства областей S, являющихся дополнениями к компактам. Условие регулярности означает, что пространство 2^ (91 (оо)) состоит лишь из .постоянных величин и равносильно тому, что для некоторой полной в Зг (91 (71)) системы величин £

lira Е (ЗД (SJ) = Е^(3.4)

где, напомним, Е (£/91 (SJ) = |„ есть проекция величины £ на y'2(9l(SJ). Возьмем

^Ха-Р(Л),Л€91;

условие (3.4) означает, что

М,М.

п СО

Для любой величины т] Е SP (91 (SJ) мы имеем l(^ n)M(^, ^) I ^И^ММ, и для ограниченного по норме семейства величин п= =ХЙ—Р(В), B^9((S„), с

(L л)-Р(Л-В)—Р(Л)-Р(В)

регулярность влечет следующее предельное соотношение: Л™ В ^Р „>1 р и •д) -р (Л) ■ Р (S) 1 = 0.(3.5)

Условие (3.5) не только необходимо, но и достаточно для регулярности, поскольку при А = В£$Цсо) оно дает равенство Р(Л)~ Р(Л2), которое может быть лишь в случае Р (Л) = 0 или Р (Л) = 1.

Отметим, что в условии (3.5) можно ограничиться событиями Л £ <5 из какой-либо алгебры событий <S, порождающей сг-алгебру 21(7'), поскольку всякое событие Л £ 21 (7) может быть приближено событиями Л8 £ ^: для любого в>0 найдется такое Лв£@, что

11Хл — ХАеНрИо^еХе;

по тем же соображениям можно ограничиться событиями В из алгебры, порождающей соответствующую о-алгебру 21 (S„). В частности, можно взять лишь события Л £ 21 (S'), S'еТ, и В £91 (8"), 8"е8„, отвечающие всевозможным компактам 8' и 8", что позволяет выразить условие регулярности в следующей форме: для каждого события Л € 91 (S'), отвечающего компакту 8' еТ

lira sup |Р(Л'-Л")-Р(Л')-Р(Л")| = 0, (3.6) п->« Л"ёИ (S")

S"esn

где sup берется по всем А”, отвечающим компактам S" - 8„.

Очевидно, условие (3.6) выполнено, если о-алгебры 21 (S') и 21 (S"), отвечающие непересекающимся компактам, являются независимыми. В общем случае условие (3.6) можно интерпретировать как слабую зависимость событий из 21 (S') и 21 (S"), отвечающих «далеким» друг от друга 8' и 8".

2°. Разложение на регулярные компоненты. Обратимся к рассмотренному в п. 1° семейству 21 (S), 8 е Т, предполагая, что все о-алгебры 21 (S) сепарабельны, а вероятностная мера Р в соответствующем пространстве (Q, 21), 21 = 21(7), является совершенной.

Дополним семейство 21 (S), 8еТ, сг-алгеброй 21 (оо), определенной равенством (3.3). При сделанных выше предположениях относительно вероятностного пространства (Й, 21, Р) существуют условные распределения вероятностей

Р5(Л, <о) = Р(Л/21(5)), ле?1, (3.7)

включая S = {oo}.

Пусть S , п=1, 2, .... есть направляющая последовательность в направленном по включению ^ семействе областей S^T, являющихся дополнениями к компактам в пространстве Т. Как мы знаем, для каждого фиксированного Л Е 21 при почти всех со существует предел

ИтРзДЛ, со) = Р№(Л, со).(3.8)

Выберем условные распределения

Р„ (Л, со) = Р(ЛМ(оо)),ЛЕ21,

измеримыми относительно некоторой сепарабельной о-алгебры

23 = 2l(oo) (modO),определив их на таком множестве £2^ Е 23 полной мерыР(^«)—К 4T°i во-первых, вероятностные меры

Q = PJ-, со), соЕ^,(3.9)

будут обладать перечисленными в (2.19)— (2.21) свойствами, во-вторых, предельные соотношения (3.8) будут выполняться при каждом ы Е И^ Для всех ЛЕ® (21) из счетной алгебры S(2X), порождающей сг-алгебру 21, и в-третьих, для всех S = SR, и=1,2, ..., распределения (3.7) будут" условными распределениями по отношению к каждой вероятностной мере Q (см. по этому поводу (2-22)).

Согласно свойству (2Л9) для любого события BE 23 ( Г, ю' ЕВ,

Покажем, что семейство 21 (S), S^T, является регулярным по отношению к каждой вероятностной мере Q = P« (•>«').

Поскольку со'Е^ и П^ЕЗ?, мы имеем СЦЙД — 1, и предельное соотношение (3.8) дает нам условие регулярности (3.4) для вероятностной меры Q. Действительно, взяв в пространстве J?2 (£2, 21, Q) полную систему величин

получим, что соответствующие проекции

' E(W(S„)) = Ps„(4, ®)

на множестве й^ полной меры (Q(Qop) = l) сходятся

к функции Ф (®)= Рю (Д, (о), измеримой относительно а-алгебры 93, и, следовательно, ф(ю) равна постоянной почти всюду относительно Q:

Ф (cd) = J ф (о) Q (Jto) = Q (Д).

Таким образом, условие регулярности для направленного семейства 91(5), S^T, выполняется по отношению ко всем вероятностным мерам (3.9), и формула

Р(Д)=$Р(Д, o)P(dto), Д^ЗГ, (ЗЛО) А

может рассматриваться как' разложение вероятностной меры Р на «регулярные компоненты» Р(-, со) = ?„(•, ю).

Согласованные условные распределения

1°. Согласованные условные распределения для заданной вероятностной меры. Обратимся снова’к семейству о-алгебр 91(5), зависящих от множества S^T как от параметра, считая выполненным свойство (3.1):

91 (5J 2 91 (52) при 5,252.

Пусть ^ есть некоторая система множеств 8гТ, частично упорядоченных по включению 2, и

Рз(Л, со) —Р (Д/91(5)),Де91,(4.1)

— семейство условных распределений в вероятностномпространстве (Q, 91, Р), зависящих от co£Qs и 5С@, где^£91(5),P(Q5)=1.

Условные распределения (4.1) назовем согласованными, если при 5, 2 53

Р51(Д, to) = PSa 0/91(5,)), де 91,(4.2)

есть условные вероятности для каждой вероятностной меры PSa(-, (o'), to' €^s2; отметим, что это свойство согласованности включает равенство

PS2(Q5i, to') = I, o)'^Q5a.

Пусть вероятностная мера Р является совершенной, а все о-алгебры 91(5), 5^^, сепарабельны и для каждого 5 имеется лишь счетное число различных 9Х(5а), 5а2 5. Тогда можно определить такие согласованные условные

распределения (4.1), что при каждом S ©© распределения Ps(-, со), to£Q5, обладают указанными в (2.19)—(2.21) свойствами, а для любого заранее заданного упорядоченного по включению г семейства Sa, f\Sa = S, существует предел

ИтР5а(Л, Ю) = Р5(Л,о) (4.3)

при всех со £ Qs и А £ © ($1) из заранее выбранной счетной алгебры ©(31), порождающей о-алгебру 31. Это полностью аналогично нашему предложению об условных распределениях (3.9).

2°. Вероятностные меры с заданными условными распределениями. Пусть заданы распределения вероятностей

PsM,to), А €31,(4.4)

зависящие рт to£Qs и St^, обладающие описанным в (4.2) свойством согласованности. Для определенности будем считать, что © есть совокупность всех областей S с Т, являющихся дополнениями к компактам в параметрическом пространстве Т.

Рассмотрим один пример, имеющий реальные приложения в случае, когда параметрическое пространство Т является дискретным.

Пример. Пусть (Xt, 33f), t^T,— семейство измеримых пространств с мерами Qt. Для любого S^T обозначим Xs = IX Xt соответствующее координатное t е 5

пространство элементов х5 = {х(/), /£3} с координатами xU)£Xt и Qs = И Of — произведение мер в простран- t G S

стве Xs на о-алгебре, порожденной полукольцом цилиндрических множеств А5€ И ^t. Всякое цилиндрическое t е S

множество А Е II 33# в пространстве X = Хт при любом с _ тf € Г

°1 представимо в виде

= ^s, X А5, St = 7"\S.

Обозначим 31 (S) a-алгебру в пространстве X, порожденную всеми Цилиндрическими множествами вида XSixAs. усть р (х), х^Х, есть такая неотрицательная функция, измеримая относительно а-алгебры 31 = 31(7), что при

всех х = (xSi, xs) С X для S S

$ Р to Qs,< <х>.

xst

Тогда аналогичная (2.17) формула

Ps^SixAs, х) = $ PsAx^sAdxs)X'X.As(xsy, (4.5)

Pst to,х = (XS1, xsy

j Р W QS1 (dxs)

xSt

задает семейство Ps(-, x), S £ S, согласованных условных распределений на полукольце цилиндрических множеств JJ 93t, порождающих о-алгебру Ш в пространстве Q = X.

ter

В случае, когда р^ есть плотность вероятности относительно Q= Ц Ог:

t 6 Т

J р (х) Q (dx) = 1, х

это есть семейство согласованных условных распределений для вероятностной меры Р,

P(X)=$p(x)Q(dx), А 6^.

А

Пример. Условные распределения марковского шипа. Пусть © есть система областей, дополнительных к компактам в пространстве Т. Предположим, что функция р(х) в формуле (4.5) имеет отмеченную в (2.18) мультипликативную структуру: для любого S1 = T\S, S £ @, найдется такой компакт S2 — 5, что

P^ = PsAxs? xs)*PsAxs^ xs)i S3 = S\S2. (4.6) Тогда в формуле (4.5) можно положить

, .PSt top xs>)

ps^X) = -

J PSt top xSl) Qs, (to.)

Ясно, что для задания условных распределений (4.5) нет необходимости брать какую-либо функцию р^ху опреде-

ленную на всем пространстве X; достаточно при каждом 5^2 располагать соответствующим сомножителем Ps (xs » xs,)' Уточним сказанное, взяв такую последовательность компактов S'k, k = 1, 2, .. ., что их объединение дает все пространство Т и для любого S^^ найдется конечное п, при котором дополнение к компакту U S'k п

входит в S. Образуем формальное произведение

При таком определении р^ в формуле (4.5) мы для каждого S^S имеем дело лишь с конечным произведением сомножителей рк ^xs^ xs^ J , к п, где п определяется включением ( U S^Y^S. Заданные формулой \ к < п /

согласованные условные распределения обладают тем свойством, что для каждого S £ © найдется такой компакт S2 s S, что справедливо формальное равенство (4.6) и при всех Л (^(SJ условные вероятности Р5(Л, х) измеримы относительно п-алгебры 91 (S2); при наличии вероятностной меры Р с условными распределениями (4.5) мы имеем *

РНЛх)-Р{Л/9Х(3)^Р{ЛДО, Л^?Х(51). (4.7) Нетривиальным является вопрос о существовании и единственности вероятностной меры Р, для которой эти распределения будут условными распределениями относительно соответствующих о-алгебр Я (3) (см. (4.1)).

Конечно, если ограничиться лишь рассмотрением множеств S э 30 для какого-либо фиксированного So £ в, то поставленный вопрос решается очень просто —всякая вероятностная мера Q на о-алгебре 91 (So) с носителем ^50 задает нужную нам вероятностую меру Р формулой

Р(Л)=$Р5о(Л,о)0(М^^L(4.8)

Действительно, нам дано, что при S э So для всех В € $ (S) выполняется равенство

откуда

Р(ДВ)=$Р5(Д,Ю)Р(М веад. (4.9) в

Ясно, что если семейство (4.4) может быть пополнено условными распределениями Р5о(-, оз), отвечающими 50 = {оо| и определенными на некотором ! множестве ^Е^Иоо), то формула (4.8) задает нужную нам меру Р, для которой соотношение (4.9) выполнено при всех S.

С другой стороны, такое пополнение всегда возможно, если существует вероятностная мера Р с заданными условными распределениями.

Действительно, взяв описанные в (3.9) условные распределения Р^, для всех ДЕ 91 и В Е 9( (S), 5 s ^, будем иметь

?ЛЛ8, <»') = $?$ (Л, a>)P„(<ia>,<o'),®'€О.. (4.10)

В

Это получается интегрированием пр мере Рю(-, (o') равенства

Ps„(4B, ю") = $ Р$(Л, <о)Ps„(&»,™'), S„sS;

В

уточним для ясности, что мера-

(р5„(л,®')р.(М ®'). лея.

которая возникает в правой Тгчасти при указанном интегрировании, совпадает с мерой Р^ (Д, со'), ДЕ 91.

Напомним здесь, что на множестве Q^ полной меры P(QM)=1 условные распределения Рм(-,со) получаются из исходного семейства (4.4) предельным переходом: ■ ,

limPs„ (Д, со) = Рго (Д, со), ДЕ^(^),(4.11)

где © (91) есть счетная алгебра, порождающая о-алгебру 91.

Ясно, что пополняющие исходное семейство (4.4) условные распределения РД-, со) находятся среди распределений, возникающих при предельном переходе (4.11). Именно, определим множество^ Е 91(оо) как совокупность всех тех со, при которых для всех Д Е ^ (91) существует

предел (4.11), причем этот^предел РЮ(Л, со) является распределением на алгебре ® (91) и, следовательно, продолжается в меру на о-алгебре 91. Тогда для любой вероятностной меры Р с условными распределениями (4.4) мы имеем Q» е Qt для соответствующего множества QM и

Р(Л) = J Рм (Л, со) Р (dw);(4Л2)

можно сказать, что Р принадлежит выпуклой оболочке предельных распределений Рм(-, со), почти все из которых оказываются условными распределениями для Р. Мы видим, что вопрос о существовании и единственности вероятностной меры Р с заданными условными распределениями (4.4) сводится к тому, чтобы «опознать» такого рода меры среди предельных распределений (4.11).

Рассмотрим один важный1* пример, когда всякое предельное вероятностное распределение (4.11) имеет своими условными распределениями заданное семейство (4.4).

Пусть пространство X является конечным, а параметрическое пространство Т — дискретным. Пусть все вероятности Р5(Л, го), Л £ 91, для заданного согласованного семейства (4.4) измеримы по со^^з относительно соответствующей алгебры

9l0(S)= и ЗГ(З'),

S'cs

где объединение берется по всем компактам S' s S. Тогда в качестве счетной алгебры @ (91) в определении предельных распределений (4.11) можно взять © (Я) = Я, (Т), где

Яо(П = и Я(5)

.3 S т.

есть объединение по всем компактам S ^ Г (их не более чем счетное число, а каждая из с-алгебр 91 (S) является конечной). Всякая действительная функция ср (со), измеримая относительно алгебры 9t0(T), есть равномерный предел надлежащей последовательности кусочно постоянных функций вида

ScftW Ла€@(91),

где для каждого Л = Лд

ПшРзДЛ, шЭ^Р^И, <о'), (о'^ЗД,

и, следовательно, для каждого В^^ДТ)

lim J ф (ю) Ps„ (do, V) = ^ ф (о) P„ (dto, co'), вв

При ф(и) = Р5(Л, to) и B€$0(S) получаем, что

$ РвИ» ^Р» (^> to') = lim $ Р5(Л, to)P<j„(dto, to') = вв

-UmPsAAB, to) = PM (AB).

Видно, что согласованное семейство (4.4) задает условные распределения для всякой вероятностной меры Рю(-, со), определяемой предельным переходом (4.11).

Пример. Пусть T — Z1 есть совокупность всех целых / — О, +1, ... и £ = £(Z), Z^Z0,— однородная непериодическая цепь Маркова с конечным числом состояний х £ X и переменным начальным параметром /0 £ Т, /0— оо. В координатном пространстве Q = Xr всех

последовательностей co = {x(Z), t^T^ со значениями в X определим согласованные условные распределения (4.4), задав их на полукольце всех цилиндрических множеств вида

Л = Л1ХЛ2; Л1€^1(31),Л2е§1(3),

следующим образом. Для дополнения S s Т к интервалу 8г = \и < t < и\ положим

Р5(Л, to) = P{^e Л^^^х^Л (у) = х(п)}Хда(®),а при любом 5з50, где So ^ Т есть множество указан-ного выше типа, определим Р5(Л,«) как условные рас-пределения для вероятностей меры PSo (•, o'). Рассмотримпоследовательность дополнений S к расширяющимся ин-тервалам (м, и): и —— оо, и-^ + оо. Очевидно, предел

НшР$(Л, со) = Р^ (Л, со)

дает нам вероятностное распределение Р„(-, со) тогда и только тогда, когда все координаты х^ точки to = {%(/), Z^T1} принадлежат одному и тому же эргодическому классу, причем

Р„(Л,о>) = Р(Л,х)

есть стационарная вероятность, отвечающая соответствующему эргодическому классу с указанным представителем х^х.

3°. Построение согласованных условных распределе* ний*). Рассмотрим некоторое семейство о-алгебр 3(^91 в вероятностном пространстве (Q, 31, Р), зависящих от параметра /, пробегающего некоторое частично упорядоченное множество S* с отношением порядка ^. Будем предполагать, что

3tse9If при s^t. (4-13)

В " предыдущем изложении рассматривался более специальный случай, когда <ST = ^— некоторая система подмножеств SsT, упорядоченных по включению.

Пусть для каждого t^tf задано условное распределение

РДЛ,о)^Р{Л|ЗМ, Д£31, (4.14)

определенное при всех q^Q. Скажем, что условные распределения (4.14) согласованы, если при /^s

РДЛ, to) = Ps(4[3If), Ле^Х (4.15) есть условные вероятности для каждой вероятностной меры Р^ (-, о»'), со' ^Q.

Заметим, что требование (4.15) несколько сильнее, чем условие (4.2), в котором условие согласованности требовалось для со' из некоторого множества полной меры.

Пусть вероятностная мера Р является совершенной, а о-алгебра 31 и все о-алгебры 3If, /£оГ, сепарабельны и выполняется следующее условие: для каждого s^^

множество {/: t^<^, t > s} счетно. (4.16) В этом случае согласованные условные распределения существуют. Докажем это. Как было показано в § 2, в рамках сделанных предположений существуют условные распределения

РДД,со)-Р(Л |31Д, 4^91, (4.17)

определенные при всех to^Q. Ввиду (4.16) и (2.22) для каждого sC^" найдется такое множество QS€3IS, р (^) = 1, что

РДЛ, ®) = Р5(Л 191Д, Л €91, при t>s для любой меры Р, (*,ю'), ^ €^.

’) Этот пункт написан С. Е. Кузнецовым,

^ Построим при каждом sE<^" монотонную последовательность множеств Й", обозначив Й| = Й5/и взяв в качестве И" пересечение Й^1 с множеством /

{со: Р# (й^1, со) = 1 для всех t > s}.

Ввиду (4.16)

й«е^, pr)=l

Положим Й” = Л й". Очевидно, п

^ЕЗХ Рт = 1,(4.18)

Р^ (Й“^) = 1 при 3 < С со^Й”. (4.19) Определим искомые условные распределения формулой

РДД*®) =РДД*®) =Р5И,®), б) £ й”,

РДД*®) =

РДД*®) =

Р (Д) в остальных случаях. 1

Ввиду (4.17), (4.18) Р5 — условные распределения. Докажем их согласованность. Нам нужно показать, что для каждой вероятностной меры РД-,со'), со' £Й, и любого t > s

РДД,со) = РДД|^),Д^§1.

Пусть сначала со' С Й“. Тогда из определения Й” и соотношений (4.19), (4.20)

Р, (Д I 91J = РДД! 31.) = Pf (Д, со) - Р/ (Д, со)

почти всюду по вероятностной мере Ps(-, со') = Р5(-, со'). В свою очередь, при со' Ей” нужно воспользоваться (4.17), (4.18).

Опираясь на полученное утверждение, можно построить согласованные распределения и без условия счетности (4.16), если только найдется подмножество ^"й cz еГ, удовлетворяющее (4.16) и такое, что любая о-алгебра 9If, ZEqT, может быть аппроксимирована некоторой монотонной последовательностью о-алгебр 91^, <п£оГ0. Сформулируем соответствующие условия. Пусть семейство о-ал- гебр удовлетворяет условию (4.13), и подмножество ^"о с: таково, что для любого s^^-

множество {^: 1£оГ01 t > s} счетно. (4.21) Назовем ^ внешним скелетом для 91/, t^.^, если для любого ^Е^Х^о найдется последовательность /п^<^"0

такая* что

"(4.22)

а,= ПЯ(„.(4.23)

Назовем jT0 внутренним скелетом,. если для любого t^^" найдется последовательность /„6», такая, что

(4.24)

af = Va,„,(4.25)

и для любого s<t найдется такое N, что

.s < tN < t.(4.26)

■ Теорема. Пусть система о-алгебр 9(#, ^<^"» имеет (внешний или внутренний) скелетов, и пусть все а-алгебры 9Ih ££®Г0, сепарабельны, а о-алгебра §1 в вероятностном пространстве (Q, 91, Р) является стандартной борелевской о-алгеб’рой. Тогда согласованные условные распределения существуют.

Отметим, что стандартная борелевская о-алгебра сепарабельна, а любая вероятностная мера на ней совершенна. Как было.уже показано, по отношению к системе о-алгебр $f, /С^о> существуют согласованные условные распределения

Р.( , ®) —P( l^l^), t^0.

Пусть з^^Х^о. Рассмотрим совокупность Ps всех вероятностных мер Р' на о-алгебре 91, удовлетворяющих условию: для любого t > s, t £оГ0

Р,(Д, (^'(Д^).(4.27)

Заметим, что множество Ps содержит меру Р и всё меры

Ps' (*» ®) > S £ ^ о,S < S.

Очевидно также, что

Ps-Pt, s<t.(4.28)

Построение искомых согласованных условных распределений дается следующей леммой.

Лемма, а) Пусть иГ0—внешний скелет. Для каждого ^Е^Х^о найдутся функции Р^Д, со), Д^91, <о£Й, являющиеся общими условными распределениями для всех

мер W^Pt относительно 91 (:

РДД, о)) = Р'(Л[91а, Л€31.(4.29)

Кроме^того, при каждом со^Й мера Pf(-, со) принадлежит классу Рр

Р*(• * ю)£Рь мЕЙ.(4.30)

Пусть оГ0—внутренний скелет. Для каждого t^^ найдутся Pf (Д, ю), Д £ 91, <о € Q, являющиеся общими условными распределениями для всех мер Р' € Р$» $ <К относительно 9Ц:

рдл «)=р'(Д1^), дел. (4.31)

Кроме того, при каждом со £ £2 мера Pf (•, <о) принадлежит Рр

Pfb 0))£Pt.(4.32)

Поясним сначала, как из этой леммы вывести утверждение теоремы. Пусть, например, <С0— внешний скелет. Условные распределения РД-, го) уже были определены при /С^. Для остальных t возьмем в качестве Pf(-,o) распределения, существование которых утверждается в лемме. Принадлежность Р £ Pt и условие (4.29) дают нам (4.14). Покажем, что выполняется условие согласованности (4.15). Действительно, оно уже проверено для s, t^<STQ. В случае, когда s^^, /Е^о* это условие следует из (4.30) и (4.27). Если же s^JX а ^^о, то все меры РД-, со), со^Н принадлежат Pt и для вывода соотношения можно воспользоваться (4.29). Наконец, если s и t принадлежат jT\c*ro, то меры РД-, со), со^П, принадлежат Ps, и, следовательно, Pt ввиду (4.30) и (4.28) и далее можно снова воспользоваться (4.29). Случай, когда еГ0—внутренний скелет, разбирается аналогично.

Доказательство леммы. Пусть сначала ^0— внешний скелет. Не ограничивая общности, мы можем считать, что £2—метрический компакт, а 91—борелевская о-алгебра в £2. Пусть С (£2)— пространство непрерывных функций в £2 и W —счетное всюду плотное подмножество в С (£2). Пусть вероятностные меры Ри на о-алгебре 91 таковы, что последовательность функционалов

§ 4] СОГЛАСОВАННЫЕ УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 51 сходится для всех f^W. Тогда последовательность /„(f) сходится и для всех f£C(Q), так как

f $ gdP„ <sup|f—g|

для любых f£C(Q), g€^- Стало быть, последовательность мер Р„ слабо сходится к некоторой вероятностной мере Р, т. е.

Ига JfdPB=$MP, f^C(^.

Мы применим эти соображения к мерам Р„ = Р^„(-, о), где tn— точки 'внешнего скелета с$Г0 (см. (4.22), (4.23)). Рассмотрим функции'

и обозначим Qf множество всех to*, для которых последовательность 1п^, со') сходится для всех fC^- Для каждого о)' £ Qt существует (единственная) вероятностная мера Pf(-, со') на о-алгебре 91 такая, что

( f (о)Pf (М ^) = Нт/п(7, со'), f^C^Y (4.33) п

Поскольку W счетно и для любых f, л функция l„ (f, <о') измерима относительно 9If„, то Qf и левой части (4.33) стоит 9(гизмеримая функция. Далее, поскольку для любой меры Р' £ Pt

где Е'(-|-)—условное математическое ожидание по мере Р', то Р' (Q^) = 1 для всех P'£Pf, и

$ И®) П(Л>.Ю = Е'(/ !«<) (4.34)

для всех Р' £ Pt и всех f£C(Q). Так как условное математическое ожидание E'(-]9If)— линейный непрерывный оператор в ^’1, то (4.34) справедливо для всех ограниченных функций f, являющихся поточечными пределами ограниченных последовательностей функций ’из С (Q), а также для линейных комбинаций таких функций. В частности, (4.34) выполняется для всех индикаторов 7 = Хл множеств А из полукольца О множеств вида Д^б^б^ ^. б§—открытые. Но для функций / = хл, А ^91 равен-

ство (4.34) может быть переписано в виде

Pf (Л, со') Р'(dco') = Р'(ЛВ)(4.35)

в

для всех B£$lt. При каждом фиксированном В функции, стоящие в обеих частях (4.35), являются (как функции от Л) мерами, совпадающими на полукольце @, порождающем сг-алгебру борелевских множеств 91. Следовательно, (4.35) верно для всех Л£§1 и

Pt(.,co) = P'(.|9If)

— общее условное распределение для всех мер Р'С ^ относительно о-алгебры 9If

Положим (o'^Qf, если мера РД-, со') принадлежит Pt. Определим искомое условное распределение равенством

Pt (Л, со) =Pt (Л, со) =Pt (Л, со), to^Qf,

Pt (Л, со) =

Pt (Л, со) =

Р (Л) в остальных случаях.

Очевидно, меры РД*, со) принадлежат Pt при всех со. Доказательство леммы будет завершено, если мы покажем, что

Q^^ и Р'(^) = 1(4.36)

для всех Р' С Pt* Действительно, в этом случае Дмеры РД-, со) и РД-, со) будут совпадать п. н. Р', Р' ^Pt. Следовательно, РД-, со), как и РД-, со), также является общим условным распределением для всех мер Р' из класса Pt.

Для доказательства (4.36) воспользуемся сепарабельностью о-алгебры §1 и всех о-алгебр Slf, /С^о- Пусть S = S(3I), ^t = ^(9Xf)—счетные алгебры, порождающие соответствующие ст-алгебры. Сопоставляя' определение Pt (см. (4.27)) с определением Qf, получаем, что со £ Qf тогда и только тогда, когда

РДЛ, со') РДсХсо', ю) — Р, (ЛВ, со) (4.37) В

при всех f >t, t' С^о. А Е S, В С ^г. При каждых фиксированных Л, В, В обе части (4.37) Sit-измеримы. Следовательно, множество Ц также Sit-измеримо, Ввиду

(4.21) остается показать, что для любых фиксированных Д, В, f и любой меры Р'€ Pt равенство7 (4.37) выполняется для Р'-почти всех о. Как мы уже доказали,

Pt (•» ю) = Р'(‘l^f)>

откуда

РДАВ^^Р' (ДВ|^>

= Е'(,Р'(Л£фМ|^) = ^ЕД%й.р'(Д|адТО = = Е'(%в(-)-Рг(Д, -)|9Xf) = = $ (Хв(ю,)М^.ю,)рИ^> ®) =

= $Р,Д4, ©ЭРД^о', <в).

в

Для случая, когда оГ0— внутренний скелет, доказательство проводится аналогично.

Пример. Система а-алгебр, порожденная случайной обобщенной функцией. Пусть С” = С” ^R^— пространство бесконечно дифференцируемых функций и (О, t € Rd, с ком-, пактными носителями supp и. Рассмотрим пространство X = (Cq)* всех обобщенных функций, т. е. всех непрерывных линейных функционалов х = <х,и> на пространстве С». Определим о-алгебру 0 в пространстве X как порожденную всеми функциями вида

F (Д = <х, и>,и^С”.

• Пусть ^ = ^(со), со^П—случайная обобщенная функция (измеримое отображение £ вероятностного пространства (й, 91, Р) в пространство (X, 99)). Каждая случайная обобщенная функция £ индуцирует вероятностную меру Pg на а-алгебре 99 в пространстве X:

р^в^р^и^ву, В^.

Переходя к мере Pg, мы будем, не ограничивая общности, считать, что Й = Х и 91 — 99, а отображение £: й —> X тождественно.

Пусть S—открытая область. Свяжем с ней а-алгебру 91 (S), порожденную всеми функциями вида

5» (<*>). = <1..(со), и>, suppticS,

Для замкнутого множества 5 положим

9Ц£)= П 9l(S8),

8> О

где S8—е-окрестность множества S.

Обозначим ^г совокупность всех замкнутых множеств S^Rd, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение. Введем в <зГг естественное отношение порядка s. Обозначим ^2 совокупность всех открытых множеств 5 е Rd, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение. Введем в ^2 в качестве отношения порядка строгое включение;

Si^S2, если S^S,,

Покажем, что для каждой из систем ст-алгебр 9t(S), S^^, и 91 (S), S^^*2, существуют согласованные условные распределения.

Заметим, что а-алгебра 91 (S) в случае открытого S сепарабельна, поскольку она порождается также счетным набором действительных случайных величин ^,Un» л=Л# 2, ..., где ип—счетное всюду плотное подмножество в С: (S).

Построим специальную счетную систему открытых мног жеств так, чтобы совокупность множеств <^\ образовывала внешний скелет для 9Х (S), S € <§\ и JT0, и внутренний скелет для 9X(S), SE<^2- Обозначим ЭЛЛ» &— —О, 1, 2, ..., совокупность всех замкнутых множеств AciRd вида

Л={М^ —^d): n,--2-*<^.<(«z4-l)-2~\

(4.38)

где п{1 t = l, ..., d—целые числа. Отнесем к <f0 множества, являющиеся либо дополнением, либо внутренностью суммы конечного числа множеств из 9Л = и 301А.

Пусть S—ограниченное замкнутое множество. Обозначим Sk внутренность объединения всех множеств из 9ЛА, имеющих непустое пересечение с S. Заметим, что открытое множество Sk содержит замкнутое множество S. Действительно, если бы это было не так, то нашлась бы точка t^S, принадлежащая границе д5й множества Sk. Но тогда нетрудно было бы указать множество вида (4.38), содержащее точку / и не содержащееся в Sk, что противоречит

определению Sfc. Справедливы свойства:

S^Sfe+1;(4.39)

при любом s > 0 для достаточно большого к

Sk^3^(4.40)

при любом к для достаточно малого 6 > 0

SM',(4.41)

Включение (4.40)—следствие того, что диаметры множеств из Ш1Й стремятся к нулю при к —»- оо, а включение (4.41) — следствие компактности S.

Аналогично ' для замкнутого множества S с ограниченным дополнением обозначим Зк дополнение объединения всех множеств из 9Jtft, содержащихся целиком в 3е. Очевидно, ЗкгЗ и справедливы (4.39)— (4.41). Но ввиду (4.40), (4.41)

91 (S) = П 91 (SJ.к

Стало быть, последовательность Зк удовлетворяет условиям (4.22), (4.23), и еГ0—внешний скелет для 91 (S), С <^"1 U з^7" 0.

Покажем, что <FQ также является внутренним скелетом для 91 (S),Пусть 5^^ — открытое множе

ство. Тогда 5е ^^j, и существует последовательность Зк элементов <F0, аппроксимирующая 3е в смысле (4.39) — (4.41). Определим 8к как дополнение 8^. Очевидно, Зк £ <^0. В силу (4.39)—(4.41)

С с- С г— г— С

И для любого е> 0 найдется достаточно большое к такое, что

8к^8-й = Нй\^.(4.42)

Ввиду (4.42) S = U S^ и в соответствии с определением *91 (5),

9t(S)=V9l(Sft).к

Итак, последовательность 8к удовлетворяет условиям (4.24), (4.25). Кроме того, если S', З^^-^ и S'sS, то 3'гЗ-е

для некоторого е > 0. Поэтому из (4.42) следует также свойство (4.26). Следовательно, еГ0 — внутренний скелет для 91 (S), S^.

Для того чтобы воспользоваться доказанной выше теоремой, остается заметить, что а-алгебра 93 в пространстве X является стандартной борелевской о-алгеброй.

Покажем это. Для доказательства построим измеримое отображение а. пространства X в полное сепарабельное метрическое пространство Y (гильбертов кирпич), и проверим, что а(Х)— борелевское подмножество в У и отображение а является изоморфизмом X иос(Х), т. е. взаимно однозначным в обе стороны измеримым отображением.

Гильбертов кирпич Y— это счетное произведение отрезков [— 1, 1], где каждая точка у = (уп у2, ...) определяется координатами ук£^.—1» Ч и расстояние между у\ у” СУ задано как

p(^^)==LAl^—^1-

/г 2

Для того, чтобы построить отображение сс, выберем в С” счетное всюду плотное семейство функций Xе такое, что для любой области

Sr = {x: |х| < r\^Rdt г=1,2, ...

совокупность 9^г функций из 3^ с носителями в Sr плотна в С” (Sr), и выполняется свойство: сгиг + с2ы2 С 9^ если «1, н2 €5^ и с1п с2 рациональны. Чтобы построить такое семейство функций 3^, достаточно выбрать в счетно-гильбертовом пространстве С^ (Sr) счетное всюду плотное множество, и взять в качестве 5^ все линейные комбинации с рациональными коэффициентами функций из объединения этих множеств.

Определим отображение сс: X -^-Y, сопоставляя обобщенной функции х = <х, и>^Х точку а(х)£У с координатами

' 1 + 1 <х, ик>1 ’

Каждая из координат ак(х) является измеримой функцией, и поэтому отображение а(х) измеримо. Заметим, что

<xt <4.43)

* 1—1«H4I v

Поэтому, если Xi=Ax3, то a (xj =#а(х2). Далее, как легко видеть, о-алгебра 23 в пространстве X порождается счетным числом функций F(x) = <x, ик>у ик£.3£* Следовательно, а-алгебра $ порождается отображением а и любое событие В £23 имеет вид

В^а-^С), С^(4-44)

где ®—борелёвская сг-алгебра в У.

Опишем теперь образ сс(Х) пространства X. Обозначим У множество точек у £ У, удовлетворяющих условиям:

Ш<1;6=1, 2, ...(4.45)

г(4-46)

I Уп I 1 I Ут I 1 I Уй I

для всех таких и, т, кл что cYun-\-c^ufn = uk, сг, са рациональны. Множество У, очевидно, борелевское, и а(Х)сУ ввиду (4.43).

Пусть р, q, г — натуральные числа. Обозначим У рчг совокупность всех точек у £ У, удовлетворяющих условию

т=тгг-r4tr «pH-м,

IУпII Ут I

для всех п, т таких, что ип, um^^rt где Ц-^ определена формулой (1.12). Очевидно, Уpqr борелевские множества. Докажем, что

а(Х) = Ув = У П U Ypqr\\ Г Р-Q )

Действительно, пусть х£Х. Для каждого г функционал х непрерывен на счетно-гильбертовом пространстве С^ (SrY Следовательно, функционал х (как функционал на Со (SJ) непрерывен в некоторой норме Ц-Ц»- Поэтому для достаточно большого р

|<х, п>|^р||нЬ> u^C”(SrY

Итак, ввиду (4.43) для любого г найдутся такие р, q, что а^х^У pqr. Следовательно а(х)£У0.

Наоборот, пусть точка у принадлежит Уо. Определим функционал <х, м> для функций uQ^ равенством

Для каждого г найдутся р, q такие, что ^Уpqr Следо-

вательно функционал <х, и> по непрерывности продолжается с на Со°° (Sr), и с К на С». Опираясь на (4.46) и (4.43), нетрудно показать, что получающийся непре- .рывный функционал <х, п> линеен.

Итак, а(Х)=У0 и стало быть а(Х)—борелевское. Ранее уже отмечалось, что отображение «^взаимно однозначно и измеримо. Измеримость обратного отображения а-1 легко следует из измеримости а(Х), так как для множества В вида (4.44)

а (В) = а (а-1 (С)) = С П а (X) £&

§ 5. Гауссовские распределения вероятностей

1°. Основные определения. Примеры. Семейство дейст- вительных'случайных' величин |(?), Z^T, на вероятностном пространстве (Q, 9(, Р), где Т—произвольное множество, называется гауссовским, если любые взятые в конечном числе величины [£ (^ ..., £ (^J] имеют совместное гауссовское распределение, другими словами, если конечномерные распределения случайной функции £(/). t^T, являются гауссовскими. Такую функцию, а также отвечающую ей вероятностную меру Р на о-длгебре 91 (71), порожденной величинами |(£), t^T, тоже называют гауссовскими.

Напомним, что распределение вероятностей Р в «-мерном векторном пространстве Rn называется гауссовским, если характеристическая функция

Ф(и) = J е^“* ^P(dx), u£Rn .(5.1)

RR

(

п

здесь (и, х) = JJ и^Съ означает скалярное произведение л= i

векторов « = («!, ..., и^ и х = (хп . ..,х„)^ имеет вид <р(и) = ехр|((п, Л)—-^-(Ви, и)У»u£Rn,

где Л = (ЛП ..., A^R"—так называемое среднее значение, а В есть корреляционный оператор—линейный положительный оператор, задаваемый корреляционной

матрицей (ВкД:

(и, Л)= $ (ы, x)P(dx),

Rn

(Ви, v) = $ ((и, х)—(и, Л)) ((и, х) —(и, Л))Р^х); R» .

и, u£Rn;

если речь идет о распределении Гауссовских величин

Дй = Е£е, Й^Е^-Д^-Д,.);

Распределение вероятностей Р со средним значением А и корреляционным оператором В сосредоточено в т-мерной гиперплоскости L пространства Rrl (т— ранг корреляционной матрицы), которая может быть описана как

L=A-yBRn

(L есть совокупность всех векторов y£Rn вида у~ А •- Вх, x£Rn). Именно:

Р(Я"\£) = 0,

причем распределение вероятностей в L имеет плотность распределения р(у), y^L, вида

р № = ^/iL'g-^6^ {~4 <д~‘(У-л>- У--4)} <5-2)

(здесь det В означает определитель матрицы, задающей оператор В в подпространстве Rm = BRn, а В-1 есть оператор в этом подпространстве, обратный к В).

Каждое из конечномерных распределений Р^/„ гауссовской случайной функции £ = £(£), t^T имеет среднее значение (Л (/J, ..., Л (/„)) и корреляционную матрицу (B(tk, ^)}, где A(ty t £Тсреднее значение случайной функции £ = £(/), а В (s, ty, s, t^T,— ее корреляционная функция1. .

Л(^) = Е£(0,

B(s, 0-Е^(а)-Л(5))(и0-Л(/)); s, t^T.

Таким образом, гауссовская мера Р на ст-алгебре 31(7) однозначно определяется средним значением Л (Г), t^T, и корреляционной функцией В (s, ty t^T.

Среднее значение A(ty i^T, может быть произвольным, а корреляционная функция S(s, ty s,i£T, удов-

летворяет условию положительной определенности

для любых /п ..., tn£T и действительных clt ..., сп- Для всяких функций А (/), t^T, и положительно определенной 5 (s, Z), s, t^T, существует гауссовская случайная функция со средним значением А (Z), t^T, и корреляционной функцией В (s, Z), s> t^T. Именно, гауссовские распределения Р^<п со средними значениями (Л (ZJ, ..., A (i„)) и корреляционными матрицами {5 (Z6, Zy)} являются согласованными и задают гауссовскую меру Р в пространстве X~RT всех действительных функций х = х^, t^T, определенную на сг-алгебре, порождаемой цилиндрическими множествами.

Случайная величина £ в евклидовом «-мерном пространстве R" называется гауссовской, если гауссовским является ее распределение вероятностей. Очевидно, что случайная величина £ £ Rn является гауссовской тогда и только тогда, когда при каждом и £ Rn гауссовской является действительная величина £(«)=(и, £) (равная скалярному произведению элементов и, %€Rn)— характеристическая функция ф(п), u^.Rn, случайной величины I С Rn совпадает в точке u£Rn со значением характеристической функции действительной случайной величины £ (и) = (н, |) в точке 1 и имеет вид

ср (и) = Ее1'<й> ^ = ехр-Jz (и, Л) — -^-(Ви, u)j>, u^Rtt.

Очевидно также, что случайная величина £ £ Rn является гауссовской тогда и только тогда, когда гауссовской является случайная функция вида !(«) = («, £) от u^Rn.

Понятно, что линейная оболочка гауссовских величин является гауссовской. Предельная в среднем квадратичном величина £ для последовательности гауссовских величин ^^^ р = 1, 2, ..., также является гауссовской, точнее, если какая-либо совокупность величин (^р), ..., ^р)) является гауссовской, то гауссовской будет и предельная для р —оо совокупность (|п ..., £я). Это непосредственно следует из общего выражения (5.1) для характеристических функций, если учесть, что при р —юо

Е^>^Е$.EEW—Е^,к=\, .... я.

§51 ГАУССОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 61 и характеристическая функция предельных величин (^, ..., ^„) является предельной для характеристических функций величин (^р), ..., ^р))* Р — Ь 2, ... Таким образом, замкнутая в среднем квадратичном линейная оболочка гауссовских величин является гауссовской.

Рассматривая гауссовские величины как элементы гильбертова пространства „^(Q, 91, Р), отметим одно замечательное свойство: ортогональность гауссовских величин (с нулевым средним) равносильна их независимости.

Это непосредственно следует из общего вида характеристической функции многомерного гауссовского распределения—для любых ортогональных совокупностей (^, ..., U) и (£«+п • • Л») характеристическая функция (5.1) величин (^п ..., £в) распадается в произведение характеристических функций величин (^, ...,£w)и (^+1, ..., U-

Случайный элемент £ гильбертова пространства U, т. е. функция Е — с (со) на вероятностном пространстве (Q, 91, Р) со значениями в U, называется случайной величиной в U, если скалярное произведение (и, £) при каждом u^U является действительной случайной величиной (измеримой функцией на вероятностном пространстве (Q, 91, Р)), иначе говоря, если функция ^ = ^(w) от co^Q является слабо измеримой.

Случайная величина £ в гильбертовом пространстве U называется гауссовской, если при каждом и^О гауссовской является действительная случайная величина £(и) = — (м, £). Это также равносильно тому, что гауссовской является случайная функция % (и) —(и, £) otu^U, поскольку гауссовскими будут не только отдельные величины ^ ^и) = ^и, £), но и любые векторные величины (^(Ui), ...Л(«„)). В самом деле, для любого вектора X = — (Хц ..., Хя) в n-мерном векторном пространстве Rn

п

скалярное произведение 2 М (ыа) есть

п/ пX

2«(«Н 2 !* -$(«).

А=1\А=1/

п

где и — ^AkUb^^ а по условию величина |(ы) = (ы, |)

А=1

является гауссовской.

Всякий элемент х ^U гильбертова пространства U можно отождествить с функцией х (и) = (и, х) от u^U (линейным непрерывным функционалом на Щ. В соответствии с этим случайную величину £ £ £7 можно отождествить со случайным линейным непрерывным функционалом 1(н) = (ц, У на пространстве U. Среднее значение

Д(ы) = Е^, |), u^U, является линейным функционалом, а корреляционная функция

В (и, н) = Е ((и, £) - А («)) ((с, ^)-Д(и)), и, у^и, — билинейным положительным функционалом.

Интеграл от гауссовской функции. Рассмотрим гауссовскую функцию £ (£), / £ 7\ на измеримом пространстве Т с мерой р (dt) как функцию со значениями в пространстве ^2 (Q, Ж, Р), считая ее (сильно) интегрируемой. Напомним, что кусочно постоянная функция В (£)» принимающая постоянные значения ^ на измеримых множествах AheT:

Ш) = Ъ, К^ 6=1,2,... (иДл = П, называется интегрируемой, если интегрируемой является числовая функция Ц|(0||» t^T; при этом

5Е(Он(Л)=25»н(^;

произвольная функция |(0 называется интегрируемой, если найдется такая последовательность интегрируемых кусочно постоянных функций ^,п^, что

ПлЦЩ0-^ГО1н.№) = 0;

Т при этом (сильный) предел

Ь (0 р (dt) = lim $£„ (/) ц (dt) т т

не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Ясно, что аппроксимирующие функции £н (£) всегда можно взять со значениями в замкнутой линейной оболочке величин |(£), t Е Т (обозначим ее Н(Г)), поскольку

для проекций С. (О величин ?„ (/) на Н (Г) мы имеем

H(0~M0KRC)~U0l|.

Таким образом,

$ g(0H(d#)6^ (T).(5.3)

т

где для гауссовских величин ^^IY t^Tt совокупность Н(Т) является гауссовской.

Отметим, что функция

Ж^МИ» t^T,

интегрируема тогда и только тогда, когда действительная функция

пары переменных (со, /) измерима относительно произведения мер Рхр и

■etlcOS.':■etlcOS.':J^ (/)|jp(d/) < со. т

■etlcOS.':

■etlcOS.':

При этом в качестве надлежащей аппроксимирующей последовательности можно взять действительные кусочно постоянные функции ^,n^—^n^to,tY принимающие конечное число различных значений В,пк на непересекающихся множествах АийхАлй, где Д^Е^ и А^^, Е Т — измеримые множества (как мы знаем, совокупность множеств указанного вида образует полукольцо, которое порождает о-алгебру измеримых множеств в произведении йхТ). Отметим также, что интеграл ^ (/) р (df) как величина , в пространстве ^^(Q, 51, Р) есть

$|(Он0О = Jg(®, Оц00. <»6Й,(5.4)

тт

где справа стоит интеграл от числовой функции £ (со, tY t Е Тл при фиксированном <о; этот интеграл существует при почти всех со^й, поскольку

ИНК Ок0ОР0®)<№ (01000.

