ПРЕДИСЛОВИЕ

В физических практикумах университета и высших технических учебных заведений студенты проводят измерения различных физических величин.

Известно, что измерения этих величин могут быть произведены с различной степенью точности, и оценка этой точности является ^Зтъемлемой частью любого эксперимента. Эта оценка может производиться различными методами в соответствии с различными способами обработки результатов наблюдений. До сего времени студенты большинства высших учебных заведений, выполняя лабораторные работы, оценивали точность эксперимента путем подсчета средней арифметической погрешности.

Однако средняя арифметическая погрешность недостаточно полно отражает влияние больших по величине погрешностей на точность результата измерений. Современная теория показывает, что более точной оценкой является так называемая средняя квадратичная погрешность.

В настоящей работе все изложение теории погрешностей ведется на основе вычисления средней квадратичной погрешности как отдельного измерения, так и результата серии измерений. Для определения средней квадратичной погрешности ASn необходимо знать величины самих измерений.

Для оценки точности результата измерений необходимо знать две характеристики: среднюю квадратичную погрешность ASn и надежность а — вероятность попадания истинного значения измеряемой геличины в определенный доверительный интервал. Границы доверительного интервала обычно определяются через дисперсию, которая является параметром закона нормального распределения случайных величин. При малом числе измере- 4

ний этот параметр можно найти с малой точностью, поэтому границы доверительного интервала в этом случае следует определять с помощью коэффициентов Стьюдента.

Настоящая работа представляет собой попытку научить студентов правильному подходу к оценке точности измерений на современном уровне теории погрешностей. Она знакомит читателя с основными понятиями теории вероятности, используемыми в теории погрешностей, с законами распределения этих погрешностей, с понятиями надежности результата измерений, дисперсией и доверительным интервалом.

В работе приведен ряд иллюстраций (графиков), облегчающих понимание физического смысла теоретических положений. Весь теоретический материал иллюстрирован также большим числом конкретных примеров расчета погрешностей измерений различных функциональных зависимостей, взятых непосредственно из описания лабораторных работ, вошедших в «Физический практикум» под редакцией проф. В. И. Ивероновой и др.

Большинство этих примеров доведены до численного результата. Дан рецепт по определению промахов, описан метод наименьших квадратов, получивший в настоящее время широкое применение и дающий возможность определить параметры эмпирической зависимости.

Для преподавателей, излагающих материал по теории погрешностей на семинарских занятиях или в практикумах студентам (слушателям), имеющим недостаточно основательную математическую подготовку, в приложениях приводятся упрощенные выводы некоторых положений и формул, рассматриваемых в работе.

Данная работа не претендует на оригинальность. Она создана под влиянием книги А. Н. Зайделя «Элементарные оценки ошибок измерений» [1], подчеркнувшего, что методы обработки результатов эксперимента, излагаемые до настоящего времени студентам большинства вузов, являются устаревшими.

Настоящая работа может служить практическим руководством по обработке результатов эксперимента как студентам, так и научным сотрудникам и инженерам. Окажется ли данное практическое руководство полезным для указанных товарищей, судить трудно, как трудно было и описать практическое применение основных принципов теории вероятности в теории погрешностей без

использования серьезных математических выкладок. Поэтому авторы будут очень признательны, если читатели, использующие данное руководство, поделятся с ними своими мнениями.

Основные положения настоящей работы излагались студентам при проведении занятий по определению погрешностей эксперимента в физическом практикуме и на некоторых семинарах физического факультета МГУ и Московского института нефтехимической и газовой промышленности имени И. М. Губкина.

В заключение приносим глубокую признательность проф. В. Б. Брагинскому, проф. В. Г. Зубову, проф. В. И. Ивероновой, проф. М. М. Кусакову и проф. В. И. Родичеву за ознакомление с рукописью и ряд ценных замечаний, а также доц. 3. К. Григораш, доц. А. Ю. Коше- внику и доц. Р. А. Лукацкой за товарищеские советы и указания, которые значительно помогли при написании работы.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

Каждая из лабораторных работ физического практикума посвящена изучению определенного физического явления, измерению той или иной величины, характеризующей данное явление или свойства тела, воспроизведению опытов по установлению основных законов природы. Как правило, всякое такое исследование состоит из одного или нескольких измерений.

Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу изме рения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К этим измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем, плитками Иогансона ) и т. п.; измерения масс на рычажных весах с помощью набора разновесов; измерения промежутков времени при помощи часов или секундомера; измерения температуры термометром, силы электрического тока амперметром и т. п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по шкале прибора или подсчитывается число и значение мер, разновесов и т. д.

При косвенных измерениях измеряемая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Примерами косвенных измерений могут служить измере-

ния скорости равномерного (или равноускоренного) движения по измерениям длины пройденного пути и промежутков времени; измерения плотности тела по измерениям массы и объема тела и т. п.

При измерении любой физической величины обыкновенно приходится выполнять три последовательные операции:

проверку и установку приборов,

наблюдение их показаний и отсчет,

вычисление искомой величины из результатов измерений и оценку погрешности.

При измерении любой величины мы никогда не получаем истинного значения этой величины, т. е. результат измерения дает лишь приближенное значение. Это объясняется как принципиально ограниченной возможностью точности измерения, так и природой самих измеряемых объектов.

Развитие измерительной техники привело к появлению разнообразных приборов, отличающихся своей точностью. Точность прибора — это свойство измерительного прибора, характеризующее степень приближения показаний данного измерительного прибора к действительным значениям измеряемой величины. Она связана с физическим явлением, на основе которого построен метод измерения, и с допусками при изготовлении отдельных частей прибора. Точность прибора либо задается классом точности прибора, либо указана в паспорте, прилагаемом к прибору. Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении {приборная погрешность), связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно производить отсчет. Обычно, если нет оговорок в паспорте прибора, она равна целе наименьшего деления шкалы (точнее, ±0,5 цены наименьшего деления). Естественно, чем точнее прибор, тем меньше погрешность прибора. Повышая точность отсчета по шкале данного прибора, мы принципиально не можем изменить (увеличить) точность самого прибора. Например, производя измерения длины карандаша с помощью линейки (грубого прибора), разделенной на сантиметры, мы не изменим точности линейки, если будем рассматривать ее шкалу с помощью лупы. Действительно, несмотря на то, что отсчет с помощью лупы будет содержать большее число значащих цифр, точность результата измерения длины карандаша останется прежней, 8

так как точность линейки не изменилась. (Штрихи линейки нанесены через один сантиметр, но середины штрихов при изготовлении могут быть несколько смещены.)

Точность измерений обратно пропорциональна так называемой относительной погрешности измерений, определение которой будет дано ниже. Так как точность измерений всегда бывает ограниченной, то результат измерений дает нам не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное.

Погрешности результата измерений определяются разностью измеренной и истинной величин и будут зависеть от многих причин ). Обычно стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью), т. е. сделать погрешность измерения по возможности малой.

Следует иметь в виду, что чем точнее мы хотим измерить ту или иную величину, тем труднее это сделать, тем больше времени потребуют эти измерения. Так, например, измерение толщины пластинки штангенциркулем можно производить с погрешностью 0,1 мм; измерение этой же толщины винтовым микрометром можно производить с погрешностью 0,005 мм. Применение компаратора — прибора, применяемого при измерении положения спектральных линий, — позволяет уменьшить погрешность измерений до 0,001 мм. Интерференционные методы позволяют производить измерения с погрешностью до 0,IX, т. е. при применении зеленого света до 0,0005 мм. Однако применение компаратора требует постоянства температуры измеряемого тела и самого компаратора — их приходится помещать в термостат, иначе тепловое расширение при изменении температуры даст большее изменение длины, чем может чувствовать прибор, и, таким образом, будут искажены результаты измерений. Применение интерферометров требует кроме термостатирования тщательной полировки поверхности предмета, жесткости основания установки (обычно монтаж производится на бетонном или чугунном основании) и т. д. Таким образом, проведение измерений с высокой точностью

связано с большими экспериментальными трудностями, а следовательно, с затратами времени и труда. Поэтому не следует требовать ст измерений большей точности, чем это необходимо. Инженер также не должен необоснованно уменьшать допуски на изготовление деталей и т. п.

Повторные измерения одной и той же величины дают в общем случае результаты, несколько отличающиеся друг от друга даже тогда, когда они производились одним и тем же лицом, одним и тем же способом, посредством одних и тех же приборов. Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями (ошибками). Погрешности разделяются на две группы: систематические и случайные ).

Систематические погрешности — погрешности, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой прибора. Они также появляются, если пренебречь действием некоторых внешних факторов.

Например, они могут возникнуть, если не учитывать теплового расширения при измерениях объема жидкости или газа, производимых при медленно изменяющейся температуре; при измерении массы — если не учитывать действия выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы; при калориметрических измерениях — если не учитывать теплообмена прибора с внешней средой и т. п. Шкала линейки может быть нанесена неточно (неравномерно), положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре; капилляр термометра в разных участках может иметь разное сечение; при отсутствии электрического тока через амперметр стрелка прибора может не стоять на нуле и т. д. Округляя численную величину до какого-либо приближенного значения, например, полагая л = 3; л = 3,1; л = 3,14; л = 3,142; л = 3,1416 и т. п. вместо л = 3,14159265..., мы допускаем систематическую погрешность.

Таким образом, систематические погрешности вызываются вполне определенными причинами, величина их либо при всех повторных измерениях остается постоянной (как в случаях округления или смещения нуля шкалы прибора и т. п.), либо изменяется по определенному зако-

ну (как в случаях неравномерности шкалы, неравномерности сечения капилляра термометра и т. п.). Так как причины, вызывающие систематические погрешности, в боль

шинстве случаев известны, то эти погрешности в принципе могут быть исключены (изменением метода измерений, введением поправок к показаниям приборов, сравнением показаний приборов с показаниями эталонных приборов, учетом систематического влияния внешних факторов и т. д.), хотя на практике этого не всегда легко добиться.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Типичным примером £ подобных погрешностей может слу- £I

жить так называемая ошибка па- Етт—— — — раллакса (рис. 1), которая состоит = в следующем. Для отсчета делений t шкалы прибора необходимо, стро

Рис. 1. Правильное по-ложение глаза при от-ечете делений шкалы.Рис. 1. Правильное по-ложение глаза при от-ечете делений шкалы.го говоря, расположить глаз наблюдателя на перпендикуляре к шкале, проходящем через конец стрелки прибора или через край

Рис. 1. Правильное по-ложение глаза при от-ечете делений шкалы.

Рис. 1. Правильное по-ложение глаза при от-ечете делений шкалы.

измеряемого предмета. Однако глаз

человека не всегда может быть расположен точно на пер

пендикуляре. Поэтому при отсчетах мы будем получать либо завышенные, либо заниженные значения (рис. 2).

Рис. 2. Ошибка параллакса при отсчете деленчй шкалы.

Случайные погрешности вызываются также сотрясениями фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т. п.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных

явлений позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений и установить разумное значение погрешностей. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем чем меньше значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно произвести.

Упомянутая выше (см. стр. 8) приборная погрешность, или погрешность прибора, содержит в себе как систематические, так и случайные погрешности. К систематическим погрешностям можно отнести погрешности, связанные со смещением начала отсчета шкалы, с неравномерностью нанесения штрихов шкалы и т. п. Из случайных погрешностей в состав приборной погрешности входят погрешности, возникшие под действием сил трения в отдельных частях прибора, из-за движения частей прибора в зазорах (люфт) и т. п. Эти погрешности обычно не подчиняются закону нормального распределения (см. стр. 15).

Следует иметь в виду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной погрешности — все равно результаты измерений не станут от этого точнее.

Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерения следует произвести несколько раз, чтобы уменьшить значение случайной погрешности для данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Перейдем теперь к рассмотрению основ теории случайных погрешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии измерений.

В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемых опытом.

При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково часто.

Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Допустим, что мы произвели п прямых (непосредственных) измерений некоторой физической величины, истинное значение которой (нам неизвестное) обозначим через а. Обозначим через а^ а^,..., ®п результаты отдельных измерений, а через

Aai = а — аг

— истинную абсолютную погрешность г-го измерения ). Тогда результаты измерений можно представить в виде

ах = а — Да*,

а2 = а — Да*,(1)

а„ = а —Да*.

Естественно, что абсолютные погрешности Дан Да2,..., Дап могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Суммируя левую и почленно правую стороны равенств (1), получаем

2 <4 = па — 2 Да*.(2)

1=11=1

Если ввести понятие среднеарифметической величины

« = т2Л’(3)

5=1

то, разделив обе стороны равенства (2) на число измерений п, получаем после перестановки членов:

а = а + -^- 2 Д®*-(4)

5=1

Если число п измерений достаточно велико (строго говоря, при п ->- оо), то согласно предположению 1

так как в серии из большого числа измерений всякой го- ложительной погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине отрицательную погрешность.

Из (4) следует, что

а — а при п —>- оо,а — а при п —>- оо,(6)(6)

а — а при п —>- оо,

а — а при п —>- оо,

(6)

(6)

т. е. при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению а всех результатов произведенных измерений ). Однако при ограниченном числе измерений (п Ц= оо) среднеарифметическое значение а будет отличаться от истинного значения а, т. е. равенство (6) будет не точным, а приближенным:

а ж а,(7)

и нам необходимо оценить величину этого расхождения. Появление того или иного значения (ц в процессе измерения является случайным событием. Существует некоторая вероятность появления этого значения а^ в

1

интервале а^—-^da^, а^+^-йа^, а следовательно, и появления соответствующего значения абсолютной погрешности Да,-

За вероятность y^a^da^ появления величины а; в интервале da^ принимают относительную частоту появления значений а^ в интервале da^, т. е. отношение числа всех значений а^ попадающих в интервал dav, к числу всех значений а^при п ->■ оо).

Эта вероятность, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса (рис. За)

^“Tsb*’ "■•(8)

где е — основание натуральных логарифмов, а2 — постоянная величина, называемая дисперсией распределения.

По оси абсцисс отложены единицы подходящим образом выбранного масштаба. Значения о-в тех же единицах.

Аналогичным образом можно записать распределение истинных погрешностей Да, (рис. 36)

I(д<4)81(Да;—0)»

у (Да,) = -~=. - е~ га» = е га» •(9)

v/2яоУгла

Индекс г, оставленный у Да,, означает, что речь идет о распределении вероятностей появления погрешности отдельного измерения.

Функция у(аг) (или у(Да,) соответственно) называется плотностью распределения вероятностей ).

Как видно из (9), нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: 1) генеральным средним значением случайной величины и 2) дисперсией (или дисперсией генеральной совокупности).

Генеральное среднее значение представляет собой то значение, относительно которого происходит разброс

случайных величин. Другими словами, генеральное среднее значение определяется абсциссой оси симметрии кривой нормального распределения. Так, например, в случае распределения отдельных результатов измерений at генеральным средним значением будет «истинное» значение а (см. рис. За). В случае распределения истинных абсолютных погрешностей Дщ это генеральное среднее равно нулю (см. рис. 36).

(Да.*)=

*1"—

Рис. 36. Кривые у (Да,) =, • е 2а3 для тех же значе-

У

ний а. По оси абсцисс отложены единицы выбранного масштаба. Значения о-в тех же единицах.

Дисперсия о2 характеризует быстроту уменьшения вероятности появления погрешности kat с ростом величины этой погрешности.

Под генеральной совокупностью подразумевается все множество возможных значений измерений at или возможных значений погрешностей \аь

На рис. За и 36 приведены кривые у = /(яг) и у = = / (Дя{) для трех значений а : а = 1, а = 2 и а = 4. Мы видим, что при малых значениях а кривые у = /(яг) и у = /(Дяг) идут более круто и имеют большее значение г/max, чем при больших значениях а. При этом площади под кривыми у = f^a^ и у = /(Дяг) с различными значениями а одинаковы. Кривые у = /(яг) и у = /(Дяг) симметрично расположены относительно ординаты, на 16

которой

u == —т=- , Аа* = 0 и а = а.

» »тах у2лз г

Распределение (9) получается при рассмотрении относительных частот появления абсолютных погрешностей Даг в бесконечно узких интервалах

Д<-1й(Д<), АаГ +^(Аа*), где tZ(AaO — бесконечно малая величина.

На практике обычно задается величина интервала tZ(Aai), которая, естественно, является конечной. В этом случае относительные частоты попадания Да, в интервал й(Даг) описываются ступенчатой кривой (гистограммой), изображенной на рис. 4.

Остановимся несколько подробнее на связи между истинным значением а измеряемой величины и средней величиной а. На рис. 5 приведены положения а и а, полученного из некоторых измеренных значений а1т «2 и «3-

Мы видим, что даже при фиксированных значениях «1 и а2 различные значения а3 приводят к различному положению а относительно а. Так как вероятность появления разных значений а3 = а — Аа3 различна

(Айз подчиняется нормальному закону (9) ), то и вероятность появления разных значений а также различна — с увеличением величины |а — а] она уменьшается.

Рис. 5. Взаимное расположение истинного значения а и среднего значения а, полученных из трех измерений av а2 и а3.

Таким образом, поскольку результаты отдельных измерений носят случайный характер, отклонение

Ха = а — а,(10)

т. е. величина абсолютной погрешности результата серии измерений, также имеет случайный характер, так как оно зависит от вероятности появления того или иного значение а.

При малом числе-измерений п величина отдельного измерения, например а3, довольно сильно влияет на величину а. Так же сильно влияют на эту величину а и значения других измерений (at и а2). Однако при большом числе п измерений влияние величины отдельного измерения, например ап, на величину а становится значительно слабее, и отклонение Да можно рассматривать как случайную величину, составленную из малых влияний величин отдельных измерений. Центральная предельная теорема)

в этом случае показывает, что распределение случайной величины Да — абсолютной погрешности результата серии измерений — описывается нормальным законом (9) с иным значением дисперсии ой):.

