ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемая читателю книга Р. Руниона «Справочник по непараметрической статистике» посвящена непараметрическим методам, популярность которых среди исследователей постоянно возрастает. Это объясняется широкой областью их применения, устойчивостью, выводов, простотой математических средств. Непараметрические методы в настоящее время составляют сложившуюся систему обработки данных, по своим возможностям сопоставимую с гауссовской.

В математической статистике можно выделить два подхода к решению одних и тех же задач. Эти подходы обусловили возникновение двух больших групп методов, в определенной мере противостоящих и конкурирующих.

Одна группа включает методы обработки, основанные на предпосылке, что наблюдения имеют закон распределения, принадлежащий к тому или иному параметрическому семейству — гауссовскому, показательному и т. п. Наиболее важным для приложений является гауссовское семейство. В течение долгого времени статистическая техника, базирующаяся на предположении нормальности, была основной в обработке реальных данных.

Исторически случилось так, что первой была построена именно гауссовская статистика. По-видимому, это объясняется тем, что основными потребителями математической статистики в прошлом были такие дисциплины, как астрономия или геодезия, где было достигнуто высокое качество измерений. Ошибки в измерениях имели ясно выраженное нормальное распределение.

Другая группа методов не предполагает использование какого- либо параметрического семейства, поэтому их называют непараметрическими. Эти методы основаны на более фундаментальных свойствах случайных величин (например, непрерывности распределения) и часто могут применяться для обработки данных, не обладающих количественной природой.

С постепенным переходом многих других наук на количественную основу появилась потребность в обработке данных, не имеющих гауссовского характера. В частности, таковы многие задачи экономики, психологии, социологии, биологии и т. д. К подобным данным трудно подобрать подходящее параметрическое семейство. К тому же выводы обычно надо делать по малым выборкам. Если априори закон распределения неизвестен, то по такой выборке тип закона установить невозможно. В этих условиях непараметрические методы оказываются незаменимыми.

Непараметрические методы начали развиваться значительно позднее, чем гауссовские, в основном в послевоенные годы. Их возможности интенсивно расширялись. Сейчас значительная доля той статистиче-

ской техники, которая составляет гауссовскую линейную модель, имеет непараметрические эквиваленты.

Непараметрические методы обладают рядом преимуществ перед гауссовскими. Основные из них — более широкое поле приложений, меньшая чувствительность к «засорениям» статистических данных, к влиянию грубых ошибок, попавших в статистический материал. В настоящее время поиски устойчивых правил, т. е. способов обработки, результаты которой мало чувствительны к «засорениям», составляют одно из важных направлений теории. Математические средства в непараметрической статистике намного проще тех, что необходимы в гауссовской статистике.

Может показаться, что при сравнении параметрических и непараметрических методов все преимущества на стороне последних. Однако это не так. Гауссовские методы там, где они применимы, дают более точные результаты, и поэтому забвение им не грозит. Это особенно касается малых выборок. В случае больших выборок преимущества точных (гауссовских) методов, как показывают исследования, часто невелики, если, конечно, применение их вообще оправдано.

В настоящее время ощущается острый недостаток в литературе, посвященной непараметрическим методам, которая была бы адресована широкому кругу читателей. Книга Р. Руниона относится как раз к таким изданиям. Она поможет читателям с минимальной математической подготовкой разрешать некоторые статистические проблемы непараметрическими методами.

Выбранный автором стиль своеобразен: книга представляет собой собрание проработанных примеров применения непараметрических методов. Основное внимание уделено вычислительной стороне. Решение задач разделено на отдельные шаги. Параллельно тем примерам, которые разбирает автор, в каждом разделе читатель получает статистические данные, которые он должен обрабатывать самостоятельно по той же схеме, шаг за шагом. Есть и другие упражнения, закрепляющие вычислительные навыки.

Книга снабжена набором таблиц, необходимость в которых может возникнуть при применении описанных в ней приемов.

Подзаголовок книги «Современный подход» отчасти может быть объяснен принципом расположения материала по мере увеличения силы используемой шкалы, в которой он измерен, — от номинальной шкалы к порядковой и далее к интервальной и абсолютной.

Понятие «шкала» для данной книги не является принципиально важным, но, поскольку автор к нему часто обращается, о нем стоит сказать несколько слов.

Начнем с привычной шкалы термометра или какого-нибудь другого измерительного прибора. По положению столбика ртути можно узнавать температуру, по положению стрелки прибора — какую-то измеряемую характеристику физического объекта. Результатом измерения является число. Такое число, как характеристика системы,

в более сложных ситуациях может быть получено и каким-либо косвенным образом.

В математическом смысле шкалой называют правило, по которому состояния системы характеризуются числами. "Итак, шкала — это переход от физического (или другого) объекта к числу. В данном смысле шкалой будет любая календарная система — моменту времени приписывается определенная дата. Шкалу представляет собой и принятая в школе система оценок, выставляемых ученикам в зависимости от их успехов.

Упомянутые шкалы — длин, температур, времени, успехов ■— различаются не только по содержанию. Между ними есть и важные формальные различия.

Как уже было сказано, результатом измерения в любой шкале является число. С числами же можно проводить арифметические и другие операции. Результаты некоторых операций имеют содержательный смысл и истолковываются в рамках данной шкалы. Допустим, что мы измеряем длины предметов. Если х и у — длины отрезков а и Ь, То х + у — длина отрезка, полученного приставлением а к Ь, |х — у\ — разница длин отрезков, ху — площадь прямоугольника, образованного этими отрезками, и т. п. Однако хн или, например, log х для нас не имеют содержательного толкования.

Если же х и у — две календарные даты, причем х > у, то х — у имеет смысл — это время, прошедшее от одного события до другого. Однако х + у, ху, х!у и т. п. содержательного смысла лишены.

Для показателей по шкале успехов еще меньше осмысленных соотношений: осмысленно их можно лишь сравнивать по величине, т. е. из соотношения отметок х <2 у для учеников а и b можно лишь заключить, что а учится хуже, чем Ь. Если же у — х = 1, то утверждение «успехи b на 1 выше, чем успехи а» не объясняет, каково различие между’ними. Шкала успехов служит примером порядковой шкалы.■

■ Выделяют еще номинальную шкалу, где числа служат всего лишь для различения отдельных возможностей, как бы для их названия. Никаких содержательных соотношений, кроме х = у и х Ф у, между такими числами нет. Конечно, выбор чисел (т. е. номинальной шкалы) вместо реальных имен или других способов идентификации не обязателен.

При работе с книгой Р. Руниона читателю следует иметь в виду, что предложение автора (раздел 6.1) обрабатывать результаты испытаний Бернулли с несколькими исходами с помощью критерия Смирнова дает так называемую^консервативную процедуру. Ее реальный уровень значимости, будучи ниже назначенного, остается неизвестным. Он тем ближе к номинальному,'чем больше число исходов в одном испытании.

Автор выбрал рецептурный стиль изложения. Это позволяет ему сообщить довольно много сведений, хотя некоторые принципиальные вопросы при этом остались в тени. Например, соображениям, на основании которых для данной задачи выбран именно*этот статистический критерий, внимания не уделяется. Поэтому читатель, встретив-

шись в своей деятельности с той или иной проблемой, должен найти ей аналогичную, рассмотренную в книге.

• Проверка статистических гипотез непараметрическими методами составляет основное содержание книги. Необходимо отметить, что проверка гипотезы, в частности нулевой, как правило, лишь начало статистического исследования. После того, как нулевая гипотеза отвергнута, надо делать более содержательные выводы из статистического материала, в частности проводить точечное и интервальное оценивание. Непараметрические методы дают и такие возможности.

Книга Р. Руниона — одно из первых на русском языке подробных руководств по непараметрическим методам, рассчитанное на экономистов, статистиков, социологов и т. д. Она будет доступна читателям с элементарной математической подготовкой, проявляющим интерес к математической статистике или сталкивающимся с ней в своей работе. Книга расширит возможности исследователей и поможет им использовать адекватные статистические средства. .

Ю. Н. ТЮРИН

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга — третья из серии моих книг, посвященных различным аспектам современного статистического анализа. Подзаголовок «Современный подход» приводится с целью подчеркнуть два важных обстоятельства, которые в ней обсуждаются: 1) пригодность статистических методов для широкого спектра современных дисциплин; 2) возможность получить достаточно глубокое представление о сущности предмета и овладеть соответствующими вычислительными методами без привлечения множества сложных^ формул и изощренных математических доказательств. '

Данная книга отражает накопленный автором многолетний опыт преподавательской работы и составления руководств по статистике. Она является попыткой представить авторское понимание реализации процесса обучения в той области, к которой многие студенты относятся со смешанным чувством трепета и опасения. В этом отношении уместно указать на несколько особенностей книги.

Расположение материала позволяет студентам проследить шаг за шагом решение конкретной статистической задачи и тут же использовать полученные знания для выполнения серии упражнений по рассматриваемому вопросу. Как известно, немедленное повторение значительно улучшает процесс усвоения и запоминания материала.

Кроме того, студенты могут проверить правильность своих ответов, сверив их с решениями, которые даются в конце книги. Там, где это необходимо, решения представлены достаточно подробно, что позволит студентам обнаружить причину ошибки, если их ответы расходятся с приведенными в тексте. В книге содержится несколько сот упражнений и ответов на них.

В работе неоднократно встречаются повторения. Например, критерий %2 впервые упоминается в гл. 3 как приближенный критерий для биномиальной переменной. Впоследствии он повторяется в гл. 5 и 8 при описании критерия значимости изменений Макнимара и критерия знаков. .

^ 4. Поскольку повторение нарочито «встроено» в текст, отдельные главы могут рассматриваться как самостоятельные разделы. Эта особенность делает книгу ценной не только как пособие, но и как справочник по вычислительным методам. Например, если исследователь хочет, чтобы его помощник воспользовался критерием рандомизации в случае с однородными группами, то он может обратить его внимание на гл. 11. '

При подборе таблиц, включенных в приложение, большое внимание уделялось тому, чтобы сделать их более удобными (например, путем приведения по мере возможности односторонних и двусторонних критических значений) при одновременном уменьшении вероятности ошибки. Кроме того, несколько таблиц были построены спе-

циально для этой "книги, например табл. А и В, в которых содержатся односторонние критические значения биномиальной переменной для различных значений Р и Q при N, изменяющихся от 2 до 49.

Наконец, при изложении процедуры вычисления тестовой статистики особое внимание уделялось описанию различных способов проверки правильности вычислений.

Книга имеет несколько назначений. Она может служить пособием при начальном изучении теории статистического вывода. Хотя основной упор сделан на описании вычислительных процедур, в приводимых для их иллюстрации примерах и упражнениях содержится большое количество понятийного материала. Благодаря «блочному» характеру построения книги она полезна при самостоятельном изучении, что в настоящее время достаточно широко распространено. Для таких курсов предлагаемый набор тестов,будет особенно полезным, поскольку каждая глава книги включает отдельное описание не менее двух альтернативных форм проверки статистических гипотез.

Книга может служить также вспомогательным пособием в дополнение к основным учебникам. Как показывает опыт автора, студенты часто чувствуют себя неуверенно, поскольку их неумение вычислить значение определенной статистики отрицательно сказывается на процессе содержательного усвоения материала. При использовании студентами этой книги в качестве вспомогательного пособия преподаватель может посвящать время аудиторных занятий изучению наиболее важных теоретических аспектов статистического анализа.

Р. П. РУНИОНР. П. РУНИОННастоящая книга хорошо согласуется с существующей литературой по статистике, поскольку она охватывает большую часть затрагиваемых авторами тем с привлечением минимального количества вычислительных формул.

Р. П. РУНИОН

Р. П. РУНИОН

Туксон, Аризона, март 1977 г.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В традиционном курсе по теории статистического вывода основное внимание уделяется критериям значимости, для которых базовой моделью служит кривая нормального распределения. Примерами подобных параметрических критериев значимости являются /-отношение Стьюдента и дисперсионный анализ (ANOVA).

Вместе с тем следует отметить, что существует большое количество данных, либо вообще не поддающихся анализу с помощью кривой нормального распределения, либо не удовлетворяющих основным предпосылкам, необходимым для ее использования. Рассмотрим, например, результаты опросов общественного мнения, когда ответы чаще всего имеют форму «да» или «нет». Полученные с их помощью сведения представляются в виде таблиц, в которых содержатся данные о количестве положительных и отрицательных ответов. Статистические методы, связанные с нормальным распределением, не подходят для работы с полученными подобным образом данными. Поэтому в последние годы появились многочисленные непараметрические критерии, которые оказываются полезными в тех случаях, когда применение «нормальных» статистических методов либо сомнительно, либо неуместно. '

Поскольку непараметрические критерии значимости не требуют предварительных предположений относительно вида исходного распределения, их обычно называют критериями значимости, не зависимыми от распределения.

Цели главц

Познакомиться со способами определения вероятности.

Узнать, как использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности наступления различных событий.

Установить различие между односторонними и двусторонними значениями вероятности.

Познакомиться с понятием «выборочное распределение».

Научиться строить выборочное распределение двузначных генеральных совокупностей.

Выяснить, как выборочное распределение используется для вычисления значений вероятности различных событий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.ВЕРОЯТНОСТИ КАК ОТНОШЕНИЯ

Наиболее распространенным способом определения вероятности является выражение ее в виде отношения. Это отношение может изменяться от 0 до 1, причем при р = О вероятность наступления рассматриваемого события равна нулю; наоборот, при р = 1 данное событие произойдет обязательно.

Примеры

Если р = 0,50, то событие может произойти в 50 случаях из 100 (или в одном случае из двух).

Если р = 0,95, то событие может произойти в 95 случаях из 100.

Если р = 0,25, то наступление события возможно в 25 случаях из 100 (или в одном случае из четырех).

Вероятность может быть представлена и как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к общему числу возможных исходов:

число исходов, благоприятствующих событию Ачисло исходов,число исходов,

благоприятствующих + не благоприятствующих событию Асобытию А

Примеры

Если определить выпадение орла как событие А, а выпадение решки — как событие не Л, то вероятность выпадения орла при одном подбрасывании монеты составит: .

11

- рА- 14-1 “ 2 '

Если определить выпадение 2 очков при одном подбрасывании игральной кости как событие А, а выпадение 1, 3, 4, 5 и 6 очков — как событие не Л, то вероятность выпадения 2 очков составит:

11

Упражнения

t. Объясните, что означает равенство р = 0,05.

Объясните, что означает равенство р = 0,01;

■3. Найдите значение р при условии, что событие может произойти в 40 случаях из 100.',

Какова вероятность наступления события, если известно, что оно может произойти в 75 случаях из 100?

Из колоды игральных карт в 52 листа наугад выбирается одна карта. Какова вероятность того, что она окажется:

Тузом пик?

Просто тузом?

Картой трефовой масти?

Картой черной масти?

Девяткой красной масти?

Картой старше десятки (туз считается старшей картой)?

Полный перебор двузначных событий

Многие совокупности, с которыми исследователю приходится иметь дело, состоят из элементов двух типов, например, «да—нет», «мужской—женский», «орел—решка», «верный—неверный» и т. д. Такие совокупности называются дихотомическими или двузначными. Возможные результаты экспериментов, проводимых на двузначных совокупностях, часто могут быть получены путем перебора, а вероятности различных исходов могут быть заранее вычислены.

Пример

Представьте себе, что вы участвуете в эксперименте с подбрасыванием монеты. При подбрасывании монеты один раз возможны два исхода: выпадение орла и выпадение решки. Оба исхода равновероятны, т. е. рн (вероятность выпадения орла) = рт (вероятность выпадения решки) = у. При подбрасывании монеты дважды возможны четыре исхода: два орла, орел и решка, решка и орел, две решки. Если не учитывать последовательность выпадений орла и решки, то все возможные результаты эксперимента могут быть описаны следующим образом: существует только один способ получить два орла, два способа получить орел и решку и один способ получить две решки. Эти результаты представлены на следующей схеме: ■

число подбрасываний НО НВТ biчисло подбрасываний НО НВТ biЧисло возможных исходовЧисло возможных исходов

число подбрасываний НО НВТ bi

число подбрасываний НО НВТ bi

Число возможных исходов

Число возможных исходов

Если при первом подбрасывании монеты выпадает орел, то при втором может выпасть либо орел, либо решка. Если и при втором подбрасывании выпадет орел, то при третьем может выпасть либо орел, либо решка. Рассматривая каждый из этих вариантов, можно перечислить все 8 возможных исходов: -

, ННН ННТ НТН НТТ ТНН ТНТ ТТН ттт

Заметьте, что существует только один способ получить все три орла (ННН), три способа получить два орла и одну решку (ННТ, НТН,

TH И), три способа получить один орел и две решки (НТТ, ТНТ, ТТН) и один способ’получить все три решки (7Т7).

Теперь можно построить распределение частот возможных результатов. По данным о трех подбрасываниях монеты (N = 3) мы получаем следующее распределение:

Возможный результат

f

Три орла Два орла Один орел Ни одного орла

1

3

3 1

S

8

Разделив частоту каждого возможного результата на общее число возможных результатов, мы получаем следующее распределение вероятностей:

Возможный результат (х)

f

Рх

Три орла

1

0,125

Два орла

3

0,375

Один орел

3

0,375

Ни одного орла

1

0,125

S

8

1,000

Теперь мы можем отвечать на вопросы, касающиеся вероятностей различных исходов.

Примеры

Какова вероятность выпадения двух и более орлов при трех подбрасываниях монеты?

рх>2 = рх=, + рж=3 = 0,375 + 0,125 = 0,5.

Какова вероятность выпадения трех и более орлов при трех подбрасываниях монеты?

Рх^-ъ — рх=з = 0,125.

Упражнения

Трех человек попросили ответить в форме «да» или «нет» на некоторый вопрос. Перечислите все возможные результаты.

У игрального кубика 6 граней (шестизначная переменная), которые пронумерованы от 1 до 6. Кубик подбрасывается 2 раза. Перечислите все возможные результаты (под результатом здесь понимается сумма цифр на выпавших сторонах кубика).■

Постройте распределение частот возможных результатов, полученных в упражнении 1L

Постройте распределение частот возможных результатов, полученных в упражнении 12.

Постройте распределение вероятностей, используя распределение частот из упражнения 13.

Постройте распределение вероятностей, используя распределение частот из упражнения 14.

В соответствии с распределением вероятностей, полученным в упражнении 16, ответьте на следующие вопросы:

Каковавероятностьполучениясуммы,равной10 и более очкам?

Каковавероятностьполучениясуммы,равной3 и менее очкам?

Каковавероятностьполучениясуммыв 11 иболее очков?

Каковавероятностьполучениясуммы,равной4 и менее очкам?

Какова вероятность^получения суммы, равной 2 и менее очкам?

Односторонние и двусторонние значения вероятности

В приведенных примерах значения вероятности были получены при рассмотрении только Одного конца распределения. При этом задавались вопросы следующего типа: «Какова вероятность выпадения двух или более орлов при трех подбрасываниях монеты?». В теории статистического вывода часто возникает необходимость найти значение вероятности, которое учитывало бы оба конца распределения, т. е. определить вероятность того, что результат эксперимента будет больше одного или меньше другого заранее выбранного значения.

Примеры

Рассмотрим результат, выражающийся в выпадении трех и более орлов или связанный с выпадением к и менее орлов, причем рх>з = = рх<кг. Необходимо определить вероятность подобного результата при трех подбрасываниях монеты. Поскольку отсутствие орлов (выпадение 3 решек) столь же маловероятно, как и выпадение 3 орлов, общая вероятность определяется путем суммирования вероятностей на каждом из концов распределения:

Рх=з или *=0 Рх=з "УРх=й = 0,125-]- 0,125 = 0,25.

Игральный кубик подбрасывается 2 раза. Какова вероятность того, что сумма цифр на выпавших сторонах его будет столь же редкой, как и сумма в 3 и меиее очка? Поскольку сумма в 11 или 12 очков столь же маловероятна, как и сумма, равная 3 или 2 очкам, двустороннее значение вероятности составит:

рх<3 или х>\ 1 = Рх=3 + рх=2 + рх=\ 1 + рХ=\2 =

= 0,0556 + 0,0278 + 0,0556 + 0,0278 = 0,1668.

Упражнения

Используя распределение вероятностей, построенное в упражнении 16, ответьте на следующие вопросы:

Какова вероятность получения результата, столь же редкого, как и выпадение суммы в 5 и менее очков?

1 В дальнейшем подобный результат будем называть столь же редким, как и выпадение п н более орлов (в данном случае п = 3). — Приме*, пер.

Какова вероятность получения результата, столь же редкого, как и выпадение суммы в 12 очков?

Какова вероятность получения результата, столь же редкого, как и выпадение суммы в 9 и более очков?

Какова вероятность получения результата, столь же редкого, как и выпадение суммы в 6 и менее очков?

ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Одним из основных понятий теории статистического вывода (как параметрической, так и непараметрической) является понятие выборочного распределения. Выборочное распределение — это теоретическое распределение вероятностей возможных значений некоторой выборочной статистики, которое получилось бы в том случае, если бы мы смогли извлечь все возможные выборки определенного объема из данной генеральной совокупности.

В выборочном распределении содержатся теоретические значения вероятностей, по отношению к которым можно проверять предположения относительно различных выборочных статистик. Когда мы получили распределение вероятностей выпадения орлов при трех подбрасываниях монеты, мы фактически построили выборочное распределение двузначной переменной при N = 3. Вспомните, что с помощью этого распределения были выражены вероятности различных результатов (один орел, два орла и т. д.).

Приведем выборочное распределение дихотомической (биномиаль- лой) переменной при N = 12 и Р = Q = -i:

Число орлов (х)

f

Рх

Число орлов (я)

f

Рх

12

11

10

9

8

7

6

1

12

66

220 495 792

924

0,0002 0,0029 0,0161 0,0537 0,1208 0,1934 0,2256

\5

14

13

2

1 0

S

792

495

220

66

12

1

4 096

0,1934

0,1208

0,0537

0,0161

0,0029

0,0002

0,9998*

* Разница в 0,0002 связаиа с ошибкой округления.

Теперь сформулируем проблему следующим образом: представьте, что у вас имеются результаты эксперимента, в котором использовалась дихотомическая переменная; вам надо решить, вероятно ли, что этот результат был получен на основе генеральной совокупности, выборочное распределение которой приведено выше (т. е. совокупности, для которой Р = Q = -g).

Чтобы облегчить процесс принятия решений, сформулируем контрольное правило:

Если рассматриваемое событие (или событие, еще менее вероятное) будет происходить не чаще чем в 5% всех возможных случаев, то мы сделаем вывод о том, что данный результат не был получен исходя из совокупности в 12 подбрасываний монеты. Будем называть этот вывод отклоняющим решением.

Если же рассматриваемое событие (или событие, еще менее вероятное) будет происходить чаще чем в 5% случаев, мы допустим возможность получения такого результата на основе описанной выше совокупности. Подобный вывод в дальнейшем будем называть принимающим решением.

Заметьте, что принимающее решение не равносильно утверждению о том, что данное событие или результат были получены на основе известной совокупности. Оно просто указывает на достаточно большую вероятность правильности подобного утверждения.

Примеры

Вероятно ли, что результат, выражающийся в выпадении трех и менее орлов, был получен исходя из совокупности в 12 подбрасываний монеты?

рх< з = Рх—з + Рх=2 + Px=i + Рх=» = 0,0537 + 0,0161 + ’+ 0,0029 + 0,0002 = 0,0729.

Поскольку рх < з больше 0,05, мы выбираем принимающее решение.

Вероятно ли выпадение 11 и более орлов при 12 подбрасываниях монеты?

Рх^ 11 = рх=п + Рх—12 = 0,0029 4 0,0002 = 0,0031.

Поскольку рх > 11 меньше 0,05, мы принимаем отклоняющее решение.

В соответствии с нашим правилом мы делаем вывод о малой вероятности результата, связанного с выпадением 11 орлов при 12 подбрасываниях «правильной» монеты (т. е. монеты, для которой Р = = « = ?)■

Упражнения.

На основе выборочного распределения биномиальной совокупности при N = 12 и P=Q=-^ определите, каким должно быть решение — отклоняющим или принимающим — при ответе на следующие вопросы:

Вероятно ли, что результат, столь же редкий, как и выпадение 3 и меиее орлов, был получен на основе совокупности в 12 подбрасываний монеты?

Вероятно ли получение результата, столь же редкого, как и выпадение 10 и более орлов, при 12 подбрасываниях монеты?

Вероятно ли выпадение 3 и менее орлов при 12 подбрасываниях монеты?

Вероятно ли, что результат, столь же редкий, как и выпадение 9 и более орлов, был получен на основе совокупности в 12 подбрасываний монеты?

Проверка статистических гипотез.

Уровень значимости

Зная выборочное распределение статистики, мы можем рассматривать одни события как обычные, другие — как сравнительно редкие, третьи — как исключительные. Теория вероятностей дает основу для

таких суждений. Более того, если мы считаем наступление события (например, результата эксперимента) исключительным явлением, то можно сделать вывод, что причиной наступления редкого или исключительного события являются неслучайные факторы (например, влияние экспериментальной переменной). Доказательство для подобного вывода также дает теория вероятностей.

В предыдущем разделе мы фактически применяли одно из общепринятых пороговых значений, предназначенных для выявления действия неслучайных факторов (при принятии отклоняющих решений). Это пороговое значение называется уровнем значимости, равным 0,05. Когда отклоняющее решение принимается при таком уровне значимости, результат эксперимента считают статистически значимым на 5%-ном уровне.

Если некоторое событие (или событие, еще менее вероятное) происходит не чаще чем в 5% всех возможных исходов, мы считаем себя вправе утверждать, что результаты эксперимента обусловлены действием неслучайных факторов.

Многие ученые предпочитают использовать уровень значимости, равный 0,01 или 7%-ный уровень значимости. Если некоторое событие (или событие, еще менее вероятное) происходит не чаще чем в 1% всех возможных исходов, мы утверждаем, что результаты эксперимента обусловлены неслучайными факторами. Подобные результаты эксперимента принято считать статистически значимыми на 1%-ном уровне.

Примеры

Если исследователь использует 5%-ный уровень значимости, а вероятность, связанная с результатом эксперимента, равна 0,03, то он приписывает этот результат действию неслучайных факторов.

Если для оценки того же результата исследователь использовал бы 1 %-ный уровень значимости, то он не стал бы связывать его с действием неслучайных факторов, т. е. выбрал бы принимающее решение.

Уровень значимости, устанавливаемый исследователем для принятия отклоняющего решения, называется a-уровнем. При 1%-ном уровне значимости а = 0,01, при 5%-ном уровне значимости а = 0,05.

Упражнения

В приведенных упражнениях заданы уровень значимости и р-зиачение, соответствующее результату эксперимента. Установите, какое решение следует выбрать — отклоняющее или принимающее.

Уровеньзначимости0,05;р =0,65.

Уровеньзначимости0,01;р =0,009.

Уровеньзначимости0,01;р =0,025.

Уровеньзначимости0,05;р =0,025.

Уровень значимости 0,01; р=0,10.

Уровень значимости 0,05; р = 0,49.

Уровень значимости 0,05; р = 0,049;

Уровень значимости 0,01; р = 0,012.

Определите значение а при условии, что исследователь пользуется 1%-ным уровнем значимости.

Определите значение а при условии, что исследователь пользуется 5%-ным уровнем значимости.

Проверка статистических гипотез.

Нулевая и альтернативная гипотезы

Прежде чем приступить к проведению эксперимента, исследователе выдвигает две взаимоисключающие гипотезы. Одна из них является статистической гипотезой, которую исследователь обычно предполагает отклонить; она называется нулевой гипотезой ^Н^. В нулевой гипотезе выдвигаются различные предположения относительно значений одного или нескольких параметров исходной совокупности. Например, в генеральной совокупности доля лиц, которые дают положительный ответ на определенный вопрос, равна 0,5, или доли женщин и мужчин, отвечающих положительно на этот вопрос, равны между собой.

Примеры

При проверке «правильности» монеты нулевая гипотеза выглядит следующим образом:

л 0: монета сбалансирована, т. е. рн = рт — -^ где рн — вероятность выпадения орла; рт — вероятность выпадения решки.

Проводится эксперимент с целью определить возможность появления нежелательных побочных эффектов при приеме некоторого лекарства. Для этого одна группа пациентов (XJ принимает лекарство а вторая группа (Х2) — плацебо.

Но: доля лиц, ощущающих нежелательные побочные эффекты после приема лекарства, совпадает с долей лиц, ощущающих те же эффекты после приема плацебо, т. е.

?1 = ^2,

где Ру — доля генеральной совокупности, представленной выборкой Ху, Рй —доля генеральной совокупности, представленной выборкой Х2

Альтернативная гипотеза ^Н^ фактически отрицает нулевую гипотезу. Если в нулевой гипотезе утверждается, что между долями со вокупностей, из которых были извлечены две выборки, различия н( существует, то альтернативная гипотеза утверждает, что такое разли чие есть. В альтернативной гипотезе обычно содержатся выдвигаемьк исследователем предположения.

Примеры

Для случая а) из предыдущего примера:

Ну. монета не сбалансирована, т. е. Р #= Q #= у.

Для случая б) из предыдущего примера:

Ну. лекарство воздействует на зависимую переменную, т. е.

Ру ф Р» или Ру — Рй Ф 0.

Упражнения

Исследователь хочет выяснить, можно ли доказать наличие дискрими нации со стороны предпринимателя при найме рабочей силы. С этой целью уста

новлены доля мужчин и доля женщин среди претендентов, получивших определенную должность. Сформулируйте нулевую гипотезу.

При конструировании приборной доски нового самолета рассматривается возможность использования двух типов циферблатов: круглых и прямоугольных. Были проведены эксперименты с двумя группами лиц, каждая из которых работала за приборной доской с определенным типом циферблатов. В каждой группе установлена доля лиц, совершивших ошибки во время работы. Сформулируйте нулевую гипотезу.

Сформулируйте Нг для случая из упражнения 40.

Сформулируйте Ht для ситуации, описанной в упражнении 41.

Направленные и ненаправленные гипотезы

Иногда исследователь выдвигает достаточно детализированную теорию или собирает достаточное количество данных, которые позволяют предсказать в альтернативной гипотезе направление различия. В таком случае в альтернативной гипотезе содержится утверждение о предполагаемом направлении этого различия.

Пример

Исследователь предполагает, что некоторое лекарство приводит к большей доле нежелательных побочных эффектов. Группа Ху принимает лекарство, а группа Х2 — плацебо. Альтернативная гипотеза будет следующей:

Ht: Pt > Р2, т. е. в генеральной совокупности доля нежелательных побочных эффектов больше при приеме лекарства, чем при приеме плацебо.