ЯГт

Рассмотрим случай, когда

5||^(/)||ар(^) = J5 |£(со, t)|8P(dto)p(^ <оо, (5.5) тяхт

т. е. когда функция ^ (со, /) пары переменных (о, /) принадлежит пространству S’8 на произведении QxT с мерой Рхр. При условии (5.5) для почти всех о)£Й

Jl^^pHCd/Xoo.(5.6)

т

Обозначим N множество тех со, для которых условие (5.6) нарушается. Изменим ^(со, ?) на исключительном множестве НхТ меры 0 (скажем, положив £ (со, 0 = 0). Полученная таким образом случайная функция ^(0, t^T, эквивалентная исходной, удовлетворяет условию (5.6) при всех со^й, и ее траектория

£(«, -) = ^(со, 0, t^T, рассматриваемая как функция от со £ й, есть случайная величина в гильбертовом пространстве U = ^2 (71, •, р) действительных функций и = и^, t^T, интегрируемых с квадратом по мере p(d/). Эта величина является гауссовской со средним

А (и) = 5 и (О A (О р (dt)т

и корреляционным функционалом

В (ц, и) = 5 $ и (s) ^ W 5 (s> О И № М- №> и, v^U, TXT

где А (/) и В (s, /) есть среднее значение и корреляционная функция для £(0, t^.T.

2°. Некоторые вспомогательные предложения.

Пусть Н„, и = 1, 2, ..., есть последовательность линейных замкнутых в среднем, квадратичном пространств из гауссовских величин,

Н=ПНп1

и 91 есть а-алгебра, порождаемая величинами из пространства Н. Тогда

ппП 31я = ^(5.7)

п

п

где 91 , гг = 1, 2, .... есть з-алгебры, порождаемые соответствующими пространствами Н„.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что Нп = П Нк и, следовательно, Нт^Нп при

к С п

т<п. Существенным оказывается тот факт, что пространства

— ортогональные дополнения в Нп_г до Нп^Нп_г—представляют собой совокупности величин, независимых при различных п. Обозначим 95п о-алгебру, порождаемую пространством А„. Мы имеем

^ = 9lV23A,п

где 95*, &=1, 2, ...,— последовательность независи

мых or-алгебр. Положим 95 = V 25*; 21 и 95 — независи- к=1

мые о-алгебры. Как мы знаем, о-алгебра 91V25 порождается полукольцом событий вида А-В, где Л £ 9Х и В £ 95, а пространство J?2 (91V 23)—соответствующими индикаторами Ха-Хв> и всевозможные произведения

^-п» ^^2(9i), 'ле^сж

образуют полную систему в пространстве ^3(9(\/25); отметим здесь, что в силу независимости £ и т]

fl^^EI^^EI^-EIr)^^^^.

В разложении

^ = (Er]).^4-£(i]—Ет])

первое слагаемое входит в пространство J^3^), а второе—ортогонально ему, и, следовательно, величины

■ Ип~Еп), 1€^3(2(), п€^2СВ),образуют полную систему в ортогональном дополнении

^2 (91)1 = ^2 (31V33) Q ^2 (9i).

Более того, произведения ^(ц —Е13) в совокупности дают полную систему в J?2 (91)1, если взять полные системы величин ^ € -S^3 (91) и ri^^2^). Рассмотрим произвольную величину

£€ H.S’W, ?±^’(Я).

3 ю. А. Розанов

Будучи измеримой относительно 91 „ при любом п = 1,2, ..., она не зависит от 93^ 332, ... а следовательно от величин т]. Этим же свойством обладают и произведения ££,€ Зг (91), и потому для выбранной нами системы

величин £-(г| — Ет]), полной в ортогональном дополнении Jg72^), мы имеем

(? (Л-Ет]), £) = Е (т)—-Ет]) -Е££ = О,

т. е. величина £ ортогональна всем величинам В(П—Ел), и, следовательно, £ = 0. Таким образом,

_2’» (51) = П-2” (SI„),

что равносильно (5.7).

Рассмотрим последовательность случайных величин L^M®)> и = 1,2,...,

на вероятностном пространстве (Q, 91, Р). Говорят, чтб последовательность £„, п = 1,2, ..., сходится по вероятности на множестве Л £ 91 к величине ^ = ^(<о), если для любого е > О

Um Р({| ^„—$ |>е} ПЛ) = 0,(5.8)

Как известно, последовательность £„, п — 1, 2, ..., сходится по вероятности тогда и только тогда, • когда она фундаментальна, т. е. на том же множестве Л сходится по вероятности к 0 последовательность ^пт = ^П — ^т, и, m = 1, 2, ...

Справедливо следующее предложение:

Если последовательность гоусссвских величин £„, п = 1, 2, ..., сходится по вероятности на некотором множестве Л £91 положительной меры (Р(Л)>0), то она сходится в среднем квадратичном'.

Нт ЕВ„-И>-0.П -> оо

Доказательство. Рассмотрим гауссовские величины Аят = ^ — |т. Для любого е> 0

expf-^^px,expf-^^px,Об

expf-^^px,

expf-^^px,

где а„„ = ЕД„, о^ = Е(Дм-п„)’- Предположим, что

последовательность ^ не сходится в среднем квадратичном, что равносильно условию

Нт (^ + ^m) > 0. п» оо

Легко видеть, что при этом условии для некоторого достаточно малого е > 0

■~НпГ Р{|Апт|>е}^1—/з/2,

п, т.-»-»1

где р = Р(Л)>0. Но тогда TiS-pfflA^^eJn^»^, П, т

что противоречит (5.8). Поэтому

lim ЕД^ = lim (ап/пН”^пт) ^ ^, И, т->-со. П,т-»-а:

т. е. последовательность £н фундаментальна в среднем квадратичном и, следовательно, сходится в среднем квадратичном, что и требовалось доказать.

В частности, если последовательность гауссовских величин £„ сходится с положительной вероятностью (т. е. сходится для всех со из некоторого множества Л £ 91 положительной меры')» то она сходится в среднем квадратичном.

Рассмотрим последовательность независимых гауссов

ских величин |„, п— 1, 2, ... Ряд 2 ^п сходится с поло- п=1

жительной вероятностью тогда и только тогда» когда сходится ряд 2 Е^„.

Доказательство. Поскольку

2е^е2^

П=1п=1

то из сходимости ряда 2 Е|„ вытекает, что величина

Л = 1

д2 £п(®) является конечной для почти всех co^Q, т. е.

РЯД 2^ сходится с вероятностью 1. Пусть теперь ряд л=1

з*

^Ц сходится с положительной вероятностью. Тогда с п= 1

той же или большей вероятностью |л —к 0 и, следовательно, Е^0 при п—* оо.

Мы имеем.

0<Ее ‘^ЦЕ<Г^ п=1

<Пе(1-Ы+4ьО = П [1-ЕЫ+о(ЕЫ)], п=1 Х' П=I

что может быть лишь при условии

3°. Гауссовские линейные функционалы на счетногильбертовых пространствах. Пусть U — произвольное полное сепарабельное счетно-гильбертово пространство с системой скалярных произведений

(ы, v)n (и, у)а, ...

таких, что нормы |и||д = К(«, и)„ монотонно не убывают, т. е. U — линейное топологическое пространство с системой окрестностей нуля вида

{u: flu^ < е}, п — 1, ..., р, е > 0.

(Примером может служить пространство U = С» (Т) бесконечно-дифференцируемых функций и = и^ с компактным носителем suppи^Т в ограниченной области Тг Rd.) Пространство ^ совпадает с пересечением гильбертовых пространств (Уд, п = 1,2, ..., каждое из которых получается пополнением U по соответствующей норме Ц м[]„. Пространство X всех линейных непрерывных функционалов х = («,%) на U совпадает с объединением пространств Х„, каждое из которых является сопряженным к соответствующему гильбертову пространству U п

и = п ип, х = и х„

П=1п=1

при этом иг з Ua э ... и Хг s Ха s...).

Обозначим S3 минимальную о-алгебру, содержащую все цилиндрические множества пространства JC —всевозможные множества вида

{(Ын х) € Гц (^л>-х) € ГД,

где Мц • мл€17, а Гп ..., Г„ — борелевские множества в Я1.

Пусть(й, 91, Р) —некоторое вероятностное пространство. Пусть для каждого co^Q имеется определенный элемент £ (со) в пространстве X, сопряженном к счетно-гильбертову пространству (/, т. е. линейный непрерывный функционал (м, iy—<uA (“)), u^U. Для того чтобы при любом фиксированном u^U действительные функции (u, 1) = (м, § (со)) от со£П были измеримыми (иначе говоря, были случайными величинами на вероятностном пространстве (Й, 91, Р)), необходимо и достаточно, чтобы была измеримой функция ^ = ^(со) со значениями в измеримом пространстве (X, S3), где S3 —минимальная о-алгебра, содержащая все цилиндрические множества пространства X. Измеримую функцию | = ^(о) будем называть случайной величиной в пространстве X— пространстве всех линейных непрерывных функционалов х = (м, %) на счетно-гильбертовом пространстве U\ величина с € X представляет собой случайный линейный непрерывный функционал на U — случайную функцию ^(иД) параметра u^U, каждая из траекторий £ (го, •) = (и, £ (со)), u£U, которой является линейным непрерывным функционалом на U.

Случайную функцию ^ — (и, £) параметра u^.U назовем линейным случайным функционалом, если для любых Ui, иа ^ U и действительных чисел %1Э Л2 с вероятностью 1

(М1+М2»Ю = ^(«1^) + ^(«2»В) 1 m И ■ Е[(М,|)-(ИЛ)Г-0 | (б'9)

при и-»-и (имеется в виду сходимость в счетно-гильбертовом пространстве U; [|п — v||и —^0 для каждого /п=1, 2, ..

Легко видеть, что случайная функция 1 = (щ £) параметра u^U является линейным случайным функционалом тогда и только тогда, когда ее среднее значение А (и), и t^U, является линейным непрерывным функционалом на счетно-гильбертовом пространстве U, а корреляционная

функция В (и, и); и, v^U, является билинейным непрерывным функционалом на V (называемым корреляционным функционалом).

Среднее значение линейного случайного функционала допускает представление в виде

А(и) = (и, А)п, u^U,

где А — определенный элемент некоторого гильбертова пространства Uп. Корреляционный функционал допускает представление в виде

В (и, о) = (Ви, и)п, u^v^U,

где В — симметрический положительный непрерывный линейный оператор в некотором гильбертовом пространстве Uп (называемый корреляционным оператором). Линейный случайный функционал £ = (иЛ), u^U, может быть по непрерывности продолжен на соответствующее гильбертово пространство Un, в котором непрерывны среднее значение и корреляционный функционал; именно для любого элемента и £ Uп существует предельная величина (у, £)

Е((и, У — (и Л))2 — О при и^и (и ZU), (5.10) и случайная функция £ = (и, |) параметра и С Uп с определенными таким образом значениями (оЛ), уС^п> представляет собой линейный случайный функционал на гильбертовом пространстве Un.

Линейный случайный непрерывный функционал £ = (и, £) называется гауссовским, если все его значения (н, £), и^ U, являются гауссовскими случайными величинами (иначе говоря, гауссовской является случайная функция £ = (н, £) параметра и £ U).

Рассмотрим гауссовский линейный непрерывный функционал £ = (и, £), и € U. При каждом фиксированном ю £ Q (Л^1 Л ^2^21 Ю == ^1 (^1’ ^) Л ^2 (^2’ ^)»

каковы бы ни были ut, ua^U и действительные числа Xv Xa и, кроме того,

[(«Л)—(^Л) I > о

при и—^о. Согласно п. 2° удовлетворяющая этим условиям гауссовская функция £ = (и, £) параметра и £ U должна удовлетворять и условию (5.10), т. е. гауссовский ли-

нейный непрерывный функционал £ = (ц, ^) одновременно является и линейным случайным функционалом (является непрерывным в среднем квадратичном).

Обратимся к вопросу о том, когда существует гауссовский линейный непрерывный функционал ^Х, эквивалентный заданному гауссовскому функционалу £ = (и, £).

При рассмотрении этого вопроса не ограничивая общности можно считать, что среднее значение Л (и), u^U, являющееся линейным непрерывным функционалом на пространстве U, равно 0, так как вместе с (нД), u^U, гауссовским линейным непрерывным функционалом является и разность (и, £) — Л (u), u^U.

Пусть ^ (п, ^ — гауссовский линейный непрерывный функционал с нулевым средним значением на счетно-гильбертовом пространстве U:.

^ (<») = («, £(ю)), u^U

(£ (со) принадлежит при каждом го £ Q пространству X всех линейных непрерывных функционалов х = (и, %), и С U, на пространстве И). Напомним, что X — U Х„, где Хй п = 1

есть сопряженное пространство к гильбертову пространству Uп, которое получается пополнением пространства U по соответствующей норме \\и\\п, п=1, 2, ... Следовательно, с положительной вероятностью случайная величина С X входит в некоторое гильбертово пространство Хп- ^(ы) £Хп и

при ы^Л, Р (Л) > 0, где ^(,г) (о)) — определенный элемент гильбертова пространства Un. Не ограничивая общности, можно считать, что корреляционный оператор В рассматриваемого случайного функционала В = (и, £) определен на соответствующем пространстве Un, Рассмотрим гауссовские величины (и, £), пС^„, определенные предельным соотношением (5.10). Для любой ортонормированной системы пх, и2, ... в гильбертовом пространстве Un со- «тветствующие гауссовские величины ^ = (иА, ^), ^=1, 2, ..с положительной вероятностью Р(Л) сходятся кб при к —)-оо для всех со е Д:

I»(“) = (у», 6'"’(<0))„ —► о,^—ИХ>,

Следовательно, они сходятся и в среднем:

Е^ = №, Уд)->0.

Это означает, что корреляционный оператор В является вполне непрерывным. Далее, выберем полную ор- тонормированную систему собственных элементов п15 и2,... этого вполне непрерывного оператора, отвечающих собственным значениям of, of, ... Соответствующие величины £fe = (yA, £), &= 1, 2, ..., являются ортогональными:

{

о! при i^k,

О „ри i^.

При этом для всех со € Л

6=16=1

Гауссовские ортогональные величины |А, Л = 1, 2, ..., являются независимыми и из сходимости ряда 2 £1 с по- 6=1 ложительной вероятностью Р (Л) вытекает сходимость ряда

Е£А (см. п. 2°), так что

6=1 йроооо

S E^ft2= £ (ВиА, ЦА)= 5^<оо.

6=16=16=1

Это означает ядерность корреляционного оператора В.

Пусть теперь ЩиД)—линейный случайный функционал, имеющий нулевое среднее значение и ядерный корреляционный оператор В в некотором гильбертовом пространстве Un. Пусть о^ и2, ... некоторая полная ор- тонормированная система в гильбертовом пространстве Un. Как и раньше, положим ск = (иА, £), к = 1, 2, ... Мы имеем

сооооо

Е su= Хе^= s В («„«„)<«>. 6=16=16=1

и, следовательно, при почти всех юС^

2Ь‘(®)<«>.

6=1

Определим в гильбертовом пространстве Un случайную

§5] ГАУССОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 73 величину ^>==^"’)(<о) так, чтобы при почти всех о>€й

^(<о)=ь 2 ^(<»)^;

А=1

формулз ^(Ю) = (Ы, $<">(Ю))„, и^и,(5.11)

при каждом соС^ определяет некоторый линейный непрерывный функционал ^ = <иЛ^п, u^Um на счетно-гильбертовом пространстве U такой, что ^Х„.Этот случайный линейный непрерывный функционал £ £ Хп является эквивалентным исходному случайному функционалу £=(«,£), u^U, так как при условии (5.9)— линейности и непрерывности в среднем квадратичном —для каждого фиксированного u^U с вероятностью 1

= (м, I).= (м, I).(«, £ln)k= Ит ( 2 (м, v^ • vk, £

= (м, I).

= (м, I).

П-^Ю \k — 1

Таким образом, для гауссовского линейного случайного функционала £ = (п, £), u^U, существует эквивалентный ему гауссовский линейный непрерывный функционал £ £ X тогда и только тогда, когда его корреляционный оператор В является ядерным (в некотором гильбертовом пространстве U„). При этом гауссовский линейный непрерывный функционал | С X с вероятностью 1 принадлежит пространству ХпгХ, сопряженному к соответствующему гильбертову пространству Uп, и может быть описан формулой (5.11).

4°. Полиномы от гауссовских величин и их условные математические ожидания. Пусть £ (/), t^T,— произвольная совокупность гауссовских величин на вероятностном пространстве (Q, $, Р). Для множества Sep положим

Щ8^^^, 9Ц-$),Р),(5.12)

где §( (S) есть о-алгебра, порождаемая величинами £ (^), t^S, и обозначим НИ(8) замкнутую линейную оболочку всех полиномов степени не выше нот величин |(0, Z^S; уточним, что каждый из этих полиномов есть линейная комбинация величин

4 = W-W h^n; tv...,tk€S.(5.13)

Величины т\£Нп (Т) обладают следующим свойством:

E^VS^^H^SY(5.14)

Доказательство. Рассмотрим случай п = 1. Величина 1] £ Н1 (Т) принадлежит замкнутой линейной оболочке гауссовских величин ^(0, t^T. Обозначим л ее проекцию на Н1 (S) s Н^Т). Гауссовская величина л— Л» °Р" тогональная совокупности Н1^, не зависит от №(5), и, следовательно, она ортогональна всему пространству H(S), так что л ^ЯДЗ) есть проекция величины л на все пространство щзу

Переходя к рассмотрению случая n> 1, напомним, что .условное математическое ожидание Е (т]/§[ (S)), как всякая величина, измеримая относительно а-алгебры $ (S), измерима относительно «своей» о-алгебры 31 (S') со счетным множеством S' sS и

Е (W (5)) - Е (л/31 (S')) = lim Е (Ч/9С (SJ)п->со

для некоторой последовательности конечных 8„г8'. Очевидно, при доказательстве предложения (5.14) можно взять множество S конечным —в этом случае пространство Hn(S) является конечномерным и состоит из линейных комбинаций величин (5.13). Очевидно также, что достаточно рассмотреть величины вида

л^К^.-Л^).

Докажем справедливость соотношения (5.14) для п = пг>1, предположив, что оно справедливо при всех п < т. Обозначим В,^^ проекцию каждого из сомножителей B>(tfeV на подпространство НЦЗ) и положим

Величина £ вместе с разностями В.^—^кУ &—!,... ..., т, не зависит от совокупности величин В,^, / ^S, и

E(£/9l(S)) = E£.

Разность л —С есть линейная комбинация произведений Л1-Л2 величин вида•

Л1 — £ (^J* • *6 ^fcn^’ Л2 ~^ (^йл-pi) • ’ ’ ^ (^/п)’ И <С, tn, для которых

Е(лгЛ2/§1(5у = Е(лЛ(5))-Л2,

где, согласно нашему предположению о справедливости включения (5.14) при п < т,

=е (л^/зс (S)) е //" (5)

есть полином степени п от величин S Ц^ / € S, а т]2 С Нт-п^8У есть полином степени т— п от этих величин. Следовательно, вместе с произведениями т^ - ^ С Нт (S) в пространство Нт (S) входит и величина

E(n/^(S)) = E£ + E(n-^(S»^

что и требовалось доказать.

Полиномами Эрмита называют полиномы ф(х) от одного действительного переменного x£R\ получающиеся процессом ортогонализации последовательности 1, х, х2, ... в пространстве ^2 (У?1,®, Р) с борелевской о-алгеброй 33 и гауссовской мерой Р, имеющей плотность

=хёй\ (5.15)

Для произвольной гауссовской меры Р в ^-мерном пространстве Rft назовем полином ср (хп ..., х^ степени р от переменных (xlf ..., х^ £Rk полиномом Эрмита, если как элемент соответствующего пространства J?2 (Яй, 33А, Р) с гауссовской мерой Р он ортогонален всем полиномам степени q < р.

Рассмотрим произвольную совокупность гауссовских величин £(^), t^T.

Пусть 5 с т есть конечное множество, скажем, S =

^п • • *, tkV Обозначим Hp^S) совокупность всех полиномов Эрмита

л=ф(^(4), .... Ю

одной, и той же степени р, отвечающих распределению Р величин (^(^), .. ., ^^t^. Поскольку полиномы образуют полную систему в пространстве ^2(Rb, 33ft, Р), соответствующее^ пространство (5.12) представимо в виде ортогональной суммы подпространств Hp(S), р = 0, 1, ...

щз^зЬендзу(5.16)

р=0

Пусть St, SasT—произвольные (конечные) множества и ^(SJ, ^(S2)—отвечающие им подпространства

полиномов Эрмита степени р и q. Напомним, что Hp(St) и Ну (S2) определяются процессом ортогонализации в соответствующих пространствах H^S^ и Н(S2). С первого взгляда может показаться, что для различных S, и S2 между Н р (SJ и Ну (S2) нет видимых соотношений. Однако

H„mW, p^q.(5.17)

Докажем это. Пусть для определенности р < q. Рассмотрим произвольную величину ц С Н р (SJ и ее условное математическое ожидание r| = Е (т|/91 (S2)). Как мы знаем, величина т] входит в подпространство Н? (S2) = р

= S ®^r(S2)- Но т] есть проекция величины т] на все г= О

подпространство Н(S2), так что разность ц —т] ортогональна Щ8^ и, в частности, т] — г] | Ну (S2). Одновременно т] | Ну (S2), поскольку т] входит в подпространство Hp(S2), по построению ортогональное Hy^S^ при p<q. Следовательно,

^[(п-пНд!!^^)»

что и требовалось доказать.

Общие ортогональные разложения. Для произвольного S^T определим пространство Hp(S) как замкнутую линейную оболочку всех полиномов Эрмита одной и той же степени р от величин £(/), ^S. Очевидно, соотношения (5.16), (5.17) распространяются на произвольные ЗеТ. В представлении (5.16) ортогональная сумма первых п подпространств Нр, р^п, дает нам

№($)= £ @Я,(5).(5.18)

р=0

Имеет место следующее предложение: при всяком S^T для любой величины ц €Я(3) ее проекция на подпространство Нр(Т) совпадает с проекцией ^(S) этой величины на соответствующее подпространство Нр(8).

Доказательство. В разложении

ч=Ш(5)

9=0

каждая ИЗ величин тЦЗ), Я^Р^ согласно (5.17), орто-

гональна подпространству Нр(Т), и следовательно, ri (S) £ Н (7) есть проекция величины г) на Нр(Т).

Из представления (5.18) для S^T и общего соотношения (5.17) непосредственно следует, что проекция подпространства Я/7) на подпространство Н (S) есть Нр (S). Это уточняет выраженное в (5.14) свойство условных математических ожиданий, а именно,

E(W(W^(S)(5.19)

для любой величины г] £ Нр (Т).

Как мы знаем, совокупность н^ = н^т<

— замкнутая линейная оболочка гауссовских величин £ (£), Z^S, с нулевым средним является гауссовской. Нетрудно проверить, что замкнутая линейная оболочка всех полиномов степени не выше п от величин т\^Н (7) совпадает с пространством Нп (Т). Учитывая это обстоятельство, от произвольного семейства £(/), t£T, можно перейти к системе ортогональных гауссовских величин, взяв ортогональную базу в пространстве Н (7).

Отправляясь от заданной ортонормированной системы гауссовских величин £(£), / С 7, можно уточнить структуру подпространств Нр^Г^ порождаемых полиномами Эрмита степени р. Каждая из величин £ (/) имеет плотность вероятности (5.15), а распределение Р величин (£Л1),£ (/J) в Rh есть произведение распреде

лений отдельных компонент £(/,), /=1, • •., k, в Rx. Поэтому, если срр(х) означает полином Эрмита степени р от действительного переменного х С R1 и

Ф^М, р = 0, 1, ..., есть полная ортонормированная система таких полиномов, то всевозможные произведения

Ф^1)--фрйМ; Рх, pfe-0, 1,

являются полиномами Эрмита степени р р^-^ • - • "V Рь от переменных (хг, ..., х^ £ Rk и образуют полную орто- нормированную систему в соответствующем пространстве ^(R^,Р). Таким образом, для любого конечного

подмножества S={£n .L^T величины

4=Mi№..V,ll№’l, pl + ,,.+p^p,(5.20)

образуют ортонормированную базу в подпространстве Нр(5\ Очевидно, это предложение остается в силе для любого подмножества SeT, поскольку всякая величина ч^Нр (S), будучи измеримой относительно о-алгебры, порожденной счетным числом некоторых величин £ (tTY В (t2Y • • ■» может быть аппроксимирована полиномами Эрмита вида (5,20).

5°. Полиномы Эрмита и кратные стохастические интегралы. Пусть т] (А), Ае7, есть гауссовская ортогональная мера в области Т s Ra евклидова пространства Rd,

E|r](dOla = &W^

и

(«, £) = Jи(t)-г)(dtY u^U,т

— гауссовский линейный функционал на гильбертовом пространстве (/ = ^3(Т, 93, ц) с о-алгеброй S3 измеримых множеств A s Т и мерой ц(dt) = b(t)dt.

Обозначим Нр ((/) замкнутую линейную оболочку полиномов Эрмита степени р от величин !(«) = («, £), u^U. Очевидно, пространство Hp(lJ) совпадает с замыканием полиномов Эрмита степени р от л (А), А с Г.

Используя аддитивность величин т) (А), А ^ Г, всякий полином степени р от этих величин можно .представить в виде

2 и^,(5.21)

где Ад, к = 1, 2, ..., — непересекающиеся измеримые множества, образующие достаточно мелкое разбиение области Т = и Ад, a u{tlt ..., ip) есть кусочно постоянная функ- ция от (^, ..., у £ 7>, сохраняющая постоянное значение на каждом множестве

А^ X • • • X ^кр — "^р *^1» • • : ^р ~ 1’ 2, ...,

и отличная от 0 лишь для конечного числа этих множеств.

Заметим, что при дополнительном требовании,.

H(?i, .... Q = 0, (tit .... 9€ U {^ = ^(,^(5.22)

когда в выражении (5.21) каждое произведение Ч^й,)--* . ..ц(Ау содержит лишь различные ДЙ1, А^, определяемые этим выражением величины ортогональны всем полиномам степени б/ < р. Действительно, всякий полином степени q представим как линейная комбинация величин вида ц(А;).. ц(АД, где каждое из множеств А) содержится в некотором Ай из представления (5.21), в котором всякое произведение ц (Ал)... 4 (Ау содержит хотя бы один такой сомножитель л (А/), что Af не пересекаются ни с одним А), /=1, ... , q, и, следовательно,

Ч (А^). .. ц (А') _]_ 4 (АА|)6.. 4 (Ау.

Напомним здесь, что значения гауссовской ортогональной меры имеют равные 0 средние и являются независимыми для непересекающихся множеств.

Полиномы Эрмита (5.21), получающиеся при условии (5.22), можно представить в виде р-кратного стохастического интеграла:

р к^=5 * * * 5 ^ (^i * • ■ •»tp^ ч (^^1) ... ч k^pi=

ТХ...ХТ

= 2 «Л^(ДЦ-.-пОЧ,)- <5-23)

Определенный равенством (5.23) интеграл 1р(и) принимает одно и то же значение для всех функций u^tv ... ...., у, отличающихся друг от друга перестановкой переменных tlv .t ;

^/> (^) ~ У (“)> где

(^1’ • • • ’ У ~^ w k^it» • • • > ti^

•••• ip

получается симметризацией функции u(tv ..., у .Легко проверить, что

1АЙ1Г = Е|/,(й)|,=

=рф”$ 1«ах. .... /р|“нт...И(Л,) = р1||й1’. (5.24) ТХ...ХГ

Изометричное (с точностью до множителя) соответствие

и^ 1р (и)

между кусочно постоянными симметрическими функциями и как элементами пространства

и стохастическими интегралами Iр^ можно продолжить на замыкание всех таких функций ц —напомним, что они должны удовлетворять условию (5.22). Очевидно, это замыкание совпадает с подпространством всех симметрических функций й £ =^2, поскольку указанное в условии (5.22) множество U {/z = М тех точек (/1? ..., / ) £ Т?, ' i=#j

для которых хотя бы одна пара координат совпадает, имеет меру 0.

Для произвольной функции u^S4 р-кратный стохастический интеграл 1р(и) определим предельным переходом:

1Р(«) = $• • Л и(У • • • * У ^№)• • '4W = ГХ...ХГ■

-=/,,(«)= lim/,(«„), (5.25)

"/?—>00

где ип, п=Л, 2, ...,—сходящаяся к u^S'2 последовательность кусочно постоянных функций, удовлетворяющих условию (5.22).

Как уже фактически отмечалось, для любой функции и £ S'4 интеграл 1р (и) принадлежит пространству HPW—замыканию полиномов Эрмита степени р от величин тДА), A s Т. Оказывается, Н (U) совпадает с совокупностью всех р-кратных стохастических интегралов:

Нр(Щ = \1Р^ »€^2}.(5.26)

/ Для р = 1 это очевидно. Предположим, что это так для всех показателей р^п. Тогда всякий полином степени не выше п есть предел в среднем квадратичном линейных комбинаций полиномов I р^ вида (5.23) с р^п» и, следовательно, всякий полином степени невышеп-|-1 от величин т] (А), А ^ Т, есть предел линейных комбинаций произведений вида /^ (и) • Л (А) или, в более общей форме, произведений вида I ДиУ 1г (у). Всякая величина / (u) ‘ Л (у) при надлежащем (все более мелком) разбиении Т — U Aft на непересекающиеся Aft, &=l,v2, ...,

допускает асимптотическое разложение

kv..., kpkv..., kp= Г 2«(^.^y^JW-W^^^= Г 2«(^.^y^JW-W^^^кр^. i^kit.... кр" Ркр^. i^kit.... кр" Р1р(иН1^= = 2 “№^)’1(Д4,)---’1(д»Р)-2«(и’1(Д»)=

kv..., kp

kv..., kp

= Г 2«(^.^y^JW-W^^^

= Г 2«(^.^y^JW-W^^^

кр^. i^kit.... кр

" Р

кр^. i^kit.... кр

" Р

_Q — 1 ^p-^\^^Q_Q — 1 ^p-^\^^Qф 2 2 икк» •••* У^Уп^-^М'

_Q — 1 ^p-^\^^Q

_Q — 1 ^p-^\^^Q

• И (дч) • л (д^+.) • • • ч (ДР Ф ° (1 )•

в котором первый член представляет собой (р + ^-кратный интеграл Z^+i^-v) для соответствующего произведения и^, .у-и(^+1) как функции от переменных (^, ..., tp+i), второй член есть полином степени р— 1 от величин т](А), A s Т, а остаточный член

o(i)= 2 Г 2 “&, •••. У^ИСА/У-’-1!^* Л <7=1 LAp+i^^fl■1

• [т] (Ад4 )а р (Ад^)] * Л (да</+ J • • • Л (Akp)

допускает оценку

MitKCsupptA^ 2 W4Mtv ..•, t^.vOV -кq =[■

где справа указаны нормы функций u^t1, ..., y-u(Z9) от переменных (/т, ..., t^ как элементов пространства S^^Tp, ^р, р^)_ Оценка для среднеквадратичного значения ||о(1)| = (Е о(1)|«)1/2 легко получается, если учесть, что отвечающие непересекающимся Ай1, ..., А^ сомножители в выражении о (1) являются независимыми и для любого А —Дп Д21 ...

ЕП (А)2 = и (Д), Е [л (А)2 -р (А)]2 = 2ц (А)2.

Мы видим, что при выборе все более мелкого разбиения области Т на непересекающиеся множества Аа, к = = Ь 2, ..., с мерой ц(ЛА), sup ц (Aft) —»-0, произвольно

взятая величина вида Iр (/z) • 1г (и) может быть сколь угодно точно аппроксимирована ортогональной суммой соответствующего интеграла /р+^и-и) и полиномов степени не выше р, и, следовательно, (р +Обратные интегралы дополняют пространство Hp(U) — замыкание всех полиномов степени не выше р — до пространства Нр^^Щ. Таким образом, мы установили, что Нр ^Щ есть совокупность всех /ькратных стохастических интегралов Iр^ для р^п4-1 в предположении, что это верно для р^.п.

§ 1. Некоторые вспомогательные предложенияи основные определения

1°. Расщепляющие Оталгебры. Пусть 91г, SB, 9L — некоторые о-алгебры событий, и зависимость между ними такова, что при известных исходах всех событий из 93 события Л2€^2 не зависят от событий ДС^, точнее, сг-алгебры 9If и 9Х2 условно независимы относительно SB, что в терминах условных вероятностей означает равен^ ство

Р (А, • Л2/93) = Р (Л t/SB) • Р (Л2/93).(1.1)

для любых Л^^о А2£912; будем говорить, что о-ал- гебра 93 расщепляет 91]. и 912 (иначе:*'является расщепляющей), если для 9It, SB, 912 справедливо равенство (1 Л). Рассматривая далее различные случайные величины и их условные математические ожидания (в’’частности, условные!вероятности), мы не делаем различия между величинами, совпадающими с вероятностью I; большей частью мы будем иметь дело с величинами из пространств ^(^)==-^Я 91, Р), /7-1, 2.

При условии (1,1) для любых величин ^ £ =S72(9I1)r ^^^(ЗТо) справедливо равенство

E(^^2/SB) = E(^)-E(U99).(1.2)

Действительно, справедливое для индикаторов ^ = %Л1 и ^2~Хла всевозможных событий Ах £ 91] и А2£912, равенство (1.2) распространяется на их замкнутые линейные оболочки ^2(91^ и ^-(Slg), поскольку условное матема-

взятая величина вида 1р (/^) • 1г (и) может быть сколь угодно точно аппроксимирована ортогональной суммой соответствующего интеграла Zp+1(w-v) и полиномов степени не выше р, и, следовательно, (д +1)-кратные интегралы дополняют пространство №(£/) —замыкание всех полиномов степени не выше р — до пространства №+1((/). Таким образом, мы установили, что Нр {U} есть совокупность всех д-кратных стохастических интегралов Iр(и) для р^п4-1 в предположении, что это верно для р^-П.

Некоторые вспомогательные предложенияи основные определения

1°. Расщепляющие Оталгебры. Пусть 91г, SB, 912~ некоторые cr-алгебры событий, и зависимость между ними Такова, что при известных исходах всех событий из 93 события Л2£9(2 не зависят от событий Л^^, точнее, ст-алгебры 9If и 912 условно независимы относительно SB, что в терминах условных вероятностей означает равен^ ство

Р (Л, • Л2/93) = Р (Л t/93) • Р (Л2/93).(1 -1)

для любых Аа С 911, Л2^912; будем говорить, что о-ал- гебра 93 расщепляет 91 г и 912 (иначе Г'является расщепляющей), если для 9I17 93, 912 справедливо равенство (1 Л). Рассматривая далее различные случайные величины и их условные математические ожидания (в"-частности, условные!вероятности), мы не делаем различия между величинами, совпадающими с вероятностью I; большей частью мы будем иметь дело с величинами из пространств ^(9l)-^(Q, 9(, Р),/7-1, 2.

При условии (1,1) для любых величин 1г £-S72^), ^2 С (9L) справедливо равенство

E(^-U93) = E(^/99)-E(U93).(1.2)

Действительно, справедливое для индикаторов 11 = %^1 и ^2~Хла всевозможных событий Лх £ 9^ и Л2£912, равенство (1.2) распространяется на их замкнутые линейные оболочки ^ (91^ и е^2(913), поскольку условное матема-

тическое ожидание Е(-/$) есть линейный оператор, непрерывный по ^, 12€^2 и ^1-^3^^.

Ясно, что свойства (1.1), (1.2) равносильны. Более того, можно сказать, что о-алгебра 93 расщепляет ^ и §12 тогда и только тогда, когда равенство (1.2) выполняется для каких-либо полных систем величин 1г £ J?2^) и^3€^2(912).

Этот критерий позволяет получить несколько простых предложений.

Если а-алгебра 93 расщепляет ^ и §12, то она расщепляет также о-алгебры

91^91. V 23 и S2 = 9l2V^.(1.3)

Действительно, как мы знаем, о-алгебра ^ = 9l! V 93 порождается полукольцом событий вида Лх • В, где Аг С 91! и В С 23, так что в качестве полной в ^ (9IJ системы величин можно взять величины 11 = 11-'П1» гДе £i —Ха, и T|i = xB1, Bv£^. Взяв аналогичную систему величин ?2 = ^‘Л2 для 9L, будем иметь

Е(1х-|2/93)==Л1П2-Е^

-■ Е (№ Е (^2/5В) = Е &/23) • Е (L/23) •

Справедливо следующее предложение: 93 расщепляет cr-алгебры 9IX, 913 тогда и только тогда, когда последовательность 9^, 93, 9Х2 является марковской, т. е.

Р(Л/9Хх У23) = Р(Л/33), Ле9Х2. (1.4)

Действительно, о-алгебра 93 расщепляет З^ и 912 тогда и только тогда, когда она расщепляет 9Ii V 23 и 312, и, не ограничивая общности, можно считать, что

25^91!.

При этом соглашении, когда 2li V 23=911 равенство (1.4) равносильно тому, что для полной в ^(ЗХз) системы величин §

Е(№ = Е(1/93). .(1.5)

Если равенство (1.5) имеет место, то для 12 = 1 и

С другой стороны, из равенства (1.2) выводим, что

откудаоткудаE^-EWIME^-EWIM

откуда

откуда

E^-EWIM

E^-EWIM

для любых ^€^а№; видно, что при 23 е^ величинаЛ = Е(^)€^2(^)

есть проекция величины L на J?’2^):

и для с^=с2 имеет место равенство (1.5).

Тривиальным примером o'-алгебры, расщепляющей ЗГГ и 912, может служить 23 = 21х. Вообще, если ^Во з ^ расщепляет 21х и 312, то этим свойством обладает всякая п-алгебра 231} удовлетворяющая условию

23О <= 2ЭХ s ^(L6)

поскольку при этом условии для £ С =2^ (91а) мы имеем

Е (^J = Е (£/2%) - Е (^/эза

— см. (1.5).

Более того, если 23О расщепляет Sit и §12, то этим свойством обладает любая о-алгебра $ ^ 2Э0 вида

■ SS-^V^,(1.7)

где

S^^V^o, 23as2I2V2%.

Действительно, согласно (1.3) и (1.6), о-алгебра ^ = = £Ь\ V 23О расщепляет о-алгебры 2It V 23О и ^2 V 23О, а также о-алгебры S1 = §(1vS1 и ^Са — З13 V 9315 из соотношения 23х с 53 ^5Ха в силу общего свойства (1.6) заключаем, что $ расщепляет 212 з ?(2 и ^2 91г-

В связи с условиями (1.6), (1.7) отметим, что отнюдь не ^всякое расширение 23 ^ 230 о-алгебры 23О, расщепляющей §11 и §12, обладает тем же свойством —расщепляет

и §[2. Простые примеры можно указать, основываясь на том, что если 23 расщепляет 21 х и ?12, то для любых $i € -273 (2IJ и £2 £ ^ (§12) должно быть выполнено условие

l;-E(U23)l^-E(^/29),(1.8)

которое является непосредственным следствием равенства (1.2), если его записать в виде

Е {[^ - Е (^/33)] & - Е (£2/93)] /93} - 0.(1.9)

Пример. Пусть о-алгебры 9Хх и 913 порождаются независимыми гауссовскими величинами ^ и £2, а а-ал- гебра 93 —величиной 4 = li + l2- Тривиальная о-алгебра 93О расщепляет 91 х и 9Х2, тогда как о-алгебра 93 э 93О этим свойством не обладает, поскольку условие (1.8) не выполняется,—мы имеем

41 = Е (^1/23) =^ч, Ча = Е (£2/93) = с2ч,

Ч1 + Ча = Ч» и

(11 — П1) + (12-Ч2) = Ч — (Ч1 + Ч2)^0.

Пусть о-алгебры 93п 933 s ^ расщепляют 9Xj и 912. Тогда пересечение

93 = 93^^2(1.10)

также расщепляет 91 х и 9Х2, поскольку мы имеем равенства (1.5) для 93 = 391, 332, и, следовательно, фигурирующая в них величина Е (^/^х), измеримая относительно 93г и 932, является измеримой относительно о-алгебры 93 = 93хП 932, входящей в 91п так что

£(№) = £(№).

Аналогично, пересечение любого числа расщепляющих а-алгебр 93^9X1 расщепляет 9Х г и 9Х2.

Вообще говоря, при нарушении требования

93^911

пересечение расщепляющих 9lt и 9Х2 о-алгебр 93 не расщепляет 91х и 9Х2. Это можно наблюдать, когда пересечение 911П912 не расщепляет Six и 9Х2, взяв 93 = 9Хх, 9(2.

Очевидно, среди расщепляющих 93 е 91х имеется минимальная о-алгебра 93О S 9Хх, которая расщепляет 9Хх и 912:

930 е93 .(1.11)

для любой а-алгебры 93 ^9Xj, расщепляющей 9(х и 9(2 (23О можно* получить как пересечение всех расщепляющих а-алгебр 93 s 9СХ).

Отметим здесь еще следующий простой факт.- Пусть ^ы) п _ । ( 2, ..., монотонно убывающие о-алгебры, расщепляющие 3^ и 312 (они не обязаны входить в ^t); тогда

их пересечениеих пересечение99= П^„п99= П^„п(1.12)(1.12)

их пересечение

их пересечение

99= П^„п

99= П^„п

(1.12)

(1.12)

также расщепляет 311 и 312, в чем можно убедиться, перейдя к пределу при ц —> оо в равенствах (1.2) для 93 = 99л.

Всякая расщепляющая о-алгебра 39 обязательно содержит пересечение 310 = ^ П 312:

^s®,(1.13)

поскольку для любой величины £ £ -S72^), согласно (1.5),

‘ ^ = Е(№) = Е(№), откуда видно, что величина £ измерима относительно о-алгебры 35.

2°. Марковские случайные процессы. Традиционно понимаемое свойство марковости случайного процесса, описывающего поведение той или иной физической системы с течением времени £^/0, означает, что при известном текущем состоянии системы ее поведение в будущем не зависит от прошлого. Исходя из этого свойства, собственно, и определяется само понятие «состояния», аналогично тому, например, как это принято в классической механике.

Пусть состояние системы в момент / описывается величиной £ (/) в соответствующем фазовом пространстве Е. Обозначим 31 (^, /2) cr-алгебру событий, порожденную величинами £(/), ^^^^^г- Поведение системы в прошлом и будущем можно описать о-алгебрами событий 31 (/0, О и 31 (£, оо), а само свойство марковости в терминах условных вероятностей можно выразить равенством

p(M(s), 8<о=р(л/^(о), лезц/, оо), (1.14) которое показывает, что при любом / порождаемая величиной £ (/) о-алгебра 31 (/) расщепляет «прошлое» 31 (^0, О и «будущее» 31 (Z, оо).

Отметим, что в силу общего соотношения (1.13) 31(0 является минимальной о-алгеброй, расщепляющей 31 (/0, t) и 31(/, оо), поскольку

Я(О = Я(<„ 0П*(/, оо).

— ясно, что на самом деле

9t(/) = 9I(f0,/)п91(/, оо).(1-15)

Вместе с §1 (/) расщепляющей для §1 (£0, ^) и 91 (/, оо) является любая о-алгебра

91 (/ — в, t + s) = 91 (^ — е, /) V 91 (f, /4-е), которая расщепляет также соответствующие

9Ц/0, Не) = 91(/0, 0 V9t(f-e, t + e) и

91 (/ — 8, оо) = 91(/, оо) V9l(/ —е, / + е),

. — см. (1.3), (1.7). При всех е> 0 а-алгебры 91 (/ — в, /+в) расщепляют

9Ц(А>, 0= П 9l(Z0, Не)

Е > 0

И

9(+(/, Оо)-= П 91(/ — 8, оо),е > 0

и, следовательно, этим же свойством обладает их пересечение

^+ (/)= П 91(/-8,4 + 8),(1.16)

е> 0

которое является минимальной о-алгеброй, расщепляющей 9I+(Zo, /) и 91+(/, оо),— аналогично (1.15)

9М^) = 91+(/0, /)П9М/, оо).(1.17)

Здесь о-алгебры 9X+(/0, 0 и 9Х+(^, оо) можно интерпретировать как «прошлое» и «будущее», включая события, которые определяются поведением рассматриваемого случайного процесса в бесконечно малой окрестности «текущего» момента I.

Хорошо известным примером марковского процесса может служить эволюция (действительных) величин

W^(1.18)

равных 0 при t = t0 и удовлетворяющих (как обобщенные функции) системе линейных дифференциальных уравнений

-^Ш^ »м УН/ W + AkW. (1.19)

t > ^о» к 1 > ■ * •, I»

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и обобщенными случайными функциями т)А(/) типа «белого шума»:

(и, ^) = $UWЧк№, «€с0”(/0, оо),

где n*W есть гауссовские ортогональные меры,

Е I Th№ I2 = М^Ж

характеризуемые локально интегрируемыми коэффициентами bk(t), ^=1, ..., I. Именно, если за состояние системы в момент t взять векторную величину £ (/) с координатами (1.18) в фазовом пространстве Е = R1, то случайная функция £(/), t"^ Zo, будет обладать марковским свойством (1.14). Это следует, например, из явной формулы для решения системы (1.19) с нулевыми начальными условиями:

| (/) = J w (t, s) Т] (ds),1>101(1.20)

где нхп-матрица w(t, s), t > s, есть решение дифференциального уравнения-

^w(t, s) = a(t)-wAt, s) '

с начальным условием &y(s, s) — /; здесь a(t) есть пхп- матрица из коэффициентов акД1) системы (1.19), / есть нх/г-единичная матрица, и ц (ds) в векторно-матричном равенстве (1.20) означает вектор с координатами т|А (ds), ^ = 1, ..., I. Уточним для ясности, что ■

^ (0 = S J wkj (/, s) Л/ (ds), к = 1I,

где wkJ (/, s) — компоненты матрицы w(t, s). Легко проверяется, что векторная функция (1.20) удовлетворяет интегральному уравнению

tt

g(Z) = $ a (s)|(s)ds + $ т| (ds),t>t0,

^0 .to

дифференциальной формой которого является записанное

по компонентам уравнение (L19). Свойство марковости (1.14) для ^(0, Г^^о» следует из полугруппового соотношения

w(u, 5) = иЦи, tyw^t, s),s^/^u,

которое дает нам равенство

и

S(u) — w(u, tH^-V^w^u, s)r](dsyt

Видно, что при любом £^4 случайные величины £ (н)— — w(u, t^^ty u^t, определяемые по т](А), Д е (Л оо) не зависят от величин 6 (s), s^Z, определяемых, согласно формуле (1.20), по т| (Д), Д s (Zo, /),— напомним здесь, что для гауссовских величин с нулевым средним независимость равносильна ортогональности, и для гауссовских ортогональных мер t^W, k — 1, ..., /, величины Л (Л), Д^о, ty и т) (Д), Де(й оо), являются независимыми.

Условные распределения вероятностей относительно о-алгебры 91(Zo, /) таковы, что величины £(и), u^t, имеют гауссовские распределения с соответствующим средним значением

e^^W^o, 0)=ю(«, f)U0

и той же корреляционной матрицей, что и величины |(м)— w(и, t^(ty u^t.