(Да)2

Вместо приближенного равенства (7) можно записать а — Да ^ а > а + Да(12)

или

а = а ± Да,(13)

но величина Да — оценка абсолютной погрешности результата — остается пока неопределенной.

Следует различать Да — случайную величину (возможное значение Да) и Да — частное значение этой величины, проявившееся в данной серии измерений или заданное для получения определенного значения надежности.

Назовем дссерителшым интервалом интервал

(а — Да, а + Да),(14)

в который по определению попадает истинное значение а измеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называется вероятность а того, что истинное значение а измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина а выражается или в долях единицы, или в процентах.

Чем больше величина доверительного интервала (а— — Да, а + Да), т. е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Да, тем с большей надежностью искомая величина а попадает в этот интервал.

Естественно, что величина надежности а будет зависеть от числа п произведенных измерений, а также от величины задаваемой погрешности Да. Так, например, при а >30, выбирая Да равным значению а-, мы получаем величину надежности а ж 0,68 (точнее, 0,68269). На рис. 6, а

Рис. 6. Значения надежности а (заштрихованная плошадь) при разных "Да

значениях к = — :

с) к = 1, а = 0,68; б) к = 2, а == 0,95; в) к = 3, а = 0,997.

эта величина надежности изображена заштрихованной площадью под кривой нормального распределения (вся площадь под кривой, как указывалось выше, равна единице). Другими словами, за пределы доверительного интервала (а — а^, а + а-) при повторении серий по п измерений попадет (1 — а) доля от числа всех серий, т. е. примерно в 32% всех серий |Да| будет больше Да. Аналогично, выбирая Да равным значению 2а^, мы получаем значение надежности,равное а=0,95 (точнее, 0,95450), за пределы доверительного интервала (а—2а-, а + 2а-) выпадет 5% результатов всех серий (рис. 6,6). Наконец, выбирая Да равным значению Зад, мы получим для надежности значение а ж 0,997 (точнее, 0,99730), т. е. за пределы доверительного интервала (а — За^, а 4- За-) выпадет 0,3% результатов всех серий (рис. 6, в).

Приведем еще один пример, иллюстрирующий связь размера доверительного интервала с надежностью. При обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону [16, 17]. В этом случае, если величину Na в (11) принять за допускаемую погрешность (допуск) при обработке деталей (ср. рис. 6, в, где Да = = За), то, повышая требования к точности обработки некоторого количества особо ответственных деталей (т. е. уменьшая величину допуска Да, например, до Да = а, ср. рис. 6, а) при сохранении технологии обработки, мы уменьшаем надежность обработки и увеличиваем процент деталей, идущих в брак (или во 2-й сорт). Наоборот, понижение требований к точности обработки увеличивает надежность и уменьшает процент брака ).

Перейдем теперь к рассмотрению Да — оценки погрешности результата серии измерений, остававшейся до сих пор неопределенной. Из рис. 6 видно, что величина Да может быть представлена в виде Да = каоп, где ка — некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности а. Этот коэффициент может быть принят за меру, характеризующую величину доверительного интервала, а следовательно, и величину Да абсолютной погрешности

результата измерений при заданной надежности а. Остается установить, как выражается величина щ через измеряемые величины.

В случае большого числа измерений (и -> оо) величина дисперсии о2, входящая в закон (9), оказывается равной так называемому среднему квадрату погрешности отдельного измерения А5П2 )

2

Ж2=^.(15)

Это выражение нуждается в некотором преобразовании. Дело в том, что, как правило, точное значение искомой величины а нам неизвестно, и поэтому погрешности Ащ не могут быть вычислены. Вместо погрешностей Ащ находят обычно «измеряемые» абсолютные погрешности Аа4, равные

Аа4 = а — av(16)

Все множество возможных значений Аа4 (т. е. генеральная совокупность) распределено по закону, аналогичному закону (9):

(а—а4Р_ _^Д^

203 .(17)

уу 2315

Значение дисперсии о2 в этом законе совпадает со значением дисперсии в законе (9).

Следует отметить, однако, что если при конечном числе п измерений все значения Аа* (j = 1,2,..., п) являются независимыми (поскольку все измерения а4 (г = = 1,2,..., и) полагаются независимыми), то из п величин Аа4 (j = 1,2,..., и) независимыми являются лишь п — 1 величин, так как среднеарифметическое значение а), входящее в определение погрешностей Да4 (см. (16)),

само определяется из этих же п измерений а; (г=1,2,..., га), и поэтому погрешности Ая{ подчиняются очевидному тождеству

ЗАя^О.(18)

4=1 Действительно, по определению погрешностей Аа; имеем Ай^ Я — ^h АЯ2 — я — я2, ( Аяп = а — яп;

суммируя левые и правые части этих равенств, получаем

Ая{ = гая — 2 «ц i=lг=1

и по определению среднеарифметического значения - (3) ^Ая^^-^О. г=1г—1г=1

В силу этого, когда истинное значение а неизвестно, оценкой дисперсии о2 является так называемая выборочная дисперсия или дисперсия выборки) AS„:

2<w2

А^п = ^—.(19)

Подчеркнем, что при ограниченном числе п величина АА„ является лишь оценкой дисперсии о2, а не равна ей. Здесь следует отметить также, что из измерений мы можем непосредственно определить лишь величину АА„, а не о2.

Корень квадратный из выборочной дисперсии определяет так называемую среднеквадратичную погрешность

отдельного измерения

Покажем теперь, как найти оценку погрешности результата всей серии из п измерений, т. е. величину

Ха = а — а(10)

с заданным значением надежности а.

Для этого найдем прежде всего, как связаны между собой дисперсии а| и о2, т. е. дисперсии распределений погрешностей результата серии измерений и погрешностей отдельных измерений.

Для этой цели преобразуем соотношение (15):

А^=—-=4-^-^2=

г—1

- = 4"S (“ — « + « — «г)" = 4“ 2 (Л« + ^а^ = г—1i=1

=^ + ^2Aai + J-2Aa? =

п1 пг 1 п г

г—1г=1г=1

= Аа2 + — 5 А«-,

1 Иг’

i—1

т. е.

АА^ S2 + '1^1 АС(21)

где А5„ оопределяется соотношением (19). При этом мы учитываем соотношение (18).

Допустим, что, повторяя серии измерений по п измерений в каждой N раз, мы получили средние значения йц й2,..., а^ и погрешности результатов измерений:

(Аа)! = (а — а^, (Ха^ = (а — а^,. . ., (Aa)w = (а — а^.

245

Сравнивая распределения (11) и (9), мы можем записать

N

А^= жЗ(М=(А«)2")-

>=i

При большом числе 7V серий величина ASj -> о^:

N

б2 = lim kS- = lim -1- 5 (Аа)?

аналогично тому, как при большом числе п АА^ -> о2 (см. стр. 22), и, усредняя равенство (21) по большому числу N серий, получаем

А А^ = (Ап)2 = ДА;2- 1—1 дд;.(22)

Как отмечалось выше, при большом числе измерений п в каждой серии

АА„->б2 и АА^о2

для любой из N серий, и поэтому, переходя в (22) к пределам п —> оо и N —> оо, получаем связь между дисперсиями Од и о2:

С2 = c2_1ZL1C2 (23) а П П '

т. е. дисперсия Сд результата серии из п измерений в п раз меньше дисперсии о2 отдельных измерений.

При ограниченном числе п измерений приближенным 'выражением oj будет AS-:

ду2 2 Да?

ДА- = -^- = -1°А.(24)

а П П^П— 1)4'

Отсюда среднеквадратичная погрешность результата серии измерений равна

/

2 (^ai)3

(25)

*) Черта сверху означает усреднение по всем N сериям.

Оценки дисперсий о2, полученные в (15) и (19), и дисперсии а^, полученные в (24), являются предельными, справедливыми лишь при п -> оо, т. е. при больших п.

При малых значениях п эти оценки AS„ и AS^, сами являющиеся случайными величинами, в лучшем случае определяют лишь порядок величины дисперсий. (Подробнее об этом см. в § 3.)

Поэтому при нахождений границ доверительного интервала для величины а при малых значениях п мы не можем пользоваться коэффициентом ка = ^ (см. стр. 21), поскольку величина о- нам неизвестна.

Для того чтобы получить оценки границ доверительного интервала для а в этом случае (при малых п^. приходится ввести новый коэффициент ta. Этот коэффициент был предложен в 1908 г. английским математиком и химиком В. С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом «Стьюдент» — студент, и получил впоследствии название коэффициента Стьюдента.

Рассмотрим случайную величину t, равную отношению случайных величин Аа и А5-:

Ла а — а

где AS^ — среднеквадратичная погрешность результата серии измерений, определяемая соотношением (25). При этом предполагается, что случайная величина Аа распределена по нормальному закону (11).

Если обозначить вероятность появления того или иного значения t в пределах t—^-di, t + -ydt через f(t)dt, то, как строго доказывается в курсах по теории вероятностей и математической статистики [4,6, 9—16], плотность распределения вероятности появления величины t имеет вид-1

Г:

/(0-—^,Г_Т<-^. (26)

Это распределение названо распределением Стьюдента.; Здесь Г(ж) — гамма-функция, являющаяся обобщением^

понятия факториала и обладающая рекуррентным свойством: Г(х + 1) = жЦх). Для целых чисел п Г(«+1)=п! Для полуцелых значений аргумента: Г [ -^) = у^л,

1

р \«/2 в д^ выбраны так, чтобы площади под лю- п — 1/

бой кривой /(f) равнялись единице.

Рис. 7. Кривые распределения Стьюдента для различных значений п : п = 2, 5, 10 и оо. Здесь же нанесены границы доверительного интервала — ta, ta для некоторого значения a (различного для разных кривых).

На рис. 7 приведены распределения Стьюдента для разных значений п. При п -> оо (практически при п ^ 20) распределение Стьюдента (26) переходит в нормальное распределение (И) с единичной дисперсией.

Распределение Стьюдента позволяет оценить величину надежности а по заданному значению Да или, наоборот, по заданной величине надежности а результата найти величину погрешности результата Да.

Действительно, если взять на оси t некоторое значение ta, то величина надежности а будет определяться площадью, ограниченной осью t, ординатами —ta и Си кривой /(f), аналогично тому как определялась надежность на стр. 21.

Следовательно, при недостаточно большом числе измерений (практически при п < 20) при расчете Да при

заданной надежности а необходимо вводить вместо коэффициентов ко., рассмотренных на стр. 21, коэффициенты Стьюдента ta, зависящие от числа произведенных измерений п и от величины надежности а:

^(«) =^(«) =Да ДаДа Да(27)(27)

^(«) =

^(«) =

Да Да

Да Да

(27)

(27)

где Д5д определяется соотношением (25), a ASn — соотношением (20). При и —> оо коэффициенты ta переходят в коэффициенты ка.

В табл. 1 приведены значения коэффициентов Стьюдента ta для разных значений надежности а при разных значениях п (более полная таблица приведена в Приложении VII).

Таблица 1

Значения коэффициентов Стьюдента t

0,9

0,95

0,98

0,99

0,999

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83

12,71

4,30 3,18 2,78 2,57

2,45 2,36 2,31 2,26

31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82

63,66 9,92 5,84

4,60 4,03

3,71 3,50 3,36

3,25

636,62 31,60 12,94

8,61 6,86

5,96 5,40 5,04

4,78

Задавая вероятность того, что истинное значение измеряемой величины а попадает в данный доверительный интервал, т. е., другими словами, задавая надежность а, равную определенной величине (например, а = 0,95), по числу проведенных измерений п (например, п — 7)| определяем по табл. 1 значение коэффициента Стьюден-' та ta для этих данных. Оно равно ta = 2,45. Тогда, опре-^ делив предварительно Д5^, используя формулу (25), найН дем погрешность Да:|

Да = fa. Д5д.J

После этого результат измерений можно записать в виде а — Да ^ а ^ а + Да

илиили

или

или

а = а ± Да,

что означает, что истинное значение величины а попадает в доверительный интервал (а — Да, а + Да) с надежностью, равной а.

Рассмотрим применение табл. 1 на конкретном примере.

Пусть, проведя пять измерений толщины пластины микрометром, мы получили

ж = 2,16 мм и Д5П = 0,05 мм.

Тогда

Д5-= ^ = ^ = 2,2.10-2^. ° уп 2,24

Задавая а = 0,95, мы получаем из табл. 1 значение to. при и = 5 и а = 0,95, равное 2,78. Тогда

Дж = ta- ASa = 2,78 • 2,2 • 10-2 Л1Л1 = 6.10~2 мм и

(2,16-0,06) мм < х < (2,16 + 0,06) мм *) или

2,10 мм <; х < 2,22 мм при а = 0,95.

Следует отметить, что величина абсолютной погрешности Да результата измерений сама по себе еще не определяет точности измерений. Пусть, например, измеряя длину карандаша рулеткой, разделенной на сантиметры, мы получили, что эта длина равна I = (18,0 ± 0,5) см (+ 0,5 см составляет погрешность ленты рулетки). Если при помощи этой же рулетки мы измерим диаметр карандаша, то получим d = (0,5 ± 0,5) см. Хотя абсолютная погрешность измерений одинакова, точность измерений различна. Если в первом случае измерения достаточно точны, то во втором случае измерения позволяют судить лишь о порядке величины.

Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности е, равной отношению абсолютной погрешности Да результата измерений к результату измерений а;

8 = ±^.(28)

*) Так как погрешность микрометра меньше 0,005 мм.

Обычно эта погрешность выражается в процентах

е = ±^.100%.-(29)

За меру точности измерения принимают величину, обратную е. Следовательно, чем меньше относительная погрешность е, тем выше точность измерений.

Для облегчения расчетов среднего значения а и погрешностей &Sn и ASg следует применять следующие со-; отношения:;

« = «о + 4" S (°t — ао)(30)

-г—1

И

А^= „ ^ [ 2 («i ~ «о)2 -Ща- а0)2] ,(31

где а0 — произвольное число, выбираемое таким образом чтобы разности сц — а0 содержали в основном не боле( двух значащих цифр.

Соотношения (30) и (31) легко доказать. Действительно,'

« = 4" 2 = 4~ 2 («О + «г ~ «о) = ^ + Т 2 (ai ~ Яо) г—1г=1г=1

Аналогичным образом получаем,

2 (а — а4Уп•

Д51 = -СА=1 V (й _ а + аа у1

« и (и— 1) п(п— 1) ^ ' и 1 и г/

П:

= iy2! № — ао)2 + 2 (й — «о) («о — а4) + («о— «t)2]=

= n(,n — l) [R (^ а°^ + 2 (® °о) 2 (а0 °i) +:

+ S («0 - «г)2

и, так как

2 (а — «о) S (ао — а») = 2 (а — а0) ( 2 ао — S аг) = i=l4=1г=1'

= — 2?г (а — а0)2, получаем искомую формулу (31).

Рассмотрим на числовом примере применение выведенных выше формул и влияние числа измерений на точность результата. Для этого сравним погрешности результата измерений, полученные с учетом ограниченного числа измерений, т. е. рассчитанные с помощью коэффициента Стьюдента, с результатами, рассчитанными с помощью нормального распределения, полагая, что в последнем можно применять предельное соотношение AS„ = о2.

Обработка измерений диаметра цилиндра. Проведем ее для двух значений надежности а = 0,95 и а = 0,99. Десять значений диаметра цилиндра приведены в табл. 2. Измерения проводились микрометром с ценой деления 0,01 мм.

Таблица 2

i

dp мм

t

d^ мм

1

14,85

6

14,81

2

14,80

7

14,80

3

14,84

8

14,85

4

14,81

9

14,84

5

14,79

10

14,80

Возьмем пять первых измерений из табл. 2 и найдем среднее значение диаметра и границы доверительного интервала из этих измерений. Выберем произвольное число d0, удобное для расчетов (пусть d0 = 14,80 мм1); вычислим разности dt — d0 и квадраты этих разностей. Результаты приведены в табл. 3.

Найдем среднее значение d:'

d = d0 + -L S ^ - d0) = 14,80 + ^ = 14,818.им, i=l _

d — d0 = 0,018 мм.

Таблица 3

г

d^, мм

d^ — do, мм

(d^ — d3)2, мм2

1

14,85

0,05

0,0025

2

14,80

0,00

0,0000

3

14,84

0,04

0,0016

4

14,81

0,01

0,0001

•5

14,79

—0,01

0,0001

Сумма

0,09

0,0043

Средний квадрат погрешности серии из пяти измерени) равен

[2-d^-W-а»Л =

= ^ (0,0043 - 5 -0,000324) =g ■ НГ4 = 1,35-ИГ4 мм9-

Извлекая квадратный корень из AS|, получим

AS- = 1,16-10~2 -м-м.

Для надежности а = 0,95 и п = 5 из табл. 1 находим зна чение коэффициента Стьюдента ta = 2,78 и вычисляв! абсолютную погрешность результата измерений

Ма = ta^Sa = 2,78-0,0116 = 0,0322 мм.

Тогда результат измерения можно представить в вид!

(14,818-0,032) мм ^ а ^ (14,818 + 0,032) мм.

Или, сохраняя в величине погрешности одну значащей цифру,

(14,82-0,03) мм ^ d ^ (14,82 + 0,03) мм),,

т. е.;

14,79мм ^ d <' 14,85 мм'

или

d = (14,82 ± 0,03) мм.(а)

Относительная погрешность

е<г = ± ЮО % ~ ± те % = ± 0,2 %.

Теперь найдем абсолютную и относительную погрешности для тех же пяти измерений при другом значении надежности: а = 0,99. По табл. 1 находим для п = 5 и а = 0,99 значение ta = 4,60. Тогда

Д^5 = ta ■ AS5 = 4,60-1,16-IO-2 = 5,34-10""2 мм.

Следовательно,

d = (14,82 ± 0,05) мм и

Cd = i ^’ g2' ЮС % ^ ± |5% = ±0,3%.(б)

Сравнив результат (б) и (а), мы видим, что границы доверительного интервала при увеличении надежности от а = = 0,95 до а = 0,99 возросли.

Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая, что о2 = AS„ (что, конечно, при п = 5 является ошибочным). Для этого воспользуемся кривыми рис. 6. Отношение заштрихованной площади под кривой Гаусса к площади под всей кривой дает величину а. Полагая величину а = 0,95, можно най

М- '

ти значение абсциссы, равное кт = уу-, в нашем случае

Ад = 1,96.

Это дает возможность определить значение абсолютной погрешности результата

М = kx^Sj = 1,96-1,16- КГ2 мм = 2,27-НГ2 мм

2 • 10~2 мм, (в)

где AS- дЛя данного случая было получено в п. 1.

Сравнивая полученный результат (в) с результатом (а), видим, что погрешность получилась меньше примерно на 30%. Принимая данную величину погрешности результата измерения (в), можно найти величину надежности. Для этого положим ta = ка и из табл. 1 получим а = 0,87 2 О. и. Кассандрова, В.В. ЛеСедев]33

id^, ммd. — d0, мм(d^ — d0)2, мм"114,81+0,010,0001214,8000314,854-0,050,0025414,844-0,040,0016514,8000Сумма4-0,Ю4-0,0042id^, ммd. — d0, мм(d^ — d0)2, мм"114,81+0,010,0001214,8000314,854-0,050,0025414,844-0,040,0016514,8000Сумма4-0,Ю4-0,0042Таблица 4Таблица 4d0 = 14,80 мм,d0 = 14,80 мм,

i

d^, мм

d. — d0, мм

(d^ — d0)2, мм"

1

14,81

+0,01

0,0001

2

14,80

0

0

3

14,85

4-0,05

0,0025

4

14,84

4-0,04

0,0016

5

14,80

0

0

Сумма

4-0,Ю

4-0,0042

i

d^, мм

d. — d0, мм

(d^ — d0)2, мм"

1

14,81

+0,01

0,0001

2

14,80

0

0

3

14,85

4-0,05

0,0025

4

14,84

4-0,04

0,0016

5

14,80

0

0

Сумма

4-0,Ю

4-0,0042

Таблица 4

Таблица 4

d0 = 14,80 мм,

d0 = 14,80 мм,

вместо заданной величины а = 0,95. Следовательно при малом числе измерений п- применение закона нор мального распределения с а2 = AS„ вместо распределе ния Стьюдента при определении абсолютной погрешност; результата приводит к уменьшению надежности резулЕ тата измерений. Полагая а = 0,99, получаем;

ка = 2,58 и Ad = ка- AS^ = 3-10~2 мм вместо

Ad = fa-A5d = 5-10-2л1л.

Значение надежности в этом случае понижается д< а = 0,95.

Найдем теперь средние значения и погрешности щ следующих пяти измерений (6—10), приведенных в табл 2

d0 = 14,80 мм,X

d = dn + А- 2 ^г - 4) = 14,80 + ^ = 14,82 мм, г=1

d — d0 = 0,02 мм,)

△^d = n (п — 1) [ 2 ^г ^о)2 n(d — d0)2j =

= -^- (0,0042- 5-0,0004)= 1,1-Ю"4^2,

AS^ = 1,05-10~2 мм.

При а = 0,95 имеем

д^ = ^. AS5 = ± 2,78-1,05-НГ2 = 2,92-НГ2 мм ~ + 3-10^2 мм, '^^-^-100% =±Ч^-100%-±0,2%

d = (14,82±0,03) мм.

При а = 0,99 получаем

М^ = %■ A^j = + 4,60 • 1,05-10~2 = ± 4,83-10“2 мм ~

~ ± 5 • 10—2 мм,

8,, = -Л . 100% ^ + А^. 100% = ± 0,3%

d = (14,82 ± 0,05) мм.

Результаты практически не отличаются от результатов, полученных из данных табл. 3 (см. стр. 32 и 33).

Таблица 5

(^ - в.У,

СуммаСумма+0,19+0,190,00850,0085

Сумма

Сумма

+0,19

+0,19

0,0085

0,0085

Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений, приведенных в табл. 3 и 4. В этом случае имеем табл. 5, полученную суммированием последних строчек табл. 3 и 4.

d6 = 14,80 мм,

d = d0 + A- S № - <*о) = 1-4,80 ± -А- -0,19 = 14,819.нм,

d — d0 = 0,019 мм,

AS 5 п<п -1) [5 ^ — ^о)2 «(d d0)2J =

= ^- (0,0085 - 10-0,000361) = АА -10-4 = 54 -10~6мм», AS5 = 7,35-IO"3 лм<.

При а = 0,95 имеем

Adj = <а . AS5 = ± 2,26-7,35-10"3 = ± 1,66-10~2 мм = = ± 1,7-IO-2 мм, ба = + ^р '100 % = ± 0,Н %, d = (14,819 + 0,017) мм.

При а = 0,99 получаем

Adj = ia. AS5 = ± 3,25-7,35-Ю"3 = ± 2,39-Ю"2 лм( = = + 2,4• 10~2 лш,

ба = ± -Ц^- • ЮО % = ± 0,16 %, d = (14,819±0,024) мм.

Мы видим, что абсолютная и относительная погрешу ности результата десяти измерений стали почти в два раз^ меньше погрешностей пяти измеренийj

Применение нормального распределения с о2 = AS^ дает в случае a = 0,95 ka = 1,96 и Adj = 1,4-10~2 мм4 а величина надежности понижается до a = 0,91; в случае a = 0,99 получаем ка = 2,58 и Adj = 1,9-10-2 мм, а ве? личина надежности понижается до a = 0,97.

Как видно из этих примеров, с ростом числа измере ний различие между результатами, вычисленными по рас пределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается (см. также рис. 7).

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСПЕРСИИРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХДАННЫХ

В некоторых случаях приходится определять не среднее значение измеряемой величины, а разброс отдельны! измерений относительно этой средней величины, характа ризуемый величиной дисперсии распределения о2. ]

Немецкий оптик Э. Аббе в 1863 г. получил закон раа пределения величины %2, связанной с дисперсией. Этен закон получил название ^-распределения (хи — квад рат распределения). Работа Аббе осталась незамеченной

д в 1900 г. ^-распределение было вновь открыто английским математиком и биологом К. Пирсоном.

а. — аа. — аЕсли обозначить через

а. — а

а. — а

(32)

то величина %2, связанная с дисперсией о2, будет распределяться по следующему закону:

ф(Х2) =Vy—-(X2) 2 -в 2(0<%2<оо),(33)

где / — «число степеней свободы» этого распределения; f=n — 1, если АА„ определяется соотношением (20). Аналогично, если определить %2 иным образом:

где АА„2 определяется соотношением (15), то и эта величина %*2 будет распределяться по закону (33) с / = п.

Па рис. 8а приведены кривые <р(%2) для разных значений f. Эти кривые асимметричны, причем асимметрия особенно резко выражена при малых значениях параметра /. При / = 1 кривая уходит в бесконечность при %2 = 0; при / = 2 кривая при %2 — 0 достигает максимального значения, равного 0,5; при / > 2 кривые имеют максимум при Хтах = (/ — 2). При больших значениях / ^-распределение переходит в нормальное распределение

( УА/з — V 2/-1)1

2ах

со средним значением V^f — 1 и дисперсией а2 = 1.

Применяя соотношения (32) или (34), можно записать

гдегде^ = -у- ДА2 = М^ = -у- ДА2 = М

где

где

^ = -у- ДА2 = М

^ = -у- ДА2 = М

но и после этого величина о2 остается неизвестной, так ка значение %2, входящей в это равенство, а следовательш и значение коэффициента Т2 остаются неизвестными. Те не менее с помощью ^-распределения можно найти гр) ницы доверительного интервала для о2. Для этой цели на

Рис. 8а. Кривые ^-распределения для разных степеней свободы /.

Рис. 86. Определение границ доверительного интервала для > оценки дисперсии о2 при значении надежности а = 1—2at.

необходимо определить такие значения Х2(/) и Xi( которые выделяют a-долю площади под соответствуют q>(X2) кривой (рис. 86). Эти значения Хг(/) и Xi (/) определи; величины соответствующих им т? и Тг- Таким образе мы получаем два неравенства, обусловливающих одие 38 :

ковую надежность определения границ доверительного интервала для о2 с двух сторон (слева и справа):

X2 =X2 =/AS2 2-^-<Xi'=/AS2 2-^-<Xi'=/*2/*2

X2 =

X2 =

/AS2 2

-^-<Xi'=

/AS2 2

-^-<Xi'=

/

*2

/

*2

с надежностью

1 — а1 — аа1 = —а1 = —х2 =х2 =fbS2nа3fbS2nа3ИИ

1 — а

1 — а

а1 = —

а1 = —

х2 =

х2 =

fbS2nа3

fbS2nа3

И

И

с надежностью

а2 = 1 — «1 = 12 = ~2—*

Из неравенств (35) и (36) получаем, что вероятность попадания %2 в интервал (%2, Xz)

Х?< Х2< Хг,

т. е.

1/АА2!

„202„2

2*1

или

равна разности вышеупомянутых площадей а2 — ах = а. Таким образом, мы находим, что неравенство

гМгМ< о2< о2(37)(37)

гМ

гМ

< о2

< о2

(37)

(37)

выполняется с надежностью а.

Неравенство (37) можно переписать в виде

Т1Д8п < о < ГгЛ^п

с этой же надежностью а.

Аналогичным образом можно оценить и дисперсию

окончательного результата. Так как

о &Sn

а Па ПAS- = —-а п

а П

а П

то ито и

то и

то и

/

а = 0,90

а = 0,95

ас = 0,99

71

72

Т1

72

71

72

1

0,260

254

0,199

1018

0,127

25 464

2

0,334

19,5

0,271

39,5

0,189

199

3

0,384

8,53

0,321

13,9

0,234

41,8

4

0,422

5,63

0,359

8,26

0,269

19,3

5

0,452

4,36

0,390

6,02

0,299

12,1

6

0,476

3,67

0,415

4,85

0,324

8,88

7

0,498

3,23

0,437

4,14

0,345

7,08

8

0,516

2,93

0,456

3,67

0,364

5,95

9

0,532

2,71

0,473

3,33

0,382

5,19

10

0,546

2,54

0,488

3,08

0,397

4,64

Таблица 6

а аа

В табл. 6 приведены значения коэффициентов ^ и ^ для различных значений параметра / и надежности а ) Более полная таблица приведена в Приложении VIII

Приведем пример, иллюстрирующий, как пользоваться таблицей. В серии из десяти измерений диаметра было получено значение Д5| = 5,4-10~5 лы12. Найдем величин) дисперсии о2. Из табл. 6 находим при f = п — 1 = 9 для а = 0,90 Yi = 0,532 и ^2 = 2,71. Следовательно,

0,532-54-КГ8 мм2 ^ о2 ^ 2,71 -54-10"6 лы12, т. е.

28,7-КГ6 мм2 < о2 < 146-КГ8 лы12.-

Отсюда|

5,4-10“3 мм ^ о^ 12,1 -10~3 мм.!

Аналогично для а = 0,95 получаем Т2= 0,473, Тг =^ = 3,33 и|

25,5-10~6 лы12 ^ о2 ^ 180- 10-6лял12j

ииБроуновским движением называется движение взвешенной в жидкости частицы малых размеров под дейст- 1ием ударов молекул этой жидкости. Поскольку тепловоеБроуновским движением называется движение взвешенной в жидкости частицы малых размеров под дейст- 1ием ударов молекул этой жидкости. Поскольку тепловоеРис. 9. Последовательные положения броуновской частицы через равные промежутки времени. Точки соединены отрезками прямых.Рис. 9. Последовательные положения броуновской частицы через равные промежутки времени. Точки соединены отрезками прямых.

и

и

Броуновским движением называется движение взвешенной в жидкости частицы малых размеров под дейст- 1ием ударов молекул этой жидкости. Поскольку тепловое

Броуновским движением называется движение взвешенной в жидкости частицы малых размеров под дейст- 1ием ударов молекул этой жидкости. Поскольку тепловое

Рис. 9. Последовательные положения броуновской частицы через равные промежутки времени. Точки соединены отрезками прямых.

Рис. 9. Последовательные положения броуновской частицы через равные промежутки времени. Точки соединены отрезками прямых.

5,05-10“3лме ^ о ^ 13,4-10 3 лш.

Примером, иллюстрирующим применение полученных выше формул для определения разброса результатов отдельных измерений (дисперсии), может служить обработка результатов наблюдений броуновского движения час- тщы.

Обработка результатов наблюденийброуновского движения частицы

Движение молекул является хаотичным, то суммарная сила ударов молекул о броуновскую частицу, а вместе с ней и движение броуновской частицы также будут хаотичными.

А. Эйнштейн в 1905 г. установил связь между средним квадратом проекции перемещения броуновской частицы на любое направление в горизонтальной плоскости Ах2 ) за время А?, коэффициентом диффузии D и интервалом

Рис. 10. Положения концов векторов перемещений, соответствующих рис. 9. Начало отсчета для всех векторов совмещено с центром круга.

времени А? между двумя последовательными положе-; ниями частицы;

2Д4

Эту же зависимость можно записать в виде

где - i

AT?2 = Дж2 + Ду2 = 2-Дж2■

— средний квадрат перемещения частицы в горизонталь ной плоскости. Величина коэффициента диффузии D характеризует подвижность броуновской частицы. '

На рис. 9 изображены точками положения броуновской частицы через одинаковые промежутки времени [19]. Перенося начала всех плоских векторов перемещения в одну точку (в начало координат), мы получаем для концов векторов перемещения, изображенных точками, картину, напоминающую мишень, обстрелянную хорошим стрелком (рис. 10).

Мы видим, что в этом случае среднеарифметическое значение перемещения при п -> оо, т. е. «истинное» значение перемещения АТ?, тождественно равно нулю (по построению графика рис. 10), а значение АТ?2 при п -> оо равно 2 о2 = Or, где о2 — дисперсия распределения проекций Аж, a Or — дисперсия распределения плош и перемещений АТ?.

Таким образом, по последовательным положениям броуновской частицы (точнее, по горизонтальным проекциям этих положений) можно определить АТ?2 при п -> оо, т. е. определить величину дисперсии Or и установить границы доверительного интервала для нее.

На рис. 11а приведен график последовательных положений броуновской частицы, измеренных в классических опытах Ж. Перрена [19], который опытным путем проверял

соотношение Эйнштейна (39). Масштаб сетки соответствует 50 мкм в 16 делениях шкалы. Положения частицы фиксировались через каждые 30 сек (\t = т = 30 сек\ На рис. 116 приведены 20 последовательных положений броуновской частицы, взятых с рис. 11а.

Таблица 7

i

Ы = т

М — 2т

М = Зт

ДК1Л +1’ мкм

дн4,1 4-1

ДК%Л + 2* Л4КЛ1

ДЯ?,г + 2

днгЛ +3' мкм

д+ + з

1

4,48

20,07

7,60

57,76

4,32

18,66

2

3,68

13,54

8,64

74,65

7,28

53,00

3

11,76

138,30

10,80

116,64

1,68

2,82

4

6,72

45,16

10,64

113,21

13,60

184,96

5

10,56

111,51

12,64

159,77

13,44

180,63

6

3,20

10,24

8,88

78,85

5,20

27,04

7

6,64

44,09

4,08

16,65

9,44

89,11

8

10,16

103,23

16,04

257,28

17,84

318,27

9

6,32

39,94

9,36

87,61

4,64

21,53

10

9,68

93,70

4,60

21,16

1,80

3,24

11

5,60

31,36

9,92

38,41

13,28

176,36

12

4,40

19,36

8,04

64,64

19,68

387,30

13

5,52

30,47

11,68

136,42

11,36

129,05

14

7,12

50,69

7,80

60,84

4,16

17,31

15

2,48

6,15

5,84

34,11

15,04

226,20

16

5,04

25,40

13,48

181,71

14,28

203,92

17

9,44

89,11

10,16

103,23

11,52

132,71

18

0,80

0,64

8,08

65,29

19

8,40

70,56

—

—

—

—

19

18

17

2 дл?

Л + 1 =

2 ЛЯ?

л+ 2 ~

2 АД?

Л + з =

г = 1

1 = 1

1=1

= 943,52-

Ю'22 м>-

= 1728,23-10~12 де2

= 2172,11

• 10-1- ле2

^+ + 1 =

A*M+2 =

^«+3 =

19

18

17

?2

4,4 + 1

2 длЬ-н

2 ДЛМ + з

7 = 1

1=1

1=1

19—

—18~

—1'

= 49,66-

10-1-' ле'!

= 96,01-

10 12 .к2

=127,77

1012 ле-

В табл. 7 приведены величины Д/?^ i+1 в микрометрах

и соответствующие им Д/?^ i+1, измеренные по графику

рис. 116. Наряду с перемещениями броуновской частицы за интервалы времени А? = т в табл. 7 приведены значения перемещений (и квадратов перемещений) этой частицы за интервалы времени А? = 2т и А? = Зт. Приведены также суммы квадратов перемещений и значения среднего квадрата перемещений для каждой серии ).

Перейдем теперь к обработке полученных результатов.

Обычно, как отмечалось выше, истинное значение измеряемой величины нам бывает неизвестно, и поэтому п зиходится рассматривать отклонения измерений от среднеарифметического значения.

В данном случае положим «истинное» значение измеряемой величины АТ? равным нулю в силу хаотичности теплового движения. Следовательно, для определения среднего квадрата перемещений, т. е. отклонений от «истинного» значения АТ? — 0, следует применять формулу (15):

А^ = 4- 2 < AT?f - АТ?)2 = -L 2 АТ?? ).i=li=l

Далее нас интересует не данное значение среднего квадрата, полученное в той или иной серии измерений, а предел, к которому стремится этот средний квадрат при безграничном увеличении числа измерений в серии (при и -> оо), т. е. величина дисперсии сгд. Так как число проводимых нами измерений конечно, то мы не сможем определить точное значение этой дисперсии, но мы можем определить доверительный интервал для нее согласно соотношению (37). Из Приложения VIII при а = 0,95 находим значения коэффициентов 7? и 7^:

/ = п = 19, г? = 0,578, 72 = 2,13,

/ = га = 18, 7? = 0,571, 72 = 2,19,

/ = п = 17, у? = 0,563, 72 = 2,25.

