Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Возраст классической теории экстремальных значений — асимптотической теории распределений для максимумов независимых одинаково распределенных случайных величин — грубо можно оценить в пол века, хотя корни этой теории уходят в глубь веков. За этот последний период теория не только получила довольно полное развитие, но и нашла широкое применение; по-видимому, лучшее подтверждение этому — книга Э. Гумбеля «Статистика экстремальных значений».
Постепенно, начиная с работ Ватсона, Бермана, Лойнеса и Крамера, стал возрастать интерес к обобщению теории: к включению в нее сначала зависимых последовательностей, а затем и стационарных процессов с непрерывным параметром. На первых порах эта деятельность велась в двух направлениях — общая теория распространялась на некоторые зависимые последовательности (например, Ватсоном и Лойнесом), и параллельно закладывалась обстоятельная теория для стационарных нормальных последовательностей (Берман) и процессов с непрерывным параметром (Крамер).
В последние годы активно разрабатывались оба направления исследований. Была доказана возможность их объединения и построения достаточно полной и удовлетворительной теории по типу классической, содержащей в качестве частных случаев известные результаты для стационарных нормальных процессов. Основная цель настоящей работы состоит в изложении этой теории в возможно более полном и современном виде и в достаточно исчерпывающем обсуждении классического случая. Изложение, таким образом, унифицировано как в отношении классического и зависимого случаев, так и в отношении рассмотрения нормальных и более общих стационарных последовательностей и процессов.
Со свойствами экстремумов тесно связаны свойства превышений и выходов1) последовательностей и процессов с непрерывным временем за высокие уровни. Рассматривая такие превышения
п При переводе использована терминология русского издания книги Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы.—М.: Мир, 1969.— Прим. ред.
и выходы как точечные процессы, можно получить весьма общие результаты, в которых доказывается сходимость к пуассоновскому и родственным ему точечным процессам. Отсюда вытекает целый ряд интересных результатов относительно асимптотического поведения амплитуды и расположения таких объектов исследования, как ^-й наибольший максимум (или, в непрерывном случае, локальный максимум). В книге проводится обсуждение этих и других связанных с ними вопросов, особенно для случая непрерывного параметра.
Книга состоит из четырех частей. Часть I посвящена достаточно исчерпывающему изложению основных результатов классической теории распределений экстремальных значений, группирующихся вокруг теоремы об экстремальных типах. Мы стремились изложить эти результаты непосредственно, используя относительно элементарные методы, и высветить те главные идеи, которые лежат в основе последующих обобщений теории на зависимый случай.
Часть II содержит элементарное обобщение классической теории на стационарные последовательности и некоторые важные нестационарные случаи. Ключевым моментом этого обобщения является надлежащее ограничение зависимости между далеко отстоящими друг от друга членами последовательности, при котором еще сохраняются классические пределы. Особое внимание уделяется нормальным последовательностям, доставляющим примеры, которые раскрывают значение тех или иных предположений.
В части III мы переходим к случаю непрерывного параметра. Здесь делается акцент на стационарные нормальные процессы, которые для большей ясности рассматриваются до изложения общей теории и ее основы — теоремы об экстремальных типах. Помимо теории экстремальных значений в этой части обсуждаются также свойства локальных максимумов, точечные процессы выходов, модели локального поведения и другие близкие вопросы.
Наконец, часть IV содержит конкретные применения теории к отдельным реальным ситуациям (и некоторые обобщения). Поскольку теория предсказывает главным образом такое же поведение экстремумов, как и в классическом случае, то нет особой пользы в том, чтобы представлять данные, которые просто хорошо иллюстрируют этот факт. Взамен мы попытались выделить типичные приложения и проблемы, возникающие при применении теории. Мы не занимались систематическим исследованием всех примеров, а отбирали главным образом те из них, которые затрагивают интересные аспекты и поднимают вопросы, требующие тщательного рассмотрения.
Многие из приводимых здесь результатов появлялись в том или ином виде в печати, но некоторые из них до сих пор не опубликованы. Большая часть этой работы вполне доступна читателю,
освоившему вводный курс теории вероятностей (без теории меры). Исключением, возможно, является материал, связанный со сходимостью точечных процессов (детали приведены в приложении), но нам представляется, что и с этим вопросом читатель будет в состоянии разобраться на достаточно хорошем интуитивном уровне. L „
Мы искренне рады выразить признательность Управлению военно-морских исследований США, Шведскому совету по естественно-научным исследованиям и Шведскому институту прикладной математики за финансирование значительной части исследований, приведших к появлению книги. Мы также весьма благодарны д-рам Жаку де Маре и Жану Ланке за их помощь и предложения по различным аспектам этого проекта и д-ру Олаву Калленбергу за его разъяснения. Мы благодарим всех прочитавших эту книгу, включая Дж. Кастелану, Б. Коллингза, Р. Фрим- мела, Н. Герра, П. Хаугарда, Д. Кикути, И. Маккига, Э. Мерфри и И. Сковгарда, за их предложения по улучшению ясности изложения; Рут Бар, Аниту Бергдаль, Бетти Блейк, Дагмар Йенсен, Ингалил Карлссон, Энн Морен, Беатрис Туму и Ингрид Вестерберг за великолепную перепечатку этой книги и ее первоначальных рукописных вариантов, а также Стена Линдгрена за подготовку нескольких рисунков.
ЧАСТЬ 1
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯЭКСТРЕМУМОВ
Классическая теория экстремальных значений в основном имеет дело со свойствами распределения максимума
Мп = max (gx, В2 £„)
п независимых и одинаково распределенных случайных величин при больших значениях п. В части I мы попытались дать достаточно исчерпывающее описание основных результатов классической теории, относящихся к распределениям, используя простейшие из имеющихся доказательств и выделяя те их общие черты, которые ведут к последующим обобщениям на ситуации с наличием зависимости.
В гл. 1 доказываются два основных результата. Первый из них — фундаментальный результат, называемый далее теоремой об экстремальных типах — указывает возможные предельные формы распределения Мп при линейных нормализациях. Точнее говоря, этот основной классический результат утверждает, что если для некоторых последовательностей нормализующих констант а„ > 0, Ьп случайная величина о„ (Мп — Ь„) имеет невырожденную предельную функцию распределения G (х), то эта функция G должна иметь одну из трех единственно возможных форм. Соответствующие три «распределения экстремальных значений» были обнаружены Фреше, Фишером и Типпеттом и затем более полно рассмотрены Гнеденко. Здесь мы приводим более поздние варианты доказательств, значительно упрощенные благодаря использованию методов де Хана.
Второй основной результат, приведенный в гл. 1, почти тривиален, если рассматривать его независимо, он дает простое необходимое и достаточное условие, при котором для заданной последовательности постоянных (пп) сходится последовательность вероятностей Р {/Ип -^ ып}- Этот результат играет важную роль не только в указанном случае, но и при наличии зависимости, где он уже никоим образом не столь тривиален, но все еще сохраняет силу при надлежащих условиях. Важность его будет видна в гл. 1 в приводимом там изложении классической теории областей притяжения трех типов экстремальных значений. Теория иллюстрируется несколькими примерами для каждого из возможных предельных типов. Завершается глава кратким обсуждением соответствующих результатов для минимумов.
Глава 2 посвящена аналогичным предельным распределениям для 6-го наибольшего значения Af^ из £i £п, где к может или быть фиксированным числом или стремится к бесконечности вместе с п. Основное внимание уделяется случаю фиксированного к (когда М^ является «порядковойстатистикой экстремумов»), для исследования которого привлекаются свойства асимптотической пуассоновости превышений высоких уровней последовательностью £ъ £2, ... . Эти свойства, которые связаны здесь только со сходимостью биномиального распределения к пуассоновскому, вновь предстанут в более интересном и утонченном виде в последующих частях книги. В конце главы приведены довольно эффективные и прозрачные оценки скорости сходимости в соответствующих предельных теоремах.
Наконец, дается теоретическое обоснование для случаев, когда к = кп стремится к бесконечности при п -> оо (включая центральные и промежуточные ранги). Это обсуждение проводится здесь исключительно для полноты изложения и далее развиваться не будет.
Глава 1
Асимптотические распределения экстремумов
Эта глава в основном связана с центральным результатом классической теории экстремальных значений — теоремой о типах экстремальных распределений, которая описывает возможные формы предельного распределения максимумов в последовательностях независимых и одинаково распределенных случайных величин. В процессе вывода возможные предельные распределения отождествляются с классом распределений, обладающих определенным свойством устойчивости — так называемыми максимум-устойчи- выми распределениями. Затем показывается, что этот класс содержит ровно три семейства распределений, часто называемые (что не вполне точно) тремя распределениями экстремальных значений.
Введение
Пусть Bi> Вг> — последовательность независимых и одинаково распределенных (н. о. р.) случайных величин (с. в.) и Afn — максимум первых п из этих величин, т. е.
Л1П = шах (^, ^, .... ?п). (1.1.1)
Большая часть «классической» теории экстремальных значений имеет дело с распределением 7ИП, особенно с его свойствами при п сю. Все результаты, полученные для максимумов, конечно, приводят к аналогичным результатам и для минимумов ввиду наличия очевидного соотношения mn = min (^, ..., £п) = = —max (—^, .... —£п). Поэтому в данной работе мы будем только кратко обсуждать собственно минимумы, за исключением того случая, когда изучается совместное распределение Мп и тп.
В рассматриваемой ситуации нет, конечно, никакой трудности в выписывании функции распределения (ф. р.) Мп в точном виде; она равна
Р{Мп<х} = Р(^<хЛ2<х, ...ЛО) = Г"(х), (1.1.2) где F обозначает общую ф. р. для ^;. Большая часть «Статистики экстремальных значений» (как озаглавлена книга Гумбеля (1958)) имеет дело с распределением Л1П в целом ряде типовых случаев и с множеством родственных вопросов (например, относительно других порядковых статистик, размаха и т. д.).
Ввиду столь удовлетворительного построения теории для конечного случая может возникнуть вопрос о желательности получения асимптотических результатов. Один из доводов в пользу такого рода исследования представляется нам особенно убедительным. В обычной теории центральной предельной теоремы асимптотически нормальное распределение суммы многих н. о. р. случайных величин получают независимо от того, какова их исходная ф. р. Фактически, чтобы применять асимптотическую теорию, вовсе не обязательно знать эту ф. р. очень точно. Подобная ситуация имеет место и в теории экстремальных значений. Невырожденное асимптотическое распределение (соответствующим образом нормализованного) М^ обязательно должно принадлежать одному из трех единственно возможных общих семейств независимо от исходной ф. р. F. Кроме того, нет никакой необходимости знать ф. р. F полностью, чтобы определить, к какой предельной форме (если таковая существует) она приводит, т. е. к какой «области притяжения» она принадлежит. В действительности это определяется только поведением функции F (х) для больших х, так что об асимптотических свойствах максимума можно сказать многое, основываясь лишь на довольно ограниченной информации о свойствах ф. р. F.
Центральный результат — мы ссылаемся на него как на теорему об экстремальных типах — впервые был получен Фишером и Типпетом (1928) и позднее был доказан в полной общности Гнеденко (1943). Мы докажем этот результат для н. о. р. случайных величин (теорема 1.4.2), используя новый, более простой подход, принадлежащий де Хану (1976), и затем распространим его на случаи зависимости в гл. Зи 13.
Будем изучать условия, при которых для подходящим образом выбранных констант ап > 0, Ьп
P\an(Mn-bn)^x]ZG(x)(1.1.3)
(здесь имеется в виду сходимость в точках непрерывности ф. р. G, хотя в действительности, как мы увидим в дальнейшем, все представляющие интерес ф. р. G непрерывны). В частности, нас будет интересовать вопрос о том, какие именно ф. р. G могут встречаться в качестве такого предела. Будет показано, что все возможные невырожденные ф. р. G, которые могут встречаться в качестве пределов в (1.1.3), образуют в точности тот самый класс максимум-устойчивых распределений, который рассматривается в разд. 1.3. Мы увидим в дальнейшем, что каждое максимум- устойчивое распределение G имеет (с точностью до преобразований сдвига и масштаба) одну из следующих трех параметрических форм, обычно (и не вполне точно) называемых тремя распределениями экстремальных значений.
Тип I: G (х) = ехр (—е-*), —оэ<х<оо;
О,х < О,
Тип II: G(x) =Тип II: G(x) =Тип III: G(x) = s ,п( 1,х > 0.Центральным результатом, используемым при построении теории, является теорема Хинчина о сходимости функций распределения. Хотя ее можно получить, отправляясь и от других исходных позиций, мы для полноты изложения докажем этот важный результат в разд. 1.2 наряду с некоторыми полезными результатами, относящимися к обращению монотонных функций. В разд. 1.3 ф. р. G, которые могут служить пределами в (1.1.3), отождествляются с максимум-устойчивыми распределениями (определяемыми в этом разделе). Затем, в разд. 1.4, они отождествляются с распределениями экстремальных значений, что и завершает доказательство теоремы об экстремальных типах.В силу (1.1.2) соотношение (1.1.3) можно записать в видеЬп)^О(х),(1.1.4)Тип III: G(x) = s ,п( 1,х > 0.Центральным результатом, используемым при построении теории, является теорема Хинчина о сходимости функций распределения. Хотя ее можно получить, отправляясь и от других исходных позиций, мы для полноты изложения докажем этот важный результат в разд. 1.2 наряду с некоторыми полезными результатами, относящимися к обращению монотонных функций. В разд. 1.3 ф. р. G, которые могут служить пределами в (1.1.3), отождествляются с максимум-устойчивыми распределениями (определяемыми в этом разделе). Затем, в разд. 1.4, они отождествляются с распределениями экстремальных значений, что и завершает доказательство теоремы об экстремальных типах.В силу (1.1.2) соотношение (1.1.3) можно записать в видеЬп)^О(х),(1.1.4)ехр(—х-“), для некоторого а>0, х > О, ехр(—(—х)а), для некоторого а>0, х <. О,
Тип II: G(x) =
Тип II: G(x) =
Тип III: G(x) = s ,п
( 1,х > 0.
Центральным результатом, используемым при построении теории, является теорема Хинчина о сходимости функций распределения. Хотя ее можно получить, отправляясь и от других исходных позиций, мы для полноты изложения докажем этот важный результат в разд. 1.2 наряду с некоторыми полезными результатами, относящимися к обращению монотонных функций. В разд. 1.3 ф. р. G, которые могут служить пределами в (1.1.3), отождествляются с максимум-устойчивыми распределениями (определяемыми в этом разделе). Затем, в разд. 1.4, они отождествляются с распределениями экстремальных значений, что и завершает доказательство теоремы об экстремальных типах.
В силу (1.1.2) соотношение (1.1.3) можно записать в виде
Ьп)^О(х),(1.1.4)
Тип III: G(x) = s ,п
( 1,х > 0.
Центральным результатом, используемым при построении теории, является теорема Хинчина о сходимости функций распределения. Хотя ее можно получить, отправляясь и от других исходных позиций, мы для полноты изложения докажем этот важный результат в разд. 1.2 наряду с некоторыми полезными результатами, относящимися к обращению монотонных функций. В разд. 1.3 ф. р. G, которые могут служить пределами в (1.1.3), отождествляются с максимум-устойчивыми распределениями (определяемыми в этом разделе). Затем, в разд. 1.4, они отождествляются с распределениями экстремальных значений, что и завершает доказательство теоремы об экстремальных типах.
В силу (1.1.2) соотношение (1.1.3) можно записать в виде
Ьп)^О(х),(1.1.4)
где символ -^ обозначает, как и выше, сходимость в точках непрерывности предельной функции. Если соотношение (1.1.4) выполняется для некоторых последовательностей {дп > 0) и \Ьп\, то мы будем говорить, что ф. р. F принадлежит к (н. о. р.) области притяжения (для максимумов) закона G и писать F £
D (G). Известны необходимые и достаточные условия, определяющие, какое именно из возможных предельных распределений реализуется (если таковое имеется), т. е. условия, при которых F^D (G). Эти условия будут сформулированы в разд. 1.6. Там же приведены доказательства их достаточности. (Доказательства необходимости указанных условий довольно длинны, и, поскольку они не являются нашей целью, мы их опускаем.) Мы приводим также некоторые простые и полезные достаточные условия, принадлежащие Мизесу, которые применимы в довольно общем случае, когда ф. р. F имеет плотность.
Исследование в разд. 1.6 будет опираться в основном на весьма простой результат о сходимости, приведенный в разд. 1.5. Этот результат указывает условия сходимости последовательности вероятностей Р {Л1П -С пп], где [нп] —произвольная последовательность вещественных постоянных. (В случае когда выполняется (1.1.3), такая сходимость сохраняется для всех членов семейства последовательностей (ип = х]ап + Ьп\, где х принимает все возможные вещественные значения.)
Как нетрудно догадаться из предыдущего (это будет позднее обсуждено более полно), может случиться так, что для заданной ф. р. F вовсе не существует такой ф. р. G, что F^D (G). Это означает просто, что максимум Л1П не имеет невырожденного предельного распределения ни при какой линейной нормализации (как мы увидим позднее, обычным примером этого является распределение Пуассона). С другой стороны, пределы Р {Л1п <С ^нп) могут существовать и для других заслуживающих внимания последовательностей ип, не обязательно имеющих вид xjan + bn и даже не зависящих от параметра х.
Указанный простой результат о сходимости, как отмечалось, играет важную роль в связи с областями притяжения. Однако он также весьма важен и для дальнейшего развития теории как для случая н. о. р. величин в этой и следующей главе, так и для зависимых последовательностей в последующих главах.
Наконец, разд. 1.7 содержит дальнейшие примеры и замечания относительно некоторых частных случаев, а в разд. 1.8 приведено краткое обсуждение результатов, относящихся к минимуму.
Обратные функции и теорема Хинчина о сходимости
Прежде всего будет удобно получить несколько полезных результатов для обращений монотонных функций. Такие обращения
можно определять различными способами, из которых для наших целей наиболее подходит следующий.
Если ф (х) — неубывающая, непрерывная справа функция, то мы определяем обратную к ней функцию ф-1 на интервале (шГ[ф(х)}, sup {ф (х)}) соотношением
Ф-1^ = inf{*; Ф(*)>УЬ
(Заметим, что область определения функции ф-1 записывается как открытый интервал, но может включать и любой из его концов, если inf {ф (х)} или sup [ф (х)} достигается при конечном значении х.)
Лемма 1.2.1. (i) Пусть ф — определенная выше функция, а > О, b и с — некоторые постоянные и Н (х) = ф (ах + 6) — с. Тогда И"1 (у) = аг1 (qr1 (у + с) — Ь).
Если при тех же условиях на ф функция ф-1 непрерывна, то ф-1 (ф (х)) = х.
Если G — невырожденная ф. р., то существуют такие ух < < у2, что величины G-1 (yi) < G-1 (у2) однозначно определены (и конечны).
Доказательство, (i) Имеем
H^ty) = inf (х; ф(ах + Ь) — с>у\
= o~1(inf ((ахф- Ь); ф(ах + Ь) > у + с) — Ь) = а-1 (ф-1 (у + с) — Ь), что и требуется.
Из определения ф-1 ясно, что ф-1 (ф (х)) <i х. Если для некоторого х имеет место строгое неравенство, то из определения ф-1 вытекает существование такого z < х, что ф (г) ^- > ф (х), так что ф (г) = ф (х), поскольку функция ф неубывающая. Для у = ф (г) = ф (х) имеем ф-1 (у) <; г, тогда как для у > ф (z) = ф (х) имеем ф-1 (у) ^- х, что противоречит непрерывности ф-1. Поэтому ф-1 (ф (х)) = х, как и утверждалось.
Если ф. р. G невырожденная, то существуют такие х[ < < Хг, что 0 < G (xi) = yi < G (х2) = Уг < Е Ясно, что обе величины хх = G-1 (Ух) и х2 = G-1 (у2) определены однозначно. К тому же G"1 (уг) > xj, и знак равенства требовал бы выполнения неравенства G (г) у2 для всех z > xi, так что G (х\) = = lim G (xi + с) = G (xi +) ^> у2, что противоречит равенству е|0
G (xj) = уь Таким образом, G-1 (у2) > xi > Xi = G-1 (yi), что и требовалось.□
Следствие 1.2.2. Если G — невырожденная ф. р. и а >■ 0, а ^> О, b и Р — такие постоянные, ■ что G (ах + b) = G (ах + Р) для всех х, то а = а и b = р.
Доказательство. В соответствии с п. (iii) леммы выберем yY < < у2 и —оо < хт < х2 < оо так, чтобы хх = G"1 (уг), х2 = G-1 (у^).
Переходя к обратным функциям для G (ах + 6) и G (ах + Р), в соответствии с п. (i) получаем
а"1 (О’1 (У) - 6) = а-1 (С1 ^ - Р)
для всех у. Подставляя сюда у = ух и у = у2, получаем
а”1 (X! — Ь) = а-1 (X! — Р) и а-1 (х2 — Ь) = а-1 (х2 — Р),откуда непосредственно вытекает, что а = а и b = р.□
Мы получим теперь обещанный общий результат Хинчина.
Теорема 1.2.3 (Хинчин). Пусть {Лп|—последовательность ф. р. и G — невырожденная ф. р. Пусть константы ап > 0 о) Ьп таковы, что
F^x + b^GVc).(1.2.1)
Тогда, для того чтобы для некоторой невырожденной ф. р. G* и констант а„ > О, Рп имела место сходимость
РДапХ + M^G^xV(1.2.2)
необходимо и достаточно, чтобы
а^1ап-^а и a„v (Р„ — bn) -> b(1.2.3)
для некоторых а > 0 и Ь, и тогда
G, (х) = G (ах + 6).(1.2.4)
Доказательство, Обозначая а„ = а^ап, Рп = ай1 (Рп — Ь^, Р'п {х) = Рп (апх + Ьп), соотношения (1.2.1)—(1.2.3) можно переписать в виде
Fn^x^G^,(1.2.1)'
Р'п^х + ^^ОДх^,(1.2.2)'
ап->а и рй->Ь для некоторых а>0, Ь. (1.2.3)' Если выполнены соотношения (1.2.1)' и (1.2.3)', то, очевидно, выполняется и (1.2.2)' с G* (х) = G (ах + $, так что (1.2.1) и (1.2.3) влекут за собой (1.2.2) и (1.2.4).
Доказательство леммы будет завершено, если мы покажем, что из (1.2.1)' и (1.2.2)' вытекает (1.2.3)', поскольку тогда, как и выше, будет выполняться (1.2.4).
Поскольку ф. р. G* предполагается невырожденной, то существуют такие две несовпадающие точки х' и х", в качестве которых можно взять точки непрерывности ф. р. G*, что 0 < < G* (х') < 1, 0 < G* (х") < 1.
Последовательность ja^x' + Рй) должна быть ограниченной. В противном случае можно было бы подобрать такую последова-
тельность \пк\, для которой сс^х' + Pnft -*- ±оо. Отсюда в силу (1.2.1)' (поскольку G — ф. р.), очевидно, следовало бы, что предел последовательности F„h («nhx' + Рп6) равен нулю или единице, что противоречит соотношению (1.2.2)' для х = х'. Поэтому последовательность (а'пх' + Рп} ограниченна, как и [апх" + рп}, что в совокупности доказывает ограниченность каждой из последовательностей {а^} и |Р„}.
Таким образом, существуют такие постоянные а и b и последовательность целых чисел {nft}, что a„ft-> a, P„h-> Ь, откуда, как и выше, следует, что
^"а (“V + Р"а) "^ g (gx + ЬУ (1.2.5) Поскольку в силу (1.2.2)' G (ах + b) = G* (х) и G* (х) —ф. р., то мы должны иметь а > 0. С другой стороны, если бы для какой-то другой последовательности \тк\ целых чисел сх^ -> -> а* > 0 и Pmh -> b', то мы имели бы G (а'х + 6') = G„ (х) = = G (ах + Ь) и, согласно следствию 1.2.2, а’ = а и Ь' = Ь. Таким образом, а'п -> а и р„ -► Ь, что и завершает доказательство. □
.3. Максимум-устойчивые распределения
Мы отождествим теперь ф. р. G, которые могут являться предельными законами для максимумов н. о. р. последовательностей, т. е. могут встречаться в (1.1.3), с классом так называемых максимум- устойчивых распределений 1). Мы будем говорить, что невырожденная ф. р. G является М-устойчивой, если для каждого значения п = 2, 3, ... существуют такие константы On > 0 и Ьп, что Gn (апх + bn) = G (х).
Теорема 1.3.1. (1) Невырожденная ф. р. G является М-устойчивой в том и только в том случае, если существуют такая последовательность }f„} функций распределений и такие постоянные ап > 0 и Ьп, что при п-^- со
РДа^х+М^О1'^ (1.3.1)
для каждого к = 1, 2, ... .
i) В частности, если ф. р. G невырожденна, то множество D (G) непусто тогда и только тогда, когда ф. р. G М-устойчива. При этом также G ^ D (GY Таким образом, класс невырожденных ф. р. G, которые могут являться предельными законами в (1.1.3) (для н. о. р. ^, ^, ...), совпадает с классом М-устойчивых ф. р.
льией-льией-*^В ^for^E к д1^яб>мЬ*^В ^for^E к д1^яб>мЬ11 Для краткости вместо «максимум-^стойчивая ф. р.» мы будем тем часто писать «М-устойчивая ф. р.» — Прим, перев.
льией-
льией-
*^В ^for^E к д
1^яб>мЬ
*^В ^for^E к д
1^яб>мЬ
Доказательство, (i). Если ф. р. G невырожденна, то таковой же будет и функция G^k для каждого к, и если (1.3.1) выполняется для каждого к, то из теоремы 1.2.3 (с ай1 вместо ап) вытекает, что G1^ (х) = G (а^х + рй) для некоторых ай > 0 и рй, так что ф. р. G М-устойчива. Обратно, если G ЛЕустойчива и F = Gn, то G" (ай'х + bn) = G (х) для некоторых ап > 0 и Ьп и
Fn (anh + bnk) = (Gn' (a^x + Ьпк)У,к = (G (x))'/k,
так что (1.3.1) получается совсем просто.
Если ф. р. G ЛЕустойчива, то Gn (anx + bn) = G (х) для некоторых ап > 0 и Ьп, так что (устремляя п -*• оо) мы видим, что G £ D (G). Обратно, если множество D (G) непусто, то ему принадлежит какая-то ф. р. F с Рп(щх + bn)^> G (х). Поэтому Fnk (апкх + bnk) ^» G (х), или Fn (а„кх + bnk) ^ G1,k (х). Таким образом, (1.3.1) выполняется для Fn = Fn, и в силу (1) отсюда вытекает ЛЕ устойчивость ф. р. G. □ Следствие 1.3.2. Если ф. р. G М-устойчива, то существуют такие вещественные функции a (s) > 0 и b (s), определенные для s > О, что
О (a (s) х + b (s)) = G (х) для всех вещественных х, s > 0. (1.3.2) Доказательство. Поскольку ф. р. G ЛЕустойчива, то существуют такие ап > 0, Ьп, что
Gn (апхbn) = G (х^, (1.3.3) и поэтому (используя обозначение [ ] для целой части)
G[n$l (a[ns]x + b^ = G (х).
Но, как легко заметить (переходя, например, к логарифмам), это приводит к соотношению
Gn (a[ns]x + b[ns]) Л G1/s (х). (1.3.4) Ввиду наличия предела (1.3.4), (тривиального) предела (1.3.3) и невырожденности G1/s можно применить теорему 1.2.3 с ап = = C[ns], Рл = bps] и показать, что G (a (s) х + b (s)) = G1/s (х) для некоторых a (s) > 0 и b (s), что и требуется. □
Иногда слову «тип» удобно придавать более узкий смысл, чем то описательное его значение, которое до сих пор использовалось нами. Именно, мы можем сказать, что две ф. р. Glt G2 являются ф. р. одного и того же типа, если
G2 (х) = Gx (ах + Ь)
для некоторых постоянных а > 0, Ь. Тогда данное выше определение ЛТ-устойчивого распределения можно переформулировать следующим образом: «Невырожденная ф. р. G называется М-
устойчивой, если для каждого п = 2, 3, ... ф. р. Gn имеет тот же тип, что и ф. р. G».
Далее, теорема 1.2.3 показывает, что если {fn} —последовательность ф. р., для которых fn (anx + b^ Gb fn (а„х + рп) —» G2 (сп >0, ап > 0), то Gi и С2 являются ф. р. одного и того же типа, при условии их невырожденности. Ясно, что ф. р. можно разбить на классы эквивалентности (которые мы называем ти- пами\ объявляя ф. р. GY и С2 эквивалентными, если С2 (х) = = Gj (ах + Ь) для некоторых а > 0 и Ь.
Если Gj и G2 — ф. р. одного и того же типа (G2 (х) = Gy (ах + + Ь)) и F ^D (G^, т. е. Fn (апх + Ьп) Д, GY для некоторых ап > 0, Ьп, то (1.2.3) выполняется с а„ = а„а, Рп = Ьп + стА так что Fn (апх + pn) -^ G2 (х) в силу теоремы 1.2.3, и поэтому F ^D (G2). Таким образом, если Gy и G2 — ф. р. одного и того же типа, то D (G^ = D (G2). Подобным же образом из теоремы 1.2.3 можно увидеть, что если F принадлежит и D (G^ и D (С2), то Gj и G2 — ф- Р- одного и того же типа. Поэтому D (G^ и D (С2) совпадают тогда и только тогда, когда ф. р. Gj и G2 одного и того же типа. Иначе говоря, область притяжения ф. р. G зависит только от типа этой ф. р.
Теорема об экстремальных типах
Наша последняя задача при выводе возможных предельных законов для максимумов (в смысле (1.1.3)) состоит в том, чтобы показать, что Л4-устойчивые распределения — это просто распределения экстремальных значений, перечисленные в разд. 1.1. Более точно, мы покажем, что ф. р. является Л4-устойчивой тогда и только тогда, когда она имеет тот же тип, что и одно из перечисленных распределений экстремальных значений.
Функцию распределения того же типа, что и ехр (—е-*) (т. е. функцию, имеющую вид ехр {—е~(ох+6)) для некоторых а > > 0, Ь), мы будем называть ф. р. типа I. Аналогично мы будем говорить, что ф. р. является ф. р. типа II (или типа III), если она имеет форму G (ах + Ь), где G — ф. р. экстремальных значений типа II (типа III), как она определялась в разд. 1.1. Поскольку параметр а может изменяться, то распределения типа II и типа III в действительности являются семействами типов в рамках нашего узкого понимания термина «тип». Однако использование обычной привычки ссылаться на «три типа экстремальных значений», очевидно, не приведет к каким-либо недоразумениям. Следующая теорема содержит желаемые основные отождествления.
Теорема 1.4.1. Каждое М-устойчивое распределение имеет тип распределения экстремальных значений, тх. е. равно G (ах + Ь) для некоторых а > О и Ь, где
Тип I:
G(x) = exp(—е-*),—оо<х<оо;
Тип II:
(0,х<0,
^( ехр (—х-а)для некоторого а 2> 0, х > 0,
Тип III:
( ехр (— (—х)“' для некоторого а 2> 0, х ^ 0;
0W=U'х>0.
Обратно, каждое распределение, имеющее тип распределения экстремальных значений, М-устойчиво.
Доказательство. Обратное утверждение теоремы ясно, поскольку, например, для типа 1
(ехр {—е~ ("+*){ )я = ехр {—е— <^-«+*—ш л)^
и подобные же выражения справедливы для типов 11 и 111.
Чтобы доказать прямое утверждение, мы будем в основном следовать доказательству де Хана (1976). Если ф. р. G Al-устойчива, то (1.3.2) выполняется для всех s > 0 и всех х. Если 0 < < G (х) < 1, то (1.3.2) дает
—s In G (a (s) х + b (s)) = —In G (х), так что
—In (—In G (a (s) х + b (s))) — In s = —In (—In G (x)).
Из свойства Al-устойчивости с и = 2 легко видеть, что ф. р. G не может иметь скачков ни в какой конечной (верхней или нижней) концевой точке. Таким образом, неубывающая функция ф (х) = —In (—In G (х)) такова, что inf (ф (х)} = —оо, sup (ф (х)} = +оо, и поэтому она имеет обратную функцию U (у), определенную для всех вещественных у. Кроме того,
ф (a (s) х + b (s)) — In s = ф (х),
так что, согласно лемме 1.2.1 (i),
Ц(уЛ Ins) —b(s)a (s)
Вычитая из обеих частей их значения при у = 0, получаем
= [/(у)-(/(0),= [/(у)-(/(0),U ^у-yins) —U (In s)a(s)
= [/(у)-(/(0),
= [/(у)-(/(0),
и обозначая z = In s, а (z) = а (ег), U (у) = U (у) — U (0), приходим к соотношению
Uto + z)-U^ = U(y)a(z),(1.4.1)
справедливому для всех вещественных у, г.
Переставляя местами у и г и производя вычитание, получаем U (у) (1 - а (г)) = 0 W-a (у)).(1.4.2)
Здесь возможны следующие два~случая.
й (z) = 1 для всех г, так что (1.4.1) принимает вид О (у + z) = U (у) + D (г).
Хорошо известно, что единственным монотонно возрастающим решением этого уравнения является просто 17 (у) = ру для некоторого р > 0, так что U (у) — 17 (0) = ру или
ф"1 (У) = ^ (У) = РУ v> v = 17 (0).
Поскольку эта функция непрерывна, из леммы 1.2.1 (п) вытекает, что
х - Ф-1 (Ф (х^ = РФ (х) 4- V
или ф (х) = (х — v)/p, так что G (х) = ехр —{e-<x-v>/p}, когда 0 < G (х) < 1.
Как уже отмечалось выше, ф. р. G не может иметь скачков ни в какой (верхней или нижней) концевой точке, и поэтому имеет указанный выше вид для всех х, т. е. имеет тип I.
й (г) =/= 1 для некоторого г, так что (1.4.2) дает
О (У) = i"^1 - “^ = CU - “^))’<L4-3)
где с = U (z)/(l — а (г)) ^= 0 (поскольку из U (г) = 0 вытекало бы, что U (у) = 0 для всех у и, следовательно, U (у) = 17 (0) — постоянная величина).
Таким образом, из (1.4.1) мы получаем соотношение с(1 - а(у + г))-с(1 - й(г)) =с(1 - й(у)) й(г), которое приводит к уравнению й (у + г) = й (у) й (г). Но функция й (как это следует из (1.4.3)) монотонна, а все не равные тождественно постоянной решения этого функционального уравнения имеют вид й (у) = еР«, р =/= 0. Поэтому (1.4.3) дает нам
Ф-1 (у) = 17 (у) = v + с(1 — ее»)
(где v = 17 (0)). Поскольку —In (—In (G (х)) — возрастающая функция, то такова же и 17, и мы должны иметь с < 0, если р > 0, и с > 0, если р < 0.
В соответствии с леммой 1.2.1 (п)
х = ф~> (ф(х)) = v + с(1 — еР*<*)) = v 4-с(1 — (—lnG(x))-p)
и для тех х, где 0 < G (х) < 1, (/. х — v \—1/р)
G(x) = exp]—(1— Jj.
И опять, ввиду непрерывности ф. р. G в каждой конечной концевой точке, мы видим, что ф. р. G является функцией либо типа II либо Шса= + 1/р или —I/р в зависимости от того, будет ли р > 0 (с < 0) или р < 0 (О 0). □
Отсюда непосредственно получается основной результат.
Теорема 1.4.2 (теорема об экстремальных типах). Пусть Мп = = шах (£п £г, ..., £п), где £, — н. о. р. с. в. Если для некоторых констант ап > 0, Ьп
P\an(Mn-bn)^x}ZG(x) (1.4.4)
и G — невырожденная ф. р., то G является ф. р. одного из трех типов экстремальных значений, перечисленных выше. Обратно, каждая ф. р. G, тип которой является одним из типов экстремальных значений, может служить пределом в (1.4.4) и в действительности является таковым, когда сама ф. р. G является ф. р. каждой с. в. &.
Доказательство. Если выполняется (1.4.4), то теорема I.3.I показывает, что ф. р. G /И-устойчива и, следовательно в силу теоремы I.4.I принадлежит одному из типов экстремальных значений. Обратно, если G принадлежит какому-то типу экстремальных значений, то по теореме 1.4.1 она Л1-устойчива и теорема 1.3.1 (ii) показывает, что G £ D (G), что приводит к сформулированному утверждению. □
Забегая вперед, заметим, что если с. в. ^ £а, ... не обязательно независимы, но Мп — шах (^, ..., £„) имеет асимптотическое распределение G в смысле (1.4.4), то (1.3.1) выполняется при k = 1 для Fn — ф. р. Мп. Если можно показать, что из выполнимости (1.3.1) при к = 1 следует выполнимость (1.3.1) для всех к, то отсюда в соответствии с теоремой 1.3.1 (1) будет следовать Л1-устой- чивость ф. р. G, а следовательно, и то, что G имеет тип распределения экстремальных значений. Таким образом, наш метод в ситуациях, где имеется зависимость, будет сводиться просто к тому, чтобы показать, что при соответствующих предположениях истинность (1.3.1) при к = 1 влечет за собой истинность этого соотношения для всех к, откуда опять будет следовать теорема об экстремальных типах.
Возвращаясь к н. о. р. случаю, еще раз отметим, что теорема 1.4.2 предполагает, что ап (Л!п — Ь^ имеет невырожденную предельную ф. р. G, и уже при этом предположении доказывается, что 6 обязана иметь одну из трех указанных форм. Нетрудно построить такие н. о. р. последовательности |£п}, для которых никакой такой ф. р. G не существует. Чтобы упростить запись в примере.
здесь (и в дальнейшем) будем использовать обозначения хр для правой концевой точки ф. р. F, т. е.
xF = sup |х; F(x)< 1} «оо)_
Иначе говоря, F (х) < 1 для всех х < хР и F (х) = 1 для всех х ~> хр.
Предположим, что каждая с. в. £п имеет ф. р. F, для которой хР < оо, и что F имеет скачок в точке хр, т. е. F (xF—) < 1 = = F (xF). Отсюда легко следует (как будет видно из следствия 1.5.2), что если |ып} — произвольная последовательность и Р \Мп ■< «п} -* Р. то р = 0 или 1. Таким образом, если Р {an X X (Л1П — Ьп) <; х} -► G (х), то, полагая ип = х/а^ + Ьп, получаем, что G (х) = 0 или 1 для каждого х, так что ф. р. G является вырожденной.
Другие, еще более общие примеры, такие как случай, где каждая с. в. £п пуассоновская, будут рассматриваться в разд. 1.7.
Сходимость вероятностей Р \Мп<,ип\
Мы уже изучали сходимость вероятностей типа Р |а„ (Мп — Ь^ ^ ^ х}, которые можно записать в виде Р |Afn ^ «„}, где ип — = ип (х) = х!ап + Ьп. Такая сходимость требовалась для каждого х. С другой стороны, интересно рассмотреть и такие последовательности |ып|, которые могут либо просто не зависеть ни от какого параметра х, либо являются более сложными функциями, чем рассматривавшиеся выше линейные функции. Следующая теорема почти тривиальна для н. о. р. с. в., но тем не менее весьма полезна (как мы увидим в следующем разделе) и будет обобщена в ряде важных направлений с тем, чтобы она могла быть применена к зависимым (стационарным) последовательностям и к процессам с непрерывным временем.
Теорема 1.5.1. Пусть {£„| — последовательность н. о. р. с. в.
Пусть 0<^т^оо, и предпо гожим, что |ып} — последовательность вещественных чисел, дгя которой
п (1 — F (ып)) -► т при п ->- оо.(1.5.1)
Тогда
(1.5.2)(1.5.2)Р \Mn^un\-*e~'t при п-»-оо.
(1.5.2)
(1.5.2)
Обратно, если (1.5.2) выполняется для некоторого т, 0<т^ ^ оо, то выполняется и (1.5.1).
Доказательство. Предположим сначала, что 0-<т<оо. Если (1.5.1) выполнено, то величину
P\Mn<un\ = F4u^ = \l -(1 -FW (1.5.3)
можно записать в виде (1 — т/п + о (1/п))п, так что (1.5.2) получаем непосредственно.
Обратно, если выполнено (1.5.2) (0 <; т < оо), то мы должны иметь 1 —• F (н„) -► 0. (Поскольку в противном случае последовательность 1 — F (unk) была бы отделена снизу от нуля для некоторой подпоследовательности {пь}, что приводило бы в соответствии с (1.5.3) к заключению о том, что Р )^„ < zzn| ->-0.) Переходя к логарифмам в (1.5.2) и (1.5.3), получаем
n In {1 — (1 — F(un))}^— т,
так что и (1 — F (u„)) (1 + о (1)) -► т, что приводит к искомому результату.
Наконец, если т = оо и (1.5.1) выполняется, а (1.5.2) не выполняется (т. е. Р |Л1П <; wn} ч* 0), то должна существовать такая подпоследовательность |пА|, что Р (Мпь w„ft} -► т' при к ->- оо для некоторого т' < оо. Но, как и выше, (1.5.2) влечет за собой (1.5.1) с заменой п на пк, так что пк (1 — F^n^ -*■ т' <С°°. что противоречит предположению о выполнимости (1.5.1) ст = = оо. Подобным же образом при т= оо из (1.5.2) вытекает (1.5.1).
□
Следующие простые результаты получаются как непосредственные следствия. Мы используем обозначение xF = sup {х; F (х) < < 1], введенное ранее для правой концевой точки ф. р. F.
Следствие 1.5.2. (i) Мп -► хр (^°о) с вероятностью 1 при п -► оо. (ii) Если хр < оо и F (хр—) < 1 (т. е. если F имеет скачок в концевой точке) и если для некоторой последовательности {wnf при п оо имеет место сходимость Р <Л1П ^ ип\ -► р, то р = 0 или 1.
Доказательство. Если К<^хр ^оо), то 1 — F (К) > 0, так что (1.5.1) выполняется с цп = X, т = оо и из (1.5.2) вытекает, что lim Р |Л1П <; Х| = 0. Поскольку, как очевидно, Р |Afn > xF| = = 0 для всех п, то отсюда следует, что Мп -*• хр по вероятности. Поскольку последовательность {Afn} монотонна, она сходится п. н., и поэтому Мп Хр п. н. Отсюда вытекает (i).
Предположим теперь, что хр <^ оо и F (хр —) < 1. Пусть {«„} — такая последовательность, что Р |Л1П ^ «„} -► р. Поскольку 0 <С р <С 1, мы можем записать р = е~т с 0 <; т <^ оо и р силу теоремы 1.5.1 получаем п (1 — F (ип)) -► т. Если и^ < < Хр для бесконечно многих значений п, то, поскольку для таких значений 1 — F (ип) > 1 — F (xF—) > 0, мы должны иметь т = оо. Единственная альтернативная возможность состоит в том, что ип ^ Хр для всех достаточно больших значений п, а это дает п (1 — F (пп)) = 0, так что т = 0. Таким образом, т = оо или 0, и поэтому р = 0 или 1, что доказывает (ii). □
В следующем разделе мы займемся общим вопросом об областях притяжения распределений экстремальных значений (взяв за основу теорему 1.5.1). В то же время для целей этой книги наиболее важное значение имеют нормальные последовательности. Поэтому мы покажем сейчас, как теорему 1.5.1 можно использовать непосредственно для получения предельного закона (типа I) для нормальных последовательностей н. о. р. с. в. Как будет видно в дальнейшем, эта теорема применяется непосредственно, хотя и требует выполнения некоторых вычислений. Всюду в этой и во всех последующих главах символами Ф и <р будем обозначать функцию стандартного нормального распределения и его плотность соответственно. Мы неоднократно будем иметь возможность использовать хорошо известное соотношение для хвоста функции Ф, приводимое здесь для удобства ссылок:
Ф(и) ~ — ^- при и—>-оо.(1.5.4)
Теорема 1.5.3. Если {£п} — последовательность н. о. р. (стандартных) нормальных с. в., то асимптотическое распределение максимума Мп = max (^gn) является распределением типа I. Более точно,
р {tin (Мп — ьп) < х} -► exp (—е~х),(1.5.5)
где
ап = (21п п)'/2,
Ьп = (21п п)1/2 —^- (21п л)~1/2 (In 1п л + 1п 4л).
Доказательство. Представим т в (1.5.1) в виде т = е~х. Тогда мы можем взять I — Ф (ип) = (1/п) е~х. Поскольку 1 — Ф (ип) ~ ~ ф (un)/un. то мы имеем (1/л) егхип[^ (ип) -► 1, и поэтому — 1п п — X + 1п «п — 1П ф (ип) ->- О, ИЛИ
— 1п л — х + In и„ + "£-*п 2 л +-^--► 0.(1.5.6)
Отсюда сразу следует, что и„/(2 1п п) -► 1, и поэтому
2 In u„ — In 2 — In In л ->- 0, или
In un =-^-(1п2 + In 1пл) +о(1).
Подставляя это в (1.5.6), получаем ц211
-^- = х+ Inn—^-1п4л—i-In In л +о(1), или
Iх—- In 4л — — In Inn
“i = 2 Шnj 1 ++ »(-nk) I•
и поэтомуUn = (2 In fi)1^ так чтои поэтомуUn = (2 In fi)1^ так что1 , ,1 . .2" In 4л— In In и2 Inn1 , ,1 . .2" In 4л— In In и2 Inn
и поэтому
Un = (2 In fi)1^ так что
и поэтому
Un = (2 In fi)1^ так что
1 , ,1 . .
2" In 4л— In In и2 Inn
1 , ,1 . .
2" In 4л— In In и2 Inn
Un =+ bn + o((ln n) 1/2) = -^- 4- bn + О Van ')•
Отсюда, поскольку в силу (1.5.2) Р {7ИП < un| -► exp (—е~х), где т = е~х, имеем
Р | Мп < -^ + Ьп + О Va„ *) ] -* exp (—е *),
или
р \ап (Mn — bn) + о (1)< х| -^ exp ( е~х),
откуда вытекает требуемое соотношение (1.5.5).
Хотя этот вывод несколько загроможден вычислительными деталями, в нем нет особых трудностей, так что формула (1.5.5) легко выводится из (самого по себе простого) результата (1.5.2). Те же самые аргументы могут быть и будут позднее приспособлены и к задачам с непрерывным временем.
1.6. Общая теория областей притяжения
Конечно, важно знать, какой именно (если хотя бы какой-то) из трех типов предельных законов применим, когда каждая с. в. |п имеет заданную ф. р. F. Для каждого типа известны необходимые и достаточные условия, относящиеся к «поведению хвоста» 1 — F (х) при возрастании х. Мы сформулируем эти условия и докажем их достаточность, опуская доказательства необходимости, поскольку, как уже отмечалось, последние довольно длинны и не являются нашей основной целью. Соответствующие доказательства можно найти, например, в работах Гнеденко (1943) или де Хана (1976).
Прежде чем сформулировать общие теоремы, приведем несколько очень простых и полезных достаточных условий, применимых в случае, когда ф. р. F имеет плотность f. Эти условия принадлежат Мизесу, а их простые доказательства приведены в работе де Хана (1976). Мы воспроизведем в качестве образца только одно из этих доказательств, отсылая читателя за деталями других доказательств к указанной работе.
Теорема 1.6.1. Предположим, что ф. р. F н. о. р. случайных величин, образующих последовательность ||п}, абсолютно непрерывна и имеет плотность f. Тогда приводимые ниже условия яв-
ляются достаточными для того, чтобы ф. р. F принадлежала соответствующей области притяжения*.
Тип I: f имеет отрицательную производную f' для всех х
Нтt tXpНтt tXpНПО-РУ»НПО-РУ»Р(0Р(0в некотором интервале (х0, xF) (xF <^ со), / (х) = О для х^- xF и
Нт
t tXp
Нт
t tXp
НПО-РУ»
НПО-РУ»
Р(0
Р(0
Тип II: / (х) > О для всех конечных х^ х0 и
Тип III: / (х ) > О для всех х в некотором конечном интервале IxQ, Хр), / (х) = О для х > Хр и
Доказательство для типа II. Как уже отмечалось, полные доказательства можно найти в работе де Хана (1976), и мы приведем здесь в качестве образца только доказательство для случая типа II. Предположим, что lim tf (1)Ц\ ■— F (ЭД = a > 0, где
/ (x) > 0 для х ^- х0. Обозначая a (/) = / / (/)/(] — F (/)), мы немедленно получаем, что для х2 ^ х2 х0
J Г1» (0 dt = - In (1 - F (х2)) + In (1 - F (x^.
так что
- F (x2) = (1 - F (x^ exp f- J -^ dt
Ясно, что существует такое уп, что 1 — F (уп) = п"1, и (обозначая хг = у,,, х.2 = упх или, наоборот, соответственно тому, будет ли х 1 или х << I) мы получаем
«(1 — F(ynx)) = exp
а эта величина, поскольку уп-► со, сходится к ^-ain* = x-« при п -^ со. Поэтому для х > 0 в силу теоремы 1.5.1
Р {^п < Тп*} -> ехр (—х-0) при п->со.
Для X <; 0 в силу ТОГО, ЧТО Р \Мп <^ упх} <; Р [Л1П <; у„у} ДЛЯ у > 0 и Р |Л4П <; упу| -► ехр (—уа), мы убеждаемся, полагая у -► 0, что lim Р {Л1П < упх| = 0. Следовательно, реализуется
предел типа II с нормализующими константами ап = уп1, Ьп = = 0.□
Приведенное доказательство для случая типа II опиралось на существование такой последовательности jyn}, для которой 1 —■ ^ (Тп) ~ 1/и, и нормализующие константы ап, Ьп в соотношении Р |ап (Л1П — Ьп) <; х| -► G (х) были получены в терминах у„. (В этом случае мы имели ап = уп1, Ьп = 0.) В случае произвольной ф. р. F такое уп не обязательно существует. Однако если F € D (G) для какого-то из распределений экстремальных значений, то уп с указанным свойством может быть найдено. Действительно, если
р Нп (Мп -b^^x^G (х),
то в силу непрерывности G можно подобрать такое х, что G (х) = = е-1, так что
с уп = х/ап + Ьп. Поэтому 1 — F (уп) ~ l/п согласно теореме 1.5.1.
Общие критерии, достаточность которых мы собираемся доказывать, также используют существование такого уп, и это будет вытекать в каждом конкретном случае из сделанных предположений. В последующих результатах мы опять обозначаем xF = = sup |х; F (х) < 1} для произвольной ф. р. F.
Теорема 1.6.2. Необходимыми и достаточными условиями принадлежности ф. р. F случайных величин, образующих последовательность н. о. р. с. в. {£„}, каждому из трех типов являются (в порядке возрастания сложности):
Тип II: xF = оо и lim (1 — F (tx))/(\ — F (/)) = х~а, /—►СО
а > 0, для каждого х > 0;
Тип III: xF< оо и lim (1 — F (xF— хК))ЦД — F (xF — h)) = Mo
= х", а > 0, для каждого х > 0.
Тип I: Существует такая строго положительная функция g (0. что
для всех вещественных х.
В действительности можно показать, что когда имеет место
предел типа I, то J (1 — F (и)) du <_ оо, и в качестве g можно
взять функцию, определяемую соотношением
g (/) = J (1 — (ы)) d«/(l — F W> для t < Ху. t
Доказательства достаточности. Чтобы продемонстрировать простоту доказательства, мы предположим сначала существование в каждом из рассматриваемых случаев такой последовательности |Тп| (которая может быть взята неубывающей по л), для которой п (1 — F (уп)) -► I. (Это будет доказано — также весьма просто — ниже). Постоянные уп будут, конечно, различными для различных типов. Ясно, что уп ->- xF и yn < xF для всех достаточно больших п.
Если F удовлетворяет критерию для типа II, то, беря уп вместо I, мы для каждого х > 0 получаем
п (I — F (ynx)) ~ п (I — F (уп)) х-а^х-а,
так что из теоремы I.5.I вытекает, что для х > О
Р {Мп < Тпх} ехр {—х-“}.
Поскольку уп > 0 (по крайней мере когда п велико) и правая часть стремится к нулю при х | 0, то отсюда также следует, что Р |МП < 0} -► 0 и, для х < 0, что Р |УИ„ ^ ynx| < Р {Af„ < < 0}0. Таким образом, Р |Afn < упх| -> G (х), где G — пред
ставитель ф. р. типа II, указанный в теореме I.4.I. Но это можно сформулировать следующим образом:
Р{ап(Л4п-М<^^^«.(1-6-1)
где ап = Тп1 и Ьп = 0, так что имеет место предел типа II.
Предел типа III получается весьма похожим способом. Здесь мы обозначаем hn = xF — yn (| 0), так что для х > 0
Иш п (I - F |xF - х (хР — Уп)|) = х%
и поэтому (заменяя х на —х) для х < 0 имеем
Иш п (I — F {xF + x(xF — тп)}) = (—х)“.
Использование вновь теоремы I.5.I сразу показывает, что применим предел типа III с константами в (1.6.1), равными
On = (Ху — Тп)"1. Ьп - Ху.
Предел типа I получается опять по тому же образцу, поскольку (когда F удовлетворяет этому критерию), обозначая / = yn f f Ху «<»), мы для всех х > 0 имеем
limn(I - F^n + х^(уп)|) =е-х,
что приводит (опять посредством теоремы 1.5.1) к пределу типа 1 с cn = (g (yj)’1, Ьп = уп.
Мы должны, наконец, доказать существование (неубывающей) последовательности {уп|, удовлетворяющей условию lim n (1 —
— F (yn)) = 1. В качестве уп можем взять любую неубывающую последовательность, для которой
^(Тп—)^ I —~^^(Тп)
(такую, как последовательность yn = F-1 (1 — 1/n) = inf (х; F (х) ^ I — 1/п}). Для такой последовательности п (1 — F (уп))<С •< 1, так что тривиально lim sup n (1— F (y„)) << 1. Таким образом, остается только показать, что в каждом случае lim inf nx х (1 — F (yn)) > 1, а это, поскольку и (1 — F (yn —)) > I, будет так, если мы покажем, что
lim inf> L(1-6.2)
Z1-*CD 11)
Для ф. p. F, удовлетворяющей указанному критерию типа II, левая часть (1.6.2) для х < 1 не меньше, чем
lim inf -г—= ха,l-F(VnX)
откуда, устремляя х-► 1, получаем (1.6.2).
Подобная аргументация сохраняется и для ф. р. F, удовлетворяющей критерию типа III. Левая часть (1.6.2) не меньше (для х > 1, hn = хр — уп) величины
которая стремится к 1 при х-► 1, что приводит к (1.6.2).
Наконец, для случая типа I левая часть (1.6.2) не меньше (если х < 0) величины
= ех,
которая стремится к 1 при х -► 0, так что опять выполняется (1.6.2).□
Следствие 1.6.3. Константы а^, Ьп в сходимости Р {п„ (Мп — — Ьп) ■< х} -*" 6 (х) в каждом из указанных выше случаев могут быть выбраны следующим образом:
Тип II: ап = УпЛ Ьп = 0;
Тип III: ап = (хр — yn)-1, bn = xF;
Тип I: an = [g(yn)]-1, Ьп = у„,
где тп — F"1 (1 — 1/n) = inf jx; F (х) ^- 1 — 1/п|.
Доказательство. Эти соотношения получаются в процессе доказательства сформулированной выше теоремы.□
Следует, вероятно, отметить, что приведенные выше критерии применимы к любой ф. р. в каждой области притяжения независимо от того, является ли предел конкретным представляющим тип распределением G (х), перечисленным в теореме 1.4.1, или любой другой ф. р. G (ах + Ь) этого типа. Действительно, если предел имеет вид G (ах + Ь), то и G (х) также будет пределом при соответствующем изменении нормализующих констант, так как если
Р \ап (Мп -bn)^x}-+G(ах + Ь), то ясно, что
Р{а„(Л1„-рп)<х}^С(х), с а„ = аоп, р„ = Ьп — ЬДаа^.
Примеры
Мы приведем несколько примеров распределений, принадлежащих каждой из трех областей притяжения, а затем рассмотрим случаи, в которых не существует невырожденного предельного распределения. Константы а^, Ьп будут соответствовать обычной форме (1.1.3), которую мы приведем здесь еще раз для удобства ссылок:
P|an(Mn-6n)<x)^G(x).(1.7.1)
Все примеры в первой группе (1.7.1—1.7.5) относятся к области притяжения типа I.
Пример 1.7.1 (нормальное распределение). Как показано в теореме 1.5.3, (стандартное) нормальное распределение принадлежит области притяжения типа I с константами
(]72)
Ьп = (21п и)’/2 —L(21п и)-’/2 (In In п + In 4л).
Заметим, что определить принадлежность к области притяжения типа I можно очень просто, используя теорему 1.6.1, хотя она и не дает значений постоянных. В следствии 1.6.3 приведены эти постоянные, но работа по преобразованию их к указанному выше виду мало чем отличается от выкладок теоремы 1.5.3.
Пример 1.7.2 (показательное распределение). В случае показательного распределения с параметром, равным единице, мы имеем
F (х) - 1 — е~х.
При помощи теоремы 1.6.1 легко убедиться, что здесь область притяжения типа I. Однако это можно показать и непосредственно (и при этом найти константы). Действительно, если т > О, то мы можем выбрать такое и„, что 1 — F^u^ = т/n, полагая
ип = — In — = — In т 4- In п,
так что по теореме 1.5.1
Р {Мп< — 1пт + Inn)-э-е~т.
Записывая т = е^, получаем (1.7.1) с
ап = 1, bn = Inn, G(х) = ехр {—е~*}.
Пример 1.7.3 (предельное распределение экстремальных значений типа I). Как уже было отмечено, каждое предельное распределение экстремальных значений принадлежит его собственной области притяжения (теорема 1.3.1). Константы легко получить, используя свойство ^-устойчивости. Если F (х) = ехр (—е-*), то
Fn (х) = ехр (—е-*+1п «), так что
Fn (х + In п) = F (х).
Полагая
а„ = 1, bn = In п, мы получаем для всех п
P\an(Mn-b^<x\ =^(x + lnn) = F(x).
Таким образом, имеет место предел типа I с этими постоянными.
□
Пример 1.7.4 (монотонное преобразование (логнормальное) нормального распределения). Если f — монотонно возрастающая функция и & = / (^), то, очевидно,
М^тах®, =ЦМпу
Если jl,} — произвольная последовательность н. о. р. с. в., для которой выполняется (1.7.1), то
P(Mn<^ + 6j^G(x),
так что
р{/и;</(-^ + ь„))^с(х).
В некоторых случаях можно взять разложение функции f. Тогда линейные члены этого разложения приводят к той же самой ф. р. G для Мп (с измененными константами, например ап = = ап/Г (Ьп), ь; = Г (Ьп)). к примеру, если с. в. |(- нормальны, то тогда а„, 6„ задаются соотношениями (1.7.2), приведенными
выше. Следовательно, взяв / (х) = 6х, мы получаем логнормальные с. в. I; и
Р | М'п < exp (-^- + Ьп) | -> G (х) = ехр (—е~х), что дает
Р { е^М'п < 1 ++ о (А- ) } G (х).
Откуда следует (так как а„ -► оо), что
Р {а„е-6" (М„ — А) < х } -> G (х),
так что М'п имеет предел типа I с константами
* —Ь * ъап = цпе п, оп = е
Все приведенные выше примеры, касающиеся типа I, относились к случаям, когда распределения имели бесконечные верхние концевые точки, т. е. хр = оо. Как показывает следующий пример, нетрудно построить такие случаи, в которых распределение первого типа наблюдается и при хр <_ оо.
Пример 1.7.5 (F (х) = 1 — е1/х для х < 0, f (х) = 1 для х ^ 0). Согласно теореме 1.5.1, если последовательность {tzn| такова, что пех1“№ -► т > 0,
Р\Мп<ип\
Записывая т = е~х (—оо < х < оо) и беря ип = (1п т — 1п п)-1, получаем, что
Р {Мп <С — (In п + х)-1} -> ехр (—е~х).
Отсюда легко находим
р {(InП)2 [мп + -^^х + оП^-э-ехр (—е-*),
что приводит к пределу типа I с
ап = (1п n)2, bn = — (In и)"1.□
Переходя в следующих примерах к случаям типа II, мы видим прежде всего, что «воспроизвести» такие случаи очень легко, используя критерий теоремы 1.6.2.
Пример 1.7.6 (распределение Парето). Пусть F (х) = 1 — Кх~а, а>0, К>0, х>К1,а- Тогда (1 — F (/х))/(1 — F (/)) = х-“ для каждого х > 0, когда / достаточно велико. Следовательно, в соответствии с теоремой 1.6.2 имеет место предел типа II. Действительно, для ип = ^Кп]туГа имеем 1 — F (ип) = т/п, так что теорема 1.5.1 дает
Лидбеттер М. и др.
Полагая т = лг™ для х ^> О, получаем после подстановки
Р )(Кп)-1/а Мп -< х] -> ехр (—х-™),
так что реализуется предел типа II с
«п = (КП)-?»,Ьп=0.П
Пример 1.7.7 (распределение экстремальных значений типа II). Как и в случае типа I, мы знаем из теоремы 1.3.1, что ф. р. типа II
( ехр(—х~“), х>0, а>0,
х<0, принадлежит ее собственной области притяжения. Поскольку очевидно, что Fn (n^x) = F (х),
Р \n-^aMn<x\ = F (х)
для всех п, и поэтому реализуется предел типа II с
а„ = «-*/», 6„ = 0.□
Пример 1.7.8 (распределение Коши). Для стандартного распределения Коши
F (х) = ±+ Х arctg х,
поэтому
1 — F (tx) _ я/2 — arctg tx
1 — F (/)я/2 — arctg t •
Но, как легко проверить (например, полагая arctg t = л/2 — 6), lim t (яр — arctg /) = lim 6 ctg 0 = 1 с тем же самым преде- <-»оое-о
лом при замене / на tx, так что (1 — F (/х))/(1 — F (/)) -* х-1 при t -* оо, что показывает, согласно теореме 1.6.2, наличие предела типа II. Константы можно получить просто из следствия 1.6.3: ап = уп1, Ьп = 0, где 1 — F (?„) = \]п, откуда у„ = = tg (л/2 — л/и) = ctg л/n. Следовательно, соответствующие константы равны
ап = ЪХ = ^~^, Ьп = 0.□
Для случаев типа III распределение должно в силу теоремы 1.6.2 иметь конечную верхнюю концевую точку хР. Простейшим таким примером, как мы сейчас увидим, является равномерное распределение.
Пример 1.7.9 (равномерное распределение на (0, 1)). Здесь F (х) = х, 0 <; х <; 1. Для т > 0 и «п = 1 — т/n мы имеем 1 — — F (и^ = т/n при п "^ т, так что по теореме 1.5.1
Поэтому для х < 0 и т = —х
Р[п(Л1п-1)<х)^,
что указывает на предел типа III с а = 1:
ап = п, Ьп=1.□
Равномерное распределение является частным случаем следующего класса распределений, очевидно, имеющего предел типа III. Пример 1.7.10 (полиномиальный рост в концевой точке). Пусть хр << оо, К > 0 и
F (х) = 1 — К (xF - х)к, xF — К-‘'е< х С Хр.
Из теоремы 1.6.2 сразу следует, что здесь мы имеем дело с пределом типа III ехр (—(—х)“) и непосредственно, как в примере 1.7.9 или в силу следствия 1.6.3, что мы можем взять
«в = (пК)*/", Ь„ = Хр.□
Поскольку асимптотическое поведение хвоста 1 — F (х) определяет, какой именно области притяжения принадлежит ф. р. F, то мы можем получать различные предельные типы или даже ни одного из них путем усечения ф. р. F справа независимо от ее формы слева от точки усечения. Это иллюстрируется следующим простым примером.
Пример 1.7.11 (усеченное показательное распределение). Мы видели в примере 1.7.2, что показательное распределение на (0, оо) принадлежит области притяжения типа I. Если мы произведем усечение этого распределения при конечном значении хр и обозначим F (х) = К (1 — е-*) для 0 ^ х С Хр (с К = (1 — е-^)-1), то из теоремы 1.5.1 легко видеть, полагая т = —х для х < 0, что
n 1 m। х\ехр—1),/ 1 \ 1-
а это приводит к пределу типа III с
Пример 1.7.12 (функция распределения экстремальных значений типа III). Здесь
.( exp I—(—х)«|, х<0, а>0,
f(x> = b.*>0.
Как и в случаях типов I и II, F принадлежит своей области притяжения. Кроме того, для каждого п, Fn 0rUax) = F (х), так что
Р (п'^ЛТп <; х} = F (х)
для всех п, указывая на предел типа III с
а„ = п^», 6„ = 0.□
Эти примеры иллюстрируют весь спектр возможностей для предельных распределений. Константы Ьп могут, как и ожидалось, принимать положительные, отрицательные или нулевое значения соответственно тем частным случаям, с которыми приходится иметь дело. Можно было бы подумать, что (строго положительные) масштабные константы ап должны или (всегда) стремиться к единице или (всегда) стремиться к нулю. Интересно, однако, отметить, что могут встречаться оба этих предела, так же как и другие случаи, такие, как в примере 1.7.2, где ап не зависит от п.
Мы перейдем теперь к рассмотрению случаев, в которых ни при какой линейной нормализации не существует невырожденных предельных распределений для максимума. Как было отмечено в разд. 1.4, такое положение дел конечно имеет место, если общая ф. р. членов н. о. р. последовательности ||п} имеет конечную правую концевую точку хр и скачок в этой точке. Действительно, следствие 1.5.2 показывает, что если в такой ситуации для любой последовательности |un} существует предел Р {Мп ^ ^ ип\ -*• р, то значение р равняется либо нулю, либо единице.
Может быть, более обычная ситуация, в которой наблюдается такой результат, возникает для некоторых дискретных распределений (таких, как пуассоновское и геометрическое), как мы сейчас в этом убедимся из следующей теоремы.
Теорема 1.7.13. Пусть Цп} — последовательность н. о. р. с. в., имеющих общую ф. р. F. Тогда если 0< т< оо, то последовательность |и„|, удовлетворяющая (1.5.1) (m. е. 1 — F (и^ ~ т/п), существует тогда и только тогда, когда
/-j/^l) -*1 пР“ х~*хр-(1.7.3)
или, что равносильно, тогда и только тогда, когда
0 при х-*хГ,(1.7.4)
где р (х) = F (х) — F (х—).
Отсюда, в силу теоремы 1.5.1, следует, что если 0< р< 1, то последовательность |un}, для которой Р \Мп <2 ип\ -► р, существует тогда и только тогда, когда выполнено (1.7.3) (или 1.7.4)).
Для р = 0 или 1 такую последовательность всегда можно найти.
Доказательство. Предположим, что (1.5.1) выполняется для некоторого т, 0 < т < оо, но что, скажем, (1.7.4) не выполнено.
Тогда существуют такие е > 0 и последовательность {х„}, что xn -* xF и
р(х„)>2е(1-Е(х„-)).(1.7.5)
Выберем теперь такую целочисленную последовательность \nj\, чтобы 1 — т/п.) было «близким» к середине скачка ф. р. F в точке х}, т. е. так, чтобы
т / F Uj —) + Е (ху) / . _ т Лу2Лу + 1 ’
Ясно, что мы имеем здесь две возможности:
ип.<^х; для бесконечно многих значений /,
ип. "^- Xj для бесконечно многих значений /.
Если выполняется случай (i), то тогда для таких /
п, (1 - F («„,)) > п, (1 - F (Xj -у(1.7.6)
Далее, ясно, что
n.(l _ f (Ху-)) = Т + Пу [(1 - У -+ ^] >
т 4- niP^ _ „. / т _ т ^121 \ns лу + 1 / /
>т + en, (1 - F (Ху—)) - -^-р
(здесь использовано (1.7.5)), так что
(1 —е,)п,(1 -F(X]— ))>Т — -^гр.
Поскольку, очевидно, п, ->■ оо, отсюда следует (так как 0 < т < оо по предположению), что
lim sup rij (1 — F (xj —)) >т,
и поэтому, согласно (1.7.6), limsup rty(l — Е(%))>т-
что противоречит (1.5.1). Выкладки с очевидными изменениями для случая (ii) (цп.^-Х/ для бесконечно многих /) очень схожи с выкладками для случая (i).
Обратно, предположим, что выполнено (1.7.3), и пусть {«„} — произвольная последовательность, для которой F (ип—) ^ 1 — — т/n <J F (цп) (например, ип = Е-1 (1 — т/п)). Отсюда непосредственно получаем неравенства
Т < И (1 - Е (Ып)) < т,
из которых вытекает (1.5.1), поскольку, очевидно, ип -► xF при л —> оо.□
Интересно отметить на основании этой теоремы, что существование последовательности |и„}, для которой (1.5.1) выполняется при некотором т, 0<т<;оо (или такой, что Р {А1П<^ ип\ -»- -> р для некоторого р, 0 <^ р < 1), влечет за собой существование такой последовательности для каждого такого т или р.
Если с. в. ||п| принимают целочисленные значения и xF = оо, то (1.7.3) принимает вид (1 — F (л))/(1 — F (п — 1)) ->- 1 при л -► оо, а (1.7.4) есть просто рп/(1 — F (п — 1)) 0, где рп = = Р {^ = л}. Если какое-нибудь из этих двух (равносильных) условий нарушено, то отсюда сразу следует (с ип = х)ап + 6П) невозможность существования невырожденного предела для Мп. В частности, как мы сейчас увидим, примерами таких случаев являются пуассоновское и геометрическое распределение.
Пример 1.7.14 (распределение Пуассона). В этом случае рт = = er^lrX для К > 0, г = 0, 1,2,..., так что
Рп1 — F(n — 1)Рп1 — F(n — 1)11Хл/п|Хл/п|г=пг=п
Рп
1 — F(n — 1)
Рп
1 — F(n — 1)
1
1
Хл/п|
Хл/п|
г=п
г=п
Сумма, стоящая в знаменателе, может быть переписана в виде
V xs / V fAy = х/п
А (п + 1)(п + 2) ... (n-ps) <Ь\п) \-Цп
(когда л > X) и, следовательно, стремится к нулю при л^- оо, так что рп/(1 — F (п — 1))1. Теорема 1.7.13 показывает, что
предельного распределения здесь не существует и в действительности не существует никакого предела вида Р {Мп ^ ип\ -► р, отличающегося от 0 или 1, какова бы нч была последовательность постоянных {л„}.□
Пример 1.7.15 (геометрическое распределение). Здесь рт= (1 — — рУ~' р, 0 < р < 1, для г = 1, 2так что
Рп(1-р)Л-1_ _
F(n— 1) ~
Цо-Ру-Хг=п
что опять показывает: предел Р {Мп -С ип\ -> р может равняться 0 или 1. Следовательно, и в случае геометрического распределения не существует невырожденного предельного распределения для максимума.□
Наконец, еще раз подчеркнем, что существование отличного от нуля и единицы предела последовательности Р {Л1„ ^ «„( (и, в частности, существование невырожденных предельных распределений) зависит в точности от того, будет или нет 1 — — F («„) ~ т/п для некоторого т, 0<^т<^оо. Если ф. р. F непрерывна, то последовательность ип с таким свойством можно выбрать (полагая ип = F-1 (1 — т/n)) для любого заданного т, и тогда такой предел существует (хотя мы и не обязательно получаем при этом невырожденность предельной ф. р. для Мп при линейной нормализации).
Если ф. р. F не является непрерывной, то существование | «„{-последовательности, удовлетворяющей соотношению 1 — — F (ы„) ~ т/n, не гарантируется и, более того, оно невозможно, если скачки F остаются столь «большими», что не существует такого числа ип, для которого F («„) было бы «хорошей аппроксимацией для 1 — xln*. Более точно, для существования такой {«„{-последовательности необходимо и достаточно, чтобы скачки р (х) = F (х) — F (х—) удовлетворяли (1.7.4), а именно р (х)/(1 — F (х—)) -> 0 при х -> xF, т. е. р„/(1 — F (п — 1)) -> О в случае целочисленных с. в. Для положительных целочислен- ' ных с. в. этот факт имеет интересную интерпретацию как сходи- 1 мость к нулю интенсивности «условных отказов» или «рисков». { Действительно, р„/(1 — F (п — 1)), очевидно, является условной вероятностью того, что «период жизни» gj элемента, дожившего , до момента п, закончится именно в этот момент. Отметим, что интенсивность отказов в счучае геометрического распределения в действительности постоянна и равна р, а в случае распределения Пуассона сходится к единице.
Минимумы
Как уже отмечалось, минимум
m„ = min {^, ...,£„}
задается простым соотношением
m„ = — max {—^ .... —1„),
так что предельные результаты для минимумов очевидным образом получаются из соответствующих результатов дтя максимумов. Это будет использовано ниже при получении возможных предельных распределений для минимумов. Однако некоторые довольно очевидные факты вытекают, по существу непосредственно, как частные случаи следующего аналога теоремы 1.5.1.
Теорема 1.8.1. Пусть {|„} — последовательность н. о. р. с. в. Пусть 0 <,т\ ^ оо, и последовательность вещественных чисел {ип| такова, что
nF (vn) -* Ч при п -*■ оо.(1.8.1)
Тогда
Р ктп > yn} -^-ег” при п^-оо.(1.8.2)
Обратно, если (1.8.2) выполняется для некоторого ч> 0 ^ <^ Ч ^ °°, то выполняется и (1.8.1).
Доказательство. Этот результат доказывается точно таким же образом, как и теорема 1.5.1, если заметить, что Р {тп > оп| = = (1 - F (ип^.□
Легко также видеть, что события {А1П ^ ип\ и \тп > ип| асимптотически независимы (и поэтому таковы же и события \Мп ^ ип\, \тп <^ и„|), если последовательности |un|, {и„} удовлетворяют соотношениям (1.5.1) и (1.8.1), соответственно. Теорема 1.8.2. Предположим, что последовательности {un}, {у„} удовлетворяют соответственно соотношениям (1.5.1) и (1.8.1). Тогда
PVMn<un, mn>vn^e-™,(1.8.3)
так что, согласно теореме 1.5.1,
Р (М» ип, тп -^ un} = Р (Л4П -^ un)
-Р^Мп<ип, тп>У1Л-^е-Ч1-е-^. (1.8.4)
Кроме того, согласно теоремам 1.5.1 и 1.8.1, мы имеем Р |МП ^ <; ип, тп > ип| — Р {ЛТ„ ^ un| Р [тп > и„| -* 0, и то же самое соотношение выполняется, если \тп > и„} заменить на \пч < о»}-
Доказательство. Вероятность в (1.8.3) равна
^{Пп<Ь<“п Для i = 1» • • •> п) = (/^и») ~ ^п))" =
= {1 ~F(vn) — (1 — F (ип))}" = [1 --^ + о(-^)Р^-ж-тп, если 0 <^ т, ц<^ оо, так что отсюда вытекает нужный результат. Случаи, где т или ч бесконечны, довольно просты, поскольку если, например, т = оо, то Р \Мп <: ип, тп > оп\ <. Р \Мп <. ип\ -> ^0.□
В качестве следствия мы непосредственно получаем, что если Мп,тп имеют предельные распределения при линейных нормализациях, то тогда их совместное предельное распределение является произведением этих предельных распределений.
Теорема 1.8.3. Предположим, что для некоторых последовательностей констант {а„ >ОЬ 1М и {«„>01, {Р„} и ф. р. G, Н
Р {ап(М„ -bn)<x^G(х),(1.8.5)
Plan(jnn-M<x^HW.(1.8.6)
Тогда
P{an(Mn-bn)^x, an(mn-[,n)^y}ZG{x)H(y). (1.8.7)
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 1.8.2, в которой ип, vn отождествляются с х/ап + Ьп и у/ап + р„, а т, т] — с —In G (х) и —In (1 — Н (у)) соответственно. □
Последний вопрос этого раздела связан с невырожденными распределениями Н, которые возможны в (1.8.6). Как было предложено выше, их можно получать из известных результатов для максимумов, охватываемых теоремой об экстремальных типах. Возможные предельные законы образуют здесь класс минимум- устойчивых распределений, имеющих ф. р. F, у которых для каждого п = 2, 3, ... существуют такие константы ап > 0, Ьп, что
(1 - F (п„х+ &„))"= l-F(x).(1.8.8)
Теорема 1.8.4 (1) (экстремальные типы для минимумов). Пусть тп = min (?t, g2Еп), где £г — н. о. р. случайные величины. Если для некоторых констант «„ > 0 и р„ мы имеем сходимость
^{а„(т„ — рп)<х) -> Н (х)(1.8.9)
к некоторой невырожденной ф. р. Н, то эта ф. р. Н принадлежит одному из следующих трех типов экстремальных распределений для минимумов-.
Тип 1". Н (х) — I — ехр(—е*), —оо<х<оо;
( 1—ехр(—(—х)~“), «>0, х<0,
Тип П: Я(х) = 4 , ( 1,х>0;
( 0,х < 0,
Тип ПР. Н(х) = < ( 1—ехр(—х“),«>0,х^>0.
(Дак и в случае максимумов, для каждого типа допустимы преобразования аргумента вида ах + b (а > 0).)
(И) Минимум-устойчивые распределения совпадают с распределениями, приведенными в (i).
Доказательство, (i) Предположим, что выполнено (1.8.9), так что, обозначая
М„ = шах (—^, —^2. .... —^л) = — тп,
имеем
Р {а„ (МА + р„) < х) = 1 — Р {а„ (МА + р„) > х} =
= 1 — Р (а„ (т„ — р„) < —х)1 — Н (—х) = G (х),
где сходимость имеет место во всех точках х непрерывности ф. р. G. Но для каждого такого х и всех в > О, таких что функция G непрерывна также в точке х + в, в силу неравенств
Р {«„ (М'п + Р„) < х) < Р {«„ (МА + Рп) <^ х) С
с Р («п (ма + Рп) < X 4- в)
имеем, устремляя п -> оо и затем в -> О,
Р («п(МА 4- Рп)<х) G(х).
Таким образом, G является одной из трех ф. р. экстремальных (максимальных) значений. Поскольку
Н (х) = 1 — G (—х),
три перечисленные выше формы для Н вытекают из трех возможных форм для G, указываемых теоремой об экстремальных типах.
(п) Если ф. р. F минимум-устойчива и выполняется (1.8.8), то ф. р.
G (х) = Иш (1 — F (—х — в)) = 1 — F (—х—) е|0
удовлетворяет неравенствам 1 — F (—х) ^ G (х) ^ 1 — F (—х—в) для всех е > 0, и поэтому
G"(апх — Ьп)<(1 — F(—ап(х 4- 4 4- М" =
= 1 — F (—х - в)< G(x 4 О. и
G" (апх - Ьп) > (1 - Е (-апх 4- W = 1 - F (-х) > G (х - в)
для любого е > 0. Поскольку функции G (х) и G" (апх — Ьп) непрерывны справа, отсюда следует, что G" (апх — Ьп) = G (х), так что ф. р. G максимум-устойчива. Тогда по теореме 1.4.1 она является одной из трех функций распределения экстремальных значений для максимума. Это доказывает часть (и).□
Заметим, что пределом типа III для минимума является распределение Вейбулла, содержащее как частный случай при а = 1 показательное распределение. Отметим также, что поскольку ф. р. для —?г является, очевидно, 1 — F (—х—), то критерии для областей притяжения для максимумов можно легко приспособить и для минимумов (заменяя «хвост» 1 — F (х) на F (—х—) или фактически на F (—х)). Условие для предела типа II принимает
при этом следующий вид (для распределения F, не ограниченного слева):
Иш“, а > 0, для каждого х > 0.
— оо г V)
С соответствующими модификациями аналогично рассматрива
ются другие случаи.
Глава 2
Превышения уровней и k-e наибольшие максимумы
В этой главе мы исследуем свойства превышений уровней |пп} значениями ^, ^2, .... т. е. таких точек I, для которых £, > ип, и в качестве следствия получим результаты о предельных распределениях А-х наибольших значений среди ^ ..., £п. В частности, будет показано, что если выполнено уже известное условие п (1 — — F (un)) ->т (0<т< оо) (соотношение (1.5.1)), то при больших значениях п эти превышения имеют пуассоновский характер. Это приводит к предельным распределениям для к-х наибольших значений при любом фиксированном ранге к = 1, 2, ... (А-е «порядковые статистики экстремумов») и дает возможность получить их предельные совместные распределения.
Представляет несомненный интерес понять, сколь быстро достигается сходимость в соответствующих результатах этой главы и гл. 1. Эти вопросы будут рассмотрены в разд. 2.4.
Для наших целей наиболее интересны вытекающие из (1.5.1) результаты о пуассоновости, особенно в случаях наличия зависимости, рассматриваемых в последующих главах. Тем не менее мы кратко укажем и на другие случаи (когда т = со), приводящие к нормальным распределениям для числа превышений и отсюда к предельным распределениям для к-х наибольших значений, когда ранг к = kn может зависеть от размера выборки п.
Пуассоновские свойства превышений
Посмотрим теперь на задачу выбора постоянных ип, для которых выполняется соотношение (1.5.1), в несколько другом свете. Будем рассматривать ип как «уровень» (обычно 'возрастающий с ростом п) и говорить, что в «момент» i наблюдается превышение
последовательностью уровня ип, если ^ > ип. Вероятность такого превышения, очевидно, равна 1 — F (un), и поэтому среднее число превышений последовательностью ^, ..., £п равно п (1 — F (и„)) -> т. Иначе говоря, ип выбирается таким образом, чтобы среднее число превышений для последовательности ^, ..., £п было приблизительно постоянным. Мы будем следовать этой идее в дальнейшем при выводе пуассоновских свойств превышений. Всюду далее Sn будет обозначать число превышений уровня un последовательностью ^, ..., £п.
Теорема 2.1.1. Если {£п|— последовательность н. о. р. с. в., 0<t<oo, и последовательность (un| удовлетворяет (1.5.1), т. е. п (1 — F (un)) -> т, то для к = 0, 1,2,...
к
P{Sn^k}-^e-^^-(2.1.1)
з=0
(правая часть полагается равной нулю при т = оо).
Обратно, если (2.1.1) выполняется для какого-нибудь одного фиксированного к, то выполняется (1.5.1) (и, следовательно, (2.1.1) выполняется для всех k).
Доказательство. Мы покажем, что если Sn — произвольная биномиальная с. в. с параметрами п, рп и 0 ^ т ^ оо, то для выполнения (2.1.1) необходимо и достаточно, чтобы прп -> т. Искомый результат будет вытекать отсюда для этого частного слу- чая с рп = 1 — F (и^.
Если Sn биномиальна и прп-*-т, то (2.1.1) сразу вытекает из стандартного пуассоновского приближения для биномиального распределения при 0-<т-<оо; (2.1.1) получается несложно и при т = 0, поскольку тогда Р {Sn <. к\ "> Р {Sn = 0( = = (1 — Рп)" = (1 — о (1/п))п, так что Р {Sn С к\ -> 1. Если т = оо, то для любого 6 > 0 мы имеем
/>{$п</>{$п<s=0s=0
/>{$п<
/>{$п<
s=0
s=0
когда прп > 6 (правая часть убывает по 6). Следовательно, к
limsup Р (Sn <^} ^е-е У' "ТГ^'О при 6->оо,
откуда получаем lim Р {Sn к\ = 0.
л-*оо
Обратно, если (2.1.1) выполняется для некоторого к, но прп -а- 4* т, то существуют такое V ^= т, 0 ^ V <^ оо, и такая подпоследовательность {пг}> что niPnl т- Такое же доказательство,
ft
как и выше, показывает, что Р {Snj <^ А} -> e—v У, t's/s! при 5=0 к
I -► оо, а это противоречит (2.1.1), поскольку функция егх У xs/s! s=0 строго возрастает в интервале 0 ^ х ^ оо.□
Заметим, что если «масштаб времени» изменить в п раз, т. е. превышение ^ > ып наносится на графике в точке i/n (а не в точке 1), то Sn равняется числу нанесенных таким образом на график превышений в единичном интервале (0, 1 ] и имеет предельное пуассоновское распределение. Подобным же образом, число нанесенных на график точек, попавших в произвольное (ограниченное) множество В, имеет предельное пуассоновское распределение, а количества этих точек в двух или более непересекающихся множествах очевидным образом независимы. Это наводит на мысль о том, что когда п велико, то превышения уровня un, наносимые на график в точках i/n, а не в точках I, ведут себя подобно пуассоновскому процессу на положительной полуоси. Это предположение отмечается сейчас только как представляющее интерес, однако мы займемся им более подробно в последующих главах для ситуаций с наличием зависимости.
Отметим также, что если ^ ^ ип -< £г+1, то естественно говорить, что в точке i происходит выход за уровень ип. Тогда использованная выше случайная величина Sn асимптотически не отличается от числа выходов за уровень ип между точками 1 и п. Таким образом, мы можем получить пуассоновский предел и для числа таких выходов. Подобные свойства пуассоновости пересечений будут играть важную роль при рассмотрении процессов с непрерывным временем.
Асимптотическое распределение к-х наибольших значений
Здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение М^ для к-го наибольшего значения среди ^, ..., £п и, как и выше, обозначение Sn для числа тех из ^ ..., gn, которые превышают ип. Нетрудно убедиться, что события {Afn6) ^ un\, {£„-<&} равносильны, поскольку если выполняется первое, то к-е наибольшее из ^, .... Вп не превосходит ип, и поэтому не более чем к— 1 из ^ gn превосходят un, так что Sn -< к и наоборот. Таким образом,
PlM^CKj^SnCAL(2.2.1)
Используя это соотношение, можно сразу переформулировать теорему 2.1.1 следующим образом.
Теорема 2.2.1. Пусть {^„1 — последовательность н. о. р. с. в.
Если {и„} удовлетворяет (1.5.1) для некоторого т, 0 ^ т оо, то
Р { М^ С ип } е^ 2 уг.(2.2.2)
з=0
Обратно, если (2.2.2) выполняется для некоторого фиксированного к, то выполнено (1.5.1) и (2.2.2) выполняется для всех к = = 1, 2, ...
Мы можем еще раз переформулировать этот результат, с тем чтобы выразить асимптотическое распределение М^ через соответствующее распределение для Мп (=Млп).
Теорема 2.2.2. Предположим, что
Р (а„(М„ - М^х) I G (х)(2.2.3)
для некоторой невырожденной (и поэтому принадлежащей типу I, II или III) ф. р. G. Тогда для каждого k = 1, 2, ...
fe-i
Р { а„ (М^ - Ьп) < х} -X G (х) ^ -t=^^-, (2.2.4) s=0
где G (х) > 0 (и имеет место сходимость к нулю, если G (х) = 0). Обратно, если для некоторого фиксированного к
Р I ап (М^ - Ьп) < х } -X Н (х)(2.2.5)
для некоторой невырожденной ф. р. Н, то Н (х) должна иметь форму правой части (2.2.4), где (2.2.3) выполняется с теми же самыми G, ап, Ьп. (Поэтому (2.2.4) выполняется для всех к.)
Доказательство. Если (2.2.3) выполнено, то (2.2.2) выполняется с k = 1, т = —In G (х) С оо. Тогда по теореме 2.2.1 соотношение (2.2.2) выполняется для всех к, т. е. справедливо (2.2.4).
Обратно, если (2.2.5) выполнено для некоторого фиксированного к и задано х, то можем, очевидно, найти такое т, 0 ^ т ^ оо, что
з=0
поскольку эта функция непрерывна и убывает от 1 до 0 при возрастании т. Следовательно, (2.2.2) выполняется для этого к, а значит, по теореме 2.2.1 и для всех к, включая к = 1, что дает (2.2.3) с G (х) = е~т (невырожденность ф. р. G ясна).□
Мы видим, что для н. о. р. случайных величин всякое предельное распределение к-го наибольшего значения Мп*^ имеет вид
в основе которого лежит та же самая ф. р. G, которая применима для максимума, и, более того, нормализующие константы одни и те же для всех к, включая к = 1 (собственно максимум). Таким образом, мы имеем полное описание возможных невырожденных предельных законов.
Совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов
Асимптотическое распределение к-го наибольшего максимума было получено выше путем рассмотрения числа превышений уровня un последовательностью ^, .... |п. Подобная же аргументация может быть использована для доказательства сходимости совместного распределения нескольких больших максимумов.
Пусть уровни uV^ - • ■ ^Un^ удовлетворяют соотношениям nd-FOT-Tb
;(2.3.1)
n(l — F (и„ ’)) -► tr,
где 0 <; п <; т2 <: ■ ■<; тг <; оо, и S^ обозначает число превышений и^ последовательностью £ь .... £п.
Теорема 2.3.1. Предположим, что {£„} — последовательность н. о. р. с. в. и что последовательности {un^}, к = 1г, удовлетворяют (2.3.1). Тогда для kt^> 0, .... кт^ 0 при п -> оо
PtsV^Ab S^ = ki + k2$^ = fc1+k2+ ... +AJ-*
. ..(2.3.2)
(при тг = оо правая часть-считается равной нулю, независимо от того, будет ли какое-либо из других т, равно бесконечности). Доказательство. Обозначая через рп. * = 1 — F (и„к)) вероятность того, что £i превзойдет и^к\ легко видеть, что левая часть (2.3.2) равна
( п \ k ( п~ ^i \»
\/ ^"'1 \ к4 /2*
(kr)(Pn,r — Рп.г-д^'О — Pn,r) 1
Из (2.3.1) следует в свою очередь, что (для т, < оо)
\ kt ) Рп'1fellfell ’
/ п — kt —— к^ \к
L(Pn, I — Pn, z-i) 1 =
. (П — feifez-1) • • - (n — feifez + 1) (Pn, Z — Pn, ид*1 „fez I
„ (Tz — tui^1
fez I
для 2 ^ I ^ г и что
Таким образом, (2.3.2) является непосредственным следствием соотношений (2.3.1) и (2.3.3), когда тг, а следовательно, и все т, конечны. С другой стороны, если тг = оо, то левая часть (2.3.2) не превосходит величины Р {S„r) = к\ + • ■ ■+ кД, которая стремится к нулю по теореме 2.1.1, так что опять выполняется (2.3.2).
По тем же причинам, что и в (2.2.1), ясно, что Р^^Си^, .... Л#’^'’} =
= P{S<,1>=0, S^’^l, ..., S^r-1 1, (2.3.4) и поэтому совместное асимптотическое распределение г наибольших максимумов можно получить непосредственно из теоремы 2.3.1. В частности, если распределение с. в. ап (Мп11 — Ьп) сходится, то отсюда следует не только то, что ап (,М^ — Ь^ сходится по распределению для к = 2, 3, .... как мы видели выше, но также и то, что сходится совместное распределение с. в. ап (Mh11 — Ьп),... ..., ап (Мп1 — Ьп\ Этот факт, конечно, вполне ясен, но, поскольку форма предельного распределения для более чем двух максимумов становится довольно сложной, мы сформулируем результат только для случая двух наибольших максимумов.
Теорема 2.3.2. Предположим, что
Р{ап{М^ ~bn)^x\ZG(x)(2.3.5)
для некоторой невырожденной (и поэтому имеющей тип I, II или III) ф. р. G. Тогда для хг > х2
р {«П (м^ - b^ <xbQn (м <2) - Ьп) < х2} X
X G (х^ {In G (xj - In G (х2) + 1}, (2.3.6)
когда G (х2) > 0 (и имеет, место сходимость к нулю, если G (х2) = = 0).
Доказательство. Мы должны показать, что
Р I Л4(1) С п(1)I
сходится, если и„' = x\Jan + bn и и^ = x2jan + Ьп. Если выполнено (2.3.5), то, согласно теореме 1.5.1, п (1 — F (4°)) -> Т1, п (1 — F №» -*- т2, где Ti = —In G (xi), т2 = —In G (х2) (0 ^ ^ Ti ^ т2 ^ °°)- Отсюда, по теореме 2.3.1
р {s',1’ = о, sb2’ < 1} = р {s',1’ = о, s^ = о} +
+ Р { S ^1 = 0, S^ = 1 } -> е^* + (Т2 - то е^‘ = е^* (т2 - т, + 1),
что в силу (2.3.4) доказывает (2.3.6).□
Скорость сходимости
Каждый результат о факте сходимости сопровождается вопросом о скорости такой сходимости. В настоящем разделе мы исследуем с этой точки зрения основные предельные теоремы для максимумов (теор. 1.4.2, 1.5.1, 1.5.3), пуассоновскую предельную теорему (теор. 2.1.1) и теоремы сходимости для k-x максимумов (теор. 2.2.1 и 2.2.2). Пусть {un} — последовательность уровней, где ип не обязательно принадлежит семейству ип = ип (х) = = х/ап + Ьп, и пусть, как и прежде, F обозначает общую ф. р. независимых и одинаково распределенных с. в., образующих последовательность ^, ?2, ... . Если |un} удовлетворяет предположению теоремы 1.5.1, т. е. если п (1 — F (un)) -► т, то, обозначая тп = п (1 — F (un)), имеем
Р {Мп < пп| = (1 --^.y^-t.(2.4.1)
Если ф. р. F непрерывна, то в (2.4.1) для любых т, п всегда можно получить равенство (беря ип = F~x (e-vn)). Однако часто последовательность {пп| определяется какими-то другими соображениями. Например, она может иметь форму ип (х) = х/ап + 4. не дающую возможности получить тождество (1 — тп (х)/п)л = е-' <*> для тп (х) = п (1 — F (пп (х))), если только ф. р. F не является максимум-устойчивой.
Поучительно рассмотреть отдельно две аппроксимации
(1—^у^е-п(2.4.2)
и
которые вместе дают (2.4.1). Как мы вскоре увидим, для аппроксимации в (2.4.2) существует вполне удовлетворительная равномерная граница порядка 1/п. Что касается (2.4.3), то разложение Тейлора дает точную точечную оценку этой аппроксимации, но, к сожалению, не видно возможности найти полезную равномерную границу в (2.4.3) при тп = тп (х), т = т (х), —оо<х«<оо. Существенная часть доказательства этих результатов содержится в следующей лемме.
Лемма 2.4.1. (1) Если 0 <^ х ^ п, то
0 С - fl -. ' ^
\ л /2п—1
С2е’2—Ц-<0.3—Ц- для п=1, 2, ... (2.4.4) п— 1л— 1''
и, кроме того, при п оо
е~х-fl — — У =— fl +0 f—(2.4.5)
у, п /2 п \ X п / /'7
равномерно для всех х в ограниченных интервалах.
(И) Если х — у ^ In 2, то
е~и — е~х = е~х {(х — у) + 6 (х — t/)2[,(2.4.6)
где 0 < 6 << 1.
Доказательство. (1) Первое неравенство в (2.4.4) является непосредственным следствием неравенства е~х<п ^ 1 — х/ц, и, поскольку третье и четвертое неравенства очевидны, остается установить только второе из них. Вместо этого мы докажем равносильное неравенство
<2-4-7)
Имеем:
Выражение, заключенное здесь в фигурные скобки, достигает в интервале [0, п] минимума в точке х= 1. Поскольку 1 — — е (1 — 1/п)" ^- 0 соответственно первому неравенству в (2.4.4), это показывает, что V (х) ^ 0 для 0 ^ х ^ п и, поскольку / (0) = = 0, (2.4.7) справедливо.
Далее, пусть /п (х) = 1 — exp {х + п In (1 — х/ц)}. Тогда можно непосредственно убедиться в том, что /„ (0) = /л (0) = 0, tn (0) = 1/п и что t'n W = О(1//г2) равномерно для всех х в ограниченных интервалах. Поэтому разложение Тейлора дает
- (1 - 4)"='-«е-=^ 4 (1+0 (4-))
равномерно для всех х в ограниченных интервалах, что и доказывает (2.4.5).
Опять по формуле Тейлора имеем
е-у _ е-* = е-х {е*-у _ ц = е-х Г х _ у _^_ .1. (х _ уу ^- (х-у) 1
с 0-< 6'-< 1, что и доказывает (2.5.6), поскольку 0-< < ехр {6' (х — у)}/2 <_ 1 для х — у <Z In 2.□
Границы первого порядка для скорости сходимости получаются теперь просто. Относительно других близких результатов мы отсылаем читателя к работам Дзюбдзелы (1978) и Галамбоша (1978). Теорема 2.4.2. Пусть {^п} — последовательность н. о. р. с. в., тп = п (1 — F (ип^ и
Дп = (1 — ^-)П — е-т”, Д„ = е—т” — е'х*
так чтоТогдатак чтоТогдао<-д„о<-д„т^е т" 12‘ п — 1т^е т" 12‘ п — 10.30.31 п — 1 ’1 п — 1 ’Р {Mn<unl — е~т = Д„ + Д„.
так что
Тогда
так что
Тогда
о<-д„
о<-д„
т^е т" 1
2‘ п — 1
т^е т" 1
2‘ п — 1
0.3
0.3
1 п — 1 ’
1 п — 1 ’
где первая граница является асимптотически точной в том смысле, что если т„ -► т, то &п ~ — ^er'j^ln. Кроме того, для т — — т„ ^ In 2
Дп = е-т {(т — тп) + 0 (т — т„)2}
с 0< 0< 1.
Доказательство. Поскольку Р {А1п < un| = (1 — тДп^, это сразу вытекает из леммы 2.4.1, если заметить, что 0 ^ тп = = п (1 - F («„)) С п. □
Если тп -* т, так что (2.4.1) выполняется для пп = пп (х) = = х/ап + Ьп, тп = тп (х), т = т (х), то по теореме 1.2.3 соотношение (2.4.1) сохраняет силу, если ап и Ьп заменяются другими константами ап и 0П, для которых a-Ja^ -* 1, (0П — Ьп) ап -> 0. Ясно, однако, что скорость сходимости Д„ к нулю (и, таким образом, Р {Mn ^ «п} к с"т) может быть совершенно различной при различном выборе этих констант. Поэтому можно интересоваться отысканием хороших с этой точки зрения констант ап и Ьп. Кроме того, даже при использовании «наилучших» ап и 6П скорости сходимости могут быть совершенно различными для различных распределений.
Как было замечено еще Фишером и Типпетом, в счучае нормального распределения экстремумы сходятся к своей предельной
форме чрезвычайно медленно. Фактически если ап и Ьп такие же, как и в теореме 1.5.3, и ип = ип (х) = х/а„ + ЬП1 то мы имеем 4- = х + In n - In (2 In n)1 '2 - In /2^ + (]" ]n п)2 + 0 «£1п п^
Отсюда, используя соотношение
Ф^--(1 — *~2) < 1 — Ф W < Ф^ для х>0, получаем
т„ = n (1 — Ф (ы„)) = ф (ып) (1 + О (ы„ 2)) =
=—г™-• 3—■ ехр {—х — Inn + In(2 Inn)1 /2} +
{2 Inn}1/2/2л'
+ In / 2л — (lnlnn)2(161nn)-1(l 4- o(l))} X
x('+0(^))-
= e—^ {1 — (In Inn)2 (16 In n)—1(l +o(l))}.
Таким образом, для т (х) = е*х
и отсюда, так как ошибка Дп в теореме 2.4.2 имеет порядок п-1, для н. о. р. стандартных нормальных с. в. {£п|
р {«П (Мп - М < х} — ехр (—е-') ~
(2.4.8)
16Inn ''
Таким образом, сходимость в теореме 1.5.3 чрезвычайно медленная. Конечно, это могло зависеть от конкретного выбора констант ап и 6п, сделанного выше. Холл (1979) исследовал эту задачу глубже и путем элементарных, но довольно сложных выкладок доказал, что если в качестве ап и Ьп взять решения уравнения
= Ьп = а„(2.4.9)
ТО
-^-< sup |P{an(Mn-6n)<x}-exp(—g-^K-^ — 00<Х<00
(2.4.10)
для некоторых строго положительных постоянных Ст, С2, где С2 <С 3. Он доказал далее, что никаким другим выбором an и Ьп улучшить такую скорость сходимости нельзя. Таким образом,
даже если константы ап и Ьп, используемые в теореме 1.5.2, и не обеспечивают оптимальной скорости сходимости, выиграть за счет использования других ап и Ьп можно все же не слишком много.
Рисунки 2.4.1 и 2.4.2 иллюстрируют скорость сходимости для нормальных с. в. Можно видеть, что, несмотря на низкую скорость сходимости, разности Р |ап (Мп — Ь^ <С -*} — ехр (—е~х) весьма малы даже для малых п. Проблема состоит именно в том, что согласие мало улучшается с ростом п. Это объясняется видом правой части соотношения (2.4.8). Первый сомножитель ехр (—е-*) 6^/16 довольно мал и имеет максимальное значение 0.023 при х = 0, в то время как второй сомножитель (Inin n)2/ln п фактически постоянен для умеренных значений п. Например,
Рис. 2.4.1. Графики функций ехр (—е~х) (сплошная линия) и Р {ап (Мп— —^п)^х) Д'1” и = 10 (пунктирная линия) и и = 103 (штрихпунктирная линия); (а) для ап, Ьп, определяемых по формулам (1.7.2), (Ь) для ап, Ьп, определяемых по формулам (2.4.9).
Рис. 2.4.2. Графики функций (ехр (—е~х) е~х/1б) (In 1п и)2/1п и (сплошная линия) и Р (ап (Л4п — Ьп) ^ х) — ехр (—е~х) для ап, Ьп, определяемых по формулам (1.7.2) (пунктирная линия) и (2.4.9) (штрихпунктирная линия); (а) п = 103, (Ь) п = 10».
для 102 ^ п <^ 10м он изменяется между значениями 0.43 и 0.54. Таким образом, приближение первого порядка для Р {ап (Мп — — ^п)^^} — ехр (—е-х) очень мало изменяется в этом интервале значений п, хотя с другой стороны оно и мало (^0.013). В действительности существует некоторое улучшение приближения для значений п, возрастающих, скажем, от 103 до 10®, но это есть следствие эффектов более высокого порядка. Кроме того, для умеренных значений л нет большой разницы в том, определяются ли ап, Ьп посредством (2.4.9) или как в теореме 1.5.3.
Перейдем теперь к скорости сходимости в теореме 2.1.1, т. е. к вопросу о том, сколь хорошо распределение суммы Sn = = У, Х{6,>ып) приближается распределением Пуассона со средним т. Здесь х — индикаторная функция, равная 1, если событие в фигурных скобках осуществляется, и нулю в противном случае.
Предположим, что X и У — неотрицательные целозначные с. в. Расстояние по вариации между их ф. р. мы определяем как
d(X, У) = -1-У]|р{х = ^-Р{У = ^|-6=0
Ясно, что d (X, У) ^. 0, d (X, У) = 0 тогда и только тогда, когда X и У имеют одно и тоже распределение, d (X, У) = d (У, X) и
d (X, Z^d (X, У) + d (У, Z),(2.4.11)
так что d — метрика в пространстве распределений, заданных на множестве неотрицательных целых чисел. Кроме того, легко видеть, что d — метрика сходимости по распределению неотрицательных целозначных с. в., т. е. d (Xn, X) -> 0 тогда и только тогда, когда Хп сходится к X по распределению. Для вывода использующих расстояние по вариации границ для скорости сходимости в теореме 2.1.1 мы воспользуемся простым и весьма элегантным методом, принадлежащим Серфлингу (1978). Сначала отметим некоторые основные свойства расстояния по вариации, которые будут использованы в приводимых ниже доказательствах и которые показывают полезность введения такого расстояния. Если h — произвольная вещественнозначная функция, то ясно, что
d(X, У) = SUP |^(Л(Х))-Е(Л(У))|.(2.4.12)
2 |Л|<1_
Далее, если а* = шах (а, 0), а = —min (а, 0), то
о = S (Р {X = к\ - Р {У = к\) = 6=0
= S <р |х = к\ - Р |У = к\у - Ъ(р\х = к\-р\у - к\г. 6=06=0
и поэтому
d(X, ¥) = Е (Р {X = к\ - Р {У = £})+ =б=о
= £(Р\Х = Ц-Р\¥ = к\у.