Если альтернативная гипотеза направленная, то такой же будет и нулевая гипотеза. Для рассмотренного примера нулевая гипотеза будет следующей:

Яо: Pi Р^ т. е. доля нежелательных побочных эффектов при приеме лекарства не превосходит доли тех же эффектов при приеме плацебо.

Направленные альтернативные гипотезы проверяются с помощью односторонних критериев значимости, а для проверки ненаправленных альтернативных гипотез применяются двусторонние критерии.

Примеры

Если а = 0,05, критерий двусторонний и одностороннее p-значение рассматриваемого события равно 0,05, то мы принимаем Но, поскольку двустороннее p-значение равно 0,10 и превосходит а = 0,05.

Если а = 0,05, критерий односторонний и одностороннее р-зна- чение рассматриваемою события равно 0,05, то мы отклоняем Но, поскольку одностороннее p-значение равно а. Следовательно, принимается Hv

Если а = 0,01, критерий двусторонний и одностороннее р-зна- чение рассматриваемого события равно 0,004, то мы отклоняем Яо, поскольку двустороннее p-значение, равное 0,008, меньше а. Следовательно, принимается Hv

Упражнения

Сформулируйте Но и Ht для упражнения 40. Исследователь предполагает, что доля мужчин, получивших предложение занять определенную должность, превосходит долю женщин, получивших аналогичное предложение,

Сформулируйте Н6 и Ht для упражнения 41, Исследователь предполагает, что использование прямоугольных циферблатов приводит к большей доле ошибок.

Заданы а и p-значение, соответствующие результатам эксперимента; не-

обходимо решить, следует ли отклонить Яо:

(одностороннее).

46. а = 0,01,

критерий

двусторонний,

р = 0,007

47. а = 0,01,

критерий

односторонний.

р = 0,009

(одностороннее).

48. а = 0,05,

критерий

двусторонний,

р = 0,03

(одностороннее).

49. а = 0,05,

критерий

двусторонний.

р = 0,04

(двустороннее);

50. а = 0,01,

критерий

односторонний,

р = 0,01

(одностороннее).

51. а = 0,01,

критерий

двусторонний.

р = 0,02

(одностороннее).

52. а = 0,05,

критерий

односторонний,

р = 0,06

(одностороннее).

53. а = 0,01,

критерий

двусторонний,

р = 0,008

(двустороннее).

Понятие критического значения

Большая часть таблиц, применяемых исследователями и статистиками, не содержит данных о значениях вероятности для тех выборочных распределений, к которым они обращаются. Чаще всего эти таблицы позволяют найти критические значения, определяющие область отклонения гипотезы при различных уровнях а. Область отклонения состоит из тех значений статистики, которые приводят к отклонению нулевой гипотезы. '

Для иллюстрации приводятся четыре гистограммы, где показаны области отклонения Но для биномиальной переменной при N = 12 и Рн = Рт=^.

Н<. Рн^ Рт=^ ^, Но отклоняется.Н<. Рн^ Рт=^ ^, Но отклоняется.W = 12, а =W = 12, а =Примеры

Н<. Рн^ Рт=^ ^, Но отклоняется.

Н<. Рн^ Рт=^ ^, Но отклоняется.

W = 12, а =

W = 12, а =

Если Но: Рн = Рт= ^, = 0,05 и х ^ 2 или х ^ 10, то

Число орлод w ^=0,01, критерий одностороннийЧисло орлод w ^=0,01, критерий односторонний

Число орлод w ^=0,01, критерий односторонний

Число орлод w ^=0,01, критерий односторонний

ИЫИЫ0,200,20a isa isp0,10p0,100,050,0500I-, Область Ш отклонения ^Зля P>PrI-, Область Ш отклонения ^Зля P>Pr„ Область отклонения Зля РИ<РТ,„ Область отклонения Зля РИ<РТ,0 1 234567 89 10 11 12Число орлов •<*ч0,05, критерий овносторонний0 1 234567 89 10 11 12Число орлов •<*ч0,05, критерий овностороннийN = 12, a = 0,01 иN = 12, a = 0,01 иPhPhЕсли Яо: Рн ^ Рт, Hf. х> 11, то Я о отклоняется.

ИЫ

ИЫ

0,20

0,20

a is

a is

p

0,10

p

0,10

0,05

0,05

0

0

I-, Область Ш отклонения ^Зля P>Pr

I-, Область Ш отклонения ^Зля P>Pr

„ Область отклонения Зля РИ<РТ,

„ Область отклонения Зля РИ<РТ,

0 1 234567 89 10 11 12Число орлов •

<*ч0,05, критерий овносторонний

0 1 234567 89 10 11 12Число орлов •

<*ч0,05, критерий овносторонний

N = 12, a = 0,01 и

N = 12, a = 0,01 и

Ph

Ph

Критические значения статистики х (или N — х, если N — х > х) содержатся в табл. А для случаев, когда 5^Л^^50иР = 5 = -1.

Пример

Против фирмы выдвинуто обвинение в дискриминации женщин при приеме на работу. Изучение документов фирмы показало, что за ряд последних лет на определенную должность было получено одинаковое количество заявок как от мужчин, так и от женщин. Всего на эту должность было принято 19 мужчин и 6 женщин.

Дано: Но: Р = Q = у;

Нг- P^Q^b

^ = 25, х = 19, а = 0,05.

Обращение к табл. А при а = 0,05 (критерий двусторонний) и N = 25 показывает, что необходимое для отклонения Но значение х должно быть больше или равно 18. Поскольку наблюдаемое значение х больше 18 (х = 19), мы отклоняем Яо и принимаем Hv Таким образом, выясняется, что преобладание мужчин среди получивших работу претендентов является значимым.

Упражнения'

В каждом из следующих упражнений заданы Но, Hlt a-уровень и х. Укажите, лежит лн значение х внутри критической области.

Но:Р =Q =у,Hf.Р =# Q =#-^-,« = 0,01,N = 16,х =12.

Нв:Р <Q, HfР>Q, « = 0,05,N = 23,х = 19.

Нв:Р=Q=1.,HfР =^ Q у,« = 0,01,N = 45,х =31.

Hf.Р=Q =1,HfР ^Q=# 1, « = 0,05,N = 36,х = 30.

Hf. P <. Q, Hf P > Q, « = 0,01, N = 49, x = 34.

Контрольные вопросы к главе 1

В каких границах изменяется вероятность: а) — 1 и 1; б) 0 и 1; в) 0,5 н 1; г) 0 и — 1?

Если p-значение равно 1, то это означает, что событие: а) несомненно произойдет; б) может произойти в одном случае из 100; в) вряд ли произойдет; г) несомненно не произойдет.

Если событие может произойти в 28 случаях из 100, то связанная с ним вероятность равна: а) 2,80; б) 28,00; в) 0,028; г) 0,28.

Если р = 0,6, то событие может произойти: а) в 60 случаях из 100; б) в 60 случаях из 1000; в) в 6 случаях из 100; г) в 6 случаях из 1000.

Если событию А благоприятствует 70 исходов и не благоприятствует 140, то рд равно: а) 0,70; б) 0,50; в) 0,67; г) 0,33.

Если число исходов, благоприятствующих событию А, равно 50, а число исходов, благоприятствующих событию не А, равно 25, то рд составит: а) 2,00; б) 1,00; в) 0,67; г) 0,33.

Если число исходов, благоприятствующих событию А, равно 60, а число исходов, благоприятствующих событию не А, составляет 90, то рне д равно: а) 1,50; б) 0,67; в) 0,60; г) 0,40.

Если четырех человек попросить ответить в форме еда» или «нет» на некоторый вопрос, то общее количество возможных результатов будет равно: а) 4; б) 8; в) 16; г) 12.

Вопросы 9—12 основываются на следующей таблице, в которой показано распределение вероятностей возможных результатов при пяти подбрасываниях сбалансированной монеты:

Возможные результаты (х)

f

Рх

Пять орлов

1

0,03

Четыре орла

5

0,16

Три орла

10

0,31

Два орла

10

0,31

Один орел

5

0,16

Ни одного орла

1

0,03

2

32

1,00

Вероятность выпадения четырех и более орлов при пяти подбрасываниях монеты равна: а) 0,16; б) 0,19; в) 0,32; г) 0,38.

Вероятность того, что при 5 подбрасываниях монеты не выпадет ни одного орла, равна: а) 0,03; б) 0,00; в) 0,06; г) 0,19.

Вероятность получения результата, столь же редкого, как и выпадение четырех и более орлов, равна: а) 0,16; б) 0,19; в) 0,32; г) 0,38.

Вероятность получения результата, столь же редкого, как н выпадение пяти орлов, равна: а) 0,06; б) 1,00; в) 0,03; г) 0,97.

Вопросы 13—20 основываются на следующем выборочном распределение

дихотомической переменной, для которой Р = Q =

Число событий для Р-зна- чения (х)

Рх

Число событий для Р-зна- чения (х)

Рх

13

0,0001

6

0,2095

12

0,0016

5

0,1571

11

0,0095

4

0,0873

10

0,0349

3

0,0349

9

0,0873

2

0,0095

8

0,1571

1

0,0016

7

0,2095

0

0,0001

Какое нз перечисленных значений х приводит к принятию отклоняющего решения при а = 0,05 и одностороннем критерии: а) х = 10; б) х = 9- в) х = 4; г) х = 5?

На основе какого из приведенных значений х можно принять отклоняющее решение при а = 0,01 и двустороннем критерии: а) х = 2; б) х = 10; в) х = 12; г) х = 11?

Какое из следующих значений х ведет к принятию отклоняющего решения при а = 0,01 и одностороннем критерии: а) х = 11; б) х = 12; в) х = 2- г) х = 10?

Какое нз следующих значений х ведет к принятию отклоняющего решения при а= 0,05 и двустороннем критерии: а) х = 12; б) х = 11; в) х = 3; г) х = 4?

Какое из следующих значений х приведет к выбору принимающего решения в случае проверки Но: Р < Q н Hv. Р > Q при а = 0,05 и одностороннем критерии: а) х = 13; б) х = 12; в) х= 10; г) х = 3?

Какое из перечисленных значений х приводит к выбору принимающего решения в случае проверки Нп-. Р = Q и Ht; Р Ф Q при а = 0,01 и двустороннем критерии: а) х = 13; б) х = 0; в) х= 11; г) х = 12?

Критические значения при а = 0,05 и двустороннем критерии определяются условиями: а) х^ 12, х < 1; б) х^ 11, х С 2; в) х^ 12, х < 2; г) х > 10, х < 3.

Критическое значение в случае проверки гипотезы Нг: Р > Q при а = = 0,01 и одностороннем критерии определяется условием: а) х ^ 12; б) х < 3; в) х > 11; г) х < 2.

Практическое задание

Задано распределение частот дихотомической переменной, для которой

Число событий для Р-зна- чения (*)

f

Рх

Число событий для Р-зна- чения (х)

1

Рх

14

1

6

3 003

13

14

5

2 002

12

91

4

1 001

П

364

3

364

10

1001

2

91

9

2 002

1

14

8

3 003

0

1

7

3 432

2

16 384

На основе этих данных необходимо построить распределение вероятностен (с точностью до четырех десятичных знаков) и ответить на следующие вопросы: а) найдитекритическое значениедляпроверкиН^.Р > Qприа=0,05;

найдитекритическое значениедляпроверкиН^-Р Ф Qприа=0,05;

найдитекритическое значениедляпроверкиHf.Р < Qприа»0,05;

найдитекритическое значениедляпроверкиНг:Р > Qприа—0,01;

найдитекритическое значениедляпроверкиНг:Р Ф Qприа=0,01;

найдитекритическое значениедляпроверкиHv-Р < Qприа=0,01.

Глава 2

МОЩНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Еще десять лет назад внимание большинства исследователей было сосредоточено на одном типе ошибки, возможной при принятии статистических решений, а именно ошибки, состоящей в ложном отклонении верной нулевой гипотезы. Поэтому значение a-уровня, определяющее степень риска совершить ошибку подобного типа, задается обычно достаточно малым, равным 0,05 или 0,01. Ошибка, связанная с ложным отклонением верной нулевой гипотезы, называется ошибкой I рода или ошибкой a-типа. Существует и другой тип ошибки, интерес к которой за последнее время значительно возрос. Это ошибка II рода, или ошибка p-типа, которая имеет место всякий раз, когда мы принимаем ложную нулевую гипотезу. Если вероятность совершить ошибку I рода устанавливается достаточно легко — она равна а, то для ошибки II рода ее необходимо специально вычислять. В данной главе мы рассмотрим способы вычисления вероятности ошибки II рода (P-типа), а также выясним, как эта вероятность связана со статистической мощностью критерия.

В непараметрической статистике важную роль играют понятия «мощность» и «эффективность». Это связано с тем, что непараметрические критерии обычно используются вместо параметрических. Если соблюдаются основные предпосылки использования параметрического критерия, то в результате подобной замены может увеличиться вероятность ошибки II рода, поскольку параметрические критерии в большинстве случаев более мощные, чем их непараметрические аналоги.

В этой главе мы обсудим способы вычисления вероятности ошибки II рода, используя биномиальное выборочное распределение для иллюстрации процедуры расчетов. Также будет рассмотрено важное понятие эффективности критерия и показано, как можно увеличить мощность непараметрического критерия до уровня, равного мощности аналогичного параметрического критерия.

Цели главы '

Определить различие между ошибками I рода (a-типа) и II рода (Р-типа).

Выяснить, при каких обстоятельствах могут возникнуть ошибки каждого типа.

Познакомиться с понятием мощности статистического критерия.

Познакомиться с понятием эффективности критерия.

Узнать, как можно увеличить мощность непараметрического критерия.

ДВА ТИПА ОШИБОК

Существуют два типа статистических решений, которые можно принять при проверке гипотез: отклонить Но в том случае, когда вероятность интересующего нас события не превосходит приемлемого a-уровня (обычно при р ^ 0,01 или р ^0,05); принять Но, если вероятность интересующего нас события превышает а. С каждым из этих решений связан определенный риск совершить ошибку.

Если мы отклоняем Но (т. е. считаем Нв ложной) в то время, как в действительности Нв верна, то мы совершаем ошибку, состоящую в неправильном отклонении нулевой гипотезы. Этот тип ошибки называется ошибкой I рода или ошибкой а-типа.

Если же мы принимаем Н6 (т. е. не соглашаемся с альтернативной гипотезой) в то время, как в действительности Но является ложной, то мы совершаем ошибку, которая заключается в неправильном принятии нулевой гипотезы. Подобного типа ошибка называется ошибкой II рода или ошибкой 0-типа.

Примеры

Но; Р = Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,03, значение двустороннее. Статистическое решение: Но является ложной. Фактический статус Но; верная.

Ошибка-. I рода, отклонение верной Но.

Но; Р = Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,04, значение двустороннее. Статистическое решение: Но является ложной. Фактический статус Н0‘. ложная.

Ошибка-, ошибки не было. Поскольку Яо является ложной, статистическое решение было принято правильно.

Яо: Р = Q, а = 0,01, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,10, значение двустороннее. Статистическое решение: Но принимается. Фактический статус Но" ложная.

Ошибка; II рода, принятие ложной Но.

Н9; Р = Q, а = 0,01, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,006, значение двустороннее. Статистическое решение: Но отклоняется. Фактический статус Но" ложная.

Ошибка; ошибки не было, поскольку принято статистическое решение об отклонении действительно ложной Но.

Ошибка I рода (a-типа) может быть сделана только тогда, когда И» верна, поскольку по определению этот тип ошибки связан с неверным отклонением истинной нулевой гипотезы.

Пример

Если а = 0,01, вероятность совершения ошибки I рода равна 0,01.

Ошибка II рода (0-типа) может быть сделана только тогда, когда Но является ложной, поскольку по определению этот тип ошибки связан с неверным принятием ложной Но. Вероятность совершить ошибку II рода может быть получена только путем вычисления.

Упражнения

Для каждого из упражнений 1—5 заданы Нв, а, полученное значение р, а также известен истинный статус Но. Выясните, была ли сделана ошибка при принятии статистического решения. Если да, укажите тип ошибки.

Но: Р = Q, а = 0,01, критерий односторонний. Известно, что р = 0,008, значение одностороннее (в ожидаемом направлении). Фактический статус Но: верная.

/70: Р = Q, а. = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,08, значение двустороннее. Фактический статус Но: верная.

Но: Р — Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,06, значение двустороннее. Фактический статус Н6; ложная.

До: Р = Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,03, значение двустороннее. Фактический статус Но: ложная.

Н6: Р = Q, а = 0,01, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,005, значение двустороннее. Фактический статус Не; ложная.

Чему равна вероятность совершить ошибку I рода, если а = 0,05?

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ П РОДА

В процессе вычисления ошибки II рода выделяются два основных шага: а) определение критического значения, необходимого для отклонения Но при «нулевом» распределении, и б) определение вероятности появления критического значения (или значения, еще менее вероятного) при «истинном» выборочном распределении статистики.

Для иллюстрации вычисления вероятности ошибки II рода воспользуемся данными одной выборки из двузначной (биномиальной) совокупности. Будем предполагать, что нам известны «истинные» значения вероятностей Р и Q для генеральной совокупности. Тогда вероятность выбора неверного решения (принятия ложной нулевой гипотезы, ошибка II рода) будем вычислять путем оценивания ее относительно нулевого распределения.

Дано:

Р = 0,50, Q = 0,50, N = 14, Но: Р < 0,30, Q > 0,70,

Ну. Р > 0,30, Q < О',70, а — 0,05, критерий односторонний.

На практике, когда истинное распределение неизвестно, вероятность ошибки II рода можно оценить путем принятия определенных предположений, основывающихся на выборочной статистике. Однако рассмотрение подобной процедуры выходит за пределы данной книги.

Определение критического значения, необходимого для отклонения Но при нулевом распределении

Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Н^: выборка была извлечена из генеральной совокупности, для которой Р ^ 0,30 и Q ^ 0,70.

Альтернативная гипотеза (Ну): выборка была извлечена из генеральной совокупности, для которой Р >■ 0,30 и Q < 0,70.

Статистический критерий: биномиальный критерий.

Таблица 2.1. Накопленные биномиальные вероятности, связанные с различными значениями х (число событий для P-значения) при Р=0,30 и Р=0,50, IV = 14 (данные таблицы округлены до четвертого знака после запятой)

X

Нулевое распреде-Истинное распределение,

ление, Р=0,30,Р = 0,50,

2рж2рх

14 13 12

11 10 9

Критическое -♦ 8 значение при Но 7 6 5 4 3 2 1 0

0,00000,0001

0,00000,0009

0,00000,0065

0,00020,0287

0,00170,0898

0,00830,2120

0,03150,3953 «-Вероятность nPa-

О.09330,6047 аильного решения

0,21950,7880

0,41580,9102

0,64480,9713 Областьошибки

0,83920,9935 (II рода

0,95250,9991

0,99320,9999 ,

1,00001,0000

Выборочное распределение; биномиальное распределение, у которого ^ = 14, Р = 0,30 для нулевого распределения и Р = 0,50 для истинного распределения.

Критическое значение; в табл. 2.1 содержатся накопленные вероятности (накопление идет отх=14кх = 0), соответствующие различным значениям х при Р = 0,30 и Р = 0,50, причем эти значения являются односторонними; обратившись к нулевому распределению (Р = 0,30), мы обнаруживаем, что результату х ^ 8 соответствует вероятность, равная 0,0315.

Определение вероятности появления критического значения при истинном выборочном распределении статистики

Вспомним, что х = 8 — критическое значение для отклонения Н6 при нулевом распределении, в котором Р = 0,30 и N = 14. Любое значение, равное или большее 8, приводит к отклонению Но и принятию Hv Рассмотрев столбец для Р = 0,50 при х = 8, мы находим вероятность появления этого значения при истинном распределении. Значение р = 0,3953 свидетельствует о том, что примерно в 40% случаев принимается правильное решение (т. е. отклоняется ложная Н^). Вычитая это значение из 1, находим вероятность ошибки II рода, или ошибки 0-типа, которая равна 0,6047. Отсюда видно, что примерно в 60% случаев мы не сможем принять правильного решения.

Упражнения

В упражнениях 7—10 используются следующие данные: Р = 0,50, Q = = 0,50, N = 14; Но: Р < 0,20, Q > 0,80; Н<. Р > 0,20, Q < 0,80; а = 0,05, критерий односторонний.

X

Нулевое распределение,1 р=о,2о; ^х

Истинное распределение, Р=0,50, ^Рх

X

Нулевое распределение, Р = 0,20, ^Х '

Истинное распределение, Р = 0,50, ^Х

14

0,0000

0,0001

6 -

0,0439

0,7880

13

0,0000

0,0009

5

0,1298

0,9102

12

0,0000

0,0065

4

0,3018

0,9713

11

0,0000

0,0287

3

0,5519

0,9935

10

0,0000

0,0898

2

0,8021

0,9991

9

0,0004

0,2120

1

0,9560

0,9999

8

0,0024

0,3953

0

1,0000

1,0000

7

0,0116

0,6047

7. Запишите задачу в формальном статистическом виде.

8. Найдите критическое значение для отклонения Н» при нулевом распределении.

9. Определите вероятность появления критического значения при истинном распределении.

10. Найдите вероятность совершить ошибку II рода (0-тнпа).

ПОНЯТИЕ МОЩНОСТИ

При вычислении вероятности совершить ошибку II рода была определена вероятность решения, связанного с принятием ложной нулевой гипотезы. Вычитая эту P-вероятность из единицы, мы устанавливаем мощность критерия. Мощность определяется как вероятность принятия правильного решения при ложной Нв, т. е. как вероятность отклонения ложной нулевой гипотезы. В предыдущем примере, для которого p-вероятность оказалась равной 0,6047, мощность критерия составит:

мощность =1 — р = 1— 0,6047 = 0,3953.

Как было отмечено, мощность критерия сообщает нам значение вероятности того, что будет принято правильное решение, т. е. отклонена ложная Но. В данном примере эта вероятность равна примерно 0,40.

Упражнение

Вычислите мощность критерия, используемого в упражнениях 7—10.

УВЕЛИЧЕНИЕ МОЩНОСТИ КРИТЕРИЯ

Мощность критерия зависит от целого ряда факторов, в том числе от объема выборки, a-уровня, направленности Но и Ни а также от надежности экспериментальных методов и измерительных приборов. Далее мы рассмотрим, как объем выборки и a-уровень влияют на мощность критерия.

Объем выборки и мощность критерия

В предыдущем примере для случая N = 14 мощность критерия оказалась равной 0,3953. При М = 20 мы получаем выборочное распределение, приведенное в табл. 2.2 для Р = 0,30 и Р = 0,50.

Таблица 2.2. Накопленные биномиальные вероятности, соответствующие различным значениям х (число событий для P-значения) при Р-=0,30, Р = 0,50, N =20 (данные таблицы округлены до четвертого знака после запятой)

X

Р = 0,30, 2Рх

Р=0,50, ^Рх

20

0,0000

0,0000

19

0,0000

0,0000

18

0,0000

0,0002

17

0,0000

0,0013

16

0,0000

0,0059

15

0,0000

0,0207

14

0,0003

0.0577

13

0,0013

■ 0,1316

Критическ е значение при а=0,01—>. 12

0,0051

0,2517

11

0,0171

0,4119

Критическое значение при а=0,05->10

0,0480

0,5881

9

0,1133

0,7483

8

0,2277

0,8684

7

0,3920

0,9423

6

0,5836

0,9793

5

0,7650

0,9941

4

0,8929

0,9987

3

0,9645

0,9998

2

0,9924

1,0000

1

0,9992

1,0000

°

1,0000

1,0000

Критическое значение при нулевом распределении для а = 0,05 оказывается равным 10, а вероятность появления этого значения при истинном распределении равна 0,5881. Это и есть мощность критерия. Обратите внимание, в этом случае критерий является гораздо более мощным, чем при N = 14. Если бы мы использовали N = 40, то мощность критерия составила бы 0,7852.

ct-уровень и мощность критерия

Обратившись вновь к табл. 2.2, мы находим, что х = 12 представляет собой критическое значение при а = 0,01. Вероятность появления этого значения при истинном распределении равна 0,2517. Таким образом, мощность критерия увеличивается вместе с увеличением a-уровня. Другими словами, при ложной Но а = 0,10 обеспечивает более мощный критерий, чем а = 0,05; в свою очередь, а = 0,05 обеспечивает большую мощность критерия, чем а = 0,01.

Упражнения

Для рассмотренного примера мощность критерия оказалась равной 0,5881. Чему равна fl-вероятность?

На основе данных об объемах выборки и мощности критерия постройте график мощности критерия как функции от N (N = 14, N = 20, ^ = 40).

Сформулируйте общий вывод о влиянии объема выборки на мощность критерия..

Чему равна fl-вероятность, если ^ = 20, а = 0,01 и мощность критерия составляет 0,2517?

МОЩНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Во введении к этой главе мы отмечали, что если справедливы исходные предпосылки, то при любом N параметрические критерии более мощные, чем их непараметрические аналоги. Однако, поскольку мы располагаем возможностью увеличить мощность с помощью увеличения N, непараметрический критерий можно сделать столь же мощным, как и параметрический, при использовании выборок с большим объемом. Таким образом, критерий А может быть более мощным, чем критерий В, при одинаковых значениях N, но критерий В может стать столь же мощным, как и критерий А, если N равно, скажем, 40 в отличие от ^ = 30 для критерия А.

Понятие эффективности связано с увеличением объема выборки, при котором один критерий становится столь же мощным, как и другой. Предположим, что критерий В равен по мощности критерию А в том случае, если значения N равны для них соответственно 40 и 20. Обозначим через Nb значение N; необходимое для получения одинаковой мощности критериев В и А, если известно, что критерий А используется при N = Na. Тогда эффективность критерия В может быть установлена следующим образом:

эффективность критерия В = -^ = -^- = 0,5.

Таким образом, мощность критерия В относительно мощности критерия А составляет 0,5, поэтому для получения одинаковой мощности нам придется дважды применять критерий В на каждое использование критерия А.

Пример

Если эффективность критерия В равна 0,20 и Nn = 10, то какое значение Nb необходимо для получения одинаковой мощности?

Nb = ■^ = 50.

эффективность критерия В 0,20

Упражнение

В каждом из упражнений 16—20 задана эффективность критерия В относительно эффективности критерия А, а также приводится значение N для критерия А. Определите, какое значение необходимо использовать для критерия В, чтобы добиться одинаковой мощности (округлите до целого числа).Эффективность ~ ”В каждом из упражнений 16—20 задана эффективность критерия В относительно эффективности критерия А, а также приводится значение N для критерия А. Определите, какое значение необходимо использовать для критерия В, чтобы добиться одинаковой мощности (округлите до целого числа).Эффективность ~ ”ЭффективностьЭффективностьЭффективностьЭффективностьЭффективностьЭффективностьЭффективностьЭффективностькритерия критерия критерия критерия критериякритерия критерия критерия критерия критерияВ = 0,40,В = 0,75,В = 0,40,В = 0,75,В = В =В =В = В =В =0,90, 0,35, 0,80,0,90, 0,35, 0,80,N„ = 20.Na = 18.Na = 18.Na = 27.Na = 24.N„ = 20.Na = 18.Na = 18.Na = 27.Na = 24.

В каждом из упражнений 16—20 задана эффективность критерия В относительно эффективности критерия А, а также приводится значение N для критерия А. Определите, какое значение необходимо использовать для критерия В, чтобы добиться одинаковой мощности (округлите до целого числа).

Эффективность ~ ”

В каждом из упражнений 16—20 задана эффективность критерия В относительно эффективности критерия А, а также приводится значение N для критерия А. Определите, какое значение необходимо использовать для критерия В, чтобы добиться одинаковой мощности (округлите до целого числа).

Эффективность ~ ”

Эффективность

Эффективность

Эффективность

Эффективность

Эффективность

Эффективность

Эффективность

Эффективность

критерия критерия критерия критерия критерия

критерия критерия критерия критерия критерия

В = 0,40,

В = 0,75,

В = 0,40,

В = 0,75,

В = В =

В =

В = В =

В =

0,90, 0,35, 0,80,

0,90, 0,35, 0,80,

N„ = 20.

Na = 18.

Na = 18.

Na = 27.

Na = 24.

N„ = 20.

Na = 18.

Na = 18.

Na = 27.

Na = 24.

Контрольные вопросы к главе 2

Дано: Но: Р = Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Известно, что р = 0,04, значение двустороннее. Фактический статус Но: ложная.

Мы принимаем Но и совершаем ошибку II рода.

Мы отклоняем Нй и совершаем ошибку I родЬ.

Мы принимаем Но и выбираем правильное решение.

Мы отклоняем Но и принимаем правильное решение.

Дано: Но: Р = Q, а = 0,05, критерий двусторонний. Полученное двустороннее значение р=0,10. Фактический статус Яо: ложная.

Мы принимаем Но и совершаем ошибку II рода.

Мы отклоняем Но и совершаем ошибку I рода.

Мы принимаем Н6 и выбираем правильное решение.

Мы отклоняем Н6 и принимаем правильное решение.

Дано: Но: Р ^ Q, а = 0,01, критерий односторонний. Полученное одностороннее значение р = 0,03 и соответствует ожидаемому направлению. Фактический статус Нй: верная.

Мы принимаем Но и совершаем ошибку II рода.

Мы отклоняем Но и совершаем ошибку I рода.

Мы принимаем Н6 и получаем правильное решение.

Мы отклоняем Но и принимаем правильное решение.

Дано: Но: Р = Q, а = 0,01, критерий односторонний. Полученное двустороннее значение р = 0,009. Фактический статус Яо: верная.

Мы принимаем Но и совершаем ошибку II рода.

Мы отклоняем На и совершаем ошибку I рода.

Мы принимаем Но и получаем правильное решение.

Мы отклоняем Н6 и принимаем правильное решение.

При а = 0,01 и двустороннем критерии вероятность совершить ошибку II рода будет равна: а) 0,01; б) 0,02; в) 0,99; г) информации недостаточно.

При P-вероятности, равной 0,46, мощность критерия составит: а) 0,46; б) 0,54; в) 0,05; г) нельзя ответить, не зная а-уровня.

Вопросы 7—10 основываются на следующих нулевом и истинном распределениях дихотомической переменной:

х

Нулевое распределение, Р=0,20, ^х

Истинное распределение, Р=0,50,

1 х

Нулевое распределение, Р=0,20, ^Рх

Истинное распределение, Р = 0,50, ^Рх

14

0,0000

0,0001

7

0,0116

0,6047

13

0,0000

0,0009

6

0;0439

0,7880

12

0,0000

0,0065

5

0,1298

0,9102

11

0,0000

0,0287

4

0,3018

0,9713

10

0,0000

0,0898

3

0,5519

0,9935

9

0,0004

0,2120

2

0,8021

0,9991

8

0,0024

0,3953

1

0,9560

0,9999

0

1,0000

1,0000

В нулевом распределении критическое значение х при а = 0,05 будет равно: а) х = 6; 6) х = 11; в) х = 8; г) х = 7;

Мощность критерия при а = 0,05 (двустороннее значение) составит: а) 0,6047; б) 0,2120; в) 0,7880; г) 0,9102,.