Рассмотрим один характерный для приложений пример возникновения системы вида (1.19), обратившись к случайному движению точки на действительной оси под действием возмущений типа «белого шума», когда ее смещение £ (/) как функция времени t > t0 удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

«(t)=2X(0-£s(0=n(t).(1.21)

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами ак^ и «белым шумом» л(0 в правой части. Пусть старший коэффициент в этом уравнении есть а, (0=1 ?

тогда уравнение (1.21) равносильно системе (1.19) вида

&1-М~ЫЪ

4л от=-£«»-. от ^ w+п от.

где Нх (/) = £(/). Очевидно, при I > 1 сама случайная функция | (/) не обладает марковским свойством (1.14), однако таким свойством обладает /-мерная векторная функция с компонентами

W> = ^UiV А= 1, .... Z; (1.22)

— все эти производные являются «обычными» функциями со значениями в ^(Q, 91, Р). Компоненты (1.22) при /х^/^/2 измеримы относительно о-алгебры 9Х(/х, /2), порожденной величинами £(/), /х^/^/2, и можно утверждать, что при любом е > 0 о-алгебра 91 (Z—е, £ + &) расщепляет 91 (/0, /) и 91 (/, оо) для каждого / >/0. .

Это свойство мы положим в основу определения марковости применительно к обобщенным случайным функциям

(«,£), w€C“(/0,oo),

когда не определены значения в отдельных точках t1 связывая с каждым интервалом (/n К) о-алгебру событий 9l(/lf /2), порожденную величинами (ы, £) с носителем suppw^^, /2).

Именно, наше понятие марковости обобщенной случайной функции будет означать, что для любого момента / > /0 при всех сколь угодно малых е > 0 о-алгебры 91 (/ — е, /-фе) расщепляют «прошлое» 91 (/0, /) и «будущее» 91 (Z, оо).

Отметим, что указанное свойство строго сильнее, чем свойство определенной равенством (1.16) о-алгебры 9(+ (/) быть расщепляющей для 91 (/0, /) и 91 (/, оо). Например, мы имеем тривиальную о-алгебру 91 + (/), расщепляющую

независимые 91 (Zo, /) и 91 (/, оо) в случае производной «белого шума»

(и, ^ = ^ и'^^(dt), и^С^ (Zo, оо),

где г] (c/Z) есть гауссовская ортогональная мера, Е | т] (df) |2 = = di, но эта обобщенная случайная функция не является марковской в нашем смысле. Действительно, в случае марковости о-алгебра 95= 91 (Z— 8, Z + s) расщепляет ^х = = 9X(Z0, Z + e) и 9l2=9l(Z —е, оо), что влечет за собой условие (1.8), которое в нашем примере нарушается, как легко проверить, для величин £х= r](Z —е, Z + e) —ц (Z — Зе, Z —8) и £2 = ц^ + 8, Z + Зе) — ц (Z — в, Z + e) —они ортогональны величинам (ы, £), suppws(Z— е, Z + e), порождающим о-алгебру 91 (Z —е, Z + e), но не ортогональны друг другу. (Более подробно аналогичный пример разобран в гл. 3, § 1, п. 2°).

В дальнейшем мы продолжим обсуждение понятия марковости, распространив его на случайные функции многих переменных.

3°. Случайные поля; свойство марковости. Пусть с областями S^T сепарабельного локально компактного метрического пространства Т связаны некоторые о-алгебры событий 91 (S), причем рассматривается система открытых областей S£@o, которая вместе с областями S', S" содержит их объединение S' и S", а вместе с каждой областью St = S содержит дополнительную область S2 = T\S к замыканию S и все достаточно малые е-окрестности топологической границы 3S области S С ®0; более того, предполагается, что система @0 достаточно богата и содержит все открытые области, компактные в Т или имеющие компактное дополнение Sc = T\S. Семейство 91 (S), S е Т, назовем случайным полем, если оно обладает следующим свойством аддитивности:

91 (S'uS") = 91 (S') V^(S").(1.23)

Случайное поле назовем непрерывным, если

91 (S) = V 91 (S^), S = U S<n> (1.24) пп

для монотонно возрастающей последовательности открытых областей SVn\ п=1, 2, ...

Отметим сразу, что образующие случайное поле о-ал- ' гебры событий 9t (S) монотонно зависят от SeT:

91 (S') ^91 (5"), S' sS",(1.25)

поскольку в силу свойства аддитивности для 5* = S' US" мы имеем

91 (S") = 91 (S') V 91(5").

Пример. Случайные функции. Пусть

— случайная функция и 91(5) означает о-алгебру событий, порожденную величинами £(/), t^S. Очевидно, семейство 91(5), S^T, Образует непрерывное случайное поле.

Пример. Обобщенные случайные функции. Пусть Т г Rd есть область в d-мерном евклидовом пространстве и

— обобщенная случайная функция.

Пусть 91 (5) для открытой области 5^7 означает о-алгебру событий, порожденную величинами (и, В) с носителем supptz^s.

Для любых открытых областей Sfe, £—1,2, ..., имеет место равенство

91 (5) = V 91 (Sfc), S=USA. kk

В самом деле, какова бы ни была функция u^Cq(T) С носителем suppw = 5, найдется конечное покрытие п

OSk.^suppu компакта suppw, так что, взяв соответ- /= 1 7 ствующее «разложение единицы»

1=2м/ ^* £ supp “•

1

на компоненты щ^С” (7) с носителями supply е S&., мы получим, что

u^=^u uh (и, В) = 2 («•«/. ^), /-1/=?1

где компоненты («-Ну, |) измеримы относительно 91(5^), /=1, и. Таким образом, семейство 91 (5), 5 s Т, образует непрерывное случайное поле.

Пример. Стохастические меры. Пусть т| (dZ), ^€Т,— стохастическая ортогональная мера в области Т г Rd,

Е 1q (dt) Is = р (dt).

Обозначим 91(5) о-алгебру событий, порожденную всеми величинами q(A), А с; 5, из области 5 s Т. Семейство 91 (5), 8гТ, образует непрерывное случайное поле, поскольку при A s 5' и 5"

■q(A) —-q(A AS') -J- q(A\S'),

где А\5'е5", и для монотонно возрастающей последовательности областей S<n\ и£'п>эА, мы имеем

[| q (А) - q (А А 5^0 Н2 - р (А\5(п)) — 0..

Обозначим Я(5) замкнутую линейную оболочку величин q (А), А г 5, в пространстве 2г (Н, 91, Р). Очевидно, что

H(S' из^-я^ух/я^'')

— здесь и в дальнейшем символ V обозначает замкнутую линейную оболочку указанных пространств; кроме того,

H^S) = yH(Sw)

при 5-uS^-cp. (1.23), (1.24). п

Отметим, что во всех наших примерах случайное поле .91(5), S г Т, оказывалось таким, что

9Х(5)= V 91(5')S'cs

порождается событиями из всевозможных компактных областей S' s S.

Рассмотрим произвольное случайное поле 91 (5), S s Т.

Условимся говорить, что область S расщеплет области 5г и 52, если о-алгебра 91(5) расщепляет 91 (SJ и 91 (52).

Отметим два свойства расщепляющих областей, которые часто будут использоваться.

" Если область S расщепляет Sj и S2, то она расщепляет также Si = S, U 3 и S2 = S2 U 8, поскольку

я (SJ - Я (SJ V я (3),Я (32) = Я (S,) V Я (3),

— см. (1.3).■■■

Если So расщепляет ^ и $2, то этим же свойством обладает область S ^Др удовлетворяющая условию

S-S (Sx U So U S2),

так как

S-(S1flS)US0U(S2 f]S)

и- •...

?Х (S) = SI (Sj RS) Wo) V^(S2nS), где, согласно свойству монотонности,

^(S^ 5)^91(50, 91 (S2 n S) 91 (S2),

— см. (1.6), (1.7).

Рассматривая замкнутое множество Г^Т, условимся говорить, что оно расщепляет области ST и S2, если эти области расщепляются сколь угодно малой 8-окрестностью Ге множества Г.

Пусть ©—система открытых областей S^T, для каждой из которых имеется определенная тройка

S^S, Г, S2 = T\S,(1.26)

где Г есть замкнутое множество, содержащее (топологическую) границу dS области S,-

Г dS,

и $ = S и dS означает замыкание множества S в пространстве 71; условимся называть S2 = 7\S дополнительной областью к St = S, а множество Г — границей между St и S2.

Назовем случайное поле 91 (S), S ^ Т, марковским по отношению к системе ^, если для любой области S £ @ граница Г расщепляет SX = S и S2 = T1\S, другими словами, если а-алгебры

.^(Sj), 91 (Г8), 91 (S8)(1.27)

образуют марковскую последовательность, сколь бы ни была малой окрестность Г8 границы Г между областями St и S2.

Напомним здесь, что если Г8 расщепляет дополнительные области Si и S2, то этим же свойством будет обладать и окрестность Г6 з Г8, поскольку

г^^пг^и^и^пг6).

Уточним, что случайное поле §1 (S), S^T, определено на системе открытых областей S^@o, и мы предполагаем, что все достаточно малые окрестности Г8 границы Г ^ dS входят в @0. Если случайное поле определено на системе @0 открытых областей S^T, которые компактны в Т или являются дополнениями к компактам, то мы предполагаем, что @ с 20 и граница Г между взаимно-дополнительными областями Sn S2 есть компакт. Для компакта Г его достаточно малая окрестность Г8 является компактной в Т, и, следовательно, входит в систему областей @0; тоже можно сказать относительно областей Sx U Г8, S2 U Г8 и вообще о достаточно малых окрестностях SR областей S, S£@o.

Вернемся к рассмотрению марковского свойства.

. Если Г8 расщепляет ST и S2, то Г6 расщепляет области Sj U Г8 и S2 и Г8, т. е. последовательность

91(5^ Г8), Щ(Ге), §l(S2ur8) является марковской.

■ Пусть случайное поле определено для всех достаточно малых s-окрестностей S8 множества S ^Т; для этих окрестностей положим

Ж+(S)= n^C(Se).■

Если S — открытая область и Г—замкнутое множество, содержащее границу dS, то (S U Г)8 = 5 U Г8, в частности, для тройки (1.26) мы имеем

(^UD8 =ХиГ8,(Sa U Г)8 = 52 и Г8,

поскольку dS2 с dST с г. Как мы знаем, если а-алгебры 91 (Г8) расщепляют

^(«.иПЕЯ^уГ*)

ЯЛЗ,иГ) = Я(8,иГ«),

то пересечение

я+(Г)=пЯ(Г)

расщепляет о-алгебры Я+^иГ) и Э[+(ЗгиГ), причем $ (Г) является минимальной ст-алгеброй, обладающей этим свойством:

91+(Г) 9Х+(5, и Г) П 91+(S2 и Г) (1.28) (см. (1.13)), и, конечно, 91 + (Г) расщепляет ст-алгебры 9l(Si) и 91 (S2), так что последовательность

91 (5J,91 + (Г),91 (S2)(1.29)

является марковской.

Пусть для любой области 5 £ iS соответствующая последовательность (1.29) является марковской. Будет ли рассматриваемое случайное поле марковским?

Ответ на этот вопрос положителен при условии, что для окрестностей Ге справедливо равенство

91 (Г8) = 91 (5, П Г8) V 9Х+ (Г) V 91 (S2 П Г8). (1.30), Действительно, если 91+ (Г) расщепляет ст-алгебры 91 (5J и 91 (52), то этим же свойством будет обладать ст-алгебра 91 (Ге), поскольку в представлении (1.30)

91(5, п Г8) е 91 (5,),91 (52 п Г8) s 91 (52)

(см. (1.7)).

Пример. Белый шум. Рассмотрим обобщенную случайную функцию в области Т вида

^^-V^W, иес^(Т),где т)(<1/) — гауссовская ортогональная мера, 1 'Е | т] (dt) |2 = dt.

Порождаемая величинами (м, |) с носителем suppu^S ст-алгебра 91 (5) для открытой области S ^Т совпадает с о-алгеброй 93(5), порождаемой подпространством

77(5)e^2(Q, 91, Р)гауссовских величин вида.

Ю. А. Розанов

где Зг (3) означает ) подпространство функций, равных О вне 3, в стандартном гильбертовом пространстве J?3 (Г) интегрируемых в квадрате действительных функций и = = «(/), t^T. Указанные подпространства Н (3) и ^2 (S) унитарно изоморфны:

Б^П^ $ U^U^dt

для указанных выше величин л — "Пп Иг € Н (S) и функций u = uVl иа£ ^ (3). Поэтому для любого измеримого S гТ имеем

И+($) = П23(56) = 29 (Я

> О

поскольку а-алгебра 93(3) порождается подпространством

Я(3)= П Я (3е),

8> О

унитарно изоморфном подпространству

е > О

Рассмотрим систему всех открытых областей SeT с границей Г = дЗ. Подпространства

Я(Зг), Я (Г),Я(38)

являются ортогональными для непересекающихся

S^S, T = dS, Sa = T\S,

и, следовательно, порождаемые ими о-алгебры

91(3^ = 93(30,9(+(Г) = 93(Г),9( (32) = 93 (32)

являются независимыми. В частности, можно сказать, что соответствующая последовательность (1.29) является марковской для любой открытой области 3 ^ Т. Очевидно, справедливо равенство (1.30), поскольку

Г8 = (31ПГ8)иГи(33пГе) и

Н (Г8) = Н (3, п г8) v н (Г) V н (32 П г8).

Таким образом, отвечающее «белому шуму» случайное

поле 31 (S), S^T, является марковским относительно всех открытых областей SsT с границей F = dS.

Отметим, что ответ на вопрос, поставленный в связи с марковостью последовательности (1.29), вообще говоря, является отрицательным. Скажем, для производной рассмотренного выше «белого шума» соответствующие о-ал- гебры

81(5,)=§B(so, а+(Г)=®(Г), «(sjssts,)

являются независимыми, тогда как последовательность (1.27) марковской может и не быть (см, по этому поводу пример на стр. 92).

Пример. Стохастические меры с независимыми значениями.

Рассмотрим случайное поле 81 (S), S ^Т, которое порождается стохастической ортогональной мерой т] (dZ) в области Т s Rd,

Е | к) (dt) |2 = р (dt)

(см. пример на стр. 94). Предположим, что для любых непересекающихся множеств Ах, ..., &пгТ значения т](Ах), ..., ^(Aj являются независимыми случайными величинами. Скажем, речь идет о величинах

■ц(А) = |(Д) —Е£(А),

где ^(А), А ^7,—точечное пуассоновское поле в области Т г Rd (£ (А) есть число случайных точек, попадающих в множество А при их пуассоновском распределении в области 7). Напомним, что 21 (S) есть о-алгебра событий, порождаемая всевозможными величинами т) (А), А £ S, и нам удобно будет принять это определение для любого измеримого множества S s Т. Для любой открытой области SsT с границей Г = д8 и ^ = 5, S2 = 7\S о-алгебры

81 (SJ, 81 (Г),81 (S2)

являются независимыми; в частности, можно сказать, что о-алгебра 81 (Г) расщепляет 81 («SJ и 81 (S2). Из свойства аддитивности стохастической меры ц (d^) следует, что

а (Г8) = Я (5, П Р) v а (Г) V Я (5, П гс), поскольку

Р = (5, п Г') U Г U (5, П Г8);

следовательно, вместе с 91 (Г) а-алгебра 91 (Ге), е > 0, расщепляет 91 (SJ и 91 (S2), т. е. рассматриваемое случайное поле является марковским относительно всех открытых областей S^T..

Вернемся к произвольному случайному полю 91 (S), S^T, на системе областей £0. Назовем его марковским, если оно марковское по отношению ко Есем областям S С So с границей Г = dS, разделяющей соответствующие

= S’ и S2 = T\S.

Пусть наше случайное поле является марковским. Тогда для всякой области S£®0 сколь угодно малая односторонняя окрестность

Г8 = 5пГе

границы Г = dS (со стороны области Sj = S) расщепляет Si и S2; другими словами, последовательность

91 (SJ, 91 (Г8), 91 (Sa)(1.31)

является марковской. В свою очередь, если любая последовательность вида (1.31) является марковской, то и случайное поле является марковским. Покажем это. Положим

S = S\P, Г^(=Г8.

Для Любой области S £ в0 область S имеет границу Г = = 6S, входящую вместе со своей достаточно малой окрестностью в окрестность Г^, = S П Ге, так что Г8 расщепляет Sj = S и S2 = Г\5, а также 5г = Sj U Г8 и S2 U Г8 S2 и Г® . В свою очередь, если односторонняя окрестность Г8 расщепляет Sj и S2U Г8, то этим же свойством будет обладать полная окрестность Г8зГ8, входящая в область S2 U Г8.

Как следствие получаем, что в случае марковского поля а-алгебра

91 + (Г_) - П 91 (Г8)

расщепляет 9( (SJ и 91 (S2) 91 + (S2 и Г).

Пусть для окрестностей Г8 границы Г = dS справедливо равенство

9ЦГ8) = 91 (S, П Г8) V 91 (S3 П Ге) (1.32)

какова бы ни была область S^S0. Скажем, так будет,

если случайное поле порождается стохастически непрерывной случайной функцией £(/), / € Т, точнее, если о-алгебры 91 (S), S гТ, порождаются соответствующими случайными величинами £ (/), t^S.

При условии (1.32) вместе с о-алгеброй 9(+ (Г_) г 91 (5J расщепляющей 91 (SJ, 91 (52) будет и о-алгебра 91(Ге)э ^91+ (Г_) (см. (1.7)).

В итоге получаем следующее предложение:

При. условии (1.32) марковость случайного поля 91 (S), S ^Т, равносильна тому, что для любой области S £ So и соответствующей тройки (1.26) последовательность

91(5.),9Х+(Г_),91 (S2)(1.33)

является марковской.

Отметим, что

9Х+(Г_) = 9Х+(Г), Г = д5,(1.34)

когда марковское поле непрерывно извне, т. е.

9Х+(5) = п 91 (^ = 91(5),

что можно интерпретировать как непрерывность обновления случайного поля при расширении области S, S -*SB. Действительно, будучи минимальной о-алгеброй, расщепляющей 9Х+ (SJ = 9Х+ (Sr и Г) и 9X+(S2 UГ), о-алгебра 91 + (Г) совпадает с о-алгеброй 91 + (Г_)^9(+ (Г), также расщепляющей 91+(SJ = 9Х (SJ и 91+(52иГ).

4°. Преобразования распределений, сохраняющие свойство марковости. Аддитивные функционалы. Пусть 91 (S), S Е 7, есть случайное поле, образованное о-алгебрами событий 91(S)s9X из вероятностного пространства (Q, 9Х, Р). Мы определили свойство марковости по отношению к системе областей S £ @ с соответствующей границей Г э dS как такое свойство распределения вероятностей Р на о-алгебре 9Х (7), что для любых 5г = S, S2 = 7\S и сколь угодно малой окрестности Г8 справедливо равенство

Е (6/81» Р) = Е (I/®, Р),£ е ^' (fi, 9t„ Р),

где

9X1 = 91 (Sx и Г8), ^ = 91(Ге), 9Ха = 91 (S2 и Ге)

и Е(|/-, Р) означает условное математическое ожидание, отвечающее вероятностной мере Р.

Пусть Q—другая вероятностная мера на пространстве * (Й, 91), имеющая вид

Q (Л) = ^(co)P(do)),Д€91,(1.35)

л

где плотность

p = Q (dto)/P (dto) допускает представление

P = PvP^(1.36)

в котором сомножители pv и рг измеримы относительно соответствующих 9lj = 91 (SL и ГЕ) и 912 = 91 (S2 и ГЕ). Назовем величину р С S1 (Й, 91, Р) мультипликативной по отношению к системе областей S £ ^, если она обладает указанным выше свойством, причем один из сомножителей в представлении (1.36) является величиной из пространства ^С скажем,

Р^^Ч^^.РУ

Справедливо следующее предложение:

Преобразование (1.35) с мультипликативной плотностью сохраняет свойство марковости.

Докажем это, уточнив предварительно некоторые свойства условных математических ожиданий.

Рассмотрим произвольные о-алгебру 93 ^ 91 и величину q, измеримую относительно 93. Пусть величина £ и произведение ^q являются интегрируемыми:

^Лпе^Я 91, Р).

(1.37)(1.37)Тогда справедливо следующее равенство: Е (£q/93) = Е (£/93) ■ q.

(1.37)

(1.37)

Для доказательства рассмотрим «урезанные» функции

I Ь Ш<*.I О, |Е|>А.I Ь Ш<*.I О, |Е|>А._Д Л. Ill<t.^П о, h|>*._Д Л. Ill<t.^П о, h|>*.

I Ь Ш<*.

I О, |Е|>А.

I Ь Ш<*.

I О, |Е|>А.

_Д Л. Ill<t.

^П о, h|>*.

_Д Л. Ill<t.

^П о, h|>*.

k = \, 2, ... Тогда £(А)и т]ш—► q всюду, причем последовательности Хи и £ftq6 сходятся в S1, а оператор Е(-/93) непрерывен в ^, и, переходя к пределу

в- равенстве

E(W^) = E(^/93)ib получаем (1.37).

Пусть Q есть преобразование (1.35) вероятностной меры Р с плотностью p = Q (dto)/P (dto) и

q = E^t Р).

Мы имеем q (w) #= 0 при почти всех ю £ Q относительно Q и

Е(§/$, Q) = l.E(p№ Р).(1.38)

В самом деле, величина q есть плотность Q относительно Р на о-алгебре 93^91:

вея,вея,Q (В) =-■ $ р («) Р (dco) — ^ q (<о) Р (do),вв

вея,

вея,

откуда следует,. что

J 1Е (рУУ, Р) Q (<fo) = у Е (р№ Р) Р 0й) =

Вв

B^.B^.= У pi (to) Р (dto) = у I (to) Q (dm), вв

B^.

B^.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству того, что преобразование (1.35) сохраняет свойство марковости.

Пусть случайное поле является марковским для распределения Р. Нам нужно установить, что если величина £ измерима относительно о-алгебры 912, то в случае 95 = 9Г(Ге) справедливо равенство

Е№, Q) = E(№ Q) (см. (1.5)). По общей формуле (1.38)

E(i/9I.lt Q) =E(i/9I.lt Q) =EW, Р)Е(^Ж, Р) ’EW, Р)Е(^Ж, Р) ’

E(i/9I.lt Q) =

E(i/9I.lt Q) =

EW, Р)

Е(^Ж, Р) ’

EW, Р)

Е(^Ж, Р) ’

где, согласно мультипликативному представлению (1,36) и марковости по распределению Р, мы имеем

Е (р/^, Р) = р, • Е (p.J^, Р) = р, ■ Е (р,/$, Р),

Ы.РЖ, Р) = р,. Е kp&№v Р) = р,-Е(р^/$, Р),

Видно, ЧТО

Е(№, Q) - Е ^^ ^

есть величина, измеримая относительно сг-алгебры SB и потому совпадающая с условным математическим ожиданием Е (£/93, Q), что и требовалось доказать.

* |Назовем аддитивным функционалом над случайным полем 3[(S), SsT, действительную случайную функцию £(S), S s Т\ определенную на той же системе открытых областей S s Т, что и случайное поле, и обладающую следующим свойством:

U^ и S2) = | (SO + £ (S2) - £ (S, n S2)

для любых Slf S2). При дополнительном условии

Eexp£(S)<oo, S^T,(1.39)

аддитивный функционал дает нам мультипликативную плотность вероятности

Е exp g ('/') 6Хр ^^^

В качестве примера марковского гауссовского поля мы привели пока лишь гауссовский «белый шум»

(«, т|) = J и (/) -q(dZ), и^С” <Т\

в области T^R4, где r| (dt) — ортогональная гауссовская мера, Е | т] (dt) |2 — dt. Естественно поставить вопрос о том, что же собой представляют аддитивные функционалы над этим марковским полем.

Мы ограничимся рассмотрением аддитивных функционалов с конечным вторым моментом

E|£(S)p<oo, S^T,

не обязательно удовлетворяющих условию (1.39), но зато являющихся непрерывными в том смысле, что для монотонно убывающей последовательности областей S^1,

П = 1,2,...,

| (5(я)) —гО при П St (SU)) = 0•

Собственно, нам понадобится лишь то свойство, что если граница Г = dS области S гТ имеет меру 0, то

| (Г8) —>- 0 при в—>-0.

Для разбиения области Т на непересекающиеся открытые области S = Sn ..., Sn с соответствующей границей Г = dS меры 0 это дает нам равенство

п

МП- 2$($6),(1.40)

к= 1и _

где, уточним, Т = U 8к.

к=1

Обратимся к пространствам Нр (S), образованным полиномами Эрмита степени р от величин

(u, -q), supp не S.

Как мы знаем, всякая величина qC НДЗ^ задается р-крат- ным интегралом Ито:

q = ^$<р(/и •tp) q№). .-П(^),

SX . . . XS причем

М2 = /Д ... $ |ф(<1yi2dtv..dip.

SX...XS

Обозначим т) (S) проекцию величины В (5) на подпространство Нр(Т)— она совпадает с проекцией на НД$У В силу этого обстоятельства из разложения (1.40) следует, что

11 (Л = X ф n (Si),

А= 1 где при

тП?1)^ ^(tlt ..., yq№)...q(dy

ТХ...ХТ

мы имеем

MS*)^ .У л№)-•-п^у, SkX ...XSk" ^^=1, . -п,

и, в частности, п

^(ОР^ 2И(8<=

=J |ф(^, •.. .dtp,

A=1 SkX...XSk

Последнее равенство показывает, что ^(Т^^О лишь при р^1, поскольку при р> 1 правая часть в нем будет сколь угодно малой при надлежащем выборе областей SA достаточно малого диаметра, когда объединение п

U (Skx . . . xS^ содержится в достаточно малой окрест- к — 1

ности «диагонали» {^i—... = У р-кратного произведения Тх.-.хТ.

Таким образом, существуют лишь линейные аддитивные функционалы над «белым шумом», т. е. такие, что

5(3) = ^u^4(dtW^(S),S^T, (1.41)

s:

где действительная функция u(t), t^T, интегрируема в квадрате. Здесь |(S) — гауссовские величины, и простые вычисления дают

Eexp|(S) = l, когда

1ЕИ8) = -уУ|<р(0|М/.S

Легко проверить также, что распределение Q вида (1.35) с плотностью р = ехр£(Т) относительно распределения Р «белого шума» является гауссовским и отличается от Р лишь средним значением, а именно,

J (и, т]) Q (dm) = J и (0 <р (/) dt. (1.42) Q

С точки зрения свойства марковости такое преобразование

распределений тривиально, так что, отправляясь от «белого шума», мы не можем получить с помощью преобразования н'з5) существенно новые марковские поля.

В дальнейшем мы укажем различные классы непрерывных случайных функций £ (/), t^T, в том или ином фазовом пространстве Е, которые обладают марковским свойством, а именно, порождаемые величинами £(/), t^S, о-алгебры 91(5), SsT, образуют марковское поле. Для таких функций имеется достаточно богатый запас аддитивных функционалов, примером которых может служить функционал типа

l(5) = $<p(Z, 1(/))^№, S^T, s

где (р —действительная функция на произведении ТхЕ, р,—мера на пространстве Т.

§ 2. Выборочные о-алгебры.

Случайные множества и строго марковское свойство

1°. Выборочные о-алгебры. Пусть 9( (х), х^Х, есть о-алгебры событий из вероятностного пространства (Q, 91, Р), зависящие от некоторого переменного х^Х; будем считать, что X состоит не более чем из счетного числа различных элементов х. Пусть £ = £ (со), co^Q, есть случайная величина со значениями в X, т. е. такое отображение й в X, что

—х} = {(о: £(со) = х} £$,

Определим выборочную о-алгебру 91 (%) как совокупность всех событий вида

иЛ(х)^ = х},Д(х)С91(х), х^Х. .(2.1)

X

Очевидно, счетное объединение событий вида (2.1) и дополнения к ним являются событиями этого же вида; скажем, Для указанного выше события Д дополнительным будет

Дс = U Дс(х)^ = х}.

Ясно, что выборочная о-алгебра 91(E) состоит из всех таких событий Д, что при каждом х^Х

^•^ = 4=Д(х).{^ = х},Д(х)€91(х).

Эта характеризация событий Л£$(§) упрощается, если величина £ £ X согласована с о-алгебрами 94 (X), х ^ X, в том смысле, что.

^ = х^91(х),х^Х;(2.2)

в этом случае выборочная о-алгебра 91(B) состоит из всех таких событий Л, что

^•^=х}еа(х).(2.з)

В самом деле,-

Л = Л.[и{В = х}1 =UMJB = X}] = U[^^

L XJ хX

где

Д (х) =Л-^ = х}€ 91(х)

при условии согласованности (2.2).

Пусть

{^(х),ЛВ(х), 912(х)}, х€Х, есть такие о-алгебры событий, что при каждом фиксированном х они обладают свойством марковости, другими словами, 23 (х) расщепляет ^ (х) и ^(х); будем считать, что.

задних), 9(2(х) :

(см. по этому поводу (1.3)). Пусть величина ££Х согласована с о-алгебрами ^ (х), х^Х. Тогда справедливо следующее предложение.

Лемма 1. Выборочные о-алгебры

№(£), 2Ш ?Ш}

обладают марковским свойством.

Доказательство. Нам нужно установить равенство (1.1) для наших сг-алгебр {91п 23, 2L) или равносильное ему равенство (1.4). При наложенном выше условии согласованности (2.2) непосредственно легко проверить равенство (1.4).

Обозначим 23 (х) ст-алгебру событий, порождаемую стал геброй $(х) и событием (| = х}—она состоит из всех событий вида

В-В.^^иВ'.^хУ, в. В'еУ^

очевидно,

c_g.^ = x) = 5(x) Л^х},5(х)€®м,

для любого B^^W- Аналогично для любого В € 25(g) мы имеем

C = B-{g=x} = B(x){g = x},В(х)£25(х).

Видно, что

^(x)-{g = x} = 23(g).{g = x|,

где указаны совокупности событий (со-множеств) из 23 (х) и 93(g) соответственно, являющиеся подмножествами события {g = x|. Следовательно, условная вепоятность Р (АЛВСх)) как функция от (o£{g = x) измерима относительно 23(g), и наоборот, Р (А /23 fg)) измерима относительно 25 (х) на «-множестве (g = x). При этом

V PM/® Wl Р №=Р MQ = (Р (Л/$ (В) Р № сС

для любого события C^{g = x) из ^(х) и 23(g), откуда заключаем, что

P{A/S(x))=P{A/59(g)}

почти всюду на «-множестве (g = x). Отметим, что если A^{g = x|, то каждая из указанных условных вероятностей равна 0 вне множества (g = x).

Аналогично 23 (х) введем расширенные о-алгебры событий ^(х) и 9L(x), получающиеся присоединением к $! (х) и 9Г2 (х) события {g = x|. Для дальнейшего нам нужно будет свойство марковости тройки

{#М ®(х), t2(x)};

как мы знаем (см. (1.7)), при указанном расширении марковской тройки

№(Х), 23(х), ^ (х));

свойство марковости сохранится, если событие {g = x) входит в ЗГДх) или ?Г2(х), а это так по условию согласованности (2.2):

ЗМхН&Дх), хСХ.

Таким образом, для всех х^Х

Р{Л/^(х)} = Р{Л/^(х)}

при Л^4(^)* Возьмем

Л = Л3 —Л2(х)-^ = х}.

Учитывая, что событие {| = х} входит во все выборочные о-алгебры и для событий Л! £ ^ (£) мы имеем

ДИ^х^Л^хИ^х^^х), получаем следующую цепочку равенств: J PW^IWPW-PM^H^ л,

= J Р{Л,/Йх(х)}Р(Ло)= J PM2/®(x)}P(do>).

Как было показано ранее, для взятого нами события Л2 <= {| = х} условная вероятность относительно о-алгебры $(х) совпадает с условной вероятностью относительно 93(£), и мы можем’продолжить нашу цепочку равенств следующим образом:

Л Р{Да/^(х)}Р(^) = J Р{Л2/93(^)}Р№ = Лг(Е=*}л, «=*}

- J PMs/93(^P(d®).

At

В итоге получаем, что

р{ДЛ©Нр{Д2/Я5®}

при Л3 = Д2.|£ —х}. Это равенство распространяется на все события Л2£$а(£), согласно общей формуле (2.D имеющие вид

4 = и4(х)-{^х},

поскольку для стоящих здесь справа непересекающихся событий сумма их условных*"вероятностей дает условную вероятность события^Л 2. Лемма "доказана. i?J

■^ Определим теперь выборочные “о-алгебры событий из серий {$(х), х£Х„} подпоследовательности случайных

величин i»L» 2, виДа

■ ^ = Фпап+Л(2.4)

где как и раньше, мы считаем каждую величину ^п£Хп принимающей значения х£Хп в некотором пространстве X содержащем не более чем счетное число элементов, причем ф„(х), х^Х„+1, есть такое однозначное отображение Х„ + 1-—Х„, что

?I(x)s9l((p„(x)),х€Хя+1, п=1, 2, ...(2.5)

В нашем прежнем определении выборочной а-алгебры

$ (£) по случайной величине £ (см. (2.1)) £ оказывалась измеримой относительно 91 (^). Обозначим 23 минимальную о-алгебру, относительно которой измеримы все величины £„, п=1, 2 ..., и рассмотрим объединения 91 (£и) V 23.

Отметим сразу, что при условии согласованности (2.2) для £ — £п мы имеем

®s9X(U,п=1, 2, ....(2.6)

так что 91 (£„) V 23 = 21 (Ви). Действительно, при любом т> п, согласно условиям (2.4), (2.5), для суперпозиций Фвот отображений фА, к^п, ..., т—1, имеем

91 (х) s Ш (фви Ш хСХт1

и из общего определения (2.1) выборочной о-алгебры вытекает, что

{£„ = Ч = 1L = ^1 ■ 1^ = Ml € Я (U

поскольку по условию согласованности имеем

{^ = ^}€31(х)Е9Цфвт(х));

остается лишь еще заметить, что ^ — срйв (£„) при к < п.

Обратимся теперь к общим о-алгебрам типа 91 (^„) V 23 (не налагая на них условия согласованности). Покажем, что они являются монотонно убывающими:

9X(UJ V 23s9I (UV 23,. п-1,2,

Действительно, согласно формуле (2.1) достаточно убедиться, что при Д^91(х)

А • IL+1 = х} = А • {Е„+1 = Л • j£„ = ф (*)} =

= [Л ■ {I.=ф„ toll • {U1=*} € я (W VSS.

а это так, поскольку

Ле^Цх)^^^^^ Л^в = (рв(х)}€^ и^я+1 = х}€^.

Определим выборочную о-алгебру 91 © как пересечение ®@=n[S($„)W].(2.7)

п

Отметим, что при условии согласованности (2.2) для £ = L> n — Y, 2, ..., мы имеем 2( (UV23 —21 (£„), и наша выборочная о-алгебра §1 (|) ~ П Л (|и) состоит из всех п гаких событий А, что

А-(6„=х}€ Я(х),х€Х„, п = 1, 2, .. .,

(см. (2.3)).

Рассмотрим вопрос о марковости выборочных о-алгебр

ШЮ> 23®, ЗД}(2.8)

из марковских серий ^^(х), ^(х), 2l2(x)}, x^Xr1 п-1,2 предполагая выполненными условие (2.5) для

ЗВД-^х), 23 (х), 9Г2(х) и условие (2.2) согласованности случайной последовательности £=£„ с о-алгебрами ^(х)-^), х^Хп, п-1,2, ... Как уже отмечалось (см. (2.6)), 23 s^® и о-алгебра 33®)\/23 расщепляет 911® = ^®,) и 312®^ ^2la(U V 23. Следовательно, этим же свойством будет обладать пересечение

$ (1) = п [® (L) V 23] п

монотонно убывающих о-a лгебр 33 (|„) V 23, и, таким образом, мы получаем следующий результат.

Лемма 2. Выборочные о-алгебры (2.8) обладают марковским свойством.

СТРОГО МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО

2°. Случайные множества. Пусть Т есть сепарабельное локально компактное метрическое пространство. Случайным множеством с^Т назовем такое отображение £=£(«), со С ^» нашего вероятностного пространства Q во множества S^T, что для всех открытых областей S гТ определены события

Пусть §1 — некоторая о-алгебра, содержащая все эти события; будем говорить, что случайное множество £ измеримо относительно

Мы будем рассматривать только такие случайные множества £, для которых с вероятностью 1 множество £ (to) компактно в Т или имеет компактное дополнение.

Итак, пусть £ есть случайное множество в пространстве Т и для любой открытой области S^T

^sS}^9X. (2.9)

Для замкнутого множества S^T включение (<о) с S равносильно тому, что £ (со) с Sen , 8„ —* 0, и,

следовательно,

пп

п

п

— здесь и далее 5е означает е-окрестность множества S.

Замыкание | является случайным множеством, поскольку включение |(co)^S для открытого S= и5~е" равносильно тому, что £(co)^S_e« хотя бы при одном п = 1, 2, ... , и

{isS}- U(asS^}€?l (2.Ю)

введенное тут 5~е означает множество всех точек Z^S, для которых расстояние до границы области 5 больше е).

Заметим, что если случайное множество £ является -Замкнутым (с вероятностью 1), то, согласно Д2.10), оно будет измеримо относительно о-алгебры событий §t, если включение (2.9) имеет место для замкнутых

Легко видеть, что определены события

{Sns=0}=^ss«}€a.,9]П

{$П596=0} = {^5=| = ^£3‘)''€51

для открытых или замкнутых S гТ (здесь, как и везде, символ с указывает дополнение к соответствующему множеству). При этом справедливость каждого из условий (2.11) в отношении всех замкнутых S означает измеримость £ относительно а-алгебры событий 31. В случае замкнутого £ в этом предложении замкнутые S можно заменить на открытые (см. замечание к (2.10)); более того, можно ограничиться лишь множествами 5 = Un1 п = 1, 2, ..., образующими полную систему окрестностей, поскольку

{^ns^0}= U <$П1/„^0},п: UnSS

— ведь если ^f)S^0, то найдется ^С^П5 и окрестность UnsS, содержащая точку t.

Ясно, что измеримость замкнутого ^ относительно о-алгебры событий 31 равносильна измеримости относительно 31 случайных величин р(/, В), t^T, каждая из которых есть расстояние от фиксированной точки t до случайного множества 1, так как

Ш)<г} = №'М г > 0,(2.12)

где tr означает r-окрестность точки t.

В случае замкнутой области) £ ее измеримость равносильна измеримости индикаторных величин Xg(O> t^T;

поскольку событие t^^ означает непустое пересечение множества £ с точечным множеством S = {/}, а для области £ и любого открытого S^T непустое пересечение П S целиком содержит некоторую окрестность, так что, взяв

плотное в S счетное множество точек tn, имеем

№nS^0|= иЫ>1|€Я.(2.13а)

1п

Аналогичное утверждение верно и для открытой области В, так как для замкнутого множества S и счетного всюду плотного в S множества точек tn также справедливо (2.13а).

В случае замкнутого В для любого множества S еТ мы имеем

(2.14)(2.14){£=> S} £ 21;

(2.14)

(2.14)

в самом деле, включение В (®) ^ S означает, что В (®) П f\Un^0 при всех Un из полной системы окрестностей пространства Т, для которых ипГ\8^0,— ведь если в 8 имеется точка /^ (ю), то найдется окрестность Uп Э t, ^пПВ(®) = 0, и, следовательно,

{^S}= n{Bnl/„^0}E9L

Дополнение В6 к замкнутому В является измеримым:

{BffsS} = {B^S^^?I{BffsS} = {B^S^^?I(2.15)(2.15)

{BffsS} = {B^S^^?I

{BffsS} = {B^S^^?I

(2.15)

(2.15)

для любого S^T. Отсюда следует, в частности, что для измеримости открытого случайного множества В относительно а-алгебры событий 31 достаточно включения

^ = S^ = {B^S^^9I (2.16)

для открытых (или замкнутых) множеств S—в самом деле, В = лб? является дополнением к замкнутому т] — Вс» измеримому относительно 91.

Пусть теперь с вероятностью 1 случайное множество^ таково, что его граница 5В совпадает с границей дВ замыкания В-.

дВ = дВ-(2.17)

Это означает, что внутренние области f и В совпадают, так как, если точка s принадлежит границе дВ, но является внутренней для В* то В^В" и наоборот.

(гл. 2

В случае, когда множество 1 является областью: | = L пои условии (2.17) мы имеем следующую цепочку равенств:

(2.18)(2.18)

(2.18)

(2.18)

где (открытое) дополнение v) = f‘? к замыканию | имеет своим замыканием р = ^; ясно, что вместе с замыканием р измеримого дополнения л=^ измеримой относительно той же сг-алгебоы событий 91 будет и внутренняя область ^ = (r|V; при этом для любой открытой области S мы имеем

{^НЫ’М^ (2.19)

поскольку при включении f ^ S каждая точка t^S является внутренней точкой в £ = £ и u^S, |з5. В частности, условию (2.17) всегда удовлетворяет-з амкн у- тая область |, и, следовательно, замкнутая область £ будет измеримой относительно о-алгебоы событий 91, если включение (2.19) справедливо для любой открытой области S^T, поскольку измеримой оказывается внутренняя область В (см. (2.16)), а вместе с ней и £ = £.

Пеоесечение р = ^Г|5 случайного множества ? с фиксиоованным замкнутым множеством S ^Т измеримо относительно той же о-алгебры 91, что и £, поскольку

hnS, = 0^{^n(SnS,) = 0}

для любого замкнутого $' = 7 (см. 12.11)).

Пусть случайные множества £г, £3 измеримы относительно 9(t, 91 д тогда объединение ?tU^ измеримо относительно о-алгебры событий 91г V 913, поскольку

для любого S^T. Пересечение ^Пбз измеоимо относительно 9G V 9ta в случае о т к рытых или замкнутых областей |п |2, поскольку

для любого ZCT^CM. (2.13)). В случае замкнутых множеств ^ и Вй, хотя бы одно из которых является компактом (скажем, это ^i), пересечение ^А ^2 также измеримо относительно о-алгебры событий 9Д V 912, поскольку для любого замкнутого S^T пересечения ^ _ ^ р s, т)2 = |2 A S являются измеримыми относительно 9^, 9L и

{(Ein£,)nS = 0Hfrhnih==0) =

= u[hiGSjnhi=s5n.

где S„, п=1, 2, ..., есть всевозможные конечные объединения элементов из полной системы окрестностей в Т (см. (2.11)).

Отсюда, в частности, следует, что при условии (2.17) множество д£ = £Пл измеримо относительно о-алгебры событий 91 вместе с дополнением г|=^ к замыканию ^ поскольку одно из множеств |, т], по предположению, компактно.

Отметим, что измеримость границы д£, внутренней области с и событий типа {£ ^ S), вообще говоря, не имеет места, если условие (2.17) не выполнено. Для примера можно обратиться к открытой области ^ = Т \ т, где т есть такая случайная точка в Т, что {т=^ для каждого фиксированного t^T есть событие вероятности 0—в этом примере все события ^S} имеют вероятность 0, если S^T и случайная область £ измерима относительно тривиальной а-алгебры, чего нельзя сказать о ее границе

Пусть |—случайная замкнутая компактная область, измеримая относительно сг-алгебры событий 91, и £„ ее связная компонента, содержащая фиксированную точку t0£T (очевидно, £0 также есть компактная область).

Лемма 3, Связная компонента |0 измерима относительно 91.

Доказательство. Возьмем полную систему из счетного числа окрестностей в пространстве Т„ -Будем говорить, что точка t связана 8-цепочкой с t^ через множество S, если найдется конечное число окрестностей ^i> •-., Цп из нашей системы диаметра не больше е,

обладающих следующим свойством: Z0€^i, каждое последующее Uk имеет непустое пересечение с U к_г и t£Un, а кроме того, все эти окрестности имеют непустое пересечение с S. Связный компакт Ви состоит из всех тех точек t С В, для которых при любом 8>0 найдется «е- цепочка через В», связывающая Z с Zo. При фиксированном t существование «8-цепочки через В» есть событие Ле из а-алгебры 9Х. Действительно, всего имеется лишь счетное число наших «е-цепочек через Г», и оказаться «8-цепочкой через В» для фиксированной п-й «8-цепочки черезТ» есть событие В^ из 9Х, так что Д8 = и В^ £ 91. Взяв последовательность е=8„—>-0, получим, что принадлежность фиксированной точки Z связной компоненте Во есть событие А= П Де € 9L т. е. индикаторные величины %^0 (/), t^T, являются измеримыми, а вместе с ними будет измеримой относительно 9Х и замкнутая случайная область Во (см. (2.13)).

3°. Согласованные случайные множества. Предположим, что с каждой открытой областью S=T сепарабельного локально компактного метрического пространства Т связана о-алгебра событий 91 (S), причем

9Х (SJ г 91 (S2) при STsS2. (2.20)

Рассмотрим случайное множество В s Т, согласованное с семейством 9Х (5), S s Т, в том смысле, что

|lsS}€?I(S=), в > 0,(2.211

для всех открытых областей S.

Условие согласованности (2.21) распространяется на замкнутые множества S; более того, как уже фактически отмечалось (см. (2.10)), замкнутое множество В является согласованным, если условие (2.21) выполняется для замкнутых S. Отметим еще, что вместе с В согласованным оказывается замыкание В и, при условии (2.17), внутренняя область |, поскольку

{B^s}={tsS} = (BocS}

для любого открытого множества SgT.

Для любых открытых или замкнутых S' s S мы имеем

(5 = 5, 5^3'} =

= (5 = S}\(5sS'}eS((Se), е > 0. (2.22)

В дополнение к (2.22) отметим, что для замкнутых 5, S и любого множества S' с S имеем

(5 = 5, $5$') =

= П(5 = 5, 6 П1Д# 01681(5-), е > 0,

где пересечение берется по всем Uп из полной системы окрестностей, L/„n-S'^0, и

{^S, Ж^Н^^сЗ, ^nt/„ = 0} =

= {^S)\^S\l/fi^9l(Se), e>0

Далее, случайное множество £ е Т назовем контрсогласованным с семейством 91 (S), S^T, если

(2.23)(2.23)1^$} е 91 (S8)

(2.23)

(2.23)

для любой открытой области S; в случае замкнутого £ это условие контрсогласованности автоматически переносится на любые области S, поскольку

{5а5( = (5э5} = (5з5},

где S внутренняя область в S.

Очевидно, что внутренняя область | контрсогласован- ного множества £ также контрсогласована, так как для открытого S

{5 = S} = {US}.

Приведем некоторые важные для приложений примеры контрсогласованных случайных множеств.