6=0
Отсюда легко получаем (полагая, например, А = \к; Р {X = = Л} ^- Р {У = А}}), что
d(X, У) = sup | Р {X G Л} — Р {У €^Н>
> sup |Р{Х<&} -Р{У<&}|,(2.4.13)
6=1. 2. ...
где супремум берется по всем множествам А целых чисел. Отметим между прочим, что, поскольку {A4„ft) ^ un} = {Sn<^|, последнее неравенство показывает, что границы для расстояния по вариации, включающего Sn, непосредственно приводят к соответствующим границам, включающим М}?*.
Удобно расширить систему обозначений, обозначив через d (X, 6) расстояние по вариации между ф. р. случайной величины X и ф. р. 6 и через d (F, 6) расстояние по вариации между ф. р. F и G. Кроме того, мы будем обозначать ф. р. случайной величины, имеющей распределение Пуассона со средним т, через Р (т) и ф. р. случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметрами пир, через В (п, р). Следующая лемма принадлежит Серфлингу (1978).
Лемма 2.4.3. (i) Предположим, что с. в. X и ¥ определены на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда
d (X, У) < Р (X Ф У).
Если с. в. Хь ..., Хп взаимно независимы и взаимно независимы с. в. У1, .... Уп, то
d^Xt, ^ Y^<gd(Xb У,-).
d (Р Cq), Р (т2)) < lb — т21.
d(B(„. i), Р(г))<^._
Доказательство. (1) легко вытекает из (2.4.13), поскольку |Р{Х^Л|-Р{УСЛ}КР{Х^Л, У^Л} +
+ Р{Х^Л, У G Л}<Р{Х=йУ}.
Далее, предположим, что выполнено предположение п. (ii), и пусть К — такая функция, что | h (х) |1 для всех х, так
что, согласно (2.4.12), | Е (h (Хх)) — Е (h (Y^ /2 < d (Хх, Ух) и аналогично | Е (h (Хг + А)) — Е (h (Y^ + А)) /2 <; d (Хи Ух) для к = 1, 2, ... . Тогда, поскольку Хх не зависит от Х2 и Ух не зависит от Ya,
|£ (Л(Хх + Х,))—Е (Л(Ух + Уа))|
2~
^ {£№х + к))Р |Х2 = к\ -E(h(Yt + k^P\Y2 = А}} л=о
<±£|Е(/1(Хх + /0)-£(МУ1 + £))|Р{Х2 = /;} + Л=0
+ 4-§5(А(Ух + 6))|Р{Х2 = ^-Р{У2 = АНС
Л=0
< 2 d<хь Ki)р <х»=к\ + т 21р и*=к\ -р(^=к\ ।= fc=0fc=0
= d(Xn yx) + d(X2, Yay
В силу (2.4.12) это доказывает неравенство
d (Хх + Х2, Ух + У2) < d (Хх, Ух) +
+ d (Х2, У2)
и общий случай получается посредством индукции.
Чтобы доказать п. (iii), предположим сначала, что ^ ;> т2, и пусть с. в. Хи У имеют независимые пуассоновские распределения со средними Тх — т2 и т2 соответственно. Тогда, согласно п. (1),
d (Р (тх), Р (т2)) = d (X + У, У) << Р {X > 0} = 1 — ехр {— (Тх —- т2)} < Тх — т2.
Такое же рассуждение для тх -< т2 завершает доказательство п. (iii).
Докажем п. (iv) сначала для л = 1. Пусть X — биномиальная с. в. с параметрами 1 и т, а с. в. У имеет распределение Пуассона со средним т. Тогда
|Р|Х = 0}-Р|У = 0}| = е-т-1 +т,
|Р|Х = Ц-P {У = 1}|=т-те-’,
S IР {X = к\ - Р {У = к\ | = Р {У > 2} = 1 - е-т - те-\
Л=2
и отсюда, используя определение метрики d, получаем
d (X, У) - ^ (2т - 2те-т) = т (1 - ет) < т=
Далее, пусть с. в. Хп .... Х„, У^ .... Уп взаимно независимы, XiХп имеют биномиальные распределения с параметрами 1, т/n, а Уъ .... Уп имеют распределения Пуассона со средними т/п. Тогда, согласно (ii),
Дв(л, 1), PM)-d(2xb 2г,)<
4=1(=1/
<2-<w. г,хл(^)8-4. □
1=1
Как и в теореме 2.4.2, ошибку в аппроксимации распределения числа превышений Sn уровня ип последовательностью ^, ..., £п распределением Пуассона со средним т можно расщепить на две части: первая составляющая ошибки имеет порядок 1/п и возникает при аппроксимации биномиального распределения с. в. Sn распределением Пуассона со средним тп, а вторая происходит от замены тп на т.
Теорема 2.4.4. Предположим, что {£„} — последовательность н. о. р. с. в. с ф. р. F, положим
1п = п О — F (ип))
и Sn = ^^.>Un}. Тогда
d(Sn, Р(тп))<А
и
d(Sn, Р(т))<4- + |тп-т|.
Доказательство. Поскольку Sn биномиальная с. в. с параметрами п и т^п, то искомое утверждение вытекает из леммы 2.4.3 (iii), (iv) и того факта, что
d (S„, Р (т)) С d (Sn, Р (тп)) + d (Р (тп), Р (т)).□
Следствие 2.4.5. В предположениях и обозначениях теоремы 2.4.4 пусть М^ — k-е наибольшее значение среди ^, .... gn. Тогда
UU
U
U
Доказательство. Эти неравенства сразу вытекают из доказанной теоремы и соотношения |Sn < fc} = {M„ft) ^ иД на основании (2.4.13). □
Сравнивая это следствие с теоремой 2.4.2, мы видим, что оно указывает правильный порядок сходимости, но константы в неравенствах слишком велики.
Возрастающие ранги
Результаты разд. 2.2 и 2.3 применимы к А-му наибольшему М^ из ti, 6г, •••> Sn. когда к фиксировано. Мы ссылаемся на это как на случай фиксированных рангов (или порядковых статистик экстремумов'). Интересно также рассмотреть случаи, когда к = = кп -* оо при л -> оо. Тогда будем говорить о них как о случае возрастающих рангов. Особый интерес представляют две конкретные скорости роста:
кп/п - 6 (0 < 6 < 1), которую мы будем называть случаем центральных рангов.
kn -> оо, но кп/п -*• 0, на которую мы будем ссылаться как на случай промежуточных рангов.
При рассмотрении фиксированных рангов было полезно определить уровни {«пЬ удовлетворяющие (1.5.1), т. е. л (1 — —^ (ып)) т. В случае когда кп -> оо, мы найдем, что подходящими ограничениями являются nF (и^ (1 — F (л„)) -> оо и
(2.5.1)(2.5.1)кп пРп. т(лРпО — Рп))|/2
(2.5.1)
(2.5.1)
для фиксированной постоянной т, где рп = 1 — F (лп), или в равносильной (как мы увидим) форме:
п — кп-^- оо,п — кп-^- оо,кп ПРп (Ап (1 -Мп^2кп ПРп (Ап (1 -Мп^2->- т.->- т.(2.5.2)(2.5.2)
п — кп-^- оо,
п — кп-^- оо,
кп ПРп (Ап (1 -Мп^2
кп ПРп (Ап (1 -Мп^2
->- т.
->- т.
(2.5.2)
(2.5.2)
Теорема 1.5.1 имеет теперь следующий эквивалент (в котором Sn снова число превышений уровня лп последовательностью ^ ^2, ....
Теорема 2.5.1. В прежних обозначениях пусть кп -> оо, рп = = 1 — F (ип) и прп (1 — рп) -> оо. Если последовательность {лп| удовлетворяет (2.5.1), то
(2.5.3)(2.5.3)Р {£„ <^п} ->-Ф(т) при П-^-ОО.
(2.5.3)
(2.5.3)
Обратно, если выполняется (2.5.3), то выполняется и (2.5.1).
В сформулированных утверждениях (2.5.1) можно заменить равносильным условием (2.5.2).
п
Доказательство. Мы можем записать 5n = S Хь гДе Xi — 1 i=l
или 0 в зависимости от того, будет ли ^ > ип или ^ ^ ип. Таким образом, Xi — н. о. р. с. в. с Р |xi = 1} = рп = 1 — —р {^ = 0}. Из неравенства Берри—Эссена следует, что для некоторой постоянной С
I Р |Sn < Ап} - Ф /^-пр,,\ I ^С
I 1\ («Рп (1-Рп))*/2 / I(пРпО—Рп)У/
где правая часть стремится к нулю, поскольку прп (1 — р^ ->■ оо. Отсюда вытекает основной результат, поскольку
Ф /fen-nPn - \ _ ф (Т)\ («Рп (1 — Р1дУ/ )
тогда и только тогда, когда (Ап — прп)Дпрп (1 — р^УУ*2 ~* т (Ф и обратная ей функция обе непрерывны).
Наконец, то что из (2.5.1) следует (2.5.2), получаем, записывая
^п = прп + т (прп (1 — рп)У'2 (1 + о (1))
и замечая, что отсюда вытекает кп ~ прп и (л — &п) ~ л (1 — рп).
Аналогично из (2.5.2) следует (2.5.1).□
Соответственно теоремам 2.2.1 и 2.2.2 мы имеем, таким образом, следующие результаты.
Теорема 2.5.2. В тех же обозначениях предположим, что кп -► -> оо, прп (1 — рп) -> о° (рп = 1 — F («„)). Если выполняется (2.5.1) или (2.5.2), то
Р{л11М<«л)->-Ф(т).(2.5.4)
Обратно, если выполняется (2.5.4), то выполняются (2.5.1) и ^.Ь2\
Доказательство. Если (2.5.1) выполняется, то оно выполняется и при замене кп на кп — 1, так что по теореме 2.5.1
р |Sn<M = р\sn<kn- 1}-*Ф(т).
Следовательно (2.5.4) вытекает из (2.2.1). Обратное следование получаем таким же образом.□
Теорема 2.5.3. Опять при тех же обозначениях предположим, что выполнено (2.5.1) или (2.5.2) с ип = ип (х) = х/ап + + Ьп (т = т(х)) для некоторых последовательностей {пп > 0} и |6П|. Тогда
Р { ап (M<M - bn) < х } X Н (х),(2.5.5)
где Н (х) = Ф (т (х)). Обратно, если (2.5.5) выполнено для некоторой невырожденной ф. р. Н, то Н (х) = Ф (т (х)), где (2.5.1) и (2.5.2) выполняются с ип = х/а^ + Ьп, т = т (х).
Центральные ранги
Случай центральных рангов, где кп/п ->- 6 (0 < 6 < 1), изучен в работе Смирнова (1949). Хотя мы будем мало говорить об этом случае в последующих главах, для полноты здесь будут обсуждены основные факты, относящиеся к последовательности н. о. р. с. в. Прежде всего отметим, что две последовательности \kn\, |&п) с равными пределами lim kn)n = lim kh/n могут приводить к различным невырожденным предельным ф. р. для М^п\ М^п\ Точнее, как показано в работе Смирнова (1949), мы можем иметь knjn -► в, knjn в и
/>{а„(м(М-6„)<х}Д-Л(х),(2.6.1)
Р { а; (/И?п) - к) < х} ^ Н' (х),(2.6.2)
где ап > 0, Ьп, а'п > 0, Ь'п — постоянные, а Н (х), Н* (х) — невырожденные ф. р. разных типов. Однако, как показывает следующий результат, это невозможно, если
/п ^ - б) -> 0.(2.6.3)
Лемма 2.6.1. Предположим, что выполнены соотношения (2.6.1) и (2.6.2), где Н, Н' — невырожденные ф. р., и обе последовательности кп, к'п удовлетворяют (2.6.3). Тогда Н и Н' — ф р. одного и того же типа, т. е. Н' (х) = Н (ах + 6) для некоторых а > > 0, Ь.
Доказательство. Если члены последовательности н. о. р. с. в. |г, |2, ... имеют ф. р. F, то по теореме 2.5.3
->т (х),(2.6.4)->т (х),(2.6.4)fen — л (1 — Г (х/ап + 6П))
->т (х),(2.6.4)
->т (х),(2.6.4)
(*n (1 -knWW2
где Н (х) = Ф (т (х)). В силу (2.6.3)
6 — (1 — Г (х/ап + 6П))(0(1—0))1/2'( Ь
Вновь применяя (2.6.3) с заменой кп на к'п, получим, что (2.6.4) выполняется с заменой кп на кп, и отсюда по теореме 2.5.3 что
Р {ап (м^ — Ь^ < х}-»-Ф (т(х)) = И (х).
Но если Нп—ф. р. случайной величины М^п\ то, значит, Нп (х/ап + Ьп) -- Н (х), тогда как Нп (х/а„ + Ь^ Н' (х) согласно (2.6.2). Таким образом, в силу теоремы 1.2.3, Н и Н' имеют один и тот же тип, что и требовалось показать. □
Оказывается, что для последовательностей |&п}, удовлетворяющих (2.6.3), возможны только четыре формы предельных распределений Н, удовлетворяющих (2.6.1). Для полноты мы формулируем здесь этот факт в виде теоремы и отсылаем читателя за ее доказательством к работе Смирнова (1949).
Теорема 2.6.2. Если последовательность центральных рангов |&п} удовлетворяет (2.6.3), то единственно возможными невырожденными ф. р. Н, для которых выполняется (2.6.1), являются
СО, х<0, 1- ^^“(ф^ха),х^-0, с>0, а>0;
f Ф(—с|х|а), х<0, с>0, а>0, 2"W“t.,х>0;
з ЯМ = (Ф(-С1|х|а)' ,<0'
*'( Ф^х^),х>-0, ^i > 0, с2 > 0, а > 0;
0,х<—1,
4. Н^ =
4-, — 1<х<1,
1, х> 1.
Можно заметить, что только третий из этих типов распределений является непрерывным в противоположность положению, имеющему место в случаях фиксированного ранга.
Если убрать ограничение (2.6.3), то ситуация становится более сложной, а диапазон возможных предельных распределений существенно возрастает. Эти вопросы, как и области притяжения, обсуждаются в двух статьях Балкемы и де Хана (1978 а, Ь)
Промежуточные ранги
Под последовательностью промежуточных рангов мы понимаем такую последовательность |&п}, для которой кп оо, но кп = = о (п). Здесь применима общая теория для возрастающих рангов с некоторыми незначительными упрощениями. К примеру, мы можем переформулировать (2.5.2) как
Рп =Рп =ПП
Рп =
Рп =
П
П
Следующий результат By (1966) указывает возможные нормализованные ф. р. для М^, когда hn не убывают.
Теорема 2.7.1. Если ^ £2, ... — н. о. р. с. в. и |&п) — неубывающая последовательность промежуточных рангов и если существуют такие константы ап> 0 и Ьп, что
Р {а^М^ - Ьп) <х^Н(х)
для какой-нибудь невырожденной ф. р. Н, то Н имеет одну из трех форм-.
( Ф(—alnlx|), х<0, а>0,
^Н^ = Ь,х>0;
ГО,х<0,
Н(х) = | ф(о1пх), х>0> а>0;
Н (х) = Ф (х),— ОО < х < ОО.
Эта теорема вполне удовлетворительна, хотя она и не описывает областей притяжения указанных трех предельных форм. Некоторые результаты в этом направлении были получены Чибисовым (1964), Смирновым (1949) и By (1966). Однако они в значительной степени зависят от последовательности рангов |&п). Например, Чибисовым (1964) изучен класс таких последовательностей рангов (&„}, для которых &„ ~ /2пе (0 < 6 < 1). Если F — произвольная ф. р., то известно, что существует самое большее одна такая пара (1, 6), что F принадлежит области притяжения типа I, и то же самое утверждение справедливо для типа II. К тому же существуют такие последовательности рангов, для которых в качестве предельного может служить только нормальный закон, и, более того, существуют распределения, притягивающиеся к нему для каждой последовательности промежуточных рангов {fen}.
Как и для центральных рангов, мы не будем сталкиваться с промежуточными рангами в зависимых случаях, рассматриваемых в последующем. Читатель, интересующийся поведением промежуточных рангов для зависимых последовательностей, может обратиться к работам Уоттса, (1977), (1980). Уоттса и др. (1982), а также к цитированной в этих работах литературе.
Часть II
СВОЙСТВА ЭКСТРЕМУМОВЗАВИСИМЫХПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В гл. 3—6, составляющих часть II, мы концентрируем внимание на том, какое влияние оказывает на классические результаты об экстремумах наличие зависимости между случайными гели- чинами gn ..., Еп. В основном предполагается, что эти с. в., будучи зависимыми, все же одинаково распределены и в действительности образуют стационарную в узком смысле последовательность. Однако кратко рассматриваются и некоторые важные нестационарные случаи.
Задача гл. 3 состоит в обобщении основных результатов о максимуме Мп на стационарные последовательности. Как будет видно, такое обобщение возможно в довольно полной степени при некоторых естественных ограничениях на структуру зависимости членов последовательности. В частности, показано, что при подобных ограничениях предельные законы для зависимых последовательностей оказываются в точности такими же, как и в классическом случае, причем при каждой заданной зависимости, естественно, получается точно такой же предельный закон, как если бы члены последовательности были независимыми и имели то же самое распределение. Приводятся также некоторые результаты и примеры распределений, не являющихся нормальными, в которых это уже не верно.
В гл. 4 указанная теория применяется к случаю стационарных нормальных последовательностей. Показано, что требуемые ограничения на зависимость удовлетворяются при весьма слабых ограничениях на ковариации, соответствующие последовательности .
Глава 5 связана с темой гл. 2, именно со свойствами М^ — ^-го наибольшего значения среди 5ь Здесь используется подход, основанный на понятии «точечного процесса превышений уровня непоследовательностью^, £2, •••• Мы рассматриваем такой подход как полезную и проясняющую суть дела точку зрения. В частности, простая теорема о сходимости показывает пуассоновский характер превышений высоких уровней, приводящий к желаемым обобщениям классических результатов относительно М^„\
В гл. 6 мы имеем дело с двумя темами, дополняющими теорию для нормальных последовательностей. Во-первых, показана применимость полученных ранее и надлежащим образом модифицированных результатов об экстремумах к некоторому классу не-
стационарных нормальных последовательностей. Это, в частности, приводит к асимптотическому распределению максимума стационарной нормальной последовательности, на которую накладывается соответствующий тренд или сезонная составляющая. Во-вторых, рассматриваются стационарные нормальные последовательности с весьма сильной зависимостью. Для этого случая нет завершенной теории, но представлено некоторое количество различных предельных результатов.
Глава 3
Максимумы стационарных последовательностей
В этой главе классическая теория экстремальных значений гл. 1 распространяется на широкий класс зависимых (стационарных) последовательностей. Входящие в этот класс последовательности имеют не «слишком сильную» зависимость своих членов. В частности, основным предположением при построении соответствующей теории будет некоторое условие на перемешивание, связанное только с распределениями и более слабое, чем обычно используемые виды ограничения на зависимость, такие, как сильное перемешивание.
Ограничения на зависимость для стационарных последовательностей
Понятие последовательности н. о. р. случайных величин можно обобщать различными способами. Можно или допустить зависимость членов последовательности £п, или разрешить им иметь различные распределения, или допустить и то и другое. Например, одним очевидным обобщением является рассмотрение марковской последовательности конечного порядка. Рассмотрение марковских последовательностей может приводить к плодотворным результатам для экстремумов, однако оно не является целью нашего изложения.
Мы сохраним предположение о том, что все £п имеют одинаковое распределение. В действительности естественно рассматри-
вать стационарные^ последовательности, т. е. такие последовательности, для которых совместные распределения значений (g7i, .... g,n) и (^1+т, .... |jn+m) совпадают при любом выборе п, /1» ...,/пит- В этом случае мы будем предполагать, что зависимость между 5; и ^,- убывает определенным образом при возрастании | i — j |. Это отличается от марковского свойства, где по существу прошлое {gf, i < п\ и будущее {$,•; / > п\ независимы при заданном настоящем £п.
Простейшим примером типа ограничений, которые мы рассматриваем, является /zz-зависимость, которая требует, чтобы £f и L были независимыми при | i — / | > т.
Более часто используемым типом ограничений на зависимость указанного вида для стационарных последовательностей является условие сильного перемешивания, впервые введенное Розенблаттом (1956). Говорят, что последовательность {£п} удовлетворяет условию сильного перемешивания, если существует функция g (&), «коэффициент перемешивания», стремящаяся к нулю при к оо и такая, что
I р (Л Л В) - Р И) Р (В) I < g №.
когда A ^ST (^, .... £р), В ^ST (gp+h+1, £p+h+2, ...) для любых р и к. Здесь ^* (•) обозначает о-алгебру, порожденную случайными величинами, заключенными в скобки. Если последовательность перемешивается в указанном смысле, то всякое событие А, «относящееся к прошлому вплоть до момента р», «почти не зависит» от любого события В, «относящегося к будущему, начиная с момента р + к + 1», когда значение к велико. Отметим, что указанное условие перемешивания равномерно в том смысле, что g (к) не зависит от конкретного выбора событий Л и В.
Корреляция между с. в. Ег и ^- также является (частичной) мерой их зависимости. Поэтому другое возможное ограничение зависимости того же типа таково: | Corr (^, Ej) 1 -^ g (| i — / I). где g (k) -* 0 при к -* оо. Ясно, что такое ограничение наиболее полезно, когда Еп образуют нормальную последовательность.
При каждом из указанных выше общих типов ограничений удается доказать сохранение тех или иных результатов теории экстремальных значений и в более общем случае. Например, Ватсон (1954) обобщил (1.5.2) на m-зависимые стационарные последовательности. Лойнес (1965) получил значительное количество результатов (включая (1.5.2) и теорему об экстремальных типах) для стационарных последовательностей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания. Берман (1964b) получил (1.5.5) для стационарных последовательностей, удовлетворяющих некоторым простым ограничениям на корреляцию.
Имеется в виду стационарность в узком смысле. — Прим, перев.
3 Лидбеттер М и др.
Ясно, что результаты Лойнеса (1965) и Бермана (1964b) связаны друг с другом — оба они используют похожие методы,— однако точная связь не вполне очевидна, поскольку используются различные ограничения на зависимость. Ограничения Бермана на корреляцию — весьма слабые ограничения, приводящие к сильным результатам для нормальных последовательностей. Условие перемешивания, использованное Лойнесом, будучи пригодным во многих ситуациях, очевидно, довольно ограничительно. В этой главе мы предлагаем гораздо более слабое условие «типа перемешивания», которое впервые появилось у Лидбеттера (1974) и при котором, к примеру, результаты Лойнеса (1965) все еще остаются в силе. Кроме того, это условие выполняется для стационарных нормальных последовательностей, удовлетворяющих ограничениям Бермана на корреляцию. Это будет показано в следующей главе, что дает возможность прояснить связь между различными результатами.
Перемешивание по распределениям
Имея в виду ослабление условия перемешивания, заметим, что события, представляющие интерес в теории экстремальных значений, обычно имеют вид (^ <С и) или являются пересечениями таких событий. Например, событие (Мп<;и) есть просто {^ С и, 1г < w, •••. In < и)- Поэтому возникает мысль предложить условие, похожее на перемешивание, но относящееся лишь к событиям такого типа. Например, одним таким естественным условием могло бы являться следующее условие, которое мы назовем условием D. Для краткости вместо Fiv 4 (и, ..., и), где F£ ,i ^,хи -1 хп) — совместная ф. р. случайных величин lip lin, будем писать Fiv.... in (u).
Будем говорить, что выполнено условие D, если для любых целых чисел h <• • • < ip uh <• - • < /р', для которых j\ — ip > /, и любого вещественного и
| Ftl ,.tp,iv.. ip. (и) - F£1 ...tp (u) Fh ... ip, (и) | <g(/), (3.2.1)
где g (0 О при I oo.
Позднее мы увидим, что при условии D выполняются и теорема об экстремальных типах, и ряд других результатов. Однако, хотя D и дает существенное уменьшение требований на перемешивание, возможно его дальнейшее ослабление. Мы рассмотрим условие, называемое D (ип), которое содержит требование, аналогичное (3.2.1), но применяемое только к некоторой последовательности значений {unj, а не обязательно ко всем значениям и.
Более точно, если (нп| — заданная последовательность вещественных чисел, то условие D (ип) определяется следующим образом: будем говорить, что выполнено условие D (ип), если для любых целых чисел
1 -^й < • • • <зр ■^ix*~^ ■ ■ ■ -^ip-^и,
для которых ]\ — tp ^ /,
| Fij.tpi jt. , jp, (Un) Fil,,_ ,-p (un) F^... jp.^Ut^ | ^ an. t, (3.2.2) где an.zn"*O при n -► oo для некоторой последовательности k = о (n).
Иногда полезны модификации условия D (пп), указываемые в следующей лемме. В дальнейшем символом [о] обозначается целая часть числа а.
Лемма 3.2.1. (i) Последовательность an, z в определении D (ип) можно взять невозрастающей по I при каждом п.
(и) Если последовательность аП11 взята невозрастающей по I при каждом фиксированном п, то условие an, Zfi -► 0 при п-*оо, /п = о (п) можно переписать в виде
аП, [пх] -*• 0 для каждого X > 0.(3.2.3)
Доказательство. Что касается п. (i), то заметим просто, что an, z можно заменить максимумом левой части (3.2.2) по всем допустимым выборам значений i и / и получить, возможно, меньшее значение an> i, которое не возрастает по I при каждом п и все еще удовлетворяет соотношению a-n,in -*■ 0 при п -► оо.
Что касается п. (ii), то сразу видно, что если an, z -* 0 для некоторой последовательности 1п = о (п), то (3.2.3) выполнено.
Обратное можно показать, замечая, что из (3.2.3) вытекает существование такой возрастающей последовательности (т^, что an. [n/fe] < для п mk- Если положить кп = г для тг <; п < пу^х, г ^ 1, то т^ < п, так что ап, [п/хп] < кп1 -*• 0, и в качестве последовательности {Znj можно взять ([п/^п]).□
Выполнение условия сильного перемешивания влечет за собой выполнение условия D, откуда в свою очередь вытекает выполнение условия D (ип) для любой последовательности {«„}. К тому же D (мп), при надлежащем выборе {«„}, выполняется для стационарных нормальных последовательностей при слабых ограничениях, когда условие сильного перемешивания может и не выполняться.
Следующая лемма показывает, каким образом условие D (ип) дает «степень зависимости», подходящую для исследования экстремумов в последующих разделах. Если Е —• любое множество целых чисел, то М (Е) будет обозначать шах {^-; / € Е) 3*
(и, конечно, М (Е) = Мп, если Е = (1, .... п|). Нам будет удобно придать смысл «интервала» любому конечному множеству последовательных целых чисел, скажем {/l ..., /2); длина такого интервала полагается равной /2 — Д + 1- Если F = \къ .... k2\ — другой интервал с ^, > /2, то будем говорить, что Е и F удалены друг от друга на расстояние кг — /2.
Всюду далее (|п) будет стационарной последовательностью.
Лемма 3.2.2. Предположим, что D (ип) выполняется для некоторой последовательности {ип). Пусть п, г и k — фиксированные числа, а Еъ .... ЕТ— такие подынтервалы интервала {1, ..., п), что Et и Ej при i =^= j удалены друг от друга не менее чем на k. Тогда
<(r — l)an,ft.<(r — l)an,ft.
<(r — l)an,ft.
<(r — l)an,ft.
Доказательство. Это неравенство легко показать индукцией. Для краткости положим Aj = ^М (Е^ un}. Пусть Ej = \kj, .. ..., lj}, где (применяя, если необходимо, перенумерацию) &i<Vi < < ^2 < • • • < 1Т- Тогда
|Р(А1ПЛ2)-Р(А1)Р(А2)1 =
= |... и. k, ... i, (un) Fit, ... ix (un) F^ ... tT (wn)| ctn, д,
поскольку ^2 — Zj >- к. Аналогично
P (Ai П A2 П A3) - P (А,) P (A2) P (A3)| <
< | P (Ат П A2 П A3) - P (Ai f) A2) P (As)| +
+ | P Mi n A2) — P (A,) P (A2)| P (As) <2an, h, поскольку E! (J E2 c j^, .... Ц и k3 — l2^. h. Действуя далее таким же образом, получаем искомый результат.□
Эта лемма показывает степень независимости максимумов на отдельных интервалах, которая будет основой доказательства теоремы об экстремальных типах для стационарных последовательностей.
Теорема об экстремальных типах для стационарных последовательностей
Наша цель в этом разделе — показать, что теорема об экстремальных типах применима при определенных условиях и к стационарным последовательностям. То есть мы хотим показать, что если Мп = шах (£ъ .... £п), где {^j — стационарная последовательность, и если
Р {«„ (Мп - Ьп) < х) -^G (х)(3.3.1)
для некоторых констант {«п > 0}, (Ьп) и невырожденной ф. р. G, то (при условиях, которые необходимо сформулировать) G— распределение экстремальных значений, или, что равносильно (согласно теореме 1.4.1), G— максимум-устойчивое распределение. В силу теоремы 1.3.1 это будет так, если
р {«„л (м„ - &nA) < х} ^ G,M (х)(3.3.2)
для каждого к = 1, 2, ... . Поскольку при к = 1 формула (3.3.2) просто переходит в (3.3.1), то достаточно (как указывалось после теоремы 1.4.2) показать, что если (3.3.2) выполнено для к = 1, то оно выполняется также и для к = 2, 3Это будет доказано, если для каждого к = 2, 3, ...
р-рк<3-3-3) при п оо. Поэтому достаточно показать, что выполнено (3.3.3), и это приведет к желаемому обобщению теоремы об экстремальных типах.
Применяемый метод состоит в разбиении интервала (1, ..., п| на к интервалов длины [n/k] и использовании «приближенной независимости» максимумов на каждом из них, указываемой леммой 3.2.2, для получения результата, из которого вытекает (3.3.3). Чтобы применить лемму 3.2.2, мы должны укоротить каждый из этих интервалов, чтобы отделить их друг от друга. Это приводит к следующей конструкции, использованной, например, Лойнесом (1965) и приводимой здесь в несколько более общей форме, удобной для последующего использования.
Пусть к — некоторое фиксированное число, и для любого положительного целого п положим п' = \п!к\ (целая часть числа nlkY Таким образом, мы имеем п'к ^ п < (п' + 1) к. Разобьем первые п'к целых чисел на 2к последовательных интервалов следующим образом. Для большого п пусть т — целое число в пределах к < т < п' и
/1 = (1, 2, ..., п' — m}, /J = (nz — т + 1, ..., п'У
Интервалы /з, 15, .--, Д, Д, имеющие попеременно длины п’ — т и /и, определяются аналогично. Запишем, наконец,
/щ = №-1)«' + т + 1, • kn’Y
ILx = ^кп' + 1кп' + т).
(Заметим, что интервалы /А+ь Ц+х определяются не так, как интервалы //, // для / <С к.)
Основные этапы аппроксимации содержатся в следующей лемме. Они, вообще говоря, состоят в том, чтобы показать, во- первых, что «малыми» интервалами I* можно по существу пренебречь, а затем применить лемму 3.2.2 к (теперь уже отделенным
друг от друга) интервалам 1и .... Ih. В следующей лемме |un| — любая заданная последовательность (не обязательно имеющая форму х/а„ + ЬпУ
Лемма 3.3.1. Если использовать введенные выше обозначения и предположить, что выполнено условие D (un), то (к\
0<Р А {М^)<«„})-P{Mn<M<
\/=1/
< (к + 1) Р {М (Л) <ип < м (/Г)},
-Рк {M^XUn} <(£-l)a„,m-Рк {M^XUn} <(£-l)a„,mР ( А (М (I,) < и^ \/=1
-Рк {M^XUn} <(£-l)a„,m
-Рк {M^XUn} <(£-l)a„,m
I Рк {м и^ <un^-pkVMn. <М|<
<кР {м (Лх^хти^Г)}.
Отсюда, комбинируя (i), (ii) и (iii), получаем
\Р{Мп<ип}-Рк{Мп.^ип}\^
< (2k + 1) Р {М (/1) < ип < М (/*)} + (к - 1) an, т. (3.3.4)
Доказательство. Результат (i) получается сразу, поскольку к
А (Л4 Uj) ^ ып} => (Л4П ^ “„), и разность этих событий влечет 7=1
за собой неравенство М (Ij) <^ ип < М (Г,) для некоторого j < к или в противном случае выполнение неравенств |7- < ип для 1 <^ ^ /X kn' и выполнение неравенства £7 > ип для некоторого / = кп* + 1, ..., к (п' + 1), что в свою очередь приводит к неравенству М (Ik-n) <. ип < М (Ilti) (поскольку т > к, и поэтому к (п' + 1) < кп’ + ту Поскольку вероятности событий М (Ij) <. и„ < М (I*) не зависят от / в силу стационарности, отсюда вытекает (i).
Неравенство (ii) вытекает из леммы 3.2.2, если в этой лемме заменить Е, на Ij и заметить, что вероятность Р (Л4 (/^) <; unj не зависит от /.
Чтобы получить (iii), заметим, что
О < Р^м (/]) < п„} - Р {Мп< < «„} = Р {М (/1) < ип < М (/Г)}.
Искомый результат получим, полагая у = Р \М Ц^ < ип| и х = Р ^Мп' <^ ип|, из очевидных неравенств
О < ук — хк <; к (у — х), когда 0 <^ х <^ у <^ 1.□
Чтобы получить желаемую аппроксимацию, оценим сверху правую часть (3.3.4).
Лемма 3.3.2. Если выполнено условие D (ип), г > 1 — произвольное фиксированное целое число и если п?> (2г + 1) mA, то в тех же обозначениях, что и в лемме 3.3.1,
Р {М (/0 < ип < м (/•)} < 4" + 2га"- ^<3-3-5)
Из леммы 3.3.1 следует тогда, что
Р^Мн^и^ — Pk (MWkA <Х}->0 при л-^оо. (3.3.6) Доказательство. Поскольку п' >- (2r + 1) т, можно выбрать такие интервалы Еъ ..., ЕТ длины т из 1г = {1, 2, ..., п* — т} (п* = [л/А1), что они будут удалены друг от друга и от I* по крайней мере на т (здесь к < т < л'). Тогда
Р {/И (/О < ип < М (И)} < Р ( П (М (Es) < un}. { VI (1П > «4) = \s=l/
= p ( n {Af (E,) c un}) - P ( n {м (E,) < Un). {M (K) < un}\ .
\s=l/ \s=lJ
В силу стационарности P {M (E$) -^ u„) = P {M (Ц) -^ Un) = p, и, согласно лемме 3.2.2, величины, стоящие в правой части, отличаются (по абсолютной величине) от рг и рг+х не более чем на (г— l)an.m и гап>то соответственно. Поэтому
Р {М (/0 < л„ < М (/Г)} < // - р-1 + 2ran, т, откуда вытекает (3.3.5), поскольку рг — prA-^ ^l,(r + 1) для ОСр < 1.
Наконец, в силу (3.3.4) и (3.3.5), полагая т = 1п согласно (3.2.2) (1п = о (л)), получаем
lim sup | Р {Mn < un) - Pk {AV < un}| <
^ 2ya + (6 _ t + 2r (26 + 1}) lim sup an> = 2Щ, 'л-^со*
Отсюда получаем (устремляя в правой части г к бесконечности), что левая часть неравенства равна нулю. Тем самым теорема (3.3.6) доказана.□
Можно отметить, что если
lim sup п (1 — F (и^) < оо
(что имеет место, например, в случае, когда выполнено (1.5.1) с т < оо), то (3.3.6) является даже более прямым следствием леммы 3.3.1. Действительно, полагая т = 1п = о (л), мы имеем в этом случае
Р (М (h) < ип < М (/Г)} < 1пР {|, > и^ =
=-^-л (1 — F(«n))->0 при л->оо.
Поэтому (3.3.6) вытекает немедленно из условия D (ип) и (3.3.4).
Теорему об экстремальных типах теперь легко получить при общих предположениях.
Теорема 3.3.3. Пусть (£п) — стационарная последовательность, < ап>0 и Ьп — такие константы, что Р [ап (Л4П — 6П) ^ х) входится к невырожденной ф. р. G (х). Предположим, что условие D (ип) выполнено для ип = х/ап + Ьп для каждого вещественного х. Тогда Gj^ имеет одну из трех форм, перечисленных в теореме 1.4.1.
Доказательство. Записывая ип = х/ап + Ьп и используя (3.3.6) (с пк вместо п\ получаем (3.3.3). Как было замечено в связи с (3.3.3), соотношение (3.2.2) выполняется для всех к, поскольку оно выполняется по предположению для к = 1. Поэтому если Кп — ф. р. для Л4П, то по теореме 1.3.1 ф. р. G Л4-устойчива и в силу теоремы 1.4.1 имеет тип распределения экстремальных значений. □ Следствие 3.3.4. Указанный результат остается в силе, если условие выполнения D (ип) для каждой последовательности ип = = х/а„ + Ьп заменить требованием выполнения условия D. (Поскольку тогда D (ип) справедливо для любой последовательности, и в -частности для ип = х/с„ + Ьп для каждого х.)
Интуиция подсказывает возможность использования для областей притяжения тех же самых критериев, исходящих из маргинальной функции распределения F, что и в классическом случае. Мы покажем, что этот факт действительно имеет место (по крайней мере при некоторых дополнительных предположениях) как простое следствие результатов следующего раздела. Можно отметить, что для экстремумов процессов с непрерывным параметром (которые рассматриваются в гл. 13) такое утверждение уже не имеет места в точности в том виде, как для последовательностей. Соответствующие критерии должны быть модифицированы некоторым (весьма интересным) образом.
Сходимость последовательности Р (Л4П <С ип\ при наличии зависимости
До сих пор мы имели дело с результатами, указывающими возможные формы предельных распределений экстремальных значений. Теперь мы обратимся к вопросу о существовании такого предела в том смысле, что мы сформулируем условия, при которых для стационарных последовательностей равносильны (1.5.1) и (1.5.2), т. е. условия, при которых соотношение
Р(Л1п<Ып}-^ (3.4.1)
равносильно соотношению
n(l — F(un)) =пР{Е1>ип}-^-т при п^-оо. (3.4.2)
Как отмечалось выше, из этих результатов будет непосредственно вытекать (это будет показано подробно в следующем разделе), что классические (для н. о. р. с. в.) критерии для областей притяжения можно применять и для таких надлежащим образом зависимых последовательностей.
Из приводимого ниже вывода можно увидеть, что если выполнено (3.4.2), то условие D (ип) гарантирует выполнение соотношения lim inf Р {Мп <; ип\ > е-т. Однако, чтобы получить противоположное неравенство для верхнего предела, необходимо ввести некоторое дополнительное предположение. Можно использовать различные формы такого предположения. Здесь мы довольствуемся следующим простым вариантом условий, использовавшихся в работах Ватсона (1954) и Лойнеса (1965), на который мы будем ссылаться как на условие D' (un).
Будем говорить, что для стационарной последовательности {^-) и числовой последовательности {un} выполнено условие D' (un), если
[п/6]
lim sup п ^ Л(Е1>ип, Е;> un}->-0 при к-*ео. (3.4.3)
(Здесь [ 1 обозначает целую часть числа.)
Заметим, что если выполнено (3.4.2), то уровень ип в (3.4.3) таков, что в среднем его превышают приблизительно т из с. в. £ь ..., Еп и соответственно т'к из с. в. ^, ..., E[n/t]_ Условие D' (и^ ограничивает вероятность того, что уровень и„ превышают более одной из с. в. Еъ ..., E[n,tj. В конечном счете (как мы увидим позднее) это будет обеспечивать отсутствие кратных точек в точечном процессе превышений, что, конечно, необходимо при получении простого пуассоновского предела для исследуемого точечного процесса.
Наш основной результат обобщает теорему 1.5.1, давая возможность ее использования для стационарных последовательностей при условиях D (ип), D* (ип). Часть этой теоремы, соответствующая необходимости, впервые была доказана Дэвисом (1979).
Теорема 3.4.1. Пусть \ип\ — такая числовая последовательность, что для стационарной последовательности |ЕП} выполнены условия D (ип), D' (ип). Тогда соотношения (3.4.1) и (3.4.2) равносильны, т. е. Р |Mn ^ un| -**ет тогда и только тогда, когда п (1 — F (ип)) -► т (здесь 0<т«<оо).
Доказательство. Зафиксируем 6 и для каждого п введем обозначение п' (= fin,») = In/kL Поскольку
{Mn->un} = U {^>Un},/=1
мы имеем
ij^{|;>Wn}— Е P{li>un, Ь>“п}< /=1КК/<л'
<Р{Л4П'>ип}< £Р{^>ип}.
Используя стационарность, легко получаем отсюда, что
1 - п- (1 - F (ип)) < Р {Л^ < ип^ с 1 - п (1 - F (ип)) + Sn,
(5.4.4)
где Sn = Sn,k = п' S P{h>un, ^j>uny Поскольку п' = 7=2
= [n/А], из условия D* (и„) вытекает, что lim sup Sn = к"хо (1) =
= о (А-1) при Л ОО.
Предположим теперь, что выполнено (3.4.2). Тогда п' (1 — — F (и„)) т/А, так что, устремляя п к бесконечности в (3.4.4), получаем
1г-<; lim inf Р {Мп- <: ыл}<
"П-коо
< lim sup Р (Мп. < un} < 1 — -у + о ^) .
Возводя каждый член в А-ю степень и используя (3.3.6), находим (1^)6<lim inf Р{Мп^un)<
<limsupP{Afn<Un)<(lг + °(~г)У-
Полагая к оо, убеждаемся в том, что предел lim Р (Л4П <; un) существует и равен е-х, что и требуется для установления (3.4.1).
Обратно, если выполнено (3.4.1), т. е. Р (Л4П ^ un) -► е~т при п оо, то мы имеем из (3.4.4) (где п* = [п/к])
1 - Р {Мп' < un} < п- (1 - F Ы < 1 - Р (Мп- < Ып} + Sn.
(3.4.5)
Но поскольку Р {Mn < Uni е“т. то (3.3.6) показывает, что Р (Мп- ^ un| -* e-v*, так что, полагая п -* оо в (3.4.5), получаем (поскольку п' ~ л/А)
-«"''* +° (т)--«"''* +° (т)-1 — e-v*^-i-Hminf л(1 — F(un))^ ^ П->со
-«"''* +° (т)-
-«"''* +° (т)-
^ lim sup п (1 — F (ип)) ^ 1
Л-коо
откуда (умножая на к и полагая к ->- оо) находим, что п (1 — F (ипу) -* т, так что (3.4.2) выполнено.
Если л (1 — F (ип)) -+ оо, то условие D' (и^ не выполняется даже для н. о. р. последовательностей. Однако результат будет применим также и при т = оо, если для таких последовательностей условия D (ип), D' ^и^ модифицировать естественным образом. Это показывает
Следствие 3.4.2. Те же самые выводы остаются в силе и при т = = оо (лг. е. Р (Мп < «п) “* 0 тогда и только тогда, когда л (1 — F (ип)) оо), если требование выполнимости D (ип), D' (ип) заменить следующим условием: для произвольно большого т < оо существует такая последовательность {ип), что п (1 — F (ип)) т и выполняются условия D (ип), D' {и^.
Доказательство. Зафиксируем т < оо. Если п (1 — F (ип)) -* оо, то очевидно, что ип <^ ип для достаточно больших п, так что по доказанной теореме
lim sup Р {Mn<Un} <: НтР {Мп^ип} — е~Т.
П-КООn-*CD
Поскольку это выполняется для произвольно больших т, то, полагая т -* оо, находим, что Р {М„ ^ и„| -* 0.
Обратно, пусть Р [М„ < un) ч- 0. Зафиксируем т > 0. Пусть ип — некоторая последовательность (удовлетворяющая D (vn), D' (v„)), такая, что п (1 — F (vn)) ч- т. Тогда Р |М„ < и„1 ч- е~т > 0, так что, очевидно, для достаточно больших п имеют место неравенства ип > ип, что приводит к соотношению л (1 — F («„)) > л (1 — F (и„)) -* т. Поскольку оно выполняется для произвольно большого т > 0, мы должны иметь л (1 — F (ип)) ч ч- оо, что и требовалось доказать.□
Заметим, что если условия D (u„), D' (и„) выполнены и предполагается, что (3.4.3) выполняется только для некоторой подпоследовательности (лу) целых чисел, т. е. п5 (1 — F (ип.)) ч- т при / ч- оо, то такое же доказательство показывает, что7 (3.4.1) выполняется для этой подпоследовательности, т. е. Р (Мп. ^ ^ ы«.-1 е”т- ^ТОТ П°АХ°Д может быть использован для получе-
ния альтернативного доказательства утверждения теоремы о том, что (3.4.1) влечет за собой (3.4.2), на основе предположения о существовании некоторой подпоследовательности п3, для которой ^ (1 — F (ип.)) -* т' Ф т, 0 <2 т' <С оо.
Сопровождающие независимые последовательности и области притяжения
Для исследования областей притяжения в теореме об экстремальных типах в случае зависимых последовательностей полезно ввести в рассмотрение н. о. р. последовательность (£п), имеющую ту же самую общую ф. р. F, которую имеет каждый член стационарной последовательности (£п). Последовательность [£nj мы будем называть (следуя Лойнесу (1965)) «независимой последовательностью, сопровождающей (^n)» (independent sequence associated with {^„}), и будем обозначать Мп = max (Е^ g2, .... En}. Теорема 3.5.1 является непосредственным следствием теоремы 3.4.1.
Теорема 3.5.1. Пусть для стационарной последовательности |ЕП) выполнены условия D (ип), D' ^и^. Тогда Р [Л4П <2 ип\ 0 > О в том и только в том случае, когда Р \Мп <. ип] -»• 6. То же самое справедливо при 6 = 0, если условия D (ип), D' (ип) заменить требованием о том, чтобы для произвольно большого т < оо существовала такая последовательность (ип}, для которой п (1 — F (уп)) -+ -^ т и выполнены условия D (vn), D" (уп).
Доказательство. Условие Р [7ИП С ип\ -*- 0 может быть переписано в виде Р [Мп -С ип} е~т> гДе т ~ —1п 6- Согласно теореме 1.5.1, оно выполняется тогда и только тогда, когда 1 — F (un) ~ т/n. По теореме 3.4.1 то же самое верно для Р [Мп <; ^ ип\, так что при 6 > 0 искомый результат верен. Если 6 = 0, то искомый результат получаем подобным же образом, используя следствие 3.4.2. □
Мы можем также сразу заключить, что предельное распределение для ап (Мп — Ьп) в точности такое же, как и то предельное распределение, которое получалось бы при условии, что £п — н. о. р. с. в., т. е. что оно совпадает с распределением ап (Мп— Ьп) при условиях D (и„) и D* (ип). Часть этого результата была доказана Лойнесом (1965) при условиях, включающих сильное перемешивание.
Теорема 3.5.2. Предположим, что условия D (un) и D' (и^ выполняются для некоторой стационарной последовательности |£п|, когда ип = xlan + Ьп для каждого х (здесь (ап > 0) и [Ьп| — заданные числовые последовательности}. Тогда для того, чтобы соотношение Р (ап (Мп — Ьп} <; х) -► G (х) выполнялось для некоторой невырожденной ф. р. G (х), необходимо и достаточно, чтобы Р [ап (Мп — Ьп} <; х) ->- G (х).
Доказательство. Если G (х) > 0, то равносильность вытекает из теоремы 3.5.1 с 6 = G (х).
Если 6 = 0, то непрерывность ф. р. G (обязательно являющейся распределением экстремальных значений) показывает, что если 0 < т < оо, то существует такое х0, что G (х0) = е~Т. Условия D (ип), D' (ип) выполняются для ип = х0/ап + Ьп и Р [Мп < ^ ип) -* е~х или Р (Л1П <С ип] егх в зависимости от сделанного предположения. Следовательно, либо теорема 3.4.1, либо теорема 1.5.1 показывает, что п (1 — F (vn)} -* т. Поэтому случай 6 = 0 вытекает из второго утверждения теоремы 3.5.1, где берется un = х/ап + Ьп. □ Заметим, что случай 0 = 0 может быть получен и по-другому из 6 > 0 путем использования непрерывности ф. р. Св ее левой концевой точке, конечной в этом случае. Однако приведенное выше доказательство, использующее предшествующие результаты для т = оо, представляется естественным и поучительным.
Ввиду этого результата для определения областей притяжения при условиях D и D' можно было бы использовать те же самые критерии, что и в классическом н. о. р. случае. Более того, для нормализации можно использовать те же самые константы как если бы последовательность была н. о. р. Это будет проиллюстрировано для нормальных последовательностей в следующей главе, где мы проверяем выполнение условий D и D'.
Максимумы на произвольных интервалах
При построении пуассоновской теории превышений (в гл. 5) необходимо будет использовать асимптотические результаты для максимума ^ по значениям I, принадлежащим «интервалам» (т. е. множествам последовательных целых чисел), длины которых асимптотически пропорциональны п. Сначала мы приведем две леммы, которые пригодятся здесь и в других случаях, показывающие, как последовательность (un) можно заменить при рассмотрении Р |Л1П < и„[ и О (un) «приемлемо близкой» последовательностью {и„}. Первая из этих лемм посвящена таким заменам, а вторая рассматривает полезный частный случай.
Лемма 3.6.1. Пусть {£„}— некоторая стационарная последовательность, а числовые последовательности [un) и [ип} таковы, что п (F (un) — F (vn)) -* 0 при п -* оо (что выполняется, в частности, если п (1 — F (ип)) ~* т, п (1 — F (vn)) т для некоторого т, 0 т < оо). Тогда
если /п — интервал, содержащий vn целых чисел, где vn = = О (п), то Р [7И (/„) <С и^ — Р (М (/„) < ип} 0, так что при 0 < р -< 1 сходимость Р {7И (/„) < ип\ -*■ р имеет место тогда и только тогда, когда Р {М (1п) ^ ип} р;
(й) D (ип) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется D (ип).
Доказательство. Пусть К — некоторая постоянная, т <С Кп, Аъ .., кт — различные целые числа из интервала (1, 2, ..., Кп). Тогда в стандартных обозначениях
I Ffei ■■■ кт^ Fk!=
= р(г\П [^£<Un^ •
\i=l/ \i=l'
Если ип ^ vn, то для правой части этого равенства справедливо n (^^«nA-/5 (n [^-^vn^c ' 1=1/\ 1=1/
< р ( и [Un < lht < Un}\ < Кп (F (ип) — F (и„)).
Это соотношение и его очевидная модификация для ип < ип дают
I Fkl — кт^п) ” Fkl — ftm^n)|^
< Кп | F (un) — F (un)|0 при n->oo. (3.6.1)
В приведенных выкладках числа т и kt могут зависеть от п. В частности, если взять т = vn (^.Кп) и кг = i, 1 <; i ^ vn, ТО получим Р (Alvn < «п} — Р (-^vn <: Un} 0, откуда в силу стационарности вытекает (i).
Чтобы доказать (й), предположим, что D (ип) выполняется, и положим 1 -< i"i -< ... < ip < /1 -< ... <? jp- -< п с jx — ip ^ I. Тогда с очевидным сокращением обозначений (i = (ix, ..., ip), j = (7i, ■■•, ip-))
I Fij («n) - Fi (un) Fj (un)| < an, z,
где a„iZ -* 0 для некоторого выбора ln = о (n). Далее,
I Fij (un) - Fi (un) F-, (v„)| < | F4 (u„) - Fv, (n„)| +
+ | Fi j (un) — F । (un) F, (wn)| + F| (un) | Fj (un) Fj (u„)| + + F (un) | Fi (un) — Fi (un)|.
Взяв К = 1 и троекратно используя (3.6.1), последовательно отождествляя №, ..., &т) с (ц, .... ip), (ji. •••, /V) и (l'i« •••. ip* it. • ••, jp'). получаем
I Fq (un) - Ft (un) F, (un)| < «и. i, где a„, i = an, z + Xn и ?.„->- О при n oo.
Поэтому a„, i -► 0 при n -* сю, так что выполнено условие D (и„).
Следующий результат показывает, что если ип определено таким образом, что (3.4.2) выполнено для некоторого т, то можно естественным образом определить и„ так, чтобы n (1 — F (vn)) ->- т' для другого заданного т'. Более того, если выполнено D (ип) (или D' (и^), то выполнено и D (vn) (или D' (и„)) при т' < т. Лемма 3.6.2. Предположим, что («п} удовлетворяет (3.4.2) для некоторого фиксированного т > 0, т. е. п (1 — F (ип)) -► т, и положим для фиксированного 6 > О
Un = и^п/вр(3.6.2)
Тогда
lunt удовлетворяет соотношению
n (1 — F (и„)) - 6т,(3.6.3)
если 6 < 1 и выполняется D (ип), то выполняется и D (vn),
если 6 < 1 и выполняется D' (ип), то выполняется и D* (и„), (iv) если для последовательности {tu„} п (1 — F {wn)) т' < т и выполняется D (ип), то выполняется и D (wn).
Доказательство, (i) В соответствии с (3.4.2) n (1 — F ^и^ = = п (1 — F (U[n/e])) ~ пт/[п/6] -► 6т, что и требовалось.
(ii) Если D (ип) выполнено и 1 ^ i\ < ... < ip < ... < jx < ... ... < ip- < Л — ip > l. то
I Fq (un) - Ft (u„) F, (u„)| = | Fq (u[n/e]) — Ft (u[n/e]) F-, (u[n/e])|, что не превосходит a^j = a[n е]. ь поскольку jp. <n< [n/6]. Если a„ , ^ 0, то и a* * ^ 0 для Г = /г ,о1 = о (п), так что п,п Ln/vJ'
верно (ii).
Часть (iii) получается столь же просто, поскольку для 6 <; 1 [n/k][n'k]
« 5j PVh>un. lj>vn} = n S P{Ei>u[n/e], E,>u[n/e]}< /=2/=2
[[„/ej/»]
< [п/6] Ц P {Ei>w[n/e], Е,>и[л/е]}.
/=2
В силу D' (un) верхний предел этого выражения по п, или [nz6 1, стремится к нулю при к -> сю, что приводит к (iii).
. Положим т' = 6т, так что 6 < 1 и, согласно п. (ii), выполнено D (ипу Тогда п (1 — F (vn)) ->- 6т и п (1 — F (wn)) -»• 6т, так что D (twn) выполняется в силу леммы 3.6.1 (ii).
Наш первый основной результат является простым следствием теоремы 3.4.1.
Теорема 3.6.3. Пусть {£„} — стационарная последовательность, a {“nh )уп) — такие числовые последовательности, что п (1 — — F (ип)) -* т, п (1 — F (vn)) ->• 6т при п -* оо, где т > 6, 6 > >6 — фиксированные постоянные. Предположим, что выполнены условия D (un), D' (vn). Тогда если {/„) — последовательность интервалов, состоящих из vn чисел и vn ~ 6п, то
Р {М (/п) ^ ип^ -> г®1 при п->-оо.(3.6.4)
Доказательство. В силу стационарности достаточно показать, что Р [^vn < un) е*№. Далее, из теоремы 3.4.1 следует, что Р Wn <Wn) “” е~ет, и, значит, необходимо только показать, что ^(^п<ип) — Р (Mv„<Uv„}^0.(3.6.5)
Это легко доказать таким же образом, как и в лемме 3.6.1 (i), или по-другому, полагая wn = U[n/e] и замечая, что п (1 — — F (wn)) -* 6т, так что лемма 3.6.1 (i) дает
^{^n^^n} — f^n^AWO при П-^ОО.
Заменяя п на vn и используя тот факт, что tyVn = U[vn/ej. и лемму 3.6.1 (i), опять приходим к (3.6.5), а отсюда и к искомому результату.
Конечно, если последовательность |un) задана и п (1 — F (un))^- -► т, то в качестве |ип) можно взять последовательность |ип) с членами ип = U[n/e], которая будет удовлетворять соотношению п (1 — F (vn)) -»• 6т по лемме 3.6.2 (i). Это приводит к следующим более простым достаточным условиям для (3.6.4), когда 6 < 1.
Следствие 3.6.4. Пусть [£„} — стационарная последовательность, a )un) — такая последовательность вещественных чисел, что п (1 — F (un)) ->- т, где т — фиксированная постоянная, и выполняются условия D (ип), D' (ип\ Тогда если 6 < 6 < 1, то (3.6.4) выполняется для последовательности {/„) интервалов, состоящих из vn ~ 6П чисел.
Доказательство. Как указывалось выше, положим ип = U[„/e]. Согласно лемме 3.6.1, последовательность )ип) удовлетворяет условиям, требующимся в теореме 3.6.3, что и приводит к искомому результату.
Со случаем т = оо, не охватываемым предыдущей теоремой, столь же просто справиться следующим образом.
Теорема 3.6.5. Предположим, что п (1 - F («„)) оо и что для произвольно большого т, 0 < т < оо, существует такая последовательность |и„}, что п (1 — F (vn)) -»- т и выполняются D (ип), D' (ип\ Тогда для 0 > 0, vn ~ On и интервала 1п, имеющего vn членов,
Z4M(7nX «„}->-О при п-*оо.
Доказательство. В силу стационарности здесь достаточно показать, что Р [MVn ^ un| 0. Для произвольно большого т > 0 существует такая последовательность {vn}, что п (1 — F (пп)) т. Так что, поскольку vn ~ On, n (1 — F (yvn)) -*• т/0, выполнены неравенства ип < uVn для достаточно больших п. Поэтому, согласно теореме 3.4.1,
Р {^vn< u”) ^ Р (Mv„<Cyvn) е-т-
Полагая здесь т -»- оо, находим, что Р {MVn < un) ~* 0, что и требовалось доказать.□
Условия теоремы 3.6.5 в действительности более естественны, чем это могло бы показаться на первый взгляд. Если т = оо, т. е. если п (1 — F (un)) -*- оо, то условие D' (un) может не выполняться даже для н. о. р. случайных величин. Поэтому в этом случае желательно некоторое изменение хотя бы условия D* (unY Однако для конечного т лемма 3.6.2 показывает, что если п (1 — F (ип)) -* т и выполнены оба условия D (un), D' (ип), то для любого т' < т найдется такая последовательность |vn|, для которой n (I — F (ип)) т' и выполняются условия D (и„), D' (рп\ Перенос этого свойства на случай т= оо и составляет условия теоремы 3.6.5.
Из этих результатов легко заметить, что при выполнении условий D и D' асимптотическое распределение для И (/„) имеет тот же тип, что и для Л4П, когда /п состоит из vn ~ 0п членов. Теорема 3.6.6. Пусть {£„} — стационарная последовательность, ап > 0 и Ьп — некоторые константы и
Р (а„ (Л4П — Ь^ < х) -^— G (х) при п-*оо
для невырожденной ф. р. G. Предположим, что условия D (un), D' (ип) выполняются для всех ип вида х/ап + Ьп, и пусть /п — интервал, содержащий vn ~ On целых чисел для некоторого 0 > 0. Тогда *
^{^(AfCZnJ-^XxJ-^G’M при П->-оо.
Доказательство. Рассмотрим точку х, в которой G (х) > 0, и положим т = —In G (х), ип = х/ап + Ьп. Тогда п (1 — F (un))
т в силу теоремы 3.4.1. Далее, поскольку ф. р. G непрерывна (как ф. р. экстремальных значений), существует такое у, что G (у) = е-ет. Положим ип = у/ап + Ьп. По предположению условия D (и„), D' (и„) выполнены и, поскольку Р {7ИП < fn} "*
G (у) = е-ет, теорема 3.4.1 показывает, что и (1 — F (vn)) -»- 0т. Таким образом, выполнены условия теоремы 3.6.3, так что Р |Л1 (/п) <; ип\ ->- е~ет = Ge (х). Это сразу приводит к требуемому заключению, когда G (х) > 0.
В случае G (х) = 0 искомый результат вытекает из непрерывности G и того факта, что Р \ап (М (/п) — Ь„) <; х} ^ < Р {ап (М (1п) — 6„) < у\ для любого у > х с G (у) > 0.□
Заметим, наконец, что, поскольку G — ф. р. экстремальных значений, она 7И-устойчива и следствие 1.3.2 показывает, что Ge имеет тот же самый тип, что и 6, т. е. 6е (х) = G (ах + Ь) для некоторых а > 0, Ь. Это приводит к вовсе не являющемуся неожиданным результату о том, что предел для М (1п) имеет тот же самый тип, что и для Мп.
3.7. О роли условий D (ип), D' (ип)
Из предшествующих разделов становится ясно, что в комплексе условия D (и^, D' (и^ приводят к центральным результатам теории экстремальных значений относительно распределений для стационарных последовательностей. Как было уже упомянуто, в гл. 5 будет показано, что эти условия обеспечивают пуассоновский характер процесса превышений «уровня» ип последовательностью £ъ ..., £п, когда п велико. Это ведет к дальнейшим асимптотическим результатам относительно распределений не только для максимума, но и для k-х наибольших значений. Условие D (ип) обеспечивает при этом независимость, связанную с появлением событий в пуассоновском процессе, a D’ (и^, как отмечалось выше, ограничивает возможность слияния превышений, так что в пределе исключаются кратные события.
Помимо этих интуитивных разъяснений, интересно конечно конкретно увидеть, какие типы поведения могут наблюдаться, когда указанные условия в той или иной степени ослабляются. Тривиальные примеры (например, когда все Еп одинаковы) показывают, что полная отмена ограничений на зависимость приводит к совершенно произвольным асимптотическим распределениям для максимума. Более интересные примеры (см. гл. 6) представляют нетривиальные случаи, в которых асимптотическое распределение для максимума существует, но не является распределением
типа экстремальных значений, когда «убывание зависимости» столь медленно, что условие D (и^ не выполняется.
Разумеется, если D (ип) выполняется для подходящих последовательностей \ип\, то теорема об экстремальных типах показывает, что всякое невырожденное предельное распределение для максимума стационарной последовательности |с„| должно принадлежать одному из трех типов экстремальных значений. Еще более интересные вопросы связаны с ролью условия D' (и„) и пределов, до которых можно еще модифицировать предыдущие результаты с тем, чтобы они могли быть применимы при выполнении одного лишь условия D (ипу
В действительности мы обнаружим интригующий результат, показывающий, что во многих (может быть даже в большинстве) представляющих интерес случаев существование предельного распределения дтя максимума Мп в сопровождающей независимой последовательности приводит к предельному распределению того же типа для исходного Мп, причем с теми же нормализующими последовательностями {пп|, |^п|- В некоторых случаях эти пре- делы можно сделать одинаковыми путем очевидного простого изменения одной совокупности нормализующих постоянных.
Будут процитированы имеющиеся в литературе примеры (интересный класс таких примеров обсуждается более детатьно в следующем разделе), иллюстрирующие возможные типы поведения в случае, когда не предполагается выполнения условия О' (un). Однако сначала мы приведем некоторые общие результаты, модифицирующие соответствующие результаты из предыдущих разделов.
В разд. 3.4 уже отмечалось, что выполнения (3.4.2) и одного лишь условия D (ип) достаточно, чтобы гарантировать справедливость соотношения lim inf Р {М„ < ип\ > е^ даже если сам предел (3.4.1), вообще говоря, не имеет места без выполнения условия D (Wr). Этот факт пригодится нам при выводе модифицированной формы теоремы 3.4.1. В результате будет показано, что если для каждого т ^* 0 последовательность |wn СО} удовлетворяет (3.4.2) и такова, что D (un) выполняется для ип = ип (т), и если Р }Л4П .^ ип (т)| сходится хотя бы для одного значения т > О, то Р |М„ < ип (т)} - е-ет дая всех т > 0 ^ некоторого фиксированного в, 0 < 6 < 1. Этот результат при дополнительном предположении, что предеч lim Р {Мп < пп (т)} существует для всех т > 0, был доказан Лойнесом (1965) для последовательностей с сильным перемешиванием и Черником (1981а) при условии D (Цд). Приводимое здесь доказательство следует обеим этим работам.
Теорема 3.7.1. Предположим, что для т > 0 определена такая последовательность {ип (т)}, что п (1 — F (ип (т))) т и уело-
вие D (ип (т)) выполняется для каждого такого %. Тогда существуют такие постоянные 0, 0', 0^ 0< 0' < 1, что
lim sup Р {Af„ < ип (т)} = е"6т, lim inf Р [Л1П < ип (т)} = е-е'т. П-*ОЭH—>CD
Поэтому если Р \Мп С ип (т)} сходится при некотором т > О, то 0 = 0' и Р {Afn <: ип (т)} -* e-w для всех т > 0.
Доказательство. Из леммы 3.3.2 вытекает, что для любого фиксированного целого к
Р {Af„ С и„(т)} — Р* [Л1„, < ц„ (т)}^-0 при п—>-оо,
где п' = \п!к\. Поэтому если lim sup Р {Л4П < ип (т)} = ф (т), то
lim sup Р {М< ип (т)} = ф,/6 (т).(3.7.1)
Л—►со
Рассматривая теперь случаи, когда ип (т) >- ип. (r/k), ип (т) < < ип- <^!к^ (см. доказательство лемм 3.6.1 (i)), можно легко убедиться в том, что
IР {Мп^ип (т)} - Р {мп, <ип. (-|-)}| <
^пДр^^-Р (ип. (4-))| =
= п* |(1 - F ^ (-^-))) - (1 - F К (т)))| =
= п'|-^(1+о(1))-^-(1+о(1))| =о(1),
поскольку п' ~ nlk. Ввиду очевидного соотношения lim sup Р \Мп. < ип. (т/^)} = ф (т/Л) получаем, что lim sup Р \Мп- С ип (т)} = ф (т/Л), а это вместе с (3.7.1) показы- «-►ОЗ
вает, что ф (%/к) = ф’Р(т) для всех т > 0, Л = 1, 2, ... . Далее, если т' < т, то ясно, что ип (т') > ип (т) для достаточно больших п, так что функция ф (т) является невозрастающей. Она строго положительна, поскольку, как отмечалось перед теоремой, lim inf Р {А1 „ < ип (т)} >- е-т. Но хорошо известно, что единственным решением указанного функционального уравнения, обладающим такими свойствами, является функция ф (т) = е~№, где 0 >- 0. Поскольку в соответствии с вышесказанным ф (т) ^ е~^, отсюда следует, что 0^0^ 1.
Аналогично получается соотношение lim inf Р ,Mn <
П-*аэ
< «П (т)} е-е'т, где 0 < 0' < 1 И, как ясно, 0' > 0. Это завершает доказательство теоремы, поскольку последнее ее утверждение очевидно.□
Позднее мы процитируем примеры, показывающие, что в этой теореме может реализоваться каждое значение 0, 0 ^ 0 ^ 1. Случай 6 = 0 является «вырожденным», в том смысле что он ведет к соотношению Р {Мп < и„ (т)| ->- 1 для каждого т. Однако существование этого предела, как мы увидим, влияет, по крайней мере иногда, на множество предельных типов.
Чтобы упростить формулировки, удобно будет как-то назвать свойство, указанное в предыдущей теореме. Именно, мы будем говорить, что процесс {Еп{ имеет экстремальный индекс 0 (0< <0^1), если (в обычных обозначениях) для каждого т > 0 (i) существует такая последовательность {«„ W}. что п (1 — F (ип (т))) -* т, (ii) Р {Мп < ип (т){е-е-1.
Согласно лемме 3.6.2, если условие (i) выполняется для одного фиксированного т > 0, то оно выполняется и для всех т > 0, а по теореме 1.7.13 это равносильно (1.7.3). В силу теоремы 3.7.1, если (i) выполнено и условие D (ип (т)) выполняется для каждого т и если Р {М„ < ип (т){ сходится для некоторого т > 0, то (ii) выполняется при некотором 0, 0 ^ 0 ^ 1 для всех т > 0, и поэтому {£„} имеет экстремальный индекс.
Следующий результат является модификацией теоремы 3.5.1 в случае, когда не выполняется D' (и^, и обобщает теорему, доказанную О’Брайеном (1974с) в предположении сильного перемешивания. Здесь и далее в этом разделе мы продолжаем использовать введенные ранее обозначения. Например, Мп обозначает максимум первых п членов независимой последовательности {£„}• сопровождающей последовательность {|п{-
Теорема 3.7.2. Пусть стационарная последоватегьность {^„} имеет экстремальный индекс 0. Пусть {цп{ — некоторая числовая последовательность и 0 ^ р <С 1. Тогда
для 0 > 0
Р {М„ < un{ -* Р тогда и только тогда, когда Р {М„ < с Пп} ре;
для 0 = 0
если lim inf Р {М„ < u„l > 0, то Р {М„ < u„l — 1,
«-*03
если lim sup Р {М„ < u„l < 1, то Р {М„ < и„1 -^ 0. «-►оз
Доказательство, (i) Предположим, что 0 > 0 и Р {М„ < и„1 Р. где 0 < р < 1- Выберем такое т > 0, чтобы е-х < р. Тогда
Р^Мп<ип(т^^-е-х, Р {Мп <Уп}^-р>е-т,
так что для достаточно больших п ип > ип (т), и поэтому lim inf Р (Мп <; уп) > lim Р {Л1„ <С ип (т)} = е-^.
«-*00«-►ОО
Поскольку это верно для любого т, для которого е~т < р, отсюда вытекает, что
lim inf Р (Мп < ип} > ре.«-►со
(В частности, если р = 1, то Р {Mn < un} 1 = р°, как и следовало ожидать.)
Аналогично, беря е~т > р, легко показать, что в этом случае lim sup Р {Мп <; и„1 < Ре> когда О <С р < 1. Поэтому Р jMn < П-*-со
< ип} -*- О при р = 0, как и следовало ожидать. Для 0 < р < 1 путем комбинации неравенств для верхнего и нижнего пределов получаем Р {Л1П <; un} Ре-
Доказательство того, что из Р {Л1П ^ ип| -> ре вытекает Р {Л1П <; и„1 "* Р, проводится совершенно аналогичным образом, поэтому (i) выполняется.
Предположим теперь, что 0 = 0, так что Р {Л1„ <С ип (т)}1
при и ->- оо для каждого т > 0. Если lim inf Р |МП ■< ип} = = р > 0 и т выбрано так, что е~т < р, то, поскольку Р {Af„ ^ <; ип (т)} -^ е-т, отсюда следует, что оп > ип (т) для всех достаточно больших и, и поэтому
liminfP {Mn<un} > lim Р {М„ Сun(r)} = 1, «-►00«-►со
откуда вытекает (а).
С другой стороны, если lim sup Р \Мп ^ un| < 1, то из того «-*00
факта, что Р \Мп ^ ип (т)} -► 1, легко видеть, что ип < ип (т), для любого т > 0 и достаточно больших п. Следовательно,
lim sup Р {Мп <С un} > lim Р (Мп < ип (т)} = е~т. П «-►00«-►ОО
Поскольку это верно для всех т, мы получаем (Ь), полагая т -► оо.
В качестве следствия мы можем привести общие условия, при которых из существования асимптотического распределения для Мп вытекает существование асимптотического распределения для Мп и обратно.
Следствие 3.7.3. Пусть стационарная последовательность ,^п| имеет экстремальный индекс 6 > 0. Тогда Мп имеет невырожденное предельное распределение в том и только в том случае, если невырожденное предельное распределение имеет Мп, причем в этом случае оба этих распределения одного и того же типа.
Кроме того, можно или использовать одну и ту же нормализацию, или так изменить множество нормализующих констант, чтобы получить ту же самую предельную ф. р.
Доказательство. Если Р {а„ (Мп — Ьп) с х} -*• G (х) и G (х) — невырожденная ф. р., то часть (i) теоремы показывает (при vn = = х/ап + Ьп), что Р {ап (Мп — 6П) <: х} ->- Ge (х). Поскольку ф. р. G максимум-устойчива, то Ge имеет тот же самый тип, что и 6 (см. следствие 1.3.2). Обратное получается аналогичным образом, если заметить, что если Р {ап (Мп — bn) ^ х} Н (х), где Н (х) — невырожденная ф. р., то Р {а„ (Мп — ^п) <С х} -»- -*• Нх№ (х) и ф. р. Нх№ как предел для распределения максимума н. о. р. последовательности должна быть максимум-устойчивой.
Наконец, если Р [ап (Л1П — 6л) О| -*• G (х), то в силу вышеизложенного
Р {ап(Мв -bn)<x}-^G(ах + 6),
где Ge (х) = G (ах + 6) для некоторых а > О, Ь. Поэтому также РК(Л1п--Рп)<х}-^6(х),
где ап = аап, рп = Ьп — Ы(аа^. □
Из этого следствия (и теоремы 1.2.3) вытекает, в частности, что если и Мп, и Мп при 6 > 0 имеют невырожденные предельные распределения, то эти распределения должны иметь один и тот же тип. Однако если 6 = 0, то можно показать, используя доказательство Дэвиса (1981), аналогичное доказательству приведенного ниже следствия, что Мп и Мп не могут одновременно иметь невырожденные предельные распределения, основанные на одних и тех же нормализующих константах. Конечно, если условие D (ип (т)) не выполняется, то тривиальные примеры, на которые мы уже ссылались, указывают случаи, когда Мп может фактически иметь произвольное распределение, в то время как Мп имеет предельное распределение типа экстремальных значений. Ниже мы процитируем пример, в котором D (ип (т)) выполняется, но 6 = 0. Далее, недавний пример де Хана (см. работу Лидбеттера (1982)) показывает, что при 6 = 0 Мп и Мп могут иметь предельные распределения (различного типа), основанные на отличающихся нормализующих константах.
Следствие 3.7.4. Пусть стационарная последовательность {£„1 удовлетворяет условию D (ип (т)), когда ип (т) удовлетворяет соотношению п (1 — F (ип (т))) -► т, 0 < т < оо, и пусть {£п} имеет экстремальный индекс 6 = 0. Тогда Мп и Мп не могут оба иметь невырожденные предельные распределения, основанные на
одних и тех же нормализующих константах, т. е. невозможно, чтобы одновременно выполнялись оба соотношения
Р (а„ (Mn -bn)<x^G (х), Р {ап (Мп - 6„) < х) ^ Н (х)
с невырожденными ф. р. G, Н.
Доказательство. Предположим, что обе указанные сходимости в действительности имеют место. Тогда, обозначая ип = х/а„ + Ьп, из теоремы 3.7.2 (ii) находим, что Н (х) = 1 всякий раз, когда G (х) > 0. Отсюда легко видеть, что значение х0 = inf {х; G (х) > > 0} конечно и Н (х) = 1 для х ^> х0.
Поскольку G имеет тип экстремальных значений с конечной левой концевой точкой, она должна иметь тип II, т. е. G (х) = = ip {а (х — х0)}, где ф (х) = 0 для х ^ 0 и ip (х) = ехр (—х~“) для х > 0 и некоторого а > 0. Далее, согласно следствию 1.6.3, если yn = ип (1), то
7’{Мп<ТпХ)-*ф(х).
Но, кроме того, Р |МП < х/а„ + Ьп\ -► ф \а (х — х0)}, так что теорема 1.2.3 дает
■fnQn а, ?;* (6„ — 0) -э- — охо-
Поскольку Р |Mn < х/а„ + bn\ Л Н (х), дальнейшее применение теоремы 1.2.3 приводит к соотношению
P{Mn<Vnx}^/f(^- + x0).
Теперь, поскольку D (и^ должно выполняться для ип = = х!ап + Ьп, ф. р. Н имеет тип экстремальных значений и поэтому непрерывна, так что Р {Мп ^ 0} Н (х0) = 1. Но
P{Mn<0)^P{^<0} = F(0)
и F (0) < 1, поскольку Fn (0) = Р {Мп С 0} ->- ф (0) = 0. Это противоречит тому, что Р |Mn ^0}1; тем самым следствие
доказано.□
Мы завершаем этот раздел несколькими примерами из имеющейся литературы, демонстрирующими спектр возможного асимптотического поведения для Мп. Эти примеры связаны по существу со случаями, в которых индекс 6 меньше единицы. Более обычный на практике случай (когда D' (и^ выполнено и в = 1) иллюстрируется более подробно в гл. 4, где рассматриваются нормальные последовательности.
Пример 3.7.5. Этот пример, принадлежащий Чернику (1981а), связан со стационарной в узком смысле последовательностью авторегрессии первого порядка
Еп = — ?п-1 + еп>
где г > 2 —• целое число, {еп| — последовательность н. о. р. с. в., равномерно распределенных на {0, 1/г, .... (г— 1)/^}, еп не зависит от Еп-ь a tn имеет равномерное распределение на отрезке [О, II.
Поскольку с. в. ^„ равномерна, в качестве ип (т) можно взять 1 — т/n. Черник показывает, что для ип = ип (т), т > 0, условие D (ип) выполняется, a D' (ип) не выполнено. Затем он выводит непосредственным образом, что для х > О
РрИ„<1--±-}->ехр(—^х). (3.7.2)
Замена х на —х показывает, что Мп имеет в пределе распределение типа III с такими же нормализующими постоянными, как и в н.о. р. случае (пример 1.7.9). Это вполне соответствует следствию 3.7.3. Далее, полагая ип (т) = 1 — т/n, можно записать (3.7.2) в виде
Р {Mn<Un(T)}->e-6\
показывающем, что экстремальный индекс 6 = (г — 1)/г. Поскольку г ^. 2, то 0 < 6 < 1, и когда г пробегает значения 2, 3, ..., индекс 0 образует последовательность значений из интервала (0, 1). (Тем не менее, по-видимому, этот пример не может быть легко распространен на другие значения 6.) Интересно отметить, что если е„+1 = (г — 1)/г (что случается с вероятностью 1/г), то 5п+1 > ^„, и поэтому сколь бы ни велико (т. е. близко к 1) было ^„, существует фиксированная вероятность hr того, что ?n+i будет больше, и затем вероятность 1/г2 того, что £„+2 будет еще больше, и т. д. Таким образом, большие значения имеют тенденцию появляться группами, являясь причиной того, что последовательные превышения уровня ип оказываются «чересчур сильно связанными» для того, чтобы выполнялось условие D' (ип), 6 = 1 или имели место пуассоновские свойства превышений, рассматриваемые в гл. 5. □ Пример 3.7.6. Дензель и О’Брайен (1975) рассмотрели процесс с «цепной зависимостью» {£п|, определяемый с помощью эргодической цепи Маркова \ Jn\ п ~^ 0}, состояния которой являются неотрицательными целыми числами, и связанный с этой цепью требованием
Р^п—Ь En<x|Et, ..., En-i> 4, .... 4-2, 4-1 = 0 =
= Р {4 = ь Еп <х| Jn_Y = 0 = PuHt (х).
где Ри — переходные вероятности для указанной цепи, a Hi (х) для каждого i является невырожденной функцией распределения. Путем надлежащего выбора параметров они таким образом получают процессы {?п}, которые обладают сильным перемешиванием,
имеют маргинальную ф. р. Н (х) = 2J ^tHt (х) (здесь л, — ста- 4=1
ционарные вероятности состояний цепи) и для которых может реализовываться любое значение экстремального индекса 6 в (0, 11. Кроме того, рассмотрен случай с Pt,ui~ 0 + 1) (i + З)1, представляющий пример с 0 = 0. В этом последнем случае Н (х) = 1 — ([х] + 2)-1, так что Мп имеет невырожденное предельное распределение типа II. Уровень ип (т) выражается явно как наименьшее целое число, большее или равное (п/т — 2), и
Р{Мп<«п(т)}-»-1,
однако не очевидно, имеет ли вообще Мп какое-либо предельное распределение (совместимое со следствием 3.7.4). □
Можно также привести примеры, где условие D (ип) выполняется (и даже имеет место сильное перемешивание), но не существует экстремального показателя.
Пример 3.7.7. О’Брайен (1974с) рассматривает последовательность {^„Ь в которой каждая с. в. £п равномерно распределена на отрезке [0, 11, причем £ь £3, £в, ... независимы, а ?2п определяется при каждом п как функция от £2n-i- Таким образом он получает последовательность, очевидно, обладающую сильным перемешиванием, и затем приходит к некоторой последовательности {Уп}» Для которой Р {Мп <^ ип} сходится к е-1/2, но Р \Мп <; ип| не сходится вовсе. Отсюда вытекает (теорема 3.7.2), что |in} не имеет экстремального индекса, и поэтому (теорема 3.7.1) Р {Мп ^ ип (т)} не сходится ни для какого т > 0.
Модификация этого примера приводит к некоторой последовательности {£п} с сильным перемешиванием, для которой Р |а„ (Мп —■ Ь^ ^ х} сходится к невырожденному распределению (и поэтому к распределению типа экстремальных значений), но Р |ап (Мп — 6П) <С *} не сходится. Иначе говоря, Р {Afn <^ vn} сходится для каждого представителя семейства vn = х/ап + Ьп. Это, конечно, опять отражает тот факт, что в этом случае не существует экстремального индекса. □
Почти патологическая природа доступных примеров, для которых D (ип) выполняется, но экстремальный индекс или равен нулю или вовсе не существует, наводит на мысль о том что случаи, представляющие наибольший практический интерес, характерны тем, что для них экстремальный индекс 6 существует и отличен
от нуля. Мы обратимся теперь к другому интересному классу таких примеров, для которого 0 < 0 -< 1. Примеры другого рода с 0 < 0 < 1 недавно были предложены также де Ханом (см. Лидбеттер (1982)).
Максимумы скользящих средних устойчивых величин
В этом разделе мы рассмотрим экстремальные значения н. о. р. устойчивых (или «устойчивых относительно суммирования» в противоположность устойчивым относительно максимума) случайных величин, имеющих характеристическую функцию вида (3.8.1), указанного ниже, а также экстремальные значения зависимых последовательностей, получаемых из таких с. в. простым путем: с помощью скользящего суммирования. Это дает простую в идейном плане иллюстрацию одного из способов влияния зависимости на поведение экстремумов, а также снабдит нас примерами процессов, имеющих экстремальный индекс 0 для любого 0 € (0, 1 ].
Ввиду того что не являющиеся нормальными устойчивые распределения имеют тяжелые хвосты, причиной, порождающей экстремальные значения, являются в этом случае отдельные большие слагаемые, каждое из которых создает малую группу экстремумов в процессе скользящего среднего. Это объясняет, почему условие D' (ип) не выполняется и возможны значения экстремального индекса, меньшие единицы. В противоположность этому, можно увидеть, что экстремальные значения скользящих средних нормальных последовательностей вызываются редкими сочетаниями умеренно больших слагаемых и что этого достаточно, чтобы выполнялось D' (ип) и экстремальный индекс был равен единице.
Стационарные нормальные последовательности снабжают нас, разумеется, наиболее важными примерами последовательностей, которые не являются независимыми. Как уже упоминалось, они изучаются в достаточной общности в гл. 4 и затем в гл. 6. Тем не менее устойчивые последовательности представляют и самостоятельный интерес. В частности, они имеют такую же линейную структуру, как и нормальные процессы; произвольные линейные комбинации устойчивых величин устойчивы. Для читателя, знакомого с этими понятиями, можно также упомянуть, что ARMA- процессы 11 с устойчивыми обновлениями являются частным случаем устойчивых скользящих средних, что легко увидеть, обращая авторегрессионную часть ARMA-процесса.
1J То есть смешанные процессы авторегрессии (AutoRegresion) и скользящего среднего (Moving Averages). — Прим. мрев.
По определению случайная величина (строго) устойчива (у, а, Р), если она имеет характеристическую функцию
1Р(ы) = ехр{ —тта1ы|“ (1 — фЛ (ы, а)-^)}(3.8.1)
с 0 ^ у, 0 < а <: 2, | Р | <: 1 и h (и, а) = tg (ла/2) для а ^ 1, h (и, 1) = 2л'1 In | и |. Здесь у—параметр масштаба, а называется показателем устойчивого распределения, а Р — параметром симметрии. Если р = О, то распределение симметрично, в то время как при | Р | = 1 и а < 2 распределение называется вполне асимметричным. Для значений а < 1 вполне асимметричные устойчивые распределения сосредоточены на положительной полуоси, если Р = 1, и на отрицательной полуоси, если р = —1.
При а = 2 распределение очевидно является нормальным, и поэтому в настоящем разделе мы рассматриваем случай 0 < а < < 2. Если у = а = 1 и р = 0, то ф — характеристическая функция распределения Коши, имеющего плотность
fw =— 1—i——оо<Х<оо,' v ' л 1 + х2 ’’
и изучавшегося выше в примере 1.7.8. При у = 1, а = 1/2, р = 1 распределение имеет плотность
(и / (х) = О для х < 0). Однако, кроме этих случаев, не известно других простых выражений для плотностей устойчивых распределений.
Мы выведем теперь предельные распределения для максимума Мп процесса скользящего среднего {^}, определяемого соотношением
1=OD
в котором случайные величины t,t независимы и устойчивы (1, а, Р), а постоянные {сг} предполагаются удовлетворяющими условию
^ |сг|“<оо и, кроме того, для сс = 1, р=#0 1 =03
™(3.8.2)
ряд У Ci In I Ci | сходится.i=—оз
Из (3.8.1) следует, что S с^_г сходится по распределению t —03
тогда и только тогда, когда выполняется (3.8.2). Более того, поскольку слагаемые независимы, ■ сходимость указанной суммы
по распределению влечет за собой сходимость почти всюду, и поэтому условие (3.8.2) необходимо и достаточно для того, чтобы £t была определена как п. н. сходящаяся сумма.
Единственное, что нам понадобится еще от устойчивых распределений в дополнение к (3.8.1), это следующие оценки хвостов функции FaP устойчивого (1, а, Р) распределения. Пусть Ла = = л-1 Г(а) sin (ал/2). Тогда (см. Бергстрём (1953))
— Fal (г) ~ 2^а2-° при 2^-00,
Fai (z) = О (I z 1”°) при 2—оЬ(3.8.3)
и для некоторых ПОДХОДЯЩИХ ПОСТОЯННЫХ Ка
FaA-z^A-<X-FaM<Ka^, z>0.(3.8.4)
Для полноты мы сформулируем без доказательства используемый ниже следующий элементарный результат о сходимости распределений.
Лемма 3.8.1. Пусть {т]п}”=1 и {i^l^Li, k = 1, 2, .... — случайные величины, a F — некоторая функция распределения. Предположим, что для произвольного е > О
lim sup Д {|т]п — T]nft,| > е}->-О при к^-оо
и что для всех больших к
Р^ ^x}^F(x) при п^со.
Тогда
Р {т]п <; х) -^— F (х) при п^-оа.
Пусть
с+ = max ct, с_ = max cl,
OO<t<CO—CO</<CO
где с* - max (0, d), cl = max (0, —Ct), и пусть Mn = max |£ь ... .... tn}.
Основная идея вывода предельного распределения для Мп состоит в том, что большое значение tt вызывается только одним большим слагаемым среди Lt_i. В частном случае, когда случайные величины С вполне асимметричны с Р = 1, это означает, что Мп и с+Мп имеют асимптотически одну и ту же величину. Последнее доказывается в следующей лемме для конечных скользящих средних наряду с некоторыми полезными в дальнейшем оценками. Лемма 3.8.2. Пусть с. в. tt устойчивы (1, а, Р), и пусть
»'- S «бы. AlP-maxti'1{">). 111 <<=
Тогда для e > 0 при к oo
нпт suP P {n~l/a max (| ^ — gift)|, .... 1 gn — gnft)|) > e} -> 0.
Если к тому же р = 1, с+ > 0 и k > ]Л0|, где &0 таково, что с+ = сь„, то
тогда для е > О
Р {и"1/а| М^ — с+Мп [>е}-> 0 при п-^-со и
Р ^Г',аМ^ <С х}-*ехр {—&ас+2х~а} при п-^-оо.
Доказательство, (i) Предположим сначала, что <x=# 1. Тогда из (3.8.1) следует, что разность ^ — Е**1 = 5j Ci^i-r устойчива
I i i>*
с некоторым (вообще говоря, другим) параметром симметрии, масштабным параметром ( J^ I с, l“Y/a и показателем а. Отсюда, \ I t |>л/
согласно (3.8.4),
Р {nUa 11, - ЕП > е} = Р (^£ J Сг уУа 11, - Е^Ч >
S кн"
\| i | > к /)пе
и поэтому в силу стационарности
P{„-№max(|E,-ti«||5„-Е^|)>е)<К„«-S J O Г-
Правая часть стремится к нулю при k-^-oo, и, следовательно, (i) выполняется, если сс=^ 1. Если а = 1, то устойчива разность
Л |£|>й
с параметром масштаба ^ IЯ | и показателем 1. Поэтому для I i |>* больших значений п
в силу (3.8.4). Далее таким же образом, как и выше, убеждаемся в справедливости (1) и для а = 1.
(и) Положим еп = п,/ое/(4& (с+ + с_)) и определим события Лп = {Si > еп, t,j > еп для некоторых I, j с 1 — к-< i -<
< j < п -V к, |/ — i| < 2к\,
Вп = {Si < —еп Для некоторого i с 1 — к -< i < п + к\, Сп = {| Si | > еп Для некоторого 1 с 1 — к < i < 1 + к или п — к <_ i < п + к\.
Мы покажем, что
{п",/а| М^ - с+Мп | > е} с Лп U Вп U Сп(3.8.5)
и что Р {Л„ U Вп [J С„} -► 0 при п -► оо.
Если не наблюдаются ни Лп, ни Сп, то для 1 ^ / ^ и наибольшее из St-h+i, ... St+h-i не превосходит Мп + еп, а остальные не больше, чем еп, и тогда
£ ct^t-t < с+Мп 4- (26 — 1)с+еп <с+Мп + л 6 , /= 1, .... и. iq<fez
Аналогично если не наблюдаются ни Вп, ни Сп, то Si ^ —еп для 1 — к < i < п + к, и поэтому
- S сТ^-г <(26 - 1)С_Е„/ = 1П.
|<1<*2
Таким образом, при выполнении (Лп (J Вп U СпУ
Si" = S ct^-i - S cTtt-i < c+ M„ + nVae, / = 1n, |«K*l«l<*
t. e.
M^ < c+M„ + n1/aE.(3.8.6)
Предположим теперь, что /0 и ^o таковы, что S/, = Мт Ск, = = с+ и 1 <С ^о ^ п, | ^о I <С к. Если не наблюдается событие Вп, то
поскольку если £<0 > е„, то при выполнении А„ все XlA—*+i,... ..., ^«+а„+»—1 меньше, чем е„, а если, наоборот, £(е = Мп с е„, то это выполняется тривиально на С„. Таким образом, Е/*+». = САв^,0 + 12 C1^/e+fr|)_i =
UK*
= С+Мп -|- 12 C^t,-V-ke—i — .12 Ci ^е+^о—« ^ С+^пП В
1Л<*ПК*
на (Л„ U Sn (J Сп)с, и если к тому же 1 <Х + &о <^ п> то
М^ >с+Мп - п1,ае.(3.8.7)
Однако если, наоборот, #0 + &о < 1 или 4 + ^о > п и не наблюдаются ни Вп, ни Сп, то | £г | <С еп для 1 — к < i < п + k, и тогда (М^11 < (с+ + с_) (26 — 1) еп и |МП| < еп. Отсюда следует, что
М^ — с^Мп ^ — (2& — 1) (с+ + с_) еп — с+е„ ^- — и1/ае, так что (3.8.7) выполняется на (Ап U В, U СпУ и в этом случае. В совокупности соотношения (3.8.6) и (3.8.7) доказывают (3.8.5). Далее, ввиду независимости с. в. ?i, £/, i #= /", п+6—2 1+26—1
^{Л)< 1212 P^i>6n, £i>en\<
i=2—h f=i+l
<(п + 2к-3)(2к-1)Р^!>еп^->-0 при n-*oo, поскольку Р (£i > еп} = О (1/п) в силу первой части (3.8.3) и определения еп. В то же время, согласно второй части (3.8.3), Р |6п} <Ап-\-2к — 2) Р {^< — еп|->0 при и->оо и, наконец,
P{Cn}<(4^-2)P{[^[>enX0 при п-^оо поскольку еп -> оо. Поэтому в соответствии с (3.8.5) Р {n~'fa | М^ - с^Мп | > е} < Р {Д„| + Р (В„) + Р IGJ -* О при п->оо. (iii) Согласно (3.8.3),
Р [ti>n,ax/c+] ~ 2ka.c\x-an-\
и поэтому теорема 1.5.1 показывает, что
Р [n~i,ac+Mn < хХ ехр (— 2^ас^х-а),так что (iii) вытекает теперь из (ii) и леммы 3.8.1.□
В последней части леммы мы получили предельное распределение Мп для случая, когда Р = 1 и скользящее среднее конечно. Как мы сейчас увидим, отсюда легко получается и общий результат.
Теорема 3.8.3. Предположим, что f£t = 2 Ci^t-iV0 — сколь- зящее среднее устойчивых (1, а, Р) случайных величин {cf} и числовая последовательность {с,}”™ удовлетворяет условию (3.8.2). Тогда
Р Vn"x,aMn <Р Vn"x,aMn <х}->х}->если х>0.если х>0.ехр {-^(4(1 + Р) +с“ (1 - Р))х"а},
Р Vn"x,aMn <
Р Vn"x,aMn <
х}->
х}->
если х>0.
если х>0.
если х-^0.
(3.8.8)
Доказательство. Согласно леммам 3.8.1 и 3.8.2, достаточно показать, что
Р (п^’^/И^'^х}-»-
->ехр {—£о(4(1 + Р)+с-(1 — Р))х-а} при п-^-оо
(3.8.9)
для больших к (и х>0). Предположим, что а ^ 1 и с. в. {^, £t}”m независимы и устойчивы (1, а, 1). Тогда из (3.8.1) сразу вытекает, что разность ((1 + Р)/2)1/а 2,- — ((1 — Р)/2)1/а t>t устойчива (1, а, Р), и поэтому в обозначениях
я - $> (M)wс- е = 2 Н(^П £-
ПК*1й<*
последовательности [^ft)}“ и [5/ + й)” имеют одно и то же распределение. Следовательно, (3.8.9) равносильно соотношению
р {n~ifa max u;+s;^+□ < х}
-* ехр (- ка (4 (1 + Р) + С- (1 - Р)) х^}. (3.8.10)
Обозначим М'п = max (gj, .... Е„), М„ = max (5ь .... ^. Если ^ ^ |^0|> гДе ^о удовлетворяет соотношениям max (с1*о+ь... .... 4-1) = с+, max (сТД^, ..., c^-i) = с_, то, поскольку Мп и М'п независимы,
Р \п'1,а max (М;, М'п) < х} = Р {n~l,aMn < х} Р [п^М^ < х}
->ехр {— каС^ (1 + р) х-" - ^ (1 - Р) х-“}(3.8.11)
4 Лидбеттер М. и др.
в силу леммы 3.8.2 (iii). Кроме того, можно показать, что для е > О
Р (I max UI + Ь ... , 5; + Q - max (Л^, M'n) | > п1/ае[ <
<^ [| £/1> л1/ае, |^|>п1/ае для некоторого /
с 1 <С t < n} + Р [max (Мп, Мп) <.п1,ае\.(3.8.12)
Ясно, что
Р [|5< | > п1/ае, |^/|>п1/ае для некоторого t с
1 ^ t ^ п\ ^ пР [| 511 > п1/ае} Р [| 5i| > и1/ае} -*-0 при п -> оо, поскольку Р (| 511 > п1/ае| = О (1/п) и Р [| 511 > п1/ае} = = О (1/и) в силу (3.8.4) и, далее,
lim sup Р [max (М„. М„)< n1/ael ->0 при 8->0
согласно (3.8.11). Поэтому из (3.8.12) вытекает, что
lim sup Р [n-1/a | max (5? + 5^ • • • . ^ + 5 J -
Л-*оо
— тах(Л4п, Mn)|>e|^-0 при к -*-0. В силу леммы 3.8.1 и (3.8.11) это приводит к (3.8.10), и поэтому (3.8.9) выполняется для всех больших к, что и доказывает теорему для а ф 1.
Если a = 1, то при тех же [5/, КЬ что и выше, при |Р| < 1 случайная величина
-(1-й In (!=£))
устойчива (1, 1, Р). Чтобы учесть влияние дополнительного постоянного слагаемого, требуются тривиальные изменения приведенного выше доказательства того же рода, что и при доказательстве леммы 3.8.2 (i). Поэтому мы опускаем эти детали. □
Мы отсылаем читателя к работе Ротсена (1978), где можно найти дальнейшие результаты относительно поведения экстремумов {5*}» включая аналоги сходимости точечных процессов, доказываемой в гл. 5 для процессов с экстремальным индексом единица. Там же дана весьма подробная информация о поведении выборочных функций вблизи экстремумов, а также соответствующие результаты для процессов с непрерывным параметром. Далее, можно отметить, что по существу именно поведение хвостов с. в. 5 определяет поведение экстремумов последовательности [5*| и
что аналогичные результаты справедливы и при других распределениях с. в. 5, принадлежащих области притяжения Al-устойчивого распределения типа II.
Наконец, согласно (3.8.1), если аф 1, то gt устойчива (( S | сг |“)1/а, а> 0 2j ct lc« I“-1/Zj I ci |а)> и поэтому если Мп— максимальный член сопровождающего независимого процесса, то р \п~УаМп<хЬ ехр {-ка ^(1q| + 0сг)|Ci Г"^}
по теореме 3.8.3 (с с0 = (£■ |сг|а)’ “ и сг = О, 1ф0\ Сравнение с пределом для гг^аМп показывает, что |tt| имеет экстремальный индекс
^(l+P) + ^d-0)
2 (I ci I + ₽q)l =i la-1i=—со
который, очевидно, может принимать любое значение в интервале (О, 1].
Глава 4
Нормальные
последовательности0
Понятие нормальности занимает центральное место в теории вероятностей и математической статистике, а наиболее важный класс стационарных последовательностей составляют нормальные последовательности. Важность их усиливается тем фактом, что совместные нормальные распределения этих последовательностей полностью определяются средним и структурой ковариации. В настоящей главе мы исследуем свойства экстремумов стационарных нормальных последовательностей. В частности, условия на ковариацию, обеспечивающие сходимость максимумов к пределу типа I, будут получены как непосредственно, так и путем применения общей теории гл. 3.
11 В литературе иногда используется термин <гауссовские последовательности». — Прим. ред.
4е
Стационарные нормальные последовательности и условия на ковариацию
Последовательность {Еп} случайных величин называется нормальной, если для любого набора п, ix, ..., in совместное распределение с. в. Eq, ..., Е£п является n-мерным нормальным распределением. Эти конечномерные распределения, очевидно, определяются средними отдельных с. в. Еп и ковариациями между с. в. ?П. 5m для всех п, т.
Для стационарных нормальных последовательностей среднее и дисперсия с. в. Еп не зависят от п и (без потери общности) могут быть приняты равными соответственно нулю и единице, что приводит к «стандартной нормальной последовательности». Будем предполагать в дальнейшем — обычно не оговаривая это в каждом конкретном случае, — что рассматриваемые последовательности стандартизованы таким образом.
В силу стационарности ковариации, например, между Еп и Ет зависят лишь от разности между т и п (и, разумеется, только лишь от абсолютной величины этой разности), так что можно записать
CoV (Em 5m) = Гп—т = Г|п—m|i
где |г„} называется ковариационной последовательностью процесса. В силу принятой стандартизации
г0 = Var (Еп) = 1 и r„ = Cov(^, E;+n) = E (E,^+n)-
Очевидно, что все конечномерные распределения
Р(х<п С^ь • • ■» Хп) = Р (Eq ^ Хь ... , Efn ^ хп|
стандартной нормальной последовательности определяются ковариационной последовательностью {гп}. Конечно, ковариационная последовательность не может быть совершенно произвольной, поскольку ковариационная матрица любой группы с. в. ^,,... .... 5tn должна быть неотрицательно определенной.
Как указывалось в гл. 3, Берман (1964b) привел простые условия на последовательность {гп}, достаточные для выполнения (1.5.5), т. е. для того, чтобы максимум Mn = шах (EiЕп) имел предельное распределение двойного экспоненциального типа
Р |ап(Мп — Ьп)<х}->ехр(— е-х\ п^-оо,
с теми же самыми константами, что и в теореме 1.5.3:
ап = 2(1пл)1/2,
Ь» = ап — (2ап)-' |1п1пл4-1п4л}.
Согласно одному из результатов Бермана, для этого достаточно, чтобы
г„1пл->0, л^-оо.(4.1.1)
Доказательству этого результата мы посвятим первую часть настоящей главы. В то же время (4.1.1) можно заменить соответствующей сходимостью по Чезаро,
— 2 |rh| Inке' ^ 1п* -► 0, л-»-оо,
для у > 2, и это и некоторые другие условия будут рассмотрены в конце главы.
В работе Миттала и Илвисакера (1975) было показано, что условие (4.1.1), а поэтому и указанное условие сходимости по Чезаро довольно близки к необходимым, т. е. если rn In л у > > 0, то получается другое предельное распределение. В действительности столь сильная зависимость разрушает асимптотическую независимость экстремумов на непересекающихся интервалах (см. леммы 3.2.2, 3.3.1 и 3.3.2). Мы вернемся еще раз к этим вопросам и рассмотрим их более подробно в гл. 6.
В настоящей главе получим соответствующие результаты о сходимости для нормальных последовательностей, включающие предел типа I, при различных предположениях о ковариационной структуре, начав с прозрачного условия (4.1.1). Сначала это будет сделано (в разд. 4.3) путем прямого сравнения с н. о. р. нормальной последовательностью безотносительно к условиям D (ип), D* (о„). Затем будет показано с весьма незначительными дополнительными условиями, что эти условия выполняются, так что указанные результаты вытекают также и из общей теории гл. 3. Для последующих результатов, например в гл. 5, будет более удобно опираться только на общую теорию, используя условия D (ип), D' (ип) применительно к нормальным последовательностям. Однако в данном случае оба подхода являются и простыми, и поучительными. В заключение, в разд. 4.6, будут исследованы скорости полученных сходимостей.
Нормальная лемма сравнения
Наша основная задача — показать, что если выполнено (4.1.1), то условия D (ип) и D’ (ип) выполняются для подходящих последовательностей {«„}. Основным инструментом для этой цели служит широко используемый результат, именуемый здесь нормальной леммой сравнения, который ограничивает разность между двумя (стандартизованными) n-мерными ф. р. некоторой удобной функцией их ковариаций. Этот результат был получен различными
методами Слепяном (1962), Берманом (1964b, 1971а) и Крамером (см. Крамер и Лидбеттер (1967)). Эта лемма приводится здесь в достаточно общем виде с целью использования ее в последующих главах, хотя здесь было бы достаточно иметь ее простой частный случай.