Поэтому доверительные интервалы для Hr = А7?д< оказываются равными

Ai = т 0,578-49,7-Ю"12 л»2 < Ай? С 2,13-49,7-Ю"12 м2, Ai = 2т 0,571-96,0-10"12 .и2 ^ Ад[т + 2,19-96,0 X

Х10-12 №, М = Зт 0,563 -127,8 -10"12 .и2 ^ Щ^ 2,25 -127,8- 1О~12Л12, т. е.

Ai = r 28,7-10-12 Л42® + 106-10~12 лг2,

М = 2т 54,8-10“12 Л42 ^ АД^ ^ 210-10“12 Л42,

М = Зт 72,0-10~12 Л42 < А^т < 288-10"12 *, или

А< = т ЬЁ* = (50 + 5б) -Ю-12^2,

А< = 2т AT?t = ( 96 + ^4J.10-12^2,

Ai = Зт А7?зт = (128+4601 .Ю”12^2.

Как и следовало ожидать, границы доверительных интервалов получились резко асимметричными (эта асимметрия является следствием асимметрии %2-распределе- ния) и возрастающими с увеличением Ai. Для наглядности эти средние квадраты вместе со своими доверительными интервалами изображены на рис. 12.

Теперь найдем величину коэффициента диффузии D. Нетрудно убедиться в том, что случайные значения D^ полученные в той или иной серии измерений, ведут себя как средние квадраты перемещений, т. е. также подчиняются ^-распределению. Отнесем все измеренные квадраты перемещений к одному и тому же промежутку времени т. Тогда

191817

~ TrJV [2 А Дщ+1 + ~ 2 AT?2 i+2 + "у 2 АТ?2 из 1.(40)

Lt=li=li=l

Здесь в знаменателе стоит N — полное число измерений, равное в нашем случае 19 + 18 + 17 — 54, поскольку

46

мы считаем, что измерения отдельных серий, так же как и измерения внутри каждой серии, являются независимыми и проведенными в одних и тех же условиях ). Подстав-

Рис. 12. Определения значений средних квадратов отклонений АЛ3 для разных интервалов времени At (помечены точками). Вертикальные прямые — доверительные интервалы. Пунктиры — границы доверительного интервала для Ай3, полученные при учете всех трех серий измерений.

ляя в (40) численные значения сумм квадратов из табл. 7 и т = 30 сек, получаем

5 = -4^54 [944 + 864+724] м^сек = 3,91 -10'1:1 м^сек.

Из Приложения VIII при а = 0,95 для / = N = 54 находим значения Ti = 0,709 и ^ = 1,52 и получаем доверительный интервал для D

0,709-3,91-10'13 мг[сек + Z) + 1,52-3, ЭМО"13 м^сек, т. е.

10-13 м-jceK + 77 + 5,9-10-13 м-^сек

или

D = ^3,9 + 2’0) '^13 мг!сек-

На рис. 12 приведены также прямые, построенные с помощью вычисленного среднего значения D согласно соотношению А7?де = 4M-D (сплошная прямая) и с помощью границ доверительного интервала для D (пунктирные прямые). Эти прямые убедительно показывают, как уменьшается доверительный интервал для каждого значения А7?д( после обработки всего объема информации о перемещениях броуновской частицы.

ВЫЯВЛЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПРОМАХОВИЗ СЕРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

Если серия из небольшого числа измерений содержит грубую погрешность — промах, то наличие этого промаха может сильно исказить как среднее значение измеряемой величины, так и границы доверительного интервала. Поэтому из окончательного результата необходимо исключить этот промах. Обычно промах имеет резко отличающееся от других измерений значение. Однако это отклонение от значений других измерений не дает еще права исключить это измерение как промах, пока не проверено, не является ли это отклонение следствием статистического разброса.

Из рис. 6 видно, что появление при измерении значения, отклоняющегося от истинного значения (или от среднего значения) на величину, превышающую 2п или тем более Зег, маловероятно. Вероятность рх появления такого отклонения при одном измерении равна pi = 1 — а = = 0,05 и 0,003, соответственно (а — задаваемая величина надежности). Эта вероятность р возрастает при увеличении числа измерений п. Действительно, если надежность нахождения значения одного измерения в доверительном интервале (—каа, +каа') равна а ), то при га-кратном

повторении измерений надежность нахождения значений всех га измерений внутри доверительного интервала (_к^а, +каа) уменьшается до ап. (Вероятность одновременного появления независимых событий равна произведению вероятностей отдельных событий.) Отсюда получаем, что вероятность появления при одном измерении значения (измерения), выходящего за пределы доверительного интервала (—каа, +А:ао), равна р! = 1 — а, а при и измерениях

р = (1- а")= [1-(1-р1)Ч = 1 - 1 + гарх - ... = npv

(41)

т е. при малых рх вероятность р возрастает в га раз по сравнению с р1? т. е. р = гаР^

Однако при проведении измерений величина а неизвестна, и ее приходится определять по результату всей серии измерений. Как мы видели (см. § 3), это определение величины а по находимой непосредственно величине ASn связано при малом числе измерений га с большой погрешностью. Поэтому более целесообразно при выявлении промахов применять критерии, не связанные с величиной а. Такой критерий получается, если вместо распределения случайной величины Аа/о рассматривать распределение другой случайной величины

илиилиа а(ра а(р(42)(42)

или

или

а а(р

а а(р

(42)

(42)

где А5П = 1/ -7—j—2 kdi, а^ — наибольшее значение *i=l

измерений в серии из га измерений, ат — наименьшее значение в этой же серии *).

Это распределение имеет вид

*) Индексы в скобках величин а^ соответствуют расположению измерений в порядке возрастания величины.■*) Индексы в скобках величин а^ соответствуют расположению измерений в порядке возрастания величины.■

*) Индексы в скобках величин а^ соответствуют расположению измерений в порядке возрастания величины.■

*) Индексы в скобках величин а^ соответствуют расположению измерений в порядке возрастания величины.■

В табл. 8 приведены значения Утях — максимал! hi возможные значения У(л>, возникающие вследствие ста тистического разброса, соответствующие заданной надеж ности а. (Более полная таблица утах приведена в Прило жении IX ).)

Таблица 8

п

а = 0,90

3 = 0,10

а = 0,95 Д=0,05

а = 0,99

3 = 0,01

3

1,41

1,41

1,41

4

1,64 -

1,69

1,72

5

1,79

1,87

1,96

6

1,89

2,00

2,13

7

1,97

2,09

2,26

8

2,04

2,17

2,37

9

2,10

2,24

2,46

10

2,15

2,29

2,54

Как видно из табл. 8, значения Утах возрастают 4 увеличением надежности а, т. е. с уменьшением р, и | увеличением числа измерений п. Это означает, что вероя^ ность появления больших отклонений, возникающих всле/й ствие статистического разброса, растет при увеличенва числа измерений. Я

Если резко выделяющееся значение измерения а(п| полученное в серии из п измерений, соответствует величи не у(п) > Ущах при заданном значении надежности а = 1 -4 — Р, то это означает, что данное значение а^ не совмести мо с исходным предположением о нормальном законе рад пределения и его можно рассматривать как промах. Эя измерение следует исключить из серии п измерений и он ределить новые значения я и Аа для серии из оставшихся п — 1 измерений. |

Если же величина у(п), соответствующая значению а^ меньше утах для этого же числа п при заданной надежна сти а, то это резко выделяющееся измерение а^ является следствием статистического разброса и нет оснований сче тать его промахом.

Приведем пример применения табл. 8. Пусть при измерении длины стержня штангенциркулем были получены следующие значения, приведенные во втором столбце табл. 9.

Таблица 9

г

Ц мм

Z j — /о, мм

(4 — Zo)5 лелН

1

153,4

—1,6

2,56

2

154,6

—0,4

.0,16

3

154,7

—0,3

0,09

4

155,0

0

0

5

164,3

4-9,3

86,49

6

154,5

—0,5

0,25

Сумма

+6,5

89,55

Возьмем Zo = 155,0 мм и вычислим величины lt — 16 и Vt — Z0)2. (Эти значения приведены соответственно в третьем и четвертом столбцах табл. 9.)

Тогда

Z = Z0 + 4-2 (^-A>) = 155,0 + -^--= 155,0 + 1,08 = i=l

= 156,08 ми.

Отсюда'

Z — Zo = 1,08 мм.

Проверим, не является ли значение Z5 = 164,3 мм, полученное при пятом измерении, промахом, так как оно сильно отличается от других значений. (Возможно, что это значение появилось вследствие описки экспериментатора при записи 164,3 мм вместо 154, 3 мм). Для этой цели найдем величину-^—- А5„:

-^A-s2 = -^-Ж-Т? = 4-5 Wk-ioy-n(l-ioY\ =

7=1i=l

= 4" [89,55 — 6-1,082] = 14,925 — 1,166 = 13,76 ми2.

ОтсюдаОтсюдаA5n = /13,76 = 3,71 .мм.A5n = /13,76 = 3,71 .мм.

Отсюда

Отсюда

A5n = /13,76 = 3,71 .мм.

A5n = /13,76 = 3,71 .мм.

Подсчитаем теперь величину y(6>:

У(6)У(6)^(6) I»^(6) I»164,3 — 156,083,71164,3 — 156,083,718-22 - 9 223,718-22 - 9 223,71

У(6)

У(6)

^(6) I»

^(6) I»

164,3 — 156,08

3,71

164,3 — 156,08

3,71

8-22 - 9 22

3,71

8-22 - 9 22

3,71

(Z(6) — наибольшее значение lt в серии из шести измере ний. В нашем случае Z(6> = Z6).

Из табл. 8 находим при га = 6 для надежности а = = 0,95 значение vmax = 2,00. Мы видим, что v^ ^> vmax Это означает, что измерение Z6 = 164,3 мм является про махом и его следует исключить из серии измерений.

После исключения получаем, полагая Zo = 154,0 мм следующие данные (табл. 10)._

'Таблица 10

i

Z мм

Ц — Zo, JHJH

(Zj — Zo)2, мм”

1

153,4

-0,6

'0,36

2

154,6

+0,6

0,36

3

154,7

+0,7

0,49

4

155,0

+ 1,0

1,00

5

154,5

+0,5

0,25

Сумма

+2,2

2,46

Отсюда получаем

I = 1° + 4” 2 (zi - zo) = 154,0 + 4- • 2,2 = 154,0 + 0,44=

= 154,44 м.

И:

I — Zo = 0,44 мм,■

= —V [2,46 - 5-0,442] = 0,123 - 0,048 = 0,075 мм5*41 ’71771

ДА^ =/0,075 = 0,274 мм.

Из Приложения VII находим коэффициент Стьюдента 1а при п = 5 для а = 0,95. Он равен ta = 2,78. Следовательно, погрешность серии из пяти измерений равна

М = ta- kS-^ = 2,78-0,274 = 0,761 мм ~ 0,8 мм.

Таким образом, окончательный результат можно представить в виде.

I = I + AZ = (154,4 + 0,8) мм.

Сохранение промаха в серии из шести измерений привело бы к значению

I = (156,1 ± 3,4) мм, т. е. резко изменило бы как среднее значение измеряемой величины, так и погрешность результата измерения. Аналогичным образом следует исключать и резко выделяющееся в сторону занижения значение а^, пользуясь критерием:-

ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Прежде чем рассматривать погрешности результата косвенных измерений, отметим, что эти погрешности, подсчитанные по рекомендациям, изложенным в данном параграфе, носят ориентировочный характер. Они будут оправдываться тем лучше, чем больше число измерений и чем выше точность отдельных измерений. В наиболее ответственных случаях при определении надежности результата косвенных измерений необходимо применять распределение вероятности данной конкретной функции случайных величин и обратиться к более сложным разделам математической статистики (дисперсионный анализ, проверка гипотез и др.).

Здесь мы остановимся лишь на несколько упрощенной трактовке. Пусть искомая величина z определяется из прямых измерений величины а, причем

2 = /(а).(44)

53

Обозначим точное значение результата косвенных из мерений через z = z ± Az = /(я ± Ап), где а = а + Аа z = /(а). Полагая величину абсолютной погрешносп прямых измерений Ап очень малой по сравнению с а можно для определения погрешности косвенных измере ний

Az- = /[/ (й) _ / W = / (а) - / (а) воспользоваться связью дифференциала функции df i бесконечно малым изменением аргумента

Абсолютная погрешность результата косвенных измерений в этом случае равна )

Az- =d/(a) = /(a-},Aa) —)(а) = -^-(а)Аа,(45j

где Ап определяется соотношениями (27) и (25). j

Относительная погрешность равна|

Е =.да.Ю0%(4$

ити, полагая An — da и Az — dz,j

ez=^-=d(lna),(4|

где знак d после дифференцирования следует замени! на А.

Рассмотрим теперь случай, когда искомая величие является функцией двух переменных а и Ь, значения ю торых определяются непосредственно из серий к и т из мерений соответственно:з

z = /(a, by(4

Остановимся сначала на простейшем случае:'

z = а + Ь,(4

причем величина а определяется из серии к измерений at (/=1,2,..., ку а величина b — из серии т измерений Ъ;

(j = 1, 2,..., ту

Истинные значения а и Ъ связаны со средними значениями а и Ъ соотношениями (см. (10))

а = а -\- ка, b = Ъ + Д6.(50)

Если обозначить среднее значение функции через z = = а + Ь, то средний квадрат отклонения z от z равен)

Az2 = (z — z)2 = (а — а + 6 — 5)2 = (Да + Д6)2 = ^+2Д^.Д6 + Д^ = Да2 + Д62. (51)

Здесь черта сверху означает усреднение по распределению соответствующих случайных величин. Член 2ДаДб равен нулю в силу симметрии кривых распределения вели

чин Да и ДА

Аналогично, если

z = Q . а + R ■ Ь,(52)

где Q и R — постоянные, получаем

Дг2 = (?2 • Да2 + 7?2-ДЛ(53)

В самом общем случае, когда . z = /(а,6),(54)

можно показать ), что

^’-(-эгУ^ + ^д»-(55)

и, следовательно,

(55)

Здесь ^- и — — частные производные функции /(а, 6) по переменным а и Ъ соответственно. Напомним, что частная производная функции многих переменных / по одной

переменной, скажем а, является обычной производной функции / по а, причем другая переменная b считается постоянным параметром. Все производные в выражении (56) вычисляются при значениях а = а и b = Ь.

В настоящее время нет универсального способа оценки границ доверительного интервала при заданной надежности для результата косвенных измерений. Даже для оценки границ доверительного интервала разности двух величин в литературе имеются противоречивые рекомендации [20, 23]. Поэтому мы здесь даем простой, хотя и недостаточно строгий рецепт получения оценки а при косвенных измерениях (см. также [24—26]).

Если к < 20 и т < 20, то погрешности Да и Д6 определяются с помощью коэффициентов Стьюдента для о д- н о г о и того же значения надежности а.

Относительная погрешность равна

где Дз определяется соотношением (56). Аналогично для

з = /(а, 6, с...)(58)

получаем )

Относительная погрешность равна также ez =,(60

и так как

j да да 1 f до до 1 1 j дс дс ТО

2 _ WfJL In/) Да2In/V Д62 +

\ z /\^а)\до. 1 )1

+ (-^1п/)2Дс2 + ... (61

В частности, если

z =/(а, б, с,...) = а^-Ь^-с5,(62)

где р, Т, 6,... могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, то In / = р In а + Y In 6 + d In с,

да 1а 1 доодсс

и

е2 = р2. Л^_ + Г2. ^_+б2. Д^=р2.Е2+г2.е2 + д2. аос

'8с2,

т. е.

(63)

Ег= Ур2.Е2 +Т2.Е2 +д2.Е2.

(64)

Рассмотрим несколько частных случаев, а) Погрешность суммы двух величин:

z = а + Ь,

(65)

^z = уАа2 +Аб2 ),

(66)

У Да2 + Д62

(67)

б) Погрешность разности двух величин:

z = а — б,

(68)

Az = УАа2 +Аб2*), <

(69)

У Да2 + Д62

62 Г

а — о

(70)

Мы видим, что при одной и той же величине абсолютной погрешности Az, т. е. при одной и той же величине Да и Аб, относительная погрешность разности может быть значительно больше относительной погрешности суммы при близких значениях а и Ь.

Погрешность произведения двух величин:

(71)(71)z = а-Ь,

(71)

(71)

Az = ]А2 Да2 + а2А62,(72)

ez = р^ Ёд + Вь._(73)

(74)(75)(76)(74)(75)(76)Погрешность отношения двух величин:

(74)

(75)

(76)

(74)

(75)

(76)

Az = 1/ ~ • А«2+^--Ад2 ),V №Ь4 1

Следует отметить, что если косвенные измерения про

водятся в невоспроизводимых условиях, то значения функции вычисляются для каждого отдельного измерения, а границы доверительного интервала определяют в результате обработки вычисленных результатов косвенных измерений, т. е. самих функций, так же как это делается для прямых измерений.

Пример. При определении коэффициента вязкости, жидкости путем изучения движения твердых шариков: разного диаметра в этой жидкости получены результаты,) представленные в табл. 11. j

Поскольку величины, стоящие под табл. 11, известны га большой точностью, то мы будем пренебрегать погрешно! стями измерений этих величин, а также приборными по! грешностями при измерении радиуса шарика и времени! Все величины взяты с тремя значащими цифрами. I

Значения коэффициента вязкости вычисляются на оо| новании закона Стокса по формуле ‘

учитывающей поправку на влияние конечного диаметр

сосуда с жидкостью.j

Таблица 11

i

гшЮ4, м

/, сек

i

гш-104, м

/, сек

1

2

3

4

₽ж = =981 см/се

Здесь расстояни Рщ — ПЛО1 сосуда с >

2,92

2,81

3,04

3,37

,24 г/см? = 1,24 к2 = 9,81 м/сек^

гш — радиус' а я с установи ^ность твердого кицкоотью.