Пусть |(/), ^ Т, — случайная функция со значениями в некотором топологическом («фазовом») пространстве и $ (S) есть о-алгебра событий, порождаемых поведением траектории £(/), t^T, в области S^T. Предположим, что для каждого I ^Т нас интересует некоторое «локальное» свойство At, определяемое по значениям нашей случайной функции в инфинитезимальной окрестности точки/, скажем, непрерывность или принадлежность значения £ (/) некоторому множеству в фазовом пространстве. Пусть

^ s 7 есть множество всех точек, для которых траектория £(/), t Е Т, обладает упомянутым выше «локальным» свойством. Если оставить в стороне вопрос об измеримости отображения ^ = ^ (со), co^Q, то ясно, что случайное множество £ является контрсогласованным — включение Sec означает, что траектория обладает рассматриваемым свойством At во всех точках t^S, а это есть событие из о-алгебры 51 (8е), е > 0. Уточним сказанное, предположив, что множество £ является с вероятностью 1 замкнутой областью и наличие рассматриваемого «локального» свойства в точке / Е 8 есть событие At из о-алгебры 51 (88), е > 0. Тогда £ есть контрсогласованное случайное множество, поскольку включение (I s 8} равносильно включению (^sS'}, где S' s 8 — счетное всюду плотное в 8 множество, а событие

= и ^51(88)

teS'

есть объединение счетного числа событий At Е 51 (8е); условие же (2.23) в случае замкнутой области £ дает измеримость относительно о-алгебры событий 51(7) (ср. (2.19)).

Важный класс согласованных случайных множеств описывается ниже.

Теорема 1. Пусть £ есть случайная замкнутая компактная область, контрсогласованная с семейством 51 (8), 8 s Т. Тогда ее связная компонента £0, содержащая фиксированную точку 10^Т является согласованной с этим семейством.

Доказательство. Возьмем открытую область хгТ и положим я=^П^. Открытое случайное множество q измеримо относительно 5Х(х8), е > 0, так как для любого открытого 8 событие {qs8} пусто при 8 eg х и совпадает с событием (£ s 8} Е 51 (х8) в случае Sex (см. (2.16)). Стало быть, и q = ^Ax также измеримо относительно 51 (хе). •

Обозначим q0 связную компоненту случайной замкнутой компактной области q, содержащую фиксированную точку /0 Е 7. Как мы знаем, q0 измерима относительно той же о-алгебры событий, что и q(cM. лемму и. 2°). Напомним также, что для q = £ А х мы установили измеримость относительно о-алгебры 51 (хе), е > 0; следова-

тельно связная компонента т|0 также измерима относи* тельной (х8), е > 0. Доказательство теоремы будет закончено, если мы покажем, что для любого замкнутого SsT

^es?= и №S}, 8>о,

где,

ti^’=| Пх1я), x^^S1^,

и, как мы знаем, компоненты фИ измеримы относительно 91 (Se). Поскольку ^’g^, то всегда r^’G^ и т]^’ g S при ^0 g S. С другой стороны, пусть -q^ g S для некоторого достаточно большого п. Предположим, что £0^S. Тогда область £0 \ т,^ не пуста и имеет предельную точку s £ ф'Н поскольку в противном случае связная область £0 разбивается на две непересекающиеся замкнутые области т)оп) и ^Х1!™- Ясно, что точка s^r^flS является предельной для точек

^to Пх(п) g| nx(n) = T]U), ^ПоХ

(здесь ^0— внутренняя область £0), чего быть не может для т|(") со связной компонентой т]^, так как замкнутое множество т|(,1) \ ф^ находится на положительном расстоянии от фИ Следовательно, предположение ф £ S является неверным и ^2S, что и требовалось доказать.

В заключение приведем важный для приложений пример согласованного случайного множества. Пусть £(/), t ^Т, есть непрерывная случайная функция на компакте Т со значениями в топологическом («фазовом») пространстве, имеющая известное «начальное значение» £(/0)=а в фиксированной точке U- Предположим, что £ g Т есть множество всех точек в Т, для которых траектория ^(0, t € Т, лежит в фиксированном открытом множестве А «фазового» пространства, содержащем значение а. Очевидно, случайное множество £ g т является открытым. Его замыкание 5 является контрсогласованным с семейством о-алгебр событий 91 (•$), S g Т, каждая из которых определяется поведением функции £ (/), t £ S, в соответствующей открытой области S — в самом деле, включение ^25^ однозначно определяется по траектории

£(/), t^S®, в инфинитезимальной окрестности S8:

{I а 8} = {$ э 8} е Й (8е), е > 0.

По нашей теореме связная компонента Во компактной области £, содержащая «начальную точку» /0: Ц^о) = =а^А, является согласованной.

В случае, когда пространство Т есть временной . интервал |70, 7], связная компонента £0 есть интервал [/0, т], где момент т при т < 7 называют моментом первого выхода из открытого множества А (или моментом первого достижения его дополнения Л6) траекторией ^(0, t /0, начинающейся в точке ^(/0)=<2^Л. Вообще, для случайного процесса ^(0» /^^согласованные случайные интервалы [/„, т) отвечают известным «марковским» (или «не зависящим от будущего») моментам т. С такими марковскими моментами т связано хорошо известное свойство «строгой марковости» случайного процесса £(/), /^ /0, обобщение которого на случай произвольного параметра / (в метрическом пространстве 7) рассматривается ниже.

4°. Строго марковское свойство. Рассмотрим сг-алгебры событий 91 (S), S^T, того же типа, что и в предыдущем пункте,—они связаны с открытыми областями S сепарабельного локально компактного метрического пространства 7 таким образом, что выполняется условие (2.20). Й Предположим, что семейство 91 (S), S^T, является марковским по отношению ко всем открытым областям S^T, компактным или имеющим компактное дополнение, т. е. о-алгебры

{91 (S)e, 9l(dS)e, 91 (ST}, е>0, (2.24) обладают марковским свойством,— здесь мы используем новое обозначение

91 (S)8 = 91 (S8)

для сг-алгебры событий 91 (5е) из соответствующей окрестности S8 множества 5^7; в частности, 91 (dS)e означает о-алгебру событий из окрестности Г8 границы Г = dS области S и дополнительной области Sc, 91 (S)8 и 91 (S';)e есть о-алгебры событий из окрестностей S6 = S(jre и Ре = SC у Г6. Нашей целью будет определить выборочные

а-алгебры 91 (Юе п0 случайному множеству g s Т и для всех согласованных компактных областей £ ^ 7 установить свойство марковости выборочных а-алгебр

Ж 91W. 91 (W;.

указанное свойство семейства 91 (S), S^T, назовем строгой марковостью.

Для случайного множества £,. принимающего счетное число различных значений х = хх, х2, .... такие выборочные о-алгебры могут быть определены согласно общей конструкции п. 1°,.

9Д(х) = 9Цх)8, 93 (х) = 91 (дх)в, Я2 (х) = 91 (хс)е

(см. (2.1)); их марковость устанавливается леммой 1.

В общем случае мы воспользуемся предельным переходом (2.7) в схеме подходящих серий

(9Ix(x), 93(х), 912(х)},х€Х„,п=1,2, ...,

и определим наши выборочные а-алгебры по типу (2.8).

. Возьмем последовательность разбиений T=\jxkn прок

странства Т на такие замкнутые области (ячейки)

^ир ^in' * • •(2.25)

диаметра не больше ем —0, что ячейки одного разбиения (при одном и том же п=1, 2, ...) попарно не имеют общих внутренних, точек, а для любых ячеек хк> п и x/im из разных разбиений, имеющих хотя бы одну внутреннюю точку, справедливо включение

хл т <= хк, „ при т>п;

кроме того, при каждом п для всякого компакта пусть имеется конечное покрытие ячейками n-го разбиения. Такие разбиения можно строить, например, следующим образом. Возьмем полную систему окрестностей

Uu Ua,.

(с компактным замыканием). На первом шаге оставляем лишь окрестности диаметра не больше ех—пусть это будет

Ulu Уц, ...; затем образуем

xu Utl, x2I У21 \ Уц, хк1—Уь1\( U ^/iV

\/<к/

— это и есть ячейки первого разбиения; очевидно, каждая из них является компактной областью. На втором шаге из исходной системы оставляем лишь окрестности диаметра не больше е2 — пусть это будут 1/12, У22, ...; с их помощью для каждой ячейки первого разбиения образуем новые ячейки вида

X П У12» X П У22 \ У121 ' 1 1 1 X п Ук2 \ ( и УJ2 i • • • i /

при этом, поскольку компакт х допускает конечное покрытие окрестностями У21, У22) ..., то получается конечное разбиение каждой исходной ячейки х. Отметим здесь для ясности, что пересечение любой области с открытой областью снова есть область; поэтому наши ячейки, имеющие вид

X n Ute \ ( U ^ Л =х П УЛ2Г П Ш \/<k Z L/<* 1

являются (компактными) областями. Всякий компакт допускает конечное покрытие окрестностями U^ U2S ... и, как следствие, конечное покрытие нашими ячейками. Аналогичным образом поступая на каждом последующем шаге; получаем требуемую последовательность разбиений.

Обозначим Хп совокупность всех множеств х 2 Т, являющихся конечными объединениями ячеек м-го разбиения; имееется лишь счетное число различных элементов х С Хп.

Для замкнутой компактной области ^Т найдется множество х £ Хп, содержащее %. При этом структура элементов х^Х„ такова, что найдется минимальное множество ^п £ Хп, содержащее область £, т. е. ^п£х при х 2 L

В самом деле, поскольку все множества х£Хп являются замкнутыми, включение х 2 £ для компактной области

О О о

£ = £ равносильно включению x^t где £ есть внутренняя (открытая) область в £. Если некоторая ячейка хкп £ Хп имеет непустое пересечение с открытой областью £, то этим же свойством обладает внутренняя область хк№ этой ячей, и

1 ■ СТРОГО марковское свойство 125 и, следовательно, хкп^х при х 2 L так как в Хп нет других ячеек, кроме хкп, содержащих пересечение хкп П £. Ясно, что объединение всех ячеек хкп1 имеющих непустое пересечение с £, дает минимальное множество в Хп, содержащее £, а, значит, и само £ = £.

Введенное нами множество Е,п£Хп может быть оха- актеризовано как совокупность всех ячеек хкп, «задевающих» внутреннюю область £, т. е. хкпП£#=0.

Введем преобразование фи (8) замкнутых компактных областей 8 £Т, определив

<РП(5) = 5„

как минимальное множество в Хп, содержащее 8,—это множество 8п есть объединение всех ячеек хкп £ Хп1 задевающих внутреннюю область S. Обозначим дп8 «утолщенную» границу области 8, состоящую из всех ячеек хкп е 8п, задевающих инфинитезимальную окрестность границы Г = д5, точнее, при любом е>0 имеющих непустое пересечение с областью Ге 0*5. Наконец, положим

Легко видеть, что

S„ = Vn(SJ, дп8 = <рп(дт8) (2.26) при всех п^т. В самом деле, 8п = фп (S) с фДЗ^), поскольку S е 8^ с другой стороны, если ячейка хкп входит в фДЗД, го ее внутренняя область хкп имеет непустое пересечение с внутренней областью одной из ячеек xjm s — $т = Фи (S), и эта ячейка xjm должна будет целиком входить в хкп1 откуда следует, что вместе с xjm ячейка хьп имеет непустое пересечение с внутренней областью S и входит в Фп^)- Доказательство второго равенства в (2.26) аналогично. Именно, для каждой ячейки хкпгдп8 найдется некоторая граничная точка t^dS, для которой хкп при любом 8>0 имеет непустое пересечение с £ef)S, ив хкп = ^xjm — конечном объединении ячеек xjm—найдется ячейка xjm, обладающая тем же свойством; в частности, хкп задевает xjm г дт8 и, следовательно, дп8 s ф„ (dmS). С другой стороны, как мы уже отмечали, если ячейка хкп задевает дт8 s 8т1 то она целиком содержит некоторую

ячейку х;тгдт8 и вместе с х/т имеет непустое пересечение с инфинитезимальной окрестностью границы dS, т. е. Xkn — d^S и, следовательно, фп (дт5) г dnS. Из определения (замкнутого) множества дп5 следует, что dS г d„S; ясно, что также

dsnedns:

Для любого е > О

S„sS«, d„Ss(dS)«.

при достаточно больших п, а именно, при е„ <е, где едесть диаметр ячеек п-го разбиения, поскольку каждая ячейка хкп из S„, dnS содержит некоторую точку t£S, dS соответственно. Очевидно,

S=DSrt, dS^nd„S, S^^nS^.

Введем a-а л гебры события типа (2.24):

(х) - 91 (х)к,99 (х) = 9Жх)е, (2.27)

9(2 (х) = 9ЦХЖ х£Хп,

которые составят нашу п-ю серию, п = 1, 2, ... в соответствии с обозначением п. 1°, и рассмотрим выборочные a-ал гебры

^(U = 9O- s (U = Я УАУ,^A^WT, ^ = <р„(У,

общий тип которых описан в (2.1) Очевидно, для серий (2.27) будут выполнены условия (2.4), (2.5), что непосредственно следует из свойства монотонности (2.20) и равенств (2.26). Определим выборочные о-алгебры, как это было сделано в п. Г с помощью предельного перехода (2.7), а именно:

зменю^ пю V»].

$®=Яй)‘=П[Я№У»],(2.28)

Я, © = Я АТ = П [Я А°Т V 8],л

где 23 есть наименьшая a-алгебра, содержащая все события вида

Х£ХП; п=1, 2,(2.29)

отметим здесь, что

g = nu dg = nd„a ^ = 05".nnn

Мы собираемся воспользоваться леммой 2 п. 1° в применении к выборочным о-алгебрам (2.28), и для этого нам нужна согласованность £„ с семейством §1(х)е, х£Хп, n = L 2, ...„

Предположим, что согласованной с а-алгебрами событий ?I (S), S^T, является случайная область £. Тогда этим же свойством обладает и £л = ф„(£). Действительно,

№„cS> - U {L^^h

где объединение берется по х С XR и

{^^4 = ^ = 4,

— ведь |л есть минимальное множество в Х„, содержащее ^, так что £ясх при х^|; в итоге

{L^4 = U {^4^9Ц5)8, в >О.

Очевидно, условие согласованности для £„ £ Х„ означает, что'

IU*}ew, е>о, хех„.

Покажем, что согласованность %п равносильна условию

.{^ = х}С?Ц4%б>0, х€Х„.(2.30)

Ясно, что согласованность |л вытекает из этого условия:

{L s X} = и 1Е„=У} € V 81 w = Я (х)«У^ХУ^Х-

(объединение берется по д£Хп\ С другой стороны, для согласованного £„ мы имеем

^« = 4 = {L^4\U (L^*> LO}£2I(4e 'угх

(см. (2.22))...

Обратимся к сг-алгебре 93, порожденной событиями (2.29). Для любой открытой области SeT имеем

{^^S}-U {^4. Х^хп, и

|6£$}=m$.sS|,

поскольку компакт с ^S находится на положительном расстоянии от границы открытой области S и В„ содержатся в S при достаточно больших п. - Таким образом, установлен следующий простой факт:

93 есть наименьшая а-алгебра, относительно которой измерима случайная область В-

Справедливо также следующее предложение.

^ Теорема 2. Для случайной компактной области В, согласованной с семейством 91 (S), S^T, выборочная о-ал- гебра 91 (В)8 есть совокупность всех таких событий А, что

Л-{В^5}С91(56)(2.31)

для любой компактной замкнутой области S сТ. Доказательство. Мы знаем, что

^ (В) = 9ЦВ)8 = П91 (BJ8,п

где каждая о-алгебра 91г (В„) = 91 (В„)е состоит из всех событий А, удовлетворяющих условию

Л-{^ = 4€ ?!(*)% х^Хп

(см. (2.3)). Покажем, что это равносильно условию

Л-{В„^х}С91(х)е, х^Хп.

В самом деле, если выполнено первое из этих условий, тоЛ-{В,2^х}- и Л-{В„ = г/}€91(х)8;

ух. .

с другой стороны, наши условия равносильны для ячеек x = xkrt, и предположив, что это верно для областей у, которые есть объединение не более т различных ячеек хкп, ^=1, 2, ..., для областей х из (m + 1) ячеек будем иметь

Л.{|„ = х) = Д.^„Е*}\ U А.^еу'с^ху, ■■ усх .

если выполнено второе из наших условий. Из него с учетом равенств

{B^x) = (Brt^x}, x^A^,д=1, 2,

получаем, что Л С А 91 (В„)е тогда и• только тогда, когда п

включение (2.31) справедливо для всех S С Хп; п—— 1, 2, ... Но для любой замкнутой компактной области

S ^Т мы имеем S = Л 5„, и, следовательно, п

Д.^е5} = пЛ.{^5 8„}€91(5)=, s > 0.

Теорема доказана.

Итак, мы видим, что выборочная сг-алгебра 31 (|)е не зависит от разбиений (2.25). Можно думать, что остальные cr-алгебры в (2.28) существенно зависят от выбранной последовательности разбиений, но это не так.

Откажемся от условия согласованности £ с семейством 91 (S), S^T, которое позволило нам дать независимое от разбиений (2.25) описание выборочной о-алгебры 91! (В) — =91 (£)е. Рассмотрим случайную замкнутую область гр изме- меримую относительно о-алгебры событий 95 и такую, что т| ^£ с вероятностью 1. Сравнимо о-алгеброй 91 (|)е выборочную сг-алгебру 91 (т])Ё, построенную по сериям произвольных разбиений типа (2.25) на ячейкиyJm диаметра не больше 6^, —► 0. Покажем, что

91 (п)6^ 91 (ЮЁ, 6 <е.(2.3?)

Как мы знаем, о-алгебра 91 (|„)8 состоит из всех таких событий Л, что

= = Л (х8)-(^ = х},

где А(хе) есть событие из сг-алгебры 91 (х)8 = 91 (х8). Аналогичную структуру имеет и о-алгебра 91 (*п)6- Возьмем произвольное Л £ 91 (т]т)6. Мы имеем

^'{^ = ^}= U [Л-{г!т = ^}].{^ = х}, ysx^m

поскольку

U {bn = vV} • {г]^ = У },

У

где пересечение справа будет непусто только в том случае, если уех6т,—ведь т\т состоит из ячеек диаметра не больше 6т, задевающих область т| и при т] ^ | должно быть т]т с т|6^ г ^б™ е ^. Как уже отмечалось, для А С 91 (г)т)6 цы имеем

^•hm = z/} = A^^m^yV

где А (уЪ) есть событие из о-алгебры 91 (у)й = 91 (уь\ и, следовательно, при у6 г Xs (скажем, при 6т + 6<е)

A^b^W, А(у6у^„ = х\^%О-

Ю. А? Розанов

Учитывая, что все случайные области vj„ измеримы относительно о-алгебры SB, получаем

А • {5. == и [Л (у6) {L - х}] • {11. = у} € 31 (Ue V ®

У

И

Д = и[Л.{Е„ = х}]бЯ(Ы) V».

X

Таким образом,

8((ti*V$sM.m 6„ + 6<8, где бт - 0 при m оо, и в итоге

\ Я (Ч)д = П [91 (nj^6 < е, '

откуда следует соотношение (2.32).

Аналогичные соотношения тем же путем можно получить для

TO = W и 913(^) = 91(^.

Сформулируем сразу итоговый результат для всех выборочных о-алгебр, в каждом случае предполагая, соответственно, что Tjc^ или т) = ^ с вероятностью 1.

Теорема 3. Пусть S3 есть минимальная о-алгебра событий, относительно которой измерима случайная область |, и пусть случайная область ^ измерима относительно 33. Тогда для любых 6 < е

91 (г])6 s ?Ц£)е при

Ж (5т])6£^(^)8 при л = ?;(2.33)

§1 (Т]С)6 С §{ (^)8 При Т]=э£.

Включения (2.33) показывают при г] — £, что наши выборочные о-алгебры (2.23), грубо говоря, не зависят от выбираемой при их определении последовательности разбиений (2.25); в отношении

9t^)=gn9I(|)e,

И^-^ГО8’<2-34)

$+(^)= П9Ц^)ев>0

это высказывание будет совершенно точным.

Как у?ке фактически отмечалось, согласно общей лемме 2 выборочные о-алгебры (2.28) при любом сколь угодно малом е > О образуют марковскую последовательность, т. е. о-алгебра 91 (^)Е расщепляет 91 (g)8 и 91 (^')8. Назовем это свойством семейства 91 (S), SeT, строгой марковостью.

Сформулируем наш основной результат в виде следующего предложения.

Теорема 4. Случайное поле 91 (S), S г Т, марковское по отношению ко всем компактным областям 3 ЕТ, является строго марковским по отношению ко всем случайным компактным областям ^ s TV согласованным с этим полем.

§ 3. Гауссовские поля. Марковость в широком смысле

1°. Гауссовские случайные поля. Пусть случайное поле 91 (S), S^T, определенное на надлежащей системе открытых областей S С ©о, таково, что каждая о-алгебра 91 (S) порождается величинами из соответствующего пространства

H(S^^4^ 91, Р),

где определенное на той же системе областей S £ @0 се- мейство И (3), SeT, является аддитивным:-

H(S'{jS’,) = H(S,)yH(S")(3.1)

для любых S', S" £©0- Обладающее свойством аддитивности (3.1) семейство //(S), SeT, тоже будем называть случайным полем.

Случайное поле И (8), З^Т, назовем непрерывным, если

Я(5) = VH(S<">), S=uS<”>,(3,2)

п

для любой доследовательности монотонно возрастающих областей З^, п=1, 2, ...; здесь и далее символ V означает замкнутую линейную оболочку указанных пространств.

,£лУчайное поле назовем гауссовским, если пространства оеТ, образованы гауссовскими случайными величинами.

Пример. Пусть £(/), t^T>— гауссовская случайная функция на пространстве Т и

H(S) = VM0tes

есть замкнутая линейная оболочка величин £(/), t^S. Семейство Н (S), S^T, является непрерывным гауссовским полем.

Пример. Пусть (u, g), u^Cq (Г),— обобщенная гауссовская функция в области Т г Rd и

Н(8) = V (и, 5)

supp usS

есть замкнутая линейная оболочка величин (п, £) с Носителем suppusS в области 5. Семейство Н (S), 8еТ, является непрерывным гауссовским полем (ср.. с примером на стр. 93).

Рассмотрим произвольное гауссовское поле Н (S), 8 ^Т. Согласно нашему общему определению оно является марковским по отношению к некоторой системе областей S £ ©, если для областей St=S и S3 = P\S с разделяющей их границей Гз 6S пространства Н ^8^ и Н (S2) условно независимы относительно Н (Г8) сколь бы ни была малой окрестность Г8 границы Г (см. (1.26)).

Обозначим Р (//) оператор ортогонального проектирования на соответствующее подпространство Н^Н(Т), положив для краткости

P(S) = P (#($)).

Условные распределения гауссовских величин т\^Н(Т) относительно НеН(Т) являются гауссовскими с условным математическим ожиданием

E(TV//)=P(//)n й корреляцией

При этом условная независимость подпространств Нх и Я2 относительно Н равносильна тому, что любые величины ih^/Л и r)a^ZZ2 являются условно некоррелированными, т. е.

Ч1~РСЯ)^!^—Р(Я)*|3,. .

Таким образом, свойство марковости гауссовского поля H(S), SeT, равносильно тому, что для любой области S £ @ и соответствующих

Н^н^, Н = Н<Г^ H2 = H(S2)(3.4)

выполняется условие ортогональности (3.3).

2°. Расщепляющие пространства. Пусть// означает подпространство в гильбертовом пространстве S^ (Q, 91, Р) и Р (Н)— оператор ортогонального проектирования на Н. Обозначим через Нх0Н подпространство, порожденное величинами т] — Р^Н)^ х\^Нх. Назовем пространство Н р а с щ е п л я ю щ и м Нх и Н21 если Нх 0 Н и Н2 0 Н ортогональны, т. е. для t\i^ Нх и -ц2£Н2 выполняется условие (3.3).

Свойство пространства Н быть расщепляющим равносильно каждому из соотношений

тншмн), (//^шуя), (з.5)

поскольку

(H2eH)v h=>hv (н.ещун^н,;

при этом пространство Н является расщепляющим одновременно для Нх, Н2 и для Нх V Н, H2V Н.

Свойство Н быть расщепляющим означает, что

Й1 V н V н2 = (нх е Н) ® н 0 <н2G Щ,(3.6)

где

(^10 н) е н=н, v н, <н2ещ®н=H,V н

и символ ф означает ортогональную сумму указанных подпространств.

В случае, когда Н г Ни Н2 равенство (3.6) равносильно тому, что

ЩПН^Н, нх _\_н2,ЩПН^Н, нх _\_н2,(3.7)(3.7)

ЩПН^Н, нх _\_н2,

ЩПН^Н, нх _\_н2,

(3.7)

(3.7)

где Hi, Н^" есть ортогональные дополнения к Нх, Н2 в пространстве Нх \/ Н2.

Отметим некоторые другие свойства расщепляющих пространств.

Пусть пространства Н', Н" содержатся в ^ и являются расщепляющими для Нг, Н2\ тогда пересечение Н = — Н f\H” также будет расщепляющим для Нп Hv

Действительно, для Н^Н^ равенство (3.5) равносильно включению

Р^Н^%\^Н при т^Я,» которое, очевидно, выполняется.

Если HtR\ л = 1, 2, ..., есть монотонно убывающая последовательность пространств, расщепляющих Нг и Я2, то их пересечение Н= пН^ тоже будет расщепляющим.

Действительно, для такой последовательности

Ч-Р №-q = 11m [т] — Р (Нм) -q],

где при л^Я! все величины т)—Р(Я(п>)т| ортогональны Н £На\/ Hw и пересечение Н = V\H^ удовлетворяет условию (3.5).

Если Н^ г Нг есть любая последовательность расщепляющих Hv Н2 пространств, то их пересечение Н — — ЛЯ|,г) также расщепляет Яп На. Среди всех расщепляющих пространств Н ^Н^ имеется минимальное Н^ причем, согласно (3.6),

Яоз(Я1лЯ8),(3.8)

так как в силу (3.5) пересечение Нг Л На ортогонально н.ен^ н,ен0.

Пусть пространство Нй является расщепляющим для Н1Г Н2. Вообще говоря, более широкое пространство Н^Нв не будет расщепляющим. Однако если

Н = Н' V Н. V Н\(3.9)

где Н' г Hi и Н" s Н2, то Н также является расщепляющим.

Действительно, как мы знаем, Н0 будет расщепляющим для Я^ V Но и II2V HQ1 так что при г] £ Ях V Яо разность Ч-Р(Н^Н^ =

= [ Л -Р (Яо) Л] - [Р (Я' V Яо) т, -Р (Я„) Р (Я' V Яо) ч], где

Р(Н' 7Я0)л€Я1уЯ0, будет ортогональна Н' V Но и На\у Нй, т. е. Н* V Яо будет расщепляющим для HiV Но и Я2 V Яо ввиду (3.5). По тем же соображениям расщепляющим будет и пространство Я = (Я/ V Яо) V Я".

3° Свойство марковости. Рассмотрим случайное поле Н (S') S<=T, на локально компактном сепарабельном метрическом пространстве Т, и систему отк рытых областей S^, ©S@o, точнее, соответствующие

S^S, T^dS, S2 = T\(Sur);

см. (1.26). Назовем случайное поле марковским (в широком смысле') по отношению к системе ©, если для сколь угодно малой окрестности Г6 границы Г подпространство Н (Ге) расщепляет Н (SJ и Н (S2), какова бы ни была область S Ё @* В дальнейшем мы будем рассматривать именно это свойство марковости, которое для гауссовских полей означает марковость случайного поля 9Ц5), S^T, где сг-алгебры 91 (S) порождаются случайными ^величинами из соответствующих пространств Н(S), S^T.

Будем говорить, 'что область S расщепляет области 8Х и S2, если Н (S) расщепляет Н (Sy) и 77 (S2). Отметим, что если область So расщепляет Sx и S2, то всякая область SsS0, удовлетворяющая условию

S^tS^SoUSa),

также расщепляет St и S2, поскольку

^(ЗНЯ^АЗ) V77(S0) V77(SaS2)

(см. (3.1), (3.9)).

Для краткости будем называть взаимно дополнительные области Sn S2 с разделяющей границей Г марковскими, если сколь угодно малая окрестность Г8 расщепляет Si и S2. Пусть Sn S2— взаимно дополнительные марковские области с разделяющей границей Г. Тогда в силу аддитивности нашего'случайного поля окрестность * Г® расщепляет не только 5г и S2, но также SiUT® и S2 U г®, что равносильно условиям

Я(51иГ')пН(3,иР)=Я(Г<>),//(S^r^iL^tSiUr1)^,1 ■

где Н^- здесь и далее означает ортогональное дополнение к соответствующему! подпространству Н в пространстве Н (Т), (см. (3.7)), поскольку

Я^иГ^у Я(5,иГ«) = Я (Т).

Свойство марковости областей S^, S2 можно выразить равенством

Р (s, U Г8) Н (S2 и Г8) = Н (Г6),(3.11)

Действительно, из соотношения (3.10) получаем, что

Н (5г U Г8) = Н (Г8) ® Н (S2 U Г8©

Н (S2 и Г8) == Я (Г6) © Я (ST и Г8)1, откуда следует (3.11); с другой стороны, из равенства (3.11) вытекает, что подпространство Н (S2 и Г8) 0 Н (Г8) ортогонально Я (5Х и Г8) и Я (Г8), т. е. Я (Г8) расщепляет Я(Х1иГ8), Я(52иГ8). Видно, также, что (3.11) равносильно «симметричному» равенству

Р (S3 и Г6) Я (St U Гв) = Я(Ге). (3.11а) Положим

Я+(5)= П Я(58)

8>0

для любого S е Т, где S8 означает в-окрестность множества S s 7\ и обратимся к пространствам типа (3.4).

В случае марковских областей Sn S2 каждое пространство Я (Г8) является расщепляющим для Я + (5г U Г6) и Я+($2иГ6) при в > 6. Следовательно, расщепляющим для Я+ (Sj U Г®), Я+ (S2 и Г6) будет и пространство

Н. (Г6) = П Я (Г'),

8>б

что равносильно аналогичным (3.10) условиям

Я+(S, и Г») П я. (S, и г») = я+(Г6), ,О1т Я+ (S1 и ГУ 1Я+ (S, и ГУ, 6>0. (312> поскольку при 8 > 0 ввиду аддитивности поля

Я^иГ6) уЯ+(52иГ6) = Я(Т).

С другой стороны, если Я + (Г6) расщепляет соответствующие Я+(51иГб), Я+(53иГ8), какова бы ни была малой окрестность Г6, то при в > 6 пространство

Я (Г8) = Я [Г8 П (St U Г6)] V Я [Г8 П (52 и Г6)] будет расщепляющим для Я+ (ST и Г6) и Я+ (S2 U Г6), так же как и для

Н ^г и Г8)=я+ (S. и г6) v я (Г®),

Я(52иГ8) = Я+(5,иГд) уЯ (Ге),

Таким образом, условия марковости (3.10) и (3.12) экви-

Для марковских областей Ьп S2 пересечениеЯ+(Г) = П Н (Г8)

е> 0

является минимальным пространством, расщепляющим НД8, U Г) и Н + (S2 U Г), поскольку Н + (Г^Я*^ U Г), Я+(52иГ) (см. (3.8)). Предположим, что

Я(Т)-Я+(51иГ) V#+(S2ur);.(3.13)

в этом случае, согласно (3.7), пространство Н* (Г) расщепляет ЯДМГ), Я+(S2 U Г) тогда и только тогда, когда

Я+(Г) = Я+(51иГ)П//+(52иГ),

Вообще говоря, условия (3.14) слабее, чем (3.10), (3.12), но в предположении, что для окрестностей Г8 справедливо равенство

Я (Г8) - Я (Г8 п SJ V Н^ (Г) V Н (Г8 П S2),(3.15)

условия (3.14) равносильны условиям марковости (3.10), (3.12). Действительно, согласно (3.9), если Я+(Г) расщепляет

Я+ (St и Г) 2 Я (SJ, Я+ (S2 U Г) 2 Я (S2), то пространство Я (Г8) 2 Я + (Г) будет расщепляющим для Н ^8^ и Я(52). Аналогично (3.10), (3.11) условие (3.14) можно выразить равенством

Р(У7+(51иГ))//+(52иГ) = Я.(Г)(3.16)

или симметричным ему равенством

Р (Я+(S2 и Г)) Я+(Si U Г) = Я+(Г).(3.16а)

Случайное поле Я (S), 8еТ, рассматриваемое на соответствующей системе областей S £ @0, назовем марковским, если оно является марковским по отношению ко всем областям S^^o с границей Г = д£.

Аналогично выводу о марковости последовательности (1.31) можно прийти к заключению о том, что для всякой области S £ ®0 односторонние окрестности

Г8=5пге

в случае марковского поля расщепляют St = 3 и Sa = Т\3 и что пересечение

Я+(Г_)= П Я(Г8)

е> О

расщепляет Н (8^ и Н+ (S2 U Г) 2 Н (32). Более того, если для окрестностей Г8 справедливо аналогичное (1.32) равенство

Я(Ге)^Я(31пГе)уЯ(32пГе), (3.17)

то марковость случайного поля равносильна тому, что Н+ (Г_) расщепляет Я (SJ и Я (32), поскольку вместе с пространством Я+(Г_) при условии (3.17) расщеплять Я (SJ и Я (32) будет также пространство Я (Г8) з Я+ (Г„). Скажем, равенство (3.17) справедливо для случайного Поля

Я(3)=УШ SsT, (3.18)

ieS

порожденного непрерывной функцией £(/), t£T, в ^2(Й, 91, Р).

Отметим, что если случайное поле непрерывно извне:

Я+ (3) = П Я(3е) = Я(3),(3.19)

8>0

то аналогично (1.34) мы имеем

Я+(Г„) = Я+(Г).(3.20)

Добавим, что для марковского поля при условии (3.17) равенства (3.19) и (3.20) эквивалентны. Действительно, из представления

Я(31иГ6) = Я(31) УЯ(32АГ8) =

. =я($,)е[я(5, лр>е^(г-)1. s,=s,

н равенства (3.20) следует, что

;Ж(5,)= П Я(51иГ«) = Я($1),

е>0

поскольку по определению Я+ (Г) всегда

п [Я(5,ппеялп]е п [Я(Г')еЯ+(Г)] = 0.

8>0е>0

4°. Случайные поля с ортогональными значениями. Случайное поле Я(3), Ss Т, назовем ортогональным по

отношениюS2 = T\sотношениюS2 = T\sя(ХХГ)±^(5а\Г).(3.21)я(ХХГ)±^(5а\Г).(3.21)к системе областей S^S, если для Х = Х и соответствующей границы Г ^ dS мы имеем

отношению

S2 = T\s

отношению

S2 = T\s

я(ХХГ)±^(5а\Г).(3.21)

я(ХХГ)±^(5а\Г).(3.21)

Ясно, что если точки tv t2^T разделяются соответствующей границей Г. /j^XX^1 и i2^S2\r, то в случае ортогонального поля найдутся такие окрестности Ц и IL что

Н^А_Н^ t^t^ (3.22)

а выполнение условия (3.22) для достаточно малых окрестностей влечет (3.21).

Действительно, всякая область S^T может быть представлена как объединение S = U Su> некоторой по- п

следовательности компактных областей S(n). Каждый из компактов (ХХГ/Х (52\Г)(Д) допускает конечное покрытие соответствующими окрестностями Н^Зц и t2(^S2, для которых пространства Н^ и Н (if) ортогональны. Согласно аддитивности и непрерывности случайного поля, пространства Н (ХХЛ — V Н (if) и Н (52\Г) = \/ Н (if) также ортогональны.

Итак, справедливо следующее предложение.

Пусть система областей S £ ® обладает тем свойством, что соответствующие области ХХГ, Х\Г разделяют точки; тогда непрерывное случайное поле, ортогональное относительно системы ©, является ортогональным относительно системы всех открытых областей S гТ с границей Г — dS, т. е.

Н^А_ГЦ82К X-S, S2 = T\S, (3.23)

какова бы ни была область S г Т.

Конечно, здесь имеются в виду области S гТ, на которых задано случайное поле —скажем, случайное поле может- быть задано лишь на системе открытых областей 5^®0, которые компактны в Т или являются дополнениями к компактам.

5°. Сопряженные поля. Критерий марковости. Случайное поле Н* (S), SsT, назовем сопряженным к случайному полю Н (S), S^T, на системе открытых областей если Я*(7) = Я(Т) и

^*(-$)=Я+(5^)1, S' = T\S, (3.24)

для любой области 5С®0, гДе> напомним, символ | означает ортогональное дополнение к указанному подпространству в пространстве Н(Т).

Пусть S', S"£@o; при условии сопряженности (3.24) для дополнений F' = T\S' и F” = T\S* мы имеем следующее равенство:

Н+ ^F^ П Я+ ^ = Я+ ^' f) F")..(3.25)

В самом деле,

Н^ (Г) П Н+ (F") =

= Н* (S')i П н* (S")i = [Я* (S') v я* (S")]i = = Н* (S'U S")i = Я+ №).

Здесь и далее мы используем тот простой факт, что для любых подпространств Нк, ^=1, 2, ...,

(n^)1^ v нЬ(3.26)

k

Отметим, что непрерывное случайное поле Н(S), SsT, является сопряженным к своему сопряженному полю:

Я(5) = //; (5^)1.(3.27)

Действительно, для областей

s-8 = T\W, е>0, имеем

Н(^= V НД5-*У,Е> О

где

Zf + (S-8) = Я* [(S*)8]-*-,

V Н* [(S")e]X = f п /7*[(5^)е]1-1- ^Я;(5»)1.

Е> 0I Е> 0J

Пусть имеется сопряженное поле Н* (5), ScT. Равенство (3.25) при

Г==5ДУГ8 = 51иГ\

r=sruT8=saun

выражает первое из условий марковости (3.12) случайного поля Н(S), S^T, а именно,

Я+ (St U Г8) n Н+ (S2 U Г8) = Я+ (Г6)

для взаимно дополнительных областей S^S hS2 = T\S с разделяющей их границей Гзд5. Второе же из этих условий при наличии сопряженного поля можно выразить следующим образом:

Н* (SAH 1 н* (52\Г).(3.28)

Действительно,

(SiW^^ur, (SAD^s^r

и

я+(51иГ)-*- = я*(51\Г),

Н+ (S3 U Г)1 = И* (S2\r)

(см. второе из условий (3.14)). Соотношение ортогональности (3.28) означает не что иное, как ортогональность сопряженного поля по отношению к соответствующей системе областей S С^.

Принимая во внимание предложения предыдущего п. 4°, при наличии сопряженного поля можно сформулировать следующий критерий марковости по отношению к системе областей ©^©0, где, напомним, @0 есть система всех' областей S^T, на которых рассматривается случайное поле Я(S), S^T.

Теорема. Случайное поле является марковским по отношению к системе областей @ ^ @0 тогда и только тогда, когда сопряженное поле является ортогональным по отношению к той же системе @. При этом, если сопряженное поле непрерывно и система <S разделяет точки, то случайное поле, марковское по отношению к <5, является марковским по отношению ко всем областям S € ©0 с «минимальной границей» Г = dS.

6°. Условие регулярности. Разложение марковского поля на регулярную и сингулярную компоненты. Пусть H(S), S^T,—случайное поле. Рассмотрим его на областях 8^, п=\, 2, . .., образующих полную систему окрестностей «бесконечно удаленной точки», точнее, являющихся дополнениями к таким компактам F^, что всякий компакт F ^Т содержится в некотором Рп\ п=\, 2, ... (напомним, что Т есть локально компактное

сепарабельное метрическое пространство). Назовем случайное поле регулярным, если )

ПЯ(5<й)) = 0,(3.29)

и сингулярным, если

ПН<^ = Н<Гу(3.30)

п

Отметим, что условие регулярности (3.29) выполнено, если существует непрерывное сопряженное поле Н* (S), S^T, поскольку

Л Z/(S^)= п H^F^y--tW4FuW .

^Я*(Т)-1- = Я(Т)1 = 0.

Пусть P = P(oq) есть оператор ортогонального проектирования на подпространство

Я(оо)= n//(S^).

п Семейство

ZrT(S) = (Z--P)Zf (S), SsT, (3.31) образует регулярное поле, тогда как семейство

Я2 ($) = №($), S^T,(3.32)

является сингулярным случайным полем (здесь, как обычно, черта сверху означает операцию замыкания).

Действительно, вместе со случайным полем Н (S), Se T, эти семейства аддитивны и непрерывны, причем

//($<">) = // (ОО) ©^(S"),

И, ($<">) = PH (S'"1) = Н (оо), n = 1, 2 и

П Hv (S»«)=n [H(S™)QH (оо)] = 0. ; пп

Будем называть случайные поля (3.31) и (3.32) регулярной и сингулярной компонентами.

Покажем, что если случайное поле является марковским то этим же свойством обладают его регулярная и сингулярная компоненты. Уточним, что речь идет о марковости по отношению к системе открытых областей S £ @, которые компактны в Т или являются дополнениями к компактам, с соответствующей границей Г гд5 между областями Sy = S и S2 = T\S.

В силу известной симметрии свойства марковости по отношению к Si и S2 можно в качестве St = S взять область, являющуюся дополнением к компакту. Такая область содержит окрестности 5(д) «бесконечно удаленной точки» при достаточно больших п, так что мы имеем

Н (Si и Г8) = нх (Si и г8) ® н, (Si и Г8),

Н^ (Si U ге) = Н (оо), и

PitSiUr^PtSiUrMZ-P), ^(SiUn^PtSiUT8).?

есть операторы проектирования на подпространства ^i (Si U Г8), На (Si U Г8). При всех в > 0 включение

Р (5г U Г8) Я (S2 и Г8) е Я (Г8) дает нам

(7—Р) Р (Sx U Г8) Я (S2 U Г8} —

= Р (5, U Г8) Ц-Р) Н (S2U Г8) =

= ^i (Si U Г8) Я, (S2 U Г8) s

S'(7 —Р)Я(Г8) = Нг (Г8) и аналогично

Pt (St и Г') Н, (3, и г«) s Н, (Г«),

что равносильно условию марковости.

Сформулируем полученный результат в виде следующего предложения: марковское случайное поле Я (S), S s Тр разлагается на марковские регулярную й сингулярную компоненты.

ГЛАВА 3

МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВООБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

• § 1. Биортогональные обобщенные функциии свойство сопряженности

1°. Понятие биортогональности для обобщенных функций в гильбертовом пространстве. Мы условились понимать под обобщенной случайной функцией в области Т с Rd линейное непрерывное отображение пространства Cq (71) бесконечно дифференцируемых функций и = и (t), t^T, в гильбертово пространство ^(й, 9(, Р).

При рассмотрении обобщенной случайной функции нам удобно будет ввести линейный непрерывный оператор J, осуществляющий соответствующее отображение С^ (Т) —> —*J^2(Q, 91, Р), а именно,

(и, Ю = ^, u^C^TY(1.1)

С такой обобщенной функцией мы будем связывать случайное поле

Я(5), S^T,(1.2)

где Н^ для любой открытой области S^T есть замкнутая линейная оболочка величин

(и Л),h€Q(S),

и пространство 0^(3) рассматривается как подпространство всех функций и^С^^Т) с носителем зирры с 5.

Обобщенную случайную функцию

(ы, ^) = U, и^С^^Ту(1.3)

назовем биортогональной по отношению к функции (1.1), если

Е^Ш^)25^* Lu^^u^o^dt, u,v^C^(T), (1.4)

и■

НЧТ^Н^Ту(1.5)

здесь -

Я*(5), S^T,(1.6)

есть случайное поле, порожденное обобщенной функцией (1.3), т. е. Н*^ для любой открытой области S s 7 есть замкнутая линейная оболочка величин (и, 1*), u^C^^Sy Очевидно, биортогональная функция единственна, и исходная функция (1.1) является биортогональной к своей биортогональной функции (L3).

Условие существования биортогональной функции можно выразить, рассматривая пространство С” (7) как область определения соответствующего оператора J в стандартном гильбертовом пространстве 2п (Т) интегрируемых в квадрате функций u^ty t^T^ со скалярным произведением

(и, у) = J и (/) у (0 dt; ы, и £ =22 (Тут'

Именно, для линейного оператора

условия (1.4), (1.5) означают существование сопряженного оператора J*, имеющего правый обратный оператор L с областью определения С" (7) е J^'2 (Ту

J*(Ly) = v, Х)№УП,(1.7)

который непрерывен на пространстве С” (7) и имеет плотную в пространстве Н (Т) область значений..

Обратимся к так называемому пространству с воспроизводящим ядром V (Т) для случайной функции (1.1), которое состоит из обобщенных функций

v = (u, Х)У и^СЧТУ— Линейных непрерывных функционалов на пространстве

С” (7), представимых с помощью соответствующих величин т] € Я (7) в виде

(и, и) = Е(«, ^)Т] = (Ju, Yj), и£С”(Ту (1-8) Очевидно, для каждой величины т]£Я(7) формула (1.8) определяет обобщенную функцию, поскольку линейный оператор J непрерывен на С” (Ту Соответствие

v = и (л)^Л —Л (у) (1-9) является взаимно однозначным, так как область значений оператора J плотна в пространстве Нугу Если ввести в пространстве У (7) скалярное произведение, определив его равенством

<ип ^^(т^), П(и2)), Un и2€У(П (1.10) то соответствие (1.9) будет унитарным.

Предположим, что имеется биортогональная функция (1.3). Тогда для каждого элемента у£С^(Т) обобщенная функция

и=(ы, и) = J u^v^dt, и^С^угу (1.11) принадлежит пространству V (Т), причем, согласно равенству (1.4), ей соответствует величина т] (и) = Lu:

u^Lv, у^С^^Ту (1.12)

Отождествив функции и £ С^ (7) с обобщенными функциями вида (1.11), можно говорить о вложении

(1.13)(1.13)Со (7) с V (Т),

(1.13)

(1.13)

которое является непрерывным и плотным в пространстве У (7), т. е. норма

ЬНи—ЦЬЦ, У^фУ(1.14)

в пространстве V (7) непрерывна на С” (7) и замыкание пространства С” (7) по этой норме совпадает со всем пространством V (Т). Указанные свойства^вложения (1.13) являются следствием непрерывности^линейного оператора L и условия (1.5), согласно которому величины r| = Lu, у^ ^С^^Ту плотны в пространстве Я(7), а следовательно, соответствующие обобщенные функции и = у(т]) плотны в пространстве V (Ту Можно охарактеризовать само пространство V (7) как замыкание С^ (7) по норме (1.14) со

§ 1] биортогональные обобщенные функции 147 скалярным произведением

<Ulf У2/* " (^1’ ^г),^1» ^2 £ ^о (ТУ (1.15)

Вложение

C^T^V(TY СНП = У(Т\

равносильно существованию биортогональной функции.