Теорема 4.2.1 (нормальная лемма сравнения). Предположим, что е^ .... еп— стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу Л1 = (Л}/), а 41ч«— стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу К° = (Л®/). Пусть рц = шах (|Л}/|, |Л”,-|), а щ, ..., ип— вещественные числа. Тогда
Р \^<.щ для j = 1п\ — Р \ц, <. щ для j — 1, ... , и} ^
4" (“'+“/))
1 + Ри / ’
(4.2.1)
где (х)+ = max (0, х).
В частности, если max |р;у| = 6< 1, тоt+i
Р {^- <С Uj для j = 1, ... , n} — Р (ч^ ^ Щ для j = 1, ... , п| <С
У (Ah-A^+exp^ 2(4-2.2)
\^i<i^n
для некоторой постоянной К, зависящей только от 6. Кроме того.
| Р {£; < Uj для j = 1п\ — Р \t\j <.Uj для / = 1, - - - , п} | <
<i Z |^-лМ(1-й)-''М-4^йД 1<«/<п
(4.2.3)
где множитель (1/2л) (1 — р2/) 1/2 можно заменить на К, если max Pij = 6 < 1.
Доказательство. Будем предполагать, что матрицы Л1 и Л° положительно определены (в дополнение к их полуопределенности) и, следовательно, что (^ ..., gn) и (т^Чп) имеют совместные плотности Д и /0 соответственно. (Случай полуопределенности матриц легко разобрать, рассматривая ^ + в, и ц( + еь где ef — независимые нормальные величины, имеющие нулевое среднее,
и затем полагая Var (ej -► 0 и используя непрерывность.) Очевидно, что (здесь мы используем обозначение u = (ип .... ип))
Р\^<и3 для i=\п\= J ... \k(yiy^dy,
—со
и
Р hj^ Uj для j = 1n) = J - .. J к (Уъ ... ,у») dy,
где /1 и /0 — функции нормальных плотностей, соответствующие ковариационным матрицам Л1, Л°, и интегрирование ведется по множествам {у; у} и3, j = 1, ..., п\.
Если мы обозначим Ah = ЛА1 + (1 — h) А0, 0 ^ h <С 1, то матрица Лл положительно определена, все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные ее элементы равны НАц + + (1 — й) Л”/, i ^ j. Пусть к есть n-мерная нормальная плотность, соответствующая Ah, и
а
F№= J {//.(У1УпИу.
Левая часть (4.2.1), как легко видеть, равна F (1)—F (0). Далее,
1
F(l)-E(0) = ^F'^dh,Огде
F'W = J ^.J^^1' ~:>Уп) dy.
Плотность fh зависит от h только через элементы Ац матрицы Ah (если рассматривать fh как функцию от Ац для i ^ j). Независимо от значения h мы имеем А^= 1, в то время как для t< 1 выполняется соотношение Л?/ — НАц + (1 — й) Л®,, так что dA^Idh = А'ц — А°ц. Поэтому
Нам пригодится теперь одно полезное свойство многомерной нормальной плотности, состоящее в том, что ее производная по
ковариации Л^ совпадает со второй смешанной производной по соответствующим переменным у,, у} (Крамер и Лидбеттер (1969, с. 33)), т. е.
дк _ ^fhдЛ^ dytdy^Таким образом,
Интегрируя по у, и у}, получаем сразу
F* (А) = 2 (ЛЬ — Ло) I • • • J ^ (У>' = иь У, = Ui) dy, (4.2.4) t<i—со
где /* (у, = Uj, у} = и}) обозначает функцию п — 2 переменных, которая получается из fh, если положить yt = и,, yj = и5 и проинтегрировать fh по остальным переменным.
Далее, мы можем мажорировать последний интеграл, допуская изменение переменных в пределах от —оо до +оо. Но
J • • • J fh ^i = иь yj =Uj)dy
есть просто двумерная плотность в точке («ь и}) двух стандартных нормальных случайных величин с корреляцией Л?/, и поэтому ее можно записать в виде
^0-\еду»схр{- чЛ^П №~2Л?/“'“'+"?)1 •
Теперь, поскольку | Af/1 = | ЛА;/ + (1 — h) Кц | < шах (Л*/, Л®,) = р(/, легко показать, что приведенное выше выражение не ■ревышает величины
2л(1-р^2 СХР\ 1+PU Г
(Заметим, что (и® — 2р«п + п2)/(1 — | р |) > («а — 2 | р | | и | | и | + + v®)/(l—|р|); правая часть достигает минимума при р = 0.) Отбрасывая все отрицательные составляющие в (4.2.4), получаем, таким образом,
" <ч < ^2j (л« - Л?-)+° -ру_,л ехр U 4^/
Ki
Поскольку F (1) — F (0) = [ F' (h) dh, это неравенство дека- б
зывает (4.2.1).
Утверждение (4.2.2) вытекает сразу из (4.2.1), поскольку (1 — р?/)"'/2 -< (1 — 62)“'/2, а (4.2.3) получаем, используя (4.2.1), меняя ролями ^ и ц,- и замечая, что и (Л), — ХцУ, и (Л®/—Л}/)+ не больше чем | Л}/ — Л®;-|.□
Мы сформулируем теперь несколько очевидных следствий, на которые будем ссылаться в дальнейшем.
Следствие 4.2.2. В обозначениях теоремы пусть и = min (un u2, .... un). Тогда в каждом из неравенств (4.2.1), (4.2.2), (4.2.3) сомножитель ехр (J“(Ui + “/)) / (1+Рп) можно заменить на ехр (—и2/(1 + Ри))- В частности, (4.2.2) и (4.2.3) соответственно принимают при этом вид
Р ,£у -С Uj для j = 1, . . , п| — Р {Т]у< Uj для j = 1, ... , п{ ^
(^-^^(тт^-)- (4-М>
KKjen
|Р {^-< и, для j = 1, ... , n} — Р {t]j<Uj для j = 1, ..., л} |<
<К 2 |дЬ-Л?/|ехр(т^7).(4.2.6)
1«<«п
Доказательство. Эти результаты получаются сразу, поскольку, очевидно, ~(“1 + u?) > и2.□
Следующее следствие показывает, что если ковариации случайных величин Sj мажорируются ковариациями случайных величин т],-, то тогда эти ^- стохастически больше °, чем т],, и максимум из ^j стохастически больше, чем максимум из т],.
Следствие 4.2.3. Пусть ^ .... gn, т^, .... т]п — стандартные нормальные с. в., причем Cov (^, ^) Cov (т]н т|у) для каждой пары i, j. Тогда дгя любых их, .... un
Р {£, < и3 для j = 1л} < Р {ц, < и5 для j = 1, ... , л}.
(4.2.7) В частности,
Р {max gn ... , gnX u} < P {max (tj i]„)<u| (4.2.8)
для всех и.
l> To есть P (^j > x) ^ P (qj > x). — Прим. реЭ.
Доказательство. Это вытекает сразу из (4.2.2), поскольку (Л}/ — Л®/)+ = 0, если Л}/ С Л®/, что и предполагается. □
В заключительном следствии формулируются результаты использования независимых с. в. т]7.
Следствие 4.2.4. Пусть |lf .... |п — совместно нормальные (стандартизованные) с. в. с Cov (I;, |7) = Лц, причем 6 = шах | Лг/1 < t+i
«< 1. Тогда для любого вещественного и и любых целых 1 ^ 1г <_... ... <L ls ^С п
|Р{Ц<и для j= 1s} — Ф(и)’|<
<К 2 |г„|ехр(-т^л),(4.2.9)
l<i<Z"<s
где гц = Л^^ — корреляция между Ez, и ^, а К — некоторая постоянная (зависящая от 6).
Если, кроме того, последовательность {|п} стационарна и rt = Cov (glt li+z), 1 < /i < ■■■ < 4 < л, | г, | < 6 < 1 для каждого i = lj — lh, mo
(^{Ц^и для j= 1, ... , s) —Ф(«)$|<
<Ал2кг|ехр(— 1 Tin | ) ‘(4-2-10)
1=1
В частности, если взять s = л, то для любого и
\Р\Мп<и\-Ф (и)" | < Кп 21 rt | exp (- -кр^у).(4.2.11)
Доказательство. Пусть т^, ..., т]„ — независимые стандартные нормальные с. в. и Л}/ = А,/, а Л”/ = 1 для i = / и Л”/ = 0 для i =# /. Тогда (4.2.9) вытекает из (4.2.6), а (4.2.10) является непосредственным следствием (4.2.9). □
Отметим, что если правая часть (4.2.10) мала, то (берем s = п) события {I; <С «} почти независимы для 1 С/^л. К тому же в силу (4.2.11) ф. р. максимума будет близка к значению Ф (и)п, которое она имела бы, если с. в. Еу были независимыми, и (4.2.11) дает явную границу для разности этих значений. Обе эти аппроксимации, очевидно, улучшаются при возрастании и. Если разрешить зависимость и от п, и = ип -► оо при л -► оо, то предельное поведение Р \Мп С un} можно, таким образом, изучать, используя известные результаты для н. о. р. с. в., и получить распределение типа I. Эго будет описано в следующем разделе. Аналогично явную границу в (4.2.11) можно использовать совместно с какой-
либо имеющейся в распоряжении информацией о скоростях сходимости в случае н. о. р. с. в. для получения такой информации в отношении стационарных последовательностей. Этим мы займемся в разд. 4.6, основываясь на более точном варианте неравенства (4.2.11).
Теория экстремальных значений для нормальных последовательностей — прямой метод
В этом разделе будет показано, каким образом стандартные результаты об экстремумах стационарных нормальных последовательностей можно получить непосредственно из соответствующей теории для н. о. р. с. в. с использованием (4.2.11). Как отмечалось ранее, эти результаты могут быть просто получены также из общей теории гл. 3 путем проверки выполнения условий D tu^. D* (лп) — методом, который будет использован в следующем разделе. Основные части главного результата содержит
Лемма 4.3.1. Пусть ковариации {г„} удовлетворяют условию sup | rn | = б < 1.
п>1
Пусть {лп} — такая числовая последовательность, что
п / , I п I ехР Ц—г+Т7Т/0 пРи (4-зл)
/=1
Тогда, если 0 ^ т ^ оо, то
Р\Мп^Р\Мп^un}-*eun}-*e(4.3.2)(4.3.2)
Р\Мп^
Р\Мп^
un}-*e
un}-*e
(4.3.2)
(4.3.2)
в том и только в том случае, когда
л (1 — Ф (ип^ -* т.л (1 — Ф (ип^ -* т.(4.3.3)(4.3.3)
л (1 — Ф (ип^ -* т.
л (1 — Ф (ип^ -* т.
(4.3.3)
(4.3.3)
(и) Предположим, что для каждого 0 < т < со постоянные ип = = ип (т), определяемые соотношением 1 — Ф (и^ = т/л, удовлетворяют соотношению (4.3.1), в котором ип заменяется на оп. Тогдаесли {лп| — числовая последовательность, топ{\ —Ф ^и^ ->•
оо в том и только в том случае, когда Р |Л4П ^ лп| 0.
Доказательство. Предположим, что (4.3.1) выполнено. Условия следствия 4.2.4 выполняются, так что, согласно (4.3.1) и (4.2.11), Р \Мп ^ ип\ -► е~х тогда и только тогда, когда Ф" (лп) е~х, Но Ф" (лп) есть просто вероятность того, что максимум из л н. о. р. нормальных с. в. не превосходит лп, которая по теореме 1.5.1 сходится к гт в том и только в том случае, когда л (1 — — Ф ^и^ -► т, что и доказывает (i).
Чтобы доказать (ii), заметим, что из (i) вытекает, что Р |7ИП ^ <^ t^} ->- £"т (vn = vn (т)). Далее, если л (1 — Ф («п)) -► со, то для достаточно больших п мы должны иметь «„ < vn, так что Hm sup Р \Мп ^ лп} ^ Пт Р {Л/„ ^ лп| = е-'. Поскольку это п-*оол-*ао
выполняется для любого т, отсюда следует, что Р \Мп -^ ип\ -► 0. Обратно, если Р {7ИП ^ ип} -► 0, то, поскольку Р {7ИП << <; гп} -*• е-т, мы опять должны для достаточно больших п иметь «п < уп. так что тогда п (1 — Ф («„)) ^- л (1 — Ф (пп)) = т, откуда в силу произвольности выбора т вытекает, что п (1 —Ф («„)) -► -»- оо.□
Отметим, что п. (ii) теоремы является другим вариантом п. (i) в случае т = оо. Можно легко проверить, что п. (ii) является более сильным результатом, чем (i) при т = оо*>.
Следующий результат — это вспомогательная лемма, приведенная в работе Бермана (1964b), показывающая, что условие на ковариации (4.1.1) (rn In л -► 0) влечет за собой выполнение (4.3.1), когда ип таковы, что последовательность л (1 — Ф (ип)) ограниченна, так что ип стремится к бесконечности не слишком медленно. Эту лемму мы используем не только в этом, но и в следующем разделе, при проверке выполнения условий D (ип), D' ^и^ и получении тех же результатов.
Прежде чем сформулировать указанную лемму, отметим легко доказываемый факт, что если ковариация гп стремится к нулю при л -► оо, то | гп| не может равняться единице ни при каком л, отличном от нуля. (Поскольку, если | гп | = 1 для некоторого л ^= 0, отсюда следует, что с. в. ^ и £n+i линейно связаны, так же как £п+1 и £2п+1, а потому таковы же и ^ и £2п+1, так что | г2п | = = 1. Таким образом мы устанавливаем, что |rftn| = 1 для всех к, а это противоречит условию гп->-0.) Отсюда легко видеть, что в действительности |гп| отделена от единицы для всех л^ 1, т. е. sup | rn | = 6 < 1.
Л>1
Лемма 4.3.2. Предположим, что (4.1.1) выполнено (т. е. гп 1п и -► -► 0) и числовая последовательность {ип\ такова, что последовательность л (1 — Ф («„)) ограниченна. Тогда выполнено соотношение (4.3.1), а именно
п /, 1г^ехР ( —Т+Т7т)^° при и-*001/=1
Доказательство. Ясно, что доказывать этот результат технически несколько проще, если л (1 — Ф (ип)) в действительности схо-
Но в более узком классе нормальных последовательностей. — Прим, ред. и перев.
дится к некоторому конечному пределу, и мы так и поступим. При этом результат будет верен и в сформулированном в лемме виде, поскольку если n (1 — Ф (un)) -С К и оп определяется соотношением n (1 —Ф (оп)) = К, то (4.3.1) выполняется с заменой «п на уп. Но поскольку очевидно, что ы„ ^ у„, отсюда сразу следует, что (4.3.1) выполняется и для и^, как и утверждалось.
Итак, предположим, что n (1 — Ф («„)) сходится к конечному пределу, например, n (1—Ф («„)) -► т. Используя (1.5.4), видим, что
(4‘ЗЛ)
un ~ (2 In n)I/2.
Здесь К обозначает число, значение которого может изменяться от одной строки к другой. Как и выше, пусть 6 = sup |rn| < 1 Л>1 и пусть а — такое чисто, что 0 < а < (1 — 6)/(1 + 6).
Разобьем сумму в (4.3.1) на две части: первую — для 1 <^ <; / ^ [п“] и вторую — для [na] -< j ^. п. Первая сумма мажорируется величиной
пп exp I—Г+У) =(ехР (
С Кп*+а (u„/nfmw < Knw,uw (ln n)i/(i+6)
(здесь использованы (4.3.4), (i) и (ii)). Правая часть стремится к нулю, поскольку 1 + а — 2/(1 + 6) < 0 согласно выбору а.
Чтобы заняться второй частью суммы, положим
6„ = sup | rm |т^л
и заметим, что
6n Inn <sup |rm| 1п/п->0 прип->оо.
Теперь, обозначая р = [па1, получаем для второй части суммы (4.3.1) при больших п
п ^ lol ехР i=p-H< п6р ехр (— «„) ’1=р< п26р ехр (—1 +IG-Iехр ( “"1г/1 \J \ 1+19-1-Иц2) ехр («26р) < К6р«2 ехр (бри2)п ^ lol ехР i=p-H< п6р ехр (— «„) ’1=р< п26р ехр (—1 +IG-Iехр ( “"1г/1 \J \ 1+19-1-Иц2) ехр («26р) < К6р«2 ехр (бри2)
п ^ lol ехР i=p-H
< п6р ехр (— «„) ’
1=р
< п26р ехр (—
1 +IG-I
ехр ( “"1г/1 \
J \ 1+19-1
-И
ц2) ехр («26р) < К6р«2 ехр (бри2)
п ^ lol ехР i=p-H
< п6р ехр (— «„) ’
1=р
< п26р ехр (—
1 +IG-I
ехр ( “"1г/1 \
J \ 1+19-1
-И
ц2) ехр («26р) < К6р«2 ехр (бри2)
согласно (4.3.4), (i). Но в силу (4.3.4), (ii)
6Рип ~ 26[„а]1п п = -^- 6[па]1п па,
что стремится к нулю. Таким образом, экспоненциальная составляющая в правой части предыдущего неравенства стремится к единице, а остальное произведение стремится к нулю, что и приводит к искомому результату.□
Основные результаты о распределениях для стационарных нормальных последовательностей суммируются в следующей теореме.
Теорема 4.3.3. Пусть {£п} — (стандартизованная) нормальная последовательность с ковариациями |гп|, удовлетворяющими условию rn In п 0. Тогда
для 0 ^ т ^ оо, Р {Мп ^ ип\ -► е~т тогда и только тогда, когда п (1 — Ф (ип)) -► т,
Р |ап (Л4П — Ьп) <; х) -* ехр (—е~х), так что имеет место предел типа I, где константы ап и Ьп имеют в точности те же значения, как и в случае н. о. р. с. в., и указываются соотношениями (1.7.2).
Доказательство. Если п (1 —Ф (ип)) ->-т < оо, то лемма 4.3.2 показывает, что выполнено (4.3.1), и поэтому Р {Мп ^ ип\ -► егх согласно лемме 4.3.1.
Обратно, предположим, что 0 ^ т < оо и Р {Л4П ^ лп| -*- е~'. Для любого заданного т' < оо определим ип соотношением 1 —Ф (ип) = т'/л. Тогда по только что доказанному Р {Л4П <; ^ un} -► е~х'. Выберем сначала т' > т. Тогда очевидно, что уп < ип Для достаточно больших п, так что
lim supп(1 — Ф(цп))Сlimл(1 — Ф(un)) = т'.
«-►со П->со
Поскольку это выполняется для всех т' > т, отсюда следует, что lim sup л (1 — Ф («„)) ^ т. Это дает (i) для т = 0. При т > 0 П->СО
обратное неравенство для lim inf л (1 — Ф (ип)) получается по
добным же образом, если взять т' < т, так что л (1 — Ф (ип)) -* т.
Итак, утверждение (i) доказано, за исключением случая т = оо. Но в этом случае оно немедленно вытекает из леммы 4.3.1 (ii), поскольку, если 1—Ф (ип) = т/л, соотношение (4.3.1) выполняется с заменой ип на ип в силу леммы 4.3.2.
Предел типа I в (ii) также получается просто. Действительно если ип = х/ап + Ьп, где ап и Ьп заданы соотношениями (1.7.2), то из теоремы 1.5.3 следует, что Р |Л4П ^ ип\ -^ е~х, где т = е~х и Мп является максимумом л стандартных нормальных н. о. р.
случайных величин. Тогда теорема 1.5.1 показывает, что п (1 -Ф («„))-> т, так что Р \Мп <С ып} е-т в, силу (1), и очевидная перефразировка приводит к (ii).
Условия D (ип), D* («п) для нормальных последовательностей
В этом разделе мы используем условие на ковариации (4.1.1) при выводе условий D (ип), D' {ип} для стационарных нормальных последовательностей. При этом результаты об экстремумах, полученные в разд. 4.3, будут сразу вытекать из общей теории гл. 3. Кроме того, хотя было бы вполне естественно привести для нормальных последовательностей простой специфический для них вывод результатов об экстремумах, все же будет более удобно получать последующие результаты для нормального случая как частные случаи общей теории. И это будет опять основываться на ограничивающих зависимость условиях D (un), D' (ип). В последующем обсуждении без специальных оговорок будут использованы обозначения, введенные выше для (стандартизованного) стационарного нормального процесса.
Лемма 4.4.1. Пусть |un| — числовая последовательность.
Если sup | гп | < 1 и выполняется (4.3.1), то выполняется и п>1
D (ип).
Если, кроме того, ограниченно л (1 — Ф (un)), то выполняется D' (ип).
(Hi) Если гп 1п п 0 и л (1 — Ф (un)) ограниченно, то выполняются оба условия D (ип) и D' (un).
Доказательство. Как вытекает из следствия 4.2.4 (неравенство (4.2.10)), если 1 С /1 < ... < /$ < л, то совместная ф. р. Fi i случайных величин 6zt. •••. Ez, удовлетворяет неравенству
Л
l^z,.../$(н„) — Ф8(и„)| < Кл Vlr/lexp(4.4.1)
1=1
Предположим теперь, что 1 < ^ < ... < ip < h < ... < jp- С <л. Отождествляя {/ъ ..., Ц поочередно с \1г, .... ip, н, ... ..., /р'Ь {Ч» •■•> <р} и 171» •••» /р'Ь получаем неравенство
I ^Ч ■■■ ip- Чip' (Un) — F4tp (Un) F4/P' ^ I^
Л
<ЗКл^|„|=хр
H
правая часть которого стремится к нулю в силу (4.3.1). Таким образом, условие D (ип) выполняется. (В действительности Игл аП11 = 0 для каждого 1.) Это доказывает утверждение (1).
Чтобы доказать (ii), положим s = 2, /1=1, /2 = / в (4.2.9) и получим
IР 161 < “П. Ь < un} - Ф8 (Un) | < к 10-11 exp.
Отсюда путем простых преобразований (^ и ^- — стандартные нормальные величины) находим
^l61<Un, ^>U„}-(1 -Ф(Ц„))8|<
CKIo^fexpCKIo^fexp1 + 10-11 '1 + 10-11 '
CKIo^fexp
CKIo^fexp
1 + 10-11 '
1 + 10-11 '
Таким образом, если n (1 — Ф (un)) ^ М, то
["/^1п
П У' Р^1>ип, ^>U„}< ^+Кп У |о(ехр (> - V
/—2/=1
откуда, в силу (4.3.1), следует D' (un), так что утверждение (ii) верно.
Наконец, если rn In п -* 0 и и (1 — Ф (мп)) ограниченно, то лемма 4.3.2 показывает, что (4.3.1) выполняется, так что выполнены оба условия (i) и (ii) теоремы и следовательно, выполняются и D (и„) и D' (ип\□
Теперь можно видеть, что основные результаты для нормальных последовательностей, приведенные в теореме 4.3.3, просто вытекают из общей теории гл. 3. Часть (i) теоремы 4.3.3 при О ^ т < со сразу вытекает из теоремы 3.4.1 и леммы 4.4.1 (iii). Случай т = оо сразу вытекает из следствия 3.4.2, поскольку если определить уп соотношением 1 —Ф ^и^ = т/п, 0 < т < оо, то D (vn), D' (vn) выполняются снова согласно лемме 4.4.1 (iii). Наконец, часть (ii) теоремы 4.3 немедленно следует из теоремы 3.5.2 и леммы 4.4.1 (iii). (Выполнение требования леммы 4.4.1 (iii) об ограниченности п (1 — Ф (un)) с un = х!ап + Ьп очевидно из выкладок, например теоремы 1.5.3, или может быть легко проверено путем непосредственного рассмотрения членов разложения In («Ф (u„)/u„).
Более слабые предположения о зависимости
Условие (4.1.1), что гп 1п п -> 0, не только пригодно для практических целей и достаточно общо, но и похоже на обязательное. В действительности это условие довольно близко к условию, не-
обходимому для того, чтобы максимум стационарной нормальной последовательности вел себя подобно максимуму сопровождающей независимой последовательности.
Как мы уже видели, именно сходимость (4.3.1) делает возможным выполнение D (un) и D' (ип\ Поэтому возникает соблазн использовать (4.3.1) в качестве действительно наиболее слабого условия. Но поскольку оно не очень прозрачно, так как связано с уровнем и„, то время от времени предлагались и другие условия, ограничивающие величину гп при больших л. В работе Бермана (1964b) было показано, что (4.1.1) можно заменить условием
£d<oo,(4.5.1)
л=0
являющимся частным случаем условия
^г^ссю для некоторого р>0.(4.5.2)
л=0
Условия (4.1.1) и (4.5.2) не вытекают одно из другого, но оба они влекут за собой следующее слабое условие:
— L Ы1пЛехр(у|гЛ|1пЛ)-^0 при л-юо (4.5.3) п А=1
для некоторого у > 2, как было доказано в работе Лидбеттера и др. (1978) и доказывается ниже, после теоремы 4.5.2. Сейчас мы покажем, что (4.5.3) можно использовать вместо (4.1.1), чтобы получить соответствующие D (un), D* (un) условия и предельные теоремы для Мп.
Лемма 4.5.1. Если гп -*■ 0 при п-*оо, последовательность {гп| удовлетворяет (4.5.3), и если л (1—Ф (ип)) ограниченно, то (4.3.1) выполнено.
Доказательство. Как и в лемме 4.3.2, мы можем (и будем) предполагать, что л (1 — Ф (и„)) в действительности сходится к некоторому конечному пределу т. Используя обозначения из доказательства леммы 4.3.2, положим 6= sup | гп | < 1, возьмем п>1
0 = 2/у и предположим, что число а таково, что 0 < а < min (0, (1 - 6)/(1 + 6)).
Разобьем сумму в (4.3.1) на три части: первая соответствует индексам 1[л“], вторая — индексам [ла1 < / -С 1п₽1
и третья — индексам [лВ 1 <_ j: ^ л. Первая сумма стремится к нулю, как и в лемме 4.3.2.
Обозначая 6n = sup | гт |, р = [л°], q = [л₽] и используя т>п
т. е.
\ Ки« К (2 ,П 0)1/2
ехР \2 ' П п *
получаем для второй части (4.3.1)
л X I гfe I ехр ( _“" \ < л^ exp (— и^ exp (и^бр) <
Л=р+1
< Кп₽-1^ ехр (6Р^) < Кп₽-,^п2вР.
Правая часть последнего соотношения, очевидно, стремится к нулю, поскольку Р < 1 и 6Р -> 0.
Наконец, для последней части (4.3.1) имеем, опять используя
(4.3.4),
/Сл 11пл Xj/Сл 11пл Xjfc=v+lЛ=Р+1
/Сл 11пл Xj
/Сл 11пл Xj
|rh | ехр (2 |rh | In л).
fc=»+i
Для k> q имеем In к > Р 1п п, и поэтому правая часть послед
него соотношения не превосходит
Кп-1 I гк | In к ехр (2р 11 Гй 11п ^)<^ fc=»+i
Л
< Ли-1 ^ kh I In к ехр (у kfc I In ^.
В силу (4.5.3) эта величина при л -* оо стремится к нулю, что и завершает доказательство (4.3.1).□
Основные результаты, доказанные при условии (4.1.1), можно обобщить теперь следующим образом.
Теорема 4.5.2. Пусть {£„}— стационарная (стандартизованная) нормальная последовательность, ковариации гп которой стремятся к нулю при л -> оо и удовлетворяют (4.5.3) для некоторого у > 2. Тогда
если числовая последовательность {un} такова, что л (1 — ■— Ф (ип)) ограниченно, то выполняются оба условия D (ип), D' (ип);
если 0 <т<: ос, то ^ {^п Р “п} егх в том и только в том случае, когда л (1 — Ф (ип)) т;
Мп = шах (^, .... ?п) имеет предельное распределение типа I, т. е.
Р {а„ (Мп - Ьп) < х} ехр (— е~х),
где а^ и Ьп — те же константы, что и в случае н. о. р. с. в., указываемые соотношениями (1.7.2).
Доказательство. С очевидными изменениями можно применить те же доводы, которые использовались при доказательстве леммы 4.4.1 и теоремы 4.3.3.□
Для прояснения условия (4.5.3) могут оказаться полезными следующие замечания.
Определим для каждого положительного х множество 6n (х) = = {^; 1 <; к ^ п, | rh | In к > х}, и пусть vn (х) — число элементов в 6П (х). Рассмотрим следующее устовие (которое, как мы увидим, несколько сильнее, чем (4.5.3)):
п
П"1 5 I rk I In к 0 при И -> ОО и к=1
vn (К) = О (п1) для некоторых К>0, т]<1, (4.5.4)'
и равносильное условие
vn (е) = о (п) для всех е > О и
(4.5.4)” vn(K) = О (n для некоторых К>0, т]<1.
Ясно, что из (4.1.1) вытекает (4.5.4)'. Далее, если
Д | гк |р < оо
для некоторого р > 0, то, поскольку
5|г»Г> V |r.r>v.«(]i.)’,
имеем vn (х) = О ((In п^. В частности, мы видим также, что из (4.5.1) и (4.5.2) вытекает (4.5.4)”, так что оба условия (4.1.1), (4.5.2) сильнее чем (4.5.4)', (4.5.4)'. Следующая лемма утверждает, что и из (4.5.4)', и из (4.5.4)” вытекает (4.5.3) и, значит, оба условия (4.1.1) и (4.5.2) влекут за собой (4.5.3).
Лемма 4.5.3. Если гп -> 0 и п -* оо, то условия (4.5.4)' и (4.5.4)” равносильны и влекут за собой (4.5.3).
Доказательство. Нетрудно показать, что условия (4.5.4)' и (4.5.4)" равносильны, так что нам остается показать, что из (4.5.4)' следует, (4.5.3). Мы имеем
л-1 Et |гк|1п^ехр(у|гк|1п^) =
= n'1 Е | rh | In к exp (Y | rk | In ^) +
A^en (K)
+ л-1£ |гк|1п£ехр(у|гк|1п£) (4.5.5)
*€6n W
и оценим суммы, входящие в правую часть, отдельно, предполагая выполненным (4.5.4)'. В соответствии с первой частью (4.5.4)'
л-1£|rh11п^ехр(у|гд11п^)<ехр(уК)п-1 £ |гк|1п^->-0,
А^е~ (К)
л —*• сю.
Поскольку мы предполагаем, что гп -► 0, то найдется такое целое N, что у | Гь | < (1 — т])/2 Для k^- N. Поэтому
л* 5j |гк|1пйехр(у1гк11пй)<л-1уп(/<)1плл,1-’|)/2, Чеп W
k>N
что стремится к нулю при л ->- оо в силу второго соотношения в (4.5.4)'. Поскольку N фиксировано, N
tT1 Jj | Th I In к exp (у ] rh | In k) —>-0 и отсюда вытекает, что и вто- t=i
рая составляющая правой части (4.5.5) стремится к нулю, а следовательно, выполняется (4.5.3).
Скорость сходимости
Как мы видели в разд. 2.4, для независимых стандартных нормальных с. в. сходимость последовательности Р {Мп ^ и^ = = Ф" (ып) весьма медленна, если например ип = ип (х) = х/ап + + Ьп. В частности, она имеет порядок (In 1п л)2/1п л, если ап и Ьп выбираются, как в теореме 1.5.3, и имеет порядок 1/1п л, если используются «наилучшие» ап и Ьп. Конечно, и в зависимом случае не следует ожидать более быстрой сходимости. Действительно, доказательство теоремы 4.3.3 по существу определяется, во-первых, сравнением Р {Й4П -< ип\ с Ф" (un) и последующим использованием предельной теоремы для независимых нормальных величин для доказательства того, что Ф" (un) -> где т — е~х. Мы покажем теперь, что если сумма Jj | г41 не возрастает слишком быстро, то ошибка от замены Р {Л4„ <^ и} на
Ф" (и) стремится к нулю как некоторая степень от п. Отсюда немедленно вытекает, что скорость сходимости Р {Мп -С ип\ к е~т определяется качеством аппроксимации Ф" (un) посредством е~т и, следовательно, является точно такой же, как и в независимом случае.
В то же время, поскольку Ф" (un) легко вычисляется с высокой точностью, граница для величины Р {Л4„ -С и} — Ф" (и), которую мы выведем, представляет значительный интерес и сама по себе. Она показывает, что вероятность Р \Мп < и} для максимума Мп зависимых случайных величин может быть аппроксимирована с достаточной точностью.
В качестве отправной точки для указанного оценивания мы используем соотношение (4.2.4), приспособленное для случая (1
и поэтому J F' (h) dh = Р \Мп <С о
и\ — Ф" (и)^, что приводит к равенству
Р{М„<к1-Фп(Ы) =
1и'
= ! S rj—* J ••• J/aGa =У1 = u)dydh. (4.6.1) О l<i</<n—со
Здесь функция fh (yf = yj = и) получается из функции плотности п нормальных с. в., имеющих нулевые средние, единичные дисперсии и ковариации hrk, если положить в этой плотности переменные у, = у, = и и проинтегрировать ее по остальным переменным в пределах (—оо, u 1. Полезно записать это выражение в несколько ином виде. Пусть
^ W = 2я(11р^ СХР {" 2(Г^) ^ - 2Р“2 + “*)} =
1+Р/
— значение стандартной двумерной нормальной плотности в точке (и, и), и пусть
th (у' | Ус = У/ = “) = th (у. = yj = и)/<Рлгу_. (и)
— условная плотность, получаемая при приравнивании и значений t-й и /-й переменных во введенной выше n-мерной нормальной плотности. Тогда (4.6.1) можно переписать в виде Р\Мп<Ц-ФЧи) =
1и'
= 2 rH< J^U ^ J "Л/л (у'1у< = Ус = u)dy'dh. (4.6.2)
1^«/<п0—со
Очевидно, что
(4.6.3)(4.6.3)°< J •••^hA'Hyt = yj = uW<L
(4.6.3)
(4.6.3)
где правое неравенство было одним из главных моментов доказательства теоремы 4.2.1.
Прежде чем переходить к оцениванию, введем некоторые обозначения и постоянные, которые будем использовать в дальнейшем. Эти постоянные имеют весьма сложный вид, и их можно было бы легко упростить, воспользовавшись менее точными аппроксимациями, однако это сделало бы их менее подходящими для вычислений. Положим р = sup {0, гъ г2, ...}, и для случая р > О пусть v обозначает количество таких значений /, для которых rt = р. Всюду в этом разделе мы будем без дополнительных оговорок предполагать, что указанная верхняя граница достигается, так что v ^ 1. В частности, так будет в случае, когда г( -> О при / -> оо, и при этом также v < оо. Если р = 0, то v ^ оо будет обозначать количество ненулевых г*. Чтобы получить члены второго порядка, определим р' как супремум по /^> 1 таких rt, которые удовлетворяют неравенству rt ф р, если эта величина положительна, и положим р' = 0 в противном случае, и пусть е = 2 ("ПТ? ~ Т+р") = (1+р)(1+р') •(4-614)
Далее, определим
е м = (I +р)3/2 е .х = (2-р)(1+р)
с (р) = с' (р) (4л)“р/(1+р)(4.6.5)
и положим 6 = sup {| rt |; t^> 1, rt ф Р}-
Основной множитель Rn в выводимых нами границах имеет различный вид в случаях, когда (i) р > 0 или р = 0 и v< оо и (ii) р = 0, v = сю, и к тому же зависит от некоторой постоянной К, которая будет введена ниже. Определим
К, ,)„-<■-«/>■+« (|„^)-«'"+« (1 +р„), если р>0 или р = 0, v<oo, (4.6.6)' Я. = с(К. в)(-^)1п(х) Д|п|. если р = 0, v = оо. (4.6.6)' Здесь
с(р, К, v) = с (р) №/(1+p)v, с (К, 6) = 4№ (1 - 62)~,/2, (4.6.7
а рп равно нулю для р = 0 и
Pn = cX|r,|«-e (lnl)1+e/2(4.6.8)
для р > О, причем
С = ке2(2-р',/(1+Р’) (4л)е/2(1 - р)1/2(1 + pj-^-W+P') х
x(i-e2)-^v-’
и 5' означает суммирование по всем таким t из множества {1, 2, .... п\, для которых rt Ф р.
Лемма 4.6.1. Пусть и > 0, и предположим, что г Ф 0, | г | < 1, р = шах (0, г), и пусть с, с', с" определяются соотношениями (4.6.5). Тогда
W {с' W ехР (- т^г) - е““’}/I1 + т) <
< J Флг И dh < ^ [с (Г) ехр (- у^) - е-и*}.
Предположим далее, что и^> 1. Тогда
0< J <phr(u)dh<
< 2(2+р,/(1+р) с (р) | г Г1 {(1 - Ф (u))/up)2/(1+p\ и если г ^ р' для некоторого 0 < р' < 1, то
0< ^q>hr(u)dh<
< 2(2+р')/(1+р'>(4л)-р'/(1+р') (1 -г2)-1/2{(1 -Ф(и))и}2/(1+₽'>. Доказательство. Интегрируя по частям, получаем
2л J (phr (и) = dh J (1 — h2r2)-I/2 ехр (— у^:) dh = оо
- -^r^'(г)ехр (— рУ -ехр(—и1))—
Второе неравенство в (i) сразу вытекает отсюда, поскольку последний интеграл в (4.6.9) положителен. Кроме того, как легко проверить,
(2-Лг)(1 +ЛЛ)1/2(1 _/^)-3/2<с'(р)(1 _/^
и поэтому
г(2-М(1+М1/2 Атп/ «2 J о-м3» схр (” Т+$)
1
<С 2лс” (р) J <phr (u) dh. (4.6.10) о
Подставляя (4.6.10) в (4.6.9), получаем
р + -^} j Vhr(u')dh>^L7^ ^ехр (—^7) - е-и*у оk1
что и доказывает первое неравенство в (1).
Для доказательства (11) мы используем неравенства
^(1 -Ф(Ы))> “^V^ !^> ехр(-"а/2) (4.6.11) для и > 1. Таким образом, если г = р > 0, то, согласно части (1), j ФАг W dh < ехр (—< о
< 2(2+₽)/(1+₽)(4п)_₽/(1+₽)|гГ'/(р) {(1 — Ф(и))/ир)2/(1+р1, и аналогично для г < 0, р = 0
J <рЛг (и) dh < ^ру ехр (— и2) < ^^- (1 - Ф (и))2, о
следовательно, (И) выполняется в любом случае. Наконец, для u > 1 из (4.6.11) сразу следует
1
j Ф„ И dh <* ./«мр (-тяг) <
оv '
<2(2+р')/(1+р')(4л)-р'/(1+р,1(1 -гТ1/2)(1 -Ф(Ы))и}2/(1+^ что и доказывает (ill).□
Теперь легко получается и основная лемма. Мы рассмотрим только ограниченный интервал значений и (который может быть даже пустым при малых /г). Остальной интервал интересующих нас значений и исследовать проще, как показано ниже в доказательстве теоремы 4.6.3,
Лемма 4.6.2. Предположим, что для некоторой постоянной /( >■ О
п<\—Ф^<К(4.6.12)
и что 1.055 < и < 2 (1 + р)"1'2 (In п/КУ'2. Тогда
п1
П ^|г,| Jv/u-f(“)dA<4/?n.(4.6.13)
/=1 о
где Rn определяется соотношениями (4.6.6)' и (4.6.6)' для указанных там отдельных случаев.
Доказательство. Прежде всего, согласно (4.6.11) и (4.6.12), п exp (— и*/2). к
1<2л 2и’
т. е.
1п-^<-£/1 +-Ь1п8лц«1<2и’(4.6.14)
для и ^ 1.055.
Предположим теперь, что р >■ 0. Используя лемму 4.6.1 (11) для оценки слагаемых с rt = р и леммы 4.6.1 (ill) для остальных слагаемых, получаем п1
п 2 I rt I J <Phrt (и) dh < п2(2+р,/(,+р) с (р) {(1 - Ф (u))/up}2,(,+p,v + 7=1 о
+ ti^MW)(4я)-р7<1+«> у М |(1 _
(4.6.15) где 2' обозначает суммирование по всем таким / из {1, .... п}, для которых rt Ф р. Поскольку п (1 — Ф (и)) ■< к И ^-^-1пп//<У 2 <ц<2(1+р)-V2 (In п/КУ'2 по предположению и в силу (4.6.14), то
(1 — <D(u) p/U+p)2p/(i+p) / К у/П+Р') /1п п \-р/(1+р)
[ ыр J\ п )К /
и
)(1 -Ф(н))ы}2/(1+р,) <
22/(1+Р') (1 + р)-1/(1+р')22/(1+Р') (1 + р)-1/(1+р')^_^_у/(1+Р')^_^_у/(1+Р')/. п \1/(1+р')(|пт)/. п \1/(1+р')(|пт)
22/(1+Р') (1 + р)-1/(1+р')
22/(1+Р') (1 + р)-1/(1+р')
^_^_у/(1+Р')
^_^_у/(1+Р')
/. п \1/(1+р')
(|пт)
/. п \1/(1+р')
(|пт)
Подставляя это в (4.6.15), получаем для 6 = sup {| rf |; /^ 1, г< Ф р}. е = 2 (р — р') (1 + р)-1 (1 + р')-1 и того же С, что и в (4.6.8),
пI
п \ | rt | У ф^ («) dh < 4с (р) x2/(,+p)n-,,_p)/(,+p) х
<=1 о
_ /V П \-p/d+p)п VV. I —е/1 л \1+е/2]
Х11ПТ/(1п-к)
Сравнение с (4.6.6) доказывает (4.6.13) для случая р > 0.
Далее, предположим, что р = 0, v < со, так что, согласно лемме 4.6.1 (ii),
"^Ы ^hr^u^dh^^n-Ф(«))’<^>
<=10/=1
rt*o
что показывает справедливость (4.6.13) и в этом случае.
Предположим, наконец, что р = 0 и v<co. Тогда, используя лемму 4.6.1 (iii), путем аналогичных вычислений находим, что
п1п
П Xj *Г< * S ^ (“> dh ^ 4n ^ (1 -^),/2 1(1 ~ Ф (и)) 0,2
<=10/=1
<16K’(l-6T,,,^|r,l41n^.
/=1
что доказывает (4.6.13) в случае р = 0, v = со.□
Скорость сходимости к нулю разности Р \Мп -^ «} — Ф" (и) легко вытекает теперь из (4.6.2), (4.6.3) и леммы 4.6.2. Для получения эффективных границ мы, как и в лемме 4.6.2, ограничим область изменения и, требуя, чтобы и (1 — Ф (и)) ^ К для некоторого фиксированного К > 0, что равносильно условию и > >- un, где un — решение уравнения и (1 —Ф (un)) = К. В соответствии с теоремой 1.5.1 отсюда вытекает, что если Мп — максимум первых и членов независимой стандартной нормальной последовательности, то
Р \Мп<.ип\-*е-к при п-»-оо,(4.6.16)
и обратно, если {«„} удовлетворяет (4.6.16), то и (1 —Ф (un)) -* -> К. Более того, если Р {Мп ■< un} — Р |МП ■< ип\ = Р \Мп ■< ^ »п} — Ф” (wn) 0, то та же равносильность, конечно, сохраняется и при замене Мп на Л4П.
Таким образом, поскольку границы для скорости сходимости будут выводиться для и > ип, они будут применимы к верхней части интервала изменения вероятности Р \Мп << и}, так что взяв К большим, мы покрываем сколь угодно большую часть этого интервала в качестве компенсации за невысокое качество оценки. Теорема 4.6.3. Пусть |^| — (стандартизованная) стационарная нормальная последовательность, и^> 1.055 и выполняется (4.6.12), т. е.
n (1 — Ф (и)) < К
для некоторой постоянной К с nJ К > е. Тогда
|Р{Л1п<и}-Ф».|<4Яп(4.6.17)
с Rn, задаваемым соотношением (4.6.6). В более явном виде, для А„ = | Р (Л1П < и| — Фп (и) |, если р = шах )0, rv г2, ...} > 0 или р = 0 и число v тех / >- 1, для которых rt N= 0, конечно, v -< <С ею, то
Д. < СП-(in i)-»,|,+w (1 + р„),
где с = 4с (р, К, v) и рп даются формулами (4.6.7), (4.6.8). Если р = 0, v = оо, то~
д„<с2-1п^Д|г,|,
где с = 4с (К, 6) задается формулой (4.6.7).
Доказательство. В силу (4.6.2) и (4.6.3) |Р|Мп<ц}-Фп(ы)|<
•1п1
< 2 lr=-d J T/u-,_, (u)dh<n V |nI J флг^ (u)dh, Ks<Kn0/=10
и из леммы 4.6.2 вытекает, что (4.6.17) выполняется дчя всех и, удовлетворяющих (4.6.12) и неравенству 1.055 <u<2 (1 + + р)-' (In n,KW2-
Чтобы завершить доказательство, покажем, что (4.6.17) вполне тривиальным образом выполняется и для и > 2 (1 + + р)-1/2 (1п п/ДУ12. Действительно, в силу неравенства Буля *>
/ ”\п
|Р{Мп<л}-Ф>)| = |Р{Л1п>и}-(1-Ф"(и))|<
<Р{Л1п>и} + (1 -Фп(ы))<2л(1 -Ф(и)).(4.6.18)
Поскольку 1 — Ф (и) С ф (и)/и, то для u>2(l+p)-,/2(ln-i),/2> 1
получаем, что
1 — Ф(и)<(2л)'|'2ехр|—J-(2(1 + рГ',! (1пт)№)2) х
х(1„^)-»<(2л)-«(А)«™(|п1)-«,
и поэтому, согласно (4.6.18),
| Р {Mn < и} - Ф” (и) | < 2 (2л)-'/2 п ( Ау/(,+р) (in^.)-,/2 < 4/?„, что достигается непосредственным вычислением.□
Таким образом, согласно теореме, если р > 0 или р = О, п
v < оо и сумма £ | rt | растет не слишком быстро, то порядок скорости сходимости не меньше, чем
д~(1—P)/U+p) (1п л)—Р/(Ч"Р).
Этот порядок является правильным, по крайней мере если последовательность {^t} является /л-зависимой. Действительно, если rt = О для 111 2> т, где т — некоторое положительное число, и л (1 — Ф (un)) -► К > 0, то при р > О
Р\Мп<ип\-ФЧип)~е-крп,(4.6.19)
а при р = О
Р \Мп < п„} - Ф" (л„) ~ - e-KRn;(4.6.20)
см. Ротсен (1982). Сравнивая (4.6.19) и (4.6.20) с границами, указанными в теореме 4.6.3, видим, что если р > 0 или р = 0, v < оо, то эти границы асимптотически слишком велики, а именно завышены в 4ек раз. Здесь множитель 4 связан с неточностями в оценках (4.6.11) и (4.6.14) и легко может быть уменьшен путем дальнейшего сужения интервала изменения и, а множитель ек связан с оценкой (4.6.3).
Если р = 0, v = оо и 2j | г« | ■< оо, то граница, указываемая /=о
теоремой 4.6.3, имеет порядок
— In л.п
Кажется маловероятным, что это точный порядок, однако потери не представляются существенными, поскольку скорость сходимости, очевидно, вообще не может быть лучше, чем 1/л.
Наконец, как упоминалось ранее, простым следствием доказанной теоремы является то, что сходимость к предельному двойному экспоненциальному распределению здесь столь же медленна, как и в случае независимой нормальной последовательности. Например, если ап, Ьп и Сг, С2 заданы соотношениями (2.4.9), (2.4.10), то при соответствующих условиях на рост суммы
0 < Ci < lim inf / sup In л | P \an (Mn — b^ < x} — exp (—e-*) 11 <
H-^OO lxf
< lim sup / sup In n | P |on (Mn — bn) < x} — exp (—f~x) 11 < C2 n-»a> lxJ
и порядок сходимости 1/1п л не может быть улучшен ни при каком другом выборе констант ап, Ьп. В частности, если
ап = (2 In л)1/2,
Ьп = ап — (2on)-1 Un In л + In 4л}, то аппроксимация имеет вид
Р {«п (Мп — Ьп) < х} - ехр (—е") ~
1-/ . л (Inlnn)1
~е-* ехр (——.
16 г ' 1п л
Читатель может найти в работе Ротсена (1982) точное условие на сумму £ I rt |, доказательства этих утверждений и дальнейшие аспекты скорости сходимости экстремумов стационарных гауссовских последовательностей.
Глава 5
Сходимость точечных процессов превышений и распределений ^-х наибольших максимумов
В этой главе мы возвращаемся к общей ситуации и обозначениям гл. 3 и рассматриваем такие точки / (интерпретируемые как «моменты времени»), в которых стационарная последовательность {^}
общего вида превышает некоторый заданный уровень и. Моменты таких превышений имеют стохастическую природу, и на них можно смотреть как на точечный процесс. Поскольку превышения очень высоких уровней весьма редки, то можно подозревать, что для таких уровней этот точечный процесс будет иметь пуассоновский характер. В этом плане будет доказана соответствующая теорема, и в качестве следствий из нее будут получены асимптотические распределения к-х наибольших значений (порядковых статистик). Обобщения этой теоремы приводят к дальнейшим результатам относительно совместных распределений к-х наибольших значений. Формальное определение и простые свойства точечных процессов, которые нам понадобятся, помещены в приложении.
Точечные процессы превышений
Если и — заданный «уровень», то мы говорим, что (стационарная) последовательность ||п} имеет превышение уровня и в точке /, если Xj > и. Такие / можно рассматривать как «моменты времени», а сами превышения — как события, появляющиеся с течением времени случайным образом, т. е. как точечный процесс (см. приложение).
Мы будем иметь дело с такими превышениями для (обычно) возрастающих уровней и определим подобный точечный процесс, обозначаемый Nn, для каждого уровня из последовательности уровней {ып}. Поскольку уровень ип при больших п будет, как правило, высоким, то и превышения будут иметь тенденцию становиться все более редкими. Мы убедимся, что в связи с этим удобно нормализовать «временную» ось таким образом, чтобы ожидаемое число превышений *> сохранялось приблизительно постоянным. Для наших целей будет достаточно простого изменения масштаба умножением на п. Именно для каждого п определим процесс т]п (/) для / = j/n, j = 1,2, .... полагая т]п (//п) = = При таком определении т]„ имеет превышение уровня ип в точке j/n всякий раз, когда |gfc} имеет превышение этого уровня в точке /. Поэтому, хотя превышения уровня ип и могут уменьшаться в числе с ростом ип, это уменьшение компенсируется тем обстоятельством, что точки Цп располагаются более густо. Действительно, ожидаемое число превышений уровня процессом т]п в интервале (0, 1] равно, очевидно, пР j£i>wn} и стремится к конечному пределу т, если ып выбраны согласно (3.4.2).
Наша первая задача будет состоять в том, чтобы показать, что (при выполнении условий D (ып), D' (ып)) превышения уровня ип
11 В единицу времени — Прим, nepte.
Рис. 5.1.1. Точечный процесс превышений.
процессом т]п принимают при увеличении п пуассоновский характер (в действительности в полном смысле сходимости распределений для точечных процессов, описанной в приложении). В частности, это будет означать, что число, скажем, Nn (В) превышений уровня ип процессом т]п в (борелевском) множестве В, будет иметь асимптотически пуассоновское распределение. Отсюда мы легко сможем получить асимптотическое распределение Л-го наибольшего значения среди 61» ...» Вп» и таким образом обобщим теоремы 2.2.1 и 2.2.2. Результат о пуассоновости будет доказан в следующем разделе; в разд. 5.3 будут приведены некоторые следствия о распределениях.
Было бы также интересно обобщить теоремы 2.3.1 и 2.3.2, указав совместные распределения к-х наибольших значений. Как будет видно из последующих разделов, это потребует обобщения нашего результата о сходимости на случай одновременного превышения сразу нескольких уровней.
Сходимость превышений высокого уровня к пуассоновскому процессу
В следующей теореме мы рассмотрим сначала превышения уровня ип процессом т]п не на всей положительной полуоси, а только на единичном интервале (0, 1 ], поскольку при этом можно использовать менее ограничительные предположения и все же получить соответствующие выводы относительно распределений к-го максимума.
Теорема 5.2.1. (i) Пусть т > 0 фиксировано и для стационарной последовательности (6п1 выполнены условия D (и^, D' (и^, где ип = ип (т) удовлетворяет (3.4.2). Положим т]п (Цп^ = 6,» / = = 1, 2, ...; п = 1,2, .... и пусть Nn — точечный процесс на единичном интервале (0, 1 ], образованный превышениями уровня ип процессом т]„ в этом интервале (т. е. образованный такими точ-
ками Цп, 1 < / < п, для которых т]п (//п) = g; > ип\ Тогда точечный процесс Nn сходится по распределению при п -* оо к пуассоновскому точечному процессу N на (0, 1 J, имеющему параметр т.
(и) Предположим, что для каждого т > О существует такая последовательность |«п (т)|, которая удовлетворяет соотношению (3.4.2), и что условия D (ып(т)), D' (ип (т)) выполняются для всех т > 0. Тогда для любого фиксированного т результат части (i) сохраняет силу при замене единичного интервала всей положительной полуосью, т. е. точечный процесс Nn превышений уровня ип (т) процессом т]п сходится к пуассоновскому процессу N на (0, оо), имеющему параметр т.
Доказательство. Согласно теореме П.1, для доказательства части (1) достаточно показать, что
Е (Nn ((с, d I)) -► Е (N ((с, d|)) = т (d — с) при п -► оо для всех 0 < с < d <; 1 и
Р {Мп (В) = 0) -► Р (М (В) = 0} = ехр (—тт (В)) (здесь
Г
т — мера Лебега) для всех множеств В, имеющих вид [J (щ, i=i
dj\, 0 •< ci <С дг «< ca «<...«< cr «< dr ^ 1. Утверждение (а) получается сразу, так как
Е (Nn ((с, d])) = ([nd] — [ле]) (1 — F (un)) ~ л (d — с) т/л = т (d — с).
Чтобы показать справедливость (Ь), заметим, что для 0 «< с < < d < 1
P\Nn«c, d]) = O) = B[Af(/n)<Un),
где /„ = [ [лс| + 1, ..., [nd]). Множество /„ содержит vn целых чисел, где vn = [nd] — [nc] ~ n (d — с) при п -► оо. Поэтому, согласно следствию 3.6.4 с 6 = d — с <_ 1,
В [Mn((c, d]) = 0}->exp(—r(d —с)) при п-*оо. (5.2.1)
Г
Далее, пусть В = [J (сь di ], где 0 < сг < dt •< с2 < d^ -< ...
<=i
... <^ сг <^ dr <^ 1. Тогда, обозначая через Ej множество целых чисел [[пс;] + 1, Incj] + 2, .... [nd,]}, легко проверить, что В[М„(В)=0) = в( П {Af(£,)<«„}) =
\/=i/
= ПВ |МП((С„ d;]) = 0} + [ В ( п \м(Е,)<«п}) -
/=1I \/=1/
-ПВ[Л1 (£,)<«„}).
В силу (5.2.1) первое слагаемое в правой части при п -► оо схо-
Г
дится к П exp (—т (dj — с,)) = ехр (—т/n (В)) (где т обозначает /=1
меру Лебега). С другой стороны, в соответствии с леммой 3.2.2 легко видеть, что модуль разности, стоящей в правой части, не превосходит значения (г — 1) ап- гпх], где X = min (cJ+1 —
K/^r—1
— d/). Но в силу условия D (и„) (см. (3.2.3)) а„. [Пл]0 при п -> оо, так что (Ь) выполняется. Следовательно, часть (i) теоремы верна.
Заключение (и) достигается точно таким же доказательством, за исключением того, что здесь мы используем вместо следствия 3.6.4 теорему 3.6.3 с ип, равным un (6т) (и поэтому удовлетворяющим по предположению условиям D (un), D' (v^, п (1 — F (ип)) -► -► 6т), где теперь мы можем иметь 6 > 1. Соответственно и с, d, Ci, di более не обязаны не превышать единицы.□
Интересно отметить, что заключение (i) применимо к любому интервалу единичной длины, так что указанные превышения принимают пуассоновский характер в любом таком интервале. Однако если не сделать предположения (и), то вполне может случиться, что на всей оси (или на интервале, имеющем длину более единицы) превышения не будут принимать пуассоновского характера.
Следствие 5.2.2. В условиях части (i) теоремы если В с (О, 1 ] — произвольное борелевское множество, граница которого имеет нулевую меру Лебега (т (дБ) = 6), то
Р\Nn (В) = rH _^₽IziEfl^)H^eL, г = 0, 1, 2
Совместное распределение любого конечного числа вешчин Nn (В^, .... Nn (Bh), соответствующих непересекающимся множествам Bi (с т (дВ) = 6 для каждого i), сходится к произведению соответствующих пуассоновских вероятностей.
Доказательство. Это сразу вытекает из того, что (как указано в приложении) (Nn (В^, .... Nn (Bh)) - (N (BJ, .... N (Bh)), когда Nn — N.□
Следует отметить, что полученные результаты, очевидно, легко применимы к стационарным нормальным последовательностям, удовлетворяющим надлежащим условиям на ковариации (например, (4.1.1)).
5 Лидбеттер М. и др.
Асимптотическое распределение к-х наибольших значений
Из следствия 5.2.2 теперь могут быть легко получены следующие результаты, обобщающие утверждения теорем 2.2.1 и 2.2.2.
Теорема 5.3.1. Пусть М^ обозначает к-е наибольшее ^
(Ain11 = Afn), где к — фиксированное целое число. Пусть (и„| — числовая последовательность, и предположим, что выполняются условия D (ип), D' (ипу Если (3.4.2) выполняется для некоторого фиксированного конечного т > 0, то
k—i
Р I М^ < ип ) -*• е-х ^ "Jf пРи п-»-оо.(5.3.1)
5=0
Обратно, если (5.3.1) выполняется для некоторого целого к, то выполняется и (3.4.2), и поэтому (5.3.1) выполняется для всех к.
Доказательство. Как и ранее, отождествляем событие {M„k) <^ <; un} с событием, состоящим в том, что не более чем (к — 1) из £п .... |п превышают ип, т. е. с событием {Ап ((0, 1 ]) к— 1), так что
к—I
(5.3.2)(5.3.2)PlAf^^Un}^^^0’ П)^'5=0
(5.3.2)
(5.3.2)
Если (3.4.2) выполнено, то предел в правой части (5.3.1) сразу вытекает из следствия (5.2.2).
Обратно, если (5.3.1) выполнено, а (3.4.2) не выполняется, то найдется некоторое т' =/= т, 0 -^ т' ^ оо, и такая последовательность {«;), что М1 ~ F (М)< Анализ доказательства
теоремы 5.2.1 (см. также замечание в конце разд. 3.4) показывает, что если (3.4.2) предполагать выполненным не для всех п, а только для последовательности (лу}, то Nn. имеет пуассоновский предел. Если т' <^ оо, то, заменяя в приведенном доказательстве т на т', получаем
Р { М^<ипД-*е
5=0
к— I
Но это противоречит (5.3.1), поскольку функция е~х xs/xl 5=0 строго убывает в точках х ^ 0. Таким образом, т' < оо невозможно. Но т' = оо также невозможно, так как иначе мы, по-
добно (3.4.4), получили бы неравенство
Р\М[П1ку <«„}<! — \njk) (1 — F (ип)) + Sn. 6-
Правая часть должна быть отрицательной для больших п в силу конечности lim sup Sn, к, вытекающей из D' (ип), по крайней мере для надлежащим образом выбранных больших значений к. Отсюда вытекает справедливость (3.4.2), что и утверждалось.
□
Случай к = 1 этой теоремы есть в точности теорема 3.4.1. Конечно, теорема 3.4.1 использовалась при доказательстве теоремы 5.2.1, а следовательно, и теоремы 5.3.1. Приводимое ниже следствие покрывает случай т = сю.
Следствие 5.3.2. Предположим, что для каждого достаточно большого т существует последовательность (и„ = v„ (т)|, удовлетворяющая условиям D (у^, D' (оп) и такая, что и (1 — F (vn)) -► т. Если для последовательности (н„| выполняется соотношение п (1 — F (ип)) -► оо, то Р {Л4л6) <»п}-*0 для всех к.
Обратно, если Р {УИп41 ^ иД 0 для некоторого к, то п (1 — — F (ип)) -* оо и Р [УИ^1 С иД -> 0 для всех к.
Доказательство. Если п (1 — F (нп)) -* оо, т < со и v„ выбирается так, как указано выше, то, согласно теореме 5.3.1, Р {М^ ^ к—1
<С ип| ~* е~х У r$/s!. Но очевидно, что уп > ип для всех доста- ’s=0
точно больших п, так что
к—О lim sup Р ( М^ <. ип } С lim Р { М„^ <_ип } = е-т У ts/sI. л -► соп -* соs=0
Поскольку это выполняется для произвольно большого Т <^ ОО, имеем Р {УИ^1 иД -* 0, как и утверждается.
Обратно, если Р {УИд4* <; иД -* 0 для некоторого к, то, поскольку Мп ^> М^1, отсюда следует, что Р {Afn ^ нп| -* О, так что п (1 — F (ип)) оо в силу следствия 3.4.2.□
Верно также очевидное следствие.
Следствие 5.3.3. Теорема 5.3.1 сохраняет силу, если предположение (или заключение) о том, что (нп| удовлетворяет (3.4.2), заменить любым из следующих предположений (заключений):
Р \Мп<,иД-^-е~\ Р\Mn<,Un\-^-e^-'
(где Мп, как и обычно, обозначает максимум для сопровождающей независимой последовательности). Соответственно предположение
5*
(или заключение) и (1 — F (ип)) -* оо в следствии 5.3.2 можно заменить или на Р (Мп < un) -> О, или на Р |МП < и„} -* 0. Доказательство. Утверждения, касающиеся теоремы 5.3.1, сразу вытекают из теорем 3.4.1 и 1.5.1. Утверждения, касающиеся следствия 5.3.2, вытекают из следствия 3.4.2 и теоремы 1.5.1. □
Теорема 5.3.4. Пусть числа ап > 0, Ьп определены для п = 1, 2, ..., G— невырожденная ф. р., и предположим, что условия D (u„), D' (ип) выполняются для всех ип = х/ап + Ьп, —оо <2 х <2 < оо. Если
P\an(Mn-bn)^x\-+G(x),(5.3.3)
то для каждого k = 1, 2, ...
Р { ап (М^ - Ьп) < х ) G (х) 2 -(~-^^У ,(5.3.4)
s=0
где G (х) > 0 (предел равен нулю, если G (х) = 0).
Обратно, если (5.3.4) выполняется для некоторого к, то выполняется и (5.3.3), и поэтому (5.3.4) выполняется для всех к. Кроме того, результат остается в силе, если в (5.3.3) заменить Мп на Мп.
Доказательство. Для G (х) > 0 результат вытекает из первой части следствия 5.3.3 с и„ = х/ап + Ьп, х = —In G (х). Случай G (х) = 0 вытекал бы из второй части следствия 5.3.3, если бы можно было показать, что для каждого достаточно большого т существует последовательность (ип|, удовлетворяющая условиям D (vn), D' (ип) и такая, что п (1 — F (и^ -* т. Но поскольку ф. р. G непрерывна (как ф. р. экстремального значения), то существует такое х0, что G (х0) = е^*, откуда легко видеть, что х0/ап + Ьп является подходящим выбором для ип.□
Независимость максимумов на непересекающихся интервалах
Было бы естественным обобщить теоремы гл. 3 таким образом, чтобы можно было изучать совместное поведение максимумов на непересекающихся интервалах. Мы сделаем сейчас это, показав асимптотическую независимость при надлежащем обобщении условия D (ип) и затем используя ее для получения результата о пуас- соновости превышений нескольких уровней, рассматриваемых совместно. Это в свою очередь приведет к асимптотическим (при п -*• оо) совместным распределениям различных величин, пред-
ставляющих интерес, таким, как два или более М^ и их положения.
Как и в (2.3.1), рассмотрим г уровней и^„\ удовлетворяющих соотношению
п(1 — F ^и^")) -*тк.п(1 — F ^и^")) -*тк.(5.4.1)(5.4.1)
п(1 — F ^и^")) -*тк.
п(1 — F ^и^")) -*тк.
(5.4.1)
(5.4.1)
в котором Un1 > 42) > ••• ^ Unr>, как и в гл. 2, и, следовательно, Т! т2 ... тг.
Интуитивно ясно, что необходимо обобщить условие D (ип) с целью включения в него г значений п^. Мы сделаем это обобщение следующим образом.
Мы будем говорить, что для стационарной последовательности ||j) выполняется условие Dr (un), если для каждого выбора наборов i = (ц, ..., ip), j = (ji, .... /», 1 ^ h < Ч ^ ■•• < ip < /1 < < /2 < ... < /р» ^ п, j\ — ip ^ 1. имеем (в очевидных обозначениях)
| Fi, j (v, w) — Fi (v) F} (w) | C an, /,(5.4.2)
где v = (Уц ..., up), w = (tt^, .... typ')- Каждое U3vt и w} является любым из г чисел и^, .... и„\ и ап. / -► 0 для некоторой последовательности 1п = о (п).
Условие Dr (ип) очевидным образом обобщает D ^и^ (и, очевидно, влечет выполнение D (uif1) для каждого А) и будет удобным для нас, хотя в полной мере для наших целей оно и не требуется. Определять обобщение условия D* (ип) нет необходимости, поскольку нам нужно просто, чтобы условие D' ^„^ выполнялось отдельно для каждого k = 1, 2, .... г.
Следующий результат обобщает лемму 3.3.2 (с соответствующими изменениями в обозначениях).
Лемма 5.4.1. В принятых обозначениях если выполнено условие Dr (un), п, s, г — фиксированные целые числа и Еъ .... Es — такие подынтервалы интервала (1и}, что Е, и Е} при i Ф j уда
лены не менее чем на j, то
(s- !)«„,/,(s- !)«„,/,р(п {Л4(£у)<и„.у})-ПР{Л!(£у)<и„,у} 4=i'/=i
(s- !)«„,/,
(s- !)«„,/,
где для каждого j значение ип j является любым значением из un , ..., Un •
Доказательство проводится точно таким же образом, как и в лемме 3.2.2, и поэтому мы не будем повторять здесь детали. □
В проводимом далее обсуждении мы рассмотрим фиксированное число s таких непересекающихся подынтервалов Jx,
J2, ..., Js интервала {1, ..., п}, что Jk (= Jn,k) имеет мп, к ~ ~ 6к-п элементов, где 6А — фиксированные положительные числа s
с 5j06^ 1- Несколько усиливая предположения, можно до- 6=1
пустить также, что lj 0& > 1, и взять в качестве Ji, J2, ..., Js A=i
произвольные конечные непересекающиеся интервалы положительных чисел. Заметим, что интервалы Jk имеют длины, возрастающие с ростом п, но остаются при этом непересекающимися, и что их суммарное количество фиксировано.
В этих условиях верны следующие результаты. Детали доказательств, дублирующие аргументы, использованные в гл. 3, будут опущены.
Теорема 5.4.2. (i) Пусть JT, J2, ..., Js — непересекающиеся подынтервалы интервала {1, 2, .... и), определенные выше, так что Jk имеет vn> h ~ 6kn элементов, где 01т 02, .... 0S — фиксированные положительные числа I ^ 0k ^ 1 ). Предположим, что стаци- \6=i/
опарная последовательность {^} удовлетворяет условию DT (un), где уровни ипП > и^ ^ ... > Un’ удовлетворяют (5.4.1). Тогда
(
S\ S
П \M(Jk)< Un,h\\ — П^ {^(^X“n,6)-*0 при П-*ОО 6=1/6=1
(5.4.3)
при любом выборе ип. k для каждого к из Un \ ■и„\
Для фиксированных sum пусть Ju J2Js — непересекающиеся подынтервалы положительных целых чисел 1, 2, ..., тп, где Jh (= Jni к) имеет vn, h ~ 6kn элементов, 0Ь ..., 0S — фиксированные постоянные (£ 6k ^ m). Пусть un (т) для каждого т > 0 удовлетворяет соотношению (1 — F (ип (т))) ~ т/n, пусть Т1^т2^ ...<^тг фиксированы, и предположим, что условие Dr (un) выполняется для un = (ип (mTj), ..., ип (mxr)Y Тогда выполняется t^A.^Y
Доказательство. Пусть 1к обозначает первые vn, к — 1п элементов Jk, a 1к — остальные /„ элементов этого подынтервала, где /„ выбрано, как в условии Dr (u„). (Эти 1к, 1к отличаются от тех, которые были в гл. 3, но имеют те же обозначения, поскольку играют такую же роль.) Знакомые выкладки показывают, что
(
S\/ S\
п \м(1к)^иП1кн-р \ п \мук)<ип,к\ <
/\Л=1/
S
<£р\м (Pk) >u„.k\< sp„, (5.4.4) 6=1
где р„ = max Р \М (11) > ип, feV Датее, в силу леммы 5.4.1 K*<s
/ S\s
(5.4.5)(5.4.5)р \ П \М<1к)<ип,к\ -LRW7*) \6=1/6=1
(5.4.5)
(5.4.5)
И
о < П р {м (1к) < «„, ft} - П Р {.44 (Л) < ип, ft| < *=1*=1
S
<П(^^(А)<ип,б|+РП)-6=1
- П Р \М (Л) < ип, fe| < (1 + pnr - 1, (5.4.6) к=\
88
поскольку П (Уб + Рп) - ^ Уб возрастает по каждому ук, когда рп > 0. Теперь
р„ = max Р {Л4 (/б)>и«,б) < max ln (1 — F (ип< k)), 1<6<S1<6<S
что стремится к нулю в силу (5.4.1), поскольку 1п = о (и). Следовательно, согласно (5.4.4), (5.4.5) и (5.4.6), левая часть (5.4.3) доминируется по абсолютной величине значением sp„ + (s — — 1) an, t + (1 + pn)s — L которое стремится к нулю, что и завершает доказательство части (1) теоремы.
Часть (ii) получается аналогичными выкладками, поэтому мы укажем только необходимые их модификации. Во-первых, 1к определяется как начальные vn> к — /пт элементов подынтервала Jk, а 1к — как оставшиеся 1пт его элементов. Если ип- к = = и^1 = ип (т/), то мы обозначаем vn. к = ипт (тх,). Тогда (5.4.4) выполняется с заменой и„, к на иП1 к, а (5.4.5) — с заменой, кроме того, aD1 in на anm, ,nm (используем лемму 5.4.1 с тп вместо и). Как и выше, получаем отсюда, что
/> П {А4(Л)<У„,б| -П^^(Л)<Уп,б}^0. (5.4.7) \6=i/6=1
И снова, если ип, к = и^ = ип (х,), то ип, к = ипт QnTf) и м(1 — E(un,ft))-*T;-,
так что лемма 3.6.1 (i) дает
Р\M(Jk) < Уп, ft} - Р | И (Jk) <и„, J -^0.
Обозначая
Ак = \M(Jk)<vn,k\, Вк = \М (AXun.hl и используя очевидные неравенства
р(п ло-р(п ва|<р(п At- п вл-р(п Bi - п да<
<piu (А-ваи-рцт-Аи, мы можем аппроксимировать уменьшаемое в (5.4.7), заменяя vn> к на ип, к. Небольшое обобщение соответствующих выкладок в (i) приводит к аналогичной аппроксимации для вычитаемого, откуда вытекает, что (5.4.7) стремится к нулю при замене vn, к на ип, к, так что (5.4.3) выполняется, что и требовалось.□
Отметим, что доказательство этой теоремы несколько проще, чем, скажем, доказательства лемм 3.3.1 и 3.3.2. Это связано с тем, что здесь мы предполагаем выполненным условие (5.4.1), тогда как там такого предположения не делалось. Мы могли бы освободиться от условия (5.4.1) и здесь, соответственно усложнив доказательство, но, поскольку в дальнейшем это условие предполагается выполненным, мы используем его и здесь.
Следствие 5.4.3. (1) Если в дополнение к предположениям части (1) теоремы потребовать, чтобы для каждого k = 1, 2, .... г выпол- (S
для 6fe С 16=1
Р\М (Jk) < u„, Ь к = 1, 2, ..., s} exp I — S бк^к \6=1
где тк — такое из Ti, .... т$, которое соответствует ип, к, tn. е. такое, что п (1 — F (ип, к)) -► т^.
(и) Если в дополнение к предположениям части (ii) теоремы предположить, что выполняется условие D' (vn) с ип = и„ (9ктк), 1 -С к ^ s, то утверждение этой части теоремы остается в силе для этих произвольных положительных постоянных Вк.
Доказательство. Часть (1) вытекает из следствия 3.6.4, которое показывает, что
Р \ M(Jk)<un. fc}->-exp(—6бТ*), 1<ZX«-
Что касается (ii), то тот же самый предел имеет место в силу теоремы 3.6.3. Действительно (обозначая ип, к = ип (тк)), условие D' (ип) выполняется с ип = ип (вкхк), но выполняется также и D (vn), поскольку сделанное предположение DT (un) приводит к D (ип (тт^)), которое в свою очередь (так как 6& т) влечет за собой D (ип/6кх'к)) в соответствии с леммой 3.6.2 (iv).□
Легко проверить, что для нормальных последовательностей DT (un) выполняется при стандартных условиях на ковариации, так что при этом можно применять следствие 5.4.3.
Теорема 5.4.4. Пусть {^„} — стационарная нормальная последовательность с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариационной последовательностью |гп). Предположим, что для каждого т > О последовательность |ып (т)} удовлетворяет условию п (1 —Ф (ип (т))) -► т, и пусть 0 <С Tj < т2 < ... < тг. Предположим, что гп -► О при*п -юо и
п 2101 ехР (^Т+Т^Г") ^ ° при п^°° (5Л'8) /=1
для некоторого m ^- 1 (в частности, это соотношение выполняется в соответствии с леммой 4.3.2 для любого такого т, если rn In п -► -► 0). Тогда Dr (u„) выполняется с un = (ы„ (.тх^, .... ип (ттг)), a D' (ип (^ выполняется при 0 < т < тхТ. Отсюда вытекает, что если 0lt ..., 0S — положительные постоянные, для которых
S
^i^m, то
<=i
Р \ Му^<ип.к, k = 1, 2s^exp ^— ^ ек^ ,(5.4.9)
где Jk такие же, как и в теореме 5.4.2 (ii), а ип, к, тк такие же, как в следствии 5.4.3.
Доказательство. Используя обозначения из (5.4.2), мы можем отождествить |; из теоремы 4.2.1 с нашими 1,^, .... |fp, g^, .... |,р,, а т]j- из этой теоремы с g^, .... |ip, g^, .... 61р„ так что Eq, .... £<р имеют то же совместное распределение, что и Eq» •••» ^t . но не зависят от Eq. .... |/р„ в свою очередь имеющих то же совместное распределение, что и Eq, .... ^jp„ Следствие 4.2.2 дает тогда
I Ft. i (V, w) - Fi (v) F} (w) | < К 2 | rt_u | exp ( — рпттт^Г * i<s<p' I 1
i<«p'
где un = min (vb .... vp, tyn .... «ир^ и vb .... up, ^wp- выбираются из un (тт^, .... un (mxr). Заменяя un на un (mrr) (что меньше un при достаточно больших п) и используя тот факт, что для каждого / существует не более п членов, содержащих г,-, получаем неравенство
п
I Ft., (V, w) - Fi (v) Fj (w) | < Kn ^ I г/1 exp (— JM^L) ,
правая часть которого стремится к нулю в силу (5.4.8), так что DT (un) выполняется, как и утверждалось (в действительности а П11 не зависят от /).
Теперь если 0 <С т С ттг, то ип (т) ^ ип (тхг) для достаточно больших п, так что (5.4.8) выполняется с заменой тхТ на т, и поэтому лемма 4.4.1 (и) показывает, что условие D' (ип (т)) выполнено, что и требовалось.
S
Наконец, если 0fe > О, У 0fe ^ т, то D' (ип) выполняется 6=1
с vn = ип (ОбТб) в силу предыдущего утверждения теоремы, поскольку т = 0feTfc ^ тхг. Так как мы уже показали выше, что Dr (u„) выполняется с u„ = (un (тт^, ..., ип (ттг)), то (5.4.9) вытекает из следствия 5.4.3 (11).□
Из следствия 5.4.3 вытекает также следующий результат, обобщающий теорему 3.6.6.
Теорема 5.4.5. Пусть ||п} — стационарная последовательность, ап > О, Ьп — константы, и пусть
Р \ап(Мп — bn)<^x\G(х) при п-*оо
для некоторой невырожденной ф. р. Предположим, что условия Dr (un), D' (iin}) выполняются для всех последовательностей вида и^ = XiJan + bn и Jk = Jn, и, k = 1, 2, .... г, — непересека- ющиеся подынтервалы интервала {1, .... тп\, Jh состоит из v„, h целых чисел, где vhi п ~ 6кп, т — фиксированное целое число,
а О, > 0, .... 0г > О, У, 0Л ^ т. Тогда
6=1
P\an(M(Jh)-bn)<xh, 6=1,2,
6=1
Доказательство. Результат получается из следствия 5.4.3 аналогично доказательству теоремы 3.6.6 путем отождествления тЛ с —In G (Хк), ип, h = Xh/an + bn, un (0hTh) = yh/an + bn, где 0hTh = —In G (yh), и аналогично для ип (mxh).□
Превышения множества уровней
Превышения уровней и„\ ..., и^ процессом т)„ (здесь, как и ранее, т)п (jin) = |;) естественно рассматривать как вектор из точечных процессов. Хотя этого можно достигнуть и чисто абстрактным путем, мы с целью призвать на помощь интуицию представим превышения наблюдающимися вдоль фиксированных горизон-
тальных прямых Lu .... Lr на плоскости. При этом превышения уровня и^п' представляются точками на Lk. Такое представление выявляет определенную структуру, определяемую тем фактом, что превышение уровня и^ автоматически является и превышением уровней и^^**, .... Un\ как наглядно показывает рис.5.5.1. На рис. 5.5.1, а изображены уровни и значения процесса т)„, по которым можно найти превышения уровней, а на рис. 5.5.1, b отмечены точки превышений каждого уровня вдоль фиксированных прямых Lv ..., Lr.
Чтобы проследовать в этом направлении чуть дальше, на диаграмме (6) превышения всех указанных уровней представлены точками на плоскости. Иначе говоря, мы можем рассматривать их, если пожелаем, как точечный процесс на плоскости. Конечно, все эти точки лежат только на определенных горизонтальных прямых, и если какая-то точка лежит на Lk, то непосредственно под ней расположены точки и на всех других, более низких прямых, но
Рис. 5.5.1. (а) Уровни и значения т]п (/). (Ь) Представление иа плоскости (для фиксированных LkY
в то же время позиции этих точек случайны и определяют некоторый двумерный точечный процесс, который мы обозначаем Nn.
Мы можем применить к этой последовательности {Мп} точечных процессов теорию сходимости и в качестве следствия получить результаты относительно совместных распределений. Расположение прямых LT, ..., Lr не имеет значения, лишь бы они были фиксированы и располагались в указанном порядке. В соответствии с нашей предыдущей теорией каждый одномерный точечный процесс на заданной прямой Lk, назовем его N^, при надлежащих условиях становится пуассоновским. Указанный двумерный процесс, как интуитивно ясно, не будет пуассоновским процессом на плоскости в силу описанной выше структуры. Однако при уменьшении к превышения N^ на L^ образуют все более «сильно прореженные» версии процесса N„'. Конечно, они получаются не путем независимого удаления событий. Это возможно, как станет ясно позднее, только в пределе, где пуассоновский процесс N^ на Lh может быть получен из процесса М^+Ч на Lh+1 путем независимого прореживания.
Более строго, мы определим точечный процесс N на плоскости, который окажется подходящим предельным точечным процессом, следующим образом.
Пусть {о^; / = 1,2,...} — точки пуассоновского процесса на Lr, имеющего параметр тг. Пусть Р,, / = 1, 2, ..., — независимые случайные величины, не зависящие также от пуассоновского процесса Lr, принимающие значения 1, 2, .... г с вероятностями
П|О . / (Тг-$+1 - тг_$)/тг, s = 1, 2, .... г- 1, Р P, = s}=i
' Т^Т,, s — г,
т. е. Р {Р; > s} = Tr_s+1/Tr для s = 1, 2, ..., г.
Для каждого / поместим точки oaj, oaj, .... o6jj на Р,- — 1 прямых Lr-1, Lr_2, ..., Lr_6j+1 по вертикали над точкой о1;-, завершая тем самым построение процесса N. Ясно, что вероятность появления точки на Lr-1 над о1;- в точности равна Р {Р,^ 2} = т^/т,, а вычеркивания точек независимы, так что N^—Ч получается независимым прореживанием пуассоновского процесса N<rV Поэтому N<r~ч является пуассоновским процессом (см. приложение), имеющим интенсивность тг (Tr_j/Tr) = тг-1, как и ожидалось. Аналогично N^ получается независимым прореживанием процесса A<fe+4 с вероятностью вычеркивания 1 — Th/rh+i и все процессы N^ являются пуассоновскими.
Мы можем привести теперь основной результат.
Теорема 5.5.1. (1) Предположим, что выполнено условие Dr (un) и что для 1 < к ^ г условие D (uhk>) выполняется с и„к\ удовлетворяющими (5.4.1). Тогда точечный процесс Nn превышений уровней
tin1, -■-, Un1 (представляемый, как и выше, на прямых Li, ..., РД сходится по распределению к предельному точечному процессу N в смысле сходимости точечных процессов на (0, 11 X Р.
Если к тому же ип (т) для 0 ^ т < оо удовлетворяет условию п (1 — F (ип (т))) т, условие DT (un) выполняется для цп = = (ип (тт^, .... ип (ттг)) при всех т> 1 и D' (ип (т)) выполняется для всех т > 0, то тогда Nn сходится к N как точечные процессы на всей правой полуплоскости, т. е. на (0, оо) х /?.
Доказательство. Согласно теореме П.1, достаточно показать, что (а) Е (Nn (В)) -^ Е (N (В)) для всех множеств В вида (с, d 1 х X (у, 6 ], у < 6,0 < с < d, где d ^ 1 или d < оо соответственно, (b) Р |М„ (В) = 0} -*Р [У (В) = 01 для всех множеств В, являющихся конечными объединениями непересекающихся множеств указанного вида.
Утверждение (а) получается просто. Если множество В = = (с, dl X (у, 61 пересекает какие-то из прямых, то пусть это t
будут U Е$+ъ .... Lt (1 < s < t < г). Тогда Nn (В) = £ N^ ((с, k=s
t
dl), N (В) = У NW ((с, dl) и число точек вида j.n в интервале h=s
(с, d] равно Indi — [nd, так что
Е (Nn (В)) = ([nd] - [пс]) 5 0 - 77 W) ~
^n(d-C)2(^-+o(y)^(d-c)2^ fc=**=s
что, очевидно, в точности равно Е (N (В)).
Чтобы показать (Ь), нам надо доказать, что Р |МП (В) = 0} -> ш
-> Р (N (В) = 0} для множеств В вида В = (J Ch с непересе- кающимися Сь = (ch, dhl X (yh, 6fc], Ясно, что мы можем отбросить любое множество Ch, которое не пересекает ни одну из прямых Еъ .... LT. Рассматривая пересечения и разности интервалов (ск, dh 1, мы можем изменить их и представить множество В S
в виде [J (ск, dft] X Eh, где (ch, dk]— непересекающиеся ин- тервалы, a Eh — конечное объединение полуоткрытых интервалов. Поэтому
где Fh = (ch, dhl х Eh. Если самой низкой прямой, пересекающей Fh, является Lmh, то в силу свойства прореживания
{Mn (Ffe) = 0} = {мГ^ ^ск, d»]) = О}.(5.5.2)
Но это в точности событие |Л4 ([сЛп] + 1, [dhn]) <; и^ь, так что части (i) и (ii) следствия 5.4.3 дают соответственно
Р (Мп (В) = OJ^exp (- Е (dk - ск) tJ = Р {N (В) = 0},
поскольку, очевидно, (5.5.1) и (5.5.2) также выполняются с заменой Nn на N, откуда и вытекает искомый результат.□
Следствие 5.5.2. Пусть {^„} удовлетворяет условиям частей (i) или (ii) теоремы 5.5.1, и пусть Въ ..., Bs — борелевские подмножества единичного интервала или положительной полуоси соответственно, границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда для целых чисел т)к)
Р {№ (В/) = т^; j=ls, k = 1, . . ., г} ->
Р \N^ (Bj) = т\к\ j=ls, к = 1г}- (5.5.3)
Доказательство. Пусть Bjh — какой-нибудь прямоугольник на плоскости, имеющий основание Bj и такой, что прямая Lk пересекает его внутренность, а другие Lj его не задевают. Тогда левую часть (5.5.3) можно записать в виде
Р \Nn{Bik) = т^\ / = 1, .... s, к = 1г}.
Эта вероятность, согласно приложению, сходится к вероятности того же вида, в которой только процесс Nn заменен на N, т. е. к правой части (5.5.3).
Совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов
Мы можем использовать полученные выше результаты для вывода асимптотических совместных распределений конечного числа к-х наибольших максимумов М(пк), вместе с их положениями, если это желательно. Такие результаты можно получить, рассматривая соответствующие непрерывные функционалы на последовательности Nn. Однако мы используем здесь более элементарный подход, приводя примеры типичных результатов. Сначала обобщим теоремы 2.3.1 и 2.3.2.
Теорема 5.6.1. Пусть уровни и^\ 1 <С к <С г, удовлетворяют соотношению (5.4.1), причем и^1 ^> и^ ^- ... '^-и^. Предположим, что стационарная последовате гьность |ЕП{ удовлетворяет условию Dr (ип) и условиям D’ (и^) для 1 ^ к ^ г. Пусть Sn1 обозначает число превышений уровня и^ величинами Еь .... Еп- Тогда для кх ^ 0, .... к, ^- 0 при п оо
Р {SV1 = кИ S^ = ^+к2, ..., S^ =kl + ---+kr}
Доказательство. В прежних обозначениях S(„) = N^ ((0, 11), и поэтому, согласно следствию 5.5.2, левая часть (5.6.1) сходится к
Р {5<» = кх, S<2) = кх + кг, . .., SC) = ^ 4{-М. (5-6.2)
где SO") = N^P ((0, 11). Но это есть вероятность того, что ровно кх + кг + ... + кТ событий пуассоновского процесса на прямой L, наблюдаются в единичном интервале и что кх из соответствующих Pj принимают значение г, k2 принимают значение г — 1 и т. д. Свойство независимости случайных величин Pj показывает, что, когда значение суммы kx + кг + ... + кГ задано, количество тех Р;, которые принимают значения г, г— 1, .... 1 соответственно, имеет полиномиальное распределение, основанное на вероятностях xxlx„ fa — Ti)fa. •--. fa — ^г-гУ^г- Поэтому вероятность (5.6.2) равна
(*1 + *2 + • ■ • "Г *г) * / Т1 V1 / Ъ — Т1 V1 ( тг— тг-1 Уг v
М М • ■ - Мк тг } к тг / ' ’ ' к тг/
X Р VN^ ((0, 1]) = кх + к.2 + • • • + кД,
что и приводит К (5.6.1), поскольку
Р{^)((0, 1]) = ^ + ^+"-+^} =
т*1+614Г*г
= ехр (— тг) -^г^ТТТТЧ^^уг* □
Разумеется, это согласуется с результатом теоремы 2.3.1. Следующий результат (также обобщающий теорему 2.3.2) приводится в качестве примера применения пуассоновской теории.
Теорема 5.6.2. Предположим, что
для некоторой невырожденной ф. p.G и что условия D2 (un), D' (ul„}) выполняются для Unk) = хк!ап + Ьп, к = 1, 2. Тогда справедливо утверждение теоремы 2.3.2, т. е. для хг > х2
bn) < Xi, ап ^Mv^ — b„) С х2}
G (х2) (In G (х^ - In G (х2) + 1), (5.6.4)
если G (х2) > 0 (и стремится к нулю, если G (х2) = 0).
Доказательство. Если и^ = хк!ап + Ьп, то в силу сделанных предположений из теоремы 3.4.1 следует, что и (1 — F (и„к))) -* -► хк, где хк = —In G (xfc), если G (х2) > 0 (и,1 следовательно, G (xj > 0). Но очевидно, что
PtM^u™, M^<u^\=p№ = 0\4-P№ = 0,
s^ = y\,
где S„1 — число превышений уровня и^ случайными величинами |ь ..., ^„. Из теоремы 5.6.1 мы видим, что предел этих вероятностей равен
е-т« + (т2 — т^ е-’» = е-^ (т2 — тт + 1),
что и дает желаемый результат, когда G (х2) > 0. Случай G (х2) = 0 можно разобрать непосредственно, полагая т2 = оо, или, возможно, наиболее простым способом вывести из непрерывности ф. р. G, мажорируя левую часть (5.6.4) ее значением, получаемым при замене х2 на некоторое у, где G (у) > 0. □
В качестве последнего примера выведем предельное совместное распределение второго максимума и его положения (используя левую точку, если два значения совпадают).
Теорема 5.6.3. Предположим, что выполнено условие (5.6.3) и условия Di (u„), D' (uik}) выполняются для всех и^1 = хк1ап + Ьп, к = 1, 2, 3, 4. Тогда если L^, М^ — положение и высота второго наибольшего максимума соответственно, то для любого вещественного х и О </< 1
Р [1L^ ^ t, ап W - bn) < х) -> Ю (х) (1 - In G (х)). (5.6.5)
Иначе говоря, положение и высота асимптотически независимы, причем положение распределено асимптотически равномерно.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, мы видим, что (5.4.1) выполняется с хк = — In G (xh). Пусть 7, J обозначают интервалы {1, 2, .... 1пН}, Цп^1 + 1, .... п} соответственно, Л4<:> (7), M^i (7), Л4<*> (J), 7И<2). (J) обозначают максимальные
и вторые наибольшие значения ^ в интервалах /, J, а Нп (хп х2, х3, х4) — совместную ф. р. нормализованных случайных величин
X*,0 = ап W (7) - Л» Х*.2) = ап ^М^ (7) - Ьп\
УпП = ап (М^ (7) - Ь^, Ук2) = ап (УИ‘2) (J) - Ьп\
То есть при х4 > х2 и х3 > х4
Нп (хъ х2, х3, х4) =
= p\Mt4n<uV\M^m<u<?\ M^UXu^, М^Н<и^Ч, где «п*1 = хк!ап + Ь„, как и выше. С другой стороны, мы видим, что
Нп (*1, х2, х3, х4) =
= Р {№’ (/') = О, N^ (7) < 1, N^ (Л = О, W*,4) (Л < П.
где /' = (0, 71 и У' = (7, 11, так что очевидное применение следствия 5.5.2 с'Вг = Г 7Вг = Г дает
Нш Нп (хь х2, х3, х4) =
= Р {7V(D (7') = О, И® (/') < 1} Р {ХО) (Л) = О, Х<4> (Л < 1} = = е-<т» (7 (т2 - Т1) + 1) е-о-о ’< ((1 - 7) (т4 - т3) + 1) =
= Hf(x\, х2)Я(1_/)(х3, ха) = Н(х\, х2, х3, х4),(5.6.6)
где
Ht (Хц х2) = G‘ (х2) (In Gf (х4) — In G( (x2) 4- 1),
для хг > x2. Теперь ясно, что
Р {^ L*,2) < 7, ап (М*2) - Ьп) < х2) =
= Р {ТИ^ (7) < и^\ М^} (7) > УИ*11 (J)} +
+ Р\М'Пп (7) < 42), ТИ^11 (J) > М^п (7) > УИ^ (/)} =
= Р{Х‘2)<х2, Х^>¥^\4-
+ Р(Х^<х2, Y(nU>Xlnn>Y^\. (5.6.7)
Но, согласно проведенным выкладкам, (Хп0, Х^, У^, У^) сходится по распределению к случайному вектору (Хь Х2, ¥г, У^, совместная функция распределения которого есть 77, и эта ф. р., очевидно, абсолютно непрерывна, поскольку такова ф. р. G (как ф. р. экстремального значения). Так как границы множеств в R4, имеющих вид {(tWi, ty2, ю3, ty4); ty2 <; x2, ш2 > ty3}, очевидно, имеют нулевую меру Лебега,” отсюда^следует, что сумма вероятностей в (5.6.7) сходится к
Тэ|Х2^х2, Х2>У1) + Р|Х1^х2, У^Х^У,), (5.6.8)
и, следовательно, левая часть (5.6.5) сходится к (5.6.8). Эту величину можно вычислить, используя совместное распределение И случайных величин Хь Х2, Кь У2, задаваемое соотношением (5.6.6). Однако проще заметить, что мы получили бы тот же самый результат (5.6.8), если бы последовательность была н. о. р. Но предел в (5.6.5) вычислить для н. о. р. последовательности просто, приняв во внимание независимость L„2) и Л1п2) и тот факт, что распределение £„2) в этом случае равномерно на (1, 2, .... п). Как легко показать, это приводит именно к пределу, указанному в (5.6.5). □
Полная пуассоновская сходимость
В предшествующих результатах о сходимости точечного процесса мы получили предельный точечный процесс, образованный превышениями фиксированного количества г возрастающих уровней. Предельный процесс не был пуассоновским процессом на плоскости, хотя и был образован г последовательно все более сильно прореженными пуассоновскими процессами на г прямых.
С другой стороны, мы можем рассмотреть саму выборочную последовательность {£„} после надлежащего преобразования обеих координат как точечный процесс на плоскости и, несколько усиливая исходные предположения, показать, что этот процесс сходится к пуассоновскому процессу на плоскости. Эта процедура была использована для независимых с. в., например, в работах Пикандса (1971) и Резника (1975) и впоследствии для стационарных последовательностей Эдлером (1978), который использовал линейную нормализацию значений процесса с теми же константами а„, Ьп, что и для асимптотического распределения Мп. Здесь мы рассмотрим чуть более общий случай.
Именно, в стандартных'обозначениях предположим, что wn (т) определено для п = 1, 2, .... т > О, так что эта функция непрерывна и строго убывает пот для каждого п и удовлетворяет (1.5.1), а именно
п (1 - F (ип (т))) - т. (5.7.1)
Например, таковым является выбор и„ (т) = a^G-1 (ет) + Ьп, если Af„ имеет предельную ф. р. G.
Мы будем использовать здесь символ Nn для обозначения точечного процесса на плоскости, образованного точками (jin, ий1 (£/)), / = 1, 2, ..., где и^1 обозначает функцию, обратную для un (т) (определенную на области значений случайных величин Е;). Теорема 5.7.1. Предположим, что определенные выше ип (т) удовлетворяют соотношению (5.7.1) и что условие D' (и^ выполняется
для каждого ип = ип (т), а условие Dr (u„) выполняется для каждого г = 1, 2, ...; un = (ип (тх), ..., ип(тг)) для каждого набора Хх, .... хг. Тогда точечные процессы Nn, состоящие из точек (jin, Un1 (g/)), сходятся к пуассоновскому процессу N на (0, оо) х (0, оо), мера интенсивности которого равна мере Лебега.
Доказательство. Этот результат относительно просто получить, используя предшествующую теорию о превышении г уровней. Будет удобно и допустимо в данном случае использовать прямоугольники, замкнутые снизу и открытые сверху, так что нам надо показать, что
Е (Nn (В)) Е (N (В)) для всех множеств В вида (с, d] х X [у, 6), О < с < d, 0 < у < 6 и
Р \Nn (В) = 0} -* Р {У (В) = 0} для множеств В, являющихся конечными объединениями множеств указанного вида.
Далее, (а) получается просто, поскольку если В = (с, dl X [у, 6) то
Е (Nn (В)) = ([nd] - [nc]) Р (у С и„х (g,) < 61
~ п (d - с) Р {«„ (6) < £1 с ип (у)}
= n (d — с) [В (щ, (у)) — F (ип (6))} ~ ~ n(d — c)(6 ~у}/п,
в то время как Е (N (В)) = (d — с) (6 — у).
Чтобы доказать (Ь), заметим, что любое конечное объединение указанных прямоугольников можно представить в виде [J (Ej х X Fj), где Е, = (с,, d;l не пересекаются, a F } является конечным объединением непересекающихся интервалов, Fj = [) [у^ ft, 6Л й) (см. доказательство теоремы 5.5.1). Предположим сначала, что имеется ровно одно множество Ej, т. е. В = [J Е X Fh, где мы k=l
записываем Fh = lxaft_x, х^), k = 1, .... т, и где, очевидно, можем взять тт < ха < ... < хг (г = 2m).
Далее, Nn (В) = 0 означает, что ни для какого к не существует такого jin £ Е, для которого бы и„х (g;) £ Fk, т. е. такого, что un (T2k) < £j < “п (т2й-1)- Но это равносильно утверждению, что для j/n £ Е с. в. Hj превышает ип (t^-i) столько же раз, сколько она превышает ип (т^). Иными словами, если обозначить через N^ (Е) число превышений ип (т^ случайными величинами gj для j/n £ Е, то
\Nn (В) = 0} = ^JAT^-1’ (В) = N^ (£)}.(5 7 2)
Но процесс N^ является в точности тем же, что и в теореме 5.5.1, и следствии из нее, а их условия, очевидно, выполняются. Таким образом, в соответствии со следствием 5.5.2 (ii) мы имеем (nV4e). ь^Че)^пгЧЕ))Ц№ЧЕ). n124e), .... n^ie)),
(5.7.3)
где N<4, ..., №' представляют собой г последовательно прореживаемых пуассоновских процессов на г фиксированных прямых, определенных перед теоремой 5.5.1. Поскольку все с. в. N^' (Е), N^' (Е) целочисленные, то в качестве очевидного упражнения о сходимости в Rr можно показать, исходя из (5.7.3), что вероятность попарных равенств в (5.7.2) сходится к такой же вероятности, в которой N1^ заменяется на Nw. Поэтому
/ '/2
P\Nn(B) = 0}->Р П Ш^-^Е) = N^(E)}\t=i
Из обсуждения, предварявшего теорему 5.5.1, видно, что события, заключенные в скобки в правой части, наблюдаются, если Ру, соответствующее каждому событию пуассоновского процесса на Lr, четно, т. е. р, = 2, 4, 6, .... г. Поскольку Р {Ру = sj = = (tr-s+i — tr-sj/ir, если s < г— 1, и равна тт/тг, если s = г, то, обозначив
о = (тг-1 — тг-2) “Ь СЧ-3 Тг—4) + • • ■ + (Тз ^2) Ч~ til
получаем
Р\Nn (В) = 0} ^2 ехР (—r' <d - с» М^- (_£_у = /=о
= exp ((d — с) (о — тг)) = m <в>,
где т — мера Лебега, поскольку
г/2
(d — с) (о — тг) = S (d — с) (т2й_1 — т2к) = t=i
г/2
= — Е т (Е х Fk) = — т (В).
h=l
Следовательно, (Ь) выполняется для В = \j Е X Fh. Если В =
= U (Е, X Fj), то применимо то же самое доказательство, использующее полное утверждение следствия 5.5.2 и несколько более сложную систему обозначений, связанную с тем, что для дополнительных множеств Е, понадобятся и дополнительные тй.
В приведенной теореме требуется, конечно, чтобы Р {Л4П < ^ un (т)} -* s~T. Если бы для некоторой функции О (х) можно
было выбрать т как функцию т (х таким образом, что Р {Л4П
<; ип (т (х))} -► G (х), то мы имели бы т (х) = —In G (х) и Р (Af „ <: ^ уп (*)} -*• G (х) с ип (х) = ып (т (х)). В таком случае было бы естественным рассмотреть точечный процесс, образованный точками (//П, Un1 (В/»> а не точками (/.п, пй1 (В/)). В частности, если к асимптотическому распределению приводит линейная нормализация, т. е. Р ^ (Л4П — 6П) С х| -* G (х), то мы имеем ип (х) = х/ап + Ьт и тогда естественно рассматривать точечный процесс N'n, состоящий из точек (j/n, ап (В/ — Ьп))- Именно такой случай был исследован у Эддера (1978), где было показано наличие (неоднородного) пуассоновского предела. Мы получаем здесь этот результат как следствие из теоремы 5.7.1.
Теорема 5.7.2. Предположим, что выполнено (5.3.3), т. е. Р |ап (Л4П — Ь^ <^ х| -^* G (х) для некоторой невырожденной ф. р. G, и пусть х0 = inf [х; G (х) > 0). Предположим, что условие D" (и„) выполняется для всех последовательностей ип = = х!ап + Ьп, а условие Dr (un) выполняется для всех г = 1,2, ... и всех последовательностей и„к) = хь/ап + bn, 1 < k С г, с произвольным выбором Xk- Тогда если N'n обозначает точечный процесс на плоскости, образованный точками (jn, ап ^i — М). то Nn—*
N' на (0, оо) х (х0, оо), где N' — пуассоновский процесс, мера интенсивности которого является произведением меры Лебега и меры, определяемой возрастающей функцией In G (у).
Доказательство. В силу теоремы 3.4.1, условия теоремы 5.7.1 выполнены, и поэтому в обозначениях теоремы 5.7.1 Nn-^-N. Но если Nn имеет атом в точке (s, f), то N'n имеет атом в точке (s, т-1 (/)), гдет (х) = —In G (х). Следовательно, по теореме П.З (i), N'n —► N', где N' получается из пуассоновского процесса N заменой атомов в точках (s, /) атомами в точках (s, т"1 (/)). Согласно теореме П.2 (ii), процесс N' также является пуассоновским и его мера интенсивности определяется соотношением
X' ((с, d 1 х (у, 6 ]) = (d — с) (т (у) — т (6)) = (d — с) (In G (6) — — In G (у)),
из которого вытекает искомый результат. (Заметим, что поскольку G является распределением экстремального значения, то функция т непрерывна и строго убывает там, где G (х) > 0.) □
Отметим, что в отличие от предшествующих результатов нижняя граница (0, оо) х |х0} множества S = (0, оо) х (х0, оо) должна быть здесь исключена. В противном случае если х0 конечно, то множество (0, 11 х (х0, х0 + 11 было бы ограниченным (в смысле, указанном на с. 352). Тогда величина N ((0, 11 х X (х0, х0 + 11) была бы почти наверное бесконечной, так что N
не являлся бы точечным процессом. Подобное замечание используется и в теореме 5.8.1, приводимой ниже. Заметим, наконец, что все результаты, вытекающие из теоремы 5.5.1 для нескольких уровней, могут быть получены и из последних двух теорем, однако сделанные предположения о выполнении условий D являются соответственно более сильными.
Моменты рекордов и процессы экстремумов
Имеется обширная литература, посвященная моментам рекордов н. о. р. последовательностей и так называемым процессам экстремумов 1>. В качестве иллюстрации результатов предыдущего раздела мы рассмотрим асимптотическое распределение моментов рекордов в зависимых процессах и кратко прокомментируем процессы экстремумов.
По определению ^ является рекордом последовательности |ъ |2, ... . Для / ^ 2 значение %j является рекордом, если tj > > Mj_v Моменты рекордов равны при этом т, = 1, и для к 2
тк = inf |/ > tw; ^ > МА1}.