В нулевом распределении критическое значение х при а = 0,01 будет равно: а) х = 7; б) х = 8; в) х = 6; г) х = 9.

Мощность критерия при а = 0,01 (одностороннее значение) составит: а) 0,6047; б) 0,3953; в) 0,2120; г) 0,7880.

Если эффективность критерия В, равна 0,60 и Na = 30, то значение N(,, необходимое для получения одинаковой мощности критериев А и В, будет равно: а) 50; б) 18; в) 48; г) 30.

Если эффективность критерия В равна 0,90 и Na = 20, то значение N),, необходимое для получения одинаковой мощности критериев А и В, будет равно: а) 90; б) 38; в) 18; г) 22.

Практические задания

Далее приведены нулевое и истинное распределения дихотомической переменной при N= 10, 14 и 20. Вопросы 13—19 основываются на этих распределениях.

Критерий А, А = 10,

Нулевое распределение, Р=0.25, ^Рх

Истиииое распределение. Р=0,50, ^Х

Критерий А, N=\0.

X

Нулевое распределение, Р = 0,25, ^Х

Истинное распределение, Р=0,50, ^Рх

10

0,0000

0,0010

5

0,0781

0,6230

9

0,0000

0,0107

4

0,2241

0,8281

8

0,0004

0,0547

3

0,4744

0,9453

7

0,0035

0,1719

2

0,7560

0,9893

6

0,0197

0-.3770

1 0

0,9437 1,0000

0,9990

1,0000

Критерий В, N=\4.XНулевое распределение, Р = 0,25, 2ржИстинное распределение, Р—0,50, ^х140,00000,0001130,00000,0009120,00000,0065110,00000,0287100,00030,089890,00220,212080,01030,395370,03830,604760,11170,788050,25850,910240,47870,971330,71890,993520,89900,999110,98220,999901,00001,0000Критерий В, N=\4.XНулевое распределение, Р = 0,25, 2ржИстинное распределение, Р—0,50, ^х140,00000,0001130,00000,0009120,00000,0065110,00000,0287100,00030,089890,00220,212080,01030,395370,03830,604760,11170,788050,25850,910240,47870,971330,71890,993520,89900,999110,98220,999901,00001,0000Критерий С. ЛГ = 20,Нулевое распределение, Р = 0,25, ^РхИстинное распределение.Р=0,50, ^Рх200,00000.0000190,00000,0000180,00000,0002170,00000,0013160,00000,0059150,00000,0207140,00000,0577130,00020,1316120,00090,2517110,00390,4119100,01390,588190,04090,748380,10180,868470,21420,942360,38280,979350,58520,994140,77480,998730,90870,999820,97571,000010,99681,000001,00001,0000Критерий С. ЛГ = 20,Нулевое распределение, Р = 0,25, ^РхИстинное распределение.Р=0,50, ^Рх200,00000.0000190,00000,0000180,00000,0002170,00000,0013160,00000,0059150,00000,0207140,00000,0577130,00020,1316120,00090,2517110,00390,4119100,01390,588190,04090,748380,10180,868470,21420,942360,38280,979350,58520,994140,77480,998730,90870,999820,97571,000010,99681,000001,00001,0000Определите мощность критерия А при Яо: Р < Q и а = 0,05, используя нулевое и истинное распределения его статистики.

Критерий В, N=\4.

X

Нулевое распределение, Р = 0,25, 2рж

Истинное распределение, Р—0,50, ^х

14

0,0000

0,0001

13

0,0000

0,0009

12

0,0000

0,0065

11

0,0000

0,0287

10

0,0003

0,0898

9

0,0022

0,2120

8

0,0103

0,3953

7

0,0383

0,6047

6

0,1117

0,7880

5

0,2585

0,9102

4

0,4787

0,9713

3

0,7189

0,9935

2

0,8990

0,9991

1

0,9822

0,9999

0

1,0000

1,0000

Критерий В, N=\4.

X

Нулевое распределение, Р = 0,25, 2рж

Истинное распределение, Р—0,50, ^х

14

0,0000

0,0001

13

0,0000

0,0009

12

0,0000

0,0065

11

0,0000

0,0287

10

0,0003

0,0898

9

0,0022

0,2120

8

0,0103

0,3953

7

0,0383

0,6047

6

0,1117

0,7880

5

0,2585

0,9102

4

0,4787

0,9713

3

0,7189

0,9935

2

0,8990

0,9991

1

0,9822

0,9999

0

1,0000

1,0000

Критерий С. ЛГ = 20,

Нулевое распределение, Р = 0,25, ^Рх

Истинное распределение.

Р=0,50, ^Рх

20

0,0000

0.0000

19

0,0000

0,0000

18

0,0000

0,0002

17

0,0000

0,0013

16

0,0000

0,0059

15

0,0000

0,0207

14

0,0000

0,0577

13

0,0002

0,1316

12

0,0009

0,2517

11

0,0039

0,4119

10

0,0139

0,5881

9

0,0409

0,7483

8

0,1018

0,8684

7

0,2142

0,9423

6

0,3828

0,9793

5

0,5852

0,9941

4

0,7748

0,9987

3

0,9087

0,9998

2

0,9757

1,0000

1

0,9968

1,0000

0

1,0000

1,0000

Критерий С. ЛГ = 20,

Нулевое распределение, Р = 0,25, ^Рх

Истинное распределение.

Р=0,50, ^Рх

20

0,0000

0.0000

19

0,0000

0,0000

18

0,0000

0,0002

17

0,0000

0,0013

16

0,0000

0,0059

15

0,0000

0,0207

14

0,0000

0,0577

13

0,0002

0,1316

12

0,0009

0,2517

11

0,0039

0,4119

10

0,0139

0,5881

9

0,0409

0,7483

8

0,1018

0,8684

7

0,2142

0,9423

6

0,3828

0,9793

5

0,5852

0,9941

4

0,7748

0,9987

3

0,9087

0,9998

2

0,9757

1,0000

1

0,9968

1,0000

0

1,0000

1,0000

При тех же условиях определите мощность критерия А для случая а = 0,01..■.

Определите мощность критерия В при Но: Р < Q и а = 0,05, используя нулевое и истинное распределения его статистики.

При тех же условиях определите мощность критерия В в случаем = 0,01.

Определите мощность критерия С при На: Р < Q и м = 0,05, используя нулевое и истинное распределения его статистики.

При тех же условиях определите мощность крнтерияС в случае а = 0,01.

Постройте график мощности критерия как функции от объема выборки и a-уровня. Сформулируйте общий вывод о влиянии объема'выборки и «-уровня на мощность критерия. -

Часть первая

НОМИНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЯ

В первой части этой книги исследуются непараметрические критерии, используемые при низших шкалах измерения — номинальных шкалах. Номинальные шкалы основываются на качественных переменных, главная особенность которых заключается в том, что различие между ними не поддается количественному измерению. Эти переменные классифицируются в соответствии с определяющими их различие признаками, а не в зависимости от степени, в которой они наделены заданным свойством. В противоположность этому количественными считаются такие переменные, различие между которыми выражается в том, насколько отличаются друг от друга индивидуумы, объекты или события, обладающие каким-либо свойством.

Некоторыми наиболее общими примерами номинальных шкал или категорий служат цвет, марка автомобиля, пол (мужской или женский), тип строительного материала, классификации растений и животных и т. п.

Соответствующие номинальным шкалам данные состоят из наблюдаемых значений частот или табличных сведений о числе появлений каждой из разновидностей изучаемой переменной. Такие данные имеют несколько эквивалентных названий: частотные данные, перечисленные данные, атрибутные данные, вариантные данные. Единственными математическими связями, уместными по отношению к номинальным шкалам, являются тождество (=) и различие ^\ Наконец, для характеристики номинальных данных наиболее часто используются такие дескриптивные статистики, как пропорция и процентное отношение.

Глава 3

НОМИНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ.

СЛУЧАЙ С ОДНОЙ ВЫБОРКОЙ

При проведении многих исследований мы извлекаем одну выборку из некоторой генеральной совокупности и исследуем вопросы, касающиеся «соответствия» выборочной статистики некоторому известному или гипотетическому значению параметра генеральной совокупности. В качестве примера рассмотрим выборку, состоящую из лиц, которых попросили ответить на некоторый вопрос в форме «да» или «нет». Допустим, что в этой выборке доля положительных ответов составила 0,47. Можно ли при этом утверждать, что выборка была извлечена из совокупности, в которой истинная доля положительных ответов рав-

на 0,50? Случай с одной выборкой отличается от случаев с двумя или несколькими выборками тем, что в последних обычно рассматриваются вопросы типа «Вероятно ли, что две (или более) выборки были извлечены из одной и той же генеральной совокупности?»

В этой главе мы рассматриваем: а) дихотомические (или двузначные) переменные и б) многозначные переменные.

Цели главы

Узнать, как применяются таблицы биномиальной переменной для проверки Но: Р = Q = ^ при N ^ 50.

Узнать, как применяются таблицы биномиальной переменной для проверки нулевых гипотез, касающихся различных значений Р и Q при -N ^ 49.

Выяснить, как используется критерий %2 при проверке нулевых гипотез относительно двузначных переменных при N > 50.

Выяснить, как используется критерий %2 ПРИ проверке нулевых гипотез относительно многозначных переменных.

ДВУЗНАЧНЫЕ ГЕНЕРАЛЬНЫЕ СОВОКУПНОСТИ

Биномиальный критерий при P — Q = ~

При оценке выборки из двузначной совокупности наиболее часто выдвигается нулевая гипотеза о том, что Р = Q = у. В табл. А приводятся односторонние и двусторонние критические значения при а = = 0,05 и 0,01 для N, изменящегося от 5 до 50.

Пример

В колледже проводятся выборы президента студенческого совета, причем на этот пост претендуют два кандидата. Как показало неофициальное голосование, проведенное среди 46 случайно отобранных избирателей, 34 человека отдали предпочтение кандидату А, а 12 человек — кандидату В. Можно ли предположить, что эта выборка была извлечена из совокупности, у которой Р = Q = ^

Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но); Р = Q = у. Доля избирателей, предпочитающих кандидата А (Р), равна доле предпочитающих кандидата В (Q).

Альтернативная гипотеза (Д^: Р Ф Q =/= —. Доля избирателей, предпочитающих кандидата А, не равна доле предпочитающих кандидата В.

Статистический критерий: поскольку мы сравниваем частоты ответов, соответствующих двузначной совокупности, подходящей тестовой статистикой является биномиальная.

Уровень значимости-, а = 0,01.

Выборочное распределение; биномиальное распределение при Р = Q = 4 И N = 46.

Критическое значение: обратившись к табл. А при а = 0,01, двустороннем критерии и N = 46, мы обнаруживаем, что требуемые для отклонения Но значения х определяются из условия: х (или N — х) 33.

Решение. Поскольку наблюдаемое значение х, равное 34, превышает критическое значение, мы отклоняем Но. Таким образом, выясняется, что больше половины избирателей предпочитают кандидата Айв случае немедленного проведения выборов можно ожидать его победы.

Упражнения

Предположим, что на основе наблюдений за длительный период времени было выяснено, что вероятность простудиться в течение одного года равна 0,5; Группе из 35 человек было прописано лекарство, которое, как ожидалось, сможет предохранить от простуды. В течение года после приема лекарства были получены следующие результаты:

Число простудившихся

Число избежавших простуды

N

12

23

35.

Используя а = 0,01 при двустороннем критерии, проверьте Но-: P=Q = -^.

В упражнениях 2—5укажите,следует принятьилн отклонить Яо:

2. Яо:P=Q=^,N = 27,а = 0,05,х =18.

3. Но:Р <_Q, Hv- Р> Q, а =0,05, N =15, х= 11.

4. Яо:P=Q=^,W=43,а =0,01,х =35.

5. Но: P>Q, Hr- Р < Q, N = 42, а = 0,01, N—x = 27.

Биномиальный критерий при P^Q^ 5"

В некоторых случаях предполагаемая доля генеральной совокупности соответствует значению, не совпадающему с 0,5. Особенно часто это встречается в таких областях, как медицина, где вероятность заразиться многими болезнями меньше 0,5, а также при проверке качества продукции, где доля бракованных изделий обычно бывает достаточно малой.

Пример

В процессе промышленного производства могут создаваться партии деталей, состоящих из нескольких.тысяч отдельных предметов. Если доля бракованных деталей незначительно превышает 0,10, то вся партия признается годной. Если же доля брака (Р) существенно больше

0,10, то бракуется вся партия. Случайная выборка деталей из данной партии привела к следующим результатам:

Бракованные детали

Годные детали

Итого

4

44

48

Формальная постановка задачи:

а) Нулевая гипотеза (Но); Р <2 0,10, Q ^ 0,90.

. б) Альтернативная гипотеза (Н^; Р > 0,10, Q < 0,90.

Статистический критерий-, биномиальный.

Уровень значимости; а = 0,05, одностороннее значение.

Критическое значение; в табл. В приводятся односторонние критические значения, соответствующие различным значениям Р из интервала [0,01; 0,501. Обратившись к этой таблице при Р = 0,10, Q = = 0,90 и N = 48, мы выясняем, что необходимые для отклонения Но значения х определяются, условием х ^ 9.

Решение. Поскольку наблюдаемое значение х, равное 4, меньше критического значения, мы принимаем Но. Доля брака оказывается недостаточно большой, чтобы можно было забраковать всю партию.

Упражнения

Ученый провел пять независимых исследований с целью определить влияние экспериментальной переменной на критериальную задачу. В двух из пяти случаев исследования привели к одинаковым результатам, статистически значимым при а = 0,01. Определите, является ли число оказавшихся статистически значимыми исследований большим, чем можно было ожидать при их случайном происхождении. Используйте а = 0,01.

Для определенной болезни доля выздоравливающих при отсутствии лечения равна 0,15. Выборке из 37 пациентов было прописано новое терапевтическое средство, применение которого привело к следующим результатам:

Число выздоровевших пациентов

Число не выздоровевших пациентов

Итого

15

22

37

Используя а = 0,01, оцените эффективность нового средства.

В упражнениях 8—11 укажите, следует принять или отклонить Но.

8.Не:Р < 0,30,N=20,х =8,а =0,05.

9.Яо:Р <‘0,05,W=10,х =4,а =0,01.

10.Но:Р < 0,40,У=31,х =15,а =0,05.

11.Яо:Р < 0,20,У=15,х =6,а =0,05.

Критерий X2 при N, превышающем 50

Табл. А и В содержат критические значения только для случаев, когда N меньше или равно 50. Если же N превышает 50, то с помощью критерия х2 может быть получена хорошая аппроксимация биномиального критерия для всех значений Р и Q.

В случае двузначной совокупности тестовая статистика, х2, определяется следующим образом:

^2 _ v (Ifo—fel—0,5)2fe ’

где f0 — наблюдаемая частота; fe — ожидаемая частота (в случае выполнения Яо); |fo — fe I— абсолютное значение разности между /0

2

и fe; У указывает на необходимость просуммировать это отношение 1 = 1■

по обоим значениям.

В табл. С приводятся двусторонние критические значения для отклонения Но при различных уровнях а. Для всех значений к (число возможных значений в исходной совокупности) существуют отдельные распределения х2, каждое из которых приводится в зависимости от числа степеней свободы (df). В случае одной выборки df = к—1; таким образом, при двузначной совокупности (к = 2) df = 2 — 1 = 1.

При заданных а и df для отклонения Но необходимо, чтобы наблюдаемое значение х2 было больше или равно критическому значению.

Примеры

х2 = 1,973, df = 1, а = 0,05. Обратившись к табл. С при а = 0,05 и df = 1, находим, что критическое значение для отклонения Но равно 3,841; Но принимается.

х2 = 4,653, df = 3, а = 0,01. Обратившись к табл. С при а = 0,01 и df = 3, находим, что необходимое для отклонения Но критическое значение х2 равно 11,341; Но принимается.

Пример использования критерия х2-

Дано:

Но: Р < 0,25, Q > 0,75;

Нг: Р > 0,25, Q < 0,75;

N = 60, а = 0,05.

Р-значение

Q-значеиие

N

Наблюдаемая частота, /0

24

36

60

Шаг 1. Существуют две ожидаемые частоты, по одной для каждого значения дихотомической переменной. Ожидаемая частота для P-значения (Др) вычисляется путем умножения N на Р (доля, предполагаемая при выполнении Н0У.

Др = N-P = 60-0,25 = 15.

Шаг 2. Вычитанием находим ожидаемую частоту для Q-значения tUY

U = N- tep = 60 - 15 = 45.

Шаг 3. Для каждого значения находим |Д — /Д путем вычитания fe из соответствующей наблюдаемой частоты.

P-значение

Q-значение

Итого

fo

24

36

60

fe

15

45

60

Ifo-M

9

9

Шаг 4. Вычитаем 0,5 из каждой абсолютной величины |Д — /е|. Этот шаг называется поправкой на непрерывность. Он требуется только в том случае, когда число степеней свободы равно 1, и предназначен для корректировки несоответствия между дискретным биномиальным распределением и непрерывным распределением %2.

P-значение

Q -значение

fo

24

36

fe

15

45

\fo-fei

9

9

\fo~fe\~0,5

8,5

8,5

Шаг 5. Возводим в квадрат каждое из выражений |/о — /е| — 0,5, затем делим полученные значения на соответствующие/е и, суммируя, получаем %2:

2(Ifo-М-0.5)2(8,5)2(8,5р

Zfe1545’‘

Решение. Поскольку расчетное значение %2 превышает табличное значение, равное 3,841, мы отклоняем Но и принимаем Hv Выборка была извлечена из совокупности, для которой Р > 0,25.

Упражнения

Определитеdf,еслиизвестно,чтоk=8.

Определитеdf,еслиизвестно,чток=4.

Определитеdf,еслиизвестно,чток=3.

Определитеdf,еслиизвестно,чток=7.

В упражнениях 16—19 необходимо принять решение об отклонении или принятии Но.

X2 =6,931,df =2,а=0,01.

х2=3,941,df=1,а=0,05.

х2 =18,492,df =6,а=0,01.

х2 =7,423,df=1,а=0,01.

Яо:Р <0,30,N = 55.Определитеfep.

Но:Р с0,40,N = 67.Определитеfep.

Яо:Р =0,50,N = 74.Определите/ер.

Но:Р <0,10,N = 88.Определите/ер.

Найдитеfeq,соответствующуюданнымупражнения20.

Найдитеfeq,соответствующуюданнымупражнения21.

Найдитеfeq.соответствующуюданнымупражнения22.

Найдитеfeq,соответствующуюданнымупражнения23.

Известно, что наблюдаемая частота равна 25 для P-значения и 30 — для Q-значения. По данным из упражнений 20 и 24 определите I /0 — /е I для каждого из значений.

Известно, что наблюдаемая частота равна 34 для P-значения и 33 — для Q-значения. По данным из упражнений 21 и 25 определите jy0—fe\ для каждого из значений.

Известно, что наблюдаемая частота равна 45 для P-значения и 29 — для Q-значения. Найдите | /0 — /е | для каждого из значений по данным из упражнений 22 и 26.

Известно, что наблюдаемая частота равна 20 для P-значения и 68 — для Q-значения. На основе данных из упражнений 23 и 27 найдите |/о —/е | для каждого из значений.

Определите%2дляупражнения28ипримитестатистическое решение.

Определите%2дляупражнения29ипримитестатистическое решение.

Определите%2дляупражнения30ипримитестатистическое решение.

Определите%2дляупражнения31ипримитестатистическое решение.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ГЕНЕРАЛЬНЫЕ СОВОКУПНОСТИ

Существует множество ситуаций, когда имеются сведения о частотах для нескольких значений качественной переменной, например число субъектов, предпочитающих определенный цвет или марку автомобиля; число пациентов, ощущающих улучшение' или выздоровевших при различных способах лечения; распределение физических характеристик при генетическом исследовании и т. п.

Критерием значимости, подходящим для многозначных переменных, является критерий %2. При этом тестовая характеристика, %2, определяется следующим образом:

%2 = V ^)2 ,

где fo — наблюдаемая частота данного значения; fe — ожидаемая частота этого же значения; 2 указывает на необходимость просумми- i=i

ровать это отношение по всем к значениям.

Обратите внимание, что поскольку к > 2, df > 1. Поэтому при использовании критерия х2 с многозначными переменными поправки на непрерывность не требуется.

Пример-

К 160 покупателям, представляющим собой выборку из некоторой совокупности, обратились с просьбой попробовать 4 вида каши для завтрака, приготовленной из^круп Д, В, С и D. В качестве вознаграж-

дения за участие в этом мероприятии покупателям дали по ящику той крупы, которая им больше всего понравилась. Полученные результаты выглядят следующим образом:

А

в

с

D

Итого

/о

30

55

27

48

160

Необходимо проверить Н». Рд = Рв = Рс = Pd = 0,25. Используется а = 0,01.

Шаг 1. Находим ожидаемую частоту для каждой крупы путем умножения Р на N:

fe = 0,25-160 = 40.

Шаг 2. Для каждого значения получаем (/„ — /Д путем вычитания частоты fe из соответствующей ей частоты f0:

A

в

с

D

Итого

fo

30

55

27

48

160

fe

40

40

40

40

160

fo fe

— 10

15

—13

8

Для проверки правильности расчетов находим 2 (/0 — feY Эта сумма должна быть равна нулю. В данном примере 2 (Д—f^ —— 10 + + 15 — 13 + 8 = 0.

Шаг 3. Возводим в квадрат каждую из величин (/0 — fe), затем делим на соответствующее fe и полученные значения суммируем:

.л у (fo-fe)2 _(-Ю)2 , 15» ■ (—13)»8»; 558 13 д5

Л £4 fe 40 Т 40 Т 40 Т 4040’ ’

Шаг 4. Находим число степеней свободы:

df = ^ — 1=4— 1=3.

Шаг 5. Определяем ^критическое значение при данных а-уровне и числе степеней свободы.

Обращение к табл. С при а = 0,01 и df = 3 показывает, что требуемые для отклонения Но значения %2 соответствуют условию Х2> 11,341.

Решение. Поскольку расчетное значение %2 превышает критическое значение, мы отклоняем Нй и принимаем Н^ Таким образом, степени предпочтения покупателями разных видов круп не совпадают.

Упражнения

В упражнениях 36—40 используется следующий пример. Игрок проверяет «правильность» кубика. С этой целью он подбрасывает кубик 180 раз и получает следующие результаты:

1

2

3

4

5

6

/о

26

35

39

28

22

30

Проверьте Но-. Pi = Рй = Р3 — Pi~ ps = ?б = "g ПРИ ® = 0,01.

Найдите ожидаемую частоту для каждого зиачеиня переменной.

Определите значение каждого из выражений уо—fe) и проверьте правильность расчетов.

Найдите значение х2-

Определите число степеней свободы.

Определите критическое значеине х2 и примите статистическое решение;

Контрольные вопросы к главе 3

Если заданы Но; Р < 0,50, N = 24 и х = 17, то мы принимаем следующее статистическое решение..

отклоняем Но при а = 0,05, критерий односторонний;

отклоняем Н8 при а = 0,01, критерий односторонний;

принимаем Н6 при а = 0,05, критерий односторонний;

не принимаем ии одного из этих решений.

Если заданы Но; P=Q = -gr, N = 15 и х = 12, то мы принимаем следующее статистическое решение:

отклоняем Но при а = 0,01, критерий двусторонний;

принимаем Но при а = 0,05, критерий двусторонний;

отклоняем Но при а = 0,05, критерий двусторонний;

не принимаем ии одного из этих решений.

Если заданы Но: Р ^ 0,20, Hv- Р > 0,20, N = 19 и х = 8, то мы принимаем следующее статистическое решение:

отклоняемНоприа =0,01,критерийодносторонний;

принимаемНоприа =0,05,критерийодносторонний;

отклоняемНоприа =0,05,критерийодносторонний;

не принимаемии одного изэтих решений.

Если заданы Но: Р ^ 0,40, Н^ Р > 0,40, N = 15 и х = 11, то мы принимаем следующее статистическое решение:

а) принимаем Но при а = 0,01, критерий односторонний;

б) принимаем Но при а = 0,05, критерий односторонний;

отклоняем Но при а = 0,01, критерий односторонний;

не принимаем ни одного из этих решений;

Дано: N = 60, Р = 0,45, Q = 0,55; /ер равна: а) 30; б) 33; в) 45;

г) 27;'

Дано:^ = 80, Р = 0,70, Q = 0Ж1еР равна: а) 24; б) 56; в) 30; г) 70.

Даио:“ /0Р = 25, fep = 15 и foq = 35, feq = 45; значение выражения (I— fр 1 — 0,5)2

Sбудет равно. а) 6 22; б) 8,03; в) 8,68; г) 10,04.

На основе заданных х2 = 5,064 и df = 1 мы принимаем следующее статистическое решение:

отклоняем Но при а = 0,05, но принимаем при а = 0,01;

отклоняем Но при а = 0,01;

принимаем Но при а = 0,05;

отклоняем Но при а = 0,01, но принимаем при а= 0,05.

Если df = 6, то £ равно: а) 5; б) 6; в) 7; г) 8.

Вопросы 10—12 основываются на результатах, приводимых в следующей таблице:

А

В

С

D

N

/о

16

24

10

20

70

Нулевая гипотеза состоит в том, что Рд = Рв = PG = РD.

Ожидаемая частота для С-значения равна: а) 7; б) 17,5; в) 10; г) 35.

Число степеней свободы составляет: а) 70; б) 4; в) 69; г) 3. уо ^)2

Если значения отношения ;—— равны соответственно 0,129, 2,414,

3,214 и 8,929, то %2 составит: а) 13,14; б) 10,53; в) 14,69; г) 4,02.

Практические задания

Далее приводятся значения N, х и а. Нулевая гипотеза (для всех случаев) состоит в том, что Р = Q = *2. Определите, следует принять или откло

нить Но.

N =22,х =15,а =0,05.

N =49,х =37,а =0,01.

N =12,х =9,а =0,01.

N =37,х =24,а =0,05.

Д —44,х =34,а =0,05.

Для всех приведенных здесь случаев Но; Р ^ 0,50 и Др Р > 0,50. Заданы значения N, х н а. Определите, следует принять или отклонить Но.

N =27,х =17,а =0,05.

Д =46,х =40,а =0,01.

N =13,х =10,а =0,05.

N =21,х =15,а =0,01.

N =34,х =21,а =0,01.

Получены следующие результаты:

Р

Q

/о

42

55

Проверьте Но: Р = Q = у, используя а = 0,05.

Получены следующие результаты:

А

В

С

D

Го

12

17

29

15

Проверьте Но : Рд = Рв = Рс— Р D , используя а = 0,01.

Глава 4

НОМИНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ. НЕЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ

В этой главе мы рассмотрим критерии значимости для номинально измеряемых переменных, в которых сравниваются частотные данные двух и более независимых выборок.

Цели главы

Выяснить, как номинальные данные представляются в виде матрицы 2x2.

Узнать, как вычисляются значения вероятностей при малом числе наблюдений (критерий точной вероятности Фишера).

Познакомиться с критерием %2 для проверки независимости при достаточно больших объемах выборок.

Выяснить, как вычисляется и интерпретируется критерий %2 в случае нескольких выборок.

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ

СОПРЯЖЕННОСТИ ПРИЗНАКОВ 2X2

В качестве типичного примера можно рассмотреть ситуацию, когда две группы субъектов сравниваются в зависимости от относительной частоты, с которой их ответы соответствуют каждому из значений дихотомической переменной. Например, мужчин и женщин можно сравнить с точки зрения их отношения к смертным приговорам (одобрение или неодобрение). Зарегистрированные кандидаты от Демократической и Республиканской партий могут сравниваться в зависимости от того, высказывают ли они одобрение или возражают против определенного законодательства, социальной политики и т. д.

Пример

Предположим, что 9 демократов и 9 республиканцев были опрошены для выяснения их отношения к определенному законодательству (одобрение'или неодобрение). Оказалось, что 7 республиканцев возражают против этого законодательства, в то'время как двое одобряют его. Однако со стороны демократов 8 человек высказались в поддержку законодательства и только один возражал против него. Эти данные можно поместить в следующую таблицу сопряженности признаков 2x2:

Высказавшиеся против

Высказавшиеся за

Демократы

1

8

Республиканцы

7

2

Часто возникает необходимость сослаться на одну или несколько клеток таблицы сопряженности признаков. Поэтому принято обозначать каждую клетку и каждое итоговое значение следующим образом:

Высказавшиеся против

'Высказавшиеся за

Итоги по строкам

Демократы

А

в

Л + В

Республиканцы

С

D

C-VD

Итоги по столбцам

А + С

В |-О

Упражнения

Поместите приведенные данные в таблицы сопряженности признаков 2x2.

Две группы лиц, находящихся соответственно на частной и государственной службе, были опрошены с целью выяснения их отношения к праву государственных служащих на забастовку (одобрение или неодобрение). Результаты были следующими: 7 государственных служащих высказались одобрительно, 1 — против, 2 человека, находящиеся на частной службе, высказались одобрительно, 6 — против.

Двум группам студентов соответственно I и IV курсов был задан вопрос, одобряют ли они принятие опасных для жизни мер при лечении пациентов, которые, судя по заключению врачей, находятся в критическом состоянии. За принятие подобных мер высказались 5 студентов I курса, тогда как 11 были против. Из 12 студентов IV курса 10 человек были за и 2 — против.

В упражнениях 3—5 впишите в соответствующие места пропущенные буквы-идентификаторы;

А—АЦ-ВСDC^DА + С-+оА—АЦ-ВСDC^DА + С-+о—в_ + в—Dс+-B + D—в_ + в—Dс+-B + D

А

—

АЦ-В

С

D

C^D

А + С

-+о

А

—

АЦ-В

С

D

C^D

А + С

-+о

—

в

_ + в

—

D

с+-

B + D

—

в

_ + в

—

D

с+-

B + D

А

—

А+_

—

D

-+D

»+-

КРИТЕРИЙ ТОЧНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ФИШЕРА

Критерий Фишера позволяет получить точные значения вероятности событий, столь же или еще менее вероятных, чем те, которые в действительности наблюдались. Этот критерий особенно полезен при малых значениях N. Однако в общем случае связанные с ним вычислительные процедуры являются достаточно сложными и трудоемкими. Поэтому при рассмотрении критерия Фишера мы ограничиваемся изучением процедуры использования таблицы критических значений D (или С). Табл. D может быть использована при N, не превышающем 30, однако при этом ни одна из сумм по строкам (Л + В и С + D) не должна превышать 15.