27,0

29,0

24,8

20,1

• 103 кг/м3, рш = , 1 = 7,80 см =

вердого шари вшейся скоро шарика, g —

5

6

7

= 9,70 7,80-10-=

ка, t —

СТЬЮ V, ускорен!

гм

3,37

3,26

г'см? = 9,70-Ю3

м, R = 1,45 сл

время прохожу рж — плотном ie силы тяжес

37,5

20,2

22,9

кг/м?, g — = 1,45-Ю~2 м.

ения шариком гь жидкости, ги, R — радиус

Вычислим сначала постоянный множитель

2/s Я(р™ — Рж) = 2/э• 9,81 • 8,46-103 м/сек2 кг/м3 =

= 1,844- Wh/m3,

а затем вычислим переменные величины (табл. 12).

Таблица 12

i

2

Гщ-Ю®, Л12

г-103, мсек

--106, м/сек

1+^1 т R

Х10»

•п-ю, нсек/м1

1

8,53

2,89

2,95

1,05

2,81

5,18

2

7,90

2,69

2,94

1,05

2,80

5,16

3

9,24

3,14

2,94

1,05

2,80

5,16

4

11,4

3,88

2,94

1,05

2,79

5,14

5

6,10

2,08

2,93

1,04

2,82

5,20

6

11,4

3,86

2,94

1,05

2,79

5,14

7

10,6

3,41

3,11

1,05

2,96

5,46

Рассматривая полученные значения коэффициента динамической вязкости, мы видим, что значение седьмого измерения резко выделяется по сравнению с остальными. Поэтому прежде всего следует выяснить, не является ли это измерение промахом. Для этой цели построим табл. 13 отклонений и квадратов отклонений Л1 от произвольно выбранного значения Ло = 0,520 н-сек/м2.

i

н-сек/л42

1Ц —Яо

Oi—oi)2

1

0,518

-2-Ю-3

4-10-°

2

0,516

— 4. Ю-3

16-Ю-6

3

0,516

—4.10~3

16-10-°

4

0,514

—6-10~3

36-10-”

5

0,520

0

0

6

0,514

— 6-10-8

36-10-8

7

0,546

+26-10-3

676-10-8

Сумма

+4-10-8

784-10-8

Среднее значение г], полученное в результате всей се рии из семи измерений, равно

Л — Ло + ~ S (Лг — Ло) = 0,520 4- -2_— =0,5206 н-сек/.и2 i—1

причем

т] — Ло = 6-10“4 и-сек/»2.

Далее,

+lis;=+i]h,-#- г=1

= 4" [2 (^ ~ Чо)2 ~ МЛ ~ Ло)2] =

= _L [78 400 - 7- 36] -10-8 =

= 11164-10-8 ~ 1,12 • 10~4 н2 • сен-[м4.

Таким образом,

д/"^—^—SkSn = 1,06-10“2 н-сек[мъ.

Отсюда

ni7) — Л 0,5460—0,5206 _ 2,54 _ 9

и№~ 7=^~106.10'2“1(16 “

Из Приложения IX мы находим значение ymax при га =7 для а — 0,95: утах = 2,09 <; У(7>. Следовательно, значение л? = 0,546 н-сек]м2 несовместимо с предположением о нормальном законе распределения значений измерений 1], т. е. это измерение является промахом. Исключая это измерение, мы получим серию из шести оставшихся измерений.

Найдем значение коэффициента динамической вязкости из этой серии измерений.

Таблица 14

i

ц^ н-сек/м2

^i—"Лэ н*сех/м2

(^1— -По)1, н2*сек?/м4

1

0,518

8-КГ3

64.10-°

2

0,516

6- io-3

36.10_°

3

0,516

6-КГ3

36-10-°

4

0,514

4.10-3

16 - ю-°

5

0,520

10-103

100-10-°

6

0,514

4.10-3

16.10-°

Сумма

38-10-3

268-10-°

Для этого положим Ло =0,510 га-сек/л42, после чего получим данные, представленные в табл. 14

Л = Ло + 4" 2 hi — Ло) = (5,10- ю-1 + 22222 j =

= 5,163-10'1 н-сек]м2,

Л — Ло = 6,3-10'3 н-сек/м2 и

AS-^ = 2g [268—6(6,3)2]10~6 н2- сек2/лИ=:1,0-10~6 н^.сек^я», т. е.

AS- = 1,0-10~3 н-сек/м2.

Отсюда при а = 0,95 и га = 6 по табл. 1 находим

С = 2,57; следовательно

Ал = £«• AS-= 2,57-10-3 н • сек]м2 ~ 3 • 10~3 н-сек]м2 и

Л = (5,16 ± 0,03)-10-1 н-сек]м2.

Как уже указывалось выше, если случайные погрешности результата измерений (или погрешности отдельных' измерений) оказываются гораздо меньше, чем погрешность измерительного прибора, определяемая классом точности последнего, то только погрешность прибора определяет; погрешность окончательного результата серии как пря-i мых, так и косвенных измерений. Для оценки погрешности результата серии косвенных измерений и в этом случае в качестве первого приближения можно применять соотношения (60), (61), (73) и (76), где Да, Д6, Де,... будут представлять собой погрешности измерительных приборов.

Применение этих соотношений для учета влияния погрешностей измерительных приборов может быть в какой-; то мере обосновано тем, что эти погрешности задаются максимальным значением (по абсолютной величине) для всей области применения данных приборов. Поэтому по-! явление той или иной величины погрешности и того илй иного знака ее носит случайный характер.,

к» = ta (оо).к» = ta (оо).Когда случайная погрешность, полученная из разброс^ отдельных измерений относительно среднего значения, оказывается сравнимой с погрешностью прибора д, то грат ницы доверительного интервала определяются соотноше| нием )i

к» = ta (оо).

к» = ta (оо).

где

Соотношение (77) может быть получено из формул? (66), если считать, что приборная погрешность д равна у? роенной дисперсии распределения погрешностей прибор Збприб, т- е. погрешности, соответствующей надежности а = = 0,997. (Это справедливо как в случае нормального рас пределения погрешностей прибора, так и в случае равнс мерного распределения.) ’

Числовой пример обработки результатов измерени диаметра цилиндра (стр. 31) показывает, что число зн! чащих цифр результата ограничено: оно определяется Щ

рядком величины абсолютной погрешности. Естественно, если величина абсолютной погрешности составляет сотые доли, т. е. если мы не ручаемся за правильность сотых долей, то и в результате необходимо оставить только сотые доли, округляя результат (ибо нет смысла сохранять тысячные доли, если мы не ручаемся за правильность сотых долей). Отметим, что любое округление чисел представляет собой систематическую погрешность.

Поэтому все вычисления окончательного результата следует производить с числом значащих цифр, превышающих на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях (для последующего округления результата), т. е. при относительной погрешности, измерений порядка 1 -л- 10% расчеты можно проводить, пользуясь тремя значащими цифрами; С помощью логарифмической линейки; при относительной погрешности измерений порядка 0,1-4- н- 1 % можно пользоваться четырехзначными таблицами логарифмов и т. д.

Другими словами, относительная погрешность, получающаяся в результате вычислений, должна быть примерно на порядок (т. е. в 10 раз) меньше погрешности результата косвенных измерений ez. Так, например, округляя трансцендентное число л, т. е. заменяя л на приближенное значение ЛпР, мы совершаем относительные поДл .

грешности еп=—, где Ал = л — лпр с определенным знаком, равные:

лПр = 3;

Ал ± ± 0,142;

еля

+ 5%;

Лпр — 3,1;

Ал ~ ± 0,0416;

8п £

^ + 1,3%;

Лпр = 3,14;

Ал ~± 0,00016;

8п

- + 0,05%;

лПр = 3,142;

Ал ~ — 0,00041;

8п

S - 0,01 %;

лпр = 3,1416;

Дл~ — 7,35-10-6;

8п ■—

к — 2,10—4% и т. д.

Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то обычно считается, что эта погрешность составляет ±0,5 последней значащей цифры. -

Рассмотрим теперь применение вышеизложенных правил к анализу различных частных случаев косвенных измерений.

Измерение объема шара

V = ^ R3 = -^ d3,

где R — радиус, a d — диаметр шара.

F = (4-)прЛпрсгз’(а)

AV = ^d»M,(б)

In У = In-jL + In л + 31nd,(в)

Погрешность в определении объема обусловливается в основном случайной погрешностью при измерении диаметра. Поэтому для уменьшения погрешности в определении объема следует уменьшить систематические погреши пости в определении 1/6 и л, связанные с округлением эти^ чисел.j

Оценим величину допустимых погрешностей при округлении, чтобы они не изменили точности определений объема. Для этой цели положим, что они на порядок мень-j ше погрешности, вносимой погрешностью диаметра, т. е^ 1

еу ^3ed^10|en|^10|evJ,(г|

где

4-= 0,16666...6

Пусть измерения диаметра шара винтовым микромет ром дали значение d = (12,050 ± 0,005) мм.

Тогда?

ed =-^-% = 0,04%, 3ed = 0,1 %.'

Отсюда е„~0,01%, т. е. лпр = 3,142; ei/t~0,01% т. е.’

вч = 0,0001^® и С/в^р = 0,1667.

64j

1

Измерение объема прямоугольной пластины У = abc, где а, Ь, с — стороны пластины.

V = abc,(а)

In У = Ina + In 6 + Inc,(б)

Бу = Ёд + Бь + Ес,(в)

АУ=У-Еу = у. |ЛЕ2+Е2 + Е2 ).(г)

Если измерения сторон пластины производятся одним и тем же измерительным прибором, то при достаточном числе измерений абсолютная погрешность Aa = Аб = Ас становится равной погрешности прибора. В этом случае

a

Рпс. 13. Систематические погрешности, возникающие из-за неправильного учета формы.

при с<^Ъ— а погрешность объема Еу будет определяться в основном погрешностью Ес. Действительно, при а = = б ~ Зс Ед = Еь = VeEc, т. е. на порядок меньше Е?, и их влиянием можно пренебречь. По этой же причине измерения сторон а и б можно производить более грубым прибором — это незначительно увеличит при с <^ а — б относительную погрешность объема.

Следует отметить, что на объем пластины довольно большое влияние оказывает систематическая погрешность, связанная с искажением формы. Если между сторонами а и б угол равен не л/2, а (л/2) — а, а угол между стороной с и плоскостью (а, б) (л/2) — р, то площадь поверхности пластины S равна S = ah, где h = 6cosa (рис. 13). '

Аналогично толщина пластины будет равна кг = = С COS р.•'

При малых значениях а и р имеем cos2 а = 1 — sin2 а ж 1 — а2, cos2 р = 1 — sin2 р ~ 1 — р2, так как sin а ж а, sin Р ж р при малых а и р. Отсюда cos а si ]/1 — а2 = (1 — а2)1^ ж 1^- а2 + ...;

И COS Р Ж 1Р2. Поэтому'

V = abc cosa-cos р.।

' Абсолютная систематическая погрешность при пример нении формулы V = abc составляетj

АУ = abc cos a • cos P — abc = abc (cos a • cos P — 1) ^ j «ate [ (1 - ^ (1 - ^-) - 11 = - ate £±£ j а относительная погрешность|

By =-^-= (cosa• cos Р — 1)100% = —a ^- 100%. I При a = p = Г, т. e. a = p = -^- pad = 0,02 Pad^ a2 = p2 = 4-10-4 (радиан2). Поэтому систематическая по 0(2 Q 3j

грешность By =• 100% = — 0,04%. Очевидно

что эта величина погрешности будет определять макси мальную точностьизмеренийобъема,вычисляемого ni

формуле V = abc.5

Измерение объема круглогоцилиндра:

у = "Ы2j

где h — высота, d — диаметр цилиндра.,

V= ^h-d1,(i

In V = — In 4 + In л + In h + 2 In d, (I в^=в^-4в^100в^,(

так как погрешность в определении л должна быть на порядок меньше погрешности в определении объема: Еу —, ®Юе„. -

ДУ = Г.Еу = V. у^Г4Ё» ).(Г)

Мы видим, что относительная погрешность измерений диаметра входит в погрешность объема с большим множителем («весом»), чем погрешность измерения высоты (если h > d/2). Поэтому для получения большей точности измерения диаметра цилиндра следует производить прибором с меньшей приборной погрешностью.

Измерение ускорения свободного падения при помощи математического маятника. Из выражения периода колебаний математического маятника

получаемполучаем

получаем

получаем

g — 4яЧ

где I — длина маятника, Т — период его колебаний. Следовательно,

In g = In 4 + 2 In л + In I — 2 In 7\(6)

e) = С; + 4bt ~ 400 e®,(в)

kg = g-Eg = g- yef+44".(r)

Из соотношения (в) видно, что при I "^ 30 см и Д/ = = 0,25 см необходимо с большой точностью измерить период колебаний. Для этого обычно измеряют не время одного полного колебания Т, а время 50 или 100 полных

колебаний: t = 1007\ В этом случае Т = Z/100 и АГ = = Az/lOO.

Зная ez и ет, можно по е8 ~ 400 в„ определить число значащих цифр в лпр (см. пример 1). .

■Ж■ЖОпределение модуля сдвига G из колебаний крутильного маятника

■Ж

■Ж

где г — радиус проволоки, L —j

Рис. 14. Схема крутиль- длина проволоки, m — масса од4 ного маятника. ного Груза, Zt и Z2 — расстояний между центрами масс m в первом и втором опытах, Ту и Тг—периоды крутильных коле’ баний в первом и втором опытах (рис. 14).;

In G = In 16 + In л + In m + In L +<

-Mn^-Z2)-41nr-ln(7l-7^), (g Eg = Em + BL + 168r + 8 3_ g -)- 8 »_ g = 100 En, (B ^1 S'2'

' AG = G.Eg,(r

где -:

241^ + 47^;

‘a Vt —.

247^+ 47^'

E (Tv T"2) -^-T^)1'

Выражение для квадрата относительной погрешнее^ Eg показывает, что основной вклад в погрешность eg вЩ сят погрешности вг, Е(т1=-тг2) и б^-^. Поэтому радиус пр( волоки г, периоды 7\ и Тг и расстояния Zi и Z2 следуй измерить как можно точнее. После нахождения eG следуй определить число значащих цифр в лпр (см. пример fl

Измерение электрического сопротивления катушки. Рассмотрим теперь оценку точности измерений, когда погрешность прибора задается его классом точности.

При измерении величины электрического сопротивления проволочной катушки приборами класса точности 1*) были получены следующие значения: сила тока I = 17,2 ма, напряжение U = 440 мв. Необходимо найти сопротивление и оценить точность измерения. Максимальное значение силы тока, измеряемого данным миллиамперметром, равно 75 ма, максимальное напряжение 1,50 в. Таким образом, приборная погрешность миллиамперметра составляет 1% от 75 ма, т. е. А/ = + 75-10-2 ма; приборная погрешность вольтметра равна АУ = ± 1,5-0,01 = 0,015 в.

Относительные погрешности равны

Е/ = ±-^|- = 4,36-IO"2,

,15-Ю-3 о ,.

£V — + 440.10-3 ~'10 •,

Из закона Ома для участка цепи имеем

Отсюда

ед = /е2 + е2, = У 19,0 + 11,4-10~2 =

= УЗОЛ.1О-2=5,6.1О-2~6о/о.

Поэтому расчет сопротивления R следует проводить с тремя значащими цифрами:

R = ^ = 25,6 ом

и

АД =/?ед = 25,6-5,6-10~2 = 4,4 ом.

Таким образом, измерения дают

R = (25,6 ± 1,4) ом.

Естественно, что по одному измерению судить о надежности измерений невозможно.

„ *) Такие приборы позволяют проводить измерения с абсолютной погрешностью в 1% от максимального значения величины, которую можно измерить этим прибором.

НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ

КВАДРАТОВ

До сих пор мы рассматривали измерения той или иной физической величины, находящейся при проведении всей серии измерений в неизменном состоянии. Однако бывают случаи, когда сама измеряемая величина за время измерений меняется вследствие непостоянства другой величины, связанной с ней. И в этих случаях будет наблюдаться статистический разброс, приводящий к случайным погрешностям. Но этот разброс будет уже проходить не относительно неизменного «истинного» значения или среднего значения измеряемой величины, как рассматривалось ранее, а относительно изменяющегося (например, вследствие изменения времени или температуры) «истинного» значения.

Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений величины y:z/i, у2, ..., уп, соответствующих значениям аргумента ti, 1г,..., t^, которые могут быть представлены на графике в виде точек (^ у^, (Z2, уг,),..., (tni у^ (рис. 15), и нам необходимо установить эмпирическую зависимость между у и I.

Очевидно, если соединить последовательно все эти точки, то получим ломаную линию, которая ничего сб- щего не будет иметь с искомой зависимостью у = /(/). Это следует хотя бы из того, что форма этой ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений. Измеренные значения у^ будут в общем случае смещены относительно искомой кривой у = /(£) как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статистического разброса (рис. 16).

Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам провести кривую (не ломаную), которая проходила бы как можно ближе к истинной функциональной зависимости у = j^Y Теория вероятности 'показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Этот метод и называется методом наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.

Предположим, что искомая зависимость выражается функцией у = Kt, 4Ь 42,..., AJ, где Аь Аа, ...,Ат — па- 70

аметры. Значения этих параметров определяются Так, |обы точки у, располагались по обе стороны кривой у = Ь j^ как можно ближе к последней, т. е. чтобы сумма квад- атов отклонений измеренных значений у^ от функции |я= /(<) была бы наименьшей. Это соответствует предпо- бжению, что разброс точек у^ относительно кривой у = уИА подчиняется закону нормального распределения, рак отмечалось выше, мерой этого разброса является дис- ерсия п2 или ее приближенное выражение — средний

№ис. 15. Положения экспери- Рис. 16. Кривая у = у (<), по- виентальных значений (<;, у^. строенная по значениям (t^, у^ Кметодом наименьших квадра-

Гтов.