Прежде всего отметим некоторые свойства моментов рекордов н. о. р. последовательностей. Один интересный факт для н. о. р. с. в. |п состоит в том, что распределение {тл} не зависит от маргинальной ф. р. F для непрерывных F. Действительно, в этом случае моменты рекордов у |ь |2, • •• в точности те же самые, что и F (|J, F (|2), ..., а последние с. в., очевидно, н. о. р. и имеют равномерные распределения на (0, 11. Далее, ясно, что для н. о. р. ||п} с непрерывной маргинальной ф. р. и для события Л;, состоящего в том, что / — момент рекорда,
Р(Л;) = Р||У>Л1;_1}=±.(5.8.1)
В тех же условиях для т > /1
^Р \th+1>m, Th<]\ = Р |Afm = Mj\ = -^—>-0 при т-> оо, 6=1
(5.8.2) при фиксированном /. В частности, (5.8.2) показывает, что для к = 1, 2, ... справедливо Р |rft+1 > т| < Р{тл > /| + Р |тл+1 > т, Th<J\ -^-Р fT6 >/} при т->- оо, и поэтому lim sup Р |тл+1>т}<< -< Р |тА > /} для любого / >- 1. Поскольку Тт = 1, по индукции отсюда следует, что все т2, т3, ... конечны с вероятностью единица.
Пусть Rn — точечный процесс на единичном интервале (0, 1 ],
образованный точками тй/и для 0 < тй/и < 1, т. е. если gj, |2- •■• ..., |п имеет рекорд в момент /, то /?п имеет точку в ЦП. В силу (5.8.1), для н. о. р. {^„} с непрерывной ф. р. при 0 < с <i d <^ 1
[nd] d
E(Rn((p, d])) = ^ 7~lTd/ = ln4’ t5-8-3) /=[пс]4-1 c
и можно без труда доказать, что асимптотически Rn является пуассоновским процессом, имеющим интенсивность 1/L Несколько дальнейших результатов относительно моментов рекордов для н. о. р. последовательностей можно получить прямыми вычислениями. Статья Глика (1978) содержит вполне доступное элементарное изложение этих и других близких результатов.
Ясно, что эти результаты вовсе не обязаны сохранять силу в случае зависимых последовательностей. Однако, как мы увидим, для многих таких последовательностей асимптотическое распределение моментов рекордов оказывается тем же самым, что и для независимых последовательностей. Это можно доказать элементарными средствами таким же методом, как и теоремы 5.6.2 и 5.6.3. Однако вместо этого мы используемздесь общий подход, кратко описанный в приложении, чтобы проил тюстрировать силу этого подхода.
Теорема 5.8.1. Предположим, что выполняются предположения теоремы 5.7.1. Тогда точечный процесс Rn, образованный точками т^п, сходится при п -► сю к пуассоновскому процессу R, имеющему интенсивность 1/1, на интервале (0, 1 ]. В частности, если 0 < с < d < 1, то
?№ d]) = ^|_>J1E^^—-^- при П->ОО для к = 0, 1, ... .
Доказательство. По определению сходимость Rn на (0, 1 ] равносильна сходимости совместного распределения случайных величин Rn ((Ci, dj)Rn ((ch, dh ]) для 0 < q < dt < c2 < ... < dft <i 1, которая в свою очередь имеет место, если Rn сходится к R на (е, 1 ] для 0 < е ^ 1. Поэтому, чтобы заключить, что Rn сходится к R на (0, 11, достаточно доказать сходимость Rn к R на (е, 1 ] для каждого 0 < в 1.
Пусть Nn и N — те же, что и в теореме 5.7.1. Тогда на (е, 1 1 мера Nn (■) на R2, очевидно, определяет меру R„ (■) на R1, т. е. Rn = h (Nn), где h отображает меры на R2 в меры на R1. Предположим, что целочисленная мера v на (0, 11 X (0, сю) является простой и обладает тем свойством, что для некоторой постоянной у > 0 выполняются условия v ((0, в) X (0, у)) > 0, v ((0, 1 1 X х (0, у)) < сю и v ((б, 11 X {х}) <С 1 для всех 0 < х < у. Тогда
О е1
Рис. 5.8.1. Точками представлены атомы меры V, крестиками—атомы меры A (v). Пунктирные линии иллюстрируют для нескольких существенных точек, что ни на одной из горизонтальных прямых под у нет двух атомов меры V.
из утверждения П. 4 сразу вытекает, что отображение h непрерывно в точке V, см. рис. 5.8.1. (Заметим, что последовательность {«л1} убывающая, так что рекорды последовательности {£,} соответствуют последовательным минимумам для tin1 (£/)). Поскольку N почти наверное обладает свойствами, требуемыми от v, то отображение h почти наверное Л^-непрерывно (как это определяется после теоремы П.4), и поэтому
R.^h^N^h^(5.8.4)
на (е, 11. Для завершения доказательства мы должны только показать, что h (М) имеет распределение, приписываемое R, т. е. что это пуассоновский процесс с интенсивностью 1/L
Простой путь — показать непосредственно, что Rn R в некотором частном случае, поскольку тогда из единственности пределов распределений следовало бы, что h (N) имеет искомое распределение. В связи с этим используем теорему П. 1, чтобы показать, что Rn —► R, если {£„} — н. о. р. с непрерывным маргинальным распределением. Действительно, легко проверить, что для в <С <ct<dt<c2< ... < dfe <i 1 случайные величины Rn ((сп dj), .... Rn ((ch, dkl) независимы, как и с. в. R ((cv dj), ... .... R ((ск, dkJ), независимые по определению. Поэтому, чтобы доказать П.1(Ь), достаточно заметить, что, согласно (5.8.2),
Р {Rn«.c, d]) = 0} = Р {Л4[лс] = M[nd]} =
( d \
[лс] с/ f 1
-^~7=Н,Р Нт*
\ С /
d
для е < с < d ^ L Таким образом, Rn—►/? в частном случае
н. о. р. случайных величин, а следовательно, в силу (5.8.4), и в общем случае при выполнении условий теоремы.
Естественно, наконец, рассмотреть совместное распределение моментов рекордов и рекордных значений, которое в свою очередь приводит к процессу М (Л = max gh. Изучение таких процессов и их сходимости при надлежащей нормализации к так называемым процессам экстремумов было начато работами Двасса (1964) и Ламперти (1964) и привело к интересным результатам относительно М (/) и относительно предельных процессов экстремумов. В то же время, как было замечено в работе Резника (1975), сходимость к процессам экстремумов легко выводится из полной пуассоновской сходимости путем таких же рассмотрений, как и в доказательстве теоремы 5.8.1. Поскольку в этих выводах не используются никакие новые идеи, мы не будем углубляться далее в этом направлении.
Глава 6
Нестационарные и сильно зависимые нормальные последовательности
Хотя основным предметом нашего рассмотрения в этой книге являются стационарные процессы, соответствующие результаты и методы можно без труда применить и к некоторым важным нестационарным случаям. В частности, это относится к нестационарным нормальным последовательностям, имеющим широкий спектр возможных средних и ковариационных структур, и именно эту ситуацию мы рассмотрим в этой главе.
Одно важное применение такого рода относится к случаю, когда процесс состоит из стационарной нормальной постедователь- ности и накладывающейся на нее аддитивной детерминированной составляющей, например сезонной составляющей или тренда. Случаи такого рода исследовались при определенных условиях Горовицем (1980), а в качестве части более общего исследования стационарных последовательностей, не обязательно являющихся нормальными, Хюслером (1981). Идеи обеих этих работ будут использованы в нашем изложении.
При рассмотрении стационарных последовательностей было установлено, что классические пределы могут сохраняться и при весьма медленном убывании зависимости (например, при условии D (ип)). Интересно также выяснить влияние на результаты об экстремумах допущения о наличии весьма сильной зависимости. Следуя работе Миттала и Илвисакера (1975), мы покажем, что
для стационарных нормальных последовательностей с такой весьма сильной зависимостью могут получаться пределы, отличающиеся от известных нам трех типов экстремальных значений. В частности, эти случаи показывают, что слабые условия на ковариацию, использованные в предыдущих главах, являются почти наилучшими возможными условиями для того, чтобы предельное распределение максимума было распределением экстремальных значений типа I.
Нестационарные нормальные последовательности
Пусть {£„} — нормальная (в общем случае нестационарная) последовательность с произвольными средними и дисперсиями и корреляциями г^. = согг (^, £:). Мы будем иметь дело с условиями, при которых
Р (Д {gi<Uni})->e-\ (6.1.1) где 0 <; т < оо, uni — постоянные, определяемые для 1 <^ / <; п, n > 1. В этом разделе мы рассмотрим общие формы для постоянных uni и получим результат (теорема 6.1.3), указывающий условия, при которых (6.1.1) выполняется. Более детальное рассмотрение в разд. 6.2 со специальным выбором uni приведет к результатам относительно асимптотических распределений максимумов. Еще более общая форма теоремы 6.1.3 будет приведена в разд. 6.3. Этот результат был доказан в работе Хюслера (1981) для стационарных последовательностей при условиях, обобщающих D (ып), D' (ип). Проводимое нами здесь доказательство для нестационарных нормальных последовательностей использует вариант интересного и довольно тонкого оценивания, выполненного Хюсле- ром (1981).
Ясно, что стандартизуя каждую с. в. £; и соответственно заменяя uni на vni = (uni — Е (E,))/(Var (^))1/2, мы можем предполагать в (6.1.1). что каждая £; имеет нулевое среднее, единичную дисперсию, а корреляционная структура та же. Разумеется, в приложениях всякие условия, накладываемые на ипЬ должны быть трансформированы, с тем чтобы их можно было применить к исходным формам uni. Поэтому, если не оговаривается противное, мы предполагаем, что каждая ^ имеет нулевое среднее и единичную дисперсию.
В значительной части первых трех разделов мы предполагаем, что при i / корреляции г^ удовлетворяют условию | fy | < <Рц_/1 для некоторой последовательности |рл}, такой что р„ < 1 для п > 1 и рл In п -► О — очевидное обобщение условия rn In п -*■ 0, использовавшегося для стационарных последовательностей. Наши основные результаты будут связаны затем
с условиями на {«„,}, при которых |, ведут себя в том, что ка- (л \
П {^i^«ni}b аналогично независимой 1=1/
последовательности, т. е.
пп Ф^а^о. (6.1.2)
\t=l/1=1
Из этого результата при дополнительном предположении
2(1-фм^т(6.1.3)
t=i
будет следовать (6.1.1), что обобщает заключение теоремы 4.3.3 в стационарном случае.
Доказательства этих результатов непосредственно связаны с выкладками, подобными тем, которые использовались в лемме
3.2, и будут реализованы посредством использования нескольких лемм. В этом разделе при доказательстве (6.1.2) мы требуем, чтобы |«ni} были такими, что сумма 2 (1 — Ф («пО) ограниченна, 1=1
a min nni стремится к бесконечности со скоростью, по крайней 1<1<л
мере кратной (In пу/2, которая будет встречаться в наших применениях к максимумам в следующем разделе. В разд. 6.3 более тонкие доказательства, использующие идеи работы Хюслера (1981), дадут возможность обобщить этот результат на последовательности, для которых min uni стремится к бесконечности, 1 ^1 ^п
но не обязательно столь быстро, как некоторое кратное (In ;г),/2.
Сначала приведем простую предварительную лемму, обобщающую теорему 1.5.1.
Лемма 6.1.1. Пусть {uni, 1 ^ i n, п = 1, 2, ...} — такие постоянные, что Хп = min uni -► сю. Тогда для 0^т<:сю
1^1 ^П
П ф(«П1.)->-е-т при п->-оо(6.1.4)
1=1
в том и только в том случае, когда
Л (1 — Ф(иП1))^-т при п-^оо.(6.1.5)
1=1
Доказательство. Используя тот факт, что In (1 — х) = —х -Ь + ф (х), где для малых х > 0 выполняется неравенство |ф (х) | < Лх2 для Л > О, можно показать, что
L In {1 - (1 - ф(«„J)} = - V (1 _ ф(„„.)) + V ^(1 _ ф(^.^ 1=11=1i=l
где
ЕФ(1-Ф(Ыт)) 1=1ЕФ(1-Ф(Ыт)) 1=1л ИО-ФМ2л ИО-ФМ2
ЕФ(1-Ф(Ыт)) 1=1
ЕФ(1-Ф(Ыт)) 1=1
л ИО-ФМ2
л ИО-ФМ2
<Л(1-Фм5(1-Ф(«ш)).
так что, очевидно,
1П Дф(“пО= -!£ (1-фы{п+о(1)}.
Отсюда просто получаются оба утверждения леммы.□
Введенные ранее в этом разделе обозначения будут далее использоваться без специальных оговорок.
Лемма 6.1.2. Пусть {«„,} таковы, что сумма L (1—Ф («„,)) 1=1
ограниченна, и Хп = min uni -► оо. Предположим, что корреля- 1<1<п
ции Гц при i #= j удовлетворяют условию | Гц | < 6, где 6 < 1 — некоторая постоянная. Тогда
Sn^ = ^ |ri/|expКККпI i-i №пSn^ = ^ |ri/|expКККпI i-i №пi + kuii + kui-►О при Лоо, (6.1.6)-►О при Лоо, (6.1.6)
Sn^ = ^ |ri/|exp
КККп
I i-i №п
Sn^ = ^ |ri/|exp
КККп
I i-i №п
i + kui
i + kui
-►О при Лоо, (6.1.6)
-►О при Лоо, (6.1.6)
где 0П = е11^ для любого т] <^ т)0 = -^- (1 — 6)/(1 + 6).
Доказательство. Очевидно,
S‘°S‘°22!<!</<«I i-i I <е„!<!</<«I i-i I <е„т «,+-Ы1 + 6т «,+-Ы1 + 6
S‘°
S‘°
2
2
!<!</<«I i-i I <е„
!<!</<«I i-i I <е„
т «,+-Ы
1 + 6
т «,+-Ы
1 + 6
Экспоненциальные слагаемые не превосходят, соответственно
что дает для подходящей постоянной К
с<0 / oxa V—
олexp I — j I —
1=1'
= 266„ 2 им exp ( — ^-Vm exp (—т]оып.) < t=i''
< кеДп exp (- notf ) 2 П - ф <“"')). i=l
поскольку uni ^ Xn -► 00 • Отсюда следует, что величина uKi exp (—u„i/2)/(l — Ф (Um')') (для Xn > 0) равномерно ограничена no i и x exp (—tj^x2) убывает для достаточно больших х. п
Но сумма J] (1 — Ф (Uni)) ограниченна, а т) > т)0, и поэтому z=i
отсюда вытекает, что
5л,)<^пехр(—(т)о — п)Хп)-^0 при п->оо.□
Теперь легко доказать основной результат этого раздела.
Теорема 6.1.3. Предположим, что корреляции Гц нормальной последовательности {£п} таковы, что | rtj | -< р( t_j । при i^j, где pn < 1 для всех п^ 1 и р„ 1п п -► 0 при п сю. Пусть по- п
стоянные 1^} таковы, что сумма S (1 - ф («вО) ограниченна i=v
и Хп = min u^i ^ с (1п пу*2 для некоторого о 0. Тогда вы- \<Кп
полняется (6.1.2). Если, кроме того, для некоторого т>-0 выполняется (6.1.3), то выполняется и (6.1.1), т. е. Р ( П {^ ^ V=i
< uniY) ~* е~Т- Доказательство. Из сделанных предположений, очевидно, вытекают и предположения леммы 6.1.2, так что S^ (задаваемая соотношением (6.1.6)) стремится к нулю при п -► сю. Обозначим
Y(“nt + Uni)
1<*<7<л
Поскольку 6„ = ехр (т]Х^) ^ ехр (с2т) In п) = п“, а = с2ц > 0, то ясно, что Sn1 не превосходит значения той же самой суммы при замене 6П на п" и |г(/| на 6nCt, где 6, = sup р,-. Обозначая i»x р= па, получаем отсюда
S*2)
Ьр
1 + 6р
Определим теперь ип соотношением 1 — Ф (ип) = 1/п и разобьем сумму в фигурных скобках на две части, соответствующие
значениям uni ^- ип и uni < ип. Это приводит к неравенству
к 2 правая часть которого стремится к нулю, поскольку орип ~ ~ 2бпО In и = (2/а) 6пО In и» -* О, и выражение в фигурных скобках не превосходит величины К {и (1 — Ф (ип)') + ^ (1 —
(t=i
— Ф(мП())}. которая ограниченна. Поскольку Sn* -► О, S„2) -► О, отсюда следует, что
2 ।га।ехр\—г+кя—/^°'(6-1 "7)
Соотношение (6.1.2) получаем непосредственно из теоремы 4.2.1 (неравенство (4.2.3)), взяв в качестве т], независимые стандартные нормальные с. в. и произведя очевидные отождествления (используя тот факт, что при сделанных предположениях sup | гг/|< О-
Наконец, если для некоторого т > 0 выполняется еще и (6.1.3),
то лемма 6.1.1 показывает, что ПФ (ип1) -► е~т, откуда в силу t=i
.1.2) вытекает (6.1.1).□
Асимптотическое распределение максимума
Результаты последнего раздела могут быть использованы для получения фактического асимптотического распределения максимума во многих случаях, представляющих интерес. Мы будем уделять особое внимание стационарным нормальным последовательностям, на которые накладывается известный (или, что возможно более реально, хорошо оцениваемый) тренд или сезонная составляющая. Мы увидим, как в таком случае надо модифицировать классические нормализующие константы, чтобы учесть аддитивную составляющую. В общих чертах мы следуем здесь результату Горовица (1980) (с необходимым исправлением одной
нормализующей константы, указанным ниже), но при используемых нами типах условий на корреляцию. Однако, как мы увидим позже, эти результаты применимы без изменений и к нестационарной нормальной последовательности, имеющей постоянную, скажем, единичную дисперсию и произвольные корреляции, удовлетворяющие обычным условиям | Гц | < Р| ,_/1 с рл In п -► 0.
Затем займемся максимумами Мп = max {т^, .... т)„} нормальной последовательности {т)п, п = 1, 2, ...| с тр = g; + ть где {£„} — нормальная последовательность, определенная в предыдущем разделе (£ (gf) = 0, Var (gj = 1, Cov (gb ^) = r4), a |m„| — аддитивные детерминированные составляющие. Отсюда, конечно, вытекает, что Е (тр) = ть Var (тр) = 1, Соу(т]ь тр) = Гц. Мы будем предполагать, что постоянные т, таковы, что
Р„ = max |mj = о((1п и)*/2) прип-*оо. (6.2.1)
Это ограничение вполне естественно на практике и включает не только наиболее важный случай ограниченных т,, рассмотренный в работе Горовица (1980), но и ряд неограниченных трендов. Разумеется, можно было бы рассмотреть константы, стремящиеся к бесконечности и более быстрым образом, но это могло бы привести к вырожденным результатам. Следует указать, что ограничение (6.2.1) может быть ослаблено соответствующим образом путем ограничения не max] mJ, a max ть поскольку, как можно заметить, тр с малыми т, имеют меньше шансов давать максимальное значение и на них можно не обращать внимания. Тем не менее для упрощения формулировок и выкладок удобно требовать выполнения (6.2.1) в том виде, в каком оно сформулировано, и этого будет достаточно дтя практических целей.
Будет показано, что обычный предельный закон еще сохраняет силу, если классическую константу Ьп заменить на bn + тл, где Шп выбирается таким образом, что |тл|^рл и
п
-i-2 ехР (°" (т*‘— тл)—у(т,—т^)2)->-1 прип-^оо, (6.2.2) •=i
где ал = ап — In In п[2ап (ап = (2 In л),/2). Получение решения тл соотношения (6.2.2) (скажем, путем приравнивания левой части (6.2.2) единице) может представлять сложную численную задачу, хотя для больших п решение с | тл | ^ рл, очевидно, существует при выполнении (6.2.1). Так будет для ф (х) = п
= п-1 5j exp (ал (m, — х) (1 — 1/2ал-1 (т,- — х)), которая удовлетворяет неравенствам ф (рл) <С 1 Ф (—PJ, когда рл/ал < 1.
В некоторых случаях мы найдем явное выражение для mJ, например когда mi ограниченны. (Простая форма для mJ, приведенная у Горовица (1980), вообще говоря, не верна даже для ограниченных т,, хотя она и применима при некоторых дополнительных условиях.) Пользуясь теми же обозначениями, приведем теперь основной результат.
Теорема 6.2.1. Пусть {т]п| определяется, как и выше, соотношением т], = £i + ть где |£п| — нормальная последовательность с нулевыми средними, единичными дисперсиями и такими корреляциями гц, что | Гц | < Pi i-i । при i ^ j с Рп *< 1 и рл In п 0. Пусть {mt} удовлетворяет (6.2.1) и т„ определяется соотношением (6.2.2). Тогда максимум Мп = шах {тц. •••, Чп| удовлетворяет соотношению
Р \ап (Мп — b„ — mJ) < х} ->■ ехр (— е-^,(6.2.3)
где ап и Ьп задаются соотношением (1.7.2).
Доказательство. Обозначим ип1 = ип + т*п — mt, где ип = = х/Оп + Ьп. Тогда левую часть (6.2.3) можно записать в виде
Р I fl |т||<ыл + т;[ ) = Р ( П {^<«л4 |.\r=i/\(=1/
Поскольку | mJ | < рл для достаточно больших п и ип ~ ~ (2 In пУ^ (см. (4.3.2) (И)), отсюда следует, что min uni =
= (2 lnn)l/2 (1 + о (1)). Таким образом, если показать, что (6.1.3) выполняется с т = егх, то искомый результат будет следовать из теоремы 6.1.3. Убедимся в том, что (6.1.3) выполняется. Заметим, что так как min uni -► сю при и сю, то
1 X1 6хр(—
/=1/=1
1/ ехр (—и2/2) \/1х
~—Ч У ехр (н„(т,—mJ) -(т< — тл)21, /2л х “"/4z7
(6.2.4)
поскольку
X jllK"^)! < КРп , 0
I “п II “л 1^(1ПП)1/2
равномерно по i ^ п. Но, кроме того,
|«л(тг — mJ) —aj(mt — mJ)K2|izn —aj|p„ < (^"/г»
если в ип = х/ап + Ьп используются явные выражения для о,,, bn из (1.7.2). Поэтому в силу (6.2.1) и (6.2.4)
2 0 - ф («пО) ~ п (1 — Ф («„)) X /=1
X 12 ехр (aj (т,- — /Пл) — Y (т, — т^ ->- т = e-\ t=i
поскольку выполнено (6.2.2) и n (1 — Ф (ап)) -► т. Стедовательно, выполняется (6.1.3) и доказательство теоремы закончено. □
Как указывалось выше, иногда удается получить явное выражение для т„. Предположим, например, что пц ограниченны и шах т, = р. Предположим, что vn из ть .... тп равны р, где vn ~ п. Тогда m„ могут быть взяты равными
а”1 In ^л-1 S emi“n^ = т„ (1)-
Действительно, легко убедиться, что m„ (1) = Р + о (ай1) и что выбор Шп = т„(1) удовлетворяет (6.2.2). Это и есть формула для Шп, приведенная у Горовица (1980), которая действительно выполняется в этом и подобных случаях.
Однако если предполагается только, что mz ограниченны, то выбор т„(1) в качестве т*п уже не удовлетворяет (6.2.2) и в действительности не достаточен для (6.2.3). Простой пример такого случая можно построить, полагая v„ из mlf ..., m„ равными +1, а остальные (п — vn) из них равными —1, где vn ~ пе"°п. Тогда нетрудно убедиться в том, что т„ = о (ай1), предел левой части
равен е”1/2 и что в действительности 5 (1 - Ф («п + 1—1
+ т„ — mJ)-> е-,-1/2. Как легко видеть, (6.2.3) не выполняется. (Конечно, в этом случае требуется модификация mJ.)
В ситуациях, где т, ограниченны (или, более общим образом, когда р„ = о ((In и)1/®), подходящей формой для mJ оказывается m„ = т„(2) = т*(0 + a~* In ^п,
где
^°=12ехр (а- ^ - т"(1,) - т^ - т:<1,)2) •i=i
Повторяя эту процедуру, можно получить явные выражения для mJ в случаях, когда т,- растут ботее быстро (но все еще выполняется условие Рп = о ((In л),/2)).
6 Лидбеттер М. н др.
/ л
Сходимость вероятностей Р I f| {|/-<«л<}
V=i при наиболее слабых условиях на («л<)
Мы возвращаемся теперь к обобщению теоремы 6.1.3, убирая ограничение min uni > с (In п)1'2 и требуя лишь, чтобы min uni сю.
l<i<n1<{<л
Как указывалось, это было сделано в работе Хюслера (1981) для стационарных нормальных последовательностей в качестве частного случая теоремы для стационарных (но не обязательно нормальных) последовательностей. Основной метод этой работы заключается в объединении uni в группы, члены которых имеют сравнимую величину. Здесь мы используем для достижения нашего результата для нестационарных последовательностей несколько упрощенный вариант этого метода. Он связан с группированием ипЬ 1 -С i< п в множества сравнимых величин следующим образом. Обозначим Cj = Л„ = min uni и введем разбиение интер- вала целых чисел (1, ..., п) на непересекающиеся подмножества Ji, ..., JL следующим образом. Определим
A = № c1<unl<2c1}, d!= max ипЬ c2 = min\unl; unt >d^,
А = ^Ц c2 < uni < 2c2}, d2 = maxuni, Cs = min{«„;; unt>>d2\
и т. д., пока не получим множество JL с max uni € Jl- Таким 1^1<Л
образом, Jk является таким непустым подмножеством целых чисел (1, ..., п), что минимальным и максимальным значениями uni для i € Л являются соответственно ch и dh, где dh ^ 2ch. Очевидно также , что сь+1 > 2ch для каждого к. Наконец, обозначим
Ph= Е (1-ФМ, к= 1, 2L.
Разумеется, L, ск, dh, Рь и множества Jb все зависят от п. Однако в системе обозначений, которая будет использоваться без специальных оговорок до конца раздела, эта зависимость не отражается. Первая лемма показывает что множествами Jh, вносящими относительно малый вклад в сумму 2 (1 — Ф (ыш)). можно пренебречь.
Лемма 6.3.1. В предыдущих обозначениях пусть А = \к; Рк ^ > ехр (—<^/4), 1 <; к <, L\. Предположим, что 1п = min uni -►
K«n
-> оо и сумма ^ (1 — Ф («п,)) ограниченна. Тогда i=l
O^/nfo^l; iG U Jh\-p( П {^<UnJ^0 \h^A )\l=1/
при n^>-oo (6.3.1)
и
0<n fo(unj); iG U Al — П Ф(uni)о при n-^oo. (6.3.2) lь£а J »=1
Доказательство. Разность вероятностей в (6.3.1), очевидно, неотрицательна и мажорируется величиной
Р( и .и {&>«пгП< S Ph. (б.з.з) \*^Л *GA/ h^A
Но если h ^. А и k > 1, то, поскольку сь > 2сь_ъ
(
Сь \/9\Z 1 9 X
4- I <ехр (— ct_,) =c*_iexp —у cft_J х
«р (~4c»-i)
< КХ„ ехр (~4Х») 0 — Ф (с*-0) < К^п ехР (- 4Х") Рк-Ь
так как xer*1^ убывает для больших х, а 1 — Ф (сь_г) является одним из членов, вносящих вклад в Ph_i. Но если 1^А, то /\ С ^ ехр (—Ля/4), так что
L/ X2 \
^ Рь<КХпехр (—4^)2^ +ехр \“"Т/^0, It^Ak=l
Lh
поскольку сумма S Ph = S (1 — Ф («ni)) ограниченна. По- h=\i=l
этому (6.3.1) вытекает из (6.3.3). Второе заключение (6.3.2) также немедленно следует из того факта, что (6.3.2) применимо, в частности, к независимым нормальным величинам, так как в этой лемме не делалось никаких предположений о корреляционной структуре.□
Ввиду этой леммы для получения (6.1.2) достаточно показать, что
р ( П & < uniy, iQ и А)- П {Ф (unt); i G k u^ A) 0. (6.3.4)
Это будет показано посредством следующих двух лемм.
6е
Лемма 6.3.2. Предположим, что корреляции ги удовлетворяют соотношению |/7, | ^ Р|»—л, где рп-► О при п-*оо. Предполо
жим, что Xn = min uni оо и что сумма 5 (1 - Ф («пО) l^i^ni=l
ограниченна. Тогда для k, т Q А, к т,
/— (и2-4-и2 Л
Sh,m-lrulexP\ l+ln/l /^
®n<l ,—^ । ^"^n, m ^Wm' Ki
/ x2 \
<K exp (^J PhPm,
где 6n = exp^" для т), таких, как и в лемме 6.1.2, и уП| m = еСт!8.
Доказательство. Обозначая 6Ж = sup pj, имеем i>x
Далее, экспоненциальное слагаемое не превосходит
ехР (- у (“"< + <’) (1 - 6ej) <
< exp (— lu2,.) exp (у 4бе„ — y4 (1 - 6ej) <
<ехр (—у^,) ехр ^—ст (у- у6е„)),
поскольку dh ^ 2сй -^ 2ст. Умножая эту последнюю границу на dkluni (^-1) и суммируя по указанной области значений (i, /), получаем
Sk, т < Куп, т dkPk ехр (—с„ (у — Абе^),
и, поскольку Рт > ехр (—с„/4) и yn. m = ехр (cm/8), dh < < 2ch ^ 2ст, ст Хп и 6е„0, это дает
т -^ Кст ехр ( ст (——— ——бе^^ ) рkpm
/ х2 \
< К ехр (—^\PfePm
для некоторого К.□
Лемма 6.3.3. Предположим, что |г1;| < Рм-д. где р„ In л О
при п оо, Хп = min uni ->- оо и сумма £ (1 — Ф (wni)) огра- 1^1<Л1=1
ниченна. Тогда для к ^ т
$U =$U =2 к«/1ехРТп.т<Ц-Жп1 € Jh- 1 € Jm2 к«/1ехРТп.т<Ц-Жп1 € Jh- 1 € Jm— (и2 - + и2 \2 \ Л1 ’ “fl)) I1 т | га I '— (и2 - + и2 \2 \ Л1 ’ “fl)) I1 т | га I '^пРкРт^пРкРт
$U =
$U =
2 к«/1ехР
Тп.т<Ц-Жп
1 € Jh- 1 € Jm
2 к«/1ехР
Тп.т<Ц-Жп
1 € Jh- 1 € Jm
— (и2 - + и2 \
2 \ Л1 ’ “fl)) I
1 т | га I '
— (и2 - + и2 \
2 \ Л1 ’ “fl)) I
1 т | га I '
^пРкРт
^пРкРт
где уп, m = е®^8 и 0п -> 0, причем р„ зависит тогько от п. Доказательство. Опять обозначая 6Ж = sup р,, yn,m = ?п и ис- пользуя доводы, аналогичные предыдущим, получаем
■$*.m-^6Ynf 2 ехР ( у^’О ^vn))| х
У£Ч'
< K6Yn dk dmPkPm exp( 1 (dl + 4) 6YJ <
<^4^exP Wv„) PkPm-
Далее,
6Yn d"m ^ 46Yn4, = 326Vn In vnf
где yn = Nn.m = exp (14/8) > exp (X^/8) -► оо, откуда и вытекает указанный результат.□
Используя эти леммы вместе, мы можем теперь показать, что теорема 6.1.3 остается в силе, если требование о том, что Хп = = min unt должно ограничиваться снизу величиной с (In л)1/2, 1<Г^л
заменяется простым условием Хп -> оо.
Теорема 6.3.4. Пусть корреляции г^ нормальной последовательности {!„} удовлетворяют неравенствам |г1; | ^ Рц-/1 для i=/=j, где pn < 1 для всех л > 1 и pn In п 0 при п оо. Пусть по
стоянные |wni} таковы, что сумма 5j (1 — Ф (“ш)) ограниченна i=l
и Xn = min wni ->- оо. Тогда выполняется (6.1.2). Если для не- 1^1<л
которого т>0 выполняется также и (6.1.3), то выполняется (6.1.1), т. е.
\i=I /
— (l? - 4-1?.) A2 Гт '“nO1 + I ri j I— (l? - 4-1?.) A2 Гт '“nO1 + I ri j I<En 2 №> + °(1)-k, m C A<En 2 №> + °(1)-k, m C AДоказательство. Полагая А таким же, как в лемме 6.3.1, мы выводим из лемм 6.1.2, 6.3.2 и 6.3.3, что
— (l? - 4-1?.) A
2 Гт '“nO
1 + I ri j I
— (l? - 4-1?.) A
2 Гт '“nO
1 + I ri j I
<En 2 №> + °(1)-k, m C A
<En 2 №> + °(1)-k, m C A
2 1г^1ехР\ 1^1</^Л
‘■К и Jk fe^A
( ")2
где En 0 при n OO. Ho £ PhPm< 1L (1 — Ф («ni))l » k, m £ A(i=l)
а эта величина ограниченна, так что левая часть (6.3.5) стремится к нулю при п -f оо. Таким образом, из теоремы 4.2.1 вытекает, что (6.3.4) выполняется. Следовательно, согласно лемме 6.3.1, выполняется (6.1.2).
Наконец, если (6.1.3) выполняется, то, согласно лемме 6.1.1, выполняется и (6.1.1).□
Стационарные нормальные последовательности с сильной зависимостью
В этом и остальных разделах мы обращаемся ко второй теме настоящей главы, а именно хотим посмотреть, как влияет на экстремумы более жесткая структура зависимости стационарной нормальной последовательности {|п(. В гл. 4 и 5 было показано, что если ковариации гп убывают к нулю не слишком медленно, то Мп = шах Ц1, ..., |п( имеет предельное распределение типа I и числа превышений в непересекающихся интервалах асимптотически независимы. В частности, решающие условия, необходимые для выполнения этих результатов, связаны с поведением rn In п; они выполняются, если rn In п -► 0 или в несколько более общей ситуации если rn In п чаще всего не слишком велико. Результаты Миттала и Илвисакера (1975), которые будут приведены ниже, показывают, что эти условия являются почти наилучшими возможными. Например, если rn In п -► у > 0, то яп (Afn — 6П) сходится по распределению не к ехр (—е-х), а к свертке ехр (—егх) с нормальной функцией распределения. Далее, если rn In п -► оо достаточно гладким образом (но все еще гп -► 0), то необходима другая нормализация и предельное распределение является нормальным.
В этом и следующих разделах мы рассмотрим сличай rn In п -► -► у > 0 и, используя идеи из работы Миттала и Илвисакера (1975), покажем, что тогда точечный процесс превышений (обычно используемого) уровня ип слабо сходится к процессу Кокса (т. е. к смеси пуассоновских процессов, имеющих различные интенсивности). Медленное убывание корреляции не только изменяет предельное распределение экстремумов, но также и нарушает асимптотическую независимость экстремальных значений на различных интервалах. Причина этого объясняется поучительным образом ниже в ходе доказательства теоремы 6.5.1, где предельное распределение превышений уровня ип получается как предельное распределение превышений независимой нормальной последовательностью случайного уровня (х + у—) 2у С)Мп + Ьп, где С — стандартная нормальная величина, представляющая «общую часть» первых п зависимых переменных.
Основным инструментом, как и в гл. 4, будет нормальная лемма сравнения (теорема 4.2.1), связывающая распределения максимумов двух нормальных последовательностей с различными корреляциями. Теперь уже, разумеется, не достаточно сравнения с независимой последовательностью. Вместо этого удобно проводить сравнение распределения с. в. Мп с распределением максимума Мп (6) из п стандартных нормальных величин, любые две из которых имеют постоянную ковариацию 6^-0. Польза такого сравнения вытекает из того факта, что если £, £г, £2, ...— независимые стандартные нормальные случайные величины, то с. в. (1 — б)^2 -р б1'2^, .... (1 — б)1/2 £п + б1/2£ имеют попарно одну и ту же ковариацию 6, и поэтому Мп (6) имеет то же распределение, что и (1 — б)*/2 Мп (0) + 61/2ь. Следующая лемма, родственная лемме 4.3.2, даст возможность использовать то желательное сравнение, которое будет приведено в следующем разделе.
Лемма 6.4.1. Пусть d>0 и у 2s 0— постоянные величины. Положим р„ = у/ln п и предположим, что
rnlnzn-y при п оо.(6.4.1)
Тогда для любой последовательности {«„}. такой, что величина n (1 - Ф («„)) ограниченна,
[nd]
nd 7 , |rh — pn|exp —y-j—)-^0 при п-*оо, (6.4.2) fe=i
где wh = max(pn, |rft|).
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.3.2, мы можем предположить, что п (1 — Ф (и^ сходится (так что (4.3.4)
(i), (ii) выполнены). Положим б (A) sup шт. Ясно, что шк, k<m^[nd]
а следовательно, и 6 (А) зависят также и от п, но мы не будем явно отражать эту зависимость в обозначениях. Далее, пусть а таково, что 0 < а < (1 — 6 (0))/(1 + 6 (0)) для всех достаточно бОЛЬШИХ П (ЧТО, ОЧеВИДНО, ВОЗМОЖНО, ПОСКОЛЬКУ SUp rfe < 1), 6>0
и пусть р = [л“].
Как и в доказательстве леммы 4.3.2, вклад в сумму в (6.4.2) первых р слагаемых стремится к нулю. Следовательно, надо доказать только, что остальная часть суммы также стремится к нулю. Имеем
[nd]
VI( и? \
П 7 ! |rfe — р„|ехрС
»=р-М
[nd]
/ и? \ VI
*=Р-Ц
[nd]
П? „/“n \ 1ПП \ 1 I।л
“ Inn exp\ l+6(p)j n 1Гь Pnl" (6-4-3) *=p4-1
Поскольку rn In n -* у, существует такая постоянная С, что rn In п -< С, n > 1. Следовательно, и 6 (р) In р < С, так что в силу (4.3.4) мы получаем (обозначая буквой К постоянную, значение которой может изменяться при переходе от одной строки к другой)
п2 / “п \ / п2 „( “п \
Inn р\ 1+6(р)/^ inn р\ 1+С/1пп“/
„ П2 ( Un \2/(1+С/1п п“)
< Кп^1хп na^i+clin п“) = о (1)(6.4.4)
при п -► оо. Кроме того, прибавление и вычитание pn In n/ln k = = y/ln к и использование того факта, что In к ^ In п“ при к"> р, дает
[nd]
Inn ул ..
— kfc-pnK
6=р+1
[nd][nd]
S к»1п»-т| + т4 5 |1—Й-|. ^L=P+1^=р+1
Здесь первая составляющая в правой части стремится к нулю в силу (6.4.1). Далее, оценивая вторую сумму интегралом, мы получаем
Гла]2 -6=р+1Гла]2 -6=р+1[nd]
Гла]
2 -
6=р+1
Гла]
2 -
6=р+1
Inn I 1I.
In к a Inn I n n I n —fe=p+i
- О I (I In x | dx
I a In n J 11
\ o
и, следовательно, левая часть (6.4.5) стремится к нулю. В силу (6.4.4) первый сомножитель в правой части (6.4.3) ограничен. Это завершает доказательство соотношения (6.4.2). □
Предположения леммы 6.4.1, а следовательно, и теоремы 6.5.1, приводимой ниже, можно ослабить тем же самым путем, каким условие (4.1.1) ослабляется до условия (4.5.3). Поскольку это ослабление осуществляется довольно просто, вывод его мы оставляем читателю.
Пределы для превышений и максимумов в случае rn In п у < оо
В этом разделе мы исследуем предельное поведение точечного процесса превышений уровня ип в случае, когда выполняется условие (6.4.1) су< оо, и в качестве следствия получим асимптотическое распределение максимума. Напомним сначала, что в гл. 5 мы обозначили символом Nn точечный процесс превышений уровня ип процессом т]п, где т]п определяется для стационарной последовательности {£;} соотношением т]п (j/n) = £>,/ =
= 1, 2, ...; п = 1, 2 Далее, пусть N— процесс Кокса
(см приложение) со (случайной) интенсивностью ехр (—х — у + + У 2у 0» гДе £ — стандартная нормальная случайная величина, т. е. N имеет распределение, определяемое соотношением
Р ( П \N(J^ = ^Л = f Пх
х ехр {—т (В^ e-x~v+ ^^ <р (z) dz (6.5.1) для непересекающихся борелевских множеств Вг, .... Bk на [О, оо) (т (В) обозначает меру Лебега множества В).
Теорема 6.5.1. Предположим, что {£п| — стационарная нормальная последовательность с ковариациями {гп| и что ип = = x/an + bn, где ап = (2 1п п)'/2, Ьп = ап — (2an)-1 (in in n +
+ In 4 л). Если rn In п -* у > 0, то точечный процесс Nn нормированных моментов превышений уровня ип сходится по распределению к точечному процессу N на [0, оо), где N — процесс Кокса, определяемый посредством (6.5.1).
Доказательство. Здесь снова нужно проверить выполнение условий (а) и (Ь) теоремы П. 1. Как и в доказательстве теоремы 5.2.1, Е (^n ((с, dl)) ~ (d — с) е-ж, так что, поскольку
Е (N ((с, d])) = Е ((d — с) ехр (—х — у + /2у0) = = (d - с) е-16-^^ = (d — c) е\ первое условие (а) сразу вытекает отсюда.
Используем теперь обозначение Мп (с, d) = max ||ft; Yen А < < k -< [dn]}, и пусть Afn (c, d; p) — максимум случайных величин с номерами Ycnl < ^ tdnl в нормальной последовательности, имеющей постоянную ковариацию р между любыми ее членами. Если положить с = сг < dY < ... < ch < d^ = d, то, как указывалось в разделе 6.4, случайные величины Мп (с1г dp, р), ..., Мп (ck, dh; р) имеют то же самое распределение, что и случайные величины (1 — р)*/2Л4п (с^ df, 0) + р1/2С, ...
(1 — p)‘/2Mn (ch, dh; 0) + р1/2С, где все {Л4П (сь dp, 0)}»=! и С независимы и £ — стандартная нормальная с. в. Имеем
р (n ^„((c,, da) = o^ = р (п (мп(сь da<«ni \i=l/X t=l
и из следствия 4.2.2 и леммы 6.4.1 легко вытекает, что для рп = = у/1п п
Р ( Л )Мп(сь 4)<нп^ — р I Л \мп(сь dp, pn)<tin}\ ->0 \i=l' \i=l/
при п оо. Поэтому, чтобы доказать выполнение условия (Ь) теоремы П. 1, достаточно убедиться в том, что
р( л \Mn(Ci, dp, Рп)<ип\\-^р( л |^((сг, dJ) = O}V (6.5.2) \i=l/ \i=l/
Но
P ( Л |-Mn(cif dp, pnXtin^ =
\ 1=1/
= p ( Л {(1 - pn)1/2 Mn (cb dp, 0) + рУ2С < Un}) =
= I p ( Л {/Wn(cf, dp, 0)<(l - pn)-1/2(«n-py2z)})<p(z)dz.
—OP
поэтому, используя выражения ап = (2 In л)*/2, bn = ап + + О (ай1 In In л) и рп = у/In л, получаем
(1 - Р-)"'" (". - рУЧ = (1 + -y- + o(pj) (-^+ - Р^г) -
=£+^Ш‘пz + t*"2 + о И -
Из следствия 5.2.2 вытекает, что для фиксированного г
Р ( п {Мп(сь db 0)<(1 -рп)",/2(«п - рУМЙ к_
П ехр{— (d< — ct) e-*-v+/2vz}. i=l
По теореме о доминируемой сходимости отсюда следует, что
Г Р ( n 1^, d^, 0) ^ (1 — pn)-1/2 (un — pn/2z)} j ф (z) dz —►
-со ',=1 оо к
-► J П ехр {— (d; — Ct) e-*-v+v 2Tz} ф ^ ^z =
—oo i— 1
= p ( n \N((cb da) = O}V\i=l/
т. e. выполняется (6.5.2).□
Следствие 6.5.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.5.1 и что Вг, ..., Вк — непересекающиеся борелевские множества на [0, со), границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда (к\
n \Nn (В,) = hi\ 1 сходится к правой части (6.5.1). В част- i=i/
ности, при п -► со
P\an(Mn-bn)<x\=P\Nn((O, 1]) = 0)^
f exp (—e-x-^v ^) Ф (z) dz.
Из этого результата мы видим (как отмечалось в разд. 6.4), что асимптотическое распределение максимума теперь уже является сверткой распределения типа I с нормальным распределением
но здесь все еще возможно использовать «классические» нормализующие постоянные. Можно также отметить, что указанные результаты можно непосредственно обобщить на случай пересечений двух или более последовательных уровней. Однако, чтобы избежать повторений, мы опустим детали.
6.6. Распределение максимума в случае, когда r„ In га ->- со
В случае когда rn 1п п ->- со, задачу о превышениях фиксированного уровня зависимой последовательностью снова можно редуцировать к задаче о превышениях случайного уровня независимой последовательностью. Однако в данном случае случайная составляющая этого уровня «слишком велика», так что в пределе независимая последовательность будет иметь или бесконечно много превышений случайного уровня, или ни одного такого превышения. Поэтому невозможно найти такую нормализацию, которая обеспечивала бы слабую сходимость точечного процесса превышений к нетривиальному пределу, и в связи с этим мы будем исследовать только одномерное распределение максимума. Поскольку вывод общего результата довольно сложен, мы рассмотрим довольно частный случай, который выявляет основную идею результата Миттала и Илвисакера (1975), но позволяет избежать некоторых технических трудностей доказательства.
Прежде всего заметим, что для у > 0, 0 < q < 1 существует выпуклая последовательность {гп}, п = О, 1, ... , для которой r0 = 1, гп = у/(1п п)» при п > п0, где п0 — некоторое целое число, и0 > 2. (Это легко увидеть, поскольку последовательность у/(1п и)9 выпукла при и ^- 2 и убывает к нулю.) По критерию Пойа {гп} является ковариационной последовательностью, и мы можем теперь рассмотреть стационарную нормальную последовательность ^п} с нулевым средним и с этим частным типом ковариации. Далее, поскольку последовательность |гп} выпукла, для каждого п >- 1 будет выпукла и последовательность (г0 — — гп)/(1 —Гп), ..., (гп_! — гп)/(1 — гп), о, 0, .... так что опять, согласно критерию Пойа, существует нормальная последовательность {(^Ч Ц"\ •••} с нулевым средним и такими ковариациями. Ясно, что ^, ..., tn имеют то же самое распределение, что и (1 —-rn)l/2^in) + r^X (1 — rn)1/2^n) 4- ГпХ где £ — стандартная нормальная величина, не зависящая от {^д0}.
Если обозначить Мп = max Vfe\ то распределение с. в. Мп = max £h оказывается, таким образом, таким же, как и рас- пределение с. в. (1 — гпУ/2Мп + ^У2^. Это представление является ключевым для доказательства теоремы 6.6.3, приводимой
ниже. Однако прежде, чем его использовать, мы докажем две леммы. Первая из них — «техническая», уже не раз использовавшегося типа. Здесь (как, например, в теореме 6.5.1) ап и Ьп обозначают стандартные нормализующие константы.
Лемма 6.6.1. Пусть п' = [п ехр (—(Inn)*/2)] и без указания на зависимость от п ph = (rh — rn)/(l — rn), k = I, ..., n.
Тогда для каждого e > О
п У I |Pk - Рп'|ехрpq— -^0 при п-^ ОО. (6.6.1) 6=1
Доказательство. Положим р = [па], где 0 <а < (1 — г^КД + + гД < (1 —Pi)'(l + Pi). Поскольку гк убывает с ростом п, то, как и в доказательстве леммы 4.3.2, мы заключаем, что сумма первых р слагаемых стремится к нулю. Остается только доказать, что
П / , |рк-Рп'|ехр|р^—при п-^оо. (6.6.2)
6=р+1
Используя (4.3.4) (с ип = Ьп), находим
Lехр I—плН=
6=Р+1
<Л1пл > , — ехр 2 1 —' In л ■ (6.6.3)
п I \1 + Рк / J /
*=p+i
Здесь 1 - (1 - егТ1ЬпУ1Д + pk) < 1 - (1 - ^erTlb^KV + pft) <
^ ph -|- 2er}(2lbn. Поскольку
г'/2ь;'In п< К'(in П)<’-^2,
мы получаем границу л'
К 1п п ехр ^К' (In п)(I-?,/2} V _L-exp (2pft Inn). (6.6.4)a=p+i
Кроме того, для к>р -\- ^ мы имеем In А 2> а 1п п, и тогда
1—у/(1пп)9(a Inn)9 I \ Inn / J
<Х(1„„)-{1-(2^+1)«}<
<Х(1пл)“’{— щА),
так что
f !«,№)< f i{exp(-l„4)f
A=pJ-lА=р-|-1
ехр {- (In п) 1/2}
< У {exp (—In х)}к (ln п) q dx = о
ехр {- (1п п)*/2)
= J х~к (,п n>~Qdx =о
_ expJ-Hlnn)^^^ ”1 — К (In п)"9
Вместе с (6.6.3) и (6.6.4) это показывает, что (6.6.2) ограничено сверху величиной
К Inn ехр {—(In п)^ (1 — К (in п)-9) + К' (in п)^1-9^2}
Далее, в силу определений апГп -► со при п -► со, и в соответствии с теоремой 1.5.3 отсюда легко следует, что
Р(Л1;>Ьп + ег‘/2}-^0.
Чтобы показать, что
P{K<b„-er*/2}-^0,(6.6.5)
найдем верхнюю границу разности
Р {К <Ьп- ггТ\ -Р{Мп (р„.) < Ь„ - ej/2}, используя неравенство (4.2.5) из следствия 4.2.2. Поскольку последовательность {рл} выпуклая, а следовательно, убывающая, имеем pfe <^ р„г для к^- п' (и поэтому (р* — р„-)+ = 0 для п' < < к <С п). Мы получаем верхнюю границу
Кп > , (р* - р„0 ехр’
Л=1
которая, согласно лемме 6.6.1, стремится к нулю, так что lim sup (Р {М'п <Ьп — ег^ — Р {/И„ (рп) < Ьп — егУ2}< 0.
(6.6.6)
Кроме того, Мп (рП') имеет такое же распределение, как и (1 — - Vn-Y’^Mn (0) + р^Ч, где Мп (0) и С независимы, так что
Р {Мп (р„.) < Ьп - er*72} = Р {(1 - рп,),/2 Мп (0) +
+ P„Z'4 < Ьп - егУ21 = Р {(1 - р„0,/2 Гп^а-'ап (Мп (0) - Ь^ +
+ ((1 - р„0,/2 - 1) ЬпГпШ + р^Гп1'^ < -е}.(6.6.7)
Используя определение п', находим, что для больших п
у/(1п п')? — f/CIn ^
Р" 1—-у/(1пп)9
~ (^{(Г^щ^^ - *} ~ V? (In П) 1/2 q.
Поэтому при п ->- ОО
«1 -р„У'2- i)^;'"~^p„.^g;',2~9] '^^^
и также р^?г^р ~ дх^ (In nY^1* ■— 0. Кроме того,
(1 - р„.;,/2 ^''V ~ (2Т)-" (In
и, поскольку, в силу теоремы 1.5.3 ап (Мп (0) — Ь^ сходится по распределению, отсюда следует, что вероятность в (6.6.7) стремится к нулю, так что из (б.б.б)^получаем
lim sup Р (Af„ <bn — eri/2] < 0, а это дает (6.6.5), завершая
П-^ОЭ
доказательство.□
Теорема 6.6.3. Предположим, что стационарная стандартная нормальная последовательность {£„} имеет ковариации |гп|, причем последовательность |г„}п=о выпукла и гп = у/(1п п)’ с у > 0, 0 < q < 1 для всех п ^- п0 при некотором п0. Тогда
Р^ЧМ,,— (1 — гп)1/2Ьп)<х|-^Ф(х) при п->-оо.
Доказательство. Как отмечалось непосредственно перед леммой 6.6.1, Afn имеет то же самое распределение, что и (1 — rn)I/2 А1^+ А-ГпХ- гДе £ — стандартная нормальная с. в. Из леммы 6.6.2 теперь* просто вытекает, что
Р {^'2 (Afn - (1 - гп),/2 Ьп) < х} =
= Р {(1 - гп),/2г;,/2 (М'„ - М + £ <*} Р U < Х| = Ф (х) при п-^оо. □
Разумеется, предположения теоремы 6.6.3 весьма ограничительны. В работе Маккормика и Миттала (1976) был доказан следующий более общий результат. Их доказательство аналогично доказательству приведенной выше теоремы”6.6.3, однако рассуждения намного сложнее.
Теорема 6.6.4. Предположим, что стационарная нормальная последовательность {^„} имеет такие ковариации |гп|, что гп -► 0 монотонным образом, и rn In п со монотонно при больших п. Тогда
Р {^'/2 (М„ - (1 - гп),/2 Ь^ < х} Ф (х) при п-^ ОО.
В статье Миттала и Илвисакера (1975), в которой указанный результат был доказан впервые при дополнительном предположении о выпуклости |гп}п=о. показано также, что предельные распределения в теоремах 6.5.1 и 6.6.4 никоим образом не являются единственно возможными. Эти авторы приводят еще один класс предельных распределений, которые могут получаться, когда ковариация убывает нерегулярным образом. Дальнейшие интересные родственные результаты приведены в работе Маккормика (1980b). В частности, там получен двойной экспоненциальный предел для «стьюдентизированного максимума», т. е. для Мп, нормированного наблюдаемыми средним и стандартным отклонениями.
ЧАСТЬ III
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯВ СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГОВРЕМЕНИ
В этой части книги мы рассматриваем теорию экстремумов и родственные вопросы для стационарных процессов с непрерывным параметром. Как мы увидим (в гл. 13), можно построить удовлетворительную общую теорию, обобщающую теорию для случая последовательностей, описанную в гл. 3 части II и основанную на условиях зависимости, тесно связанных с условиями, использовавшимися для последовательностей. В частности, будет получена общая форма теоремы об экстремальных типах для максимума
М (Т) = sup {Е (/); 0 < t < Т\,
где £ (0 — стационарный случайный процесс, удовлетворяющий надлежащим условиям регулярности и зависимости.
Однако прежде, чем представить эту общую теорию, мы проведем подробное построение для случая стационарного нормального процесса, для которого известно очень много результатов об экстремумах и ряд других родственных результатов. В случае дифференцируемых в среднем квадратичном нормальных процессов полезно и поучительно подходить к теории экстремумов, изучая свойства выходов процесса за высокий уровень (которые аналогичны превышениям, используемым в дискретном случае). Основная конструкция и получающиеся результаты для экстремумов описываются соответственно в гл. 7 и 8.
Как результат этой асимптотической теории появляется возможность показать, что при возрастании уровня точечный процесс выходов все больше походит на пуассоновский точечный процесс. Это и другие более тонкие пуассоновские свойства рассматриваются в гл. 9 и аналогичны соответствующим результатам для превышений уровня стационарными нормальными последовательностями, приведенными в гл. 5.
Пуассоновские результаты дают возможность получить асимптотические совместные распределения для положений и высот любого заданного числа наибольших локальных максимумов.
В гл. 10 изучается локальное поведение стационарного нормального процесса вблизи точки пересечения высокого уровня.
Для описания этого поведения используется, в частности, некоторый простой процесс («модельный процесс Слепяна»), В качестве интересного следствия при надлежащих условиях можно получить предельное распределение высот выбросов стационарных нормальных процессов за высокий уровень.
В гл. 11 мы рассматриваем совместное асимптотическое поведение максимума и минимума стационарного нормального процесса, а также максимумов двух или более зависимых процессов. Показано, в частности, что почти вплоть до полной коррелирован- ности этих процессов такие максимумы асимптотически независимы.
Хотя дифференцируемые в среднем квадратичном стационарные нормальные процессы и образуют существенный класс, имеются важные стационарные случайные процессы (такие, как процесс Орнштейна—Уленбека), которые не обладают этим свойством. Многие из таких процессов имеют ковариационные функции вида г (т) = 1 — С |т|а + о (|т|а), т -► 0, где 0 < а < 2 (случай а = 2 соответствует процессам, дифференцируемым в среднем квадратичном). Теория экстремумов для этих процессов строится в гл. 12 с использованием методов, более тонких, чем методы гл. 8, для которых достаточно было простых соображений относительно выходов.
Наконец, в гл. 13 описывается обещанная общая теория экстремумов (включая теорему об экстремальных типах) для стационарных процессов с непрерывным временем, которые не обязательно должны быть нормальными. Эта теория существенно опирается на результаты части II для дискретного параметра. Здесь используется простой прием, состоящий в представлении максимума процесса с непрерывным параметром на интервале целочисленной длины, скажем Т = п, как максимума и «подмаксимумов», соответствующих интервалам фиксированной длины, а именно
М (и) = max (Съ Г,а, ..., U.
где Ci = sup |С (01 1 — 1 -С t <i i\. Следует отметить (как показано в гл. 13), что результаты для стационарных нормальных процессов, приведенные в гл. 8 и 12, могут быть получены из результатов гл. 13. Однако, поскольку значительная часть усилий, требующихся для достижения результатов гл. 8 и 12, необходима также и для проверки выполнения общих условий гл. 13, а также ввиду особой важности нормального случая нам представляется полезным и желательным сначала отдельно исследовать нормальные случайные процессы.
Глава 7
Основные свойства экстремумов и пересечений уровня
Обратимся теперь к стационарным процессам с непрерывным параметром. В этой и в большинстве последующих глав мы в основном будем иметь дело со стационарными нормальными процессами. Однако начнем с обсуждения некоторых основных свойств, которые не связаны с нормальностью процесса и будут использованы при изучении поведения экстремумов в последующих главах.
Наш основной интерес связан с пересечениями уровня стационарными процессами и ожидаемым числом таких пересечений — в частном случае стационарного нормального процесса приводящим к знаменитой формуле для среднего числа выходов в единицу времени, принадлежащей Райсу. Эти результаты обобщаются различными способами на «маркированные пересечения» и ожидаемое число локальных максимумов, получаемое путем рассмотрения входов производной процесса под нулевой уровень.
Конструкция
Рассмотрим стационарный процесс {Ё (/); t ^ 0|, имеющий непрерывный («временной») параметр / ^- 0. Стационарность понимается здесь в строгом смысле, т. е. имеется в виду, что любая группа случайных величин £ ^, .... Ё (/„) имеет то же самое распределение, что и £ (^ + т), .... | (/„ + т) при любом т. Это равносильно тому, что конечномерные распределения
Ftv....tn{xlх„) = Р|Н^Х^, ..., Ё (U < х„| таковы, что F#^fn+x = Ftv ... tn при любом выборе т, и и ^11 ^2» •••> ^п-
Всюду далее без специальных оговорок будет предполагаться, что для каждого /ф. р. Ft (х) случайной величины Ё (0 непрерывна. Кроме того будет предполагаться, что с вероятностью единица выборочные функции процесса Ё (0 непрерывны, т. е. функции {Ё (/)} являются п. н.-непрерывными как функции от / > 0. Простые достаточные условия непрерывности выборочных функций будут сформулированы в разд. 7.3 для нормальных процессов. Относительно общего случая мы отсылаем читателя к работам Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 4) и Дадли (1973).
Наконец, будет предполагаться, что основное рассматриваемое вероятностное пространство пополнено, если оно не являлось полным. Это означает, в частности, что пределы с вероятностью еди-
ница различных случайных величин сами будут случайными величинами. Этот факт пригодится ниже.
Основной целью в последующих главах будет исследование поведения максимума
М (Т) = sup {£ (0; 0 < f < Л
(который однозначно определен и достигается, поскольку процесс | (/) непрерывен), особенно при больших значениях Т. Часто удобно аппроксимировать процесс £ (/) последовательностью {£„ (01 процессов, принимающих значение £ (/) во всех точках вида jqn, / = 0, 1, 2, ... , и линейных в промежутках между этими точками; здесь qn | 0 при и -* оо. В частности, это используется для того, чтобы показать, что Af (Т) — случайная величина, что демонстрирует следующий простой результат.
Лемма 7.1.1. Сохраняя прежние обозначения предположим, что qn | 0, и обозначим Мп (Т) = max {£ (jqnY> 0 -С 1Яп ^ "П- Тогда Мп (Т) -* At (Т) п. н. при п оо, и М (Т) является случайной величиной.
Доказательство. Величина Afn (Г) есть максимум конечного числа случайных величин и, следовательно, сама является с. в. при любом п. Из свойства п. н. непрерывности функции £ (/) вытекает Мп (Т) М (Т) п. н. . Значит, в силу полноты, А! (Т) есть с. в.
□
Мы будем использовать также обозначение Af (/) для верхней грани процесса £ (/) на любом заданном интервале /. Разумеется, аналогичным образом можно показать, что Af (/) является случайной величиной.
Пересечения уровня и их основные свойства
При исследовании максимумов последовательностей существенную роль играли превышения уровня. В непрерывном случае соответствующую роль выполняют выходы за уровень, для которых могут быть получены аналогичные предельные результаты (такие, как пуассоновские пределы). Для изучения выходов будет удобно для каждого вещественного и ввести класс Gu всех таких функций f, которые непрерывны на положительной полуоси и не совпадают тождественно с и ни в каком ее подынтервале. Легко видеть, что выборочные функции нашего стационарного процесса £ (/) с вероятностью единица принадлежат классу Gu. Действительно, каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, и поэтому
р{и-)^си}<£р||(^) = ч,
/=1
где |/у} — перенумерованное множество рациональных точек. Поскольку с. в. £ (tj) имеет по предположению непрерывное распределение, то Р (£ (/;) = и} = О для каждого j.
Мы будем говорить, что функция f £GU имеет в точке t0 > О строгий выход за уровень и, если для некоторого в > 0 имеет место f (I) ^ и в интервале (4 — е, /0) и f (0 ^> и в интервале (4» 4 + Е)- Из непрерывности / вытекает, что при этом / (/0) = и, а из определения Gu — что для каждого т) > 0 в интервале (/0 — — т), /0) есть значения t, при которых / (/) < и, а в интервале (4. to + т)) — значения I, при которых / (/) > 0.
Будет удобно несколько расширить это понятие, чтобы включить в число выходов и точки, в которых поведение функции / является менее регулярным. Как мы увидим, такие точки практически будут отсутствовать у процессов, рассматриваемых в следующих двух главах. Однако они пригодятся в выкладках и часто будут реально встречаться для менее регулярных процессов из гл. 12. Более точно, мы будем говорить, что функция f£Gu имеет в точке t0 > 0 выход за уровень и, если для некоторого в > 0 и всех т) > 0 имеет место f (t) ^ и для всех / в интервале (/0 — — е, /0) и / (/) > и для некоторого t (а следовательно, и для бесконечно многих 0 в интервале (/0, /0 + т)). Пример нестрогого выхода за и = 0 в точке /0 дает функция / (/), для которой /(/) = /— /0 при / < /о и f (0 = (t — t0) sin ((t — 4)-1) при t > t0.
Следующий результат содержит основные простые факты, которые понадобятся нам для подсчета числа пересечений.
Лемма 7.2.1. Пусть [QGU для некоторого фиксированного и. Тогда
если для фиксированных tu t2, 0 < /t < t2, мы имеем f (tj < < и < f (t2), то функция / имеет в интервале (tv t2) выход за уровень и (не обязательно строгий).
(и) если функция / имеет в точке t0 нестрогое пересечение уровня и, то при любом е > 0 она имеет бесконечно много пересечений уровня и в интервале (/0, /0 + е).
Доказательство, (i) Если f (ty) < и < f (t2) и ty < t2, то пусть t0 = sup\t>tY; ЦзХ.и для всех fi<s<Z}.
Ясно, что tY < /0 < t2 и t0 является точкой выхода / за уровень и.
(и) Если t0 — точка выхода функции / за уровень и и е >0, то в интервале (t0, t0 + е) обязательно найдется точка t2, для которой / (/2) > и. Если t0 не является строгим выходом, то в (t0, 12)
должна найтись такая точка tu для которой / (t^ < и. В соответствии с (i) между tx и /2 имеется выход за уровень и, что и приводит к (п) в силу произвольности е > 0.□
Произведя очевидные изменения, мы можем определить входы под уровень (строгие и нестрогие) и затем определить пересечения уровня как такие точки, в которых имеет место либо выход за, либо вход под уровень. Ясно, что в любой точке пересечения t0 уровня и мы имеем / (4) = u. С другой стороны, могут существовать и такие ««-значения» (т. е. точки /0, для которых / (70) = и), которые не являются пересечениями, как, например, точки, в которых функция / касается уровня и, или такие точки /0, для которых разность / (7) — и принимает как положительные, так и отрицательные значения в каждой правой и в каждой левой окрестности точки /0 — как для функции и + (7 — 70) sin ((^ — - АГ1)-
Приведенное рассуждение применимо к выборочным функциям процесса £ (7), удовлетворяющего сформулированным выше условиям, поскольку, как отмечалось, его выборочные функции принадлежат Gu с вероятностью единица. Пусть Nu (I) обозначает теперь число пересечений уровня и процессом £ (7) в ограниченном интервале 7, a Nu (t) = Nu ((0, 71). Если не может возникнуть путаницы, мы будем иногда писать просто N (7), а не Nu (t).
Аналогично тому, как это было использовано для максимумов, «кусочно-линейный» аппроксимирующий процесс удобно использовать и для того, чтобы показать, что Nu (7) является случайной величиной. Это подразумевается в последующих выкладках, например при выводе формулы для Е (Nu (7)). Этот факт будет показан в следующей лемме, для формулировки которой удобно ввести следующее обозначение:
Ми)=^-Р\и^<и<Ш\, 9>0.(7.2.1)
Лемма 7.2.2. Пусть I — фиксированный ограниченный интервал. При тех же предположениях относительно стационарного процесса {В (7)} пусть {^п} — любая такая последовательность, для которой qn | 0, и пусть Nn — число таких точек вида jqn, j = 1, 2, ..., для которых и (/ — 1) qn и jqn принадлежат интервалу 7 и при этом | ((/ — 1) qn) < и < £ (jqn). Тогда (i) Nn < Nn (I),
Nn ->- Nu (I) n. h. при n oo, и, следовательно, Nu (7) — случайная величина (возможно, принимающая и бесконечные значения^
(Hi) Е (Nn) ->- Е (Nu (Г), и поэтому Е (Nu (7)) = t lim Jq (и) (и, следовательно, Е (Nu (7)) = t Е (Nu (1))).
Доказательство, (i) Если для некоторого / выполняется неравенство | ((/ — 1) qn) < и < ^ (/^п). то из леммы 7.2.1 (1) вытекает, что | (/) имеет выход между (/ — 1)<7П и jqn, так что отсюда сразу вытекает (i).
Поскольку распределение с. в. I (jq^ непрерывно и множество \kqn; k = О, 1, 2, ...; n = 1, 2, ...} счетно, то мы видим, что Р {| (^„) = и для некоторого к = 0, 1, 2, ...; п = = 1, 2, ...} = 0, и поэтому мы можем предполагать, что £ (kq^ Ф =^ и для любых к и п. Подобным же образом мы можем предполагать, что £ (/) не принимает значения и на концах интервала / и, следовательно, в этих точках нет выходов за уровень и.
Далее, если для некоторого целого т мы имеем Nu (/) ^ т, то можем внутри интервала / выбрать т отделенных друг от друга выходов tv, ..., tm процесса | (?) за уровень и и путем выбора значения е > 0 добиться того, что они будут окружены такими непересекающимися подынтервалами Ut — е, t, + е), t = 1, 2, .... т, интервала /, что | (t) С и в (/, — е, t^ и | (т) > и для некоторого т £ (/,, tt + е). В силу непрерывности эта точка т содержится в некотором интервале — его можно взять как подынтервал в (/;, ti + е), — для всех точек которого | (/) > и. Для всех достаточно больших п этот интервал должен содержать точку вида kqn.
Таким образом, существуют такие точки lqn € (^ — Е, ^), kqn € Ui. ti + е), что g (Iq^ < u < I (kqny Для некоторого /, I < / <; к, мы должны поэтому иметь £ ((/ — 1) q^ < и < < | (Jqny Поскольку в конечном счете каждый интервал (it — е, tE + е) содержит такую точку вида jqn, мы заключаем отсюда, что если п достаточно велико, то Nn т. Отсюда сразу следует, что lim inf Nn ^ Nu (/) (последнее значение не обязательно конечно). Поскольку же, в силу (i), lim sup Nn ^ Nu (/), мы
видим, что lim Nn = Nu (/), как и утверждалось.
Наконец, легко показать, что Nn является при каждом п случайной величиной (Nn является конечной суммой случайных величин Хь, где Хд = 1, если | ((k — 1) q^ < и < Е (^„), и равняется нулю в противном случае), так что в силу полноты ее п. н.-предел Nu (/) также является случайной величиной, хотя, возможно, принимающей и бесконечные значения.
Поскольку Nn Nu (/) п. н., лемма Фату показывает, что lim inf Е (N^ ^ Е (Nu (/)). Если Е ^и (/)) = оо, то это дает сразу Е (Nn) Е (Nu (/)). Но по теореме о мажорируемой сходимости тот же самый результат выполняется и если Е (Nu (/)) < < оо, поскольку Nn <; Nu (/) и Nn -^ Nu (/) п. н.
Наконец, если / = (0, Л, то интервал / содержит vn ~ 1д„т точек вида jqn, так что, используя стационарность, имеем
Е (М„) = (vn - 1) Р {£ (0) < и < £ Ш ~ tJgn (и).
Поэтому tJgn (и) -► Е (Nu (/)), откуда в силу произвольности последовательности |gn| вытекает последнее заключение в (ш).
Следствие 7.2.3. Если Е (Nu (/)) < оо или, что равносильно, если lim inf Jq (u) < оо для некоторой последовательности П—►со71
qn | 0, то с вероятностью единица выходы за уровень и являются строгими.
Доказательство. Если Е (Nu (/)) < оо, то Nu (/) п. н. и утверждение вытекает из части (и) леммы 7.2.1.□
При весьма естественных условиях величину Е (Nu (1)) = = lim Jq (и) можно выразить в простой и полезной интегральной форме. Она будет приспособлена в следующем разделе к нормальным процессам и будет играть основную роль в последующем исследовании. В разд. 7.5 эта форма будет обобщена с тем, чтобы ее можно было использовать в ситуациях, связанных с маркированными пересечениями.
Первые результаты подобного рода были получены для нормальных процессов Райсом (1939, 1944, 1945) эвристическими методами, связанными с методами, используемыми в настоящей работе. Первые строгие доказательства, использовавшие некоторый прием пересчета нулей, были изложены в работе Каца (1943). Доказательства справедливости формулы Райса для среднего числа нулей нормальных процессов были получены при все более и более слабых условиях Ивановым (1960), Булинской (1961), Ито (1964) и Илвисакером (1965). Используемая нами общая формулировка принадлежит Лидбеттеру (1966 с); см. также Маркус 1977).
Теорема 7.2.4. Предположим, что £ (0) и t,q = q"1 (£ (у) — £ (0)) имеют совместную плотность gq (u, z), непрерывную по и для всех / и всех достаточно малых q > 0, и что существует такая функция р (и, z), что gq (и, г) -* р (и, г) при q -* 0 равномерно по и при фиксированном z. Предположим, кроме того, что существует такая функция h (z), что j zh (z) dz <00 ugq (u, z) ^ 0
<C h (z) для всех и, q. Тогда
E (Nu (1)) = lim Jq (“) = \ZP (u- dz- (7-2.2) ^0
Доказательство. Записывая событие {£ (0) < и < Е (у)} в виде |£ (0) < и < £ (0) + qU = {^ (0) < и\ П {^ > q- ku - Е (0))}, имеем
Jq {и) = q^P {£ (0) < и, Ц > q^ ku - 6 (0))} =
= <1 У S gqkx* y)dydx.
*=—OO y=q~* (u—x)
Произведя замену переменных x = и — qzv, у = z ku = ku — — x)/(w)), находим, что это равно
ОО I
У z У Sqku — qzu, г) du dz,
z=O v=0
где gq ku — qzu, z) при q -* 0 поточечно сходится к p ku, z) в силу предположений о равномерной сходимости н непрерывности. Поскольку gq мажорируется функцией h kz), отсюда сразу следует, что этот двойной интеграл сходится к | zp ku, z) dz. □ о
Во многих случаях предел р ku, z) в (7.2.2) является просто совместной плотностью значений ^ (0) н производной £' (0). (Это, как будет видно в следующем разделе, имеет место, например, в нормальном случае.) Если обозначить через р ku) н р (z|u) соответственно плотность с. в. £ (0) н условную плотность с. в. £' (0) при заданном значении £ (0) = и, то (7.2.2) можно записать в виде
(И) распределение с. в. М (Г) непрерывно в точке и0, т. е. Р {М (7) = и0\ = 0.
Доказательство, (i) Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением единичного интервала. Если £ (/) = и0, но / не является ни (строгим) выходом ни (строгим) входом, то это или соответствует касанию уровня и0 снизу или сверху, т. е. для некоторого е > 0 выполняется £ (/) <С u0 (>и0) для всех / С (4 — Е» /0 + е), или в интервале (/0 — е, /о) имеется бесконечно много выходов (что невозможно ввиду конечности Е (Nu (1)). Далее, для каждого фиксированного и вероятность наличия касаний уровня и снизу равна нулю. Чтобы убедиться в этом, обозначим через Ви число таких касаний уровня и в (0, 11, обозначим Nu = Nu (1) и предположим, что Nu + Ви ^ т, так что существует по крайней мере т точек tv .... tm, являющихся либо выходами за и, либо касаниями снизу. Поскольку |()CGU с вероятностью единица, то при достаточно больших п непосредственно перед каждой из этих точек tj должно иметься хотя бы одно пересечение уровня и — 1/п. Это означает, что Nu_\/n "^ т для всех достаточно больших п и, следовательно,
Nu + Ви < lim inf Nu-\in-
Применяя лемму Фату, получаем
Е (Nu) + Е (Ви) < lim inf Е (Nu.i/n) = Е (Nu),
если Е (Nu (1)) непрерывно. Поскольку Ви ^- 0, то мы заключаем отсюда, что BUe = 0 (с вероятностью единица). Аналогичное доказательство исключает и касания сверху, так что все и-значения являются либо выходами, либо входами (и притом строгими).
(И) Без ограничения общности возьмем 7=1. Поскольку
Р|М(1) = М<Р||(0) = и} + Р||(1)=Ы} + Р{Ви^1},искомый результат вытекает из соотношения Р \Ви„ = 0} = 1.
Пересечения нормальными процессами
До сих пор мы рассматривали совершенно произвольный стационарный случайный процесс || (Z); t^- 0}. Теперь мы остановимся на случае (стационарного) нормального, или гауссовского, процесса, понимая под этим, что совместное распределение случайных величин | (А), ..., £ (/„) является многомерным нормальным для каждого выбора п = 1, 2 ... и /п /2, .... /„. Без специальных оговорок мы будем предполагать, что процесс I (/) стандартизован так, что имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Ковариационная функция г (т) будет при этом равна Е (£ (/) | (/ + т)).
Очевидно, что г (т) — четная функция аргумента т, г (0) = = Е (В2 (/)) = 1. Поэтому если функция г дифференцируема в точке т = 0, то ее производная в этой точке должна быть равна нулю. Особый интерес для нас будет представлять наличие у г двух производных при т = 0. Если г" (0) существует (конечна), то она должна быть отрицательной, и мы обозначаем А, = —г" (0). Величина А, называется вторым спектральным .моментом, поскольку А2 = | A2dF(A), где F (А) — спектральная ф. р., т. е.
г (т) = [ e-iKx dF (А). Если г не является два раза дифференцируемой в нуле функцией, то [ АМЕ (А) = оо, т. е. А, = оо.
В случае А2 •< оо мы имеем представление
г(т) = 1 —^у—Ьо^) при т->0.(7.3.1)
Кроме того, можно показать, что А2 = —г" (0) < оо тогда и только тогда, когда процесс I (/) дифференцируем в среднем квадратичном, т. е. когда существует такой процесс {В' (01, для которого h~x (| (t + h) — В (0) -* V (0 в среднем квадратичном при h -► 0. Тогда
Е^Ч^ = 0. Var(I'(0) = -<(0),
с. в. 1(0 и В' (0 совместно нормальны и независимы для каждого L Кроме того,
Cov(B' (0, Г а+т)) = -г” (т).
Для использования в дальнейшем мы введем также величины Ао = J dF(^ = r(0) = 1 и А4 = J XMF (А),
где А4 = г<4) (0), если эта величина конечна. Сводку этих и связанных с ними свойств можно найти в книге Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 9).
Чтобы применить общие результаты о выходах к нормальному случаю, мы потребуем, чтобы процесс В (0 имел п. н.-непрерывные выборочные функции. Известно (Крамер и Лидбеттер (1969, разд. 9.5)), что если при т -> О
— г (т) = О (| In | т 11~°) для некоторого а>1, (7.3.2)
то процесс В (0 можно определить как непрерывный. Это очень слабое условие, которое всегда выполняется прн используемых
здесь и далее предположениях, например его выполнение определенно гарантируется, если функция г дифференцируема в начале координат или даже если 1 — г(т)^С|т|“ для некоторых а > О, С > 0.
В оставшейся части этой главы и в последующих главах мы будем рассматривать стационарный нормальный процесс, стандартизованный, как указано выше, и такой, что Х2 < 00• Тогда £ (0 и £' (/) — независимые нормальные величины, Var (£' (/)) = = Х2. Их совместная плотность
Рки. 2)=^1/2ехР(-4-(“2 + -У)
является пределом совместной плотности gq (и, z) случайных величин | (0) и t,q = q-1 (^ (у) — £ (0)), появлявшихся в теореме 7.2.4. Действительно, | (0) и t,q имеют совместное двумерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей
/ 1 q"Hrkq)-r(O))\\q"4r(q)-r(O)) 2q~2 (г (0) — г (q)))
При q -> 0 в соответствии с (7.3.1) q~v (г (у) — г (0)) ->■ 0, 2q~2x X (г (0) — г (q)) -► Л2, что влечет за собой сходимость совместной плотности £ (0) и ^q к р (и, z). Требующаяся в теореме 7.2.4 мажорируемая сходимость может быть легко установлена, и поэтому
Е kN и (1)) = J zp (и, z)dz = -^ Х^2 ехр (— ^ .о
Это и есть первоначальная формула Райса для среднего числа выходов нормального процесса. Подобная же аргументация показывает, что если процесс £ (/) недифференцируем в среднем квадратичном (т. е. Л2 = оо), то Е (Nu (1)) = оо, к чему приводит и формула Райса.
Тем не менее мы нуждаемся в несколько более общем результате относительно Jq (и), допускающем возможность возрастания и, и -► оо, при q -> 0. Докажем такой результат непосредственно, действуя по аналогии с доказательством теоремы 7.2.4, и на этом пути получим формулу Райса. Для упрощения обозначений используем нормальную структуру в явном виде, преобразуя переменные несколько отличным образом.
Лемма 7.3.1. Пусть {£(/)} — (стандартизованный) стационарный нормальный процесс с Х2 < °°, ы пусть р (= р (и)) = (1/2л) Х2/2 ехр (—и2/2). Пусть q 0 и значение и либо фиксировано, либо стремится при q -> 0 к бесконечности таким образом, что uq -> 0. Тогда
Jq(u) = q^P\Ш<и<Ш\ ~ р при q-»-0.
Доказательство. Запишем событие U (0) < ы < 5 (?)} в виде ПЕ(О) + U9) - 2и|< Х^- 5(0)}, т. е. (^-«К < (Q/2) ^}, где £х = (5 (0) + 5 (9))/2, ^=(^-1 Ш1- Случайные величины ^ и ^ некоррелированы, а следовательно, будучи нормальными с. в., и независимы. Их дисперсии равны соответственно of = (1 + г (q))/2 и of = 2 (1 — г (q))/q2. Поэтому
p"VQ (u) = (P9o2)-t ^ <р (4) Р (| ^ - и | < 4} dy = у=о
= (МОдОгГ1= (МОдОгГ1со и^-ду*!^=0 х=и—qy№со и^-ду*!^=0 х=и—qy№U^ехрU^ехр—L \ ф(!£±^4^ ^. (7.3.3) 2О1рИ 2л j Y \ Hi /—L \ ф(!£±^4^ ^. (7.3.3) 2О1рИ 2л j Y \ Hi /
= (МОдОгГ1
= (МОдОгГ1
со и^-ду*!
^=0 х=и—qy№
со и^-ду*!
^=0 х=и—qy№
U
^ехр
U
^ехр
—L \ ф(!£±^4^ ^. (7.3.3) 2О1рИ 2л j Y \ Hi /
—L \ ф(!£±^4^ ^. (7.3.3) 2О1рИ 2л j Y \ Hi /
Сомножитель в подынтегральном выражении, заключенный в фигурные скобки, можно записать в^виде
ехр(—4(1-of)—^-W-\dx.
2сг K^i J I 2af2af 8o, J
По теореме об ограниченной сходимости (oj -> 1, 1 — of = = Х2<у2/4 + о (у2), о2 -> 1 ^) эта величина стремится к единице. Заменяя uqxy на —uqy, видим, что подынтегральное выражение в (7.3.3) мажорируется интегрируемой функцией Ауе-ся* (для некоторых постоянных А, с > 0), так что применение теоремы о мажорируемой сходимости дает
Hmp-*Jg(u) = [4ехР (—-^-) Ф = 1-□
Результат Райса является теперь немедленным следствием из этой леммы.
Теорема 7.3.2 (формула Райса). Если {£ (/)} — (стандартизованный) стационарный нормальный процесс с конечным вторым спектральным моментом ^ (= -г" (0)), то среднее число выходов за любой фиксированный уровень и в единицу времени конечно и выражается формулой
£(/Vti(l)) = 4^/2exp(-4).(7-3.4)
(Поэтому все выходы являются строгими.)
Доказательство. Это утверждение вытекает из случая фиксированного и, рассмотренного в предыдущей лемме, и из части (iii) леммы 7.2.2.□
Приведенное исследование производилось с использованием выходов. Очевидно, что аналогичные результаты справедливы и для входов. В частности, среднее число входов также выражается формулой (7.3.4).
Максимумы нормальных процессов
При рассмотрении максимума стационарного нормального процесса | (/) мы обнаружим, что такой процесс удобно сравнивать с очень простым нормальным процессом |* (/), максимум которого вычисляется простым образом с использованием свойств выходов. Более точно, пусть т] и £ — независимые стандартные нормальные с. в. и
|* (/) = т] cos tot + t, sin tot,(7.4.1)
где <о — фиксированная положительная постоянная.
Ясно, что с. в. ^* (t) нормальна и что случайные величины |* (Д), .... |* (/„) совместно нормальны при любом выборе t^ (Это вытекает наиболее просто из того факта, что величина
S (aV (tt) нормальна при любом выборе it и с,.) Поэтому |* (f) — i=l
нормальный процесс и Е (|* (/)) = 0. Его ковариационная функция вычисляется непосредственно:
г (t) = Е Кч cos tot + ^sin tot) (т] cos ю(/ + т) +
+ £ sin to (/ + т))} = cos tot cos to (/ + t) +
+ sin tot sin to (t + t) = cos wt.(7.4.2)
Таким образом, процесс g* (t) является (как нормальный процесс) строго стационарным.
Обозначим теперь Т] = Л cos ф, £ = Л sin ф, 0 <: ф < 2л. Тогда |* (t) можно записать в стандартной косинус-форме
|* (/) = Л cos (tot — ф).(7.4.3)
Якобиан д (ч, £)/д (Л, ф) равен Л. Отсюда легко следует, что Л и ф имеют совместную плотность
!а,^х. у) = i*exp(_4")’ х>0’ °<У<2л.
показывающую, что Л и ф независимы, причем Л имеет распределение Рэлея с плотностью х ехр (—х2/2) (х > 0), а ф равномерно
Рис. 7.4.1. Выходы за уровень косинус-процесса g* (Q = Л cos (at — ф).
распределено в интервале [0, 2л). Поэтому выборочные функции процесса g* являются косинусоидами, имеющими угловую частоту to и независимые случайные амплитуду А и фазу <р.
Распределение максимума М* (Т) для этого процесса может быть получено из геометрических соображений. Однако более поучительно (и проще) использовать свойства выходов.
Лемма 7.4.1. Для косинус-процесса £* (О, заданного соотношением (1А.^,
Р{М*(Т)<н} = Ф(н)--^ехр(--£)(7.4.4)
для 0<Т< л/(о и и > 0.
Доказательство. Для процесса е* (/), очевидно, Х2 = в?. Обозначая через N = N„ (Т) число его выходов за уровень и в интервале (0, Т), имеем
£W—^«,(-4-)(7.4.5)
И
Р\М*(Т)>и\ =P^*(0)>u} + P|g*(0)<u, N> 1}.
Возьмем теперь шТ < л. Тогда если £* (0) > и > 0, то первый выход за и будет наблюдаться после момента t = л/со (см. рис. 7.4.1), и поэтому множество {У >• 1, £* (0) > и} пусто, так что
Р{£*(0)<н, #>!} = .₽ (#>!}.
Таким образом, поскольку N = 0 или 1, то
Р\М*(Т)>и\ = 1 -Ф(и) + Р{У> 1} = 1 - Ф(и) + £(Л0 =
= 1_ф(и) + ^.ехр(-4).(7-4.6)
что равносильно (7.4.4).□
Интересен и будет в дальнейшем использован тот факт, что в случае косинус-процесса £* (/) для фиксированного 1г, 0 < << toh << л.
Р_[Л1ЧЛ)>М}АфИР_[Л1ЧЛ)>М}АфИ(^)№(^)№при и—> оопри и—> оо(7.4.7)(7.4.7)
Р_[Л1ЧЛ)>М}АфИ
Р_[Л1ЧЛ)>М}АфИ
(^)№
(^)№
при и—> оо
при и—> оо
(7.4.7)
(7.4.7)
(поскольку 1 — Ф (tz) ~ q («)/« и Х2 = в?). Как мы увидим, этот предел в действительности имеет место и при гораздо более общих предположениях.
Как указывалось выше, в следующем разделе нам будет желательно сравнивать с рассмотренным частным процессом стационарный нормальный процесс общего вида. Такое сравнение будет производиться на основании следующего простого следствия из нормальной леммы сравнения (см. Слепян (1962)).
Теорема 7.4.2 (лемма Слепяна). Пусть {£г (<)} и (£2 (0} —' Н0Р" мальные процессы (обладающие непрерывными выборочными функциями, но не обязательно стационарные). Предположим, что эти процессы стандартизованы, так что Е (^ (t)) = Е (^ (t)) = О, ^(61 (0) = ^(Й (0) = 1, « пусть pi (t, s), р2 (t, s) — их ковариационные функции. Предположим, что для некоторого 6 > О мы имеем р, (t, s) ^. р2 (t, s) для всех 0 <; t, s <. 6. Тогда соответствующие этим процессам максимумы Mv (0 и М2 (t) удовлетворяют для всех 0 <; Т <; 6 соотношению
PVM^T)<u)>PVMdT)<u).
Доказательство. Определим величины A/V1 и М^. связанные с ^ (t) и £2 (t), как и в лемме 7.1.1, взяв qn = 2-п. Тогда с вероятностью единица Afn* f Mi (Т), так что {ТИп*1 С и) | |7И1 (Т) <^ <: ы}, и поэтому Р (Atn1 <; и) -> Р {7И1 (Т) ■< и) при п -»■ оо. Аналогично Р (М„2) < и\ -*■ Р (Мг (Т) < и). Но, как ясно из следствия 4.2.3, Р {Л1^2) <i и\ < Р (Мп’ < и), откуда и вытекает нужный результат.
Маркированные пересечения
Материал оставшейся части этой главы не будет использоваться вплоть до гл. 9 и следующих за ней глав. При желании читатель может перейти непосредственно к гл. 8, возвратившись к этому разделу, когда это понадобится.
Рассмотрим ситуации, когда мы регистрируем не только момент выхода, но также и значение какой-нибудь другой случайной величины, связанной с этим выходом. Мы можем, например, интересоваться значениями производной £' (1,) в точках выходов £ (t) за уровень и или значениями £ (s,) в точках s, входов
производной £' (•) под нулевой уровень, т. е. в точках, где £ (t) имеет локальный максимум. Мы будем говорить о них как о маркированных пересечениях и рассматривать, скажем £' (7J и £ (sj, как метки (или марки), приписываемые пересечениям в точках t, и s,. Изложим здесь методы работы с такими метками, подобные тем, которые привели нас к формуле Райса (хотя и несколько более сложные).
Через {£ (t); t ^ 0} и (т) (Z); t > 0} будем обозначать совместно стационарные процессы, имеющие непрерывные выборочные функции, и рассмотрим пересечения уровня процессом (f), маркированные посредством т] (t). В приведенных выше примерах в качестве t, (t) выступали бы соответственно £ (I) и £'(/), а в качестве т] (f) соответственно V (t) и £ (f). Пусть {^} — выходы процесса £ (0 за уровень и, и пусть для произвольного интервала А величина Nu (Г, Л) равна числу таких t, в 7, для которых т] (^) Е Е А. Мы будем писать Nu (Г; Л) = Nu ((0, Г]; Л). Обозначения Nu (I), Nu (Т) будут иметь тот же смысл, что и прежде, например Nu (7) = Nu (I; (—оо, оо)).
Определим, далее,
J^u\A) = ^P^<u<W, П(0)€Л}.
Лемма 7.5.1. Пусть I — ограниченный интервал, qn->0 при п-* -> оо, и пусть Nn (Л) — число таких точек вида jqn Е 7 (с (j — — 1) qn Е 7), для которых
£ ((/ - 0 <7п) < « < £ (/7п) и Т] ((/ — 1) qn) Е А.
Тогда
если А — открытый интервал, то
liminf УП(Л)> Уи(7; Л) п. н.,
если для каждого и
Р {£ (I) = и, т] (I) = v для некоторого t Е 7} = 0,(7.5.1)
то для любого интервала А
ПцЦ; Л) = ИтУп(Л) п. н.,
если А — открытый интервал, то
Е(Ыи(Р, Л))<11ттГ£(^„(Л)),
и если выполнено (7.5.1) и Е (Nu (1)) < оо, то E(Nn(A))-^E(Nu(h И)) и для 7 = (0, 1 ]
E(NU(P, Л)) = Ит7д(ы; Л).
7 Лидбеттер М. и др.
Доказательство, (i) Предположим, что Ми Ц; Л) ^ т и что £ (Z) имеет выходы за уровень и в точках tu .... Zm, принадлежащих внутренности интервала I, и при этом т] (t,) ЕЛ, i = 1, .... т. (Ввиду непрерывности распределения £ (Z) в концевых точках интервала / выходов нет.) Поскольку выборочные функции т] (t) непрерывны, а интервал Л открытый, можем окружить указанные точки it непересекающимися подынтервалами (^ — е, Z, + е) из I, в которых т] (t) Е Л. Отсюда, как и в доказательстве леммы 7.2.2 (ii), следует, что lim inf Nn (Л) > т.
) Предположим сначала, что Nu Ц; Л) = m ■< со, и пусть tv .... tm такие же, как и в п. (i). Если (а, Ь) —внутренность интервала Л, то в силу (7.5.1) т] ((,) не могут равняться ни а ни Ь, так что т] (fj) Е (а, Ь), и мы поэтому можем взять непересекаю- щиеся интервалы (^ — е, 7t + е), в которых i] (Z) Е (а, t>Y Введем обозначение Jn для множества таких /", для которых и (/ — 1) qn и /<7п принадлежат (fj — е, fi + e) для некоторого I, и /„ — для множества таких /, для которых (/—1)^п и jqn принадлежат I, но / ^ Jn. Ясно, что tt является единственным выходом £ (Z) за уровень и для t £ (Д — е, Ц + в) и, следовательно, по лемме 7.2.1 (i)
lim sup 2 X;^m>(7.5.2)
где
/ 1, если U(j — l)9n)<«<^(jqn) и ^((j — l)qn)£A, ^ I 0, в противном случае.
Кроме того, если
lim sup £ Xz>0,
то для произвольно больших n существуют jn E Jn c Xln = 1 и, следовательно, такая последовательность целых чисел |п|, что jnqR с т^ (<j — е, U + е), i = 1, ..., т, и Х/й = 1- Из непрерывности т] (Z) следует, что т] (т) Е [а, Ы, и поэтому, согласно (7.5.1), т] (т) Е (а, 6). Итак, т] (f) Е (а, Ь) с А при Z Е Е (т— е', т + е') для некоторого е' > 0, которое можно взять столь малым, чтобы f, ^ (т — е', т + е'), i = 1, ..., т. Далее, для достаточно больших п величины (/„ — 1) qn и jnqn принадлежат (т — е', т + е'). Следовательно, по лемме 7.2.1 (i) £ (t) имеет выход за уровень и в (т — е', т + е'), что противоречит предположению Nu (7; А) = т. Это показывает, что
lim sup 2 Xz = O,
а это вместе с (7.5.2) доказывает, что lim sup Кп (Л) ■< Nu (I; Л) п. н. Поскольку к тому же из (7.5.1) вытекает, что Vu (/; Л) = = Л'^ Ц; (а, Ь)), то часть (i) дает
liminfV„M)>liminf7V„((a, b))>Nu(U (a, b^ = Nu(I; Л). fl-*CDЛ-^-ОО
Поэтому Кп (Л) ->- Nu Ц; Л) = т < оо п. н., как и утверждалось. Если Nu (/; Л) = оо, то искомое заключение вытекает из части (i) с заменой Л на (а, Ь), поскольку Nu (I; Л) = Nu (/; (а, й)) согласно (7.5.1).
(Hi) Первое зактючение сразу вытекает из леммы Фату и части (i), в то время как из части (ii) следует, что Е ^и (/; Л)) = = lim Е (Nn (Л)), поскольку Ап (Л) ■< Nu (/) и Е (Л'и (/)) < оо по предположению. Далее, если I = (0, 1), то существует приблизительно q^ точек jqn Е 7, так что
E(NnU^~qnE(Xi) = Jqn(u; Л).
Поскольку последовательность {рп} произвольна, отсюда получаем последнее утверждение в (iii).□
Мы вычислим теперь предел для Jq (и. Л) в случае, когда £ (t) и т] (f) совместно нормальные процессы с нулевыми средними. Пусть г (7) обозначает ковариационную функцию процесса £ (/), и Хд = г (0) = var (£ ^. Как отмечалось ранее, если процесс £ (£) дифференцируем в среднем квадратичном, то 7^ = —г" (0) = = Var (£' (0) < оо, случайные величины £ (f) И £ (/') независимы при каждом t и нормальны, а их совместная плотность равна
р (и, г) = ^,/2<р («Х5*/2) лз^^ф №•(7.5.3)
Кроме того, можно показать, что три процесса {и (/)}, {£' (/)) и {т] (/)) совместно нормальны и что их ковариации и взаимные ковариации могут быть получены как пределы, например
Cov (Г (7), ц (7 + т)) = lim Е (hr' (£(7 + А) - £ (0) П (7 + т)).
h-H>
Мы можем определить также усчовные распределения, используя отношения функций плотности, когда они существуют. Например, для измеримого множества Л мы определяем
/Ч71(0)ЕЛ|£(0) = и, И0)=г}= J
V^A
где Peto), v (0). п (0)—функция плотности случайных величин ? (0), t (0), т] (0). В последующем условные вероятности всегда будут пониматься определенными именно таким образом.
7*
Лемма 7.5.2. Пусть {S (f)\ и {т] (f)\ такие совместно нормальные процессы с нулевыми средними, что с. в. S (0), S' (0), т] (0) имеют невырожденное распределение. Предположим, кроме того, что {т] (/)) имеет непрерывные выборочные функции и что S (О дифференцируем в среднем квадратичном. Тогда для любого измеримого множества А и любого и
Hm J^u-, А)= {гр (и, z) Р h (0) G Л |^ (0) = и, V (0) = z) dz.
Доказательство. Обозначим т] = т) (0) и введем, как и в теореме 7.3.1, независимые нормальные с. в. Si = (S (0) + S (?))/2, S2 = = (S (?) — S ^lq с дисперсиями of = (г (0) + г (?))/2, of = 2 (г (0) — г УМф. Заметим, что
Jq^ Л) = ^/>{^1 - «|<-ф-, 71£Л} =
cd u+qz/2
иJ\ VI /\ °2 /
z=0 x=u—qzf2
X P {r] £ A | Ci = x, ^=z\dxdz =
z=0x=— 1
хРкЖ = и + ^-Л=гк<1г. (7.5.4)
Чтобы найти предел условной нормальной вероятности
{-пелi^i = у, ^2 = z\
при q -> 0 (и и -* и), заметим, что, поскольку {S (0} и {т] (/)) — совместно нормальные процессы, условное распределение с. в. т] = т] (0) при заданных значениях Si = (S (0) + S (?))/2 = и и
= (S (?) — S (0))/? = г также нормальное и имеет среднее mq (у, z) = Е (т]) 4- ш?2 Cov (т], Si) + га? Cov (л, S2)
и дисперсию
Vq = Var (т]) — о?2 Cov2 (7], Si) - a? Cov2 (т], S2),
см., например, Рао (1973, с. 467).
Поскольку Si -* S (0) и S2 ^- S' (0) в среднем квадратичном при q -*■ 0, отсюда следует, что Cov (т], Si) Cov (т] (0), S (0)), Cov (т], S2) -► Cov (т] (0), S' (0)) при q ->- 0. Поскольку к тому же ст2 ^о = г (0) = Var (S (0)), о2 Х2 = —г" (0) = Var(S' (0)), и с. в. S (0), S' (0), т] (0) невырождены по предположению мы имеем
Var (т]| £ (0), С' (0)) = Vo = Hm V, > 0. Обозначая mq — = mq (и + kqz]2, г), имеем
£ Cn I £ (°) = и, V (0) = z) = m0 = lim mq, v—о
и поэтому мажорированная сходимость дает нам, что для всех х И Z
р{чел|£1 = 11+^-. k=4 = [-^Фр^]*-
С ’ <p[^Ll^ = P{n(0)6X|S(0) = «, Г(0) = г} J V Го L V Го J
А
при q -*■ 0. Опять из мажорированной сходимости следует, что /ф(н; Л)-*
2^0 ^ ^ L г *2 J к *о L г *0 J
что в силу (7.5.3) и является заключением леммы.□
. Локальные максимумы
В качестве применения теории маркированных пересечений, мы завершим эту главу некоторыми комментариями относительно локальных максимумов. Чтобы избежать технических сложностей, предположим, что процесс {; (0} стационарный и нормальный и в дополнение имеет выборочные функции, которые с вероятностью единица всюду непрерывно дифференцируемы. Достаточные условия дифференцируемости можно найти в книге Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 9), и они требуют чуть большего, чем конечность второго спектратьного момента К,; см. условие (7.3.2) непрерывности выборочных функций.
Ясно, что при этих условиях процесс £ (0 имеет в точке /0 локальный максимум в том и только в том случае, когда £' (О имеет в этой точке вход под нулевой уровень, и поэтому целый ряд результатов для локальных максимумов может быть тривиально получен из соответствующих результатов для входов.
В частности, чтобы процесс | (/) имел лишь конечное число локальных максимумов в конечном интервале времени, достаточно, чтобы Х4 = г<4> (0) < оо, где Х4 — четвертый спектральный момент j ^dF (К).
Если Х4< оо, то ^ (t) имеет также вторую производную в среднем квадратичном £" (/) и случайные величины £ (/), £' (/), £" (0 совместно нормальны, имеют нулевые средние и ковариационную матрицу
/ Хо О —Х2\
I о х2 о ,
\—Ху 0 Хд/
где мы предполагаем Хо = 1. Кроме того, если £ (0 не имеет вида £ (0 = Л cos (tot — у), то £ (f), £' (f), £" (t) имеют невырожденное распределение. (Действительно, определитель указанной ковариационной матрицы равен
Х2 (Х0Х4 - X2) = Х2 у dF (X) J X4 dF (X) - (j* X2 dF (X))2), и обращается в нуль, если F сосредоточено в двух симметричных точках.) Если Х4 << оо, то мы имеем также аналог формулы (7.3.1) Cov (£' (0, £'(t + т)) = —г" (т) = Хг^- Х4т2 + о (т2) при т -► О, и производя нормировку к единичной дисперсии, получаем
Cov (К^Ч (t), Х2,/2^ (t + т)) = 1 - -L ^ г2 4- о (г2) (7.6.1)при т-*0.
Будем временно использовать обозначение N' (Т) для числа локальных максимумов процесса £ (0 в интервале 0 < t ^ Т. Поскольку N' (Т) есть в точности число входов £'(t) под нулевой уровень, мы получаем из (7.6.1) и формулы Райса (7.3.4), что ожидаемое число локальных максимумов в (О, Т1 равно
Е(ЫЧТ^ = ^(^у\
В гл. 9 мы будем изучать высоты и положения высоких локальных максимумов. Пусть N'u (Т) обозначает число таких локальных максимумов процесса £ (f) в (О, Т), высота которых превосходит и. В прежних обозначениях если £ (0 имеет локальные максимумы в точках {s0, то N'u (Т) — число тех из s, Е (О, Т), для которых £ (sj > и.
Лемма 7.6.1. Если (t) —стационарный нормальный процесс с непрерывно дифференцируемыми выборочными функциями, имеющий вторую производную в среднем квадратичном £" (0 с Var(£" (0) = Х4 <^ оо и такой, что случайные величины £ (0, £' (0. ^" (0 имеют невырожденное распределение, то
E(N'U(T^ = T J J |z|p(x, 0, z)dzdx, (7.6.2)
аде р (х, у, г) — совместная плотность для £ (0- s' (О» ь" (О, (И) в предположении, что £ (/) стандартизован и имеет нулевое среднее и единичную дисперсию.
+ (2лМ,/2Ф(«)Ф[з^)).+ (2лМ,/2Ф(«)Ф[з^)).(7.6.3)(7.6.3)
+ (2лМ,/2Ф(«)Ф[з^)).
+ (2лМ,/2Ф(«)Ф[з^)).
(7.6.3)
(7.6.3)
где D = Л4 — Xf.
Доказательство. Воспользуемся леммами 7.5.1 и 7.5.2, отождествляя £ (0 с —£' (0 и т] (/) с ^ (0- По предположению {£ (ОГ и {Т1 (01 удовлетворяют условиям леммы 7.5.2 с Var (£' (^ = Х4, так что для любого открытого интервала А
lim Jq (0; Л) = ( zk io), г Ю) (0, z) Р (т) (0) 6 А | £ (0) = 0,
о
t/(0) = z} dz = £ |г|р(0, г)Р{£(0)€Л|И0) = 0,Z®—СО
Г(0) = г}&, (7.6.4)
где fj (0), f (о (х, z) = р (—х, —z) — совместная плотность для (0), £' (0) (= —£' (0), —£' (0)). В силу теорем 7.2.5 и 7.3.2 все точки t, для которых t, (/) = £' (0 = 0, являются либо точками (строгих) выходов, либо точками (строгих) входов. Если обозначить через No (Т, Ее) число тех максимумов в (0, 74, высоты которых принадлежат интервалу Ек = (и — е, и + в), то
Р {Г (0 = 0» £ (0 = и Для некоторого t £ (0, 7)} ■<
<2E(^(T; V£))<2niminfJQ(0; VE), vio
поскольку Е (Nn (VE)) ~ J,n (0; Ее). Согласно (7.6.4), правую часть можно сделать сколь угодно малой путем выбора достаточно малого е. Поэтому Е W и т] (/) удовлетворяют условию (7.5.1) и, в силу леммы 7.5.1 (iii) и стационарности,
E(N0(T; (и, оо))) = ТЕ (7VO(1; (ы, оо))) = Т lim Jq (0; (и, оо)). v-*o
Подставляя теперь
РШаи, оо)|£'(0) = 0, ^(0) = г} = ур-^М^
в (7.6.4), получаем часть (i) леммы.