Пример

При подсчете голосов в группе из 9 республиканцев и 9 демократов было обнаружено, что 7 республиканцев возражают против определенного законодательства и двое одобряют его. Наоборот, 8 демократов одобрили законодательство и только один высказался против него.

Высказавшиеся против

Высказавшиеся за

Итоги по строкам

Демократы

1

А

8

В

А^-В = 9

Республиканцы

7

С

2

D

C+D = 9

Итоги по столбцам

Л + С=8

S + D=10

А=18

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Н6); в генеральной совокупности доли демократов и республиканцев, одобряющих законодательство, совпадают.

Альтернативная гипотеза (НШ в генеральной совокупности доли демократов и республиканцев, одобряющих законодательство, не совпадают.

Статистический критерий-, поскольку данные представляют собой наблюдаемые значения частот и N ^ 30, подходящим критерием будет критерий точной вероятности Фишера.

Уровень значимости-, а = 0,05, критерий двусторонний.

Критическое значение; мы оставим его неопределенным до тех пор, пока не рассмотрим процедуру использования табл. D.

Шаг 2. Находим значение А + В в табл. D в столбце «Суммы по строкам». Для данной задачи находим А + В = 9.

Шаг 3. В этой же секции находим значение С + D. В секции для А + В = 9 находим С + D = 9.

Шаг 4. В столбце «В (или Л)» приводится несколько различных значений В. Если ни одно из них не соответствует наблюдаемому значению В, воспользуемся вместо него значением Л. Для данной задачи В =,8.

Шаг 5. Теперь находим в таблице критическое значение D, определяющее границу значимости при выбранном а. Если наблюдаемое значение D меньше или равно критическому значению, Но отклоняется. (В случае использования Л на шаге 4 нужно заменить на шаге 5 D на С).

В данной задаче при Л + В = 9, С+О=9иВ=8 мы находим, что значения D, определяемые условием D ^ 3, являются значимыми при а = 0,05 и двустороннем критерии. Обратившись к полученной ранее таблице сопряженности принаков 2x2, выясняем, что наблюдаемое значение частоты для клетки D равно 2. Поскольку наблюдаемое значение D меньше 3, мы отклоняем Но и принимаем Ну.

Бывают случаи, когда N ^ 30, но одна из сумм по строкам превышает 15. Однако если при этом обе суммы по столбцам (Л + С и В + D) не превышают 15, то данные могут быть приведены к виду, позволяющему воспользоваться табл. D.

Пример

Исходные данные:

Высказавшиеся против

Высказавшиеся за

Суммы по строкам

Студенты I курса

11

А

5

В

д+в=16

Студенты IV курса

2

С

10

D

С+О=12

Суммы по столбцам

13

15

V=28

Преобразованные данные:

Студенты I курса

Студенты IV курса

Суммы по строкам

Высказавшиеся за

5

А

10

В

д + в = 15

Высказавшиеся против

11

С

2

D

С + О=13

Суммы по столбцам

16

12

^ = 28

Обратившись к табл. D при А + В — 15, С + D = 13 и В — 10, мы находим, что необходимые для отклонения Но при а=0,05 значения D определяются из условия D ^ 2. Поскольку наблюдаемое значение D равно 2, Но отклоняется.

Упражнения

Упражнения 6 — 10 основываются на данных из упражнения 1. Соответствующая таблица сопряженности признаков 2X2:

Высказавшиеся против

Высказавшиеся за

Итоги по строкам

Находящиеся на частной службе

1

А

7

В

Д + В = 8

Государственные служащие

6

С

2

D

С+О = 8

Итоги по столбцам

Д + С=7

B + D = 9

У = 16

Запишите задачу в формальном статистическом виде, используя а = 0 ,01 при двустороннем критерии.

Найдите в табл. D значение А + В.

Найдите в табл. D значение С + D.

Найдите в табл. D значение В (или Д) при соответствующем значении С+ D.

Определите критическое значение D (или С) и сделайте соответствующий ВЫВОД;

Преобразуйте следующие данные таким образом, чтобы можно было воспользоваться табл. D:

+

—

Итого•

Группа I

13

4

Д + 5= 17

Группа II

2

И

С + О = 13

Итого

15

15

У = 30

На основе данных из упражнения 11 проверьте Но: в генеральной совокупности доля субъектов из группы И, которые отреагировали положительно, равна доле субъектов из группы I, также реагировавших положительно. Используйте а = 0,01, критерий двусторонний.

КРИТЕРИЙ х2 ДЛЯ ПРОВЕРКИ НЕЗАВИСИМОСТИ НОМИНАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Критерий х2 используется в тех же случаях, когда применяется критерий точной вероятности Фишера. В отличие от критерия Фишера, критерий х2 является приближенным, причем приближение к точным вероятностям Фишера улучшается по мере увеличения N. Поэтому критерий х2 рекомендуется для тех случаев, когда N превышает 30. При этом, однако, существует одно исключение: критерий х2 не следует использовать, если ожидаемая частота /е оказывается меньше 5 хотя бы в одной из клеток.

Пример

Для того чтобы одновременно проиллюстрировать вычисление статистики х2 и показать тесную согласованность критерия х2 с критерием Фишера при N, приближающемся к 30, мы воспользуемся данными из упражнения 2. Напомним, что, по условию упражнения, 5 из 16 студентов I курса ответили-на вопрос положительно, 10 из 12 студентов IV курса также, дали положительный ответ, а все остальные студенты высказались против.

Но; Pi = Р», т. е. доли генеральной совокупности для студентов I и IV курсов, отвечающих положительно, совпадают.

Hf. Ргф Pt, т. е. доли генеральной совокупности для студентов I и IV курсов, отвечающих положительно, не совпадают.

а = 0,05, N = 28.

Студенты I курса

Студенты IV курса

Итоги по строкам

Высказавшиеся за

5 А

10

В

А + В=15

Высказавшиеся против

11

С

2

D

С + О = 13

Итоги по столбцам

16

12

28

Используя а = 0,05 при двустороннем критерии, необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что студенты I и IV курсов представляют общую генеральную совокупность с точки зрения доли отвечающих на вопрос положительно.

Формула для вычисления х2 в случае, когда у двух переменных имеются по два значения, выглядит следующим образом:

fefe

fe

fe

f с

где 2 2 указывает на необходимость просуммировать это отношение t= 1 /=1

по строкам и по столбцам. Перед возведением в квадрат из абсолютной величины разности между каждой наблюдаемой и соответствующей ей ожидаемой частотой вычитается 0,5 (поправка на непрерывность).

Шаг 1. Находим ожидаемые частоты для каждой клетки. Значения ожидаемых частот могут быть найдены с помощью формул:

„ л (Л + S) (Д+С)1516 ОС-

N28

D(Д + В)(В + О)15-12 д.-

N28

-(С + О)(Д + С)13-16 - .клетка С =—— = 7,43;

N28

клетка D-(C+D) (B+D)-13 ,2 - 5 57N28

Для проверки просуммируем ожидаемые частоты, полученная сумма должна равняться N. В данном примере 8,57+ 6,43 + 7,43 + 5,57 = = 28.

ЙЙШаг 2. Находим абсолютную величину разности между наблюдаемой и ожидаемой частотой для каждой клетки:

Й

Й

Клетка

Наблюдаемая частота

Ожидаемая частота

|fo — М

' А

5

8,57

3,57

В

10

6,43

3,57

С

' 11

7,43

3,57

D

2

5,57

3,57

Шаг 3. Вычитаем 0,5 из каждого значения |/0— /е! и полученные

[Клетка

|fo-M-°,5

(!^о-М-°'5)2

А

3,07

9,42

В

3,07

9,42

С

3,07

9,42

D

3,07

9,42

результаты возводим в квадрат:

Шаг 4. Делим каждое из значений (|/о — fe| — 0,5)2 на соответствующую ему ожидаемую частоту (/е) и, просуммировав, получаем х2:

50.

Клетка

(|fo~fe|-0,5)=

fe

(|f0-fel-°<5)2 fe

А

9,42

8,57

1,10

В

9,42

6,43

1,47

С

9,42

7,43

1,27

D

9,42

5,57

1,69

V (1 fp~fe|~ fe

-0,5)2

L =5,53

Шаг 5. Находим число степеней свободы. Для случая с двумя выборками df = (с — 1) (г — 1), где с — число столбцов; г — число строк. В данном примере df = (2 — 1)-(2— 1) = 1.

Шаг 6. Находим критическое значение х2 ПРИ заданном a-уровне. Если расчетное значение х2 больше или равно этому значению, то Но отклоняется.

Критическое значение х2 при a = 0,05 и df = 1 равно 3,841. Поскольку расчетное значение х2, равное 5,53, превышает критическое, то мы отклоняем Но и принимаем Hv

Упражнения

В упражнениях 13—18 мы воспользуемся данными из упражнения 11, применяя a = 0,01.

Найдите ожидаемую частоту для каждой клетки. ^Замечание. Чтобы воспользоваться критерием х2> данные не нужно преобразовывать.)

Найдите абсолютное значение разности между наблюдаемой и ожидаемой частотой для каждой клетки.

Для каждой клетки найдите | f0 — fe] — 0,5 и возведите полученные значения в квадрат.

Рассчитайте значение х2-

Найдите df.

Найдите критическое значение х2 и сделайте статистический вывод, соответствующий полученным результатам.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИТЕРИЯ X2 в СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК

До сих пор мы рассматривали в данной главе способы применения критерия Фишера и критерия х2 для проверки статистической значимости частотных данных в тех случаях, когда каждая из двух номинальных переменных имеет по два значения. В этом параграфе будет рассмотрено использование критерия х2 в более общих ситуациях, когда одна или обе переменные имеют более чем по два значения. Поскольку при нескольких выборках df> 1, поправка на непрерывность не требуется и формула для вычисления х2 принимает вид:

1=1 f=l 'е

t с

где 2 S указывает на необходимость просуммировать это отношение по всем строкам и столбцам.

Пример

Было проведено исследование с целью определить предпочтительность нескольких типов упаковки жареного картофеля. Для этого было опрошено 300 женщин, выбранных из разных по уровню дохода групп населения. Полученные результаты выглядят, следующим образом:

Предпочтительный тип упаковки

Группа с высоким доходом

Группа со средним доходом

Группа с низким доходом

Итоги по строкам

Металлическая

15

27

55

97

фольга

А

В

С

Л+В+С

Непромокае-

25

33

40

98

мая бумага

D

Е

F

D-VE-VF

Целлофан

40

G

40

Н

25

/

105

G-VH4-I

Итоги по

80

10Q

120

300

столбцам

Л + D + G

B-VE4-H

C + F^I

Нп: в исходной совокупности доли предпочитающих каждый из типов упаковки одинаковы для всех групп с различным уровнем дохода.■

Н<. в исходной совокупности доли предпочитающих каждый из типов упаковки неодинаковы для различных по уровню дохода групп.

Используется а = 0,01.

Шаг 1. Находим ожидаемую частоту для каждой клетки. Она может быть получена дутем перемножения итоговых частот столбца и строки, в которых находится данная клетка, и последующим делением полученного произведения на N. Таким образом, ожидаемая частота для каждой клетки составит:

клетка А = М±5±ОИ±£±^ =™= 25,87

N300

клетка В- М+«+У <=+=+">=32,33

N300

клетка С = 2^±в±сН£±г±^ = 11 640 =

N300

клетка D — (О + ^+Г) И+О + О) 7840 „613

N■ 300

клетка E=№FHWm = .ЭМ = 32,67

N300

клетка F = J£4WH£±2±ZL == 39,20

N300

клетка О—£±^^^-=^-28,00 N300

клетка Н = ^«WW = J0 500 = 3 0 N300

клетка I = ■ ^^^ (^^t/L = J^OO = N300

2/е = зоо.оо

Для проверки просуммируем все ожидаемые частоты. С учетом возможной ошибки округления эта сумма должна быть равна N.

Шаг 2. Вычитаем каждую частоту fe нз соответствующей ей f0 и возводим полученные результаты в квадрат:

Клетка

fo

fe

io-ie

Uo-feP

А

15

25,87

— 10,87

118,16

В

27

32,33

—5,33

28,41

С

55

38,80

16,20

262,44

D

25

26,13

-1,13

1,28

Е

33

32,67

0,33

0,11

F

40

39,20

0,80

0,64

G

40

28,00

12,00

144,00

И

40

35,00

5,00

25,00

/

25

42,00

— 17,00

289,00

5 ««

-fe) = 0,00

Проверка: сумма всех чисел в столбце (f0 — Д,) должна равняться нулю (с учетом возможной ошибки округления).

Шаг 3. Делим каждое из значений (Д, — Д,)2 на соответствующую fe и, просуммировав результаты, получаем %2:

Клетка

fe

(fo-M3

Up-fe? fe

A

25,87

118,16

4,57

В

32,33

28,41

0,88

C

38,80

262,44

6,76

D

26,13

1,28

0,05

E

32,67

0,11

0,00

F

39,20

0,64

0,02

G

28,00

144,00

5,14

H

35,00

25,00

1,40

I

42,00

283,00

6,88

ха=2 ^-7^=25,70 fe

Шаг 4. Находим df:

df = (г — 1) (с- 1), где г — число строк; с — число столбцов. В данном примере df = = (3 — 1) • (3 — 1) = 4.

Шаг 5. Находим критическое значение %2 при заданном «-уровне. Если расчетное значение %2 превышает критическое или равно ему, Но отклоняется.

Критическое значение %2 при а = 0,01 и df = 4 составляет 13,277. Поскольку расчетное значение %2, равное 25,70, превышает критическое, мы отклоняем Нй и принимаем Hv

Упражнения

В упражнениях 19—23 используются следующие данные:

Группа

X

Y

Итоги по строкам

1

21

А

38

В

59

2

32

С

29

D

61

3

36

Е

25

F

61

4

41

G

23

Н

64

Итоги по столбцам

130

115

245

Проверьте Нй, используя а = 0,01.

Найдите ожидаемую, частоту для каждой клетки.

Найдите все значения (/о — /с)2-

Найдите х2-

Найдите df.

Найдите критическое значение х2 и сделайте статистический вывод, соответствующий полученным результатам.

Контрольные вопросы к главе 4

Вопросы 1—4 основываются на следующей таблице сопряженности признаков 2X2:

Да

Нет

Группа А

10

4

Группа В

3

8

Сумма Л + В равна: а) 11; б) 13; в) 14; г) 12.

Сумма С-VD равна: а) 13; б) 11;в) 12; г) 14.

В клеткеВнаходитсязначение:а)3; б) 10; в)8;г)4.

В клеткеDнаходитсязначение:а)10; б) 4; в)3;г)8.

Если А +В= 14, С +D = 9, В=11, то при а=0,01 и двусторон

нем критерии критическое значение составит: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1.

Если Л 4" -В = 12, С + D = 4, В = 11, а = 0,01 (критерий односторонний) и D = 1, то: а) мы находим, что критическое значение D равно 1, и отклоняем Яо; б) мы находим, что критическое значение D равно 0-, и отклоняем Яо; в) мы находим, что критическое значение D равно 1, и принимаем Но; г) мы находим, что критическое значение D равно 0, и принимаем Я0;

Вопросы 7—10 основываются на следующей таблице сопряженности признаков 2X2:

Высказавшиеся против

Высказавшиеся за

Группа А

20

27

Группа В

12

36

Ожидаемая частота в клетке С равна: а) 31,83; б) 31,17; в) 16,17; г) 15,83.-

Разность |/0—/е | для клетки D равна: а) 9,22; б) 6,22; в) 11,17, Г) 4,17;

Величина (|/0 —fе I — 0,5)2/fe для клетки Л равна: а) 1,10; б) 0,85; в) 0,87; г) 0,82.

Число степеней свободы равно: а) 1; б) 94; в) 3; г) 2.

Вопросы 11 —14 основываются на следующих частотных данных:

Группа

X,

X,

X,

1

16

20

34

2

25

21

22

3

32

18

14

Число степеней свободы равно: а) 6; б) 9; в) 8; г) 4.

В группе 2 ожидаемое число выбравших решение Х3 составит: а) 23,56; б) 24,26; в) 22,18; г) 23,13.

Известно, что ожидаемые частоты для клеток G и Н равны 23,13 и 18,69 соответственно. Чему равна ожидаемая частота для клетки /: а) 23,13; б) 19,87; в) 22,18; г) 24,57?

Итоговая сумма D + Е + F равна: "а) 70; б) 73; в) 68; г) 59.

Практические задания

Имеются следущие данные:

Да

Нет

Группа А

10

4

Группа В

3

8

Яо: для всей совокупности лиц из группы В доля отвечающих «да» меньше или равна доле отвечающих «да» в группе А:

Н^: для всей совокупности лиц из группы В доля отвечающих «да» больше соответствующей доли для группы А.

Проверьте Не, используя а = 0,05.

16s Имеются следующие данные:

Высказавшиеся за

Высказавшиеся против

Группа А

20

27

Группа В

12

36

Яв: для всей совокупности лиц из группы А доля выступающих «за» равна аналогичной доле для всех лиц из группы В.

■ Hf. для всей совокупности лиц из группы А доля выступающих «за» отличается от аналогичной доли в группе В.

Проверьте Яе, используя а = 0,01.

Имеются следующие данные:

Группа

х,

X,

X»

1

16

20

34

2

25

21

22

3

32

18

14

' Яо: в генеральной совокупности доли выбирающих каждое из решений одинаковы во всех трех группах.

. Ях: в генеральной совокупности доли выбирающих каждое из решений различаются по всем трем группам.

Проверьте Яо, используй а = 0,01.

Глава 5

НОМИНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ.

СВЯЗАННЫЕ ВЫБОРКИ

В типичном исследовании, включающем по два и более условия, субъекты распределяются по экспериментальным условиям случайным образом, а для сравнения групп используются некоторые характеристики результатов эксперимента. Однако иногда субъекты из различных групп не являются независимыми, они скорее связаны друг с другом. Простейшим примером связанных выборок может служить план, в котором одни и те же субъекты испытываются как до воздействия экспериментальной переменной, так и после него. Наибольший интерес представляет изменение от «до» к «после». При использовании плана «до — после» нас может интересовать оценка воздействия широкого круга переменных, например влияние пропаганды на общественное мнение, воздействие различных методов обучения на качество выполнения заданий, изменение уровня преступности в результате изменения условий наказания.

^.^В этой главе мы рассмотрим планы со связанными выборками, которые включают по две и более выборки.

Цели главы

Выяснить, как нужно представлять данные в виде таблицы сопряженности признаков типа «до—после».

|2. Узнать, как используется критерий Макнимара для оценки изменений от «до» к «после» в случае, если: а) число изменений меньше или равно 50, б) число изменений превышает 50.

Выяснить, как вычисляется и интерпретируется Q-критерий Кокрена при использовании более двух связанных выборок.

КРИТЕРИЙ ЗНАЧИМОСТИ ИЗМЕНЕНИЙ МАКНИМАРА

Представление данных типа «до — после»

в таблицу 2X2

При проведении мероприятий по схеме «до—после» ответы обычно связаны с дихотомическими категориями типа «да—нет», «за—против», «положительный—отрицательный» и т. д. При этом принято обозначать отрицательный ответ (нет, против) знаком минус, а положительный ответ — знаком плюс.

Пример

Была предпринята попытка оценить эффективность публичных выступлений кандидата на выборную должность. С этой целью группе из 60 человек до н после его речи был задан вопрос: «Если бы выборы

проводились сейчас, стали бы вы голосовать за кандидата X?». Полученные результаты выглядят следующим образом:

S

До

После

S

ГДо

{После

S

До

После

S

До

После

1

+

+

16

+

31

+

+

46

+

2

+

+

17

—

+

32

47

+

3

+

—

18

—

+

33

+

+

48

4

—

+

19

+

+

34

49

+

5

—

+

20

—

35

+

+

50

+

6

—

—

21

—

+

36

51

—

7

+

+

22

+

+

37

+

+

52

—

+

8

—

+

23

—.

38

+

53

+

+

9

+

+

24

+

+

39

+

+

54

10

4-

25

—

40

—

—

55

+

+

И

—

26

+

+

41

+

56

12

4*

27

42

——

57

—

13

+

28

+

+

43

+

+

58

—V—

—

14

+

+

29

44

—

—

59

+

+

15

+

30

+

+

45

+

+

60

В этой таблице (++) обозначает благоприятный ответ как до, так и после речи; () означает отрицательный ответ в обоих случаях;

(Н) — изменение благоприятного ответа на неблагоприятный; (— +) — изменение неблагоприятного ответа на благоприятный. Частота каждого из этих результатов может быть записана в таблицу 2x2 следующим образом:

После

—

+

+

2

25

В

Д + В = 27

—

20

С

13

D

C+D = 33

Сумма ответов «после»

А + С = 22

B + D = 38

^ = 60

Обратите внимание, что в клетках Л и D представлены изменения от «до» к «после», причем в клетке Л — изменение благоприятных ответов на неблагоприятные, а в клетке D — изменение неблагоприятных ответов на благоприятные. Именно на эти две клетки обращают особое внимание при работе с критерием Макнимара. При этом типичная ненаправленная нулевая гипотеза состоит в том, что в генеральной совокупности доля тех, кто изменяет благоприятный ответ на неблагоприятный, равна доле изменяющих неблагоприятный ответ на благоприятный.

Использование биномиального распределения для проверки значимости изменений при ^^50

Биномиальное выборочное распределение (см. гл. 3) может быть использовано для проверки значимости изменений. Прн этом объем выборки (N) определяется как сумма частот в диагональных клетках А и D. Поскольку в данном примере изменили свои ответы в общей сложности 15 человек, то N = 15.

Запишем проблему в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Ноу Р = Q- ^, т. е. в генеральной совокупности доля изменений, представленных в клетке А, равна доле изменений, отраженных в клетке D.

Альтернативная гипотеза (Нгу Р =^ Q =^ -^.

Статистический критерий-, используется критерий Макнимара, поскольку мы имеем дело с данными типа «до—после», которые соответствуют номинальной классификации.

Выборочное распределение, интересующие нас ответы типа «до— после» принадлежат к двум категориям: (h) и (+ ■—). Поскольку N ^ 50, для проверки значимости различия можно воспользоваться табл. А (критические значения биномиальной переменной).

Уровень значимости-, а = 0,01, критерий двусторонний.

Критическое значение-, обращение к табл. А показывает, что при а = 0,01 и двустороннем критерии требуемые для отклонения Но значения х определяются из условий х 13 или N — х ^ 13.

Решение. Так как наблюдаемое значение х равно 13, мы отклоняем Но и принимаем Hv Выступление кандидата было эффективным, поскольку привело к значимо большему количеству положительных изменений по сравнению с отрицательными.

Упражнения

Упражнения 1—7 основываются на следующих данных:

SДоПослеSДоПосле1+—10—+2—11——3++12+—4+13+—5——14—6++15++7+16++8+17+—9+—18++SДоПослеSДоПосле1+—10—+2—11——3++12+—4+13+—5——14—6++15++7+16++8+17+—9+—18++SДоПослеSДоПосле19+284-20+—29+—21+30—22--+31++23—3224--33+—2534——.26——35+—27++36++SДоПослеSДоПосле19+284-20+—29+—21+30—22--+31++23—3224--33+—2534——.26——35+—27++36++

S

До

После

S

До

После

1

+

—

10

—

+

2

—

11

——

3

+

+

12

+

—

4

+

13

+

—

5

—

—

14

—

6

+

+

15

+

+

7

+

16

+

+

8

+

17

+

—

9

+

—

18

+

+

S

До

После

S

До

После

1

+

—

10

—

+

2

—

11

——

3

+

+

12

+

—

4

+

13

+

—

5

—

—

14

—

6

+

+

15

+

+

7

+

16

+

+

8

+

17

+

—

9

+

—

18

+

+

S

До

После

S

До

После

19

+

28

4-

20

+

—

29

+

—

21

+

30

—

22

--

+

31

+

+

23

—

32

24

--

33

+

—

25

34

——.

26

—

—

35

+

—

27

+

+

36

+

+

S

До

После

S

До

После

19

+

28

4-

20

+

—

29

+

—

21

+

30

—

22

--

+

31

+

+

23

—

32

24

--

33

+

—

25

34

——.

26

—

—

35

+

—

27

+

+

36

+

+

Сколько ответов оказалось положительными в обоих случаях?

Чему равно vV?J

На основе приведенных выше данных запишите задачу в формальном статистическом виде и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам. Используйте а = 0,01, критерий двусторонний.

Использование критерия х для проверки значимости изменений при ^>50

Точно так же, как и в случае, когда критерий %2 применяется для получения хорошей аппроксимации биномиального критерия при N, приближающемся или превосходящем 50, критерий %2 может быть использован в критерии Макнимара, когда N (сумма частот в клетках Л и D) превышает 50.

Пример

Получены следующие результаты:

После

—

+

Итого

+

36

А

40

В

76

—

48

С

22

D

70

Итого

84

62

146

Яо: Р = Q = L, а = 0,01, N = 58.

Формула для х2, приведенная в гл. 3, может применяться для проверки значимости изменений в клетках А и D. Однако для критерия Макнимара возможен упрощенный способ расчета х2:

х2= с л-°|-1)2, df= 1,

A + D

где |Л — D | — абсолютное значение разности между частотами клеток Л и Z), а единица вычитается для поправки на непрерывность. В данном примере

Из табл. С мы находим, что критическое значение %2 при а = 0,01 и df — 1 равно 6,635. Поскольку расчетное значение %2 меньше критического, мы принимаем Но.

Упражнения.

Упражнения 8—9 основываются на следующей таблице данных:

—

+

+

28

107

—

92

46

Найдите значение х2-

Найдите критическое значение х2 и сделайте вывод на основе полученных данных. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

СЛУЧАЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЫБОРКАМИ.

Q-КРИТЕРИЙ КОКРЕНА

В некоторых случаях отдельная группа субъектов может быть подвергнута более чем двум различным экспериментальным воздействиям или условиям, причем выясняются их ответы, соответствующие каждому виду обработки. Если критериальная мера носит двузначный характер («да—нет», «за—против», «поддержать—отклонить»), то подходящим критерием значимости будет. Q-критерий Кокрена. Q-критерий Кокрена также может быть использован, когда группы однородных субъектов подвергаются более чем двум экспериментальным воздействиям и их ответы носят двухвариантный характер. Для иллюстраций применения Q-критерия Кокрена мы воспользуемся планом с сопоставимыми выборками.

Пример

Среди 60 человек был проведен анкетный опрос с целью выяснить степень их либеральности или консервативности. На основе этого опроса было сформировано 15 однородных групп по 4 человека в каждой. Затем эти группы были поставлены в следующие 4 условия: Хт ■— сообщаются аргументы только в поддержку некоторого законодательства; Х2 — сообщаются аргументы только против законодательства; Х3 — сообщаются сбалансированные аргументы с общей рекомендацией против законодательства; Х4 — сообщаются сбалансированные аргументы с общей рекомендацией в поддержку законодательства.

Для каждого из условий отвечающие указали, выступают они в поддержку законодательства или против него, причем полученные

результаты выглядят следующим образом (0 означает отрицательный ответ, 1 — положительный):

Однородные группы

Условия

X,

х=

X.

X,

1

0

0

0

0

2

0

1

0

1

3

0

1

0

1

4

0

0

0

0

5

1

0

1

1

6

0

1

0

1

7

1

1

0

1

' 8

1

0

0

1

9

0

1

1

0

10

0

0

0

1

11

1

1

0

1

12

1

1

1

0

13

0

0

0

1

14

1

0

0

1

15

1

1

1

1

SXx = 7

2Х2=8

2Х3=4

2Х4 = П

Нулевая гипотеза заключается в том, что в генеральной совокупности доли всех экспериментальных условий одинаковы.

В альтернативной гипотезе утверждается, что доли условий в генеральной совокупности различны. Если Но отклоняется, то мы можем заключить, что экспериментальные условия вызывают у отвечающих различное отношение к законодательству.

При проверке Но мы воспользуемся а = 0,01. Формула для вычисления Q выглядит так:

к^Х^-^Х^’

где к — число условий;

(2Xr)2 = (2Х4 + 2Х2 + 2Х3 + 2ХЙ)2;

2 (2Х)2 = (2XJ2 4- (2Х2)2 + (2Х3)2 + (2Х„)2;

(2ХД) — сумма итоговых значений по строкам;

(2ХД) — сумма квадратов итоговых значений по строкам.

Шаг 1. Находим сумму для каждого условия (2ХЬ 2Х2, 2Х3, 2Х4). В данной задаче 2Х4 = 7, 2Х2 = 8, 2Х3 = 4, 2Х4 = 11.

Шаг 2. Просуммируем значения в каждой строке и получим 2Хд, возведем их в квадрат и получим 2ХД. Просуммировав значения в обоих столбцах, получим 2 (2Хд) и 2 (2ХД). Для проверки можно воспользоваться тем, что сумма 2 (2Xr) должна равняться 2Х4 + + 2Х2 + 2Х3 + 2Х4.■

Однородные группы

X,

х.

х.

Х4

2Хд

2ХД

1

0

0

0

0

0

0

2

0

1

0

1

2

4

3

0

1

0

1

2

4

4

0

0

0

0

0

0

5

1

0

1

1

3

9

6

0

1

0

1

2

4

7

1

1

0

1

3

9

8

1

0

0

1

2

4

9

0

1

1

0

2

4

10

0

0

0

1

1

1

11

1

1

0

1

3

9

12

1

1

1

0

3

9

13

0

0

0

1

1

1

14

1

0

0

1

2

4

15

1

1

1

1

4

16

2Х =

7

8

4

11

2 (2Хд)=30

2 (2ХД)=78

Шаг 3. Подставляем в формулу для Q численные значения и производим вычисления:

— (^^H^J^^Z^Z^ — - 3[4(72 + 82 + 42+1Р) —3021

~ Й2(2ХД) —2 (2ХД)~40-30 — 78

_ з-(4-250 —900) _ 3(1 000—900) _ 300 = 7 j 43 120 — 78—42— 42 ~'

Шаг 4. Находим df. df = к — 1. Для данной задачи df = 4 — 1 = = 3.

Шаг 5. Находим критическое значение Q. Поскольку Q имеет такое же распределение, как и %2, находим значение %2 при заданных a-уровне и df. Для данной задачи из табл. С находим, что при а = = 0,01 и df = 3 критическое значение %2 равно 11,341.

Решение. Поскольку расчетное значение %2 не достигает критического, мы не можем отклонить Но._

Упражнения

В упражнениях 10—14 используются следующие данные:

Однородные группы

X,

х2

х,

Однородные группы

Xi

х,

х,

1

0

0

1

6

1

0

0

2

0

1

0

7

1 .

1

I

3

0

0

1

8

0

0

1

4

0

0

1

9

0

1

1

5

0

1

1

10

1

1

1

И

0

1

0

Найдите сумму для каждого условия."