^адрат отклонений

1пП

te = ^'2 (у,-у № = 4-2

i42^' <78>

i1=1

I требование минимального разброса соответствует требованию минимального значения этого среднего квадрата. I Как известно, функция /(Л) принимает минимальное жачение при Л =Лтш, если ее первая производная/' (Л) = ^ ДА Равна нулю, а вторая производная / (Л) = -^• Ьложительна, при этом значении Л = Лт!п. Для функ- ши многих переменных эти условия заменяются требова- нюм. чтобы частные производные, т. е. производные по параметру Л{, удовлетворяли вышеупомянутым услови- Ёи, причем все остальные параметры Л; (/ =/= г) при вычис- №нии производных считаются постоянными.

Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для определения наилучших значений параметров:

т - - 4 з (»< - №» 4г -0<79>

15=1г

(i = 1, 2,..., т; т< «)•]

Обычно форму зависимости у = f(t, Лъ А2,.., Лп) задают в виде полинома

/ (О = Аа -4 -^1(0 + ••• + Amtm = 2 А^г

i=0

(т <4 п — 1)(80)

Или в виде любой другой системы линейно независимых функций ^AtY

/ (0 = ^хфЛО + А2ф2 (0 + ... + Ат^т^ =

= 2^44(0 Im-^Y (81)

Достаточно хорошо передающей общий ход зависимости у = JAY который можно установить по расположению точек (^, уА на рис. 15. ■

В случае выбора f^A^ ..., Лт) в виде (80) уравнения (79) принимают вид

4^=-42(»гЗ ^)«;-о с=о, 1,....№ г5=1fc=0

т<А п — 1), т. е.

S ^Уз 2 ^л) ^ = о j=lfc=o

или

2 Ак^ ^1 = 2 УД (i = 0, 1, тп; т + 1 <п). (82) k=Q j=l5=1

72

г В случае выбора разложения/^, Л1? Л2, ..., Лт) в фор- ine (81) уравнения (79) принимают вид

I~ -^2 [?/j - 2. Mt (*j)] Фг (tj) = 0 (ш < я),

R i2=1*=1

т. е.

;2 [yj - 2 ^кФк(^)]фг(^)= о

.2=1/,=1.

ИЛИ

.2 ^к2 Фк(^)Ф1(^)=2 w(^)(83)

:л=15=1,=1

!

(i = 1,2, m; m < и).

f Решение этих систем линейных уравнений позволяет ■ однозначно определить коэффиценты At разложения у =

\. = М

' Изложенный выше способ применения метода наименьших квадратов можно обобщить и на некоторые случаи нелинейных зависимостей /(Z, Ль А4,..., Лт) от параметров, например, для

У = /(^ а, Y) = Q-e~4t.(84)

В этом случае, однако, целесообразно искать не минимум

суммы квадратов отклонений функций 2 <У1 ~ У (Z2))%

У=1

? а минимум суммы квадратов отклонений логарифмов этих же функций

Г2 [1п»1 — 1п<«<1"<)1*.

(

г что приводит к уравнениям

Г,4-2 (Ьу, — 1п« + г^) = 0

п

2 (In У) — In а + xt^tj = Oj 2=1

4 О. Н. Кассандрова, В. В. Лебедев73

т. е. к системе уравнений

(85)(85)— Г 2 ^ + re In а = 2 Ь z/,.,j=ij=i

(85)

(85)

nnn

— г2 ^?+2 ^Ina = 2 ^jlnyj,;=1 -;=13=1

решение которой дает значения параметров т и Ina:

(86)(86)

(86)

(86)

Рассмотрим применение вышеизложенного метода на конкретных примерах.

Нахождение параметров линейной зависимости вида VW= a + bt. При измерении электрического сопротивления R проволоки при разной температуре t°C были по

лучены следующие результаты, приведенные во втором и третьем столбцах табл. 15.

Таблица 15

i

tv °с

Rj, ом

4

ВД) выч.

ДН1

дп-х Х10*

1

20,0

86,70

400,0

1734

86,65

+0,05

25

2

24,8

88,03

615,0

2183

88,21

—0,18

324

3

30,2

90,32

912,0

2728

89,97

+0,35

1225

4

35,0

91,15

1225,0

3190'

91,53

—0,38

1444

5

40,1

93,26

1608,0

2016,0

3740

93,18

94,74

+0,08

64

6

44,9

94,90

4261

+0,16

256

7

50,0

96,33

2500,0

4816

96,40

—0,07

49

Сумма Среднее

245,0 35,0

640,69

91,527

9276,0

1325,1

22652

3236

•—,

- +0,01

3387

ЕНайдем температурную зависимость сопротивления юволоки. Будем искать ее в виде

:R = 7? о ~Ь ttt.(87\

№меняя метод наименьших квадратов, найдем парамет- I Ro и а этой зависимости.

* Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений изме- Гых сопротивлений от вычисленного по соотношению была наименьшей:

|' п

i2 № — Д0 — at^ = min.(88)

ёi=l

Из этого условия, дифференцируя его сначала по Ro, а (тем по а, получаем уравнения

Г—22 го—д«—«ц = о,

I ■— 2 2 (Дг — 7?0 — at^ t^= 0,

»: 1

Г

6.

(89)(89)h-Rq -f- а 2 ^< — 2 ^’i=li=i

(89)

(89)

(2 ^i) ^0 + а 2 ^i = 2 А' i=li=l г=1

Из первого уравнения выразим Ro

i=li=l

s подставляя это выражение для Ro во второе уравнение, Случим соотношение

¥n l^R — аТ) + а2 А = 2 Ц^б

|i=l г=1'

4*75

из него определим а;

После этого находим 7?0:

Подставляя в эти выражения численные значения из табл. 15, получаем

22 652 — 35,0.640,69 22 652 — 22 424228 пя

а = '9276 - 35,0.245,0 = 9276-”8575- = 701 =0,326 о^/град, р _ 91,527.9276 — 35,0.22 652 _ 849 004 — 792 820 _

701701~

56 184 on л к== 80,15 ом.

Таким образом, мы получаем окончательно

R = 80,15 +0,325. t° = 80,15 (1 + 4,05- Ю-^0) ом. (90)

Для сравнения в шестом, седьмом и восьмом столбцах табл. 15 приведены вычисленные значения сопротивле-

Мий, а также разности Rt — R и квадраты этих разностей. На рис. 17 изображена зависимость (90) и экспериментальные точки.

| Следует отметить, что объем вычислений можно уменьшить, если отсчет температуры и отсчет сопротивлений

Рис. 17. Эмпирическая зависимость tэлектрического сопротивления от

гтемпературы. Точки соответствуют

[результатам измерений.

^производить от средних значений. [18], так как в этом -случае ьпп

£2ч=2ал = о).

I4=14=0

' Преобразуем выражение суммы квадратов отклонений:

, пп

LS (Я. _ r0 _ а1^= 2 [(^ - R) - (Ro - R + а?) -

Г 4=14=1

гп

(— a ^ — 7)]2 = 2 l^^ — R№ — «lAy2 = min. (91)

Е. 4=1

Здесь аг = а и RW = Ro — R + at. Дифференцируя (91) по RW и аг соответственно, получаем вместо (89)

уравненияуравненияОтсюдаОтсюда(92)(92)

уравнения

уравнения

Отсюда

Отсюда

(92)

(92)

nRW = О,

«12 Д^ = 2 M^Rvг=1»=1

ROT = О,

и, возвращаясь к первоначальным параметрам, получаем

2а = «1= ^,

2 ^i=l

Ro = R — «17.

Таблица записи промежуточных данных в этом случае также несколько упрощается (см. табл. 16).

Таблица 16

i

Д/^ °C

AR^, ом

“А

1

—15,0

—4,827

225,0

72,40

2

—10,2

-3,497

104,0

35,67

3

- 4,8

—1,207

23,0

5,79

4

0

—0,377

0

0

5

+ 5,1

--1,733

26,0

8,84

6

+ 9,9

--3,373

98,0

33,39

7

+15,0

+4,803

225,0

72,04

Сумма

0

0

701,0

228,13

После подстановки числовых значении получаема = ^^ = 0,325 ом]град,

Ro = 91,527-0,325-35,0 = 80,152 ~ 80,15 ом.

| Нахождение параметров квадратичной зависимости Вида y(t) = <j + 6* + ct2. Требуя, чтобы сумма квадра- Вов отклонений имела минимальное значение

Д5„= 2 (У1 — а — Ыг — cti)^ = min,

^ дифференцируя это соотношение по а, 6 и с, получаем Соответственно уравнения

2 toi — a — bti — cti') =0,

2 (Уг — а — bh — cti) ti = 0,

2 (Уг — а — ЬЦ — cti) ti = О,

с2 ^l+C2 *4— S ^4-с2 ^l+C2 *4— S ^4-<=1<=44=$1<=1<=44=$1(94)(94)

с2 ^l+C2 *4— S ^4-

с2 ^l+C2 *4— S ^4-

<=1<=44=$1

<=1<=44=$1

(94)

(94)

Из этой системы можно определить значения параметров @, 6 и с.

$ Если один из параметров зависимости, например 6, ^авен нулю (по тем или иным соображениям), то система Уравнений для этого случая может быть получена из первого и третьего уравнений, полагая в них 6 = 0i

Tia + с 2 ti ~ 2 Уь

4=14=1

Отсюда

71П П

2 ^-4-2 ^2*?

с =с =^1 .Л 1 /VI ,Э\2^1 .Л 1 /VI ,Э\2ппп2i=lп2i=lп. ппу -^.—^ »•?'? 4=1" 4=1 1=1п. ппу -^.—^ »•?'? 4=1" 4=1 1=1п. пV /41 /V /2\2п. пV /41 /V /2\2(95)(95)1=171 1=1;=1

с =

с =

^1 .Л 1 /VI ,Э\2

^1 .Л 1 /VI ,Э\2

п

п

п

2i=l

п

2i=l

п. пп

у -^.—^ »•?'? 4=1" 4=1 1=1

п. пп

у -^.—^ »•?'? 4=1" 4=1 1=1

п. п

V /41 /V /2\2

п. п

V /41 /V /2\2

(95)

(95)

В этом частном случае, если отсчеты yt и tt вести от средних значений 7 и у, то это только усложнит расчеты, так как

2 (У1 — я — c*i)2 = 2 Kz/i — У) — (а — У + ctb —

* 1— 2с7 (^ — 7) — с(/4 — 7)2]2 =

= 2 lA^i — “1 — (2*А*4 + Ati) Cl2 = т*П- •i=l

где аг = а — у + ct2, и уравнения (94) принимают вид

ппа1 + с 2 Д^1 = ®»■4=1

пппп

О12 Д^ + с (472 2 Ati + 47 2 М + 2 Ail) =

1=11=11=1i=i

nn

= 27 2 Ai{ Ду4 + 2 AitApj.

Рассмотрим применение полученных формул на конкретном примере.

На машине Атвуда с контактным электрическим секундомером измерялось время, необходимое для прохождения различных расстояний. Из пяти серий измерений были определены средние значения tt для каждого расстояния Sv Эти усредненные значения S; и tj приве- 80

дены во втором и третьем столбцах табл. 17. В четвертом, пятом и шестом столбцах приведены значения i?» ti и tiSv В нижней строке приведены суммы соответствующих величин. '

Таблица 17

iSj, мt^ сек1• 0,201,23620,301,58030,401,83840,502,0121 50,602,26060,702,39870,802,536Сумма3,5013,860iSj, мt^ сек1• 0,201,23620,301,58030,401,83840,502,0121 50,602,26060,702,39870,802,536Сумма3,5013,860fi't'{Si1,5277 2,49643,3782 4,04815,1076 5,7504 6,43132,334 6,23211,412 16,386 26,088 33,06741,3620,3056 0,7488 1,3513, 2,0240 3,0646 4,0253 5,145028,7397136,88116,6646fi't'{Si1,5277 2,49643,3782 4,04815,1076 5,7504 6,43132,334 6,23211,412 16,386 26,088 33,06741,3620,3056 0,7488 1,3513, 2,0240 3,0646 4,0253 5,145028,7397136,88116,6646

i

Sj, м

t^ сек

1

• 0,20

1,236

2

0,30

1,580

3

0,40

1,838

4

0,50

2,012

1 5

0,60

2,260

6

0,70

2,398

7

0,80

2,536

Сумма

3,50

13,860

i

Sj, м

t^ сек

1

• 0,20

1,236

2

0,30

1,580

3

0,40

1,838

4

0,50

2,012

1 5

0,60

2,260

6

0,70

2,398

7

0,80

2,536

Сумма

3,50

13,860

fi

't

'{Si

1,5277 2,4964

3,3782 4,0481

5,1076 5,7504 6,4313

2,334 6,232

11,412 16,386 26,088 33,067

41,362

0,3056 0,7488 1,3513

, 2,0240 3,0646 4,0253 5,1450

28,7397

136,881

16,6646

fi

't

'{Si

1,5277 2,4964

3,3782 4,0481

5,1076 5,7504 6,4313

2,334 6,232

11,412 16,386 26,088 33,067

41,362

0,3056 0,7488 1,3513

, 2,0240 3,0646 4,0253 5,1450

28,7397

136,881

16,6646

Будем искать зависимость пройденного пути 8 от времени t в виде

8 = 80 + -^,

где 8 0 — положение груза в начальный момент времени, w — ускорение системы. (При этом мы считаем, что начальная скорость г>0 = 0.) Применяя соотношения (95) при г»«У

а = 80, с = у„ получаем

2 у ^.-4-(У s ) (У

1=1*7~ 33,329 — 1,0.28,740

i=l ‘ i=li=l ‘ i=l2 ^- — (2 *?/136,88--у (28,740)»

i=l ‘ i=l

i=l ‘ i=l

= ^ = 0,2431 ле/свк*.

i=li=li=li=l^о = 4-2^-й2 <2 = о,5ооо-0'121428'740 =

i=li=l

i=li=l

= 0,5000 — 0,4988 = 0,0012 ле = 1,2 деле.

Нахождение параметров нелинейной зависимости. При определении средней теплоты испарения воды были получены значения давления насыщающих паров, представленные в табл. 18.

Таблица 18

i

т, °к

Р, мм рт. ст.

i

т, »к

Р, мм рт. ст.

1

295

19

14

308

34

2

296

20

15

309

35

3

297

20,5

16

310

36

4

298

21

17

311

38

5

299

22

18

312

40

6

300

23

19

313

42

7

301

24

20

314

44

8

302

25

21

315

46

9

303

27

22

316

47

10

304

28

23

317

48

11

305

30

24

318

49

12

306

32

25

319

51

13

307

33

При изменении температуры Т в небольшом интервале АТ* зависимость давления насыщающих паров жидкости теоретически может быть представлена в виде

Р = Ров

где L — удельная теплота испарения воды, р — молярная масса, R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, Ро — некоторая постоянная.

В действительности теплота испарения сама несколько изменяется с изменением температуры. Но в узком интервале изменения температур ее можно считать постоянной и равной среднему значению для этого интервала температур. В рассматриваемом примере температура изменяется в диапазоне от 22 до 46° G, т. е. АГ = =24° С, что значительно меньше значений рассматриваемых абсолютных температур (— 300° К). Таким образом, теплоту испарения воды в данной задаче можно считать постоянной. Определим ее значение из результатов измерений, представленных в табл. 18.

Так как зависимость давления от температуры и теплоты испарения воды является нелинейной, то метод ■ наименьших квадратов следует применять не к самим давлениям, а к логарифмам. Логарифмируя зависимость

Р = Рое RT , получим

1пР = 1пР0 _^Х = 1пр0_й_1_,

где 6 = ^ . Из условия минимума суммы

2 (1пЛ — 1пР0 += min,

после дифференцирования этой суммы по In Ро и Ь, получаем уравнения *

(96)(96)(97)(97)ninpo=2 inPi + 62 у--i=li=l i

(96)

(96)

(97)

(97)

i-P.il-SinP.l+eSdY.i=l i i=li i=l\ i/

Из первого уравнения получаем

inpo = — 2 in р{ + -24.T=1i=l I

и, подставив это выражение во второе уравнение, получаем уравнение для определения Ь:

1(2 шр.) (21)+1(2^У-

1=1i=l Ii=l *

п * _ п

= 2^ + &2Г-Л.

■i=i i i=i \ i /

Отсюда

, Ппп ] р

п i=i i=i 2 j i=i 2 j

vi / 1 \2 11 V

CiVj п

Подставляя это выражение для 6 в формулу (97), можно определить 1нР0, Таким образом, эмпирическая зависимость давления насыщающих паров воды от температуры и теплоты испарения будет полностью определена.

Перейдем теперь к конкретному расчету L по измерениям, приведенным в табл. 18.

Результаты измерений представим в табл. 19.

Таблица 19

i

tap.

т^'10’

/ 1 \

( Т- j * ^z

/1п РД

\~тг)"№

1

2,9444

3,390

1,14921

0,9982

2

2,9957

3,378

1,14109

1,0119

3

3,0204

3,367

1,13367

1,0170

4

3,0445

3,356

1,12627

1,0217

5

3,0910

3,344

1,11823

1,0336

6

3,1355

3,333

1,11089

1,0451

7

3,1781

3,322

1,10357

1,0558

8

3,2189

3,311

1,09627

1,0658

9

3,2958

3,300

1,08900

1,0876

10

3,3322

3,289

1,08175

1,0960

11

3,4012

3,279

1,07518

1,1153

12

3,4657

3,268

0,06798

1,1326

13

3,4965

2,257

1,06080

1,1388

14

3,5264

2,247

1,05430

1,1450

15

3,5554

2,236

1,04717

1,1505

16

3,5835

3,226

1,04071

1,1560

17

3,6376

3,215

1,03362

1,1695

18

3,6889

3,205

1,02720

1,1823

19

3,7377

3,195

1,02080

1,1942

20

3,7842

3,185

1,01442

1,2053

21

3,8286

3,175

1,00806

1,2156

22

3,8502

3,165

1,00172

1,2186

23

3,8712

3,155

0,99540

1,2214

24

3,8918

3,145

0,98910

1,2240

25

3,9318

3,135

0,98282

1,2326

Сумма

86,5072

81,478

26,56923

28,1344

Из данных, приведенных в табл. 19, получаем следующие значения параметров:

j ;”1=1 г=1 У i 1=1 1 1 =

у /1 V 11 У

1=1 V 1 /" 1=1 1 i

_ 4.10-=.86,5072-8,1478-IO-2 —28,1344-Ю-3

—26,5692 -4.10-2-66,3866-10'4—

28,1937 - 28,1344 _ 5,93 _ Л nfl - 26,5692 -26,5546 - 1,46 - и

ьл-42ьр1 + Л2У =

1=11=1 *

= ^^+ -^-8,1478.10-2 = 3,4603+1,32.10~2=3,4735. 2D ' 2D7177

Таким образом, получаем

1пР = 3,4735-^ или

_ 1152

Р = 32,25е т .