Часть (ii) получается после некоторых вычислений подстановкой в (7.6.2) выражения для нормальной плотности
р(х, О, г) = (2л)"3/2 (ад-1/2 ехр {-№+^±^1}.
Глава 8
Максимумы дифференцируемых в среднем квадратичном нормальных процессов
В настоящей главе будет изложена теория максимумов дифференцируемых в среднем квадратичном стационарных нормальных процессов, использующая простые условия и приводящая к результатам, аналогичным полученным в гл. 4. Эго будет достигнуто на основе свойств пересечений, полученных в предыдущей главе, и даст в результате предельное двойное экспоненциальное распределение для максимума при соответствующей нормализации параметров масштаба и положения, аналогичной нормализации в гл. 4.
Существует много важных нормальных процессов, не являющихся дифференцируемыми (например, процесс Орнштейна— Уленбека), и в гл. 12 мы изложим общую теорию для экстремумов нормальных процессов, включающую и многие недифференцируемые процессы в качестве частных случаев.
По-видимому, полезно рассмотреть регулярный случай отдельно, поскольку доказательства здесь существенно проще благодаря лемме Слепяна, позволяющей провести сравнения с ко- синус-процессом из разд. 7.4.
Условия
Всюду в этой главе будем предполагать, что {£ (0; ^ > 0} — стационарный нормальный процесс с £ (£ (t^ = 0, Е (£2 (/)) = 1, Е (£ (/) £ (/ + т)) = г (/), у которого спектральный момент Х2 =
—г" (0) существует и конечен. Это равносильно требованию конечности среднего числа пересечений в единицу времени лю-
бого уровня (теорема 7.3.2), а также равносильно тому, что ковариационная функция имеет следующее представление:
г(т)=1—^-Ч-о^2) при т->0.(8.1.1)
В гл. 12 рассматривается более общий класс процессов, имеющих ковариационную функцию вида
г(т) = 1 — С|т|°4-о(|т|°) при т^-0,
где 0 < а <С 2. Этот класс содержит регулярные процессы как частный случай а = 2, в то время как а < 2 влечет за собой Х2 = = оо; тогда процесс недифференцируем и имеет бесконечное среднее число пересечений.
Как и для нормальных последовательностей (для М (7) = = sup {£ (/); 0 <С t -С ^Ь введенной в гл. 7), мы получим двойной экспоненциальный предел
Р |аг(Л1(Т) — 6Г)<^х)ехр(—е-*) при Т—>оо при слабом условии
г (t) In t -► 0 при / оо.(8.1.2)
Оно является непрерывным аналогом условия (4.1.1) и будет использовано для вывода варианта леммы 4.3.2 перед началом основного изложения. Еще более слабые условия, соответствующие (4.5.4), будут изучаться в гл. 12. В частности, эти условия охватывают случай J г2 (/) df < со, изредка упоминаемый в ли- о
тературе.
В следующей лемме мы будем рассматривать уровень и, который возрастает с ростом периода времени Т таким образом, что среднее Е (Nu (Ё)) остается постоянным, т. е. остается постоянным произведение Тц, где ц = Е (Nu (1)) = (1/2л) ЛУ2х Хехр (—и2/2).
Чтобы найти асимптотическое распределение с. в. М (7) — максимума непрерывного процесса, — удобно аппроксимировать процесс последовательностью {£(&?); к = 1, 2,...}, получаемой выборкой значений процесса в точках (kq\ к = 1, 2, ...}, где мы полагаем q -► 0 при и -► оо (или, что равносильно, Т -> оо). Скорость убывания q (как описывается в лемме 8.1.1) будет следствием компромисса между двумя требованиями. С одной стороны, аппроксимирующий процесс должен приближать исходный непрерывный процесс достаточно хорошо, а с другой — точки kq должны быть удалены друг от друга на достаточное расстояние, чтобы избежать слишком сильной зависимости между последовательными значениями £ (kq), £ ((к + 1) q)- Утверждение о том, что
«некоторое свойство выполняется, если ф = ф (ы) | 0 достаточно медленно», следует понимать в том смысле, что существует функция 1р0 (и) | 0, для которой это свойство выполняется, и оно сохраняется для всякой такой функции ф (ы), для которой ф (и) -► 0, но ф0 (и) -Сф (и) при и -► оо. Следующий результат является обещанным непрерывным аналогом леммы 4.3.2.
Лемма 8.1.1. Пусть задано е > 0.
Если г (/) -► 0 при t -► оо, то sup Ц г (t}; | /1 > в} = 6 < 1. (ii) Предположим, что выполнены оба соотношения (8.1.1) и (8.1.2). Пусть Т ~ т/ц, где т фиксировано, а у = Е (Nu (1)) = (1/2л)ХГ2 X X ехр (—ы2/2), так что и ~ (2 In Т}'1'2 при и -► оо (кок легко проверить} . Если qu = q (и} и ^ 0 достаточно медленно при и -► оо, то
^ S 1г^)|ехр{^“^^О приТ-^оо.
e^kq^T
Доказательство. (1) Как и в дискретном случае (см. замечания, предшествующие лемме 4.3.2), если г (t) = 1 для какого-нибудь t > 0, то г (t) = 1 для произвольно большого количества моментов t, что противоречит условию г (/) -► 0. Поэтому | г (0 I <С 1 для |/| ^- е, и поскольку г (/) непрерывна и стремится к нулю при /->-оо, то значения ] г (Z) ] должны быть отделены от единицы при |/|>-е, откуда следует (1).
Как и в дискретном случае, выберем постоянную Р таким образом, чтобы 0 <С Р <С (1 — Ф/(1 + 6). Вводя К как общее обозначение для различных постоянных, получаем
q 2 k№)lexP { 1 + |г(^)|}^
ГР+1 |„2 1Г₽+12/(1+в)
< g2 ■ exp | I+6J —^ H
(In T) T(In T) TP+1—2/(l+6)P+1—2/(l+6)К y,p+l-2/(l+6) / К q^q^u2
(In T) T
(In T) T
P+1—2/(l+6)
P+1—2/(l+6)
поскольку, как отмечалось, u2 ~ 2 In T. Если у выбрано так, что 0 < т < (1 — 8)/(1 + 6) — Р, то последнее выражение мажорируется величиной К ^quYaT~'», которая стремится к нулю, если uq -► 0 медленнее, чем Т~^/2 «.К ехр (—уы2/4)). Поэтому эта сумма стремится к нулю. Записывая
[ у2 )/2\ Г у2 I г (^4)1 1
ехр -T+pWJ = ехр еХр h+JTWP
мы видим, что остальная часть суммы не превосходит
ехр (—ы2)2 ।г ^1 ехР ^21r ^М"
T^<kq<iT
Опять, как в дискретном случае, если 6 (/) = sup |r (s) In s], s>/
то 6 (Z) -► 0 при Z —> оо, и для s > t > 1 мы имеем | г (s) | ^ <; 6 (Z)/ln s <; 6 (Z)/ln I. Поэтому для kq ^- Т6 выполняется u2 |r (kq) | <С К I n Тб (Т₽)/1п Т6 = (К/^) 6 (Т6), что стремится к нулю равномерно по к. Следовательно, экспоненциальная составляющая ехр {ы2|г(^)|| обязательно ограничена по (к, и). Таким образом, достаточно показать, что
— ехр (—и2) S ИМ-»-0 при Т^-оо.
T^<kq<T
Но это выражение не превосходит величины
К 21Т-1 — ^М < К^1_q 1 Мптв х ч^ *
которая снова стремится к нулю, если qu -► 0 достаточно медленно (т. е. медленнее, чем 6 (ТР)1/2).
8.2. Двойное экспоненциальное распределение максимума
Доказав вспомогательную лемму 8.1.1, приступаем теперь к основному выводу результатов об экстремумах в предположении, что существует г" (0) (т. е. Х2 < оо) и выполняется (8.1.2). Условие Х2 < оо гарантирует, что точечный процесс выходов за уровень и будет иметь конечную интенсивность. Случай ^ = оо также представляет интерес и будет, как указывалось, исследован в гл. 12. Однако он требует использования более сложных методов.
Наш основной метод состоит здесь в разбиении интервала (О, Т) (где Т возрастает) на п участков фиксированной длины h (п = = \T[h\). Тогда, очевидно, М (Т) будет близким к значению М (nh.) максимума из п случайных величин £, = М ((j — 1) h, jh), j = 1, 2, ..., п ({^| образуют стационарную последовательность). Поэтому можно ожидать, что методы, использовавшиеся для последовательностей, могут быть применены и здесь. Это действительно так (хотя мы будем строить наши доказательства иначе, чтобы они лучше соответствовали поставленным целям).
Таким образом, не удивительно, что хвост распределения с. в. t,b т. е. Р {М (А) > и) (для фиксированного h), играет здесь центральную роль. В действительности для этой хвостовой вероятности сохраняется та же самая асимптотическая формула (7.4.7), которая была у специфического процесса £* (/) = = т] cos tot + £ sin tot. В этой главе будет достаточно получить следующий более слабый результат. При этом мы используем лемму Слепяна (теорема 7.4.2) для сравнения максимумов £ (t) и £* (t)
по типу процедуры, первоначально использованной Берманом (1971а).
Лемма 8.2.1. Предположим, что (стандартизованный) стационарный нормальный процесс {6(01 удовлетворяет (8.1.1). Тогда в прежних обозначениях
для всех h> 0 выполняется Р |7И (К) > и\ ^ 1 — Ф (и) + р/г, так что
lim sup Р (М (h)> u}/(yh) <^ 1,
для заданного 6 < 1 существует такое h0 = h0 (6), что для 0 h h0
Р {М (К) > и^ > 1 — Ф (и) + брА,(8.2.1)
так что lim inf Р \М (К) > u\/(yh) ^ 6 для 0 -^ h ^ h0 = h0 (6).
Доказательство. Заключение (i) вытекает из того, что
PVM(h)>u)<P\U<d)>u)A-PVNu(h)>\)<
<\-Q>(u)-VE(Nu(h)Y
Второй результат (ii) легко получается из леммы Слепяна (теорема 7.4.2) путем сравнения с простым процессом £* (0, заданным соотношением (7.4.1). Действительно, если со = бХ^2, то в соответствии с (8.1.1) мы имеем г (0 -^ cos tot для 0 <^ I <С <С /г0 < л/ш (^о = ^о (б) > б). Но это показывает, что ковариационная функция процесса 6 (О мажорируется на отрезке [0, /г0 ] ковариационной функцией процесса 6* (0> и поэтому Р \М (h) > > и\ L> Р |А1* (К) > и\ для h <.h0 (где М* то же, что и в (7.4.4)), что и дает (ii).
Наша оставшаяся задача состоит в том, чтобы аппроксимировать максимум М (Т) (для возрастающего Т) максимумами по соответствующим отделенным друг от друга интервалам фиксированной длины и показать, что максимумы на этих интервалах асимптотически независимы. Сначала мы приведем простую, но полезную лемму. В ней Ми и N^ для q > 0 будут обозначать число выходов за уровень и в фиксированном интервале / длины h процесса {6(0} и последовательности {6 (^)| соответственно. Более точно, N^ — число таких kq € /, для которых (к — 1) ^6 С / и 6 ((X — 1) у) < “ < 6 (kq) (см. лемму 7.2.2 с q вместо qn и Nn= N^n^.
Лемма 8.2.2. Если выполняется (8.1.1) и qu -► 6 при и->-оо, то в предыдущих обозначениях при и оо
Е(^Л = hy 4-о (и),
Р {М (/) < и) = Р {g (kq) < и, kq Е /} 4- о (у),
где каждая о (дхусоставляклцая равномерно мала во всех таких интервалах I длины h <С Ао для любого фиксированного Ао > 0. Доказательство. Число точек kq € I с (А — 1) q € I, очевидно, равно (Л/^) — р, где 0 <; р <С 2. Поэтому из леммы 7.3.1 вытекает, что
Е (N^ = (А + р) Р |g (0) < и < £ (<?)} = (А + р9) J, (и) =
= HA(1+O(1)) + O(W),
где Jq (и) определяется соотношением (7.2.1), а о- и О-составляю- щие равномерны по А, так что (1) очевидным образом выполняется с о (р), равномерным в интервале 0 <^ h ^ h0.
Для доказательства (ii) заметим, что если а — левая концевая точка интервала /, то
0<.Р X^ytq^^u, kq£I\ — Р\М (h)^u\
^P\\(a)>u\ + P{l(a)<u, Nu>\, N^ = 0\< < (1 - Ф (и)) + Р VNU - N^ ^ 1}.
Первое слагаемое в правой части имеет порядок о (<р (и)) = о (р) независимо от h. Поскольку ^Nu — N^) — неотрицательная целочисленная случайная величина (см. лемму 7.2.2 (1)), то второе слагаемое не превосходит Е (Nu — N^, а эта величина в силу (1) имеет порядок о (р) равномерно в (0, Ао]. Следовательно, выполняется (ii).□
Устремим теперь и, Т -► оо таким образом, чтобы Гр -► т > 0. Зафиксируем А > 0 и возьмем п = \Т]ИД. Разобьем интервал [0, nh\ на п участков длины h каждый. Зафиксируем е, 0 < ■< е «< А, и разделим каждый участок на два — длиной К — е и е соответственно. Сделав так, мы получаем п пар интервалов Л, /*, ..., /„, In, поочередно имеющих длины h — е и е и составляющих в совокупности интервал [0, У1, за исключением остающегося еще одного участка, содержащегося в паре 1п-н, 1гцл. Лемма 8.2.3. Пусть q > 0, и > оо при Т ->- оо таким образом, что qu > 0 и Ту * т > 0. Тогда
(i)limsup P^Af^U/^j^00P^tkqXu, hq^U Ij\I1 Jи — P \ M (nh) ^ и | ^ -^- e,= P ( и M(\ 1/j(i)limsup P^Af^U/^j^00P^tkqXu, hq^U Ij\I1 Jи — P \ M (nh) ^ и | ^ -^- e,= P ( и M(\ 1/j
(i)limsup P^Af^U/^j^
00P^tkqXu, hq^U Ij\
I1 J
и — P \ M (nh) ^ и | ^ -^- e,
= P ( и M
(\ 1/j
(i)limsup P^Af^U/^j^
00P^tkqXu, hq^U Ij\
I1 J
и — P \ M (nh) ^ и | ^ -^- e,
= P ( и M
(\ 1/j
Доказательство. Для вывода (i) заметим, что
0 ^Р |л1 ^ у 1^ -^ы| — Р {УМ (nh)^Cu\ <;
с пр \м (/;)>«} ~ ^(/;)>^, 1, hfie ’
поскольку п = \TlhA ~ т/(р/г). Поскольку Ц имеет длину е, формула (i) вытекает из леммы 8.2.1 (i).
Для доказательства (п) заметим, что выражение, стоящее в (ii) слева, неотрицательно и мажорируется суммой
2 (Р {£ (^) <и, ^€ /,} — Р\М (/,) <и}), 7=1
которая в силу леммы 8.2.2 (ii) не превосходит по (р) = \Tlh\X Хо (р) = о (1) (о (р)-составляющая равномерна в интервалах /,), что и требовалось доказать.□
Следующая лемма, влекущая за собой асимптотическую независимость максимумов, формулируется в терминах условия (8.2.2), приведенного ранее в лемме 8.1.1.
Лемма 8.2.4. Предположим, что г (f) ->- 0 при t -► оо и что
— V |r(feo)lexp{1 । У м(8.2.2)
q м р t 1 + |г(&7)| Jv 1
t<kq^T
при Т -► оо и и -► оо для каждого е > 0 « некоторого q, для которого qu -► 0. Тогда если Тр->-т, то
Р (kq) <и, kqQU Ij\ — ILP\№)<u, kq^I^-*O, I1 J 7=1
limsup P \£(kq)<.u, kq^ /Л — Pn {M (A)<h} r->oo /=1
для каждого e, 0 < e < h.
Доказательство. Чтобы доказать (i), используем следствие 4.2.2 п
и сравним максимум из £ (kq), kq £ U Ij, при исходной ковариационной структуре с максимумом из $ (kq) в предположении, что случайные величины, соответствующие различным интервалам Ij, независимы. Чтобы формализовать это сравнение, обозначим через Л1 = (М,) ковариационную матрицу с. в. £ (kq), kq € € U 1{, и пусть Л° = (kij) — модификация этой матрицы, получаемая помещением нулей во все ее недиагональные блоки (такой вид ковариационная матрица Л1 имела бы, если бы соответствующие группы с. в. были независимыми друг от друга). Например, для п = 3
Ац ■ Ац ; Л13
Л1 =Л1 =Ал ! Агг ! А23 ,
Л1 =
Л1 =
Ал ; Лзг ■ Л33
Из (4.2.3) мы получаем
рЬ(^)<“, kq^ U lA-flP\l^<u, kq£lj\ <
I1 J /=1
<i Z l^-^/ld-p^^pC—n^y)*<8-2-3)
n
где L— суммарное количество kq-точек в (J /у, a p,y = ]Xl/|.
Поскольку все слагаемые c i, / из одного и того же диагонального блока обращаются в нуль, в то время как в противном случае, согласно лемме 8.1.1 (i), sup р,-у = 6 < 1, мы видим, что эта двойная сумма не превосходит
SS'Puexp^^y).
Здесь знак 5* указывает на то, что суммирование производится по i <С / с (i, j) только из недиагональных блоков. Но pi} имеет вид | г (Л^) |, где не более Tjq членов имеют одинаковое значение к. Поэтому, поскольку минимальное значение kq равно по крайней мере г, получаем границу
P^kqXu, kq^ U lA-flP№^<u. kq^Ij} <
I1 J /=1
<^т S irMexp{—г+тая-}'
которая стремится к нулю по предположению (8.2.2), так что выполняется (1).
Для доказательства (п) заметим, что в силу леммы 8.2.2 (п)
0 < Р {£ (kq) < и, kq € /,} - Р\M(Ij) <и\=о(р) (равномерно по /) и
0<Р \M(Ij)<u\ — Р\М (К)<и\ <Р\М (/;)>«},
так что по лемме 8.2.1 (1) для достаточно больших п (равномерно по /)
где Р} = Р {g (kq^ < и, kq^ 1Д, Р = Р\М(К)< и]. Поэтому
0 < П Pj - Рп < (шах Р/ - Рп < 2ире /=*
(здесь используется тот факт, что уп — хп <^ п (у — х) для 0 < < х< у < 1). Часть (ii) вытекает из соотношения пр ~ Tp/h -► -> т/Л.□
Теперь легко получить основную теорему об экстремумах. Теорема 8.2.5. Пусть и, Т ->- оо таким образом, что Тр = = (7/2 л) Хг/2 ехр (—ы2/2)-* т > 0. Предположим, что г (f) удовлетворяет (8.1.1) и либо (8.1.2), либо более слабому условию (8.2.2) для некоторого q, такого, что qu -► 0 при Т -► оо (см. лемму 8.1.1). Тогда
Р \М(Т^<,и\-*е-х при Т-* оо.(8.2.4)
Доказательство. Если 7р (ы)0, то Р \М (Г) ^> и\ ^ V —
Ф (и) + Тр (и) -► 0 и остается только доказать, что результат верен для т > 0. В силу леммы 8.1.1 выполняется предположение (8.2.2) леммы 8.2.4. Из лемм 8.2.3, 8.2.4 мы получаем
limsup| Р {M (пКХ.и\ — Рп {М (Л)е-
Г->-00"
Поскольку значение е> 0 произвольно, имеем
Р \M(nh)<u\ - Рп\М(К)<и\—0.
Далее, поскольку nh ^ Т < (п + 1) Л, отсюда вытекает известным нам уже путем, что
0<P\M(nh^<u\ -Р \M(T)<u\<.P\Nu(h)> 1}<рЛ.
Правая часть стремится к нулю, так что
Р\М(Т)<,и\ = Р"|Л1(ЛХы|+о(1).
Это соотношение выполняется для любого фиксированного Л > 0. Предположим теперь, что 6 фиксировано, 0 < 6 < 1, и Л берется из интервала 0 < Л < Ло, где Ло = Ло (6) такое же, как и в лемме 8.2.1 (ii), откуда вытекает, что
р{лкл)>Н}>ерЛ(1+о(1)) = -^(1+о(1)),
и поэтому
Р\М(Т)<и\ = (1 -Р{М(Л)>и})" + о(1)<
(1-т(1-т°(4))”+“(о.°(4))”+“(о.
(1-т
(1-т
°(4))”+“(о.
°(4))”+“(о.
так что
limsupP |УИ (Т)-^и} <^е~6т.
T-n-co
Полагая теперь 6f 1, мы видим, что lim sup Р {Л1 (Г) <; ы| ^ <^ е~т. Справедливость противоположного неравенства для нижнего предела доказывается аналогичным образом и даже еще более просто, из леммы 8.2.1 (i) (никакого 6 здесь нет), что и приводит к окончательному результату. □ Следствие 8.2.6. Предположим, что г {t) удовлетворяет условиям (8.1.1) и (8.1.2), и пусть Е = ЕТ — любой интервал длины уТ для постоянной у > 0. Тогда Р |УИ (£) •< ы| -► е-^х при Т -► оо. Доказательство. В силу стационарности мы можем взять в качестве Е интервал с левым концом в нуле, так что Р {УИ (£) ы| = = Р \М {уТ) •<_ и\. Нетрудно проверить, что процесс т] (0 = = £ (?0 удовлетворяет условиям теоремы и имеет среднее число выходов в единицу времени р„ = ур, так что р^Т -► ут. Обозначая через М^ максимум процесса т], сразу получаем искомый результат, поскольку Р {УИ (у?1) <: и\ = Р {УИ^ (Г) <; u| £-?*.□
Теперь нетрудно получить двойной экспоненциальный предельный закон для М {Т) при линейной нормировке. Этот результат аналогичен теореме 4.3.3 дчя нормальных последовательностей.
Теорема 8.2.7. Предположим, что {стандартизованный) стационарный нормальный процесс {£(/)} удовлетворяет соотношениям
и (8.1.2) {или (8.2.2)). Тогда
Р\аТ{М {Т) — Ьт) < х{ -* ехр (—ег16) при Т ^-оо, (8.2.5)
где
Ш^-) (21пТ),/2.
(8.2.6)
Доказательство. Обозначим т = е-* и определим
/Х1/2 \
«2 = 2 НпТ + х+In-^j,(8.2.7)
так что
*2/\
Тр = т^ехр (-^-) = е- = т.
Поэтому (8.2.4) выполнено. Но из (8.2.7) вытекает, что
так что (8.2.4) приводит к соотношению Р \ат (М (Т) — 6Г) + + о (1) <; х\ -► е~т, из которого сразу следует (8.2.5).□
Между прочим, интересно отметить, что приведенные выкладки некоторым образом проще, чем соответствующие выкладки в дискретном случае (см. теорему 1.5.3), благодаря отсутствию члена In и в (8.2.7).
В дискретном случае мы получили пуассоновское предельное поведение превышений высокого уровня. Соответствующие результаты выполняются и для точечных процессов выходов за высокий уровень в условиях настоящей главы. Они легко получаются из представленной теории экстремумов с помощью известной нам уже теоремы о сходимости точечных процессов и, как и в дискретном случае, приводят к ряду интересных следствий относительно локальных максимумов, высоты выбросов и т. п. Мы отложим такое рассмотрение до гл. 9 и 10. Однако здесь стоит отметить, что исторически асимптотическая пуассоновость распределения числа выходов за высокий уровень впервые была доказана (при более ограничительных условиях) Волконским и Розановым (1959). Крамер (1965) указал на наличие связи между выходами и максимумами, выражающейся, например, соотношением
{Ми(Л = 0^ = (2И(Т)<«) и |^(Л = о, g(0)>«}, которая ведет к определению асимптотического распределения М (Т) и последующему развитию теории экстремумов.
Глава 9
Точечные процессы выходов и локальные максимумы
При построении теории для максимума стационарного нормального процесса £ (/), изложенной в гл. 8, существенно использовались выходы и тот очевидный факт, что максимум превышает уровень и, если имеется хотя бы одно пересечение уровня и. Однако выходы интересны и сами по себе, и, как мы увидим здесь, они содержат также значительную информацию относительно локальной структуры процесса. Эта глава посвящена асимптотически пуассоновскому характеру точечного процесса пересечений возрастающих высоких уровней и точечного процесса, образованного локальными максимумами процесса g (/).
Конечно, когда предельная теория для максимума уже имеется, для доказательства пуассоновской сходимости последовательности выходов требуется лишь немного дополнительных усилий. Основной этап доказательств состоит в том, что максимумы на непер ссекающихся интервалах асимптотически независимы, откуда сходимость точечного процесса выходов за несколько уровней вытекает с использованием основной теоремы о сходимости точечного процесса. Это легко приводит затем к полной пуассоновской сходимости точечного процесса локальных максимумов и в качестве следствия к совместному асимптотическому распределению высот и положений наибольших локальных максимумов.
При изложении результатов мы будем существенно использовать условие регулярности ^-^ сю, которое гарантирует, что выходы не могут появляться группами и остаются отделенными друг от друга при возрастании уровня. Подобные результаты будут установлены в гл. 12 и для случая Х^ = ею с заменой регулярных выходов так называемыми е-выходами. Для результатов относительно локальных максимумов мы будем требовать дополнительно, чтобы Х4< сю, что может быть аналогичным образом ослаблено путем замены максимумов на «е-максимумы».
Пуассоновская сходимость выходов
Соответственно каждому уровню и определим р = ц («) = = (1/2л) Х^2 ехр(—и2/2) как среднее число выходов за и стационарного нормального процесса £ (О в единицу времени. Как и в гл. 8, рассмотрим такое Т = Т (и), что Тр -► т при и -► сю, где т> 0 — фиксированное число. Пусть Nt — нормированный по времени точечный процесс выходов за уровень и, определяемый соотношением
Nt (В) = Nu (ТВ) — число выходов процесса g (I) за уровень и для t/T С В для любого вещественного борелевского В,
т. е. Nt имеет точку в момент t, если | имеет выход за и в момент IT. Заметим, что мы определяем Nt как точечный процесс на всей вещественной прямой и что единственное назначение момента Т состоит здесь в том, что он является масштабным множителем.
В этом проявляется некоторое смещение акцента по сравнению с гл. 8, где мы рассматривали ит = х!ат + Ьт в качестве нормировки высоты максимума на возрастающем интервале времени (О, Т].
Пусть N — пуассоновский процесс на вещественной прямой, имеющий интенсивность т. Чтобы доказать сходимость к N точечного процесса при надлежащих условиях, необходимо доказать несколько различных форм асимптотической независимости максимумов на непересекающихся интервалах. Для одноуров-
невого результата о сходимости Nj к N по распределению нам достаточно только следующей частичной независимости (приведенной у Кволса (1968)).
Лемма 9.1.1. Пусть 0 < с = ^ < di <^ с2 < - - ■ ^cr < d, = = d — фиксированные числа, Е, = (Тсь Tdt] и М (Е^ = sup {£ (1); Tct<^ t^Tdt\. Тогда если г (t) удовлетворяет (8.1.1) и (8.1.2), то
П {М(£г)<«0-П^^И(£0 <«1->0\ i=i/ i=i
при и оо, Тр —т ^- 0.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству лемм 8.2.3 и 8.2.4. Вспомним конструкцию в лемме 8.2.3 и разобьем положительную полуось на интервалы 1\, 7*. 72 имеющие
попеременно длины h — е и е. ТЙы можем тогда аппроксимировать М (Е,) максимумом на частях отделенных интервалов Ik, содержащихся в Et. Пусть п обозначает число тех из IX, которые
Г
имеют непустое пересечение с UEj. Сразу получаем
1=1
л Ыи^лл {м(Еа<^<
\<=Ч \ */ j / V=l/
<; п Р {м (7*)>п},
(где | Е | обозначает длину интервала Е)
1=11=1
Поскольку из леммы 8.2.1 (i) вытекает, что
lim sup р-1Р {М (7*)>и| «—►со
мы имеем
Нт sup «-►СОНт sup «-►СОте (d — с) hте (d — с) hП W^i) i=iП W^i) i=i(9.1.1)(9.1.1)
Нт sup «-►СО
Нт sup «-►СО
те (d — с) h
те (d — с) h
П W^i) i=i
П W^i) i=i
(9.1.1)
(9.1.1)
Далее, пусть q -► 0 при и ->- оо таким образом, что qu ->- 0. Так же как и в лемме 8.2.3 (ii), получаем при этом дискретную аппроксимацию максимумов с помощью с. в. g (jq-), jq Ё U Ih f) Et.
Действительно, поскольку существует л + 6 интервалов Ih, пересекающихся с U^i (где |6| ^ г), то
О^РО^Р^Д^^)^Д^^)“. /?€и/ьП^к“. /?€и/ьП^к
О^Р
О^Р
^Д^^)
^Д^^)
“. /?€и/ьП^
к
“. /?€и/ьП^
к
U U (^ II (/9) < «, iq € к п ед - р {м и к (1 Ед < «I = 1 к
= (п + 6)о(р) = о(1) прии->оо (9.1.2) в силу леммы 8.2.2 (ii).
Далее,
р ( П ||(/9)<“. /«/еи^П^И-П^-^О,(9.1.3)
\ 1=1 IкJ /1=1
где У1 = П Р II О?) < “• "14 € к Л еА-
Доказательство на сей раз является перефразировкой доказательства леммы 8.2.4 (1) ((8.1.2) влечет за собой (8.2.2) с Td вместо Г).
Комбинируя (9.1.1), (9.1.2) и (9.1.3), получаем
и, в частности, для i = 1, .... г
lim sup | Р {М (ЕДlim sup | Р {М (ЕД«} -У1К«} -У1Кте (d — с)hте (d — с)h
lim sup | Р {М (ЕД
lim sup | Р {М (ЕД
«} -У1К
«} -У1К
те (d — с)h
те (d — с)h
Поэтому, обозначая xL = Р {/И (ЕА <С и], имеем
limsup Р ( П {^(EiX^uH—П Р |Л1 (ЕА<.л} и->Ой\| = 1/1=1
^.Te(d-C) + limsup Ду. _ДХ. . ”u-m 1=11=1
Но если обозначить z = max jy, — xt | (так что lim sup z ^ тех X (d — c)jh), то
ПУ1-П^<П(^ + г)-ПхХ2гг. i=l i=l i=li=l
Аналогичное соотношение выполняется и при перестановке yt и хг, и поэтому
г^те (d — с)h
Поскольку е произвольно, это доказывает лемму.□
Теорема 9.1.2. Пусть и -»- оо и Т ~ т/р, где р = (1/2л) Х^2 X X ехр (—п2/2), и предположим, что стационарный нормальный процесс £ (/) удовлетворяет соотношениям (8.1.1) и (8.1.2). Тогда нормированный во времени точечный процесс Nt выходов за уровень и сходится по распределению к пуассоновскому процессу на положительной полуоси, имеющему интенсивность т.
Доказательство. Согласно основной теореме о сходимости, для простых точечных процессов (теорема П. 1) достаточно показать, что при U СО
Е (Nt ((с, d])) Е (N ((с, d])) = т (d — с) для всех 0 <
<< с < d и
Р \Nt (В) = 0} Р {# (В) = 0} = ехр т £ (dt — с,И
I i=lJ
для всех множеств В вида j (сь dz ], 0 < с2 < d2 < • ■ ■ < сг < t=i
<йТ.
Здесь часть (а) выполняется тривиальным образом, поскольку Е(Nt((с, d])) = Е(Nu((Тс, Td])) = Tp(d-c^x(d- с).
Что касается части (Ь), то мы имеем для выходов за уровень и
р \Nt (В) = о} = в ( n \Nt «сь da) = оЛ =\ i=i/
= в (n iw„(ez)=o^V\i=l/
где Ei = (Тс,, Td,). Теперь легко показать, что вместо пересечений можно работать с максимумами, поскольку
0<в( п {^и(ВЭ=0}\-р( П |Л1(Е1)<«Й =
\1=1/ \i=l/
= р (п {^(во = о}п и {m(ez)>^<\ 1=11=1/
< Р {В (Tci) > и\ ->0 при и^-ОО.
Далее, из леммы 9.1.1 и следствия 8.2.6 вытекает, что
lim Р ( П {М (В.) < н}\ =
tt->co1/
= lim П Р {М (Е;)< и\ = Ц ехр {— т (dL — с,)}. П-*СО 1=11=1
Таким образом, мы доказали часть (Ь).□
Одним из непосредственных следствий сходимости N't по распределению является асимптотическая пуассоновость распределения числа выходов за уровень и в возрастающих борелевских множествах ТВ.
Следствие 9.1.3.В условиях теоремы 9.1.2 если В — произвольное борелевское множество на положительной полуоси, граница которого имеет нулевую меру Лебега, то
PVNT^ = r'\^e~wVB4Tm<B^rlr\, г = 0, 1 (9.1.4)
при и ->- оо, где т (В) — мера Лебега множества В. Совместное распределение с. в. Nt (В^, .... Nt (Вп), соответствующих непе- ресекающимся Bj (границы которых имеют нулевую меру Лебега), сходится к произведению соответствующих пуассоновских вероятностей.
Взаимная независимость максимумов на непересекающихся интервалах
В этом разделе мы без каких-либо дополнительных предположений докажем, что максимумы на непересекающихся интервалах действительно асимптотически независимы, а не только «независимы на диагонали», как в лемме 9.1.1. Чтобы доказать это, мы должны оставить возможность иметь в различных интервалах различные уровни и соответственно различные интенсивности пересечений.
С этой целью, а также для использования в следующем разделе исследуем связь между интенсивностью т и высотой и уровня, для которого 7р -► т. Если Т = т/р = т2лА.5*/2 exp (н2/2), то
„/ 1п т + In (2л/Х1/2) \
ИЛИ
In т + 1п (2лДУ2)
и = (21п7),/2(Т,пГ)17Г+о((1пТ)->/2).(9.2.1)
Однако любой уровень, отличающийся от такого и на о ((In 7)-|/2), будет столь же хорош для теоремы 9.1.2, и часто удобно, как в теореме 8.2.7, использовать уровень, получаемый просто удалением последнего слагаемого в (9.2.1). (Читателю рекомендуется убедиться, в том, что при таком выборе соотношение Тр -► т также выполняется). Если мы положим
1п т + In (2л/Х1/2)
“г = (2 In ТУ Г-(71п7\1/2•(9-2.2)
то для т> т* >• 0 получим
>0,>0,(9.2.3)(9.2.3)In т/т* In т/т*
>0,
>0,
(9.2.3)
(9.2.3)
«те — их = ~ —
(2 In 7)1/2 “т
так что уровни, соответствующие различным интенсивностям т, т* (при одной и той же нормировке времени 7), все более сближаются друг с другом и разница между ними имеет порядок 1/ит. Отметим,что(9.2.3)выполняется для любых wT., wT, удовлетворяющих соотношениям Тр (wT.) -► т*. Тр (ит) -> т, а не только для специального выбора (9.2.2).
Мы докажем полную асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся расширяющихся интервалах при выполнении условий (8.1.1) и (8.1.2) или условия (8.2.2) для некоторого и, удовлетворяющего соотношению Тр (и) -► т с 0 < < т < оо, т. е.
т 5 k^lexpl-.j^^l^o (9'2Л)
для каждого е > 0 и некоторого q -► 0, такого, что uq -> 0.
Заметим, что если {и*} — другое семейство уровней, такое, что
0 <С lim inf Тр (uj <С lim sup Тр (и*) <. сю, 7*-*оо7*-*оо
то просто показать, что разность ы2 — и2 ограниченна. Поэтому (9.2.4) выполняется и при замене и на и*. Кроме того, (9.2.4) выполняется при замене 7 на Г = Td, поскольку тогда Т'р->- -> т' = xd.
Теорема 9.2.1. Предположим, что г (t) удовлетворяет соотношению (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (9.2.4) для некоторого семейства уровней и, и -► оо при Т -► со, такого что Тр (и) -> т > 0. Пусть 0 с = сг < dT с2 < ■ • ^ с8 < d8 = d фиксированы и Et = (Tcit Tdt ]. Тогда для любых s уровней иТ>1, .... иТ)8
РР0 (9.2.5)0 (9.2.5)П {/W^acur.ill-n^l^ (Et) <uTa\ i=I/ i=I
Р
Р
0 (9.2.5)
0 (9.2.5)
при T ->- оо.
Доказательство. Мы предположим сначала, что существует такая постоянная 6 > 0, что
бстр(Ыг,ас4- (9-2-6)
для всех достаточно больших Т и всех i, так что (9.2.4) выполняется при замене и на любое из uT>i и Т на Td. Однако при таком предположении доказательство соотношения (9.2.5) прово-
дится в той же последовательности, как и в лемме 9.1.1, с соответствующими изменениями для и и Т в (9.2.4).
Далее, чтобы избавиться от предположения (9.2.6), введем усеченные уровни иг,х, .... иТ1Я следующим образом. Пусть 6 > О задано и ит, Uj6 — положительные решения уравнений Тр (и) = = 6 и Тр (и) = 1/6 соответственно (эти решения существуют для достаточно больших 7). Положим по определению
ит, еслиит, ь если иУь, еслиит, еслиит, ь если иУь, еслиUyt i 2> Uy,Uyt i 2> Uy,Uy6 <UT, [ <_UT,Uy6 <UT, [ <_UT,«тм =«тм =Тогда, очевидно.Тогда, очевидно.ит.^иУ6.ит.^иУ6.4/6) + £ р\м (Е<)>ит )^ f=l4/6) + £ р\м (Е<)>ит )^ f=l<£p№i=i<£p№i=i
ит, если
ит, ь если иУь, если
ит, если
ит, ь если иУь, если
Uyt i 2> Uy,
Uyt i 2> Uy,
Uy6 <UT, [ <_UT,
Uy6 <UT, [ <_UT,
«тм =
«тм =
Тогда, очевидно.
Тогда, очевидно.
ит.^иУ6.
ит.^иУ6.
4/6) + £ р\м (Е<)>ит )^ f=l
4/6) + £ р\м (Е<)>ит )^ f=l
<£p№
i=i
<£p№
i=i
(9.2.7)(9.2.7)£ c-("i-ci)/6 +5(1- e-t"^)6). i=li=l
(9.2.7)
(9.2.7)
Ясно, что те же самые границы сохраняются и для
ПР {М (Е,) С“т, 4 - П Р { Vf №) Сиг, i} i=li=l
(поскольку доказательство соотношения (9.2.7) не использует зависимости или независимости величин М (EL))_
Поскольку с. в. uTii удовлетворяют (9.2.6) и поскольку
е (п 1м(Еа<Ыг,а)-ПЕ1л1(Еа<иг,а < \ i=l/ i=I
<| Р (Д |Л1 (Ei) С Ur.i^ - р (Д |Л1 (Ei) <vr, а)
отсюда следует, что
lim sup
7* ->-оо
< f e-<di'c^6£ (1 -e-^i-'i)6).
i=li=l
Устремляя здесь 6 -► 0 к нулю, завершаем доказательство (9.2.5) в общем случае.□
Из доказанной теоремы и следствия 8.2.6 немедленно получаем следующий результат.
Теорема 9.2.2. Пусть уровни и^u(r) таковы, что
7ll(U'-') = ^.ll«Cxp(-^>i)->r,
при Т оо, и предположим, что г (/) удовлетворяет условию (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (9.2.4) для некоторого семейства уровней {и}, такого что Ту (и) т "> 0. Тогда для любых 0 <_ с = сг <_ dY <. c^<_ ■ ■ ■ с8 <_ ds = = d(Et = (TCi. Td^)
р( П {М(Е,)<иг.4)-*ехр(-£т;№-со), (9.2.8) \i=l/I i=l)
где каждое uTlt совпадает с одним из uWи^ и Ту (uTti) -► т^
Выходы за несколько смежных уровней
Из теоремы о пуассоновской сходимости (теорема 9.1.2) следует, что любые из нормированных во времени точечных процессов выходов за уровни цЧ) ^ • - -^ и^ являются асимптотически пуассоновскими, если Тр (и^1^-»- тг>0 при Т, и® -► оо. Мы изучим теперь зависимость между этими точечными процессами, следуя путем, аналогичным использованному в гл. 5. Эта зависимость впервые была описана в работе Кволса (1969). Формулировка на языке точечных процессов была дана в работе Линдгрена и др. (1975).
Для описания указанной зависимости представим выходы точками на плоскости, а не на прямой, полагая, что выходы за уровень и^ определяют точечный процесс на фиксированной прямой Lb как это было сделано в гл. 5. Однако для нормального процесса, являющегося предметом исследования в этой главе, прямые L^, .... LT можно выбрать так, что они будут иметь совсем простую связь с самим процессом. Для этой цели используется процесс
^г (О = Ст (£ (tT) — Ьт),
в котором время нормируется множителем Т, а высота, как обычно, величинами
ат = (2 In Т),/2, Ьт = (2 In Tf2 + In (Х^/2/2л)/(2 In Т^'2.
Рис. 9.3.1. Точечные процессы выходов за несколько высоких уровнен, (а) £ (/), 0</<7, (Ь) £г (П. 0^/<1.
Далее, £г (/) = х тогда и только тогда, когда g ЦТ) = xlaT + + Ьт. Очевидно, что среднее число пересечений уровня х процессом |т (/) в интервале длины h равно (ТЛ^л) Х^2 X X ехр{— (х/ат + Ьт^/2\, что в соответствии с замечаниями, следующими за (9.2.2), равно Ат (1 + о (1)) при Г оо с т = е~х. Пусть поэтому хг ^ х2 - - -^ хг — совокупность фиксированных чисел, определяющих горизонтальные прямые Llt L2, .... LT (рис. 9.3.1 (b)). Рассмотрим точечный процесс на плоскости, образованный выходами процесса |т (/) за любую из этих прямых. Зависимость между точками, лежащими на различных прямых, здесь уже не столь проста, как это было в гл. 5, поскольку в отличие от превышений выход за некоторый высокий уровень не является выходом за меньший уровень, и поэтому выходов за более высокий уровень может оказаться даже больше, чем выходов за более низкий уровень. На рис. 9.3.1 показана связь между выходами за уровни «<«> = х,]ат + Ьт процесса £ (/) и выходами за уровни х, процесса |т (/). Как видно из рисунка, локальные нерегулярности поведения процесса S (/) могут вызывать появление дополнительных выходов за высокий уровень, не представленных на более низких уровнях.
Пусть Nt обозначает точечный процесс на плоскости, образованный выходами процесса Ег (/) = ат (£ ЦТ) — Ьт) за фиксированные уровни Xi ^ х2 ">• ... ^ хг, и пусть Nt\ .... Nt' — составляющие этого процесса на соответствующих прямых, так что для борелевских множеств В с R3
Nt (В) = (число выходов ^т(0 за уровни Li, ..., Lr в В) == £ nV' (в п ь{у
Чы докажем теперь, что Nt сходится по распределению к некоторому точечному процессу N на плоскости того же типа,
с которым мы уже сталкивались в гл. 5 в связи с превышениями. Точки процесса N сконцентрированы на прямых Lv ..., LT, а его распределение определяется совместным распределением его компонент ^(1), ..., Nw на отдельных прямых Ьъ ..., LT.
Как и в гл. 5, пусть |аи-; / = 1, 2, ...} —точки пуассоновского процесса N^ на LT, имеющего параметр тг = е—Хг. Пусть Р,, j = 1,2, .... — н. о. р. случайные величины, не зависящие от N^ и имеющие распределение
( (Tr_s+1 — Tr_s)/Tr, s = 1г — 1,
P{pj = s} = prs+1*•
I т1/тг.S = Г,
так ЧТО Р |Р; ^- s| = тг_8+1/тг для S = 1, 2, ..., г.
Построим процессы №г-1\ ДГН), располагая точки аа;, asj, • ■' °6p j на Р> — 1 прямых Lr_v ..., Lr_pj+1 по вертикали над Оц, j = 1, 2, .... и определим, наконец, процесс N как сумму г процессов NWN^.
Как и раньше, каждый процесс № является пуассоновским процессом на Lh, поскольку он получается из пуассоновского процесса N^ независимым удалением точек, с вероятностью удаления каждой точки 1 — Р {Р; ^- г — к + 1} = 1 — т6/тг и имеет интенсивность тг (т6/тг) = тй. Кроме того, N^ получается из ^(*+1) с помощью биномиального прореживания с вероятностью удаления 1 — т6/т6+1. Разумеется, сам процесс N не является пуассоновским процессом на плоскости.
Для доказательства основного результата о том, что Ny сходится по распределению к N, необходимо показать, что асимптотически выходов за более высокий уровень меньше, чем выходов за более низкий уровень. С удобным видоизменением обозначений мы будем употреблять символ Ny^ (7) для числа точек процесса Ny^ с временной координатой в интервале 7.
Лемма 9.3.1. Предположим, что х, > Xj, и рассмотрим точечные процессы Ny^ и Ny^ выходов процесса Ку (7) за уровни Xt и Xj соответственно. В условиях теоремы 9.1.2
Р \№(1)>П(РЦ)}^Ъ
при Т -> со для любого ограниченного интервала 7.
Доказательство. В силу стационарности достаточно доказать лемму для интервала 7 с (0, 1]. Пусть 7ft = ((А— 1)/п, к/пА, к = 1, .... п, для фиксированного п, и использованы обозначения (9.2.2) и^ = xjlay + b7, т, = e-Ki. Поскольку, согласно теореме
все пересечения являются строгими, событие {Л/г' (/) > > Nt* (/)} влечет за собой выполнение одного из событий
или
и {^’(ЛО^Ь*=i
так что неравенство Буля и стационарность дают
p\n^ m>N^ ип<
< 5 Р Ь (^г) >Hb} + 2 Р 1 N^ Цк^>2 1 =
= (П+ l)P^(0)>uT.} + nP\N¥4h)>2V
Очевидно, (и + 1) Р {£ (0) > иТ/-} -+0, в то время как в силу следствия 9.1.3
Pl^",(/i)>2}^ 1 -ехр(-^-)
откуда вытекает, что
lim sup Р { N^ (/) > N^ (/)} < n f 1 - exp (— ^~
T^ro'Xя
Поскольку n произвольно и при П -> ОО n(l-exp(-^-)-^exp(—L))^0,
то лемма доказана.
Теорема 9.3.2. Предположим, что г (t) удовлетворяет условиям (8.1.1) и (8.1.2) (или, более общим образом, условию (9.2.4) для семейства ]«}, для которого Туч (и) -> т > 0). Пусть тт < т2 < < ... < тг— вещественные положительные числа, Nt— точечный процесс выходов за уровни хх > хг > ... > хТ (т; = е-х^) нормированного процесса ^т (0 = ат (£ (/Г) — Ьт), представленного на прямых Lu .... Lr. Тогда при и -► оо случайный процесс Nt сходится по распределению к точечному процессу N на (0, оо) х R, описанному выше, точки которого на горизонтальных прямых Lt, i = 1, .... г, порождаются пуассоновским процессом N^ на Lr, имеющим интенсивность тг, и последовательными биномиальными прореживаниями процессов N^ с вероятностями удаления точек 1 —т6/т6+1, k = 1, .... г— 1.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.5.1 в том, что надо показать справедливость соотношений
Е (Nt (В)) Е (N (В)) для всех множеств В вида (с, dl X (у, 6 1, 0 < с < d, у < 6, и
Р \Nt (В) = 0} ->■ Р \N (В) = 0} для всех множеств В, являющихся конечными объединениями непересекающихся множеств такого вида.
Теперь, если В = (с, dl X (у, 61 и (у, 61 содержит прямые В$, ■ ■ ■ > В-t, то
Е (Nt (В)) = Е ( Ц N^dc, dl)) =
= ^T(d-^ (u*Hd — c) HTh = E(N (B)), k=sk=s
так что п. (а) удовлетворяется.
Чтобы доказать (b), запишем В, как и при доказательстве теоремы 5.5.1, в виде
fi=UCt= и L dh] X и (Ум- 6^1'1 > ^=ik~i \/=i/
где (ch, dA] и (clt dt] не пересекаются при k^L Для каждого к пусть mh — индекс самой низкой прямой Lj, пересекающей СА, т- е. Bmfe Л Ch =/= 0, Lj fl Ch = 0 для / > mh.
Ясно, что если N^1^ ((ск, dk"]) = 0, то либо N*T (С^ = 0, либо найдется такой индекс / < ть что Nt1 ^Ck, dk]) > 0, т. е. в (сА, dh 1 выходов за высокий уровень больше, чем за низкий. Поскольку очевидно, что Nt (Ck) = 0 влечет за собой Nt h^ ((сь d*]), то
0 < Р ( П I N^ ((ск, dk]) = 0- Р (Nt (В) = 0} ^0,
\fc=i/
так как эта разность ограничена вероятностью того, что выходов за некоторый более высокий уровень больше, чем выходов за более низкий уровень, а эта вероятность стремится к нулю по лемме 9.3.1.
Но
{ N^ ((Ck, dk]) = 0) П {gr (Ck) C Xmfc } = [M ((Тск, Tdk]) < uT. *}, где uT, к = xmk[aT + bT, так что из теоремы 9.2.2 получаем
П h)((ck. dd) = 0} =
А=1 '/
= lim Р ( П (М((Тск, Tdk])<.UT,k)) = Пехр {— тА(^ — сА)|, У-коо \А=1/^=1
гдет* = imft =е Хть. Ясно, что это в точности равно вероятности Р (М (В) = 0}, и тем самым доказательство утверждения (Ь) завершено.
Следствие 9.3.3. Пусть процесс {£ (/)} удовлетворяет условиям теоремы 9.3.2, и пусть Въ .... ВТ — борелевские множества на положительной полупрямой, границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда для целых т^
Р { N^ (В^ = т^, / = 1s, k = 1, ..., т | ->
-> Р { Nw (В,) = т^, / = 1, ..., s, к = 1г ].
Например, для непересекающихся Вг и В4
P\NVn(Bi) = mV\ Н^(В2) = т^, М¥ЧВ2) = т^\
./Л<2)(т2|В,|) */п^’1./Л<2)(т2|В,|) */п^’1т^2)—)т^2)—)-> exp (—т! | В,. |) ^^Р,ехр (—т21В21) -
./Л<2)
(т2|В,|) */п^’1
./Л<2)
(т2|В,|) */п^’1
т^2)—)
т^2)—)
где | В | = т (В) — мера Лебега множества В.
Положение максимумов
До сих пор мы исследовали свойства экстремумов нормального процесса ^ (/), используя сечения на определенных (возрастающих) уровнях. Однако, даже если это и дает идеальную информацию о высоте глобального максимума, мы все же не получаем непосредственной информации о том, где именно этот максимум располагается или как он связан с другими, вероятно, более низкими, локальными максимумами.
Максимум любого непрерывного процесса £ (/), 0 -С t <, Т достигается на [0, TL Однако максимальный уровень может достигаться много или даже бесконечно много раз. Тем не менее в силу непрерывности £ (/) существует точка, в которой £ (/) достигает своего максимума на [0, Т1 впервые; обозначим ееьт*
Мы сформулируем первый результат относительно L (Г) в виде леммы, хотя и довольно очевидной.
Лемма 9.4.1. L (Г) является случайной величиной. Для 0 < / < 7 имеет место Р [L (Т) -^ t\ = Р {М ((0, /]) > М ((/, Т])}.
Доказательство. Оба утверждения вытекают из равносильности множеств реализаций \L (Т) <; <| и ]7И ((0, /]) > М ^t, П)}, где второе множество измеримо, поскольку М ((0, Л) и М ((t, 71) — случайные величины. □
Распределение с. в. L (У) может, как показывают простые примеры (такие, как процесс g (/) = Л cos (/ — <р) с У < 2л), иметь скачки в точках 0 и У. Однако для непрерывных процессов общего вида простое условие делает невозможным наличие у этого распределения каких-либо других скачков.
Конкретно, мы будем говорить, что ^ (/) имеет в точке /0 производную по вероятности, если существует такая с. в. т], что
6 (<о + А) — 6 «о)л
■ 0—-■-►i] по вероятности при
Ясно, что если В имеет производную в среднем квадратичном или с вероятностью единица, то g имеет и производную (с тем же значением) по вероятности.
Теорема 9.4.2. Предположим, что ^ (/) имеет производную по вероятности в точке t (0 < t < Т) и что распределение этой производной непрерывно в нуле. Тогда Р {L (У) = <) = 0.
Доказательство. Пусть t] обозначает производную по вероятности в точке t. Очевидно,
К(У) = /}ЫК(У) = /}ЫКП-^У-К> / п ] n (^W-^t + h) п —hи j 11 | hи
К(У) = /}Ы
К(У) = /}Ы
для всех таких й ^ 0, что 0 -< t — h и t + h -< Т.
Далее, (g (/ + /г) — £ (/))/Л ->■ Ч по вероятности при h | 0 и существует такая последовательность (Лп|, что (£ (/ + Ап) — — g (/))//in ->-1] с вероятностью единица. Рассматривая подпоследовательность последовательности {/in}, мы можем считать, что (g (t — Лп) — g (/))/(—/in) —► т) с вероятностью единица, т. е. на множестве В с Р (В) = 1. Мы видим, что i] = 0 на {£ (У) = = /} f) В, т. е. \L (Т) = /} П В gz [т] = 0}. Поэтому
У {У(У) = <}<У(]У(У) = /}ПВ) + Р(Вс)<У{1] = 0} + У(В<) = 0, если 1] имеет распределение, непрерывное в нуле.□
При обращении к стационарным процессам может возникнуть соблазн предположить, что если процесс стационарный, то L (У) имеет равномерное распределение на (0, У). Это, например, будет так, если £ (t) = A cos (/ — <р) и <р равномерно распределено на (0, 2л 1, для У = 2л. (Если А имеет распределение Рэлея и не зависит от у, то процесс £ (/), разумеется, является нормальным.) Если У < 2л, то существует положительная вероятность того, что L равно 0 или Т,и L (У) не является строго равномерной с. в. Тем не менее распределение L (У) все еще остается равномерным в промежутке между 0 и У, как показывает простое вычисление.
В общем случае, однако, L не обязана быть равномерной с. в. в открытом интервале (0, У), даже если процесс ^ (/) нормальный
и стационарный. В качестве примера рассмотрим независимые с. в. фь ф2, ^i и Д2, причем фг и ф2 равномерны на (0, 2л], Лг и Д2 имеют распределение Рэлея, и положим £ (/) = Дх cos (/— ф) + + Лг cos (100/ — ф2). Тогда £ (/) — стационарный нормальный процесс, и можно видеть (например, построив чертеж), что если -^i < ^г» Ф1 Е (Зл/2, 2л] и фг Е (ЛМ, Зл/4 ], то максимум £ (/) на [0, л/2] достигается в интервале (0, л/100]. Поэтому
Р \L (л/2)<л/100}<7{Д1<Лг, Зл/2<ф1<;2л, л/4<фг<;Зл/4} =
-»Н>НЖ)
и с. в. L (л/2) не может быть равномерной в (0, л/2).
Однако для стационарного нормального процесса распределение с. в. L всегда симметрично на отрезке [0, Т1 в целом и возможные скачки в точках 0 и Т равны по величине. Это вытекает из обратимости стационарного нормального процесса в том смысле, что || (—/)} имеет то же самое распределение, что и |£ (/)).
Один из методов устранения границ, подобных 0 и Т, состоит в том, чтобы удалить их на бесконечность. Можно задаться вопросом о том, будет ли L = L (7) асимптотически равномерным при Т -* оо. Для нормальных процессов это просто вытекает из асимптотической независимости максимумов на непересекающихся интервалах, о чем упоминалось ранее. Мы сформулируем здесь эти результаты как простые следствия из теоремы 9.2.2.
Теорема 9.4.3. Пусть {!(/)}—стационарный нормальный процесс (стандартизованный обычным образом) с Х2 < оо, и предположим, что г (/) In / -* 0 при t -* оо. Тогда
P\L(T)<lT\ — l при Т-*-ос (0</<1).
Доказательство. В обычных обозначениях если 0 <С / -< 1, I* — = 1 — / и
ХТ = а1Т(М((0, 1Т))-Ь1т),
Yr = сц«т (М ((IT, 7]) — bi«r),
где величины а и b заданы соотношениями (8.2.6), то
7|Хг<;х, Кг<«/}^-ехр |—е-х — е-н\
при 7 оо. Кроме того,
P\L(T)<lT\=P\M((0, 1Т))>М((1Т, 7])} =
' Р f Ху — lT Yy^avy (bi»r — bty) 1,
где ai.ylaiT -* 1 и air (bi.y — biT) -► In (/*//).
При 7 -► оо последняя вероятность стремится к
7{Х- У>1п /*//},
8 Лидбеттер М. и др.
где X и К — независимые с. в. с общей ф. р. ехр (—е х), и вычисление этой вероятности приводит к искомому значению Z. □
Высота и положение локальных максимумов
Одно из следствий из теоремы 9.4.3 состоит в том, что асимптотически глобальный максимум достигается во внутренности (О, Т), и поэтому он является и локальным максимумом. Для достаточно регулярных процессов можно рассматривать также и меньшие, но все еще высокие локальные максимумы, которые отделены от L (Т).
Мы обратим сначала внимание на непрерывно дифференцируемые нормальные процессы, которые два раза дифференцируемы в среднем квадратичном.
По аналогии с изложением в гл. 5 рассмотрим точечный процесс на плоскости, образованный надлежащим образом преобразованными локальными максимумами процесса | (/). (Заметим, что, поскольку процесс 6 (0 непрерывен, реализация процесса Qt (6 (ZT) — by) также непрерывна и, хотя числа ее попаданий в любой ограниченный прямоугольник В cz R2 приближенно носят пуассоновский характер, они *), конечно, не являются точками.)
Предположим, что процесс | (Z), О <С t <С Т, имеет в точках st локальные максимумы с высотами g (s^. Пусть о у и Ьт — нормирующие константы, определяемые соотношениями (8.2.6), и определим точечный процесс на плоскости, помещая его точки в (T-1st, ат (6 (б,) — by)). Вспомним, что в соответствии с разд. 9.1 асимптотически выходы процесса ог (6 (Z) — by) за фиксированный уровень х образуют пуассоновский процесс с интенсивностью т = е—х, если время нормировано к t!T, и что выход за уровень х сопровождается выходом за более высокий уровень у с вероятностью e~vle~x = е~(у—х).
При исследовании пуассоновского характера высоких максимумов определенный интерес представляет вопрос о том, до какой степени выходы за высокий уровень и высокие локальные максимумы могут заменять друг друга. Ясно, что между выходом за определенный уровень и и следующим за ним входом под этот уровень должен иметься по крайней мере один локальный максимум, т. е., не вполне точно говоря, существует по крайней мере столько же высоких максимумов, сколько имеется высоких выходов. Как мы сейчас увидим, с высокой вероятностью высоких максимумов будет не больше. В действительности это верно, даже
г> Части реализаций, попавшие в В. — Прим. ред.
если Г -* оо таким образом, что Тр = Т (1/2л) Х,/2 ехр (—и2/2) сходится.
Напомним сначала обозначения из разд. 7.6:
WL((a, b]) = число тех s{ С (а, Ь], для которых £(sz)>u,N’U(T) = ^((0, Г]).
Лемма 9.5.1. Если Х4 < оо и Т ~т/р = т2лХГ1/2ехр (и2/2), то
E(N'u(T))-»-t,
Р|р;(Г)-^и(Г)|>1}->0
при и -* оо, где Nu (Т) — число выходов £ (/) за и на [0, ТА- Доказательство. Заметим сначала, что хотя бы одно из событий
\N'u(T)>Nu(T)\, {£(Т)>«}
обязательно осуществляется и в последнем случае N'u (Т) ^> > Nu (Т) — 1. Поэтому
Р (| N’a (Т) - Nu (Т) | > 1} < Е (| N'u (Т) - Nu (Т) |) <
< Е (N’u (Т) - Nu (Г)) + 2Р {£ (Т) > и\,
и поскольку Е (Nu (Л) ~ т и Р {£ (Л > и} -► 0, то (ii) является непосредственным следствием (i). Но Е (N’u (Т)У задается соотношением (7.6.3), и, поскольку 1 — Ф (х) ~ ф (х)/х при х -* ОО, отсюда следует, что для некоторой постоянной К и D = Х4 — X2 ЖН-№<^(-т<
в то время как
^ (2лХ2),/2 Ф (и) Ф (= ^ ХУ2 ехр (- 4) (1 + о (1)) т
при и -* оо, что и доказывает (i).□
Теорема 9.5.2. Предположим, что стандартизованный стационарный нормальный процесс ]£(/)} имеет непрерывно дифференцируемые выборочные функции, он дважды дифференцируем в среднем квадратичном (т. е. Х4 < оо) и что г (f) In t -* 0 при t -* оо. Тогда точечный процесс N't нормированных локальных максимумов ($фТ, ат (£ (S;) — Ьт)) сходится по распределению к пуассоновскому процессу на (0, оо) х R, интенсивность которого равна произведению меры Лебега и меры, определяемой возрастающей функцией —е~х.
Доказательство. В силу уже известных нам аргументов, следующих из теоремы ПЛ, достаточно показать, что
8*
Е (N't (В))Е(N' (В)) = (d — с)(е-т — е~6) длялюбого
множестваВвида (с,d] X (у,6], 0 < с < d,у < 6 и
Р {N't (В) =0}-* Р ]N'(В) = 0}для множествВ, являющихсяконечнымиобъединениями множествтакого
вида.
Для доказательства (а) мы используем лемму 9.5.1 (1). Тогда, обозначая uW = 6/ат + bT, u<2> = у/ат + bT, имеем
E (N't* (В)) = E (N'u^ ((Tc, Td])) - E (N'um ((Tc, Td])) ->
(d — c) e~v — (d — c) e~e = (d — c) (e-v — e~6),
поскольку Tp (и^) -* e-6, e~Y для i = 1, 2.
Часть (b) является следствием леммы 9.5.1 (ii) и теоремы 9.3.2 о выходах за несколько уровней. Пусть Nu (/), как и ранее, обозначает число выходов £ (/) за уровень и в интервале I. Запишем множество В Евиде U Bj X Е}, где Е} = (с3, dj] — непересе- кающиеся множества и каждое Fj является объединением непере- секающихся интервалов. Предположим сначала, что имеется только одно множество By, т. е. В = В X U<7k, где Gh = (yk, 6k], и пусть и(2*-п = bh/aT + bT, u^ = 4tJaT + bT. Согласно лемме 9.5.1 (ii), асимптотически каждый выход за высокий уровень и сопровождается одним (и не более) локальным максимумом, расположенным над этим уровнем, и поэтому
Р { N'T* (Е х Gk) = 0 } = Р { N'^ ((Тс, Td]) = N>fe_n ((Тс, Td])} =
= Р { Nu№ ((Тс, Td]) = N^k-xx ((Тс, Td])} + о(1).
По теореме 9.3.2 с т2к = e-Vh, t2k_i = е~\
Р { Nu№ ((Тс, Td]) = N^x, ((Тс, Td])]
- Sехр i-t“ <d - ^(^)‘=
/=0
= ехр | — (т2к - т2к-1) (d — с)} =
= ехр { — (d — с) (—e-®h — (—e-?h)) } = Р { N (В X Gk) = 0}.
Несколько обобщая это доказательство, получаем
P^N? (Е х (J Gk
= Р ( П { Nu№ ((Тс, Td]) = ^u(2k_n ((Тс, Td])}) + о (I)
-► ехр | — (d — с) S (e-Vh — t’-6'1) ^ = Р ^N' ^Е х у Gkj = 01.
Таким образом утверждение (Ь) доказано для множеств простого вида В = Е х l|Gk. Доказательство утверждения (Ь) в общем к
случае сложнее только в части обозначений.□
Предельный пуассоновский процесс в теореме 9.5.2 имеет в точности то же самое распределение, как и в теореме 5.7.2 для нормального процесса В (0- поскольку в этом случае In G (s) = = —е—’. Это означает, что все выводы, которые можно извлечь из теоремы об асимптотических свойствах нормированного точечного процесса ап (^ — 6П), переносятся также и на нормированный точечный процесс локальных максимумов аг (£ (Sj) — 6Т).
В качестве примера мы используем теорему 9.5.2 для получения совместного распределения положения и высот двух наибольших локальных максимумов процесса В (0» 1 € № ^l- Пусть Мх (Г) — наибольший, а Л12 (7) — второй по высоте локальный максимум, a LT (Г) и La (Т) — их положения.
Теорема 9.5.3. Предположим, что |£ (01 удовлетворяет предположениям теоремы 9.5.2. Тогда
Р \аТ (Мх (Т) - Ьт) < Х1, Lx (Т) < кТ, ат (Ma (Т) - Ь^ < х2, U (Т) < 1йТ\^ кк ехр (-е—) (1 + е~х* - е-^ (9.5.1)
при Т оо для 0 -< к- ^г 1> х2 < хг
Доказательство. Асимптотическое распределение высот двух наибольших локальных максимумов
Р ]cr (Afi (Т) — bT) ^ xlt ат ^Ma (Т) — Ьт) ^ х2} -*•
-*• ехр (—е~х«) (1 + е~х» — е-х»)
вытекает таким же образом, как и соотношение (5.6.4) в теореме 5.6.2, из сделанного выше наблюдения, что предельный точечный процесс нормированных локальных максимумов (si/T, ат (£ («;) — ^т))> 0 < Si < Г, является тем же самым, что и предельный процесс для нормированной последовательности независимых нормальных с. в. (i/n, ап (В; — 6n)), i= 1, ..., п.
Положение локальных максимумов может быть получено таким же путем. Предположим, например, что к < к^ и пусть /, J, К обозначают соответственно интервалы (0, Z17'l, (кТ, кРК (lsT, Т]. Вводя обозначения ит = xJaT + bT, uw = xtlaT + bT, событие в (9.5.1) можно выразить через наибольший и второй наибольший локальные максимумы на интервалах /, J, К следующим образом_(в очевидных обозначениях):
(Л^/ХнШ, Ma(/)<u(2), М^ГХи^,
мх со < мх (/), мх (К) <м»иил\.
Предел вероятности этого события, выраженный в терминах точечного процесса N't локальных максимумов, такой же, как и для точечного процесса нормированных независимых с. в. Для такого процесса с. в. LT ^Т^Т и Ьг (Т)П\ очевидно, независимы и равномерно распределены в интервале (0, 1), а также не зависят от высот этих максимумов, что и доказывает теорему.□
9.6. Максимумы при более общих условиях
Мы исследовали локальные максимумы при довольно ограничительном предположении о том, что процесс | (/) два раза дифференцируем (в среднем квадратичном), т. е. Z4 < оо. Если 14 = оо, то среднее число нулей производной |' (/), в силу формулы Райса, бесконечно и в действительности сколь угодно близко к каждому локальному максимуму может быть расположено бесконечно много других локальных максимумов, что исключает возможность предельной теоремы пуассоновского типа для положений локальных максимумов. <■
Один из путей обхода этой трудности состоит в исключении из дальнейшего рассмотрения некоторого малого интервала, окружающего каждый высокий максимум, начиная с наибольшего. Чтобы быть более точными, пусть
^ (Л = sup |g (0; ^(о, Л}
— глобальный максимум и
U (Л = inf {/ > 0; | (0 = Mt (Л}
— его положение. Для произвольной, но фиксированной постоянной е > 0 положим 1Т = (0, Л (7) — е) U (Л (Л + е, Т) и определим
M2,B(T) = sup||(0; UM,
Z-2,B(T) = inf}/€/i; Ш = М2.е(П\.
Действуя рекуррентным образом с использованием соотношения
Ik = Ik-1 П [ Л-i, в (Л - е, Л_!, в (Л + е]с,
мы получаем последовательность Mhi Е (Л, Lk, е (Л (^i. е (Л = = Мг (Л, Li, е (Л — Li (Л) высот и положений е-максимумов, и таких максимумов в любом конечном интервале будет обязательно конечное число. В действительности нетрудно связать эти величины с точечным процессом выходов (тем же путем, каким регулярные локальные максимумы могли быть заменены выходами за высокие уровни при Х4 < оо) и получить таким образом следующую пуассоновскую предельную теорему, доказательство которой мы опускаем.
Теорема 9.6.1. Предположим, что {6 (0}—-стандартизованный нормальный процесс с Х2 < оо и г (0 In t ->- 0 при t ->- оо. Тогда точечный процесс N^' нормированных Е-максимумов (Lti е ^Т^Т, ат (М^ е (Г) — Ьг)) сходится по распределению к тому же пуассоновскому процессу N' на плоскости, что и в теореме 9.5.2.
Заметим, что указанные предельные свойства не зависят от выбора е. Мы еще вернемся к этой теме в гл. 12 для менее регулярных процессов.
Глава 10
Свойства выборочных функций в точках выходов
В предыдущей главе главным объектом нашего внимания были числа и положения выходов за высокие уровни, а также соотношения между выходами за несколько смежных уровней. Например, мы знаем из теоремы 9.3.2 и соотношения (9.2.3), что для стандартного нормального процесса каждый выход за высокий уровень и = их с вероятностью р = т*/т сопровождается выходом и за уровень
асимптотически независимо от всех других выходов за их и «г».
В этой главе мы покажем, что эмпирические распределения значений процесса 5 (0 после выхода его за уровень и сходятся, и представим эти предельные распределения как распределение некоторого модельного процесса. Изучая поведение этого модельного процесса более подробно, мы предпримем затем попытку пролить дополнительный свет на структуру выборочных функций процесса £ (0 вблизи его выхода за высокий уровень и.
Маркированные выходы
Мы предполагаем, что {1(0}—стационарный нормальный процесс на всей вещественной прямой с Е (| (0) = 0, Е ("^ (t)) = 1 и ковариационной функцией г (т), удовлетворяющей соотношению г(т) = 1Lx2t2 + o(t2) при т->0.(10.1.1)
При несколько более ограничительном предположении о том, что
—г" (т) = Х2 + О (| In | т 11—°) при т->0 (10.1.2) для некоторого а > 1, можно предполагать, что {£ (0} имеет непрерывно дифференцируемые выборочные функции (ср. с условием (7.3.2) непрерывности выборочных функций), и мы так и сделаем, поскольку это служит целям иллюстрации. Будем также предполагать на протяжении всей этой главы, что для каждого выбора несовпадающих и отличных от нуля точек sb .... sn распределение с. в. | (0), |' (0), | fo), .... g (s„) не вырождено. (Достаточным условием для этого является наличие у спектральной функции распределения F (X) непрерывной компоненты; см. Крамер и Лидбеттер (1969, разд. 10.6).)
Поскольку Z2 = —г" (0) < оо, число пересечений уровня и в любом ограниченном интервале имеет конечное математическое ожидание, и поэтому оно конечно с вероятностью единица. Пусть
... < Ci < 4 < ^1 < ^а < •••
с 4 -С 0 < ^i — положения выходов процесса Ц (/)} за уровень и. Заметим, что | /А | -► оо при | k | -► оо. Как и прежде, обозначаем символом Nu точечный процесс выходов, имеющий события в точках {/й}.
Для того чтобы сохранить информацию о {| (0} вблизи его выходов, сопоставим каждому th некоторую метку (марку) Ял- В главе 7 каждая метка была просто вещественным числом (например, в разд. 7.6 метками были значения процесса £ (I) в точках входов |' (I) под нулевой уровень). Используемые нами теперь метки более абстрактны, и в действительности мы берем в качестве т]А функцию, определяемую соотношением Яа (t) = | (?А + t). Таким образом, метка {Як (/)} есть вся функция {£ (0Ь сдвинутая назад на расстояние th. По предположению процесс | непрерывно дифференцируем и имеет конечное число выходов в конечных интервалах. Поскольку, кроме того, в любой точке выхода I' (У > 0, легко видеть, что каждое Яа (t) является случайной величиной. Действительно, если т<п> = min \Un, i = 1, 2, ...; £ ((i — 1)/л) < и < | (i/л)}, то очевидно, что т<”> -+^и Е (т}”> + + /)-►£ (/i + 0 п. н., так что Я1 (t) как предел случайных величин также является с. в. Вообще пусть тАп) = min \Un, i = 1, 2, ...; £ (/A_i + (t — 1)/л) < и < £ (<A_i + 1/п)\. Это приводит к соотношению 5 (^—i + тАп) + /)-*£ (/а + Of и> следовательно, и Як (t) также является случайной величиной.
В частности. Яа (0) = и, в то время как для малых значений t функция Ял (t) описывает поведение процесса 5 в непосредственной близости от его /г-го выхода th за уровень и. Конечно, любая из меток, скажем {Яо(ОЬ содержит полную информацию обо всех
выходах и всех других метках, так что различные {т]А (/)} полностью зависимы.
Более того, метки связаны тем требованием, что 4 является первым выходом за уровень и после нуля, 4 — вторым выходом и т. д., что предполагает неодинаковое распределение различных меток hi(Z)}, hitob... .
—'Реализация процесса {£ (/)| порождает реализацию последовательности меток {т]1(Й|. {т]2(0}. •••• и именно это будет дей.
Рис. 10.1.1. Точечный процесс {^} выходов для |(/), / > 0.
Рис. 10.1.2. Реализации меток T|h (/) = Е (^ + 0. описывающих поведение §(•) после выходов за уровень.
ствительности наблюдаться на большом интервале времени. Для каждой такой реализации можно сформировать эмпирическое распределение наблюдаемых значений Чл (s). k = 1, 2, .... т. е. значений £ (4 + s) процесса 5 через фиксированное время s после выходов за уровень и. Ниже мы увидим, что при увеличении интервала наблюдения это эмпирическое распределение сходится, и будем рассматривать этот предел как маргинальное распределение «произвольной» метки в момент s. Аналогично можно получить совместные распределения «произвольной» метки в моменты 5Ь .... sn и нескольких последовательных меток. Такие распределения являются главным предметом рассмотрения этой главы. В теории точечных процессов подобные объекты называются распределениями Пальма (или мерами Пальма). Они формализуют понятие условного распределения при условии, что точечный процесс имеет точку в определенный момент времени т.
Эмпирические распределения меток в точках выходов
Точечный процесс Nu на вещественной прямой, образованный выходами {| (0} за уровень и, стационарен и не имеет кратных событий, т. е. совместное распределение с. в. JVU (7 + I,), / = = 1, .... п, не зависит от t, и Nu ({<}) равно или 0 или 1. (Здесь t + 1) —• сдвиг множества 1, на t, т. е. t + I, = {7 + s; s С 7,}.) Далее, Nu совместно стационарен с процессом 5 (7), т. е. распределение с. в. Nu (t + Ij), I (7 + Sj), / = 1, .... n, не зависит от t.
Пусть s,-, / = 1, .... n, и yh / = 1, .... n, — фиксированные числа. Тогда для каждого выхода th можно проверить, будет ли выполняться | (4 + Sj) у,, / = 1, .... п. Теперь, отправляясь от точечного процесса Nu, сформируем новый процесс Nu, удаляя из Nu все такие точки 4» Для которых соотношения 5 (4 + + Sy) ^ Уь i ~ !,...,«, не выполняются в совокупности. Относительное число точек этого нового процесса говорит нам о том, сколь вероятно (для отдельной выборочной функции), что метка r]ft (7), соответствующая точке 4 процесса Nu, удовлетворяет неравенствам 14 ($,) <; у3, j = 1, .... п.
Точнее говоря, мы предполагаем, что наблюдается реализация процесса | (7) в интервале времени (0, 71, и, обозначая s = ($!, .... sn), у = (У1, .... уп), определяем эмпирическую функцию распределения Fl метки как относительную частоту выходов, удовлетворяющих неравенствам | (4 + s,) < yj, j = 1, .... п, т. е.
рт ,жА Nu (7) _ «rdj^^LE^a^
W - Nu (T) -card {4 e (0, 7])•
Характеристическое свойство эргодических процессов состоит в том, что'эмпирические распределения, такие как Fl, сходятся
при Т оо п. н. к определенному неслучайному пределу, в данном случае (как будет видно) к
Напомним, что (строго) стационарная последовательность {|п} является эргодической, если для каждой (измеримой) функции h (g.) последовательности в целом среднее по времени функции h по последовательно сдвигаемым копиям этой последовательности
п
к=1
при п -* оо сходится с вероятностью единица к Е (h (£.)) при условии, что это математическое ожидание конечно. Здесь |. +ft обозначает исходную последовательность, сдвинутую влево на /г единиц времени. Для процесса с непрерывным временем сумму следует заменить интегралом.
Далее, если {В (01— эргодический процесс с непрерывным временем и с. в. £, определены как функции от g (/), i — 1 < / < i, т. е. ^ = g (5 (0; i— 1 < ^ < 0» то {?4—стационарная последовательность. По поводу дальнейших подробностей относительно эргодичности см., например, Брейман (1968).
В случае нормальных процессов и последовательностей имеется простой критерий эргодичности: спектральное распределение не должно иметь дискретной составляющей, т. е. спектральная ф. р. должна быть непрерывной функцией. Это было доказано Маруямой (1949) и Гренандером (1950).
Теорема 10.2.1. Если процесс {| (/)} эргодический и Е (Nu (1)) < < оо, то с вероятностью единица
L Лг(у)^Л(у) = 4$таГ при Т^~‘ (10-2Л>
Доказательство. Если процесс jg (/)} эргодический, то £t = = card {4 € (i — 1, И) и ^ = card \th 6 (i — 1; i]; 5 (k + + Sj) -< yj, j = 1» .... M также эргодичны, и поэтому
гг
(10.2.2) i=i<=i
где Т -> оо, пробегая целочисленные значения. Далее заметим, что [П
4л'“ (л=-ф—4г|2 +4- Vt*
где 0 < £т <: 6[т]+ь Поскольку ([Г] + I)-1 £[r]+i -* 0 в силу
отсюда следует, что
-Lnu(T)-^E(^) = E(Nu(1)),
и аналогично
-^NU(T)^E(ZX) = E (Мы(1))
с вероятностью единица при Т -* оо, что доказывает (10.2.1). □
До настоящего момента мы, как обычно, не конкретизировали основное вероятностное пространство, на котором ведется рассмотрение. Пусть теперь Сх — пространство непрерывно дифференцируемых функций, определенных на вещественной прямой. Мы будем обозначать типичный элемент пространства Cj как 6» и пусть (0 — значение этого 5 в точке t в полном соответствии с предшествующим использованием. Мы можем тогда представить себе вероятностную меру Р нашего исходного процесса {6(0} как определенную на Сх или, более точно, на наименьшей о-алгебре S' подмножеств Съ относительно которой все проекции 6 \ 6 (0 измеримы.
| В качестве обобщения изучавшегося выше точечного процесса Nu мы для каждого Е ^ S' определим новый процесс Nu, Е, удаляя из Nu все такие точки th, для которых 6 Uh + ) ^ Е, т. е. для которых функция т]й (■) = 6 (4 + ) не принадлежит Е. Тогда (10.2.1) побуждает нас дать определение второй вероятностной меры Ри на Сх посредством соотношения
F E<Nu.eW) _ £ (card {/д £ (0, 1]; H^+) € £))
r£ <NU (1))£ (card Wh € (0, 1]})•
Мы будем называть Pu распределением Пальма или эргодическим распределением процесса 6 после его выхода за уровень и. В силу аддитивности математических ожиданий Ри является в действительности вероятностной мерой, и конечномерные распределения с. в. 6 ($,). j = 1п> являются, очевидно, в точности функциями Fs, определенными в (10.2.1). Поэтому Р“№ХУр /=Ь n\ = Fs^) =
card {/ft е(0, 7]; 1^ + 8Й<Уг 1=)”}
“ т™«rd {/ft е (0, 7]}'
Очевидно, что результат теоремы 10.2.1 об эмпирических распределениях для T]fe (0 = 6 Uh + 0 остается в силе при замене Nu на Nu, Е для произвольного Е € S', т. е. с P-вероятностью единица
Nu, е (7) Е (Nu, Е (1)) ри
Nu (7) E<NuW) Г Vе)-
Это ведет к сходимости эмпирических распределений и многих других интересных функционалов, таких, как длительность выброса, т. е. период времени между выходом и следующим за ним входом под тот же самый уровень, максимум в интервалах фиксированной длины, следующих за выходом, т. е.
card f th С [0, 7]; sup 5 Vh + i) <x |
P“ | sup £ (0 < x j = lim^^ ^ r]}.
Относительно других примеров см. Линдгрен (1977).
Мера Р“ формализует понятие условного распределения процесса при условии, что он имеет в момент t = 0 выход за уровень и и, согласно теореме 10.2.1, описывает свойства £ (th + t) как функции от t на больших интервалах времени, когда th пробегает множество всех положительных моментов выходов. Таким образом, /’“-распределение значения £ (0 можно интерпретировать как «условное распределение значения исходного процесса через время t после произвольного выхода за уровень и». В частности,
Ри {I (0 имеет в точке t = 0 выход за уровень u} = 1, так что т]0 = £ с /’“-вероятностью единица.
Если В (0 — стационарный нормальный процесс, имеющий непрерывно дифференцируемые выборочные функции, то можно показать (хотя для этого привлекается теория пересечений для нестационарных процессов), что к тому же, в очевидных обозначениях, Еи (Nu (0) < °° для всех t > 0. Таким образом п. н. относительно меры Ри в любом конечном интервале имеется лишь конечное число выходов за уровень и, и поэтому метки т]й (t), k = 1,2, .... вполне определены. Следующий результат дает дополнительную мотивировку для представления о Ри как о распределении произвольной метки в исходном процессе и делает точным интуитивное представление о том, что относительно распределения Ри метки т]6 (0 = В (th + 0 имеют одно и то же распределение для k = 0, 1,... и являются в равной степени «произвольными». Теорема 10.2.2. Предположим, что |Е (01— стационарный нормальный процесс, имеющий непрерывно дифференцируемые выборочные функции (например, удовлетворяет общим предположениям предыдущего раздела). Тогда последовательность меток {'Io (0Ь I'll (Oh ••• стационарна относительно распределения Пальма Ри в том смысле, что конечномерное Ри-распределение для
^^(Sj),4h+h,(Sj), j=l, .... п,
не зависит от k. В частности, для фиксированного t все т]^ (/), / = О, 1 образуют стационарную вещественную последователь
ность и поэтому имеют одно и то же Ри-распределение, тогда как относительно меры Р они имеют неодинаковые распределения,
Доказательство. Мы покажем только, что относительно меры Ри распределение с. в. т], (/) совпадает с распределением с. в. т]^ (О- Полное доказательство отличается лишь более сложными обозначениями.
Положим р. = Е (Nu (0, 1 ]) = Е (card (4 € (0, 1 ]}). Тогда
^"^.,(0^1/1 = M.-^CcardUfc€(O, 1]; и^ + 0<1Л) =
= (p7)^£(card{/ft€(0, 7]; £(tw + t)<y\\ (10.2.3)
Аналогично
P*1 {4J-1 (0 < ^ = УЛ’1 E (card |/ft e (0, 7]; £ (t№ + 0 < y\Y
(10.2.4)
Возьмем теперь пару соседних точек th и th+1. Мы видим, что th засчитывается в (10.2.3) в том и только в том случае, когда
№ л и ^^-+о<</,
в то время как th+x вносит вклад в (10.2.4) тогда и только тогда, когда
^+i€(0, 7] и №^_хА-^<у,
т. е. тогда и только тогда, когда
tM№ 7] И ^jArt^y.
Следовательно, количества точек в (10.2.3) и (10.2.4) отличаются самое большее на +1 или —1, так что
\Pu\4At)^y\-P44j-iW^y\\<-^-*0 при Т->оо. □
Пальмовские вероятности могут быть получены, так же как пределы обычных условных вероятностей, при условии, что точка, т. е. выход, находится не строго в нуле, а где-то поблизости. Пусть t0 — последний выход С (0 за уровень и, предшествующий точке t = 0. Тогда
P“W<yj. j=lп\ =
= lim Р {£ (4 + s;) <у,. / = 1п | -h < t0 < 0}, (10.2.5) hiO
и можно показать, что предел (10.2.5) существует и равен отношению (10.2.1). Фактически (10.2.5) можно принять за определение пальмовских распределений, и именно такой подход был принят Кацем и Слепяном (1959), которые назвали его методом условных вероятностей горизонтального окна для пересечений, указывая на то, что выборочная функция g (I) должна проходить через горизонтальное окно {(Л у); —h</<0, у = и}. Это является противоположностью условию вертикального окна, которое требует, чтобы и < £ (0) < и + h, £' (0) > 0, так что процесс должен проходить через вертикальное окно {(/, х); t = 0, и -^ х ^ и + h\
с положительным наклоном. Распределения горизонтального и вертикального окна будут отличаться в одном особом аспекте, а именно маргинальным распределением значения производной тр (0) = Г (4) метки в точке выхода; см. конец следующего раздела.
Модельный процесс Слепяна
Посвятим остаток этой главы более подробному исследованию свойств меток относительно распределения Пальма, в частности когда уровень и становится высоким. Ввиду теоремы 10.2.2 все {тр (/)} имеют одинаковое Ри-распределение, так что возьмем t]0 (^ = 5 (0 в качестве типичного представителя.
Нашим инструментом будет явное представление Ри-распре- деления для 5 (/) при помощи простого процесса, первоначально введенного Слепяном (1963) и поэтому именуемого в этой работе модельным процессом Слепяна. Следующая теорема использует определение распределений Пальма и создает основу для представления Слепяна.
Теорема 10.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 10.2.2 и pu = Е (Nu (1)) = (1/2л) Х^2 ехр (—и2/2). Тогда для / =/= 0
у fСО
dx, (10.3.1)dx, (10.3.1)^“{6(0<у1= JS zp(u,Z)p(x\u, z)dz
dx, (10.3.1)
dx, (10.3.1)
Х= — со I2=0
где р (и, г) — совместная плотность значений процесса 5 (0) и его производной 5' (0), а р (х | и, г) — условная плотность 5 (0 при условии, что | (0) = и, £' (0) = г. Следовательно, Ри-распределение значения £ (/) = 1]0 (?) абсолютно непрерывно и имеет плотность
р-1 J гр (и, z)p(x\u, z^dz.
2=0
Что касается п-мерного Р°-распределения для £ (sj, .... £ (sn), то оно получается заменой р (х\и, г) на р (хп .... хп | и, г) — условную Р-плотность с. в. £ (sj, .... £ (sn) при заданных значениях | (0) = и, £' (0) = г.
Доказательство. Одномерная форма (10.3.1) является непосредственным следствием лемм 7.5.1 (Hi) и 7.5.2, поскольку мы предположили, что £ (0) и £ (0 имеют невырожденное распределение. Можно взять £(s) = £ (s), £'(s) = £'(s), т] (s) = £ (s + /) и точно таким же путем, как и в доказательстве леммы 7.6.1, проверить, что
Р {£ (0 = и. ^ (0 = v для некоторого t € (0, 1]} = 0,
так что
E(NU^= Jzp(u, z)P^№<y|H0) = u, r(0) = z}d2 = 2=0
У oo
= J J гр (и, г) р (х | и, z) dz dx.
Х= — to 2=0
Многомерный случай доказывается аналогичным образом. □ Теорема 10.3.1 утверждает, что совместная плотность с. в.
I (sj5 (sn). соответствующая Ри, дается формулой
р-1 j гр (и, г)р(хи ..., xn | u, z^dz, (10.3.2) z=o
где р (хъ .... хп | u, z) — условная Р-плотность с. в. £ (sj, .... | (sn) при заданных значениях £ (0) = и; 5' (0) = г. Мы вычислим сейчас (10.3.2), чтобы получить модельный процесс Сле- пяна.
Обозначая р = (1/2л) ХУ2 ехр (—и2/2) и используя тот факт, что | (0) и V (0) независимы и нормальны с Е (£' (0)) = 0, Е (|' (О)2) = Xg, получаем
р<и’ z)=-£-exp(-^)
и можем записать (10.3.2) в виде
J -^-ехР (— -^) Р(а*п|*Л z^dz. (10.3.3) 2=0
Ковариационная матрица с. в. В (0), В" (0), В (sj, ..., В ($п) равна
10г^)... r(sn)
0 Х2 — r'($i) ... —r'(sn)
г($1) —гЧ^ 1... r(Sn-s)
r($n)—r'(sn) r($L —Sn) ...1
Из стандартных свойств условных нормальных плотностей [см. Рао (1973, с. 467)1 следует, что р (хг, .... хп | и, г) есть п-мерная нормальная плотность и что
f (|(5,)||(0) = Щ t Ф) = z) = urlSi) - ^iL (10.3.4)
и
Cov (5 (Si), 5 (s;) R (0) = и, Г (0) = z) =
= г (st - s,) - r (st)r (я,) - r'^^ . (Ю.3.5)
Плотность (10.3.3) является, таким образом, смесью и-мерных нормальных плотностей, которые имеют одни и те же ковариации (10.3.5), но различные средние (10.3.4) и смешиваются пропорционально рэлеевской плотности
z>°-(10-3-6)
Теперь мы готовы к тому, чтобы ввести модельный процесс Слепяна. Пусть с. в. t, имеет распределение Рэлея с плотностью (10.3.6), и пусть {х (fl, / 6 /?| — нестационарный нормальный процесс, не зависящий от С и имеющий нулевое среднее и ковариационную функцию
г*($, о = cov (х(s), X(fl) = г (s - 0 — г (s)г (fl — г ^'^ •
То, что это действительно ковариационная функция, вытекает из (10.3.5). Поэтому на некотором вероятностном пространстве, конкретизировать которое нет необходимости, существуют х и С с такими свойствами. Процесс
^т = иг^--М-Л-и^(Ю.3.7)
называется модельным процессом Слепяна для процесса | (/) после его выходов за уровень и. Ясно, что при условии £ = z процесс (10.3.7) является нормальным и имеет среднее и ковариации, задаваемые правыми частями (10.3.4) и (10.3.5) соответственно, так что его конечномерные распределения задаются плотностями (10.3.3).
Теорема 10.3.2. В условиях теоремы 10.2.2 конечномерные распределения Пальма метки |т]0 (Л}, а следовательно, по теореме 10.2.2 и всех меток |i]ft (/)} совпадают с конечномерными распределениями модельного процесса Слепяна
ЫП=иг^--М-Л-х^
т. е.
Pu№^Bh /=1п\=Р^№/=1, .... п}
для любых борелевских множеств В^ .... В^.
Следует отметить, что высота уровня и входит в Си (fl только через функцию иг (fl, в то время как Сих (fl одни и те же для всех и. Это делает возможным получать распределения Пальма для ме-
ток, связанных с пересечениями любого уровня, вводя только одну случайную величину £ и один случайный процесс {х (/)}. В последующем для вывода теорем о сходимости |и (/) при и ->- оо будем использовать тот факт, что и входит в t,u (/) только посредством слагаемого иг (t).
Эти теоремы преобразовываются затем с помощью теоремы 10.3.2 в теоремы о сходимости распределений, соответствующих распределению Пальма Р", что для эргодических процессов, согласно теореме 10.2.1, означает сходимость к предельным эмпирическим распределениям.
Как указывалось в предыдущем разделе, те же самые рассуждения применимы к предельным эмпирическим распределениям некоторых других функционалов. В частности, это относится и к максимумам, и поэтому интересно исследовать асимптотические свойства максимумов для модельного процесса Слепяна.
Здесь следует упомянуть некоторые простые факты относительно модельного процесса ||„ (/)}. Можно показать, что процесс {х (/)} два раза непрерывно дифференцируем, и очевидно, что Е (х (0) = Е (и' (/)) = 0, Е (х (О)2) = Е (х* (О)2) = 0, так что Р {х (0) — х' (0) = 0} = 1. Поскольку 7^ = —г” (0), имеем
& (0) = иг (0) - ^h + х' (0) = ^
так что £ есть просто значение производной процесса |„ (/) в нуле. В соответствии с теоремой 10.3.2 это немедленно преобразуется в соответствующий результат о распределении значения производной в момент выхода.
Следствие 10.3.3. Распределение Пальма производной т)/ (0) метки в момент выхода за уровень и не зависит от и и имеет рэлеевскую платность (10.3.6).
Величина £ определяет тангенс угла наклона траектории процесса ^,и (/) в точке / = 0. При больших значениях t слагаемое х (/) в £„ (/) будет доминирующим, если г (f) и /(/)-* 0 при t -► со. (Достаточным условием этого является наличие у процесса {£ (7)} спектральной плотности, и в таком случае процесс {^ (0} является также и эргодическим.) Тогда rh (т + s, т + t) -► _> г (s — /) при т-* оо, так что ^„ (/) при больших t имеет асимптотически точно такую же ковариационную структуру, что и безусловный процесс 5 (0- Этот факт отражает то обстоятельство, что влияние выхода асимптотически исчезает.
Явное модельное представление, аналогичное (10.3.7), можно определить и в случае использования условий вертикального окна, упомянутом в разд. 10.2. Единственное отличие состоит в том, что производная £ траектории процесса в точке 0 имеет В этом случае усеченное (в нуле слева) нормальное распределение.
Заметим, что такая модель не описывает эмпирического поведения процесса £ (0 вблизи его выходов за фиксированный уровень и.
Выбросы за высокий уровень
Обратимся теперь к асимптотическому виду меток для пересечений высоких уровней, соответствующему предельному эмпирическому распределению Ри. Для этого просто исследуем модельный процесс £и (0. поскольку, как показано в теореме 10.3.2, его распределение совпадает с ^“-распределением метки.
Длительность и высота выброса за высокий уровень и окажутся величинами порядка и-1. Поэтому мы нормируем процесс L (0» увеличивая масштаб в и раз. Прежде чем перейти к деталям, приведем эвристические соображения, побуждающие получать точные результаты. Введем в рассмотрение разложения
(10.4.1)(10.4.1)Чт)-1—^с+оо».^(^--^o+od))
(10.4.1)
(10.4.1)
при t/u-^Q, вытекающие из (10.1.1), и заметим, что поэтому х (//и) = о (//и) при t/u -► 0. Подставляя это в выражение для £и (0 и отбрасывая все члены более высокого порядка малости, получаем
W««(l-Ш+4^“+v(^~2f-J (10.4.2)
при и оо и фиксированном t.
Многочлен У — ^^/2 в (10.4.2) принимает максимальное значение в точке t = Ука, и это значение равно У12'^. Следовательно, можно ожидать, что L (0 имеет максимум порядка и + (1/и) да2- Поэтому вероятность того, что этот максимум превосходит и + и/и, должна быть приблизительно равна
Следующая теорема обосновывает приведенные выше соображения.
Теорема 10.4.1. Предположим, что г удовлетворяет (10.1.2) и г 0 при t оо. Тогда для каждых т > 0, и > 0
Р\ sup L(0>“ + -ttIпри U-*oo.
10</<t“ )
т. е. нормированная высота выброса процесса £„ (/) за уровень и асимптотически показательна.
Доказательство. Сначала докажем, что максимум процесса £„ (О наблюдается вблизи нуля. Выберем такую функцию 6 (и), что 6 (м) оо при и оо, 6 (и)/и -► 0, 62 («)/« -► оо. Тогда
Pt sup(10.4.3)
I 6 (и)/«</<т)
поскольку эта вероятность не больше, чем
Pt sup(^ (/) — иг (0) + sup ur (t) > и | <
16 («)/«<*<*6Wu^<tI
<pj sup+x (/))>«/!— sup r
10<Z<t \*2/(6 (иИи«<х ) J
ЗдесьЗдесьsup (—^r^0</Ct ' Л*sup (—^r^0</Ct ' Л*
Здесь
Здесь
sup (—^r^
0</Ct ' Л*
sup (—^r^
0</Ct ' Л*
является собственной (т. е. конечной) случайной величиной, и (поскольку 1 — г (/) = ХйР/2 + о (Р) при / -* 0 и совместное распределение £ (0) и £ (/) не вырождено для всех I, так что г (/) < < 1 для / ^ 0) 1 — г (0 >- Кг для 0 < t <, т и некоторого К, зависящего от т, так что
оо,оо,и (1 — sup г (Л) >- Ди 6
оо,
оо,
( 6W/UW^
что влечет за собой (10.4.3).
Ввиду (10.4.3) нам необходимо только показать, что
Р [ sup L (0 > u + 4-) =
I 0<f<6 (u)/u“ )
= p( sup uUJ^-u^vA-.-e-0
для u > 0. В силу (10.4.1)
--^■(l+omi + Wl+oOTl + t2^ (10.4.4)
равномерно для 0 < t < 6 (и) при и -* оо. Поскольку {х (/)} имеет п. н. непрерывно дифференцируемые выборочные функции с х (0) = х' (0) = 0 и 6 («)/« -* 0, справедливо соотношение
sup ■х.^—>0 (п. н.) при U-*OO.
0</<С (и)*>и
Отсюда следует, что максимум процесса и (^ (//п) — п) асимптотически определяется максимумом многочлена —^^/2 + ^ и lim Р [ sup £, (0 > u +) =
= p(sup(—^+ ^)>У) = р|-^>У)= е-,
что и надо было показать.□
Как упоминалось выше, результаты о распределениях и пределы для модельного процесса |£ы (/)} переносятся на метки Лл (0 = Е (4 + 0» т- е- на эргодическое поведение исходного процесса {£ (/)} после th.
В частности, теорема 10.4.1 имеет своим следствием, что для эргодических процессов предельное эмпирическое распределение нормированных максимумов после выходов за уровень и является для больших значений и приближенно показательным, т. е.
card Ик £ (0, 7]; sup g 0* + Л > “ + о/м 1
card {<* € (0, 7]}
при и -► oo п. н. Это проясняет сделанное в начале этой главы наблюдение, что выброс за высокий уровень и превосходит и уровень и — (1п р)/ы с вероятностью е1п₽ = р.
Здесь надо отметить, хотя это формально и не доказано, что выбросы, связанные с различными выходами за уровень, асимптотически независимы. Это объясняет асимптотическую независимость исчезновений выходов при возрастании уровней.
Теорема 10.4.2. Предположим, что г удовлетворяет (10.1.2) и г (t) -► 0 при t -► оо. Тогда с вероятностью единица нормированный модельный процесс L (/) = и (^ti (t/u) — и) сходится равномерно для | /1т к параболе
в том смысле, что с вероятностью единица sup |L(0-ta>(n|-*0 |/|<t
при и -► ОО.
Эта теорема проливает некоторый свет на дискретную аппроксимацию, использованную в доказательствах теорем о максимуме и пуассоновских свойствах в предыдущих главах. Выбор квантования с шагом q казался там обусловленным чисто техническими причинами. Теорема 10.4.2 объясняет, почему такой вы-
бор себя оправдывает. В силу этой теоремы естественным масштабом времени для выбросов за высокий уровень и является и-1, так что квантование времени с шагом q = о (и-1) улавливает высокие максимумы при возрастании числа точек квантования.
Глава И
Максимумы и минимумы и теория экстремумов для зависимых процессов
То, что экстремумы двух и более взаимно независимых процессов независимы, тривиально. В этой главе мы установим, возможно несколько неожиданный, факт, состоящий в том, что асимптотически независимость экстремумов сохраняется для нормальных процессов, даже когда они сильно коррелированы. Однако сначала мы исследуем асимптотическую независимость максимумов и минимумов в одном нормальном процессе. Поскольку минимумы процесса 6 (О являются максимумами для —£ (О, такую независимость можно рассматривать как частный случай независимости экстремумов двух процессов, именно максимумов полностью зависимых процессов £ (О и —£ (О-
Максимумы и минимумы
В случае стандартизованного стационарного нормального процесса процессы {£ (01 и {—£ (01 имеют одно и то же распределение. Если обозначить
m(7) = inf {^(s); 0<s<7},
то очевидно, что m (7) = —sup {—£ (s); 0 ^ s ^ 7} и, следовательно, т (Т) имеет точно такое же распределение, как и —М (7). Если {4(01 удовлетворяет предположениям теоремы 8.2 5, то р \т (7) ^ —и{ -* е-11 при 7 -► со, и -* со и 7v -* ц > 0, где v = (1/2л) хУ2 ехр (—и2/2). При выполнении предположений теоремы 8.2.7 отсюда следует, что
Р {ог (т (7) + ЬТ) < х{ -»-1 — ехр (—е*)
с теми же самыми нормировками, что и для максимумов, т. е.
ог = (2 In 7)1/2,ог = (2 In 7)1/2,6г = (21п7)Ч26г = (21п7)Ч21п(ху2/2л)'(2^7)42 '1п(ху2/2л)'(2^7)42 '
ог = (2 In 7)1/2,
ог = (2 In 7)1/2,
6г = (21п7)Ч2
6г = (21п7)Ч2
1п(ху2/2л)'(2^7)42 '
1п(ху2/2л)'(2^7)42 '
Берманом (1971b) было показано, что без каких-либо дополнительных предположений минимум т (7) и максимум М (7) асимптотически независимы по аналогии с асимптотической независимостью минимумов и максимумов независимых последовательностей/установленной в теореме 1.8.3. Мы получим сейчас результат Бермана (теорема 11.1.5).
Используя те же обозначения и методы, что и в гл. 8, мы обозначаем через Nu и N„ чисто выходов за уровень процесса {£(/) ; О <С t ^ А) и последовательности {£ (jqY, ^ <С iq <С h\ и определим по аналогии D_u и D^ как соответствующие числа входов под уровень —и. Заметим прежде всего, что если для h = 1
И = Е (Nu) = А- ХУ2 ехр (- 4) >
v = £ (D^ = 4-хУ2ехр (-4)
и если и, и -► сю таким образом, что 7ц т> 0 и 7v -► т] > О, то и ~ и и
u-v~(11.1.1)
см. (9.2.3). В частности, отсюда вытекает, что если q -* 0 таким образом, что uq -► 0, то также и vq -► 0.
Следующая лемма содержит необходимую дискретную аппроксимацию и разделение максимумов. Как и в гл. 8, мы разбиваем расширяющийся интервал (0, 7] на п = [7/Л Участей и каждую из них делим еще на две части, Ik и /;, имеющие длины h — е и е соответственно. Символом т (Г) будем обозначать минимум процесса £ (Z) на интервале /.
Лемма 11.1.1. Если выполняется соотношение (8.1.1), то при то и, v -*• сю и uq, vq -► 0 (i)P{m(/)<—v, Af(/)>u| =
= 7 J min ^Qq^< — d, max^(/9)>u) + o(v + p), ' io € Iia^i
где о (v + p) равномерно во всех интервалах I длины h ^h0 для фиксированного Zig > 0,
Доказательство, (i) Применяя лемму 8.2.2 (i) к {£ (/)| и {—£ (/)}, получаем
0<^Р{т(/)<—и, Af(/)>u} —
— Р / min £ (/9) < —и, max £ (/9) < и 1 < Е ^D_d — D^) + ' /» € 7iqQl'
+ £(М« — Mrt) + Р {£(0) <—о| + Р U(0)>«} = o(v+р).
Части (ii) и (iii) получаются, как и в лемме 8.2.3, и мы не будем повторять здесь соответствующих деталей.□
Следующие две леммы дают асимптотическую независимость и максимумов, и минимумов на отдельных интервалах Ik.
Лемма 11.1.2. Пусть ^£п—стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу Л1 = (Л}/), а Th, ..., Лп — аналогичные величины, но имеющие ковариационную матрицу Л° = (Л?/), и пусть р(/ = max (| Л}/|, | Л°/|). Кроме того, пусть и = (нц .... и^ и v = (ип .... ип) — векторы с вещественными компонентами и
u> = min(|u1||«п|, 1^1|ип |).