Вычислите 2Х„ и 2ХА и найдите S (SX„) и 2 C&XKL

Найдите Q.

Найдите df.

.14. Найдите критическое значение Q (х2) и примите статистическое решение,

соответствующее полученным результатам.

Контрольные вопросы к главе 5

Вопросы 1—5 основываются на следующей таблице 2X2:

Число лнц, давших одинаковые ответы как до, так и после, равно: а) 28; б) 15; в) 3; г) 18.

Число лиц, изменивших свои ответы, равно: а) 8; б) 18; в) 28; г) 20.

Какое из следующих утверждений верно:

субъекты были равномерно распределены до, но существенно склонялись к положительному ответу после;

субъекты были равномерно распределены до, но существенно склонялись к отрицательному ответу после;

субъекты существенно склонялись к положительному ответу как до, так и после;

субъекты существенно склонялись к отрицательному ответу как до, так и после?

N равно: а) 43; б) 18; в) 35; г) 28.

Используя а = 0,05 при двустороннем критерии, мы можем прийти к выводу: а) критическое значение х = 20; Но отклоняется;

критическое значение х = 20; Но принимается.

критическое значение х = 14; Нв отклоняется;

критическое значение х = 14; Но принимается.

Вопросы 6—8 основываются на следующих данных:

—

+

+

22

54

60

32

После

До

Число изменивших отрицательный ответ на положительный равно: а) 16; б) 22; в) 60; г) 32.

Величина (|Л —О| — I)2 равна: а) 81; б) 121; в) 25; г) 99.

Число степеней свободы равно: а) 167; б) 53; в) 3; г) 1.

Вопросы 9—12 основываются на следующих данных:

Однородные группы

Условия

X,.

X,

1

0

0

1

2 '

0

1

1

3

0

1

1

4

1

1

1

5

0

0

1

к равно: а) 5; б) 4; в) 3; г) 2.

2 (2Х)2 равно: а) 35; б) 81; в) 19; г) 75.

2 (2Х*) равно: а) 35; б) 81; в) 19; г) 75.

12. 2 (2ХД) равно: а) 1; б) 3; в) 5; г) 9.

Практические задания

Поместите приведенные данные в таблицу 2 X 2 и проверьте Но; число переходов от отрицательных к положительным ответам совпадает с числом переходов от положительных ответов к отрицательным. Используйте а = 0,05.

S

До

После

s

До

После

S

До

После

S

До

После

1

+

+

11

21

+

+

31

2

—

+

12

—

+

22

+

32

—

+

3

+

13

+

—

23

—

—

33

+

4

+

14

+

+

24

+

—

34

—

5

+

—

15

+

+

25

+

+

35 '

+

+

6

+

+

16

—

+

26

+

+

36

+

7

+

17

+

+

27

+

37

—

—

8

—

18

+

+

28

+

+

38

+

+

9

+

+

19

—

+

29

—

+

39

+

10

—

20

—

—

30

—

40

+

+

Используя приведенные данные, проверьте нулевую гипотезу: число переходов от отрицательных к положительным ответам меньше или равно числу переходов от положительных ответов к отрицательным. Используйте а = 0,01.

+

+

14

48

*

24

38

После

До

Используя приведенные данные, проверьте нулевую гипотезу: в генеральной совокупности доли всех экспериментальных условий одинаковы. Используйте а = 0,01.

Однородные группы

Условия

х, |

х, |

х4

х5

1

0

1

0

1

1

2

0

0

1

1

1

3

1

1

1

1

1

4

0

0

0

1

1

5

1

1

1

1

1

6

0

0

1

0

0

7

0

0

0

1

1

8

1

1

1

1

1

9

0

1

1

1

1

10

0

1

0

0

1

Часть вторая

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Во второй части книги рассматриваются непараметрические критерии, применяемые в случае порядковых шкал измерения. Как и номинальные шкалы, порядковые измерения основываются на качественных переменных. Однако в отличие от номинальных шкал порядковые шкалы соответствуют таким качественным переменным, для которых характерна некоторая упорядоченность, направленность или степень важности.

Порядковые отношения обычно выражаются с помощью рангов. При сравнении характерных свойств объектов, событий или людей мы часто бываем не в состоянии точно определить количественные различия между ними. Однако зачастую мы можем установить порядковые отношения, например событие А занимает высшее положение по отношению к рассматриваемому свойству, событие В является вторым по значению и т. д. В дополнение к тождеству и различию для порядковых шкал используются математические связи типа «больше, чем» (>) и «меньше, чем» (<). Неравенство а > b может означать: а важнее 6, выше рангом, чем Ь, престижнее Ь, привлекательнее b и т. д. В свою очередь, а <с 6 может означать: а меньше Ь, ниже рангом, чем Ь, менее престижно, чем Ь, и т. д.

Г л а в а 6'

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ. СЛУЧАЙ С ОДНОЙ ВЫБОРКОЙ

Случай с одной выборкой наиболее часто связан с рассмотрением вопросов «согласия» (goodness-of-fit). При этом полученные на основе одиночной выборки наблюдения сравниваются с теоретическими значениями, определенными при условии справедливости нулевой гипотезы. В этой главе мы рассмотрим два критерия, которые подходят для порядковых шкал и используются при одной выборке.

Цели главы

Выяснить, как вычисляется и интерпретируется критерий Колмогорова—Смирнова для одной выборки.

Узнать, как проверяются гипотезы, касающиеся последовательности наблюдаемых событий.

КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА ДЛЯ ОДНОЙ ВЫБОРКИ

При малом объеме выборки (^^35)

Критерий Колмогорова—Смирнова применяется с наибольшей эффективностью, когда есть основание предположить, что частоты каждого из порядковых значений будут располагаться не случайным образом, а в соответствии с некоторой предсказуемой схемой. Например, если бы нам надо было зафиксировать число побед на каждой из беговых дорожек стадиона, то мы могли бы ожидать большую частоту побед на дорожках с меньшими порядковыми номерами. (Поскольку они находятся ближе к внутренней бровке, для достижения финишной черты по ним в общей сложности пробегают меньшее расстояние.)

Процедура, связанная с вычислением тестовой статистики D, требует накапливания частот по всем порядковым значениям. Затем сравниваются два распределения накопленных частот — теоретическое распределение, имеющее место при справедливой Но, и наблюдаемое распределение. .

Гипотетический пример -

Группа исследователей выдвинула гипотезу о том, что индивидуумы с ярко выраженными взаимными антипатиями будут чувствовать себя спокойно только тогда, когда они'будут находиться на определенном расстоянии друг от друга. Для проверки этой гипотезы провели опрос группы из 35 человек, про напряженные взаимоотношения между которыми было заранее известно. Им было предложено взглянуть на пять фотографий и выбрать из них одну наиболее привлекательную. На фотографиях были изображены два человека, находящиеся на разных расстояниях друг от друга; во всех прочих отношениях фотографии были идентичны. Результаты оказались следующими:

Расстояние

N

наибольшее 1

2

3

4

наименьшее 5

fo

9

и

8

4

3

35

Но : Рг = Р2 = Р3 = Р4 = Рь = 0,2. В генеральной совокупности доля предпочитающих каждую фотографию одинакова.

Нг:Р1 ^Рй^Ра^Р4^Р^ 0,2.

а = 0,01, критерий двусторонний.

Шаг 1. Для каждого расстояния находим ожидаемую частоту fe путем умножения N на долю, ожидаемую в каждом случае при справедливой нулевой гипотезе. В данном примере Но : Р ^ 0,2; поэтому fe = 35 • 0,2 = 7.

Расстояние

Итого

1

2

3

4

5

к

9

11

8

4

3

35

fe

7

7

7

7

7

35

Шаг 2. Выражаем каждую наблюдаемую и каждую ожидаемую частоту в виде отношения:

частота клетки

N

Расстояние

2

3

4

5

Наблюдаемое отношение ' Ожидаемое отношение

9/35

7/35

11/35

7/35

8/35

7/35

4/35

7/35

3/35

7/35

Шаг 3. Вычисляем накопленные значения наблюдаемых и ожидаемых отношений путем их суммирования слева направо (суммирование справа налево также приводит к статистике D):

Расстояние

1|213

4 ■

5

Накопленное наблюдаемое отношение Накопленное ожидаемое отношение

9/35

7/35

20/35

14/35

28/35

21/35

32/35

28/35

35/35

35/35

Шаг 4. Находим абсолютные значения разности между накопленными наблюдаемыми отношениями и накопленными ожидаемыми отношениями:

Расстояние

1

2

3

4

5

Накопленное наблюдаемое отношение

9/35

20/35

28/35

32/35

35/35

Накопленное ожидаемое отношение

7/35

.14/35

21/35

28/35

35/35

Абсолютное значение разности

2/35

6/35

7/35

4/35

0/35

Шаг 5. Находим наибольшее отношение и выражаем его в виде десятичной дроби. Полученное значение соответствует тестовой статистике/). В данном примере наибольшее отношение равно 7/35. Выразив его в виде десятичной дроби, получаем D = 0,2.

Шаг 6. В табл. Е (критические значения D в критерии Колмогорова—Смирнова для одной выборки) находим критическое значение D при N = 35 и а = 0,01. Если наблюдаемое значение D больше или равно критическому значению, Но отклоняется.

Решение. В данном примере критическое значение равно 0,27. Поскольку наблюдаемое значение D меньше критического, Но принимается.

При большом объеме выборки (/V>35)

Процедура определения./) при N, превышающем 35, в точности совпадает с описанной процедурой. Изменение требуется только на шаге 6 — при определении критического значения D. Для случая, когда N превышает 35, в табл. Е приведена формула для приближенного расчета D (значения двусторонние) при нескольких различных а-уровнях.

Пример

Дано: N = 140. Необходимо найти критическое значение D при а = 0,05 и двустороннем критерии.

/) = —А’3— =0.115.

У 140

Любое наблюдаемое значение/), которое равно этому значению или превышает его, будет значимым при а = 0,05 в случае N = 140.

Упражнения

Упражнения 1—5 основываются на следующих данных:

Порядковая позиция

N

1

2

3

4

5

6

/о

2

5

9

7

4

3

30

Но : Pi — Р2 — Р з — 7*4 — Рз — Ре g •

Hi : Pi ^ Р2 + Рз + Pi =# Ps =# pe + ~g"- а = 0,01, критерий двусторонний.

Определите ожидаемую частоту для каждой клетки.

Выразите каждую наблюдаемую и ожидаемую частоту в виде отношения.

Вычислите накопленные значения ожидаемых и наблюдаемых частот.

Найдите абсолютное значение разности между накопленными ожидаемыми и накопленными наблюдаемыми отношениями.

Найдите критическое значение D и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

НайдитекритическоезначениеDприN = 43иа =0,05.

НайдитекритическоезначениеDприN = 43иа =0,01.

НайдитекритическоезначениеDприN = 92иа =0,01.

НайдитекритическоезначениеDприN = 71иа =0,05.

КРИТЕРИЙ СЕРИЙ ДЛЯ ОДНОЙ ВЫБОРКИ

При малых объемах выборки (И]^20 и л2^20)

Большая часть статистических критериев предназначена для проверки гипотез относительно параметров генеральной совокупности, таких, как среднее значение, медиана, доля, корреляция. Однако в последнее время появились статистические критерии для проверки гипотезы о том, что выборка была извлечена из генеральной совокупности случайным образом. Один их таких критериев — критерий серий для одной выборки.

Предположим, что имеются три знака + и три знака —. Они могут быть расположены в различном порядке и поэтому на их основе можно получить несколько различных последовательностей, например: + + Ч, Чh1,ЧЬ и т. д. Серией

называется ряд одинаковых символов, либо ограниченных с обеих сторон другими символами, либо не имеющих других символов на концах ряда.

Примеры

В последовательности Ч- Ч- Чпредставлены две серии: Ч—I—Н и.

В последовательности Н Т Н Н Т Т представлены четыре серии: Н, Т, НН, ТТ. --

В последовательности 0 10 10 1 содержится шесть серий: 0, 1, 0, 1, 0, 1.-

Упражнения

В упражнениях 10—14 укажите число серий;

Ч—й1—h1 ■•

ННННТТТНТ.

0 1 1 1 1 0 1 0 0.

RLLRLRLR.

11—|—|—Н,-

Пример

Очередь состоит из лиц разного возраста. Исследователь замечает, что распределение людей младшего и старшего возраста в этой очереди не выглядит случайным, поскольку люди разного возраста стоят группами по несколько человек. В очереди наблюдается такая последовательность лиц старшего (1) и младшего (0) возраста: 0 0 0 1 1 1 110111000111100 0.

Необходимо определить, вероятно ли, что эта последовательность была извлечена из совокупности случайных последовательностей. Воспользуемся а = 0,05, критерий двусторонний.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза ф0\. порядок расположения лиц старшего и младшего возраста случайный.

Альтернативная гипотеза (Н^; порядок расположения лиц младшего и старшего возраста неслучаен.

Статистический критерий-, поскольку мы рассматриваем вопрос о случайности расположения объектов в отдельной выборке, подходящим критерием будет критерий серий для одной выборки.

Уровень значимости; а = 0,05, критерий двусторонний.

Выборочное распределение; в табл. F содержатся критические значения R для nt ^ 20 и па ^ 20 при а = 0,05 и двустороннем критерии.

Критическое значение; см. шаг 4.

Шаг 2. Определяем пТ и п*. Для данной задачи пг = 10, п2 = 12.

Шаг 3. Подчеркиваем в выборочной последовательности каждую серию и подсчитываем общее количество серий (R). В данной задаче число серий (R) равно 7: 0 00 1 1 1 1 1 0 1 1 1 000 111 1 000.

Шаг 4. Определяем из табл. F критическое значение R (число серий) при nt — 10 и и2 = 12. (Замечание. Последовательность может оказаться неслучайной в силу того, что в ней содержится слишком мало или слишком много серий. Поэтому в каждой клетке табл. F находятся два критических значения, причем Но отклоняется в том случае, если R меньше либо равно верхнему значению или же больше либо равно нижнему значению соответствующей клетки.)

Обращение к табл. F при пг = 10 и п2 = 12 показывает, что критическими значениями являются R ^ 7 или R ^ 17. Поскольку наблюдаемое значение R равно нижнему критическому значению, мы отклоняем Но и принимаем Hv Последовательность лиц старшего и младшего возраста в очереди неслучайна.

Упражнения

Упражнения 15—18 основываются на следующих данных. В очереди за билетами на стадион наблюдается последовательность мужчин (М) и женщин (F): М FFMMFMM М FFMFMFM М. Используя а = 0,05 при двустороннем критерии, проверьте гипотезу о случайности расположения мужчин и женщин.

Запишите задачу в формальном статистическом виде.

Определите значение п для каждой группы.

Определите число серий в выборке.

Определите критическое значение и сделайте статистический вывод, соответствующий полученным результатам.

При больших объемах выборки

(пу или п2 больше 20)

В случае когда либо пъ либо п2, либо оба значения больше 20, выборочное распределение R может быть аппроксимировано с помощью нормальной кривой. Формула для г выглядит так:

2 _\ п1 + »2/

[ 2 пщз (2 ЩП3—щ—п2)

У (П1 + П2) (»1 + «2—1)

Пример

■ У одного из посетителей казино в Лас-Вегасе возникло подозрение, что у рулетки, за которой он проиграл свои деньги, черные (В) и красные (R) поля появляются не в случайном порядке. Он зафиксировал 60 успешных исходов и получил следующие результаты:

BRRRBRBRRBBBRRRRRRBBRBBBRBR

BBBBRRRBRRRRRBBBRRBRBRBRRRR

BRBBBR

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): последовательность красных и черных полей случайна..

Альтернативная гипотеза (Н^: последовательность красных и черных полей неслучайна.

Статистический критерий", поскольку пг и п2 превышают 20, R аппроксимируется с помощью нормальной кривой.

Уровень значимости1, а = 0,01, критерий двусторонний.

Выборочное распределение: при больших выборках распределение г примерно соответствует нормальному. Поэтому в качестве подходящего выборочного распределения используется нормальная кривая (см. табл. G).

Критическое значение: при а = 0,01 и двустороннем критерии значения статистики г, необходимые для значимости, определяются условием |z| ^ 2,58.

Шаг 2. Определяем пх и п2. Предположим, что в данной задаче пх — число черных, а п2 — число красных полей. Тогда пх = 27, п2 = 33.

Шаг 3. Подчеркиваем каждую серию выборки и подсчитываем общее количество серий. Для данной задачи R равно 30:

ВRRRBRBRRBBBRRRRRRBBRBBBRBR

BBBBRRRBRRRRRBBBR RВRВRВ RRR R

В R В В В R

Шаг 4. Подставляем значения R, пг и п2 в формулу для z и производим вычисления:

z =z =2пх п2П1 + П22пх п2П1 + П22-27-33,30—+ 1V 602-27-33,30—+ 1V 602nt Па^Пг п2—"1~"г)(П1 + /12)2 (^1Н~^2О/ 1 782, \зо— —~+ 1 \ 60/2nt Па^Пг п2—"1~"г)(П1 + /12)2 (^1Н~^2О/ 1 782, \зо— —~+ 1 \ 60/2.27-33(2.27.33—27—33)602.(27+33—1)2.27-33(2.27.33—27—33)602.(27+33—1)—0,7—0,7—0,7—0,7/ 1 782.(1 782 — 60) У* 4,453,8013 600-59/ 1 782.(1 782 — 60) У* 4,453,8013 600-59= —0,18.= —0,18.

z =

z =

2пх п2

П1 + П2

2пх п2

П1 + П2

2-27-33,

30—+ 1

V 60

2-27-33,

30—+ 1

V 60

2nt Па^Пг п2—"1~"г)(П1 + /12)2 (^1Н~^2О

/ 1 782, \

зо— —~+ 1 \ 60/

2nt Па^Пг п2—"1~"г)(П1 + /12)2 (^1Н~^2О

/ 1 782, \

зо— —~+ 1 \ 60/

2.27-33(2.27.33—27—33)

602.(27+33—1)

2.27-33(2.27.33—27—33)

602.(27+33—1)

—0,7—0,7

—0,7—0,7

/ 1 782.(1 782 — 60) У* 4,453,80

13 600-59

/ 1 782.(1 782 — 60) У* 4,453,80

13 600-59

= —0,18.

= —0,18.

Решение. Поскольку наблюдаемое значение г не достигает критического значения, необходимого для отклонения Но, мы принимаем Но.

Упражнения

Упражнения 19—22 основываются на следующих исходных данных. При исследовании согласованности общественного мнения была опрошена группа людей, причем каждый из отвечавших мог слышать только предыдущий ответ. Последовательность полученных положительных (+) и отрицательных (—) ответов такова:

+ + + + + + — ■+ + Н + — +

1- + + 4+ + + — + + + + —

пх — число плюсов, п2 — число минусов, а = 0,01, критерий двусторонний;

Запишите задачу в формальном статистическом виде.

Определите пх и п2.

Найдите /?.

Подставьте найденные значения в формулу для вычисления г и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам;

Контрольные вопросы к главе 6

Вопросы 1—5 основываются на данных из таблицы:

Расстояние

1

2

3

4

5

6

fo

19

15

11

7

6

2

Ожидаемая частота для каждой из клеток равна: а) 10; б) 6; в) 12 Г) 60.

Накопленная ожидаемая частота в клетке 5 равна: а) 20; б) 58; в) 60; г) 50.

Накопленная наблюдаемая частота для клетки 3 равна: а) 30; б) 36; в) 45; г) 26.

Наибольшая разность между накопленным наблюдаемым отношением и соответствующим накопленным ожидаемым отношением достигается в клетке: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Выраженное в виде десятичной дроби абсолютное значение разности между накопленным наблюдаемым и накопленным ожидаемым отношениями для клетки 5 равно: а) 0,013; б) 0,133; в) 0,167; г) 0,017;

Дано: D = 0,462, N = 8, а = 0,05, критерий двусторонний.

Наблюдаемое D превышает критическое значение D; мы принимаем Нй;

Наблюдаемое D превышает критическое значение; мы отклоняем Н6;

Наблюдаемое D меньше критического значения; мы отклоняем Нв. г) Наблюдаемое D меньше критического значения; мы принимаем Нй. Вопросы 7—8 основаны на следующей последовательности данных:

RRLRRRRLRLLLLLRLRRRRLLLLLLRRR

Если пх — число элементов типа R и п2 — число элементов типа L, то и, и п2 равны соответственно: а) 14 и 15; б) 11 и 11; в) 15 и 15; г) 15 и 14.

Число серий равно: в) 11; б) 10; в) 12; г) 14.

Критические значения R для пх = 16 и п2 = 12 при а — 0,05 равны: а) 8 и 21; б) 9 и 20; в) 9 и 21; г) 10 и 20.

Если наблюдаемое значение R равно 12, пх = 15, л2 = 18, а = 0,05, то:

R превышает нижнее критическое значение; Нй отклоняется;

R меньше верхнего критического значения; До отклоняется.

R превышает нижнее критическое значение; До принимается;

R превышает верхнее критическое значение; Н6 принимается ;

Практические задания

11. Задана таблица данных:

Порядковая позиция

1 1 2

3

5

6

7

/о

6

9

14

16

19

25

30

Проверьте нулевую гипотезу о том, что доли генеральной совокупности для каждой из порядковых позиций одинаковы. Используйте а = 0,05.

12. Задана последовательность событий:

011010010110110110111100100101011010011100

Проверьте нулевую гипотезу о том, что эта последовательность была отобрана из совокупности случайных последовательностей. Используйте а = 0,05; nt — число нулей, п2 — число единиц.

Глава 7

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ. НЕЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ

В этой главе мы рассмотрим непараметрические критерии значимости, используемые в порядковых шкалах. В частности, мы обсудим те статистические критерии, которые предназначены для проверки гипотез относительно медиан, средних значений и различий в распределении.

Цели главы

Узнать, как применять медианный критерий для проверки гипотез, касающихся медианы.

Познакомиться с применением (/-критерия Манна—Уитни при исследовании гипотез относительно различий в средних значениях.

Научиться пользоваться критерием Вальда—Вольфовица при исследовании гипотез о различиях в распределении..

Выяснить, как медианный критерий применяется для проверки гипотез в случае нескольких выборок.

Познакомиться с использованием критерия множественных сравнений Уилкоксона как способом оценки статистической значимости всевозможных пар воздействий.

СЛУЧАЙ С ДВУМЯ ВЫБОРКАМИ

Медианный критерий

Медианный критерий предназначен для проверки нулевой гипотезы о том, отобраны ли два экспериментальных условия или две исследуемые группы из генеральных совокупностей с одинаковыми медианами. При работе с медианным критерием необходимо, чтобы отметки соответствовали порядковой шкале или более высоким шкалам.

Вкратце процедуру применения этого. критерия можно описать следующим образом: все отметки, независимо от условий, располагаются в возрастающем или убывающем порядке; находится общая медиана; для каждого условия определяется число отметок, находящихся выше или ниже общей медианы; эти данные помещаются в таблицу сопряженности признаков 2 X 2 и тем самым становится возможным оценить статистическую значимость полученных результатов с помощью критерия Фишера или критерия %2 для двух выборок.

Гипотетический пример

Предположим, что перед началом игры двум группам детей дошкольного возраста показали два мультипликационных фильма.Одна группа (условие А) просмотрела фильм, содержание которого было с ярко выраженными агрессивными элементами; второй группе (условие В) был показан фильм без каких-либо агрессивных элементов. После просмотра фильмов каждый ребенок некоторое время играл отдельно от своих товарищей, причем опытные наблюдатели зарегистрировали количество поступков агрессивного характера, совершенных ребенком по отношению к его игрушкам в течение этого периода. Отметкой для каждого ребенка в данном случае является общее число совершенных им подобных поступков, которые, однако, различаются по характеру и по силе. Поэтому исследователи сочли более правильным рассматривать эти отметки только как относительную меру агрессивности (порядковая шкала), нежели как соответствующие действительной количественной шкале. По этой причине был выбран медианный критерий. Полученные результаты были следующими:

Условие

А

В

А

в

26

16

18

11

22

10

29

7

19

8

17

13

21

■13

11

9

14

19

34

21

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): не существует различия между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

Альтернативная гипотеза (Н^: существует различие между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

Статистический критерий: поскольку данные представлены в виде таблицы сопряженности признаков 2 X 2, а значения пг и пг не превышают 15, подходящим критерием будет критерий Фишера.

Уровень значимости: а = 0,05, критерий двусторонний.

Критическое значение: критическое значение D будет установлено только после определения значений А + В, С + D и В.

Шаг 2. Объединяем вместе отметки для обеих групп и располагаем их в убывающем порядке, сохраняя при этом соответствие между отдельными отметками и связанными с ними экспериментальными условиями:

Отметка

Условие

Отметка

Условие

34

А

16

в

29

А

14

А

26

А

131

В

22

А

13/

В

2П

А

И1

в

21/

В

и/

А

191

В

10

В

19/

А

9

в

18

А

8

в

17

А

7

в

Шаг 3. Находим медианную отметку. Это можно сделать путем от- tl\ ~k fin1п

счета ———и отметки сверху. Для рассматриваемого примера

«1 + п2 + 1 = iq д Медиана, находящаяся посредине между 10-й и 11-й отметками, равна 16,5. В случае когда пл + пг представляет собой нечетное число, медианой будет одна из наблюдаемых отметок.

Шаг 4. Помещаем данные в таблицу сопряженности признаков 2 X 2, в которой приводятся по два значения для каждой переменной: а) группа I по сравнению с группой II (условие А по сравнению с условием В) и т. д. и б) число случаев, когда отметка превышает медиану, по сравнению с числом случаев, когда отметка меньше медианы либо равна ей. В данном примере подсчитываем число отметок в группе А, которые превышают медиану, и помещаем это число в клетку А. Далее подсчитываем число превышающих медиану отметок для группы В и помещаем его в клетку В; затем находим для групп А и В число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей, и помещаем найденные значения в клетки С и D соответственно. В результате получаем следующую таблицу 2x2:

Группа А

Группа В

Итого

Число отметок, превышающих медиану

8

А

2

В

-10

Число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей

2

С

8

D

10

Итого

10

10

20

Шаг 5. Если пг ^ 15 и п^ ^ 15, то воспользуемся точным критерием Фишера (см. гл. 4). Если же пл или пг превышает 15, то применим приближенный критерий %2 (см. гл. 4). Поскольку п1=10 и п2 = 10, мы выбираем критерий Фишера. Повторим вкратце основные этапы этой процедуры.

Находим значение Л + В в табл. D в столбце «Суммы по строкам». Для данной задачи Л + В = 10.

В той же секции таблицы ищем значение С + D. Для данной задачи мы находим С + D = 10 в секции Л + В = 10.

В столбце «В (или Л)» ищем значение наблюдаемой частоты для клетки В. В данной задаче наблюдаемое значение В равно 2. Поскольку в столбце это значение отсутствует, мы ищем в нем значение Л. Находим Л = 8. Из табл. D видно, что в случае Л + В = 10, С + D = = 10, Л = 8 критическое значение С при а = 0,05 и двустороннем критерии равно 1.

Решение. Поскольку наблюдаемое значение С превышает критическое значение, Но принимается.

Шаг 5а. Если пх или п2 больше 15, то используем критерий %2. Повторим вкратце связанную с этим процедуру:

Находим ожидаемую частоту для каждой клетки:

клетка Л — И + Д)'И + С) .в_кМ^НВ+Щ .

NN

~(С+Р).(Л + С)M(C+D).(3 + D)

NN

Находим абсолютное значение разности между наблюдаемой частотой для каждой клетки и соответствующей ожидаемой частотой.

Вычитаем 0,5 из каждого абсолютного значения и полученные результаты возводим в квадрат.

Делим каждое из выражений (|/0 — А?1 — 0>5)2 на соответствующую ему ожидаемую частоту fe, и, суммируя полученные значения, получаем %2.

Находим в табл. С критическое значение %2 при заданном a-уровне и одной степени свободы. Если расчетное значение %2 превышает табличное, Но отклоняется.

Упражнения

Упражнения 1—5 основываются на следующих данных:

Условие

А

в

II А

в

86

41

109

10

42

20

93

67

59

16

66

21

11

35

72

14

23

8

18

19

105

29

20

9

5

«Отметками» здесь Являются оценки административных способностей двух групп людей, получивших разные типы подготовки в процессе обучения навыкам административной работы, а = 0,01, критерий двусторонний.

Запишите задачу в формальном статистическом виде.

Объедините все отметки и расположите их в соответствии с требованием, описанным на шаге 2.

Найдите медианную отметку.

Поместите данные в таблицу 2X2.

Найдите критическое значение D (или Q и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Основываясь на приведенных данных, определите, значимо ли различие между группами 1 и 2. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

Группа 1

Группа 2

Итого

Число отметок, превышающих медиану

18

8

Число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей

8

18

Итого

/7-критерий Манна — Уитни

Медианный критерий недобирает статистическую мощность (т. е. способность к отклонению ложной нулевой гипотезы) в том смысле, что он не полностью использует информацию, присущую порядковым шкалам. Действительно, медианный критерий фактически сводит порядковую шкалу к двузначной номинальной шкале. В противоположность этому //-критерий Манна—Уитни использует всю информацию, свойственную порядковым шкалам, и поэтому является одним из наиболее мощных статистических критериев, применяемых для оценки различий между центральными параметрами.

Пример

Для сравнения //-критерия Манна—Уитни с медианным критерием мы проиллюстрируем вычисление статистики U на примере того же гипотетического исследования, которое было описано выше.

Условие

А

в

А

в

26

16

18

И

22

10

29

7

19

8

17

13

21

13

И

9

14

19

34

21

Формула для расчета U выглядит следующим образом:

(/ = Л1Лз + _М^±1)—R1

или

и'=П1п2+ ~^+1)/?2,

Rx — сумма рангов, относящихся к группе с объемом выборки пг; ^2 — сумма рангов, относящихся к группе с объемом выборки п2.

Шаг L Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): не существует различия между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

Альтернативная гипотеза Ш^: существует различие между медианами для отметок об агрессивности детей после просмотра мультипликационных фильмов.

Статистический критерий: данные представлены в форме отметок, которые могут быть упорядочены с помощью соизмерений типа «больше, чем», «меньше, чем». Для таких данных подходит (7-критерий Манна—Уитни.

Уровень значимости: а = 0,05, критерий двусторонний.

Критическое значение: критическое значение будет определено в процессе вычисления (/-статистики Манна—Уитни.'

Шаг 2. Объединяем вместе отметки для обеих групп и располагаем их в убывающем порядке, сохраняя при этом соответствие между отдельными отметками и связанными с ними экспериментальными условиями:

- Отметка

Условие

Отметка

Условие

34

А

16

в

29

А

14

А

26

А

131

В

22

А

13/

В

211.