Наконец, по величине параметра Ъ определяем среднюю удельную теплоту испарения воды:

г ЪК 4,06-8,314 ло ? а

L = — =^— - 18,7 ож]грао • моль.

(Это соответствует значению 447 кал]град'Молъ.) '

Полученный результат заметно отличается от приводимого обычно в таблицах физических величин, что, по-ви- димому, может быть объяснено как наличием систематических погрешностей, так и недостаточной точностью приборов, измеряющих температуру (контактный термометр) и давление (U-образный ртутный манометр).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При обработке результатов измерений мы предлагаем следующий порядок операций:

А. Для прямых измерений

Результаты каждого измерения записываются в таблицу,

Вычисляется среднее значение из п измерений

■ й=4" 2 я<-■

1=1

Находятся погрешности отдельных измерений Да{ = а — av

Вычисляются квадраты погрешностей отдельных измерений (Да{)2.

Если одно (или два) измерение резко отличается по своему значению от остальных измерений, то следует проверить, не является ли оно промахом.

Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений

Задается значение надежности а.

Определяется коэффициент Стьюдента ta^ для заданной надежности а и числа произведенных измерений п (по таблице Приложения VII).

Находятся границы доверительного интервала (погрешность результата измерений)

Да = ta (n)-kS-_

Если величина погрешности результата измерений (определяемая в п. 9) окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину

^ = V <а («) ^\ + (^У^ К 3 t^x где д — величина погрешности прибора.

86

Таблица 20

Приближенное определение погрешностей функции х одного переменного

Относительная

Вид функции

Абсолютная погрешность

погрешность

п/п

z = z(a)

Az

Az

Е =

Z

1

са, с = const

сДа

Да

а

2

а", п^О

пд("-1) Дд

Да а

3

а

(1 + а — а) А

Sa

1 -|- а

(1 + й)2

а(1+а)

Да

- (1 + а)2

4

а

(1 — а -|- а) А

Да

1 — а

(1-S)2—

а(1—а)

Да

- (1-а)2

1 Да

5

— а'”' Sa =

п

п а

1 ^Г Л

п а

а

"^Sa

Sa

6

е с , с = const

С

а

— Да

Sa

7

Ас, с = const

А In А -£-

In А —^—

А = const

8

In а

Sa^

Sa

а

In a-а

. / а\

/ а \ Да

/ а \ Да

9

sinl—J, с—const

COS--—" \ С / с

ct8 \~)

/ а \

. / а\ Да

f а\ Sa

10

cost— J, С = COHSt \ с р

\ с / с

tff — \ с / с

11

/

tg 1—], с = const

1Да

2Да

„ / а \ с

f2a\ с

cos21 —)

81П — )

\» /

\с /

12

/ а \

ctg 1 — L с = const

1Да

2Да

/ 2а \ с

1

ет2И

ет\—)

•) Для достаточно больших аначений | с | (а С | с |). См, [281.

Окончательный результат записывается в виде а = а ± Да.

Оценивается относительная погрешность результата серии измерений

ЗдесьДа = t_ (п\ &S-, а ' у аta (а) — коэффициентЗдесьДа = t_ (п\ &S-, а ' у аta (а) — коэффициенте = ^Ю0%.а

Здесь

Да = t_ (п\ &S-, а ' у а

ta (а) — коэффициент

Здесь

Да = t_ (п\ &S-, а ' у а

ta (а) — коэффициент

/1 п

а (а - 1) S (“i~“)2'

г=1

Стьюдента для заданной надежности а,

z — Дг ^ z ^ z + Дг.

Б. Для косвенных измерений

Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой величины, проводится обработка, как описано в пункте А. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение надежности а.

Находится выражение для абсолютной и относительной погрешностей искомой величины в соответствии с конкретным видом функциональной зависимости (см. табл. 20 и 21).

Оцениваются границы доверительного интервала для результата косвенных измерений

где производные "^"1"^",^.'.. вычисляются при a = а, Ъ = Б, с = с,...

Окончательный результат записывается в виде

/(а, Ь, с,...) = /(а, Б, с,...) ± А/.

Определяется относительная погрешность результата серии косвенных измерений

6= Л/ ЮОо/о.

Таблица 21

Приближенное определение погрешностей функции г нескольких переменных

№ п/л

. Вид функции z = г (а, Ь, с, ...)

Абсолютная погрешность Az

,Az

Относительная погрешность

Да + ВЪ

у Д2Да2 + №А№

1

(Л = const, В = const)

У А2Аа2 + В^АЪ2

Да -\-ВЪ

Аа — ВЪ

(Д = const, В = const)

Ра + ВЪ + Qc

(Р : const, В = const, Q = const)

У АгАаг А-№А№

Аа— ВЪ

2

У А2Аа2 + В2 Ab2

3

У Р2Аа2 + В2АЪ2 + $2Дс2

У Р2Да2 + ВгАЬг 4- Q^Ac1 Ра 4- ВЪ 4- Qc

У УА<РА-агА№

4

об

У62Да24- а2Д62

а-Ъ

. / Да2 А№

а2 162

, Да2 № Ас1

V ^- + ir + ™

5

abc

У Ъ2 с2Аа2 4- с2 а2Д62 + а2Ъ2Ас2

6

а

У Ъ2Аа2 + а2Д62/ Да3 агАУ

№—у У^ У

1 / Ag2 № У а2 + б2

Т а б л-И ц а 21 (продолжение')

№п/п

Вид функцииz = z (а, Ь, с, ...)

Абсолютная погрешность Az

AzОтносительная погрешность в Z

7

8

9

10

11

12

^Ь^с*(а : const, 3 = const,7 = const)

а

a-Vb

(а^с^^Да2 + + 3^-2«^2№-1)дба + + ^^с^-^Ас4)'12 f bг^a1 , а2Д62 ' (6+^F+ (а + Ьу =

т Г &.аг Д62 Дс2

У 62Да2 + а2А№а (5+ Ь)

ab+ с

а (6 + с)

У №№ + а2Д62 (а W

V Ь2Аа2 + а^М? + Дс2

У (Ъ + с)2 Да2 + а2 (№ + Дс2)

Уь2Аа‘1-1га1А№

а(3 — Ь)

У № №Аа?- + (62 — а2)2 Д62

Ъ (а? + 62)

У Ь^Аа2 4- а2Д62 4- Дс2

аЪ 4- с

V (6 4- с)а Да2 4- а2 (А№ 4- Дс2)а (Ь 4- с)

(Да*/(Да*/

(Да*/

(Да*/

ПРИЛОЖЕНИЯ

Оценка среднего квадрата погрешности,распределенной по нормальному закону

Как известно, среднее значение квадратов величин, имеющие разную вероятность («вес»), можно записать в виде

(Да*)2-2 да“.р„ 2Pi = 1’

где Pt — вероятность появления величины Да,.

Для непрерывного изменения величин Да,2 роль «веса» играет плотность распределения вероятности у. В этом случав

(Да*)2 =£—(Да*)2 в го- й(Да*) =

V 2п а Д^

При этом мы использовали интеграл Пуассона:

e-z"dz= /Й.

S (Да‘)2

[■аким образом, lim ——I= lim &S** = а\ п-*оо А п-*оо

Вывод формулы (45)

Истинное значение аргумента а можно представить в виде (см. (10) на стр. 18)

а = а + Да.(ПЛ)

Таким образом,

z = / (а) = / (а + Да).(П-2)

Разложим функцию / (а) в ряд Тейлора, сохраняя лишь члены с нулевой и первой степенью Да (мы считаем при этом, что Да<^а):

/(а) =/(а + Да) = / (а)-|-/'(а) Да + .. . ,(П.З)

где /'(а) — производная функция /(а) по а, взятая в точке а.

В этом случае средний квадрат абсолютной погрешности Дг, т. е. средний квадрат отклонения истинного значения z от среднего значения z = /(а), равен

Дз2 = (z - ^ = [/ (а) - / Йр « [/' (а) Дар % [/' (а)Р ЬаЧ (II.4)

Черта сверху означает усреднение по распределению. См. также сноску к Приложению III.

Вывод формул (56) и (59)

Разложим функцию / (а, Ъ, с,...) в ряд Тейлора, сохраняя члены с нулевыми и первыми степенями погрешностей Да, ДЬ, 'Дс, ...:

/ (а, Ь, с,. ..) = / (а + Да, Ъ + ДЬ, с +^с, ...) =

= /(а, Ь, с, . . .) + -^- (а, Ь, с, . . .) Да +

9/- _df _ -

+ *9Г ^’ Ъ’ с' • • ’) ДЬ + "эГ (“’ 6’ с- • • •) Дс Н (Ш 1)

Отсюда

Дг2 = (z— zp = [/ (а, Ь, с, ...)— / (а, 6, с, . . . )Р =

VTf _ - _9/9/~

^’ ъ’с’ • • Л Д“ + '9Ь"(«’ ь' с’ • • •) ДЬ + ~^ь’с’”)х

Г 9/- -г 9/- -П27=г

ХДс.. .р ^[-^-(а, ь, с, ...)] Да2+|_-^- (а,6, c,...)j № +

г 9/- -/ 9/. I df Vs

+ [ 9с (а? ь’ c>-«-)J Дс2 +9а ) эь ) ДЬ2 +

+ ("8")Дс2 + ---(П1.2)

Усреднение ведется по соответствующим распределениям. При .У/ У/ У/

этом мы пренебрегаем изменением производных -gy, "^, ^у >-м в интервалах (—Да, + Да), (—ДЬ, + ДЬ), (—Дс, + Дс); ... Учет этого изменения приведет к появлению членов высшего порядка малости: Да4, &а?&ЪЧ ДЬ4 и т. п.

Действительно, эти производные можно представить в виде

Э) - - 9f ,^f ,' ~

— (а, Ь, с, ...^-^(а.Ь.а, ...)- -^(а.Ь.а, ...) Да

94~94

--Э^Г^’Ь’С'---'>М- -^йГ^'Ь’с*---^---- ит-п"

Так как -^- (а, Ь, с, ...) является постоянной, то изменение 9/ _ - _

^ (а, Ь, с,...) определяется членами

9494 94

у (а,6,а, ...)Да, у (а, Ь, с, . . .) ДЬ, -у^а, Ь, с, .. .) Дс,

которые по исходному предположению (см. разложение Тейлора) мы считаем малыми по сравнению с ^ (а, Ъ, с,...).

Извлекая квадратный корень из (III.2), получим (59). Частным случаем (59) является (56).

Элементарный вывод соотношений (72) и (75)

Погрешность произведения двух величин а и Ь определяется отклонением произведения «истинных» значений а и Ь от произведения средних значений а и Ь. Выражая истинные значения при помощи соотношений (10) (стр. 18) а = а + Да, Ь = Ь + ДЬ, мы можем записать средний квадрат абсолютной погрешности произведения z = аЬ в виде

Дг2 = (z.— z)2 = (аЬ — аб)2 = [(а + Да) (Ь -|- ДЬ) — аЬ]2 =

= Ь2 5а2 + 2аЬДа ДЬ + ^ДЬ2 ~ Ь2Да2 + а2ДЬ2. (72)

Усреднение проводится по соответствующим распределениям. Аналогично средний квадрат абсолютной погрешности отношения а

г = у можно представить в виде

Дг2 — (zДг2 — (zаа(а + Да) (Ь — ДЬ)Ь2 —Зь2(а + Да) (Ь — ДЬ)Ь2 —Зь2I2 Г а + Да а "]21 =L Ь + Д^ “TJ =- - yj = у- (Ь Да - аДЬ)2I2 Г а + Да а "]21 =L Ь + Д^ “TJ =- - yj = у- (Ь Да - аДЬ)2

Дг2 — (z

Дг2 — (z

а

а

(а + Да) (Ь — ДЬ)Ь2 —Зь2

(а + Да) (Ь — ДЬ)Ь2 —Зь2

I2 Г а + Да а "]2

1 =L Ь + Д^ “TJ =

- - yj = у- (Ь Да - аДЬ)2

I2 Г а + Да а "]2

1 =L Ь + Д^ “TJ =

- - yj = у- (Ь Да - аДЬ)2

Да2 а2ДЬ2

= Ь2 + Ь4

Элементарный вывод выражения для погрешностиобъема параллелепипеда

Пусть V = аЪс и V = аЬс, причем

а = а + Да, Ь = Ъ + ДЬ, с = с + Дс..

Тогда средний квадрат абсолютной погрешности объема можно представить в виде'

ДУ2=(Т^У)2= (абс—аЬс)2 =

= [(а + Да) (Ь -|- ДЬ) (с -|- Дс) — аЪср =

= [ЬсДа + асДЬ -|- аЬДс]2 =

= Ь2с2Да2 + а^ДЬ2 + й2Ь2Дс2 =

— а2^2? (- ----- I ■- I — у2 (е2 4- 82е2)

—а ° С \ а2 Ь2 + с2 / — * '8а^*8Ь^6с’’

Элементарный вывод выражения для погрешности объема круглого цилиндра

Пусть

V = ~^d?h и V= -£- <Р%,

причем

d = 3 + ДЙ и h = h + АХ

Средний квадрат абсолютной погрешности объема равен

. , , .у^2 —.

ДV2 =<У— V)2 = -yg (rf2/i — (Г-ПУ =

= ^- [(3 + АЙ)2 (Ь + дй) - 52Кр =

= -^- [23Ш + 32дьр =

= -^- (-Й^Дй2 + ^Дй2) =

Коэффициенты Стьюдента #»

се

п—1 Х'\.

0,90

0,95

0,98

0,99

0,999

1

6,31

12,7

31,8

63,7

636,6

2

2,92.

4,30

6,96

9,92

31,6

3

2,35

3,18

4,54

5,84

12,9

4 '

2,13

2,78

3,75

4,60

8,61

5

2,02

2,57

3,36

4,03

6,87

6

1,94

2,45

3,14

3,71

5,96

7

1,89

2,36

3,00

3,50

5,41

8

1,86

2,31

2,90

3,36

5,04

9

1,83

2,26

2,82

3,25

4,78

10

1,81

2,23

2,76

3,17

4,59

11

1,80

2,20

2,72

3,11

4,44

12

1,78

2,18

2,68

3,05

4,32

13

1,77

2,16

2,65

3,01

4,22

14

1,76

2,14

2,62

2,98

4,14

15

1,75

2,13

2,60

2,95

4,07

16

1,75

2,12

2,58

2,92

4,02

17

1,74

2,И

2,57

2,90

3,97

18

1,73

2,10

2,55

2,88

3,92

19

1,73

2,09

2,54

2,86

3,88

20

1,72

2,09

2,53

2,85

3,85

21

1,72

2,08

2,52

2,83

3,82

22

1,72

2,07

2,51

2,82

3,79

23

1,71

2,07

2,50

2,81

3,77

24

1,71

2,06

2,49

2,80

3,75

25

1,71

2,06

2,49

2,79

3,73

26

1,71

2,06

2,48

2,78

3,71

27

1,70

2,05

2,47

2,77

3,69

28

1,70

2,05

2,47

2,76

3,67

29

1,70

2,05

2,46

2,76

3,66

30

1,70

2,04

2,46

2,75

3,65

32

1,69

2,04

2,45

2,74

3,62

34

1,69

2,03

2,44

2,73

3,60

36

1,69

2,03

2,43

2,72

3,58

38

1,69

2,02

2,43

2,71

3,57

40

1,68

2,02

2,42

2,70

3,55

42

1,68

2,02

2,42

2,70

3,54

44

1,68

2,02

2,41

2,69

3,53

46

1,68

2,01

2,41

2,69

3,52

48

1,68

2,01

2,41

2,68

3,51

50

1,68

2,01

2,40

2,68

3,50

55

1,67

2,00

2,40

2,67

3,48

60

1,67

2,00

2,39

2,66

3,46

65

1,67

2,00

2,39

2,65

3,45

69‘г

005*0

80*8

585*0

$84

289*0

08

%1'г

86$‘0

8$‘8

825*0

884

089'0

61

2в*г

$8$*0

6$‘8

$25*0

864

^89‘О

8$

8б‘г

92$'0

58*8

896'0

964

9Т9*0

21

$$*8

29$ *0

88'8

555*0

10*8

809*0

91

92*8

25$‘0

0$*8

9$5*0

20'8

009'0

5$

$$*8

2$$'о

6$'8

985'0

е$‘г

Т65*0

$$

59'8

98$'0

09 8

985*0

$8*8

Т85*0

8$

06*8

$8$*0

и‘г

$$5*0

08'8

Т25‘0

8$

88'$

$$$*0

88'8

805'0

0$*8

655'0

4

$9 4

268'0

80'8

88$‘О

$5*8

9^5*0

0$

6**5

888'0

88*8

82$'0

$2*8

885*0

6

56'5

$98'0

29'8

95$'О

86'8

9Т5'0

8

80* L

5$8‘0

W1?