Тогда
P\—Vj<Xj<,Uj для / = 1, .... п} —
— Р {—щ < т]/^ Uj для j = 1, ..., nf<
<4- 5 M-AMd-pU-'W-ji-). (11.1.2) 1«</<п'11
Доказательство. Здесь требуется лишь незначительное изменение доказательства теоремы 4.2.1. Таким же образом, как и в том доказательстве (и в тех же обозначениях), показывается, что левая часть (11.1.2) равна
Й2(лЬ-л!,)(---J^-dyU. о v t<j-v ‘ j
Выполняя интегрирование по у, и у,, мы получаем четыре слагаемых, содержащих соответственно подынтегральные выражения fh^i = ub yj = UjY —fhtoi^ut, У1 = —Щ^,—ЬЛУ1 = —иь У) = иД, thUji=—yb У) = —О1\
Каждое из этих слагаемых можно оценить, как в доказательстве теоремы 4.2.1, и получить результат леммы.□
Лемма 11.1.3. Предположим, что г (f) -► О при t оо и что Тр -^- х, Tv -»- т^ при Т ► оо, а также что если qu -* 0, qv -► О достаточно медленным образом, то
Т 2 к(ВД1=хр(-,+ивдьН° (,LL3) t<ytq<T
для каждого е > О, где ш = min (и, v) > 0. (Это выполняется, в частности, если г (t) In t -»- 0 при t -► оо.) Тогда
Р \ —x)<^(kq)<u, kq^ (J /Д — I/-I J
— Д/3 {— &^%(kq)^u, kq^lj\-*O при Тн-сс,
limsup П^!— u<£(kq)<u, kq^I3\ — 7—m /=1
— Pn {—и<m(h)^M(h)-Cu\ <; ^ ^^ e.
Доказательство. Часть (i) вытекает из леммы 11.1.2 точно таким же образом, как и лемма 8.2.4 (i) вытекает из теоремы 4.2.1. Что касается части (ii), то заметим, что для достаточно больших Т в силу леммы 8.2.1 (i)
0 ^ Р {—v<Zm(Ij) ^M(I3)<C.u\ — Р {—о < m(h) ^ М (h) ^ и \ ^ ^P\m(l;)^-v\ + P\M(I;)>u\^(v + p)(e + o(l)).
Теперь из леммы 11.1.1 (i) и леммы 8.2.2 (ii) следует, что для достаточно больших Т
0C^-PC(v + p)(e + o(l)),
где Р3 = Р{—и < g (kq) ^ и, kq Q 7j|, Р — Р {—и < m (К) ^ М (h) <; и\. Поэтому, как и в лемме 8.2.4 (ii),
И
о <П/>/-/>"<«(*+W(e4-o(i))~-*4^^^ /=1
Заключительный существенный этап доказательства асимптотической независимости m (Т) и М (Т) состоит в том, чтобы показать, что интервал фиксированной длины h не содержит одновременно больших положительных и больших отрицательных значений £ (/).
Лемма 11.1.4. Если выполняется (8.1.1), то существует такое h0 > 0, что при и, и оо
Р {Al (h) > и, т (h) < —v} = о (v + р)
для всех h <ho.
Доказательство. Согласно лемме 11.1.1 (i), достаточно показать, что
Pf max ^(jq)>u, min £(jq) < — и I = o(p + v)
для некоторого q, удовлетворяющего соотношениям uq -► 0, vq -► -*- 0. В силу стационарности, эта вероятность ограничена сверху величиной
-уР {E(0)>u, min g(/9)<—у}<
*1—hCjq^hJ
<y 2 P№>u.W<-v\. (11.1.4)
—h^jq^h
Здесь для jq =^ 0
P U (°) > “. 6 (jq) < —»} = J Ф W P {6 (jq) < —у | £ (0) = x} dx = u
co
= ^ф(x)ф/r=p^)dx, (11.1.5)
поскольку при условии 5 (0) = x случайная величина g (jq) нормальна и имеет среднее xr (jq) и дисперсию 1 — г® (jq). Далее, выберем такое h0 > 0, чтобы 0 < г (1) < 1 для 0 < 111 ^Ао, что возможно в силу (8.1.1). Если 0 < \ jq \ -^ h < h0, х > 0, то
(—у — xr (jq))!V I — ^ (jq) С —у
для и, у > 0, так что вероятность в (11.1.5) ограничена величиной
JФ (х)Ф(-у) dx = (1 - Ф (и)) (1 - Ф (У)) ~ Ф^М .
Вместе с (11.1.4) и (11.1.5) это показывает, что
0<Р/ max ^(jq)>u, min ^(jq)<—у|С
I OCjq^h0<jq<hJ
q» uv(p 4- v) quqo 'r 1 ’ x / i /,
поскольку ф (u) ф (y)/(p + v) = О (pv/(p + v)) -* 0 и q может быть выбрано таким, чтобы сделать сходимость quqo -► 0 сколь угодно медленной. □
Теорема 11.1.5. Пусть u = uT-*oouv = vr-*oo при Т -*- оо таким образом, что
?Р ="£гХ22ехР (""г) "*Т^°* rv=-£-^/2exp (-4)-^>°- Предположим, что стационарный нормальный процесс Е (/) удовлетворяет (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (11.1.3). Тогда
Р\—и< т(Т)^. М (Т) ^ы| ->-е_т,-т при Т^-ос, и поэтому Р\ат(т(Т) + Ьт)^х, ат(М(Г)-Ьт)<у\-+
-►(1 — ехр (—е')) ехр (—е-») с ат = (2 In Т)1/2, Ьт = (2 In Т)1/2 + In (лГ/2л)/(2 In Т)1/2. Таким образом, нормированные минимум и максимум асимптотически независимы.
Доказательство. В соответствии с леммой 11.1.1 (ii), (Hi) и леммой 11.1.3 (1), (ii) имеем
lim sup | Р {—и < т (nh) < М (nh) < и\ — 7-юо
— Рл{—уСт^ХМ^ХиЦ < 2(УТ) е для произвольного е > 0, и отсюда
Р {—у < m (лй) < М (nh) •< и} — Рп {—и < т (h)<, М (h) ■< и\ -> О
(11.1.6)
при п -► оо. Кроме того, в силу леммы 11.1.4 Рп |—и« т (h)<_ М (й) ^и\ =
= (1 — P\m(h)^ —и} — Р {М. (h) > и\ + о(v + р.))”.
Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 8.2.5, получаем нужный результат из леммы 8.2.1, используя тот факт, что л (v + + р) ~ (T/h) (v + р) (т) + т)/й.□
Эта теорема имеет следствия, аналогичные следствиям, получаемым в отношении максимумов на основании теоремы 8.2.5, но, прежде чем обсуждать их, приведем одно простое следствие относительно абсолютного максимума процесса 5 (О- Следствие 11.1.6. Если и оо, Трт, то
Р{ sup 10<«ТJ
и, кроме того,
Р | аТ ^ sup^ | £ (/) | — bT^ < x + in 2 } -*- exp (—e-*y
Как и для одних только максимумов, теперь легко доказать асимптотическую независимость максимумов и минимумов на нескольких непересекающихся интервалах, длины которых пропорциональны Т. Следствием является пуассоновская теорема сходимости для двух точечных процессов выходов за и и входов под —и с независимыми предельными пуассоновскими процессами. Кроме того, точечный процесс входов под несколько низких уровней сходится к точечному процессу, имеющему пуассоновские компоненты, получаемые последовательным прореживанием, как в теореме 9.3.2, и эти процессы входов асимптотически не зависят от процессов выходов. Конечно, отсюда тогда следует, что весь точечный процесс локальных максимумов, рассматривавшийся в теореме 9.5.2, также асимптотически не зависит от точечного процесса нормированных локальных минимумов.
Экстремальные значения и пересечения для зависимых процессов
Одна замечательная особенность зависимых нормальных процессов заключается в том, что независимо от того, сколь высока корреляция — почти вплоть до полной корреляции, — количества пересечений высокого уровня различными процессами, как показано у Линдгрена (1974), асимптотически независимы. Это будет доказано также с помощью нормальной леммы сравнения.
Пусть {£1(0}. •••» {?р(0} — совместно нормальные процессы с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариационными функциями rh (т) = Cov (£ft (0, £h (^ + т)). Мы будем предполагать, что они совместно стационарны, т. е. ковариации Cov (£h (0, £z V + т)) не зависят от t, и будем использовать обозначение
г„,(т) = СоУ(Ы9. ЫНт))
для ’взаимной ковариационной функции. Предположим далее, что каждая функция rh удовлетворяет соотношению (8.1.1), возможно, с различными Х2, т. е.
и чтои чтог^ = \-^-А-о(Л, /-*0, (11.2.1)
и что
и что
(11.2.2)(11.2.2)rk (t)lnt->-0,
(11.2.2)
(11.2.2)
rhl (0 In (->-0 При t—*• QQ
(11.2.3)(11.2.3)для 1 <; к, I <_ р. Для исключения возможности того, что ?ft (/) = = ±£i (/ + 4) Для некоторых k ^ I и некоторого выбора 4 и знака «+» или «—», мы предполагаем, что
(11.2.3)
(11.2.3)
max sup |rftl (1) | <1.к*1 t
Тем не менее мы отметим здесь, что если inf гм = —1 для неко- торых к ^ I, то найдется такое 4» что rht (4) = —1, а это означает, что 5й (/) = —ti (t + 4)- Максимум процесса ^ (/) является поэтому минимумом процесса ^к (<), и, как было показано в первом разделе этой главы, максимумы и минимумы асимптотически независимы. В действительности за счет некоторого усложнения доказательства условие (11.2.3) можно ослабить до
max sup rM (/) < 1.
к* I t
Определим
Mft(T) = sup{^(0; 0</<П, 6=1p,
и пусть ик = uh (T) — такие уровни, для которых
2
= -£-^» ехр (у-) т„ >О
при Т -* оо. Обозначим и = min {ux, .... upL
Для доказательства асимптотической независимости максимумов Мк (Т) аппроксимируем их максимумами на отделенных интервалах /7-, / = 1, .... п, с п = \TlhA для фиксированного h и затем заменяем непрерывные максимумы максимумами квантованных процессов для получения асимптотической независимости максимумов на различных интервалах. Мы только кратко укажем на те изменения, которые надо сделать в предыдущих доказательствах. Основной новый аргумент, используемый здесь, связан с максимумами |ft (/), к = 1, ..., р на одном фиксированном интервале, скажем I.
Сначала мы установим асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся интервалах.
Лемма 11.2.1. Если rh, гм удовлетворяют соотношениям (11.2.1)— (11.2.3) для 1 <С ^ I "С Р и если T^h th ^ 0, то для h > О и п = VHhA
Р \Мк(пК)<ик,к = 1р\ — Рп\Мь(Н)^иь,к = 1, ..., р}-*-0.
Доказательство. Искомый результат соответствует соотношению (11.1.6) в доказательстве теоремы 11.1.5 и доказывается анало-
гичными средствами. Единственное, что требует другого доказательства, это соотношение
Р (^ (/-7)Р (^ (/-7)Л|
Р (^ (/-7)
Р (^ (/-7)
Uh, jq£ и Ir, к = 1, • •р} —
- П Р {£„(jq)<uh, jqEk, к=Тр} О, (11.2.4) Г=1
соответствующее лемме 11.1.3 (i).
Отождествляя случайные величины 51. --•. Еп в следствии 4.2.2
с Si (/'?). •••. Ер Uq), iq € U 4. и аналогично гц, .... т)п — с неза
висимыми величинами из различных интервалов 1Т, из (4.6.2) находим, поскольку sup | rM | < 1 для к =/= I и max sup rh (О < 1.
что
р IlhG^X^e /9€ и Ь, к=\р
— ПР|^(/9Хик, iq^IT, к = 1, .... р} Г=1
р ♦
+ X X I rAZ ((i—7) р) I exp I— 14*1<PKI 1 R1"1,4H H( 1 +|rhl((i— /)p)|J
(11.2.5)
Здесь 2*, как и прежде, указывает, что сумма берется по тем значениям i, j, для которых iq и jq принадлежат различным 1Т. Поскольку и rh (t) In t -* 0, rki (/) In t -* 0, и sup | гйг | < 1, мы можем, как и в лемме 8.1.1 (ii), заключить, что обе суммы в (11.2.5) стремятся к нулю.
Лемма 11.2.2. Если rh, гм удовлетворяют условиям (11.2.1) и (11.2.3) для 1 < к, I <С Р, uto
Р \Mh(h)>uh, MiQ^>ut\ =о(р.й + и) для k^1
P\Mh(h')<uh, к= 1pl =
= 1 - S P\MhQi»UhHo S nft
Доказательство. (1) Как и при доказательстве леммы 11.1.4, достаточно доказать, что если q -► 0 таким образом, что uhq ~ tqq -»-0 достаточно медленно, то
Р/ max ?ftG9)>«h. max & G?) > “Л = ° (l*h + Рч)- I 0 < jq < h0 < jq < hJ
Поскольку ДЛЯ Г = k, I
P f max |r (jq) > иД = 0 (p.r),lo < jq < hJ
и, следовательно,
P{ max lhtiq)>uh\P ( max 5iG'9)>“il = lo</»<hJ lo</»<hJ
= O(HhHi) = o(Ph + Pi).
Теперь ясно, что достаточно доказать только, что
Р( max &^)>"к. max ^G9)>"d —
lO < jq 5 h0 < jq < hJ
— P{ max Mq)>«iW max h(jq)>ut\ =lO 5 lq < h0 Cjq ChJ
= * + Pz). (11.2.6)
Для оценивания этой разности снова используем следствие 4.2.2, где А1 определяется функциями rk, rt и гм, а А0 получается приравниванием гм нулю для к =^= I. Элементарные вычисления показывают, что разность в (11.2.6) равна
Р( max lk(jq)<uk, max lt(jq)<ut\- [ociq^hocjq<hJ
— P / max gft (jq) <ик\Р I max & (jq) < иД, lo < jq < hj VOCjqChJ
а эта разность в силу следствия 4.2.2 ограничена по абсолютной величине суммой
К Е \rk[(U - /)?)| О - r2kl((i - hqlV,2x 0<iq, jq^h
x exp (—, (11.2.7)
K l 1 +1 ai ((* — /) 7) I) v J
где и = min (uk, Ui).
Далее, в соответствии с (11.2.3) sup | rh[ (f) | = 1 — 6 для некоторого 6 > 0. Используя это, мы можем ограничить сумму (11.2.7) величиной
№,-ехр (-у^) - №-^(„,)-«^ х
X ехр{— I?. ^ 2-ду) (pi + Р,) = «(И» + Pi).
если uq 0 достаточно медленно, поскольку отношение <p(«)/(p,ft + + p.z) ограниченно.
Часть (ii) сразу следует из части (i) и неравенства р
L Р\М^К»ик\- Е Р\М^К»ик, Mt^>ut\<
/ р\ р
<Р и WH»^ <Е румн»!^. □ \*=i/ »=1
Рассуждая, как и^при доказательстве теоремы 8.2.5, и используя лемму 11.2.1 и лемму 11.2.2 (ii), получаем следующий результат.
Теорема 11.2.3. Пусть uh = uh (Г) -► оо при Т ->- оо таким образом, что
Тр.к = -^- Х^26 ехр (— ы*/2) -*тй > 0,1 < к < р,
и предположим, что совместно стационарные нормальные процессы lh (0 удовлетворяют условиям (11.2.1)—(11.2.3). Тогда при Т -* оо
(
р \
— Ё Th ).
6=1/
При тех же самых условиях, что и в теореме 11.2.3, нормированные во времени точечные процессы выходов за один или несколько уровней сходятся совместно по распределению к р независимым, биномиально прореженным пуассоновским процессам. Аналогично в условиях теоремы 9.5.2 точечные процессы нормированных локальных максимумов сходятся к р независимым пуассоновским процессам на плоскости. Мы сформулируем последний результат в виде теоремы, оставляя ее доказательство, как и доказательство первого результата, читателю.
Для к = 1, .... р предположим, что |h (/) имеет локальные максимумы в точках So*1 < 0s1/* < s1^ < .... и пусть Мб, г
обозначает точечный процесс (sik)/T, ат ^к (4*’) — Ьт. е) нормированных локальных максимумов.
Теорема 11.2.4. Предположим, что стандартизованные стационарные нормальные процессы {^ (/)}, ..., {|р (f)\ имеют непрерывно дифференцируемые выборочные функции и два раза дифференцируемы в среднем квадратичном и что их ковариационные и взаимные ковариационные функции rk (/) и гм (/) удовлетворяют условиям (11.2.1)—(11.2.3). Тогда точечные процессы
Np, т нормированных максимумов асимптотически независимы и каждый из них сходится при Т -► оо к пуассоновскому процессу на (0, оо) х R, имеющему меру интенсивности dt X e~xdx, как и в теореме 9.5.2.
Мы завершаем эту главу примером, иллюстрирующим необычный характер поведения экстремумов нормальных процессов.
Пусть {£ (/)} и {т] (/)} — независимые стандартизованные нормальные процессы, ковариационные функции которых г- и г-^ удовлетворяют условиям (8.1.1) и (8.1.2), пусть константы ch, к = 1, .... р удовлетворяют неравенству | ch | < 1, ch ^ с, для к =/= I и
^(0 = ^(0 + (1 — ^),/2г)(0-
Тогда процессы 6k ( /), к = 1р, совместно нормальны и их ковариационные функции гк (/) и взаимные ковариационные функции
rkt^ = G^rt(0 + (l - ci),,2(l - ^'^(О удовлетворяют (11.2.1)—(11.2.3). Таким образом, даже несмотря на то что процессы ^ (0, £Р (0 линейно зависимы, их максимумы асимптотически независимы.
Мы можем проиллюстрировать это геометрически, представляя &W, ч(0) точкой, случайным образом перемещающейся на плоскости. Выходы процесса £h (0 за уровень ик соответствуют тогда выходам (6 (/), т) (/)) за прямую
с**+ (1 — ci)l/2y = uh,
как показано на рис. 11.2.1. Моменты этих выходов образуют асимптотически независимые пуассоновские процессы, если время нормировано таким образом, что Tpft -*т6 > 0.
Рнс. 11.2.1. Выходы двумерного нормального процесса (£ (/), т] (/)) за прямые^ 9 Лидбеттер М. и др.
Глава 12
Максимумы и пересечения недифференцируемых нормальных процессов
Основное предположение предыдущих глав состояло в том, что ковариационная функция г (т) стационарного нормального процесса g (/) имеет при т -> 0 представление г (т) = 1 — Х2т2/2 + + о (т2). В этой главе мы рассмотрим более общий случай ковариаций, имеющих при т -> 0 представление г (т) = 1 — С | т |“ + + о(|т|“), в котором положительная постоянная а может быть меньше двух. Сюда включаются ковариации вида ехр (—|т|“); при ct = 1 это соответствует процессу Орнштейна—Уленбека. Поскольку при ct < 2 среднее число выходов за любой уровень в единицу времени бесконечно, методы гл. 8 в таких ситуациях неприменимы. Тем не менее другими методами будет показано, что двойной экспоненциальный закон для максимума все еще остается в силе при надлежащем выборе нормирующих постоянных, если выполнено условие (8.1.2) (или несколько более слабый его вариант). Это, разумеется, обеспечивает также альтернативный вывод результатов гл. 8, где а = 2. Наконец, в то время как совершенно ясна невозможность получения при ct < 2 результатов о пуассоновости выходов, мы увидим, что пуассоновские пределы могут быть получены для родственного понятия е-выходов, определяемых аналогично е-максимумам из гл. 9.
Введение и схема доказательства основного результата
Всюду в этой главе будет предполагаться, что ^ (/)} является стационарным нормальным процессом (с нулевым средним и единичной дисперсией), имеющим ковариационную функцию г (т), удовлетворяющую условию
г(т) = 1 — С|т|а-]-о(|т|а) при т->0,(12.1.1)
где а — некоторая постоянная, 0 <а ^ 2, и С —• положительная постоянная. Как указывалось в гл. 7, этого предположения достаточно, в частности, чтобы гарантировать непрерывность выборочных функций процесса и, следовательно, обеспечить определенность и конечность максимума М (7) = sup {£(/); 0/<С
^ 7"} для каждого Т. Наш основной результат (теорема 12.3.5) состоит в том, что при условии (12.1.1) и теперь уже хорошо
известном нам условии убывания г (t) In t -► 0 максимум Л4 (Т) имеет предельное распределение типа I, а именно
Р [ат (Л1 (Г) — Ьт} < х|ехр (— с-*).
Здесь константа ат та же, что и в гл. 8, но константа Ьт зависит от ct:
ат = (21п Тр,
Ьт = (2 In Тр Нх
г 47г(2 1пТ),/2
X |Ц^ In In Г 4- In (CVaHa(2л)-,/22(2-а) 2“}, (12.1.2) где На — некоторая строго положительная постоянная (Нг = 1 Нй = л-'/2).
Этот замечательный результат впервые был получен Пиканд- сом (1969а, Ь), хотя его доказательства были не совсем полными. Дополнения и обобщения были приведены в работах Бермана (1971с), Кволса и Ватанабе (1972), а также Линдгрена и др. (1975). Хотя мы и не будем следовать здесь методу Пикандса, этот метод имеет несколько весьма интересных особенностей в том отношении, что он использует обобщенное понятие выходов, делающее возможным получение результатов пуассоновского типа также и при ct < 2. Короче, если задано в > 0, то говорят, что функция / (/) имеет в точке t0 е-выход за уровень и, если /(/)<« для всех / € (^о — е, ^о) и для всех т] > 0 f (f)> и для некоторого t £ (/0, /0 + л)- Ясно, что это равносильно требованию того, что / (/) имеет (нестрогий или строгий) выход за и в этой точке и, кроме того, /(/)<:« для всех / в (/0 — е, toV Любой е-выход всегда является выходом. В то же время очевидно, что выход не обязан быть е-выходом. Ясно, что число е-выходов, скажем в единичном интервале, ограничено (величиной 1 е) и поэтому обязательно имеет конечное среднее. Даже если это среднее не может быть вычислено столь же просто, как среднее число обычных выходов, его предельная форма для больших и имеет простую связь с результатами для М (Т). В частности, как мы увидим, она не зависит от выбора е. Как уже отмечалось, мы не будем использовать е-выходы в нашем основном результате, но покажем (в разд. 12.4), как могут быть получены для них пуассоновские результаты.
Главная сложность при выводе основного результата по сравнению со случаем ct = 2 связана с хвостом распределения с. в. М (/i) для фиксированного h, который нельзя аппроксимировать хвостом распределения максимума простого косинус- процесса, еси ct < 2. Наше доказательство состоит из нескольких частей, и может оказаться полезным посмотреть на него «с высоты птичьего полета», используя следующую сводку его основных этапов.
Находим хвост распределения максимума случайных величин
I? Uq¥» 7 = 0, .... п — 1} для фиксированного л:
Р( max—а)
{O^j <пJ "
при и -► оо, q 0, q ~ ап~2/“, а > 0 и фиксированного п; На (п, а) — постоянная (лемма 12.2.3).
Находим хвост распределения максимума случайных величин jE №У, 0 < iq ^ М Для фиксированного h > 0:
Р 7 max £ (/у) > и\ ~ hCWaHa (a)i
где
при n ->- оо (лемма 12.2.4).
Аппроксимируем sup g (/) посредством max £ (/q) для
0^/<hO^jgCh
фиксированного h:
'(ar1
limsup ~ P max ^^<и- — , sup ^(f)>u -* u-oo lP'“<p(u)/«lO^/V^/i“0<«/lJ
иlimsup fu-*coиlimsup fu-*coJptu и 2^a(p (ti)/ti 1Jptu и 2^a(p (ti)/ti 1->0 при a->0 (лемма 12.2.5)
и
limsup fu-*co
и
limsup fu-*co
Jptu и 2^a(p (ti)/ti 1
Jptu и 2^a(p (ti)/ti 1
< max ^(jq'Xut-v
O^iQ^hJ
->0 при a->0 (лемма 12.2.6).
Найдем хвост распределения sup g (/) для фиксироран-
0«<h
кого h:
РИ sup l(t)>u\~hu^^-C^Ha
(теорема 12.2.9), где
Ha = lim Ha(a)>0а-^0
(леммы 12.2.7 и 12.2.8).
После того как получены хвост распределения и его дискретная аппроксимация, далее, как и в гл. 8, доказываем асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся интервалах при соответствующих условиях на ковариации, например г (/) In t -► 0.
Максимумы на конечных интервалах
Мы начинаем вывод с одного общего результата, представляющего и самостоятельный интерес, дающего оценку вероятности большого уклонения. Это частный случай результата, анонсированного Ферником (1964), доказательство которого было приведено Маркусом (1970).
Лемма 12.2.1. Если {£(/); 0<i/Cl}— нормальный процесс, имеющий нулевое среднее и дисперсию var (Е (0)) = о2 > 0, и
E^^-W^CV-sV(12.2.1)
для некоторого а, 0 < а ^ 2, то существует такая постоянная са > 0, зависящая только от а, что для всех х ^- 0
р Lx^ ^ > ^} < 4 ехр (~ ^)+4 ехр (—^-).
Если о2 = 0, то последнее слагаемое равно нулю.
Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы выразить все / £ [0, 1] в двоичной форме t= а^-1 + а22-2 + ... с ah = 0,1, затем записать £ (/) в виде
6 (fl = 6 (0) + (^ (п^-1) - £ (0)) + (^ (О12-‘ + аа2-2) -
- 5 (O12-1)) + ...(12.2.2)
и построить границы для каждой составляющей в этой бесконечной сумме. Для р = 0, 1, ...; к = 0, 1, .... 2Р — 1 определим
С (А, р) = 16 (Л2-₽ + 2-₽-*) - Е (Л2~р) |
и заметим, что поскольку с. в. Е (fl нормальна и имеет нулевое среднее, то
Р> ^) = 2 f Ф (У) йУ < е“х’/2 для х > °-(12.2.3)
I h PrY* J "
Возьмем р > 0 и введем событие
Д -( max > (2Р (Р + О)*72 1 .
Если Р > In 2, то неравенство Буля совместно с (12.2.3) дает
ОО 2Р—1
д (Л) < У V р [—> (2р (р +1))*/21 <
< V 2ре-₽ <р+» =-
'1 _ е—(S—In 2) ’
так что если 0 > 2 In 2, то Р(Л) С 2 exp (—Р). Следовательно,
Р(Д)<4г-Р.(12.2.4)
Но для р ^ 2 In 2 это выполняется тривиальным образом (поскольку Р (Л) С 1), и мы можем поэтому использовать (12.2.4) для всех значений Р ^- 0.
Заметим теперь, что при выполнении дополнительного события Лс
Х(^ p)|<E(U*. р)2)'/2.(2Р(р+1))'/2
для р = 0, 1, ...; к = 0, 1, .... 2р — 1 и что из (12.2.1) вытекает неравенство
£(£(£, р)2ХС2-(₽+')«.
Таким образом, в силу (12.2.2) заключаем, что на Л®
I I (0 - I (0) I < 2 С'/22-(р+') «/2 (2р (р + 1))'/2 = (^),/2 р=0
н что, следовательно, согласно (12.2.4),
Hsup ^(/)-^(0)| >№,/2U4A(0«<1J
Заключение леммы достигается теперь посредством выбора р = = сах2/С, поскольку
pfsup 5(0>4<^(зир |5(П-£(0)|.:>4} + Р{^°)>тХ
4 exp (- ^-) + exp (--^-) ,
где использовано неравенство из (12.2.3).□
Имея этот вспомогательный результат, мы возвращаемся к процессу {Е (/)} с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией г (/). При рассмотрении распределения непрерывного или дискретного максимума типа sup Е (/) и 0^/^h
max [Е (jq) естественно вести рассмотрение относительно значения OsgtCsgA
5(0). В действительности локальное поведение (12.1.1) функции г (/) отражается в локальной изменчивости значений 5 (0 относительно значения 5 (0). В случае нормальных процессов соответствующее определение не вызывает никаких трудностей, если рассматриваются значения только в конечном числе точек, скажем t = tp j = 1, .... п, поскольку условные вероятности определяются тогда через отношения функций плотностей (см. разд. 7.5). Следовательно, мы можем записать при 4 = 0:
Р( шах 5(6Х«1 = [фМ^/ тах 5 (^Х«|5(0) = x\dx,
1/=0пJ _^1/=1 пJ
где условная вероятность может быть выражена через (условную) нормальную функцию плотности (см. гл. 10). В частности, эта условная вероятность определяется условными средними и ковариациями.
Для максимумов на интервале мы имеем, взяв, например, tj = hj2~n, j = 0, ..., 2п,
Р ( sup Е (/) <; и\ = lim ’Р (max Е (/,) <; и\,lo«<hJ п—со* | tj ~j
что по теореме о мажорируемой сходимости равно
j ср (х) lim Р (max Е (/,) ^ и | Е (0) = х| dx.
Далез, е^лн условные средние и ковариации £ (/) при заданном Е (0) таковы, что нормальный процесс, ими определяемый, непрерывен, то мы определяем
Р / sup Е (0 < u | Е (0) = х)lO^/^hJ
как вероятность того, что для непрерывного нормального процесса, имеющего среднее Е (Е (/) ] Е (0) = х) и ковариационную функцию Cov (Е (s), Е (/) | Е (0) = х), указанный максимум не превосходит значения и. Тогда ясно, что
lim Р (max Е (/J < u | Е (0)J = x) = P ( sup E (() < и | E (0) = x), n—co I tjj lo«<hJ
и P ( sup E (()^u\ = I <p(x)P / sup E (0 ^ ы I 6 (0) = xl dx. l0</^h/lo<«hJ
В приводимых далее приложениях условные распределения определяют непрерывный процесс, и мы будем использовать подобные этому выражения без специальных замечаний.
Для того чтобы получить при и -* оо нетривиальные пределы, мы введем шкалированный процесс
би (0 = u (Е ^ — и),
где мы устремляем q к нулю при и ->- оо. Здесь мы должны точнее описать эту сходимость по сравнению с главой 8. Мы будем предполагать, что u2,aq ->- а > 0, и на более позднем этапе устремим это а к нулю.
Лемма 12.2.2. Предположим, что и -► оо, q 00 таким образом, что u2/aq ->- а > 0. Тогда
условные распределения случайных величин Еы (/) при условии би (0) нормальны и
Е (би (0 | би (0) = X) = х - Са» 111“ (1 + о(1)),
Cov (L (s), L (01 би (0) = x) = СаЧ I s |“ +1 (|“ - 11 - s |“) + 0 (1),
где при фиксированном х величины о (1) равномерны для max (| s |, I ^ |) ^ ^о для всех t0 > О,
для всех t0 > 0 существует такая не зависящая ни от а ни от х постоянная К, что для | s ], | t| ^ ta
var (L (s) - L (01 L (0) = х) < Ка» |t - 8|» Доказательство, (i) Поскольку процесс {L (/)| нормальный, со средним —и2 и ковариационной функцией
COV (^(8), ^U(t)) = u2r((t-s)q),
получаем (см., например, Рао (1968, с. 467)), что указанные условные распределения нормальны и
Е (L (0) 1L (0) = х) = - и2 + u^r (tq) • -L (х + ц=) =
= -и2-Н1-С^И°Ж'М<7а))(х + “2) = = х — (х + u2)(G?“| f |“ + 11 |“ о (<?“)) =
= х — Са°Ч t|“(1 + 0(1)) при q-+0, поскольку и^ср -* а° > О и х фиксировано. Кроме того, Cov (L (s), L (OIL (0) = x) = u2 (r ((/ - s) q) - r (sq) r (tq)) =
= u2(l — Cqa\t — s|"-(l — ^^^(l — Cq» |/|“) + o (?«)) =
= Ca“(|s|“+ И“ —|t —$1“) + о(1)] равномерно для max (| s |, | t|) ^ t0.
Поскольку с. в. L (s) — L (/) и L (0) нормальны, имеют дисперсии 2u2 (1 — r ((t — s) <7)) и u2 соответственно и ковариацию u2 (г (sq) — г (tq)), то для некоторой^ и | s |, | t1 te var (L(s) — L (01 L(0) = *) =
= 2tz2 (1 - г ((t — s) q)) - u2 (r (sq) - r (tq))2 ^
< ^Cu^q111 — s |“ + о (и2^ 11 — s |“) С Kaa 11 — s |“. □
Первый этап получения хвоста распределения М (h) = = sup {£ (t); 0 <^ t ^/1} состоит в изучении максимума, берущегося по конечному числу точек 0, q, ..., (п — 1) q.
Лемма 12.2.3. Для каждого С существует такая постоянная На (^, °0 < °°> что если и -► 00, q -> 0, u2!aq -> а > 0, то
^-иР teXril(iq)>u^cWaHa(n, а).
Доказательство. Мы имеем
Р f max (jq) >ul = P ( max L(/) > 01 =
(0^/<nJ \0<j<nJ
= P|5«(0)>0| + P^(0)<0, max L(/)>0),
I0</<nJ
где Р |ЕЦ (0) > 0) = Р |Е (0) > и\ = 1 — Ф (и) ~ у (и)/и. Поскольку к тому же с. в. Еи (0) нормальна со средним — и1 и дисперсией и2, то
fO)<0, шах £„(/)> 0| =
I0</<пJ
о
=fmax £“W>oi£“(°)=x)dx=
е
= "^иГ \ем>(~х — тах (^О-)-*»
> — *1 Е«(0) = г} dx. (12.2.5)
Согласно лемме 12.2.2 (1), для любого фиксированного х при q -► 0
Е (L (/) - х | Е„ (0) = х) - Сс“ | /|=, Cov (Еи (i) - х, Еи (/) - х | Еи (0) = х) Сп= (| i |° +1 /1° - | ‘" - /1°)-
Поскольку пределы ковариаций являются ковариациями, можно определить нормальные с. в. Уо (/), 0 < / < п, со средними и дисперсиями, зависящими от о = lim qu? “,
Д(Гв(/)) = -Са“|/|»
Cov (Го (0, Ya ^ = Са»(| i |= + | j |= - | i - j |“).
Далее, для совместно нормальных с. в. из сходимости моментов вытекает сходимость по распределению (что легко увидеть, используя, например, характеристические функции). Если А = = (—х, оо) (с границей дА = {—х}), то, очевидно,
Pfmax Ka(/)eMl<S Р |ГО(/) = — х}, (0</<nJ /= 1
что равно нулю в силу непрерывности одномерных распределений всех с. в. Ya (1), .... Ya (п — 1).
Отсюда следует что
Р f max (Eu(j) — х)> — х| Еи(0) = х! -*- Р Г max Ев(/)> — *Ъ (0</<лJ 10</<„J
Чтобы в (12.2.5) можно было использовать теорему о мажорируемой сходимости, мы заметим, что по лемме 12.2.2 (i) для х < 0
Р Г max (gu (j) — х) > — х | Eu (0) = х1<
(0</<пJ
<S/’{LG)-x>-x|Eu(0) = x}<
< n (1 - Ф (cz - cnx^ < n Vtf-^).
для т некоторых ^постоянных с', с" > 0. Это показывает, что сходимость в (12.2.5) мажорируемая, и мы получаем
■ , * Р $ max Е (jo) > ul о
1 + [ е™жР ( шах Уа (/) > — xl dx < оо, — ОО10</<Л’J
что доказывает существование и конечность постоянной На (п.
а\
Для будущего использования мы приведем следующее выражение для константы На (п, а):
На (п, а) = С“'/“ ( 1 + [ е~хР Г max Ya (j) > — xl dx). (12.2.6) 3lo</<nJ /
Лемма 12.2.4. Предположим, что и оо, q 0, u-,aq а > О, и возьмем такое h, чтобы sup г (/) < 1 для всех е > 0 Тогда E<t<h
для каждого С
существует такая постоянная На (а), что
Pg Vi, а) }паPg Vi, а) }паНа (а) при п-»-ооНа (а) при п-»-оо
Pg Vi, а) }па
Pg Vi, а) }па
На (а) при п-»-оо
На (а) при п-»-оо
и
~2/аР I maX ^(iq^uX-^hC'/a-Hayi),
(И) На (а0) > 0 для некоторого а0 > 0.
Доказательство. (1) Пусть п — фиксированное целое, т = Yh/nq\ и]
Br=t max l(jq)>u\.
(rn^i<(f"+l) nJ
Тогда
p( U ВД^РГтах ^(jq^uA^P ( (J BrV
\ r=0/ \o^jq<hJ \r=0/
где, в силу леммы 12.2.3,
В (и ВГ\<(т4-1)Р(В0-)~(т4- 1)-^-С^На(п, а) ~
\ r~Q /и
~Сх'аНа (п, а),
па и“'
поскольку Х/q ~ и~!Ча по предположению. Поэтому
Цщ sup -1 Р f max Е (jq) >и\<
u-f-ro(u)/u \o^iq<hJ
hC'l« ’ 0) < OO. (12.2.7)
Кроме того,
I т-1 \т-!_
В и 5Г > £ Р(вг)-£ Р(ВГП5»)^
Хг—О /[r=0r#=s
>тР(В0)-т V Р(В0()ВТ),
Г=1
так что
liminf 1Р( U В^>
u->-co и2/“<р (и)/и уг=о /
> hCU» 5«^h_51 _ iim sup __!тУ P (Bo f| Br) =
= hCM»^J^l_pn. (12.2.8)
Мы покажем, что
pn = lim sup 1 mV P (ВоГ|Вг)-^0 при n-*oo. (12.2.9) u-co^]u
В силу неравенства Буля и стационарности т"^ Р(В<Л\ВТ) =
Г=1
= т^Р( U U {6(^)>«. ё(/9)>иП<
r=l '0Si<n ГП^/<(Г-Н) п/
<m£ £ P\^(iq)>u, l(jq)>u\^
i=0 j=n
<mi1jP\^(0)>u1 E(jq)>u\-Vi=i
Л-тп1\ Р\Ш>и, Uiq^>uV (12.2.10)
/=n+l
Чтобы оценить эти суммы, будем использовать различные методы для малых и больших значений jq. Пусть е > 0 таково, что
1 > 1 — г (0 > -|-1 f |° для | /1 < е.
Предположим, что jq < е,и будем писать г = г (jq). Поскольку условное распределение с. в. g (jq) при заданном Е (0) = х нормально со средним гх и дисперсией 1 — г2, то
Р {£ (0) > и, g (jq) > u} = j <p (x) P \^jq) > u | g (0) --- x} dx = u
-Ь^('-Ф(-?Т=^>-
^-(1~Ф(^1-Ф(тГ=гЖ,+
<(1-ф(и))(1-ф(« |/2^)) ++Г<1^ф<“»т^ф(тй;)',х<
4т7-ТГ7^>-г1иГЖ)-а-и-»(12.2.12)
для некоторой постоянной К > 0. Поэтому если nq <^ е, то
m 2 ip ^(0) > ы- ^М >и\<
< 2m ^ j ^- (1 - Ф 6' ^)) ~ /=1
<2^М.2^__1-Х’/(1_ф(^к^))(12.2.13)
для некоторой > постоянной К'. Поскольку 1 —Ф (х) <^ <р (х)/х, то сумма
S / (1 — ф (з/ крс?)i=i
сходится, и поскольку nq -► 0 при и -► оо (п фиксировано), тоlim SUP 2/а V v5 iP (0) > Ы' 6 W) >u\ = O (1/n).
(12.2.14
Для второй суммы в (12.2.10) мы получаем при п -*- оо, снова используя (12.2.11) и (12.2.12), [е/у]
тп 2 Р№>и, Uiq)>u\< i=n-H
^-^ 2 ^-ФЬ'КГ^^. Х12.2.15) ^/=п+1
где сумма справа сходится. Для слагаемых с jq^ в воспользуемся оценкой из следствия 4.2.4 (используя 6 = sup I г (0 I < 1):
р 15 (0) > U, g ^ > «} < (1 - Ф («))2 -Ь К' ехр (-^“^ ,
из которой вытекает, что
тп 2 Р№>и, 1№>и\<
/=[е/»]+1
(Л)’(1+2S. 2 exp^rn^yi).
t<ie-<h
Поскольку опять 6 < 1, правая часть ограничена ветичиной
№_ , ..« . К'№/ и1 X
-^г(1— Ф(“)) + ~^2“еХРГ+б) —
и2/о<р (и) / „, и / и1 1 — 6 X .,, х
= ~-^VeXP(2—г+6 )+°<1); =
= ——у ^ -о (1) при и^-оо,[(12.2.16)
так как и/(и2 °^2) ~ «'+2/о/а2.
Вместе (12.2.15) и (12.2.16) дают
lim sup - 1 тп 2 Р{^(0)>и, l(jq)>u} = и-а> UZfaXp(uyu .
/=п+1
= К' 2 (*—Ф6 /С/^о0))->-0 при п-*-оо. /=п+1
Объединяя это с (12.2.14) и (12.2.10), получаем (12.2.9).
Таким образом, мы показали, что
hCM», ^("u-gj _ PnnahCM», ^("u-gj _ Pnnalim inflim inflim suplim sup1u2/“<p (u)/u1u2/oq> (u)/u1u2/“<p (u)/u1u2/oq> (u)/uP f max g (jq)>K\<lo^jg^hJ■Hmax ^>ц^НС'/а.На^1lo</g<hJP f max g (jq)>K\<lo^jg^hJ■Hmax ^>ц^НС'/а.На^1lo</g<hJ
hCM», ^("u-gj _ Pnna
hCM», ^("u-gj _ Pnna
lim inf
lim inf
lim sup
lim sup
1
u2/“<p (u)/u
1
u2/oq> (u)/u
1
u2/“<p (u)/u
1
u2/oq> (u)/u
P f max g (jq)>K\<lo^jg^hJ
■Hmax ^>ц^НС'/а.На^1
lo</g<hJ
P f max g (jq)>K\<lo^jg^hJ
■Hmax ^>ц^НС'/а.На^1
lo</g<hJ
где рп -»- 0 при и ^оо. Поскольку На (п, а) < оо для всех п и lim inf и lim sup, не зависят от п, отсюда вытекает существование предела
Пш н^п- °) = на (а).
который является поэтому общим значением для lim inf и lim sup.
Кроме того, это доказывает, что На (а) < оо.
(И) Снова возьмем е > 0 достаточно малым, чтобы (12.2.12) выполнялось для |7^|^е. Применяя (12.2.11), получаем для | /г| ^ е
Р f max Е (/^) > «I >
lo</»<hJ
>\MqAP\^>>u\-\hlqA S P\^>u, lUq)>u\
0<jq<h
>№№(1-Ф^-2№№ 2 ^(‘^G-Кт+ЯйР) 0<iq <h
/[Л/91+1
>Vh/qA^- l+o(l)-2 J (l-Фб KfW
\/=i
Ho \h/qA ~ (h/a) u?fa и
[h/9)+lco
2 (1 - Ф G КГФ-^ < 2 (1 ~ Ф ^fKiaa«-^ <
/=1/=|
при a->-oo,при a->-oo,< V vG^Zv^0
при a->-oo,
при a->-oo,
5 I 'k/V
и, следовательно, тогда существует, разумеется, только одно а0, делающее эту сумму меньшей, чем 1 '2. Это приводит к неравенству Р f max Е (jqA > u I >- г]п2/“ф (и)/и для некоторого т] > 0, 10</?</1/
из которого очевидным образом вытекает (ii).□
Следующие три леммы связывают непрерывный максимум sup £ (/) с дискретным максимумом max £ (jq). Мы докажем 0</<h0</9</1
сначала, что можно пренебречь вероятностью того, что этот дискретный максимум будет меньше, чем и — у/н, а непрерывный больше, чем и, если у = аР 0.
Лемма 12.2.5. Пусть и -* оо, q 0, н2/“у ->- а > 0, и пусть у = аР для некоторой положительной постоянной Р < а/2. Тогда vo = lim sup 1х „^.СО«2/“<р (И)/Ы
X Pf max ^(jqX, иsup £(#)>н|->-0 при а-^0. (o^iq^h“0<«hj
Доказательство. В силу неравенства Буля и стационарности имеем
max ^(/у)<ы£-, sup |(0>«)<
(0</<7</1“0<Z^h)
<№1 + 1)РЬ(0)<«-^, sup ?(/)>«).
Используя ^и (s) = и (^ (sg) — и), мы можем записать P[i(OK«—, sup£(/)>tzl =
-^fL(O)<-T, sup L(s)>01 =
I0<s<l)
—V
= t -M« + ^PfsuP Ms)>0|L(0) = y|dy.
По лемме 12.2.2 (i) условные распределения с. в. Еы (s) при заданном £ы (0) = у нормальны и имеют среднее
p(s) = у — Caa|s|x(l +о(1)) при у^О,
где о (1) равномерно на отрезке | s | ^ 1. Здесь р (s) <у для малых q и
Р( sup ^(s)>0|L(0) = yl<
< P J Sup (E„ (s) — p (s)) > — у IL (0) = y\,
U)<s<l)
где при условии заданного ^„ (0) разность £о (s) — р (s) является нестационарным нормальным процессом с нулевым средним. По теореме 12.2.2 (И) дисперсия приращения
Var & (s) - £„ (/) | ^ (0) = у) < Ко» 1t - s |",
для некоторой постоянной К, не зависящей от а и у. Из леммы Ферни ка (лемма 12.2.1) следует, что для с = са!К
Р f sup (gu (s) — p ($)) > — у | £ы (0) = y\ < 4 exp (— ca-^y^,
и поэтому, используя К и с в качестве общих обозначений для различных постоянных, мы получаем
-525^-—Р | max UigKu-^-, sup g(O>wl<
и <р(и)/и [o^f^hu O^t^hJ
< —2^7— f <P f u + -^-). exp (— ca-“y2) dy < qu^q, (u) J X “ /
—v
У «ЦД—у-са-^йу^
—575- J ехР(—ca~“y2)dy ~ Ка“/2-1Ф(—са₽~“/2),
что, очевидно, стремится к нулю при а -► О, поскольку 0 < а/2. Это доказывает лемму.□
Лемма 12.2.6. Если и -* оо, q -► 0, u-'aq -► а > О и у = уР для некоторой постоянной 0 > 0, то с тем же h, что и в лемме 12.2.4,
lim"2/cAw р!и--^< max^(/9)<ul = н^со U^<P(U)/U I “05/»<hJ
= h (е? - 1) С^^Н^ (у). Доказательство. Поскольку из условия u^^q -► у > О вытекает, что (и — ^!иу!а q -► а, и поскольку к тому же
Т_<р(ы —т/и) ~ _v ^'“ФМ
V и )и — ч1ии
при и -► оо, из леммы 12.2.4 (i) следует, что
—™Р 1 и — — < max Е (in) ■< u 1 =
Ы2/Оф (и)/и( иQ<iq<hj
= 9/~ 1 (Р l тЗХ £ (Й) > Ы~
/Г' <р(и)/и X lo</?€h“ J
— PS max g (jq) > ul ) -^h^C'^Ha (a) — hClfaHa (a). □ lo</"e<hS'
Лемма 12.2.7. При выполнении условий леммы 12.2.4
(i) АС/^Яд(a)<liminf 1 Р f sup g(0>«|<
и-co Ы 7 <P <u.yu lo<«hS
< lim sup 2.ra1P f sup g (0 > ul <ц-ю t^/a(p{u)lu Io«</|S .
■^va + A(ev— l)C,/a//a(a) + AC,/°s//a(a)< oo, (12.2.17) где у = ap, и no лемме 12.2.5 va -* 0 при a -► 0, (ii) существует конечный предел
lim Ha (a) = Ha а-*- О
U
, -PS sup Un>u\^hCW«Ha, (12.2.18)
На не зависит от С.
Доказательство. Поскольку
Р ( max £ (jq) > и! ^ Р f sup £ (/) >иХ ■<
Xo^jq^hJ lo<<<ftJ
<И max lUq)<u --L, sup g(f)>4 +lo<jq«h“0<«kJ
H-Plu— < max £ (jq)^ и I + P f max £(/<?) >ul, I “0</?<ftXo^jq<h)
часть (i) вытекает непосредственно из лемм 12.2.4, 12.2.5 и 12.2.6.
Далее, оба предела в (12.2.17) не зависят от а, так что limsup На(а) < сю. Поэтому при а --О а-Л)
h (е? — 1) С1 “77а(а)^О.
Отсюда, поскольку vo -*■ 0, как и в доказательстве леммы 12.2.4 (i), следует, что lim На (а) существует, конечен и выполняется а->0"
(12.2.18).
Что касается части (iii), то заметим: когда £ (/) удовлетворяет (12.1.1), тогда ковариационная функция г (т) процесса £ (?) = = £ (РС1,а) удовлетворяет соотношению
г(т) = 1 — |т|а + о(|т|“) при Т-Э-0.
Кроме того,
г/Д ., Р I sup ^^>иА =1— Р f sup |(П>«1,
и2/“ф(и)/ыJ и <p(u)/u X0^t<hCl aJ
что в силу (ii), показывает, что На не зависит от С.□
Из (12.2.18) и леммы 12.2.4 (i) немедленно следует, что
limsup—Р { max B^qX^u, sup B(t)>>u\ = и—coU 4>^?A/U Xo<jq<h0<t<hf
= lim sup ( „ 1P f sup E (П > u\ — u-*-oo x a ' <p VOju Xo^t^hX
P / max g (/9) > ul ) =u2'“<p(u)/u ko<jq<hV
= hCi,a(Ha —Ha(a))^0 при a^-0.(12.2.19)
Разумеется, соотношение (12.2.18) представляет основной интерес, когда На > 0. Однако, чтобы доказать это, требуются некоторые дополнительные усилия, реализуемые следующим образом.
Лемма 12.2.8. Но > 0.
Доказательство. На основании леммы 12.2.4 (1) и (й) мы знаем, что существует такое а0, что
Яа(Со)=Нт^^->О.п->со пи0
Пусть Ya (j) — такие же с. в., как и в доказательстве леммы 12.2.3, т. е. нормальные со средним — Саа | / [° и ковариациями Са“ (| i |“ + | /14 — I i — / |“)- Тогда из (12.2.6) имеем
о
С* аНа (п, а) = 1 + [ е~хР f max Ya (/) > — xl dx,(0</<nJ
о
Cx!aHa (nk, а) = 1 + [ с~хР ( max Ya (/) > — xl dx,\o<i<nkJ
о
CxiaHa (n, ak) = 1 + [ e~xP { max Yoh (j) > — xldx.
lo«nJ
Здесь Ya (jk), j = 1, .... n, имеют те же распределения, что и Yau (/)./ = 1, .., п, откуда следует, что для k = 1, 2, ...
На (п, ak) На (nk, а).
Случайные величины, участвующие в определении На (п, ak), являются некоторым подмножеством множества случайных величин, участвующих в определении На (nk, а). Поэтому
О < На (а.) = lim ^-^ < Ит н-^ “«W = На (ao!k), Л-^со иы0п-*со ПК хи0'к)
и, поскольку На (аДк) На при k оо, отсюда вытекает утверждение леммы.□
Объединяя леммы 12.2.7 и 12.2.8, мы получаем хвост распределения максимума М (h) = sup {£ (t); 0 ^ t ^ h\ на фиксированном интервале.
Теорема 12.2.9. Если г (t) удовлетворяет условию (12.1.1), то для каждого фиксированного h > 0, такого что sup г (t) = 6Е <
Е</<Й
< 1 для всех е > О,
Нт Р \М (h) > и \ = hCMaHa,
где На > 0 — конечная постоянная, зависящая только от а. Замечание 12.2.10. В доказательстве теоремы 12.2.9 мы установили существование константы На, используя довольно сложные оценки, начиная с
/0
На (п, а) = С-Ч“ ( 1 + [ е^хР { max Ya (j) > — xl dxV
Xlo«nJ
Следуя этим оценкам и далее, можно получить родственное соотношение для На,
о
На = Иш Т-1 I е~хР f sup Ко (Q > — dx,Т-ч» _у,(0<<<ГJ
где {Уо (/)} — нестационарный нормальный процесс со средним — | ^ |а и ковариациями | s |“ + | £ |° — | 7 — s|“. Однако оно не представляется достаточно ценным и не оказывает существенной помощи при вычислении На.
Следует отметить, однако, что нормированный по времени хвост распределения М (h) зависит от ковариационной функции только через С1/а и константу На. Поэтому если \дается найти предельную форму хвоста распределения М (А) (для некоторого Л) для какого-нибудь одного процесса, удовлетворяющего (12.1.1), то тем самым становится известным значение На для такого частного значения а. В случае а = 2 это легко сделать, рассматривая простой косинус-процесс (7.4.3). Сравнивая (7.4.7) и теорему 12.2.9, находим, что Н., = l/i л.
Единственным отличным от а = 2 значением а, для которого найден хвост распределения .И (А), является а = 1. В действительности для нормального процесса, имеющего треугольную ковариационную функцию г (t) = 1 — | t1, | / | < 1, известны явные выражения для всего распределения VI (А) (см. Слепян (1961) и как результат Нг = 1. В частности, это показывает, что для процесса Орнштейна—Уленбека, имеющего ковариационную функцию г (f) = exp (—| 1|), P { VI (A) > и} ~ Amp /и).□
Прежде, чем перейти к максимумам на расширяющихся интервалах, мы сформулируем следующую лемму, на которую будем в дальнейшем ссылаться.
Лемма 12.2.11. Предположим, что {^ (/)} удовлетворяет условию (12.1.1). пусть h>G фиксировано и таково, что sup г (t) < 1
для всех е > 0, и пусть и -* сю. q -> 0, u2u-q~* а>0. Тогда для каждого интервала I длины h
G ^Р \t(iq) ^и, jq^l\ — РрИ(/)<«} <,uApe —о(р),где р = С1 aHau-'aq> (и)/и, ра = 1 — На (а)!На -► 0 при а Ои о (^-составляющая одна и та же д гя всех интерва юв длины h.
Доказательство. В силу стационарности
КР\ШК«. jq^I\-P\M(n<u\<
< 2Р ^ (0) > и\ — Р\^^ < и, iq^YO, h]\ — Р \ VI (h) <и^
где Р {£ (0) > и\ ^ <р (и)/и = о (р). Поэтому искомый результат немедленно вытекает из леммы 12.2.4 (t):
ц-'Р f max g (/ф) > и|+ о (1)
\o<jq<hJ
и (12.2.18), p-tpjM^) >и} = ft + o(l).□
Максимумы на расширяющихся интервалах
Ковариационное условие (8.1.2), т. е. г (t) In t -* 0 при t -+ оо, оказывается также достаточным для установления двойного экспоненциального предела для максимума М (Т) = Sup {£(/); 0-С <С t -С Т\ в этом общем случае. Мы устремим теперь Т оо, и -> оо таким образом, чтобы
1Тр = ТС1/аЯац2/аф(ц)/ш-т>0,
т. е. ТР {Л4 (/i) > и\ -* тк. Переходя к логарифмам, получаем, In Т -|- 1п (С*/“//а (2л)-,/а) -|- 2 а “ 1п и—>- 1п т, что влечет за собой
и2 ~ 21п Т, или 1п и = -^-1п 2 + -^-1п In Т + о(1), откуда
и1 = 2 In Т + In In Т - 2 1п т 4
+ 2 1п (С'/«Яа (2л)-'/22<2^“)4а) + о(1). (12.3.1)
Лемма 12.3.1. Пусть задано е > 0, и предположим, что выполнены оба условия (12.1.1) и (8.1.2). Пусть Т ~ т/р для фиксированного т > 0 и р = Сх'1аНаи1,а^ (и^/и, так что и ~(2 1п ТУ<2 при Т -* оо, и пусть q -»- 0 при и -^ оо таким образом, что u2/aq а > 0. Тогда
"Y 2 1г^)|ехр|—1+|г№)|}^0 при Т^оо. (12.3.2)
Доказательство. Эта лемма соответствует лемме 8.1.1. Сначала мы расщепим сумму (12.3.2) значением Т^, где р — такая постоянная, что 0 < ₽ <С (1 — 6)/(1 + 6), 6 = sup {| г (f) |; ^ > е} < < 1. Затем, используя общее обозначение К для различных постоянных, получаем, поскольку ехр (—и2/2) <; К]Т, и1 ~ 21п Т,
■у 2 ir(^)i'exp{- e<kq<r&
7W-2/(i+C)^
q» 1(„2/с
„2-J|„2 Л
l + |r(^)|j^ g2 C“Pl 1+С^
L-(lnT)2/“TS+1-2'<1+6)^0 при Т-*оо ЯГ
и u2'aq а > 0.
Обозначая 6 (£) = sup {] г (s) In s |; s > ^, мы имеем | г (t) | ^ <; 6 (£)/ln t при / -* оо, и поэтому для kq ^ Т^
(и» ) .(-/.С(7₽)\1
ехр <— , , , ., , Л<exp 1 — и2 1—б- к
так что остальная часть суммы ограничена сверху величиной
Т V Iв(т₽) й /
Т 2 kWI-exp -««11 -^) <
тв<кд<Г11
<_ (—У ехр !~ и2 I 1 — 6^Г g У—2 |r(^)|ln^.
\ In 7е / in 7е T11
I’TP<kq<T
(12.3.3)
Поскольку r (t) In t -* 0, имеем также
4" 2 k(^)|ln^->0
тв<кд<Т
при Г->оо, в то время как для остальной части произведения в (12.3.3) мы должны использовать более точную оценку из (12.3.1) и2 = 2 In Г + Ц^- In In Т + 0(1).
Поскольку 6(/)-*0 при t -* оо и 0 < 1, мы видим, что для некоторой постоянной К > 0
{
/ Л ^тР^ \ 1
— и2 И — j < Л exp (— и2) < КТ-2 (In Т)-(2-а)/=
Таким образом, поскольку и2 ~ 2 In Т и u2iaq ~* а,
— У г(^) ехр — и2 1sHC
q\ ч/1 гIn 7Р f I
Г₽<*<7^Г1’
< (v)! г"!<|п Л-'«-"а(I) =
= ^7^)2 О" О’’- (1пТ)-<«-«1/-^о (1) - о (1).
и это завершает доказательство леммы.□
Мы можем теперь следовать доказательству теоремы 8.2.5. Сначала возьмем фиксированное h > 0, положим п = \T]h\ и разобьем отрезок [0, nh\ на п интервалов длины h, а затем расщепим каждый из этих интервалов на два подынтервала 1к> Ik длины h — е и е соответственно. Затем покажем асимптотическую независимость максимумов, доказав сначала следующие
леммы, соответствующие леммам 8.2.3 и 8.2.4 соответственно.
Лемма 12.3.2. Предположим, что и -*- оо, q О, и2^ —>- а > О, выполняется условие (12.1.1) и Тр-*т>0. Тогда
(*)(*)lim suplim supР (м ( U 7h) < и j — Р \М (nh) <Р (м ( U 7h) < и j — Р \М (nh) <(ii)(ii)lim suplim sup^(/tfX^ 7?€ U /ь| —/’^(U Л)<«}^(/tfX^ 7?€ U /ь| —/’^(U Л)<«}
(*)
(*)
lim sup
lim sup
Р (м ( U 7h) < и j — Р \М (nh) <
Р (м ( U 7h) < и j — Р \М (nh) <
(ii)
(ii)
lim sup
lim sup
^(/tfX^ 7?€ U /ь| —/’^(U Л)<«}
^(/tfX^ 7?€ U /ь| —/’^(U Л)<«}
где ро 0 "при а 0.
Доказательство. Часть (i) сразу следует из неравенства Буля и теоремы 12.2.9, поскольку
0<pW|J lA<u\-P\M^nh><u\<
I V I 7 J
^ пР {7И (Л) > u| ~ np,E->T--5-,
ввиду пц ~ Tp/h t//i.
Часть (ii) получается аналогично из леммы 12.2.11, в соответствии с которой
0<Р^(/9)<и, jqQ U — pIm( U ^h) <u|<
Ii J I x i 7 J
Cnmax^j^G^Xzz, jqElh\ - P\M(I,)<uy) <
<nvi(h — E) p„ +AZO (p)^T^l^-)pQ<TPa, где Pa = 1 — Ha (a)IHa -* 0 при a0.□
Лемма 12.3.3. Пусть r (t) -► 0 при t -* оо, и предположим, что при u^q -* a > 0 соотношение (12.3.2) выполняется для каждого в > 0. Тогда при Т оо, u^q а
0) Р ^ Uq) < и. jq € U /hj — Д Р\^(jq) < и, jq € /h} ^0,
(ii) lim sup(ii) lim supПP\l(iq)<u. jqEk\-Pnpw(h)<u\<T(p„+ у, h=\
(ii) lim sup
(ii) lim sup
где pa -* 0 при a 0.
Доказательство. Часть (i) выводится идентично доказательству леммы 8.2.4 (i). Что касается части (ii), то
0< П Р\^1
iqEk\-h P\M(k)<u^ k=l
^т(1
как и в доказательстве леммы 12.3.2 (И), которое не использует зависимости или независимости между величинами на различных интервалах. Кроме того, в силу стационарности,
О < fl Р\МЦ^<и\ - Рп\М^<и\ =
= Р"\МЦКи\ - Рп\М^<.и\<<п<Р\МЦ^<.и\- P\WQi^<u\^<.
<пР {Л4 (/1) >74 ~ прв-»-т--5-.q
Теорема 12.3.4. Пусть {^ (/)] — стационарный норма гьный процесс с нулевым средним, ковариационная функция которого удовлетворяет условиям (12.1.1) и (8.1.2). т. е.
г (0 = 1 — С1t1“ + о (|/ |“) при / —О и
r(t)lnt^-0 при t-^oo.
Если и = иТ оо таким образом, что Тр = TC^HaU2!0- X X <р (и)/и т > О, то
Р \М{Т)-^и\-^-е-х при Т—^оо.
Доказательство. В соответствии с леммой 12.3.1 выполнено условие (12.3.2) леммы 12.3.3, и тогда в силу лемм 12.3.2 и 12.3.3 мы имеем
lim sup | Р {.И (пй) <С и\ — Рп {Л4 (й) ^ и\ | ^ 2т fpo 4 -т-) ,«/—►СОVА /
где ро -> 0 при а 0. Полагая теперь е 0 и а 0. находим отсюда, что
lim (Р {.44 (nh.) <и\ - Р" {Л4 (й) <: и}) = 0.
По теореме 12.2.9 Р {Л4 (й) <^ и} = 1 — рй 4- о (р), и поэтому, так как р — т/Т, п ~ T]h,
Рп ' М (h?) ^. и\ = (1 — рй 4- у (р))"^- е-т.
Поскольку к тому же
М (nh) <М (Г)<.М ((п 4- 1) й),это доказывает теорему.□
Как легко убедиться, выбор иТ = х(ат + Ьт с ат и Ьт, заданными соотношениями (12.1.2), удовлетворяет соотношению Тр т = е~х, см. (12.3.1), и мы немедленно получаем следующую теорему.
Теорема 12.3.5. Предположим, что {£ (0} удовлетворяет условиям теоремы 12.3.4 и что с На, таким же, как в замечании 12.2.10,
аТ = (2 In ТУ1, 6r = (21nT)'/2_j* х
X / ~^~ In In Т + In (CV«Ha (2л)-'/2 2<2-^)/2") }.
Тогда Р |ат (М (Т) — Вт) ^ х} ехр (—е-х) при Т -► со.
Асимптотические свойства е-выходов
Как упоминалось в разд. 12.1, асимптотически пуассоновский характер выходов наблюдается и в случае недифференцируемых нормальных процессов, если вместо обычных выходов рассматриваются е-выходы. Чтобы доказать это, нам необходимо вычислить математическое ожидание числа NE> „ (Г) е-выходов процесса £ (0 за уровень и в интервале 0 ^ t ^ Т.
Лемма 12.4.1. Предположим, что г (t) удовлетворяет условию (12.1.1). Тогда с h, таким же, как в теореме 12.2.9, и е = /г/2
и—со U2/“<P(U)/Uи—со U2/“<P(U)/U= С v»Ha.= С v»Ha.
и—со U2/“<P(U)/U
и—со U2/“<P(U)/U
= С v»Ha.
= С v»Ha.
Доказательство. Обозначим
А = {£ (/) > и для некоторого t^ (—е, 0]}, В = {£ (t) > и для некоторого t £ (0, е)}.
Из теоремы 12.2.9 имеем для 2е <: h при и -> ео
Р(А U В) ~ 2еС'/“//ан2/“-1ф (и), Р (А) ~ еС|/а//аи2/°—*(р (и), Р (В) ~ еСх,аНaU110-^^ (и). Поэтому
Р (В Г) Ае) = Р (A U В) - Р (А) ~ еС1/»//^2/»-1^ (ы), и
Р(В п А')<Р{Ае.ы(е)= Ц=Е(Пе,и(еХР(В), поскольку в [0, е] существует самое большее один е-выход. Следовательно, Е (,Ne, и (е)) ~ EC'^HaU2/0—^ (и).
и, таким образом,
E(Ne,u^ = ^E(Ne>u = (е))~ C^Hau2i—^(u),
как и требовалось.□
В частности, из этой леммы вытекает, что асимптотически среднее число е-выходов за надлежащим образом возрастающий уровень не зависит от выбора е > О (е ^ Л/2), и это приводит нас непосредственно к следующему пуассоновскому результату, полученному в работе Линдгрена и др. (1975). Пусть Nt — точечный процесс на (0, сю), определяемый соотношением
Nt(B) = ^.„(Т-В),
где уровень и выбирается таким образом, что Тр.= ТСх,аНаи2,а X X <р (u)/u ~ т > 0, и пусть N — пуассоновский процесс, имеющий интенсивность т.
Теорема 12.4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 12.3.4. Тогда нормированный по времени точечный процесс Nt е-выходов за уровень и сходится по распределению при и -* сю к пуассоновскому процессу N на положительной полуоси, имеющему интенсивность т.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.1.2, мы должны только проверить, что для 0 < с < d
lim Е (Nt ((с, d])) = Е (N ((с, d])) = т (d — с), и если Ri = Г—оо
= (сь dt 1 (неперссекающиеся), U = (J Rt. то i=i
P|^(^)=O}-*^|^(t/) = O} = Пе-Тт№)- 1=1
В соответствии с леммой 12.4.1 Е (Nt ((с, d])) = Е (NE, и ((Тс, Td])) = ТЕ (Ne, и ((с, d])) ~ Т (d — с) р ~ т (d — с), что доказывает (а). Часть (Ь) доказывается при помощи той же последовательности шагов, что и в теореме 9.1.2, только с очевидными изменениями.□
В предыдущих главах мы встретили целый ряд результатов, связанных с пуассоновской сходимостью выходов за возрастающий уровень. Нет никаких дополнительных трудностей в распространении этих результатов на е-выходы. Однако мы не хотим удлинять уже и без того длительное путешествие по океану лемм. Отметим, что несколько большую общность можно получить путем включения в (12.1.1) вместо С функции медленного роста. Это обобщение рассматривалось Берманом (1971b), а также Кволсом и Ватанабе (1972).
Более слабые условия на бесконечности
Как уже отмечалось, приведенные выше результаты об экстремумах могут также быть обобщены путем ослабления условия (8.1.2), которое описывает поведение корреляции между удаленными точками. Мы будем действовать, как и в дискретном случае (разд. 4.5), следуя Лидбеттеру и др. (1978) и .Митталу (1979). Мы, разумеется, не можем ожидать существенного ослабления условия (8.1.2), поскольку оно, очевидно, близко к необходимому.
Пусть h (/) — произвольная функция и eTW = \t^o, Т); vo№t>h(ty, 1Т (й) — мера Лебега множества 6Г (й)." ‘
По аналогии с условиями для дискретного времени мы наложим ограничения на суммарное время, в течение которого значения | г (/) | In t велики, требуя, чтобы существовала такая невозрастающая функция h с h (О | 0 при i f оо, что
lT(h) = О (T/(ln T)v) для некоторого y>max(0, 1 — 1/а) (12.5.2) и некоторая константа К > 0, для которой
1т (Л) = О (Т-) для некоторого 11<1.(12.5.3)
Ясно, что условие г (f) In t -> 0 при / -* оо влечет за собой, что 6т ОЙ пусто, если, например, й (/) = sup | г (s) | In s, так что (12.5.2) действительно слабее, чем (8.1.2); относительно примеров см. Миттал (1979). В действительности (12.5.2) слабее также и некоторых других иногда используемых условий. Например, т
поскольку | | r(t) | р dt^- 1т ОЙ (^1(7')/1п Т)р, если й убывает, то б
из j r2^dt < оо следует, что /т (й) = О ((In T)h ОПУй Для всех о
й, так что (12.5.2) несомненно слабее, чем условие ) г2 (f)dt < оо, б
иногда используемое в литературе.
Теорема 12.5.1. Пусть £ (/) — стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией г (/) -* О при / ->- оо, удовлетворяющей условиям (12.1.1), (12.5.2) и (12.5.3). Пусть и = иТ * оо, так что Тц -> т > 0. Тогда
Р\М (Т)-^и\~^е~Т при Т->оо.
Доказательство. В доказательстве теоремы 12.3.4 условие (8.1.2) было использовано только для того, чтобы доказать (12.3.2).
U2U21+|г(ЗД|1+|г(ЗД|Поэтому, чтобы доказать теорему, устремим и к оо при Т -* оо таким образом, чтобы Т ~ т/р с фиксированным т > 0 и р = = Сх,аНаи-1а <р (и))и, и возьмем q -> 0 таким, чтобы ti^q -> -> а > 0. Тогда, как мы увидим, из (12.1.1) и (12.5.1)—(12.5.3) вытекает, что для е > 0 при 7 > оо
U2
U2
1+|г(ЗД|
1+|г(ЗД|
Y 2 \г^)\ ехр[ —e<fcg<T1
что доказывает теорему. □
Пусть р (/) = sup | г (s) | и Р удовлетворяет неравенствам 0 < р < (1 — 6)/(1 + 6) для 6 = р (е). Расщепим сумму в (12.3.2) на две части значением Т^, т. е. на сумму 2' по е ^ kq <_ ТР и сумму 2" по Т^ < kq <С Т. Как и в доказательстве леммы 12.3.1,
—= — \" I г (feu) I exp (0,
qqI v 11-Цг(ЗД| J
е<»ф<гР
если qu2!0- -> а > 0.
Что касается остальной части суммы 5"> нам нужна граница для числа таких слагаемых, для которых произведение | г (kq) | In kq не ограничено малой функцией. Для произвольной функции к, по аналогии с lT (к) в (12.5.1) определим
пт (к) = card \к; Т^ <kq <,Т, \r(kq)\lnkq>k(kq)\.
Поскольку г (t) удовлетворяет условию Липшица в нуле, она удовлетворяет условию Липшица для всех t. В действительности если а' << min (1, а), то
|r(/4-s)-r(0|<C|sr
для некоторой постоянной С, см. Боас (1967, теорема 1). Мы используем это для получения границы для пт (к), выражающейся через 1Т (к/2). Пусть у такое же, как и в условии (12.5.2). Возьмем а' таким, чтобы а/(1 + уа) < а' < min (1, а). Отметим, что мы всегда можем найти такое ос' и что 1/а' — 1/а — у < 0. Покажем, что для всех невозрастающих функций к
(12.5.4)(12.5.4)nT(h) < С’ (^_)1Z“ к (4) ’
(12.5.4)
(12.5.4)
если Т достаточно велико. Поскольку для t^ kq> 1 выполняется неравенство | г (t) | In t > (| г (kq) | — С| / — kq |“') In kq, мы видим, что если
| г (kq) | In kq > к (kq) и t ^ Т таково, что
то
к(0|Ы>‘^.
Мы имеем q ~ а^и1!0-, и ~ (2 In 7)V2, и поэтому
(Л (7)/1п TY'a'lq - Л<1^_ (In Т)-1/а'+1/а __ 0>
поскольку а> а'. Отсюда следует, что для достаточно больших Т те kq, которые вносят вклад в nT (/г), входят в непер ссекающиеся интервалы длины от (й (7)/(2С In 7)^“' до lT (й/2), и мы получаем (12.5.4) с С = (2С),'“'.
Мы можем теперь продолжить доказательство, расщепляя сумму 2" в соответствии с тем, будет ли kq £ 6Г (27) или нет. Вспоминая обозначение р (О = sup | г (s) |, имеем
$>/
Т^ V i /г, \ i Г “а 1 /
т2 =т 2 1*)1«р(- i+|r(1,)i )< г0<»«г
< — пг (27) ехр (“I +
4' Ч1+р(Г₽) J
+ V 2к(М|ехр{-п2(1--^)) (12.5.5)
T^<kq^T, М^6Т VIKY
(где символ с обозначает дополнение). При больших Т к пт (27) применима граница (12.5.4), и поэтому первая составляющая в правой части (12.5.5) при 7 ->- оо ограничена величиной
С'^ (-^У^' к № Т-2К1+Р (г0)) = _£_ (in Ту/а',
поскольку т] < 1 в силу (12.5.3) и р (70) ->- 0.
Вторая составляющая в (12.5.5) ограничена величиной
г Т \2(2 /,( — ) exp 1 —и1 ( 1X q J I \г Т \2(2 /,( — ) exp 1 —и1 ( 1X q J I \pKF) ) Tik- У" 21 r ^ \lnkq=FvF1,
г Т \2(2 /,
( — ) exp 1 —и1 ( 1
X q J I \
г Т \2(2 /,
( — ) exp 1 —и1 ( 1
X q J I \
(12.5.6)
где суммирование производится по всем таким kq, для которых 70 <^ kq <_ Т и kq £ 6Т ^КУ- Мы увидим, что 7, ограниченно, а 7г 0 при 7 ->- оо, так что FV F2 ->- 0. Начнем с 72, вводя функцию h, которая появляется в (12.5.2), и расщепляя сумму соответственно тому, будет ли kq 6 6Г (2/i) или нет. Это дает
^ = 7г21г(А<?)11п^<"7г 2 +"Г2
*»Сег(2А)е А»Сег (2Ь)Пег (2К)С А»<Г
<^-.Х2Л(Т₽) + 4-.2Кпт(2А)<
< 2Л (ТР) + 2КС 4- (^у)*^' 1т (А) =
= 2А (7Р) 4- h (Jy-W (]n 7)l/a'-l/a-v (ыг/о^) о (1)
в силу условия (12.5.2). Поскольку 1/а'— 1/а— Y < 0, мы можем заключить, что Рг -* 0, когда Т ->- оо, при условии что h (О убывает достаточно медленно. Заметим, что если (12.5.2) выполняется для некоторой функции h, то оно выполняется и для всех функций с более медленным убыванием. Остающийся сомножитель Рх в (12.5.6) равен
Используя тот факт, что и2 = 2 In Т + 2 (1/а — 1/2) Inin Т + + О (1), находим
Таким образом, Ft Fa -► 0, и мы доказали, что и вторая составляющая в (12.5.5) стремится к нулю. Это завершает доказательство теоремы.
Замечание 12.5.2. Как и в случае дискретного времени, можно склониться к рассмотрению условия типа того, что
^- 2 I г(^)11п^ехр{т|г(^)|1п^}^-0 [(12.5.7)
Г₽<*9«Г
при Т ^>- оо для некоторых (3 < 1, у > 2, которое в действительности может заменить (12.5.2). Однако (12.5.7) содержит до некоторой степени произвольный шаг квантования q, и более естественное условие для процесса с непрерывным временем должно было бы ограничивать величину
J |г(01 InZexp {Yk(0|ln^} dt. i
В то же время в связи с (12.5.7) не ясно, как можно было бы это строго сделать.
Глава 13
Экстремумы стационарных процессов с непрерывным параметром
Основная задача этой главы состоит в распространении результатов для последовательностей из гл. 3 на случай непрерывного параметра и, в частности, в получении соответствующего варианта теоремы об экстремальных типах. Этим мы займемся в первом разделе, используя для непрерывного случая аналог ограничения на зависимость D (и^. Затем рассмотрим пределы вероятностей Р {Л1 (7) <( ит\ для произвольных семейств констант {«т), приводящие, в частности, к определению областей притяжения.
Теория применяется в двух случаях: сначала к нормальным процессам, что приводит к иному методу вывода результатов гл. 12, а затем к стационарным процессам с конечными интенсивностями выходов. Наконец, для этого последнего класса выводятся общие результаты для пуассоновости числа выходов за высокие уровни, которые дают в качестве приложений асимптотические распределения (и совместные распределения) k-x наибольших локальных максимумов.
Теорема об экстремальных типах
Всюду в этой главе мы рассматриваем (строго) стационарный процесс {£(/); ^^-0}, удовлетворяющий общим условиям, сформулированным в начале гл. 7. В частности, будет предполагаться, что t (0 имеет п. н. — непрерывные выборочные функции и непрерывные одномерные распределения и что основное вероятностное пространство полно. Как было показано в лемме 7.1.1, при этих условиях Л1 (/) = sup {£ (/); t Е 1\ является случайной величиной для любого интервала / и, в частности, случайной величиной будет и М (Т) = М ((0, 71).
В этом разделе нас в основном интересуют асимптотические свойства распределения М (Т), в особенности то, какие здесь возможны невырожденные предельные распределения, в том смысле что Р {ат (тИ (7) — 6Т) <С х} при 7 -> оо сходится для некоторых констант ат > 0, Ьт к некоторой невырожденной ф. р. G. Следуя Лидбеттеру и Ротсену (1982), мы обнаружим, что представляющие интерес формы теоремы об экстремальных типах сохраняют силу для непрерывного параметра при естественных аналогах ограничения на зависимость, используемого в дискрет-
ном случае. В действительности наш подход к непрерывному случаю состоит в том, чтобы связать непрерывный случай с дискретным, как в гл. 8, рассматривая последовательность «подмаксимумов». Более точно, для некоторого й > О (которое должно быть выбрано подходящим образом) положим
^ = suPjg(O; U- l)h<.t<ih\,(13.1.1)
так что для любого п = 1,2,... мы имеем
М (nh) = max (£ъ ь2, ..., cn).(13.1.2)
Ясно, что свойства М (7) при Т оо можно вывести из свойств М (nh), взяв п = IT/hl и аппроксимируя Т посредством nh. Как указывалось выше, рассмотрим аналог для непрерывного случая (который мы обозначим С (ит)) условия D (ип), используемого для последовательностей. Условие С (ит) будет использовано для того, чтобы обеспечить выполнение для стационарной последовательности j£n}, определяемой соотношением (13.1.1), условия D (ип). Однако, прежде чем ввести это условие, укажем некоторую предварительную форму теоремы об экстремальных типах, в которой просто предполагается,что последовательность {Сп} удовлетворяет условию D (ип). Этот результат сразу вытекает из теории, развитой для последовательностей, и ясно иллюстрирует основные представления, требующиеся в случае непрерывного параметра. Более полный вариант (теорема 13.1.5), приводимый далее, требует, разумеется, нахождения соответствующих условий на £ (/), главным из которых будет С (ит), гарантирующих, что {£„} удовлетворяет условию D (ип).
Теорема 13.1.1. Предположим, что для некоторых семейств констант {аг>0}, )йт)
P\aT(M(T)-bT)<x\ ^G(x) при Т -> оо (13.1.3)
для некоторой невырожденной ф. р. G и что последовательность {£„}, определяемая соотношением (13.1.1), удовлетворяет условию D (ип) всякий раз, когда ип = x]anh + bnh для некоторого фиксированного h> 0 и всех вещественных х. Тогда G имеет один из трех типов экстремальных значений.
Доказательство. Поскольку (13.1.3) выполняется, в частности, когда Т стремится к бесконечности, пробегая значения nh, и последовательность {£„}, очевидно, стационарна, мы получим искомый результат, заменив gn на ^п в теореме 3.3.3 и используя (13.1.2).□
Хотя в дальнейшем этот факт не применяется, все же интересно отметить, как показывает приводимое ниже следствие, что отсюда сразу вытекает справедливость теоремы об экстремальных типах при условиях «сильного перемешивания».
Следствие 13.1.2. Теорема 13.1.1 остается в силе, в частности, если условие D (ип) заменяется предположением о том, что процесс ^ (/)}, обладает свойством сильного перемешивания. При этом последовательность ^п| обладает свойством сильного перемешивания и поэтому удовлетворяет условию D (пп).
Введем теперь непрерывный аналог условия D (ип), формулируемый в терминах конечномерных распределений процесса ^ (/) с использованием вновь обозначения Ft tn(u) для Ft tn(u и). Точки ti будут принадлежать дискретному множеству \jqT; / = 1, 2, ...}, где \qT\ — семейство констант, стремящихся к нулю при Т -> оо со скоростью, которая будет определена позднее.
Будем говорить, что для процесса £ (/) и семейства постоянных (tzr; Т > 0} выполняется условие С (иТ) относительно констант qT ->- 0, если для любых точек ^^ s^ <^ ... < sp < ^i < ■■■ ... <_tp', принадлежащих \kqT\ 0<_kqT^T\ и удовлетворяющих неравенству tx — sp ^ у, мы имеем
l^h — 1р, <1:_. tpAur) — F,t ,p(uT)Fti/р,(«т)|<аг,г. (13.1.4)
где aTi т -► 0 для некоторого семейства уТ — о (Т) при Т -»- оо.
Как и в дискретном случае, мы можем взять (и возьмем) значения аГ1 т неубывающими при увеличении у. Отметим также, что условие аг> Vr -> 0 для некоторого уг = о (7) может быть заменено условием
«т.хг-^О при Т -> оо (13.1.5)
иг-
для каждого фиксированного Л > 0.
Условие D (ип) на |£п}, требуемое в теореме 13.1.1, будет теперь связано с условием С (иГ) путем аппроксимации пересечений и экстремумов процесса с непрерывным параметром соответствующими им величинами для «квантованного варианта». Чтобы достигнуть такой аппроксимации, мы требуем выполнения двух условий, затрагивающих максимум процесса £ (/) в фиксированных (малых) интервалах времени. Эти условия приведены здесь в форме, которая очень широко применима, тогда как легко проверяемые достаточные условия для важных случаев приведены далее в этой главе.
Удобно ввести функцию ф (и), которая обычно будет описывать форму хвоста распределения максимума Л1 (h) в фиксированном интервале (0, Л] при больших и. В частности, по мере необходи-
мости мы будем делать одно или более из следующих, последовательно все более сильных предположений:
Р || (0) > и\ = о (ф (и)),(13.1.6)
Р |7И (^) > и\ = о(ф(и)) для любого q = q^u)^»-0 прии^-оо,
(13.1.7)
существует такое й0 > 0, что
lim sup Р<J для 0<h<.hg,(13.1.8)
Р |7И (Л) > и\ ~ Лф (и) при и^-оо для O<h<.ho.(13.1.9)
Заметим, что соотношение (13.1.9) обычно выполняется и указывает на то, что хвост распределения М (й) асимптотически пропорционален ф (и), тогда как (13.1.8) является более слабым условием, которое иногда удобно использовать как достаточное условие для еще более слабых условий (13.1.7) и (13.1.6). Как мы увидим позднее, ф (и) можно также отождествить со средним числом выходов за уровень и в единицу времени, ц (и), в тех важных случаях, когда оно конечно. Во всяком случае, очевидно, можно определить ф (и) равным Р |7И (й0) > и(/й0 Для некоторого фиксированного й0 > О или какой-нибудь асимптотически эквивалентной функции, и затем попытаться проверить выполнение любого из указанных выше условий, в котором может возникнуть надобность.
Мы также будем требовать выполнения предположения, связывающего «непрерывные и дискретные» максимумы в фиксированных интервалах. Конкретно, мы предполагаем как обязательное условие, что для каждого а > 0 существует семейство констант |у| = \qa (u)(, стремящихся для каждого а>0 к нулю при и -> О такое, что для любого фиксированного й > О
lira sup ——— ^^ *-»0 при а^-0. (13.1.I0)
Наконец, для проверки (13.1.Ю) иногда полезно условие
.. Р {£ (0) ^u, g (q) ^и, М (^)> и) nп 1 их
lira sup —— Tvr~ L ® при « 0- (13.1.11)
Здесь постоянная а определяет скорость сходимости к нулю Ча М — ПРИ уменьшении а сеть точек \qa (м)| имеет тенденцию становиться (асимптотически) более мелкой, и для малых а максимум процесса | (/) по дискретной сети, как будет видно ниже, хорошо аппроксимирует непрерывный максимум. (Можно предложить более простые варианты условий (13.1.10) и (13.1.11), в которых предполагается существование одного семейства констант q = q (и ), для которого верхние пределы в (13.1.10) и (13.1.11) равны нулю. Можно видеть, что в приводимых ниже
10 Лидбеттер М. и др.
теоремах это можно сделать без потери общности. Однако, как и в случае, рассматривавшемся в гл. 12, условия, включающие параметр а, часто оказывается легче проверить.)
Следующая лемма содержит некоторые простые, но полезные соотношения.
Лемма 13.1.3. (1) Если выполнено (13.1.8), то выполнено и (13.1.7), что в свою очередь влечет за собой выполнение (13.1.6). Поэтому из (13.1.9) очевидным образом следуют (13.1.8), (13.1.7) и (3.1.6). (11) Если I — произвольный интервал длины h и выполнены оба условия (13.1.6) и (13.1.10), то существуют такие константы Ха, что
0 < lim sup< Ха ->0
при а 0, где q = qa (и) — те же, что и в (13.1.10), причем эта сходимость равномерна во всех интервалах такой фиксированной длины h.
Если выполнены (13.1.7) и (13.1.11), то выполняется и (13.1.10), и поэтому, в силу (11), выполняется и (13.1.12).
(iv) Если выполнено (13.1.9) и 1Х = (0, Л1, /2 = (h, 2h 1 с 0 < < Л < Ло/2, то Р {УИ Цд > и, М (/2) > и} = о (ф (и)) при и -* ОО.
Доказательство. (1) Если выполнено (13.1.8) и <? ->- 0 при и оо, для любого фиксированного h > 0 в конечном счете q становится меньше, чем h, и Р {УИ (у) > u} Р {(УИ (Л) > и}, так что
к Р(УИ(у)>ы) ..Р(М(№>Щ- ,
lim sup —-. \lim sup —1 <—— << h
Ф(“)Ф(“)
в силу (13.1.8). Поскольку значение Л произвольно, отсюда следует, что Р {УИ (у) > и}/ф (и) -► 0, приводя к (13.1.7). Ясно, что (13.1.7) влечет за собой (13.1.6), поскольку
Р^(0)>и\<Р\М(д)>и\,
что доказывает (1).
Чтобы доказать (И), предположим, что выполнены (13.1.6) и (13.1.10), и пусть / — интервал фиксированной длины h. Поскольку количества точек вида jq в I и (0, Л] отличаются самое большее на 2, то, используя стационарность, легко видеть, что P^Uq)<“. jq^I}
< Р {6 (/9) С и, 0 С jq < Л} + Р {g (0) > и\ + Р {6 (Л) > и}, так что
0<P|6G'9)<“. jq(^-P\M (/)<«}<
<Р{6(/9)<«. 0</9< Л} - Р {УИ (Л) < и\ +2Р (5(0) > и\ =
= P{M(h)>u, ЗД)<и, 0<й<Л|+2Р{5(0)>Ы|.
Отсюда сразу следует (13.1.12) в силу (13.1.6) и (13.1.10) и выполняется (ii).
Чтобы доказать (iii), заметим, что в (0, Л] существует самое большее Vh/qA полных интервалов вида ((/ — 1) q, jq] и, возможно, еще один меньший интервал, так что
P\M(h)>u, ^Uq)<u, 0<jq<h\<
<АР{Е(О)<Щ Uq)<u,<АР{Е(О)<Щ Uq)<u,/И (д') > и\ + Р {Л4 (0 > и\/И (д') > и\ + Р {Л4 (0 > и\
<АР{Е(О)<Щ Uq)<u,
<АР{Е(О)<Щ Uq)<u,
/И (д') > и\ + Р {Л4 (0 > и\
/И (д') > и\ + Р {Л4 (0 > и\
и (13.1.10) легко вытекает из (13.1.11) и (13.1.7).
Наконец, если выполняется (13.1.9) и ^ = (0, А], /2 = (Л, 2А]
с 0 < А < й0/2, то
ииР {М (/2) > и\ = Р {М (Л) >и\ = hW) (1 +0(1))
и
и
Р ({М (Л)>н} U |Л1(/2)>н|) =
= Р\М (Л и /г) >и\ = 2Аф (и) (1+0 (1)), так что
Р№ >и, М (/2) > и\ = Р \М (/J > «} + Р\MUA > «} - - Р ({М Ц^ > и\и {М (/2) > и\ = о (гр(п)), что и требовалось.
Для Л > 0 введем последовательность моментов времени |ТП}, Тп С (пЛ, (п + 1)Л], и обозначим ип = ит^. Тогда, как показывает следующая лемма, относительно легко связать условие D (ип) для последовательности (£п}с условием С (ит) для процесса g (/).
Лемма 13.1.4. Предположим, что (13.1.6) выполняется для некоторой функции ip (п), и пусть для каждого а> О \qa (п)} — семейство констант с qa (и) > 0, qQ (и) ->■ 0 при и ->- 0, для которых выполнено (13.1.10). Если условие С (иТ) выполняется относительно семейства qT = qa (иТ^ для каждого а>0 и величина Tip (ит) ограниченна, то последовательность {?п}, определяемая согласно (13.1.1), удовлетворяет условию D (ип), где и^ = иТп, как и выше.
Доказательство. Для заданного п пусть Ч •<. Ч •<. --- •<. ip <L < Л < ■•• < ip’ < п> h — ip ^ l- Обозначим IT = ((ir — 1) h, irhA, Js = (Us— 1) h, jsM. Для краткости символом q будем
обозначать элементы одного из семейств \qa ( )} и положим
>1д = Л UO'^X^n. iq^iA, л = n {SiX^b г=1Г=1
вч= njq^JsV n |?f <u"h
S=l5=1 •
Из леммы 13.1.3 (и) очевидным образом следует, что
О < lim sup \Р (АдВд) — Р (АВ\< lim sup (р + р') хр (ип) Ха < Л->соп->со
-< lim sup пф (un) xa к^а
для некоторой постоянной К (поскольку nh ~ Тп и Тп^ (vn) ограниченно) и Ха -► О при а ->- 0. Аналогично
lim sup | Р (Ад) - Р (А) | < КХ, Ит sup | Р (Bg) - Р (В) | < КХ П-*-СОП—>СО
Далее,
Р(АПВ)-Р(А)Р(В)|<|Р(ЛПВ)-Р(АдПВд)| +
+ |Р(ЛдПВд)-Р(Лд)Р(Вд)Ц-Р(Лд)|Р(Вд)-Р(В)| +
+ Р(В)|Р(Лд)-Р(Л)| = Рп,а + |Р(ЛдПВд)-Р(Лд)Р(Вд)|,
(13.1.13) где lim sup Rn> „ < ЗКК-
Поскольку наибольшее jq в любом 1Т не превосходит iph, а наименьшее jq в любом Js не меньше, чем (Д — 1) Н, их разность не меньше, чем (/ — 1) h. Кроме того, наибольшее jq в Jp> не превосходит jp-h <, nh <_ Тп, так что из (13.1.4) и (13.1.13) получаем неравенство
| Р (Л П В) - Р (Л) Р (В) | < R„. а + а^. (Z_„ h, (13.1.14) в котором зависимость аг> z от а указана явно. Обозначим теперь а*п i = inf {Р„ о + а^ (Z-i)h}. Поскольку левая часть (13.1.14) а>0п’
не зависит от а, мы имеем
|P(AnB)-P(A)P(B)|<<z,
что как раз и является искомым заключением леммы, при условии что мы в состоянии показать, что Ит а*п, [Хп] = 0 для любого
Л->оэ
X > 0 (см. (3.2.3)). Но для любого а > 0
ап, [Хп] <С Rn, а + «7^, (Хп—1) h <^ Rn, а + «7^, Х7п/2>
когда п достаточно велико (поскольку a^t убывает по Z), и поэтому, согласно (13.1.5),
_lim sup а„, [хп] < ЗКХа.
Поскольку а произвольно и Ха -► 0 при а -► 0, отсюда следует, что а-п, [Хп] 0, как и ожидалось.□
Общий вариант теоремы об экстремальных типах для непрерывного случая теперь легко переформулировать, используя только условия, накладываемые на сам процесс g (Z).
Теорема 13.1.5. При тех же обозначениях для стационарного процесса |g (/)}, удовлетворяющего (13.1.6) для некоторой функции аТ > О, Ьт, предположим, что существуют такие константы аТ> 0 и Ьт, что
Р{ат(М (Г)-6г)<х|"б(х)
для невырожденной ф. р. G. Предположим, что величина Тф (нг) ограниченна и условие С (и^ выполняется для щ = х/аТ + Ьт для каждого вещественного х относительно семейств констант \qa (и)}, удовлетворяющих (13.1.10). Тогда ф. р. G имеет один из трех типов распределений экстремальных значений.
Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы 13.1.1 и леммы 13.1.4, если выбрать Тп = nh.□
Как указывалось, условия этой теоремы являются достаточно общими. Более конкретные достаточные условия будут приведены в этой главе позднее как приложение.
Сходимость вероятностей Р \М (Т) <^ ит\
Теорема об экстремальных типах связана с рассмотрением вероятности
Р \ат<М (Т) — 6ГХ*},
которая может быть переписана в виде Р \М (Т) ^ ит\ с ит = = х!ат + Ьт. Мы переходим теперь к вопросу о сходимости вероятностей Р \М (7) С ит\ при Т оо для семейств ит, не обязательно являющихся линейными функциями параметра х. (Это аналогично, конечно, сходимости вероятностей Р \Мп < ^ un| для последовательностей.) Такие результаты интересны и сами по себе, но также и потому, что они делают возможным просто модифицировать классические критерии для областей притяжения к трем предельным распределениям, чтобы применить их в случае непрерывного параметра.
Наша основная цель — продемонстрировать равносильность условий Р |Л4 (Л) > ит\ ~ т/Т и Р ^И (Т) < иг\ е-т при соответствующих ограничениях. Следующее условие, на которое мы будем ссылаться как на С' (щ), аналогично условию D* (и„), определенному в гл. 3 для последовательностей.
Будем говорить, что для процесса {£(/)} и семейства констант \иг; Т > 0} выполняется условие С' (и^ относительно констант q = qT -^- 0, если при е -► 0 для некоторого /1 > 0
lira sup 2- У P\W>uT, Hjq)>uT\^Q.
T-*-q* L ” _
Следующая лемма будет полезной для доказательства желаемой равносильности.
Лемма 13.2.1. Предположим, что для некоторой функции ip выполняется (13.1.9), и пусть fur| — такое семейство уровней, что С' (u^ выполняется относительно семейств \qa (и)}, удовлетворяющих (13.1.10), для каждого а > 0, причем К в условии С' (u^ не превосходит /z0/2 в (13.1.9). Тогда величина Tip (и у) ограниченна, и если п* = \п]к\, пик — целые, то
0 < lim sup (п'Р {М (h) > ип| —
— Р\М(п'Н) >ип|) = о(к-1) при k^-oo (13.2.1)
с ип = иТ для любой последовательности jTn|, для которой Тп Е Е (nh, (п + 1) Л].
Доказательство. Мы используем дополнительное предположение
lim inf Tip (u7) > 0(13.2.2)
T -►со
и докажем, что при этом предположении Tip (ur) ограниченно и справедливо (13.2.1). После этого легко проверить (например, путем замены в доказательстве Tip (пг) на max (1, Tip (uT)), что полученный результат справедлив и без этого дополнительного предположения.
Итак, обозначим I, = ((/— 1) h, jh], j = 1, 2, ..., и Afg (/) = = max {£(/<?); jq E /} для любого интервала /. Мы покажем сначала, что (в предположении, что выполнено (13.2.2))
0 < lim sup 1 (п'Р |М (h) > un} — Р \М (n'h) > ип|) = о (А-1) п-ю, 1 wn)
(13.2.3)
при к -► оо. Выражение в (13.2.3), очевидно, неотрицательно и, в силу стационарности и того факта, что М ^ Мч, не превосходит
1Тп'Р (уп)1Тп'Р (уп)limjup 2 (^(Л) > v„| - Р {Mg (/;) > un|) +
1Тп'Р (уп)
1Тп'Р (уп)
+ lim sup+ lim sup2^{Mg(/,)>Un} -P{Mg(n'ft)>un} .
+ lim sup
+ lim sup
-/=i-
Согласно лемме 13.1.3 (ii), первый из этих верхних пределов не превосходит Ха lim sup п /Тп = ^Khk), где Хо -> 0 при а -► О,
Выражение во втором верхнем пределе можно записать в виде
ГП4(М ^P\M4Uj)>Vn\
L/=l
<7^у2/’1мнЪ)>^. ЛМ/м)>и„Ц-/)|мд(/;)>и„, mJ у /,/=1М=/+2
■i^"'^??^? 2 ₽l?m>>^ Е(й)>»„|.
h^jq^n’h
в силу леммы 13.1.3 (iv) и некоторых очевидных оценок, использующих стационарность. Ввиду условия С'(ит), используя (13.2.2), легко показать, что верхний предел (по м) последней составляющей есть величина порядка о (А-1) для каждого а > О, и (13.2.3) получается объединением этих фактов.
Далее, в силу (13.2.3) и (13.1.9)
“ т^з* и^т^ыр 'Wh) >ц>| >
п'Р(М(Л)>ип} -п'Р(М(Л)>ип} -.. . ,1
п'Р(М(Л)>ип} -
п'Р(М(Л)>ип} -
lim inf -=г-г7—гп_т ^пФ Vn
— lim sup— lim sup1Лир (Un)1Лир (Un)[п'Р{М(Л)>цп|[п'Р{М(Л)>цп|Р {М (n'h)> и„П =Р {М (n'h)> и„П =
— lim sup
— lim sup
1
Лир (Un)
1
Лир (Un)
[п'Р{М(Л)>цп|
[п'Р{М(Л)>цп|
Р {М (n'h)> и„П =
Р {М (n'h)> и„П =
и поэтому lim inf (Тпф (ип)) 1 > 0. Таким образом, Тп1р («гп) ограничено для любой последовательности |ТП|, для которой nh < Тп С (п + 1) к, откуда легко вытекает, что Tip (и^ ограниченно. Наконец, (13.2.1) следует теперь непосредственно из (13.2.3).□
Следствие 13.2.2. В условиях леммы, если
К,к = I п'Лф(Vn) -Р\М (n'h) > un} |.
mo lim sup ХП1к = о (^-1) при к сю.
П->со
Доказательство. Если заметить, что zi'ip (ип) ограниченно, то в силу (13.1.9) искомый результат сразу вытекает из леммы. □
Теперь легко получается и наш основной результат.
Теорема 13.2.3. Предположим, что для некоторой функции ip выполняется (13.1.9), и пусть \иТ\ — такое семейство констант, что для каждого а > 0 условия С (и^ и С' (иТ) выполняются относительно семейства \qa (п)| констант, удовлетворяющих (13.1.10), причем h в С (иг) не превосходит Ло/2 в (13.1.9). Тогда
Tip (пт) т > 0(13.2.4)
в том и только в том случае, когда
Р\М(Т)^иТ\^е~\(13.2.5)
Доказательство. Если, как предполагается, выполнены (13.1.9), (13.1.10) и С (иТ), то Tip (пг) ограничено в силу леммы 13.2.1 и по лемме 13.1.4 последовательность «подмаксимумов» {£п}, определяемая согласно (13.1.1), удовлетворяет условию D (ип) с ип = иГп для любой последовательности {Tn} с ТД (nh, (п + + 1)й1. Поэтому из леммы 3.3.2, обозначая п' = Vnjk), имеем
Р \M(nh)<.vn\ — Pk |Л1(п'ЛХ:уп} —> 0 при п-^-оо. (13.2.6)
(13.2.7)(13.2.8)(13.2.7)(13.2.8)Очевидно, достаточно доказать, что Тп^ (ип) т > 0 тогда и только тогда, когда
(13.2.7)
(13.2.8)
(13.2.7)
(13.2.8)
Т(Л1(Тп)<Уп|^е-
для любой последовательности {Tn} с Тп Е (nh, (и + 1) /г]. Далее, из ограниченности Tip (пг) вытекает, что 1р (ит) -► 0 при Т ->- оо, так что
0 < Р {М (nh) < ип| - Р {М (Тп) < оп\ < Р {М (Л) >и J ~/нр(ип)^0
и, таким образом, (13.2.8) выполняется тогда и только тогда, когда
Р \М (nh) Д уп| -^-е-'.Р \М (nh) Д уп| -^-е-'.(13.2.9)(13.2.9)
Р \М (nh) Д уп| -^-е-'.
Р \М (nh) Д уп| -^-е-'.
(13.2.9)
(13.2.9)
Поэтому достаточно доказать, что при предположениях теоремы равносильны (13.2.7) и (13.2.9).
Допустим теперь, что выполнено (13.2.7), так что, в частности,
(13.2.10)(13.2.10)п'/пр(уп)-^-^- при п-^-оо.
(13.2.10)
(13.2.10)
В обозначениях следствия 13.2.2 имеем
1 - n'h^ (ип) -Xn>1t<P\M (n'h) < un} < 1 - n'h^(un) + Xn, „.
(13.2.11)
Отсюда, полагая п оо, получаем
1 —— о (А-1) С iim inf Р {Л4 (n'h) С un} <J "П->ОО
С lim sup Р {М (n*h) <. un( < 1 —г + ° (^-1)- П—►СО
Возводя здесь все члены в А-ю степень и используя (13.2.6), находим
iim inf Р {Л4 (пЛ) <С un| <Сiim inf Р {Л4 (пЛ) <С un| <С
iim inf Р {Л4 (пЛ) <С un| <С
iim inf Р {Л4 (пЛ) <С un| <С
<; lim sup Р {Л1 (пЛ) <С yn} <С flт- + о (А'гП-^оо'"
и, устремляя к к бесконечности, доказываем (13.2.9).
Итак, при сделанных предположениях (13.2.9) вытекает из (13.2.7). Первая часть доказательства еще применима, так что остаются в силе (13.2.6) и заключение следствия 13.2.2, а следовательно, и (13.2.11). Перестановка членов в (13.2.11) дает
1 — Р\М (n’ty <оп| — Xn, ft < n'h^M <
Но из (13.2.6) и (13.2.9) следует, что Р \М (n'h) ^.vn\ -^-е-'к, и поэтому использование 13.2.2 дает
1 — е~^к — о (к-1) < lim inf n’h^ (»„) <
< lim sup nh^ (un) < 1 — e~'lk + о (A-1).
Умножая все члены этого соотношения на к и полагая к -► оо, находим, что 7\ф (vn) ~ nh^ (ип) -► т; это и завершает доказательство того, что из (13.2.9) вытекает (13.2.7). □
Сопровождающая последовательность независимых величин
Несколько смещая акценты гл. 3, будем говорить, что всякая последовательность н. о. р. случайных величин ti. £2, • ••. маргинальная ф. р. F которых удовлетворяет соотношению
1 -F(u)~P\M(h)>u\
для К 2> 0, является сопровождающей независимой последовательностью для {£(/)}. Если выполнено (13.1.9), то это, очевидно, равносильно требованию
1 — F (и) ~ Аф (и) при и ->• оо.(13.3.1
Теорему 13.2.3 можно тогда следующим образом связать с соответствующим результатом для н. о. р. последовательностей.