А

1Ц

В

21/

В

11/

А

191

В

10

В

19/

А

9

в

18

А

8

в

17

А

7

в

Шаг 3. Каждой отметке полученного ряда присваиваем ранг. В случае совпадения отметок им приписывается среднее значение тех рангов, которые были бы.присвоены каждой из отметок при отсутствии совпадения. Например, две отметки 21 делят между собой ранги 5 и 6. Каждой из них присваиваем ранг, равный —— = 5,5. (Обратите внимание, что последний ранг должен равняться пх + п2. Этим можно воспользоваться для проверки правильности ранжирования.)

Отметка

Ранг

Условие

Отметка

Ранг

Условие

34

1

А

16

11

в

29

2

А

14

12

А

26

3

А

131

13,5

В

22

4

А

13/

13,5

В

2Ц

5,5

А

1Ц

15,5

в

21)

5,5

В

Н

15,5

А

191

7,5

В

10

17

В

19/

7,5

А-

9

18

в

18

9

А

8

19

в

17

10

А

7

20

в

Шаг 4. Отделяем условия одно от другого и находим сумму рангов для каждого из них.

А

В

А

в

1

5,5

9

17

2

7,5

10

18

3

11

12

19

4

5,5

13,5

13,5

15,5

20

7,5

15,5

Ri=69,5

R2= 140,5

Для проверки точности вычислений можно воспользоваться соотношением Д1 + Д2 = "^ (1 + ^)- В данном примере Д1+Д2 = = 210. Проверяем: -^-(1 + N) = 10 • 21 = 210.

Шаг 5. Подставляем найденные значения в формулу для расчета U и производим вычисления:

t/=zlln2 + -^y^ — Ri= 100+-^— — 69,5= 155—69,5 = 85,5.

Шаг 6. Обратившись к табл. Н3 (а = 0,05, критерий двусторонний) для случая nY = 10 и пг = 10, мы находим, что требуемое для отклонения Но значение U должно быть меньше или равно 23 или больше 77.

Решение. Поскольку расчетное U, равное 85,5, превышает критическое значение (77), мы отклоняем Но и принимаем Hv Обратите внимание, что наш результат не совпадает с тем, который был получен при использовании медианного критерия; это свидетельствует о большей мощности критерия Манна—Уитни.

Шаг 7. Для проверки вычисляем V и подставляем его значение в формулу:

U = п^ — U';

и'^П1п2 + -^^И140,5= 100 + 55—140,5= 14,5;

U = 100 — 14,5 = 85,5.

Поскольку полученный результат совпадает с ранее вычисленным значением U, мы удостоверяемся в правильности наших расчетов.

Упражнения

В упражнениях 7—13 используются те же исходные данные, что и в упражнениях 1—6. Здесь эти данные воспроизводятся вторично:

Условие

А

в

А

В

86

41

109

10

42

20

93

67

59

16

66

21

11

35

72

14

23

8

18

19

105

29

20

9

5

В качестве «отметок» выступают оценки административных способностей двух групп людей, получивших разные типы подготовки в процессе обучения навыкам административной работы а = 0,01, критерий двусторонний.

7. Запишите задачу в формальном статистическом виде.

8. Объедините вместе отметки для обеих групп и расположите их в убывающем порядке.

9. Присвойте ранг каждой из отметок полученного ряда.

10. Найдите Rr и Ra и проверьте правильность вычислений.

11. Подставьте полученные значения в формулу и произведите вычисления.

12. Найдите критическое значение U и примите статистическое решение. 13. Проверьте правильность предыдущих вычислений.

Критерий серий Вальда — Вольфовица

Наиболее часто в нулевой гипотезе формулируются утверждения относительно конкретного параметра или параметров, например среднего значения, медианы, стандартного отклонения, дисперсии. Однако в некоторых случаях нас интересуют более общие нулевые гипотезы, касающиеся любых различий между генеральными совокупностями. Критерий серий Вальда—Вольфовица является чувствительным по отношению к целому ряду различий, включая различия в медианах, мерах изменчивости и асимметрии.

При небольших объемах выборок (п^ ^ 20 и п2 ^ 20). Воспользуемся теми же данными, которые приводились в этой главе для иллюстрации применения медианного критерия и (/-критерия Манна—Уитни.

Шаг 1. Объединяем отметки для обеих групп и располагаем их в возрастающем или убывающем порядке:

Отметка

Условие

Отметка

Условие

34

А

16

в

29

А

14

А

26

А

13

В

22

А

13

В

21

А

11

в

21

В

11

А

19

В

10

В

19

А

9

в

18

А

8

в

17

А

7

в

Шаг 2. Располагаем идентификаторы каждого из условий в горизонтальном положении, подчеркиваем каждую серию в получившейся объединенной выборке и подсчитываем общее число серий:

А А А А АВ В А А А В А В В В А В В В В

В данном примере можно выделить 8 серий (7? = 8). Существует, однако, проблема, связанная с наличием совпадений. Если совпадают между собой отметки для одного и того же условия, то последовательность остается без изменений, но если совпадают отметки для разных условий, то возможно получение более чем одной последовательности. В этом случае рекомендуется определить путем перебора все возможные последовательности и найти число серий для каждой из них. Если все они окажутся статистически значимыми, то Но может быть отклонена.

Далее перечислены все возможные для данного примера последовательности и приведены соответствующие каждой из них значения R: .

А А А А А В В А А А В А В В В А В В В В,

R = 8;

АААААВАВААВАВВВАВВВВ,

R = 10;

АААААВВАААВАВВАВВВВВ,

R = 8;

АААААВАВААВАВВАВВВВВ,

R = Ю;

ААААВАВАААВАВВВАВВВВ,

R = 10;

ААААВААВААВАВВВАВВВВ,

R = Ю;

ААААВВВАААВАВВАВВВВВ,

R = 8;

ААААВВАВААВАВВАВВВВВ,

R = 10.

Шаг 3. Определяем из табл. F критическое значение R (число серий) для пх = 10 и п2 = 10. При использовании критерия серий для двух выборок нас интересует только нижнее значение R, соответствующее различным значениям пх и п^. Находим, что Яо отклоняется при

R ^ 6. Поскольку ни одно из наблюдаемых значений R не попадает в область отклонения нулевой гипотезы, мы принимаем Но.

Замечание. В случае когда одни значения R значимы, а другие нет, не существует достаточно удовлетворительного способа прийти к статистическому решению. Один предложенный метод заключается в нахождении значений вероятности (^-значений), ассоциируемых с каждым R, и дальнейшем определении среднего значения р. Если оно окажется меньшим, чем а, или равным ему, то Но будет отклонена.

Упражнения

В упражнениях 14—16 используются те же исходные данные, что и в упражнениях 1—13.

Условие

А

в

1 А

в

86

41

109

10

42

20

93

67

59

16

66

21

11

35

72

14

23

8

18

19.

105

29

20

9

5

14. Объедините отметки и расположите их в убывающем порядке.

15. Найдите R.

16. Найдите критическое значение R и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

При больших объемах выборок (п.^20 и/или пг">20у Поскольку табличные значения' критерия серий ?не выходят за пределы пх или пг = 20, всякий раз, когда объем выборки для какой-либо из групп превышает 20, можно применить альтернативную процедуру. При этом значение вероятности для R может быть аппроксимировано с помощью ^-преобразования, причем г интерпретируется как переменная стандартного нормального распределения, z-преобразование имеет вид:

2»! я2п1 + ^2

2n, п2 (2л! пг—пх—п^

(П1 + л2)2 (Лх+Ла—1)

где 0,5 вычитается из абсолютной величины числителя для поправки на непрерывность.

Пример

Предположим, что в процессе обучения навыкам административной работы две группы людей получили два разных типа подготовки. После обучения способность к административной деятельности каждого человека была индивидуально проверена в различных жизненных ситуациях, причем эксперты, оценивавшие их действия, не были осве-

домлены о специфике подготовки. Оценки выглядят следующим образом:

Группа А

Группа В

Группа А

Группа В

49

16

22

7

35

31

39

41

26

10

8

5

59

60

50

28

35

13

67

16

58

7

54

9

14

20

19

29

36

29

17

18

93

11

12

109

37

55

95

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (//0): оценки, способностей к административной работе, полученные в обеих группах, были отобраны из общей генеральной совокупности. . '

Альтернативная гипотеза (Н^; оценки способностей к административной работе, полученные в обеих группах, не были отобраны из общей генеральной совокупности.

Статистический критерий-, поскольку исходные данные являются порядковыми и нас интересуют любые различия, которые могли возникнуть в результате разных типов подготовки, воспользуемся критерием серий Вальда—Вольфовица. Однако поскольку п^ > 20, мы применим z-статистику.

Уровень значимости; а = 0,05, критерий двусторонний.

Выборочное распределение; нормальное.

. е) Критическое значение; критическое значение г при а = 0,05 и двустороннем критерии равно ±1,96. Если расчетное значение г больше либо равно 1,96 или меньше либо равно —1,96, то Но отклоняется.

Шаг 2. Объединяем отметки для обеих групп и располагаем их в убывающем порядке, сохраняя при этом соответствие между отдель

ными отметками и экспериментальными условиями, при которых они были получены:

Отметка

Условие

Отметка

Условие

Отметка

Условие

Отметка

Условие

109

А

49

. А

28

в

13

В

95

А

41

В

26

А

12

В

93

А

39

А

22

А

11

А

67

А

37

А

20

В

10

В

60

В

36

В

19

А

9

В

59

А

35

А

18

В

8

А

58

А

35

А

17

А

7

В

55

В

31

В

16

В

7

в

54

А

29

А

16

В

5

в

50

А

29

А

14

А

Шаг 3. Располагаем идентификаторы каждого из условий в горизонтальном положении, подчеркиваем каждую серию в получившейся объединенной выборке и подсчитываем общее число серий:

ААААВААВАААВАВААВАА ВААВАВАВВАВВАВВАВВВ,

R = 24.

Шаг 4. Подставляем значения Rlt пг и п2 в формулу для расчета г:'

I/ 2-22-17\ I

——■—4-1 —0,5 — I' 22+17/I _|24—16,27|—0,5_ 7,23 _

/ 2-22-17-(2-22.17—22—17), /" 748.(748 — 49)/4^4

V(22 4-17)2 (22 4-17—1)V 492-48

= 3,39.

Решение. Поскольку расчетное значение г превышает 1,96, мы отклоняем Н6 и принимаем Hv Два разных типа подготовки административных работников приводят к различным уровням выполнения ими своих обязанностей.

Упражнения

Упражнения 17—20 основываются на следующих данных:

А

в

А

в

А

В

А

В

8

45

36

99

31

7

10

6

16

10

88

5

119

18

9

33

49

62

20

104

25

14

26

93

53

17

101

5

27

79

22

44

29

95

3

И

109

19

57

13

70

17. Запишите задачу в формальном статистическом виде. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

18. Объедините отметки для обеих групп в соответствии с требованиями шага 2.

19. Расположите идентификаторы условий в горизонтальном положении и определите число серий.

20. Найдите г и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

СЛУЧАЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЫБОРКАМИ

Медианный критерий

Применение медианного критерия, описанного в данной главе, может быть распространено на случаи, когда имеется к независимых групп. При этом проверяется нулевая гипотеза о том, что все группы были отобраны из генеральных совокупностей с одинаковыми медианами. Вычислительная процедура включает определение общей для 86

всех групп медианы, построение таблицы 2 х к на основе найденных для каждой группы данных о числе отметок, превышающих медиану, и числе отметок, меньших либо равных ей, применение критерия %2 к полученной таблице частот 2 х к.

Гипотетический пример

Четыре группы людей обучались в разных условиях, прежде чем им было предложено решить ряд задач, требовавших, как утверждалось, творческого мышления. Экспертам, не знакомым с условиями подготовки отдельных лиц, предложили оценить найденные решения с точки зрения их «творческого характера». В результате четыре группы получили следующие «отметки»:

Условие

I

П

ш

IV

97

44

8

46

51

98

27

90

79

58

17

75

68

40

41

81

60

45

57

93

79

49

37

81

77

71

21

83

42

94

13

99

33

74

9

70

36

76

82

65

42

67

7

53

Поскольку в отметках представлены мнения экспертов, а не объективные измерения, было признано считать их относящимися в лучшем случае к порядковой шкале. Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что все четыре группы были отобраны из генеральной совокупности с одинаковыми медианами, используя при этом а = 0,05 (критерий двусторонний).

Шаг 1. Объединяем отметки для четырех групп и располагаем их в возрастающем или убывающем порядке, сохраняя при этом соответствие между отдельными отметками и связанными с ними экспериментальными условиями:

Отметка

Условие

Отметка

Условие

Отметка

Условие

Отметка

Условие

99

IV

79

I

58

11

49

II

98

II

77

I

57

III

37

III

97

I

76

II

53

IV

36

I

94

II

75

IV

51

I

33

I

93

IV

74

II

49

II

27

III

90

IV

71

II

46

IV

21

III

83

IV

70

IV

45

II

17

III

82

III

68

I

44

II

13

III

81

IV

67

II

42

I

9

III

81

IV

65

IV

42

I

8

III

79

I

60

I

41

III

7

III

Шаг 2. Находим медиану. Это может быть сделано путем отсчета (N + 1)/2-й отметки сверху (N = пх + п2 + ... + пк\ Для данной

+ 145

задачи N = 44. Поэтому —^— = у = 22,5. Медиана, находящаяся посередине между 22-й и 23-й отметками, равна 59.

Шаг 3. Помещаем данные в таблицу 2 X к, записывая в нее частоты отметок, которые превышают медиану в каждом из экспериментальных условий, а также частоты отметок, находящихся ниже медианы или совпадающих с ней в каждом из экспериментальных условий. Для данной задачи получаем следующую таблицу:

Условие I

Условие 11

Условие Ill

Условие IV

Итого

Число случаев, когда отметка ■ превышает медиану

6

А

6 в

1 с

9

D

Л-рВ+С+О=22

Число случаев, когда отметка меньше, чем медиана, либо равна ей

' 5 Е

5

F

10 G

2

Н

E+F+G-VH=22

Итого

А+Е=11

B+F=ll

C+G=H

D^H =11

44

Шаг 4. Применяем критерий х2 к частотным данным из приведенной таблицы 2 X к:

i = V / = 1,е

Г с•

где 2 2 указывает на необходимость просуммировать это отношение /=1 /=1

как по строкам, так и по столбцам. (Замечаний. Когда df > 1, ожидаемая частота в 80% клеток должна быть больше либо равна 5, и ни одна из ожидаемых частот не должна быть меньше 1.)

Находим ожидаемую частоту для каждой клетки с помощью следующих формул:

клетка

Д = M+5 + C+D) (Л+Е) _ g эд.

N’ ’

клетка

в = (Л + В + С + О)(В+Г) = 5 50.

-N’ ’

клетка

С = M + B+C + D) (C+G) = 5 50.

N’ ’

клетка

D = ('4+В + С + О)(О + Я) = 5 50.

N’ ’

клетка ■

Е = (E + F + G + //) (Л+Е) = 5 50, N’ ’

клетка F — (E + F+G+H) (B + F) KJlclKd Г — ""■— u.uu.

N

~ (E-FF-VG+HHC-VG') ,клетка G = n T j—12—!—>_ = 5,50;

N

клетка H №+ F + G + HUD + H) - - Avici Kd П ~'" U.UU.

. N

Находим разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой для каждой клетки:

Клетка

fo

и

fo-U

д

6

5,50

0,50

в

6

■ 5,50

0,50

с

1

5,50

—4,50

D

9

5,50

3,50

Е

5

5,50

—0,50

F

5

5,50

—0,50

G

10

5,50

4,50

■ Н

2

5,50

—3,50

2 (/

о-/е)=0,00

Для проверки правильности вычислений можно воспользоваться тем, что 2 (f0 — /е) должна равняться нулю.

Возводим в квадрат каждое значение (f0 — /е), затем делим на соответствующую ожидаемую частоту (fe) и, просуммировав, получаем %2:

Клетка

(fo-U1

^е

(fo-V2 fe

А

0,25

5,50

0,05

В

0,25

5,50

0,05

С

20,25

5,50

3,68

D

12,25

5,50

-2,28

Е

0,25

5,50

0,05

F

0,25

5,50

0,05

G

20,25

5,50

3,68

Н

12,25

5,50

2,28

Х2=12,12

Находим число степеней свободы. Для случая с несколькими выборками

df = (с—1) (г—1),

где с — число столбцов; г — число строк. Для данной задачи df = (4 — 1) (2 — 1) = 3.

Находим критическое значение %2 при данном a-уровне. Если расчетное значение %2 равно критическому или превышает его, то Но отклоняется. Критическое значение %2 при а = 0,05 и df = 3 равно 7,815. Так как %2 = 12,12 превышает это значение, мы отклоняем Но и принимаем Hi. Поскольку медианы генеральных совокупностей не совпадают, наблюдаемые различия приписываются влиянию экспериментальных условий.

Упражнения

Упражнения 21—28 основываются на следующих данных:

Условие

1

Ш|

I

. И

Ш

34

45

59

69

95

54

16

68

79

36

58

75

33

20

59

17

22

25

5

41

82

46

29

57

20

49

60

39

76

81

74

88

94

26

45

48

75

92

13

21. Расположите отметки в убывающем порядке.

22. Найдите медиану.

23. Поместите данные в таблицу 2 X к.

24. Найдите ожидаемую частоту для каждой клетки.

25. Найдите каждое из значений (/0 —/е).

26. Вычислите %2.

27. Найдите df.

28. Найдите критическое значение %2 и сформулируйте статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Однофакторный анализ с помощью рангов по Уилкоксону, критерий множественных сравнений

Если подтверждается предположение о том, что множество отметок соответствует по крайней мере порядковому измерению, то в качестве более мощной альтернативы медианного критерия выступает критерий Уилкоксона. Однако в отличие от медианного критерия однофакторный анализ с помощью рангов по Уилкоксону не обеспечивает полной проверки значимости по всем группам. Критерий Уилкоксона скорее позволяет проверить статистическую значимость попарных сравнений между экспериментальными группами в тех случаях, когда к изменяется от 3 до 10. Одно ограничение заключается в том, что значения п должны быть одинаковыми для всех условий.

Процедура применения критерия включает объединение всех отметок, ранжирование их в направлении от низших к высшим, разде-

ление их по условиям, определение суммы рангов для каждого условия и построение матрицы попарных разностей сумм рангов. Затем обращаются к табл. I для определения критической разности сумм, определяющей границы значимости при различных значениях п и к.

Пример

Воспользуемся данными, с помощью которых мы иллюстрировали применение медианного критерия:

Условие

I

Ш

IV

97

44

8

46

51

98

27

90

79

58

17

75

68

40

41

81

60

45

57

93

79

49

37

81

77

71

21

83

42

94

13

99

33

74

9

70

36

76

82

65

42

67

7

53

а = 0,05, критерий двусторонний.

Шаг 1. Объединяем отметки для четырех групп и располагаем их в возрастающем порядке, сохраняя при этом соответствие между отдельными отметками и связанными с ними экспериментальными условиями.

Отметка

Условие

Отметка

Условие

Отметка

Условие

7

III

45

II

76

II

8

III

46

IV

77

I

9

III

49

II

79

I

13

III

51

I

79

I

17

III

53

IV

81

IV

21

III

57

III

81

1IV

27

III

58

II

82

III

33

I

60

I

83

IV

36

I

65

IV

90

IV

37

IV

67

II

93

IV

40

II

68

I

94

II

41

III

70

IV

97

I

42

I

71

II

98

II

42

I

74

II

99

IV

44

II

75

IV

Шаг 2. Ранжируем по порядку все отметки, начиная с самых низких и кончая высокими, сохраняя при этом идентификаторы экспериментальных условий для каждой отметки:

Ранг

Условие

Ранг

Условие

Ранг

Условие

1

III

16

II

31

II

2

III

17

IV

32

I

3

III

18

II

33,5

I

4

III

19

I

33,5

I

5

III

20

IV

35,5

IV

6

III

21

III

35,5

IV

7

III

22

II

37

III

8

I

23

I

38

IV

9

I

24

IV

39

IV

10

III

25

II

40

IV

11

II

26

I

41

II

12

IV

27

IV

42

I

.13,5

I

28

II

43

II

13,5 .

I

29

II

44

IV

15

II

30

IV

Замечание. В случае совпадения отметок им приписывается среднее значение связанных рангов. Например, в приведенной на шаге 1 таблице имеются две отметки 42, которые делят номера 13 и 14. Присвоенный каждой из них ранг составит (13 + 14)/2 = 13,5.

Шаг 3. Перегруппируем данные в отдельные столбцы (по одному для каждого условия), в которых запишем ранги соответствующих этим условиям отметок:

I

П

Ш

IV

8

11

1

17

9

15

2

20

13,5

16

3

24

13,5

.18

4

27

19

22

5

30

23

25

6

35,5

26

28

7

35,5

32

29

10

38

33,5

31

12

39

33,5

41

21

40

42

43

37

44

2/?1=253

2^а=279

2Я3=108

2/?4=350

Для проверки правильности вычислений найдем сумму всех рангов. Она должна равняться

~(Х+ЬМ).

Для данной задачи

и ‘и ‘^(1 + kN) = 990

и ‘

и ‘

№ + 27?2 + 2^з + 2R4) = 990.

Шаг 4. Представляем суммы рангов и разности между этими суммами в виде матрицы, в которой эти суммы расположены в порядке убывания:

IV 350

II

279

I 253

III 108

IV 350

71

97

242

II 279

26

171

I 253

—

—

145

III 108

—

—

—

—

Шаг 5. Для определения критического значения разности сумм обращаемся к табл. I при имеющихся п (число отметок в каждой из экспериментальных групп) и к и заданном a-уровне. Если какая-нибудь из наблюдаемых разностей превышает критическое значение или равна ему, то Но отклоняется. Для данной задачи критическая разность сумм при п = 11, к = 4 и а = 0,05 (критерий двусторонний) равна 155. Обратившись вновь к нашей матрице, мы обнаруживаем, что статистически значимыми при а = 0,05 являются следующие сравнения: условие III в сравнении с условием IV и условие II в сравнении с условием III.

Упражнения

Упражнения 29—33 основываются на следующих данных:

I

II

III

I

II

III

34

45

59

48

75

92

16

68

79

69

95

54

33

20

59

36

58

75

5

41

82

17

22

25

20

49

60

46

29

57

74

88

94

39

76

81

Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

Объедините отметки и расположите их в убывающем порядке.

Проранжнруйте по порядку все отметки, начиная с низких и кончая высокими.

Перегруппируйте данные в столбцы по условиям и запишите в них ранги отметок, соответствующих этим условиям.

Построите матрицу сумм рангов, в которой представлены разности между этими суммами.

Найдите критическую разность сумм и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Контрольные вопросы к главе 7

Задана последовательность отметок: 26, 19, 18, 15, 12, 10, 9, 4, 2, 1; медиана равна: а) И; б) 10; в) 12; г) 10,5.

Вопросы 2 и 3 основываются на следующей таблице 2X2:

Группа А

Группа В

Число отметок, превышающих медиану

14

5

Число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей

6

13

Значения п для групп А и В равны соответственно: а) 19 и 19; б) 14 и 6; в) 5 и 13; г) 20 и 18.

А + В, С + О и В равны соответственно: а) 19, 19, 14; б) 20, 18, 5; в) 19, 19, 5; г) 20, 18, 14.

Дано: А + В = 15, С + D = 14, В = 10, D = 3; а = 0,05, критерий двусторонний:

наблюдаемое D превышает критическое значение D, Но отклоняется;

наблюдаемое D меньше критического значения D либо равно ему, Но принимается;

наблюдаемое D превышает критическое значение D, Но принимается;

наблюдаемое D меньше критического значения D либо равно ему, Но отклоняется.

Имеется следующее множество оценок: 5, 9, 14, 3, 12, 16, 19. Ранг оценки 16 (ранжирование проводится от высоких оценок к низким) составит: а) 3; б) 4; в) 5; г) 2.

Имеется последовательность оценок: 20, 19, 18, 18, 18, 16, 15, 13. Ранг любой из оценок 18 (ранжирование проводится от высоких оценок к низким) составит: а) 4; б) 3; в) 3,5; г) 5.

Дано: С/ = п1п3 + — '^^^ 1~~ —Ri и «1=5, п2 = 5, Ri = 15; значение U равно: а) 60; б) 25; в) 40; г) 15.

Дано: U = 20, пх = 10, п2 = Ю; а = 0,05, критерий двусторонний; а) наблюдаемое U меньше нижнего критического значения, Не принимается; б) наблюдаемое U больше нижнего критического значения, Не отклоняется; в) наблюдаемое U меньше нижнего критического значения, Иц отклоняется; г) наблюдаемое U больше нижнего критического значения, Но принимается.

Критерий Вальда—Вольфовица был применен для выяснения вопроса о том, различаются ли между собой два распределения. Результаты были следующие: пх = 13, п2 = 13, R = 22; а = 0,05;

наблюдаемое R превышает критическое значение, Но отклоняется;

наблюдаемое R меньше критического значения, До отклоняется;

наблюдаемое R меньше критического значения, Но принимается;

наблюдаемое R превышает критическое значение, Нд принимается.

Вопросы 10 и 11 основываются на следующей таблице:

Условие I

Условие II

Условие III

Условие IV

Число отметок, превышающих медиану

10

8

4

2

Число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей

3

5

9

11

Ожидаемая частота для клетки С равна: а) 6,5; б) 6; в) 7; г) 26. 11. Ожидаемая частота для клетки Е равна: а) 3; б) 6,5; в) 6; г) 7. 12. Если х2 = 14,32, df = 3 и а = 0,01, то:

расчетноезначениех2меньшекритического,Нйотклоняется;

расчетноезначениеX2большекритического,Н6принимается;

расчетноезначениех2большекритического,Н6отклоняется;

расчетноезначениех2меньшекритического,Н6принимается.

Вопросы 13 и 14 основываются на следующей матрице сумм:

IV 620

III 450

I 400

II 360

IV 620

III 450

I 400

11 360

Абсолютные значения разности сумм между условиями IV и II и условиями III и I равны соответственно: а) 260 и 50; б) 220 и 90; в) 260 и 90; г) 220 и 50.

Критическая разность сумм при а = 0,05 (критерий двусторонний) и V = 15 равна: а) 169; б) 298; в) 210; г) 246.

Если имеется шесть условий, то общее число возможных вариантов парных сравнений равно: а) 6; б) 30; в) 15; г) 240.

Практические задания

Используя следующие данные, проверьте Но: доля, случаев превышения медианы одинакова для генеральных совокупностей, представленных группами А и В. Используйте а = 0,01.

Группа А

Группа В

Число отметок, превышающих медиану

18

30

Число отметок, меньших, чем медиана, либо равных ей

34

16

17. Приведенные оценки получены двумя группами лиц за решение задачи, требующей творческого мышления. Используя а=0,01, проверьте Н6: р1=р,2.

Обученная группа

Контрольная группа

Обученная группа

Контрольная группа

10

20

17

25

10

15

13

18

11

18

10

24

13

16

15

181

11

Две группы людей были обучены навыкам административной работы. Позже эксперты оценили поведение этих людей в условиях искусственно созданных ситуаций, которые требовали принятия решений. Используя критерий Вальда—Вольфовица, установите, существует ли какое-либо различие между двумя распределениями. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

Условие А

Условие В

Условие А

Условие В

80

70

37

23

73

66

32

21

71

58

31

16

68

53

26

13

65

40

20

11

63

29

15

5

44

25

19. Приведенные оценки получены четырьмя группами лиц за выполнение учебного задания. Установите, какие из попарных сравнений имеют значимое различие (если таковые вообще имеются). Используйте а = 0,01, критерий двусторонний.

А

В

с

D

65

60

47

53

63

54

41

35

57

50

40

31

48

39

36

28

42

30

32

18

37

22

21

13

29

20

14

9

27

15

12

5

Глава 8

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ. СВЯЗАННЫЕ ВЫБОРКИ

В гл. 5 мы рассмотрели критерии значимости, предполагающие использование выборок с номинально измеряемыми переменными. Напомним, что в плане со связанными выборками субъекты распределяются по экспериментальным условиям не случайным образом. Наоборот, либо одни и те же субъекты (или события) измеряются как до воздействия экспериментальной переменной, так и после него, либо формируются однородные группы из числа тех субъектов (или событий), которые являются подобными с точки зрения признака, связанного с критериальной задачей.

В этой главе мы рассмотрим критерии значимости для связанных выборок, когда переменные соответствуют порядковой шкале.

Цели главы

Выяснить, как применяется критерий знаков при двух выборках.

Узнать, как используется знаково-ранговый критерий Уилкок- сона при выполнении предположения о том, что разности между отметками могут быть разумно ранжированы.

Познакомиться с расчетами и интерпретацией результатов двухфакторного дисперсионного анализа по Фридману при нескольких выборках.

СЛУЧАЙ С ДВУМЯ ВЫБОРКАМИ

Критерий знаков

При пг= п2 ^ 50. Если измерения основываются на переменной, которую в конечном счете можно считать непрерывной, и если разности между отметками внутри однородных пар могут быть упорядочены с помощью выражений «больше, чем» или «меньше, чем», то критерий знаков является наиболее простым из пригодных для таких ситуаций критериев значимости.

Вкратце процедура применения критерия знаков включает вычитание отметки каждого субъекта, соответствующего данному условию, из отметки его напарника, относящегося к другому условию, причем фиксируется только знак полученной разности (+ или —), а также проверку нулевой гипотезы о'том, что вероятность знака + (Р) равна вероятности знака —(Q), т. е. Р = Q = у. Если пг = п2 ^ 50, то для проверки Но может быть использована табл. А (биномиальные вероятности). Если же nt = п2 > 50, то можно воспользоваться критерием Xs-

Гипотетический пример '

Группа из 34 человек была разбита на 17 однородных пар на основе отметок, полученных ими при проверке степени уверенности в себе. Затем одна группа (экспериментальная) прошла курс подготовки одновременно с выработкой навыков уверенного поведения, в то время как другая группа (контрольная) прошла этот курс в том же объеме, но приобретение подобных навыков не предусматривалось. Впоследствии обе группы прошли испытание в условиях нескольких искусственно созданных ситуаций, причем оценивавшие их эксперты не были осведомлены о том, кто получил экспериментальную подготовку. Результаты оказались следующими:

Однородные ’ пары

Эксперимент тальиая группа Xt

Контрольная группа Ха

Однородные пары

Экспериментальная группа Xt

Контрольная группа Ха

1

89

73

10

55

50

2

83

77

11

54

46

3

80

58

12

50

38.

4

72

77

13

42

47

5

77

70

14

48

40

6

74 .