28$*0

88*8

86^'0

2

88'8

$88*0

58'$

5$$*0

29'8

92^*0

9

V^

668'0

80'9

068'0

984

85^'0

5

8'6$

698'0

98'8

658'0

89*5

88^'0

$

8'$$

$88'0

6*8$

$88‘О

85'8

$88*0

8

661

68$ *0

5'68

$28‘О

5'6$

$88'0

8

$9$ 58

28$‘0

8$0$

661'0

$58

098'0

$

Ч

Ч

Ч

В

В

В

В

В

8

/

66*0

= то

56'0

= г

06*0

= ю

“SV^>6o>“SV^

.•HHodononM икМ meadoiHH HiaHaireiadoaottanhiOTKratiadno ‘ггЛ и гтЛ тнэиЬиффеоя ‘ША

$8*8

65*8

88*8

964

594

005

88*8

65*8

$8*8

264

59*$

00$

88*8

65*8

$8'8

264

59'$

008

88'8

09'8

$8*8

264

59*$

058

$8'8

09*8

58*8

264

59*$

008

98'8

$9'8

58'8

864

994

05$

28'8

89*8

98*8

86*$

99*$

08$

68'8

89'8

98*8

86*$

99'$

00$

0$‘8

89*8

28*8

66*$

994

06

8$‘8

$9*8

28*8

66*$

99*$

08

$$‘8

59*8

88'8

66*$

294

02

666*0

66*0

86*0

56*0

06*0

эннажуо^ойц

/

а = 0,90

а = 0,95

а = 0,99|

Т2

Y1

Т1

т2

21

0,643

1,81

0,592

2,04

0,507

2,61

22

0,648

1,78

0,598

2,00

0,514

2,55

23

0,654

1,76

0,604

1,97

0,521

2,48

24

0,659

1,73

0,610

1,94

0,527

2,43

25

0,664

1,71

0,615

1,91

0,533

2,38

26

0,669

1,69

0,620

1,88

0,538

2,33

27

0,673

1,67

0,625

1,85

0,544

2,29

28

0,677

1,65

0,630

1,83

0,549

2,25

29

0,681

1,64

0,634

1,81

0,554

2,21

30

0,685

1,62

0,639

1,79

0,559

2,18

31

0,689

1,61

0,643

1,77

0,564

2,14

32

0,693

1,59

0,647

1,75

0,568

2,11

33

0,696

1,58

0,651

1,73

0,572

2,09

34

0,700

1,57

0,654

1,72

0,577

2,06

35

0,703

1,56

0,658

1,70

0,581

2,04

36

0,706

1,55

0,661

1,69

0,585

2,01

37

0,709

1,54

0,665

1,67

0,588

1,99

38

0,712

1,53

0,668

1,66

0,592

1,97

39

0,715

1,52

0,671

1,65

0,596

1,95

40

0,717

1,51

0,674

1,64

0,599

1,93

41

' 0,720

1,50

0,677

1,63

0,602

1,91

42

0,723

1,49

0,680

1,62

0,606

1,90

43

0,725

1,48

0,683

1,61

0,609

1,88

44

0,728

1,48

0,685

1,60

0,612

1,87

45

0,730

1,47

0,688

1,59

0,615

1,85

46

0,732

1,46

0,691

1,58

0,618

1,84

47

0,734

1,46

0,693

1,57

0,621

1,82

48

0,737

1,45

0,695

1,56

0,624

1,81

49

0,739

1,44

0,698

1,55

0,626

1,80

50

0,741

1,44

0,700

1,55

0,629

1,79

51

0,743

1,43

0,702

1,54

0,632

1,77

52

0,745

1,43

0,705

1,53

0,634

1,76

53

0,747

1,42

0,707

1,52

0,637

1,75

54

0,748

1,42

0,709

1,52

0,639

1,74

55

0,750

1,41

0,711

1,51

0,641

1,73

/

а = 0,90

а = 0,95

а = 0,99

?1

Y2

Y2

Y1

-X

Y2

56

0,752

1,41

0,713

1,50

0,644

1,72

57

0,754

1,40

0,715

1,50

0,646

1,71

58

0,755

1,40

0,717

1,49

0,648

1,71

59

0,757

1,39

0,718

1,49

0,650

1,70

60

0,759

1,39

0,720

1,48

' 0,653

1,69

61

0,760

1,39

0,722

1,48

0,655

1,68

62

0,762

1,38

0,724

1,47

0,657

1,67

63

0,763

1,38

0,726

1,47

0,659

1,66

64

0,765

1,37

0,727

1,46

0,661

1,66

65

0,766

1,37

0,729

1,46

0,663

1,65

66

0,768

1,37

0,730

1,45

0,664

1,64

67

0,769

1,36

0,732

1,45

0,666

1,64

68

0,771

1,36

0,734

1,44

0,668

1,63

69

0,772

1,36

0,735

1,44

0,670

1,62

70

0,773

1,35

0,737

1,44

0,672

1,62

71

0,775

1,35

0,738

1,43

0,673

1,61

72

0,776

1,35

0,740

1,43

0,675

1,61

73

0,777

1,34

0,741 '

1,42

0,677

1,60

74

0,778

1,34

0,742

1,42

0,678

1,59

75

0,779

1,34

0,744

1,42

0,680

1,59

76

0,781

1,34

0,745

1,41

0,682

1,58

77

0,782

1,33

0,746

1,41

0,683

1,58

78

0,783

1,33

0,748

1,41

0,685

1,57

79

0,784

1,33

0,749

1,Й

0,686

1,57

80

0,785

1,32

0,750

1,40

0,688

1,56

81

0,786

1,32

0,752

1,40

0,689

1,56

82

0,787

1,32

0,753

1,39

0,691

1,55

83

0,788

1,32

0,754

1,39

0,692

1,55

84

0,790

1,32

0,755

1,39

0,693

1,54

85

0,791

1,31

0,756

1,38

0,695

1,54

86

0,792

1,31

0,757

1,38

0,696

1,54

87

0,793

1,31

0,759

1,38

0,698

1,53

88

0,794

1,31

0,760

1,38

0,699

1,53

89

0,794

1,30

0,761

1,37

0,700

1,52

90

0,795

1,30

0,762

1,37

0,701

1,52

Значения »max при разных значенияхчисла измерений п для разных надежностей а

п

S3 Оо и 11 8 ей.

Оо

Оо*

II11

п

$5

У со.

Оо

И

о о Оо IIII

3

1,41

1,41

1,41

28

2,58

2,76

3,12

4

1,64

1,69

1,72

29

2,60

2,78

3,14

5

1,79

1,87

1,96

30

2,61

2,79

3,16

6

1,89

2,00

2,13

31

2,62

2,80

3,17

7

1,97

2,09

2,26

32

2,63

2,82

3,18

8

2,04

2,17

2,37

33

2,65

2,83

3,20

9

2,10

2,24

2,46

34

2,66

2,84

3,21

10

2,15

2,29

2,54

35

2,67

2,85

3,22

11

2,19

2,34

2,61

36

2,68

2,86

3,24

12

2,23

2,39

2,66

37

2,69

2,87

3,25

13

2,26

2,43

2,71

38

2,70

2,88

3,26

14

2,30

2,46

2,76

39

2,71

2,89

3,27

15

2,33

2,49

2,80

40

2,72

2,90

3,28

16

2,35

2,52

2,84

41

2,73

2,91

3,29

17

2,38

2,55

2,87

42

2,74

2,92

3,30

18

2,40

2,58

2,90

43

2,74

2,93

3,31

19

2,43

2,60

2,93

44

2,75

2,94

3,32

20

2,45

2,62

2,96

45

2,76

2,95

3,33

21

2,47

2,64

2,98

46

2,77

2,96

3,34

22

2,49

2,66

3,01

47

2,78

2,96

3'35

23

2,50

2,68

3,03

48

2,78

2,97

3,35

24

2,52

2,70

3,05

49

2,79

2,98

3,36

25

2,54

2,72

3,07

50

2,80

2,99

3,37

26

2,55

2,73

3,09

51

2,81

2,99

3,38

27

2,57

2,75

3,11

52

2,81

3,00

3,39

Четырехзначные мантиссы логарифмов

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

11

0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

12

0792

0828

0864

0899

0924

0969

1004

1038

1072

1106

13

1139

1173

1206

1239

1271

1303

1335

1367

1399

1430

14

1461

1492

1523

1553

1584

1614

1644

1673

1703

1732

15

1761

1790

1818

1847

1875

1903

1931

1959

1987

2014

16

2041

2068

2095

2122

2148

2175

2201

2227

2253

2279

17

2304

2330

2355

2380

2405

2430

2455

2480

2504

2529

18

2'553

2577

2601

2625

2648

2672

2695

2718

2742

2765

19

2788

2810

2833

2856

2878

2900

2923

2945

2967

2989

20

ЗОЮ

3032

3054

3075

3096

3118

3139

3160

3181

3201

21

3222

3243

3263

3284

3304

3324

3245

3365

3385

3404

22

3424

3444

3464

3483

3502

3522

3541

3560

3579

3598

■ 23

3617

3636

3655

3674

3692

3711

3729

3747

3766

3784

24

3802

3820

3838

3856

3874

3892

3909

3927

3945

3962

25

3979

3997

4014

4031

4048

4065

4082

4099

4116

4133

26

4150

4166

4183

4200

4216

4232

4249

4265

4281

'4298

27

4314

4330

4346

4362

4378

4393

4409

4425

4440

4456

28

4472

4487

4502

4518

4533

4548

4564

4579

4594

4609

29

4624

4639

4654

4669

4683

4698

4713

4728

4742

4757

30

4771

4786

4800

4814

4829

4843

4857

4871

4886

4900

31

4914

4928

4942

4955

4969

4983

4997

5011

5024

5038

32

5051

5065

5079

5092

5105

5119

5132

5145

5159

5172

33

5185

5198

5211

5224

5237

5250

5263

5276

5289

5302

34

5315

5328

5340

5353

5366

5378

5391

5403

5416

5428

35

5441

5453

5465

5478

Е490

5502

5514

5527

5539

5551

36

5563

5575

5587

5599

5611

5623

5635

5647

5658

5670

37

5682

5694

5705

5717

5729

5740

5752

5763

5775

5786

38

5798

5809

5821

5832

5843

5855

5866

5877

5888

5899

39

5911

5922

5933

5944

5955

5966

5977

5988

5999

6010

40

6021

6031

6042

6053

6064

6075

6085

6096

6107

6117

41

6128

6138

6149

6160

6170

6180

6191

6201

6212

6222

42

6232

6243

6253

6263

6274

6284

6294

6304

6314

6325

43

6335

6345

6355

6365

6375

6385

6395

6405

6415

6425

44

6435

6444

6454

6464

6474

6484

6493

6503

6513

6522

ss$N$N8. Ы8. Ы

s

s

$

N

$

N

8. Ы

8. Ы

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

80

9031

9036

9042

9047

9053

9058

9063

9069

9074

9079

81

9085

9090

9096

9101

9106

9112

9117

9122

9128

9133

82

9138

9143

9149

9154

9159

9165

9170

9175

9180

9186

83

9191

9196

9201

9206

9212

9217

9222

9227

9232

9238

84

9243

9248

9253

9258

9263

9269

9274

9279

9284

9289

85

9294

9299

9304

9309

9315

9320

9325

9330

9335

9340

86

9345

9350

9355

9360

9365

9370

9375

9380

9385

9390

87

9395

9400

9405

9410

9415

9420

9425

9430

9435

9440

88

9445

9450

9455

9460

9465

9469

9474

9479

9484

9489

89

9494

9499

9504

9509

9513

9518

9523

9528

9533.

9538

90

9542

9547

9552

9557

9562

9566

9571

9576

9581

9586

91

9590

9595

9600

9605

9609

9614

9619

9624

9628

9633

92

9638

9643

9647

9652

9657

9661

9666

9671

9675

9680

93

9685

9689

9694

9699

9703

9708

9713

9717

9722

9727

94

9731

9736

9741

9745

9750

9754

9759

9763

9768

9773

95

9777

9782

9786

9791

9795

9800

9805

9809

9814

9818

96

9823

9827

9832

9836

9841

9845

9850

9854

9859

9863

97

9868

9872

9877

9881

9886

9890

9894

9899

9903

9908

98

9912

9917

9921

9926

9930

9934

9939

9943

9948

9952

99

9956

9961

9965

9969

9974

9978

9983

9987

9991

9996

ЛИТЕРАТУРА

Основная.

А. Н. 3 а й д е л ь, Элементарные оценки ошибок измерений, «Наука», 1967.

В. И. Р о м а и о в с к и й, Основные задачи теории ошибок, Гостехиздат, 1947.

Ю. В. Л и н н и к, Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений, Физматгиз, 1962..

В. В. Н а л и м о в, Применение математической статистики при анализе вещества, Физматгиз, 1960.

Б. М. Щиголев, Математическая обработка наблюдений, Физматгиз, 1962.

Н. А р л е й, К. Б у х, Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, ИЛ, 1951.

Физический практикум. Механика и молекулярная физика, под ред. В. И. Ивероновой, «Наука», 1967.

Дополнительная

Е. С. В е и т^ц ель, Теория вероятностей, «Наука», 1965.

Г. П. Б о е в, Теория вероятностей, Гостехиздат, 1950.

Б. В. Г и е д е и к о, Курс теории вероятностей, Гостехиздат, 1954.

Б. Л. В а и дер Варден, Математическая статистика, ИЛ, 1960.

А. X а л ь д, Математическая статистика с техническими приложениями, ИЛ, 1956.

В. И. Романовский, Математическая статистика, ГОНТИ, 1938.'

М. Дж. Кендалл, А. С т ь ю а р т, Теория распределений, «Наука», 1966.

Г. К р а м е р, Математические методы статистики, ИЛ, 1948.

И. В. Дунин-Барковский, Н. В. С.мирно в, Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть), Гостехиздат, 1955.

Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский, Краткий курс математической статистики для технических приложений, Физматгиз, 1959.

А. М. Длин, Математическая статистика в технике, «Советская наука», 1958.

Ж. И е р р е н, Атомы, Госиздат, 1924.

Л. Н. Б о л ь ш е в, Н. В. С м и р н о в, Таблицы математической статистики, «Наука», 1965.

Д. Б. О у а н, Сборник статистических таблиц, Изд. ВЦ АН СССР, М., 1966.

Таблицы вероятностных функций, т. I, Изд. ВЦ АН СССР, М., 1958.

Л. Н. Б о л ь ш е в, Э. А. Л о г и н о в, Интервальные оценки при наличии мешающих параметров, Теория вероятн. и ее применение, т. II, № 1, 94—107 (1966).

W. G. Cochran, Approximate significance levels of the Behrens-Fisher Test, Biometrics 20, № 1, 191—195 (1964).

J. Bohm, Theorie der gesamten Fehler, Zeits. fur Vermessungs wesen, Bd. 92, № 3, 81—92, № 4, 139—149 (1967).

R.S. McCullough, J. Gurland andL. Rosenberg, Small sample behaviour of certain test of the hypothesis of equal means under variance heterogeneity, Biometrika 47, № 3—4, 345—353 (1960).

Б. E.Рабинович, Методика ' суммирования частных погрешностей в области радиотехнических измерений, Сб. «Исследования по методике оценки погрешностей измерений», Труды ВНИИМ, вып. 57 (117), стр. 19—33, Стандартгиз, 1962.

Н. Н. К u, Notes on the Use of Propagation of Error Formulas, J. Res, Nat. Bureau Standards 7OC, № 4, 263—273 (1966).

**) Это распределение впервые было получено французским математиком А. М. Муавром в 1733 г., затем немецким оптиком И. Г. Ламбертом в 1765 г. и детально изучено французским математиком П. С. Лапласом в 1795 г. и немецким математиком К. Ф. Гауссом в 1821 г.

517.8

К 28

УДК 519.24/27

Обработка результатов наблюдений, Кассандро- в а О. Н., Лебедев В. В., «Наука», Главная редакция физ.-мат. литературы, 1970 г.

Элементарное руководство по обработке результатов наблюдений. В нем изложены основы современных методов оценки ошибок результатов измерений и даются практические указания по применению этих методов в физических лабораториях и практикумах. Написано на уровне, доступном для студентов младших курсов вузов, и является полезным дополнением к уже имеющимся описаниям конкретных задач в физических практикумах.

Табл. 24, рис. 17, библиогр. 27 назв.

Ольга Николаезна Кассандрова,Виктор Всеволодович Лебедев

Обработка результатов наблюденийМ., 1970 г., 104 стр. с или.

Редактор В. Н. Руденко

Техн, редактор Л. А. ПыжоваКорректор Г. С. Смоликова

Сдано в набор 1/IV 1970 г. Подписано к печати 7/VII 1970 г. Бумага 84 х IOS1/*,. Физ. печ. л. 3,25. Условн. печ л. 5,46. Уч.-изд. л. 5,14.

Тираж 85000 акз. Т-09794. Цена книги 18 коп.Заказ № 327

Издательство «Науку»

Главная редакция физико-математической лшературыМосква, В-71, Ленинский проспект, 15.

2-я типография издательства «Наука». Москва, ПХубняский пер., 10.

2-3-1

11’4-63

Предисловие . . 4

Введение 7

Оценка случайной погрешности прямых измерений . .12

Определение величины дисперсии распределения из экспериментальных данных 36

Выявление и исключение промахов из серии измерений 48

Погрешности косвенных измерений 53

Нахождение параметров эмпирической зависимости методом наименьших квадратов 70

Заключение 86

Приложения 91

Оценка среднего квадрата погрешности, распределенной по нормальному закону 91

Вывод формулы (45) 92

Вывод формул (56) и (59) 92

Элементарный вывод соотношений (72) и (75) .93

Элементарный вывод выражения для погрешности объема параллелепипеда 94

Элементарный вывод выражения для погрешности объема круглого цилиндра 94

Коэффициенты Стьюдента ta 95

Коэффициенты Т2 и у2, определяющие доверитель

ный интервал для дисперсии: у2Д52^ а2 < Т^^п-96

Значения vmax при разных значениях числа измерений п для разных надежностей а 99

Четырехзначные мантиссы логарифмов 100

Литература ЮЗ