Теорема 13.3.1. Пусть |нг| — такое семейство констант, что выполнены условия теоремы 13.2.3, и пусть ^ ?2, ... — сопровождающая независимая последовательность, и 0 < р < 1. Если
(13.3.2)(13.3.2)Р \М (Т^^и^-^-р при Т-»-оо,
(13.3.2)
(13.3.2)
то
Р |Л1п<^ип} -^-р при п-^-оо(13.3.3)
с vn = unh. Обратно, если (13.3.3) выполняется для некоторой последовательности |ип|, то (13.3.2) выполняется для всякой последовательности |нг|, для которой 1р (ит^ ~ 'р (и[г/м), при условии что выполнены условия теоремы 13.2.3.
Доказательство. Если выполнено (13.3.2) и р = е-Т, то теорема 13.2.3 и соотношение (13.3.1) дают
1 - F (unh) ~ /пр (и^ ~-^-,
так что Р |Л1П ^ unh| -► егх, а это приводит к (13.3.3). Обратно, из (13.3.3) и (13.3.1) вытекает, что /zip (un) ~ 1 — F (ип)^-, и поэтому
Тт
Tip (tzr) ~ Tip (u[r/h]) ~т,
так что (13.3.2) верно в силу теоремы 13.2.3.□
Эти результаты показывают, как можно использовать функцию ip в классических критериях для областей притяжения, чтобы определить асимптотическое распределение для М (Т). Мы используем обозначение D (G) для области притяжения ф. р. (экстремального значения) G, т. е. для множества всех ф. р. F, таких, что Fn (x/cin + Ьп) ->~ G (х) для некоторых последовательностей |ап > > 0}, Ьп.
Теорема 13.3.2 Предположим, что условия теоремы 13.2.3 выполняются для всех семейств {н/-} вида иТ = х/ат + Ьт, где ат > > 0, Ьт — заданные постоянные, и что
P\aT(M(T)-bT)^x\-^G(x). (13.3.4)
Тогда (13.3.1) выполняется для некоторого F Е D (G). Обратно, предположим, что выполнено (13.1.9) и что (13.3.1) удовлетворяется для некоторого F Е D (G). Пусть а'п > 0, Ь'п — такие константы, что Fn (х/а'п + Ь^ -► G (х), и положим аТ = afy/hj, Ьт = ^[г/л]- Тогда (13.3.4) выполняется при условии, что предположения теоремы 13.2.3 удовлетворяются для каждого иТ = => х/ат + Ьт, — оо < х < оо.
Доказательство. Если выполнено (13.3.4) и выполнены сформулированные условия, то применима теорема 13.3.1, так что, в частности,
Р {апЛ (Мп — 6nh) < х) G (х),
где Мп — максимум сопровождающей последовательности независимых величин £ь ..., £п. Отсюда сразу следует, что их маргинальная ф. р. F принадлежит D (G), и (13.3.1) немедленно вытекает из определения.
Обратно, предположим, что (13.3.1) выполняется для некоторой ф. р. F Е D (G), последовательность ^, ^, ...—н.о.р. последовательность с маргинальной ф. р. F, и пусть для ип =- х/а„ + Ь'п
Р |Л1п<ип} ->-G(x) при ц—>-оо.
Тогда очевидно, что для ат = о'[т/ы, Ьт = ^[г/м и ит = х/ат ф- + Ьт
Ф^Т") = ф(и[Г//1]),
так что применима теорема(13.3.1), приводящая к (13.3.4).□
Стационарные нормальные процессы
Хотя асимптотические свойства распределений максимума стационарных нормальных процессов мы уже получили непосредственным образом, представляет интерес посмотреть, как вывести эти свойства при помощи общей теории данной главы. Это, разумеется, не умаляет проделанной работы, поскольку для проверки выполнения условий общей теории используются те же вычисления, что и на «прямом пути». Однако, привлечение общей теории позволяет также получить лучшее представление и перспективу в отношении используемых принципов. Мы рассматриваем здесь более общие нормальные процессы, изучавшиеся в гл. 12. Они будут включать, очевидно, и нормальные процессы с конечными вторыми спектральными моментами из гл. 8. Эти последние процессы можно трактовать как частные случаи общих процессов с конечными интенсивностями выходов — классом, который будет рассматриваться в следующем разделе.
Предположим теперь, что | (/) — стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией (12.1.1), т. е.
г (т) = 1 — С|т|“ф-о(|т|а) при т->0,(13.4.1)
где 0< а < 2. Заново сформулируем основной результат теоремы 12.3.4.
Теорема 12.3.4. Пусть £ (/) — стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией г (т), для которой выполняется (13.4.1) и
(13.4.2)(13.4.2)г (/) 1п / ->- 0 при t -► оо.
(13.4.2)
(13.4.2)
Если и = иТ -► оо, р = р (и) = Cx!aHau2la^ (u)/u (//а определено в теореме 12.2.9) и Тр (ит) -► т, то Р {Af (7) <; и\ -► егТ при Т -► оо.
Доказательство, использующее общую теорию. Положим ip (и) = = р (и), так что Tip (и^ -► т. Теорема 12.2.9 сразу показывает, что выполняется (13.1.9) (для всех К > 0). Определим qa (и) = = ат7!а и заметим, что, согласно (12.2.19), имеет место (13.1.10). Искомый результат будет немедленно следовать отсюда, если показать, что оба условия С (и^, С' (иг) выполняются относительно семейства \qa (н)} для каждого а > 0.
Известным уже образом легко убедиться в справедливости условия С (иту Действительно, согласно следствию 4.2.2, левая часть (13.1.4) (с qa (и) вместо q (и), и = иг) не превосходит значения
я£2№ s/)lexp{ i + |r(0_S/)| )’ i=i /=i
которое мажорируется величиной
и»i + k№)|и»i + k№)|2 lr(^)lexp{
и»
i + k№)|
и»
i + k№)|
стремящейся, в силу леммы 12.3.1, к нулю для каждой последовательности {</} = |<7О} при фиксированном а. Если мы отождествим это выражение с аг, v, то соотношение (13.1.5) выполняется почти тривиально, поскольку аг, Хг С ат, v для любого фиксированного у, когда XT > у.
Условие С' (ит) столь же просто вытекает из следствия 4.2.4, которое дает
|PU(0)>«. Н/9)>“1-(1-фМ)а1<
^/drG^lexpj—i^-^p},
так что
U1’ +!'(/?) IU1’ +!'(/?) I-L 2 P\t,^>u, ^^>и\< h<jq<£T
U1
’ +!'(/?) I
U1
’ +!'(/?) I
4h<jq<»T'
Второе слагаемое стремится к нулю при Т ->- со снова по лемме
12.3.1. Первое слагаемое асимптотически эквивалентно
еТ1 (<р (и))2ет2
в силу определений q и ф (и) и того обстоятельства, что Гф (и) -> т. Поскольку ет2/о2 0 для каждого фиксированного а при е 0, отсюда вытекает С' (ит). □
Заметим, наконец, что «двойное экспоненциальное предельное распределение» для максимума М (Т) (теорема 12.3.5) следует точно так же, как и прежде, из теоремы 12.3.4.
Процессы с конечными интенсивностями выходов
Мы покажем теперь, как некоторые из условий, нужных для общей теории, можно упростить, если среднее число р (и) выходов за каждый уровень и в единицу времени конечно. Сюда включаются частные случаи нормальных процессов с конечными вторыми спектральными моментами, уже охваченные в гл. 8, но, разумеется, не включаются «недифференцируемые» процессы ccz< < 2.
В дополнение к обозначениям настоящей главы мы используем обозначения гл. 7 и предполагаем, что р = р (ы) = = Е (Nu (1)) < оо для каждого значения и. Обозначим, как и в (7.2.1), для q > 0
IM- ^W^U,n .(135|)
Ясно, что
(u) <-<-— p, (13.5.2)
и из леммы 7.2.2 (iii) следует, что
Jq (и) р при <7 -* 0(13.5.3)
для каждого фиксированного и.
В нормальном случае мы видели (лемма 7.3.1), что Jq (и) ~ ~ р (и), если q -* 0 таким образом, что uq -► 0. Здесь мы воспользуемся вариантом этого свойства, предполагая по необходимости, что для каждого а > 0 существуют такие константы Ча (“). qa (“)0 ПРИ и СО, ЧТО
lim inf > va,(13.5.4)
где qa = qa (u), р = p (u) и vo -► 1 при о ->- 0. (Как указывается ниже, легко проверить, что это верно в случае, если процесс § (/) нормальный, когда мы можем взять qa (и) = а/и.)
Мы будем предполагать по необходимости, что
Р {£ (0) > и) = о (р (и)) при ын-ос.(13.5.5)
Это условие, очевидно, выполняется в нормальном случае. Однако, более общим образом, оно, как нетрудно убедиться, выполнено и тогда, когда, например, для некоторого q = q (u) ->- 0 при н -> ОО
sun Р^<°)>м- 5(?)>и}с
Действительно, из (13.5.6) вытекает, что lim inf(/Jg MIP {g (0) > > u} > 0, откуда следует, что Р {£ (0) > u\/Jq (и) ->- 0, и поэтому (13.5.5) выполняется, так как Jq (и) <^ р (и).
Условия (13.1.8) и (13.1.9) мы можем выразить теперь в другом виде, используя функцию р (и) и отождествляя ее с ф (и).
Лемма 13.5.1. (i) Предположим, что р (и) < оо для каждого и и что выполнено условие (13.5.5) (или достаточное условие (13.5.6). Тогда (13.1.8) выполняется с ф (и) = р (и).
(п) Если (13.5.4) выполняется для некоторого семейства \qa (и)}, то выполняется и (13.1.11) с ф (и) = р (и).
Доказательство. Поскольку очевидно, что
РуИ(Н)>иКРМ>№№>«№^^^
то из (13.5.5) сразу следует (13.1.8), что и доказывает (1).
Далее, если выполнено (13.5.4), то (с q = qa (u), р = р (и)) ?№<“. £(»)<“- М^>и\ =
= ?№)<«, M^>u\-P^(0)<u<^(q')\<
<P\Nu(q)>l\ —qJq(uXpq — v.qva(\ +о(1)),
так что
lim sup«—►соlim sup«—►соP{U0)<“. IW^u, M(q)>u] <1 _vP{U0)<“. IW^u, M(q)>u] <1 _v
lim sup
«—►со
lim sup
«—►со
P{U0)<“. IW^u, M(q)>u] <1 _v
P{U0)<“. IW^u, M(q)>u] <1 _v
□□
□
□
что стремится к нулю при а -> 0, давая (13.1.11).
Ввиду этой леммы, теорема об экстремальных типах применима теперь к процессам такого рода с использованием более просто проверяемых условий (13.5.4) и (13.5.5).
Теорема 13.5.2. Теорема 13.1.5 сохраняет силу для стационарного процесса (£ (01 с ф(и) = р(и)< ос для каждого и, если условия (13.1.6) и (13.1.10) заменить условиями (13.5.4) и (13.5.5) (или (13.5.4) и (13.5.6)).
Доказательство. Согласно части (1) предыдущей леммы, условие (13.5.5) (или достаточное для его выполнения условие (13.5.6)) влечет за собой выполнение условия (13.1.8), а следовательно, обоих условий (13.1.6) и (13.1.7). С другой стороны, часть (и) этой леммы показывает, что из (13.5.4) вытекает условие (13.1.11), которое вместе с (13.1.7), в силу леммы 13.1.3 (Hi), гарантирует выполнение (13.1.10).□
Условие (13.1.10) появляется также и в теореме 13.2.3, и его, очевидно, там можно заменить условием (13.5.4), поскольку (13.1.7) вытекает из условия (13.1.9), которое предполагается выполненным в этой теореме.
Отметим, наконец, что, в то время как условия (13.5.5) и (13.5.6) особенно удобны для получения (13.1.8) (лемма 13.5.1 (1)), проверка условия (13.1.9) требует еще получения соотношения
11Ш inf — >- 1 ДЛЯ 0 << Л << Ло.
Последнее, разумеется, выполняется для всех нормальных процессов, охватываемых теоремой 12.2.9 с а = 2. В случае а — 2 существует ряд независимых более простых выводов этого результата, один из которых проводится по типу сравнения с «косинус-процессом» в гл. 7. Фактическое сравнение, там использованное, приводит к более слабому результату, который тем не менее достаточен для построения применявшимися методами желаемой предельной теории.
Пуассоновская сходимость выходов
В гл. 9 было показано, что выходы нормального процесса £ (/) за один или несколько высоких уровней принимают при соответствующих условиях пуассоновский характер. В частности, предполагалось, что ковариационная функция г (t) процесса | (/) удовлетворяет (8.1.1), так что ожидаемое число выходов в единицу времени, р = Е (Nu (1)), конечно.
Соответствующие результаты можно получить и для е-выходов нормальных процессов, когда г (f) удовлетворяет условию (13.4.1) с а < 2. Доказательство этого для случая единственного уровня указано в гл. 12 (теорема 12.4.2).
В случае общих стационарных процессов те же самые результаты можно доказать при условиях, используемых в настоящей главе, включающих условия С, С'. И снова, если р = Е (Nu (1)) < < оо, то соответствующие результаты применимы к действительным выходам, а если р = оо, то они применимы к е-выходам. Мы сформулируем и кратко укажем доказательство конкретной теоремы для единственного уровня, когда р< оо.
Как и в предыдущих исследованиях, рассматриваем период времени Т и уровень ит, возрастающие таким образом, что Тр т > 0 (р = р («г)), и определяем нормализованный точечный процесс выходов соотношением
Nt (В) = N„T (ТВ), (N*T (t) = N„T (tT))
для каждого интервала (или более общего борелевского множества) В, так что, в частности,
E(NH1)) = E(NUt(T)) = ^T-+t.
Это показывает, что «интенсивность» (т. е. среднее число событий в единицу времени) нормализованного точечного процесса выходов сходится к т. Наша задача — показать, что точечный процесс выходов действительно сходится по распределению к пуассоновскому процессу, имеющему интенсивность т.
Вывод этого результата базируется на следующих двух обобщениях теоремы 13.2.3, в доказательствах которых используются рассуждения, аналогичные тем, на которых строилось доказательство теоремы 13.2.3 и которые приводились в гл. 9. Теорема 13.6.1. Если в условиях теоремы 13.2.3 0< 6< 1 и рТ -> т, то
Р {М(еТ)^ит\-^е^ при Т-^со. (13.6.1)
Теорема 13.6.2. Если /ъ /27Г — непересекающиеся подынтервалы в [0, 11 и 7? = Т1,- = {/; t/T € Jj\, то при выполнении условий теоремы 13.2.3 и при рТ -* т имеем
р( П \М(П)^иТ\\-11Р\М(П)<иТ\-+0,(13.6.2)
\/=i7/=1
так что по теореме 13.6.1
Р ( П |М (7/Хиг))-*ехр (—т 2 6/),(13.6.3)
\/=1/\ /=1 /
где Qj — длина интервала Ij, \ <, j^r.
Теперь уже относительно просто показать, что точечный процесс Nt сходится (в смысле слабой сходимости) к пуассоновскому процессу N, имеющему интенсивность т.
Теорема 13.6.3. Если в условиях теоремы 13.2.3 Тр->т, где р = р (ит), то семейство Nt нормализованных точечных процессов выходов за ит на единичном интервале сходится по распределению при Т со к пуассоновскому процессу N, имеющему интенсивность т.
Доказательство. Опять по теореме П.1 достаточно доказать, что (i) Е (Nt ((с, d])) Е (N ((с, d])) = т (d — с) при Т оо для всех с, d, 0<c<d<l, и
(ii) Р \Nf (В) = 0} -> Р {^ (5) = 0} при Т оо для всех мно-
Г
жеств В вида (J В3, где г — любое целое число, а В3 — непересека-
ющиеся интервалы (с,, dj] а (0, 11.
Часть (i) следует тривиальным образом из того, что
Е (Nj ((с, d])) = рТ (d — с) т (d — с).
Для получения (ii) заметим, что
0 < Р \N} (В) = 0} - Р (ТВ) < ит\ =
= Р \NU (ТВ) = 0, М (ТВ) >итКЕв №) > ит}, /=1
г
поскольку если максимум в ТВ = (J (Тс3, Td3] превосходит иг, i=i
но в этих интервалах нет выходов за ит, то | (f) должен превосходить ит в начальной точке хотя бы одного из”этих интервалов. Таким образом, последняя сумма просто не более
гР^(0)>ит\^0
при Т оо. Отсюда
р [N} (В) = 0} - Р\М(ТВ) < ит\-^0.
Но Р {М (ТВ) ит\ = Р\ П {М (ТВ3)< нтН ->- ехр { —т 5(d, — — Cj)| в силу теоремы 13.6.2, что дает (ii), поскольку Р {М (В) = = 0} = ехр {—т 5 (dj — с,)}.□
Следствие 13.6.4. Если В3 — непересекающиеся (борелевскиё) подмножества^ единичного интервала и если граница каждого В3 имеет нулевую меру Лебега, то
Г
Р \Nt (В,) = п, К/ < г} -* П ехр (-гт (В3)[ J™^»5" ,
где т (Bj) обозначает меру Лебега множества В3.
Доказательство. Это утверждение есть непосредственное следствие доказанной полной сходимости распределений (см. приложение).
Указанные выше результаты касаются сходимости точечных процессов выходов за иТ к пуассоновскому процессу на единичном интервале. Небольшая модификация, требующая выполнения
условий С и С' для всех семейств ыег вместо ит для всех 0>О, дает возможность доказать соответствующий результат для выходов на всей положительной полуоси, но мы не пойдем по этому пути. Вместо этого мы покажем, как теорема 13.6.3 приводит к асимптотическому распределению k-vo наибольшего локального максимума в (0, 7J.
Предположим, далее, что | (/) имеет непрерывную производную п. н. и (см. гл. 7 и 9) определим N’u (7) как число таких локальных максимумов в интервале (0, 7], для которых значение процесса превосходит и, т. е. число таких точек входов под нулевой уровень производной £' в (0, Т ], что £ (/) > и. Очевидно, N'u (7) Nu (7) — 1, поскольку между двумя выходами имеется хотя бы один локальный максимум. Разумно также ожидать, что если поведение выборочной функции не отличается большой нерегулярностью, то должна проявляться тенденция появления между большинством последовательных выходов за высокий уровень и ровно одного локального максимума над уровнем и, так что N'u (7) и Nu (7) будут стремиться к приблизительному равенству. Следующий результат уточняет сказанное.
Теорема 13.6.5. Пусть в прежних обозначениях {иг} — такие константы, что Р {£ (0) > иг\ -> 0 и 7р (= 7р (иТ^ -> т > 0 при Т -> оо. Предположим, что Е (N'u (1)) конечно для каждого и и что Е (N’u (1)) ~ р (й) при и -► оо. Тогда, обозначая ит = и, имеем Е (| N'u (7) — Nu (Й) |) -* 0. Если выполнены также и условия теоремы 13.6.3 (так что Р \NU (7) = г\ -> е-ЧУ/г!), то Р \Nи (Т) = г| -> етхтг[г\.
Доказательство. Как указывалось выше, N'u (7) >- Nu (Т) — 1. Кроме того, если N'u (7) = Nu (Т) — 1, то | (7) > и. Поэтому
Е (| N'u (7) - N„ (7)|) = Е (N'u (7) - Nu (7)) +
+ 2P\N'u(T) = Nu(T^-\\<TE(N^-ViT + 2P\UT)^ что стремится к нулю при 7 -► оо, поскольку Р {£ (7) > ит\ = = Р {I (0) > ит\ - 0 и ТЕ (NuT (1)) - И7 = И7 ((1 + о (1)) - — 1) -* 0. Таким образом, получаем первую часть теоремы. Вторая часть вытекает теперь непосредственно из того, что целозначная с. в. N'u (Т) — Nu (7) сходится по вероятности к нулю. Это приводит к Р \N'u (Т) ^ Nu (7)} -> 0, и отсюда Р \N'U (Т) = = г| — Р \NU (7) = г} -> 0 для каждого г. □
Будем использовать теперь обозначение MW (Т) для к-го наибольшего локального максимума в интервале (0, 7). Поскольку события {ЛН*’ (7) ^ и|, \N'U (7) < к\ равносильны, мы получаем
Следствие 13.6.6. В условиях теоремы
$=о
В качестве еще одного следствия дадим выражение предельного распределения для М^ (Т) через предельное распределение для М (Т).
Следствие 13.6.7. Предположим, что Р {аг (М (Т) — Ьт) ^ -^ х} -* G (х) и что условия теоремы 13.2.3 выполняются с иТ = = х1аг + Ьтдля каждого вещественного х (и гр = р.). Предположим также, что Е (N'u (1)) ~ £ ^Nu (1)) при и -► оо. Тогда
Р {аТ (M(k) (Т) -bT)<x}-^G(л) V Ж<, (13.6.4)
s=0
если G (х) > 0 (н правая часть равна нулю, если G (х) = 0).
Доказательство. Утверждение вытекает из следствия 13.6.6 с G (х) = г\ поскольку из теоремы 13.2.3 следует, что Тр -► т. □
Отметим, что по лемме 9.5.1 (1) для стационарного нормального процесса, имеющего конечные второй и четвертый спектральные моменты, Е (N’u (1)) ~ р, так что применимы теорема 13.6.5 и следствия из нее.
Соотношение (13.6.4) дает асимптотическое распределение 6-го наибольшего локального максимума MW (Т) Как следствие из теоремы 13.6.5. Далее, очевидно, можно обобщить теорему 13.6.5 таким образом, чтобы получить «полную пуассоновскую сходимость» для точечного процесса локальных максимумов, имеющих высоту больше и. В действительности можно также обобщить теорему 9.5.2 и получить совместные распределения высот и положений локальных максимумов в этой общей ситуации.
Интерпретация функции ф («)
Использовавшаяся на протяжении всей главы функция ф (н) описывает хвост распределения максимума М (А) в фиксированном интервале значений h в смысле (13.1.9), т. е.
Р {М (А) > и} ~ Аф (н) для 0 < h < h0.
Мы видели, что ф может быть вычислена для частных случаев: как ф (и) = ц (и) — для процессов с конечной интенсивностью выходов ц (и) и как
Ф (н) = К<р (и) н(2/а)-1
— для нормальных процессов, удовлетворяющих (13.4.1).
Берман (1982а) рассмотрел недавно другой общий метод получения функции ф (или по крайней мере многих из ее свойств), основанный на асимптотическом распределении суммарного времени, проведенного над высоким уровнем.
Конкретно Берман рассматривает время Lt (и), которое стационарный процесс проводит над уровнем и в интервале (0, (), и доказывает в качестве основного результата, что
। j Р V«Lt (и) >)Q р, . .
во всех точках х > 0 непрерывности Г' (при заданных условиях). Здесь и = и (и) — некоторая функция от и, Г (х) — абсолютно непрерывная невозрастающая функция с плотностью Г', t фиксировано.
Хотя этот результат и неприменим непосредственно при х = 0, он может быть обобщен таким образом, чтобы его можно было применить и в этом случае. Он приводит в силу равносильности событий \М (/) > и\, \Lt (и) > 0} к соотношению
Р {М (0 > и I - - Г' (0) Е (uLt («)) = —Г' (0) vt (1 - F («)),
в котором F — маргинальная ф. р. процесса, поскольку легко показать, что Е (Lt (и)) = t (1 — F (н)). Поэтому мы можем (при сформулированном условии) получить ф как
Ф (ы) = -г' (0) и (и) (1 - F (и)).
В этом подходе требуется, чтобы ф. р. имела такой вид, при котором она принадлежит области притяжения предельного распределения экстремального значения типа I. Отсюда следует (хотя и не непосредственно), что М (А) имеет предел типа I, так что (например, из теории этой главы) и предельное распределение для М (Т) при Т ->- сю должно (при соответствующих условиях) иметь тип I. Тем не менее при таком подходе охватывается целый ряд важных случаев, включая стационарные нормальные процессы, некоторые марковские процессы и так называемые %2-про- цессы. Кроме того, этот подход значительно проясняет основные понятия, определяющие экстремальные свойства.
ЧАСТЬ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Значительная часть этой книги была посвящена тому, чтобы показать, что классическая теория экстремальных значений остается применимой (при определенных общих условиях) и к целому ряду зависимых последовательностей и процессов с непрерывным параметром. Заманчиво в качестве приложений привести примеры, которые наглядно демонстрируют, как классические экстремальные распределения применяются к таким зависимым ситуациям. Мы сделали это только в ограниченной степени по двум причинам. Во-первых, литература изобилует приложениями классической теории, и многие из них являются в действительности зависимыми случаями, хотя и предполагаются независимыми. Более важно, однако, то соображение, что в каждом потенциальном приложении должна быть ясна, насколько это возможно, его физическая суть с тем, чтобы теория экстремальных значений обдуманно применялась именно в этом вполне определенном смысле, а не подбиралась рутинным методом «проб и ошибок».
Наш подход в этой части поэтому состоит в том, чтобы в первую очередь включить приложения, которые, на наш взгляд, выигрывают от обсуждения их физического смысла, лишь иногда умеренно обобщать теорию и указывать, где могут возникать трудности. Для более полного ознакомления с материалом относительно подбора распределений экстремумов при классических предположениях мы отсылаем читателя к соответствующей литературе, например к книге Гумбеля (1958). Работа Хартера (1978) содержит исчерпывающий перечень источников.
Глава 14
Теория экстремальных значений и прочность материалов
Распределения экстремальных значений нашли широкое применение для описания прочности материалов и механических конструкций, часто в сочетании со стохастическими моделями для
нагрузок и усилий, действующих на материал. Так, часто предполагается, что максимум нескольких нагрузок следует одному из распределений экстремальных значений для максимумов. Более важно и в то же время менее очевидно, что прочность образца материала, такого, как полоска бумаги или стеклянное волокно, иногда определяется прочностью его слабейшей части, и поэтому следует тогда одному из распределений экстремальных значений для минимума. Большинство работ, основанных на этом так называемом принципе слабейшего звена, было направлено на исследование влияния размеров 11 в испытании материалов. Под этим мы подразумеваем то эмпирическое наблюдение, что прочность образца материала изменяется с его размерами в отношении, которое определяется типом данного материала и геометрической формой образца. Первая попытка построения соответствующей статической теории была сделана более столетия тому назад Чаплином (1880, 1882); см. также Либлейн (1954) и Хартер (1977).
Характеризации распределений экстремальных значений
Здесь мы сформулируем и обсудим некоторые точные условия, при которых распределения экстремальных значений могут появляться в качестве распределений прочности материала, а также представим некоторые иллюстративные примеры.
Предположим, что образец материала, такой, как стекловолокно или стальной стержень, подвергается растяжению и что он разрывается, если натяжение превышает собственную прочность материала. Опытным путем было установлено, что разрывное усилие изменяется от одного образца к другому случайным образом, но его распределение зависит от размера образца довольно регулярным образом.
Пусть |l — случайная прочность образца материала L, имеющего длину /, и предположим, что этот образец можно разделить, по крайней мере гипотетически, на меньшие куски LT, .... Lp с произвольными длинами 1Ъ ..., 1п и со (случайными) прочностями |l , ■■■, BLn соответственно. Мы говорим, что материал стохастически
хрупкий, если Bl = min (Blj, .... 1l^,
однородный, если маргинальные распределения с. в. Вь , ■■■• Bl зависят только от /ъ .... /п,
(in) несвязанный, если с. в. 1^, ..., ^[_п независимы для всех непересекающихся подразбиений Lv .... Ln для L.
и В литературе по теоретической механике более принят термин «масштабные эффекты», который для нас в этом контексте неприемлем. — Прим. ред.
Среди этих свойств (п) и (iii) имеют чисто статистический характер, тогда как (i) зависит от механизма, вызывающего разрушение. Все свойства имеют определенный физический смысл, и всякий конкретный материал может, по крайней мере приближенно, обладать одним или более из этих свойств. Позднее мы обсудим, к чему приводит ослабление отдельных требований, и увидим, сколь глубоко представленная теория может описывать свойства нехрупких, неоднородных и слабо связанных материалов.
Предположим, что материал удовлетворяет условиям (i)—(iii), и пусть Ft (х) — (невырожденная) ф. р. прочности образца длины /. Тогда
1 —(х) = (1 — ^./„(Х))”.(14.1.1)
Далее, любая ф. р. Fy (х) удовлетворяет (14.1.1) для некоторой ф. р. Fi/n (х), например для F\;n (х) = 1 — (1 — Fx (х))*/", поэтому, чтобы получить простую структуру, мы должны ввести дополнительное ограничение на материал.
Материал называется стохастически
(iv) устойчивым относительно размера, если распределение с. в. Вь имеет один и тот же тип независимо от длины I, т. е. существуют такие константы at > 0, 6t и ф. р. F, что Ft (х) = = F (at (х — Ь^). Это специально вводимое понятие, но оно часто используется в таком контексте, поскольку приводит к существенным математическим упрощениям. В отличие от свойств (i)—(iii) оно не имеет строгого физического смысла, однако иногда оправдывается тем интуитивно привлекательным соображением, что наиболее простая модель является также и наиболее реалистической в физическом смысле.
Для устойчивого относительно размера материала
Fi/n (*) = Ft (апх + рп),
где ап = ai/naV, ₽n = ^i — апЬ1/п, так что в соответствии с (14.1.1)
1 -^(х) = (1 -^(«„х + М"-(14.1.2)
Таким образом, ф. р. Ft устойчива относительно минимума, и, следовательно, по теореме 1.8.4 в качестве ф. р. F может быть взята функция одного из следующих трех типов:
Тип I:F (х) = 1 — ехр (—е*), —оо<х<оо,
Тип II:
( 1 — ехр (— (—х)"“), для некоторого а > О, х < О, fW = llх>0,
Тип III:
1°Х<0'
I 1 — ехр (—ха), для некоторого а > 0, х > 0.
Рнс. 14.1.1. Эмпирическое распределение 100 значений предела текучести и подогнанная ф. р. Вейбулла 1—ехр (—{а (х— х0)|а) с а = 0.011, х0= 463, а = 2.7.
Таким образом, распределения прочности для материалов, удовлетворяющих условиям (i)—(iv), являются распределениями какого-нибудь из трех экстремальных типов для минимума. Если, кроме того, масштаб измерений таков, что измеренная прочность cL ограничена снизу, cL ^ хо для некоторого х0 £ € (—оо, оо), то единственно возможным является распределение типа III (или распределение Вейбулла) с параметром положения х0 и общим параметром масштаба, т. е.
F (х) = 1 — ехр {— (а(х — х0))а|, х>х0, (14.1.3) для некоторой постоянной а > 0. Часто х0 = 0 является естественным выбором, выражающим тот факт, что прочность не может быть отрицательной. Однако даже в тех случаях, когда прочность обязана быть положительной, может оказаться более предпочтительным использовать какой-нибудь из других типов, например двойной экспоненциальный,
F (х) = 1 — ехр |—га(х-Ь)}, —оо<х<оо, (14.1.4)
поскольку если параметр положения 6 велик, то вероятность того, что значение х окажется меньше априори заданной нижней границы, пренебрежимо мала. Если (14.1.4) дает лучшее согласие с наблюдениями, чем (14.1.3) в значительной области изменения х, то не обязательно предпочитать (14.1.3). Тем не менее необходимо проявлять большую осторожность в случае, когда целью анализа является предсказание очень низких значений. Это показывает следующий пример.
Пример 14.1.1 (предел текучести высокопрочной стали). Образцы высокопрочной стали специального назначения были испытаны на предел текучести. Выборки брались из всей продукции конкретного производителя за период в два года (1975 и 1976). Эмпирическое распределение 100 наблюдаемых значений предела текучести нанесено на нестандартной вейбулловской вероятностной бумаге на рис. 14.1.1 вместе с подогнанным распределением Вейбулла
(—In (1 — F (х))),/а = а (х — х0), х > х0,
с а = 2.7, х0 = 463 МПа (МПа = мегапаскаль = 10е ньютон/м2). Здесь наблюдается хорошее согласие с распределением Вейбулла в полном соответствии с теорией. Может даже возникнуть соблазн использовать х0 = 463 МПа в качестве истинного нижнего предела прочности и предсказывать частоту появления низких значений прочности, пользуясь этой функцией распределения.
Например, поскольку 0.1-процентная точка подогнанного распределения равна 470 МПа, то представляется, что лишь для одного из 1000 испытываемых образцов прочность окажется меньшей, чем 470 МПа.
Однако рис. 14.1.2 показывает наблюдаемое распределение прочности в выборке объема 6262 образцов, в которой до 25 образцов имеют прочность меньшую, чем 470 МПа, а 12 образцов имеют прочность даже меньшую, чем 460 МПа. Следовательно, явно великолепное согласие с распределением Вейбулла, полученное по 100 образцам в центральной части области изменения, не распространяется по некоторым причинам на хвосты. Одним из возможных объяснений указанного расхождения между поведением на хвосте и в центральной части распределения может быть то, что рис. 14.1.1 описывает изменчивость в материале при некоторых нормальных условиях производства, в то время как чрезвычайно низкие значения прочности на рис. 14.1.2 вызваны какими-то грубыми воздействиями, такими как неправильная классификация продукта производства или внешние помехи производству.
Независимо от способа объяснения этот пример указывает на необходимость значительной осторожности при экстраполяции
99.999.999.098.09S.090.080.070.060.050.040.030.020.099.098.09S.090.080.070.060.050.040.030.020.010.010.05.02.01.00.15.02.01.00.1300400500600700
99.9
99.9
99.0
98.0
9S.0
90.0
80.0
70.0
60.0
50.0
40.0
30.0
20.0
99.0
98.0
9S.0
90.0
80.0
70.0
60.0
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
10.0
5.0
2.0
1.0
0.1
5.0
2.0
1.0
0.1
Предел текучести, МПа
800800Рис. 14.1.2. Эмпирическое распределение 6262 значений предела текучести.
800
800
В выбранном масштабе ф. р. типа III (Вейбулла) представляется прямой линией.
из области нормальной изменчивости в область весьма далеких значений, даже в тех случаях, когда теория и наблюдения кажутся на первый взгляд находящимися в согласии.
Описание представленных выше данных можно найти в работе Эфвербека и Эстберга (1977) вместе с обсуждением влияния грубых ошибок на конструкционную сталь.
Влияние размеров на распределения экстремальных значений
Условия (1)—(iii), введенные в разд. 14.1, утверждают, что прочность образца материала определяется его слабейшими точками, имеющими случайную прочность и разбросанными внутри материала случайным образом. В совокупности с условием устойчи-
вости (iv) это ведет к характеризации возможных распределений прочности как трех типов экстремальных распределений для минимумов. Простым следствием этих условий является то, что прочность убывает определенным образом с возрастанием размера испытуемого образца. Мы приведем здесь иллюстрирующий это пример, а также покажем, как на основании наблюдаемого отклонения от соответствующего простого закона убывания можно делать предположения о возможном нарушении одного или обоих условий (ii) и (iii). Хартер (1977) приводит широкое обсуждение литературы по масштабным эффектам, начиная с самых ранних лет. Библиографическая часть работы Хартера опубликована отдельно, см. Хартер (1978).
Если выполнены условия (1)—(iv), то ф. р. Ft (х) прочности образца длины / есть
Fz(x)= 1 -(1 -F^x))1 = F(al(x-bl)). (14.2.1)
Таким образом, поскольку Ft устойчива относительно минимума, нетрудно получить соотношение между размером / и параметрами распределения, такими, как средняя прочность и стандартное отклонение.
[^ Например, если F (х) = 1 — ехр (—е*) и обозначить а = = а„ b = Ьъ то F, (х) = 1 — ехр (—е° <х-ь^) является двойным экспоненциальным распределением с параметрами масштаба и положения а-1 и Ь, и тогда
Ft (х) = 1 — ехр (—е° (*-ь+а-1 >п<>)f
так что Ft (х) является двойным экспоненциальным распределением с параметрами
at = а,
bt = b — a-1 In I.
Отсюда мы можем найти влияние размера на другие параметры, такие, как средняя прочность mt и стандартное отклонение а(. Поскольку в стандартизированном случае с а = 1, b = 0 эти параметры равны тх = —у (где у — постоянная Эйлера, равная приближенно 0,577) и О] = л/> 6, то в общем случае
mt = b — а-1 (у 4- In 1),ог = cr'iilV^.
Подобные вычисления могут быть выполнены и для распределений типа II и типа III. В табл. 14.2.1 приведены выражения для параметров положения и масштаба, а также для среднего и стандартного отклонения как функций от длины / испытываемого образцу
(выраженных с помощью гамма-функции Г (а) = J xa~le~xdx). о
Для полноты в таблицу включены все три типа распределений, хотя ф. р. типа III обычно не используются в качестве распределения прочности.
Пример 14.2.1 (влияние размера на прочность бумажных полос). Бумажная полоса разрывается, если она подвергается растяжению, превосходящему прочность в ее слабейшей точке. Мы рассмотрим здесь среднюю прочность бумажных полос (постоянной ширины), имеющих длину, изменяющуюся от 8 см до 10 м.
Если эксперимент выполняется несколько раз с полосами различной длины, то можно проверить согласие распределений экстремальных значений с предсказанной зависимостью средней прочности mt от длины /. Рисунки 14.2.1 и 14.2.2 показывают наблюдаемые средние значения (измеренные в единицах кН (килоньютон) на метр ширины бумаги), полученные в экспериментах с бумажными полосами ширины 5 см, вычерченные в двух различных масштабах, выбранных таким образом, что и распределение типа I (рис. 14.2.1) и распределение типа II (рис. 14.2.2) должны давать для mt прямую линию.
Таблица 14.2.1
Тип I (двойное экспоненциальное F (х) = 1 — ехр (—е*))
Ft (х) = F (сц (х — 6t)) = 1 — ехр (—е° Vx-b+a-* 1п ')) at = а
bi= b — a-1 In I
mi= b — а-1 (у + In Z)
Oj = crxn /6
Тип II (F (x) = 1 — exp (—(—x)-"),x <0)
Ft (x) = F (at (x — 6t)) = 1 — exp (—/ (—a (x — x0))“a, x < x0
a, = arx!a bt = b= x0
mi = x0 — Z1/aa-1 Г (1 — 1/a) (если a > 1)
о, = Iх ^a^ (Г (1 — 2/a) — Г2 (1 — 1/a)}1/2 (если a > 2)
Тип Ш (распределение Вейбулла F (х) = 1 — ехр (—ха), х > 0)
Ft (х) = F (at (х — bj)) = 1 — ехр (—Z (а (х — х0))а), х > х0
а; = aZ1/a
b; = b = х0
mi = х0+ Z-’/aa-‘r (1 + 1/a)
о, = Гх'аа"х {Г (1 + 2/а) — Г2 (1 + 1/а)},/2
Рис. 14.2.1. Средняя прочность на разрыв бумажных полос переменной длины. В выбранном масштабе распределения типа I представляются прямыми линиями.
Длина, я
Рис. 14.2.2. Средняя прочность на разрыв бумажных полос переменной длины. В выбранном масштабе распределения типа III представляются прямыми линиями.
Испытывались два типа бумаги различного качества, причем для одного из них были проведены три серии экспериментов. Как видно из диаграмм, средняя прочность явно убывает с увеличением длины. Однако по этим наблюдениям нельзя убедительно сказать о том, какое именно распределение наилучшим образом согласуется с ними. Мы признательны доктору Бенту Холлбергу и Шведской акционерной компании Svenska Cellulose Aktiebolaget, SCA, за возможность использования этих данных. □
Указанную теорию не составит труда обобщить на случай более чем одного измерения и описать влияние площади и объема на прочность материалов.
Кратко рассмотрим теперь возможность обращения с нехрупкими, неоднородными и (или) слабо связанными материалами, для которых не выполняется какое-либо или несколько из условий (i)—(iii). Как упоминалось ранее, условие устойчивости относительно размера (iv) нельзя отбросить полностью, поскольку тогда было бы применимо любое распределение прочности.
Если материал (стохастически) не хрупок, то его прочность в целом не равна прочности его слабейшей точки.
В этом случае возможен ряд различных моделей прочности. Если бы, например, в пучке параллельных волокон суммарная нагрузка была распределена между отдельными волокнами пропорционально их индивидуальным прочностям, то результирующая прочность была равна сумме прочностей волокон, что приводит к нормальному распределению результирующей прочности со средним, пропорциональным числу волокон. К асимптотически нормальному распределению для результирующей прочности приводит также ситуация, в которой суммарная нагрузка распределяется равномерно между оставшимися, неразрушив- шимися частями материала и разрушение этих частей происходит, когда их прочность оказывается меньшей, чем приходящаяся на их долю часть общей нагрузки; см., например, Смит (1980) и указанную там литературу.
В стохастически неоднородном материале распределение прочности малого образца материала изменяется с его положением. Однако если выполнены условия (i), (iii) и (iv), то при достаточно естественных условиях на неоднородность еще можно получить одно из экстремальных значений. Один простой тип неоднородности получается, когда размер материала выражается не как физическое его измерение, а посредством интеграла от положительной функции локального размера, как будет сейчас описано.
Пусть X (х), х € L, — неотрицательная интегрируемая функция, и для Lj с £ определим
/г= Jx(x)dx.(14.2.2)
п
Пусть Lb i = 1, .... п, — непересекающиеся части L, (J Lt = L, и, как и прежде, 5^, ..., £tn обозначают прочности отдельных образцов.
Материал называется стохастически
(if) неоднородным, с функцией размера К, если маргинальные распределения с. в. g^, ..., 5ьп зависят только от величин
1Х, .... 1^, определенных соотношением (14.2.2).
Предположим теперь, что материал удовлетворяет условиям (1), (ii'), (iii), (iv), и пусть Ft (х) — ф. р. прочности образца L с
/ = J X (х) dx.
ь
Тогда легко видеть, что (14.1.4) и (14.1.2) еще остаются в силе, так что Fy (х) устойчива относительно минимума и имеет один из трех экстремальных типов для минимумов. Используя а, b в качестве параметров в Fx (х), мы имеем в вейбулловском и двойном экспоненциальном случаях
Fx (х) = 1 — exp {— (а (х - х0))“), х> х0,
Ь\ (х) = 1 — ехр {—е° (х~ь>)
соответственно.
Отправляясь от указанной функции локального размера К (х), можно легко вывести явные выражения для параметров положения и масштаба в распределении прочности для образца L, имеющего размер / = j X (х) dx, которое равно Fw (х) = Ft (х) = L
= F (сц (х — 6t)) с tzt и Ьь указанными в таблице 14.2.1. Чтобы получить эти выражения, определим функции а (х), b (х) как
а (х) = аХ1,а (х) (Вейбулла),
b (х) = b — a-1 In X (х) (двойное экспоненциальное) (^ "^ и
Л(£) = f Ja(x)“dx\l/a,
L ,(14.2.4)
В (L) = —a-1 In j e-ab (х> dx. L
Мы можем тогда записать ф. р. минимальной прочности £f образца L как
= 1 - ехр {- (Л (L) (х - х0))а},
F^ = 1 - ехр {-еа (-в (£»}('
соответственно. Эти формулы побуждают нас использовать а (х)-1 и b (х) в качестве «локальных» функций масштаба и положения в стандартных моделях экстремумов.
Средняя прочность задается в указанных двух случаях соотношениями
. ро + ^Г* Г (1+ !/«),I —а"1? + В (L).
Наиболее интересное обобщение свойств (i)(iv) с точки зрения, принятой в этой книге, относится к (слабо) связанным материалам, в которых существует зависимость между прочностями отдельных частей материала. Однако это ведет к таким распределениям прочности, которые не обязательно принадлежат какому- нибудь из экстремальных типов для любого конечного испытываемого размера, хотя они могут становится таковыми асимптотически, с возрастанием размера, при естественных условиях, таких как в гл. 13.
Пусть локальные параметры прочности (14.2.3), а (х), х С L или b (х), x^L, являются не детерминированными функциями, а случайными процессами с распределением, зависящим от нерегулярности и степени связанности материала. Тогда A (L) и В (L) в (14.2.4) являются случайными величинами с ф. р., скажем ВА цд и Вв^, и если мы возьмем (14.2.5) в качестве определения условной ф. р. ^L при заданном а (х) или b (х), то
^(L> (х) = 1 — J ехр {— (s (х — х0))“} йВА {L} (s)
S=0
или
K(L)(x)=l- J exp{-ea("-s,}dFB(L)(s).(14.2.6)
соответственно. Кроме того, прочности непересекающихся образцов будут зависимыми через значения процессов а (х) и b (х). Средняя прочность будет равна
Понятие случайной локальной прочности, усредняемой по случайному параметру положения В (L) в ф. р. F<L> (х), заданной соотношением (14.2.6), формально до некоторой степени аналогично «случаю строгой зависимости» для максимумов нормальных последовательностей, изучавшемуся в разд. 6.4 и 6.5, в котором прежде, чем получить двойной экспоненциальный закон, надо было вычесть медленно меняющийся средний уровень; см. формулу (14.2.6) со смешанным двойным экспоненциальным пределом для максимумов в следствии 6.5.2.
Пример 14.2.2. В экспериментах было замечено, что средняя прочность не всегда убывает с возрастанием длины так, как в каком-либо из случаев из таблицы 14.2.1, а может уменьшаться со скоростями, изменяющимися для различных длин. Например, прочность, стекловолокна, по-видимому, убывает более быстро после того, как его длина превзойдет некоторый предел. Неко-
торне авторы, например Меткалф и Смитц (1964), объясняют это, постулируя, что слабые точки таких волокон образуют определенные полустохастическне структуры и что они имеют тенденцию образовывать кластеры с равномерными промежутками между ними. Это можно очевидным образом моделировать с помощью случайных параметров прочности A (L) и В (L), описанных выше. □
Глава 15
Применение экстремумов и пересечений в условиях зависимости
В настоящей главе мы представим некоторые примеры процессов с непрерывным параметром и последовательностей с зависимостью, з которых теорию экстремальных значений можно применить 1ля целей описания или предсказания.
Прежде всего иллюстрируется важное различие между экстремумами для непрерывного и дискретного времени и на некоторых примерах обсуждается пуассоновский характер превышений и выходов. Описательные модели для некоторых физических явлений рассматриваются в связи с областями притяжения, в частности в связи со смесями распределений со случайным параметром масштаба или положения. Важной задачей, идущей следом за многими задачами, связанными с экстремумами, является экстраполирование распределений экстремальных значений на расширяющиеся интервалы (см. обсуждение влияния размера в гл. 14). Это приводит к нескольким статистическим процедурам, связанным с выбором надлежащих нормализующих констант и влиянием нестационарности. Завершает главу обсуждение этих и еще нескольких примеров использования локальных экстремумов для описания случайных волн.
Экстремумы в случае дискретного и непрерывного времени
Многие физические явления представляются непрерывными по своей природе, и математические модели, которые их описывают, естественно формулируются с помощью процессов с непрерывным временем. Что касается экстремальных значений, то во многих случаях основной интерес представляют экстремумы для непре- Vgll Лидбеттер М. и _■ р
рывного времени. Однако большинство статистических наблюдений получается посредством некоторой процедуры квантования, и это приводит к тому очевидному эффекту, что во многих случаях экстремумы становятся менее выраженными. Поскольку и в не-
Рис. 15.1.1. (а) максимальные и (Ь) минимальные зарегистрированные температуры июля в Уппсале. Стрелкой отмечено введение в 1839 г. термометра, регистрирующего максимальную и минимальную температуры в течение суток
прерывном, и в дискретном случаях имеются достаточно полные (асимптотические) теории для экстремумов (по крайней мере для нормальных процессов), то естественный вопрос связан с соотношением между ними. Следующие примеры иллюстрируют некоторые практические последствия различия между дискретными и непрерывными экстремумами.
Пример 15.1.1. (экстремальные температуры). Эксперименты с термометрами и измерениями температуры были начаты в Уппсале (Швеция) около 1712—1713 г. вскоре после того, как Фаренгейт изобрел в 1709 г. свою температурную шкалу. Андерс Цельсий способствовал большему упорядочению этих измерений, и с января 1739 г. имеется почти полная последовательность ежедневных измерений температуры.
В течение первых ста лет этого периода измерения производились лишь три или четыре раза в день, а иногда и через неравномерные интервалы. В 1839 г. стали возможными наблюдения истинных максимумов и минимумов в связи с установкой термометра, фиксирующего максимальную и минимальную температуру. Таким образом, следует ожидать, что для периода с 1739 по 1838 г. наблюдавшиеся максимум и минимум менее выражены, чем для записей, проводившихся с 1839 г. Можно ожидать, что этот эффект особенно велик для минимальной температуры в течение летних месяцев, поскольку наименьшие температуры наблюдаются в этой местности в очень ранние утренние часы, в то время как дискретные измерения обычно производились через несколько часов после восхода солнца. Это иллюстрируется на рис. 15.1.1, который показывает наблюдавшиеся месячные максимумы и минимумы для июля каждого года (кроме нескольких пропущенных лет в 1770-е годы}. Данные состоят из значений Muss, ..., М1838 (и т1739mises), где, например, Mt — максимум дискретного множества июльских температур в i-м году, и из значений ТИ1839Afim (и т1839, ..., т1981), где Mj равно абсолютному (непрерывному) максимуму июля в /-м году. Функции распределения этих данных вычерчены на рис. 15.1.2, где знак О соответствует непрерывным, а X — дискретным записям. Имеется явный сдвиг в сторону более выделяющихся значений с введением упомянутого термометра, что было уже видно, по крайней мере для минимума, по полным временным рядам на рис. 15.1.1. Данные нанесены на двойную экспоненциальную вероятностную бумагу, однако согласие не особенно хорошее и нет убедительной причины, объясняющей, почему так должно получиться. Максимальная температура месяца определяется скорее превалирующими погодными условиями этого месяца, чем какой- нибудь экстремальной погодой, которая может наблюдаться в отдельные месяцы.
99.9
Рис. 15.1.2. Эмпирические ф. р. (а) максимальной и (Ь) минимальной температур июля в Уппсале. Крестики соответствуют дискретным наблюдениям за период 1739—1838 г., а кружки — непрерывным наблюдениям за период 1839—1981 г.
Температурные данные в этом примере были извлечены из оригинальных рукописей Сверкером Хелстромом из Уппсалы, которому мы признательны за разрешение воспользоваться ими. □
Пуассоновские превышения и показательные времена ожиданий
Пуассоновский характер превышений или выходов за высокий уровень и показательные времена ожиданий между последовательными превышениями сочетаются со слабой зависимостью максимумов на соседних интервалах. Это было замечено эмпирическим путем в связи с редкими событиями, возникающими вследствие маловероятных комбинаций безобидных событий, такими, как экстремальные наводнения или штормовые ветры и экстремальные нагрузки в механических конструкциях.
Пример 15.2.1 (большой расход воды в реках). Тодоровиц (1979) получил наблюдаемые частоты для числа N (7) тех из Т дней, в течение которых расход воды в реке Гринбайе (Западная Вирджиния) превышал уровень 17 тысяч кубических футов. Полный период наблюдений составлял 72 года (с 1896 по 1967). Наблюдаемые частоты вместе с теоретическими пуассоновскими вероятностями показаны на рис. 15.2.1 для нескольких значений Т.
Для такого типа рек и такого климата распределение Пуассона дает приемлемое согласие с наблюдаемым распределением. Период между превышениями также велик, и поэтому независимость возможна.
В других зонах, для климата которых характерно чередование дождливых и сухих периодов, превышения могут наблюдаться группами, и тогда они, разумеется, отклоняются от распределения Пуассона. □
Если группы превышений не наблюдаются, то можно использовать аппроксимацию
Р^(Т) = 0|«ехр{—7р(и)|, (15.2.1)
1.0 Г Г = 180 дней1.0 Г Г = 180 днейО 1 2 3 4 5 6 7О 1 2 3 4 5 6 71.0ГТ = 240 дней
1.0 Г Г = 180 дней
1.0 Г Г = 180 дней
О 1 2 3 4 5 6 7
О 1 2 3 4 5 6 7
0.8 -
0.6 -
0 1 2 3 4 5 6 7 80 1 2 3 4 5 6 7 80.4 -
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Рис. 15.2.1. Наблюдаемое (сплошная линия) и подогнанное пуассоновское (пунктирная линия) распределения для количества превышений в интервале Т дней. Данные о разливах из работы Тодоровица (1979).
11 Лидбеттер М. и др.
где р (и) — среднее число превышений уровня и в единицу времени (р (u) = Р {£, > и\, если время дискретно). Другими словами, более подходящие аппроксимации для вероятности отсутствия превышений можно получить, используя интенсивность пересечений для гладкого, огибающего процесса.
Однако, даже если (15.2.1) дает хорошую аппроксимацию для вероятности отсутствия превышений, все же остается более трудная задача определения вида интенсивности пересечений р (и) как функции от и. В случае дискретного времени р (и) = = Р {£г >■ и\ задается маргинальной ф. р., в то время как в случае непрерывного времени, согласно (7.2.3),
Р («) = к (0) (и) Е (V (Оу | £ (0) = и) = J zf^ (о,, v (0) (и, z) dz.
z=0
Здесь помимо плотности /$(о) (и) необходимо знать также и среднюю крутизну выборочных функций на различных уровнях. Для нормальных процессов р (и) выражается формулой (7.3.4). Эту интенсивность можно вычислить точно и для нескольких процессов, отличных от нормальных, некоторые из которых являются функциями многомерных нормальных процессов, как, например, Х2-процесс; см. Беляев (1968), Беляев и Носко (1969), Венециано (1979), Хэсофер (1976) и Линдгрен (1980 Ь, с).
Даже если средняя интенсивность пересечений имеет известную функциональную форму, прежде чем воспользоваться соответствующей формулой, на практике приходится оценивать некоторые параметры на основе наблюдений. Например, если | (/) — стационарный нормальный процесс со средним т и дисперсией Хо, то
, . 1 / la \ 1/2 ( 1 . .„I
так что необходимо оценить три параметра: т, Хо и v = (1/2л) X X (ХгДо)1/2, равное среднему числу выходов за уровень т в единицу времени. При больших значениях и — т предсказания, производимые на основании этой формулы, могут быть весьма ненадежными.
Пример 15.2.2 (частота разрывов бумаги; см. пример 14.2.1). Рулон бумаги, проходящий через печатный станок, подвергается растяжению, которое может приводить к разрыву рулона. Поскольку обычно разрыв начинается с одного из краев рулона, мы можем моделировать это явление, рассматривая локальную прочность бумаги (вдоль любого из ее краев) как стационарный случайный процесс £ (/) с одномерным параметром t, соответствующим длине бумаги.
В примере 14.2.1 объектом исследования был min {£ (/);
О -^ t <_ Т\ для малых значений Т (от 0.08 м до 10 м), и из этого примера мы заключили, что для этих конкретных типов бумаги средняя локальная прочность определенно не меньше, чем 1.5 кН/м. Предположим теперь, что для малых значений и интенсивность входов под уровень и такая же, как и для нормального процесса, т. е.
р (u) = v exp (и — т)2}.
(Это согласуется с примером 14.2.1, который не исключает убывания средней прочности с увеличением длины по типу I.) Предположим, далее, что мы можем прогонять рулон через станок, используя последовательность различных уровней растяжения. Эксперимент, производящийся при уровне растяжения и,, приведет к наблюдению длины, при которой произойдет первый разрыв; мы обозначим ее yt. Растягивающее усилие может изменяться от эксперимента к эксперименту. Таким образом, мы получаем последовательность уровней растяжения и соответствующие этим уровням длины до обрывов рулона уь i = 1, ..., п.
В соответствии с пуассоновским характером экстремальных пересечений при малых значениях иг указанные yt приблизительно независимы и имеют показательные распределения со средними 1/р («,), так что можно записать
In yt = —In v +"2^—(“г — m)2 + Ine,, (15.2.2)
где с. в. 1п еь i = 1, .... п, приблизительно независимы и имеют ф. р. Р {In е, <{ х} = 1 — ехр (—е*), — <х> < х «< сю. Таким образом, (15.2.2) является уравнением регрессии, на основании которого можно оценить т, Хо и In v. Однако для получения хороших оценок этих параметров необходимо распространить уровни Ui на более широкую область значений, а это не всегда возможно в условиях эксперимента. Относительно обсуждения эффективности оценок см. Хольберг и де Маре (1976). □
Области притяжения и экстремумы для смесей распределений
В этом разделе мы обсудим два важных вопроса, связанных с областями притяжения: влияние на распределение экстремальных значений случайного характера изменения параметра исходного распределения и влияние детерминированных составляющих в нестационарном случае.
11*
Рис. 15.3.1. Произведенные Эйфелем записи скорости ветра с использованием (а) медленного анемометра и (Ь) чувствительного анемометра, показывающего экстремальные значения скорости ветра.
Пример 15.3.1. Изменчивость скорости и направления ветра изучалась и документировалась в течение длительного времени и имеет интересную историю. Значительные исследования были проведены Густавом Эйфелем на вершине Эйфелевой башни вскоре после ее сооружения, см. Эйфель (1900). В качестве примера на рис. 15.3.1 (а) показаны скорость и направление ветра в течение дня на вершине башни (верхняя кривая) и на земле (нижняя кривая).
Скорость измерялась как время, которое необходимо ветру для преодоления расстояния в 5000 м. Это означает, что имеется усреднение по интервалу времени, длина которого зависит от текущей скорости ветра. Это усреднение отчасти определяется конструкцией измерительных и регистрирующих приборов и, как отмечал Эйфель, оказывает существенное влияние на наблюдаемые высокие скорости. С целью частичной компенсации этого влияния Эйфель установил дополнительный, более чувствительный анемометр, который включался только когда грубый анемометр показывал значения, превосходящие некоторый предел. На рис. 15.3.1 (а) и (Ь) показаны примеры записей грубым и более чувствительным анемометрами.
На рис. 15.3.2 показаны эмпирические ф. р. для скорости ветра на вершине башни для двух различных месяцев наблюдений, (а) января и июля, основанные на измерениях, проводившихся с 1890 по 1895 г., и (Ь) для наблюдений, объединяющих данные по всем двенадцати месяцам года. Поскольку имеются некоторые теоретические доводы в пользу использования при измерениях скорости и случайных направлениях распределения Рэлея, то масштабы выбраны таким образом, чтобы распределение Рэлея F (и) = 1 — ехр (—и2/2о2) представлялось на графиках прямой линией
In (—In (1 — F (и))) = 21п и — 1п (2о2).
Как видно, кривые для отдельных месяцев имеют заметную кривизну, в то время как объединенные данные показывают хорошее согласие с распределением Рэлея. Это иногда понималось как указание на то, что скорость ветра следует описывать распределением Рэлея. Как мы увидим, для этого имеется по крайней мере еще одно разумное обоснование. □
Горизонтальное перемещение ветра в конкретной точке в момент времени / можно представить вектором W (/) = (^ (/), В2 (/)), компонентами которого ^ (/) и |2 (/) являются соответственно скорости ветра в направлениях, скажем, север—юг и восток—запад. Результирующая скорость ветра равна тогда
^(o = i^(oi = ai(o+^(o),/2
Рис. 15.3.2. Эмпирические ф. р. скорости ветра на Эйфелевой башне (в выбранном масштабе распределению Рэлея соответствует прямая линия); (а) кружки соответствуют январским, а крестики — июльским измерениям, (Ь) крестики соответствуют измерениям, производившимся в течение всего года.
(и соответствует направлению ветра 6 (/), т. е. ^ (/) = = I (/) cos е (0,(0 = I (0 sin е (0).
Предположим, что ^ (/) и |2 (0 — независимые нормальные процессы со средними m^ m2 и одинаковой ковариационной функцией г (i) = Gov (^- (s), I,- (s + 0)» i = 1, 2, и дисперсией о2 = = г (0) = Var (|г (ф. Если обе компоненты имеют нулевые средние, mi = т2 = 0, то
^(О^^^О + ЕЬП^^х^--^), и>0,
так что | (/) имеет распределение Рэлея с плотностью
kvn^ = ш-2ехр (— -^У и>0.(15.3.1)
Если тх или т2 отлично от нуля, т. е. если существует господствующее направление ветра, то скорость ветра имеет нецентральное распределение Рэлея с параметром Х= (m? + т2)1/2 и функцией плотности
,, ._2/ X2 + va \ V (X2va/4<J4),
/б (О (у) = Уа 6ХР (2j (/1F = /=о
= ш-2ехр(—^2^.)/°(^-),и>0,(15.3.2)
где /0 (х) — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0; см. Джонсон и Котс (1970, разд. 28.3).
Вследствие указанных соотношений между нормальным и рэлеевским распределениями не удивительно, что последнее использовалось многими авторами в качестве основного при измерении скорости ветра. Тем не менее в приведенном выше примере (пример 15.3.1) распределение Рэлея не очень хорошо согласуется с ежемесячными данными.
Заметим также, что если | (/) = (|| (/) + Е2 (0)1/2 является рэлеевским процессом с нормальными компонентами, то средние ^(Л = ^$ ^^dt
О
все еще нормальны, так что
а(0 = ®(0+0(0)1/2
также является рэлеевским процессом, однако наблюдаемое среднее процесса | (/)
1(0 = + f Ui(0 + ^(0‘/2dfо
СкоростьГодСкоростьГод14.3195818.3194714.8194418.3194915.2196018.8195415.6194619.2195916.1193920.1194116.1195620.1195516.5194020.6195216.5194522.4194217.4194323.2194817.4195124.6195717.4195325.9195017.41961СкоростьГодСкоростьГод14.3195818.3194714.8194418.3194915.2196018.8195415.6194619.2195916.1193920.1194116.1195620.1195516.5194020.6195216.5194522.4194217.4194323.2194817.4195124.6195717.4195325.9195017.41961Таблица 15.3.1Таблица 15.3.1не является рэлеевским. Свойства распределений для профильтрованных наблюдений скорости ветра изучались Шарпом (1974). д
Скорость
Год
Скорость
Год
14.3
1958
18.3
1947
14.8
1944
18.3
1949
15.2
1960
18.8
1954
15.6
1946
19.2
1959
16.1
1939
20.1
1941
16.1
1956
20.1
1955
16.5
1940
20.6
1952
16.5
1945
22.4
1942
17.4
1943
23.2
1948
17.4
1951
24.6
1957
17.4
1953
25.9
1950
17.4
1961
Скорость
Год
Скорость
Год
14.3
1958
18.3
1947
14.8
1944
18.3
1949
15.2
1960
18.8
1954
15.6
1946
19.2
1959
16.1
1939
20.1
1941
16.1
1956
20.1
1955
16.5
1940
20.6
1952
16.5
1945
22.4
1942
17.4
1943
23.2
1948
17.4
1951
24.6
1957
17.4
1953
25.9
1950
17.4
1961
Таблица 15.3.1
Таблица 15.3.1
Мы перейдем теперь к обсуждению данных об экстремальных скоростях ветра и влияния нестационарности и изменения параметров с течением времени. Оба распределения Рэлея (центральное и нецентральное) принадлежат области притяжения двойного экспоненциального распределения экстремальных значений типа I. Следует поэтому ожидать, что максимум скорости ветра М (Т), взятый по интервалу длины Т, на котором выполняются
условия стационарности, должен следовать этому распределению, т. е.
Р | М (Т) < и | =^ ехр (-е"°т (“~ьт))Р | М (Т) < и | =^ ехр (-е"°т (“~ьт))для некоторых констант а? > О, Ьт, зависящих от длительности измерений и корреляционной структуры процесса.
Р | М (Т) < и | =^ ехр (-е"°т (“~ьт))
Р | М (Т) < и | =^ ехр (-е"°т (“~ьт))
Пример 15.3.2 (годовой максимум скорости ветра). Таблица 15.3.1 и рис. 15.3.3 показывают наблюдавшиеся годовые максимумы усредненной в интервале 1 ч скорости ветра в городе Лондоне, провинция Онтарио, за период с 1939 по 1961 г. (Т = 1 год, единица скорости м/с). (Данные взяты из работы Дэвенпорта (1978).) Прямая линия на рисунке изображает функцию распределения двойного экспоненциального распределения, подогнанного Дэвенпортом: F (и) = ехр (—(и-|7)/3).
Как было видно в предыдущем примере, распределение экстремальных значений типа I может достаточно хорошо согласовываться с годовыми максимумами ветра в конкретной точке. С другой стороны, в примере 15.3.1 для каждого месяца приходилось подбирать различные распределения, и нет никаких причин полагать, что это будет не так в примере 15.3.2. Существует и много других ситуаций, например при моделировании количества атмосферных осадков, высоты волн и т. п., в которых приходится использовать для различных периодов времени различные модели и допускать изменение параметров с течением времени. Эта изменчивость может рассматриваться или как детерминированная, при которой от одного периода времени к другому повторяются определенные конфигурации, или как случайная функция, имеющая свои собственные свойства в отношении распределений.
Рис. 15.3.3. Эмпирическая ф. р. годового максимума скорости ветра за период 1939—1961 г., нанесенная на двойную экспоненциальную вероятностную бумагу (из Дэвенпорта (1977)).
Первый из этих случаев соответствует рассмотрениям, приводящим к формуле (14.2.5) для прочности материалов, и требует рассмотрения максимума случайных величин, имеющих несовпадающие распределения. Теория для нормальных последовательностей с изменяющимися средними была изложена в гл. 6, и в конце следующего раздела мы приведем соответствующий пример.
Во втором случае, когда изменчивость носит случайный характер, реально сталкиваются с ситуацией, в которой отдельные наблюдения распределены одинаково и следуют некоторой смеси распределений по аналогии с формулой (14.2.6). При этом возникает важный вопрос о том, до какой степени экстремальные наблюдения являются следствием экстремальных значений параметров или экстремальных исходов эксперимента.
Симиу и Филлибен (1976) показали, что двойное экспоненциальное распределение не годится для описания экстремальных скоростей ветров, если климатические условия характеризуются наличием особых типов ветров, таких, как тропические циклоны.
которые значительно сильнее обычных ветров. Они пришли к выводу о том, что в таких случаях знание частоты и характеристик тропических циклонов жизненно важно для надежного прогнозирования сильных ветров. Подобные задачи возникают и при исследовании океана, где частота различных типов погоды используется для смешивания эффектов, вычисленных по короткопериодическим стационарным ветрам и волновым моделям.
В качестве примера мы более подробно рассмотрим масштабную смесь F^ распределений Рэлея
1 — ^(и) = Р {^>и} = JP{^>u]o = s} dFc(s) =
О
(15.3.3)(15.3.3)
(15.3.3)
(15.3.3)
где Fg — ф. р. случайного параметра масштаба в (15.3.1) (в предположении, что т± = т2 = 0 постоянны).
Как легко вытекает из теоремы 1.6.1, каждое условное распределение 1 — ехр (—v^s2) принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа I, что означает, что надлежащим образом нормализованные максимумы имеют распределение, близкое к двойному экспоненциальному. Если s изменяется как с. в. о, то экстремальные значения для | могут появляться за счет больших значений о и вопрос, с которым мы будем иметь дело, связан с областью притяжения для смешанного распределения (15.3.3) при различных смешивающих распределениях Fc. В случае типа II имеется следующий простой и удовлетворительный ответ. Масштабная смесь F^ распределений Рэлея принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа II с параметром а в том и только в том случае, когда то же самое верно для распределения масштаба Fc.
Кроме того, если \ап > 0} — такая последовательность параметров масштаба для Fo, что Fc ^xla^ -> exp (—х-а) при и оо и х > 0 и са = 2а/2Г (а/2 + 1), то а„ = й[сап] является подходящей последовательностью параметров масштаба для F^ и
при п-* оо, х> 0.при п-* оо, х> 0.
при п-* оо, х> 0.
при п-* оо, х> 0.
Мы сейчас докажем это, используя явный вид распределения Рэлея, хотя кажется вероятным, что столь же хорошо работала бы и непосредственная оценка хвоста распределения смеси. Пусть ^1/(20’) (х) = 1 — Fa(—^= \ Г 2х
является функцией распределения для 1/(2о2), и пусть
(0 = j ertx йРщаач Wо
— ее преобразование Лапласа, так что
—(и) = J е^*х dFXKia4 (х) = L (и1).
о
Далее, по теореме 1.6.2, Fa принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа II в том и только в том случае, когда эта функция правильно меняется с показателем а, т. е. если
и поэтому с s = 1/(2/2)
^1/(2а») (s/x2), ».-а/2п
V ^^) при s-*0. г1/(2а«) (з)
Следовательно, Fl№(]1) (О правильно меняется в нуле с показателем сс/2. Согласно тауберовой теореме для преобразований Лапласа (см. Феллер (1968, XIII.5, теорема 3, формула (5.8))), это равносильно тому, что L (/) правильно меняется на бесконечности и
£(/) ~Г ^ + 1) ^щга») (1/0 при /->оо.
Таким образом,
- F^ (и) = L (и2) ~ Г (-2- + 1) FXKW> (4) =
-Г(т+')О-^Ш)~
_2а/2г(-^+1)(1-fa(y)) при и->оо, (15.3.4)
когдакогдачто доказывает эквивалентность областей притяжения.
когда
когда
Далее, Fa (xlan)n -► ехр (—х~а) тогда и только тогда,
n(l — Fa (x/an)) -> x-a.
Если а'п = й[сап], то (15.3.4), показывает, что
^ак что а‘п является подходящим выбором параметров масштаба.
Итак, в случае II и правильного убывания Fa на бесконечности, т. е. если 1 — Fa (х) ~ x~aL (х) и L (х) медленно убывает, максимум М^ независимых с. в. ^, .... |п, каждая из которых имеет ф. р.
1 - jexp (— -^-) dF а (s),о
имеет асимптотическое распределение типа II, Р {а„ Л4(п ’ < х} -> ехр (—х~“).
В этом случае тип максимума определяется, следовательно, областью притяжения ф. р. Fa значений параметра.
Экстраполирование экстремумов на более обширный период времени
Предположим, что {1(0}—стационарный процесс с непрерывным временем, для которого максимум притягивается к двойному экспоненциальному распределению, так что для некоторых ат > 2> 0, Ьт
Р\М^<и\=Р\ sup g (/) < и\ ^ ехр ^—е"ат ^т),
(15.4.1)
и мы хотим использовать знание ог, Ьг для некоторого Т и произвести «экстраполяцию» распределения М (пТ^ для некоторого фиксированного целого п. Если Т велико, то мы можем ожидать, что максимумы на интервалах (0, У], (У, 2У], ..., ((п — 1) У, пУ) приблизительно независимы, так что
Р {М (пУ) < и\ « Рп \М (У) < и\ « ехр (—пе-^ <и-ьт^ =
= ехр (—е~°г ки-ьт-°т inn)r и поэтому мы должны иметь
апг = От, ^пг — ^т Ч~ °т In п(15.4.2)
в качестве возможного выбора параметров положения и масштаба для максимума по расширенному интервалу времени; см. обсуждение влияния размеров при испытании на прочность в разд. 14.2.
Эти соотношения выполняются всякий раз, когда {£ (/)} принадлежит области притяжения двойного экспоненциального закона. Для дифференцируемого нормального процесса по теореме 8.2.7
аг = (21п7у/2, Ьг = аг + аг11п(]/^/2л), (15.4.3) где Х2 = Var (£' (/)), что при Т -> оо дает
».г - (2In пТУ» = (2 In TV" (I + i^r + о (т^)) =
CLy -|- Cty In tl -j- О ^Qy ) >
bny = diT + Опт In (1^/2^) =
= Oy "4” Qy In tl —I" Oy In (3^X2/2n) —j" 0 (tZy ) -
by + dy In n + о (a?1),
что согласуется, как и следовало ожидать, с (15.4.2) с точностью до членов меньшего порядка.
Однако указанные параметры масштаба и положения зависят от масштаба времени, выбранного для представления процесса, в такой степени, что это может иногда служить источником недоразумений. Если изменить единицы масштаба в (15.4.1) и (15.4.3), заменяя Т на Т = сТ, то это приведет к замене (2 In 7)1/2 на (2 1п У+ 2 1пс)1/2 и замене Х2/2 на с-1Х1/2 и аппроксимация (15.4.1) станет другой. Конечно, каков бы ни был масштаб времени, для максимума имеется точное предельное распределение. Проблема состоит в том, что ошибка при использовании (15.4.1) для конечных интервалов зависит от масштаба времени.
Один естественный способ подсчета времени, который часто используется, состоит в выражении его в единицах расстояния между пересечениями нулевого уровня или средней длины периода между нулями. Пусть (в предположении, что Ху = 1)
есть среднее число выходов за нулевой уровень в (старую) единицу времени. Введем новый масштаб времени Т = vT, который подсчитывает время в единицах ожидаемого числа выходов за нулевой уровень. Тогда In (v~*X2/2/2n) = In 1 = 0, так что (стандартизованная) аппроксимация должна иметь вид
Р\М(Л<и\« ехр (-в"(2 ,n vr)1/2 (“ "<21п'Г,1/2))
20
Рис. 15.4.1. Наблюдаемые значения дневных максимумов среднечасовой концентрации SO2 в Лонг Бич, Калифорния, 1979 г.
с совпадающими параметрами масштаба и положения
аг = 6Г = (2 In v7)1/2.(15.4.4)
Аппроксимирующее распределение имеет среднее и стандартное отклонение
тт = (2 In <Г^ Ч»т = -^-(2 In vT)1/2.
1(21nvT)1/2/6 V ’
Пример 15.4.1 (экстремумы в данных о выбросах в атмосферу). Федеральный стандарт Соединенных Штатов по кратковременным выбросам в атмосферу требует в отношении диоксида серы (SO2), чтобы усредненная на периоде в 3 часа концентрация SO2 не превосходила 50 (100 млн)-1 (50 частей на сто миллионов) более одного раза в год. Чтобы увидеть, можно ли это выполнить, мы обсудим данные за 19 лет наблюдений среднечасовых концентраций в Лонг Бич, Калифорния (взятые у Робертса (1979 Ь)). Ясно, что трехчасовые средние имеют менее выраженные экстремумы, чем среднечасовые, так что эта процедура определенно не переоценит частоты превышений.
На рис. 15.4.1 показаны дневные максимумы часовых средних для каждого из 365 дней 1979 года.
Как видно на диаграмме, данные явно коррелированы. Более того, из полного набора данных за 1956—1974 гг., приведенного в табл. 15.4.1, видно, что наибольшие значения концентрируются в зимнем периоде, так что в действительности мы имеем здесь пример нестационарной коррелированной последовательности.
Функция распределения концентрации загрязнителей атмосферы изучалась и описывалась многими авторами, и представля-
Таблица 15.4.1
Г°Д ciяо. ci. св5
ялса2
|58S5°55» 5^
X4иоXЧии
195647314412133
1957221920322023
1958151320122413
19592032201536
196022182320813
1961252020161010
1962201315181012
19631218272127
1964161033199
19651618914810
1966273325101730
19673040321087
1968513018221019
196937135514910
1970231910И1512
1971223620281015
1972303218273713
19731088121116
197489913814
142133264032474.0
181613144125413.0
372032272768683.4
81517152020322.1
14913162720271.9
81012161443431.9
10101111147201.5
4415101818271.3
16254141821251.4
181814121714182.6
131822152523333.0
82610401817402.5
222526295040513.1
131733131544552.5
25402520128402.4
205538412625552.5
231921312513372.5
251611281023281.9
9925111915341.7
Сред- 23.8 21.6 20.8 16.3 12.7 13.7 нее
16.0 19.6 19.7 20.4 22.9 25.02.4
ется, что приемлемое согласие дает логарифмически нормальное распределение, по крайней мере в центральной части этого распределения. Логарифмически нормальное распределение принадлежит области притяжения распределения типа I (см. пример 1.7.4), и мы попытаемся подобрать к данным об экстремумах в табл. 15.4.1 двойное экспоненциальное распределение. Разумеется, хорошее согласие с логарифмически нормальным распределением в центре распределения еще не гарантирует того, что это распределение будет работать хорошо.
На рис. 15.4.2 показаны эмпирические функции распределения 19 годовых и 19X12 = 228 месячных максимумов, нанесенные на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге. Следует отметить, что теория гл. Зи 13 могла бы быть применена к этим коррелированным наблюдениям, и тогда эти наблюдения дали бы приемлемый график на соответствующей вероятностной бумаге. Однако нестационарность, а возможно также и зависимость от месяца к месяцу, влияют на выбор параметров масштаба и положения в приближенной формуле (15.4.1), и это сейчас будет показано.
Предполагая двойное экспоненциальное распределение для Л)мес (по месяцам) и Л4Г0Д (по годам) мы можем оценить параметры, например методом максимального правдоподобия. Робертс (1979а, Ь), у которого заимствован полный набор данных, использовал один из вариантов метода наименьших квадратов и получил в качестве оценок распределений
Р {MMec<;u| = ехр(—е-о.изси-м.з)),
Р |^год< w} = exp (—е-0-081 (u-31.6)).
Оценка вероятности того, что одночасовые средние превзойдут 50 (100 млн)-1 хотя бы один раз в году, равна
Р{Л1год>50| = 1 — ехр(—6-0.081 (50-31.6)) — 0.2,
в то время как наблюдаемая частота равна 4/19 « 0.21. Это следует сравнить с (15.4.2), откуда следует ожидать, что
^год = чмес = 0.115,
Ьгод = Ьмес + ^ёс 1П 12 = 14.5 + -^ = 36.1.
Использование пмес и ^мес для оценивания вероятности превышения уровня 50 (100 млн)-1 в течение года дало бы тогда
Р {Л4ГОД > 50} « 1 - ехр (—6-0.113(50-36.1)) = 0.18.
Соответственно оцененная ф. р. для Л4Г0Д представлена на рис. 15.4.2 пунктирной линией.
Как видно из рис. 15.4.2, положение экстраполированного распределения достаточно хорошо согласуется с положением Ртод, но в то же время более сконцентрировано, так что вероятность очень высокого или очень низкого годового максимума окажется недооцененной. Не ясно, вызвано ли это нестационарностью или сильной корреляцией (или обеими этими причинами), но очевидно, что в пределах отдельных лет имеется несколько отрезков очень низких или очень высоких значений и что высокий годовой максимум имеет тенденцию сопровождаться несколькими высокими месячными максимумами этого года.
Как было видно в гл. 6, в случае нормальных последовательностей «стационарная» теория еще остается применимой к последовательностям, имеющим нестационарное среднее или нестационарную корреляционную структуру, при условии что параметр положения подгоняется адекватным образом, а корреляции обнаруживают стандартное 1п-1-убывание с течением времени.
Пример 15.4.2 (нестационарные данные о концентрации озона). Горовиц (1980) применил теорию экстремальных значений к коррелированным нестационарным данным о концентрации озона. Предполагая, что максимальные дневные среднечасовые концен-
Рис. 15.4.2. Эмпирические распределения месячных (крестики) и годовых (кружки) максимумов за период с 1956 по 1974 г. в Лонг Бич. Сплошные линии соответствуют двойным экспоненциальным распределениям, пунктирная линия — функции распределения годового максимума, экстраполируемой по месячным максимумам.
трации т), логарифмически нормальны, он предусмотрел изменение функции среднего значения в течение года, считая, что остатки являются при этом коррелированными случайными величинами с нулевыми средними и одинаковой дисперсией о2. Нормируя среднее в единицах о, мы получаем модель
1пг]г = а(т8 + ^). * = 1п(=365),(15.4.5)
в которой для пц подбирается многочлен второй степени, а ^ предполагаются коррелированными стандартными нормальными величинами. Как показывает рис. 15.4.3, здесь, очевидно, необходима модель с зависимостью от времени, и модель (15.4.5) по крайней мере дает хорошее согласие для маргинального распределения Т)г.
В соответствии с теоремой 6.2.1, при естественных условиях на функцию тг можно тогда записать, что
Р ( шах 1п т)г < о + bn + ml-> exp (—е-*),
Рис. 15.4.3. Наблюдаемые дневные максимумы среднечасовой концентргвьи его
где т' определяется соотношением (6.2.2). Обозначая dn = = exp (о (bn + m„)), сп = anl(ad^, имеем
ехр (о (-^-+ bn-Vm*n^ =dn^ + -^ + о(йп')) =
= dn 4- — о (сп ),
и поэтому для больших п
{
X 1
шах т]г <1- dn>« exp (—e~xY
l^t^nCn)
Это находится в разительном контрасте с тем экстремальным распределением, которое наблюдалось бы для годовых максимумов последовательности (зависимых) одинаково распределенных величин, каждая из которых имела бы маргинальное распределение, равное наблюдаемому «объединенному» распределению 365 ежедневных значений, не учитывающему нестационарность среднего.
Следует отметить, что применение нормальной теории экстремальных значений к этой нестационарной ситуации не ограничивается предположением стационарности корреляционной структуры, на что указывают результаты разд. 6.2—6.3.□
Локальные экстремумы. Приложение к случайным волнам
В этом последнем разделе мы обсудим некоторые применения теории экстремальных значений для непрерывного времени, относящиеся к поведению процесса как последовательности слу-
чайных волн, и особенно как последовательности локальных максимумов и минимумов.
Пусть | (/) — непрерывно дифференцируемый нормальный процесс, два раза дифференцируемый в среднем квадратичном, имеющий локальные максимумы в точках s,, 0 <^ s4 <^ s2 ^ ... ... <;sw- "С Т, где, как и в разд. 7.6, N'= N'(Т)— (случайное) число локальных максимумов в интервале [О, Г]. Далее, пусть se- — положения локальных минимумов, занумерованные таким образом, что Si < Sf < sz+ь Например, если понимать | (/) как процесс, описывающий высоту уровня моря над средним уровнем в конкретной точке в момент t, то естественно назвать | (вД g (si), | (so), ... последовательностью характеристик случайной волны. Значения | (sz), £ (sz), являются наблюдаемыми амплитудами, а разности высот £ (s,-) — | (s[) — наблюдаемыми высотами волн. Экстремальные значения с. в. g (s,) и £ (sz) — £ (sz) важны во многих областях, и науки о море дают один такой выпуклый пример.
Иногда бывает легче получить надежные измерения длин волн и их амплитуд, нежели проводить непрерывные измерения самого процесса £ (tY Поскольку
max^fo), .... £ ($л")) = sup {£(/); Si^^Sw'}.
что равно М (Т) = sup Ц (/); 0 < t < Т\, если М (Т) не достигается в нуле или в Т, то можно тем не менее и в этом случае использовать результаты об экстремумах для непрерывного случая, чтобы получить асимптотическое распределение максимума с. в. | (sz), i = 1, 2, ... .
Мы продолжим рассмотрение для стационарного нормального процесса с Х4 = Var (|" (/)) < оо и произвольной дисперсией Хо = Var (| (/)). Это требует лишь некоторых очевидных изменений в предыдущих стандартизованных (Хо = 1) формулах, поскольку процесс ^(/) = Х^1/2 £ (/) удовлетворяет соотношениям Var (g (0) = 1, Var (g' (0) = V^o» Var (g" (/)) = Z4/Z0. Если, как и в разд. 7.6, N'u (Т) обозначает число таких локальных максимумов s, в [0, Т1, для которых £ (sz) > и, то в силу (7.6.3) с V = (1/2л) (Х2ед, V = (1/2л) (Х4/Х2)1/2, е = (1 — (v/V)2)1^ = = (1 - W1.
Е № (7)) = 7 {V (1 - Ф (^ + v ехр(-£) ф (^ -^)}.
Поскольку суммарное ожидаемое число максимумов равно TV, отношение Е (N'u (T))/TV можно рассматривать как меру вероятности того, что локальный максимум превышает и, и мы определим функцию Fmax соотношением
Очевидно, что Fniax (ы) не убывает, непрерывна и Fmax (ы) О (или 1) при и -► —оо (или +°°), так что Fmax является функцией распределения. Для соответствующей плотности имеем fmax («) = ^ Fmax (U) = -^ ф (~^) +
+“ ехр« Y
\ Хо / КХ0 \2Х0 / Vе J/Хо/
Если процесс £ (/) эргодический, то AfL (T)/N' (Т) -* 1 — Fmax (и) с вероятностью единица (см. разд. 10.2), так что в этом случае Fmax (и) является пределом эмпирических распределений наблюдаемых амплитуд. Форма этого распределения зависит только от так называемого параметра ширины спектра е = (1 — к2]"^^12. Значения е, близкие к нулю, дают узкополосный спектр с одной доминирующей частотой, в то время как значения е, близкие к 1, дают широкополосный спектр.
Пример 15.5.1. Наблюдаемые амплитуды уровня моря измерялись плавучим буем на некотором удалении от острова Саут Уист, входящего в состав Гебридских островов. На протяжении нескольких штормов регистрировались эмпирические распределения локальных максимумов и локальных минимумов волн и оценивались параметры спектра. На рис. 15.5.1 (а)—(с) показан результат одной такой записи с умеренной шириной спектра. Рисунки показывают в виде гистограмм распределения уровня моря g (/), фиксируемого дважды в течение секунды, высоты локальных максимумов | (sz) и локальных минимумов g (si). Показана также функция плотности fmax (ы) (и соответствующая функция fmln (ы) = fmax (—«) для минимума), построенная на базе теории для нормального процесса, значение е в которой оценено по данным наблюдений величиной е = 0.617. Длительность наблюдения составляла Т = 17.4 мин.
Как видно, текущий уровень моря £ (/) в этом примере вполне похож на нормальный, и поразительно, сколь хорошо теоретические плотности fmax (ы) и fm\n (“) описывают наблюдаемые амплитуды, несмотря на то что они подгонялись только посредством косвенного оценивания Ч спектральных моментов Хо, Х2, Х4. П
Наблюдаемая длина волны g (s;) — g (s)) часто изучается в океанографических исследованиях. Тем не менее для ее плотности явное выражение еще не найдено. Некоторые простые, но для многих процессов надежные, аппроксимации приведены в работах Линдгрена и Рыхлика (1982), а также Каванье и др. (1976).
ч Такое оценивание чисел X;, 1 = 0, 2, 4, можно провести иа основе пересечений уровней процессом и его производной. — Прим. ред.
В океанографии суровость волнения морей часто описывается посредством эффективной длины волны или эффективной амплитуды. Пусть значение u\^ таково, что
1 — fmax(Wl/3) = 1/3,
так что одна треть амплитуд превосходит ui/3. Определим
Л8 = 3 J ufmax(«)du
“1/3
как среднее трети наиболее высоких волн. Тогда Л8 называется эффективной амплитудой. Эффективная высота волны На определяется аналогично, и часто предполагается, что Н8 = 2Л,. Эта аппроксимация кажется удовлетворительной, если е мало, т. е. v « V, так что между каждыми двумя последовательными выходами за нулевой уровень имеется только один локальный максимум. Кроме того, для малых значений е
Л8«/^(/2кГЗ + 3/2л(1 -Ф(] ТйГЗ))) «2.001^. (15.5.1)
Если задана какая-нибудь значимая амплитуда, то можно задаться вопросом о том, с какой максимальной амплитудой вероятна встреча в течение периода времени Т. Поскольку, как отмечалось выше, Mn' = max {g (sj, .... g (s^)} = sup {£ (/);• 0 < t -< 7} = M (7), то за исключением случая, когда М (Т)) достигается в [0, sj или в (sn', 71, эту задачу можно решить, в рамках настоящей теории.
Пусть ат и Ьт — стандартизованные нормализующие константы, задаваемые формулой (15.4.4), опять с произвольной дисперсией Хо = Var (g (0):
ат = koV2 (2 In ^,2, bT = kV2 (2 In v7)1/2.(15Л2>
Тогда по теореме 8.2.7
Р {аг (М (Т) — Ьт) < х} ехр (—е-*), так что
Р |Afw- < и\ехр (—е"ат ^тУ),
где N' = N' (7) — случайная величина. Таким образам; всег что нам необходимо, так это оценки для j7xo и v или, чт®' равносильно, для эффективного среднего периода Т8 = v-1. (Для малых значений е значение У^ в соответствии с (15.5.1) можно оценить величиной Л8/2,00.)□
Пример 15.5.2. Наибольшая встречающаяся амплитуда, а также оцененная дисперсия ^0 и средний период 7 = 1/v регистрировались в течение 12-минутных периодов восемь раз в день в зимние
Рис. 15.5.1. (а). Гистограмма наблюдаемого уровня воды; оцененное значение параметра ширины спектра е = 0.617.
Рис. 15.5.1 (Ь). Высота локального максимума; оцененное значение параметра ширины спектра е = 0.617.
Рис. 15.5.1(c). Высота локального минимума; оцененное значение параметра ширины спектра е = 0.617.
месяцы января—марта 1973 г. на плавучем маяке Семь Камней между полуостровом Корнуолл и островами Силли.
В результате было получено всего 8 X 90 = 720 наблюдений,
^П, 71л,/= 1, ...,720,
где 7ИЛ* — максимальные амплитуды волн в отдельные интервалы времени длительности Т = 12 мин. Взятые по всему трехмесячному периоду значения kb (и ТИ/у-) значительно изменяются, как видно из рис. 15.5.2 (а) и (Ь).
На рис. 15.5.3 на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге вычерчены амплитуды ат'^М^— Ьт^) с
\1 S 1\1 S 1
\1 S 1
\1 S 1
Такой выбор нормализующих констант подходит, если М^ являются наблюдениями максимальных амплитуд волн (нестационарного) нормального процесса, корреляционная структура которого изменяется столь медленно, что ее можно рассматривать как стационарную на каждом отдельном интервале.
Рис. 15.5.2. Графики изменения во времени (а) стандартного отклонения наблю- - даемого уровня моря в двенадцатиминутных интервалах и (Ь) наблюдаемых макси-..- мумов уровня моря в тех же интервалах, ячвЭрь — март.
Рис. 15.5.3. Эмпирическая ф. р. стандартизованного наблюдаемого максимума на двенадцатиминутном интервале по данным за январь — март, нанесенная на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге.
Теоретической (асимптотической при 7 -»- ею) ф. р. этих стандартизованных величин является ехр (—е-*), и на рис. 15.5.3 эта ф. р. представлена прямой пунктирной линией. Как видно из рис. 15.5.3, имеется значительная разница между наблюдаемой и теоретической ф. р. стандартизованных максимумов волн. Возможно, что для этого имеются и какие-то физические причины (такие, как опрокидывание волны), однако существуют также два возможных статистических объяснения. Интервал наблюдения 7 = 12 мин может быть слишком коротким для того, чтобы работала асимптотическая теория, и возможны долговременные эффекты, сдвигающие значения ат^ (Л!^ — Ьт*) вверх и вниз с небольшой скоростью. Чтобы обнаружить это явление, мы вычертили на рис. 15.5.4 весь ряд нормализованных величин. Как можно заметить по этому рисунку, такое медленное изменение как будто имеется, и это могло бы быть основной причиной отклонения, обнаруженного на рис. 15.5.3.
Рис. 15.5.4. График изменения во времени стандартизованного максимума на
двенадцатиминутном интервале.
Данные, сопровождающие примеры 15.5.1 и 15.5.2, стали доступными благодаря любезности П. Чолленора из Института океанографии, Уормли, Англия. □
Приложение
Некоторые основные понятия теорииточечных процессов
Интуитивно под точечным процессом мы обычно понимаем последовательность событий, происходящих во времени (или в пространстве или и во времени и в пространстве) в соответствии с некоторым статистическим законом. Например, такими событиями могут быть радиоактивные распады или телефонные вызовы, возникающие во времени, или положения растений некоторого вида на поле (в пространстве двух измерений). Для нас особенно интересны ситуации, в которых событиями являются моменты превышений уровня и случайной последовательностью |£п} (гл. 5) или моменты выходов за уровень и процесса {5 (0} с не" прерывным параметром (гл. 9).
Эти точечные процессы реализуются в одном измерении (которое можно при желании рассматривать как «время»). Мы можем совместно рассматривать превышения или выходы за более чем один уровень и получить точечный процесс на плоскости (см. гл. 5 и 9).
Теория точечных процессов может рассматриваться в совершенно абстрактном контексте, и это приводит к весьма содержательной общей теории. По этому вопросу мы отсылаем читателя к книгам Калленберга (1976) и Маттеса и др. (1978). Здесь мы только укажем основные понятия, касающиеся точечных процессов на вещественной прямой и на плоскости.
Если / — произвольный конечный интервал на вещественной прямой, то число событий N (/) точечного процесса, происходящих в этом интервале /, должно быть случайной величиной. Более общим образом, для любого ограниченного борелевского множества В число N (В) должно быть с. в. Далее, число событий в объединении конечной или счетной совокупности непересекаю- щихся множеств равно сумме чисел событий в каждом из этих
множеств, т. е. N (В) = ^ N (В^, если Bt — непересекающиеся 1=1
(борелевские) множества, объединением которых является В. Иначе говоря, М (•) — мера на борелевских множествах. К тому же значение N (В) должно быть целочисленным, если оно конечно. Поэтому естественно напрашивается следующее формальное определение.
Точечный процесс в прямоугольнике S cz Rn — это семейство неотрицательных целочисленных (или принимающих значение
+ оо) случайных величин Nto (В), определенных для каждого борелевского множества В с S, и такое, что Nto (•) для каждого <о является мерой на борелевских множествах, принимающей конечные значения на ограниченных множествах.
В этом определении благодаря введению точечного процесса, определяемого на прямоугольниках S с В" (где S может быть конечным или бесконечным, а также открытым или замкнутым на каждой из его границ), в дополнение к точечным процессам на всем пространстве Rn достигается некоторая дополнительная полезная общность. Требование того, что борелевское множество В ограниченно, имеет в этом контексте вполне определенный смысл, означая, что диаметр множества В конечен и что замыкание множества В в Rn содержится в S. Таким образом, например, если S = R", то всякое множество, имеющее конечный диаметр, ограниченно. В то же время если, скажем, S = (0, 11 с R1, то, на-
Рис. П.1, (а) точечный процесс превышений; (Ь) точечный процесс выходов.
пример, множество (0, а], а > 0, имеет конечный диаметр, но не является ограниченным.
Заметим, что то же самое определение может быть использовано и для более общих топологических пространств, чем S a Rn, только тогда вместо борелевских множеств в Rn надо использовать борелевские множества в этих более общих пространствах. Здесь же, как указывалось, мы будем рассматривать в основном только прямую и плоскость.
Если т — какая-нибудь случайная величина, то мы можем рассмотреть тривиальный точечный процесс, состоящий только лишь из одного события, наблюдаемого в точке, определяемой значением, которое принимает т, т. е. точечный процесс 6Т, для которого 6Т (В) = 1, если т £ В, и 6Т (В) = 0 в противном случае. Таким образом, 6Т представляет единичную массу, сосредоточенную в случайным образом выбранной точке т. Более общим образом, если Ту — случайные величины (для / = 1, 2, 3, ... или / = 0, ±1, ±2, ...), то мы можем определить точечный процесс N = ^6т. в предположении, что сумма N (В) = ^6Т.(В) п. н.-ко- i 1i 1
нечна для ограниченных множеств В. Для этого точечного процесса события наступают , случайных точках |т/. Продвигаясь несколько дальше, мы м ,.<ем для удобства допустить возможность наступления кратных событий, рассматривая N = 5РД, где
/
рг — неотрицательные целочисленные с. в., а все г, различны, В действительности можно показать, что для пространства с подходящей структурой (такого, как вещественная прямая или плоскость) всякий точечный процесс N можно выразить через его атомы таким же образом, т. е. N = £0убт., где т,- п. н.-различные
/
элементы этого пространства, a Pj — неотрицательные целочисленные случайные величины. В том случае, когда все 0; п. н. равны единице, мы говорим, что точечный процесс не имеет кратных событий или что этот процесс является простым.
Если Въ ..., Bh — ограниченные борелевские множества, то N (By), ..., N (Bk) являются случайными величинами и имеют совместное распределение, называемое конечномерным распределением точечного процесса. В действительности представляющие интерес вероятностные свойства точечного процесса однозначно определяются набором всех таких конечномерных распределений, т. е. набором таких распределений для всевозможных выборов значения к и множеств Вь ..., Bh. Конечно, чтобы конечномерные распределения определяли точечный процесс, мы должны выбирать эти распределения соответствующим образом согласованными, так чтобы случайные величины N (В) были не только определены, но и неотрицательны, счетно аддитивны по В и т. д. Интересую-
щегося читателя мы отсылаем за подробностями к монографии Калленберга (1976).
Если N —■ точечный процесс, то мера X, определенная на бо- релевских множествах (рассматриваемого пространства) соотношением
X (В) = £ (N (В)),
называется мерой интенсивности этого точечного процесса. Заметим, что в отличие от самой величины N (В) величина X (В) может быть бесконечной, даже если множество В ограниченно (поскольку если какая-нибудь с. в. конечнозначна, то ее среднее не обязательно конечно).
Хотя нам это и не потребуется, все же интересно отметить, что вероятностные свойства точечного процесса N могут быть также суммированы в виде различных производящих функционалов. По нашему мнению, наиболее естественным и полезным из них является преобразование Лапласа LN (/), определяемое для неотрицательных измеримых функций / соотношением
Ln^ = Е (ехр (— У tdN^ = £ (exp (— ^ ₽/ (т/))) ’
если N представляется в виде ^Р/^- Такие производящие функционалы имеют свойства и применения, аналогичные свойствам и применениям характеристических функций, производящих функций моментов и преобразований Лапласа случайных величин. В частности, если f (х) = <Хв W (гДе Хв W = 1 или 0 соответственно тому, будет ли х £ В или х ф В), то мы имеем LN (f) = = Е (e~tN w). Это есть просто преобразование Лапласа (или производящая функция моментов, вычисленная в точке —t) случайной величины N (В), и оно однозначно определяет распределение с. в. N (В). Подобным же образом можно описать совместные преобразования Лапласа для с. в. N (В^, ..., N (Вh), если взять / = ^РМв..
е=1
Вероятно, наиболее полезным как сам по себе, так и в качестве «строительного блока» для других типов точечных процессов является пуассоновский процесс. Его можно описать посредством меры интенсивности X (В), в качестве которой может быть взята любая мера, конечная на ограниченных множествах. Говорят, что точечный процесс N Является пуассоновским процессом с такой интенсивностью, если для каждого (ограниченного) множества В N (В) является пуассоновской с. в. со средним значением X (В) и с. в. N (Bj), .... N (Bh) независимы для любого выбора k и непересекающихся множеств Въ ..., Bh. Существование такого процесса N легко показать для весьма общих ситуаций,
хотя мы здесь этого и не делаем. Кроме того, такой процесс N имеет преобразование Лапласа
Ln (Л = exp {— j (1 - e-i ^ dX (u)],
и этот процесс является простым, если его мера интенсивности X (•) абсолютно непрерывна.
Легко проверить, что выбор / (х) = /ув W дает преобразование Лапласа пуассоновской случайной величины со средним X (В). В связи с этим этот процесс можно назвать «общим пуассоновским процессом». Обычный (стационарный) пуассоновский процесс на вещественной прямой возникает, когда X (В) отличается лишь постоянным множителем от меры Лебега т (В), т. е. X (В) = тт (В). В этом случае мы говорим, что пуассоновский процесс имеет интенсивность т.
Как указывалось выше, пуассоновский процесс может быть использован в качестве исходного элемента для построения других точечных процессов. В частности, наиболее полезный случай возникает, если допустить стохастичность самой меры X. Такой точечный процесс уже не будет пуассоновским, но его удобно понимать как «пуассоновский процесс со (стохастически) изменяющейся интенсивностью». Мы ссылаемся на такой процесс как на дважды стохастический пуассоновский процесс или, как более принято, процесс Кокса. Конкретное использование таких процессов было проведено в гл. 6, где соответствующее распределение было выписано в явном виде.
Еще одно полезное для нас понятие — это прореживание точечного процесса и, в частности, пуассоновского процесса. Под прореживанием понимается удаление некоторых событий точечного процесса при помощи какого-то (обычно) вероятностного механизма, который может быть и довольно сложным. В его простейшей форме, с которой мы и будем иметь здесь дело, каждое событие удаляется или сохраняется независимым образом с вероятностями, скажем 1 — р и р. Например, если N — пуассоновский процесс с мерой интенсивности X, a N* — точечный процесс, получаемый из N таким независимым прореживанием, то для произвольного борелевского множества В мы имеем
P\N*^B)=r\ = 7 P\N(B) = s\P\N*(B)=r\N(B) = s\ =
^~£L^\p4V-rt
поскольку при условии, что N (В) = s, с. в. N* (В) имеет биномиальное распределение с параметрами s, р. Это выражение простым образом редуцируется к
так что N* (В) — пуассоновская с. в. со средним рХ (В). Подобным же образом можно убедиться в том, что с. в. N* (В^, ... .... N* (Bh) независимы всякий раз, когда Въ .... Bh попарно не пересекаются, так что N*. очевидно, является пуассоновским процессом с мерой интенсивности рХ — интуитивно привлекательный результат, используемый, например, в гл. 5.
В теории точечных процессов имеется целый ряд структурных свойств, таких, как существование, единственность, простота, безграничная делимость и т. д., которые не укладываются в наше изложение. Будет, однако, интересно упомянуть о сходимости последовательности точечных процессов и сформулировать в этой связи одну полезную теорему.
Предположим, что |7Vn} — последовательность точечных процессов на прямоугольнике S с Rn и что N — некоторый точечный процесс. Тогда мы говорим, что Nn сходится по распределению к N (и записываем это в виде Nn N), если последовательность векторных случайных величин (Nn (BJ, ..., Nn (Bft)) сходится по распределению к (N (В^, ..., N (Вй)) для каждого выбора к и всех таких ограниченных борелевских множеств Bi с S, для которых N (dBi) = 0 п. н., i = 1, .... к. (Здесь дВ обозначает границу множества В.)
Точечный процесс можно рассматривать как случайный элемент некоторого метрического пространства (точками которого являются меры), и сходимость по распределению Nn к N становится тогда слабой сходимостью распределений процессов Nn к распределению процесса N. Здесь мы не нуждаемся в такой общей точке зрения, поскольку приведенное выше определение равносильно ей. Тем не менее в конце этого приложения мы сделаем еще несколько замечаний относительно этого общего подхода и приведем примеры того, как можно упрощать доказательства, имея в распоряжении результаты этой общей теории.
Наиболее полезным для нас результатом является следующее простое достаточное условие сходимости по распределению. Это частный случай теоремы Калленберга (1976), формулируемый здесь для полузамкнутых (конечных или бесконечных) интервалов и прямоугольников. Очевидные модификации применимы к другим типам множеств S.
Теорема ПЛ. (1) Пусть Nn, п = 1, 2, ..., и N — точечные процессы на полузамкнутом интервале S вещественной прямой, причем процесс N является простым. Предположим, что
Е (Nn ((с, d])) Е (N ((с, d])) для всех -oo<c<d<cc, таких, что [с, dlcS, и
Р \Nn (В) = 0} -* Р \N (В) = 0} для всех В, имеющих вид J (сь dj с [сь d,]cS для i = 1, k; к = 1, 2,
Тогда Nn^N.
То же самое верно для точечных процессов на полузамкнутых прямоугольниках S на плоскости, если полузамкнутые интервалы (с, d], (с,, d;l заменить полузамкнутыми прямоугольниками (с, d] х (у, 6], (сь dj х (уг, 6,1.
Замечательной особенностью этого результата является то, что сходимость вероятности непоявления ни одного события в определенных заданных множествах по существу достаточна для того, чтобы гарантировать сходимость величин, подобных Р \Nn (В) = г\, и соответствующих совместных вероятностей. Простые условия (а) и (Ь) часто легко проверяемы.