62

15

44

43

7

69

67

16

38

29

8

65

68

17

36

25

9

60

44

Требуется проверить значимость, используя а = 0,01, при двустороннем критерии.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

а^Нулевая гипотеза фоУ в генеральной совокупности доля лиц из экспериментальной группы, получающих более высокие отметки по сравнению с подобранными для них контрольными напарниками, равна доле лиц из экспериментальной группы, которые получают оценки ниже, чем их контрольные напарники (/^Q = у).

Альтернативная гипотеза (Нгу в генеральной совокупности доля положительных разностей не совпадает с долей отрицательных разностей (р =#Q =#-^).

Статистический критерий-, отметки позволяют делать утверждения, касающиеся отношений типа «больше чем» и «меньше чем» (+ и — у Поскольку план связан с однородными парами, критерий знаков является подходящим статистическим инструментом для проверки Нв.

Выборочное распределение: поскольку N (число пар) не превышает 50, то для проверки Но можно воспользоваться табличными значениями биномиальной переменной.-

Критическое значение: из табл. А видно, что при а = 0,01 и двустороннем критерии значимость имеет место при условии, что х ^ 14.

Шаг 2. Сравниваем между собой отметки в пределах каждой пары. Если первая отметка пары превышает вторую, присваиваем этой паре знак +• Если первая отметка меньше второй, присваиваем знак —. В данной задаче 14 разностей являются положительными и 3 — отрицательными.

Однородные пары

X,

Х2

Знак

Однородные пары

X,

X,

Знак

1

89

73

4-

10

55

50

+

2

83

77

+

11

54

46

+

3

80

58

+

12

50

38

+

4

72

77

13

42

47

5

77

70

+

14

48

40

6

74

62

+

15

44

43

7

' 69

67

+

16

38

29

+

8

65

68

17

36

25

+

9

60

44

+

Шаг 3. В табл. А находим критическое значение х при выбранном значении а и N. Мы видим, что для N = 17 при а = 0,01 и двустороннем критерии х должен быть больше или равен 14. Поскольку наблюдаемое значение х равно критическому значению, мы отклоняем Но и принимаем Hv

Упражнения

Упражнения 1—3 основываются на следующих данных:

Пара

X)

Х2

Пара

X)

хг

1

25

21

7

17

14

2

24

19

8

16

15

3

22

20

9

15

12

4

21

15

10

14

6

5

19

14

11

13

7

6

18

20

12

12

14

1. Запишите задачу в формальном статистическом виде. Используйте а = — 0,01, критерий двусторонний)

2. Определите количество знаков + и количество знаков —;

3. Примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

При N > 50. Когда N превышает 50, биномиальные значения могут быть аппроксимированы с помощью критерия %2. При этом шаг 1 и шаг 2 совпадают с описанными выше. На шаге 3 используется двузначная таблица, в которой записываются частоты знаков + и — (см. гл. 3, раздел «Критерий %2 при N, превышающем 50»).

Пример

При исследовании 75 однородных пар было определено количество знаков + и —, в результате чего была получена следующая таблица:

Знак изменения

N

+

—

Го

22

53

75

Используется а = 0,01, критерий двусторонний.

Шаги 1 и 2. Аналогичны описанным выше.

Шаг 3. Находим ожидаемую частоту знака + путем вычисления произведения Р • N и ожидаемую частоту знака — путем вычисления произведения Q • N:

fe* = 0,5 • 75 = 37,5;

fe— = 0,5 • 75 = 37,5.

Шаг 4. Подставляем эти значения в формулу:

2 = 2 (I /о—/е 1—0,5)= = (| 22—37,5 |—0,5)а(| 53—37,5 | —0,5)= =

%fe37,537,5

= !У+15’ =12,00; df-1.

37,5

В критерии знаков число степеней свободы всегда равно 1, поскольку число рассматриваемых факторов всегда равно 2.

Шаг 5. Находим критическое значение х2 при df = 1 и выбранном a-уровне. В данной задаче значение %2, необходимое для значимости при а = 0,01 и df = 1, равно 6,635. Поскольку расчетное значение X2 превышает этот уровень, мы отклоняем Но и принимаем Нг.

Упражнения

Упражнения 4—6 основываются на следующей таблице:

+

—

N

to

36

58

94

Используется а = 0,01, критерий двусторонний.

Найдите ожидаемую частоту для каждой клетки.

Найдите ха-

Примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Знаково-ранговый критерий Уилкоксона

Если можно с уверенностью предположить, что разность между отметками соответствует порядковой шкале, то в качестве мощной альтернативы критерия знаков может быть использован критерий Уилкоксона.

Пример

Для иллюстрации вычисления Т-статистики критерия Уилкоксона мы обратимся к тем же данным, что и при обсуждении критерия знаков:

Однородные пары

х.

х2

Однородные пары

X,

X,

1

89

73

10

55

50

2

83

77

11

54

46

3

80

58

12

50

38

4

72

77

13

42

47

5

77

70

14

48

40

6

74

62

15

44

43

7

69

67

16

38

29

8

65

68

17

36

25

9

60

44

Используется а = 0,01, критерий двусторонний.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): средние значения генеральных совокупностей, из которых были извлечены обе выборки, совпадают: рх = р2.

Альтернативная гипотеза (Н^: средние значения генеральных совокупностей не совпадают, т. е. рх ^ р2.

Статистический критерий", поскольку данные состоят из сопоставимых отметок, разности между которыми соответствуют поряд-

ковой шкале, подходящим критерием будет знаково-ранговый критерий Уилкоксона для однородных пар.

Уровень значимости', а = 0,01, критерий двусторонний.

Выборочное распределение; критические значения тестовой статистики Т представлены в табл. J.

Критическое значение; при N = 17 и а = 0,01 (критерий двусторонний) значимость будет иметь место при Т, меньшем или равном 23.

Шаг 2. Находим разность между каждой парой отметок, вычитая вторую отметку из первой:

Однородные пары

X,

х2

Разность

Однородные пары

X,

х,

Разность

1

89

73

16

10

55

50

5

2

83

77

6

11

54

46

8

3

80

58

22

12

50

38

12

4

72

77

-5 '

13

42

47

—5

5

77

70

7

14

48

40

8

6

74

62

12

15

44

43

1

7

69

67

2

16

38

29

9

8

65

68

—3

17

36

25

И

9 ■

60

44

16

Шаг 3. Не обращая внимание на знак каждой разности, ранжируем их по порядку от наименьшей к наибольшей. (Замечание. В случае когда две парные отметки совпадают, разность равна нулю. Эта нулевая разность не учитывается при присваивании рангов, а значение N, проверяемое по таблице, состоит из числа только ненулевых разностей между отметками. Таким образом, если имеется 20 пар и в двух из них отметки совпадают, то N = 18.)

Однородные пары

X,

X,

Разность

Ранг

1

89

73

16

15,5

2

83

77

6

7

3

80

58

22

17

4

72

77

—5

(-)5

5

77

70

7

8

6

74

62

12

13,5

7

69

67

2

2

8

65

68

—3

(-)З

9

60

44

16

15,5

10

55

50

5

5

11

54

46

8

9,5

12

50

38

12

13,5

13

42

47

—5

(-)5

14

48

40

8

9,5

15

44

43

1

1

16

38

29

9

11

17

36

25

11

12 ■

Шаг 4. Суммируем отдельно положительные и отрицательные ранги. Значение Т равно меньшей по абсолютной величине сумме рангов. В рассматриваемом примере сумма рангов со знаком — равна 13, а сумма рангов со знаком + равна 140. Таким образом, Т равно 13. Для проверки можно воспользоваться тем, что сумма абсолютных значений обеих сумм должна равняться -^- (1 + N). Для данной задачи:

• 18 = 153 и 140 + 13 = 153.

Шаг 5. Сравниваем найденное Т с критическим значением Т из табл. J и принимаем соответствующее статистическое решение. Критическое значение Т при а = 0,01 и двустороннем критерии меньше или равно 23. Поскольку найденное значение Т (равное 13) меньше 23, мы отклоняем Но и принимаем Hv

Упражнения

В упражнениях 7—11 используются следующие данные:

Однородные пары

X,

X2

Однородные пары

Xi

X2

1

25

21

7

17

14

2

24

19

8

16

15

3

22

20

9

15

12

4

21

15

10

14

6

5

19

14

11

13

7

6

18

20

12

12

14

а = 0,01, критерий двусторонний.

7. Запишите задачу в формальном статистическом виде.

8. Найдите разность между отметками в пределах каждой пары.

9. Проранжируйте разности между отметками, не обращая внимания иа их знак.

10. Найдите Т и проверьте правильность вычислений.

11. Примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

8.2. СЛУЧАЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЫБОРКАМИ. ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПО ФРИДМАНУ

Хотя принято считать, что критерий Фридмана используется в двухфакторном дисперсионном анализе, он фактически применяется при однофакторном дисперсионном анализе, в котором вторая переменная представляет собой однородные группы или повторные измерения, связанные с одним и тем же индивидуумом (событием). В действительности критерий Фридмана является порядковым аналогом параметрического критерия для рандомизированного блочного плана*.

При применении критерия Фридмана столбцы таблицы данных отражают различные уровни обработки или различные значения экспериментальной переменной, а строки соответствуют группам однородных

•Runyon R. Р. Inferential Statistics: A Contemporary Approach. Addison-Wesley, 1977, Chapter 9.

субъектов (или повторным измерениям для одного и того же субъекта). Строки могут также состоять из значений вспомогательной переменной (которая сама по себе не оценивается, а служит для контроля), такой, например, как время дня или месяц года.

С помощью критерия Фридмана мы проверяем нулевую гипотезу о том, что различные методы обработки практически дают одинаковые результаты. Процедура состоит из упорядочения (ранжирования) отметок в каждой строке, суммирования полученных рангов по каждому из столбцов и вычисления тестовой статистики х’:

к

12 2 №

Х? =——3^ (Л 4-1),

Л Wfe(fe+1)v '

где N — число однородных групп, т. е. число строк; к — число экспериментальных условий, т. е. число столбцов; S^4 — сумма рангов для Лго условия; S (SRiY указывает на необ!ходимость суммирования рангов по каждому условию, возведения в квадрат полученных сумм и последующего суммирования этих квадратов по всем к условиям.

Табл. К содержит точные значения вероятностей для случаев, когда к = 3 и N изменяется от 2 до 9, а также когда к = 4 и N изменяется от 2 до 4. Статистика х2 имеет такое же распределение, как и х2 при к — 1 степенях свободы.

Гипотетический пример

На основе отметок, полученных при проверке степени уверенности в себе, из 32 человек были сгруппированы 8 однородных блоков по четыре человека. Затем 4 человека в блоке были случайным образом отнесены к четырем экспериментальным условиям, каждое из которых предусматривало различные типы обучения навыкам уверенного поведения. Впоследствии для всех было проведено испытание в условиях нескольких искусственно созданных ситуаций, и каждый человек получил оценку в зависимости от степени уверенности его поведения, причем оценивавшие эксперты не были осведомлены об условиях эксперимента. Результаты оказались следующими:

Блок

Условие

X,

х2

X,

х*

1

78

92

84

87

2

63

71

69

76

3

58

3

70

67

4

52

57

65

70

5

55

58

62

78

6

38

47

49

56

7

44

41

48

50

8

30

38

35

41

Используется а = 0,01, критерий двусторонний.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): отметки, соответствующие четырем типам экспериментальной обработки, были извлечены из общей генеральной совокупности.

Альтернативная гипотеза (Hi): отметки в экспериментальных группах не были извлечены из общей генеральной совокупности.

Статистический критерий: поскольку предполагается, что отметки экспертов соответствуют порядковому измерению, и поскольку все лица сгруппированы в однородные блоки, подходящим критерием является критерий двухфакториого дисперсионного анализа по Фридману.

Уровень значимости: а = 0,01, N = 8 (количество блоков).

Выборочное распределение: точные значения вероятностей приведены в табл. К для случаев, когда & = Зи2^М^9и когда 6 = 4 и 2 ^ N ^ 4. Для больших значений к и N можно воспользоваться тем, что статистика %’ распределена так же, как и %2 при df — к — 1.

Критическое значение: при а = 0,01 и df = 3 значение %2, требуемое для отклонения Но, равно 11,341. Если расчетное х? больше этого значения или равно ему, то Н0 отклоняется.

Шаг 2. Ранжируем по порядку отметки в каждом блоке в направлении от наименьших к наибольшим, т. е. наименьшая отметка получает ранг 1, следующая по величине — ранг 2 и т. д.

Блок

Хг

X,

х.

Xt

1

1

4

2

3

2

1

4

3

2

3

1

2

4

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

6

1

2

3

4

7

2

1

3

4

8

1

3

2

4

5 «1=9

5 Я2 = 20

2 «З = 23

5 «4 = 28

Шаг 3. Суммируем ранги в каждом столбце и полученные суммы возводим в квадрат:

2/^=9,(2/?1)2 = 81;

SRa = 20,(2ЭД = 400;

2/?3 = 23,(2^3)2 = 529;

2Д, = 28,(27?4)2 = 784.

Для проверки точности вычислений можно воспользоваться тем, у (к + 1)]. В данной задаче

8 • 2 • 5 = 80 и 2/?х + S#3 + 2Я3 + 2Я4 = 80.

Шаг 4. Подставляем различные значения в формулу для ^ и производим вычисления:

12 У ^RiV

1=1ov/b ,12(81 + 400 + 529 + 784)

J?'1794120= 134,55—120= 14,55.

160

Решение. Поскольку расчетное значение %г превышает критическое, равное 11,341, мы отклоняем Н0 и принимаем Hv, различные экспериментальные обработки приводят к различным оценкам степени уверенности в себе. ~

Упражнения

Упражнения 12—15 основываются на следующих оценках, сделанных группой экспертов:

Блок

Х1

X,

X,

1

15

12

11

2

19

15

13 ■

3•

23

18

15

4

20

22

21

5

25

18

17

6

27

22

24

Используйте а = 0,05, критерий двусторонний;

Запишите задачу в формальном статистическом виде.

Прораижируйте по порядку отметки в пределах каждого блока;

Просуммируйте ранги и возведите полученные значения в квадрат. Проверьте также точность вычислений.

Подставьте значения в формулу для %^ и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Контрольные вопросы к главе 8

Вопросы 1—3 основываются на следующих парах отметок:

Пара

xt

X,

Пара

X.

X,

1

43

- 41

7

18

15

■ 2

40

35

8

16

10

3

37

32

9

14

12

4

30

26

10

12

6

5

24

28

И

10

5

6

20

19

12

4

4

Число знаков — равно: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

Если бы число знаков — было равно 4 и число знаков + было равно 8 и если Но : Р = Q = -^-, то:

х = 4 больше или равен критическому значению при а = 0,05, Нй отклоняется;■

х = 4 меньше критического значения прн а = 0,05, Нв принимается;

х = 4 меньше критического значения при а = 0,05, Н6 отклоняется;

х = 4 больше или равен критическому значению при а = 0,05, Но принимается.

Число знаков + равно: а) 10; б) 11; в) 12; г) 8.

Если N = 49, имеется 40 знаков + и а = 0,01 при двустороннем критерии, то:

х больше или равен критическому значению, Но отклоняется;

х больше или равен критическому значению, Н6 принимается;

х меньше критического значения, Нв отклоняется;

х меньше критического значения, Нв принимается.

Вопросы 5—6 основываются на следующей таблице:

+

—

N

/о

60

49

109

При нулевой гипотезе Нв: Р = Q = -^ ожидаемая частота положительных разностей составит: а) 60; б) 80,5; в) 54,5; г) 50.

Если %2 = 0,92 при df = 1 и а = 0,05, то:

расчетное значение %2 превышает критическое значение, Нв отклоняется;

расчетное значение %2 меньше критического значения, Нв принимается;

расчетное значение %2 меньше критического значения, Но отклоняется;

расчетное значение %2 больше критического значения, Нв принимается. Вопросы 7—8 основываются на следующих парных отметках:

Пара

х.

X,

Разность

1

55

47

8

2

52

49

3

3

47

42

5

4

41

34

7

5

36

39

—3

6

33

28

5

7

30

30

0

8

25

21

4

9

20

И

9

N равно: а) 9; б) 18; в) 8; г) 16.

Т равно: а) 1,5; б) 3; в) 1; г) 2.

Если Т = 63, N = 24 и а = 0,01 при двустороннем критерии, то:

расчетноезначениеТ больше критического значения,Но отклоняется;

расчетноезначениеТменьшекритического значения,Нв принимается;

расчетноезначениеТменьшекритического значения,Нй отклоняется;

расчетноезначениеТбольшекритического значения,Нв принимается.

Задано к = 4, N = 3, х2 = 8,2 и а = 0,01 при двустороннем критерии: а) наблюдаемое значение р меньше а, Но отклоняется;

наблюдаемое значение р больше или равно а, Но отклоняется;

наблюдаемое значение р меньше а, Н6 принимается;

наблюдаемое значение р больше или равно а, Но принимается.

Практические задания

Основываясь на приведенной таблице данных, проверьте Но : Р = Q = = -у. Используйте а ~ 0,05, критерий двусторонний.

+

—

N

/о

60

49

109

Основываясь на приведенной таблице данных, проверьте Но: выборки были извлечены из генеральных совокупностей с одинаковыми средними значениями. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

Пара

^1

х2

Пара

Х1

х2

1

43

41

7

18

15

2

40

35

8

16

10

3

37

32

9

14

12

4

30

26

10

12

6

5

24

28

11

10

5

6

20

19

12

4

4

Основываясь на приведенных данных, проверьте Яо: отметки в трех экспериментальных группах были отобраны из общей генеральной совокупности. Используйте а = 0,01, критерий двусторонний.

Блок

Xi

х2

Х3

Блок

Xi

х2

X,

1

85

92

87

6

66

72

68

2

83

90

84

7

63

67

65

3

78

85

86

8

61

60

63

4

76

■ 78

72

9

51

58

. 54

5

70

74

72

Часть третья

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ

И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ШКАЛЫ

В третьей части книги рассматриваются критерии значимости, основывающиеся на интервальных и относительных шкалах. В отличие от номинальных и порядковых шкал интервальные и относительные шкалы являются истинными количественными шкалами и поэтому для соответствующих им чисел имеют смысл операции сложения, вычитания, умножения и деления. Основная особенность интервальных и относительных шкал заключается в том, что равенство двух разностей по количеству масштабных единиц означает и их равенство между собой. Например, разность между 98 и 94 метрами совпадает с разностью между 20 и 16 метрами и т. д. В противоположность этому разность между рангами 1 и 3 на порядковой шкале может и не совпадать с разностью между рангами 4 и 6 на этой же шкале.

Интервальные и относительные шкалы различаются только с точки зрения местонахождения нулевой отметки. Для относительной шкалы равное нулю значение свидетельствует об отсутствии рассматриваемого свойства, например на шкале весов нуль означает отсутствие веса, а на метрической шкале расстояний нуль означает отсутствие длины. На интервальной шкале положение нулевой отметки не означает отсутствия рассматриваемого свойства; например, 0° по шкале Фаренгейта и по шкале Цельсия не означает отсутствия теплоты, поскольку возможны температуры ниже нуля.

Наиболее часто параметрические критерии значимости (/-отношение Стьюдента и критерии дисперсионного анализа) применяются в том случае, когда переменные соответствуют интервальной или еще более высокой шкале. Однако такие критерии всегда основываются на предположении о нормальном распределении исходных совокупностей. Вместе с тем иногда исследователь имеет основание сомневаться в обоснованности этого предположения. В таких ситуациях он должен рассматривать в качестве приемлемых альтернатив непараметрические критерии значимости, описанные в этой главе.

Глава 9

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ.

СЛУЧАЙ С ОДНОЙ ВЫБОРКОЙ

В некоторых случаях мы располагаем набором отметок и на этой основе хотим проверить нулевую гипотезу о том, что данная выборка была извлечена из совокупности с заданным средним значением. Если

N относительно мало и мы сомневаемся в обоснованности предположения о нормальном распределении исходной совокупности, то при одной выборке удобно воспользоваться критерием рандомизации. Единственным фактором, ограничивающим использование этого критерия при больших объемах выборки, является трудоемкость вычислительной работы. При применении интервальных шкал для критерия рандомизации невозможно построить таблицы, поэтому выборочное распределение каждый раз должно быть получено путем перебора всех возможных исходов.

Цели главы

Понять, как с помощью перебора находится вероятность получения исхода, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый исход.-

Выяснить, как проверяются нулевые гипотезы о средних значениях генеральной совокупности в- случае одной выборки.

КРИТЕРИЙ РАНДОМИЗАЦИИ

Перебор возможных исходов.

Простая иллюстрация

Представьте, что у нас имеется набор из следующих четырех отметок: 98, 102, 104, 107 и мы хотим проверить нулевую гипотезу о том, что эта выборка извлечена из генеральной совокупности, среднее значение которой равно 100. Воспользуемся символом цодля обозначения предполагаемого в нулевой гипотезе среднего значения.

Шаг 1. Вычитаем из каждой отметки |i0 и получаем разностные отметки:'

X

До

X Цо

98

100

—2

104

100

4

105

100 ■

5

107

100

7

Шаг 2. Находим сумму разностных отметок: —2 +4+5+7= = 14.

Шаг 3. Находим общее число возможных исходов путем возведения 2 в степень N (2"). Для данной задачи N = 4. Поэтому 2N = = 24 = 16.

Шаг 4. Перечисляем все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, равной наблюдаемой сумме или превышающей ее. В данном примере к получению суммы, большей либо равной 14, приводят следующие исходы: —2+ 4 + 5 + 7= 14; 2 + 4 + 5 + + 7 = 18.

Шаг 5. Определяем вероятность получения исхода, столь же или еще более редкого, чем наблюдаемый. Это достигается путем деления количества исходов, найденных на шаге 4, на 2" (шаг 3). В данной 2

задаче Р2Х > 14 = -^ = 0,125.

Это одностороннее р-значение — вероятность того, что сумма будет равна или превысит 14. Для получения двустороннего p-значения (вероятности того, что сумма будет либо больше или равна 14, либо меньше или равна —14) необходимо просто удвоить числитель указанной выше дроби и разделить его на 2N;

4

PSX>14 или <-14= —= °>25-

Упражнения

Упражнения 1—6 основываются на следующих отметках: 8, 12, 15. Но: р0 = = 9.

Вычтите ц0 из каждой отметки!

Найдите сумму разностных отметок:

Найдите общее число возможных исходов.

Перечислите все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, равной наблюдаемой сумме или превышающей ее.

Найдите вероятность получения исхода, столь же или еще более редкого, чем наблюдаемый.

Найдите двустороннюю вероятность получения исхода, столь же или еще более редкого, чем наблюдаемый;

Проверка нулевой гипотезы

В рассмотренном выше примере выбранное значение N оказалось слишком малым, чтобы можно было проверить нулевую гипотезу при a-уровне, меньшем или равном 0,05. Даже если бы сумма равнялась ±18, наименьшее одностороннее p-значение было бы равно 1/16 «0,06. В действительности минимальное значение N, позволяющее отклонить Но, следующее: при а = 0,05 и одностороннем критерии оно равно 5; при а = 0,05 и двустороннем критерии оно равно 6; при а = 0,01 и одностороннем критерии оно равно 7; при а = 0,01 и двустороннем критерии оно равно 8.

Задан следующий набор отметок: 19, 17 , 15, 13, 12, 11, 10, 8, 7. Но: ц0 = 9; Hv. Цо ¥=9; а = 0,05, критерий двусторонний.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): ц0 — 9.

Альтернативная гипотеза (,Нг): ц0±9.

Статистический критерий: поскольку данные состоят из отметок, соответствующих по крайней мере интервальному измерению, и поскольку имеются серьезные сомнения относительно того, что исходное распределение отметок является нормальным, то подходящим статистическим критерием будет критерий рандомизации (для случая с одной выборкой).

Уровень значимости: а = 0,05, критерий двусторонний.

Критическое значение: критическое значение не используется, поскольку путем перебора мы получим точное значение вероятности.

Шаг 2. Вычитаем из каждой отметки р0 и получаем разностные отметки:

X

Цо

х-ц0

X

Цо

X — Цо

19

9

10

11

9

2

17

9

8

10

9

1

15

9

6

8

9

—1

13

9

4

7

9

—2

12

9

3

5(Х-

-р0)=31

Шаг 3. Находим сумму разностных отметок. В данной задаче 2 (Х-Цо) = 31.

Шаг 4. Находим общее число возможных исходов путем возведения 2 в степень N (2NY В данной задаче N = 9. Поэтому 2^ = 29 = = 512.*

Шаг 5. Перечисляем все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, равной наблюдаемой сумме или превышающей ее:

10 +8 +6 + 4+ 3+2+1— 1—2= 31;

10 +8 +6+ 4+ 3+2+1+ 1—2= 33;

10 +8 +6 + 4+ 3+2+ 1— 1+2= 35;

10 +8 +6 + 4+ 3+2+1+ 1 + 2= 37;

10 +8 +6 + 4+ 3+2—1— 1+2= 33;

10 + 8+6+4+3—2 +1 +1 + 2=35;

10 + 8+6+4+3—2—1 +1+ 2=31;

10 + 8 +6+4+3—2 +1 —1 + 2=31;

10 + 8 +6+4+3+2—1 +1+ 2=35;

10 + 8 +6+4+3+2—1 +1—2=31;

10 + 8 +6+4—3+2+1 +1+ 2=31.

Общее число исходов, для которых 2 (X — р0) ^ 31, равно 11.

Шаг 6. Определяем вероятность получения исхода, столь же или еще более редкого, чем наблюдаемый. Это достигается путем деления итогового значения, полученного на шаге 5, на 2N (шаг 4):

Psx>3i — 512 — 0>02,

Это одностороннее значение. Для получения двустороннего значения удваиваем числитель приведенной дроби:

PsX>31 или <—31PsX>31 или <—312251222512= 0,04.= 0,04.

PsX>31 или <—31

PsX>31 или <—31

22

512

22

512

= 0,04.

= 0,04.

Поскольку р < 0,05, мы отклоняем Но и принимаем Нл. Выборка была извлечена из генеральной совокупности, у которой р0=+9.

Упражнения

Упражнения 7—11 основываются на следующем наборе отметок: 62, 59, 57, 55, 53, 53, 48, 47; Но : ре = 50, Нг : р0 =# 50, а = 0,05, критерий двусторонний

Запишите задачу в формальном статистическом виде.

Вычтите и0 из каждой отметки;

Найдите 2 (X — р0).

Найдите общее число возможных исходов.

Перечислите все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, равной наблюдаемой сумме или превышающей ее.

Найдите р-значение.

Найдите двустороннее p-значение и примите статистическое решение, соответствующее полученным результатам.

Определение порогового значения

Перебор всех возможных исходов может оказаться исключительно трудоемким и утомительным^занятием, особенно когда Но верна. Это связано с тем, что в данном случае достаточно много комбинаций будут удовлетворять требованию, заключающемуся в том, чтобы они являлись по крайней мере столь же маловероятными, как и наблюдаемый результат. В целях экономии времени и сил рекомендуется умножить a-уровень на 2^ для определения максимального числа сумм (превышающих наблюдаемую сумму или равных ей), которое позволит отклонить Н 0.

Как только это число (пороговое значение) будет достигнуто (в случае, когда Но не может быть отклонена), перебор различных исходов можно прекратить. Мы убеждаемся в том, что результат не является статистически значимым.

Примеры

Если а = 0,05, критерий двусторонний и N = 10, то максимально допустимое число сумм, равных или еще менее вероятных, чем наблюдаемая сумма, составит 2^ • 0,05 = 1024 • 0,05 = 51,2. Поскольку мы рассматриваем только один конец распределения, а Но является двусторонней, разделим это значение пополам и получим 25,6. Поэтому как только мы перечислим 26 случаев, вычисления можно прекратить, поскольку интересующее нас p-значение уже превысило а.

Если а = 0,05, критерий односторонний и N = 8, мы получаем: 2^-0,05 = 256 • 0,05 = 12,8. Это значение мы уже не делим пополам, поскольку наша гипотеза односторонняя и рассматривается только один конец распределения. Как только мы обнаружим 13 исходов, еще менее вероятных, чем наблюдаемый, вычисления можно прекратить.

Упражнения

Найдите пороговое значение, если а = 0,05, N = 9 и Н6 является направленной.

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, N = 9 и Но является направленной.

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, N = 11 и Но является ненаправленной.

Найдите пороговое Значение, если а = 0,05, ^ = 9 и Но является ненаправленной.

Контрольные вопросы к главе 9

Вопросы 1—2 основываются на следующих данных: Хг = 59, X, = 57, Х3 = 54, Х4 = 52, Хь •= 47, Х6 =42. Но : р = р0 = 50.

Сумма разностных отметок равна: а) 33; б) 289; в) —12; г) II.

Общее число возможных исходов: а) 32; б) 16; в) 64; г) 128.

Если общее число возможных исходов 4096, причем 102 из них являются столь же илн еще менее вероятными, чем наблюдаемый исход (двусторонний), и а = 0,05 при двустороннем критерии, то:

р меньше а, Н6 принимается;

р больше а, Но отклоняется;

р больше а, Но принимается;

р мевьше а, Н6 отклоняется.

Если общее число возможных исходов 2048, из которых?53 являются столь же или еще менее вероятными, чем наблюдаемый исход (одвосторонний), и а = 0,05 при одностороннем критерии, то:

р меньше а, Н6 принимается;

р больше а, Но отклоняется;

р больше а, Н6 принимается;

р меньше а, Н6 отклоняется;

Заданы следующие разностные отметки: 10, 6, 3, —2, —1; число способов получить сумму, большую или равную 16, составляет: а) 4; б) 5; в) 3; г) 2.

Если имеется 512 возможных исходов, а = 0,05 и Нй является направленной, то перебор может быть прекращен, как только найдено следующее количество сумм, столь же или еще менее вероятных, чем наблюдаемая сумма: а) 25; б) 26; в) 13; г) 12.

Если а = 0,05, Н6 является направленной, ^ = 5 и мы принимаем во внимание только одни конец распределения, то пороговое значение равно: а) 2; б) 1; в) 0; г) 4.

Если а = 0,01, Н6 является ненаправленной, N=ll и мы принимаем во внимание только один конец распределения, то пороговое значение равно: а) 11; б) 22; в) 20; г) 10.

Практическое задание

При следующем наборе отметок:

X

X

114

103

112

102

ПО

97

108

95

проверьте Но: р = ре = 100. Используйте а = 0,05, критерий двусторонний;

Г л а в а 10■

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ. НЕЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ

В гл. 9 мы рассматривали критерий рандомизации в случае одной выборки. Однако критерий рандомизации можно успешно применять и при двух выборках, если N достаточно мало и мы сомневаемся в обоснованности предположения о нормальном распределении исходной совокупности. Фактором, затрудняющим использование критерия ран-

домизации При больших объемах выборок, является значительный объем связанной с ним вычислительной работы. Поскольку при количественных переменных для критерия рандомизации невозможно построить таблицы, значения вероятностей должны быть получены путем перебора различных возможных исходов.