Действительно, при указанном вложении можно определить обобщенную случайную функцию (1.3), положив Lo = y](v), о^С^ТУ

где т](и)4Фи—см. (1.8); она будет биортогональной для функции (1.1), поскольку, в силу унитарного соответствия (1.9) мы имеем

(и, v) = (lu, Lv), u^C^TY

2°. Условия сопряженности биортогональных функций.

Рассмотрим случайные 'поля (1.2) и (1.6), порождаемые биортогональными обобщенными функциями^. 1) и (1.3), Из равенства (1.4) следует, что

Я* (S) #+(SCH(1.16)

где, напомним, Sr = P\S и для любого множества S^T соответствующее пространство Н* (S) определяется равенством

Н+^= A H(S*Y

£ > О

в правой части которого берется пересечение по всем

е-окрестностям множества S в Т.

^’ Для доказательства включения (1.16) возьмем произ

вольную величину t] = Lu, и£С”(8У Носитель suppи еS, будучи компактом, находится на положительном расстоянии от множества Sc и лежит вне некоторой окрестности (SC)B, так что

^j «(/)u(/)tZf=(Liz, Ju) = O

для всех функций и € С” [(Sc)£] с носителем в области (Se)®, т. е. величина т| = 1ц ортогональна пространству Н [(S^)8], а следовательно, и пространству Н+ (Scy

Для любой открытой области S s Т ортогональное дополнение Н (S)-L можно описать, обратившись к пространству с воспроизводящим ядром V (71) и используя для

описания величин т]С Н (Т) соответствующие обобщенные функции и = (ц, и), и^С»^Т\ из пространства У(Т) (см. (1.9)). Именно, условие

означает, что

(J«, т]) = (н, v) = 0,mCC0”(S),

т. е. что носитель suppu обобщенной функции и^У(Т) лежит в дополнении к области 5.

Возвращаясь к областям (5е)8 и имея в виду изоморфизм (1.9), можно сказать, что ортогональное дополнение

Н [(S^)8]1 = {т| (и): suppueS-8) унитарно изоморфно подпространству обобщенных функций v^V^ с носителем suppu в замыкании области S'8 = = T\(Sc)e. В том же смысле ортогональное дополнение

Н+ (Sc)-L = V {л(и): suppu^S~B, e > 0) (1.17) унитарно изоморфно замыканию всех обобщенных функций и^У(Г) с носителем в областях S-8, е> 0, поскольку Я+(5^)1= V Z7[(S^)8]-L.

е > 0

Как мы знаем, при наличии биортогональной функции (1.3) пространство У (Т) содержит С” (Т) и всякая обобщенная функция и £ У (Т) есть предел последовательности оп^С^(Т) (см. (1.13)). Спрашивается, является ли всякая функция и^И(Т’) с носителем suppusS-8, 8 > 0, пределом некоторой последовательности vn С Со” (S)?

В дальнейшем мы укажем условия, при которых ответ на этот вопрос оказывается положительным для открытых областей S гТ, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Т; в ряде случаев положительный ответ будет дан и для всех областей S^T.

Обозначим У (S) замыкание всех обобщенных функций и СК (Г) с носителем suppr^S-8, е > 0. Положительный ответ на поставленный выше вопрос означает, что

V(S) = CHS),

т. е. У (S) совпадает с замыканием Со” (S) в пространстве V(n и это эквивалентно равенству

Я*(5) = Я+(5е)Х.(1.18)

Действительно, обобщенным функциям и Е С” (S) согласно (1.12), соответствуют величины -q(u) = Lu, замыкание ко<- торых есть И* (S), так что в смысле указанного унитарного соответствия (1.9)

//*(5)^И(5);

согласно же (1.17) мы имеем

У(5)ффЯ+(5)Ч

Напомним, что равенство (1.18) для соответствующей системы областей S гТ выражает условие сопряженности случайных полей (1.2) и (1.6), порождаемых биортогональ- ными обобщенными функциями (1.1) и (1.3), которое было введено ранее при рассмотрении свойства марковости (см. теорему § 3 гл. 2).

Вопрос об условии сопряженности (1.18) будет иметь для нас особую важность в случае, когда оператор L, задающий биортогональную функцию (1.3), является локальным в том смысле, что

(Lu, Lu) = 0(1.19)

для любых функций и, о^С”^Т) с непересекающимися носителями. Как известно, непрерывная билинейная форма (Lu, Lu), u, v^Cq^T), при" условии (1.19) представима в виде

(Lu, Lu) = ( ^ Ьм (/) Dk и ^ DMt) dt, (1.20) J k. j

где bkJ-^— такие локально интегрируемые функции, что в каждой ограниченной области лишь конечное число из них отлично от 0.

Укажем несколько вспомогательных условий, при ког торых случайные поля (1.2) и (1.6) будут сопряженными.

Лемма 1. Предположим, что оператор умножения на функцию w^C^ {Н^ является ограниченным в пространстве с нормой (1.14):

k-u(|L^C.|]u||u, и^С^П (1.21)

Тогда условие сопряженности (1.18) выполняется для всех областей S гТ, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Т.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент u^^fT) с носителем suppvsS-® и сходящуюся к нему последовательность 'функций ип^С*(Т^—такая последовательность существует, поскольку пространство Cq (Т) плотно в У(71). Пусть область S ограничена. Возьмем такую неотрицательную функцию w£C£ ^Rd), что w(/) = l при t£S-a, w(t) = 0 при Z€(SC)6, 6 <е.

Положим urt = oy-un. 'Очевидно, v^C^tS). Согласно условию (1.21)

поскольку сходящаяся последовательность ип; п = 1,2,,.,, является ограниченной. Кроме того, для любого и £ С” (Т)

(u,v;) = (Mi9vun)^uw^

так как uw(t^ = u(t^ при t£S-a. По поводу указанной сходимости отметим, что

(«, »») = (J«> Л(и«)) = <»(М.

-><u(J«), и>=(Ы, Т)(и)) = («, о), и£С0“(Т),

где, согласно (1.9), соответствующие величинам jn£H(T) обобщенные функции v (Jw) образуют при и^С^ (Туплот- ное множество в пространстве V (Т), поскольку величины In, и^С” (7), плотны в пространстве Н (ТУ Следовательно, ограниченная в У (7) последовательность обобщенных функций ип; н=1, 2, ... слабо сходится к элементу п£У(7), и, таким образом, и принадлежит замкнутой линейной оболочке элементов ия € Cq (S), что и требовалось доказать. В случае неограниченной области S, имеющей ограниченное дополнение SC = 7\S, доказательство аналогично — нужно взять такую функцию w £ С” (Ray что w (/) = 0 при t^S-6 и w^ — 1 при Z£(SC)6, 6 < е, положив уя = = (1 —ty) ип = un—wun. Последовательность ип £ С” (S) будет ограничена, так как

' FjlL^hnflL+kujL,

и будет слабо сходиться к элементу и в пространстве У (Г).

Отметим, что условие сопряженности является взаимным для биортогональных функций (1.1), (1.3), и оно будет иметь место, если условие (1.21) выполнено относительно нормы

НИМ не сап (1.22)

Обозначим VA (7") пополнение С” (Т) относительно соответствующей нормы || и (д, где A —J, L.

Пусть Т = Rd, так что определен оператор сдвига тд:

т$и^ = а(14-8\ ugCaRd)-

Лемма 2. Предположим^ что относительно обеих норм ||u||A, A —J, L, операторы сдвига тх ограничены при достаточно малых s:

[t,«||a<C||h[a, u^^RdY (1.23)

в некоторой сколь угодно малой окрестности | s | < 60. Тогда условие (1.18) выполнено для всех областей S^T, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Т.

Доказательство. Пусть w (/) = w (—t\ t Е Rd, есть симметричная неотрицательная функция класса С“ (Rd). Как известно, для любой обобщенной функции v = (u,o), ueCaRd)> свертка

w^v (з) = (т_5ш, и), s£Rd, является бесконечно дифференцируемой, причем

(и, w * и) = J и (s) (t_s w, и) ds = (ю* и, и),u^C?(Rd>),где.

w^u (/) = J w (t—s') и (s) ds,t£Rd.

Возьмем «6-последовательность» неотрицательных симметричных функций w = wn;

$^(0^=1,$ wn^t)dt-^0

при п —+ оо для любого 6 > 0. Рассмотрим область S гТ и обобщенную функцию о € Уд (7") с носителем supp и г. — ^Х^)6, где указана е-окрестность дополнения 5е = = Г\5. Выберем функции wbCCq (Rd) так, чтобы при

152- обобщенные случайные функции [гл. з

всех п носитель suppw„ принадлежал достаточно малой окрестности нуля, входящей в окрестность 1t1 < min (60, е). Положим

Ms) = ^«* v(s)» s^T,

— напомним, что 7 = Rd. Для ограниченной области S мы имеем ця£С7(5), поскольку при s£Sc носитель suppT-^ay^ функции т_5шп^, t^T, входит в область (Sc)8 и не пересекается с носителем supp и, так что (т_5 wn, и) = О в некоторой окрестности точки s. Мы имеем также

(и, V‘n} = (wn*ut и)-+(«, у),и^С^Г),

поскольку wnH и —>- и в смысле сходимости в С” (7), т. ее для всех производных.

Dk (ш„ * м) = wn*Dku Dku, •

й носители всех функций wn*u содержатся в некотором компакте. Если мы покажем, что последовательность цп, п = 1, 2, ..., является ограниченной: ||ил[|А^С, то тем самым будет установлено, как это было сделано в лемме 1, что она слабо сходится к обобщенной функции v £ VA (7), которая, следовательно, должна принадлежать замкнутой линейной оболочке обобщенных функций vn £ Cq (S), что и требуется доказать.■

Мы знаем, что функция и^Ел(7) есть предел некоторой последовательности ит^С^ (7), т=1, 2, ... Покажем, что функции

(^*«J = $tyn(s)[T-s^]ds€C0"(7)

при т-*оо слабо сходятся к ^„€^(7). Мы имеем

1(“. “„-ИНР", Ч(«т-У)1<Р«|-||“«-У|к^-О, иеС?(Г), так что.

(м,

—«-(wn*ti, v) = (u, wn*»y uSC^tH-

Учитывая, что функция At-sU^, s^Rd (где A = J, L) является сильно непрерывной в пространстве Н (7), переходом к пределу от надлежащих «интегральных сумм» получим равенство

$ wn (s) [Ат., и,^ ds = А $ w„ (s) [т_, uJ ds А (ф„ * июУ

Отсюда, согласно условию (1.23),

II w„ * «т 11а = IA (wn * и J Ц = | $ wn (s) [At_s Um\ ds || ^ c sup [At_, uj.$ |oy„(s) |ds<C||umf|A<C1, ls I < do

поскольку сходящаяся последовательность um, m= 1,2, ..., является ограниченной. Из полученного неравенства вытекает ограниченность элементов и„, предельных для соответствующей слабо сходящейся последовательности элементов шп*и„, т~\, 2, ...:

IhJIa^supIK^Js^CV

Как уже отмечалось, это позволяет заключить, что последовательность и„, п=1, 2, ..., слабо сходится к обобщенной функции uC^(T), которая, следовательно, принадлежит замкнутой линейной оболочке элементов ^п^Сц^У Для случая A = L это доказывает справедливость равенства (1.18) с ограниченной областью S^T. Для случая A = J это доказывает справедливость «симметричного» равенства

отвечающего перестановке биортогональных функций (1.1) и (1.3).

Рассмотрим теперь область S s Т с ограниченным дополнением 5C = T\S. Мы доказали, что для любой е-окрестности (Sc)e

//[(S^^/ZH^j-L,^ = T\(Sc)e,

откуда следует, что

Н+^= л Я[($')’] = Л //:(5Щ^ =

8 > ОЕ > О

=^у.я:(^)у=#*№.

и тем самым равенство (1.18) доказано для всех областей S s Т, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Т.

Отметим, что для биортогональных функций (1-1), (1.3) условие сопряженности (1.18) выполняется не всегда, во всяком случае, не для всех областей S^T,

Примером может служить производная «белого шума»

на прямой Т = 7?1\{0} со стандартной ортогональной мерой

E|T](dO |2 = ^,

для которой существует биортогональная функция (броуновское движение (см. § 4,1°)), но условие сопряженности (1.18) нарушается для некоторых неограниченных областей S с неограниченным дополнением Sc. В самом деле, как нетрудно проверить, для конечного интервала S гТ соответствующее пространство Н (S) — замыкание величин

состоит из всех стохастических интегралов

П= $ v(/)T](dO,

где интегрируемая в квадрате функция о(^) с носителем supp и ^ S удовлетворяет условию -

J -о (t)dt = О,

которое в случае бесконечного интервала S можно опустить; при этом, очевидно,

Н^ = НД8\

Согласно сказанному, пространства Я+ (— оо, е) и Я+ (—е, оо) содержат величину

в

-8

которая ортогональна пространству Я+ (—е, е) = И (— е, е), и, следовательно, для областей S' = (—оо, е), S" = (—е, оо) нарушается равенство

(S,)n//+(S") = T7+(S'HS"),

а оно, как мы знаем, должно выполняться, если выполнено условие сопряженности (см. (3.25) гл. 2).

3°. Свойство марковости обобщенных функций. Обобщенную случайную функцию (1.1) назовем марковской, если марковским является порождаемое этой функцией случайное поле (1.2). Нас будет интересовать главным

образом свойство марковости (в широком смысле) по отношению ко всем областям 8гТ, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т.

Как мы знаем, если выполнено условие сопряженности (1.18), свойство марковости случайного поля (1.2) равносильно тому, что сопряженное поле (1.6) является ортогональным (см. теорему § 3 гл. 2).

Очевидно, свойство ортогональности

Т/*^)!^*^")(1.24)

для непересекающихся областей S', S" выполняется, если обобщенная функция (1.3), порождающая случайное поле (1.6), задается локальным оператором L. Конечно, верно и обратное утверждение, а именно, если выполнено условие ортогональности (1.24), то оператор L является локальным:

(Lu, Lv) = 0(1.25)

для любых и, v £ С* (7) с непересекающимися носителями—они могут быть отделены непересекающимися областями S'ззирри, 8" ^suppy рассматриваемого нами типа.

Назовем обобщенную случайную функцию

(и, с*) —Lu, и^С»^,

локальной, если локальным является оператор L (ее называют также обобщенной функцией с ортогональными значениями). Назовем биортогона льные функции (1.1) и (1.3) сопряженными, если для них выполняется условие сопряженности (1.18).

Принимая во внимание равносильность условий (1.24) и (1.25), из теоремы § 3 гл. 2 получаем следующий критерий марковости для сопряженных случайных функций (1.1), (1.3). ■

Теорема. Обобщенная случайная функция является марковской тогда и только тогда, когда ее сопряженная функция является локальной.

Уточним, что речь идет о свойстве марковости по отношению к той же системе областей S s 7 с разделяющей Sj = 5 и 52 = 7\S границей Г = д£, для которой справедливо условие сопряженности (1.18). Это может быть система всех открытых областей S s Г, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Т, а может

быть и система всех открытых областей S sT. Напомним, что некоторые условия сопряженности указаны в леммах 1, 2.

Отметим, что локальность биортогональной функции (1.3) всегда является необходимым условием марковости функции (1.1).

Действительно, для любых функций и, и£С“(Т) с непересекающимися носителями найдется надлежащая область S с Г такая, что

suppHsSL = S, supp us S2—T \S,

и, следовательно, согласно общему включению (1.16), величины

LH^^+^f)1 ЬС^И^

являются ортогональными, если случайное поле (1.2) является марковским, поскольку при наличии марковского свойства

(см. (3.14) гл. 2).

Мы указали выше критерий марковости для обобщенных случайных функций. Конечно, его можно использовать и для «обычных» случайных функций

£W€^2(й, 9Д Р), t^T. (1.26)'

Случайную функцию (1.26) назовем марковской, если марковским является порождаемое ею случайное поле

1Ц8)=^Ш S^T.(1.27)

ieS

Если функция |(/) является слабо непрерывной, то для любой открытой области S^T пространство Н(S)совпадает с замыканием величин

(и, |) = ^и(/)Ц0»,ueC,-(S).(1.28)

так что случайная функция £ (/), t^T, является марковской тогда и только тогда, когда этим свойством обладает обобщенная функция (1.28),—напомним здесь, что мы условились обобщенную функцию §(/), t^T, понимать как

(«, 6) = J иW1(0di. иеС;(Т). (1.29)

Случайные поля, порождаемые обобщенными функциями (1.28) и (1.29), получаются одно из другого унитарным преобразованием U в пространстве ^2(Q, 21, Р) —переходом к комплексно сопряженным величинам. Очевидно, для всякого унитарного оператора U преобразование

Я(5)-^(/Я(5), 8гТ,(1.30)

сохраняет свойство марковости, так что слабо непрерывная случайная функция £(Z), t^T, является марковской тогда и только тогда, когда марковской является обобщенная случайная функция (1.29).

§ 2. Стационарные обобщенные функции

1°. Спектральное представление стационарно связанных обобщенных функций. Обобщенная случайная функция

(^Л) = ^u№^R%(2.1)

называется стационарной, если оператор сдвига

иДи, ^ = (т_$иЛ), s£Rd,(2.2)

где т5и (/) = и (/ + s), / £ Rd, является изометрическим для всех и С С” (Rd) и продолжается до унитарного оператора в пространстве H(Rd) — замыкании величин

(иЛ^^Д^, 21, Р), и^СДП

Как известно, стационарная функция допускает спектральное представление

(и, В) = J й (%) Ф №,и € с; ^,(2.3)

где

^(X^^eiM u^dt, X£Rd, есть преобразование Фурье, а Ф(с/Л), X^R4,—стохастическая ортогональная мера,

E|O(^)|a = F(dX), удовлетворяющая условию

^ (1+|X|2)-nF(^)< оо(2.4)

при некотором п > 0, что является необходимым и достаточным для непрерывности функционала

рймг^мо», Ш2. и^с?^,

на пространстве С“ (Т?^); мера F обычно называется спектральной мерой стационарной функции (2.1).

Рассмотрим гильбертово пространство измеримых функций ф (X), X £ Rd, интегрируемых в квадрате по спектральной мере F(dX), обозначив его просто ^г—скалярное произведение в нем есть

(ф, ф)=J Ф (X)V(^j р №\ф,

Покажем, что функции

VW = i(K), u^^RdY

образуют в этом пространстве полную систему. Сначала заметим, что функциями и^К) можно аппроксимировать любую функцию ф(Х)£С” ^Rdy В самом деле, все производные/)^ (0 преобразования Фурье

t£RV

являются интегрируемыми и могут быть сколь угодно аппроксимированы в метрике

$ |D^(/)—D^u<ty\dt

соответствующими производными Dku\tY u^C^^R^. Скажем, в качестве аппроксимирующих функций можно взять

и^ = О^УУУ^1/Г^Г —> ОО,

где функция w (/) € С^° ^R^ равна 1 при | £ | < 1, поскольку Dkbi (/) = Dkv (/) при {t1 < г и

\D*uW\^C 2 [D/v(0|,|f|>r,

I/KIM

где С—постоянная, зависящая от производных D^w; |j|^|&|. Образовав из производных Dk, |^|^2Z,J дифференциальный оператор (1—А)”, где Д —оператор Лапласа, будем иметь

(1+|Х|^|ф(А)-й(Х)|<

< П (1 —Д)‘ и (<)—(1 — Д') и (О I di — О,

откуда для спектральной меры F (dX), удовлетворяющей условию (2.4), при 21>п получаем, что

^ | ф (X) — и (X) |а F (dX\^

<8ир(1+]Х|=)«|ф(Х)-й(Х)|г$(1+|Х|Т!'^

Далее, всякую (финитную) непрерывную функцию q> (X) с компактным носителем supp ср можно равномерно аппроксимировать функциями класса С” (Rd) с носителем в достаточно малой е-окрестности множества; supp ф (взяв, например, свертки ф со стандартной 6-последовательностью). Наконец, финитными непрерывными функциями ф (X) можно аппроксимировать индикаторные функции, которые образуют полную систему в нашем пространстве J?72 с мерой F (d/Ky■

Из полноты системы функций и (X) в спектральном представлении (2.3) следует, что пространство Н (Rd) есть совокупность всех величин вида

■q = ^ Ф (X) Ф (dX),^ | ф (X) |а F (dX) < оо, (2.5)

причем оно унитарно изоморфно J?2:

(Л1» Лз) = $ Ф1 W фа W F №

для любых т^, q2 £ Н (Rd) и соответствующих им по формуле (2.5) функций фп ф2€^2-

Стохастическая ортогональная мера Ф (dX) в спектральном представлении (2.3) тесно связана с известным спектральным представлением

Ut = ^E^dX), t£Rdt(2.6)

группы унитарных операторов сдвига, где Е (dX), X С Rd,— спектральное семейство проекционных операторов в пространстве Н (Rd). Именно, для любой величины т] £ Н (Ra) равенство■ -

Фл(Д) = £(Д)ть Лс^,(2.7)

определяет на борелевских множествах Д г Rd ортогональную меру Фп, и для т] = (ы, £) мы имеем

откуда следует, что

и (X) Ф (dX) = Фл (dX), uSC^R4)- (2.8)

Равенство (2.8) позволяет заключить, что

Е(А)^ф(Х)Ф(<а) = ^ф(Х)Ф(<а).(2.9)

д

для любых борелевских ^г R4 и ср £ J?2.

Отметим, что для фиксированной функции ср £ 2^ система величин

^Ф(Х)Ф^Х), A s 7^,(2.10)

д

является полной в пространстве Н (JR4) тогда и только тогда, когда <р(Х)^=О почти всюду относительно меры F. Обобщенную случайную функцию

(u, |*) = L«,u^C^R4)(2.11)

со значениями (и, V^G^^R4) назовем стационарно связанной со стационарной обобщенной функцией (2.1), если

(т_,мД*) = ^(«Л*), s^R4,(2.12)

для всех и € С” (R4), где Us—унитарные операторы сдвига в пространстве H(R4), определенные равенством (2.2). Рассмотрим спектральное представление стационарной функции (2.11)

(цЛ*)=^(Х)Ф*(а), и^с:^.(2,13)

В случае ее стационарной связанности со стационарной функцией (2.1) она имеет ту же группу унитарных операторов сдвига (2.6), относительно которой пространство И* (R4) — замыкание всех величин (2.11) —является инвариантным. В этом случае пространство Н* (R4) инвариантно также относительно проекционного семейства Е (А), А с Е4, и на основании аналогичных (2.7), (2.8) соотношений, для ортогональной меры Ф* (dX) можно сделать те же выводы, что и для меры Ф(ДХ) (см. (2.9)), (2.10)). В частности, взяв величину т] = (ц, 1*):

ч = г *(Х)ф* № = J ф (X) ф (ах).

согласно (2.9) получим, что

£(Д)П= С а(Х)Ф*(<&) = J<P(MO(^). As/?4, лд

Взяв величины '1Л«, £*) с функцией u^C^(Rd), преобразование Фурье w(X), X£Rd, которой не обращается в 0, получим, что

Ф*(ЛХ) = у(Х)Ф(с!К),(2.14)

где у(%) = ф(^)/н(^)- При этом

H*(Rd) = H(Rd)(2.15)

тогда и только тогда, когда у (X) ^ 0 почти всюду относительно спектральной меры F (dX), X^R4, так как пространство Н* (Rd) совпадает с замкнутой линейной оболочкой величин

J м(Х)Ф*(^) = ^(Х) у(Х)Ф A^Rd. дд

2°. Биортогональные стационарные функции. Предположим, что стационарная случайная функция (2.1) имеет биортогональную функцию

(«Л*Н«, uGC£(Rd).

Из условия биортогональности (1.4) вытекает, что

(Jm, /7 Ди) = (U_slu, Lu) —(Jtsu, Lu) —

— (tsu, u)=(«, t„so) = (Ju, Lt„su)

при всех ы, v£Go(JRd) и s£Rd, и следовательно, t/sLu = Lr„su,

т. е. для унитарных операторов (2.2) имеет место равенство (2.12). Таким образом, обобщенная случайная функция, биортогональная стационарной функции (2.1), оказывается стационарно с ней связанной.

Рассмотрим спектральное представление (2.13) биорто- гональной стационарной функции (2.11), в котором ортогональная мера Ф* (dX), как мы знаем, задается формулой (2.14) с «плотностью» у (X), X С Rd- Функция у (X) =# О почти всюду относительно спектральной меры F (dX), поскольку, согласно условию (1.5), для биортотональной функции мы имеем равенство (2.15). Более того, функция у(Х) может быть определена из условия биортогональности (1.4).

JQ. А. Розанов

Именно,

(Ju, Lo) = Г u(X)v(X)y(X)f (dX) =

- = у и (i) otf) dt = ^j й (X) Й(Х) dX. u, vec^ (R4), и, следовательно,

iWFW-^®. T(X)>0.

Видно, что существует спектральная плотность

' dX “(2л)^у(Х)

и

(2.16)(2.16)

(2.16)

(2.16)

напомним, что у(Х)>0 п. в. относительно F(dXy При этом, согласно (2.14), спектральной плотностью биортого- нальной (стационарной) функции будет

/* W=I т (У Г / W=-^f W"1(2.17)

Как всякая спектральная плотность стационарной обобщенной функции, 7* W должна удовлетворять условию типа (2.4), а именно.

$ (l+|X[a)-«f*(X)a<oo(2.18)

при некотором т > 0. Принимая во внимание формулу (2.17), заключаем, что условие

(l+|Xp)-/"/(X)-1dX<oo(l+|Xp)-/"/(X)-1dX<oo(2.19)(2.19)

(l+|Xp)-/"/(X)-1dX<oo

(l+|Xp)-/"/(X)-1dX<oo

(2.19)

(2.19)

при некотором m > 0 является необходимым и достаточным для существования биортогональной функции.

При выполнении указанного условия биортогональная функция (2.11) определяется спектральным представлением (2.13), в котором ортогональная мера Ф* (dX), X£Fd, задается формулой (2.14) с плотностью у (X) вида (2.16).

В заключение этого пункта представляется уместным на примере стационарных обобщенных функций сделать одно общее замечание по поводу условий биортогональности (1.4), (1.5). Именно, пусть стационарная функция

§2j стационарные обобщенные функций 163

имеет спектральную меру F ^d^, которая не является абсолютно непрерывной, но ее абсолютно непрерывная компонента имеет плотность f (X) типа (2.19). Тогда обобщенная функция (2.11), стационарно связанная с (2.1) и имеющая спектральную плотность (2.17), удовлетворяет условию (1.4), но не удовлетворяет условию (1.5)—для нее Н* (Rd)aH (Rd).

3°. Условие сопряженности и критерий марковости. Биортогональные стационарные функции всегда являются сопряженными по отношению к системе всех областей S s Rd, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Rd. Действительно, для операторов A = J, L выполняется условие (1.23), поскольку

s^Rd,

при всех и£Сй(1^.

Таким образом, согласно теореме предыдущего § 1, одна из биортогональных стационарных функций является марковской тогда и только тогда, когда другая является локальной.

Рассмотрим вопрос о марковости стационарной обобщенной функции (2.1). Как мы знаем, для существования биортогональной функции (2.11) необходимо и достаточно, чтобы стационарная функция (2.1) имела спектральную плотность ЦК), удовлетворяющую условию (2.19); при этом .

(U, Ь) = р (X) ^ f* (X) dk, и, и С Со" (/?"), (2.20)

где спектральная плотность f* (X) стационарной функции (2.11) определяется формулой (2.17). Спрашивается, какой должна быть функция f* (X), чтобы билинейная форма (2.20) обращалась в 0 при любых и, v^Cq (Rd) с непе- ресекающимися носителями?

Заметим, что произведение и (X)-и (X) есть преобразование Фурье свертки

№U (С = (T_fu, U) =_- $ y(s-0 и (s) ds, t £ Rd,

так что в правой части (2.20) мы имеем дело со значениями обобщенной функции

B*(u)=J uQ^P^W, u£C^Rd), (2.21)

— напомним здесь, что спектральная плотность f* (X) удовлетворяет условию (2.18). Очевидно, оператор L будет удовлетворять указанному в нашем вопросе требованию локальности (см. (1.25)), если обобщенная функция (2.21) имеет носитель в точке 0, поскольку для функций и, и € С” (7^) с непересекающимися носителями

ж (/) = J v(s — /) и (s) ds=0

в некоторой окрестности 1t ] < е. С другой стороны, взяв произвольную функцию и £ Со (Ra) с носителем supp н ^ 0 и «6-последовательность» симметричных неотрицательных функций и = wn £ С” (7?d) с носителем в достаточно малой окрестности нуля (не пересекающейся с носителем supp и) при условии (1.25) локальности] оператора L получим, что

В* (и) = limB* (wa*u) = lim(Lu, Ы„) = 0n -»- ООП —> оо

й, таким образом,

suppB* = {0}.(2.22)

Как известно, произвольная обобщенная функция В* (и), u^Cq^R'1'), с носителем в 0 есть линейная комбинация «б-функций» и ее производных:

В* (и) = 2 Ьк№Ц0\ и^с:^1),

PK2Z

и^для функции (2.21) это равносильно тому, что ее обобщенное преобразование Фурье /* (X), X £ Rd, есть полином:

i*^-^ L Ьк(.-&У,(2.23)

| й | < 2/

где в координатной записи X = (Xlt ..., Xd) мы имеем(— &)* = (— iX^.. .(—iX^ при ^ = (^, ...,kd).

Можно сказать также, что корреляционный функционал (2.20) задается дифференциальной формой

(Lu, Lv) = (^u, и); и, и^С0"(^),(2.24)

где ^= 2 ьипк

| А | < 2/

есть линейный положительный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами bk, |^|^2Z.

В итоге, с учетом формулы (2.17), мы получаем следующий результат.

Теорема. Стационарная обобщенная функция со спектральной плотностью f (X), удовлетворяющей условию (2.19), является марковской тогда и только тогда, когда функция l/f(X) есть полином.

Уточним, что здесь имеется в виду свойство марковости по отношению к системе всех открытых областей S s Rd, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Rd с разделяющей соответствующие области Sx — S и 52 = 7?d\*S границей F^dS.

В связи с доказанной выше теоремой отметим, что рассматриваемое нами свойство марковости хорошо известно для стационарных процессов (стационарных случайных функций £ (Z), —оо < t < оо) со .спектральной плотностью

где

Цг) = 2^.

к

есть полином, все нули которого лежат в левой полуплоскости Rez<0. Именно, ^(t^ есть стационарное решение рассмотренного ранее в гл. 2 стохастического дифференциального уравнения

(2.25) к — о

с постоянными коэффициентами ак, O^&^Z, и стандартным «белым шумом»

(и, ц)-^ и^ T|(dZ),и^С^(— оо; оо),

в правой части (см. (1.21)). При этом для каждого t введенный здесь «белый шум» на полуоси (-— оо, Z) порождает «прошлое» Я(—оо, Z) рассматриваемого стяци-

онарного процесса, точнее, пространство Н(—оо,/) есть замыкание всех величин вида

т] = J и (s) т) (ds),и£С(—оо, /).

Стационарное решение уравнения (2.25) может быть получено, например, переходом к пределу при /0 —►—оо в решении этого уравнения по полуоси (/0> оо) с начальными данными £ ^teyk\ 0 ^^ ^ I — 1, отличающегося от указанного ранее в § 1 гл. 2 решения с нулевыми начальными условиями £ ^оум = 0, 0 ^ к < I — 1, лишь экспоненциально убывающим по /0 —^—оо слагаемым — решением однородного уравнения (2.25) с нулевой правой частью и «стационарными» начальными данными | (/0)<й\ О ^ к ^ I — 1. Как фактически было отмечено ранее в гл. 2. случайная функция £(/), —оо < t < оо, вместе со всеми своими производными образует /-мерный марковский (в традиционном смысле) процесс

^(А)(0, 0<^</— 1},— оо</<оо.

Биортогональные обобщенные функции,заданные дифференциальной формой

1°. Основные определения. Как известно, для всякой непрерывной билинейной формы

В*(и, и); u.v^C^T^(3.1)

в области Т г Rd, положительно определенной в том смысле, что

В*<и, п)>0, и^С^Г), существует обобщенная случайная функция

(щ ^) = Liz, нЕ Со” (Т),(3.2)

имеющая (3.1) своим корреляционным функционалом-.

(Lu, Lv) = B*(u, и); и, и^С”(Ту

Уточним, что задающий обобщенную функцию (3.2) оператор

L: Со” (7) с5Р (Т) Н* (7)

мы будем понимать как линейный оператор с областью определения Cf (7) g ^(7) в гильбертовом пространстве

^(Т) интегрируемых в квадрате функций а (О» t^T, с нормой

1|и|Н(+(/)Му/,>

отображающий С” (Т) в пространство Н* (Т)—замыкание величин

1и€^(Й, ^, Р), «€С~(Г).

Пусть (3.1) есть дифференциальная форма вида

. в* (и, и) = 2 ( bk/ Dku (t) № ^ dt;

и, ц^С”(7*), с ограниченными достаточно гладкими коэффициентами ЬкДГ); напомним здесь, что индекс ^ = (^, ..., ^) означает вектор с целочисленными координатами, ]£] = = ^i + ... +Az и

дф.-.dt^

есть соответствующий оператор дифференцирования по координатам (Zn ..., ZJ = Z в открытой_области Т = Rd.

Мы будем иметь дело с дифференциальной формой конечного порядка 2Z, когда лишь конечное число коэффи* циентов ЬкД1), j^j + |/|^2Z, отлично от 0. Очевидно, такая дифференциальная форма с ограниченными достаточно гладкими коэффициентами интегрированием по частям может быть приведена к симметричному виду с такого же рода коэффициентами ЬкДГ), отличными от 0 лишь При |^|, 1/К/:

») = $,,, 2,, bey(0De«(0D^Wdi;

как пример отметим, что форма В* (ц, и) будет положительно определенной, если при всех t^T положительно определенной является соответствующая квадратичная форма

^bfc/^xkJtj>0

от числовых переменных хк, | ^ | ^ /.

Тем же путем интегрирования по частям дифференциальную форму (3.3) можно представить в виде

В* (и, u) = (Z?«, и), и» v^C”(T)t (3.4) где

г?= 2 mod*

| ft I < 2^

есть линейный дифференциальный оператор; положитель- ная^определенность формы (3.4) означает, что задающий ее дифференциальный оператор ^ является положи- тельным;

№, п)>0, u^<rY

С важным для нас примером дифференциальной формы типа (3.4) мы уже встречались при рассмотрении стационарных обобщенных функций (см. (2.24)).

Пусть дифференциальная форма (3.3) является невырожденной в том смысле, что

||U||a = B*(M, w)>c|[w||\и^С^Т),(3.5)

где с > 0 есть некоторая постоянная.

Как пример, отметим, что это условие будет выполнено, если квадратичная форма (3.3) в ее симметричной записи с коэффициентами ЬкД1^, [&|, | /1 < Z, является невырожденной по переменному х0, т. е.

S^/(/) Vy>c-№ t^T, h, i

при всех x&, | k К I.

Отметим также, что для дифференциальной формы, заданной в виде (3.4) линейным положительным дифференциальным оператором ^, условие (3.5) имеет вид

и, как известно, равносильно тому, что оператор ^ допускает самосопряженное расширение с ограниченным обратным оператором ^-1. В частности, условие (3.5) выполняется в случае оператора

С постоянными коэффициентами, для которого соответствующий полином

^(—од- 2 6Й НЧ‘, ^б^.

является строго положительным — используя преобразо ванне Фурье «(X) функций ы^С“(Т), мы имеем

M^pSjH l"Wla ^(-‘M^XM"!2. (3.6)

если /7* (—i^) ^ с > 0.

Оператор L допускает замыкание, которое также обозначим L —оно определяется равенством

(3.7)(3.7)Lu —^

(3.7)

(3.7)

при всех и^^2(7), для которых существует такая последовательность ип £ С” (Г), что

tun-*^ ип—>и.

При условии (3.5) для любой величины к\^Н*(Т) найдется такая последовательность ив С С» (Т), что Lun —*■ т), а согласно (3.5) мы имеем

\>п—umKC||Lu„ — Lwm||—^0, п, ш-^оо.

Следовательно, величина -q принадлежит области значений замыкания L: t) = Lu, где функция и^^^Т^ есть предел фундаментальной в j?2 (Т) последовательности ип £ Cq (Т).

Обозначим D (Г) область определения замкнутого оператор а (3.7). Очевидно, существует ограниченный обратный оператор

L-1: ^(7)_^Р(Т)^С0°°(Г).

Его сопряженный оператор

j = (L-1)*: ^ЦТ^Н*<Г\

определенный на всем пространстве ^(Т1), является ограниченным и имеет плотную в пространстве Н* (Т) область значений, поскольку сопряженный к J оператор J* = L-1 является невырожденным. Очевидно, обобщенная функция

(u, £) = Ju, и£С?^,(u, £) = Ju, и£С?^,(3.8)(3.8)

(u, £) = Ju, и£С?^,

(u, £) = Ju, и£С?^,

(3.8)

(3.8)

является биортогональной к обобщенной функции (3.2):(Ju, Lu) = (u, J*Lu) = (и, и), и, v^Cq(T),

и замыкание Н (Т) всех величин Ju, и^Со^ТУ совпадает с пространством Н* (ТУ поскольку для ограниченного оператора J это замыкание совпадает с замыканием области значений Ju, и£^2(Г).

Обратимся к пространству с воспроизводящим ядром V (7) для обобщенной функции (3.8). Его можно отождествить с областью определения D (Г) s S’2 (7) замкнутого оператора (3.7). Именно, всякая величина т]^//(7) представима в виде

Л —Lu, u^D(Ty (3.9) и отвечающая ей обобщенная функция и (-q) £ V (7) есть (u, u(r]))-(Ju, Lu) = (u, J*Lu) =

= (и, и) = ^ и (/)u(f)ttt, «€^“(7), т. е. и(1]) совпадает с функцией и £0(7), понимаемой в обобщенном смысле. Напомним, что скалярное произведение в гильбертовом пространстве

У^П-ЩГ) (3.10) задается как

<u, u> = (Lu, Lu), и, u^D^Ty (3.11)

-(см. (1.8), (1.10)).

2°. Условия марковости. Рассмотрим вопрос о сопряженности биортогональных обобщенных функций (3.2) и (3.8), которые отвечают дифференциальной форме (3.3), удовлетворяющей условию (3.5).

Пусть S с Г есть открытая область с границей dS в Rd, которая совпадает с ее границей Г = 6S в области Т. (Ясно, что при Т — Ra это не накладывает никаких ограничений на область S £ Rd?)

Рассмотрим функцию u^D (7) из области определения замкнутого оператора (3.7) с носителем supp и Е S~® при некотором в > 0, где, напомним, S“8 = 7\(S£')e и (S^)® означает е-окрестность дополнения Sc области S^T. Уточним, что носитель supp и находится на положитель-

ном расстоянии s > 0 от границы области S. Предположим, что для любой такой функции v^D^T) сдвиг

rsy(/)=y(/ + s), t^T,"

при достаточно малых s, |s|<6, дает функцию из пространства D (7), причем

(3.12)

где указанные постоянные 6 и С зависят от и.

Покажем, что функция o£D.(T) есть слабый предел некоторой последовательности ип € Cq (S) в гильбертовом пространстве D (Т) = V (Т) (см. (3.10)), что будет означать справедливость условия сопряженности (1.18) для, соответствующей области S с Т.

Очевидно, дифференциальная форма (3.3), а вместе с ней и оператор L являются непрерывными относительно нормы

(«И X ||О‘и|ру/3;(3.13)

именно, воспользовавшись симметричной записью 'дифференциальной формы порядка 2/ с ограниченными коэффициентами ЬкД1\ |А|, /|^/, приходим к очевидному неравенству

|L«f<C У 1№Ц»,ыеС„-(Т).

Г л? к I

Следовательно, вместо функций ип £ С^° (S) для аппроксимации u^D^ можно взять функции Un^W^S^ из известного Соболевского пространства Wl2 (S) — замыкания С” (S) по норме (3.13). Отметим, что ^(S) содержит всякую 'функцию из ^(Т), интегрируемую в квадрате вместе со своими производными до порядка- / и равнуюО вне некоторой области S-6, 6 > 0.

Такого рода функциями являются свертки uR=®nwc подходящей 6-последовательностью неотрицательных симметричных функций wn ^Со (Rd):

^rt*u(0 = $ у ^%_swn^ds = 5tyrt(s)T_su(/)ds,t^T,

для которых все производные Dfe (ty„ * и) = D^^v входят 8^(7). Последовательность функций y^C^s^) при-

надлежит замыканию пространства Со (S) относительно нормы II и flL = || Lu I) в D(T) и является аппроксимирующей для исходной функции v^D^T'),—эти функции ограничены и слабо сходятся в пространстве D (71) к функции и. Именно, как и при доказательстве леммы 2 § 1, согласно условию (3.12)

II v„ Hl=||L (дап * и) ж $ w„ (s) II Lt„ s и (| ds < С и

(и, ш„»п)—►(«, п), и£Со(Г).

По самому выбору обобщенная функция (3.2) является локальной, так что, 'согласно теореме § 1, сопряженная к ней обобщенная функция (3.8) является марковской. При условии (3.12) в случае T — Rd мы установили, что свойство сопряженности имеет по отношению ко всем областям 5 г Rd и, следовательно, справедливо следующее предложение.

Лемма. Пусть дифференциальная форма (3.3) удовлетворяет условиям (3.5) и (3.12); тогда обобщенная функция (3.8) является марковской по отношению ко всем областям S sT.

Рассмотрим стационарную функцию с такой спектральной’’плотностью f(X), что l/f(X) есть полином. Она является биортогональной к стационарной обобщенной функции, отвечающей дифференциальной форме типа (3.4) с дифференциальным оператором ^ = 2^ (D), который Соответствует полиному ^(—гХ) = l/f (А) (см. (2.25)). Согласно (3.6) условие (3.5) будет выполнено, если спектральная плотность f^ является ограниченной:

№)^1/С.

Будет выполнено и условие (1.18), поскольку в стационарном случае [)Lt,u|MMI, s^Rd,

для всех o^C^R^ и, очевидно, указанное равенство распространяется на все функции uCH(7?d), являющиеся пределом функций из С” (Rd) по норме |] и 4L = || Ln |(.

В итоге мы получаем следующий результат.

Теорема 1. Стационарная обобщенная функция с ограниченной спектральной плотностью f(k), такой, что i/f(M есть полином, является марковской по отношению ко всем открытым областям S г Rd.

еслиеслиЗдесь стоит отметить, что когда f (X) * является функцией общего типа (не обязательно полиномом), именно,

если

если

О < ^ <f (X)-1 <с. (1 + I X p)z, Х^ (3.1 За)

то условие сопряженности для соответствующих стационарных биортогональных функций будет выполнено по отношению ко всем областям S^lA Действительно, условие (3.13а) гарантирует существование биортогональ- ного поля Lu (см. (2.19)), ограниченность обратного оператора L-1 и неравенство

ILup-JlupHM^CC 5 ||О‘“1?- и^т[А к/

Как уже отмечалось, для дифференциальной формы (3.3) порядка 2/ справедливо неравенство

|тр=в*(м,м)<с X ![DA«F, «€С0-(Г).

I * К*

Предположим, что справедливо и обратное неравенство |]Lu||2 = 5*(u, и)>с Ц РМ2, ^^“(Т), (3.14)

I M<z

с некоторой постоянной с > 0.

Как пример отметим, что неравенство (3.14) будет выполнено, если дифференциальная * форма (3.3) в ее симметричной записи задается коэффициентами ^у(0,|^|» |/| <2, Для которых

2 6ft/(/)xftXy>c 3 |^|3,2 6ft/(/)xftXy>c 3 |^|3,1 * ь I / к/( а к?1 * ь I / к/( а к?

2 6ft/(/)xftXy>c 3 |^|3,

2 6ft/(/)xftXy>c 3 |^|3,

1 * ь I / к/( а к?

1 * ь I / к/( а к?

т. е. указанная слева положительная квадратичная форма от числовых переменных х^ [^[^/, является невырожденной.

Для дифференциальной формы вида (3.4), заданной оператором £^ = ^ф^ с постоянными коэффициентами, неравенство'(3.14) будет выполнено, если соответствующий полином ^ (—/X) удовлетворяет условию

ZP(-iX)>c(l+|Xp% X^RSпри некоторой постоянной с>0 (ср. (3.6)).

Неравенство (3.14) будет выполнено для дифференциальной формы вида (3.4) с условием (3,5), если область Т является ограниченной, а дифференциальный оператор /? порядка 2/ имеет бесконечно дифференцируемые коэффициенты bk(t), |^|^2/, удовлетворяющие условию сильной эллиптичности в некоторой окрестности замыкания (открытой) области Т с Rd:

(-l)'Re S Mf)V>0, X^Rd-

Именно, при условии сильной эллиптичности справедливо известное неравенство Гординга

№,«)+*«)>с 2 |C*"F- ибС^Т), (3.15)

которое при условии невырожденности (3.5) равносильно неравенству (3.14).

При условии (3.14) мы имеем грубую эквивалентность норм

- -JLu|HI<XWe, и^С^П :

и,следовательно, пространство D(T)—замыкание С^ (Т) по норме ||и|]иг состоит из тех же функций, что и собо- левское пространство 1^(7^— замыкание С» (Г) по норме (3.13). В случае T = Rd будет выполнено условие (3.12), поскольку , ,

h««Ex'£ lloHv)IP= S IW

I А К^i к \<г

для переменных v£D(T), s£Rd. Мы приходим к следующему результату, аналогичному теореме 1.

Теорема 2. Обобщённая функция (3.8) в области Т^ Rd; отвечающая дифференциальной форме типа (3.14), является марковской по отношению ко всем областям. S <= Rd.

Предположим, что для любой ограниченной области Тле S:71 справедливо неравенство

^н^в*(«, u)^cX iidml, uec? (П :(3.16)

где постоянная с > 0 зависит от области 7*1ОС и

№- Т l “(OI"<«. ^.^OY

Т Joe

При условии (3.16) дифференциальная форма (3.3) обладает тем свойством, что для любой функции w^C»(Rd)

fll^-^^S*^"» wuX-cB*^ u) = c|jL«||2, (3.17) usc^vn,

а это, как мы знаем, обеспечивает сопряженность биорто- гональных полей (3.2) и (3.8) по отношению ко всем областям S еТ, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т (см. лемму 1 § 1). Действительно, при условии (3.16) для любой функции w^C”(Rd) и ограниченной области Т]ос, содержащей пересечение supped Г, мы имеем

«ес,-(Т).

Как мы увидим в дальнейшем, условие (3.16) легко проверяется в ряде важных случаев. .