Следующее полезное утверждение является основным этапом в доказательстве Калленбергом теоремы П.1. (Идея этого доказательства состоит в том, что условие (а) обеспечивает существование для каждой последовательности целых чисел такой ее подпоследовательности, что Nn сходится по этой подпоследовательности к некоторому простому точечному процессу. Утверждение П.2 и условие (Ь) теоремы П.1 показывают тогда, что этот предел имеет то же самое распределение, что и N, что и завершает доказательство.)
Утверждение П.2. (1) Предположим, что N и N' — простые точечные процессы на полузамкнутом интервале S вещественной прямой и что Р \N (В) = 01 = Р \N' (В) = 0( для всех мно- k
жесте В вида U (с;, d; 1 с [сг, d;] cz S для i = 1, ..., к; к =
= 1, 2, ... . Тогда N и N' имеют одно и то же распределение.
Наш следующий результат связан со сходимостью последовательности точечных процессов на плоскости к пуассоновскому процессу на плоскости и показывает, как это свойство сохраняется при подходящих преобразованиях точек каждого члена последовательности и ее предела. Этот результат можно, очевидно, переформулировать и в гораздо большей общности, однако для наших применений достаточно и приводимой здесь формы.
Теорема П.З. Пусть Мп, л = 1, 2, ..., и N — точечные процессы на полузамкнутом прямоугольнике S на плоскости, причем N — простой процесс, и т (х) — строго убывающая непрерывная вещественная функция. Определим новые точечные процессы ■\N'n\, N' так, что если Nn (N) имеет атом в (s, f), mo N’n (N’)
имеет атом в (s, т 1 (/)), где т 1 — функция, обратная для т. (i) Если Nn Л N, то N'nAN'.
(ii) Если N — пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности X, то N' — пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности XT"1, где Т обозначает преобразование плоскости, задаваемое соотношением Т (s, /) = (s, т"1 (/)). Если X — мера Лебега на плоскости, то мера интенсивности XT"1 является произведением меры Лебега на прямой и меры, определяемой монотонной функцией т.
Доказательство, (i) Легко проверить, что для любого прямоугольника В = (с, d ] х (у, 6 ]
N' (В) = N ((с, d] X [т (6), т (у))) = N (Т"1 (В)), и поэтому (в силу единственности продолжений мер) N' (В) = = N (Т"1 (В)) для всех борелевских множеств В. Это выполняется также и при замене N'n, Nn на N', N.
Предположим теперь, что В — такое борелевское множество, что N' (дВ) = 0 п. н. (здесь дВ опять обозначает границу множества В). Тогда можно заметить (используя непрерывность функции т), что дТ"1 (В) cz Т"1 (дВ), так что N (дТ"1 (В)) ■< N (Т"1 (дВ )) = N' (дВ) = О п. н. Поскольку Nn A N, имеем Nn (Т"1 (В)) A N (Т"1 (В)) или N; (В) A N' (В). Простым обобщением этого результата показывается, что (N'n (В^, ... .... N'n (Вп)) A (N’ (Bi), .... N' (Вп)) всякий раз, когда N' (дВ,) = О п. н. для каждого i = 1, ..., к, и, следовательно, N'nAN', как и требовалось.
Если N — пуассоновский процесс, имеющий меру интенсивности X, и В —■ любое борелевское множество в S, то
Р {N' (В) =г)=Р ^(Т"1 (В)) = г) = A1LA^ZZ45)L
для каждого г = 0, 1, 2, ..., так что N' (В) — пуассоновская с. в. со средним XT"1 (В). Независимость случайных величин N' (В^, .... N' (Вк) для непересекающихся Ви ..., Вк вытекает из того факта, что множества Т"1 (Вг), ..., Т"1 (Вк) также не пересекаются, и поэтому случайные величины N (Т"1 (Ву)), ... ..., N (Т"1 (Вк)) независимы.
Последнее утверждение в (ii) вытекает просто из того, что если X — мера Лебега, то
XT"1 ((с, d] X (у, 6]) = X {(с, d] х [т (6), т (у))} = (d - с) (т (6) - т (у))
с учетом непрерывности функции т.□
Как было обещано, мы приведем несколько замечаний (без доказательств) относительно общего подхода к точечным про-
цессам. Читателя следует, вероятно, предупредить о том, что предполагается некоторое знакомство со слабой сходимостью вероятностных мер на метрических пространствах, которое не требуется в других частях этой книги.
Пусть, как и прежде, S является прямоугольником в R", и М обозначает множество таких положительных целочисленных мер на S, которые конечны на ограниченных множествах. Говорят, что последовательность |vn| с Л1 и-сходится к мере v £ Л1 (обозначается это как vn -^» v), если J/Jvn - J/Jv для всех таких функций /, которые непрерывны и равны нулю вне некоторого ограниченного множества. Понятие и-сходимости особенно прозрачно, когда мера v проста. В этом можно убедиться из следующего легко доказываемого утверждения.
Утверждение П.4. Предположим, что мера v проста и имеет атомы в несовпадающих точках (ъ 12, ... £S, т. е. v = J]^- k
Тогда vnEv6 том и только в том случае, когда существуют такие ограниченные прямоугольники Sj \ S с v^dS, Г| S) = О, что если tkv ..., Uv — атомы меры v, содержащиеся в Sh то для больших значений п мера vn имеет ровно I атомов tn,i, .... 1П11 e'JSj и их можно упорядочить таким образом, что tn, t -► tk. при п ->- оо, i = 1, ..., /.
Заметим, что у-сходимость индуцирует некоторую топологию на М, и мы будем обозначать а-алгебру, порождаемую открытыми множествами этой топологии, буквой ^. Пространство (М, Ж) является польским пространством, т. е. на М существует некоторая метрика, порождающая топологию пространства М и делающая пространство М полным. Точечный процесс N можно определить как случайный элемент в (Л1, Ж^, и сходимость по распределению точечных процессов есть просто обычная сходимость случайных элементов в метрическом пространстве, изложенная, например, в монографии Биллингсли (1968). Поэтому по определению Nn ^ N, если Е (h (Nn)) Е (h (Л^)) для всех непрерывных ограниченных функций h : М R1. Как уже указывалось, можно показать, что это определение сходимости равносильно более элементарному определению, приведенному выше.
Важным результатом при этом является то, что сходимость Nn Д N влечет за собой сходимость по распределению широкого класса функций от Nn. Пусть h —- произвольная функция, отображающая (М, Ж) в некоторое метрическое пространство R (например, в качестве R может выступать и само Л4), и пусть Dh —
множество точек разрыва этой функции, т. е. v £ Dh. если существует такая последовательность {vn|, что vn -^ v, но h (vn) ч* ч* h (v). Тогда если Р \N ££>„) = 0 (в этом случае говорят, что функция h и. н. ^непрерывна) и Nn Д N, то h (2Vn) Д h (N).
Этот факт можно использовать, чтобы дать иное простое доказательство теоремы П.З. Действительно, пусть мера v g М простая и мера V =h (v) такова, что если v имеет атом в (s, /), то V имеет атом в (s, т”1 (0)- Тогда из утверждения П.4 немедленно вытекает, что функция h непрерывна и, следовательно, выполняется п. (i) теоремы П.З. Другой пример, демонстрирующий пользу общей теории, приводится в связи с моментами рекордов в разд. 5.8.
В качестве заключительного замечания отметим, что понятие точечного процесса можно обобщить, включая в рассмотрение меры N, для которых N (В) не обязательно принимает только целые значения. Это обобщение ведет к естественному помещению точечных процессов в рамки теории случайных мер —• точки зрения, детально разработанной Калленбергом (1976).
Литература
Андерсон (Anderson С. W.)
Extreme value theory for a class of discrete distributions with applications to some stochastic processes. J. Appl. Probab., 7, 99—113.
Local limit theorems for the maxima of discrete random variables. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 88, 161—165.
(1984)* Large deviations of extremes. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 325—>340.
Аров Д. 3., Бобров A. A.
О крайних членах вариационного ряда и нх роли в сумме независимых величин. Теория вероятн. и ее прнмен., 5, № 4, 415—435.
Аронович, Эдлер (Aronowich М., Adler R. J.)
(1985)* Behaviour of %2 processes at extrema. Adv. Appl. Probab. 17,280—297.
(1986)* Extrema and level crossings of %2 processes. Adv. Appl. Probab., 18, 901— 920.
Балкема (Balkema A. A.)
Monotone Transformations and Limit Laws. Amsterdam: Mathematical Centre Tracts.
Балкема, Резник (Balkema A. A., Resnick S. I.)
Max-infinite divisibility. J. Appl. Probab., 14, 309—319.
Балкема, Хан де (Balkema A. A., Haan L. de)
On R. von Mises’ condition for the domain of attraction of exp (—exp (—x)). Ann. Math. Statist., 43, 1352—1354.
(1978a) Limit distributions for order statistics, I. Теория, вероятн. и ее примен., 23, № 1, 80—96.
(1978b) Limit distributions for order statistics, IL Теория вероятн. и ее примен., 23, № 2, 358—375.
Балкема, Хан де, Резник (Balkema A. A., Haan L. de, Resnick S. I.) (1984)* Uniform rates of convergence to extreme value distributions. In: Statistical extremes and applications. Ed. J. Tiago de Oliveira. Dordrecht: Reidel, 341—346.
Барбе (Barbe A.)
A measure of the mean level-crossing activity of stationary normal processes. IEEE Trans. Inform. Theory, 22, 96—102.
Бар-Давид (Bar-David I.)
(1975a)Radon—Nikodym derivatives, passages and maxima for a Gaussian process with particular covariance and mean. J. Appl. Probab , 12, 724—733.
(1975b) Sample functions of a Gaussian process cannot be recovered from their zero crossings. IEEE Trans. Inform. Theory, 21, 86—90.
Бар-Давид, Немировски (Bar-David L, Nemirovsky A.)
Level crossings of nondifferentiable shot processes. IEEE Trans. Inform. Theory, 18, 27—34.
Бар-Давид, Эйн-Гал (Bar-David L, Ein-Gal M.)
Passages and maxima for a particular Gaussian process. Ann. Probab., 3, 549—556.
Барлоу (Barlow R. E.)
Averaging time and maxima for air pollution concentrations. Proc. 38th Session ISI, Washington D. C. pp. 663—676.
12 Лидбеттер M. и др.
Барлоу, Гупта, Панчапакесан (Barlow R. Е., Gupta S. S., Panchapakesan S.) (1969) On the distribution of the maximum and minimum of ratios of order statistics. Ann. Math. Statist., 40, 918—934.
Барндорф-Нильсен (Barndorff-Nielsen O.)
On the rate of growth of the partial maxima of a sequence of independent identically distributed random variables. Math. Scand., 9, 383—-394.
On the limit behaviour of extreme order statistics. Ann. Math. Statist., 34, 992—1002.
On the limit distribution of the maximum of a random number of random variables. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 15, 399—403.
Беляев Ю. К.
О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом. I. Теория вероятн. и ее примен., 11, № 1, 120—128.
(1967а) О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом. II. Теория вероятн. и ее примен., 12, № 3, 444—457.
(1967b) О всплесках и бликах случайных полей. Доклады АН СССР, 176, № 3, 495—497.
(1967с) Предельная теорема для числа пересечений высокого уровня стационарным гауссовским процессом. Доклады АН СССР, 173, № 4, 739—740.
О числе выходов векторного случайного процесса за границу области. Теория вероятн. и ее примен., 13, № 2, 333—337.
Исследование случайных потоков, порожденных случайными процессами. Математические заметки, 8, № 3, 393—407.
Point processes and first passage problems. Proc. 6th Berkeley Symposium on Math. Statist, and Probability, Ed. L. M. LeCam, Vol. 3, pp. 1—17.
Беляев Ю. K-, Носко В. П.
Характеристики выбросов за высокий уровень гауссовского процесса и его огибающей. Теория вероятн. и ее примен., 14, № 2, 302—314.
Беляев Ю. К., Носко В. П., Свешников А. А-
Вероятностные характеристики выбросов двумерного случайного поля. Теория вероятн. и матем. статистика, № 6, 24—31
Беляев Ю. К., Питербарг В. И.
(1972)* Асимптотика среднего числа A-точек выбросов гауссовского поля за высокий уровень. В сб. «Выбросы случайных полей». М.: Изд-во Московского ун-та, с. 62—89.
Бергстрём (Bergstrom Н.)
Eine Theorie der stabilen Verteilungsfunktionen. Arch. Math. (Basel), 4, 380—391.
Бери (Bury К- V.)
Distribution of smallest lognormal and gamma extremes. Statist. Hefte, 15, 105—114.
Берман (Berman S. M.)
Convergence to bivariate limiting extreme value distributions. Ann. Inst. Statist. Math., 13, 217—223.
(1962a) A law of large numbers for the maximum in a stationary Gaussian sequence. Ann. Math. Statist., 33, 93—97.
(1962b) Limiting distribution of the maximum term in sequences of dependent random variables. Ann. Math. Statist., 33, 894—908.
(1962c) Equally correlated random variables. Sankhya, Ser. A, 24, 155—156.
(1964a) Limiting distribution of the maximum of a diffusion process. Ann. Math. Statist., 35, 319—329.
(1964b) Limit theorems for the maximum term in stationary sequences. Ann. Math Statist., 35, 502—516.
(1971a) Excursions above high levels for stationary Gaussian processes. Pacific J. Math., 36, 63—79.
(1971b) Asymptotic independence of the numbers of high and low level crossings of stationary Gaussian processes. Ann. Math. Statist., 42, 927—945.
(1971с) Maxima and high level excursions of stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc., 160, 65—85.
(1972a) Maximum and high level excursion of a Gaussian process with stationary increments. Ann. Math. Statist., 43, 1247-—1266.
(1972b) A class of limiting distributions of high level excursions of Gaussian processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 21, 121—134.
Excursions of stationary Gaussian processes above high moving barriers. Ann. Probab., 1, 365—387. (Русский перевод: Берман С. Выбросы стационарного гауссовского процесса за высокий движущийся барьер. — В сб.: Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. М.: Мир, 1978, 133—164.)
Sojourns and extremes of Gaussian processes. Ann. Probab., 2, 999—1026 (Correction (1980), 8, 999). (Русский перевод: Берман С. Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов. — В сб.: Случайные процессы. Выборочные функции н пересечения. М.: Мир, 1978, 165—203.)
High level sojourns for strongly dependent Gaussian processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 50, 223—236.
A compound Poisson limit for stationary sums, and sojourns of Gaussian processes. Ann. Probab., 8, 511—538.
(1982a) Sojourns and extremes of stationary processes. Ann. Probab., 10, 1—46» (1982b) Sojourns and extremes of a diffusion process on a fixed interval. Techn. Report, Courant Institute of Math. Sci., New York Univ.
(1983)* High level sojourns of a diffusion process on a long interval. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 62, 185—199.
(1984)* Limiting distribution of sums of nonnegative stationary random variables. Ann. Inst. Statist. Math., 36, 301—321.
(1985)* An asymptotic formula for the distribution of the maximum of a Gaussian process with stationary increments. J. Appl. Probab., 22, 454—460.
Биллингсли (Billingsley P.)
Convergence of Probability Measures. New York: Wiley. (Русский перевод: Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.)
Блейк, Линдси (Blake I. F., Lindsey W. С.)
Level-crossing problems for random processes. IEEE Trans. Inform. Theory, 19, 295—315.
Боас (Boas R. P.)
Lipschitz behaviour and integrability of characteristic functions. Ann. Math. Statist., 38, 32—36.
Бобров A. A.
Рост максимального слагаемого в сумме независимых случайных величин. Матем. сборник Киевского госуниверситета, 5, 15—38.
Борткевич, фон (Bortkevicz L., von)
Variationsbreite und mittlere Fehler. Sitzungsber. Berliner Math. Ges., 21.
Ботрайт, Райтер (Boatwright P. A., Riter S.)
Level selection for a level crossing receiver. IEEE Trans. Comm., 21, 953— 954.
Бофингер Э., Бофингер В. (Bofinger E., Bofinger V. J.)
The correlation of maxima in samples drawn from a bivariate normal distribution. Austral. J. Statist., 7, 57—61.
Бофингер В. (Bofinger V. J.)
The correlation of maxima in several bivariate non-normal distributions. Austral. J. Statist., 12, 1—7.
Браун, Резник (Brown В. M.4 Resnick S. I.)
Extreme values of independent stochastic processes. J. Appl. Probab., 14, 732—739.
Б рейман (Breiman L.)
Probability, Reading, Massachusetts: Addison — Wesley.
Булинская Е. В.
(1961) О среднем числе пересечений некоторого уровня стационарным гауссовским процессом. Теория вероятн. и ее примен., 6, № 4, 474—478.
Бухль (Buhl S.)
The joint distribution of the number of crossings of several levels by a normal stochastic process. Techn. Report, Dept, of Statistics, Univ, of Aarhus. Вайнстайн (Weinstein S. B.)
Theory and application of some classical and generalized asymptotic distributions of extreme values. IEEE Trans. Inform. Theory, 19, 148—154.
Вайс (Weiss L.)
The joint asymptotic distribution of the ^-smallest sample spacings. J . Appl. Probab., 6, 442—448.
Вайсман (Weissman I.)
(1975a) Extremal processes generated by independent nonindentically distributed random variables. Ann. Probab., 3, 172—177.
(1975b) On location and scale functions of a class of limiting processes with applications to extreme value theory. Ann. Probab., 3, 178—181.
(1975c) Multivariate extremal processes generated by independent nonidentically distributed random variables. J. Appl. Probab., 12, 477—487.
(1984)* On the asymptotic joint distribution of an unbounded number of sample extremes. Report, Faculty of Industrial engineering, Technion.
Ватсон (Watson G. S.)
Extreme values in samples from m-dependent stationary stochastic processes. Ann. Math. Statist., 25, 798—800.
Венециано (Veneziano D.)
Envelopes of vector random processes and their crossing rates. Ann. Probab., 7, 62—74.
Венециано, Григориу, Корнелл (Veneziano D., Grigoriou M., Cornell C. A.) (1977) Vector process models for system reliability. J. Engineering Mechanics Div. ASCE, 103, 441—460.
Верват (Vervaat W.)
Limit theorems for records from discrete distributions. Stochastic Process. Appl, 1, 317—334.
Вилласенор (Villasenor J.)
Attraction of convolutions to extreme distributions. Techn. Rep. Colegio de Postgraduados, Mexico.
Norming constants for maxima attracted to exp (—exp(—x)). Proc. 43rd Session ISI, Buenos Aires.
Волконский В. A.
Эргодическая теорема для распределения длины выброса. Теория вероятн. и ее примен., 5, № 3, 357 —360.
Волконский В. А., Розанов Ю. А.
(1959) Некоторые предельные теоремы для случайных функций, I. Теория вероятн. и ее примен., 4, № 2, 186—207.
Некоторые предельные теоремы для случайных функций, II. Теория вероятн. и ее примен., 6, № 2, 202—-215.
By (Wu Chuan-Yi)
The types of limit distributions for some terms of a variational series. Sci. Sinica, 15, 749—762.
Вудз, Гонсалес (Woods R. E., Gonzales R. C.)
Samping considerations for multilevel-crossing analysis. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intelligence, 4, 117—123.
Галамбош (Galambos J.)
On the distribution of the maximum of random variables. Ann. Math. Statist., 43, 516—521.
(1973a) A general Poisson limit theorem of probability theory. Duke Math.J., 40, 581—586.
(1973b) The distribution of the maximum of a random number of random variables with applications. J. Appl. Probab., 10, 122—129.
A limit theorem with applications in order statistics. J. Appl. Probab., 11, 219—222.
(1975a) Order statistics of samples from multivariate distributions. J. Amer. Statist. Assoc., 70, 674—680.
(1975b) Limit laws for mixtures with applications to asymptotic theory of extremes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 32, 197—207.
(1978) The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics. New York: Wiley. (Русский перевод: Галамбош Я- Асимптотическая теория порядковых статистик. М.: Наука, 1984.)
Галамбош, Сенега (Galambos J., Seneta Е.)
Record times. Proc. Amer. Math. Soc., 50, 383—387.
Галло (Gallot S. A.)
A bound for the maximum of a number of random variables. J. Appl. Probab., 3, 556—558.
Гейвер (Gaver D. P.)
Random record models. J. Appl. Probab., 13, 538—547.
Глик (Glick N.)
Breaking records and breaking boards. Amer. Math. Monthly, 85, 2—26.
Гнеденко Б. В. (Gnedenko В. V.)
Sur la distribution limite du terme maximum d’une serie aleatoire. Ann. Math., 44, 423—453.
Гнеденко Б. В., Баракат X., Хемида С.
(1985)* О продолжимости предельных совместных распределений для членов вариационного ряда. Доклады АН СССР, 284, № 4, 789—780.
Горовиц (Horowitz J.)
Extreme values from a nonstationary stochastic process: An application to air quality analysis. Technometrics, 22, 469—478.
Грейг (Greig M.)
Extremes in a random assembly. Biometrika, 54, 273—282.
Гренандер (Grenander U.)
Stochastic processes and statistical inference. Ark. Mat., 1, 195—277.
A limit theorem for sums of minima of stochastic variables. Ann. Math. Statist., 36, 1041—1042.
Грин (Green R. F.)
(1976a) Outlier-prone and outlier-resistant distributions. J. Amer. Statist. Assoc., 71, 502—505.
(1976b) Partial attraction of maxima. J. Appl. Probab., 13, 159—163.
Гумбель (Gumbel E. J.)
Statistics of Extremes. New York: Columbia Univ. Press. (Русский перевод: Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. — М.: Мир, 1965.)
Гумбель, Голдштейн (Gumbel Е. J., Goldstein N.)
Analysis of empirical bivarite extremal distributions. J. Amer. Statist. Assoc., 59, 794—81-6.
Гумбель, Мустафи (Gumbel E. J., Mustafi С. K.)
Some analytical properties of bivarite extremal distributions. J. Amer. Statist. Assoc., 62, 569—588.
Дадли (Dudley R. M.)
Sample functions of the Gaussian processes. Ann. Probab., 1, 66—103. (Русский перевод: Дадли P. M. Выборочные функции гауссовского процесса. В сб.: Случайные процессы. Выборочные функции. М.: Мир, 1978.)
Даниеле (Daniels Н. Е.)
The statistical theory of the strength of bundles of threads. Proc. Roy. See. London, Ser. A, 183, 405—435.
Дарлинг (Darling D. А.)
The influence of the maximum term in the addition of independent random variables. Trans. Amer. Math. Soc., 73, 95—107.
Двасс (Dwass M.)
Extremal processes. Ann. Math. Statist., 35, 1718—1725.
Extremal processes, II. Illinois J. Math., 10, 381—391.
Деизель, О’Брайен (Denzel G. E., O’Brien G. L.)
Limit theorems for extreme values of chain-dependent processes. Ann. Probab., 3, 773—779.
Део (Deo С. M.)
(1973a) A note on strong-mixing Gaussian sequences. Ann. Probab., 1, 186—187.
(1973b) An iterated logarithm law for maxima of nonstationary Gaussian processes. J. Appl. Probab., 10, 402—408.
Дехёвельс (Deheuels P.)
Valuer extremales d’echantillons croissants d’une variable aleatoire reelle. Ann. Inst H. Poincare, 10, 89—114.
Caracterisation complete des lois extremes multivariees et de la convergence aux types extremes. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 23.
* Point processes and multivariate extreme values. J. Multivariate Anal., 13, 257—272.
* Strong approximations of records and record times. In: Statistical extremes and applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 491—496.
Джемен Д. (Geman D.)
Horizontal-window conditioning and zeros of stationary Gaussian processes. Ph. D. dissertation, Northwestern Univ., Evanston, Illinois.
On the variance of the number of zeros of a stationary Gaussian process. Ann. Math. Statist., 43, 977—982.
A note on the distribution of hitting times. Ann. Probab., 1, 854—856.
Джемен, Горовиц (Geman D-, Horowitz J.)
Occupation densities. Ann. Probab., 8, 1—67.
Джеруким (Jeruchim M. 0.)
On the estimation of error probability using generalized extreme-value theory. IEEE Trans. Inform. Theory, 22, 108—110.
Джонсон, Котс (Johnson N. L., Kotz S.)
Distributions in Statistics: Continuous Univariate Distributions, Vol. 2. New’ York: Wiley.
Дзюбдзела (Dziubdziela W.)
On convergence rates in the limit law’s for extreme order statistics. Trans. 7th Prague Conf, and 1974 European Meeting of Statisticians, Vol. B, pp. 119—127.
(1986)* Limit laws for А-th order statistics from conditionally mixing arrays of random variables. J. Appl. Probab., 23, N 3, 679—687.
Дзюбдзела, Копочииски (Dziubdziela W., Kopocinski B.)
Limiting properties of the А-th record values. Zastos. Mat., 15, 187—190.
Дзюбдзела, Щётка (Dziubdziela W., Szczotka W.)
On weak convergence of order statistics. Bull. Acad. Pokm. Sci. Ser. Sci. Math., 27, 499—501.
Диболт (Diebolt J.)
Sur la loi de maximum de certains processus stochastiques. Publ. Inst. Stat. Univ. Paris, 24, 31—68.
Додд (Dodd E. L.)
The greatest and the least variate under general laws of error. Trans. Amer. Math. Soc., 25, 525—539.
Дэвенпорт (Davenport A. G.)
Wind structure and wind climate. Int. Res. Seminar on Safety of Structures Under Dynamic Loading, Eds. I. Holand, D. Kavlie, G. Moe, R. Sigbjornsson, pp. 238—256. Trondheim: Tapir.
Дэвис (Davis R. А).
Maxima and minima of stationary sequences. Ann. Probab., 7, 453—460.
Limit laws for upper and lower extremes from stationary mixing sequences. Techn. Report, Massachusetts Institute of Technology.
Limit laws for the maximum and minimum of stationary seqences. Z.Wahrsch. verw. Gebiete, 61, 31—42.
(1982)* Maximum and minimum of one—dimensional diffusions. Stochastic Process. Appl., 13, 1—9.
(1982)* The rate of convergence in distribution of the maxima. Statistica Neerlandi- ca, 36, 31—35.
(1983a)* Limit laws for upper and lower extremes from stationary mixing sequences. J. Multivariate Anal., 13, 273—286.
(1983b)* Stable limits for partial sums of dependent random variables. Ann. Probab., 11, 262—269.
(1984)* On upper and lower extremes in stationary sequences. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveria, Dordrecht: Reidel, 443— —460
Дэвис, Резник (Davis R. A., Resnick S. T.)
(1985)* Limit theory for moving averages of random variables with regularly varying tail probabilities. Ann. Probab., 13, 179—195.
Дэйвид (David H. A.)
Order Statistics, 2nd ed. New York: Wiley. (Русский перевод: Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.)
Дэйвид, Галамбош (David Н. A., Galambos J.)
The asymptotic theory of concomitants of order statistics. J. Appl. Probab., 11, 762—770.
Дюррет, Резник (Durrett R., Resnick S. I.)
Functional limit theorems for dependent variables. Ann. Probab., 6, 829— 846
Жефруа (Geffroy J.)
(1958/1959) Contributions a la theorie des valeurs extremes. Publ. Inst. Stat. Univ. Paris , 7/8, 37—185.
Зидек, Нейвин, Локхарт (Zidek J. V., Navin F. P. D , Lockhart R.)
Statistics of extremes: an alternate method with application to bridge design codes. Technometrics, 21, 185—191.
Ибрагимов И. А., Маслова H. Б.
О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. I. Коэффициенты с нулевым средним. Теория вероятн. и ее примен., 16, № 2, 229—
Иванов В. А.
О среднем числе пересечений уровня выборочными функциями вероятностного процесса. Теор. вероятн. и ее примен., 5, № 3, 352—357.
Ивинг (Ewing J. А.)
Mean length of runs of high waves. J. Geophys. Res., 12, 1933—1936.
Иглхарт (Iglehart. D. L.)
Extreme values in GI/G/1 queue. Ann. Math. Statist., 43, 627—635.
Изари, Маршалл (Esary J. D., Marshall A. W.)
Multivariate distributions with exponential minimums. Ann. Statist., 2, 84—98.
Илвисакер (Ylvisaker N. D.)
The expected number of zeros of a stationary Gaussian process. Ann. Math. Statist., 36, 1043—1046.
On a theorem of Cramer and Leadbetter. Ann. Math. Statist., 37, 682—685.
A note on the absence of tangencies in Gaussian sample paths. Ann. Math. Statist., 39, 261—262.
Ито (Ito K-)
The expected number of zeros of continuous stationary Gaussian processes-
J. Math. Kyoto Univ., 3, 207—216.
Кабана (Cabana E. M.)
The vibrating string forced by white noise. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 15, 111—130.
(1972a) On barrier problems for the vibrating string. Z. Wahrsch. verw. Gebiete 22, 13—24.
(1972b) On the barrier problem for sine series with independent Gaussian coefficients. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 24, 215—219.
Кабана, Вшебор (Cabana E. M., Wschebor M.)
An estimate for the tails of the distribution of the supremum for a class of stationary multiparameter Gaussian processes. J. Appl. Probab., 18, 536— 541.
Каванье, Архаи, Эзрати (Cavanie A., Arhan M., Ezraty R.)
A statistical relationship between individual heights and periods of storm waves. Proceedings BOSS’76, pp. 354—360.
Какуллос, Де Чикко (Cacoullos T., DeCicco H.)
On the distribution of the bivariate range. Technometrics, 9, 476—480.
Калинаускайте H. Б.
О влиянии максимального модуля слагаемого на сумму независимых случайных векторов. I. Литовский матем. сборник, 13, № 4, 117—123.
О влиянии максимального модуля слагаемого на сумму независимых случайных векторов. II. Литовский матем. сборник 14, № 1, 41—48.
Калленберг (Kallenberg О.)
Random Measures. Berlin: Akademie-Verlag, London-New York: Academic Press.
Kapp (Karr A. F.)
Two extreme value processes arising in hydrology. J. Appl. Probab., 13, 190—194.
Картрайт, Лонге-Хиггинс (Cartwright D. E., Longuet—Higgins M. S.)
The statistical distribution of the maxima of a random function. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 237, 212—232.
Кац (Кас M.)
On the average number of real roots of a random algebraic equation. Bull. Amer. Math. Soc., 49, 314—320.
Кац, Слепян (Кас M., Slepian D.)
Large excursions of Gaussian processes. Ann. Math. Statist., 30, 1215—1228.
Кволс (Qualls C.)
On a limit distribution of high level crossings of a stationary Gaussian process. Ann. Math. Statist., 39, 2108—2113.
On the joint distribution of crossings of high multiple levels by a stationary Gaussian process. Ark. Math., 8, 129—137.
On the number of zeros of a stationary Gaussian trigonometric polynomial. J. London Math Soc., 2, 216—220.
Кволс, Ватанабе (Qualls C., Watanabe H.)
Asymptotic properties of Gaussian processes. Ann. Math. Statist., 43, 580— 596.
Кедем (Kedem B.)
Sufficiency and the number of level crossings by a stationary process. Biomet- rika, 65, 207—210.
Клаф (Clough D. J.)
An asymptotic extreme value sampling theory for estimation of a global maximum. Canad. Op. Res. Soc. J., 7, 102—115.
Клаф и Котс (Clough D. J., Kotz S.)
Extreme-value distributions with a special queueing model application. Canad. Op. Res. Soc. J., 3, 96—109.
Кливленд (Cleveland W. S.)
1980) Discussion of Horowitz (1980). Technometrics, 22 , 479—482.
Колчин В. Ф.
О предельном поведении крайних членов вариационного ряда в полиномиальной схеме. Теория вероятн. и ее примен., 14, № 3, 476—487.
Костюков (Kostyukov А. I.)
Curve-crossing problems for Gaussian stochastic processes and its application to neural modeling. Biol. Cybernetics, 29, 187—191.
Коэн (Cohen J. W.)
The distribution of the maximum number of customers present simultaneously during a busy period for the queueing systems M/G/l and G/M/l. J. Appl. Probab., 4, 162—179.
(1982a)* The penultimate form of approximation to normal extremes. Adv. Appl, Prob., 14, 324—339.
(1982b)* Convergence rates for the ultimate and penultimate approximations in extreme value theory. Adv. Appl. Prob., 14, 324—339.
Крамер (Cramer H.)
On the maximum of a normal stationary stochastic process. Bull. Amer, Math. Soc., 68, 512—516.
A limit theorem for the maximum values of certain stochastic processes. Теория вероятн. и ее примен., 10, № 1, 137—149.
On the intersections between the trajectories of a normal stationary process and a high level. Ark. Mat., 6, 337—349.
Крамер, Лидбеттер (Cramer H., Leadbetter M. R.)
(1965) The moments of the number of crossings of a level by a stationary normal process. Ann. Math. Statist., 36, 1656—1663.
Stationary and Related Stochastic Processes. New York: Wiley. (Русский перевод: Крамер Г., Лидбеттер М. Р. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.)
Крамер, Лидбеттер, Серфлинг (Cramer Н., Leadbetter М. R-, Serfling R. J.)
On distribution function-moment relationships in a stationary point process. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 18, 1—8.
Кудо (Kudo A.)
On the distribution of the maximum value of an equally correlated sample from a normal population. Sankhya, Ser. A, 20, 309—316.
Кьюзик (Cuzick J. M.)
Conditions for finite moments of the number of zero crossings for Gaussian processes. Ann. Probab., 3, 849—858.
Boundary crossing probabilities for stationary Gaussian processes and Brownian motion. Trans. Amer. Math. Soc., 263, 469—492.
Кэмпбелл, Тсокос (Campbell J. W., Tsokos С. P.)
The asymptotic distribution of maxima in bivariate samples. J. Amer. Statist. Assoc., 68, 734—739.
Ламперти (Lamperti J.)
On extreme order statistics. Ann. Math. Statist., 35, 1726—1737.
Леви (Levy P.)
Sur la division d'un segment par des points choisis au hasard. C. R. Acad, Sci. Paris, 208, 147—149.
Лей, Роббинс (Lai T. L., Robbins H.)
Maximally dependent random variables. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 73, 286—288.
A class of dependent random variables and their maxima. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 42, 89—111.
Лепаж, Вудруф, Зинн (LePage R., Woodroofe M., Zinn J.)
* Convergence to stable distributions via order statistics. Ann. Probab., 9, 624—632.
Либлейн (Lieblein J.)
Two early papers on the relation between extreme values and tensile strength. Biometrika, 41, 559—560.
Лидбеттер (Leadbetter М. R.)
On the normal stationary process—areas outside given levels. J. Roy. Statist. Soc., Ser. B., 25, 189—194.
On crossings of arbitrary curves by certain Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 60—68.
(1966a) On streams of events and mixtures of streams. J. Roy. Statist Soc., Ser. B, 28, 218—227.
(1966b) Local maxima of stationary processes. Proc. Cambridge Phil. Soc., 62, 263—268.
(1966c) On crossings of levels and curves by a wide class of stochastic processes. Ann. Math. Statist., 37, 260—267.
A note on the moments of the number of axis-crossings by a stochastic process. Bull. Amer. Math. Soc., 73, 129—132.
Extreme value theory for stochastic processes. Proc. 5th Princeton Systems Symposium.
Point processes generated by level crossings. In: Stochastic point processes, Ed. P. A. W. Lewis. New York: Wiley.
On extreme values in stationary sequences. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 28, 289—303.
Weak convergence of high level exceedances by stationary sequence. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 34, 11—15.
Extremes and local dependence in stationary sequences. Center for Stoch. Proc. Report 12, Statistics Dept. Univ, of N. C.
(1983)* Extremes and local dependence in stationary sequences. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 65, 291—306.
(1984)* Extremes in dependent random sequences. Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht, Reidel, 155—165.
Лидбеттер, Крайер (Leadbetter M. R., Cryer J. D.)
(1965a) On the mean number of curve crossings by non-stationary normal processes. Ann. Math. Statist., 36, 509—516.
(1965b) The variance of the number of zeros of a stationary normal process. Bull. Amer. Math. Soc., 71, 561—563.
Лидбеттер, Линдгрен, Ротсен (Leadbetter M. R., Lindgren G., Rootzen H.)
Conditions for the convergence in distribution of maxima of stationary normal processes. Stochastic Process. Appl., 8, 131—139.
Лидбеттер, Ротсен ((Leadbetter M. R., Rootzen H.)
Extreme value theory for continuous parameter stationary processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 60, 1—20.
* Extremal Theory for stochastic processes. Techn. Report № 124, Dept, of Statistics, Univ, of North Carolina.
Линдгрен (Lindgren G.)
Some properties of a normal process near a local maximum. Ann. Math. Statist., 41, 1870—1883.
Extreme values of stationary normal processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 17, 39—47.
(1972a) Wave-length and amplitude in Gaussian noise. Adv. Appl. Probab., 4, 81—108.
(1972b) Wave-length and amplitude for a stationary Gaussian process after a high maximum. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 23, 293—326. (Русский перевод: Линдгрен Г. Длина волны и амплитуда стационарного гауссовского процесса после высокого максимума. •— В сб.: Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. М.: Мир, 1978).
Discrete wave-analysis of continuous stochastic processes. Stochastic Process. Appl., 1, 83—105.
A note on the asymptotic independence of high level crossings for dependent Gaussian processes. Ann. Probab., 2, 535—539.
(1975а) Prediction from a random time point. Ann. Probab., 3, 412—423.
(1975b) Prediction of catastrophes and high level crossings. Bull. Int. Statist. Inst., 46, Book 2, 225—240.
Functional limits of empirical distributions in crossing theory. Stochastic Process. Appl., 5, 143—149.
Prediction of level crossings for normal processes containing deterministic components. Adv. Appl. Probab., 11, 93—117.
(1980a) Model processes in nonlinear prediction with application to detection and alarm. Ann. Probab., 8, 775—792.
(1980b) Point processes of exits by bivariate Gaussian processes and extremal theory for x2-process and its concomitants. J. Multivariate Anal., 10, 181—206.
(1980c) Extreme values and crossings for the x2-process and other functions of multidimensional Gaussian processes, with reliability applications. Adv. Appl. Probab., 12, 746—774.
Jumps and bumps on random roads. J. Sound and Vibration, 78, 383—395.
(1982a) On the shape and duration of FM-clicks. Techn. Report 1982 : 1, Dept, of Math. Statist., Univ, of Lund.
(1982b) Extremal rank and transformation of variables for extremes of functions of multivariate Gaussian processes. Techn. Report 1982 : 4, Dept, of Math. Statist., Univ, of Lund.
(1984a)* Extremal ranks and transformation of variables for extremes of functions of multivariate Gaussian processes. Stochastic Process. Appl., 17, 285—312.
(1984b)* Use and structure of Slepian model processes for prediction and detection in crossing and extreme value theory. In: Statistical extremes and applications. Ed. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel.
Линдгрен, де Маре, Ротсен (Lindgren G., Mare J. de, Rootzen H.)
(1975) Weak convergence of high level crossings and maxima for one or more Gaussian processes. Ann. Probab., 3, 961—978.
Лицдгрен, Рыхлик (Lindgren G., Rychlik I.)
Wave characteristic distributions for Gaussian waves — wave-length, amplitude and steepness. Ocean Engineering, 9, 411—432.
Логан, Шепп (Logan В. F., Shepp L. A.)
(1968a) Real zeros of random polynomials. Proc. London Math. Soc., 18, 29—35. (1968b) Real zeros of random polynomials II. Proc. London Math. Soc., 18, 308—314. Лойнес (Loynes R. M.)
Extreme values in uniformly mixing stationary stochastic processes. Ann. Math. Statist., 36, 993—999.
Маккорд (McCord J. R.)
On asymptotic moments of extreme statistics. Ann. Math. Statist., 35, 1738—1745.
Маккормик (McCormick W. P.)
(1980a) An extension to a strong law result of Mittal and Ylvisaker for the maxima of stationary Gaussian processes. Ann. Probab., 8, 498—510.
(1980b) Weak convergence for the maxima of stationary Gaussian processes using random normalization. Ann. Probab., 8, 483—497.
Маккормик, Миттал (McCormick W. P., Mittal Y.)
On weak convergence of the maximum. Techn. Report No. 81, Dept, of Statist., Stanford Univ.
Малевич T. Л.
Некоторые оценки для вероятностей событий, порождаемых гауссовскими процессами и полями, и применение к вопросам пересечения уровня. Теория вероятн. и ее примен., 19, № 1, 140—151.
Об условиях конечности моментов числа нулей гауссовских стационарных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 24, № 4, 741—753.
Малевич Т. Л., Тошов Н.
О границах максимума гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и матем. статистика, № 18, 88—96.
Мандл (Mandi Р.)
(1968)* Analytic treatment of one-dimensional Markov processes. New York: Springer.
Мардиа (Mardia К. V.)
Asymptotic independence of bivariate extremes. Calcutta Statist. Assoc. Bull., 13, 172—178.
Маре де (Mare J. de)
(1977a) Reconstruction of a stationary Gaussian process from its sign-changes. J. Appl. Probab., 14, 38—57.
(1977b) The behaviour of a non-differentiable stationary Gaussian process after a level crossing. Stochastic Process. Appl., 6, 77—86.
Optimal prediction of catastrophes with applications to Gaussian processes. Ann. Probab., 8, 841—850.
Маркус (Marcus M. B.)
A bound for the distribution of the maximum of continuous Gaussian processes. Ann. Math. Statist., 41, 305—309.
Upper bounds for the asymptotic maxima of continuous Gaussian processes. Ann. Math. S±a*ist., 43, 522—533.
Asymptotic maxima of continuous Gaussian processes. Ann. Probab., 2, 702—713.
Level crossings of a stochastic process with absolutely continuous sample paths. Ann. Probab., 5, 52—71.
(1984)* Extreme values for sequences of stable random variables. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 311—324.
Маркус, Пински (Marcus M. B., Pinsky M.)
On the domain of attraction of exp (—exp(—x)). J. Math. Anal. Appl., 28, 440—449.
Маруяма (Maruyama G.)
The harmonic analysis of stationary stochastic processes. Mem. Fac. Sci. Kyusyu Univ. A4, 45—106.
Маттес, Керстан, Мекке (Matthes K-, Kerstan J., Mecke J.)
Infinitely Divisible Point Processes. New York: Wiley. (Русский перевод: Маттес К., Керстан Й., Мекке Й. Безграиичио делимые точечные процессы.— М.: Мир, 1982.)
Мацак И. К.
О числе пересечений кривой случайным процессом. Теория вероятн. и матем. статистика, № 17, 93—101.
О касаниях и пересечениях случайного процесса с непрерывной кривой. Теория верояти. и матем. статистика, № 18, 97—100.
Мейцлер (Mejzler D.)
Limit distributions for the extreme order statistics. Canad. Math. Bulk, 21, 447—459.
Меткалф, Смитц (Metcalfe A. G., Smitz G. K.)
Effect of length on the strength of glass fibres. Proc. Amer. Soc. Testing and Materials, 64, 1075—1093.
Мизес, фон (Mises R. von)
Ober die Variationsbreite einer Beobachtungsreihe. In: Selected Papers, Vol. II, pp. 129—134, Providence, R. L: Amer. Math. Soc.
La distribution de la plus grande de n valeurs. In: Selected papers, Vol. II, pp. 271—294. Providence, R. L: Amer. Math. Soc.
Мирошин P. H.
Достаточное условие конечности моментов числа нулей для дифференцируемого гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примеи., 18, № 3. 481—490.
Необходимое условие конечности числа нулей дифференцируемого гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примен., 19, № 3, 596—603.
Миттаи (Mittai У.)
(1984)* Comparison technique for highly dependent stationary Gaussian processes. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. By Tiago de Oliveira. Dordrecht: Reidel, 181—185.
Миттал (Mittal Y.)
Limiting behaviour of maxima in stationary Gaussian sequences. Ann. Probab., 2, 231—242.
Maxima of partial samples in Gaussian sequences. Ann. Probab., 6, 421— 432.
A new mixing condition for stationary Gaussian processes. Ann. Probab., 7, 724—730.
Миттал, Илвисакер (Mittal Y., Ylvisaker D.)
Limit distributions for the maxima of stationary Gaussian processes. Stochastic Process. AppL, 3, 1—18.
Strong laws for the maxima of stationary Gaussian processes. Ann. Probab., 4, 357—371.
Михайлов В. Г.
Асимптотическая независимость компонент вектора крайних членов многомерного вариационного ряда. Теория вероятн. и ее примен., 19, № 4, 849—853.
Моллисон, Буиемаи, Солтер (Mollison D., Buneman О. Р., Salter S. Н.)
Wave power availability in the NE Atlantic. Nature, 263, 223—226.
Мори (Mori T.)
Limit laws for maxima and second maxima for strong-mixing processes. Ann. Probab., 4, 122—126.
(1977)* Limit distributions of two-dimensional point processes generated by strong mixing sequences. Yokohama Math. J., 25, 155—168.
The relation of sums and extremes of random variables. Proc. 43rd ISI Meeting, Buenos Aires.
Нагаев A. B.
Предельное распределение крайних членов вариационного ряда при условиях типа больших уклонений, налагаемых на выборочное среднее. Теория вероятн. и ее примен., 16, № 1, 118—131.
Наир (Nair К. А.)
Bivariate extreme value distributions. Comm. Statist., A 5, 575—581.
Asymptotic distributions and moments of normal extremes. Ann. Probab.,
Найак (Nayak S. S.)
(1985)* Almost sure limit points of independent copies of sample maxima. Sto- chast. Process. AppL, 20, 353—360.
Накагава (Nakagawa T.)
Discrete extreme distributions. IEEE Trans. Reliab., 27, 367—368.
Национальное бюро стандартов (National Bureau of Standards)
Probability tables for the analysis of extreme value data. AppL Math. Ser., 22. Невзоров В. Б.
(1987)* Рекорды. Теория вероятн. и ее примен., 32, № 2, 219—251.
Нётс (Neuts М. F.)
Waitingtimes between record observations. J. AppL Probab., 4, 206—208. Нисио (Nisio M.)
On the extreme values of Gaussian processes. Osaka J. Math., 4, 313—326. Носко В. П.
(1974)* Использование неравенств Морса для оценки числа выбросов случайного поля за фиксированный уровень. В сб. «Исследования по случайным полям». М.: Изд-во Московского ун-та, с. 7—18.
(1982а)* Горизонт случайного поля конусов на плоскости. Средняя частота изломов горизонта. Теория вероятн. и ее примен., 27, вып. 2, с. 259—269.
(1982b)* Слабая сходимость горизонта случайного поля конусов, заданного на расширяющейся полосе. Теория вероятн. и ее примен., 27, вып. 4, с. 693—706.
(1985)* Локальная структура однородного гауссовского случайного поля в окрестности точек высокого уровня. Теория вероятн. и ее примен., 30, вып. 4, с. 722—736.
(1987)* Асимптотические распределения характеристик выбросов однородного гауссовского случайного поля за высокий уровень. Теория вероятн.
! и ее примен., 32, вып. 4, с. 722—733.
Ньюэлл (Newell G. F.)
Asymptotic extreme value distribution for one-dimensional diffusion process. J. Math. Meeh., 11, 481—496.
Asymptotic extremes for m-dependent random variables. Ann. Math. Statist., 35, 1322—1325.
О’Брайен (O’ Brien G. L.)
(1974a) Limit theorems for the maximum term of a stationary process. Ann. Probab., 2, 540—545.
(1974b) The limiting distribution of maxima of random variables defined on a denumerable Markov chain. Ann. Probab., 2, 103—111.
(1974c) The maximum term of uniformly mixing stationary processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 30, 57—63.
(1984)* Extreme values for stationary and Markov sequences. Report, Department of Mathematics, York Univ.
Оки (Ochi M. K.)
On prediction of extreme values. J. Ship Res., 17, 29—37.
Осборн, Шиллинг (Osborn P. W., Schilling D. L.)
Threshold analysis of phase-locked-loop demodulators using most likely noise. IEEE Trans. Comm., 19, 31—41.
Пакширайан, Хеббар (Pakshirajan R. P„ Hebbar H. V.)
Limit theorems for extremes of absolute values of Gaussian sequences. Sank- hya, Ser. A, 39, 191—195.
Пальм (Palm C.)
Intensitatsschwankungen in Fernsprechverkehr. Ericson Technics, pp. 1— 189.
Панчева E.
Limit theorems for extreme order statistics under nonlinear normalization. Lecture Notes Math., N 1155, 284—309.
Общие предельные теоремы для максимума независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 31, № 4, 730—744.
Пикандс (Pickands J. Ill)
(1967а) Sample sequences of maxima. Ann. Math. Statist., 38, 1570—1574.
(1967b) Maxima of stationary Gaussian processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 7, 190—233.
Moment convergence of sample extremes. Ann. Math. Statist., 39, 881—889.
(1969a) Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc., 145, 51—73.
(1969b) Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process. Trans. Amer. Math. Soc., 145, 75—86.
The two-dimensional Poisson process and extremal processes. J. Appl. Probab., 8, 745-756.
(1980)* Multivariate negative exponential and extreme value distributions. Manuscript, Wharton School of Business, Univ, of Pennsylvania.
Multivariate extreme value distributions. Proc. 43rd ISI Meeting, Buenos Aires.
Пикерсгиль Е. А., Питербарг В. И.
(1987)* Оценка скорости сходимости в пуассоновской предельной теореме для больших выбросов гауссовского стационарного процесса. В сб. «Теория случайных процессов», вып. 15. Киев: Наукова думка, с. 74—79.
Питербарг В. И.
(1978а) Асимптотические разложения вероятностей больших выбросов гауссовских процессов. Докл. АН СССР, 242, № 6, с. 1248—1251.
(1978b)* Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций. В сб. «Случайные процессы. Выборочные функции и пересечевия». М.: Мир, с. 258—280.
(1979)* Уточнение предельной теоремы для максимума гауссовского стационарного процесса. В сб. «Случайные процессы и поля». М.: Изд-во Московского ун-та, с. 62—70.
(1981а) Сравнение функций распределения максимумов гауссовских процессов. Теория верояти. и ее примен., 26, вып. 4, с. 702—719.
(1981b)* Предельная теорема Пуассона для числа больших выбросов гауссовской последовательности. Математические заметки, 29, № 1, с. 131—144.
(1982а)* Гауссовские случайные процессы. «Итоги науки и техники. Теория вероятностей, математическая статистика. Теоретическая кибернетика». 19, с. 155—199.
(1982b)* Большие уклонения случайных процессов, близких к гауссовским. Теория верояти. и ее примен., 27, вып. 3, с. 474—491.
Питербарг В. И., Присяжнюк В. П.
Асимптотика вероятности большого выброса для гауссовского нестационарного процесса. Теория верояти. и матем. статистика, № 18, 121—134.
Точная асимптотика вероятности большого размаха гауссовского стационарного процесса. Теория верояти. и ее примен., 26, № 3, 480—495.
Познер (Posner Е. С.)
The application of extreme-value theory to error-free communication. Techno- metrics, 7, 517—529.
Поздняков В. В.
Approximate formulas for the probability of noncrossing of level by stationary process. In: Col. Janos Bolyai, 9th European Meeting of Statisticians. Vol. II. Ed. J. Gani, pp. 637—640.
Пури, Трэи (Puri M. L., Tran L. T.)
Local maxima of the sample functions of the M-parameter Bessel process. Stochastic Process. Appl., 9, 137—145.
Райс (Rice S. O.)
The distribution of the maxima of a random curve. Amer. J. Math., 61, 409—416.
(1944, 1945) Mathematical analysis of random noise. Bell Syst. Tech. J., 23, 282— 332, 24, 46—156. (Русский перевод: Райс С. Теория флуктуационных шумов. — В сб.: Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. М.: ИЛ, 1953.)
Рао (Rao С. R.)
Linear Statistical Inference and Its Applications, 2nd ed. New York: Wiley. (Русский перевод первого издания: Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.)
Резник (Resnick S. I.)
Tail equivalence and its applications. J. Appl. Probab., 8, 136—156.
Products of distribution functions attracted to extreme value laws. J. Appl. Probab., 8, 781—793.
(1973a) Limit laws for record values. Stochastic Process. Appl., 1, 67—82.
(1973b) Record values and maxima. Ann. Probab., 1, 650—662.
(1973c) Extremal processes and record value times. J. Appl. Probab., 10, 864—868.
Inverses of extremal processes. Adv. Appl. Probab., 6, 392—406.
Weak convergence to extremal processes. Ann. Probab., 3, 951—960.
(1985)* Uniform rates of convergence to extreme value distributions. Report, Department of Statistics, Colorado State univ.
(1986)* Point processes, Regular variation and weak convergence. Adv. Appl. Probab., 18, 66—138.
Резник, Рабинович (Resnick S. I., Rubinovitch M.)
The structure of extremal processes. Adv. Appl. Probab., 5, 287—307. Рейс (Reiss R.-D.)
Uniform approximation to distributions of extreme order statistics. Adv. Appl. Probab., 13, 533—547.
Реньи (Renyi A.)
On the theory of order statistics. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 4, 191— 229.
Робертс (Roberts E. M.)
(1979a) Review of statistics of extreme values with applications to air quality jlata, Part I: review. J. Air Pollut. Control Assoc., 29, 632—637.
(1979b) Review of statistics of extreme values with applications to air quality data. Part II: applications. J. Air Pollut. Control Assoc., 29, 733—740.
Розенблатт (Rosenblatt M.)
A central limit theorem and a strong mixing condition. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 42, 43—47.
Рос (Roes P. В. M.)
On the expected number of crossings of a level in certain stochastic processes. J. Appl. Probab., 7, 766—770.
Россберг (Rossberg H. J.)
(1964a) Ober die stochastische Unabhangigkeit gevisser Funktionen von Ranggros- sen. Math. Nachr., 28, 157—167.
(1964b) Die asymptotische Unabhangigkeit der kleinsten und grossten Werte einer Stichprobe vom Stichprobenmittel. Math. Nachr., 28, 305—318.
Ротсен (Rootzen H.)
Some properties of convergence in distribution of sums and maxima of dependent random variables. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 29, 295—307.
Extremes of moving averages of stable processes. Ann. Probab., 6, 847—869.
(1983a)* Extreme value theory for moving average processes. Ann. Probab., 14, 612—652.
(1983b)* The rate of convergence of extremes of stationary normal sequences. Adv. Appl. Probab., 15, 54—80.
(1984)* Extremes in continuous stochastic processes. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 167—180.
(1985a)* A ratio limit theorem for weighted sums. Report, Dept, of Math. Statistics, Univ, of Copenhagen.
(1985b)* Maxima and exceedances of stationary Markov chains. Adv. Appl. Probab.
Сархан, Гринберг (Sarhan A. E., Greenberg B. G.)
Contributions to Order Statistics. New York: Wiley.
Сахран (Sahran J.)
Joint distributions based on zeros, horizontal crossings and maximum deviations. Z. Angew. Math. Meeh., 57, 610—613.
Сато, Танабе (Sato H.,t Tanabe M.)
Level dependence of the variance of the number of level-crossing points of a stationary Gaussian process. IEEE Trans. Inform. Theory, 25, 127—129. Свитинг (Sweeting T. J.)
(1985)* On domains of uniform local attraction in extreme value theory. Ann. Probab., 13, 196—205.
Селларс (Sellars F.)
Maximum heights of ocean waves. J. Geophys. Res., 80, 398—404.
Сен (Sen P. K.)
A note on the large sample behaviour of extreme sample values from distributions with finite endpoints. Bull. Calcutta Statist. Assoc., 10, 106—115,
On weak convergence of extremal processes for random sample sizes. Ann. Math. Statist., 43, 1355—1362.
Серфлинг (Serfling R. J.)
A general Poisson approximation theorem. Ann. Probab., 3, 726—731.
Some elementary results on Poisson approximation in a sequence of Bernoulli trials. SIAM Rev., 20, 567—579.
Серфозо (Serfozo R.)
High-level exceedances of regenerative and semi-stationary processes. J. Appl. Probab., 17, 423—431.
Сетураман (Sethuraman J.)
On a characterization of the three limiting types of the extreme. Sankhya, Ser. A, 27, 357—364.
Сибуйа (Sibuya M.)
Bivariate extremal distributions I. Ann. Inst. Statist. Math., 11, 195—210.
Сиддики, Биодиии (Siddiqui M. M., Biodini R. W.)
The joint distribution of record values and inter-record times. Ann. Probab., 3, 1012—1013.
Симиу, Филлибен (Simiu E., Filliben J. J.)
Probability distributions of extreme wind speeds. J. Structural Div. ASCE, 102, 1861—1877.
Синг (Hsing T.)
* Point processes associated with extreme value theory. Dissertation, Stoch.
Proc. Center Tech. Rept. № 83.
* Extreme value theory for multivariate stationary sequences. Report, Dept, of Math., Univ, of Texas at Arlington.
Сингпурвалла (Singpurwalla N. D.)
Statistical fatigue models, a survey. IEEE Trans. Reliab., 20, 185—189.
Extreme values from a lognormal law with applications to air pollution problems. Technometrics, 14, 703—711.
Сингх (Singh C.)
On the extreme values and range of samples from non-normal populations. Boimetrika, 54, 541—550.
Сирао, Ватанабе (Sirao T., Watanabe H.)
On the upper and lower class for stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc., 147, 301—331.
Слепян (Slepian D.)
First passage time for a particular Gaussian process. Ann. Math. Statist., 32, 610—612.
The one-sided barrier problem for Gaussian noise. Bell System Techn. J., 41, 463—501.
On the zeros of Gaussian noise. In: Time Series Analysis, Ed. M. Rosenblatt, pp. 104—115. New York: Wiley.
Смирнов H. B.
Предельные законы для членов вариационного ряда. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 25, 1—60.
Некоторые замечания о предельных законах для членов вариационного ряда. Теория вероятн. и ее примен., 12, № 2, 391—392.
Смит (Smith R. L.)
A probability model for fibrous composites with local load sharing. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 372, 539—553.
Сривастава (Srivastava О. P.)
Asymptotic independence of certain statistics connected with the extreme order statistics in a bivariate distribution. Sankhya, Ser. A, 29, 175—182.
Сутасинекул (Suthasinekul S.)
Level crossing patterns of time series: application to signal processing. Proc. 3rd Int. Conf. Pattern Recognition, pp. 524—528.
Тата (Tata М. N.)
On outstanding values in a sequence of random variables. Z. Wahrsch. verw. Gebiete., 12, 9—20.
Типпет (Tippett L. H. C.)
On the extreme individuals and the range of samples taken from a normal population. Biometrika, 17, 364—387.
Тодоровиц (Todorovic P.)
A probabilistic approach to analysis and prediction of floods. Proc. 43rd Session TSI, Buenos Aires.
Тойгельс (Teugels J. L.)
Limit theorems on order statistics. Ann. Probab., 9, 868—880.
(1984)* On successive record values in a sequence of independent identically distributed random variables. In: Statistical extremes and applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 639—650.
Tom (Thom H. C. S.)
Asymptotic extreme value distributions of wave heights in the open ocean. J. Marine Res., 29, 19—27.
Туркмэн (Turkman К- F.)X
(1984)* On the asymptotic’upcrossing of a class of non—stationary sequences. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 669—678.
Тьяго де Оливейра (Tiago de Oliveira J.)
Extremal distributions. Rev. Fac. Sci. Lisboa, Ser. A, 7, 215—227.
The asymptotical independence of the sample mean and the extremes. Rev. Fac. Sci., Lisboa, Ser. A, 8, 299—310.
(1962/63) Structure theory of bivariate extremes: extensions. Estudos Math. Estat. Econom. 7, 165—195.
Extremal processes: definition and properties. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 17, 25—36.
Biextremal distributions: statistical decision. Trab. Estat. Invest. Oper. 21, 107—117.
(1975a) Bivariate extremes: extensions. Bull. Int. Stat. Inst. 46, Book 2, 241—252.
(1975b) Bivariate and multivariate extremal distributions. In: Statistical Distributions in Scientific Work, Ed. G. P. Patil et. al.. Vol. 1, pp. 355—361. Dordrecht-Holland: Reidel.
Asymptotic behaviour of maxima with periodic disturbances. Ann. Inst. Statist. Math. 28, 19—23.
Bivariate extremes: foundations and statistics. In: Proc. Fifth Int. Symp. Multivar. Anal., Ed. P. R. Krishnaia, pp. 349—366. Amsterdam: North Holland.
Уильямс (Williams D.)
On Renyi’s «record» problem and Engel’s series. Bull. London Math. Soc., 5, 235—237.
Умбах (Umbach D.)
On the approximate behaviour of posterior distribution for an extreme multivariate observation. J. Multivariate Anal., 8, 518—531.
Уолш (Walsh J. E.)
(1969a) Asymptotic independence between largest and smallest of a set of independent observations. Ann. Inst. Statist. Math., 21, 287—289.
(1969b) Approximate distributions for largest and for smallest of a set of independent observations. South African Statist. J., 3, 83—89.
Sample sizes for approximate independence of largest and smallest order statistics. J. Amer. Statist., Assoc., 65, 860—863.
Уонг (Wong E.)
Some results concerning the zero-crossings of Gaussian noise. SIAM J. Appl, Math., 14, 1246—1254,
Уоттс (Watts J. Н. V.)
Limit theorems and representations for order statistics from dependent sequences. Ph. D. thesis, Statistics Dept., Univ, of North Carolina.
Уоттс (Watts V.)
The almost sure representation of intermediate order statistics. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 54, 281—285.
Уоттс, Ротсен, Лидбеттер (Watts V., Rootzen H., Leadbetter M. R.)
Convergence in distribution of intermediate order statistics from stationary sequences. Ann. Probab., 10, 653—662.
Уэббер (Webber M.)
Analyse asymptotique des processus Gaussienns stationaires. Inst. Res. Math. Avan. Strasbourg.
Уэлш (Welsch R. E.)
A weak convergence theorem for order statistics from strong-mixing processes. Ann. Math. Statist., 42, 1637—1646.
Limit laws for extreme order statistics from strong-mixing processes. Ann. Math. Statist., 43, 439—446.
A convergence theorem for extreme values from Gaussian sequences. Ann. Probab., 1, 398—404. (Русский перевод: Уэлш P. Предельная теорема для экстремальных значений. В сб.: Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения. М.: Мир, 1978.)
Фаталов В. Р.
(1983)* Точная асимптотика функции распределения максимума гауссовского иеодиородиого случайного поля. Докл. АрмССР, 27, № 1, с. 25—29.
Феллер (Feller W.)
An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. New York: Willey. (Русский перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. Т. 1. —М.: Мир, 1984.)
An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 2nd ed. New York: Wiley. (Русский перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. II.—М.: Мир, 1984.)
Фериик (Fernique X.)
Continuite des processus Gaussiens. Comptes Rendus, 258, 6058—6060.
Фертиг, Мани (Fertig К. W., Mann N. R.)
An accurate approximation to the sampling distribution of studentized extreme value statistic. Technometrics, 22, 83—97.
Фигер (Fieger W.)
Eine fur beliebige Call-Prozesse geltende Verallgemeinerung der Palmschen Formein. Math. Scand., 16, 121—147.
Zero points of stochastic processes. Techn. Report, Univ, of Aarhus.
(1969a) Die Anzahl der lokalen Maximalstellen eines stationaren Gauszchen Pro- zesses. Math. Scand., 25, 218—226.
(1969b) Die Transformation von Burkill-Unterteilungsintegralen. Math. Ann., 183, 115—129.
Die Anzahl der Gamma-Niveau-Kreuzungspunkte von stochastischen Pro- zessen. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 18, 227—260.
Финикс, Тейлор (Phoenix S. L., Taylor H. M.)
The asymptotic strength distribution of a general fiber bundle. Adv. Appl. Probab., 5, 200—216.
Фиистер (Finster M.)
(1982)* The maximum term and first passage time for autoregressions. Ann. Probab., 10, 737—744.
Фишер, Типпет (Fisher R. A., Tippett L. H. C.)
Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proc. Camb. Phil. Soc., 24, 180—190.
Фолк (Falk М.)
(1984)* Uniform rates of convergence of extreme order statistics. Thesis, Dept, of Math., Univ, of Siegen.
Фреше (Frechet M.)
Sur la loi de probabilite de I'ecart maximum. Ann. Soc. Math. Polon.,
6, 93—116.,
Les Probabilites Associees a unSystemed' Evenements Compatibleset Dependents, 2 ed. Paris: Hermann.
Фридмаи (Freedman D.)
* The Poisson approximation for dependent events. Ann. Probab., 2, 256— 269.
Фройденталь (Freudenthal A. M.)
Statistical approach to brittle fracture. In: Fracture: An Advanced Treatise, Vol. If, Ed. H. Liebowitz., pp., 592—619.
Хагиги-Талаб, Райт (Haghighi-Talab D., Wright C.)
On the distribution of records in a finite sequence of observations, with an application to a road traffic problem. J. Appl. Probab., 10, 556—571. Хаи де (Haan L. de)
On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes. Amsterdam Math. Centre Tracts, 32, 1—124.
A form of regular variation and its application to the domain of attraction of the double exponential distribution. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 17, 241—558.
Weak limits of sample range. J. Appl. Probab., 11, 836—841.
Sample extremes: an elementary introduction. Statist. Neerlandica, 30, 161—172.
(1984a)* Extremal processes. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 297—309.
(1984b)* Slow variation and characterization of domains of attraction. In: Statistical Extremes and Applications. Ed. J. Tiago de Oliveira, Dordrecht: Reidel, 31—48.
Хаи де, Резиик (Haan L. de, Resnick S. I.)
(1973) Almost sure limit points of record values. J. Appl. Probab., 10, 528—542.
Limit theory for multivariate sample extremes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 40, 317—337.
(1982a) Local limit theorems for sample extremes. Ann. Probab., 10, 396—413.
(1982b) Asymptotically balanced functions and stochastic compactness of extremes. Techn. Report 8206/S, Econ. Inst., Erasmus Univ.
Хаи де, Риддер (Haan L. de, Ridder G.)
Stochastic compactness of sample extremes. Ann. Probab., 7, 290—303.
Хан де, Хордэйк (Haan L. de, Hordijk A.)
The rate of growth of sample maxima. Ann. Math. Statist., 43, 1185—1196. Харрис (Harris R.)
An application of extreme value theory to reliability theory. Ann. Math. Statist., 41, 1456—1465.
Хартер (Harter H. L.)
A survey of the literature on the size effect on material strength. Tech. Report AFFDL-TR-77-11, Wright-Patterson Air Force Base, pp. 1—450.
A bibliography of extreme-value theory. Intern. Statist. Rev., 46, 279—306. Хеббар (Hebbar H. V.)
Almost sure limit points of maxima of stationary Gaussian sequences. Ann. Probab., 8, 393—399.
Хейде (Heyde С. C.)
On the growth of the maximum queue length in a stable queue. Oper. Res., 19, 447—452.
Хелстром (Helstrom C. W.)
(1957) The distribution of the number of crossings of a Gaussian stochastic process. IEEE Trans. Inform. Theory, 3, 232—237.
Хёглунд (Hoglund Т.)
Asymptotic normality of sums of minima of random variables. Ann. Math. Statist., 43, 351—353.
Холдейн, Джеякар (Haldane J. B. S., Jayakar S. D.)
(1963)* The distribution of extremal and nearly extremal values in samples from a normal population. Biometrika, 50, 89—94.
Холл (Hall P.)
(1978a) On the extreme terms of a sample from the domain of attraction of a stable law. J. London Math. Soc., 18, 181—191.
(1978b) Representations and limit theorems for extreme value distributions. J. Appl. Probab., 15, 639—644.
(1978c) Some asymptotic expansions of moments of order statistics. Stochastic Process. Appl., 7, 265—275.
The rate of convergence of normal extremes. J. Appl. Probab., 16, 433—439.
Estimating probabilities for normal extremes. Adv. Appl. Probab., 12, 491—500.
Холл, Веллнер (Hall W. J., Wellner J. A.)
The rate of convergence in law of the maximum of an exponential sample Statist. Neerlandica, 33, 151—154.
Холмс, Строудерман (Holmes P. T., Strawderman W. E.)
A note on the waiting times between record observations. J. Appl. Probab.,
711—714.
Холст (Holst L.)
On convergence of the coverage by random arcs on a circle and the largest spacing. Ann. Probab., 9, 648—655.
Хольберг, де Маре (Hallberg В., Mare J. de)
Extreme value theory and break frequency of paper. Bull. Int. Statist. Inst., 46, Book 3, 357—361.
Хэсофер (Hasofer A. M.)
A statistical theory of the brittle fracture. Int. J. Fracture Mechanics., 4, 439—452.
On the derivative and upcrossings of the Rayleigh process. Austral. J. Statist., 12, 150—151.
Wind-load design based on statistics. Proc. Inst. Civil Eng., 51, 69—82.
The upcrossing rate of a class of stochastic processes. In: Studies in Probability and Statistics, Ed. Williams, pp. 153—159. Amsterdam: North Holland.
Хэсофер, Шарп (Hasofer A. M., Sharp K.)
(1969) The analysis of wind gusts. Austral. Meteorol. Mag. 17, 198—214.
Хюслер (Hiisler J.)
On limit distributions of first crossing points of Gaussian sequences. Stochastic Process. Appl., 6, 65—75.
The limiting behaviour of the last exit time for sequences of independent, identically distributed random variables. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 50, 159—164.
Limit distribution of the last exit time for stationary random sequences. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 52, 301—308.
A note on the functional law of iterated logarithm for maxima of Gaussian sequences. J. Multivariate Anal., 11, 273—279.
Asymptotic approximation of crossing probabilities of stationary random sequences. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 63, 257—270.
Целе (Zahle U.)
Предельная теорема Пуассона для редких событий гауссовской последовательности. Теория вероятн. и ее примен., 25, № 1, 92—104.
Цирельсон Б. С.
Плотность распределения максимума гауссовского процесса. Теория вероятн. и ее примеи., 20, № 4, 865—873.
Чакрабарти, Кули (Chakrabarti S. К., Cooley R. Р.)
Statistical distribution of periods and heights of ocean waves. J. Geophys. Res., 82, 1363—1368.
Чан, Джарвис (Chan L. K., Jarvis G. A.)
Convergence of moments of some extreme order statistics. J. Statist. Res., 4, 37—42.
Чандлер (Chandler K. N.)
The distribution and frequency of record values. J. Roy. Statist. Soc., Ser. B„ 14, 220—228.
Чаплин (Chaplin W. S.)
The relation between the tensile strengths of long and short bars. Van Nostrand's Engineering Magazine, 23, 441—444.
On the relative tensile strengths of long and short bars. Proc. Engineer's Club, Philadelphia, 3, 15—28.
Чен (Chen Pei-De)
The limiting distribution of the variation of a sequence of independent random variables. Acta Math. Sinica, 16, 87—103.
Черннк (Chernick M. R.)
A limit theorem for the maximum term in a particular EARMA (1,1) sequence. J. Appl. Probab., 17, 869—873. (Correction (1981), 18, 569.)
(1981a) A limit theorem for the maximum of autoregressive processes with uniform marginal distributions. Ann. Probab., 9, 145—149.
(1981b) On strong mixing and Leadbetter's D condition. J. Appl. Probab., 18, 764—769.
Чибисов Д. M.
О предельных распределениях для членов вариационного ряда. Теория вероятн. и матем. статистика, 9, № 1, 159—165.
Чуберкм В. П.
*^ пересечении двумя стационарными случайными процессами фиксированных уровней. Автоматика и телемеханика, № 10, 57—63.
Шарп (Sharpe К.)
On the effect of the anemometer on the stochastic properties of wind-speed data. Techn. Report 34, School of Math. Sci., Univ, of Melbourne.
Some properties of the crossings process generated by a stationary x2-process. Adv. Appl. Probab., 10, 373—391.
Level crossings of a constructed process. J. Appl. Probab., 16, 206—212.
Шенкер (Shenker M.)
The mean number of real roots for one class of random polynomials. Ann. Probab., 9, 510—512.
Шепп (Shepp L. A.)
First passage time for a particular Gaussian process. Ann. Math. Statist., 42, 946—951.
Шепп, Слепян (Shepp L. A., Slepian D.)
First-passage time for a particular stationary periodic Gaussian process. J. Appl. Probab., 13, 27—38.
Шоррок (Shorrock R. W.)
(1972a) A limit theorem for inter-record times. J. Appl. Probab., 9, 219—223 (Correction (1972), 9, 877).
(1972b) On record values and record times. J. Appl. Probab., 9, 316—326.
Record values and inter-record times. J. Appl. Probab, 10, 543—555.
On discrete time extremal processes. Adv. Appl. Probab., 6, 580—592.
Extremal processes and random measures. J. Appl. Probab., 12, 316—323.
Шур M. Г.
О максимуме гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примен., 10, № 2, 386—389.
Эдди (Eddy W. F.)
The distribution of the convex hull of a Gaussian sample. J. Appl. Probab.,
686—695.
Эдлер (Adler R. J.)
Weak convergence results for extremal processes generated by depedent random variables. Ann. Probab., 6, 660—667.
The Geometry of Random Fields. New York: Wiley.
Эйфель (Eiffel G.)
Travaux Scientifiqes executes a la Tour de Trois Cent Metres, de 1889 a 1900. Paris: L. Maretheux.
Эйфонджа (Afonja B.)
The moments of the maximum of correlated normal and t-variates. J. Roy. Statist. Soc., Ser. B., 34, 251—262.
Эмрэм (Amram F.)
(1985)* Multivariate extreme value distributions for stationary Gaussian sequences. J. Multivariate Anal., 16, 237—240.
Энтл, Рэйдмэйкер (Antle С. E., Rademaker F.)
An upper confidence limit on the maximum of m future observations from a type I extreme value distribution. Biometrika, 59, 475—477.
Эпштейн (Epstein B.)
Applications of the theory of extreme values in fracture problems. J. Amer. Statist. Assoc., 43, 403—412.
Elements of the theory of extreme values. Technometrics, 2, 27—41.
Эрл, Эффермейер, Ивенс (Earle M. D., Effermeyer С. C., Evans D. J.)
Height-period joint probabilities in hurricane Camille. J. Waterways, Harbors and Coastal Engineering Div. ASCE, 3, 257—264.
Эфвербек, Эстберг (Ofverbeck P., Ostberg G.)
A study of outliers in statistical distributions of mechanical properties of structural steel. Techn. Report. Dept, of Structural Engineering. Univ, of Lund., pp. 1—37.
Юднцкая П. И.
(1970a) О максимуме гауссовской последовательности. Теория вероятн. и матем. статистика, № 2, 254—262.
(1970b) Асимптотическое поведение максимума гауссовского поля. Теория вероятн. и матем. статистика, № 3, 240—247.
Асимптотические неравенства для максимумов недифференцируемых нормальных полей. Теория вероятн. н матем. статистика, № 6, 133—141.
Юнкоса (Juncosa М. L.)
The asymptotic behavior of the minimum in a sequence of random variables. Duke Math. J., 16, 609—618.
Янг (Yang M. С. K )
On the distribution of the inter-record times in an increasing population. J. Appl. Probab., 12, 148—154.
М„ 10 w 13М„ 10 w 13D (G) 14 ip-1 15 хр 23 ф, Ф 25 тп 39 S„ 44 М.к 45^п 47 X 54 а+, сг 54 d(X, У) 54 D 66D (G) 14 ip-1 15 хр 23 ф, Ф 25 тп 39 S„ 44 М.к 45^п 47 X 54 а+, сг 54 d(X, У) 54 D 66«п, I 67М (Е) 67D' ^ 73Гп 76К 76ип М 83ка 93с+, с_ 93гп 100Nn 127, 140дВ 129, 356 d 129, 356DrM 133Nk 140М (Т), M(l) 180Gu 180Nu (I) 182Nu (t) 182 3qW 182 Xo, Xj, X« 187«п, I 67М (Е) 67D' ^ 73Гп 76К 76ип М 83ка 93с+, с_ 93гп 100Nn 127, 140дВ 129, 356 d 129, 356DrM 133Nk 140М (Т), M(l) 180Gu 180Nu (I) 182Nu (t) 182 3qW 182 Xo, Xj, X« 187
М„ 10 w 13
М„ 10 w 13
D (G) 14 ip-1 15 хр 23 ф, Ф 25 тп 39 S„ 44 М.к 45
^п 47 X 54 а+, сг 54 d(X, У) 54 D 66
D (G) 14 ip-1 15 хр 23 ф, Ф 25 тп 39 S„ 44 М.к 45
^п 47 X 54 а+, сг 54 d(X, У) 54 D 66
«п, I 67
М (Е) 67
D' ^ 73
Гп 76
К 76
ип М 83
ка 93
с+, с_ 93
гп 100
Nn 127, 140
дВ 129, 356 d 129, 356
DrM 133
Nk 140
М (Т), M(l) 180
Gu 180
Nu (I) 182
Nu (t) 182 3qW 182 Xo, Xj, X« 187
«п, I 67
М (Е) 67
D' ^ 73
Гп 76
К 76
ип М 83
ка 93
с+, с_ 93
гп 100
Nn 127, 140
дВ 129, 356 d 129, 356
DrM 133
Nk 140
М (Т), M(l) 180
Gu 180
Nu (I) 182
Nu (t) 182 3qW 182 Xo, Xj, X« 187
Список обозначений
Jq (и ; Л) 193
Nu U", Л), Nu (T, Л) 198
ц, H(w) 201, 211, 301
N^. 211, 219
N^ 219, 220
N’T* 227
4h (7) 232
Pu 236
x (/) 241
L(0 241
m (T), m (/) 246, 247
v 247, 326
ry 252
ca 261
Ha (n, a) 264, 274
Ha (a) 266
Ha 272, 275
ti 287
ф (u) 288
C (uj) 288
aT T 288
C (uT) 293
tn 297
7 315
card { } число элементов
Г (а) гамма-функция, J Xa—1e—x dx o
[ ] целая часть
m (В) мера Лебега
fW — gV), о(ф(0), О(ф(0) имеют обычный смысл, т. е. f (t)/g (t) -> -► 1, о (ф (0)/ф (0 -* о и О (ф (0)/ф (0 ограниченно.
Именной указатель
Балкема (Balkema А. А.) 61
Беляев Ю. К. 326
Бергстрём (Bergstrom Н.) 93
Берман (Berman S. М.) 7, 65—66, 100— 102, 113, 204, 247, 259, 281, 309
Биллингсли (Billingsley Р.) 359
Боас (Boas R. Р.) 283
БреЙмаи (Breiman L.) 235
Булииская Е. В. 184
Ватанабе (Watanabe Н). 259, 281
Ватсон (Watson G. S.) 7, 65, 73
Веиециаио (Veneziano D.) 326
Волконский В. А. 210
By (Wu Chuan-Yi) 62
Галамбош (Galambos J.) 51
Глик (Glick N.) 151
Гиедеико Б. В. 10, 13, 26
Горовиц (Horowitz J.) 153, 158—161, 340
Греиандер (Grenander U.) 235
Гумбель (Gumbel E. J.) 7, 309
Дадли (Dudley R. M.) 179
Двасс (Dwass M.) 153
Деизель (Denzel G. E.) 89
Джонсон (Johnson N. L.) 331
Дзюбдзела (Dzlubdziela W.) 51
Дэвенпорт (Davenport A. G.) 332
Дэвис (Davis R. A.) 73, 87
Иванов В. A. 184
Илвисакер (Ylvisaker N. D.) 101, 153 166 — 167, 172, 176, 184
Ито (Ito K.) 184
Каваиье (Cavanie A.) 344
Каллеиберг (Kallenberg O.) 351, 354, 356, 360
Кац (Кас M.) 184, 238
Кволс (Qualls С.) 212, 218, 259, 281
Котс (Kotz S.) 331
Крамер (Сгатёг Н.) 7, 102, 104, 179, 187, 210, 232
Ламперти (Lamperti J.) 153
ЛнблеЙн (Lieblein J.) 310
Лидбеттер (Leadbetter М. R.) 66, 87, 91, 102, 104, 113, 119, 184, 187, 232, 282, 286
Линдгрен (Lindgren G.) 218, 237, 252, 259, 282, 326, 344
ЛоЙнес (Loynes R. М.) 7, 65, 66, 69. 73, 76, 83
Маккормик (McCormick W. Р.) 176
Маре, де (Магё J., de) 327
Маркус (Marcus М.) 184, 261
Маруяма (Maruyama G.) 235
Маттес (Matthes К.) 351
Меткалф (Metcalfe A. G.) 321
Мизес, фон (Mises R, von) 14, 26
Миттал (Mittal Y.) 101. 153. 166 — 167, 172, 176, 282
Носко В. П. 326
О'Брайен (O'Brien) 89—90
Пикандс (Pickands J.) 146, 259
Пойа (Polya G.) 172
Райс (Rice S. О.) 179, 184, 188, 189
Рао (Rao С. R.) 196, 240, 264
Резник (Resnick S. I.) 146, 153
Робертс (Roberts Е. М.) 339—340
Розанов Ю. А. 210
Розенблатт (Rosenblatt М.) 65
Ротсей (Rootz6n Н.) 98, 124, 125, 2 86
Рыхлик (Rychlick I.) 344
Серфлниг (Serfling R. J.) 54—55
Симиу (Slmiu Е.) 333
Слепяи (Siepian D.) 102, 192, 200, 203—
204, 238 — 239, 275
Смирнов Н. В. 60—62
Смит (Smith R. L.) 318
Смнтц (Smltz G. К.) 321
Тнппет (Tippett L. Н. С.) 10, 13, 51
Тодоровиц (Todorovlc Р.) 325
Уоттс (Watts V.) 62
Фаренгейт (Fahrenheit) 323
Феллер (Feller W.) 335
Ферник (Fernlque X.) 261
Фнллнбеи (Filllben J. J.) 333
Фншер (Fisher R. А.) 10, 13, 51
Фреше (Frichet М.) 10
Хан, де (Haan L., de) 10, 13, 20, 26—27, 61, 87, 91
Хартер (Harter Н. L.) 309—310, 315
Хелстром (Hellstrom С. W.) 325
Хнични А. Я. 13 —14, 16
Холл (Hall Р.) 52
Хольберг (Hallberg В.) 327
Хэсофер (Hasofer А. М.) 326
Хюслер (Htisler J.) 153—155, 162
Цельсий (Celsius) 323
Чаплин (Chaplin W. S.) 310
Черник (Chernick М. R.) 83, 89
Чибисов Д. М. 62
Чолленор (Challenor Р.) 350
Шарп (Sharpe К). 332
Эдлер (Adler R. J.) 146, 149
Эйфель (Eiffel G.) 329
Эстберг (Ostberg G.) 314
Эфвербек (Ofverbeck Р). 314
Амплитуда 344, 345 Атом 359
Берри—Эссена граница (Berry—Esseen bound) 59
Бесселя функция (Bessel function) 331 Биномиальное распределение (binomiai distribution) 55—57
Вейбулла распределение (Weibuli distribution) 42, 312 — 313, 316, 319
Вертикальное окно (vertical window) 238, 242
Взаимная ковариационная функция (crosscovariance function) 252, 257
Возрастающий ранг (increasing rank) 58 Волны случайные (random waves) 342 Вход (downcrossing) 182, 197, 247, 252 Выброс (excursion) 243
Выброс в атмосферу (air pollution) 338
Высота волны (wave height) наблюдаемая (apparent) 343 эффективная (significant) 345
Выход (upcrossing)*
е-выход 211/
н. о. р. с. в. 45 " процесса 181, 2i0, 231, 247, 252, 256 векторного 257 строгий 181
Геометрическое распределение (geometric distribution) 36, 38
Горизонтальное окно (horizontal window) 238
Грубая сходимость точечных процессов (vague convergence of point processes)
Дважды стохастический пуассоновский процесс (doubly stochastic Poisson process) см. Кокса процесс
Двойное экспоненциальное распределение (double exponential distribution) см. Распределение экстремальных значений типа I
Диоксид серы (sulphur dioxide) 293
Дифференцируемые выборочные функции (differential sample functions) 232
Достаточно медленно (sufficiently slowly) 202
е-выход (e-upcrossing) 259, 280 е-макснмум (e-maximum) 230
Интенсивность (intensity) 354 Интенсивность отказов (failure rate) 39
Касания (tangencies) 182
Ковариационная функция (последовательность) 100, 186 условия на 100, 107, 112, 187, 201, 231, 252, 258, 276, 282
Кокса процесс (Сох process) 167, 170, 355
Корреляция ( correlation) 65
Косииус-процесс (cosine process) 190
Коши распределение (Cauchy distribution)
34, 92
^-е наибольшее значение (kth largest value) 45, i30
^-й наибольший максимум (kth largest maximum) i42, 229, 306
Лапласа преобразование (Laplace transfer» mation) 335, 354
Линейно зависимые процессы (linearly dependent processes) 257
Липшица условие (Lipschitz condition) 283 Логарифмически нормальное распределение (iog-normal distribution) 32, 339 Локальный максимум (local maximum) 197, 226, 252, 3 43
Локальный минимум (local minimum) 252, 343
Максимум абсолютный 251 е-макснмум 230 зависимая последовательность 63 н. о. р. с. в. 10 процесс 177
Макснмум-устойчнвое распределение (maxstable distribution) 17
Маркированное пересечение (marked crossing) 192, 232
Марковская последовательность (Markov sequence) 64, 89
Марковский процесс 308 Материал неоднородный (inhomogeneous) 318 несвязанный (disconnected) 310 нехрупкий (nonbrittle) 318 однородный (homogeneous) 310 связанный (connected) 320 устойчивый относительно размера (size stable) 311 хрупкий (brittie) ЗЮ
Мизеса критерий (Mises, von: criterion) 14, 26
Минимум нормальный процесс 246 н. о. р. с. в. 39, 310
Миннмум-устойчнвое распределение (min- stable distribution) 41, 311
Момент рекорда (record time) i50 m-зависнмость (m-dependence) 65
Неоднородный (inhomogeneous) 318
Непрерывные выборочные функции (continuous sample functions) условие для 187
Нормализующие константы (normalizing constants) 28, 31, 51, 158, 159, 166, 172, 209, 215, 218, 259, 274, 336, 345
Нормальная лемма сравнения (normal comparison lemma) i01, 248
Нормальный, -ая -ые (normal) зависимая последовательность 100, 129, 137 иеднфференцнруемый процесс 258 нестационарная последовательность 153, 341 н. о. р. с. в. 25, 31 процесс 186, 200, 210, 231, 246
Область притяжения (domain of attraction) зависимая последовательность 76 н. о. р. с. в. 14, 19, 26, 334 процесс 298, 327
Сбратная функция 15
Ограниченное множество (bounded set) 352
Однородный (homogeneous) 310
Озон 340
Орнштейна—Уленбека процесс (Ornstein— Uhlenbeck process) 178, 200, 258, 275
Пальма распределение (Palm distribution) 234, 236, 241 — 242
Параметр ширины спектра (spectral width parameter) 344
Парето распределение (Pareto distribution) 33
Пересечение (crossing) 182
маркированное (marked) 192, 232
Показательное распределение (exponential distribution) 31, 35, 42, 244, 325, 327
Полиномиальное распределение (multinomial distribution) 143
Полное вероятностное пространство (complete probability space) 179, 286
Положение максимума (location of maximum) 223
Правильно меняющаяся функция (regularly varying function) 335
Превышение (exceedance)
зависимая последовательность 126, 169,
н. о. р. с. в. 43
Предел текучести 313
Принцип слабейшего звена (weakest link principle) 310
Производная
в среднем квадратичном (in quadratic mean) 187
по вероятности (in probability) 224 Промежуточный ранг (intermediate rank)
58, 61
Прореживание (thinning) 140, 220, 256, 355 Простой точечный процесс (simple point process) 353
Процесс авторегрессии (autoregressive process) 89, 91
Процесс с цепной зависимостью (chain dependent process) 89
Процесс экстремумов (extremal process) 150
Прочность (strength)
бумаги 316, 326
материалов 309
Пуассона распределение (Poisson distribution) 38, 54, 325
Пуассоновский предел (Poisson limit) 44, 127, 211, 252
Пуассоновский процесс (Poisson process) 354
Равномерное распределение (uniform distribution) 34, 89, 190, 224
Размер (size) влияние 318, функция 310
Райса формула (Rice’s formula) 188—189, 193, 198, 230
Ранг (rank) 43
Распределение экстремальных значений (extreme value distribution) 13, 20, 22 для минимумов 41
Распределение экстремальных значений типа I (type I extreme value distribution) 13, 19, 20, 25, 27, 28, 30—32, 41, 99, 106—107, 114, 154, 166, 200, 259, 301, 332, 339 для минимума 41, 3il, 315, 319
Распределение экстремальных значений типа П (type II extreme value distribution) 13, 19—20, 27 — 28, 30, 34, 35, 88, 99, 334 — 335 для минимума 41, 311, 315
Распределение экстремальных значений типа III (type HI extreme value distribution) 13, 19—20, 27-28, 30, 34 — 35, 89 для минимума 41 — 42, 311. 315
Расстояние по вариации (variational distance) 54
Расход воды в реках (river flow) 325
Регрессия (regression) 327
Рекорд (record) 150
Рэлея распределение (Rayleigh distribution) 190, 224, 241, 329, 334
Сезонная составляющая (seasonal component) 158
Сильное перемешивание (strong mixing) 65, 67, 76, 90, 287
Скользящее среднее (moving average) 91
Скорость ветра (wing speed) 329, 332
Скорость сходимости (rate of convergence) 49, 116
Слепяна лемма (Slepian’s lemma) 192, 203
Слепяна модельный процесс (Slepian model process) 239
Смесь (mixture) 167, 241, 320. 333
Сопровождающая независимая последовательность (associated independent sequence) 76. 85, 99, 131, 297
Спектральное распределение (spectrai distribution) 187, 235
Спектральные моменты (spectral moments) 187, 197, 301, 307
Стационарная последовательность (stationary sequence) 64
Средний период (mean period) 345
Стекловолокно (glass fibre) 320
Стационарные процессы (stationary processes) 179
Стьюдентизированный максимум (studentized maximum) 176
Сходимость no распределению точечного процесса (convergence In distribution of point process) 356
Сходимость no Чезаро (Ceziro convergence) 101
Температура 323
Теорема об экстремальных типах (extremal types theorem) для минимумов 41 зависимая последовательность 72 и. о. р. с. в. 13, 22 процесс 287, 293, 302
Тип (type) 19
Точечный процесс (point process) 126, 169,
210, 252, 281, 351
иа плоскости 139, 219, 256
Треид (trend) 158
Усеченное распределение (truncated distribution) 35
Условие С (tip) 288
Условие С* (tip) 293
Условие D 66, 72
Условие D (tift) 67, 82, 111, 126, 154, 287
Условие Dr (urt) 133, 136
Условие D* (ип) 73, 82, 111, 126, 154, 293
Устойчивые случайные величины (stable random variables) 92
Фернико. лемма (Fernique’s lemma) 261
Фиксированный ранг (fixed rank) 58
Характеристическая функция (characteristic function) 92
Хи-квадрат процесс (xz-process) 308, 326
Центральный ранг (central rank) 58, 60
Эйлера постоянная 315
Эргодический (ergodic) 234
Эргодическое распределение (ergodic distribution) 236
Экстремальный индекс (extremal index) 85, 99
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие . 7
ЧАСТЬ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМОВ. .10
Глава 1. Асимптотические распределения экстремумов 11
Введение . .12
Обратные функции и теорема Хинчииа о сходимости 14
Максимум-устойчивые распределения.. . .. . . .17
Теорема об экстремальных типах . . ... .19
5. Сходимость вероятностей Р (Мп ^ ып}.23
Общая теория областей притяжения26
Примеры •31
Минимумы39
Глава 2. Превышения уровней и к-е наибольшие максимумы .. . .43
Пуассоновские свойства превышений 43
Асимптотическое распределение к-хнаибольшихзначений...45
Совместное асимптотическое распределение наибольшихмаксимумов47
Скорость сходимости . .. -. . ..49
Возрастающие ранги.58
Центральные ранги.60
Промежуточные ранги..61
ЧАСТЬ 11. СВОЙСТВА ЭКСТРЕМУМОВ ЗАВИСИМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ . .. 63
Глава 3. Максимумы стационарных последовательностей 64
Ограничения на зависимость для стационарных последовательностей 64
Перемешивание по распределениям ..66
Теорема об экстремальных типах для стационарных последовательностей 68
Сходимость последовательности Р {Мп ^ ып} при наличии зависимости 72
Сопровождающие независимые последовательности и области притяжения . . .. . ..76
Максимумы на произвольных интервалах .. .77
О роли условий D (un), D' (ып) ... .82
Максимумы скользящих средних устойчивых величин91
Глава 4. Нормальные последовательности 99
Стационарные нормальные последовательности и условия на ковариацию ■. 100
Нормальная лемма сравнения '. . .101
Теория экстремальных значений для нормальных последовательностей — прямой метод 107
Условия О (un), D* (ип) для нормальных последовательностей. . .111
Более слабые предположения о зависимости. ..112
Скорость сходимости116
Глава 5. Сходимость точечных процессов превышений и распределений А-х наибольших максимумов 125
Точечные процессы превышений. . . .. .126
Сходимость превышений высокого уровня к пуассоновскому процессу 127
Асимптотическое распределение к-х наибольших значений . . .130
Независимость максимумов на непересекающихся интервалах132
Превышения множества уровней . .. .. .138
Совместное асимптотическое распределение наибольших максимумов 142
Полная пуассоновская сходимость .. .146
Моменты рекордов и процессы экстремумов 150
Глава 6. Нестационарные и сильно зависимые нормальные последовательности 153
Нестационарные нормальные последовательности154
Асимптотическое распределение максимума . . ..158
Сходимость вероятностей Р I П {£, ^ ип^ ) при наиболее слабых условиях на {«ni) 162
Стационарные нормальные последовательности с сильной зависимостью .166
Пределы для превышений и максимумов в случае rn In п-^у <оо .169
Распределение максимума в случае, когда rn 1п п -> со 172
ЧАСТЬ 111. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ 177
Глава 7. Основные свойства экстремумов и пересечений уровня. . .179
Конструкция^* 179
Пересечения уровня и их основные свойства 180
Пересечения нормальными процессами 186
Максимумы нормальных процессов . . . . 190
Маркированные пересечения . .192
Локальные максимумы 197
Глава 8. Максимумы дифференцируемых в среднем квадратичном нормальных процессов 200
Условия 200
Двойное экспоненциальноераспределение максимума 203
Глава 9. Точечные процессы выходов и локальные максимумы..210
Пуассоновскаясходимостьвыходов 211
Взаимная независимость максимумов на непересекающихся интервалах 215
Выходы за несколько смежных уровней 218
Положение максимумов 223
Высота и положение локальных максимумов 226
Максимумы при более общих условиях 230
5253332
Глава 10. Свойства выборочных функций в точках выходов 231
Маркированные выходы 231
Эмпирические распределения меток в точках выходов 234-р
Модельный процесс Слепяна.^^.е''. . .239 .
Выбросы за высокий уровень . . . .243
Глава 11. Максимумы и минимумы и теории экстремумов для зависимых, процессов 246
Максимумы и минимумы .^*246
Экстремальные значения и пересечения для зависимых процессов^' 252
Глава 12. Максимумы и пересечения недифференцируемых нормальных процессов 258
Введение и схема доказательства основного результата258
Максимумы на конечных интервалах 261
Максимумы на расширяющихся интервалах 276
Асимптотические свойства в-выходов . ? 280
Более слабые условия на бесконечности 282
Глава 13. Экстремумы стационарных процессов с непрерывным параметром 286
Теорема об экстремальных типах 286
Сходимость вероятностей Р (Л1 (Т) ^ up) . . 293
Сопровождающая последовательность независимых величин . . .297
Стационарные нормальные процессы 299
Процессы с конечными интенсивностями выходов 301
Пуассоновская сходимость выходов 303
Интерпретация функции ф (и)307
ЧАСТЬ IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 309
Глава 14. Теория экстремальных значений и прочность материалов. .309
Характеризации распределений экстремальных значений . ...310
Влияние размеров на распределения экстремальных значений ...314
Глава 15. Применение экстремумов и пересечений в условиях зависимости 321
Экстремумы в случае дискретного и непрерывного времени ...321
Пуассоновские превышения и показательные времена ожиданий..325
Области притяжения и экстремумы для смесей распределений..327
Экстраполирование экстремумов на более обширный период времени 336
Локальные экстремумы. Приложение к случайным волнам. . . .342
Приложение.Некоторые основные поиития теории точечных процессов 351
Литература 361
Список обозначений.<* . 384
Имеииой указатель 385
Предметныйуказатель 386
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Научное издание
Лгдбеттер Малькольм, Линдгрен Георг, Ротсен Хольгер
ЭКСТРЕМУМЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙИ ПРОЦЕССОВ
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научн. редактор И. А. Маховая
Мл. научн. редактор Р. И. Пяткина
Художник В. С. Потапов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технические редакторы Е. Н. Прохорова, И. И. Володина
Корректор Н. А. Гиря
ИВ № 6475
Сдано в набор 30.03.88. Подписав к печати 29.11.88.
Формат бОхЭО1/^. Бумага книжн.-журн. Печать высокая.
Гарнитура литературная. Объем 12,25. бум. л. Усл. печ. л. 24,5.
Усл. кр.-отт. 24,5. Уч. изд. л. 24,32.
Изд. № 1/5699. Тираж 5800 экз. Зак. 395. Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер. 2.
Отпечатано с набора Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, J 0 в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств> полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул.,«М,» __
□253332
*• См. обзор Невзорова (1987)*. — Прим. ред.
* max (^) — * ~» .
ЭКСТРЕМУМЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ
Springer Series in Statistics
M. R. LEADBETTER, GEORG LINDGREN,HOLDER ROOTZEN
EXTREMES AND RELATED PROPERTIESOF RANDOM SEQUENCES AND PROCESSES
Springer-VerlagNew York Heidelberg Berlin
М. Лидбеттер, Г. Линдгрен, X. Ротсен (
ЭКСТРЕМУМЫ 1-1
СЛУЧАЙНЫХПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙИ ПРОЦЕССОВ
Перевод с английского
В. п. НОСКОпод редакцией
Ю. К- БЕЛЯЕВА
'v V
Москва «Мир» 1989
ББК 22.171
Л 55
УДК 519.21
Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X.
Л55 Экстремумы случайных последовательностей и процессов.— М.: Мир, 1989.—392 с., ил.
ISBN 5-03-001058-0
Монография известных зарубежных математиков (США, Швеция, Дания), отражающая современное состояние исследований в теории случайных процессов. В книге представлены классическая теория экстремальных значений и ее обобщение, много места отведено практическим приложениям теории. Изложение отличается четкостью и методическими достоинствами; книга доступна читателям, знакомым с общим курсом теории вероятностей. Русское издание дополнено новым материалом.
Для специалистов по теории вероятностей, математической статистике, теории надежности, для аспирантов и студентов вузов.
19—89, ч. 119—89, ч. 1ББК 22.171ББК 22.1711702060000—069
19—89, ч. 1
19—89, ч. 1
ББК 22.171
ББК 22.171
Л 041 (01)—89
Редакция литературы по математическим наукам
ТМ9Я0ДЛ0ТМ9Я0ДЛ0
ТМ9Я0ДЛ0
ТМ9Я0ДЛ0
ISBN 5-03-001058-0 (русск.)ISBN 0-387-90731-9 (англ.)ISBN 5-03-001058-0 (русск.)ISBN 0-387-90731-9 (англ.)
ISBN 5-03-001058-0 (русск.)
ISBN 0-387-90731-9 (англ.)
ISBN 5-03-001058-0 (русск.)
ISBN 0-387-90731-9 (англ.)
© 1986 by Springer-Verlag Inc.
All rights reserved.
Authorized translation from English language edition published by Springer-Verlag.
Berlin—Heidelberg—New York—Tokyo © перевод на русский язык, с дополнениями и изменениями, «Мир», 1989
Задачи, связанные с экстремальными (максимальными или минимальными) значениями из некоторого набора случайных величин, встречаются в различных областях приложений. Пожалуй, простейшей из них является задача о прочности цепи, составленной из п однотипных звеньев. Если |f — сила, разрывающая i-e звено, то сила, разрывающая цепь, определяется самым слабым звеном, т. е. равна минимуму тп = min (I,, ..., |п). Исследование прочности нитей или полос некоторых материалов приводит к сложным математическим задачам, связанным с экстремальными значениями реализаций случайных процессов.
Книга содержит изложение современного состояния математической теории экстремальных значений последовательностей случайных величин и случайных процессов. Обсуждение приложений теории экстремумов последовательностей случайных величин в задачах расчета прочности материалов, влияния интервалов между измерениями на пропуск экстремальных значений читатель найдет в заключительной части книги. Рассматриваются примеры из метеорологии (измерения температуры воздуха и экстремальных скоростей ветра), из экологии (измерения максимальных концентраций вредных примесей в воздухе), из океанологии (измерение высоты морских волн) и другие примеры.
Основные разделы книги содержат строгое и математически изящное изложение наиболее существенных результатов теории экстремальных значений. Книга разбита на части, последовательно обобщающие друг друга. Доказательства даны достаточно подробно. Материал книги почти в полном объеме по силам читателю, владеющему основными понятиями высшей математики в рамках программы вуза, включая, конечно, основные понятия теории вероятностей и элементы теории случайных процессов. По стилю изложения и его доступности книга напоминает изданную ранее книгу Г. Крамера и М. Лидбеттера «Стационарные случайные процессы» (М.: Мир, 1969).
В конце книги дана достаточно подробная библиография работ, связанных с теорией экстремальных значений. В русском переводе список пополнен работами, опубликованными уже после'выхода книги на английском языке, были включены в том числе и публикации советских исследователей, которые содержат существенные
результаты, но, по-видимому, остались неизвестными авторам книги (все дополнительные работы отмечены звездочкой). Прежде всего мне хочется отметить ряд результатов, полученных В. И. Питер- баргом, который исследовал задачи о распределении максимумов случайных гауссовских процессов и полей. В частности, им найдены необходимые и достаточные условия асимптотической пуас- соновости числа превышений растущего уровня значениями стационарной гауссовской последовательности. В. П. Питербарг получил эффективное уточнение предельной теоремы для распределения максимума. В отечественной литературе значительное внимание уделяется приложениям теории случайных процессов. Так, в книге В. И. Тихонова и В. И. Хименко «Выбросы траекторий случайных процессов» (М.: Наука, 1987) подробно рассмотрены примеры приложений некоторых результатов теории экстремальных значений.
Материал книги, конечно, не охватывает всего разнообразия возможных задач, связанных с экстремальными значениями. Не рассматриваются в ней задачи, связанные с экстремальными значениями случайных полей. Такие задачи возникают при исследовании многих физических проблем.
Перевод книги выполнен В. П. Носко, который подробно исследовал структуру высоких участков реализаций гауссовских случайных процессов и полей. Такие задачи непосредственно связаны с использованием экстремальных значений случайных процессов и полей.
В заключение хочу поблагодарить авторов книги профессоров Малькольма Росса Лидбеттера, Георга Линдгрена и Хольгера Ротсена, которые любезно прислали нам список замеченных опечаток. Авторы прислали также препринт обзорной статьи, публикуемой в журнале Annals of Probability, что помогло пополнить список литературы свежими работами (они также отмечены знаком *).
Ю. К. Беляев