Цели главы

Выяснить, как определяется общее число возможных комбинаций при различных значениях Пу и и2-

Понять, как с помощью перебора находится вероятность получения исхода, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый исход..

Познакомиться со способом проверки нулевых гипотез о средних значениях генеральных совокупностей при двух выборках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЩЕГО ЧИСЛА ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ

ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ П1 И п2

Представьте, что мы получили следующие отметки для условий А и В:

А

в

2 6

5

9

10

При применении критерия рандомизации эти численные значения, или отметки, интерпретируются в нулевой гипотезе так, как будто они были случайным образом отнесены к двум экспериментальным условиям. При этом рассматриваются следующие вопросы:

Каково общее число возможных способов распределения этих чисел по двум экспериментальным группам?

Сколько из этих способов приводят к получению результата, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый результат? Значение вероятности представляет собой отношение ответа на второй вопрос к ответу на первый.

Пример

Если имеются 126 возможных исходов, причем только 8 из них приводят к получению результата, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый, то вероятность будет равна:

число исходов, столь же или еще менее вероятных, чем наблюдаемый общее число возможных исходов

Общее число возможных исходов может быть найдено с помощью формулы:

число возможных исходов = -- J—— щ! п2!

где ! (факториал) указывает на необходимость перемножить все целые числа от 1 до п.

Пример

Если пг = 3, п2 = 2, то

(3+2)!5-4-3.2-1

число возможных исходов = -—!—-— Ю.

3! 2!3-2-1-21

Для вашего удобства автором была построена табл. L, в которой содержатся данные об общем числе возможных исходов для случаев, когда пх и п2 изменяются от 2 до 10.

Пример.

Если пх = 10 и п2 = 9, то мы ищем в табл. L значение на пересечении 10-го столбца и 9-й строки и обнаруживаем, что число возможных исходов равно 92 378.

Упражнения

Найдите значение р, если общее число возможных исходов равно 70, причем 4 нз них столь же илн еще менее вероятные, чем наблюдаемый исход.

Найдите значение р, если общее число возможных исходов равно 252, а число исходов, столь же или еще менее вероятных, чем наблюдаемый, равно 10.

В упражнениях 3—6 найдите общее число возможных исходов при указанных значениях пг и п2.

п^ == 4, ti^ 4.

пг = 3, и2 = 5.

пг =6, п2 = 6.

пх =2, п2 = 5.

В упражнениях 7—9 воспользуйтесь табл. L для определения общего числа возможных исходов при заданных значениях пг и л2;

пх = 10, п2 = 10;

пг =8, п2 “ 7.

пг =5, и2 " Ю.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ИСХОДОВ,

СТОЛЬ ЖЕ ИЛИ ЕЩЕ МЕНЕЕ ВЕРОЯТНЫХ, ЧЕМ НАБЛЮДАЕМЫЙ ИСХОД

Перечисление различных исходов может оказаться достаточно утомительным занятием, но при систематическом подходе выявить возможные исходы относительно просто. Для этого существует несколько процедур. Далее описана процедура, которую автор считает наиболее удобной.

Пример

Воспользуемся ранее приведенными данными:

А

В

2

5

6

9

10

Шаг 1. Находим сумму для каждого условия. В данной задаче 2Л = 8 и 2Й = 24.

Шаг 2; Обратимся к условию с меньшей суммой. Перечисляем все комбинации наблюдаемых отметок, которые приводят к получению суммы, не превышающей этой меньшей суммы. В данной задаче 2 Л = = 2 + 6 = 8и24-5 = 7. Других комбинаций отметок, которые привели бы к получению суммы, меньшей или равной 8, не существует.

Шаг 3. Находим вероятность получения суммы, меньшей или равной минимальной из наблюдаемых сумм:

Ры <8 ="=—=0,2.

«11 Л21

Это односторонняя вероятность наступления события, столь же или еще более редкого, чем получение суммы в 8 очков. Для определения двусторонней вероятности наступления подобного события (т. е. события, при котором условие В может иметь меньшую сумму) необходимо удвоить одностороннее значение вероятности. Таким образом, вероятность наступления события, столь же редкого, как и наблюдаемый результат, равна 0,4.

Упражнения

Упражнения 10—12 основываются на следующих данных:

А

в

4

5 ■

9

11

12

17

Найдите сумму для каждого условия.

Перечислите все комбинации, которые приводят к получению суммы, не превышающей меньшей из наблюдаемых сумм.

Найдите двустороннюю вероятность получения суммы, которая меньше или равна минимальной из наблюдаемых сумм.

Гипотетический пример

Две группы лиц участвуют в исследовании, предпринятом для оценки влияния некоторого лекарства на время реакции. Поскольку совокупность отметок, отражающих время реакции, очевидно, имеет по-

ложительную асимметрию (наименьшей возможной отметкой является нуль, а на верхнем конце распределения не существует аналогичного предела), в качестве альтернативы параметрическому /-отношению Стьюдента был выбран критерий рандомизации. Используется а =

= 0,05, критерий двусторонний. Результаты выглядят следующим образом:

А

В

0,18

0,41

0,27

0,38

0,19

0,73

0,36

0,49

0,43

0,58

24=1,43

25=2,59

Шаг /.. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): средние значения времени реакции для совокупностей, из которых были извлечены обе выборки, совпадают.

Альтернативная гипотеза (Н^: в рассматриваемых совокупностях средние значения времени реакции не совпадают.

Статистический критерий: поскольку исходные совокупности отметок не являются нормально распределенными и отметки соответствуют относительной шкале, подходящим критерием значимости является критерий рандомизации для независимых выборок.

Уровень значимости: а = 0,05, критерий двусторонний.

Выборочное распределение: общее число возможных исходов при двух группах, для которых пх = 5 и п2 = 5.

Шаг 2. Находим сумму для] каждого условия. В данной задаче 2А = 1,43 и 2В = 2,59.

Шаг 3. Обращаемся к условию с меньшей суммой. Перечисляем все комбинации наблюдаемых отметок, которые приводят к получению суммы, не превышающей меньшую сумму. Для данной задачи эти исходы выглядят следующим образом:

0,18 +0,27 + 0,19+0,36 +0,43=1,43;

0,18 +0,27 + 0,19+0,36 +0,41=1,41;

0,18 +0,27 + 0,19+0,36 +0,38=1,38;

0,18 +0,27 + 0,19+0,41 +0,38=1,43.

Шаг 4. Находим вероятность получения суммы, не превосходящей меньшую из наблюдаемых сумм. Для данной задачи

4 44 q Q2

^=51,43-(«,+«2)1 ~ 10!~ 252 ~‘

пх1п2! 5! 51

Двустороннее значение вероятности равно 8/252 « 0,03. В силу этого мы отклоняем Но при а = 0,05 и принимаем Hv

Упражнения

Упражнения 13—16 основываются на наборе данных:

А

в 1

А

в

19

28

18

26

14

17

11

16

13

34

5

20

Отметки соответствуют по уровню интервальным шкалам, но исходные распределения не являются нормальными.

Запишите задачу в формальном статистическом виде. Используйте а = = 0,05, критерий двусторонний.

Найдите сумму для каждого условия.

Перечислите все комбинации наблюдаемых отметок, которые приводят к получению суммы, не превосходящей меньшую из наблюдаемых сумм.

Найдите вероятность получения суммы, меньшей или равной минимальной из наблюдаемых сумм, и сделайте вывод, соответствующий полученным результатам.

Определение порогового значения

Перебор различных значений может оказаться исключительно долгим и сложным процессом, особенно когда Но верна. Это связано с тем, что достаточно много комбинаций будут удовлетворять требованию, заключающемуся в том, чтобы они являлись по крайней мере столь же маловероятными, как и наблюдаемый результат. Для экономии времени и сил рекомендуется умножить a-уровень на

(щ+нг)!

nJ и2!

и определить таким образом максимальное число сумм (превышающих наблюдаемую сумму или равных ей), которое позволит отклонить Но.

Как только это число (пороговое значение) будет достигнуто (в случае, когда Но не может быть отклонена), перебор различных исходов можно прекратить. Мы убеждаемся в том, что результат не является статистически значимым.

Примеры

Если а = 0,05, критерий двусторонний, ^ = 4 и ла = 6, то максимально допустимое число сумм, равных или менее вероятных, чем наблюдаемая сумма, составит:

• 0,05 = 210 • 0,05 = 10,5.

nJ п21

Поскольку мы рассматриваем только один конец распределения и До двусторонняя, делим это значение пополам и получаем 5,25. Как толь-

ко мы перечислим 6 случаев, вычисления можно прекратить, так как интересующее нас ^-значение уже превысило а.

Если а = 0,05, критерий односторонний, ^ = 6 и п8 = 5, то получаем

^ + "=)! . 0,05 = 462 • 0,05 = 23,1. «1! п2!

Это значение уже не делим пополам, поскольку гипотеза односторонняя и мы рассматриваем только один конец распределения. Как только будут обнаружены 24 исхода, еще менее вероятных, чем наблюдаемый, вычисления можно прекратить.

Упражнения

Найдите пороговое значение, если а = 0,05, пг = 3, пг = 7 и Н6 направленная.

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, пх = 5, пг = 7 и Нв направленная.

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, пх = 8, п2 = 6 и Нй ненаправленная.

Найдите пороговое значение, если а = 0,05, пх = 4, п2= 7 и Но ненаправленная.

Контрольные вопросы к главе 10

Если имеются 1024 возможных исхода и 24 (двустороннее значение) из них приводят к результату, столь же нлн еще менее вероятному, чем наблюдаемый, то вероятность равна: а) 0,23; б) 0,02; в) 0,24; г) 0,04.

Если щ = 7 и п2 = 5, то число возможных исходов равно: а) 35; б) 11; в) 792; г) 5544.

Если пх = 9 и п2 = 4, то число возможных исходов равно: а) 715; б) б) 2002; в) 495; г) 220.

Вопросы 4—6 основываются на следующей таблице данных:

Х1

X.

16

9

14

5

12

3

10

2

4

2

2

1

SA\ и S^ равны соответственно: а) 21,56; б) 58,22; в) 56,22; г) 54,2L

Общее число различных возможных исходов равно: а) 210; б) 1716; в) 463; г) 924.

Какой из наборов отметок представляет менее вероятный исход по отношению к Х2, чем наблюдаемый исход: а) 9, 5, 3, 2, 2, 2; б) 10, 5, 3, 2, 2, 1; в) 10, 4, 2, 2, 2, 1; г) 12, 4, 3, 2, 1?

Если а = 0,05, критерий двусторонний, пг = 6, п2 = 5 и мы рассматриваем только один конец распределения, то пороговое значение равно: а) 12; б) 24; в) 47; г) 23.

Если а = 0,0,5 критерий односторонний, щ = 8, п2 = 8 и мы рассматриваем только одни конец распределения, то пороговое значение равно: а) 644; б) 161; в) 320; г) 322.

Практическое задание

Примените критерий рандомизации к приведенной таблице данных:

Xi

х.

35

28

32

25

30

20

29

18

24

16

23

14

Используйте а = 0,05, критерий двусторонний.

Г л а в а 11 . ■

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ. СВЯЗАННЫЕ ВЫБОРКИ

В гл. 9 мы рассмотрели критерий рандомизации в случае одной выборки. Процедура применения критерия рандомизации при связанных выборках соответствует той, которая использовалась при одной выборке. Единственное различие заключается в следующем: если при Одной выборке мы вычитали предполагаемое в Но среднее значение из каждой отметки, то при связанных выборках вторая отметка каждой из однородных пар вычитается из соответствующей ей первой отметки. Кроме этого момента вычислительные процедуры идентичны.

Цели главы

Понять, как с помощью перебора находится вероятность получения исхода, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый исход.

Выяснить, как проверяются нулевые гипотезы, касающиеся различий между средними значениями генеральных совокупностей, при связанных выборках.

КРИТЕРИЙ РАНДОМИЗАЦИИ

Вкратце процедура включает вычитание второй отметки каждой однородной пары из соответствующей ей первой отметки, определение алгебраической суммы найденных разностных отметок, перечисление всех исходов, которые приводят к получению результата, столь же или еще менее вероятного, чем наблюдаемый результат, деление полученной величины на 2^ для определения одностороннего значения вероятности. Двустороннее значение вероятности может быть получено путем удваивания одностороннего значения.

Пример

Известны следующие отметки, полученные для каждой однородной пары лиц вслед за воздействием экспериментальной переменной (группа XJ и выступающие в качестве контрольной переменной (группа Х2):

Пара

xt

х,

।Пара

Xt

х.

1

48

39

6

24

23

2

44

40

7

20

13

3

36

30

8

17

18

4

32

34

9

15

6

5

29

18

Используя а = 0,01 при двустороннем критерии, необходимо оценить результат эксперимента.

Шаг 1. Запишем задачу в формальном статистическом виде:

Нулевая гипотеза (Но): рх = ц2.

Альтернативная гипотеза (Н^; рх ^= р2.

Статистический критерий: поскольку данные состоят из отметок, соответствующих интервальному измерению, и имеются серьезные сомнения относительно нормальности исходного распределения отметок, подходящим статистическим критерием является критерий рандомизации для связанных выборок.

Уровень значимости: а = 0,01, критерий двусторонний.

Критическое значение: критическое значение не используется, поскольку с помощью перебора мы получим точное значение вероятности.

Шаг 2. Вычитаем вторую отметку каждой однородной пары из соответствующей ей первой отметки и получаем столбец разностей:

Пара

х.

х.

Разность

1

48

39

. 9

2

44

40

4

3

36

30

6

4

32

34

—2

5

29

18

11

6

24

23

1

7

20

13

7

8

17

18

— 1

9

15

6

9

20=44

Шаг 3. Находим сумму разностных отметок. В данной задаче эта сумма равна 44. "

Шаг 4. Находим общее число возможных исходов путем возведения 2 в степень N (2^). В данной задаче N (число пар) равно 9, поэтому 2W = 29 = 512. ■

Шаг 5. Перечисляем все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, равной наблюдаемой сумме или превышающей ее. Для данной задачи эти исходы будут следующими:

9+4+6—2+И+1

+ 7-1

+ 9 = 44;

9 + 4 + 6 + 2+11 + 1

+ 7-1

+9 = 48;

9 + 4 + 6 + 2+11 + 1

+ 7 + 1

+ 9 = 50;

9 + 4 + 6 — 2+11 — 1

+ 7+1

+ 9 = 48;

9 + 4 + 6 + 2+11 — 1

+ 7-1

+9 = 46;

9 + 4 + 6 —2+ 11 + 1

+ 7+1

+ 9 = 46;

9 + 4 + 6 + 2+11 — 1

+ 7+1

+ 9 = 48.

В общей сложности имеется 7 исходов, которые приводят к получению сумм, больших или равных 44. С учетом другого конца распределения (т. е. с учетом сумм, не превышающих —44) имеется 14 исходов, которые приводят к получению сумм, столь же или еще менее вероятных, чем наблюдаемая.

Шаг 6, Определяем вероятность получения исхода, столь же редкого, как и наблюдаемый исход, путем деления итогового значения, полученного на шаге 5, на 2^ (шаг 4). В данной задаче нас интересует двустороннее p-значение. Поэтому

^2Х>44 или < — 44^2Х>44 или < — 441451214512« 0,03.« 0,03.

^2Х>44 или < — 44

^2Х>44 или < — 44

14

512

14

512

« 0,03.

« 0,03.

Решение. Поскольку полученное значение р больше а = 0,01, мы принимаем Но.

Упражнения

Упражнения 1—6 основываются на следующих данных об однородных парах:

Пара

X,

х.

| Пара

X,

X,

1

87

80

5

70

76

2

94

73

6

60

■ 45

3

82

77

7

53

50

4

74

63

8

40

28

Исходная совокупность вряд ли является нормальной.

1. Запишете задачу в формальном статистическом виде. Используйте а = = 0,05, критерий двусторонний.

2. Найдите разностные отметки.

3. Найдите сумму разностных отметок.

4. Найдите общее число возможных исходов.

5. Перечислите все возможные исходы, которые приводят к получению суммы, столь же или еще менее вероятной, чем наблюдаемая сумма, и найдите их общее количество, учитывая оба конца распределения.

6, Определите вероятность получения исхода, столь же редкого, как и наблюдаемый исход, и сделайте вывод, соответствующий полученным результатам.

Определение порогового значения

Перебор различных исходов может оказаться исключительно долгим и трудным процессом, особенно когда Нй верна. Это связано с тем, что в этом случае достаточно много комбинаций будут удовлетворять необходимому требованию, т. е. будут по крайней мере столь же мало вероятными, как и наблюдаемый результат.

Для экономии времени и сил рекомендуется умножить а-уровень на 2-v и определить таким образом максимальное число сумм (превышающих наблюдаемую сумму или равных ей), которое позволит отклонить Но.

Как только это число (пороговое значение) будет достигнуто (в случае, когда Но не может быть отклонена), перебор различных исходов можно прекратить. Мы убеждаемся в том, что результат не является статистически значимым.

Примеры '

Если а = 0,05, критерий двусторонний и N = 10, то максимально допустимое число сумм, равных или менее вероятных, чем наблюдаемая сумма, составит: 2-v-0,05 = 1024-0,05 = 51,2. Поскольку мы рассматриваем только один конец распределения и Нй двусторонняя, делим это значение пополам и получаем 25,6. Как только мы перечислим 26 случаев, вычисления можно прекратить, потому что интересующее нас p-значение уже превысило а.

Если а = 0,05, критерий односторонний и N = 8, мы получаем: 2-v • 0,05 = 256 • 0,05 = 12,8. Это значение не делим пополам, так как наша гипотеза односторонняя и мы рассматриваем только один конец распределения. Как только мы обнаружим 13 исходов, еще менее вероятных, чем наблюдаемый, можно прекратить вычисления.

Упражнения

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, N = 11 и Но ненаправленная. .

Найдите пороговое значение, если а = 0,05, N = 10 и Но ненаправленная.

Найдите пороговое значение, если а = 0,01, N = 12 и Н6 направленная.

11.2. БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ N

Как было отмечено, при больших N вычисления становятся трудоемкими и подверженными большому количеству ошибок. Например, при N = 12 выборочное распределение содержит 4096 различных возможных исходов.

Знаково-ранговый критерий Уилкоксона для однородных пар (см. гл. 8) фактически является критерием рандомизации, примененным к рангам, причем по мере возрастания N он все ближе приближается по мощности к критерию рандомизации. Поэтому при N, заключающемся в пределах от 12 до 25, рекомендуется критерий Уилкоксона.

При больших значениях N можно обратиться к центральной предельной теореме, которая гласит: «Если случайные выборки с фиксированным объемом (N) извлекаются из любой генеральной совокупно-

сти (независимо от формы ее распределения), то по мере возрастания N распределение выборочных средних приближается к нормальному, причем общая средняя приближается при этом к pi, дисперсия выборочных средних (а^) равняется o2/N, а стандартная ошибка (о^) составляет a/фЛ^». Поэтому в большинстве случаев, когда N превышает 25, допустимо применение параметрического ^-критерия.

Контрольные вопросы к главе 11

Вопросы 1—3 основываются на следующих парных отметках: 16 и 14; 13 и 9; 12 и 7; 10 и 5; 6 и 9; 5 и 2; 3 и 3.

Сумма разностных отметок равна: а) 22; б) 19; в) 20; г) 16.

.Общее число возможных исходов равно: а) 4096; б) 64; в) 128; г) 1024.

N равно: а) 14; б) 7; в) 12; г) 6.

Если общее число возможных исходов равно 2048, из которых 130 столь же или еще менее вероятные, чем наблюдаемый исход (значение двустороннее), и а = 0,05 при двустороннем критерии, то:

р меньше а, Н6 принимается;

р больше а, Н6 отклоняется;

р больше а, Н6 принимается;

р меньше а, Н6 отклоняется.

Если общее число возможных исходов равно 512, из которых 23 столь же или еще менее вероятные, чем наблюдаемый исход (одностороннее значение), и а = 0,05 при одностороннем критерии, то:

р меньше а, Но принимается; ,

р больше а, Нв отклоняется;

р больше а, Н6 принимается;

р меньше а, Но отклоняется.

Заданы следующие разностные отметки: —8, —5, —3, 2, 1; число способов получить сумму, меньшую или равную —13, составляет: а) 0; б) 3; в) 4; г) 2.

Если имеется 4096 возможных исходов, а = 0,01 и Нв направленная, то перебор может быть прекращен после того, как найдено следующее количество сумм, столь же или еще менее вероятных, чем наблюдаемая: а) 41; б) 410; в) 21; г) 205.

Если а = 0,05, Н6 ненаправленная, N — 7 и мы принимаем во внимание только один конец распределения, то пороговое значение равно: а) 2; б) 1; в) 4; г) 3.

Если а = 0,01, Но направленная, ^=10 и мы принимаем во внимание только один конец распределения, то пороговое значение равно: а) 6; б) 5; в) 10; г) 11.

Заданы следующие разностные отметки: —3, 9, 5, 7, —2, 4, исход, еще менее вероятный, будет следующим: а) —3, 9, 5, 7, —2, 4; б) —3, 9, 5, 7, 2, 4; в) —3, —9, 5, 7, 2, 4; г) —3, 9, 5, 7, 2, —4.

Практическое задание

' 11. Приведены парные отметки для лиц, которые были проверены в различных экспериментальных условиях. Используя критерий рандомизации, проверьте Но: Цх = р2 при а = 0,01.

Пара

X,

X,

Пара

X,

х.

. 1

79

70

5

52

55

2

74

72

6

40

32

3

70

60

7

27

25

4

63

64

8

20

12

ПРИЛОЖЕНИЕ

Автор выражает свою признательность перечисленным авторам и издателям за разрешение воспроизвести или воспользоваться следующими таблицами:

Таблица С — Table III in: F i s h e r R. A. and Yates F. Methods for Research Workers. Edinburgh, Oliver and Boyd, Ltd., 1950. -

Таблица D — Siegel S. Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences. New York, McGraw-Hill, 1956; Finney D. J. The Fisher—Yates test of significance in 2 X 2 contingency table. Biometrika, 35, 1948, p. 149—154.

Таблица E — Siegel S. Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences. New York, McGraw-Hill, 1956; Massey F. J., Jr. The Kolmogorov— Smirnov test for goodness of fit. J. Amer. Statist. Assn., 46, 1951, p. 70.

Таблица F — S w e d F. S. and Eisenhart C. Tables for testing randomness of grouping in a sequence of alternatives. Ann. Math. Statist., 14, 1943, p. 83—86. - .

Таблица H — Mann H. B. and Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. Ann. Math. Statist., 18, 1947, p. 52—54; A u b 1 e D. Extended tables for the Mann—Whitney statistic. Bulletin of the Institute of Educational Research at Indiana University, 1, № 2, 1953.

Таблица J — Wilcoxon F., К a t t i S. and Wilcox R. A. Critical Values and Probability Levels for the Wilcoxon Rank Sum Test and the Wilcoxon Signed Rank Test. New York. American Cyanamid Co., 1963; Wilcox о n F. and Wilcox R. A. Some Rapid Approximate Statistics Procedures. New York, Lederle Laboratories, 1964. ■

Таблица К — Siegel S. Nonparametrics Statistics for the Behavioral Sciences. New York, McGraw-Hill, 1956; Friedman M. The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance. J. Amer. Statist. Assn., 32, 1937, p. 688—689.

Таблица M — Edwards A. L. Statistical Analysis. 3rd. ed. New York, Holt" Rinehart and Winston, 1969; Dunlap J. W. and Kurtz A. K. Handbook of Statistical Nomographs, Tables and Formulas. New York, World Book Co.,

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ

Таблица А. Критические значения х или N — х (если N — х > х) при а= 0,05 и 0,01 в случае, когда Р =Q = -cp. х—частота для Р-значеиия; N—х— частота для Q-значения. Наблюдаемое значение х или N — х должно быть больше приведенного в таблице, которое определяет границы значимости при выбранном а, нли равно ему. Прочерк указывает на невозможность принятия решения для N при данном а-уровие (с. 127).

Таблица В. Критические значения х при а = 0,05 (светлый шрифт) и а = = 0,01 (жирный шрифт) в случае различных значений Р и Q для N, изменяю- шихся от 2 до 49. Наблюдаемое значение х значимо при данном a-уровне, если оно больше приведенного в таблице критического значения или равно ему. Все приведенные значения односторонние (с. 128—132).

Таблица С. Таблица значений %2 (с. 133).

Таблица D. Критические значения D (или С) в критерии Фишера (с. 134— 141).

Таблица Е. Критические значения D в критерии Колмогорова — Смирнова для одной выборки (двусторонние). Для отклонения Но при данном а-уровне необходимо, чтобы наблюдаемое D было равным критическому значению или превышало его (с. 141).

Таблица F. Критические значения 7? в критерии серий.

Каждая клетка таблицы содержит по два значения для данных п4 и пг. Если R меньше верхнего значения либо равно ему или же больше нижнего значения соответствующей клетки либо равно ему, то последовательность неслучайна при а = 0,05 (двусторонний критерий) или а = 0,025 (односторонний критерий). Прочерк означает невозможность принятия решения при указанных значениях п4 и п2 (с. 142).

Таблица О. Процент площади под стандартной нормальной кривой, соответствующий данному г, и высота ординаты в точке г (с. 143—156).

Таблица Hj. Критические значения U и U' для одностороннего критерия при а = 0,005 или для двустороннего критерия при а = 0,01. При любых заданных пх и п2 для значимости необходимо, чтобы наблюдаемое U было меньше верхнего значения, приведенного в таблице, или равно ему; наблюдаемое U' должно быть больше нижнего значения, приведенного в таблице, или равно ему (с. 157).

Таблица Н2. Критические значения U и U' для одностороннего критерия при а = 0,01 или для двустороннего критерия при а = 0,02. При любых заданных пх и п2 для значимости необходимо, чтобы наблюдаемое U было меньше верхнего значения, приведенного в таблице, или равно ему; наблюдаемое U' должно быть больше нижнего значения, приведенного в таблице, или равно ему (с. 158).

Таблица Н3. Критические значения U и U' для одностороннего критерия при а = 0,025 или для двустороннего критерия при а = 0,05. При любых заданных п, и п2 для значимости необходимо, чтобы наблюдаемое U было меньше верхнего значения, приведенного в таблице, или равно ему; наблюдаемое U' должно быть больше нижнего значения, приведенного в таблице, или равно ему (с. 159).

Таблица Н4. Критические значения U и U* для одностороннего критерия при а = 0,05 или для двустороннего критерия при а = 0,10. При любых заданных пх и п2 для значимости необходимо, чтобы наблюдаемое U было меньше верхнего значения, приведенного в таблице, или равно ему; наблюдаемое U' должно быть больше нижнего значения, приведеииого в таблице, или равно ему (с. 160).

Таблица I. Критические разности в критерии множественных сравнений Уилкоксоиа, используемые при сравнении всех возможных пар воздействий для N =■ 3, 4, .;., 25 и к = 3, 4, ,.., 10. Наблюдаемая разность сумм значима при заданном а-уровие, если она равняется табличному значению или превышает его. Значения, напечатанные светлым шрифтом, соответствуют а = 0,05. Для значений, выделенных жирным шрифтом, а = 0,01. Все значения двусторонние (с. 161).

Таблица J. Критические значения Т. Символ Т обозначает меньшую сумму рангов, соответствующих разностям с одинаковыми знаками. Для любого данного N (число ранжированных разностей) наблюдаемое Т значимо при выбранном а-уровие в том случае, если оно меньше значения, приведенного в таблице, или равно ему (с. 162).

Таблица К. Вероятности, соответствующие наблюдаемым значениям Хг в двухфакторном дисперсионном анализе по Фридману с помошью рангов (с. 163—164).

Таблица L. Общее число возможных исходов для различных значений пг и л2 в критерии рандомизации для независимых выборок (с. 164).

Таблица М. Квадраты, квадратные корни и обратные величины чисел от 1 до 1000 (с. 165—170);

односторонний критерий двусторонний критерии

N

0,050,010,050,01

э—-—■—

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

—6—

77

88

989

109Ю

91010Н

1011юи

10121112

И121213

12131213

12141314

13141315

13151415

14151516

15161517

15171617

16171718

16181719

17191819

18191820

18201920

19202021

19212022

20222122

•20222123

21232224

22242324

22242325

23252425

232524-26

24262527

24272527

25272628

26282728

26282729

27292830

27292830

28302931

28312931

29313032

30323133

30323133

31333234

31343235

32343335

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

It

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Таблица В.

P 0,01 0,02^03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 Q 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75

1

1

1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

— -—

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

—

^—

^—

——

1

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

5

5

2

2

3

3

3,

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

1

4

4

4

r>

5

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

r)

r>

r>

r)

r

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

2

2

О

3

3

J

3

3

4

4

4

4'

4

4

4

5

.5

5

J

rl

r>

r>

1

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

G

6

6

2

2

2

3

3

3

3

J

4

4

4

4

4

4

4

r»

5

f )

ri

r)

rl

h

и

G

2

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

2

9

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

5

5

Г)

5

5

5

b

G

G

G

G

G

2

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

G

6

b

(>

b

6

7

2

3

3

4

4

4

4

5

5

• 5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

G

(>

6

6

G

6

7

7

7

2

3

3

4

4

4

5

5

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

2

2

3

3

3

J

4

4

4

4

5

5

5

5

5

G

6

G

6

6

7

7

7

7

7

2

3

3

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

2

2

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

5

G

G

6

6

6

7

7

7

7

7

8

2

3

3

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

2

2

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

6

6

G

6

7

7

7

7

7

8

8

8

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

2

2

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

Я

8

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

9

10

2

2

3

3

4

4

4

5

5

5

5

6

G

6

G

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

3

3

4

4

5

5

5

6

6

6

7

7

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

G

G

G

G

7

7

7

7

8

8

8

8

9

9

9

3

3

4

4

5

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

10

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

G

7

7

7 ■

7

8

8

8

8

9

9

9

9

3

3

4

4

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

10

11

2

3

3

3

4

4

5

5

5

G

6

6

G

' 7

7

7

8

8

8

8

9

У

У

9

10

3

3

4

4

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

10

11

11

11

2

3

3

4

4

4

5

5

6

G

G

7

7

7

3

8

8

8

9

9

9

4

10

10

3

3

4

5

5

5

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

10

11

11

11

11

2

3

3

4

4

4

5

5

6

G

G

6

7

7

7

f>

8

8

9

9

9

10

10

10

3

4

4

5

5

6

6

6

7

7

7

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

11

12

12

0,26 0,27 0Д8 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69 0,68 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,68 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50

333 3 3333333 — — — —— - —- —

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4 — — —

—

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

—

—

—•

—

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

6

6

6

6

6

6

6

6