Возвращаясь к условию марковости, сформулируем наш результат в виде следующего предложения.

Теорема 3. Обобщенная функция (3.8) в произвольной области TeRd, отвечающая дифференциальной форме (3.3), которая удовлетворяет условию (3.16) или более слабому условию (3.17), является марковскощпо отношению ко всем открытым областям S с=Т, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т.

Марковские случайные функции, порождаемые эллиптическими дифференциальными формами

1°. Броуновское движение Леви. Так называется гауссовская случайная функция ^(Z), t£Rd, с нулевым средним и корреляцией

8 («). 6 (0)=4 (I < 1+1 * I-11-s| j,s, t$ R4;

характерным для нее является следующее свойство: Н(/)-Ц^1<=|/--5|: -

Используя (вычисляемый в сферических координатах) интеграл

J |Х|2* о2 1 1

Rd где

Z-(d + l)/2

и о8 — постоянная, можно получить представление

где T}(dX), X^Rd, есть гауссовская ортогональная мера,Е | т)(Л) |2 = dV

Действительно, так заданная случайная функция имеет нулевое среднее, и для нее

П2 П I pikU-sj1 12 .

BW-BW-^j '--№ 1 dX=|t—s|, откуда следует, что

a to. 5 (s)>=4 <в w г+в (®) I2 - в (о ~? w г)=

=4(hi+h-h-®i)-

Рассмотрим броуновское движение Леви как обобщенную случайную функцию

(«Л) = ^ = $«(01(0^ и^СИТ), в области

Т = ^\{0}

с «выколотой» точкой Z = 0. Отметим по этому поводу, что |(Z), t^Rd, есть действительная функция

Е(0) = 0,

и замкнутая линейная оболочка Я(5) величин ^(Z), t^S,для^любой области S s Rd совпадает с замкнутой линей-ной оболочкой величин (и, |), supp и г S \ {0}. При этомпространство H(T) — H(Rd) состоит из всех величин видаn=S<p(X)n(^)> ф€^2т»

где ^(R*) означает стандартное пространство измеримых интегрируемых в квадрате функций ср (X), X£Rd, поскольку система функций—ррг^ с параметром / £ R“ является полной в пространстве S'2 (Rd)- Действительно, если

г ДМ i

У-Тхр-фМ^-о, t^R4,

то, взяв разность стоящих слева интегралов при значениях параметра f+s и t, получим

Г Г1

J ^ L Щ' ф ^1 ^"^

откуда следует, что почти всюду -

—р^ф(Х) = 0,ф(Х)=0.

w Обобщенное броуновское движение Леви имеет биортого- нальную функцию

L« =j IХ рй (X) п '

где

й(Х) = $е'«и(0Л, «€С?(П-

В самом деле, мы имеем

(la, Lu) — и (/)(la, Lu) — и (/)pb-J(e-"-i)5(%)a]d<=pb-J(e-"-i)5(%)a]d<=

(la, Lu) — и (/)

(la, Lu) — и (/)

pb-J(e-"-i)5(%)a]d<=

pb-J(e-"-i)5(%)a]d<=

и (0 и (/) di

для всех и, и^С^Т), поскольку

^а^ u(X)dX = v(0) = 0.

Кроме того,■

НЦТ) = 1ЦТ), так как система функций ■

|Хри(%), и^СИП,

полна в пространстве ^^R4^. В самом деле, при ф(Х)£ € \Ra^ равенство

$“(X)[|X|z^(X)]dX = O, и^Со (Т), T^/?<\{0}t

для стоящей слева обобщенной функции означает, что она имеет носитель в точке Z = 0, а следовательно, ее преобразование Фурье есть полином 9s (X) от k£Rd и Ф (X) = 9 (X) /1Хр почти всюду; напомним, что 2/ = ^Ч-1 и в силу интегрируемости | ф (X) |а на «бесконечности» этот полином должен быть равен постоянной: 9 (X) — с, а в силу интегрируемости |ф(Х)|2 в окрестности X = 0 должно быть ^ (0) = 0, откуда получаем ^ (X) = О, ф (X) = 0 почти всюду. Таким образом, условия биортогональности (1.4), (1.5) выполняются.

Покажем, что выполняется также условие сопряженности (1.18). Воспользуемся представлением

u ^ ” (2 л)rf J[Тр ^ ^’^ € ^ 1

для и^Со (Т), где

. Ф(Х) = |ХРЙ(Х)6^2(^). !1ф|| = о(2л)^|и|.

Мы имеем

fuW |<СfuW |<Сe-^-l|Хрe-^-l|Хр

fuW |<С

fuW |<С

e-^-l|Хр

e-^-l|Хр

и, очевидно, для любой ограниченной области Т\ос^Т

Обратившись к производным

D‘uW=-A-\e-‘»ti^4>WdX, teR",(2л)4 J | X |г

и учитывая, что функция ( —/Х)*/[Хр для 0<|#|<7 является интегрируемой в квадрате при |Х|^1 и ограниченной при |Х|>1, получаем неравенства

'е-<х(ЦДД'е-<х(ЦДД|Хр|ХрФ (X)dXФ (X)dX1ос1ос(2л)'(2л)'носнос

'е-<х(ЦДД

'е-<х(ЦДД

|Хр

|Хр

Ф (X)dX

Ф (X)dX

1ос

1ос

(2л)'

(2л)'

нос

нос

о < | ^ к z.

В итоге получаем неравенство (3.16)

|L«P>c 2 ||D»Hfc, и€Со(Г),|А|</

при котором, как мы знаем, справедливо условие сопряженности (1.18).

Очевидно, оператор Л является локальным в случае нечетной’размерности d, когда I — (d + l)/2 является целым, поскольку

(L«. 1У)=-^-5Г|ЛР,«(Ч?(Ч^ = ^(-А'«. «).

м,о^Со(Л,

где Д = Jd2/d/l есть оператор Лапласа. к

Более того, свойство локальности не имеет места в случае четной размерности d, когда / не является целым.

В самом деле, если билинейная форма вида

$ u (X) и (X) ф (X) dX, и, и С Со (Т),

с локально интегрируемой функцией ф (X), X £/^ степенного роста обращается в 0 для всех и, и с непересекаю- щимися носителями, то это означает, как уже фактически отмечалось ранее при рассмотрении стационарных функций, что ф(Х) есть обобщенное преобразование Фурье обобщенной функции с носителем в точке ^ = 0, И следовательно, сама функция ф (X) должна быть полиномом от X С Rd. В случае же броуновского движения Леви на четномерном пространстве Rd мы имеем дело с билинейной формой

тМ ^ = 54^ J" М^хй^ГМЯ,- -

где | X i^*1 с нечётным показателем d -ф 1 полиномом не является. ... . ч■

Согласно общей'теореме § Г'мы можем сделать следующее заключение:

^Броуновское движение Леви в пространстве Rd нечетной размерности d является марковским по отношению ко всем областям S s Т, ограниченным, или имеющим ограниченное дополнение в Т (очевидно, здесь можно заменить область T^/^XJO} на все пространство Rd). В случае же четномерного пространства Rd свойство марковости не имеет места.■

Имея в виду дальнейшие результаты, отметим, что дифференциальная форма

(Lu, Lu) = ^(—Azu, v); u, и£ Со (Т), является эллиптической.

2°. Структура пространств с эллиптической формой. Пусть обобщенная случайная функция

(«Л) = 1«, и^СИТ^(4.1)

имеет биортогональную функцию

(ц, 1») = U, и^СИТ^(4 2)

с корреляционным функционалом вида

(Lzz, Lu) = 5*(z/, v) = (^w, v), где

»иЮ = 5 Ь^Уи®, t^T, (4.3) | A | < 2/

— линейный дифференциальный оператор с ограниченными достаточно гладкими коэффициентами. Билинейную дифференциальную форму 5* (м, и), и, у С Со (71), условимся называть эллиптической, если она обладает указанным в (3.16) свойством—в этом случае норма[|ы[|1. =|Lwf! удовлетворяет неравенствам

с 5 ||D»<c<||u||l<C ^ ||№|-,(4.4)

I к | < I| k I < ;

uECHT),

где в левой части постоянная с > 0 зависит, вообще говоря, от соответствующей ограниченной области Т^^ с?, относительно которой берется норма

№=$|U(0M, ие^ЧПт

Как мы знаем, при условии (4.4) для биортогональ- ных обобщенных функций (4.1), (4.2) выполняется условие сопряженности по отношению ко всем областям S ^Т, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т, а случайная функция (4.1) является марковской по отношению ко всем областям указанного типа (см. по этому поводу теорему 3 § 3).

Рассмотрим пространство V (ТУ получающееся пополнением пространства Со (П по норме Ц ы||L. Возьмем произвольный элемент vEV(Ty как мы знаем,

■ и-(и, у), и^СИТУ

есть обобщенная функция, являющаяся пределом некоторой последовательности ип£Со (Л. Согласно неравенствам (4.4) для любой ограниченной области 7]0Смы имеем MtXhL «ЕСо^т^),(4.5)

где справа указана норма пространства W^Ty

М= S РАи!)\ и^ЦТу(4.6)

Напомним также, что для любой функции w^Cq (R4) мы. имеем неравенство (3.17)

w ^-н^сик» и^Со (ту

Возьмем действительную функцию оу £ Со (Я**), ^ (/) = 1 при t ^Т 1ос. Очевидно, последовательность wun1 п = 1,2,..., является фундаментальной в пространстве V (7),

' М^~Ок<С||и„ —yJL->0, n,m—*oo, и1

(u, twj —(и, и„)—>-(н, о), иССо(Лос).

С другой стороны, согласно (4.5) последовательность шип, я = 1, 2, ..., сходится в пространстве ^(Т) к такой функции и(/), t^T, что

(ltt V^ = ^ vy U^Cq (71ос).

Полученное равенство показывает, что обобщенная функция и С V (7) в каждой ограниченной области 71ос г 7 представляет собой обычную функцию класса ^(Ту

В дальнейшем нам понадобятся некоторые известные свойства пространства W£ (7) — замыкания пространства ^о (7) по норме (4.6).

Каждая функция u£Wl2yTy имеет обобщенные производные

О^^^цту |^|</.(4,7)

Именно, если о — lim«„ есть предел ип£Со (Т) по норме (4.6), то в пространстве ^(Г) существуют пределы

Dfev = lim Dkun, [ ^ | ^ Z,

для которых ^uytyD4^dt =

= lim $ и (t) - D* «ПТ) dt = lim (- 1 )iAI $ Dku (0 • «Д7) dt =

= (—l)i*l ^u^^dt, «ECo(T).

Очевидно, пространство ^(Т) инвариантно относительно умножения на функции w^ Со (Z?rf): если и = lim ип для ип^Сй угу то v-w = lim un-w по норме (4.6).

Рассмотрим произвольную функцию и £ ^( (Т). ' Она может быть аппроксимирована в пространстве W^yr^ функциями и„ с компактными носителями

supp и„ с supp и.

Например, можно взять vn = y-wy{n\ где wС Со (R4) и w (0 = 1 при [ /1 ^ 1 — очевидно, для такой последовательности

k-uJ?<C 2$ |№(0|МС^0

| к | < /| t1 > п*

при Я —► ОО..

В дополнение к этому отметим, что если носитель supp u^S лежит в открытой области S^T, то у ^ £ ^а (5). Действительно, не ограничивая общности, можно считать, что функция ^^^(Т1) имеет компактный носитель, а в этом случае она может быть аппроксимирована свертками да^^Со" (S) со стандартной 6-последователь-х НОСТЬЮ функций Wn^Co (.Rdy поскольку для всех производных D^u, | А | в пространстве 5й (Т) мы имеем

Db (v*wn) = D^Wh Dkv

При ОО.

Очевидно, из сказанного выше вытекает, что W^R^ есть совокупность всех функций u(Z), i^Ra, имеющих обобщенные производные Dkv ^ ^ {Rd), |^|^/.

§d Функций, заданные эллиптическими формами 1§з

Назовем открытую область Sc Rd локально звездной,если каждая точка з^Г ее границы Г = dS имеет такуюокрестность 8е, что преобразование подобияt-^to-yr^t — to), г<1,

относительно некоторой точки /0 из области SП ss пере водит замыкание S П se во внутреннюю часть этой области.

Рассмотрим локально звездную область S с ^ и функцию v^W^Sy Будучи пределом некоторой последовательности ип£Со (S), функция v^ty t£Rd, обладает тем свойством, что ,■

'v^W1^, иф = 0 при t£Rd\S. (4.8)

Покажем, что это условие определяет функцию и £ ^ (S).

Предположим, что граница Г области S в R4 являет^ конечной. Возьмем ее покрытие соответствующими окрестностями 8е и «разложение единицы»

п

1=2 “Ж). <€Г»,(4.9)

6=1

где каждая функция uk £ Со (R4) равна 0 вне некоторой окрестности s8, а Г6 есть достаточно малая окрестность границы Г. Мы имеем

Л \ П

- 22 и*ы*’

6=1/6=1

причем первое слагаемое и0 = ипричем первое слагаемое и0 = ии в этой сумме каждое слагаемое есть функция из Wla ^R^,

причем первое слагаемое и0 = и

причем первое слагаемое и0 = и

1 — 2 u6 ) имеет носи- 6=1)

тель suppuos3~° и, следовательно, принадлежит пространству IF^(S), а остальные слагаемые wft = v-«ft обращаются в 0 вне соответствующей окрестности 8е и удовлетворяют условию (4.8). При надлежащем преобразовании подобия с коэффициентом г < 1 функция ок переходит в функцию ,okr^w^R4y имеющую компактный носитель строго внутри области S, и, следовательно, 9/гГ £ №1 (S). Очевидно, иЛг —> ук при г—* 1 по норме (4.6) и vk € ^(S)*

В итоге

o=So»€^(S).

к = 0

что и требовалось доказать. В случае бесконечной границы с самого начала можно было бы перейти от исходной функции v^W^R4) к аппроксимирующим ее функциям вида yw, w^CQ{Rd), с компактными носителями, имеющими общую с областью S границу лишь в конечной части r = dS.

Напомним, что если локально интегрируемая функция /(/), t£Tt имеет обобщенную производную g(t) того же типа, скажем

—j^-и (/)/(<) d<=ju(/)g(O», и^СИТ),

то для почти всех значений переменных /у, j^i, функция / (/) абсолютно непрерывна по переменному t; и имеет обычную производную ^f (Z) = g(t) при почти всех t£ (точнее, существует эквивалентная ей функция, обладающая указанным свойством) *). Скажем, из приведенного выше равенства непосредственно вытекает, что в любой достаточно малой окрестности 1^— ^]<е, ^= 1, ..., d, из области Т г Rd для почти всех фиксированных tj, j^=i, разность

fW-^gWdti-C

есть постоянная при почти всех tb С другой стороны, если функция /(/) абсолютно непрерывна по t£ в указанном смысле, то g^ — ^JW будет ее обобщенной производной. Более того, если соответствующая абсолютная непрерывность имеет место по переменному tj для обеих функций /(/) и g^^-^rf^, то 5rg\f) будет обоб- щенной производной функции ^ / (О по переменному tb

§ 4] ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ФОРМАМИ 1§5

поскольку

U^ty^.g ^dt — dtjU^‘dtJ ^^

и^С^Т).

Как следствие получаем, что для почти всех /А, k^i, функция ^ / (0 абсолютно непрерывна по переменному. Ц и имеет обычную производную

<Z4 f LVty<Z4 f LVty(4.10)(4.10)

<Z4 f LVty

<Z4 f LVty

(4.10)

(4.10)

Напомним здесь также, что обобщенные производные DW\

^и (t^DM^dt = (-1)'k IJ Dku (0 - f (/) dt,u^C^T),

не зависят от порядка дифференцирования, поскольку от этого порядка не зависят производные Dku(t\

Отметим еще, что указанные выше свойства абсолютной непрерывности самой функции f и ее обобщенных производных Dkf, |^|^/, сохраняются при невырожденной I раз непрерывно дифференцируемой замене переменных. Грубо говоря, при таком преобразовании переменных с якобианом J понимаемая в обобщенном смысле функция f переходит в функцию /•/.

Мы уже отмечали, что функция уЕ^К^) имеет обобщенные производные Dkv £ ^ (Т), | к [ ^ I. Наличие таких обобщенных производных означает, что любая из функций Dkv(ty |^|^/ — 1, начиная с самой функции иД, абсолютно непрерывна по каждой координате у переменного t = ^tlt ..., t^ для почти всех значений tj, j=£i, причем производная ^-Dftv(/) совпадает с соответствующей обобщенной производной. Это свойство сохраняется при невырожденном / раз непрерывно дифференцируемом преобразовании координат, что позволяет для /-гладкой гра-

ницы Г области 5^/^ выразить условие (4.8) в виде следующих граничных условий:

^o(s) = 0,6</-1,(4.11)

при почти всех s^F. Здесь предполагается, что в достаточно малой окрестности каждой точки s0 £ Г существует локальная система координат

■/ = (s, г),s£F10C,— е<г<8,(4.12)

в которой параметр г отсчитывается вдоль кривой, не касательной к Г и проходящей через точку s0 = (s0, 0),— скажем, г отсчитывается по направлению внешней нормали к Г в точке s0. Как было отмечено выше, при почти всех s £ Г существуют абсолютно непрерывные про- изводные—u(Z), k^Z—1, значения которых при t = s дгк

и указаны в граничных условиях (4.11).

■ Очевидно, эти условия выполняются для любой функции У € Wla (S), поскольку и (s, г) = О при Г > 0 И у (s, г) непрерывна по г вместе со всеми своими производными —T-y(s, г),1. ■

дгк.

Покажем, что если функция у£№£(/?й) удовлетворяет граничным условиям (4.11), то ее «склейка»

v(Z) =v(Z) =f v^, t^S,I o, ze^\s,f v^, t^S,I o, ze^\s,(4.13)(4.13)

v(Z) =

v(Z) =

f v^, t^S,

I o, ze^\s,

f v^, t^S,

I o, ze^\s,

(4.13)

(4.13)

будет функцией класса ^(S).

Для доказательства рассмотрим сначала «плоский кусок» Г10С когда, скажем, координаты (4.12) имеют вид

- S = (Zlf . .., td-v 0), f = td.

Покажем, что определенная формулой (4.13) функция и (Z) абсолютно непрерывна по каждому переменному tt при почти всех фиксированных tj, j 4= ^ вместе со своими производными DAy(Z), |^|^Z—1, в окрестности (4.12) указанного типа. По отношению к переменным tX) ..., 1й_г это очевидно, поскольку D4 (Z) = Dfty (Z) или Dku (t) = 0 при всех г#0. По отношению к переменному td=^r это

дк -

также очевидно для производных ^~рУ(О> ^^^—L в силу

характера склейки (4.13). Для остальных производных в надлежащей абсолютной непрерывности можно убе

диться, последовательно рассматривая все более старшие ■ производные по переменным t^ j^d, от функций -^и^.

Поясним лишь первый шаг. Интегрируемые в квадрате функции.

И^тгт"^ g№=-h°W’ ь<1~^ ■

абсолютно непрерывны попеременному 1^ и, следовательно, соответствующая производная ^- / (^) абсолютно непрерывна по переменному r — td при почти всех /,-, i ^ d, причем .

д f 9 Г 9 д/г-1 Да!

dr |d//^J “dr [d/7^-iU^^J "■

' ■■9/ х 9 дк ~1

(см. (4.10)). На следующем шаге нужно рассмотреть функции '

и т. д., перебрав последовательно все производные Dku^t), ■ |^|^ I—1. Установленное свойство абсолютной непре

рывности производных D^^ в окрестности (4.12) не изменится при невырожденной I раз непрерывно дифферен- . цируемой замене координат, что позволяет от произволь- * ного Г10С перейти к рассмотренному случаю «плоского ’

куска». Уже отмечалось, что можно считать границу Г области SeR4 конечной. Взяв надлежащее разложение

■ единицы (4.9), мы получим представление-

(

п Д п

Й=1/Й=1

в котором каждое слагаемое, имея интегрируемые в квад* рате обобщенные производные до порядка /, является функцией класса ^(S). В итоге мы имеем u^IF^S).

Итак, наличие интегрируемых в квадрате обобщенных производных (4.7) и нулевых граничных значений (4.11) характеризует класс функций v^Wl2(S) для области S г Rd с l-гладкой границей Г.

Это описание класса Wi^ распространяется на области S с кусочно l-гладкой границей Г—так мы будем называть области, представимые в виде пересечения S = ПS/г конечного числа областей 8кг Нй с /-гладкой границей ГА, обладающих тем свойством, что локальные системы координат типа (4.12) в достаточно малой окрестности граничной точки s £ Гй при различных к могут быть получены друг из друга /-гладким невырожденным преобразованием.

Согласно описанным выше граничным свойствам можно считать, что функция u^W^T) равна 0 на границе кусочно /-гладкой области Т s Rd. Это позволяет дать следующую очевидную модификацию условия (4.8):

v^T), и(/) = 0 при T\S, (4.14)

где S означает замыкание 8 в Т.

Применим этот критерий принадлежности функции u^W^T) классу W^(S) в случае областей S = SX и S2 = T\Sn имеющих в области Т общую границу Г. Возьмем функцию и Е W» (71), удовлетворяющую граничным условиям (4.11) на границе ГсТ, и ее склейки типа (4-13)

. М0 = {

0(0. <€Sn l6^i(S) 0,#6Г\5„ /

и2 (/) = |

v (/), / Е S2, J

Получим, что

u^^uJO + uH^E^t^US.).

3°. Граничные свойства. Обратимся к пространствам V(S), SeT, введенным ранее в связи с условием сопряженности (1.18). Как мы знаем, при наличии неравенств (4.4) это условие выполняется по отношению к открытым

областям 8 гТ, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т, а в случае, когда в соотношении эквивалентности (4.5) вместо Т10СгТ можно взять саму область Т, условие (1.18) справедливо для всех открытых областей SeT. Пространство V (5) было определено для произвольной области 5^7 как замыкание всех обобщенных функций

^К(П> suppu^S-6, е>0,

где, напомним, 8~е = Т— (5е)8.

При условии сопряженности для соответствующей области 8 ^Т пространство V (5) совпадает с замыканием С” (5) по норме [| u ||l, удовлетворяющей соотношению эквивалентности (4.5) в каждой ограниченной области 710Се7. Уже отмечалось, что в этом случае каждая функция и^У(5) локально принадлежит классу W^ (5), а при условии (4.5) с заменой 710С на Т можно сказать, что пространства V (5) и "№1 (5) состоят из одних и тех же функций.

Пусть область Т г Rd имеет кусочно /-гладкую границу. Аналогично (4.14) функции у£У(5) могут быть описаны следующим образом:

и€^(П,v(/) = 0 при ^Т\8.(4.15)

Очевидно, здесь в доказательстве нуждается лишь случай, когда и €1^2 (7) локально—в этом случае условие (4.15) справедливо для областей 5 s 7 с конечной границей Г = д5 в 7. При условии (4.15), взяв функцию го £ С£° (R4'), to(/) = l при /СГ®, получим

y-to€^(5)sV(5),

и поскольку разность у—v-w^V (7) имеет носитель в области Уе, то у—у>ю£У(5) и

у = у.[о + (и—у-ю)СК(5).

Как следствие условия (4.15), характеризующего функции у£У(5), мы имеем равенство

П V(5e) = V(S),

8>0

где пересечение слева, очевидно, состоит из функций у €^(7), равных 0 вне замыкания 3 = П S8.

е> 0

Напомним, что пространство V (3) для области S, удовлетворяющей условию сопряженности (1.18), унитарно изоморфно соответствующему пространству Я*(3)— мы имеем в виду соответствие (1.9). Используя это для областей 3е, получим'

я;(3) = п я* (8е) = н* (8).(4.16)

Е > 0

Аналогичное равенство.

Я+(3) = Я(3)(4.17)

справедливо и для пространств Я(3), SeT, с той оговоркой, что берутся области S = Slf имеющие общую границу с дополнительной областью 32 = Т\3. В самом деле, используя условие сопряженности (1.18), получаем

я (3,) = я; (S0^ = я; (SJ1 = я* (3,) 1=я+ (sj)=я+ (sj.

. . Можно охарактеризовать свойство (4.17) как непрерывное обновление случайного поля Я(3), S^T, для семейства расширяющихся областей 3е, е > 0. Напомним, что при равенстве (4.17), справедливом не только для Зх — 3, но и для дополнительной области 52 = 7’\3 с границей Г = дЗ, мы имеем

Я+(Г_) = Я+(Г)

(см. (3.20) гл. 2), и Я+(Г) есть минимальное пространство, расщепляющее Я^) = ^+(SJ и Я(32)=Я+(32).

Сформулируем наш итоговый результат для обобщенной функции (4.1) и биортогональной функции (4.2) с эллиптической билинейной формой.

Теорема 1. Марковское случайное поле Я (3), З^Т, порождаемое обобщенной функцией (4.1), обновляется непрерывно для каждого семейства 5е, е > 0, в окрестности локально звездной области З^Т^ имеющей в Т общую границу - Г с такого же типа дополнительной областью T\S\ при этом граничное пространство ■

.Я+(Г)- П Я(Г8)

в> о

является минимальным пространством, расщепляющим

. //(SH/МЯ Я(Т\5) = Я+(7’\5).

Уточним здесь, что при общем условии эллиптичности, выраженном неравенствами (4.4), в этой теореме фигурируют области S s Т, ограниченные или имеющие ограниченное Дополнение в Т; при более же сильном условии, когда мы имеем соотношение эквивалентности (4.5) с заменой в нем Т^ на Т, теорема 1 справедлива в отношении любой области S ^Т, локально звездной вместе с дополнительной областью Т\5.

В качестве одного из возможных приложений теоремы 1 рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть £(/), /С^1,— стационарная случайная функция со спектральной плотностью

Z W X (1-Ы^|2)"г, ^R\

где I > 0—целое. Норма в соответствующем пространстве Н (R1^ грубо эквивалентна норме, которую мы имели бы в случае марковской стационарной функции со спектральной плотностью

f(X) = (l+№V,

и при рассмотрении структуры пространств Н (S), ScR\ не ограничивая общности, можно взять именно этот случай, когда, как мы знаем, условие (4.5) справедливо с заменой Т1ос на T = R1. У взятой нами марковской функции существуют производные ^м (/), Х^/—I, и, как хорошо известно, их линейная оболочка, включая 1 (/), расщепляет «прошлое» Н (—оо, /) и «будущее» Н (^, оо)— по этому поводу см. также следующий пункт. Очевидно, эта линейная оболочка есть

V ^т = Н+^/

k = 0

поскольку пространство

Н+ (t) = f) Н(— е, в)е > 0'

содержит производные £(А) (Z) и является минимальным пространством, расщепляющим Н (— оо, f) = Нл (— оо, /) и Н (t, оо) = //+(^, оо).

Вернемся к общему случаю.

Пусть 3^7 есть область с кусочно Z-гладкой границей Г —5S в Т. Возьмем точку 80£Г, в достаточно малой окрестности которой можно ввести локальные координаты (4.12), получающиеся из исходных координат /-гладким преобразованием с невырожденным якобианом J. Возьмем окрестность, содержащую замыкание окрестности вида

Пос={^ = (8, И, 8^Г10С, —8<г<е},

где Г10С—достаточно малый кусок границы Г. В дальнейшем существенным оказывается лишь то, что оператор умножения на I раз непрерывно дифференцируемую функцию J в пространстве ^(Г^) является ограниченным, и для простоты обозначений мы будем считать J = 1. Нашей целью будет определить «след» обобщенных производных — £, к^1— 1, обобщенной случайной функ

ции (4.1) на границе Г.

При условии (4.4) мы имеем

р«1= sup |(Ju, Lu) |= sup |(м, и) К

||LV||=111^11=1

< sup |(ц, u)K~]w||, IIdIKVcС

где постоянная с зависит от ограниченной области 7JOC з supp и. Видно, что оператор J ограничен на пространстве 52 (Т^) и по непрерывности может быть продолжен с области С» (Т1,^) = S’2 (Т 10с) на все пространство J72(7loc). При таком продолжении для любой величины т} £ Я (7) и соответствующей ей по формуле (1.8) функции и = у (т]) £ К (7) мы будем иметь равенство (Ju, л) = 5 u^y^t)dt, u^S2(Tto^, (4.18)

которое получается из равенства

(Ju, Lu) = (u, и); u, y^C^TV

предельным переходом к функциям и^^^Т^ и и £ У(7)—напомним, что функция y(f) совпадает в ограниченной области Т1осгТ с функцией класса ^(7).

Возьмем произвольную функцию uloc £ Q° (Г?ос) с носителем из описанной выше области Г^ Г10СX (—е, в).

Функция м10С (s, г) является /-гладкой по переменным $, г и обращается в нуль при |г|^6 для некоторого 6 < в; определим функцию н1ос при всех г, положив ее равной нулю для | г | > б. Положим

u,t(s, r) = «loc(s; мг)п, п—1,2, ..., и рассмотрим величины

(^ W = (—О* И\

где

и^ (s, г) = ип (S, г), k < I— 1. ‘

Для любой величины т] £ Н (7) и отвечающей ей функции о^УдТ) в силу равенства (4.18) имеем

MW, Ч)= J2ПосMW, Ч)= J2Пос8'

MW, Ч)= J

2Пос

MW, Ч)= J

2Пос

(—l)ft J Un4s> r)v($t г) dr ds =

-в

8

= J J u„(s, r)u(A)(s, r)drds;

Г1ОС "8

напомним здесь, что мы условились считать якобиан пре- обра!зования равным 1 и что при почти всех s функция y(s, г), локально принадлежащая классу W^T), имеет /—1 абсолютно непрерывных производных пог. Положим

и (s) = $ uloc (s, г) dr, з^Г10С.(4.19)

Для любого б > 0 при почти всех s £ Г1ос и достаточно больших п мы имеем

|Ju„(s, r)uU)(s, г) dr—u(s)y(ft) (s, 0)|< в

^С sup |ytA>(s, г)—u<*>(s, 0)|<С ( lv(*+1)(s, г) I dr.

। г квd6

Очевидно,

6

J $ I v(A+1) (s, r) | dr ds —* 0Hoc -e

при б—»-0, поскольку функция y(ft+1), ^^/—I, интегрируема в квадрате—напомним еще раз, что и(/) совпадает

7 ю. А Розанов

с функцией класса W^T) при /£П0С. Видно, что

П^ПП^ПНт (ц„, ^) = Г « ^^(s/OJds, I —> 00р

П^П

П^П

1 10С

где uw (s, 0) = v(ft) (s), я€Г10С. Кроме того, для &<Z — 1

| («„, ^<*>) Р < Сх S 1 о<»> (s) Г ds <с2 ^ р^Еос<СзИГ Г,осШ^ .

и таким образом, в пространстве Я (7) существует слабый предел производных

lim (ы^>)Н«Л^ £<Z-1.(4.20)

' п 00.

Ясно, что предельные величины (и, £(А)) принадлежат пространству //(Г6), 6 > 0, поскольку supp ип с Г6 при достаточно больших п, и следовательно, (м, tm)^H+ (Г). Покажем, что если Г есть общая граница областей St = S и S2 = T\S, то

7/+(Г) = У{(»,^)), supp и = Г, й</-1} (4.21)

есть замкнутая линейная оболочка всех предельных величин (4.20), отвечающих всевозможным функциям типа (4.19).

Возьмем произвольную величину т] £Н+ (Г), ортогональную всем величинам (u, |(fc)). Для соответствующей ей функции и £ У (7) это означает, что

^ и (s) и<А) (s)ds —07ос ■

при всех м10С С С” (Ffoe), откуда следует, что u^>(s) = 0 для к^1—1 при почти всех 5^Г]0С на каждом куске Г,0С^Г. Поэтому при граничных значениях (4.11) функция и (/), t £ Г8, в окрестности границы Г совпадает с функцией класса IF^^uSg), и аналогично выводу условия (4.14) отсюда -заключаем, что u^V^U^g). Напомним, что область ST и 52 имеет в 7 ограниченное дополнение, совпадающее с границей Г, и следовательно, для нее выполняется условие сопряженности и пространство У (^ U S2)

в смысле нашего .основного соотношения (1.9) отвечает пространству //+ (Г)-Ь и т} £ Я+ (Г)-1-, что для величины г)£Н+ (Г) возможно лишь в случае 71 = 0. Таким образом, предельные величины (4.20) образуют в совокупности полную систему в пространстве Н+ (Г), что и требовалось доказать.

Заметим, что если бы обобщенная функция (4.1) была «обычной» случайной функцией |(Z), t^T, имеющей (слабые) нормальные производные

при почти всех s^T в достаточно малой окрестности границы Г, то для любой величины т) € Н (Т) и отвечающей ей функции и £ И (?) мы имели бы

тту^ 4), ^^—Ь

\ дгк \ or14 /

и, очевидно, предельными величинами (4.20) были бы

(й,1ш)-р(5)^и^, ^^/-1.

г

Принимая это во внимание, назовем предельные величины (4.20) обобщенными нормальными производными (соответствующего порядка к).

Для обобщенной функции (4.1) и биортогональной функции (4.2) с эллиптической формой порядка 2/ мы имеем следующий результат.

Теорема 2. Для областей SX = S и S2 = TxS собачей кусочно l-гладкой границей Г граничное пространство Н+ (Г), расщепляющее _ Н+ (5J и Н+(5^ есть замкнутая линейная оболочка всех нормальных обобщенных^производ- ных ^к\ k^l— 1, марковской функции (4.1) на границе Г.

Так же, как и в теореме 1, при общем условии эллиптичности (4.4) здесь имеются в виду области ^ и S2, из которых хотя бы одна является ограниченной; при более сильном условии (4.5) с заменой Т10С на Т это дополнительное требование может быть снято.

4°. Свойства регулярности и задача Дирихле. Пусть Т g Rd есть ограниченная область с Z-гладкой границей Г = дГ.

Всякое случайное поле Я (8), S^T, имеющее сопряженное поле Н* (S), S s Т, является регулярным в том смысле, что

Н, (Г) = П Н (Г8) = О,(4.22)

е> о

поскольку

[ п Н (Ге)]1 = [ П Я* (Г5)]1 = уН+ (Г5)1 = уЯ* (Т~е) = =нчт) = н(ту,

напомним, что Г8 означает е-окрестность границы Г в области Т и Т"6 есть дополнение к замыканию Ге в Т.

Таким образом, рассмотренная нами в пп. 2°, 3° обобщенная случайная функция (4.1) является регулярной в том смысле, что порождаемое ею случайное поле обладает свойством регулярности (4.22). Напомним, что граничное пространство Н+ (Г), Г = дТ, есть замкнутая линейная оболочка обобщенных нормальных производных

(м, £tft’)» suppus Г, ^^/ —1,

(см. (4.21)), которые в силу условия регулярности все равны 0:

(и, ^)) = 0, jfe<Z —1.(4.23)

Пусть оператор S' в (4.3) имеет ограниченные бесконечно дифференцируемые коэффициенты. Тогда случайная функция (4.1) есть решение дифференциального уравнения

VSuAA^A'V и^{Т},(4.24)

относительно неизвестной функции £ с заданной в правой части обобщенной функцией (4.2). Действительно, взяв в качестве £ функцию (4.1), будем иметь

^и, |) = №, Su^C^^Ty и

(JSu, Lv) = (2?u, u) = (Lu, Lu), u^C"(7),

откуда следует равенство

JSu = Lu = (u, £*).

Обобщенная случайная функция (4.1) обладает тем свойством, что для любой случайной . величины г],

Е|т]|2<оо, обобщенная функция, равная скалярному произведению

((Щ Ю, п) = Е(“, ^Й = (и, у (г))), и(ЕС;(П, есть функция класса w^T)* Условимся говорить, что обладающая указанным свойством обобщенная случайная функция

^ = (иЛ\ и^С”^,

слабо принадлежит классу W^T).

Напомним, что область Т предполагается ограниченной и при наложенном ранее условии (4.4) обобщенные функции y£V(T) принадлежат классу IF^T). В предположении единственности задачи Дирихле для однородного уравнения

Z7o(/) = 0 t^T, в\лассе обобщенных функций и £ 1%(Т) с нулевыми граничными условиями

~y(s)^0, дтЙ*

можно сказать, что обобщенная случайная функция (4.1) есть единственное решение уравнения (4.24) с нулевыми граничными условиями (4.23) в классе всех функций, слабо принадлежащих ^(Г).

Возьмем

r| = Jy, о^С^Т), и рассмотрим обобщенную функцию

В(и, u) = (Jh, ц) — J u^B^t, v)dt, и£Со(Т),из пространства V (Т). Скалярно умножив обе части ра-венства (4.24) на величину rj = Jy, получим равенство

В^и, v) = (u, и),и^С^^Т),

которое при фиксированном у^С^(Т) можно интерпретировать как дифференциальное уравнение

^B^t* у) = у(0, t^T,(4.25)

для соответствующей функции В( -, у) £ №2 (Т), которая, как мы знаем, удовлетворяет нулевым граничным уело-

ВИЯМВИЯМ^B(s, о) = 0, 6огв^B(s, о) = 0, 6огв(4.26)(4.26)

ВИЯМ

ВИЯМ

^B(s, о) = 0, 6

огв

^B(s, о) = 0, 6

огв

(4.26)

(4.26)

при почти всех s^T.

Таким образом, в указанном смысле корреляционная функция

В(и, v) = (hi, Wy, u,v^(T),(4.27)

обобщенной случайной функции (4.1) есть (единственное) решение уравнения (4.25) с нулевыми граничными условиями (4.26).

Ранее мы указали класс марковских обобщенных функций (4.1), отправляясь от оператора (4.3), допускающего самосопряженное расширение фР с ограниченным обратным оператором ф?-1 и удовлетворяющего условию (сильной) эллиптичности в окрестности замыкания ограниченной области ТгКй (см. (3.5) и далее). Принимая во внимание полученные только что результаты, можно сказать, что обобщенная случайная функция является марковской по отношению ко всем областям SeT 6 ограниченной области Т s Rd, если ее корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.25) с оператором У* указанного выше типа и нулевыми граничными условиями (4.26).

Всякое решение уравнения (4.24) отличается от функции (4.1) на слагаемое, которое есть обобщенная случайная функция, удовлетворяющая однородному уравнению

№ х) = 0,и^(Т\(4.28)

Естественным классом «детерминированных» функций v = y(Z), t^T, связанных с этим уравнением, является известное соболевское пространство W^T), состоящее из функций, имеющих обобщенные производные Dku Е S^ (Е), |^|^/—1; это пространство аналогично (Т) и отличается лишь тем, что «граничные значения» о^ = —- a (s), дгв

Jk^Z-^1, на границе Г = дТ области Т не обязаны быть нулевыми.

Рассмотрим класс обобщенных случайных функций х = (щ х),и^С?(Т),(4.29)

которые слабо принадлежат Wi (Т) и на границе Г=дЗ любой области SeT рассматриваемого нами типа имеют слабые нормальные производные

х^ = (и, хи^, зирри^Г, &</ —1, (4.30) определяемые аналогично (4.20). Уточним, что при всех т] £ Н для соответствующих функций и С ^2 СО о = (и, и)= = Е(щ x)rj, и£С”(Т), и для определенных почти всюду на Г — dS нормальных производных н(А1), ^^Z —1, мы имеем (w, рш) = Е(ц, х(А))т], suppu^r.

Решение однородного уравнения (4.28) в области S^T:

(^и, х) = 0, «^“(З),(4.31)

с заданными граничными значениями (4.30) единственно в классе обобщенных случайных функций х = (и, х), слабо принадлежащих И^ДЗ). Действительно, разность xv= (н, х) любых двух решений есть решение того же класса с нулевыми граничными значениями, и для него при всех ч^Н соответствующая функция и^^ИО: (w, и) = Е (и, х) 7], есть решение задачи Дирихле Zpu (0 = 0, t^S с нулевыми граничными условиями u(fc) (s) = 0, s^Г, ^^/ — 1, так что u(Z) = O в области Z^S и (и, х) = 0, «£^(3).

По поводу существования решения нашей «задачи Дирихле» отметим, что для граничных условий

(u, х^ = ^и, ^)r supper, £<Z-1(4.32)

решение уравнения (4.31) может быть описано следующей /формулой:

(и, Х) = (ц, Й = Р+(Г)(«, 9, iz £С^ (3),(4.33)

где справа стоит оператор Р+ (Г) проектирования на подпространство Н+ (Г), дающий наилучшее приближение для (^Л), и ^ Cf (3), пограничным значениям (4.32)—речь идет о марковской случайной функции £=(м, £), являющейся решением нашего основного уравнения (4.24). Действительно, для любойвеличиныг] £ Н^ (Г) из уравнения(4.24) получаем Е(ЗР«, 1)ti = E(Z/)u, ^ = £(1/, £*)т] = 0, u£C”(S), поскольку по условию сопряженности Н* (S^H^ (Гк Очевидно, решение (4.33) уравнения (4.31) удовлетворяет

граничным условиям (4.32), в которых, напомним, величины (и, £(Й))£#+(Г) определяются предельным переходом (4.20) и lim (u„, £ю) = ВтРДГ)^, £(А)) = = Р+(Г)(«, ^)=Ци,

Обратимся к обобщенной случайной функции вида

(и, U = («, £) + («, х), и^С”(Т),(4.34)

где x = ^ut х) есть решение однородного уравнения (4.28), ортогональное обобщенной случайной функции£ = — (н, £*) в правой части нашего основного уравнения (4.24):

(«, х^НЧП и^ДТ).(4.35)

Теорема 3. Обобщенная случайная функция (4.34) при условии (4.35) является марковской*), точнее, граничные значения (и, ОД), supp н^ Г, ^^Z—1, расщепляют пространства V (u, £J, V (и, |х) ее значений

supp u^StSupp и с S2

в областях S1~S и S2 — T\S с границей Г = дЗ.

Доказательство. Возьмем обобщенную случайную функцию £ = (и, 5),«ЕС^(5), сопряженную к £* =

— (и, V), u^Co(S), в области S^T. Она есть решение уравнения (4.24) в области S: (^иД) = (и, £*), и С Со°° (S), с нулевыми граничными значениями (н, £(fe)) = 0, supp и г Г, ^</ — 1—сравни (4.23).

Возьмем обобщенную случайную функцию |x = (иДД, u^C”(S), которая получается проектированием соответствующих величин (4.34) на замкнутую линейную оболочку граничных значений

(ы, ^fe)) = («. £(fe)) + (w, x^)t supplier, £<Z—1, (4.36) ортогональных пространству H* (S). Функция 1, = — (и, |Д есть решение в области S однородного уравнения (4.31) — аналогично выводу (4.33) мы имеем Е^иДДл^Е^и, Уп=Е(«» ^*)п = 0 для любой величины т) из граничных значений (4.36). Справедливо равенство

(и, ^) = (цД) + (ц, U н^СоЧЗ), '(4.37)

поскольку разность его левой и правой частей есть решение уравнения (4.31) с нулевыми граничными условиями. Правая часть в (4.37) слагается из величин (и, |) С Н* (S) и величин (и, !,), которые принадлежат замкнутой линейной оболочке граничных значений (4.36). Как мы знаем, Н* (S) = Н+ (Т\$У-, и вместе с условием (4.35) нашей теоремы это позволяет заключить, что пространство граничных значений (4.36) расщепляет пространства V (^, £Д,

supp м cS,

V (w, ВД значений обобщенной функции (4.34) во supp и с sg

взаимно дополнительных областях S1 = S, S2 = T\S.

Исходя из единственности «задачи Дирихле» (4.28), для обобщенной случайной функции х = (и, х), и^С» (Г), с заданными граничными значениями (4.30) на границе Г'^дТ области Т аналогично (4.33) получаем, что (н, х) = ^ (и, х) = (и, X)» и £ С” (?')- поскольку вместе с х = (и, х) стоящая здесь справа обобщенная случайная функция х—(и, х) является решением уравнения (4.28) с теми же граничными значениями на Г = дТ, что и у функции х=(ц, х). Таким образом, случайная функция х = (п, х) является сингулярной, и в (4.34) мы имеем разложение на регулярную и сингулярную компоненты.

Пример (броуновский мосту Рассмотрим случайный процесс на интервале 71 = (0, 1), имеющий вид 1(0 — — г|(0 —^](1), 0^/^1, где тДО, 7^0,—стандартный процесс броуновского движения, t](0) = 0. В нашей общей схеме с уравнением (4.24) функция £(0 отвечает опера- торуи сопряженной функции £*(/) =— л"(0>

что непосредственно видно из формул

1

(«,£•)= Ju'(0^(0. о

(«, В) = V (01 (t) dt - J [^ (\\-iu (/)]d4(0,оо

где н£СГ(0, 1), а оператор I определен как интеграл lu (0 = \ и (s) ds, 0 ^ t ^ 1. (Отметим, что граничные зна-

чения (4.20) для интервала S =Ца, Ь) — это просто значения ^(ц), £ (5) в граничных точках t = a, b). Согласно теореме 3 для любой случайной линейной функции х (/) = = ^i + ^2^ где величины |х, £2 не зависят от производной «белого шума» £*(^), 0</<1, случайная функция ^х(/) = х(Z)-ф^ (^),0</< 1, является марковской.

Аналогичные результаты можно было бы получить и в случае неограниченной области Т с ограниченным дополнением, рассматривая соответствующую внешнюю «задачу Дирихле».

Стохастические дифференциальные уравнения

1°. Марковские преобразования «белого шума». Пусть

<“• П)=^«(Ст|Ж м£С"(Т),

есть «белый шум» в области T^Rd, порождаемый слу- . чайной ортогональной мерой t)^),

E\x\W\a = dt.

Как и раньше, обозначим ^(Т) пространство измеримых интегрируемых в квадрате функций u(/), t^T, со скалярным произведением

(и, и)= J u^v^dt, и, цС^2(^)-

Пусть J есть линейный оператор в пространстве ^(Т) с областью определения С” (71), непрерывный на пространстве С” (Г), который мы рассмотрим как оператор

J: Со“ (Г) Н,

где Н есть замыкание области значений Jm, u^CeUY в пространстве ^^TY Положим

(«, £) = № Л), «ССо"(Г)-(5.1)

Спрашивается, для каких операторов J обобщенная функция (5.1) будет марковской?

Предположим, что сопряженный оператор J* имеет правый обратный оператор L с областью определения С" (7) в пространстве ^(ТУ

L: С* (7) Н,

с плотной в пространстве Н областью значений, непрерывный на пространстве С* (Т). Это предположение означает существование биортогональной к (5.1) обобщенной функции, имеющей вид

(«Л*) = (1Ы, л), и^С^(ТУ(5.2)

Как мы знаем, при условии сопряженности обобщенных функций (5.1) и (5.2), локальность оператора L обеспечивает свойство марковости случайной функции (5.1) по Отношению к соответствующим областям SeT— см. § 1 с условиями сопряженности (1.21) и (1.22), а также условия (3.12) и (3.16) на наши операторы, которые очевидным образом соответствуют введенным ранее операторам J и L:

Ju = (Ju, л), Lu = (Lu, -q).

(Мы надеемся, что каждый раз без труда можно понять, о каких операторах J и L идет речь.)

В1 дальнейшем мы будем иметь дело с локальным оператором L, являющимся «квадратным корнем» из линейного положительного дифференциального оператора

9= S МО О*(5-3)

с ограниченными бесконечно" дифференцируемыми коэффициентами bk^ty, |^|^2/, точнее,

(U, 1о) = (^«, иУ u. v^ColTy

что означает принадлежность элементов Lu, u^C0"(7), области определения сопряженного оператора L*, для которого

L*Lu = Z?u, и£С”(ТУ(5.4)

Отметим, что к марковской случайной функции (5.1) можно было бы прийти, отправляясь от дифференциального оператора ^Р, как это фактически уже было сделано в § 3.

Рассмотрим биортогональные обобщенные функции (5.1), (5.2). Как мы знаем (см. (1.9)), пространство V (7) с воспроизводящим ядром для обобщенной случайной функции (5.1) унитарно изоморфно пространству Н^— замыканию всех величин р = )и, и £ С“ (7). Используя этот изоморфизм

можно получить формулу

(Lu, Т1) = (^н, и), и^С”(ТУ(5.5)

Для т] — Lu, и^С^П она очевидна, а в случае произвольной величины т| £ Н (Т) можно взять последовательность q,, —Lu„ — p, где и„ —►и в пространстве V(7), для которой при каждом и £ С” (7) мы имеем £ С^ (7) и

(Lu, pJ-G^u, и„) -^№, и).

Напомним здесь, что если и„—^и в пространстве V (7), то для любого и € С” (7)

(u, u„) = (Ju, T)J-^(Ju, Т]) = (и, и).

Рассмотрим марковское случайное .поле Я (S), S s 7, порождаемое случайной функцией (5.1), которое имеет своим сопряженным случайное поле H*^S\ S^T, порождаемое биортогональной к (5.1) случайной функцией (5.2). Напомним, условие сопряженности означает, что

Я+(5) = Я*(7\5)1

для соответствующей системы областей S^T, скажем, для всех открытых областей, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в 7.

Каждое из пространств Н+ (S) = Н+ (S) можно описать, используя тот факт, что включение т] ^ Н+ (S) равносильно ортогональности величины ч^Н(Т) всем величинам Lu, u^Cq (T\S), замыкание которых есть

H*(T\S). Согласно формуле (5Л) величина цФ^и ортогональна пространству Я*(Т\5) тогда и только тогда, когда_

и) = 0,u€C^(T\S),

. когда соответствующая функция o^V(T) есть обобщенное решение дифференциального уравнения

ZM0 = 0* t£T\S.(5.6)

Аналогичное условие можно получить, используя, представление

т) = ^ Lu (/) я (dZ), Lt» £ Н,(5.7)

для'величин -ц^Н^ТУ где символ Lt? просто указывает на принадлежность обозначенной им функции пространству н H = LCo к^г^ (Т),

которое совпадает с замыканием функций Lu, u€C*(T),— здесь уже символ Lu можно понимать как результат применения оператора L к соответствующей функции. Именно, пусть

L- 5 ае(ЛО‘(5.8)

|fe| с/

есть линейный дифференциальный оператор с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами ак^, | fe К й

L*u= 5 (-1)1*Ю*Ы/)иД0], и £Ст, (5.9) |fe|<*

— линейный дифференциальный оператор, формально сопряженный к L; отметим, что

ULu^^u, и£С”(Т\

Тогда условие ортогональности величины (5.7) пространству H*^T\S^, означает, что функция Lu£LC”(T) есть обобщенное решение дифференциального уравнения

L*(Lu(0) = 0, ZCT\S.(5.10)

Конечно, в условиях (5.6) и (5.10) вместо замкнутой области S можно было взять любое замкнутое мно-

жество Г в Т, для которого область 7\Г удовлетворяет условию сопряженности

Н+ (Г) = Я*(7\Г)

(скажем, Г есть ограниченное множество). В частности, для границы Г = 3S всякой области S ^Т мы получаем следующее описание граничного пространства Я+ (Г). Величина -q£/7(7) принадлежит пространству Я+(Г) тогда и только тогда, когда соответствующая функция у 6 У (7) есть обобщенное решение уравнения

Л(/) = 0,^7\Г,(5.11)

или соответственно функция Lv^H есть обобщенное решение уравнения

L*(Lu(f)) = O, ^7\Г.(5.12)

Пусть L есть оператор вида (5.8) с плотной в пространстве ^(Т) областью значений, что имеет место для весьма широкого класса дифференциальных операторов в случае неограниченной области T^Rd. Тогда

Я = ЁСП7) = ^2(7)

и сопряженный оператор L* определен на пространстве С; (7), где совпадает с формально "сопряженным дифференциальным оператором (5.9), причем

L*M^C^(7), tieСо” (7);

Существует обратный оператор (L*)-1, поскольку, если L*y = 0, то

(L*n, «) = (у, Lu) = 0

при всех и£С”(7) и р = 0.

Очевидно, оператор J в (5.1), являясь п р а в ы м обратным к сопряженному оператору L*: '

L*Ju = ti, иЕС”(Т),(5.13)

есть сужение оператора J = (L*)~I. Действительно, применяя к обеим частям равенства (5.13) обратный оператор (L*)"1, получим

Ja = (L»)-1«,«CC0”(7)J

Более того, отправляясь от оператора L указанного выше типа, можно было бы сказать, что обобщенная

функция (5.2) имеет биортогональную функцию тогда и только тогда, когда пространство С” (Т) входит в область определения обратного оператора (L*)-1; при этом биорто- гональная функция (5.1) задается оператором J = (L*)-1 на пространстве C^t?1), удовлетворяющим не только условию (5.13), но и условию

JL*u = u, и^С”^.(5.14)

Равенство (5.14) показывает, что случайная функция (5.1) является обобщенным решением стохастического дифференциального уравнения

14(0 = 11(0,. (5.15)

с «белым шумом» в правой части, точнее,

(u, U) = (L% £) = (JL*u, n) = («, ri).“€Cf(T).

ч Назовем обобщенную функцию (5.1) фундаментальным решением уравнения (5.15). По этому поводу отметим, что для очень широкого класса линейных дифференциальных операторов L оператор J = (L*)-1 задается ядром /(/, s), представляющим собой так называемое фундаментальное решение, а именно VJ (t, s) = 5(Z — s), где 6 (t — s) означает известную 6-функцию.

Сформулируем полученные выше результаты в виде отдельного предложения для линейного дифференциального оператора L с плотной в пространстве Sa (71) областью значений и, скажем, обладающего тем свойством, что

||L(^-m)!KC(^)||Lm||,и^С^Г),(5.16)

для функции w^C”^') (см. по этому поводу (3.16),

Теорема. Фундаментальное решение стохастического дифференциального уравнения (5.15) обладает марковским свойством по отношению ко всем открытым областям S^T, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т. При этом граничное пространство Z/+(Г), Г = dS, расщепляющее Н+ (S) и Н + (7'\S), состоит из всех порождаемых «белым шумом» величин вида

11 = ('u, *h)= S “ (0 П(^),(5.17)

где и £ ^ (Г) как обобщенная функция удовлетворяет

дифференциальному уравнению

1*и^ = й, /£Т\Г.

2°. Задачи экстраполяции и интерполяции. Рассмотрим задачу о наилучшей оценке случайной функции (5.1) по ее значениям в области S ^Т, точнее, задачу о наилучшем приближении величин г] £ Н+ (Г\8) величинами из пространства H+(S) — здесь мы имеем в виду нахождение такой величины т|Е^+(5), что >’ц —ц'j = min дает минимальное среднеквадратичное отклонение среди всех возможных приближений из H+(S).

В случае, когда различают «внутреннюю» и «внешнюю» области S^T1 и S2 = 7'\S1, такую задачу о наилучшем приближении называют задачей экстраполяции, если S=SI есть внутренняя область, и задачей интерполяции, если S = S2 есть «внешняя» область.

Обозначим Р+ (S) оператор ортогонального проектиро- ■ вания на соответствующее пространство Н + (5). Наилучшее приближение для величины т) дается ее проекцией ^Р+(5)Л на 77+(S).

Предположим, что существует биортогональная обобщенная функция (5.2), порождающая сопряженное случайное поле

H*^ = H^^SC^, S^T.

Пусть величина т^Я+^хД) задана стохастическим интегралом (5.7):

т}= Lv(/)-q(^)(5.18)

г соответствующей функцией Lu £ LCS° (Г), которая, согласно общему условию (5.10), является обобщенным решением уравнения

. L*Lu(0 = 0,t£3.

Для марковской случайной функции (5.1) мы имеем

/>+<5)77^ (T\S) = 7/+(Г),

где Н+ (Г), Г = д8, есть граничное пространство, расщепляющее Н + (S) и Н+ (ТХД), так что

§ 5] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 209 и величина -q представима стохастическим интегралом

13 = Lu(Z) т] (dZ),(5.19)

где функция Lu (Z) С LC" (Т) должна быть обобщенным решением уравнения

L4u(Z) = 0, Z^T\r, (см. (5.12)). Разность 13 — 13 однозначно определяется условиями

^€Я+(Г),^-п€Я+(5)± = Я*(Т\5),

из которых второе эквивалентно включению

L и - Lu С LC“ (T\S),(5.20)

поскольку H*(T\S) есть замыкание всех величин

-q = $ Lu (Z) 1} (d^),u£C£(T\S).

Очевидно, условие (5.20) заключает в себе равенство

Lu(Z) = Lu(Z), t^S,(5.21)

| и задача о наилучшем приближении сводится к нахожде- • нию в области 7\S решения уравнения

L*Lu(Z) = O, t^T\S,(5.22)

удовлетворяющего условию (5.20). Действительно, такое решение, вместе с функцией Lu(Z) являющееся решением уравнения (5.22) в области 5, задает величину (5.19) из граничного пространства Н^ (Г), причем соответствующая разность 13— 13, согласно (5.20), принадлежит простран- ству И* (T\S) = Н+ (S)J-.

I Предположим, что вместо функции Lu £ LC^ (Т^нам |задана функция v^V^T), отвечающая величине 13 <=> и в смысле унитарного изоморфизма (1.9). Отметим, что если оператор L имеет ограниченный обратный, то функция рот] принадлежит области определения D (Т) s ^2 (7) замыкания L, а указанная выше функция Lu есть результат применения оператора L к функции u^D(T), u^L-1 (Lu)

Нем. по этому поводу (3.5)— (3.10)).

Для функции

ц^п€Я+(Г\5),(5.23)

согласно общему условию (5.6), мы имеем дифференциальное уравнение

^v(^) = 0, t^S, и для соответствующей функции

и^П€^+(Г)(5.24)

— уравнение

z?w)=o, ^xjv

(см. (5.11)). Очевидно, функция и^У^Т) однозначно определяется тем, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

Z?u(0 = 0,^T\S,(5.25)

и условию

у-иЕ^(Г\5),(5.26)

где, напомним,

у (T\S) о н* (т\5)= я+ (S)i.

Отметим, что для эллиптического оператора ^? = L*L порядка 2/ условие (5.26) может быть заменено в случае кусочно Z-гладкой границы Г = dS граничными условиями Дирихле

^г^^, k<l~1'(5-27)

где указаны соответствующие нормальные производные на границе Г функций и, и £ V (Г), принадлежащих классу IFa(7) при условии (4.5) для всей области Т или локально принадлежащих W^T^ при условии (4.4) для ограниченных областей Т10с £ Т — в последнем случае наши результаты относятся к областям S^T, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в Т. Уточним, что мы понимаем под заменой условий (5.26) граничными условиями (5.27). Положим и=и — и. Возьмем функцию «/ССоД^), w(t)— 1 при /£ГЕ. Граничные условия (5.27) означают, что

и* w € 1% (^Г) GV (Г\Г).

Поскольку u — uw = 0 в области Г®, получаем

(« —ц-ш)€У(Т\Г), Очевидно, функция .( ии = < 10(« —ц-ш)€У(Т\Г), Очевидно, функция .( ии = < 10и — u-w-V(u— u^w^V (Т\Г).

(« —ц-ш)€У(Т\Г), Очевидно, функция .( и

и = < 10

(« —ц-ш)€У(Т\Г), Очевидно, функция .( и

и = < 10

в области T\S,

в области S

входит в пространство V (Г) вместе с функцией - * . (ив области TVS, и = « + »=<_ 4

I и в области S,

где справа берется решение у уравнения (5.25) в области T\S с граничными условиями (5.27).

3°. Броуновский лист. Нам удобно будет обозначить стандартную ортогональную гауссовскую меру символом d£,(tY рассматривая в дальнейшем случайную гауссовскую функцию вида

t

H#)=^(s),f>0.

где / ^ 0 означает указанное неравенство для всех координат точки t£Rd и при "каждом /^'0 интегрирование ведется по области O^s^Z. Эта функция ^t\ t^O, многомерного параметра t£Rd является естественным обобщением хорошо известного винеровского процесса —процесса броуновского движения; в случае двумерного параметра / = (^, /2) ее обычно называют броуновским листом.

Элементарная проверка показывает, что броуновский лист обладает марковским свойством по отношению ко всем областям S, составленным из прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям. Именно, для любой точки / легко указать линейную комбинацию Значений B(s), s^F, на границе Г — 6S, представляющую собой проекцию величины £(/) на пространство Н (S) — замыкание значений нашей функции в области S. Это можно сделать, например, последовательно рассматривая соответствующие прямоугольники (s, /) и представление

l(^i, ^)-R(su ^) + U^i- S2)-I(Sn 5а)]=^(м).

s .

Скажем, для прямоугольника (s, /) на рис. 1 в этом представлении в скобках слева стоят значения на границе Г области S, а стохастический интеграл справа есть величина, ортогональная пространству H(S).

Может показаться, что указанное выше свойство «чистой марковости» броуновского листа распространяется

Рис. 1.Рис. 1.с помощью надлежащего предельного перехода на области с достаточно хорошей границей общего типа. Но это не так. Свойство чистой марковости не имеет места даже для такой простой области, как треугольник,— в этом мы убедимся несколько позднее. Вместе с тем броуновский лист обладает марковским свойством по отношению ко всем областям S гТ,

Рис. 1.

Рис. 1.

ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в области Т^^>0[.

Покажем, что броуновский лист как обобщенная случайная функция является фундаментальным решением стохастического уравнения (5.15) с дифференциальным оператором L = дДгг и соответствующим «белым шумом» т1(0=И0, (“Л) = $“УИ(0, «€СГ(Т), в области У>0(.

Рассмотрим ядро

fl, s€(0, ^_

J(s, о, s^(0, t^ S* ^Т’

и оператор

)и(^ = \ J ^t, s^u^ds^^ u^ds, u^C^(TY

Мы имеем

J*L« (/) =

i = (tn t^,i = (tn t^,» J Lu^ds^^^^u^ds.ds^u^, 00 0

i = (tn t^,

i = (tn t^,

а кроме того,#

оо

JL*u(Z)- f L*u(s)ds = OP oo00

при всех u^Go^T^ т. e. выполняются условия (5.13), (5.14). Остается отметить, что

(u, ^) = ^ u^t^^dt^ 5$° (flj (s» О ^ (s)At =

= $ $ и (s) J (i, s) dl (/) ds = J [ J J (i, s) и (s) (is] d^ (i) =

=(Jw, t),u^C^T).

Проверим выполнение условий теоремы § 5 о свойстве марковости фундаментальных решений стохастических дифференциальных уравнений (5.15).

Одним из этих условий является полнота значений Lu, и^С”(Т), в пространстве S^TY Очевидно, функциями

5^5/2 ^ W ~ ^i (^1) ’ ^2 (^а)>

где u(^)=u1(/1)-u2(i2)CC^(T'), можно аппроксимировать в ^VTS функцию ay(i) = u1(i1)-v2(^2), если сомножители yi (^i)> ^(ti имеют компактные носители и удовлетворяют условиям

0000

ut (^1) dtt — ^ Ug (^2)dt^= О»оо

|

Ясно также, что поскольку мера области T = \t > 0} бесконечна, указанными функциями можно аппроксимировать 1 в'^^Л любую функцию вида у (i) = ot (/^-^ (/2), а значит, и любую функцию и J?-’2 (71).

52 Осталось проверить, что наш оператор L = ^ j^- в области 7’ = {/>0) обладает свойством (5.16). Используя преобразование Фурье

u^X^^e^u^dt, Х^^, Х^,

214214ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ[ГЛ. 3[ГЛ. 3

214

214

ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 3

[ГЛ. 3

представление функций и^С» (Т) в виде

1 С р z^-i^i_

U^ = "(2^J =ЛХ7

где

<р (X) = G^ = (— iXJ (— iX^ и (X),

Tjoc s Т легкоTjoc s Т легкодля любой ограниченной области получаем оценки

Tjoc s Т легко

Tjoc s Т легко

диdtyдиdty1ОС1ОСди dtzди dtz1! “ II1OC ^ Со II V II»1! “ II1OC ^ Со II V II»д^иdtx dt^д^иdtx dt^<с,|<р|ЮС -<с,|<р|ЮС -

ди

dty

ди

dty

1ОС

1ОС

ди dtz

ди dtz

1! “ II1OC ^ Со II V II»

1! “ II1OC ^ Со II V II»

д^и

dtx dt^

д^и

dtx dt^

<с,|<р|

ЮС -

<с,|<р|

ЮС -

Остановимся подробнее лишь на одной из них. Скажем,

dttu^dttu^(2^)2 J 6~1Х1Л [j — iX2t2 ^ ^’ ^d^(2^)2 J 6~1Х1Л [j — iX2t2 ^ ^’ ^d^^Х^^Х^

dttu^

dttu^

(2^)2 J 6~1Х1Л [j — iX2t2 ^ ^’ ^d^

(2^)2 J 6~1Х1Л [j — iX2t2 ^ ^’ ^d^

^Х^

^Х^

где справа при фиксированном /2 интеграл в квадратных скобках есть интегрируемая в квадрате функция от Xj и

С Я 2Г р — ^г^г1 2

j ^(oj^c] <МфГ

1£я1^с-м-

Из наших оценок для области Т1ОС э Т П suppty следует, что

Н(«*^ЖН(«*^Ждаид^ dt^даид^ dt^юсюс<c(®).ju4<c(®).ju4

Н(«*^Ж

Н(«*^Ж

даид^ dt^

даид^ dt^

юс

юс

<c(®).ju4

<c(®).ju4

Как итог получаем, что броуновский лист обладает марковским свойством по отношению ко всем областям 8гТ, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение в области 71 = -{/>0^. При этом граничное пространство Н+ (Г), Г^д5, расщепляющее соответствующие Н+ (S) и //+(71\S), состоит из всех величин вида т| = = J u(t)d^(f), где и^^^Т) есть обобщенное решение уравнения ц(/) = 0, /С7*\Г (см. (5.17)).

Покажем, что граничное пространство Н+ (Г) может быть богаче, чем замкнутая линейная оболочка граничных

значений £(/), /^Г. Длл примера рассмотрим треугольную область S под отрезком Г = {/1 + /3=1}. Возьмем (не равную‘постоянной) функцию «x ^i) и положим

/ (у=1 j Ml (<j dtvи, (tj=^ ц (i -«.

О

Тогда

^ий (/2) ^2 = 1J «х (t^ dtlt t = (ft, t^ € Г, о0

и ненулевая функция

J ^x^^ ^2(^2)» t^S^-S^“W^tZ€S, = T\S,

такова, что величина н=$ “(0^(0€^+(Г) независима от, величин {£(£), /£ Г}, поскольку

Vt. ^)

(П. ^Ю)= $ w(s)^ = 0,^Г.

о

Если показать, что п входит в оба пространства Н (5г) и H(Sa), то будет ясно, что Н (SJ и Н (S2) не являются условно независимыми относительно Н (Г), поскольку в противном случае независимая от //(Г) величина г|=£0 окажется независимой от самой себя. Преобразованием подобия t —► at с близким к 1 коэффициентом а функция u(^) = Wx(/x) — иа (/2) переводится в функцию u(at), мало отличающуюся от u(t) и J|h(/)—н(сс/)|2^ —^ 0 при а^1. Аппроксимирующая функция и (at) удовлетворяет условию

d/id^ U (“^ " 0’ ^ Г® ={ ^ + ^а " "а ) ’ ti потому

T\a^u(at)d^EH+(ra),

где Га лежит строго внутри Sx при а > 1 и строго внутри S2 при а < 1, так что в первом случае т)а £ Н (St), а во втором ^„^//(Sg); ясно, что

а-Иа-ИП - Нт Па € Н (Sx) П Н^г\

а-И

а-И

ГЛАВА 4

ВЕКТОРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Условия существования сопряженного поля

1°. Некоторые спектральные свойства. Мы будем рассматривать стационарные случайные функции £ (/), / £ Rd, каждое значение которых есть случайный элемент (вектор) в гильбертовом пространстве X с нормой |||Ц)11,

E|ja(^<0o, t^Rd,(1.1)

а также случайные поля, образованные пространствами Я (S), S с Rd, каждое из которых есть замкнутая линейная оболочка случайных величин

*)(1-2)

в соответствующем пространстве ^(Q, St, Р), определенных как скалярное произведение в X элементов |(£), t^S, и х € X; при этом стационарность будет пониматься в том смысле, что

ВД/ + з) = ЯЛ(0- t,s^R^ (1.3) для всех х^Х, где U5, s С Rd,— непрерывная группа унитарных операторов в пространстве Н (Л^), называемых обычно операторами сдвига.

Мы будем предполагать, что стационарная функция I (О, / € Rd, со значениями в гильбертовом пространстве X имеет нулевое математическое ожидание и спектральную плотность f (Z) — такую положительную операторную функцию переменного X£Rd в X, что

&(0. $„($)) = (У i-AJO),^))-

= ^e<x«-=>(f(X)x, y)dX, X, у€Х, t, s^R4. (1.4)

Ее преобразование Фурье дает нам (операторную) корреляционную функцию

. B(t)^^e^f(X)dX, t^Rd.

Как мы знаем, при условии (1.1) корреляционный оператор S—В(0), общий для случайных векторов ^^^Х, является я д е р н ы м, т. е.

2j№, х^ = ^ У(1^хк) xft)dX<oo,

где {xj—ортонормированный базис.в X. Таким образом, спектральная плотность /(X) при п. в. X является ядер- ным оператором и ее ядерная норма

HWL = 3(?W^.^)

является интегрируемой.

Нам удобно будет обратиться к гильбертову пространству ^ (Rd, X) измеримых функций х(Х), X£Rd, со значениями в X, имеющих интегрируемую в квадрате норму [|х(Х)||, со скалярным произведением

<х(м. »(ад=$(х(ч. sw хм.умсучя''. х). Именно, наряду с семейством величин

LW, х^Х, teR\

мы будем рассматривать унитарно изоморфное ему семейство функций

х(., t) = eMf^(X)x, х^Х, t^Rd, в функциональном пространстве ^(Rdt X), и отвечающие указанным функциям х(•, ?), t^S, подпространства

Я($)= Ve^^X, SeR», (L5)

/es

где R/a (X) есть квадратный корень из положительной операторной функции /(X).

Введем пространство-функцию Л (X), — оо < X < оо, для любого подпространства Л с <р (Ra, X), выбрав в Л полную систему функций {^(Х), а2(Х), ...} и определив Л (X) при почти всех X как замкнутую линейную оболочку в гильбертовом пространстве X всех значений ai (М> аа W' • - • Отметим, что поскольку для любой функ-

ции а(Х)£Л найдется последовательность линейных комбинаций вида ScaC4 сходящаяся в S^Rd, X) к а(Х), то некоторая подпоследовательность ^едДХ) сходится к а (X) п. в., а (X) £ А (X) при почти всех X, и для любой другой полной системы (^ (X), а2 (X), ...} в А г 5 й ^Rds X) соответствующее пространство-функция А (X) при почти всех X будет тем же самым, что и для системы \аг (X), а2(Х), ...}. В этом смысле рассматриваемая п. в. пространство-функция Л(Х), X£Rd, определяется однозначно.

Лемма. Подпространство

Н= v ^Лс^.^Х)teRd

состоит из всех функций х (X), X£Rd, из ^(Rd,X)t значения которых удовлетворяют условию

х (X) С А (X) п. в.(1.6)

Доказательство. По определению подпространства ^(Rd, X) всякая функция х(Х)£Я есть предел функций вида ^е^а^Х"), где ай(Х)£Л; очевидно, зна- чения х(Х) удовлетворяют условию (1.6). Далее заметим, что для любой функции а (X) £ А и скалярной измеримой функции с(Х),

J ] с (X) Is ] а (X) ||8 dX < оо, произведение х (X) — с (Х)й (X) есть функция из подпространства И, поскольку функция с(Х) может быть сколь угодно точно аппроксимирована в среднем квадратичном (с весом g'(X) = ]a(X)p) линейными комбинациями вида S^tWA и для некоторой последовательности вида ^ске1Мка^ в (Rd, X) мы имеем

x(X)-Sc6e‘x,»a(X)|dX

ккzg(X)dX-+O.zg(X)dX-+O.

к

к

zg(X)dX-+O.

zg(X)dX-+O.

Аналогично для любых функций av (X), ..., ar (X) € А и векторной измеримой функции с (X) = (q (X), ...» cr (X)), удовлетворяющей условию

$ с (X) g (X) с (X) * dX < оо,

где g(X) — положительная матричная функция с компонентами

Spy W= \аР (^)* ^Wh Р* Я = 1 > * • •» ^> г

функция х (X) = 2 Ср (^) &р (X) принадлежит подпростран- p=i,

ству Я, поскольку векторная функция с(Х) может быть сколь угодно точно аппроксимирована в среднем квадратичном (с матричным весом g (X)) линейными комбинациями вида ^ске1к<к с векторными коэффициентами q =

= (qt, ..., qr) и для некоторой последовательности

г

функций 2е^А 2 ск1др0^ в S^R*, X) мы имеем кр = 1

xW-S^» s V,Wкр = 1xW-S^» s V,Wкр = 1аdX=аdX=

xW-S^» s V,Wкр = 1

xW-S^» s V,Wкр = 1

а

dX=

а

dX=

Хс^-^с^»кХс^-^с^»кg(X)fc(X)-5va,«]*dX^O. к J

Хс^-^с^»к

Хс^-^с^»к

Возьмем теперь произвольную функцию х (X) £ 52 (Rd, X), удовлетворяющую условию (1.6), и полную систему функций аг (X), а2(Х), . ..^А, значения которых порождают подпространство А (X) s X при п. в. X£Rd. Проекция (в гильбертовом пространстве X) величины х (X) £ А (X) на подпространство, порожденное конечным числом вели-

Г

чин пДХ), . ..,аДХ) имеет вид хг(Х) = 2 cPWaPW> гДе р= 1

коэффициенты q (X), . ..,q(X) как функции от X являются измеримыми в силу того, что для любых функций x(X)z/(X)£ S’2 (Rd, X) скалярное произведение (х (X), у (X)} является измеримой функцией от X. Мы показали выше, что xr (X) С Н. Но при каждом фиксированном X

|| х (X) — хг(Х)р —> 0 при г—* оо,

причем

h(X)-xr(X)[’<h(Ml', и, следовательно,

J || х (X) — xr (X) ||а dX —* 0 при гоо, так что х(Х)^Я. Лемма доказана.

Согласно этой лемме подпространство

Н (ДЧ = V е^Ч'М X g ^а (Rd, X) l£Rd

состоит из всех тех функций х (X) С ^2 (Rd, X), значения которых удовлетворяют условию

x(X)C/WH п.в.(1.7)

2°. Условия сопряженности. Рассмотрим семейство

Н^^НДЗЧ3-, Sc = Rd\S,(1.8)

и покажем, что при весьма общих предположениях о спектральной плотности f (X) это семейство будет с о- пряженным полем для стационарного поля (1.5), унитарно изоморфного случайному полю, порождаемому стационарной функцией £(/), t£Rd.

Пусть Н (S)1 есть ортогональное дополнение в Н (Rd) к подпространству

H^S)= V eiXtRf4^X.teS

Если а(Х) C^(S)1, то

J (а (X), eiX<R/2 W х) rfX = $ e"iXt <Ri» Ща (X), х) dX = 0, и положив

6(Х) = р/2(х)а(Х), получим представление

a(X) = f-V2(X)b(X),

где f-Va (X) означает обратный оператор к сужению R^ (Х> на подпространстве X(X) = Ri'2 (X) X, а интегрируемая функция ^(Х) такова, что

й (X) € f1/2 W ^ п- в., 1

/-‘/’(Мб^б^Н^4. X), . )<к9)

причем преобразование Фурье b (t), t £ Rd;

'Б№=(5гЛе"'“Ь№<1ХRd

обращается в 0 на множестве S:

( ь^о, tes.(i.io)

Отметим здесь, что

$[6(MI|a<$|p/4MMIf-1/!Wi>WH<

Очевидно, для любой функции Ь(Х) указанного типа, а^ = МЧ^Ь^ принадлежит пространству Н (Rd) (см. условие (1.7)), и а (X) | Н (5). Мы получаем следующее представление:

Я (S)-l = рТТ^ЩГ^у, где В (Sc) есть совокупность всех функций b (X) типа (1.9) с носителем

supp^sS*7

(см. (1.10)). Возьмем открытую область S^Rd, ограниченную или имеющую ограниченное дополнение в Rd. Для нее

Я+ (5с)^-= V #[(Sc)ep = V^^W5"6). е > 0

где (Sc)s означает е-окрестность множества Sc, a S"e есть дополнение к (S6)8. В итоге

Н* (S) = Я+ (Sc) 1 = М3 (X) В (S),(1.11)

где В (S) есть совокупность всех функций b (X) типа (1.9) с носителем

suppbsS,

поскольку замкнутое множество К = supp b в открытой области S с компактной границей dS находится от этой границы на положительном расстоянии, т. е. supp^^S"8 при некотором е > 0.

Пусть спектральная плотность /(X) в гильбертовом пространстве X такова, что имеется семейство операторных интегрируемых по норме функций S-экспоненциального типа:

<pe(X) = $ A(t)dt, KeRdt (1.12)

Е

£={И: |^|<ей, 6=1,d},

обладающих следующими свойствами:

$И-,'1(ЧФвИГЛ<°°.(1.13)

а произведение f~1/2 (X) фе (Х)/1^ (X) ограничено и

Ilf-^WPsW/^W-ziHo(1.14)

при 8 —> О равномерно в каждой ограниченной области переменного 'k£Rd, где / есть единичный оператор в X.

Рассмотрим семейство Я'(8), SeR'1, определенное формулой (1.11) для всех открытых областей S, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение в Rd. Покажем, что при условиях (1.12) —(1.14) оно будет аддитивным:

Wx U Sa) = Я* (SJ V #* (■$»)•(1.15)

Отметим сразу, что можно всегда считать одну из областей Sn Sa ограниченной. Скажем, если обе исходные области Sn S2 являются неограниченными, то, взяв ограниченную область S^ = ST п (S£)s, будем иметь Я* (З^ с eH^SR и равенство (1.15) будет выполнено, если оно верно для Si и 32.

Итак, пусть одна из областей (скажем, SJ является ограниченной. Согласно формуле (1.11) функции а(Х) = = f*1^ (X) b (X) с носителем

К = supp Б г 8

на положительном расстоянии от границы области S = = Sj U S2 образуют полное семейство в пространстве Я* (S). Возьмем произвольную функцию а(Х)С^*-(5) этого типа и рассмотрим соответствующую функцию Ь(Х). Очевидно, множество К = supp b можно представить в виде объеди-

нения таких непересекающихся множеств Кг и Ка = К\КТ1

что* __

Кг Е 5г, K^Sa,

Ограниченная (по норме) финитная функция bt(f) ограниченное преобразование^Фурьеи при всех достаточно малых 8 > Оf-1^ ^^^ЬЛХ^НЧЗг).Действительно, функция фе (X) Ьг (X) удовлетворяет вию (1.9) в силу ограниченности ||Ь1(Х))| и выбораОграниченная (по норме) финитная функция bt(f) ограниченное преобразование^Фурьеи при всех достаточно малых 8 > Оf-1^ ^^^ЬЛХ^НЧЗг).Действительно, функция фе (X) Ьг (X) удовлетворяет вию (1.9) в силу ограниченности ||Ь1(Х))| и выбораимеетимеети каждое из них находится на положительном расстоянии от границы соответствующей области Sn S2. Положим

Ограниченная (по норме) финитная функция bt(f) ограниченное преобразование^Фурье

и при всех достаточно малых 8 > О

f-1^ ^^^ЬЛХ^НЧЗг).

Действительно, функция фе (X) Ьг (X) удовлетворяет вию (1.9) в силу ограниченности ||Ь1(Х))| и выбора

Ограниченная (по норме) финитная функция bt(f) ограниченное преобразование^Фурье

и при всех достаточно малых 8 > О

f-1^ ^^^ЬЛХ^НЧЗг).

Действительно, функция фе (X) Ьг (X) удовлетворяет вию (1.9) в силу ограниченности ||Ь1(Х))| и выбора

имеет

имеет

усло- Фе М

(см. (1.12) —(1.13)), а

* {■е-~<Ре(Х)61(Х)А =

(2л) v

^^(^^■"(ФеМбИМ.^Л-)^’

где {хд)—ортонормированный базис в X. и функции

7^(>а'(Фе(ЧМЧ. ^)<а=

(2л)а J

=\е"ШФ10^ ^)(фе(^)х/, x^dX-

=S У ^е ^ ~ ^х^х^ & ^ьх^ds’1 ^ ^

имеют носитель в области К8 ^ 8г при достаточно малых е > 0, поскольку

=f^W^^O, |/|>е.

Аналогично

Г*/>(Х)Фе(Х)6(1)€Я«(Х)

при достаточно малых е>0—уточним здесь, что Ilf-i/’M^GWlK

<IГ1/2 (X) фе (X) f1'2 (X)|. I f-^ (X) 6 (X)К с.||а(X)]. Как следствие получаем, что

= f-^4^ Фе (X) b^-f-^ (X) Фв (X)ъг (X) € н* (S2), поскольку преобразование Фурье функции

Фе (X) b. (X) = (р8 (X) b (X) — фе (X) Ьг (X)

имеет носитель в области S2. Рассмотрим функции

n(X) = f-V2(X)^(X) и ae(X) = f-l/ЧMфs(^)^^);

их разность есть

аг (X) - а (X) = (f-V2 (Х) ф8 (X) ^ (X) - /)-а (X),

где, согласно (1.14), ^|n8(X)-a(X)fMX<

< $Ilf-1/2(X)<ре(Х)Г^ (Х)-/р.||а(Х)Г - О

при е—^0. Таким образом, функция а(X) = f-1/2 (K)b(X) из пространства Я*(5), S = S1US2, входит в замкнутую линейную оболочку Я*^) V Я*(52), поскольку аппроксимирующие функции ае(Х) допускают разложение

«е (X) = f"^ (X) ф8 (X) b, (X) + /~ ^ (X) ф8 (X) b, (X),.

в котором первое слагаемое входит в пространство Я* (SJ, а второе —в пространство Я*(52).

Равенство (1.15) доказано.

Предположим, что пространство X является конечномерным, а спектральная плотность f(X) при почти всех X Rd обратима и удовлетворяет условию

(1.16)(1.16)

(1.16)

(1.16)

— напомним здесь, что f (X) при почти всех X является положительным ядерным "оператором и в случае обратимости обратный оператор f-1(X) может быть ограниченным лишь в конечномерном пространстве X.

При условии (1.16) можно явно указать семейство функций ^-экспоненциального типа (1.12), удовлетворяющих требованиям (1.13), (1.14).

Можно ' выбрать такую монотонно возрастающую функцию g (г) ^ 1,

ОО,

о

что при любых е > 0, г0 > О

sup If/-1 (А) IIlim г— < oo.

г->~g(er— г о)

Существование мажоранты g(r) очевидно, например, если условие (1.16) выполняется в несколько усиленном варианте, а именно, если*)

со

J log sup If"1 (р-^ (г)) I dr < оо (1.16а) о |иЮ

для некоторой монотонно возрастающей функции к (г). В качестве g^ можно взять функцию

§ГМ = sup |И"1(и^(г))||.

I Н ( < г

Временно введем переменное X^R1, взяв аналитическую, в верхней полуплоскости функцию а (г) с граничным значением а (А),

]а(Х)|в =Ц—, X^R1,

1(i + lXDi-'gdXD

имеющим преобразование Фурье

«(0 = ^- J e"£Wa(X)dX, t^R1,

которое обращается в 0 на отрицательной полуоси t ^0* скажем, можно определить функцию a(z), Rez>0, из" вестной формулой

а(г)=ехр/А J Jog | а (X) |«Ш? ^Л- 00'

1 *) По поводу существования нужной нам мажоранты в общем случае см., например, Ронкин Л. И., ДАН СССР, т. 42, № 5, 1956.

8 Ю. А. Розанов

Комплексно сопряженная функция a(z) будет аналитической в нижней полуплоскости Rez<0 с траничным значением a(X), имеющим преобразование Фурье a (t), которое обращается в 0 на положительной :Полуоси /1^0. Очевидно, произведение

и^ — и^^а (/ + 1)а(/ — 1),Z^^1»

представляет собой ограниченную функцию с носителем supp и с [—1, 1J. '

Выберем параметры и6 и Хо так, чтобы n(/)d/ = 1.

Для преобразования Фурье функции а (О, f €R\ мы имеем выражение

ср (X) = ^ czxzzz (/) <j/ =

= «о $ е"^а(р+У е* to"x>a(p—^^X^R1.

Учитывая монотонность функции |а(Х)[, легко получаем следующие оценки при | X |/2 ^ | Хо ]:

|ф(М К |«01. J |a(p+X0)|-|a(p—X)|dp

A — оо

<i«jj»W-imx

Положим

Ф1(п) = Ф(Н1) • • * ф(На), ^ = (^1» • • ’♦ ^>€^*<

Если взять А равным значению pft, | р.Л | = max | цу | по координатам точки р, £ Rd, то окажется, что при достаточно больших | ц | |ф1(Ф)|ЧШ'1^

согласно первоначальному выбору функции gp), г > 0. Очевидно, функции'' ■

Фе W = Ф1 W 7, X£Rd/ (1.17) удовлетворяют всем требованиям (1.12) — (1.14).

Итак, при условии существования Е-экспоненциального семейства (1.12), что имеет место при условии (1.16), для стационарной функции £ (/), t £ Rd, со спектральной плотностью / (А) и порождаемого ею случайного поля -

//(S)= V £W*x), S^R< (1.18) t e S, x e X

справедливо следующее предложение.

Теорема. Семейство

определенное для всех открытых областей S е Rd, ограниченных или имеющих ограниченное дополнение Sc—Rd\S, является аддитивным.

Мы назвали ранее такое семейство сопряженным случайным полем по отношению к Н (S), SeT (см. § 3 гл. 3).

Марковские свойства стационарных функций

1°. Свойства марковости при наличии сопряженного поля. При рассмотрении в нашем § 3 гл. 2 общего свойства марковости случайного поля

/7(5)/ S^T = Rdречь шла о взаимно дополнительных областяхs\^s, s8 = /?d\sБ*4 -

с разделяющей границей Г 2 dS, для которых Н (Гс), е > О, расщепляет пространства Н (SJ и Н (S2).

Предполагая, что одна из областей Sv S2 является ограниченной, построим разделяющую их границу Г следующим образом. Пусть Л —некоторая (ограниченная) окрестность точки / = О и S + L означает множество всех точек вида s + C где s^S, t^L; положим

(2.1)

Случайное поле будем называть L-марковским, если оно является марковским по отношению ко всем областям S 2 Rd, ограниченным или имеющим ограниченное дополнение, с разделяющей границей типа (2.1).

Отметим, что случайное поле является марковским в смысле нашего основного определения, если оно /.-марковское для любой окрестности L или, формально, если 140} ■

/Согласно результатам в § 3 гл. 2 свойство L-марковости равносильно соответствующему свойству ортогональности сопряженного поля, а именно,

//*(Sre) J_^(S28),® > О,

где в целях сокращения обозначений введены

Sr8-(S2UHC Sr = (S?uP)C

Для стационарной функции 1(0, t^Rd« со спектральной плотностью / (X) в гильбертовом пространстве X указанное свойство ортогональности можно выразить равенством

$(Г,/1(ЧМЧ, f-'/’Wb.wjd^o, (22) M8(Sr6), b.e.Bisfk

(см. (1.11)).

Условимся называть обобщенным преобразованием Фурье оператор /-1 (/), заданный равенством

$ tr 'Л <ч 6. (ч. г'- т ь, (л» ах=

= 5$(/^(s—0бж(5), Ь,(0)ЛШ

§ 21 МАРКОВСКИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ФУЙКЦЙЙ ^ на всех парах функций Д (s), ba (/)), определенных как преобразование Фурье функций bt^, 62(Х) типа (1.9), для которых хотя бы один из носителей

K^supp^, /(2--supp^ является компактом. Формально наша «обобщенная функция» /-1 определена для пары переменных (s, /), точнее, для пары «основных функций» (Ьи Ь^, но она не меняется при сдвиге (s, /)--+(s-j-u, Z + u), п £ Rd, что позволяет считать ее зависящей от разности s— t.

Пусть 3— некоторая область в Rd; условимся считать, что /“1(/1— /2) = О при —/2^3, если /-1 обращается в О на всех «основных функциях» ^bv Ь2) с такими носителями suppd1 = K1 и supp&2 = K2, что

Условие (2.2) равносильно тому, что /-1 (/) = 0 вне замыкания L — L, другими словами, что носитель supp/-1 нашей обобщенной функции лежит в указанной области:

supp/-1^L — L.(2-3)

Действительно, пусть выполнено условие (2.2). Возьмем произвольную пару (6П Ь^* с такими носителями /C1 = suppb1 и /C2 = suppb2, что

K^^R^b-^Y

Выбрав 6 > 0 так, что 26 меньше расстояния от замкнутого множества Кт—^2 до компакта (L—Ц и взяв 8<6, получим, что Кг и К2 лежат вне замыкания соответствующих областей S2 и Г8 s (S2 + L)8 и U Ге г (5Х + L)8 при Si = (Л1 — L)6, т. е. что

К^Зг8, K^S;\

Это видно из неравенства

ls2 —(Si—/х + /2) 1 = 1(5!—sa)—(/i — /2) О 26 > 6 + е для всех sv£Kv зг^Ка и tu ta£L, и неравенства

|si — (^i + /a)| = |/i — (S!-Z2)[>6

230" " ЁЕктОРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ . (гЛ. 4

для всех SiC^n С С $2 и t^L (напомним, что S2 означает дополнительную область к SJ. Таким образом, при условии (2.2) справедливо включение (2.3). С другой стороны, для любых взаимно дополнительных областей Sn S2 и функций (&1( Ь2) с носителями

Kt =supp^ с Sf8,Sf8 — (S2 и Г8)С

Х2 ^=suppha s Sr8, Sy8--^ U Г8)< где

•Г = (SH^L) A (S^^

мы имеем-

' Sy8 —= L cSn S^—L^ S?~7, S2;

скажем, если s^Sp8, то s^F и s, — L лежит в Sn поскольку в противном случае sx — tQS2 при некотором t^L, _

•$! — (S| — О -г € (Sa Н~ L) П (Sj -Г- L) — Г.

Следовательно, замкнутые множества

K^L = Kt — LeSvM^K/Ic^

не пересекаются, и потому‘

| (st - ti) - (s2 - /2) ] = I (Si s2) - (z—cj I ^ p :> 0

при всех Si G Kv. s2 С K2 и Z. k^L, так что Kx — K2 = _^Kt — K3 не пересекается с L — L = L — L (напомним здесь, что множество L и один из носителей KiSSf.8, K^S;- являются компактами). Таким образом, носители Кг, К2 функций ЬТ1 Ь2 таковы, что обобщенная функция f-1 типа (2.3) обращается в 0 на (bv &2), т. е. имеет место равенство (2.2).

Итак, для стационарной функции ^ (/), t С Ad, и порождаемого ее стационарного поля (1.18) при наличии сопряженного поля справедливо следующее предложение.

Теорема 1. Условие (2.3) необходимо и достаточно, чтобы стационарное поле со спектральной- плотностью / (X) было L-марковским. '\

Как следствие получаем, что стационарное поле является марковским тогда и только тогда, когда,

suppp = {0).(2 Л)

2°. Некоторые аналитические условия марковости. Пусть для спектральной плотности ЦХ) существует Е-экс- поненциальное семейство функций,,

феи)= $ etMu4(Odt1

E = ^\tk\<^,6=1, ...» d\y

со свойствами (1.12) — (1.14).

Лемма. Стационарное поле является L-марковским тогда и только тогда, когда интегрируемая функция

gHAHq^Wf-1^)^)

имеет преобразование Фурье с носителем

suppg^c^L-VE^-^L-V-E).(2.5)

Доказательство. Пусть стационарное поле является /.-марковским. Тогда выполнено условие (2.3). Покажем, что из него следует условие (2.5). Возьмем произвольные, х, у^.Х и функции . .

ЬДХ^е^ДХ^В^, К,-Е • t, bW = <PeWy€S(K2),К, = Е.

Мы имеем~ I<

S^Utto*. МХ-^"^^^, f-'h(X)b,(X))dX^O, f$(L+E)-(L + E), „

поскольку при любом//находящемся на расстоянии 6 >О от множества (L 4-Е) —(Е + Е),

Н[(*+О-*,]-(<,-А)|»е>0

при всех sn s2£E и /lt ta^L, множество,Кг—К2 лежит вне L — L.

Вывод условия (2.3) из (2.5) несколько сложнее. Для функции Ь^Ц^В^К^ с ограниченным носителем К = =supp5(/) интегрируемая функция ||5(А.)|| является ог*

раниченной й интегрируемой в квадрате:

^J||WdX = £^j|(b(X),^

= 2$|(Ь(0, x.)|2d/=$||b(i)||"di, к

где {хА}—ортонормированный базис в X и

II 5(0 IIII 5(0 II

II 5(0 II

II 5(0 II

l|6OTII=(Sl(b(M, ^^’^JllSWIId/o».

При почти каждом фиксированном X g R4 оператор f-v.(X)<p,(X) ограничен в X, и мы имеем

Ь(Х) = 2(6(Х). хй)х„к

f V* (X) ф8 (X) ь (X) = S (Ь (X), Хл) f -1^ (X) Фе (X) Хк,

причем здесь имеет место сходимость не только почти всюду в X, но и в пространстве J?72 (R4, X), поскольку ПО условию (1.13) функция Ц^е(^) || = Ц/-*^ (Мфе(^)Ц2 ИН"

п

ограничены, так чтопограничены, так чтоп22тегрируема, а частные суммы 2 |(^(^)> х*)[2 равномерно к=т

ограничены, так что

п

ограничены, так что

п

2

2

2 (Ь(Х), ^)/-‘/.(Х)ч>е(Х)х1 dx<

<W« WII S |(6(Х), XtM’dX^O

к=т

при т, п—^оо. Возьмем теперь произвольные Ь^ = ЬХ^^В^ Ь2^^В(К^

с такими носителями зирр&^К^К, suppb2^X3,

что замкнутое множество Хт— Ка лежит вне компакта

L — L. Мы имеем

= lim Vkr^k^WW. f-^^^^^)dK ₽ о

где

f-'/«W4>eWhW = 3(b«W. х^Г^МфДЧ^,-

и чтобы вывести условие (2.3) из (2.5), нам достаточно показать, что

j(^W* ^(Г^^^х., г'^ч^ьа^

= ^Ф1(ХУ XkAge^Xfc, bA'K)’)dk = 0

при малых е > 0. Мы имеем

**)!«: II ММ II < с.

21 (й« W ^- М (ММ. М I <

«IlgeWinirMMMMHHMII'/’,

где два последних сомножителя интегрируемы в квадрате, а норма ||^е(М|| при условии (2.5) является ограниченной, так как носитель supple(/) ограничен. *Поэтому

J (^1 (А)» **) (ge (М хк, b2 (X)) dX =

= 2И(М^). ^Ж(М^ Х^ФАХУ X^dX =

^^^ Фг^У хк)^А&—^хк, х^фАЛ. xAdsdt = 0 при всех e > 0, ддя которых замкнутое множество Кг—К2 лежит вне компакта (L-pS1)—^L-УЕУ Лемма доказана.

Рассмотрим L-марковское свойство в случае окрестности типа'

£-R = K' lM<pft, ^=h ,,., dV

Теорема 2. Стационарная случайная функция со спектральной плотностью f(X) является L-марковской, если f-1(X) есть (L—Еу экспоненциальная целая функция.

Напомним здесь, что в случае окрестности R указанного типа целая аналитическая функция g (?) комплексных переменных z — (zv .zd) называется ^-экспоненциальной, если для любого 6 > 0 справедлива оценка"

( d )

II^(Z)IKCdexp j 2 (Ra + 6)|z*lL

где Сб —постоянная. Мы используем тот хорошо известный факт, что если R-экспоненциальная функция интегрируема как функция g(K), X^R4, действительных переменных X — (Ап AJ, то она имеет преобразование Фурье с носителем

/g^e\t; I^Kp^; к = \,d\.

v Очевидно, в случае (Л—Л)-экспонснциальной функции f*1^), где#

L-Lf* |^|<2^^=1,d\,

соответствующие-

6Ге(^) = ф8(^)/-1(^)Фе(^)1

являются [(L+ £) — (£-|-Е)]-экспоненциальными функциями, отвечающими окрестностям

HL-VEy-(L^E^V- 1^<2(рд + еД А^^^

и следовательно, выполняется условие (2.5) нашей леммы о свойстве А-марковости.

Формально положив А = {0}, из нашей теоремы 2 получаем следующее предложение:

Стационарная случайная функция со спектральной плотностью f(X) является марковской, если /-1(А) есть, целая функция минимального экспоненциального типа.

Напомним здесь, что речь идет о марковском свойстве по отношению ко всем областям S е R4, ограниченным! или имеющим ограниченное дополнение, для которых мы установили ранее условие сопряженности (см. теорему п. Г).

Остановимся подробнее на случае спектральной плотности f(X) типа

у ' cmiMdX<oo. Г (2.6) . и ■ i 'Dz

В этом случае обобщенное преобразование Фурье J~l(t) можно определить как обобщенную функцию !

-t^^-T^Utof-HMdX. u6CnRdK где., ;..... .

; ' utk) = ^e^u^dt.

Отметим, что обобщенную операторную функцию р1 можно определить с помощью скалярных обобщенных функций

.^ = (Г1^х,у£Х,-

каждая из которых есть стандартное (обобщенное)' преобразование Фурье-

й^у-.НХУх, у)dk, и^С;1Р4У

Покажем, что полученное ранее условие (2.3) остается в силе, если f-1 понимать именно как это стандартное преобразование Фурье.

В самом деле, взяв вектор ные: функции bx (X) = иг (X) х, b2 (X) = u3 (X) у со скалярными uv и2 £ С» (Rd) и произвольными х, у^Х, из условия (2.3) получаем $>V,(X)MX), Г^^

= ^ «! (X) й2 (X) (f-1 (X) х, у) dX = (и^Нз, f;^ = О

для таких носителей ^^suppu! и К2 = supp u2, что Ki — ^2 лежит вне L—L. Поэтому в отношении стандартного преобразования Фурье f-1 мы имеем включение

supp/^O^T^-(2.7)

С другой стороны, из этого нового условия вытекает условие (2.3) в прежнем его смысле. Проверить это можно, например, с помощью нашей леммы о свойстве A-марковости, в которой применительно к спектральной плотности f (X) типа (2.6) можно взять А-экспоненциальНое семейство вида

<ре (X) = м (еХ)/, выбрав любую функцию u^C”(Rd) с носителем .в области |/|^1, \и ^dt = \, Очевидно, из нового условия (2.7) вытекает условие, (2.5), которое равносильно прежнему условию (2.3).

То же справедлив» и в отношении условия марковости (2.4). Ясно, что это. условие марковости можно выразить

в форме .

suppfx.^^ W, х, у^Х, (2.8) и, как хорошо известно, для функций f-xQ^ типа (2-6) условие (2.8) означает, что (f-1 (X) х, у), х, у^Х, есть полином от X £ Rd.

Сформулируем этот результат в виде следующего предложения.

Теорема 3. Стационарная функция Ъ,{1), t^Rd, в векторном пространстве X со спектральной плотностью f(k) типа (2.6) является марковской тогда и только тогда, когда при любых х, у £Х скалярное произведение (f-1 (X) х, у) есть полином от K^Rd.

Марковские расширения случайных процессов

1°. Минимальное неупреждающее расширение. Под случайным процессом мы будем понимать пространство- функцию

H^ = UtX, t^T,(3.1)

от действительного параметра t— времени (пробегающего некоторое множество Т г R1), где Ut означает семейство линейных непрерывных операторов из некоторого (гильбертова) пространства X в пространство ^(Q, 91, Р) случайных величин на вероятностном пространстве (й, 91, Р).

Введем корреляционную функцию

B^t,s) = U*tUs, s, t^T;(3.2)

отметим здесь, что

(B(t, s)x, y) = (Usx, Uty\ x,y^X.

Говоря о марковости процесса (3.1), будем иметь в виду традиционно понимаемое марковское свойство (в широком смысле), выраженное соотношением

Р (Я-.*) Я/.- = *(*). t^T, (3.3)несколько изменив для удобства прежние обозначения:Я—,( = Я(-», О, Ht, _ = mt, оо),

Р(Я—, ,)=Р(-оо, /).

и обозначив Р (Н) оператор проектирования на соответствующее пространство Н—сравни (1.14) гл. 2).

Предположим, что оператор В(/, t) = UtUt при всех t является обратимым. Положив

U^U^i^t, t), H^ = UtX,

мы будем иметь дело с пространствами Н (ty= H(0, t^T, и корреляционной функцией

Рассматривая далее случайный процесс (3.1), будем считать, что

В(^, 0 = L t^T.

Покажем, что свойство марковости (3.3) равносильно следующему (полугрупповому) свойству корреляционной функции:

B(s, w) = B(s, /)В(/, и\ s<_t^u.(3.4)

Действительно, условие В (/, f)=tJtUt = I означает что оператор Ut является изометрическим и сопряженный к нему оператор U* есть

о, h^H^A-,

так что UtU*t = Pt есть оператор проектирования наЯ(0; свойство же марковости (2.3) можно выразить равенством

(Uux~ PtUKx, Usy^ = 0,s^t^u; x,y^X>или, что то же, равенством (3.4):щи.-иии^и^

Итак, имеет место следующее предложение.

Теорема 1. Случайный процесс является марковским тогда и только тогда, когда его корреляционная функция удовлетворяет уравнению (3.4).

Будем называть случайный процесс Н(/), t^T, расширением процесса РЦ1\ t^T, если имеет место включение

^sH^ Л?.?

' Естественно поставить вопрос оминимальном марковском расширении Я0 (/), / £ 7, обладающим тем свой- ством, что

Н»^еН^, t^T,

для любого марковского расширения (в том или ином рассматриваемом классе). Отметим, что этот вопрос нельзя ставить в отношении" всех марковских расширений. Скажем, для тройки Hv Н2, Н3 в общем случае естественным минимальным расширением будет

Я? = я/ Я^-Я^, н»-н5,

но каким свойством минимальности оно обладает по отно-- шению к марковскому же расширению

Н^Н^ Н3 = Н^Н3, Н^Н^

Расширение Н^, t^T, назовем неупреждаюгцим, если

Рф-^Н^-Р^Н.^Н^(3.5)

Тривиальным примером неупреждающего марковского расширения является Н (/) — Я.*,, /, t С Т.

Теорема 2. Для любого процесса Я ^Л ^Т, имеется минимальное марковское неупреждающее расширение Нй (/), t^T; это расширение образовано пространствами

Я0 (/) = Р(Н «.(3-6)

Доказательство. Минимальность расширения (3.6) очевидна, так как для любого марковского неупреждающего расширения Я (/), t^T, мы имеем

HW = P(H__t)H^^

Покажем, что случайный процесс Я0 (/), t^T, является марковским. По определению Я?, „ есть замкнутая линейная оболочка пространств Я0 (ц) — 7 (Я_№1 J ЯИ1 ж, и"^^ Взяв любое неупреждающее марковское расширение

H(tY t^T, будем иметь :

Р (№..;,) № № = РкН<„.,) Р (Н_„ ,) Н„ _ г Д ! .

= р (»•-.,,) Р <Й t) Р (Н^, .№,„3

sP(H^,t)P(H^,t)H.^S :£P(H<L..l)P(.H^,^Ht^S

: v ■ S Р ^Н^П^НЩУ Следовательно,

что и доказывает марковость процесса //“(/), t^,T.

2°. Марковские стационарные процессы. Обратимся к общему стационарному (в широком смысле) процессу Н ^ на действительной прямой 7 = (—оо, оо); стационарность означает наличие непрерывной группы-унитарных операторов Ut, «сдвигающих» пространства Н ^ с течением времени I:

H(t) = UtX, Х-Н^,— оо < ^ < оо,(3.7)

(считается, что операторы Ut определены в замкнутой линейной оболочке пространств Я (/), —оо < / < оо).

Взяв здесь X = Н (0) в качестве «параметрического» пространства, можно охарактеризовать рассматриваемый стационарный процесс с помощью корреляционной функции В(Д — оо < / < оо, значением которой в каждый момент времени t является оператор В ^ в пространстве X вида

;. B(t^PUtP,

где Р есть проектор на X. Очевидно, рассматривая сужение операторов Ut, —oo<t<oo, на пространстве Х = Я(0), как и в формуле (3.2), получаем

■. B(/,s)-B(s-/).= ^X

и для стационарно связанных скалярных компонент

|Х(/) = Я^,— oo<z<oo, Х^Х, - ;

случайного процесса H(tY—UtX мы имеем

<B<t—sYx/y^ = ^xU^AyW» — 6d<s,/<oo. (3.8)

Корреляционная функция В^ представима в виде интеграла Фурье по некоторой положительной операторной мере dF (X):

J e^F^dX). (3.9)

Эта мера F (dX), называемая спектральной мерой стационарного процесса, тесно связана со спектральным семейством Е (dX), — оо < X < оо, в представлении Стоуна

Ut = ^ elWE (dX), —оо < t < оо,

для унитарной группы Ut, а именно:

F (dX) = РЕ (dX) Р.

Пусть //(/), —оо < / < оо,— стационарный марковский процесс. Его корреляционная функция обладает полугрупповым свойством

B(Hs) = B(/)B(s), t, s>0,(3.10)

(см. (3.4)), причем

В(-^ = В^.

Предположим, что корреляционная функция В (/), /^0, непрерывна в операторной норме. Тогда, как известно, будучи решением уравнения (3.10), она представима в виде

В^ = е"а\ f>0,(3.11)

где а — некоторый линейный оператор; в частности, формула (3.11) имеет место в случае конечномерного пространства X.

Напомним, как можно получить показательную формулу (3.11). В силу непрерывности

Р(/)-/|Но, / — о.

при достаточно малых / существует ограниченный обратный оператор В(/)-1. По той же причине для достаточно близких tv t2 ограниченный обратный имеет опе-

—► 0 при tv t2 —* t.—► 0 при tv t2 —* t.ратор ^B(s)ds,

—► 0 при tv t2 —* t.

—► 0 при tv t2 —* t.

§3] МАРКОВСКИЕ РАСШИРЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 241

hhСогласно уравнению (3.10)Согласно уравнению (3.10)

h

h

Согласно уравнению (3.10)

Согласно уравнению (3.10)

Из выражения в правой части видно, что существует предел (по операторной норме)

iimл-> оiimл-> оВ W — IhВ W — Ih

iimл-> о

iimл-> о

В W — Ih

В W — Ih

определяющий так называемый производящий оператор для полугруппы B^ty Z^O. С его помощью из уравнения (3.10) выводится дифференциальное уравнение

AB(t') = -aBW, t>0

B^ = L

решением которого и является показательная функция (3.11).

Отметим, что наша корреляционная функция В(/) удовлетворяет условию (В(0||^1. Из уравнения (3.10) следует, что если норма }В(^)Ц не равна тождественно 1, то функция ||В (ОД, t-^-oo, экспоненциально убывает и существует преобразование Фурье функции

-1 e~at-1 e~at0,0,

-1 e~at

-1 e~at

0,

0,

о,

которое дает нам спектральную плотность f СЦ = F (dX)/dX:

f(4 = ^ ^ e-^B^dt-

= ^ (iKI + в)'1 (а + а*) (-iKI + а*)"»,(3.12)= ^ (iKI + в)'1 (а + а*) (-iKI + а*)"»,(3.12)

= ^ (iKI + в)'1 (а + а*) (-iKI + а*)"»,(3.12)

= ^ (iKI + в)'1 (а + а*) (-iKI + а*)"»,(3.12)

где обратные операторы (1X1Ч-а)-1 и (—/Х7+ ц*)-1 существуют, поскольку оператор а может иметь чисто мнимые собственные значения лишь при условии ||.e“et^ 1.

Формула (3.12) показывает, в частности, что в конечномерном случае, когда речь идет о матричной спектральной плотности /(X), ее элементы являются рациональными функциями.

Рассмотрим конечномерный стационарный процесс Н (I), —оо, < / < оо (каждое из пространств Н (Г) является конечномерным). Предположим, что он является регулярным:

П//_а = 0.

Тогда его минимальное марковское расширение Н6^)^ — оо < t < оо, согласно формуле (3.6) также будет ста* ционарным регулярным процессом.

Предположим, что процесс Я°(/), — оо < t < оо, является конечномерным. Тогда его корреляционная функция B°(t) будет обладать тем свойством, что

|]B°(Z)nO,. t-^oo,поскольку, согласно условию регулярности, для' любыхфиксированных х, у С Х° = Я°(0) мы имеем фгх, у)—*0,—оо. Следовательно, процесс //“(/), ■—оо < / < оо,имеет спектральную плотность (матрицу) /°(Х) типа (3-12)с рациональными элементами. Очевидно,в^ = рвч^р, 1

где Р—оператор проектирования на пространство Н (0) и К^РН^Р .

есть спектральная плотность исходного процесса Н ^, — оо < t < оо. Ясно, что в матричном представлении все ее элементы будут рациональными функциями. Говоря о матричной спектральной плотности / (X), мы имеем в виду, что в «параметрическом» пространстве X выбран базис хп ..., хп и операторная функция / (X) задается матрицей с элементами

fk] W ~ (/ W хк'ХГЬ / = ^ ’ " ‘ - в случае; когда все эти элементы являются рациональными функциями от X, — оо < X < оо, будем называть- матричную функцию f(X) рациональной.

Как хорошо известно, всякий конечномерный стационарный процесс, имеющий рациональную спектральную Плотность / (X), допускает конечномерное неупреждающее марковское расширение.

Коротко остановимся на одном из таких расширений, которое можно получить, исходя из надлежащей факторизации интегрируемой рациональной матричной функции f (X) ранга т:

Где Р (г) есть некоторый полином с (пхт)-матричными коэффициентами степени не выше I— 1, a L (?) —скалярный полином степени /, все нули которого лежат в левой полуплоскости. (Указанная факторизация связана известным образом с тац называемым «обновляющим процессом».) Именно, можно выбрать т ортогональных между собой процессов «белого шума» '

Л/(0* / = L ••♦, т, порождающих «прошлое» рассматриваемого стационарного процесса с компонентами

^й (О ^Д^к'<^° < ^ < ^® ’^1» . . . , H,

точнее, при каждом / соответствующее пространство Н.^ есть замкнутая линейная оболочка величин

(и, -Пу),и^С”^— оо, ty j=l,...,m.

Далее, можно определить стационарные функции

(,•(0 = ^(0),j=V...,m,

каждая из которых связана с соответствующим «белым шумом» лСО'-дЧО стохастическим дифференциальным уравнением (1.21) гл. 2, отвечающим оператору L — L(d/dt). Стационарный (/хт)-мерный случайный процесс Н (/), — оо < / < оо, где Я (^) есть замыкание значений случайных функций (у (/). и всех их производных до порядка /—1, является неупреждающим марковским расширением исходного процесса Я (/), —оо <t < оо, поскольку каждое значение ^к^ есть линейная комбинация компонент £у(/) и их производных в той же точке t с соответствую-

щими коэффициентами, являющимися элементами матричных коэффициентов полинома Р (г) степени не выше/—1 в исходной факторизационной формуле для спектральной плотности / (X).

В итоге, с учетом формулы (3.6), для конечномерного стационарного процесса Н ^ty — оо < / < оо, с матричной спектральной плотностью /(X) получаем следующий результат.

Теорема 3. Минимальное марковское расширение

Р 1Н_^ D Ht. „,—оо < / < оо,

является конечномерным тогда и только тогда, когда спектральная плотность f (X) является рациональной.

3°. Стационарные процессы с симметричным спектром. Обратимся к случаю «симметричного спектра», предположив существование спектральной плотности f (X),

f(_X) = f(X),— оо<Х<оо; (3.13)

уточним, что здесь f (X) есть интегрируемая по норме положительная операторная функция в гильбертовом пространстве X, и соответствующая корреляционная функция есть

В (?) ~ ^ e^f (X) dX, — оо < t < оо.

При условии (3.13)

В* (?) = В (—/) = $ е- iXtf (X) dX = $ e^f (X) dX = В (?),

так что в (3.10) мы имеем дело с непрерывной полугруп-пой самосопряженных положительных операторовВ(/)-В*(//2).В(?/2),?>0.

Как известно, экспоненциальная формула (3.11) справедлива для полугруппы такого рода при условии

|S(D|«1, ^0, точнее, при этом условии

В (?) = $ е- ^Р (da),t> 0,(3.14)

о

где Р (da), a > 0,— проекционное семейство в спектральном представлении

— a = — J a dP(dot)

с-' <.':-'-о

производящего оператора

-r 5(A) — /

■ —a = hm — /—

(а — положительный самосопряженный Оператор).

Как иллюстрацию к сказанному рассмотрим один пример, имеющий самостоятельный интерес.

Пусть

— стационарная обобщенная случайная функция со спектральной плотностью вида

h)=j^+p; яея1 нё^-1,(3.15)

где а (р) — некоторая положительная функция переменного

0 <c1<a(p)3<c3(l + |р|2)г.

■ Положим

где Г — граница, разделяющая полупространства

Sr —(—оо, b)x/?d-1,S2 = (0, oo)x/?d-1;

напомним, что'

.Я+(Г)= п #(Г8),.

е > 0.

Н (Г8)' есть замкнутая линейная оболочка всех величин ^(u), . supp и с Г6 = (—е, 8)x7?d-1.

Имея в виду изоморфизм т)<-кр(Х, р), который дает нам спектральное представление ■

Я = 5 $ ф(^» p)O(dXdp).

R1rS-v .

(см. (2.5) гл. 3), можно сказать, что Н+ (Г) есть пространство всех таких функций <р (р), р £ Rd-X, что

$ 1ф(н)12^(н) < °°.

где

£(н) = $ ЦК p)dK

R1

Р Е^"1.

Покажем это. Для спектральной плотности типа (3.15) соответствующее условие сопряженности справедливо по отношению по всем открытым областям S ^ Rd (см. гл. 3, § 3) и для S = ST и S2 мы имеем

^(^^^(^US,)..

Очевидно, всякая функция ф (X, р) £ Н* (Г) определяется условием ортогональности

0 = \ \ [ц (X) ц(р)] у (X, р) ф (X, р) f (X, p)dXdp =

Rx R^

и (р) у и (X) ф (X, р) dk zfp,

R4”1R4”1Я1

R4”1

R4”1

ибСо"^-1), «е^^ХМ)

где

T(^ H) = (2^f (^ P)"1

(cm. (2.16) гл. 3) и

J и (X) ф (X, p) dk = 0 при п. в. p^R^1

для всех u^C” (^XW). Видно, что функция ф(Х, p) no переменному X £ 7?1 есть преобразование Фурье обобщенной функции с носителем в {0} и, следовательно, ф (X, р) есть полином от Х^Т?1; с учетом условия

$ | Ф (X, р) Р^Х, p)dX < оо при п.в. рЕ^"1»

R1.

где /(X, р) имеет вид (3.15), окончательно получаем, что функция ф(Х, р) является постоянной по переменному k^R1: ф(Х, р) = ф(р), что и требовалось доказать.

Рассмотрим стационарный процесс

< UtXf —oo<t<o61 l (3.16)

где Х = НДГ) и Ut = Uu^ есть унитарная группа, связанная с исходной стационарной функцией: Ut есть сдвиг вдоль координатной оси переменного t £ Rx*

Как уже отмечалось, пространство X можно отождествить со стандартным гильбертовым пространством функций ф (pi)t р £ Rd-\ интегрируемых в квадрате с весом g(p). Очевидно, наш стационарный процесс имеет спектральную плотность f (X), представляющую собой оператор умножения на функцию

•(3.17)

что следует из равенства .,

$ е^ ( [f (X) ф (р)] ф (р) g (р) dp dX =

' ’' — S $ ^ф (р)ф(р)/(Х, p)dXdp

для любых ф, ф ^Х. Как легко проверить, корреляционная функция/ .*

в гильбертовом пространстве X есть оператор умножения на функцию '. '. ,'

e-a0Dl/|,р^^-1,(3.13)

и мы имеем дело с, невырожденной полугруппой положительных операторов B^t\ 1^0, для которой производящий оператор есть оператор умножения на функцию — Я(р), р^ R^1.

1 Отметим, что марковость стационарного процесса (3.16) означает марковость стационарной функции со спектральной плотностью (3.15) относительно полупространств.

S^(— op, ^xR^^R4."

Глава!

§ 1

Содержащийся здесь материал в более подробном изложении можно найти в различных руководствах по теории меры и теории вероятностей; в частности, систематическое изложение вопросов теории распределений в метрических пространствах имеется в [41].

§ 2—4

Описанный здесь выбор условных распределений использовался в свое время в теории динамических систем для разложения на эргодические компоненты (по этому поводу, см., например, [11]). Общий вопрос о существовании согласованных условных распределений рассматривается, по-видимому, впервые. Относящиеся сюда результаты п. 3 § 4 получены (и изложены здесь) С. Е. Кузнецовым. Согласованные условные распределения дискретных «случайных полей» нашли важное приложение в некоторых задачах статистической физики (относящуюся сюда проблематику и соответствующую литературу можно найти, например, в [42]).

§ 5

Разнообразное использование полиномов Эрмита для гауссовских распределений хорошо известно; списанные здесь свойства полиномов Эрмита от многих переменных (в частности, свойства их условных математических ожиданий) отмечались ранее в [13]. Многократные стохастические интегралы в теории вероятностей были введены в работе [28]. Некоторый дополнительный материал имеется в [2].

Г л а в а 2

§ 1

Одним из первых примеров, когда традиционно понимаемое свойство марковости трактовалось в более широком смысле, было введение так называемых сложных марковских цепей. Другим примером может служить класс процессов, поведение которых вне конечного интервала времени при фиксированных значениях на его концах не зависит от поведения внутри этого интервала (гауссовские процессы такого типа подробно рассматривались в [29]; ранее аналогичное «чисто марковское свойство» для гауссовских изотропных

полей рассматривалось в [23], [49]). Первое понятие марковости обобщенного случайного процесса было предложено, по-видимому, в [48]. Одно из первых исследований свойства марковости для случайных функций многих переменных было проведено для «броуновского движения Леви» в работе [35] с использованием общего понятия расщепляющей о-алгебры.

Термин «случайные поля» неоднократно употреблялся в том или ином смысле, отражая наличие многомерного параметрического пространства Т\ наиболее часто он использовался при рассмотрении случайных функций ^(f), t^T, а наиболее широкий смысл этот термин получил в ряде работ, где рассматривались о-алгебры событий 91(5), ScJ, удовлетворяющие условию монотонности (1.25) — (см., например, [5], [6], [3]). Наше понятие случайного поля 91(5), S^T, включает условие аддитивности (1.24), без которого многие важные предложения о свойстве марковости становятся бездоказательными или даже ошибочными — мы имеем здесь в виду, прежде всего, что именно при условии аддитивности необходимое во мно-. гих случаях расширение соответствующей расщепляющей о-алгебры снова дает нам расщепляющую о-алгебру. Кроме того, аддитивность оказывается тем свойством, наличие которого позволяет дать удобный критерий марковости в терминах сопряженного поля (см. § 3).

Свойство марковости в применении к случайным полям 91(5), S^T, до недавнего времени наиболее часто понималось в том смысле, что для взаимно дополнительных областей 5! = 5 и S2 — T\S с границей Г = д5 граничная о-алгебра 91+(Г) расщепляет 91+ (5Х) и 9С+ (52)—см. (1.29); по-другому можно сказать, воспользовавшись терминологией случайных процесссв, что при задании «фазового состояния» 91+ (Г) «будущее» 91+ (52) не зависит от «прошлого» 91+ (51). Но при таком свойстве марковости необходимое во многих случаях расширение 91 (Г8) о-алгебры 9Г+ (Г) может уже не обладать свойством «фазового состояния», точнее, 91 (Г8) может уже не быть расщепляющей для 9le(Sj) и 91 (52), что является типичным для случайных полей, порожденных обобщенными случайными функциями. При нашем более сильном'свойстве марковости—см. (1.27) любое расширение «фазового состояния» типа 91 (Г8) снова дает нам «фазовое состояние», при задании которого «будущее» 91 (52) не зависит от «прошлого» 91 (Si).

§2

Выборочные о-алгебры в связи со свойством строгой марковости случайных процессов рассматривались в [26], [36]. Основные наши результаты во многом обязаны работе [3].

§ з

Условия марковости типа (3.14) для гауссовских случайных полей, являющиеся отправным пунктом наших исследований, появлялись во многих работах. В некоторых из них (см. [5], [30]) эти условия перефразировались в терминах «сопряженного поля», определяемого равенством (3.24) и, вообще говоря, не обладающего свойством аддитивности, без которого в соответствующих* условиях марковости обязательным является весьма трудное для исследования первое из условий (3.14) (точнее, первое из условий (3.10) или (3.12)).

Наше сопряженное поле по определению аддитивно, и его введение представляется очень удобным с методической точки зрения, позволяя, По существу, свести исследование марковского свойства к вопросу о существовании ортогонального сопряженного поля.

Г л а в а 3

Некоторые основные сведения об обобщенных случайных функциях можно найти в [1].

Понятие биортогональных обобщенных функций в связи с марковским свойством было введено в заметке [5]. Вложение (1.13), равносильное существованию биортсгональнсй функции, использовалось При исследовании марковсксго свсйства в работе [43]. Условия сопряженнссти (1.21), (1.23) получены в [17], [46].

Оснсвные предложения спектральной теории стационарных функций можно найти в [1] и [И]. Теорема о марковости стационарных функций, спектральная плотность которых имеет вид / (X) — 1 /g (К), где g(X)— полином от X^Rd, была сформулирована в [5]; при дополнительном ограничении

-/(МХ(1 + |Хр)Ч

где l>d/2—целое, аналогичное предложение одновременно псяви- лссь в [43].

'§ 3

Условие сопряженности (3.12) и его следствия о свойстве марковости получены в [17]. Эллиптические билинейные формы типа (3.14) в связи со свойством марковости использовались в [43].

§ 4

Броуновское движение Леви было введено в [34]; его марковость была доказана в [35] с использованием «белого шума», введенного i в [22]; некоторые другие свсйства рассматривались в [4].

' Оснсвные предложения о свсйствах пространств типа W^ можно найти в [8], [18]. Непрерывность обновления марковского поля (теорема 1) отмечалась в [17]. Структура пространства Я+(0) для стационарного процесса изучалась во многих работах (см., например, [33], [19]). Аналогичное теореме 2 предложение о структуре граничного пространства Н + (Г) в случае эллиптической формы порядка 2/ > d, где d — размерность параметрического пространства, ' имеется в [43]; сама теорема 2 приведена в [17]. На свойство марковости при корреляционной функции, удовлетворяющей обобщенному уравнению типа (4.25), указывалось в [7]. Задача Дирихле с ненулевыми граничными условиями (4.30) рассматривалась в [46].11

§5:

Линейные стохастические дифференциальные уравнения с Част-" ными производными типа (5.15) в связи со свойством марковости ' изучались в |17] (см. также J47J). Задачи интерполяции и экстра»’

полиции для различных классов случайных функций рассматривались в [4], [17], [43]. «Броуновский лист», для параметрического пространства любой размерности введенный в [21] под названием «винеровского поля», как пример марковской случайной функции рассматривался в [17] (см. также [50]); из возможных приложений этой функции отметим определяемый с ее помощью стохастический интеграл на плоскости (см., например, [24]).

Глава 4

§ 1

Основные сведения о векторных стационарных функциях можно найти в [11], [14]. Условия (1.12)—(1.14), при которых доказано существование сопряженного поля, использовались в [16]; похожие условия в неявном виде упоминаются в краткой заметке [6] при рассмотрении свойства марковости скалярных стационарных функций. Условие типа (1.16) появилось ранее в связи с исследованием аналитической структуры пространств Н (5) в [9], [10J; аналогичное условие использовалось в [32] при рассмотрении свойства марковости скалярных стационарных функций.

§2

Марковское свойство для векторных стационарных функций изучалось в [16], [46]. Понятие L-марковского случайного поля, которое отражает специфику разделяющей границы типа (2.1), было введено в работе [12] для дискретного параметра t как наиболее отвечающее возможностям спектральных методов (символ L был использован для обозначения окрестности, с помощью которой строится граница, разделяющая «прсшлсе» и «будущее»). Свойство L-марксвссти для непрерывных скалярных стационарных полей рассматривалось в [6], [45], где были указаны условия L-марковости, аналогичные (2.7). Свойство марковссти скалярной стационарной функции, имеющей спектральную плотность / (X) = 1/g (X), где g(X)—целая функция минимального экспоненциального типа, было установлено в [32].

§3

Содержащийся здесь материал примыкает к [15]. Пример со стационарным процессом (3.16) приведен нами в связи с работой [37].

Гельфанд И. М., Ви л е н к и н Н. Я- Некоторые применения гармоничсск( го анализэ. Оснащенные гильбертовы прсстран- ства.— М.: Физматгиз, 1961.

Д обрушив Р. Л., М и в л о с Р. А. Полиномы от линейных случайных функций.— УМН, 1977, т. 32, № 2, с. 67—122.

Евстигнеев И. В. Марковские моменты для случайных полей.— Теор. версятн. и ее примен., 1977, т. 22, № 3, с. 575—581.

Мол чан Г. М. О некоторых задачах, связанных с броуновским движением Леви.— Теор. вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, № 4, с. 747—755.

Молчав Г. М. О характеризации гауссовских полей с марков- ' ским свойством.— ДАН СССР, 1971, т. 197, № 4, С. 784—767.

Мол чан Г. М. L-MapKi вские гауссовские поля.— ДАН СССР, 1974, т. 215, № 5, с. 1054 — 1057/

Молчав Г. М. Брзунс.вское движение Леви на поверхностях отрицательн эй кривизны.— ДАН, 1975, т. 221, № 6, с. 1276—1279.

Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.— М.: Наука, 1977.

Преснякова О. А. Об аналитической структуре подпространств, порождаемых случайными однородными полями.— ДАН СССР, 1970, т. 192, № 2, с. 279—281.

Оревкова О. А. Некоторые проблемы экстраполяции случайных полей.—ДАН СССР, 1971, т. 196, № 4, с. 776—778.

[И] Розанов Ю. Ах Стационарные случайные процессы.— М.: Физматгиз, 19G3.

Розанов Ю. А. О гауссовских полях с заданными условными / распределениями.—Теор. вероятн. и ее примен/, 1967, т. 12, № 3, с. 433—443.

Розанов Ю. А. Гауссовские бесконечномерные распределения,—М.: Наука, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 108, 1968.

Розанов Ю. А. Теория обновляющих процессов.— М.: Наука, 1974.

Р о з а н о в Ю. А. О марковских расширениях случайного процесса.— Теор. вероятн. и ее примен/, 1977, т. 22, № 1, с. 194—199.

Розанов Ю. А. К теории случайных однородных полей.— Матем. сб., 1977, т. 103 (145), № 1 (5), с. 3—23.

Р о з а н о в Ю. А. К работе «Марковские случайные поля и стохастические уравнения с частными производными.»—Матем. сб., 1978, т. 106 (148), № 1 (5), с. 106—116.

Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математический физике.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

Ту тубалинВ. Н., Ф р е й д л и н М. И. О стрсении инифи- нитезимальнсй о-алгебры гауссовсксго процесса.— Теор. ве- роятн. и ее примен., 196 2, т. 7, с. 204 — 208.

Ц з я н - И з е - П е й. О линейнсй экстраполяции непрерывисто сднсродшго случайного поля.— Теор. версятн. и ее примен., 1957, т. 2, № 1, с. 60—91.

Ченцов Н. Н. Винерсвские случайные поля от нескольких параметров.— ДАН СССР, 1956, т. 106, № 4, с. 607—609.

Ченцов Н. Н. Мне п параметрическое броуновское движение Леви и обобщенный белый шум.— Теория версятн. и ее примен., 1957, т. 2, № 2, с. 281—292.

Я Д р е н к о М. И. Об изотропных гауссовских пслях марковского типа на сфере. —ДАН УССР, 1959, с. 231—236.

С а г г о 1 i Р., Walsh J. В., Stochastic integrals in the plane.— Acta Math., 1975, v. 134, № 1-2, p. 11—183.

Cartier P., Introduction a Petude des mouvements Browiens *й piusiers parametres, Seminaire de Probabilites V.— Springer - Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1971, v. 191, p. 58—75

Chung K. L., Doob J. L., Fields, Optionality and Measurability.—Amer. J. Math., 1965, v. 87, p. 397—424.

Hida T., Stationary Stochastic Processes.—New Jersey: Princeton University Press, 1970.

Ito K-, Multiple Wiener integral.— J. Math. Soc. Japan, 1951, v. 3, p. 157—169.

[2J] Jamison «Reciprocal process.»—Z. Wahr. verw. Geb. 1974, B. 30, S. 65—86.

К a 1 1 i a n p u r G. and Mandrekar U., The Markov property for generalized Gaussian random fields.—Ann. Inst. Fourier', 1974, v. 24, № 2, p. 143—167.

Knight F., A remark on Markovian germ fields.— Z. Wahr. Geb. 1570, v. 15, p. 291-236.

Kot an i S., On a Markov property for stationary Gaussian ; processes with a multidimensional parameter.— Proc. 2nd Japan— USSR Symp. on Prob., Lecture Notes in Math.— Springer, 1973, v. 330, p. 23^—250.

Levinson N., McKean H. I., Weighted trigonometrical approximation with applications to the germ field of a stationary Gaussian noise.—Acta Math., 1964, v. 112, p. 99—143.

Levy P., A special problem of brownian motion, and a general theory of gaussian random functions.— Proc. 3d Berkeley Symp. Math. Stat. Prob., 1956, v. 2, p. 133—175. *

McKean, Brownian motion with a several dimensional time.— Теор. вероятн. и ее примен., 1963, т. 8, № 4, с. 357—378.

Мей ер П.-А., Вероятность и потенциалы (перев. с англ.).— М.: Мир, 1973.

Nelson Е., Construction of quantum fields from Markoff fields.—J. Funct. Anal., 1973, v. 12, № 1, p. 97—112.

Okabe Y., Stationary Gaussian processes with Markovian property and M. Sato's hyperfunctions.— Jap. J. of Math., 1973, v. 41, p. 69—122.

Okabe У.» On stationary linear processes with Markovian property. Proc. 3rd Japan-USSR Symp. on Prob., Lecture Notes in Math., v. 550.— Springer, 1976, p. 461—466.

Okabe Y., On the germ fields of stationary Gaussian processes with Markovian property.— J. of Math. Soc. Japan, 1976, v. 28, p. 86—95.

DO tDO tParthasarathy K., Probability measures on metric spa- ces.— New York: Acad. Press, 1967.

DO t

DO t

Preston C., Random fields (Lecture Notes in mathematics, 34).— Berlin: Springer, 1976.

Pitt L. D., A Markov property for Gaussian processes with a multidimensional parameter.—Arch. Rat. Meeh. Anal., 1971, v. 43, p. 367—391.

Pitt L. D., Some problems in the spectral theory of stationary processes on R4—Indian Math. J., 1973, v. 23, № 4, p. 343—366.

Pitt L. D., Stationary Gaussin—Markov fields on Rd with deterministic component.—J. Multivariate Analysis, 1975, v. 5, № 3, p. 300—313.

Rozanov Yu. A., Random Markov Fields, in «Resent Developments in Statistics»—New York: Acad. Press, 1979.

Surgailis D., On the Markov property of a class of linear infinitely divisible fields.— Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 1979.

[48]Urbanik K-, Generalized stationary processes of Markovian character.— Studia Math., 1962, v. 21, № 3, p. 261—282.

Wong E., Homogeneous Gauss—Markov Fields.— Ann. Math. Stat., 1969, V, 40, № 5. p. 1625—1634.

Zerakidze Z. S. On the Markov property of the solution of the hyperbola type differential equation, 12-th European Meeting of Statisticians, Varna, September 3—7, 1979, Abstracts, p. 250.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аддитивный функционал 104

Алгебра 8-,

О-алгебра 8

— борелевская 9

— бэровская 9

— выборочная 107, 112

—, порожденная системой величин 20

—, — — множеств 8

—, — — функций 18

— расщепляющая 83

— сепарабельная 8

— стандартная борелевская 10

Белый шум 25

Броуновский лист 211

— мост 201

Броуновское движение 175

Величина мультипликативная 102

Вероятность 19

— условная 29

Гауссовская мера 58

— случайная величина 6Ц ,

— функция 58.. *

Гауссовский линейный непрерывный функционал 70■

Гауссовское распределение вероятностей 58>

— семейство действительных случайных величин 58

Граника 95

— кусочно /-гладкая 188 , ,

Дифференциальная форма 167

— — невырожденная 168

— — эллиптическая 180

Задача интерполяции — экстраполяции

Закон «0 или 1» 36

Интеграл стохастический 23 — — р-кратный 79, 80, -105

Кольцо 8

компонента регулярная 142

комната сингулярная 142.

Корреляционная матрица 58 — функция 59, 217, 239

Математическое ожидание 22

— — условное 29

Мера борелевская 12

— бэровская 12

— плотная 13

— случайная ортогональная. 23

— совершенная 19

Множество измеримое 13

— расщепляющее 95

— случайное 113

— — контрсогласованное 119

— — согласованное 118

— цилиндрическое И

Момент первого выхода 122

— — достижения 122

Независимые О-алгебры 19 — случайные величины 20. — события 19 Непрерывность обновления случайного поля 101, 190

Области марковские 135

Область дополнительная 95 — локально звездная 183 — расщепляющая 94 Обобщенная случайная функция 24 — — — биортогональная 1.45, :

— — — локальная 155 — — — марковская 154 — — — регулярная 196 — — — сингулярная 2 01 — — — сопряженная 155 — — — с ортогональными значениями 155

— — — стационарная 157

— — — стационарно связанная 160 — функция 25

Оператор, допускающий замыкание 169 — локальный 149 — производящий 241 — сдвига 157, 216

Плотность вероятностей условная 3?

Цолино^ы Эрмита 7§

[39][40][41][42]КЗ]144][45][46][47][48][49]]50][39][40][41][42]КЗ]144][45][46][47][48][49]]50]256256ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬСлучайная функция марю — — непрерывная 22 — — стационарная — — стахастически непрс Случайное поле 92, 131 — — аддитивное 131 — —гауссовское 131 — — марковское 100, 1 — — L-марковское 22 8 — —■ марковское в шир, 135 — — —, непрерывное и — — — по отношению i ластей 95— — непрерывное 92, 1 — — ортогональное 138 — — регулярное 142, 1 — — сингулярное 142 — — сопряженное 139 Событие 19— элементарное 19 События независимые 30 Спектральная мера 158, — плотность 162, 216, Спектральное представл! Среднее значение 58 — — случайной функци Строго марковское свой Сходимость в среднем 2 — — — квадратичном — по вероятности 66 — слабая 19Случайная функция марю — — непрерывная 22 — — стационарная — — стахастически непрс Случайное поле 92, 131 — — аддитивное 131 — —гауссовское 131 — — марковское 100, 1 — — L-марковское 22 8 — —■ марковское в шир, 135 — — —, непрерывное и — — — по отношению i ластей 95— — непрерывное 92, 1 — — ортогональное 138 — — регулярное 142, 1 — — сингулярное 142 — — сопряженное 139 Событие 19— элементарное 19 События независимые 30 Спектральная мера 158, — плотность 162, 216, Спектральное представл! Среднее значение 58 — — случайной функци Строго марковское свой Сходимость в среднем 2 — — — квадратичном — по вероятности 66 — слабая 19Топология слабая 19Траектория 21Топология слабая 19Траектория 21Фундаментальное решен ского дифференциальн 207Функционал корреляции — линейный случайны! — случайный линейный 69Функция обобщенная 2— рациональная 242— случайная 20Фундаментальное решен ского дифференциальн 207Функционал корреляции — линейный случайны! — случайный линейный 69Функция обобщенная 2— рациональная 242— случайная 20Эквивалентные случайн — — функции 21Эквивалентные случайн — — функции 21

[39]

[40]

[41]

[42]

КЗ]

144]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

]50]

[39]

[40]

[41]

[42]

КЗ]

144]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

]50]

256

256

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Случайная функция марю — — непрерывная 22 — — стационарная — — стахастически непрс Случайное поле 92, 131 — — аддитивное 131 — —гауссовское 131 — — марковское 100, 1 — — L-марковское 22 8 — —■ марковское в шир, 135 — — —, непрерывное и — — — по отношению i ластей 95

— — непрерывное 92, 1 — — ортогональное 138 — — регулярное 142, 1 — — сингулярное 142 — — сопряженное 139 Событие 19

— элементарное 19 События независимые 30 Спектральная мера 158, — плотность 162, 216, Спектральное представл! Среднее значение 58 — — случайной функци Строго марковское свой Сходимость в среднем 2 — — — квадратичном — по вероятности 66 — слабая 19

Случайная функция марю — — непрерывная 22 — — стационарная — — стахастически непрс Случайное поле 92, 131 — — аддитивное 131 — —гауссовское 131 — — марковское 100, 1 — — L-марковское 22 8 — —■ марковское в шир, 135 — — —, непрерывное и — — — по отношению i ластей 95

— — непрерывное 92, 1 — — ортогональное 138 — — регулярное 142, 1 — — сингулярное 142 — — сопряженное 139 Событие 19

— элементарное 19 События независимые 30 Спектральная мера 158, — плотность 162, 216, Спектральное представл! Среднее значение 58 — — случайной функци Строго марковское свой Сходимость в среднем 2 — — — квадратичном — по вероятности 66 — слабая 19

Топология слабая 19

Траектория 21

Топология слабая 19

Траектория 21

Фундаментальное решен ского дифференциальн 207

Функционал корреляции — линейный случайны! — случайный линейный 69

Функция обобщенная 2

— рациональная 242

— случайная 20

Фундаментальное решен ского дифференциальн 207

Функционал корреляции — линейный случайны! — случайный линейный 69

Функция обобщенная 2

— рациональная 242

— случайная 20

Эквивалентные случайн — — функции 21

Эквивалентные случайн — — функции 21

Пространство 7

— вероятностное 19

— измеримое 8

— координатное 11

— с воспроизводящим ядром 145

— фазовое 20

Распределение 12

— вероятностей 20

— — совместное 20

— — условное 30

— ограниченное 12

— слабое 12

— — плотное 15

Распределения конечномерные 20

— согласованные 16

— — условные 34

Расширение процесса 237

— — неупреждающее 238

Расщепляющая o'-алгебра 83

— область 94, 135

Расщепляющее множество 95

— пространство 133

Регулярное семейство сг-алгебр 37

Скелет внешний 48

— внутренний 49

Случайная величина 19

— — в гильбертовом пространстве 61

— —, согласованная с О-алгебрами 108

— обобщенная функция 53

— функция 20

— — дифференцируемая 22

— — интегрируемая 22

Полукольцо 7

— бэровских множеств 9

—, порожденное открытыми множествами 9

Последовательность марковская 30,

33

— направляющая 27, 28

Преобразование Фурье обобщенное 22 8

Проекция распределения 16

Произведение мер 15

— пространств 10

— тихоновское 11

Производные обобщенные нормальные

195

эвская 156

фывная 22

37

эком смысле

эвне 101

< системе об-

31

96

2404

241

;ние 157

и 59

ство 123, 131

2-

22

:ие стохастичс ого уравнения

энный 164, 166

1 69

i непрерывный

5

ые величины .21

Е $.Ф (^) П №) = о,

ч У<Ч = ^5(Х)Ф(4Х)-р^Ф^Х), t£Rd,

22.171

Р 64

УДК 519.2

Розанов Ю., А. Марковские случайные поля.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

В книге изучаются случайные поля, обладающие марковским свойством. В ней рассматриваются и некоторые общие вопросы теории вероятностей, знание которых необходимо при исследовании свойства марковости случайных полей.

Книга рассчитана на научных работников, интересующихся теорией случайных функций и ее приложениями, а также на аспирантов и студентов старших курсов физико-математических отделений высших учебных заведений.

Юрий Анатольевич Розанов